Matematika | Felsőoktatás » Záróvizsga tételek, aktuárius, 2018

Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 1/a tétel Látens változók képzése és értelmezése, a dimenziócsökkentés módszerei: f®komponens- ésfaktoranalízis. F®komponens elemzés Modell: ξ ⇒ ΓT (ξ − µ) f®komponens transzformáció P db korreláló vektor ⇒ (Ortog. trafó) ⇒ k db korrelálatlan y = ΓT (ξ − µ) f®komponens vektor T y(i) = γ(i) (ξ − µ) i-edik f®komponens Faktor elemzés Stat. modell: Közös+egyedi faktorok ⇒ változók kovarinaciája. Cél: mögöttes változó keresése. Közös variancia+ Egyedi variancia Modell: ξ = AF + W + µ E(F W T ) = 0, E(W ) = 0, E(ξ) = µ, E(W W T ) = PΨk 2 Az i-edik kommunlitás: D (ξi ) = j=1 a2ij +Ψii Ha ∃ k faktormodell ⇒ σ = AAT + Ψ Ha σ = AAT + Ψ és ΓΣΓ = Λ Ahol Λ a Σ sajátértékei =diag(λ 1, λ 2, .λ p) λ 1 ≥ λ 2 ≥ . ≥ λ p ∃ !−1 2 Cov(y , y ) = 0 ; D (y ) = λ i j i i I A Q 2 p −AT Ψ−1 Ik P D 2(yi ) = |Σ|;

E(Yj ) = 0 D (yi ) = T r(Σ) 2 D (y1P ) ≥ D2 (y2 ) ≥ . ≥ D2 (yn ) ⇒ minb ( i = 1p σi2 (b)) P ∃ k faktormodell σi2 = min E(ξi − α − nj=1 βj bTj ξj )2 Ha az els® Joreskog tétel 2 +.+λk Ez a Ψ > 0; S ∗ = Ψ−1/2 ; S ∗ = ΓΘΓ k f®komponenst választjuk λλ11+λ +λ2 +.+λp variancia hánydrész. Spektrálfelbontás. Azon A, amely minimalizálja λk+1 + λk+2 + . + λp Négyzetes hiba ML F (A, Y )-t, (A mínusz likelihoodot) becslése. AT Ψ−1 A=diag feltétel mellett, ahol A = Ψ−1/2 A∗ ; A∗i = ci γi ; A∗ = A∗1 |A∗2 |A∗n Ci = max(Θi−1 ; 0) Ha ξ = Af + w + µ ξ ∼ Np (Nincs magyarázott variancia) Bartlett: f = (AT Ψ−1 A)−1 AT Ψ−1 ξ Thompson: (I + AT Ψ−1 A)−1 AT Ψ−1 ξ 1 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 1/b tétel Kötvények értéke és kockázata, aktív és passzív kötvényportfólió kezelés. Kötvény : Hitelviszonyt megtestesít® ÉP. A

kibocsátó meghatározott id®pontban kizetést teljesít Amit zet a kibocsátó: Névérték*névleges kamatláb, illetve t®ke. Kötvénytípusok: • Kamatozás szerint: Elemi kötvények (0; 0; . ; NÉ) Kamatszelvényes/kamatozó kötvények (r ∗ NÉ; r ∗ NÉ; . ; (1 + r) ∗ NÉ) Lebeg® kamatozású kötvények ((BU BOR + 5%) ∗ NÉ; (BU BOR + 5%) ∗ NÉ; . ; (100% + BU BOR + 5%) ∗ NÉ) • Kibocsátó szerint: Államkötvények, vállalati kötvények • Különböz® jogokat tartalmazó kötvények: Visszahívható kötvények (kibocsátó visszahívhatja, olcsóbb);Visszaváltható kötvény (vev® visszaválthatja, drágább); Átváltható kötvények (Vállalat kötvényeit részvényre lehet váltani. Pl: Magnolia MOL; MNV Richter) A kötvények árazása : Pt = T P CFt · t=1 1 (1+rt )t de a kötvény kockázatosabb ⇒ rt > rf ⇒ vagy Pt = 1 1+r T P t=1 CFt · ert t Az rf kockázatmentes hozam, kisebb ⇒ P kisebb. Kötvények •

Lejáratig számított hozam Yield to Maturity (YTM): T P CFt · t=1 hozama : 1 (1+Y T M )t = PM Az a kamatláb, amellyel a kötvény pénzáramlásait diszkontálva épp a kötvény piaci árfolyamát kapjuk. IRR minden kötvény sajátja Az árazás spot hozamgörbével történik IRR-rel torzítana. • Visszahívásig számított hozam: Hasonlóan számítjuk, mint a lejáratig számított hozamot, azzal az eltéréssel, hogy a lejáratig hátralév® id® helyett a visszahívásig hátralév® id®vel P H CFt · (1+Y1T M )t = PM számolunk, és a visszahívási árfolyam helyettesíti a névértéket. Vt=1 • Befektetési id®szakra számított hozam: Holding period return (HPR) HP R = 12%. 8+104−100 100 = Kötvények kockázata : 1 Kamatlábkockázat: A hozamgörbe megváltozására való érzékenység. (félrugalmasság) T P t=1 CFt 1 −t (1+r t+1 = − 1+r t) dP/P dr 1 = − 1+r T P t=1 T P t=1 t /P t CF t (1+rt) CFt t (1+r Ha ezt elosztjuk P-vel, akkor

megkapjuk a félrugalmasságot. t t 1 = − 1+r T P t=1 1 t) t P V (CF − 1+r P T P t=1 1 twt = − 1+r · D = D∗ Ahol D= Maculay-féle átlagid®, D∗ =Módosított átlagid®. Elemi kötvény átlagideje megegyezik a futamidejével; azonos lejárat esetén annak a kötvénynek nagyobb az átlagideje, amelyiknek alacsonyabb a névleges kamatlába; a kötvényportfólió átlagideje egyenl® a portfólióban szerepl® kötvények átlagidejének piaci értékkel súlyozott számtani átlagával; változó kamatozású kötvény átlagideje az aktuális kamatzetésig hátralév® id®vel azonos; az átlagid® formula csak vízszintes hozamgörbe mellett használható Konvexitás: C = = T P t=1 t2 CFt e−rt = T P t=1 d2 P/P dr2 = T P t2 P V (CFt ) t=1 t2 wt = D2 + V ar(t) Itt a D a durationt, azaz az átlagid®t jelöli és V ar(t) a kötvény kizetéseinek id®beli szóródását jelenti. Konvexitásra is igaz, hogy zárt a lineáris kombinációra nézve. A

konvexitás pozitív tulajdonság, hiszen ha csökken a hozamgörbe, akkor sokat nyerünk, ha n®, akkor pedig keveset veszítünk. Tehát a 2 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. konvexebb kötvénynek drágábbnak kell lennie. Bázispontérték: hány Ft-tal változik meg a pozícióm értéke, ha a kamatláb 1 bázisponttal, azaz 0,01%-al változik. BP V = D∗ · P · NÉ · ∆r + 21 · C · P · NÉ · (∆r)2 2 Hitelkockázat, avagy a nemzetés kockázata:(kibocsátó cs®dbe megy) Nemzetési prémium. A diszkontáláshoz használt kamatláb növekszik ezért a DF csökken, így olcsóbb a kötvény. Portfólió kezelési formák : Passzív portfóliókezelés. (Felt: piaci ár :OK) 1 Indexkövetés: Nem értünk a piachoz, nem hiszünk a fundamentális elemzés erejében. 2 Immunizáció: Kamatláb érzékenység megszüntetése, D=0, párhuzamos elmozdulás ellen véd. 3 , ALM stratégia pénzáramlás illesztés. Aktív

portfólió kezelés: (Felt: piac rosszul áraz) a rosszul árazott kötvények keresése NPV- alapján b spekuláció a hozamgörbe megváltozására (duration): b/1 Id®táv elemzés: r el®rejelzése Id® és hozamgörbe lapján hozamot számítunk, amelyik kötvénynek nagyobb a hozama, azt megvesszük. Spec: b/2 hozamgörbe meglovaglása: Ha a hozamgörbe emelked®, és ha a befektetési id®táv alatt a hozamgörbe az el®rejelzés szerint nem mozdul el, akkor a kötvény lejártának közeledtével hozama úgy csökken, ahogy a hozamgörbén a rövidebb lejáratú, alacsonyabb kamatozású kötvények felé lovagolunk, így a kötvényb®l árfolyamnyereségünk származik. De! Bár a hosszabb lejárat megnövelheti a várható hozamot, lehet, hogy ennek a hozamnövekedésnek a kockázat növekedése az ára. És a hozamgörbe id®közben meg is emelkedhet. Ez a stratégia csak változatlan hozamgörbe mellett m¶ködik. 3 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the

actuary, korábbi munkák alapján. 2/a tétel Egy és többdimenziós autoregressziós és mozgóátlag folyamatok (tulajdonságaik, becslések). Az ε(t) folyamatot fehér zajnak nevezzük, ha E(ε(t)) = 0, ε(t) azonos eloszlású minden t-re és korrelálatlanok (nem feltétlen függetlenek). A fehér zaj autokovariancia-függvénye R(0) = σ 2 és R(τ ) = 0, ha τ ≥ 1. AR(1) Az X(t) els®rend¶ autoregresszió, ha X(t) = αX(t − 1) + σε ε(t). Az ε(t) független, azonos eloszlású valószín¶ségi változók, általában N (0, 1)-ek. A független érték¶ zaj er®sen, a fehér zaj gyengén vagy másodrendben stacionárius. Továbbá ϕ(λ) = 1 2π +∞ P eiλτ R(τ ) = τ =−∞ 1 R(0) 2π = σ2 2π , tehát a Fourier-transzformált konstans, így a spektrálmértéke minden frekvenciára azonos súlyt helyez. Ha |α| < 1, ε(t) fehér zaj, továbbá E(ε(t)2 ) < ∞, akkor létezik stacionárius megoldás. A parciáis autokorreláció-függvény

