A doksi online olvasásához kérlek jelentkezz be!
A doksi online olvasásához kérlek jelentkezz be!
2010 · 6 oldal (646 KB)
magyar
104
2017. január 28.
Jelentkezz be
Beágyazás
Nincs még értékelés. Legyél Te az első!
Mit olvastak a többiek, ha ezzel végeztek?
Tartalmi kivonat
Függvényvizsgálat Végezzük el az alábbi függvények teljes függvényvizsgálatát: 1. f H xL := x4 - 4 x3 2. f H xL := -x4 + 18 x2 3. f H xL := x5 + 5 x4 4. f H xL := 5. f H xL := 6. f H xL := 7. f H xL := 8. f H xL := 1 1- x2 9. f H xL := x+1 2 x x 1+ x2 10. f H xL := 2 3 x x -3 13. f H xL := e-x 2 14. f H xL := x e-x 2 x 1- x2 11. f H xL := x ‰-x 1 1+x2 x H1-2 xL2 12. f H xL := H x + 2L2 ‰-x 15. f H xL := x2 ln x ü A függvényvizsgálat lépései 1. D f ; zérushelyek (ha megállapítható); paritás; periodicitás; határértékek +¶-ben, -¶-ben (ha van értelme), szakadási pontokban, határpontokban 2. f ' vizsgálata (monotonitás, lokális szélsőértékek) 3. f " vizsgálata (konvexitás, konkávitás, inflexiós pontok) 4. Lineáris aszimptoták 5. f ábrázolása, R f meghatározása ü Emlékeztető Tétel: Ha az f függvény deriválható az értelmezési tartományának egy x0 belső pontjában, akkor az x0 -beli
lokális szélsőérték létezésének 1. szükséges feltétele: f ' H x0 L = 0 2. elégséges feltétele: aL f ' H x0 L = 0 és f ' előjelet vált x0 -ban bL Ha f kétszer deriválható x0 -ban: f ' H x0 L = 0 és f '' H x0 L ∫ 0 H f '' H x0 L > 0 : lok.min, f '' H x0 L < 0 : lok maxL Tétel: Ha az f függvény kétszer deriválható az értelmezési tartományának egy x0 belső pontjában, akkor az x0 -beli inflexiós pont létezésének 1. szükséges feltétele: f '' H x0 L = 0 2. elégséges feltétele: aL f '' H x0 L = 0 és f '' előjelet vált x0 -ban bL Ha f háromszor deriválható x0 -ban: f '' H x0 L = 0 és f ''' H x0 L ∫ 0 ü Aszimptoták Definíció (Függőleges aszimptota): Az x = a egyenes az f függvény függőleges aszimptotája, ha lim f H xL = ≤¶ vagy ha xØa+ lim f H xL = ≤¶. xØa- Definíció (Vízszintes aszimptota): Az y = b
