Matematika | Diszkrét Matematika » Gáspár-Molnárka - Vektorgeometria előadás

Lineáris algebra és többváltozós függvények Gáspár Csaba Molnárka Győző 2006 Miletics Edit Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Vektorgeometria meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 2 / 21 Sı́kvektorok Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Pontok távolsága, vektorok szöge meghatározott egyenes Az x, y ∈ R2 pontok

távolsága ||x − y||. Az x és y vektorok • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott által bezárt θ szögre: cos θ = ||x||·||y|| (feltéve, hogy a egyik vektor hossza sem 0). sı́k hx,yi • Néhány tı́pusfeladat 3 / 21 Ortogonális vetület a sı́kon Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Adott irányú ortogonális vetületvektor Legyenek a, e ∈ R2 , e 6= 0 . Az a vektor e irányú ortogonális ha,ei vetülete: ae = ||e||2 · e. Ha az e irányvektor egységnyi hosszúságú, akkor: ae = ha, ei · e. 4

/ 21 Ortogonális felbontás Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Sı́kvektor 90o -os elforgatottja meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k Az a = (a1 , a2 ) ∈ R2 vektor 90o -kal való elforgatottja: a⊥ = (−a2 , a1 ). • Néhány tı́pusfeladat 5 / 21 Ortogonális felbontás Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Sı́kvektor 90o -os elforgatottja meghatározott egyenes

• Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k Az a = (a1 , a2 ) ∈ R2 vektor 90o -kal való elforgatottja: a⊥ = (−a2 , a1 ). • Néhány tı́pusfeladat Ha 0 6= e ∈ R2 , akkor tetszőleges x ∈ R2 vektor előáll egy e irányú és egy arra merőleges vektor összegeként: x= hx,ei ||e||2 ·e+ hx,e⊥ i ||e||2 · e⊥ 5 / 21 Ortogonális felbontás Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Sı́kvektor 90o -os elforgatottja meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k Az a = (a1 , a2 ) ∈ R2 vektor 90o -kal való elforgatottja: a⊥ = (−a2 , a1 ). • Néhány tı́pusfeladat Ha 0

6= e ∈ R2 , akkor tetszőleges x ∈ R2 vektor előáll egy e irányú és egy arra merőleges vektor összegeként: x= hx,ei ||e||2 ·e+ hx,e⊥ i ||e||2 · e⊥ Ha e egységnyi hosszúságú, akkor: x = hx, ei · e + hx, e⊥ i · e⊥ . 5 / 21 Egyenesek a sı́kon Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott Legyenek a, e ∈ R2 , e 6= 0 tetszőleges vektorok. Akkor az x=a+t·e (t ∈ R) sı́k • Néhány tı́pusfeladat pontok egy egyenest alkotnak, mely illeszkedik az a pontra, és párhuzamos az e vektorral (paraméteres vektoregyenlet). 6 / 21 Egyenesek a sı́kon Vektorgeometria

• Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott Legyenek a, e ∈ R2 , e 6= 0 tetszőleges vektorok. Akkor az x=a+t·e (t ∈ R) sı́k • Néhány tı́pusfeladat pontok egy egyenest alkotnak, mely illeszkedik az a pontra, és párhuzamos az e vektorral (paraméteres vektoregyenlet). Ha a = (a1 , a2 ), e = (e1 , e2 ), akkor ez ekvivalens az alábbival: x1 = a1 + t · e1 x2 = a2 + t · e2 6 / 21 Egyenesek a sı́kon Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon Példa: Az (1, 2) ponton átmenő, (3, −1) irányú egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 1 + 3t, y = 2 − t. • Ortogonális

felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 7 / 21 Egyenesek a sı́kon Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes Példa: Az (1, 2) ponton átmenő, (3, −1) irányú egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 1 + 3t, y = 2 − t. Példa: Határozzuk meg azon egyenes egyenletét, mely illeszkedik a (−1, 3) pontra, és merőleges az x = 5 − 2t y = −2 + 3t egyenesre. • Vektoriális

szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 7 / 21 Egyenesek a sı́kon Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott Példa: Az (1, 2) ponton átmenő, (3, −1) irányú egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 1 + 3t, y = 2 − t. Példa: Határozzuk meg azon egyenes egyenletét, mely illeszkedik a (−1, 3) pontra, és merőleges az x = 5 − 2t y = −2 + 3t egyenesre. Megoldás: A adott egyenes irányvektora (−2, 3). sı́k • Néhány tı́pusfeladat 7 / 21 Egyenesek a sı́kon Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális

vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Példa: Az (1, 2) ponton átmenő, (3, −1) irányú egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 1 + 3t, y = 2 − t. Példa: Határozzuk meg azon egyenes egyenletét, mely illeszkedik a (−1, 3) pontra, és merőleges az x = 5 − 2t y = −2 + 3t egyenesre. Megoldás: A adott egyenes irányvektora (−2, 3). Egy erre merőleges vektor: (3, 2), ez jó lesz a keresett egyenes irányvektorának. 7 / 21 Egyenesek a sı́kon Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által

meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Példa: Az (1, 2) ponton átmenő, (3, −1) irányú egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 1 + 3t, y = 2 − t. Példa: Határozzuk meg azon egyenes egyenletét, mely illeszkedik a (−1, 3) pontra, és merőleges az x = 5 − 2t y = −2 + 3t egyenesre. Megoldás: A adott egyenes irányvektora (−2, 3). Egy erre merőleges vektor: (3, 2), ez jó lesz a keresett egyenes irányvektorának. Innen: x = −1 + 3t y = −3 + 2t. 7 / 21 Két pont által meghatározott egyenes Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes

szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott Legyenek a, b ∈ R2 tetszőleges sı́kbeli pontok. Az ezeken átmenő egyenes paraméteres vektoregyenlete: x = a + t · (b − a) (t ∈ R). sı́k • Néhány tı́pusfeladat 8 / 21 Két pont által meghatározott egyenes Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott Legyenek a, b ∈ R2 tetszőleges sı́kbeli pontok. Az ezeken átmenő egyenes paraméteres vektoregyenlete: x = a + t · (b − a) (t

∈ R). sı́k • Néhány tı́pusfeladat Példa: Az (1, −2) és a (6, 5) pontokon átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 1 + 5t y = −2 + 7t 8 / 21 Két egyenes szöge Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes Két egyenes szöge: az irányvektoraik által bezárt θ hegyesszög. • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 9 / 21 Két egyenes szöge Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok •

Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes Két egyenes szöge: az irányvektoraik által bezárt θ hegyesszög. • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Ha a két egyenes paraméteres vektoregyenlete x = a + t · e ill. x = b + τ · f , akkor: cos θ = |he, f i| . ||e|| · ||f || 9 / 21 Térvektorok Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Pontok távolsága, vektorok szöge Az x, y ∈ R3 pontok távolsága ||x − y||, mı́g az x

és y vektorok által bezárt θ szögre: hx, yi cos θ = ||x|| · ||y|| (feltéve, hogy a egyik vektor hossza sem 0). 10 / 21 Térvektorok Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Pontok távolsága, vektorok szöge Az x, y ∈ R3 pontok távolsága ||x − y||, mı́g az x és y vektorok által bezárt θ szögre: hx, yi cos θ = ||x|| · ||y|| (feltéve, hogy a egyik vektor hossza sem 0). Jelölés: i := (1, 0, 0), j := (0, 1, 0), k := (0, 0, 1). 10 / 21 Ortogonális vetület Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon •

Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Adott irányú ortogonális vetületvektor Legyenek a, e ∈ R3 , e 6= 0 . Az a vektor e irányú ortogonális vetülete: ha, ei ae = ·e ||e||2 Ha az e irányvektor egységnyi hosszúságú, akkor: ae = ha, ei · e. 11 / 21 Egyenesek a térben Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a

térben • Három pontjával adott Legyenek a, e ∈ R3 , e 6= 0 tetszőleges vektorok. Akkor az x=a+t·e (t ∈ R) sı́k • Néhány tı́pusfeladat pontok egy egyenest alkotnak, mely illeszkedik az a pontra, és párhuzamos az e irányvektorral (az egyenes paraméteres vektoregyenlete). 12 / 21 Egyenesek a térben Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes Legyenek a, e ∈ R3 , e 6= 0 tetszőleges vektorok. Akkor az • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott x=a+t·e (t ∈ R) sı́k • Néhány tı́pusfeladat pontok egy egyenest alkotnak, mely illeszkedik az a pontra, és párhuzamos az e irányvektorral (az egyenes paraméteres

vektoregyenlete). Skalár egyenletrendszerré kifejtve: x1 = a1 + t · e1 x2 = a2 + t · e2 x3 = a3 + t · e3 12 / 21 Két pont által meghatározott egyenes Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k Az a ∈ R3 és b ∈ R3 pontokon átmenő egyenes paraméteres vektoregyenlete: x = a + t · (b − a) (t ∈ R). • Néhány tı́pusfeladat 13 / 21 Két pont által meghatározott egyenes Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge •

Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k Az a ∈ R3 és b ∈ R3 pontokon átmenő egyenes paraméteres vektoregyenlete: x = a + t · (b − a) (t ∈ R). • Néhány tı́pusfeladat Ha a t paraméter csak a [0, 1] intervallumot futja be, akkor a fenti x pontok az a és b végpontú térbeli szakasz pontjait futják be. 13 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata: a × b := (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3 meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által

meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 14 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata: a × b := (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3 meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Példa: i × j = k, j × k = i, k × i = j. meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 14 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon •

Két pont által Az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata: a × b := (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3 meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Példa: i × j = k, j × k = i, k × i = j. Tetszőleges a, b ∈ R3 esetén meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott ||a × b|| := ||a|| · ||b|| · | sin θ|, sı́k • Néhány tı́pusfeladat ahol θ az a és b vektorok szögét jelöli. 14 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata: a × b := (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3

meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Példa: i × j = k, j × k = i, k × i = j. Tetszőleges a, b ∈ R3 esetén meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott ||a × b|| := ||a|| · ||b|| · | sin θ|, sı́k • Néhány tı́pusfeladat ahol θ az a és b vektorok szögét jelöli. Feltehető, hogy a = (a1 , a2 , 0), b = (b1 , b2 , 0) alakúak. 14 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata: a × b := (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3 meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a

térben • Két pont által Példa: i × j = k, j × k = i, k × i = j. Tetszőleges a, b ∈ R3 esetén meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott ||a × b|| := ||a|| · ||b|| · | sin θ|, sı́k • Néhány tı́pusfeladat ahol θ az a és b vektorok szögét jelöli. Feltehető, hogy a = (a1 , a2 , 0), b = (b1 , b2 , 0) alakúak. Akkor a × b = (0, 0, a1 b2 − a2 b1 ), 14 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata: a × b := (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3 meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Példa: i × j = k, j × k = i, k × i = j.

Tetszőleges a, b ∈ R3 esetén meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott ||a × b|| := ||a|| · ||b|| · | sin θ|, sı́k • Néhány tı́pusfeladat ahol θ az a és b vektorok szögét jelöli. Feltehető, hogy a = (a1 , a2 , 0), b = (b1 , b2 , 0) alakúak. Akkor a × b = (0, 0, a1 b2 − a2 b1 ), ı́gy ||a × b|| = |a1 b2 − a2 b1 | 14 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata: a × b := (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3 meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Példa: i × j = k, j × k = i, k × i = j. Tetszőleges a, b ∈ R3 esetén

meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott ||a × b|| := ||a|| · ||b|| · | sin θ|, sı́k • Néhány tı́pusfeladat ahol θ az a és b vektorok szögét jelöli. Feltehető, hogy a = (a1 , a2 , 0), b = (b1 , b2 , 0) alakúak. Akkor a × b = (0, 0, a1 b2 − a2 b1 ), ı́gy ||a × b|| = |a1 b2 − a2 b1 | = |h(a1 , a2 ), (−b2 , b1 )i| 14 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata: a × b := (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3 meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Példa: i × j = k, j × k = i, k × i = j. Tetszőleges a, b ∈ R3 esetén

meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott ||a × b|| := ||a|| · ||b|| · | sin θ|, sı́k • Néhány tı́pusfeladat ahol θ az a és b vektorok szögét jelöli. Feltehető, hogy a = (a1 , a2 , 0), b = (b1 , b2 , 0) alakúak. Akkor a × b = (0, 0, a1 b2 − a2 b1 ), ı́gy ||a × b|| = |a1 b2 − a2 b1 | = |h(a1 , a2 ), (−b2 , b1 )i| = |h(a1 , a2 ), (b1 , b2 )⊥ i| 14 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 vektorok vektoriális szorzata: a × b := (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3 meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Példa: i × j = k, j × k = i, k × i = j.

