Matematika | Diszkrét Matematika » Dávid Bettina - Egyenletek megoldása Galois előtt

http://www.doksihu Szakdolgozat Fejezetek az algebra történetéb®l Egyenletek megoldása Galois el®tt Készítette: Dávid Bettina Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika BSc Elemz® szakirány Témavezet®: Ágoston István Egyetemi docens Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest 2009 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezet® 3 2. Ókor 5 2.1 Babiloni számírás . 5 2.2 Babiloni algebra . 6 2.3 Az egyiptomi Rhind papirusz . 8 2.4 Óegyiptomi algebra . 8 2.5 Görög újítások . 9 2.6 Görög számírás . 9 2.7 Geometriai algebra . 3. Középkor 10 13 3.1 Kínai matematika és számírás . 13 3.2 Matematika kilenc könyvben .

13 3.3 A kínai algebra virágkora . 17 3.4 A hindu matematika és számírás . 17 3.5 Algebrai számítások, azonosságok . 17 3.6 Els®- és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek . 19 3.7 A kuttaka módszer 20 3.8 A Közel- és Közép-Kelet országainak matematikája 3.9 Hvárizmi algebrája . . 20 . 21 3.10 Abu Kámil algebrája 22 3.11 Harmadfokú egyenletek 22 4. Európai matematika 24 4.1 A harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása . 24 4.2 Racionális gyökteszt . 29 4.3 Tschirnhaus módszere . 30 5. Új szemlélet 35 5.1 Étienne Bézout . 35 5.2 Joseph Louis Lagrange . 37 5.3 Abel-Runi tétel .

38 6. Életrajzok 40 2 http://www.doksihu 1. Az Bevezet® algebra arab eredet¶ szó. Az al-dzsabr szó latin fordításából ered, melynek jelentése helyreállítás. Ez annak a m¶veletnek felel meg, amellyel egy egyenletben egy tagot átviszünk a másik oldalra. Így nem meglep®, hogy a XX század elejéig az algebra az algebrai egyenletek és egyenletrendszerek megoldásának tudománya volt. De mit is nevezünk algebrai egyenletnek? Az algebrai egyenlet olyan egyenl®ség, amelynek mindkét oldalán ismert és ismeretlen számok jelei szerepelnek kizárólag a négy alapm¶velet véges számú jelével összekapcsolva. Hogy mit fogadunk el ismert számoknak, az csak is t®lünk és tudásunktól függ. Az ismert számok azon halmazát, amelyben a négy alapm¶velet mindig elvégezhet®, azaz a m¶veletek nem vezetnek ki a halmazból, testnek nevezzük. Az egyenletek megoldhatósága szempontjából célszer¶ volt a lehet® legb®vebb

testet, azaz a komplex számok testét választani. Ugyanis ebben a testben minden egyismeretlenes algebrai egyenlet megoldható. Az ismeretek ezen pontján a klasszikus algebrából egy hatalmasabb, önállóbb tudomány kezdett kibontakozni, a modern algebra. Ugyanis a matematikusok rájöttek, hogy az algebrai egyenletek megoldhatósága szoros kapcsolatban áll az alapul vett test szerkezeti tulajdonságaival. Innent®l kezdve már nem az egyenletek megoldásával, hanem az összes lehetséges test (számtest, absztrakt test) szerkezetének vizsgálatával foglalkoztak. A XX század második negyedében már nemcsak testeket vizsgáltak, hanem más algebrai struktúrákat is. például a gy¶r¶k, ferdetestek, csoportok. Ezek közé tartoznak Emiatt napjainkban az algebrát már a matematika azon ágának tekintjük, amely algebrai struktúrákkal foglalkozik. A fent említetteket gyelembe véve szakdolgozatom témája az egyenletek gyökjelekkel való megoldhatósága,

hiszen ez az a probléma, amely egészen az algebra születését®l kezd®d®en foglalkoztatta a tudósokat és melynek köszönhet®en kialakult a mai absztrakt algebra. Számos algebrai fogalom kialakulása szorosan összefügg az egyenletek elméletének fejl®désével, ezek közé tartozik például a determináns, a komplex számok, a testek valamint a csoportok fogalma. Szakdolgozatom betekintést nyújt az egyenletek megoldási módszereinek fejl®désébe és az általános elmélet kialakulásába, kezdve az ókori babiloni, egyiptomi illetve görög tudósok munkájával, majd a középkori kínai, hindu felfedezéseken át, egészen az európai matematikusok ma már jól ismert elméletéig. 3 http://www.doksihu A dolgozat els® felében fontos szerepet játszanak a számrendszerek, algebrai jelek, számjelek kialakulása, ugyanis mindezek egységesítése és tisztázása el®segítette a középkori európai algebra gyors és nagyszer¶ fejl®dését. A dolgozat

második felében ennek a fejl®désnek jelent®s szerepl®it és munkáikat mutatom be, úgy mint Cardano és Ferrari megoldóképleteit, Lagrange módszerét, valamint Abel és Runi tételét. Az egyenletek megoldhatóságának kérdését a Galois-elmélet egyenletekre vonatkozó tételével zárom, melynek segítségével már minden egyenletr®l eldönthet®, hogy az megoldható-e gyökjelekkel. Munkám a témához kapcsolódó irodalom, els®sorban Jear-Pierre Tignol, Sain Márton és A.P Juskevics könyveinek feldolgozásán alapul, összegezve, helyenként kiegészítve a bennük leírtakat. 4 http://www.doksihu 2. I.e Ókor 10000-t®l i.e 3000-ig tehet® az ember fejl®désének azon szakasza, mikor a gy¶jtögetés, vadászat, és halászat helyett áttért a földm¶vel® életmódra. Ennek köszönhet® az ókori városok, mint például Babilon kialakulása, ahol gabonatermesztéssel, állattenyésztéssel foglalkoztak. A földm¶vesek mellett megjelentek

különféle mesterséget gyakorló kézm¶vesek, iparosok, és kialakult a kereskedelem. Ekkor már nélkülözhetetlenné váltak a számok, ugyanis az új életmód megkövetelte bizonyos dolgok mérését, szükségessé vált a hosszúság, a terület, a térfogat és a tömeg mértékegységeinek ismerete, ugyanis a megtermelt, a raktározott és az elfogyasztott vagy eladott javakat nyilván kellett tartani. Így i.e 4000-3000 táján el®ször a számok leírására alkalmas jelek, majd maguk a számjegyek is megszülettek. Kezdetben a számoláshoz különféle segédeszközöket, akár saját ujjaikat, testrészeiket alkalmazták. Ezen számolások segítették el® a különféle számrendszerek kialakulását. A legrégibb számírásos emlékek Mezopotámiából és Kínából származnak. 2.1 Babiloni számírás A Tigris és az Eufrátesz folyók által határolt területen rengeteg ékírásos agyagtáblát találtak, melyek között sok a matematikai tartalmú.

Ezeknek köszönhet®en megismerhetjük a mezopotámiai számírást és számolási technikát A helyiértékes 60-as számrendszert alkalmazták: a számokat 1-t®l 59-ig külön- böz® alakú és helyzet¶ ékjelekkel írták le, de a 60 leírására már ugyanazt a jelet használták, mint az 1 leírására. H = 1 HH = 2 HHH = 3 . J= 10 J H = 11 . JJ= 20 H = 60 Az egyes helyi értékek meghatározása, valamint a 0 jel hiánya nehézségeket okoztak a számok olvasásában. Egy szám nagyságrendjére gyakran csak a szövegb®l lehetett következtetni. A pontatlanság elkerülése érdekében kés®bb bevezették a zérus jelét, két, egymás alá írt 10-es jelet. Nézzünk egy példát: HH J J J H = 2 · 602 + 0 · 60 + 11 = 7211 5 http://www.doksihu 2.2 Babiloni algebra A babiloni matematikusok gondolkodásmódja kifejezetten algebrai volt. Ismertek alapvet® algebrai azonosságokat, azonban a mai jelöléseket még nem alkalmazták, így tudásukat

szavakban, szabályokban fogalmazták meg. Sok id®t töltöttek els®és másodfokú egyenletek megoldásával, vizsgálatával, mivel ezek rengeteg gyakorlati problémára adtak megoldást. Ezt mutatja az is, hogy az ékírásban külön ékjel írta le azt a szót, hogy hosszúság, és egy másik ékjel azt, hogy szélesség. Az egyenletek megoldására nem megoldóképleteket, inkább recepteket adtak. Minden ilyen recept végén megjelenik az eredmény ellen®rzése, ami már a bizonyítás igényét mutatja. Egy gyakran és rutinszer¶en használt sablon a következ®: Tekintsük az ( x·y =a x+y =b alakú egyenletrendszert. Ennek megoldására a babiloni matematikusok olyan módszert alkalmaztak, amely mindig jól használható, ha egy harmadik ismeretlent vezettek be, x= u-t, b +u 2 x+y értéke adott. Els® lépésben ennek segítségével fejezték ki y= x-t és y -t. b −u 2 Ezt az els® egyenletbe helyettesítve:     b b +u · −u =a 2 2 b2 − u2 =

a 4 r b2 u= −a 4 A negatív számokat még nem ismerték, így u-ra egy pozitív számot kaptak, amellyel x és y értékét könnyen meg tudták határozni: Észrevehetjük, használják. hogy már b b x= +u= + 2 2 r b2 −a 4 b b y = −u= − 2 2 r b2 −a 4 itt is a ma jól ismert másodfokú megoldóképletet Ugyanis az egyenletrendszer második egyenletéb®l, ha kifejezzük 6 y -t, http://www.doksihu majd azt az els® egyenletbe írjuk, akkor az x2 − bx + a = 0 másodfokú egyenletet kapjuk, melynek megoldóképlete x= b± r √ b2 − 4a b b2 = ± − a. 2 2 4 Ebb®l a példából is látszik, hogy már az ókori Mezopotámiában képesek voltak gyököt vonni. értékére, a>1 Válasszunk egy Ismertek egy iterációs eljárást, mely igen jó közelítést adott esetén: x0 közelítést úgy, hogy √ a > x0 > 1 és a hiba, azaz h0 = √ a √ a−x0 < 1 legyen. Mivel √ a √ = a, a ezért Így √ √ a > a.

