Matematika | Analízis » Juhász Gergely - A Banach-fixponttétel és alkalmazásai

http://www.doksihu Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A Banach-fixponttétel és alkalmazásai Szakdolgozat Juhász Gergely Matematika B.Sc, matematikai elemz® szakirány Témavezet®: Karátson János , egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A Banach-xponttétel 4 2.1 Metrikus terek és tulajdonságaik 2.2 Banach-xponttétel 3. Egyenletrendszerek 4 6 8 3.1 Lineáris egyenletrendszerek 8 3.2 Nemlineáris egyenletrendszerek 12 4. Integrálegyenletek 15 4.1 Fredholm-integrálegyenlet 15 4.2 Feladat: Love-integrálegyenlet 16 5. Közönséges dierenciálegyenletek 18 5.1 A kezdetiérték-feladat 18 5.2 Alkalmazás: visszavezetés nemlineáris rendszerre 23 6.

Parciális dierenciálegyenletek 25 6.1 Poisson-egyenlet és Green-féle függvény 25 6.2 Nemlineáris elliptikus feladat 28 6.3 Egy további alkalmazás: visszavezetés lineáris egyenletrendszerre 31 7. Összefoglalás 34 http://www.doksihu Köszönetnyilvánítás Köszönettel tartozom témavezet®mnek, Karátson János egyetemi docensnek, aki végig segítette a munkámat, hasznos tanácsaival, precíz magyarázataival és a megfelel® irodalmak ajánlásával nagyban hozzájárult a dolgozatom elkészüléséhez. 2 http://www.doksihu 1. Bevezetés A matematika területén jelent®s eredménynek számít a Banach-xponttétel, amely fontos megállapítást tesz a metrikus terek elméletében. A tétel bebizonyítja, hogy metrikus terekben minden kontrakciónak létezik xpontja, és ez a xpont egyértelm¶. A tétel alkalmazásaival és következményeivel az alkalmazott analízis területén akkor találkozhatunk, amikor egy

adott problémára matematikai modellt állítunk fel. Ilyen problémák els®sorban a zika területén fordulnak el®. A modell megoldására készíthetünk egy iterációs eljárást, amelyre a megfelel® feltételek mellett alkalmazható a xponttétel eredménye. A dolgozatom célja, hogy bemutassam a metrikus terek tulajdonságait, valamint betekintést nyújtsak a xponttételen alapuló egyes alkalmazásokba. A dolgozat terjedelmére való tekintettel csak néhány fontosabb témakörr®l lesz szó, amelyek a következ®k: lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek, integrálegyenletek, közönséges és parciális dierenciálegyenletek. További cél az el®bb említett területekr®l iterációs eljárás készítése egy általánosított modellre. A témaköröket érint® speciális esetekr®l csak abban az esetben lesz szó, amennyiben azok külön bizonyításra szorulnak. A témák tárgyalásánál egy-egy konkrét probléma felvetése segít majd megérteni, mire

is jó az adott modell. Ezenkívül némelyik fejezethez kapcsolódik majd feladatmegoldás, illetve speciális alkalmazás. 3 http://www.doksihu 2. A Banach-xponttétel A fejezet els® része az alapvet® fogalmak bevezetésére szolgál, amelyek szükségesek ahhoz, hogy megértsük a metrikus terek felépítését, valamint a rajtuk értelmezett sorozatok és leképezések tulajdonságait. A második részben pedig kimondjuk és bebizonyítjuk a dolgozat alapját képz® Banach-xponttételt. 2.1 Metrikus terek és tulajdonságaik A metrikus terek bevezetéséhez szükségünk lesz egy tetsz®leges halmazra, amin értelmezni tudunk egy távolságfüggvényt: 2.11 Deníció Legyen X tetsz®leges halmaz és d : X R0+ nemnegatív érték¶ valós függvény. A d-t az X feletti metrikának (távolságfüggvénynek) nevezzük, ha bármely x, y, z ∈ X esetén igazak az alábbi tulajdonságok. • d(x, y) = 0 ⇔ x = y ; • d(x, y) = d(y, x) (szimmetria); • d(x, z) + d(z,

y) ≥ d(x, y) (háromszög-egyenl®tlenség). 2.12 Deníció Legyen X tetsz®leges halmaz és d metrika X felett. Ekkor az (X, d) párt metrikus térnek nevezzük. Szükségünk lesz továbbá a metrikus tereken értelmezett sorozatok tulajdonságaira is, hiszen ebben az esetben nem mindig viselkednek úgy, ahogy a valós számoknál megszoktuk. 2.13 Deníció Legyen x0 ∈ X és ε > 0 tetsz®leges rögzített valós szám. Az x0 pont ε sugarú környezete: Kε (x0 ) = {x ∈ X : d(x0 , x) < ε} . 4 http://www.doksihu 2.14 Deníció Azt mondjuk, hogy az (xn ) ⊂ X sorozat konvergens, ha ∃a ∈ X amelyre d(xn , a) 0, azaz ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N xn ∈ Kε (a). 2.15 Deníció Egy (xn ) ⊂ X sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀m, n > N d(xn , xm ) < ε. 2.16 Deníció Azokat a metrikus tereket, amelyekben minden Cauchy-sorozat konvergens, teljes metrikus térnek nevezzük. A leképezések

tulajdonságainak deniálásához legyenek adottak az (X, dX ) és az (Y, dY ) metrikus terek, valamint az f : X Y leképezés. 2.17 Deníció Azt mondjuk, hogy f folytonos az x0 ∈ X pontban, ha ∀(xn ) ⊂ X sorozatra igaz, hogy xn x0 2.18 Deníció Az ⇒ f (xn ) f (x0 ). f leképezés kielégíti az L-állandós Lipschitz-feltételt L > 0 mellett, ha igaz a következ®: dY (f (x1 ), f (x2 )) ≤ LdX (x1 , x2 ) minden x1 , x2 ∈ X esetén. 2.19 Deníció Azt mondjuk, hogy f kontrakció, ha ∃q ∈ [0, 1), amelyre igaz a következ®: dY (f (x1 ), f (x2 )) ≤ qdX (x1 , x2 ) minden x1 , x2 ∈ X esetén. 2.110 Következmény Minden kontrakció folytonos 2.111 Deníció Legyen f : X X , azt mondjuk, hogy az x∗ ∈ X az f leképezés xpontja, ha f (x∗ ) = x∗ . 5 http://www.doksihu 2.2 Banach-xponttétel 2.21 Tétel (Banach-xponttétel) Legyenek X teljes metrikus tér és f :X X kontrakció. Ekkor 1. f -nek létezik egyetlen xpontja 2.

