1992 · 22 oldal (169 KB)
magyar
83
2007. június 18.
Bejelentkezés szükséges
Beágyazás
Nincs még értékelés. Legyél Te az első!
Tartalmi kivonat
SPEKTRǑLELMLET Jegyzet J rai Antal KLTE Debre en 1992 1.§ Bevezets 1 1.§ Bevezets Riesz Frigyes s Szkefalvi-Nagy Bla kitn Funk ion lanal¡zis" knyve, amelyen egy nemzedk nevelkedett, ma m r magyar nyelven is rendelkezsre ll a spektr lelmlet ir nt mlyebben rdekldknek. Kiv l¢ feladatanyagot tartalmaz a spektr lelmlettel kap solatban Kirillov s Gvisiani magyarul Feladatok a funk ion lanal¡zis krbl" ¡mmel megjelent feladatgyjtemnye, amely v zlatosan t rgyalja az elmletet is, s a Halmos ltal is javasolt utat kvetve, a spektr lttelhez annak szorzat alakj n keresztl jut el. Ez a felp¡ts elnysnek tnik, mert a spektr lttel szorzat alakja elg szemlletes, gyakran j¢l haszn lhat¢, s egy oper tor szorzat alakj t megkeresve, abb¢l knnyen kaphatjuk a spektr lfelbont st. B r a spektr lelmlet klnfle t rgyal si m¢djai gyakran nem egyszer fogalmakat s mly tteleket (komplex
mrtkek, Radon-mrtk, Riesz-fle reprezent i¢s ttel, Gelfand-elmlet, stb.) haszn lnak fel, a spektr lttel szorzat alakja, a spektr lmrtk s a spektr lintegr l fogalma, s a spektr lttel elg egyszeren megfogalmazhat¢, mg igen ltal nos, a Hilbert-tr nem felttlenl korl tos, norm lis oper torainak szerkezett le¡r¢ form j ban is Clszernek tnik teh t azok sz m ra, akik a spektr lttelt sak alkalmazni k¡v nj k, a legegyszerbb tnyek ismertetse ut n mindj rt a spektr lttelt elmondani bizony¡t s nlkl, s az elmlet egyszerbb tnyeinek bizony¡t s val illusztr lni annak erejt. Ez a gondolat vezetett a J rai [1992℄ jegyzet ¡r sakor. gy azonban a mlyebben rdekldk sz m ra nem vil gos, hogyan juthatunk el minl gyorsabban ehhez az alakhoz Ezen a hi nyoss gon k¡v n seg¡teni ez a kis fzet. Ksz¡tse sor n Riesz{Szkefalvi [1988℄ s Kirillov{ Gvisiani [1985℄ m r eml¡tett knyvn k¡vl elssorban Rudin
[1973℄, Halmos [1957℄ s Dieudonn [1985℄ knyvt haszn ltam fel. Az anal¡zisben ltal nosan szok sos jellseket haszn ltam. Ktsg esetn l sd Rudin [1978℄ knyvt A felhaszn lt line ris algebrai ttelek megtal lhat¢k Halmos [1984℄ knyvben, a mrtkelmleti eredmnyek pedig a J rai [1988℄ jegyzetben. A megrtshez szksg van a funk ion lanal¡zis alapjainak s a Gelfand-elmletnek az ismeretre: megtal lhat¢ Loson zi [1982℄ jegyzetben. Jellsekben a J rai [1992℄ jegyzetet kvetem, mivel ez a kis fzet annak kiegsz¡tse Debre en, 1992 febru r 24 J rai Antal 2 2.§ Spektr lelmlet 2.§ Spektr lelmlet 1. Line ris oper torok B r line ris terek kztt hat¢ line ris lekpezseket is lehetne vizsg lni, ezzel a tiszt n algebrai krdssel nem fogunk foglalkozni. Ezrt sz munkra az al bbi sz¢haszn lat lesz lszer. Legyenek X s Y norm lt terek K felett. Egy A ⊂ X × Y lekpezst line ris oper tor nak
neveznk, ha X egy line ris altern van rtelmezve, s minden x, y ∈ dmn(A)-ra s α ∈ K-ra A(x + y ) = Ax + Ay A(αx) = αAx (addit¡v ), (homogn). Ha Y = K, akkor line ris funk ion l r¢l beszlnk. Egy line ris oper tor rng(A) kptere (azaz rtkkszlete) s ker(A) = A−1 (0) mag ja vagy nulltere line ris alterek. A pontosan akkor kl snsen egyrtelm, ha ker(A) = {0}, s ekkor A−1 is line ris oper tor, mert y1 , y2 ∈ rng(A) esetn az A−1 y1 = x1 , A−1 y2 = x2 jellsekkel y1 = Ax1 , y2 = Ax2 s A linearit sa miatt y1 + y2 = Ax1 + Ax2 = A(x1 + x2 ), azaz A−1 y1 + A−1 y2 = x1 + x2 = A−1 (y1 + y2 ), s hasonl¢an αy1 = αAx1 = A(αx1 ), amibl αA−1 y1 = αx1 = A−1 (αy1 ). Megjegyezzk, hogy a kznsges algebrai mveletek ¢vatosan kezelendk, ha az oper torok nem az egsz tren vannak rtelmezve. Pld ul a T s S oper torok sszege sak a dmn(T + S ) = dmn(T ) ∩ dmn(S ) halmazon, szorzata (sszettele) pedig
sak a dmn(T S ) = {x : x ∈ dmn(S ) s Sx ∈ dmn(T )} halmazon rtelmezhet. Az A line ris oper tor norm ja kAk = supkxk≤1 kAxk. Ha dmn(A) 6= {0}, akkor kAxk kAk = sup = sup kAxk. 06=x kxk kxk=1 Nyilv n kAxk ≤ kAkkxk minden x ∈ dmn(A)-ra, s kAk a legkisebb ilyen konstans. Ha az A norm ja vges, akkor A-t korl tos nak nevezzk. A norma s a mveletek kap solat t az kαAk = kA + Bk = kABk = sup k(αA)xk = |α| sup kAxk = |α|kAk, kxk≤1 kxk≤1 kxk≤1 kxk≤1 sup k(A + B )xk ≤ sup kAxk + sup kBxk = kAk + kBk, kxk≤1 sup k(AB )xk ≤ sup kAkkBxk ≤ kAkkBk, kxk≤1 kxk≤1 sszefggsek jellemzik. Az X -et Y -ba kpez korl tos line ris oper torok tert L(X ; Y )-nal fogjuk jellni. A fentiek szerint L(X ; Y ) norm lt tr Az L(X ; K) teret, X konjug lt ter t X ∗ -gal is jelljk. A korl tos line ris oper torok vizsg lat t illeten l sd Loson zi [1982℄ jegyzett. 3 2.§ Spektr lelmlet 2. Z rt oper torok Az X norm lt tr egy
rszhalmaz t az Y norm lt trbe kpez A oper tort z rt oper tor nak nevezzk, ha A z rt rszhalmaza az X × Y norm lt trnek. Nyilv n ha egy z rt oper tor kl snsen egyrtelm, akkor az inverze is z rt ope tor. Az A oper tor pontosan akkor z rt, ha b rmely (x, y ) ∈ A esetn (x, y ) ∈ A. Az (x, y ) ∈ A felttel pontosan akkor teljesl, ha van olyan (xn , yn ) ∈ A sorozat, amely (x, y )-hoz konverg l, azaz amelyre xn ∈ dmn(A), xn x, yn = Axn y ha n ∞. Az (x, y ) ∈ A felttel pontosan azt jelenti, hogy x ∈ dmn(A) s y = Ax. gy bel ttuk, hogy A pontosan akkor z rt oper tor, ha tetszleges xn ∈ dmn(A) sorozatot vve, melyre xn x, Axn y , kvetkezik, hogy x ∈ dmn(A) s y = Ax. Z rt oper torokkal kap solatban nevezetes tny a z rt gr f ttel: Bana h-teret Bana h-trbe kpez z rt line ris oper tor korl tos. L sd Loson zi [1982℄ jegyzett. 3. De n¡ i¢ Legyen X egy norm lt tr X egy line ris oper tor n egy T ⊂ X × X line ris
lekpezst rtnk. Ha T inverze X -en rtelmezett korl tos line ris oper tor, akkor T -t regul ris nak nevezzk, egybknt pedig szingul ris nak. A λ ∈ K skal rt T saj trtk nek, az 0 6= x ∈ dmn(T ) vektort pedig T saj tvektor nak nevezzk, ha T x = λx. Egy λ saj trtk esetn ennek az egyenletnek a megold sai alkotj k a λ-hoz tartoz¢ saj talteret. A saj trtk multipli it s a ennek az altrnek a dimenzi¢ja. 4. De n¡ i¢ Legyen T az X komplex norm lt tr line ris oper tora A rezolvens halmaz azon λ ∈ C sz mok halmaza, amelyekre T − λ1 regul ris. A rezolvens halmaz komplementere T spektruma, σ (T ). Azon λ skal rok halmaza, amelyekre T − λ1 nem kl snsen egyrtelm, a T pontspektruma, σp (T ). Azon λ skal rok halmaza, amelyekre T − λ1 kl snsen egyrtelm, s kptere sr X ben, de az inverz nem korl tos, T folytonos spektruma, σc (T ). A σ (T ) tbbi eleme alkotja T rezidu lis spektrum t, σr (T )-t. Az r(T ) =
sup{|λ| : λ ∈ σ (T )} sz m T spektr lsugara. Az spektrum s a spektr lsug r ¡gy de ni lt fogalma ltal nos¡tja a Bana h-terek korl tos line ris oper toraira, mint Bana h-algebra elemekre de ni lt fogalmakat. Az oper tor s a spektruma kztti sszefggst (heurisztikusan) a spektr llekpezs elveknt fogalmazhatjuk meg: ha T egy oper tor, f egy komplex v ltoz¢s, komplex rtk fggvny, akkor f (σ (T )) = σ (f (T )). 5. Ttel Egy komplex Bana h-tr b rmely line ris oper tor nak a spektruma z rt halmaz. Bizonytas. Megmutatjuk, hogy ha T inverze S ∈ L(X ; X ), azaz ST ⊂ = 1, akkor S (1 − λS )−1 a T − λ1 inverze elg kis |λ| esetn. Tegyk fel, hogy |λ| < 1/kSk. Ekkor 1 − λS invert lhat¢, s TS (T − λ1)Sx = T Sx − λSx = x − λSx = (1 − λS )x minden x ∈ X -re, ¡gy (T − λ1)S (1 − λS )−1 y = (1 − λS )(1 − λS )−1 y = y minden y ∈ X -re, azaz S (1 − λS )−1 a T − λ1 inverze. 4 2.§ Spektr
lelmlet 6. Adjung lt oper tor Legyenek X s Y Hilbert-terek Nem nehz megmutatni, hogy korl tos T ⊂ X × Y oper tor mindig kiterjeszthet az egsz X -re a norma megtart s val: az rtelmezsi tartom ny lez rtj nak ortogon lis komplementern legyen nulla. gy a korl tos oper torok L(X ; Y ) elemeinek megszor¡t sai Ha T (nem felttlenl korl tos, de) sr halmazon van de ni lva, akkor azon y ∈ Y elemekre, amelyekre x 7 hT x, yi folytonos dmn(T )-n, ez a funk ion l egyrtelmen kiterjeszthet X -re, s ¡gy van olyan T ∗ y ∈ X , amelyre hT x, yi = hx, T ∗ yi. Nyilv n a kiterjeszts egyrtelmsghez szksges, hogy dmn(T ) sr legyen H -ban Knny kisz molni, hogy T ∗ ⊂ Y × X line ris oper tor. T ∗ a T adjung ltja Az is nyilv nval¢, hogy ha T ⊂ S , akkor S ∗ ⊂ T ∗ . Ha T T ∗ = 1 s T ∗ T = 1, akkor T -t unitr nek nevezzk. Egy Hilbert-tr egy T line ris oper tor t szimmetrikus nak vagy Hermite-fl nek nevezzk, ha hT x,
yi = hx, T yi minden x, y ∈ dmn(T )-re. gy egy srn de ni lt oper tor pontosan akkor szimmetrikus, ha T ⊂ T ∗ . Ha T = T ∗ , akkor T -t nadjung ltnak nevezzk. Egy srn de ni lt z rt oper tort norm lis nak neveznk, ha T ∗ T = T T ∗ . Vegyk szre, hogy egy szimmetrikus oper torra hT x, xi mindig val¢s. 7. Feladat: polariz i¢ Legyen H komplex Hilbert-tr, T ⊂ H × H line ris oper tor. Igazoljuk, hogy ha x, y ∈ dmn(T ), akkor 4hT x, yi = hT (x + y ), x + yi − hT (x − y ), x − yi + ihT (x + iy ), x + iyi − ihT (x − iy ), x − iyi. Ha H val¢s, s T nadjung lt, akkor 4hT x, yi = hT (x + y ), x + yi − hT (x − y ), x − yi. Ez a polariz i¢s formula. Spe i lisan, a bels szorzat kifejezhet a norm val 8. Feladat Igazoljuk, hT x, xi = 0 minden x ∈ H -ra, hogy ha H komplex Hilbert-tr, T ∈ L(H ; H ) s akkor T = 0. 9. Projek i¢oper torok s z rt alterek Egy H Hilbert-tren rtelmezett P korl tos line ris oper tort projek
i¢oper tor nak neveznk, ha P 2 = P A legegyszerbb projek i¢oper torok az 1 identikus oper tor s a nulloper tor. Megmutatjuk, hogy a P 7 rng(P ) lekpezs kl snsen egyrtelm kap solatot ltes¡t az nadjung lt projek i¢oper torok s H z rt line ris alterei kztt. Ennek bel t s hoz, elszr is vegyk szre hogy a P oper tor nulltere, a ker(P ) z rt line ris altr pontosan azokb¢l az elemekbl ll, amelyek el llnak x−P (x) alakban, rng(P ) pedig P xpontjaib¢l ll, azaz 1 −P nulltere. M srszt, P nadjung lts g t felhaszn lva, kapjuk, hogy rng(P ) = ker(P )⊥ Ebbl az ortogon lis felbont s ttelnek felhaszn l s val m r kvetkezik az ll¡t s. 10. Pld k Pld inkban tekintsk a sz megyenest a Lebesgue-mrtkkel, s legyen a Hilbert-tr a megfelel komplex L2 -tr. 5 2.§ Spektr lelmlet (1) Legyen g : R C egy korl tos Lebesgue-mrhet fggvny, s Mg a g -vel val¢ szorz s oper tora, azaz ha t ∈ R. Mg (f )(t) = g (t)f
(t) Ekkor Mg korl tos line ris oper tor. Mg adjung ltja Mg Ha g val¢s rtk, akkor Mg nadjung lt. Ha g egy halmaz karakterisztikus fggvnye, akkor Mg projek i¢oper tor (2) Legyen (M f )(t) = tf (t), ha f ∈ L2 es Z ∞ −∞ t2 |f (t)|2 dt < ∞. Megmutathat¢, hogy ekkor M nemkorl tos nadjung lt oper tor. (3) Legyen h egy val¢s sz m, s de ni ljuk a D oper tort az f ∈ D(R) fggvnyeken, £gy, hogy Df = −ih f ′ . Ekkor D srn de ni lt oper tor, s hDf, gi = Z ∞ −∞ −i hf g ′ = Z ∞ −∞ ihf g ′ = Z ∞ −∞ f (−i hg ′ ) = hf, Dgi, ha f, g ∈ dmn(D), azaz D szimmetrikus. Megmutathat¢, hogy D nem nadjung lt, de ha rtelmezst kiterjesztjk azokra a f ∈ L2 fggvnyekre, amelyek minden kompakt intervallumon abszol£t folytonosak, s deriv ltjuk is ngyzetesen integr lhat¢, akkor nemkorl tos nadjung lt oper tort kapunk. (4) Legyen M a (2)-ben de ni lt oper tor, D pedig a (3)-ban de ni lt
