Fizika | Tanulmányok, esszék » Krizsán Levente - Leptonkeletkezés relativisztikus nehézion ütközésben

Szakdolgozat Leptonkeletkezés relativisztikus nehézion-ütközésekben Krizsán Levente Fizika MSc., zikus szakirány V. évfolyam Témavezet®: Csanád Máté ELTE, Atomfizikai Tanszék i Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 1.1 Nehézion-ütköztet®k . 1.2 SPS (Super Proton Synchrotron) . 2 1.3 RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider) . 3 1.4 Kvark-gluon plazma . 6 1.5 Dilepton spektrum 9 . 2. Hidrodinamika 1 10 2.1 Nemrelativisztikus hidrodinamika . 10 2.2 Relativisztikus hidrodinamika . 12 2.3 Realisztikus megoldások kritériumai . 13 2.4 A felhasznált megoldás . 15 3. Mérhet® mennyiségek 17 3.1 Pion-annihiláció . 17 3.2 Dilepton keletkezés 23 3.3 A transzverz impulzus eloszlása .

. 26 4. Eredmények 29 A. A relatív sebesség 34 B. Relatív-impulzus elem 35 C. Térintegrál 36 D. Szögintegrál 40 E. Id®integrál 41 ii Kivonat A relativisztikus nehézion-ütköztet® (RHIC) kísérleteib®l kiderült, hogy nagy energián a kvarkok kiszabadulnak a hadronokból és egy új állapotot hoznak létre, a kvark-gluon plazmát. A további kutatások azt mutatták, hogy a kvark-gluon plazma tökéletes kvarkfolyadékként viselkedik. Ezt a tökéletes kvarkfolyadékot a relativisztikus hidrodinamika dierenciálegyenleteivel írhatjuk le, melyeknek eddig csak kevés egzakt 3+1 dimenziós megoldása ismert. A plazma létrejötte után hamar termalizálódik és rögtön el kezd tágulni és h¶lni. Egy kritikus h®mérsékleten a kvarkok hadronokká alakulnak át, amelyek a termalizáció miatt nem szolgáltatnak információt a plazma id®fejl®désér®l. A folyamatosan keletkez® fotonok és dileptonok spektrumát kell

megvizsgálnunk, ha le szeretnénk írni az id®fejl®dést. A dolgozatomban egy 3+1 dimenziós hidrodinamikai megoldásból kiindulva számoltam ki a dilepton-spektrumot, melynek járulékai kvark-annihilációból, majd a hadronizáció utáni mezon bomlásokból származnak Végül a kiszámolt dilpeton spektrumot összevetettem az SPS és PHENIX mérési eredményeivel. iii 1. Bevezetés A körülvev® világot elemi részecskék és a részecskék között ható kölcsönhatások építik fel. A kvarkok is ilyen elemi részecskék, amik között az er®s kölcsönhatás hat Három kvark épít fel egy bariont (mint pl. a proton vagy neutron) és egy kvarkantikvark pár pedig egy mezont (pion, kaon) A barionokat és a mezonokat együttesen hadronoknak nevezzük Az er®s kölcsönhatást a kvantum-színdinamika (angolul QCD, Quantum Chromodynamics) nev¶ elmélet írja le, amiben a színtöltéssel rendelkez® kvarkok és gluonok vesznek részt. A kvantum-színdinamika

magyarázatot ad arról, hogy miért nem gyelhetünk meg szabad kvarkokat. Az er®s kölcsönhatás bezáró jelleg¶, vagyis ha két kvarkot eltávolítok egymástól, akkor a kölcsönhatás er®ssége a távolsággal n®ni fog. Az eltávolításra befektetett energia pedig egy kvarkantikvark párrá alakulhat és így a kvarkok ismét hadronokba záródnak be A QCD jóslata szerint a kölcsönhatás jellege megváltozik nagy energiákon: olyan körülmények között, mint ami az Žsrobbanás után néhány µ s-al uralkodott, a kvar- kok kiszabadulnak hadron börtönükb®l és közösen egy kvark-gluon plazma nev¶ új anyagot hoznak létre [17]. 1.1 Nehézion-ütköztet®k A nehézion-ütköztet®kben az Žsrobbanás utáni állapotokhoz hasonló körülményeket hoznak létre: atommagokat közel fénysebességre gyorsítanak, majd összeütköztetnek, amik a Lorentz-kontrakció miatt lapos korongoknak látszanak. Ilyen ütköztet® Long Island-i RHIC (Relativsitic Heavy

Ion Collider) és a svájci LHC (Large Hadron Collider) is.Az ütközés hatására a kvarkok kiszabadulnak a hadronokból és nagyon hamar, kb 0,6-1 fm/cm id® alatt termalizálódnak. A gyors termalizációra a direkt fotonok méréséb®l következtettek. A nagy nyomás hatására a létrejöv® anyag tágulni és h¶lni kezd, majd egy id® után elveszti a "közeg" jellegét és ezután a hadronok szabad mozgással haladnak a detektorok felé. A kvarkok hadronná alakulása bonyolult, még ma sem pontosan ismert folyamat. Az átalakulást, vagy más néven kifagyást legtöbbször lokálisan pillanatszer¶nek tekintjük, vagyis a hadronok egy háromdimenziós hiperfelületen jelennek meg. A közeg átalakulásának h®mérsékletét 170 MeV-nek mérték Az ütközési pontot körülvev® detektorokkal a szétrepül® részecskék impulzusát, sebességét, energiáját és töltését mérhetjük. A detektált ré- 1 1.1 ábra: Az ®srobbanás utáni pillanatban a

kvarkok még szabadok voltak,csak a robbanást követ® egy ezredmásodperc után alakultak ki a nukleonok szecskék eloszlásfüggvényeit vizsgálva következtethetünk a létrejöv® plazma tulajdonságaira. Az id®k folyamán hatalmasat fejl®dött a gyorsítási technika: kezdetben a berkley-i Bevalac gyorsítóban 1 GeV-es tömegközépponti energiára gyorsították a nukleonokat. Az LHC gyorsítóenergiája ennél három nagyságrenddel nagyobb, itt akár TeV-es energiákra is fel tudják gyorsítani a hadronokat. 1.2 SPS (Super Proton Synchrotron) Mivel a dolgozatom végén a kiszámított dilepton spektrumot az SPS méréseivel vetettem össze, ezért röviden ismertetem a gyorsítót és a legfontosabb felfedezéseit. Az SPS egy szinkrotron típusú részecskegyorsító, amit eredetileg protonok gyorsítására építettek. Hosszú id®n keresztül kiszolgálta a LEP-et elektron, pozitron el®gyorsítóként, ma az LHC (Large Hadron Collider) végs®

el®gyorsítójaként üzemel, protonokat gyorsít 26 GEV-r®l 450 GeV-re. A másik fontos feladata, hogy neutrinónyalábot hoz létre az olaszországi Gran Sasso kutatóközpontnak, ami a CERN-t®l 730 km-re helyezkedik el. Az SPS legnagyobb felfedezései kétség kívül a 80-as évekhez köthet®ek. A 70- 2 es évek végén döntöttek úgy, hogy proton-antiproton ütköztet®ként üzemeltetik a gyorsítót. A f® motiváció a W- és Z-részecskék kísérleti kimutatása volt A kísérlethez nélkülözhetetlen volt egy új technológia, a sztochasztikus h¶tés feltalálása. Ennek a lényege, hogy a nyaláb állapotát egy ponton letapogatják és err®l információt küldenek át a gyorsító átellenes pontjára, ami a görbület miatt hamarabb ér oda, mint maga a nyaláb. Itt az információt felhasználva mágnesekkel lehet korrigálni a nyalábot. A módszer bevált és azóta széles körben elterjedt és ennek segítségével találták meg a W- és Z-bozonokat.

A felfedezésért Carlo Rubbiát és Simon van der Meert Nobel díjat kapott, ami a CERN els® Nobel díja volt. 1.3 RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider) Az SPS eredményei mellett az általam kiszámolt spektrumot a RHIC kísérleti eredményeivel vetettem össze. A relativisztikus nehézion-ütköztet®, vagy angolul Relativistic Heavy Ion Collider az Egyesült Államokban, New York államban m¶ködik a Brookhaven National Laboratory területén. A RHIC gyorsító egy 3,8 km-es szinkrotrongy¶r¶, ahol protonokat és nehézionokat ütköztetnek egymással Itt a töltött részecskéket elektromos térrel gyorsítják fel és 1740 szupravezet® nióbium-titán mágnessel tartják a megfelel® pályán ®ket. Valójában két, egymástól függetlenül m¶köd® tárológy¶r¶ben folyik a gyorsítás, és az ütközés a tárológy¶r¶k metszéspontjában történik. Az ütköztetés a két gy¶r¶ hat keresztezési pontján történhet, a gy¶r¶k viszonylag egyenes

szakaszán. A leggyakrabban ütköztetett részecskepárok: p+p, d+AU, Cu+Cu és Au+Au. A gyorsítás több lépcs®ben történik, mint azt az ábrán látni lehet. A protonok a lináris gyorsítóból indulnak (LINAC), majd a BOOSTER szinkrotronba és végül a változó gradiens¶ szinkrotronba (AGS) vezetik ®ket. A protonokat a lineáris gyorsítóban 200 MeV-es energiára gyorsítják, majd BOOSTER-ben 2 GeV-re, az AGS-ben pedig 23 GEV-es energiával hagyják el. Az AGS-en keresztül kerülnek a f® gy¶r¶be, ahol kettéosztják ®ket: konvenció szerint az óramutató járásával megegyez® irányú nyalábot "kéknek" az azzal ellentétes irányút pedig "sárgának nevezik". A protonok esetén az ütközések maximális tömegközépponti energiája 500 GeV. A nehézionok a gyorsításuk során hasonló utat járnak be, mint a protonok, csak a nehézionok a TANDEM Van de Graa gyorsítóból indulnak, ezt 1 MeV-es energiával hagyják el. Ezután a

