Matematika | Diszkrét Matematika » Aubin Zoltán - Állandó negatív görbületű felületek, diplomamunka

http://www.doksihu Állandó negatív görbület¶ felületek Diplomamunka Írta: Aubin Zoltán Matematikus szak Témavezet®: Csikós Balázs, egyetemi docens Geometriai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010 http://www.doksihu AT X Typeset by L E http://www.doksihu Tartalomjegyzék Bevezetés 1 Negatív görbület¶ felületek aszimptotikus vonalai 3 1.1 Aszimptotikus vonalakról általában . 3 1.2 Út a sine-Gordon-egyenlethez 6 1.3 A Hazzidakis-formula és Hilbert tétele . . Állandó negatív görbület¶ forgásfelületek 13 16 2.1 Áttérés f®görbületi koordinátákra . 16 2.2 A pszeudoszféra . 17 2.3 Állandó negatív görbület¶ forgásfelületek osztályozása . 22 A Bianchi- és a Bäcklund-transzformáció 28 3.1 A Bianchi-transzformált .

28 3.2 A pszeudoszféra, mint Bianchi-transzformált . 33 3.3 A Bäcklund-transzformált 34 3.4 A Dini-felület, mint Bäcklund-transzformált 3.5 Bäcklund-transzformáció aszimptotikus koordinátákkal . 38 3.6 Bianchi felcserélhet®ségi tétele . 41 Szolitonok . 45 3.71 49 3.7 . . Lélegz®k . Irodalomjegyzék 37 52 http://www.doksihu Bevezetés Ezen dolgozat célja az állandó negatív görbület¶ felületekkel kapcsolatos alapvet® ismeretek összefoglalása. Az els® fejezetben bevezetjük az aszimptotikus vonalak fogalmát. Ezek olyan görbék a felületen, melyek normálgörbülete minden pontban 0. Ebb®l láthatjuk, hogy pozitív görbület¶ felületeknek nincsenek aszimptotikus vonalaik, de például a sík bármely reguláris görbéje aszimptotikus vonal, azaz itt végtelen sok

van. Minket persze a negatív görbület¶ eset foglalkoztat leginkább, amikor minden egyes ponton át két aszimptotikus görbe fut, így lehet®ségünk nyílik ezeket a felület koordinátavonalaiként használni. Az aszimptotikus vonalak egy szemléletes megközelítési módja a következ®: vesszük a felület érint®síkját egy pontban, és ezzel párhuzamos síkokkal metsszük el a felületet (mely, mivel negatív görbület¶, minden pontja körül úgy néz ki, mint egy nyereg). Ezekb®l a síkokból a felület lokálisan hiperbolákkal jól közelíthet® görbéket vág ki, melyek aszimptotái tartani fognak egy egyenespárhoz, ahogy a metsz® síkokkal tartunk az érint®síkhoz. Ezen határhelyzet által meghatározott két irányt nevezzük aszimptotikus irányoknak, és ezek integrálgörbéi lesznek az aszimptotikus görbék. Els® állításunkban az aszimptotikus vonalakat karakterizáljuk azzal, hogy a simulósíkjuk egybeesik az érint®síkkal Ezután

belátjuk Beltrami és Enneper meglep® tételét, mely szerint egy (negatív görbület¶) felület adott pontbeli Gauss-görbülete és a ponton áthaladó aszimptotikus görbék (egyenl® abszolútérték¶) torziói meghatározzák egymást. Ezután felelevenítjük a hiperfelület-elméletb®l ismert szükséges fogalmakat és tételeket, melyek a további munkához elengedhetetlenek. Itt a Theorema Egregium-ot be is bizonyítjuk a Gauss- és Codazzi-Mainardi-egyenletek segítségével. Utóbbiakról ki fog derülni, hogy fennállásuk ekvivalens az aszimptotikus vonalakból álló paraméterezés Csebisev-tulajdonságával, ami azt jelenti, hogy bármely aszimptotikus vonalakból álló négyszög olyan, mint egy paralelogramma, azaz a szemközti oldalaik egyenl® hosszúak. Emellett, levezetjük az aszimptotikus vonalak szögére vonatkozó sine-Gordon-egyenletet, mely a dolgozat további eredményeinek alapköve lesz, hisz ennek valamely ω megoldása egyértelm¶en

meghatároz egy állandó negatív görbület¶ felületet. Az els® fejezet utolsó részében belátjuk Hazzidakis formuláját, mely az aszimptotikus vonalakból álló paralelogrammák területét 2π -vel korlátozza felülr®l. Ez lesz az egyik kulcsa Hilbert 1901-ben bizonyított nevezetes tételének, miszerint a teljes hiperbolikus sík nem ágyazható be a háromdimenziós euklideszi térbe. [1], [2], [3], [4] A második fejezetben bevezetjük az els® ismert példát állandó negatív görbület¶ felületre: Beltrami pszeudoszféráját. Mivel ez egy forgásfelület, tovább is megyünk ezen a vonalon, és három osztályba soroljuk a konstans negatív görbület¶ forgásfelületeket Mivel ezek be vannak ágyazva a háromdimenziós euklideszi térbe, így Hilbert tétele szerint szükségképpen megjelennek rajtuk szingularitások. [4] A harmadik fejezet állandó negatív görbület¶ felületek nagyüzem¶ gyártásáról szól. 1 http://www.doksihu Az ehhez

szükséges gépezetet Bianchi és Bäcklund transzformációi biztosítják. El®bbi egy tisztán geometriai konstrukció, melyet Bianchi 1879-ben alkotott meg, s amely egy állandó negatív görbület¶ felületb®l újabb ugyanolyan görbület¶t készít. Nem sokkal kés®bb, 1882-ben Bäcklund általánosította ezt a koncepciót, és létrehozta a nevezetes Bβ Bäcklund-transzformációt, mely már állandó negatív görbület¶ felületek 1-paraméteres seregét képes el®állítani. 1883-ban Lie felbontotta a Bäcklund-transzformációt a paraméterfüggetlen −1 Bianchi-transzformált Lie-transzformációval vett konjugáltjára: Bβ = Lβ B1 Lβ . Végül, az egésznek a megkoronázásaként, Bianchi 1892-ben belátta, hogy a Bäcklund-transzformációra igaz a Bβ1 Bβ2 = Bβ2 Bβ1 kommutativitási reláció. Mi is ezen az úton fogunk haladni, de a régiekt®l eltér® módon, ugyanis a geometriai deníciót amint lehet, visszavezetjük egy analitikus

konstrukcióra: kapunk egy els®rend¶, kétváltozós parciális dierenciálegyenlet-rendszert, mely a sine-Gordon-egyenlet egy meglév® ω megoldását összeköti egy újabb ω e megoldásával. Érdemes itt megemlíteni, hogy ez a szemléletmód vezet el a Bäcklund-transzformáció mai jelentéséhez: általában két függvényt összeköt® els®rend¶ parciális dierenciálegyenlet-rendszert nevezünk Bäcklund-transzformációnak, ahol a függvények egy-egy (általában nemlineáris) parciális dierenciálegyenlet megoldásai. Ekkor a két függvényt egymás Bäcklund-transzformáltjának szokás nevezni Ha a két (nemlineáris) par- ciális dierenciálegyenlet ugyanaz, akkor auto-Bäcklund-transzformáltról beszélünk. Így a klasszikus Bäcklund-transzformált mai nyelven a sine-Gordon-egyenletre vonatkozó auto-Bäcklund-transzformáció. A Bäcklund-transzformáció fontos szerepet játszik a szoliton-elméletben, ami manapság is igen divatos kutatási téma

A szolitonokra konstans sebességgel utazó, alakjukat mindvégig meg®rz® hullámokként kell gondolni, amelyek bizonyos nemlineáris parciális dierenciálegyenletek megoldásaiként állnak el®. A legérdekesebb dolog a szolitonokkal kapcsolatban, hogy eleget tesznek egy nemlineáris szuperpozíciós elvnek. Mivel a sine-Gordon-egyenlet is rendelkezik szoliton megoldásokkal, így dolgo- zatunk utolsó részében kitekintünk a szolitonok világába, és az így megszerzett tudást rögtön felhasználjuk szemet gyönyörködtet® állandó negatív görbület¶ felületek készítésére. [4], [5], [6], [7] Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet®mnek, Csikós Balázsnak, felmerül® kérdéseimre adott részletes magyarázatait, illetve a dolgozat igen alapos ellen®rzését. Ezen kívül köszönet illeti még nagyon sok évfolyamtársamat és barátomat, akik neveit felsorolni is nehéz lenne. 2 http://www.doksihu Negatív görbület¶

felületek aszimptotikus vonalai 1.1 Az Aszimptotikus vonalakról általában L Weingarten-leképezés, a második alapforma szimmetriájából adódóan, egy önad- jungált leképezés, melynek a f®tengely-tétel szerint mindig van sajátvektorokból álló ortonormált bázisa, azaz diagonalizálható. A f®átlóban megjelen® sajátértékeket f®görbületek nek nevezzük. Minket a 2-dimenziós eset érdekel (felületelmélet), amikor csak két f®görbület van. Ezek szorzatát hívjuk a felület Gauss-görbület ének. Ha egy felület Gauss-görbülete negatív, akkor a f®görbületek minden pontban ellenkez® el®jel¶ek. Ebb®l következik, hogy 1 mindig létezik két irány a f®irányokra szimmetrikusan , ahol a normálgörbület elt¶nik. e aszimptotikus irány e ok. Ha 1 és 2 mer®leges egységvektorok, melyek a f®irányokba irány θ szöget zár be 1 -gyel, akkor néznek, κ1 és κ2 a hozzájuk tartozó f®görbületek, és a Ezek az az

Euler-formula szerint a v irányú normálgörbület v e k(v) = κ1 cos2 θ + κ2 sin2 θ. Átrendezés után kapjuk, hogy r κ1 k(v) = 0 ⇔ tan θ = ± − . κ2 1.11 Megjegyzés: Egy negatív görbület¶ felületnek, a különböz® el®jel¶ f®görbületekb®l adódóan, minden pontja nyeregpont. Így egy adott pontban vett érint®sík a felületb®l mindig egy görbepárt metsz ki, melynek az érint®irányai az aszimptotikus irányok. 1.12 Deníció: Aszimptotikus vonal nak nevezünk egy olyan regulárisan paraméterezett görbét a felületen, melynek érint®i aszimptotikus irányok. 1.13 Állítás: Legyen γ(t) egy aszimptotikus görbe Tegyük fel, hogy γ 0 (t) ∦ γ 00 (t)-vel Ekkor az aszimptotikus görbe simulósíkja a felület érint®síkja. Ez a tulajdonság karakterizálja az aszimptotikus vonalakat 1 Ezt látjuk be mindjárt az Euler-formulával 3 http://www.doksihu Bizonyítás: A nempárhuzamossági feltételre azért van szükség, hogy

létezzen a simulósík. γ(t) egy aszimptotikus görbe paraméterezése, így γ 0 (t) aszimptotikus irány, ami deníció szerint azt jelenti, hogy ebben az irányban a normálgörbület 0: Mivel 0 = k(γ 0 (t)) = II(γ 0 (t), γ 0 (t)) II(γ 0 (t), γ 0 (t)) = . I(γ 0 (t), γ 0 (t)) ||γ 0 (t)||2 De ez persze akkor 0, ha a számláló 0. Azaz ∗ 0 = II(γ 0 (t), γ 0 (t)) = hγ 0 (t), L(γ 0 (t))i = ahol L a Weingarten-leképezést jelöli. Mivel L(γ 0 (t)) = −∂γ 0 (t) N = − dtd Nγ(t) , így ∗ = γ 00 (t), Nγ(t) , γ 0 (t), Nγ(t) ≡ 0 deriválásából átrendezéssel adódik:   d 0 0 00 0 0 = γ (t), Nγ(t) = γ (t), Nγ(t) + γ (t), Nγ(t) . dt ahol ez utóbbi ∗-os egyenl®ség a N 00 0 00 Megkaptuk tehát, hogy γ (t), γ (t) ⊥ γ(t) , azaz hogy γ (t) is érint®síkbeli. Így, mivel γ 0 (t) és γ 00 (t)-r®l feltettük, hogy függetlenek, a simulósík létezik és egybeesik a γ(t)-beli érint®síkkal. Ez tényleg karakterizálja az

aszimptotikus görbéket, hiszen vegyünk egy γ(t) görbét, 0 00 aminek a simulósíkját γ (t) és γ (t) kifeszíti, és tegyük fel, hogy ez egybeesik a γ(t)-beli 00 érint®síkkal. Ekkor γ (t) nyilván mer®leges Nγ(t) -re, és így az utolsó ∗-os egyenl®ségt®l visszafelé haladva láthatjuk, hogy γ(t) aszimptotikus görbét paraméterez.  Most pedig idézzük fel röviden a térgörbékre tanult Frenet-formulákat: 1 0 t (t) = κ(t) t2 (t), v(t) 1 1 0 t (t) = −κ(t) t1 (t) + τ (t) t3 (t), v(t) 2 1 0 t (t) = −τ (t) t2 (t), v(t) 3 ahol κ(t) jelöli a görbületet és τ (t) a torziót (klasszikus jelöléseket használunk, hogy ne 0 keverhessük össze a principális görbületeket ezekkel), v(t) = ||γ (t)|| a sebesség, illetve i (t) 0 jelöli a Frenet-féle bázisvektorokat, azaz 1 (t) egységhosszú érint®vektor γ (t) irányában, 00 2 (t) erre mer®leges egységvektor a simulósík γ (t)-t tartalmazó félsíkjában, 3 (t) pedig az el®z® kett®t

jobb rendszerré egészíti ki. t t t t 1.14 Megjegyzés: A torzió a síkgörbeségt®l való eltérést méri, ezért τ -ra azt mondják, hogy egy görbe csavarodásának mértékét mutatja. 4 http://www.doksihu 1.15 Tétel: (Beltrami-Enneper) Egy aszimptotikus görbe τ torziójára τ (t)2 = −Kγ(t) , ahol K a felület Gauss-görbülete. Ha az egy ponton átmen® mindkét aszimptotikus vonalat úgy paraméterezzük, hogy a t3 binormálisuk a felületi normális2 , akkor torziójuk ellentétes el®jel¶ lesz (tehát görbéink ellentétes irányba csavarodnak). Bizonyítás: Paraméterezhetjük az egy ponton átmen® aszimptotikus vonalakat ívhossz szerint: γ(t), η(t). (Hisz ez a torziójukon nem változtat) γ η γ η 0 0 Legyen γ (t) = 1 (t), η (t) = 1 (t) és tudjuk, hogy 3 (t) = γ(t) , 3 (t) = η(t) . · A harmadik Frenet-képlet mindkét oldalát skalárisan megszorozva 2 -vel, a következ®t t t t t N t N kapjuk:   d γ −τ (t) = Nγ(t)

, t2 (t) = h−L(γ 0 (t)), tγ2 (t)i = h−L(tγ1 (t)), tγ2 (t)i , dt   d η η −τ (t) = Nη(t) , t2 (t) = h−L(η0 (t)), tη2 (t)i = h−L(tη1 (t)), tη2 (t)i . dt γ (∗) Mostantól elég az aszimptotikus vonalaink γ(t0 ) = η(t0 ) metszéspontjában vett érint®síkra koncentrálnunk, hiszen a binormálisok itt megegyeznek. γ η · · · γ(t0 ) = η(t0 ) = 3 (t0 ) = 3 (t0 ), így 2 (t0 ) = 3 (t0 ) × 1 (t0 ), magyarul, ha · ◦ adott irányban 90 -kal elforgatjuk az érint®síkban, akkor 2 (t0 )-t kapjuk. γ η Mivel 1 (t0 ) és 1 (t0 ) aszimptotikus irányok, ezért N N t t t t t t t t t·1 (t0 )-t egy 0 = II(t·1 (t0 ), t·1 (t0 )) = hL(t·1 (t0 )), t·1 (t0 )i , Lt · ebb®l pedig láthatjuk, hogy ( 1 (t0 )) mer®leges · ( ·1 (t0 )) érin1 (t0 )-ra, azt pedig tudjuk, hogy · t®síkbeli, így csak 2 (t0 ) számszorosa lehet. t t Lt (∗)-ból pedig láthatjuk, hogy ez a szám csak τ · (t0 ) lehet, tehát L(t·1 (t0 )) = τ · (t0 ) · t·2

(t0 ). Eddig még nem használtuk L-r®l, hogy önad- jungált: hL(tγ1 (t0 )), tη1 (t0 )i = htγ1 (t0 ), L(tη1 (t0 ))i . Jelölje ω a tγ1 (t0 ) és a tη1 (t0 ) szögét. Ekkor az el®z® két egyenletb®l kapjuk, hogy 1. ábra Skaláris szorzás hτ γ (t0 ) · tγ2 (t0 ), tη1 (t0 )i = htγ1 (t0 ), τ η (t0 ) · tη2 (t0 )i , 2 Ezt fontos leszögeznünk, hisz ha egy görbén másik irányba megyünk végig, azaz vesszük a t t γ e(t) = γ(−t) átparaméterezést, akkor könnyen láthatjuk, hogy 1 és 3 (−1)-szeresére változik, míg ugyanaz marad, és ezért a κ görbület nem változik, de a τ torzió el®jelet vált! 5 t 2 http://www.doksihu τ γ (t0 ) cos π  π  − ω = τ η (t0 ) cos +ω , 2 2 γ η τ (t0 ) = −τ (t0 ) . Ez az állítás második fele. Kiderült, hogy hogy viselkedik a Weingarten-leképezés az érint®sík egy (nem ortogonális) γ η ◦ ◦ bázisán (ti. 1 -n és 1 -n): az egyiket +90 -kal, a másikat pedig −90

