Matematika | Középiskola » Addíciós tételek

Addíciós tételek Vegyünk két egységvektort a koordinátarendszerben! Az egyiket nevezzük a vektornak, a másikat nevezzük b vektornak! Az a hajlásszöge legyen , a b vektor hajlásszöge legyen . A két vektor által közbezárt szög:  –  Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát! ur ur a  b : 1 1 cos       cos       A vektorok hossza 1. A skalárszorzat a koordináták segítségével is meghatározható: r r a  b  a1b1  a2b2 r r a  b  cos   cos   sin   sin  A kétféle módon számított skalárszorzat nyílván megegyezik. cos       cos   cos   sin   sin  1. cos       cos   cos   sin   sin  2. cos       cos   cos   sin   sin  biz. : cos       cos         cos   cos     sin   sin 

   cos   cos   sin   sin  14442 4443 1442 443 cos   sin  3. sin       sin   cos   cos   sin biz. : sin       cos  90         cos   90        cos  90     cos   sin  90     sin   1444442 444443 1444442 444443 sin  cos   sin   cos   cos   sin  4. sin       sin   cos   cos   sin  biz. : sin       sin         sin   cos     cos   sin     sin   cos   cos   sin  14442 4443 1442 443 cos  5. tg       tg  tg 1  tg  tg  sin  biz. : sin   cos  cos   sin   sin     sin   cos   cos   sin  cos   cos 

cos   cos  tg  tg tg         cos     cos   cos   sin   sin  cos   cos  sin   sin  1  tg  tg  cos   cos  cos   cos  6. tg       tg  tg 1  tg  tg biz. : tg      tg         tg  tg     1-tg  tg      tg  tg 1  tg  tg  tg 7. ctg      ctg  ctg  1 ctg  ctg biz. : 1 1 ctg  ctg  1  1 1 1  tg  tg ctg ctg ctg  ctg ctg           tg  tg 1 1 ctg +ctg tg     tg  tg  1  tg  tg ctg ctg ctg  ctg ctg  ctg  1  ctg  ctg 1 8. ctg      ctg  ctg  1 ctg  ctg biz. : 1 1

ctg  ctg  1  1 1 1  tg  tg ctg ctg ctg  ctg ctg           tg   tg  1 1 ctg   ctg tg     tg  tg  1  tg  tg ctg ctg ctg  ctg ctg  ctg  1  ctg  ctg 1 Feladatok: 1. Az addíciós tételek segítségével számolja ki a 75o és a 15o koszinuszának pontos értékét! 2  2 2 cos  15   cos  45  30   cos 45  cos30  sin45  sin30   2 cos  75   cos  45  30   cos 45  cos30  sin45  sin30  3  2 3  2 2 1   2 2 2 1   2 2 6 2 4 6 2 4 2. Az addíciós tételek segítségével is bizonyítsa be, hogy cos  90  x   sinx ! cos  90  x   cos90   sinx  sinx 14442 4443  cos x  sin90 1442 443 0 1 3. Az addíciós tételek segítségével számolja ki

a 75o és a 15o szinuszának, tangensének és kotangensének a pontos értékét! 4. Az addíciós tételek segítségével is bizonyítsa be, hogy sin  90  x   cos x ! 5. Az addíciós tételek segítségével is bizonyítsa be, hogy tg  90  x   c tg x ! 6. Az addíciós tételek segítségével is bizonyítsa be, hogy ctg  90  x   tg x ! Feladatok komoly versenyzőknek!  3    2       sin     sin      ! 3 4 2   3   1. Bizonyítsa be, hogy cos2   3    2      sin      cos 2      sin  3 4 2   3   2       2  cos       cos  cos   sin  sin    sin 2  2 2 2    1  0  2 2 3 1  2  sin      sin  cos   cos  sin    cos    sin 

3 3 2 2  3  3 2  1 2  1 3    sin      sin   cos  cos   sin  sin    cos  3 3 3 2 2  1 2 3 2 B.o:     2   cos 2      sin      sin      3 2   3    3  1  1 3 sin 2    cos   sin    sin    cos     2 2  2  2  3 3 3 3 1  3  sin 2    sin 2   cos 2     sin 2    cos 2    sin 2   cos 2     jó az állítás 4 4 4 4 4  4 1 2. Bizonyítsa be, hogy ha    2 n (n egész szám), akkor 1  2 cos2   tg  ctg ! sin  cos  sin  cos  sin 2   cos 2    J.o: tg  ctg  cos  sin  cos  sin  2 2 2 1  2cos  sin   cos   2cos 2  sin 2   cos 2     J.o B.o: sin   cos 

sin   cos  cos   sin  sin   0    0  k     k  2 cos   0     k  2 