BOOSTER 95 MeV-re, majd az AGS 8,86 GeV-re gyorsítja 3 1.2 ábra: A relativisztikus nehézion-ütköztet® és az el®gyorsítói ®ket. A töltésüket folyamatosan elvesztik az ionok, az AGS-b®l már csak a csupasz atommagok kerülnek a RHIC tárológy¶r¶jébe. Az ütköz® nehézionok maximális tömegközépponti energiája 200 GeV A két tárológy¶r¶ lekerekített hexagon alakú és hat pontban metszik egymást. A hat pont közül négy helyre telepítettek detektorokat, ezek a PHOBOS, BRAHMS, PHENIX és STAR detektorrendszerek. A PHOBOS e legkisebb ezek közül. Nagy pszeudorapiditású, azaz a nyaláb írányában mozgó részecskék detektálására alakították ki, de 2005-ben befejezte a m¶ködését A PHOBOS-szal és a BRAHM-szal összehasonlítva a STAR és a PHENIX jóval összetettebb detektorrendszerek. A STAR a kifagyáskor keletkez® hadronok lehet® legnagyobb számának azonosítását és tulajdonságainak pontos mérését teszi lehet®vé. A STAR a

teljes térszöget lefedi és alkalmas a töltött részecskék pályájának rekonstrukciójára. A PHENIX a legnagyobb és legjobban felszerelt kísérlet. Bár kis térszöget fed le, alkalmas a legtöbb részecske detektálására (fotonok, elektronok, müonok, töltött hadronok). A kísérlet detektorait két nagy csoportra lehet osztani: a trekking detektorokkal a részecskék pályáját lehet követni és a pályagörbületb®l az impulzusukat kiszámítani, a kaloriméterekkel pedig az energiájukat lehet megmérni. Mivel a kaloriméterekben a részecskék elnyel®dnek, ezért értelem szer¶en ezek helyezkednek el kívül és a trekking detektorok belül. Az impulzus és az energia ismeretében már meg lehet határozni a részecske típusát. 4 1.3 ábra: A PHENIX detektor rendszer A fels® képen a központi kar látható a nyaláb irányából, az alsón pedig a müon detektor A PHENIX aldetektorait három különböz® részre szokták osztani: globális

detektorok, központi kar és a müondetektorok. A globális detektorok nem egy-egy részecskér®l adnak információt, hanem a teljes ütközésr®l. Ezen kívül triggerként is m¶ködik, azaz alkalmas az érdekes események kiválogatására. A globális detektorokkal lehet meghatározni az ütközés centralitását és az ütközési pont (vertex) pontos helyzetét is. A vertex pontos meghatározására épitették be a a Multiplicity Vertex Detectort (MVD), és a Reaction Plane Detectort (RxNP). Az alábbi ábrán látható a PHENIX vázlatos rajza. Itt a fels® képen a nyaláb irányából látható a nyalábra mer®leges transzverz sík. Az ábra középpontjából indulnak ki a részecskék, majd a központi mágnes (Central Magnet) terén áthaladva elgörbülnek, majd ezután érkeznek meg a 45◦ -ot lefed® központi kar detektoraiba. A központi karban található a legtöbb detektor. A Pad Chamber (PC) és Drift Chamber (DC) trekking detektorok, a részecskék

impulzusának meghatározására alkalmas A Cherenkov-sugárzást mér® detektorok (Ring Imaging CHerenkov (RICH), Aerogel Cherenkov Counter) és a repülési id®t mér® detektorok (Time-of-Flight) 5 a sebesség meghatározásra alkalmasak. A sebességb®l és az impulzusból azonosítható a részecske típusa Ezen kívül kalorimétereket is építettek a központi karba (Electromagnetic Calorimeter). A müon detektort az alsó képen lehet látni. Ez is 45◦ -os térszöget fed le. A beérkez® müonok pályáját a Muon Tracker-rel (MuTr) rekonstruálják, energiájukat a Muon IDentier (MuID) méri. 1.4 Kvark-gluon plazma Ebben a fejezetben azokat a kísérleti eredményeket tekintem át, amelyek bizonyítékul szolgáltak a kvark-gluon plazma létrejöttére [4] [8] [9]. A Relativisztikus Nehézion Ütköztet®ben (RHIC) több ilyen jelent®s felfedezést tettek a kvark-gluon plazma vizsgálata során.Az els® és talán a legjelent®sebb, a jet elnyomás, vagy

angolul a jet-quenching felfedezése volt Ezt el®ször a PHENIX kísérlet mutatta ki [3] , majd a RHIC STAR [2] és az LHC kísérlezek [1] er®sítették meg. A nehézion ütközések jellemzésére bevezethetjük az impakt paramétert, ami az ütköz® atommagok középpontja közötti távolságot adja meg. Az egymást szemb®l eltaláló atommagok esetén az ütközést centrálisnak nevezzük, mikor nagy az impakt paraméter, akkor pedig periférikusnak. Az ütközést az ionokat felépít® nukleonok bináris ütközéseivel közelíthetjük Különböz® impakt paraméterekhez kiszámíthatjuk az ütközések számát. Ha egy nehézion-ütközés valóban nem más, mint bináris ütközések összessége, akkor egy arany-arany ütközésben létrejöv® részecskék száma meg fog egyezni a bináris ütközések számának és egy proton-proton ütközésben létrejöv® részecskék számának szorzatával. A mag-módosulása faktor ennek a két számnak a hányadosa, tehát

azt méri ,hogy mennyire jó a bináris ütközéses közelítés és hogy ,megjelennek-e új eektusok. A mag-módosulási faktor alakja: RAA = ahol Nbin.tk 1 NA+A Nbin.tk Np+p a bináris ütközések elméletileg jósolt száma, ütközésében keletkez® részecskék száma, Np+p (1.1) NA+A az arany atommagok pedig a proton-proton ütközésekben keletkez® részecskék száma. A mérésekb®l az következett, hogy a vártnál 60-80 %kal kevesebb nagy impulzusú részecske keletkezett Mivel a nagy energiás részecskenyalábokat  jeteknek nevezzük, a jelenség a  jet elnyomás nevet kapta A jelenséget azzal magyarázták, hogy a kvarkok és gluonok egy er®sen kölcsön- 6 1.4 ábra: A jet elnyomás kísérleti vizsgálata Az els® ábrán a deuteron ellenpróba és másodikon pedig a centrális és periférikus ütközések eredményei láthatóak 7 ható közeget hoznak létre, ami lefékezi a nagy impulzusú részecskéket. Ez összhangban van azzal,

hogy periférikus arany-arany vagy deutérium-arany ütközésekben nem jelent meg a jet elnyomás, mivel itt nem keletkezett akkora térfogatú plazma, amiben le tudtak volna fékez®dni a jetek. Az elektromágneses kölcsönhatásban részt vev® fotonoknál sem tapasztaltak elnyomást, ezért a jet elnyomást az er®s kölcsönhatáshoz kötötték [7]. A további mérési eredményeket azok az elméletek magyarázták jól ,ahol megjelentek a kvark szabadsági-fokok, a kvarkok kiszabadultak a hadronokból. Mivel a közeg nagyon hamar, kb 1 fm/c id® alatt termalizálódik, a keletkez® részecskék eloszlása Boltzmann-eloszlást követ. Különböz® centralitású ütközéseknél más és más alakú az a régió ahol a plazma létrejön. Ha nem teljesen centrális az ütközés, akkor ez a terület geometria aszimmetriával rendelkezik A kísérletek azt mutatták, hogy a kirepül® részecskék impulzuseloszlása is mutatta ezt az aszimmetriát A gázok impulzusspektruma

izotrop, mivel a gáz részecskéi csak gyengén hatnak kölcsön egymással, a mérések inkább egy er®sen kölcsönható anyag jeleit mutatták [5]. Az aszimmetria vizsgálatához felbonthatjuk az impulzus-eloszlást az azinut, tehát az x-y síkbeli szög szerinti Fourier-sorára: N (pt , φ) = N (pt ) X (1 + vn cos (nφ)) (1.2) Tükrözési szimmetriák miatt a páratlan és a szinuszos tagok elhanyagolhatóak. A sor els® lényeges tagja a v2 -es, amit szokás elliptikus folyásnak is nevezni. Ha a részecskéknek nagy a szabad úthossza, tehát a közeg gáz halmazállapot jelleg¶, akkor nem jelenik meg az elliptikus folyás. A v2 -es tag megjelenése miatt arra lehet következtetni, hogy a közeg er®sen kölcsönható, a szabad úthossz kicsi [6]. A további vizsgálatok során kiderült, hogy a plazma skálaviselkedést mutat, tehát nem egy zikai mennyiségt®l, hanem különböz® mennyiségek kombinációját függ a viselkedése. A skálaviselkedés a

hidrodinamikára jellemz® és a hidrodinamikai modellek alkalmasnak bizonyultak a kvark gluon plazma leírására A kísérletek során vizsgálták az anyag viszkozitását is és nagy meglepetésre kiderült, hogy a plazma tökéletes folyadékként viselkedik, tehát elhanyagolható a viszkozitása és tökéletes a h®vezet® képessége. Az impulzus-eloszlás Fourier-komponensei közül a v4 -eset si- került mérések során kimutatni. Elvileg ez az aszimmetria annyira kicsi, hogy a folyadék bels® súrlódásának el kellene mosnia, de a megjelenése arra engedett követ- 8 1.5 ábra: Az ütközés során az atommagok által átfedett területen alakul ki a plazma Ez periférikus ütközések során nem gömbszimmetrikus és ez az aszimmetria tükröz®dik az impulzuseloszlásokban is. keztetni, hogy a kinematikai viszkozitás nagyon kicsi. Ez azért volt meglep®, mert eddig a legkisebb viszkozitást a folyékony 4 Kelvin fokos héliumnál gyeltek meg, a forró

plazmának viszont még a héliumnál is egy nagyságrenddel kisebb volt a viszkozitása, közel az elméleti határhoz. 1.5 Dilepton spektrum A hidrodinamika modellekb®l ki lehet számítani a plazmában keletkez® különböz® részecskék hozamát és impulzus eloszlásait. A létrejöv® hadronok a termalizáció miatt csak a kifagyás pillanatáról hordoznak információt, ezért a hadronspektrum alkalmas a kifagyási h®mérséklet meghatározására. Ha azonban a plazma id®fejl®désér®l szeretnénk megtudni valamit, akkor az ütközés pillanatától folyamatosan keletkez® részecskék spektrumát kell megvizsgálnunk, mint amilyenek a fotonok vagy a leptonok. Az általam részletesebben vizsgált dileptonok egy jelent®s része a plazmában keletkezik egy kvark és egy antikvark annihilációjából Lepton párok azonban a kifagyás után is keletkeznek, különböz® mezonok bomlástermékeiként. Dolgozatomban a Csörg®, Csernai, Hama és Kodama által megtalált

megoldásból kiszámítottam a dilepton spektrum különböz® járulékait, hogy a közvetlenül a plazmában keletke- 9 zett részr®l le tudjam választani a kés®bb keletkezett járulékokat. 2. Hidrodinamika 2.1 Nemrelativisztikus hidrodinamika A Relativisztikus Nehézion Ütköztet®ben (RHIC) elvégzett kísérletek során kiderült, hogy a kvark-gluon plazma tökéletes folyadékként viselkedik. A tökéletes folyadékokban megmarad az entrópia, azaz nincsen bels® súrlódás, sem h®vezetés Az ideális folyadék hasonlót jelent, de ennek deníciójába néha beleértik, hogy térfogattartó (inkompresszibilis) is. A nehézionzikában persze szó sincs térfogattartásról: éppen az anyag tágulását akarjuk leírni. A félreértés elkerülése végett tehát "ideális" helyett inkább a "tökéletes folyadék" elnevezést követjük. A hidrodinamika egyenleteit felhasználó elméletek sikeresen írták le a kísérleti

