Physics | Flexibility » Rugalmasságtan kérdések és válaszok

Rugalmasságtan kérdések és válaszok Tartalomjegyzék 1. A feszültség és alakváltozástenzor fogalma 2. A feszültségi ellipszoid és a Mohr-kör fogalma 3. Főfeszültségek és főnyúlások matematikai és mechanikai jelentősége 4. A biharmonikus differenciálegyenlet alakja és jelentése a rugalmasságtan síkbeli feladatainál 5. A Saint-Venant-elv 6. A virtuális elmozdulás és a virtuális munka fogalma 7. Virtuális erő és virtuális kiegészítő munka 8. Potenciális energia fogalma 9. A potenciális energia stacionariási tétele 10. Kiegészítő potenciális energia fogalma 11. Kiegészítő potenciális energia minimumtétele 12. Elmozdulási hatásábrák fogalma 13. A stabilitásvizsgálat alapvető megoldási módszerei 14. Központosan nyomott egyenestenglyű rúd kritikus erejének meghatározása 15. A mechanikai anyagmodell fogalma Tárgymutató. 2 3 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 Rugalmasságtan minimumkérdések 1. A feszültség és

alakváltozástenzor fogalma Feszültségtenzor: • • • • ( tenzor: két elsőrendű tenzor közötti lineáris transzformációs utasítás, melyet mátrixegyenlet alakjában írunk fel) Feszültségvektor egyenletének tenzoriális alakja: p i =σ ij ·n j (i,j=1,2,3) σ ij => feszültségtenzor az n j vektort a p i vektorba transzformálja F mátrix a σ ij feszültségtenzor mátrixa, szimmetrikus mátrix, a feszültségtenzor ennek megfelelő tulajdonsága: tükrös tenzor σ x τ xy τ xz    F = τ yx σ y τ yz  τ zx τ zy σ z    Alakváltozás-tenzor • • • alakváltozás vektor egyenlete az n irányvektor és a d n alakváltozás-vektor közötti lineáris transzformációt fejezi ki, mely transzformációt adott koordinátarendszerben az A alakváltozásmátrix, koordinátarendszertől függetlenül az alakváltozás-tenzor fejezi ki d i =ε ij ·n j ahol ε ij az alakváltozás-tenzor 1 1   γ xy γ xz   εx

2 2 1  1 A =  γ yx εy γ xz  2 2  1 1 γ ε z   2 zx 2 γ zy  2 Rugalmasságtan minimumkérdések 2. A feszültségi ellipszoid és a Mohr-kör fogalma Feszültségi ellipszoid: • Feszültségvektornak a főtengelyek rendszerében kifejezett egyenlete három skaláregyenlet formájában: p ny p p k = nx m = nz l= σ1 • • • • • • 2  p nx   p ny   p nz   +  =1  +        σ1   σ 2   σ 3  ez a p nx , p ny , p ny koordinátarendszerben egy olyan ellipszoid egyenlete, melynek főtengelyei a 2 • σ3 σ2 ezeket behelyettesítve az iránycosinusok összefüggésébe: ( 2 ) koordinátatengelyekkel egybeesnek, és hosszúságuknak fele σ 1 , σ 2 , σ 3 ez a feszültségi ellipszoid, melyet először Lamé rajzolt fel a test egy tetszőleges P pontjának feszültségállapotát szemlélteti felülete: P pontban felvehető összes normálishoz

tartozó feszültségvektorok végpontjai általános eset: σ 1 ≠ 0 σ 2 ≠ 0 σ 3 ≠ 0 térbeli feszültségállapot speciális esetek: • forgási ellipszoid, és ha még σ 1 = σ 2 akkor az 1,2 síkban minden irány σ1 = σ 2 • • • főirány σ1 = σ 2 = σ 3 gömb, és ha még σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ : hidrosztatikus feszültségállapot egyik főfeszültség zérus: ellipszis => síkbeli feszültségállapot két főfeszültség zérus: egyenes => lineáris feszültségállapot Mohr-kör • tekintsük: általános feszültségállapotban levő pont valamelyik feszültségi fősíkjában fekvő normálisai és az azokhoz tartozó feszültségvektorok • utóbbiak σ n és τ n komponensei a (σ n , τ n ) koordinátarendszerben egy-egy pontot határoznak meg, ezen pontok geometriai helye egy kör, melyet Mohr-féle feszültségi körnek nevezünk • Mohr-kör: feszültségi fősíkokban fekvő normálisokhoz tartozó feszültség-összetevők