egyenes az f függvény vízszintes aszimptotája, ha lim f H xL = b vagy ha lim f H xL = b. xض xØ-¶ Definíció (Ferde aszimptota (tartalmazza a vízszintest is)): Az lH xL = a x + b egyenes az f függvény ferde aszimptotája, ha lim @ f H xL - lH xLD = 0 vagy ha lim @ f H xL - lH xLD = 0. Ekkor a = lim xØ+¶ xØ-¶ xض f H xL x és b = lim @ f H xL - a xD. Minden olyan racionális törtfügxض gvénynek van ferde aszimptotája, ahol a számláló fokszáma eggyel nagyobb, mint a nevezőé (ld. 9 és 10 példa) Függvényvizsgálat.nb 2 Megoldások f H xL := x4 - 4 x3 ü 1. D f = ; zérushely : x = 0 és x = 4 f ' HxL = 4 x3 - 12 x2 = 4 x2 Hx - 3L = 0 ñ x = 0 vagy x = 3 f '' H xL = 12 x2 - 24 x = 12 xH x - 2L = 0 ñ x = 0 vagy x = 2 lim f H xL = lim f H xL = +¶; R f = @-27, +¶L xØ-¶ xØ+¶ 80 x x<0 0 0<x<2 f' − 0 f ↓ 0 f" + 0 f ‹ infl:0 2 2<x<3 3 3<x − 0 + ↓ min:−27
↑ − 0 + › infl:−16 ‹ 60 40 20 -2 1 -1 2 3 4 5 -20 f H xL := -x4 + 18 x2 ü 2. 50 -4 D f = ; zérushely : x = 0 és x = ≤ 3 f '' H xL = -12 x2 + 36 = 0 ñ x = - 3 vagy x = 4 -50 f ' HxL = -4 x3 + 36 x = 4 xI-x2 + 9M = 0 ñ x = -3 vagy x = 0 vagy x = 3 -100 3 lim f H xL = lim f H xL = -¶; R f = H-¶, 81D xØ-¶ 2 -2 2 ; f páros; -150 xØ+¶ x x<−3 −3 −3<x<− 3 − 3 − 3 <x<0 f' + 0 − 0 f ↑ max:81 ↓ f" − f › 0 0<x< 3 3 3 <x<3 3 3<x + 0 − min:0 ↑ max:81 ↓ 0 + 0 − infl:45 ‹ infl:45 › f H xL := x5 + 5 x4 ü 3. D f = ; zérushely : x = 0 és x = -5 f ' HxL = 5 x4 + 20 x3 = 5 x3 Hx + 4L = 0 ñ x = -4 vagy x = 0 f '' H xL = 20 x3 + 60 x2 = 20 x2 H x + 3L = 0 ñ x = -3 vagy x = 0 lim f H xL = -¶, lim f H xL = +¶; R f = xØ-¶ xØ+¶ 300 x x<−4 −4 −4<x<−3 f' + 0 f ↑
max:256 −3 −3<x<0 0 0<x 200 − 0 + 100 ↓ min:0 ↑ -4 2 -2 -100 f" − 0 + 0 + -200 f › infl:162 ‹ 0 ‹ -300 -400 Függvényvizsgálat.nb 1 f H xL := 1+x2 ü 4. lim f H xL = 0, lim f H xL = 0 D f = ; zérushely nincs; f páros f ' H xL = f '' H xL = xØ-¶ 2x =0ñx=0 2 2 vízszintes aszimptota : y = 0 R f = H0, 1D I1+x M 2 I-1+3 x2 M 2 3 I1+x M 1 =0ñx=- vagy x = 1 3 xØ+¶ 3 1.0 x 1 x<− 1 − 3 − 3 1 <x<0 0 0<x< 1 1 1 3 3 3 3 f' + 0 − f ↑ max:1 ↓ − 0 › infl: <x 0.8 0.6 0.4 f + 0 f" ‹ infl: + 0.2 3 4 3 4 ‹ -3 f H xL := ü 5. f ' H xL = f '' H xL = - x lim f H xL = 0, xØ-¶ lim xØ-1-0 3 I-1+x2 M f H xL = -¶, f H xL = +¶ xØ-1+0 lim f HxL = +¶, lim f HxL = -¶, lim f HxL = 0 xØ1-0 2 I1+3 x2 M lim 2 1 =0ñx=0 2 I-1+x2 M -1 1-x2 D f = 8-1, 1<; zérushely
