Fizika | Felsőoktatás » Bene Gyula - Általános relativitáselmélet

Általános relativitáselmélet Bene Gyula 2013.0730 Tartalomjegyzék Bevezetés 2 1. Előzmények 4 2. Alapfogalmak 2.1 Az elmélet elvi alapjai 2.2 Példa gyorsuló koordinátarendszerre: egyenletesen forgó koordinátarendszer 2.3 Görbevonalú koordináták 2.4 Távolságok és időtartamok, mérhető mennyiségek 2.41 A tér adott pontjában bekövetkezett két közeli esemény között eltelt idő 2.42 Két közeli esemény valódi térbeli távolsága 2.43 Valódi (mérhető) fizikai mennyiségek . 5 5 . 6 . 8 . 10 . 11 . 11 . 14 3. Kovariáns differenciálás 17 3.1 Párhuzamos eltolás 17 3.2 Kovariáns deriváltak 21 3.3 Erőmentes gömbszimmetrikus pörgettyű precessziója 22 4. A fizikai törvények görbült téridőben 25 5. Görbületi

tenzor 27 5.1 Ismétlés 27 5.2 A görbületi tenzor 27 6. Gravitációs tér hatásintegrálja 32 7. Energia-impulzus-tenzor 37 8. Einstein-egyenletek 40 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 9. Megmaradási tételek 43 10.Gömbszimmetrikus gravitációs tér 47 11.Gyenge gravitációs mezők 54 11.1 Sztatikus gravitációs tér 55 11.2 Stacionárius gravitációs tér 55 11.3 Gravitációs hullámok 55 12.Az általános relativitáselmélet kı́sérleti bizonyı́tékai 12.1 Az ekvivalencia elvének kı́sérleti bizonyı́tékai 12.2 Perihélium-elfordulás 12.3 A fénysugár elgörbülése gravitációs térben, gravitációs lencsék 12.4 Gravitációs vöröseltolódás 12.5 Erőmentes pörgettyű precessziója: a Gravity Probe B kı́sérlet 12.6

Gravitációs hullámok kisugárzása: a Hulse-Taylor-pulzár 56 57 57 57 57 57 57 13.Relativisztikus kozmológia 58 Tárgymutató 59 Irodalomjegyzék 59 Bevezetés A modern asztrofizika műveléséhez elengedhetetlen az általános relativitáselmélet alapos ismerete. Nagy skálán az univerzum tágulása, a mikrohullámú háttérsugárzás tulajdonságai, kisebb skálán a ma már közhelyszámba menő fekete lyukak mind-mind olyan jelenségek, melyeket az általános relativitáselmélet segı́tségével értelmezhetünk. Az elmélet elsajátı́tása útjában két komoly akadály tornyosul: egyfelől a hallgatónak meg kell barátkoznia azzal a szokatlan gondolattal, hogy az elméletben szereplő mennyiségek általában nem azonosak a ténylegesen mérhető mennyiségekkel, pl. a koordináták és az idő különbségei általában nem felelnek meg a valóságban mérhető

távolságoknak és időtartamoknak. Ez a körülmény egyben a szemléletesség rovására is megy. Másfelől az elmélet eredményeinek levezetéséhez szükséges számı́tások a klasszikus fizika egyéb ágaihoz képest fáradságosak, ami a kezdőnek könnyen a kedvét szegheti. Ez utóbbi technikai nehézség a különböző szimbolikus számı́tásokra képes számı́tógépes programcsomagok (Reduce, Mathematica, Maple) alkalmazásával azonban jelentősen mérsékelhető. A jelen jegyzet célja az asztrofizika szakirányon tanuló MSC hallgatók bevezetése az általános relativitáselmélet alapjaiba. A hangsúly az elmélet biztos alkalmazni tudásán lesz, ennek megfelelően az elvi kérdések tárgyalását igyekszem a szükséges minimumra korlátozni. A relativitáselmélet (speciális relativitáselmélet: 1905, általános relativitáselmélet: 1915) a maga korában hatalmas

közérdeklődést váltott ki, ami máig is tart Ez sajnos azzal a nemkı́vánatos mellékhatással járt, hogy a relativitáselméletet sokan egyfajta ezoterikus-filozofikus elméletnek tartják. Hazánkban is szinte évente jelentkezik egy-egy (többnyire szakképzetlen) személy azzal a kijelentéssel, hogy ő megcáfolta” Einsteint. Természetesen minden tudományos elmélet megha” ladható és bizonyos körülmények között változtatásra szorul - az általános relativitáselmélet esetében ez egészen biztosan ı́gy van abban a tartományban, ahol a gravitációs és a kvantumfizikai hatások összemérhetőek. Az viszont nem elegendő indok az elmélet elvetésére, ha valaki a saját világképével nem érzi azt összeegyeztethetőnek. Az általános relativitáselmélet matematikai formalizmusa rengeteget fej3 TARTALOMJEGYZÉK 4 lődött az elmélet megalkotása óta eltelt évszázad

alatt. Ezt részben az egzakt megoldások keresése, részben a tételek egzakt bizonyı́tása, részben az elmélet továbbfejlesztése (pl. kvantálása) iránti igény ösztönözte Bevezető munkáról lévén szó, ebben a jegyzetben csak a standard egyetemi differenciálgeometriát alkalmazzuk. A használt konvenciók a Landau-Lifsic: Elméleti fizika II. - Klasszikus erőterek c. könyvben alkalmazottakat követik A téridő-koordinátákat latin betűkkel, a térkoordinátákat görög betűkkel jelölöm. Előbbiek a 0, 1, 2, 3, utóbbiak az 1, 2, 3 értékeket vehetik fel. A metrika szignatúrája (sajátértékeinek előjele) +,-,-,- 1. fejezet Előzmények Történeti áttekintés. Eötvös Loránd szerepe A speciális relativitáselmélet: események és inerciarendszerek, Lorentz-transzformáció, Minkowski-tér, sajátidő, az egyidejűség relativitása, Lorentz-kontrakció,

idődilatáció, ikerparadoxon, négyesvektorok, relativisztikus mechanika. 5 2. fejezet Alapfogalmak Gyorsuló koordinátarendszerek. Forgó koordinátarendszer Metrikus tenzor Az ekvivalencia elve. Görbevonalú koordináták Távolságok és időtartamok 2.1 Az elmélet elvi alapjai Az általános relativitáselmélet annak az igénynek a megvalósı́tása, hogy a természet törvényeit tetszőleges vonatkoztatási rendszerben (nem csak inerciarendszerekben) egységes, kovariáns alakban lehessen megfogalmazni. Ez többek között azt is jelenti, hogy gyorsuló koordinátarendszerekben is felı́rhatóknak kell lennie a természeti törvényeknek. A speciális relativitáselmélet alkalmazásával kiderül, hogy gyorsuló koordinátarendszerekben a tér geometriája általában nem-euklideszi, a téridő geometriája pedig nem Minkowski tı́pusú. Az ilyen általánosabb geometriák egyértelmű jellemzése a

metrikus tenzor segı́tségével válik lehetővé. Az általános relativitáselméletben alapvető jelentőségű felismerés az ekvivalencia elve: lokálisan semmilyen méréssel nem dönthető el, hogy gravitációs mezőben, vagy alkalmas gyorsuló koordinátarendszerben tartózkodik-e a megfigyelő. Ennek megfelelően - mivel a természet törvényei lokális törvények -, a gravitációs mező jelenlétében szintén nem-Minkowski tı́pusú a téridő és elméleti leı́rása szintén a metrikus tenzorral lehetséges. A téridő minden pontjában ismert metrikus tenzor esetén a tömegpontok és anyagi mezők (a gravitációs teret nem értve ide) mozgásegyenletei az inerciarendszerbeli törvények közvetlen általánosı́tásaként adódnak azzal a szabállyal, hogy a téridő-koordináták szerinti parciális deriváltakat kovariáns deriváltakra kell kicserélni. 6 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK

7 A gravitációs mezőt tömegek keltik, vagy általánosabban: a gravitációs mező forrása az energia-impulzus tenzor. Az energia-impulzus tenzor és az általa létrehozott gravitációs mező, ill. az azt leı́ró metrikus tenzor kapcsolatát az Einstein-egyenletek fejezik ki Ezek levezetése kézenfekvő fizikai analógiák segı́tségével lehetséges: mezőelméletről lévén szó, olyan Lagrangesűrűséget keresünk, melyben a térmennyiség (a metrikus tenzor) legfeljebb első deriváltjai szerepelnek, és ami - négyesdivergencia alakú additı́v tagok erejéig - skalárral ekvivalens. A kapott Lagrange-sűrűség a gravitációs mezőt jellemzi, melyhez az anyagi mezők (ill. tömegpontok) Lagrange-sűrűségét hozzá kell adni. Az anyag és a gravitációs mező közötti csatolást az anyagi mezők Lagrange-sűrűségében fellépő metrikus tenzor biztosı́tja. Az általános

relativitáselmélet alkalmazásai tulajdonképpen az Einsteinegyenletek és az anyag mozgásegyenleteinek egyidejű megoldását jelentik. Mint látni fogjuk, ennek segı́tségével értelmezhető pl. a Merkur perihéliumelfordulása, a fénysugarak irányváltozása a Nap mellett, a táguló univerzum és a mikrohullámú háttérsugárzás. 2.2 Példa gyorsuló koordinátarendszerre: egyenletesen forgó koordinátarendszer Tételezzük fel, hogy inerciarendszerben vagyunk. Tekintsünk egy nagy, R rugarú, egyenletes ω szögsebességgel forgó korongot, úgy, hogy Rω < c1 . A forgástengely a korong sı́kjára merőleges és a középpontján halad keresztül. A korongon megfigyelők tartózkodnak, akik a rendelkezésükre álló méterrudakkal megmérik a korong sugarát és kerületét. A korong kerületének és sugarának aránya az inerciarendszerből mérve természetesen 2π lenne, hiszen a

távolságok mérése az inerciarendszerben egyidejű téridő-pontok között történik, ami szemléletesen szólva azzal egyenértékű, hogy a forgó korongot leképezzük egy az inerciarendszerbeli körre, majd ez utóbbin végezzük el a méréseket. Más a helyzet a korongon tartózkodó megfigyelők esetében Az ő méréseik eredményét a speciális relativitáselmélet alapján meg tudjuk jósolni, feltéve, hogy lokálisan a gyorsulásnak nincs hatása a távolságok (és időtartamok) mérésére. Ezt az általános relativitáselméletben minden körülmények között feltételezzük Más szavakkal ez azt jelenti, hogy a korong adott pontján mérést végző megfigyelő ugyanazt az eredmény kapja akkor is, ha az adott pont kerületi sebességével mozgó inerciarendszerben tartózkodik, és nem gyorsul együtt a koronggal. Ez esetben nyilvánvaló, hogy a 1 Az R és ω mennyiségeket az

inerciarendszerből, a forgó korongon mérjük. 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK 8 kerület mentén elhelyezett méterrudak Lorentz-kontrakciót szenvednek, vagyp is az inerciarendszerből nézve 1 − R2 ω 2 /c2 arányban megrövidülnek, mı́g a sugárirányban elhelyezett méterrudak hossza változatlan. Az inerciarendszerbeli megfigyelők tehát azt látják, p hogy a 2πR kerületet a korongon dolgozó megfigyelők hosszabbnak, 2πR/ 1 − R2 ω 2 /c2 -nek találják, mı́g a sugarat továbbra is R-nek mérik. De ez azt jelenti, hogy a korongon apkör kerületének és sugarának aránya nem 2π, hanem az annál nagyobb 2π/ 1 − R2 ω 2 /c2 érték. Gyorsuló koordinátarendszerekben a geometria tehát általában nemeuklideszi ill a téridő nem-Minkowski Joggal vethető fel a kérdés, hogy a korong kerülete miért nem szenved Lorentz-kontrakciót. A válasz az, hogy azt a korong anyagában fellépő rugalmas

