Fizika | Hőtan » Szilágyi András - A hőtan elemei

. A hőtan elemei Szilágyi András Budapest, 2003 Tartalomjegyzék Előszó 1. Állapothatározók 1.1 Az ideális gázok 1.2 Állapothatározók 1.3 Avogadro tétele 1.4 Anyaghalmazok, halmazállapotok 1.5 A hő 1.6 Feladatok 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . 7 . 7 . 9 . 9 . 10 . 11 2. Az állapothatározók megváltozása 2.1 Kı́sérleti tények 1, 2, 3 2.2 Boyle-Mariotte törvény – az 1 kı́sérlet 2.3 Gay-Lussac törvényei – a 2 és 3 kı́sérlet 2.4 A p–V koordinátası́k 2.5 Az általános gáztörvény 2.6

Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 14 15 16 16 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Molekuláris tárgyalásmód 3.1 Az általános gáztörvény molekulaszámmal 3.2 A gázmolekulák repülési sebessége 3.3 Molhő, szabadsági fok 3.4 A gázok összenergiája, az ekvipartició tétele 3.5 Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 21 23 23 4.

Az első főtétel, folyamatok gázokkal 4.1 A térfogati munka 4.2 Izochor állapotváltozás 4.3 Izobár állapotváltozás 4.4 A Robert–Mayer-féle egyenlőség és a fajhőhányados 4.5 Az izoterm folyamat 4.6 Az adiabatikus folyamat 4.7 Körfolyamatok gázokkal 4.8 A körfolyamatok hatásfoka 4.9 A Carnot-féle körfolyamat 4.10 Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 26 27 27 28 29 30 30

31 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5. A hőtan második főtétele 5.1 A második főtétel 5.2 A második főtétel egy következménye, és a 5.3 Az entrópia 5.4 A második főtétel további következményei 5.5 A hőtan harmadik főtétele TARTALOMJEGYZÉK . Clausius-féle megfogalmazás . . . 6. Folyadékok és szilárd testek 6.1 Folyadékok fajhője és hőtágulása 6.2 Folyadékok párolgása és forrása, a tenzió 6.3 Szilárd testek fajhője és hőtágulása 6.4 Szilárd testek olvadása, fagyása és párolgása 6.5 Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 35 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 38 39 40 42 Előszó Ez a szükségből született kis jegyzet nem akar többet, mint amit a cı́mében ı́gér. Elemeket mutat be a hőtan klasszikus fejezeteiből (szilárd testek folyadékok és gázok fajhője, hőtágulása, fázisátalakulások) azaz az egyensúlyi termodinamikából, valamint röviden kitér az energia kinetikus értelmezésére és a második főtétel kapcsán fenomenológikusan bevezeti az entrópia fogalmát is. Azonban nem pótolhatja a tankönyvet, hiszen terjedelmi és időbeli korlátok miatt is csak a témakörök főbb gondolatmeneteit, a hőtan klasszikus felépı́tésének vázát mutatja be, ı́gy nélkülözhetetlen az előadások folyamatos nyomon követése. A szövegben a szokásosnál több

lábjegyzet található, ezek egy része olyan mélyebb vagy érdekesebb összefüggésre mutat rá, melyek az anyag alaposabb megértését teszik lehetővé, de megzavarhatják a folyamatos tárgyalást. A fejezeteket feladsorok zárják, melyek elméleti és ,,számolós” példákat is tartalmaznak, a nehezebbeket csillaggal jelöltük Itt szeretném köszönetemet kifejezni Móréh Ágnesnek, akinek a kézirat átolvasása során adott tanácsai, javaslatai nagyban hozzájárultak a szöveg esetlegességeinek javı́tásához, pontosabbá tételéhez. Az ennek ellenére a jegyzetben előforduló hibák a szerzőt terhelik. 5 1. fejezet Állapothatározók 1.1 A gázokról mindennapi tapasztalataink alapján az alábbi nyilvánvaló tényeket mondhatjuk el: Az ideális gázok A továbbiakban – az egyszerű tárgyalásmód érdekében – csak ideális gáz okkal foglalkozunk, • nincsen az őket

tartalmazó edény felszı́nétől melyekre az alábbiak igazak: eltérő (szabad)felszı́nük • molekuláik térfogata elhanyagolható a gáz • sűrűségük normál körülmények között viszonytérfogatához képest lag kicsi (a pingponglabdák nagyon kicsik az edényhez képest) • nagymértékben összenyomhatóak • betöltik az egész rendelkezésre álló teret Ha egy nagy lombikba kevés brómot teszünk – amely légköri nyomáson és szobahőmérsékleten erősen párolog – látható lesz, hogy a barnásvörös gőz az egész lombikot betölti. Ezzel az egy ,,kı́sérlettel” első három állı́tásunkat igazoltuk, az összenyomhatóságról szintén nem nehéz kı́sérletileg meggyőződni. Tehát a folyékony bróm elpárolgott, molekulái betöltik az egész rendelkezésükre álló teret. A légnemű (gáz) állapot az anyag egyik halmazállapota. Jellemző rá,

hogy az őket alkotó atomok illetve molekulák távolsága nem állandó, azok az egész rendelkezésükre álló térben – gáztérben – mozoghatnak, miközben egymással és az edény falával rugalmasan ütköznek. Hasonlatképpen képzeljünk el egy nagy edényt, amiben pingponglabdák vannak. Ha az edényt megrázzuk, a benne lévő labdák ide-oda cikáznak, közben egymással és a fallal is rugalmasan ütköznek, majd visszapattannak. Az edény belsejének nincs olyan pontja, melyen előbb-utóbb nem halad át labda, tehát a labdák – mozgásuk során – az edény egészét ,,bejárják”, kitöltik. Ha feltesszük, hogy az edény nagyon nagy a pingponglabdák méretéhez képest, akkor a kis sűrűség; és – ha a labdák között az ütközésen kı́vül nincs kölcsönhatás –, akkor a jó összenyomhatóság is teljesül. • a gázmolekulák – az egymáson történő

rugalmas ütközésen kı́vül – nincsenek kölcsönhatásban (a pingponglabdák se nem vonzzák, se nem taszı́tják egymást, csak rugalmasan ütköznek) A valóságban ilyen gáz nincs, a komoly megszorı́tást általában a második kritérium teljesülése jelenti. Azonban egy gáz minél jobban megfelel a fenti feltételeknek, egyszerű számı́tásaink annál pontosabban ı́rják le viselkedését. Az ideális gázok tulajdonságait a nem túl alacsony hőmérsékletű, nem túl nagy nyomású nemesgázok közelı́tik meg a legjobban. E gázmolekulák ugyanis lezárt elektronhéjuk miatt nem szı́vesen vesznek részt kölcsönhatásban, és magas hőmérsékleten, kis nyomáson a molekulák kellően távol vannak egymástól, ı́gy azok térfogata elhanyagolható az össztérfogathoz képest. 1.2 Állapothatározók A továbbiakban vizsgáljuk meg a gázok állapothatározóit, azaz azokat

a fizikai mennyiségeket melyekkel egy adott gáz állapota megadható! 7 8 1. FEJEZET ALAPFOGALMAK, ÁLLAPOTHATÁROZÓK Ezek (kerek zárójelben az elfogadott jelölésük, A moltömeg mı́g szögletesben az SI mértékegységük): Definı́ció szerint: • térfogat (V ) [m3 ] a moltömeg a gáz tömegének és • nyomás (p ) [Pa] anyagmennyiségének hányadosa. • anyagmennyiség (n ) [mol; kmol] g • moltömeg (M ) [ mol ; kg 1 kmol ] • molekula(darab)szám (N ) [db; 11 ] • hőmérséklet (T ) [K] A térfogat mindenki számára könnyen elképzelhető mennyiség, például egy lombik, egy szódáspatron, vagy egy gázpalack űrtartalma. A nyomás is ismert fogalom, definı́ciója szerint az egységnyi felületre, a felületre merőlegesen ható erő mérőszáma. Tehát ha egy 1 m2 -es felületre arra merőlegesen 1 N erő hat, akkor ott 1 Pa a nyomás. Mértékegysége a definı́cióból

következően: kg letve kmol g mol il- A moltömeg minden más állapothatározótól független, az adott gázra jellemző érték! Néhány gáz moltömege: vegyjel, (név) H (hidrogén) He (hélium) N (nitrogén) O (oxigén) Ne (neon) g kg moltömeg [ mol ], [ kmol ] 2 4 14 16 20 Gázok esetén a nyomás a gázmolekulák illetve gázatomok fallal való ütközéséből származik! Emiatt kemény a léggömb és az autógumi. Az anyagmennyiség és a moltömeg megismerése után levonhatjuk első következtetésünket! Adott A molekuladarabszám sem különösebb magya- gáz tömege (m) egyenlő az anyagmennyiség és a rázatra szoruló fogalom, azt adja meg, hogy moltömeg szorzatával: az adott gáz hány darab molekulából illetve atomból áll. Értéke hétköznapi példáinkban 1026 m = M · n. (1.1) nagyságrendű.2 Ebből képletet nyertünk bármely anyag anyagmennyiségének

kiszámı́tására, hiszen átalakı́tva: Az anyagmennyiség Az anyagmennyiség még teljesen ismeretlen fogalom. Ez az SI egyik alapmértékegysége, bizonyos számú anyagi részecskét jelöl. n= m . M (1.2) A tudományos hőmérsékleti skála Definı́ció szerint: A gáz állapothatározóinak megismerésekor találkoztunk még egy új mértékegységgel, a kelvinnel. A kelvin a hőmérséklet tudományos mértékegysége. A már ismert Celsius-skálától csak annyiban különbözik, hogy a kelvin skála 0 pontja a Mértékegysége természetesen a mol. A kmol ennek Celsius skála −273, 15 pontján van Léptékük megezerszerese egyezik, tehát egy Celsius-fok hőmérsékletváltozás A 6, 022 · 1023 szám az Avogadro- (illetve megegyezik egy kelvin hőmérsékletváltozással. Loschmidt-) szám, a későbbiekben NA -val fogjuk Ezt képletben nagyon egyszerűen fogalmazhatjuk jelölni. meg: (ha

megegyezés szerint a Celsius-skálán vett 1 Itt egy kis következetlenséget lehet megfigyelni: az hőmérsékletet t-vel, a kelviben vettet pedig T -vel tömeg SI mértékegysége a kg, mı́g az anyagmennyiségé a jelöljük) 1 mol annak a rendszernek az anyagmennyisége, melyben 6, 022 · 1023 db anyagi részecske (atom, ion, molekula) van. kg mol, tehát ,,szabályos” a mol lenne, a gyakorlatban azonban a fentieket használják. 2 Ez a szám nagyon nagy! Ennyi homokszemből nemhogy egy homokvárat, hanem a Himaláját fel lehetne épı́teni. T = t + 273, t = T − 273 (1.3) 9 1.4 ANYAGHALMAZOK, HALMAZÁLLAPOTOK A légköri nyomás is gyakran előfordul hivatkozásként illetve feladatokban. Pontos értéke: 101325 Pa.3 Számı́tásainkban az egyszerűség kedvéért sokszor csak 105 Pa-lal számolunk 1.4 1.1 ábra Az Celsius-féle és a kelvin skála összehasonlı́tása 1.3 Avogadro tétele A gázok

érdekes – és számı́tásainkban nagyon sokszor kihasznált – tulajdonsága az, hogy: egyenlő hőmérsékleten és nyomáson vizsgálva egyenlő térfogatú gázokban a molekulák darabszáma egyenlő! Ez Avogadro tétele. Avogadro tételének következményeként például 0 0 C-on, légköri nyomáson (101325 Pa), 1 mol tetszőleges gáz – ami természetesen mindig 6, 022 · 1023 darab részecskét tartalmaz – térfogata mindig 22,41 dm3 . Ez az úgynevezett normálállapot Másik nevezetes állapot, az úgynevezett standardállapot – főleg a kémiában használatos –, ami 250 C-on és szintén légköri nyomáson adott. Ekkor minden gáz molja egységesen 24,5 dm3 térfogatú. normál standard t [0 C] 0 25 p [Pa] 101325 101325 V [m3 ] 22,41 24,46 Fontos kihangsúlyozni, hogy az értékek 1 molnyi mennyiségű gázra vonatkoznak. Ennek többszörösei/törtrészei esetén az értékek az

anyagmenynyiséggel arányosan változnak Anyaghalmazok, halmazállapotok A minket körülvevő anyagi világ atomokból épül föl. Ezek azonban különböző szintű rendezettséget mutatnak, ahogy ez a minket körülvevő anyagokon is látszik. Vizsgáljuk meg ezt a rendet Az atomok szintjéről indulva először azt látjuk, hogy az atomok kémiai kötésekkel bonyolultabb szerkezeteket alkothatnak. Ezeket kovalens illetve ionos kötések hozzák létre. Az atomokból, molekulákból illetve töltéssel rendelkező részecskékből rácsok épülhetnek fel (atomrács, ionrács, molekularács, fémrács). Ezeket kovalens, ionos – illetve fémek esetében – fémes kötések hozzák létre. E kötések az úgynevezett elsőrendű kémiai kötések, melyek erősek, és ı́gy stabilizálják4 a molekulában az atomokat illetve a rácsban az alkotókat. A részecskék között nagy a vonzóerő,

ezért a szilárd testek megőrzik alakjukat, a rácsot alkotó atomok, molekulák vagy ionok csak a rácshelyük körül képesek kis rezgésekre. Folyadékok esetében a molekulák között másodrendű kötések lépnek fel (van der Waals, dipól-dipól, H-hid), amelyek jóval gyengébbek, mint az elsőrendűek, ı́gy sem nem tudják rögzı́teni a részecskéket, sem nem engedik őket túlságosan eltávolodni egymástól. Így alakulnak ki a folyadékokra oly’ jellemző tulajdonságok, tehát felveszik tárolóedényük alakját, azonban térfogatukat állandónak tartják. Folyadékok esetében az alkotórészek egymáson szabadon el tudnak gördülni. A gázok esetében az őket alkotó atomok és molekulák között nincs számottevő kölcsönhatás5 , azok egymással és az edény falával rugalmasan ütköznek. Így a gázok kitöltik a rendelkezésre álló teret, nincs állandó

térfogatuk. 3 Értéke függ a tengerszint feletti magasságtól és a hőmérséklettől is. 4 Értsd: nem engedik nagyon elmozdulni. 5 Pontosabban nagyon gyenge kölcsönhatások lépnek csak föl. 10 1. FEJEZET ALAPFOGALMAK, ÁLLAPOTHATÁROZÓK 1.5 A hő Az előző fejezetben megismertük az anyagszerkezet alapfogalmait. Tudjuk, hogy a gázok atomjai illetve molekulái szabadon tudnak repülni, a folyadékot alkotó molekulák egymáson elgördülnek, mı́g a szilárd testek atomjai illetve molekulái rácsban helyhez kötötten rezegnek. Ami a fentiekben közös vonás, hogy az anyagot alkotó részecskék nincsenek nyugalomban, azaz mozgási (rezgési) energiával bı́rnak. Az egyes alkotórészek mozgási (rezgési) energiájának összegét nevezzük az anyag belső energiájának. Szintén ismert, hogy az anyagok alkotórészei magasabb hőmérsékleten gyorsabban mozognak (erőteljesebben rezegnek),

