Matematika | Középiskola » Matematika közép szintű írásbeli érettségi vizsga, megoldással, 2017

ÉRETTSÉGI VIZSGA • 2017. május 9 Név: . osztály: MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2017. május 9 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint írásbeli vizsga 1711 I. összetevő Matematika középszint Név: . osztály: Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 45 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A megoldások sorrendje tetszőleges 3. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 4. A feladatok végeredményét az erre a célra szolgáló keretbe írja, a megoldást csak akkor kell részleteznie, ha erre a feladat szövege utasítást ad! 5. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül a

ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 6. Minden feladatnak csak egy megoldása értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 7. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! 1711 írásbeli vizsga I. összetevő 2/8 2017. május 9 Matematika középszint 1. Név: . osztály: Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz érettségi vizsgát? 2 pont 2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja –18. Adja meg a sorozat ötödik tagját! 2 pont 3. Egy hatfős asztaltársaság tagjai: Anna, Balázs, Cili, Dezső, Egon és Fruzsina. Mindegyikük pontosan három másik személyt ismer a

társaságban Cili ismeri Dezsőt és Egont, Anna pedig nem ismeri sem Balázst, sem Dezsőt. Szemléltesse gráffal a társaság ismeretségi viszonyait! (Minden ismeretség kölcsönös.) 4 pont 1711 írásbeli vizsga I. összetevő 3/8 2017. május 9 Matematika középszint 4. Név: . osztály: Adja meg azt az x valós számot, amelyre log2 x  3 . x= 5. 2 pont Az alábbi hozzárendelési utasítások közül adja meg annak a betűjelét, amely a 0-hoz 4-et, a 2-höz pedig 0-t rendel! A: x  2 x  4 B: x  2 x  4 C: x  2 x  4 D: x  2 x  4 2 pont 6. Egy háromszög 3 cm és 5 cm hosszú oldalai 60º-os szöget zárnak be egymással. Hány centiméter hosszú a háromszög harmadik oldala? Megoldását részletezze! 2 pont A harmadik oldal hossza: cm. 1711 írásbeli vizsga I. összetevő 4/8 1 pont 2017. május 9 Matematika középszint 7. Név: . osztály: Egy dobozban lévő színes golyókról szól az alábbi

állítás: „A dobozban van olyan golyó, amelyik kék színű.” Válassza ki az alábbiak közül az összes állítást, amely tagadása a fentinek! A: A dobozban van olyan golyó, amelyik nem kék színű. B: A dobozban minden golyó kék színű. C: A dobozban egyik golyó sem kék színű. D: A dobozban nincs olyan golyó, amelyik kék színű. 2 pont 8. Az alábbi ábrán a [–3; 2] intervallumon értelmezett x  2  x  1  3 függvény grafikonja látható. Adja meg a függvény értékkészletét! 2 pont 1711 írásbeli vizsga I. összetevő 5/8 2017. május 9 Matematika középszint 9. Név: . osztály: A Bocitej Kft. 1 literes tejesdobozának alakja négyzet alapú egyenes hasáb A dobozt színültig töltik tejjel. Hány cm magas a doboz, ha az alapnégyzet oldala 7 cm? Megoldását részletezze! 2 pont A doboz magassága: cm. 1 pont 10. Oldja meg az alábbi egyenletet a [0; 2] intervallumon! cos x = 0,5 2 pont 1711 írásbeli vizsga I.

összetevő 6/8 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: 11. Ábrázolja az alábbi számegyenesen az x  3 egyenlőtlenség valós megoldásait! 2 pont 12. Egy kockával kétszer egymás után dobunk Adja meg annak a valószínűségét, hogy a két dobott szám összege 7 lesz! Válaszát indokolja! 3 pont A keresett valószínűség: 1711 írásbeli vizsga I. összetevő 7/8 1 pont 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: I. rész pontszám maximális elért 1. feladat 2 2. feladat 2 3. feladat 4 4. feladat 2 5. feladat 2 6. feladat 3 7. feladat 2 8. feladat 2 9. feladat 3 10. feladat 2 11. feladat 2 12. feladat 4 ÖSSZESEN 30 dátum javító tanár pontszáma egész számra kerekítve programba elért beírt I. rész dátum dátum javító tanár jegyző Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor

ez a táblázat és az aláírási rész üresen marad! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! 1711 írásbeli vizsga I. összetevő 8/8 2017. május 9 ÉRETTSÉGI VIZSGA • 2017. május 9 Név: . osztály: MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2017. május 9 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint írásbeli vizsga 1711 II. összetevő Matematika középszint 1711 írásbeli vizsga II. összetevő Név: . osztály: 2 / 16 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 135 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges 3. A B részben kitűzött három feladat közül csak kettőt kell megoldania A nem

választott feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi négyzetbe! Ha a javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladatra nem kap pontot. 4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 5. A megoldások gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár! 6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetők legyenek! 7. A gondolatmenet kifejtése során a zsebszámológép használata – további matematikai indoklás nélkül – a következő műveletek elvégzésére fogadható el: összeadás, kivonás, n szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás, n!,  

kiszámítása, a függvénytáblázatban felk  lelhető táblázatok helyettesítése (sin, cos, tg, log és ezek inverzei), a π és az e szám közelítő értékének megadása, nullára rendezett másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározása. További matematikai indoklás nélkül használhatók a számológépek az átlag és a szórás kiszámítására abban az esetben, ha a feladat szövege kifejezetten nem követeli meg az ezzel kapcsolatos részletszámítások bemutatását is. Egyéb esetekben a géppel elvégzett számítások indoklás nélküli lépéseknek számítanak, így azokért nem jár pont 8. A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl. Pitagorasz-tétel, magasságtétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a tétel megnevezését említenie, de alkalmazhatóságát röviden indokolnia kell. 9. A feladatok végeredményét (a feltett kérdésre adandó választ)

szöveges megfogalmazásban is közölje! 10. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül a ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 11. Minden feladatnak csak egy megoldása értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 12. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 3 / 16 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: A 13. Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény: f : x  ( x  1) 2  4 . a) Számítsa ki az f függvény x = – 5 helyen felvett helyettesítési értékét! b) Ábrázolja az f függvényt, és adja meg szélsőértékének helyét és értékét! c) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: ( x  1) 2  4   x  1 .

1711 írásbeli vizsga II. összetevő 4 / 16 a) 2 pont b) 5 pont c) 5 pont Ö.: 12 pont 2017. május 9 Matematika középszint 1711 írásbeli vizsga II. összetevő Név: . osztály: 5 / 16 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: 14. Az ABC derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, átfogója 17 cm hosszú a) Számítsa ki a háromszög 17 cm-es oldalához tartozó magasságának hosszát! b) Hány cm2 a háromszög körülírt körének területe? A DEF háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, és az átfogója 13,6 cm hosszú. c) Hány százaléka a DEF háromszög területe az ABC háromszög területének? 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 6 / 16 a) 5 pont b) 3 pont c) 4 pont Ö.: 12 pont 2017. május 9 Matematika középszint 1711 írásbeli vizsga II. összetevő Név: . osztály: 7 / 16 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: 15. Az alábbi kördiagram egy balatoni strandon a

júliusban megvásárolt belépőjegyek típusának eloszlását mutatja Júliusban összesen 16 416 fő vásárolt belépőjegyet. A belépőjegyek árát az alábbi táblázat tartalmazza. gyerek, diák 350 Ft/fő 700 Ft/fő felnőtt 400 Ft/fő nyugdíjas a) Mennyi volt a strand bevétele a júliusban eladott belépőkből? A tapasztalatok szerint júliusban folyamatosan nő a strandolók száma. Ezért a strandbüfében bevált rendszer, hogy a július 1-jei megrendelést követően július 2-től kezdve július 31-ig minden nap ugyanannyi literrel növelik a nagykereskedésből megrendelt üdítő mennyiségét. A könyvelésből kiderült, hogy július 1-jén, 2-án és 3-án összesen 165 litert, július 15-én pedig 198 litert rendeltek. b) Hány liter üdítőt rendeltek júliusban összesen? 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 8 / 16 a) 5 pont b) 7 pont Ö.: 12 pont 2017. május 9 Matematika középszint 1711 írásbeli vizsga II. összetevő Név: .