-kal forgatja el, és mindkett®t |τ |-szeresére nyújtja. A Gauss-görbület a f®görbületek, azaz sajátértékeinek t t L szorzata. Err®l feltettük, hogy negatív: det L = K < 0. A determinánsok szorzástételéb®l tudjuk, hogy egy lineáris leképezés determinánsának abszolútértéke a megfelel® paralelepipedonok térfogatarányát fejezi ki: L(tγ1 (t0 )) és L(tη1 (t0 )) paralelogramma területe |τ |2 sin(π − ω) = = |τ |2 . | det L| = tγ1 (t0 ) és tη1 (t0 ) paralelogramma területe sin ω  1.16 Következmény: Állandó K < 0 negatív Gauss-görbület¶ felületen az aszimp totikus vonalak torziója állandó. Következ® célunk pedig a felületelmélet alaptételében szerepl® Gauss- illetve Codazzi-Mainardi-alapegyenletek segítségével megmutatni, hogy az aszimptotikus vonalak Csebisev-hálót alkotnak, valamint be fogjuk bizonyítani Hilbert nevezetes tételét a hiperbolikus sík háromdimenziós euklideszi térbe való

beágyazhatatlanságáról. 1.2 Út a sine-Gordon-egyenlethez Ezentúl mindig feltesszük, hogy a szóbanforgó felület állandó negatív Gauss-görbület¶. S®t, hogy K ≡ −1. Ez utóbbit azért tehetjük fel, mert kicsinyítéssel vagy nagyítással elérhet® és a Weingarten-leképezés sajátvektorai, akkor ( ) = κ1 = κλ1 · λ = Ugyanis, ha (λ ) és ( ) = κ2 = κλ2 · λ = (λ ) egyenl®ségekb®l azt kapjuk, hogy λ-szoros 1 -szorosra változnak, így a K = det nagyításnál a Weingarten-leképezés sajátértékei λ 1 Gauss-görbület az 2 szorzóval módosul. λ Korábban láttuk, hogy egy állandó negatív görbület¶ felület bármely pontján át két L̃ v v Lw w w w L̃ w Lv v v L aszimptotikus görbe megy. Azt is láthatjuk, hogy az ilyenek lokálisan két fed® görbesereget alkotnak, így vehetjük a felület egy olyan reguláris paraméterezését (lokálisan), melynek n n−1 paramétervonalai aszimptotikus vonalak. Legyen r : Ω R

ilyen (Ω ⊆ R nyílt). Nekünk persze elég lenne az n = 3 esettel foglalkoznunk, de lesznek általánosabb jelleg¶ számolások is, ahol erre a formára támaszkodunk. A parciális deriváltakat, szokás szerint, az esetleges többi indext®l vessz®vel elválasztva, ∂ r = ∂i r = r,i , azonban pont ebben az esetben, ∂xi azaz, amikor az r paraméterezés parciális deriváltjait tekintjük, a vessz®t®l is megszabadualsó indexben fogjuk jelölni. Például: lunk: ri . 6 http://www.doksihu Az alapformák mátrixai:  G=   hr1 , r1 i hr1 , r2 i II(r1 , r1 ) , B= hr2 , r1 i hr2 , r2 i II(r2 , r1 ) II(r1 , r2 ) = 0 b12 . II(r2 , r2 ) b21 0    B f®átlójában azért állnak 0-k, mert a paramétervonalak aszimptotikus vonalak. Ráadásul a második alapforma szimmetrikus is, ezért valójában B csak egyetlen függvényt®l, a b12 = b21 -t®l függ. Legyen |r1 | = A, |r2 | = B és r1 r2 ^ = ω . Ekkor   A2 AB cos ω G= , AB cos ω B2 −1 = K = −(b12 )2

−(b12 )2 det B = 2 2 = ⇒ b12 = ±AB sin ω. det G A B − A2 B 2 cos2 ω A2 B 2 sin2 ω Az utóbbi el®jel csak attól függ, hogy a felületi normális merre néz, ennek változtatása pedig nem befolyásolja a Gauss-görbületet. Tehát  B=  0 ±AB sin ω . ±AB sin ω 0 Az u 7 A(u, v0 ) és a v 7 B(u0 , v) függvényekr®l feltehet®, hogy azonosan 1-ek, azaz az (u0 , v0 )-on átmen® két aszimptotikus vonal ívhossz szerint paraméterezett. Ez a torziójukat nem változtatja, és így az 1.15 Beltrami-Enneper tétel szerint a görbületet sem Most pedig idézzünk fel pár a hiperfelület-elméletb®l már megismert eredményt! r1 , . , rn−1 , N vektormez®ket Gauss-bázis nak nevezzük. Ezek parciális deriváltjai: rij = n−1 X Γkij · rk + bij · N, k=1 Ni = n−1 X Az (−lik ) · rk . k=1 Christoel-szimbólumok k Itt a Γij együtthatókat nak nevezzük, bij -kel a második alapforma k mátrixának elemeit, li -kal pedig a Weingarten-leképezés

mátrixának elemeit jelöltük. A normális vektormez® deriváltjában nincs normális irányú komponens (hisz Nj = −L(rj )). A Christoel-szimbólumok kifejezhet®ek tisztán az els® alapforma mátrixából: 1 Γkij = n−1 X 2 l=1 g kl (gil,j + gjl,i − gij,l ) , (1.1) ) = G −1 az els® alapforma mátrixának inverze. Fontos látnunk, hogy a Weingarten-leképezés mindkét alapformától függ, ugyanis II(v, w) = hv, L(w)i, így B = GL, tehát n−1 P km (lik ) = G −1 B , vagyis lik = g · bmi . ahol (g ij m=1 További hasznos összefüggéseket kaphatunk, ha az rij vektorokat tovább deriváljuk, és az így kapott vektormez®ket kifejezzük a Gauss-bázis segítségével: rijk = n−1 X s=1 ! Γsij · rs + bij · N = ,k n−1 X
Γsij,k · rs + Γsij · rsk + bij,k · N + bij · Nk = s=1 7 http://www.doksihu = n−1 X n−1 X Γsij,k · rs + Γsij · Γm sk · rm + bsk · N !! + bij,k · N + bij · m=1 s=1 (−lks ) · rs = s=1 "

n−1 n−1 X X s s = Γij,k + Γm ij Γmk + bij s=1 n−1 X n−1 X − m=1 !# g sm · bmk " rs + bij,k + m=1 n−1 X # Γsij · bsk N. s=1 A Young-tétel szerint rijk = rikj , így a két oldal megfelel® együtthatói megegyeznek. Az 4 érint®irányú komponensekb®l adódó (n − 1) db egyenletet nek nevezzük: Gauss-egyenletek Γsij,k − Γsik,j + n−1 X m s s Γm ij Γmk − Γik Γmj
= m=1 n−1 X g sm (bij bmk − bik bmj ) , (1.2) m=1 míg a normális komponensek együtthatóinak egyenl®ségéb®l a letek et kapjuk: bij,k − bik,j = n−1 X Codazzi-Mainardi-egyen-
Γsik bsj − Γsij bsk . (1.3) s=1 Vezessük be a következ® jelölést: s Rijk = Γsij,k − Γsik,j + n−1 X
s m s Γm ij Γmk − Γik Γmj . (1.4) m=1 Ekkor s Rijk = n−1 X g sm (bij bmk − bik bmj ) . m=1 Ezt gls -sel szorozva és s szerint összegezve: n−1 X s gls Rijk = s=1 n−1 X n−1 X gls g sm (bij bmk − bik bmj ) = s=1 m=1 =

n−1 X (bij bmk − bik bmj ) m=1 n−1 X n−1 X gls g sm = s=1 (bij bmk − bik bmj ) δlm = bij blk − bik blj . m=1 Legyen Rlijk = n−1 P s=1 s gls Rijk . Ezzel az imént azt kaptuk, hogy Rlijk = bij blk − bik blj Mivel m Rlijk -kból, g ml -lel való szorzás és l szerinti összegzés után, visszakaphatjuk az Rijk -eket, így az el®bbi egyenletekre is Gauss-egyenletekként hivatkozhatunk. 1.21 Megjegyzés: Az Rlijk Ω-n értelmezett függvények valójában a Riemann-féle görbületi tenzor komponensei Azaz X = n−1 P X i ri , Y = n−1 P i=1 i=1 Y i ri , Z = n−1 P i=1 sima vektormez®k esetén R(X, Y ; Z, W ) := n−1 X n−1 X n−1 X n−1 X l=1 i=1 j=1 k=1 8 Rlijk X l Y i Z j W k . Z i ri , W = n−1 P i=1 W i ri http://www.doksihu Egy másik hasznos észrevétel, hogy Rlijk kifejezhet® az els® alapforma segítségével: ha s visszafejtjük a jelöléseket, akkor láthatjuk, hogy Rijk kifejezhet® a Christoel-szimbólumok

segítségével, amikr®l már korábban megállapítottuk, hogy az els® alapforma függvényei. Innen kapjuk Gauss nevezetes tételét: 1.22 Következmény: (Theorema Egregium) Egy R3 -beli paraméterezett reguláris felület Gauss-görbülete kifejezhet® az els® alapforma segítségével a következ®képp: K= det B R1221 = . det G det G  Láttuk, hogy egy paraméterezett hiperfelület els® és második alapformáinak mátrixaira igazak a Gauss- és Codazzi-Mainardi-alapegyenletek. A következ® tétel ennek megfordítását tárgyalja, pontosabban: milyen feltételek teljesülése esetén lesznek a G és B mátrixok egy paraméterezett hiperfelület alapforma-mátrixai. 1.23 Tétel: (A hiperfelület-elmélet alaptétele) Tegyük fel, hogy Ω ⊂ Rn nyílt, összefügg® és pontrahúzható halmaz Ha G, B : Ω R (n−1)×(n−1) sima leképezések úgy, hogy G minden egyes pontban pozitív denit és szimmetrikus mátrix, B szimmetrikus mátrix, valamint G és B

kielégítik a Gauss- és Codazzi-Mainardi-alapegyenleteket, akkor létezik n (egybevágóság erejéig egyértelm¶en) egy r : Ω R regulárisan paraméterezett hiperfelület, melynek els® illetve második alapforma-mátrixai az r1 , . , rn−1 bázisban G illetve B.  n = 3 esethez. Fentebb már megkap- ≡ −1 esetén hogyan is néznek ki az alapmátrixok. A Gauss- és Codazzi- Térjünk vissza a felületelmélethez, azaz az tuk, hogy K -Mainardi-egyenletek segítségével további egyszer¶sítésekre van lehet®ség, és egyéb hasznos következményeket is kiolvashatunk majd. 1.24 Lemma: B =  0 b12 b12 0  esetén a Codazzi-Mainardi-egyenletek: −(ln b12 ),1 = Γ212 − Γ111 , és (ln b12 ),2 = Γ222 − Γ121 . Bizonyítás: Az el®bb már kiszámolt általános esetben is j = k -ra az (1.3) egyenlet mindkét oldala 0. Emiatt feltehetjük, hogy j < k . Felületek esetén ez azt jelenti, hogy j = 1 és k = 2. Így viszont csak 2 egyenletet kaphatunk

aszerint, hogy i = 1 vagy i = 2 Kezdjük az el®bbivel: b11,2 − b12,1 = 2 X (Γs12 bs1 − Γs11 bs2 ) . s=1 A bal oldal els® tagja b11 = 0 miatt t¶nik el, míg a jobb oldali 2 tagú szummában b11 és b22 is megjelenik, így azokat is elfelejthetjük:
−b12,1 = b12 Γ212 − Γ111 . 9 http://www.doksihu b12 -vel átosztva az els® változó szerinti logaritmikus derivált jelenik meg: −(ln b12 ),1 = Γ212 − Γ111 . Az  1-es és  2-es indexek cseréjével a második egyenlethez jutunk, így ugyanez a számolás  igazolja azt is. A lemmában lev® egyenl®ségek jobb oldalát szeretnénk tovább alakítgatni, azaz a Christoel-szimbólumokat kifejezni az els® alapforma segítségével (1.1) −1 felírjuk a G mátrixot: G −1 1 = det G Ehhez el®ször     1 g22 −g12 B2 −AB cos ω = 2 2 = −g12 g11 A2 A B (1 − cos2 ω) −AB cos ω   cos ω 1 −  2 2  AB sin2 ω   A sin ω . =     cos ω 1 − AB sin2 ω

B 2 sin2 ω 2 X 2 1 X 1l g (g1l,2 + g2l,1 − g12,l ) − g (g1l,1 + g1l,1 − g11,l ) = 2 l=1 2 l=1 1 Γ212 − Γ111 = 2l 1 1 1 1 = g 21 g11,2 + g 22 g22,1 − g 11 g11,1 − g 12 (2g12,1 − g11,2 ) = 2 2 2 2 1 1 = g 12 g11,2 + g 22 g22,1 − g 11 g11,1 − g 12 g12,1 = 2 2 cos ω 1 1 cos ω 1 1 =− 2B · B − 2A · A + (AB cos ω),1 = ,1 ,1 2 2A · A,2 + 2 2 2 B 2 sin ω 2 A2 sin ω AB sin ω AB sin2 ω (elvégezve az egyszer¶sítéseket, észrevéve a logaritmikus deriváltakat, és az utolsó tagban cos ω -val b®vítve) =− 2 cos ω · A,2 1 1 + (ln A),1 + cot2 ω · (ln(AB cos ω)),1 = 2 2 (ln B),1 − B sin ω sin ω sin2 ω (az utolsó tagban a szorzat logaritmusát összegre bontva)   1 1 2 cos ω · A,2 2 =− + (ln B),1 + cot ω − · (ln A),1 + cot2 ω · (ln B),1 + B sin2 ω sin2 ω sin2 ω − sin ω · ω,1 + cot2 ω · . cos ω (1.5) A lemmában szerepl® egyenl®ség bal oldalán lév® tagot is felírhatjuk: − (ln b12 ),1 = −(ln AB sin ω),1

= −(ln A),1 − (ln B),1 − 10 cos ω · ω,1 . sin ω (1.6) http://www.doksihu Tehát a lemma szerint ezek egyenl®ek. (ln A),1 együtthatója a jobb oldal (15) kifejtésében cot2 ω − 1 cos2 ω − 1 sin2 ω = = − = −1 , sin2 ω sin2 ω sin2 ω ez pedig éppen az (1.6) második felírásbeli együtthatóval egyezik meg, így ez a tag kiesik Hasonlóan az ω,1 -es tag is ki fog esni, hisz az (1.5)-beli együttható cot2 ω · cos ω − sin ω =− , cos ω sin ω ami épp az (1.6)-belivel egyezik meg A maradékkal folytatjuk a számolást:  1 2A,2 cos ω cot ω + +1 = , 2 sin ω B sin2 ω
B,1 cos2 ω + 1 + sin2 ω = 2A,2 cos ω , | {z } B,1 B  2 2 B,1 = A,2 cos ω . A második Codazzi-Mainardi-egyenletet az  1-es és  2-es indexek megcserélésével kaphatjuk meg, ezért ugyanez a számolás igaz, így A,2 = B,1 cos ω. 2 2 2 Ezekb®l B,1 = B,1 cos ω következik, amib®l B,1 sin ω = 0 adódik. Itt sin ω nem lehet 0, mert ω az egy ponton

átmen® két aszimptotikus vonal (érint®inek) szöge, és az aszimptotikus vonalak regulárisan paraméterezik a felületet (legalább lokálisan), így ezek érint®i nem eshetnek egybe (a regulárisan paraméterezett környezet minden pontjában). B,1 = 0 és ugyanígy A,2 = 0. Ez azt jelenti, hogy az A = |ru | nem függ v -t®l, azaz A(u, v) = A(u, v0 ) err®l pedig korábban feltettük, hogy konstans 1. Tehát A ≡ 1 és hasonlóan B ≡ 1, így minden egyes paramétervonal u 7 r(u, v1 ) és v 7 r(u1 , v) paraméterezései ívhossz szerinti Emiatt paraméterezések (2. ábra) 1.25 Deníció: Egy paraméterezést Csebisev-féle paraméterezésnek vagy Csebisev-háló nak nevezünk, ha a koordinátavonalakból készített négyszögek szemközti oldalai egyenl® hosszúak. 2. ábra Csebisev-tulajdonság 1.26 Megjegyzés: Jelen esetben ez a Codazzi-Mainardi-egyenletekkel egyenérték¶ tulajdonság 11 http://www.doksihu Mátrixaink tovább egyszer¶södnek: 

