Matematika | Középiskola » Integrálási szabályok, integrálszámítás

1. Integrálási szabályok, Alap integrálok Z Z cf (x) dx = c f (x) dx Z Z f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx Z Z 0 f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) − f 0 (x) · g(x) dx (1) Z Z f n (x) · f 0 (x) dx = Z 0 f dx = f Z f (ax + b) dx = (2) (3) f n+1 +C n+1 (4) ln |f (x)| + C (5) F (ax + b) a (6) Z 1 dx = Z Z Z Z +C dx (7) xn dx = xn+1 +C n+1 1 dx = x ln |x| + C n ∈ R, n 6= −1 ex dx = ex + C ax dx = (8) (9) (10) ax +C ln (a) (11) Z sin (x) dx = − cos (x) + C (12) cos (x) dx = (13) Z sin (x) + C Z tg (x) dx = − ln | cos (x)| + C (14) Z ln | sin (x)| + C ctg (x) dx = (15) Z 1 dx = −ctg (x) + C sin2 (x) Z 1 dx = tg (x) + C cos2 (x) (16) (17) Z sh (x) dx = ch (x) + C (18) ch (x) dx = sh (x) + C (19) th (x) dx = ln |ch (x)| + C (20) cth (x) dx = ln |sh (x)| + C (21) Z Z Z Z 1 dx = −cth (x) + C sh2 (x) Z 1 dx = th (x) + C ch 2 (x) 1 (22) (23) Z 1 1 + x2 Z 1 1 − x2 Z 1 √ 1 − x2 Z 1 √ 1 + x2 Z 1 √ 2 x

−1 dx = arc tg (x) + C   x+1 arcth (x) + C |x| < 1 dx = = ln ar cth (x) + C |x| > 1 x−1 (24) dx = (26) (25) arc sin (x) + C dx = ar sh (x) + C   p ar ch (x) + C x < 1 dx = = ln x + x2 − 1 ar ch (x) + C x > 1 (27) (28) (29) 2. Integrálszámítás • P (x) Q(x) alakba hozható, ahol P (x) fokú pedig parcionális törtekre bontahtók, úgy hogy a nevez®k els® vagy másod fokúak, Valós együtthatós racionális törtfüggvények: mintQ(x).Q(x) R(x) = r(x) + vagy azok hatványai. Megoldható az egyenletrendszer az együtthatókraés külön integrálni ®ket, a következ® alapján: Z A dx = A ln |x − a| x−a Z A A dx = k (x − a) (1 − k)(x − a) (30) (31)   Z Z Bx + C dx = ax2 + bx + c Bx + C dx = (ax2 + bx + c)l C − Bb x + 2b B 2  ln |x2 + bx + c| + q · arc tg  q 2 2 2 c − b4 c − b4  Z B (x2 + bx + c)1−l Bb 1 + C− 2 1−l 2 (x2 + bx + c)l (32) (33) Ekkor az új integrál rekurzívan

megszünethet®. • Trigonometrikus függvények: 1. Ha tg sin (x = 2. Ha x 2
= thelyettesítést 2t 1 + t2 sin (x) és cos (x) = cos (x) • Exponenciális függvények: • Hiperbolikus függvények: 2t 1 + t2 1 − t2 1 + t2 sin2 (x) = 4t2 1 + 2t2 + t4 cos2 (x) = csak páros hatványon szerepelnek érdemes sin2 (x) = sh (x) = alkalmazzuk, minden ilyen alakú visszavezethet® az el®z®kre. t2 1 + t2 R(ex )-b®lex = t th ( x2 ) = t ch (x) = 1 − t2 1 + t2 cos2 (x) = 1 t2 + 1 tg (x) = t-t dx = 1 − 2t2 + t4 1 + 2t2 + t4 dx = helyettesíteni. 1 dt t2 + 1 helyettesítéssel racionális törtfüggvényt alakíthatunk. helyettesítéssel visszavezethet® törtfüggvényre sh2 (x) = 4t2 1 + 2t2 + t4 ch2 (x) = 1 − 2t2 + t4 1 + 2t2 + t4 dx = 2 dt 1 − t2 Vagy mivel ezek valójában exponenciálisfüggvények lehet ®ket exponenciális ötlettel is integrálni. ex = t • 2 dt 1 − t2 Irracionális függvények: Ezek a következ®

helyettesítésekel valószín¶leg visszavezethet®k törtfüggvényekre: 2 1. 2. 3. 4. √ R(x, a2 − x2 )alakúak √ R(x, x2 + a2 )alakúak √ R(x, x2 − a2 )alakúak R(x p1 q1 ,.,x pn qn ) x a x a x a = sin(t)helyettesítéssel = sh(t) helyettesítéssel = ch(x), alakúakat x ≥ 0, ha és x a x = tq helyettesítéssel, = −ch(x), ahol q a ha qi -k x≤0 legkisebb közös többszöröse. 5. Euler féle helyettesítés: √ R(x, ax2 + bx + c) alakúak valamelyik helyettesítéssel valószín¶leg törtfüggvény lesz: √ √ ax2 + bx + c = t ± x a a > 0 (a) √ √ (b) ax2 + bx + c = tx ± x c c > 0 √ ax2 + bx + c = t(x + x0 ) x0 ahol x0 az ax2 + bx + c egyenlet egy valós gyöke. (c) 3. Határozott integrál 1. Terület: (a) f (x), g(x) görbék és x = a, x = b egyenesek által határolt síkidom területe: a Z f (x) − g(x) dx T = b (b) x = x(t), y = y(t) t ∈ [a, b] paraméteres alakban megadott görbe alatti

terület: Z a x0 (t)y(t) dt T = b (c) x = x(t), y = y(t) t ∈ [a, b] paraméteres alakban megadott szektor szektor területe: T = (d) r(ϕ) ϕ ∈ [α, β] a Z 1 2 x0 (t)y(t) − x(t)y 0 (t) dt b polárkoordinátásan megadott szektor területe: 1 T = 2 Z a r2 (ϕ) dϕ b 2. Ívhossz: (a) ha f (x) függvény [a, b]-n folytonos és korlátos, akkor az ívhossz: a Z p 1 + (f 0 (x))2 dx s= b (b) x = x(t), y = y(t) t ∈ [a, b] paraméteres alakban megadott ív hossza: a Z p (x0 (t))2 + (y(t))2 dt s= b (c) r(ϕ) ϕ ∈ [α, β] polárkoordinátásan megadott ív hossza: α Z p (r(ϕ))2 + (r0 (ϕ)2 ) dt s= β 3. Forgástest felszíne: (a) Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos f (x) függvény írja le, akkor a tengely Z 2π [a, b] szakasza körüli palást felszíne: b p f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx a 3 (b) Az x = x(t), y = y(t) ∈ [a, b] paraméteres alakban megadott

folytonos ív x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne: b Z p y(t) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt 2π a 4. Forgástest térfogata: (a) ha a folytonos f (x) x írja le egy forgástest ennek a forgásttestnek az x tengely [a, b] tengellyel párhuzamos palástjának ívét, akkor intervallumra es® térfogata: a Z f 2 (x) dx V =π b (b) ha x = x(t), y = y(t) paraméterrel megadott folytonos ív írja le egy forgástest párhuzamos palástját, akkor ennek a forgástestnek az térfogata: Z V =π b 4 x tengely a y 2 (t)x0 (t) dt [a, b] x tengellyel intervallumára es®