deformációk éppen kiegyenlı́tik. Ilyen deformációk nem lépnek fel a méterrudakban. Mi történik, ha a korongot olyan erős anyagból készı́tjük, ami ellenáll a deformációnak? Ez esetben nem tudjuk megpörgetni, ugyanis a D(∆`)2 /2 rugalmas energia végtelenhez tart (D az effektı́v rugóállandó, ∆` a deformáció). Ezekből a megfontolásokból látható, hogy anyagi testekkel megvalósı́tott gyorsuló koordinátarendszerben általában rugalmas deformációk ill. feszültségek lépnek fel Az is felvetődhet, hogy nem kapnánk-e más eredményt, ha más módszerrel mérnénk a távolságot. A válasz nemleges, ugyanis a távolság mérése inerciarendszerben végzett távolságméréssel egyenértékű, ott pedig a távolságok a mérési eljárástól elvben nem függenek. Vizsgáljuk meg a két közeli téridőpont közötti ı́velemnégyzetet! Az inerciarendszerben legyenek a

koordinátadifferenciálok derékszögű térbeli koordináták esetén dx0 , dy 0 , dz 0 és dt0 , illetve hengerkoordinátákat használva dr0 , dϕ0 , dz 0 és dt0 ! Az ı́velemnégyzet nyilván ds2 = c2 dt02 − dx02 − dy 02 − dz 02 = c2 dt02 − dr02 − r02 dϕ02 − dz 02 . (2.1) A korong vonatkoztatási rendszerébe térjünk át a t0 r0 ϕ0 z0 =t =r = ϕ + ωt =z (2.2) koordinátatranszformációval. Ez biztosı́tja, hogy a konstans vesszőtlen koordinátájú pontok együtt mozognak a koronggal Ekkor (21)-ből azt kapjuk, hogy
ds2 = c2 − r2 ω 2 dt2 − dr2 − r2 dϕ2 − dz 2 − 2r2 ωdϕdt . (2.3) Feltételeztük az ı́velemnégyzet invarianciáját, akárcsak a speciális relativitáselméletben. Ott az ı́velemnégyzet kifejezése is változatlan maradt, itt viszont 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK 9 megváltozott. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges általános koordinátatranszformáció esetén is igaz

lesz, hogy az ı́velemnégyzet a koordinátadifferenciálok kvadratikus alakja: ds2 = gik dxi dxk . (2.4) A gik kétindexes mennyiséget metrikus tenzornak nevezzük. Az előbbi példában x0 = ct, x1 = r, x2 = ϕ és x3 = z esetén a metrikus tenzor nullától különböző komponensei g00 g11 g22 g02 = 1 − r2 ω 2 /c2 = g33 = −1 = −r2 = g20 = −r2 ω/c . (2.5) Matematikai szempontból a metrikus tenzor 4×4-es szimmetrikus mátrix (az esetleges antiszimmetrikus rész ui. az ı́velemnégyzet kifejezéséből kiesik és ı́gy nincs fizikai tartalma). A mátrix sajátértékei előjelének - a szignatúrának - kiemelt jelentősége van. Ha nem három negatı́v és egy pozitı́v van közöttük, akkor az a metrika nem felelhet meg valódi fizikai téridőnek, mivel lokálisan nem lehet Minkowski-alakra transzformálni. A (25) metrika sajátértékei között valóban mindig három negatı́v és két pozitı́v van,

ugyanis a metrika blokkdiagonális, és a g11 = −1, g33 = −1 elemek egyben sajátértékek is, a maradék g00 , g22 , g02 és g20 elemekből álló blokk determinánsa pedig −r2 , tehát a maradék két sajátérték ellentétes előjelű.2 2.3 Görbevonalú koordináták Az általános relativitáselméletben görbevonalú koordinátákat kell használnunk, mivel egyrészt nem-euklideszi geometria esetében nem vezethetők be derékszögű koordináták, másrészt az elmélet egyik legfontosabb célkitűzése, hogy tetszőleges koordinátarendszerben is megfogalmazható legyen. A fenti példához hasonlóan induljunk ki a
2
2
2
2 ds2 = dx00 − dx01 − dx02 − dx03 . (2.6) Minkowski-metrikából, és térjünk át tetszőleges görbevonalú koordinátákra (gyorsuló koordinátarendszerre) a x0i = x0i (x0 , x1 , x2 , x3 ) 2 (2.7) A sajátértékek formális felı́rását megelőzően

célszerű minden koordinátát azonos dimenziójúvá tenni (pl. a x2 = ϕc/ω új definı́cióval) 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK 10 képletekkel, ahol a vesszős koordinátákat a vesszőtlenek (általában nemlineáris) függvényének tekintjük. A koordinátatranszformációt tehát négy darab négyváltozós függvény adja meg. A koordinátadifferenciálokra a többváltozós függvények differenciálási szabálya alapján azt kapjuk, hogy ∂x0i j dx , (2.8) ∂xj ahol a kétszer előforduló indexekre összegzés értendő. Ezt beı́rva az ı́velemnégyzet képletébe, a dx0i = ds2 = gik dxi dxk (2.9) kvadratikus alak adódik, ahol a gik metrikus tenzort a gik = ∂x0l ∂x0m (0) g ∂xi ∂xk lm (2.10) (0) képlet határozza meg, ahol glm = diag (1, −1, −1, −1) a Minkowski-metrikának megfelelő metrikus tenzor. Mivel a transzformáció általában nemlineáris, a gik metrikus tenzor komponensei

téridő-pontról téridő-pontra változnak, azaz függnek a koordinátáktól. A (210) képlet megfordı́tva azt jelenti, hogy gyorsuló koordinátarendszerből alkalmas koordinátatranszformációval a téridő minden pontjában a metrikus tenzor egyidejűleg a Minkowski-metrikára transzformálható. Ez a tulajdonság tömegek által keltett gravitációs terekben már nem érvényes, semmilyen koordinátatranszformációval nem hozható mindenütt egyidejűleg sı́k (Minkowski) alakra a metrika. Emiatt ilyenkor görbült téridőről beszélünk, hiszen a nem-Minkowski alak nem pusztán a választott koordinátarendszer, hanem a téridő tulajdonsága. Hogy általános esetben a metrikus tenzort nem lehet mindenütt Minkowski-alakra transzformálni, már abból is nyilvánvaló, hogy a szimmetrikus 4 × 4-es metrikus tenzornak tı́z független eleme van, melyek a téridő függvényei, de az általános

koordinátatranszformációban csak négy függvény szerepel. A (2.10) képlet megfordı́tásával a vesszős koordinátarendszer-beli metrikus tenzor kifejezése ∂xi ∂xk gik . (2.11) ∂x0l ∂x0m Látható, hogy a metrikus tenzor indexei másképpen transzformálódnak, mint a koordinátadifferenciálok. Vizsgáljuk meg, hogyan transzformálódik egy Φ({xi }) skalárfüggvény gradiense! A közvetett függvény deriválási szabálya szerint azt kapjuk, hogy 0 = glm ∂Φ ∂xj ∂Φ = , ∂x0i ∂x0i ∂xj (2.12) 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK 11 A koordinátadifferenciálok homogén lineáris transzformációs szabálya szerint transzformálódó mennyiségeket a továbbiakban kontravariáns vektoroknak nevezzük, a skalár gradiensének (szintén homogén lineáris) transzformációs szabálya szerint transzformálódó mennyiségeket pedig kovariáns vektornak. A transzformációs szabályt az index

pozı́ciójával jelezzük: a felső index kontravariáns, az alsó index kovariáns vektorkomponensként transzformálódó mennyiséget jelent. Látható, hogy a metrikus tenzor indexei egyenként kovariáns vektorként transzformálódnak Általában tenzornak nevezünk majd olyan többindexes mennyiségeket, amelyek kontravariáns és/vagy kovariáns vektorkomponensek szorzataként transzformálódnak. A kétféle transzformációs szabály együtthatómátrixai éppen egymás inverzei, emiatt egy kovariáns és egy kontravariáns vektor szorzata az indexeket összeejtve (azaz egyenlővé téve és az egyenlő indexre összegezve) skalárt eredményez: A0i Bi0 = ∂x0i k ∂xn A Bn = Ak Bk . ∂xk ∂x0i (2.13) Tenzorok esetén egy kovariáns és egy kontravariáns index összeejtése a tenzor rendjét kettővel csökkenti. Egy Ai kontravariáns vektort a kovariáns gik metrikus tenzorral megszorozva és indexét

annak egyik indexével összeejtve kovaráns vektort kapunk, amit Ai -vel jelölünk, mivel ugyanannak a fizikai mennyiségnek a kovariáns változata: Ai = gik Ak . (2.14) Fordı́tva, egy kovariáns vektort gik inverzével szorozva indexösszeejtéssel kontravariáns vektort kapunk. A metrikus tenzor inverzét g ik -val jelöljük és kontravariáns metrikus tenzornak nevezzük: ik Ai = g ik Ak , (2.15) δji (2.16) g gkj = . A kovariánsból kontravariáns mennyiség előállı́tását röviden az index felhúzásának, a fordı́tott műveletet az index lehúzásának fogjuk hı́vni. 2.4 Távolságok és időtartamok, mérhető mennyiségek Általános görbevonalú koordinátarendszerben a koordináták csupán az események téridőbeli helyzetét határozzák meg, de különbségeik nem felelnek 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK 12 meg valódi távolságoknak ill. időtartamoknak Ez önmagában nem

meglepő, hiszen ez a helyzet pl. térbeli polárkoordináták használatakor is Felmerül tehát a kérdés, hogy a metrika ismeretében hogyan határozható meg két közeli esemény valódi távolsága ill. a tér adott pontjában végbemenő két esemény között eltelt valódi időtartam Általánosabban felvethető az a kérdés, hogy mi a kapcsolat a tényleges, mérhető fizikai mennyiségek és a leı́rásukra használt vektor vagy tenzorkomponensek között. A megoldás alapja ugyanaz, amit már a forgó korongon végzett méréseknél is hangsúlyoztam: a koordinátarendszer adott pontjában áttérünk egy olyan inerciarendszerre, ami a görbevonalú koordinátarendszer adott pontjával az adott pillanatban együtt mozog, és minden mérhető mennyiséget ebben az érintőtérben értelmezünk. Távolságok és időtartamok mérésekor nem egy, hanem két közeli pontról (eseményről) van

szó, azonban a leı́rt konstrukcióban a másik pont sebessége az inerciarendszerhez képest másodrendben kicsi (a koordinátakülönségek négyzetével arányos). 2.41 A tér adott pontjában bekövetkezett két közeli esemény között eltelt idő A két esemény a leı́rt konstrukcióval felvett inerciarendszerben is azonos helyen van, ı́gy a közöttük eltelt valódi dτ idővel az ı́velemnégyzet ds2 = c2 dτ 2 (2.17) alakban fejezhető ki. A görbevonalú koordinátarendszerben a két esemény közötti ı́velemnégyzet ugyanennyi, viszont a görbevonalú koordinátákkal fejezhető ki:
2 ds2 = g00 dx0 , (2.18) ugyanis a térbeli koordináták különbségei eltűnnek (dxα = 0). A két kifejezés egyenlőségéből √ g00 0 dx (2.19) dτ = c adódik. 2.42 Két közeli esemény valódi térbeli távolsága Áttérünk az inerciarendszerre, melyben az egyidejűség fogalma jól

meghatározott, mivel az idő egyformán telik a különböző térbeli pontokban. Ez 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK 13 azt jelenti, hogy olyan konstans együtthatós, homogén lineáris transzformációt alkalmazunk, ami a kiszemelt téridőpontban Minkowski-alakra hozza a metrikát. Ezenkı́vül, hogy az inerciarendszer ne mozogjon a görbevonalú koordinátarendszerhez képest, megköveteljük, hogy az inerciarendszerbeli dx0α térbeli koordinátadifferenciálok ne függjenek dx0 -tól. Ekkor ugyanis dxα = 0ból dx0α = 0 következik (és viszont), tehát az egyik rendszerben rögzı́tett térbeli pont a másikban is helyben marad. Ez annyit jelent matematikailag, hogy a koordinátadifferenciálok transzformációs képlete dx0α = Aαβ dxβ 00 dx = A0j dxj (2.20) . (2.21) A görög betűk a térbeli (1,2,3), a latin betűk a téridőbeli (0,1,2,3) indexeken futnak végig. Az ı́velemnégyzet
2 2 ds2 = dx00 − (dx0α ) =