osztály: 9 / 16 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: B A 16-18. feladatok közül tetszése szerint választott kettőt kell megoldania A kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 16. Adott két pont a koordinátasíkon: A(2; 6) és B(4; –2) a) Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! b) Írja fel az A ponton átmenő, B középpontú kör egyenletét! Adott az y = 3x egyenletű egyenes és az x 2  8x  y 2  4 y  48 egyenletű kör. c) Adja meg koordinátáikkal az egyenes és a kör közös pontjait! 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 10 / 16 a) 6 pont b) 4 pont c) 7 pont Ö.: 17 pont 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 11 / 16 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18. feladatok közül tetszése szerint választott kettőt kell megoldania A kihagyott feladat sorszámát írja be

a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 17. A Hód Kft faárutelephelyén rönkfából (henger alakú fatörzsekből) a következő módon készítenek gerendát. A keretfűrészgép először két oldalt levág egy-egy – az ábrán sötéttel jelölt – részt, majd a fa 90°-kal történő elfordítása után egy hasonló vágással végül egy négyzetes hasáb alakú gerendát készít. A gépet úgy állítják be, hogy a kapott hasáb alaplapja a lehető legnagyobb legyen. Most egy forgáshenger alakú, 60 cm átmérőjű, 5 méter hosszú rönkfát fűrészel így a gép. a) Igaz-e, hogy a kapott négyzetes hasáb alakú fagerenda térfogata kisebb 1 köbméternél? A Hód Kft. deszkaárut is gyárt, ehhez a faanyagot 30 000 Ft/m3-es beszerzési áron vásárolja meg a termelőtől. A gyártás közben a megvásárolt fa kb 40%-ából hulladékfa lesz. A késztermék 1 köbméterét 90 000 forintért adja el a cég, de az eladási ár 35%-át a költségekre kell fordítania

(feldolgozás, telephely fenntartása stb.) b) Mennyi haszna keletkezik a Hód Kft.-nek 1 köbméter deszkaáru eladásakor? A fakitermelő cég telephelyéről hat teherautó indul el egymás után. Négy teherautó fenyőfát, kettő pedig tölgyfát szállít. c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a két, tölgyfát szállító teherautó közvetlenül egymás után gördül ki a telephelyről, ha az autók indulási sorrendje véletlenszerű! 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 12 / 16 a) 6 pont b) 5 pont c) 6 pont Ö.: 17 pont 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 13 / 16 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18. feladatok közül tetszése szerint választott kettőt kell megoldania A kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 18. Egy 20 fős társaság tagjait az április havi szabadidős tevékenységeikről kérdezték

Mindenki három eldöntendő kérdésre válaszolt (igennel vagy nemmel). I. Volt-e moziban? II. Olvasott-e szépirodalmi könyvet? III. Volt-e koncerten? A válaszokból kiderült, hogy tizenketten voltak moziban, kilencen olvastak szépirodalmi könyvet, és négy fő járt koncerten. Öten voltak, akik moziban jártak és szépirodalmi könyvet is olvastak, négyen pedig moziban és koncerten is jártak. Hárman mindhárom kérdésre igennel válaszoltak. a) Hány olyan tagja van a társaságnak, aki mindhárom kérdésre nemmel válaszolt? A társaság 20 tagja közül véletlenszerűen kiválasztunk kettőt. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy legalább az egyikük volt moziban április folyamán! Attól a kilenc személytől, akik olvastak áprilisban szépirodalmi könyvet, azt is megkérdezték, hogy hány könyvet olvastak el a hónapban. A válaszok (pozitív egész számok) 16 elemzése után kiderült, hogy a kilenc szám (egyetlen) módusza 1, mediánja 2,

