Matematika | Középiskola » Alapfüggvények

1. 1 Alapfüggvények PTE PMMK Matematika Tanszék Hatványfüggények 1.1 f (x) = xn (n ∈ N+ ) • n páros (Pl.: x2 , x4 , x6 stb) y Df = R Rf = [0, ∞) ZH = {0} páros nem monoton (szig. mon csökkenő (−∞, 0]-on, szig. mon növekvő [0, ∞)-on) 4 x2 1 1 2 • n páratlan (Pl.: x3 , x5 , x7 stb) x y 8 x3 Df = R Rf = R ZH = {0} páratlan szig mon. növő −2 1 1 2 x −8 1.2 f (x) = √ n x (n ∈ {2, 3, 4, . }) p √ √ • n páros (Pl.: x, 4 x, 6 x stb) y Df = [0, ∞) Rf = [0, ∞) ZH = {0} √ x 2 1 szig. mon növő 4 1 p √ √ • n páratlan (Pl.: 3 x, 5 x, 7 x stb) Df = R Rf = R ZH = {0} páratlan szig. mon növő y x √ 3 x 2 −8 1 1 −1 8 x √ Megjegyzés: A gyökfüggvények nem azonosak a nekik megfelelő” törtkitevős hatványfüggvényekkel! Pl.: x = ” x minden pozitı́v valós számra, de amint az a grafikonok összehasonlı́tásából látható, mint

függvények korántsem egyeznek meg. 1 2 y y 1 1 x3 x2 2 2 1 1 4 1 1.3 f (x) = 2 Alapfüggvények PTE PMMK Matematika Tanszék 1 xn x 1 8 x (n ∈ N+ ) • n páratlan (Pl.: 1 1 x , x3 stb.) y 1 x Df = R {0} Rf = R {0} ZH = ∅ páratlan nem monoton (szig. mon csökkenő a (−∞, 0) és a (0, ∞)-okon) • n páros (Pl.: 1 1 x2 , x4 1 1 2 x stb.) y Df = R {0} Rf = R+ ZH = ∅ páros nem monoton (szig. mon növekvő a (−∞, 0)-on, szig. mon csökkenő a (0, ∞)-on) 2. -1 1 x2 1 1 2 -1 x Exponenciális és logaritmus függvények 2.1 f (x) = ax • a ∈ (0, 1) (Pl.: (a ∈ R+ {1})


x 1 x 1 x , 10 , 1e stb.) 2 y Df = R Rf = (0, ∞) ZH = ∅ ax 1 a szig. mon csökkenő 1 a −1 1 x PTE PMMK Matematika Tanszék 3 Alapfüggvények (Pl.: 2x , 10x , ex stb) • a ∈ (1, ∞) y Df = R Rf = (0, ∞) ZH = ∅ ax a 1 szig. mon növő 1 a −1 2.2 f (x) = log a x • a ∈ (0, 1) 1

x (a ∈ R+ {1}) 1 x, log 1 x stb.) (Pl.: log 21 x, log 10 e y log a x Df = R+ Rf = R ZH = {1} 1 szig. mon csökkenő • a ∈ (1, ∞) Df = R+ Rf = R ZH = {1} szig. mon növő (Pl.: log 2 x, lg x, ln x stb) −1 1 1 a a x y 1 −1 1 a 1 a x log a x PTE PMMK Matematika Tanszék 3. 4 Alapfüggvények Trigonometrikus függények 3.1 f (x) = sin x Df = R Rf = [−1, 1] ZH = {kπ | k ∈ Z} páratlan, periodikus (p=2π) nem monoton (szig. mon növő a (− π2 + 2kπ, π2 + 2kπ)-okon (k ∈ Z), szig. mon csökkenő a ( π2 + 2kπ, 3π 2 + 2kπ)-okon (k ∈ Z)) 3.2 y − π2 1 π 2 −1 2π π y cos x − π2 π 2 −1 f (x) = tg x 2π π y tg x Df = R { π2 + kπ | k ∈ Z} Rf = R ZH = {kπ | k ∈ Z} páratlan, periodikus (p=π) nem monoton (szig. mon növő a (− π2 + kπ, π2 + kπ)-okon (k ∈ Z)) 3.4 x f (x) = cos x Df = R Rf = [−1, 1] ZH = { π2 + kπ | k ∈ Z} páros, periodikus (p=2π) nem monoton (szig. mon

növő a (−π + 2kπ, 2kπ)-okon (k ∈ Z), szig. mon csökkenő a (2kπ, π + 2kπ)-okon (k ∈ Z)) 3.3 sin x f (x) = ctg x − π2 1 −1 π 2 3π 2 π π 4 x y ctg x Df = R {kπ | k ∈ Z} Rf = R ZH = { π2 + kπ | k ∈ Z} páratlan, periodikus (p=π) nem monoton (szig. mon csökkenő a (kπ, π + kπ)-okon (k ∈ Z)) − π2 1 π 2 −1 π 4 π x x PTE PMMK Matematika Tanszék 4. 5 Alapfüggvények Trigonometrikus függények inverzei (árkusz függvények) 4.1 f (x) = arcsin x y arcsin x Df = [−1, 1]  Rf = − π2 , π2 ZH = {0} páratlan szig. mon növő π 2 − π2 −1 1 π 2 x − π2 4.2 f (x) = arccos x y π arccos x Df = [−1, 1] Rf = [0, π] ZH = {1} π 2 π 2 szig. mon csökkenő −1 4.3 f (x) = arctg x Df = R
Rf = − π2 , π2 ZH = {0} páratlan szig. mon növő 4.4 π 1 x y π 2 π 4 arctg x −1 − π4 1 x − π2 f (x) = arcctg x y π Df = R Rf = (0, π) ZH = ∅ 3π 4

π 2 arcctg x π 4 szig. mon csökkenő −1 1 x 5. 6 Alapfüggvények PTE PMMK Matematika Tanszék Egyéb (nem elemi) függények 5.1 f (x) = |x| Az abszolútérték definı́ciója: |x| :=  ha x ≥ 0 ha x < 0 x, −x , y Df = R Rf = [0, ∞) ZH = {0} páros nem monoton (szig. mon csökkenő (−∞, 0]-on, szig. mon növekvő [0, ∞)-on) 5.2 |x| 1 1 x f (x) = sign x A sign definı́ciója: sign x := ( x |x| , 0, Df = R Rf = {−1, 0, 1} ZH = {0} páratlan monoton növő 5.3 ha x 6= 0 ha x = 0 sign x y 1 f (x) = [x] Az egészrész definı́ciója: [x] := max{ m | m ∈ Z, m ≤ x} Df = R Rf = Z ZH = [0, 1) [x] −2 −1 y 2 1 1 2 3 x −1 −2 monoton növő 5.4 x −1 f (x) = {x} A törtrész definı́ciója: {x} := x − [x] Df = R Rf = [0, 1) ZH = Z periodikus (p=1) nem monoton (szig. mon növekvő az [m, m + 1) intervallumokon (m ∈ Z)) y 1 −2 −1 {x} 1 2 3 x