x0 a értékére kapunk egy alsó- és fels®korlátot: x0 < √ a< a = x00 x0 Innent®l a fels® korlátokat mindig vessz®vel, az alsó korlátokat vessz® nélkül jelölöm. E két korlát számtani közepe x01 egy újabb közelít® érték h01   a 1 = · x0 + 2 x0 hibával.   √ √ 1 a = − a| = x0 + − a = 2 x0 √ √ √ x20 − 2x0 a + a (x0 − a)2 (x0 − a)2 = = < 2x0 2 · x0 2 h01 |x01 Tehát √ (x0 − a)2 h20 h0 < = < , hiszen h0 < 1. 2 2 2 √ 0 x1 hibája kisebb, tehát ez jobb közelítése a-nak, mint x0 . Az eljárás következ® a 0 0 lépése, hogy x1 fels® korláthoz egy x1 = alsó korlátot választunk. x1 és x1 0 x1 h01 7 http://www.doksihu számtani közepe, azaz x02 ismét közelebb lesz √ a-hoz. Ebb®l látszik, hogy minél többször ismételjük az eljárást, annál pontosabb értékhez jutunk. Gyökvonás segítségével képesek voltak másodfokú egyenleteket megoldani. Ezek megoldásának

receptjét azonban egyetlen ókori lelet sem tartalmazza, de a kutatók valószín¶nek tartják, hogy a teljes négyzetté alakítás módszerét alkalmazták. A babiloniaiak még igen gyakorlatias metematikát alkalmaztak, ez azonban igen jó alapot nyújtott a további fejl®déshez. 2.3 Az egyiptomi Rhind papirusz A Nílus völgyében elterül® Egyiptom matematikájának megismerésében két lelet, a Rhind- és a moszkvai papirusz van segítségünkre. El®bbi Henry Rhind skót régi- ségkeresked®r®l kapta nevét, ki 1858 telén vásárolta a papiruszt, felismerve annak értékét. A tekercs hiányzó része 50 év múlva került el®. Ez az els® matematikai tartalmú, egyiptomi emlék. Mindkét papirusz ugyanúgy, mint Mezopotámiában, a mindennapi élettel kapcsolatos számolásokat tartalmaznak hieratikus írással, azaz a számokat apró jelekkel, parányi rajzokkal írták. Ezek a jelek koronként változtak, így a számjegyekb®l az írás idejére is

következtethetünk. 2.4 Óegyiptomi algebra Az egyiptomi matematikusoknak is sok olyan problémát kellett megoldaniuk, amelyek els®fokú és tiszta másodfokú egyenletekre vezettek. Ezek a feladatok azonban néha már elszakadtak a gyakorlati alkalmazástól, volt, hogy csak önmaguk szórakoztatására végeztek számításokat. Gyakran alkalmazták az ún. regula falsi-t, azaz a hamis szabály módszerét Ekkor az ismeretlen helyére egy hamis értéket választottak, majd ezzel számolták végig a feladatot. Végül az eredményül kapott számot összehasonlították a feladat adataival, és azt a megfelel® módon helyesbítették. Az alábbi példa a regul falsi alkalmazását mutatja be: Egy négyzetnek, meg egy másiknak, melynek oldala az els® négyzet oldalának   1 1 + 2 4 része, területe összesen: 100. Mondd meg nekem! Feladatunk mai megfogalmazása: Számítsuk ki a megadott adatok alapján az eredeti 8 http://www.doksihu négyszög oldalhosszát.

A szöveg alapján kapott egyenlet:  2 x + Tegyük fel, hogy oldalhossza 3 . 4 x = 1. 3 ·x 4 2 = 100 Tehát a keresett négyzet oldalhossza 1, a másik négyzet Területük összege: 1+ 9 25 = . 16 16 Ennek négyzetgyöke 5 6= 10. 4 Ebb®l következik, hogy az eredeti négyzet oldala nem 1, hanem annyiszor nagyobb, ahányszor a 10 nagyobb az 5 -nél, 4 azaz 8-szor. Tehát az eredeti négyzet oldalhossza 8, a másik négyzet oldalhossza 6, területük összege pedig tényleg 100. Igaz, hogy ezek a számítások kielégítették az akkori szükségleteket, de eddigi ismereteink alapján az egyiptomi matematikai módszerek körülményessége, azok rossz irányból való megközelítése mind akadályozták a továbbfejl®dést. 2.5 Görög újítások A görög matematikusok babiloni és egyiptomi el®deikkel ellentétben nemcsak átvették és alkalmazták az ismereteket, hanem mertek újítani, gondolkodásmódjuk egyéni és szabad volt. Alapismereteiket

természetesen a fennmaradt írásokból szerezték, azokat azonban igen hamar továbbfejlesztették. Ezt mutatja az is, hogy a ránk maradt írásos emlékekben már nem lehet felismerni a babiloni illetve egyiptomi alapokat. T®lük, pontosabban a püthagoreusoktól származik a matematika szó, ugyanis a számelméletet mathémának, tanulmánynak nevezték. Náluk jelenik meg el®ször a tényleges bizonyítás. Az els® görög tudós, aki el®ször bizonyított az Thalész (Kre 624546), a görög matematika atyja. 2.6 Görög számírás A görögök a nem helyiértékes 10-es számrendszert és az alfabetikus számírást használták. Kezdetben görög nagybet¶ket, majd kés®bb az ión írás kisbet¶it al- kalmazták a számok jelölésére. A félreértések elkerülése érdekében a számokat jelöl® bet¶ket felülhúzták. Erre egy példa: ϕξζ = 567 9 http://www.doksihu Az ® érdemük a zérus számjegy, mint üres helyiérték bevezetése is, melyet az

o (omikron) bet¶vel jelöltek. 2.7 Geometriai algebra A görög matematika az eleai lozóára támaszkodva, miszerint az 1 egységes és oszthatatlan, teljesen geometriaivá vált. Ugyanis ®k már ismerték az irracionális számokat, azonban számmal kifejezni nem tudták azokat, de a megfelel® szerkesztést mindig végre tudták hajtani. téglalapnak, a 2 -t négyzetnek, Náluk az algebrai jelölések nem alakultak ki, a 3 ab-t -t kockának tekintették. A babiloni algebra görög geometriává válását mutatja az alábbi feladat: ( x+y =a x · y = b2 A görögök ezt a feladatot hiánnyal való illesztésnek nevezték, ugyanis az ® gondolkodásukban ez az egyenletrendszer az alábbi problémával ekvivalens: Illesszünk az a szakaszhoz b2 terület¶ téglalapot egy négyzet hiánnyal. Ezt a feladatot geometriai úton megoldva a következ® összefüggést kapták:  a 2 2 − a 2 −x 2 = b2 a − x befogójú háromszögre felírt

Pitagorasz-tételnek 2 a a tekintjük, akkor ez a háromszög > b esetén megszerkeszthet®. Ekkor az átfogó2 2 a nak és az − x befogónak különbsége adja x-t. Innen y már könnyen kiszámolható 2 Ha ezt egy Bizonyos a 2 átfogójú, geometriai b és feladatok, például kerületének kiszámítása szükségessé tette a √ c szabályos, adott k oldalú sokszög minél pontosabb közelítését. A görög matematikusok, köztük Arkhimédész ekkor használta a lánctörtek módszerét: Tegyük fel, hogy √ a2 + b = a + x. Ekkor x(2a + x) = b, 10 http://www.doksihu amib®l x= Az egyenl®ség jobb oldalán szerepl® b -t 2a + x b . 2a + x x helyébe folytatólagosan behelyettesítve végtelen lánctörtet kapunk: √ a2 + b = a + b b 2a + b 2a + . 2a + A klasszikus görög matematika alkotásai között szembet¶nik Diophantosz (Kr.u 250 körül) Aritmetika cím¶ 13 kötetes könyve, mely teljes egészében egyenletek megoldását

tartalmazza. A m¶ hanyagolja a geometriai algebrát, tényleges algebrai módszereket és jelöléseket használ. Egy egyenlet mai és ókori alakja: 5x3 + 5x2 + 2x + 8 = 33 K Y  ∆Y  ςςβ Ṁ η ι Ṁ λγ Diophantosz még nem ismerte a határozatlan egyenletek általános megoldásait, de sajátos ötletei igen célravezet®ek voltak. A több feltétellel rendelkez® felada- tok megoldása során úgy választotta meg az ismeretlenek értékét, hogy azok egy kivételével minden kritériumnak eleget tegyenek, és az általuk felírt másodfokú egyenletnek ne legyen konstans vagy pedig négyzetes tagja. Erre mutat példát az alábbi feladat: Egy adott számot, amely két négyzetnek az összege, bontsunk fel két másik négyzet összegére! Legyen az adott szám 13 = 22 + 32 . Legyen egy másik felbontása 13 = (x + 2)2 + (2x − 3)2 = x2 + 4x + 4 + 4x2 − 12x + 9 = 5x2 − 8x + 13. Tehát a kapott másodfokú egyenlet: 5x2 − 8x + 13 = 13 5x2 − 8x = 0 x(5x

− 8) = 0 11 http://www.doksihu Mivel a 0 megoldást nem vette gyelembe, ezért a kapott eredmény x=  2 18 1 keresett felbontás: + = 13. 5 5 2 Már ismerte az ax = 2bx + c alakú egyenlet megoldásának √ b + b2 + ac x= a  2 8 , 5 képletét, melyr®l azt is tudta, hogy csak akkor ad racionális megoldást, ha racionális szám négyzete. azaz a b2 + ac Ž vezette be a harmadfokúnál magasabb fokú is- meretleneket, mint a négyzetszer négyzetet, négyzetszer köböt, köbször köböt. Mindezek ellenére az i.e IIIII.-ban fellép® politikai viszályok, háborúk következtében a tudományok anyagi és eszmei támogatása megsz¶nt, melynek hatására a görög matematika hanyatlásnak indult. A matematika további fejl®désére f®leg csak a középkori keleti országokban volt lehet®ség. 12 http://www.doksihu 3. Középkor 3.1 Kínai matematika és számírás A legkorábbi kínai matematika fejl®désér®l szóló emlékek

id®számításunk kezdetéb®l származnak. Ezek még mindig a mindennapi élet problémáira  paloták építése, adók kivetése, örökösödés  adnak megoldást. Feladatok jöttek létre az arányosságokra, a lineáris egyenletekre és egyenletrendszerekre, négyzet- és köbgyökvonásra, és némely bonyolultabb esetben másod-, s®t harmadfokú egyenletekre. A kínaiak már a tízes alapú számrendszert alkalmazták. függ®leges, 10-t®l 90-ig vízszintes vonalakkal jelölték. A számokat 1-t®l 9-ig Az egyeseket jelöl® számje- gyek szolgáltak a százasok, tízezresek stb., a tízesek számjegyei pedig az ezresek, százezresek stb. megjelölésére is Például a A 0-t 6728 kínai jelölése: kezdetben nem alkalmazták, kés®bbi jelét, egy kört el®ször csak egy 1247-ben megjelent matematikai témájú m¶ben találjuk meg. Számításaikat számolótáblán pálcikák segítségével végezték. 3.2 Matematika kilenc könyvben A legrégebbi kínai