Tetsz®leges x0 ∈ X kezd®pont esetén az xn := f (xn−1 ) iteráció konvergens, és limn∞ xn = x∗ . S®t, érvényes a d(x∗ , xm ) ≤ A · d(x1 , x0 ) · q m becslés, ahol A ≥ 0 konstans. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > m Ekkor d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn−1 ) + d(xn−1 , xn−2 ) + · · · + d(xm+1 , xm ) ≤ ≤ q n−1 d(x1 , x0 ) + q n−2 d(x1 , x0 ) + · · · + q m d(x1 , x0 ) = = (q n−1 + q n−2 + · · · + q m )d(x1 , x0 ) = = (q n−m−1 + q n−m−2 + · · · + q + 1)d(x1 , x0 )q m ≤ 1 d(x1 , x0 )q m . 1−q Ekkor m ∞ esetén a jobboldal 0-hoz tart, így ≤ (2.1) ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀m, n > N d(xn , xm ) < ε, tehát xn Cauchy-sorozat. Mivel X teljes metrikus tér, így xn konvergens is: ∃ lim xn = x∗ ∈ X. n∞ Tekintsük az n-edik iteráltat: xn = f (xn−1 ). Térjünk át határértékre: lim xn = lim f (xn−1 ) = f ( lim xn−1 ) n∞ n∞ n∞ 6 (2.2) http://www.doksihu Innen (2.2)-b®l következik,

hogy x∗ = f (x∗ ). Az egyértelm¶séghez indirekt tegyük fel, hogy x∗ és y ∗ is xpontja f -nek és x∗ 6= y ∗ . Ekkor d(x∗ , y ∗ ) > 0, így d(x∗ , y ∗ ) = d(f (x∗ ), f (y ∗ )) ≤ qd(x∗ , y ∗ ) ⇒ 0 ≤ (q − 1) (d(x∗ , y ∗ )) . | {z } | {z } <0 >0 Ellentmondásra jutottunk, tehát a xpont egyértelm¶. A becslésünket is könnyen igazolhatjuk, hiszen (2.1) igaz d(xn , xm )-re ∀n, m esetén, így d(x∗ , xm )-re is: d(x∗ , xm ) ≤ 1 d(x1 , x0 )q m . 1−q | {z }  A 2.22 Következmény Ha X Banach-tér, B : X X folytonos lineáris leképezés és kBk < 1, akkor x = Bx + c-nek létezik egyértelm¶ megoldása. Bizonyítás. Legyen f (x) := Bx + c, ekkor x = Bx + c ⇔ x = f (x). Megmutatjuk, hogy f kontrakció: kf (x) − f (y)k = kB(x − y)k ≤ kBk · kx − yk A kBk < 1 feltétel következtében f kontrakció, így a 2.21 tétel értelmében létezik egyetlen megoldás.  7 http://www.doksihu 3.

Egyenletrendszerek A gyártási folyamatok modellezését gyakran oldják meg egyenletrendszerekkel. Jelöljük x-szel az alapanyagot, és a mennyiség¶ x-b®l gyártunk egy b terméket: a · x = b. Bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Legyenek x1 , x2 , , xn az alapanyagok és ezek kombinációjából állítjuk el® b-t: a1 · x1 + a2 · x2 + . + an · xn = b Most tegyük fel, hogy a teljes üzemben nem csak b-t, hanem b1 , b2 , . , bm termékeket gyártanak az alapanyagokból: a1,1 · x1 + a1,2 · x2 + . + a1,n · xn = b1 a2,1 · x1 + a2,2 · x2 + . + a2,n · xn = b2 . . am,1 · x1 + am,2 · x2 + . + am,n · xn = bm Cél: adott b1 , . , bm -hez x1 , , xn -et keresünk Jelölések: • A ∈ Rn×m az ai,j együtthatókból álló mátrix; • x ∈ Rn a xi koordinátákból álló vektor; • b ∈ Rm a bi koordinátákból álló vektor. A fenti egyenletrendszert lineárisnak nevezzük, mivel minden változójában lineáris. 3.1 Lineáris

egyenletrendszerek Az olyan Ax = b alakú lineáris egyenletrendszerek xponttételre alapuló iterációs megoldását vizsgáljuk, ahol adott A ∈ Rm×m és b ∈ Rm . Feltesszük, hogy létezik A−1 , tehát A reguláris, és detA 6= 0. 8 http://www.doksihu 3.11 Deníció Az X lineáris teret lineáris normált térnek nevezzük, ha bármely x, y ∈ X és α ∈ R esetén igazak a következ®k: 1. kxk ≥ 0, és kxk = 0 ⇔ x = 0; 2. kαxk = |α| · kxk; 3. kx + yk ≤ kxk + kyk Ez a kxk az x vektor normája. 3.12 Deníció Legyen 1 ≤ p ≤ ∞ Ekkor x ∈ Rn esetén kxkp := n X !1/p |xi |p , ha p < ∞ és kxk∞ = max |xi | , ha p = ∞. 1≤i≤n i=1 A leggyakrabban használt normák elnevezése: • ha p = 1: oktaéder-norma; • ha p = 2: euklideszi-norma; • ha p = ∞: maximum-norma. A maximum-norma mint határérték értend®, mivel limp∞ kxkp = kxk∞ . 3.13 Deníció A vektornorma segítségével megkapható a mátrixnorma: kAk := sup x6=0 kAxk

. kxk |aij |) (oszlopösszeg norma); • p = 1: kAk1 = maxj ( • p = ∞: P kAk∞ = maxi ( ni=1 |aij |) (sorösszeg norma);

1/2 kAk2 = λmax AT A (euklideszi norma). • p = 2: Pn i=1 Az egyszer¶ iteráció, ahogy a neve is mutatja, a legegyszer¶bb iterációs módszer lineáris egyenletek megoldására. Itt az Ax = b egyenletrendszer x = Bx + c alakra hozható. Ekkor a megfelel® feltételek mellett az egyenletrendszer megoldása az alábbi sorozat határértéke: xn+1 = Bxn + c. 3.14 Tétel Ha kBk < 1, akkor az x = Bx+c egyenletrendszernek létezik egyetlen megoldása. 9 http://www.doksihu Bizonyítás. A 222 egyszer¶ következménye  Nyilvánvaló, hogy minden x = x − D(Ax − b) egyenletrendszer is x = Bx + c alakú, továbbá ha det D 6= 0, akkor az Ax = b rendszerrel ekvivalens. Megfordítva, x = Bx + c is felírható ilyen alakban, ahol D = (I − B)A−1 . 3.15 Lemma [3] A B mátrix összes λi sajátértéke legyen a |λ| ≤ q körben Ekkor