zemléltetésének és meghatározásának eszköze 3 Rugalmasságtan minimumkérdések • egyenlete: σ n = σ1 + σ 2 τn = − 2 + σ1 −σ 2 2 σ1 −σ 2 2 cos 2α sin 2α • K középpontja a σ n tengelyen az origótól • Sugara: r = σ1 − σ 2 • 2 tetszőleges N pontjának komponensei tiszta nyírás: • tiszta húzás: • • • h= σn σ1 + σ 2 2 távolságra van és τ n koordinátái az n normálishoz tartozó p n feszültségvektor tiszta nyomás: főirányok meghatározása: Y pontból egyenest húzunk I. és II pontokba 4 Rugalmasságtan minimumkérdések 3. Főfeszültségek és főnyúlások matematikai és mechanikai jelentősége Főfeszültségek: • Kérdés: van-e olyan normális, amelyhez tartozó feszültségvektor a normálissal párhuzamos, vagyis: τ n = 0 és p n = σ n ⋅ n ebbőb : ( pn = F ⋅ n) σ i ⋅ ni = F ⋅ ni • • • matematikából: a megoldás az F mátrix б i

sajátértékeinek és n i sajátvektorainak meghatározása 3 ilyen lesz, mivel a F mátrix harmadrendű 1 0 0 (F − Eσ i ) ⋅ ni = 0 E = 0 1 0 0 0 1 megoldás csak akkor, ha az együtthatómátrix determinánsa zérus: F − Eσ i = 0 σ x −σi τ xy τ xz τ yx σ y −σi τ yz = 0 τ zx τ zy σ z −σi б i -re kifejtve harmadfokú egyenlet (karakterisztikus egyenlet ): σ i3 − I 1σ i2 + I 2σ i − I 3 = 0 I1 = σ x + σ y + σ z I2 = σ x τ xy σ y τ yz σ z τ zx + + τ yx σ y τ zy σ z τ xz σ x σ x τ xy τ xz I 3 = τ zx σ y τ yz τ zx τ zy σ z I 1 ; I 2 ; I 3 : feszültségmátrix invariánsai Ebből meghatározható σ 1 ; σ 2 ; σ 3 három sajátérték, a főfeszültségek, melyekre: • б n normálfeszültség helyi szélsőértékei • б 1 ill. б 3 a legnagyobb illetve legkisebb normálfeszültség a vizsgált P pontban felvehető összes normálishoz tartozó б n normálfeszültségek közül Főnyúlások:

• • szilárd test minden pontjában van három egymásra merőleges irány (alakváltozási főirány), amelyhez tartozó fajlagos hosszváltozások helyi szélsőértéket vesznek fel, ezek a főnyúlások ezeket az (A-E·ε i )·n i =0 sajátértékfeladat megoldása útján kaphatjuk meg 5 Rugalmasságtan minimumkérdések Karakterisztikus egyenlet: ε i3 − I1′ε i2 + I 2′ ε i − I 3′ = 0 I1′ = ε x + ε y + ε z I 2′ = εx 1 γ 2 yx εx I 3′ = 1 2 γ yx 1 γ 2 zx 1 γ xy εy + 1 εy 2 γ zy 2 γ xy εy 1 γ 2 zy 1 ( fajlagos térfogatváltozás!) 2 1 1 1 γ yz ε + x 1 εz 2 γ zx 2 1 γ xz εz 2 γ xz γ 2 yz εz 2 I 1′; I 2′ ; I 3′ : alakváltozástenzor invariánsai 6 Rugalmasságtan minimumkérdések 4. A biharmonikus differenciálegyenlet alakja és jelentése a rugalmasságtan síkbeli feladatainál Síkbeli alakváltozási állapotú test: (ε 2 =0) • test méretei z irányban nem változnak • z irányban