 1 cos ω − 2       sin ω   sin2 ω 1 cos ω 0 ± sin ω −1  . G= , B= , G =  cos ω 1 ± sin ω 0  cos ω 1  − 2 sin ω sin2 ω Rlijk szimmetriáiból adódóan a Gauss-egyenletek többsége megegyezik. Az egyetlen nem triviális egyenlet a következ®: R1221 = det B . 2 A jobb oldal persze egyszer¶en − sin ω . A bal oldal meghatározásához az általános esetben látott (1.4) képletbe helyettesítünk be: 1 2 R1221 = g11 R221 + g12 R221 = " # " # 2 2 X X

∗ 1 m 1 2 m 2 = g11 Γ122,1 − Γ121,2 + Γm +g12 Γ222,1 − Γ221,2 + Γm = 22 Γm1 − Γ21 Γm2 22 Γm1 − Γ21 Γm2 m=1 m=1 Most meghatározzuk a Christoel-szimbólumokat (1.1) Mivel az alsó két indexben szimmetrikusak, ezért csak 6-tal kell foglalkoznunk 2 X 1 1 g 1l (g1l,1 + g1l,1 − g11,l ) = g 11 g11,1 + g 12 (2g12,1 − g11,2 ) = |{z} 2 |{z} 2 l=1 2 1 Γ111 = 0 =− 0 cos ω (− sin ω) · ω,1 = cot ω · ω,1 . sin2 ω A többit

is hasonló számolás adja: Γ211 = − ω,1 , sin ω Γ112 = 0 , Γ212 = 0 , Γ122 = − ω,2 , sin ω Γ222 = cot ω · ω,2 . Ezek behelyettesítésével folytathatjuk az el®z® egyenl®ségsorozatot (csak a nem nulla tagokat írjuk):     ∗ = g11 Γ122,1 + Γ122 Γ111 + g12 Γ222,1 + Γ122 Γ211 =   h ω ω cos ω · ω,1 · ω,2 − ω,12 · sin ω cos ω · ω,1 · ω,2 ω,2 ω,1 i ,1 ,2 = 1· − +cos ω − 2 + cot ω · ω,12 + = sin2 ω sin2 ω sin ω sin2 ω ω,12 =− + ω,12 · cot ω · cos ω = − sin ω · ω,12 . sin ω Az R1221 = det B egyenlet bal és jobb oldalát összehasonlítva kapjuk a következ®t: ω,12 = sin ω . 12 (1.7) http://www.doksihu Ez az úgynevezett sine-Gordon-egyenlet. Az aszimptotikus vonalak szöge kielégíti ezt az egyenletet. Mi történt eddig? Kiindultunk egy azonosan −1 görbület¶ felület aszimptotikus vonalakból álló (lokális) reguláris paraméterezéséb®l, és ennek segítségével felírtuk az

alapforma-mátrixokat. Kiderült, hogy a Codazzi-Mainardi-egyenletek teljesülése ekvivalens a paramétervonalak Csebisev-tulajdonságával, míg a Codazzi-Mainardi-egyenletek és a Gauss-egyenletek együttes teljesülése a sine-Gordon-egyenlet megoldhatóságával egyenérték¶ Mind- eközben az alapforma-mátrixokat igen egyszer¶ alakra hoztuk: csak az ω függvényeként írtuk fel ®ket. Ahhoz, hogy a hiperfelület-elmélet alaptételét (123) a mi esetünkre tudjuk alkalmazni, már csak az kell, hogy G pozitív denitségét biztosítsuk (minden pontban), ezért az ω 6= k · π kikötést tesszük. Mindezeket egybevetve kapjuk a következ® állítást: 1.27 Állítás: Ha Ω ⊂ R2 egy konvex halmaz, ω a sine-Gordon-egyenlet egy olyan megol- (u, v) ∈ Ω esetén ω(u, v) 6= k · π , akkor van olyan r : Ω R3 regulárisan paraméterezett felület K ≡ −1 Gauss-görbülettel, melynek paramétervonalai ívhossz szerint paraméterezett aszimptotikus vonalak, ahol

ω az aszimptotikus vonalak szöge.  dása, melyre 1.3 A Hazzidakis-formula és Hilbert tétele Bárkiben felvet®dhet a kérdés, hogy vajon mekkora egy aszimptotikus vonalakból álló négyszög területe (jelöljük ezt T -vel). Ezt válaszolja meg a Hazzidakis-formula : Zv2 Zu2 p Zv2 Zu2 ∗ T = det G(u, v)dudv = sin ωdudv = v1 u1 v1 u1 ∗ Zv2 Zu2 = ωuv dudv = . v1 u1 Az utóbbi ∗-os egyenl®ség azért igaz, mert ω kielégíti a sine-Gordon-egyenletet (1.7) 3 Zv2 3. ábra ωv (u2 , v) − ωv (u1 , v)dv = . = Aszimptotikus vonalakból álló paralelogramma v1 = ω(u2 , v2 ) − ω(u2 , v1 ) − ω(u1 , v2 ) + ω(u1 , v1 ) = (α + β + γ + δ) − 2π. Mivel α-, β -, γ - és δ -val egy aszimpotikus vonalak által határolt négyszög bels® szögeit jelöltük, így rájuk is igaz, hogy 0 és π közé esnek, így viszont α + β + γ + δ < 4π , tehát azt az igen meglep® eredményt kaptuk, hogy akármekkora (aszimptotikus

vonalakból álló) négyszög területe kisebb, mint 2π . 3 A dolgozat hátralev® részében áttérünk a parciális deriválás változónévvel való jelölésére (vessz® nélkül). 13 http://www.doksihu 1.31 Megjegyzés: Ha a 3 ábra szerinti vízszintes paramétervonalak irányítását megfordítanánk, akkor az ω szögek is balra néznének, és így a Hazzidakis-formula a T = = 2π − (α + β + γ + δ) alakot öltené, ami már emlékeztethet minket a Gauss-Bonnet tétel egyik alkalmazására: konstans −1 görbület¶ felületen, egy geodetikusokból álló három◦ szög területe megegyezik a bels® szögek összegének 180 -tól való elmaradásával, azaz T = = π − (α + β + γ). A most következ® állításból azonnal meg fogjuk kapni Hilbert tételét. 1.32 Állítás: A sine-Gordon-egyenletnek nincs olyan ω megoldása a [0, 1] × R sávon, melyre 0 < ω < π teljesül. ω ∈ (0, π). Három esetet tárgyalunk Els® esetben tegyük

fel, hogy ω(1, 0) > ω(0, 0) Legyen 3c = ω(1, 0) − ω(0, 0) Bizonyítás: (Indirekt) Tegyük fel, hogy van ilyen û2 := min{s ∈ [0, 1] : ω(1, 0) − ω(s, 0) = c}, û1 := max{s ∈ [0, û2 ] : ω(s, 0) − ω(0, 0) = c}. Azaz û2 az els® olyan id®pont, amikor ω(s, 0) c-re megközelíti ω(1, 0)-t, û1 pedig az utolsó id®pont û2 -ig, amikor ω(s, 0) még c távolságra van ω(0, 0)-tól. Ebb®l rögtön látszik, hogy t ∈ [û1 , û2 ]-ra c ≤ ω(t, 0) ≤ π − c teljesül (ω(0, 0)-t 0-val 4 becsültük alulról, és ω(1, 0)-t π -vel felülr®l). Ebb®l viszont sin c ≤ sin ω következik. Így tetsz®leges pozitív v -re: Zv Zû2 sin ωdudv ≥ sin c · (û2 − û1 ) · v . 0 û1 A bal oldalt viszont a sine-Gordon-egyenlet segítségével tovább becsülhetjük felülr®l: Zv Zû2 Zv Zû2 sin ωdudv = 0 û1 ωuv dudv = 0 û1 = ω(û2 , v) − ω(û2 , 0) − ω(û1 , v) + ω(û1 , 0) < 2π. Az utóbbi egyenl®tlenség az ω

∈ (0, π) feltevésb®l következik. Azt kaptuk, hogy sin c · (û2 − û1 ) · v < 2π , ami ellentmondás, mert v -t tetsz®legesen nagyra választhatjuk. Második esetben ω(1, 0) < ω(0, 0). Ezt egy egyszer¶ változócserével visszavezethetjük az els® esetre: ω e (u, v) := ω(1 − u, −v). Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a [0, 1] × R sávot 4 Persze az egyenl®tlenség-sorozat értelmességéhez az is szükséges, hogy c ≤ π − c, ami azzal ekvivalens, hogy c ≤ π π 2 . Ez persze igaz, mert 3c ≤ π , így c ≤ 3 14 http://www.doksihu 1 , 0) pontra. A mindkét változóban megjelen® mínusz el®jel biztosítja, hogy 2 ω e továbbra is a sine-Gordon-egyenlet megoldása legyen, így valóban semmi sem sérül az tükrözzük az ( állítás feltételei közül. Az utolsó ω(1, 0) = ω(0, 0) eset kezelését egy általános észrevétellel kezdjük. Legyen u1 < u2 és v1 < v2 . Vegyünk egy aszimptotikus vonalakból álló

négyszöget, melynek csúcsait az (u1 , v1 ), (u2 , v1 ), (u1 , v2 ), (u2 , v2 ) pontok r-nél vett képei határozzák meg. A Hazzidakis-formula levezetésénél láttuk, hogy T = ω(u2 , v2 ) − ω(u2 , v1 ) − ω(u1 , v2 )+ +ω(u1 , v1 ), ami terület lévén nyilván pozitív. Emiatt ω(u2 , v2 ) − ω(u1 , v2 ) > ω(u2 , v1 )− −ω(u1 , v1 ), azaz (pongyolán fogalmazva) a szögek fels® oldalon vett eltérése nagyobb a szögek alsó oldalon vett eltérésénél. Az els® esetre való visszavezetés a következ®képp történik: ω̄(u, v) := ω(u, v + v0 ), ahol v0 tetsz®leges pozitív konstans. Ez nyilván továbbra is megoldása a sine-Gordon-egyenletnek a megadott tartományon. Az észrevétel szerint ω(1, v0 ) − ω(0, v0 ) > ω(1, 0) − ω(0, 0) = 0, tehát ω̄(1, 0) > ω̄(0, 0).  1.33 Következmény: (Hilbert tétele) A teljes hiperbolikus síkot nem lehet izometriku- 3 san immertálni E -ba. Bizonyítás: Hiperbolikus sík alatt egy konstans

felületet kell érteni: r : R 2 −1 Gauss-görbület¶ teljes5 , reguláris R3 . Az izometrikusság ívhossztartóságot jelent, azaz egy ilyen függvény meg®rzi az els® alapformát, és így persze a görbületet is (Theorema Egregium 1.22) Az immerzió pedig olyan sima leképezés, aminek a deriváltja injektív. Vegyük észre, hogy egy immerziónak globálisan nem kell injektívnek lennie (lehet önátmetszés), de az inverzfüggvény-tétel miatt lokálisan már az, tehát lokális beágyazásról van szó. 2 Tegyük fel, hogy a H hiperbolikus síknak létezik izometrikus immerziója a 3-dimenziós euklideszi térbe. Korábban már láttuk, hogy az aszimptotikus vonalak ívhossz szerint E3 -beli képeik is paraméterezettek, és mivel a leképezés meg®rzi a hosszúságot, így az egységsebesség¶ek lesznek. Ekkor viszont aszimptotikus vonalakon bármeddig el tudnánk jutni, így a sine-Gordon-egyenletnek egész síkon értelmes megoldása lenne, ami

ellentmond  az el®z® állításnak. Hilbert eredeti bizonyítása nem így szólt. Belátta, hogy az aszimptotikus vonalak Csebisev-hálót alkotnak, majd azt igazolta, hogy ezekkel az egész felületet regulárisan lehet paraméterezni. Innen pedig a Hazzidakis-formula segítségével fejezte be a bizonyítást, ugyanis a hiperbolikus sík területe végtelen, ellentmondásban azzal, hogy a Csebisev-háló akármekkora paralelogrammája 2π -nél kisebb terület¶. 5 Teljesség alatt lehet metrikus teljességet érteni (minden Cauchy-sorozat konvergens), de ez ekvivalens a geodetikus teljességgel. Egy M Riemann-sokaság geodetikusan teljes, ha minden M -beli geodetikus kiterjeszthet® az egész R-re. 15 http://www.doksihu Állandó negatív görbület¶ forgásfelületek 2.1 Áttérés f®görbületi koordinátákra ◦ Most megvizsgáljuk, hogy mi történik, ha a koordináta-rendszert elforgatjuk 45 -kal, pontosabban, tekintjük a következ® átparaméterezést:

r̃(u, v) = r u+v u−v , 2 2
. Az áttekinthet®ség kedvéért bevezetjük az  @ (at) jelölést: f @x azt jelenti, hogy f az x helyen. Nyilván akkor érdemes ilyet használni, ha f összetett függvény Számoljuk ki az érint®tér szokásos bázisát: 1 (r + rv )@ 2 u 1 r̃v (u, v) = (ru − rv )@ 2 r̃u (u, v) = u+v u−v , 2 2
, u+v u−v , 2 2
. Korábban az Euler-formulából azt kaptuk, hogy az aszimptotikus irányok a f®irányokra szimmetrikusak, és most láthatjuk, hogy r̃u és r̃v éppen az ru , rv aszimptotikus irányok szögfelez®i által meghatározott irányokba, azaz a f®irányokba mutatnak. Az els® alapforma mátrixa az új bázisban:   2 |r̃u | hr̃u , r̃v i e v) =  G(u, hr̃v , r̃u i 1 4 (1 + 2 cos ω + 1) = 2  @(u, v) = |r̃v |  0 1 (1 − 2 cos ω + 1) 4 0 @ u+v u−v , 2 2
= . Itt felhasználtuk, hogy az aszimptotikus vonalak ívhossz szerint paraméterezettek, azaz |ru | = |rv | =

1. Azt az ismert tényt is kiolvashatjuk, hogy a f®irányok egymásra mer®lege
1 u+v u−v sek, hiszen a f®átlón kívüli elemek 0-k. Legyen θ(u, v) = ω 2 , 2 . Ez az Euler2 -formula szerint az aszimptotikus irányok és a f®irányok által bezárt szög (ld. 11 fejezet) 2 2 Ekkor a cos 2θ = cos θ − sin θ azonosság segítségével:  1+cos ω 2 . =  0 0 1−cos ω 2  @  u+v u−v , 2 2 16
cos2 θ 0 0 2 = sin θ   @(u, v). http://www.doksihu A második alapforma mátrixának felírásához szükség lesz a következ®kre: r̃uu (u, v) = 1 (r + 2ruv + rvv )@ 4 uu u+v u−v , 2 2
,
1 , u−v , (ruu − ruv + rvu − rvv )@ u+v 2 2 4
1 u+v u−v , r̃vv (u, v) = (ruu − 2ruv + rvv )@ . 2 2 4 r̃uv (u, v) = Ezeket kell az N(u, v) normális vektorral skalárisan szorozni.     hruu , Ni hruv , Ni 0 ± sin ω Felhasználva, hogy B = = kapjuk, hogy hrvu , Ni hrvv , Ni ± sin ω 0  2 sin ω    ± 4 0 ± sin