matematikai m¶ keletkezésének pontos ideje és szerz®i ismeretlenek. Összegzi az i.e I. évezredben élt matematikusok munkáját 246 fe- ladatban, melyekhez megoldás is tartozik, olykor általános formában. Az alábbiakban az egyenletek szempontjából lényeges könyvekkel, és azok megoldási eljárásaival foglalkozom. A IV. könyv feladatainak megoldásához már szükség van négyzet- ill köb- gyökvonásra. Ennek elvégzésére a fang-fa módszert alkalmazták, melyet ma a kínaiHorner-módszernek nevezhetnénk A módszert valójában arra hazsnálták, hogy valamely polinomját átrendezzék (x + p) szerint. x Ha tehát az átrendezend® polinom Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 , akkor az átrendezett polinom Pn (x) = bn (x + p)n + bn−1 (x − p)n−1 + · · · + b1 (x − p) + b0 = (x + p)Pn−1 (x) + b0 , 13 http://www.doksihu ahol bi együttható a Pi (x) : (x + p) osztási maradéka. A módszer elegend® számú

ismétlésével a gyökvonás tetsz®leges pontosággal elvégezhet®. Ezt mutatja az alábbi példa: Határozzuk meg √ 620 Mivel 24 < x < 25, most y, azaz értékét, azaz oldjuk meg ezért tegyük fel, hogy (x − 24) x2 − 620 = 0 x = 24 + y , ahol egyenletet! 0 < y < 1. Az egyenletet szerint rendezzük, ahol az együtthatók meghatározására használjuk a Horner-elrendezést: 0 −620 24 576 1 24 −44 1 24 1 48 1 Tehát a kapott egyenlet y 2 + 48y − 44 = 0, y = 0, 8 esetén az egyenlet bal oldala egyenl®. Ebb®l következik, hogy z 0 < y < 1. ahol −4, 96-tal, y = 0, 9 esetén pedig 0, 01-gyel 0, 8 < y < 0, 9, vagyis y = 0, 8+z , ahol 0 < z < 0, 1. egyenletének felírására is a Horner-módszert alkalmazva, az alábbit kapjuk: z 2 + 49, 6z − 4, 96 = 0 Újabb próbálgatás során derül ki, hogy z = 0, 09 + t. 0, 09 < z < 0, 1, tehát tegyük fel, hogy 0, 009 < t < 0, 01. Az eljárást

ismételve kapjuk, hogy Itt megállva az alábbi eredményt kapjuk: x = 24 + y = 24 + 0, 8 + z = 24, 8 + 0, 09 + t ≈ 24, 899 ≈ 24, 9 24, 92 = 620, 01 Köbgyökvonásra az alábbi közelít® formulát alkalmazták: √ 3 a3 + b ≈ a + b +1 3a2 A VII. könyv többlet és hiány módszerét két egyenletb®l álló, kétismeretlenes els®fokú egyenletrendszerek megoldására alkalmazták Els® esetben az egyik ismeretlen 14 http://www.doksihu együtthatója legyen 1 vagy −1. ( a1 x − y = c1 a2 x − y = c2 Ekkor az alábbi táblázatot írták fel, melyen keresztbe szorzásokat végeztek. a1 a2 c1 c2 Ezek segítségével írták fel az x-t x= Érdekes, y -t és megadó képleteket: a1 c2 − a2 c1 c2 − c1 y= a2 − a1 a2 − a1 hogy ezt az eredményt a ma Cramer-szabálynak nevezett eljárással megkaphatjuk. Most tegyük fel, hogy y együtthatója nem ( ±1. Ekkor az a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 egyenletrendszer megoldása a következ®

volt: az els® egyenletb®l kifejezték y -t, majd azt a második egyenletbe írva, egy Ax + B = C (1) alakú egyenletet kaptak, ahol A = a2 b1 − a1 b2 , B = b2 c1 , C = b1 c2 . Ezt követ®en a 2 hamis feltevés módszerét alkalmazták: ha x = x1 , akkor Ax1 + B = b1 c02 = C1 (2) ha x = x2 , akkor Ax2 + B = b1 c002 = C2 (3) Ekkor C − C1 = b1 (c2 − c02 ) = b1 k1 és C − C2 = b1 (c2 − c002 ) = b1 k2 . Az (1) egyenletb®l kivonták (2)-t illetve (3)-at, így a követekez®ket kapták: A(x − x1 ) = C − C1 = b1 k1 ill. 15 A(x − x2 ) = C − C2 = b1 k2 http://www.doksihu Ezeket egymással elosztva x − x1 b1 k 1 = , x − x2 b1 k 2 amib®l következik, hogy x= k2 x1 − k1 x2 . k2 − k1 Ezt az egyenletrendszer valamelyik egyenletébe helyettesítve y értéke is kiszámol- ható. A VIII. könyv tartalmazza a lineáris egyenletrendszerek megoldására alkalmas fang-cseng módszert, amely egy bizonyos mátrixos megoldási eljárás. Az

egyen- letrendszer együtthatóiból egy táblázatot, azaz egy mátrixot képeztek úgy, hogy az utolsó egyenlet együtthatói az els® oszlopban szerepeljenek, és így tovább. Tudták, hogy a mátrix bármely oszlopának valahányszorosát hozzáadhatják vagy kivonhatják bármely másik oszlopból anélkül, hogy az egyenletrendszer gyökei megváltoznának. Tehát a mátrixot addig alakították, míg az fölött csupa 0-t a11 − ann diagonális nem kaptak:   0 0 . 0              0 0 .  b22 b12           b2n b1n   e2 e1 . . . bnn bn−1,n . en en−1 . b11 Ennek a mátrixnak megfelel® egyenletrendszer segítségével az ismeretlenek már lépésenként meghatározhatóak. A fang-cseng módszer volt a kezdete a mátrixokkal és determinánsokkal való számolásnak, és ennek kapcsán vezették be a negatív számokat is. A módszer valójában megegyezik a ma

használatos Gauss-eliminációval. A IX. könyvben szerepl® problémák másodfokú egyenletekre vezetnek, melyek megoldási módszere megegyezik a babiloni recepttel, miszerint egy új változót vezetnek be és ennek segítségével fejezik ki az ismeretleneket. 16 http://www.doksihu 3.3 A kínai algebra virágkora A XIII. században él® kínai matematikusok továbbfejlesztették az addigi algebrai módszereket és jelrendszert. Foglalkoztatta ®ket a magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása Még ®k is a kínai-Horner-módszert alkalmazták, de már általánosítva tetsz®leges, pozitív gyök¶ egyenletekre. Li Je, kínai algebrista ezt a módszert tien-jüan módszernek, azaz égi elemek módszerének nevezte el. Abban az id®ben ez az eljárás a számítások szempontjából hasznosabb volt, mint a gyökjelekkel való megoldás. Így azonban nem jutottak el olyan problémákhoz, melyek megoldása az algebra további fejl®dését hozta volna. 3.4

A hindu matematika és számírás India matematikájára már a görög, babiloni és kínai ismeretek is hatással voltak. A hindu matematikusok gondolkodása eredeti volt, törekedtek új módszerek kialakítására. Azonban nagyszer¶ eredményeik mellett nyilvánvaló tévedések is megtalálhatók Az algebrát igen nagyra becsülték. Két nagy területével foglalkoztak: az algeb- rai számításokkal és az els®- és másodfokú egyenletek megoldásával. Érdekes, hogy szabályaikat versekben fogalmazták meg, melyeket kívülr®l megtanultak. Nagyot léptek el®re a szimbolikus algebra kialakításában is, bár jelöléseik még igen bonyolultak voltak. Az indiai számjelek már nagy jelent®séggel bírnak, ezekb®l alakultak ki a ma használt számjegyek. Ezt az átalakulást nagyban segítette, hogy ezek az indiai számjelek már csak egyetlen, azaz nem összetett jelb®l álltak Kezdetben a számaikat a helyiértékes 10-es számrendszer szerint írták

jobbról balra, ez a sorrend 537 körül fordult meg Dzsinabhadra Gani (VI. század) jóvoltából Ekkor már nélkülözhetetlenné vált a 0 használata, melynek jelét vagy a görögökt®l vagy a kínaiaktól vették át. 3.5 Algebrai számítások, azonosságok Számításaikban már igen ügyesen bántak a negatív és irracionális számokkal, valamint a négyzetgyökös kifejezésekkel. Ismerték a negatív számok m¶veleteinek összes alapszabályát és bizonyos négyzetgyökös azonosságokat: √ √ √ √ ( a + b)( a − b) = a − b, 17 http://www.doksihu q a± s √ a+ b= √ a2 s −b ± 2 a− √ a2 − b 2 Az els® egy ma is jól ismert azonosság, míg a második helyessége négyzetreemeléssel ellen®rizhet®. Foglalkoztak egytagú algebrai kifejezések és polinomok szorzásának és osztásának szabályaival. Ennek köszönhet® az alábbi összefüggés: n X !2 ak = n X 1 a2k + 2 1 X ai aj i6=j Egy szám négyzetgyökének

meghatározására az eddig ismert módszerekt®l igen √ különböz® eljárást alkalmaztak. Srídhara gyökvonás-szabályát a 186624 példáján szemléltetem: Szükség van a páratlan, ill. páros helyek függ®leges, ill vízszintes vonalakkal való jelölésére. − p 1 Most a 18-nál − p 8 6 − p 6 2 4 kisebb legnagyobb négyzetszámot, a páratlan helyr®l, majd 16 16-ot levonjuk 18-ból, az utolsó gyökének kétszeresét a következ® számjegy alá írjuk: − p p 2 6 − p 6 2 4 8 Osszuk el 26-ot 8-cal, a maradékot írjuk 26 helyébe és a 3 hányadost a kétszeres gyök sorába írjuk: − p 26-ból vonjuk ki 3 négyzetét, majd − p 2 6 2 8 3 3 4 helyébe írjunk toljuk el egy hellyel: − p 1 − p 7 2 8 6 18 4 2 × 3 = 6-ot és a második sort http://www.doksihu Most 0, 172-t osszuk el 86-tal, 172-t helyettesítsük a maradékkal, ami ebben az esetben majd a hányadost írjuk a második sorba: p 4