(PACF) ρ(k) = α, ha k = 1 és ρ(k) = 0, ha k ≥ 2. Tegyük fel, hogy |α| < 1, és iteráljuk az AR(1) egyenletet, ebb®l a következ®t fogjuk kapni: X(t) = ∞ X αu ε(t − u) u=0 AR(1) spektráls¶r¶ségfüggvénye: ϕ(λ) = 1 2π +∞ P t=−∞ e−iλt R(t) = 1 2π 0 P e−iλt R(t) + t=−∞ 1 2π ∞ P e−iλt R(t) − R(0) = t=0 σε2 1 2π |1−αeiλ |2 . AR(2): Az X(t) folyamatot másodrend¶ autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha X(t) = α1 X(t − 1) + α2 X(t − 2) + σε ε(t). AR(p): Az X(t) folyamatot p-edrend¶ autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha X(t) = α1 X(t − 1) + α2 X(t − 2) + · · · + αp X(t − p) + σε ε(t) p P α ek xp−k , ahol α e0 = 1 és α ek = −αk . A karakterisztikus polinomja: P (x) = k=0 Az AR(p) egyenletnek pontosan akkor létezik eloszlását tekintve egyértelm¶, stacionárius megoldása, ha a karakterisztikus polinom gyökei az egységkörön belül vannak. Ez a Gauss esetben er®sen

stacionárius is. Nem stacionáriusan indított AR(p) pedig exponenciális sebességgel stacionarizálódik. B az eltolás vagy visszaléptetés operátor, ha BX(t) = X(t − 1), B 2 X(t)  = X(t − 2) stb. Ennek segítségével is felírható az autoregresszív folyamat: még a karakterisztikus polinomot így is felírni: Pe(x) = p P k=0 p P k=0 α ek B k X(t) = ε(t). Szokás α ek x , erre igaz, hogy Pe(x) = xp P k 1 x Ennek gyökeinek az egységkörön kívül kell esniük. A spektrál-s¶r¶ségfüggvény a karakterisztikus polinommal kifejezve: ϕ(λ) = σε2 2π1 1iλ 2 . |P (e | Stacionárius esetben a következ®k igazak az autokovariancia-függvényre: 1. R(0) = α1 R(1) + · · · + αp R(p) + σε2 2. R(τ ) = α1 R(τ − 1) + · · · + αp R(τ − p), ahol τ ≥ 1 Ezeket az egyenleteket nevezik Yule-Walker-egyenleteknek. A VAR modell: A g -változós VAR(p) modell a következ® formulával adható meg: yt = φ0 + φ1 yt−1 + · · · + φp yt−p + ut 4


. Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. ahol yi , i = 0, 1, . , T egy g dimenziós stacionárius vektor folyamat, φ0 egy g × 1-es konstans tag, φi , i = 1, 2, . , p egy g × g méret¶ paraméter mátrix Az ui hibatagra a következ®k igazak: a várható értéke 0, nem tartalmaz autokorrelációt, de el®fordulhat benne egyidej¶ korreláció. Hátránya, hogy a változók növelésével kezelhetetlenül sok paraméter kerül a modellbe, valamint nagyon nehéz meghatározni a megfelel® késleltetési számot. A modell becslése : A VAR(p) modellt becsülhetjük legkisebb négyzetek módszerével, vagy maximum likelihood módon is. Ahhoz, hogy maximum likelihood becslést tudjunk használni, szükségünk van néhány feltételre az hibatagok eloszlásáról. Tegyük fel, hogy a hibatagok függetlenek, azonos eloszlásúak, többváltozós Gauss eloszlásúak, 0 várható értékkel és Ω kovarianciamátrixxal. Az yt

feltételes eloszlása normális lesz. Ennek a normális eloszlásnak a paramétereit próbáljuk megbecsülni A hibatagok kovarianciamátrixának becslése: Ω̂ = 1 T T P t=1 ε̂t ε̂Tt . Specikáció: a változók késleltetésszám meghatározása. A VAR modellben minden változó azonos késleltetésszámmal szerepel, aminek elméleti okai vannak. Kétféle módja van a késleltetésszám meghatározásának: • Likelihood-arány teszt: a nullhipotézis szerint p0 , míg az ellenhipotézis szerint p1 > p0 . A hibatagokról tegyük fel, hogy normális eloszlásúak, ekkor a próbastatisztika a következ®: LR = T (log Ω̂0 − log Ω̂1 ), ahol Ω̂i a hibatagok becsült kovarianciamátrixa a null és az ellenhipotézis alatt. Ez a próbastatisztika χ2g2 (p1 −p0 eloszlású Hátránya, hogy csak két lehetséges modell közötti döntést segíti el®re, de lehet, hogy valójában egy harmadik modell a jó. • Információs kritériumok: háromféle van,

jelölje k 0 az összes becsült paraméter számát:  Akaike: log Ω̂ + 2kT 0  Schwarz/Bayes: log Ω̂ + kT log(T ) 0  Hannan-Quinn: log Ω̂ + 2kT log(log(T )) 0 : Felírása: a stacionárius VAR(p) modellnek létezik mozgóátlag reprezentációja, az ennek megfelel® VMA(∞) modell a következ®: Impulzus válasz függvény yt = φ0 + ut + ψ1 ut−1 + · · · + ψs ut−s + · · · Ebb®l felírható a következ® mátrix: Ψs =       dyt+s dut = dy1,t+s du1,t dy2,t+s du1,t dy1,t+s du2,t dy2,t+s du2,t . . dy1,t+s dug,t dy2,t+s dug,t dyg,t+s du1,t dyg,t+s du2,t . dyg,t+s dug,t . . . . . . .       Ennek egy eleme mutatja hogy a j -edik változó egységnyi megváltozása milyen hatást gyakorol az i-edik változó s periódussal kés®bbi értékeire. Variancia felbontás : 5 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. Az átlagos négyzetes hiba segítségével

kiszámolható, hogy a j -edik ortogonalizált hibatag milyen arányban járul hozzá az s-periódusú el®rejelzés átlagos négyzetes hibájához. s növekedésével az átlagos négyzetes hiba tart a vektorfolyamat variancia-kovariancia mátrixához, ezért a variancia felbontás azt mutatja meg, hogy yi varianciájából mennyi uj következménye nagy s-re. Amit megkapunk az az, hogy az el®rejelzési hiba hány %-ban van a j -edik változóban. Granger-okság : Legyen y1 és y2 stacionárius. Ha egy y2 esemény okozója egy másik y1 eseménynek, akkor y2 -nek meg kell el®znie y1 -et. Ez azt jelenti, hogy oksági viszony esetén y2 javítja annak a modellnek y1 -re vonatkozó el®rejelzését, amelyben y2 eddig nem szerepelt. Formálisan, y2 abban az esetben nem Granger-oka y1 -nek minden s > 0-ra, ha az yt+s el®rejelzésnek az (y1,t , y1,t−1 , . ) információn alapuló átlagos négyzetes hibája megegyezik ugyanezen el®rejelzés (y1,t , y1,t−1 , . , y2,t ,

y2,t−1 , ) információn alapuló átlagos négyzetes hibájával Késleltetésszám : Az autoregresszív folyamatoknál, hogy eldöntsük a késleltetésszámot a parciális autokorreláció függvényt kell nézni. Ha például a második vonal lóg ki utoljára a kondenciaintervallumból, akkor AR(2)-es modellet jó illeszteni. A VAR modellnél az információs kritériumokat nézzük meg, és az alapján döntünk, hogy milyen legyen a késleltetésszám. (Akaike, Schwartz-Bayesi, Hannan-Quinn). A stacionaritást a Dickey-Fuller teszt elvégzésével ellen®rizhetjük. Aminek nullhipotézise, hogy egységgyökfolyamatról van szó, tehát ha ezt elutasíthatjuk, akkor stacionárius a folyamatunk. 6 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 2/b tétel CAPM és APT, részvényportfólió kezelési módszerek, teljesítménymérés. Részvény: Rt bocsátja ki, tagsági és vagyoni jogok. A részvény névértéke a társaság

jegyzett t®kéjének Pés a forgalomban lév® részvények számának hányadosa. Nincs közgazdasági tartalma Értéke: P V (jöv®beli osztalékok) ⇒ bef. id® alatti osztalékok+ árfolyamnyereség Az els®bbségi részvények fajtái:osztalékels®bbségi részvény: osztalékot ®k is csak akkor kapnak, ha a társaság nyereséges, de elképzelhet®, hogy csak ®k kapnak, ha a nyereség kicsi. szavazatels®bbségi részvény CAPM: Capital Asset Pricing Model: Intézményi feltételei: (SZOKNyAI) (tökéletes piac) minden csere szabad (van rövidre eladás); minden értékpapír korlátlanul osztható; a hitelnyújtás- és felvétel rögzített kamatlábon történik; a kereskedés nyilvános; nincsenek adók és tranzakciós költségek; az információszerzésnek nincs költség. A befektet®kre vonatkozó feltevések: (SOHAJPH): sokan vanak, a piachoz mérten kicsik; optimalizálnak (σ 2 min, r max); hasznosságfüggvényeik U (E(r), σ 2 ) alakúak; nincs egyéb

forrásból származó jövedelmük a befektet®knek; várakozásaik homogének (ugyanaz lesz az érintési portfólió); de az egyén optimális portfóliója függ az illet® kockázati preferanciájától is. N P A portfólió hozama: E(Rp ) = wi E(ri ) Ahol E(ri ): várható hozamának; wi : i-edik papír i=1 részaránya. N = a portfólióban lév® papírok dbszáma A portfólió varianciája: σp2 = N P N P wi wj Covi,j = wT Cw i=1 j=1 CAPM:Egyensúlyban a piaci portfólió a hatékony. A befektet®k a piaci portfólió M és a kockázatmentes hozam rf keverékébe fektetnek. E(rσMM)−rf σp A hatékony portfólió rajta van a Capital Market Lineon. Tetsz®leges x portfólió várható hozama: βE(rx ) = rf +βX,M (E(rM )−rf ) 2 Ahol βX,M = Cov(X, M )/σM (RAJZ) β =Piaci portfólió egyenes meredeksége=x portfólió kockázati prémiuma. βM = 1 βrf = 0 Security market line:Ha az ép. ára helyes ⇒ ép rajta van az SML-en (RAJZ) Hatékony portfólió: adott σ

mellett max r-t biztosító portfóliók. 1. tétel A CAPM állítása: Egyensúlyban a piaci portfólió hatékony. (Piaci portfólió (M ) a t®keallokációs egyenes és a csak kockázatos értékpapírokból létrehozott határportfóliók görbéjének metszéspontja.) Problémák a CAPM-el: • Elméleti problémák: túl sok racionalitást feltételez; csak a hozammal és a szórással foglalkozik; statikus és egyperiódusú; homogének a várakozások. • Gyakorlati problémák:nagyon sok adatot kell becsülni hozzá; a piaci portfólió megfoghatatlan; nem létezik kockázatmentes eszköz; a béta nem tökéletesen méri a kockázatot; adók hiánya 7 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. Általános faktormodellek: Tegyük fel, hogy a hozamok alakulása leírható az alábbi lineáris modell segítségével: ri = ai + bi1 F1 + · · · + bik Fk + εi ahol F1 , . , Fk közös tényez®k, faktorok, bij a j -edik

faktorra való érzékenység, εi az egyedi (vállalat-specikus) kockázat. Az összefüggés nem a várható, hanem a tényleges hozamokra vonatkozik. Nem teszünk kikötést az eloszlásokra, csak annyit, hogy E(εi ) = 0, továbbá az εi egyedi kockázatok függetlenek egymástól és a faktoroktól, a faktorok is függetlenek egymástól. Az egyfaktoros modell, vagy indexmodell: egyetlen faktor egy jól diverzikálható piaci index, például Standard and Poors (SP). ri = αi + βi (rSP − rf ) + εi Egy értékpapír kockázata: 2 2 σi2 = βi2 σSP +σε2i , és két értékpapír kovarianciája ezért Cov(ri , rj ) = βi βj σSP . Faktorok lehetnek még: piaci index, ináció, hozamgörbe, devizaárfolyamok, GDP, munkanélküliség, olajár, ipari termelés, piaci volatilitás, siker, méret, t®keáttétel stb. Összességében szerény segítséget nyújt a modell az elvárt hozam meghatározásához. APT: Arbitrage Pricing Theory Ez egy alternatív elmélet a CAPM-el