θ cos θ 0
e v) =   @ u+v , u−v =   @(u, v). B(u, 2 2 ω 0 ∓ 2 sin 0 ∓ sin θ cos θ 4   ± tan θ 0 −1 e e e B= . Így már a Weingarten-leképezés mátrixát is felírhatjuk: L = G 0 ∓ cot θ 6 Tehát el®jelt®l eltekintve megkaptuk a két f®görbületet: tan θ és − cot θ . Ha észrevesszük, hogy ω(u, v) = 2θ(u + v, u − v), akkor az összetett függvény deriválási szabályát használva a sine-Gordon-egyenlet egy új alakját kapjuk: 2(θuu − θvv ) = sin 2θ, azaz θuu − θvv = sin θ cos θ. 2.11 Megjegyzés: Ez az alak már nagyon hasonlít az úgynevezett Klein-Gordon-egyenletre: θuu − θvv = θ. Kis θ-ra sin θ ≈ θ és cos θ ≈ 1, innen az elnevezés 2.2 A pszeudoszféra Az imént aszimptotikus vonalakból álló lokális koordináta-rendszerr®l áttértünk görbületi vonalakból álló paraméterezésre. Szeretnénk ennek a szemléletes tartalmát is bemutatni egy állandó negatív görbület¶ forgásfelületen,

nevezetesen, a pszeudoszférán. Ehhez el®ször be kell vezetnünk a traktrixot. Ezt többféleképp meg lehet tenni 2.21 Deníció: Traktrix nak nevezzük a γ(t) = (cosh t, t) láncgörbe azon evolvensét, mely γ -t a (0, 1) pontban érinti. Emlékeztet®: egy γ görbe evolvensei (involútái), a γ -n csúszásmentesen gördül® egyenes pontjai által leírt görbék. A láncgörbe γ(0) és γ(t) közötti ívének hossza: Zt 0 ||γ 0 (τ )||dτ = Zt p sinh2 τ + 1 dτ = Zt cosh τ dτ = sinh t . 0 0 6 Ez következik az Euler-formulából is (ld. 11 fejezet), felhasználva, hogy κ κ 1 2 = −1. 17 http://www.doksihu Így a traktrix paraméterezése a következ®: γ 0 (t) (sinh t, 1) γ̂(t) = γ(t) − sinh t · 0 = (cosh t, t) − sinh t · = ||γ (t)|| cosh t   1 , t − tanh t . cosh t 2.22 Megjegyzés: Van egy ennél sokkal természetesebb módja is a traktrix bevezetésének: traktrixnak nevezünk egy olyan görbét, mely átmegy a vízszintes

tengely (1, 0) pontján, és amelynek bármely pontjába húzott érint® érintési pontjának és a függ®leges tengelynek az érint®n mért távolsága konstans 1. Sokkal találóbb a görbe német elnevezése: Hundekurve. Ugyanis a traktrix egy olyan csökönyös kutya útját írja le, akit (észak-déli irányban közleked®) gazdája pórázon vonszol maga után. 7 Amennyiben az olvasó nem kíván ebekkel hadakozni, akkor ajánlom gyelmébe a következ® származtatást: ha egy kerékpár els® kerekét olyan egyenes mentén toljuk, mely a vázzal nem párhuzamos, akkor a hátsó kerék egy traktrixon gurul végig. Ha innen közelítünk, kétféle felírásából akkor az érint® meredekségének juthatunk el egy γ(t) := (x(t), y(t)) paraméterezéshez: √ 0 y (x) = − 1 − x2 . x Mindkét oldalt integrálva kapjuk, hogy Z √ y(x) = − 1 − x2 dx . x Az integrálban x helyére sin θ -t helyettesítve, majd parciálisan integrálva kapjuk a

következ®t: Z Z Z p 1 1 − sin2 θ y(x) = − ·cos θ dθ = − cot θ·cos θ dθ = − cot θ sin θ+ − 2 ·sin θ dθ = sin θ sin θ Z Z Z 1 1 1 1 1 = − cos θ − dθ = − cos θ − dθ = − cos θ − · · dθ = θ θ θ θ 2 sin θ 2 sin 2 cos 2 tan 2 cos 2 2 θ -vel b®vítettünk. Itt pedig már a láncszabály szerint követik 2 egymást a deriváltak, és könnyen ráismerhetünk a következ®re: Az utolsó lépésben csak cos = − cos θ − log tan θ +c . 2 Az integrációs konstansról nyugodtan feltehetjük, hogy 0, hisz ez csak a traktrix függ®leges tengely menti eltolásáért felel®s (nem 0 konstans nem ad más alakú képgörbét). Mivel x ∈ (0, 1], így θ ∈ (0, π). Ha θ 0, akkor világos, hogy x(θ) = sin θ 0 és y(θ) = − cos θ−log tan 2θ +∞, azaz ha θ-t változtatjuk 0-tól π2 felé, akkor a traktrix fels® 7 A magyar elnevezésben is van logika: a latin trahō, trahere, trāxῑ, tractum (húz) igéb®l származik.

18 http://www.doksihu π -t®l megyünk π felé, akkor az (x(θ), y(θ)) pont az alsó száron 2 fut végig. Hogy a mínusz jelekkel ne kelljen bajlódni, tükrözzük az egészet az x tengelyre, θ 8 azaz a végs® paraméterezésünk γ(θ) = (sin θ, cos θ + log tan ) legyen. Természetesen ez 2 is jó paraméterezés, csak éppen ellenkez® irányban futjuk be a képgörbét. szárát kapjuk meg, míg ha Illene belátnunk, hogy a kétféle paraméterezés ugyanazt a görbét írja le. Ezt bizonyítja a következ® 2.23 Lemma: Ha t = log tan 2θ , akkor sin θ = 1 cosh t és cos θ = − tanh t . Bizonyítás: t = log tan cosh t = tanh t = θ 2 ⇔ tan θ = et , ekkor persze 2 cot θ = e−t , 2 tan 2θ + cot 2θ sin2 2θ + cos2 2θ et + e−t 1 = = = , θ θ 2 2 sin θ 2 cos 2 sin 2 tan 2θ − cot 2θ sin2 2θ − cos2 2θ et − e−t = = = − cos θ . et + e−t tan 2θ + cot 2θ sin2 2θ + cos2 2θ  5. ábra 4. ábra 8 Jogosan felt¶nhet valakinek az az

ellentmondás, hogy a fenti számolásból y(sin θ) = − cos θ − log tan θ 2 θ 2 -t írtunk. Itt természetesen új jelölést kellett volna bevezetnünk γ(θ) második koordinátájára, de így egyszer¶bb volt, és kés®bb sem lesz fontos. Czách jött ki, és utána gátlástalanul csak y(θ) = − cos θ − log tan tanár úr azt mondaná, hogy ugye mindenki látja, hogy ez már egy piros y ?. 19 http://www.doksihu Ha a traktrixot a függ®leges tengely körül megforgatjuk, akkor egy azonosan −1 gör- pszeudoszférá hoz jutunk. Ha a traktrix els® felírását bület¶ felülethez, az úgynevezett vesszük alapul, akkor a pszeudoszféra f®görbületi paraméterezéséhez jutunk (4. ábra)  r(u, v) =  cos v sin v , , u − tanh u , cosh u cosh u míg a második szerint a szokásos paraméterezést kapjuk meg (5. ábra) r(u, v) =  sin u cos v, sin u sin v, cos u + log tan u . 2 A szemmel látható különbség a két ábra között annyi, hogy az

els®n az u-hoz tartozó koordinátavonalak (paralell görbék) egyenletesebben követik egymást. A f®görbületi paraméterezésnél a koordinátavonalak görbületi vonalak lesznek, innen az elnevezés. Ennek belátásához igazoljuk a következ® állítást: 2.24 Állítás: Ha egy r : Ω Rn reguláris paraméterezés¶ hiperfelület els® és második alapforma-mátrixa diagonális, akkor koordinátavonalai görbületi vonalak. A megfordítás is igaz, ha a f®görbületek minden pontban különböz®ek. A f®görbületek, deníció szerint, a Weingarten-leképezés sajátértékei. A −1 Weingarten-leképezés mátrixa felírható az alapforma-mátrixok hányadosaként: L = G B. Bizonyítás: Így persze L is diagonális. Egy lineáris leképezés valamilyen bázisban felírt mátrixa pontosan akkor lesz diagonális, ha a bázis sajátvektorokból áll Mivel G és B az r1 , , rn−1 bázisban felírt mátrixok, így, feltevésünk szerint, ezek L-nek (is)

sajátvektorai, azaz ezek a vektorok f®irányokba mutatnak. A megfordításhoz tegyük fel, hogy a koordinátavonalak görbületi vonalak, és hogy a κ1 , . , κn−1 f®görbületek különböz®ek Ekkor κi ri , rj = L(ri ), rj = ri , L(rj ) = ri , κj rj , ⇒ (κi − κj ) ri , rj = 0. Mivel i 6= j esetén κi 6= κj , ezért gij = ri , rj = 0, ha i 6= j . Tehát G diagonális Persze L is diagonális, hisz föltettük, hogy a koordinátavonalak görbületi vonalak, azaz, hogy  r1 , . , rn−1 f®irányokba néznek B = GL pedig B diagonalitását biztosítja Elég tehát belátnunk a pszeudoszféra f®görbületi paraméterezéséhez tartozó alapforma- mátrixokról, hogy diagonálisak.   sinh u sinh u 1 ru = − cos v · , − sin v · ,1 − , cosh2 u cosh2 u cosh2 u   sin v cos v rv = − , ,0 . cosh u cosh u  2
sinh2 u 1 sinh2 u(1 + sinh2 u) 2 2 2 ||ru || = cos v + sin v + 1 − = = tanh2 u , cosh4 u cosh2 u cosh4 u 20 http://www.doksihu ||rv ||2 = 1 ,

cosh2 u hru , rv i = hrv , ru i = 0 . Ugyanilyen nehézség¶, de sokkal hosszabb számolás adja a második alapforma mátrixának elemeit, ezért csak a végeredményt írjuk fel:  tanh2 u 0 0 1 cosh2 u G=   , B= 1 − cosh tanh u u 0 0 1 tanh u cosh u  . Így az el®z® 2.24 állítás szerint a f®görbületi paraméterezésnél a koordinátavonalak valóban görbületi vonalak lesznek. Másik fontos észrevétel, hogy a 2.23 lemmában szerepl® azonosságok használatával az alapforma-mátrixok éppen a fent már látott  2  cos θ 0 G= , 0 sin2 θ alakot öltik.   sin θ cos θ 0 B= 0 − sin θ cos θ Ott egy állandó −1 görbület¶ felület aszimp- totikus vonalakból álló paraméterezéséb®l kaptuk ezt a formát ◦ a koordinátarendszer 45 -os elforgatásával. Ez egyrészt azt jelenti, hogy a pszeudoszféra konstans −1 görbület¶, másrészt azt, hogy visszaforgatással, azaz az (u, v) (u + v, u − v)

koordinátacserével a pszeudoszféra aszimptotikus vonalakból álló paraméterezéséhez jutunk. ahogyan az aszimptotikus közeledve párhuzamossá vonalak válnak, Az ábrán jól látható, a ami szingularitásokhoz összhangban van Hilbert tételének bizonyításával, mert ott éppen abból kaptuk az ellentmondást, hogy nincs olyan megoldása a sine-Gordon egyenletnek, mely az egész síkon értelmes, és nem veszi fel a k · π értékek valamelyikét. Érdekes viszont, hogy az aszimptotikus vonalak simán mennek át a szingularitások körén egyik féltekér®l a másikra (ez csak a látszat, mert valójában visszafordulnak). Igen meglep® az is, hogy a 2.23 lemmában θ a traktrix érint®jének függ®leges tengelylyel bezárt szögét jelentette, itt pedig az aszimptotikus vonalak hajlásszögének felét, azaz a f®irányok aszimptotikus irányokkal bezárt szögét. További érdekességként, illetve az elnevezés magyarázataként, megjegyezzük, hogy a

pszeudoszféra területe 4π , ami éppen az egységgömb területével egyezik, valamint a térfo2π , ami épp a gömb térfogatának fele. gata 3 Következ® célunk pedig az lesz, hogy általánosságban jellemezzük az állandó negatív görbület¶ forgásfelületeket, vagyis azok generáló (más néven prol-) görbéit. Nyilván a pszeudoszférát is meg fogjuk kapni, így új bizonyítást nyerünk konstans negatív görbület¶ségére. 21 http://www.doksihu 2.3 Állandó negatív görbület¶ forgásfelületek osztályozása Legyen (x(t), y(t)) ívhossz szerint paraméterezett görbe, azaz x 02 + y 0 2 ≡ 1. A függ®leges tengely körül megforgatva az r(u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, y(u)) paraméterezéshez jutunk. Ez reguláris lesz minden olyan pontban, ahol x 6= 0 A Gauss-görbületet szeretnénk kifejezni x és y segítségével a regularitási pontokban, ehhez pedig szükségünk van az els® illetve a második alapforma mátrixára. Még itt érdemes

föltenni, hogy x mindenütt pozitív. Ez nem okoz problémát, hisz ha a görbe azon részeit, melyeknél az x koordináta negatív, tükrözzük az y tengelyre, akkor is az eredeti prolgörbéb®l készített forgásfelület egy generáló görbéjét kapjuk. 0 0 0 ru (u, v) = (x (u) cos v, x (u) sin v, y (u)) , rv (u, v) = (−x(u) sin v, x(u) cos v, 0) ,   1 0 ⇒G= . 0 x2 N(u, v) = ru × rv ||ru × rv || @(u, v) =
−x(u) cos v · y 0 (u), −x(u) sin v · y 0 (u), x0 (u)x(u) cos2 v + x(u)x0 (u) sin2 v p = = x2 (u)y 0 2 (u) cos2 v + x2 (u)y 0 2 (u) sin2 v + x0 2 (u)x2 (u) = (−x(u) cos v · y 0 (u), −x(u) sin v · y 0 (u), x0 (u)x(u)) q = (−y 0 (u) cos v, −y 0 (u) sin v, x0 (u)) , x(u) y 0 2 (u) + x0 2 (u) | {z } 1 00 00 00 ruu (u, v) = (x (u) cos v, x (u) sin v, y (u)) , 0 0 ruv (u, v) = (−x (u) sin v, x (u) cos v, 0) , rvv (u, v) = (−x(u) cos v, −x(u) sin v, 0) ,  0 00  x y − x00 y 0 0 ⇒B= . 0 xy 0 det B (y 00 x0 − x00 y 0 )xy 0 y 0 y 00

x0 − x00 y 0 2 = = = . K= det G x2 x
0 1 Itt pedig felhasználjuk, hogy 0 = x0 2 + y 0 2 = x0 x00 + y 0 y 00 , 2 −x0 x00 x0 − x00 y 0 2 −x00 (x0 2 + y 0 2 ) x00 . = = =− . x x x 22 http://www.doksihu 00 Mivel most a K ≡ −1 eset foglalkoztat minket, így az x (u) = x(u) dierenciálegyenletet kell megoldanunk, de ugyanígy kezelhet® az állandó pozitív görbület¶ eset is (speciálisan, a gömb generáló görbéjét is megkaphatnánk). Az általános megoldás a következ® alakban adható meg: x(u) = Aeu + Be−u , 2 2 y 0 (t) = 1 − x0 (t) = 1 − Aet − Be−t y(u) = Zu q
2 , 1 − (Aet − Be−t )2 dt . 0 Ez egy elliptikus integrál, melyet általában nem lehet kiszámolni. Vizsgáljuk meg milyen esetek jöhetnek szóba. I. eset: A vagy B = 0 (Pszeudoszféra) 0, hisz akkor x ≡ 0 lenne, és így nem lenne reguláris pontja a felületnek, mi pedig éppen ezeket vizsgáljuk. Tegyük fel, hogy A = 0 Ekkor feltehetjük, hogy B > 0, hisz ha nem

így van, akkor a prolgörbe függ®leges tengelyre való tükrözésével ezt elérhetjük, más szóval (x, y) helyett (−x, y)-t vesszük. Ez nyilván nem változtatja meg a forgásfelületet. Ha pedig elvégezzük az u u + log B helyettesítést, akkor az els® −u koordinátafüggvény az x(u) = e alakra redukálódik. Mivel Mindkett® nem lehet 2 2 0 ≤ y 0 (u) = 1 − x0 (u) = 1 − e−2u , így u ≥ 0-nak kell teljesülnie. Tehát  (x(u), y(u)) = e−u , Zu √  1 − e−2t dt , ha 0 ≤ u < ∞ . 0 B = 0 esetén teljesen hasonlóan feltehetjük, hogy A > 0, illetve elvégezhetjük az u u − log A helyettesítést. 0 ≤ y 0 2 (u)-ból pedig u ≤ 0 következik, de az u = 0 eset egybeesik az el®z®vel, így attól eltekinthetünk, és kapjuk a következ®t:  (x(u), y(u)) = eu , Zu √  1 − e2t dt , ha − ∞ < u < 0 . 0 Mostantól tehát feltesszük, hogy A és B nullától különböz®. Ekkor az u u + 12 log B A

helyettesítéssel az els® koordinátafüggvényre a p p p |A| |B|eu + |A| |B|e−u p felírást kapjuk, amib®l látszik, hogy |A| = |B| feltehet®. (Az eddig látott helyettesítések hatására az értelmezési tartomány nem változik, hisz u befutja R-et, és a számegyenes eltoltja önmaga.) 23 http://www.doksihu II. eset: A = B (Hiperbolikus) Megint feltehetjük, hogy A > 0 (generáló görbe tükrözése az y tengelyre). Ekkor x(u) = A(eu + e−u ) = 2A cosh u . Ebb®l persze a b = 2A jelölés bevezetésével y(u) = Zu p 1 − b2 sinh2 t dt 0 adódik. Vigyáznunk kell azonban, hogy a gyök alá ne kerüljön negatív szám: b > 0-ra 1 1 1 1 1 − b2 sinh2 u ≥ 0 ⇔ b2 sinh2 u ≤ 1 ⇔ − ≤ sinh u ≤ ⇔ − arsinh ≤ u ≤ arsinh . b b b b Utolsó lépésben felhasználtuk, hogy a sinh páratlan függvény, és hogy páratlan függvény inverze is páratlan. III. eset: A = −B (Kúpszer¶) Ismét (u −u segítségével) feltehetjük, hogy A