oper tor. Az M s D oper torok kommut tora, DM − M D az rtelmezsi tartom ny n megegyezik az −ih 1 oper torral: −i h(tf (t))′ + ti hf ′ (t) = −i hf (t) (Heisenberg-fle fel serlsi sszefggs). 11. Feladat Bizony¡tsuk be az elz plda ll¡t sait 12. Tipikus plda Legyen µ egy mrtk, t mrhet, komplex rtk fggvny, s Mt a t-vel val¢ szorz s oper tora: (Mt x)(τ ) = t(τ )x(τ ), ha x ∈ L2 (µ), tx ∈ L2 (µ). Ha t~ egy m sik mrhet fggvny, amely minden vges mrtk mrhet halmazon majdnem mindentt egyenl t-vel, akkor Mt = Mt~, mivel az {x 6= 0} halmaz σR vges. Megmutatjuk, hogy Mt∗ = Mt Ha y ∈ L2 esetn x 7 hMt x, yi = txy dµ korl tos line ris funkR ion l dmn(RMt )-n, akkor el ll bels szorzat alakban, azaz van olyan z ∈ L2 , hogy xty dµ = xz dµ ha x ∈ dmn(Mt ). Azt kell megmutatnunk, hogy ty s z majdnem mindentt megegyeznek. Ha µ{ty 6= z} > 0 lenne, akkor felhaszn lva, hogy az {y 6= 0}
s {z = 6 0} halmazok σ -vgesek, v laszthatn nk olyan 6 2.§ Spektr lelmlet A mrhet halmazt, amelyen ty 6= z s 0 < µ(A) < ∞. Feltehetjk, hogy t korl tos A-n; val¢ban, alkalmazzuk az A∩{|t| < n} halmazokra a mrtk folytonoss g t. Ha R R most x = ξA sgn(ty − z), akkor x ∈ dmn(Mt ) s x(ty − z ) dµ = A |ty − z| dµ 6= 0. Vegyk szre, hogy Mt norm lis, ha t val¢s rtk, akkor Mt nadjung lt, ha t korl tos, akkor Mt is korl tos ugyanazzal a korl ttal, ha t karakterisztikus fggvny, akkor Mt nadjung lt projek i¢, σ (Mt ) ⊂ rng(t), mert ha λ bels pontja rng(t) komplementernek, akkor az M1/(t−λ) korl tos oper tor az Mt−λ inverze, s ha |t| ≡ 1, akkor Mt unitr. 13. De n¡ i¢ Legyen H komplex Hilbert-tr Ekkor H × H is Hilbert-tr lesz, p a h(x1 , x2 ), (y1 , y2 )i = hx1 , y1 i + hx2 , y2 i bels szorzattal, amibl a k(x1 , x2 )k = kx1 k2 + kx2 k2 norma sz rmazik. 14. Ttel Legyen H Hilbert-tr, T egy
srn de ni lt line ris oper tor H -n, V (x1 , x2 ) = (−x2 , x1 ), ha x1 , x2 ∈ H . Ekkor T ∗ = V (T )⊥ Vegyk szre, hogy ha H = R, akkor V a s¡k egy derkszggel val¢ elforgat sa. Bizonytas. (y, z) ∈ T ∗ pontosan akkor teljesl, ha hT x, yi = hx, zi minden x ∈ dmn(T )-re Ez azzal ekvivalens, hogy h(−T x, x), (y, z)i = 0 minden x ∈ dmn(T )-re, az ut¢bbi azonban pontosan akkor teljesl, ha (y, z ) a V (T ) ortogon lis komplementerben van. 15. Kvetkezmny T ∗ z rt oper tor Onadjung lt oper tor z rt, ¡gy nor∗ m lis. T pontosan akkor fggvny, ha T srn de ni lt, s ekkor T = T ∗∗ Bizonytas. Ha T ∗ srn de ni lt, akkor T ∗∗ = V (V (T )⊥)⊥ = T ⊥⊥ = T fggvny. Ha T ∗ nem srn de ni lt, akkor van olyan 0 6= z ∈ H , amely ortogon lis dmn(T ∗ )-ra. Ekkor (z, 0) ortogon lis T ∗ -ra, teh t (0, −z) benne van T -ban 16. Mit ll¡t a spektr lttel? A line ris algebr b¢l ismeretes, hogy ha T egy norm lis
line ris oper tor egy vges dimenzi¢s komplex H Hilbert-tren, akkor | alkalmas b zisban | T f koordin t i (t1 f1 , t2f2 , . , tn fn ) alakba ¡rhat¢k, ahol t1 , t2 , . , tn a T saj trtkei, s f koordin t i (f1 , f2 , , fn ) A T oper tor teh t ekvivalens egy adott t = (t1 , t2 , . , tn ) fggvnnyel val¢ szorz ssal Mivel ha µ tetszleges mrtk, akkor az L2 (µ) tren egy mrhet t fggvnnyel val¢ szorz s Mt oper tora, amelyre (Mt f )(s) = t(s)f (s), norm lis oper tor, amelynek adjung ltja a t fggvnnyel val¢ szorz s oper tora, azt v rhatjuk, hogy tetszleges norm lis oper tort ilyen alakban lehet el ll¡tani. Val¢ban, a spektr l ttel szorzat alakja azt ll¡tja, hogy ha T egy norm lis oper tor egy H komplex Hilberttren, akkor van olyan line ris izometria H s egy L2 (µ) tr kztt, amely T -t egy t mrhet fggvnnyel val¢ szorz sba viszi t. t v laszthat¢ £gy, hogy rtkkszletnek lez rtja ppen σ (T ) legyen P Approxim
ljuk a t fggvnyt egyszer fggvnyekkel. Egy tj ξj ≈ t egyszer P fggvnnyel val¢ szorz s H -ban egy tj Pj ≈ T oper tornak felel meg: a ξj karakterisztikus fggvnnyel val¢ szorz s egy Pj nadjung lt projek i¢oper torba megy t, amely azt mri", tj -nek mekkora s£lya" van a σ (T ) spektrumban. Ha a kzel¡tst R nom¡tjuk, az sszeg egy C t dP (t) = T integr lhoz tart, ez a T spekr lel ll¡t sa. 2.§ Spektr lelmlet 7 Itt P egy, a C-n rtelmezett, T -tl fgg, nadjung lt projek i¢oper tor rtk mrtk, a T £gynevezett spektr lfelbont sa. A spektr lmrtkkel val¢ munk n l gondot okoz, hogy az integr lkzel¡t sorozatok nem konvergensek L(H ; H ) norm j ban. Ezt a problm t £gy lehet megkerlni, hogy az A 7 P (A) spektr lmrtk helyett annak rnykaival", az A 7 hP (A)x, xi, x ∈ H kznsges mrtkekkel dolgozunk. 17. Ttel Egy H komplex Hilbert-tren egy T ∈ L(H ; H ) norm lis oper tor
pontosan akkor nadjung lt, ha σ (T ) ⊂ R s pontosan akkor unitr, ha σ (T ) ⊂ T. Bizonytas. A T ltal L(H ; H )-ban gener lt rsz B∗ -algebra, B∗ (T ) izometrikusan ∗-izomorf C (σ (T ))-vel, s T -nek az identikus λ 7 λ fggvny, T ∗ -nak pedig a λ 7 λ fggvny felel meg. T = T ∗ pontosan akkor, ha λ = λ a σ (T )-n, s T T ∗ = 1 pontosan akkor, ha λλ = 1 a σ (T )-n. 18. De n¡ i¢ Azt mondjuk, hogy a H Hilbert-tr a Hγ , γ ∈ z rt altereinek Hilbert-sszege, ha a Hγ alterek p ronknt ortogon lisak, s egyes¡tsk line ris burka sr H -ban. 19. Lemma Legyen H egy komplex Hilbert-tr, X egy 1-et tartalmaz¢ rsz ∗-algebr ja L(H ; H )-nak. Ekkor lteznek olyan Hγ , γ ∈ z rt alterek, amelyek Hilbert-sszege H , s amelyekre (1) AHγ ⊂ Hγ minden A ∈ X s γ ∈ esetn; (2) minden γ ∈ -ra ltezik olyan 0 6= xγ ∈ Hγ , hogy {Axγ : A ∈ X} sr Hγ -ban. Bizonytas. Tekintsk az sszes, az (1) s (2)
feltteleknek eleget tv, p ronknt ortogon lis z rt alterekbl ll¢ Hγ , γ ∈ rendszereket Ezek a tartalmaz sra nzve fligrendezett halmazt alkotnak, amelyre teljeslnek a Zorn-lemma felttelei, ¡gy van maxim lis eleme. Megmutatjuk, hogy erre ∪γ∈ Hγ line ris burka sr H ban Legyen erre a maxim lis elemre H ′ az ∪γ∈ Hγ halmaz line ris burk nak a lez rtja. Nyilv n AH ′ ⊂ H ′ minden A ∈ X -re Ha H 6= H ′ , v lasszunk egy x′′ 6= 0 elemet H ′ ortogon lis komplementerbl, s tekintsk az {Ax′′ : A ∈ X} halmazt. Ez altr, mert X rszalgebra. Legyen H ′′ ennek a lez rtja Ekkor AH ′′ ⊂ H ′′ minden A ∈ X -re Ha x′ ∈ H ′ , akkor hx′ , Ax′′i = hA∗ x′ , x′′ i = 0 minden A ∈ X -re, ¡gy a bels szorzat folytonoss g b¢l kvetkezik, hogy H ′ ⊥ H ′′ . A Hγ , γ ∈ rendszert kiegsz¡tve H ′′ -vel, ellentmond sra jutunk. 20. A spektr l-ttel szorzat alakja B∗ -rszalgebr kra Legyen H
egy komplex Hilbert-tr, s X egy kommutat¡v B∗ -rszalgebr ja L(H ; H )-nak, amely tartalmazza az identikus oper tort. Ekkor ltezik olyan µ mrtk egy mrtktren, U : H L2 (µ) unitr oper tor s T 7 t ∈ L∞ (µ) lekpezse X -nek, amelynl U ◦T ◦U −1 = Mt , a t-vel val¢ szorz s oper tora minden T ∈ X -re, s rng(t) ⊂ σ (T ). A µ mrtk v laszthat¢ £gy, hogy µ(A) = sup{µ(B ) : B ⊂ A, µ(B ) < ∞} teljesljn minden A ∈ A-ra. Bizonytas. Elszr tegyk fel, hogy van olyan x ∈ H , amelyre {T x : T ∈ X} sr H -ban. Rgz¡tve egy ilyen x-et, a T 7 hT x, xi lekpezs korl tos line ris 8 2.§ Spektr lelmlet funk ion l C (X^ )-n, amely a nemnegat¡v fggvnyeken nemnegat¡v (alkalmazzunk ugyanis gykvon st), ¡gy a Riesz-fle reprezent i¢s ttel szerint el ll hT x, xi = R dµ alakban. Legyen U T = T x Ekkor ^ T X kT xk2 = hT T x, xi = ∗ Z |T |2 dµ = kT k2 , ¡gy U izometrikusan kiterjeszthet
egy H -t L2 (µ)-be kpez fggvnny. Mivel ^ ) sr, U rtkkszlete L2 (µ), tov bb C (X (U ◦ T ◦ U −1 )(S ) = U (T (Sx)) = (U ◦ U −1 )(T S ) = T S . Az ltal nos esetben tekintsk H -nak az elz lemma szerinti alterekre val¢ direkt felbont s t. A Hγ z rt alterekre alkalmazva az elz lpst, kapunk egy µγ mrtket X^ γ -n, egy Uγ : Hγ L2 (µγ ) izometri t, s egy T |Hγ 7 tγ lekpezst. Az ^ γ tereket diszjunktt tve, ∪γ∈ X^ γ mrtktrr tehet: egy A rszhalmaz legyen X P ^ γ ). mrhet, ha A ∩ X^ γ mrhet minden γ ∈ -ra, s legyen µ(A) = γ∈ µγ (A ∩ X P Ha f ∈ L2 (µ), akkor az U −1 f = γ∈ Uγ−1 (f |Xγ ) sszeg sak megsz ml lhat¢ sok nem nulla tagot tartalmaz, s nem fgg az sszegzs sorrendjtl, tov bb U −1 izometrikusan izomorf lekpezse L2 (µ)-nek H -ra, s U ◦ T ◦ U −1 = Mt , ahol t|Xγ = tγ . Vgl vegyk szre, hogy ha T − λ1 a H -t H -ra kl snsen
egyrtelmen kpezi le, akkor (T − λ1)|Hγ a Hγ -t Hγ -ra kl snsen egyrtelmen kpezi le, ¡gy van inverze. Ebbl rng(tγ ) = σ (T |Hγ ) ⊂ σ (T ), amibl rng(t) ⊂ σ (T ) 21. A spektr l-ttel szorzat alakja korl tos oper torra Legyen H egy komplex Hilbert-tr, s T ∈ L(H ; H ) egy norm lis oper tor. Ekkor ltezik olyan µ mrtk, U : H L2 (µ)-ra unitr oper tor s µ-mrhet komplex rtk t fggvny, hogy U ◦ T ◦ U −1 = Mt , a t-vel val¢ szorz s oper tora, s rng t ⊂ σ (T ), tov bb µ v laszthat¢ £gy, hogy µ(A) = sup{µ(B ) : B ⊂ A, µ(B ) < ∞} teljesljn minden A ∈ A-ra. Bizonytas. Alkalmazzuk az elz ttelt a T ltal gener lt B∗ -rszalgebr ra 22. Spektr lmrtk Legyen H egy komplex Hilbert-tr, s A az X halmaz rszhalmazainak egy σ -algebr ja. Egy, az A elemeit H nadjung lt projek i¢oper toraiba kpez P lekpezst spektr lmrtk nek neveznk, ha P (X ) = 1 s Px (T ) = hP (T )x, xi
jellssel Px mrtk minden x ∈ H -ra. Vegyk szre, hogy minden Px vges mrtk, mert Px (X ) = h1x, xi = kxk2 , s Px (A) = hP (A)x, xi = hP (A)x, P (A)xi = kP (A)xk2 . Ebbl P kvetkezik, hogy P (∅) = 0. P ltal ban nem σ -addit¡v a norma topol¢gi ban, mivel ∞ n=1 P (An ) nem Cau hy-sorozat, hiszen a projek i¢k norm ja sak nulla vagy egy lehet; azonban, ha n = 1, 2, . -re P (An ) = 0, akkor P (∪∞ n=1 An ) = 0. Val¢ban, Px (An ) = 0 minden x ∈ H -ra s n = 1, 2, . -re Ebbl Px (∪An ) = 0 minden x ∈ H -ra, azaz kP (∪An )xk2 = 0 minden x ∈ H -ra, ¡gy P (∪An ) = 0. A kvetkez ttel a spektr lmrtkek tov bbi vizsg lat val foglalkozik. 9 2.§ Spektr lelmlet 23. Ttel Az elz de n¡ i¢ jellseivel, (1) ha A ∩ B = ∅, akkor P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ); (2) P (A ∩ B ) = P (A)P (B ), ha A, B ∈ A; (3) b rmely kt P (A), P (B ) projek i¢ fel serlhet egym ssal s ha A ∩ B = ∅, akkor P (A) s P (B ) kptere
ortogon lis; (4) ha An diszjunkt, mrhet halmazok egy sorozata, s x ∈ H , akkor P( ∪∞ n=1 An )x = ∞ X n=1 P (An )x. Bizonytas. Ha A s B diszjunk mrhet halmazok, akkor hP (A ∪ B )x, xi = h(P (A) + P (B ))x, xi minden x ∈ H -ra. Ebbl polariz i¢val P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ), azaz teljesl (1) Ha A ⊂ B , akkor P (B ) = P (A) + P (BA). Ebbl P (A)x = x esetn kxk2 = kP (A)xk2 ≤ kP (A)xk2 + kP (BA)xk2 = kP (B )xk2 ≤ kxk2 , azaz kP (B )xk = kxk. Ez azt jelenti, hogy x ∈ rng(P (B )), azaz P (B )x = x gy azt kaptuk, hogy P (B )P (A) = P (A). Adjung l ssal ad¢dik, hogy ez a P (A)P (B ) = P (A) sszefggssel ekvivalens. A tetszleges A, B ∈ A esetn fenn ll¢ P (A ∪ B ) = P (BA) + P (A ∩ B ) + P (AB ) sszefggs mindkt oldal hoz hozz adva P (A ∩ B )-t, azt kapjuk, hogy P (A ∪ B ) + P (A ∩ B ) = P (A) + P (B ). Mindkt oldalt megszorozva P (A)-val, ebbl azt kapjuk, hogy P (A) + P (A ∩ B ) = P (A) + P (B )P (A),
