Matematika | Középiskola » Matematika szóbeli érettségi tételek

1. Mit értünk két vagy több egész szám legnagyobb közös osztóján ? Hogyan határozható meg ? Két vagy több egész szám legnagyobb közös osztója az a legnagyobb egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója ( a maradék nélkül meg van bennük ) . Jele:(a, b) ; több szám esetén például (a, b, c) A legnagyobb közös osztó előállítása : a számokat prímhatványok szorzatára bontjuk , és azokat a prímszámokat, amelyek mindegyik számban szerepelnek az előforduló legkisebb hatványkitevőre emeljük és összeszorozzuk . Pl . : 3 2 2 2 4 2 360 = 2 *3 5, 980 = 2 57 , 1200 = 2 35 2 Így : (360, 980, 1200) = 2 *5 = 20 . 2. Mit értünk két vagy több egész szám legkisebb közös többszörösén ? Hogyan határozható meg ? Két vagy több egész szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek az adott számok mindegyike osztója. Jele : [a, b] ; több szám esetén például [a, b, c] A legkisebb

közös többszörös előállítása : a számokat prímhatványok szorzatára bontjuk, és a bennük szereplő összes prímtényezőt az előforduló legmagasabb hatványkitevőre emeljük, és összeszorozzuk . Pl . : 3 2 2 2 4 2 360 = 2 *3 5, 980 = 2 57 , 1200 = 2 35 4 2 2 2 Így : [360, 980, 1200]= 2 *3 5 7 =176400 . 3. Milyen számot nevezünk prímszámnak ? Mikor mondjuk, hogy két vagy több egész szám relatív prím ? A pozitív egész számokat osztóik száma szerint három csoportba sorolhatjuk : 1 osztója van, az egyetlen ilyen szám az 1; 2 osztója van (1 és önmaga), ezek a prím- vagy törzsszámok; 2-nél több osztója van, ezek az összetett számok . Két vagy több szám relatív prím, ha az 1-en kívül nincs más osztójuk, azaz a legnagyobb közös osztójuk 1. Természetesen két szám akkor is lehet relatív prím, ha mindkettő összetett ( pl. : a 6 és a 35 ) Ha egy tört már tovább nem egyszerűsíthető, akkor a számláló és a nevező

egymáshoz képest relatív prím. Ez igaz fordítva is : ha a számláló és a nevező egymáshoz képest relatív prím, akkor a tört tovább nem egyszerűsíthető. 4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás és szorzás kommutatív, asszociatív, illetve a szorzás az összeadásra nézve disztributív ? Az összeadás kommutatív tulajdonsága : Minden a, b valós számra a+b=b+a A szorzás kommutatív tulajdonsága : Minden a, b valós számra a*b=ba Az összeadás asszociatív tulajdonsága : Minden a, b, c valós számra (a + b) + c = a + (b + c) Az összeg értéke nem változik, ha a tagjait felcseréljük . A szorzat értéke nem változik, ha a tényezőket felcseréljük . Ha több összeadást illetve szorzást végzünk, az összeg tagjai, illetve a szorzat tényezői tetszés szerint csoportosíthatók, vagyis a kijelölt összeadások vagy szorzások elvégzésének sorrendje tetszőleges . A szorzás asszociatív tulajdonsága : Minden

a, b, c valós számra (a * b) c = a (b c) Mivel az összeg és a szorzat egyaránt független attól, hogy a zárójeleket hova tesszük ki, a többtagú összegeket, illetve a többtényezős szorzatokat zárójel nélkül írhatjuk : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c ; (a * b) c = a (b c) = a b c . A szorzás az összeadásra nézve disztributív : Bármely a, b, c valós számra (a + b) * c = ac + bc Összeget tagonként szorozhatunk 5. Definiálja az egyenes és a fordított arányosság fogalmát ! Két mennyiség kapcsolatát egyenes arányosságnak mondjuk, ha az egyik mennyiséget akárhányszorosára változtatva a másik mennyiségnek is ugyanannyiszorosára kell megváltoznia. Függvénnyel megadva : olyan f függvény, mely egy H halmazt képez le a valós számok halmazára (H a valós számok részhalmaza), és f (x) = ax, a nem egyenlő 0, a eleme a valós számoknak ( R ) . Az egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja origón átmenő egyenes.

Két mennyiség kapcsolatát fordított arányosságnak mondjuk, ha az egyik mennyiséget akárhányszorosára növeljük, a másik mennyiségnek ugyanannyiad részére kell csökkenie . Függvénnyel megadva : olyan f függvény, amely egy H halmazt képez le a valós számok halmazára (H a valós számok részhalmaza), és f (x) = c , c nem egyenlő 0, x c eleme a valós számoknak, és x nem egyenlő 0 . A függvény grafikonja hiperbola . 6. Hogyan definiáljuk az a valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát ? an olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a (a tetszőleges valós szám, n pozitív egész) a : a hatványalap; n : a kitevő , amely azt mutatja, hogy a hatványalapot hányszor kell szorzótényezőül venni; an : a hatványmennyiség, vagy röviden hatvány . an=a*aa.*a (n-db) 7. Igazolja a következő azonosságokat ( a, b valós számok, n,k pozitív egész ) ! a .,( ab) n = a n * b n a an b.,( ) n = n ⇒ b ≠ 0 b b n k c.,( a ) = a

nk a ; A bizonyításban a hatványfogalom definícióját, továbbá a szorzás kommutatívitását és asszciatívitását használjuk fel : ( ab) n = a * b a b.*a b ⇒ n − db ( a b ) Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatot tényezőnként is hatványozhatunk. Az azonosságot visszafelé is olvashatjuk : egyenlő kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre. b ; A bizonyításban felhasználjuk a hatványfogalom definícióját, azt, hogy törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt pedig a nevezővel szorozzuk és felhasználjuk még a szorzás asszociatív tulajdonságát : ⇒ n − db a a a a a * a .*a ⇒n − db ( ) n = * .* = ⇒b≠ 0 b b b b ⇒n − db b * b.*b ⇒n − db Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót és a nevezőt külön - külön hatványozzuk, és a kapott hatványoknak a kívánt sorrendben a hányadosát vesszük .

Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk : azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát emeljük közös kitevőre . c; A bizonyításban a hatványfogalom definícióját és a szorzás asszociatív tulajdonságát használjuk fel : ( a n ) k = a n * a n .*a n (⇒ k − db) = a nk mivel az a tényező nk-szor szerepel benne . Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is hatványozhatunk,hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a kitevő szorzat, akkor a hatvány "emeletes" hatványalakban is írható. 8. Definiálja a nemnegatív valós szám négyzetgyökét ! Mivel egyenlő? Egy nem negatív (a >= 0) valós szám négyzetgyöke ( ) az az egyetlen nem negatív valós szám, amelynek a négyzete a . a 2 = a ⇒ a 2 -nek minden valós a-ra van értelme. 9. Definiálja a racionális szám fogalmát ! Az a alakban felírható számokat, ahol a eleme Z-nek

és b nem egyenlő 0-val racionális számoknak nevezzük. b Jele : Q . Két tetszőleges racionális szám összege, különbsége, szorzata és hányadosa is racionális szám .(Az osztásnál természetesen kizárjuk a 0-val való osztást .) A Q halmaznak erre a tulajdonságára mondjuk, hogy Q halmaz zárt a négy alapműveletre . Két tetszőleges racionális számot mindig összehasonlíthatunk . A Q halmaz akárhány elemét soroljuk is fel, mindig van olyan racionális szám, amely felsoroltak között .Tehát Q halmaz zárt a négy alapműveletre nem szerepel a Tetszőleges két különböző racionális szám között mindig végtelen sok racionális szám van .A Q halmaznak erre a tulajdonságára azt mondjuk, hogy a racionális számok halmaza sűrű . Egy racionális szám legegyszerűbb törtalakja az a szám, amely tovább nem egyszerűsíthető, azaz a számlálója és a nevezője relatív prím . A racionális számok tizedes tört alakja vagy véges (

ilyenkor a legegyszerűbb törtalakjának a nevezője olyan szám, amelynek a prímtenyezői között 2-n és 5-ön kívül más prímszám nem szerepel ), vagy végtelen szakaszos tizedes tört . 10. Mi a számelmélet alaptétele ? Minden 1-től különböző pozitív egész szám felbontható prímtenyezők szorzatára . Ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű . Az 1-et azért nem vesszük a prímszámok közé, mert akkor nem lehetne a számokat - a sorrendtől eltekintve egyértelműen prímtényezőkre bontani . Pl. : 6 = 2 * 3 = 1 2 3 = 1 1 2 3 = . 11. Bizonyítsa be, hogy a 2 irracionális szám ! A bizonyítás indirekt . Tegyük fel, hogy a nem lehet egyenlő 0-val . 2 racionális szám, vagyis felírható a alakban, ahol a,b egész b számok és b a 2 a a2 2 , mindkét oldalt négyzetre emelve ( 2 ) = ( ) , innen 2 = 2 , ebből b b b 2b 2 = a 2 2= Tehát a páros szám ( mert páratlan szám négyzete is páratlan lenne . Így a = 2k

( k egész szám ) , ahonnan a2 = 4k2, tehát 2b2 = 4k2, innen b2 = 2k2 .Tehát b is páros lenne, ami lehetetlen, mert így a és b egyaránt páros lenne, vagyis a 2 közös osztójuk lenne, holott föltettük, hogy az 1-en kívül nincs közös osztójuk . Eszerint racionális, nem igaz. ellentmondáshoz jutottunk, tehát a kiinduló feltevésünk, mely szerint 2 12. Hogyan definiálja egy pozitív szám 0, negatív egész és racionális kitevőjű hatványát ? a0 = 1 (a > 0) . 1 a-n = n (a > 0, és n > 0) a Minden pozitív valós számnak a 0-dik hatványa 1 . Minden pozitív valós szám negatív egész kitevőjű hatványa a szám megfelelő pozitív kitevőjű hatványának a reciproka (megfelelő pozitív számon a negatívkitevő abszolút értékét értve) . 1 1 n 1 n −n ugyan az, mint ( ) . Így a = ( ) Ha az alap tört, akkor ebben az alakban érdemes a definíciót n a a a 3 −4 5 4 alkalmazni, pl.: ( ) = ( ) 5 3 p q a = ap q (a > 0, p egész,

és q > 1 egész) . Pozitív a szám tört kitevőjű hatványa az a pozitív szám, amelynek a q-adik hatványa ap . A tört kitevőjű hatvány gyökös alakra írható át, és megfordítva, a gyökös alak tört kitevőjű hatványalakba írható . 13. Mit értünk egy valós szám n-edik gyökén (n pozitív egész) ? Határozza meg 3 27 ; 4 256 ; 5 −32 értékét ! n a pozitív páros n-re és nemnegatív a-ra az a nemnegatív valós szám, amelynek az n-edik hatványa a . Páros n-re és nemnegatív a-ra nincs értelme, mivel a valós számok páros kitevőjű hatványa nem lehet negatív . 1-nél nagyobb páratlan n-re az a valós szám, amelynek az n-edik hatványa a . 3 27 = 3; 4 256 = 4; 5 −32 = −2 14. Igazolja a következő azonosságokat ! a., n ab = n a * n b ; b., n a = b n n a ; b c.,( k a ) n = k a n Milyen kikötéseket kell tenni a-ra, b-re, n-re és k- ra ? a., n a Az állítás igaz , ha n > 1 egész ; páros n-re a és b egyaránt

nemnegatív valós szám ; páratlan n-re a és b b tetszőleges valós számok .Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt .Bizonyítás : A gyökfogalom definíciója szerint az állítás bal oldalán álló n-edik hatványa ab . A jobb oldalon álló a * b n-edik hatványa - felhasználva, hogy szorzatot tényezőnként hatványozhatunk, továbbá a gyökfogalom definícióját - szintén ab . n n ( n a * n b ) n = ( n a ) n ( n b ) n = ab A két oldal n-edik hatványa tehát megegyezik .Páratlan n-re, ha a két oldal n-edik hatványa azonos, akkor a két oldal is azonos .Páros n-re pedig, amikor mindkét oldal értelmes, vagyis nemnegatív, akkor az n-edik hatványok azonosságából ugyancsak következik a két oldal egyenlősége .A bizonyítandó állítás tehát igaz b., Az állítás igaz, ha n > 1 egész ; páros n-re a nemnegatív valós szám, b pozitív valós szám ; páratlan n-re a tetszőleges valós szám, b nem

egyenlő 0 valós szám .Az azonosság azt mondja ki, hogy törtből úgy is vonhatunk gyököt, hogy a számlálóból és a nevezőből is gyököt vonunk, és a kapott két mennyiséget a bal oldal felírási sorrendjében elosztjuk egymással . Bizonyítás : Felhasználjuk, hogy törtet úgy hatványozunk, hogy a számlálót és a nevezőt a megfelelő kitevőre emeljük, valamint a gyökfogalom definícióját .A bal oldalon álló n hatványa : (n a n (n a )n a ) = n n = b b ( b) n a a n-edik hatványa . A jobb oldal n-edik b b . Innen következik a bizonyítandó állítás, mivel páratlan n esetén tetszőleges számokra; páros n-re pedig, ha mindkét oldalon nemnegatív szám áll, a két oldal n-edik hatványának egyenlőségéből következik a két oldal egyenlősége . c., Az állítás igaz, ha k > 1 egész ; n >= 1 egész Páratlan k-ra a tetszőleges valós szám, páros k-ra a nemnegatív valós szám . Az azonosság azt mondja ki, hogy a

hatványozás és a gyökvonás sorrendje felcserélhető egymással . Másképp : gyökmennyiséget úgy is hatványozhatunk, hogy a gyök alatti mennyiséget emeljük a kívánt kitevőre .Bizonyítás : Felhasználjuk az a pontban bizonyított állítást többtényezős szorzatra k a n = k a * a.*a = k a k a .*k a ( ⇐ n − db) = ( k a ) n 15. Mit nevezünk egy valós szám normálalakjának ? Írja fel a következő számok 78 normálalakját ! 0,000173 ; 58200000 ; 582 Pozitív valós szám normálalakja olyan kéttényezős szorzat, amelynek az egyik tényezője 1, vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél kisebb valós szám; a másik tényezője 10-nek (egy megfelelő) egész kitevős hatványa . Negatív valós számok normálalakja olyan kéttényezős szorzat, melynek az egyik tényezője -1, vagy -1-nél kisebb, de -10-nél nagyobb valós szám; a másik tényezője 10-nek (egy megfelelő) egész kitevős hatványa . 0,000173 = 1,73 * 10-4 ; 58200000 = 5,82 * 107 ; 78 =