> 0. Így x(u) = A(eu − e−u ) = 2A sinh u, y(u) = Zu p 1 − b2 cosh2 t dt . 0 Az értelmességhez szükséges feltétel az el®z®höz hasonlóan: 1 − b2 1 − b (1 + sinh u) ≥ 0 ⇔ ≥ sinh2 u ⇔ arsinh b2 Látszik, hogy (0 <) b ≤ 1 is szükséges. 2 2 2.31 Deníció: Az E (φ|m) := Zφ p √ 1 − b2 ≥ u ≥ − arsinh b √ 1 − b2 . b 1 − m sin2 θ dθ 0 másodfajú elliptikus integrál nak nevezzük. E (m) := E π2 |m -et pedig teljes másodfajú elliptikus integrál nak nevezzük.
függvényt m < 1 esetén Ha vesszük az ellipszis szokásos γ(t) = (a cos t, b sin t) paraméterezését, akkor valamely 0 ívének hosszát éppen egy ilyen integrállal tudjuk meghatározni: γ (t) = (−a sin t, b cos t), Zt1 0 ||γ (t)|| dt = t0 Zt1 p a2 sin2 t + b2 cos2 t dt = t0 b2 + (a2 − b2 ) sin2 t dt = t0 Zt1 s    a2 2 1 − 1 − 2 sin t dt = b · E t1 b =b Zt1 q t0 24 a2 1− 2 b   − b · E t0 a2 1− 2 b  .

http://www.doksihu 2.32 Megjegyzés: Vegyük észre, hogy E (φ|1) = sin φ, így E (φ|m) -re gondolhatunk úgy, eiz −e−iz = sinhi iz , 2i akkor egyb®l a hiperbolikus szinusz függvény általánosításának is tekinthet®: mint a szinusz függvény általánosítása. S®t, ha felhasználjuk, hogy sin z = −i E (iφ | − m) = Zφ p 1 − m sinh2 θ dθ . 0 Ennek ismeretében már végleges formájában kimondhatjuk a fent bizonyított tételt: 2.33 Tétel: Legyen M egy konstans −1 Gauss-görbület¶ forgásfelület Ekkor M egybevágó az r(u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, y(u)) paraméterezés¶ felület egy részével, ahol a γ(u) = (x(u), y(u)) prolgörbe a következ®k valamelyike: I. (Pszeudoszféra)   u√ R   1 − e−2t dt , ha 0 ≤ u < ∞ ;  e−u , 0  (x(u), y(u)) =  Ru √  u 2t  1 − e dt , ha − ∞ < u < 0 .  e , 0 II. (Hiperbolikus típusú) (x(u), y(u)) = b cosh u, −i E iu | − b2 valamilyen b > 0

konstanssal, és − arsinh

1 ≤ u ≤ arsinh 1b egyenl®tlenséget kielégít® b u-val. III. (Kúpszingularitással rendelkez®)   √ 2 (x(u), y(u)) = b sinh u, −i 1 − b E iu − √ ahol 0 < b < 1 állandó, és u-ra − arsinh b2 1 − b2 1−b2 ≤ u ≤ − arsinh b Bizonyítás: A tételt a korábbi számolások már bizonyítják. √  , 1−b2 teljesül. b Itt csak azt mutatjuk meg, hogy az I. esetben megjelen® görbe éppen a traktrix, és így jogosan tüntettük fel zárójelben, hogy a pszeudoszféra generáló görbéje. θ ). Nyilván 2 θ-t szeretnénk u megfelel® függvényének tekinteni, de hogy ne teljesen kalapból nyuszi Tekintsük a traktrix szokásos paraméterezését: η(θ) = (sin θ, cos θ + log tan bizonyítást adjunk, megpróbálunk intuíció szerint haladni, és nem az elején mondjuk meg, mit válasszunk θ(u)-nak. A bizonyítást I. 0 ≤ u < ∞ esetében fogjuk elvégezni, a −∞ < u < 0 eset

teljesen hasonlóan kezelhet®. 25 Azt fogjuk megmutatni, hogy minden http://www.doksihu u ≥ 0-ra γ 0 (u) = (η ◦ θ)0 (u), és γ(0) = η(θ(0)). Ekkor a közönséges dierenciálegyen- letek megoldásának egyértelm¶ségér®l szóló (Picard-Lindelöf ) tétel szerint γ(u) = η(θ(u)) minden u ≥ 0-ra. Nézzük tehát a tételbeli paraméterezés deriváltját:   √ γ 0 (u) = −e−u , 1 − e−2u . p 1 − f 2 is megjelenik a közelben, akkor f helyére érdemes valamelyik szögfüggvényt írni. Mi is ezt tesszük A deriváltra ránézve tehát θ(u)-tól p √ −u azt követeljük meg, hogy sin θ(u) = e és cos θ(u) = 1 − sin2 θ(u) = − 1 − e−2u −u teljesüljön. θ(u) = π − arcsin(e ) jó választás lesz (azért kell π -vel eltolni, hogy π2 és π közé essen θ(u), és így cos θ(u) negatív legyen). Ekkor tehát   1 ∗ 0 (η ◦ θ) (u) = cos θ(u), − sin θ(u) + · θ0 (u) = sin θ(u) Ha látunk egy f függvényt, és 1

sin θ(u) θ0 (u) = − √ · (−e−u ) = − −2u cos θ(u) 1−e     √ 1 sin2 θ(u) ∗ −u −2u − = γ 0 (u). = − sin θ(u), = (− sin θ(u), − cos θ(u)) = −e , 1 − e cos θ(u) cos θ(u) S minthogy γ(0) = η(θ(0)) = (1, 0), így a fent már megbeszéltek miatt készen vagyunk.  2.34 Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a tétel els® esetében a traktrix ívhossz szerinti paraméterezése szerepel: ||γ 0 (u)||2 = e−2u + √ 26 2 1 − e−2u = 1 . http://www.doksihu 6. ábra. Hiperbolikus típusú forgás- felülethez tartozó prolgörbe (b = 0.5 ), és megforgatottja 27 7. ábra Kúpszer¶ forgásfelülethez tartozó prolgörbe (b = 0.3 ), és megforgatottja http://www.doksihu A Bianchi- és a Bäcklund-transzformáció A most következ®kben olyan transzformációkkal fogunk foglalkozni, melyek állandó negatív görbület¶ felületb®l újabb ugyanolyan görbület¶ felületet gyártanak. A Bianchi-transzformációval kezdjük,

majd áttérünk ennek általánosítására, a Bäcklund-transzformációra Látni fogjuk, hogy mindkett® megadható geometriai illetve analitikus formában is. Utóbbit bizonyos típusú parciális dierenciálegyenletek úgynevezett szoliton megoldásainak keresésére is használják. Err®l még beszélni fogunk 3.1 A Bianchi-transzformált 3.11 Deníció: Legyen r : Ω R3 egy állandó −1 Gauss-görbület¶ felület, r̃ : Ω R3 9 pedig egy másik felület . Azt mondjuk, hogy r̃ az r Bianchi-transzformált ja, ha 1. ||r̃(u, v) − r(u, v)|| ≡ 1, 2. r̃(u, v) − r(u, v) érinti az r-et és az r̃-ot az r(u, v) illetve r̃(u, v) pontokban, 3. e (u, v) érinti r-et r(u, v)-ben. N Próbáljuk meg leírni r Bianchi-transzformáltjait! Paraméterezzük úgy az eredeti felületet, hogy ru és rv f®irányok legyenek. Ezt nyugodtan megtehetjük, mert paraméterezést®l független, tisztán geometriai feltételeink vannak. Ekkor a korábbi számolások szerint

 G=  cos2 θ 0 , 0 sin2 θ   ± sin θ cos θ 0 B= . 0 ∓ sin θ cos θ Persze ekkor ||ru || = cos θ és ||rv || = sin θ miatt r r u v és cos θ sin θ minden egyes pontban az érint®sík ortonormált bázisa lesz. 8. ábra Így, a 2. tulajdonság miatt, r̃(u, v)− r(u, v) kifejezhet® ezen 9 Vegyük észre, hogy r és r̃ paramétertartománya ugyanaz, így található valamilyen megfeleltetés a két felület között. 28 http://www.doksihu egységhosszú vektorok segítségével, és az együtthatók meghatározásánál az 1. tulajdonságot is kihasználva a következ® egyenl®séghez jutunk: r̃ − r = cos θ̃ · ru cos θ + sin θ̃ · rv sin θ , (3.8) ahol a θ̃ : Ω R függvény az r̃(u, v) − r(u, v) egységvektor ru báziselemmel bezárt szöge. Ezt szokás a Bianchi-transzformált szögfüggvényének is nevezni (8. ábra) A 3 tulajdonság szerint e (u, v) is a szóbanforgó érint®síkban van, és így r̃(u, v) − r(u, v) -nek

ebben a N ◦ síkban vett + vagy −90 -os elforgatottja, amit középiskolás módszerrel megkaphatunk (ti. koordinátacsere és az egyik (−1)-gyel való szorzása) e = ± − sin θ̃ · N  ru cos θ + cos θ̃ · rv  (3.9) sin θ Vegyük észre, hogy θ̃ -ról még szinte semmi sem derült ki, de szerencsére van még egy tulajdonság, amit egyáltalán nem használtunk, nevezetesen az, hogy e az r̃ normálisa, N e ⊥ r̃ , N e ⊥ r̃ feltételeknek. A következ® hosszadalmas N u v azaz (θ̃ -ra) teljesülniük kell az számolás tehát semmi másról nem fog szólni, mint hogy felírjuk a megfelel® deriváltakat a szokásos bázisban, és az r̃u = ru + e normális vektorral vett skaláris szorzatukat nullává tesszük. N cos θ̃ cos θ ! u cos θ̃ · ru + ·r + cos θ uu sin θ̃ sin θ ! · rv + u sin θ̃ ·r . sin θ uv Fejezzük ki a most megjelent második parciális deriváltakat az els®k segítségével, de ehhez szükségünk lesz a

Christoel-szimbólumok 1.1 kifejtésére, ahol egyb®l felhasználjuk, hogy G és így G −1 is diagonális (számok helyett most értelemszer¶en magukkal a változókkal indexelünk) 1 sin2 θ cos θ sin θ 1 · (cos2 θ)u = − · θu = − tan θ · θu , Γuuu = g uu guu,u = · 2 2 2 2 cos θ sin θ cos2 θ 1 cos θ sin θ 1 cos2 θ 2 Γvuu = g vv (−guu,v ) = − · · (cos θ) = · θv = cot θ · θv , v 2 2 2 cos2 θ sin θ sin2 θ u v ruu = Γuu · ru + Γuu · rv + buu · N = − tan θ · θu · ru + cot θ · θv · rv + buu · N . (3.10) u v Hasonlóan: Γuv = − tan θ · θv és Γuv = cot θ · θu . Ezekb®l pedig: N. ruv = − tan θ · θv · ru + cot θ · θu · rv + buv · |{z} 0 Jelölje A az ru együtthatóját az r̃u felírásában, B pedig rv -ét: A=1+ cos θ̃ cos θ ! + u cos θ̃ sin θ̃ · (− tan θ · θu ) + · (− tan θ · θv ) = cos θ sin θ 29 (3.11) http://www.doksihu =1+ − sin θ̃ cos θ · θ̃u + sin θ cos θ̃

· θu cos θ̃ sin θ · θu sin θ̃ sin θ · θv − − = cos2 θ cos2 θ sin θ cos θ  sin θ̃  θ̃u + θv , =1− cos θ ! sin θ̃ cos θ̃ sin θ̃ B= + · cot θ · θv + · cot θ · θu = sin θ cos θ sin θ u  cos θ̃ sin θ · θ̃u − sin θ̃ cos θ · θu cos θ̃ cos θ · θv sin θ̃ cos θ · θu cos θ̃  = + θ̃u + θv . + = cos θ sin θ sin θ sin2 θ sin2 θ e ⊥ N miatt r̃ normális komponensének C együtthatójával azért nem foglalkoztunk, mert N u a skaláris szorzásnál ez úgyis azonnal kiesik. A kés®bbiek miatt viszont megjegyezzük, hogy cos θ̃ b = ± sin θ cos θ̃ . C = cos θ uu E D E e e 0 = N , r̃u = N , A · ru + B · rv + C · N = D ! ! +   cos θ̃ sin θ̃  cos θ̃  sin θ̃ ·r + ·r , 1− θ̃u + θv θ̃u + θv ru + rv = − cos θ u sin θ v cos θ sin θ ! !    sin θ̃ sin θ̃  cos θ̃ cos θ̃ θ̃u + θv ||ru ||2 + θ̃ + θv ||rv ||2 = =− 1− | {z } sin θ sin θ u | {z } cos θ cos θ * =

sin2 θ cos2 θ    = − sin θ̃ cos θ + sin2 θ̃ + cos2 θ̃ θ̃u + θv Tehát: e ⊥ r̃ ⇔ θ̃u + θv = sin θ̃ cos θ . A másik feltételhez hasonló számolással kapjuk N u az " r̃v = − sin θ̃  cos θ θ̃v + θu  # "  cos θ̃  ru + 1 + θu + θ̃v sin θ # h i rv + ∓ sin θ̃ cos θ N felírást, amib®l 0= D adódik. Tehát a másik feltétel: e , r̃ = sin θ cos θ̃ + θu + θ̃v N v E   e ⊥ r̃ ⇔ θu + θ̃v = − sin θ cos θ̃ . N v Ezek szerint, ha meg akarjuk keresni az r felület Bianchi-transzformáltjait, akkor meg kell oldanunk a következ® parciális dierenciálegyenlet-rendszert θ̃ -ra: θ̃u = sin θ̃ cos θ − θv θ̃v = − sin θ cos θ̃ − θu (3.12) Ez persze nem mindig oldható meg. Éppen erre ad szükséges és elégséges feltételt Frobenius tételének eredeti alakja: ennek a rendszernek pontosan akkor létezik lokális megoldása, ha a Young-tétellel nem tudunk

ellentmondásra jutni, azaz ha a  θ̃uv = θ̃vu  egyenl®ség teljesül, 30 http://www.doksihu ami alatt azt kell érteni, hogy az el®z® egyenletek (megfelel® változó szerinti) deriváltjainak kell megegyezniük.  θ̃uv = sin θ̃ cos θ − θv  v = cos θ̃ · θ̃v · cos θ − sin θ̃ sin θ · θv − θvv = θ̃v helyére persze beírhatjuk a másik egyenlet jobb oldalát, így = − cos θ sin θ cos2 θ̃ − cos θ̃ cos θ · θu − sin θ̃ sin θ · θv − θvv ,   θ̃vu = − sin θ cos θ̃ − θu = − cos θ · θu · cos θ̃ + sin θ sin θ̃ · θ̃u − θuu = (∗) = − cos θ · θu · cos θ̃ + sin θ sin2 θ̃ cos θ − sin θ sin θ̃ · θv − θuu . (∗) u A (∗)-osok egyenl®ségéb®l egyszer¶sítések után kapjuk, hogy   θuu − θvv = sin θ cos θ sin2 θ̃ + cos2 θ̃ Azaz θuu − θvv = sin θ cos θ, ami épp a θ-ra felírt sine-Gordon-egyenlet. Tehát ennek teljesülése biztosítja a fenti (3.12)

parciális dierenciálegyenlet-rendszer megoldhatóságát, és mivel egy azonosan −1 görbület¶ felületb®l indultunk ki, ez természetesen teljesül. Magyarul, egy állandó negatív görbület¶ felület Bianchi-transzformáltja mindig elkészíthet®. Már csak azt kéne belátnunk, hogy r̃ valóban konstans −1 Gauss-görbület¶ felületet paraméterez. Ehhez tovább pontosítjuk r̃u és r̃v felírását a fenti, θ̃-ra vonatkozó (3.12) egyenletrendszer felhasználásával, hogy aztán kifejezhessük az els® és második alapforma mátrixát. Láttuk, hogy a normálvektor csak el®jel erejéig van meghatározva, így ez a bizonytalanság B f®átlójában is megjelent. Mi most önkényesen rögzítjük az egyik verziót: buu = − sin θ cos θ és bvv = sin θ cos θ. (Ennek oka esztétikai apróság: így Be ugyanolyan alakú lesz, mint B .) # " # "   h i sin θ̃  cos θ̃  r̃u = A·ru +B·rv +C·N = 1 − θ̃u + θv ru + θ̃u + θv rv +

− sin θ cos θ̃ N = cos θ sin θ h i = 1 − sin2 θ̃ ru + cos θ̃ sin θ̃ cot θ · rv − sin θ cos θ̃ · N , (3.13) N||2 = | {z } 4 2 2 2 2 2 2 2 hr̃u , r̃u i = cos θ̃ · ||ru || + cos θ̃ sin θ̃ cot θ ||rv || + sin θ cos θ̃ || | {z } | {z } cos2 θ sin2 θ 1
= cos2 θ̃ cos2 θ(cos2 θ̃ + sin2 θ̃) + sin2 θ = cos2 θ̃ . Teljesen hasonlóan r̃v = sin θ̃ cos θ̃ tan θ · ru +sin 2 θ̃ · rv +sin θ̃ cos θ · N , innen hr̃v , r̃v i = sin2 θ̃. N||2 = 2 2 2 2 hr̃u , r̃v i = cos θ̃ sin θ̃ cos θ̃ tan θ·||ru || +cos θ̃ sin θ̃ cot θ sin θ̃·||rv || −sin θ cos θ̃ sin θ̃ cos θ|| = sin θ̃ cos θ̃ sin θ cos θ(cos2 θ̃ + sin2 θ̃) − sin θ cos θ̃ sin θ̃ cos θ = 0 , 31 http://www.doksihu =⇒  2  cos θ̃ 0 Ge = . 0 sin2 θ̃ Ez pedig éppen a standard alakja az els® alapformának −1 Gauss-görbület esetén, így ha a Theorema Egregium (1.22) segítségével ki akarjuk számolni a

