Tartalmi kivonat
Matematikai feladatok, megoldással Komplex számok z4 Oldja meg a x1 z 2 z3 0 egyenletet a komplex számok halmazán, ha z1 3 i , z2 12 cos120 i sin 120 , z 3 2 e i 2 Megoldás: z1 3 i z 2 3 3i z3 2i z3 2i z1 z 2 3 i 3 3i 2 3 2i i 2 2 3i 1 3i z3 2i 2i i 2 z 4 2cos 240 i sin 240 240 k 360 240 k 360 4 z 2 cos i sin 4 4 4 k 0, z1 2 cos 60 i sin 60 k 1, z 2 4 2 cos150 i sin 150 k 2, z3 4 2 cos 240 i sin 240 k 3, z 4 4 2 cos 330 i sin 330 z4 Az egyenlet megoldásai: Mátrix Írja fel a következő egyenletrendszert mátrixos alakban! Oldja meg az egyenletrendszert az együttható mátrix inverzének felhasználásával!
x 2 y 3z 5 2 x 3 y 2 z 3 3 x 3 y 4 z 8 Megoldás: 1 2 3 A 2 3 2 3 3 4 5 b 3 8 x x y z Ax B x A 1 b 1 2 3 det A 2 3 2 1 3 3 4 3 3 2 adjA 3 2 3 2 4 3 4 3 2 3 2 3 4 2 2 3 4 1 3 3 4 1 3 2 2 2 2 2 3 4 2 3 3 3 3 7. T 2 3 T 3 3 1 5 6 6 2 3 1 2 1 5 3 2 5 4 . 3 3 3 3 1 5 4 1 1 2 2 3 1 5 6 1 A 1 2 5 4 . 7 3 3 1 1 5 5 1 x 6 1 x y 2 5 4 3 1 7 z
3 3 1 8 2 x 1 y 1. z2 Az egyenletrendszer megoldása tehát: Geometria mátrixal B2, 1, - 1, C 2, 0, 1 Egy háromszög csúcspontjai: A 3, 1, 1 , Mekkora a háromszög legkisebb szöge? Megoldás: a BC 0, 1, 2 b AC 1, 1, 0 c AB 1, 0, 2 b 2 c 5 a 5 A legkisebb szög tehát az AC oldallal szemközti szög, tehát az hajlásszöge. a és a c vektorok cos 0 1 1 0 2 2 4 5 5 5 36,87 . A1, 0, - 1 , B 2, 1, 1 , C 0, 1, 2 pontok által meghatározott sík egyenletét! Milyen távolságra van az előbbi síktól a P 3,6, 8 pont? Írja fel az Megoldás: A keresett sík normálvektora: n AB AC i n 3 AB 3, 1, 2 , AC 1, 1, 3 , így j k 1 2
5i 7j 4k 1 1 3 . Az adott pontnak válasszuk az A pontot, így a sík egyenlete: 5 x 1 7 y 0 4 z 1 0 , vagyis 5x 7 y 4 z 1 . A P ponton átmenő, az előbbi síkra merőleges egyenes irányvektora a sík normálvektorával egyenlő, így az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x 3 5t y 6 7t z 8 4t Mindegyik egyenletből a t paramétert kifejezzük, majd a sík egyenletébe helyettesítve kapjuk azt a paramétert amelyet az egyenes paraméteres egyenletrendszerébe visszahelyettesítve a döféspont koordinátái adódnak. 55t 3 77t 6 44t 8 1, amiből t 1. A döféspont koordinátái tehát: D2, 1, 4 A P pont és a sík távolsága a PD PD vektor hossza, azaz 2 3 1 6 4 8 2 2 2 90 . Differenciálegyenlet Oldja meg a következő
differenciálegyenleteket az adott kezdeti feltételek mellett! a./ b./ Megoldás: a./ x 1 y y 0 y 2 2 . y 5 y 6 y e 2 x 6 x 7 A differenciálegyenlet szeparálható. y 0 1, y 0 4 y y dy y dy dx ln y ln x 1 ln C x 1 dx x 1 y x 1 , yá C x 1, a kezdeti feltétel miatt 2 C 2 1 C 2 , y p 2 x 1 a partikuláris megoldás tehát: b./ A homogén diff. egyenlet: a karakterisztikus egyenlet: melynek gyökei: . y 5 y 6 y 0 , 2 5 6 0 , 1 2 és 2 3 yh C1 e 2 x C2 e 3 x A homogén differenciálegyenlet megoldása: A kísérletező függvény a rezonancia miatt:: yk Axe 2 x Bx C yk Ae 2 x 2 Axe 2 x B yk 2 Ae 2 x 2 Ae 2 x 4 Axe 2 x Visszahelyettesítve az eredeti
