Fizika | Felsőoktatás » Mechanika jegyzet

Mechanika jegyzet I. Előadás 2004.0913 -Mechanika: A klasszikus mechanika a fizikának az az ága amely a makroszkopikus anyagi testek nem túlságosan nagy sebességgel végbemenő (ill. arra visszavezethető) mozgásának és nyugalmi állapotának törvényeit kutatja. -Mozgás (Mechanikai): A vizsgált test egy másikhoz képest változtatja a helyét, vagy a helyzetét. Bármely anyagi test helyzete és így helyzetváltozása, mozgása is csak más testekhez viszonyítva jellemezhető, más szóval minden mozgás viszonylagos, relatív. -A mechanika felosztása: Aszerint, hogy a mechanikai szempontból vizsgált test milyen modellel helyettesíthető. A mechanikát az anyagi pont, a pontrendszerek, a merev testek, a deformálható testek mechanikájára oszthatjuk fel. -Anyagi pont- tömegpont- részecske-pontszerű test: Ha a vizsgált test hosszméretei elhanyagolhatóan kicsinyek a mozgásban szereplő egyéb méretekhez képest, tehát mozgása egyetlen pontjának

mozgásával írható le. Az anyagi pont idealizáció, melyben a testet egy vele megegyező tömegű, de kiterjedés nélkül ponttal azonosítható. -Pontrendszer: Olyan mechanikai rendszer, amely véges számú egymással kölcsönhatásban lévő anyagi pontból áll. -Merev test: Az olyan testet, amelynek pontjai egymástól való távolságukat minden körülmény között, ill. a tárgyalt mozgásnál változatlanul megtartják, merev testnek hívjuk -Deformálható test: Olyan anyagi test, amelyben külső erők hatására deformáció alakul ki. -Vizsgálati módszer szerinti felosztás: Kinematika: A mechanikának a testek mozgásának geometriai sajátosságaival foglalkozó ága, amely nem vizsgálja azt, hogy mi hozta létre a mozgást, csupán a mozgás matematikai leírására szorítkozik. Tárgyalásunkban a klasszikus mechanikának arra a szemléletére támaszkodunk, amely szerint minden test mozgása háromdimenziós Eukledeszi geometriájú térben és időben

játszódik le. (Hosszúság: m, Idő: s) Dinamika: A mechanika az az ága, amely a testek mozgása és a kölcsönhatások közötti összefüggést (erők hatására a mozgásállapotban és a deformációs állapotban) tárja fel. Statika: A mechanikai rendszerek és a rájuk ható erők egyensúlyának feltételeit vizsgálja. Célkitűzése az egyensúlyi állapotra vonatkozó olyan összefüggések feltárása, amelyek segítségével a rendszerre ható aktív erők ismeretében a kényszererők meghatározhatóak. A test mozgásának kinematikai leírása azt jelenti, hogy a test helyzetét egy másik testhez képest bármely időpillanatban meg tudjuk adni. -Vonatkoztató test: Azt a testet amelyet a fizikai problémában szereplő többi test helyzetét viszonyítjuk, vonatkoztató testnek nevezzük, ez tárgyalásunkban mindig merev test lesz. Az R vonatkoztató test pontjaihoz X1,X2,X3 rendezett számhármasokat rendelünk, ezek a helykoordináták. Legyen R két pontja

P és Q Kikötjük, hogy P 0 , akkor az Xi(Q)-Xi(P), i=1,2,3 különbségek is nullához tartanak. (A test pontjainak megszámozása folytonos, és a közeli pontokhoz közeli számhármasok tartoznak. Hogy R pontjait miként célszerű megszámozni az a vizsgált feladattól függ, ugyanazon vonatkoztató testen belül egyszer Descaartes- féle, másszor gömbi- vagy hengerkoordinátákat használunk. Mivel a mozgás időben zajlik le gondoskodni kell az idő méréséről is (testhez rögzített szinkronizált órákról). A hely és az időmérés módjának rögzítése után a vonatkoztató testvonatkoztatási rendszerré válik. -Vonatkoztatási pont: A mozgások leírásában az alapul vett vonatkoztatási rendszer egy (általában tetszőlegesen választható) pontja, rendszerint a vonatkoztató testhez rögzített koordinátarendszer kezdőpontja. -Helyzetvektor: (rádiusz), A vonatkoztatási rendszer kezdőpontjából (O) a mozgó  részecskékhez (P) húzott vektor r 