átlaga , 9 terjedelme pedig 2. c) Adja meg ezt a kilenc számot! 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 14 / 16 a) 6 pont b) 5 pont c) 6 pont Ö.: 17 pont 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 15 / 16 2017. május 9 Matematika középszint Név: . osztály: II. A rész pontszám összesen maximális elért 12 12 12 17 17  nem választott feladat ÖSSZESEN 70 a feladat sorszáma 13. 14. 15. II. B rész I. rész II. rész Az írásbeli vizsgarész pontszáma dátum pontszám maximális elért 30 70 100 javító tanár pontszáma egész számra kerekítve programba elért beírt I. rész II. rész dátum dátum javító tanár jegyző 1711 írásbeli vizsga II. összetevő 16 / 16 2017. május 9 ÉRETTSÉGI VIZSGA • 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 1711 MATEMATIKA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. Kérjük, hogy a dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal, olvashatóan javítsa ki 2. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerüljön. 3. Kifogástalan megoldás esetén kérjük, hogy a maximális pontszám feltüntetése mellett kipipálással jelezze, hogy az adott gondolati egységet látta, és jónak minősítette. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy a hiba jelzése mellett az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra Ha a dolgozat javítását jobban követhetővé teszi, akkor a vizsgázó által elvesztett részpontszámok jelzése is elfogadható. Ne maradjon

olyan részlet a megoldásban, amelyről a javítás után nem nyilvánvaló, hogy helyes, hibás vagy fölösleges. 5. A javítás során alkalmazza az alábbi jelöléseket  helyes lépés: kipipálás  elvi hiba: kétszeres aláhúzás  számolási hiba vagy más, nem elvi hiba: egyszeres aláhúzás  rossz kiinduló adattal végzett helyes lépés: szaggatott vagy áthúzott kipipálás  hiányos indoklás, hiányos felsorolás vagy más hiány: hiányjel  nem érthető rész: kérdőjel és/vagy hullámvonal 6. Az ábrán kívül ceruzával írt részeket ne értékelje Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon. 2. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók, hacsak az útmutató másképp nem rendelkezik. Az adható pontszámok azonban csak egész

pontok lehetnek 3. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 4. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel – mint kiinduló adattal – helyesen számol tovább a következő gondolati egységekben vagy részkérdésekben, akkor ezekre a részekre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 5. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 1711 írásbeli vizsga 2 / 14 2017.

május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 6. Egy feladatra adott többféle megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. A javítás során egyértelműen jelezze, hogy melyik változatot értékelte, és melyiket nem 7. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 8. Egy feladatra vagy részfeladatra adott összpontszám nem lehet negatív 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 10. A gondolatmenet kifejtése során a zsebszámológép használata – további matematikai indoklás nélkül – a következő műveletek elvégzésére fogadható el: összeadás,  n kivonás, szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás, n!,   kiszámítása, a függvénytábk 

lázatban fellelhető táblázatok helyettesítése (sin, cos, tg, log és ezek inverzei), a π és az e szám közelítő értékének megadása, nullára rendezett másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározása. További matematikai indoklás nélkül használhatók a számológépek az átlag és a szórás kiszámítására abban az esetben, ha a feladat szövege kifejezetten nem követeli meg az ezzel kapcsolatos részletszámítások bemutatását is. Egyéb esetekben a géppel elvégzett számítások indoklás nélküli lépéseknek számítanak, így azokért nem jár pont. 11. Az ábrák bizonyító erejű felhasználása (például adatok leolvasása méréssel) nem elfogadható 12. Valószínűségek megadásánál (ha a feladat szövege másképp nem rendelkezik) a százalékban megadott helyes válasz is elfogadható 13. Ha egy feladat szövege nem ír elő kerekítési kötelezettséget, akkor az útmutatóban megadottól eltérő, észszerű és helyes kerekítésekkel

kapott rész- és végeredmény is elfogadható 14. A vizsgafeladatsor II B részében kitűzött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben – feltehetőleg – megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha a vizsgázó nem jelölte meg, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, és a választás ténye a dolgozatból sem derül ki egyértelműen, akkor a nem értékelendő feladat automatikusan a kitűzött sorrend szerinti utolsó feladat lesz. 1711 írásbeli vizsga 3 / 14 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. 8 Összesen: 2 pont 2 pont Összesen: 2 pont 2 pont 2. –162 3. CD és CE élek berajzolása. 1 pont AC, AE és AF élek berajzolása. 1 pont BD, BE és BF élek berajzolása.