0,13402 = 1, 3402 * 10−1 582 16. Mit jelent logab ? Milyen kikötéseket kell tenni a-ra és b-re ? logab (vagyis b-nek a alapú logaritmusa) az az egyetlen valós kitevő, melyre a-t emelve b-t kapunk : alogab = b (b > 0, a > 0, a nem egyenlő 1-el) . 17. Igazolja a következő azonosságokat! a, log a xy = log a x + log a y b, log a xy = log a x − log a y c, log a x k = k *log a x Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra k-ra? a, Az állítás igaz, ha X>0, y>0, a>0, és a<>1. Az azonosság ezt mondja ki: szorzat adott alapú logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanilyen alapú logaritmusainak összegével. Bizonyítás: u v Írjuk fel x-et és y-t a hatványaként: x = a , y = a Felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy a logaritmusfüggvény szigorúan monoton. u és v így írható: u = log a x , v = log a y Alkalmazzuk ezt a jelölést a bizonyítandó egyenlőség bal oldalára, majd felhasználjuk, hogy egyenlő alapú

hatványokat úgy szorozhatunk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük: log a xy = log a a u * a v = log a a u+ v = u + v Írjuk át az egyenlőség jobb oldalát is ezzel a jelöléssel: log a x + log a y = u + v A két oldal átírásával ugyanahhoz a kifejezéshez jutottunk, a két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz: log a xy = log a x + log a y ( ha x > 0, y > 0, a > 0, és a ≠ 1). b, Az állítás igaz, ha x>0, y>0, a>0 a ≠ 1. Az azonosság ezt mondja ki: hányados adott alapú logaritmusa megegyezik a számláló és a nevező ugyanilyen alapú logaritmusának különbségével. Bizonyítás Felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális és a logaritmusfüggvény szigorúan monoton. x = a u , y = a v , u = log a x , v = log a y A jelölés alkalmazásával, és felhasználva, hogy egyenlő alapú hatványokat úgy osztunk egymással, hogy a közös alapot a kitevők

különbségére emeljük, az egyenlőség bal oldala így írható: x au log a = log a v = log a a u− v = u − v y a A jobb oldal pedig így: log a x − log a y = u − v Mivel a két oldal átírásával ugyanahhoz a kifejezéshez jutottunk, a két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz: log a xy = log a x − log a y ( x > 0, y > 0, a > 0, és a ≠ 1). c, Az állítás igaz, ha x>0, k valós, a>0 a ≠ 1. Az azonosság ezt mondja ki: hatvány adott alapú logaritmusa megegyezik a hatványalap (adott alapú) logaritmusának és a hatványkitevőnek a szorzatával. Bizonyítás Felhasználva a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális és a logaritmikus u függvény szigorúan monoton: x = a , u = log a x A bizonyítandó egyenlőség bal oldala - felhasználva, hogy hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük - így írható: log a x k = log a ( a u ) k = log a a uk = uk A jobb oldal

pedig így: k *log a x = ku = uk A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz: log a x k = k *log a x (x>0, k valós, a>0 a ≠ 1). 18. Definiálja a következő fogalmakat ! a, polinom b, algebrai tört. a, Polinom: az egyváltozós valós polinom olyan többtagú összeg, amelynek tagjai a változó különböző hatványainak valós számszorosai: an x n + an−1x n−1 +. + a1x + a0 , ahol a0 , a1, , an adott valós számok, an ≠ 0, n ≠ 0 természetes szám. A felírt polinom n-ed fokú. b, Az algebrai tört két polinom hányadosa, például: 5x 4 + 4 x 3 + 2x + 3 4 x 5 + 3x 2 − 1 Az algebrai törtek értelmezési tartománya azoknak a valós számoknak a halmaza, ahol a tört nevezője nem 0. 19. Mit nevezünk egyenletnek ? Mi az egyenlet igazsághalmaza ? Mikor mondjuk, hogy két egyenlet ekvivalens ? Egyenlet: bármely két - egyenlőségjellel összekötött - kifejezés. A kifejezésekben szereplő változók az ismeretlenek. Az

egyenlet olyan speciális nyitott mondat, amelynek az alaphalmaza (vagy értelmezési tartománya ) számhalmaz. (A nyitott mondat: változótól függő állítás.) Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz, az egyenlet igazsághalmaza ( vagy megoldáshalmaza). Két egyenlet ekvivalens ( vagy egyenértékű), ha azonos alaphalmazon oldjuk meg, és az igazsághalmazuk is megegyezik. 20. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét ! A másodfokú egyenlet általános alakja: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) A megoldóképlet igazolása: b c a *( x 2 + x + ) = 0 a a a-t kiemeljük: A zárójelben lévő részt úgy alakítjuk át, hogy teljes négyzet legyen benne: a *(( x + mely tovább alakítható: b 2 b2 c ) − 2 + )=0 2a 4a a , b 2 b2 − 4ac ) − )=0 2a 4a 2 b2 − 4ac 2 Ha b − 4 ac < 0 , akkor − > 0 , így a bal oldalon egy pozitív 4a 2 a *(( x + számot szorzunk a-val , ami 0-tól különböző, így nem kaphatunk 0-t, az

egyenletnek tehát nincs valós gyöke. 2 Ha b − 4 ac ≥ 0 , akkor a kapott egyenlet így írható: b 2 b2 − 4ac 2 a *(( x + ) − ( ) )=0 2a 2a 2 2 A bal oldal szorzattá alakítható az a − b = ( a + b)( a − b) azonosság alkalmazásával: b b b2 − 4ac b2 − 4ac a *( x + + ( )( x + − ( )=0 2a 2a 2a 2a Mivel a ≠ 0 , a bal oldalon álló szorzat csak úgy lehet 0, ha a másik két tényező közül valamelyik 0, vagyis ha b b2 − 4 ac b b2 − 4ac + = 0, vagy x + − =0 2a 2a 2a 2a 2 Innen az egyenlet két gyöke (megoldása), ha b − 4 ac ≥ 0 , − b − b2 − 4 ac − b + b2 − 4 ac ; x1 = x1 = 2a 2a x+ A két megoldást összefoglalva: x1,2 = − b ± b2 − 4 ac 2a Ez a másodfokú egyenlet megoldóképlete. 21. Mit ért a másodfokú egyenlet diszkriminánsán ? Az ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D = b2 − 4ac Ez határozza meg az egyenlet gyökeinek a számát: ha d > 0 , akkor az egyenletnek két

különböző valós gyöke van; ha d = 0 , akkor az egyenletnek 1 valós gyöke van: x1 = x2 , 2 és a gyöktényezős alak ígyírható: a( x − x1 ) = 0, − b , ezt kétszeres 2a gyöknek is nevezzük, mert ekkor ha D < 0, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke. 22. Bizonyítsa be a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket ! Az ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0) alakban is felírt másodfokú egyenlet két gyökének összegét így írhatjuk: 2 x1 + x2 = − b + b2 − 4 ac − b − b2 − 4 ac + 2a 2a A lehetséges összevonásokat és egyszerűsítéseket elvégezve: x1 + x2 = − b a A két gyök szorzata: x1 * x2 = ( − b + b2 − 4 ac − b − b2 − 4 ac ) *( )= 2a 2a ( − b) 2 − ( b2 − 4 ac ) 2 b2 − b2 + 4ac 4ac c = )= = 2 = 4a 2 4a 2 4a a x1 * x2 = c a A két gyök összege tehát az első fokú tag együtthatója és a másodfokú tag együtthatója hányadosának a (-1)-szerese. A két gyök szorzata pedig a

konstans tag és a másodfokú tag együtthatójának a hányadosa. 23.-tétel : Hogyan definiálja két nem nemnegatív szám számtani , illetve mértani közepét ? Két valós szám / a és b / számtani közepe az összegük fele : (a+b)/2 ; Két nemnegatív valós szám / a>=0 , b>=0 / mértani közepe a szorzatuk négyzetgyöke : a∗ b 24.-tétel : Mit ért A: Pont és egyenes távolságán ? Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsátott merőleges , pont és egyenes közötti szakaszának hosszát értjük. B: Párhuzamos egyenesek távolságán ? Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges két egyenes közötti szakaszának hosszát értjük. C: Pont és sík távolságán ? Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsátott merőleges egyenes pont és sík közötti szakaszának hosszát értjük. D: Párhuzamos síkok távolságán ? Párhuzamos síkok

távolságán az egyik sík valamely pontjából a másik síkra bocsátott merőleges egyenes két sík közötti szakaszának hosszát értjük. 25.-tétel : Mit ért két kitérő egyenes távolságán ? Bizonyítható, hogy két kitérő egyeneshez egyetlen olyan egyenes van , amely mindkettőt metszi és mindkettőre merőleges. Ezt az egyenest szokták a két kitérő egyenes normál ranzverzálisának nevezniKét kitérő egyenes távolságán annak a szakasznak a hosszát értjük , amelyet a normál tranzverzálisuknak az egyenesekkel alkotott metszéspontjai határoznak meg. Ha két kitérő egyenes mindegyikére a másikkal párhuzamos síkot fektetünk,akkor az így kapott két sík távolsága egyenlő a két kitérő egyenes távolságával. 26.-tétel : Mit ért A : Egyenes és sík hajlásszögén ? Azt mondjuk, hogy a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a síkra illeszkedő minden olyan egyenesre, amely átmegy az egyenes és a sík

metszéspontján.Ha az adott egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egyenes. Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszögén az egyenes és a vetület hajlásszögét értjük. B : Két sík hajlásszögén ? Ha két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. Ekkor a két sík hajlásszögén a két meroleges szöget értjükEz a szög a pont megválasztásától fuggetlen. Ezt a szöget megkaphatjuk úgy is, hogy a metsző síkokat egy, a metszésvonalukra meroleges síkkal elmetsszük. Ez a sík az eredeti síkból egy-egy egyenest metsz ki Ezek hajlásszöge a két sík hajlásszöge.Két párhuzamos sík hajlásszöge: 0° 27.-tétel : Mit ért két kitérő egyenes hajlásszögén ? Két kitérő egyenes hajlásszögén a tér egy tetszőleges pontján átmenő,és az adott egyenesekkel párhuzamos egyenesek hajlásszöget

értjük.Ez a szög a pont megválasztásától független 28.-tétel : Mikor nevezz két síkidomot egybevágónak ? Sorolja fel a háromszög egybevágóságának alapeseteit ? Két síkbeli alakzat egybevágó ha van a síknak olyan egybevágósága, amely egyiket a másikra viszi. Egybevágóságnak nevezzük a síknak önmagára való távolságtartó leképezését. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. Két háromszög egybevágó, ha : - oldalaik hossza páronként egyenlő, - két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által közrefogott szögek egyenlők - egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két-két szögük egyenlő, - két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt levő szögek egyenlők. 29.Osztályozza a síknégyszögeket: a, Az oldalak párhuzamossága; b, Az oldalak egyenlősége szerint! A : Az oldalak párhuzamossága szerint 1.Amelyeknek nincsen párhuzamos oldalpárjuk,

azok általános négyszögek Ezek lehetnek konvexek vagy konkávok. 2.Ha van két párhuzamos oldaluk, azok a trapézok Ezek lehetnek általánosak szimetrikusak, szimmetrikusak, derékszögűek. (A speciális trapézok közé sorolhatjuk a paralelogrammákat is, mert azoknak is van két párhuzamos oldaluk.) 3.Ha két-két szemközti oldaluk párhuzamos, azok a paralelogrammák Speciális paralelogrammák: téglalap, rombusz, négyzet. B : Az oldalak egyenlősége szerint : 1.Minden oldaluk különböző hosszú 2.Ha két-két szomszédos oldaluk egyenlő,azok deltoidok(Speciális deltoidok: rombusz, és négyzet mert két-két szomszédos oldaluk egyenlő.) 3.Ha két-két szomszédos oldaluk egyenlő, akkor azok a paralelogrammák 4.Mind a négy oldaluk egyenlő 30.Milyen szöget nevez húrnégyszögnek , ill érintőnégyszögnek? Húrnégyszög: Azokat a konvex négyszögeket,amelyeknek minden csúcsa ugyanazon a körön van,amelyeknek tehát minden oldala a kör egy-egy

húrja,húrnégyszögnek nevezzük.Minden húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180o. D C A B Érintőnégyszög:azokat a négyszögeket nevezzük,amelyeknek oldalai egy körnek érintői.Minden érintőnégyszög konvexBármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldalhosszúságának összege egyenlő d a c b a+c=b+d 31. Tétel : Definiálja a középvonalak tulajonságát a következő alakzatokban : Trapéz , Paralelogramma , Háromszög a : A paralelogramma középvonala : két szemközti oldal felezéspontját összekötő szakasz. A paralelogramma középvonala olyan hosszú , mint a nem felezett oldal , és azzal párhuzamos. Két középvonala van b : A trapéz középvonala : a két szár felezőpontját összekötő szakasz. A trapéz középvonala párhuzamos az alaplapokkal és azoknak számtani közepe, vagyis : k = (a + c) ahol A és C az alap. Egy középvonala van 2 c: A háromszög középvonala : a háromszög két oldalának

felezőpontját összekötő szakasz. A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és fele olyan hosszú. Három középvonala van 35. Tétel A háromszög oldalfelező merőlegesei Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Bizonyítás: 36. Tétel Belső szögfelezők a háromszögben Tétel: Bármely háromszögben a belső szögfelezők egy pontban metszik egymást, ez a háromszög beírható körének középpontja. Bizonyítás: 37. Tétel A háromszög magasságvonalai Tétel: A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, és ez a háromszög magasságpontja. Bizonyítás: 38. Tétel A Thálesz tétel és megfordítása Tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körív bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Bizonyítás: 39. Tétel Érintőnégyszög Tétel: egy síknégyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két két szemközti

oldalának összege egyenlő. Bizonyítás: Érintő szakaszok tétele ( a körhöz külső pontból húzott érintő szakaszok hossza egyenlő) alapján a következőt írhatjuk fel: d(D,C)+d(A,B) = d(D,A)+d(C,B) a+b+c+d = a+d+c+d 40. Tétel Húrnégyszög Tétel: egy húrnégyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180. Bizonyítás: A kerületi szögek tétele ( egy körben azonos ívhez tartozó központi és kerületi szögek aránya 2:1) alapján a következőt írhatjuk fel: 41. Bizonyitsa be, hogy a kör egy ívéhez tartozó bérmely kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög szögtartományához! A bizonyítás négy lépésben történik, aszerint, hogy a kerületi szög szögtartományahoz képest hogyan helyezkedik el a középponti szög. 1. A középponti szög és a kerületi szög egyik szára egy egyenesbe esikAz ábrán látható AOC három szög egyenlőszárú, ω szög az AOC

háromszög külső szöge, ezért ω=2α. 2. A középponti szög csúcsa a kerületi szög szögtartományában van Eben az esetben az AC egyenes egy oldalán lávő középponti szög és kerületi szögekre alkalmazható az 1-ben bízonzított állítás, és így összegükre is áll a 2:1 arány. 3. A középponti szög csúcsa kívül esik a kerületi szög tartományánA BOC középponti, illetve a BAC kerületi szög az AO egyenes megrajzolása után két-két szög különbségeként írható fel: BOC szög = BOD szög - COD szög BAC szög = BAD szög - CAD szög Így már γ = 2β bizonyítása is vissza vezethető az 1-ben bízonyított állitásra. 4. Ha a kerületi szög egyik szára érintő, akkor három esetben kell megnézni (az ábrák jól szemléltetik), hogy a kerületi szög feleakkora, mint a ahozzá tartozó középponti szög. 42. Bízonyítsa be, hogy az n oldalú sokszög belső szögeinek összege (n-2)*180 fok, átlóinak széma pedig (n(n-3)):2!! 1.

Az n oldalú sokszög belső szögeinek összege: Bizonyítás:A sokszög egyik csucsából n-3 átlót húzható(saját magába és a két szomszédos csúcsba nem húzharó).Az egy csúcsól húzott n-3 átló a sokszöget n-2 háromszögre bontjaEzek belső szögeinek összege (n2)*180 fok éppen a sokszög belső szögeinek összegét adja. 2. Az n oldal sokszög átlóinak száma (n(n-3)):2Egy csúcsból n-3 átló húzható n csúcsból n*(n-3) de így minden átlót kétszer számoltunk, egyszer az egyik és a másik végét , tehát el kell osztani 2-vel. 43. Mi az összefüggés két (nemnegatív) szám számtani és mértani közepe között? Két nemnegatív szám számtani nagyobb vagy egyenlő mértani közepüknél: a, b =>0 esetén (a+b)/2 => √ab. bizonyítás: (a+b)/2 => √ab innen a+b => 2√ab négyzetre emelve az egyenlőtlenség mindkét oldalát kapjuk, hogy a2+2ab+b2 => 4ab innen a2-2ab+b2 =>0 ebb[l (a-b)2 =>0. Az utolsó állítás igaz.