nincs; f páros 2x 1 -2 xØ+¶ xØ1-0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = -1, x = 1 ∫0 R f = H-¶, 0L ‹ @1, +¶L x<−1 −1<x<0 0 3 0<x<1 1<x f' − − 0 + + f ↓ ↓ min:1 ↑ ↑ f" − f › 2 1 + -4 − 2 -2 4 -1 ‹ › -2 -3 x f H xL := 1+x2 ü 6. 0.4 0.2 D f = ; zérushely : x = 0; f páratlan f ' HxL = f '' H xL = -10 1-x2 -5 = 0 ñ x = -1 vagy x = 1 2 2 I1+x M 2 I-3 x+x3 M 2 3 I1+x M 5 10 3 3 <x + -0.2 = 0 ñ x = - 3 vagy x = 0 vagy x = -0.4 3 lim f H xL = 0, lim f H xL = 0; vízszintes aszimptota : y = 0; R f = A- 2 , 2 E 1 xØ-¶ x 1 xØ+¶ x<− 3 − 3 − 3 <x<−1 −1 f' − 0 f ↓ min:− f" − 0 f" › infl:− 3 4 −1<x<0 0 0<x<1 1 1<x< 3 + 0 ↑ max: + 0 − 0 ‹ infl:0 › infl: 1 2 − 1 2 ↓ 3 4 ‹ 3 3 Függvényvizsgálat.nb 4
x f H xL := 1-x2 7. D f = 8-1, 1<; zérushely : x = 0; f páratlan f ' H xL = 1+x xØ1-0 2 I3 x+x3 M x<−1 −1<x<0 0 0<x<1 1<x f' + + + f ↑ ↑ ↑ f" + − 0 + − f ‹ › infl:0 ‹ › 1 -2 H1-2 xL2 lim f H xL = 0, lim f H xL = 0, lim xØ-¶ 1 f ' H xL = = 0 ñ x = -2 H-1+2 xL3 -1-2 x −1<x<− 1 xØ- -0 f H xL = +¶, 1 1 − 1 0 f ↓ min:− 1 1 1 2 2 2 − <x< 2 − <x 0.6 + − ↑ ↓ 0.4 1 8 0.2 0 f › infl:− f H xL := ü 9. 1 9 + − ‹ › -4 2 -2 4 x2 x+1 D f = 81<; zérushely : x = 0 f ' H xL = f '' H xL = 2 x+x2 H1+xL2 2 H1+xL3 = 0 ñ x = -2 vagy x = 0 ∫0 lim f H xL = +¶, lim f H xL = +¶, lim xØ-¶ xØ+¶ xØ-1-0 f H xL = -¶, lim xØ-1+0 f H xL = +¶ függőleges aszimptota : x = -1, ferde aszimptota : y = x - 1 Rf = x x<−2 −2 f' + 0 − f ↑ max:−4 ↓ f H
xL = +¶ 2 R f = A- 8 , +¶M f' − 1 1 2 f" lim xØ- +0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = 2 = 0 ñ x = -1 4 −1 xØ+¶ 2 H-1+2 xL x<−1 4 -1 1 x 2 -2 D f = 9 2 =; zérushely : x = 0 8 H1+xL xØ+¶ xØ1+0 x f H xL := f '' H xL = f H xL = -¶ 2 -4 ü 8. lim xØ-1+0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = -1, x = 1 Rf = =0ñx=0 3 I-1+x2 M f H xL = +¶, lim xØ-1-0 lim f HxL = +¶, lim f HxL = -¶, lim f HxL = 0 ∫0 2 I-1+x2 M f '' H xL = - x lim f H xL = 0, xØ-¶ 2 −2<x<−1 −1<x<0 0 0<x − 0 + ↓ min:0 ↑ 5 f" − + f" › ‹ -4 -3 -2 1 -1 -5 -10 2 3 Függvényvizsgálat.nb x3 f H xL := x2 -3 ü 10. 15 10 D f = :- 3 , f ' H xL = -9 x2 +x4 f '' H xL = 6 I9 x+x3 M 5 3 >; zérushely : x = 0; f páratlan -4 2 -2 = 0 ñ x = 0 vagy x = -3 vagy x = 3 2 I-3+x2