O P P  r  O P  r A pont mozgása kinematikai szempontból meg van határozva, ha az  helyvektort, mint a t idő függvényét ismerjük, azaz ismerjük az r  r ( t ) mozgástörvényt. O Tapasztalat szerint az anyagi pont két időben egymáshoz minden határon túl közel eső helye a térben is minden határon túl közel van. X i  X i (t ), i  1,2,3 r  r (t ) függvények folytonosak. -Pálya:( trojektória) : A vonatkoztatási rendszer azon pontjainak halmaza, amelyekhez a részecske a mozgása során áthaladt. A pálya irányított görbe, azon pontok felé mutat, amelyeket a mozgó pont az időkoordináta (t) nagyobb értékeinél ér el. P(t)  r (t ) O r P ( t  t ) t0 r (t  t ) t , t  t  időintervallumhoz tatozó elmozdulás vektor. Az A r  r (t  t )  r (t ) vektor a  elmozdulás iránya párhuzamos a pálya egy szelőjével. A r / t hányados az időegységre eső átlagos

elmozdulás (A t időtartamra vonatkozó átlagsebesség), a t időponton kívül még a választott t időköztől is függ, és a mozgás jellemzésére csak akkor alkalmas, ha a t időközt elegendően kicsinek vesszük. Így definiáljuk a v sebesség vektort. r lim t  lim  t  0 r (t  t )  r t  t t  0  v (t ) -Sebesség: A sebesség az r helyvektor idő szerinti első deriváltja. v (t )  lim t  0 r (t  t )  r (t ) dr    t dt r (Az idő szerinti deriválást megfelelő mennyiség jele fölé tett ponttal is szoktuk jelölni) A sebességvektor a pályagörbe minden pontjában a pálya érintőjével egy egyenesbe esik, és iránya kijelöli a pálya befutási irányát. v a pálya érintő egységvektora t  v - Pályamenti sebesség: A sebesség abszolút értéke v  v , A sebesség dimenziója: hosszúság / idő egysége tehát 1 m/s Új paraméterként bevezetjük az

ívkoordinátát vagyis a pálya tetszés szerint (de rögzített) O pontjától számított t t t t0 t0 t0 s   r dt   v dt   vdt előjeles ívhosszúságot (Itt te az az időpont, amikor a részecske a nullán áthaladt) Nyilvánvaló:  ds v v dt A pályasebesség az ívkoordináta idő szerinti deriváltja. Egy mennyiség változási gyorsaságát adja, szemléletesen azt, hogy időegységre mekkora változás jut. A pályasebesség megadja az időegység alatt megtett utat. s P0(t0) s1,2  s2  s1  s P1(t1) Az út ívkoordináta megváltozása. A pályagörbe minden pontjához tartozik érintő egységvektor, tehát írható, hogy : t  t  s( t )  P2(t2) A továbbiakban az ívkoordináta szerinti deriválást   vesszővel fogjuk jelölni. Tekintve, hogy t  t  1, t  t   2  t  t  0 vagyis t  merőleges az érintőre .Ha a P érintési ponton át t  -vel párhuzamos egyenest rajzolunk,

megkapjuk, a pályagörbe P-beli fő normálisát. Az érintőre és a fő normálisra illeszkedő sík a görbe simulósíkja. t n pedig a főnormális egységvektor. t Állítsunk merőlegest P-ben a simulósíkra: ez a pálya binormálisa. Megállapodás szerint a binormális egységvektort b  t  n . A t , n , b vektorok lokális derékszögű jobbsodrású koordináta rendszert alkotnak P-ben. Az általuk meghatározott három élt a görbe kísérő triéderének nevezzük. b n Legyen A a P ponthoz kötött tetszőleges vektor, ekkor : A  A  E , A  A  n , A  A  b e vektor t n b természetes koordinátái: P A  At t  An n  Ab b t Természetes koordináta rendszer a görbe " saját magának készített" koordináta rendszere. Az érintő egységvektor ívhossz szerinti deriváltjának abszulút értékének (azaz)t a szemléletes nek geometriai jelentése: Annál görbébb a görbe, minél nagyobb

érintőelfordulás tartozik hozzá ugyanakkora ívhosszhoz. lim s 0     görbület s t  ( s  s) t  2 sin  t  (s  s)  / 2  2     sin  2 sin   2 2  lim      lim   t   lim   lim    s s   s   s  0 s 0 s 0   0 2  0 t t 1, m ert lim x 0 sin x 1 x t   , n  Mivel t t     t  ahol   1  a görbületi sugá r t  Gyorsulás: A sebesség idő szerinti első, vagyis a helyvektor idő szerinti második deriváltja. a (t )  dv d 2r  , dt dt 2 a  v  r A gyorsulás dimenziója: Hosszúság/idő2 1 m/s2. Láttuk, hogy Láttuk, hogy v  v  t , azaz vt  v  s , vv  0 , vb  0  Íg y a  v  t   v t  v t dt dt ds n M iv e l t     t v 