Minden lépés megfordítható, ezért a kiinduló állítás is igaz 45. Tengelyes tükrözés és tulajdonságai Adott egy f (fix) tengely a síkban a tükrözés tengelye. Ekkor egy P pont tükörképét úgy kapjuk, hogy a P pont egyenestől való távolságát felmérjük a P pontból a tengelyre kibocsátott tengelyre Tulajdonságai: -szimmetrikus -egyenes képe egyenes -szakasz képe azonos hosszúságú szakasz -az egyenes hajlásszöge a tükrözés után azonos az eredetivel -a síkidom és képe egybevágú -a síkidom bejárása a tükrözés után megváltozik -a tengely bármely pontjának tükörképe önmaga 46. Középpontos tükrözés és tulajdonságai Középpontos tükrözés során a sík P pontjának a P képét kétféle módon is megkaphatjuk -a P pontot az O (tükrözés középpontja) körül 180 fokkal elforgatjuk -a P egyenesre az O pontból indulva felmérjük az OP távolságot Tulajdonságai -szimmetrikus -egyenes képe egyenes, eredetivel párhuzamos

-középpontban átmenő egyenes képe önmaga -távolságtartó -szögtartó -egybevágó kép az eredeti síkkal -alakzat körüljárási iránya nem változik 47.tétel Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, illetve egy egyenesére szimmetrikusnak ? Soroljon fel olyan középpontosan, illetve tengelyesen szimmetrikus háromszögeket, négyszögeket, sokszögeket ! A ponthalmaz (alakzat) akkor szimmetrikus a sík egy pontjára, ha létezik a pontra vonatkozó olyan középpontos tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi át (középpontos szimmetria). Ilyen alakzatok : - háromszögek között nem találhatók - négyszögek : négyzet, téglalap, rombusz, paralelogramma - sokszögek : páros oldalszámú szabályos sokszögek A ponthalmaz (alakzat ) akkor szimmetrikus a sík egy egyenesére, ha létezik az egyenesre vonatkozó olyan tengelyes tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi át. Ilyen tengelyesen szimmetrikus alakzatok: - egyenlôszárú,

egyenlô oldalú háromszögek - négyzet, téglalap, rombusz, paralelogramma, deltoid és a szimmetrikus trapéz - minden szabályos sokszög 48.tétel A sík melyik transzformációját nevezzük pont körüli forgatásnak ? Sorolja fel a tulajdonságait ! Pont körüli forgatásnak nevezzük, ha egy sík minden pontját elforgatjuk egy a síkra merôleges egyenes (forgástengely) körül adott szöggel és adott irányba. A forgatás középpontja (0) a sík és a forgástengely metszéspontja. Tulajdonságai: - szakasztartó pl. 0A=0A - távolságtartó - egyenestartó - szögtartó - alakzat körüljárási irányát nem változtatja meg - fixpontja az 0 pont 49.tétel Milyen ponttranszformációt nevezünk eltolásnak ? Sorolja fel az eltolás tulajdonságait ! Adjunk meg egy irányitott szakaszt (vektort) (v). Tetszôleges P ponthoz rendeljünk hozzá a P pontot úgy, hogy =v. Az így definiált ponttranszformáció az eltolás. Az eltolás tulajdonságai: - szakasztartó

AB II AB - egyenestartó - távolságtartó AB = AB - szögtartó ABC = ABC - nem változtatja meg az alakzatkörüljárási irányát 50.tétel Hogyan mérünk szöget ? Az olyan szöget, amelynek a csúcsa egy adott kör középponjában van, középponti szögnek nevezzük. Minden középponti szög az adott körnek pontosan egy ívét tartalmazza, és minden körívhez pontosan egy középponti szög tartozik. Azt mondjuk,a középponti szög az adott íven nyugszik Ugyanabban a körben (vagy egyenlô sugarú körökben) egyenlô középponti szögekhez egyenlô ívek, és megfordítva, egyenlô ívekhez egyenlô középponti szögek tartoznak. A 0 középpontú tetszôleges sugarú kör kerületét osszuk fel 360 egyenlô ívdarabkára. Ezen ívdarabkákhoz 1o /egy fok/ nagyságú középponti szög tartozik. Ahány ívdarabka esik AB körívre, annyi fokos az L szög 1o hatvanad része 1 szögperc (1) és 1 perc hatvanad része 1 szögmásodperc (1). Pl 35,26o = 35o1536 A

szöget annak a körívnek a hosszával mérjük, amelyet a szög szárai az egységsugarú körbôl kimetszenek. Ezt a mérôszámot a szög ívmértékének nevezzük. Egységnyi annak a szögnek az ívmértéke, amelyhez tartozó körív a sugárral egyenlô. Ezt a szöget 1 radiánnak nevezzük és jelölése 1 rad 1 radián nagyságú szög fokban kifejezve: 360o = 2 Pi 1 radián : 360o:2 Pi=180o: Pi = 57o1744,6 51.tétel Milyen ponttranszformációt nevezünk középontos hasonlóságnak ? Sorolja fel középontos hasonlóság tulajdonságait ! Jelöljük ki egy O pontot, és adjunk meg egy >0 valós számot. Az O ponthoz rendeljük hozzá önmagát. Egy tetszôleges, de O-tól különbözô P ponthoz renedeljük hozzá azt az OP félegyenesre esô P pontot, amelyre dop= *dop illetve dop:dop= középpontos hasonlóságnak nevezzük. A középpontos hasonlóság tulajdonságai: * AB - nem szakasztartó AB= - egyenestartó - szögtartó - alakzat körüljárási irányát nem

változtatja .Az így definiált ponttranszformációt - fixpont az O pont A középpontos hasonlóság bármely két tárgyponthoz olyan két képpontot rendel, melyek távolságát osztva a tárgypont távolságával, mindig ugyanazt a (0-tól különbözö) hányadost kapjuk.Ez a hányados éppen a középpontos hasonlóság arányával, -val egyenlô. 52.tétel Mit nevezünk vektornak ? Mikor egyenlö két vektor? Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. Az A középpontú és B végpontú vektort az szimbólummal jelöljük. Rajzban a vektort nyíllal ábrázoljuk, a nyíl hegye a vektor végpontja A vektor abszolútértékén a vektor hosszúságát értjük. A vektor abszolútértékén a következôképpen jelöljük /AB/ vagy /v/. Egy vektor irányán a vektort tartalmazó és a vektorral közös kezdöpontú félegyenes irányát értjük Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a vektort jellemzi a hossza és az iránya. Az olyan vektort, amelynek kezdô- és

végpontja egybeesik, nullvektornak nevezzük. Két vektor akkor és csakis akkor egyenlô, ha a hosszuk és az irányuk megegyezik, vagyis ha egymásba eltolhatók. * 53. tétlel Fogalmazza meg a párhuyamos szelôk téttelét és annak megfordítását! Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metszik,akkor az egyik száron kelettkezett szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezô megfelelô szakaszok arányával. (Megfordítás) Ha két egyenes egy szôg száraiból a csúcstól számítva olyan szakaszokat vág le,melyek aránya mindkét száron ugyanaz ,akkor a két egyenes párhuzamos. 54. tétel Hogyan definiáljuk két vektor összegét,illetve különbségét? Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! Tetszôleges pontból kiindulva megszerkesztjük az a vektort.Végpontjához illesztjük b vektor kezdôpontját. Az a vektor kezdôpontjából b vektor végpontjába mutató vektor az összegvektor amelyet a + b szimbólummal jelölünk. A vektorösszeadás :

kommutatív a + b = b + a asszociatív a+(b+c)=(a+b)+c Megjegyzés : Az a és b vektorok a-b különbségén azt a c vektort értjük,amelyet a b vektorhoz adva az a vektort kapjuk b+c=a.Két közös kezdôpontú vektor különbségvektorát úgy szerkesztjük meg,hogy a kivonandó vektor végpontjából a kissebbítendô vektor végpontjához vezetô vektort megrajzoljuk. 55. Tétel : Mit értünk egy vektor számszorosán? Legyen ? valós szám és a egy vektor.Ekkor ?*a azt a vektort jelenti,amelynek hossza az a vektor hosszának |?| -szerese, és iránya az a vektor irányával egyezô ha ?>0 ,vagy az a vektor irányával ellentétes ha ?<0 ; a||?*a is teljesül. 56. Tétel :Fogalmazza meg a párhuzamos szelôk tételét és annak megfordítását! A; Ha egy szög szárait párhuzamosokkal elmetszik,akkor az egyik száron keletkezô szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezô megfelelô szakaszok arányával. B; megfordítás) Ha két egyenes egy szög

száraiból a csúcstól számítva olyan szakaszokat vág le,melyek aránya mindkét száron ugyanaz,akkor a két egyenes párhuzamos. 57. Tétel : Bizonyítsa be,hogy a háromszög belsô szögfelezôje a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja! A háromszög egyik csúcsábból húzott szögfelezô a csúccsal szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. s S R P R1 Q Húzzunk a PQR háromszög Q csúcsán át párhuzamost az RR1 szögfelezôvel. Ez a PR oldal meghosszabbitását egy S pontban metszi. A QSR háromszög egyenlô szárú,mert Q-nál és S-nél is nagyságú szög van (váltó illetve egyállású szögek) tehát RS=RQ Alkalmazzuk a párhuzamos szelôk tételét a QPS szög szárain keletkezett szakaszokra.Ekkor PR1 : R1Q = PR : RS = PR : RQ teljesül. 59.Mikor mondjuk két sikidomról,hogy hasonlók?Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! Két alakzatot hasonlónak mondunk,ha van olyan hasonlóság,amely az

egyiket a másikba viszi át. A hasonlóság jele : ~ . Minden hasonlóság egyenest egyenesbe,szakaszt szakaszba,szöget vele egyenlő nagyságú szögbe visz át, a távolságok arányait megtartja. A háromszögek hasonlósága Két háromszög hasonló,ha : - oldalaik aránya egyenlő; - két-két oldaluk aránya és az ezek által közrefogott szögük egyenlő; - két-két oldaluk aránya és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemközt levő szögük egyenlő; - két-két szögük páronként egyenlő. 60.Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a középponti szög (ívhossz)segítségével. Körcikknek nevezzük azt a síkidomot,amelyet egy kör íve,és a kör két sugara határol. 0 Az r sugarú ) i hosszúságú ívhez tartozó körcikk nyílásszöge fokokban kifejezve legyen: α ,az ívmértéke legyen: α ,és a körcikk területe t legyen. ÁBRA: r i A körben a középponti szög és a hozzátartozó körcikk területe egyenesen arányos

.Ezt felhasználva: ) α t = = o 360 2π r 2 π α0 , innen t= π 360o ⋅r ⋅ α = o 2 ) r2 ⋅α 2 .Az ívmérték definíciója alapján a kör ) ívhossza a hozzátartozó középponti szög ívmértékének r-szerese; i = r ⋅ α .Írjuk ezt be a körcikk ívmértékkel kifejezett területképletébe: t= r ⋅i 2 . A körszeletet a kör egy húrja és a hozzátartozó körív határolja. A körszelet területét úgy számítjuk ki,hogy az őt tartalmazó körcikk területéből kivonjuk az ábrán vonalkázott -kiegészítő-háromszög területét: ÁBRA: i r ) Tkörszelet = r 2 ⋅ α r 2 sin α i ⋅ r r 2 sin α = 2 2 2 2 61.Tekintsünk két hasonló sokszöget,ill két hasonló gúlát,a hasonlóság aránya mindkét esetben legyen k.Bizonyítsa be,hogy a két sokszög területének aránya k2 ,a két gúla térfogatának aránya pedig k3! A k valós szám két hasonló sokszög,ill. két hasonló gúla megfelelő pontpárjai távolságának

aránya,így k pozitív szám. D D1 E C P P E1 P1 d C1 d1 Q Q B A d1 =k d Q1 B1 A1 A bizonyításban szükségünk van a hasonló háromszögek területeik között fönnálló összefüggésre.Tekintsünk két hasonló háromszöget,melyek hasonlóságának az aránya k.Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz,van olyan hasonlósági transzformáció,amely egyiket a másikba viszi.Ez a transzformáció szögtartó is,így az egyik háromszög magasságát a másik háromszög magasságába viszi. C t A C1 m t1 B c A1 m1 B1 c1 Legyen az ABC háromszög területe: t ,az A1B1C1 háromszög területe: t1. Feltétel: A1B1C1 háromszög ~ ABC háromszög. Azt állítjuk,hogy t1 =k2t Az ABC jelöljük. c oldalához tartozó magasságot m-mel,az A1B1C1 A háromszögek területe: t= cm 2 , t1= c1 oldalához tartozó magasságot m1-gyel c1m1 2 A hasonlóság miatt c1 = kc , m1 = km . Ezeket az értékeket a t1-re kapott képletbe beírva: t1 = k ⋅c⋅ k ⋅

m k2 ⋅c⋅ m 2 = 2 =k2·t , amiből t1 2 =k . t Ezzel állításunkat igazoltuk.Két hasonló háromszög területének aránya hasonlósági arányuk négyzete A két hasonló sokszög mindegyikét földarabolhatjuk háromszögekre oly módon,hogy a darabolásban felhasznált szakaszok egymás megfelelői legyenek.Az így keletkezett háromszögek egymáshoz páronként hasonlók,tehát területeik aránya k2.Az egyes sokszögek részháromszögeinek területét összeadva a sokszögek területét kapjuk:Az A1B1C1D1E1 sokszögben minden részháromszög területe k2-szerese a hozzá hasonló ABCDE sokszög megfelelő részháromszöge területénekÍgy a disztributivitást fölhasználva az összegükre is teljesül,tehát a két sokszög területének aránya k2 Tekintsünk most két olyan gúlát,amelyek hasonlóak egymáshoz,és a hasonlóság aránya k. m1 m T1 T Azt már az imént beláttuk,hogy az alapjainak a területének az aránya k2.A gúlák

testmagasságainak aránya k ( Ezt ugyanúgy indokolhatjuk,mint ahogy a hasonló háromszögek magasságánál indokoltuk. ) A gúlák alapterületét jelöljük T és T1 , magasságát m és m1 , térfogatát V és V1 . Ekkor V = T ⋅m 3 ,V1 = T1 ⋅ m1 . A k irányú hasonlóságot kihasználva: 3 T1 = k2T , m1 = km . Ezeket az értékeket V1-be írva: V1 = k 2 ⋅T ⋅ k ⋅ m k 3 ⋅T ⋅ m 3 = 3 ,így V1 = k3V .Ebből V1 3 = k ,tehát hasonló gúlák térfogatának aránya V a hasonlósági arányuk köbe. 62.Milyen összefüggés van a gúla alapterülete és az alappal párhuzamos síkmetszetének területe között?Bizonyítsa be! A gúla térfogatának kiszámításához egy segédtételt használunk fel. Legyen a gúla alapjának területe T,a gúla magassága m.Messük el a gúlát az alaplappal párhuzamos síkkal a csúcstól x távolságban.t-vel jelölve a metszet területét t x2 = T m2 O x A1 C1 B1 s m C S A B Ha a gúlát az alaplappal párhuzamos

síkkal metszük,akkor a síkmetszet és az alaplap területének aránya a csúcstól mért távolságuk négyzetének arányával egyenlő. Bizonyítás: A metszetsokszög oldalai rendre párhuzamosak az alap megfelelő oldalaival,pl.: A1 B1!! A B Ugyanis az s és az S síkok (a metszet és az alap síkjai) párhuzamosak.De párhuzamos síkok az OAB síkot párhuzamos egyenesekben metszik. Nagyítsuk az O pontból a metszetsokszöget dOA m = dOA x arányban. 1 Ez a középpontos hasonlóság az A1 ponthoz az A pontot,a B1 ponthoz a B pontot,a C1 ponthoz a C pontot, a metszetsokszöghöz az alapot rendeli hozzá.Ebből következik,hogy a metszetsokszög hasonló az alaphoz Hasonló szögek területeinek aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő.Tehát: t x2 = T m2 63.Bizonyítsa be,hogy a derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének a mértani közepe! Ezt a tételt befogótételnek nevezzük. B c1

D a C c c2 b A és az ABC két-két szöge páronként egyenlő,ezért CBD CBD A megfelelő oldalak aránya egyenlő. ~ ABC . a c = ⇔ a2= c c1 ⇔ cc c a 1 1 és az ABC hasonlók egymáshoz,s ebből következik,hogy b= Az ACD c1 az a befogónak,c2 a b befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete. cc 2 64.A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogó két szeletre osztja.Bizonyítsa be,hogy az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe! Ezt a tételt magasságtételnek nevezzük. B c1 D a c c c2 b A CAD és BCD derékszögű és egyméshoz hasonló háromszögek.A megfelelő oldalak aránya: m c = ⇔ m2= c1 c2 ⇔ m= c c c m 1 1 2 2 65. tétel Húzzon egy körhöz egy külső pontból egy érintőt és egy szelőt Bizonyítsa be ,hogy az erintőszakasz hossza a szelődarabok hosszának mértani közepe! A tétel állítása szerint az ábra jelöléseivel : EP = AP * BP Segédvonalként célszerű az AE

szakaszt meghúzni. Az AEP háromszög és az EBP háromszög hasonló,mert a BPE szög és az APE szög közös a két háromszögben (P csúcsnál levő szög) és az EBP szög egyenlő az AEP szöggel, mert mindkettő az EA ívhez tartozó kerületi szög.Így a háromszögek megfelelő oldalainak aránya megegyezik: EP : AP=BP : EP; EP = AP * BP 66.tétel Hogyan értelmezzük a hegyesszögek szögfügvényeit? Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket,amelyeknek az egyik hegyesszöge α , ezek a derékszögű háromszögekmivel két megfelelő szögük, α és a derékszögeggyenlő -- mind hasonlok egymáshoz. Ezért ezekben a háromszögekben a megfelelő oldalak aranya egyenlőEzek az aranyok csak az α szögtől függnek , igy ezeket az aranyokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az α szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az egyes szögfüggvényeket, szinusz α -t (röviden: sin α ),koszinusz α -t(röviden: cos α ),tangens α -t

