Architecture | Higher education » Dr. Bódi-Dr. Farkas - Vasbeton épületek merevítése, oktatási segédlet

BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr Farkas György Budapest, 2001. május hó VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0 VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE 1. ALAPELVEK Vasbeton épületek vízszintes terhekkel szembeni ellenállását a legtöbb esetben vasbeton merevítő falakkal vagy merevítő magokkal biztosítják. (M1 ábra) Ez a megoldás elegendően hatékony és gazdaságos, ha az épület magassága nem haladja meg a 100 métert. Merevítő fal vagy mag nélküli szerkezetet, ahol a vasbeton váz biztosítja a vízszintes terhekkel szembeni ellenállást, csak néhány szintes épületeknél, vagy ipari csarnokoknál alkalmaznak (M1 b. ábra). Zárt csőszelvényű keresztmetszettel általában nagy magasságú, felhőkarcoló szerű épületeket merevítenek. (M1 c ábra) Ilyenkor általában a homlokzati

oszlopokat is bevonják a szerkezet erőjátékába. M1. ábra Ebben a fejezetben a falakkal illetve a magokkal merevített épületek merevítő rendszerének közelítő méretezésével foglalkozunk. A merevítő rendszer a födémekkel együtt a legtöbb esetben egy három dimenziós statikailag határozatlan szerkezetet alkot. A qi vízszintes terheket a födémek síkjában működő teherrendszerré redukáljuk. A vízszintes terheket a födémtárcsák osztják szét a merevítő rendszer elemei között úgy, hogy az egyes födémek a merevítő elemek által rugalmasan megtámasztott tárcsaként viselkednek (l. az M2 ábrát) A merevítő rendszer elemeire jutó terhek így a rugalmasan megtámasztott födémtárcsák Sij reakciói lesznek. A j-edik merevítő elem egy alul befogott és az i-edik szinten Sij vízszintes erővel terhelt függőleges konzolként viselkedik. A befogási keresztmetszet helye az épület alapozásának szerkezeti kialakításától függ (M3.

ábra) 1 VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0 M2. ábra M3. ábra A vízszintes terhekből származó igénybevételeken kívül a merevítő falakban és a merevítő magokban nyomóerő is keletkezik a szerkezet önsúlyából valamint a rá háruló födémterhekből. A nyomóerő kedvezően befolyásolja a falak nyírási és hajlítási teherbírását Ez a hatás növelhető, ha a merevítő elemre nagyobb normálerőt hárítunk, például függesztett födémek alkalmazásával. A továbbiakban csak a vízszintes terhelésekből származó hatásokat vizsgáljuk. 2 ALAPVETŐ SZÁMÍTÁSI FELTEVÉSEK A merevítőrendszer igénybevételei meghatározásához a következő alapfeltevéseket tesszük: • a szerkezet lineárisan rugalmasan viselkedik, • a válaszfalak és nem teherviselő elemek merevsége elhanyagolható, • a födémtárcsák síkjukban végtelen merevek, • a falak és lemezek síkjukra merőleges merevsége elhanyagolható, • a karcsú lemezek

(l/h>3) nyírási lakváltozása és csavarási merevsége jelentéktelen, • a keresztmetszet inerciája és területe a betonméretekből számítható, • az elemek közti kapcsolat merevnek tekinthető, • a függőleges elemek tengelyirányú alakváltozása elhanyagolható, • a másodrendű hatásokat nem vesszük figyelembe. 2 VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0 A szerkezet lineárisan rugalmas viselkedése használati határállapotban való vizsgálatnál elfogadható, annál is inkább, mivel a falakban működő nyomóerő következtében a húzófeszültségek általában kicsik. Nagyon magas épületeknél, vagy erős földrengés esetén pontosabb anyagmodellt kell alkalmazni. Mereven csatlakoztatott falelemekből álló merevítő magok csavarási merevsége általában nem hanyagolható el (M4. ábra) M4. ábra 3. SZIMMETRIKUS MEREVÍTŐRENDSZER VIZSGÁLATA Ha a merevítőrendszer alaprajzi kialakítása szimmetrikus (M5. a és b ábra), akkor a