v  dt ds dt v 2 v2 a gyorsulás a  v t  2  n tehát at  v , an  , ab  0  A gyorsulásvektor tehát benne van a pálya simuló síkjában. at= kerületi (tangenciális gyorsulás) an= centripetális v. normális gyorsulás A pályamenti gyorsulás csak a sebesség abszolút értékének a változásától függ, irányváltozásától (tehát a pálya alakjától nem) függ. Ha akkor a mozgás -gyorsuló -egyenletes -lassuló v2 Minthogy és a normális egységvektor a simulókör középpontja (görbületi an  0  középpont) felé mutat. A centripetális gyorsulókomponens mindig a pálya görbületi középpontja felé mutat. Láttuk, hogy az anyagi pont mozgástörvényét, vagyis az r  r (t ) függvényét ismerjük, a sebességet és a gyorsulást az r (t ) függvény első ill. második deriválásával kapjuk. a viszont ismerjük az anyagi pont gyorsulását, mint az idő függvényét, és egy adott t0 időpontban a

sebességet, akkor tetszőleges t időpontban a sebességet integrálással kapjuk. t  v ( t )   a ( t ) dt  v ( t 0 ) t0 t Hasonlóan: r ( t )    v ( t ) dt  r ( t )  0 t0 Területi sebesség: Határozzuk meg a rádiuszvektor területsúrolási sebességét. Első közelítésben a súrolt terület nagysága: r    r  (t ) A   1 r (t )  r 2 1 r  r vektor merõleges r  re é s r  re is 2 r (t )  t O A területi sebesség: r (t )  r (r (t  t )  r (t ) A 1  lim  t 0 t t 2 t 0   lim  1 1 r (t  t )  r (t ) r ( t )  lim  r (t )  v (t ) t  0 2 2 t A területi sebesség abszolút értéke megadja a rádiuszvektor területsúrolási sebességét, iránya pedig merőleges a hely és a sebességvektor által kifeszített síkra, azaz annak normálisával egyező irányú . z 1.    P * P

 0 rádiusz P*  e ez 2. 0    2 P k e azimut i P azimuttengely  3.  z applikáta az a szög, amellyel az applikátatengely körül az azimuttengelyt el kell forgatni pozitív irányba, hogy az OP félegyenesbe essék. Az applikátatengellyel szembe nézve az óra járásával ellentétes irány a pozitív forgatási irány. Koordináta egységvektor: Irányában haladva a három koordináta közül csak egy változik és az növekszik. e : Radiális egységvektor e :azimutális egységvektor ez Ezek rendre jobbsodrásúak :applikáta v. axiális egységvektor Lokális koordináta-rendszert alkotnak. Ebben a koordináta rendszerben bontjuk fel a P-hez kötött vektorokat. Legyen A egy P-hez kötött vektor. Ekkor: A  A  e , A  A  e , Az  A  e z rendre A radiális, azimutális, axiális koordinátája A  A e  A e  Az e z r    e  ze z e 

sini  cos j e  cos i  sin j Ha a P pont mozog, akkor nemcsak a henger koordinánák változnak az időben, hanem a tartózkodási helyéhez rendelt egységvektorok is. e  é se  A sebesség és a gyorsulás hengerkoordinátái: r    e  z  e v  r    e    e  z  ez  z  ez  0 de       sin  i  cos  j     e d  z , v   , v   , vz  z v    e   e  ze e   e     e    e   e   a v  z ez e  de      cos  i  sin  j    e d      2 e  2       e   a  z ez e        a        a

 2  2 az   z A tömegpont dinamikája A dinamika a testek mozgása és a kölcsön hatások közötti összefüggéseket vizsgálja. Kölcsönhatás: Az anyag különböző megjelenési formáinak hatása egymásra, amelynek eredményeképp a mozgásállapotok megváltoznak. Kölcsönhatás nemcsak testek közvetlen érintkezése során (kontakt) jöhet létre, hanem egymástól távol lévő testek esetében is. Egymástól távol lévő testek esetében a kölcsönhatások közvetítője a fizikai erőtér. Az erőtér az anyag egyik megjelenési formája, amelynek ugyan hiányoznak a különböző részekből álló testekre jellemző egyes vonásai (PL.határfelület, keménység), de meg vannak benne az anyag összes lényeges fizikai tulajdonságai: az erőtér energiát, tömeget, impulzust hordoz, és ezeket képesek más anyagi egységeknek átadni. Mai felfogásunk szerint két nem érintkező anyagi test maga körül erőket hoz, alakít ki, és az az