1 pont DF él berajzolása. 1 pont Összesen: 4 pont Megjegyzés: Minden hibás él behúzásáért 1 pontot veszítsen a vizsgázó. (A feladatra adott pontszám nem lehet negatív.) 4. x Összesen: x  2 3 megállapítás2 pont Az ért 1 pont jár. 2 pont Összesen: 2 pont Nem bontható. 2 pont 1 8 5. C 6. (A kérdéses oldal hosszát c-vel jelölve, a koszinusztétel alapján:) c 2  3 2  5 2  2  3  5  cos 60 . c 2  19 c ≈ 4,36 (cm) Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont c  19 7. C és D Összesen: 1711 írásbeli vizsga 4 / 14 1 jó válasz vagy 2 jó és 2 pont 1 rossz válasz esetén 1 pont jár. 2 pont 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 8. [–5; 3] Összesen: 2 pont 2 pont 9. 1 liter = 1000 cm3 Ha a doboz m cm magasságú, akkor a térfogata 7  7  m  1000 , ahonnan m ≈ 20,4 (cm). Összesen: 10. x1  5  , x2  3 3 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont 2 pont

Összesen: 2 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó a valós számok halmazán vagy (fokokban) a [0°; 360°] halmazon jól oldja meg az egyenletet, akkor 1 pontot kapjon. 11. 2 pont Összesen: 2 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó nem jelöli vagy hibásan jelöli az intervallum határait, akkor legfeljebb 1 pontot kapjon. 12. első megoldás Összesen 6  6  36-féleképpen dobhatunk. Hat olyan dobáspár van, amelyben 7 az összeg: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2) és (6; 1). 6  1 A keresett valószínűség   . 36  6  Összesen: 1 pont 2 pont 1 pont 4 pont 12. második megoldás Bármennyit is dobunk elsőre, ezt a második dobás egyféleképpen egészítheti ki 7-re. Így a második dobásnál a hat lehetséges értékből egy lesz számunkra kedvező. 1 A keresett valószínűség . 6 Összesen: 1711 írásbeli vizsga 5 / 14 2 pont 1 pont 1 pont 4 pont 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a)

32 2 pont Összesen: 2 pont 2 Megjegyzés: Az f (5)  (5  1)  4 behelyettesítésért 1 pont jár. 13. b) Az ábrázolt függvény grafikonja az x  x 2 függvény grafikonjából eltolással származik, 1 pont tengelypontjának első koordinátája 1, 1 pont második koordinátája – 4. 1 pont A függvénynek az x = 1 helyen van szélsőértéke (minimuma), melynek értéke – 4. Összesen: 1 pont 1 pont 5 pont 13. c) első megoldás A g: x  x  1 függvény helyes ábrázolása (ugyanabban a koordinátarendszerben). A metszéspontok első koordinátáinak leolvasása: x1  1 és x2  2 . A kapott értékek ellenőrzése behelyettesítéssel. Összesen: 2 pont 2 pont 1 pont 5 pont 13. c) második megoldás x2  2x  1 4  x 1 x2  x  2  0 x1  1 x2  2 Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivalens átalakításokra való hivatkozással. Összesen: 1711 írásbeli vizsga 6 / 14 1 pont 1 pont 1 pont 1

pont 1 pont 5 pont 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 14. a) első megoldás A másik befogó hossza (Pitagorasz-tétellel) 17 2  8 2 = 15. (Mivel a háromszög derékszögű, és átfogója 17 cm, így az ábra jelöléseivel) 8 sin   (≈ 0,4706). 17  ≈ 28,1° sin 28,1 ≈ 1 pont 1 pont 1 pont m 15 1 pont m ≈ 7,1 cm 1 pont Összesen: m 15 8 m  17 15 120 cm m 17 sin β  5 pont 14. a) második megoldás A másik befogó hossza (Pitagorasz-tétellel) 17 2  8 2 = 15. A háromszög területét kétféleképpen felírva (a kérdé815 ses magasság hosszát m-mel jelölve): t  , 2 17  m illetve t  . 2 8 15 17  m Így ,  2 2 120 amiből m  ≈ 7,1 cm. 17 Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 5 pont 14. a) harmadik megoldás A másik befogó hossza (Pitagorasz-tétellel) 17 2  8 2 = 15. (A 15 cm-es oldal merőleges vetületének hosszát a 17 cmes oldalon jelölje