amibl ad¢dik (2), abb¢l pedig (3). Vgl, (4)-ben a jobb oldalon ortogon lis sor sszege ll, amely a ∞ X n=1 kP (An )xk2 = ∞ X n=1 ∞ 2 2 Px (An ) = Px (∪∞ n=1 An ) = kP (∪n=1 An )xk ≤ kxk sszefggs szerint konvergens. Vil gos, hogy az x 7 ∞ n=1 P (An )x hozz rendels egy Q line ris oper tor, amelynek norm ja nem nagyobb, mint 1. Mivel P hQx, xi = = lim h n∞ ∞ X n=1 n X k=1 P (Ak )x, xi = lim n∞ n X k=1 hP (Ak )x, xi Px (An ) = hP (∪∞ n=1 An )x, xi minden x-re. Polariz i¢val kapjuk, hogy Q = P (∪∞ n=1 An ), teh t teljesl (4). 10 2.§ Spektr lelmlet 24. Neumann ttele Legyen T egy srn de ni lt z rt oper tor a H Hilbert-tren. Ekkor dmn(T ∗ T ) sr H -ban, a T ∗ T oper tor z rt, s az 1+T ∗ T oper tor kl snsen egyrtelm lekpezse dmn(T ∗ T )-nek H -ra A B = (1 + T ∗ T )−1 oper tor korl tos s nadjung lt, spektruma rsze [0, 1℄-nek. Az (x, y ) 7 hBx, yi lekpezs egy bels
szorzat, s C = T B egy H -n de ni lt folytonos line ris oper tor, amelyre C (H ) ⊂ dmn(T ∗ ) teljesl. Vgl (T ∗ T )∗ = T ∗ T Bizonytas. Az elz ttel jellseivel, T s V (T ∗ ) egym s ortogon lis komplementerei H × H -ban Ezrt minden x ∈ H -hoz pontosan egy y ∈ dmn(T ) s z ∈ dmn(T ∗ ) ltezik, hogy (1) (x, 0) = (y, T y ) + (T ∗ z, −z). Legyen y = Bx s z = Cx. Nyilv n B s C az egsz H -n de ni lt line ris oper torok, s B (H ) ⊂ dmn(T ) valamint C (H ) ⊂ dmn(T ∗ ), tov bb kxk2 = kyk2 + kT yk2 + kzk2 + kT ∗ zk2 , amibl kBxk ≤ kxk s kCxk ≤ kxk. Az (1) sszefggs ekvivalens az x = Bx + T ∗ Cx es 0 = −Cx + T Bx sszefggsekkel. Ebbl C = T B s T (B (H )) ⊂ dmn(T ∗ ), azaz B (H ) ⊂ dmn(T ∗ T ) Kvetkezskppen T ∗ T B az egsz H -n de ni lva van, s teljesl, hogy 1 = B + T ∗ T B = (1 + T ∗ T )B ; ezzel megmutattuk, hogy B kl snsen egyrtelm, 1 + T ∗ T pedig H -ra
kpez. Minden w ∈ dmn(T ∗ T )-re teljesl, hogy (2) hw + T ∗ T w, wi = kwk2 + hT ∗ T w, wi = kwk2 + kT wk2 ; mivel T = T ∗∗ , ez az sszefggs azt mutatja, hogy w + T ∗ T w = 0-b¢l w = 0 kvetkezik, teh t 1 + T ∗ T kl snsen egyrtelm. Mivel B z rt, 1 + T ∗ T is z rt, amibl kvetkezik, hogy T ∗ T is z rt. Tov bb , minden u, v ∈ H -ra hBu, vi = hBu, Bv + T ∗ T Bvi = hBu, Bvi + hBu, T ∗ T Bvi = hBu, Bvi + hT Bu, T Bvi = hBu, Bvi + hT ∗ T Bu, Bvi = h(1 + T ∗ T )Bu, Bvi = hu, Bvi, azaz B nadjung lt. Ha (2)-ben w helyre Bx-et tesznk, akkor azt kapjuk, hogy minden x ∈ H -ra hx, Bxi = kBxk2 + kT Bxk2 ≥ 0. Mivel kBxk ≤ kxk, kvetkezik, hogy σ (B ) ⊂ [0, 1℄. Tov bb hx, Bxi = 0 esetn Bx = 0 teh t x = 0, ¡gy az (x, y ) 7 hBx, yi lekpezs bels szorzat. 11 2.§ Spektr lelmlet Most megmutatjuk, hogy dmn(T ∗ T ) sr. Jellje a T megszor¡t s t dmn(T ∗ T )re T ′ Elg megmutatni, hogy T ′ sr T -ben,
mivel dmn(T ∗ T ) a T ′ kpe az (x, y ) 7 x projek i¢n l, s dmn(T ) sr H -ban. Annak bizony¡t s ra, hogy a T ′ ⊂ T altr a T Hilbert-trben sr, elg azt megmutatni, hogy egy T ′ -re ortogon lis (u, T u) ∈ T vektor szksgkppen nulla. Ez azonban azt jelenti, hogy h(u, T u), (v, T v )i = 0 minden v ∈ dmn(T ∗ T )-re, azaz hu, vi + hT u, T vi = 0; mivel azonban T v ∈ dmn(T ∗ ) teljesl, kvetkezik, hogy hu, vi + hu, T ∗ T vi = 0, s ¡gy hu, (1 + T ∗ T )vi = 0. Azonban 1 + T ∗ T a dmn(T ∗ T ) halmazt H -ra kpezi le, ¡gy u = 0, ami bizony¡tand¢ volt. Mivel B nadjung lt, B a V (B ) ortogon lis komplementere. Ebbl 1 + T ∗ T a V (1 + T ∗ T ) ortogon lis komplementere. M s sz¢val, (1 + T ∗ T )∗ = 1 + T ∗ T , teh t (T ∗ T )∗ = T ∗ T . 25. Ttel Legyen H egy Hilbert-tr Ha T egy norm lis oper tor, akkor dmn(T ) = dmn(T ∗ ) s kT xk = kT ∗ xk minden x ∈ dmn(T ) esetn. Bizonytas. Mint Neumann ttelnek
bizony¡t s ban l ttuk, a T oper tor dmn(T ∗ T )-re val¢ megszor¡t sa sr T -ben; ltezik teh t minden x ∈ dmn(T )-hez dmn(T ∗ T )-beli pontoknak olyan yn sorozata, hogy limn∞ yn = x s limn∞ T yn = T x. Minden z ∈ dmn(T ∗ T )-re teljesl azonban, hogy kT zk2 = hz, T ∗ T zi = hz, T T ∗ zi = kT ∗ zk2 , mivel T ∗ T = T T ∗ . Ha ezt az sszefggst alkalmazzuk z = yn − ym -re, akkor azt mutatja, hogy a T ∗ yn sorozat Cau hy-sorozat, teh t konvergens. Mivel T ∗ z rt, ebbl kvetkezik, hogy x ∈ dmn(T ∗ ) s T ∗ x = limn∞ T ∗ yn teljesl; ebbl kvetkezik, hogy kT xk = kT ∗ xk. Bel ttuk teh t, hogy dmn(T ) ⊂ dmn(T ∗ ) Mivel T ∗∗ = T , a T ∗ oper tor is norm lis, s dmn(T ∗ ) ⊂ dmn(T ). 26. Lemma Legyen a H Hilbert-tr a megsz ml lhat¢ sok Hn z rt altr Hilbert-sszege, s minden n-re Tn a Hn egy korl tos oper tora. Ekkor pontosan egy olyan T z rt oper tora ltezik H -nak, amelyre Hn ⊂ dmn(T ), T |Hn = Tn s
Pn T x = T Pn x minden n s minden x ∈ dmn(T ) esetn, P ahol Pn a H -nak Hn -re val¢ ortogon lis projek i¢ja. Tov bb dmn( T ) azon x = n xn , xn ∈ Hn elemek P P 2 halmaza, amelyekre n kTn xn k < ∞, s T x = n Tn xn . Ha Tn mindenPn-re egy folytonos norm lis oper tor Hn -en, akkor T norm lis oper tor, s T ∗ x = n Tn∗ xn . Bizonytas. P Jellje X az sszes olyan xP= n xn , xn ∈ Hn alak£ elemek halmaz t, amelyekre n kTn xn k2 < ∞. Mivel n kPn T xk2 = kT xk2 < ∞ kell, hogy teljesljn, feltteleinkbl kvetkezik, hogy dmn(T ) ⊂ X . A minden Hilbert-trben 2 ′ 2 rvnyes kz + z′ k2 ≤ P2kzk + 2kz k egyenltlensgbl Pkvetkezik, hogy X altere H nak. Minden x = n xn ∈ X esetn legyen T ′ x = n Tn xn Megmutatjuk, hogy P ′ az ¡gy de ni lt T oper tor z rt. Mivel T nyilv n tartalmazza a n (xn , Tn xn ) vges sszegeket, T sr T ′ -ben, s mivel T z rt, ebbl kvetkezik, hogy T = T ′ . Nyilv nval¢, hogy T ′ line
ris. Legyen tov bb xm ∈ X egy sorozat, amely egy x ∈ H elemhez konverg l £gy, hogy T xm egy y ∈ H elemhez konverg l. Ekkor P 12 2.§ Spektr lelmlet Pn T ′ xm = Tn Pn xm y = T ′ x. a Tn folytonoss ga miatt Tn Pn x-hez konverg l, teh t x ∈ X s A m sodik ll¡t s bizony¡t s hoz elszr megmutatjuk, hogy T ∗ (Hn ) ⊂ Hn . Ha m = 6 n, b rmely yn ∈ Hn s xm ∈ Hm esetn, hxm , T ∗ yn i = hT xm , yn i = 0, mivel T (Hm ) ⊂ Hm . Ezrt T ∗ yn minden Hm , m 6= n altrre ortogon lis, teh t Hn ben van Kvetkez lpsknt megmutatjuk, hogy minden x ∈ dmn(T )-re Pn T x = T Pn x = Tn Pn x, ahol Pn a Hn altrre trtn ortogon lis projek i¢. Val¢ban, minden yn ∈ Hn esetn hPn T x, yn i = hT x, Pn yn i = hT x, yn i = hx, T ∗ yn i, s mivel az elzek szerint T ∗ yn = Pn T ∗ yn , azt kapjuk, hogy hPn T x, yn i = hPn x, T ∗ yn i = hT Pn x, yn i = hTn Pn x, yn i. Mivel ez minden yn ∈ Hn -re teljesl, a Pn T x s a Tn Pn x elemek
egybeesnek. Csak annak bizony¡t sa van h tra, hogy T norm lis. Minden x ∈ dmn(T )-re teljesl azonban, hogy kTn∗ Pn xk = kTn Pn xk; alkalmazva az eddig bizony¡tottakat a Tn∗ oper torokra, azt kapjuk, hogy pontosan egy T ′ z rt oper tor ltezik, amely minden n-re a Hn ⊂ dmn(T ′ ), T ′ |Hn = Tn∗ s Pn T ′ x =PT ′ Pn x ha x ∈ dmn(T ′ ) feltteleket tov bb dmn(T ′ ) = dmn(T ), s x = n xn ∈ dmn(T ′ ) esetn P teljes¡ti, ′ ∗ T x = n Tn xn . Ebbl a formul b¢l kzvetlenl kvetkezik, hogy minden x, y ∈ dmn(T )-re a hT x, yi = hx, T ∗ yi sszefggs teljesl; m s szavakkal, T ′ ⊂ T ∗ . Az is teljesl azonban, hogy Pn T ∗ y = T ∗ Pn y minden n-re s minden y ∈ dmn(T ′ )-re; val¢ban, minden xn ∈ Hn esetn hxn , Pn T ∗ yi = hxn , T ∗ yi, s mivel xn ∈ dmn(T ), kapjuk, hogy hxn , T ∗ yi = hT xn , yi = hT xn , Pn yi, mivel T xn = Tn xn ∈ Hn . Felhaszn lva, hogy Hn ⊂ dmn(T ∗ ), kapjuk, hogy hxn , Pn T ∗ yi
= hxn , T ∗ Pn yi, ami ll¡t sunkat bizony¡tja Mivel T ∗ z rt, az elz lemm b¢l kvetkezik, hogy T ′ = T ∗ Az eddig bizony¡tottakb¢l kvetkezik, hogy minden x, y ∈ dmn(T ) = dmn(T ∗ ) esetn hT x, T yi = hT ∗ x, T ∗ yi teljesl. Ha z ∈ dmn(T T ∗ ), akkor ebbl minden x ∈ dmn(T )-re hT x, T yi = hT ∗ x, T ∗ zh= hx, T T ∗ zi; ez az adjung lt oper tor den¡ i¢ja szerint azt jelenti, hogy T z ∈ dmn(T ∗ ) teljesl, s hogy T ∗ T z = T T ∗ z. Megmutattuk teh t, hogy T T ∗ ⊂ T ∗ T . A bizony¡t s teljes lesz, ha T s T ∗ szerept fel serljk, mivel T ∗∗ = T . 27. Spektr lintegr l Legyen H egy komplex Hilbert-tr, s P egy spektr lmrtk X -en L(H ; H )-beli rtkekkel Ekkor ltezik egy s sak egy, az X -en rtelmezett mrhet komplex rtk fggvnyeket H line ris oper toraiba kpez f 7 ϕ(f ) = Z X f (t) dP (t) lekpezs (spektr lintegr l), amely rendelkezik az al bbi tulajdons gokkal: R (1) dmn
ϕ(f ) = {x : x ∈ H, X |f |2 dPx < ∞}; R (2) hϕ(f )x, xi = X f dPx minden x ∈ dmn ϕ(f )-re. 13 2.§ Spektr lelmlet (3) (4) (5) (6) (7) (8) Teljesl tov bb , hogy minden ϕ(f ) srn de ni lt z rt line ris oper tor, s R kϕ(f )xk2 = X |f |2 dPx ha x ∈ dmn ϕ(f ); ha S ∈ L(H ; H ), s SP (A) = P (A)S minden A mrhet halmazra, akkor Sϕ(f ) ⊂ ϕ(f )S . Ha f, g : X C mrhet fggvnyek, α, β ∈ C pedig skal rok, akkor ha P {f 6= g} = 0, akkor ϕ(f ) = ϕ(g ); αϕ(f ) + βϕ(g ) ⊂ ϕ(αf + βg ); ϕ(f )ϕ(g ) ⊂ ϕ(f g ) s dmn(ϕ(f )ϕ(g )) = dmn ϕ(g ) ∩ dmn ϕ(f g ); ϕ(f )∗ = ϕ(f ) s ϕ(f )ϕ(f )∗ = ϕ(|f |2 ) = ϕ(f )∗ ϕ(f ). Bizonytas. Ha f egyszer mrhetPfggvny α1 , α2, , αn rtkekkel, akkor de ni ljuk ϕ(f ) ∈ L(H ; H )-t a ϕ(f ) = nj=1 αj P {f = αj } sszefggssel. Mivel Pn P rtkei nadjung lt projek i¢k, ϕ(f )∗ = j =1 αj P {f = yj } = ϕ(f ). Ha a g egyszer fggvny a βk
rtkeket veszi fel, akkor ϕ(f )ϕ(g ) = X αj βk P {f = αj }P {g = βk } = j,k X X l αj βk =γl γl P {f g = γl } = ϕ(f g ). Hasonl¢an bel that¢, hogy ϕ(αf + βg ) = αϕ(f )+ βϕ(g ). Ha x ∈ H , akkor de n¡ i¢ szerint hϕ(f )x, xi = n X j =1 αj hP {f = αj }x, xi = n X j =1 αj Px {f = αj } = Z f dPx . X A fentiekbl kvetkezik, hogy ϕ(f )∗ ϕ(f ) = ϕ(f )ϕ(f ) = ϕ(f f ) = ϕ(|f |2 ). Ezrt kϕ(f )xk2 = hϕ(f ) ϕ(f )x, xi = hϕ(|f |2 )x, xi = ∗ Z |f |2 dPx , X amibl kvetkezik, hogy kϕ(f )k ≤ K ha |f | ≤ K . Legyen most f korl tos mrhet fggvny. Lteznek olyan fk egyszer mrhet fggvnyek, amelyek konverg lnak f -hez egyenletesen. Az elz egyenltlensg szerint, a ϕ(fk ) oper torok Cau hysorozatot alkotnak L(H ; H )-ban Ez konverg l egy oper torhoz, amelyet ϕ(f )-el fogunk jellni. Knny l tni, hogy ϕ(f ) nem fgg az fk megv laszt s t¢l Nyilv nval¢, hogy az elz egyenltlensgbl
kvetkezik az ltal nosabb kϕ(f )k ≤ K ha |f | ≤ K sszefggs. Az egyszer fggvnyekre eddig bizony¡tottakb¢l a ttel minden ll¡t sa kvetkezik a korl tos mrhet fggvnyek esetre 14 2.§ Spektr lelmlet Az ltal nos esetben osszuk fel X -et megsz ml lhat¢ sok diszjunkt, mrhet Xn halmazra, £gy, hogy f |Xn korl tos legyen; pld ul tekintsk az Xn = {n ≤ |f | < n + 1} halmazokat. Tekintsk az fn fggvnyeket, amelyek Xn -en f -el egyeznek meg, egybknt null k. Mivel ϕ(fn ) fel serlhet P (Xm )-el, a Hn = rng(P (Xn )) z rt altr ortogon lis komplementern nulla, ezt pedig nmag ba lekpezi le. Legyen Tn = ϕ(fn )|Hn , s legyen ϕ(f ) az elz lemma szerint a Tn oper torokhoz tartoz¢ T z rt line ris oper tor. Az elz ttel s az integr l σ -additivit sa miatt ϕ(f ) srn de ni lt, s eleget tesz az (1) s (2) feltteleknek. Mivel az (1) jobb oldal n szerepl halmaz f s P ltal egyrtelmen meghat rozott,