(röviden: tg α ),kotangens α -t (röviden: ctg igy értelmezzük: α) c a . α b SIN α =A/C AZ α SZÖGGEL SZEMKÖZTI BEFOGÓ / ÁTFOGÓ COS α =B/C AZ α SZÖG MELLETTI BEFOGÓ/AZ ÁTFOGÓ TG α =A/C AZ α SZÖGGEL SZEMKÖZTI BEFOGÓ/AZ α SZÖG MELLETTI BEFOGÓ CTG α =B/A AZ α SZÖG MELLETTI BEFOGÓ / AZ α SZÖGGEL SZEMKÖZTI BEFOGÓ sin α =a/c-ből a= c*sin α , vagyis a szög szinusza megmutatja, hogy az α szöggel szemközti befogó hányszorosa az átfogónak. Hasonlóan átfogalmazható a többi szögfügvény is 67. tétel Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza ,illetve koszinusza? y 1 sin α α cos α x Az α irányszögű e egységvektor ordinátája (2. kordinátája) sin α -nak; abszcisszáját (1kordinátáját) cos αnak nevezzük A teljes körülfordulásokat figyelmen kívül hagyva: Ha az e az I. negyedben van: 0< α < 90 , akkor a definíció szerint számolunk (sin α pozitív; a cos α pozitív). Ha az e a II. negyedben van :

90 < α < 180, akkor ( 180 - α ) szöggel számolunk Ha az e a III negyedben van: 180 < α < 270 , akkor ( α - 180) szöggel számolunk. (sin α negatív; a cos α negatív ) Ha az e a IV. negyedben van: 270 < α < 360 ,akkor (360 - α ) szöggel számolunk (sin α negatív ; a cos α pozitív ). 68. tétel Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense , illetve kotangense ? Ha cos ha cos α <> 0 - azaz α <> α = 0 , akkor az α PI / 2 +KPI, K egész - , akkor tg α = sin szög kotangensét nem értelmezzük. α /cos α; Ha sin α <> 0 - azaz ha sin α = 0 , akkor az α α <> KPI, K egész, akkor ctg α = cos szög kotangensét nem értelmezzük. α /sin α ; 69. tétel Számítsa ki a 30 fokos, 60 fokos, 45 fokos szögek szögfüggvényeinek pontos értékét ! A 30 fokos és a 60 fokos szögek szögfüggvényeit a 2 egység oldalú szabályos háromszög segítségével számoljuk ki: 30 2 2 gyok3 60 1 1 1 sin

30° = , 2 3 , cos 30° = 2 1 tg 30° = = 3 3 2 1 cos 60° = 2 3 , tg 60° = 3 3 1 3 ctg 30° = 3 , ctg 60° = = 3 3 sin 60° = A 45 fokos szög szögfüggvényeit az egységnyi befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög segítségével számoljuk ki: gyok2 1 45 1 sin 45° = cos 45° = 1 2 = 2 2 1 1 tg 45° = ctg 45° = = 1 70. tétel Igazolja a következő azonosságot! sin2 α + cos2 α = 1 minden valós α -ra. y 1 j e sin α . α cos α 0 x i 1 A szögfüggvények definíciója szerint az irányszögű e egységvektor koordinátái: (cos ; sin ), az általuk meghatározott derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagorasz tételt: e = sin 2 α + cos 2 α = 1 2 71.Határozza meg a háromszög területét , ha adott két oldala és a közbezárt szöge ! Tétel : Ha a,b egy háromszög két oldala és az általuk bezárt szög, akkor a területe : t = Bizonyitás : 1.Vegyünk fel egy tetszőleges háromszögetTermészetesen az adott szög háromféle

lehet, melyet külön-külön meg kell vizsgálni.Mindhárom esetben rajzoljuk meg az a oldalhoz tartozó magasságot, ekkor keletkezik egy olyan derékszögű háromszög, amelznek ismerjük a hegyesszögét és a b oldalát. b m b c c a t= a *m 2 3. Felhasználjuk a szinusz szögfüggvény definícióját : χ = 90° c m = b * sin( χ ) , ω = (180°− χ ) b=m 2. Felhasználjuk , hogy a háromszög területe : b a a m = b * sin( χ ) 4. A magasságot kiszámítva : m sin χ = m b ma = b * sin χ , s ezt a területképletbe helyettesítve adódik : t = a * b sin χ . 2 ma = b * sin 90° , azaz nyilvánvalóan a * b sin χ a * b a b sin 90° Tehát χ = 90° esetén is igaz a t = . = ma = b, ezé rt : t = 2 2 2 5. Ha a , akkor a magasság : 6. Ha az adott szög tompa szög , akkor a magasság : t= m = b * sin(180°− χ ) , ezt behelyettesítve adódik : a * b sin(180°− χ ) . 2 7. Mivel a kiegészítő szögek szinuszai egyenlők :

sin(180°− χ ) = sin χ , ezért t = a * b sin χ . 2 72.Az S1 és S 2 síkok hajlásszöge α Az S1 síkban fekvô t1 területű háromszög S 2 -re eső merőleges vetületének területe t 2 .Bizonyítsa be, hogy t 2 = t1 cos α ! Tétel: Ha két sík hajlásszöge területének cos α α , akkor az egyik síkban fekvő háromszög - szorosa a másik síkon lévő merőleges vetület háromszög területe. 1.Vegyünk fel egy tetszőleges háromszöget - pl a "ferde síkon" - úgy , hogy az alapja legyen a metszésvonalon . (Ha nem ott lenne , akkor toljuk el , s ha szükséges , forgassuk el , ezzel a bizonytásunk nem szenved csorbát . ) Ennek a területét jelöljük: t e − vel Rajzoljuk meg az a oldalhoz tartozó magasságot . A háromszöget vetítsük merőlegesen a másik síkra Itt keletkezik a CCT derékszögű háromszög, melynek ismerjük egy hegyesszögét - a két sík α hajlásszögét - és az átfogóját, az m et.Ki kell számolnunk a

merőleges vetület magasságát, az m-et A m T C m C B 2.a, Felhasználjuk azt, hogy a háromszög területét úgy számíthatjuk ki, hogy az alapot szorozzuk a hozzátartozó magassággal és osztjuk kettővel. te = a *m 2 2.b, m m 3.A merőleges vetület magasságát kiszámítva: m = m * cos α s ezt a terület képletbe helyettesítve a * m a m cos α a m a merőleges vetület t v területe: t v = = = * cos α 2 2 2 Visszahelyettesítve az eredeti háromszög területét. t v = t e * cos α Felhasználjuk a koszinusz függvény definicióját: cos = 4.Ezzel igazoltuk a tételben kimondott összefüggést adódik 73.Bizonyítsa be egy kör r hosszúságú sugara, a hosszúságú húrja és az a-hoz tartozó α kerületi szög közötti következô összefüggést! a = 2 * r sin α Tétel: Egy háromszög egyik (a) oldala, az oldallal szemközti ( α ) szöge, és a köré ítr kör (r) sugara között a következô összefüggés áll fenn : sin α = a 2*r

a Bizonyítás: 1.Vegyünk fel egy tetszôleges háromszöget, szerkesszük meg a köré írható körtVálasszuk ki az egyik oldalát: (a)-t , a szemközti szögét: α -t, amely a a oldalhoz -húrhoz- tartozó kerületi szög. 2.Rajzoljuk meg az a oldalhoz tartozó középponti szögetFelhasználjuk azt a bizonyított tételt , mely szerint az ugyanazon húrhoz tartozó középponti szög kétszerese a kerületi szögnek. 3.Felhasználjuk azt , hogy az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága felezi a szárszöget és felezi az alapot. a 4.A szinusz függvény definíciója szerint : sin α = 2 r 5.Az itt kapott háromszögre felírhatjuk a következô összefüggést: a = r * sin α ⇒ a = 2 r sin α 2 6.Ha α = 90° , akkor ugyan BOC ∇ nem létezik, de a tétel igazságot fejez ki, hiszen BC= a az átmérô, a kapott képlet szerint: a = 2 * r sin 90° = 2 r Ha α tompaszög, akkor a BOC ∇ jelölt szöge 180°−α . A középponti szög 2 α , a akkor

is igazságot fejez ki, hiszen sin( 180°−α ) = sin α 7.Így igazoltuk a tételben kimondott összefüggést: 74.Bizonyítsa be a sinusz tételt! sin α = a 2*r m b I. sin α = m a ---------------------------I.m = b * sin α II.m = a * sin α b * sinα = a sinβ II.sinβ = C a sin α a = sin β b m b Ez a szinusz té tel . A B c A szög sinuszainak aránya megegyezik a szemközti oldalak arányával. 75.Bizonyítsa be a coszinus tételt! B B a m C T b m c=? A T c=? a C b A c 2 = m2 + ( AT 2 ) 2 AT = b + CT AT = b − CT sin χ = m a m = a * sin χ cos χ = sin(180°− χ ) = sin χ = m = a * sin χ cos(180°− χ ) = − cos χ = CT a m a cos χ = CT = a * cos χ CT = − a * cos χ AT = b − CT AT = b − a * cos χ AT = b + CT AT = b + ( − a * cos χ ) = = b − a * cos χ − CT a CT a c 2 = (a * sin χ ) 2 + (b − a cos χ ) 2 c 2 = a 2 * sin 2 χ + b 2 − 2 a b cos χ + a 2 cos2 χ = = a 2 (sin 2 χ + cos2 χ )

− 2 * a b cos+ b 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos χ 77 Fejezze ki sin (α+β) , illetve cos (α−β) értékét a sin (α+β) , illetve a cos (α+β)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében ! Érvényesek a következő összefüggések : sin(α − β ) = sin α ∗ sin α ∗ cos β − cos α ∗ sin β é scos(α − β ) = cos α ∗ cos β + sin α ∗ sin β bizonyítá :s Tudjuk , hogy sin(α + β ) = sin α ∗ cos β + cos α ∗ sin β é s cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β . Írjunk helyé be( − β ) - t , majd haszná ljuk fel, hogy sin( − β ) = − sin β é s cos( − β ) = cos β . sin(α + ( − β )) = sin α ∗ cos( − β ) + cos α ∗ sin( − β ) = sin α ∗ cos β - cos α ∗ sin β . sin(α − β ) Ezzel á llítá sunkat igazoltuk. cos(α + (- β )) = cosαcos(- β ) - sinαsin(- β ) = cosαccosβ + sinαsinβ . cos(α - β ) Ezzel á llítá sunkat gazoltuk. i 78 Fejezze ki tg(α+β)-t tg α −val és tg β-val a

sin(α+β) , illetve a cos(α+β)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében ! tgα + tgβ A tg (α + β ) = összefüggé st bizonyítjuk. Felté ve , hogy 1 − tgα ∗ tgβ cos α ≠ 0 é s cos β ≠ 0, vagyis α ≠ 90°+ k ∗180° é sβ ≠ 90°+ k ∗180° é s k ∈ N. Tudjuk , hogy tg (α + β ) = sin(α + β ) sin α ∗ cos β + cos α ∗ sin β = . cos(α + β ) cos α ∗ cos β − sin α ∗ sin β Színusz - ok é s cosszínus - ok helyett tangens - eket szeretné nk szerepeltetni , ezé rt a szá mlá lóts éa nevezőis elosz tjuk cos α ∗ cos β - val , felté ve , hogy cos α ≠ 0 é s cos β ≠ 0 , vagyis α ≠ 90°+k∗180° é sβ ≠ 90°+ k ∗180° , k egé sz. 79 Mik a vektorok ? Definiálja egy vektor koordinátáit az i , j egység vektorokkal megadott koordináta rendszerben ! Ha felveszünk a síkon egy O pontot é s a, b (nem párhuzamos) vektorokat , akkor a sík bá rmelyP pontjá hoz tartozik egy OP helyvektor , mely

egyértelműen felbontható az a é s b vektorokkal pá rhuzamosösszetevőkre : OP = k [1]a , k[ 2]b. A k[1] , é s k[2] szá mokat ú yg tekintjük , mint az OP vektorhoz rendelt rendezett szá mpá rt. Ilyen módon a helyvektorok é sa rendezett síthető. szá mpá rok között kölcsönösen egyé rtelmű megfelelteté s lé te Ezzel a módszerrel a helyvektoroknak rendezett számpá rokat feleltetünk meg. Ha a ké t adott vektor az i , é s j egysé gvektor i- t pozitív irá nyú 90°-os elforgatá sviszi á ti - be , ezeket a vektorokat bá zis vektoroknak nevezzük . Az  helyvektort felbonthatjuk i és j írá nyúösszetevőkre : OP helyvektor koordiná át it  = l[1] * i + l[2] i , é s l[2] az  OP OP , amit így jelölünk :  (l[1] ; l[2]). OP A bázisvektorok a Descartes-féle koordinátarendszert állítják elő : az x-tengely az i , az y-tengely a j irányába mutat , és az O pont a koordinátarendszer kezdőpontja. Ebben a

koordinátarendszerben egy vektor koordinátáin az őt meghatározó helyvektor koordinátáit értjük. y P 1 j x i1 Két koordinátáival adott a(a[1] ; a[2]) és b(b[1] ; b[2]) vektor összegvektora : a+b = (a[1] + b[1])i + (a[2] + b[2])j , vagyis az összegvektor koordinátái :a[1]+b[1] és a[2] + b[2]. Adott v(v[1];v[2]) vektor +90fok-os elforgatotjának , v*-nak koordinátáit úgy kapjuk , hogy az eredeti vektor koordinátáit felcseréljük , és az első koordináta ellenkező előjelűre válltozik. Tehát ez az elforgatott vektor v(v[2] ; v[1]) A v(v[1] ; v[2]) vektor λ szorosának koordinátái : λv[1] és λv[2] 80 Mit ért egy vektor abszolút értékén ? Hogyan határozható meg egy vektor abszolút értéke a vektor koordinátái segítségével ? y v v[2] j v[1] i x Tetszőleges vektor abszolút értékén az adott vektor hosszát értjük. Vetítsük ki az adott v vektort az xkoordinátatengelyre Az AOT derékszögű háromszög befogóinak hossza a vektor

koorinátáinak abszolút értékével , az átfogó hossza pedig a vektor abszolút értékével egyezik meg. A Pitagorasz té teltfelírva : v = v[1] + v[2] , vagyis egy vektor abszolú t érté ke egyenlőa koordi ná tá i né gy zetösszegéből vont n é gyzetgyökkel. A kapott összefüggés akkor is é rvé nyes, ha a vektor valamelyik tengellyel pá rhuzamos , pé ldá ul : v = O + v[2] = v[2]. 81 Mit ért két vektor skaláris szorzatán ? Mi annak szükséges és elégséges felltétele , hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen ? Ay a é s bvektor skalá ris szorzata a∗ b = a ∗ b ∗ cos γ , ahol γ a ké t vektor hajlá sszögé jelöli t , vagyis 0 ≤ γ ≤ 180° . Ha a ké t vektorközt az O is szerepel , akkor a hajlá sszögnincs egyértelműen meghatá rozva , de a nullvektor abszolút é rté ke ,0 ezé rt a szorzat ekkor 0. Ezek szerint a skalá ris szorzat mindig egyé rtelmüen meghatá rozott. Ha a merőleges b -re , akkor a∗ b = a ∗

b ∗ cos 90° = a ∗ b ∗0 = 0, vagyis a skalá ris szorzatuk 0. És megfor dítva : ha ab = 0 , é s az a , b vektorok egyike sem 0 , akkor a ≠ 0 é s b ≠ 0 , így a∗ b = a ∗ b ∗ cos γ = 0 csak ú gy á llhat fenn , ha a cosγ = 0 , tehá t a merőleges b - re. Eszerint ké t vektorskalá ris szorzata akkor é s csak akkor 0 , ha a ké t vektor merőleges egy má sra. (A nullvektort úgy tekintjük , hogy minden vetorra meről eges.) A skalá rszorzat definicíójá bólnyilvá nvaló , hogy a skalá rszorzat kommutatív , a∗ b = b∗ a. (a∗ b)∗ c c írá nyúvektor , a∗ (b∗ c) a írá nyú vektor , a skalá ris szorzat tehá t nemasszociatív. 82 Bizonyítsa be , hogy minden a,b,c vektor esetében (a+b)c = ac + bc , vagyis két vektor összegének egy harmadik vektorral való skaláris zorzata széttagolható ! Bizonyítá s: Ha c = 0 , akkor (a + b)∗0 = 0 , a∗0 + b∗0 = 0 , tehá t igaz az á llítá s. Ha c ≠ 0 , akkor vegyük a c - vel azonos írá