M 4 -5 -10 I-3+x M -15 =0ñx=0 2 3 lim f H xL = -¶, xØ-¶ lim xØ- 3 -0 f H xL = -¶, lim xØ- 3 +0 függőleges aszimptota : x = - 3 , x = f H xL = +¶, lim xØ 3 -0 f H xL = -¶, lim xØ 3 +0 f H xL = +¶, lim f H xL = +¶ xØ+¶ 3 , ferde aszimptota : y = x; R f = x x<−3 −3 −3<x<− 3 − 3 <x<0 0 0<x< 3 3 <x<3 3 3<x f' + 0 − − 0 − − 0 + f ↑ max:− ↓ ↓ 0 ↓ ↓ min: 9 2 f" − + 0 − + f › ‹ infl:0 › ‹ ü 11. + f H xL := x „-x f '' H1L < 0 fl f H1L = ‰ º 0.37 lokális maximum 1 D f = ; zérushely : x = 0 f ' H xL = -‰-x H-1 + xL = 0 ñ x = 1 f '' H xL = ‰-x H-2 + xL = 0 ñ x = 2 f ''' H2L > 0 fl f H2L = 2 ‰2 º 0.27 inflexiós pont lim f H xL = -¶, lim f H xL = 0; R f = J-¶, ‰ F f ''' H xL = -‰-x H-3 + xL ü 12. 9 2 1 xØ-¶ xØ+¶ f H xL := H x + 2L2
„-x D f = ; zérushely : x = -2 f ' HxL = -‰-x x H2 + xL = 0 ñ x = -2 vagy x = 0 f '' HxL = ‰-x I-2 + x2 M = 0 ñ x = - 2 vagy x = f ''' HxL = -‰ -x 2 I-2 - 2 x + x M 2 f '' H-2L > 0 fl f H-2L = 0 lokális minimum; f '' H0L < 0 fl f H0L = 4 lokális maximum f ''' J- 2 N < 0 fl f J- 2 N º 1.41 inflexiós pont; f ''' J 2 N > 0 fl f J 2 N º 283 inflexiós pont lim f H xL = +¶, lim f H xL = 0; R f = @0, +¶L xØ-¶ xØ+¶ f H xL H x + 2L2 ‰-x f H xL x ‰-x 8 0.2 6 1 -1 2 3 4 4 5 2 -0.2 -0.4 -2 2 4 6 5 6 Függvényvizsgálat.nb f H xL := e-x ü 13. 2 f '' H0L < 0 fl f H0L = 1 lokális maximum D f = ; zérushely nincs; f páros f ' HxL = -2 ‰ -x2 f '' H xL = 2 ‰-x I-1 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 1 2 f ''' H xL = -4 ‰ f ''' J- x=0ñx=0 2 -x 2 º ≤ 0.71 x I-3 + 2 x M 2 f
''' J 1 2 1 2 N < 0 fl f J- N > 0 fl f J f H xL := x e-x 2 2 N= N= 1 1 º 0.61 inflexiós pont ‰ inflexiós pont ‰ lim f H xL = 0, lim f H xL = 0; R f = H0, 1D xØ-¶ ü 14. 1 1 xØ+¶ 2 D f = ; zérushely : x = 0; f páratlan f ' HxL = -‰-x I-1 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 2 1 º ≤ 0.71 2 f '' HxL = 2 ‰-x x I-3 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 3 2 2 º ≤ 1.22 f ''' HxL = -2 ‰-x I3 - 12 x2 + 4 x4 M 2 f '' J- 1 2 N > 0 fl f J3 2 f ''' - 1 2 N=3 2 > 0 fl f - º -0.43 lokális minimum; f '' J 1 2‰ lim f H xL = 0, lim f H xL = 0; R f = B- xØ-¶ xØ+¶ ü 15. f H xL := x2 ln x 3 2 º -0.27 inlexiós pont; f ''' 1 2‰ f ' HxL = x + 2 x lnHxL = 0 ñ x = f '' H xL = 3 + 2 lnH xL = 0 ñ x = 2‰ f '' H0L > 0 fl f K D f = + ; zérushely : x = 1 1 º 0.61 ‰ ‰3ë2 3 2 > 0 fl f 1 2 N= 1 º 0.43