8 6 2 A 4-b®l kivonjuk a hányados négyzetét, majd a hányados helyébe önmaga kétszeresét írjuk, így kapjuk 864-et. Itt a gyökjel alatti szám elfogy, tehát az eljárás szerint a második sorban kapott szám fele a keresett négyzetgyök, ami ebben az esetben A kapott eredmény helyes, ugyanis 432. 4322 = 186624. A gyökvonással kapcsolatban tudták, hogy pozitív szám négyzetgyöke pozitív is, meg negatív is, azonban egy negatív szám négyzetgyökét még nem értelmezték. 3.6 Els®- és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Az els®fokú egyenletek megoldására Indiában is a fentebb már ismertetett hamis feltevés szabályát alkalmazták. Az egyszer¶bb els®fokú egyenletrendszerek megoldása során, egy tetszés szerint kiválasztott ismeretlent mindegyik egyenletb®l kifejezték, majd ezeket a kifejezéseket egymással páronként egyenl®vé tették. Ezt az eljárást addig ismételték az új egyenletrendszerekkel, míg végül egy

egyenletet nem kaptak Innen visszafele haladva az ismeretlenek meghatározhatók. Az alábbi típusú egyenletrendszerek vizsgálatával is foglalkoztak: n X xk ± bxi = ci , ahol i = 1, 2, . , n k=1 ai n X x k − bi x i = ci , ahol i = 1, 2, . , n k=1 Míg az ókorban az 2 ax + bx = c, ax2 = bx + c, ax2 + c = bx alakú egyenleteket különböz®nek tekintették, addig Brahmagupta (598  665), india matematikus már általános szabályt ad az ax2 + bx + c = 0 alakú egyenlet megoldására: √ 4ac + b2 − b x= 2a 19 http://www.doksihu Ebb®l azonban látszik, hogy szerinte a másodfokú egyenletnek csak egy gyöke lehet. Egy másik tudós, Mahavíra viszont kés®bb már tudott a két megoldás létezésér®l, Bhászkara (520 körül) pedig már feltételt is adott két pozitív gyök létezésére. Ezen felül magasabb fokú egyenletek általános megoldását nem sikerült megtalálniuk. 3.7 A kuttaka módszer Ezt az eljárást az ax + c = by alakú

egyenletek egész érték¶ megoldásainak kiszá- molására alkalmazták. Vizsgáljuk meg Bhászkara II megoldását Legyen az (a, b) = 1, a > b, és a b c>0 esetén! legyen kifejezhet® a következ® lánctörttel, ahol qk (a, b) euklideszi algoritmussal való meghatározásakor a megfelel® osztások hánya- dosaként adódik: a = q0 + b 1 1 q1 + q2 + Ha Pn−1 Qn−1 az n − 1-edik , [q0 , q1 , . , qn−1 , qn ] ezt jelölje 1 q3 + . közelít® lánctört, azaz [q0 , q1 , . , qn−1 ], akkor az egyenlet összes megoldása az alábbi egyenletekkel fejezhet® ki: x = (−1)n cQn−1 + bt ahol y = (−1)n cPn−1 + at t tetsz®leges egész. A VIII. század végére az indiai tudósok felfedezései, algebrai eljárásaik valamint a 10-es alapú helyiérték-rendszer már az arab országokban is elterjedt. 3.8 A Közel- és Közép-Kelet országainak matematikája Az iszlám országok matematikai kultúrája a görög, valamint a keleti

tudományos m¶vek arabra fordításával, majd kés®bb ezek kommentálásával kezd®dött. Az addigi ismeretek feldolgozása után számos új felfedezést tettek, beleértve az algoritmusokon alapuló megoldási eljárások továbbfejlesztését és a harmadfokú egyenletek kúpszeleteken alapuló geometriai megoldását. M¶veikben már sok gyelmet fordítottak a bizonyításokra, az anyag leírása teljes, elrendezése jól átgondolt. Számaikat a keleti arab számjegyekkel írták, a 20 0-t speciálisan egy ponttal jelölték. http://www.doksihu Ezeknek a számjegyeknek az elterjedése azonban éppúgy hosszú folyamat volt, mint a 10-es helyiértékes számrendszeré, ezt mutatja, hogy sok tudós m¶veiben szavakkal fejezte ki a számokat. (Európában a számok mai írásmódja kés®bb jelent meg, mint az araboknál, de elterjedése gyorsabb volt.) Náluk a racionális számok már az elméleti kutatás tárgyává váltak, ennek köszönhet®en pedig már

eljutottak a racionális és irracionális pozitív számokat felölel® valós számok fogalmához. 3.9 Hvárizmi algebrája Hvárizmi (780850) algebrai munkájának f® témája az els®- és másodfokú számegyütthatós egyenletek megoldása. Elméletének alapja, hogy az egyenleteket normálalakra kell hozni az alábbi 6 típus szerint: ax2 = bx, ax2 = c, ax2 + bx = c, ax = c, ax2 + c = bx, bx + c = ax2 Az els® három egyenlettípus megoldásánál érdekes, hogy nemcsak az egyenlet gyökét, de annak négyzetét is mindig meghatározta. Ebben a munkájában az egyik áta- lakítás a dzsabr nevet viseli, ebb®l, pontosabban az al-dszabr kifejezésb®l alakult ki a mai algebra szó. A teljes másodfokú egyenletek megoldására külön módszert alkalmazott. El®ször szóban fejezte ki, hogyan írható fel az egyenlet gyöke négyzetgyökös mennyiségekkel, x2 + px = q egyenlet megoldását: p téglalapot magassággal, majd az 4 majd ezt geometriai úton

bizonyította. Lássuk az egy négyzet minden oldalához illesszünk egy alakzat sarkait egészítsük ki 4 darab p 4 oldalú négyzettel. p 4 Mindez formulával: x2 + 4 p 4 x+4  p 2 4 21 =q+4  p 2 4 http://www.doksihu A bal oldalt négyzet alakba írjuk:   p 2 p 2 x+2· =q+4 , 4 4 amib®l r x= q+  p 2 2 p − . 2 Hvárizmi egyenletekre vonatkozó példái egyébként mind racionális együtthatójúak, megoldásaik gyakran egész számok. 3.10 Abu Kámil algebrája Hvárizmi után Abu Kámil (850930) volt az, aki jelent®s haladást ért el az algebra területén. Az ® munkája is a másodfokú egyenletek megoldásáig terjed, melyben külön szabályokat ad a különböz® normálalakú egyenletek kapcsán 2 x + px = q ⇒ p x = +q− 2 x2 + q = px ⇒ x2 = p2 2 px + q = x2 ⇒ x2 = p2 2 2 2 s  p2 2 x2 kiszámítására: 2 p2 q + s  2 p2 −q± − p2 q 2 s  2 2 p 2 +q+ p q+ 2 Mindhárom szabályt geometriai úton

bizonyítja. Feladatai között már olyan egyenleteket is találhatunk, melyek az ismeretlen valamely hatványában másodfokúak 3.11 Harmadfokú egyenletek Az arab matematikusok már a IX. században elkezdtek foglalkozni a harmadfokú egyenletekkel Figyelmüket Arkhimédész kockakett®zésér®l és a gömb fel- darabolásáról szóló feladatai keltették fel. Ezt követ®en újabb és újabb feladatok bukkantak fel, melyek harmadfokú egyenletekre vezettek. Mindezek egy általánosabb elmélet illetve egy numerikus megoldási módszer megteremtését szorgalmazták Omar Hajjám (10481131) algebrai m¶ve a harmadfokúakig bezárólag tartalmazza az egyenletek osztályozását: összesen 25 kanonikus formát és ezek geometriai szerkesztéssel kapott megoldását adja meg. Szerinte a harmadik hatványokat tartalmazó egyenletek megoldása csak kúpszeletek segítségével található meg, és el®fordulhat 22 http://www.doksihu olyan eset, amikor a görbék két pontban

metsszik egymást. Tehát Hajjám két gyök létezésének lehet®ségét állapítja meg. Végül megjegyzi, hogy negyedfokú egyenletek megoldási módszere nem ismeretes. 23 http://www.doksihu 4. Európai matematika A XI.-XIII század tudósai számos görög és arab tudományos m¶vet fordítottak latinra. Ennek köszönhet® a tudományok elterjedése és a tanulás lehet®sége Eu- rópában. Már a XVI századra matematikai központok alakultak ki, beleértve Itália nagyvárosait. Az itáliai matematikusok, del Ferro, Tartaglia, Cardano és Ferrari új matematikát hoztak létre, gyelmük az egyenletek megoldására terel®dött, módszereik szükségessé tették a számkör kib®vítését és a számfogalom kiépítését. Az alábbiakban a magasabb fokú egyenletek megoldhatóságával foglalkozom. 4.1 A harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása Kezdetben csak pozitív együtthatójú egyenletekkel foglalkoztak, ezért a harmadfokú egyenleteket az alábbi

három típusba sorolták: x3 + px = q, Az x3 + px = q x3 = px + q, x3 + q = px alakú egyenlet megoldását els®ként 1515 körül Scipione del Ferro (14651526), bolognai matematikus találta meg, eredményeit azonban nem publikálta, csak professzortársának Fiorenak árulta el, ki e tudás birtokában nyilvános matematikai párbajra hívta Niccoló Fontanat (14991557), azaz Tartagliát. Azonban Tartaglia minderr®l tudomást szerzett, és kemény munka árán ® is megtalálta az általános megoldást, melynek segítségével a párbajt végülis megnyerte. Ekkor határozta el Girolamo Cardano (15011576), hogy akkor készül® m¶vében közzé teszi a fent említett harmadfokú egyenlet megoldását, melyet Tartagliától próbált megszerezni. Kezdetben Tartaglia elutasította Cardanot, de kés®bb meggondolta magát, és titoktartást követelve átadta az alábbi megoldást: Tegyük fel, hogy x3 + px = q megoldása x= √ √ 3 u− 3 v alakban írható.