A0j A0k dxj dxk − Aαβ Aαν dxβ dxν . (2.22) Ez természetesen meg kell, hogy egyezzen a gjk dxj dxk kifejezéssel. A térszerű és időszerű indexek szétválasztásával ez azt jelenti, hogy
2 g00 = A00 (2.23) 0 0 g0α = A0 Aα (2.24) 0 0 α α gβν = Aβ Aν − Aβ Aν . (2.25) Az első egyenletből A00 = √ g00 , (2.26) g0α A0α = √ g00 (2.27) a másodikból pedig adódik. Két közeli pont d` távolságának mérésekor az inerciarendszerben egyidejű pontokat vizsgálunk, vagyis megköveteljük, hogy dx00 = 0 legyen, ezért egyrészt ds2 = − (d`)2 (2.28) ı́rható, másrészt megkapjuk az egyidejűség feltételét a görbevonalú koordinátarendszerben: dx00 = A0j dxj = 0 . (2.29) 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK Ebbe a transzformáció mátrixát behelyettesı́tve kapjuk, hogy g0α α dx0 = − dx . g00 14 (2.30) Két közeli esemény tehát akkor egyidejű, ha időkoordinátáik különbségére

ez az egyenlet teljesül. Az egyidejűség feltételének megadását szokás szemléletesen az órák szinkronizálásának nevezni Az eljárást folytatva további pontokra definiálható az események egyidejűsége, ı́gy egy görbe mentén is. Az viszont már általában nem igaz, hogy zárt görbe mentén az órák szinkronizálása elvégezhető, ugyanis a kezdőpontba visszatérve véges időkoordinátakülönbség adódik. Más szavakkal, két véges távolságban levő pont egyidejűsége nem definiálható egyértelműen, mivel az órák szinkronizálásának eredménye általában függ attól, hogy a két pont között milyen pálya mentén végeztük el a szinkronizálást. Ez a helyzet például a forgó koordinátarendszer esetén: az origó középpontú kör mentén szinkronizálva az órákat nulla helyett I 2πR2 ωc g0α α 0 dx = 2 (2.31) ∆x = − g00 c − R2 ω 2

adódik. Ez a tulajdonság nem a téridő, hanem a választott koordinátarendszer tulajdonsága Nyilvánvaló, hogy a négy transzformációs függvény (vagyis a koordinátarendszer) alkalmas megválasztásával általában a téridő minden pontjában nullává tehető a három g0α mennyiség, sőt még az is elérhető, hogy ezzel egyidejűleg minden téridő-pontban g00 = 1 is teljesüljön. Az ilyen koordinátarendszert, melyben az egyidejűség a teljes téridőben egyértelműen definiálható, szinkronizált vonatkoztatási rendszernek, az x0 időkoordinátát, melynek különbsége az adott térbeli pontban eltelt valódi idővel egyenlő, világidőnek nevezzük. 3 Visszatérve a közeli pontok valódi távolságához, a (2.28) és (230) képletekből azt kapjuk, hogy
2 (d`)2 = −ds2 = −g00 dx0 − 2g0α dx0 dxα − gαβ dxα dxβ   g0α g0β − gαβ dxα dxβ . (2.32) = g00 A γαβ = 3 g0α

g0β − gαβ g00 (2.33) Az előbbi állı́tást annyiban pontosı́tanunk kell, hogy szinkronizált vonatkoztatási rendszerben a világidő valamilyen véges értékénél a metrika szükségképpen szingulárissá válik, azon túl (pozitı́v vagy negatı́v időirányban) a koordinátarendszer nem alkalmazható. 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK 15 mennyiség tehát a térbeli metrikát határozza meg. Érdekesség, hogy ez éppen a −g αβ 3 × 3-as mátrix (a kontravariáns metrikus tenzor térszerű részének ellentettje) inverze. A forgó koordinátarendszer (2.5) téridő-metrikájának segı́tségével a forgó korong térbeli metrikájának nullától különböző komponenseire a γ11 = 1 γ22 = r2 2 2 1 − r cω2 γ33 = 1 (2.34) értékeket kapjuk. Ennek megfelelően a sugárirányú valódi távolság a korong közepétől a pereméig R, mı́g a perem mentén mérve a valódi kerület p 2

2πR/ 1 − R ω 2 /c2 , a korábbi eredménnyel egyezően. 2.43 Valódi (mérhető) fizikai mennyiségek Valamely lokális fizikai mennyiséget, amely lehet skalár, vektor, tenzor, az elméletben tetszőleges görbevonalú komponenseivel megadhatunk, az indexeket a metrikus tenzorral ill. inverzével le- és felhúzhatjuk Természetes módon merül fel a kérdés, hogy mi felel meg a ténylegesen mérhető értékeknek. A válasz azt, hogy a (220), (221) képletekkel - mivel ez egyben a kontravariáns vektorkomponensek transzformációs szabálya is -, vagy ennek inverzével (kovariáns vektorok esetében), vagy ezek szorzatával (tenzorok esetén) inerciarendszerbe képezzük le kérdéses fizikai mennyiséget, és eredményül a ténylegesen mérhető értéket kapjuk. A transzformáció megadásához szükségünk van az eddig még nem meghatározott Aαβ mennyiségekre is. A megadott feltételek alapján ez nem

egyértelmű, ami azzal kapcsolatos, hogy az inerciarendszer x, y, z térszerű koordinátatengelyeit még tetszőleges forgatásnak lehet alávetni. Az (225), (233) egyenletekből ugyanis Aαβ Aαν = γβν (2.35) adódik, aminek a megoldása Aαβ = Fνα p λν Oβν , (2.36) ahol Fνα tetszőleges 3 × 3-as ortogonális mátrix (forgásmátrix), λν a γαβ pozitı́v definit, valós szimmetrikus mátrix ν-edik sajátértéke, Oβν pedig a hozzátartozó sajátvektor, melyek összessége szintén 3 × 3-as ortogonális mátrixot alkot. 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK 16 Fejezzük ki pl. egy forgó korongon mozgó tömegpont sebességét koordinátáinak időderiváltjaival! Jelöljük a t szerinti deriváltakat ṙ, ϕ̇ és ż-tal! Először a négyessebességet ı́rjuk fel, ami definı́ció szerint ui = dxi /ds, azaz u0 = dx0 =q ds 1 1− u1 = u2 = u3 = ṙ2 c2 dx1 = q ds c 1− dx2 = q ds c 1− dx3 = q ds c

1− − r2 (ϕ̇+ω)2 c2 (2.37) − ż 2 c2 ṙ ṙ2 c2 r2 (ϕ̇+ω)2 c2 − (2.38) − ż 2 c2 − ż 2 c2 − ż 2 c2 ϕ̇ ṙ2 c2 r2 (ϕ̇+ω)2 c2 − (2.39) ż ṙ2 c2 r2 (ϕ̇+ω)2 c2 − (2.40) A (2.20), (221), (226), (227), (236) képleteket alkalmazzuk Mivel a (234) térbeli metrika máris diagonális, az Oβν mátrix az egységmátrix, a λν értékek pedig a diagonális elemek. Végül az Fνα forgásmátrixot önkényesen egységmátrixnak választjuk Ekkor az Aαβ transzformációs mátrix diagonális lesz Mindezeket figyelembevéve a négyessebesség komponenseit dx00 =q u = ds 00 u01 = u02 = u03 = 2 2 2 1 − r cω2 − r cω2 ϕ̇ q 2 2 2 r2 ω2 − 1 − c2 1 − ṙc2 − r (ϕ̇+ω) c2 dx01 = q ds c 1− dx02 = q ds c 1− dx03 = q ds c 1− (2.41) ż 2 c2 ṙ ṙ2 c2 − r2 (ϕ̇+ω)2 c2 (2.42) − ż 2 c2 ṙ2 c2 − r2 (ϕ̇+ω)2 c2 r2 (ϕ̇+ω)2 c2 − ż 2 c2 rϕ̇ r2 ω2 c2 q 1−

ż ṙ2 c2 − (2.43) − ż 2 c2 (2.44) alakban kapjuk. Ez az elmozdulásokat a tömegpont sajátidejében méri, amint az a négyessebesség esetében szokásos. A hármassebesség komponenseit viszont korongon eltelt valódi időben mérjük, mégpedig a tömegpont pályája mentén szinkronizált órák segı́tségével. Ez azt jelenti, hogy az eltelt valódi idő nagysága dx0 időkoordináta-változáskor   g0α α √ 0 g00 dx + dx (2.45) g00 2. FEJEZET ALAPFOGALMAK 17 lesz, mivel figyelembe kell vennünk, hogy a másik térbeli pontban a 0 idődxα -val egyidejű. De ez azt jelenti, hogy éppen dx00 (vö (221)) pont − gg0α 00 szerint kell a koordinátákat deriválni. Így viszont a keresett hármassebességkomponensek q 2 2 01 ṙ 1 − r cω2 u 1 v = c 00 = (2.46) 2 2 2 u 1 − r ω2 − r ω2 ϕ̇ c c u02 rϕ̇ v 2 = c 00 = 2 2 2 u 1 − r cω2 − r cω2 ϕ̇ q 2 2 03 ż 1 − r cω2 u 3 v = c 00 = 2 2 2 u

1 − r cω2 − r cω2 ϕ̇ (2.47) (2.48) 3. fejezet Kovariáns differenciálás Kovariáns és kontravariáns vektorok görbevonalú koordinátarendszerekben. Tenzorok. Kontravariáns metrikus tenzor Vektorok eltolása Christoffelszimbólumok Kovariáns differenciálás Részecske mozgása gravitációs térben Az elektromágnesség egyenletei gravitációs térben Fény terjedése gravitációs térben Általános koordinátatranszformációk esetén a vektorok transzformációs szabálya minden pontban különböző. Ennek következtében egy vektortér deriváltja, mivel adott pontban két különböző pontbeli érték különbsége, nem alkot vektort. Ez a transzformációs szabály deriválásakor nyilvánvaló, mivel a helyfüggő együtthatók deriváltja extra tagot eredményez. Ahhoz, hogy a tenzorként transzformálódó általánosı́tást megkapjuk, azonos pontbeli vektorokat kell

egymásból kivonni, tehát az xi és xi + dxi pontokban levő vektorok valamelyikét - pl. az xi pontban lévőt - a másik pontba kell párhuzamosan eltolni. 3.1 Párhuzamos eltolás Ezzel a vektorok görbült térbeli párhuzamos eltolásának problémájához jutottunk. A már alkalmazott módszert fogjuk kiterjeszteni: nem csak egy pontban, hanem egy kis környezetben definiáljuk a görbe vonalú koordinátarendszerről az inerciarendszerre való áttérést. Utóbbiban derékszögű koordinátákat használva párhuzamos eltoláskor a vektorkomponensek változatlanok Ezután az eltolás végpontjában visszatérünk a görbevonalú koordinátákra, és eredményül megkapjuk a párhuzamosan eltolt vektort görbevonalú koordinátarendszerben. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a kiválasztott pont, melyből az eltolást kezdjük, a görbevonalú koordinátarendszer és az inerciarendszer

18 3. FEJEZET KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS 19 közös origója. Ekkor a korábbi formuláink kiterjesztésével ı́rhatjuk, hogy 
 1 i j k 3 (3.1) x0i = Aij xj + Bjk x x + O xj 2 Itt xj -k a gravitációs térbeli görbevonalú koordináták, mı́g x0i -k az inerciai rendszerbeli derékszögű koordináták. Nyilvánvalóan a Bjk konstans együtthatók alsó indexeikben szimmetrikusak. A koordinátadifferenciálokra azt kapjuk, hogy 
 2 0i i j i j k (3.2) dx = Aj dx + Bjk x dx + O xj Ebből az ı́velemnégyzet

2 2 0 0 n ds2 = dx00 − (dx0α ) = A0j A0k + A0j Bnk xn + A0k Bnj x dxj dxk
α n α n − Aαj Aαk + Aαj Bnk x + Aαk Bnj x dxj dxk   ∂gjk n = gjk (0) + x dxj dxk ∂xn (3.3) (3.4) (3.5) Itt a jobboldalon a metrikus tenzort az origó körül elsőrendig sorbafejtettük. Ebből a korábbi összefüggéseken túl ∂gjk 0 0 α α = A0j Bnk + A0k Bnj − Aαj Bnk − Aαk Bnj n ∂x (3.6) i következik.