lokális maximum; 2‰ º 0.27 inflexiós pont O = - 2 ‰ º -0.18 lokális minimum 1 1 ‰ 1 1 ‰ 3 2 ‰3 º -0.07 inflexiós pont lim f H xL = 0, lim f H xL = +¶; R f = B- 2 ‰ , +¶F º 0.22 1 xØ+¶ xØ0+0 f ''' H xL = x 2 f H xL ‰-x N < 0 fl f J f ''' J 3ë2 N > 0 fl f J 3ë2 N = ‰ 1 2 F 1 , 1 2 f H xL x ‰-x 1.0 2 f H xL x2 lnH xL 0.4 0.2 0.8 0.2 0.6 0.1 0.4 -3 -2 1 -1 2 3 0.2 -0.2 0.2 -3 -2 -1 -0.1 1 2 3 -0.4 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
lokális szélsőérték létezésének 1. szükséges feltétele: f ' H x0 L = 0 2. elégséges feltétele: aL f ' H x0 L = 0 és f ' előjelet vált x0 -ban bL Ha f kétszer deriválható x0 -ban: f ' H x0 L = 0 és f '' H x0 L ∫ 0 H f '' H x0 L > 0 : lok.min, f '' H x0 L < 0 : lok maxL Tétel: Ha az f függvény kétszer deriválható az értelmezési tartományának egy x0 belső pontjában, akkor az x0 -beli inflexiós pont létezésének 1. szükséges feltétele: f '' H x0 L = 0 2. elégséges feltétele: aL f '' H x0 L = 0 és f '' előjelet vált x0 -ban bL Ha f háromszor deriválható x0 -ban: f '' H x0 L = 0 és f ''' H x0 L ∫ 0 ü Aszimptoták Definíció (Függőleges aszimptota): Az x = a egyenes az f függvény függőleges aszimptotája, ha lim f H xL = ≤¶ vagy ha xØa+ lim f H xL = ≤¶. xØa- Definíció (Vízszintes aszimptota): Az y = b
egyenes az f függvény vízszintes aszimptotája, ha lim f H xL = b vagy ha lim f H xL = b. xض xØ-¶ Definíció (Ferde aszimptota (tartalmazza a vízszintest is)): Az lH xL = a x + b egyenes az f függvény ferde aszimptotája, ha lim @ f H xL - lH xLD = 0 vagy ha lim @ f H xL - lH xLD = 0. Ekkor a = lim xØ+¶ xØ-¶ xض f H xL x és b = lim @ f H xL - a xD. Minden olyan racionális törtfügxض gvénynek van ferde aszimptotája, ahol a számláló fokszáma eggyel nagyobb, mint a nevezőé (ld. 9 és 10 példa) Függvényvizsgálat.nb 2 Megoldások f H xL := x4 - 4 x3 ü 1. D f = ; zérushely : x = 0 és x = 4 f ' HxL = 4 x3 - 12 x2 = 4 x2 Hx - 3L = 0 ñ x = 0 vagy x = 3 f '' H xL = 12 x2 - 24 x = 12 xH x - 2L = 0 ñ x = 0 vagy x = 2 lim f H xL = lim f H xL = +¶; R f = @-27, +¶L xØ-¶ xØ+¶ 80 x x<0 0 0<x<2 f' − 0 f ↓ 0 f" + 0 f ‹ infl:0 2 2<x<3 3 3<x − 0 + ↓ min:−27