Ennek köbe √ √ 3 3 x3 = u − 3 u2 v + 3 uv 2 − v. Mivel fenáll az alábbi egyenl®ség, miszerint √ √ √ 3 3 3 3 uv · x = 3 u2 v − 3 uv 2 , ezért √ x3 = u − 3 3 uv · x − v, 24 http://www.doksihu azaz √ x3 + 3 3 uv · x = u − v. Ezt az eredeti egyenlettel összehasonlítva látjuk, hogy ( Ebb®l v -t kiküszöbölve u-ra u−v =q √ 3 3 uv = p. kapjuk, hogy p3 = 27u(u − q), amib®l u2 − qu −  p 3 3 = 0. A másodfokú megoldóképlet alapján r q+ q2 + 4 u=  p 3 q = + 2 3 2 r  q 2 2 +  p 3 3 . Az egyenletrendszerb®l következik, hogy q v =u−q =− + 2 r  q 2  p 3 + . 2 3 Tehát a feltételezés szerint s x= 3 q + 2 r  q 2 2 s +  p 3 3 − q − + 2 3 r  q 2  p 3 + , 2 3 amely képlet tényleg megadja az eredeti egyenlet megoldását. A másik két típusú egyenlet megoldása ugyanilyen módon az x= √ √ 3 u+ 3 v helyettesítéssel kapható meg. Cardano 1545-ben kiadta Ars Magna

cím¶ m¶vét, melyben szavát megszegve közölte az addig titkolt képletet, s®t annak továbbfejlesztését is. Összesen 13 típusú harmadfokú egyenlettel foglalkozott, f® eredménye az általános x3 + ax2 + bx + c = 0 alakú egyenlet megoldása: észrevette ugyanis, hogy egyenlet y 3 + py + q = 0 y = x+ alakra hozható, ahol p=b− a2 , 3 q= 25 2a3 ab − + c. 27 3 a 3 helyettesítéssel a fenti http://www.doksihu Tehát a Tartaglia-féle megoldóképlet, melyet ma Cardano-képletnek nevezünk, ebben az esetben is alkalmazható. Voltak azonban olyan feladatok, mikor tudták, hogy az egyenletnek van valós gyöke, azt azonban a képlettel nem tudták meghatározni, ugyanis a négyzetgyökjel alatt negatív szám állt. casus irreducibilis -nek, Ezt az esetet nevezték melynek megoldását az utókorra hagyták és melynek kapcsán már felmerült a komplex számok fogalma. Az x3 + px + q = 0 alakú harmadfokú egyenlet megoldásával több matematikus

is foglalkozott, kik különböz® megoldási eljárásokat hoztak létre. Közéjük tartozik p − y -nal való 3y  p 3 y 6 − qy 3 − =0 3 Viéte (1540  1603), kinek ötlete az egyenletet kapjuk. Ez x= y 3 -re egy másodfokú egyenlet. A másodfokú megoldóképletet és a fenti helyettesítést alkalmazva a megoldás x= ahol q y3 = − + 2 Ha y3 q y =− − 2 x p − y, 3y r  q 2  p 3 + . 2 3 másik értékét választjuk, miszerint 03 r  q 2 2 +  p 3 3 értéke nem változik, ugyanis 0 3 (yy ) = −  p 3 3 , amib®l következik, hogy p = −y 0 3y Tehát és p = −y. 3y 0 p p − y0 = − y = x. 0 3y 3y 26 helyettesítés, mellyel az , http://www.doksihu Azonban ez az eljárás is valójában a Cardano képlethez vezet, ugyanis el®bb láttuk, hogy p = −y , 3y 0 tehát s p − y 0 = −y − y 0 = 3y 0 Az Ars Magna 3 utolsó q − + 2 r  q 2 el®tti 2 s + fejezete  p 3 3 a + 3 q − − 2 negyedfokú r 

q 2  p 3 + = x. 2 3 egyenletek megoldásá- val foglalkozik, mely Cardano tanítványának, Ludovico Ferrarinak (15221556) munkája. Neki sikerült az általános x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 egyenletet egy harmadfokú egyenletre visszevezetnie, melyet a negyedfokú egyenlet rezolvensének nevezünk: Ötlete az y = x+ a -gyel 4 való helyettesítés, mely az y 4 + py 2 + qy + r = 0 egyenletet adja, ahol p=b−6  a 2 4 ,  a 3 a q =c− b+ , 2 2  a 2  a 4 a r =d− c+ b−3 . 4 4 4 Rendezzük át a kapott egyenletet:  Ekkor tetsz®leges  u-ra  p 2 p 2 = −qy − r + y + 2 2 2 fenáll az alábbi egyenl®ség: 2  p 2 p y + + u = −qy − r + + 2uy 2 + pu + u2 2 2 2 Az alapötlet, hogy az egyenlet jobb oldalát négyzet alakba írjuk, azaz −qy − r +  p 2 2 2 2 + 2uy + pu + u =  √ q 2u · y − √ 2 2u 2 . Ez az egyenl®ség akkor és csak akkor igaz, ha −r +  p 2 2 + pu + u2 = q2 , 8u azaz 8u3 + 8pu2 + (2p2 − 8r)u

− q 2 = 0. Ezt a harmadfokú egyenletet nevezzük az eredeti egyenlet rezolvensének. Ha ezen egyenlet egy megoldásának választjuk, akkor  2  p 2 p y + + u = −qy − r + + 2uy 2 + pu + u2 = 2 2 2 27  √ q 2u · y − √ 2 2u 2 , u-t http://www.doksihu azaz  2 p y + +u = 2 2  √ q 2uy − √ 2 2u 2 , és így   √ p q y + +u=± 2u · y − √ . 2 2 2u két másodfokú egyenlet, melyeket megoldva megkapjuk y -t, majd ebb®l x-et: r r u u p αq a 0 x=α + α − − − √ + , ahol α és α0 értéke +1 vagy −1. 2 2 2 2 2 4 2 Ez Descartes (1596−1650) Ferrari felfedezését követ®en az alábbi eljárást adta az x4 + px2 + qx + r = 0 egyenlet megoldására az 1637-ben megjelent La Géométrie cím¶ m¶vében: Vezessük be a, b, c, d értékeket úgy, hogy x4 + px2 + qx + r = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = = x4 + (a + c)x3 + (b + d + ac)x2 + (ad + bc)x + bd. Az együtthatók egyenl®ségéb®l következik, hogy 0=a+c (1) p = b + d

+ ac (2) Ezeket felhasználva b, c, d q = ad + bc (3) r = bd. (4) könnyen kifejezhet® a segítségével: (1) ⇒ c = −a (5) (3), (5) ⇒ q = ad − ab, b-t amib®l d= q + b (6), a és (2), (5) ⇒ p = b + d − a2 , amib®l (6) helyettesítéssel (2), (5) ⇒ p = b + d − a2 , amib®l (7) helyettesítéssel és d-t (4)-be helyettesítve  r= a2 p q + − 2 2 2a  28 a2 p q + + 2 2 2a  q + d (7) a a2 p q b= + − 2 2 2a 2 a p q d= + + 2 2 2a b= http://www.doksihu egyenletet kapjuk, melyre az (a + b)(a − b) = a2 − b2  r= a2 p + 2 2 2 − összefüggést alkalmazzuk:  q 2 2a Ebb®l következik, hogy a6 + 2pa4 + (p2 − 4r)a2 − q 2 = 0, ami a2 -re harmadfokú, melynek megoldása már ismert. Mivel x4 + px2 + qx + r = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = 0 és egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényez®je 0, ezért az eljárás az alábbi két egyenlet megoldásával végz®dik, mely már az együtthatók ismeretében

könnyen megy: (x2 + ax + b) = 0 és (x2 + cx + d) = 0 4.2 Racionális gyökteszt Ez a ma is jól ismert eljárás már Albert Girard (15951632) francia matematikusnál megjelenik, azonban el®ször Descartes publikálta: Tekintsük az an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 egyenletet, ahol ai ∈ Q, i = 0, 1, . , n nevez®jével szorozva feltehetjük, hogy Ha szükséges, akkor az együtthatók közös ai ∈ Z, i = 0, 1, . , n Az egyenletet an−1 n -nel szorozva kapjuk, hogy n−1 (an x)n + an−1 (an x)n−1 + an−2 an (an x)n−2 + · · · + a1 an−2 = 0. n (an x) + a0 an an x helyébe y -t írva egy normált, egész együtthatós egyenletet kapunk: y n + bn−1 y n−1 + bn−2 y n−2 + · · · + b1 y + b0 = 0, ahol bi ∈ Z, i = 0, 1, . , n − 1 Descartes tétele szerint egy normált, egész együtthatós egyenlet minden racionális megoldása egész szám, mely osztja a konstans tagot. Els® lépésben bizonyítja, hogy minden gyök

egész szám: 29 http://www.doksihu Legyen y ∈ Q egy racionális gyök, melyet y = prímek. Tehát  y1 y2 n  + bn−1 y1 y2 n−1  + bn−2 y1 y2 y1 y2 alakban írunk, ahol n−2  + · · · + b1 y1 y2 y1 és y2 relatív  + b0 = 0, ahonnan y1n = −y2 (bn−1 y1n−1 + · · · + b1 y1 y2n−2 + b0 y2n−1 ). Ebb®l látszik, hogy y2 együtthatója osztja prímek, ez csak úgy lehetságes, ha y1n -t, y2 = ±1, tehát tehát y1 -t is. Mivel y1 és y2 relatív y ∈ Z. Második lépésben bebizonyítja, hogy minden gyök osztja a konstans tagot: y n + bn−1 y n−1 + bn−2 y n−2 + · · · + b1 y + b0 = 0 egyenletet az alábbi alakba írjuk: b0 = −y(y n−1 + bn−1 y n−2 + · · · + b1 ) Mivel (y n−1 + bn−1 y n−2 + · · · + b1 ) ∈ Z, ezért y osztója b0 -nak. Mindez az eredeti egyenletre azt jelenti, és an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 p hogy ha x = ennek nem egyszer¶síthet® q gyöke,

akkor p | a0 q | an . 4.3 Tschirnhaus módszere Tschirnhaus (1651  1708) német matematikus egy eljárást dolgozott ki az általános xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 egyenlet megoldására. Ötlete, hogy a jól bevált y = x+ an−1 n helyettesítés helyett válasszuk az y = xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 helyettesítést. A két fenti egyenletb®l kifejezve az x-et, y -ra y n + cn−1 y n−1 + · · · + c1 y + c0 = 0 30 az alábbit kapjuk: http://www.doksihu Tschirnhaus célja bi -k alkalmas megválasztása úgy, hogy m darab ci 0 legyen. Ha m = n − 1 értéket választjuk, akkor az n-ed fokú valamint a konstans tag kivételével a többi tag mind elt¶nik és az y n + c0 = 0 egyenletet kapjuk, melynek megoldása már könnyen kiszámolható: Tehát az n-ed fokú egyenletet sikerült visszavezetni az alábbi letre: y = √ n −c0 . (n − 1)-ed fokú egyen- √ n −c0 = xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0

Leibniz (1646  1716) azonban észrevette, hogy azok a feltételek, amelyek c1 , . , cn−1 elt¶nését biztosítják, egy egyenletrendszert adnak, amely tartalmazza, és melynek megoldása megegyezik egy bi különböz® hatványait (n−1)! fokú egyenlet megoldásá- val. A módszer célja, hogy a feladatot visszavezessük egy alacsonyabb fokú egyenletre, ez azonban az el®bbi észrevétel miatt n = 4-re n > 3 esetén már nem m¶ködik. Viszont egy hatodfokú egyenletet kapunk, melyet meg tudunk oldani. Alkalmazzuk Tschirnhaus eljárását az x3 + px + q = 0 (1) y = x 2 + b 1 x + b0 . (2) harmadfokú egyenletre. Legyen (1)-b®l és (2)-b®l fejezzük ki x-et x3 + px + q és x2 + b1 x + (b0 − y) polinomok rezultánsának segítségével, azaz határozzuk meg az alábbi determinánst: 1 0 p q 0 0 1 0 p q 0 0 1 b1 b 0 − y 0 1 b1 b0 − y 0 0 0 1 b1 b0 − y Itt tegyünk egy kis kitér®t, hogy a fönti determinánst megmagyarázzuk.