ı́gy ugyanazon anyagnak magasabb hőmérsékleten nagyobb a belső energiája. Azonban az még nyitott kérdés, hogy mi módon lehet egy anyag belső energiáját megváltoztatni. Erre két lehetőség nyı́lik. Az első az anyagon végzett mechanikai munka. Ekkor ugyanis a külső munkavégzés hatására az anyagot alkotó részecskék gyorsabb mozgásra kényszerülnek, azaz nő az anyagminta belső energiája. Példaként tekintsünk egy vasdarabot, amit a kovács egy hatalmas kalapáccsal üt, ami ennek hatására – megfelelő intenzitású ütés mellett – akár izzásig hevülhet. Minden egyes ütés során a kalapács nagy mozgási energiája átadódik a vasat alkotó atomoknak, ı́gy tehát azok gyorsabban fognak mozogni, azaz megnő az anyag belső energiája. Hasonló módon melegı́thetünk fel egy fémdrótot, ha egy adott ponton gyorsan hajlı́tgatni kezdjük Ekkor mechanikai munkánk egy

pontra koncentrálódik, ott átadódik (szétszóródik) a fématomok között, azoknak tehát megnő a belső energiája (a drót kis környezete felmelegszik). Tehát a belső energia a testen végzett munkával megváltoztatható6 A másik lehetőség a belső energia megváltoztatására a hőközlés. Hogy a hőközlés fogalmát megérthessük, tekintsük az alábbi példát! Egy pohár hideg vı́zbe tegyünk egy meleg7 vasdarabot. Kis idő elteltével egy pohár langyos vizet és benne egy langyos vasdarabot nyerünk. A vasdarab és a vı́z hőmérséklete ekkor természetesen megegyezik. 6 Mint a gázok esetében látni fogjuk, a test által végzett munkával a test belső energiája csökkenhet is. Ilyet szilárd testek esetében nem lehet kimutatni. 7 Hőmérséklete legyen a vı́z forráspontja alatt! Ebből tehát az látszik, hogy a vasdarab belső energiája lecsökkent, a vı́zé pedig

megnőtt, tehát energiacsere zajlott le. Vizsgáljuk meg molekuláris szinten mi is történt. Amikor a forró vasdarabot a hideg vı́zbe tesszük, a meleg vasdarab gyorsan mozgó atomjai ütköznek a hideg vı́z lassú molekuláival, és azokat felgyorsı́tják, miközben maguk lelassulnak. Ilyen ütközések sorozata után a gyors vasatomok lelassulnak, a lassú vı́zmolekulák pedig felgyorsulnak, kialakul a közös sebesség, azaz a közös (langyos) hőmérséklet.8 Ez a folyamat a hőközlés. Általánosan: két különböző hőmérsékletű test kapcsolatba kerülésekor a hőmérsékletek kiegyenlı́tődése során létrejövő energiacsere a hőátadás. Tehát a hő az energia egyik formája. A fentiek alapján már világos a hő egyik precı́zebb definiciója is, miszerint a hő rendezetlen mikroszkopikus munka átadása. Mivel az anyagok belső energiájának megváltoztatására más

mód nem kı́nálkozik, ı́gy kimondhatjuk a hőtan első főtételét: Egy anyag belső energiáját hőközléssel illetve mechanikai munkavégzéssel változtathatjuk meg. Képletben – a munkát W -vel, mı́g a hőt Q-val jelölve: ∆Eb = Q + W (1.4) Egy fontos konvenciót azonban el kell fogadnunk. A hő előjele akkor pozitı́v, ha a vizsgált test veszi fel a hőt és akkor negatı́v, ha az adja le. Hasonlóan a munka előjele akkor pozitı́v, ha a munkát a vizsgált anyagon végezzük, és akkor negatı́v, ha a munkát a test végzi a környezetén9 . 8 A figyelmes Olvasó az alábbi észrevétellel élhet. A meleg vasdarabnak csak a felülethez közeli atomjai tudnak ütközni a vı́zmolekulákkal, ı́gy csak azok adják le energiájukat, a vasdarab mélyebben fekvő atomjai továbbra is gyorsak maradnak (a vasdarab belseje nem hűl le)! Ez egy kis ideig valóban ı́gy zajlik, de miután a felületi atomok

lelassulnak, a belsők (és gyorsak) azokat újra felgyorsı́tják (miközben maguk lassulnak), és innentől azok tovább tudják gyorsı́tani a vı́zmolekulákat. 9 A hőtan első főtétele semmiből le nem vezethető természeti törvény, érvényességét az bizonyı́tja, hogy még nem találtak olyan folyamatot, melyre ez nem lett volna érvényes! 11 1.6 FELADATOK 1.6 Feladatok 1. Ha a gázmolekulák térfogata elhanyagolható, hogyan tölthetik ki az egész rendelkezésükre álló teret? (Hasonlatképpen elképzelhetünk egy focipályát és egy cseresznyemagot.) Miért nem ,,esnek át” egymáson mégis az egymásra tett szilárd testek? 2. Mutassa be hétköznapi példákon keresztül, hogy a gázok – szemben a folyadékokkal és a szilárd testekkel – jól összenyomhatók. 13. Ugyanabban a szobában két gyerek van Az egyiknek melege van, a másik fázik. Próbáljon meg néhány

különböző magyarázatot adni erre. 3. A fent megismerteken kı́vül milyen hőmérsékleti skálákat ismer? 14. Miért jut be az ételszag a konyhából a nyitott ajtón át, és miért nem, ha az ajtó zárva van? g 4. Egy gáz moltömge 40 mol . Melyik ez a gáz? kg Mekkora moltömegének mérőszáma kmol -ban, kg g -ban, valamint -ban? kmol mol 15. A folyadékok miért veszik fel a tárolóedény alakját? Mi a helyzet az aszfalttal vagy a mézzel? 5. Egy mol vas tömege 56 gramm Mekkora egy vasatom tömege? 16. Ismert térfogatú vizet és alkoholt összeöntve a keletkezett oldat térfogata kisebb, mint a kiindulási térfogatok összege. Miért? 6. Egy Sport szelet tömege 100 gramm Mekkora tömegű ebből egy kilomolnyi mennyiség? Összehasonlı́tásul: a Föld tömege 6 · 1024 kg. 17. Miért oldódik gyorsabban a kockacukor, mint a már megolvasztott és lehűtött cukor: a karamell? 7. Tudván,

hogy a nyomást a gázmolekuláknak az edény falával való ütközése okozza, vajon kisebb sebességű (,,hidegebb”), vagy nagyobb sebességű (,,melegebb”) gázok fejtenek ki nagyobb nyomást az őket tartalmazó edény falára? 8. Adjon molekuláris szintű magyarázatot arra a jelenségre, hogy meleg és hideg vizet összeöntve langyos vizet kapunk. 9. Tudván, hogy nagyobb hőmérsékleten a test belső energiája nagyobb, adjon kvalitatı́v magyarázatot a hőtágulásra. 10. Hibás-e az alábbi érvelés? Egy szilárd test (például egy vasgolyó) belső energiáját úgy is meg tudom növelni, hogy eldobom, hiszen ekkor atomjai gyorsabban mozognak, mivel rezgésükhöz hozzáadódik az eldobás sebessége. (Nagy Levente feladata) 11. Nézzen utána az egyes anyagok esetében a szilárd test és a folyadék halmazállapotok között megjelenő amorf állapotnak! 12. Egy atommag átmérője 10−15 m,

mı́g a rácstávolság (tehát két szomszédos rácspont távolsága) 10−10 m. Tehát a szilárd anyag ,,lyukacsos”, hiszen az atommag átmérőjének százezerszeres a távolság két atommag között. 18. Miért illékonyabb a benzin, mint a vı́z? 19. Egy eltört kréta két felét összenyomva az szétesik, két ólomdarabot összenyomva azok összetapadnak. Mi a különbség oka? 20. Miért puhul meg a konyhaasztalon hagyott keksz, és miért keményedik meg a kenyér? 21. Miért nehéz a hideg vajat kenyérre kenni? 22. Miért kell megnyalni a postabélyeget, hogy ragadjon? 23. Miért marad rajta a papı́ron a ceruzanyom, és miért fújható le a papı́rra szórt grafitpor? 24. Miért nem lehet zsı́ros papı́rra tintával ı́rni? 25. Miért esik le később a radı́rgumi, ha azt egy tükörsima szekrényajtóhoz nyomom, mintha egy érdeshez? 26. Hogyan keletkeznek a habok? 27. Hétköznapi

példákon keresztül mutassa be az első főtételt, azaz mutasson jelenségeket, amelyekben hőközléssel illetve munkavégzéssel növeljük vagy csökkentjük egy anyag belső energiáját. 2. fejezet Az állapothatározók megváltozása Az előző fejezetben bevezetett állapothatározók különböző folyamatok során megváltozhatnak. A megfelelő előismeretek birtokában már vizsgálhatjuk e folyamatokat. 2.1 Kı́sérleti tények 1., 2, 3 Végezzük el – gondolatban – az alábbi három kı́sérletet, és figyeljük meg a hozzájuk tartozó ábrákat! 1. Egy nagy, dugattyús lombikon, melybe előzőleg valamilyen ideálisnak tekinthető gázt (például levegőt) zártunk, jelöljük meg a (súlytalannak tekinthető) dugattyú állását. Ebben a helyzetben, mint látható, egyensúly van; a bezárt gáz nyomása – amely a dugattyú belső lapjára hat – egyenlő a külső

levegő nyomásával – ami természetesen a dugattyú külső lapjára hat –, a dugattyú helyzete állandó. A gáz állapothatározói tehát nem változnak, mı́g kı́vülről nem kényszerı́tjük őket megváltozásra! Alkalmazzunk tehát külső kényszert, helyezzünk a dugattyúra egy kis súlyt – a gáz hőmérsékletét állandó értéken tartva. Ekkor a dugattyú külső fedőlapjára már nem csak a légnyomásból származó erő, hanem a ráhelyezett test súlyereje is hat, azaz a gáz nyomását megnöveltük. Látható, hogy a dugattyú lejjebb süllyedt, azaz a gáz térfogata csökkent. Tehát a nyomás növekedése a térfogat csökkenését vonta maga után. Újabb súlyokat téve a dugattyúra az egyre lejjebb kerül, a gáz nyomása egyre nagyobb, térfogata egyre kisebb lesz, lásd a 2.1 ábrát! 13 2.1 ábra Az 1 kı́sérlet 14 2. FEJEZET AZ

ÁLLAPOTHATÁROZÓK MEGVÁLTOZÁSA 2.2 ábra A 2 kı́sérlet Levonhatjuk tehát a következtetést: állandó hőmérséklet mellett a gáz nyomását növelve térfogata csökken, nyomását csökkentve térfogata nő. 2. Második kı́sérletünkben dugattyús lombikba zárjunk be valamilyen 00 C-os, ideálisnak tekinthető gázt, de ezúttal ne a dugattyú terhelésével változtassuk meg az állapothatározókat, hanem kezdjük el a gázt melegı́teni. Észrevehetjük, hogy a gáz melegedtével térfogata megnő, a gáz a dugattyút kitolja. A gáz nyomása eközben állandó, hiszen a dugattyúra kı́vülről mindig ugyanaz az erő – a légnyomásból és a ráhelyezett súlyból származó erő – hat, lásd a 2.2 ábrát! Levonható a következtetés: állandó nyomás mellett a gáz hőmérsékletének növelésével térfogata növekszik, illetve hőmérséklete

csökkentésével a térfogata csökken. 2.3 ábra A 3 kı́sérlet Látható, hogy: állandó térfogat mellett a hőmérséklet növelésével a gáz nyomása nő, a hőméréséklet csökkentésével nyomása csökken. Vizsgáljuk meg alaposabban a fenti kı́sérleti eredményeinket! 2.2 Boyle-Mariotte törvény – az 1. kı́sérlet Az 1. kı́sérlet során láthattuk, hogy a térfogat és a nyomás – állandó hőmérsékleten – egymással fordı́tottan arányos, azaz: V ∼ p1 , illetve p ∼ V1 . Átfogalmazva: állandó hőmérsékleten a gáz térfogatának és nyomásának szorzata állandó! Azaz: p · V = const., ha T = const. (2.1) 3. Ismételjük meg az előző kı́sérletet, azonos kezdeti feltételek mellett, de most ne engedjük a dugattyút elmozdulni, a hengert pedig csat- Ez Boyle-Mariotte törvénye, az 1. kı́sérlet tapasz1 lakoztassuk érzékeny nyomásmérőhöz,

lásd a talatainak általánosı́tása. 1 A valóságban úgy kellene eljárni, hogy sok különböző 2.3 ábrát! 15 2.3 GAY-LUSSAC TÖRVÉNYEI – A 2 ÉS 3 KÍSÉRLET 2.3 Gay-Lussac törvényei – a 2. és 3 kı́sérlet   1 ·t . V (t) = V0 1 + 273 (2.5) Észrevehetjük, hogy a 2. kı́sérletünk tulajdonkép- Levonhatjuk a következtetést, ami Gay-Lussac I pen egy hőtágulás, azaz a hőmérséklet növekedésére törvénye: bekövetkező térfogatnövekedés. (Ez a jelenség a Bármely gáz állandó nyomáson történő 10 C-os szilárd anyagoknál és a folyadékoknál is tapasztal1 melegı́tés hatására 00 C-os térfogatának 273 -ad ható, bár kisebb mértékben.) részével tágul ki. A tágulás mértéke (∆V )– természetesen – függ: A kapott képletet tovább alakı́thatjuk, ha a zárójelben közös nevezőre hozunk: V (t) = V0 · 273+t 273 A kelvin

definı́ciója alapján 273 + t = T , ı́gy • a hőmérséklet – 00 C-tól számı́tott – megvál- képletünk a következő alakot nyeri: tozásától (t) – nagyobb hőmérsékletváltozásra T jobban tágul a gáz. V (T ) = V0 · , (2.6) 273 • egy arányossági tényezőtől (β), ami megadja, ami Gay-Lussac I. törvényének termodinamikában hogy 10 C-os melegı́tés hatására térfogata a használatos alakja. 00 C-os térfogatának (V0 ) hányad részével nő * * * meg. • a kezdeti, 00 C-on vett térfogattól (V0 ) – hiszen kevesebb gáz kevésbé tágul ki2 . Vizsgáljuk meg hasonló szempontok alapján 3. kı́sérletünket is! Itt a hőmérséklet növelésével a ∆V = V0 · β · t. (2.2) nyomás nő, miközben a térfogatot állandó értéken tartjuk. Tehát a gáz tágulni nem tud, ı́gy a nyo0 A t hőrmérséklethez tartozó térfogat a 0 C-os tér- mása nővekszik meg.

fogat és a megváltozás összege: V (t) = V0 + ∆V A nyomásváltozás mértéke – az előző levezetésnél azaz: V (t) = V0 + V0 · β · t, illetve V0 -t kiemelve: leı́rt szempontok szerint – függ: Ezeket képletbe foglalva3 : V (t) = V0 · (1 + β · t). (2.3) A β arányossági tényező minden gázra közelı́tőleg ugyanakkora, amely érték a gázok anyagi sajátossága! Értéke4 5 : β = 0, 003663 = 1 1 . 273 K (2.4) • a kezdeti, 00 C-on vett nyomástól: (p0 ) • a hőmérséklet – 00 C-tól számı́tott – növekedésétől, (t) • és egy arányossági tényezőtől (β 0 ), ami megadja, hogy 10 C-os melegı́tés hatására 00 Cos nyomásának hányad részével nő meg a gáz nyomása. p(t) = p0 · β 0 · t, azaz Tehát törvényünk, β értékének behelyettesı́tése Ezeket képletbe foglalva: 0 p(t) = p + p · β · t, amely alakilag az előző leve0 0 után az alábbi

– minden gázra általánosan érvényes zetésből nyerthez hasonló. A hasonlóság nemcsak – alakot nyeri: alakilag nagy, hanem a kérdéses állandót tekintve gázra elvégezzük a kı́sérletet mind nagy, mind kis nyomások is, ugyanis β 0 értéke minden gázra megegyezik βés térfogatok mellett, és csak ha ezen mérések eredményei val! mind megfelelenk a várakozásnak, akkor általásosı́thatunk. 2 Ugyanolyan mértékű melegı́tésre. 3 Vegyük észre, hogy ez a fölöslegesnek látszó kitétel, miszerint a 00 C-hoz tartozó térfogathoz viszonyı́tunk, komoly könnyebbséget jelent, mert ha az ,,alappont” nem 00 Cnál, hanem egy tetszőleges t0 -nál lenne, akkor a térfogat hőmérsékletfüggését megadó képlet bonyolultabb alakot venne fel! 4 Természetesen mértékegységnek megfelelő az 1 is. 0C 5 Minél inkább megközelı́ti egy gáz az ideális gázt, annál 1 inkább

megközelı́ti β-ja az 273 − at. Az előző levezetéshez hasonló lépéseket elvégezve Gay-Lussac II. törvényéhez jutunk, melynek matematikai alakja:   1 p(t) = p0 1 + ·t . (2.7) 273 Tehát Gay-Lussac II. törvénye szavakban megfogalmazva: 16 2. FEJEZET AZ ÁLLAPOTHATÁROZÓK MEGVÁLTOZÁSA fordı́tott arányosság tipikus görbéjét, egy hiperboladarabot láthatunk. Az ábra ,b’ görbéje esetében a görbe egy vı́zszintes szakasz, hiszen állandó nyomás mellett a térfogat változik. A ,c’ görbéje egy függőleges szakasz, hiszen a gáz térfogatának állandónak kell lennie a nyomás változása mellett. 2.5 2.4 ábra A speciális folyamatok Bármely gáz nyomása, 10 C-os melegı́tése hatására 1 00 C-os nyomásának 273 -ad részével nő meg, ha közben térfogatát állandóan tartjuk. Az általános gáztörvény Az eddigi állapotváltozással járó folyamatok

során az állapothatározók egyike (p,V vagy T ) a folyamat során nem változott, állandó volt, ı́gy még nincs olyan általános képletünk, mely mindhárom állapothatározó változása esetén megadná azok összefüggését. Ezt az új képletet – melynek neve általános- vagy egyesı́tett gáztörvény – Boyle-Mariotte törvényéből, A hőmérsékletet kelvinben ı́rva a képletbe nyerjük és valamelyik Gay-Lussac törvényből vezethetjük a termodinamikában célszerű alakot: le! Válasszuk például Gay-Lussac I. törvényét! T p(T ) = p0 · . (2.8) Kövessük végig gondolatban az alábbi folyama273 tot! Molnyi mennyiségű gázt egy kezdeti 0 állaEddigi folyamataink során a három állapothatározó potból izoterm módon juttassunk egy közbenső, P közül (p, V, T ) az egyik mindig állandó volt. állapotba, majd onnan izobár folyamattal egy harNevüket is innen

kapták ezek a speciális folyama- madik, 1-gyel jelölt állapotba: tok: Az 1. kı́sérlet (Boyle-Mariotte): izoterm – a hőmérséklet állandó 0 − p izoterm A 2. kı́sérlet (Gay-Lussac I): izobar – a nyomás állandó p − 1 izobar A 0 állapothoz tartozó hőmérséklet legyen az egyszerűbb számı́tások kedvéért 0 0 C, valamint p0 a légköri nyomás, bár tetszőleges kiindulási hőmérsékletet és nyomást választva hasonló eredményre jutnánk. Írjuk föl párhuzamosan a há24 A p–V koordinátası́k rom állapothatározót, valamint relációjukat is. Az Vizsgáljuk meg eddigi folyamatainkat a állapothatározók indexei az állapotot jelölik. későbbiekben jól használható, a folyamatokat 0 állapot P állapot 1 állapot jól szemléltető p–V koordinátası́kon! Ehhez egy V0 VP (> V0 ) V1 (> VP ) derékszögű (Descartes-féle) koordinátarendszer p0 pP (< p0