↑ − 0 + › infl:−16 ‹ 60 40 20 -2 1 -1 2 3 4 5 -20 f H xL := -x4 + 18 x2 ü 2. 50 -4 D f = ; zérushely : x = 0 és x = ≤ 3 f '' H xL = -12 x2 + 36 = 0 ñ x = - 3 vagy x = 4 -50 f ' HxL = -4 x3 + 36 x = 4 xI-x2 + 9M = 0 ñ x = -3 vagy x = 0 vagy x = 3 -100 3 lim f H xL = lim f H xL = -¶; R f = H-¶, 81D xØ-¶ 2 -2 2 ; f páros; -150 xØ+¶ x x<−3 −3 −3<x<− 3 − 3 − 3 <x<0 f' + 0 − 0 f ↑ max:81 ↓ f" − f › 0 0<x< 3 3 3 <x<3 3 3<x + 0 − min:0 ↑ max:81 ↓ 0 + 0 − infl:45 ‹ infl:45 › f H xL := x5 + 5 x4 ü 3. D f = ; zérushely : x = 0 és x = -5 f ' HxL = 5 x4 + 20 x3 = 5 x3 Hx + 4L = 0 ñ x = -4 vagy x = 0 f '' H xL = 20 x3 + 60 x2 = 20 x2 H x + 3L = 0 ñ x = -3 vagy x = 0 lim f H xL = -¶, lim f H xL = +¶; R f = xØ-¶ xØ+¶ 300 x x<−4 −4 −4<x<−3 f' + 0 f ↑
max:256 −3 −3<x<0 0 0<x 200 − 0 + 100 ↓ min:0 ↑ -4 2 -2 -100 f" − 0 + 0 + -200 f › infl:162 ‹ 0 ‹ -300 -400 Függvényvizsgálat.nb 1 f H xL := 1+x2 ü 4. lim f H xL = 0, lim f H xL = 0 D f = ; zérushely nincs; f páros f ' H xL = f '' H xL = xØ-¶ 2x =0ñx=0 2 2 vízszintes aszimptota : y = 0 R f = H0, 1D I1+x M 2 I-1+3 x2 M 2 3 I1+x M 1 =0ñx=- vagy x = 1 3 xØ+¶ 3 1.0 x 1 x<− 1 − 3 − 3 1 <x<0 0 0<x< 1 1 1 3 3 3 3 f' + 0 − f ↑ max:1 ↓ − 0 › infl: <x 0.8 0.6 0.4 f + 0 f" ‹ infl: + 0.2 3 4 3 4 ‹ -3 f H xL := ü 5. f ' H xL = f '' H xL = - x lim f H xL = 0, xØ-¶ lim xØ-1-0 3 I-1+x2 M f H xL = -¶, f H xL = +¶ xØ-1+0 lim f HxL = +¶, lim f HxL = -¶, lim f HxL = 0 xØ1-0 2 I1+3 x2 M lim 2 1 =0ñx=0 2 I-1+x2 M -1 1-x2 D f = 8-1, 1<; zérushely
nincs; f páros 2x 1 -2 xØ+¶ xØ1-0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = -1, x = 1 ∫0 R f = H-¶, 0L ‹ @1, +¶L x<−1 −1<x<0 0 3 0<x<1 1<x f' − − 0 + + f ↓ ↓ min:1 ↑ ↑ f" − f › 2 1 + -4 − 2 -2 4 -1 ‹ › -2 -3 x f H xL := 1+x2 ü 6. 0.4 0.2 D f = ; zérushely : x = 0; f páratlan f ' HxL = f '' H xL = -10 1-x2 -5 = 0 ñ x = -1 vagy x = 1 2 2 I1+x M 2 I-3 x+x3 M 2 3 I1+x M 5 10 3 3 <x + -0.2 = 0 ñ x = - 3 vagy x = 0 vagy x = -0.4 3 lim f H xL = 0, lim f H xL = 0; vízszintes aszimptota : y = 0; R f = A- 2 , 2 E 1 xØ-¶ x 1 xØ+¶ x<− 3 − 3 − 3 <x<−1 −1 f' − 0 f ↓ min:− f" − 0 f" › infl:− 3 4 −1<x<0 0 0<x<1 1 1<x< 3 + 0 ↑ max: + 0 − 0 ‹ infl:0 › infl: 1 2 − 1 2 ↓ 3 4 ‹ 3 3 Függvényvizsgálat.nb 4
