Matematika | Felsőoktatás » Mészáros Árpád - Algebradidaktika

Bevezetés Az alábbiakban a „normál” tantervű gimnáziumok 9. évfolyamai számára oktatandó matematikai, azon belül algebrai anyagrész egy témakörét (algebrai egész-és törtkifejezések) dolgozzuk fel didaktikai szempontból. Ennek a munkának az eredményeképp és második részeként a témakör tanításának reményeink szerint lehetséges, esetleg érdemes módja adódik. Szerettük volna figyelembe venni (amennyiben ilyen, viszonylag kis résztémakör esetében ez megtehető), a Nemzeti Alaptanterv újító szellemű, a tantárgyak helyett műveltségi területekben gondolkodó pedagógiai-didaktikai frazeológiáját is. E szemlélet az iskolai tananyagot − nemcsak a leírt formátumú tényanyagot, hanem mindenféle, iskolával kapcsolatos ismeretetképességet-elvárást stb. − többé-kevésbé körülhatárolt komplex, koncentrált ismeretterületekre osztja. Az emberiség által évezredek alatt felhalmozott információmennyiségnek nemcsak

összetétele, hanem (ismeretterületekre való) strukturálása is folyamatosan változik. Minden korban vannak a társadalom, vagy legalábbis az azt irányító elit szempontjából fontosabb összetevői. Például az antik korban ilyen terület volt a retorika és jog, a középkorban a latin nyelv ismerete és a keresztény-katolikus-bibliai műveltség, a múlt században a természettudományokban való eligazodás. A legtöbb és legmeghatározóbb nemzeti illetve nemzetközi tanterv, sztenderd, program az „általános- és alapműveltség” jelenlegi fő összetevőit jobbára az -) anyanyelvi, nyelvi, -) matematikai, -) természettudományos, -) informatikai ismeretterületek egy-egy kombinációjában jelöli meg. A matematika, lévén az utóbbi kettőnek is egyik alapja, a modern világban való eligazodás egyik alapeleme, a világgal való kommunikáció egyik alapnyelve. Ez a tény globalizálódó, az anyagi és gazdasági értékekre egyre abszolútabb

(p)referenciaként tekintő, közgazdasági folyamatok eredőjeként elképzelt társadalmunkban jó eséllyel csak még határozottabban fog érvényesülni. Aki a matematikai jellegű ismeretterületeket valamiféle elvont, a valóságtól elrugaszkodott, értelmetlen szimbólumokkal való játszadozásnak, rosszabb esetben szőrszálhasogatásnak tartja, az végképp nincs tisztában ennek a tudományágnak a valódi szerepével. Ez persze ritkán az ő hibája: égető kérdés, hogy ezen ismeretterületek fontossága, szerepének összetettsége megfelelően megjelenik-e, és egyáltalán megjeleníthető-e a középfokú oktatásban; részben általában, részben a mai viszonyok mellett. Ha nem is tudjuk megoldani az ilyesfajta kérdéseket, úgy érezzük, a kép tisztasága és teljessége érdekében a következőkben óhatatlanul ki kell térnünk ezekre is. I. A téma „makroszerkezete”: tematikája és mibenléte általában I.1 Az elemi algebra és

kerettantervbeli megjelenése Az általunk választott bővebb témakör, a továbbiakban „elemi algebra” mibenlétét leginkább „a racionális ill. valós számok feletti ismert + összeadás és · szorzás műveletek törvényeinek; illetve a származtatott műveletek, azaz a racionális (illetve valós) számhalmaz-számtest tulajdonságainak; általában a betűkkel (mint paraméterrel, ismeretlennel, néha változóval, illetve határozatlannal) való számolásnak (betűs kifejezések átalakításainak, illetve egyenletek megoldásának); nemkülönben ezen ismeretek és készségek matematikán belüli, illetve azon kívüli (alkalmazott, gyakorlati) feladatok megoldása során történő alkalmazásának elméleteként” határozhatjuk meg. Az „elemi algebra” szókapcsolat így ma már csak többé-kevésbé helyettesíthető a régebben alkalmazott magyar „betűszámtan” kifejezéssel: jelentése jóval bővebb ennél. Röviden, felsőbb matematikai

fogalmakkal elmondva az elemi algebra a racionális illetve valós számtest feletti, számszerű illetve általános kifejezésekkel történő számolásnak és alkalmazásainak elméletét jelenti. A kerettanterv az elemi algebra csak egy részének oktatását írja elő (természetesen: mindent nem is lehet oktatni, részben a tanulókra való tekintettel, de azért sem, mert egy tudományág ritkán van lezárt, befejezett állapotban). Például az egyenletek témaköre csak egyismeretlenes első- és másodfokú egyenletek megoldására korlátozódik, a törtkifejezések témaköre nem tartalmaz, mondjuk, a lánctörtekre vonatkozó kötelező ismereteket, stb. Vannak a kerettantervi anyagbál bővebb elemi algebrának határterületei, amelyek nem sorolhatóak egyértelműen csak ide vagy oda. Például a kétismeretlenes diofantikus egyenletek témaköre nem tartozik egyértelműen ide, inkább a számelmélethez, de azért egy picit ide is tartozik. A binomiális tétel nem

tartozik egyértelműen a kombinatorika-valószínűségszámítás témakörébe, inkább az elemi algebrához, de azért a a kombinatorikavalószínűségszámítás témakörébe is tartozik. A fenti definíció alapján sincs az „elemi algebra” ismeretterületnek éles határa. Ez egy olyan, rengeteg keresztbe-kasul alkalmazott ismeretet és izomorf struktúrát tartalmazó tudományág esetén, mint a matematika, a dolgok természetéből adódik. Szemmel tartva, hogy a fogalmaknak legalább kétféle definíciója van (elemeik egy közös tulajdonságának megadása, körülírása, illetve elemeik felsorolása), megnézzük, hogy a kerettanterv szerint milyen részismeretek sorolhatóak az elemi algebra témakörébe. E témakör, a spirális körüljárás elvének megfelelően, illetve egyéb okok (pl. a fizikaoktatással való kapcsolata miatt) végigvonul a 9.-12 osztályos tananyagon, és a következő fejezeteket tartalmazza (vastagon szedtük az általunk

választott szűkebb témakör címeit): 9. évf -1). Hatványozás természetes ill egész kitevőre Normál alak Abszolút érték. -2). Nevezetes azonosságok Binomiális tétel (spec esetei) -3). Algebrai kifejezések Törtkifejezések -4). Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek -5). Abszolút értékes egyenletek -6). Számelmélet: prímszámok, oszthatóság -7). Alkalmazások: százalékszámítás, képletek, egyenletek, -rendszerek 10. évf -8). Irracionális számok A valós szám fogalma Tizedestörtek -9). A gyökvonás és azonosságai Az n-edik gyök -10). Másodfokú egyenletek -11). Egyenlőtlenségek: elsőfokú, másodfokú Nevezetes egyenlőtlenségek -12). Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása, paraméteres egyenletek. Grafikus módszer szöveges feladatok, -13). (Vektorok, vektorok algebrája – a geometria részeként sorolják fel) -14). Alkalmazások: százalékszámítás, képletek, egyenletek, kezelése 11. évf -15). Pozitív alapú

racionális kitevős hatványok -16). A logaritmus és azonosságai -17). Exponenciális és logaritmusos egyenletek 12. évf -18). (matematikai logika Boole-algebra, halmazalgebra) -19). Számelméleti összefoglalás, ismétlés -20). Elemi algebra összefoglalás, ismétlés. -21). Alkalmazások: egyenletek és valós problémák kezelése, modellezés 9-12. évf -22). Általános készségek és képességek (számolási, önellenőrzési, diszkussziós stb.) folyamatos, minden évfolyam során történő fejlesztése I.2 Az „elemi algebra” matematikán belüli szerepéről, oktatásának legtöbb helyen tapasztalható jelenlegi helyzetéről Az „alapműveltségi területek” közt a bevezetőben elmondottak alapján kitüntetett helyet elfoglaló matematikán belül az általunk választott témakör, azaz az elemi algebra szintén speciális helyzetben van. Nevezetesen: az algebra (úgy az elemi, mint az absztrakt) alighanem a matematika egyik „legtisztább” ága.

Ezen a következő, összefüggő állításokat szokás érteni: -) semmi vagy majdnem semmi lehetőség nincs a „való életben” történő alkalmazására (ezt az állítást később megkíséreljük legalább részben megcáfolni); -) a lehető legkevésbé szemléletes tudományterület: a geometriát vagy az analízist lehet „látni”, de az algebrában való intuitív eligazodás, egyáltalán az iránta való érdeklődés csak keveseknek adatik meg, ezért mindig a legnagyobb (idegenkedéssel vegyes) csodálatot kelti. Ennek egyik okát az algebra metatudományág jellegének erős voltában látjuk. Ezen azt értjük, hogy az algebra elsősorban a matematikán belül talál alkalmazásra, tulajdonképp a matematika nyelve („Ahogyan a természettudományok nyelve a matematika, úgy a matematikáé az algebra.” − Fried Ervin), mely nyelv sokféle matematikai tapasztalat hosszú és folyamatos tudománytörténeti fejlődés eredményeképp létrejövő

egyre nagyobb fokú általánosításával alakul(t) ki. Megfigyelhető a párhuzam: -) A „felsőbb”, matematikusok által is művelt matematika minden területe lényegében egy-egy absztrakt algebrai (vagy legalábbis az absztrakt algebrából kifejlődött struktúraelméleti) elmélet konkrét vagy kevésbé konkrét alkalmazása. Ez elsősorban a formalista Bourbakicsoport munkásságának eredménye, nem biztos, hogy szükségszerűen így kellene lennie. -) Ugyanakkor a középfokú és részben az elemi iskolai matematika is pedig az elemi algebrára, az absztrakt algebra középfokú megjelenésére épül. Pontosabban: így is tanítható a matematika; és a Magyarországon is nagy hatású formalista „New Maths” („újmatek”) oktatási irányzat hatására, amely a formalizmus átültetése a pedagógiai-didaktikai gyakorlatba, ez a jelleg az elemi algebra oktatása során valóban nagy hangsúlyt kapott. Talán nem tévedünk, ha kimondjuk: jelenleg a matematika,

különösen az algebra oktatásában a formalista irányzat a domináns. Ez a középfokú oktatásban is életbevágó problémákat vet fel. A meta-jelleg miatt az algebrai ismeretekre korán van szükség: vélhetően így kerültek a kerettantervben a 9. osztályos tananyag elejére; másrészt a metaismeretek tömeges oktatása csak akkor hatékony, ha a diákoknak már jelentős előzetes tapasztalatuk és motivációjuk van felgyülemlő ismereteik − „tárgyismereteik” − „metaismeretekbe” való rendezéséhez. Ezen előismeretek nyilván a racionális, illetve kisebb részben a valós számokra vonatkozó ismereteket, készségeket jelentik. Mindenfajta részletesebb vizsgálat nélkül, mintegy munkahipotézisként megállapíthatjuk: az „elemi algebra” tanítása (a tradíciók miatt is) a számfogalom ismeretére, illetve a számokkal való műveleteknek és ezek törvényszerűségeinek ismeretére épül. Alighanem az általános iskolai tanárok egyik

típushibája (s itt ismét csak utalunk az „újmatek” irányzatára), hogy a fenti ismeretek oktatása mellett vagy szinte azok helyett rögtön az elemi algebrai ismeretek fejekbe gyömöszölésére törekszenek, amikor erre a diákok többségükben, életkori sajátosságaik miatt vagy legalábbis „tárgyismeretek” és tapasztalatok hiányában még nem képesek megfelelően reagálni. A tanárok védelmében el kell mondanunk: sokan akaratuk ellenére kénytelenek ezt csinálni, mert ez van a tantervben (pl. emelt szintű oktatás folyik az iskolában) Ez többek között a felülről építkező és erősen szelektív magyar iskolarendszer egyik jellegzetessége (de mondhatnánk azt is, tünete): a középfokú oktatás megvalósulását elsősorban a felsőoktatásnak való megfelelési kényszer, az elemi oktatást pedig a középfokúnak való megfelelési kényszer határozza meg. A felsőbb szint igyekszik a saját képére formálni az alsót, az „oktatás

színvonala” és egyéb kétes jelentésű, állandóan félreértett, mindig az önérdekre és erőszakos énérvényesítésre utaló fogalmakra hivatkozva. Ez pedig azt a mindenképpen hamis és tudománytalan elvi alapokon álló, a szó szoros értelmében középkori állapotot eredményezi, amelyben a gyermek létezésének egyetlen lehetősége és értelme „kis felnőttként” funkcionálni. Hogy miért ilyen nehéz az algebra megtanítása különösen az elemi iskolákban, az tulajdonképp ma is kérdéses. Nem tudjuk pl., létezik-e „absztrakt gondolkodás” nevű képesség, amely a tanulók nagy átlagában körülbelül tizenegytizenöt éves korban jelenik meg; a gondolkodás empirikus és konkrét alapokról formális és elvont szintre emelkedését jelenti, alapja többek közt az algebrai gondolkodásnak, és megjelenése előtt, egyszerűen idegélettani okok miatt, lehetetlen a formális matematika hatékony megtanulása. A jelenlegi legígéretesebbnek

tűnő pedagógiai irányzat, a konstruktivizmus képviselőinek többsége például kételkedik ilyen „piagetikus” képesség létezésében, még ha nem is vitatják egyes általános képességek bizonyos fokú létezését. Az újmatek (mint pedagógiai irányzat) egyik ellenirányzatának is tekinthető konstruktivizmus szerint gyakorlatilag nincsenek ilyen egyértelműen életkorhoz köthető képességek, inkább az előzetes ismeretek megléte vagy hiánya a meghatározó − összhangban a konstruktivizmus azon észrevételével, miszerint a tanulás folyamata elsősorban az új ismereteknek az egyén már meglévő kognitív sémáiba való beillesztése, összekonstruálása. I.3 A matematika- és algebraoktatás más irányzatairól Tény mindenesetre, hogy nem elhanyagolható mértékű ellenállás tapasztalható a matematika „tiszta” formája iránt nemcsak általános, hanem középiskolás tanulóknál is. Ha az említett képesség létezik, akkor

persze egyszerű dolgunk lenne: bizonyos emberekben már hároméves korban kialakul, a nagy átlagban tizenéves korban; néhány emberben („rossz tanulók és/vagy szellemi fogyatékosok”) sohasem; így a komoly problémákkal küszködőkkel felesleges foglalkozni, hiszen akármit is teszünk, egyszerűen nincsen a tanulóban kognitív struktúra ténykedéseinknek kívánt eredménnyel járó felfogására: legfeljebb várakozni tudunk. Ez esetben e tanulók maximum számolni fognak megtanulni konkrét számokkal, de pl. az (a+b)2=a2+2ab+b2 azonosság csak egy értelmetlen betűsor lesz a számukra, amit gépiesen kell alkalmazni, ha előkerül. Mit tegyünk ez ügyben? Sokféle felfogás, nézőpont, érdek kölcsönhatásának eredményeképp sokféle válasz született e kérdésre. Az egyik például, hogy ne tegyünk semmit, az iskolák feladata az elitképzés, és a tudományorientált magyar oktatás ezt sikerrel végzi. Azon irányzatok, melyek szándékoznak

változtatni egyes dolgokon, nagyjából két csoportra oszthatóak. Elsősorban a reformpedagógiai irányzatok a „mit tanítunk” kérdés felől közelítik meg a dolgot: szerintük nem azt kell tanítani, amit eddig. Néhány irányzat, nagyjából a hagyományos tananyag megtartása mellett, inkább a „hogyan”, vagy egész pontosan az ennél jóval szűkebb szemponthalmazra koncentráló „milyen tálalásban” kérdésére helyezi a hangsúlyt. Ezek tehát nem pedagógiai, hanem pusztán szakmai, didaktikai irányzatok. Egy ilyen, mindenképp figyelembe veendő alternatíva, a realisztikus oktatás irányzata, elsősorban Hollandiából indult ki és ott vált erőssé, az „alkalmazott matematika” elsőbbségét hirdeti a tudományorientálttal szemben. Ebben az oktatási rendszerben a matematikai elméletek egyben, s jobbára csakis, a fizikai-reális-materiális valóság egy-egy darabjai. Például valamely exponenciális függvény semmi más, mint egy

baktériumpopuláció növekedési görbéje. A matematikai absztrakció csekélyebb szerepet játszik, mint a formalizmus oktatási rendszerében. A „tisztaság” és „alkalmazás-orientáltság” a középfokú oktatásban mindig egymás ellen hat. Az „egyetemi IQ-arisztokrácia” mára (a hidegháború, űrverseny és egyéb érdekes globális társadalmi folyamatok vége miatt) kissé belterjessé váló szempontjait egyoldalúan érvényesítő, tiszta tudományok orientálta újmatek mozgalom, sok erénye mellett is, lényegében kudarcnak bizonyult, különösen a tömegoktatás szempontjából. Ám az sem bizonyos, hogy most a ló másik oldalára kellene átesni. A matematika alkalmazásai sem mindig érdeklik jobban a tanulókat − találkoztam irodalomtagozatos diákokkal, akiket érdekelt valamennyire a matematika, de fizikai v. kémiai köntösben egyértelműen utálták, ahogyan a fizikát és kémiát is. Ez az effektus a mai tananyagtúltelített,

specializálódásra fájdalmasan erősen kényszerítő oktatásban nagyon is meghatározó lehet. A diákok egy jelentékeny része (a „tehetségtől” függetlenül a „legjobbak” és „leggyengébbek” egy része is) valóban túlterhelt: kevés ismeretterület elsajátítására specializálódnak, a többivel szemben védekező mechanizmusként érdektelenség alakul ki, ami nem mindig egyenértékű ama „lustasággal”, amelynek ezt a tanár véli. Ez utóbbi probléma lehetséges megoldásainak egyike, ha van ilyen, nem feltétlenül a legegyszerűbb, és csak rövidtávon „gazdaságos”, „racionális” megoldás: a tananyagnak, az iskoláknak és a pedagógusok számának radikális csökkentése lenne (bár ez, mármint a tananyag-csökkentés jelentős mértékben valóban szükséges, a mai sztenderd tananyag egyfajta átstrukturálása pedig egyszerűen elengedhetetlen), hanem inkább a tanulási szabadság növelése, amely kötelezi a diákot arra, hogy

tanuljon valamit, de a mainál lényegesen nagyobb döntésteret (és a döntéstérben való eligazodáshoz tényleges segítséget) nyújt arra nézve, hogy mit. Az ideális − és sajnos nyugodtan mondhatjuk, utópisztikus − iskola nem pusztán oktatási-diktálási, hanem inkább szolgáltató intézmény − a keményen megadóztatott magyar „alsó tízmillió” el is várhatná ezt a pénzéért. Ennek komoly megvalósítása azonban az egész oktatásügyre, még a felsőoktatásra is kiterjedő globális, munkát igénylő és kockázatos kimenetelű, éppen ezért hosszasan előkészítendő reformokat igényelne. Kilencvenkilenc százalék bizonyossággal kijelenthetjük: ezt (hacsak nem áll be vészhelyzet) egyik közeljövőbeli kormányzat sem fogja vállalni. Mégis, egy-egy pedagógus munkaközösség is tehet egyet s mást a jelenlegi problémák megoldásáért, például a minél differenciáltabb (nem szelektívebb!), az egyes tanulók problémáira,

érdeklődésére jobban odafigyelő, alternatívákat felkínáló oktatási stílus preferálásával. Az ideális pedagógus nem pusztán oktatója, inkább menedzsere a tanulóknak. Nem „leadja” az anyagot (találó szó: mintha tehertől szabadulna és átrakná a diákok vállára, és ez így is van: az egyéni problémákra való odafigyelés terhétől szabadul, és ezt a szolgai megfelelés, a behódolás terhének formájában áthárítja a diákokra); nem tollbamondja (diktálja, ld. még a „diktátor” szó jelentését). Az oktatásügy teljes reformjára persze most nem vállalkozhatunk, sőt még arra sem, hogy minden itt felvetett problémát figyelembe vegyünk az órák megtervezésénél. Mindenesetre fontos ezek tudatosítása, különben úgy járnánk, mint az a szakács, akinek leáztak a címkék a fűszeres dobozairól, és most nem tudja, sót vagy cukrot rak-e a levesébe. Vannak a matematika és az algebra oktatásának más irányzatai is.

