Matematika | Középiskola » Dr. Leitold Adrien - Trigonometria

Trigonometria Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09 06 1 Hegyesszögek szögfüggvényei szöggel szembeni befogó a sin   c átfogó szög melletti befogó b cos   c átfogó szöggel szembeni befogó a tg   szög melletti befogó b b szög melletti befogó  ctg  szöggel szembeni befogó a Trigonometria/2 Nevezetes hegyesszögek szögfüggvényei 30o 45o 60o sin 1/2 2/2 3/2 cos 3/2 2/2 1/2 tg 3/3 1 3 ctg 3 1 3/3 Trigonometria/3 Szögek ívmértéke Szögek mérésére ívmértéket (radián) is használhatunk.  1 radián nagyságú az r sugarú kör azon központi szöge, amelyhez tartozó ív hossza r.  Néhány nevezetes szög ívmértéke: 360o = 2 (rad) 180o =  90o = /2 45o = /4 60o = /3 30o = /6  Az ívmérték lehetővé teszi, hogy a szögeket valós számokkal mérjük.  Trigonometria/4 Forgásszögek szinusza, koszinusza Legyen e egységnyi

hosszúságú helyvektor, amelyet  szöggel elforgatunk az i vektorhoz képest. Ekkor e végpontjának koordinátái: + P( x , y )  (cos , sin )  A definícióból következően: -1  sin   1 és -1  cos   1 sin  = sin (+k360o), ill. sin  = sin (+2k), kZ cos  = cos (+k360o), ill. cos  = cos (+2k), kZ Trigonometria/5 Forgásszögek szinusza, koszinusza (folyt.) Az előjelek az egyes síknegyedekben: Forgásszögek és a megfelelő hegyesszög kapcsolata: I. II. III. IV.  (o ) (rad) 180o  180o  360o 2 Példa: Mennyi cos 240o ? =240o  III. síknegyed  a megfelelő hegyesszög: = = 180o=60o  III. síknegyedben a koszinusz negatív, így: cos240o = -cos60o = -1/2 Trigonometria/6 Szinusz, koszinusz szögfv.-ek azonosságai Tetszőleges  szögre igazak: Pótszögekre: sin = cos (/2  ) cos = sin (/2  )

Kiegészítő szögekre: sin = sin () cos = - cos () Negatív szögekre: sin(-) = - sin cos(-) = cos Pitagoraszi összefüggés: sin2 + cos2 = 1 Továbbá: sin(+) = - sin cos(+) = - cos sin(+ /2) = cos cos(+ /2) = - sin Trigonometria/7 Forgásszögek tangense és kotangense Tangens: Kotangens: sin tg  , cos ctg      k , k  Z 2 cos ,   k , k  Z sin Azonosságok: minden lehetséges értelmezésre: 1 tg  ctg tg(   )  tg ctg(   )  ctg tg(  )   tg ctg(  )  ctg tg(   )   ctg 2 Trigonometria8 További összefüggések: sin(    )  sin   cos   cos   sin  cos(    )  c os   cos   s in   sin  tg   tg  tg(    )  1  tg   tg  sin(2  )  2sin   cos  cos(2  )

 cos 2  sin 2 tg(2  )  2tg  1  tg 2 Trigonometria/9