Két polinom rezultánsa a két polinom együtthatóiból felépül® olyan racionális kifejezés, amelynek a következ® tulajdonságai vannak: ha a két polinomnak van közös zérushelye, akkor a rezultáns értéke 0. Ha viszont a rezultáns értéke 0, akkor a két polinomnak van közös zérushelye Tehát f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an = a0 (x − α1 ) · · · (x − αn ) 31 http://www.doksihu g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm = b0 (x − β1 ) · · · (x − βm ) polinomok rezultánsának R(f, g) = am 0 g(α1 ) · · · g(αn ) kifejezést tekintjük. A fenti két polinom közös zérushelyének megkeresése megegyezik azzal a feladattal, hogy van-e az f (x) = 0 g(x) = 0 és egyenleteknek közös gyöke. Tegyük fel, hogy x=α közös gyök. Ekkor a0 αn + a1 αn−1 + · · · + an−1 α + an = 0, b0 αm + b1 αm−1 + · · · + bm−1 α + bm = 0. Szorozzuk meg a fels® egyenletet rendre az alsót rendre az αn−1 , αn−2 , . , α, 1

αm−1 , αm−2 , . , α, 1 számokkal, majd az számokkal, és az azonos hatványokat rendezzük egymás alá. Így a következ® egyenletrendszert kapjuk: a0 αn+m−1 + a1 αn+m−2 + · · · + an αm−1 = 0 a0 αn+m−2 + · · · + an−1 αm−1 + an αm−2 = 0 . . . b0 αn+m−1 + b1 αn+m−2 + · · · + bm αn−1 = 0 b0 αn+m−2 + · · · + bm−1 αn−1 + bm αn−2 = 0 . . . A homogén lineáris egyenletrendszerek elmlélete szerint a tekintett egyenletrendszer determinánsának értéke 0. Ez szükséges feltétele annak, hogy egyenleteknek legyen közös gyöke. polinomok R(f, g) rezultánsával. f (x) = 0 S®t ez a determináns megegyezik Ebb®l következik, hogy amennyiben sem 0, úgy a determináns elt¶nése elégséges feltétele g(x) = 0 f (x) és g(x) a0 és b0 egyike f (x) = 0 és g(x) = 0 egyenletek közös gyökének létezésére. Visszatérve, Tschirnhaus eljárásában szerepl® determináns értéke c3 y 3 + c2 y 2 + c1 y + c0 ,

32 és http://www.doksihu ahol c3 = −1 c2 = 3b0 − 2p c1 = 4pb0 − 3qb1 − 3b20 − pb21 − p2 c0 = q 2 + p2 b0 − pqb1 + 3qb0 b1 − 2pb20 + b30 − qb31 + pb0 b21 . A továbbiakban tehát a c3 y 3 + c2 y 2 + c1 y + c0 = 0 egyenlettel foglalkozunk, és célunk, hogy c1 és c2 (3) 0-val legyen egyenl®, azaz 0 = 3b0 − 2p, amib®l következik, hogy b0 = 2p . 3 Ezt a 0 = 4pb0 − 3qb1 − 3b20 − pb21 − p2 egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy pb21 + 3qb1 − amib®l p2 = 0, 3 ! r  p 3  q 2 q + − . 3 2 2 r  p 3  q 2 b1 értékét, valamint A := + , 3 2  3  q 3 3 3 . c0 = 2 A A− p 2 3 b1 = p Már ismerjük c0 -t és c3 -at b0 és tehát (3)-ba helyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk  3  3 q −y + 2 A A− = 0, p 2 3 3 3 melynek megoldása 6A y= p r 3 q A− . 2 Az (1) egy megoldását tehát a (2) segítségével, azaz az r 3 q 2p 6A 3 q x + A− x+ = A− p 2 3 p 2 2 33 (4) http://www.doksihu egyenlet

megoldásával kaphatjuk meg. Azonban általában (4) megoldásai közül csak egy megoldása (1)-nek is. A közös gyök megtalálásának céljából keressük meg (1) és (4) legnagyobb közös osztóját, mivel tudjuk, hogy az egyenleteknek akkor és csak akkor van közös gyökük, ha d(x) = 0 prímek, és az összes közös gyököt a d(x) Ha az f (x) A 6= 0 és f (x) = 0 g(x) és és f (x) g(x) = 0 nem relatív egyenlet gyökei szolgáltatják, amelyre g(x) r polinomoknak legnagyobb közös osztója. q B = 3 A − , akkor az Euklideszi algoritmus a következ® 2 és közös osztót adja:  2   3 p  p 2A B2 + Bx + − B 2 p 3 3 Ez csak úgy lehet egyenl® 0-val, ha Bx + azaz a megoldás p − B 2 = 0, 3 p 3 =B− p . B 3B B2 − x= Megjegyezzük, hogy ismét a Cardano-képletet kaptuk, ugyanis s B= 3 és q − + 2 r  p 3  q 2 + 3 2 s p − = 3B 3 q − − 2 r  p 3  q 2 + . 3 2 34 legnagyobb http://www.doksihu 5. Új szemlélet

A XVIII. század második felében már többé-kevésbé ismert volt a polinomok elmélete, képesek voltak magas szint¶ számításokat elvégezni, s®t Moivre (1667 1754) munkájában összekapcsolja a komplex számokat a trigonometriával, melynek segítségével meg lehet határozni az n-edik egységgyököket. Mindezek az egyen- letekkel kapcsolatos kutatásokat új irányba mozdították. Egy évszázadon belül az egyenletek elmélete gyors fejl®désen ment keresztül, mely drámaian megváltoztatta az egész algebrát. 5.1 Étienne Bézout E korszak els® munkái a 60-as években jelennek meg Euler (17071783) és Bézout (1730783) jóvoltából, kik új eljárásokat dolgoznak ki a legfeljebb 4-ed fokú egyenletek megoldására. Bézout 1765-ben kiadott munkájában már alkalmazza az egységgyököket: ötlete az x = a0 + a1 y + a2 y 2 + · · · + an−1 y n−1 yn = 1 helyettesítés. kiszámítjuk Ezekb®l a 31.-32 Rn (x)-et. lenthetjük, hogy oldalon

kifejtett rezultáns módszer segítségével Ha szükséges, Rn (x) normált. Ha Rn (x) x és y f®együtthatójával osztunk és így kije- a fenti egyenletrendszer gyökei, akkor x = a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1 , ahol w n-edik egységgyök, gyöke Rn (x) = 0-nak, tehát Rn (x) osztható az x − (a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1 ) kifejezéssel. a0 , a1 , . , an−1 független határozatlanok, böz® n-edik egységgyökök tartoznak, így Rn (x) = Rn (x) x megfelel® értékeihez külön- az alábbi módon írható fel: Y (x − (a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1 )), ahol a szorzat az n különböz® n-edik egységgyökön fut végig. Ha alakját fel tudjuk írni, akkor Rn (x) = 0 alapján egy tetsz®leges n-ed fokú Rn (x)-nek ezt az egyenlet megoldásait is megkapjuk. Ezek P (x) = 0 alakú egyenlet megoldása során célunk az 35 http://www.doksihu a0 , a1 , . , an−1 paramétereket úgy

megválasztani, hogy Rn (x) azonos formájú legyen P (x)-szel, így a P (x) = 0 egyenlet megoldásait a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1 alakban kaphatjuk meg. Alkalmazzuk Bézout módszerét az x3 + px + q = 0 harmadfokú egyenletre. Els® lépésben számoljuk ki R3 (x)-et −a2 y 2 − a1 y + (x − a0 ) = 0 y3 − 1 = 0 egyenletekb®l: −a2 −a1 x − a0 0 R3 (x) = −a2 −a1 0 0 −a2 1 0 0 1 Most válasszuk meg 0 0 x − a0 0 −a1 x−a 0 −1 0 0 0 −1 a0 , a1 , a2 = (x−a0 )3 −3a1 a2 (x−a0 )−(a31 +a32 ) paramétereket úgy, hogy R3 (x) megegyezzen az x3 + px + q polinommal: (2)-b®l fejezzük a2 -t, a0 = 0 (1) −3a1 a2 = p (2) −(a31 + a32 ) = q (3) majd ezt helyettesítsük be (3)-ba: a61 + qa31 − Ez egy másodfokú egyenlet a2 3 =0 a31 -re, melynek megoldását már ismerjük. a1 ismeretében már könnyen kiszámolható. R3 (x) = x3 + px + q  p 3 megoldásai a 3. egységgyökökön Jelölje