) p1 (= pP ) ,,vı́zszintes” tengelyére vegyük fel a térfogatot, mı́g t0 = 0 0 C tP (= t0 ) t1 (< t0 ) ,,függőleges” tengelyére a nyomást. A 3. kı́sérlet (Gay-Lussac II): izochor – a térfogat állandó.6 Ábrázoljuk az 1., 2, és a 3 kı́sérlet tapasztalatait a p-V sı́kon! A 2.4 ábra ,a’ görbéje Boyele-Mariotte törvényét ábrázolja, amely szerint a gáz nyomása és a térfogata egymással fordı́tottan arányos, ı́gy a 6 Az izo (görög) előtag jelentése: ugyanaz. Az áttekinthetőség kedvéért rajzoljuk fel a folyamatot a p − V sı́kon, lásd 2.5 ábra Boyle-Mariotte törvényét alkalmazva ı́rjuk fel a 0 és P pontok nyomásai és térfogatai közötti összefüggéseket! p0 · V 0 = pP · V P , 17 2.5 AZ ÁLTALÁNOS GÁZTÖRVÉNY Így az 1 mol-ra vett állandónk: R = 8, 314 J . K (2.10) Jele: R (Regnault szám), neve: egyetemes gázállandó. Ezt

visszahelyettesı́tve egyenletünkbe: p1 · V 1 = R, T1 2.5 ábra de mivel: pP = p1 , ı́gy p0 · V 0 = p1 · V P . Gay-Lussac I. törvényét fölhasználva pedig ı́rjuk fel VP és V1 közötti összefüggést! Figyelembe véve, hogy VP a 0 0 C-hoz tartozó térfogat, ezért a fenti egyenlet – a definı́cióból következően – az alábbi egyszerű alakot ölti:   1 V1 = VP · 1 + · t1 . 273 Ebből VP -t kifejezve: VP = 1+ V11 ·t , és az izoterm 273 1 folyamatot leı́ró egyenletbe helyettesı́tve: p1 · V 1 p0 · V 0 = . 1 1 + 273 · t1 A jobb oldalon közös nevezőre hozva, majd a beszorzásokat elvégezve a következő alakot nyerjük: p0 · V 0 p1 · V 1 = . 273 t1 + 273 Észrevéve, hogy a fenti kifejezés jobb oldalának nevezőjében éppen a hőmérséklet éppen kelvinben szerepel, egyenletünk az alábbi egyszerű formában is felı́rható: p0 · V 0 p1 · V 1 = (2.9) 273 T1 A bal oldal értéke

állandó, mivel Avogadro törvénye értelmében minden molnyi mennyiségű gáznak légköri nyomáson(p0 ) és 273 K-en ugyanakkora a térfogata (22,41 dm3 ). Ezeket a normálállapoti értékeket behelyettesı́tve a fenti egyenlet bal oldalába: p0 · V 0 101325 Pa · 0, 2241 m3 J = = 8, 314 . 273 273 K K ami 1 mol(!!) ideális gázra vonatkozó állapotegyenlet. Általában azonban nem tudunk pontosan 1 mol gázzal dolgozni, ezért terjesszük ki az állapotegyenletet tetszőleges mennyiségű gázra! Ha az 1 mol gáz többszöröséről/törtrészéről van szó az Avogadro-tétel értelmében V értéke, és ı́gy a p · V szorzat értéke is megnő/lecsökken, annyiszorosára/annyiad részére amennyi az 1 mol és a vizsgált anyagmennyiség aránya! Ha azt akarjuk, hogy az állapotegyenletként kapott egyenlőség érvényben maradjon, a másik oldalt (R) meg kell szorozni a mólok számával (n). Így

az általános gáztörvény: p1 · V 1 = n · R · T 1 (2.11) illetve egy korábbi egyenlőségünket felhasználva, a tömeget is behozva az egyenletbe: p1 · V 1 = m · R · T1 M (2.12) Ezek a képletek nagymértékben leegyszerűsı́tik számı́tásainkat, mivel itt már egy egyenletben szerepel az összes állapothatározó, ı́gy akár mindhárom – vagy akár az anyagmennyiség is – megváltozhat, tehát nem vagyunk a csupán két állapothatározó kapcsolatát megadó izo- egyenletekhez kötve! Ha a folyamat során a gáz mennyisége nem változik (általában nem szokott), akkor az általános gáztörvényből az n·R érték minden folyamatra állandó, azaz: p1 · V 1 p2 · V 2 p3 · V 3 = = = . T1 T2 T3 pn · V n . = = n · R = const. (213) Tn Ha nem csak az n konstans, hanem a másik három állapothatározó közül is valamelyik, akkor 18 3. FEJEZET MOLEKULÁRIS TÁRGYALÁSMÓD – azt a

konstanshoz osztva – a már ismert folyamatokra (izoterm, izochor, izobar) kapunk új egyenleteket: izoterm7 folyamatra : p0 · V0 = p1 · V1 = . = pn · Vn = const. izobár8 folyamatra: V0 T0 = V1 T1 = . = Vn Tn = const. izochor folyamatra: p0 T0 = p1 T1 = . = pn Tn = const. Vegyük észre, hogy a Boyle-Mariotte, és Gay-Lussac I. és II törvényhármas közül elég csak bármely kettőt tapasztalati úton megtalálni, azokból már következik az általános gáztörvény, abból pedig a még hiányzó harmadik törvény. 2.6 Feladatok 1. Ellenőrizzük az általános gáztörvény levezetése során kapott dimenzióegyenletet, azaz lássuk be, hogy Pa · m3 = J. 2. Lássuk be, hogy Gay-Lussac I törvényének (2.5) és (26) alakja ekvivalens a fejezet végén kapott TV00 = VT11 = . = VTnn = const kifejezéssel 3. Hasonlóan, lássuk be, hogy Gay-Lussac II törvényének (2.7) és (28) alakja szintén

ekvivalens a fejezet végén kapott Tp00 = Tp11 = = pn Tn = const. kifejezéssel 4.* Vezesse le az általános gáztörvényt: a. Boyle-Marriotte törvényéből! és Gay-Lussac II. b. Gay-Lussac I és II törvényéből! 5. Az általános gáztörvény felhasználásával adjon kifejezést az ideális gáz sűrűségének kiszámı́tására! 6. Mennyi a normál állapotú héliumgáz sűrűsége? kg (0, 17 m 3) 7. Egy gázhőmérőben lévő gáz térfogata 00 C-on 500 cm3 . Mekkora a mért hőmérséklet, ha a gáz térfogata 520 cm3 és a nyomás mindkét esetben 1 atmoszféra? Számı́t-e, hogy milyen gázzal van töltve a hőmérő? (283 K) 7 Ez a már jól ismert Boyle-Mariotte törvény. a 2. és 3 feladatot! 8 Lásd 8. Száraz, normál állapotú levegő sűrűsége kg Mekkora a sűrűsége 200 C-on, ha a 1, 3 m 3. nyomás változatlan? Mekkora a sűrűsége 300 C-on, ha a

nyomása kg 1, 6 · 105 Pa? (1, 87 m 3) 9. Egy 9, 8 cm3 -es üveggömbhöz 0, 1 cm2 keresztmetszetű, a végén nyitott, vı́zszintes üvegcső csatlakozik. A csőben 270 C-on, a gömbtől 2 cm távolságra egy higanycsepp van. Hány fok a hőmérséklet akkor, ha változatlan nyomás mellett a higanycsepp 10 cm-rel távolodott el kezdeti helyzetétől? (330 K) 10. 14 méter mély tó fenekéről – ahol 40 C a hőmérséklet – egy 0,6 cm3 térfogatú levegőbuborék emelkedik a felszı́nre. Mekkora lesz a térfogata, ha a vı́zfelszı́n hőmérséklete 270 C? (1,55 cm3 ) 11. Az oxigéngyárban az 50 dm3 -es palackokat 1, 5 · 107 mN2 nyomásig töltik fel, 15 0 C hőmérsékleten. Mekkora a palackban lévő oxigén tömege? (10,04 kg) A palackból 1, 5 · 105 Pa nyomáson és 150 C hőmérsékleten 1 m3 oxigént használunk föl. Mennyivel lett könnyebb a palack? (2,008 kg) 12. A napjainkban elérhető legnagyobb

vákuum 10−11 Pa, 273 K hőmérsékleten. Hány molekula (atom) van ilyen nyomáson 1 cm3 nyi gázban? (2654) 3. fejezet Molekuláris tárgyalásmód Eddig a gázokat mint sokmolekulás rendszereket, az ,,egész ” szemszögéből vizsgáltuk, nem voltunk p · V = N · k · T. (3.2) tekintettel egy-egy kiválaszott rész viselkedésére.1 Vizsgáljuk meg ugyanezt a rendszert a ,,rész ” szempontjából, azaz egy a gázt alkotó atom vagy Most vizsgálódjunk tovább atomi szinten! molekula szemszögéből! Vizsgálódásunkat mégis az egész irányából kezdjük, mert a tárgyalásmód ı́gy egyszerűbb, nem kı́ván meg magasabb matematikai 3.2 A gázmolekulák repülési ismereteket. sebessége 3.1 Az általános gáztörvény molekulaszámmal A molekuláris tárgyalásmódban természetesen adódó kérdés, hogy milyen sebességgel repülnek a gázmolekulák, milyen a sebességÍrjuk fel a

korábbiakban levezetett általános és irányeloszlásuk, van-e legkisebb illetve leggáztörvényt: nagyobb sebesség, és egyáltalán a mechanikában megszokott módon nyomon követhetjük-e minden p·V =n·R·T egyes molekula mozgását, és le tudjuk-e ı́rni azokat külön-külön? és közelı́tsük meg egy új szempontból. Mivel 1 molnyi mennyiségű anyagban Avogadro számnyi (NA = 6, 022 · 1023 db) molekula van, ı́gy n molban n · NA . Azaz a (gázt alkotó) molekulák számát N -nel jelölve: N = NA · n, innen n = NNA . Ezt visszahelyettesı́tve az általános gáztörvénybe, az alábbi alakot nyerjük: p·V = N · R · T. NA (3.1) Mivel a fizikában jobban kedvelik ezt az alakot, ı́gy az NRA állandó nevet is kapott, ez az úgynevezett J Boltzmann szám, jele: k, értéke:2 1, 38 · 10−23 K . Így a molekuladarabszámot állapotegyenlet: 1 Ez is tartalmazó az úgynevezett statisztikus

tárgyalásmód 8,314 természetesen: . Mértékegysége 6,022·1023 2 Értéke helyességéről könnyen meggyőződhetünk: J / 1 mol·K mol = J K 19 Vezessünk le képletet a gázmolekulák repülési sebességére. Emlékezzünk vissza, a gázmolekulák repülésére bizonyı́tékként találtuk, hogy az edény faláról visszapattannak, és ı́gy arra nyomást fejtenek ki. Mivel soktényezős, összetett rendszerről van szó, egy-egy konkrét részecske sebességéről a gyakori ütközések, valamint a sok mozgást befolyásoló tényező miatt nem érdemes beszélni, hiszen 1 liter, légköri nyomású gázban is mintegy 2, 5 · 1022 darab molekula van. Továbbá két ütközés között – amikor természetesen megváltozik sebességének nagysága és iránya is – a részecske mindössze 10−5 cm-nyi utat tesz meg. Így tehát olyan leı́rási mód, mely minden egyes részecske

minden egyes pillanatbeli állapotát megadja, teljességgel lehetetlen. A molekulák repülési sebességének vizsgálatakor ezért csak a részecskék átlagos sebességével fogunk foglalkozni. Ezt a leı́rásmódot nevezzük kinetikus gázelméletnek. 20 3. FEJEZET MOLEKULÁRIS TÁRGYALÁSMÓD 2 mv = mv Ez az impulzusváltozás annyi idő 6 3 . alatt következik be, amennyi idő alatt a molekulák v sebességgel haladva megteszik a doboz oldalhosszúságát (l). Ez az idő tehát τ = vl Mivel az egységnyi időre jutó impulzusváltozás megadja az erőt (F = ∆p τ ), a doboz oldalfalára ható erő (ami a gáz nyomását okozza): F = 3.1 ábra A független sebességirányok ∆p = τ mv 3 l v = mv 2 . 3l (3.3) A nyomást a felületegységre jutó erő adja meg, ez a felület esetünkben a doboz vizsgált fala, melynek felülete: l2 , ı́gy tehát : 2 A kinetikus gázelmélet két alapfeltevése:

mv F mv 2 mv 2 p= = 3l2 = = , A l 3l3 3V (3.4) • Az egyes molekulák sebessége csak a hiszen l3 éppen a vizsgált kocka térfogata. hőmérséklettől függ (minden más tényezőtől, ı́gy például a nyomástól független). Ebből a négyzetes középsebességre az alábbi kifejezést nyerjük5 : • A gázokban teljesen rendezetlen sebességeloszr r lás uralkodik. 3pV 3RT = , (3.5) v= m M Ezeken kı́vül felhasználjuk az 1.1 fejezetben az ideális gázról mondottakat, azaz: rugal- ahol kihasználtuk, hogy az általános gáztörvény pV RT mas ütközésen kı́vül nem feltételezünk egyéb szerint: m = M . kölcsönhatást a gázt alkotó molekulák illetve Mint már emlı́tettük, ez az érték átlagos érték. atomok között! Bármely molekula repülhet ennél gyorsabban ilEzen feltevéseket figyelembe véve térjünk rá a repülési sebesség kiszámolására. Mi az úgynevezett

négyzetes középsebességet számoljuk ki3 ! Tegyük föl, hogy egy l oldalhosszúságú kockába m tömegű ideális gáz van. Tekintsük a kocka falaira merőleges hat főirányt. Ezekből, mint (egység)vektorokból, bármely vektor előállı́tható, azaz ezen sebességek kombinációjával bármely gázmolekula (atom) mozgásának iránya és sebességének nagysága kifejezhető, lásd 3.1ábra! Mivel egyik alaptételünk szerint a sebesség irány szerinti eloszlása teljesen rendezetlen, ı́gy – átlagosan – a kockában lévő m tömegű gáz 1 m 6 -a, azaz 6 tömeg halad az egyik (bármelyik) főirány mentén. A v sebességgel az egyik főirány mentén mozgó gáztömeg impulzusa mv A fal6 . lal merőlegesen4 való ütközése után − mv lesz az 6 új impulzus. Tehát az impulzus megváltozása: 3A fizikában másfajta átlagsebességek is léteznek figyelmes Olvasó észreveheti,

hogy itt kihasználjuk, hogy a főirányok merőlegesek a kocka oldallapjára, korábban pedig azt állı́tottuk, hogy a főirányok kiválasztása tetszőleges (csak legyenek egymásra merőlegesek). A merőlegességet a könnyebb tárgyalásmód kedvéért alkalmazzuk illetve használjuk ki! 4A letve lassabban, de sebességük átlaga6 a fenti érték körül mozog. A kapott eredményt mérésekkel is igazolták7 . A (35) vizsgálatából az is látható, hogy magasabb hőmérsékleten a gázmolekulák repülési (átlag)sebessége nagyobb, illetve adott hőmérsékleten a nagyobb molekulatömegű gázok sebessége kisebb. Végezetül megemlı́tjük a Maxwell-féle sebességeloszlási függvényt, amely a fentiekben kiszámolt átlagsebesség helyett – pontosabb leı́rásként – leı́rja a molekulák sebességeloszlását, azaz megmutatja, hogy az összes gázrészecske hányad része mozog v

sebességgel. Látható, hogy ez a leı́rásmód pontosabb, de emiatt tárgyalása természetesen bonyolultabb A 32 ábrán látható, hogy különböző hőmérsékletek mellett milyen az eloszlásfüggvény 5 Ez az eredmény tulajdonképpen ekvivalens BoyleMariotte törvényével, hiszen a fentiek értelmében a sebesség csak a hőmérséklettől függ, azaz, ha a hőmérséklet állandó, akkor a sebességnek is állandónek kell lennie. Mivel a molekulatömeg állandó, ı́gy a pV szorzat is állandó, ez pedig éppen Boyle-Mariotte törvénye! 6 Precı́zebben sebességnégyzetük átlagának négyzetgyöke 7 A fejezet jobb megértését lehetővé teszi az 5. fejezet figyelmes átolvasása. 21 3.3 MOLHŐ, SZABADSÁGI FOK 3.3 Molhő, szabadsági fok Amint azt az előzőekben láttuk, a gázmolekulák (atomok) sebessége csak a hőmérsékletüktől függ. A sebesség négyzetének fele a

tömeggel megszorozva a mozgási energiát adja. Ebből látható, hogy a gáz összenergiájának egyik hordozója a molekulák sebességéből származó mozgási energia: Em = 1 1 3pV m · v2 = · m · = 2 2 m 3 3m = p·V = · R · T. (36) 2 2M Tehát nagyobb hőmérsékleten a gázok mozgási 3.2 ábra A hidrogénmolekulák különböző energiája nagyobb, és ez a mozgási energia – adott hőmérsékletekhez tartozó Maxwell-féle sebesség- gáz esetén – csak a hőmérséklettől függ. Viszont eloszlása az is látszik, hogy azonos hőmérsékleten a nagyobb moltömegű gázok molekuláinak repülési sebessége kisebb, hiszen nagyobb tömeggel kisebb sebesség alakja. Az előző, egyszerűbb tárgyalásmódból mellett érik el az adott hőmérséklethez tartozó adódó eredmény, miszerint nagyobb hőmérsékleten energiaértéket. A hőmérséklet és az energia via molekulák