p.) A befogótétel alapján 152  p 17 , 225 (≈ 13,2). 17 (A Pitagorasz-tétel szerint, a kérdéses magasság hosszát m-mel jelölve:) m 2  p 2  225 , ahonnan m ≈ 7,1 cm. Összesen: ahonnan p  1711 írásbeli vizsga 7 / 14 1 pont A 8 cm-es oldal vetületének hosszát a 17 cm-es 1 pont oldalon jelölje q. Ekkor 82  q 17 . 64 (≈ 3,76) 17 1 pont q 1 pont m 2  q 2  64 1 pont 5 pont 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 14. b) Mivel az ABC háromszög derékszögű, így a Thalésztétel megfordítása miatt a körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja, ezért a kör sugara 8,5 (cm). A kör területe 8,5 2  π ≈ 227 (cm2). Összesen: Ez a pont akkor is jár, ha 1 pont ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 1 pont 1 pont 3 pont 14. c) első megoldás A két átfogó hosszának (egyben a két háromszög ha13,6 sonlóságának) aránya:  0,8 . 17 Így a DEF és az

ABC háromszög területének aránya 0,8 2  0,64 . A DEF háromszög területe 64%-a az ABC háromszög területének. Összesen: 1 pont 2 pont 1 pont 4 pont 14. c) második megoldás A két átfogó hosszának aránya (egyben a két három13,6 szög hasonlóságának aránya):  0,8 . 17 A DEF háromszög két befogója 6,4 és 12 cm hosszú. A DEF háromszög területe 38,4 (cm2), az ABC háromszög területe 60 (cm2). 38,4 A DEF háromszög területe  100 = 64%-a 60 az ABC háromszög területének. Összesen: 1711 írásbeli vizsga 8 / 14 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 4 pont 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 15. a) A kördiagramon 10 (16 416 : 36 =) 456 főnek felel meg. A gyerekjegyek száma: 5472, a felnőttjegyek száma: 6840, a nyugdíjasjegyek száma: 4104. A jegybevétel júliusban 5472 ∙ 350 + 6840 ∙ 700 + 4104 ∙ 400 = = 8 344 800 forint volt. A kördiagramon a szögek aránya 3:4:5, azaz 1 pont 12

egyenlő részre kell felosztani a 16 416-ot. 2 pont 1 pont Összesen: 1 pont 5 pont 15. b) A (literben megadott) napi üdítőrendelések egy számtani sorozat tagjai, melynek első tagja a1 , differenciája d. Az első 31 tag összegét kell kiszámolnunk A feltételek szerint: a1  a1  d  a1  2d  165 és a1  14d  198 . A második egyenletből a1 -et kifejezve és az első egyenletbe helyettesítve: 3  (198  14d )  3d  165 , ahonnan –39d = – 429, így d = 11, és a1  44 ( a31  374 ). Ez a pont akkor is jár, ha 1 pont ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 1 pont a2  d  a2  a2  d  165 1 pont a2  55 1 pont a15  a 2  13 d  143 1 pont 2  44  30  11  31  2 = 6479 liter üdítőt rendeltek júliusban. S 31  1 pont Összesen: 1 pont 7 pont II. B 16. a) Az AB szakasz felezőpontja:  2  4 6  (  2)  FAB   ;   (3; 2) . 2  2  2 pont A felezőmerőleges

egy normálvektora: n  AB  = (2; –8). Az egyenes egyenlete: 2x – 8y = –10. Összesen: 1 pont 1 pont 2 pont x – 4y = –5 6 pont 1711 írásbeli vizsga 9 / 14 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 16. b) AB  ( 4  2) 2  (( 2)  6) 2  2 2  ( 8) 2  1 pont = 68 A kör egyenlete ( x  4) 2  ( y  2) 2  = 68. 1 pont 1 pont 1 pont Összesen: 4 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó a B ponton áthaladó, A középpontú kör egyenletét írja fel jól, akkor 3 pontot kapjon: ( x  2) 2  ( y  6) 2  68 . 16. c) Megoldandó a következő egyenletrendszer: y  3x  . 2 2 x  8 x  y  4 y  48  Az első egyenletből y-t a másodikba helyettesítve x 2  8 x  9 x 2  12 x  48  0 . 10 x 2  4 x  48  0 x1  2 és x2  2,4 . y1  6 és y2  7,2 . A közös pontok: P(–2; –6) és Q(2,4; 7,2). Összesen: 1711 írásbeli vizsga 10 / 14 1

pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 7 pont 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 17. a) A farönk tekinthető egy 60 cm átmérőjű, 5 méter magasságú körhengernek. A fűrészelés után kapott hasáb alaplapja egy négyzet, melynek átlója a henger alapkörének átmérője. Az alapkörbe írható négyzet oldalát a-val jelölve (a Pitagorasz-tétel szerint): a 2  a 2  602 , 2 ahonnan a = 1800. A négyzetes oszlop térfogata 1800  500  900 000 cm3. Mivel 1 m3 = 1 000 000 cm3, így az állítás igaz, a hasáb térfogata 1 köbméternél valóban kevesebb. Összesen: 1 pont (Mivel a négyzet átlói merőlegesen felezik egy1 pont mást, így a Pitagorasz-tétel szerint:) 302  302  a 2 . 1 pont a ≈ 42,4 1 pont 1 pont 1 pont 6 pont 17. b) 1 m3 deszkaáru előállításához 1 : 0,6  10 3 m rönkfa 6 szükséges, melynek ára 50 000 (Ft). 1 m3 deszkaáru eladási árának 35%-a 31 500 (Ft). A Hód

Kft. haszna egy köbméter deszkaáru eladásakor: 90 000 – 31 500 – 50 000 = 8500 Ft Összesen: 1711 írásbeli vizsga 11 / 14 2 pont 1 pont 1 pont 1 pont 5 pont 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 17. c) első megoldás A hat teherautó összesen 6! (= 720)-féle sorrendben indulhat el. A két, tölgyfát szállító teherautó 5 helyen lehet egymás mögött (első-második, második-harmadik, , ötödik-hatodik). A sorrendjük minden pozícióban 2-féle lehet. A többi teherautó 4! (= 24)-féleképpen helyezkedhet el a megmaradó helyeken, így összesen 5 ∙ 2 ∙ 24 (= 240) megfelelő sorrendjük van. 240 1 A kérdéses valószínűség  . 720 3 Összesen: 1 pont 1 pont* 1 pont* 1 pont* 1 pont* 1 pont 6 pont Megjegyzés: A *-gal jelölt 4 pontot az alábbi gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: A két, tölgyfát szállító teherautót tekintsük egy jár1 pont műnek. Az öt „jármű” lehetséges

sorrendjeinek a száma 1 pont 5! (= 120). A két, tölgyfát szállító teherautó minden egyes sorrendben kétféleképpen helyezkedhet el közvetlenül 1 pont egymás mögött, így a kedvező esetek száma 5! ∙ 2 (= 240). 1 pont 17. c) második megoldás A hat autó közül annak a kettőnek a helyét, amelyik  6 tölgyfát szállít   =  2 = 15-féleképpen választhatjuk ki (összes eset). Ezek között 5 olyan eset van, amikor a két teherautó egymás után következik. 5 1 A kérdéses valószínűség  . 15 3 Összesen: 1711 írásbeli vizsga 12 / 14 2 pont 1 pont 2 pont 1 pont 6 pont 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) Azok száma, akik jártak moziban, és olvastak szépiro1 pont dalmi könyvet, de koncerten nem voltak: (5 – 3 =) 2. Azok száma, akik voltak moziban és koncerten, de 1 pont nem olvastak szépirodalmi könyvet: (4 – 3 =) 1. A társaságban nem volt olyan személy, aki

