Gáspár-Molnárka - Többváltozós függvények előadás

A doksi online olvasásához kérlek jelentkezz be!

2006 · 160 oldal (1 MB)

magyar

2014. július 02.

[SZE] Széchenyi István Egyetem

Az értékelések rögzítése karbantartás miatt szünetel. Kérlek nézz vissza egy-két napon belül!

Mit olvastak a többiek, ha ezzel végeztek?

Tartalmi kivonat

Lineáris algebra és többváltozós függvények Gáspár Csaba Molnárka Győző 2006 Miletics Edit Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 2 / 33 Többváltozós függvények megadása Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása Legyen f : Rn R egy leképezés, jelölje Ω ⊂ Rn az

értelmezési tartományát. • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Explicit megadás, példa: f : R2 R, f (x, y) := ex+y . deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 3 / 33 Többváltozós függvények megadása Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása Legyen f : Rn R egy leképezés, jelölje Ω ⊂ Rn az értelmezési tartományát. • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált •

Másodrendű parciális Explicit megadás, példa: f : R2 R, f (x, y) := ex+y . deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Implicit megadás: g(x1 , x2 , ., xn , y) = 0 • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 3 / 33 Többváltozós függvények megadása Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása Legyen f : Rn R egy leképezés, jelölje Ω ⊂ Rn az értelmezési tartományát. • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Explicit megadás, példa: f : R2 R, f (x, y) := ex+y .

deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Implicit megadás: g(x1 , x2 , ., xn , y) = 0 Grafikon, szintvonal • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 3 / 33 Többváltozós függvények megadása Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása Legyen f : Rn R egy leképezés, jelölje Ω ⊂ Rn az értelmezési tartományát. • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Explicit megadás, példa: f : R2 R, f (x, y) := ex+y . deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós

függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Implicit megadás: g(x1 , x2 , ., xn , y) = 0 Grafikon, szintvonal Példa: x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 (|x|, |y| ≤ 1, z ≥ 0) p A leképezés explicit alakja: z = f (x, y) = 1 − x2 − y 2 , szintvonalai: az xy -sı́kon origó közepű koncentrikus körök, grafikonja: origó középpontú, egységnyi sugarú félgömb-felület. Többszörös integrálok 3 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális (1) (2) (n) Az (xm ) ⊂ Rn , xm := (xm , xm

, ., xm ) vektorsorozat konvergens, éspedig az x := (x(1) , x(2) , , x(n) ) ∈ Rn vektorhoz tart, (j) ha xm x(j) (j = 1, 2, ., n, m +∞) deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 4 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális

szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa (1) (2) (n) Az (xm ) ⊂ Rn , xm := (xm , xm , ., xm ) vektorsorozat konvergens, éspedig az x := (x(1) , x(2) , , x(n) ) ∈ Rn vektorhoz tart, (j) ha xm x(j) (j = 1, 2, ., n, m +∞) xm x pontosan akkor teljesül, ha az ||xm − x|| 0. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 4 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa (1) (2) (n) Az

(xm ) ⊂ Rn , xm := (xm , xm , ., xm ) vektorsorozat konvergens, éspedig az x := (x(1) , x(2) , , x(n) ) ∈ Rn vektorhoz tart, (j) ha xm x(j) (j = 1, 2, ., n, m +∞) xm x pontosan akkor teljesül, ha az ||xm − x|| 0. Az f : Ω R függvény folytonos az x ∈ Ω helyen, ha minden (xm ) ⊂ Ω, xm x vektorsorozat esetén f (xm ) f (x). • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 4 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális (1) (2) (n) Az (xm ) ⊂ Rn , xm := (xm , xm , ., xm ) vektorsorozat konvergens, éspedig az x := (x(1) , x(2) , , x(n) ) ∈ Rn vektorhoz tart, (j) ha xm x(j) (j = 1, 2, ., n, m +∞)

deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa xm x pontosan akkor teljesül, ha az ||xm − x|| 0. • Feltételes szélsőérték • Feltételes Ha van oly C ≥ 0 szám, hogy minden x1 , x2 ∈ Ω esetén |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ C · ||x1 − x2 ||, akkor f folytonos Ω minden pontjában. szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Az f : Ω R függvény folytonos az x ∈ Ω helyen, ha minden (xm ) ⊂ Ω, xm x vektorsorozat esetén f (xm ) f (x). polinomokkal Többszörös integrálok 4 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű

parciális (1) (2) (n) Az (xm ) ⊂ Rn , xm := (xm , xm , ., xm ) vektorsorozat konvergens, éspedig az x := (x(1) , x(2) , , x(n) ) ∈ Rn vektorhoz tart, (j) ha xm x(j) (j = 1, 2, ., n, m +∞) deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa xm x pontosan akkor teljesül, ha az ||xm − x|| 0. • Feltételes szélsőérték • Feltételes Ha van oly C ≥ 0 szám, hogy minden x1 , x2 ∈ Ω esetén |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ C · ||x1 − x2 ||, akkor f folytonos Ω minden pontjában. szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Az f : Ω R függvény folytonos az x ∈ Ω helyen, ha minden (xm ) ⊂ Ω, xm x vektorsorozat esetén f (xm ) f (x). polinomokkal Többszörös integrálok Ekkor minden x ∈ Ω

és xm x vektorsorozat esetén |f (x) − f (xm )| ≤ C · ||x − xm || 0, 4 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális (1) (2) (n) Az (xm ) ⊂ Rn , xm := (xm , xm , ., xm ) vektorsorozat konvergens, éspedig az x := (x(1) , x(2) , , x(n) ) ∈ Rn vektorhoz tart, (j) ha xm x(j) (j = 1, 2, ., n, m +∞) deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa xm x pontosan akkor teljesül, ha az ||xm − x|| 0. • Feltételes szélsőérték • Feltételes Ha van oly C ≥ 0 szám, hogy minden x1 , x2 ∈ Ω esetén |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ C · ||x1 − x2 ||, akkor f folytonos Ω minden

pontjában. szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Az f : Ω R függvény folytonos az x ∈ Ω helyen, ha minden (xm ) ⊂ Ω, xm x vektorsorozat esetén f (xm ) f (x). polinomokkal Többszörös integrálok Ekkor minden x ∈ Ω és xm x vektorsorozat esetén |f (x) − f (xm )| ≤ C · ||x − xm || 0, azaz f (xm ) f (x). 4 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyenek f1 , f2 , ., fn : R R folytonos (egyváltozós) függvények. Akkor az f (x1 , x2 , , xn ) := f1 (x1 )

+ f2 (x2 ) + + fn (xn ) és az f (x1 , x2 , ., xn ) := f1 (x1 ) · f2 (x2 ) · · fn (xn ) előı́rással értelmezett f : Rn R (n-változós) függvények is folytonosak. Ha pedig f : Rn R folytonos n-változós függvény, g : R R pedig folytonos egyváltozós függvény, akkor az összetett g ◦ f függvény is folytonos (n-változós) függvény. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 5 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális

szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Legyenek f1 , f2 , ., fn : R R folytonos (egyváltozós) függvények. Akkor az f (x1 , x2 , , xn ) := f1 (x1 ) + f2 (x2 ) + + fn (xn ) és az f (x1 , x2 , ., xn ) := f1 (x1 ) · f2 (x2 ) · · fn (xn ) előı́rással értelmezett f : Rn R (n-változós) függvények is folytonosak. Ha pedig f : Rn R folytonos n-változós függvény, g : R R pedig folytonos egyváltozós függvény, akkor az összetett g ◦ f függvény is folytonos (n-változós) függvény. Példa: Az f (x, y) := ( x2 y 2 x2 +y 2 0 ha x2 + y 2 6= 0 ha x = y = 0 értelmezett függvény folytonos az origóban. előı́rással szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 5 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós

függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Legyenek f1 , f2 , ., fn : R R folytonos (egyváltozós) függvények. Akkor az f (x1 , x2 , , xn ) := f1 (x1 ) + f2 (x2 ) + + fn (xn ) és az f (x1 , x2 , ., xn ) := f1 (x1 ) · f2 (x2 ) · · fn (xn ) előı́rással értelmezett f : Rn R (n-változós) függvények is folytonosak. Ha pedig f : Rn R folytonos n-változós függvény, g : R R pedig folytonos egyváltozós függvény, akkor az összetett g ◦ f függvény

is folytonos (n-változós) függvény. Példa: Az f (x, y) := ( x2 y 2 x2 +y 2 ha x = y = 0 értelmezett függvény folytonos az origóban. Ha xn , yn 0 tetszőleges zérussorozatok, akkor: |f (xn , yn )| = 0 ha x2 + y 2 6= 0 előı́rással 2 x2n yn 2 x2n +yn polinomokkal Többszörös integrálok 5 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Legyenek f1 , f2 , ., fn : R R folytonos

(egyváltozós) függvények. Akkor az f (x1 , x2 , , xn ) := f1 (x1 ) + f2 (x2 ) + + fn (xn ) és az f (x1 , x2 , ., xn ) := f1 (x1 ) · f2 (x2 ) · · fn (xn ) előı́rással értelmezett f : Rn R (n-változós) függvények is folytonosak. Ha pedig f : Rn R folytonos n-változós függvény, g : R R pedig folytonos egyváltozós függvény, akkor az összetett g ◦ f függvény is folytonos (n-változós) függvény. Példa: Az f (x, y) := ( x2 y 2 x2 +y 2 ha x = y = 0 értelmezett függvény folytonos az origóban. Ha xn , yn 0 tetszőleges zérussorozatok, akkor: |f (xn , yn )| = 2 x2n yn 2 x2n +yn ≤ 0 ha x2 + y 2 6= 0 2) x2n (x2n +yn 2 x2n +yn előı́rással = x2n 0. polinomokkal Többszörös integrálok 5 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált •

Másodrendű parciális Példa: Az f (x, y) := ( xy x2 +y 2 0 ha x2 + y 2 6= 0 ha x = y = 0 értelmezett függvény nem folytonos az origóban. előı́rással deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 6 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Példa: Az f (x, y) := ( xy x2 +y 2 0 ha x2 + y 2 6= 0 előı́rással ha x = y = 0 értelmezett függvény nem folytonos az origóban. 1

Legyen pl. xn := yn := n , akkor nyilván xn , yn 0, de deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 6 / 33 Folytonosság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Példa: Az f (x, y) := ( xy x2 +y 2

előı́rással ha x = y = 0 értelmezett függvény nem folytonos az origóban. 1 Legyen pl. xn := yn := n , akkor nyilván xn , yn 0, de f (xn , yn ) = 1 1 · n n 1 + 12 2 n n 0 ha x2 + y 2 6= 0 ≡ 12 . • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 6 / 33 Deriválhatóság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Az f : R R függvény pontosan akkor differenciálható x-ben, ha f (x + h) − f (x) − a · h

= 0, h0 |h| lim ahol a = f 0 (x). • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 7 / 33 Deriválhatóság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Az f : R R függvény pontosan akkor differenciálható x-ben, ha f (x + h) − f

(x) − a · h = 0, h0 |h| lim ahol a = f 0 (x). Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja (azaz nemcsak x, de még egy x középpontú, valamely r > 0 sugarú gömb pontjai is mind Ω-ba esnek). Az f függvény differenciálható az x helyen, és deriváltja az a ∈ Rn vektor, ha f (x + h) − f (x) − ha, hi = 0. lim h0 ||h|| Az a ∈ Rn vektort az f függvény x helyen vett gradiensvektorának (gradiensének) nevezzük. Jele: grad f (x) (néha 5f (x)) 7 / 33 Deriválhatóság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása Példa: Legyen f (x) := ||x||2 , akkor grad f (x) = 2x. • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei •

Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 8 / 33 Deriválhatóság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Példa: Legyen f (x) := ||x||2 , akkor grad f (x) = 2x. f (x+h)−f (x)−ha,hi ||h|| = deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió •

Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 8 / 33 Deriválhatóság Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Példa: Legyen f (x) := ||x||2 , akkor grad f (x) = 2x. f (x+h)−f (x)−ha,hi ||h|| = ||x||2 +2hx,hi+||h||2 −||x||2 −h2x,hi ||h|| = ||h|| deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 8 / 33 Deriválhatóság Többváltozós függvények • Többváltozós

függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Példa: Legyen f (x) := ||x||2 , akkor grad f (x) = 2x. f (x+h)−f (x)−ha,hi ||h|| = ||x||2 +2hx,hi+||h||2 −||x||2 −h2x,hi ||h|| = ||h|| Ha f, g : Ω R differenciálhatók az x ∈ Ω helyen, akkor f + g , f g és fg is differenciálhatók x-ben (utóbbi akkor, ha g(x) 6= 0), és: grad(f + g)(x) = grad f (x) + grad g(x) grad(f g)(x) = (grad f (x)) · g(x) + f (x) · (grad g(x)) f g grad (x) = (grad f (x)) · g(x) − f (x) · (grad g(x)) g 2 (x) szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió •

Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 8 / 33 Iránymenti derivált Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Legyen 0 6= e ∈ Rn egy tetszőleges (irány)vektor, és ge (t) := f (x + t · e). Ha f : Ω R deriválható x ∈ Ω környezetében, akkor ge deriválható a 0 egy környezetében, és ge0 (t) = hgrad f (x + t · e), ei. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat,

példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 9 / 33 Iránymenti derivált Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Legyen 0 6= e ∈ Rn egy tetszőleges (irány)vektor, és ge (t) := f (x + t · e). Ha f : Ω R deriválható x ∈ Ω környezetében, akkor ge deriválható a 0 egy környezetében, és ge0 (t) = hgrad f (x + t · e), ei. Legyen τ ∈ R, akkor ge (t+τ )−ge (t)

τ = f (x+te+τ e)−f (x+te) τ = • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 9 / 33 Iránymenti derivált Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Legyen 0 6= e ∈ Rn egy tetszőleges (irány)vektor, és ge (t) := f (x + t · e). Ha f : Ω R deriválható x ∈ Ω környezetében, akkor ge

deriválható a 0 egy környezetében, és ge0 (t) = hgrad f (x + t · e), ei. ge (t+τ )−ge (t) f (x+te+τ e)−f (x+te) = = τ τ f (x+te+τ e)−f (x+te)−hgrad f (x+t·e),τ ei |τ |·||e|| · τ +hgrad f (x+t·e), ei ||τ e|| Legyen τ ∈ R, akkor • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 9 / 33 Iránymenti derivált Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes

Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Legyen 0 6= e ∈ Rn egy tetszőleges (irány)vektor, és ge (t) := f (x + t · e). Ha f : Ω R deriválható x ∈ Ω környezetében, akkor ge deriválható a 0 egy környezetében, és ge0 (t) = hgrad f (x + t · e), ei. ge (t+τ )−ge (t) f (x+te+τ e)−f (x+te) = = τ τ f (x+te+τ e)−f (x+te)−hgrad f (x+t·e),τ ei |τ |·||e|| · τ +hgrad f (x+t·e), ei ||τ e|| g (t+τ )−ge (t) Jelölje h := τ e, akkor: e = τ f (x+te+h)−f (x+te)−hgrad f (x+t·e),hi |τ |·||e|| · τ + hgrad f (x + t · e), ei ||h|| Legyen τ ∈ R, akkor szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 9 / 33 Iránymenti derivált Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság

• Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Legyen 0 6= e ∈ Rn egy tetszőleges (irány)vektor, és ge (t) := f (x + t · e). Ha f : Ω R deriválható x ∈ Ω környezetében, akkor ge deriválható a 0 egy környezetében, és ge0 (t) = hgrad f (x + t · e), ei. ge (t+τ )−ge (t) f (x+te+τ e)−f (x+te) = = τ τ f (x+te+τ e)−f (x+te)−hgrad f (x+t·e),τ ei |τ |·||e|| · τ +hgrad f (x+t·e), ei ||τ e|| g (t+τ

)−ge (t) Jelölje h := τ e, akkor: e = τ f (x+te+h)−f (x+te)−hgrad f (x+t·e),hi |τ |·||e|| · τ + hgrad f (x + t · e), ei ||h|| Legyen τ ∈ R, akkor Ha τ 0, akkor h 0; ekkor a jobboldal első tagja 0-hoz tart, a baloldal pedig ge0 (t)-hez. polinomokkal Többszörös integrálok 9 / 33 Iránymenti derivált Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Legyen f : Ω

R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Legyen 0 6= e ∈ Rn egy tetszőleges (irány)vektor, és ge (t) := f (x + t · e). Ha f : Ω R deriválható x ∈ Ω környezetében, akkor ge deriválható a 0 egy környezetében, és ge0 (t) = hgrad f (x + t · e), ei. ge (t+τ )−ge (t) f (x+te+τ e)−f (x+te) = = τ τ f (x+te+τ e)−f (x+te)−hgrad f (x+t·e),τ ei |τ |·||e|| · τ +hgrad f (x+t·e), ei ||τ e|| g (t+τ )−ge (t) Jelölje h := τ e, akkor: e = τ f (x+te+h)−f (x+te)−hgrad f (x+t·e),hi |τ |·||e|| · τ + hgrad f (x + t · e), ei ||h|| Legyen τ ∈ R, akkor Ha τ 0, akkor h 0; ekkor a jobboldal első tagja 0-hoz tart, a baloldal pedig ge0 (t)-hez. A ge0 (0) = hgrad f (x), ei számot az f függvény x-ben vett e irány ∂f menti deriváltjának nevezzük. Jele: ∂e (x) (vagy ∂e f (x)) 9 / 33 Parciális derivált Többváltozós függvények •

Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Jelölje e1 , e2 ,, en a standard bázist Rn -ben. Az ek irány menti deriváltat az f függvény k -adik változója sz∂f erinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele: ∂x (x) (vagy Dk f (x), ∂k f (x), fx0 k (x)). k Így a gradiensvektor: = grad f (D1 f, D2 f, ., Dn f ) ∂f Ha f argumentumai x, y ,. akkor a parciális deriváltak jelölése: ∂x , ∂x f , ill. ∂f ∂y , ∂y f , és ı́gy tovább. • Feltételes

szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 10 / 33 Parciális derivált Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Jelölje e1 , e2 ,, en a standard bázist Rn -ben. Az ek irány menti deriváltat az f függvény k -adik változója

sz∂f erinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele: ∂x (x) (vagy Dk f (x), ∂k f (x), fx0 k (x)). k Így a gradiensvektor: = grad f (D1 f, D2 f, ., Dn f ) ∂f Ha f argumentumai x, y ,. akkor a parciális deriváltak jelölése: ∂x , ∂x f , ill. ∂f ∂y , ∂y f , és ı́gy tovább. Példa: Legyen f (x, y, z) := x2 sin(5y + z 3 ), akkor ∂f 3 ∂x = 2x sin(5y + z ), • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 10 / 33 Parciális derivált Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa •

Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Jelölje e1 , e2 ,, en a standard bázist Rn -ben. Az ek irány menti deriváltat az f függvény k -adik változója sz∂f erinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele: ∂x (x) (vagy Dk f (x), ∂k f (x), fx0 k (x)). k Így a gradiensvektor: = grad f (D1 f, D2 f, ., Dn f ) ∂f Ha f argumentumai x, y ,. akkor a parciális deriváltak jelölése: ∂x , ∂x f , ill. ∂f ∂y , ∂y f , és ı́gy tovább. Példa: Legyen f (x, y, z) := x2 sin(5y + z 3 ), akkor ∂f 3 ∂x = 2x sin(5y + z ), ∂f ∂y = 5x2 cos(5y + z 3 ), polinomokkal Többszörös integrálok 10 / 33 Parciális derivált Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása

• Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Legyen f : Ω R egy n-változós függvény, és legyen x ∈ Ω az értelmezési tartomány belső pontja. Jelölje e1 , e2 ,, en a standard bázist Rn -ben. Az ek irány menti deriváltat az f függvény k -adik változója sz∂f erinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele: ∂x (x) (vagy Dk f (x), ∂k f (x), fx0 k (x)). k Így a gradiensvektor: = grad f (D1 f, D2 f, ., Dn f ) ∂f Ha f

argumentumai x, y ,. akkor a parciális deriváltak jelölése: ∂x , ∂x f , ill. ∂f ∂y , ∂y f , és ı́gy tovább. Példa: Legyen f (x, y, z) := x2 sin(5y + z 3 ), akkor ∂f 3 ∂x = 2x sin(5y + z ), ∂f ∂y ∂f ∂z = 5x2 cos(5y + z 3 ), = 3z 2 x2 cos(5y + z 3 ). 10 / 33 Másodrendű parciális deriváltak Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyen az f : Ω R függvény az x ∈ Ω belső pontban kétszer differenciálható (mindegyik parciális deriváltfüggvény differenciálható). ∂ ∂f A ∂x (x) parciális deriváltakat (j,

k = 1, 2, ., n) az f függvény k ∂xj x helyen vett másodrendű parciális deriváltjainak nevezzük. Jele: ∂2f 00 (x) (vagy D D f (x) , D f (x) , ∂ f (x) , f j k kj kj xk xj (x)). Ha ∂x ∂x k j j = k , akkor a megfelelő, ún. tiszta másodrendű parciális de∂2f riváltak jele: ∂x2 (x) vagy Dk2 f (x). k • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 11 / 33 Másodrendű parciális deriváltak Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei •

Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák Legyen az f : Ω R függvény az x ∈ Ω belső pontban kétszer differenciálható (mindegyik parciális deriváltfüggvény differenciálható). ∂ ∂f A ∂x (x) parciális deriváltakat (j, k = 1, 2, ., n) az f függvény k ∂xj x helyen vett másodrendű parciális deriváltjainak nevezzük. Jele: ∂2f 00 (x) (vagy D D f (x) , D f (x) , ∂ f (x) , f j k kj kj xk xj (x)). Ha ∂x ∂x k j j = k , akkor a megfelelő, ún. tiszta másodrendű parciális de∂2f riváltak jele: ∂x2 (x) vagy Dk2 f (x). k Megkülönböztetésül, j 6= k esetén a Dk Dj f (x) deriváltakat vegyes másodrendű parciális deriváltaknak is nevezik. • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 11 / 33 Másodrendű parciális deriváltak Többváltozós

függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Legyen az f : Ω R függvény az x ∈ Ω belső pontban kétszer differenciálható (mindegyik parciális deriváltfüggvény differenciálható). ∂ ∂f A ∂x (x) parciális deriváltakat (j, k = 1, 2, ., n) az f függvény k ∂xj x helyen vett másodrendű parciális deriváltjainak nevezzük. Jele: ∂2f 00 (x) (vagy D D f (x) , D f (x) , ∂ f (x) , f j k kj kj xk xj

(x)). Ha ∂x ∂x k j j = k , akkor a megfelelő, ún. tiszta másodrendű parciális de∂2f riváltak jele: ∂x2 (x) vagy Dk2 f (x). k Megkülönböztetésül, j 6= k esetén a Dk Dj f (x) deriváltakat vegyes másodrendű parciális deriváltaknak is nevezik. ∂2f Példa: Ha f (x, y) = x2 e−3y , akkor ∂x2 = 2e−3y , Többszörös integrálok 11 / 33 Másodrendű parciális deriváltak Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió

• Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Legyen az f : Ω R függvény az x ∈ Ω belső pontban kétszer differenciálható (mindegyik parciális deriváltfüggvény differenciálható). ∂ ∂f A ∂x (x) parciális deriváltakat (j, k = 1, 2, ., n) az f függvény k ∂xj x helyen vett másodrendű parciális deriváltjainak nevezzük. Jele: ∂2f 00 (x) (vagy D D f (x) , D f (x) , ∂ f (x) , f j k kj kj xk xj (x)). Ha ∂x ∂x k j j = k , akkor a megfelelő, ún. tiszta másodrendű parciális de∂2f riváltak jele: ∂x2 (x) vagy Dk2 f (x). k Megkülönböztetésül, j 6= k esetén a Dk Dj f (x) deriváltakat vegyes másodrendű parciális deriváltaknak is nevezik. ∂2f Példa: Ha f (x, y) = x2 e−3y , akkor ∂x2 = 2e−3y , ∂2f ∂y 2 = 9x2 e−3y , 11 / 33 Másodrendű parciális deriváltak Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása •

Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Legyen az f : Ω R függvény az x ∈ Ω belső pontban kétszer differenciálható (mindegyik parciális deriváltfüggvény differenciálható). ∂ ∂f A ∂x (x) parciális deriváltakat (j, k = 1, 2, ., n) az f függvény k ∂xj x helyen vett másodrendű parciális deriváltjainak nevezzük. Jele: ∂2f 00 (x) (vagy D D f (x) , D f (x) , ∂ f (x) , f j k kj kj xk xj (x)). Ha ∂x ∂x j k j = k , akkor a

megfelelő, ún. tiszta másodrendű parciális de∂2f riváltak jele: ∂x2 (x) vagy Dk2 f (x). k Megkülönböztetésül, j 6= k esetén a Dk Dj f (x) deriváltakat vegyes másodrendű parciális deriváltaknak is nevezik. ∂2f Példa: Ha f (x, y) = x2 e−3y , akkor ∂x2 = 2e−3y , ∂2f ∂y 2 = ∂2f 2 −3y 9x e , ∂x∂y = ∂2f ∂y∂x = −6xe−3y . 11 / 33 A második derivált mátrixa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa A másodrendű parciális deriváltakból összeállı́tott    D 2 f (x) :=   D11 f (x) D12 f

(x) D21 f (x) D22 f (x) . . Dn1 f (x) Dn2 f (x) . D1n f (x) . D2n f (x) . . . Dnn f (x)     ∈ Mn×n  mátrixot az f függvény x helyen vett második derivált mátrixának vagy Hesse-féle mátrixának nevezzük. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 12 / 33 A második derivált mátrixa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes

szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés A másodrendű parciális deriváltakból összeállı́tott    D 2 f (x) :=   D11 f (x) D12 f (x) D21 f (x) D22 f (x) . . Dn1 f (x) Dn2 f (x) . D1n f (x) . D2n f (x) . . . Dnn f (x)     ∈ Mn×n  mátrixot az f függvény x helyen vett második derivált mátrixának vagy Hesse-féle mátrixának nevezzük. Ha az f függvény másodrendű parciális deriváltjai mind léteznek és folytonosak valamely x ∈ Ω pontban, akkor ott Dkj f (x) = Djk f (x), azaz a parciális deriválások sorrendje felcserélhető. Ekkor tehát a Hesse-mátrix önadjungált (szimmetrikus). polinomokkal Többszörös integrálok 12 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság •

Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Az f : Ω R függvénynek lokális maximuma (ill. minimuma) van az x0 ∈ Ω pontban, ha x0 -nak van olyan Ω0 környezete, hogy f (x) ≤ f (x0 ) (ill. f (x) ≥ f (x0 )) teljesül minden x ∈ Ω0 esetén deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 13 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált •

Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Az f : Ω R függvénynek lokális maximuma (ill. minimuma) van az x0 ∈ Ω pontban, ha x0 -nak van olyan Ω0 környezete, hogy f (x) ≤ f (x0 ) (ill. f (x) ≥ f (x0 )) teljesül minden x ∈ Ω0 esetén Ha az f függvény differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, és ott lokális szélsőértéke (maximuma vagy minimuma) van, akkor x0 -ban mindegyik parciális derivált eltűnik: grad f (x0 ) = 0. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 13 / 33 Többváltozós függvények

lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Az f : Ω R függvénynek lokális maximuma (ill. minimuma) van az x0 ∈ Ω pontban, ha x0 -nak van olyan Ω0 környezete, hogy f (x) ≤ f (x0 ) (ill. f (x) ≥ f (x0 )) teljesül minden x ∈ Ω0 esetén Ha az f függvény differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, és ott lokális szélsőértéke (maximuma vagy minimuma) van, akkor x0 -ban mindegyik parciális derivált eltűnik: grad f (x0 ) = 0.

Legyen e1 , ., en ∈ Rn -ben a standard bázis, és jelölje gk (t) := f (x0 + t · ek ). szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 13 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Az f : Ω R függvénynek lokális maximuma (ill. minimuma) van az x0 ∈ Ω pontban, ha x0 -nak van olyan Ω0 környezete, hogy f (x) ≤ f (x0 ) (ill. f (x) ≥ f (x0 ))

teljesül minden x ∈ Ω0 esetén Ha az f függvény differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, és ott lokális szélsőértéke (maximuma vagy minimuma) van, akkor x0 -ban mindegyik parciális derivált eltűnik: grad f (x0 ) = 0. Legyen e1 , ., en ∈ Rn -ben a standard bázis, és jelölje gk (t) := f (x0 + t · ek ). Akkor mindegyik gk -nak a 0 helyen szintén szélsőértéke van. szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 13 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális

szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák Az f : Ω R függvénynek lokális maximuma (ill. minimuma) van az x0 ∈ Ω pontban, ha x0 -nak van olyan Ω0 környezete, hogy f (x) ≤ f (x0 ) (ill. f (x) ≥ f (x0 )) teljesül minden x ∈ Ω0 esetén Ha az f függvény differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, és ott lokális szélsőértéke (maximuma vagy minimuma) van, akkor x0 -ban mindegyik parciális derivált eltűnik: grad f (x0 ) = 0. Legyen e1 , ., en ∈ Rn -ben a standard bázis, és jelölje gk (t) := f (x0 + t · ek ). Akkor mindegyik gk -nak a 0 helyen szintén szélsőértéke van. Ezért gk0 (0) = hgrad f (x0 ), ek i = Dk f (x0 ) = 0 (k = 1, 2, ., n) • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés

polinomokkal Többszörös integrálok 13 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális A tétel megfordı́tása nem igaz! ∂f ∂f Ellenpélda: f (x, y) := x2 − y 2 . Akkor ∂x (0, 0) = ∂y (0, 0) = 0, de f -nek nincs lokális szélsőértéke az origóban: f (x, y) > 0, ha x 6= 0, y = 0, és f (x, y) < 0, ha x = 0, y 6= 0. deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal

Többszörös integrálok 14 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális A tétel megfordı́tása nem igaz! ∂f ∂f Ellenpélda: f (x, y) := x2 − y 2 . Akkor ∂x (0, 0) = ∂y (0, 0) = 0, de f -nek nincs lokális szélsőértéke az origóban: f (x, y) > 0, ha x 6= 0, y = 0, és f (x, y) < 0, ha x = 0, y 6= 0. deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal

Többszörös integrálok Példa nyeregfelületre 14 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Ha az f függvény kétszer folytonosan differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, grad f (x0 ) = 0, a D 2 f (x0 ) Hesse-mátrix pedig definit, akkor f -nek x0 -ban biztosan lokális szélsőértéke van, éspedig lokális minimuma, ha D 2 f (x0 ) pozitı́v definit, ill. lokális maximuma, ha D 2 f (x0 ) negatı́v definit f nek nincs szélsőértéke

(mégpedig nyeregpontja van), ha D 2 f (x0 ) indefinit. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 15 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Ha az f függvény kétszer folytonosan differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, grad f (x0 ) = 0, a D 2 f (x0 ) Hesse-mátrix pedig definit, akkor f -nek x0 -ban biztosan

lokális szélsőértéke van, éspedig lokális minimuma, ha D 2 f (x0 ) pozitı́v definit, ill. lokális maximuma, ha D 2 f (x0 ) negatı́v definit f nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha D 2 f (x0 ) indefinit. Legyen e = (e1 , e2 , ., en ) ∈ Rn teszőleges egységvektor, és ge (t) := f (x0 + t · ek ). • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 15 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények

lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Ha az f függvény kétszer folytonosan differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, grad f (x0 ) = 0, a D 2 f (x0 ) Hesse-mátrix pedig definit, akkor f -nek x0 -ban biztosan lokális szélsőértéke van, éspedig lokális minimuma, ha D 2 f (x0 ) pozitı́v definit, ill. lokális maximuma, ha D 2 f (x0 ) negatı́v definit f nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha D 2 f (x0 ) indefinit. Legyen e = (e1 , e2 , ., en ) ∈ Rn teszőleges egységvektor, és ge (t) := f (x0 + t · ek ). Akkor Pn 0 ge (t) = hgrad f (x0 + t · e), ei = j=1 Dj f (x0 + t · e) · ej , ezért ge0 (0) = 0. szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 15 / 33 Többváltozós függvények lokális

szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Ha az f függvény kétszer folytonosan differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, grad f (x0 ) = 0, a D 2 f (x0 ) Hesse-mátrix pedig definit, akkor f -nek x0 -ban biztosan lokális szélsőértéke van, éspedig lokális minimuma, ha D 2 f (x0 ) pozitı́v definit, ill. lokális maximuma, ha D 2 f (x0 ) negatı́v definit

f nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha D 2 f (x0 ) indefinit. Legyen e = (e1 , e2 , ., en ) ∈ Rn teszőleges egységvektor, és ge (t) := f (x0 + t · ek ). Akkor Pn 0 ge (t) = hgrad f (x0 + t · e), ei = j=1 Dj f (x0 + t · e) · ej , ezért ge0 (0) = 0. Továbbá Pn Pn Pn 00 ge (0) = j=1 hgrad Dj f (x0 ), ei = k=1 j=1 Dkj f (x0 )·ej ·ek polinomokkal Többszörös integrálok 15 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes

szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Ha az f függvény kétszer folytonosan differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, grad f (x0 ) = 0, a D 2 f (x0 ) Hesse-mátrix pedig definit, akkor f -nek x0 -ban biztosan lokális szélsőértéke van, éspedig lokális minimuma, ha D 2 f (x0 ) pozitı́v definit, ill. lokális maximuma, ha D 2 f (x0 ) negatı́v definit f nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha D 2 f (x0 ) indefinit. Legyen e = (e1 , e2 , ., en ) ∈ Rn teszőleges egységvektor, és ge (t) := f (x0 + t · ek ). Akkor Pn 0 ge (t) = hgrad f (x0 + t · e), ei = j=1 Dj f (x0 + t · e) · ej , ezért ge0 (0) = 0. Továbbá Pn Pn Pn 00 ge (0) = j=1 hgrad Dj f (x0 ), ei = k=1 j=1 Dkj f (x0 )·ej ·ek = hD 2 f (x0 )e, ei. polinomokkal Többszörös integrálok 15 / 33 Többváltozós függvények lokális

szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Ha az f függvény kétszer folytonosan differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, grad f (x0 ) = 0, a D 2 f (x0 ) Hesse-mátrix pedig definit, akkor f -nek x0 -ban biztosan lokális szélsőértéke van, éspedig lokális minimuma, ha D 2 f (x0 ) pozitı́v definit, ill. lokális maximuma, ha D 2 f (x0 )

negatı́v definit f nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha D 2 f (x0 ) indefinit. Legyen e = (e1 , e2 , ., en ) ∈ Rn teszőleges egységvektor, és ge (t) := f (x0 + t · ek ). Akkor Pn 0 ge (t) = hgrad f (x0 + t · e), ei = j=1 Dj f (x0 + t · e) · ej , ezért ge0 (0) = 0. Továbbá Pn Pn Pn 00 ge (0) = j=1 hgrad Dj f (x0 ), ei = k=1 j=1 Dkj f (x0 )·ej ·ek = hD 2 f (x0 )e, ei. Ha D 2 f (x0 ) pl pozitı́v definit, akkor ge00 (0) > 0, ı́gy ge -nek a 0-ban lokális minimuma van. Többszörös integrálok 15 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós

függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Ha az f függvény kétszer folytonosan differenciálható az Ω értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, grad f (x0 ) = 0, a D 2 f (x0 ) Hesse-mátrix pedig definit, akkor f -nek x0 -ban biztosan lokális szélsőértéke van, éspedig lokális minimuma, ha D 2 f (x0 ) pozitı́v definit, ill. lokális maximuma, ha D 2 f (x0 ) negatı́v definit f nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha D 2 f (x0 ) indefinit. Legyen e = (e1 , e2 , ., en ) ∈ Rn teszőleges egységvektor, és ge (t) := f (x0 + t · ek ). Akkor Pn 0 ge (t) = hgrad f (x0 + t · e), ei = j=1 Dj f (x0 + t · e) · ej , ezért ge0 (0) = 0. Továbbá Pn Pn Pn 00 ge (0) = j=1 hgrad Dj f (x0 ), ei = k=1 j=1 Dkj f