nyú egysé e gvektort , ekkor c = c ∗e Így elegendőaz (a + b)∗ e = a∗ e + b∗ e allítá sbelá tnunk(ezt c − é vel beszorozva az eredeti á llítá stkapjuk.) A skalá risszorzat definíciója apaljá n könnyen belá thatjuk , hogy egy vektornak é s egy egysé gvektornak a skaláris szorzata a vektornak az egysé gvektor egyenesé n levőelőjeles vet ületé t adja (ez a skalá rvetület). Adott az e egysé gvektor . Vegyük fel az a , b vektorokat , összegük a + b . Ké pezzükezeknek az e egyenesé re vonatkozó skalá rvetületé tAz összeg skalá rvetülete egyenlő a tagok skalá rvetületé nek összegé vel : (a + b)∗ e = a∗ e + b∗ e 83. Fejezze ki két vektor skaláris szorzatát a vektorok koordinátáinak segítségével! Két koordinátáival adott vektor, a(a 1 ,a 2 ) és Bizonyítás: b(b 1 , b 2 ) skaláris szorzata: a * b = a 1b1 + a 2 b2 a = a 1i + a 2 j b = b1i + b2 j a * b = (a 1i + a 2 j )(b1i + b2 j ) Disztributív tulajdonság

alapján a szorzás tagonként végzhető: a * b = a 1b1i 2 + a 1b2 ij + a 2 b1ij + a 2 b2 j 2 i * j = j i = 0, mivel i és j merőle gesek egymá sra i = i * i cos 0° = 1 , hasonlóan j = 1 így a * b = a 1b1 1 + a 2 b2 1 ebből köv etkezik a b = a 1b1 + a 2 b2 84. Mit ért egy alakzat egyenletén? Egy alakzat egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza az alakzat pontjainak koordinátáiból áll, vagyis olyan egyenlet , amelyet az alakzat minden pontjának koordinátái kiielégítenek , más pontok koordinátái azonban nem elégítenek ki. 85. Írja fel az A(a1;a2) és B(b1;b2) pontok távolságának kiszámítására vonatkozó képletet, és igazolja annak helyességét! Két pont (A(a1;a2) és B(b1;b2)) távolsága (d) a két pont által meghatározott vektor (AB(b1-a1;b2-a2)) abszolút értéke. Koordinátáival adott vektor abszolút értéke: A vektor koordinátái négyzetösszegének a négyzetgyöke. Két pont távolsága: d = AB = (b1 − a 1 ) 2 +

(b2 − a 2 ) 2 AB = (b1 − a 1 ) 2 + (b2 − a 2 ) 2 y A(a1;a2) d B(b1;b2) 0 x 86. Írja fel egy szakasz felezôpontjának, illetve harmadolópontjának koordinátáit a szakasz végpontjainak koordinátáival és igazolja a felírt formulákat! FELEZŐPONT: Szakasz felezôpontjának koordinátái: Az ábra jelölését használva az AB szakasz F felezőpontjának koordinátái: x= x1 + y1 2 y= x2 + y2 2 Végpontok koordinátáival megadott szakasz felezőpontjának koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak a számtani közpe. Bizonyítás: Az F pont koordinátái megegyeznek az f vektor koordinátáival (x;y). Kiegészítjük az a,b vektorok alkotta háromszöget az F pontot belsejében tartalmazó paralelogrammává. Az a és b vektorok közös kezdőpontjából kiinduló átlóvektor : a + b , ami éppen az f vektor kétszerese.Így: a +b 2 y A F B 0 x Használjuk fel, hogy összegvektor koordinátái a tagok megfelelő koordinátáinak összege,

illetve vektor számszorosának koordinátái a megfelelő koordinátáinak adott számszorosa. Ezért f koordinátái:  ( x1 + x2 ) ( y1 + y2 )  ;     2 2 Ezzel állításunkat igazoljuk. HARMADOLÓPONT: A végpontok koordinátáival megadott szakasz harmadolópontjának koordinátái: x = ( x1 + y2 ) y= 3 ( x1 + y2 ) 3 A H harmadolópont koordinátáit megkapjuk, ha a hozzáközelebbi végpont megfelelő koordinátája kétszereséhez hozzáadjuk a távolabbi végpont megfelelő koordinátáját , és ezt az összeget osztjuk hárommal. Bizonyítás: A H pont koordinátái megegyeznek a h vektor koordinátáival. h = a + AH = a + - * AB, ahol AB = b - a h = a + - * (b - a) = a + - b - - a = - - - - - - Használjuk fel az összegvektor koordinátáira, illetve a vektor számszorosának koordinátáira vonatkozó öszefüggéseket, így a bizonyítandó állításhoz jutunk. y A H B x 87. Adottak egy háromszög csúcspontjainak a koordinátái Bizonyítsa

be, hogy a súlypont koordinátái kiszámíthatók a csúcsok koordinátáinak számtani közepeként! Az ábra jelöléseit használva bizonyítandó állításunk. x= y= ahol, H(x;y) a három súlyvonal közös pontja. Bizonyítás: Legyen F az ABC háromszög AB oldalának felezőpontja, H az sc súlyvonal F-hez közelebbi harmadolópontja. Felhasználjuk a harmadolópontot koordinátáira vonatkozó ismereteinket: y C(x1;y2) ¦ ¦ ¦ B(x1;y2) ¦ A(x1;y2) ¦ ¦ -----+----------------------- x ¦ x=-------- = ------- y=------- = -------- Az eredmény szimmetrikus a csúcsok koordinátáiban, nincs kitüntetett szerepe a felhasznált sc súlyvonalnak; súlypontja a háromszögnek.Így teljesül az állításunk 88. Definiálja egy egyenes iránytangensét! Egy egyenes irányvektora bármely az egyenessel párhuzamos vektor. Az egyenes iránytangense egy (v(v1;v2)) irányvekto rainak koordinátáiból képzett v hányados, ahol v1 = 0 = tg ; v1 = 0, és az egyenesnek az x

tengely pozitív felének bezárt szöge. Ha v2 = 0, vagyis az egyenes párhuzamos x-tengellyel , akkor iránytangense 0. Ha v1 = 0, vagyis az egyenes párhuzamos az y-tengellyel akkor nincs iránytangense y ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ v(v1;v2) ---------+-------------------- x ¦ 89.tétel Bizonyítsa be,hogy a po(xo;yo) ponton átmenô v(v1;v2) irányvektorú egyenes egyenlete: v2x-v1y=v2xo-v1yo! Bizonyítás: Az ábra jelöléseit használva : ro(xo;yo) a po ponthoz vezetô helyvektor. Az egyenes tetszôleges p "futópontjához" vezetô helyvektor r(x;y) tehát felírható ilyen alakban: r = ro+pop , ahol pop = t * v ( t tetszőleges valós szám), tehát r =ro+t * v ( t tetszőleges valós szám). Az is igaz, hogy minden ilyen alakban előállítható helyvektor végpontja az egyenesen van, mert pop párhuzamos v-vel. A kapott egyenlet az egyenes paraméteres vektoregyenlete Irjuk ezt át koordináták segítségével: x =xo+t *v1 y =yo+t *v2 Az elsô egyenletet v2-vel, a

másodikat v1-gyel szorozzuk; v2x = v2xo+ tv1v2 v1y = v1yo+ tv1v2 . Ezt a két egyenletet kivonva egymásból kapjuk a v2x-v1y = v2xo-v1yo egyenletet, ami az egyenes pontjainak koordinátáira és csak azokra teljesül. 90.tétel Bizonyítsa be, hogy a po(xo ;yo ) ponton áthaladó, n(n1 ;n2 ) normálvektorú egyenes egyenlete n1 (x-xo )+n2 (y-yo ) = 0! Az egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, zérusvektortól különböző vektor. Rögzítsünk egy tetszőleges p(x;y) pontotkoordinátarendszerben.Tekintsük a pop*n skaláris szorzatot.Ez a szorzat akkor és csak akkor lehet 0,ha n*popcosϕ szorzat valamelyik tényezője 0. (Skaláris szorzat definíciója.) n nem egyenlő 0 (normélvektor definícioja miatt);pop = 0 akkor és csak akkor, ha pop = 0 azaz po =p; cosϕ=0 (0o≤ϕ≤180o) akkor és csak akkor, ha ϕ=90o azaz n merőleges a pop vektorra. Ha n merőleges pop-re és n merőleges az egyenesre is, továbbbá po az egyenesen van, akkor a pop

vektort tartalmazza az egyenes. A fentiekből következik, hogy n * pop akkor és csak akkor 0,ha a p rajta van az egyenesen. A skaláris szorzatot a vektor koordinátáiból is kiszámíthatjuk: n * pop = n1(x-xo) + n2(y-yo) Ezzel beláttuk, hogy az n1(x-xo) + n2 * ( y - yo )=0 egyenletet pontosan az egyenes p(x;y) pontjainak koordinátái elégítik ki. 91. tétel Bizonyítsa be, hogy po(xo ;yo ) ponton átmenő m iránytangensü egyenes egyenlete y-yo = m (x-xo) ! Bizonyítás: Legyen az egyenes irányvektora v(v1;v2). Iránytangens csak akkor létezik, ha v nem párhuzamos az y tengellyel , vagyis v1 nem =0. Ekkor m=v2/v1 Induljunk ki az egyenes irányvektoros egyenletéből:v2x-v1y=v2xov1yo v1 nem =0-val, végigosztva az egyenletet kapjuk:v2/v1*x-y = v2/v1xo- yo .Ez pedig így írható: mxy = mxo- yo .A kapott egyenletet rendezve kapjuk, hogy y-yo= m (x-xo) 92. tétel Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merôlegességének - a koordinátageometriában

használatos - szükséges és elégséges feltételét ! 1. Két egyenes akkor és csakis akkor párhuzamos, ha irányvektoraik, illetve normálvektoraik párhuzamosak, vagyis egymásnak skalárszorosai. Ha az egyenesnek van iránytangense, akkor a párhuzamosságnak szükséges és elégséges feltétele, hogy a két egyenes iránytangense megegyezzen. 2. Két egyenes akkor és csakis akkor merôleges egymásra, ha irányvektoraik, illetve normálvektoraik merőlegesek egymásra, vagyis az irányvektoraik, illetve a normálvektoraik skaláris szorzata 0. Ha mindkét egyenesnek van iránytangense, akkor a merőlegesség szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyik egyenes iránytangense a másik egyenes iránytangense reciprokának a (-1)-szerese legyen. 93. tétel Bizonyítsa be, hogy a C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete(x-u)2 +(y-v)2 = r2 ! A p(x;y) pont akkor és csak akkor van a körön, ha távolsága a C(u;v) középponttól r, felhasználva a két pont

távolságát megadó képletet: (x - u) 2 + (y - v) 2 = r. Mivel mindkét oldal pozitív, ez az egyenlet ekvivalens azzal az egyenlettel, amit úgy kapunk, hogy mindkét oldalt négyzetre emeljük: (x-u)2 +(y-v)2 = r2 94. tétel Milyen tulajdonságú ponthalmazt nevezünk parabolának? A parabola azon pontok halmaza a síkban, amely egy, a síkban adott ponttol és egy -az adott pontra nem illeszkedőegyenestől egyenlő távolságra vannak. Az adott pont a parabola fókuszpontja, az adott egyenes a parabola vezéregyenese (direktrixe). A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p) A parabólát a paramétere egyértelmüen meghatározza, így a parabolák hasonlók egymáshoz. 95.A p paraméterü F(0 ; p/2) fókuszpontú parabola tengelypontja a koordinátarendszer kezdőpontja , tengelye az ordinátatengely , bizonyítsa be , hogy a parabola egyenlete x2 = 2py ! A feltételek alapján a vezéregyenes egyenlete : y = - p/2. A P(x ; y) pont akkor és

csak akkor van a parabolán , ha P-nek a vezéregyenesen lévö meröleges vetületét T-vel jelölve PF = PT , vagyis √x2 + (y - p/2)2 = y + p/2. Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve , majd rendezve kapjuk az x2 = 2py alakot , amely ekvivalens az elöbbi egyenlettel , mivel a feltételek miatt y + p/2 pozitív. 96.Milyen tulajdonságú ponthalmazt nevezünk ellipszisnek ? Az ellipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza , amelyeknek két adott ponttól mért távolságösszege állandó , és ez az állandó nagyobb , mint a két adott pont távolsága .Az adott pontok az ellipszis fókuszpontjai , az adott távolság az ellipszis nagytengelye. 97.Egy ellipszis nagytengelye 2a, kistengelye 2b (a > b) A nagytengely az abcisszatengellyel (x) , a kistengely az ordinátatengellyel (y) egy egyenesbe esik .Bizonyítsa be , hogy az ellipszis egyenlete Az ellipszis meghatározó adata : F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0) és az ellipszis nagytengelye 2a (a > c). Az ellipszis

futópontja : P(x ; y). A görbék egy tetszöleges P(x ; y) pontjához tartozó két vezérsugarat a két végpontjuk koordinátáinak segítségével felírjuk. F1P = r1 = √(x + c)2 + y2 ; F2P = r2 = √(x - c)2 + y2 ; r1 + r2 = 2a. Ezekbe az egyenletekbe behelyettesíthetjük a vezérsugarakra kapott kifejezéseket. Az elözö egyenlet kissé átalakítva : r1 + r2 - 2a = 0. (r1 + r2 - 2a)(r1 - r2 - 2a)(-r1 + r2 - 2a)(-r1 - r2 - 2a) = 0. Ha a > c , akkor azok a P(x ; y) pontok , amelyeknél az első tényező 0 , az ellipszis pontjai. Csoportosítsuk a négy tényezőt : [(r1 + r2) - 2a] [ - (r1 + r2) - 2a] [(r1 - r2) - 2a] [ - (r1 - r2) - 2a] = 0. A végeredmény : x2 +y2---- = 1. a 2 a 2 - c2 Az ellipszis alaptulajdonságaiból következik : a2 = b2 + c2. 98.Milyen tulajdonságú ponthalmazt nevezünk hiperbolának ? A hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza , amelyeknek két adott ponttól mért távolságkülönbségének abszolútértéke állandó , és ez az

állandó kisebb , mint a két adott pont távolsága . Az adott pontok a hiperbola fókuszpontjai. 99.Vezesse le egy olyan hiperbola egyenletét , amelynek a tengelyei a koordináta tengelyekre illeszkednek ! A hiperbola meghatározó adata : F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0) és a hiperbola valós tengelye 2a (a < c). A hiperbola futópontja : P(x ; y). A görbék egy tetszöleges P(x ; y) pontjához tartozó két vezérsugarat a két végpontjuk koordinátáinak segítségével felírjuk. F1P = r1 = √(x + c)2 + y2 ; F2P = r2 = √(x - c)2 + y2 ; | r1 - r2 | = 2a. Ezekbe az egyenletekbe behelyettesíthetjük a vezérsugarakra kapott kifejezéseket. Az elözö egyenlet kissé átalakítva : r1 - r2 - 2a = 0 - a jobboldali ág egyenlete -r1 + r2 = 2a - a baloldali ág egyenlete (r1 + r2 - 2a)(r1 - r2 - 2a)(-r1 + r2 - 2a)(-r1 - r2 - 2a) = 0. Ha a < c , akkor azok a P(x ; y) pontok , amelyeknél a második vagy a harmadik tényezö 0 , a hiperbola egyik vagy másik ágának pontjai.

