Mathematics | Higher education » Gál Eszter - Hiperbolikus szerkesztések a geogebra segítségével

http://www.doksihu Eötvös Loránd Tudományegyetem Természet Tudományi Kar TANÁRI KÉPZÉS SZAKDOLGOZATA Hiperbolikus szerkesztések a Geogebra segítségével Készítette: Témavezet®: Gál Eszter Csikós Balázs matematika-zika egyetemi docens tanári szak Budapest, 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. A Geogebráról 5 2.1 Mi is az a Geogebra? . 5 2.2 Hogyan lehet megszerezni a programot? . 6 2.3 Kinek hasznos a Geogebra? . 7 2.4 Saját élményeim . 10 3. Hiperbolikus geometria - elméleti háttér 3.1 3.2 12 Axiomatikus geometria . 12 3.11 Az axiomatikus módszerr®l általában . 12 3.12 Az euklideszi tér Hilbert-féle axiómarendszere . 13 3.13 Geometriai tértípusok . 15 A hiperbolikus tér modelljei .

16 3.21 Cayley-Klein-modell . 16 3.22 Poincaré-modell . 20 4. Szerkesztési feladatok 4.1 4.2 22 Alapszerkesztések . 22 4.11 Egyenes szerkesztése két ponton keresztül . 22 4.12 Pólus, poláris szerkesztése . 25 4.13 Áttérés a két modell között . 25 . 26 Szerkesztés a Cayley-Klein-modellben . 26 Felez®mer®leges egyenes szerkesztése 4.21 2 http://www.doksihu 4.22 4.3 Szerkesztés a Poincaré-modellben . 29 . 30 4.31 Tükrözés a Cayley-Klein-modellben . 30 4.32 Tükrözés a Poincaré-modellben 31 Tengelyes tükrözés . 4.4 Kör szerkesztése adott pont köré adott sugárral . 31 4.5 Kör szerkesztése adott ponton át adott középponttal . 33

5. Irodalomjegyzék 35 3 http://www.doksihu 1. fejezet Bevezetés Egyrészt azért választottam ezt a témát, mert örültem, hogy megismerkedhetek egy dinamikus geometriai programmal, a Geogebrával. Hiszen azt, gondolom a tanári pályának fontos része, hogy felkeltsük a gyerekek érdekl®dését, és egy ilyen program kiválóan alkalmas erre a feladatra, f®képp a matematika órákon. Másrészt az írás során fokozatosan egyre jobban elmélyültem a hiperbolikus geometria rejtelmeiben, így többet is megtanultam, mint az alapvet® egyetemi tananyag ebben a témában. A dolgozat második fejezetében röviden bemutatom a Geogebrát, és ötleteket adok, hogy mire használható a matematika órán kívül is. A középs® részben beszélek az axiomatikus geometriáról, valamint részletesen bemutatom a hiperbolikus geometria Cayley-Klein-modelljét. Végül pedig a két tudást egyesítve szerkesztéseket végzek a program segítségével. 4

http://www.doksihu 2. fejezet A Geogebráról 2.1 Mi is az a Geogebra? Amikor a hetedikesek tették fel ezt a kérdést, azt válaszoltam nekik, hogy ez egy olyan program, mellyel lehet rajzolni, szerkeszteni, függvényeket elemezni. Persze valójában ennél sokkal többre képes ez a számítógépes program. Tényleg lehet vele szerkesztéseket végezni, mégpedig nem csak az egyszer¶bbeket (felez®pont szerkesztése, adott egyenessel párhuzamos egyenes szerkesztése adott ponton kersztül,.), hanem összetettebbeket is (középpontos nyújtás, köré írt kör szerkesztése, inverzió,.) Nagyon sokat tud segíteni a koordinátageometriában, mivel az alakzatoknak az egyenleteit, a pontok koordinátáit is kiszámolja és megjeleníti. S®t ezeket a paramétereket mi is tudjuk változtatni. Innen adódik a program neve is: a Geogebra a geometria és az algebra egy-egy feléb®l van összerakva. Ez arra utal, hogy míg az egyik ablakban geometriai ábrákat rajzolunk, addig

a másikban megjelennek ezek algebrai egyenletei. El®nye, hogy egy-egy paraméter változtatása során szinte azonnal kirajzolja az új görbét, és jól látható, hogy a paraméter változtatásával, hogyan változik a görbe. Az elemi geometriai szerkesztések során fontos, hogy pontosan szerkeszt, így nem fordulhat el® az, hogy pontatlan szerkesztés miatt feltételezünk valami olyat, ami nem igaz. A diszkusszió végiggondolása is könnyebben megy vele, hiszen tudjuk mozgatni a feladatban megadott alakzatokat, és mozognak vele a szerkesztési lépések is. Nagy el®nye még, hogy eredetileg is rengeteg szerkesztési lépés elvégzésére képes, és ezen kívül mi is 5 http://www.doksihu megtaníthatunk neki szerkesztéseket. Ezt eszközök létrehozásával tehetjük meg olyan módon, hogy elvégezzük a kívánt lépéseket, majd elmentjük eszközként, így kés®bb egy kattintással elvégezhet® a lépéssorozatunk. További el®nyei, hogy, mint

minden elektronikus dokumentumot, évekkel kés®bb is el® lehet szedni, használni, tovább alakítani. Ezen kívül, ha iskolában használjuk, a gyerekek nagyon lelkesek tudnak lenni, hiszen látványos dolgokat lehet m¶velni a programmal. Ezzel szemben hátránya a Geogebrának, hogy mint minden számítógépes programnál, a technika ördöge gyakran közbe szól. Egy rossz mozdulatra kitörl®dhet az egész munkánk, amin az elmúlt 20 percben dolgoztunk, vagy hogy szeretnénk bemutatni kisebb-nagyobb közönség el®tt egy témát, melyhez készítettünk ábrákat, de abban a teremben, ahol vagyunk, nincsen hozzá technikai háttér. Vagy ha van, akkor az ottani számítógépre valamilyen okból kifolyólag nem lehet átmásolni az adatokat, vagy nem indul el a program, stb. Ellenben, ha mindezek nem szólnak közbe, érdekesebbé tudjuk tenni vele el®adásainkat. Másik dolog, amire gyelni kell, hogy nehezen jegyzetelhet® egy olyan el®adás, amiben végig a