repülési (átlag-, vagy legvalószı́nűbb-) szonyainak vizsgálatakor szükségessé válik egy új, sebessége nagyobb, itt is látható. praktikus mennyiség, a molhő bevezetése. A görbék vizsgálatából nyilvánvaló, hogy mind a nagyon kicsi, mind a nagyon nagy sebességgel mozgó molekulák relatı́v száma kicsi, de elvileg nagyon nagy sebesség elérése sem lehetetlen, azonban ennek valószı́nűsége csekély. A görbe maximuma az úgynevezett legvalószı́nűbb sebességnél van, ami nem pontosan egyezik meg az általunk meghatározott négyzetes középsebességgel. A molhő az a mérőszám, amely megadja, hogy 1 molnyi mennyiségű anyag hőmérsékletének 1 K-nel való emeléséhez hány Joule hő szükséges. Jele: C, mértékegysége – a definı́cióból –: J mol·K Vizsgáljuk meg a gázok molhőjét! A gázzal közölt hő feltételezésünk szerint a gáz mozgási

energiáját fogja növelni, azaz 3 · n · R · ∆T. 2 Ha a molhőre vagyunk kı́váncsiak, akkor 1 mol, gáz hőmérsékletét 1 K-nel megváltoztató hő menynyiségét keressük. Ezért esetünkben n = 1 és ∆T = 1. A molhő ezek szerint: Qközölt = ∆Ebelső = A molekuláris szintű rendezetlen mozgás láthatóvá tehető, ha valamilyen átlátszó folyadékba kicsi, de a folyadék molekuláihoz képest aránylag nagy részecskéket teszünk. Ezek megfelelő megvilágı́tás mellett optikai mikroszkóppal tanulmányozhatók. A kolloid szemcséket a folyadék molekulái ide-oda lökdösik, ı́gy a kolloid szemcsék teljesen rendezetlenül, ,,össze-vissza” mozognak, hasonlóan a gázt alkotó gázatomok illetve molekulák mozgásához. Ez a Brown-féle mozgás Megfigyelhető, hogy a hőmérséklet növelésével a mozgás intenzı́vebb lesz, mı́g csökkentésével a rendszer ,,lustul”. Ezek

után térjünk rá egy merőben új témakörre, a gázok energiaviszonyaira. Cgáz = 3 · R. 2 (3.7) Ám a kı́sérleti eredmények nem mindig ezt adják eredményül! Zárt kaloriméterbe helyezett gázokkal hőt közöltek, és figyelték, hogy az mennyivel növeli meg hőmérsékletüket! A kı́sérletek három különböző eredményre vezettek: 1. Az érték megegyezik a számı́tott értékkel: 32 ·R Az ebbe a csoportba tartozó gázok: He, Ne, Ar, Kr,. 22 3. FEJEZET MOLEKULÁRIS TÁRGYALÁSMÓD 2. Nem megegyező; a kapott érték ez esetben: 52 R Az ebbe a csoportba tartozó gázok: Cl2 , O2 , N2 , N O, CO, HCl,. 3. Nem megegyező; a kapott érték pedig: 26 R Az ide tartozó gázok: N2 O5 , H2 O, SO3 ,. Próbáljuk megmagyarázni a három különböző eredményt – a számozás a fenti kı́sérleti eredmények sorszámára utal. 1. Ha figyelmesen megvizsgáljuk az első csoportba

tartozó gázokat, rájöhetünk, hogy számı́tásaink akkor egyeznek meg a mért eredménnyel, ha a gáz egyatomos. Az ilyen gázok molekulái a tér három irányába képesek repülni – transzlációt végezni – (vx , vy , vz ), más – következőkben ismertetendő – mozgásuk során számottevő energiát nem tárolnak, ezt úgy fogalmazzuk meg, hogy: Szabadsági fokainak száma: 3 transzlációs szabadsági fok Szabadsági fok nak nevezzük azt az anyagtól – molekulaszerkezettől – függő sajátosságot, miszerint hány egymástól független irányba való mozgásában tárol számottevő energiát. 3.3 ábra A ,,súlyzó” alakú molekula modellje Ebből következően ezen gázok: szabadsági fokainak száma: 3 transzlációs + 2 rotációs 3. Ha a gáz 3 vagy több atomos, akkor a 3 transzlációs szabadsági fokon kı́vül a rotációs szabadsági fokok száma is 3 lesz8 ,

hiszen forgásában nincs olyan kitüntetett tengelyirány, amely körül könnyű lenne megforgatni. Ezen gázok: szabadsági fokainak száma: 3 transzlációs + 3 rotációs.9 A mérések és a számı́tások arra az eredményre vezettek, hogy: 2. Ha a gáz többatomos, akkor nemcsak a tér három irányába vett mozgásában (vx , vy , vz ) minden gázmolekula (atom) ugyanannyi energiát tárol energiát, hanem három tengely körüli tárol egy transzlációs, mint egy rotációs szabadsági forgásában (ω1 , ω2 , ω3 )is. A kétatomos mofokban lekula alakja ugyanis súlyzószerű, ezért nemcsak haladó (transzlációs), hanem számottevő forgási (rotációs) energiát is hordoz. En- Tehát a korábbi (és rossz), belső energiát megadó nek oka, hogy minden kiterjedt test meg- képlet, ami csak 3 (transzlációs) szabadsági fokot forgatásához több-kevesebb energia szükséges. feltételez: 3 Az

egyatomos gáz atomja golyó alakú; egy E = nRT. 2 ,,golyót” bármely tengelye körül ,,könnyű” Ha a szabadsági fokok száma növekszik, akkor megforgatni, illetve sokkal könnyebb mint egy ugyanolyan tömegű ,,súlyzót” – ami a az ugyanazon a hőmérsékleten vett belső energia érték is növekszik, hiszen újabb szabadsági fokokkétatomos molekula alakjának analógiája –. ban tárol energiát a gázmolekula. Ez a növekedés A súlyzó alakot elképzelve rájöhetünk, hogy 8 Vannak olyan 3 atomos gázok, mint például a O=C=O, a 3 fő forgásirány közül csak kettőben mely rotációs szabadsági fokainak száma csak kettő, hiszen a (ωx , ωy ) tárol energiát – a harmadik tengelyre hossztengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka nem nő azáltal, hogy közepére bekerül egy szénatom. vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka kicsi, számottevően 9 Emlı́tést teszünk

még arról is, hogy nagyon magas azaz a súlyzót a hossztengelye mentén sokkal hőmérsékleten a a gázmolekulákat alkotó atomok rezgése könnyebb megforgatni, mint a másik kettő, rá számottevővé válik, ı́gy a molekula rezgésében is tárolhat merőleges tengely körül, lásd a 3.3ábrát! energiát, ezt vibrációs szabadsági fok nak hı́vjuk. 23 3.5 FELADATOK
csak az egyenletben szereplő konstans szorzó 23 Ezzel megfogalmaztuk10 a kinetikus gázelmélet növelésével lehet elérni. Amint látható, kétatomos egyik alapállı́tását, az ekvipartició tételét, amely kigázoknál a molhőben (tehát az energiaképletben is) mondja, hogy: már 52 -es, három vagy több atomosnál 62 -es szorzó tetszőleges molekulákból illetve atomokból álló szerepel. gázban az energia – egyensúlyi állapotban – úgy Ahogy ebből észrevehető – és összetettebb tárgya- oszlik

meg, hogy átlagban minden szabadsági fokra lási mód mellett le is vezethető: ugyanannyi energia jut. Ennek értéke : 21 kT az energiaképletben konstans szorzóként a szabadsági fokok számának fele szerepel. Ha az összes – transzlációs + rotációs – szabadsági Ezzel a központi jelentőségű eredménnyel – mely fok számát f -fel jelöljük, akkor megállapı́tásaink az egyébként az egzakt, statisztikus fizikai tárgyalás egyik sarokpontja –, befejezzük a fenomenologikus alábbi egyszerű formában is összegezhetők: tárgyalást, és az eddig elmondottak alkalmazásával f megvizsgáljuk a különböző, gázokkal végezhető (3.8) E = nRT, folyamatokat. 2 továbbá: f R. (3.9) 2 Mivel a belső energia csak a hőmérséklettől függ, ı́gy – állandó anyagmennyiség esetén – annak megváltozása a hőmérséklet megváltozásával arányos. Mindez képletben: C= f ∆E =

nR∆T. 2 3.4 (3.10) A gázok összenergiája, az ekvipartició tétele Az előzőekban leı́rtak alapján a gáz összes energiája: E = Etranszl. + Erot = ftranszl. + frot f f = nRT = nRT = N kT. 2 2 2 (3.11) Ugyanez molekuláris szinten, az egy molekulára jutó átlagos energia (amit mi w-vel jelölünk): E f w= = kT, N 2 (3.12) valamint az egy molekula egy szabadsági fokára jutó energia: w0 = 1 kT. 2 (3.13) 3.5 Feladatok 1. Hogyan aránylik egymáshoz adott hőmérsékletű levegőben a nitrogén q és az MO oxigén molekulák sebessége? ( vvN = M ) O N 2. ,,Brown-féle mozgás nem lehetséges, hiszen ha a sebességeloszlás teljesen rendezetlen, akkor a folyadékba tett kolloidális részecskét átlagosan ugyanakkora erő éri ,,balról”, mint ,,jobbról”, és hasonlóan ,,alulról”, mint ,,felülről”. Ha pedig az erők kiegyenlı́tik egymást, nem lehetséges elmozdulás.” Hol a hiba az

érvelésben? 3. Egy 2·10−3 m3 térfogatú tartályban 1020 darab molekula van. A gáz nyomása 105 Pa Mennyi ebben a gázban az egy szabadsági fokra jutó átlagos mozgási energia? (10−18 J) 4. Egy 3 m3 térfogatú tartályban 2 · 105 Pa nyomású gáz van 295 K hőmérsékleten. 508 J energia közlésével 0,1 K-nel tudjuk emelni a gáz hőmérsékletét. Hány szabadsági foka van a gáz részecskéinek? (5) 5. 40 g hélium belső energiája 37,25 kJ Mekkora a hőmérséklete, mekkora átlagsebességgel mozognak ebben a gázban a héliumatomok, valamint hányszorosára nő az atomok átlagsebessége, ha a gáz hőmérsékletét √ kétszeresére növeljük? (299,9 K; 1364 ms , 2) 10 Levezetésünk azonban nem bizonyı́tás! 24 4. FEJEZET AZ ELSŐ FŐTÉTEL, FOLYAMATOK GÁZOKKAL 6. Egy tartályban 0,06 kg tömegű hélium és 0,22 kg tömegű neon gáz van. Az elegy nyomása 2 · 105 Pa,

hőmérséklete 63 0 C. A hélium moltömege 4, a neoné 20. Mekkora a tartály térfogata? (361,6 dm3 ) Mekkora a gázatomok átlagos mozgási és forgási energiája? (6, 95 · 10−21 J) 7. Egy 5 literes tartályban 8 · 105 Pa nyomású, 50 0 C-os egyatomos gáz van. Hány gázatom van a tartályban? (8, 97 · 1023 ) Mekkora a tartályban lévő gáz belső energiája? (5997,4 J ) A gáz egyharmadát kiengedjük a tartályból. Hány fokra kell melegı́teni a tartályban maradó gázt, hogy nyomása 12 atmoszféra legyen? (726,7 K ) 22 8. Egy tartályban 4, 8 · 10 darab hélium atom van. A bezárt gáz kezdeti hőmérséklete 350 K A tartályban lévő gázt úgy melegı́tjük, hogy nyomása mindvégig állandó maradjon. Ezt úgy valósı́tjuk meg, hogy a melegı́tés folyamán héliumot engedünk ki a tartályból. Mennyi a tartályban lévő gáz energiája a melegı́tés előtt? (347,76 J) Mekkora a

tartályban maradó gáz energiája a melegı́tés után? (347,76 J) • Mólnyi mennyiségű, különböző anyagi minőségű gázoknak azonos térfogat mellett azonos a hőkapacitása11 . • Az azonos tömegű nemesgázoknak ugyanolyan körülmények között azonos a hőkapacitása. • Az azonos tömegű nemesgázok közül ugyanolyan hőmérsékleten a héliumnak a legnagyobb a hőkapacitása. • A hőkapacitás értéke nem jellemző a gáz anyagi minőségére. • Állandó térfogaton illetve nyomáson az azonos nyomású, hőmérsékletű, térfogatú gázok hőkapacitása is azonos. 11. Az elterjedt vákuumzáras konzerveket vajon hogyan zárják le? Adjon gyakorlati tanácsot könnyű kinyitásukhoz! 12. Két anyaghalmaznak azonos a belső energiája és a részecskeszáma, a hőmérsékletük mégis különböző. Hogyan lehetséges ez? 13. A nem ideális (ún reális) gázok

,,nemidealitását” úgy vesszük figyelembe, hogy a molekulák között egy gyenge, a gáz sűrűségével (miért?) arányos vonzerőt feltételezünk. Vajon hogyan változik a reális gázok térfogati hőtágulási együtthatója az ideáliséhoz képest, és hogyan függ ez a gáz sűrűségétől? (kvalitative) 9. Egyatomos gáz nyomása kezdeti állapotban 0,8 atmoszféra, hőmérséklete 260 K. A gáz mennyiségét csökkentve a maradék gázt olyan állapotba hoztuk, amelyben a hőmérséklete Eközben azt 300 K, nyomása 1,2 atmoszféra, térfogata 14.* Hidrogéngázt melegı́tenek. tapasztalják, hogy egyszer csak megnő a gáz pedig a kezdeti érték 32 -a. hőkapacitása. A gáz tömegének hány százalékát távolı́tottuk Mi lehet ennek az oka? el? (13,33 %) Véleménye szerint folyamatosan vagy Hogyan aránylik a kiindulási állapot enerugrásszerűen következik be ez a

változás? giája a megmaradt gáz energiájához a végső Lehetségesnek tart-e 1,2-szeresnél nagyobb állapotban? (1 : 1) hőkapacitás-növekedést? 10. Igaz-hamis-igaz, ha Megvalósulhat-e az előbbi tapasztalat ellentettje, azaz hogy melegı́téskor csökken egy gáz • A gázok sűrűsége csak a nyomástól és a hőkapacitása? hőmérséklettől függ. • A gázok sűrűsége – állandó hőmérsékleten – kétszer akkora nyomáson kétszer akkora. • Ha két különböző minőségű gáz nyomása, térfogata, hőmérséklete megegyezik, sűrűségük is azonos. • A sűrűség a gázok anyagi minőségére jellemző. 11 hőkapacitás (C): annak a hőmennyiségnek a mérőszáma, amely ahhoz szükséges, hogy a test hőmérsékletét 1 0 C-kal megváltoztassuk. C = mc 4. fejezet Az első főtétel, folyamatok gázokkal A dugattyút nyomjuk befelé egy olyan kis ∆s

úton, hogy a gáz nyomásának az út folyamán történő növekedése ne legyen számottevő, azaz közel állandónak lehessen tekinteni! Legyen ez az állandó nyomás: p. Így a tolóerő is állandónak vehető, értéke F = p · A, ahol A a dugattyú felülete Az általunk végzett munka: W = F · ∆s amibe az erőt behelyettesı́tve: 4.1 ábra A térfogati munka számı́tásához W = p · A · ∆s azonban A · ∆s = ∆V , ezért a térfogati munka: W = p · ∆V (4.2) Mint már megállapı́tottuk, az ideális gázok belső energiája csak a hőmérséklettől függ. Amint pedig Így világossá válik a ,,térfogati” kifejezés, hiszen az 1.5 fejezetben láttuk az első főtétel szerint állandó p nyomás mellett ∆V -vel megváltoztatva a belső energiát hőközléssel illetve munkavégzéssel a gáz térfogatát a munka e kettő szorzata, azaz lehet megváltoztatni. Azaz: arányos a

térfogatváltozással. A képlet alkalmazásánál nagyon fontos, hogy csak akkora ∆V ∆E = Q + W (4.1) t választhatunk amely térfogatváltozás nem idéz elő számottevő nyomásváltozást. A későbbiekben Megismételjük azt a fontos konvenciót hogy a csak állandó nyomás mellett lejátszódó folyamamunka előjele akkor pozitı́v, ha mi végezzük a toknál fogjuk használni ezt a képletet, egyébként gázon a munkát, és akkor negatı́v, ha a gáz végzi a használatát megpróbáljuk elkerülni.1 a környezetén! Természetesen a hő előjele akkor A következőkben megvizsgáljuk a gázzal végzett pozitı́v, ha a gázzal közöljük a hőt, és negatı́v, ha különböző folyamatok, az első főtétel és a elvonjuk tőle. különböző folyamatokhoz tartozó molhők kapcsolatát. 4.1 A térfogati munka 4.2 Izochor állapotváltozás A gáz által a környezetén,

illetve általunk a gázon Mint a 2.3 és 25 fejezetekben láttuk, izochor végzett munka az úgynevezett térfogati munka. állapotváltozás esetén – Gay-Lussac I. szerint: A térfogati munka fogalma egy példán keresztül 1 Megjegyezzük, hogy a nyomás változása esetén a egyszerűen bemutatható. Vegyük a 41ábrán láttérfogati munka kiszámı́tásához az integrálszámı́tást kell alható elrendezést, melyben egy dugattyú súrlódás- kalmaznunk: dW = p · dV − W = R pdV , ı́gy a térfogati mentesen mozoghat egy edényben! munka tetszőleges p(V ) összefüggés mellett számı́tható. 25 26 4. FEJEZET AZ ELSŐ FŐTÉTEL, FOLYAMATOK GÁZOKKAL A (4.6) egyenletből látható, hogy minél nagyobb egy gáz szabadsági fokainak száma, annál több hő szükséges hőmérsékletének emeléséhez. A 34 fejezet alapján ez egyszerűen magyarázható, hiszen ha több szabadsági fokú a