Tetszőleges a, b ∈ R3 esetén meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott ||a × b|| := ||a|| · ||b|| · | sin θ|, sı́k • Néhány tı́pusfeladat ahol θ az a és b vektorok szögét jelöli. Feltehető, hogy a = (a1 , a2 , 0), b = (b1 , b2 , 0) alakúak. Akkor a × b = (0, 0, a1 b2 − a2 b1 ), ı́gy ||a × b|| = |a1 b2 − a2 b1 | = |h(a1 , a2 ), (−b2 , b1 )i| = |h(a1 , a2 ), (b1 , b2 )⊥ i| = ||a|| · ||b|| · | cos( π2 − θ)|. 14 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon A vektoriális szorzatvektor mindkét tényezőjére ortogonális, azaz tetszőleges a, b ∈ R3 esetén ha × b, ai = 0 és ha × b, bi = 0. • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két

pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 15 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által A vektoriális szorzatvektor mindkét tényezőjére ortogonális, azaz tetszőleges a, b ∈ R3 esetén ha × b, ai = 0 és ha × b, bi = 0. ha × b, ai meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 15 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által

meghatározott egyenes A vektoriális szorzatvektor mindkét tényezőjére ortogonális, azaz tetszőleges a, b ∈ R3 esetén ha × b, ai = 0 és ha × b, bi = 0. ha × b, ai = h(a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ), (a1 , a2 , a3 )i • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 15 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által A vektoriális szorzatvektor mindkét tényezőjére ortogonális, azaz tetszőleges a, b ∈ R3 esetén ha × b, ai = 0 és

ha × b, bi = 0. ha × b, ai = h(a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ), (a1 , a2 , a3 )i = a1 a2 b3 − a1 a3 b2 + a2 a3 b1 − a1 a2 b3 + a1 a3 b2 − a2 a3 b1 = 0. meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 15 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által A vektoriális szorzatvektor mindkét tényezőjére ortogonális, azaz tetszőleges a, b ∈ R3 esetén ha × b, ai = 0 és ha × b, bi = 0. ha × b, ai = h(a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ), (a1 , a2 , a3 )i = a1 a2 b3 − a1 a3 b2 + a2 a3 b1 − a1 a2 b3 + a1 a3 b2 − a2 a3 b1 = 0. meghatározott

egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 15 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által Tetszőleges a, b, c ∈ R3 és λ ∈ R esetén: • • • • a × b = −b × a (λa) × b = a × (λb) = λ · (a × b) a × (b + c) = a × b + a × c (a + b) × c = a × c + b × c meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 16 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által

meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott Tetszőleges a, b, c ∈ R3 és λ ∈ R esetén: • • • • a × b = −b × a (λa) × b = a × (λb) = λ · (a × b) a × (b + c) = a × b + a × c (a + b) × c = a × c + b × c Probléma: Döntsük el, hogy az x = a + t · e és az x = b + τ · f egyenesek kitérő-e vagy sem. sı́k • Néhány tı́pusfeladat 16 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a

térben • Három pontjával adott sı́k Tetszőleges a, b, c ∈ R3 és λ ∈ R esetén: • • • • a × b = −b × a (λa) × b = a × (λb) = λ · (a × b) a × (b + c) = a × b + a × c (a + b) × c = a × c + b × c Probléma: Döntsük el, hogy az x = a + t · e és az x = b + τ · f egyenesek kitérő-e vagy sem. Megoldás: Az n := e × f vektor mindkét egyenesre merőleges. • Néhány tı́pusfeladat 16 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Tetszőleges a, b, c ∈ R3 és λ ∈ R esetén: • • • • a

× b = −b × a (λa) × b = a × (λb) = λ · (a × b) a × (b + c) = a × b + a × c (a + b) × c = a × c + b × c Probléma: Döntsük el, hogy az x = a + t · e és az x = b + τ · f egyenesek kitérő-e vagy sem. Megoldás: Az n := e × f vektor mindkét egyenesre merőleges. Tekintsük a (b − a) vektort. 16 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Tetszőleges a, b, c ∈ R3 és λ ∈ R esetén: • • • • a × b = −b × a (λa) × b = a × (λb) = λ · (a × b) a × (b + c) = a × b + a × c (a + b) × c = a × c + b × c

Probléma: Döntsük el, hogy az x = a + t · e és az x = b + τ · f egyenesek kitérő-e vagy sem. Megoldás: Az n := e × f vektor mindkét egyenesre merőleges. Tekintsük a (b − a) vektort. Ha az egyenesek metszők, akkor ennek n irányú ortogonális vetülete 0, ha kitérők, akkor nemzérus. 16 / 21 Vektoriális szorzat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Tetszőleges a, b, c ∈ R3 és λ ∈ R esetén: • • • • a × b = −b × a (λa) × b = a × (λb) = λ · (a × b) a × (b + c) = a × b + a × c (a + b) × c = a × c + b × c