létezik olyan D invertálható mátrix, hogy a Λ = D−1 BD mátrix normája kΛk1 ≤ q. 3.16 Tétel Az x = Bx+c rendszernek pontosan akkor létezik egyetlen megoldása, ha a B mátrix összes sajátértékének abszolút értéke kisebb, mint 1. Bizonyítás. Elégségesség: legyen q olyan, amelyre maxi |λi | < q < 1. A 315 lemma feltételei teljesülnek, ezért létezik olyan D mátrix, hogy kΛk1 < q . Ekkor Λ = D−1 BD ⇒ B = DΛD−1 ⇒ B n = DΛD−1 D · · · D−1 DΛD−1 = DΛn D−1 . Ezért n ∞ esetén kB n k1 ≤ kDk1 · D−1 1 q n 0, így kxn − x∗ k1 ≤ kDk1 · D−1 1 q n kx0 − x∗ k1 0. Szükségesség: Legyen |λl | ≥ 1 és el a megfelel® sajátvektor. Ekkor a kezdeti közelítés x0 = x∗ + cel , amellyel az r0 = cel adódik, ahol c 6= 0, így r1 = x1 − x∗ = Bx0 − x∗ + c = |{z} Bx∗ +cBel − x∗ + c = cBel = cλl el . x∗ −c Tegyük fel, hogy rn = xn − x∗ = λnl cel . Ekkor n+1 ∗ n+1 ∗ n+1 rn+1 =

xn+1 −x∗ = B n+1 x0 −x∗ +c = |B n+1 {z x} +cB el −x +c = cB el = cλl el . x∗ −c Mivel limn∞ rn = limn∞ λnl cel 6= 0, ezért a feltevés szükséges. Tekintsük az egyszer¶ iterációt az alábbi formában: xn+1 − xn + Axn = b, ω 10 n = 0, 1, . ,  http://www.doksihu továbbá tegyük fel, hogy az A mátrix szimmetrikus és szigorúan pozitív denit: A = AT > 0, 0 < m ≤ λ (A) ≤ M. Ekkor az Ax = b egyenletrendszernek létezik egyértelm¶ megoldása. Az iteráció eredeti formája: xn+1 = Bxn + c, n = 0, 1, . , ahol B := I − ωA, c := ωb. Ekkor az (n + 1)-edik hiba normája: krn+1 k ≤ q (ω) krn k ≤ · · · ≤ q n+1 (ω) kr0 k ahol q (ω) := kBk = kI − ωAk . 3.17 Deníció Legyen A ∈ Rn×n , a sajátértékei λi , i = 1, , n Spektrálsugárnak nevezzük az abszolútértékben legnagyobb sajátértéket % (A) := max |λi | . 1≤i≤n 3.18 Tétel Tegyük fel hogy A szimmetrikus, szigorúan pozitív denit mátrix.

Ekkor az egyszer¶ iterációnak létezik egyértelm¶en meghatározott optimális iterációs paramétere: ω0 = 2 M +m és teljesül q (ω0 ) ≤ M −m . M +m Bizonyítás. A konvergenciához elegend® belátni, hogy q < 1, az állítás bizo- nyításához pedig ki kell számolnunk azt az ω0 értéket, amelyre: q (ω0 ) = min q (ω) . ω Tudjuk, hogy A és I − ωA szimmetrikusak, így q (ω) = % (I − ωA) = max |1 − ωλ| . λ 11 http://www.doksihu A pozitív denitség következtében minden sajátérték pozitív. Így minden ω ≤ 0 esetén gω (λ) := 1 − ωλ ≥ 1. A továbbiakban legyen ω > 0 Ekkor m ≤ λ ≤ M következtében: 1 > gω (m) ≥ gω (λ) ≥ gω (M ) = 1 − ωM > −1, ha ω < 2/M . Ekkor max |1 − ωλ| ≤ max (|gω (m)| , |gω (M )|) = max (|1 − ωm| , |1 − ωM |). λ Ez akkor minimális, ha ω -t úgy választjuk, hogy 1 − ωm = − (1 − ωM ). Átrendezve ω= 2 M +m adódik. Ezzel a tételt

bebizonyítottuk  3.2 Nemlineáris egyenletrendszerek Amennyiben a folyamatra pontosabb modellt szeretnénk felállítani, akkor már nem lesz lineáris az egyenletrendszer. Legyen továbbra is x = (x1 , x2 , xn )T ∈ Rn , valamint F : Rn Rn , és megoldandó az F (x) = b egyenletrendszer. Mivel F (x) = (f1 (x), f2 (x), . fn (x))T , a nemlineáris egyenletrendszer a következ® alakban írható: f1 (x1 , x2 , . xn ) = b1 f2 (x1 , x2 , . xn ) = b2 . . fn (x1 , x2 , . xn ) = bn 3.21 Tétel Legyen F : Rn Rn , amely eleget tesz a következ® feltételeknek: (i) F ∈ C 1 (Rn ); (ii) ∀u ∈ Rn esetén F 0 (u) szimmetrikus; 12 http://www.doksihu (iii) léteznek olyan M ≥ m > 0 konstansok, amelyekre ∀u, h ∈ Rn esetén igaz a következ®: m khk2 ≤ hF 0 (u)h, hi ≤ M khk2 . Ekkor 1. minden g ∈ Rn esetén az F (u) = g egyenletnek létezik egyértelm¶ megoldása, u∗ ∈ Rn ; 2. minden u0 ∈ Rn esetén az 2 (F (uk ) − g) M +m uk+1 := uk −

iteráció konvergál az u∗ -hoz, éspedig 1 kF (u0 ) − gk kuk − u k ≤ m ∗  M −m M +m k . Bizonyítás. 1. Feltéve, hogy (iii) fennáll hF (u) − F (v), u − vi ≥ m ku − vk2 (u, v ∈ Rn ), azaz F egyenletesen monoton függvény Rn -n. Ezért (i)−(ii) fennállása alapján az egyértelm¶ megoldhatóság igaz az egyenletre. 2. Legyen rk := F (uk ) − g Így Z rk+1 − rk = F (uk+1 ) − F (uk ) = 1 F 0 (uk + t(uk+1 − uk ))(uk+1 − uk )dt. 0 A tételben szerepl® sorozatra átírva rk+1 2 = Ark := rk − M +m Z 1 F 0 (uk + t(uk+1 − uk ))rk dt. 0 M −m Megmutatjuk, hogy A kontrakció, és a konstans ≤ M . Ugyanis az F 0 -ra +m vonatkozó feltevés alapján az A : Rn Rn lineáris leképezés szimmetrikus, továbbá minden r ∈ Rn esetén − M −m M −m krk2 ≤ hAr, ri ≤ krk2 . M +m M +m 13 http://www.doksihu Innen kAk ≤ M −m M +m , tehát A kontrakció. Ebb®l  krk k ≤ M −m M +m k kr0 k . Végül, krk k · kuk

