Matematika | Általános Iskola » A prímszámok

A prímszámok A prímszámok azok a számok, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Az 1 nem prímszám. Összetett számok azok a számok, amelyeknek van valódi osztójuk. (Nem csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók–kettőnél több osztójuk van.) A prímtényezős felbontás: 60 2 30 2 15 5 3 3 1 60  2235 A számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám (a tényezők sorrendjétől eltekintve), csak egyféleképpen bontható fel prímszámok szorzatára. A prímszámokat meghatározhatjuk pl. az Eratosztenészi-szitával: Tétel: A 2 irracionális szám. Bizonyítás Vizsgáljuk meg, hogy mi a kapcsolat az osztók és a prímtényezők között! Határozzuk meg a 120 összes osztóját! A régi módszer: 1 2 3 4 5 6 120 60 40 30 24 20 8 15 10 12 3 3 40 235 22 4 30 235 Vizsgáljuk meg a prímtényezőket! 120 2 60 2 30 2 15 5 3 3 1 1 1 120 2335 2 2 60 2235 5 5 24 233 2∙3 6 20 225 23 8 15 35 2∙5 10 12

223 1202335 Pl.: 30|120 mert 304 = 120 ( 2  3  5 )  22 = 23  3  5  30 =4 120 24|120  245  120  (2 3)5 3 Az „a” akkor és csak akkor osztója „b”-nek, ha az „a” össze prímtényezője szerepel a „b” prímtényezős felbontásában. 304 = 120  30|120 235 = 30 4 = 22 Azt az egész számot, amivel a-t szorozva b-t kapok pont az a-ban nem szereplő prímtényezők szorzata adja! Határozzuk meg a 120 összes osztóját, máshogy! Használjuk fel az új tudást! Az „a” csak akkor osztója „b”-nek, ha az „a” összes prímtényezője szerepel a „b” prímtényezős felbontásában, méghozzá legfeljebb akkora kitevőn, mint amekkorán a „b” felbontásában szerepel. Valahogy az összes lehetséges módon össze kéne kombinálni a prímosztóit. 1202335 Próbálkozzunk egy táblázattal: 1 2 3 5 53 1 1 2 3 5 53=15 2 2 22=4 23=6 25=10 235=30 22

22=4 23 223=12 225=20 2235=60 23 23=8 223=16 233=24 235=40 2353=120 3 3 32 23=6 53=15 532 5 5 25=10 35=15 52 523 Nagyobb számok esetén a táblázattal könnyebb. Jó lenne, ha ki tudnánk sakkozni, hogy hány osztója van, mert akkor észrevehetnénk, ha valamelyik hiányzik, vagy ha valamelyiket kétszer vettük! Milyen kitevőn szerepelhet a prímtényező? 20;1;2;3 30;1 50;1 20;1;2;3  30;1  50;1 4 lehetőség 2 lehetőség 2 lehetőség Összesen 4∙2∙2=16 lehetőség Tehát a 120-nak 16 osztója van. (pl.: 20∙30∙50 = 1; 21∙31∙50 = 6) Vedd észre! Egy szám osztóinak a számát megkapjuk, ha a prímtényezőinek a kitevőihez hozzáadunk egyet és a kapott számokat összeszorozzuk