erőtér közvetlenül hat a másik testre. Magára hagyott test: Olyan test, amely semmivel sincs kölcsönhatásban, azaz rá sem más test, sem erőtérhatást nem gyakorol. A testnek azt a tulajdonságát, hogy külső befolyás hiányában egyenes vonalú egyenletes mozgásukat, ill. nyugalmi állapotukat változatlanul megtartják, tehetetlenségnek, Newton fenti megállapítását, pedig a tehetetlenség törvényének nevezzük. A tehetetlenség elve relatív, nem minden vonatkoztatási rendszerben állja meg a helyét (hiszen a test például a Földhöz rögzített rendszerben gyorsulása van), de van olyan VR, amelyben érvényes. Tehetetlenségi Axióma ( Newton I axiómája) Van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben egy magára hagyott test nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez (röviden: sebességvektora nem változik). Az ilyen VR-t inerciarendszernek (tehetetlenségi rendszereknek) nevezzük, és a mechanika további törvényeit erre

vonatkoztatjuk. Az eddigi tapasztalatok szerint az állócsillagokhoz rögzített VR-t inerciarendszereknek tekinthető. Inerciarendszer: Olyan VR, amelyben érvényes a tehetetlenség törvénye. Párkölcsönhatás: Két részecske csak egymással van kölcsönhatásban. Két test közül azt nevezzük tehetetlenebbnek, amely párkölcsönhatásuk során kevésbé változtatja meg a sebességét. Mértékegység: Valamely fizikai mennyiség egységéül választott mennyiség. Etalon: A fizikai mennyiség egységét hordozó test. Mérőszám: Az a szám, amely megadja, hogy egy adott mennyiség hányszorosa a mennyiség mértékegységének. A tehetetlenség mértéke a tömeg. Két test közül annak nagyobb a tömege, amelynek párkölcsönhatásukban kevésbé változik meg a sebessége. Részecskék tömegének meghatározása: Inerciarendszerben párkölcsönhatási kísérleteket végzünk egy tömegpont halmaz elemeivel. Egy kísérlet abból áll, hogy két kiválasztott

pontot párkölcsönhatásba viszünk, s mérjük a testek ütközés előtti és ütközés utáni sebességet ( strobi ). 0. Az egyik tömegpontot kiválasztjuk, az lesz az 1-es számot viselő etalon 1. Kiválasztunk a halmazból két tömegpontot az i-ediket és a k-adikat, és ezeket ütköztetjük Legyen  vi az i-edik , v k a k-adik test sebességváltozása. I. Tapasztalat: vi   cki v k Ahol cki dimenzió nélküli szám ( ütközési szám) pozitív, és független az ütközési sebességektől. 2. Ezután az i-edik és a k-adik testet külön-külön összeütköztetve az etalonnal meghatározzuk ci1 és ck1 ütközési számokat. v1   ci1  v1 , v1  ck 1  v k cki  ck 1 ci1 II. Tapasztalat: 3. Erősítsük most össze az i-edik és k-adik testet, és ezt az új tömegpontot ütköztessük az etalonnal. III. Tapasztalat: ci  k 1  ci1  ck 1 vi c  cki  k 1 v k ci1 Az I-es és a II-es alapján: A

sebességváltozások abszolút értékei az ütközési számokkal fordítottan arányosak. Másképpen: a tehetetlenebb testének lesz nagyobb az ütközési száma. Ezért az etalonul választott egyes számú testhez egyet az i-edik ponthoz ci1 k-adik ponthoz ck1-et rendeljük a tömeg mérőszámaként. A tömeget m-mel fogjuk jelölni. m1   1 , mi   ci1 , mk   ck 1 III. értelmében mi  k  mi  mk , azaz a tömeg additív (összeadódó mennyiség), m független a sebességtől. Impulzus: Az m tömegű és v sebességű anyagi pont impulzusát p  m  v szorzattal definiáljuk, pontrendszer impulzusán pedig az egyes pontok impulzusának összegét értjük. Tehát az impulzus is additív. Az I.-ből és a II-ből eredő: mi  vi  mk  v k   o Az egyenlet szerint a pontpár impulzusa nem változott a párkölcsönhatás során. II. Előadás 20040920 Erőaxióma:(A dinamika alaptörvénye, Newton II. axiómája)

Inerciarendszerben a részecske impulzusának idő szerinti deriváltja egyenlő a részecskére hatóerővel, a kölcsönhatás erősségének mértéke: dF F dt Ebből az egyenletből a részecskére hatóerő, a részecske tömegének és a kezdeti feltételek ismeretében meghatározható a részecske sebessége, és mozgástörvénye is, ezért mozgásegyenletnek is nevezik.(Ugyanazon erő hatására nagyon eltérő mozgás jöhet létre, ha a kezdeti feltételek nem azonosak). Nem inerciarendszerben ebben a formában az axióma nem áll fenn. Mértékegysége:1 kgm/s2=1N Erőtörvény: Az az összefüggés, amely megadja, hogyan függ a részecskére hatóerő a részecske helyétől, sebességétől és az időtől. F  F r , v , t  Tegyük fel, hogy ismerjük a pont tömegét meg az erőtörvényt és keressük a mozgástörvényt P  F Descartes-féle koordináta rendszerben az alábbi az erőaxióma alapján. egyenletrendszer írható fel: Ez egy három