Geogebrában szerkesztünk. Hiszen rengeteg látványos dolgot be lehet mutatni, mindezt nagyon gyorsan, viszont, ha azt szeretnénk, hogy a hallgatóság ebb®l le is írjon valamit (f®leg, ha gyerekekr®l van szó), akkor arra külön id®t kell szánni, amíg leírják, lerajzolják a sok-sok ábrát. 2.2 Hogyan lehet megszerezni a programot? Számos dinamikus geometriai program létezik, közel azonos képességgel (Cabri, Euklides, Software for Euclidean Geometry, .) Ezek között a Geogebra nagy el®nye, hogy ingyenesen letölthet® a program honlapjáról: www.geogebraorg Az oldal 36 nyelven megtekinthet®, többek között magyarul is. A Geogebra futtatásához szükség van a Java 1.42 vagy újabb verziójára, de ajánlott az 16 verzió Ez biztosítja a Geogebra számára a platformfüggetlenséget és ezáltal böngész®n keresztül is egyszer¶en futtatható. A legújabb Java Software a következ® 32 és 64 bites operációs rendszerekre érhet® el: Windows

7/Xp/Vista/2000/2003/2008, Mac OSX, Linux, Solaris. Taláható a honlapon fórum 20 nyelven, melyen segítséget lehet kérni és kapni a Geogebra többi felhasználóitól, itt lehet hibát bejelenteni, vagy új funkciókat ajánlani. 6 http://www.doksihu Magyar nyelv¶ fórum sajnos nincs. A GeogebraWiki egy felhasználók által szerkeszthet® weboldal, hasonlóan a Wikipediához, ahol többek közt már elkészült Geogebra munkalapokat oszthatnak meg egymással a Geogebrát használók. Jelenleg ez 25 nyelven érhet® el, köztük magyar nyelven is (www.geogebraorg/en/wiki) Magyar súgó is van a Geogebrához, de ez viszonylag régi, 2006. május 15-ei és a Geogebra 2.5 verzióhoz írodott. Az angol nyelv¶ súgók jóval frissebbek 2.3 Kinek hasznos a Geogebra? Mindenkinek ajánlhatjuk a Geogebrát, akinek szüksége van ábrák, rajzok készítésére elektronikus úton. Ezek els® sorban a matematikatanárok, de a többi szak tanárainak is szüksége lehet egy-egy

óra érdekesebbé tételéhez különböz® rajzokra, vagy igényes dolgozatok összeállításához is hasznos lehet. Gondolok itt történelmi összefüggésekre, a társadalom rétegz®déseire, népesedési-, termelési statisztikákra, diagrammokra: 2.1 ábra A nagyhatalmak vastermelése 7 http://www.doksihu irodalmi m¶vek elemzéséhez szükséges táblázatokra: 2.2 ábra Pet® Sándor: Világosságot! c verséb®l a sötétség-világosság motívum földrajzból a termelés, népesség, kereskedelem, nyersanyagok mennyiségi ábráira, földtörténeti korok összefoglalására: 2.3 ábra A szegénység ördögi köre 8 http://www.doksihu biológiai grakonokra: 2.4 ábra Növényev® populáció függése a terméshozamtól A zika órának - szinte minden tananyagnál - fontos kelléke az ábra: mechanikában a sebességek, gyorsulások, er®k, ingák, csigák; elektronikában a kapcsolási rajzok, optikában a fény útja, stb., mind egy jó ábrával

szemléltethet®k igazán: 2.5 ábra Fénytörés prizmában 9 http://www.doksihu kémiából molekulaszerkezetekre, grakonokra: 2.6 ábra NaCl kristályrácsa A tanárokon kívül diákok számára is hasznos lehet a Geogebra, egy-egy házi feladat elkészítésekor. 2.4 Saját élményeim A Bevezet® iskolai gyakorlat cím¶ órán kell tartanunk két-három órát egy középiskolában. Gondoltam kipróbálom, mennyire válik be gyerekeknél a Geogebra. Ehhez tudni kell, hogy matematika tagozatos iskolába mentem tanítani, bár nem matematika, hanem természettudományi tagozatra, hetedik osztályba. Tehát okos, érdekl®d® gyerekekkel álltam szemben El®ször a hiperbolát, mint függvénygrakont mutattam be nekik Nagyon tetszett a diákoknak az elektronikus tábla, felkeltette érdekl®désüket. Egy ekkora gyerek számára még nagyon nehezen képzelhet® el, hogy a függvény grakonja sohasem éri el az x tengelyt. Ez nagyon jól szemléltethet® a Geogebra

segítségével, hiszen nagy számoknál is jól rá lehet közelíteni a függvényre. Ez annyira izgatta ®ket, hogy még óra után a szünetben is odajöttek, hogy hadd próbálják ki ®k is. Következ® órán összefoglaltuk az általuk eddig tanult függvényeket. Ehhez nagyon jól jött, hogy a függvények transzformálását is be tudtam nekik mutatni a program segítségével. Ez gyorsan és egyszer¶en kivitelezhet® volt, valamint látványos a gyerekek számára. Viszont itt beleestem a gyorsaság hibájába Hiszen rengeteg ábrát mutattam 10 http://www.doksihu meg nekik, de ebb®l viszonylag keveset írtak ®k le a saját füzetükbe. Tehát, ha a programmal dolgozunk, gyelnünk, kell arra, hogy jegyzeteljenek is közben a diákok. Vigyázni kell arra is, hogy bizonyos esetekben a Geogebra átveri az embert azzal, hogy az apró részleteket nem mutatja pontosan. Éppen azt néztük, hogy mi történik az a függvénnyel, ha x a értékét változtatjuk.