síkjukban merevnek tekintett födémek az ugyancsak szimmetrikus vízszintes terhek hatására szintenként egyenletesen tolódnak el. A merevítő rendszer elemeinek igénybevételei így a rendszer elemei merevségével lesznek arányosak. Ezek szerint n db egyforma merevítőfal alkalmazása esetén minden fal igénybevétele azonos lesz, és a rendszer vizsgálata egyetlen, az i-edik szinten Qi/n vízszintes erővel terhelt fal igénybevételeinek meghatározására vezethető vissza. 3 VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0 Sij = Ij n  Ij ⋅ Qi j =1 M5. Ábra Ha a merevítőrendszer elemei elég karcsúak (l/h>5) és nincsenek lyukakkal túlzottan áttörve, akkor az igénybevételeket a rúdszerkezeteknél alkalmazott módszerekkel lehet meghatározni. Ellenkező esetben (vagy ha a fal szélessége erősen változó), a szerkezet húzott és nyomott rácsrudakból álló rúdrendszerrel helyettesíthető, vagy az M6. ábrán feltüntetett helyettesítő

modellek valamelyikével vizsgálható. E vizsgálatok részleteire későbbi tanulmányainkban térünk vissza. M6. Ábra 4 VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0 4. NEM SZIMMETRIKUS MEREVÍTŐ RENDSZEREK A legtöbb gyakorlati esetben a merevítőrendszer elemei nem egyformák és alaprajzi elrendezésük sem szimmetrikus (l. az M5 c ábrát). Vízszintes terhek hatására ekkor a síkjukban merevnek tekintett födémek nem csak eltolódnak, hanem el is fordulnak. Ekkor általában háromdimenziós modellel írható le a szerkezet viselkedése, figyelembe véve a merevítő elemek hajlítását, csavarását, sőt esetenként torzulását is (M7. ábra) A gyakorlati esetek zömében azonban - amikor a merevítő elemek csavarási ellenállása jelentéktelen - az igénybevételek meghatározása a következőkben bemutatott közelítő eljárással is elegendő pontossággal meghatározható. M7. ábra Hajlított, csavart, torzult merevítő mag 4.1 STATIKAILAG HATÁROZOTT

MEREVÍTŐ RENDSZER Ha az épületre működő vízszintes terhek felvételére szolgáló merevítő falak száma 3, a falak nem esnek azonos síkba, és alaprajzi elrendezésük olyan, hogy három fal középsíkja nem működik egyazon függőlegesben, akkor a merevítő rendszer statikailag határozott és az egyes falakra működő igénybevételek egyszerű egyensúlyi feltételekből meghatározhatók. M8. ábra Statikailag határozott merevítő rendszer elemeire működő igénybevételek meghatározása Az M8. ábra alapján a merevítő rendszerre az alábbi egyensúlyi egyenletek írhatók fel: •8 a Qy vízszintes terhelésből: S1 = 5 e2 ⋅ Qy e1 + e2 VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0 S2 = e1 ⋅ Qy e1 + e2 (M1) S3 = 0 • a Qx vízszintes terhelésből: S3 = Q x • az e3Qx nyomatékból: S2 = − S1 = (M2) e3 ⋅ Qx e1 + e2 (M3) A fenti Si erők összegéből bármely i. falra ható erő meghatározható (i = 1, 2, 3) 4.2 STATIKAILAG

HATÁROZATLAN MEREVÍTŐ RENDSZER Amennyiben a merevítő falak száma háromnál nagyobb, úgy az egyensúlyi feltételek mellett, a merevítő elemekre működő igénybevételek meghatározásánál, az alakváltozások kompatibilitását is figyelembe kell venni. Ha a szerkezet elemeinek csavarási merevsége és centrifugális inercianyomatéka elhanyagolható, akkor a merevítő falakra a vízszintes terhekből származó igénybevételek az alábbi egyszerű módszerrel határozhatók meg. Az eljárást gyakran a csavarási középpont módszerének nevezik. Egy merevítő falrendszer csavarási középpontját a következő sajátosságok jellemzik: • • a csavarási középpontban működő erő hatására a szerkezet elemei csupán szintenként azonos mértékű eltolódást szenvednek a csavarási középpontra működő nyomaték hatására a merevítő rendszer elemei azonos mértékben fordulnak el. Megjegyzés: a csavarási középpont általában a merevítő