(x0 )·ej ·ek = hD 2 f (x0 )e, ei. Ha D 2 f (x0 ) pl pozitı́v definit, akkor ge00 (0) > 0, ı́gy ge -nek a 0-ban lokális minimuma van. Ez igaz minden e irányra, Többszörös integrálok 15 / 33 Többváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Ha az f függvény kétszer folytonosan differenciálható az Ω

értelmezési tartomány egy x0 belső pontjában, grad f (x0 ) = 0, a D 2 f (x0 ) Hesse-mátrix pedig definit, akkor f -nek x0 -ban biztosan lokális szélsőértéke van, éspedig lokális minimuma, ha D 2 f (x0 ) pozitı́v definit, ill. lokális maximuma, ha D 2 f (x0 ) negatı́v definit f nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha D 2 f (x0 ) indefinit. Legyen e = (e1 , e2 , ., en ) ∈ Rn teszőleges egységvektor, és ge (t) := f (x0 + t · ek ). Akkor Pn 0 ge (t) = hgrad f (x0 + t · e), ei = j=1 Dj f (x0 + t · e) · ej , ezért ge0 (0) = 0. Továbbá Pn Pn Pn 00 ge (0) = j=1 hgrad Dj f (x0 ), ei = k=1 j=1 Dkj f (x0 )·ej ·ek = hD 2 f (x0 )e, ei. Ha D 2 f (x0 ) pl pozitı́v definit, akkor ge00 (0) > 0, ı́gy ge -nek a 0-ban lokális minimuma van. Ez igaz minden e irányra, ı́gy f -nek x0 -ban lokális minimuma van. 15 / 33 Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények

• Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Ha a kétváltozós f függvény kétszer folytonosan differenciálható az ∂f értelmezési tartomány egy (x0 , y0 ) belső pontjában, ∂x (x0 , y0 ) = ∂f ∂y (x0 , y0 ) = 0, és det(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, akkor f -nek (x0 , y0 )- ban biztosan lokális szélsőértéke van, mégpedig • lokális maximuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, • lokális minimuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. f -nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha det(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. • Feltételes szélsőérték • Feltételes

szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 16 / 33 Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Ha a kétváltozós f függvény kétszer folytonosan differenciálható az ∂f értelmezési tartomány egy (x0 , y0 ) belső pontjában, ∂x (x0 , y0 ) = ∂f ∂y (x0 , y0 ) = 0, és det(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, akkor f -nek (x0 , y0 )- ban biztosan

lokális szélsőértéke van, mégpedig • lokális maximuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, • lokális minimuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. f -nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha det(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. Példa: Legyen f (x, y) := x2 + xy + y 2 − 5x − 4y + 1. Hol és milyen tı́pusú szélsőértéke van f -nek? szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 16 / 33 Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális

szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Ha a kétváltozós f függvény kétszer folytonosan differenciálható az ∂f értelmezési tartomány egy (x0 , y0 ) belső pontjában, ∂x (x0 , y0 ) = ∂f ∂y (x0 , y0 ) = 0, és det(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, akkor f -nek (x0 , y0 )- ban biztosan lokális szélsőértéke van, mégpedig • lokális maximuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, • lokális minimuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. f -nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha det(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. Példa: Legyen f (x, y) := x2 + xy + y 2 − 5x − 4y + 1. Hol és milyen tı́pusú szélsőértéke van f -nek? ∂f Megoldás: Szélsőérték ott lehet, ahol ∂x = 2x + y − 5 = 0 és ∂f ∂y = x + 2y − 4 = 0,

Többszörös integrálok 16 / 33 Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Ha a kétváltozós f függvény kétszer folytonosan differenciálható az ∂f értelmezési tartomány egy (x0 , y0 ) belső pontjában, ∂x (x0 , y0 ) = ∂f ∂y (x0 , y0 ) = 0, és det(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, akkor f -nek (x0 , y0 )- ban biztosan

lokális szélsőértéke van, mégpedig • lokális maximuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, • lokális minimuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. f -nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha det(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. Példa: Legyen f (x, y) := x2 + xy + y 2 − 5x − 4y + 1. Hol és milyen tı́pusú szélsőértéke van f -nek? ∂f Megoldás: Szélsőérték ott lehet, ahol ∂x = 2x + y − 5 = 0 és ∂f ∂y = x + 2y − 4 = 0, azaz az (x, y) = (2, 1) helyen. Többszörös integrálok 16 / 33 Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós

függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Ha a kétváltozós f függvény kétszer folytonosan differenciálható az ∂f értelmezési tartomány egy (x0 , y0 ) belső pontjában, ∂x (x0 , y0 ) = ∂f ∂y (x0 , y0 ) = 0, és det(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, akkor f -nek (x0 , y0 )- ban biztosan lokális szélsőértéke van, mégpedig • lokális maximuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, • lokális minimuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. f -nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha det(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. Példa: Legyen f (x, y) := x2 + xy + y 2 − 5x − 4y + 1. Hol és milyen tı́pusú szélsőértéke van f -nek? ∂f Megoldás: Szélsőérték ott lehet, ahol ∂x =

2x + y − 5 = 0 és ∂f ∂y = x + 2y − 4 = 0, azaz az (x, y) = (2, 1) helyen. D 2 f (x, y) ≡ 2 1 1 2 ! pozitı́v definit, 16 / 33 Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Ha a kétváltozós f függvény kétszer folytonosan differenciálható az ∂f értelmezési tartomány egy (x0 , y0 ) belső

pontjában, ∂x (x0 , y0 ) = ∂f ∂y (x0 , y0 ) = 0, és det(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, akkor f -nek (x0 , y0 )- ban biztosan lokális szélsőértéke van, mégpedig • lokális maximuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) > 0, • lokális minimuma, ha sp(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. f -nek nincs szélsőértéke (mégpedig nyeregpontja van), ha det(D 2 f (x0 , y0 )) < 0. Példa: Legyen f (x, y) := x2 + xy + y 2 − 5x − 4y + 1. Hol és milyen tı́pusú szélsőértéke van f -nek? ∂f Megoldás: Szélsőérték ott lehet, ahol ∂x = 2x + y − 5 = 0 és ∂f ∂y = x + 2y − 4 = 0, azaz az (x, y) = (2, 1) helyen. D 2 f (x, y) ≡ 2 1 1 2 ! pozitı́v definit, ezért f -nek (2, 1)-ben lokális minimuma van. 16 / 33 Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált •

Másodrendű parciális Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 17 / 33 Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A

második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z a mélységét. Akkor kicsempézendő felület nagysága: F = xy + 2xz + 2yz . • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 17 / 33 Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság •

Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z a mélységét. Akkor kicsempézendő felület nagysága: F = xy + 2xz + 2yz . Ugyanakkor a térfogat előı́rt: V = xyz , V ahonnan pl. z = xy . • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 17 / 33

Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z a mélységét. Akkor kicsempézendő felület nagysága: F = xy + 2xz + 2yz . Ugyanakkor a térfogat előı́rt: V = xyz , V 2V ahonnan

pl. z = xy . Innen a F (x, y) = xy + 2V + y x min! 2V = y − = 0, és Szélsőérték ott lehet, ahol ∂F ∂x x2 ∂F ∂y =x− 2V y2 = 0, szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 17 / 33 Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence

méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z a mélységét. Akkor kicsempézendő felület nagysága: F = xy + 2xz + 2yz . Ugyanakkor a térfogat előı́rt: V = xyz , V 2V ahonnan pl. z = xy . Innen a F (x, y) = xy + 2V + y x min! 2V = y − = 0, és Szélsőérték ott lehet, ahol ∂F ∂x x2 ∂F ∂y =x− 2V y2 = 0, azaz x = y = √ 3 2V . szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 17 / 33 Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális

szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z a mélységét. Akkor kicsempézendő felület nagysága: F = xy + 2xz + 2yz . Ugyanakkor a térfogat előı́rt: V = xyz , V 2V ahonnan pl. z = xy . Innen a F (x, y) = xy + 2V + y x min! 2V = y − = 0, és Szélsőérték ott lehet, ahol ∂F ∂x x2 ∂F ∂y =x− 2V y2 D 2 F (x, y) = = 0, azaz x = y = − 4V x3 1 1 − 4V y3 ! √ 3 2V . A Hesse-mátrix: .

polinomokkal Többszörös integrálok 17 / 33 Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence

alapjának méreteit, z a mélységét. Akkor kicsempézendő felület nagysága: F = xy + 2xz + 2yz . Ugyanakkor a térfogat előı́rt: V = xyz , V 2V ahonnan pl. z = xy . Innen a F (x, y) = xy + 2V + y x min! 2V = y − = 0, és Szélsőérték ott lehet, ahol ∂F ∂x x2 ∂F ∂y =x− 2V y2 D 2 F (x, y) = 16V 2 x3 y 3 −1= = 0, azaz x = y = 16V 2 4V 2 − 4V x3 1 1 − 4V y3 ! √ 3 2V . A Hesse-mátrix: . Ennek determinánsa: − 1 = 3, Többszörös integrálok 17 / 33 Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat,

példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z a mélységét. Akkor kicsempézendő felület nagysága: F = xy + 2xz + 2yz . Ugyanakkor a térfogat előı́rt: V = xyz , V 2V ahonnan pl. z = xy . Innen a F (x, y) = xy + 2V + y x min! 2V = y − = 0, és Szélsőérték ott lehet, ahol ∂F ∂x x2 ∂F ∂y =x− 2V y2 D 2 F (x, y) = 16V 2 x3 y 3 −1= = 0, azaz x = y = 16V 2 4V 2 − 4V x3 1 1 − 4V y3 ! √ 3 2V . A Hesse-mátrix: . Ennek determinánsa: − 1 = 3, nyoma negatı́v, Többszörös

integrálok 17 / 33 Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence

alapjának méreteit, z a mélységét. Akkor kicsempézendő felület nagysága: F = xy + 2xz + 2yz . Ugyanakkor a térfogat előı́rt: V = xyz , V 2V ahonnan pl. z = xy . Innen a F (x, y) = xy + 2V + y x min! 2V = y − = 0, és Szélsőérték ott lehet, ahol ∂F ∂x x2 ∂F ∂y =x− 2V y2 D 2 F (x, y) = 16V 2 x3 y 3 −1= = 0, azaz x = y = 16V 2 4V 2 − 4V x3 1 1 − 4V y3 ! √ 3 2V . A Hesse-mátrix: . Ennek determinánsa: − 1 = 3, nyoma negatı́v, ı́gy a fenti helyen valóban lokális minimum van. 17 / 33 Szélsőértékfeladat, példa Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális

szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z a mélységét. Akkor kicsempézendő felület nagysága: F = xy + 2xz + 2yz . Ugyanakkor a térfogat előı́rt: V = xyz , V 2V ahonnan pl. z = xy . Innen a F (x, y) = xy + 2V + y x min! 2V = y − = 0, és Szélsőérték ott lehet, ahol ∂F ∂x x2 ∂F ∂y =x− 2V y2 D 2 F (x, y) = 16V 2 x3 y 3 −1= = 0, azaz x = y = 16V 2 4V 2 − 4V x3 1 1 − 4V y3 ! √ 3 2V . A Hesse-mátrix:

. Ennek determinánsa: − 1 = 3, nyoma negatı́v, ı́gy a fenti helyen valóban lokális minimum van. A konkrét adatokkal: x = y = 4 m, és z = 2 m. 17 / 33 Feltételes szélsőérték Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyenek f, g : Rn R adott függvények. Az f függvénynek az x0 ∈ Rn helyen lokális feltételes maximuma (ill. minimuma) van a g(x) = 0 feltétel mellett, ha g(x0 ) = 0, és x0 -nak van oly Ω0 környezete, hogy minden olyan x ∈ Ω0 esetén, melyre g(x) = 0, teljesül, hogy f (x) ≤ f (x0 ) (ill. f (x) ≥ f (x0 )) •

Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 18 / 33 Feltételes szélsőérték Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyenek f, g : Rn R adott függvények. Az f függvénynek az x0 ∈ Rn helyen lokális feltételes maximuma (ill. minimuma) van a g(x) = 0 feltétel mellett, ha g(x0 ) = 0, és x0 -nak van oly Ω0 környezete, hogy minden olyan x ∈ Ω0 esetén, melyre g(x) = 0, teljesül, hogy f (x) ≤ f (x0 )

(ill. f (x) ≥ f (x0 )) Példa: Legyen f (x, y) := x2 − y 2 . Akkor f -nek az origóban nincs lokális szélsőértéke (myeregpontja van), de • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 18 / 33 Feltételes szélsőérték Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyenek f, g : Rn R adott függvények. Az f függvénynek az x0 ∈ Rn helyen lokális feltételes maximuma (ill. minimuma) van a g(x) = 0 feltétel

mellett, ha g(x0 ) = 0, és x0 -nak van oly Ω0 környezete, hogy minden olyan x ∈ Ω0 esetén, melyre g(x) = 0, teljesül, hogy f (x) ≤ f (x0 ) (ill. f (x) ≥ f (x0 )) Példa: Legyen f (x, y) := x2 − y 2 . Akkor f -nek az origóban nincs lokális szélsőértéke (myeregpontja van), de az x = 0 feltétel mellett lokális feltételes maximuma, • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 18 / 33 Feltételes szélsőérték Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális

szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyenek f, g : Rn R adott függvények. Az f függvénynek az x0 ∈ Rn helyen lokális feltételes maximuma (ill. minimuma) van a g(x) = 0 feltétel mellett, ha g(x0 ) = 0, és x0 -nak van oly Ω0 környezete, hogy minden olyan x ∈ Ω0 esetén, melyre g(x) = 0, teljesül, hogy f (x) ≤ f (x0 ) (ill. f (x) ≥ f (x0 )) Példa: Legyen f (x, y) := x2 − y 2 . Akkor f -nek az origóban nincs lokális szélsőértéke (myeregpontja van), de az x = 0 feltétel mellett lokális feltételes maximuma, az y = 0 feltétel mellett pedig lokális feltételes minimuma van. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 18 / 33 Feltételes szélsőérték Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása •

Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Ha f, g : Rn R folytonosan differenciálható függvények az x0 ∈ Rn pont egy környezetében, f -nek x0 -ban lokális feltételes szélsőértéke van a g(x) = 0 feltétel mellett, és grad g(x0 ) 6= 0, akkor a grad f (x0 ) és a grad g(x0 ) vektorok párhuzamosak, azaz van oly λ ∈ R szám (Lagrange-féle multiplikátor), hogy grad f (x0 ) = λ · grad g(x0 ). • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 19 / 33 Feltételes szélsőérték

Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Ha f, g : Rn R folytonosan differenciálható függvények az x0 ∈ Rn pont egy környezetében, f -nek x0 -ban lokális feltételes szélsőértéke van a g(x) = 0 feltétel mellett, és grad g(x0 ) 6= 0, akkor a grad f (x0 ) és a grad g(x0 ) vektorok párhuzamosak, azaz van oly λ ∈ R szám (Lagrange-féle multiplikátor), hogy

grad f (x0 ) = λ · grad g(x0 ). Az alkalmazások során: legyen L(x, λ) := f (x) − λ · g(x) (Lagrange-függvény, (n + 1)-változós). A feltételes lokális szélsőértékhely(ek)en: ∂L ∂f ∂g (x, λ) = (x) − λ · (x) = 0 ∂xk ∂xk ∂xk (k = 1, 2, ., n) ∂L (x, λ) = −g(x) = 0 ∂λ 19 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Példa: Legyen f (x, y) := 2xy , keressük meg f lokális szélsőértékeit a g(x, y) := x + 3y − 12 = 0 feltétel mellett. deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes

szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 20 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Példa: Legyen f (x, y) := 2xy , keressük meg f lokális szélsőértékeit a g(x, y) := x + 3y − 12 = 0 feltétel mellett. Megoldás: A Lagrange-függvény: L(x, y, λ) = 2xy − λ · (x + 3y − 12). Feltételes szélsőérték ott lehet, ahol ∂L ∂x = 2y − λ = 0, ∂L ∂y = 2x

− 3λ = 0, és x + 3y = 12. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 20 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Példa: Legyen f (x, y) := 2xy , keressük meg f lokális szélsőértékeit a g(x, y) := x + 3y − 12 = 0 feltétel mellett. Megoldás: A Lagrange-függvény: L(x, y, λ) = 2xy − λ · (x + 3y − 12). Feltételes szélsőérték ott lehet,

ahol ∂L ∂x = 2y − λ = 0, ∂L ∂y = 2x − 3λ = 0, és x + 3y = 12. Az első két egyenletből: 3λ = 6y = 2x, • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 20 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Példa: Legyen f (x, y) := 2xy , keressük meg f lokális szélsőértékeit a g(x, y) := x + 3y − 12 = 0 feltétel mellett. Megoldás: A

Lagrange-függvény: L(x, y, λ) = 2xy − λ · (x + 3y − 12). Feltételes szélsőérték ott lehet, ahol ∂L ∂x = 2y − λ = 0, ∂L ∂y = 2x − 3λ = 0, és x + 3y = 12. Az első két egyenletből: 3λ = 6y = 2x, innen x = 3y . • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 20 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Példa: Legyen f (x, y) := 2xy ,

keressük meg f lokális szélsőértékeit a g(x, y) := x + 3y − 12 = 0 feltétel mellett. Megoldás: A Lagrange-függvény: L(x, y, λ) = 2xy − λ · (x + 3y − 12). Feltételes szélsőérték ott lehet, ahol ∂L ∂x = 2y − λ = 0, ∂L ∂y = 2x − 3λ = 0, és x + 3y = 12. Az első két egyenletből: 3λ = 6y = 2x, innen x = 3y . A 3 egyenletből: x + 3y = 6y = 12, • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 20 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális

szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Példa: Legyen f (x, y) := 2xy , keressük meg f lokális szélsőértékeit a g(x, y) := x + 3y − 12 = 0 feltétel mellett. Megoldás: A Lagrange-függvény: L(x, y, λ) = 2xy − λ · (x + 3y − 12). Feltételes szélsőérték ott lehet, ahol ∂L ∂x = 2y − λ = 0, ∂L ∂y = 2x − 3λ = 0, és x + 3y = 12. Az első két egyenletből: 3λ = 6y = 2x, innen x = 3y . A 3 egyenletből: x + 3y = 6y = 12, innen y = 2, x = 6. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 20 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti

derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 21 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált

• Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z pedig a mélységét. Minimalizálandó F (x, y, z) := xy + 2xz + 2yz a g(x, y, z) := xyz − 32 = 0 feltétel mellett. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 21 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós

függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z pedig a mélységét. Minimalizálandó F (x, y, z) := xy + 2xz + 2yz a g(x, y, z) := xyz − 32 = 0 feltétel mellett. A Lagrange-függvény: L(x, y, z, λ) := xy + 2xz + 2yz − λ · (xyz − 32). • Feltételes szélsőérték •

Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 21 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x,

y a medence alapjának méreteit, z pedig a mélységét. Minimalizálandó F (x, y, z) := xy + 2xz + 2yz a g(x, y, z) := xyz − 32 = 0 feltétel mellett. A Lagrange-függvény: L(x, y, z, λ) := xy + 2xz + 2yz − λ · (xyz − 32). A feltételes minimumhelyen: ∂L ∂x = y + 2z − λyz = 0, ∂L ∂y = x + 2z − λxz = 0, xyz = 32. ∂L ∂z = 2x + 2y − λxy = 0, és szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 21 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális

szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z pedig a mélységét. Minimalizálandó F (x, y, z) := xy + 2xz + 2yz a g(x, y, z) := xyz − 32 = 0 feltétel mellett. A Lagrange-függvény: L(x, y, z, λ) := xy + 2xz + 2yz − λ · (xyz − 32). A feltételes minimumhelyen: ∂L ∂x = y + 2z − λyz = 0, ∂L ∂y = x + 2z − λxz = 0, ∂L ∂z = 2x + 2y − λxy = 0, és xyz = 32. Az 1. és 2 egyenletből: λ = z1 + y2 = z1 + x2 , polinomokkal Többszörös integrálok 21 / 33

Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z pedig a

mélységét. Minimalizálandó F (x, y, z) := xy + 2xz + 2yz a g(x, y, z) := xyz − 32 = 0 feltétel mellett. A Lagrange-függvény: L(x, y, z, λ) := xy + 2xz + 2yz − λ · (xyz − 32). A feltételes minimumhelyen: ∂L ∂x = y + 2z − λyz = 0, ∂L ∂y = x + 2z − λxz = 0, ∂L ∂z = 2x + 2y − λxy = 0, és xyz = 32. Az 1. és 2 egyenletből: λ = z1 + y2 = z1 + x2 , innen x = y A 3 egyenletből: λ = x4 , Többszörös integrálok 21 / 33 Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes

szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának méreteit, z pedig a mélységét. Minimalizálandó F (x, y, z) := xy + 2xz + 2yz a g(x, y, z) := xyz − 32 = 0 feltétel mellett. A Lagrange-függvény: L(x, y, z, λ) := xy + 2xz + 2yz − λ · (xyz − 32). A feltételes minimumhelyen: ∂L ∂x = y + 2z − λyz = 0, ∂L ∂y = x + 2z − λxz = 0, ∂L ∂z = 2x + 2y − λxy = 0, és xyz = 32. Az 1. és 2 egyenletből: λ = z1 + y2 = z1 + x2 , innen x = y A 3 egyenletből: λ = x4 , innen: x + 2z − 4z = 0, azaz z = x2 . Többszörös integrálok 21 / 33

Feltételes szélsőértékfeladat, példák Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok Egy kerti (téglatest alakú) medencét szeretnénk épı́teni. A medence belső oldalait ki kell csempézni. Hogyan válasszuk meg a medence méreteit, hogy a térfogata 32 m3 , a csempézés költsége pedig a lehető legkisebb legyen? Megoldás: Jelölje x, y a medence alapjának

méreteit, z pedig a mélységét. Minimalizálandó F (x, y, z) := xy + 2xz + 2yz a g(x, y, z) := xyz − 32 = 0 feltétel mellett. A Lagrange-függvény: L(x, y, z, λ) := xy + 2xz + 2yz − λ · (xyz − 32). A feltételes minimumhelyen: ∂L ∂x = y + 2z − λyz = 0, ∂L ∂y = x + 2z − λxz = 0, ∂L ∂z = 2x + 2y − λxy = 0, és xyz = 32. Az 1. és 2 egyenletből: λ = z1 + y2 = z1 + x2 , innen x = y A 3 egyenletből: λ = x4 , innen: x + 2z − 4z = 0, azaz z = x2 . A 4 egyenletből végül: x = y = 4, z = 2. 21 / 33 Lineáris regresszió Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei •

Szélsőértékfeladat, példa Legyenek (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ., (xN , yN ) adott számpárok (pl mérési adatok). Tegyük fel, hogy az x-ek és y -ok közt közel lineáris kapcsolat van, azaz yk ≈ a · xk + b. A lineáris regresszió feladata: határozzuk meg a-t és b-t úgy, hogy az y = ax + b egyenletű egyenes a ”lehető legjobban” illeszkedjék az (xk , yk ) (k = 1, 2, ., N ) adatokra, • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 22 / 33 Lineáris regresszió Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei

• Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyenek (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ., (xN , yN ) adott számpárok (pl mérési adatok). Tegyük fel, hogy az x-ek és y -ok közt közel lineáris kapcsolat van, azaz yk ≈ a · xk + b. A lineáris regresszió feladata: határozzuk meg a-t és b-t úgy, hogy az y = ax + b egyenletű egyenes a ”lehető legjobban” illeszkedjék az (xk , yk ) (k = 1, 2, ., N ) adatokra, azaz PN E(a, b) := k=1 (axk + b − yk )2 minimális. • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 22 / 33 Lineáris regresszió Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű

parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes Legyenek (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ., (xN , yN ) adott számpárok (pl mérési adatok). Tegyük fel, hogy az x-ek és y -ok közt közel lineáris kapcsolat van, azaz yk ≈ a · xk + b. A lineáris regresszió feladata: határozzuk meg a-t és b-t úgy, hogy az y = ax + b egyenletű egyenes a ”lehető legjobban” illeszkedjék az (xk , yk ) (k = 1, 2, ., N ) adatokra, azaz PN E(a, b) := k=1 (axk + b − yk )2 minimális. PN ∂E Az optimális paraméterekkel: ∂a = 2 k=1 (axk PN ∂E és ∂b = 2 k=1 (axk + b − yk ) = 0. Innen + b − yk )xk = 0, szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal

Többszörös integrálok 22 / 33 Lineáris regresszió Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés Legyenek (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ., (xN , yN ) adott számpárok (pl mérési adatok). Tegyük fel, hogy az x-ek és y -ok közt közel lineáris kapcsolat van, azaz yk ≈ a · xk + b. A lineáris regresszió feladata: határozzuk meg a-t és b-t úgy, hogy az y = ax + b egyenletű egyenes a ”lehető legjobban”

illeszkedjék az (xk , yk ) (k = 1, 2, ., N ) adatokra, azaz PN E(a, b) := k=1 (axk + b − yk )2 minimális. PN ∂E Az optimális paraméterekkel: ∂a = 2 k=1 (axk PN ∂E és ∂b = 2 k=1 (axk + b − yk ) = 0. Innen a N X k=1 polinomokkal Többszörös integrálok x2k + b a N X k=1 N X xk = k=1 xk + b N X k=1 N X + b − yk )xk = 0, xk yk k=1 1= N X yk k=1 22 / 33 Függvényközelı́tés polinomokkal Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális Legyen f : [0, 1] R adott folytonos függvény. Keressünk olyan p(x) := a0 + a1 x + a2 x2 + . + an xn legfeljebb n-edfokú polinomot, mely a ”lehető legjobban” közelı́ti f -et. deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós

függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 23 / 33 Függvényközelı́tés polinomokkal Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyen f : [0, 1] R adott folytonos függvény. Keressünk olyan p(x) := a0 + a1 x + a2 x2 + . + an xn legfeljebb n-edfokú polinomot, mely a ”lehető legjobban” közelı́ti f -et. A legkisebb

négyzetek módszere: Minimalizáljuk az E(a0 , a1 , ., an ) := R 1 Pn 0( j − f (x))2 dx hibafüggvényt. a x j j=0 • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 23 / 33 Függvényközelı́tés polinomokkal Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa Legyen f : [0, 1] R adott folytonos függvény. Keressünk olyan p(x) := a0 + a1 x + a2 x2 + . + an xn legfeljebb n-edfokú polinomot, mely a ”lehető legjobban”

közelı́ti f -et. A legkisebb négyzetek módszere: Minimalizáljuk az E(a0 , a1 , ., an ) := n X ∂E =2 ∂ak j=1 Z 1 0 R 1 Pn 0( j − f (x))2 dx hibafüggvényt. a x j j=0 (aj xj − f (x))xk dx = 0 (k = 0, 1, ., n) • Feltételes szélsőérték • Feltételes szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Többszörös integrálok 23 / 33 Függvényközelı́tés polinomokkal Többváltozós függvények • Többváltozós függvények megadása • Folytonosság • Deriválhatóság • Iránymenti derivált • Parciális derivált • Másodrendű parciális deriváltak • A második derivált mátrixa • Többváltozós függvények lokális szélsőértékei • Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei • Szélsőértékfeladat, példa • Feltételes szélsőérték • Feltételes

szélsőértékfeladat, példák • Lineáris regresszió • Függvényközelı́tés polinomokkal Legyen f : [0, 1] R adott folytonos függvény. Keressünk olyan p(x) := a0 + a1 x + a2 x2 + . + an xn legfeljebb n-edfokú polinomot, mely a ”lehető legjobban” közelı́ti f -et. A legkisebb négyzetek módszere: Minimalizáljuk az E(a0 , a1 , ., an ) := n X ∂E =2 ∂ak j=1 Z 1 0 R 1 Pn 0( j − f (x))2 dx hibafüggvényt. a x j j=0 (aj xj − f (x))xk dx = 0 (k = 0, 1, ., n) ahonnan: n X 1 · aj = bk k+j+1 j=0 (k = 0, 1, ., n), Többszörös integrálok R1 ahol bk := 0 f (x)xk dx. 23 / 33 Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Többszörös integrálok 24 / 33 Téglalapon vett integrál Többváltozós függvények

Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyenek [a, b], [c, d] ⊂ R véges intervallumok, és jelölje T a T := [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 téglalapot (a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d). Legyen a = x0 < x1 < < xN = b és c = y0 < y1 < . < yM = d az [a, b] ill a [c, d] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje ∆xk := xk − xk−1 ill ∆yj := yj − yj−1 . (N,M ) Az S− (f ) := PN k=1 PM (min) j=1 fkj ∆xk ∆yj számot az f függvény egy alsó integrálközelı́tő összegének nevezzük. (N,M ) sonlóan, az S+ (f ) := PN k=1 PM (max) j=1 fkj Ha- ∆xk ∆yj számot az f függvény egy felső integrálközelı́tő összegének nevezzük. (min) (max) (fkj ill. fkj : az f függvény minimális ill. maximális értéke a Tkj téglalapon.) 25 /

33 Téglalapon vett integrál Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyenek [a, b], [c, d] ⊂ R véges intervallumok, és jelölje T a T := [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 téglalapot (a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d). Legyen a = x0 < x1 < < xN = b és c = y0 < y1 < . < yM = d az [a, b] ill a [c, d] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje ∆xk := xk − xk−1 ill ∆yj := yj − yj−1 . (N,M ) Az S− (f ) := PN k=1 PM (min) j=1 fkj ∆xk ∆yj számot az f függvény egy alsó integrálközelı́tő összegének nevezzük. (N,M ) sonlóan, az S+ (f ) := PN k=1 PM (max) j=1 fkj Ha- ∆xk ∆yj számot az f függvény egy felső integrálközelı́tő összegének nevezzük. (min) (max) (fkj ill. fkj : az f

függvény minimális ill. maximális értéke a Tkj téglalapon.) Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén (N,M ) S− (N,M ) (f ) ≤ S+ (f ). 25 / 33 Téglalapon vett integrál Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint (N,M ) Az f függvény alsó integrálja: S− (f ) := sup S− (f ). (N,M ) Az f függvény felső integrálja: S+ (f ) := inf S+ (f ) 26 / 33 Téglalapon vett integrál Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint (N,M ) Az f függvény alsó integrálja: S− (f ) := sup S− (f ). (N,M ) Az f függvény felső integrálja: S+

(f ) := inf S+ (f ) Minden f folytonos függvény esetén S− (f ) ≤ S+ (f ). 26 / 33 Téglalapon vett integrál Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint (N,M ) Az f függvény alsó integrálja: S− (f ) := sup S− (f ). (N,M ) Az f függvény felső integrálja: S+ (f ) := inf S+ (f ) Minden f folytonos függvény esetén S− (f ) ≤ S+ (f ). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglalapon, ha S− (f ) = S+ (f ). Ezt aR számot fR-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f , vagy T f (x, y)dxdy 26 / 33 Téglalapon vett integrál Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás

polárkoordináták szerint (N,M ) Az f függvény alsó integrálja: S− (f ) := sup S− (f ). (N,M ) Az f függvény felső integrálja: S+ (f ) := inf S+ (f ) Minden f folytonos függvény esetén S− (f ) ≤ S+ (f ). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglalapon, ha S− (f ) = S+ (f ). Ezt aR számot fR-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f , vagy T f (x, y)dxdy Tekintsük az [a, b] és [c, d] intervallumok felbontásainak egy korlátlanul finomodó sorozatát. Legyen fkj egy tetszőleges függvényérték, melyet f a Tkj téglalapon felvesz. Akkor PN PM a f ∆xk ∆yj Riemann-összegek sorozata az R R k=1 j=1 kj T f (x, y)dxdy Riemann-integrálhoz tart (a konkrét felbontástól és az fkj függvényértékek megválasztásától függetlenül). 26 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál

• Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f (x, y)dxdy Rb Rd Rd Rb a c f (x, y)dy dx = c a = f (x, y)dx dy . 27 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f (x, y)dxdy Rb Rd Rd Rb a c f (x, y)dy dx = k=1 a f (x, y)dx dy . RR T f (x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: j=1 f (xk , yj )∆xk ∆yj . Közelı́tsük az PN c = PM 27 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás

normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f (x, y)dxdy Rb Rd Rd Rb a c f (x, y)dy dx = c a = f (x, y)dx dy . RR T f (x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: k=1 j=1 f (xk , yj )∆xk ∆yj . Összegezve először j szerint, Rd PM minden k indexre: j=1 f (xk , yj )∆yj ≈ c f (xk , y)dy , Közelı́tsük az PN PM 27 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f (x, y)dxdy Rb Rd Rd Rb a c f (x, y)dy dx = c a = f (x, y)dx dy . RR T f (x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: k=1 j=1 f (xk , yj )∆xk ∆yj . Összegezve először j szerint, Rd PM minden k indexre: j=1 f (xk , yj )∆yj

≈ c f (xk , y)dy , innen PN PM PN R d k=1 j=1 f (xk , yj )∆yj ∆xk ≈ k=1 c f (xk , y)dy · ∆xk . Közelı́tsük az PN PM 27 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f (x, y)dxdy Rb Rd Rd Rb a c f (x, y)dy dx = c a = f (x, y)dx dy . RR T f (x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: k=1 j=1 f (xk , yj )∆xk ∆yj . Összegezve először j szerint, Rd PM minden k indexre: j=1 f (xk , yj )∆yj ≈ c f (xk , y)dy , innen PN PM PN R d k=1 j=1 f (xk , yj )∆yj ∆xk ≈ k=1 c f (xk , y)dy · ∆xk . Rd A jobboldalon az F (x) := c f (x, y)dy függvény egy Közelı́tsük az PN PM Riemann-összege áll, ezért: 27 / 33 Kettős integrál

kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f (x, y)dxdy Rb Rd Rd Rb a c f (x, y)dy dx = c a = f (x, y)dx dy . RR T f (x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: k=1 j=1 f (xk , yj )∆xk ∆yj . Összegezve először j szerint, Rd PM minden k indexre: j=1 f (xk , yj )∆yj ≈ c f (xk , y)dy , innen PN PM PN R d k=1 j=1 f (xk , yj )∆yj ∆xk ≈ k=1 c f (xk , y)dy · ∆xk . Rd A jobboldalon az F (x) := c f (x, y)dy függvény egy PN PM Riemann-összege áll, ezért: k=1 j=1 f (xk , yj )∆yj ∆xk ≈ Rb R b R d a F (x)dx = a c f (x, y)dy dx. Közelı́tsük az PN PM 27 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon

vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f (x, y)dxdy Rb Rd Rd Rb a c f (x, y)dy dx = c a = f (x, y)dx dy . RR T f (x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: k=1 j=1 f (xk , yj )∆xk ∆yj . Összegezve először j szerint, Rd PM minden k indexre: j=1 f (xk , yj )∆yj ≈ c f (xk , y)dy , innen PN PM PN R d k=1 j=1 f (xk , yj )∆yj ∆xk ≈ k=1 c f (xk , y)dy · ∆xk . Rd A jobboldalon az F (x) := c f (x, y)dy függvény egy PN PM Riemann-összege áll, ezért: k=1 j=1 f (xk , yj )∆yj ∆xk ≈ Rb R b R d a F (x)dx = a c f (x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul Közelı́tsük az PN PM finomodik, akkor a közelı́tő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át. 27 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös

integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f (x, y)dxdy Rb Rd Rd Rb a c f (x, y)dy dx = c a = f (x, y)dx dy . RR T f (x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: k=1 j=1 f (xk , yj )∆xk ∆yj . Összegezve először j szerint, Rd PM minden k indexre: j=1 f (xk , yj )∆yj ≈ c f (xk , y)dy , innen PN PM PN R d k=1 j=1 f (xk , yj )∆yj ∆xk ≈ k=1 c f (xk , y)dy · ∆xk . Rd A jobboldalon az F (x) := c f (x, y)dy függvény egy PN PM Riemann-összege áll, ezért: k=1 j=1 f (xk , yj )∆yj ∆xk ≈ Rb R b R d a F (x)dx = a c f (x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul Közelı́tsük az PN PM finomodik, akkor a közelı́tő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át. Legyenek g : [a, b] R, h : [c, d] R folytonos függv ények, RR Rb Rd

akkor: T g(x)h(y)dxdy = a g(x)dx · c h(y)dy . 27 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy kettős integrált. (x + xy T 28 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy kettős integrált. (x + xy T Megoldás: RR T (x + xy 2 )dxdy = R 2 R 1 0 2 )dy dx. (x + xy 0 28 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös

integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy kettős integrált. (x + xy T Megoldás: RR T (x + xy 2 )dxdy = R1 h R 2 R 1 0 belső integrál: 0 (x + xy 2 )dy = xy + 2 )dy dx. A (x + xy 0 i xy 3 1 3 0 = 4x 3 . 28 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy kettős integrált. (x + xy T Megoldás: RR T (x + xy 2 )dxdy = R1 belső integrál: 0 (x + xy 2 )dy = RR T (x + xy 2 )dxdy R 2 4x = 0 3 dx R 2 R 1 0 2 )dy dx. A (x + xy 0 i xy 3 1 = 4x xy