Gyönyör¶en látszódik, hogy ha a grakon úgy áll, mint a 2.7 ábrán a piros hiperbola, ha Ha pedig a < 0, a > 0, akkor akkor úgy, mint a kék. a = 0, akkor a grakon a zöld egyenes - mondtam én, és teljesen elfelejtkeztem arról, hogy ez nem egy teljes egyenes, hanem van benne egy szakadás egyáltalán nem látszik a Geogebrában. 2.7 ábra 11 x = 0-nál. És ez http://www.doksihu 3. fejezet Hiperbolikus geometria - elméleti háttér 3.1 3.11 Axiomatikus geometria Az axiomatikus módszerr®l általában Az abszolút, az euklideszi és a hiperbolikus geometria, mint minden más része a matematikának alapfogalmakra és ezek alapvet® tulajdonságaira, azaz az axiómákra épül. Egy axiómarendszert akkor nevezünk ellentmondásmentesnek, ha nincs olyan állítás, amit tagadásával együtt le lehet vezetni az axiómarendszerb®l. Bizonyított tény, hogy ha a halmazelmélet axiómarendszere ellentmondásmentes, akkor a fenti geometriák

axiómarendszerei is azok. Viszont az el®bbir®l még nem bizonyították az ellentmondás- mentességet, sem annak tagadását, így csak relatív ellentmondásmentességr®l beszélhetünk. Az egyik módja annak, hogy bebizonyítsuk egy axómarendszerr®l, hogy nem ellentmondásos, hogy mutatunk egy modellt. Ez úgy történik, hogy megadunk egy konkrét alaphalmazt, és megmondjuk, hogy ebben a halmazban hogyan jelennek meg az alapfogalmak, és belátjuk, hogy ezekre igazak az axiómák. Ha létezik ilyen modell, akkor az axiómarendszer ellentmondásmentes. 12 http://www.doksihu 3.12 Az euklideszi tér Hilbert-féle axiómarendszere David Hilbert 1 német matematikus volt az, aki a Grundlagen der Geometrie (A ge- ometria alapjai) cím¶ m¶vében megfogalmazott tizenhat axiómát, amelyek azóta is az euklideszi geometria leginkább elfogadott axiómarendszerét alkotják. Hilbert úgy rendezte az axiómákat, hogy öt csoportra osztotta ®ket Miel®tt megnézzük

ezeket, adjuk meg az alapfogalmakat. Egy X halmazon egy euklideszi tér struktúráját az mekkel adjuk meg. E Itt elemeit egyeneseknek, az R ⊂ X ×X ×X mondjuk, hogy B és S S az X E , S , R, ∼ =1 , ∼ =2 bizonyos részhalmazainak egy rendszere, az E R, ∼ =1 , ∼ =2 Az elemeit síkoknak nevezzük, reláció a tér ponthármasain van értelmezve. az A és C struktúraele- között van, vagy B elválasztja pedig relációk. (ABC) ∈ R esetben azt A-t C -t®l. Most pedig nézzük az axiómákat: I. Illeszkedési axiómák (1) Minden egyenesnek van legalább két pontja. (2) Bármely két pont egyértelm¶en meghatároz egy olyan egyenest, amely ezeket a pontokat tartalmazza. (3) Bármely sík tartalmaz legalább három olyan pontot, amelyek nincsenek egy egyenesen. (4) Bármely három pont, amely nem kollineáris, egyértelm¶en meghatároz egy síkot, amely tartalmazza azokat. (5) Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkhoz, akkor az

egyenes minden pontja illeszkedik ehhez a síkhoz. (6) Ha két síknak van egy közös pontja, akkor van a két síknak egy további közös pontja is. (7) Van a térnek négy olyan pontja, amelyek nincsenek egy egyenesen és nincsenek egy síkon sem. 1 1862-1943 13 http://www.doksihu II. Rendezési axiómák (0) (ABC) ∈ R esetén A, B, C egy egyenesen vannak, különböz®ek és (CBA) ∈ R. (1) Ha egy egyenes két pontja amelyet B elválaszt A A és B, akkor van az egyenesnek olyan C pontja, ponttól. (2) Egy egyenesnek három pontja közül legfeljebb egy van a másik kett® között. A harmadik axióma kimondásához szükségünk van a szakasz Megjegyzés: fogalmának deniálásához. Deníció: Az A és B pontok által meghatározott zárt szakasz: [A, B] = {C|(ACB) ∈ R} ∪ {A, B}. (3) Ha A, B, C nincsenek egy egyenesen, és az ®ket tartalmazó síkban lev® egyenes nem halad át egyik ponton sem, de metszi az [A, B], [B, C], [C, A]

szakaszok közül az egyiket, akkor ez az egyenes legalább még egy másik szakaszt is metsz a felsoroltak közül. (Ezt más néven Pasch-féle axiómának szokás nevezni) Megjegyzés: Az E,S és R struktúraelemek segítségével bevezethet®k a szakasz (ezt már meg is tettük), félegyenes, félsík, háromszög és a konvex szögtartomány fogalma. ∼ =1 és ∼ =2 ekvivalenciarelációk a szakaszok, illetve a konvex szögtartományok halmazán. III. Egybevágósági axiómák (1) Ha adott egy olyan (2) Ha az A a szakasz és az kezd®pontú félegyenes, akkor pontosan egy pont van a félegyenesen, amelyre e egyenes egymásutáni A, B, C egyenes egymásutáni akkor O A1 , B1 , C1 OA ∼ =1 a. és az (e-t®l nem feltétlenül különböz®) pontjaira [AB] ∼ =1 [A1 B1 ] és e0 [BC] ∼ =1 [B1 C1 ], [AC] ∼ =1 [A1 C1 ]. (3) Ha adott az α konvex szög, egy félsík és annak határán az OA félegyenes, akkor a megadott félsíkon belül pontosan egy