végtelen kiterjedésű vagy véges méretű, de xy síkkal párhuzamos véglapjai a z irányú eltolódással szemben rögzítve vannak • külső teher a z tengelyre merőleges és a z koordinátától független • mérnöki gyakorlatban: z irányú mérete a többi méreténél lényegesen nagyobb Síkbeli feszültségi állapotú test: (σ z =0) a testnek van egy z tengelyre merőleges szimmetriasíkja • z irányú méretei végtelen kicsik • külső teher a szimmetriasíkban (x;y) működik • mérnöki gyakorlatban: z irányú mérete véges, de a többi mérethez képest kicsi • Rugalmasságtan alapegyenletei síkbeli feszültségállapotú testek esetén: egyensúlyi egyenletek: ∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + =0 ∂x ∂y geometriai egyenletek: ∂u εx = ∂x ∂v εy = ∂y ∂u ∂v + γ xy = ∂y ∂x anyagegyenletek: 1 ε x = σ x − v ⋅σ y E 1 ε y = σ y − v ⋅σ x E 1 γ xy = τ xy G ( ) ( ) Nyolc darab ismeretlen van még

benne (σ x ; σ y ; τ xy ; ε x ; ε y ; γ xy ; u; v)   elmozdulás kiküszöbölése: 2 2 ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy (kompatibilitási egyenlet) + = ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 anyagmodell figyelembevétele: ∂ 2τ xy ∂2 ∂2 2 ( 1 ) σ σ σ σ v v v − + − = + x y y x ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 statikai egyenleteket deriválva: 2 ∂ 2σ x ∂ τ xy + =0 ∂x∂y ∂x 2 (  ∂ 2τ yx • ) + ( ) ∂ 2σ y =0 ∂x∂y ∂y 2 utolsó kettőt összeadva illetve kivonva: 7 Rugalmasságtan minimumkérdések ∂ 2σ x ∂ σ y ∂ 2σ x ∂ σ y − − =0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 kompatibilitási egyenletbe helyettesítve:  ∂ 2σ x ∂ 2σ y ∂ 2σ y ∂ 2σ y ∂ 2σ x ∂ 2σ x −ν + −ν = −(1 + ν ) +  ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2  bevezetve a Laplace-operátort: 2 • • ∂ 2τ xy 2 2 =−     2  ∂2  ∂2 ∂2  ∂2  ∂4 ∂4 ∂4 ∆ = ∇ =  2 + 2  és

∆∆ =  2 + 2  = 4 + 2 2 2 + 4 ∂y  ∂y  ∂x ∂x ∂y ∂y  ∂x  ∂x így:  ∂2 ∂2   2 + 2  σ x +σ y = 0 ⇒ ∆ σ x +σ y = 0  ∂x ∂y   bevezetve továbbá a F, Airy-féle feszültségfüggvényt, legyen: 2 • ( • ∂2F σx = 2 ∂y • ) ( ∂2F σy = 2 ∂x ) τ xy ∂2F =− ∂x∂y ezt behelyettesítve:  ∂2 ∂ 2  ∂ 2 F ∂ 2 F   2 + 2  2 + 2  = 0  ∂x ∂y  ∂y ∂x   ∂4F ∂4F ∂4F + 2 + =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 azaz ∆∆F = 0 ez a biharmonikus differenciálegyenlet, más néven tárcsaegyenlet, mely síkbeli feszültségi állapotú testek vizsgálatát teszi lehetővé zérus nagyságú térfogati erők esetén Alkalmazása: 2D, 3D klasszikus mechanikai feladatok Maxwell, Morera: általánosítás 3D esetre repedésekkel gyengített tartományok: Goursat, Kolosov (törésmechanika) ha adott:  tárcsaegyenlet  statikai