NagyBritanniában általánosan elterjedt az „empirikusnak” nevezett, és egy szűk értelemben valóban empirikus oktatási módszer. Ez lényegében konkrét feladatok megoldásából áll; a tételeket, eljárásokat bizonyítás nélkül közlik; kifejezések, függvények stb. nemigen szerepelnek, csak számok, esetleg képletek. A matematikai törvényeket a tanulókkal többé-kevésbé önállóan fedezteti fel, sok apró feladat, példa megoldásával. Nem ismerem eléggé e rendszert, sem számszerű mutatóit, de általános iskolában tanítottak ilyen felfogás szerint. Az akkori matematikaórák nem tartoznak életem legérdekesebb élményei közé. Sokat bírálják a „mechanisztikus” rendszerű magyar oktatást a formalista matematikaoktatással kapcsolatban; de ez az empirikus módszerű oktatás legalább annyira mechanisztikus. Ez a módszer épp a matematika egyik (a NAT-ban és a kerettantervben is megfogalmazott) lényegét, a gondolkodást, az

intelligens állampolgárrá nevelést hagyja ki a tanításból. Ennek ellenére biztos vannak tanulók, akik szeretnek számolni, és ha más nem is megy nekik, boldogok, ha legalább a másodfokú egyenlet megoldóképletébe be tudják helyettesíteni a megadott számokat. A probléma ismét ott van, hogy nem mindenki ilyen. Több más probléma is van ezzel a rendszerrel. Például lehet, hogy a tanulók intuitíve „érezni” fognak egy szabályt sok példa megoldása után, de ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy meg is tudják fogalmazni legalább a saját szavaikkal. Ez akkor baj, ha matematikai problémákat kell megoldaniuk A problémamegoldáshoz ugyanis olyan általánosabb kognitív sémák kellenek, melyek kialakulása véleményünk szerint csak esetleges ezen oktatási rendszerben. Általában mindenfajta ismeretterület megtanulásához inkább hasznos ilyen általános sémákkal rendelkezni, mint ugyanannyi tapasztalattal. A tapasztalat inkább a motiválásban

és az előzetes ismeretek szerzésében fontos. Ez ismét csak a konstruktivizmus álláspontja, amely tagadja, hogy a tudományfejlődés a hagyományos tudományelméletek által elképzelt „induktív bázis-általánosítás” folyamat szerint játszódna le. Induktív alapon különben is lehetetlen („tiszta”) algebrát (de általában „tiszta” matematikát) tanítani, hiszen mindent ki lehet számolni számológéppel, s még ha a matematikai ismeretszerzés empirikus-induktív alapon történne is, a törlést jelentő „C” gomb léte eleve nehézzé teszi, hogy bármilyen numerikus tapasztalat alapján egyáltalán induktív bázis alakulhasson ki. De nehézzé teszi az is, hogy a számológép közelítő értékekkel számol: egy β=20,1361o-os kerületi szögről nehéz felismerni, hogy az egy α=40,27222222o-os középponti szög fele, mint hogy nem is annyi (a számolási eljárás közben valahol egy kerekítés történt, és ezzel oda az induktív

bázis: 2β≠α). Azonkívül van egy általános érvünk is: az empirikus módszer tiszta formájában, amint alighanem az összes, bármilyen elmés ötletekre épülő módszer is, pusztán önmagában alkalmazva szintén csak bizonyos tanár- és tanulótípus számára megfelelő (minthogy minden ember más). Ez természetesen minden más „csodamódszerre” is vonatkozik (s a formalizmusra is). Egyes nyugati országokban (pl. Nagy-Britanniában, ámbár sok tekintetben Magyarországon is) nagyon erősen jelentkezik a társadalmi különbségek oktatási rendszer általi megerősítése, azaz a szelektív „elitkiképzés-plebsbetanítás” szemlélet (ilyesmiről is szólt nemrégiben a „Holt költők társasága” c. film) Az „empirikusnak” nevezett az oktatási forma valószínűleg a „tudd, hol a helyed” elv érvényesítése (erről bővebb Szabó L. Tamás: A rejtett tanterv c könyvében olvasható) Az empirikus módszernek egy érdekes, figyelemre méltó

formája többek között magyar matematikusok nevéhez (mint Pólya György) fűződik. Nevezetesen, amikor általános, esetleg formális definícióra vagy tételre tapasztalati példák (általában egy megfelelően elkészített feladatsor) megoldása után vezetik rá a tanulót. Ez a heurisztikus (felfedeztetéses) módszer. Ez bizony gondolkodásra nevel, ha jól csinálják, azonban fenáll a veszélye (amennyiben ez veszély, de a hagyományos, nem reformpedagógiai szemléletű oktatásban részt vevők számára kétségkívül az), hogy a diákok egyáltalán nem azokat a dolgokat fedezik fel, amiket a tanár szeretne. Így jártam egy tanítványommal, akivel a szögek mértékének fokokból radiánba való átváltási módja mögötti geometriai okokat szerettem volna felfedeztetni az egyenes arányosság felhasználása segítségével, ő ehelyett egy zseniális zsebszámológépes átváltási algoritmust fedezett fel, amely működött, bár eltartott egy

ideig, mire rájöttünk, hogyan és miért. Az empirikus ismeretek nem hiányozhatnak a matematika oktatásából, mert bármennyire is tagadjuk, hogy részei lennének a matematikának, azt képtelenség letagadni, hogy részei lennének a matematikatanulás folyamatának (ezt még olyan anti-empiristák sem tagadták, mint Frege vagy Hilbert). Még az is megfontolandó, hogy ne kényszerítsünk minden tanulót arra, hogy a matematikának ezt a prematematikai, tapasztalatszerző formáját meghaladják. De szinte kényszeríteni őket, hogy ne haladják meg, ráadásul egyetlen pedagógiai eszközként egész órás mechanisztikusan megoldandó feladatsorokat használva, aligha mondható csekély eltévelyedésnek. Úgy véljük, ennyi elméleti bevezető egyelőre elég lesz. Röviden összefoglaljuk azokat a kérdéseket, melyek szerepet játszanak a továbbiakban a gyakorlat szempontjából: -) az algebra kétségkívül a legnehezebben tanítható, legtöbb gondot okozó része

a matematikának; különösen az algebrai kifejezések témaköre; -) ennek egyik oka, hogy a tanulók többsége az általános iskolákban lényegében nem, vagy nem eléggé tanul meg számolni. Tegyük hozzá, hogy a gimnáziumban sem következik ez be: hiszen a 9. osztály elején gyakran „már csak ismételnek” aritmetikából, amit már „megtanultak” régebben; -) egy másik oka (persze ezek az okok összefüggnek, nem választhatóak szét egyértelműen) az algebra (jelenleg általában tanított formájában) metatudomány, absztrakt, nem szemléletes és nem alkalmazott-empirikus jellege. Az algebra oktatása túlságosan formális, pl. „újmatek” irányzat hatása miatt; a tanulók néha nem is értik, mi szükség van ilyen dolgok megtanulására. -) az algebra e témakörét lehetséges legalább részben alkalmazásorientált módon tanítani. De csak a matematika alkalmazásaira koncentrálni nem biztosan pozitív dolog az oktatás jelen körülményei

között. Az empirikus módszert pedig egyszerűen unalmasnak tartjuk, annak ellenére, hogy részleges alkalmazását elengedhetetlennek gondoljuk. Az empirizmusnak legalább a tananyag elején, míg a realizmusnak legalább a végén helye van, mégpedig általában kb. 1/3-1/3-1/3 arányban (ez függ az aktuális pedagógiai helyzettől: az iskolai tantervtől, az érdeklődéstől stb., lehet, hogy pl. az algebra oktatásában nem ez a „helyes” arány) A „helyes” oktatási módszer (ha van ilyen) a három forma keverése lenne, lehetőleg a tanulók számára egyénileg differenciálva (egy ilyen tantervet azonban lehetetlen látatlanban, a tanulókkal való ismeretség hiányában elkészíteni, ezért nem is fogjuk megtenni). Bármilyen matematikai témakör tanításakor fel kell tenni a következő kérdéseket: -) lehet-e, szükséges-e érdekesen, szemléletesen és a „valódi” alkalmazásokat is figyelembe véve tanítani, ugyanakkor fokozatosan

rávilágítani a „tiszta”, matematikai lényegre? -) mit kezdjünk azokkal, akiknek problémái vannak az anyaggal: ezek a tanulók eleve nem képesek megtanulni, illetve még nem képesek megtanulni (későn alakul ki az „absztrakt gondolkodás”), illetve csak a tanár és/vagy az iskola hibájából nem képesek megtanulni? Ez a kérdés majd az „értékelés” c. fejezetnél válik igazán fontossá E kérdések rengeteg konkrét formát ölthetnek. Például: algebrát tanítsunk vagy aritmetikát, csak betűkkel? Szöveges feladatokat is adjunk? Mennyit? Milyen mértékben tekintsünk ki az előírt anyagból? Inspirálja ez a diákokat? Vagy inkább csak még jobban leterheli? Természetesen nem is biztos, hogy egyértelműen, egyszer s mindenkorra válaszolni lehet, illetve kell ezekre a kérdésekre. A „hogyan tanítsunk?” kérdésétől el nem választhatóan ott van a „mit tanítsunk” kérdése is. A következő fejezetekben ez utóbbi kérdést járjuk

körül, most már kevésbé holisztikus nézőpontból. I.4 A téma tartalmi tagolása Hogy blokkokra, majd órákra lebontva tudjunk tanítani, mindenfajta tananyagot először célszerű, sőt az eredményesség szempontjából elengedhetetlen tartalmi, matematikai alrészekre bontani. Ezt már a kerettanterv is megteszi a középfokú szinten oktatott matematika egészével, és konkrétan az elemi algebrával. A továbbiakban most már csak az általunk választott résztémakörrel (algebrai egész- és törtkifejezések) foglalkozunk. Úgy gondoljuk, elméleti szempontból (az órákon való tanítás gyakorlata esetleg más kérdés) a következőképp strukturálható alterületekre ez a témakör: Aritmetikai-algebrai rész 1. Hatványozás természetes kitevővel (ismétlés) a rac. ill valós számkörben. A hatványozás azonosságai 2. A hatványozás kiterjesztése egész kitevőre a rac. ill valós számkörben. Az azonosságok érvényben maradása Algebrai

rész 1. Rac. illetve valós együtthatós polinomok (egy-három határozatlanú többtagú egész kifejezések). Polinom rendezett alakja. Összeadás, szorzás a polinomok körében (ez némely gimnáziumban kiegészítő anyag, egy tanítványom számára azonban kötelező anyag volt a 7. (!!!) osztályban) Polinomok szorzattá alakítása. 2. Nevezetes azonosságok: kéttagú összegek, különbségek négyzete, köbe. Az (a+b)n binomiális tétel (legalábbis kis n-ekre) Pascal háromszöge. 3. Törtkifejezések. Műveletek törtkifejezésekkel Alkalmazások 1. Számok normálalakja. 2. Számolás képletekkel. 3. Szöveges feladatok. Úgy gondoljuk, a hatványozás témaköre okozza a legkevesebb problémát. A hatványozást elég eredményesen lehet tanítani a hagyományos módszerek és definíció segítségével, megfelelő feltételek megléte esetén (például ha a tanulók rendelkeznek a szükséges előismeretekkel). Hasonló a helyzet az

alkalmazásokkal. Valószínűleg az „algebrai rész” fogja a legtöbb gondot okozni, ezért ezzel majd részletesebben foglalkozunk. II. „Külkapcsolatok”: a téma kapcsolata más ismeretterületekkel II.1 Néhány szó az algebra és matematika filozófiájáról Ha tanítunk valamit, először nekünk magunknak is tudni kellene, hogy mi az. Egy igaz állításról és következményeiről beszélve, magunknak is szilárd meggyőződéssel kell rendelkeznünk nemcsak ezen állítás igazságáról, hanem ama folyamat pszichológiai, kommunikáció- és ismeretelméleti vonatkozásairól is, amelynek során ezt az igazságot mások számára is megvilágítjuk, hogy ezentúl számukra is olyan igazság legyen, mint számunkra. Természetes követelménynek tűnnek ezek, nemde? Utalnunk kell rá azonban, hogy eme kérdések olyan problémákat vetnek fel, melyek már több ezer éve lényegében megoldatlanok. Mivel nem ezek megoldása a dolgunk, itt most tényleg csak

megelégszünk az utalással. Igazából máig sem tudjuk megnyugtatóan meghatározni, mi az a „definíció” ill. „bizonyítás”, hogy mit jelent egy tétel „igazsága”, hogy a matematikai objektumok „létezőek” vagy „nem létezőek”, s ha igen vagy nem, milyen értelemben. A formalizmus megjelenése többek közt azért adhatott óriási lökést a matematikának, mivel ezekre a problémákra egyszerű − talán túl egyszerű − választ adott. S ez még a kisebbik gond. Még ha nem is tudunk általánosan válaszolni ezekre a kérdésekre, talán lehetséges volna választ találni rájuk néhány konkrét esetben. Pl ha nem is tudnánk definiálni, mi az, hogy a „függvény definíciója”, ettől még éppenséggel adhatnánk egy mindenki által elfogadható definíciót a „függvény” fogalmára. Ettől kezdve ez lenne a függvény definíciója. Arról van szó, hogy nem általános, bizonyítás –és levezetéselméleti igazság megjelenési

formájaként kaptuk ezt a „függvény”definíciót, így pl. nem is tudjuk garantálni, hogy minden a jövőben felfedezett „függvény” e definíció szerint is „függvény” lesz-e; sem azt, hogy nem fedezünk fel olyasmit, amit egyezményesen nem tartunk függvénynek, de e definíció szerint bizony az; ám hogy mindezek nem garantálhatóak, az nem érdekel minket, amíg ilyen problémába nem ütközünk. Nos, talán megelégedhetnénk ilyesfajta definíciókkal (és analóg módon ilyesfajta bizonyításokkal). Nem precízkedünk, nem elmélkedünk az elefántcsonttoronyban, hanem azon az úton haladunk, amerre a gyakorlat visz. Legalább ezt megtehetnénk! A probléma, hogy sokszor ezt sem tudjuk kielégítő módon megtenni. Itt van például a szám fogalma. Nem is kell a valós számokra gondolni, hanem a sokkal egyszerűbb struktúrára, a természetes számok halmazára. Az előző fejezetben említettük, milyen fontos ez a számunkra: erre a fogalomra épül

az egész, általunk „prealgebrának” vagy „aritmetikának” nevezett ismeretterület. Az általános iskolában esetleg az euklideszi, „egység” fogalmat felhasználó (az „Elemekben” is szereplő) számdefiníció egy gyengített változatával találkozhatunk − ha egyáltalán találkozunk, hiszen ilyen korban a dolgok definiálása korai. A gimnáziumban semmiféle számfogalommal nem találkozunk, hiszen az már „ismert” az általános iskolából. Vagyis általában a „ha van rajta sapka - ha nincs rajta sapka” szituációja érvényes: a diákok tizenkét (v. több) éven keresztül olyan fogalommal, a „szám” fogalmával dolgoznak, amelyről (ez ki fog derülni) senki sem tudja, micsoda; de még borzalmasabb, hogy senki meg sem próbálja megmondani: az elemistáknak azért, mert korai, a középiskolásoknak meg azért, mert késői. A legjobb esetben pedig a formalista, halmazok ekvivalenciáján alapuló definíció lebutított formáját adják

meg. Ez összhangban van ugyan azzal a gyakorlattal, hogy a korai években az aritmetika algoritmikus formában jelenik meg − de nem kellene később időt szánni az alapok tisztázására? Legalább megemlíteni, hogy ezek a kérdések ma is élnek? Ez lenne az igazán fontos, nem többszáz tételt memorizáltatása. A történelem folyamán, egészen az 1880-as évek közepéig, sokféle számdefiníció született. A „definíció” szó idézőjelben értendő: valójában a fogalom körülírásáról van szó. A modern logika megalapítója, Gottlob Frege mutatta ki ezek filozófiai és lényegében matematikai tarthatatlanságát az „Aritmetika alapjai” (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884.) c művében Frege maga is megpróbált egy definíciót adni a számokra, azonban ez sem bizonyult tarthatónak, mert az alapjául szolgáló matematikai elmélet (lényegében a naiv halmazelmélet egy logikai fogalmak segítségével felépített formája) ellentmondásokat

tartalmazónak bizonyult (az egyik ilyen ellentmondás épp a híres Russel-paradoxon logikai megfelelője). Az azóta született, elsősorban axiomatikus-halmazelméleti próbálkozások pedig tulajdonképp megkerülik a problémát. Úgy tűnik, hogy e matematikailag valószínűleg helyes definíciók (én kb. 3 ilyenről tudok) filozófiai szempontból helytelenek, a formalizmus matematikai szempontjain kívül mást is figyelembe vevő kritikát nem állják ki (csak matematikusok számára ereményeznek adaptív elméleteket). Ez egyébként már abból is gyanítható, hogy több van belőlük. Ami még rosszabb: annyira nincs közük a számokra vonatkozó hétköznapi elképzelésekhez, hogy az oktatás szempontjából teljességgel használhatatlanok. Mivel ez nem tartozik az általunk választott szűkebb témakörhöz, bár (az előző fejezetben láttuk) kapcsolódik hozzá, ráadásul e „számelmélet” (ti. a számok definiálásának elmélete) igen hosszan

taglalható, így erre nem tudunk bővebben kitérni. Így aztán a továbbiakban abból az − igazából nem igaz − alapállásból fogunk kiindulni, hogy ismerjük a „szám” fogalmát, illetve az egyéb szükséges prealgebrai fogalmakat. Mentségünkre szolgáljon, hogy az ezirányú kutatások nincsenek igazából lezárva; illetve hogy a tanulók többsége, főként korai éveiben, nem töpreng el a szám és egyéb fogalmak mibenlétén (vagy mégis? Igazából ezt sem tudjuk! Én pl. nem hiszem ezt el!), megelégszik azzal, hogy tud összeadni, kivonni, szorozni és osztani (vagy mégsem?), tehát a „gyakorlat” szempontjából a fenti problémakör nem olyan jelentős (látszólag). De talán hiba, hogy a középfokú oktatásból is kimaradnak ezek. Hogy valóban hiba, azt nem állíthatjuk bizonyosan: a precíz definíciók használata ugyanis a formalizmus egyik jellemzője, amely oktatási irányzat viszont talán túlzásba is viszi a precízkedést

(„terminológiai terror”). Nemcsak a szám fogalma, hanem a betűk használata is sok furcsaság okozója. Talán mindenki egyetért abban, hogy a betűket mint a matematikai nyelv részeit általában névmásokként használjuk, vagyis ezek valamilyen számot jelentenek, csak „általánosan”. A pontosítás kedvéért felsoroljuk azon eseteket, amikor − különböző értelemben, szerepekben − használhatjuk a betűket: 1). Tulajdonnévként v. mely konkrét matematikai objektum jelölésére, pl. „P” pont, „q”=2x2+3x+4 polinomfüggvény, stb Ez a legérdektelenebb eset az algebra szempontjából, mivel az algebrai objektumok részére speciális szimbólumokat, az arab számjeleket tartjuk fenn: 1, 2, 3, , 1/4, -3.456 stb, ámde néha hasznos: π, e, stb. 2). Változóként egy halmaz vagy osztály elemeinek általános jelölésére: „x∈R”, „y jelentsen v.mely halmazt, ekkor y⊆y∪{0}” Ekkor meg kell adni (ha lehetséges) azon elemek halmazát

vagy osztályát, ahonnan a változó az értékeit felveheti. Ezt néha elhagyjuk, ilyenkor a lehető legbővebb halmazt v. osztályt kell a változó ért. tartományának tekinteni Egyetlen, vmely változót tartalmazó kijelentés egy egész sereg kijelentés összefoglaló formája, mégpedig azon kijelentéseké, melyeket az értelmezési tartomány elemeinek a változóba való ún. megengedett behelyettesítésevel kapunk. Például az „x+1=x+2 (x∈R)” minden valós szám esetén egy-egy, egyértelműen igaz vagy hamis (jelen esetben mindig hamis) kijelentés. A változó fogalma a fizikából származik. A fizikai mennyiségek ugyanis időben (vagy más mennyiség függvényében) gyakran változnak. Amennyiben két mennyiség között képlettel felírható összefüggés van, a képletben szereplő mennyiségjelek máris változók. 3). Ismeretlenként egyenletekben. Az ismeretlen valamely számot jelöl, de nem tudjuk, melyiket. Az ismeretlen nem változó: nem

általában egy-egy számot jelöl, hanem egy v. több konkrétat Vagy mégis változó lenne az ismeretlen? Pl. az x+1=2 egyenletet felfoghatjuk, mint egy egy általános állítást (nyitott mondatot) a valós számokról, és ekkor az x tényleg változó: a változó azon értékeit keressük (e felfogásban az értékek ismeretlenek), amelyekre a kijelentés igaz. Míg a betűre azonosságokban általában változóként, addig egyenletekben ismeretlenként tekintünk. Felfogás kérdése, hogy ugyanannak tekintjük-e a két fogalmat. Az ismeretlen fogalma talán kevésbé elvont, hisz lineáris egyenletekben mégis csak egy számot jelöl; csak nem ismertet. Vélhetően ezért ismerkednek meg az elemisták először az egyenletekkel, s csak aztán a kifejezésekkel. 4). Paraméterként. A paraméter tulajdonképpen szintén változó; csak olyan, amelynek értékét rögzítettük, bár nem mondjuk meg, micsoda. Paraméterekkel a másodfokú egyenlet megoldóképletében

(ax2+bx+c=0 megoldóképletében a,b,c paraméterek). A paraméter nem ismeretlen: nem kell kiszámolni, ismert számot jelöl, de lényegtelen, melyiket. Ezért írunk érték helyett betűt 5). Határozatlanként. A határozatlan talán a legabsztraktabb „betűfogalom”, annak ellenére, hogy csak nagyon partikuláris esetben, a polinomok (illetve kifejezések) elméletében alkalmazzuk. A határozatlan helyére ugyanúgy be lehet elemet helyettesíteni, mint a változó helyébe. A határozatlan azonban már nem akar számot jelenteni. Épp ellenkezőleg: ha számot jelenthetne, azaz változó lenne; akkor a polinomok egyszerűen polinomfüggvények lennének, holott ez nincs így (különösen véges testekben). A polinom a polinomfüggvények egy-egy lehetséges algebrai alakjának „megfagyasztott”, standardizált, elméletileg nem átalakítandó lejegyzése. A határozatlan fogalma teszi lehetővé ezt a „megfagyasztást”. Úgy tűnik, a határozatlan egy

szempontból, ill egy felfogásban nem változó, más szempontból, bizonyos helyzetekben pedig változóként való felfogása bír adaptivitással. Nem csoda, ha még most sem értjük egészen ezt a fogalmat, egy kicsit határozatlannak gondoljuk, hisz valószínűleg nem is egy fogalom. Így egyelőre, amíg jobbat ki nem gondolunk, kénytelenek vagyunk azt mondani: polinomnak nevezünk valamely a0+a1x1++anxn alakú formális kifejezést v.mely kommutatív (T,+,·) test felett; ai∈T; az x szimbólumot pedig határozatlannak nevezzük. Hogy ez, vagy más meghatározás definíció-e? Kinek az, kinek nem (nekem nem). Valószínűleg érezhető, hogy a fenti definíciók közül egy-kettő nemhogy nem precíz, de néhol már-már érthetetlen (ugyanis az én szubjektív fogalmaimra vezettem őket vissza). Így visszatekintve úgy látjuk, azért is nehéz ezen fogalmak definiálása, mert esetleg egészen máshogy jelennek meg az általános, mint a középiskolában, így

folyamatosan alakulnak Ebből következően a más-más absztrakciós szintet elért tanulók számára más-mást jelentenek. Talán nem tévedünk, ha kimondjuk: ezeket még soha, senki nem definiálta ennél szigorúbban. Ez nehéz is lenne, ugyanis olyan alapfogalmakat igényelne, melyeket leginkább a korai ill. késői logicisták (Frege, Tarski, Wittgenstein, stb.) kutattak A logicizmus fejlődését azonban a Russelparadoxon és a nyomában jövő formalizmus derékba törte, így a fenti fogalmak definiálhatósága és definíciójának mibenléte még ma is kérdéses. II.2 A téma megjelenése a „felsőbb” matematikában Az elemi algebra teljes egészében, ám az általunk választott hatványozás − kifejezések − nevezetes azonosságok témakör különösen, legalább száz; ám ha valós számok helyett csak a (pozitív) racionális számokat vesszük alapul, több száz (sőt, Diophantoszra gondolva esetleg több ezer) éves tudományág; ha szigorú

értelemben véve fogalmait nem is, ám módszereit és fő gondolatait tekintve bizonyosan. Az elemi algebrából fokozatosan fejlődött ki az absztrakt algebra, Peacock, Cauchy, Grassmann, Hamilton, Cayley, Galois, Cantor, Peano, Abel, Dedekind, Boole, Birkhoff, és még sok más kutató munkásságának eredményeképp. Bolyai János is foglalkozott algebrával (a komplex számok bevezetéséről írt egy ma is modernnek számítható, a kor szintjét meghaladó, így sikertelen pályafutású pályaművet). E tudományág mai formája a formalizmust elterjesztő francia Bourbaki-csoport (1934-) nevéhez kapcsolható. Alapfogalma a matematikai struktúra, elsősorban pedig az algebrai struktúra. Minthogy mind Q, mind R az összeadás és szorzás kommutatív, asszociatív, disztributív, invertálható, null-, zérus- és egységelemes volta miatt számtestet alkotnak (hagy ne írjuk fel részletesen ezeket az untig ismert tulajdonságokat, bármely absztrakt algebrai tankönyvben

megtalálhatóak), természetesen az elemi algebra felsőbb matematikai megfelelője a testelmélet. Egyrészt a testek (esetleg gyűrűk) általános elmélete tartozik ide: ide értve a testek (gyűrűk) feletti polinomok R[x1, , xn] gyűrűjének illetve a testek feletti törtkifejezések testének elméletét; ez témakörünk „algebrai” részének megfelelője; másrészt pedig ide tartoznak a számfogalom axiomatikus vagy halmazelméleti megkonstruálására vonatkozó elméletek: ezek alkotják az „aritmetikainak” megfelelő részt. A hatványozás elmélete teljesen a középfokú felépítéssel analóg, csak mindent a testelmélet nyelvén fogalmazunk meg: Valamely (T, +,·, z, e) számtestben (z null- és zéruselem, e egységelem): ha a∈T/{z}; akkor a0:=e. A z0 hatványt nem értelmezzük Ha pedig n∈N/{0}, akkor an = a·a·.·a olyan n-tényezős szorzat, amelynek minden n-szer tényezője az a „szám” T-beli elem). Ha n∈Z; akkor n∈N esetében már