olyan AOB∠ ∼ =2 α. 14 OB félegyenes létezik, amelyre http://www.doksihu (4) Ha az [B2 C2 ] A2 , B2 , C2 háromszögekben [A1 C1 ] ∼ =1 [A2 C2 ], [B1 C1 ] ∼ =1 A1 C1 B1 ∠ ∼ =2 A2 C2 B2 ∠, akkor B1 A1 C1 ∠ ∼ =2 B2 A2 C2 ∠. A1 , B1 , C1 és és IV. Folytonossági axióma Ha egy egyenes pontjait úgy soroljuk két osztályba, hogy egyik osztály se legyen üres, és egyik osztályba tartozó pont se válasszon el másik osztályba tartozó két pontot, akkor van olyan pont, amely bármely két t®le különböz® és más-más osztályba tartozó pontot elválaszt. V. Párhuzamossági axióma Ha egy síkban adott egy egyenes és rajta kívül egy pont, akkor ebben a síkban legfeljebb egy olyan egyenes van, amely a megadott ponton áthalad és a megadott egyenest nem metszi. 3.13 Geometriai tértípusok Ha ezen axiómák közül kivesszük az utolsót, azaz a párhuzamossági axiómát, akkor a matematikának egy olyan részéhez jutunk, amit abszolút

geometriának nevezünk. Ha a párhuzamossági axióma tagadását tekintjük egy axiómának, akkor is ellentmondásmentes axiómarendszert kapunk. Ez a hiperbolikus tér axiómarendszere Tehát az els® tizenöt axióma mindhárom geometriának az alapját képezi, és attól függ®en, hogy a párhuzamossági axiómát, vagy annak tagadását vesszük hozzá, nevezzük euklideszi vagy hiperbolikus geometriának. A nem-euklideszi geometriáknak több fajtája is van: gömbi, elliptikus, hiperbolikus geometria, de az els® kett®ben már az euklideszi tér illeszkedési axiómái sem teljesülnek. Tehát ezen geometriák közül a hiperbolikus geometria áll az euklideszihez legközelebb. Ebben a dolgozatban csak az utóbbival foglalkozunk. A hiperbolikus geometriát Bolyai János 2 3 és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij ték fel egymástól függetlenül, a XIX. században Ez a geometria önmagában nagyon absztrakt, ezért modelleken keresztül vizsgáljuk meg. 2 1802-1860, 3

1792-1856, Erdélyi származású magyar matematikus orosz matematikus 15 építet- http://www.doksihu 3.2 A hiperbolikus tér modelljei A hiperbolikus geometriának több modellje is létezik, ezek közül mi kett®vel fogunk foglalkozni. Ezek a Cayley-Klein-modell és a Poincaré-féle gömbmodell Mindkét modell az euklideszi tér egy modelljébe van beágyazva. 3.21 Cayley-Klein-modell Ennél a modellnél a hiperbolikus tér euklideszi térben. R e). A síkok a gömböt metsz® euklideszi síkok gömbbe es® részei. relációt deniáljuk úgy, hogy teljesüljön, ha B alaphalmaza egy egységsugarú nyílt gömb az Az egyenesek a gömböt metsz® euklideszi egyenesek gömbbe es® részei (lásd 3.1 ábrán Az X A, B, C ∈ X az euklideszi értelemben már megadják, hogy X A és C esetén (ABC) ∈ R pontosan akkor között van. Ezek a struktúraelemek mely részhalmazai alkotnak szakaszt, szögtartományt, stb. Ezek alapján a szakaszok olyan

euklideszi (E-beli) szakaszok, melyeknek mindkét végpontja a gömbön belül van (3.1 ábrán [A, B]). A félegyenesek olyan E-beli nesek modellbe es® részei, melyek végpontja a gömbön belül van (3.1 ábrán O∈X félegye- f, g ). Az csúcsú konvex szögtartományt az ebb®l a pontból induló két félegyenes határozza meg (3.1 ábrán α). 3.1 ábra 16 http://www.doksihu A szakaszok egybevágóságának értelmezéséhez szükségünk van még a távolság fogalom bevezetésére is. Két (különböz®) pont (A és ahol (ABU V ) B) távolsága: a négy pont kett®sviszonyát jelöli, valamint szakaszt tartalmazó H-beli egyenes E-beli d(A, B) = |ln(ABU V )|, U és V pontok az [A, B] végpontjai (lásd 3.1 ábra) Ezek után már mondhatjuk, hogy a szakaszok egybevágóságát a következ®képpen deniáljuk: [A, B] ∼ =1 [C, D] ⇔ d(A, B) = d(C, D). Az illeszkedési és rendezési axiómák teljesülése könnyen ellen®rizhet®, mi

ezzel most nem foglalkozunk. Vizsgáljuk meg az egybevágósági axiómákat! Állítás: Az 1. egybevágósági axióma teljesül Azaz, ha adott egy kezd®pontú félegyenes, akkor pontosan egy olyan A a szakasz és az O pont van a félegyenesen, amelyre OA ∼ =1 a. Bizonyítás: Alkalmazzuk a következ® számolást! Legyenek beli végpontjai ~x U és A, B pontok hiperbolikus egyenesének V , K a modell középpontja, valamint tetsz®leges X E- pont helyvektora (lásd 3.2 ábra)! Ekkor ~a = λ~u + (1 − λ)~v , ahol 0 < λ < 1 ~b = µ~u + (1 − µ)~v , ahol 0 < µ < 1 3.2 ábra A kett®sviszony deníciója értelmében: (U V AB) = 17 1−λ λ : 1−µ . Tehát az µ A és B pontok http://www.doksihu távolsága d(A, B) = ln 1−λ − ln 1−µ λ µ Vizsgáljuk meg a (0, 1) függvény a t 7 ln( 1−t ) t . t ∈ (0, 1) függvényt a intervallumon! Az 1−t t = 1 t −1 intervallumot folytonosan és szigorúan csökken®