molekula, akkor több szabadsági fokban tud energiát tárolni, ı́gy több energia szükséges hőmérsékletének emeléséhez. 4.3 Izobár állapotváltozás Izobár állapotváltozás esetén az állapothatározókra vonatkozó összefüggések (lásd 2.3, 25 fejezeteket, valamint Gay-Lussac II. törvényét): V = const. T 4.2 ábra Az izochor folyamat p = const. T ha V = const. (4.3) Megvalósı́tása lehetséges egy tartályba bezárt gáz hőmérsékletének megváltoztatásával (lásd még a 2.1 fejezetet) A folyamatot a p − V sı́kon ábrázolva a 42 ábrán látható grafikont kapjuk Mivel a gáz térfogata állandó (∆V = 0), ı́gy az térfogati munkát nem végez, azaz W = 0. Ebből következően az I. főtétel alakja izochor állapotváltozásra: ∆E = Q (4.4) Tehát a befektetett vagy elvont hő egésze a gáz belső energiáját változtatja meg. Ha hőt közlünk a

gázzal (melegı́tjük), akkor belső energiája nő, ha hőt vonunk el tőle, csökken. Az egyenletbe a belső energia (3.10) kifejezését behelyettesı́tve: f nR∆T (4.5) 2 ami megadja, hogy izochor körülmények között n mol, f szabadsági fokú gáz hőmérsékletének ∆T Knel való megváltoztatásához mennyi hő szükséges. A (4.5) egyenletből adódik az izochor folyamatra vonatkoztatott molhő, ha az egyenletben n = 1 mol és ∆T = 1 K – hiszen a molhő az 1 mol gáz hőmérsékletének 1 K-nel való megváltoztatásához szükséges hőmennyiség mérőszáma. E szerint az izochor molhő: Q= CV = f R 2 (4.6) ha p = const. (4.7) Egyszerű megvalósı́tása egy dugattyús hengerben lehetséges. Mivel a gázt melegı́tve, az ∆V -vel tágul, és p az állandó külső nyomás, ami ellen a munkát végzi, ı́gy a térfogati munka: W = −p · ∆V (4.8) ahol a negatı́v előjel arra

utal, hogy a gáz végzi a munkát a környezetén!2 Vizsgáljuk meg a folyamatot a p − V sı́kon (4.3 ábra), és vegyük észre, hogy a gáz által végzett mechanikai munka nagysága éppen a folyamatot ábrázoló p − V görbe alatti terület. Ez esetünkben egy p és ∆V oldalú téglalap, melynek területe éppen p · ∆V . Ez a szemléletes kép – amely szerint a munka nagysága a folyamatot a p − V diagramon ábrázoló görbe alatti terület – a későbbiekben még hasznos lesz számunkra. (Természetesen a munka előjeléről ez nem ad számot, azt a folyamat irányából kell eldönteni.) A 42 ábrán az is látható, hogy a leı́rtakkal összhangban az izochor változás esetén a görbe alatti terület mértéke 0. Visszatérve az izobár állapotváltozás vizsgálatára, ı́rjuk fel erre a folyamtra is az I. főtételt: ∆E = Q + W Átrendezve egyenletünket: Q = ∆E − W Látható,

hogy a gázzal közölt hő egyrészt a gáz belső energiáját növeli, másrészt a gáz által végzett munkát fedezi! Behelyettesı́tve (3.10)-et: 2 Lásd az előjelekre vonatkozó konvenciót a 4.1 fejezetben 27 4.5 AZ IZOTERM FOLYAMAT Azaz: Cp − CV = f +2 f · R − · R = R. 2 2 (4.11) Ez a Robert-Mayer féle egyenlőség, ami kimondja, hogy minden ideálisnak tekinthető gázra a kétféle molhő eltérése ugyanaz a szám, mégpedig az egyetemes gázállandó. Az egyenlőségnek inkább történeti, mintsem gyakorlati jelentősége van. A fajhők hányadosát pedig κ-val jelöljük, és fajhőhányadosnak hı́vjuk. κ= 4.3 ábra Az izobar folyamat 4.5 Cp . CV (4.12) Az izoterm folyamat f Q = · n · R · ∆T + p · ∆V 2 összefüggést nyerjük. (4.9) Az eddig megismert folyamatok közül már csak az izotermikusat nem vettük részletesebb vizsgálat alá. Izoterm esetben az

állapothatározók közötti Az általános gáztörvényből következően azonban összefüggés (Boyle-Mariotte): p · ∆V = n · R · ∆T , – hiszen ennek bal oldalán a V megváltozását a jobb oldalon az egyetlen nem konsp tans mennyiség, a T megváltozása ,,követi”(Gay= const. ha T = const. (4.13) V Lussac I.)! Ezt visszahelyettesı́tve: Ebben az esetben a folyamat során a gáz   hőmérséklete állandó, tehát a belső energia f f Q = · n · R · ∆T + n · R · ∆T = + 1 n · R · ∆T változása 0. Az első főtétel szerint tehát: 2 2 Ezzel kiszámı́tottuk, hogy mennyi hő szükséges n mol gáz hőmérsékletének ∆T K-nel izobár módon történő megnöveléséhez. Ez természetesen több mint az izochor esetben, hiszen izobár folyamat során a gáz (hasznosı́tható) mechanikai munkát is végez. Ebből a folyamatra jellemző izobár molhő már leolvasható (n=1 mol, ∆T =

1 K): Cp = 4.4 f +2 · R = CV + R 2 (4.10) A Robert–Mayer-féle egyenlőség és a fajhőhányados Vizsgáljuk meg a két molhő (CV és Cp ) közötti összefüggést! A két molhőt kivonva egymásból azt találjuk, hogy különbségük az egyetemes gázállandó. 0 = Q + W azaz Q = −W. (4.14) Az eddigiek közül a valóságban ezt a folyamatot a legnehezebb megvalósı́tani. Egy lehetséges módszer, hogy a gázt tartalmazó dugattyús hengert nagy hőkapacitású, adott hőmérsékletű hőtartállyal vesszük körül, ez biztosı́tja a gáz állandó hőmérsékletét. Miközben a gáz tágul, nyomása és hőmérséklete csökkenne, de ebben a külső hőtartály megakadályozza, amely azt állandó hőmérsékleten tartja. Természetesen ehhez nagyon nagy kapacitású hőtartály kell, és a folyamatot közel végtelen lassan kellene végrehajtani, hogy mindig legyen idő a teljes

hőátadásra, a tartály hőmérsékletének átvételére. Így végtelen sok apró lépésen (egyensúlyi állapoton) keresztül lehet eljutni az egyik pV értékpártól egy másikig. Ezt a fajta folyamatot nevezzük kvázisztatikusnak, mivel két egymást követő állapot között alig van változás, tehát a folyamat ,,szinte nyugalmi”, azaz a kezdeti állapottól a végállapotig végtelen sok egyensúlyi állapoton megy keresztül. (A valóságban lejátszódó 28 4. FEJEZET AZ ELSŐ FŐTÉTEL, FOLYAMATOK GÁZOKKAL folyamatok természetesen nem kváziszatikusak, de megközelı́thetik azt.) A gyakorlati megvalósı́tás kissé körülményes, de szemléletes. Vegyünk egy hőtartállyal körülvett, álló dugattyús hengert, melynek dugattyúján sok, a dugattyú tömegéhez képest elhanyagolható tömegű kis nehezék van. Mikor egy ilyen kis súlyt leveszünk, a gáz nyomása

csökken, a dugattyú feljebb emelkedik, természetesen a gáz hőmérséklete is kissé lecsökken. Ám ezt a kis lehűlést a hőtartályból felvett hővel ,,pótolja”, ı́gy hőmérséklete állandó marad! A súlyok kis tömege miatt minden változás kicsi, ı́gy az eltérések a tartályból gyorsan kiegyenlı́tődnek. Tehát a hőtartály energiája teljes egészében munkavégzésre (a súlyok és a dugattyú emelésére) fordı́tódik. Ez az izoterm folyamat sajátossága, amit az I. főtétel folyamatra vonatkozó, fentebb felı́rt alakja is szépen kifejez! A gáz a tágulási munkát a hőtartályból felvett hővel fedezi, összenyomásakor a hőt a hőtartálynak adja át, ı́gy hőmérséklete (energiája) állandó marad. Mint már megállapı́tottuk, Q = −W , azaz a tágulás folyamán felvett hő teljes egészében a környezetnek adódik át mechanikai munkvégés során.

A folyamatra vonatkoztatott molhő értelmezhetetlen, hiszen nincs hőmérsékletváltozás, ∆T = 0, ı́gy maga a molhő (definiciója alapján: Q n·∆T ) a végtelenhez tart: 4.6 Az adiabatikus folyamat Vizsgáljunk meg egy újabb folyamatot! Ennek a folyamatnak az a jellemzője, hogy végbemenetele során nincs hőcsere, azaz: Q = 0! Ebből következően az I. főtétel ide vonatkozó alakja: ∆E = W. (4.17) Mint látható, ekkor a térfogati munkát teljes egészében a belső energia megváltozása fedezi. Ennek a folyamattı́pusnak a neve: adiabatikus folyamat Megvalósı́tható a reakciótér teljes hőszigetelésével, illetve a folyamat nagyon gyors véghezvitelével, hogy számottevő hőcserére ne jusson idő. Ebből a szempontból ez a folyamat az ,,ellenpontja” az izoterm folyamatnak, hiszen ott célunk a teljes hőcsere, ezért a folyamatot nagyon lassan visszük véghez. Hasonlóan, a valóságban itt

sem lehetséges a tökéletes adiabatikusság, azonban az a gyakorlatban jól megközelı́thető! Ilyen folyamat játszódik le például a robbanómotorok hengerében, amikor a gyújtószikra berobbantja a levegő–benzin keveréket. A robbanás a kis térfogatban olyan gyorsan zajlik le, hogy számottevő hőcserére nem marad idő! Hasonlóan adiabatikus folyamat a hang levegőben való terjedése, hiszen a hang a levegő Ci ∞ (4.15) longitudinális rezgése, azaz sűrűségingadozása, mely gyorsasága – másodpercenként akár tizezer A gáz által végzett munka viszont kiszámı́tható! összenyomódás-tágulás – szintén adiabatikus folyaFelvázolva a folyamat grafikonját a p − V sı́kon, mattal közelı́thető. látható hogy a munka egy hiperboladarab alatti terület. Mint láttuk a térfogati munka kiszámı́tása: Az adiabatikus folyamat állapotegyenlete, mint azt R a pontos – de

hosszadalmasságuk miatt itt be nem pdV . Az általános gáztörvényből p = n·R·V T mutatott – számı́tások mutatják: ezért3 : W = ZV2 V1 n·R·T dV = n · R · T · V ZV2 p · V κ = const. dV = V V1 V2 p1 = n · R · T · ln = n · R · T · ln , V1 p2 (4.16) (4.18) ahol κ a 4.4 fejezetben bevezetett fajhőhányados (Természetesen azok az összefüggések is megváltoztak, amelyek az állapothatározók hőmérsékletfüggését ı́rják le.) Az általános gáztörvényből: p = n·R·T és beheV lyettesı́tve (4.18)-ba: n · R · T · V κ−1 = const Az n ahol az utolsó lépésnél felhasználtuk, hogy a Boyleés R konstans, tehát a másik oldalra lehet osztani Mariotte törvénye szerint: VV12 = pp12 . őket. Így 3 A matematikát kevésbé kedvelők tekintsék csak a végeredményt! T · V κ−1 = const. (4.19) 29 4.7 KÖRFOLYAMATOK GÁZOKKAL Szintén az általános

gáztörvényből V -t kifejezve, és az eredeti, (4.18) egyenletbe behelyettesı́tve:
κ p · n·R·T Az n-t, R-t a konstanshoz = const. p osztva: Tκ = const. pκ−1 (4.20) Vizsgáljuk meg κ lehetséges értékeit! Figyelembe véve, hogy: κ= Cp = CV f +2 2 f 2 · ·R R = f +2 . f (4.21) Mivel f lehetséges értékei 3, 5, 6, ı́gy az ezekhez tartozó κ értékek rendre: 53 , 75 , 86 , tehát mindegyik egynél nagyobb. Ebből is látható, hogy ugyanazon a p és V értékre p · V κ > p · V , tehát ugyanazon a ponton áthaladó adiabata mindig meredekebb mint az izoterma. A 44 ábrán egy adiabata és különböző hőmérséklethez tartozó izotermák láthatók, kölcsönös helyzetük az előbb belátottaknak megfelelő! Az adiabatikus molhő természetesen 0, hiszen nincs Q hőközlés, Q = 0, tehát n·∆T = 0. Ca = 0. (4.22) Az adiabatikus munka kiszámı́tásakor nem a görbe alatti területet

számoljuk ki, ehhez ugyanis magasabb matematikai eszközök kellenének (lásd izotermikus munka), hanem az I. főtételt használjuk föl, ı́gy kikerülhető az integrálszámı́tás – amivel természetesen ugyanerre az eredményre jutnánk. Mivel Q = 0, az I. főtétel szerint: W = ∆E Kifejtve: f f · n · R · ∆T = · n · R · (T2 − T1 ) = 2 2 p V  f f p V 2 2 1 1 = ·n·R· − = · (p2 V2 − p1 V1 ). 2 nR nR 2 W = Tehát az adiabatikus munka: W = f · (p2 V2 − p1 V1 ). 2 Bizonyı́tásunkban felhasználtuk azt, pV általános gáztörvény szerint: T = nR . 4.4 ábra A körfolyamat során végzett munka kiszámı́tásához 4.7 Körfolyamatok gázokkal Eddigi állapotváltozások során a gázt mindig egy adott kezdőállapotból – speciális folyamatokkal – a kezdeti állapottól különböző végállapotba juttattuk. Most vizsgáljunk meg olyan folyamatokat, amelyekben a gáz egy

kezdőállapotból tetszőleges folyamatokon keresztül a kiindulási állapotába jut vissza. Az ilyen folyamatok neve körfolyamat A név arra utal, hogy egy ilyen folyamatot a p − V sı́kon ábrázolva egy zárt görbét – természetesen nem feltétlenül kört – kapunk, hiszen a kezdő és végállapot megegyezik, lásd 4.4 ábra Az ábráról az is látszik, hogy a folyamat során a hasznosı́tható munka számértékileg megegyezik a görbe által bezárt területtel. Ez tetszőleges körfolyamatra egyszerűen belátható: mivel a gáz Atól B-ig ,,pontozottnyi” terület számértékényi (W1 ) munkát végez, C-től D-ig, pedig ,,vonalkázottnyit” (W2 ). Az A B munkát a gáz végzi, a C D-t mi. Látható, hogy a kettő különbsége a hasznosı́tható munka, ami pedig éppen a görbe által bezárt terület, ahogy állı́tottuk. Általánosan: egy folyamat során a gázzal hőt

közlünk, illetve tőle hőt vonunk el; a gázon munkát végzünk, és a gáz munkát végez környezetén. Ha a körfolyamatot a megismert, és egyszerűen számolható folyamatokból épı́tjük föl, a körfolyamat paramétereinek számı́tása is egyszerű lesz. Semmilyen szempontból sem speciális folyama(4.23) tokat, mint például a 44 ábrán látható folyamatot, olyan kis részekre kell bontani, amehogy az lyek már valamelyik speciális folyamat szerint viselkednek, illetve azzal jól közelı́thetők (ismét in- 30 4. FEJEZET AZ ELSŐ FŐTÉTEL, FOLYAMATOK GÁZOKKAL tegrálszámı́tás). 4.8 A körfolyamatok hatásfoka A körfolyamat hatásfoka megadja, hogy a gáz az általa felvett hőenergia hányad részét alakı́tja munkává: η= W . Qf el (4.24) Ez a definı́ció hétköznapi gondolkodásunk szerint is természetes, hiszen általában a felvett hő va4.5 ábra A Carnot-féle

körfolyamat lamilyen eltüzelt fűtőanyagból származik. Annak a hőjét minél több munkává tudja átalakı́tani a A BC folyamat során adiabatikusan kitágul, mı́g folyamat annál gazdaságosabb, azaz annál jobb a el nem éri a T1 , hidegebb hőtartály hőmérsékletét. hatásfoka. Itt hőcsere nincsen, a gáz munkája:Wad1 A CD Mivel a gáz a felvett és leadott hő különbségéből izoterm folyamat során, – szintén kvázisztatikusan tud munkát végezni, a hatásfok kiszámı́tására – összenyomjuk a gázt, ennek során rajta W2 célszerűbb képletet nyerünk, ha felhasználjuk, hogy munkát végzünk, eközben Qle hőt ad le. A DA W = Qf el − Qle : folyamat ismét adiabatikus, hőcsere nincs, a mi munkánk a gáz összenyomása során: Wad2 Qf el − Qle Qle η= =1− . (4.25) Nyilvánvaló, hogy Qf el Qf el 4.9 A Carnot-féle körfolyamat A hatásfok azonban még a

veszteségektől eltekintve sem növelhető 100%-ig. Van egy körfolyamat amelyről belátható, hogy egyébként azonos hőmérsékleti határok4 között működő bármely körfolyamat közül a legnagyobb hatásfokú. Ez az úgynevezett Carnot-féle körfolyamat! Anélkül, hogy ezt az állı́tást bizonyı́tanánk, a következőkben levezetjük a Carnot-féle körfolyamat hatásfokát. Wad2 = −Wad1 , tehát ezek összege eltűnik, és mivel az adiabatikus folyamatok során nincs hőcsere, ezért ezzel a két folyamatrésszel nem is foglalkozunk a továbbiakban. Látható, hogy a gáz az AB folyamatban hőt vesz fel – melegszik, tágul, munkát végez –, a CD folyamatban pedig izoterm összenyomásakor hőt ad le a hőtartálynak. Ezekből a hatásfok már egyszerűen számolható: QCD WCD A Carnot-féle körfolyamat felépı́tése egyszerű, η =1− =1− = Q WAB AB két adiabatából és

két izotermából áll, lásd a 4.5 n · R · T1 · ln VVB ábrát! Az általánosság kedvéért nem adunk meg A = 1 − = konkrét számértékeket, az állapotokat indexeikkel n · R · T2 · ln VVD C jelöljük. A folyamat gyakorlati megvalósı́tása T1 · ln VVB során a gázt egy meleg, T2 hőmérsékletű, nagy A =1− . (426) hőkapacitású tartályba tesszük, és hagyjuk izoterT2 · ln VV D C mikusan, kvázisztatikus folyamatokon keresztül kitágulni. Eközben a gáz a forró hőtartályból Qf el A BC és DA pontokra felı́rható összefüggések, fihőt vesz fel és W1 munkát végez Ez az AB folya- gyelembe véve (419)-et: mat. T2 · VBκ−1 = T1 · VCκ−1 4 Hőmérsékleti határokon a körfolyamat során a legmelegebb és a leghidegebb hőmérsékletet értjük. T2 · VAκ−1 = T1 · VDκ−1 . 31 4.10 FELADATOK A két egyenletet egymással elosztva:  VB VA κ−1 =  VC VD