differenciál egyenletbe: 4 Ae 2 x 4 Axe 2 x 5 Ae 2 x 10 Axe 2 x 5B 6 Axe 2 x 6 Bx 6C e 2 x 6 x 7 A 1 x1 6 B 6 B 1 C2 x 0 5B 6C 7 2x 3x 2x y C e C e xe x 2. á 1 2 A differenciálegyenlet általános megoldása: e2 x A 1 yá 2C1e 2 x 3C2 e 3 x e 2 x 2 xe 2 x 1 A kezdeti feltétel miatt a deriváltja: A kezdeti feltételeket behelyettesítve: C1 1 4 2C1 3C2 1 1 C2 2 1 C1 C2 2 . A kezdeti feltételeket is kielégítő partikuláris megoldás tehát: yá e 2 x 2e 3 x xe 2 x x 2 . Valószínűségszámítás Egy dobozban 10 cédula van, rendre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekkel megjelölve. Egymás után hat cédulát húzunk ki úgy, hogy a kihúzott cédulákat a húzás után nem tesszük vissza. A kihúzott cédulákon lévő számjegyeket
a kihúzás sorrendjében írjuk egymás mellé Mennyi a valószínűsége, hogy a./ páratlan hatjegyű számot kapunk b./ 5-tel osztható hatjegyű számot kapunk? Megoldás Az összes esetek száma:10 9 8 7 6 5 151200 a./ kedvező esetek száma: 1 3 88 7 6 5 5 7 9 b./ 5 8 8 7 6 5 67200 67200 Phatjegyű páratlan 0,444 4. 151200 9 8 7 6 5 0 15120 13440 28560 88 7 6 5 5 A kedvező esetek száma: Phatjegyű 5-tel osztható 28560 0,188 8. 151200 /3 pont / Egy elsőéves tankör „Valószínűségszámítás” vizsgadolgozatainak eredménye valószínűségi változó. A valószínűségi változó lehetséges értékei: 1; 2; 3; 4; 5 A tapasztalatok alapján a felvételei valószínűségek rendre 0,2; 0,35; 0,25; 0,15; p. Számítsa ki a vizsgadolgozatot eredményeinek várható értékét és szórását! Megoldás
Mivel pi 1 , ezért p 1 0,2 0,35 0,25 0,15 0,05. M xi pi 1 0,2 2 0,35 3 0,25 4 0,15 5 0,05 2,5 D 2 xi2 pi M 2 12 0,2 2 2 0,35 32 0,25 4 2 0,15 52 0,05 2,52 1,25. D 1,118. Határozza meg „ t ” értékét úgy, hogy az ha x < 0 0, f x t sin x , ha 0 x 0, ha x > függvény egy folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye lehessen! Mekkora a valószínűségi változó várható értéke? Mennyi a 1 P 0 2 valószínűség értéke Megoldás 0 0 0 1 f x dx 0dx t sin xdx 0dx t sin xdx t cos x 0 t cos cos 0 2t
Így pont / 1 t . 2 0, ha x < 0 1 f x sin x, ha 0 x 2 0, ha x > M x f x dx /2 1 2 1 1 1 x cos x cos xdx 2 0 2 2 1 u x v sin x 2 1 u v cos x 2 x sin xdx 1 1 1 x cos x sin x cos . 2 2 2 2 0 /3 pont / 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 P 0 sin xdx cos x cos cos 0 0,0612. 2 0 2 2 2 2 2 0 Kalácssütéskor 1 kg tésztába 30 szem mazsolát tesznek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsolaszem lesz, ha a mazsolaszemek eloszlása a süteményben Poisson-eloszlású? Megoldás 30 1,5 szem mazsola van. M 1,5 20 P 2 1 P 2
1 P 0 P 1 P 2 1,50 1, 5 1,51 1, 5 1,52 1, 5 1 e e e 0,1912. 0! 1! 2! 5 dkg ban Egy étteremben – vacsoraidőben – a fizető pincérre átlagosan 5 percet kell várni. (A várakozási idő exponenciális eloszlású.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a várakozási idő a./ legfeljebb 3 perc? b./ 5 percnél több? Megoldás 1 1 M 5 5, + így ha x 0 0, 1 F x x 1 e 5 , ha x 0 a./ 3 5 P 3 P 3 F 3 1 e 0,4512. P 5 1 P 5 1 F 5 1 1 e 1 0,3679. b./ Valamely 15 mm-es átmérőjű gépalkatrész átmérője a legyártás után normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 15 mm, szórása 0,5 mm. Egy alkatrészt akkor tekintünk