módon képezi le a (∞, 0) intervallumba, valamint az ln t függvény folytonosan és szigorúan csökken® módon (∞, 0)-t képezi le a a (∞, −∞)-be. csökken® módon képezi le a (0, 1) Tehát az intervallumot a Ez el®bbiek alapján deniálhatjuk az végpontjai U és V) ) ln( 1−t t f függvény folytonosan és szigorúan (∞, −∞) leképezést az intervallumba. e egyenes (melynek E-beli és a valós számok halmaza között: f : e R: λ~u + (1 − λ)~v 7 ln( 1−λ ). λ Tehát az Ha az f a leképezés bijektív és d(A, B) = |f (A) − f (B)|, szakasz végpontjainak távolsága l , (lásd 3.3 ábra), A ∈ [O, V ) [O, V ) pontosan akkor lesz l az azaz távolságtartó. (U, V ) távolságra egyenes egy félegyenese O-tól, ha f (A) > f (O) és l = |f (A) − f (O)|. ⇒ f (A) = f (O) + l ⇒ A = f −1 (f (O) + l) az egyetlen A, melyre OA ∼ =1 a. 3.3 ábra  18 http://www.doksihu Ezek után deniálhatjuk

szögtartományok egybevágóságát. látható, mérjünk fel α β és O, szögtartományok szárára 1 hosszú szakaszokat. Így keletkeznek következ® távolságokat ismerjük: tartományok egybevágóságát a illetve A, B , O 0 illetve Ahogy a 3.4 ábrán csúcsából mindkét szög A0 , B 0 pontok. Tehát a d(O, A) = d(O, B) = d(O0 , A0 ) = d(O0 , B 0 ) = 1. Szögkövetkez®képpen deniáljuk: α ∼ =2 β ⇔ d(A, B) = d(A0 , B 0 ). 3.4 ábra Állítás: A 2. A, B, C jaira egybevágósági axióma teljesül. és az (e-t®l nem feltétlenül különböz®) [AB] ∼ =1 [A1 B1 ] és [BC] ∼ =1 [B1 C1 ], akkor e0 Azaz, ha az e egyenes egymásutáni egyenes egymásutáni A1 , B1 , C1 pont- [AC] ∼ =1 [A1 C1 ]. Bizonyítás: Tudjuk, hogy (ABC) ∈ R. ⇒ f (A) < f (B) < f (C) Deniáljuk a g(B1 ) < g(C1 ) Alkalmazva az el®z® bizonyításban használt vagy leképezést f (C) < f (B) < f (A). 0 g : e R vagy f

leképezést f -hez g(C1 ) < g(B1 ) < g(A1 ). hasonlóan. A feltevés szerint g(A1 ) < Tudjuk még, hogy |f (A) − f (B)| = |g(A1 ) − g(B1 )| |f (B) − f (C)| = |g(B1 ) − g(C1 )| Adjuk össze a két egyenletet! Felhasználva, hogy azonos el®jel¶ x, y ∈ R számokra |x| + |y| = |x + y|, |f (A) − f (C)| = |g(A1 ) − g(C1 )| ⇒ [AC] ∼ =1 [A1 C1 ].  A többi axióma helyességét, a hosszúságra és bonyolultságra való tekintettel most nem bizonyítjuk. 19 http://www.doksihu 3.22 Poincaré-modell Ezt a modellt a Cayley-Klein-modell segítségével vezetjük be. Rajzoljunk egy négydimenziós egységsugarú ós egységsugarú k1 (~x, 0) Vetítsük fel q (~x, 1 − |~x|2 ). Legyen O = (0, 0, 0, 0) vektor tartozik, ha A-hoz az a gömbök középpontja! ~x A1 Sztereograkus projekcióval vetítsük le az A1 A0 P = (0, 0, 0, −1) pont koordinátáit az A0 = ( k2 -re! pont. Ha A1 BP Tetsz®leges A tartozott a CK-modellben.

Ekkor az ezt a pontot mer®legesen a projekció középpontja a pont, akkor az gömböt a CK-modell háromdimenzi- gömbje fölé. Az 35 ábrán ezt szemléltetjük kett®-, illetve háromdi- menziós gömbökkel. ponthoz az k2 és B a (0, 0, 0, A0 OP pont koordinátái: pontot a k1 gömbre! A q 1 − |~x|2 ) koordinátájú háromszögek hasonlóságából √~x , 0). A két modell közötti áttérést ennek a transzfor1+ 1−|~ x|2 mációnak a segítségével deniálhatjuk. tudjuk kiszámolni: 3.5 ábra √~x 2 leképezés az origó középpontú egységsugarú gömböt 1+ 1−|~ x| bijektíven képezi saját magára. Ha a Cayley-Klein-modellre elvégezzük a Φ leképezést, a A Φ : X X : ~x 7 Poincaré-modellt kapjuk. Ezek alapján egyenes a Cayley-Klein-modellben, és e⊂X S⊂X 20 egyenes a Poincaré-modellben sík a Poincaré-modellben ⇔ Φ−1 (e) ⇔ Φ−1 (S) sík a http://www.doksihu Cayley-Klein-modellben. Hasonlóan visszük át

az R, ∼ =1 , ∼ =2 struktúraelemeket a Cayley- Klein-modellr®l a Poincaré-modellre. A Poincaré-modellben a síkok olyan E-beli gömbök alaphalmazba es® részei, melyek mer®legesen metszik a modellt határoló gömböt, valamint olyan E-beli síkok alaphal- mazba es® részei, melyek áthaladnak a modell középpontján. Az egyenesek olyan E-beli körök alaphalmazba es® részei, melyek mer®legesen metszik a modellt határoló gömböt, valamint olyan E-beli egyenesek alaphalmazba es® részei, melyek áthaladnak a modell középpontján. 21 http://www.doksihu 4. fejezet Szerkesztési feladatok Eddig beszéltünk arról, hogy hogyan m¶ködik a Geogebra, valamint arról, hogy miként gondolkodunk a hiperbolikus geometriában. Most pedig egyesítjük a kett®t, és a program segítségével oldunk meg hiperbolikus szerkesztési problémákat kérdésekkel kezdjük, és haladunk az egyre nehezebbek felé. A legegyszer¶bb Felváltva dolgozunk a