tapasztalatokat. A hidrodinamikában használatos alapegyenletek a lokális energiaés impulzus-megmaradásból indulnak ki, és abból, hogy a folyadék áramlása során a részecskék száma nem változik meg. A kontinuitási egyenletek mellett felhasználjuk a folyadék mozgásegyenletét, amit hidrodinamikában Leonhard Euler tiszteletére Euler-egyenletnek neveznek. A számolások során azzal a feltételezéssel élünk, hogy a kvark-gluon plazma folytonos közegként viselkedik, tehát minden kis térfogatelemben elegend®en sok részecske található meg. Az egyenletek analitikus megoldásaiból számolhatóak ki a kísérletek során kimérhet® mennyiségek. Fontos kutatási terület a hidrodinamikai egyenletek numerikus megoldása is, de a dolgozatomban csak az analitikus megoldásokkal foglalkoztam. Kontinuitási egyenlet Az alábbi alakú kontinuitási egyenlet azt fejezi ki, hogy egy térfogatelem s¶r¶sége csak attól változhat meg, hogy részecskék áramlanak ki

vagy be az adott térfogatból: ∂ρ + ∇ρv = 0 ∂t ahol ρ a s¶r¶ség a ∇ = (∂x , ∂y , ∂z ) a parciális dierenciál operátor, (2.1) v pedig a fo- lyadékelem sebessége. Szokás még bevezetni az árams¶r¶ség vektort, ami nem csak 10 tömegs¶r¶ségre, hanem pl. töltés- vagy barionszám s¶r¶ségre is vonatkozhat: j = ρv (2.2) Euler-egyenlet Ha a folyadék részecskéi közti er®hatást elhanyagoljuk, akkor egy folyadékelem sebességét csak a nyomáskülönbség változtathatja meg: ρ dv = −∇p dt (2.3) Ha a Lagrange-koordinátákról áttérünk a folyadékelemmel együtt mozgó Euler koordinátákra, akkor megjelenik egy új tag és az alábbi egyenletet kapjuk: ∂v 1 + (v∇) v = − ∇p ∂t ρ (2.4) Energia-egyenlet Az energia-egyenlet felírásánál gyelembe vesszük, hogy a folyadékban nincsen bels® súrlódás és h®csere és mindenhol lokális termodinamikai egyensúly áll fenn. Ilyenkor, ha nincsenek küls®

er®k, akkor az energias¶r¶séget csak az energia ki- és beáramlása, valamint a nyomáskülönbség által végzett munka változtathatja meg . ∂ + ∇ (v) = −p∇v ∂t (2.5) Állapotegyenlet Egyenl®re több ismeretlenünk van, mint egyenletünk, ezért szükségünk van még egy egyenletre, ami kapcsolatot teremt az energias¶r¶ség és a nyomás között. Ez az 11 állapotegyenlet, ami nemrelativisztikus ideális gáz esetén fotongázra pedig  = 3/2p és relativisztikus  = 3p. A számolásaim során feltételeztem, hogy az energias¶r¶ség arányos a nyomással:  = κp ahol legáltalánosabb esetben κ (2.6) függhet a h®mérséklett®l és a nyomástól is, de én konstansnak vettem. Ebben a legegyszer¶bb esetben 1/κ értéke a közegbeli hangse- besség négyzetének adódik: r c= 2.2 ∂p 1  = =κ ∂ c p (2.7) Relativisztikus hidrodinamika Miel®tt bemutatnám a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit, áttekintem a négyes

formalizmus és az ehhez kapcsolódó összefüggéseket. A számolásaim során a c=1 és kB = 1 egységrendszert használtam. Négyeskoordináta: Négyesderivált: ∂ ∂µ ∂µ = Négyessebesség:u µ Négyesimpulzus:p Sajátid®: xµ = (t, x) = (t, rx , ry , rz ) = γ(1, v) = γ(1, vx , vy , vz ), ahol γ= √ 1 1−v 2 µ = (E, p) = (E, px , py , pz ) p √ µ τ = x xµ = t2 − rx2 − ry2 − rz2 Tömeghéj feltétel:pµ p  Rapiditás: y = 12 ln µ = E 2 − p2 = m2 E+pz E−pz A relativisztikus ütközésekben keletkez® részecskék p impulzusát gyakran egy nyalábirányú (longitudinális)pz és egy nyalábra mer®leges (transzverz) fel. A transzverz irányban mért azinutális kirepülési szöget pt bontják φ-vel jelöljük, az ütközés azinutális reakciósíkjához viszonyítva. Az invariáns impulzus spektrumot az alábbi ekvivalens módokon lehet felírni: N1 (p) = E dn E dn E 1 dn 1 dn = = = d3 p pt dpt dpz dφ p pt dηdφ pt

dpt dydφ Kontinuitási egyenlet: 12 (2.8) A relativisztikus kontinuitási egyenlet az alábbi alakú: ∂µ (nuµ ) = 0 Az egyenletet komponensenként kiírva és a (2.9) v << 1 határesetet véve visszakapjuk a nemrelativisztikus kontinuitási egyenletet. Energia-impulzus tenzor A hidrodinamikai egyenletek a lokális energia- és impulzus megmaradásból indulnak ki. Súrlódásmentes és tökéletes h®vezet® képesség¶ folyadék esetén az energiaimpulzus tenzor alakja a következ®: T µν = ( + p) uµ uµ − pg µν ahol és g µν uµ a folyadék lokális áramlási sebessége,  (2.10) az energias¶r¶ség, p a nyomás a metrikus tenzor. Tökéletes folyadék esetén az energia-impulzus tenzor dia- gonizálható. Ez jól látszik a lokálisan együtt mozgó rendszerben (uµ = (1, 0, 0, 0)), ahol a tenzor a diag(, px , py , pz ) alakú lesz. Az Euler-egyenletet és az energia egyenletet az energia-impulzus tenzor divergenciájának

elt¶nése szolgáltatja: ∂ν T µν = 0 Ez az egyenlet felbontható egy uµ -vel párhuzamos és egy (2.11) uµ -re mer®leges kompo- nensre: 2.3 ( + p)∂µ uµ + uµ ∂µ  = 0 (2.12) ( + p)uν ∂ν uµ + (uµ uν − g µν )∂ν p = 0 (2.13) Realisztikus megoldások kritériumai A legmegfelel®bb megoldás kiválasztásánál arra kell törekedünk, hogy lehet®leg minél kevesebb megszorítás és zikailag nem megalapozott szimmetria legyen a megoldásban. Csak a centrális ütközések rendelkeznek hengerszimmetriával, az 13 összes többi nem mutat térszimmetriát, ezért a megoldás se rendelkezzen vele. A t¶zgömb tágulása egyik irányban sem elhanyagolható, ezért a megoldás legyen 1+3 dimenziós és relativisztikus, mivel a nehézionokat ultra relativisztikus sebességekre gyorsítják. Nincs olyan megfontolás, ami alapján egyenletesnek lehetne tekinteni a tágulást, ezért az legyen gyorsuló. A Hubble sebességmez® (v = Hx) nem csak

az univerzum tágulásának leírására alkalmas, de a robbanásokra is, ezért tekintsük Hubble-mez®nek a sebességmez®t! A robbanásokban résztvev® darabok/részecskék közül a robbanási centrumtól távolabbiaknak nem azért van nagyobb sebessége, mert felgyorsultak, hanem pontosan azért jutottak messzebbre, mert kezdetben nagyobb volt a sebességük. Összefoglalva tehát a megoldás f®bb kritériumai: 1. 1+3 dimenziós 2. Relativisztikus 3. A megoldás ne rendelkezzen olyan kitüntetett geometriai szimmetriával, mint amivel az ütközés nem rendelkezett 4. Gyorsuló 5. Hubble-megoldás A relativisztikus hidrodinamika egyenletei bonyolultak, eddig még nem sikerült olyan megoldást találni, ami az összes fent felsorolt kritériumot teljesítette volna. A területtel el®ször Landau kezdett el foglalkozni, ® javasolta el®ször, hogy a relativisztikus ütközések leírása - mint például a légkörben lejátszódó proton-proton ütközések - a

folyadékmodellt lehet használni. Az azóta eltelt hosszú id® alatt sem sikerült sok megoldást találni, ezért még a mai napig foglalkoznak új megoldások keresésével. Az els® megoldások között tartják számon a Landau-Kalatnyikov megoldást [14] [13], ami 1+1 dimenziós gyorsuló tágulást ír le. A termodinamikai mennyiségeket csak impliciten tartalmazza, azaz nincsenek benne a vizsgált mennyiségek expliciten a hely és id® függvényében, ezért nehéz vele számolni. Egy másik gyakran használt megoldás a Hwa-Björken megoldás [12] [10], ami 1+1 dimenziós és gyorsulásmentes. Nagy el®nye, hogy egyszer¶en lehet vele számolni Legtöbbször a kezdeti energias¶r¶ség becslésére szokták használni. 14 Az 1+1 dimenziós megoldások kiterjeszthet®ek 1+3 dimenziósra, térszimmetriákat feltételezve, de ezek a megoldások nem tudják leírni azokat a meggyelhet® mennyiségeket, amelyek a térbeli aszimmetriából származnak, mint például az

elliptikus folyás. Az általam felhasznált megoldás a Csörg®, Csernai Hama és Kodama megoldása [11]. Ez a nemgyorsuló megoldás az összes többi kritériumot teljesíti és a térbeli aszimmetriát is sikeresen írja. Az id®fejl®dést leíró megoldások mellett még elterjedt a végállapotot leírni próbáló parametrizációs módszer, ahol valamilyen ésszer¶ feltételezést próbálnak adni a forrásfüggvényre. A feltételezéseket a kísérleti adatokkal lehet leellen®rizni A blast wave és a Buda-Lund-modell is egy táguló t¶zgömböt ír le. A blast wave modell azt teszi fel, hogy a tágulás során lökéshullámok haladnak kifelé állandó sugárirányú sebességgel és a kifagyás is egyszerre történik egy-egy lökéshullámban. A Buda-Lund-modell egy Hubble-tágulásból indul ki és a forrást egy mag (core) és egy "glória" (halo) részre osztja. A halo rész a reakció id®tartamához képest hosszabb élettartamú rezonanciák bomlását