Gauss-görbületet, akkor a korábbiak alapján tudjuk, hogy K ≡ −1 csak akkor jöhet ki, ha θ̃ -ra (is) teljesül a sineGordon-egyenlet. Ellen®rizzük hát ezt a tulajdonságot! A θ̃ -ra vonatkozó (312) parciális dierenciálegyenlet-rendszerb®l, megfelel® változó szerinti parciális deriválás után kapjuk a következ®ket: θ̃uu = cos θ̃ · θ̃u · cos θ + sin θ̃ · (− sin θ) · θu − θvu ,   θ̃vv = − cos θ · θv · cos θ̃ + sin θ · (− sin θ̃) · θ̃v − θuv . θ̃u és θ̃v helyére ismét beírhatjuk a (3.12) egyenletek jobb oldalait: θ̃uu = cos θ̃ cos θ(sin θ̃ cos θ − θv ) − sin θ̃ sin θ · θu − θvu , θ̃vv = − cos θ cos θ̃ · θv + sin θ sin θ̃(− sin θ cos θ̃ − θu ) − θuv . Vonjuk ki egymásból a két egyenletet! θ̃uu − θ̃vv = cos θ̃ sin θ̃ cos2 θ + sin θ̃ cos θ̃ sin2 θ , θ̃uu − θ̃vv = sin θ̃ cos θ̃ . Tehát az r̃ Bianchi-transzformált valóban konstans −1

görbület¶ felületet paraméterez. Folytatjuk a második alapforma mátrixával, melynek elemei általánosan: = hri , L(rj )i = hri , −∂j Ni = hri , −Nj i. Láthatjuk, hogy szükségünk van hrij , Ni = e els®rend¶ N parciális deriváltjaira. A mátrix egyetlen elemére végezzük el a számításokat, mert a többi nagyon hasonló. e = N u sin θ̃ cos θ̃ − · ru + ·r cos θ sin θ v ! = u sin θ̃ − cos θ ! u sin θ̃ cos θ̃ · ru − · ruu + cos θ sin θ ! · rv + u cos θ̃ ·r = sin θ uv Felhasználva korábbi eredményeinket ((3.10) és (311)): =− cos θ̃ · θ̃u · cos θ − sin θ̃ · (− sin θ) · θu sin θ̃ ·ru − (− tan θ · θu · ru + cot θ · θv · rv + buu · N) + 2 cos θ cos θ + − sin θ̃ · θ̃u · sin θ − cos θ̃ · cos θ · θu cos θ̃ · rv + (− tan θ · θv · ru + cot θ · θu · rv ) = 2 sin θ sin θ Itt néhány tag kiesik, a maradékot pedig csoportosítva = cos θ̃ · θ̃u · cos

θ cos θ̃ sin θ · θv − − cos2 θ sin θ cos θ ! · ru + 32 sin θ̃ cos θ · θv sin θ̃ · θ̃u · sin θ − − cos θ sin θ sin2 θ ! · rv + http://www.doksihu   sin θ̃ cos θ̃  sin θ̃  sin θ cos θ · N = − θ̃u + θv ·r − θ̃u + θv ·r + sin θ̃ sin θ · N . + cos θ cos θ | {z } u sin θ | {z } v sin θ̃ cos θ sin θ̃ cos θ Megint korábbiak (3.13) behelyettesítésével folytathatjuk D e r̃ , N u E u = D cos2 θ̃ · ru + cos θ̃ sin θ̃ cot θ · rv − sin θ cos θ̃ · N, E − cos θ̃ sin θ̃ · ru − sin2 θ̃ cot θ · rv + sin θ̃ sin θ · N = = − cos3 θ̃ sin θ̃ cos2 θ − sin3 θ̃ cos θ̃ cot2 θ sin2 θ − sin θ̃ cos θ̃ sin2 θ =
= − cos2 θ sin θ̃ cos θ̃(cos2 θ̃ + sin2 θ̃) − sin2 θ sin θ̃ cos θ̃ = − sin θ̃ cos θ̃ . A második alapforma mátrixa tehát a következ®:  Be =  − sin θ̃ cos θ̃ 0 . 0 sin θ̃ cos θ̃ Azért volt érdemes ezeket kiszámolni,

mert így az is látszik, hogy a Bianchi-transzformáció aszimptotikus vonalakat aszimptotikus vonalakba visz, és persze görbületi vonalak is görbületi vonalakba mennek. Így, ha szép paraméterezést választunk az egyik felületen, akkor a másikon is hasonlót kapunk. 3.12 Megjegyzés: Ne feledjük, hogy θ̃-ot egy parciális dierenciálegyenlet-rendszer megoldásaként deniáltuk, és mint ilyen, nem egyértelm¶. Értéke tetsz®legesen el®írható egy (u0 , v0 ) ∈ Ω pontban (kezdeti feltétel). 3.13 Megjegyzés: További említésre méltó észrevétel, hogy a fenti (312) parciális dierenciálegyenlet-rendszer θ -ban és θ̃ -ban szimmetrikus, azaz ha θ -ra szeretnénk megoldani, akkor az integrálhatóság feltétele a θ̃ -ra vonatkozó sine-Gordon-egyenlet. Mindezek is- meretében már nyugodtan mondhatjuk r-re és r̃-ra, hogy egymás Bianchi-transzformáltjai. 3.2 A pszeudoszféra, mint Bianchi-transzformált Miel®tt rátérnénk a

Bäcklund-transzformáció tárgyalására, nézzük meg a Bianchi-transzformáció használatát egy példán keresztül. Veszünk egy szinguláris paraméterezést, amit akár állandó −1 görbület¶nek is tekinthetünk, és meglep® módon az fog kiderülni, hogy Bianchi-transzformációval megkaphatjuk a pszeudoszférát. Legyen r(u, v) = (0, 0, u).   1 0 Ehhez az elfajuló felülethez tartozó G = els® alapforma-mátrix, cos θ = 1 illetve 0 0  2 cos θ 0 sin θ = 0-val, a megszokott G = alaknak éppen megfelel. Írjuk hát fel a 0 sin2 θ Bianchi-transzformált θ̃ szögfüggvényére a (3.12) parciális dierenciálegyenlet-rendszert: θ̃u = sin θ̃ és 33 θ̃v = 0 . http://www.doksihu Az els® egyenlet pár (korábban már látott) ügyes fogással kiintegrálható: 1 · θ̃u = 1 sin θ̃ 1 ⇔ 2 sin 2θ̃ cos 2θ̃ · θ̃u = 1 ⇔ 1 tan 2θ̃ · 1 cos2 2θ̃ · 1 · θ̃u = 1 . 2 (3.14) θ̃ -vel b®vítettünk. Itt viszont már éppen a

láncszabály szerint 2 követik egymást a deriváltak, így könny¶ látni mi lesz a primitív függvény, tehát integráljuk Utóbbi lépésben csak cos mindkét oldalt u szerint: log tan θ̃ =u+c . 2 Az integrációs konstans különböz® értékeihez tartozó felületek egymás eltoltjai, ezért csak a c = 0 esettel foglalkozunk. A 2.23 lemma szerint érdekes összefüggés van θ̃ szokásos szögfüggvényei és u hiperbolikus szögfüggvényei között: cosh u = 1 sin θ̃ tanh u = − cos θ̃ . Mivel r képe egydimenziós, ha szigorúan vesszük, akkor nem létezik mozgó bázis a szokásos r r N r u v v , és nem nem feszítik ki a három dimenziós teret, hiszen cos θ sin θ sin θ rv értelmes. Viszont így szabadon kijelölhetünk a felület minden pontjában helyett egy sin θ (v -t®l függ®) értéket úgy, hogy mer®leges legyen ru = (0, 0, 1)-re. (cos v, sin v, 0) megfelel® értelemben, azaz lesz. 10 A korábban látott (3.8)

el®állításból kapjuk a Bianchi-transzformáltra a következ®t: r̃(u, v) = r(u, v) + cos θ̃ · (0, 0, 1) + sin θ̃ · (cos v, sin v, 0) = 1 = (0, 0, u) − tanh u · (0, 0, 1) + · (cos v, sin v, 0) = cosh u   cos v sin v = , , u − tanh u , cosh u cosh u ami éppen a pszeudoszféra szokásos görbületi vonalak menti paraméterezése. 3.3 A Bäcklund-transzformált 3.31 Deníció: Legyen r : Ω R3 állandó −1 görbület¶ felület, r̃ : Ω R3 egy másik felület. Azt mondjuk, hogy r̃ az r-nek σ hajlásszög¶ Bäcklund-transzformált ja, ha 1. ||r̃(u, v) − r(u, v)|| ≡ cos σ , 2. r̃(u, v) − r(u, v) érinti r-et r(u, v)-ben és r̃-ot r̃(u, v)-ben, 3. e és N szöge π − σ . N 2 10 Ekkor N = (− sin v, cos v, 0) ortonormált bázissá egészíti ki ®ket, de erre nem lesz szükségünk. 34 http://www.doksihu Ugyanazokat a lépcs®ket fogjuk végigjárni, mint a Bianchi-transzformációnál (σ = 0), csak nem akkora részletességgel.

Legyen az r paraméterezés olyan, hogy ru és rv f®irányok r r u és v ortonormált bázis az érint®síkban. A 2 tulajdonság szerint r̃(u, v)−r(u, v) cos θ sin θ felírható ebben a bázisban: Ekkor r̃ − r = cos σ  cos θ̃ · ru cos θ + sin θ̃ · rv  sin θ . (3.15) A cos σ konstans szorzó az 1. tulajdonság teljesüléséhez kell Itt θ̃ a Bäcklund-transzformáció e (u, v) is 2. tulajdonságból még az is következik, hogy N(u, v) és N e az N 90◦ -os mer®leges r̃(u, v) − r(u, v)-re. A Bianchi-transzformációnál láttuk, hogy N szögfüggvénye. A elforgatottja, így felírható r érint®síkjának ru cos θ , rv sin θ bázisában. Itt annyi a különbség, e (u, v)-t vissza kell forgatni σ -val r̃(u, v) − r(u, v) körül11 , hogy hogy az ott megkapott N r r u v , párt kiegészítjük cos θ sin θ az r normálisával a tér ortonormált bázisává, a következ®képp fejezhetjük ki a Bäcklund- megkapjuk a

Bäcklund-transzformált normálisát. Így, ha az -transzformált normálisát ((3.9)-et felhasználva):  e N = cos σ − sin θ̃ · Itt is megnézzük mi adódik az r̃u = ru + cos σ ru cos θ + cos θ̃ · rv sin θ  + sin σ · N . e ⊥ r̃ és N e ⊥ r̃ feltételekb®l. N u v cos θ̃ cos θ ! u cos θ̃ · ru + ·r + cos θ uu sin θ̃ sin θ ! u sin θ̃ · rv + ·r sin θ uv ! . Ehhez kellenek a második parciális deriváltak, amiket már korábban kiszámoltunk ((3.10) és (3.11)): ruu = − tan θ · θu · ru + cot θ · θv · rv − sin θ cos θ · N, ruv = − tan θ · θv · ru + cot θ · θu · rv . A számolást ismét nem részletezve, adódik a következ®: "  sin θ̃  θ̃u + θv r̃u = 1 − cos σ cos θ # "  cos θ̃  θ̃u + θv ru + cos σ sin θ # h i rv − cos σ sin θ cos θ̃ N . Hasonlóan: "  sin θ̃  r̃v = − cos σ θ̃v + θu cos θ # " # h i  cos θ̃  ru + 1 + cos σ θu

+ θ̃v rv + cos σ sin θ̃ cos θ N . sin θ e ⊥ r̃ -ból illetve N e ⊥ r̃ -b®l: N u v E      2 2 e 0 = N , r̃u = cos σ − sin θ̃ cos θ + cos σ sin θ̃ + cos θ̃ θ̃u + θv − sin σ sin θ cos θ̃ , D 11 Valójában ez egy csavarmozgás: a Bianchi-transzformáltnál szerepl®, egységhosszú r̃(u, v) − r(u, v) N mentén az (ugyancsak a Bianchi-transzformáltnál szerepl®) e (u, v) normális vektort visszatoljuk 1 − cos σ -val, és közben elforgatjuk körülötte σ -val, hogy megkapjuk a Bäcklund-transzformált normálisát. 35 http://www.doksihu 0= D e , r̃ = cos σ cos σ sin2 θ̃ + cos2 θ̃ N v E      θu + θ̃v + cos θ̃ sin θ + sin σ sin θ̃ cos θ . Ha feltesszük, hogy r̃ különböz® r-t®l, azaz σ 6= π , akkor cos σ 6= 0, és így oszthatunk vele: 2 sin θ̃ cos θ + sin σ cos θ̃ sin θ , cos σ cos θ̃ sin θ + sin σ sin θ̃ cos θ θu + θ̃v = − . cos σ θ̃u + θv = (3.16) Ez a rendszer is

pontosan akkor oldható meg, ha Frobenius tételének feltétele ( θ̃uv = θ̃vu ) teljesül, ami megint a θ -ra felírt sine-Gordon-egyenlet lesz. Hogy lássuk, valóban nem e egy elemét kiszámoljuk: nehéz, ellenben hosszú számolásokat hagyunk ki, G ! sin θ̃ sin θ̃ cos θ + sin σ cos θ̃ sin θ r̃u = 1 − cos σ · ru + cos θ cos σ ! cos θ̃ sin θ̃ cos θ + sin σ cos θ̃ sin θ + cos σ · rv − cos σ sin θ cos θ̃ N = sin θ cos σ   i h  = cos θ̃ cos θ̃ − sin σ sin θ̃ tan θ ru + sin θ̃ cot θ + sin σ cos θ̃ rv − cos σ sin θ N . "   2 hr̃u , r̃u i = cos θ̃ cos2 θ̃ − 2 sin σ tan θ sin θ̃ cos θ̃ + sin2 σ sin2 θ̃ tan2 θ cos2 θ+  #  + sin2 θ̃ cot2 θ + 2 sin θ̃ cos θ̃ cot θ sin σ + sin2 σ cos2 θ̃ sin2 θ + cos2 σ sin2 θ = " = cos2 θ̃       cos2 θ̃ + sin2 θ̃ cos2 θ + sin2 θ sin2 σ sin2 θ̃ + cos2 θ̃ + cos2 σ − # −2 sin σ sin θ cos θ sin θ̃ cos θ̃ + 2 sin

θ̃ cos θ̃ cos θ sin θ sin σ = cos2 θ̃ . ⇒ Ge =  2  cos θ̃ 0 . 0 sin2 θ̃ Ahhoz, hogy lássuk, hogy a Bäcklund-transzformáció is állandó negatív göbület¶ felületet ugyanilyen görbület¶be visz, megint kell a sine-Gordon-egyenlet teljesülése θ̃ -ra (ez éppen (3.16) integrálhatósági feltétele θ -ra nézve) Természetesen ez most is teljesül A Bäcklund-transzformáció θ̃ szögfüggvénye lesz az új felületen az aszimptotikus és görbületi vonalak hajlásszöge. Igaz továbbá, hogy aszimptotikus vonalak aszimptotikus vonalakba mennek, görbületi vonalak meg görbületi vonalakba. Most nézzünk meg egy alkalmazást! 36 http://www.doksihu 3.4 A Dini-felület, mint Bäcklund-transzformált Tekintsük a már korábban is látott szinguláris felületet: r(u, v) = (0, 0, u) . Mozgó (ortonormált) bázisnak a 3.2-ben látott (0, 0, 1), (cos v, sin v, 0) és (− sin v, cos v, 0) hármas itt is megfelel. θ -t 0-nak tekintve cos θ = 1 és

sin θ = 0 Ekkor r(u, v) σ hajlásszög¶ Bäcklund-transzformáltjának θ̃ szögfüggvénye (3.16) alapján kielégíti a következ® parciális dierenciálegyenlet-rendszert: sin θ̃ cos σ θ̃u = θ̃v = − és sin σ sin θ̃ . cos σ (3.14)-b®l láthatjuk, hogy θ̃ log tan 2 ! u 1 = cos σ θ̃ log tan 2 !   és =− sin σ . cos σ dv = du − sin σ dv . cos σ v Dierenciális írásmód segítségével: d log tan θ̃ 2 ! ∂  = log tan 2θ̃  ∂ du + ∂u log tan 2θ̃ ∂v Integrálva:  θ̃ u − v sin σ log tan = +c 2 cos σ =⇒ θ̃ = 2 arctan exp  u − v sin σ +c , cos σ ahol c integrációs konstans. A kés®bbiek folyamán err®l általában feltesszük, hogy 0 A 2.23 lemma szerint:  cos θ̃ = − tanh u − v sin σ cos σ  és 1 sin θ̃ = cosh u − v sin σ cos σ !. Most már minden további nélkül felírhatjuk r(u, v) σ hajlásszög¶ Bäcklund-transzformáltját:   r̃(u, v) = r(u,

v) + cos σ cos θ̃ · (0, 0, 1) + sin θ̃ · (cos v, sin v, 0) =     =   cos σ cos v cosh u − v sin σ cos σ  cos σ sin v !, cosh u − v sin σ cos σ ! , u − cos σ tanh Ez a Dini-felület f®görbületi paraméterezése. 37 u − v sin σ cos σ   .   (3.17) http://www.doksihu 9. ábra Ugyanannak a paraméterezésnek (σ = π ) kétféle reprezentációja 20 3.41 Megjegyzés: Dini felületét a pszeudoszférához hasonlóan, nem a Bäcklund-transzformáció segítségével szokták deniálni A szokásos meghatározás a következ®: vegyünk egy traktrixot, és forgassuk az aszimptotája körül, miközben el is toljuk amentén úgy, hogy az eltolás és a forgatás sebességének aránya állandó. Ezt csavarmozgásnak szokták hívni A traktrix 2.22-ben látott klasszikus paraméterezését használva a következ®höz jutunk:  r̂(û, v̂) =  û sin û cos v̂, sin û sin v̂, cos û + log tan 2   +

bv̂ û sin σ = u−v 2 cos σ és v̂ = v helyettesítés adja a két felület közötti átjárást (mellesleg b = tan σ adódik). Így azt Ha ezt megszorozzuk cos σ -val, akkor (a 2.23 lemma és) az értelemszer¶ log tan is láthatjuk, hogy a szokásos paraméterezésre való áttérésnél az 1.2 fejezet elején látottak 1 szerint ( ) konstans szorzóval módosul a görbület, így az továbbra is állandó és negatív cos2 σ marad. 3.5 Bäcklund-transzformáció aszimptotikus koordinátákkal Most a Bäcklund-transzformált (3.16) egyenletrendszerét egy kés®bb jobban használható alakra hozzuk. Nyilván ekvivalens egyenletrendszerhez jutunk, ha vesszük a két egyenlet 38 http://www.doksihu összegét illetve különbségét:         (1 − sin σ) sin θ̃ cos θ + (sin σ − 1) cos θ̃ sin θ θ̃u + θv + θ̃v + θu = cos σ  (1 − sin σ) sin θ̃ cos θ − cos θ̃ sin θ =    1 − sin σ · sin θ̃ − θ , cos σ cos σ 