Cayley-Klein- és a Poincaré-modellben. Megjegyzés: Innent®l kezdve rövidítem a két modell nevét: Valamint a hiperbolikus sík 4.1 4.11 E-beli CK-modell és P-modell. körét mindig kék színnel rajzolom. Alapszerkesztések Egyenes szerkesztése két ponton keresztül Szerkesztés közönséges pontokra Els® lépésként a Geogebrában mindig fel kell vennünk egy alapkört, amin belül végezzük a szerkesztéseket. Ezután általában szükségünk van egyenesekre. Így az els® feladat lehet a következ®: Szerkesszünk egyenest két adott ponton keresztül! A CK-modellben ez ugyanúgy m¶ködik, mint az Euklideszi síkon, így ezt nem részletezzük. A P-modellben viszont a következ®ket lehet tenni. Vesszük az egyik pontnak az alap- 22 http://www.doksihu körre vonatkozó inverz képét, és a három meglév® pont köré kört rajzolunk. Ennek a körnek az alapkörbe es® része a keresett H-beli egyenes. Erre rögtön készíthetünk is egy

eszközt: egyenes két közönséges pontra-néven. Ez a szerkesztés azért jó, mert az inverzió az alapkörre mer®leges köröket önmagába viszi, és a H-beli egyenesek mer®legesek az alapkörre. Egyenes szerkesztése ideális pontokra Az el®z® eljárás csak a kör bels® pontjaira m¶ködik, mivel a körvonalon lev® pontok inverz képe önmaga, így két pont köré kellene kört rajzolni, az pedig nem egyértelm¶. Az is igaz, hogy a modellt határoló körvonalon lev® pontok nem részei a hiperbolikus síknak, viszont a szerkesztések során többször lesz szükségünk arra, hogy két ilyen pontra egyenest illesszünk. Nevezzük ezeket a pontokat ideális pontoknak! Két ponton átmen®, alapkörre mer®leges kör alapkörrel közös pontjaiba húzott sugarak éppen megegyeznek az alapkör érint®ivel. Ezért két ideális pontra úgy rajzolunk H-beli egyenest, hogy vesszük az alapkör ezen pontjaiban az érint®ket, és ezek met- széspontja lesz a H-beli

egyenest tartalmazó kör középpontja (lásd 4.1 eszköz neve: egyenes két ideális pontra. 4.1 ábra 23 ábra). Az http://www.doksihu Egyenes szerkesztése a modell lezárásához tartozó pontokra És mi van, ha az egyik pont közönséges a másik ideális? Akkor hogyan szerkesszük meg a rájuk illeszked® egyenest? Ha tudjuk, hogy melyik pont a közönséges és melyik az ideális (ezt persze a felhasználó látja, csak a gép nem), akkor az els® szerkesztési eljárást alkalmazhatjuk úgy, hogy a közönséges pontot invertáljuk. Meg lehet ugyan vizsgáltatni a Geogebrával, hogy egy pont a kör belsejében van-e vagy sem, de a szerkesztés menetét a választól függ®vé tenni általában nehézkes, néha lehetetlen. Ezért készítsünk egy olyan parancsot, amely bármilyen típusú pontokra alkalmazható. Vegyük a FP O P alapkörre vonatkozó P0 inverz képét. Szerkesszük meg a felez®pontját, majd állítsunk mer®legest (p egyenes) FP az

alapkör középpontja. Szerkesszük meg hasonló módon keresett E-beli kör középpontja p és q -ben az Q OP [P P 0 ] szakasz egyenesre, ahol pontból a q egyenest. A metszéspontja (lásd 4.2 ábra) Legyen az eszköz neve egyenes két bmilyen pontra. A szerkesztés helyes lesz, mert két tetsz®leges pontra illeszked® kör középpontja rajta van a pontok által meghatározott szakasz szakaszfelez®-mer®legesén. Viszont azért kellett ilyen bonyolultan szerkesztenünk, mert ha P ideális pont, akkor P 0 = P , és egy pont- nak nem létezik szakaszfelez®-mer®legese, viszont az el®bb leírt lépések elvégezhet®ek. 4.2 ábra 24 http://www.doksihu 4.12 Pólus, poláris szerkesztése A CK-modellben való szerkesztéshez sokszor szükségünk van egy egyenes pólusára (mely az alapkörön kívül található), illetve egy alapkörön kívüli pont polárisára. A Geogebra meg tudja szerkeszteni a poláris egyenest, viszont a pólus pontot nem. úgy

tudjuk megszerkeszteni, hogy vesszük az adott széspontjait. Az A és B e Ezt a pontot egyenes alapkörrel való pontokban állított érint®k metszéspontja lesz az E A, B met- pólus (lásd 4.3 ábra) Legyen az eszköz neve: Pólus Ezzel akkor van probléma, ha az egyenes áthalad az alapkör középpontján, ugyanis ekkor a két érint® párhuzamos lesz, így a metszéspontjuk ideális pont, amit a Geogebra nem tud kezelni, mi viszont igen. De szerencsére ideális pontot is össze tud kötni egy közönséges ponttal, tehát meghúzza az érint®kkel párhuzamos egyenest a ponton keresztül. 4.3 ábra 4.13 Áttérés a két modell között Nézzük meg, hogy hogyan tudunk áttérni az egyik modellb®l a másikba, és visszafele. Ahogy az elméleti részben megbeszéltük, ezt a lépést sztereograkus projekció segítségével tehetjük meg. Ezt a szerkesztés nyelvére úgy tudjuk lefordítani, hogy felülr®l tekintünk rá a gömbre. Ekkor alap esetben