Könnyen belátható, hogy az egyenletek és az ismeretlen Bjk i együtthatók száma megegyezik.1 A Bjk együtthatók meghatározáse céljából vezessük be a 0 α bjnk = A0j Bnk − Aαj Bnk (3.7) jelölést. A bjnk mennyiségek az n, k indexekben szimmetrikusak Ezzel ∂gjk = bjnk + bknj ∂xn ∂gkn = bkjn + bnjk ∂xj ∂gnj = bnkj + bjkn ∂xk 1 (3.8) (3.9) (3.10) A sorfejtés következő rendjében ez már nem teljesül, ami összhangban van azzal, hogy tetszőleges metrika esetén a teljes téridőt nem lehet egyidejűleg Minkowski-alakra transzformálni. 3. FEJEZET KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS 20 A második és a harmadik egyenlet az elsőből következik az indexek ciklikus cseréjével. Az első két egyenlet összegéből levonva a harmadikat   1 ∂gjk ∂gkn ∂gnj (3.11) bkjn = + − 2 ∂xn ∂xj ∂xk adódik. Ezt az Aij mátrix inverzével balról szorozva megkapjuk a keresett együtthatókat. A

párhuzamos eltolást a korábban mondottak szerint végezzük el: a kontravariáns dxj vektorra xj = 0 esetén alkalmazzuk a (3.2) képletet A kapott dx0i komponensek nem változnak meg párhuzamos eltoláskor. Végezetül a (3.2) képlet inverzével térünk vissza a görbevonalú komponensekre, de ezúttal nullától különböző xj -k mellett, amelyek éppen az eltolás mértékét fejezik ki a görbevonalú koordinátarendszerben. Hogy a levezetést egyszerűsı́tsük, eszközöljünk annyi változtatást, hogy a 0 és xj pontok helyett (az eltolás előtti és utáni pontok) használjuk a −xj és 0 pontokat. Mivel xj -t végig kis mennyiségnek feltételeztük, ez a változtatás nem befolyásolja az eredményt, viszont a (3.2) képlet invertálása az eltolás végpontjában kényelmesebben elvégezhető. Ekkor ugyanis a dx0i = Aij dx̃j (3.12) egyenletből kell a vesszőtlen koordinátákat a

vesszősekkel kifejezni. A hullámvonal az eltolás utáni komponenseket jelöli Mivel A0j A0k − Aαj Aαk = gjk , (3.13) A0k dx00 − Aαk dx0α = gkj dx̃j , (3.14) azt kapjuk, hogy amiből a g jk inverz mátrixszal szorozva adódik, hogy
dx̃j = g jk A0k dx00 − Aαk dx0α . (3.15) Itt a dx0i mennyiségeket a leı́rtaknak megfelelően a (3.2) képlet xj −xj cserével kapott alakjából kell behelyettesı́teni:
0 n α n x dxl + Aαk Bnl x dxl (3.16) dx̃j = g jk A0k A0l dxl − Aαk Aαl dxl − A0k Bnl = g jk gkl dxl − g jk bknl xn dxl   1 jk ∂gkn ∂gkl ∂gnl j + n − xn dxl = dx − g l k 2 ∂x ∂x ∂x (3.17) (3.18) 3. FEJEZET KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS 21 Ennek megfelelően egy tetszőleges C j kontravariáns vektor komponenseinek változása végtelen kis δxn párhuzamos eltolás esetében   1 jk ∂gkn ∂gkl ∂gnl j C l δxn . (3.19) δC = − g + n − 2 ∂xl ∂x ∂xk A metrikus tenzornak és

deriváltjainak itt fellépő kombinációja a Γjnl -nel jelölt Christoffel-szimbólum:   1 jk ∂gkn ∂gkl ∂gnl j Γnl = g + n − , (3.20) 2 ∂xl ∂x ∂xk amivel δC j = −Γjnl C l δxn . (3.21) Látható, hogy a Christoffel-szimbólumok az alsó indexeikben szimmetrikusak. Fontos hangsúlyozni, hogy a Christoffel-szimbólumok nem alkotnak tenzort, mivel pl Minkowski-metrika esetén azonosan eltűnnek A transzformáció homogén lineáris jellege miatt viszont ha egy tenzor egy koordinátarendszerben eltűnik, akkor minden más koordinátarendszerben is eltűnik Megjegyezzük, hogy az eddigiekből (v.ö (37), (311), (313), (320)) egyszerű számı́tással következik, hogy i Bjk = Ain Γnjk . (3.22) Kovariáns vektor komponenseinek megváltozását abból vezethetjük le, hogy egy kontravariáns és egy kovariáns vektor szorzata skalár, ami az eltolás következtében nem változik meg:
0 = δ Dj C j = Dj δC j + C j

δDj = −Dj Γjnl C l δxn + C l δDl . (3.23) Mivel ez tetszőleges kontravariáns C l vektor esetén fennáll, következik, hogy δDl = Γjnl Dj δxn . (3.24) Tenzorkomponensek párhuzamos eltoláskor fellépő megváltozását annak alapján vezetjük le, hogy a tenzor ilyenkor is megfelelő vektorkomponensek szorzataként viselkedik, amiből az következik, hogy minden kovariáns j indexhez .j .l δT.k képletében egy −Γjnl δxn T.k tag tartozik, mı́g minden kovariáns k l n .j indexhez egy Γnk δx T.l tag tartozik Ez közvetlenül levezethető a vektorkomponensek szorzatára vonatkozó összefüggésből, ha a kis megváltozásokban elsőrendű tagokat összegyűjtjük 3. FEJEZET KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS 22 3.2 Kovariáns deriváltak Miután a párhuzamos eltolást definiáltuk, a korábban mondottaknak megfelelően definiáljuk a kovariáns deriváltat: az xi + dxi pontbeli vektorkomponensből az xi -ből xi

+ dxi -be párhuzamosan eltolt vektorkomponenst (v.ö (3.21)) vonjuk le Tehát a kovariáns differenciál
∂Aj i DAj = Aj (xi + dxi ) − Aj (xi ) − Γjik Ak dxi ≈ dx + Γjik Ak dxi ,(3.25) i ∂x a kovariáns derivált pedig (xi szerint) DAj ∂Aj = + Γjik Ak . dxi ∂xi (3.26) DAj vektor, DAj /dxi pedig vegyes másodrendű tenzor. Ugyanı́gy kovariáns vektorra (v.ö (324))
∂Aj i DAj = Aj (xi + dxi ) − Aj (xi ) + Γkij Ak dxi ≈ dx − Γkij Ak dxi ,(3.27) ∂xi és ∂Aj DAj = − Γkij Ak . i dx ∂xi (3.28) Tenzorok kovariáns deriváltja a párhuzamos eltolásnál mondottak alapján vezethető le, pl. ∂Tji DTji = + Γilk Tjl − Γljk Tli dxk ∂xk (3.29) ı́rható vegyes másodrendű tenzor kovariáns deriváltjára. Szokás az ı́rásmód egyszerűsı́tése érdekében a parciális deriváltakat indexbe tett vesszővel, a kovariáns deriváltakat pedig indexbe tett pontosvesszővel jelölni: i Tj,k i Tj;k ∂Tji

≡ ∂xk DTji ≡ dxk (3.30) (3.31) A metrikus tenzor kovariáns deriváltja nulla. Ez azonnal következik abból, hogy
(3.32) DAi = gik DAk = D gik Ak = Ak Dgik + gik DAk , 3. FEJEZET KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS 23 de természetesen közvetlen számolással is belátható: Dgik = gik,n dxn − Γlin glk dxn − Γlkn gil dxn (3.33) 1 1 = gik,n dxn − (gik,n + gkn,i − gin,k ) dxn − (gik,n + gin,k − gkn,i ) dxn ≡ 0 . 2 2 (3.34) 3.3 Erőmentes gömbszimmetrikus pörgettyű precessziója A párhuzamos eltolásra ill. a kovariáns deriválás alkalmazására példa a stacionárius gravitációs mezőben2 nyugvó erőmentes gömbszimmetrikus pörgettyű precessziója3 Forgatónyomaték hiányában a pörgettyűvel pillanatnyilag együttmozgó inerciarendszerben a pörgettyű tengelyének helyvektora változatlan. Ez azt jelenti, hogy a görbevonalú koordinátarendszerben a pörgettyű tengelyét időirányú

párhuzamos eltolásnak vetjük alá Ehhez szükséges a helyvektort négyesvektorrá kiegészı́teni, úgy, hogy a tengely két végpontját egyidőben tekintjük, és a két közeli esemény különbségét képezzük Az egyidejűség a (2.30) időkoordináta-különbséggel egyenértékű Legyen a helyvektor nα , ekkor a négyesvektor időkomponense n0 = −(g0α /g00 )nα . A tengely δx0 idő alatti megváltozása az eddigiek szerint δnα = −Γαk0 nk δx0 , (3.35) ami egyenértékű az nα;0 = 0 feltétellel, az idő szerinti kovariáns derivált eltűnésével.4 Ez annak az általános szabálynak az egyik esete (ld a következő fejezetet), mely szerint a Minkowski-rendszerben érvényes tenzoriális összefüggéseket úgy lehet görbevonalú koordinátákra ill. görbült téridőbe átı́rni, hogy az előforduló deriváltakat kovariáns deriváltakra cseréljük. Végső soron a

helyvektor időbeli változására a   dnα α α g0β = −Γβ0 + Γ00 nβ (3.36) dx0 g00 egyenletet kapjuk. Alkalmazzuk ezt a forgó koordinátarendszer esetére! 2 Vagyis a választott görbevonalú koordinátarendszerben a metrikus tenzor komponensei nem függnek az időtől. 3 Ha a pörgettyű nem lenne gömbszimmetrikus, inhomogén gravitációs térben már klasszikus közelı́tésben is forgatónyomaték lépne fel. 4 Megjegyzendő, hogy az egyenlet csak a térbeli komponensekre teljesül, ugyanis az időbeli komponensre vonatkozó n0;0 = 0 egyenlet már ellentmondana az n0 -ra felı́rt összefüggésnek. 3. FEJEZET KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS 24 A metrikát (2.5) adja A Christoffel-szimbólumok (320) kifejezését kiértékelve azt kapjuk, hogy a nullától különböző komponensek a következők: Γ100 Γ120 Γ122 Γ210 Γ212 = −rω 2 /c2 = Γ102 = −rω/c = −r = Γ201 = ω/(cr) = Γ221 = 1/r (3.37)

