Fizika | Felsőoktatás » Az elektrosztatikus erőtér alaptörvényei

1. Az elektrosztatikus erőtér alaptörvényei (erőtér, térerősség, erővonalak, fluxus, Gauss-tétel, potenciális energia, potenciál és feszültség) Az elektrosztatikus kölcsönhatás hétköznapi jelenség. Bizonyos tárgyak dörzsöléssel olyan állapotba hozhatók, hogy egymásra erőt fejtenek ki. Ez a kölcsönhatás független a gravitációtól. Az anyagnak ezt a tulajdonságát elektromos töltésnek nevezik A tapasztalat szerint a megdörzsölt testek között vonzás és taszítás egyaránt felléphet, ezért a jelenségek értelmezéséhez kétféle elektromos töltés létezését kellett feltételezni. Az üveg megdörzsölésével fellépő töltést pozitívnak, az ebonitrúd dörzsölésével előállítható töltést negatívnak nevezték el. Ma tudjuk, hogy a proton pozitív, az elektron negatív töltést hordoz A magukra hagyott anyagokban azonos mennyiségű pozitív és negatív töltés van. A dörzsölés során ez az egyensúly felbomlik. A

dörzsölt anyagban az egyik, a dörzsölő anyagban a másik fajta töltésből lesz több. A töltések közötti kölcsönhatást torziós mérleggel tanulmányozhatjuk. Két pontszerű töltés között fellépő erő: F 21 = K E [(Q 1 Q 2 ) / r 12 2] u 12 A törvény kifejezi azt is, hogy azonos előjelű töltések taszítják, ellenkező előjelűek pedig vonzzák egymást. A tapasztalat szerint a két kölcsönható töltésre ható erő ellentétes irányú, és azonos nagyságú, azaz Newton III. törvénye teljesül Az előbbi összefüggés akkor használható, ha a két kölcsönható test környezetében nincs más test. A töltés ma használt egysége az 1 Coulomb (1 C = 1 As). A töltés egységének ilyen választása esetén az arányossági tényezőre azt kapjuk, hogy K E = 9 * 109 N m2 / C2. Erőtér és térerősség: Egy Q töltés környezetében elhelyezett másik (q) töltésre erő hat, vagyis egy töltés maga körül a térben olyan fizikai állapotot hoz

létre, amelynek eredményeképpen bármilyen másik odahelyezett töltésre elektrosztatikus erő hat. Rövidebben ezt úgy mondhatjuk, hogy a Q elektromos töltés maga körül elektrosztatikus erőteret hoz létre. Ilyen erőtér akkor van, ha egy mérőtöltést teszünk a kérdéses helyre, és arra erő hat. Ennek erőssége: E = F E / q = K G (Q / r2) u ahol u a teret létrehozó töltéstől a mérőtöltés felé mutató egységvektor. A képlet azonban csak egyetlen pontszerű töltés által létrehozott erőtérre jellemző. Több töltés által létrehozott erőteret úgy tudunk jellemezni, hogy megvizsgáljuk a mérőtöltésre az összes jelenlévő töltés által kifejtett erőt. Ez kiszámítható a szuperpozíció elv alkalmazásával: F E =  K E [(q Q i ) / r i 2] u i = q  K E (Q i / r i 2) u i = q E Az elektromos tér jellemzésére az adott pontban az E = FE / q vektort használjuk, amelyet elektromos térerősségnek nevezünk. Ezek alapján bármilyen

erőteret, melyet valamilyen töltés maga körül létrehoz, úgy tudjuk jellemezni, hogy a tér minden pontjában megadjuk a térerősség vektort. Térerősségvonal-kép, fluxus: A vektorteret szemléletessé tudjuk tenni úgy, hogy a különböző pontokhoz tartozó térerősség vektorokat egy ábrán tüntetjük fel. Ennél áttekinthetőbb és hasznosabb ábrázolást kapunk a térerősség vonalak bevezetésével. A térerősség vonalat úgy kapjuk, hogy a berajzolt térerősség vektorokhoz olyan görbéket szerkesztünk, amelyekhez egy pontban húzott érintő az adott ponthoz tartozó vektor irányába mutat. A térerősség vonalnak irányt is adunk, ami megegyezik a hozzá tartozó térerősség vektorok irányával. Amikor egy térrészben minden ponthoz azonos vektor tartozik, homogén vektortérről beszélünk. Ilyen térben a térerősség vonalak párhuzamos egyenesek A térerősségvonal-képet mindig úgy szerkesztjük meg, hogy bármely pontban a térerősség