kapjuk, hogy sr altr, s polariz i¢val ad¢dik, hogy (1) s (2) egyrtelmen meghat rozza ϕ(f )-et. Az elz lemma felhaszn l s val a (3){(8) ll¡t sok is knnyen bel that¢k, ha az Xn mrhet halmazokat £gy v lasztjuk, hogy g is korl tos legyen Xn -en. Ez knnyen elrhet, ha a {j ≤ |f | < j +1} ∩{k ≤ |g| < k +1} halmazokat rendezzk sorozatba. 28. Feladat Az elz ttel jellseivel, mutassuk meg, hogy σ (ϕ(f )) ⊂ rng(f ). 29. A spektr l-ttel korl tos norm lis oper torokra Legyen H komplex Hilbert-tr Ha T ∈ L(H ; H ) egy norm lis oper tor, akkor pontosan egy P spektr lmrtk ltezik σ (T ) Borel-halmazain, a T spektr lfelbont sa, amelyre R T = σ(T ) λ dP (λ). Bizonytas. A spektr l ttel szorzat alakj t felhaszn lva, legyen P (A) = U ◦ Mξ ◦t ◦ U , ha A Borel-halmaz σ (T )-ben. Mivel ξA ◦ t sak 0 s 1 rtkeket vehet fel, Mξ ◦t nadjung lt projek i¢ B rmely x ∈ H -ra −1 A A Px (A) = hP (A)x, xi = Z
ξA (t(s))|U x(s)|2 dµ(s) = Z t−1 (A) |U x(s)|2 dµ(s), amibl l tszik, hogy Px vges mrtk σ (T ) Borel-halmazain, s ¡gy P spektr lmrtk. Az elz sszefggs £gy is ¡rhat¢, hogy Z σ (T ) ξA (λ) dPx (λ) = Z ξA (t(s))|U x(s)|2 dµ(s), s hasonl¢ sszefggs teljesl ξA helyett minden egyszer Borel-fggvnyre, s tetszleges σ (T )-n rtelmezett korl tos, komplex rtk Borel-fggvnyre is, spe i lisan ϕ(λ) = λ-ra is. Ebbl Z σ (T ) λ dPx (λ) = Z t(s)|U x(s)|2 dµ(s) = hT x, xi. M srszt, a spektr lintegr l tulajdons gai szerint, ha p egy ktv ltoz¢s komplex polinom, akkor Z ∗ hp(T, T )x, xi = p(λ, λ) dPx (λ). σ (T ) 15 2.§ Spektr lelmlet A Weierstrass-Stone ttel komplex v ltozata szerint a λ 7 p(λ, λ) fggvnyek srek R C (σ (T ))-ben. Igy a T oper tor egyrtelmen meghat rozza az σ(T ) ϕ(λ) dPx (λ) rtkeket, ha ϕ ∈ C (σ (T )) s x ∈ H . Mivel C Borel-halmazain minden
vges mrtk Radon-mrtk, a Riesz-fle reprezent i¢s ttel uni it s rsze szerint a Px mrtkek, ¡gy az P spektr lmrtk is, egyrtelmen meghat rozott. 30. De n¡ i¢ Legyen H komplex Hilbert-tr, T ∈ L(H ; H ) egy norm lis Roper tor, s P a T spektr lfelbont sa. Ha f Borel-fggvny σ (T )-n, legyen f (T ) = f dP . σ (T ) 31. Ttel Legyen H komplex Hilbert-tr, T ∈ L(H ; H ) norm lis oper tor, S a H srn de ni lt, z rt line ris oper tora. Ha T S ⊂ ST s T ∗ S ⊂ ST ∗ , akkor f (T )S ⊂ Sf (T ) minden f : σ (T ) C korl tos Borel-fggvnyre. Bizonytas. Legyen x ∈ dmn(S ), y ∈ dmn(S ∗ ) Ha p tetszleges ktv ltoz¢s komplex polinom, akkor hp(T, T ∗ )Sx, yi = hSp(T, T ∗ )x, yi = hp(T, T ∗ )x, S ∗ yi. Legyen P a T spektr lfelbont sa, s jellje Pu,v a B 7 hP (B )u, vi komplex mrtket σ (T ) Borel-halmazain. A fenti egyenlsgbl Z σ (T ) p(λ, λ) dPSx,y (λ) = Z σ (T ) p(λ, λ) dPx,S ∗ y (λ) b rmely p
ktv ltoz¢s komplex polinomra. A Weierstrass-Stone ttel komplex v ltozata szerint a λ 7 p(λ, λ) fggvnyek srek C (σ (T ))-ben, ¡gy Z σ (T ) f (λ) dPSx,y (λ) = Z σ (T ) f (λ) dPx,S ∗ y (λ) teljesl minden f ∈ C (σ (T )) komplex fggvnyre. Mivel C Borel-halmazain minden vges mrtk Radon-mrtk, a Riesz-fle reprezent i¢s ttel uni it s rszbl kvetkezik, hogy a PSx,y s a Px,S ∗ y komplex mrtkek megegyeznek, amibl viszont a fenti sszefggs b rmely f : σ (T ) C korl tos Borel-fggvnyre teljesl. Ez azt jelenti, hogy hf (T )Sx, yi = hf (T )x, S ∗yi ha x ∈ dmn(S ) s y ∈ dmn(S ∗ ), amibl f (T )x ∈ dmn(S ∗∗ ) = dmn(S ) s hf (T )Sx, yi = hSf (T )x, yi. Mivel dmn(S ∗ ) sr, f (T )Sx = Sf (T )x ha x ∈ dmn(S ), azaz ha a bal oldal rtelmezve van. 32. Ttel Legyen T a H komplex Hilbert-tr egy norm lis oper tora Ekkor a H Hilbert-tr megsz ml lhat¢ sok Hn ⊂ dmn(T ) z rt altr
Hilbert-sszege, amelyek T -vel s T ∗ -gal szemben invari nsak, s a Tn megszor¡t sa T -nek Hn -re norm lis oper tor. Bizonytas. Tekintsk a B = (1 + T ∗ T )−1 folytonos szimmetrikus oper tort, amelynek spektruma rsze I = [0, 1℄-nek Ha x ∈ dmn(T ), akkor T B (H ) ⊂ dmn(T ∗ ) s T ∗ T Bx = x − Bx ∈ dmn(T ) felhaszn l s val kapjuk, hogy BT x = BT (1 + T ∗ T )Bx = B (T + T T ∗ T )Bx, 16 2.§ Spektr lelmlet mivel B (H ) ⊂ dmn(T ) teljesl Neumann ttele szerint. Mivel azonban T T ∗ = T ∗ T , kapjuk hogy BT x = B (T + T T ∗ T )Bx = B (1 + T ∗ T )T Bx = T Bx, m s szavakkal, hogy BT ⊂ T B . Ebbl az elz ttel felhaszn l s val azt kapjuk, hogy f (B )T ⊂ T f (B ) b rmely f : [0, 1℄ C korl tos Borel-fggvnyre. Jellje f0 a {0} halmaz karakterisztikus fggvnyt, fn pedig a ℄1/(n + 1), 1/n℄ halmaz karakterisztikus fggvnyt. Legyen minden n ∈ N-re Hn a Pn = fn (B ) nadjung lt projek i¢oper tor
rtkkszlete. Ekkor H a Hn z rt alterek Hilbert-sszege Vegyk szre, hogy H0 a B oper tor magja, ¡gy mivel (x, y ) 7 hBx, yi bels szorzat, teh t hBx, xi = 0-b¢l x = 0 kvetkezik, H0 = {0}. A fentiek szerint Pn T ⊂ T Pn . M srszt, fn , n > 0 de n¡ i¢ja miatt a gn (λ) = fn (λ)/λ (s gn (0) = 0) sszefggssel de ni lt fggvnyek korl tos Borelfggvnyek, ¡gy Pn = Bgn (B ) ¡rhat¢, amibl T Pn = T Bgn (B ). L ttuk azonban, hogy T B az egsz H -n de ni lt korl tos oper tor. Ezrt a Tn megszor¡t sa T -nek Hn ∩ dmn(T )-re folytonos lekpezse a Hn altrnek nmag ba. Pn (dmn(T )) ⊂ Hn ∩ dmn(T ) miatt Hn ∩ dmn(T ) sr Hn -ben; mivel Tn nyilv n z rt oper tor Hn en, kapjuk, hogy Hn ⊂ dmn(T ). Vgl T ∗ T = T T ∗ miatt az eddig mondottakban T s T ∗ szerept fel serlhetjk, anlkl, hogy B megv ltozna; teh t a Tn′ megszor¡t sa T ∗ -nak Hn -re ennek az altrnek egy folytonos line ris oper tora, s nyilv n megegyezik a Tn
oper tor Tn∗ adjung ltj val. gy Tn norm lis, s a bizony¡t s ksz 33. A spektr lttel szorzat alakja Legyen H egy komplex Hilbert-tr, s T egy norm lis oper tor H -n. Ekkor ltezik olyan µ mrtk, U : H L2 (µ) unitr oper tor s µ-mrhet komplex rtk t fggvny, hogy U ◦ T ◦ U −1 = Mt , a t-vel val¢ szorz s oper tora, s rng(t) ⊂ σ (T ), tov bb µ v laszthat¢ £gy, hogy µ(A) = sup{µ(B ) : B ⊂ A, µ(B ) < ∞} teljesljn minden A ∈ A-ra. Bizonytas. Az elz ttelt fogjuk felhaszn lni Az ottani jellsekkel, tekintsk a Tn korl tos norm lis oper torokat (Hn ortogon lis komplementern null nak de ni lva) s a Pn projek i¢kat. Ezek az oper torok s adjung ltjaik p ronknt fel serlhetek. Tekintsk az ezek ltal gener lt legszkebb z rt B∗ -rszalgebr j t L(H ; H )-nak, s alkalmazzuk erre a spektr l ttel szorzat alakj nak B∗ -algebr kra vonatkoz¢ v ltozat t. tn -el, illetve pn -el jellve a Tn -hez, illetve
Pn -hez tartoz¢ fggvnyt, az ltal noss g megszor¡t sa nlkl feltehetjk, hogy pn egy An ∈ A halmaz karakterisztikus fggvnye, az An halmazokPdiszjunktak, egyes¡tsk X , s a tn fggvny az An -en k¡vl nulla. Legyen t = n tn Az elz ttelbl, s az integr l σ -additivit s b¢l kvetkezik, hogy t a T -nek megfelel fggvny. 34. Ttel Legyen H komplex Hilbert-tr, T, N, M ∈ L(H ; H ), s tegyk fel, hogy N s M norm lis oper torok. Ha M T = T N , akkor M ∗ T = T N ∗ Bizonytas. Legyen S ∈ L(H ; H ) tetszleges oper tor Ha R = S − S ∗ s Q = exp(R), akkor R∗ = −R miatt Q∗ = exp(R∗ ) = exp(−R) = Q−1 , azaz Q unitr. gy k exp(S − S ∗ )k = 1 minden S -re Most a ttel felttelbl teljes 17 2.§ Spektr lelmlet induk i¢val M k T = T N k minden k termszetes sz mra, ¡gy exp(M )T = T exp(N ), vagyis T = exp(−M )T exp(N ). Legyen U = exp(M ∗ − M ), V = exp(N − N ∗ ) Mivel az M s N oper torok
norm lisak, az elz sszefggsbl azt kapjuk, hogy exp(M ∗ )T exp(−N ∗ ) = U T V , amibl kvetkezik, hogy k exp(M ∗ )T exp(−N ∗ )k ≤ kT k. Ha M , illetve N helyre λM -et, illetve λN -et ¡runk, akkor azt kapjuk, hogy a λ 7 exp(λM ∗ )T exp(−λN ∗ ) lekpezs korl tos az egsz komplex s¡kon. A Liouville-ttelbl kvetkezik, hogy ez a lekpezs konstans, ¡gy, mivel az orig¢ban rtke T , azt kapjuk, hogy exp(λM ∗ )T = T exp(λN ∗ ) ha λ ∈ C. A deriv ltak egyenlsgbl az orig¢ban kapjuk az ll¡t st 35. Spektr lttel Egy H komplex Hilbert-tr b rmely T norm lis oper tor hoz ltezik egy s sak Regy P spektr lmrtk C Borel-halmazain, a T spektr lfelbont sa, amelyre T = C t dP (t) Erre a spektr lmrtkre P (Cσ (T )) = 0, ¡gy az integr l s σ (T ) felett is vgezhet. Tov bb , P (A)S = SP (A) minden A ⊂ C Borel-halmazra, s minden olyan S ∈ L(H ; H )-ra, amelyre ST ⊂ T S . A bizony¡t s a spektr lttel
szorzat alakj t haszn lja. A spektr lfelbont s a P (A) = U −1 ◦MξA ◦t ◦U , sszefggssel de ni lhat¢. Egy m sik bizony¡t s tal lhat¢ Rudin [1973℄ knyvben. Bizonytas. A fenti sszefggs egy P : A L(H ; H ) lekpezst de ni lja C Borel halmazainak H nadjung lt projek i¢oper toraiba. Nyilv n P (C) = 1 Vegyk szre, hogy Z hP (A)x, xi = |U x|2 dµ, t−1 (A) amibl kvetkezik, hogy Px mrtk minden x ∈ H -ra. Ǒltal nosan, azt fogjuk megmutatni, hogy minden f : C C Borel-fggvnyre Z C |f (λ)|2 dPx (λ) = Z |f ◦ t|2 |U x|2 dµ, ¡gy f dP s U −1 ◦ Mf ◦t ◦ U rtelmezsi tartom nya megegyeznek, s ha ez az integr l vges, akkor R (1) Z f (λ) dPx(λ) = Z (f ◦ t)|U x|2 dµ, mert ebbl kvetkezik, hogy f dP = U −1 ◦ Mf ◦t ◦ U minden f : C C Borelfggvnyre, spe i lisan az identikus lekpezsre is. Ez azonban egyszer fggvnyre trivi lis, s ha f korl tos fggvny, akkor hat r tmenettel
kvetkezik (ilyenkor az integr lok mind vgesek). Az ltal nos esetben osszuk fel a komplex s¡kot megsz ml lhat¢ sok diszjunkt Borel-halmazra £gy, hogy az f mindegyiken korl tos legyen, R 18 2.§ Spektr lelmlet pld ul legyen An = f −1 {n ≤ |f | < n + 1}. Legyen fn = f ξAn Ekkor Z C |f (λ)|2 dPx (λ) = XZ = XZ = Z n n |f (λ)|2 dPx (λ) = XZ |fn ◦ t|2 |U x| dµ = XZ An X n n C |fn (λ)|2 dPx (λ) t−1 (An ) |f ◦ t|2 |U x| dµ |f ◦ t|2 |U x|2 dµ, X azaz ez a kt integr l egyszerre vges. Ha ez a kt integr l vges, akkor a minden z ∈ C-re teljesl |z| ≤ 1 + |z|2 be sls szerint az (1)-ben szerepl integr lok is vgesek, s egyszer fggvnyekkel kzel¡tve f -et, kapjuk, hogy fenn ll (1). Tegyk fel, hogy S ∈ L(H ; H ) s ST ⊂ T S . Legyen Q = Qn = P (An ), ahol ARn = {λ : |λ| < n}, n termszetes sz m. Ekkor a T Q oper tor el ll¡t sa T Q = f dP , ahol f (λ) = λ ha |λ| < n, s f (λ) = 0
egybknt. gy ez az oper tor korl tos norm lis oper tor. A T Q oper tor spektr lfelbont sa P ′ (A) = P (f −1 (A)), azaz P ′ (A) = P (A ∩ An ) = QP (A) ha 0 ∈ / A, ′ P ({0}) = P ({0} ∪ (CAn )) = P ({0}) + 1 − Q. Ebbl P (A) = QP (A) = QP ′ (A) ha A ⊂ An . A spektr lintegr l tulajdons gaib¢l kvetkezik, hogy QT ⊂ T Q = QT Q, tov bb (QSQ)(T Q) = QST Q ⊂ QT SQ ⊂ (T Q)(QSQ). Mivel (QSQ)(T Q) ∈ L(H ; H ), ez a tartalmaz s azt jelenti, hogy egyenlsg teljesl. Ezrt a 2.31 ttelbl s az elz ttelbl kvetkezik, hogy QSQ fel serlhet a P ′ (A) projek i¢k mindegyikvel. Most tetszleges A korl tos Borel-halmazra van olyan n, hogy A ⊂ An ; ekkor QSP (A) = QSQP ′ (A) = P ′ (A)QSQ = P (A)SQ, ¡gy Qn SP (A) = P (A)SQn minden elg nagy n-re. Ha n tart vgtelenhez, kapjuk a fel serlhetsget minden korl tos Borel-halmazra, ¡gy tetszleges Borel-halmazra is. R Legyen P ′ egy m sik spektr lmrtk, amelyre T = λ dP ′ (λ).