szemben. Az érvelés az egy ár törvényén alapul, arbitrázs kizárása. Nincs szükség feltevésekkel élni a befektet®kr®l, helyette feltevés szükséges a hozamokat generáló folyamatról. A hozamokat az el®bb megismert faktormodell generálja. Kell®en sok értékpapír van ahhoz, hogy létre lehessen hozni jól diverzikált portfóliókat. Egy portfólió (P ) jól diverzikált, ha benne az egyedi kockázatok elhanyagolhatóak Ilyenkor az egyedi varianciák összege is elhanyagolható, ezért σP2 = k P j=1 b2Pj σj2 ahol σj a j -edik faktor szórása. A j -edik faktorportfólió (F Pj ) olyan jól diverzikálható portfólió, melynek Fj re vonatkozó bétája 1, a többi faktorra vonatkozó bétája pedig nulla Minden jól diverzikált portfólió kockázati prémiuma megegyezik a faktorportfóliók kockázati prémiumainak bétákkal súlyozott összegével: E(rp )−rf = k P j=1 bPj (E(rF Pj ) − rf ) Az indexmodellben a következ® összefüggést

kapjuk, ha a A kockázat piaci ára a faktorportfólió kockázati prémiuma, vagyis az egységnyi kockázatra (bétára) jutó kockázati prémium. A CAPM és az APT összehasonlítása: CAPM APT Feltevések a befektet®kr®l és a piacról Feltevések a hozamokat generáló folyamatról Piaci egyensúly No-arbitrázs érvelés A hozamösszefüggés minden értékpapírra A hozamösszefüggés minden jól diverzikáltra Rengeteg paraméter Kevesebb paraméter (faktormodell) Ha egy értékpapír félreárazott, minden Ha egy értékpapír félreárazott, elég egyes befektet¶ kis mérték¶ ha néhány befektet® észreveszi portfólió-kiigazítása szükséges az arbitrázslehet®séget, és az egyensúly helyreállításához a félreárazás megsz¶nik Részvényportfólió kezelési módszerek: P portfólió költsége 0, faktorérzékenysége 0 és jól diverzikált: E(rF P )−rf = E(ri )−rf βi • Passzív stratégia: Indexkövetés : 1, Teljes replikáció. (Az index

minden elemét tartalnmazó portfólió.) 2, Kvadratikus optimalizáció: (Az index és a portfólió közti négyzetes különbséget minimalizáljuk., Kevesebb elem ) 3, Mintavételi technika: jelent®s súlyú+pár kisebb súlyú szektor/ország alapján úgy, hogy az indexet h¶en tükrözze. • Aktív stratégia: Elemzésekkel dolgoznak, drágább, cél: a passzív strat. túlszárnyalása (IRR), megvenni. 3, Stuktúra és stratégia megváltoztatása A gazdaság állapotától, 8 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. kamatkörnyezett®l függ a szektorok súlya a portfólióban. 4, Befektetési lozóán vagy stíluson alapuló stratégia. : A portfóliókezel®k specialisták • Aktív és passzív stratégia kombinációja. Teljesítménymérés: Hozam: Dollársúlozású: A befektetés bels® megtérülési rátája. ; Id®súlyozású hozam: Különböz® id®periódusokhoz tartozó hozamok átlaga. Kockázat

gyelembe vétele: • Sharpe-mutató: A Sharpe-mutató a portfólió adott id®szaki átlagos kockázat prémiumát vetíti az id®szaki hozamok szórására. Lényegében a hozam és a teljes kockázat közötti átváltást méri. Képlete: (rp − rf )/σp • Jensen-mutató:(Jensen-α) A Jensen-mutató a portfólió bétájának és az átlagos piaci hozamnak ismeretében azt méri, hogy a portfólió hozama mennyivel több vagy kevesebb, mint amennyi a CAPM alapján várható lenne. A Jensen-mutató a portfólió alfája Képlete: αp = rp − [rf + βp (rp − rf )]. Piaci kock.: faktorok reprezentálják Eszk hozama: CAPM: piaci+egyedi rész Egyedi rész: hibatag Nyereséget csak akkor lehet elérni, ha a bef.® nem diverzikálható kockázatot talál 9 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 3/a tétel Kointegráció (hibakorrekciós modell, Engle-Granger módszer, Johansen módszer) Tekintsük a legegyszer¶bb

sztochasztikus trend modellt: yt = yt−1 + ut . Ha egy yt nem stacionárius id®sort d-szer dierenciálva (különbséget véve ∆yt ) stacionáriussá válik, akkor d rendben integráltnak nevezzük. Jelölése: yt ∼ I(d) Tehát ha yt ∼ I(d), akkor ∆d yt ∼ I(0). Az I(0) id®sorok stacionáriusak, az I(1) id®sorok már egy db egységgyököt tartalmaznak. Két id®sort akkor nevezünk kointegráltnak, ha mindkett® I(1), de létezik egy olyan lineáris kombinációjuk, ami stacionárius. Két I(d) id®sort akkor nevezünk kointegráltnak, ha létezik olyan lineáris kombinációjuk, amely I(d − b), ahol d ≥ b > 0, azaz az integráltsági fok csökken. Példák a gazdaságból: • Tartós jövedelem modell: kointegráció van a jövedelem és a fogyasztás között • Pénz kereslet modell: kointegráció van a pénz, a jövedelem, az árak és a kamatlábak között • Termelés elmélet modell: kointegráció van a jövedelem, a fogyasztás és a befektetés

között • Vásárló er® paritás: kointegráció van a nominális árfolyam és a külföldi és belföldi árak között Korreláció kontra kointegráltság: Ha két részvény pozitívan korrelált, akkor áraik a legtöbb napon azonos irányban mozognak. De a pozitív korreláció nem mond semmit a két részvény hosszú távú viselkedésér®l. Nincs garancia arra, hogy a részvény árak nem n®nek tovább és tovább hosszútávon, még ha majdnem minden nap azonos irányban mozognak is. Azonban, ha két részvény konintegrált és az is marad a jöv®ben, akkor az áruk nem fog valószín¶leg szétválni, mégha a napi hozamok nem is korreláltak. Hiba korrekciós modell: Legyen yt és xt két I(1) folyamat. Err®l a Dickey-Fuller teszt segítségével gy®z®dhetünk meg a gyakorlatban. A következ® modellt szeretnénk el®állítani: ∆yt = β1 ∆xt + β2 (yt−1 − γxt−1 ) + ut ahol yt−1 − γxt−1 tagot nevezzük hiba korrekciós tagnak. A módszer

lépései: 1. Megbecsüljük a két változóból álló regressziót OLS becsléssel yt−1 = γxt−1 + ut−1 2. Ha ennek a modellnek a hibatagja (ut ) stacionárius, akkor xt és yt kointegráltak 3. Felépítjük az ECM modellt, OLS becsléssel el®állítjuk a regressziót ∆yt -b®l, ∆xt -b®l és ut−1 -b®l. Ezt a fajta módszert nevezik Engle-Granger két lépés módszernek. Arra kell gyelni, hogy az ut stacionaritását megvizsgáló tesztnél nem az alap kritikus értékeket kell használni. Hátrányai: • az egységgyök és kointegrációs tesztek kis er®vel bírnak véges mintákon • kénytelenek vagyunk kezelni a változók aszimmetrikusságát, miszerint, hogy valamelyik függ®, másikat magyarázó változónak használunk 10 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. Johansen-féle módszer: A Johanson-módszerhez egy g változós VAR modellt kell készítenünk: yt = β1 yt−1 + β2 yt−2 + · · · +

βk yt−k + ut Ebb®l a következ® modellt gyártjuk le: ahol Π = ∆yt = Πyt−k + Γ1 ∆yt−1 + Γ2 ∆yt−2 + · · · + Γk−1 ∆yt−(k−1) + ut ! ! k i P P βi − Ig és Γi = βj − Ig . A Π a hosszú távú együttható mátrix, amikor j=1 már ∆yt−i = 0. j=1 • Ha rang(Π) = 0, akkor nincs kointegráció. • Ha rang(Π) = g , akkor yt stacionárius. • Ha 0 < rang(Π) < g , akkor kointegráció van. λ-t sajátértéknek hívjuk, ha Πc = λc egyenlet igaz rá, ahol Π g × g -es mátrix, c egy g × 1-es nem nulla vektor, és λ egy skalár. Ez az egyenlet úgy is felírható, hogy (Π − λIg )c = 0 Ahhoz, hogy legyen megoldás, teljesülnie kell, hogy det(Π − λIg ) 6= 0. Egy mátrix rangja egyenl® a nem nulla sajátértékeinek számával. Legyenek a sajátértékek λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λg . Ha a változóink nem kointegráltak, akkor minden sajátérték nulláva egyenl®. A teszt statisztika az alábbi λnyom (r) = −T g X

log(1 − λ̂i ) i=r+1 És r = 0, 1, . , g − 1 és a hipotézisek H0 r=0 r=1 r=2 H1 0<r≤g 1<r≤g 2<r≤g r =g−1 r=g . . . . A Π mátrix a következ® szorzat alakban áll el®: Π = αβ T , ahol α g × r méret¶ és β r × g méret¶ mátrixok. β tartalmazza a kointegráló vektorokat, α pedig a loadings-okat minden kointegráló vektorhoz minden egyenletben. 11 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 3/b tétel Határid®s ügyletek használata és árazása. Határid®s ügylet: Olyan származtatott ügylet, melyben az ügylet két szerepl®je kötelezettséget vállal egy termék jöv®beli adás-vételének lebonyolítására a jelenben rögzített feltételek mellett. (termék, q, p=kötési árf, t id®pont. ) futures: szabványosított t®zsdei határid®s ügylet, meghatározott id®pontokra lehet kötni: (1,3,6,9, 12 hónap: jan, márc, jún, szept, dec) rögz q(kontraktus), naponta

elszámolás: (nyereség/veszteség), feltöltés KELER, hitelkock kicsi. forward: T®zsdén kívüli OTC határid®s ügylet. felek megállapodnak, hitelkockázat nagy származtatott termék: Olyan piaci termék, aminek árfolyamát egy mögöttes termék (alaptermék) árfolyama határozza meg. (értéke másból származik) Long: vételi pozíció, Short: eladási pozíció Az egyensúlyi határid®s árfolyam: • Osztalékot nem zet® részvény esetén: FT = S(1 + rf )T vagy FT = Serf T • Osztalékot zet® részvény esetén: FT = S ∗ (1 + rf )T vagy FT = S ∗ erf T , ahol S ∗ = S − P V (DIV ) és DIV az osztalék nagysága. Általában S ∗ = S − P V (bevétel) + P V (kiadás). A prompt külföldi deviza vásárlás + külföli devizabetét-elhelyezésnek és a hazai devizabetételhelyezés + határid®s külföldi deviza vásárlásnak ugyanazt kell adnia, ha nincs arbitrázs a piacon. r HU F HUF0 −− − HU Fx1     S 1/F  y  r EU R