egy kört látunk a középpontjával együtt. 25 http://www.doksihu Az áttérés során az ideális pontok és a kör középpontja helyben maradnak. sz®leges CK-modellbeli PCK Egy tet- 0 közönséges pont gömbre való felvetítésekor (P ) a mi szem- szögünkb®l nem történik semmi. Viszont a sztereograkus projekciót mi úgy látjuk, mintha P 0 -t összekötnénk a kör középpontjával, és elmetszenénk az eP nessel. eP -t úgy kaptuk, hogy vettünk egy tetsz®leges PCK -n P-modellbeli egye- áthaladó eCK egyenest, és ennek végpontjain át húztunk egy P-modellbeli egyenest. Ugyanezeket a lépéseket fordított sorrendben elvégezve a P-modellb®l áttérhetünk a CK-modellbe (lásd 44 ábra) 4.4 ábra 4.2 Felez®mer®leges egyenes szerkesztése Most eljutottunk az els® igazi szerkesztési feladathoz: Szerkesszük meg két pont, A és B felez® mer®leges egyenesét! 4.21 Szerkesztés a Cayley-Klein-modellben Végezzük el a feladatot

el®ször a CK-modellben. El®ször is szükségünk van a két ponton áthaladó H-beli e egyenesre, valamint ennek E pólusára. Ezeket a korábban készített eszközökkel tudjuk megszerkeszteni. Kössük össze 26 E -t A-val és B -vel, így kapunk két http://www.doksihu E-beli egyenest: a, b. Vegyük ezek S, T, U, V metszéspontjait az alapkörrel. A szemközti pontokat összeköt® egyenesek metszéspontja lesz az egyenesen is). Ha pedig összekötjük E -t F -fel, F felez®pont (mely rajta van az akkor megkapjuk az f e felez®mer®legest (lásd 4.5 ábra) Az eszköz neve: Felez®mer®leges CK Fontos, hogy az a, b, illetve f egyenesek, valóban egyenesek legyenek (és ne csak szakaszok, vagy félegyenesek), mert ha E euklideszi értelemben vett ideális pont, akkor a félegyenest/szakaszt nem tudja megrajzolni a Geogebra, az egyenest ellenben, igen. 4.5 ábra Nem könny¶ bebizonyítani, hogy az f egyenes valóban felez®mer®leges, de az

alábbi három lépés egy lehet®ség erre. Els® lépés: Legyenek hogy F ∈ (AB) egyenesnek F = (SV ) ∩ (U T ), G = (SU ) ∩ (V T ), (AB) 6= (F G) (lásd 4.6 ábra) Legyen A pólus deníciója miatt T, S és A, E illetve A = (ST ) ∩ (F G) valamint (T SAE) = (V U BE) = −1. 27 C = (T V ) ∩ (EF )! 0 V, U és B, E és Tegyük fel, 0 B = (U V ) ∩ (F G)! harmonikus társak, azaz http://www.doksihu A szerkesztés menetéb®l adódik (a teljes négy oldal tételével), hogy (T V CG) = −1. harmonikus társak, azaz egyenesekre a T, C, V és G pontokat Vetítsük át F pontból (ST ), T, V C, G és illetve (U V ) ⇒ (T SA0 E) = (V U B 0 E) = −1. 4.6 ábra Ha adott három pont, akkor a kett®sviszony egyértelm¶en meghatározza a negyediket ⇒ A0 = A és B 0 = B ⇒ (AB) = (A0 B 0 ) = (F G). Második lépés: F felezi [AB]-t Végezzünk egy középpontos tükrözést [F S) 7 [F V ) [FT) ) f A CK-modellben egy Egy e

pontra! Ekkor ⇒ (ST ) 7 (V U ) ⇒ A 7 B ⇒ d(A, F ) = d(F, B). 7 [F U ) Harmadik lépés: ⇒ H-ban F mer®leges e-re O-n f átmen® egyenesre vonatkozó tükrözés, euklideszi tükrözés. egyenes hiperbolikus értelemben mer®leges f -re akkor és csak akkor, ha euk- lideszi értelemben az. Állítás: Ha g egyenes meghosszabbítása átmegy hiperbolikus értelemben. 28 e egyenes E pólusán, akkor g⊥e http://www.doksihu Bizonyítás: Ahogy a 4.7 ábrán látható, az e-re való tükrözés következtében 4.7 ábra [M U ) 7 [M V ) F 7 F ) ⇒ [F V ) 7 [F U ) ⇒ [F T ) 7 [F S) ⇒ g 7 g ⇒ g⊥e.  4.22 Szerkesztés a Poincaré-modellben Most végezzük el a feladatot a P-modellben is. Ezt úgy fogjuk megtenni, hogy visszavezetjük a CK-modellre 4.8 ábra 29 http://www.doksihu Tehát tetsz®leges A, B pontoknak vesszük a CK-modellbeli Ezeknek megszerkesztjük az fCK ACK és BCK megfelel®it. felez® mer®leges egyenesét,

és ezt áttranszformáljuk a P-modellbe (lásd 4.8 ábra) Az eszköz neve: Felez®mer®leges P 4.3 Tengelyes tükrözés Következ® feladatunk: Tükrözzünk tengelyesen egy pontot! 4.31 Legyen t-n Tükrözés a Cayley-Klein-modellben P a tükrözend® pont, egy tetsz®leges pontjai legyenek U -tól U M -t®l és V. t a tengely, különböz® Jelölje az A E a t pólusa és M = (EP ) ∩ t! pontot (lásd 4.9 ábra)! Az (AP ) Vegyünk fel egyenes ideális (EV ), illetve (EU ) euklideszi egyenesek V -t®l, illetve különböz® metszéspontjait az alapkörrel S és R. 4.9 ábra Az el®z® feladat gyelembevételével azt mondhatjuk, hogy (RS). ⇒ P 0 = (EP ) ∩ (RS) 30 P 0 ∈ (EP ), illetve P0 ∈ http://www.doksihu 4.32 Tükrözés a Poincaré-modellben Ezt a feladatot megoldhatnánk úgy is, hogy visszavezetjük a CK-modellbeli megoldásra. Ennél sokkal egyszer¶bb, ha a H-beli tengelyre, mint E-beli körre vett inverziót alkal-