egyenletből álló közönséges másodrendű diff. egyenlet-rendszer mx  Fx  x , y , z , x , y , z, t   my  Fy  x , y , z , x, y, z, t   A másodrendű diff. egyenletekből két integrálással jutunk el a mozgástörvényhez, ezért az integrálások során 6 integrációs állandó lép fel. mz  Fz  x , y , z ,  x ,  y ,  z, t  Ezeket a 6 kezdeti feltételből határozhatjuk meg. x(t  0)  x0 , x(t  0)  v x 0 y (t  0)  y 0 , y(t  0)  v y 0 z(t  0)  z0 , z(t  0)  v z 0 Akció- reakció törvénye (Newton III.): Az impulzus megmaradási axiómából és az erőaxiómából leszármáztathatjuk az akció-reakció törvényét. A két tömegközéppont (1 és 2) párkölcsönhatásba lép, akkor erőaxióma alapján: p· = F12 p· = F21 F12 2–es test által az 1-esre F21 1- es által 2-esre kifejtett erő. P1  P2  0 Ebből,

következik F12  F21  0  F12   F21 kölcsönhatáskor a testek között fellépő erők mindig párosával lépnek fel, de a pár tagjai mindig különböző testekre hatnak. Szuperpozíciós axióma: (Az erőhatások függetlenségének axiómája), ha a test egyidejűleg több kölcsönhatásban vesz részt, akkor az erőaxiómában F helyébe az egyes kölcsönhatáshoz külön-külön tartozó erők vektori összegét kell írni. Időtartam és hosszúság transzformációjáról: A két egymáshoz képest mozgó VR órái szinkronizálhatók. Elérhető tehát, hogy ha a K rendszer valamely P pontja találkozik a K rendszer P pontjával, az egybeérés pillanatában a P-beli óra ugyanazt az időt mutatja, mint a P-beli óra. Ekkor pedig t=t, t  t A hagyományos mechanika feltevései alapján a PQ szakasz hosszát K-ban és K-ben is ugyanakkorának mérik, sőt a mechanika ezt a helyvektorra vonatkozó feltevést kiterjeszti Kbeli vektor hosszára.

Azaz elképzelés, hogy az időtartam és a hosszúság invariáns, (a VR megváltoztatásától független mennyiség) A Galilei-féle relativitás elv: Mozogjon a K IR állandó sebességgel a K rendszerhez képest. Z Z P  r K O O K  r t X Y X Y Tegyük fel, hogy a t=0 időpillanatban a két rendszer egybeesett: az O pont és az O vonatkoztatási pont. A tengelyek t=0 időpontban fedték egymást, továbbá a két VR órái szinkronizálva vannak, azaz t=t. A P pont helyzetét K-ban ill. K-ben megadó r vektor, ill r vektor között az alábbi kapcsolat van. r  Vt  r  Ezek az ún. Galilei-transzformáció képletei P sebessége K-ben: v  v P sebessége K-ban: dr  dt dr  dr  dr V  V  V v dt dt dt  Az alábbi összefüggés a Galilei-féle sebesség transzformáció: A Galilei-transzformációt a mechanika törvényeire alkalmazva kitűnik, hogy bár ugyanannak a testnek a sebessége a két rendszerben

különböző, a sebesség megváltozása mindkét esetben ugyanakkora. Ezek következtében a két rendszerben, pl ütközéskor fellépő impulzusváltozások is egyenlőek, és azonos alakúak a dinamika newtoni-axiómái is, és az ebből bevezetett törvények is. Teljesítmény: Az anyagi pontra ható F erőnek és v sebességének a skaláris szorzatát az F erő teljesítményének nevezzük. P  F  v 2 2 A teljesítmény mértékegysége: 1kg  m / s  1Nm / s  1W  1J / s Mozgási energia: (Kinetikai energia) Az m tömegű , V sebességgel mozgó anyagi pont 1 T  mv 2 2 mozgási energiája: . A pontrendszer mozgási energiája a pontrendszerhez tartozó anyagi pontok mozgási energiájának összege. Teljesítménytétel: Az anyagi pont F  m  v mozgás egyenletének mindkét oldalát szorozzuk meg skalárisan a pont V sebességével.: F  v  m  v  V dT  2  p  v a v  v  v  2 v   dt adódik. A P  F