− u∗ k ≥ hrk , uk − u∗ i ≥ m kuk − u∗ k2 , ezért 1 1 kuk − u k ≤ krk k ≤ kr0 k m m ∗ 14  M −m M +m k .  http://www.doksihu 4. Integrálegyenletek Tekintsük a következ® modellt, az úgynevezett Love-integrálegyenletet: d ((I − K)u)(t) ≡ u(t) − π Z +1 −1 d2 u(s) ds = 1 ≡ g(t), + (t − s)2 −1 ≤ t ≤ 1, amely leírja az elektromos mez®t két párhuzamos koaxiális pozitív töltés¶ lemez között, melyek egymástól vett távolsága d > 0. Az els® szakaszban meghatározzuk az általános alakban felírt integrálegyenletre vonatkozó iterációt, és annak feltételét, hogy mikor lesz kontrakció. A második szakaszban pedig megoldjuk a fenti modellt 4.1 Fredholm-integrálegyenlet Tekintsük a lineáris Fredholm-integrálegyenletet: b Z K(t, s)x(s)ds + f (t), x(t) = µ ∀t ∈ [a, b] , a ahol K : [a, b] × [a, b] K ún. magfüggvény, és f : [a, b] K folytonosak Az iterációs eljárás pedig legyen: Z

b K(t, s)xn (s)ds + f (t), xn+1 (t) = µ n = 1, 2, . a Legyen X = C([a, b], K), ahol K = R vagy C, vagyis az x : [a, b] K folytonos függvények tere az kxk = maxa≤t≤b |x(t)| maximum-normával. 4.11 Tétel Legyenek adottak az a < b pontok, valamint K és f a fentiek szerint, továbbá legyen c = maxa≤t,s≤b |K(t, s)|. Ekkor a fenti integrálegyenletnek létezik egyértelm¶ megoldása minden olyan µ ∈ K esetén, amelyre: (b − a) |µ| c < 1, és xn ehhez konvergál minden x0 ∈ X kezd®érték mellett. A norma denicíójából következik, hogy ez a konvergencia egyenletes [a, b]-n. 15 http://www.doksihu Bizonyítás. Tekintsük az egyenletet x = Ax + f formában, ahol b Z (Ax)(t) = µ K(t, s)x(s)ds, ∀t ∈ [a, b]. a Mivel K folytonos, ezért Ax is folytonos, így A lineáris leképezés X -r®l önmagára. Továbbá kAk = sup kAxk kxk≤1 és b Z kAxk = max µ K(t, s)x(s)ds ≤ |µ| (b − a)c kxk . a≤t≤b a kAxk < |µ| (b − a)c

∀x ∈ X kxk   kAxk kAk = sup : x 6= 0 ≤ |µ| (b − a)c < 1. kxk Mivel az kAk < 1 feltétel teljesül, ezért 2.22 következmény értelmében létezik ⇒ egyértelm¶ megoldás. Mivel F (x) := Ax + f kontrakció, így xn x∗ maximumnormában  4.2 Feladat: Love-integrálegyenlet Határozzuk meg a d paraméter azon lehetséges értékeit, amelyek elégséges feltételt adnak a Love-integrálegyenlet megoldhatóságához. Z d ((I − K)u)(t) ≡ u(t) − π +1 −1 d2 u(s) ds = 1 ≡ g(t), + (t − s)2 −1 ≤ t ≤ 1 Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy leolvashassuk az általános képlet szerinti K és f függvényeket: d u(t) = π Z +1 −1 1 ·u(s)ds + g(t) |{z} + (t − s)2 | {z } ≡1 d2 K(t,s) A 4.11 tétel értelmében akkor létezik egyértelm¶ megoldás, ha (b − a) |µ| c < 1, ahol c = max |K(t, s)|. a≤t,s≤b 16 http://www.doksihu A feladat értékeinek a beírásával azt kapjuk, hogy 2 1 d max 2 < 1. π −1≤t,s≤1 d +

(t − s)2 Számoljuk ki ezt a maximumot. Úgy tudunk maximalizálni, ha a nevez®t minimalizáljuk: 1 −1≤t,s≤1 d2 + (t − s)2 max ⇔ min −1≤t,s≤1
d2 + (t − s)2 . Ez akkor lesz minimális, ha (t − s)2 = 0. Innen c= 1 ,⇒ d2 2d <1 πd2 ⇒ d> 2 . π Azt kaptuk, hogy a fenti d értékek esetén létezik egyértelm¶ megoldása a feladatnak. 17 http://www.doksihu 5. Közönséges dierenciálegyenletek A dierenciálegyenletek elmélete igen érdekes és fontos terület a matematikában. Segítségével modellezhetjük például a természet-, a m¶szaki és a társadalomtudományok azon területeit, ahol folytonos idej¶, folytonos állapotter¶, determinisztikus folyamatok vizsgálata a cél. Ezek közül a térben homogén folyamatok vizsgálatára szolgálnak a közönséges dierenciálegyenletek. Ilyen modellre példa a radioaktív bomlás egyik modellje. Legyen a radioaktív anyag mennyisége a t ∈ R+ id®pontban x(t) ∈ R. Azt

vizsgáljuk, hogy hogyan változik ez a mennyiség a [t, t + δ] intervallumban, ahol δ rövid id®tartam. Az anyag mennyisége δ id® elteltével olyan mértékben csökken, amely mindent®l lineárisan függ, vagyis egyenesen arányos az anyag aktuális mennyiségével és az eltelt id®vel: x(t + δ) = x(t) − kx(t)δ + ε(δ)δ, ahol k ∈ R+ az arányossági tényez®, valamint a lineáris csökkenésen túlmen®en az intervallum hosszához képes csak kicsi a változás: lim0 ε = 0. Az egyenletet átrendezve x(t + δ) − x(t) = −kx(t) + ε(δ). δ Ha δ 0, akkor a jobboldalnak létezik határértéke, vagyis az értelmezési tartomány minden pontjában dierenciálható. Tehát azt kaptuk, hogy ẋ(t) = −kx(t) (t ∈ R+ ). 5.1 A kezdetiérték-feladat 5.11 Deníció Azt mondjuk, hogy a sík valamely tartományán iránymez® van megadva, ha minden pontjában ki van választva egy, a ponton átmen® egyenes. 5.12 Deníció Azt a vonalat, amely minden pontjában