(3.38) (3.39) (3.40) (3.41) Ennek segı́tségével a (3.36) egyenletek az rω n2 2 2 2 1 − r ω /c ω ṅ2 = − n1 r ṅ3 = 0 ṅ1 = (3.42) (3.43) (3.44) alakot öltik (a pont a t idő szerinti deriválást jelenti). Ha bevezetjük (234) és (2.36) alapján a ténylegesen mérhető nr = n1 (3.45) r nϕ = p 1− r2 ω 2 /c2 n2 nz = n3 (3.46) (3.47) vektorkomponenseket, akkor azt kapjuk, hogy ṅr = p ω nϕ 1 − r2 ω 2 /c2 ω ṅϕ = − p nr 1 − r2 ω 2 /c2 ṅz = 0 , (3.48) (3.49) (3.50) p ahonnan látható, hogy a pörgettyű tengelye ω/ 1 − r2 ω 2 /c2 szögsebességgel visszafelé precesszál abban a derékszögű koordinátarendszerben, melynek egyik tengelye a középponttól sugárirányban kifelé mutat. Ennek megfelelően a 2π/ω periódusidő palatt a pörgettyű tengelyének vetülete a forgásiránnyal ellentétesen 2π(1/ 1 − r2 ω 2 /c2 − 1) szöggel mozdul el, tehát a pörgettyű p −ω(1/ 1 −

r2 ω 2 /c2 − 1) szögsebességgel precesszál. Az rω  c határesetben ez közelı́tőleg −r2 ω 3 /(2c2 )-tel egyenlő Ez a speciális relativitáselméletből jól ismert Thomas-precesszió, az erőmentes pörgettyű tengelyirányának 3. FEJEZET KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS 25 változása körmozgás során. A levezetés végén kihasználtuk, hogy a t koordinátaidő annak az inerciarendszernek az időkoordinátájával egyezik meg, melynek origója a forgó koordinátarendszerével egybeesik, a precesszió szögsebessége tehát ebben a koordinátarendszerben értendő. A (3.36) képletből látható, hogy sztatikus gravitációs mezőben nyugvó pörgettyű esetén, amikor a metrikus tenzor komponensei nem csupán időtől függetlenek, hanem a g0α komponensek el is tűnnek, nem lép fel precesszió. Ezek a komponensek azonban nullától különbözőek forgó gömbszimmetrikus test

gravitációs mezejében (ld. a 11 fejezetben), és a precesszió ebben az esetben valóban fel is lép. Ennek kı́sérleti kimutatása (Gravity Probe B kı́sérlet) az általános relativitáselmélet helyességének egyik fontos bizonyı́téka (ld. 13 fejezet) 4. fejezet A fizikai törvények görbült téridőben Részecske mozgása gravitációs térben. A legkisebb hatás elve: Z δS = −mcδ ds = 0 Mozgásegyenlet: Dui =0 Ds (ahol ui = dxi ds a négyessebesség), azaz k l d2 xi i dx dx + Γ =0 kl ds2 ds ds Hamilton-Jacobi-egyenlet pi = mcui p i p i = m 2 c2 g ik ∂S ∂S − m2 c2 = 0 ∂xi ∂xk Fény terjedése dk i + Γi kl k k k l = 0 dλ 26 4. FEJEZET A FIZIKAI TÖRVÉNYEK GÖRBÜLT TÉRIDŐBEN Gyenge gravitációs tér Nemrelativisztikus Lagrange-függvény: mv 2 − mϕ L = −mc + 2 2 ds2 = (c2 + 2ϕ)dt2 − dr 2 g00 = 1 + 2ϕ c2 Állandó gravitációs tér, gravitációs vöröseltolódás

Sajátidőben mért frekvencia:  ϕ ω0 ≈ ω0 1 − 2 ω=√ g00 c ∆ω = ϕ1 − ϕ 2 ω c2 Az elektromágnesség egyenletei gravitációs térben. Térerősségtenzor: Fik = Ak;i − Ai;k = ∂Ak ∂Ai − k ∂xi ∂x Négyes áramsűrűség: ρc dxi ji = √ g00 dx0 Maxwell-egyenletek: ∂Fik ∂Fli ∂Fkl + + =0 ∂xl ∂xk ∂xi F;kik
1 ∂ √ ji ik =√ −gF =− 2 −g ∂xk 0 c Töltött részecske mozgása elektromágneses és gravitációs erőtérben:  i  du i k l m + Γ kl u u = qF ik uk ds 27 5. fejezet Görbületi tenzor Vektor eltolása zárt görbe mentén. Görbületi tenzor A görbületi tenzor szimmetriái. Bianchi-azonosság Weil-tenzor, Ricci-tenzor, skalár görbület Példa: görbületi tenzor számı́tása görbült kétdimenziós felületen. Független tenzorkomponensek száma kettő, három és négy dimenzióban. 5.1 Ismétlés • Vektor megváltozása akkor

transzformálódik vektorként, ha azonos pontban levő vektorokat vonunk ki egymásból. • Vektor párhuzamos eltolása, Christoffel-szimbólumok, kovariáns deriváltak • A Christoffel-szimbólumok alsó indexeikben szimmetrikusak • A metrikus tenzor kovariáns deriváltja nulla • A Christoffel-szimbólumok kifejezhetők a metrikus tenzor deriváltjaival. • Mozgás görbült téridőben, geodetikus mozgás • A Maxwell-egyenletek általánosı́tása görbült téridőre 5.2 A görbületi tenzor Kérdés: milyen lokális mennyiség jelzi, hogy görbült a téridő? 28 5. FEJEZET GÖRBÜLETI TENZOR 29 Vektor párhuzamos eltolása: a komponensek lokálisan Minkowski téridőben változatlanok. Tetszőleges téridőben: DAi = 0 Geodetikus (Dui = 0) mentén végzett párhuzamos eltolás során a pálya érintőjével (ui ) bezárt szög állandó. Párhuzamos eltolás zárt görbe mentén 5.1 ábra

Görbült felületen szakaszonként geodetikus zárt görbe mentén végzett párhuzamos eltolás eredménye nem egyezik meg a kiindulási vektorral I ∆Ak = Γi kl Ai dxl ∂Ai = Γnil An l ∂x Stokes tétele:  i  I Z Z i 1 ∂A ∂Ak i ki ∂A ki Ai dx = df = df − ∂xk 2 ∂xk ∂xi ahol df ki = dx(1)k dx(2)i − dx(1)i dx(2)k a dx(1)i és dx(2)i vektorok által kifeszı́tett paralelogramma területe.   1 ∂ (Γi km Ai ) ∂ (Γi kl Ai ) − ∆f lm ∆Ak = 2 ∂xl ∂xm 1 ∆Ak = Ri klm Ai ∆f lm 2 5. FEJEZET GÖRBÜLETI TENZOR 30 ∂Γi km ∂Γi kl − + Γi nl Γnkm − Γi nm Γnkl ∂xl ∂xm Ri klm = A Riemann-tenzor kifejezése a Christoffel-szimbólumokkal: ∂ (Γi km Ai ) ∂ (Γi kl Ai ) − (5.1) l m ∂x ∂x  i  ∂Γ km ∂Γi kl = Ai + Γi km Γnil An − Γi kl Γnim An (5.2) − ∂xl ∂xm   i ∂Γ km ∂Γi kl i n i n (5.3) = − + Γ km Γ nl − Γ kl Γ nm Ai ∂xl ∂xm Ri klm Ai = Felhasználtuk, hogy ∂Ai

= Γnil An ∂xl A fenti levezetés tetszőleges Ai vektorra érvényes, ezért Ri klm = ∂Γi km ∂Γi kl − + Γnkm Γi nl − Γnkl Γi nm ∂xl ∂xm 1 ∆Ak = − Rkilm Ai ∆f lm 2 Ai;k;l − Ai;l;k = Am Rmikl Ai;k;l − Ai;l;k = −Am Ri mkl Riklm = gin Rnklm 1 = 2  ∂ 2 gim ∂ 2 gkl ∂ 2 gil ∂ 2 gkm + − − ∂xk ∂xl ∂xi ∂xm ∂xk ∂xm ∂xi ∂xl +gnp (Γnkl Γpim − Γnkm Γpil ) Riklm = −Rkilm = −Rikml Riklm = Rlmik Riklm + Rimkl + Rilmk = 0  5. FEJEZET GÖRBÜLETI TENZOR 31 Rnikl;m + Rnimk;l + Rnilm;k = 0 Rik = g lm Rlimk = Rmimk Rik = Rki R = g ik Rik R= 2R1212 γ R 1 =K= 2 ρ1 ρ2 (levezetés) kapjuk:
0 = g ik Rl ikl;m + Rl imk;l + Rl ilm;k = −R,m + 2Rl m;l vagy 1 ∂R 2 ∂xm második (γδ) indexpárjai három-három értéket vehetnek fel, tehát a független komponensek megegyeznek egy szimmetrikus 3X3-as mátrix komponenseinek számával, azaz 6-tal. (A ciklikus összeg automatikusan eltűnik) hat-hat

értéket vehetnek fel. Egy 6X6-os szimmetrikus mátrix független komponenseinek száma 21. A ciklikus összeg csak akkor nem tűnik el automatikusan, ha mind a négy index különböző, ezért egyetlen további összefüggést ad a komponensek között Négy dimenzióban tehát a görbületi tenzor független komponenseinek száma 20. Rl m;l = 1 1 1 1 1 Ciklm = Riklm − Ril gkm + Rim gkl + Rkl gim − Rkm gil + R (gil gkm − gim gkl ) 2 2 2 2 6 Rendelkezik a görbületi tenzor minden algebrai szimmetriájával, de bármely indexpárját összeejtve nullát kapunk (irreducibilis tenzor). invariánsai: görbületi tenzor helyett) metrika Minkowski alakú Aαβ = R0α0β , 1 Cαβ = eαγδ eβλµ Rγδλµ , 4 1 Bαβ = eαγδ R0βγδ 2 5. FEJEZET GÖRBÜLETI TENZOR 32 eltűnik. Aαα = 0 , Bαβ = Bβα , Aαβ = −Cαβ Dαβ = Aαβ + iBαβ szimmetrikus, spurtalan komplex mátrix háromdimenziós komplex

forgatásaival. Dαβ nβ = λnβ sajátértékprobléma megoldásai szerint történik az osztályozás. Ha a szimmetrikus komplex mátrix hasonlósági transzformációval diagonalizálható, akkor három ortogonális sajátvektora van úgy, hogy ezek négyzete nem nulla Ha a mátrix nem diagonalizálható, akkor a sajátvektorok száma kevesebb és van közöttük olyan, melynek négyzete nulla, a hozzátartozó sajátérték pedig degenerált. invariáns van (a két komplex sajátérték, ha ezek egyenlők, D-tı́pusról beszélünk) Invariánsok kifejezése a görbületi tenzorral: I1 =  1
1  Riklm Riklm − iRiklm R̃iklm = λ(1)2 + λ(2)2 + λ(1) λ(2) 48 3  1
1  lmpr ik lmpr ik Riklm R Rpr + iRiklm R R̃pr = λ(1) λ(2) λ(1) + λ(2) I2 = 96 2 Itt 1 R̃iklm = Eikpr Rprlm 2 a görbületi tenzor duálisa. Ekkor csak két invariáns létezik: I1 = λ2 , I2 = λ3 I13 = I22 Ha λ(1) = 0, N-tı́pusról

beszélünk. λ(1) = λ(2) = λ(3) = 0 A görbületi tenzor nullától különböző, de mégsem létezik a görbületet jellemző invariáns mennyiség. 6. fejezet Gravitációs tér hatásintegrálja Klasszikus mezőelméleti emlékeztető. Hatás, Lagrange-sűrűség, Euler-Lagrange mozgásegyenlet, megmaradási tételek. Energia-impulzus tenzor és határozatlansága Az impulzusmomentum megmaradása A gravitációs erőtér hatásintegrálja 4.2 Klasszikus térelméleti bevezető q(x, y, z, t): térmennyiség (pl. elektromágneses térerősség komponense, metrikus tenzor komponense) Λ (q, q,i ) : Lagrange-sűrűség (a térmennyiségektől és azok koordináták ∂q szerinti ill. időderiváltjától függ, itt q,i = ∂x i Z S = Λ (q, q,i ) dΩ ( dΩ = c dV dt )     Z  Z  ∂Λ ∂ ∂Λ ∂Λ ∂Λ ∂ ∂Λ δS = δq + δq,i dΩ = δq + i δq − δq i dΩ = 0 ∂q ∂q,i ∂q ∂x ∂q,i ∂x