κ−1 növeljük a gáz hőmérsékletét, amelyhez 720 J hőt kell közölnünk a gázzal. Hány szabadsági foka van a gáz részecskéinek? , κ − 1-edik gyököt vonva: VB VC = . VA VD Ebből következően – a logaritmus-függvény monotonitása miatt: ln 4. Nitrogéngázt melegı́tünk állandó nyomáson VB VD = ln . VA VC Ezt eredeti (4.26) egyenletünkbe lyettesı́tve az alábbi képletet nyerjük: ηCarnot = 1 − T1 . T2 visszahe- (4.27) Látható, – mivel a T2 jelenti a melegebb és T1 a hidegebb hőtartályt –, ha T1 -et csökkentjük és/vagy T2 -t növeljük, azaz egymástól távolı́tjuk a hőmérsékleti határokat, akkor a hatásfok javul. Természetesen 100%-os hatásfok nem állhat elő. Ez ugyanis csak két esetben lenne lehetséges: vagy ha a melegebb hőtartály hőmérséklete (T2 )végtelen – ez fizikai képtelenség –, vagy ha a hidegebb hőtartály

hőmérséklete: T1 = 0 K lenne. Mint a későbbiekban látni fogjuk, az abszolút nulla fok elérhetetlen, tehát, bár azonos hőmérsékleti határok között működő körfolyamatok hatásfoka közül a Carnot-é a legnagyobb, de ez sem érheti el a 100%-ot! 4.10 3. Közismert gázok (levegő, oxigén, nitrogén, ammónia, nemesgázok, szén-dioxid) közül kell választania egy berendezés léghűtéséhez. Melyiket választaná? A választást a hatékonyság és a gazdaságosság vezérelje! Adhat több lehetőséget is, de minden esetben indokolja meg állásfoglalását. Feladatok a. Mekkora a felvett hő és a gáz által végzett munka, valamint a felvett hő és a gáz energiaváltozásának aránya? b. Függenek-e az a pontban számolt értékek attól, hogy milyen gázról van szó? c. Lehet-e 1-nél kisebb az a pont valamelyik eredménye? 5. Két egyforma tartály egyikében T ,a

másikban 2T a hőmérséklet. Mit lehet mondani a gázok nyomásáról? 6. Mekkora munkával lehet a 2 · 107 darab molekulát tartalmazó gáz térfogatát felére csökkenteni állandó nyomáson? A gáz hőmérséklete kezdetben 300 K. 7. 5 mol hidrogén van egy súrlódásmentesen mozgó dugattyúval elzárt hengerben. A gáz hőmérséklete 300 K. a. Mennyi hő közlésével lehet elérni, hogy a gáz hőmérséklete 300 K-nel megemelkedjen? 1. Hasonlı́tsa össze az azonos tömegű és azonos hőmérsékletű hidrogén- és héliumgáz belső energiáját! b. Mennyi hő közlésével lehet elérni, hogy a gáz hőmérséklete megkétszereződjék, ha 5 mol oxigén vagy 5 mol nitrogén van a tartályban? a. Melyik gázzal kell több hőt közölni, ha hőmérsékletüket ugyanannyival akarjuk emelni a térfogatuk állandó értéken tartása mellett? Hányszor több ez a hő? c. 5 mol

oxigén-nitrogén keverék esetén mennyi a gáz hőfelvétele, mı́g 600 K lesz a hőmérséklete? Függ-e a hőfelvétel attól, hogy milyen arányú a keverék? b. Állandó nyomáson melyik gáznál szükséges több hő ugyanakkora hőmérséklet-emeléshez? 2. 300 K hőmérsékletű, 1, 8 · 105 Pa nyomású gáz dugattyúval elzárt tartályban 4 m3 -nyi helyet foglal el. Állandó nyomáson 0,12 K-nel 8. Egy gáz belső energiája 6·102 J, egy másik gáz belső energiája 8·103 J. Mindkét gázban azonos a molekulák száma. Válassza ki az állı́tások közül azokat amelyek igazak, amelyik hamisak, illetve amelyekről a fenti információk alapján nem lehet dönteni. 32 5. FEJEZET A HŐTAN MÁSODIK FŐTÉTELE 4.6 ábra A 9 feladathoz a. A második gázban nagyobb energia jut átlagosan egy molekulára, mint az első gázban. b. A második gáz hőmérséklete magasabb, mint az

elsőé. c. Ha a két gáz nincs hőszigetelve egymástól, a második tartályból energia áramlik át az elsőbe. d. Ha a két gáz nyomása azonos, a térfogatuk is azonos e. Ha a két gáz térfogata azonos, az első gáz nyomása nagyobb. f. Ha a két gáz térfogata azonos, a második gáz nyomása nagyobb. 9. A grafikon 20 g héliummal végzett körfolyamat részleteiről ad információt. a. Mekkora a számokkal jelzett állapotban a gáz hőmérséklete? b. Mennyivel változik az egyes részfolyamatokban a gáz energiája? c. Hányszor több munkát végez a gáz a környezetén, mint a környezet a gázon? d. Mennyi a gáz fajhője az egyes részfolyamatokban? 10. Nitrogéngázt melegı́tünk állandó nyomáson a. Mekkora a felvett hő és a gáz által végzett munka aránya? b. Mekkora a felvett hő és a belső energia megváltozásának aránya? 4.7 ábra A 11 feladathoz c. Mi a fenti két

kérdésre a válasz, ha a nitrogénnel azonos állapotú oxigént melegı́tünk állandó nyomáson? 11. Mekkora az ábrán látható ABCD körfolyamat során az összenyomáskor illetve a táguláskor végzett munka? 12. Állı́tson össze állandó nyomású és állandó térfogatú folyamatokból olyan körfolyamatot, amely több hőt ,,fogyaszt”, mint amennyit ,,szolgáltat” (hűtőgép)! 5. fejezet A hőtan második főtétele nincs jogunk az egyenletes betöltést kitüntetett esetnek tekinteni, holott a valóságban csupán ezzel találkozhatunk. Mi tehát a magyarázata ennek az ellentmondásnak? Erre a kérdésre a hőtan második főtétele ad választ, amely kimondja: a természetben lejátszódó folyamatok általában a valószı́nűbb állapot felé haladnak. 5.1 ábra 5.1 A második főtétel A hőtan első főtétele szerint bármely anyag belső energiáját a vele

közölt, vagy a tőle elvont hővel, illetve a rajta vagy általa végzett munkával változtathatjuk meg. Eszerint, ha egy anyaggal – esetünkben gázzal – nem közlünk hőt, és nem végzünk rajta munkát, energiája állandó marad. Ennek fényében vizsgáljuk meg újra az 1. fejezetben leı́rt tapasztalati tényt, miszerint a gázmolekulák az egész rendelkezésükre álló teret betöltik! Tegyünk egy dobozba kevés brómot. A gyorsan párolgó bróm gőze betölti a dobozt. Az 51 ábrán bemutatott kitöltési lehetőségek közül mindennapi tapasztalataink szerint csak az első eset – az egyenletes betöltés – fordulhat elő! A másik öt – hétköznapi tapasztalataink által kizárt – kitöltési lehetőség sem mond viszont ellent a hőtan első főtételének, eddigi egyetlen megkötésünknek, hiszen mindegyik elrendeződés energiája ugyanakkora1 . Vagyis, úgy tűnik, hogy 1

Ideális gázok molekulái között az egymáson való ru- 33 Ennek elfogadásával már könnyen magyarázhatóvá válik a fennt bemutatott jelenség, hiszen nyilvánvaló, hogy az egyenletes betöltés a legvalószı́nűbb állapot. Ennél sokkal kisebb a valószı́nűsége a ,,fele betöltött – fele üres”, még kisebb az ,,egyharmada betöltött – kétharmada üres” állapotnak. A második főtétel kimondásában azonban nagyon fontos az általában kitétel! Előfordulhatnak ugyanis kisebb-nagyobb, az egyenletes kitöltött (legvalószinűbb) állapottól való eltérések, ingadozások úgynevezett fluktuációk. Ezek előfordulásának valószı́nűsége azonban annál kisebb, minél inkább eltér az ingadozás során létrejövő állapot az legvalószı́nűbbtől2 . Ennek alapján kimondhatjuk, hogy a gázokban az összes, az első főtétel által megengedett állapot

(elrendeződés) előállhat, azonban az egyensúlyitól távoli esetek előfordulásának valószı́nűsége elenyészően3 kicsi, ı́gy gyakorlati jelentőséggel nem bı́r. galmas ütközésen kı́vül nincs kölcsönhatás, tehát mindegy, hogy milyen sűrűségben vannak, valamint elhanyagolható az a hatás is, hogy a magasabban lévő gáznak nagyobb a helyzeti energiája! 2 A pontos, statisztikus fizikai meggondolások azt mutatják, hogy már elenyészően kicsi fluktuáció megvalósulásának is nagyon-nagyon kicsi a valószı́nűsége, és minél nagyobb egy rendszer, ez az állı́tás annál pontosabban igaz. Mivel mi makroszkopikus mennyiségű anyagokat vizsgálunk, a fenti állı́tás esetünkben fokozottan igaz! 3 Itt az elenyészőt a köznapitól eltérően kell értelmezni. 34 5. FEJEZET A HŐTAN MÁSODIK FŐTÉTELE Ahogyan az első főtétel sem csak gázokra igaz, tetnünk –

hűtőgép, tűzhely. A magárahagyott úgy a második főtétel hatása is egyetemleges. rendszer viszont engedelmeskedik a II. főtételnek 5.2 A második főtétel egy következménye, és a Clausius-féle megfogalmazás Vizsgáljuk meg az alábbi elrendezést! Tegyünk egy pohár langyos vı́zbe egy jégkockát. A jég elolvad, és végeredményként egy pohár hideg vizet nyerünk.4 Az első főtétel szerint, a folyamat fordı́tva is lejátszódhatna, vagyis a pohár hideg vı́z egyik fele megfagyhatna, másik fele pedig meglangyosodhatna minden külső behatás nélkül, hiszen a kezdeti állapot (,,jég+langyosvı́z”) és a végállapot (,,hidegvı́z”) energetikailag ekvivalens, és a teljes (olvadási) folyamat azonos energiájú állapotokon halad keresztül. Ez azonban a mindennapi tapasztalatainknak teljességgel ellentmond Az, hogy a fenti folyamat csak az egyik irányba játszódik le, szintén a

második főtétellel magyarázható! A ,,jég–langyosvı́z” rendszer rendezetlensége ugyanis kisebb, mint a ,,hidegvı́z” rendezetlensége. A jégben ugyanis a vı́zmolekulák molekularácsba vannak rendeződve – helyük meghatározott – , és ez a folyadékállapothoz képest – ahol a molekulák helye nem kötött – sokkal rendezettebb. Általánosan kimondható, hogy a kristályos állapot mindig rendezettebb, mint a folyadék halmazállapot, amely viszont rendezettebb, mint a gáz halmazállapot. Szemléletünk alapján is nyilvánvaló, hogy a rendezettebb állapot valószı́nűsége kisebb. Mivel a második főtétel szerint a magárahagyott fizikai rendszerek a valószı́nűbb, azaz a rendezetlenebb állapot felé tartanak, tehát esetünkben a végállapot csak a ,,langyosvı́z” rendszer lehet! Fontos észrevenni, hogy energiabefektetéssel a második főtétel szerint tiltott folyamatok is

megvalósı́thatók. Például egy pohár vı́z egyik felét mélyhűtőbe téve azt megfagyaszthatjuk, másik felét pedig ugyanakkor tűzhelyen felmelegı́thetjük. Ehhez viszont a rendszerbe energiát kell befekElenyésző például annak a valószı́nűsége, hogy valaki a Világegyetem keletkezése óta másodpercenként egyszerre 1023 kockával dob és eddig még mindig csak hatost dobott! Ehhez képest a lottó ötös valószı́nűsége egyáltalán nem kicsi! 4 Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy olyan menynyiségű jeget teszünk a vı́zbe, hogy minden jég elolvadjon! Foglalkoznunk kell még a lehetséges fluktuációkkal. Emlı́tettük, hogy a második főtétel is sérülhet, azaz rendezettebb (de ekvienergetikus, azonos energiájú) állapotok is kialakulhatnak, csak ezek valószı́nűsége (makroszkopikus rendszerekre) elenyésző. Fenti példánkban a ,,langyosvı́z” rendszer egy

lehetséges fluktuációja a (spontán kialakult) ,,jég–hidegvı́z” rendszer Mint látható, ennek a valószı́nűsége tényleg csekély, tekintve, hogy ilyen fluktuációt még senki sem látott. Számı́tások szerint egy ilyen fluktuáció létrejöttéhez a Világegyetem jelenlegi koránál is nagyságrendekkel többet kell várni. Az előző példa és a hozzá kapcsolódó gondolatmenet alapján, már nyilvánvaló, és a gyakorlati életben is kézzelfoghatóbb megfogalmazását adja a második főtételnek Clausius, miszerint: hő csak melegebb helyről hidegebb helyre mehet át, azaz a természetben a hőmérsékletkülönbségek kiegyenlı́tődésre törekednek. Természetesen ahogy a korábbi megfogalmazásánál, úgy itt is megvan a valószı́nűsége az ellenkező esetnek, csak olyan kicsi, hogy a köznapi életben nincs értelme számı́tásba venni. 5.3 Az entrópia A

különböző hőfolyamatok számı́tásainak egyszerűsı́tésére és a folyamatok irányának meghatározására vezessük be az entrópia fogalmát. Itt az entrópiának nem a pontos meghatározásával, hanem fenomenológiájával, és a fizikai folyamatokban betöltött szerepével foglalkozunk. A már sokat emlegetett ,,pohár vı́z” példával kapcsolatban vezettük be a rendezetlenség fogalmát, és láttuk ennek rendezőelv jellegét a folyamatok végbemenetelének irányával kapcsolatban. Ennek alapján: az entrópia a rendezetlenség mértéke. Jele: S Egy adott rendszerben, adott hőmérsékleten végbemenő hőcsere a rendszer entrópiájának (rendezetlenségének) megváltozásával jellemezhető. Ugyanis, ha egy rendszerrel hőt közlünk, akkor annak alkotórészei gyorsabban mozognak, ı́gy 5.4 A MÁSODIK FŐTÉTEL TOVÁBBI KÖVETKEZMÉNYEI 35 állapotuk rendezetlenebb, azaz

az entrópia nő, A második főtétel sérülésének azonban nem csak hőelvonáskor ennek ellenkezője játszódik le. Tehát: ilyen következményei lennének Az alábbi furcsa módszerrel például könnyedén nyerhetnénk ener∆Q S= . (5.1) giát! Képzeljünk el egy tengeren úszó hajót, T amely felszı́vná a langyos tengervizet, abból hőt Láttuk, hogy mivel a rendezetlen állapotok vonna ki, és a keletkező jégkockákat kidobálná a valószı́nűbbek, ı́gy minden magárahagyott rend- hajóból. Az ı́gy kinyert hőenergia, pedig hajtaná szer a rendezetlen állapot felé törekszik! Azaz a hajómotort. Sajnos azonban ez a kényelmes az entrópia fogalmának bevezetésével a második módszer nem működik, mivel hő csak melegebb helyről megy a hidegebb felé megy, fordı́tva nem! főtétel új megfogalmazását nyerhetjük: A fenti irreális példával azt kı́vántuk megmutatni, hogy