értelmezhető an; ha meg n∈Z/N; és a≠z; akkor an=(a*)|n| (a az a∈T{0} egyértelműen létező, aa=aa=e elemét jelöli). A definíció értelmes, mert n∈ZN miatt n≠0, így a 00 eset nem léphet fel. A 0-n (n∈N) alakú hatványokat nem tudjuk értelmezni Meg kell jegyeznünk, hogy a fenti definíció csak akkor igazán precíz, ha an induktív módon van értelmezve: ∀n∈N/{0};∀a∈T: a1:=a; an+1:=ana. Valójában itt a + műveletre semmi szükség, így a hatványozás nemcsak számtestben, hanem valamely multiplikatív (T,·) csoportban is értelmezhető, csak ha ez nem kommutatív, bizonyos azonosságok nem fognak teljesülni. Könnyű ellenőrizni (pl. n-re vonatkozó indukcióval bizonyítani), hogy az összes szokott hatványozási azonosság teljesül, ha (T, ·) kommutatív. Bizonyítsuk pl. az anam=an+m összefüggést (n,m∈Z) Legyen a=0, ekkor csak n,m>0 lehetséges a def. szerint Ekkor n m n m n+m a a =0 0 =0·0=0=0 (n+m>0). Legyen a≠0 Ekkor ha

m=0, n 0 n n n+0 a a =a e=a =a . Ha vmely m≥0-ra igaz a bizonyítandó, akkor anam+1=an(ama)=(anam)a=(most alk. ind felt:)=an+ma=an+m+1; ami bizonyítandó volt. Ha pedig m<0, akkor anam = = ana−|m| = an(a*)|m| = an|m| = an+(-|m|) = an+m. Itt sorra az m=−|m| (m∈N-) azonosságot, a negatív kitevőjű hatványozás definícióját, egy általános asszociativitási tételt (az a(bc)=(ab)c testaxióma egy következményét − ezt egyébként igen nehéz formalizálni, pláne bizonyítani, de nem lehetetlen; majd újra a már említett azonosságot, illetve egy Z-ben érvényes előjelszabályt alkalmaztunk. A polinomok elméletét többféle módon lehet felépíteni. Ezek közül csak az egyhatározatlanú polinomok elméletével foglalkozunk részletesenrészletesen? Csak épp vázolni fogunk néhány lehetőséget, és felvetünk néhány problémát. Ezt muszáj megtennünk, hogy világossá váljék: a polinomok elmélete a középfokú oktatásban nem tanítható

úgy, ahogyan a felsőoktatásban. Az első lehetséges (?) definíció (ez egyébként az ELTÉ-n tanított polinom-fogalomnál kicsit kialakultabb, de még mindig túl pongyola sok tekintetben): I. „definíció”: Legyen n∈N. Ekkor az x∉T szimbólumot határozatlannak nevezzük, erre érvényes x0:=e∈T, x1=x (Más definíciók is ki fogják kötni, hogy x∉T. Akkor viszont hogyan lehet x-nek x1, x2,, n-edik xn hatványa? Jelentenek ezek bármi értelmeset?). Ez esetben a (T,+,·, z, e) kommutatív zérus-és egységelemes gyűrű (ill. test) feletti x határozatlanú n-edfokú polinomon egy 1 n−1 n p[x]:=a0+a1x ++an−1x +anx alakú „formális kifejezést” értünk, ha ∀i∈1,n: ai∈T és an≠z (megj: 1,n:={1,2,,n}). A 0[x]:=z∈T kifejezés is polinom, neve nullpolinom. Az n természetes szám a p[x] polinom fok(szám)a, jele dg(p). Az értelmezésből következik, hogy p∈T{z} ⇔ dg(p)=0; a 0[x]=z polinomnak (és csak neki) pedig nincs foka. Hozzátesszük,

hogy egy n-edfokú polinom formális szorzatok (??) formális összege (??), ezek tényezőivel és tagjaival ugyanazon szabályok szerint kell számolni (?), mint egy test elemeiből képezett „numerikus” szorzatok összegeivel. E mondatok, melyeket minden „normális” ember megért, de pl. egy formálisan működő számítógép nem. Tehát ezzel a „definícióval” az a baj, hogy nem definíció Hogy ez végképp világos legyen, azért folytatjuk. Legyen az n-edfokú polinomok halmaza Tn[x] (az előzőek értelmében ez a halmaz nincs teljesen jól meghatározva). Ekkor ezek és még {z}⊆T uniójának, azaz a T[x]:=  Tn [ x ] ∪ {z} halmaznak az elemeit polinomoknak nevezzük. n∈N Azaz olyan izéket (matematikai objektumokat) nevezünk határozatlanú polinomoknak, amik v.mely n-re n-edfokú határozatlanú polinomok, illetve még a z∈T „számot” is. x x Definiáljuk egy polinom α∈T „számmal” való szorzatát: legyen p[x]=a0++anxn∈T[x]

ekkor αp[x]:=αa0++αanxn∈T[x]. Ha p[x], q[x]∈T[x], és q[x]=b0++bnxn+bn+1xn+1+bmxm (az általános-ság megszorítása nélkül feltehető dg(p)=n≤dg(q)=m), akkor a p és q összege (p+q)[x]:=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+.+(an−1+bn−1)xn−1+(an+bn)xn+bn+1xn+1++bm xm. A T-beli + összeadás komm., assz, stb tulajdonságai miatt a T[x]beli + összeadás is komm, assz, stb (T[x], +, 0) additív Abel-csoport A polinomok szorzása elég keservesen definiálható (az együtthatók nem a tényezők együtthatóinak összegei, hanem bizonyosak szorzatainak összegei lesznek) − ha a polinom, azaz a „formális kifejezés” fogalma valahogy definiálva van. Formálisan a p és q polinomok szorzata: (p·q)[x] := (a0b0)+ + (a0b1+b0a1)x+ + (a0bn−1+a1bn−2++an−1b0)xn−1+ + (a0bn+a1bn−1++anb0)xn+ + (a0bn+1+a1bn++anb1)xn+1+ + (a0bm+a1bm-1++anbm-n)xm+ + (a1bm+a2bm-1++anbm-n+1)xm+1+ + (anbm)xm+n. Azaz ez egy n+m-fokú polinom lesz, amelynek k-adik együtthatója az azon

aibj alakú számok összege, melyekre i+j=k ahol ai, bj a p ill. q együtthatója ha i∈1,dg(p) ill. j∈1,dg(q); továbbá ai=0 ha i∈1,dg(q)1,dg(p). A definíció „keservességének” oka lényegében az, hogy a különböző együtthatók mint összegek különböző tagszámúak. Igazából csak a definíció v.milyen tágításával, tehát a róla való megfeledkezéssel küszöbölhető ez ki). Ébredjünk rá, hogy ez szigorú értelemben véve nem is definíció, hiszen egy definícióban elvileg megengedhetetlen az elméletben többféleképp kitölthető „” jelek alkalmazása. E definíció most már nemcsak az elméleti, hanem a gyakorlati emberek számára is nehézségeket is okoz. Próbálja a Kedves Olvasó bebizonyítani, hogy a polinomszorzás disztributív az összeadásra − ez is „keserves”, azaz nem fog menni, ha valóban ragaszkodunk a polinom „formális összeg” definíciójához (megjegyzés: az ELTÉN egyszerűen elintézték a problémát a

következő kijelentéssel: „aki nem látja, annak legyen házi feladat!” Woody Allen szavaival élve: Bárcsak minden ilyen flottul menne!). II.=I/A definíció: Az I. definíció tulajdonképpen nem is definíció, amíg a „formális kifejezés” szókapcsolat nincs definiálva. Ehhez a „formális kifejezés” fogalmát kellene megadni. Valószínűleg pl a „szabad félcsoportok, csoportok” és hasonló struktúrák segítségével is meg lehet ezt tenni, de ebbe nem akarunk belemenni. A másik lehetőség, hogy a formális kifejezést mint jelek véges sorozatát definiáljuk, olyan sorozatát, melynek első eleme T-beli, második eleme (ha van) x0, harmadik eleme (ha van) +, negyedik eleme (ha van) T-beli, ötödik eleme (ha van) x1, stb Pontosítsuk ezt a következőképp: legyen X = {x, x0, x1, x2, ,} = = {xn: n∈N}∪{x}, legyen J={+,·,(,)} legyen B=X∪T∪J=T∪X∪{+,·,(,)}. A B halmaz elemeit betűknek nevezzük feltesszük még, hogy B∩T=∅. Ekkor a (T,

+,·, z, e) kommutatív egységelemes gyűrű ill. test feletti x határozatlanú (algebrai) egész formuláknak nevezzük azon B-beli véges sorozatokat, melyekre teljesülnek a következők: 1). Első elemük nem lehet sem ), sem +, sem ·; csak ( vagy T∪Xbeli; 2). Utolsó elemük nem lehet sem (, sem +, sem ·; csak ) vagy T∪X-beli; 3). Egy T∪X-beli betű követhet T∪X-beli elem, +, · , és ) vagy ( is; egyszóval bármilyen B-beli elem; 4). A · jelet nem követheti sem +, sem ·, sem ), csak T∪X-beli elem vagy (; 5) A + jelre is ez vonatkozik: nem követheti sem +, sem ·, sem ); csak T∪X-beli elem vagy ); 6). A ( jelet nem követhet sem ), sem +, sem · ; 7). A ) jelet bármilyen B-beli betű követheti; 8). A sorozatban lévő összes zárójelezés helyes (ez precízen is definiálható, de most lényegtelen: feltesszük, hogy az Olvasó tudja, mikor helyes egy zárójelezés: minden ( ill. ) jelnek van egy megfelelő ) ill. ( párja a jelet követő

ill megelőző jelek közt. Itt egy a1a2as véges sorozat v. mely ai jele követi az aj jelet (1≤i,j≤s), ha i=j+1. Amennyiben nem voltunk figyelmetlenek és nem hagytunk ki egyetlen szükséges szabályt sem, úgy a fenti szabályoknak eleget tévő B feletti jelsorozatok halmaza tényleg egybeesik az intuitíve értelmesnek tartott algebrai formulák halmazával; sőt ez az egybeesés a következő értelemben be is bizonyítható: ha valahogyan tipizálni lehet az intuitíve értelmetlen formulákat véges sok típusba, akkor megmutatható lenne, hogy ezek a típusok megsértenek egy-egy szabályt (vagyis tulajdonképpen másképp, átláthatóbban megfogalmazni az „értelmes kifejezés” definícióját, és megmutatni, hogy az új definíció alá eső formulák éppenséggel azok, melyek eleget tesznek a fenti szabályoknak. Az viszont biztos, hogy semelyik értelmes formulát nem zártuk ki, hiszen egy értelmes kifejezésben a fent „tiltott” jelszekvenciák valóban

nem fordulhatnak elő.) Miért beszélünk x határozatlanústb kifejezésekről és nem polinomokról? Aki egy kicsit járatos az algebrában, az sejti: ezek nem a polinomok. A jelsorozatokban ugyanis a jelszekvencia rögzített, ám a polinomokban nem. A 2+x∈R[x] polinom intuitíve egyenlő az x+2∈R[x] polinommal, holott halmazelméletileg, azaz mint jelsorozatok ezek nem ugyanazok. Először is azt biztosítottuk, hogy ne lehessen mindenféle jelet csak úgy találomra egymás mellé írni, azaz valóban matematikailag „értelmes” kifejezést kapjunk, de még biztosítani kell azt is, hogy e jelsorozatokkal „ugyanúgy lehessen számolni”, mint az R-beli elemekkel, konkrét-numerikus kifejezésekkel. Bevezetünk az „értelmes kifejezések” halmazában egy ekvivalenciarelációt: egy polinom értelmes kifejezések egy-egy ekvivalenciaosztálya. Az ekvivalenciarelációt intuitíve a következőképp határozhatjuk meg: „két T feletti x határozatlanú egész

kifejezés ekvivalens lesz, ha a T-beli azonos-ságok (f+g=g+f, xnxm=xn+m stb.), a jelelhagyási- és zárójelkonvenciók (x0=e, x·(x)=x·x, x·x=xx; stb.) véges sokszori alkalmazásával átalakíthatóak egymásba”. Eme intuitív ekvivalenciareláció formalizálása bár elvileg nem lehetetlen, de elképzelhetetlenül, meglepően hálátlan feladat (másfél oldal terjedelmet elérve kelletlenül bár, de abbahagytuk). Eme utat, pont így, gyakorlatilag nem érdemes, bár elméletileg vsz. lehetséges végigjárni III. definíció: Egy precíz, és valamivel (de nem sokkal) kevésbé szöszmötölős definíció a polinom fogalmát ún. szintaktikus indukcióval építi fel Ez azt jelenti, hogy meghatározzuk, milyen „alapkifejezések” („térelemek”, „szavak”) polinomok, és ezen „alapkifejezésekből” milyen módszerekkel lehet bonyolultabb kifejezéseket („alakzatokat”, „mondatokat”) konstruálni („szerkeszteni”). Mivel az így megkonstruált

kifejezések egyenlőségéről csak a szerkesztési szabályokat alapul véve nem tudunk semmit mondani, ezért akárcsak az előző definíciókísérletnél, először nem is polinomokról beszélünk, hanem x határozatlanú algebrai egész formulákról; ilyenek egy-egy ekvivalenciaosztálya lesz polinom. Megjegyezzük, hogy a formulák e felépítésben is jelsorozatok, tehát ez egy halmazelméleti szempontból elvileg egzakt definíció, csak e jelsorozatokat nem alakjukkal, hanem szerkesztésük módjával adjuk meg, ezzel sok problémát elkerülve (s néhány újat behozva: pl. e felépítésben tétel az, hogy ezek a megszokott polinomalakot eredményezik). Legyen (T,+,·,e) kommutatív egységelemes gyűrű, ill. test, X={x} v.milyen halmaz, amelyre x∉T; ekkor a következőket mondjuk: Az alapformulák: 1). T elemei ; T{0} elemei nulladfokú x határozatlanú algebrai egész formulák, röviden nulladfokú formulák; 2). Az „x”, „x0”, „x1”, „x2”,

„xn” (n∈N) szimbólumok rendre 0adfokú, elsőfokú, , n-edfokú formulák A félreértések elkerülése végett ezt szóban is megfogalmazzuk: ha n∈N adott természetes szám, akkor tehát az „xn” szimbólum n-edfokú formula. Azaz pl „x100” 100-adfokú formula, ámde xk nem k-adfokú formula (a k helyébe konkrét számot kell írni, csak akkor lesz formula!). Az idézőjelek nem tartoznak a formulához, csak a szöveg nem formális részeitől való elhatárolást jelzik. A szintaktikai szerkesztési eljárások: 1). Ha a „p” formula, akkor „(p)” formula 2). Ha „p” formula, és α∈T, akkor „α(p)” és „α·(p)” és -(p) formulák Ha „p” alapformula, akkor még „αp” és „α·p”, sőt „pα” és „p·α” is formula, azonkívül -p is formula ekkor. 3). Ha „p” és „q” formulák, akkor „p+q”, és „p-(q)” is formula 4). Ha „p” és „q” formulák, akkor „(p)·(q)” és „(p)(q)” formulák 5). Legyen Π

azon halmazok osztálya (rendszere), amely halmazok tartalmaznak minden, az eddigi lépések véges sokszori alkalmazásával előállítható izét. Ekkor a ∩Π halmazt (köztük a legszűkebbet) F[x]-szel jelöljük, elemei T feletti x határozatlanú algebrai egész formulák. Az F[x]-beli ekvivalens osztályozást (az ezt megadó ekvivalenciarelációt ≡-vel jelöljük) megadó szabályok (ezeket hangzatos nevekre kereszteltük): 1). 2). ∀α,β∈T: α=β ⇔ α≡β (egyenlőségi axióma); ∀n,m∈N: xn≡xm :⇔ n=m (fokszám-axióma); 3). 4). 5). x0≡e∈T (kifejtési axióma I.); x1≡x (kifejtési axióma II.); ∀n∈N: xn+1≡xn·x (kifejtési axióma III.); 6). 7). 8). 9). 10). 11). 12). ∀n∈N: z·(xn)≡z·xn≡zxn≡z (z zéruselem); ∀p,q∈F[x]: p+q≡q+p (+ kommutativitása); ∀p,q,r∈F[x]: p+q+r≡(p+q)+r≡p+(q+r) (+ asszociativitása); ∀p∈F[x]: -(p)≡(-1)·p (negativitási axióma). ∀p∈F[x]: p+-(q)≡p-(q) (kivonás definíciója).

∀p∈F[x]: p+-(p)≡z (+ invertálható); ∀p∈F[x]: p+z≡p (z nullelem). 13). 14). 15). 16). ∀p,q∈F[x]: p(q)≡p·(q)≡(q)·(p) (· kommutativitása); ∀p,q,r∈F[x]: pqr≡(pq)r≡p(qr) (· asszociativitása); ∀p,q,r∈F[x]: p(q+r)≡pq+pr (· disztributivitása +-ra); ∀p∈F[x]: ep≡p (e∈T a T és most már F[x] egys.eleme); 17). 18). 19). ∀p,q∈F[x]: p(q)≡(p)q≡(p)(q)≡(q)(p) (zárójelkonvenció I.); ∀n∈N: ∀α∈T: αxn≡α(xn) (zárójelkonvenció II.); ∀p,q∈F[x]: p+q≡(p)+q (zárójelkonvenció III.); 20). 21). 22). ∀p,q∈F[x]: ∀α∈T: p≡q ⇒ α(p)≡α(q) (operátor-kongruenciatul.); ∀p,q,r∈F[x]: p≡q ⇒ p+r≡q+r (additív kongruenciatulajdonság); ∀p,q,r∈F[x]: p≡q ⇒ (p)(r)≡(q)(r) (multiplikatív kongruenciatul.) Reméljük, nem hagytunk ki egy szükséges átalakítási szabályt sem. Az is lehet, hogy megadtunk néhány fölösleges, a többitől nem független szabályt. Ez most mindegy. Hogy hogyan ad meg

ez a szabályhalmaz ekvivalenciarelációt? A legtöbb szabály definiál egy-egy ρi (1≤i≤21) relációt: ezt külön-külön ellenőrizni kell (Hf.) Ezek uniója, ρ is ekvivalenciareláció Ekkor a T[x]:=F[x]/ρ partíció elemeit fogjuk polinomoknak nevezni. Remélhetőleg bizonyítható, hogy minden T[x]-beli osztálynak van a0+a1x1++anxn ( ai∈T, (∀i∈1,n: ai=0 ∨ an≠0) alakú reprezentánsa (Hf.), vagyis tényleg az intuitív polinomfogalmat határoztuk meg. IV. definíció: Az igazán precíz definíció csak halmazelméleti fogalmakat használ. Ez ilyen lehetőség, hogy egy n-edfokú polinomot azonosítunk az együtthatóiból képezett végtelen hosszú vektorral, azaz számsorozattal; mely vektor i-edik eleme a polinom i-edik együtthatója, ha 1≤i≤n, és 0 ha n<i. Egyébként nagyjából így kezeli a polinomokat a MATLAB nevű matematikai szoftver (leszámítva persze, hogy nem végtelen, hanem véges együtthatósorozatokat kezel), tehát nem

légből kapott ez az ötlet sem. Nyilvánvaló, hogy e rendszerben könnyen és filozófiai problémák nélkül értelmezhetőek a polinomokon végzendő műveletek (pontosabban: csak ama „szokásos”, már ismert problémák léphetnek föl, melyekkel a halmazelméletben már találkoztunk, de újak nem). E rendszerben a bizonyítások sem túl nehezek: lényegében csak a szummajelek mesteri kezelésére van szükség, azaz csupa olyan tételre, amit teljes indukcióval lehet bizonyítani. Hátrány viszont, hogy e definíciónak semmi köze a polinom intuitív fogalmához; pl. tartalmazza a végtelenség fogalmát, ami eredetileg nem jellemző a polinomokra. (kérdés persze, hogy a többi definíciónak, az elsőt kivéve, mennyi köze van a polinom intuitív fogalmához). Tehát: egyhatározatlanú polinomnak nevezünk a (T,+,·,z,e) komutatív egységelemes gyűrű ill. test felett egy olyan v=(a0,,an,)=(ai)i∈N∈T∞ vektort, amelyre teljesül: (∀n∈N:

ai=z)∨(D(v):={n∈N: ∀i∈N: (an≠0)∧(n<i ⇒ ai=0)}≠∅). Azaz teljesül v=0 vagy pedig van olyan index, amelytől kezdve minden indexű együttható 0. Az N jólrendezettsége miatt mindig létező min(D(v))∈N számot a v polinom fokának nevezzük, jele dg(v) (egyes szerzőknél gr(v)). Szokás ekkor a v jelölés helyett a p[x]=a0+a1x++anxn alakba is írni e vektort. Az összes polinom halmazát T[x] jelöli. A v=(ai) és w=(bi) polinomok összegén a v+w=(ai+bi) vektort értjük. Bizonyítható, hogy ez polinom: hisz 0 ha mindkét tagvektor 0, ellenben max(dg(v), dg(w))∈D(v+w)≠∅. A vektorösszeadás tulajdonságai alapján (T[x],+) Abel-csoport. Definiáljuk a két polinom szorzatát is:  i   j= 0  i∈N vw:=(ai)i∈N(bi)i∈N= (a 0 b i + a 1 b i −1 + .a i b 0 ) i∈N=  ∑ a j b i − j  . Bizonyítható, hogy vw polinom, ugyanis foka dg(v)+dg(w). Viszonylag egyszerű pl. a szorzás disztributivitásának igazolása is V.

definíció: Ld. Irod [5] 643 def 140 old Másféle, az eddigieknél is elvontabb definíciók is lehetségesek tehát a polinom (?) fogalmára. A polinomokkal csak azért foglalkozunk ennyit, mert egy felfogásban segítségükkel, más felfogásban pedig elméletükkel analóg módon, azt általánosítva építhető fel a törtkifejezések elmélete. Csak megemlítünk néhány esetleg lehetséges definíciót a (T,+,·) kommutatív test feletti x határozatlanú törtkifejezésekre (nem tudjuk most és nem is célunk megmutatni, mindegyik keresztülvihető-e, és hogy valóban izomorf struktúrákra vezetnek): 1). Felépítés a B=T∪{x, x0, x1,, xn,}n∈N∪{+,·, /, (, )} betűkből képezett „algebrailag értelmes” véges jelsorozatok ekvivalenciaosztályaiként; 2). Felépítés szintaktikus induktív úton értelmezett jelsorozatok ekvivalenciaosztályaiként; 3). Felépítés a IV polinomdefiníció valamilyen megfelelő módosításával, azaz törtkifejezés

modellezése együtthatóinak egy „strukturált halmaza” (függvény, vektor, mátrix, stb.) segítségével; 4). Felépítés az x és x-1 kifejezésekből alkotott „polinomokként”; 5). Felépítés polinomok formális hányadosaiként, ha a „formális hányados” fogalom értelmesen definiálható. Egy lehetőség: integritástartományhoz mindig konstruálható hányadostest. Így a T test feletti x határozatlanú algebrai törtkifejezések teste esetleg megkonstruálható mint a T[x] integritástartomány hányadosteste. Attól függően, melyik utat választjuk, esetleg másképp néznek ki egyes definíciók és tételek, beleértve azt is, hogy ami egy felépítésben definíció, az egy másikban esetleg tétel, és fordítva. Láthatóan nehéz helyzetben vagyunk, ha elemi algebrát szeretnénk (közép-iskolás fokon) tanítani. Ha szeretnénk akár minimális matematikai precízséggel, filozófiai és matematikai ellentmondások, kényelmetlenségek nélküli,

szilárd, egyáltalán érthető alapfogalmakra támaszkodva kifejteni ezt a témát, igen nagy nehézségbe ütköznénk. Irreálisnak gondoljuk már azt is, hogy egyáltalán testelméletet oktassunk 9. osztályban (holott ez a kifejezés fogalmának egyik alapja); nem beszélve a szintaktikus indukcióról, a végtelen számsorozatok szorzásának disztributivitásáról, stb. Felmerül tehát az az eshetőség, hogy egyáltalán ne is definiáljuk a törtkifejezéseket. Nem degradálódik-e végképp a témakör e része valamilyen unalmas, értelmetlen mechanizmus puszta gyakorlásává? Vagy a tanulók nagy része számára már amúgy is az? Bevalljuk őszintén, e kérdésre egyelőre nem tudunk megnyugtató választ adni. II.3 A szükségesnek tartott előismeretekről Táblázatba foglalva a szükséges előismereteket: I. táblázat Az elemi algebrához szükséges előismeretek rendszere Előismeretek A természetes és egész szám fogalma. Számolás -1-gyel.