rendszer inerciáinak súlypontjával azonos, ha a derékszögű négyszög keresztmetszetű merevítő falak vastagsága kicsi. Abban a gyakran előforduló esetben, mikor a vízszintes terhek Q eredője nem a csavarási középpontban működik, a vízszintes terhek hatása felbontható: • • egy a D0 csavarási középpontban működő, és a merevítő falakban S’ igénybevételt előidéző erőre, és egy M0=Qe0 nyomatékra, melynek hatására a falakban S’’ igénybevétel keletkezik, és ahol e0 a Q erő hatásvonalának távolsága a D0 csavarási középponttól (M9. ábra) 6 VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0 M9. ábra Az ábra jelöléseivel: M 0 = Q y ⋅ e0 x + Qx ⋅ e0 y A D0 csavarási középpont koordinátái az x,y koordinátarendszerben: n x0 = n ∑ J yj ⋅ x j j =1 ; n ∑J y0 = yj j =1 ∑J xj ⋅ yj j =1 (M4) n ∑J xj j =1 ahol Jxj és Jyj a j-edik fal inercianyomatéka a saját súlyponti tengelyére. Ha a merevítő

elem több fal összekapcsolása révén kiaalakított merevítő mag, akkor az igénybevételei a saját csavarási középpontjára vonatkoznak. a) A merevítő elem igénybevételei a Q0 erőkből (eltolódási rész) Minthogy a Q0 erő a csavarási középpontban hat, ezért az összes merevítő elem azonos mértékben tolódik el. Az alul befogott konzol eltolódása a z magasságban működő S erő hatására akövetkező alakú: S ⋅ z3 a= (M5) 3EJ Ebből következik, hogy a j-edik merevítő falra működő erő, annak inercianyomatkékával lesz arányos: S= ahol k = 3EJ j z3 ⋅a = k ⋅a ⋅ J j (M6) 3E az összes falra állandó érték. z3 7 VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0 Legyen ax’ és ay’ a mervítő rendszer egyenletes elolódását jellemző érték. Az ennek megfelelő igénybevételek a j-edik falban: S xj = k ⋅ a x ⋅ J xj és S yj = k ⋅ a y ⋅ J yj (M7) Az egyensúlyi feltétel alapján, és a k ⋅ a x és k ⋅ a y

tényezőkel egyszerűsítve: n n i =1 i =1 n n i =1 i =1 ¦ S xi = k ⋅ ax ⋅ ¦ J xi = Qx ,0 k ⋅ ax = ¦ S yi = k ⋅ a y ⋅ ¦ J yi = Q y ,0 k ⋅ a y = Qx , 0 ¦ J xi és Q y ,0 , ¦ J yi melynek felhasználásával az (M7) egyenletek az alábbi alakot veszik fel: S xj = J xj ⋅ Qx ,0 n ∑J és S yj = xi i =1 J yj ⋅ Q y ,0 n ∑J (M8) yi i =1 b) A merevítő elemek igénybevételei az M0 nyomatékból (elfordulási rész) Abban a gyakorlati esetben, mikor a merevítőfalak az x illetve y tengelyekkel párhuzamosak, a rendszer a D0 pont körüli α szöggel való elfordulásának határára a falak ax” és ay” eltolódásai (az M10. ábra alapján) a következőképpen kaphatók: axj = −α ⋅ y j és a yj = α ⋅ x j . yj M10. ábra 8 VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0 Az előbbiek alapján a falak megfelelő igénybevételei az alábbiak lesznek: S xj = k ⋅ a xj ⋅ J xj = −k ⋅ α ⋅ J xj ⋅ y j és (M10) S =

k ⋅ a ⋅ J yj = k ⋅ α ⋅ J yj ⋅ x j yj yj . (Megjegyzés: az eltolódások és erők akkor pozitívak, ha a koordinátar rendszer pozitív tengelyei irányába mutatnak.) A nyomatéki egyensúlyi feltétel szerint: n n i =1 i =1  S yi ⋅ xi −  S xi ⋅ yi = M 0 , az (M10) egyenletek felhasználásával pedig  n  k ⋅ α ⋅  ∑ J xi⋅ yi2 + J yi ⋅ xi2  = M 0  i =1  melyből, k ⋅α = ( M0 . J xi ⋅ yi2 + J yi ⋅ xi2 ) A k*α értékét az (M10) egyenletekbe beírva, a következő eredményt kapjuk: S xj = − J xj ⋅ y j  (J n xi ⋅ y + J yi ⋅ x 2 i 2 i i =1 ) ⋅M0 , (M11) illetve, S yj = J yj ⋅ x j ∑ (J n i =1 xi ⋅ y + J yi ⋅ x 2 i 2 i ) ⋅ M0 Az egyes merevítő elemekre ható teljes erőt az a) és b) alatti részeredmények, vagyis az (M8) és az (M11) összegzésével kaphatjuk meg. 9