a második főtételnek milyen komoly kihatása a természetben lejátszódó folyamatokban az van az egész fizikai valóságra! entrópia nem csökkenhet! Zavart okozhat az entrópia fogalmának megértésében, ha azt az állapotot is rendezettnek tekintjük, ami csak egyenletes eloszlást mutat. Példaként erre tekintsük azt az állapotot, amikor lombikunkat valamely gáz molekulái egyenletesen töltik ki, vagyis a lombik minden térfogategységében körülbelül ugyanolyan számú molekula található. Ezt nem tekinthetjük rendezett állapotnak, mert nem azt szabtuk meg, hogy egy adott molekula egy adott helyen legyen, csak az egyenletes kitöltést várjuk el, úgy, hogy eközben bármely molekula, bárhol lehet. Ha az egyes molekulák helyét is megszabnánk, sokkal nagyobb rendezettségű állapothoz jutunk, ezek a szilárd testek (molekularács, ionrács, fémrács). A folyadék halmazállapot rendezettségben a

gáz és a szilárd halmazállapot között van. Itt a molekulák ugyan nem helyhez kötöttek, de sokkal kevésbbé mozoghatnak szabadon, mint a gázok esetében! 5.4 A második főtétel további következményei A második főtétel, mint azt az eddigiekben láttuk, centrális jelentőségű, hiszen az energiamegmaradásnak (azaz az első főtételnek) nem ellentmondó folyamatok közül kiválasztja azokat, melyek magárahagyott rendszerekben végbemehetnek. Elképzelhetjük, milyen kellemetlen lenne, ha a második főtétel nem érvényesülne, pontosabban ha sérülésének valószı́nűsége nem lenne olyan kicsi! Ekkor ugyanis az az extrém elrendeződés is előfordulhatna, hogy egy adott helyiségben az összes levegőmolekula akár csak néhány másodpercre is, de a plafonon, vagy a szoba egyik sarkában gyűlne össze. A valóságban azonban – néhány folyamat esetében – mégis úgy

tűnik, mintha sérülne az entrópia növekedésének elve. Vegyünk egy hűtőgépet. A benne lehűlő levegő molekulái lassabban repülnek, ezáltal rendezettségük nagyobb, mint a külső levegőé, vagyis az entrópia a hűtőtérben csökken. Ez ellentmondani látszik a második főtételnek, mely szerint a rendszer entrópia nem csökkenhet. Gondolatmenetünk hibája az, hogy önkényesen csak a hűtőteret vettük figyelembe. A második főtétel azonban teljes rendszerekre – azaz a hűtőtérre és annak környezetére – vonatkozik. Ahhoz, hogy a hűtést elérjük a hűtőgép motorja melegı́ti a környezetét, hiszen a hűtött térből szivattyúz ki hőt. Az entrópia – látszólag – még ı́gy sem nőne, hiszen amennyivel kint növeli, annyival csökkenti benne az entrópiát. Ám a hűtőgép kompresszorának hatásfoka nem lehet 100%, és a veszteség hő formájában

szabadul föl, növelve a környezete entrópiáját. Összességében annak ellenére, hogy lokálisan (a hűtőtérben) csökkentettük, globálisan növeltük az entrópiát. Így bár a hűtőtér entrópiája csökken, a teljes rendszer (hűtőtér + környezet) entrópiája összességében növekszik! Megállapı́thatjuk, hogy a természetben az entrópia nem csökkenhet! A Világegyetem összentrópiája – tekintetbe véve, hogy a Világegyetem minden rendszer teljes környezetének tekinthető – monoton növekszik. Érdekességképpen megemlı́tjük, hogy az idő ugyan fizikailag definiálhatatlan, de haladásának iránya – bizonyos elméletek szerint – definiálható: az idő irány arra pozitı́v, amerre a Világegyetem összentrópia növekszik! 36 5.5 6. FEJEZET SZILÁRD TESTEK ÉS FOLYADÉKOK A hőtan főtétele harmadik Fontos még emlı́tést tennünk a hőtan III.

főtételéről, az úgynevezett Nernst-tételről, amely szerint: az abszolut nulla fok nem érhető el, de tetszőleges pontossággal megközelı́thető! Ennek oka az, hogy az abszolut nulla fok felé közeledve az anyagok fajhője nullához tart, azaz hőmérsékletét bármilyen kis hőhatás is emeli. A ,,bármilyen kis hőhatás” pedig semmilyen módon sem küszöbölhető ki. 6. fejezet Folyadékok és szilárd testek Az eddigiekben megvizsgáltuk azt, hogy a gázok miként viselkednek állandó és változó hőmérsékleten, majd ezzel kapcsolatban kimondtuk a hőtan három főtételét. Ezek a tételek azonban nemcsak gázokra, hanem bármilyen halmazállapotú anyagra, ı́gy folyadékokra és szilárd testekre is igazak. A következőkben megvizsgáljuk, mely fogalmak terjeszhetők ki, és milyen új fogalmak bevezetése szükséges, ha változó hőmérsékletű folyadékok és szilárd

testek viselkedését szeretnénk leı́rni. Q = m · c · (t2 − t1 ). (6.1) A folyadékok molhője egyáltalán nem mutat olyan egységes, anyagfüggetlen képet, mint az ideális gázokra kapott CV = f2 R eredmény. Mi ennek a magyarázata? Az ideális gázokkal való vizsgálódásunk során feltettük, hogy a gázmolekulák, illetve atomok az egymással való tökéletlesen rugalmas ütközésen kı́vül nem hatnak kölcsön egymással. Azonban a folyadékokra mindez nem mondható el, mivel a folyadékot alkotó molekulák között intermolekuláris erők is 6.1 Folyadékok fajhője és fellépnek A hőmérséklet növekedésével a molekulák mozgásának sebessége megnő, ı́gy átlagohőtágulása san távolabb kerülnek egymástól. Ez okozza a későbbiekben tárgyalandó hőtágulást, de – ami Folyadékok esetében a fajhő definı́ciója azonos a most számunkra lényeges –, ennek

során munkát gázokéval, azzal a különbséggel, hogy itt – gyakor- kell végezni a vonzó intermolekuláris erők ellen. lati megfontolásokból – nem egységnyi anyagmeny- Tehát a közölt hőmennyiség: nyiségre, hanem egységnyi tömegű anyagra mondjuk ki. Azaz • a molekulák mozgási energiájának növelésére a folyadék fajhője annak a hőmennyiségnek a mérőszáma, mely 1 kg folyadék hőmérsékletét 1 K-nel változtatja meg1 . • az intermolekuláris erők ellen végzett munkára Tehát, kvalitatı́ve, ha m tömegű, és c, fajhőjű folyadék hőmérsékletét t1 -ről t2 -re változtatjuk, a szükséges hőmennyiség: fordı́tódik, és ı́gy a fajhő is két komponensből tevődik össze. A fentiek alapján már megérthető, miért különböznek a folyadékok fajhői egymástól. Az intermolekuláris erők nagysága anyagfüggő, hiszen függ attól hogy

milyen molekulák (atomok) között hatnak, ı́gy az ebből származó fajhőjárulék anyagról-anyagra más, tehát a fajhő is anyagrólanyagra változik3 . Különböző folyadékok fajhőjét táblázatokból tudhatjuk meg. Érdekességképpen 1 Látható, hogy folyadékoknál, és majd a szilárd testeknél sincs értelme az izobár fajhő bevezetésének, hiszen a térfogatnövekedés, és az ebből fakadó térfogati munka elhanyagolható! 2 Ügyelve arra, hogy a mértékegységek megfelelőek kg J legyenek: kmol = kgJ K · kmol K 3 A fentiek alapján magyarázható az a tény, hogy a folyadékok fajhője hőmérsékletfüggő! Az intermolekuláris erők ugyanis erősen függnek a távolságtól, ı́gy magasabb illetve alacsonyabb hőmérsékleten, amikor a molekulák átlagosan távolabb ill. közelebb helyezkednek el egymástól, annak értéke megváltozik (csökken illetve nő). Jele:

c, mértékegysége: J kg K . Természetesen a folyadékok mólhője is értelmezhető fogalom – amit mi C-vel jelölünk –, valamint egyszerűen belátható, hogy2 : C = c · M 37 38 6. FEJEZET SZILÁRD TESTEK ÉS FOLYADÉKOK megemlı́tjük, hogy a közönséges anyagok közül a vı́z nek a legnagyobb a fajhője. Ez érthetővé válik az előző magyarázat alapján, hiszen a vı́zmolekulák között erős hidrogén-hı́d intermolekuláris erők hatnak, ezek fajhőjáruléka domináns. Mint az előző bekezdésben utaltunk rá, a hőmérséklet növekedésével – a gázokhoz hasonlóan – a folyadékok térfogata is nő! Ez a hőtágulás, (dilatáció) jelensége. Ennek oka az, hogy a nagyobb hőmérséklethez nagyobb molekulasebességek – mozgási energiák – tartoznak, ı́gy a molekulák átlagos távolsága megnő. Természetesen a hőmérséklet csökkenésével

fordı́tott folyamat játszódik le. Ez azonban csak addig igaz, amı́g fáziátalakulás nem következik be. Az előzőekből nyilvánvaló, hogy a hőtágulási együttható anyagfüggő, mivel intermolekáris erőktől függ, eltérően a gázok egyetemleges 1 A folyadékok hőtágulása 273 együtthatójától. kvantitatı́ve az alábbi összefüggéssel ı́rható le: Vt = V0 + V0 · γ · t, (6.2) ahol γ a hőtágulási együttható. 6.2 Folyadékok párolgása és forrása, a tenzió Mindenki számára, – akár köznapi, konyhai tapasztalatok alapján is – nyilvánvaló, hogy a folyadékokat melegı́tve, azok egy bizonyos hőmérséklet fölött – ez a fázisátalakulás hőmérséklete – gázhalmazállapotúvá válnak. Ez a forrás jelensége. Gázhalmazállapotú anyagot hűtve, az az előbbi hőmérsékletértéken elkezd visszaalakulni folyadékká. Ez a kondenzáció

A szisztematikus kı́sérletek az alábbi eredményeket adják: • A folyadék–gáz átmenet során a hőmérséklet állandó – ez a fázisátalakulási hőmérséklet – , azaz amı́g a forrás során az összes folyadék át nem alakult gázhalmazállapotúvá, vagy a kondenzáció során az összes gáz nem alakult folyadékká, addig a rendszer hőmérséklete állandó marad. • A folyadék–gáz fázisátalakulás hőmérséklete függ a nyomástól, nagyobb nyomáson a fázisátalakulás hőmérséklete magasabb. • Létezik egy – anyagra jellemző – hőmérséklet, amely fölött a gáz semmilyen nyomáson nem cseppfolyósı́tható. Ez a kritikus hőmérséklet, amely szintén anyagfüggő. Próbáljuk megmagyarázni a fenti jelenségeket az intermolekuláris erőkkel! A forrás jelenségét az alábbiak szerint értelmezhetjük: a hőmérséklet növelésével a

molekulák átlagsebessége nő. Emiatt két molekula átlagos távolsága megnő Mint emlı́tettük az intermolekuláris erők hatótávolsága rövid, és meredeken levág. Tehát, az a hőmérséklet, melynél a hőmozgásból adódó átlagos molekulatávolság éppen meghaladja az intermolekuláris erők hatótávolságát, a fázisátalakulási hőmérséklet. Ezzel azt is sikerült magyarázni, hogy ez a hőmérséklet anyagfüggő, hiszen az intermolekuláris erők anyagfüggők. A nyomás növelésével a molekulák közelebb kerülnek egymáshoz, ı́gy átlagos távolságuk magasabb hőmérsékleten éri el az intermolekuláris erők hatótávolságának felső határát, tehát a nyomás növelésével a fázisátalakulás hőmérséklete magasabb lesz.4 Vizsgáljuk meg a fenti jelenségeket kvantitatı́ve! A folyadék elpárologtatásához – az intermolekuláris erők

legyőzéséhez – hő (energia) befektetése szükséges. Azt a hőmennyiséget, mely egységnyi tömegű, a fázisátalakulás hőmérsékletén lévő folyadékot teljes egészében elpárologtatja, párolgáshőnek5 nevezzük. Jele: L, mértékegysége: J kg . A párolgáshő értéke a fajhőnél nagyságrendekkel nagyobb. Folyadék elpárologtatásakor ezt a hőt nekünk kell befektetni, amit a kondenzációkor visszanyerünk. Nyilvánvaló, hogy a létrejövő gáz hőmérséklete is a fázisátalakulás hőmérsékletével fog megegyezni, mivel a fázisátalakulás során a hőmérséklet állandó marad! Ezzel a forrás jelenségét megmagyaráztuk, de még nem nyert magyarázatot a párolgás! A párolgás során az anyag a fázisátalakulási hőmérséklete alatt is képes folyadékból gázhalmazállapotúvá alakulni. Ez könnyen magyarázhatóvá válik, ha figyelembe

vesszük, hogy a folyadék molekuláinak sebességeloszlása is hasonlı́t 4 Ez az egyszerű modell nem magyarázza a kritikus pont létezését! 5 Másik neve rejtett (látens) hő. 39 6.3 SZILÁRD TESTEK FAJHŐJE ÉS HŐTÁGULÁSA a gázoknál emlı́tett Maxwell-féle sebességeloszlásra (3.2 ábra). Az ott leı́rtak alapján tehát valamely hőmérsékleten a folyadékmolekulák egy része rendelkezik akkora sebességgel (energiával), amely elégséges ahhoz, hogy legyőzze az intermolekuláris vonzerőket, és ı́gy a folyadékot elhagyhassa, azaz ,,gázhalmazállapotúvá” válhasson! Természetesen csak a folyadék felszı́néhez közeli és gyors molekulák képesek kiszakadni a folyadékból. Így két kritériumnak – felszı́nhez való közelség; a felszı́n irányába mutató, nagy sebesség – kell egyszerre teljesülnie, ezért általában a párolgás lassú folyamat. A fenti

gondolatmenetből adódik az is, hogy magasabb hőmérsékleten a párolgás intenzı́vebb, hiszen ilyenkor a molekulák nagyobb hányadának van meg a kilépéshez szükséges energiája (sebessége). Tapasztalható az is, hogy párolgás során a folyadék lehűl, hiszen párolgáskor a nagyobb energiájú (sebességű) részek elhagyják a folyadékot, mı́g a kisebb energiájú azaz kisebb ,,hőmérsékletű” részek benne maradnak. A párolgás kapcsán emlı́tést kell még tennünk a telı́tett gőz és a tenzió fogalmáról. A jelenség értelmezéséhez végezzük el az alábbi gondolatkı́sérletet! Tegyünk egy légüres, lezárt tartályba valamilyen folyadékot, a folyadék párologni kezd. Az elpárolgott folyadékmolekulák egy része azonban – a gáztérben való röpködés folyamán – visszakerülhet a folyadékba, hiszen neki energetikailag kedvező a folyadékban való

tartózkodás6 . Tehát a párolgás során időegységenként adott számú molekula elhagyja a folyadékot, eközben mások pedig újra visszakerülnek a gáztérből a folyadékba, azaz kondenzálnak. Közvetlenül a folyadéknak a légüres térbe tételét követően eleinte a párolgás dominál, majd a későbbiekben beáll a dinamikus egyensúly a párolgás és a kondenzáció között. Ez azt jelenti, hogy időegységenként ugyanannyi molekula párolog ki a gáztérbe, mint amennyi a folyadékba kondenzál. 6.1 ábra gáztérben, emiatt a nyomás nagyobb. Tehát a hőmérséklet növelésével a tenzió nő! A tenziógörbének a kritikus pontnál vége szakad, hiszen ekkor a gáz már nem cseppfolyósı́tható, illetve, precı́zebben eltűnik a gáz és a folyadék közötti különbség.7 Nyilvánvaló, hogy ha a tenzió eléri a külső nyomást, akkor a folyadék egész

térfogatában párolgásnak indul, megkezdődik a forrás. 6.3 Szilárd testek fajhője és hőtágulása A szilárd testek jellemzője, hogy – a folyadékokkal ellentétben – alaktartóak. Ennek magyarázatát a szilárd testet alkotó molekulák között ható erőkben kell keresni. Mı́g a folyadékot alkotó részek között másodlagos intermolekuláris erők működnek (van der Waals, H-hı́d,dipól-dipól) addig a szilárd testekben elsődleges erők (ionos, kovalens, fémes kötések) vannak, melyek erősebbek az előbbieknél. Ennek hatására a szilárd testekben az egyes atomok (molekulák) jól rögzı́tettek. A fajhő (molhő) definı́ciója természetesen analóg a folyadékoknál bevezetett fajhő (molhő) definı́ciójával. Azaz: a szilárd test fajhője annak a hőmennyiségnek a Ebben az állapotban a folyadék fölött lévő gőz mérőszáma amely 1 kg tömegű szilárd

test az úgynevezett telı́tett gőz melynek nyomását hőmérsékletét 1 K-nel változtatja meg. tenziónak hı́vjuk. Mivel a párolgás sebessége függ a hőmérséklettől, ı́gy a telı́tett gőz nyomása, a Jele: c, mértékegysége: kgJ K . tenzió is hőmérsékletfüggő, lásd a 6.1 ábrán A folyadékoknál leı́rtak analogonjára bevezea tenziógörbét! Nyı́lvánvaló, hogy a hőmérséklet növelésével a párolgás intenzı́vebbé válik, thető a szilárd test molhője (C) is. A szilárd testek ı́gy egyensúlyi állapotban több molekula van a fajhőjét szintén táblázatból vehetjük. 6 Mintegy hatásaként! az intermolekuláris erők behúzásának 7 Ezzel kapcsolatban hármaspontot! lásd még a későbbiekben a 40 6. FEJEZET SZILÁRD TESTEK ÉS FOLYADÉKOK A molhőkben azonban bizonyos szabályszerűséget vehetünk észre. A mérések arra az