EU R0 −− − EU R1 ahol S a spot piaci árfolyam, F a határid®s árfolyam, rhazai a hazai deviza kamatláb és rkülf a külföldi deviza kamatláb. Ebb®l átrendezéssel kapjuk a határid®s devizaárfolyam képletét: F (1+rhazai )T = S (1+rkülf )T F =S (1 + rhazai )T (1 + rkülf )T Csereügyleteknél alk. Fedezés: (Pl euró bevétel árfolyam változás fedezése) Optimális fedezési XA arány: h = X = −ρAB · SSBA Futures esetén h · ∆f1ut -tal kell számolni, ahol ∆f ut = FST B Spekuláció: (RAJZOK!) • Különbözeti pozíció, aza long bázis: FT1 − FT2 • Long pillangó: (FT1 − FT2 ) − (FT2 − FT3 ) = FT1 − 2FT2 + FT3 • Long kesely¶ (condor): (FT1 − FT2 ) − (FT3 − FT4 ) • Long tekn®sbéka: (FT1 − FT4 ) − (FT2 − FT3 ) 12 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 4/a tétel Egy- és többváltozós ARCH, GARCH, ARMA-GARCH modellek (gyenge és er®s stacionaritásfeltételei,

tulajdonságaik, becslések, használatuk pénzügyi modellezésben). Egyes modellek nem tudnak megmagyarázni számos olyan tulajdonságot, amelyek a pü.i adatokra jellemz®k. (csu va vola töm leverage het szked) Ilyenek: Csúcsosság, vastag szélek:A hozamok feltétel nélküli tapasztalati eloszlása a normális eloszlásnál csúcsosabb, vastagabb szél¶. volatilitás tömörülése: A hozamok id®sorában jól megkülönböztethet®k volatilisebb és kevésbé volatilis id®szakok. (A heves napokat többnyire heves napok követik, míg a nyugodtakat nyugodtak) "leverage eect" A rossz hírek hatására sokkal jobban n® a volatilitás, mint a jó hírek hatására. Emellett a püi adatok jellemz®en heteroszkedasztikusok, azaz a hibatag szórása nem konstans, hanem id®ben változik. ARCH, GARCH heteroszkedasztikus modellek. (A jelenlegi hiba varianciája függ a múltbeli értékekr®l.) ARCH(1) ε(t) ∼ GW N =Gaussian White Noise εt ∼ N (0, σ 2 ) D2 (εt )

< ∞ εt független εq -tól. ⇒ Korrelálatlan. ε(t) ∼ N (0, 1) iid független érték¶ zaj (FAEOVV) X(t) = σ(t) · ε(t), ahol σ 2 (t) = α0 + α1 · x2 (t − 1) α0 , α1 > 0 ε(t) fehér zaj, a variancia függ a múlttól. 0 < α1 < 1-re stacionáris véges megoldással. p P ARCH(p) X(t) = σ(t) · ε(t), ahol σ 2 (t) = α0 + αi · x2 (t − i) i=1 Becslés:OLS nem jó, ML kell. De mennyi késleltetést vegyünk gyelembe a feltételes varianciánál? Engle ARCH LM tesztje. H0 : q-adik késleltetésig nincs ARCH hatás Gond: q értéke nagyon nagy lehet (Nehéz meghatározni). Nemnegativitási korlátok sérülnek H0 : α0 = α1 = = αm = 0 Ha e2t = α0 + α1e2t−1 + . + αme2t−m + ut GARCH(p,q): X(t) = σ(t) · ε(t), ahol σ 2 (t) = α0 + p P αi · x2 (t − i) + i=1 E(ε) = 0 E(ε4 (t)) < ∞ A mai volatilitás függ a múlttól. p P GARCH(p, q) gyengén, azaz másodrendben stac, ha i=1 q P j=1 αi + q P j=1 βj σ 2 (t − j)

ε(t)i.id βj < 1 Használat: Volatilitás el®rejelzésére; portfólió kockázatának számítására, ahol az eloszlás az alsó részre koncentrál. (Pl: VaR); opciók árazásánál a szórás el®rejelzésére Többváltozós GARCH: VECH, diagonális VECH, BEKK (Baba, Engels, Kraft, Kroner) Kovarianciák és korrelációk el®rejelzésénél használják. (Kov, var id®ben változik) q p P P 0 )+ Bi vech(Ht−i ) ahol Ut , It−1 ∼ N (0, Ht ) VECH: vechHt = C + Ai vech(Ut−i Ut−i i=1 i=1 13 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 4/b tétel Panel módszerek (RE, FE, Hausman próba) Vannak id®sorok, ott 1 dolgot több különböz® id®pontban gyelünk meg, van a lineáris regresszió, ott 1 id®pontban több dolgot gyelünk meg, és van a panel módszer, ami az el®bbi kett®t próbálja keresztezni. A klasszikus lineáris modell feltevései: • A modell mind magyarázó és reziduális változóiban, mind

paramétereiben lineáris; • Az együtthatók minden meggyelésre ugyanazok; • ε ∼ N (0, σ 2 I); • Az x(1) , x(2) , . x(K−1) magyarázóváltozók függetlenek a hibatagtól, de minimum E(X 0 ε) = 0; • T > K , azaz a meggyelési id®pontok száma nagyobb, mint a meggyelt egyedek száma. • A magyarázóváltozók meggyelései (és a regressziós konstanshoz tartozó vektor) lineárisan függetlenek. A becslés: N egyed van (pl.: országok) és T db meggyelési id®pont (pl: évek)     X=  1 1 . . 2 X11 2 X12 . . 3 3 X11 3 X12 3 . . . . . k X11 k X12 . . 1 XN2 T XN3 T 3 . XNk T  X11  X12      .   .      X1T     N T × k meggyelés.y =   .      X   N1   .   .  XN T N T × 1 függ® változó. Modell: y = Xβ + u Ha u ∼ N (0, σ 2 I) lenne, azaz a hibatag std. normális lenne, akkor lehetne a lineáris regressziót használni. De

itt az u HIBATAG NEM SZTENDERD NORMÁLIS! Itt unt = µn + εnt , azaz egyedhatásból és hibatagból áll a panel módszer reziduuma, vagy u = µn + τt εnt = egyedhatás + id®hatás + hibatag. τn gyakran nem val vált, hanem bináris indikátor Típusok: (TípuSoD) I Tradícionális: T > N Az adatbázis kevés, néhány tucat adat van, de hosszú az id®sor, így országonként lehet becsülni, de feltehet®, hogy a modell minden országra ugyanazokkal a paraméterekkel érvényes, ezért összevonhatjuk panellé. Becslése:Látszólag szétes® regresszió Általában legkisebb négyzetes becslése (OLS) a panelnek. Ez kétlépéses becslésb®l áll: 1 Minden egyedre külön becsüljük a modellt. (Itt a reziduális változóknál a kovariancia mtx becsléséhez súlymtx (???)) 2 Becsüljük a panel modellt a teljes panel adatbázison Paraméterek homogenitásának ellen®rzése: Stukturális töréspróba (Chow próba). Becslés: OLS vagy ML:esztimátor II Statikus:T < N

Azaz rövid id®horizont van, de sok egyed, túl rövid, hogy egyenként becsüljük. (Tipikus makrogazd példa) 2 eset van: 14 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján.  RE (Random Eect) = véletlen hatású panel. (ML, ÁLNM=OLS) Ha µn , az egyedhatás független a magyarázó változótól, akkor a véletlen hatású becslés konzisztens lesz. Hausman próba: H0 : µ0 független a magyarázó változótól. Ha elfogadjuk, Random Eect, ha nem, Fixed Eect.  FE (Fixed Eect) = állandó hatású panel.Ha µn , az egyedhatás nem független a magyarázó változótól. (Hausman próbánál H0 -t nem fogadjuk el) unt = µn + εnt y − y =egyed mínusz egyed átlaga. Egyedi átlagtól való eltérésekkel dolgozva sz¶ri ki az egyedhatást. Magyarázó változóhoz adunk bináris változókat: d(i) nt = {1hai = n; 0hai 6= n}. Ezek együtthatóit is becsüljük (OLS) Egyedi deteminisztikus trend kisz¶rése: znt = αn + δnt + rznt

Egyedi és egyedi trendhatástól tisztított rz Regressziót futtatjuk. RE µn független a magyarázó változótól. Van ML, ÁLNM becslés hibavarianciát bontja fel: egyedhatás + reziduális var. hatásosabb: több infót használ. konzisztens ⇒ várható értékben közelít, ha n n®. FE µn függ a magyarázó változótól. Minden egyedb®l levonja az átlagát. Nagy egyedi átlagtól való eltérésekkel sz¶ri ki az egyedhatást. nagy szabadságfok-vesztés. III Dinamikus: Van benne egy késleltetett endogén változó, ami nem független a hibatagtól.y = Xβ + γyt−1 + u Ebb®l képezzük: ∆y = ∆Xβ + γ∆yt−1 + ∆u Arellano-Bond momentum becslés. Az összes adott értékhez tartozó késleltetést alk az ortogonalitási feltételben A több id®szakkal késleltetett változó sem lehet instrumentuma az eredeti magyarázó változónak. Instrumentum: késleltetett dierenciálatlan változó Egyedhatás kiesik a hibatagból, de a hibatag autokorrelált

lesz. Sok minden torzíthatja a becslést, ezek nagyságrendjéhez képest lehet, lehet, hogy endogenitási torzítás elhanyagolható. Instrumentumokat nem könny¶ találni konzisztens becslés instrumentális. Ha E(X 0 ε) 6= 0 β̂k inkonzisztens, jó β̂I (De mindkett® torzított, mert a magyarázó változó sztochasztikus.) Ciklus H1 : A magyarázó változók endogének E(X T ε) 6= 0 próbafv: (β̂k −β̂I )·(Σ̂k −Σ̂I )·(β̂k −β̂I ) A∼χ2N Egyedhatás kiesik, n instrumentumok, túlidentikációs próba, modell specikáció ellen®rzése, dierenciált modell hibatagjánál másodrend¶ autokorrelációra vonatkozó próba (dinamika ellen®rzése) Probléma: Ha a változók integráltak és ∼ véletlen bolyongás. Dierenciálás zaj növekszik becslés konzisztens, de bizonytalan. Bundell-Bond: dierenciált modell+eredeti változók késleltetett értékei. eredeti modellt, dierenciált változókat egyszerre becsli. Késleltetett értékei mint

instrumentumok GMM (általánosított momentum módszer) rendszer becslése, együtthatók konzisztens becslése, de megbízhatóbb. Hausman próba: Mennyire súlyos az endogenitási probléma? Szükség van-e instrumentális becslésre? Itt 2 becslést hasonlítunk össze (KLMN) instrumentális becslés változókra H0 : magyarázó változók egzogének.E(X T ε) = 0 Panel: magyarázó változók összefüggnek-e az egyedhatásokkal? 15 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 6/b tétel Csereügyletek használata és árazása. A csereügyletben jöv®beni pénzáramlások cseréje történik el®re rögzített feltételek mellett. Ez a két értékpapírban rejl® cash ow közvetlen kicserélését jelenti. Ugyanígy swapról beszélünk, ha nem feltétlenül értékpapírokban megtestesül® cash owkat cserélnek el egymással. Két alapvet® fajtája a kamatcsere és a devizacsere. Kamatcsere (Interest rate swap): Egy lebeg®