nem volt moziban, de olvasott szépirodalmi könyvet, és kon1 pont certen is volt. Azok száma, akik csak moziban voltak: 12 – (2 + 3 + 1) = 6. Hasonlóképpen azok száma, akik csak szépirodalmi 2 pont könyvet olvastak (moziban és koncerten nem voltak): 4, illetve azok száma, akik csak koncerten voltak (moziban nem és könyvet sem olvastak): 0. 20 – (3 + 2 + 1 + 6 + 4) = 4 olyan tagja van a társa1 pont ságnak, aki mindhárom kérdésre nemmel válaszolt. Összesen: 6 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó további indoklás nélkül, helyesen kitöltött Venn-diagram alapján jól válaszol, akkor teljes pontszámot kapjon. 18. b) első megoldás  20  Összesen   (= 190)-féleképpen választhatunk ki 2 két embert. 12    (= 66)-féleképpen választhatunk ki két olyan 2 embert, aki járt moziban. Egy olyan embert, aki járt moziban, és egy olyat, aki nem, 12 ∙ 8 = 96-féleképpen választhatunk ki. A feltételnek megfelelő

választások száma összesen 66 + 96 = 162. 162 A kérdéses valószínűség ≈ 0,853. 190 Összesen: 1 pont 1 pont* 1 pont* 1 pont* 1 pont 5 pont Megjegyzés: A *-gal jelölt 3 pontot az alábbi gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: A komplementer módszert használjuk: az összesből Ez a pont akkor is jár, ha levonjuk azoknak az eseteknek a számát, amikor 1 pont ez a gondolat csak a megegyik kiválasztott személy sem volt moziban. oldásból derül ki. Két olyan embert, aki nem járt moziban, 8 1 pont   ( 28) -féleképpen választhatunk ki.  2 A kedvező esetek száma 190 – 28 = 162. 1711 írásbeli vizsga 1 pont 13 / 14 2017. május 9 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. b) második megoldás (Figyelembe véve a sorrendet:) összesen 20 ∙ 19 = 380-féleképpen választhatunk ki két embert. 8 ∙ 12 = 96-féleképpen választhatunk úgy, hogy az első ember járt moziban, a második pedig

nem, és ugyanennyi azoknak az eseteknek a száma, amikor az első nem járt moziban, a második pedig járt. 12 ∙ 11 = 132-féleképpen választhatunk úgy, hogy mindketten jártak moziban. Összesen 2 ∙ 96 + 132 = 324-féleképpen választhatunk úgy, hogy legalább az egyik ember járt moziban. 324 A kérdéses valószínűség ≈ 0,853. 380 Összesen: 1 pont 1 pont* 1 pont* 1 pont* 1 pont 5 pont Megjegyzés: A *-gal jelölt 3 pontot az alábbi gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: A komplementer módszert használjuk: az összesből Ez a pont akkor is jár, ha levonjuk azoknak az eseteknek a számát, amikor 1 pont ez a gondolat csak a megegyik kiválasztott személy sem volt moziban. oldásból derül ki. Két olyan embert, aki nem járt moziban, 1 pont 8 ∙ 7 = 56-féleképpen választhatunk ki. A kedvező esetek száma 380 – 56 = 324. 1 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó visszatevéses mintavétellel oldja meg a feladatot, akkor legfeljebb 3 pontot kaphat. 18.

c) Az adatok terjedelme 2, továbbá az adatok között szerepel az 1 és a 2, ezért a válaszok az 1, 2 és 3 szá1 pont mok közül kerülnek ki. A számok egyetlen módusza az 1, ezért legalább 1 pont négy 1-es válasz volt. A nagyság szerint sorba rendezett válaszok közül az 1 pont ötödik 2 (így pontosan négy 1-es válasz volt). A válaszok összege (az átlag alapján) 16. 1 pont A számok között szerepel legalább egy 3-as, így a hiányzó három szám (melyek 2-esek vagy 3-asok) ösz1 pont szege 7. Ez a három szám: 2, 2, 3 A kilenc szám: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3. 1 pont Összesen: 6 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó indoklás nélkül adja meg helyesen a választ, akkor 2 pontot kapjon. Ha ellenőrzi is, hogy válasza megfelel a feladat feltételeinek, és ezt dokumentálja, akkor további 2 pontot kapjon. 1711 írásbeli vizsga 14 / 14 2017. május 9