     (1 + sin σ) sin θ̃ cos θ + cos θ̃ sin θ   1 + sin σ θ̃u + θv − θ̃v + θu = = · sin θ̃ + θ . cos σ cos σ = = Az átláthatóság kedvéért áttérünk egy rövid id®re a dierenciáloperátorok használatára. Így az új rendszer:  ∂ ∂ + ∂u ∂v     1 − sin σ   θ̃ + θ = (∂1 + ∂2 ) θ̃ + θ = · sin θ̃ − θ , cos σ  ∂ ∂ − ∂u ∂v    1 + sin σ   θ̃ − θ = (∂1 − ∂2 ) θ̃ − θ = · sin θ̃ + θ . cos σ  ω(u,v) A 2.1 fejezetb®l tudjuk, hogy θ(u + v, u − v) = . Jelölje ϕ az (u, v) 7 (u + v, u − v) 2 ω(u,v) leképezést! Ezzel a jelöléssel (θ ◦ ϕ)(u, v) = . 2   1 1 0 ∂1 ω(u, v) = ∂1 (θ ◦ ϕ)(u, v) = θ (ϕ(u, v)) · ∂1 ϕ(u, v) = (∂1 θ(ϕ(u, v)), ∂2 θ(ϕ(u, v))) · = 1 2 = (∂1 + ∂2 ) θ(u + v, u − v). Hasonlóan 1 ∂2 ω(u, v) = (∂1 − ∂2 ) θ(u + v, u − v). 2 Így már írhatjuk, hogy    1 − sin σ ω e−ω ω e+ω = · sin , 2

cos σ 2 u     ω e−ω 1 + sin σ ω e+ω = · sin . 2 cos σ 2 v  Tehát ez a Bäcklund-transzformáció egyenletrendszere aszimptotikus vonalak menti paraméterezés esetén. Azért lesz ez igazán hasznos, mert itt egyenletenként csak egyféle parciális deriválás szerepel Ennek megoldhatóságát ismét a sine-Gordon-egyenlet teljesülése biztosítja: ωuv = sin ω . Vegyük észre, hogy az egyenletek jobb oldalán lev® konstans együtthatók szorzata 1. Ennek a ténynek egy kis geometriai tartalmat adva, illetve a kés®bbiek érdekében végrehajtunk 39 http://www.doksihu egy kis csinosítást a fenti rendszeren. Legyen ζ = deníciója szerint, az π − σ , azaz, a Bäcklund-transzformáció 2 e által közrezárt szög. Ekkor N és N sin2 ζ2 + cos2 ζ2 + cos2 ζ2 − sin2 ζ2 1 + sin σ 1 + cos ζ ζ = = = cot . ζ ζ cos σ sin ζ 2 2 sin 2 cos 2 Bevezetve a β = cot ζ jelölést, a fenti egyenletrendszer a következ® alakra redukálódik: 2   

1 ω e−ω ω e+ω = · sin , 2 β 2 u     ω e−ω ω e+ω = β · sin . 2 2 v  Bβ (3.18) Bβ -val mostantól azt a leképezést fogjuk jelölni, mely a sine-Gordon-egyenlet egy ω megoldásához hozzárendeli a bekeretezett parciális dierenciálegyenlet-rendszer ω e megoldását, mely tehát ismét a sine-Gordon-egyenlet megoldása lesz. Érdemes itt (újból) hangsú- lyoznunk, hogy ω e nem egyértelm¶: egy (u0 , v0 ) ∈ Ω pontban az értéke tetsz®legesen megad- ható. Ezért Bβ egy többérték¶ hozzárendelés, és nem egy függvény Bβ (ω)-ra is azt fogjuk π − ζ hajlásszög¶ Bäcklund-transzformáltja.12 Ez nem okoz mondani, hogy az ω σ = 2 félreértést, mert a konstans −1 görbület¶ felületek egy-egyértelm¶ megfeleltetésben állnak ζ π esetén β = cot = cot π4 = 1, aszimptotikus vonalaik szögfüggvényével. σ = 0, azaz ζ = 2 2 ezért B1 a Bianchi-transzformált. A sine-Gordon-egyenlet egy már megtalált megoldásából

újabbat kaphatunk egy másik módszerrel is, melyet Lie-transzformáció nak nevezünk, és Lβ -val jelölünk:     u , βv . Lβ (ω) (u, v) = ω β Ez igazából egy egyszer¶ átparaméterezés. 3.51 Állítás: Legyen ω a sine-Gordon-egyenlet megoldása Ekkor Lβ (ω) is kielégíti a sine-Gordon-egyenletet.   ψ a helyettesít® függvényt, azaz ψ(u, v) := βu , βv . Azt kell megmutatnunk, hogy ω ◦ ψ -re is igaz a sine-Gordon-egyenlet   1 1 0 ∂1 (ω ◦ ψ) = (ω ◦ ψ) · ∂1 ψ = ∂1 ω ◦ ψ, ∂2 ω ◦ ψ · β = · (∂1 ω ◦ ψ) , 0 β 1    0 1 ∂2 ∂1 (ω ◦ ψ) = ∂2 · (∂1 ω ◦ ψ) = β · ∂1 ∂1 ω ◦ ψ, ∂2 ∂1 ω ◦ ψ · = · β ∂2 ∂1 ω ◦ ψ . β β β Bizonyítás: Jelölje De ∂2 ∂1 ω = sin ω miatt ∂2 ∂1 (ω ◦ ψ) = sin(ω ◦ ψ), tehát készen vagyunk.  12 Persze ha a felépítésünket innen kezdtük volna, akkor nyilván ζ hajlásszögr®l beszélnénk. Ezen kívül csak az 1.

tulajdonságot kéne értelemszer¶en módosítani ||r̃ − r|| ≡ sin ζ -ra 40 http://www.doksihu 3.52 Állítás: (Lie) A β paraméter¶ Bäcklund-transzformált el®áll, mint a Bianchi-transzformált β paraméter¶ Lie-transzformációval vett konjugáltja Azaz Bβ = L−1 β B1 Lβ .   u , βv jelölést! B1 (ω) (û, v̂) a következ® rendszer Bizonyítás: Vezessük be az (û, v̂) = β megoldása 13 ω e -ra:     ω e (û, v̂) + ω (û, v̂) ω e (û, v̂) − ω (û, v̂)   = sin  2 2 û     B1 Lβ (ω)(u, v). ω e (û, v̂) − ω (û, v̂) ω e (û, v̂) + ω (û, v̂)    = sin 2 2 v̂ Általánosságban igaz, hogy f (v̂) − f (v̂0 ) f (βv) − f (βv0 ) 1 f (βv) − f (βv0 ) = lim = lim , v̂v̂0 βvβv0 v̂ − v̂0 βv − βv0 β vv0 v − v0 lim így a v̂ szerinti deriválásnál kiemelhetünk 1 -t, és v szerinti deriváláshoz jutunk. Az u β szerintinél hasonlóan járunk el β kiemelésével.

Átszorzással adódik tehát a következ®:           u u ω e βu , βv + ω βu , βv ω e , βv − ω , βv β β   = 1 · sin  , 2 β 2    u        u u u u ω e β , βv + ω β , βv ω e β , βv − ω β , βv  = β · sin  .  2 2 v −1 S minthogy Lβ éppen az (u, v)  βu, βv  helyettesítés, így nyilván a Bβ (3.18) egyenlet-  rendszeréhez jutunk. 3.6 Bianchi felcserélhet®ségi tétele Tegyük fel, hogy ω a sine-Gordon-egyenlet egy (kezdeti) megoldása. Vegyük ennek egy β1 paraméter¶ Bäcklund-transzformáltját, majd egy β2 paraméter¶t Azaz legyen ω1 ∈ Bβ1 (ω), illetve ω2 ∈ Bβ2 (ω). Ezen kívül legyen ω12 ∈ ∈ Bβ2 (ω1 ) és ω21 ∈ Bβ1 (ω2 ). A szituációt az úgynevezett Bianchi-diagrammal lehet szemléltetni (10. ábra) Fel- vet®dik a természetes kérdés, hogy vajon mikor teljesülhet az ω12 = ω21 kommutativitási reláció. A válasz igen 10. ábra

Bianchi-diagram meglep®: mindig lehet ilyen megoldást találni. 13 Megoldáshalmaz lenne a pontos kifejezés, de a bizonyítás lényegén ez most nem változtat. 41 http://www.doksihu 3.61 Tétel: (Bianchi felcserélhet®ségi tétele) Ha ω1 ∈ Bβ1 (ω) és ω2 ∈ Bβ2 (ω), akkor a sine-Gordon-egyenlet tetsz®leges ω megoldásához létezik Ω ∈ Bβ2 (ω1 ) ∩ Bβ1 (ω2 ), ami a következ®képp adható meg:  Ω = ω + 4 arctan β1 + β2 ω1 − ω2 tan β1 − β2 4  . (3.19) Bizonyítás: Szorítkozzunk el®ször a (3.18) Bäcklund-transzformáció második egyenletére Ekkor a következ®ket kapjuk:   ω1 + ω ω1,v = ωv + 2β1 · sin , 2   ω2 + ω ω2,v = ωv + 2β2 · sin , 2   ω12 + ω1 ω12,v = ω1,v + 2β2 · sin , 2   ω21 + ω2 ω21,v = ω2,v + 2β1 · sin . 2 (3.20) El®ször tegyük fel, hogy ω12 = ω21 = Ω. Ha az els® két egyenlet különbségét hozzáadjuk a második két egyenlet különbségéhez, akkor a következ®t

kapjuk:           Ω + ω2 ω2 + ω ω1 + ω Ω + ω1 0 = 2β1 sin − sin + 2β2 sin − sin . 2 2 2 2 Szinuszok különbségét általában ki lehet fejteni az addíciós formula segítségével:  sin x−sin y = sin        x+y x−y x+y x−y x+y x−y + −sin − = 2 cos sin . 2 2 2 2 2 2 Ennek felhasználásával az el®bbi egyenlet:     ω1 + ω + Ω + ω2 ω1 + ω − Ω − ω2 0 = 4β1 cos sin + 4 4     Ω + ω1 + ω2 + ω Ω + ω1 − ω2 − ω + 4β2 cos sin . 4 4 Leosztva 4-gyel és a cos-os tényez®t kiemelve:  0 = cos Ω + ω1 + ω2 + ω 4       ω1 − ω 2 Ω − ω Ω − ω ω 1 − ω2 · β1 sin − + β2 sin + . 4 4 4 4 Ennek az egyenletnek a teljesülése tehát szükséges ahhoz, hogy ω12 = ω21 = Ω fennálljon. Ez pedig nyilván igaz, ha a második tényez® nulla:  0 = β1 sin ω 1 − ω2 Ω − ω − 4 4   + β2 sin 42 Ω − ω ω1 − ω2 + 4 4  , http://www.doksihu       

  ω1 − ω 2 Ω−ω Ω−ω ω1 − ω2 0 = β1 sin cos − sin cos + 4 4 4 4          Ω−ω ω1 − ω2 ω 1 − ω2 Ω−ω + β2 sin cos + sin cos , 4 4 4 4         Ω−ω ω1 − ω2 ω 1 − ω2 Ω−ω (β1 − β2 ) sin cos = (β1 + β2 ) sin cos . 4 4 4 4 Mivel β1 = β2 esetén az állítás triviális, így nyugodtan feltehetjük, hogy β1 6= β2 . Ekkor    β1 + β2 ω1 − ω2 tan = tan , β1 − β2 4    ω1 − ω2 β1 + β2 tan Ω = ω + 4 arctan . β1 − β2 4 Ω−ω 4  (3.21) Tehát a kommutativitási reláció fennállásának el®bb említett szükséges feltételét ez kielégíti. Be kéne látnunk, hogy ez valóban megoldása a fenti (3.20) rendszernek, illetve az u-val felírt ugyanilyen rendszernek. Ezt úgy fogjuk megtenni, hogy Ω-t behelyettesítjük a (320) rendszer harmadik egyenletébe, és az els® két egyenlet felhasználásával megmutatjuk, hogy teljesül az egyenl®ség. Ugyanezt kellene

eljátszanunk a negyedik egyenletre is, meg az u-val felírt rendszerre is, de a hasonlóság miatt ezekt®l eltekintünk. Essünk hát neki a számolásnak! ? Ωv = ω1,v + 2β2 · sin  Ω + ω1 2  . El®ször elvégezzük a bal oldalon lév® deriválást: 1 Ωv = ωv + 4 · 1+  β1 +β2 tan β1 −β2 β1 + β2 1 ω − ω2,v
· 1,v · . 2 · ω1 −ω2
2 β1 − β2 cos 4 ω1 −ω2 4 4 Mivel itt megjelent (3.21) jobb oldala, így a kérdéses egyenl®ség jobb oldalára olyan alakot
Ω−ω próbálunk majd ráer®ltetni, melyben tan szerepel. Alakítgassuk hát a jobb oldalt! 4 ω1,v helyére beírhatjuk (3.20) els® egyenletét, és egy apró trükköt is bevetünk:    Ω − ω + ω + ω1 ω1 + ω + 2β2 · sin = ωv + 2β1 · sin 2 2            ω1 + ω Ω−ω ω + ω1 Ω−ω ω + ω1 ∗ ωv +2β1 ·sin +2β2 · sin cos + cos sin = 2 2 2 2 2  Könnyen ellen®rizhet® a következ® két általánosan igaz azonosság: sin x = 2

tan x2 , 1 + tan2 x2 cos x = 43 1 − tan2 x2 . 1 + tan2 x2 http://www.doksihu Ezeket az Ω−ω argumentumú sin-ra és cos-ra alkalmazva: 2 1 − tan2 ∗ = ωv + 2 β1 + β2 · 1 + tan2
! Ω−ω 4
Ω−ω 4  sin ω1 + ω 2 
  2 tan Ω−ω ω + ω1 4
cos + 2β2 · . 2 1 + tan2 Ω−ω 4 Itt (3.21) jobb oldalát beírhatjuk a megfelel® helyekre, majd visszatérhetünk a kérdéses ωv nyilván kiesik, a bal oldalon pedig 4-gyel egyszer¶síthetünk. 
 2 β1 +β2 ω1 −ω2 tan Szorozzuk mindkét oldalt 1 + -nel, így β1 −β2 4 egyenl®ség vizsgálatára. "   2 ! β1 + β2 ω1 − ω2 β1 + β2 ω1,v − ω2,v ?
= 2 β1 1 + · tan + 2 β1 − β2 cos2 ω1 −ω β1 − β2 4 4  2 !#    ω1 − ω 2 ω1 + ω β1 + β2 tan sin + + β2 1 − β1 − β2 4 2     β1 + β2 ω1 − ω2 ω + ω1 + 2β2 · 2 tan cos . β1 − β2 4 2