kamatozású hitel (vev®, receiver) kamatzetési sorozatának elcserélése egy azonos devizában fennálló azonos összeg¶, ám x kamatozású (eladó, payer) hitel kamatzetéseire, ugyanaz az összeg, ugyanaz a deviza. A csereügylet célja lehet a mérleg átalakítása és egyéb komparatív el®nyök kihasználása (Pl. Ha csökken® kamatkörnyezetre számít, akkor xet lebeg® kamatra cserél.) 1. eset: Ha nincs bank, mint közvetít®, közvetlen csere van Mivel 10%+L+1% < 11%+L+0,5% ezért az "olcsóbb" verziót 1. táblázat Kamatcsere választjuk, azaz 10% A xet ad el ; L+1% B lebeg®t ad el. És A két kamatcsere közti nyereség különbséget elfelezzük. A kamatnyereség: (11%+L+0,5%)-(10%+L+1%)=0,5% , ennek x lebeg® a fele 0,25% Tehát A 10% x kamatot zet a banknak, és A 10%(*) L+0,5% 10%-0,25%=9,75%-ot kap B-t®l, cserébe lebeg® L kamatozást B 11% L+1% (*) ad és B L+1%-ot zet a banknak.Tehát A -10%-L+9,75%=(L+0,25%)-ot zet B pedig

-9,75%+L-(L+1%)=-10,75%-ot zet összesen. Bank kamatcsere jegyzés 9,7% vételi 9,8% eladási. 2 eset:Van bank, mint közvetít®Bank kamatcsere jegyzés 9,7% vételi 9,8% eladási, azaz a lebeg® kamatot 9,7% vételi árfolyamon veszik és 9,8% eladási árfolyamon adják el. 10%+L+1%-9,8%+9,7% < 11%+L+0,5%-9,8%+9,7% ezért A Bank megveszi A-tól a Lebeg® kamatot és eladja B-nek, míg A felveszi a 10%-os hitelt, míg lebeg®t zet a banknak., cserébe 9,7%-os x kamatot kap A bank lebeg® kamatozást ad el B-nek és B 9,8%-ot zet ezért a banknak, míg B az L+1%-os hitelt vette fel. Devizacsere (Currency swap): Az egyik devizában fennálló hitel (kötvény) cash owjának (kamatzetési sorozatának és jöv®beli törlesztésének) elcserélése egy másik devizában fennálló hitel (kötvény) pénzáramlására. PV(CF)-eket is kicserélik, jöv®beli CF-ek ismertek, a kamatozás mindkét devizában x. Pl.:A 400 000 EUR hitelt akar felvenni, B pedig 500 000 USD hitelt

Bank: 20 bázispont, aza 0,2% nyereség. (5%+10%)−(8%+6%)−0,2% Az össz nyereség: = 0, 4% A felvesz 400 2 000 EUR hitelt és zet 5%-0,4%=4,6% EUR alapú kamatot. 2. táblázat Devizacsere és kap 8% USD alapú kamatot, amit továbbad a banknak. B felvesz 500 000 USD hitelt 10% kamatért és kap a banktól 10%USD EUR 0,4%=9,6%-ért USD kamatot és kap 6% EUR kamatot, amit A 8%(*) 5% továbbad a banknak. B 10% 6%(*) FX-swap: két ellentétes irányú, egy azonnali és egy jöv®beni id®pontbeli deviza tranzakció. Tehát tulajdonképpen azonnali deviza vétel és határid®s eladás, azaz deviza fedezet melletti hitelfelvétel. Az FX-swap a pénzügyi szektor fontos része, mivel piaca sokkal likvidebb, mint a határid®s deviza piac. A piaci szerepl®k gondolkodásában a határid®s devizaügyletek helyett az FX-swap tölti be a központi szerepet. A legtöbb esetben határid®s deviza vásárlást is szintetikusan, FX-swap és prompt piaci vétel segítségével valósítanak

meg. A swap árazása - devizacsere Kötvénymódszerrel: EUR-CHF csere, EUR hozamgörbe 5%-on, CHF hozamgörbe 3%-on vízszintes, az EUR/CHF árfolyam 1, 34, a hátralév® futamid® 3 év. 16 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 6 6 106 Az EUR láb értéke: 1,05 + 1,05 2 + 1,053 = 102, 72 EUR. 5 5 105 A CHF láb értéke: − 1,03 − 1,03 2 − 1,033 = −105, 66 CHF. 1 Tehát a swap értéke: 102, 72 − 105, 66 · 1,34 = 23, 87 EUR. Forward módszerrel: A különböz® évi pénzáramlásokat egyegy határid®s deviza vételnek tekintjük, az adott határid®s árfolyamon F váltjuk át: t 1 2 3 CF kap CF ad (EUR) (CHF) 6 6 106 −5 −5 −105 CF kap FRA 1 2 3 F (EUR) (EUR) 1, 31 −3, 8 2, 2 1, 29 −3, 88 2, 12 1, 26 −83, 01 22, 99 CF kap CF ad 6 EUR −5 CHF 6 EUR −5 CHF 106 EUR −105 CHF PV (EUR) 2, 09 1, 93 19, 86 23, 87 1 . A swap értéke tehát a 3 Az átváltást úgy végezzük el, hogy például

−3, 8 = −5 · 1,31 jelenérték összege, azaz ismét 23, 87 EUR. swaption=swapokra kötött opció. payers swaption: Opció vásárlója kötési árfolyamon léphet be a payer oldalon. receiver swaption: ugyanez receiver oldalon. 17 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 8/a tétel A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek becslése, rájuk vonatkozó hipotézisvizsgálat. X p-dimenziós normális eloszlású, ha minden a ∈ Rp -re aT X normális eloszlású. Jelölése: X ∼ Np (µ, Σ). µ = E(X) a várható érték vektor és Σ = E(X − µ)(X − µ)T a p(p+1) méret¶ 2 szórásmátrix.  −1 S¶r¶ségfüggvény: Ha Σ pozitív , akkor fX (x) = |2πΣ| 2 exp − 12 (x − µ)T · Σ−1 · (x − µ) . 1 T −1 Karakterisztikus fv.:Θ xi (t) = E(ei·t·ξ ) = ei·t·µ− 2 t ·Σ ·t Paraméterbecslés : Legyen X 1 , X 2 , . , X n ∼ Np (µ, Σ) Tegyük fel, hogy Σ > 0, ekkor az n darab   n

mintaelem likelihood függvénye: L(X, µ, Σ) = |2πΣ|− 2 exp − 12 n P (X i − µ)T · Σ−1 · (X i − µ) i=1  log |(2π)−1 · Σ−1 | − n2 tr Σ−1 (S + (X − µ)(X − µ)T p(p+1) ismeretlen paraméterünk, jó sokféle hipotézist vizsgálhatunk. Hipotézisvizsgálat : Van összesen p+ 2 Legyen (X1 , . , Xn )T minta Eloszlása ν -t®l függ Nullhipotézis: H0 : ν ∈ θ0 ; Ellenhipotézis H1 : ν ∈ θ1 H0 hipotézis H1 ∗ hipotézissel szembeni tesztelésére a valószín¶séghányados statisztika a következ®: λ(X) = LL0∗ ahol L∗i (x) = sup Li (ν, x) l = log L = n 2 1 ν∈θi Ha ez a statisztika elég nagy, akkor H0 -t fogadjuk el, ha elég kicsi, akkor H1 -et. Gyakran ez a próba helyett −2 log λ = 2(l1∗ − l0∗ )-al dolgoznak. • Ha a Σ ismert, akkor H0 : µ = µ0 , és ekkor |θ0 | = 1. A próbastatisztika a következ® lesz: −2 log λ = n(X −µ0 )T ·Σ−1 ·(X −µ0 ), ami Σ ismeretében kiszámítható. Ez a

nullhipotézis mellett χ2p eloszlású lesz. • H a Σ ismeretlen, akkor is H0 : µ = µ0 . A H0 mellett Σ̂ = SddT , ahol d = X − µ0 A próbastatisztika a következ® lesz: −2 log λ = n log(1 + dT S −1 d). A H0 mellett az n−p (X − µ0 )T S −1 (X − µ0 ) F (p, n − p) eloszlású lesz. p • Legyen H0 : Σ = Σ0 és µ ismeretlen. A próbastatisztika: −2 log λ = ntr(Σ−1 0 S) − −1 −1 n log Σ0 S − np, azt várjuk, hogy H0 mellett Σ0 S közel legyen az egységmátrixhoz. Legyen a a Σ−1 0 S sajátértékeinek számtani közepe, és g a mértani közepe. Ekkor −2 log λ = np(a − log(g) − 1) ≈ χ2q−r , ahol q annak az altérnek a mérete, ahonnan a paramétereket választjuk. • Legyen Σ és µ ismeretlen. Ekkor µ̂ = x és Σ̂ = S • Ha µ = k · µ0 és µ0 és Σ ismert. Ekkor k̂ = −1 ·x µT 0 ·Σ T −1 µ0 ·Σ ·µ0 µT ·S −1 ·x • Ha µ = k · µ0 és Σ ismeretlen. Ekkor k̂ = µT0·S −1 ·µ0 Ha µ1 = µ2 ⇒

Hotelling-féle T 2 0 eloszlás. Ha µ1 = µ1 = µ2 = µk ⇒ Wilks-λ eloszlás 18 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 9/a tétel Arbitrázsmentesség és a kockázatsemleges (risk-neutral) mérték közötti összefüggés bizonyításaaz er®s dualitási tétel segítségével. Farkas-tétel: Az Ax = bx ≥ 0 egyenletrendszernek ∃ megoldása ↔ nincs megoldása a y T A ≥ 0, y T b < 0 feladatnak. Biz.: 1, Egyszerre nincs megoldása a 0 ≤ (y T A)x = y T (Ax) < y T b < 0 Ellentmondás 2, Be kell látnunk, hogy valamelyik rendszernek van megoldása. (A 0 elemei vannakA=1 oszlop innent®l teljes indukció n szerint.) Primál-duál feladatkör: LP primál: cT x max Ax ≤ bx ≥ 0 Duál: y T b min y T A ≥ cT y ≥ 0 az eredeti duálja. T.: Gyenge dualitás tétel: Ha a primál és a duál feladatnak ∃ lehetséges megoldása ⇒ a duál feladat célfve ≥ primál feladat célfve. T.: Er®s dualitás tétel:

Ha a primál és a duál feladatnak ∃ lehetséges megoldása, akkor mindkett®nek van optimális megoldása, a célfvek egyenl®k (Biz: Farkas tétel felhasználásával.) Köv.: Ha valamely sorra egyenl®tlenségként teljesül a feltétel, akkor a duál változó, , ami hozzá tartozik, 0 , és fordítva is. (A két célfv egyenl®sége miatt) Tehát ha a duál pozitív, akkor a hozzá tartozó primál 0. T.: Az N szcenáriófán értelmezhet® [Zt ] (vektorérték¶) sztochasztikus folyamat arbitrázsmentes ár(folyamat) a.csa, ha létezik egy P statisztikai mértékkel ekvivalens Q kockázatsemleges mérték, amelyre viszonyítva [Zt ] martingál. (P ekvivalens Q val, ha a nullmérték¶ halmazaik ugyanazok.) Arbitrázs: Kell egy önnanszírozó stratégia, ami nem igényel t®két induláskor sem, és kés®bb sem, nem áll fenn a veszteség kockázata, mégis pozitív a portfólió értékének várható értéke lejáratkor. A modell:t = 0, 1, . T = id®pontok Nt a t-edik

világállapot lehet®ségei. ai = az i-edik csúcs el®dje a(1) = 0. ci = az i-edik csúcs utódja. Snj = a j-edik papít értéke az n-edik csúcson. j Znj = SSn0 a papír értéke normálva. (Pl: Mindent forintban mérünk) n Θjn az n-edik csúcson a j-edik papírból tartott mennyiség. Arbitrázs: Z0 Θ0 = 0 induláskor 0 ktgb®l megvan a portfólió. Itt van olyan Θin , ami negatív, tehát van rövidre eladás. Zn Θn = Zn Θa( n) Ha a portfóliót átrendezzük, akkor a következ® id®pontban a portfólió értéke nem változik. ZP n Θn ≥ 0∀n, azaz sose veszteséges (önnanszírozó). Zn Θn lejáratkor a várható érték pozitív. n∈Nt Arbitrázs LP-ként: P primál: pn Zn Θn max n∈Nt Z0 Θ0 = 0 Z0 (Θ0 − Θa(n) ) = 0∀n > 0 Zn Θn ≥ 0∀n ∈ Nt duál: (yn + xn )Z Pn = pn Zn ∀n ∈ Nt yn Zn − ym Zm = 0∀n ∈ Nt m∈c(n) xn ≤ 0 yn el®jelkötetlen. Biz.: ⇐ irány Tfh van egy kockázatsemleges mérték és megmutatjuk, hogy nincs

lehet®ség arbitrázsra, tehát ∃ Q mérték, amire [Zt ] martingál. Legyen y0 = maxn∈Nt { pqnn }, továbbá yn = qn · y0 , xn = pn −yn Állítható, hogy x változók nem pozitívak. xn = pn −yn = pn −qn y0 = pn −qn pqnn = 0 Találtunk a duálnak egy lehetséges megoldást. (A duál így felírva eleve arbitrázsmentes) 19 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 0= duál lehetséges megoldás ≥ duál optimális megoldás=primál optimális megoldás ≥ primál lehetséges megoldás=0 Tehát a primálnak Θ = 0 lehetséges megoldása. Az er®s dualitás tétel alapján a primálnak van optimális megoldása, ami=0 ⇒ nincs arbitrázslehet®ség a piacon. Az ⇒ irány: Ha nem létezik arbitrázs ⇒ A célfv optimuma 0 ⇒ Ha a duálnak létezik lehetséges megoldása, az optimális is. Duál: x ≤ 0pn > 0 ⇒ yn >P0 P yn Zn = 1∀n-re ⇒ yn = m∈c(n) ym ⇒ n∈Nt yn = y0 A def. alapján qn = y0 qn Zn = P

P Q m∈c(n) qm zm Osszuk le yn = m∈c(n) ym -t y0 -lal.⇒ [Zt ] = E [Zt+i , Nt ], azaz [Zt ] martingál Q mérték szerint. 2 típusú arbitrázs van: 1, Semmib®l valami. Induláskor 0, nincs 0 világállapot kés®bb Nem teszünk bele pénzt, mégis a végén nyerek. 2, Elején hitel, amit nem kamattal kell visszazetnem. primál feltétel: Ax ≤=≥ b változó: x ≥=≤ 0 cT x max duál változó: a duál feladatnál a változó relációja ellentétes el®jel¶ a primál feltételhez tartozó relációjához képest: y ≥=≤ feltétel: A duál feltételénél az reláció ellentétes a primál változójához tartozó relációjához képest. y T A ≤=≥ cT y T b min 20 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 9/b tétel Statikus összefüggések az opciók piacán, opcióárazás diszkrét modellben. Opció: olylan származtatott ügylet, ahol az opció vásárlója jogot szerez egy termék vételére (eladására),

az opció eladója kötelezettséget vállal a termék eladására (vételére), az opció vásárlója a megszerzett jogért opciós díjat zet. A vételi opció (call) olyan kétoldalú ügylet, amelyben az egyik fél az opciós díj jelenbeli megzetése fejében jogot szerez arra, hogy egy meghatározott jöv®beli napon valamely termék megadott mennyiségét el®re megállapított K árfolyamon, az ún. lehívási árfolyamon vagy kötési árfolyamon vehesse meg. Az opciós ügylet másik résztvev®jét, aki a díj ellenében kötelezettséget vállal, az opció kiírójának nevezik. Eladási opció (put): a jogosult a díj ellenében arra szerez jogot, hogy lejáratkor a lehívási árfolyamon adhassa el az opció tárgyául szolgáló árut az opció kiírójának. A jogosult eladhat K árfolyamon p díj ellenében, a kiírónak pedig vásárolnia kell K árfolyamon. Európai opció:csak lejáratkor hívható le. Amerikai opció: bármikor lehívható Az opciók lejárat

el®tti értéke: opcióérték = bels® érték (azonnali lehívás értéke) + id®érték (kamatérték + görbületi érték) Típus Korlát Call Put európai alsó max(0, St − P V (K)) max(0, P V (K) − St ) európai fels® St P V (K) amerikai alsó max(0, St − K) max(0, K − St ) amerikai fels® St K Paritások: • Az azonnali és határid®s piac között: LF = LU + SB − F = S(1 + rf )t • A határid®s és opciós piac között: (put-call paritás) put-call opció árának egyensúlya kötési árf, határid®s árf. alapján (ck −pk )ert +K = F (log)(C −D)(1+rf )T −t +K = F (e) LF = LC + SP − S − P V (K) = c − p • Az azonnali és opciós piacok között (konverziós ügylet): LB = LU + LP + SC − (S + p − c)(1 + rf )t = K • Az opciós piacok között (box-ügylet)(Különböz® kötési árfolyamú callok és putok.): LF1 + SF2 = (LC1 + SP1 ) + (SC2 + LP2 ) − P V (K2 − K1 ) = c1 − p1 − c2 + p2 . Binomiális opcióárazás(Opcióárazás

diszkrét modellben): Tegyük fel, hogy a részvény árfolyama csak két lehetséges értéket vehet fel az opció lejáratakor, vagy egy adott szintre n®, vagy egy adott szintre csökken. p valószín¶séggel u szorosára n®, azaz Su lesz, és 1 − p valószín¶séggel d-szeresére csökken, vagyis Sd lesz. A portfólió értéke is p valószín¶séggel g(u) lesz és 1 − p valószín¶séggel g(d) A kötvény értéke 1 vszggel 1-r®l 1 + rf re változik. (Az államkötvény biztosan rf hozamot hoz.) A Cox-Russ-Rubenstein modellben √ u = eσ ∆t ; d = 1/u A portfólió el®állítható kötvények és részvények lineáris kombinációjaként, azaz derivatívaként. Ennek a derivatívának az értéke megegyezik a portfólió értékével. α db részvényt és β db kötvényt veszünk a derivatíva el®állításához. A replikáló egyenletek a következ®ek: αSu + β(1 + rf ) = g u αSd + β(1 + rf ) = g d 21 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the

actuary, korábbi munkák alapján. Ezeket megoldva azt kapjuk, hogy α = értéke: g u −g d Su−Sd , valamint β = u g u −αSu 1+rf . Ezekb®l a portfólió d g −g g u − Su−Sd Su gu − gd pg u + (1 − p)g d g = V (α, β) = αS + β1 = S+ = Su − Sd 1 + rf (1 + rf ) Az iteráció során a fa "leveleit®l" indulunk és egy szintet visszalépünk és ott is elvégezzük a számításokat. Végül a lejárati értéket úgy kapjuk, hogy a a származtatott termék konstrukciója segítségével St -b®l kapjuk. f −d Kockázatsemleges valószín¶ség: p = 1+r u−d Az eszközárazás els® alaptétele: Nincs arbitrázs a piacon ⇔ Létezik kockázatsemleges valószín¶ség. 22 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 10/a tétel Autokovariancia függvény és becslése. Spektráls¶r¶ségfüggvény Periodogram a diszkrétspektrum becslésére. Spektráls¶r¶ségfüggvény becslése ablakolással,

tulajdonságok Valószín¶ségi változók egy X1 , X2 , . sorozatát id®sornak hívjuk, ha az indexparaméter id®ként is értelmezhet®. A bizonyos értelemben stabil vagy stabilizálódott viselkedés¶ id®sort stacionáriusnak hívjuk. X1 , X2 , . gyengén stacionárius, ha E(Xt ) konstans és cov(Xt , Xs ) = R(t − s) csak a t − s függvénye, azaz eltolásinvariáns. Az X1 , X2 , . er®sen stacionárius, ha véges dimenziós eloszlásai eltolásinvariánsak, azaz minden n és t1 , . , tn esetén (Xt1 , , Xtn ) ∼ (Xt1 +h , , Xtn +h ) X1 , X2 , . k -adrendben stacionárius, ha a legfeljebb k -adrend¶ vegyes momentumai eltolásinvariánsak Például X1 és X2 3. vegyes momentuma E(X1 X22 ) Az id®sor cov(X(t), X(s)) = R(t, s) kovarianciáit autokovariancia-függvénynek hívjuk. Stacionárius id®sorra R(t, s) = R(t − s), ami voltaképp egyváltozós, és R(0) = D2 X(t) = σX2 . Az r(t) autokorreláció függvény (ACF) stacionárius folyamatra: r(t) =

E((X(h) − E(X(h)))(X(h + t) − E(X(h + t)))) R(t) = corr(X(h), X(t + h)) = 2 R(0) σX , ahol σX2 = D2 (X(h)) = D2 (X(t + h)) stacionárius esetben. Az r(t) = rt jelölés mellett az autokorreláció mátrix: Rk =        1 r1 r2 r1 1 r1 . . r2 r1 1 . . . . ··· ··· ··· . rk−1 rk−2 rk−3 · · · rk−1 rk−2 rk−3 . .        1 Legyenek X, Y, Z valószín¶ségi változók, amelyekre X és Y Z -szerinti parciális kovarianciája cov(X, Y |Z) = E((X − E(X|Z))(Y − E(Y |Z))). X és Y Z -szerinti parciális korrelációja pedig ρ(X, Y |Z) = cov(X, Y |Z) (cov(X, X|Z)cov(Y, Y |Z))1/2 . Egy id®sor parciális autokorreláció-függvénye ρk∗ = ρ(Xk+t , Xk |Xt+1 , . , Xt+k−1 ) (az összes det Rk köztes id®pontra van meggyelésünk). Itt ρk = det , ahol Rk∗ az Rk -ból kapható úgy, hogy az Rk 2 2 −r1 utolsó sort az r1 , . , rk sorral helyettesítjük Ennek megfelel®en ρ1 = r1 és ρ2 = r1−r