érinti az iránymez®t, az iránymez® integrálgörbéjének nevezzük. 18 http://www.doksihu Az integrálgörbék megkeresésének analitikus oldalról a dierenciálegyenletek megoldásainak megkeresése felel meg. Amennyiben feltesszük, hogy a (t, x) síkon értelmezett mez® nem tartalmaz függ®leges irányokat, akkor a (t, x) pontban húzott egyenes v(t, x) iránytangense véges, és az integrálgörbék az x = ϕ(t) függvény grakonjai. A továbbiakban tegyük fel, hogy a ϕ értelmezési tartománya a t tengely I intervalluma. Ekkor triviális a következ®: 5.13 Tétel A ϕ dierenciálható függvény grakonja akkor és csak akkor integrálgörbe, ha minden t ∈ I -re teljesül az alábbi összefüggés: ϕ̇(t) = v(t, ϕ(t)). 5.14 Deníció Legyen v : R × Rn Rn , ahol v ∈ C 1 (U ), ekkor a ẋ = v(t, x) egyenletet a v iránymez® által meghatározott dierenciálegyenletnek nevezzük. 5.15 Deníció A ϕ függvényt az ẋ(t) = v(t, x(t))

dierenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha létezik olyan I ⊂ R intervallum, amelyen ϕ ∈ C 1 (I), és kielégíti a 5.13 tételben meghatározott összefüggést A ϕ megoldás kielégíti a (t0 , x0 ) ∈ U kezdeti feltételt, ha ϕ(t0 ) = x0 . Tekintsük a ẋ = v(t, x) dierenciálegyenletet, amelyet a b®vített fázistér (Rn+1 ) valamely I tartományán értelmezett v iránymez® ad meg. Fogalmazzuk át integrálegyenletté 5.16 Állítás Legyen x : I R, 1 x ∈ C (I), ẋ(t) = v(t, x(t)) x(t0 ) = x0 t0 ∈ I . Ekkor Z ⇔ x ∈ C(I), t x(t) = x0 + v(τ, x(τ ))dτ. t0 19 http://www.doksihu Bizonyítás. ⇒ Ha a dierenciálegyenletre alkalmazzuk a Newton-Leibniz-tételt t0 és t között, akkor az integrálegyenlet adódik. ⇐ Ha az integrálegyenlet mindkét oldalát deriváljuk, akkor a dierenciálegyenletet kapjuk vissza.  5.17 Deníció Azt a P leképezést, amely a ϕ : t x függvényt az P ϕ : t x függvénybe viszi át, ahol Z t (P

ϕ)(t) = x0 + v(τ, ϕ(τ ))dτ, t0 Picard-leképezésnek nevezzük. Célunk szerkeszteni egy olyan M teljes metrikus teret, amin P kontrakció, és xpontja az adott integrálegyenlet megoldását határozza meg. A szerkesztést egy pont kis környezetében végzünk. Ezt a környezetet a következ® négy mennyiség segítségével írhatjuk le: C, L, a0 , b0 . Ezeket menet közben deniáljuk Tekintsünk egy tetsz®leges (t0 , x0 ) ∈ U pontot. A H = {t, x : |t − t0 | ≤ a, |x − x0 | ≤ b} henger az U tartományhoz tartozik, ha a és b megfelel®en kicsi. Jelölje ∂x v a v x szerinti deriváltját rögzített t mellett. Mivel H kompakt, |v| és |∂x v| is eléri fels® határát a hengeren. Jelölje ezeket C és L, ekkor |v| ≤ C, |∂x v| ≤ L. Legyen K0 az a kúp, amelynek csúcsa a (t0 , x0 ) pont, a félnyílásszög tangense C , és a magassága a0 : K0 = {t, x : |t − t0 | ≤ a0 , |x − x0 | ≤ C |t − t0 |} . Ha a0 elég kicsi, akkor K0 ⊂ H . Jelölje

Kx azt a kúpot, amely a K0 -ból a csúcs (t0 , x) pontba történ® párhuzamos eltolásával keletkezik. Ha a0 és b0 elég kicsi, akkor ∀Kx ⊂ H minden olyan x-re, ahol |x − x0 | ≤ b0 . 20 http://www.doksihu Feltesszük, hogy a0 és b0 megfelel®en kicsi, így Kx ⊂ H . Az ẋ = v(t, x) egyenletnek ϕ(t0 ) = x0 kezdeti feltétel melletti ϕ : (t0 − a0 , t0 + a0 ) R megoldását keressük. 5.18 Megjegyzés A keresett integrálgörbe a Kx kúp belsejében fekszik Jelölje M az a0 által meghatározott intervallum azon ϕ folytonos leképezéseit, amelyek kielégítik a következ® feltételt is: |ϕ(t)| ≤ C |t − t0 | Vezessük be M -en a következ® metrikát: %(ϕ1 , ϕ2 ) = kϕ1 − ϕ2 k = max 0 |ϕ1 (t) − ϕ2 (t)| . |t−t0 |≤a 5.19 Tétel A % metrikájú M halmaz teljes metrikus tér Bizonyítás. Folytonos függvények egyenletesen konvergens sorozatának határértéke is folytonos függvény Amennyiben a függvénysorozat elemei kielégítik a fenti

feltételt, akkor a határértékfüggvény is kielégíti ugyanazzal a C állandóval.  Legyen f : U Rn az Rm euklideszi tér U tartományának folytonosan dierenciálható leképezése az Rn euklideszi térbe. Ekkor f -nek az x ∈ U pontban vett deriváltja az egyik euklideszi térb®l egy másikba ható lineáris operátor. 5.110 Tétel Az U tartomány bármely konvex és kompakt V részhalmazán foly- tonosan dierenciálható f függvény kielégíti az L-állandós Lipschitz-feltételt, ahol L egyenl® az f derivált normájának V -n vett fels® határával: L = sup kf 0 k. x∈V Bizonyítás. Legyen x, y ∈ V Kössük össze az x és y pontokat a z(t) = x + t(x − y), 21 0≤t≤1 http://www.doksihu szakasszal. A Newton-Leibniz-képlet szerint: Z 1 d (f (z(τ )))dτ = dt f (y) − f (x) = 0 1 Z f 0 (z(τ ))ż(τ )dτ. 0 Figyelembe véve, hogy ż = y − x: Z 1 1 Z 0 f (z(τ ))ż(τ )dτ ≤ L |y − x| dτ = L |y − x| . 0 0 Ezzel a tételt

bebizonyítottuk.  5.111 Tétel Ha a0 megfelel®en kicsi, akkor a P leképezés kontrakció M -en Bizonyítás. 1. Megmutatjuk, hogy a P leképezés M -et önmagára képzi Felhasználva, hogy |v| ≤ C , a következ®t kapjuk: Z t |(P ϕ)(t) − x0 | = Z t v(τ, ϕ(τ ))dτ ≤ t0 C dt ≤ C |t − t0 | . t0 Tehát P M ⊂ M . 2. Megmutatjuk, hogy a P leképezés kontrakció: kP ϕ1 − P ϕ2 k ≤ λ kϕ1 − ϕ2 k , 0 < λ < 1. Becsüljük meg az P ϕ1 − P ϕ2 értékét az t pontban. Tudjuk, hogy Z t (P ϕ1 − P ϕ2 )(t) = (v1 (τ ) − v2 (τ ))dτ, t0 ahol vi (τ ) = v(τ, ϕi (τ )), i = 1, 2. A 5.110 tétel értelmében, rögzített τ -ra a v(τ, x) függvény második változója szerint kielégíti az L-állandós Lipschitz-feltételt. Ezért |v1 (τ ) − v2 (τ )| ≤ L |ϕ1 (τ ) − ϕ2 (τ )| ≤ L kϕ1 − ϕ2 k . Ezt az eredményt felhasználva: Z t |(P ϕ1 − P ϕ2 )(t)| ≤ L kϕ1 − ϕ2 k dτ ≤ La0 kϕ1 − ϕ2 k . t0 Azt kaptuk,