∂q,i Euler-Lagrange-egyenlet (mozgásegyenlet): ∂Λ ∂ ∂Λ − =0 i ∂x ∂q,i ∂q Energia- és impulzusmegmaradás: Mivel a Langrange-sűrűség nem függ expliciten a koordinátáktól és az időtől, ∂Λ ∂Λ ∂q ∂Λ ∂q,k = + i i ∂x ∂q ∂x ∂q,k ∂xi 33 6. FEJEZET GRAVITÁCIÓS TÉR HATÁSINTEGRÁLJA 34 A mozgásegyenletet felhasználva: ∂Λ ∂Λ ∂ ∂ ∂Λ q,i + q,k,i = = i k ∂x ∂x ∂q,k ∂q,k ∂xk   ∂Λ q,i ∂q,k Nullára redukálva: ∂ ∂xk   ∂Λ k q,i − δi Λ = 0 ∂q,k Energia-impulzus-tenzor: Tik = q,i ∂Λ − δik Λ ∂q,k ∂T k A ∂xik = 0 kontinuitási egyenletet a t1 és t2 időpontok közötti négyestérfogatra integráljuk: dP i =0 dt ahol i Z P = T ik dSk a megmaradó négyesimpulzus. T ik határozatlan: T ik + ∂ ikl ψ ∂xl is kielégı́ti a kontinuitási egyenletet, ha ψ ikl = −ψ ilk . A megmaradó négyesimpulzus értékét ez nem

befolyásolja, mivel  Z  Z Z 1 ∂ψ ikl ∂ψ ikl 1 ∂ψ ikl dSk = dSk − dSl = ψ ikl dfkl∗ = 0 l l k ∂x 2 ∂x ∂x 2 ahol dfkl∗ = klmn df mn a df mn = dx(1)m dx(2)n − dx(1)n dx(2)m négyes felületelem duálisa. A végtelen távoli felületen az integrandus eltűnik Az impulzusmomentum megmaradása (skalár térre): Az impulzusmomentum négyestenzora: Z Z

ik i k k i J = x dP − x dP = xi T kl − xk T il dSl 6. FEJEZET GRAVITÁCIÓS TÉR HATÁSINTEGRÁLJA 35 Az impulzusmomentum megmaradása ekvivalens az impulzusmomentumsűrűség négyesdivergenciájának eltűnésével: I Z

∂ i kl k il ik ik i kl k il x T − x T dΩ 0 = J (t2 ) − J (t1 ) = x T − x T dSl = ∂xl
∂ i kl k il =0 x T − x T ∂xl De kl il
∂ i kl k il i ∂T k ∂T x T − x T = x − x + δli T kl − δlk T il = T ki − T ik l l l ∂x ∂x ∂x tehát az impulzusmomentum megmaradásából T ki szimmetrikussága következik. 4.3

Előkészı́tés (néhány fontos azonosság levezetése) Determináns deriváltja: ∂ i0 ,i1 ,i2 ,i3 ∂g ∂g0i0 =  g1i g2i g3i + . g0i0 g1i1 g2i2 g3i3 = i0 ,i1 ,i2 ,i3 k k ∂x ∂x ∂xk 1 2 3 ∂g0i0 ∂xk együtthatója i0 ,i1 ,i2 ,i3 g1i1 g2i2 g3i3 a 0. sorhoz és i0 -ik oszlophoz tartozó előjeles aldetermináns, azaz g g 0i0 (Hasonlóan a további tagokra.) Ezzel ∂g ij ∂gij = g g ∂xk ∂xk Mivel gij g ij = δjj = 4 , g ij ∂g ij ∂gij = −g ij ∂xk ∂xk A Christoffel-szimbólum definı́ciója,   1 im ∂gmk ∂gml ∂gkl i Γkl = g + − m 2 ∂xl ∂xk ∂x alapján 6. FEJEZET GRAVITÁCIÓS TÉR HATÁSINTEGRÁLJA Γiki 1 = g im 2  ∂gmk ∂gmi ∂gki + − ∂xi ∂xk ∂xm  36 ∂gmi 1 1 ∂g = g im k = 2 ∂x 2g ∂xk Vektor kovariáns négyesdivergenciája: Ai;i √ DAi ∂Ai ∂Ai 1 ∂g k 1 ∂ ( −g Ai ) i k ≡ = + Γki A = + A =√ Dxi ∂xi ∂xi 2g ∂xk −g ∂xi 4.4 A gravitációs

erőtér hatásintegrálja A gravitációs tér egyenletei a fizika más ágaiból nem vezethetők le (új fizikai törvények, 1916). Csupán analógiák használhatók motivációként: másodrendű téregyenleteket várunk (első deriváltak a Lagrange-sűrűségben), a Lagrange-sűrűség skalár, térmennyiségek: a metrikus tenzor komponensei. Probléma: A metrikus tenzor első deriváltjaiból (Christoffel-szimbólumokból) nem képezhető skalár, a rendelkezésre álló egyetlen nemtriviális skalár mennyiség, a skalár görbület (R) viszont második deriváltakat is tartalmaz. Megoldás: mivel R a második deriváltakat csak lineárisan tartalmazza, megmutatjuk, hogy √ Z Z Z √ √ ∂ ( −g wi ) dΩ R −gdΩ = G −gdΩ + ∂xi ahol G csak a metrikus tenzor első deriváltjait tartalmazza. (A wi mennyi√ ség nem transzformálódik vektorként!). Tekintsük ehhez R −g kifejezésében a

másodrendű deriváltakat tartalmazó tagokat:  m  √ √ √ ∂Γki ∂Γm km ki m ki m n m n R −g = −g g Rkmi = −g g − + Γnm Γki − Γni Γkm ∂xm ∂xi Második deriváltak csak a Christoffel-szimbólumok deriváltjaiban szerepelnek. Ezeket a tagokat tovább alakı́tva:   m i 
√ ∂ √  km i ki ∂Γkm ki m km ∂Γkm −g g − g = −g g Γ − g Γ km km ∂xi ∂xi ∂xi

! √ √ km ki ∂ −g g −g g ∂ − Γikm − Γm km i ∂x ∂xi Tehát wi = g km Γikm − g ki Γm km és 6. FEJEZET GRAVITÁCIÓS TÉR HATÁSINTEGRÁLJA G=g ki n (Γm nm Γki − n Γm ni Γkm ) Γm ∂ + √km −g 37 √

√ −g g ki −g g km Γikm ∂ −√ ∂xi −g ∂xi A metrikus tenzor deriváltjait kifejezzük a Christoffel szimbólumokkal = 0): (g;lik ∂g im ik = −Γikl g km − Γm kl g l ∂x Kapjuk: n m n m n ki m i nk k in G = g ki (Γm − Γm nm Γki − Γni Γkm ) + Γkm Γin g − Γkm Γni g km Γni g kn

−Γikm Γnin g km + Γikm Γkni g nm +Γikm Γm ni g Tehát n m n G = g ki (Γm ni Γkm − Γnm Γki ) A Lagrange-sűrűség √ c3 − R −g 16πk A negatı́v előjel biztosı́tja, hogy a hatás pozitı́v definit legyen. k = 667 × a gravitációs állandó. m3 10−11 kgs 2 7. fejezet Energia-impulzus-tenzor Szimmetrikus energia-impulzus-tenzor levezetése görbült téridőben. 4.5 Energia-impulzus-tenzor Új levezetést adunk az energia-impulzus-tenzorra, amely azonnal szimmetrikusTik t eredményez Gondolatmenet: Végtelen kis általános koordinátatranszformációt végzünk. Ennek következtében az anyag hatásfüggvénye (mivel a Lagrange-sűrűség skalár) nem változhat, δS = 0. Felı́rjuk a hatás koordinátatranszformációból eredő megváltozását és egyenlővé tesszük nullával. Az anyagot jellemző térmennyiségek (pl. elektromágneses térerősségtenzor) kielégı́tik a

mozgásegyenleteket, ı́gy a koordinátatranszformációból eredő megváltozásuk a hatás kifejezésében első rendben nem ad járulékot. Csak a metrika megváltozása eredményez nemtriviális változást. Eredmény: egy szimmetrikus tenzor (Tik ) kovariáns négyesdivergenciája nulla (Ez most nem jelenti automatikusan megmaradó mennyiség létezését!) Z √ 1 Λ −g dΩ S= c Infinitezimális koordinátatranszformáció: x0i = xi + ξ i (ξ i kicsi) ∂ξ i dx = dx + l dxl = ∂x 0i 0ik 0l g (x ) = g mn i   ∂ξ i i δl + l dxl ∂x    ∂ξ i ∂ξ k ∂ξ k ∂ξ i i k (x ) δm + m δn + n ≈ g ik (xl ) + g im m + g kn n ∂x ∂x ∂x ∂x l 38 7. FEJEZET ENERGIA-IMPULZUS-TENZOR 39 Átalakı́tjuk a baloldalt: g 0ik (x0l ) = g 0ik (xl + ξ l ) = g 0ik (xl ) + ∂g 0ik l ∂g ik l 0ik l ξ ≈ g (x ) + ξ ∂xl ∂xl Végül tehát g 0ik (xl ) = g ik (xl ) − ξ i;k + ξ k;i = g kn =g = g im im k i ∂g

ik l im ∂ξ kn ∂ξ ξ + g + g ∂xl ∂xm ∂xn k ∂ξ i km i l im ∂ξ + g Γ ξ + g + g im Γkml ξ l ml ∂xn ∂xm i
∂ξ k kn ∂ξ km in im kn 1 + g + g g + g g ∂xm ∂xn 2  ∂gnm ∂gnl ∂gml + m− l ∂x ∂x ∂xn  ξl i k i ∂g in l ∂ξ k kn ∂ξ km in ∂gnm l im ∂ξ kn ∂ξ km + g + g g ξ = g + g − g g ξ nm ∂xm ∂xn ∂xl ∂xm ∂xn ∂xl = g im i ∂g ik l ∂ξ k kn ∂ξ + g − ξ ∂xm ∂xn ∂xl Tehát g 0ik (xl ) = g ik (xl ) + δg ik (xl ) , δg ik = ξ i;k + ξ k;i 0 Hasonlóan (mivel g 0ik gkl = δli ) 0 gik (xl ) = gik (xl ) + δgik (xl ) , δgik = −ξi;k − ξk;i    ik  √ Z  √ 1 ∂ ( −gΛ) ik ∂ ( −gΛ) ∂g δS = δg +  ik  δ dΩ ik c  ∂g ∂xl  ∂ ∂g l ∂x    √ Z  √ 1 ∂ ( −gΛ) ∂  ∂ ( −gΛ)  ik  ik  = − δg dΩ  c  ∂g ik ∂xl ∂ ∂g ∂xl Legyen 7. FEJEZET ENERGIA-IMPULZUS-TENZOR   ∂ (√−gΛ) 2 Tik =

√ −g  ∂g ik 40  √ ∂  ∂ ( −gΛ)   ik  − l  ∂x ∂ ∂g ∂xl  (Szimmetrikus!) Ekkor 1 δS = 2c Z Tik δg ik √ −g dΩ δg ik kifejezését behelyettesı́tve: Z
√ 1 δS = Tik ξ i;k + ξ k;i −g dΩ 2c Másképpen: 1 δS = c 1 = c Z Z Tik ξ i;k Tik ξ i ;k
√ 1 −g dΩ = c √ 1 −g dΩ − c Z Z i Tik ξ;k √ −g dΩ k ξ i Ti;k √ −g dΩ Az első tagban felhasználjuk a vektorok kovariáns négyesdivergenciájára vonatkozó azonosságot. Kapjuk: Z Z
√
∂ √ k i Ti ξ ;k −g dΩ = −g Tik ξ i dΩ k ∂x Ezt a négydimenziós Gauss-tétel segı́tségével átalakı́tva nullát kapunk. Marad: Z √ 1 k δS = − ξ i Ti;k −g dΩ c Mivel ξ i tetszőleges, k =0 Ti;k következik. Ez sı́k téridőben az energia-impulzus-tenzor kontinuitási egyenletével azonos alakú 8. fejezet Einstein-egyenletek Anyag és gravitációs tér egyesı́tett

hatása. Az Einstein-egyenletek származtatása Az Einstein-egyenletek tulajdonságai Csak a metrikus tenzor térszerű komponenseinek lép fel a második deriváltja. Kényszerek Kezdetiértékprobléma Függetlenül megadható fizikai mennyiségek 5.3 Az Einstein-egyenletek, származtatásuk, tulajdonságaik Variációs elv: δ(Sg + Sm ) = 0 A metrikus tenzor komponensei szerint variálunk. Z Z √ √ δSg ∝ δ R −gdΩ = δ g ik Rik −gdΩ Z =
√ √ √ Rik −gδg ik + g ik Rik δ −g + g ik −gδRik dΩ √ 1√ δ −g = − −g gik δg ik 2 Z δ √  Z  Z √ 1 ik R −gdΩ = Rik − gik R δg dΩ + g ik δRik −gdΩ 2 Megmutatjuk, hogy a második tag eltűnik: δΓkil Ak dxl vektor, mert azonos pontokban levő vektorok különbsége. Eszerint δΓkil tenzor. Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk. Ekkor a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek. 41 8. FEJEZET EINSTEIN-EGYENLETEK ik g δRik = g ik 