selejtesnek, ha az átmérője a tervezett értéktől 5%-nál többel tér el. Mekkora a valószínűsége, hogy selejtes alkatrész készül? x x 1,45 46 47 48 49 1394 1374 1354 1334 1315 9265 9279 9292 9306 9319 1,50 51 52 53 54 0,1295 1276 1257 1238 1219 0,9332 9345 9357 9370 9382 Megoldás 15 0,05 0,75 m 15, 0,5. Pselejt 1 P jó 1 P14,25 15,75 1 F 15,75 F 14,25 15,75 15 14,25 15 1 1 1,5 1,5 0 , 5 0 , 5 1 1,5 1 1,5 2 2 1,5 2 2 0,9332 0,1336. Egy derékszögű háromszög befogói a 5 0,1 cm , b 12 0,2 cm . A fenti adatokat használva mekkora abszolút hibával számítható a háromszög átfogója? Megoldás ca, b a 2 b 2 2a a ca a, b 2 a2
b2 a2 b2 2b b ca a, b 2 a2 b2 a2 b2 5 5 2 12 2 13 / 12 12 ca a, b 2 5 12 2 13 / 2,9 12 5 c ca a, b a cb a, b b 0,1 0,2 0,2231 13 13 13 ./ ca a, b 5 Egy 12 fős társaság csónakázni indul. Egy 3, egy 4 és egy 5 személyes csónak áll rendelkezésükre. Hányféleképpen foglalhatnak helyet a csónakokban, ha ketten ugyanabba a csónakba szeretnének ülni? Megoldás A két személy ülhet a 3 személyes, vagy a 4 személyes, vagy az 5 személyes csónakba, egyébként a beülési sorrend érdektelen. 2 10 9 5 2 10 8 5 2 10 7 4 2 1 4 5 2 2 3 5 2 3 3 4 A lehetséges esetek száma:
Egy kockával háromszor dobunk egymás után. Mennyi a valószínűsége, hogy hatos dobás is szerepel a dobott számok között, ha a dobott számok összege 13? Megoldás Legyen A : 6-os is szerepel a dobások között. B : a dobott számok összege 13. P AB PA B PB valószínűséget. Keressük a A dobott számok összege 13, ha dobások esetek száma 1,6,6 2,5,6 3,4,6 3! 3 2! 3! 6 3! 6 ------------------------- 3,5,5 4,4,5 3! 3 2! 3! 3 2! 21 15 P AB 36 és 36 Így 15 P AB 36 15 5 P A B PB 21 21 7 36 . PB Két doboz közül az elsőben 4 fehér, 5 piros és 6 kék golyó, a másodikban 6 fehér, 3 piros és 5 kék golyó van. Az első dobozból húzunk egy golyót és áttesszük a másodikba Ezután a másodikból húzunk egy golyót. Mekkora a valószínűsége, hogy elsőre pirosat
tettünk át, ha másodszorra fehéret húztunk? Megoldás A1 : az első dobozból fehéret teszünk át a másodikba, Legyen A2 : az első dobozból kéket teszünk át a másodikba, Keressük a A3 : az első dobozból pirosat teszünk át a másodikba. B : a második dobozból fehéret húzunk. P A3 B valószínűséget. Az A1 , A2 , A3 események teljes eseményrendszert alkotnak, így alkalmazhatjuk a teljes valószínűség tételt. PB PB Ai P Ai 3 i 1 7 4 6 6 6 5 94 15 15 15 15 15 15 225 . A Bayes-tétel szerint 6 5 PB A3 P A3 15 15 30 P A3 B 94 PB 94 225 . Integrálok Határozza meg a következő integrálokat! dx 1 dx 2 16 x 2 1 x arcsin x a./ b./ dx c./ x 3 2 ln x Megoldás 1 1 16 x 2 dx 16 a./ 1 1 dx 2 16 x 1 4 x 4 c 1 arctg x