Műveleti tulajdonságok az egészek körében. Zárójelek kezelése. Analóg és/vagy ráépülő ismeretek Egész együtthatós kifejezések kezelése. Egész kitevőjű hatványok kitevőjén végzett műveletek. Zárójeles algebrai kifejezések. A racionális szám fogalma. A tört fogalma. Mennyiség részekre osztása. A törtkifejezések modelljéül, ősképéül a racionális számok, ill. törtek szolgálnak. Műveletek racionális számokkal. Számolási készség: több számolási lépés egyszerre történő átfogása. Gyorsszámolás algebrai kifejezésekkel. Algebrai kifejezések „alakjának” (összegek szorzata, stb) megragadása. Nyitott mondatok, egyszerű szöveges feladatok ≈ elsőfokú lineáris egyenletek megoldása a rac. számkörben. A változó ill. ismeretlen fogalma kialakulásának kezdete. Betűk használata. Elemi függvények (elsőfokú, másodfokú és x1/x rac. törtfüggvény) ábrázolása, tulajdonságai. Ugyanez, ill.

törtkifejezések értelmezési tartománya. Szám hatványozása egész kitevővel. Polinomok xn tagjai. Kifejezések négyzetre emelése, összeg négyzete, nev. azonosságok Általános készségek: absztrakt, formális gondolkodás kialakulása. A betűs kifejezésektől való idegenkedés csökkenése. Összefoglalva azt mondhatjuk, az elemi algebra sikeres megtanulásához a számokkal való számolás biztos ismeretére van szükség: ideértve a természetes, egész számokon végzett alapműveleteket, a racionális számok, törtek és tizedestörtek összevonását-szorzását-osztását, szám természetes kitevőjű hatványozását. Nem árt továbbá tisztában lenni az elsőfokú lineáris egyenletek megoldásának elméletével, ugyanis a tanulók általában ezek tanulásakor találkoznak betűkifejezésekkel. Hasznos az x1/x függvény grafikonjának és viselkedésének ismerete, a törtkifejezések értelmezési tartománya miatt. Az elemi algebra

tanításának fő nehézsége így már általában az érdemi munka megkezdése előtt jelentkezik. A legtöbb gondokkal küszködő diák tapasztalataim szerint ugyanis számolni nem tud, azaz hiányoznak azon előismeretei, amelyek szükségességére az előzőekben rámutattunk. Például két törtet nem tudnak összeadni ( ”a/b+c/d=(a+c)/(b+d)”; vagy „2·(3·5)=(2·3)·(2·5)” ); így persze az algebrai törtkifejezések összeadása sem fog menni. Igen fontos ezen anyagrész tanítása előtt a természetes, egész és racionális számokra vonatkozó ismeretek megfelelő átismétlése, és elegendő számú (s lehetőleg valamennyire érdekes) gyakorló feladat megoldása. Iskolától, tantervtől, osztálytól függően legalább 4-5 órát rá kellene erre szánni. Ez írásunk mintegy nulladik, de semmiképp sem nulladrendű (valójában alighanem a legfontosabb) fejezetét alkotja, terjedelmi és időkorlátok miatt azonban nem tudjuk erre vonatkozó

elképzeléseinket részletezni. Sajnálatos módon általában érdemes, sőt szükséges minél inkább megfeledkezni arról, hogy a diákok tanultak már valamit az általános iskolában a számokról, illetve algebrai kifejezésekről. Mindenesetre több érv szól amellett, hogy szánjunk sok időt ismétlésre, ha szükséges, mint ellene (gyakorlatilag egyetlen értelmes pedagógiai-didaktikai érv sem szólhat a szükséges ismétlés ellen, eltekintve attól, hogy „haladni kell a tananyaggal” − ám ez inkább azt mutatja, hogy az ütemezett módon történő oktatásnak nincs sok köze a pedagógiához). Az erre fordított idő meg fog térülni. Mindenesetre a kerettanterv elején is szerepel ilyen ismétlő témakör, tehát ez elvileg „kötelező” is lenne. II.4 Az anyagrész folytatása és alkalmazásai Az előző fejezetben szóltunk az elemi algebra kerettantervi felépítéséről, azaz az általunk választott anyagrész folytatásáról. Nagymértékben

erre az anyagrészre épül a „Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek” résztémakör felépítése. Épít erre a témakörre a „Másodfokú egyenletek” témakör is: a megoldóképlet egyik levezetése ugyanis egy általános, másodfokú algebrai polinom „majdnem teljes négyzet” alakra hozásával történik. Azaz egy nevezetes azonosság: összeg négyzete van a háttérben. Az elemi analízis egy fontos algoritmusa, konkrétan a „Másodfokú és törtfüggvények ábrázolása, tulajdonságai” is elemi algebrai módszerekre épül. Pl az f(x)=x2+3x-1=(x2-2·15x)-1=(x-15)2-(15)21=(x-15)2-325 és a g(x)=(x+1)/(x-1)=(x-1+2)/(x-1)=1+2/(x-1) átalakítások segítségével hozható ábrázolható alakra az f és g függvény, azaz ezen átalakítások mutatják, hogy f és g milyen lineáris függvénytranszformáltja az x2 ill. 1/x függvényeknek A háttérben ismét az összeg négyzetére vonatkozó azonosság, illetve törtkifejezések közös nevezőre

hozásának fordított irányba történő alkalmazása áll. A geometriai jellegű területek közül elsősorban a „Trigonometria és alkalmazásai” témakör épít az elemi algebrai kifejezések tanára. A koszinusztétel vektoros bizonyítása egy különbség négyzetre emelésével történik. Csak éppen nem a valós számok kommutatív teste, hanem a valós számok teste feletti normált euklideszi tér analóg azonosságát alkalmazzuk. Az addíciós tételek közti eligazodás elképzelhetetlen nagyfokú algebrai jártasság nélkül. Külön kiemeljük a két szög összegének tangensére vonatkozó azonosságot, amely levezetésének megértéséhez, reproduká-lásához a törtkifejezések átalakításainak mestereire van szükség. A „Kombinatorika” témakör binomiális együtthatói nemkonkrét, „nemnumerikus” esetben (pl. amikor rájuk vonatkozó tételeket bizonyítunk) bonyolult törtkifejezések. A binomiális együtthatók rekurzív

definíciójának (azaz a Pascal-háromszöget megadó elemképzési szabálynak) alapja, hogy két törtkifejezés közös nevezőre hozható és egyszerűsíthető. Az elemi algebrát „tiszta” tudományágnak szokták tartani. Láthatjuk: ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy az algebra valami önmagáért való, afféle elefántcsonttoronyban művelt elmélet lenne. Ellenkezőleg: ez éppen az alapvetőséget jelenti. A középfokú matematikaoktatásban az elemi algebra alkotja a matematika formális nyelvét, alapját (ahogy a felsőfokú oktatásban a halmazalgebrai-logikai nyelv tölti be ezt a szerepet). Tehát az elemi algebrát éppenhogy mindegyik matematikai tudományág alkalmazza. Mivel pedig a matematika alkalmazható tudomány, ezért, legalábbis áttételesen, az elemi algebra is az. -) Mindebből következik, hogy minden matematikára épülő tantárgy is ráépül az elemi algebrára; elsősorban a fizika. A képletek kezelésének, átalakításának, egyes

fizikai törvényszerűségek viselkedése megértésének (témakör a kerettantervben) előfeltétele az elemi algebrában való jártasság. A „képletek kezelése” ill hasonló címszó a kerettantervben is szerepel. -) Ezért azon tanulóknak, akik felsőoktatási intézmények olyan szakjaira jelentkeznek, amelynek tanterve matematikai jellegű tantárgyat is tartalmaz, elengedhetetlen az elemi algebrai jártasság. Nemcsak a leendő fizikusokra és fizikatanárokra, vegyészekre vonatkozik ez, hanem a mostanság sztárszakmáknak számító közgazdászokra és informatikusokra (-tanárokra) is − legalábbis ha nem rendelkeznek elegendő protekcióval. Mindez azonban még egyáltalán nem kielégítő. Azok, akik nem szándékoznak továbbtanulni, vagy matematikával foglalkozni, még mindig joggal kérdezhetik: mi szükség van nekem törtkifejezésekre és a másodfokú egyenlet megoldóképletére? Soha nem fogom használni! Nos, ebben kétségkívül van valami.

Néhány érv mégis felsorakoztatható az elemi algebra hasznossága mellett: -) Az algebra az alapja a mindennapi életben is hasznos „gyorsszámolási” készségnek (számoljunk ki konkrét műveleteket ügyes csoportosítással, alapegység bevezetésével). -) Egyes egyszerű, hétköznapi gyakorlati feladatok például másodfokú egyenletekhez vezetnek (MFGy.I IV/605: Egy tartály két csövön keresztül 6 óra alatt telik meg. Mennyi idő alatt töltené meg külön-külön a két cső a tartályt? Ez amolyan matematika vízvezetékszerelőknek.) -) A természettudományok mellett az algebra új, fontos és érdekes alkalmazási területe az informatika. Ez sokszor olyan absztrakt, formális és algoritmikus gondolkodást követel meg, mint az algebra (hiszen a számítógépekkel is formális nyelveken kommunikálunk). Mi több, a programozás szigorú felépítéséhez nemcsak elemi, hanem absztrakt algebrai ismeretek is szükségesek. Számítógépekhez ma már

egy egyszerű bolti pénztárosnak is értenie kell valamilyen szinten (bár az is igaz, hogy a mesterséges intelligencia, a beszédfelismerő és képfeldolgozó szoftverek, a bionika stb. fejlődésével a számítógépek egyre kevésbé formálisan, egyre antropomorfabb módon fognak kommunikálni, így nem tudni, ez az észrevétel meddig lesz még aktuális. A DOS nyelvhez még formális szintaktika kellett, a WIN98 operációs rendszerhez már csak akkor, ha valami súlyos hiba történt (azaz elég gyakran), a fejlettebb verziók pedig már teljesen grafikus környezetben működnek.) -) Valószínűleg van kapcsolat az algebrai képességek, jártasság és az ún. „nyelvérzék” között (amennyiben létezik ilyen képeség) Ez különösen igaz az indoeurópai jellegű, dominánsan izoláló típusba tartozó nyelvekre, ugyanis a formális matematika nyelve is izolálóinkorporáló típusba tartozik (a pontos besorolás különféle okok miatt nehéz, de formális

nyelvek esetében egyébként sincs nagy különbség). Ennek az esetleges korrelációnak az egyik lehetséges alapja az, hogy a nyelvre vonatkozó strukturális ismeretek (eltekintve tehát a nyelv fizikai megformálására vonatkozó ismeretektől) éppenséggel a logikai ismeretek: a logika mint megismerési módszer ugyanis semmi más, mint a világról szóló információszerzés annak gondolkodásbeli modelljeiből (tehát pl. és elsősorban a nyelvből) kiindulva Nem véletlen, hogy a logika legalább ugyanannyival járult hozzá az absztrakt algebra kialakulásához, mint az aritmetika, illetve elemi algebra. Elegendő információ hiányában azonban meg kell elégednünk e feltételezett kapcsolat puszta megemlítésével. (bővebben http//:www.c3hu/~nyelvor/period/1232/123209htm) -) pl. Azon humán érdeklődésűek számára, akik például filozófiát fognak tanulni az egyetemen, valószínűleg kötelező tananyag lesz némi formális logika. Ez ugyan nem elemi

algebra, de alighanem az összes tanult ismeret közül arra hasonlít a legjobban. III. A téma „mikroszerkezete”: a fogalmak, tételek, eljárások középfokú oktatásban megjelenő egymásra építése III.1 Az előforduló fogalmak, tételek, eljárások rendszere Soroljuk fel részletesen, mely matematikai fogalmak, tételek és algoritmusok játszanak itt szerepet (F-fogalom, T-tétel, A-algoritmus, Eegyéb, pl. egyszerűen csak elnevezés) Igyekeztünk ezeket kb a velük való találkozás sorrendjében, logikailag többé-kevésbé összefüggő blokkokra és alblokkokra lebontva feltüntetni. Megjegyezzük, hogy egyes fogalmak, tételek csak részlegesen konstruálódnak meg a „felsőbb” matematika szintjéhez képest. I. „Aritmetikai” fogalmak, tételek, eljárások: prealgebrai ill algebrai előismeretek. A. 1 2. 3. A természetes szám fogalma (F). N fogalma (F). A természetes számok összeadásának, kivonásának, szorzásának fogalma (3 db. A) Az

oszthatóság fogalma N-ben (FA). Maradékos osztás N-ben 4. (A). 5. A SZAT N-ben (TA) A prím (ill felbonthatatlan) fogalma (F) 6. Nyitott mondatok parciális ill totális megoldása N-ben (A) Algebrai diszkusszió igénye (A). 7. Két természetes szám egyenlőségének fogalma (F?!?) Az = jel (E). B. 1 2. 3. 4. 5. Az egész szám fogalma (F). Z fogalma (F). Az egész számok összeadásának, kivonásának, szorzásának, maradékos osztásának fogalma (4 db. A) A „tag”, az „összeg”, a „tényező”, a „szorzat”, a „kisebbítendő”, „kivonandó, „különbség” fogalma. Az „osztandó”, „osztó”, „hányados”, „maradék” fogalma (F-ak). Algebrai elsőfokú egyenletek megoldása Z-ben (A). Az ismeretlen fogalma (F). Az egyenlet fogalmának kialakulása (F) Az azonosság fogalma (F). C. 1 F). 2. 3. 4. 5. 6. D. 1 2. 3. 4. 5. 6. E. 1 2. 3. A „művelet”, az „argumentum”, az „eredmény” fogalma (3 db. Az összeadás, szorzás,

kivonás, osztás fogalma (4 db. F) A műveleti sorrend fogalma (AF). A műveleti tulajdonságokra vonatkozó ismeretek (TA): kommutativitás (T), [asszociativitás (T) – ez tudatosul a legritkábban], disztributivitás: beszorozhatóság (AT) és kiemelhetőség (AT). Egész számok összevonása (A). Számok reprezentációi (tizes számrendszerbeli, illetve számegyenesen való) közötti váltás (E). A tört fogalma (F). A számláló ill nevező fogalma (ezek nem igazán fogalmak, inkább csak elnevezések). Törtek egyszerűsítése, bővítése (2 db. A) Tört szorzása ill. osztása egész számmal (2 db A) Törtek összeadása. Közös nevezőre hozás (A) Törtek szorzása (A). Elsőfokú egyenletek megoldása a törtek között: törtes egyenletek (A). A tizedestört fogalma (F). Szakaszos ill nem szakaszos tizedestört (2 db. F) Tizedestörtek összeadása, szorzása, kivonása, osztása (4 A). Elsőfokú egyenletek megoldása tizedestörtek körében. F. 1. 2. 3. A

racionális szám fogalma (F). Q fogalma. A racionális számok összeadásának, kivonásának, szorzásának, osztásának fogalma (4 db. A? – attól is függ, minek tartjuk a rac számokat, pl. törteknek? Tizedestörteknek? Vagy másnak, pl szakaszoknak?). F. 1. 2. A hatványozás racionális számkörben, természetes kitevőre (FA). A hatványozás azonosságai. Azonos kitevőjű hatványok szorzása, osztása (2 db. TA) Azonos alapú hatványok kezelése (2 db. TA) Hatvány hatványozása a kitevők szorzásával (TA) G. 1 2. 3. 4. H. 1 2. Nemnegatív racionális szám négyzetgyökének fogalma (F). Az x2=2 egyenlet megoldhatatlansága Q-ban (T). Az irracionális szám fogalma (F). Racionális és irracionális számok tizedestört alakja (T, racionális számok felírása tizedestörtként A). R fogalma. A valós számok összeadásának, kivonásának, szorzásának, osztásának fogalma (4 db. F) A hatványozás racionális számkörben, egész kitevőre (FA). A

hatványozás azonosságai. Azonos kitevőjű hatványok szorzása, osztása (2 db. TA) Azonos alapú hatványok kezelése (2 db. TA) Hatvány hatványozása a kitevők szorzásával (TA) II. Algebrai fogalmak C I. alatti összes F, T, A ide tartozik; 1. 2. 3. J. 1. 2. Az ismeretlen fogalma (F). Ismeretlenekkel való számolás módja (A). A „betűszám” v. „határozatlan” fogalma (F) A (fizikai) mennyiség fogalma (F). Képletek kezelése, átalakítása (pl. „ρ=m/V ⇒ ρ·V=m”) (A) Az algebrai, betűs kifejezés fogalma (F). Zárójeles kifejezések kezelése (A-ok csoportja). disztributivitási szabály alkalmazása kifejezésekre (A). K. 1. A polinom fogalma (F) Egyhatározatlanú polinomok Az együttható (E), a határozatlan (F), a tag (F(A)) fogalma. 2. A polinom mint egytagúak összege (F) Az egynemű, ill különnemű tagok fogalma (F) ill. egyneműek összevonhatósága (A). Polinom rendezett alakja (A) 3. A polinom mint formális kifejezés (F) 4.

Polinomok összeadása ill szorzása (2 db A) A szorzás lényegében u.az mint J2 L. 1. Nevezetes azonosságok: (a+b)2; (a+b)3; (a-b)2 (3 db TA) A 2. 3. 4. Ezek alkalmazása gyakorlati ill. elméleti feladatokban A polinomiális tétel (TA). Pascal-háromszög (A) Algebrai kifejezések (pl. többhatározatlanú polinomok) további kezelése. Pl (a1+a2++an)2-re vonatkozó azonosság; részleges kiemelés, egyéb „trükkök” (A(T)). M. 1 A törtkifejezés fogalma (F) Törtkifejezés értelmezési tartománya (F), illetve ennek meghatározása elsőfokú egyenlettel ill. egyéb módon (A) 2. Törtkifejezések szorzása, osztása racionális/valós számmal (2A) 3. Törtkifejezések egyszerűsítése, bővítése (A) 4. Törtkifejezések összeadása közös nevezőre hozással (A) 5. Törtkifejezések szorzása (A) 6. Az eddigi fogalmak alkalmazása elm-i és gyak-i feladatokban (A). Vastagon szedtük a „súlyponti”, alapvető fogalmakat, amelyekre a többi (elsősorban

partikularizációval, azaz részfogalom-képzéssel kapott) fogalom és tétel, algoritmus épül − legalábbis szerintünk. Talán még világosabb lesz ezen ismeretek strukturálódása, ha a fenti A-M bekezdéseket táblázatba rendezzük, a következőképp: II. táblázat A témakör és előismereteinek „fogalmi táblázata” Balról jobbra egyre absztraktabb, felülről lefelé pedig egyre differenciáltabb (egymásra épülő, bővülő) ismereteket írtunk, azaz többé-kevésbé a tanítás időbeli sorrendjét követtük. A táblázatban az ésszerű haladási irány balról jobbra, a sor végére érve pedig felülről lefelé. A táblázat idealizált: egy igen jó tanuló ismereteit tartalmazza Természetesen nem mindig különülnek el az egyes szintek sem horizontálisan, sem vertikálisan, még egy ilyen tanuló esetében sem.  absztrakció szintje  Alkalmazások szintje, prematematika Prealgebra

szintje Algebra szintje   ↓ i s m e r e t b ő v ü l é s   ↓ Dolgok felsorolása. Sorszám, számosság. 1, 2, 3,.; N; (F) (F) Bolti vásárlás végösszegének kiszámolása. +, ·, div; (A) Hőmérés. 0 pont Adósság, visszajáró pénz. (div = maradékos osztás) + és · műveleti tulajdonságai: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. (T) Nyitott mondatok megoldása (A) A kivonás parciális fogalma. (A) Az ismeretlen és egyenlet fogalmának kialakulása. -1, -2, -3,. Z +, -, ·, div Számolási szabályok -1-re (TA) + és · műv. tulajdonságai (TA) Egyenletek Z-ben. Az ismeretlen fogalma. (A) (F) (F) (F) „Inverz” problémák: Nyelvtani alapfogalmak: szórend, mondatstruktúra, névmás, mondat igazsága. Számolás zárójeles numerikus műveletsorokkal (−500+3(102+219)+30− (49-56)=?). Az egyenlőség, a művelet, a reláció, műveleti tulajdonság, stb. algebrai fogalmak kialakulása egyre

határozottabb. Diszkréten osztható javak elosztása sokaság tagjai közt, részekre osztással ill. bennfoglalással Oszthatóság (FA) Oszthatósági szabályok tizes sz.rsz-ben Oszthatóság tulajdonságai. (T) Prímszám. (F) Számelmélet AlapTétele. (AT) Prímfelbontás (A) Alkalmazás Folytonosan osztható javak elosztása törtrészrekre Prealgebra Tört fogalma Algebra (F) Műveletek törtekkel (egysz.-bőv, számmal szorzás-osztás, Műveleti tulajdonságok a törtek körében. (T) osztással. összeadás-kivonás közös nevezővel, szorzás). (A) Számolás géppel. Tizedestört fogalma (F) Fizikai-kémiai számolási feladatok. Műveletek törtekkel (egysz.-bőv, számmal szorzás-osztás, összeadás-kivonás közös nevezővel, szorzás). (A) Műveleti tulajdonságok a tizedestörtek körében. (T) Q (és R) fogalma. Egyenletek Q-ban. (F) (A) Zárójeles numerikus és törtkifejezések kezelése. Hatványozás Q-ban természes

kitevővel. (A) Hatványozási azonosságok (TA) Itt ér véget az általános iskolás anyag, és kezdődik a mi anyagrészünk. Matematika mint a természettudományok nyelve Ismétlés: Számok, számhalmazok, műveletek. Egyszerű szöveges feladatok: egyenes és ford. arányosság. Lineáris egyenletek. Ismétlés: műveleti tulajdonságok, törtek, egyenletek, egyenlőtlenségek, hatványozási azonosságok. Hatványozás egész kitevővel. (A) Az azonosságok érvényben maradása. (T) Numerikus négyzetreemelés. Nevezetes azonosságok. (T) Egész- és törtkifejezések. (F) Műveletek egész- és törtkifejezésekkel. (A). (A) Ismeretháló (fogalmak ,tételek, eljárások hozzávetőleges felépülése): Prealgebra: N, Z, Q, R; +, -, ·, :; Algebrai előismeretek: a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a(b+c)=ab+ac a+0=0 0a=0 a+bc=a+(b·c) felcserélhetőség; kommutativitás; csoportosíthatóság; kiemelhetőség-beszorozhatóság, disztributivitás; 0 nullelem; 0

zéruselem; Záró- és egyéb jel(elhagyási)konvenciók. Azaz (Q,+,·) illetve (R, +, ·) számtest-tulajdonságai; Hatványozás Polinomok Törtkifejezések Racionális (valós) szám egész kitevős hatványozása. Egész együtthatós, kevés határozatlanú polinomok Értelmezés: (n∈N{0}) αxk n-edfokú egytagú kif. (α∈R{0}); Törtkifejezések értelmezése. x1, x2,, xn határozatlanok: αx1n1x2n2xnnm (n1++nm=k) k−adfokú határozatlan. Műveletek: -) Egysz.-bőv; -) Összevonás; -) Szorzás. a0 := 1; an := a·a··a ; n-szer a-n = 1 ;. n ä Egyhatározatlanú polinomok. Egytagúak „összege”: polinom. Fokszáma: egytagúi fokszámai maximuma. Azonosságok: I. II. III. IV. V. anam = an+m; ⇒ an/am = an-m; (an)m = anm; anbn = (ab)n; ⇒ an/bn=(a/b)n. R[x] polinomgyűrű. R[x] normált algebra („normált*”, szorzással ellátott vektortér). Hasonlóan R[x1,,xn] is. Kevés, max 3-4 határozatlanú törtkifejezések. Nev. azonosságok:

(a±b)n; an-bn. (n∈{0,1,2,3}) *Megjegyezzük, hogy itt a fokszámból származó, az euklideszi gyűrű definíciójában szereplő „algebrai” „normáról” (sok szerző nem is hajlandó normának nevezni) van szó és nem a skaláris szorzatból származó analízisbeli „euklideszi” normáról. III.2 Didaktikai kérdések I: Aritmetika-prealgebra E fejezetben rátérünk az egyre konkrétabb, tanítással kapcsolatos didaktikai kérdésekre. A következő kérdésekre gondolunk: 1). Az anyagrészekkel kapcsolatos előismeretek, kiindulási nívó biztosítása, tapasztalatszerzés; motiváció; 2). Az anyagrész „sztenderd”, leggyakrabban előforduló felépítése (ha van). A legfontosabb definíciók, tételek és algoritmusok; 3). A tananyag tanításakor ill. tanulásakor előforduló várható tanári és tanulói típushibák, esetleg ezek elkerülése; pl. fogalom- és tételazonosítási, realizálási feladatok; 4). Ekvivalens felépítési

lehetőségek előnyei, hátrányai; 5). A fogalmak és tételek fizikai-materiális interpretációjának kérdései („alkalmazások”); A választott témakört 3 blokkra osztottuk: I.: Hatványozás; II: Nevezetes azonosságok; III.: Törtkifejezések Tehát mindhárom témakörrel kapcsolatban megvizsgálható a fenti négy-öt kérdéskör. Nem törekszünk teljességre (ez aligha lehetséges), inkább csak ötleteket kívánunk felvetni. Említettük, hogy az egész elemi algebra témakör elsajátításának alapfeltétele a természetes, az egész, és a racionális (és minimális mértékben, tkp. említés szinten a valós) számok félcsoport, gyűrű, ill számtesttulajdonságainak ismerete Mivel nem szándékozunk teljesen formalista jelleggel oktatni, ezért általában helyesnek tartjuk azt az általános és középiskolai tanításban egyaránt követett gyakorlatot, miszerint ezek a tulajdonságok nem tételes, hanem algoritmusos szemlélettel kerüljenek

tálalásra. Azaz nem azt tanítjuk, hogy „a racionális számok halmazában az összeadásra nézve a szorzás disztributív, azaz érvényes az (a+b)c=ac+bc azonosság”, hanem azt, hogy „két szám összegét úgy is megszorozhatjuk egy harmadik számmal, hogy a két számot szorozzuk ezzel, és az így kapott számokat összeadjuk; pl. (2+3)4=2·4+3·4=20, és általában (a+b)c=ac+bc” Mindazonáltal helytelennek tartjuk, hogy a formalista, struktúraelméleti interpretációt sokszor meg sem említik, még egy „akit érdekel, olvassa el a „Halmazok-relációk-függvények” ill. „Konkrét és absztrakt struktúrák” stb című könyveket” szinten sem. Egyáltalán, még sohasem találkoztam matematikatanárral, aki könyvet (filmet, www-címet stb.) ajánlott volna Ez nem csak az irodalomtanárok feladata! Nagy kár, mert színvonalas szakmunkák és népszerűsítések is elérhetőek a legtöbb (iskola)könyvtárban, nem csak e témában. Külön

kiemeljük a számolási ismeretek közül a negatív számokkal, előjelekkel való számolást, valamint összegek és szorzatok számmal való szorzását (sok tanuló nem érti, miért nem kell beszorozni minden tényezőt, amikor összegben minden tagot be kell szorozni, illetve miért kell beszorozni minden tagot, amikor szorzatban nem kell minden tényezőt beszorozni). Ezzel a kérdéssel részletesen nem foglalkozunk, mivel a kerettantervben lényegében egy külön alfejezete az „elemi algebra” témakörnek; csupán utalunk arra, hogy a „sárga könyv” II. fejezete ilyen jellegű feladatokat tartalmazcsak sajnos, az aritmetikai (prealgebrai) rész ismétlése a racionális számoktól kezdődik e könyvben. A természetes és egész számok algebrájával kapcsolatos feladatok nincsenek! A zöld könyv első érdemi fejezete is a „Racionális kifejezések azonos átalakításai” címet viseli. A hiány egy részének pótlására ld. Ajánlott Irod [1], [6], és

[8] Az előző fejezetekben említettük, hogy elemi szinten különféle okok miatt nem annak az oktatása folyik, aminek kellene: a tanulók mindenféle dolgot megtanulnak (vagy legalábbis megpróbálják, szegények), csak éppen azokat az alapkészségeket (számolás-írás-olvasás stb.) nem, ami nélkül nem fognak tudni boldogulni a felsőbb szinteken. III.3 Didaktikai kérdések II: Hatványozás Csak röviden foglalkozunk a hatványozás tanításának néhány kérdésével. Motivációja: A természetes kitevőjű hatványozás valójában általános iskolás, alsó tagozatos fogalom: a tizes számrendszer megtanulásakor előkerülnek a tíz kisebb hatványai. A téma szoros kapcsolatban van a számrendszerekkel. Az emberiség kultúrtörténete során különböző hatványalapok nyertek fontosságot. Egyes kőkorszaki szinten élő törzsek még a múlt században is használtak hármas, ötös alapú számrendszereket, és talán még ma is használják, egészen

addig, amíg el nem jutnak hozzájuk az olyan nélkülözhetetlen dolgok, mint a Coca-Cola, a csillagháborút koordináló bázisok, s mindezek egyik alapjaként a tízes számrendszer. A honfoglalás előtti magyar korból származó nyelvemlékek (mesék, szavak, egyes kifejezések, szólások) arra utalnak, hogy egykor hetes számrendszerben számoltunk (órán vagy hf.-ként gyűjteni is lehet ilyeneket). A hetes számrendszer használatára utaló jelek a Bibliában is találhatóak (fa. mint előbb) Az időmérés − az ókori keleti birodalmakból származó − egyes elemei a hatvanas számrendszer használatára utalnak. A tizes számrendszer elterjedtsége vsz. annak köszönhető, hogy tíz ujjunk van. A jelenlegi ún SI-mértékegységrendszer prefix szavai (atto, femto, piko, nano, mikro, milli, centi, stb.) is lényegében tizes rendszerre épülnek. A számítógépek működésének és az információ mérésének (bit, bite, kilobyte − ez a kilo más kilo, mint az

SI-rendszerben!) alapja általában a kettes számrendszer. Diszkrét, állandó szaporodási rátájú és generációs ciklusú populációk (baktérium, radioaktív atomok, „egykés” falvak stb.) időbeni növekedési (fogyási) folyamatainak leírása mind-mind igénylik a hatványozás bevezetését. Ha a t=0 időpillanatban egy baktériumpopuláció egyedszáma 106, akkor a t=1, 2, 3, , stb. pillanatokban sorra 2·106, 4·106, 8·106 , stb., azaz a növekedés üteme az {Nn}=106 2t (t≥0, t∈N) számsorozattal adható meg. A vizsgálat kezdete előtti pillanatban a populáció egyedszáma nyilván 106/2, azaz 106·2-1 volt. A t=-1, −2, -3, stb időpillanatokban a populáció egyedszámát az {Nt}=106·(1/2‫׀‬t‫)׀‬ (−19<t<0) számsorozat adja. Tehát pl 2-3 interpretálható 1/23-ként Ez az interpretáció egyben valós, gyakorlati feladatok adására is egy lehetőség. Az n-edrendű (n elemű halmaz elemeiből képezett) k-adosztályú (k elemű)

ismétléses variációk száma nk. Pl 314 féleképp lehet egy hagyományos totószelvényt kitölteni. Mindezen megállapítások felhasználhatóak motiválására, előzetes tapasztalatok szerzésére. Sztenderd felépítése: Adjuk meg az iskolás definíciót: Definíció: Az a∈R szám n∈N+ természetes kitevőjű hatványán olyan ntényezős szorzatot értünk, melynek minden tényezője a. Tehát an=a·a··a. Az a neve alap, n-é kitevő n-szer Könnyen észrevehető, hogy teljesülnek egyes hatványozási azonosságok, pl. anam=an+m Ezek többé-kevésbé elfogadható motivációt jelentenek az a0 szám definíciójához: pl. ha valamely n∈N+ számra (pl. 1-re, 2-re, 3-ra) ana0=an+0=an, akkor an-nel leosztva csak a0=1 lehetséges. Fontos viszont, hogy a hatványozás nem kommutatív: ha a≠b, általában ab≠ba. Nehéz feladat: oldjuk meg az ab=ba kétismeretlenes egyenletet (a,b∈Q, a2+b2≠0). Tétel: Teljesülnek a hatványozás azonosságai: ha a2+b2+n2+m2≠0,

anbn=(ab)n; an/bn=(a/b)n. Mindezek a definíció alapján igazolhatóak: fejtsük ki a hatványokat szorzat alakba, alkalmazzuk a szorzás kommutatív, asszociatív tulajdonságait és a törtekre vonatkozó azonosságokat. Hasonlóan igazolhatóak anam=an+m; (an)m=anm; valamint n≥m esetén an/am=an-m. Az utolsó azonosság kiterjesztése esetleg motiváló erő a hatványozás egész kitevőre való kiterjesztésére, bár ebben nem nagyon hiszünk. Az an fogalom kiterjeszthető egész n kitevőkre: Definíció: Legyen n∈N-. Ekkor an:=1/(a‫׀‬n‫)׀‬ Vagyis ez egy olyan n-tényezős szorzat, melynek minden tényezője 1/a (figyelem: ez már egy tétel!). Érvényesek maradnak a megfelelő azonosságok, sőt egy „újat” is kapunk: an-m=an/am (valójában ez semmiben sem különbözik an+m=anam-től, annak egy következménye). Típushibák: Típushibának a hatványozás azonosságainak összekeverése más azonosságokkal vagy horribile dictu számoknak csak egy

bizonyos halmazára érvényes egyenlőségekkel. Pl gyakori hibák a 2·32=(2·3)2, −2−1=+2 („mivel az ellenkező előjelek megsemmisítik egymást”), stb. Gyakran előfordul az is, hogy az azonosságokat „csak az egyik irányba” képesek felismerni és alkalmazni. Mindezek hatása csökkenthető pl az általános iskolában „Hübele Balázs” típusúként tálalt feladatokkal (rosszul felírt formális azonosságokat, illetve szöveges formában leírt rossz eljárásokat kell kijavítani). Ekvivalens felépítési lehetőségek: A természetes kitevőjű an mennyiség induktív (rekurzív) módszerrel is definiálható. Először persze el kell magyarázni ennek a módszernek a lényegét. Ha megvan, azt mondjuk: a0:=1 (a≠0), an+1:=an·a Ekkor az a0=1 mennnyiség definiálása elég „mesterséges”, de ez is kikerülhető a definíció következő helyesbítésével: „a1:=a, an+1:=an·a, teljesülnek az azonosságok, és ezekből csak a0=1 következhet”. Az

induktív definíció alkalmazása akkor jó, ha előfordulnak olyan tanulók, akiket zavar az an=a·a··a definícióban lévő két darab a betű és a hármaspont. Ugyanis ezt a definíciót alkalmazva n=1-re a1=a·a··a=a2··a>a. Az ilyen diák szerencsére meglehetősen ritka, de pl. én közéjük tartoztam annak idején (noha tudtam, mit akarnak vele mondani, csak nem értettem, hogy ha már precízen akarnak oktatni valamit, akkor miért nem viszik végig következetesen). Persze megoldható ez az a1:=a, an:=a··a (n≥2) definíció használatával is, de még mindig van hármaspont a definícióban, aminek a jelentése mindig n-től függ. Így tehát az nem is jelent semmit (semmi értelmeset). Az induktív definícióhoz hasonlóan az azonosságokat is lehet induktív úton is bizonyítani. Az an=(1/a)‫׀‬n‫=׀‬1/(a‫׀‬n‫ )׀‬mennyiség is kétféleképp definiálható, ha n∈N-. Az an mennyiség (n∈N) an=a··a felépítésével inkább az

első, míg pl. egy realisztikus felépítéssel (ld. populációnövekedési görbék) inkább a második felépítés a konzisztensebb. III.4 Didaktikai kérdések III: Azonosságok Sztenderd felépítése: Soroljuk fel az algebrai egész kifejezések átalakításaival, konkrétan összeg-hatványokkal és hatvány-összegekkel kapcsolatos ún nevezetes azonosságokat: 1). (a±b)2=a2±2ab+b2 (összeg négyzetre emelése); 2). (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (összeg köbre emelése); 3). a2-b2=(a-b)(a+b) (négyzetek különbsége); 4). a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) (köbök különbsége); 5). a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (köbök összege); Általánosabban (emelt szinten):  n i =0  i  n 6). (a+b)n= ∑  a n −i b i (binomiális tétel); n 7). a -b = (a − b)∑ a n −i b i −1 n n (n-edik hatványok i =1 különbsége); n 8). an+(-1)n-1bn= (a + b)∑ (−1) i −1 a n −i b i −1 i =1 (n>0). Egyéb azonosságok, pl.: 9). ab+ac+db+dc=(a+d)(b+c)

(többszörös kiemelés) (érdekes kérdés, hogy 8). miért csak páratlan n kitevőkre igaz) Csak az 1).-5) azonosságokkal foglalkozunk Ezek bizonyítása a szorzás disztributív tulajdonságán alapul, pl. 2 (a+b) =(a+b)(a+b)=(a+b)a+(a+b)b= =aa+ba+ab+bb=a2+ba+ab+b2=a2+2ab+b2. Bár ez egy teljesen formalista bizonyítás, úgy véljük, muszáj így tanítani, egész egyszerűen annyira alapvető(ek), jellemző(ek) a benne rejlő matematikai módszer(ek) és gondolat(ok). Arról nem is beszélve, hogy hétszeres haszonnal jár inkább egyetlen módszert megjegyezni, jelen esetben azt, amin a bizonyítás alapul, mint helyette hét képletet bebiflázni (csak az 1). és 3) azonosságok kívülről való megtanulását tartom kötelezőnek, egyébként használható a függvénytáblázat). Persze nincs megtiltva, hogy egy formális bizonyítást úgy mondjon el valaki, hogy közben lerajzol egy általa értelmesnek tartott rep-rezentációt: csak működjön. Erről ld még

„motiválás és tapasztalatszerzés”. Motiválás és tapasztalatszerzés: Az algebrai azonosságok körében ez egy igen nehéz kérdés. Elméleti és gyakorlati ismereteim is arra utalnak, hogy nem fog működni a legegyszerűbbnek látszó út, azaz az empirikus, konkrét, numerikus előzetes tapasztalatok általánosítására való késztetés. Ezen az úton esetleg, látszólag meg lehet tanulni pl. a kommutativitás vagy az asszociativitás törvényét, de az ilyen, „haladottabb” szintű algebrát nem biztosan. Az empirizmus szükséges az algebraoktatásban, de nem hiszem, hogy elégséges. Képzeljük el, hogy megkérjük a tanulót arra, számítsa ki az (1+2)2 összeget. Ha megfelelő előismeretei megvannak, ki fogja számítani: 1+2=3, 32=9. Ha ebben valaki felismeri − akár még más példák megoldása után is − az 12+2·(1·2)+22 felírást, annak matematikus volt az apukája, anyukája, és már hároméves kora óta foglalkozik számokkal. A nagy

átlag nem biztosan (nem „biztosan nem”, hanem „nem biztosan”!) fogja megtenni ezt, és ha megkérjük, számítsa ki az összeget a disztributivitás törvényének alkalmazásával, még ha meg is érti, mit akarnak tőle, akkor is idegenkedni fog ettől, hiszen nemigen találkozott még algebrával és alkalmazásaival korábban, így nem érti, mire jó ez, amikor ki is lehet számolni: ez az „összevissza szorozgatás” a dolgok bonyolításának tűnik, csak hogy még nehezebb legyen megtanulni az egészet. Ez az anyagrész a hatványozás után következik. A hatványozás témaköre átmenet az aritmetika-prealgebra és az algebra között. Miért? Azért, mert eddig a tanulók egy része nem találkozott algebrai azonosságokkal. A kommutatív, asszociatív stb törvények, egyszóval testaxiómák és következményeik is vagy algoritmusként, azaz egyszerűen számolási eljárásokként jelentek meg, és/vagy pedig „reprezentánsfüggetlen

igazságként”, mely utóbbi azt akarná jelenteni, hogy a tanuló konkrét számokkal meg tudja fogalmazni az azonosság megfelelő realizációját (a+b=b+a realizációja 1+2=2+1), és látja, hogy ez független a számok megválasztásától (lényegében mindegyik, ábrát használó geometriai bizonyítás is ilyen „reprezentánsrögzítés”. A következő lépcsőfok, hogy felírja: x+y=y+x, de tudja, hogy x,y számok, csak épp lényegtelen, micsodák. Az egyenletek és kifejezések egy idő után, különösen ha a függvényeket megismerték, önálló életre kelnek: ekkor pl. az x2+1=2x kifejezés nem biztosan puszta számokra vonatkozó, hanem két függvény közti relációt jelöl. A hatványozási azonosságok kezdetben számokra vonatkoznak, de amint előkerülnek betűs, kifejezéses feladatok, szerepük könnyen megváltozhat. Itt kellene bekövetkeznie a konceptuális váltásnak a konkrét-numerikus szintről a formális szintre, és e folyamatnak a

nevezetes azonosságok tanítása végére be kellene fejeződnie. Hacsak nem létezik az „absztrakt gondolkodás” nevű (szellemi) életkorhoz kötött képesség, ami de e problémáról és egyebekről máshol már szóltunk. Ez az anyagrész tehát talán a legfontosabb matematikai anyagrész. Aki tudja magáról, hogy felvételizni akar matematikából az egyetemre vagy ott ilyen tárgyat majd hallgatnia kell (még szegény biológusokra is vonatkozik ez), annak számára eme váltás megtörténte alapkövetelmény (már nem az én részemről, hanem az egyetemek részéről, sajna!). Az egyetemi matematikaoktatás ugyanis jobbára formalista. Az „alapkövetelmény” szón ugyan nem azt értjük, hogy aki láthatólag nem transzkonceptualizálódott hithű formalistává (abban a szűkebb értelemben, hogy a matematika több mint a számok és a tapasztalat tudománya), az nem kaphat pl. négyest Egyrészt a kerettanterv nem írja elő a váltást (csak „az

azonosságok ismerete és alkalmazásuk” a követelmény); másrészt miért ne következhetne ez be mondjuk 11. osztályban egy trigonometriai egyenlet megoldása közben? De − sajnos, ezt tudom magamról, kár is lenne tagadni − kedvenc tanítványaim egy része az ily módon megvilágosodottak közül fog kikerülni, és az egyetemen is inkább ők fognak boldogulni. Mit tegyünk, ha a tanulók nem hajlandóak megválni saját földhözragadt, konkrét-numerikus tévelygéseiktől? Van más út. A legtöbb (max. 3-adfokú kifejezéseket tartalmazó) azonosságnak ikonikus, geometriai interpretációja is létezik (ezek elég közismertek, ezért nem közöljük őket, néhány szép térbeli ábra megtalálható pl. felh irod [12]). Mindenképpen említsük meg ezeket − szem előtt tartva azt a modern (az ökológiából kisarjadt és szétterjedt) gondolatot, hogy a sokféleség önmagában érték lehet. Szorgalmi vagy egyéb feladatként kiadható pl. az egyes

„köbös” azonosságok térbeli papírmodelljének elkészítése úgy, hogy az azonosság tagjainak megfelelő idomokat rögzítve össze lehessen illeszteni ill. szétszedni (ez nemcsak matematikai ismereteket, hanem technikai találékonyságot is igényel). Több matematikus és tanár (ha jól emlékszem, egyik könyvében Szabó Árpád is) rávilágított arra, hogy ezek az Elemekből származó ábrák alkalmasak lehetnek az algebrai azonosságok szemléltetésére, egyes típushibák elkerülésére (az (a+b)2 geometriai reprezentációjakor pl. föl sem merülhet, hogy kifejtésekor lehagyjuk a 2ab tagot) Először persze el kell magyaráznunk a számok és (irányított, előjeles) szakaszok közti kapcsolatot, végül is az (R,+) és (R1,+) additív csoportok izomorfiáját, valamint emlékeztetni arra a tényre, hogy két szakasz szorzata a belőlük mint oldalakból szerkesztett téglalap területével reprezentálható. Esetleg motiváltabb feladatok is adhatók

így, mintha csak „csupasz” azonosságokkal dolgoznánk, hiszen pl. a „számítsuk ki az (a+b)2=? összeget” feladat feladható egy megfelelően felparcellázott négyzet alakú földdarab területének kiszámításaként. Emelt szinten is törekednünk kell arra, hogy a tanulók maguk jöjjenek rá az azonosságokra, pl. a binomiális tételre (még ha bizonyos tanulók esetében „biztosan sejtjük”, hogy nem is sikerülhet ez, akkor is érdemes próbálkozni vele − persze nem kell túlerőltetni sem. Ha nem megy, próbáljunk rájönni, miért nem). Ha van rá idő, pl. szakkörön, érdemes megemlíteni a binomiális tétel kombinatorikai vonatkozásait, pl. azt a klasszikus feladatot, melyben egy bástya elindul egy sakktábla bal alsó sarkából a jobb felsőbe, csak jobbra és felfelé léphet, s az a kérdés, hányféle úton mehet. Ez a feladat nemcsak önmagában lehet érdekes, hanem a matematikai problémamegoldás néhány alapvető módszerének