kerületi feltételek  σ x k + τ xy l + τ xz m = q x    τ yx k + σ y l + τ yz m = q y    τ zx k + τ zy l + σ z m = q z     egyensúlyi kerületi feltételek akkor alkalmas síkbeli alakváltozási állapotú testek feszültségeinek meghatározására 8 Rugalmasságtan minimumkérdések 5. A Saint-Venant-elv            központos normálerővel terhelt rúd feltettük: a keresztmetszetek az alakváltozás után is síkok maradnak és a feszültségek a keresztmetszetek mentén egyenletesen oszlanak el ez nem igaz a rúdra működő koncentrált erő vagy a rúdban keletkező lyuk vagy bemetszés közelében itt jelentősen eltérhet, feszültségcsúcsok keletkeznek ez a jelenség a feszültségkoncentráció a tehertől távolabbi keresztmetszetek közelítően síkok maradnak Saint-Venant-elv: valamely test vagy szerkezet egy bizonyos szakaszára működő teher eloszlásának módja

lényegesen befolyásolja a teher közvetlen környezetében létrejövő feszültségek és alakváltozások eloszlását, azonban elenyésző hatást gyakorol a távolabbi részek feszültségi és alakváltozási állapotára a keresztmetszet méretével nagyjából azonos hosszúságú szakaszon befolyásolja központosan húzott ill. nyomott rudaknak a feszültségkoncentrációs helyektől távolabb levő N szakaszain a normálfeszültség a σ z = képletből számítható A feszültségkoncentrációs helyeken rideg anyagú rudaknál pontos eloszlást kell figyelembe venni anyagok képlékeny tulajdonsága lehetővé teszi a feszültségkoncentráció helyén ébredő feszültségek kiegyenlítődését és így a korai rideg törés elkerülését 9 Rugalmasságtan minimumkérdések 6. A virtuális elmozdulás és a virtuális munka fogalma Virtuális elmozdulásrendszer egy tetszőleges, geometriailag lehetséges elmozdulásrendszer (←kielégíti a geometriai

egyenleteket és a geometriai kerületi feltételeket) változatlan geometriai feltételek mellett képzett differenciálisan kicsiny megváltozása, variációja.     a vizsgált elmozdulásrendszer véges, (n) szabadságfokú ez az elmozdulásrendszer a c 1 , c 2 , ,c n elmozdulásparaméterek függvényében: u ( x) = u (c1 ; c 2 ; ; c n ) = u ( c ) a virtuális elmozdulásrendszer függvénye ennek variációja: ∂u (c ) ∂u (c ) ∂u (c ) δu ( x ) = δc1 + δc 2 +  + δc n ∂c1 ∂c 2 ∂c n ahol δc1 ; δc 2 ;; δc n virtuális elmozdulásparaméterek geometriai linearitás esetén a tényleges elmozdulásrendszer virtuális elmozdulásrendszernek tekinthető geometriai nemlinearitás esetén a tényleges elmozdulásrendszer nem tekinthető virtuális elmozdulásrendszernek Virtuális munka a tényleges erőrendszernek egy virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkája.  külső virtuális munka: δWk = f T δ e + ∫ q T δ udS + ∫ g T δ

udV (S )  (V ) belső virtuális munka: δWb = − ∫ σ T δ ε dV (V ) 10 Rugalmasságtan minimumkérdések 7. Virtuális erő és virtuális kiegészítő munka Virtuális erőrendszer egy tetszőleges, statikailag lehetséges erőrendszer (←kielégíti az egyensúlyi egyenleteket és a statikai kerületi feltételeket) változatlan statikai kerületi feltételek mellett képzett differenciálisan kicsiny megváltozása, variációja.    statikailag lehetséges erőrendszer véges (n) számú, d 1 , d 2 , ,d n függvényében: q ( z ) = q ( d1 ; d 2 ; ; d n ) = q ( d ) a virtuális erőrendszer függvénye ennek variációja: ∂q(d ) ∂q(d ) ∂q(d ) δq ( z ) = δd 1 + δd 2 +  + δd n ∂d1 ∂d 2 ∂d n független erőparaméter ahol δd1 ; δd 2 ;; δd n virtuális erőparaméterek tényleges erőrendszer virtuális erőrendszernek tekinthető ( a tartók statikai terhelései és belső erői olyan függvénnyel adhatók meg, melyek az