+ 3 3 . Innen: 0 h 2 i2 = 4x6 = 38 . 0 h 28 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy kettős integrált. (x + xy T Megoldás: RR T (x + xy 2 )dxdy = R1 belső integrál: 0 (x + xy 2 )dy = RR T (x + xy 2 )dxdy R 2 4x = 0 3 dx R 2 R 1 0 2 )dy dx. A (x + xy 0 i xy 3 1 = 4x xy + 3 3 . Innen: 0 h 2 i2 = 4x6 = 38 . 0 h Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x szerint integrálunk: R2 2 )dx = (1 + y 2 ) · (x + xy 0 h x2 2 i2 0 = 2 · (1 + y 2 ). 28 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása •

Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy kettős integrált. (x + xy T Megoldás: RR T (x + xy 2 )dxdy = R1 belső integrál: 0 (x + xy 2 )dy = RR T (x + xy 2 )dxdy R 2 4x = 0 3 dx R 2 R 1 0 2 )dy dx. A (x + xy 0 i xy 3 1 = 4x xy + 3 3 . Innen: 0 h 2 i2 = 4x6 = 38 . 0 h Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x szerint integrálunk: R2 2 )dx = (1 + y 2 ) · (x + xy 0 RR T (x + xy 2 )dxdy = R1 0 h x2 2 i2 0 = 2 · (1 + y 2 ). Innen h 2 · (1 + y 2 )dy = 2 · y + i y3 1 3 0 = 83 . 28 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy

kettős integrált. (x + xy T Megoldás: RR T (x + xy 2 )dxdy = R1 belső integrál: 0 (x + xy 2 )dy = RR T (x + xy 2 )dxdy R 2 4x = 0 3 dx R 2 R 1 0 2 )dy dx. A (x + xy 0 i xy 3 1 = 4x xy + 3 3 . Innen: 0 h 2 i2 = 4x6 = 38 . 0 h Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x szerint integrálunk: R2 2 )dx = (1 + y 2 ) · (x + xy 0 RR T (x + xy 2 )dxdy = RR R1 0 h x2 2 i2 0 = 2 · (1 + y 2 ). Innen h 2 · (1 + y 2 )dy = 2 · y + i y3 1 3 0 = 83 . Példa: Számı́tsuk ki a T · cos(x + y)dxdy kettős integrált a 0 ≤ x, y ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. 28 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy

kettős integrált. (x + xy T Megoldás: RR T (x + xy 2 )dxdy = R1 belső integrál: 0 (x + xy 2 )dy = RR T (x + xy 2 )dxdy R 2 4x = 0 3 dx R 2 R 1 0 2 )dy dx. A (x + xy 0 i xy 3 1 = 4x xy + 3 3 . Innen: 0 h 2 i2 = 4x6 = 38 . 0 h Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x szerint integrálunk: R2 2 )dx = (1 + y 2 ) · (x + xy 0 RR T (x + xy 2 )dxdy = RR R1 0 h x2 2 i2 0 = 2 · (1 + y 2 ). Innen h 2 · (1 + y 2 )dy = 2 · y + i y3 1 3 0 = 83 . Példa: Számı́tsuk ki a T · cos(x + y)dxdy kettős integrált a 0 ≤ x, y ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: RR T · cos(x + y)dxdy = Rπ Rπ 0 0 (cos x cos y − sin x sin y)dxdy = 28 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás

polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy kettős integrált. (x + xy T Megoldás: RR T (x + xy 2 )dxdy = R1 belső integrál: 0 (x + xy 2 )dy = RR T (x + R 2 R 1 xy 2 )dxdy R 2 4x = 0 3 dx 0 2 )dy dx. A (x + xy 0 i xy 3 1 = 4x xy + 3 3 . Innen: 0 h 2 i2 = 4x6 = 38 . 0 h Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x szerint integrálunk: R2 2 )dx = (1 + y 2 ) · (x + xy 0 RR T (x + xy 2 )dxdy = RR R1 0 h x2 2 i2 0 = 2 · (1 + y 2 ). Innen h 2 · (1 + y 2 )dy = 2 · y + i y3 1 3 0 = 83 . Példa: Számı́tsuk ki a T · cos(x + y)dxdy kettős integrált a 0 ≤ x, y ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: RR Rπ Rπ · cos(x + y)dxdy = 0 0 R(cos x cos y − sin x sin y)dxdy = R πT Rπ R π π ( 0 cos xdx) · ( 0 cos ydy) − ( 0 sin xdx) · ( 0 sin ydy) = 28 / 33 Kettős integrál kiszámı́tása Többváltozós

függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Legyen T := [0, 2] × [0, 1]. Számı́tsuk ki a RR 2 )dxdy kettős integrált. (x + xy T Megoldás: RR T (x + xy 2 )dxdy = R1 belső integrál: 0 (x + xy 2 )dy = RR T (x + R 2 R 1 xy 2 )dxdy R 2 4x = 0 3 dx 0 2 )dy dx. A (x + xy 0 i xy 3 1 = 4x xy + 3 3 . Innen: 0 h 2 i2 = 4x6 = 38 . 0 h Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x szerint integrálunk: R2 2 )dx = (1 + y 2 ) · (x + xy 0 RR T (x + xy 2 )dxdy = RR R1 0 h x2 2 i2 0 = 2 · (1 + y 2 ). Innen h 2 · (1 + y 2 )dy = 2 · y + i y3 1 3 0 = 83 . Példa: Számı́tsuk ki a T · cos(x + y)dxdy kettős integrált a 0 ≤ x, y ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: RR Rπ Rπ · cos(x + y)dxdy = 0 0 R(cos x cos y − sin x sin

y)dxdy = R πT Rπ R π π ( 0 cos xdx) · ( 0 cos ydy) − ( 0 sin xdx) · ( 0 sin ydy) = −4. 28 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre g ≤ h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen Ω := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(y)} normáltartomány, f : Ω R folytonos függv ény. Akkor RR Ω f (x, y)dxdy Hasonlóan, ha = R b R h(x) a g(x) f (x, y)dy dx. Ω = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b, g(y) ≤ x ≤ h(x)}, akkor RR R b R h(y) T f (x, y)dxdy = a g(y) f (x, y)dx dy . 29 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál

kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre g ≤ h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen Ω := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(y)} normáltartomány, f : Ω R folytonos függv ény. Akkor RR Ω f (x, y)dxdy Hasonlóan, ha = R b R h(x) a g(x) f (x, y)dy dx. Ω = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b, g(y) ≤ x ≤ h(x)}, akkor RR R b R h(y) T f (x, y)dxdy = a g(y) f (x, y)dx dy . 2 + y) dxdy integrált, ahol Ω az Példa: Számı́tsuk ki az (x Ω 2 2 y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. RR 29 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyenek

g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre g ≤ h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen Ω := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(y)} normáltartomány, f : Ω R folytonos függv ény. Akkor RR Ω f (x, y)dxdy = Hasonlóan, ha R b R h(x) a g(x) f (x, y)dy dx. Ω = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b, g(y) ≤ x ≤ h(x)}, akkor RR R b R h(y) T f (x, y)dxdy = a g(y) f (x, y)dx dy . 2 + y) dxdy integrált, ahol Ω az Példa: Számı́tsuk ki az (x Ω 2 2 y = x és az y = x egyenletű parabol ány. ák√által határolt tartom Megoldás: RR Ω (x2 RR + y) dxdy = R1 R x 0 x2 (x2 + y)dy dx = 29 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények,

melyekre g ≤ h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen Ω := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(y)} normáltartomány, f : Ω R folytonos függv ény. Akkor RR Ω f (x, y)dxdy Hasonlóan, ha = R b R h(x) a g(x) f (x, y)dy dx. Ω = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b, g(y) ≤ x ≤ h(x)}, akkor RR R b R h(y) T f (x, y)dxdy = a g(y) f (x, y)dx dy . 2 + y) dxdy integrált, ahol Ω az Példa: Számı́tsuk ki az (x Ω 2 2 y = x és az y = x egyenletű parabol ány. ák√által határolt tartom RR 2 Megoldás: Ω (x + y) i√x R1h 2 2 y x y + 0 2 x2 dx = RR dxdy = R1 R x 0 x2 (x2 + y)dy dx = 29 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre

g ≤ h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen Ω := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(y)} normáltartomány, f : Ω R folytonos függv ény. Akkor RR Ω f (x, y)dxdy Hasonlóan, ha = R b R h(x) a g(x) f (x, y)dy dx. Ω = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b, g(y) ≤ x ≤ h(x)}, akkor RR R b R h(y) T f (x, y)dxdy = a g(y) f (x, y)dx dy . 2 + y) dxdy integrált, ahol Ω az Példa: Számı́tsuk ki az (x Ω 2 2 y = x és az y = x egyenletű parabol ány. ák√által határolt tartom RR R1 2 Megoldás: Ω (x + y) dxdy = 0 i√x R1h 2 R 1 5/2 2 y x x y + dx = (x + 0 0 2 x2 2 RR R x x2 − x4 (x2 + y)dy dx = − x4 2 )dx = 29 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyenek g, h : [a, b] R

folytonos függvények, melyekre g ≤ h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen Ω := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(y)} normáltartomány, f : Ω R folytonos függv ény. Akkor RR Ω f (x, y)dxdy Hasonlóan, ha = R b R h(x) a g(x) f (x, y)dy dx. Ω = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b, g(y) ≤ x ≤ h(x)}, akkor RR R b R h(y) T f (x, y)dxdy = a g(y) f (x, y)dx dy . 2 + y) dxdy integrált, ahol Ω az Példa: Számı́tsuk ki az (x Ω 2 2 y = x és az y = x egyenletű parabol ány. ák√által határolt tartom RR R1 2 Megoldás: Ω (x + y) dxdy = 0 i√x R1h 2 R 1 5/2 2 y x x y + dx = (x + 0 0 2 x2 2 h 7/2 i 1 2x x2 3 x5 = 7 + 4 − 2 · 5 0 = RR R x x2 − x4 (x2 + y)dy dx = − x4 2 )dx = 29 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon

• Integrálás polárkoordináták szerint Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre g ≤ h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen Ω := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(y)} normáltartomány, f : Ω R folytonos függv ény. Akkor RR Ω f (x, y)dxdy Hasonlóan, ha = R b R h(x) a g(x) f (x, y)dy dx. Ω = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b, g(y) ≤ x ≤ h(x)}, akkor RR R b R h(y) T f (x, y)dxdy = a g(y) f (x, y)dx dy . 2 + y) dxdy integrált, ahol Ω az Példa: Számı́tsuk ki az (x Ω 2 2 y = x és az y = x egyenletű parabol ány. ák√által határolt tartom RR R1 2 Megoldás: Ω (x + y) dxdy = 0 i√x R1h 2 R 1 5/2 2 y x x y + dx = (x + 0 0 2 x2 2 h 7/2 i 1 2x x2 3 x5 33 = + − · = 7 4 2 5 0 140 . RR R x x2 − x4 (x2 + y)dy dx = − x4 2 )dx = 29 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör

súlypontját. Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint 30 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω 1 dxdy RR y dxdy Ω Sy = R R . Ω 1 dxdy 30 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon •

Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω RR Ω 1 dxdy = π2 , 1 dxdy RR y dxdy Ω Sy = R R . Ω 1 dxdy 30 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω RR RR Ω Ω 1 dxdy 1 dxdy = π2 , x dxdy = R 1 R √1−x2 −1 0 RR y dxdy Ω Sy = R R . Ω 1 dxdy x dy dx = 30 / 33 Integrálás

normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω RR RR Ω Ω 1 dxdy 1 dxdy = π2 , x dxdy = R 1 R √1−x2 −1 0 RR y dxdy Ω Sy = R R . Ω 1 dxdy √ x dy dx = −1 x 1 − x2 dx = 0, R1 30 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját.

Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω RR RR RR Ω Ω Ω 1 dxdy 1 dxdy = π2 , x dxdy = y dxdy = R 1 R √1−x2 −1 R1 −1 0 R √ 0 1−x2 RR y dxdy Ω Sy = R R . Ω 1 dxdy √ x dy dx = −1 x 1 − x2 dx = 0, y dy dx = R1 30 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω RR RR RR Ω Ω 1 dxdy 1 dxdy = π2 , x dxdy = Ω y dxdy = R 1 R √1−x2 −1 R1 −1 0 R √ 0 1−x2 RR y dxdy Ω Sy = R R

. Ω 1 dxdy √ x dy dx = −1 x 1 − x2 dx = 0, y dy dx = R1 R1 −1 h i√1−x2 1 2 2y 0 dx = 30 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω RR RR RR 1 2 · Ω Ω 1 dxdy 1 dxdy = π2 , x dxdy = Ω y dxdy = R1 −1 (1 R 1 R √1−x2 −1 R1 −1 0 R √ − x2 )dx = 0 1−x2 RR y dxdy Ω Sy = R R . Ω 1 dxdy √ x dy dx = −1 x 1 − x2 dx = 0, y dy dx = R1 R1 −1 h i√1−x2 1 2 2y 0 dx = 30 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények

Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω RR RR RR 1 2 · Ω Ω 1 dxdy 1 dxdy = π2 , x dxdy = Ω y dxdy = R1 −1 (1 R 1 R √1−x2 −1 R1 −1 0 R √ − x2 )dx = 1−x2 0 1 2 h RR y dxdy Ω Sy = R R . Ω 1 dxdy √ x dy dx = −1 x 1 − x2 dx = 0, y dy dx = · x− i1 x3 3 −1 = R1 R1 −1 h i√1−x2 1 2 2y 0 dx = 30 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás

polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω RR RR RR 1 2 · Ω Ω 1 dxdy 1 dxdy = π2 , x dxdy = Ω y dxdy = R1 R 1 R √1−x2 −1 R1 −1 0 R √ 2 −1 (1 − x )dx = 1−x2 0 1 2 h RR y dxdy Ω Sy = R R . Ω 1 dxdy √ x dy dx = −1 x 1 − x2 dx = 0, y dy dx = · x− i1 x3 3 −1 R1 R1 = 23 . −1 h i√1−x2 1 2 2y 0 dx = 30 / 33 Integrálás normáltartományon Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2

≤ 1, y ≥ 0. Ω súlypontjának koordinátái: RR x dxdy Ω , Sx = R R Ω RR RR RR 1 2 · Ω Ω 1 dxdy 1 dxdy = π2 , x dxdy = Ω y dxdy = R1 R 1 R √1−x2 −1 R1 −1 0 R √ 2 −1 (1 − x )dx = 1−x2 0 1 2 h RR y dxdy Ω Sy = R R . Ω 1 dxdy √ x dy dx = −1 x 1 − x2 dx = 0, y dy dx = · x− i1 x3 3 −1 R1 R1 −1 = 23 . h i√1−x2 1 2 2y 0 dx = 4 Innen a súlypont koordinátái: Sx = 0, Sy = 3π . 30 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyen f : Ω R folytonos függvény. Ha (x, y) ∈ R2 , jelölje r és φ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos φ és y = r sin φ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r,

φ) := f (r cos φ, r sin φ). 31 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyen f : Ω R folytonos függvény. Ha (x, y) ∈ R2 , jelölje r és φ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos φ és y = r sin φ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, φ) := f (r cos φ, r sin φ). Jelölje Ω̃ az Ω tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz Ω̃ := {(r, φ) ∈ R2 : (r cos φ, r sin φ) ∈ Ω. Akkor Z Z f (x, y)dxdy = Ω Z Z F (r, φ)rdrdφ Ω̃ 31 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás

normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyen f : Ω R folytonos függvény. Ha (x, y) ∈ R2 , jelölje r és φ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos φ és y = r sin φ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, φ) := f (r cos φ, r sin φ). Jelölje Ω̃ az Ω tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz Ω̃ := {(r, φ) ∈ R2 : (r cos φ, r sin φ) ∈ Ω. Akkor Z Z f (x, y)dxdy = Ω Z Z F (r, φ)rdrdφ Ω̃ Példa: Ha Ω az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor Ω̃ = [0, 1] × [0, π2 ] (téglalap). 31 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Legyen f : Ω R folytonos függvény. Ha (x, y) ∈ R2 ,

jelölje r és φ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos φ és y = r sin φ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, φ) := f (r cos φ, r sin φ). Jelölje Ω̃ az Ω tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz Ω̃ := {(r, φ) ∈ R2 : (r cos φ, r sin φ) ∈ Ω. Akkor Z Z f (x, y)dxdy = Ω Z Z F (r, φ)rdrdφ Ω̃ Példa: Ha Ω az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor Ω̃ = [0, 1] × [0, π2 ] (téglalap). Példa: Ha Ha Ω az origó közepű R1 , R2 sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor Ω̃ = [R1 , R2 ] × [0, 2π] (téglalap). 31 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon •

Integrálás polárkoordináták szerint 32 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott Ezért: téglalap. RR Ω1 dxdy = Rπ R1 0 0 Rπ rdrdφ = ( 0 1 dφ) · R1 0 rdr = π2 , 32 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás

polárkoordináták szerint Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott Ezért: téglalap. RR RR Ω1 dxdy = Ωx dxdy = Rπ R1 Rπ 0 0 rdrdφ = ( 0 1 dφ) Rπ R1 0 0 r cos φ · rdrdφ = · R1 0 rdr = π2 , 32 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott Ezért: téglalap. RR RR Ω1 dxdy = Ω x dxdy = Rπ ( 0 cos φ dφ) · Rπ R1 Rπ 0 0 rdrdφ = ( 0 1 dφ) Rπ R1 0R 0 r cos φ · rdrdφ = 1 2 0 r

dr = 0, · R1 0 rdr = π2 , 32 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott Ezért: téglalap. RR Ω1 dxdy = Rπ R1 Rπ 0 0 rdrdφ = ( 0 1 dφ) RR Rπ R1 φ · rdrdφ = Ω x dxdy = 0 0 r cos Rπ R1 2 ( 0 cos φ dφ) · 0 r dr = 0, RR Rπ R1 Ω y dxdy = 0 0 r sin φ · rdrdφ = · R1 0 rdr = π2 , 32 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Többszörös integrálok • Téglalapon

vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott Ezért: téglalap. RR Ω1 dxdy = Rπ R1 Rπ 0 0 rdrdφ = ( 0 1 dφ) RR Rπ R1 φ · rdrdφ = Ω x dxdy = 0 0 r cos Rπ R1 2 ( 0 cos φ dφ) · 0 r dr = 0, RR Rπ R1 φ · rdrdφ = Ω y dxdy = 0 0 r sin Rπ R1 2 ( 0 sin φ dφ) · 0 r dr = 32 · R1 0 rdr = π2 , 32 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint Megoldás: A félkör polárkoordinátás

megfelelője az 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π egyenlőtlenségek által meghatározott Ezért: téglalap. RR Ω1 dxdy = Rπ R1 Rπ 0 0 rdrdφ = ( 0 1 dφ) RR Rπ R1 φ · rdrdφ = Ω x dxdy = 0 0 r cos Rπ R1 2 ( 0 cos φ dφ) · 0 r dr = 0, RR Rπ R1 φ · rdrdφ = Ω y dxdy = 0 0 r sin Rπ R1 2 ( 0 sin φ dφ) · 0 r dr = 32 · R1 0 rdr = π2 , 4 Innen a súlypont koordinátái: (0, 3π ). 32 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Példa: Számı́tsuk ki az Ω xy dxdy integrált, ahol Ω az π 1 ≤ r ≤ 1 , 1 ≤ φ ≤ 2 2 egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. 33 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények

Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Példa: Számı́tsuk ki az Ω xy dxdy integrált, ahol Ω az π 1 ≤ r ≤ 1 , 1 ≤ φ ≤ 2 2 egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárkoordinátákra: RR Ω xy dxdy = R π/2 R 1 0 1/2 r cos φ r sin φ rdrdφ = 33 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Példa: Számı́tsuk ki az Ω xy dxdy integrált, ahol Ω az π 1 ≤ r ≤ 1 , 1 ≤ φ ≤ 2 2 egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárkoordinátákra:

RR R π/2 R 1 xy dxdy = 0 r cos φ r sin φ rdrdφ = R Ω 1/2 R π/2 cos φ sin φ 0 dφ · 1 3 dr r 1/2 = 33 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása • Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Példa: Számı́tsuk ki az Ω xy dxdy integrált, ahol Ω az π 1 ≤ r ≤ 1 , 1 ≤ φ ≤ 2 2 egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárkoordinátákra: RR R π/2 R 1 xy dxdy = 0 r cos φ r sin φ rdrdφ = R Ω 1/2 R π/2 cos φ sin φ dφ 0 1 R π/2 sin 2φ dφ · 0 2 1 3 dr = r R 1/2 1 3 1/2 r dr = · 33 / 33 Integrálás polárkoordináták szerint Többváltozós függvények Többszörös integrálok • Téglalapon vett integrál • Kettős integrál kiszámı́tása

• Integrálás normáltartományon • Integrálás polárkoordináták szerint RR Példa: Számı́tsuk ki az Ω xy dxdy integrált, ahol Ω az π 1 ≤ r ≤ 1 , 1 ≤ φ ≤ 2 2 egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárkoordinátákra: RR R π/2 R 1 xy dxdy = 0 r cos φ r sin φ rdrdφ = R Ω 1/2 R π/2 cos φ sin φ dφ 0 1 R π/2 sin 2φ dφ · 0 2 1 3 dr = r R 1/2 1 3 dr = 15 . r 1/2 128 · 33 / 33

Matematika | Diszkrét Matematika » Gáspár-Molnárka - Többváltozós függvények előadás

Mit olvastak a többiek, ha ezzel végeztek?

Lineáris algebra numerikus módszerei

Tóth Enikő - Oszthatóság a középiskolában

Balogh Norbert - Felszín- és térfogatszámítás feladatok, emelt szint

Differenciálszámítás emelt szinten, 2007

Tartalmi kivonat

Cikkajánló

Hogyan tanuljunk angolul?

Doksiajánló

Tartalmak

Navigáció

Matematika | Diszkrét Matematika » Gáspár-Molnárka - Többváltozós függvények előadás

Doksi olvasó beágyazása

Mit olvastak a többiek, ha ezzel végeztek?

Lineáris algebra numerikus módszerei

Tóth Enikő - Oszthatóság a középiskolában

Balogh Norbert - Felszín- és térfogatszámítás feladatok, emelt szint

Differenciálszámítás emelt szinten, 2007

Tartalmi kivonat

Cikkajánló

Hogyan tanuljunk angolul?

Doksiajánló

Tartalmak

Navigáció