ς Rn (x) gyöktényez®s alakjából láthatjuk, a1 w + a2 w2 alakban el®állnak, ahol w hogy végigfut az egyik 1-t®l különböz® 3. egységgyököt Ekkor a megoldások: a1 + a2 , ςa1 + ς 2 a2 , 36 ς 2 a1 + ςa2 http://www.doksihu 5.2 Joseph Louis Lagrange Lagrange (17361813) 1770-ben kiadott Észrevételek az egyenletek algebrai megoldásával kapcsolatban cím¶ m¶ve a korszak legérthet®bb és legátfogóbb m¶ve. El®ször felülvizsgálja a harmad- és negyedfokú egyenletek ismert megoldási eljárásait, melyeket megpróbál magasabb fokú egyenletekre is kiterjeszteni, majd ezt követ®en kidolgozza saját elméletét. Bézout munkájából az alábbi következtetéseket vonja le: ha egy n-ed fokú egyenlet megoldásai a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1 alakban el®állnak, ahol w végigfut az n-edik egységgyökökön, és n-edik egységgyököt, akkor x1 , . , x n ς jelöl egy primitív gyökökre az alábbi

kifejezéseket kapjuk: x1 = a0 + a1 + a2 + · · · + an−1 x2 = a0 + a1 ς + a2 ς 2 + · · · + an−1 ς n−1 x3 = a0 + a1 ς 2 + a2 ς 4 + · · · + an−1 ς 2(n−1) . . . 2 xn = a0 + a1 ς n−1 + a2 ς 2(n−1) + · · · + an−1 ς (n−1) Tehát az általános alak: xi = n−1 X aj ς (i−1)j , ahol i = 1, . , n j=0 a0 , . , an−1 paraméterek megszorozni ressük meg ς ak meghatározásához mindegyik egyenletet alkalmas hatványával, majd a kapott egyenleteket összeadni. Ke- értékét: a szorzást és összeadást követ®en n X ς −(i−1)k xi = i=1 egyenletet kapjuk. Ha megoldása az elegend® n−1 X aj j=0 j 6= k , akkor n X ! ς (j−k)(i−1) ς (j−k) egy egyt®l különböz® egységgyök, tehát xn − 1 = xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 x−1 egyenletnek, amib®l következik, hogy n X (1) i=1 ς (j−k)(i−1) = 0. i=1 37 http://www.doksihu Így (1) jobboldalán minden tag elt¶nik, kivéve a keresett

tagot, amikor j = k , tehát az alábbi egyenl®séget kapjuk: 1 n Ebb®l látható, hogy tehát ak egy n! ak összes, n X ! ς −(i−1)k xi = ak i=1 x1 , . , xn permutációival megadott értéke különböz®, fokú egyenlet egy megoldása. Azonban Lagrange megmutatta, hogy ank csak (n−1)! értéket vesz fel, s®t ha n prímszám, akkor ank egy megoldása egy n−1 fokú egyenletnek, melynek együtthatói meghatározása megegyezik egy (n − 2)! fokú 5 egyenlet megoldásával. Így például n = 5 esetén ak meghatározása egy 3! = 6 fokú k egyenlet megoldását igényli. Ha n = pq , ahol p prím és q | k , akkor ap egy megoldása p − 1 fokú egyenletnek, melynek együtthatói meghatározása megegyezik n! 2 fokú egyenlet megoldásával. n = 6 esetén a3 meghatározása tehát p (p − 1)p(q!) egy egy egy 10-ed fokú egyenlet megoldását igényli. Ezek Lagrange-ban kétséget ébresztettek az általános ötödfokú illetve magasabb fokú

egyenletek megoldhatósága fel®l. Az általa vizsgált eljárásokból levont végs® következtetés végülis az, hogy bármely fokú egyenlet a jöv®ben megoldható lesz egy rezultáns egyenlet segítségével, melynek megoldásai x1 + wx2 + w2 x3 + · · · + wn−1 xn alakba írhatók, ahol w egy n-edik egységgyök. Ma ezt a t(w) = x1 + wx2 + w2 x3 + · · · + wn−1 xn kifejezést nevezzük Lagrange rezolvensnek. Ennek ismeretében egy n-ed fokú egyenlet megoldásai: 1 xi = n ! X w−(i−1) t(w) w 5.3 Abel-Runi tétel Lagrange felfedezéseit követ®en Paolo Runi (17651822) 1799-ben kiadta Teoria Generale delle Equazioni cím¶ munkáját, melyben bebizonyította, hogy a legalább ötödfokú egyenletek nem oldhatók meg gyökjelekkel. Bizonyításának 516 oldala azonban túl hosszú és nehéz volt még a többi matematikus számára is, így munkájára negatív kritikákat kapott. Ezért bizonyítását leegyszer¶sítette, de még így sem kapta meg

az elismerést. Egyedül Cauchy (17891857) támogatta munkája helyességét. Bizonyítása azonban tényleg hibákat, hiányosságokat tartalmazott 38 http://www.doksihu 1824-ben Niels Henrik Abel (18021829) által új bizonyítás jelent meg, mely már kiküszöbölte Runi hibáit. Az Abel-Runi tétel tehét a következ®: Az általános n-edfokú egyenlet esetén nem oldható meg gyökjelekkel, azaz az n≥5 n ≥ 5 esetén az általános n-edfokú polinom felbontási teste gyökökkel nem elérhet®. Az állítás igazolásának alapvet® ötlete, társítunk, melynek részcsoprtjai hogy az egyenlet gyökeihez csoportot alapján a megoldhatóság eldönthet®. Ha a részcsoportoknak létezik olyan növekv® lánca, amelyben az egyes tagok az el®z® részcsoportnak viszonylag egyszer¶ b®vítései, akkor az egyenlet gyökjelekkel megoldható. A szükséges deníciók a következ®k: Deníció: f ∈ K[x] αi ∈ L K Legyen K ≤L test, és

tegyük föl, hogy c ∈ K ). Ekkor tartalmazza egy nem nulla f (x) = c(x − α1 ) · · · (x − αn ) polinom összes gyökét (vagyis elemekre, ahol L K(α1 , . , αn ) az f alkalmas polinom felbontási teste fölött. Deníció: 1. A K A K test felett gyökökkel elérhet®nek nevezzük testet. 2. Ha az L K -nak test a elérhet®, és véges algebrai b®vítése, amely K felett gyökökkel M = L(b), ahol b az L felett irreducibilis, prímfokú xp − a polinom gyöke, akkor M gyökökkel elérhet® a 3. Csak azokat a testeket nevezzük K K felett. felett gyökökkel elérhet®nek, amelyek az el®z® két lépés véges sokszori alkalmazásával állíthatók el®. Végül Galois (18111832) 1829-ben már elégséges feltételt adott egy egyenlet megoldhatóságára: Legyen K ≤C test, és f ∈ K[x] egy irreducubilis polinom. Ha valamelyik (komplex) gyöke fölírható egy olyan képlettel, amely a négy alapm¶velettel és

gyökvonásokkal keletkezik, akkor az felbontási testének Galois-csoportja feloldható csoport. 39 f f f együtthatóiból polinom K fölötti http://www.doksihu 6. Életra jzok Thalész Élt Kr. e 624546 között Milétoszban született el®kel® családban Hírnevét politikai tanácsadóként szerezte. A hét bölcs egyike, a matematika és lozóa atyja, a milétoszi iskola els® képvisel®je, a legkorábbi görög természetlozófus. Ž az els® olyan görög matematikus, akinek neve máig fennmaradt. Ž fogalmazta meg a geometria egyik legels® alaptételét, a róla elnevezett Thalész-tételt. Szintén az ® eredménye a párhuzamos szel®k tétele. Az olümpiai játékok gyelése közben halt meg Diophantosz Élt Kr. e 250 körül Alexandriából származó görög matematikus Az ókori görög matematika utolsó nagy képvisel®je. F®m¶ve, az Arithmetica tizenhárom könyvéb®l csak hat maradt fenn. Els®- és másodfokú egyenleteket oldott meg,

valamint határozatlan egyenletekkel is foglalkozott. Az olyan feladványokat kedvelte, amelyek megoldása egész szám, ezért az ilyeneket mindmáig diofantikus problémáknak nevezzük. Brahmagupta Élt 598668 között. Bhinmalban született Indiai matematikus, csillagász Leghíresebb Brahmasphutasiddhanta c. m¶ve a legkorábbi matematikai m¶, melyben a nulla, mint szám szerepel. Brahmagupta negatív számokon végrehajtott m¶veleteket is leír Jelent®s eredménye az általános másodfokú egyenlet megoldóképlete. Hvárizmi Élt 780850 között. Horezm városában született. Életér®l nagyon keveset tudunk. Matematikusok és csillagászok vezet® személyisége volt. Aritmetikai és algebrai m¶vei óriási hatást gyakoroltak a matematika továbbfejl®désére. Nevezetes munkája, amely arab 40 http://www.doksihu nyelven is fennmaradt a Kitáb al-dzsabr val mukabala, azaz a Helyreállítás és egyszer¶sítés könyve. Az els® - és másodfokú

számegyütthatós egyenletek megoldását tárgyalta Abu Kámil Élt 850930 között. Egyiptomi muszlim matematikus volt, kit az Egyiptomi számológépnek neveztek Életér®l nagyon keveset tudunk. Abu Kámil korának polihisztoraitól eltér®en a matematika egy területére, az algebrára összpontosított. Munkái fontos szerepet játszanak a matematika Európában való elterjedésében, ugyanis módszereit kés®bb Fibonacci alkalmazta. Omar Hajjám Élt 10481131 között. Nisapur városában született, tudós perzsa költ®, csillagász, matematikus, lozófus Neve sátorkészít®t jelent Tudására felgyelve a szultán egészen atalon az udvarába hívja. Kés®bb Iszfahánban él, a szultán pártfogoltjaként Megpróbálkozik az algebra és a geometria élesebb elkülönítésével, és már harmadfokú egyenleteket old meg. Nagyban hozzájárult a számfogalom pontosításához. Scipione del Ferro Élt 1465.020615261105 között Bolognában született

1496-tól a bolognai egyetem számtan és geometria el®adója. Édesapja papírgyártással foglalkozott, melynek köszönhet®en del Ferro az oktatás mellett a papír kereskedelmében is részt vett Megoldotta az x3 + px = q alakú egyenletet, azonban más munkái nem maradtak fenn, melynek következménye, hogy neve kevésbé ismert. Cardano így ír róla: Egy ember egyedülálló módon tehetséges ebben a m¶vészetben (algebra). Niccoló Fontana Tartaglia Élt 14991557 között. Bresciában született Olasz matematikus, er®dítményeket tervez® mérnök, földmér® és a Velencei Köztársaság könyvel®je. Több könyve jelent meg, köztük Arkhimédész és Euklidész els® olasz fordítása. Édesapját 1505-ben meggyilkolták Ezután Niccoló két testvérével és édesanyjával élt nagy szegénységben. 1512-ben további tragédia 41 http://www.doksihu érte, amikor a franciák lemészárolták Brescia lakóit. Ekkor szerezte sérülését, melynek

következtében beszédhibás lett, és megkapta a Tartaglia, azaz a dadogós nevet. Gerolamo Cardano Élt 1501.092415760921 között Olaszországban, Paviában született Matematikus, zikus, orvos, asztrológus. Apja ügyvéd volt, de a matematikával is kapcsolatban állt Cardano a paviai egyetemen tanult orvosnak, ahol kés®bb rektorrá választották. 1525-ben megszerezte az orvosi doktorátusát, azonban nem túl sikeres orvosi praxist alakított ki. Nem tudott elég pénzt keresni, ezért a szerencsjátékhoz fordult, de végül szegényházba került. Kés®bb óriási szerencséjére megkapta édesapja korábbi posztját és matematikát adhatott el® Milánóban. Ekkor a Fizikusok Kollégiuma is befogadta, és ekkor kezd®dött Cardano igazi karrierje. Foglalkozni kezdett a harmad- és negyedfokú egyenletek megoldhatóságával. F®eredménye ma Cardano-képlet néven ismeretes, amelyet az Ars Magna c. könyvében publikált 1545-ben Vezet®, elismert tudóssá

vált, és a Fizikusok Kollégiuma rektorrá avatta. 1570-ben Cardano börtönbe került eretnekség vádjával, ugyanis elkészítette Krisztus horoszkópját. Mivel egyéb ügyekben támogatta az egyházat, nem büntették meg súlyosan. Az algebra mellett Cardanónak fontos felfedezései voltak a hidrodinamikában, mechanikában, valószín¶ség-számításban, geológiában. Cardanóról kapta nevét a hajók irányt¶inek fölfüggesztésére szolgáló kardántengely. Ludovico Ferrari Élt 1522.020215651005 között Bolognában született Édesapja halála után nagybátyjával élt, kinek köszönhet®en Ferrari Cardanóhoz kerülhetett szolgaként Cardano észrevette, hogy a 14 éves Ferrari tud írni-olvasni, és felmentette ®t szolgai feladatai alól, és kinevezte titkárának, majd kés®bb matematikát tanított neki. 18 éves korában már tanított, majd 1541-ben a milánói egyetem el®adója lett. Ž fedezte fel a negyedfokú egyenlet megoldóképletét.