∂ ∂ δΓlik − k δΓlil l ∂x ∂x 42  = ∂wl ∂xl ahol wl = g ik δΓlik − g il δΓkik Általános esetben tehát 1 ∂ g δRik = √ −g ik
√ −g wl ∂xl A Gauss-tételt alkalmazva bizonyı́tjuk az eredeti állı́tást. Tehát  Z  c3 1 δSg = − Rik − gik R δg ik dΩ 16πk 2 Az anyag hatásintegráljának variációja (ld. az energia-impulzus-tenzor levezetését): Z √ 1 δSm = Tik δg ik −g dΩ 2c Végül tehát a teljes variáció:  Z  c3 1 8πk − Rik − gik R − 4 Tik δg ik dΩ 16πk 2 c amiből megkapjuk az Einstein-egyenleteket: 8πk 1 Rik − gik R = 4 Tik 2 c Másképpen: 1 8πk Rik − δik R = 4 Tik 2 c Az indexeket összeejtve: R=− Ezért ı́rhatjuk: 8πk T c4 8. FEJEZET EINSTEIN-EGYENLETEK 8πk Rik = 4 c  1 Tik − gik T 2 43  Az Einstein-egyenletek tulajdonságai nemlinearitás anyag és gravitációs tér kezdeti értékei nem függetlenek csak a metrikus tenzor térszerű

komponenseinek fordul elő a második időderiváltja összesen nyolc független kezdeti feltétel adható meg 9. fejezet Megmaradási tételek Az energia-impulzus tenzor négyesdivergenciája eltűnik, de ebből nem következik megmaradási tétel. Ok: az anyag és gravitációs tér együttes négyesimpulzusa marad meg Az energia, impulzus, impulzusmomentum, tömegközéppont megmaradása gravitációs térben A gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora. A tér megmaradó teljes négyesimpulzusának transzformációs tulajdonságai 6.2 Megmaradási tételek Az energia, impulzus, impulzusmomentum, tömegközéppont megmaradása gravitációs térben. Görbült téridőben az energia-impulzus-tenzor a T;kik = 0 koninuitási egyenletnek tesz eleget, ami felı́rható √
k ∂ T −g 1 ∂gkl kl 1 i k − T =0 Ti;k =√ k −g ∂x 2 ∂xi alakban. Ebből nem következik megmaradási tétel! Magyarázat: csak a

gravitációs tér és az anyag együttes energiája és impulzusa marad meg. A megmaradó, teljes négyesimpulzus meghatározása Az Einstein-egyenletek felhasználásával olyan kifejezést keresünk, amely a gravitációs tér kikapcsolásakor (azaz lokálisan geodetikus rendszerben) az anyag T ik energia-impulzus-tenzorába megy át, térfogati integrálja megmaradó mennyiség, és melynek általános esetben T ik -tól való eltérése a metrikának legfeljebb első deriváltjaitól függ. Lokálisan geodetikus rendszerben számolunk (az adott pontban a metrikus tenzor első deriváltjai ill. a Christoffel-szimbólumok eltûnnek) Az adott pontban 44 9. FEJEZET MEGMARADÁSI TÉTELEK T;kik = 45 ∂T ik =0 ∂xk T ik -t az Einstein-egyenletek segı́tségével T ik = ∂η ikl ∂xl alakra hozzuk (még mindig lokálisan geodetikus rendszerben), ahol η ikl = −η ilk (Ekkor a kontinuitási egyenlet azonosan teljesül.)

Ehhez kiindulunk az Einstein-egyenletekből:   1 c4 ik Rik − gik R T = 8πk 2 Felhasználjuk, hogy lokálisan geodetikus rendszerben  2  1 im kp ln ∂ 2 gmn ∂ 2 gln ∂ 2 gmp ∂ glp ik R = g g g + − − 2 ∂xm ∂xn ∂xl ∂xp ∂xm ∂xp ∂xl ∂xn Kapjuk: T ik ∂ = ∂xl  1 (−g)
 c4 ∂  (−g) g ik g lm − g il g km m {z } |16πk ∂x ikl b 1 bikl ) (η ikl = (−g) Lokálisan geodetikus rendszerben T ik = 1 ∂bikl (−g) ∂xl vagy (−g)T ik = ∂bikl ∂xl Visszatérünk általános görbevonalú koordinátákra. Ekkor  (9.1) (9.2) 9. FEJEZET MEGMARADÁSI TÉTELEK 46
∂bikl (−g) T ik + tik = ∂xl ahol tik csak a metrikus tenzor első deriváltjaitól függ. Expliciten (T ik -t ismét a téregyenletből véve): tik =

c4  il km g g − g ik g lm 2Γnlm Γpnp − Γnlp Γpmn − Γnln Γpmp 16πk + g il g mn Γklp Γpmn + Γkmn Γplp − Γknp Γplm − Γklm Γpnp
+ g kl g mn Γilp Γpmn + Γimn Γplp

− Γinp Γplm − Γilm Γpnp + g lm g np Γiln Γkmp − Γilm Γknp

tik a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora. Mivel bikl = −bilk azonosan teljesül, hogy
∂ (−g) T ik + tik = 0 k ∂x Emiatt 1 P = c i Z
(−g) T ik + tik dSk megmaradó mennyiség. Ez az anyag és a gravitációs tér együttes né” gyesimpulzusa”. (Ténylegesen nem négyesvektor, mivel a négyesvektorok a tér különböző pontjaiban különbözőképpen transzformálódnak, P i pedig egy teljes háromdimenziós hiperfelülethez tartozik.)
Mivel (−g) T ik + tik szimmetrikus az i, k indexekben, megmarad a négyes impulzusmomentum: Z Z


1  i kl ik i k k i x T + tkl − xk T il + til (−g)dSl J = x dP − x dP = c 9. FEJEZET MEGMARADÁSI TÉTELEK 47 A tömegközéppont megmaradása a J 0α mennyiség megmaradásának felel meg: Z Z

α0 α0 0 T + t (−g)dV − xα T 00 + t00 (−g)dV = const. x Másképpen: X α =

const.0 + Pα 0 x P0 ahol R xα (T 00 + t00 ) (−g)dV X = R 00 (T + t00 ) (−g)dV α A négyesimpulzus és a négyes impulzusmomentum kifejezése felületi integrálként: Z Z I 1 1 ∂bi0l ∂bi0α 1 i dV = dV = bi0α dfα P = l α c ∂x c ∂x c Hasonlóan belátható, hogy I
1 ik J = xi bk0α − xk bi0α + λi0αk dfα c Nemrelativisztikus határeset: Ívelemnégyzet (levezetés később):    
2 2 2 2 2 ds = 1 + 2 ϕ(r) c dt − 1 − 2 ϕ(r) dx2 + dy 2 + dz 2 c c Itt ϕ(r) = −k X a Energia Impulzus Tömegközéppont Impulzusmomentum ma |r − r a | 10. fejezet Gömbszimmetrikus gravitációs tér Sztatikus gravitációs tér. Gravitációs vöröseltolódás Szinkronizált vonatkoztatási rendszer Gravitáló testek erőtere Gömbszimmetrikus gravitációs tér. Schwarzschild metrika Mozgás gömbszimmetrikus gravitációs térben Eseményhorizont. Gravitációs kollapszus 7.2 Gravitáló testek erőtere

Gömbszimmetrikus gravitációs tér Schwarzschild metrika Gömbszimmetria: a téridő-metrika a középponttól egyenlő távolságokban levő pontokban azonos. Az ı́velemnégyzet legáltalánosabb gömbszimmetrikus kifejezése ds2 = h(r, t)dr2 + k(r, t)(sin2 Θdϕ2 + dΘ2 ) + l(r, t)dt2 + a(r, t)drdt Az r = f1 (r0 , t0 ), t = f2 (r0 , t0 ) alakú transzformációk megőrzik a gömbszimmetriát. Elérhető, hogy a(r, t) = 0 és k(r, t) = −r2 legyen Így az általánosságot nem csorbı́tva ı́rhatjuk, hogy ds2 = eν c2 dt2 − r2 (dΘ2 + sin2 Θdϕ2 ) − eλ dr2 x0 = ct, x1 = r, x2 = Θ, x3 = ϕ választással a metrikus tenzor nullától különböző komponensei g00 = eν , g11 = −eλ , g22 = −r2 , g33 = −r2 sin2 Θ ill. g 00 = e−ν , g 11 = −e−λ , g 22 = −r−2 , g 33 = −r−2 sin−2 Θ A nullától különböző Christoffel-szimbólumok: 48 10. FEJEZET GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS TÉR Γ111 = 49

ν0 λ0 0 , Γ10 = Γ001 = , Γ233 = − sin Θ cos Θ 2 2 Γ011 = λ̇ λ−ν 1 ν0 e , Γ22 = −re−λ , Γ100 = eν−λ 2 2 1 ν̇ Γ212 = Γ221 = Γ313 = Γ331 = , Γ323 = Γ332 = coth Θ, Γ000 = r 2 Γ110 = Γ101 = λ̇ 1 , Γ = −r sin2 Θe−λ 2 33 (Itt ν 0 = ∂ν/∂r és ν̇ = ∂ν/∂t ) Ebből az Einstein-egyenletek:  0  1 8πk ν 1 −λ −e + 2 + 2 = 4 T11 r r r c   1 −λ 00 ν 02 ν 0 − λ0 ν 0 λ0 1 + − − e ν + + e−ν 2 2 r 2 2 −λ  −e λ0 1 − r2 r −e−λ  + λ̇2 ν̇ λ̇ λ̈ + − 2 2 ! = 8πk 2 8πk 3 T = 4 T3 c4 2 c 1 8πk = 4 T00 2 r c 8πk λ̇ = 4 T01 r c Anyagmentes esetben (az erőteret létrehozó tömegen kı́vül) csak három független egyenlet van:   0 1 1 ν −λ + 2 − 2 =0 e r r r −λ e  λ0 1 − 2 r r  + 1 =0 r2 10. FEJEZET GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS TÉR 50 λ̇ = 0 A vákuumbeli egyenletek megoldása: λ nem függ az időtől λ + ν = F (t) , ahol

F (t) nullává tehető az idő alkalmas t = f (t0 ) alakú transzformációjával e−λ = eν = 1 + 2ϕ c2 Nagy távolságok esetén g00 = 1 + const. r =1− const. = −rg = − 2kM c2 r , ezért 2kM c2 Schwarzschild-metrika (K.Schwarzschild, 1916):  dr2 rg  2 2 ds2 = 1 − c dt − r2 (dΘ2 + sin2 Θdϕ2 ) − r 1 − rrg (térbeli metrika, kerület, sugár, időtartamok) Nagy távolságban érvényes közelı́tő alak: ds2 = ds20 − e −λ 8πk =1− 4 cr
2kM dr2 + c2 dt2 2 cr Z a T00 r2 dr = 1 − 0 2kM c2 r 4π M= 2 c Z a T00 r2 dr 0 (gravitációs tömeghiány) 7.3 Mozgás gömbszimmetrikus gravitációs térben Perihélium-elfordulás, fénysugár-elhajlás. Lagrange-függvény gravitációs térben mozgó ponttömeg esetén: s rg ṙ2 r2 Θ̇2 r2 sin2 Θϕ̇2 ds
− L = −mc = −mc2 1 − − 2 − dt r c2 c2 c 1 − rrg m az erőtérben mozgó részecske tömege. 10. FEJEZET

GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS TÉR 51 Ha a z tengely a hármas impulzusmomentum-vektor irányába mutat, akkor a mozgás az xy sı́kban megy végbe, tehát Θ = π2 , Θ̇ = 0. Ekkor s r2 ϕ̇2 rg ṙ2
− L = −mc2 1 − − 2 r c2 c 1 − rrg Megmaradó mennyiségek: Impulzusmomentum: J= mr2 ϕ̇ ∂L =r ∂ ϕ̇ 1− Ebből 2 J r2 2 m2 c2 r2 ϕ̇ = 2 c2 1 + m2Jc2 r2 Ezzel rg r − c2 ṙ2 (1− rrg ) − r2 ϕ̇2 c2 ! rg ṙ2 1− − 2 r c 1− rg
r q 2 mr ϕ̇ 1 + m2Jc2 r2 J=r ṙ2 1 − rrg − c2 1− ( rrg ) 2 Energia: q 2 rg
2 mc 1 − 1 + m2Jc2 r2 ∂L ∂L r r + ϕ̇ −L= E = ṙ ∂ ṙ ∂ ϕ̇ ṙ2 1 − rrg − c2 1− ( rrg ) Időfüggés és pálya: Jc2 1  rg  1 − E r2 sr  2    rg  rg  mc2  J2 ṙ = c 1 − 1− 1− 1+ 2 2 2 r E r mcr ϕ̇ = (10.1) (10.2) Ezekből: E ct = mc2 Z 1− Z q rg
r E mc2
2 − 1+ r2 q
E 2 c − m2 c2 + J2 m 2 c2 r 2
1− = rg
1− r Z J dr ϕ = Z

dr
J2 r2 1− = rg
r r r2
E 2 Jc −  rg
r dr
mc 2 J r + dr
mc2 2 1−   1− 1 r2 E rg
r +
Jc 2 1 E r2  10. FEJEZET GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS TÉR 52 = ρ, ahol ρ az ütközési paraméter (végFénysugár esetében m = 0, Jc E telenből jövő fénysugár tömegvonzás hiányában ρ távolságban haladna el az erőtér centruma mellett). Ekkor tehát Z dr q
1 − rrg 1− ct = Z (10.5) ρ2 r2 1− rg
r dr ϕ = r2 q 1 ρ2 − 1 r2 1− (10.6) rg
r Perihélium-elfordulás (gyenge gravitációs tér esetén): Z rmax J dr δϕ = 2 rmin r2 r
E 2 c  − m2 c2 + − 2π (10.7) 2km2 M r − J2 r2 + 2kM J 2 1 c2 r3 6πkM 6πk 2 m2 M 2 = 2 = 2 2 cJ c a(1 − e2 ) (10.8) a az ellipszis nagytengelye, e az excentricitása. Gravitációs térben a fénysugár elhajlik. A a fénysugár irányának megváltozása (gyenge gravitációs tér esetén): Z ∞

δϕ = 2 rmin = ρ dr q r2 1 − 2rg 4kM = 2 ρ cρ ρ2 r2 + −π (10.9) 2kM ρ2 1 c2 r3 (10.10) Félklasszikus számolás (fénysebességgel mozgó test irányváltozása a newtoni gravitáció következtében): 10. FEJEZET GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS TÉR F = Fy = k E/c2 M ρ 2 + x2 ρ k E/c2 M 53 (10.11) (10.12) 3 (ρ2 + x2 ) 2 Z Z ∆p c ∞ dx c ∞ ρ k E/c2 M dx δϕ = = = Fy E/c E −∞ c E −∞ (ρ2 + x2 ) 32 c Z Z kM π/2 kM ∞ 1 dξ = 2 = 2 cos α dα c ρ −∞ (1 + ξ 2 ) 23 c ρ −π/2   x itt ξ = = tg α ρ 2kM = c2 ρ (10.13) (10.14) (10.15) (10.16) Ez feleannyi, mint amit az általános relativitáselmélet jósol. 7.4 Gravitációs kollapszus A Schwarzschild-metrika szingularitása nem jelenti a téridő szingularitását (g = −r4 sin2 Θ pl. nem szinguláris), csak azt, hogy r ≤; rg esetén az r, Θ, ϕ merev koordinátarendszer valódi testekkel nem valósı́tható meg.

Koordinátatranszformáció: Z Z dr f (r)dr
cτ = ±ct ± rg , R = ct + 1− r 1 − rrg f (r) Az új koordinátákban az ı́velemnégyzet:
1 − rrg 2 2 2 2 ds = c dτ − f dR − r2 (dΘ2 + sin2 Θdϕ2 ) 2 1−f p f (r) = rg /r választással a szingularitás eltűnik és szinkronizált koordinátarendszerhez jutunk: Z (1 − f 2 )dr 2 r3/2
= R − cτ = 3 rg1/2 1 − rrg f 2 2/3 3 r = (R − cτ ) rg1/3 2  2 2 2 ds = c dτ − h dR2 3 (R 2rg − cτ )  i2/3 3 − (R − cτ ) 2 4/3 rg2/3 (dΘ2 + sin2 Θdϕ2 ) 10. FEJEZET GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS TÉR 54 Schwarzschild-gömb: 3 (R − cτ ) = rg 2 Radiális mozgás ”kı́vülről nézve”: J =0, E0 = mc 2 r 1− r Z rg r0 c(t − t0 ) = 1 − r0 r 1− rg r0 dr q
rg rg r r − rg r0 A Schwarzschild-sugarat az összehúzódó objektum végtelen idő alatt éri el: r − rg = const. × e − rct g Sajátidőben mérve azonban a test véges idő

alatt áthalad az eseményhorizonton és szintén véges idő alatt a centrumba esik: 1 τ − τ0 = c Z  rg rg − r r0 −1/2 dr 11. fejezet Gyenge gravitációs mezők Kis tömegek esetében a gravitációs mezők mindenütt gyengék lehetnek, pontosabban található olyan koordinátarendszer, melynek pontjaiban a metrika a Minkowski-metrikától csak csekély mértékben tér el. Az ilyen koordinátarendszerek választása nem egyértelmű, mivel az identitáshoz közeli koordinátatranszformáció ugyanilyen tulajdonságú koordinátarendszerbe visz át Gyenge gravitációk mezők esetében a metrika tehát felı́rható gik = ηik + hik (11.1) alakban, ahol ηik a Minkowski-metrika, hik komponensei pedig abszolút értékben kicsik az egységhez képest. Ilyen körülmények között a hik -ban négyzetes és annál magasabb rendű tagok elhanyagolhatók A metrikus tenzor determinánsa pl. közelı́tőleg

g = −1 − η ik hik (11.2) lesz, a kontravariáns metrikus tenzor pedig g ik = η ik − η ij η kn hjn , (11.3) amit közvetlen számı́tással ellenőrizhetünk. Az indexek fel- és lehúzását a Minkowski-metrikával fogjuk végezni, tehát definı́ció szerint hik = η ij η kn hjn . A Riemann-tenzor lineáris rendig   ∂ 2 hkl ∂ 2 hil ∂ 2 hkm 1 ∂ 2 him + − − , Riklm = 2 ∂xk ∂xl ∂xi ∂xm ∂xk ∂xm ∂xi ∂xl 55 (11.4) (11.5) 11. FEJEZET GYENGE GRAVITÁCIÓS MEZŐK 56 amiből a Minkowski-metrikával végzett indexösszeejtésekkel kapjuk a Riccitenzort:   1 il ∂ 2 him ∂ 2 hkl ∂ 2 hil ∂ 2 hkm Rkm = η (11.6) + − − 2 ∂xk ∂xl ∂xi ∂xm ∂xk ∂xm ∂xi ∂xl   2 1 ∂ 2 hlm ∂ 2 hlk ∂ 2 hll il ∂ hkm −η . (11.7) = + + − 2 ∂xi ∂xl ∂xl ∂xk ∂xl ∂xm ∂xk ∂xm Ha x0i = xi + ξ i ({xk }) alakú transzformációt végzünk, ahol a ξ i függvény kicsi, akkor h0ik = hik −

∂ξi ∂ξk − i k ∂x ∂x (11.8) lesz az új koordinátarendszerben a metrika korrekciója, ami továbbra is kicsi. Ezt a szabadságot, tehát a négy ξ i függvény tetszőleges megválasztásának lehetőségét arra használjuk, hogy alkalmas mellékfeltételeket kiszabva egyszerűsı́tsük az Einstein-egyenleteket. Legyen 1 ψik = hki − δik hjj . 2 (11.9) A mellékfeltételek legyenek ∂ψik =0. ∂xk (11.10) Könnyen belátható, hogy a (11.7) egyenlet utolsó három tagja ennek következtében kölcsönösen kiejti egymást Marad tehát 1 1 ∂ 2 hkm Rkm = hkm ≡ − η il i l 2 2 ∂x ∂x (11.11) Itt  a d’Alambert-operátor. Az Einstein-egyenletek ennek megfelelően az 8πG 1 ψik = 4 Tik 2 c alakot öltik. 11.1 Sztatikus gravitációs tér 11.2 Stacionárius gravitációs tér 11.3 Gravitációs hullámok (11.12) 12. fejezet Az általános relativitáselmélet kı́sérleti bizonyı́tékai

Az általános relativitáselmélet kı́sérleti bizonyı́tékai I. Az ekvivalencia elvének kı́sérleti bizonyı́tékai Fényelhajlás gravitációs térben Összehasonlı́tás a newtoni gravitáció következményével. Gravitációs lencsék Perihéliumelfordulás Gravitációs vöröseltolódás Az általános relativitáselmélet kı́sérleti bizonyı́tékai II. Gravity Probe B kı́sérlet. Forgó testek gravitációs tere, Kerr-metrika Lens-Thirring-effektus Gravitációs hullámok. Gyenge gravitációs hullámok egyenletének származtatása, transzverzalitás, polarizáció Gravitációs hullámok kisugárzása Kettős rendszerek gravitációs sugárzása, Hulse-Taylor-pulzár. 57 12. FEJEZET AZ ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET KÍSÉRLETI BIZONYÍTÉKAI58 12.1 Az ekvivalencia elvének kı́sérleti bizonyı́tékai 12.2 Perihélium-elfordulás 12.3 A fénysugár elgörbülése

gravitációs térben, gravitációs lencsék 12.4 Gravitációs vöröseltolódás 12.5 Erőmentes pörgettyű precessziója: a Gravity Probe B kı́sérlet Amint a 3.3 szakaszban láttuk, stacionárius, de nem sztatikus gravitációs mezőkben nyugvó pörgettyűk tengelyiránya lassan változik, precesszál. A gyenge gravitációs mezők tárgyalásakor megmutattuk, hogy a Föld forgása miatt a Föld gravitációs mezejének is nullától különböző g0α komponensei vannak. Ennek megfelelően egy a Föld forgásában részt nem vevő erőmentes pörgettyű tengelye precesszál. Valóban, a (336) és a (??) képletekből azt kapjuk, hogy 12.6 Gravitációs hullámok kisugárzása: a HulseTaylor-pulzár 13. fejezet Relativisztikus kozmológia Relativisztikus kozmológia I. Homogén és izotrop tér Friedmann-RobertsonWalker metrika Skálafaktor Zárt, nyı́lt, sı́k modell Fény terjedése homogén

univerzumban. Tágulás, vöröseltolódás Divergenciaegyenlet Anyagtı́pusok, állapotegyenletek. Korai és késői univerzum, domináns anyagtı́pusok Relativisztikus kozmológia II. Kozmológiai standard modell Nehézségek: horizont-probléma, finomhangolási probléma, gyorsuló tágulás. Fény terjedése, Hubble-diagram Kozmológiai állandó és következményei Relativisztikus kozmológia III. Skalártér mint a gravitációs tér forrása Infláció a korai univerzumban. A horizont-probléma és a finomhangolási probléma megoldása. A mikrohullámú háttérsugárzás fluktuációi WMAP mérés. Relativisztikus kozmológia IV. A késői univerzum Szerkezetkialakulás Galaxisok eloszlása: SDSS mérés. Gyorsuló tágulás: 1A tı́pusú szupernovák Concordance-modell. Az univerzum termodinamikai története 59 Irodalomjegyzék 60