hogy ha La0 < 1, akkor a leképezés kontrakció. 22  http://www.doksihu 5.112 Tétel A P leképezésnek létezik egyetlen xpontja, és ez a xpont az ẋ(t) = v(t, x(t)) x(t0 ) = x0 kezdetiérték-feladat egyértelm¶ megoldása. Bizonyítás. Beláttuk, hogy P kontrakció, így 221 tétel szerint létezik xpontja, vagyis olyan ϕ(t) függvény, hogy Z t v(τ, ϕ(τ ))dτ. ϕ(t) = x0 + t0 Innen a 5.16 állításból már következik a tétel állítása  5.2 Alkalmazás: visszavezetés nemlineáris rendszerre Tekintsük a ẋ(t) = f (x(t)) dierenciálegyenlet esetén az xi − xi−1 + f (xi ) = 0 τ ún. implicit Euler-módszert Legyen f ∈ C 1 (Rn , Rn ) és f (x) = v 0 (x), x ∈ Rn . Ekkor f 0 (x) szimmetrikus minden x esetén. Ekkor az iteráció a következ® alakban írható fel: F (xi ) := xi + τ f (xi ) = xi−1 . (5.1) Célunk az i-edik lépésben (5.1) megoldása 5.21 Állítás Legyen f 0 korlátos és τ kell®en kicsi. Ekkor F ∈ C 1 , F 0

szim- metrikus, és igaz a m khk2 ≤ hF 0 (x)h, hi ≤ M khk2 becslés, ahol m = 1 − τ kf 0 (x)k és M = 1 + τ kf 0 (x)k. 23 (5.2) http://www.doksihu Bizonyítás. Tekintsük a deriváltat: F 0 (x)h = h + τ f 0 (x)h. Ekkor hF 0 (x)h, hi = khk2 + τ hf 0 (x)h, hi ≥ (1 − τ kf 0 (x)k) khk2 . Legyen 0 < m := 1 − τ kf 0 (x)k, ha τ < kf 01(x)k . A fels® korlát megtalálásához is hasonlóan járhatunk el: hF 0 (x)h, hi = khk2 + τ hf 0 (x)h, hi ≤ (1 + τ kf 0 (x)k) khk2 . Legyen 0 < M := 1 + τ kf 0 (x)k.  5.22 Következmény Ha F ∈ C 1 . F 0 szimmetrikus, és eleget tesz (52)-nek, akkor (5.1)-nek létezik egyértelm¶ megoldása, és minden x esetén a 32 szakaszbeli iteráció konvergál a megoldáshoz. Bizonyítás. Az állítás következik a 321 tételb®l 24  http://www.doksihu 6. Parciális dierenciálegyenletek A dolgozat terjedelmére való tekintettel csak az eliptikus tipusú parciális differenciálegyenletekkel foglalkozunk.

Ilyen egyenletek leggyakrabban zikai jelenségek matematikai modelljeiben fordulnak el®, ha eltekintünk az id®t®l Például a h®vezetési egyenlet: ∂u = div(k · gradu) + f (x), ∂t ahol c a fajh®, % a h®vezet® közeg s¶r¶sége, k a h®vezetési tényez®, f pedig a c% h®forrás s¶r¶sége. Ha u nem függ az id®t®l, akkor az egyenlet a következ® alakra egyszer¶södik: 0 = div(k · gradu) + f (x). Az iteráció kidolgozásához szükségünk lesz az úgynevezett Green-féle függvényre. 6.1 Poisson-egyenlet és Green-féle függvény A h®vezetési egyenleteknek azt a speciális esetét, amikor a közeg homogenitása miatt k konstans, Poisson-egyenletnek nevezzük. Ebben az esetben a képletünk is tovább egyszer¶södik: ∆u + f (x) = 0. 6.11 Deníció Tekintsük az Ω ∈ Rn tartományt. Legyen u : Rn R, és u ∈ C 1 (Ω), ekkor az u függvény gradiense: grad(u) = ∇u = (∂1 u, . , ∂n u) Legyen u : Rn Rn , u ∈ C 1 (Ω, Rn ), ekkor az u

függvény divergenciája: div(u) = ∇ · u = n X ∂i ui . i=1 Legyen u : Rn R, u ∈ C 2 (Ω), ekkor az u függvény Laplace-operátora: ∆u = div(grad(u)) = ∇ · ∇u. 25 http://www.doksihu Tekintsük az alábbi feladatot: ∀x 6= 0 ∆E(x) = 0, ahol E radiálisan szimmetrikus. A feladat alapmegoldása: ( E(x) := 1 , 4π|x| 1 , 2π ln|x| x ∈ R3 x ∈ R2 . 6.12 Deníció Jelölje R(x, y) a fenti feladat megoldását az x − y helyen: ( R(x, y) := 1 , 4π|x−y| 1 , 2π ln|x−y| x, y ∈ R3 , x, y ∈ R2 , x 6= y x 6= y. Legyen Ω ⊂ Rn korlátos tartomány ∂Ω peremfelülettel, és tekintsük tetsz®leges x ∈ Ω esetén az alábbi Dirichlet-féle feladatot a v = v(y) ∈ C 2 (Ω)∩C(Ω) függvényre. ∆v = 0 v|∂Ω = R(x, y). Feltesszük, hogy ∀x ∈ Ω pont esetén létezik megoldása a feladatnak. Jelölje ezt v(y) = r(x, y). Eszerint az r(x, y) függvény eleget tesz a következ®knek: minden rögzített x ∈ Ω pontra, mint y

függvénye r(x, y) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), továbbá ∆y r(x, y) = 0 r(x, y)|y∈∂Ω = R(x, y). (6.1) 6.13 Deníció Az Ω tartományhoz tartozó Green-féle függvénynek nevezzük a G(x, y) = R(x, y) − r(x, y) egyértelm¶en meghatározott függvényt. 6.14 Tétel Tegyük fel, hogy Ω-nak létezik Green-féle függvénye Ekkor minden rögzített x ∈ Ω esetén igazak az alábbiak: y ∈ Ω {x} ; ∆G(x, y) = 0, (6.2) G(x, y) = 0, y ∈ ∂Ω; (6.3) G(x, y) > 0, x, y ∈ Ω. (6.4) 26 http://www.doksihu Bizonyítás. (62) és (63) közvetlenül adódik (61)-b®l A (64) egyenl®tlenséget pedig könnyen igazolhatjuk a minimum-elv felhasználásával. Rögzített x ∈ C(Ω) esetén r(x, y) korlátos: |r(x, y)| < k, y ∈ Ω. Legyen a > 0 olyan szám, amelyre y ∈ ∂B(x; a) ⊂ Ω, R(x, y) > k, ahol B(x; a) az x középpontú a sugarú gömböt jelöli. Alkalmazzuk a minimumelvet az Ω B(x; a) tartományon a G(x, y) függvényre