Eredményeinek köszönhet®en a császár felkérte a mellé tanítónak. Azonban ® a jobb zetés és pozíció reményében Milánó adószakért®je lett, melynek köszönhet®en atalon és gazdagon vonult vissza Bolognába. 1565-ben a bolognai egyetem állást ajánlott neki. Ferrari nem sokkal ez után arzénmérgezésben halt meg 42 http://www.doksihu Francois Viéte Élt 1540.16031213 között Franciaországban született Foglalkozását tekintve jogász és parlamenti képvisel® volt, kedvtelésb®l ¶zte a matematikát. Sokoldalúságát a francia udvar is igénybe vette. Megfejtette a spanyolok megfejthetetlennek vélt kódját, ezzel segítve az ellenük vívott háborút. Bet¶jelöléseket bevezetve lehet®vé tette az egyenletek általános alakjának és megoldásának felírását. Megállapította a gyökök és együtthatók összefüggését néhány esetre (Viéte-formulák). Kidolgozta az algebrai mennyiségekkel való m¶veletek szabályait. René

Descartes Élt 1596.033116500211 között Francia lozófus, természetkutató és matematikus volt. Touraine megye La Haye nev¶ városában (ma már elnevezték róla Descartes-nak) született nemes, ám sem nem gazdag, sem nem híres családba. Tanulmányait a IV Henrik által alapított La Fleche-i jezsuita líceumban kezdte, amely egyike volt Európa legkiválóbb iskoláinak. Itt elsajátította a latin nyelvet 1616-ban jogi licenciátust szerzett, majd 1618-ban pedig Hollandiába utazott, ahol megismerkedett Isaac Beeckman nev¶ zikussal, aki a matematika és a zika felé fordította érdekl®dését. 1619-ben hosszabb utazásra indult, melynek során Magyarországra is ellátogatott. 1628-ban újból Hollandiába költözött, és az egyik szolgálóleánytól gyereke született, aki sajnos 1650-ben meghalt. Descartes 1649-ben Stockholmba utazott, és nemsokára, 1650-ben tüd®gyulladásban halt meg. A matematikában els®sorban a geometriai munkássága miatt ismer La

Géométrie cím¶ könyve három részre oszlik: az els® kett® témája az analitikus geometria, a harmadik könyv algebrai fejtegetéseket tartalmaz. Ehrenfried Walther von Tschirnhaus Élt 1651.041017081011 között Német matematikus, zikus, orvos és lozófus volt 15 éves koráig magántanára volt, majd 1666-ban Görlitzbe járt gimnáziumba, ahol felkészítették az egyetemre, és ahol magas szint¶ matematikai oktatást kapott. 1668 ®szén a leideni egyetem diákja lett, ahol matematikát, lozóát, zikát és gyógyszerészetet tanult. Az 1672-ben kitört háború miatt 18 hónapra félbe kellett szakítania tanulmányait, 43 http://www.doksihu majd 1674-ben európai körútra indult. 1682-ben a párizsi Tudományos Akadémia tagjává választották. 1683-ban megházasodott, és folytatva kutatásait, publikálta saját módszerét az általános harmadfokú egyenlet megoldására. A következ® években sok munkája megjelent, valamint a porcelánnak, mint

anyagnak az el®állításával kísérletezett Feleségének halálát követ®en újraházasodott, de a háborúknak köszönhet®en nagy szegénységben halt meg. Porcelánjának termelését halála után, 1710-ben kezdték meg Étienne Bézout Élt 1730.033117830927 között A franciaországi Nemours-ban született Nagyapja és édesapja is elöljáró volt, azonban Bézout Euler munkáit olvasva a matematika mellett kötelezte el magát. 1758-ban a párizsi Tudományos Akadémai adjunktusává választották, és tankönyveket kezdett írni. Tankönyvei igen népszer¶ek voltak, angol fordításban ÉszakAmerikában is használták ®ket Algebra témájú könyveit is sokan olvasták Mivel sok id®t töltött oktatással, kevés ideje maradt kutatásokra, melyekben általános problémák megoldásait kereste. Algebrai eredményeit az 1779-ben kiadott Théorie générale des équations algébraiques c. m¶ összegzi Halála után Nemours-ban egy szobrot állítottak, így

emlékezve nagyszer¶ eredményeire. Joseph Louis Lagrange Élt 1736.012518130410 között. Olasz születés¶ francia matematikus. Édesapja ügyvédnek szánta, ezért a torinói f®iskolán tanult, kedvenc tárgya a klasszikus latin volt, a matematikát unalmasnak találta. Érdekl®dését Halley munkája keltette fel, melyben az algebrát az optikában alkalmazta. Els® matematikai munkáját 1754-ben adta ki, melyet Luigi De la Grange Tournier néven írt alá. Ezt követ®en tovább folytatta kutatásait, eredményeir®l Euler-t mindig levélben értesítette. Eredményeinek köszönhet®en már 19 éves korában a torinói Royal Artillery School matematika professzora lett. szerepe volt a torinói Tudományos Akadémia megalapításában. 1757-ben 1764-ben a Hold li- brációjával kapcsolatos értekezéséért megkapta a párizsi Tudományos Akadémia díját. 1766-ban Berlinbe ment, hogy átvegye Euler megüresedett helyét az ottani akadémián. 1787-ig élt

Berlinben, ahol kidolgozta Észrevételek az egyenletek algebrai megoldásával kapcsolatban c. m¶vét, mely új korszakot nyitott az algebra történetében Berlin után Párizsba költözött, ahol Napóleon kinevezte szenátorrá, és gró címet adományozott neki. 44 http://www.doksihu Paolo Runi Élt 1765.092218220510 között Olasz matematikus és lozófus volt 1783-ban a modenai egyetem diákja lett, ahol matematikát, gyógyszerészetet, lozóát és irodalmat tanult. 178788-ban még diák volt, de már analízist oktatott az egyetemen A diploma megszerzése után pedig már az egyetem professzora lett. Mikor Napóleon seregei megszállták Modenát, Runi a politikai életben találta magát, és képvisel® lett. Kés®bb tisztségét elhagyva ismét tanítani szeretett volna, azonban ezt megtagadták t®le. Runi nem esett kétségbe, több ideje jutott kutatásaira, beleértve az ötödfokú egyenletek elméletét. 1799-ben kiadott m¶vében kijelenti, hogy

az ötödfokú egyenletek nem oldhatók meg radikálokkal, azonban bizonyításában hiba található. Az elutasítást követ®en 7 évig alkalmazott matematikát tanított a modenai katonai iskolában, majd Napóleon elesése után a modenai egyetem rektorává választották. 1817-ben tífuszos lett, amib®l sosem sikerült teljesen felépülnie. Niels Henrik Abel Élt 1802.080518290406 között Norvég matematikus volt A 14 éves Abelt szülei a christianiai Cathedral Schoolba küldték tanulni, ahol matematika tanára felfedezte képességeit, és különórákat adott neki. 1821-ben egyetemista lett. Tudását tovább b®vítette Newton, Euler, Lagrange és Gauss munkáin keresztül. 1823-ban egyik munkája megjelent egy helyi tudományos lapban. Még ebben az évben Koppenhágába utazott, ahol részt vett a tudományos életben. 1824-ben kiadta az ötödfokú egyenletekr®l szóló elméletét, azonban elméletének bizonyítása nem volt tökéletes, így a várva várt

elismerés elmaradt. 1825-ben lehet®séget kapott az utazásra, így 4 hónapot töltött Berlinben, ahol egy új tudományos lapban publikálhatott, mely Abel munkáinak köszönhet®en vezet® folyóirattá vált. 1826 júliusában érkezett Párizsba, ahol kidolgozta Párizsi éretkezését, melyet elküldött a Tudományos Akadémiának. Valaszt azonban nem kapott, és élete végéig úgy hitte, munkája örökre elveszett. Párizst szegényen és szomorúan hagyta el, hogy tudását szül®földjén kamatoztassa. Visszatérve Norvégiába útját kudarcként élte meg, hisz Párizsban nem jelent meg munkája, és Gauss-t sem látogatta meg Hogy adósságait kizesse, magántanárnak állt. 1828-ban ideiglenes állást kapott a christianiai egyetemen, ami ki45 http://www.doksihu csit javított anyagi helyzetén. Ezt követ®en Berlinben dolgozott, de rövid id® belül ismét visszatért Christianiába, ahol megbetegedett, és ágyhoz kötötté vált. Utolsó heteiben

párizsi munkáját próbálta újraírni. Végül 26 évesen belehalt betegségébe Elveszettnek hitt munkáját halála után 2 nappal megtalálták és dicséretekkel halmozták el, majd az Akadémia díjával jutalmazták. 46 http://www.doksihu Hivatkozások [1] Sain Márton: Nincs királyi út: Matematikatörténet [2] A.P Juskevics: , Gondolat, Budapest, 1986 , Gondolat, Budapest, 1982 A középkori matematika története [3] [4] Kiss Emil: , Typotex, Budapest, 2007 Bevezetés az algebrába [5] Szele Tibor: , Tankönyvkiadó, Budapest, 1977 Bevezetés az algebrába [6] http://www.mathu-szegedhu/klukovit/Hallgatoknak/AlgTort 47