x f H xL := 1-x2 7. D f = 8-1, 1<; zérushely : x = 0; f páratlan f ' H xL = 1+x xØ1-0 2 I3 x+x3 M x<−1 −1<x<0 0 0<x<1 1<x f' + + + f ↑ ↑ ↑ f" + − 0 + − f ‹ › infl:0 ‹ › 1 -2 H1-2 xL2 lim f H xL = 0, lim f H xL = 0, lim xØ-¶ 1 f ' H xL = = 0 ñ x = -2 H-1+2 xL3 -1-2 x −1<x<− 1 xØ- -0 f H xL = +¶, 1 1 − 1 0 f ↓ min:− 1 1 1 2 2 2 − <x< 2 − <x 0.6 + − ↑ ↓ 0.4 1 8 0.2 0 f › infl:− f H xL := ü 9. 1 9 + − ‹ › -4 2 -2 4 x2 x+1 D f = 81<; zérushely : x = 0 f ' H xL = f '' H xL = 2 x+x2 H1+xL2 2 H1+xL3 = 0 ñ x = -2 vagy x = 0 ∫0 lim f H xL = +¶, lim f H xL = +¶, lim xØ-¶ xØ+¶ xØ-1-0 f H xL = -¶, lim xØ-1+0 f H xL = +¶ függőleges aszimptota : x = -1, ferde aszimptota : y = x - 1 Rf = x x<−2 −2 f' + 0 − f ↑ max:−4 ↓ f H
xL = +¶ 2 R f = A- 8 , +¶M f' − 1 1 2 f" lim xØ- +0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = 2 = 0 ñ x = -1 4 −1 xØ+¶ 2 H-1+2 xL x<−1 4 -1 1 x 2 -2 D f = 9 2 =; zérushely : x = 0 8 H1+xL xØ+¶ xØ1+0 x f H xL := f '' H xL = f H xL = -¶ 2 -4 ü 8. lim xØ-1+0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = -1, x = 1 Rf = =0ñx=0 3 I-1+x2 M f H xL = +¶, lim xØ-1-0 lim f HxL = +¶, lim f HxL = -¶, lim f HxL = 0 ∫0 2 I-1+x2 M f '' H xL = - x lim f H xL = 0, xØ-¶ 2 −2<x<−1 −1<x<0 0 0<x − 0 + ↓ min:0 ↑ 5 f" − + f" › ‹ -4 -3 -2 1 -1 -5 -10 2 3 Függvényvizsgálat.nb x3 f H xL := x2 -3 ü 10. 15 10 D f = :- 3 , f ' H xL = -9 x2 +x4 f '' H xL = 6 I9 x+x3 M 5 3 >; zérushely : x = 0; f páratlan -4 2 -2 = 0 ñ x = 0 vagy x = -3 vagy x = 3 2 I-3+x2
M 4 -5 -10 I-3+x M -15 =0ñx=0 2 3 lim f H xL = -¶, xØ-¶ lim xØ- 3 -0 f H xL = -¶, lim xØ- 3 +0 függőleges aszimptota : x = - 3 , x = f H xL = +¶, lim xØ 3 -0 f H xL = -¶, lim xØ 3 +0 f H xL = +¶, lim f H xL = +¶ xØ+¶ 3 , ferde aszimptota : y = x; R f = x x<−3 −3 −3<x<− 3 − 3 <x<0 0 0<x< 3 3 <x<3 3 3<x f' + 0 − − 0 − − 0 + f ↑ max:− ↓ ↓ 0 ↓ ↓ min: 9 2 f" − + 0 − + f › ‹ infl:0 › ‹ ü 11. + f H xL := x „-x f '' H1L < 0 fl f H1L = ‰ º 0.37 lokális maximum 1 D f = ; zérushely : x = 0 f ' H xL = -‰-x H-1 + xL = 0 ñ x = 1 f '' H xL = ‰-x H-2 + xL = 0 ñ x = 2 f ''' H2L > 0 fl f H2L = 2 ‰2 º 0.27 inflexiós pont lim f H xL = -¶, lim f H xL = 0; R f = J-¶, ‰ F f ''' H xL = -‰-x H-3 + xL ü 12. 9 2 1 xØ-¶ xØ+¶ f H xL := H x + 2L2