 v és formulák segítségével A részecskére hatóerő teljesítménye egyenlő a részecske mozgási energiájának idő szerinti deriváltjával.    Munka: Az anyagi pontra ható F erő a pálya 12 pontjára képzett vonalintegrálokat az F erő  t idő alatt végzett munkájának nevezzük és W12 -vel jelöljük.   W12  F  dr  12 A munka mértékegysége az erő és a hosszúság mértékegységének a szorzata. 1 ívelem vektor t: érintő egységvektor dr: t1 dr  W  F  dr t 2  dr / dt Kihasználva, hogy V F t  t2  t1 elemi munka ( teljes differenciál) t2 t2 t2 t1 t1   W12  F  vdt   Pdt összefüggést kapjuk, ami szerint a munka az erő teljesítményének a munkavégzés időtartamára vonatkozó idő integrálja.( A teljesítmény az időegységre eső munkavégzés) W =P dt Munkatétel: Integráljuk a dT/dt=P teljesítménytétel mindkét oldalát a mozgás t

 t 2  t1 időtartamára. t2  dT t1  t2  Pdt t1 Az eredmény jobb oldalán a tömegpontra ható F erő delta t idő alatt végzett munkája áll, ezért  T  T1  W12 , ahol T2  T (t 2 ) T1  T (t1 ) jelölést alkalmaztuk. azt kapjuk, hogy 2 Eszerint a tömegpont mozgási energiájának megváltozása egyenlő a rá hatóerő ugyanazon idő alatt végzett munkájával. Pontrendszer esetén a munkatétel szerint a pontrendszer mozgási energiájának megváltozása egyenlő a pontrendszerre ható összes belső és külső erők munkájával. Bizonyos, csak helytől függő erők esetén a munka a pálya ismerete nélkül kiszámítható, így a munkatétel mozgásegyenlet első integrálja lesz (bal oldalon csak a sebességkoordináták, jobb oldalon csak az időkoordináták fognak szerepelni) . Ekkor mindjárt ebből az első integrálból indulhatunk ki, probléma megoldásakor és csak egy integrálás szükséges, hogy eljussunk a

mozgástörvényhez. Az anyagi pontra ható F erőről eddig semmi közelebbit nem tételeztünk fel, az a pont helyének, sebességének és az időnek a függvénye lehetett F  F (r , v , t ) . Fizikai mező (erőtér): Fizikai mezőről akkor beszélünk, ha a tér valamely tartományában és valamilyen időközben az ott és akkor jelenlévő részecskére erő hat, és ez az erő a helykoordináták és az idő folytonos és differenciálható függvénye, azaz az F  F r , t   F  x , y , z , t  erőtörvény x,y,z,t szerint deriválható. (A matematikában az olyan teret, amelyben a tér minden pontjához egy vektormennyiséget rendelünk, vektortérnek (vektor mezőnek) nevezzük). Az erőterek tehát vektor terek Skaláris térről akkor beszélünk, ha a tér minden pontjához skaláris mennyiséget rendelünk. Erővonalak: Az erővonalak a fizikai mező szemléltetésére szolgálnak. Olyan irányított görbék, amelyek érintő egységvektora megadja,

az erő irányát az érintési ponthoz. (Minthogy az erő iránya minden pontban egyértelmű kell, hogy legyen, két erővonal nem metszheti egymást). Az erővonalak diff egyenlete: F  dr  0 F  erõvektor dr  ívelemvektor t  tan genciá lisegysé gvektor A két erővonal nem metszheti egymást, mert az erő iránya minden pontban egyértelmű!!! Stacionárius mező: (időben állandó) Az erő csak a helykoordináták függvénye : F  F r    F /  t  0  Homogén mező: (térben állandó) Az erő csak az idő függvénye: F  F (t )  F / y  0  F /  x   0 Az erővektor mindenütt azonos irányú, és nagyságú  F / z  0 Tömegarányos erő: Az erő arányos az erőt elszenvedő részecske tömegével: gravitációs erő) Ilyen mezőben célszerű bevezetni a térerősséget: F f  m Fm ( Az f térerősség független az erő nagyságától, és az erőt elszenvedő részecske tömegétől,

csak a mezőtől függ. Konzervatív mező: Konzervatív erő: Konzervatív erőtérnek hívjuk azt a stacionárius mezőt, amelyben az elemi munka teljes differenciál.  W  dV Azt a (kizárólag helykoordinátáktól függő) V  V (r )  V ( x , y , z ) skaláris mennyiséget, amelyek linearizált megváltozása az elemi munka ellentettjével egyenlő, potenciális ( vagy helyzeti) energiának nevezzük. Felhasználva, hogy  W  F  dr  Fx d x  Fy d y  Fz d z dV  V V V dz dy  dx  x  y z Fx dx  Fy dy  Fz dz   V V V dz dy  dx  x  y z alakot ölti. a  W   dV egyenletet az Itt egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha a növekmények együtthatói mindkét oldalon azonosak, azaz ha: V V V Fz   Fy   Fx   x  y z Ez a három skaláregyenlet egy vektoregyenletbe foglalható: Konzervatív erő a helyzeti energia negatív gradiense. Erő és helyzeti