vonalakra merőleges egységnyi felületet annyi térerősség vonal metssze át, amennyi ott a vektorteret alkotó vektor nagysága A vektorterek jellemzése szempontjából fontos szerepet játszik egy felületet metsző térerősség vonalak számának az ismerete. Egy A felületelemet átmetsző térerősség vonalak számértéke úgy kapható meg, hogy a felületelemnek a térerősség vonalakra merőleges vetületét megszorozzuk a térerő nagyságával. Az így kapott mennyiséget, a teret jellemző új adatként vezették be, amelyet az „a” vektortér A felületére vonatkozó fluxusának neveznek.  A a = a A cos  Itt  a térerősség vektor és a felület által bezárt szög. Ha felvesszük a felületre merőleges u N egységvektort, akkor az előbbi összefüggés vektorosan:  A a = a u N A = a A Ez a mennyiség megadja a A felületelemet átmetsző térerősség vonalak számát. A fluxus dimenzióval rendelkező mennyiség,

és előjeles. Gauss törvény: Elektrosztatikus térben a forráserősség tetszőleges zárt felületre:  zárt E = 4  K E  Q ahol  Q a felület által bezárt töltések algebrai összege. Az elektrosztatikus tér forrásos, vagyis erővonalai valahol kezdődnek és valahol végződnek. Az elektrosztatikus tér forrása mindig elektromos töltés, erővonalai töltésekből indulnak ki, és töltéseken végződnek. Az elektromos térre vonatkozó törvények alakjának egyszerűsítése érdekében a K E állandót egy másik állandóval szokás kifejezni: KE = 1 / 4  0 ahol  0 a vákuum permittivitása. Értéke  0 = 8,855 * 10-12 C2 / Nm2. Ezek után az elektrosztatikus tér alapvető tulajdonságát kifejező alaptörvény az alábbi módon írható fel (Gauss törvény):  E dA = Q /  0 Potenciális energia, potenciál és feszültség: Ha kiválasztunk egy O vonatkoztatási pontot, és egy q mérőtöltést egy tetszőlegesen kiválasztott

P pontból ide átviszünk, akkor a tér által eközben végzett munka mindig ugyanaz lesz. A tér által végzett munka révén a test maga is ugyanekkora munka elvégzésére lesz képes, vagyis a töltés a P pontban meghatározott munkavégző képességgel rendelkezik az O vonatkoztatási pontba való átmenetnél. Ezt a tér által biztosított munkavégző képességet a kérdéses töltés P pontbeli potenciális (helyzet) energiájának nevezzük. E hO e(P) = W PO e = q  E dr = - W OP e = - q  Edr Fontos, hogy a helyzeti energia mindig egy vonatkoztatási ponthoz viszonyított mennyiség. Az energia megmaradás tétele csak olyan erőtérben érvényes, amelyben helyzeti energia vezethető be. A helyzeti energia nemcsak a helytől és a jelenlévő erőtértől függ, hanem a vizsgált töltés nagyságától is. A helyzeti energiából könnyen kaphatunk egy helytől függő, de csak az erőtérre jellemző mennyiséget: U O e(P) = E hO e(P) / q = -  Edr Ezzel az

eljárással az erőtér bármely P pontjához hozzárendelhetünk egy skalár mennyiséget, amelyet az elektrosztatikus tér pontbeli potenciáljának nevezünk. Ez is mindig egy vonatkoztatási ponthoz viszonyított mennyiség. Az alaptörvények összefoglalása: Kölcsönhatási törvény: F 21 = (1 / 4   0 ) (Q 1 Q 2 / r 12 2) u 12 Térerősség: E = F E q / q I. alaptörvény(örvényerősség):  Edr = 0 II. alaptörvény (forráserősség):  E dA = Q /  0 Potenciál: U O e(P) = -  Edr q töltés potenciális energiája: E hO e(P) = q U 0 e(P) = - q  Edr