2 . Az autokovariancia-függvény pozitív szemidenit, azaz n P n P i=1 j=1 1 αi αj R(|ti − tj |) ≥ 0 minden t1 , . , tn id®pontra és α1 , . , αn valós számokra Például az is el®fordulhat, hogy van egy minden egyes t id®pontban torzítatlan becslésem, de összességében az autokovariancia függvény nem pozitív szemidenit. Ezért mégsem ezt a becslést választjuk, hanem egy olyat, amivel ugyan kapunk egy kis torzítást, de legalább pozitív szemidenit autokovarianciafüggvényünk lesz, más szóval nem lesz negatív a szórásnégyzet. Markov tul.: P (Xt = k|Xt−1 Xt−2 ) = P (Xt = k|Xt−1 ) A spektrum:Ha x(t) periodikus függvény p periódussal, azaz x(t) = x(t + kp) bármely k egészre és t valósra, akkor a Fourier felbontás: x(t) = ∞ X n=0  an cos    2πn 2πn t + bn sin t p p 23 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. Legyen dn = 21 (an − ibn ), d0 = a0 és d−n = 12 (an +

ibn ). Ekkor +∞ X x(t) = dn eiλn t n=−∞ ahol λn = 2πp n a szögfrekvencia, és |dn | = a2n + b2n az amplitúdó. Ha n® a peridódus hossza, akkor 2πp csökken, így egyre közelebb kerülnek a szomszédos frekvenciák. Egy nem periodikus függvényre úgy is gondolhatunk, mint egy végtelen hosszú periódussal rendelkez® függvényre, ezért a frekvenciák távolsága 0, tehát a szumma integrálba megy át. Vágjuk le x(t)-t a −T ≤ t ≤ T -ben, és innen 2T hosszú periódusokkal terjesszük ki. Ezt nevezzük xT (t)-nek (T -vel majd tartani fogunk a végtelenbe). xT (t)-re van Fourier-felbontás: p xT (t) = ∞ X an cos(λn t) + bn sin(λn t) = n=0 ahol λn = 2π n 2T +∞ X dn eiλn t n=−∞ RT és eiλn t -k ortogonálisak, azaz eiλn t eiλm t dt = 2T , ha λn = λm és egyébként 0. −T Átalakítások után a következ® kifejezést kaphatjuk: x(t) = +∞ X eiλn t pT (λn )δλ n=−∞ ahol δλ = λn − λn−1 , és pT (λ) = 1

2π RT x(u)e−iλn u du. Ez az összeg pedig a következ® integrál −T közelít® összege lesz, ha T − ∞ és δλ − 0: Z+∞ x(t) = eiλt p(λ)dλ −∞ ahol p(λ) = 1 2π +∞ R x(u)e−iλu du. Ez a határátmenet azonban nem mindig végezhet® el, csak −∞ gyorsan lecseng® vagy korlátos tartójú függvényekre. Tehát x(t) el®áll, mint egy p(λ) függvénynek a Fourier-transzformáltja. p(λ) persze pont az x(t) inverz Fourier-transzformáltja Az alábbi módon szokás felírni ezt: 1 x(t) = √ 2π Z+∞ Z+∞ 1 iλt G(λ)e dλ, és G(λ) = √ x(t)e−iλt dt 2π −∞ −∞ Ha nincs gyors lecsengés, akkor át kell írni az integrált mérték szerinti integrállá. Egy X(t) stacionárius folyamat X(t, ω) = x(t) realizációja általában nem periodikus, és nem lecseng®, de megmutatható, hogy x(t) = +∞ R eitλ dΦ(λ) alakban már el®áll (Fourier-Stieltjes-transzformáció). −∞ A teljesítményt a következ® módon tudjuk

értelmezni: Teljesítmény = ∞ P n=0 |dn |2 , vagyis az összteljesítmény az egyes frekvenciákhoz tartozó teljesítmények összege. Ha megjelenítjük a |dn |2 mennyiségeket a frekvencia függvényében, akkor diszkrét teljesítmény spektrumot 24 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. kapunk. Most megnézzük, hogy mi van nem periodikus esetben: Legyen X(t) stacionárius folyamat. Ez minden ω -ra egy függvény Tekintsük el®ször X(t) egy realizációját Kérdés, hogy van-e ennek Fourier-sor (vagy integrál) felbontása. Nincs, mivel általában nem periodikus és nem lecseng®. Ablakolás: Vágjuk le X(t)-t (−T, T )-ben, de most 0-val terjesszük ki, ne periodikusan. Ennek korlátos tartójúsága miatt már létezik Fourier-el®állítása: 1 XT (t) = √ 2π Z+∞ Z+∞ 1 GT (λ)eiλt dλ, és GT (λ) = √ XT (t)e−iλt dt 2π −∞ −∞ |GT (λ)|2 dλ-ra úgy tekintünk, mint a λ és λ + dλ

közötti frekvenciájú tagok hozzájárulása az XT (t) összenergiájához. Most lim |GT (λ)|2 nem létezik, hisz akkor Fourier-transzformált T −∞ 2 is létezne. Inkább vizsgáljuk meg a teljesítmény spektrumot, mert a lim |GT2T(λ)| már véges T −∞ lehet. Ha teljesül ez, akkor a limeszt teljesítménys¶r¶ségként interpretálhatjuk Viszont most csak egyetlen kiválasztott realizáció esetén kaptuk meg a határértéket, az egész folyamatra ez ω -nként változhat. Ezért el®bb a trajektóriákra átlagoljuk a szóbanforgó mennyiséget, s csak aztán vegyünk határértéket: Az X(t) teljesítmény spektrál-s¶r¶ségfüggvényének, vagy csak spektrumának a következ® függvényt nevezzük: ϕ(λ) = lim E T −∞ |GT (λ)|2 2T Ez úgy interpretálható, hogy ϕ(λ)dλ a λ és λ+dλ közötti frekvenciájú tagok átlagos hozzájárulása az összteljesítményhez. X(t) legyen 0 várható érték¶ stacionárius folyamat, ϕ(λ)

spektráls¶r¶ségfüggvénnyel és R(τ ) autokovariancia-függvénnyel Ekkor ϕ(λ) az R(τ ) inverz Fourier-transzformáltja: 1 ϕ(λ) = 2π Z+∞ e−iλt R(t)dt −∞ A tétel valójában feltételt is nyújt arra vonatkozóan, hogy mikor létezik az X(t) spektráls¶r¶ségfüggvénye, pontosan akkor, ha X(t) R(τ ) autokovariancia-függvényének van Fourier-transzformáltja. 25 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 11/a tétel Osztályozó módszerek alkalmazása, struktúra feltárása. El®zetesen ismert és ismeretlen almintákszeparálása. (Klaszterezés és diszkriminancia elemzés) Cél: Egy minta elemeinek besorolása csoportokba Klaszterelemzés:Ismeretlen az alminta amely a lehet® legjobban Hierarchikus elkülöníti egymástól a csoportokat. Feltételek:A meggyelések függetlenek, • Összevonó (agglomeratív módszer) véletlenek, többdimenziósd normális n·(n−1) db összehas. Dendogram (rajz).

eloszlásúak minden csoportban (átlag nem 2 különbözik) variancia-kovariancia mtxok • Szétválasztó (divizív eljárás) 2n − 1 db egyenl®k. összehas. nagy lépésszám Modell: T = K + B (Teljes Nem hierarchikus Pszórás=küls® szórás+bels® szórás) B= 1 Klaszterközéppontokat számolunk valamilyen metrika alapján. j i=1 (ni − 1)S T = xxT Ahol x a f®átlagoktól vett eltérés Cél: A csoportok közti eltérés maximalizálása és a csoportonm belüli eltérés minimalizálása. 2 A közelebbi középpontú klaszterbe B −1 K különböz® sajátértékeihez tartozó besoroljuk az egyedeket (agglomerációs sajátvektorok a diszkriminancia fvek képzett elv) Az 1-es és a 2-es pontot addig együtthatói. ismételjük, Diszkriminancia szabályok: amíg a középpontok mozgása < ε • ML x Πj ha Lj (x) = max1≥i≥g Li (x) a Metrika µ = µ1 +µ2 g = 2αT (x − µ) 2 α = Σ−1 (µ1 − µ2 ) P 1  Euklideszi: ( j |xij − xkj |2 ) 2 • Bayesi

x Πj max1≥i≥g Πi Li (x)  Csebisev: dik = max|xij − xkj | P  Customized, azaz egyéni: ( j |xij − xkj |a )b = • Véletlenített d.sz x Πj Θj vszggel, P ahol j Θj = 1 b Agglomerációs elv  Legközelebbi szomszéd  Legtávolabbi szomszéd  Centroid elv ha Πj Lj (x) pij = P (j − ti − besorolom) pii = helyes döntsé vszge. d diszkriminancia szabály nem rosszabb, mint d0 ha pii ≥ p0ii jobb ha nem rosszabb és ∃i0 , hogy pi0 i0 > p0i0 i0 elfogadható, ha nem létezik nála jobb. Diszkriminanciaanalízis Tétel: ∀ Bayesi d.sz elfogadható Tétel: Ha a bayesi helyes döntés vszge pii , akor nem Már el®re ismert alminta van. Cél:a meggyelt változók olysan lin. komb ját, ∃ olyan diszkr szab, ahol a helyes d vsze az ún. diszkrimináló fvt állítsuk el®, jobb, mint ez a pii . 26 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 12/a tétel Lineáris regresszió és logisztikus regresszió

összevetése. Lineáris regresszió Logisztikus regresszió Függ® változók lin. komb jával becsüli az Függ® változók lin komb jával becsüli az eredményváltozót. odds-ot. p y = β0 + X1 β1 + X2 β2 + . Xp βp + ε ) = β0 + X1 β1 + X2 β2 + . Xp βp + ε log( 1−p βj értelmezése: Xj egységnyi változása esetén βj értelmezése: Xj egységnyi változása esetén az eredményváltozó βj -vel változik ceteris az odds eβj -szeresére változik ceteris paribus. paribus. βj > 0 ⇒ odds n® ⇒ P (η = 1) n®. βj < 0 ⇒ odds csökk. ⇒ P (η = 1) csökk Feltételek: ε ∼ N (0, Σ) és n. iid; xi -k nek, nincs multikollinearitás Ha xi -k száma:p és a meggyeléseké n, ekkor n > 5p-nek kell lenni. Becslés : β̂ = (X T X)−1 X T y és Σ̂ = yP y ahol P = I − X(X T X)−1 X T Változók bevonása: Enter: el®re rögzített val.változókat egyszerre vonunk be Stepwise: lépésenként: Forward : Mindig a legjobbat vonjuk be. Backward :