eredményre vezettek, hogy a szilárd testek molhője, – a gázokéhoz hasonlóan – anyagfüggetlen konstans: C ≈ 3R ≈ 25 J . mol K (6.3) Ez a Dulong-Petit törvény. Vegyük észre, hogy a fenti kifejezés pontosan egy hat szabadsági fokú gáz mólhőjének felel meg – lásd (3.9)! Így – az analógiára támaszkodva – azt mondhatjuk, hogy a szilárd test minden atomjának hat szabadsági foka van.8 A transzlációs szabadsági fok helyett – a szilárd testek atomjai és 6.2 ábra molekulái nem végeznek haladó mozgást – azonban 3 rezgési szabadsági fok lép be, a molekulák (atomok) a rácshelyükön (3 fő irány mentén) rezegnek, és ebben tárolnak energiát. A három rezgési lx (t) = lx,0 + lx,0 · α · t és a három rotációs szabadsági fok kiadja a hatot. ly (t) = ly,0 + ly,0 · α · t. A mért értékek ettől kisebb-nagyobb eltérése azzal magyarázható, hogy a kristályon

belül egyéb Mivel A0 = lx,0 · ly,0 és A(t) = lx (t) · ly (t), ı́gy: kölcsönhatások is fellépnek. A(t) = A0 + A0 · 2α · t + A0 · α2 · t2 . Hőmérsékletváltozás hatására a szilárd testek mérete is változik. A hőtágulás ez esetben is a folyadékoknál megismert módon magyarázható, azaz a magasabb hőmérséklethez tartozó, erősebb hőmozgás hatására az atomok, illetve molekulák átlagos távolsága, ennek hatására a szilárd test mérete is megnő. A szilárd testek hőtágulásának definı́ciója azonban kissé összetettebb. Azonban α nagyságrendje általában 10−5 , 10−6 ı́gy α2 nagyságrendje 10−10 , 10−12 , tehát elhanyagolhatóan kicsi. Ennek eredményeképpen: A(t) = A0 + A0 · 2α · t (6.5) azaz a felületi hőtágulási együttható értéke a lineáris A lineáris hőtágulási együttható (α) megadja, hogy együttható kétszerese. egy

keresztmetszetéhez képest hosszú minta (szál) hossza 1 0 C-os hőmérséklet növelés hatására A gondolatmenetet három dimenzióra kiter0 0 C-os hosszának hányad részével növekszik meg. jesztve (általános idom) azt kapjuk – az α2 -es, α3 ös tagok elhanyagolása után –, hogy Azaz: a térfogati hőtágulási együttható a lináris együttható háromszorosa. l(t) = l + α · l · t. (6.4) 0 0 Azonban a lineáris hőtágulási együttható Képletben: segı́tségével nem csak ,,keresztmetszetéhez képest hosszú” anyagok, hanem bonyolultabb alakzaV (t) = V0 + V0 · 3α · t (6.6) tok hőtágulása is leı́rható. Ugyanis egy sı́klap (vastagságához képest nagy kiterjedésű anyagSzilárd testek olvadása, darab, lemez) felépı́thető a fentebb emlı́tett 6.4 szálakból a 6.2 ábrán bemutatott módon fagyása és párolgása Ezek alapján: Hátra van még a szilárd test –

folyadék 8 Miért C V és nem Cp ? Azért, mert a szilárd testek hőtágulása a gázokéhoz képest elhanyagolható, ı́gy a fázisátalakulás alaposabb áttekintése. Valamely térfogati munka nem ad járulékot. szilárd test hőmérsékletét növelve egy adott (az 6.4 SZILÁRD TESTEK OLVADÁSA, FAGYÁSA ÉS PÁROLGÁSA 41 adott anyagra jellemző) hőmérsékleten a szilárd test folyadék halmazállapotba megy át. Ez az olvadás jelensége, és a fenti hőmérséklet az olvadáspont. Ennek a fázisátmenetnek a ,,fordı́tottja” a megszilárdulás (fagyás), melynek során a folyadék szilárd fázisba megy át. A szisztematikus kı́sérletek az alábbi – részben a folyadékok fázisátalakulásánál megismert – eredményekre vezetnek: • A szilárd–folyadék átmenet során a hőmérséklet állandó – ez a fázisátalakulás hőmérséklete –, azaz amı́g az összes

szilárd anyag meg nem olvad, addig a folyadék hőmérséklete nem emelkedik. Ez az olvadás jelensége. • A megolvasztott szilárd test9 hűtve, az előbbi fázisátalakulási hőmérsékleten visszaalakul szilárd testté. Ez a megszilárdulás, vı́z esetén fagyás. A hőmérséklet a teljes megszilárdulási folyamat során állandó. • A szilárd test–folyadék fázisátalakulás hőmérséklete függ a nyomástól. Nagyobb nyomáson a fázisátalakulás hőmérséklete magasabb. A magyarázat ebben az esetben is hasonló a folyadékoknál elmondottakhoz, ezért azt nem ismételjük meg, csak a különbségekre hı́vjuk fel a figyelmet. A szilárd–folyadék átmenet esetében nincs kritikus pont, azaz ez az átmenet minden hőmérsékleten létezik10 . Mivel a szilárd–folyadék fázisátmenet is nyomásfüggő, ezért ennek a görbéje – olvadási görbe – is a tenziógörbéhez

hasonlóan ábrázolható, lásd 6.3 ábra! Bevezetve a szublimáció fogalmát, amely a ,,közvetlen” szilárd–gáz fázisátalakulást jelenti11 , értelmezhetővé válik a 6.3 ábrán bemutatott fázisdiagram! Ennek 0−H szakasza a szublimációs görbe, H − K szakasza a tenziógörbe, K pontja a kritikus pont, a H-ból induló egyenese az olvadási görbe. A fázisokat elválasztó görbék mentén a két fázis egyensúlyban kell, hogy legyen. Látható az is, hogy a görbének van egy olyan pontja (H), melynél mindhárom fázis egyensúlyba kerül. Ez az érdekes hely a hármaspont, ahol tehát egyszerre 9 Azért a körülményes fogalmazás, mert nem minden folyadék szilárdul meg hűtés folytán. 10 Ha a kritikus hőmérséklet fölé érnénk, akkor már nem szilárd test–folyadék, hanem értelemszerűen szilárd test–gáz átmenet következik be. 11 Ez nevezhető a szilárd test

párolgásának. 6.3 ábra A szén-dioxid fázisdiagramja létezik szilárd test, olvadéka és gőze, méghozzá egyensúlyban! Miután értelmeztük a fázisátalakulások jelenségeit, nézzük meg a vı́z fázisdiagramját (6.4 árba)! Rögtön észrevehetjük, hogy a közönséges anyagokkal szemben (6.3 ábra) a vı́z olvadásgörbéje ,,visszafelé hajlik”. Szavakba öntve ez azt jelenti, hogy nagyobb nyomás mellett alacsonyabb hőmérsékleten fagy csak meg. Ez a tulajdonság rendhagyó (anomális), azt várnánk ugyanis, hogy nagyobb nyomáson a folyadék molekulái (atomjai) közelebb kerülve egymáshoz könnyebben rendeződnek kristályrácsba. Létezik az anyagoknak fázisállapotokra nézve metastabil állapota is, amely során az anyaggal a fázisátalakulás hőmérsékletét át lehet lépni anélkül, hogy a fázisátalakulás bekövetkezne. Ekkor az anyag metastabil állapotba

kerül, és a legkisebb külső mechanikai behatásra a teljes fázisátalakulás nagy hirtelenséggel végbemegy. A metastabil állapot létézésére a fenti elmélet nem tud magyarázatot adni, ennek részletes elemzésével itt nem foglalkozunk. 42 6. FEJEZET SZILÁRD TESTEK ÉS FOLYADÉKOK 4. 100 g tömegű, 200 C hőmérsékletű cukor megolvasztásához 2, 26 · 104 J hőre van szükség. A cukor fajhője 1210 kgJ K ,az olvadás 1600 C körül következik be. Mennyi a cukor olvadáshője? 5. 0,1 kg tömegű sárgarezet Bunsen-lángba tartva izzı́tanak, majd az ugyancsak 0,1 kg tömegű sárgaréz kaloriméterbe 100 cm3 térfogatú, 40 C-os hőmérsékletű vizébe teszik. A közös hőmérséklet 67, 50 C lesz. Mennyi volt a sárgaréz hőmérséklete a lángban? (A sárgaréz fajhője 420 kgJ K ) 6. Miért érezzük a 00 C-os fagylaltot hidegebbnek, mint a 00 C-os kávét? 6.4 ábra A vı́z

fázisdiagramja 6.5 Feladatok 1. A folyékony nitrogén −1930 C-os folyadék a. Ha beledugja az ujját az súlyos fagyási sérülést szenved. Ha a kézfejére önti, alig érzi hidegnek. Mi ennek az oka? 7. Miért okoz súlyos égési sebet a fedő alól kiszökő 1000 C-os vı́zgőz, és miért nem veszélyes a szauna, ahol működés közben ennél magasabb (akár 1200 C)is lehet a hőmérséklet? 8. Ha ráfújok a kézfejemre, azt hidegnek érzem, ha rálehelek, azt melegnek, pedig a számból kiáramló levegő hőmérséklete ugyanakkora. Mi ennek az oka? (Móréh Ágnes feladata) 9. Mi lesz a végállapot, ha összekeverünk 250 g tömegű −300 C-os jeget, 10 g tömegű 500 C-os vizet és 5 g tömegű 1100 C-os vı́zgőzt? b. Ha el szeretnénk érni, hogy 250 Cos környezeti hőmérséklet mellett tetszőlegesen sokáig folyékony maradjon, mit kell tennünk? Segı́tség: Molekuláris szinten

gondolkodjon, esetleg jusson eszébe a fázisdiagram. A nitrogén – fázisdiagramja szempontjából – közönséges anyag, 10. Egy ember csuklóig merı́ti kezét az elhanyagolható hőkapacitású kaloriméter 180 Cos, 0, 5 dm3 térfogatú vizébe A vı́z 5 perc alatt 220 C-ra melegszik. Mekkora a kéz fűtőteljesı́tménye? 2. Adjon molekuláris magyarázatot a forrásra Ezek után válaszoljon az alábbi kérdésekre: a. Energiát veszı́t vagy nyer szervezetünk az ilyen gyümölcs elfogyasztásával? a. Miért anyagfüggő a forráspont? b. Hogyan lehetséges, hogy fázisátalakulási hőmérséklet alatt is van folyadék – gáz fázisátalakulás? c. El tud-e képzelni olyan hőmérsékletet, ahol a folyadék nem tud kondenzálni? 3. Miért érzünk hideget kilépve a zuhany alól vagy kikecmeregve az uszoda vizéből, hiszen a környezet sokkal melegebb mint a vı́z? 11. −200 C-os fagyott

gyümölcsöt eszünk A gyümölcs 5%-a cukornak, a többi vı́znek tekinthető b. Mennyi ez az energia, ha m tömegű az elfogyasztott gyümölcs? (A cukor minden grammjának elfogyasztás során 1, 43 · 104 J hő szabadul fel szervezetünkben. A cukor fajhője negyede a vı́z fajhőjének, ı́gy a gyümölcs cukortartalmának hőmérséklet-emeléséhez szükséges hő – a kis tömeg és a kis fajhő miatt – elhanyagolható.) 12. Az ábrán 1 kg higanyon végzett hőtani kı́sérlet eredménye látható. 43 6.5 FELADATOK 17. Adott körülmények között egy 70 kg tömegű ember testfelületének minden négyzetcentimétere óránként 12 J hőt ad át környezetének. a. Mekkora a másodpercenkénti hőátadás 0, 8 m2 testfelület esetén? b. Mennyi zsı́rt kell a szervezetnek elégetni 1 nap alatt a hőveszteség pótlásához, ha 1 kg zsı́r elégetésével 4 · 107 J hőveszteség

pótolható? 6.5 ábra A 12 feladathoz és c. Hány fokot hűlne a testünk, ha a hőveszteség pótlása 15 percig szünetelne. Az emberi test átlagos fajhője 3500 kg J0 C c. Mekkora a szilárd, folyékony és gáznemű higany fajhője? 18. 20 kg −10 0 C-os jégre 4 kg 1000 C hőmérsékletű vı́zgőzt vezetünk. Mekkora lesz a kialakuló közös hőmérséklet. Ansatz: 24 kg vı́z keletkezik! a. Mekkora a forráspontja? higany olvadás- b. Mekkora az olvadás- és forráshő? 13. Kánikulai napon kapálva, kaszálva óránként 6000 kJ hő termelődik testünkben. a. Feltételezve, hogy emberünk vı́zből van, és tömege 80 kg, ekkora hőmennyiségtől mennyivel nőne meg testhőmérséklete egy óra alatt? b. Miért marad mégis testhőmérsékletünk? állandó c. Hogyan működik ez más élőlényeknél? - különböző példák a növény és állatvilágból! d. Miért

nehezebb a munka párás és meleg környezetben? 14. Miért nem lehet – illetve nagyon nehéz – nagy hidegben (−250 C alatt) hógolyót csinálni? Egyáltalán mi tartja össze a hógolyót? 15. Egy sárgaréz henger kezdetben 20 0 C-os Mekkora hőmérsékleten lesz térfogata 0, 2%kal nagyobb. A sárgaréz lineáris hőtágulási együtthatója: 1, 6 · 10−5 01C 0 16. Egy háziasszony 20 C-os vizet öntött egy elektromos vı́zmelegı́tőbe és bekapcsolta. 20 perc múlva a vı́z felforrt. Ekkor vendégek érkeztek, akik egy óráig maradtak. A háziasszonynak csak ekkor jutott eszébe a bekapcsolt vı́zmelegı́tő. Még idejében, vagy csak a tönkrement vı́zmelegı́tőt találta? 19. t1 hőmérsékleten egy kocka sűrűsége ρt1 , oldalhossza lt1 egyik lapjára rajzolt kör területe At1 egy benne lévő levegőbuborék térfogata Vt1 . Ezután a kockát t2 hőmérsékletre melegı́tjük.

Mekkora lesz ρt2 , lt2 , At2 , Vt2 ? (t2 kisebb, mint az olvadáspont.) A kocka anyagának lineáris hőtágulási együtthatója: γ 20. Apróságok: a. Lehet-e olyan hideg, hogy nem érdemes korcsolyázni? b. Miért olvad meg később egy nedves szalvétába csomagolt jégdarab, mint egy szárazba? c. Régen a pincékben nagy vizesedényeket helyeztek a zöldség mellé, hogy megóvják a fagytól. Miért? 21. Magyarázza meg energetikailag, mi történik, mikor túlhűtött folyadék megfagy. A folyamat közben a folyadék hőmérséklete nő. Hogyan lehetséges, hogy egy folyadék miközben megfagy melegszik ? 22. Adjon molekuláris magyarázatot az olvadásra Ezek után válaszoljon az alábbi kérdésekre: a. Miért anyagfüggő az olvadáspont? b. Mi az a jelenség, mikor közvetlen szilárd – gáz fázisátalakulás következik be. (Az olvadás kimarad.) Mi lehet ennek a molekuláris szintű magyarázata?

44 6. FEJEZET SZILÁRD TESTEK ÉS FOLYADÉKOK c. El tud-e képzelni olyan nyomást, ahol a 26*. Hogyan definiálná a d dimenziós kocka szilárd test nem tud megolvadni? Gon,,térfogati” hőtágulási együtthatóját, ha a doljon a fázisdiagramra! lineáris γ. (d > 3) Segı́tség: A ’d’ dimenziós kocka minden oldala merőleges az 23. Nemegyensúlyi állapotok össze többire(!); ha az oldalhossza ’a’, akkor térfogata: ad . a. Milyen hőmérsékletre kell túlhűteni (légköri nyomású) vizet, hogy a fagyást megindı́tva teljesen átfagyjon és 0 0 Cos jeget adjon? Elképzelhető ez a hőmérséklet? b. Mire kell odafigyelni ha túlhűtést szeretne elérni? c. Hol léphet fel, miért káros és hogyan lehet elkerülni a túlhevı́tést. 24. A 64 látható. ábrán ábrán a vı́z fázisdiagramja a. Hétköznapi tapasztalatok alapján döntse el, merre hajlik a folyadék – szilárd

fázist elválasztó görbe? (Az ábra felbontása ahhoz kicsi, hogy le lehessen róla olvasni!) b. Milyen fázisátalakulások az alábbiak: B– D, D–C, D–K, A–H–B. c. Mi a hármaspont? Mekkora a vı́z hármasponti nyomása és hőmérséklete? d. Mi a kritikus pont? Mi a vı́z kritikus nyomása és hőmérséklete? e. Jelöljön be az ábrán túlhevı́tett gőzt és túlhűtött vizet jellemző pontot. f. A Paksi Atomerőmű reaktorai nyomottvizes tı́pusúak (PWWR) A primer körből a hőt 260 0 C-os vı́z viszi el. Mekkora a nyomás (legalább) a primer körben? Miért nagyon veszélyes a primerköri hűtővı́zcső eltörése? * A D–F–E–C folyamat során nem metszünk fázisgörbét, azaz úgy tűnik nincs fázisátalakulás. Mégis a D állapot halmazállapota nem egyezik meg a C-ével. Hogy is van ez? 25. Egy kilogramm vizet túlhűtünk −10 0 Cra Mennyi jég fog kifagyni, ha a fagyást

megindı́tjuk? Adatok: cj = 2090 kg J0 C , cv = J 4180 kg J0 C , Lolv = 3, 34 · 105 kg Typeset by LATEX