Ekkor P ′ (A′ )T ⊂ T P ′ (A′ ) minden A′ Borel-halmazra. Mivel a P (A) projek i¢k minden olyan S ∈ L(H ; H ) transzform i¢val fel serlhetk, amelyre ST ⊂ T S , azt kapjuk, hogy P ′ (A′ )P (A) = P (A)P ′ (A′ ). Legyen An korl tos Borel-halmazok egy sorozata, amelyek egyes¡tse C A Hn = P (An )(H ) altrre megszor¡tva P (A)-t s P ′ (A)-t, kt olyan spektr lsereget kapunk, amelyek mindegyike a T P (An ) oper tor Hn -re val¢ megszor¡t s nak spektr lfelbont sa. gy ez a kt spektr lsereg megegyezik Hn -en, s mivel H a Hn -ek Hilbert-sszege, a lemm b¢l kvetkezik, hogy mindentt. 36. De n¡ i¢ Legyen H komplex Hilbert-tr, T a H egy norm lisRoper tora, s P a T spektr lfelbont sa. Ha f Borel-fggvny σ (T )-n, legyen f (T ) = σ(T ) f dP 19 Irodalom Irodalom [1℄ Dieudonn, J., Grundzge der modernen Analysis I{IX VEB Deuts her Verlag der Wissens haften, Berlin, 1971{1988. [2℄ Halmos, P. R, Introdu tion to Hilbert spa e
Chelsea Publishing Company, New York 1, N.Y, 1957 [3℄ Halmos, P. R, Vges dimenzi¢s vektorterek Mszaki knyvkiad¢, Budapest, 1984. [4℄ J rai, A., Mrtk s integr lelmlet Kzirat, KLTE TTK Tanknyvkiad¢, Budapest, 1988. [5℄ J rai, A., Modern alkalmazott anal¡zis Kzirat, KLTE TTK Debre en, 1992 [6℄ Kirillov, A. A, Gvisiani, A D, Feladatok a funk ion lanal¡zis krbl Tanknyvkiad¢, Budapest, 1985 [7℄ Loson zi L., Funk ion lanal¡zis I KLTE TTK jegyzet Tanknyvkiad¢, Budapest, 1982 J3-1170 [8℄ Neumann J., A kvantumme hanika matematikai alapjai Akadmiai Kiad¢, Budapest, 1980. [9℄ Riesz F., Szkefalvi-Nagy B, Funk ion lanal¡zis Tanknyvkiad¢, Budapest, 1988. [10℄ Rudin, W., Fun tional analysis M Graw-Hill Book Company, New York, 1973. [11℄ Rudin, W., A matematikai anal¡zis alapjai Mszaki Knyvkiad¢, Budapest, 1978. 20 Index Index A legfontosabb hivatkoz s ( ltal ban a de n¡ i¢) oldalsz ma ¡rott betvel van szedve. addit¡v 2
adjung lt 4 algebrai mvelet 2 altr 3 L(X ; Y ) 2 Bana h-algebra 3 bels szorzat 4, 6 Borel-fggvny 15, 18 mag 2 multipli it s 3 mvelet 2 dimenzi¢ 3 Neumann ttele 10 norma 2, 6 norm lis 4 norm lis oper tor 6, 7, 11, 13, 14, 15, 16, 17 nulloper tor 4 nulltr 2 egyrtelm 4 elforgat s 6 folytonos spektrum 3 Heisenberg-fle fel serlsi sszefggs 5 Hermite-fle 4 Hilbert-sszeg 7, 11, 15 Hilbert-tr 6 homogn 2 identikus oper tor 4 invari ns 15 inverz 3 kptr 2 konjug lt tr 2 korl tos 2 line ris funk ion l 2 line ris oper tor 2, 3, 6 nadjung lt 4, 6, 7 ortogon lis komplementer 4 sszeg 2 polariz i¢s formula 4 pontspektrum 3 projek i¢oper tor 4 regul ris 3 rezidu lis spektrum 3 rezolvens halmaz 3 21 Index saj taltr 3 saj trtk 3 saj tvektor 3 spektr l-ttel 14 spektr l-ttel szorzat alakja 7, 8 spektr lfelbont s 14, 17 spektr lintegr l 12 spektr llekpezs 3 spektr lmrtk 8, 12, 14, 17 spektr lsug r 3 spektr lttel 6, 17
spektr lttel szorzat alakja 16 spektrum 3 sr 3, 4 srn de ni lt 6, 10, 13, 15 szimmetrikus 4 szingul ris 3 szorz s oper tora 5, 6, 7, 16 szorzat 2 T∗ 4 unitr 4, 7 X∗ z z z z 2 rt 3 rt gr f ttel 3 rt line ris altr 4 rt oper tor 3, 6, 10, 11, 13, 15
mrtkek, Radon-mrtk, Riesz-fle reprezent i¢s ttel, Gelfand-elmlet, stb.) haszn lnak fel, a spektr lttel szorzat alakja, a spektr lmrtk s a spektr lintegr l fogalma, s a spektr lttel elg egyszeren megfogalmazhat¢, mg igen ltal nos, a Hilbert-tr nem felttlenl korl tos, norm lis oper torainak szerkezett le¡r¢ form j ban is Clszernek tnik teh t azok sz m ra, akik a spektr lttelt sak alkalmazni k¡v nj k, a legegyszerbb tnyek ismertetse ut n mindj rt a spektr lttelt elmondani bizony¡t s nlkl, s az elmlet egyszerbb tnyeinek bizony¡t s val illusztr lni annak erejt. Ez a gondolat vezetett a J rai [1992℄ jegyzet ¡r sakor. gy azonban a mlyebben rdekldk sz m ra nem vil gos, hogyan juthatunk el minl gyorsabban ehhez az alakhoz Ezen a hi nyoss gon k¡v n seg¡teni ez a kis fzet. Ksz¡tse sor n Riesz{Szkefalvi [1988℄ s Kirillov{ Gvisiani [1985℄ m r eml¡tett knyvn k¡vl elssorban Rudin
[1973℄, Halmos [1957℄ s Dieudonn [1985℄ knyvt haszn ltam fel. Az anal¡zisben ltal nosan szok sos jellseket haszn ltam. Ktsg esetn l sd Rudin [1978℄ knyvt A felhaszn lt line ris algebrai ttelek megtal lhat¢k Halmos [1984℄ knyvben, a mrtkelmleti eredmnyek pedig a J rai [1988℄ jegyzetben. A megrtshez szksg van a funk ion lanal¡zis alapjainak s a Gelfand-elmletnek az ismeretre: megtal lhat¢ Loson zi [1982℄ jegyzetben. Jellsekben a J rai [1992℄ jegyzetet kvetem, mivel ez a kis fzet annak kiegsz¡tse Debre en, 1992 febru r 24 J rai Antal 2 2.§ Spektr lelmlet 2.§ Spektr lelmlet 1. Line ris oper torok B r line ris terek kztt hat¢ line ris lekpezseket is lehetne vizsg lni, ezzel a tiszt n algebrai krdssel nem fogunk foglalkozni. Ezrt sz munkra az al bbi sz¢haszn lat lesz lszer. Legyenek X s Y norm lt terek K felett. Egy A ⊂ X × Y lekpezst line ris oper tor nak
neveznk, ha X egy line ris altern van rtelmezve, s minden x, y ∈ dmn(A)-ra s α ∈ K-ra A(x + y ) = Ax + Ay A(αx) = αAx (addit¡v ), (homogn). Ha Y = K, akkor line ris funk ion l r¢l beszlnk. Egy line ris oper tor rng(A) kptere (azaz rtkkszlete) s ker(A) = A−1 (0) mag ja vagy nulltere line ris alterek. A pontosan akkor kl snsen egyrtelm, ha ker(A) = {0}, s ekkor A−1 is line ris oper tor, mert y1 , y2 ∈ rng(A) esetn az A−1 y1 = x1 , A−1 y2 = x2 jellsekkel y1 = Ax1 , y2 = Ax2 s A linearit sa miatt y1 + y2 = Ax1 + Ax2 = A(x1 + x2 ), azaz A−1 y1 + A−1 y2 = x1 + x2 = A−1 (y1 + y2 ), s hasonl¢an αy1 = αAx1 = A(αx1 ), amibl αA−1 y1 = αx1 = A−1 (αy1 ). Megjegyezzk, hogy a kznsges algebrai mveletek ¢vatosan kezelendk, ha az oper torok nem az egsz tren vannak rtelmezve. Pld ul a T s S oper torok sszege sak a dmn(T + S ) = dmn(T ) ∩ dmn(S ) halmazon, szorzata (sszettele) pedig
sak a dmn(T S ) = {x : x ∈ dmn(S ) s Sx ∈ dmn(T )} halmazon rtelmezhet. Az A line ris oper tor norm ja kAk = supkxk≤1 kAxk. Ha dmn(A) 6= {0}, akkor kAxk kAk = sup = sup kAxk. 06=x kxk kxk=1 Nyilv n kAxk ≤ kAkkxk minden x ∈ dmn(A)-ra, s kAk a legkisebb ilyen konstans. Ha az A norm ja vges, akkor A-t korl tos nak nevezzk. A norma s a mveletek kap solat t az kαAk = kA + Bk = kABk = sup k(αA)xk = |α| sup kAxk = |α|kAk, kxk≤1 kxk≤1 kxk≤1 kxk≤1 sup k(A + B )xk ≤ sup kAxk + sup kBxk = kAk + kBk, kxk≤1 sup k(AB )xk ≤ sup kAkkBxk ≤ kAkkBk, kxk≤1 kxk≤1 sszefggsek jellemzik. Az X -et Y -ba kpez korl tos line ris oper torok tert L(X ; Y )-nal fogjuk jellni. A fentiek szerint L(X ; Y ) norm lt tr Az L(X ; K) teret, X konjug lt ter t X ∗ -gal is jelljk. A korl tos line ris oper torok vizsg lat t illeten l sd Loson zi [1982℄ jegyzett. 3 2.§ Spektr lelmlet 2. Z rt oper torok Az X norm lt tr egy
rszhalmaz t az Y norm lt trbe kpez A oper tort z rt oper tor nak nevezzk, ha A z rt rszhalmaza az X × Y norm lt trnek. Nyilv n ha egy z rt oper tor kl snsen egyrtelm, akkor az inverze is z rt ope tor. Az A oper tor pontosan akkor z rt, ha b rmely (x, y ) ∈ A esetn (x, y ) ∈ A. Az (x, y ) ∈ A felttel pontosan akkor teljesl, ha van olyan (xn , yn ) ∈ A sorozat, amely (x, y )-hoz konverg l, azaz amelyre xn ∈ dmn(A), xn x, yn = Axn y ha n ∞. Az (x, y ) ∈ A felttel pontosan azt jelenti, hogy x ∈ dmn(A) s y = Ax. gy bel ttuk, hogy A pontosan akkor z rt oper tor, ha tetszleges xn ∈ dmn(A) sorozatot vve, melyre xn x, Axn y , kvetkezik, hogy x ∈ dmn(A) s y = Ax. Z rt oper torokkal kap solatban nevezetes tny a z rt gr f ttel: Bana h-teret Bana h-trbe kpez z rt line ris oper tor korl tos. L sd Loson zi [1982℄ jegyzett. 3. De n¡ i¢ Legyen X egy norm lt tr X egy line ris oper tor n egy T ⊂ X × X line ris
lekpezst rtnk. Ha T inverze X -en rtelmezett korl tos line ris oper tor, akkor T -t regul ris nak nevezzk, egybknt pedig szingul ris nak. A λ ∈ K skal rt T saj trtk nek, az 0 6= x ∈ dmn(T ) vektort pedig T saj tvektor nak nevezzk, ha T x = λx. Egy λ saj trtk esetn ennek az egyenletnek a megold sai alkotj k a λ-hoz tartoz¢ saj talteret. A saj trtk multipli it s a ennek az altrnek a dimenzi¢ja. 4. De n¡ i¢ Legyen T az X komplex norm lt tr line ris oper tora A rezolvens halmaz azon λ ∈ C sz mok halmaza, amelyekre T − λ1 regul ris. A rezolvens halmaz komplementere T spektruma, σ (T ). Azon λ skal rok halmaza, amelyekre T − λ1 nem kl snsen egyrtelm, a T pontspektruma, σp (T ). Azon λ skal rok halmaza, amelyekre T − λ1 kl snsen egyrtelm, s kptere sr X ben, de az inverz nem korl tos, T folytonos spektruma, σc (T ). A σ (T ) tbbi eleme alkotja T rezidu lis spektrum t, σr (T )-t. Az r(T ) =
sup{|λ| : λ ∈ σ (T )} sz m T spektr lsugara. Az spektrum s a spektr lsug r ¡gy de ni lt fogalma ltal nos¡tja a Bana h-terek korl tos line ris oper toraira, mint Bana h-algebra elemekre de ni lt fogalmakat. Az oper tor s a spektruma kztti sszefggst (heurisztikusan) a spektr llekpezs elveknt fogalmazhatjuk meg: ha T egy oper tor, f egy komplex v ltoz¢s, komplex rtk fggvny, akkor f (σ (T )) = σ (f (T )). 5. Ttel Egy komplex Bana h-tr b rmely line ris oper tor nak a spektruma z rt halmaz. Bizonytas. Megmutatjuk, hogy ha T inverze S ∈ L(X ; X ), azaz ST ⊂ = 1, akkor S (1 − λS )−1 a T − λ1 inverze elg kis |λ| esetn. Tegyk fel, hogy |λ| < 1/kSk. Ekkor 1 − λS invert lhat¢, s TS (T − λ1)Sx = T Sx − λSx = x − λSx = (1 − λS )x minden x ∈ X -re, ¡gy (T − λ1)S (1 − λS )−1 y = (1 − λS )(1 − λS )−1 y = y minden y ∈ X -re, azaz S (1 − λS )−1 a T − λ1 inverze. 4 2.§ Spektr
lelmlet 6. Adjung lt oper tor Legyenek X s Y Hilbert-terek Nem nehz megmutatni, hogy korl tos T ⊂ X × Y oper tor mindig kiterjeszthet az egsz X -re a norma megtart s val: az rtelmezsi tartom ny lez rtj nak ortogon lis komplementern legyen nulla. gy a korl tos oper torok L(X ; Y ) elemeinek megszor¡t sai Ha T (nem felttlenl korl tos, de) sr halmazon van de ni lva, akkor azon y ∈ Y elemekre, amelyekre x 7 hT x, yi folytonos dmn(T )-n, ez a funk ion l egyrtelmen kiterjeszthet X -re, s ¡gy van olyan T ∗ y ∈ X , amelyre hT x, yi = hx, T ∗ yi. Nyilv n a kiterjeszts egyrtelmsghez szksges, hogy dmn(T ) sr legyen H -ban Knny kisz molni, hogy T ∗ ⊂ Y × X line ris oper tor. T ∗ a T adjung ltja Az is nyilv nval¢, hogy ha T ⊂ S , akkor S ∗ ⊂ T ∗ . Ha T T ∗ = 1 s T ∗ T = 1, akkor T -t unitr nek nevezzk. Egy Hilbert-tr egy T line ris oper tor t szimmetrikus nak vagy Hermite-fl nek nevezzk, ha hT x,
yi = hx, T yi minden x, y ∈ dmn(T )-re. gy egy srn de ni lt oper tor pontosan akkor szimmetrikus, ha T ⊂ T ∗ . Ha T = T ∗ , akkor T -t nadjung ltnak nevezzk. Egy srn de ni lt z rt oper tort norm lis nak neveznk, ha T ∗ T = T T ∗ . Vegyk szre, hogy egy szimmetrikus oper torra hT x, xi mindig val¢s. 7. Feladat: polariz i¢ Legyen H komplex Hilbert-tr, T ⊂ H × H line ris oper tor. Igazoljuk, hogy ha x, y ∈ dmn(T ), akkor 4hT x, yi = hT (x + y ), x + yi − hT (x − y ), x − yi + ihT (x + iy ), x + iyi − ihT (x − iy ), x − iyi. Ha H val¢s, s T nadjung lt, akkor 4hT x, yi = hT (x + y ), x + yi − hT (x − y ), x − yi. Ez a polariz i¢s formula. Spe i lisan, a bels szorzat kifejezhet a norm val 8. Feladat Igazoljuk, hT x, xi = 0 minden x ∈ H -ra, hogy ha H komplex Hilbert-tr, T ∈ L(H ; H ) s akkor T = 0. 9. Projek i¢oper torok s z rt alterek Egy H Hilbert-tren rtelmezett P korl tos line ris oper tort projek
i¢oper tor nak neveznk, ha P 2 = P A legegyszerbb projek i¢oper torok az 1 identikus oper tor s a nulloper tor. Megmutatjuk, hogy a P 7 rng(P ) lekpezs kl snsen egyrtelm kap solatot ltes¡t az nadjung lt projek i¢oper torok s H z rt line ris alterei kztt. Ennek bel t s hoz, elszr is vegyk szre hogy a P oper tor nulltere, a ker(P ) z rt line ris altr pontosan azokb¢l az elemekbl ll, amelyek el llnak x−P (x) alakban, rng(P ) pedig P xpontjaib¢l ll, azaz 1 −P nulltere. M srszt, P nadjung lts g t felhaszn lva, kapjuk, hogy rng(P ) = ker(P )⊥ Ebbl az ortogon lis felbont s ttelnek felhaszn l s val m r kvetkezik az ll¡t s. 10. Pld k Pld inkban tekintsk a sz megyenest a Lebesgue-mrtkkel, s legyen a Hilbert-tr a megfelel komplex L2 -tr. 5 2.§ Spektr lelmlet (1) Legyen g : R C egy korl tos Lebesgue-mrhet fggvny, s Mg a g -vel val¢ szorz s oper tora, azaz ha t ∈ R. Mg (f )(t) = g (t)f