(objektum jellemzése számokkal, rekurziós és algoritmikus gondolkodás, egy esemény kimenetelének (ti. hogy melyik úton megyünk) absztrakt (pl 0-1 sorozatokkal való) jellemzése, látszólag azonos szituációkhoz különböző modellek, illetve különféle szituációkhoz azonos modellek létezésének felismerése, stb.) Típushibák: Legtöbbször az 1). azonosságot szokták elrontani, (a+b)2=a2+b2-et alkalmazva. Jó, ha az ilyen hibák elkerülése végett pl feladjuk a következő feladatot: oldjuk meg valahogyan az (a+b)2=a2+b2 egyenlőséget! Keressük meg az összes olyan számpárt, amelyekre teljesül! Említettük a geometriai reprezentációban rejlő lehetőségeket. Ha formális feladatokat is adunk, pl. „Fejtsük ki a következő szorzatot: (x−1)x(x+2)!”, vagy pl. számelméleti jellegű algebrafeladat megoldása során előkerül ilyesmi („Bizonyítsuk, hogy három egymást követő szám szorzata osztható 6-tal!”), akkor elsősorban arra kell

figyelni, hogy ne keveredjük el a sok tag szorozgatása közben; mire a végére érünk, ne felejtsük el az elejét, illetve ne végezzünk el egy részletszorzást kétszer, és ne is hagyjunk ki egyet sem. Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra: hasznos, ha kezdetben valahogy írásban is lejegyzik az elvégzett részletszorzásokat (pl. a tényezők tagjainak áttekinthető vonalakkal való összekötögetéssel, vagy bármilyen egyéb módon). Az a kérdés, hogy diszlexiás, diszgráfiás tanulók mennyiben képesek formális algebra tanulására (hiszen az algebra egyfajta nyelv, ami sok betűt tartalmaz), fontos, de költői. Egyelőre nem találtunk erre vonatkozó irodalmat, még ha létezik is. Ha jól tudjuk, a jelenleg születő vagy talán már hatályos közoktatási törvény előírja a velük való differenciált foglalkozást. Többet egyelőre nem tudunk eme kétségkívül kihívást jelentő témáról. Alkalmazások: Még valós feladatok is léteznek ilyen

azonosságok gyakorlására. Tekintsünk egy a×a×a m-es méretekkel rendelkező, megközelítőleg kocka alakú szobát. A környezet melegedése hatására tágul, az egyszerűség kedvéért a tágulás mértékét a térben homogénnek vesszük. Normális kifejezésekkel élve tehát minden oldala ugyanakkora, mondjuk ∆a m-rel tágul. Számítsuk ki a térfogatot a tágulás után! Az ún lineáris és térfogati hőtágulási együttható fogalmainak van köze ehhez az anyagrészhez, amennyiben a középiskola fizika tantervében szerepelnek. Persze minden bizonnyal más mennyiségek megváltozásának kiszámításában is alkalmazhatóak ilyesfajta azonosságok. Létezik elvi koncentrációs lehetőség a biológiával is (populációgenetika). A kérdéses modell kombinatorikai és valószínűségszámítási gondolatokat is tartalmaz, így most meglehetős bonyolult lenne elmondani. Bár maguk a gondolatok egyszerűek, így lehetséges, hogy némi munkával 9. osztályban

is tálalható formára hozhatók, csak az a baj, hogy genetikát csak a 11. osztályban fognak tanulni (amennyire emlékszem). Az azonosságnak létezik matematikán belüli alkalmazása is, ti. kétjegyű számok négyzetre emelését egyes esetekben gyorsan lehet segítségükkel elvégezni. Wesley (ld fh irod [14]) egyéb „trükkökről” is ír könyvében. Ezek tulajdonképpen, sőt ténylegesen és megvalósítandóan, az algebrai azonosságok motiválására is alkalmasak. Ez legalább említés szintén mindenképp szerepelni fog az órákon. Ekvivalens felépítési lehetőségek: Valójában minden azon dől el, minek tekintünk egy azonosságot. Számokról szóló általános állításnak? A valós számtest feletti algebrai kifejezésekről szóló kijelentésnek? Játékszabályok sorozatának? Geometriai tételnek? Vagy ilyen tétel rövid mnemotechnikai lejegyzésének? Mindegyik felfogásnak megvan a létjogosultsága. A leghelyesebb, ha mindről beszélünk a

tanulóknak, és mindenki kiválasztja a számára legadaptívabb szemléletmódot. A kerettanterv gyakorlatias: tudja (felmondani?) a tanuló az azonosságokat, és oldjon meg velük feladatokat, a többi édesmindegy. Számunkra a jelenlegi oktatás szelektív és felülről építkező volta miatt azonban az ideális az lenne, ha a szemléletmódok közt váltani is tudnának, s a „továbbtanulók” körének ráadásul egy idő után nem okozna gondot az azonosságok formalista módon (is) való felfogása. Ez tehát egy „plusz” tanítási cél, amely azonban korlátozottan jelenik meg az értékelésben. III.5 Didaktikai kérdések IV: Törtkifejezések Motiválás és alkalmazások Törtkifejezések! Minek ezek nekem? Szinte már halljuk is az ilyesfajta felkiáltásokat. Ami szörnyűbb: nagyrészt egyet is értünk velük Őszintén szólva, ha nem is tartjuk teljesen fölöslegesnek, azért túlságosan fontosnak sem ezt az anyagrészt. Érveink a következők:

„Mire jók” a törtkifejezések: Egyrészt: sok matematikai és fizikai képlet tartalmaz törtkifejezést. A képleteket azonban amúgy is inkább függvényeknek, mint algebrai kifejezéseknek célszerű felfogni, fölösleges (s korábban láttuk, elemi szinten nem is igazán lehetséges) ehhez egy teljesen új, formális fogalmat bevezetni. Másrészt a diszkussziós készség fejlesztésére. Arra gondolunk, hogy a törtkifejezésnek nem lehet nulla a nevezője. Ez valóban nehezen kerülhető meg. Elsősorban szintén a matematikából továbbtanulni szándékozók (fizikusok, matematikusok stb.) számára fontos ez A kerettanterv előírja, hogy a tanulók tudjanak műveleteket végezni törtkifejezésekkel. Ezt tehát muszáj tanítani és számonkérni Az igaz, hogy sok, elsősorban matematikán belüli probléma igényli az általános (nem numerikus) törtekkel való bánást, elsősorban képletekben − az ilyen műveletek azonban ad hoc is elvégezhetőek, hivatkozva

arra, hogy a képletekben lévő betűk számokat jelentenek, tehát végül is csak törtekkel végzünk műveleteket. Kérdéses szükségességű (s lehetségességű) csak emiatt négy újabb műveletet bevezetni. Erre a témakörre elsősorban az elemi analízis (a valós függvényeknek középfokon tanított elmélete), illetve a trigonometria támaszkodik. Tulajdonképp az elemi analízis az egyetlen komoly motiváló erő a törtkifejezések bevezetésére, így felmerül a kérdés, szükséges-e egyáltalán ettől különválasztva tanítani ezt az anyagrészt? A törtkifejezések oktatásának formalista okai is vannak: ahogyan a természetes számok félcsoportját a racionális (majd valós) számok testévé bővítjük, az algebrai formulák körében is az egész kifejezések gyűrűjét kibővítjük a törtkifejezések testévé (ez kicsit pontatlan, hisz nem mindig ugyanazokkal a határozatlanokkal dolgozunk, így inkább „szabad” gyűrűkről és

testekről kellene beszélnünk, de a lényeg, hogy valamit bővítünk). Azonban míg az azonosságok tanításánál még normál tantervű osztály számára is fontosnak gondoljuk a formalista interpretációt, a törtek tanításánál többféle okból sem. Azt hiszem, az említett kibővülés valójában nem vagy csak esetlegesen következik be. Itt a nagy többség esetében maximum e gyűrű és test valamilyen homályos előképének kialakulásáról lesz szó, és ezt a formalisták sem tagadják. Miért? Mert általában az egész és racionális számok gyűrűje és teste is „homályosan” alakul ki: a legtöbb tanuló szerintem egyáltalán nem rendelkezik még a „numeráliák” seregének osztályai (természetes, egész, stb.) alkotta struktúrafogalommal sem Akkor − ebből a szempontból − pedig fölösleges az egész kifejezésdit erőltetni, először talán inkább a „konkrét” struktúrák példányainak kialakulását kellene elérni. Nem

alakítjuk ki az alapokat a „pedagógia” nevében. Aztán építkezünk ezekre a nem létező alapokra különféle szent elvek („minőség”, „szépség”, „gondolkodásra nevelés”) nevében. Végül csodálkozunk, ha káosz lesz belőle. Sokszor vádolják a formalista oktatást, hogy értelmetlen dolgok megtanulására készteti a tanulókat. Ha ezt csináljuk helyette, az nem ugyanoda vezet? Ha az emberben nem lenne képesség számára érthetetlen dolgok bemagolására, reformok ide vagy oda, alighanem nagy bajban lenne az oktatás. Ha lelkiismeretesek akarunk maradni, akkor e témakör esetében a „mindent vagy majdnem semmit” elvet kellene érvényesítenünk: vagy legyünk valóban formalisták, de következetesen, vagy ne tanítsunk törtkifejezéseket, legalábbis ne a „valóságközelibb” interpretációk elhagyásával, helyette mondjuk reprezentáljuk őket törtfüggvényekkel (is). Az azok közt értelmezett műveletek sokkal fontosabbak, de

bezzeg nincsenek a tantervben. Mindez persze nem jelenti azt, hogy ne beszéljünk a törtkifejezés fogalmáról; dehogynem! Mindenről, ha lehetséges. Csak épp nem kellene ezt számonkérni. Szerintünk ha valaki „megérzi”, mi az a polinom, már az is a terv száz százalékos teljesítése. Sztenderd felépítés Magának a törtkifejezésnek a fogalma (középfokon), mint láttuk, meglehetősen definiálatlan. A definíció megadása tényleg nehéz Törtkifejezésen a Hajnal-Imre féle tankönyv olyan kifejezést ért, amelyben betűs kifejezéssel való osztás van kijelölve. Egyszerűsítő megfogalmazásban: ez egy tört, amelynek nevezőjében van x (vagy más betű). A műveletek definiálása: -) két algebrai törtet úgy kell összeadni/kivonni, hogy először közös nevezőre hozzuk őket (példákon keresztül elmagyarázva, hogyan kell ezt csinálni), így új törteket kapunk, az összeg számlálója az új törtek számlálóinak összege/különbsége,

nevezője a közös nevező; -) két algebrai törtet úgy szorzunk meg, hogy összeszorozzuk számlálóikat, nevezőiket, és képezzük ezek formális hányadosát. Röviden: a c ad + bc ± = b d bd és a b ab ⋅ = . c d cd Típushibák: Természetesen a legveszélyesebb, ha két törtet úgy adunk össze, hogy számlálójukat és nevezőiket összeadjuk, és képezzük ezek formális hányadosát. Ez ismét csak az aritmetikatudás hiányából adódik, tehát erről szóltunk. A másik típushiba annak elfelejtése, hogy egy törtkifejezésnek létezik értelmezési tartománya. Ekvivalens felépítési lehetőségek: A függvény (egyértelmű hozzárendelés, reláció) fogalma sokkal könnyebben, precízebben definiálható, sokkal szemléletesebb − és középfokon ezerszer hasznosabb − mint a kifejezés fogalma. Talán egész kifejezések helyett jobb lenne egyszerűen algebrai egész függvényekről (polinomfüggvényekről) beszélni, törtkifejezések helyett

pedig két egész függvény hányadosáról, azaz törtfüggvényről. Ugyanúgy megjelenik as törtkifejezések vizsgálatának elsődlegesen motiváló problémája, a nevező nemnullasága, azaz az értelmezési tartomány vizsgálatának igénye, tehát még ez sem marad ki. A függvények közti alapműveleteket „értékenként” kell végezni, tehát végül is ismét csak számokon végzett műveletekről lenne szó. A függvények fogalmához egyfajta intuitív, dinamikus szemlélet is kapcsolható, míg a kifejezések elmélete ebből a szempontból egy halott elmélet − a törtkifejezések törtfüggvények egyfajta „tetemei”, melyekből kilúgozódott a számok közti összefüggések, a számokra vonatkozó földhözragadtabb, numerikus-empirikus tapasztalatok élő lényege, és a legtöbb tanuló esetében csak egy sokkal gyengébb didaktikai értékű, analógiás jellegű szemlélet tud működni velük kapcsolatban (ti. hogy hasonlóan kell manipulálni

ezekkel az akármikkel, mint a számokkal). Függvénygrafikonok ábrázolhatóak pl. Excelben Az egyszerűbb, köznapi programok azonban nem képesek szimbolikus algebrai kifejezések kezelésére. Alkalmazások Léteznek algebrai törtek kezeléséhez vezető valós, gyakorlati feladatok. Most egy jut az eszünkbe: ti hogy hogyan kell kiszámolni egy elektromos hálózatban az ellenállást párhuzamos kapcsolás esetén (nem vagyok fizikus, remélem, szakszerűen mondtam - mindenesetre utána lehet nézni a fizikatankönyvekben). Nem gyakorlati fa, csak formalista hajlandóságú tanulóknak adható: asszociatív-e az a/b⊕c/d=(a+c)/(b+d) művelet? IV. Tanmenet IV.1 A tanmenet felépítése Célok megfogalmazása Annak ellenére, hogy sok fontos kérdés maradt nyitva (ezt egy mégoly alapos többkötetes didaktikakönyv szerzője sem tudná elkerülni), talán nekivághatunk a munka tulajdonképp legfontosabb, érdemi részének, ti. hogy mi történjék az órákon Munkánk

átmenet óratervsorozat és tematikus terv között − a tanórák terveit váltakozó részletességgel dolgozzuk csak ki. A tanítandó témakört három (fő)blokkra osztottuk az eddigiekkel és kerettantervvel összhangban, mindhárom blokk kb. 6-6 órát tartalmaz (ez nem szándék, így alakult). Hozzávettünk egy negyedik, kb 10-16 órás blokkot (ez a nulladik), mivel szorosan ide tartozik, nevezetesen az általunk aritmetika-prealgebrának titulált, a számkörök felépítését, kibővítését és az általános iskolai aritmetika- és algebraanyag ismétlését tartalmazó részt. Ez nagyjából a kerettantervi anyagban az Algebra témakör „Számkörök, a számfogalom felépítése” blokkjának felel meg. Ezt azonban csak jelképezzük, mivel egy másik munka témája lehetne. Elsődleges célunk a kerettantervi célkitűzések teljesítése, vagyis hogy a tanulók ismerjék a hatványozás műveletét, a hatványozási és nevezetes algebrai azonosságokat,

a(z egész és) törtkifejezéseket, a velük végzett műveleteket. Mivel az „ismerni” nem túl egyértelmű kifejezés, talán hasznossabb lenne ezt operacionalizáltabb célkitűzésekre fordítani. Ezek: -) alkalmazni tudják az algebrai ismereteket konkrét számokra; azaz tudjanak racionális/valós számokat egész kitevővel hatványozni, hatványozni, képesek legyenek a hatványozási és nevezetes azonosságokat konkrét számokat behelyettesítve alkalmazni (ezt kell tudni a kettesért − a kerettanterv a „továbbhaladás feltételeként” ennél még többet is követel, ld. a következő bekezdést); -) tudjanak analóg módon „számolni” formális egész -és törtkifejezésekkel, ahogy számokkal; „ismerjék” tehát a hatványozási és egyéb tanítandó azonosságokat formálisan is; -) képesek legyenek algebrai modellhez vezető valós, gyakorlati szituációk matematikai lényegét felismerni, szöveges formában megadott összefüggéseket

számszerű, többé-kevésbé formális összefüggésekké transzformálni, ilyen problémákat megoldani, azaz az ismereteket alkalmazni; -) a „jobbak” legyenek képesek bizonyos valós jelenségekről pusztán annak formális modellje alapján következtetéseket levonni, azaz „szakadjanak el” néha a fizikai, sőt a numerikus tapasztalatoktól, ám legyenek képesek e következtetéseket interpretálni is. IV.2 A 0 témakör felépítése: Aritmetika-prealgebra (kb. egy hónap ismétlés, ha szükséges) 1.blokk (1-4 óra): Természetes számok bevezetése, modelljei (sorszámozáshalmazok elemszáma-számegyenes), alapműveletek. Az összeadás és szorzás kommutativitása, asszociativitása, disztributivitása, ezen azonosságok bemutatása összegek és szorzatok fizikai reprezentációiban. A tizes számrendszer Az egész számok és modelljeik, egészek a számegyenesen. Számolás −1-gyel. Előjelek Műveletek az egész számok körében, ahogy az 1.

bekezdésben 2. blokk (3-6 óra): Racionális számok: a törtek értelmezése, valós modelljeik (számegyenes-torta-stb.) Műveletek törtekkel, ezek tulajdonságai Százalékok. Tizedestörtek (mint a törtek) A számegyenes valamely pontjának „leírása” végtelen tizedestörttel. Műveletek véges tizedes törtekkel. Tizedes tört oda-vissza írása törtté 3. blokk (2-3 óra): A függvény fogalmának előképe (függvény mint egyértelmű hozzárendelés). Függvény mint mennyiségek közti összefüggés Egyenes és fordított arányosság. A lineáris és az elsőfokú törtfüggvények. Műveletek valós függvényekkel (most jön a hatványozás, I. blokk) 4. blokk (1-2 óra): A SZAT alkalmazása: számok felbontási prímtényezőkre, és felírása kanonikus alakban. 5. blokk (1-2 óra): Dolgozatírás és ennek megbeszélése. algoritmusa IV.3 Az I témakör felépítése: Hatványozás 1. óra A természetes kitevőjű hatványozás bevezetése

populációnövekedési feladattal, majd sztenderd módon. A hatványok alkalmazásai (számrendszerek, SI-rendszer, populációk növekedése). A hatványozás azonosságai és ezek bizonyítása 2. óra A hatványozás kiterjesztése egész kitevőkre. Az azonosságok kiterjesztése és bővítése. A fogalom és a tételek néhány interpretációja, alkalmazása (számrendszerek, tizedestörtek, SIrendszer, populációk növekedése) − ezek közül az utóbbiak a formális definíciót előzzék meg. Néhány gyakorlófeladat megoldása. 3. óra Miután megbeszéltük az előző óráról maradtakat (ez kb. 5-10 perc), gyakoroljuk az azonosságokat a sárga, a zöld és a fehér könyv [ könyv alapfeladataival (125. old, III 164-166); a fehér könyvben lévő feladatokkal (60. old 22 fej 340-352) A gyakorlást úgy tervezem, hogy az óra egy részében minden tanulóm, forgórendszerben megold egy-egy feladatot (ez „villámkérdés” lesz abban az értelemben, hogy nem

problémamegoldásról lesz szó, hanem egy-egy egyszerű numerikus kifejezés kiszámításáról, de nem kötelező rá villámgyorsan válaszolni). Négy-öt ilyen „végigforgás” vsz ki is tölti az óra nagy részét. Ha nem, vagy ha már úgy megy mindenkinek, adjunk további, egyénileg megoldandó feladatokat. 4. óra Házi feladatok és problémák megbeszélése. Az óra további részében problémák megoldása (pl. kap az osztály egy feladatsort, és minden tanuló választhat, mit old meg. Kapnak gondolkodási időt, igény szerint közel egyenlő tagszámú csoportokat is alakíthatnak - a tagok megválasztásába azonban beleszólhatok (pl. sorsolni kell a tagokat)) Problémaként adhatóak elsősorban kombinatorikai feladatok (lottószelvény, variációk), nehéz populációnövekedési feladatok, vagy pl. egy konkrét binomiális  50   50   50  együttható (mondjuk  ,  ,.,   ) kiszámítása, előtte

persze 1   2 3  röviden leírandó ennek a fogalomnak a jelentése. Megpróbálhatjuk valahogy kiszámolni, hány jegye van 2100-nak, stb. Felhívhatjuk a figyelmet a hatványozás induktív definiálásának lehetőségére. (5. óra Az előző óra befejezése, az eredmények rövid értékelése és további gyakorlás, ha szükséges) 6. óra Az óra elején egy tíz-tizenöt perces, öt rövid feladatot tartalmazó meglepetésszerű röpdolgozat megíratása (amennyiben ezt az új törvények engedélyezik. Ezt azonban még ha megengedett is, akkor sem kívánom leosztályozni, ez is csak gyakorlás a dolgozatra). A maradékban számok normálalakja és ennek gyakorlása. A számológépi normálalakos számformátum említése. 7. óra Dolgozat írása a próbazh.-hoz teljesen hasonló feladatokból IV.4 A II témakör felépítése: Azonosságok 1. óra Az azonosságok bevezetése: „hogyan hatványozzunk összegeket, különbségeket”. Egyszerűen

tegyük fel ezt a kérdést az óra elején (és adjunk meg néhány numerikus példát is). Ha jó válaszokat kapunk, nagyszerű, ha nem, világítsunk rá, hogy ez konkrét esetekben nem működik. De miért? Az azonosságok geometriai interpretációi. Az azonosságok bizonyítása formális módon. A Pascal-háromszög említése 2. óra Az azonosságok gyakorlása. Kezdjünk a sárga könyv alapfeladataival. Szöveges feladatot is adhatunk 3. óra Az azonosságok gyakorlása. Adjunk szöveges feladatokat, ha az előző órán nem szerepeltek, illetve formálisabbakat, mechanisztikusabbakat, ha az előző órán szöveges feladatok szerepeltek. 4. óra A polinom fogalmának bevezetése. Feladatok polinomszorzásra és kifejezések szorzattá alakítására. Csekély érdeklődés esetén kötetlen beszélgetés az élet dolgairól, félszabad foglalkozás csendben (pl. mindenki megoldhatja az irodalom, nyelvtan, stb. feladatait), az érdeklődőknek nehezebb (otthon

kidolgozható) házi feladatok vagy akár projektszerű házi dolgozatok adása az algebra és alkalmazásai köréből, segítség, előzetes ismeretek megadása (a témákon még gondolkodom, persze lehet ötletet hozni). 5. óra Problémák megbeszélése, próbazh. írása, gyakorlás, a továbbiakban alkalmazások: A lineáris és térfogati hőtágulási együttható a fizikában, az általános magasság-és területtétel levezetése (ld. ajánlott Irod [17]) E témák esetleg kiselőadásként kiadhatóak az előző órán, jó jegyért. 6. óra Dolgozatírás a szokott módon, azaz mint az előző témakörben). IV.5 A III témakör felépítése: Törtkifejezések 1. óra A törtkifejezés fogalmának felépítése. Műveletek törtkifejezésekkel (ez már nem okoz annyi gondot). A műveletek bevezetése előtt néhány probléma megoldása (számoljuk ki az ellenállást párhuzamos kapcsolás esetén, medencefeltöltési feladatok, stb.) 2. óra Az előző óra