Mindig a legrosszabbat dobjuk ki Illeszkedés jósága: R2 Az eredmény változó varianciájából mennyit magyaráznak a magyarázó változók? Korrigált R2 Az extra változók bevonásával R2 negatív is lehet. Ezt elkerülend® korrigálunk 2 R = R2 − (1 − R2 ) · p 1 − ssRes /df (ε) = n−p−1 ssT ot /df (t) Ahol R maximális, ott legjobb a modell. Feltételek: • Normalitás: Jarques-Bera teszt: H0 : normális az eloszlás. Vagy: hisztogram alapján ránézésre. • E(ε) = 0 F teszt H0 : β1 = β2 = . = βj = 0 • nincs multikollinearitás: A cov. mtxot nézzük meg • parciális tesztek:  t próba: βj = 0 t = bj sbj √ Ahol sbj = becs. var  Parciális F próba: A modell egészre jó-e H0 : β1 = β2 = . = βj = 0 • logisztikus regresszió: z = bj sbj std. normális Ward z 2 ∼ χ2 eloszlású-e • likelihood arány teszt. Változók bevonásához használják • Pszeudo R2 Magyarázott variancia hányada. 27 Záróvizsga tételek

2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 12/b tétel Opciókat tartalmazó értékpapírok, pénzügyi terméktervezés (átváltható kötvény, warrant, bull CD,stb.) • visszaváltható kötvény a tulajdonosa egy el®re meghatározott K áron eladhatja a kötvényt a kibocsátójának, ezért van benne egy implicit long put • visszahívható kötvény a tulajdonosa egy el®re meghatározott K áron el kell, hogy adja a kötvényt a kibocsátójának, ha a kibocsátó úgy dönt, h visszavásárolja; a tulajdonos szempontjából tehát van benne egy implicit short call • átváltható kötvény a kötvény tulajdonosa meghatározott számú részvényre válthatja a kötvényét -átváltási arány (CR): 1 db átváltható kötvényért hány db részvény kapható -átváltási árfolyam (CP): 1 db részvényért mennyit kell zetni a kötvény névértékéb®l a kett® között az összefüggés: CP=névérték/CR, mert ha 1 kötvényért kapok

CR részvényt, akkor 1 kötvény névértékéért kapok CR részvényt, tehát 1 részvényt (1 kötvény névértéke)/CRért kapok -átváltási érték: ha lehívom az átváltható kötvényt, mennyit ér a pillanatnyi részvényárfolyamon -kötvényérték: az átváltható kötvény értéke átváltási opció nélkül tehát a tulajdonos szempontjából van benne egy implicit long call, a részvényre • vállalati kötvények a KMV modell szerint egy vállalat akkor nincs cs®dben, ha az értéke több, mint a hitelei értéke (kék vonal); ha cs®dös, az értéke leesik a hitelei alá (pirosba átmen® kék); ilyenkor a hitelesek, tehát a vállalati kötvények tulajdonosai veszítenek, mert nem kapják meg D-t, csak kevesebbet; egy short puttal ellentétben viszont legalább kapnak valamit, így egy vállalati kötvény tulajdonosa short puttal rendelkezik egyfel®l, másfel®l egy kockázatmentes kötvénnyel, ami azért a pozitívba viszi a SP értékét; az

alakzatok nyelvén a piros tört vonal egy SP + Long Bond pozíció, mert a LB minden más pozícióval csak annyit csinál, h feljebb tolja; ezt a feljebb tolt SP-t úgy hívják, h cs®dopció • warrant más néven opciós utalvány; a vállalat által kibocsátott opció a részvényeire kibocsátáskor n® a vállalat saját t®kéje a warrantért adott pénzzel lehíváskor n® a vállalat saját t®kéje a kötési árfolyammal, és n® a forgalomban lév® részvény mennyisége az árazásuk kicsit hosszadalmas, ebbe a tételbe már nem kell 28 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. • bull CD CD jelentése: certicate of deposit  D befektetek t®két, ha a mögöttes index pozitív hozamot hoz, tehát értéke meghaladja a K kötéskori t®két, megkapom a hozam α százalékát + a t®két, ha pedig negatívat, visszakapom a t®két, tehát lejáratkor a teli piros vonal a kizetésem, a t®ke + egy long call

pozíció értékének α százaléka t®kegaranciás bull C így lejáratkor azon kívül, h visszakapom az S0-t, kapok α·cT -t, ha ehelyett a pénzem kockázatmentes befektetésbe teszem, akkor szintén azon kívül, h visszakapom az S0t, kapok S0 · rf -et, az S0-akat leszámítva a T -beli α · cT és S0 · rf most is ugyanannyit S0 rf = α · c0 ér, úgyhogy 1+r r  t®ke- és hozamgaranciás bull CD a garantált t®ke mellett szintén megkapom egy index hozamának α százalékát, de minimum egy rögzített r hozamot (ami kisebb, mint a kmentes, különben mindenki degeszre kereste volna magát arbitrázzsal) tehát most a t®két®l szintén eltekintve S0 rf = α · cT + S0 r0 , úgyh átrendezéssel és f −r0 ) megint jelenre hozva S0 (r1+r = α · c0 azért bull a neve, mert nekem az áremelkedés, r vagyis a bullish, bika piac a kedvez®. 29 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 15/a tétel A Wishart-eloszlás

tulajdonságai. A normális adatmátrixok az n elem¶ minták általánosításai. Az Xe = (X 1 , . , X n )T egy Np (µ, Σ) adatmátrix, ha X i ∼ Np (µ, Σ) és függetlenek S = P n 1 i=1 (Xi − X) · (Xi − X) Legyen A m × n-es és B p × q -as. Ekkor A és B Kronecker-szorzata n a következ®: A ⊗ B =  a11 B a12 B  a21 B a22 B   . .  . . am1 B am2 B  . a1n B . a2n B   .  . .  . amn B (A ⊗ B) · (F ⊗ G) = (AF ) ⊗ (BG) M v , azaz M vektorizáltja nem más, mint az M mátrix oszlopai egymás alá írva. (AXB)v = B T ⊗ A · X v T.: XNp (µ, Σ) adatmtx ⇔ X v ∼ Nn·p (µ ⊗ 1, Σ ⊗ I) T.: Y = AXB nam 0 ⇔ i A · 1 = α · 1 valamely α-ra VAGY B T µ = 0 ÉS ii AAT = β · I valamely β -ra VAGY B T ΣB = 0 Ekkor AXB ∼ Nq (αB T µ, βB T ΣB) T.: XNp (µ, Σ) adatmtx és AXB és CXD nek ⇒ B T ΣD = 0 vagy AC T = 0 Legyen Xe egy m × p-es Np (0, Σ) adatmátrix. Ekkor az M = Xe T Xe p × p-es véletlen mátrix

eloszlását Σ skalármátrixú és m szabadságfokú Wishart-eloszlásnak nevezzük. Jele: Wp (Σ, m) Ha p = 1, akkor W1 (σ 2 , m) ∼ σ 2 χ2m . A Wishart eloszlás a χ2 eloszlás általánosítása Tulajdonságok: 1. Legyen M ∼ Wp (Σ, m) és B p × q -as, akkor B T M B ∼ Wq (B T ΣB, m) 2. E(M ) = m P i=1 Cov(Xi ) = mΣ. 3. Ha M1 ∼ Wp (Σ, m1 ) és M2 ∼ Wp (Σ, m2 ) függetlenek, akkor M1 + M2 ∼ Wp (Σ, m1 + m2 ) 4. Ha M ∼ Wp (Σ, m) és a ∈ Rp , amire aT Σa 6= 0, akkor aT M a ∼ χ2m T a Σa T.: Legyen Xe egy Np (0, Σ) adatmátrix n × p-es, és C n × n-es szimmetrikus mátrix Ekkor n P 1. Xe T C Xe ∼ λi Wi , ahol λi a C mátrix sajátértékei, és Wi ∼ Wp (Σ, 1) mátrixok i=1 2. Az Xe T C Xe Wishart-eloszlású pontosan akkor, ha C idempotens, azaz C 2 = C , ekkor pontosan Wp (Σ, rang(C)) eloszlású, és rang(C) = tr(C). 3. Az nS tapasztalati szórásmátrix Wp (Σ, n − 1) eloszlású 30 Záróvizsga tételek 2018 Készítette: Anna

the actuary, korábbi munkák alapján. T.: Craig-tétele: Legyen Xe egy n × p-es Np (µ, Σ) adatmátrix, és C1 , , Ck szimmetrikus e .,X e T Ck X e függetlenek. mátrixok, valamint Cr Cs = 0 ha r 6= s. Ekkor Xe T C1 X, T.: Legyen M ∼ Wp (Σ, m), ahol m ≥ p és Σ > 0, ekkor létezik M −1 majdnem mindenütt Á.: Ha M ∼ Wp (Σ, m), m ≥ p, akkor |M | ∼ |Σ| · p Q i=1 ξi , ahol ξi -k függetlenek és χ2 -ek m, m − 1, . , m − p + 1 szabadságfokokkal T.: Legyen W ∼ Wp (Σp , n) p × p-es, és A p × p-es szimmetrikus mátrix Ekkor E(etr(AW ) ) = n |Ip − 2AΣ|− 2 , ha Σ − 2A > 0, azaz pozitív szemidenit. Legyen A ∼ Wp (Σ, m) és B ∼ Wp (Σ, n) függetlenek és m ≥ p, valamint Σ > 0. Az −1 A B sajátértékeir®l szeretnénk mondani valamit. Ehhez érdemes megjegyezni, hogy A−1 B 1 1 hasonló A− 2 BA− 2 -hez, tehát ugyanazok lesznek a sajátértékeik. A sajátértékek továbbá mind nemnegatívak, és a nemnulla

sajátértékek száma min(n, p). Elég azt az esetet vizsgálni, amikor Σ = Ip . Az A−1 B nem nulla sajátértékeinek eloszlását jelöljük Ψ(p, m, n)-el Ψ(p, m, n) = Ψ(n, m + n − p, p) T.: Legyenek A ∼ Wp (Σ, m) és B ∼ Wp (Σ, n) függetlenek, m ≥ p és n ≥ p Ekkor −1 és ennek eloszlása p darab F eloszlású valószín¶ségi változó szorzata (szorozva |A B| = |B| |A| egy konstanssal). Az i-edik szabadságfoka (n − i + 1) − (m − i + 1) = n − m |A| D.: Legyenek A ∼ Wp (Σ, m) és B ∼ Wp (Σ, n) függetlenek, m ≥ p Ekkor Λ = |A+B| = eloszlása Wilks-lambda eloszlás. Jele: Λ(p, m, n) n Q T.: Λ(p, m, n) ∼ Ui , ahol Ui -k függetlenek és Bta( m+i−p , p2 ) eloszlásúak. 2 −1 |I − A−1 B| i=1 Á.: Λ(p, m, n) ∼ Λ(n, m + n − p, p) és Λ(p, m, 1) ∼ Λ(1, m + 1 − p, p) ∼ Bta( m−p+1 , p2 ) 2 31