írja le. A forrásra az önhasonló tágulás mellett ellipszoid szer¶ szimmetriát tételez fel. 2.4 A felhasznált megoldás A hidrodinamika megoldása megadja a négyessebesség, száms¶r¶ség, a nyomás és a h®mérséklet térid®beli függését: n (x, τ ) = n0  τ 3 0 τ ν(s)  τ 3/κ 1 0 τ ν(s)  τ 3(κ+1)/κ T (x, τ ) = T0 p (τ ) = s= ahol 0 τ ry2 rx2 rz2 + + X(t)2 Y (t)2 Z(t)2 n0 = n(0, τ0 ), T0 = T (0, τ0 ), p0 = n0 T0 és τ0 (2.14) (2.15) (2.16) (2.17) a kifagyás ideje. Az s egy ská- laváltozó, ami azt jelenti, hogy a hármaskoordinátáktól és a sajátid®t®l nem függ külön külön, csak azok egy kombinációjától. Ebben az esetben egy háromdimenziós ellipszoid felületét adja meg, ahol a zikai mennyiségek állandóak egy adott id®pillanatban. n, T és p nem függ explicit módon a helyt®l és az id®t®l, csak a 15 skálaparamétert®l és a sajátid®t®l. Az skálaparaméterben található id®függ®

részt abból lehet meghatározni, hogy a plazma sebességmez®je Hubble mez® (v = Hx). Tehát egy adott pillanatban a sebesség és az origótól való távolság hányadosa állandó. A sebességmez® az alábbi alakú lesz: µ u = γ (1, vx , vy , vz ) = γ Ẋ(t) Ẏ (t) Ż(t) 1, rx , ry , rz X(t) Y (t) Z ! (2.18) Ha a sebességmez®t a hidrodinamika alapegyenleteibe visszaírjuk, akkor csak akkor kapjuk vissza a fönti összefüggést, ha az ellipszoid tágulási sebessége konstans: X(t) = Ẋ0 t (2.19) Y (t) = Ẏ0 t Z(t) = Ż0 t így a sebességmez®re az alábbi adódik:  γ  1 xµ uµ = (γ, x = (t, x) = t τ τ (2.20) A sebességtér deriváltjából beláthatjuk, hogy az együtt mozgó gyorsulás nulla ebben a megoldásban: xν a = u ∂ν u = ∂ν τ µ ν µ  xµ τ  = xν τ gνµ − xµ xν /τ x µ − xµ xν τ ∂ν xµ − xµ ∂ν τ = = τ τ2 τ τ2 τ2 (2.21) A megoldás már minden részét kielemeztem, kivéve ν(s)-t. Ez a

skálaparamé- ternek egy tetsz®leges függvénye lehet, de az egy ésszer¶ feltételezésnek t¶nik, hogy a központban van a legnagyobb h®mérséklet és az kifelé exponenciális lecsengést mutat.ν(s) a h®mérséklet és a száms¶r¶ség térbeli eloszlásra vonatkozik Így ν(s) alakja: ν(s) = e−bs/2 ahol b a h®mérséklet gradiense(dT /ds = bT ), alapján. 16 (2.22) egy negatív szám a megfontolásaink 3. Mérhet® mennyiségek A bombázó energiák növelésével megváltozik az er®s kölcsönhatás jellege, a köl- csönhatásban részvev® részecskék aszimptotikusan szabaddá válnak. Ez azt jelenti, hogy minél nagyobb energiájú elemi részecske ütközéseket vizsgálunk, a folyamatban részt vev® részecskék közötti kölcsönhatás annál kisebb, tehát a csatolás annál gyengébb. Az energia növelésével csökken® csatolás lehet®séget ad arra, hogy az er®s kölcsönhatást is perturbációszámítással tárgyaljuk. Az er®s

csatolási állandó szerinti legalacsonyabb rendeben a leptonkeletkezést egy kvark-antikvark annihiláció szolgáltatja: q q̄ γ ∗ l¯l [15]. 3.1 Pion-annihiláció A kvark-antikvarkból keletkez® lepton párok mellett jelent®s járuléka van a hadrongázban keletkez® pionoknak is. A reakcióban két pion ütközéséb®l egy ró mezon jön létre, majd az elbomlik két leptonra. A fejezet a f® témája a folyamat részletes leírása. Legyen a kölcsönhatásban részt vev® pionok impulzusa leptoné és antileptoné p+ és p− . q1 és q2 és a keletkez® Ekkor az impulzus megmaradásból következik: p+ − p − = q 1 + q2 (3.1) A ró mezon és pion kölcsönhatása a pion mozgási energiájának mérték kicserél®déséb®l adódik: L = (∂ − igρ ρ) φ (∂ + igρ ρ) φ+ Vρππ = igρ ρµ φ+ ∂µ φ − φ∂µ φ+ ahol φ a pion, ρ pedig a ró mezon téroperátora gρ
(3.2) pedig a csatolás er®ssége. A vertex impulzus

reprezentációban a következ®: Vρππ (q1 , q2 ) = gρ (q1 − q2 )µ (3.3) A hadronikus elektromágneses áramot áram-tér operátorok közti identitással le- 17 het felírni: Jµ = − e e e 2 mρ ρµ − m2ω ωµ − m2φ φµ gρ gω gφ (3.4) Ezért a ró mezon és a foton közti csatolás a következ®: Cγρ = − e 2 m gρ ρ (3.5) A szokásos elektromágneses csatolás a fotontér és a leptontér között: ππ ¯ll L = eΨ̄γµ Ψ. A folyamat között az invariáns amplitúdó: µν νλ (k)Cγρ iD[ρ] (k)gρ (q1 − q2 )λ M = i3 e (ū(p+ )γµ u(−p− )) iD[γ] ahol u(p) a Dirac-egyenlet pozitív energiájú spinor megoldása és µν D[γ] (3.6) foton νλ D[ρ] pedig a ró mezon propagátora. A teljes dilepton keletkezés: dN = dx4 Z d3 p+ d3 p− (2π)3 3E+ (2π)3 3E− Z d3 q1 d3 q2 n(q1 u)n(q2 u) (2π)3 2ω1 (2π)3 2ω2 (2π)4 δ (4) (q1 + q2 − p+ − p− ) X (3.7) |M |2 spin Itt u = (1, 0, 0, 0) a közeg

négyessebessége és n(x) = (ex − 1)−1 Az amplitúdó négyzet spinre átlagolva: X spin 2 |M |2 = e2 gρ2 Cγρ X [ū(p+ , s+ )γµ u(−p− , s− )ū(−p− , s− )γν (p+ , s+ )] = s+,s− µµ̄ µ̄λ̄ ∗ν ν̄ ∗ν̄ λ̄ D[γ] (k)D[ρ] (k)(q1 − q2 )λ̄ D[γ] (k)D[ρ] (k)(q1 − q2 )λ 18 (3.8) A spinre való összegzés: h i [ū(p+ , s+ )γµ u(−p− , s− )ū(−p− , s− )γν (p+ , s+ )] = T r (−p/− + ml )γµ (qslashedp+ + ml )γν X s+,s− (3.9) h i     = T r p/− γµ p/+ γν + m2l T r [γµ γν ] = −4 pν+ pν− + pµ− pν+ − (p+ p− ) + m2l g µν Használjuk fel a következ®t: Z 1= d4 kδ (4) (k − p+ − p− ) (3.10) A leptonkeletkezés a következ® alakra hozható: dN d4 xd4 k µ̄λ̄ µµ̄ ∗ν ν̄ ∗ν λ̄ 2 (k)D[γ] (k)D[γ] (k)Hλ̄,λ (k) (k)D[γ] = (2π)4 e2 gρ2 Cργ Lµν (k)D[γ] (3.11) ahol Z Lµν (k) =     d3 p+ d3 p− δ (4) (k − p+ − p− )4 pν+ pν− +

pµ− pν+ − (p+ p− ) + m2l g µν 3 3 (2π) 3E+ (2π) 3E− (3.12) és Z Hµν (k) = d3 q2 d3 q 1 n(q1 u)n(q2 u)(q1 − q2 )µ (q1 − q2 )ν δ (4) (q1 + q2 − k) (2π)3 2ω1 (2π)3 2ω2 (3.13) El®ször Lµν (k)-t számolom ki.     kµ = pµ+ pν− pµ− pν+ (p+ · p− ) + m2l g µν =   (p2+ + (p+ · p− ))pν− + (p2− + (p+ · p− ))pν+ − (p+ · p− ) + m2l (pν+ + pν− ) = 0 19 (3.14) (3.15) kµ Lµν = Lνµ kµ = 0. Ezért Az Lνµ tenzor struktúrája a következ®: Lµν (k) = L(k 2 ) gµν − kµ kν /k 2 Ahol
(3.16) L(k 2 ) = 31 Lµµ (k) 1 L(k ) = − 3 2    d3 p+ d3 p− δ (4) (k − p+ − p− )4 2(p+ · p− ) − 4 (p+ · p− ) + m2l 3 3 (2π) 3E+ (2π) 3E− Z (3.17) 8 = 3 Mivel   d3 p+ d3 p − (4) 2 δ (k − p − p ) (p · p ) + 2m + − + − l (2π)3 3E+ (2π)3 3E− Z (p+ · p− ) = 12 k 2 − m2l , ezért:  Z 8 1 2 d3 p+ d3 p− 2 L(k ) = k − ml δ (4) (k − p+ − p− ) 3 2 (2π)3

3E+ (2π)3 3E− 2 (3.18) A leptonok fázistérfogatát a pionok tömegközéppont rendszerében a legegyszer¶bb kiszámítani, ahol k = (k0 , 0, 0, 0) d3 p+ d3 p− δ (4) (k − p+ − p− ) = (2π)3 3E+ (2π)3 3E− (3.19) d3 p+ d3 p− δ(k0 − E+ − E− )δ (3) δ(p+ − p− ) 3 3 (2π) 3E+ (2π) 3E− Z dp 4π δ(k − 2E(p)) = 0 (2π)6 4E 2 (p) (2π)6 k02 4π (2π)6 k02 Z dEE q E2 − 1 1 m2l δ( k0 2 2 20 Z dpp2 δ(k0 − 2E(p)) π 1 − E) = k0 6 (2π) k0 4 r 1 2 k − m2l 4 0 Így L(k 2 )-re a következ®t kapjuk: 2 L(k ) = 1 2 k 2 + m2l 24π 5 k r 1 2 k − m2l 4 Most nézzük meg a hadronikus tenzort is! Szorozzuk meg (3.20) kµ -vel! ku (q1 − q2 )µ = q12 − q22 = 0 Ha a részecskék tömeghéjon vannak. Mivel fel tudjuk bontani u és k k µ Hµν = 0, a tenzort az alábbi módon négyesvektorokkal: H µν (k, u) = HT (k 2 , k · u)T µν (k, u) + HL (k 2 , k · u)Lµν (k, u) T µν (k, u) = g µν − Lµν (k, u) =

kµkν − Lµν (k, u) k2 (3.21) j µj ν k 2 (k 2 − (k · u)2 ) j µ = (k · u)k µ − k 2 uµ Az Lµν longitudinális és Tµν transzverzális projektorok tulajdonságait kihasználva: (u · H · u) = HL k 2 (k · u)2 k2 Hµµ = 2HT + HL HL = k2 (u · H · u) k 2 − (k · u)2   1 k2 µ HT = Hµ − 2 (u · H · u) 2 k − (k · u)2 21 Használjuk fel a következ® összefüggést! n(q1 · u)n(q2 · u) = n(k · u) [1 + n(q1 · u) + n(q2 · u)] A Hµν tenzor egy vákuum és egy közegbeli részre bontható fel:   med Hµν (k, u) = n(k · u) hvac µν (k) + hµν (k, u) hvac µν (k) hmed µν (k, u) Mivel a hvac Z d3 q1 d3 q2 (q1 − q2 )µ (q1 − q2 )ν δ (4) (q1 + q2 − k) (2π)2 2ω1 (2π)2 2ω2 Z d3 q1 d3 q2 n(q1 )(q1 − q2 )µ (q1 − q2 )ν δ (4) (q1 + q2 − k) (2π)2 2ω1 (2π)2 2ω2 = =2 tenzor nem függ a négyessebességt®l, ezért egyszer¶ a struktúrája: hvac µν (k) vac h 1 (k ) = 3 2 Z   kµkν µν = g − 2