Csoportosítsuk a négy tényezöt : [(r1 + r2) - 2a] [ - (r1 + r2) - 2a] [(r1 - r2) - 2a] [ - (r1 - r2) - 2a] = 0. A végeredmény : x2 -- y2---- = 1. a2 a 2 - c2 A hiperbola alaptulajdonságaiból következik : a2 = c2 - b2. 100. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitiv egész szám négyzetösszege n(n + 1)(2n + 1) 6 . Bizonyítás : Teljes indukcióval bizonyítjuk. Az összefüggés n = 1 - re igaz : 1 ∗ 2 ∗ 3 / 6 = 1 . Tegyük fel, hogy n - 1 - re igaz , és bizonyítsuk be , hogy (n - 1) -röl öröklődik n - re. A feltevés szerint 1˛ + 2 ˛+. +(n - 1)˛ = (n-1) n (2n-1) 6 Mindkét oldalhoz n˛ - et adunk : 1˛+ 2˛+ . +(n - 1)˛ + n ˛ = (n-1) n (2n-1) 6 A jobb oldalt közös nevezőre hozva és beszorozva ezt kapjuk : n(2n˛ - 3n + 1) + 6n˛ = n(2n˛ + 3n + 1) = n(n + 1) (2n + 1) 6 6 6 Ezzel már igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitiv egész számra igaz , mert az 1 - röl 2 - re , arról 3 - ra öröklödik , és 1 - re beláttuk , hogy az

összefüggés valóban igaz. 101.Egy számtani sorozat első eleme a1,különbsége dBizonyítsa be , hogy a n = a 1 + (n - 1) d é s Sn= n * a 1 + a n 2 A számtani sorozat olyan számsorozat,amelyben (a másodiktól kezdve)bármelyik elem és a közvetlenül elôtte álló elem különbsége állandó. A sorozat n-edik tagja: an = a1 + (n-1)*d, mivel a1 - tôl (n-1) lépésben jutunk el an - ig , és mindegyik lépésben d-t adunk az előző taghoz. A számtani sorozat elsô n elemének összegét jelöljük Snel Sn=a1+a2+.+an Az egyes tagokat a1 segítségével felírva :Sn=a1+a1+d+a1+2d++a1+(n-2)d+a1+(n-1)d Az összeget fordított sorrendben an segítségével is fölírjuk:Sn=an+an-d+an-2d+.+an-(n-2)d+an-(n-1)d A két összegben a d-t tartalmazo tagok páronként egymásnak ellentettjei. Az egyenlôségek megfelelô oldalait összeadva a d-t tartalmazo tagok így rendre kiesnek 1 2 n 2Sn = a1+ an + a1+ an+.+a1+ an = n(a1+ an) a1+ an így Sn = n * 2 . 102.Egy mértani sorozat

elsô eleme a1,hányadosa q Bizonyítsa be , hogy a nn −1 = a 1 * q é s Sq-1 (q ≠ 1) . n = a1 * q − 1 A mértani sorozat olyan számsorozat,amelyben (a másodiktól kezdve)bármelyik elem és a közvetlenül elôtte álló elem hányadosa állandó. n-1 A sorozat n-edik tagja:an=a1*q szorozzuk az elôzô tagot. , mivel a1-tôl (n-1) lépésben jutottunk el an-ig,és mindegyik lépésben q-val n-2 A mértani sorozat elsô n elemének összegét Sn - nel jelölve Sn=a1+a1*q+.+a1*q n-1 2 n-1 n +a1*q ,Snq=a1q+a1q + . +a1*q + a1q. n A második egyenlôségbôl kivonjuk az elsôt:Sn*q-Sn=a1q -a1. n q-1 Innen Sn-et kifejezve:Sn=a1*q-1 (q≠1). Ha q=1, akkor an=a1 minden n-re,így Sn=n*a1. 104.Hogyan adható meg egy függvény?(A válaszban térjen ki a jelölésekre is !) Legyen A és B két tetszôleges halmaz.Rendeljük hozzá az A halmaz minden eleméhez pontosan egy-egy elemet a B halmazból.Az így létesített hozzárendelés a függvényAz A halmaz a függvény

értelmezési tartománya A függvényeket általában kisbetűvel jelöljük.Az f függvény az A halmaz x eleméhez egyetlen B -beli elemet rendel,ezt f(x)-szel jelöljük(f függvény értéke az x helyen).Ez az f függvénynek az x helyen vett helyettesítési értéke.A függvény megadása több módon történhet,de egyérteműen tartalmaznia kell, hogy mely elemekhez mely elemeket rendel. Számfüggvényeket sokszor formulával adunk megPl: f:[0;2] R, f(x)=x -1Gyakori,hogy a függvény definíciójában szereplô két halmaz közül csak az A-t és a hozzárendelést adjuk meg.Például :x√x-1 . (x>=1). Az f valós függvény a koordinátasík mindazon pontjai képezik,amelyek koordinátáira fennáll az y=f(x) összefüggés. Megadhatunk hozzárendelést táblázat , ill.grafikon segítségével is x ¦ 1 3 5 7 -------+--------------------f(x) ¦ 1 2 3 4 Fontos függvénytípus a pozitív egész számokon értelmezett függvény,mely a valós számok halmazába

képez le (számsorozatok). 1 + 1 1 1 Például: f : n--------- ,n∈N , más jelöléssel:-- , -- , . , ------, 2 2 5 2 n +1 n+1 Valós számokon értelmezett valós értékű függvényeket gyakran úgy adunk meg,hogy csak a hozzárendelési szabályt mondjuk meg.Ilyenkor értelmezési tartománynak a valós számoknak azt a legbôvebb részhalmazát tekintjük,amelyen a hozzárendelési szabálynak értelme van. Pl.: f(x)= ⁄ 4 3 2 √ -x+5x-4x ; 1 <= x <= 4 . 105.Mit ért egy függvény értelmezési tartományán,illetve értékkészletén ? A függvény definíciója:adott egy A és B halmaz.Egy f függvény az A halmaz minden x eleméhez a B halmaznak pontosan egy f(x)elemét rendeli.Az A halmaz az f függvény értelmezési tartományaEnnek jele: Df A B halmaznak azok az elemei,amelyek a hozzárendelésnél föllépnek(vagyis az f(x) értékek )alkotják az értékkészletét az f függvénynek.Ennek jele:Rf Az értékkészlet lehet a B halmaznál

szűkebbAz értelmezési tartomány és az értékkészlet egybe is eshet,például a valós számokon értelmezett valós értékű függvények között vannak olyanok,amelyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt valós számok halmaza. 106.Mikor nevezünk egy függvényt elsôfokúnak ? Egy f függvény elsôfokú (lineáris) ,ha az f függvény egy H halmazt képez le a valós számok halmazára (H a valós számok részhalmaza ) ,és f(x) = ax+b , a≠0,a,b ∈ R . A H halmaz nem üres halmaz,és az is lehet,hogy megegyezik a valós számok halmazával.Az elsôfokú függvény grafikonja olyan egyenes,amelynek a meredeksége a, az y-tengelyt pedig a (0;b) pontban metszi. 107. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokúnak? Ha felirhato f(x)=ax2+bx+c alakban. 108. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett abszolútérték függvényt! zérushely : x=0 iranya : (x kisebb 0) - csökkenő, (x nagyobb 0) - növekvő minimuma :

x=-végtelen maximuma : x=végtelen periodikus : nem paros/lan : páros 109. Ábrázolja és jellemezze a nemnegativ valós számok halmazán értelmezett négyzetgyök függvényt ! zérushely : x=0 iranya : növekvő minimuma : x=0 maximuma : y=GYÖK x periodikus : nem paros/lan : páratlan 110. Mikor mondjuk egy függvényről, hogy a., periodikus: Az f:H - R, x - f(x) függvényt periodikusnak mondjuk, ha létezik olyan (0 kisebb p) konstans, hogy minden x-re (x eleme H) fennáll (x+p eleme H) és az f(x+p)=f(x) egyenlőség. b., páros: Az f:H - R, x - f(x) függvényt páros függvénynek nevezzük, ha bármely x (x eleme H) értékekkel együtt -x is a függvény értelmezési tartományához tartozik és bármely x-re f(-x)=f(x). c., páratlan: Az f:H - R, x - f(x) függvényt páratlan függvénynek nevezzük, ha bármely x (x eleme H) értékekkel együtt -x is a függvény értelmezési tartományához tartozik és bármely x-re f(-x)=-f(x). d., korlátos: 111.

Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy (a,b) intervallumban monoton növekszik, csökken? Ha az f függvény értelmezési tartományának egy intervallumának a változó bármely (x1 kisebb x2) értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll, hogy f(x1) nagyobb f(x2) : szigorúan csökkenő f(x1) kisebb f(x2) : szigorúan növekvő f(x1) nagyobb-egyenlő f(x2) : csökkenő f(x1) kisebb-egyenlő f(x2) : növekvő 112. Mit nevezünk egy függvény a., zérushelyének: Valamely f függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindazon x értékeit, amelyeknél f(x)=0. b., szélsőértékének: Valamely f függvény szélsőértékeinek nevezzük a függvény minimumát és maximumát. 113.Mit értünk egy függvény inverzén ? A derékszögü koordinátarendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverze grafikonja között ? Csak azoknak a függvényeknek van inverzük, amelyek kölcsönösen egyértelmü megfeleltetést létesítenek az

értelmezési tartományuk és értékkészletük között / vagyis az értékkészlet minden eleme az értelmezési tartománynak pontosan egy eleméhez van hozzárendelve / . Az f függvénynek a g függvény inverze / ilyenkor g-nek is inverze f, vagyis egymás inverzei / ha az f értelmezési tartományának minden x elemére teljesül, hogy f(x)-re g is értelmezve van és g(f(x))=x . Például a nemnegatív valós számokon értelmezett x x˛ függvénynek inverze az x √x / x nemnegatív / függvény . Ha az f és a g függvény egymásnak inverzei , akkor az f értelmezési tartománya a g értékkészlete , és az f értékkészlete a g értelmezési tartománya .Ha két függvény egymásnak inverze , akkor grafikonjaik a derékszögü koordinátarendszerben az y=x egyenletü egyenesre vonatkozó tükörképei egymásnak. 114.Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett xax függvényt /a > 1, illetve 0 < a < 1 / ! A függvény grafikonja, ha

: a>1: 0<a<1: Értelmezési tartománya : a valós számok halmaza . Értékkészlete : a pozitív valós számok halmaza . Minden pozitív értéket pontosan egyszer vesz fel , tehát invertálható / vagyis inverz függvénye /. Zérushelye nincs , szélsöértéke nincs , nem korlátos. a > 1-re szigorúan monoton nö / x1 < x2 esetén f(x1) < f(x2) /. 0 < a < 1-re szigorúan monoton fogy / x1 < x2 esetén f(x1) > f(x2) / 115.Ábrázolja és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett xloga x függvényt / a > 1, illetve 0 < a < 1 / ! A függvény grafikonja ha : a>1: 0<a<1 Értékkészlete : a valós számok halmaza. Értelmezési tartománya : a pozitîv valós számok halmaza Minden értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát invertáható. A függvénykapcsolat kölcsönösen egyértelmü Zérushelye nincs , szélsöértéke nincs , nem korlátos. a > 1-re szigoróan monoton nö 0 < a < 1-re

szigoróan monoton fogy. A függvények grafikonja az x tengelyt az (1;0) pontban metszi Az x loga x / x pozitív / és az x a*x függvények egymás inverzei. 125. Bizonyítsa be, hogy lim sin x x 0 = 1! C E x tgx sinx . x 1 A D A bizonyítás első részében azt látjuk be, hogy : x ∈ / o; π 2 B / esetén sin x 〈 x 〈 tgx ; x ∈ / − π 2 ;0 / esetén tgx 〈 x 〈sin x teljesül. Mivel mindhárom függvény páratlan, így elég az állítás egyik felét belátni. tgx 1 tgx TABC ∆ = = derékszögű háromszög 2 2 TABE = TABE ∆ x egységnyi sugarú körcikk 2 sin x1 sin x = = háromszög. 2 2 Mivel ezek a síkidomok egymást tartalmazzák: x ∈ /0; π 2 / -re. Vizsgálódjunk tovább /0; Mivel sin x 〈 x , így sin x Mivel tgx 〉 x , így 1 x π 2 / -ben. 〈1. 1 sin x sin x 〈 , tehát 〈 . tgx x tgx x sin x x tgx 〈 〈 azaz 2 2 2 sin x 〈 x 〈 tgx minden Mivel sin x tgx = cos x , így minden x ∈ /0; π 2 /

-re cos x 〈 sin x x 〈1 teljesül. π x ∈ / − ; 0 / -ra is. Az egyenlőtlenségre alkalmazva a 2 sin x sin x =1 〈1, így lim "rendőr elv"-et lim cos x = 1 lim1 = 1, tehát, ha x 0 cos x 〈 x x 0 0 0 Mindkét függvény páros, így igaz 126. Bizonyítsa be, hogy az x cos x függvény derivált függvénye minden valós helyen az x sin x függvény! Az m / x / = cos x − cos x 0 az f / x / = cos x függvény x 0 -nál képzett differenciahányadosa. x − x0 Ennek x 0 helyen vett határértéke adja a derivált függvényt. A számláló szorzatátalakításához felhasználjuk, hogy cos / α + β / − cos / α − β / = −2 sin α sin β . Ebbe az azonosságba x + x0 x − x0 α= és β = egyenleteket írjuk. 2 2 x − x0 x + x0 * sin Ekkor kapjuk: cos x − cos x 0 = −2 sin egyenletet. 2 2 x − x0 x + x0 x − x0 −2 sin * sin sin cos x − cos x 0 2 2 = 2 *( − sin x + x 0 ) = Ebből: x − x0 x − x0 2 x − x0 2 x − x0 sin cos x − cos x

0 2 *( − sin x + x 0 ) = 1 (sin x ) = − sin x = 0 0 lim lim x − x0 2 x − x0 x0 x0 2 Tehát: (cos x ) = − sin x . 127. Bizonyítsa be, hogy az x x n (n adott pozitív egész) függvény derivált függvénye az x n * x n−1 függvény! f / x / = x n n tetszőleges pozitív egész x ∈ R x ≠ x 0 . Az f / x / függvény x 0 helyhez tartozó differenciahányadosa: n n −2 n −1 x n − x0 / x − x 0 / * / x n−1 + x n−2 x 0 +. + x * x 0 + x 0 m/ x/ = = x − x0 x − x0 Az egyszerűsítést elvégezve: n −2 n −1 m / x / = x n−1 + x n−2 x 0 +. + x * x 0 + x 0 n −1 Ennek az x 0 helyen vett határértéke: lim m / x / = n * x 0 x0 Tehát a derivált: / x n / = n * x n−1 128. Bizonyísa be, hogy az x sin x függvény derivált függvénye minden valós helyen az x cos x függvény! Az f / x / = sin x x ∈ R x ≠ x 0 függvénynek az x 0 helyhez tartozó differenciahányadosa: sin x − sin x 0 m/ x/ = x − x0 A számláló szorzattá

alakításához felhasználjuk, sin / α + β / − sin / α − β / = 2 cos α * sin β x + x0 x − x0 és β = értékeket helyettesítjükbe. Ekkor: Ebbe az azonosságba α = 2 2 x − x0 sin x − x0 x + x0 2 *cos x + x 0 sin x − sin x 0 = 2 sin *cos = x − x0 2 2 2 2 x − x0 sin sin x − sin x 0 2 *cos x + x 0 = 1 cos x = lim 0 lim x − x0 2 x − x0 x0 x0 2 Tehát / sin x / = cos x hogy 129. Mikor mondjuk, hogy az [a; b] intervallumon értelmezett korlátos f/x/ függvény az [a; b] intervallumon Reimann szerint integrálható? Tekintsük az f / x / függvényt egy az [a; b] intervallumon. Az [a; b]-t osszuk fel n egyenlő részre /n: pozitív egész szám / y f/x/ 0 a x b a = x 0 ; x1 ; x 2 ;. x n−1 ; x n = b a = x0 Legyenek x1 ; x 2 ; x 3 ;. x n−1 b = xn az osztáspontok. Legyen x i − x i −1 = ∆x i (i = 1, . n) két osztáspont távolsága n hi = min f / x / x ∈ x i −1 ; x i Legyen függvényértéke. n H i = max f / x / x ∈ x i

−1 x i s az adott kis intervallum legkisebb saz adott kis intervallum legnagyobb függvényértéke. n Az sn = Σ ∆x i * hi a beírt téglalapok területösszege /alsó közelítő összeg/ i =1 n S n = Σ ∆x i * H i a külső téglalapok területösszege /felső közelítő összeg/ i =1 Ha létezik lim sn lim S n = A határérték akkor ezt a közös értéket az ∞ = ∞ b]-ben vett határozott integráljának nevezzük. /Reimann szerinti integrál/ f / x / függvény [a; z b Jelölés: f / x / dx = A a 130. Mit nevezünk az f függvényprimitív függvényének? Egy olyan F függvényt, amelynek deriváltja az f függvény, az f függvény egy primitív függvénynek nevezzük. f : a; b R F : a; b R f integrálható a; b -n; F folytonos, és differenciálható F / x / = f / x / minden x ∈ a; b -re. Ekkor F / x / az f / x / -nek egy primitív függvénye. 1 31.Mit jelenthet az, ha egy függvénynek egy x helyen a deffiniálhányadosa nulla ?