ω2 +ω ω1 +ω −2β sin A bal oldalon ω1,v −ω2,v helyére (3.20) els® két egyenlete

szerint 2β1 sin 2 2 2
2 ω1 −ω2 -gyel: kerül. Az egyenlet mindkét oldalát leoszthatjuk 2-vel, és szorozzuk cos 4      β1 + β2 ω1 + ω ω2 + ω ? = · β1 sin − β2 sin β1 − β2 2 2    2 !    ω1 − ω 2 β1 + β2 ω1 + ω ω1 − ω2 ? 2 2 = (β1 + β2 ) cos + (β1 − β2 ) sin sin + 4 β1 − β2 4 2       ω + ω1 ω1 − ω2 ω 1 − ω2 β1 + β2 cos +β2 2 sin cos . β1 − β2 4 4 2 | {z } ω −ω sin( 1 2 2 ) Osszuk le mindkét oldalt (β1 + β2 )-vel, és szorozzuk (β1 − β2 )-vel, aztán rendezzük egy
ω1 +ω oldalra a sin -t tartalmazó tagokat: 2  −β2 sin ω2 + ω 2 ? =         ω1 − ω 2 ω1 − ω 2 ω1 + ω 2 2 (β1 − β2 ) 1 − sin + (β1 + β2 ) sin − β1 sin + 4 4 2     ω1 − ω 2 ω + ω1 +β2 sin cos . 2 2
ω1 +ω Alakítsunk egy kicsit sin együtthatóján! Beszorzás és egyszer¶sítések után: 2          ω 1 − ω2 ω1 − ω2 ω1 − ω 2 ω1 − ω2 2 2 2 2 −β2 +2β2

sin = −β2 sin + cos − 2 sin = 4 4 4 4 ? =   44 http://www.doksihu        ω1 − ω 2 ω1 − ω2 ω 1 − ω2 2 2 = −β2 cos − sin = −β2 cos . 4 4 2 A kérdéses egyenlet mindkét oldalát −β2 -vel osztva:  sin ω2 + ω 2  ? = sin  ω1 + ω 2   cos ω1 − ω2 2   − cos ω + ω1 2   sin ω1 − ω 2 2  . Err®l pedig látható, hogy igaz, tehát Ω valóban megoldás.  Ekkor tehát a Bianchi-diagram jobb oldalát bezárhatjuk (11. ábra) S®t a felcserélhet®ségi tétel ismételt alkalmazásaival úgynevezett Bianchi hálóhoz juthatunk Vegyük észre, hogy amennyiben ismerünk egy kezdeti ω megoldást, a tétel -egyenlet illetve algebrai új ezek ω1 , ω2 gépezetet biztosít megoldásaiból készített transzformáltjait, a sine-Gordon- végtelen sorozat 11. ábra Kommutatív Bianchi- létrehozására. -diagram meg-oldása nélkül kaphatjuk újabb megoldásait egy dif- Magyarul, bármiféle

dierenciálegyenlet ferenciálegyenletnek. 3.7 Szolitonok A szoliton elnevezés az angol solitary wave kifejezésb®l származik, ami magányos hullámot jelent. Szolitonok, bizonyos nemlineáris parciális dierenciálegyenletek megoldásaiként nyerhet®k, melyeknek egyik változóját id®nek tekintjük. Úgy kell elképzelni ®ket, mint egy magányos, konstans sebességgel utazó, a formáját mindvégig meg®rz® hullám, mely a két végtelenben 14 gyorsan tart valamilyen konstanshoz (általában 0-hoz). Ugyan nincs általánosan elfogadott precíz deníció rájuk, de elég jól megfogja egy szoliton-megoldás jellemz®it a következ® három tulajdonság: • Alakját egész id® alatt megtartja. • Lokalizált, azaz (minden egyes id®pillanatban) egy adott területen kívül aszimptotikusan konstans. • Keresztül tud menni más szolitonokon úgy, hogy az ütközés után visszanyeri eredeti alakját, s fáziseltolódással folytatja útját. Lineáris

parciális dierenciálegyenlet-rendszerek megoldásairól tudjuk, hogy bármely lineáris kombinációjuk, speciálisan az összegük is megoldás lesz. Ezt a megoldások szuperpozíciójának nevezzük Ilyesmit nem várhatunk nemlineáris egyenletekt®l, de a harmadik tulajdonság éppen egy ilyesfajta nemlineáris szuperpozíciós elvet fogalmaz meg. Általában 14 A klasszikus szoliton-megoldásokat a számegyenesen értelmezik, de vannak ma már többdimenziós megfelel®ik is, amikor nem lehet két végtelenr®l beszélni. 45 http://www.doksihu ezek az utazó hullámok f (x − ct) alakúak, ahol f egy gyorsan lecseng® (sima) függvény, c valamilyen konstans, x a tér- és t az id®változó. n-szoliton megoldásnak egy olyan megoldást nevezünk, mely t −∞ esetén n db n P szoliton megoldás nemtriviális fi (x − ci t) összegéhez tart, míg t ∞ esetén ugyanezen i=1 hullámok valamilyen ri fáziseltolódással vett összegéhez: n P fi (x − ci t + ri ).

Ez éppen a i=1 harmadik tulajdonság formalizálása. Az ok, amiért elkezdtünk szolitonokkal foglalkozni az az, hogy a sine-Gordon-egyenletnek is vannak szoliton-megoldásai. Az igazság az, hogy már meg is találtunk néhányat A triviális (azonosan 0) megoldásból kiindulva Bäcklund-transzformációval kaptuk a  θ = 2 arctan exp x − t sin σ cos σ  (3.22) megoldást, mely a Dini-felület (speciálisan a pszeudoszféra) megkonstruálását tette lehet®vé. Az el®z® fejezetben bizonyított Bianchi permutációs tétel pedig épp a nemlineáris szuperpozíciós elv, mely n-szoliton megoldások generálására alkalmas. Π 1 Π 2 -5 -5 5 5 Π 1 Π 2 -5 -5 5 5 Π 1 Π 2 -5 -5 5 5 Π 1 Π 2 -5 -5 5 5 A bal oldali ábrasorozaton az el®bbi (3.22) 1-szoliton megoldást ábrázoltuk különböz® t id®pillanatokban (t = −5, 0, 5, 10), aminek láthatóan nincs meg a hullámoktól elvárt buckaszer¶ alakja. Ezért rajzoltuk le a jobb oldalon

ugyanennek a függvénynek az x szerinti deriváltját (ugyanazokban az id®pontokban), mely már rendelkezik az elvárt küls®vel 46 http://www.doksihu Az els® ábrasorozatnak az a mögöttes tartalma, hogy ha θ -t, vagy méginkább a kétszeresét, azaz ω -t x-t®l és t-t®l függ® szögnek tekintjük, akkor rögzített t esetén ez egy hengerfelületre rajzolt görbét határoz meg, mely egy ideig a tengellyel párhuzamosan egy meridián mentén halad, majd megkerüli a tengelyt (továbbra is a hengeren haladva), és visszatér arra az egyenesre, amelyiken eredetileg ment. Ha pedig a t-t is elkezdjük változtatni, akkor ez a kunkor fog a tengellyel párhuzamosan el®re mozogni. Magyarul ω egy hengerre rajzolt utazó hullámot határoz meg. 12. ábra   cos θ(x, t), sin θ(x, t), x a t = −5 id®pillanatban A sine-Gordon-egyenletnek vannak triviális megoldásai: ω = ±k · π . Az imént prezentált 1-szoliton pedig az alapmegoldásokat köti össze (most 0-t

2π -vel) Ezeket kunkorodó megoldások nak hívjuk (az elnevezést a 12. ábra motiválja) (angolul: kink ) Úgynevezett visszakunkorodó 1-szolitont kaphatunk, ha x helyébe −x-et írunk (antikink ). Az el®z® fejezetekben csak azért tértünk át aszimptotikus koordinátákra, mert így a szögekre vonatkozó (3.18) Bäcklund-transzformációban egyenletenként csak egyféle parciális deriválás szerepelt, és ennek segítségével tudtuk bizonyítani Bianchi felcserélhet®ségi tételét, vagyis (szolitonok nyelvén) a nemlineáris szuperpozíciós elvet. Ezel®tt viszont f®görbületi koordinátákkal dolgoztunk, és ilyen alakban kaptuk meg a felületek Bäcklund-transzformáltjának (3.15) képletét is Aszimptotikus koordinátákra ezt most nem szeret- 47 http://www.doksihu nénk kiszámolni, ezért a (3.21) szuperpozíciós elvet kell átírnunk θ -kra  tan θ12 − θ 2  β1 + β2 = tan β1 − β2  θ1 − θ2 2  . Célunk: a triviális θ = 0

megoldásból, illetve a (3.22) 1-szolitonból a szuperpozíciós elv segítségével 2-szolitont készíteni. Mivel az el®z® képletben β -kat használtunk, érdemes = π2 − σ -val az eredeti felület normálisának illetve a Bäcklund-transzformált normálisának szögét jelöltük, illetve, hogy cot ζ2 = β . Ekkor a σ -kat felírni β -k segítségével. Emlékeztetünk, hogy ζ sin ζ2 cos ζ2 sin2 ζ2 + cos2 ζ2 1 2 +β = , + = = ζ ζ ζ ζ β sin ζ cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 (3.23) sin ζ2 cos ζ2 sin2 ζ2 − cos2 ζ2 1 2 cos ζ −β = , − = =− ζ ζ ζ ζ β sin ζ cos 2 sin 2 cos 2 sin 2      x − t sin σ x − t cos ζ 1 1 1 = = +β x+ −β t . cos σ sin ζ 2 β β Ha még bevezetjük a 1 χi = 2      1 1 + βi x + − βi t βi βi i = 1, 2 χ χ jelöléseket is, akkor (3.22) szerint θ1 = 2 arctan e 1 és θ2 = 2 arctan e 2 A szuperpozíciós elv felírásához már csak a következ® azonosságra van szükségünk: tan (α1 −

α2 ) = tan α1 − tan α2 . 1 + tan α1 tan α2 Ezzel tehát  tan χ1 +χ2 eχ1 − eχ2 e− 2 = tan (arctan e − arctan e ) = · = 2 1 + eχ1 +χ2 e− χ1 +χ 2
χ1 −χ2 χ1 −χ2 2 sinh χ1 −χ e 2 − e− 2 2
, = χ +χ χ1 +χ2 = χ1 +χ2 − 12 2 cosh +e 2 e 2
! χ −χ β1 + β2 sinh 1 2 2
. =⇒ θ12 = 2 arctan · 2 β1 − β2 cosh χ1 +χ 2 θ1 − θ2 2  χ1 χ2 Sajnos itt nem tudunk animációt megjeleníteni, azonban érdemes megnézni például β1 = 1, β2 = 0.95 választással mi adódik az el®bb is említett hengerfelületre kiraj15 zoltatva . Ehelyett a θ12 -höz tartozó állandó negatív görbület¶ felületet demonstráljuk Ennek paraméterezését (3.15) szerint a következ®képp írhatjuk fel: 2 r12 = r1 + 1 · + β2 β2   cos θ12 sin θ12 ·r + ·r , cos θ1 1,x sin θ1 1,t (3.24) 15 Ez egy tipikus példája a szolitonokat jellemz® 3. tulajdonságnak, ugyanis jól láthatóan az egyik hullám áthalad a másikon

miközben arrébb rakja azt, tehát a fáziseltolódás igen szembet¶n®. 48 http://www.doksihu ahol felhasználtuk, hogy cos σ2 = sin ζ2 , ami (3.23) sze2 rint = 1 . Ezen kívül r1 (a β1 = 1 választás miatt) a +β2 β 2 pszeudoszféra f®görbületi paraméterezése. Az ábrán felületéhez, látható felület amit pszeudoszféra a máltjaként kaphatunk, azaz nagyon hasonlít Bianchi Kuen transzfor- B1 B1 (θ)-ból, ahol θ a tri- viális, azonosan 0 kezdeti megoldást jelöli. Ne feledjük, hogy a szuperpozíciós elvvel csak tartani tudunk Kuen felületéhez, hisz β1 = β2 esetén nullával kéne osztanunk. 3.71 Lélegz®k Ebben a részben azt fogjuk megvizsgálni, hogy mi történik, ha β helyére valamilyen komplex számot írunk. A Bäcklund-transzformáció geometriai bevezetésénél ennek ugyan nincs értelme, de a Bäcklund-transzformált szögfüggvényét meghatározó parciális dierenciálegyenleteknél nyugodtan

próbálkozhatunk komplex test feletti megoldás keresésével. Ezzel csak azt Ilyenre persze nem vetemedünk. akarjuk hangsúlyozni, hogy teljesen értelmes dolog β -nak komplex értéket adni. A felcserél- 13. ábra β1 = 1, β2 = 095 het®ségi tételben szinte csak trigonometrikus azonosságokat használtunk, amik (az unicitás tétel miatt) nyilván fennállnak a komplex test fölött Ebbe β1 és β2 helyére konjugált t-ben periodikus Ω fog adódni, amit lélegz® is, így a (3.19) szuperpozíciós elv is érvényben marad komplex számokat helyettesítve valós, s®t megoldásnak hívnak. Az elnevezés az így kapott hullám viselkedésére utal iα Mi ezt arra a speciális esetre látjuk be, amikor |β1 | = |β2 | = 1, azaz β1 = e és −iα β2 = e valamilyen (valós) α-ra. Az általános eset teljesen hasonló Felhasználva, hogy 1 , kapjuk hogy ekkor β1 = β2 χ1 − χ2 1 = 2 4 = Ugyanígy  1 + β1 β1   − 1 + β2 β2   x+    

1 1 − β1 − − β2 t = β1 β2 1 1 ([(β2 + β1 ) − (β1 + β2 )] x + [(β2 − β1 ) − (β1 − β2 )] t) = (β2 − β1 ) t . 4 2 χ1 + χ2 1 = (β2 + β1 ) x , 2 2 tehát θ12 = 2 arctan
! β −β β1 + β2 sinh 2 2 1 t
. · 1 β1 − β2 cosh β2 +β x 2 49 http://www.doksihu iα Mivel e = cos α + i sin α és e−iα = cos α − i sin α, így  −iα  e − eiα e−it sin α − eit sin α ∗ sinh t = sinh (−i sin α · t) = = 2 2 it sin α itt pedig az el®z®höz teljesen hasonlóan beírhatjuk az e = cos(t sin α) + i sin(t sin α) −it sin α és e = cos(t sin α) − i sin(t sin α) azonosságokat, így ∗ = −i sin(t sin α). Ezen kívül β1 − β2 = 2i sin α és β1 + β2 = 2 cos α . Egyszer¶sítések után, és felhasználva, hogy a tan és így az arctan függvény is páratlan, kapjuk, hogy   cos α sin (sin α · t) θ12 = −2 arctan · . sin α cosh (cos α · x) Ez pedig jól láthatóan valós érték¶, és t-ben

periodikus. Ezt a megoldást stacionárius lélegz® nek hívjuk, mert ahogy az id® telik, nem változtatja a helyét, így (ismét a hengeren szemléltetve) egy egyhelyben hintázó hullámot kapunk. 14. ábra t = 0, 0.6, 22, 35, 43, 53 Nem egységhosszú komplex paraméterekkel is a f®körök mentén periodikusan kileng® hullámhoz jutunk, csak ez közben a henger tengelye mentén konstans sebességgel halad az id® múlásával. 50 http://www.doksihu Zárásként pedig, pusztán szépségük miatt, ábrázolunk néhány lélegz® megoldáshoz tartozó felületet. Ehhez ismét a (324) képletet kell használnunk, annyi módosítással, hogy r1 itt a Dini-felületnél látott (3.17) paraméterezésnek felel meg, komplex hajlásszöggel Átírva ezt a mostani jelöléseinkre:  r1 (x, t) =  2 1 +β1 β1 2 cos t cosh χ1 , 1 +β1 β1 sin t cosh χ1 51  2 tanh χ1  . + β 1 β1 ,x − 1 http://www.doksihu 15. ábra Rendre β1 = 3+4i 4+3i , 5 , 5

√ √ √ 5+2i 2 6+i 3+i 5+12i , , , 13 . 3 5 4 Irodalomjegyzék [1] Csikós Balázs: Dierential Geometry, Lecture Notes for BSM, http://www.cselte hu/geometry/csikos/dif/dif.html [2] Manfredo P. do Carmo: Dierential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, Inc., Englewood Clis, New Jersey, 1976 [3] J. J Stoker: Dierential Geometry, Wiley-Interscience, 1989. Modern Dierential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Chapman & Hall/CRC, imprint of Taylor & [4] Alfred Gray, Elsa Abbena and Simon Salamon: Francis Group, Third edition, 2006. Bäcklund and Darboux Transformations / Geometry and Modern Applications in Soliton Theory, Cambridge University Press (Virtual Publishing), [5] C. Rogers, W K Schief: 2003. [6] Chuu Lian Terng and Karen Uhlenbeck: Geometry of Solitons, Notices of the AMS, pp. http://www.amsorg/notices/200001/fea-terngpdf, vagy http://math.uciedu/~cterng/SGEhtml 17-25, January 2000, [7] C. Rogers, WF Shadwick: Bäcklund

Transformations and Their Applications, Aca- demic Press, 1982. 52