hvac (k 2 ) k h  1 2 (k ) = 4mπ − k 2 3 2 1 π hvac (k 2 ) = 3 (2π)6 k hanyagoljuk el a hmed µν (3.23) d3 q1 d3 q2 (q1 − q2 )2 δ (4) (q1 + q2 − k) 2 2 (2π) 2ω1 (2π) 2ω2 Ha fölhasználjuk, hogy tömegközépponti rendszerben vac (3.22) Z r (q1 − q2 )2 = 4m2π − k 2 , d3 q1 d3 q2 δ (4) (q1 + q2 − k) (2π)2 2ω1 (2π)2 2ω2 akkor: (3.24) 3 1 2 1 1  2 2 2 k − m2π = k − 4m π 4 (2π)4 24πk közegbeli járulékot! Ekkor a foton és a ró mezon vákuum propagátoraival számolhatunk: µ ν µν D[γ] (k) g µν − k k2 =− 2 k k − i 22 (3.25) µ ν µν D[ρ] (k) g µν − k kk2 kµkν Q =− 2 + c 2 k − m2ρ − vac m2ρ ρ (k )i (3.26) Ekkor a dilepton keletkezést az alábbi formába tudjuk írni: dN d4 xd4 k µµ̄ µ̄λ̄ ∗ν λ̄ ∗ν ν̄ 2 (k)Hλ̄,λ (k) (k)D[γ] Lµν (k)D[γ] (k)D[γ] (k)D[γ] = (2π)4 e2 gρ2 Cργ 2 (2π)4 e2 gρ2 Cργ L(k 2 ) (3.27) 1 1 n(k · u)hvac (k 2 )(gµµ − 1) Q 4 k k 2

− m2ρ − vac 2 e2 m4ρ 1 k 2 + m2l √ (2π)4 e2 gρ2 gρ2 2 2 gρ 24π 5 k 2 r 1 1 2 1 n(k · u) k − m2l 4 Q 4 k k 2 − m2ρ − vac 2  2 3 1 3 2 2 √ k − 4m π (2π)4 24π k 2 e4 mρ4 k 2 + 2m2l 3 12(2π)6 4 ∗ 242 π 6  2  32 4m2l 1 1 2 4mπ n(k · u)k 1− 2 4 Q k k k 2 − m2ρ − vac 2 k2 r  1  3 e4 m4ρ (k 2 + 2m2l )n(k · u)k 2 4m2l 2 4m2π 2 = 1− 2 Q 12(2π)6 k 4 k 2 − m2ρ − vac 2 k k2 Ha végeredmény a nomszerkezeti állandóval kifejezve:  1  3 m2ρ dN α2 4m2l 2 4m2π 2 2 2 = n(k · u) Q 2 (k + 2ml ) 1 − 2 d4 xd4 k 3(2π)4 k k2 k 4 k 2 − m2ρ − vac (3.28) Az alábbi kifejezést a pion elektromágneses form faktor négyzetének hívják: 2 Fπ (k ) 2 = m2ρ k 4 k 2 − m2ρ − 23 Qvac 2 (3.29) 3.1 ábra: Elektron-pozitron pár keletkezés Feynman-gáfja kvark-antikvark annihilációból Az irodalomban fellelhet® ennek egy közelítése: Fπ (k 2 ) Ahol Γ2ρ 3.2 2 = m2ρ (k 2 − m2ρ )2 + m2ρ Γ2ρ

(3.30) a ró mezon közegbeli szélessége. Dilepton keletkezés A dileptonok keletkezését a forrás-, vagy emissziós függvény írja le. Ez a függvény azt adja meg, hogy egy adott pontban és egy adott id®pontban (vagyis egy adott négyeskoordinátánál) mekkora valószín¶séggel keletkezik egy lepton pár [16]: dN = d4 x ahol k1 és sebessége és σ k2 Z d3 k1 d3 k2 f (k1 )f (k2 )vrel σ (2π)3 (2π)3 a kvarkok impulzusa, vrel (3.31) a két részecske egymáshoz viszonyított a reakció hatáskeresztmetszete. f (k1 ) és f (k2 ) a részecskék impulzus eloszlását írja le. Mivel fermionok eloszlását vizsgáljuk, és a termalizáció rövid id® alatt beáll, az eloszlás jó közelítéssel a Fermi-eloszlás lesz: f (k) = ahol Nc a szín és Ns Nc Ns exp [uk − µ] + 1 a spin degenerációs faktor és µ (3.32) a kémiai potenciál. A barioké- miai potenciál nagyon kicsi, ezért a számolásoknál elhanyagoltam. A kvark-antikvark

annihiláció hatáskeresztmetszete: 1 + 2m2q /M 2 4πα2 X e2i q σ(M ) = 3Nc i=u,d,s e2 M 2 1 − 4m2 /M 2 q 2 24 (3.33) ahol mi ei az adott kvark tömege, az adott kvark töltése és M = (k1 + k2 )2 az invariáns tömeg négyzete. Dileptonok azonban nem csak a kvark-gluon plazmában keletkeznek, hanem a kifagyás után különböz® mezonok is dileptonokra bomlanak. Ezek közül a bomlási csatornák közül a legfontosabb a pion-pion annihiláció. Itt a hadrongázban két pion egy rho mezonná alakul át, majd a rho mezon tovább bomlik egy lepton párra. A folyamat hatáskeresztmetszete: 2 4πα2 |F (M 2 )| σ(M ) = 3 M2 r 2 ahol mπ 4m2π M2 (3.34) a pion tömege és a pion elektromágneses formfaktora: Fπ (M 2 ) ahol 1− 2 = X Ni m4i i=ρ,ρ0 ,ρ” (m2i − M 2 ) + m2i Γ2i (3.35) 2 ρ, ρ0 és ρ” a ρ(770), ρ0 (1450) és ρ”(1700) a különböz® energiájú mezonokat jelöli. A hozzájuk tartozó bomlási szélességek: Γρ =

153 MeV,Γρ0 MeV és a bomlások egymáshoz viszonyított er®ssége: = 237 MeV, Γρ” = 235 Nρ = 1, Nρ0 = 1.802x10−3 , Nρ” = 5.93x10−3 Ha a relatív sebességet átalakítjuk, könnyen meggy®z®dhetünk arról, hogy az integrál Lorentz-invariáns. A relatív sebességet átalakítva az alábbi kifejezést kapjuk: vrel M2 = 2E1 E2 r 1− 4m2 M2 (3.36) A részletes számolások az appendix A. részében találhatóak Ezt helyettesítsük be a leptonkeletkezés képletébe! dN 1 = 4 dx (2π)6 Térjünk át a k1 és k2 Z dk13 dk23 M2 f1 (k1 )f2 (k2 ) E1 E2 2 változókról a következ®kre: r 1− 4m2 σ(M 2 ) M2 (3.37) Pµ = k1µ + k2µ ,kµ = (k1µ − k2µ ) /2. Az új változók segítségével át tudjuk írni a Lorentz-invariáns fázistérfogatot: dk13 dk23 d3 P d3 k d3 P Ed3 k = = E1 E2 E 1 E2 E E1 E 2 ahol E = E1 + E2 . Mivel d3 P/E Lorentz-invariáns, ezért (3.38) Ed3 k/E1 E2 is Lorentz- invariáns kifejezés lesz. Ha a

rendszerünket beboostoljuk a két részecske tömegkö- 25 zépponti rendszerébe, akkor a következ®t kapjuk: d3 P 4d3 k 0 d3 P Ed3 k d3 P E 0 d3 k 0 = = E E1 E 2 E E10 E20 E M A kµ0 relatív impulzushoz tartozó innitezimális 0 k 2 dk 0 (3.39) térfogatelemet át lehet alakí- tani a következ®re: M2 k 02 dk 0 = 16 r 1− 4m2 dM dΩ M2 (3.40) A részletes számolásokat az appendix B részében lehet megtalálni. Így a dilepton keletkezés a következ® alakú lesz: 2g1 g2 dN = 4 dx (2π)6 Z d3 P d3 k 0 − PTu(x) e (x) M E r 1− 4m2 σ(M 2 ) M2 (3.41) Az impulzusintegrált át lehet írni, ha új változókra térünk át: d3 P = πdydPT2 E (3.42) Így megkaphatjuk egy adott invariáns tömegnél ás adott transzverz impulzusnál keletkez® dileptonok számát:   Z P u(x) g1 g2 π 2 dN 4m2 2 = M 1− σ(M ) e− T (x) dφd4 x 2 2 6 2 dydM dPT 2(2π) M ahol 3.3 g1 és g2 (3.43) a degenerációk száma. A transzverz impulzus eloszlása

Az el®z® fejezetben bevezetett forrásfüggvény kiintegrálásával megkaphatjuk a lepton párok impulzus eloszlását. Az integrálás el®tt több függvényt sorba fejtettem, hogy az integrálás analitikusan elvégezhet® legyen. Itt mindig hely szerint fejtettem sorba másodrendig és ezt azért tehettem meg, mert a plazma hely szerint lokalizált. A számolásaim részletesen megtalálhatóak a függelékben, itt csak a f®bb lépéseket 26 ismertetem. A forrásfüggvény átalakítása után a térintegrál a következ® alakú: Z Az exponensben szerepl® P µ uµ d4 xe− Pµ uµ T (3.44) szorzat másodlagos közelítésben a következ® alakot ölti: Px rx Py ry Pz rz Pµ u ≈ E − − − +E t t t µ  ry2 rx2 rz2 + + 2t2 2t2 2t2  (3.45) Az exponensben szerepl® h®mérsékletfüggést is sorba fejtettem, majd az egész kifejezést teljes négyzetté alakítottam. Így az exponens a következ® alakú lett: − Pµ uµ (rx − Rx )2 (ry − Ry )2 (rz