A tartomány határán, azaz ∂Ω ∪ ∂B(x; a)-n G(x, y)|y∈∂Ω = 0 G(x, y)|y∈∂B(x;a) = R(x, y) − r(x, y) > 0. Ekkor G(x, y) a tartomány belsejében pozitív és nem veheti fel a minimumát, mivel nem állandó.  6.15 Állítás [7] Legyen u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), R Ω |∆u| < ∞, továbbá ω ∈ C 2 (Ω), ∆ω ∈ L1 (Ω), ahol ω mint y függvénye értend® minden rögzített x ∈ Ω esetén. Ekkor az F (x, y) = R(x, y) − ω(x, y) jelölést használva minden x ∈ Ω pontra Z u(x) = ∂Ω 6.16 Tétel Legyen   Z ∂u ∂F F −u dy − [F ∆u − u∆y F ] dy. ∂ν ∂νy Ω ∂Ω szakaszonként folytonosan dierenciálható. Tegyük fel, hogy Ω-nak létezik Green-féle függvénye, amelyre r(x, y) ∈ C 1 (Ω) minden rögzített x ∈ Ω esetén, továbbá legyen u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) a ∆u = f u|∂Ω = g Dirichlet-feladat megoldása, ahol |f | < ∞. Ekkor minden x ∈ Ω pont esetén Z Z ∂G(x, y)

u(x) = − G(x, y)f (y)dy − g(y)dy. ∂νy Ω ∂Ω R Ω 27 http://www.doksihu Bizonyítás. Az 615 állításban szerepl® összefüggést u-ra és ω(x, y) = r(x, y)-ra alkalmazva azt kapjuk, hogy  Z u(x) = ∂Ω  Z ∂G ∂u −u dy − [G∆u − u∆y G] dy. G ∂ν ∂νy Ω A feltételek és a 6.14 tétel szerint ∆u = f, ∆G = 0, G = 0 (y ∈ ∂Ω), u=g (∂Ω), tehát azt kaptuk, hogy Z ∂G u(x) = − u(y) dy − ∂νy ∂Ω Z Gf (y)dy. Ω Ezzel a tételt bebizonyítottuk.  Tekintsük a Poisson-egyenletre vonatkozó peremérték-feladatot, ahol u a peremen homogén: −∆u = f u|∂Ω = 0. A 6.16 tétel állítása szerint a megoldást a következ® integrál határozza meg: Z u(x) = G(x, y)f (y)dy. Ω Példa. Vékony rudak csavarodása is jellemezhet® Poisson-egyenlettel: −∆Φ = 1 Φ|∂Ω = 0, ahol Ω a rúd keresztmetszete. A Φ segédfüggvényb®l az (u1 , u2 , u3 ) eltolódások vektorát kapjuk meg, feltéve, hogy τ , az

egységhosszra vonatkozó csavarási szög, a rúd hosszának irányában konstans. 6.2 Nemlineáris elliptikus feladat Tekintsük a Poisson-egyenlet egy általánosítását, ahol f helyett f (u) szerepel: −∆u = f (u) u|∂Ω = 0. 28 http://www.doksihu Ekkor a megoldás az Z G(x, y)f (u(y))dy u(x) = Ω integrálegyenletet teljesíti, amib®l már felírhatjuk az iterációs eljárásunkat: Z un+1 (x) = G(x, y)f (un (y))dy := (Aun )(x) Ω 6.21 Állítás Tekintsük a C(Ω) normált teret az kf k := maxΩ |f | normával Ha f Lipschitzes és L < 1 kzk , ahol z(x) a −∆z = 1 z|∂Ω = 0 feladat megoldása, akkor A kontrakcó a 0 < q < 1 kontrakciós konstanssal. Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy létezik ilyen q Z Z |(Au)(x) − (Av)(x)| = G(x, y)f (u(y))dy − G(x, y)f (v(y))dy = Ω Ω Z G(x, y) (f (u(y)) − f (v(y))) dy ≤ = Ω Z |G(x, y)| · |f (u(y)) − f (v(y))| dy ≤ ≤ Ω Z ≤ Ω G(x, y) ·L · |u(y) − v(y)| dy ≤ | {z }

>0 Z ≤ G(x, y) · L · max |u(y) − v(y)| dy ≤ y Ω Z ≤ G(x, y)dy · L · ku − vk . Ω Az állításban szerepl® segédfeladat megoldása éppen a Z G(x, y) · 1dy. z(x) = Ω Ebb®l azt kapjuk, hogy k(Au)(x) − (Av)(x)k ≤ kzk · L · ku − vk . 29 http://www.doksihu Innen már látható, hogy ha q := L · kzk < 1. akkor az (Au)(x) leképezés kontrakció.  6.22 Következmény Az u(x) = m¶ megoldása, ha L < 1 kzk R . Ω G(x, y)f (u(y))dy egyenletnek létezik egyértel- Bizonyítás. A fenti egyenlet u = Au alakú, tehát a 221 tételb®l következik az állítás.  6.23 Deníció Azt mondjuk, hogy a −∆u = f (u) u|∂Ω = 0. feladatnak létezik klasszikus megoldása, ha van olyan u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) függvény, ami kielégíti a peremértékfeldatot. 6.24 Tétel Legyen Ω ⊂ Rn Lipschitz-folytonos taromány és f Ω-n deniált Ha f Lipschitzes és L < 1 kzk , ahol z a 6.21 állításbeli függvény, akkor a

−∆u = f (u) u|∂Ω = 0. Poisson-egyenletnek létezik klasszikus megoldása. Bizonyítás. Alkalmazzuk −∆-t a u(x) = kapjuk, hogy R Ω G(x, y)f (u(y))dy -ra. Z −∆u(x) = −∆ G(x, y)f (u(y))dy = f (u(x)). Ω Ezzel a tételt beláttuk.  30 Ebb®l azt http://www.doksihu 6.3 Egy további alkalmazás: visszavezetés lineáris egyenletrendszerre Tekintsük a következ® feladatot: Lu := −div(A∇u) = g u|∂Ω = 0, ahol A ∈ L∞ (Ω, Rn×n ) szimmetrikus és szigorúan pozitív denit mátrix. 6.31 Deníció Legyen S lineáris szimmetrikus operátor H -n Egy L ∈ H lineáris operátort S -korlátosnak és S -koercívnek nevezünk, és L ∈ BCS (H)-val jelölünk, ha igazak a következ® tulajdonságok: (i) D(L) ⊂ HS és D(L) s¶r¶ HS -ben az S -normával; (ii) létezik M > 0, amelyre u, v ∈ D(L) esetén |hLu, vi| ≤ M kukS kvkS ; (iii) létezik m < 0, amelyre u ∈ D(L) esetén hLu, ui ≥ m kuk2S . 6.32 Deníció Bármely L ∈ BCS