c 1 4 4 4 arctg . b./ arcsin x 2 arcsin x dx 1 1 dx 1 x arcsin x 2 1 1 x2 1 2 c 2 arcsin x c 2 c./ 1 1 2 dx 1 1 x 3 2 ln x 3 2xln x dx 2 3 2 lnx x dx 2 ln 3 2 ln x c . Határozza meg a következő integrált! x2 x 2 x3 x dx Megoldás x2 x 2 A Bx C 2 x 1 x3 x dx x x 2 1 dx x x 2 1 dx x 2 x 2 Ax 2 A Bx 2 Cx x2 x1 x0 1 A B B 1 1 C 2 A 1 x 1 2 2 2 2 dx 2 ln x ln x 1 arctgx c 2 x x 1 x 1 . Határozza meg a következő integrálokat! 1 2 a./ Megoldás ar ctg 2 x dx 0 1 b./ x 0 1 x dx . 1 2 a./ arctg 2 x dx 1 2
1 1 arctg 2 xdx 0 0 u 1 v arctg 2 x 2 u x v 1 4x2 2x 2 x arctg 2 x dx 2 1 4x 0 1 2 1 1 1 1 1 2 x arctg 2 x ln 1 4 x arctg1 ln 2 ln 2 0,2194 4 4 2 4 4 0 2 . b./ t2 2 t2 t2 1 x t t5 t3 2 2 4 2 x t 1 t 1 t 2tdt 2t 2t dt 2 2 0 x 1 x dx dx 3 t 1 2tdt 5 t1 t1 1 1 2 2 2 2 25 23 0,6438 3 5 5 3 . Határozza meg a következő improprius integrált! 1 ln x dx 0 Megoldás 1 ln x dx Az ln x függvény a 0 helyen nem korlátos, ezért az integrál improprius. 0 1 ln x dx 0 1 1 ln xdx x ln x x 1. x ln x x 0 1 ln1 1 lim 1 0 0 u 1 v ln x 1 u
x v x 1 ln x x lim x 0. x ln x lim lim lim 1 1 0 0 0 0 2 x x Deriválás Deriválja az alábbi függvényeket az x független változó szerint: sin 4 x 2 5 x y xe 2 x y 2 ln y 0 ln x 3 3 x 2 a./ b./ c./ f x 3x 4 8 tg 5 x 2 Megoldás y a./ sin 4 x 2 5 x ln x 3 3 x 2 3x 2 3 cos 4 x 5 x 8 x 5 ln x 3 x 2 sin 4 x 5 x 3 x 3x 2 y ln 2 x 3 3x 2 b./ 2 3 2 xe 2 x y 2 ln y 0 1 e 2 x xe 2 x 2 2 yy ln y y 2 y 0 y e 2 x 2 xe 2 x y 2 y ln y y c./ f x 3x 4 8 tg 5 x 2 ln f x tg 5 x 2 ln 3 x 4 8 1 5 12 x 3 4
f x ln 3 x 8 tg 5 x 2 f x cos 2 5 x 3x 4 8 5 12 x 3 4 ln 3 x 8 tg 5 x 2 2 3 x 4 8 cos 5 x Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények elsőrendű parciális deriváltjait! f x 3 x 4 8 tg 5 x 2 f x, y a./ Megoldás f x x, y a./ f y x, y 2 xy x2 y2 3x b./ 2 y x 2 y 2 2 xy 2 x x 2 x 2 y2 2 2 x x 2 y 2 2 xy 2 y y2 2 f x x, y 4 y ln4 y 3 3x b./ f y x, y 3 x 4 y f x, y 4 y 3 x 1 3 Határérték an ln 2n 1 2n 2 ( n N ) sorozat határértékét, és számítsa ki az Határozza meg az 10 3 -hoz tartozó küszöbszámot! Megoldás 2n 1 ln1 0 2n 2 . 2n 1 2n
1 ln 0 10 3 1 2n 2 , ezért az abszolút értéket felbontva , mivel 2n 2 1 1 2n 1 2 n ln 10 3 10 3 2 1 e , azaz n 499,25 . 2n 2 , amiből lim ln A küszöbszám tehát n0 499 . Határozza meg a következő határértékeket! ( A L’Hospital szabályt nem használhatja!) 3n 2 lim 3n 6 a./ Megoldás n 2 5 lim b./ 2 x 3 x 2 14 x 24 x2 x 2 a./ n 3n 2 lim 3n 6 b./ n 2 5 n 2 23 1 3n 2 5 e 3n lim lim 6 1 2 3n 6 e3 6n n n 83 lim e 0 1 . x 3 x 2 14 x 24 x 2 x 2 x 12 x 2 x 12 6 lim lim lim 2 2 2
2 x 2x 1 x2 x 2 x 1 3 . A számlálót polinom osztással alakítjuk szorzattá: x3 x 2 14 x 24: x 2 x 2 x 2 x3 2 x 2 x 2 14 x 24 x2 2x 12 x 24 12 x 24 0 Függvényvizsgálat 1 x Határozza meg az f x x e függvény inflexiós pontjait! Határozza meg az inflexiós pontban (pontokban) az inflexiós érintő egyenletét! Megoldás f x x e1 x D f R f x e1 x x e1 x 1 e1 x 1 x f x e1 x 11 x e1 x 1 e1 x 2 x f x 0 , ha e1 x 2 x 0 , vagyis x 2 , hiszen e1 x 0 . x f x f x , 2 2 0 inf . 2, 2 Pinf 2; e, y Az inflexiós érintő egyenlete: 2 1
x 2 e e . f 2 1 e