− Rz )2 =C− − − T 2σx2 2σy2 2σz2 (3.46) ahol: Px tκ Rx =  E κ− σx2 és ρx -et T0 τ02 = ρx E κ Ẋb2  τ τ0 (3.47)  −3 − κ3 +2 (3.48) az alábbi módon deniáltuk: ρx = κ κ − 3 − κ Ẋb2 Értelemszer¶en hasonlóan lett deniálva Ry , Rz , σy , σz , ρy (3.49) és ρz is. Az exponensben megjelen®, a tér és id®koordinátáktól független tag pedig: 1 C=− T0  τ τ0 3/κ   Px Py Pz E − ρx − ρy − ρz 2E 2E 2E (3.50) Az el®bb bevezetett paraméterekkel a térintegrál a következ® alakú: e − Pµ uµ T 3 C− d xdt = e (r −R )2 (rx −Rx )2 (r −R )2 − y 2y − z 2z 2 2σx 2σy 2σz 27 d3 xdt (3.51) Gauss integrálokat kaptunk, amiket egyszer¶ elvégezni (Lásd az Appendixet). Az térintegál elvégzése után a következ®t kapjuk: Z eC (2π) 3/2 √ ρx ρy ρz  T0 τ02 E 3/2 " t τ0 − κ3 +3 #3/2 (3.52) A nyaláb irányával párhuzamos impulzusú

részecskéket nem detektálhatjuk, mert a nyaláb irányában nincsenek detektoraink. Csak azokat a részecskéket detektálhatjuk, amelyeknek a transzverz impulzusa jóval nagyobb, mint a z irányú impulzusa Jó közelítéssel: pz = 0 y = 0. és Az x és y irányú komponenseket átírhatjuk polár- koordinátákra: px = pt cos φ (3.53) py = pt sin φ (3.54) A polárkoordinákra való áttérés után és a tömeghéj feltételt felhasználva az exponens a következ® lesz (lásd Appendix): C=−  1 T0 p M 2 + PT2 t τ0 3/κ  2 M + PT2 ρ  ρx ρx ρy cos(2φ) − cos(2φ) − − −1 4 4 4 4 y (3.55) Az id®integrál el®tt célszer¶ elvégezni a szögre való integrálást. Mivel csak az exponensben van szögfüggés, ezért csak a nulladrend¶ Bessel-függvények jelennek meg Az n. Bessel-függvény: 1 In (x) = 2π Z 2π cos(2nφ) exp (x cos(2φ))dφ (3.56) 0 Így a teljes kifejezés a következ® alakú lesz: Z exp − 1 T0 p M 2 + PT2

 t τ0 3/κ  !  ρ ρ √ x y M 2 − PT2 − PT2 − PT2 (2π)5/2 ρx ρy ρz 4 4 28 T0 τ02  p M 2 + PT2 t τ0 − 3κ9 +3 I0  1 T0 p M 2 + PT2 t τ0 3/κ PT2 ! ρx  − dt 4 4 ρ y (3.57) ρy − Itt a Bessel-függvényt sorba fejthetjük, mert az argumentumában megjelen® ρx nagyon kicsi. A egy paraméter Ẋ ρx és és Ẏ , ρy csak abban különböznek egymástól, hogy van bennük ami az x és y tengely menti tágulást írja le, ahol ezek a Hubble-konstansok. Reális feltételezés, hogy els® közelítésben a két tengely mentén ugyanakkora a tágulás. Ahhoz, hogy megkapjuk az impulzus eloszlást, már csak az id®integrált kell elvégezni. Térjünk át a ζ = t/τ0 új változóra! Ekkor:dt = τ0 dζ . A Bessel-függvények sorfejtése után az id®integrált elvégezve Gamma-függvényeket kapunk: Z a bζ c ζ e a+1 1 dζ = − (−b)− c Γ c  a+1 ; −bζ c c  (3.58) Vezessük be az "A" új

paramétert! A= A ζ = t/τ0 ρy 2 P 4 T p T0 M 2 + PT2 M2 − ρx 2 P 4 T − − PT2 (3.59) új változó szerint kiintegrálom a függvényt egy kezdeti i (initial) értékt®l egyig (a részletek az Appendixben). Azért kell egyig integrálni, mert ez felel meg a τ0 id®pillanatnak, a kifagyás pillanatának és ez után már nem keletkeznek leptonok szabad kvarkokból. Z e Pµ uµ T 4 5/2 d xdφ = (2π) √ ρx ρy ρz τ04  T0 E 3/2   κ A 32 − 4κ3 Γ 3  3 PT4 (ρx − ρy )2 4κ − 4κ 2 3 + κA Γ 2 2 2 16T0 (M + PT ) 3 Ha  3 − ; Aζ 3/κ 2 4κ 3 − ; Aζ 3/κ 3 2  i  i + 1   (3.60) 1 ρx = ρy , akkor annak a valószín¶sége, hogy egy dilepton pár keletkezik egy adott tömegközépponti energiánál és transzverz impulzusnál:   dN g1 g2 4m2 √ 2 = M 1− σ(M 2 ) ρx ρy ρz 5/2 2 dM 2 dPT2 M 12 (2π) 29 τ04 4. !3/2 T0 p M 2 + PT2 κA 3 − 4κ 2 3  Γ 4κ 3 − ; Aζ 3/κ 3 2  i (3.61)

1 Eredmények A forrásfüggvényt kiintegrálva megkaptam, hogy mi annak a valószín¶sége, hogy egy adott transzverz impulzusú és tömegközépponti energiájú dilepton pár keletkezik. A keletkezés eloszlását numerikusan kiszámoltam a transzverz impulzus és a tömegközépponti energia függvényében, úgy hogy az összes többi paramétert lerögzítettem. A paraméterek értéke az alábbi táblázatban megtalálható: Paraméter Jel Érték Kifagyási h®mérséklet T0 170M eV Kifagyási sajátid® τ0 7f m/c Transzverz tágulás Ẋ02 /b = Ẏ02 /b -0,64 Longitudinális tágulás Ż02 -1,5 Kompresszibilitás κ 7 Kezdeti id® i 0, 7f m/c Számolásaim során megvizsgáltam, hogyan függenek az eloszlások a különböz® paraméterekt®l és azt külön feltüntettem , mikor eltértem a táblázatban talált értékekt®l. Mikor a transzverz impulzus szerinti eloszlást számoltam, a tömegközépponti energiát 2000M eV -nek választottam,

amikor pedig a tömegközépponti energia szerinti eloszlást, akkor pedig 200M eV és 2000M eV közötti transzverz impulzusra átlagoltam. Megnéztem a spektrumok kompresszibilitás függését és kis értékekre nem kaptam zikai megoldásokat, az impulzussal és a tömegközépponti energiával n®tt a hozam. A kis kompresszibilitás a gázokra jellemz®, a relativisztikus fotongázra folyadékoknak ennél nagyobb a kompresszibilitása, κ = 3. A κ > 4-re már zikailag értelmez- het® eredményt kaptam és a paraméter növekedtével egyre gyengébben függött t®le a lepton hozam. A hadronizáció után nem fejez®dik be a dileptonok keletkezése, a hadrongázban még jelent®s mennyiség¶ lepton pár keletkezik. A hadrongázban keletkezett leptonokat érdemes leválasztani a mért spektrumról, mert csak a direkt leptonok hordoznak információt a plazma id®fejl®désér®l. Ez nem egyszer¶, hiszen a hadronkoktél több 30 1.0*10-9 4.0*10-6 3.0*10-6

dN/dpt2 [1/MeV2/c4 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 8.0*10-10 6.0*10-10 -10 4.0*10 1.0*10-6 2.0*10-10 0.0*100 200 2.0*10-6 400 600 800 0.0*100 200 1000 1200 1400 1600 1800 2000 pt [MeV/c] 400 600 800 1000 1200 M [MeV/c2] 4.1 ábra: Kvark annihilációból származó dilepton spektrum 5.0*10-9 5.0*10-6 κ=5 κ=6 κ=7 κ=8 κ=9 4.0*10-6 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 4.0*10-9 3.0*10-9 2.0*10-9 κ=5 κ=6 κ=7 κ=8 κ=9 1.0*10-9 3.0*10-6 2.0*10-6 1.0*10-6 0.0*100 0.0*100 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 pt [MeV/c] 200 400 600 800 1000 1200 M [MeV/c2] 4.2 ábra: Kvark annihilációból származó dilepton spektrum kompresszibilitás függése 31 2.0*10-11 2.5*10-5 1.6*10-11 2.0*10-5 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 1.2*10-11 8.0*10-12 4.0*10-12 0.0*100 200 400 600 800 0.0*100 300 1000 1200 1400 1600 1800 2000 pt [MeV/c] ρ 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 M [MeV/c2] mezonokból származó dilepton

spektrum 2.5*10-11 2.5*10-5 κ=5 κ=6 κ=7 κ=8 κ=9 κ=5 κ=6 κ=7 κ=8 κ=9 2.0*10-5 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 2.0*10-11 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 1.0*10-5 5.0*10-6 4.3 ábra: 1.5*10-11 1.0*10-11 5.0*10-12 0.0*100 200 1.5*10-5 1.5*10-5 1.0*10-5 5.0*10-6 400 4.4 ábra: ρ 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 pt [MeV/c] 0.0*100 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 M [MeV/c2] mezonokból származó dilepton spektrum kompresszibilitás függése komponense is közvetve, vagy közvetlenül leptonokra bomlik. A legnagyobb hányad viszont pion-pion annihilációból származik, ezért elég megnézni, hogy milyen rezonanciák bomlanak pionokra. Ezek közül a legnagyobb hányadot a ρ(770) mezonnak és gerjesztéseinek (ρ0 ()1450), ρ(1700)) ρ mezonok adják.A spektruma az alábbi ábrán látható: Ugyanúgy, mint a kvark spektrumnál, itt is megvizsgáltam, hogyan függ a spektrum a kompresszibilitástól. A gázokra jellemz® 3 < κ < 5

értékekre lehetett változást látni, de nagyobb kompresszibilitásnál már nem változott meg jelent®sen a hozam. A kvarkok hozama esetén egy kezdeti értékt®l integráltam az id®t a kifagyás pillanatáig, ahol a kezdeti id®pillanat 0,7 fm/c és a kifagyás pillanata 7 fm/c volt. Azt viszont nem tudjuk, hogy a hadrongázban meddig keletkeznek új leptonok, ezért a kifagyás id®pontjától kezd®d®en különböz® id®pontokig integráltam, hogy megnézzem az ett®l való függést. A végs® id®pont görbéknek. 32 τ0 és az i függését néztem a 2.5*10-11 -11 i=1,2 i=1,3 i=1,4 i=1,5 i=1,6 i=1,7 i=1,8 3.0*10-5 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 2.0*10-11 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 3.5*10-5 i=1,2 i=1,3 i=1,4 i=1,5 i=1,6 i=1,7 i=1,8 1.5*10 1.0*10-11 2.5*10-5 2.0*10-5 1.5*10-5 1.0*10-5 -12 5.0*10 5.0*10-6 0.0*100 200 4.5 ábra: ρ 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 pt [MeV/c] 0.0*100 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 M [MeV/c2] mezonokból

származó dilepton spektrum id®integrál határától való füg- gése A ρ mezon és gerjesztései mellett kiszámítottam az ω és a φ mezonok járulékát is és az összegüket összehasonlítottam az SPS és PHENIX mérési eredményeivel. Csak egy viszonylag sz¶k tartományban kaptam egyezést, mert nagyobb energiákon már más bomlási csatornák dominálnak. 33 1.8*10-5 φ kvark ρ SPS sum -5 1.6*10 dN/dpt2 [1/MeV2/c4 1.4*10-5 1.2*10-5 1.0*10-5 8.0*10-6 6.0*10-6 4.0*10-6 -6 2.0*10 0 0.0*10 0.4 0.6 0.8 Mt [GeV] 1 1.2 1.4 -3 1.2*10 φ kvark ρ sum PHENIX dN/dpt2 [1/MeV2/c4 1.0*10-3 -4 8.0*10 6.0*10-4 4.0*10-4 2.0*10-4 0.0*100 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Mt [GeV] 0.9 1 1.1 1.2 4.6 ábra: A fenti ábrán az SPS az alsón a PHENIX mérési eredményeivel való összevetés 34 A. A relatív sebesség Ahhoz, hogy belássuk, hogy az integrál Lorentz-invariáns, át kell alakítanunk a relatív sebességet! Az invariáns tömegnégyzet