erőparaméterek lineáris függvényei) Virtuális kiegészítő munka a tényleges elmozdulásrendszernek egy virtuális erőrendszeren végzett munkája.  külső virtuális kiegészítő munka: ~ δWk = eT δ f + ∫ u T δ qdS + ∫ u T δ gdV (S )  (V ) belső virtuális kiegészítő munka: ~ δWb = − ∫ ε T δ σ dV (V ) 11 Rugalmasságtan minimumkérdések 8. Potenciális energia fogalma    energia: olyan munkavégző képesség, amellyel helyzeténél vagy alakváltozásainál fogva egy test rendelkezik erő potenciális energiája: az az energia, amellyel az erőt kifejtő test rendelkezik külső potenciál: vizsgált testre ható külső erők potenciális energiája: π k = − f T e − ∫ q T udS − ∫ g T udV (sq ) (V ) a külső potenciál tehát a külső munka ellentettje  belső potenciál: a vizsgált testben keletkező alakváltozások potenciális energiája, az a munkaösszeg, amely a feszültségekből keletkező

alakváltozások eredményeként halmozódik föl a testben πB = ∫ A(ε )dV = 12 ∫ ε (V ) T HεdV (V ) a belső potenciál tehát a belső saját munka ellentettje  teljes potenciál: π = πK +πB = 12 Rugalmasságtan minimumkérdések 9. A potenciális energia stacionaritási tétele Kimondja, hogy egy lineárisan rugalmas test geometriailag lehetséges elmozdulás-alakváltozási rendszerei közül az a tényleges, vagyis a test egyensúlyi helyzetének megfelelő rendszer, amelynél a teljes potenciális energia állandó értékű, más szóval stacionárius, azaz π = − f T e − ∫ q T udS − ∫ g T udV + 12 ∫ ε T HεdV = stac. (sq ) (V ) (V )   a tétel rugalmas test egyensúlyi feltételét fejezi ki statikailag határozatlan tartók vizsgálatára használjuk: elmozdulásmódszer (azokat az elmozdulásokat kapjuk meg, amelyek függvényében az energiát fölírtuk, ebből számíthatók a reakcióerők 13 Rugalmasságtan

minimumkérdések 10. Kiegészítő potenciális energia fogalma potenciális energia duális megfelelője kiegészítő munka ellentettje   Külső kiegészítő potenciális energia: a vizsgált testre ható külső elmozdulások kiegészítő potenciális energiája: π~ = −e~ T f − u~ T qdS − u~ T gdV ∫ k ∫ ( su ) (V ) Belső kiegészítő potenciális energia a vizsgált testben keletkező feszültségek kiegészítő potenciális energiája: ~ π~ = A(σ )dV = 1 σ T DσdV B ∫ (V ) 2 ∫ (V ) Teljes potenciál: π~ = π~K + π~B =  14 Rugalmasságtan minimumkérdések 11. Kiegészítő potenciális energia minimumtétele Kimondja, hogy egy lineárisan rugalmas anyagú test statikailag lehetséges erő-feszültség rendszerei közül az a tényleges, vagyis a test geometriailag lehetséges helyzetének megfelelő rendszer, amelynél a teljes kiegészítő potenciális energia minimális, azaz: π~ = −e~ T f − u~ T qdS − u~ T gdV + 1