(t) Ekkor Mg korl tos line ris oper tor. Mg adjung ltja Mg Ha g val¢s rtk, akkor Mg nadjung lt. Ha g egy halmaz karakterisztikus fggvnye, akkor Mg projek i¢oper tor (2) Legyen (M f )(t) = tf (t), ha f ∈ L2 es Z ∞ −∞ t2 |f (t)|2 dt < ∞. Megmutathat¢, hogy ekkor M nemkorl tos nadjung lt oper tor. (3) Legyen h egy val¢s sz m, s de ni ljuk a D oper tort az f ∈ D(R) fggvnyeken, £gy, hogy Df = −ih f ′ . Ekkor D srn de ni lt oper tor, s hDf, gi = Z ∞ −∞ −i hf g ′ = Z ∞ −∞ ihf g ′ = Z ∞ −∞ f (−i hg ′ ) = hf, Dgi, ha f, g ∈ dmn(D), azaz D szimmetrikus. Megmutathat¢, hogy D nem nadjung lt, de ha rtelmezst kiterjesztjk azokra a f ∈ L2 fggvnyekre, amelyek minden kompakt intervallumon abszol£t folytonosak, s deriv ltjuk is ngyzetesen integr lhat¢, akkor nemkorl tos nadjung lt oper tort kapunk. (4) Legyen M a (2)-ben de ni lt oper tor, D pedig a (3)-ban de ni lt
oper tor. Az M s D oper torok kommut tora, DM − M D az rtelmezsi tartom ny n megegyezik az −ih 1 oper torral: −i h(tf (t))′ + ti hf ′ (t) = −i hf (t) (Heisenberg-fle fel serlsi sszefggs). 11. Feladat Bizony¡tsuk be az elz plda ll¡t sait 12. Tipikus plda Legyen µ egy mrtk, t mrhet, komplex rtk fggvny, s Mt a t-vel val¢ szorz s oper tora: (Mt x)(τ ) = t(τ )x(τ ), ha x ∈ L2 (µ), tx ∈ L2 (µ). Ha t~ egy m sik mrhet fggvny, amely minden vges mrtk mrhet halmazon majdnem mindentt egyenl t-vel, akkor Mt = Mt~, mivel az {x 6= 0} halmaz σR vges. Megmutatjuk, hogy Mt∗ = Mt Ha y ∈ L2 esetn x 7 hMt x, yi = txy dµ korl tos line ris funkR ion l dmn(RMt )-n, akkor el ll bels szorzat alakban, azaz van olyan z ∈ L2 , hogy xty dµ = xz dµ ha x ∈ dmn(Mt ). Azt kell megmutatnunk, hogy ty s z majdnem mindentt megegyeznek. Ha µ{ty 6= z} > 0 lenne, akkor felhaszn lva, hogy az {y 6= 0}
s {z = 6 0} halmazok σ -vgesek, v laszthatn nk olyan 6 2.§ Spektr lelmlet A mrhet halmazt, amelyen ty 6= z s 0 < µ(A) < ∞. Feltehetjk, hogy t korl tos A-n; val¢ban, alkalmazzuk az A∩{|t| < n} halmazokra a mrtk folytonoss g t. Ha R R most x = ξA sgn(ty − z), akkor x ∈ dmn(Mt ) s x(ty − z ) dµ = A |ty − z| dµ 6= 0. Vegyk szre, hogy Mt norm lis, ha t val¢s rtk, akkor Mt nadjung lt, ha t korl tos, akkor Mt is korl tos ugyanazzal a korl ttal, ha t karakterisztikus fggvny, akkor Mt nadjung lt projek i¢, σ (Mt ) ⊂ rng(t), mert ha λ bels pontja rng(t) komplementernek, akkor az M1/(t−λ) korl tos oper tor az Mt−λ inverze, s ha |t| ≡ 1, akkor Mt unitr. 13. De n¡ i¢ Legyen H komplex Hilbert-tr Ekkor H × H is Hilbert-tr lesz, p a h(x1 , x2 ), (y1 , y2 )i = hx1 , y1 i + hx2 , y2 i bels szorzattal, amibl a k(x1 , x2 )k = kx1 k2 + kx2 k2 norma sz rmazik. 14. Ttel Legyen H Hilbert-tr, T egy
srn de ni lt line ris oper tor H -n, V (x1 , x2 ) = (−x2 , x1 ), ha x1 , x2 ∈ H . Ekkor T ∗ = V (T )⊥ Vegyk szre, hogy ha H = R, akkor V a s¡k egy derkszggel val¢ elforgat sa. Bizonytas. (y, z) ∈ T ∗ pontosan akkor teljesl, ha hT x, yi = hx, zi minden x ∈ dmn(T )-re Ez azzal ekvivalens, hogy h(−T x, x), (y, z)i = 0 minden x ∈ dmn(T )-re, az ut¢bbi azonban pontosan akkor teljesl, ha (y, z ) a V (T ) ortogon lis komplementerben van. 15. Kvetkezmny T ∗ z rt oper tor Onadjung lt oper tor z rt, ¡gy nor∗ m lis. T pontosan akkor fggvny, ha T srn de ni lt, s ekkor T = T ∗∗ Bizonytas. Ha T ∗ srn de ni lt, akkor T ∗∗ = V (V (T )⊥)⊥ = T ⊥⊥ = T fggvny. Ha T ∗ nem srn de ni lt, akkor van olyan 0 6= z ∈ H , amely ortogon lis dmn(T ∗ )-ra. Ekkor (z, 0) ortogon lis T ∗ -ra, teh t (0, −z) benne van T -ban 16. Mit ll¡t a spektr lttel? A line ris algebr b¢l ismeretes, hogy ha T egy norm lis
line ris oper tor egy vges dimenzi¢s komplex H Hilbert-tren, akkor | alkalmas b zisban | T f koordin t i (t1 f1 , t2f2 , . , tn fn ) alakba ¡rhat¢k, ahol t1 , t2 , . , tn a T saj trtkei, s f koordin t i (f1 , f2 , , fn ) A T oper tor teh t ekvivalens egy adott t = (t1 , t2 , . , tn ) fggvnnyel val¢ szorz ssal Mivel ha µ tetszleges mrtk, akkor az L2 (µ) tren egy mrhet t fggvnnyel val¢ szorz s Mt oper tora, amelyre (Mt f )(s) = t(s)f (s), norm lis oper tor, amelynek adjung ltja a t fggvnnyel val¢ szorz s oper tora, azt v rhatjuk, hogy tetszleges norm lis oper tort ilyen alakban lehet el ll¡tani. Val¢ban, a spektr l ttel szorzat alakja azt ll¡tja, hogy ha T egy norm lis oper tor egy H komplex Hilberttren, akkor van olyan line ris izometria H s egy L2 (µ) tr kztt, amely T -t egy t mrhet fggvnnyel val¢ szorz sba viszi t. t v laszthat¢ £gy, hogy rtkkszletnek lez rtja ppen σ (T ) legyen P Approxim
ljuk a t fggvnyt egyszer fggvnyekkel. Egy tj ξj ≈ t egyszer P fggvnnyel val¢ szorz s H -ban egy tj Pj ≈ T oper tornak felel meg: a ξj karakterisztikus fggvnnyel val¢ szorz s egy Pj nadjung lt projek i¢oper torba megy t, amely azt mri", tj -nek mekkora s£lya" van a σ (T ) spektrumban. Ha a kzel¡tst R nom¡tjuk, az sszeg egy C t dP (t) = T integr lhoz tart, ez a T spekr lel ll¡t sa. 2.§ Spektr lelmlet 7 Itt P egy, a C-n rtelmezett, T -tl fgg, nadjung lt projek i¢oper tor rtk mrtk, a T £gynevezett spektr lfelbont sa. A spektr lmrtkkel val¢ munk n l gondot okoz, hogy az integr lkzel¡t sorozatok nem konvergensek L(H ; H ) norm j ban. Ezt a problm t £gy lehet megkerlni, hogy az A 7 P (A) spektr lmrtk helyett annak rnykaival", az A 7 hP (A)x, xi, x ∈ H kznsges mrtkekkel dolgozunk. 17. Ttel Egy H komplex Hilbert-tren egy T ∈ L(H ; H ) norm lis oper tor
pontosan akkor nadjung lt, ha σ (T ) ⊂ R s pontosan akkor unitr, ha σ (T ) ⊂ T. Bizonytas. A T ltal L(H ; H )-ban gener lt rsz B∗ -algebra, B∗ (T ) izometrikusan ∗-izomorf C (σ (T ))-vel, s T -nek az identikus λ 7 λ fggvny, T ∗ -nak pedig a λ 7 λ fggvny felel meg. T = T ∗ pontosan akkor, ha λ = λ a σ (T )-n, s T T ∗ = 1 pontosan akkor, ha λλ = 1 a σ (T )-n. 18. De n¡ i¢ Azt mondjuk, hogy a H Hilbert-tr a Hγ , γ ∈ z rt altereinek Hilbert-sszege, ha a Hγ alterek p ronknt ortogon lisak, s egyes¡tsk line ris burka sr H -ban. 19. Lemma Legyen H egy komplex Hilbert-tr, X egy 1-et tartalmaz¢ rsz ∗-algebr ja L(H ; H )-nak. Ekkor lteznek olyan Hγ , γ ∈ z rt alterek, amelyek Hilbert-sszege H , s amelyekre (1) AHγ ⊂ Hγ minden A ∈ X s γ ∈ esetn; (2) minden γ ∈ -ra ltezik olyan 0 6= xγ ∈ Hγ , hogy {Axγ : A ∈ X} sr Hγ -ban. Bizonytas. Tekintsk az sszes, az (1) s (2)
feltteleknek eleget tv, p ronknt ortogon lis z rt alterekbl ll¢ Hγ , γ ∈ rendszereket Ezek a tartalmaz sra nzve fligrendezett halmazt alkotnak, amelyre teljeslnek a Zorn-lemma felttelei, ¡gy van maxim lis eleme. Megmutatjuk, hogy erre ∪γ∈ Hγ line ris burka sr H ban Legyen erre a maxim lis elemre H ′ az ∪γ∈ Hγ halmaz line ris burk nak a lez rtja. Nyilv n AH ′ ⊂ H ′ minden A ∈ X -re Ha H 6= H ′ , v lasszunk egy x′′ 6= 0 elemet H ′ ortogon lis komplementerbl, s tekintsk az {Ax′′ : A ∈ X} halmazt. Ez altr, mert X rszalgebra. Legyen H ′′ ennek a lez rtja Ekkor AH ′′ ⊂ H ′′ minden A ∈ X -re Ha x′ ∈ H ′ , akkor hx′ , Ax′′i = hA∗ x′ , x′′ i = 0 minden A ∈ X -re, ¡gy a bels szorzat folytonoss g b¢l kvetkezik, hogy H ′ ⊥ H ′′ . A Hγ , γ ∈ rendszert kiegsz¡tve H ′′ -vel, ellentmond sra jutunk. 20. A spektr l-ttel szorzat alakja B∗ -rszalgebr kra Legyen H
egy komplex Hilbert-tr, s X egy kommutat¡v B∗ -rszalgebr ja L(H ; H )-nak, amely tartalmazza az identikus oper tort. Ekkor ltezik olyan µ mrtk egy mrtktren, U : H L2 (µ) unitr oper tor s T 7 t ∈ L∞ (µ) lekpezse X -nek, amelynl U ◦T ◦U −1 = Mt , a t-vel val¢ szorz s oper tora minden T ∈ X -re, s rng(t) ⊂ σ (T ). A µ mrtk v laszthat¢ £gy, hogy µ(A) = sup{µ(B ) : B ⊂ A, µ(B ) < ∞} teljesljn minden A ∈ A-ra. Bizonytas. Elszr tegyk fel, hogy van olyan x ∈ H , amelyre {T x : T ∈ X} sr H -ban. Rgz¡tve egy ilyen x-et, a T 7 hT x, xi lekpezs korl tos line ris 8 2.§ Spektr lelmlet funk ion l C (X^ )-n, amely a nemnegat¡v fggvnyeken nemnegat¡v (alkalmazzunk ugyanis gykvon st), ¡gy a Riesz-fle reprezent i¢s ttel szerint el ll hT x, xi = R dµ alakban. Legyen U T = T x Ekkor ^ T X kT xk2 = hT T x, xi = ∗ Z |T |2 dµ = kT k2 , ¡gy U izometrikusan kiterjeszthet
egy H -t L2 (µ)-be kpez fggvnny. Mivel ^ ) sr, U rtkkszlete L2 (µ), tov bb C (X (U ◦ T ◦ U −1 )(S ) = U (T (Sx)) = (U ◦ U −1 )(T S ) = T S . Az ltal nos esetben tekintsk H -nak az elz lemma szerinti alterekre val¢ direkt felbont s t. A Hγ z rt alterekre alkalmazva az elz lpst, kapunk egy µγ mrtket X^ γ -n, egy Uγ : Hγ L2 (µγ ) izometri t, s egy T |Hγ 7 tγ lekpezst. Az ^ γ tereket diszjunktt tve, ∪γ∈ X^ γ mrtktrr tehet: egy A rszhalmaz legyen X P ^ γ ). mrhet, ha A ∩ X^ γ mrhet minden γ ∈ -ra, s legyen µ(A) = γ∈ µγ (A ∩ X P Ha f ∈ L2 (µ), akkor az U −1 f = γ∈ Uγ−1 (f |Xγ ) sszeg sak megsz ml lhat¢ sok nem nulla tagot tartalmaz, s nem fgg az sszegzs sorrendjtl, tov bb U −1 izometrikusan izomorf lekpezse L2 (µ)-nek H -ra, s U ◦ T ◦ U −1 = Mt , ahol t|Xγ = tγ . Vgl vegyk szre, hogy ha T − λ1 a H -t H -ra kl snsen
egyrtelmen kpezi le, akkor (T − λ1)|Hγ a Hγ -t Hγ -ra kl snsen egyrtelmen kpezi le, ¡gy van inverze. Ebbl rng(tγ ) = σ (T |Hγ ) ⊂ σ (T ), amibl rng(t) ⊂ σ (T ) 21. A spektr l-ttel szorzat alakja korl tos oper torra Legyen H egy komplex Hilbert-tr, s T ∈ L(H ; H ) egy norm lis oper tor. Ekkor ltezik olyan µ mrtk, U : H L2 (µ)-ra unitr oper tor s µ-mrhet komplex rtk t fggvny, hogy U ◦ T ◦ U −1 = Mt , a t-vel val¢ szorz s oper tora, s rng t ⊂ σ (T ), tov bb µ v laszthat¢ £gy, hogy µ(A) = sup{µ(B ) : B ⊂ A, µ(B ) < ∞} teljesljn minden A ∈ A-ra. Bizonytas. Alkalmazzuk az elz ttelt a T ltal gener lt B∗ -rszalgebr ra 22. Spektr lmrtk Legyen H egy komplex Hilbert-tr, s A az X halmaz rszhalmazainak egy σ -algebr ja. Egy, az A elemeit H nadjung lt projek i¢oper toraiba kpez P lekpezst spektr lmrtk nek neveznk, ha P (X ) = 1 s Px (T ) = hP (T )x, xi
jellssel Px mrtk minden x ∈ H -ra. Vegyk szre, hogy minden Px vges mrtk, mert Px (X ) = h1x, xi = kxk2 , s Px (A) = hP (A)x, xi = hP (A)x, P (A)xi = kP (A)xk2 . Ebbl P kvetkezik, hogy P (∅) = 0. P ltal ban nem σ -addit¡v a norma topol¢gi ban, mivel ∞ n=1 P (An ) nem Cau hy-sorozat, hiszen a projek i¢k norm ja sak nulla vagy egy lehet; azonban, ha n = 1, 2, . -re P (An ) = 0, akkor P (∪∞ n=1 An ) = 0. Val¢ban, Px (An ) = 0 minden x ∈ H -ra s n = 1, 2, . -re Ebbl Px (∪An ) = 0 minden x ∈ H -ra, azaz kP (∪An )xk2 = 0 minden x ∈ H -ra, ¡gy P (∪An ) = 0. A kvetkez ttel a spektr lmrtkek tov bbi vizsg lat val foglalkozik. 9 2.§ Spektr lelmlet 23. Ttel Az elz de n¡ i¢ jellseivel, (1) ha A ∩ B = ∅, akkor P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ); (2) P (A ∩ B ) = P (A)P (B ), ha A, B ∈ A; (3) b rmely kt P (A), P (B ) projek i¢ fel serlhet egym ssal s ha A ∩ B = ∅, akkor P (A) s P (B ) kptere
ortogon lis; (4) ha An diszjunkt, mrhet halmazok egy sorozata, s x ∈ H , akkor P( ∪∞ n=1 An )x = ∞ X n=1 P (An )x. Bizonytas. Ha A s B diszjunk mrhet halmazok, akkor hP (A ∪ B )x, xi = h(P (A) + P (B ))x, xi minden x ∈ H -ra. Ebbl polariz i¢val P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ), azaz teljesl (1) Ha A ⊂ B , akkor P (B ) = P (A) + P (BA). Ebbl P (A)x = x esetn kxk2 = kP (A)xk2 ≤ kP (A)xk2 + kP (BA)xk2 = kP (B )xk2 ≤ kxk2 , azaz kP (B )xk = kxk. Ez azt jelenti, hogy x ∈ rng(P (B )), azaz P (B )x = x gy azt kaptuk, hogy P (B )P (A) = P (A). Adjung l ssal ad¢dik, hogy ez a P (A)P (B ) = P (A) sszefggssel ekvivalens. A tetszleges A, B ∈ A esetn fenn ll¢ P (A ∪ B ) = P (BA) + P (A ∩ B ) + P (AB ) sszefggs mindkt oldal hoz hozz adva P (A ∩ B )-t, azt kapjuk, hogy P (A ∪ B ) + P (A ∩ B ) = P (A) + P (B ). Mindkt oldalt megszorozva P (A)-val, ebbl azt kapjuk, hogy P (A) + P (A ∩ B ) = P (A) + P (B )P (A),
amibl ad¢dik (2), abb¢l pedig (3). Vgl, (4)-ben a jobb oldalon ortogon lis sor sszege ll, amely a ∞ X n=1 kP (An )xk2 = ∞ X n=1 ∞ 2 2 Px (An ) = Px (∪∞ n=1 An ) = kP (∪n=1 An )xk ≤ kxk sszefggs szerint konvergens. Vil gos, hogy az x 7 ∞ n=1 P (An )x hozz rendels egy Q line ris oper tor, amelynek norm ja nem nagyobb, mint 1. Mivel P hQx, xi = = lim h n∞ ∞ X n=1 n X k=1 P (Ak )x, xi = lim n∞ n X k=1 hP (Ak )x, xi Px (An ) = hP (∪∞ n=1 An )x, xi minden x-re. Polariz i¢val kapjuk, hogy Q = P (∪∞ n=1 An ), teh t teljesl (4). 10 2.§ Spektr lelmlet 24. Neumann ttele Legyen T egy srn de ni lt z rt oper tor a H Hilbert-tren. Ekkor dmn(T ∗ T ) sr H -ban, a T ∗ T oper tor z rt, s az 1+T ∗ T oper tor kl snsen egyrtelm lekpezse dmn(T ∗ T )-nek H -ra A B = (1 + T ∗ T )−1 oper tor korl tos s nadjung lt, spektruma rsze [0, 1℄-nek. Az (x, y ) 7 hBx, yi lekpezs egy bels