az alábbi alakú deníció szerint, ha β1 az egyik, β2 pedig a másik test hármassebessége: M 2 = (E1 + E2 )2 − (E1 β~1 + E2 β~2 )2 = = E12 + E22 + 2E1 E2 − E12 β12 − E22 β22 − 2E1 E2 β~1 β~2 = (A.1) A hármassebesség négyzete a tömeghéj feltételb®l: β2 = E 2 − m2 E2 (A.2) = 2E1 E2 + 2m2 − 2E1 E2 β~1 β~2 = 2m2 + E1 E2 (2 − 2β~1 β~2 ) M 2 − 2m2 2β~1 β~2 = 2 − E 1 E2 (A.3) (A.4) Írjuk be a sebességek skalár szorzatát a relatív sebesség deníciójába! E − 12 − m2 E22 − m2 v 2 = (~β1 − β~2 )2 = + − 2β~1 β~2 = E12 E22 = 1 E12 E22 E − 12 − m2 E22 − m2 M 2 − 2m2 + − 2 − = E12 E22 E1 E2 (E1 E2 M 2 − 2E1 E2 m2 − E12 − E22 ) = 1 E12 E22 (E1 E2 M 2 − M 2 m2 ) (A.5) (A.6) (A.7) A tömegközéppont rendszerben az egyenl® tömeg¶ testek fele-fele arányban osztoznak a teljes energián. E1 E 2 = 35 E2 4 (A.8) v2 = 1 (M 4 − 4m2 M 2 ) 4E1 E2 M2 v= 2E1 E2 B. r 1− 4m2 M2

(A.9) (A.10) Relatív-impulzus elem Az innitezimális relatív-impulzus elemet szeretnénk az invariáns tömeggel és az elemi térszöggel kifejezni. Az invariáns tömeg deníciója: 2 2 M 2 = (E1 + E2 )2 − (k~1 + k~2 )2 = E12 + E22 + E1 E2 − k~1 − k~2 − 2k~1 k~2 = Írjuk be a k0 (B.1) = 2E1 E2 + 2m2 − 2k~1 k~2 (B.2) 2k~1 k~2 = 2E1 E2 + 2m2 − M 2 (B.3) relatív impulzus deníciójába azt a kifejezést, amit impulzusok skalár- szorzatára kaptunk! (k 0 )2 = k~1 − k~2 2 !2 =  1 ~ 2 ~ 2 k1 + k2 − 2k~1 k~2 = 4 (B.4)

1 1 E12 − m2 + E22 − m2 + M 2 − 2m2 − 2E1 E2 = (E1 − E2 )2 + M 2 − 4m2 4 4 (B.5) 1 k 02 = (M 2 − 4m2 ) 4 (B.6) 1√ 2 M − 4m2 2 (B.7) k0 = 36 dk 0 = 1 M dM √ 4 M 2 − 4m2 (B.8) Így az innitezimális impulzus elem az invariáns tömeggel kifejezve: M2 k 02 dk 0 = 16 C. r 1− 4m2 dM dΩ M2 (B.9) Térintegrál Az alábbi integrált kell elvégeznünk, ahol sebesség és T Pµ az

impulzusok összege, uµ a négyes- a h®mérséklet: Z d4 xe− Pµ uµ T  τ 3/κ 1 0 T (x, τ ) = T0 τ ν(s) s= ry2 rx2 rz2 + + X(t)2 Y (t)2 Z(t)2 (C.1) (C.2) (C.3) X(t) = Ẋ0 t (C.4) γ  1 xµ u = γ, x = (t, x) = t τ τ (C.5) µ  b ν(s) = e− 2 s (C.6) A plazma lokalizálva van, ezért a térkoordináták szerint sorfejtést végezhetünk másodrendben:
−1/2 ry2 v2 r2 r2 γ = 1 − v2) ≈1+ = 1 + x2 + 2 + z2 2 2t 2t 2t 37 (C.7) A négyesimpulzus-összeg és a négyessebesség szorzata. A számolás során a helykoordinátákban másodrendnél magasabb rend¶ tagokat elhanyagoltam az egész számolás során.    ry2 rx2 Px rx Py ry Pz rz rz2 Pµ u = 1 + 2 + 2 + 2 E− − − ≈ 2t 2t 2t t t t µ Px rx Py ry Pz rz ≈E− − − +E t t t  ry2 rx2 rz2 + + 2t2 2t2 2t2 (C.8)  (C.9) Exponens: Pµ u τ 3/κ = t −r − 2b s e e 2 2
τ  1 τ 3/κ b s e2 T0 τ 0  (C.10)     3 r2 3/κ 3 2 2 2 (rx + ry + rz )

t3/κ 3/2κ ≈ 1 − t = 1− 2 2 2κ t 2κt b b ≈1− s=1− 2 2 − 2b s 3/κ µ   ry2 rx2 rz2 + + X2 Y 2 Z2 ry2 rz2 + + Ẋ 2 Y˙ 2 Z˙ 2 rx2 b = 1− 2 2t   ry2 r2 + + z Ẋ 2 Y˙ 2 Z˙ 2 b ≈ 1− 2 2t  rx2   b =1− 2 2t  ry2 r2 + + z Ẋ 2 Y˙ 2 Z˙ 2 rx2 (C.11)  (C.12)    3 2 2 2 (rx + ry + rz ) t3/κ ≈ 1− 2 2κt (C.13)  3 2 2 2 − (r + ry + rz ) t3/κ = 2κt2 x (C.14)         1 b 3 b 3 b 3 2 2 = 1− 2 + rx + + ry + + rz2 t3/κ 2 2 2 2t κ κ κ Ẋ0 Ẏ0 Ż0 38 (C.15) Pµ uµ 1 ≈ T T0  τ τ0 3/κ e − 2b s  
Px rx Py ry Pz rz E 2 2 2 E− − − + 2 rx + ry + rz = t t t 2t (C.16) 1 = T0  τ τ0 3/κ "  1 = T0  τ τ0 1 1− 2 2t  b 3 + Ẋ 2 κ  rx2 +  b 3 + Ẏ 2 κ  ry2 + 
Px rx Py ry Pz rz E E− − − + 2 rx2 + ry2 + rz2 t t t 2t b 3 + Ż 2 κ  ! rz2 # (C.17) 3/κ      3 3 E b b 2 − − E+ 2 1− rx + 1 − ry2 + 2 2 2t κ κ Ẋ Ẏ  

  3 b Px rx Py ry Pz rz 2 − rz − − − + 1− t t t Ż 2 κ (C.18) Megkaptam az exponens rétékét másodrendben közelítve. A kifejezést teljes négyzetre hozva a térintegrál könnyel elvégezhet®: E 2t2   b 3 Px = 1− − rx2 − t Ẋ 2 κ (C.19)   2   E b 3  Px tκ κ2 t2 Px2   − = 2 1− − rx −   =   2 2t Ẋ 2 κ b 2 E κ − κ Ẋb2 − 3 E κ − κ Ẋ 2 − 3 (C.20)  2   E b 3  Px tκ κ Px2  − = 2 1− − rx −  2t κ − 3 − κ Ẋb2 2E Ẋ 2 κ E κ − κ Ẋb2 − 3 39   (rx − Rx )2 (ry − Ry )2 (rz − Rz )2 exp C − − − 2σx2 2σy2 2σz2 Rx = σx2  = T0 τ τ0 3/κ t2 κ  E κ− σx2 Px tκ (C.22)  E κ − κ Ẋb2 − 3  κT0 τ02 κ Ẋb2 (C.21)  =   b −3 E κ − κ Ẋ 2 − 3 T0 τ02 = ρx E ρx =  τ τ0 τ τ0 − κ3 +2 = (C.23) − κ3 +2 (C.24) κ κ − 3 − κ Ẋb2 (C.25) Értelemszer¶en az újonnan

bevezetett paraméterekhez hasonlóan deniálhatjuk a Ry , Rz ,ρy ,ρz ,σy és σz -t. A különbség csak annyi, hogy ezekben Ẋ helyett Ẏ és Ż szerepel. 1 C=− T0  τ τ0 3/κ   Py Pz Px − ρy − ρz E − ρx 2E 2E 2E (C.26) Gauss-integrálalakja:   √ x2 exp − 2 dx = σ 2π 2σ −∞ Z ∞ (C.27) A három térkoordinátában az integrált elvégezve az alábbi kifejezést kapjuk: Z √ eC (2π)3/2 ρx ρy ρz  T0 τ02 E 40 3/2 " t τ0 − κ3 +3 #3/2 (C.28) D. Szögintegrál A számolás szempontjából praktikusabb, ha az id®integrál el®tt a szögintegrálást végezzük el. Szögfüggés csak a "C"-ben található 1 C=− T0 −  t τ0 3/κ 1 E  ρx PT2 cos2 φ ρy PT2 sin2 φ E − − 2 2 2  =∗ (D.1) ρx ρy ρx ρy ρx ρx ρx ρy ρy ρy cos2 φ − sin2 φ = − − − cos2 φ + − cos2 φ + − sin2 φ − sin2 φ = 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 (D.2) =− ∗=−  1 p T0 M 2 +

PT2 t τ0 ρx ρy ρx ρy − − cos(2φ) + cos(2φ) 4 4 4 4 3/κ  M 2 + PT2 ρ y 4 cos(2φ) − (D.3)  ρx ρx ρy cos(2φ) − − +1 4 4 4 (D.4) Itt a nulladik Bessel-függvény alakját fedezhetjük föl: 1 In (x) = 2π Z exp − T0 p T0 τ02 p M2  1 + M 2 + PT2  PT2 t τ0 t τ0 Z 2π cos(2nφ) exp (x cos(2φ))dφ ! 3/κ   ρ ρ √ x y M 2 − PT2 − PT2 + PT2 (2π)5/2 ρx ρy ρz 4 4 − 3κ9 +3 I0 (D.5) 0  1 T0 p M2 + 41 PT2 t τ0 3/κ PT2 ! ρx  − dt 4 4 ρ y (D.6) E. Id®integrál Mivel a Bessel-függvény argumentumában szerepl® ρy −ρy tag nagyon kicsi, ezért sorbafejthetjük a Bessel-függvényeket. I0 (x) ≈ 1 + Vezessük be a ζ x2 4 (E.1) új változót! ζ= t τ0 (E.2) dt = τ0 dζ Z (2π)5/2 √ ρx ρy ρz τ04  T0 E 3/2 9 − 2κ +3 (ζ)  1+ I0 (x) = 1 + exp − (E.3) ζ 3/κ T0 p  M 2 + PT2  ρx 2 ρy 2 2 2 M − PT − PT + PT 4 4  PT4 ζ 6/κ 2 (ρx −