f(x)-f(x ) Az f függvény x ponthoz tartozó differenciahányadosán az (x=x ) , x=0 hányadost értjük. x-x Azt a hányadost amely az ordináták f(x) f(x ) külömbségének a hányadosa differenciálhányadosnak nevezzük. 132.Az f függvény az x helyen differenciálható Hogyan értelmezhető f grafikonjának érintője az x abszcisszájú pontban? x=x ponthoz tartozó differenciálhányados függvénynek az x pontban vett lim-jét az y f(x) függvény x pontbeli differenciálhányadosának nevezzük. lim f(x)-f(x ) x- x x-x Ha az f függvény az x pontban differenciálható, akkor az x pontban folytonos is. Ebből következik, hogy a folytonosság a differenciálhatóság szükséges feltétele. 133.Legyen f az ]a;b[ intervallumon differenciálható Mit értünk f derivált függvényén ? Ha az]a;b[ intervallumban differenciálható f függvény az intervallumban monoton nő, akkor az f´ derivált az intervallum minden pontjában nemnegatív. Ha f(x )=0 és az x

környezetében a derivált előjelet vált,akkor az f függvénynek az x pontban biztosan létezik lokális szélsőértéke. Ha a differenciálhányadosnak az x pontban van határértéke, akkor ezt a határértéket az f függvény x pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük. Ha a differenciálhatóság az f függvény értelmezési tartományának adott ]a;b[ intervallumában minden pontban teljesül, akkor a függvényt az ]a;b[ intervallumban differenciálható függvénynek nevezzük. 134.Bizonyitsa be a Newton-Leibniz tételt ! A változó felső határú határozott integrál e felső határának folytonos függvénye, és az integrandusnak primitív függvénye : ha f(t)dt=F(x), akkor F(x)=f(x). E tétel geometriai intrepretációja: az ábrán a változó terület x szerint vett differenciálhányadosa egyenlő az NM változó végső ordináta hosszával. 135.Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a gúlát és a

kúpot? A sokszöglapokkal határolt konvex testek a poliéderek. Húzzunk egy sokszögvonal pontjain át a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel párhuzamos egyeneseket. Ekkor egy végtelenbe nyúló felületet kapunkMessük ezt a felületet a sokszög síkjával párhuzamos síkkal. A keletkezett testet hasábnak nevezzük A párhuzamos sokszögek a hasáb alapjai (alap-és fedőlap).A többi lap az oldallap, ezzek paralelogrammák. Az oldallapok együtt a hasáb palástját alkotják Az alap-,ill a fedőlap síkjainak távolsága a hasáb magassága. Az alaplapok oldalait alapéleknek, két-két szomszédos oldallap közös éleit oldaléleknek nevezzük. A hasáb származtatásakor húzott egyeneseknek az alaplapok közé eső darabjai a hasáb alkotói. Az oldalél is alkotó Ha az egyenes hasáb alaplapja szabályos sokszög, akkor a hasábot szabályos hasábnak nevezzük. Ha egy kör pontjain át a kör síkjára merőleges egyeneseket húzunk, akkor egy

végtelenbe nyúló felületet kapunk, amelyet henger felületnek nevezzünk. Ha ezt a felületet a kör síkjával és egy, ezzel a síkkal párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor testet kapunk, amelyet hengernek nevezzünk. A henger két párhuzamos és egybevágó körlap és a henger felületének a két körlap közé zárt része, a palást határolja. A körök a henger alaplapjai (alap-,ill. fedőlapja) A palástra illeszkedő egyenes szakaszok a henger alkotói Húzzunk egy pontbol egysokszögvonal pontjaihoz félegyeneseket. Ha a pont nincs a sokszög síkjában, akkor egy végtelenbe nyúló felületet kapunk, amalyet gúlafelületnek nevezzünk. Ha ezt a felületet a sokszög síkjával elmetsszük, testet kapunk, amelyet gúlának nevezzünk. A gúla speciális poliéder A sokszög a gúla alaplapja, a többi lapja háromszög, ezzek a gúla oldallapjai. Az oldallapok együttesen a gúla palástját alkotják Az alaplap oldalai a gúla alapélei, a többi él a gúla

oldaléle. A gúla csúcsát és az alaplap peremvonalának bármelyik pontját összekötő szakasz a gúla alkotója. Adott kör középpontjában állítsunk merőlegest a kör síkjára, és ezen az e egyenesen jelöljünk ki egy a kör közeppontjától különböző P pontot.Ha a P ponton és a körvonal pontjain át egyeneseket fektetünk, akkor kúpfelülethez jutunk. P a kúp csúcsa Ha a kúpfelületet a kör síkjával elmetsszük, és a kör pontjait a csúccsal összekötő egyenesekből csak a kör pontjait és a csúcsot összeköző szakaszokat tartjuk meg, akkor egyenes kúpot kapunk. A kör a kúp alapja A csúcsot az alaplap kerületének pontjaival összekötő, egyenlő hosszú szakaszok a kúp alkotói. Az alkotók a palástot alkotják 136. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, m magasságú hasáb térfogata V=Tm ! Egy háromszög alapú egyenes hasábot vizsgálunk meg. Ez a hasáb átdarabolható téglalap alapú egyenes hasábbá. Legyen az ABC

alaplap és a vele egybevágó A1B1C1 fedőlap leghosszabb oldala AB=A1B1 (BC=B1C1,AC=A1C1,dAB=>dBC és dAB=>dCA). E,F,G,H legyenek oldalfelező pontok Ekkor EG=CC1=FH1,EF=GH. Húzzunk merölegest a C pontból az EF szakaszra ésC1pontból a GH szakaszra. Mivel AB1 ill A1B1 az ABC, ill az A1B1C1 háromszög leghosszabb oldala, azért a merőlegesek M és N talppontjai az EF, ill. a GH szakaszra illeszkednek CM=C1N és MN=HF. Tükrözzük a FMCHNC1 hasábot az FH egyenesre és az EMCGNC1 hasábot az EG egyenesre. Ekkor az ABQRA1B1Q1R1 téglatestet kapjuk. Ennek a térfogata az alapterület és a magasság szorzata.De a téglatest alapjának területe egyenlő a háromoldalú hasáb alapjának a területével.(TABQR=TABC) Ezzel a térfogatképlettel a háromoldalú egyenes hasábra igazoltuk. A sokszög alapú egyenes hasáb felbontható olyan hasábokra,amelyek alapjai háromszögek,a magasságuk pedig közös.Jelőljük a háromszögek területét T1,T2,,Tn-1,Tn-nel,a hasáb

magasságát m-mel. Ekkor az egyenes hasáb térfogata a részek térfogatainak összege: V=T1m+T2m+.+Tn-1m+Tnm=(T1+T2++Tn-1+Tn)m A zárójelben álló összeg a hasáb alapjának területe.Jelöljük T-velEkkor V=Tm Az egyenes hasáb térfogata az alapterület és a magasság szorzata. 137.Matematika tetel Bizonyitsa be, hogy az r sugaru, kör alapú, m magasságú henger térfogata V=r*rpím! Tétel: A T alapterületü, m magasságú henger térfogata az alapterület és a magasság szorzataként számítható ki. V=Tm Bizonyítás: 1; Elsö feltétel, hogy az alaplapnak legyen területe.Az alaplap belsö sokszögei és külsö sokszögei fölé a henger alkotójával, mint hasáboldaléllel hasábokat szerkesztünk. 2; A beirt sokszög oldalszámát növelve növekvôsorozatot kapunk, egyre jobban megközelítjük a henger alapterületét. Igy a beírt hasábok alapterületének a felsô határa a henger alapterülete.A körülírt sokszögek oldalszámát növelve egy csökkenô

sorozatot kapunk, egyre jobban megközelítjük a henger alapteröletét.A körülírt hasábok alapteröletének alsó határa is az alaplap területét adja. 3; A henger térfogata tehát az alapterület és a magasság szorzataként kapható meg. V=Tm 4; Ha az alaplap r sugarú kör, és a magassága m, akkor a körhenger térfogata: V = rr pí m 137. 138.Matematika tétel Bizonyítsa be, hogy a T alapterületü, m magasságú gúla térfogata V = Tm/3 ! Tétel: A T lapterületü, m magasságú gúla térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmadaként számítható ki: V = Tm/3 Bizonyítás: 1; A háromszög alapú hasáb felbontható három egyenlô térfogatú gúlára. Készítsünk ábrát! Az ABCD gúla alaplapja ABC, magassága a hasáb magassága. A másik a DEFC gúla, alaplapja DEF magassága a hasáb magassága Tehát ez a két gúla egyenlô térfogatú A BCDE gúla BDE alaplapja egybevágó az ABCD gúla alaplapjával. A C csúcsból az ABED-re

húzott magasság közös.Igy beláttuk, hogy az ABCD gúla és a BCDE gúla térfogata is egyenlô.Tehát a hasábot szétdaraboltuk három egyenlô térfogatú gúlává, így a térfogat: V = Tm/3 2; Rajzoljunk két egybevágó gúlát, osszuk a magasságot n egyenlô részre.Az osztópontokon át fektessünk az alaplappal párhuzamos síkokat Itt a metszetsíkok legyenek a hasábok fedôlapjai E beírt hasábok együttes térfogatát számoljuk ki és jelöljük v(n)-nel. 3; Irjuk fel a térfogatösszeget: v(n) = mt1/n + mt2/n + mt3/n + . + mt(n-1)/n A síkmetszetek középpontosan hasonlók az alaplappal, ezért az i-edikre fennál, hogy a területük a csúcstól mért távolságuk négyzetével arányos. t(i)/T = i i/n n, ebbôl: t(i) = T i i/n n Igy v(n) = m/n * T 1 1/n n + m/n T 2 2/n n + . + + m/n * T (n-1)(n-1)/n n 4; Kiemelünk, és felhasználjuk a négyzetszámok összegére vonatkozó képletet: v(n) = m/n * T(11+22+.+(n-1)(n-1)) = T*m/nnn * (n-1)n(2n-1)/6 v(n) =

Tm/6 * (1-(1/n)) (2-(1/n)) Ha n nagy szám, akkor 1/n nagyon kicsi, azaz a nullához tart. 5; Az egyszerüsítéseket elvégezve a beírt hasábok térfogatösszege: v(n) tart Tm/3 ha n tart végtelenhez 6; A körülírt hasábok térfogatösszege teljesen hasonlóan felírható, azzal a különbséggel, hogy ott n hasáb szerepel. V(n) = m(t1)/n + m(t2)/n + . +m(tn)/n - bôl adódik: V(n) = Tm/6 * (1+(1/n))(2+(1/n)) v(n) tart Tm/3 ha n tart végtelen 7; Ha a gúlát elég sok részre "szeleteljük", akkor a beírt és körülírt hasábok egymástól való eltérése egyre kisebb, s így köztük a keresett gúla térfogata adódik.  n(n) < = V = Tm/3 < = V(n) 139.Matematika tétel Bizonyítsa be, hogy ha a csonkagúla alapjai T és t, magassága m, akkor térfogata V = m/3(T+űTt+t)! Tétel: Ha a csonkagúla alaplapjainak területe t és T, magassága m, akkor a térfogata: V = m/3(T+űTt+t) Bizonyítás: 1; A csonkagúlát úgy származtatjuk, hogy az

alaplappal(T) párhuzamosan lemetszünk egy t alapterületü x magasságú gúlát. A csonkagúla térfogatát megkapjuk, ha a teljes gúla térfogatából kivonjuk a kiegészítô gúla térfogatát. V = T(m+x)/3 - T*x/3 2;Felhasználva, hogy a gúla alappal párhuzamos síkmetszetének és az alapterületének aránya egyenlô a csúcstól mért távolságok négyzetének az arányával: T/t = (m+x)(m+x)/x*x 3;Ezt átalakítva: T/(m+x)(m+x) = t/x*x = k, ahol k állandó. Igy a következô adódik : T = k(m+x)(m+x) és t = k * xx, a csonkagúla térfogata: V = k(m+x)(m+x)(m+x)/3 - k * xxx/3 = = k/3 [(m+x)(m+x)(m+x)-x*xx] 4;Alkalmazzuk az a*aa-bbb = (a-b)(aa+ab+bb) összefüggést, ekkor: [(m+x)(m+x)(m+x)-x*xx] = [(m+x)-x][(m+x)(m+x)+(m+x)x+xx] = = m[(m+x)(m+x)+(m+x)x+x*x] Ezt visszahelyettesítve a térfogatképletbe: V = k/3[(m+x)(m+x)(m+x)-x*xx] = k/3 m[(m+x)(m+x)+(m+x)x+xx] V = m/3[k(m+x)(m+x)+k(m+x)x+k * xx ] 5; A 3. pontbeli egyenlôségeket figyelembe véve: k(m+x)(m+x) = T

és k*xx = t, illetve: k(m+x)x = űk(m+x)(m+x)kx*x = űTt 6; Ezeket behelyettesítve bizonyítottuk a tételben leírtakat:  V = m/3(t+űTt + t) 141.Matematika tétel Tétel: A T alapterületü, m magasságú kúp térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmadrésze: V = Tm/3 Bizonyítás: 1; Elsô feltétel, hogy az alaplapnak legyen területe. Az alaplap belsô sokszögei fölé a kúp alkotójával, mint gúlaoldaléllel gúlákat szerkesztünk. 2; A beírt sokszög oldalszámát növelve növekvô sorozatot kapunk, egyre jobbam megközelítjük a kúp alapterületét. Igy a beírt gúlák alapterületének a felsô határa a gúla alapterülete.A körülírt sokszögek oldalszámát növelve egy csökkenô sorozatot kapunk, egyre jobban megközelítjük a gúla alapterületét. A körülírt gúlák alapterületének alsó határa is az alaplap területét adja 3; A kúp térfogata tehát az alapterület és a magasság szorzatának a harmadrészeként kapható

meg : V = Tm/3 4; Ha az alaplap r sugarú kör, és a magassága m.akkor a körkúp térfogata: V = (r*r¶m)/3 139. 142.Matematika tétel Tétel: Az R sugarú gömb térfogata: V = (4*¶)/3 RRR Bizonyítás: 1; Egy R sugarú félgömböt helyezzünk az alapsíkra. 2; Használjuk fel az úgynevezett "Cavalieri elvet"! Ha két azonos sikon álló test esetében: 2a; Egyenlôk az alpaterületek.a magasságok, é minden egyes ,az alaplappal párhuzamos síkban levô metszetüknek a területe, 2b; és mindkét testhez van olyan egyenes ,amellyel párhuzamos egyeneseknek a testhez tarozó pontjai az alpsíkon végzôdô szakaszt alkotnak, akkor e két testnek egyenlô a térfogata is. 3; Az elôbbi félgömb mellé helyezzünk egy R sugarú, Rmagasságú hengert, és ebbôl "vágjunk ki" egy R sugarú R magasságú kúpot, melynek csúcsa az alaplapon van.Igy ennek a testnek a térfogata: V(h)-V(k) = R*R¶R-(RR¶R)/3 = 2RRR¶/3 4; Alkalmazható-e Cavialieri elve ?