„-x D f = ; zérushely : x = -2 f ' HxL = -‰-x x H2 + xL = 0 ñ x = -2 vagy x = 0 f '' HxL = ‰-x I-2 + x2 M = 0 ñ x = - 2 vagy x = f ''' HxL = -‰ -x 2 I-2 - 2 x + x M 2 f '' H-2L > 0 fl f H-2L = 0 lokális minimum; f '' H0L < 0 fl f H0L = 4 lokális maximum f ''' J- 2 N < 0 fl f J- 2 N º 1.41 inflexiós pont; f ''' J 2 N > 0 fl f J 2 N º 283 inflexiós pont lim f H xL = +¶, lim f H xL = 0; R f = @0, +¶L xØ-¶ xØ+¶ f H xL H x + 2L2 ‰-x f H xL x ‰-x 8 0.2 6 1 -1 2 3 4 4 5 2 -0.2 -0.4 -2 2 4 6 5 6 Függvényvizsgálat.nb f H xL := e-x ü 13. 2 f '' H0L < 0 fl f H0L = 1 lokális maximum D f = ; zérushely nincs; f páros f ' HxL = -2 ‰ -x2 f '' H xL = 2 ‰-x I-1 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 1 2 f ''' H xL = -4 ‰ f ''' J- x=0ñx=0 2 -x 2 º ≤ 0.71 x I-3 + 2 x M 2 f
''' J 1 2 1 2 N < 0 fl f J- N > 0 fl f J f H xL := x e-x 2 2 N= N= 1 1 º 0.61 inflexiós pont ‰ inflexiós pont ‰ lim f H xL = 0, lim f H xL = 0; R f = H0, 1D xØ-¶ ü 14. 1 1 xØ+¶ 2 D f = ; zérushely : x = 0; f páratlan f ' HxL = -‰-x I-1 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 2 1 º ≤ 0.71 2 f '' HxL = 2 ‰-x x I-3 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 3 2 2 º ≤ 1.22 f ''' HxL = -2 ‰-x I3 - 12 x2 + 4 x4 M 2 f '' J- 1 2 N > 0 fl f J3 2 f ''' - 1 2 N=3 2 > 0 fl f - º -0.43 lokális minimum; f '' J 1 2‰ lim f H xL = 0, lim f H xL = 0; R f = B- xØ-¶ xØ+¶ ü 15. f H xL := x2 ln x 3 2 º -0.27 inlexiós pont; f ''' 1 2‰ f ' HxL = x + 2 x lnHxL = 0 ñ x = f '' H xL = 3 + 2 lnH xL = 0 ñ x = 2‰ f '' H0L > 0 fl f K D f = + ; zérushely : x = 1 1 º 0.61 ‰ ‰3ë2 3 2 > 0 fl f 1 2 N= 1 º 0.43
lokális maximum; 2‰ º 0.27 inflexiós pont O = - 2 ‰ º -0.18 lokális minimum 1 1 ‰ 1 1 ‰ 3 2 ‰3 º -0.07 inflexiós pont lim f H xL = 0, lim f H xL = +¶; R f = B- 2 ‰ , +¶F º 0.22 1 xØ+¶ xØ0+0 f ''' H xL = x 2 f H xL ‰-x N < 0 fl f J f ''' J 3ë2 N > 0 fl f J 3ë2 N = ‰ 1 2 F 1 , 1 2 f H xL x ‰-x 1.0 2 f H xL x2 lnH xL 0.4 0.2 0.8 0.2 0.6 0.1 0.4 -3 -2 1 -1 2 3 0.2 -0.2 0.2 -3 -2 -1 -0.1 1 2 3 -0.4 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