szorzat, s C = T B egy H -n de ni lt folytonos line ris oper tor, amelyre C (H ) ⊂ dmn(T ∗ ) teljesl. Vgl (T ∗ T )∗ = T ∗ T Bizonytas. Az elz ttel jellseivel, T s V (T ∗ ) egym s ortogon lis komplementerei H × H -ban Ezrt minden x ∈ H -hoz pontosan egy y ∈ dmn(T ) s z ∈ dmn(T ∗ ) ltezik, hogy (1) (x, 0) = (y, T y ) + (T ∗ z, −z). Legyen y = Bx s z = Cx. Nyilv n B s C az egsz H -n de ni lt line ris oper torok, s B (H ) ⊂ dmn(T ) valamint C (H ) ⊂ dmn(T ∗ ), tov bb kxk2 = kyk2 + kT yk2 + kzk2 + kT ∗ zk2 , amibl kBxk ≤ kxk s kCxk ≤ kxk. Az (1) sszefggs ekvivalens az x = Bx + T ∗ Cx es 0 = −Cx + T Bx sszefggsekkel. Ebbl C = T B s T (B (H )) ⊂ dmn(T ∗ ), azaz B (H ) ⊂ dmn(T ∗ T ) Kvetkezskppen T ∗ T B az egsz H -n de ni lva van, s teljesl, hogy 1 = B + T ∗ T B = (1 + T ∗ T )B ; ezzel megmutattuk, hogy B kl snsen egyrtelm, 1 + T ∗ T pedig H -ra
kpez. Minden w ∈ dmn(T ∗ T )-re teljesl, hogy (2) hw + T ∗ T w, wi = kwk2 + hT ∗ T w, wi = kwk2 + kT wk2 ; mivel T = T ∗∗ , ez az sszefggs azt mutatja, hogy w + T ∗ T w = 0-b¢l w = 0 kvetkezik, teh t 1 + T ∗ T kl snsen egyrtelm. Mivel B z rt, 1 + T ∗ T is z rt, amibl kvetkezik, hogy T ∗ T is z rt. Tov bb , minden u, v ∈ H -ra hBu, vi = hBu, Bv + T ∗ T Bvi = hBu, Bvi + hBu, T ∗ T Bvi = hBu, Bvi + hT Bu, T Bvi = hBu, Bvi + hT ∗ T Bu, Bvi = h(1 + T ∗ T )Bu, Bvi = hu, Bvi, azaz B nadjung lt. Ha (2)-ben w helyre Bx-et tesznk, akkor azt kapjuk, hogy minden x ∈ H -ra hx, Bxi = kBxk2 + kT Bxk2 ≥ 0. Mivel kBxk ≤ kxk, kvetkezik, hogy σ (B ) ⊂ [0, 1℄. Tov bb hx, Bxi = 0 esetn Bx = 0 teh t x = 0, ¡gy az (x, y ) 7 hBx, yi lekpezs bels szorzat. 11 2.§ Spektr lelmlet Most megmutatjuk, hogy dmn(T ∗ T ) sr. Jellje a T megszor¡t s t dmn(T ∗ T )re T ′ Elg megmutatni, hogy T ′ sr T -ben,
mivel dmn(T ∗ T ) a T ′ kpe az (x, y ) 7 x projek i¢n l, s dmn(T ) sr H -ban. Annak bizony¡t s ra, hogy a T ′ ⊂ T altr a T Hilbert-trben sr, elg azt megmutatni, hogy egy T ′ -re ortogon lis (u, T u) ∈ T vektor szksgkppen nulla. Ez azonban azt jelenti, hogy h(u, T u), (v, T v )i = 0 minden v ∈ dmn(T ∗ T )-re, azaz hu, vi + hT u, T vi = 0; mivel azonban T v ∈ dmn(T ∗ ) teljesl, kvetkezik, hogy hu, vi + hu, T ∗ T vi = 0, s ¡gy hu, (1 + T ∗ T )vi = 0. Azonban 1 + T ∗ T a dmn(T ∗ T ) halmazt H -ra kpezi le, ¡gy u = 0, ami bizony¡tand¢ volt. Mivel B nadjung lt, B a V (B ) ortogon lis komplementere. Ebbl 1 + T ∗ T a V (1 + T ∗ T ) ortogon lis komplementere. M s sz¢val, (1 + T ∗ T )∗ = 1 + T ∗ T , teh t (T ∗ T )∗ = T ∗ T . 25. Ttel Legyen H egy Hilbert-tr Ha T egy norm lis oper tor, akkor dmn(T ) = dmn(T ∗ ) s kT xk = kT ∗ xk minden x ∈ dmn(T ) esetn. Bizonytas. Mint Neumann ttelnek
bizony¡t s ban l ttuk, a T oper tor dmn(T ∗ T )-re val¢ megszor¡t sa sr T -ben; ltezik teh t minden x ∈ dmn(T )-hez dmn(T ∗ T )-beli pontoknak olyan yn sorozata, hogy limn∞ yn = x s limn∞ T yn = T x. Minden z ∈ dmn(T ∗ T )-re teljesl azonban, hogy kT zk2 = hz, T ∗ T zi = hz, T T ∗ zi = kT ∗ zk2 , mivel T ∗ T = T T ∗ . Ha ezt az sszefggst alkalmazzuk z = yn − ym -re, akkor azt mutatja, hogy a T ∗ yn sorozat Cau hy-sorozat, teh t konvergens. Mivel T ∗ z rt, ebbl kvetkezik, hogy x ∈ dmn(T ∗ ) s T ∗ x = limn∞ T ∗ yn teljesl; ebbl kvetkezik, hogy kT xk = kT ∗ xk. Bel ttuk teh t, hogy dmn(T ) ⊂ dmn(T ∗ ) Mivel T ∗∗ = T , a T ∗ oper tor is norm lis, s dmn(T ∗ ) ⊂ dmn(T ). 26. Lemma Legyen a H Hilbert-tr a megsz ml lhat¢ sok Hn z rt altr Hilbert-sszege, s minden n-re Tn a Hn egy korl tos oper tora. Ekkor pontosan egy olyan T z rt oper tora ltezik H -nak, amelyre Hn ⊂ dmn(T ), T |Hn = Tn s
Pn T x = T Pn x minden n s minden x ∈ dmn(T ) esetn, P ahol Pn a H -nak Hn -re val¢ ortogon lis projek i¢ja. Tov bb dmn( T ) azon x = n xn , xn ∈ Hn elemek P P 2 halmaza, amelyekre n kTn xn k < ∞, s T x = n Tn xn . Ha Tn mindenPn-re egy folytonos norm lis oper tor Hn -en, akkor T norm lis oper tor, s T ∗ x = n Tn∗ xn . Bizonytas. P Jellje X az sszes olyan xP= n xn , xn ∈ Hn alak£ elemek halmaz t, amelyekre n kTn xn k2 < ∞. Mivel n kPn T xk2 = kT xk2 < ∞ kell, hogy teljesljn, feltteleinkbl kvetkezik, hogy dmn(T ) ⊂ X . A minden Hilbert-trben 2 ′ 2 rvnyes kz + z′ k2 ≤ P2kzk + 2kz k egyenltlensgbl Pkvetkezik, hogy X altere H nak. Minden x = n xn ∈ X esetn legyen T ′ x = n Tn xn Megmutatjuk, hogy P ′ az ¡gy de ni lt T oper tor z rt. Mivel T nyilv n tartalmazza a n (xn , Tn xn ) vges sszegeket, T sr T ′ -ben, s mivel T z rt, ebbl kvetkezik, hogy T = T ′ . Nyilv nval¢, hogy T ′ line
ris. Legyen tov bb xm ∈ X egy sorozat, amely egy x ∈ H elemhez konverg l £gy, hogy T xm egy y ∈ H elemhez konverg l. Ekkor P 12 2.§ Spektr lelmlet Pn T ′ xm = Tn Pn xm y = T ′ x. a Tn folytonoss ga miatt Tn Pn x-hez konverg l, teh t x ∈ X s A m sodik ll¡t s bizony¡t s hoz elszr megmutatjuk, hogy T ∗ (Hn ) ⊂ Hn . Ha m = 6 n, b rmely yn ∈ Hn s xm ∈ Hm esetn, hxm , T ∗ yn i = hT xm , yn i = 0, mivel T (Hm ) ⊂ Hm . Ezrt T ∗ yn minden Hm , m 6= n altrre ortogon lis, teh t Hn ben van Kvetkez lpsknt megmutatjuk, hogy minden x ∈ dmn(T )-re Pn T x = T Pn x = Tn Pn x, ahol Pn a Hn altrre trtn ortogon lis projek i¢. Val¢ban, minden yn ∈ Hn esetn hPn T x, yn i = hT x, Pn yn i = hT x, yn i = hx, T ∗ yn i, s mivel az elzek szerint T ∗ yn = Pn T ∗ yn , azt kapjuk, hogy hPn T x, yn i = hPn x, T ∗ yn i = hT Pn x, yn i = hTn Pn x, yn i. Mivel ez minden yn ∈ Hn -re teljesl, a Pn T x s a Tn Pn x elemek
egybeesnek. Csak annak bizony¡t sa van h tra, hogy T norm lis. Minden x ∈ dmn(T )-re teljesl azonban, hogy kTn∗ Pn xk = kTn Pn xk; alkalmazva az eddig bizony¡tottakat a Tn∗ oper torokra, azt kapjuk, hogy pontosan egy T ′ z rt oper tor ltezik, amely minden n-re a Hn ⊂ dmn(T ′ ), T ′ |Hn = Tn∗ s Pn T ′ x =PT ′ Pn x ha x ∈ dmn(T ′ ) feltteleket tov bb dmn(T ′ ) = dmn(T ), s x = n xn ∈ dmn(T ′ ) esetn P teljes¡ti, ′ ∗ T x = n Tn xn . Ebbl a formul b¢l kzvetlenl kvetkezik, hogy minden x, y ∈ dmn(T )-re a hT x, yi = hx, T ∗ yi sszefggs teljesl; m s szavakkal, T ′ ⊂ T ∗ . Az is teljesl azonban, hogy Pn T ∗ y = T ∗ Pn y minden n-re s minden y ∈ dmn(T ′ )-re; val¢ban, minden xn ∈ Hn esetn hxn , Pn T ∗ yi = hxn , T ∗ yi, s mivel xn ∈ dmn(T ), kapjuk, hogy hxn , T ∗ yi = hT xn , yi = hT xn , Pn yi, mivel T xn = Tn xn ∈ Hn . Felhaszn lva, hogy Hn ⊂ dmn(T ∗ ), kapjuk, hogy hxn , Pn T ∗ yi
= hxn , T ∗ Pn yi, ami ll¡t sunkat bizony¡tja Mivel T ∗ z rt, az elz lemm b¢l kvetkezik, hogy T ′ = T ∗ Az eddig bizony¡tottakb¢l kvetkezik, hogy minden x, y ∈ dmn(T ) = dmn(T ∗ ) esetn hT x, T yi = hT ∗ x, T ∗ yi teljesl. Ha z ∈ dmn(T T ∗ ), akkor ebbl minden x ∈ dmn(T )-re hT x, T yi = hT ∗ x, T ∗ zh= hx, T T ∗ zi; ez az adjung lt oper tor den¡ i¢ja szerint azt jelenti, hogy T z ∈ dmn(T ∗ ) teljesl, s hogy T ∗ T z = T T ∗ z. Megmutattuk teh t, hogy T T ∗ ⊂ T ∗ T . A bizony¡t s teljes lesz, ha T s T ∗ szerept fel serljk, mivel T ∗∗ = T . 27. Spektr lintegr l Legyen H egy komplex Hilbert-tr, s P egy spektr lmrtk X -en L(H ; H )-beli rtkekkel Ekkor ltezik egy s sak egy, az X -en rtelmezett mrhet komplex rtk fggvnyeket H line ris oper toraiba kpez f 7 ϕ(f ) = Z X f (t) dP (t) lekpezs (spektr lintegr l), amely rendelkezik az al bbi tulajdons gokkal: R (1) dmn
ϕ(f ) = {x : x ∈ H, X |f |2 dPx < ∞}; R (2) hϕ(f )x, xi = X f dPx minden x ∈ dmn ϕ(f )-re. 13 2.§ Spektr lelmlet (3) (4) (5) (6) (7) (8) Teljesl tov bb , hogy minden ϕ(f ) srn de ni lt z rt line ris oper tor, s R kϕ(f )xk2 = X |f |2 dPx ha x ∈ dmn ϕ(f ); ha S ∈ L(H ; H ), s SP (A) = P (A)S minden A mrhet halmazra, akkor Sϕ(f ) ⊂ ϕ(f )S . Ha f, g : X C mrhet fggvnyek, α, β ∈ C pedig skal rok, akkor ha P {f 6= g} = 0, akkor ϕ(f ) = ϕ(g ); αϕ(f ) + βϕ(g ) ⊂ ϕ(αf + βg ); ϕ(f )ϕ(g ) ⊂ ϕ(f g ) s dmn(ϕ(f )ϕ(g )) = dmn ϕ(g ) ∩ dmn ϕ(f g ); ϕ(f )∗ = ϕ(f ) s ϕ(f )ϕ(f )∗ = ϕ(|f |2 ) = ϕ(f )∗ ϕ(f ). Bizonytas. Ha f egyszer mrhetPfggvny α1 , α2, , αn rtkekkel, akkor de ni ljuk ϕ(f ) ∈ L(H ; H )-t a ϕ(f ) = nj=1 αj P {f = αj } sszefggssel. Mivel Pn P rtkei nadjung lt projek i¢k, ϕ(f )∗ = j =1 αj P {f = yj } = ϕ(f ). Ha a g egyszer fggvny a βk
rtkeket veszi fel, akkor ϕ(f )ϕ(g ) = X αj βk P {f = αj }P {g = βk } = j,k X X l αj βk =γl γl P {f g = γl } = ϕ(f g ). Hasonl¢an bel that¢, hogy ϕ(αf + βg ) = αϕ(f )+ βϕ(g ). Ha x ∈ H , akkor de n¡ i¢ szerint hϕ(f )x, xi = n X j =1 αj hP {f = αj }x, xi = n X j =1 αj Px {f = αj } = Z f dPx . X A fentiekbl kvetkezik, hogy ϕ(f )∗ ϕ(f ) = ϕ(f )ϕ(f ) = ϕ(f f ) = ϕ(|f |2 ). Ezrt kϕ(f )xk2 = hϕ(f ) ϕ(f )x, xi = hϕ(|f |2 )x, xi = ∗ Z |f |2 dPx , X amibl kvetkezik, hogy kϕ(f )k ≤ K ha |f | ≤ K . Legyen most f korl tos mrhet fggvny. Lteznek olyan fk egyszer mrhet fggvnyek, amelyek konverg lnak f -hez egyenletesen. Az elz egyenltlensg szerint, a ϕ(fk ) oper torok Cau hysorozatot alkotnak L(H ; H )-ban Ez konverg l egy oper torhoz, amelyet ϕ(f )-el fogunk jellni. Knny l tni, hogy ϕ(f ) nem fgg az fk megv laszt s t¢l Nyilv nval¢, hogy az elz egyenltlensgbl
kvetkezik az ltal nosabb kϕ(f )k ≤ K ha |f | ≤ K sszefggs. Az egyszer fggvnyekre eddig bizony¡tottakb¢l a ttel minden ll¡t sa kvetkezik a korl tos mrhet fggvnyek esetre 14 2.§ Spektr lelmlet Az ltal nos esetben osszuk fel X -et megsz ml lhat¢ sok diszjunkt, mrhet Xn halmazra, £gy, hogy f |Xn korl tos legyen; pld ul tekintsk az Xn = {n ≤ |f | < n + 1} halmazokat. Tekintsk az fn fggvnyeket, amelyek Xn -en f -el egyeznek meg, egybknt null k. Mivel ϕ(fn ) fel serlhet P (Xm )-el, a Hn = rng(P (Xn )) z rt altr ortogon lis komplementern nulla, ezt pedig nmag ba lekpezi le. Legyen Tn = ϕ(fn )|Hn , s legyen ϕ(f ) az elz lemma szerint a Tn oper torokhoz tartoz¢ T z rt line ris oper tor. Az elz ttel s az integr l σ -additivit sa miatt ϕ(f ) srn de ni lt, s eleget tesz az (1) s (2) feltteleknek. Mivel az (1) jobb oldal n szerepl halmaz f s P ltal egyrtelmen meghat rozott,
kapjuk, hogy sr altr, s polariz i¢val ad¢dik, hogy (1) s (2) egyrtelmen meghat rozza ϕ(f )-et. Az elz lemma felhaszn l s val a (3){(8) ll¡t sok is knnyen bel that¢k, ha az Xn mrhet halmazokat £gy v lasztjuk, hogy g is korl tos legyen Xn -en. Ez knnyen elrhet, ha a {j ≤ |f | < j +1} ∩{k ≤ |g| < k +1} halmazokat rendezzk sorozatba. 28. Feladat Az elz ttel jellseivel, mutassuk meg, hogy σ (ϕ(f )) ⊂ rng(f ). 29. A spektr l-ttel korl tos norm lis oper torokra Legyen H komplex Hilbert-tr Ha T ∈ L(H ; H ) egy norm lis oper tor, akkor pontosan egy P spektr lmrtk ltezik σ (T ) Borel-halmazain, a T spektr lfelbont sa, amelyre R T = σ(T ) λ dP (λ). Bizonytas. A spektr l ttel szorzat alakj t felhaszn lva, legyen P (A) = U ◦ Mξ ◦t ◦ U , ha A Borel-halmaz σ (T )-ben. Mivel ξA ◦ t sak 0 s 1 rtkeket vehet fel, Mξ ◦t nadjung lt projek i¢ B rmely x ∈ H -ra −1 A A Px (A) = hP (A)x, xi = Z
ξA (t(s))|U x(s)|2 dµ(s) = Z t−1 (A) |U x(s)|2 dµ(s), amibl l tszik, hogy Px vges mrtk σ (T ) Borel-halmazain, s ¡gy P spektr lmrtk. Az elz sszefggs £gy is ¡rhat¢, hogy Z σ (T ) ξA (λ) dPx (λ) = Z ξA (t(s))|U x(s)|2 dµ(s), s hasonl¢ sszefggs teljesl ξA helyett minden egyszer Borel-fggvnyre, s tetszleges σ (T )-n rtelmezett korl tos, komplex rtk Borel-fggvnyre is, spe i lisan ϕ(λ) = λ-ra is. Ebbl Z σ (T ) λ dPx (λ) = Z t(s)|U x(s)|2 dµ(s) = hT x, xi. M srszt, a spektr lintegr l tulajdons gai szerint, ha p egy ktv ltoz¢s komplex polinom, akkor Z ∗ hp(T, T )x, xi = p(λ, λ) dPx (λ). σ (T ) 15 2.§ Spektr lelmlet A Weierstrass-Stone ttel komplex v ltozata szerint a λ 7 p(λ, λ) fggvnyek srek R C (σ (T ))-ben. Igy a T oper tor egyrtelmen meghat rozza az σ(T ) ϕ(λ) dPx (λ) rtkeket, ha ϕ ∈ C (σ (T )) s x ∈ H . Mivel C Borel-halmazain minden