mazzuk (lásd 4.10 ábra) Megjegyzés: Ez megoldási lehet®ség a CK-modellbeli szerkesztésre. 4.10 ábra 4.4 Kör szerkesztése adott pont köré adott sugárral Az eddigiek ismeretében már meg tudjuk oldani a következ® feladatot: Szerkesszünk kört adott pont köré adott sugárral! Ezt a feladatot csak a P-modellben oldjuk meg, mivel a CK-modellben a körök nem euklideszi körök, míg a P-modellben igen. a sugár az A, B pontok távolsága! Tegyük fel, hogy a kört (lásd 4.11 ábra) Els® lépésként szerkesszük meg f AO -t! A Ezek után tükrözzük O Legyen C O így kapunk egy O. 0 tükörképe ugyanerre az egyenesre távolsággal. Most megrajzoljuk a k1 kört Ezek után már csak el kell tolnunk Tehát az O köré k1 -et 31 a OB OB 0 C pont köré kell rajzolnunk a és B -t f AO -ra, az alapkör középpontja, és A H-beli B0 felez®mer®legesét, pontot. Azt tudjuk, hogy távolság megegyezik az AB sugárral. pontba. Mivel

az eltolás, vagy pon- http://www.doksihu tosabban az egyenes menti csúsztatás szerkesztése bonyolult, ezért azt fogjuk tenni, hogy tükrözzük a kört az láttuk, egy O és C pontok f CO felez®mer®legesére. f CO -ra, mint E-beli Ez a tükrözés, ahogy az el®bb körre vett inverzióval egyezik meg az euklideszi síkon. Ahhoz, hogy egy kört invertáljunk, legalább három pontjára van szükségünk. Mivel a Geogebrában az eszközökben nem létezik olyan, hogy a program kiválaszt három tetsz®leges pontot, ezért válasszuk mi egyik pontnak mint E-beli tükörképeit B 0 -t, másik kett®nek pedig az f CO , kör középpontjából húzott érint®k érintési pontjait. Szerkezzük meg ezek f CO -ra, és e három pont köré rajzoljunk kört. Készítsünk bel®le eszközt: Pont köré kör P. 4.11 ábra Ezzel akkor van probléma, ha B0 egybeesik valamelyik érintési ponttal. Viszont ez olyan kevés eset, hogy elhanyagoljuk, mivel másképpen

nagyon nehéz lenne találnunk egy harmadik, mindig megszerkeszthet® pontot. A k1 kör már megfelel annak a kritériumnak, hogy sugara AB hosszúságú, ha ezt a kört tükrözzük, a sugara nem változik, viszont a középpontja bekerül a kívánt Megjegyzés: Látjuk, hogy a kapott C pontba. k kör euklideszi- és hiperbolikus középpontja nem esik egybe. 32 http://www.doksihu 4.5 Kör szerkesztése adott ponton át adott középponttal Feladat: Szerkesszünk C középpontú A ponton áthaladó kört! A feladatot szintén csak a P-modellben oldjuk meg. Egyik megoldás, hogy visz- szavezetjük az el®z® problémára. A másik, hogy alkalmazzuk a körsorokra vonatkozó ismereteinket. Az alapkör, valamint a keresett a tagjai, melyek pontkörei szerkesszük meg metszéspontja C 0 -t, (CC 0 ) M, N és A majd a M, N kör ugyanannak az elliptikus körsornak és ennek az alapkörre vett inverze, C 0 AC C 0. Ennek megfelel®en szög bels®- és küls®

szögfelez®it. egyenesével legyen kört kell rajzolnunk az az C k M és N pont. A szögfelez®k Ekkor már csak egy Thalesz- pontok fölé. Ezt a Geogebrában úgy fogjuk megtenni, hogy pontok köré rajzolunk kört (lásd 4.12 ábra) Az eszköz neve: Kör adott ponton át P. A szögfelez®tétel következtében C0A CA = C0M CM = C0N CN ⇒ M, N, A pontok köre a CC 0 pontpár Apollonius-köre, tehát eleme az elliptikus körsornak. 4.12 ábra Ezzel a szerkesztéssel egyetlen probléma van, ha A ∈ CC 0 egyenesének. Ekkor teljesen máshogy kell megoldanunk a feladatot, bár az elv ugyanaz. Keresünk olyan 33 B http://www.doksihu pontot a síkon, melyre C0B CB = C0A . Legegyszer¶bb megkeresnünk a CA CC 0 egyenesen lev® (A-tól különböz®) ilyen pontot. Ezt a párhuzamos szel®szakaszok tételének segítségével oldhatjuk meg. Ez után az megszerkesztjük A és [A, B] szakasz F B pontokra állítunk Thalesz-kört olyan módon, hogy

felez®pontját, és e köré rajzolunk 4.13 ábra) Az eszköz neve: Kör adott ponton át2 P 4.13 ábra 34 F A sugarú kört (lásd http://www.doksihu 5. fejezet Irodalomjegyzék • Hajós György: Bevezetés a gemetriába (Tankönyvkiadó - Budapest, 1972) • Strohmajer János: A geometria alapjai (Nemzeti Tankönyvkiadó - 1993) • Moussong Gábor el®adása alapján: Geometria (IV. félév) - saját jegyzet • Száray Miklós: Történelem III. (M¶szaki Könyvkiadó - Budapest, 2004) • Peth®né Nagy Csilla: Irodalomkönyv 10. osztály • Probáld Ferenc: Regionális földrajz • Dr. Lénárd Gábor: Biológia III • Kémia-Szervetlen kémia 8. osztály • Általános zika III. (Dialóg Campus Kiadó - Pécs-Budapest, 1999) 35