ρy ) dζ 16T02 (M 2 + PT2 ) (E.4) PT4 x2 1+ ζ 6/κ (ρx − ρy )2 4 16T02 (M 2 + PT2 ) (E.5) Az "A" paramétert bevezetve és az integrált elvégezve Gamma-függvényeket kapunk. A= Z a bζ c ζ e M2 − ρy 2 P 4 T M 2 + PT2 ρx 2 P 4 T T0 − + PT2 (E.6) p a+1 1 dζ = − (−b)− c Γ c  a+1 ; −bζ c c −9/2κ + 4 4 3 = κ− 3/κ 3 2 42  (E.7) (E.8) ! Z ζ 9 − 2κ +3 −Aζ 3/κ e κ 3 4κ dζ = − A 2 − 3 Γ 3  4κ 3 − ; Aζ 3/κ 3 2  (E.9) 9 6 3 +3+ = +3 2κ κ 2κ (E.10) +4 3 κ 4κ 1 4 = + = + κ 3/κ 2κ 3 3 2 3 (E.11) − 3 2κ Z ζ 9 − 2κ +3 6 κ ζ e −Aζ 3/κ Z dζ = ζ 3 +3 2κ −Aζ 3/κ e κ 1 4κ dζ = − A− 2 − 3 Γ 3  1 4κ + ; Aζ 3/κ 2 3  (E.12) Z e Pµ uµ T 5/2 4 d xdφ = (2π) √ ρx ρy ρz τ04  T0 E 3/2  3 P 4 (ρx − ρy )2 − 4κ 2 3 Γ κA + T2 2 16T0 (M 2 + PT )  κ 3 − 4κ A2 3 Γ 3  4κ 3 − ; Aζ 3/κ 3 2 Ha az x és y síkú

forgásszimmetriát tételezünk fel, akkor  4κ 3 3/κ − ; Aζ + 3 2 ! (E.13) ρx = ρy és y=0   dN g1 g2 4m2 √ 2 = M 1− σ(M 2 ) ρx ρy ρz 2 5/2 2 2 dM dPT M 12 (2π) τ04 T0 p M 2 + PT2 !3/2 κA 3 − 4κ 2 3 43  Γ 4κ 3 − ; Aζ 3/κ 3 2  (E.14) Ábrák jegyzéke 1.1 Fontos események az ®srobbanás óta . 2 1.2 RHIC . 4 1.3 RHIC . 5 1.4 Jet quenching . 7 1.5 Aszimmetrikus ütközések . 9 3.1 RHIC 4.1 Kvark annihilációból származó dilepton spektrum . 30 4.2 Kvark annihiláció kompresszibilitás függése . 31 4.3 ρ mezonokból származó dilepton spektrum . 31 4.4 ρ mezonokból származó dilepton spektrum kompresszibilitás függése . 32 4.5 ρ mezonokból származó dilepton spektrum id®integrál határától való 4.6 .

24 függése . 32 Az SPS és PHENIX eredményei . 33 44 Hivatkozások [1] K. Aamodt et al Suppression of Charged Particle Production at Large Transverse Momentum in Central PbPb Collisions at √ sN N = 2.76 TeV Phys.Lett, B696:3039, 2011. [2] J. Adams et al Evidence from d + Au measurements for nal state suppression of high p(T) hadrons in Au+Au collisions at RHIC. PhysRevLett, 91:072304, 2003. [3] K. Adcox et al Suppression of hadrons with large transverse momentum in central Au+Au collisions at [4] K. Adcox et al √ sN N = 130-GeV. PhysRevLett, 88:022301, 2002 Formation of dense partonic matter in relativistic nucleus- nucleus collisions at RHIC: Experimental evaluation by the PHENIX collaboration. NuclPhys, A757:184283, 2005 [5] S. S Adler, S Afanasiev, C Aidala, N N Ajitanand, Y Akiba, J Alexander, R. Amirikas, L Aphecetche, S H Aronson, R Averbeck, T C Awes, R Azmoun,

V Babintsev, A Baldisseri, K N Barish, P D Barnes, B Bassalleck, S. Bathe, S Batsouli, V Baublis, A Bazilevsky, S Belikov, Y Berdnikov, S. Bhagavatula, J G Boissevain, H Borel, S Borenstein, M L Brooks, D S Brown, N. Bruner, D Bucher, H Buesching, V Bumazhnov, G Bunce, J M Burward-Hoy, S. Butsyk, X Camard, J-S Chai, P Chand, W C Chang, S. Chernichenko, C Y Chi, J Chiba, M Chiu, I J Choi, J Choi, R K Choudhury, T Chujo, V Cianciolo, Y Cobigo, B A Cole, P Constantin, D G dEnterria, G. David, H Delagrange, A Denisov, A Deshpande, E J Desmond, O. Dietzsch, O Drapier, A Drees, R du Rietz, A Durum, D Dutta, Y V Efremenko, K. El Chenawi, A Enokizono, H Enyo, S Esumi, L Ewell, D E Fields, F. Fleuret, S L Fokin, B D Fox, Z Fraenkel, J E Frantz, A Franz, A. D Frawley, S-Y Fung, S Garpman, T K Ghosh, A Glenn, G Gogiberidze, M. Gonin, J Gosset, Y Goto, R Granier de Cassagnac, N Grau, S V Greene, M. Grosse Perdekamp, W Guryn, H-Å Gustafsson, T Hachiya, J S Haggerty, H. Hamagaki, A G Hansen, E P

Hartouni, M Harvey, R Hayano, X He, M. Hener, T K Hemmick, J M Heuser, M Hibino, J C Hill, W Holzmann, K. Homma, B Hong, A Hoover, T Ichihara, V V Ikonnikov, K Imai, L D 45 Isenhower, M. Ishihara, M Issah, A Isupov, B V Jacak, W Y Jang, Y Jeong, J. Jia, O Jinnouchi, B M Johnson, S C Johnson, K S Joo, D Jouan, S Kametani, N Kamihara, J H Kang, S S Kapoor, K Katou, S Kelly, B Khachaturov, A Khanzadeev, J Kikuchi, D H Kim, D J Kim, D W Kim, E Kim, G.-B Kim, H J Kim, E Kistenev, A Kiyomichi, K Kiyoyama, C KleinBoesing, H Kobayashi, L Kochenda, V Kochetkov, D Koehler, T Kohama, M. Kopytine, D Kotchetkov, A Kozlov, P J Kroon, C H Kuberg, K Kurita, Y. Kuroki, M J Kweon, Y Kwon, G S Kyle, R Lacey, V Ladygin, J G Lajoie, A Lebedev, S Leckey, D M Lee, S Lee, M J Leitch, X H Li, H Lim, A. Litvinenko, M X Liu, Y Liu, C F Maguire, Y I Makdisi, A Malakhov, V I Manko, Y Mao, G Martinez, M D Marx, H Masui, F Matathias, T. Matsumoto, P L McGaughey, E Melnikov, F Messer, Y Miake, J Milan, T E

Miller, A Milov, S Mioduszewski, R E Mischke, G C Mishra, J. T Mitchell, A K Mohanty, D P Morrison, J M Moss, F Mühlbacher, D. Mukhopadhyay, M Muniruzzaman, J Murata, S Nagamiya, J L Nagle, T. Nakamura, B K Nandi, M Nara, J Newby, P Nilsson, A S Nyanin, J Nystrand, E OBrien, C A Ogilvie, H Ohnishi, I D Ojha, K Okada, M Ono, V. Onuchin, A Oskarsson, I Otterlund, K Oyama, K Ozawa, D Pal, A P T Palounek, V. S Pantuev, V Papavassiliou, J Park, A Parmar, S F Pate, T. Peitzmann, J-C Peng, V Peresedov, C Pinkenburg, R P Pisani, F Plasil, M L Purschke, A Purwar, J Rak, I Ravinovich, K F Read, M Reuter, K. Reygers, V Riabov, Y Riabov, G Roche, A Romana, M Rosati, P Rosnet, S. S Ryu, M E Sadler, N Saito, T Sakaguchi, M Sakai, S Sakai, V Samsonov, L. Sanfratello, R Santo, H D Sato, S Sato, S Sawada, Y Schutz, V Semenov, R Seto, M R Shaw, T K Shea, T-A Shibata, K Shigaki, T Shiina, C. L Silva, D Silvermyr, K S Sim, C P Singh, V Singh, M Sivertz, A Soldatov, R A Soltz, W E Sondheim, S P Sorensen,

I V Sourikova, F Staley, P. W Stankus, E Stenlund, M Stepanov, A Ster, S P Stoll, T Sugitate, J. P Sullivan, E M Takagui, A Taketani, M Tamai, K H Tanaka, Y Tanaka, K Tanida, M J Tannenbaum, P Tarján, J D Tepe, T L Thomas, J. Tojo, H Torii, R S Towell, I Tserruya, H Tsuruoka, S K Tuli, H Tydesjö, N. Tyurin, H W van Hecke, J Velkovska, M Velkovsky, L Villatte, A A Vinogradov, M. A Volkov, E Vznuzdaev, X R Wang, Y Watanabe, S N White, F. K Wohn, C L Woody, W Xie, Y Yang, A Yanovich, S Yokkaichi, 46 G. R Young, I E Yushmanov, W A Zajc, C Zhang, S Zhou, and L Zolin Elliptic ow of identied hadrons in Au + Au collisions at √ sN N = 200 GeV. Phys. Rev Lett, 91:182301, Oct 2003 [6] S.S Adler et al Elliptic ow of identied hadrons in Au+Au collisions at s(NN)*(1/2) = 200-GeV. PhysRevLett, 91:182301, 2003 [7] S.S Adler et al Centrality dependence of direct photon production in s(NN)*(1/ 2) = 200-GeV Au + Au collisions. PhysRevLett, 94:232301, 2005 [8] I. Arsene et al Quark

gluon plasma and color glass condensate at RHIC? The Perspective from the BRAHMS experiment. NuclPhys, A757:127, 2005 [9] B.B Back, MD Baker, M Ballintijn, DS Barton, B Becker, et al The PHOBOS perspective on discoveries at RHIC. NuclPhys, A757:28101, 2005 [10] J. D Bjorken Phys Rev, D27:140, 1983 [11] T. Csörg®, L P Csernai, Y Hama, and T Kodama Simple solutions of relativistic hydrodynamics for systems with ellipsoidal symmetry Heavy Ion Phys, A21:7384, 2004. [12] Rudolph C. Hwa Statistical description of hadron constituents as a basis for the uid model of high-energy collisions. Phys Rev, D10:2260, 1974 [13] I. M Khalatnikov Zhur Eksp Teor Fiz, 27:529, 1954 [14] L. D Landau On the multiparticle production in high-energy collisions Izv Akad. Nauk SSSR Ser Fiz, 17:5164, 1953 [15] R. Rapp and J Wambach Chiral symmetry restoration and dileptons in relativistic heavy ion collisions AdvNuclPhys, 25:1, 2000 [16] Taesoo Song, Kyong Chol Han, and Che Ming Ko. Dilepton production in

a schematic causal viscous hydrodynamics. PhysRev, C83:024904, 2011 [17] S. Weinberg The First Three Minutes Basic Books, New York, 1977 47