vges mrtk Radon-mrtk, a Riesz-fle reprezent i¢s ttel uni it s rsze szerint a Px mrtkek, ¡gy az P spektr lmrtk is, egyrtelmen meghat rozott. 30. De n¡ i¢ Legyen H komplex Hilbert-tr, T ∈ L(H ; H ) egy norm lis Roper tor, s P a T spektr lfelbont sa. Ha f Borel-fggvny σ (T )-n, legyen f (T ) = f dP . σ (T ) 31. Ttel Legyen H komplex Hilbert-tr, T ∈ L(H ; H ) norm lis oper tor, S a H srn de ni lt, z rt line ris oper tora. Ha T S ⊂ ST s T ∗ S ⊂ ST ∗ , akkor f (T )S ⊂ Sf (T ) minden f : σ (T ) C korl tos Borel-fggvnyre. Bizonytas. Legyen x ∈ dmn(S ), y ∈ dmn(S ∗ ) Ha p tetszleges ktv ltoz¢s komplex polinom, akkor hp(T, T ∗ )Sx, yi = hSp(T, T ∗ )x, yi = hp(T, T ∗ )x, S ∗ yi. Legyen P a T spektr lfelbont sa, s jellje Pu,v a B 7 hP (B )u, vi komplex mrtket σ (T ) Borel-halmazain. A fenti egyenlsgbl Z σ (T ) p(λ, λ) dPSx,y (λ) = Z σ (T ) p(λ, λ) dPx,S ∗ y (λ) b rmely p
ktv ltoz¢s komplex polinomra. A Weierstrass-Stone ttel komplex v ltozata szerint a λ 7 p(λ, λ) fggvnyek srek C (σ (T ))-ben, ¡gy Z σ (T ) f (λ) dPSx,y (λ) = Z σ (T ) f (λ) dPx,S ∗ y (λ) teljesl minden f ∈ C (σ (T )) komplex fggvnyre. Mivel C Borel-halmazain minden vges mrtk Radon-mrtk, a Riesz-fle reprezent i¢s ttel uni it s rszbl kvetkezik, hogy a PSx,y s a Px,S ∗ y komplex mrtkek megegyeznek, amibl viszont a fenti sszefggs b rmely f : σ (T ) C korl tos Borel-fggvnyre teljesl. Ez azt jelenti, hogy hf (T )Sx, yi = hf (T )x, S ∗yi ha x ∈ dmn(S ) s y ∈ dmn(S ∗ ), amibl f (T )x ∈ dmn(S ∗∗ ) = dmn(S ) s hf (T )Sx, yi = hSf (T )x, yi. Mivel dmn(S ∗ ) sr, f (T )Sx = Sf (T )x ha x ∈ dmn(S ), azaz ha a bal oldal rtelmezve van. 32. Ttel Legyen T a H komplex Hilbert-tr egy norm lis oper tora Ekkor a H Hilbert-tr megsz ml lhat¢ sok Hn ⊂ dmn(T ) z rt altr
Hilbert-sszege, amelyek T -vel s T ∗ -gal szemben invari nsak, s a Tn megszor¡t sa T -nek Hn -re norm lis oper tor. Bizonytas. Tekintsk a B = (1 + T ∗ T )−1 folytonos szimmetrikus oper tort, amelynek spektruma rsze I = [0, 1℄-nek Ha x ∈ dmn(T ), akkor T B (H ) ⊂ dmn(T ∗ ) s T ∗ T Bx = x − Bx ∈ dmn(T ) felhaszn l s val kapjuk, hogy BT x = BT (1 + T ∗ T )Bx = B (T + T T ∗ T )Bx, 16 2.§ Spektr lelmlet mivel B (H ) ⊂ dmn(T ) teljesl Neumann ttele szerint. Mivel azonban T T ∗ = T ∗ T , kapjuk hogy BT x = B (T + T T ∗ T )Bx = B (1 + T ∗ T )T Bx = T Bx, m s szavakkal, hogy BT ⊂ T B . Ebbl az elz ttel felhaszn l s val azt kapjuk, hogy f (B )T ⊂ T f (B ) b rmely f : [0, 1℄ C korl tos Borel-fggvnyre. Jellje f0 a {0} halmaz karakterisztikus fggvnyt, fn pedig a ℄1/(n + 1), 1/n℄ halmaz karakterisztikus fggvnyt. Legyen minden n ∈ N-re Hn a Pn = fn (B ) nadjung lt projek i¢oper tor
rtkkszlete. Ekkor H a Hn z rt alterek Hilbert-sszege Vegyk szre, hogy H0 a B oper tor magja, ¡gy mivel (x, y ) 7 hBx, yi bels szorzat, teh t hBx, xi = 0-b¢l x = 0 kvetkezik, H0 = {0}. A fentiek szerint Pn T ⊂ T Pn . M srszt, fn , n > 0 de n¡ i¢ja miatt a gn (λ) = fn (λ)/λ (s gn (0) = 0) sszefggssel de ni lt fggvnyek korl tos Borelfggvnyek, ¡gy Pn = Bgn (B ) ¡rhat¢, amibl T Pn = T Bgn (B ). L ttuk azonban, hogy T B az egsz H -n de ni lt korl tos oper tor. Ezrt a Tn megszor¡t sa T -nek Hn ∩ dmn(T )-re folytonos lekpezse a Hn altrnek nmag ba. Pn (dmn(T )) ⊂ Hn ∩ dmn(T ) miatt Hn ∩ dmn(T ) sr Hn -ben; mivel Tn nyilv n z rt oper tor Hn en, kapjuk, hogy Hn ⊂ dmn(T ). Vgl T ∗ T = T T ∗ miatt az eddig mondottakban T s T ∗ szerept fel serlhetjk, anlkl, hogy B megv ltozna; teh t a Tn′ megszor¡t sa T ∗ -nak Hn -re ennek az altrnek egy folytonos line ris oper tora, s nyilv n megegyezik a Tn
oper tor Tn∗ adjung ltj val. gy Tn norm lis, s a bizony¡t s ksz 33. A spektr lttel szorzat alakja Legyen H egy komplex Hilbert-tr, s T egy norm lis oper tor H -n. Ekkor ltezik olyan µ mrtk, U : H L2 (µ) unitr oper tor s µ-mrhet komplex rtk t fggvny, hogy U ◦ T ◦ U −1 = Mt , a t-vel val¢ szorz s oper tora, s rng(t) ⊂ σ (T ), tov bb µ v laszthat¢ £gy, hogy µ(A) = sup{µ(B ) : B ⊂ A, µ(B ) < ∞} teljesljn minden A ∈ A-ra. Bizonytas. Az elz ttelt fogjuk felhaszn lni Az ottani jellsekkel, tekintsk a Tn korl tos norm lis oper torokat (Hn ortogon lis komplementern null nak de ni lva) s a Pn projek i¢kat. Ezek az oper torok s adjung ltjaik p ronknt fel serlhetek. Tekintsk az ezek ltal gener lt legszkebb z rt B∗ -rszalgebr j t L(H ; H )-nak, s alkalmazzuk erre a spektr l ttel szorzat alakj nak B∗ -algebr kra vonatkoz¢ v ltozat t. tn -el, illetve pn -el jellve a Tn -hez, illetve
Pn -hez tartoz¢ fggvnyt, az ltal noss g megszor¡t sa nlkl feltehetjk, hogy pn egy An ∈ A halmaz karakterisztikus fggvnye, az An halmazokPdiszjunktak, egyes¡tsk X , s a tn fggvny az An -en k¡vl nulla. Legyen t = n tn Az elz ttelbl, s az integr l σ -additivit s b¢l kvetkezik, hogy t a T -nek megfelel fggvny. 34. Ttel Legyen H komplex Hilbert-tr, T, N, M ∈ L(H ; H ), s tegyk fel, hogy N s M norm lis oper torok. Ha M T = T N , akkor M ∗ T = T N ∗ Bizonytas. Legyen S ∈ L(H ; H ) tetszleges oper tor Ha R = S − S ∗ s Q = exp(R), akkor R∗ = −R miatt Q∗ = exp(R∗ ) = exp(−R) = Q−1 , azaz Q unitr. gy k exp(S − S ∗ )k = 1 minden S -re Most a ttel felttelbl teljes 17 2.§ Spektr lelmlet induk i¢val M k T = T N k minden k termszetes sz mra, ¡gy exp(M )T = T exp(N ), vagyis T = exp(−M )T exp(N ). Legyen U = exp(M ∗ − M ), V = exp(N − N ∗ ) Mivel az M s N oper torok
norm lisak, az elz sszefggsbl azt kapjuk, hogy exp(M ∗ )T exp(−N ∗ ) = U T V , amibl kvetkezik, hogy k exp(M ∗ )T exp(−N ∗ )k ≤ kT k. Ha M , illetve N helyre λM -et, illetve λN -et ¡runk, akkor azt kapjuk, hogy a λ 7 exp(λM ∗ )T exp(−λN ∗ ) lekpezs korl tos az egsz komplex s¡kon. A Liouville-ttelbl kvetkezik, hogy ez a lekpezs konstans, ¡gy, mivel az orig¢ban rtke T , azt kapjuk, hogy exp(λM ∗ )T = T exp(λN ∗ ) ha λ ∈ C. A deriv ltak egyenlsgbl az orig¢ban kapjuk az ll¡t st 35. Spektr lttel Egy H komplex Hilbert-tr b rmely T norm lis oper tor hoz ltezik egy s sak Regy P spektr lmrtk C Borel-halmazain, a T spektr lfelbont sa, amelyre T = C t dP (t) Erre a spektr lmrtkre P (Cσ (T )) = 0, ¡gy az integr l s σ (T ) felett is vgezhet. Tov bb , P (A)S = SP (A) minden A ⊂ C Borel-halmazra, s minden olyan S ∈ L(H ; H )-ra, amelyre ST ⊂ T S . A bizony¡t s a spektr lttel
szorzat alakj t haszn lja. A spektr lfelbont s a P (A) = U −1 ◦MξA ◦t ◦U , sszefggssel de ni lhat¢. Egy m sik bizony¡t s tal lhat¢ Rudin [1973℄ knyvben. Bizonytas. A fenti sszefggs egy P : A L(H ; H ) lekpezst de ni lja C Borel halmazainak H nadjung lt projek i¢oper toraiba. Nyilv n P (C) = 1 Vegyk szre, hogy Z hP (A)x, xi = |U x|2 dµ, t−1 (A) amibl kvetkezik, hogy Px mrtk minden x ∈ H -ra. Ǒltal nosan, azt fogjuk megmutatni, hogy minden f : C C Borel-fggvnyre Z C |f (λ)|2 dPx (λ) = Z |f ◦ t|2 |U x|2 dµ, ¡gy f dP s U −1 ◦ Mf ◦t ◦ U rtelmezsi tartom nya megegyeznek, s ha ez az integr l vges, akkor R (1) Z f (λ) dPx(λ) = Z (f ◦ t)|U x|2 dµ, mert ebbl kvetkezik, hogy f dP = U −1 ◦ Mf ◦t ◦ U minden f : C C Borelfggvnyre, spe i lisan az identikus lekpezsre is. Ez azonban egyszer fggvnyre trivi lis, s ha f korl tos fggvny, akkor hat r tmenettel
kvetkezik (ilyenkor az integr lok mind vgesek). Az ltal nos esetben osszuk fel a komplex s¡kot megsz ml lhat¢ sok diszjunkt Borel-halmazra £gy, hogy az f mindegyiken korl tos legyen, R 18 2.§ Spektr lelmlet pld ul legyen An = f −1 {n ≤ |f | < n + 1}. Legyen fn = f ξAn Ekkor Z C |f (λ)|2 dPx (λ) = XZ = XZ = Z n n |f (λ)|2 dPx (λ) = XZ |fn ◦ t|2 |U x| dµ = XZ An X n n C |fn (λ)|2 dPx (λ) t−1 (An ) |f ◦ t|2 |U x| dµ |f ◦ t|2 |U x|2 dµ, X azaz ez a kt integr l egyszerre vges. Ha ez a kt integr l vges, akkor a minden z ∈ C-re teljesl |z| ≤ 1 + |z|2 be sls szerint az (1)-ben szerepl integr lok is vgesek, s egyszer fggvnyekkel kzel¡tve f -et, kapjuk, hogy fenn ll (1). Tegyk fel, hogy S ∈ L(H ; H ) s ST ⊂ T S . Legyen Q = Qn = P (An ), ahol ARn = {λ : |λ| < n}, n termszetes sz m. Ekkor a T Q oper tor el ll¡t sa T Q = f dP , ahol f (λ) = λ ha |λ| < n, s f (λ) = 0
egybknt. gy ez az oper tor korl tos norm lis oper tor. A T Q oper tor spektr lfelbont sa P ′ (A) = P (f −1 (A)), azaz P ′ (A) = P (A ∩ An ) = QP (A) ha 0 ∈ / A, ′ P ({0}) = P ({0} ∪ (CAn )) = P ({0}) + 1 − Q. Ebbl P (A) = QP (A) = QP ′ (A) ha A ⊂ An . A spektr lintegr l tulajdons gaib¢l kvetkezik, hogy QT ⊂ T Q = QT Q, tov bb (QSQ)(T Q) = QST Q ⊂ QT SQ ⊂ (T Q)(QSQ). Mivel (QSQ)(T Q) ∈ L(H ; H ), ez a tartalmaz s azt jelenti, hogy egyenlsg teljesl. Ezrt a 2.31 ttelbl s az elz ttelbl kvetkezik, hogy QSQ fel serlhet a P ′ (A) projek i¢k mindegyikvel. Most tetszleges A korl tos Borel-halmazra van olyan n, hogy A ⊂ An ; ekkor QSP (A) = QSQP ′ (A) = P ′ (A)QSQ = P (A)SQ, ¡gy Qn SP (A) = P (A)SQn minden elg nagy n-re. Ha n tart vgtelenhez, kapjuk a fel serlhetsget minden korl tos Borel-halmazra, ¡gy tetszleges Borel-halmazra is. R Legyen P ′ egy m sik spektr lmrtk, amelyre T = λ dP ′ (λ).
Ekkor P ′ (A′ )T ⊂ T P ′ (A′ ) minden A′ Borel-halmazra. Mivel a P (A) projek i¢k minden olyan S ∈ L(H ; H ) transzform i¢val fel serlhetk, amelyre ST ⊂ T S , azt kapjuk, hogy P ′ (A′ )P (A) = P (A)P ′ (A′ ). Legyen An korl tos Borel-halmazok egy sorozata, amelyek egyes¡tse C A Hn = P (An )(H ) altrre megszor¡tva P (A)-t s P ′ (A)-t, kt olyan spektr lsereget kapunk, amelyek mindegyike a T P (An ) oper tor Hn -re val¢ megszor¡t s nak spektr lfelbont sa. gy ez a kt spektr lsereg megegyezik Hn -en, s mivel H a Hn -ek Hilbert-sszege, a lemm b¢l kvetkezik, hogy mindentt. 36. De n¡ i¢ Legyen H komplex Hilbert-tr, T a H egy norm lisRoper tora, s P a T spektr lfelbont sa. Ha f Borel-fggvny σ (T )-n, legyen f (T ) = σ(T ) f dP 19 Irodalom Irodalom [1℄ Dieudonn, J., Grundzge der modernen Analysis I{IX VEB Deuts her Verlag der Wissens haften, Berlin, 1971{1988. [2℄ Halmos, P. R, Introdu tion to Hilbert spa e
Chelsea Publishing Company, New York 1, N.Y, 1957 [3℄ Halmos, P. R, Vges dimenzi¢s vektorterek Mszaki knyvkiad¢, Budapest, 1984. [4℄ J rai, A., Mrtk s integr lelmlet Kzirat, KLTE TTK Tanknyvkiad¢, Budapest, 1988. [5℄ J rai, A., Modern alkalmazott anal¡zis Kzirat, KLTE TTK Debre en, 1992 [6℄ Kirillov, A. A, Gvisiani, A D, Feladatok a funk ion lanal¡zis krbl Tanknyvkiad¢, Budapest, 1985 [7℄ Loson zi L., Funk ion lanal¡zis I KLTE TTK jegyzet Tanknyvkiad¢, Budapest, 1982 J3-1170 [8℄ Neumann J., A kvantumme hanika matematikai alapjai Akadmiai Kiad¢, Budapest, 1980. [9℄ Riesz F., Szkefalvi-Nagy B, Funk ion lanal¡zis Tanknyvkiad¢, Budapest, 1988. [10℄ Rudin, W., Fun tional analysis M Graw-Hill Book Company, New York, 1973. [11℄ Rudin, W., A matematikai anal¡zis alapjai Mszaki Knyvkiad¢, Budapest, 1978. 20 Index Index A legfontosabb hivatkoz s ( ltal ban a de n¡ i¢) oldalsz ma ¡rott betvel van szedve. addit¡v 2
adjung lt 4 algebrai mvelet 2 altr 3 L(X ; Y ) 2 Bana h-algebra 3 bels szorzat 4, 6 Borel-fggvny 15, 18 mag 2 multipli it s 3 mvelet 2 dimenzi¢ 3 Neumann ttele 10 norma 2, 6 norm lis 4 norm lis oper tor 6, 7, 11, 13, 14, 15, 16, 17 nulloper tor 4 nulltr 2 egyrtelm 4 elforgat s 6 folytonos spektrum 3 Heisenberg-fle fel serlsi sszefggs 5 Hermite-fle 4 Hilbert-sszeg 7, 11, 15 Hilbert-tr 6 homogn 2 identikus oper tor 4 invari ns 15 inverz 3 kptr 2 konjug lt tr 2 korl tos 2 line ris funk ion l 2 line ris oper tor 2, 3, 6 nadjung lt 4, 6, 7 ortogon lis komplementer 4 sszeg 2 polariz i¢s formula 4 pontspektrum 3 projek i¢oper tor 4 regul ris 3 rezidu lis spektrum 3 rezolvens halmaz 3 21 Index saj taltr 3 saj trtk 3 saj tvektor 3 spektr l-ttel 14 spektr l-ttel szorzat alakja 7, 8 spektr lfelbont s 14, 17 spektr lintegr l 12 spektr llekpezs 3 spektr lmrtk 8, 12, 14, 17 spektr lsug r 3 spektr lttel 6, 17
spektr lttel szorzat alakja 16 spektrum 3 sr 3, 4 srn de ni lt 6, 10, 13, 15 szimmetrikus 4 szingul ris 3 szorz s oper tora 5, 6, 7, 16 szorzat 2 T∗ 4 unitr 4, 7 X∗ z z z z 2 rt 3 rt gr f ttel 3 rt line ris altr 4 rt oper tor 3, 6, 10, 11, 13, 15
Francia író, filozófusEredeti neve François-Marie Arouet.1694. november 21-én született Párizsban.Jómódú, művelt polgárcsaládból származott. Apja, az ambiciózus polgár, a jezsuiták elitképző kollégiumába küldte fiát tanulni. A jezsuitáktól tanulta Voltaire a színházi és színpadi technikák alapelemeit, az akarat mindenhatóságának elvét, a világ dolgaiba való