anyagának gyakorlása (sárga könyv). Elsősorban „adjuk meg a kifejezések értelmezési tartományát” típusú feladatok, pl. forgórendszerben 3. óra A zöld könyv egyes feladatainak megoldása. A rosszul állók számára tizenöt-tizenöt otthon megoldandó példa kiadása a zöld könyv III. fejezetéből (osztályzásra), amit a dolgozatírás utáni óráig kell beadni. 4. óra Szöveges feladatok megoldása. 5. óra Összefoglalás. 6. óra Dolgozat írása. IV.6 Óratervek Az alábbiakban két óratervet állítottunk össze. Az egyik, „sztenderd” tervet megvalósító pedagógus a hagyományos pedagógiaididaktikai eszközökre, a frontális óravitelre, egyéni munkára és a formalista szemléletre hagyatkozik, elsősorban olyan osztályban lehetséges ez, ahol a tanulók többsége „jó képességű” és jártas a matematikában. Készítettünk egy olyan alternatív tervet is, amely nagyobb összhangban van az általunk ebben a munkában

lefektetett célokkal és elvekkel (ld. az előző fejezeteket, ill az óratervek elejét) Ez egy átlagosabb, földhözragadtabb szemléletű osztályba való inkább. A második óraterv pedagógusa elsősorban az empirikus adatgyűjtésre, tapasztalatszerzésre, a tanulók önálló (bár nem feltétlenül egyéni) felfedezésére helyezi a hangsúlyt, elkerülve a rossz értelemben vett empirizmust (egyéni munka túlsúlya, pusztán numerikus, mechanisztikusan megoldandó, nem „gondolkodtató” jellegű feladatsorok, az általánosítás, a horizontális matematizálás elhagyása), azaz ez egy heurisztikus szemléletű óra. Ám az óra végén és a következő órákon egyre inkább sor kerül arra a tananyagrészre is, amit az első óravázlat pedagógusa „ad le”, illetve az empirizmus mellett a realisztikus célok és elvek érvényesítésére is. Figyeljük meg, hogy egyik pedagógus sem ad megfelelő gyakorlatialkalmazott jellegű feladatokat. Ilyeneken még

gondolkodunk Sajnos a felhasznált irodalom egyik feladatgyűjteményében sem sikerült ilyet találnom, még az új, „gyakorlatias” fehér könyvben sem. Az algebra témakörével kapcsolatban pusztán formalista feladatok vannak abban is; kivéve néhány, az algebrai törtek alkalmazását kívánó feladatot. Ilyenek R. Wesley kiváló népszerűsítő munkájában találhatóak leginkább (fh ir [15]). Figyeljük meg azonban azt is, hogy a második óraterv feladatsora elsősorban nyitott problémákat tartalmaz (vajon miért?). A második fajta óra feladatsora természetesen a szükségleteknek megfelelően változtatható. A). „Sztenderd” (formalista) óraterv Óra címe (témája): II. témakör 1 órája (nevezetes azonosságok bevezetése); Helye a tanmenetben: A 9. osztályok számára még az első félévben sor kerül rá: Az aritmetikai-prealgebrai ismeretek, majd az egész kitevőjű hatványozás témaköre után. A tanmenetre visszatekintve láthatjuk:

nem biztosan közvetlenül a Hatványozásból írott dolgozat utáni első óra ez, mert az az utáni néhány órán a SZAT átismétlésére kerül sor. Szükséges előismeretek: Számolni tudás, konkrétan: racionális számok összeadása, szorzása és természetes kitevőjű hatványozása, a disztributivitás algoritmikus alkalmazni tudása numerikus (betűt nem tartalmazó) zárójeles kifejezésekre. Célok-követelmények: -) A nevezetes azonosságok (összeg és különbség négyzete ill. köbe, két négyzet különbsége) alkalmazni tudása konkrét, azaz numerikus esetben (ha formalista koncepció szerint oktatunk, később sor kerül majd ezek alkalmazására betűs kifejezezések esetén is); -) A kifejezés (≈polinom) fogalmának részleges kialakítása (hogyan kell ilyeneket szorozni); -) A számolási készség fejlesztése alkalmazásának gyakorlása révén; az azonosságok numerikus Szükséges segédeszközök: Tábla és írószerszám, a tanulóknak

papír (füzet) és ceruza. Azaz semmi különös Az óra menete: 1. (3p) Az óra első néhány perce (maximum 3) eltelik a késők érkezésével, a helyek megtalálásával, naplóbeírással, stb. 2. (2-5p) Az előző órai esetleges házi feladatok lehetőleg rövid megbeszélése (nem tudom, az 5p mennyire reális becslés: valójában az órák negyede-fele ezzel szokott eltelni). 3. (2-3 p) Frontális munka „Beszélgetés” (kérdések feltevése) az osztállyal az egész kitevős hatványozásról: elevenítsük fel a definíciót és az azonosságokat. Elsősorban az (ab)n=anbn felidézése a cél Ha ez megvan, meg is állhatunk. A hatványozás definícióját speciális esetben: a2=a·a, illetve az előző azonosságot, írjuk fel a táblára. 4. (5-15p) Gondolkodtató kérdés (tk „ötletroham”, frontális munka és táblánál való egyéni munka keverten, egy időben): szorzatot és hányadost tudunk hatványozni, ismerünk rájuk vonatkozó egyszerű

azonosságot. Összeg és különbség hatványozását vajon miért nem említettük (ha szerencsénk van, egy érdeklődő gyerek már a hatványozás tanítása közben annak idején megkérdezte ezt, és a kérdést döbbent csend fogadta − ekkor hivatkozhatunk erre a kérdésre). Ha vannak jó, ígéretes, rossz, vagy nem kategorizálható (túl intuitív, szaknyelvre nem fordítható) ötletek (pl. „Nyilván azért, mert egy összeg hatványát lehetetlen kiszámolni.”, „Mert annyira bonyolult lenne kiszámolni, hogy nem éri meg megtanulni”, „Mert a hatványozás is szorzás, de az összegzésnek semmi köze a szorzáshoz”, stb.), jegyezzük fel azon tanulók nevét, akik mondtak valamit, és kérjük meg őket, írják fel, amit mondtak, nehogy elfelejtsék; csoportosítsuk az azonosnak tűnő ötleteket, majd sorban beszéljük meg valamennyit. Ha szükséges, nyugodtan megkérhetjük a tanulókat, fáradjanak ki a táblához és írjanak konkrét példákat

arra, amit mondtak, vagy magyarázzák el részletesebben. Mindig kérjük meg őket, hogy a legegyszerűbb esetet, vagyis egy összeg négyzetre emelését vegyék alapul. 5. (3-5p) Az egyik lehetőség, hogy rájönnek a megoldásra: (a+b)2=a2+2ab+b2 (1. azonosság) sőt esetleg a hozzá vezető formális útra is (ha nem, akkor vezessük rá őket, hogy egyszerűen a négyzetre emelés definícióját, a disztributivitást és az összegzés, szorzás kommutativitását kell alkalmazni. Ha viszont sikerül meggyőzniük magukat arról, hogy ilyen azonosságok nem léteznek, írjuk fel az 1. azonosságot a táblára „Bizonyítsuk” ezt az azonosságot geometriailag, felrajzolva a megfelelő reprezentációt a táblára, és magyarázzuk el, hogy ez teljesen ekvivalens az algebrai bizonyítással. 6. (4-6p) Feladatmegoldás (egyéni munka) Mindenki választ egy kétjegyű számot, majd ezt minél gyorsabban (azért nem kell hajtanunk a tanulókat), az előző azonosság

alkalmazásával, négyzetre emeli. Ha szükséges, adjunk egy másik számot azon tanulóknak, akiknek elsőre nehezebben megy. 7. (1-2p) Kérdés (frontális munka): Mit gondoltok, hogyan lehet (a-b)2et az előzővel analóg módon kiszámolni? Hívjuk fel a figyelmet, hogy nem muszáj beszorozgatással kiszámolni, hanem úgy is megkapható, ha az előző azonosságban b helyébe -b-t írunk. 8. (8p) Egyéni munka (papíron): Fejtsük ki hatványokat! Mit kapunk? az (a+b)3 ill. (a-b)3 A füzetben pontosan ennek kell ideális esetben szerepelnie: (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)= a2(a+b)+2ab(a+b)+b2(a+b)= {vagy pedig a másik, az (a2+2ab+b2) taggal szorozgatunk be, az egy alternatív megoldás}=a2a+a2b+2aba+2abb+b2a+b2b={az összevonás több lépésben is történhet}=a3+3a2b+3ab2+b3, s analóg módon legyen felírva (a−b)3 is. Kérdezzünk rá egy-egy lépésre, hogy miért egyenlő ez a kifejezés azzal a másikkal. Ha valaki csak lemásolta a szomszédjáról, de

látszik, hogy nem ért valamit, vagy ha nagyon is egyéni módon dolgozik, akkor ezt később (azt mondva hogy „sokaknál előfordult a következő típushiba, ill. alternatív ötlet:” − a szándékos homlokzatsértést még formalista oktatás esetén is kerüljük el!) beszéljük meg a táblára írva. 5 percet kapnak gondolkodásra, a további 3 perc alatt történik frontálisan a tapasztalatok levonása. Aki hamarabb kész van, azt kérjük meg: próbálja meg 3D ábrán elkészíteni az (a+b)3 grafikus reprezentációját valamilyen a,b szakaszokra! Adjuk fel szorgalmi Hf.-nak „működő” (szétszedhető) papírmodell készítését! Ha nagyon jártas tanuló is akad az osztályban, aki már útban van a binomiális tétel önálló felfedezése felé, annak mondjunk néhány eszünkbe jutó címet az Ajánlott Irodalomból. 9. (0-15p) Ha marad idő, sor kerülhet ezen az órán az a2−b2=(a+b)(a-b) azonosságra, de nyugodtan áttehetjük a következő,

gyakorló jellegű óra elejére. Beszéljük meg az osztállyal közösen az EÉFGy I 77 old 500 feladatot! 10. (0-2 p) Házi feladatok adása: amennyiben ezt a hatályban lévő oktatási törvény megengedi (ez nem vicc akar lenni!). Hf I. Hány jegyű számok a) (104-1)2; b) (105-1)2; c) (106-1)2; d) (10101)2, szorg e) (10n−1)2; ; Hf II „számoljuk ki” (a±b)4-t Hf III a) „számoljuk ki” (a+b+c)2-t; szorg. b) „számoljuk ki” (a1+a2++an)2-t (numerikus és szöveges feladatok a következő, gyakorló órán szerepelnek inkább) B). Alternatív óraterv Óra címe (témája): II. témakör 1 órája (nevezetes azonosságok bevezetése); Helye a tanmenetben: A 9. osztályok számára még az első félévben sor kerül rá: Az aritmetikai-prealgebrai ismeretek, majd az egész kitevőjű hatványozás témaköre után. A tanmenetre visszatekintve láthatjuk: nem biztosan közvetlenül a Hatványozásból írott dolgozat utáni első óra ez, mert az az utáni néhány

órán a SZAT átismétlésére kerül sor. Szükséges előismeretek: Számolni tudás, konkrétan: racionális számok összeadása, szorzása és természetes kitevőjű hatványozása, a disztributivitás algoritmikus alkalmazni tudása numerikus (betűt nem tartalmazó) zárójeles kifejezésekre. Célok-követelmények: -) A nevezetes azonosságok (összeg és különbség négyzete ill. köbe, két négyzet különbsége) alkalmazni tudása konkrét, azaz numerikus esetben (ha formalista koncepció szerint oktatunk, később sor kerül majd ezek alkalmazására betűs kifejezezések esetén is); -) A számolási készség fejlesztése alkalmazásának gyakorlása révén; az -) Törekvés az önálló munkára és felfedezésre; azonosságok numerikus -) Tapasztalatszerzés a csoportos munkával kapcsolatban; Szükséges segédeszközök: Tábla és írószerszám, a tanulóknak papír (füzet) és ceruza. 3-4, a tanár nyomtatott feladatsor (az alábbiakban mindjárt

leírjuk a rajtuk lévőfeladatokat), háromoldalú pénzérme (vagy ezzel ekvivalens véletlenszám-generátor, pl. eléggé szabályos dobókocka). Egyéb: Feltételezzük, hogy az oktatás csoportbontásban történik a matematikaórákon: azaz egy A és B csoportra bomlik az osztály, melyeket külön tanár tanít, vagy külön időpontban. Az egyes csoportok létszáma nem haladhatja meg a 16 főt. A csoportok tagjai azonban nagyjából véletlenszerűen (pl. A-M, M-Z) vanak választva, tehát valóban csak a létszámcsökkentés miatt. Feltételezzük továbbá, hogy a tanár ismeri az osztály tanulóit, képességeiket, előmenetelüket. Az óra menete: 1. (3p) Az óra első néhány perce (maximum 3) eltelik a késők érkezésével, a helyek megtalálásával, naplóbeírással, stb. 2. (2-5p) Az előző órai esetleges házi feladatok lehetőleg rövid megbeszélése (nem tudom, az 5p mennyire reális becslés: valójában az órák negyede-fele ezzel szokott eltelni).

(azaz eddig semmi változás az előző tervhez képest) 3. (1-2p) Alakítsunk maximum 4 fős csoportokat (azaz 3-4 csoportot) az osztályban. Vigyázzunk arra, hogy ezek a csoportok ne legyenek homogének: mindegyikbe kerüljenek „jó” és „átlagos” képességűnek tűnő gyerekek (ehhez persze ismerni kell az osztályt). 4. (15-25p) Minden csoport kap egy feladatsort, és az osztály és a tanár belátásától függően feldolgozza. Például lehet, hogy minden csoport tanakodhat egy kis ideig, és aztán választ egy feladatot, amit az előző csoport még nem választott, de lehet, hogy mindenki azt a feladatot csinálhatja, ami tetszik neki és amivel tud valamit kezdeni; sőt legrosszabb esetben − a csoportbontással egyelőre csak ezt szándékozom elkerülni, sokkal magasztosabb céljaim nem voltak − a tanár írásvetítőn kivetíti a fóliára írt feladatsort, és nincs csoportbontás. Lehetőleg azt preferáljuk, hogy minden csoport egy adott feladatot

választ, az összeset feldolgozza (amennyire tudja), de csak egyből- egyből referál minden csoport, azaz csak egynek mondja el a megoldását. A megoldásokat aztán a többi csoport, azaz az osztály részvételével megbeszélik és értékelik. Azonban ez nem minden osztályban működőképes. Közben járjunk körbe az osztályban és figyeljük a csoport munkáját. Ha valamit rosszul csinálnak, vezessük rá őket a helyes útra (általában úgyis meg szokták kérdezni: eddig jó? Valami rossz? A diákok legtöbbször automatikusan azt hiszik, a tanár azért figyeli őket, mert valamit elrontottak). 5. (10-20p) A választott feladatfeldolgozási rendtől függően beszéljük meg a feladatok megoldásait. A feladatokban természetesen az a közös, hogy a „nevezetes azonosságokról” (azaz összegek és különbségek hatványairól) szólnak. Minden csoportnak 2-4 percet adjunk „referálni” (de az sem baj, ha a következő órára átnyúlik ez az óra.

Ekkor persze a következő óra elejénelevenítsük fel, mi történt az előző órán). A feladatsor: Feladatok: Az alábbi feladatsoron négy feladatot látunk. Tetszőleges sorrendben megoldhatóak (még egy feladaton belül az a)-b)-c). részek sorrendje is cserélhető). Ha megoldottunk kettőt-hármat, gondolkodjunk el arról is: Vajon miről akarnak „szólni” ezek a feladatok, mi a közös bennük? 1). Két táblázatot látunk ( a sorokban az a, az oszlopokban a b betűnek adtunk értékeket): (a+b)2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 4 9 16 1 4 9 16 25 4 9 16 25 36 9 16 25 36 a2+b2 0 1 0 1 2 3 0 1 1 2 4 5 9 10 4 16 25 36 49 5 25 36 49 4 16 17 5 25 26 2 3 4 4 9 16 5 10 17 8 13 20 13 18 20 25 29 a). Mit vehetünk észre az egyes táblázatokban, sorokban, oszlopokban, átlókban? b). Milyen összefüggés van a két táblázat azonos helyén álló szám (azaz (a+b)2 és a2+b2 közt? Melyik a nagyobb, melyik

kisebb? Vajon tetszőleges (akár nem egész) a,b esetén így van? c). Készítsük el ugyanezeket a táblázatokat az a,b∈{-1, -2/3, -1/2, 1/3, 0, 1/3, 1/2, 2/3, 1} számokra! Melyik táblázat elemeit könnyebb számolni? d*). Észrevehetjük, hogy (a+b)2=a2+b2 ha ab=0 Vajon ez szükséges vagy elégséges feltétel? Oldjuk meg az (a+b)2=a2+b2 kétismeretlenes egyenletet bármilyen általunk ismert egyenletmegoldási módszerrel! Segítség: bármely két X,Y∈R valós számra érvényes az Y2−X2=(Y+X)(Y-X) azonosság (miért?). 2). Számoljuk ki az (100+1)2, (101+1)2, (102+1)2, (103+1)2, (104+1)2, (105+1)2 számok tízes számrendszerbeli alakját! Hogyan tudjuk ezek után leírni tizes számrendszerben általában (10 +1)2-t (n valamilyen természetes szám)? És mért pont így? n 3). Egy felparcellázott földterület térképét látjuk. A betűk az egyes parcellák oldalainak hosszát jelölik. A pontos, km-ben mért méreteket a hanyag térképrajzoló lehagyta. a).

Egy délelőtt a járási Földhivatal egyik munkatársa ránézett erre a térképre, és a fejéhez kapott: − „Te jó ég!”-mondta − „Hisz ez az ábra szerepel a lányom algebratankönyvében, épp tegnap vettük át vele!” Mit kereshet ez a térkép egy algebratankönyvben? b). Hány négyzet alakú területet látunk a képen? c). Írjuk fel az egyes négyzetek területét részeik (téglalapok és kisebb négyzetek segítségével! d). Hogyan lehetne „folytatni” ezt az ábrát? c b a a 4). b c Egy vidámparkban a következő nyereményjátékot játsszák: a játékos fizet 125 Ft.-ot, majd három urnából, amelyek mindegyikében egy piros és egy fehér golyó van, választ pontosan egy-egy golyót. Piros golyó húzásának értéke 4, a fehéré 6 Ft Az össznyeremény a golyók értékének nem az összege, hanem a szorzata. a). Hány forintot nyerhetünk/veszthetünk egy játszmával (azaz három golyó húzásával)? Mennyi ennek az esélye

átlagosan (ezt úgy számoljuk ki, hogy egy játszma összes lehetséges kimenetelei számát elosztjuk azon kimenetelek számával, amikor épp ennyi Ft.-ot nyerünk) Készítsünk táblázatot! b). Készítsük el ugyanezt a táblázatot arra az esetre, ha két urnával játszunk, csak nem golyókkal, hanem tarka és fehér és babszemekkel. Ismerős valahonnan (pl 8 osztályos tanulmányainkból) ez a szituáció? c). Vajon igazságos ez a játék? Mennyit nyer átlagosan egy játékos, ha elég sokáig játszunkk (próbáljuk ki!)? d). Magyarországon a szerencsejátékokat szabályozó törvény előírásai szerint az átlagnyereménynek el kell érnie a játékos által befizetett összeg 80%-át. Teljesül-e ez? Ha nem, hogyan kellene módosítanunk a játékot, hogy ez teljesüljön? Útmutatás a feladatok megoldásaihoz (nem oldjuk meg őket mindig teljes részletességgel): 1a). E táblázatok mindegyike szimmetrikus a mellékátlóra, összefüggésben azzal, hogy

az a⊕b=(a+b)2 és a#b=a2+b2 műveletek kommutatívak. Az első táblázat minden ÉK-DNy irányú átlójában ugyanazon számok állnak. Ez azért van, mert akkor maradunk ebben az átlóban, ha pl. a 1-gyel növekszik, b 1-gyel csökken (vagy fordítva), és akkor az a+b összeg értéke, tehát négyzete sem változik. A második táblázat már nem tudja ezt Észrevehető, hogy mindkét táblázat bármely két (■?) sorában és oszlopában a szomszédos elemek különbségeinek sorozata épp a páratlan számok sorozata. 1b). Természetesen 2ab a különbség. Erre próbál rávezetni a „melyik nagyobb és mennyivel?” kérdés. Az órán próbáljuk meg sugallni a tanulóknak, hogy készítség el a „különbségek táblázatát”. 1c). Ha mindig állandó a különbség két szomszédos a illetve b szám között, ∆a és ∆b, és ∆a=∆b teljesül, akkor a fenti megállapítások esetleg kis módosításokkal érvényben maradnak. 1d*). Zavar minket a két

ismeretlen Egy ősi trükk, hogy ha nincs összefüggés két mennyiség között, akkor csinálunk: legyen b=xa (azaz képezzük az x=b/a számot. Ha a=0, akkor persze (a+b)2=b2=a2+b2=b2 (mivel a tanulók még nemigen találkoztak algebrai diszkusszióval, nem baj, ha ezt az első lépést lehagyják: hívjuk fel rá a figyelmüket). Ellenkező esetben x∈R, ekkor Itt (a+b)2=(a+xa)2=a2(1+x)2; a2+b2=a2+(xa)2=a2+x2a2=a2(1+x2). csak már ismert azonosságokat alkalmaztunk. Tehát megoldva az egyenletet: a2(1+x)2=a2(1+x2). Leosztva a2≠0-val (1+x)2=1+x2 Most használjuk fel a segítséget: (1+x)2-x2=(1+xx)(1+x+x)=(1)(2x+1)=1; azaz 2x+1=1, azaz 2x=0=x. Tehát ekkor b=xa=0a=0. Azaz: (a2+b2)=a2+b2 akkor és csak akkor érvényes, ha ab=0, azaz a=0 ∨ b=0. 2). (100+1)2=4, (101+1)2=121, (102+1)2=10 201, (103+1)2=1 002 001, (104+1)2=100 020 001, (kb. eddig terjed . . egy átlagos számológép tudása); általában (10n+1)2= 100  0200  01 . n −1 db n −1 db