σ T DσdV = min . ∫ ( su )   ∫ (V ) 2 ∫ (V ) a tétel rugalmas test kompatibilitási feltételét fejezi ki kiegészítő potenciális energia stacionaritása esetén a minimum automatikusan teljesül, mivel az erőrendszer az erőparamétereknek lineáris függvényeként fordul elő 15 Rugalmasságtan minimumkérdések 12. Elmozdulási hatásábrák fogalma    a tartónak egy megadott ξ paraméterű keresztmetszetében keletkező abszolút elmozdulást, amely az ismert (változó) x koordinátájú helyen működő egységerő okoz abszolút elmozdulási hatásnak nevezzük azt a függvényt, amely a ξ paraméterű keresztmetszetben az x koordinátájú egységerő által okozott abszolút elmozdulási hatást jellemzi, abszolút elmozdulási hatásfüggvénynek nevezzük az elmozdulási hatásfüggvény ábrája az elmozdulási hatásábra, melynek minden egyes ordinátája megmutatja, hogy mekkora az elmozdulás a vonatkozási helyen, ha az

egységteher az ordináta felett áll Készítése: egység (dinám) rendszer elhelyezése után meghatározzuk a pályaszintnek ebből származó függőleges eltolódás-vetületi ábráját egységnyi függőleges erő η ek , y ( ) η (e ) egységnyi vízszintes erő η (ϕ k ) egységnyi erőpár η (u y ) két, egymást egyensúlyozó, y irányú egységerő η (u z ) két, egymást egyensúlyozó, z irányú egységerő η (ϑ ) két, egymást egyensúlyozó egységnyi erőpár k ,z 16 Rugalmasságtan minimumkérdések 13. A stabilitásvizsgálat alapvető megoldási módszerei Kinematikai vizsgálat:    az egyensúlyban levő rendszeren q i (i = 1,2,  , n) virtuális elmozdulásokat hozunk létre, azaz a rendszert egyensúlyi helyzetéből kimozdítjuk egyensúlyi állapot stabilis: bármilyen lehetséges zavarás esetén eredeti helyzetébe visszatér labilis: létezik legalább egy olyan kis zavarás, melynek következtében eredeti

helyzetétől távolodik a rendszer Energetikai vizsgálat:   a rendszer potenciális energiáját a q i (i = 1,2,  , n) elmozdulásparaméterek függvényében kell kifejezni: π = π (q i ) az egyensúlyi állapotot az jellemzi, hogy a potenciális energia első variációja zérus, azaz: ∂π ∂π ∂π δπ = δq1 + δq 2 +  + δq n = 0 ∂q1 ∂q 2 ∂q n ez tetszőleges δq i variációk esetén akkor teljesül, ha : ∂π = 0 i = 1,2,  , n ∂q i  ebből az n számú egyenletből a rendszer egyensúlyi helyzetét meghatározó q10 , q 20 ,  q i 0 ,  q n 0 elmozdulásparaméterek meghatározhatók Egyensúlyi állapot vizsgálata: a potenciális energia második variációját kell figyelembe venni:   d 2π 〉 0 potenciális energiának minimuma van az egyensúlyi állapot biztosan stabilis dq 2  d 2π 〈0 dq 2  d 2π = 0 a potenciális energia az egyensúlyi helyzet kicsiny környezetében állandó, az dq 2 potenciális

energiának maximuma van, biztosan labilis egyensúlyi helyzet kritikus (Egyensúlyi vizsgálat: csak a kritikus egyensúlyi állapottal foglalkozik  az egyensúlyi helyzeten kívül ahhoz végtelen közel levő más helyzetekben is lehetséges egyensúly  ezt az egyensúlyi egyenletek segítségével megfogalmazva vizsgáljuk)  17 Rugalmasságtan minimumkérdések 14. Központosan nyomott egyenestengelyű rúd kritikus erejének meghatározása Kritikus erő: az erőnek az az értéke, amelynek elérésekor a stabilis állapot megszűnik és az egyensúlyi állapot labilissá válik. Kinematikai vizsgálat: M k kitérítő nyomaték M k = Flδϕ M v visszatérítő nyomaték M v = kδϕ M v 〉M k stabilis M v 〈M k labilis Mv = Mk kritikus Ebből: Flδϕ = kδϕ Fkr = k l Energetikai vizsgálat:  belső potenciális energia ϕ függvényében: π B = 12 kϕ 2  külső potenciális energia F erő munkájából: π K = − 12 Flϕ 2  2 2 1 1