Probléma: Döntsük el, hogy az x = a + t · e és az x = b + τ · f egyenesek kitérő-e vagy sem. Megoldás: Az n := e × f vektor mindkét egyenesre merőleges. Tekintsük a (b − a) vektort. Ha az egyenesek metszők, akkor ennek n irányú ortogonális vetülete 0, ha kitérők, akkor nemzérus. Elég tehát kiszámı́tani a he × f , b − ai számot: ha ez nem 0, akkor az egyenesek kitérők. 16 / 21 Sı́kok a térben Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes Egy pontjával és normálvektorával adott sı́k A sı́k normálegyenlete: Legyenek a ∈ R3 , 0 6= n ∈ R3 , akkor az • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott hx

− a, ni = 0, sı́k • Néhány tı́pusfeladat egyenletet kielégı́tő pontok egy sı́kot alkotnak, mely illeszkedik az a pontra, és merőleges az n normálvektorra. Kifejtve: (x1 − a1 ) · n1 + (x2 − a2 ) · n2 + (x3 − a3 ) · n3 = 0. 17 / 21 Három pontjával adott sı́k Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott Három pontjával adott sı́k Legyenek a, b, c ∈ R3 nem egy egyenesbe eső pontok. A rájuk illeszkedő sı́k normálegyenlete: hx − a, (b − a) × (c − a)i = 0 sı́k • Néhány tı́pusfeladat 18 / 21 Három pontjával adott sı́k Vektorgeometria •

Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Három pontjával adott sı́k Legyenek a, b, c ∈ R3 nem egy egyenesbe eső pontok. A rájuk illeszkedő sı́k normálegyenlete: hx − a, (b − a) × (c − a)i = 0 Az n := (b − a) × (c − a) vektor ui. merőleges a (b − a) és a (c − a) különbségvektorokra, ı́gy az egész sı́kra is. 18 / 21 Három pontjával adott sı́k Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge •

Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Három pontjával adott sı́k Legyenek a, b, c ∈ R3 nem egy egyenesbe eső pontok. A rájuk illeszkedő sı́k normálegyenlete: hx − a, (b − a) × (c − a)i = 0 Az n := (b − a) × (c − a) vektor ui. merőleges a (b − a) és a (c − a) különbségvektorokra, ı́gy az egész sı́kra is. Példa: Határozzuk meg az (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) pontokra (azaz az i, j, k vektorok végpontjaira) illeszkedő sı́k normálegyenletét. 18 / 21 Három pontjával adott sı́k Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület

• Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Három pontjával adott sı́k Legyenek a, b, c ∈ R3 nem egy egyenesbe eső pontok. A rájuk illeszkedő sı́k normálegyenlete: hx − a, (b − a) × (c − a)i = 0 Az n := (b − a) × (c − a) vektor ui. merőleges a (b − a) és a (c − a) különbségvektorokra, ı́gy az egész sı́kra is. Példa: Határozzuk meg az (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) pontokra (azaz az i, j, k vektorok végpontjaira) illeszkedő sı́k normálegyenletét. Megoldás: A normálvektor: n = (k − i) × (j − i) 18 / 21 Három pontjával adott sı́k Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok •

Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Három pontjával adott sı́k Legyenek a, b, c ∈ R3 nem egy egyenesbe eső pontok. A rájuk illeszkedő sı́k normálegyenlete: hx − a, (b − a) × (c − a)i = 0 Az n := (b − a) × (c − a) vektor ui. merőleges a (b − a) és a (c − a) különbségvektorokra, ı́gy az egész sı́kra is. Példa: Határozzuk meg az (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) pontokra (azaz az i, j, k vektorok végpontjaira) illeszkedő sı́k normálegyenletét. Megoldás: A normálvektor: n = (k − i) × (j − i) =k×j−i×j−k×i+i×i−j×k−i×j−k×i= −i − k − j 18 / 21 Három pontjával adott sı́k Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont

által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Három pontjával adott sı́k Legyenek a, b, c ∈ R3 nem egy egyenesbe eső pontok. A rájuk illeszkedő sı́k normálegyenlete: hx − a, (b − a) × (c − a)i = 0 Az n := (b − a) × (c − a) vektor ui. merőleges a (b − a) és a (c − a) különbségvektorokra, ı́gy az egész sı́kra is. Példa: Határozzuk meg az (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) pontokra (azaz az i, j, k vektorok végpontjaira) illeszkedő sı́k normálegyenletét. Megoldás: A normálvektor: n = (k − i) × (j − i) =k×j−i×j−k×i+i×i−j×k−i×j−k×i= −i − k − j = (−1, −1, −1), 18 / 21 Három pontjával adott sı́k Vektorgeometria • Sı́kvektorok •

Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat Három pontjával adott sı́k Legyenek a, b, c ∈ R3 nem egy egyenesbe eső pontok. A rájuk illeszkedő sı́k normálegyenlete: hx − a, (b − a) × (c − a)i = 0 Az n := (b − a) × (c − a) vektor ui. merőleges a (b − a) és a (c − a) különbségvektorokra, ı́gy az egész sı́kra is. Példa: Határozzuk meg az (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) pontokra (azaz az i, j, k vektorok végpontjaira) illeszkedő sı́k normálegyenletét. Megoldás: A normálvektor: n = (k − i) × (j − i) =k×j−i×j−k×i+i×i−j×k−i×j−k×i= −i − k − j = (−1,

−1, −1), innen: −(x − 1) − y − z = 0. 18 / 21 Néhány tı́pusfeladat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott Pont és egyenes távolsága: A b ∈ R3 pontnak az x = a + t · e egyenestől mért távolsága azralábbi vektor hossza: (b − a) − (b − a)e , azaz: ||b − a||2 −   |hb−a,ei| 2 . ||e|| sı́k • Néhány tı́pusfeladat 19 / 21 Néhány tı́pusfeladat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által meghatározott egyenes • Két egyenes szöge •

Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott Pont és sı́k távolsága: A d ∈ R3 pontnak az hx − a, ni = 0 sı́któl mért távolsága a (d − a) különbségvektor n irányú ortogonális vetületvektorának hossza, azaz: |hd−a,ni| ||n|| . sı́k • Néhány tı́pusfeladat 20 / 21 Néhány tı́pusfeladat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Adott pontra és adott egyenesre illeszkedő sı́k. Az x = a + t · e egyenesre és az azon kı́vül eső b ∈ R3 pontra illeszkedő sı́k párhuzamos mind a (b − a) különbségvektorral, mind pedig az e irányvektorral, normálvektora n := (b − a) × e-nek választható. meghatározott egyenes • Két egyenes szöge

• Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 21 / 21 Néhány tı́pusfeladat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Adott pontra és adott egyenesre illeszkedő sı́k. Az x = a + t · e egyenesre és az azon kı́vül eső b ∈ R3 pontra illeszkedő sı́k párhuzamos mind a (b − a) különbségvektorral, mind pedig az e irányvektorral, normálvektora n := (b − a) × e-nek választható. meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes Két adott sı́kkal párhuzamos egyenes: Az hx − a, ni = 0 és az hx − b, mi = 0 sı́kokkal

párhuzamos egyenes merőleges mindkét sı́k normálvektorára, ı́gy irányvektora e := n × m-nek választható. • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k • Néhány tı́pusfeladat 21 / 21 Néhány tı́pusfeladat Vektorgeometria • Sı́kvektorok • Ortogonális vetület a sı́kon • Ortogonális felbontás • Egyenesek a sı́kon • Két pont által Adott pontra és adott egyenesre illeszkedő sı́k. Az x = a + t · e egyenesre és az azon kı́vül eső b ∈ R3 pontra illeszkedő sı́k párhuzamos mind a (b − a) különbségvektorral, mind pedig az e irányvektorral, normálvektora n := (b − a) × e-nek választható. meghatározott egyenes • Két egyenes szöge • Térvektorok • Ortogonális vetület • Egyenesek a térben • Két pont által meghatározott egyenes • Vektoriális szorzat • Sı́kok a térben • Három pontjával adott sı́k •

Néhány tı́pusfeladat Két adott sı́kkal párhuzamos egyenes: Az hx − a, ni = 0 és az hx − b, mi = 0 sı́kokkal párhuzamos egyenes merőleges mindkét sı́k normálvektorára, ı́gy irányvektora e := n × m-nek választható. Egyenes és sı́k döféspontja. Az x = a + t · e egyenes és az hx − b, ni = 0 sı́k döféspontja az az x ∈ R3 pont, mely kielégı́ti mindkét egyenletet. Az ezt jellemző t paraméter az ha + t · e − b, ni = 0 egyenletből határozható meg: t = hb−a,ni he,ni . 21 / 21