(H)-re legyen LS ∈ B(HS ) a következ® módon deniálva: hLS u, viS = hLu, vi (u, v ∈ D(L)). A feladatban L S -korlátos és S -koercív a 6.31 denícióban foglaltaknak megfelel®en, ha S = −∆ és g ∈ H Ekkor az Lu = g egyenlet numerikusan megoldható a Galerkin-diszkretizáció segítségével: legyen Vh = span {ϕ1 , . ϕn } ⊂ HS véges dimenziós altér, ahol a ϕi -k lineárisan függetlenek és  Lh := hLS ϕi , ϕj iS 31 n i,j=1 . http://www.doksihu Az uh ∈ Vh diszkrét megoldás u = Pn i=1 ci ϕi formában való megtalálásához az L h c = bh (6.5) n × n-es rendszer megoldása szükséges, ahol bh = {hg, ϕj i}nj=1 . Mivel L ∈ BCS (H), az Lh szimmetrikus része pozitív denit, így a rendszernek létezik egyértelm¶ megoldása. Legyen L szimmetrikus operátor. Ebben az esetben az S -korlátos és S -koercív tulajdonság egyszer¶en átalakul a következ® spektrális ekvivalenciarelációvá: m kuk2S ≤ hLS u, uiS ≤ M kuk2S (u ∈

HS ). (6.6) Ekkor Lh is szimmetrikus. Legyen S a −∆ operátor, és vezessük be az S merevségi mátrixát:  Sh := hϕi , ϕj iS n i,j=1 , mint a (6.5) rendszer prekondicionálóját Innen a prekondicionált rendszer: Sh−1 Lh c = Sh−1 bh . Tetsz®leges c ∈ Rn esetén helyettesítsük az u = Pn i=1 ci ϕi ∈ Vh függvényt (6.6)-ba: m(Sh c · c) ≤ Lh c · c ≤ M (Sh c · c). (6.7) 6.33 Állítás Ha (67) fennáll, akkor ∀λi (Sh−1 Lh ) ∈ [m, M ] Bizonyítás. λi akkor sajátértéke a Sh−1 Lh mátrixnak, ha ∃ci 6= 0 : Sh−1 Lh ci = λi ci . Szorozzuk be az egyenletet balról Sh -val: Lh ci = λi Sh ci . Végül szorozzuk az egyenletet jobbról ci -vel: Lh ci · ci = λi Sh ci · ci . 32 (6.8) http://www.doksihu Tudjuk, hogy (6.7) igaz tetsz®leges c ∈ Rn esetén, így ci -re is, ezért (68)-at behelyettesítve (67)-be m(Sh ci · ci ) ≤ λi (Sh ci · ci ) ≤ M (Sh ci · ci ) adódik. Innen már jól látszik, hogy m ≤ λi ≤ M

∀i. Ezzel beláttuk, hogy ∀λi (Sh−1 Lh ) ∈ [m, M ].  6.34 Következmény A 318 tétel alkalmazható 33 http://www.doksihu 7. Összefoglalás Dolgozatomban bemutattam a Banach-xponttételt, és különféle feladattípusokra való alkalmazhatóságát igazoltam a szakirodalom alapján. El®ször a metrikus terek felépítését és tulajdonságait vizsgáltam. Beláttam, hogy minden kontrakciónak létezik xpontja, ami egyértelm¶ az ilyen típusú terekben. A lineáris algebrai egyenletrendszereknél azt az esetet vizsgáltam, amikor A négyzetes mátrix. Ekkor az Ax = b egyenletrendszer átírható x = Bx + c alakra Beláttam, hogy pontosan akkor létezik egyértelm¶ megoldás, ha B minden sajátértéke abszolút értékben kisebb, mint egy. Ezenkívül vizsgáltam egy speciális esetet is, amikor A szimmetrikus. Nemlineáris egyenletrendszereknél bebizonyítottam, hogy ha F : Rn Rn , F folytonosan dierenciálható, F 0 szimmetrikus és egyenletesen pozitív

denit, akkor létezik egyértelm¶ megoldása az egyenletrendszernek, és iterációval meghatározható. Sikerült belátni annak feltételét, hogy az iterációban használt leképezés kontrakció legyen a Fredholm-integrálegyenlet esetében. Ezután az eredményt felhasználva megoldottam a Love-integrálegyenletet. A közönséges dierenciálegyenletek témaköréb®l kezdetiérték-feladatok megoldhatóságának Picard-féle alaptételével foglalkoztam. A kezdetiérték-feladat visszavezethet® integrálegyenlet megoldására Ehhez szerkesztünk az x0 pont egy környezetében egy M metrikus teret, valamint egy M -en értelmezett kontrakciót, és ezek segítségével visszavezetjük a feladatot a xponttételre. Emellett bemutattam egy numerikus megoldási módszert az Euler-módszer és a xponttétel ötvözésével. A Poisson-egyenletetet választottam ki a parciális dierenciálegyenletek közül, melynek megoldására használható a Green-függvény módszere. A

xponttétel segítségével készítettem iterációs eljárást, amely az integrálegyenletek témakörére vezethet® vissza Itt is sikerült egy érdekes alkalmazást szemléltetnem, melynek lényege, hogy lineáris rendszerre vezeti vissza a nemlineáris problémát. 34 http://www.doksihu Hivatkozások [1] Arnold, V.I, Közönséges dierenciálegyenletek, M¶szaki Könyvkiadó, Budapest, 1987. [2] Axelsson, O., Karátson J, Equivalent operator preconditioning for elliptic problems, Numer Algor, 2009, 50:297-380 [3] Bahvalov, N.Sz, A gépi matematika numerikus módszerei, M¶szaki Könyvkiadó, Budapest, 1977. [4] Cryer, C. W, Numerical functional analysis, Oxford University Press, New York, 1982. [5] Karátson J., Direct gradient method for nonlinear integral equations, Periodica Mathematica Hungarica Vol. 33 (3), 1996, pp 163-173 [6] Komornik V., Valós analízis el®adások I, Typotex Kiadó, Budapest, 2003 [7] Simon L., Parciális dierenciálegyenletek 2 félév,

Tankönykönyvkiadó, Budapest, 1980 [8] Stoyan G., Takó G, Numerikus módszerek 1, Typotex Kiadó, Budapest, 2002 [9] Stoyan G., Takó G, Numerikus módszerek 3, Typotex Kiadó, Budapest, 2005 [10] Tóth J., Simon L P, Dierenciálegyenletek : Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex Kiadó, Budapest, 2005. [11] Zeidler, E., Nonlinear functional analysis and its applications I, Springer, New York, 1985. 35