teljes potenciális energia: π = π B + π K = − 2 Flϕ + 2 kϕ  egyensúlyi állapotra:  akkor van egyensúly, ha:  ϕ = 0 , vagyis függőleges helyzetben   dπ = − Flϕ + kϕ = (Fl − k )ϕ dϕ F = Fkr = k , ekkor a kis elmozdulások keretén belül ϕ értéke tetszőleges lehet l d 2π = k − Fl dϕ 2 k − Fl 〉 0 stabilis k − Fl 〈0 labilis k = Fl Fkr = k l kritikus Egyensúlyi vizsgálat:  kimozdított helyzetet keresünk, ahol egyensúlyban van  nyomatéki egyenletet írunk fel erre a kimozdított helyzetre: 18 Rugalmasságtan minimumkérdések Flδϕ − kδϕ = 0 k l 15. A mechanikai anyagmodell fogalma Fkr =      anyag belső viselkedését leíró egyenletek feszültségek és alakváltozások közötti kapcsolatot írják le valóságot leegyszerűsíti, az egyszerűsítés mértékét a felhasználás célja, jellege dönti el a fizikai valóság idealizált formáját matematikai formában használjuk

fel általános feltételek:  anyag viselkedését időfüggetlennek tekinti  izotermális körülmények között vizsgáljuk az anyagot 19 Rugalmasságtan minimumkérdések 20 Rugalmasságtan minimumkérdések 21 Rugalmasságtan minimumkérdések Tárgymutató A abszolút elmozdulási hatás · 16 abszolút elmozdulási hatásfüggvény · 16 Airy-féle feszültségfüggvény · 8 alakváltozás-tenzor · 2 anyagegyenletek · 7 anyagmodell · 19 B biharmonikus differenciálegyenlet · 7, 8 E egyenlet · 5,7,10,18,19 egyensúlyi · 7, 8, 11, 13, 17, 18 egyensúlyi egyenletek · 7, 17 elmozdulási hatásábra · 16 elmozdulásmódszer · 13 elmozdulásparaméterek · 10, 17 energetikai vizsgálat · 17, 18 erőparaméterek · 11,15 F feszültségállapot · 3 hidrosztatikus feszültségállapot · 3 lineáris feszültségállapot · 3 síkbeli feszültségállapot · 3 feszültségcsúcs · 9 feszültségi ellipszoid · 3 feszültségi fősík · 3

feszültségkoncentráció · 9 feszültségtenzor · 2 feszültségvektor ·2, 3, 4, 5 főfeszültségek · 5 főirány · 4 alakváltozási főirány · 5 főnyúlások · 5 főtengely · 3 G geometriai egyenletek · 7 Goursat · 8 I invariáns · 5 irányvektor · 2 22 Rugalmasságtan minimumkérdések K karakterisztikus egyenlet · 5,6 kerületi feltételek · 8, 10, 11 Kiegészítő potenciális energia · 1, 14, 15 Kinematikai vizsgálat · 17, 18 Kolosov · 8 kompatibilitási egyenlet · 7, 8 kritikus · 1, 17, 18 L labilis · 17, 18 Lamé · 3 Laplace-operátor · 8 M mátrix · 2, 5 Maxwell · 8 Mohr-kör · 1, 3 egyenlete · 4 középpontja · 4 sugara · 4 Morera · 8 N normálfeszültség · 5, 9 nyomaték · 18 kitérítő nyomaték · 18 visszatérítő nyomaték · 18 P potenciál · 12, 14 potenciális energia · 1,12,17, 18 S Saint-Venant · 9 sajátérték · 5 sajátvektor · 5 síkbeli alakváltozási állapot · 7 síkbeli feszültségi állapot ·7, 8

stabilis · 17, 18 stacionaritás · 13, 15 T tárcsaegyenlet · 8 23 Rugalmasságtan minimumkérdések V variáció · 10, 11, 17 virtuális elmozdulás · 1, 10, 17 virtuális erő · 1, 11 virtuális kiegészítő munka · 1, 11 virtuális munka · 1, 10 24