energia közötti összefüggés a V(r) helyzeti energiát csak egy additív állandó erejéig határozható meg. Ugyanis V(r)-hez egy V0 állandó hozzáadható anélkül, hogy az erő megváltoznék, hiszen az állandó gradiense zérus. A konzervatív erőtér másik, az előzővel ekvivalens meghatározása a következő: Konzervatív erőtér a stacionárius mezőt akkor, ha van olyan V=V(r)-V(x,y,z) egyenértékű skaláris függvény amelynek negatív gradiense az erővel egyenlő azaz: F=-V V=V(r)=V(x,y,z) skaláris mennyiség a potenciális energia. A konzervatív erőtér tehát leszármazható egy skaláris térből. f  F m térerősségét. Ilyen mezőben F=- V Tömegarányos mezőben bevezettük az következik f=- U U= V/m mennyiség ami az ún. potenciál U csak a mezőtől függ Felmerül a kérdés, hogy dönthető-e egy F={Fx,Fy,Fz}erőtérről hogy konzervatív-e??? Ha van potenciál, akkor: V V Fx   Fy   x  y adódik. A

vegyes parciális deriváltakra vonatkozó Schwart-tétel értelmében e két egyenlet, jobb oldala egymással egyenlő úgy azt kapjuk, hogy Hasonló módon mutatható be, hogy Ez a három skaláregyenlet egy vektoregyenletbe foglalható: rotF    F  0   F  Fy    Fy  Fx    Fx  Fz  sotF    F       i    k  j z x  y  z  y  x Az F   V összefüggésből azt kapjuk, hogy  F  0 , azaz konzervatív a konzervatív erő rotációja zérus.(Az erőtér örvénymentes) A konzervatív erőtér tehát stacionárius és örvénymentes. Vizsgáljuk meg, milyen kapcsolat van a konzervatív mezőben a munkavégzés és a helyzeti energia között. A  W   dW összefüggés integrálásával azt kapjuk, hogy: (2) W   12  F  dr    dV  V   12 ( 2) (1)  V1  V2  (V2  V1 )  

V (1) Konzervatív erőtérben a munkavégzés a kezdőpontbeli és a végpontbeli helyzeti energia különbsége, azaz a helyzeti energia változásának az ellentettje. A konzervatív erő munkája független attól, hogy milyen pályán jut a részecske az (1) kezdőpontból a (2) végpontba. Zárt pályán a konzervatív erő munkája zérus.  F  dr  V1  V2  0 Nézzük meg a munkatételt, ha konzervatív erő is jelen van. Tegyük fel, hogy a részecskére ható F összes erő két összetevőre bontható. Fö  F  F  ahol az F erő konzervatív, míg az F* erő nem. Ugyanis F erő előállítható F    V módon de F* nem. Az F* erőt disszipatív erőnek is nevezzük.  A munkatétel szerint: W12  W12  T2  T1  ahol W12 a konzervatív, W12 a nem konzervatív erő munkája. Minthogy az F erő konzervatív, munkája a hozzá tartozó V helyzeti energia (1) és (2) pontbeli értékének a különbségével egyenlő.  W12

 V1  V2  W12  T2  V2   T1  V1   E  T  V mechanikai energia   W12  E 2  E1 bevezetésével a mechanikai energiatételt kapjuk A részecske mechanikai energiájának megváltozása egyenlő azzal a munkával, amelyet a megváltozás folyamán a részecskére ható nem konzervatív erő végzett. Ha munkavégző erő tisztán konzervatív, akkor a mechanikai energia megváltozása zérus, vagyis a konzervatív erő megőrzi (konzerválja) a részecske mechanikai energiáját. Megállapodásszerűen legyen a nulla pontban a helyzeti energia zérus: V r0   0 . Képezzük a dV   F  dr egyenlet vonalintegrálját a 0 és 1 pontok közötti tetszőleges görbére. r1 r1 r0 r0  dV    F  dr r0 , V r1   V r0    F  dr r0  , V1   F  dr  W10 r1 r1 Az 1-es pontbeli helyzeti energia tehát az a munka, amelyet az erőtér végez miközben a részecske az 1-es