Bizonyítható ez pl. indukcióval, ha a tanuló ismeri; de legkönnyebben persze az (a+b)2 nevezetes azonosság alkalmazásával. Nagyobb n esetén már nemigen használható az a módszer, hogy a zárójelben lévő számot kell kiszámolni. Így a tanuló vagy rákényszerül az azonosság „felfedezésére”, vagy más feladatot kezd. 3a). A rejtély nyitja persze az, hogy az ábra egy csomó algebrai azonosságot szemléltet (1,2,3-tagú összeg négyzetre emelését). A következő feladatok erre próbálnak rávezetni, ha a tanuló nem jön rá egyből. 3b-c). 3d). Én 6 négyzetet tudtam összeszámolni. Pl az egyik dolog, amit felírunk, (a+b)2=a2+2ab+b2 lesz, egy másik 2 2 2 2 (a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc, stb. Ha kiegészítjük az a+b+c oldalú négyzet oldalát egy d, egy e, egy f,stb. szakasszal, a megfelelő tagszámú összeg négyzetre emelését szemléltető ábrát kapjuk. Jópofa dolog, hogy egy (a1+a2+.+an) oldalú ábra nemcsak ennek az összegnek a

négyzetre emelését szemlélteti, hanem sok „részletösszegét” is, pl. (a1++an1)-ét is 3a). Nyerhetünk 63=216 Ft.-ot 1/8 eséllyel, 62·4=144 Ft-ot és 6·42=96 Ft.-ot 3/8 eséllyel, 43=64 Ft-ot 1/8 eséllyel Ha ebből leszámítjuk a befizetett 125 Ft.-ot, az bizony igen sovány eredményt ad. Ezt a játékot nemigen fogják játszani (hacsak nincs jó marketingje). 3b). A „babszem” szóról talán beugrik a „borsó”, arról pedig a Mendel-törvényekhez mellékelt ábrák a 8. oszt. biológiatankönyvben (az „előző tanulmányokon” nem feltétlenül matematikatanulmányokat kell érteni!). Bizony, a binomiális tétel, ahogy a valószínűségszámítás is, szoros kapcsolatban van a populációgenetikával. A piros-tarka húzása analóg lehet ilyen színt meghatározó allélok „húzásával” az élet nagy játékában. 3c). Számításaim szerint az átlagnyeremény=E(bank által fizetett nyeremény)−125=117-125=-8 Ft. Ez a játék így egy

panama Nem igazságos, ahhoz 117 Ft.-ot kellene befizetni Persze mivel a tanulók többsége nem ismeri a várható érték definícióját, próbáljuk elmondani nekik munka közben. 3d). Az E(bank által)=117 Ft összeg ugyan nagyobb, mint 125 Ft 80%-a, azaz 100 Ft., de ha jól értelmezem a törvényt, a 125-E különbségnek kell elérnie 125 80%-át, de láttuk, az pedig 8, azaz nyolc forint, messze van a 100 Ft.-tól Egy egyszerű lineáris egyenlet mondja meg, hogyan lehetne eleget tenni a törvénynek. IV.7 Egy témazáró dolgozat Összeállítottunk egy ellenőrző feladatsort ama meggyőződésünk ellenére, mely szerint a dolgozat- és feleletjegyek nem éppen vagy nem egészen a „tudást” mérik. Egyébként nemcsak azon lehet vitatkozni, hogy mit és hogyan mérnek, ha egyáltalán mérnek valamit, hanem hogy ha valóban „tudást” mérnek, akkor ez minek a tudása, illetve, hogy ha azt is mérik, amit esetleg gondolunk hogy mérnek, és ez valaminek a tudása,

még akkor sem biztos, hogy valóban azt kellene mérnünk, amit gondolunk hogy mérünk. Éppen ezért ha valaki nem ért egyet sem a kitűzött feladatokkal, sem a pontozási rendszerrel, és másképp csinálná: természetesen igaza van. A dolgozat két témakört foglal magába: a hatványozást és a nevezetes azonosságok témakörét. Az algebrai törtek témakörét külön kell választanunk a többitől, és külön is kell belőle dolgozatot íratni. Indokainkról már szóltunk (ld. III5 fej) A dolgozat feladatai: 1). FELADAT a). Mennyi alakja)? b). Mit szimbólum? c). 9+3p 64 (1p) (tízes jelent számrendszerbeli 64 a (1+1p) Mit értünk egy a∈R valós szám pozitív egész kitevős nedik (n∈N) hatványa, azaz an alatt? (2+1 p) d). Igazoljuk, hogy (a+b)(a-b)=a2-b2 tetszőleges a,b∈R valós számokra! érvényes (2+1 p) Fordítsuk le „köznapi” magyar nyelvre a fenti egyenlőséget, azaz írjuk le matematikai betűkifejezések és szimbólumok

használata nélkül! Mondj példát olyan esetre, amikor ez az azonosság teljesül (konkrét számokkal)! ( 3p) 2. feladat 4p Egy petricsésze baktériumtenyészetének tagjai negyedóránként kettéosztódnak. a). Mennyi baktérium lesz a csészében 90 perc múlva 100 baktériumból, ha ez idő alatt egyik sem pusztul el? (2p) b). Mennyi baktérium volt a csészében fél órával ezelőtt (a 90 perces időtartam kezdete előtt fél órával)? (2p) 3. feladat 4+1p a). Mit értünk egy a∈R valós szám z∈Z egész kitevős z-edik hatványa, azaz az alatt? (2+1p) b). Mennyi ekkor 0z értéke? (2p) 4. feladat 10p Az alábbi számítások korábbi dolgozatokból valók, mindegyikük HIBÁS! Akár több hibát is tartalmazhatnak! Még most sem késő tanulnunk mások hibáiból: javítsuk ki őket! Adjuk meg a helyes végeredményt is! a). -2·(14+56)=-14+2·56=112-14=98; b). (3)-2=(-3)2=(-3)(-3)=9; c). (10200+10400)2=(10200)2+(10400)2=10400+10800=101 200 d). 10 4 101 1

= = = 0.1 ; 4 1 100 100 10 e). (a+b)2=(a+b)·(a+b)=2(a+b)=2a+2b; 5. feladat 4+1p Két a,b számról csak annyit tudunk, hogy összegük 2.5, szorzatuk pedig 1. Melyek lehetnek e számok? (+1p) a) Számoljuk ki 1 a + b2 2 et! b). Számoljuk ki (2p) 1 a + b3 3 öt! (2p) 6. feladat (rövid, pár mondatos „miniértekezéseket” írj) (10p) a). Mit értünk „azonosság” alatt? Adj példát és ellenpéldát is! (4p) b). A nullának mely egész kitevős hatványai nem értelmezhetőek és miért? (3p) c). Melyik szám nagyobb: 20042005 vagy 20052004? (3p) Pontozás: Megjegyzés: A pedagógus belátása szerint törtpontok (0.5 ill 03 stb is adhatóak) 1a). Egy lehetséges megoldás: 2 6 =6·6·6·6=36·36=36 =900+2·180+36= =1296. 1 pontot ér a helyes végeredmény. A számolás módját nem tudom pontozni, hisz sokan géppel fognak számolni (kétes jegy esetén hajlandó vagyok pluszpontot adni a számolásért). 4 1b). 64:=6·6·6·6==1296. Más megoldás:

„64 az a 4 tényezős szorzat, amelynek mindegyik tényezője 6.” 1+1p-ot lehet kapni, ha a formális és a szöveges definíciót is tudja. Hogy kiszámolja-e, az lényegtelen 1c). 1p jár a helyes definícióért, 1p az értelmezési tartományért (a≠0 ha n=0); +1p pluszpont jár, ha több megoldást is ír (pl. a formális mellett a szöveges definíciót is odaírja). 1d). 2p jár a formális igazolásért, azaz az (a+b)(a-b)=a(a−b)+b(a−b)= =a −ab+ba−b2=a2-b2 műveletsorért vagy analogonjaiért, ±1p kapható ha különösen vagy nem igazán precíz (pl. a2 helyett először a·a-t ír stb., vagy ellenkezőleg, általam fontosnak tartott lépést hagy ki) 2 A nyelvi megformálásért („Két szám összegének és különbségének szorzata egyenlő az első szám és a második szám négyzetének különbségével.” vagy „Két mennyiség négyzetének különbségét úgy is megkaphatjuk, hogy a számok összegét és különbségét összeszorozzuk.”

stb) 2p, a példáért 1p jár Az első feladatból minimum 8p-ot össze kell szedni a ketteshez. 2). A hatványozás fogalmának alkalmazása gyakorlati feladatban. Az a) feladat megoldása: a 90 perc 15·6 perccel, azaz 6 db. szaporodási ciklussal egyenértékű, ennélfogva 100·26=6 400 baktérium keletkezik. A b). feladat megoldása: negyed órával azelőtt 50, fél órával azelőtt 25 baktérium volt a csészében. A matematikai modell megalkotásáért 11p, a végeredményért 1-1p jár 3). a). 1p jár a definícióért, 1p az értelmezési tartományért, +1p a szöveges és formális meghatározás együttes közléséért. b) 1p jár a 0z=0·0··0 típusú megoldásokért, 1p, ha megjelenik a z>0 kikötés (azaz ennek elhagyásáért pontot veszít). 4). Általában e feladatban 1p jár a hiba kijavításáért, 1p a helyes végeredményért (azaz ha ő maga nem hibázik). Különösen precíz vagy frappáns indoklásokért esetleg pluszpontok adhatóak. 4a).

Rosszul történt a zárójel felbontása, helyesen −2·(1.4+56)= =−2·1.4+(−2)·56=-28-112=-14 Még egyszerűbb, ha először kiszámoljuk a zárójelben lévő összeget. 2p adható 4b). (3)-2=1/(3)2=1/9=4.5; a kitevőben lévő előjelnek semmi köze az alap előjeléhez. 2p jár a hiba javításáért és az 1/9 vagy 45 eredményért 4c) (10200+10400)2=(10200)2+(10400)2+2·10200·10400=10400+10800+2·10600 = =10400(1+10400+2·10200). 2p jár a két hiba kijavításáért, numerikus „végeredmény” nem igazán van. 4d). A hatványkitevők a legritkább esetben egyszerűsíthetőek! Helyesen 4 4 10 4 1  10  =  =   = 0.0001 2p jár 4 100  10   100  4e). Az (a+b)2=(a+b)·(a+b)=2(a+b)=2a+2b átalakítás az elején jól indult, de bár az (a+b)·(a+b) szorzatban mint tényező tényleg előfordul 2 db. a+b, de ez felfoghatatlan módon mégsem 2(a+b), a kétszerezés definíciója szerint ugyanis 2(a+b)=(a+b)+(a+b)=2a+2b

általában nem egyenlő (a+b)2-nel (csak ha a=-b vagy ha a=2-b). Helyesen (a+b)2==a2+b2+2ab. 2p adható 5a). Persze először jó ha a2+b2=(a+b)2-2ab=(5/2)2-2=(25-8)/4=17/4-et számoljuk ki, ekkor a megoldás 4/17. 1p jár az azonosság helyes alkalmazásáért, 1p a végeredményért. 5a). Persze először jó ha a3+b3 = (a+b)3-3a2b-3ab2=(a+b)3-3ab(a+b) = = (5/2)3−3(5/2) = (125-60)/8 = 65/8-ot számoljuk ki, ekkor a megoldás 8/65. 1p jár az azonosság helyes alkalmazásáért, 1p a végeredményért. Persze ha valaki kitalálja, hogy a=2, b=1/2 (vagy fordítva), és ennek alapján számol, az is megérdemli a 2-2p-ot (ha nem rontja el). 6a). Körülbelül ilyen definíciókat várok: Azonosságon olyan egyenletet értünk, amely az ismeretlenek (változók) bármely megengedett értéke (amelyeket behelyettesítve a kapott kifejezések értelmesek) esetén igaz. Persze nagyon precíz definíciók nem várhatóak, hiszen ilyet még én sem tudok megadni. Ha valaki azt

írja: az azonosság olyan egyenlet (nyitott mondat stb.), amely minden valós számra igaz, még ez is elfogadható. A pontozás: 1p jár a fölérendelt fogalom megadásáért a „minden értékre igaz” kifejezés értő (pl. egyenlet), 1p használatáért, 2p a példáért és ellenpéldáért. Azaz lényegében a definíciófogalom értéséért járnak pontok, nem pusztán az azonosságfogalom értéséért. 6b). A 0-nak nempozitív egész kitevőjű hatványai nem értelmezhetőek, mert 00-t nem értelmeztük, illetve 1/0-t sem értelmeztük, holott a negatív kitevőjű hatvány a 0 reciproka lenne. 3p adható a teljes válaszért, indoklással. 6c). 1p a 20052004<20042005 válaszért, 2p az indoklásért. Nehéz megadni! Egy lehetséges indoklás: a fenti egyenlőtlenség a  2005     2004  2004 1   < 2004 ⇔ ⇔ 1 +   2004  2004 < 2004 gyel ekvivalens. egyenlőtlenség már „igazolható” pl. számológéppel

binomiális tételből kijön, hogy Ez utóbbi Egyébként a n  1 1 +  <n,  n ha n∈N{0,1,2,3,4}. Ugyanis 1  n  n  n −k  1   1 +  = ∑  1   = n  n  k =0  k  k  (n − k + 1)(n − k + 2).(n − 1)n  1   k  = k!  n  k =0 n ∑   (n − k + 1)(n − k + 2).(n − 1)n   k!⋅n k  k =0 n ∑  = = 1  (n − 0)  n  1  (n − k + 1)(n − k + 2).(n − 2)(n − 1)   + ∑   =    = k −1  0!   k =1  k!  n   1  (n − k + 1)(n − k + 2).(n − 2)(n − 1)   = n k −1  k =0 n = ∑  k!  Azaz: 1 fa. 9(+3)p; 2 fa 4p; 3 fa 4(+1)p, 4 fa 10p, 5 fa 4p(+1), 6 fa 10p Összesen kapható 9+4+4+10+4+10p=41p(+5p). Az osztályzás: 0-7p 8-15p 16-23p 24-31p 31p- 1; 2; 3; 4; 5 (így ha valaki nem oldja meg a 10p-os 6. feladatot, de

a többit csak 1-2 hibával, és néhány +p-ot összeszed, még lehet 5-ös). V. Jegyzetek, mellékletek V.1 A tanulóknak ajánlott irodalom (Nem soroljuk fel a kötelező tankönyveket és feladatgyűjteményeket: zöld könyvek, sárga könyv, fehér könyvek, stb. NTK:=Nemzeti Tankönyvkiadó, TK:=Tankönyvkiadó, MMKCs=Matematika (Szak)Módszertani KutatóCsoport) -) szakkönyvek és példatárak: [1] Cser-L. Ziermann-Reményi: Matematikai zsebkönyv TK., Bp, 1967 [2] Fried Ervin: Algebra számára). TK, Bp., 1985 [3] Gallai-Péter-Surányi-Tolnai: Matematika az ált. gimnáziumok II. osztálya számára TK, Bp, ? [4] Gábos-Halmos-MMKCs: Készüljünk az érettségire – matematika. Calibra, 1991. (speciális tantervű gimnáziumok [6] Kardos Gyula: Algebra I. Példatár Bolyai-könyvek sor Műszaki könyvkiadó, Bp., 1962 [7] Obádovics J. Gyula: Matematika Műszaki könyvkiadó, Bp, 1963. [8] Péter-Gallai-Varga: Népszerű algebra. Művelt Nép, Bp., 1954

Különösen ajánlott!!! -) tudománytörténeti művek: [9] Colerus, Egmont: Az egyszeregytől az integrálig. Franklin Társulat, Bp. [10] Colerus, Egmont: Pithagorasztól Hilbertig. Franklin Társulat, Bp. [11] Filep László: A tudományok királynője. Typotex Bp., Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza, 1997 [12] Sain Márton: Matematikatörténeti ABC. NTK-Typotex Bp, 1993. -) egyéb, a tananyagba való mélyebb vagy az abból való magasabb kitekintést szolgáló művek: [13] Bárczy Barnabás: Algebra II. Példatár Bolyai-könyvek sor Műszaki könyvkiadó, Bp., 1962 [14] Bárczy Barnabás: Számtan. Példatár Bolyai-könyvek sor Műszaki könyvkiadó, Bp., 1962 (Előismeretek az algebrához) [15] Courant-Robins: Mi a matematika? Gondolat, Bp., 1979 [16] Frege, Gottlob: Az aritmetika alapjai. Áron, Bp., 1999 [17] Gerőcs László, Dr.: Irány az Egyetem!-1995 NTK, 1995 „Ami a középiskolai anyagból kimaradt” c. fej, a nevezetes azonosságokról és az

általános magasságtételről szóló rész. [18] Infeld, Leopold: Akit az istenek szeretnek. Gondolat, 1976. (Nem túl jó könyv, de Galois élettörténete miatt érdemes egyszer elolvasni.) [19] KöMaL számai, cikkei, feladatai 1950-től napjainkig (http://www.komalhu) Különösen: 2001/5. 267-274 old „Tartaglia mester egy feladatáról”. [20] Maurer-Virág: Bevezetés a struktúrák elméletébe. Dacia, Kolozsvár, 1979. [21] Péter Rózsa: A számok világa. Egyetemi Nyomda, Bp., 1948 [22] Sigmund, Karl: Az ismeretterjesztő mű). Akadémiai Kiadó, Bp. [23] Thomas Mann: József és testvérei. Európa Kiadó, Bp., 1975 [24] Waerden: Egy tudomány ébredése. Gondolat, Bp., 1963 [25] Wesley, R.: Mindenki matematikája Gondolat, Bp., 1963 élet játékai. (Bio-matematikai V.2 Felhasznált irodalom [1] Ambrus András: Bevezetés a matematikadidaktikába. Egyetemi jegyzet. ELTE Eötvös kiadó, 1995 [2] Cser-Ziermann-Reményi: Matematikai

zsebkönyv. Tankönyvkiadó, Bp., 1967 [3] EÉFGy Matematika I.-II („fehér könyv”) Egységes érettségifelvételi feladatgyűjtemény Konsept-H Kiadó, Bp. [4] Falus István (szerk.): Didaktika Egyetemi tankönyv Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. [5] Fried Ervin: Általános algebra. Egyetemi tankönyv Tankönyvkiadó, Bp., 1981 [6] Hajnal Imre: Matematika I. Gimn-i tankönyv Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. [7] Korányi-Urbán: Matematika IV. Gimn-i tankönyv III. fej: Rendszerező összefoglalás (109 old) Tankönyvkiadó, Bp., 1989 [8] MFGy I. („sárga könyv”) Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp [9] Négyjegyű függvénytáblázatok. Mat-i, fiz-i, kém-i összefüggések Elsősorban 56.-57 old Tankönyvkiadó, Bp [10] Obádovics J. Gyula: Matematika Műszaki kiadó, Bp, 1963 [11] Összefoglaló Feladatgyűjtemény („zöld könyv”). Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. [12] Péter-Gallai-Varga: Népszerű algebra. Művelt Nép, Bp., 1954 [13] Pintér Gyula: Az algebrai

ismeretek tanítása 9. osztályban (mat. didaktikai esszé) Elérhető a MSzMCs-nál (Matematika Szakmódszertani Kutatócsoport). [14] Dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet Tankönyv a tanárképző főiskolák számára. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. [15] R. Wesley: Mindenki matematikája Gondolat, Bp, 1963 (ÖFGy) matematikából V.3 Tartalomjegyzék Bevezetés 1. I. A téma „makroszerkezete”: tematikája és mibenléte általában 2. 1. Az elemi algebra és kerettantervbeli megjelenése 2. 2. Az elemi algebra matematikán belüli szerepéről, oktatásának legtöbb helyen tapasztalható jelenlegi helyzetéről 4. 3. A matematika-és algebraoktatás más irányzatairól 6. 4. A téma tartalmi tagolása, súlypontjai 11. II. ”Külkapcsolatok”: A téma kapcsolata más ismeretterületekkel 12. 1. Néhány szó az

algebra és matematika filozófiájáról 13. 2. A téma megjelenése a „felsőbb” matematikában 18. 3. A szükségesnek tartott előismeretek 27. 4. Az anyagrész folytatása és alkalmazásai 29. III. A téma ”mikroszerkezete”: a fogalmak, tételek, eljárások középfokú oktatásban megjelenő egymásra építése 33. 1. Az előforduló fogalmak, tételek, eljárások rendszere 33. 2. Didaktikai kérdések I: Aritmetika-prealgebra 39. 3. Didaktikai kérdések II: Hatványozás 41. 4. Didaktikai kérdések III: Azonosságok 44. 5. Didaktikai kérdések IV: Törtkifejezések 49. IV. 52. Tanmenet 1. A tanmenet felépítése Célok megfogalmazása 52. 2. A 0 témakör

felépítése: Aritmetikaprealgebra 53 3. Az I témakör felépítése: Hatványozás 54. 4. A II témakör felépítése: Azonosságok 55. 5. A III témakör felépítése: Törtkifejezések 56. 6. Óratervek 57. 7. Egy témazáró dolgozat 67. V. Jegyzetek és mellékletek 73. 1. A tanulóknak ajánlott irodalom 73. 2. Felhasznált irodalom 75. 3. Tartalomjegyzék 76. Mellékletek: A). Témazáró dolgozatok B). Feladatsor „alternatív” óratervhez Dolgozat Az alábbiakban hat darab algebrai jellegű feladatot látunk az eddig tanult anyagból. Egyesek közülük órán is szerepeltek A ketteshez az első feladat (nem felt. hibátlan: 8p-os) megoldása kötelező Az

ötöshöz öt darab feladatot kell (nem feltétlenül hibátlanul) megoldani; de az elsőt mindenképpen. A részfeladatok megoldása is pontot ér, azaz ha egy feladatnak nem oldottuk meg pl. az a) részét, de a b) részt igen, attól még kaphatunk erre a b) részre pontot. Az (1+1p) alakú szimbólumok azt jelentik, hogy ha valaki több lehetséges megoldást ír, azért pluszpont jár. A számolások végeredményét egyszerűsített tört, vegyestört vagy négy jegy pontosságú tizedestört formájában is megadhatod. 1). FELADAT 9+3p a). Mennyi alakja)? 64 (1p) (tízes számrendszerbeli b). Mit szimbólum? jelent a (1+1p) 64 c). Mit értünk egy a∈R valós szám pozitív egész kitevős nedik (n∈N+) hatványa, azaz an alatt? (2+1 p) d). Igazoljuk, hogy (a+b)(a-b)=a2-b2 tetszőleges a,b∈R valós számokra! érvényes (2+1 p) Fordítsuk le „köznapi” magyar nyelvre a fenti egyenlőséget, azaz írjuk le matematikai betűkifejezések és szimbólumok

használata nélkül! Mondj példát olyan esetre, amikor számokkal)! ez az azonosság teljesül (konkrét ( 3p) 2. feladat 4p Egy petricsésze baktériumtenyészetének tagjai negyedóránként kettéosztódnak. a). Mennyi baktérium lesz a csészében 90 perc múlva 100 baktériumból, ha ez idő alatt egyik sem pusztul el? (2p) b). Mennyi baktérium volt a csészében fél órával ezelőtt (a 90 perces időtartam kezdete előtt fél órával)? (2p) 3. feladat 4+1p a). Mit értünk egy a∈R valós szám z∈Z egész kitevős z-edik hatványa, azaz az alatt? (2+1p) b). Mennyi ekkor 0z értéke? 4. feladat (2p) 10p Az alábbi számítások korábbi dolgozatokból valók, mindegyikük HIBÁS! Akár több hibát is tartalmazhatnak! Még most sem késő tanulnunk mások hibáiból: javítsuk ki őket! Adjuk meg a helyes végeredményt is! a). -2·(14+56)=-14+2·56=112-14=98; b). (3)-2=(-3)2=(-3)(-3)=9; c). (10200+10400)2=(10200)2+(10400)2=10400+10800=101 200 d).

10 4 101 1 = = = 0.1 ; 4 1 100 100 10 e). (a+b)2=(a+b)·(a+b)=2(a+b)=2a+2b; 5. feladat 4+1p Két a,b számról csak annyit tudunk, hogy összegük 2.5, szorzatuk pedig 1. Melyek lehetnek e számok? (+1p) a) Számoljuk ki 1 a + b2 2 et! b). Számoljuk ki (2p) 1 a + b3 3 öt! (2p) 6. feladat (rövid, pár mondatos „miniesszéket” írj) a). Mit értünk „azonosság” alatt? Adj példát és ellenpéldát is! (4p) b). A nullának mely egész kitevős hatványai nem értelmezhetőek és miért? (3p) c). Melyik szám nagyobb: 20042005 vagy 20052004? (3p) Jó munkát! Az alábbi dolgozat az ELTE TTK matematika tanárszak „A matematika tanítása” c. tantárgyához készült vizsgadolgozat Írta: Mészáros Árpád (harangip1@freemailhu)