Az alapsíkon mindkét test alapterülete R*R¶, R magasságban mindegyik síkmetszet területe 0. Egy tetszôleges d magasságban metsszük el a két testet. a gömb síkmetszete egy r sugarú kör, ahol r*r Pitagorasz tétele alapján: r*r = RR - dd, tehát T(g) = (RR-dd)¶ A mésik test síkmetszete egy körgyürü, a nagy sugár a henger sugara: R a belsô sugár éppen d, mert a kúp alkotója 45 fokos szöget zár be az alappal.Tehát a körgyürü területe: T(k) = R*R¶ - dd¶ A két terület megegyezik, éaz alaplapra merôleges egyenesek testhez tartó szakaszai az alaplapon végzôdnek, tehát a Cavalieri-elv alkalmazható, így a félgömb térfogata megegyezik a henger és kúp térfogatának különbségével. 5; A gömb térfogata tehát: V = 4¶/3 * RRR  143.Tétel Bizonyitsa be , hogy a csonkakúp alapjai r és R sugarú körök , magassága pedig m , m∗ π akkor térfogata V = ∗ ( R 2 + Rr + r 2 ) 3 Csonkakúp : Ha egy kúpot az alapjával párhuzamos sikkal

elmetszünk, egy kúpot és egy csonkakúpot kapunk . Egészitsük ki a csonkakúpot kúppá ! A kúp magasságát és az alapkörök középpontját tartalmazó sikkal messük el ezt a kúpot . Igy kapjuk az ábrán látható metszetet . A kiegészitő kúp magasságát jelöljük x -szel . Az egész kúp magassága ekkor m + x Az ábrán látható ABC és A′ B′ C ∆ -ek hasonlóak , tehát : x m+x = r 2r = 2R R . Ebből x -et akarjuk kifejezni . x ∗ R = m∗ r + x ∗ r x ( R − r ) = m∗ r x= A csonkakúp térfogata : V = π 3 m∗ r R −r ∗R2 (m + x) − π 3 π 3 ∗r2∗ x = π 3 ∗(R 2 ∗ m + R 2 ∗ x − r 2 ∗ x ) = ∗ [R 2 ∗ m + ( R 2 − r 2 )∗ x ] Ezután leirjuk az x - re kapott értékeket és felhasználjuk az a 2 − b2 = ( a + b)∗ ( a − b) azo- nosságot :V = π 3 [R 2 ∗ m + ( R + r )∗ ( R − r )∗ m∗ r m∗ π ]= ∗(R 2 + R∗ r + r 2 ) R −r 3 144. Tétel Egyenes csonkakúp alapjai r , illetve R sugarú

körök , az alkotó hossza a Bizonyitsa be , hogy felszine A = π [ R 2 + r 2 + ( R + r ) a ] ! Az egyenes csonkakúp felszinén az alaplap , a fedőlap és a palást területeinek az összegét értjük . Az alaplap területe : T = R π ,a fedőlap területe : t = r π , ahol R ay alap ;s r a fedőlap sugara . A palást területének kiszámitásához vegyük figyelembe annak a forgáskúpnak a palástját , amelyből az egyenes csonkakúpot származtattuk . A forgáskúp palástja a sikban kiterithető körcikk . Ha ebből a körcikkből elhagyjuk a forgáskúpból lemetszett forgáskúp palástját , akkor az egyenes csonkakúp sikban kiteritett palástját kapjuk . Az egyenes csonkakúp palástjának a területe két körcikk területének a különbsége . Az egyik ivének a hossza 2R π , a másik ivének a hossza 2rπ .A sugaraik a+x és x , ahol a az egyenes csonkakúp , x a lemetszett forgáskúp alkotója . Az egyenes csonkakúp palástja : 2 2 P= Átalakitva : (1) x

kifejeyhető R , r és a segitségével . 2R π( a + x ) 2r πx − 2 2 P = R πa + ( R − r ) πx x x +a = r R Innen x= ra R −r { Ha (R>r) } Helyettesitsük be x értékét ( 1 ) be . P = R πa + ( R − r ) π Az egyenes csonkakúp felszine : ra = ( R + r ) πa R −r . A = R 2 π + r 2 π + ( R + r ) πa . 145.Tétel Bizonyitsa be , hogy az r sugarú gömb felszine A = 4 r 2 π ! Nem egyszerű feladattal kell megbirkozni , ha a gömb felszinét akarjuk meghatározni . Ugyanis a gömbfelület és annak bármilyen részét a sikba nem terithetjük ki a felület deformálódása nélkül . Ezért újra a közelités módszerét alkalmazzuk . Mielőtt rátérnénk a gömb felszinének a kiszámitására , előbb egy segédtételt igazolunk. Illeszük az r sugarú körhöz egy P1 P2 szakaszt , amely a kört a P pontban érinti és a P pont a P1 P2 szakaszt felezi . Forgassuk a kört egy , a P1 P2 -re nem merőleges átmérője körül . Ekkor a kör egy gömbfelületet ,

az érintő szakasz egy csonkakúppalástot ir le A csonkakúp palástjának felszine olyan henger palástjának a felszinével egyenlő, amelynek alapköre a gömb főköre , a magassága pedig az egyenes csonkakúp magassága . Bizonyitás Legyen AB a kör átmérője , O a kör középpontja , és az O ponton átmenő és az AB -re merőleges t egyenes legyen a forgástengely . A P1 , P , P2 pontoknak a t egyenesre eső merőleges vetületei rendre R1 , R , R2 Forgassuk a kört és a P1 P2 szakaszt a t tengely körül . Ekkor a keletkezett csonkakúp palástjának felszine : f = ( dP1R1 + dP 2R 2 ) πdP1P 2 . Mivel a P1 P2 R2 R1 trapéz középvonala a PR szakasz , azért dP1R1 + dP 2R 2 2 Ezt figyelembe véve : = dPR . f = 2πdP1P 2dPR . Igy P1 P2 Q és a POR derékszögű háromszögek hasonlók , mert P1P2Q szög egyenlő a QPR szögekkel . Ezért a megfelelő oldalak aránya egyenlő : dP1P 2 : dP 2Q = r : dPR , s innen De dP1P 2dPR = dP 2Q r . dP 2Q a csonkakúp

magassága (m) . Igy a csonkakúp palástjának felszine : f = 2πrm , amit biyonzitani kellet . Alkalmazzuk a segédtételt a gömb felszinének kiszámitására . Illeszünk egy r sugarú körhöz 2n oldalú szabályos érintősokszöget . (n=5) Az A1 A10 (A1 A2n) és az A5 A6 (An An+1) oldalak párhuzamosak egymással . Forgassuk meg a kört és a sokszöget a t egyenes körül , amely átmegy a kör középpontján és merőleges az A1A2n oldalra . A kör egy r sugarú gömbfelületet , az érintősokszög csonkakúppalástokat , esetleg hengerpalástot , az A1 A2n és az An An+1 szakaszok körlemezeket irnak le . Jelöljük a csonkakúp magasságait m1, m2, m3, .mn-1 -gyel Alkalmazzuk az előbbi segéd-tételt Ekkor a szabályos sokszög által leirt test felszine : F2n = π( F2n = a2n a22n 2 2 ) 2 + 2πrm1 + 2πrm2 +. +2πrmn−1 + π( π + 2πr ( m1 + m2 +. + mn−1 ) a2n 2 )2 , . A zárójelben álló összeg a gömb átmérője : 2r . Tehát F2n = a22n 2 π

+ 4r 2 π . Ha növeljük az érintősokszög oldalainak számát ( n ∞) , a csonkakúp palástok jobban hozzásimulnak a gömb felületéhez . Ekkor a2 n 0 Célszerű a segédtétel alapján azt mondani , hogy a gömb felszine : A = 4r 2 π . A gömb felszine egyik főköre területének a négyszeresével egyenlő . 2 146.Tétel Határozza meg a következő fogalmakat ! A-Biztos esemény . B-Lehetetlen esemény . C-Egymást kizáró események . D-Komplementer események . A A biztos esemény egy olyan 147.Tétel Határozza meg a következő fogalmakat ! A-Egy esemény bekövetkezésének gyakorisága . B-Egy esemény bekövetkezésének relativ gyakoriséga . A 148.Tétel Bizonyitsa be , hogy n különböző elem összes permutációinak száma : n ! = n(n-1)*(n-2).3*21 -Adott n elem valamely sorrendjét az adott elemek egy permutációjának nevezzük . -Az n elem összes lehetséges sorrendjét , az n elem permutációinak számát Pn -nel jelöljük . -Vegyünk egy

n rekeszes dobozt és vizsgáljuk meg hány féle képpen lehet elhelyezni az 1 , 2 ,3 . n elemeket a megadott helyre -Az első rekeszbe az n elem bármelyike választható , igy ez a rekesz n féleképp tölthető be . A második rekeszbe az első helyre más elem már nem választható , igy a második rekeszbe n-1 elem bármelyike tehető . Ez az első rekesz minden lehetséges kitöltése mellett , a máso- dik rekesz kitöltésére n-1 féle lehetöséget ad . -Az első két rekesz kitöltésére tehát n * (n-1) lehetőség van . -A harmadik rekeszbe már csak n-2 elem közül választhatunk .Igy az első három rekeszbe n*(n-1)(n-2) féleképp tehetők az elemek . -Hasonlóan látható be , hogy a következő helyek mindegyike egyel kevesebbféleképp tölthető be , mint az előző hely . Az (n-2) -ik rekeszbe 3 , az (n-1) -ik rekeszbe két elem közül választhatunk , az n. rekeszbe már csak egy elem marad . -Az n különböző elem összes permutációinak száma :Pn =

n(n-1).3*21 . -Az első n természetes szám szorzatát röviden igy jelöljük : n! /n faktoriális / . Igy Pn = n! 149: Bizonyítsa be, hogy n különböző elem k-ad osztályú variációinak száma k) ! n! (n- n elem k-ad osztályú variációinak a számát Vn,k-val szokás jelölni. A sorbarendezési tétel alap-ján általánosan is megadhatjuk Vn,k értékét. Ebben az esetben ugyanis n elemböl k számú rekeszt kell kitöltenünk Az elsö helyre n-féleképpen választhatunk elemet, a következöbe a maradék n-1 közül választhatunk, a harmadikba n-2 féle módon, és így folytatva, az utolsó, k-adik rekeszt n-k+1 módon tölthetjük meg, ezért a sorbarendezés lehetöségeinek a száma : n,k = n*(n-1)(n-2) . *(n-k+1) Ezt az eredményt valamivel rövidebben is felírhatjuk; szorozzuk meg elözö egyenlöségünk jobb oldalát (n-k)!-sal és ugyanakkor osszuk is el ezzel, és vegyük figyelembe, hogy n*(n-1) . *(n-k+1)(n-k)! = n! : n! Vn,k = ----------(n-k)!

150:Bizonyítsa be, hogy n különböző elem k-ad osztályú kombinációinak száma n n! -- = ----------- k 151: k! (n-k)! Bizonyítsa be a binomiális tételt! 152: Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlö két halmaz? legyen A, B , és C halmaz A halmaz legyen a magas emberek halmaza, B halmaz legyen a kövér emberek halmaza, C halmaz legyen a szöke emberek halmaza. Akkor egyenlő két halmaz, ha elemszámuk ugyanannyi és minden elemük megegyezik. 153: Legyen A és B két tetszöleges halmaz. Mikor mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek ? Ha B tartalmazza A minden elemét és még azon felül van legaláb egy eleme, amely nem eleme A-nak, akkor mondhatjuk el A-ról, hogy a B halmaz részhalmaza. 154: Legyen A és B két tetszöleges halmaz. Mit értünk A és B direkt ( Descartes-féle ) szorzatán? Az A és B halmazok direkt szorzatán az összes olyan (a,b) rendezett pároknak halmazát a értjük, amelynél a eleme A-nak és b eleme B-nek; a

rendezettség azt jelenti, hogy a páron belül az A-hoz tartozót tekintjük elsőnek és a B-hez tartozót a másodiknak. A és B szorzatának jele : A X B. A X B tehát általában nem azonos B X A-val A X B más elnevezése: A és B Descartes-féle szorzata legyen például: A = { 1, 2, 3} B = { 4, 5 } akkor : A X B = { ( 1, 4), ( 1, 5), ( 2, 4), ( 2, 5), ( 3, 4), ( 3, 5) } B X B = { ( 4, 4), ( 4, 5), ( 5, 4), ( 5, 5) } A X B Descartes-féle szorzat elnevezése onnan származik, hogy ha A a valós számok halmaza, A X A a sík pontjainak Descartes-féle koordinátáiból áll. 155. tétel Két vagy több halmaz uniójának nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelynek a két vagy több halmaz közül legalább az egyiknek elemei. Az únióképzés jele: U. A definícióból következik, hogy az únióképzés kommutatív művelet: A U B=B U A, ugyanis mindkét sorrendben képezzük is az úniót,az ugyanazt az egyesítést jelenti. Hasonló meggondolásból következik az

únióképzés asszociatív tulajdonsága:(AUB)UC = AU(BUC)=AUBUC (A zárójelpároktól független a kifejezés, ezért az el is hagyható) Két vagy több halmaz metszetének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek mindkét vagy valamennyi halmaznak az elemei. A metszetképzés jele: ´. A definícióból következik, hogy a metszetképzés kommutatív művelet: A´B=B´A, ugyanis mindkét sorrendben képezzük is a közös elemeket,ugyanazokat kapjuk. A metszetképzés asszociatív tulajdonságú művelet: (A´B)´C=A´(B´C)=A´B´C. Az A és B halmaz (ebben a sorrendben tekintett) különbségének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát,amelyek elemei az A halmaznak és nem elemei a B halmaznak. A különbség jelölése: AB 156. tétel A konjunkció (=összekapcsolás, együttállás) két egyszerű kijelentést az és kötőszóval kapcsol össze. A P és a Q kijelentés konjunkciójának jele:P/Q (olvasd:"P és Q"). Az és kötôszónak a

konjunkciónál való értelmezése ugyanaz, mint a mindennapi szóhasználatban A P/Q logikai értéke kizárólag akkor igaz, ha P logikai értéke is, Q logikai értéke is igaz. A konjunkció értéktáblázata: Az értelmezésbő következik, hogy a P/Q=Q/P. Kettônél több állítás konjunkcióját is állítások konjunkciója:A1/A2/./An Ennek Az értelmezésbôl következik, hogy a (A1/A2)/A3=A1/(A2/A3)=A1/A2/A3. P i i h h Q i h i h P/Q i h h h konjunkció kommutatív mľvelet,azaz értelmezzük: Az A1,A2,.,An logikai értéke is igaz. konjunkció mľvelete asszociatív: 157. tétel A diszjunkció (=elválasztás, szétválasztás) két egyszerľ kijelentést a (megengedô) vagy kötôszóval kapcsol össze. A P és a Q diszjunkciójának jalölése:P/Q (olvasd:"P vagy Q"). A P/Q kijelentést akkor tekintjük igaznak,ha a két kijelentés közül legalább az egyik igaz. A diszjunkció értéktáblázata: P ¦ Q ¦ P/Q ----ě----+------i¦i ¦ i i¦h ¦ i h¦i

¦ i h¦h ¦ h Az értelmezésbôl következik,hogy a diszjunkció kommutatív mľvelet: P/Q=Q/P. Kettônél több állítás diszjunkcióját is értelmezzük: Az A1,A2,.,An kijelentések diszjunkciója:A1/A2/./AnEnnek logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha a kijelentések közül legalább egy kijelentésnek igaz a logikai értéke. Az értelmezésbôl az is következik, hogy a diszjunkció asszociatív tulajdonságú mľvelet:(A1/A2)/A3=A1/(A2/A3)= =A1/A2/A3. 158. tétel (P/Q)= P/ Q Ha egy negált logikai kijelentés minden tagját tagadjuk,a diszjunkciókat konjunkciókkal helyettesítjük,a két állítás ekvivalens lesz. 159. tétel Az A véges halmaz elemszáma legyen n. Számításba kell vennünk az üres halmazt,az 1 elemű részhalmazait,a 2 elemű részhalmazait stb. n-ig Ezek száma rendre: + + + + + + + + + + ¦n¦¦n¦¦n¦¦n¦¦n¦ ¦0¦¦1¦¦2¦¦3¦¦n¦ + +,+ +,+ +,+ +,+ +. Felismerhetjük, hogy az (1+1)Ř hatványból ezt kapjuk, ha a binomiális

tétel szerint polinom alakban írjuk fel. Mivel (1+1)Ř=2Ř, az n elemľ halmaz részhalmazának száma 2Ř. 160. tétel Gráfnak nevezzük a pontoknak és éleknek egy halmazát,ahol élekre pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy,legfeljebb két pont illeszkedik. N pontú teljes gráfnak nevezzük azt a gráfot,amelynek minden n pontját pontosan egy-egy él köti össze a gráf összes többi pontjával. Ha egy gráfban nincs sem párhuzamos él , sem hurokél , akkor azt egyszerű gráfnak nevezzük. Összefüggőnek nevezünk egy gráfot,ha bármely pontjából bármely pontjába vezet út. 161. Határozza meg a következő gráfelméleti fogalmakat ! a., fa ; b., erdő vagy liget a; Az olyan összefüggő, egyszerű gráfot, amely nem tartalmaz kört fának nevezzük . (Egyszerű a gráf, ha bármely pontja között legfeljebb egy él halad. Összefüggő a gráf, ha minden egyes pontjából eljuthatunk élek mentén valamennyi más pontjába. A Kör egy

olyan út, amely a kezdőpontjába tér vissza. ) b., A több fából álló gráfot nevezzük ligetnek vagy erdőnek