pontból a 0-ás alappontba, mozdul el. A konzervatív mező nemcsak erővonalaival, hanem un. ekvipotenciális felületeivel is szemléltethető Ekvipotenciális felület (nívófelület): Azon pontok mértani helye, amelyekben a helyzeti energia ugyanaz. Ha a részecske ekvipotenciális felület mentén mozdul el, helyzeti energiája nem változik, a munka zérus.  W  F  dr  dV  0 Ebből következik, hogy az erővektor mindenütt az ekvipotenciális felület normálisával párhuzamos, az erővonalak az ekvipotenciális felületeket merőlegesen döfik át.(azok ortogonális trojektóriái) Elsőrendű nyomatékok pontra: Egy részecskéhez kötött fizikai mennyiségnek egy geometriai pontra vonatkozó elsőrendű nyomatékán a pontból a részecskéhez húzott rádiuszvektor és a fizikai mennyiség szorzatát értjük. Ha a mennyiség vektor, akkor a szorzás vektori Az elsőrendű nyomatékok additív mennyiségek. O (origó) Mennyiség Elsőrendű nyomaték

r ra r  ra m(tömeg) S a  r  r   m statikai P (impulzus) La  r  ra   P perdületi F (erő) M a  r  ra   F forgató A (vonatkoztatási pont) Perdülettétel (impulzusnyomatéki tétel): Az anyagi pont perdülete és a rá hatóerő nyomatéka a következő kapcsolatban van egymással L A  M A  mv A  v L A  M A v  0 Ha az A vonatkoztatási pont az inerciarendszerben rögzített  a , akkor ugyanis a részecske A pontra vonatkozó perdületének idő szerinti első deriváltja (változási gyorsaság) egyenlő a részecskére hatóerőnek az A pontra vonatkozó forgatónyomatékával. Igazolás:  L A  r  rA   P  r  rA   P , ahonnan a P  m  v , P  F , r  v , rA  v A formulák segítségével azt kapjuk, hogy :  v  v  0 , r  rA   F  M A L A  v  mv  v A  mv  r  rA   F írhatjuk, hogy L

 M  mv  v A A A   Centrális mező: Centrális mezőnek nevezzük az olyan erőteret, amelyben a részecskére hatóerő hatásvonala mindig átmegy egy, a VR-ben (vonatkoztató rendszerben) rögzített ponton, az ún. erőcentrumon. (Ilyen Pl a Nap körül kialakuló gravitációs erő) Válasszuk a továbbiakban az erőcentrumot a VR origójául. Ekkor az r rádiuszvektor a hatóerővel egy egyenesbe esik Tehát M o  r  F  0 . Centrális mezőben a hatóerőnek az erőcentrumra vonatkoztatott nyomatéka zérus. A perdülettétel F r Erőcentrum L A  M A  mv A  v   így az L0  0 alakra egyszerűsödik, amiből L0  r  mv  const következik. Centrális mezőben a részecskének az erőcentrumra vonatkozó perdülete állandó. L0 a VR -ben rögzített, és r pedig merőleges L0 -ra, ezért a részecske midig abban a síkban marad, amely átmegy az erőcentrumon, és amelynek normálisa párhuzamos L0 -val . (Röviden:

centrális erőtérben mozgó részecske pályája síkgörbe.) Felületi tétel: Centrális mezőben a területi sebesség állandó, azaz a pálya síkgörbe és a részecskéhez húzott rádiuszvektor egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol. Igazolás: A területi sebesség: 1 1 1 0  r  v  r  p   L0 2 2m 2m . Mivel L0 állandó, ezért  0 is. Az általános tömegvonzás (gravitáció): Newton (1687) A Nap által a Földre a Föld által a Holdra gyakorolt erő ugyanaz, mint a súly, aminek a Föld közelében eső testek gyorsulását tulajdonítjuk. Newton-féle gravitációs törvény: (Tömegpontokon érvényes, ezért általános, minden anyagi ponton hat) Minden pontszerű test centrális mezőt hoz létre maga körül, amelyben egy másik tömegpontra mindig vonzóerő hat. Az erő nagysága fordítottan arányos a két tömegpont távolságának négyzetével, egyenesen arányos mindkét részecske súlyos tömegével. F F 

Mm   er r2 M er m er  er  1 radiális egységvektor (Két vagy több tömegpont gravitációs mezői már nem centrális) Súlyos tömeg: Megmutatja, hogy a test milyen mértékben vesz részt a gravitációs kölcsönhatásban. A kétszer akkora súlyos tömegű részecske ugyanabban a gravitációs mezőbe ugyanazon a helyen kétszer akkora erőt szenved el. A súlyos tömeg mérése: rugós erőmérő Eötvös Lóránd (1848-1919) kimutatta, hogy a testek tehetetlen és súlyos tömegei arányosak egymással. Ekvivalencia elve: Az SI mértékrendszerben a két tömeg etalonját azonosnak választjuk, így a két tömegmérőszám nemcsak azonos, hanem egyenlő is lesz egymással. A súlyos és a tehetetlen tömeg egyenlősége egyáltalán nem magától értetődő, hanem kísérleti tapasztalat. A tömeg tehát jellemzi a testek tehetetlenségét, és súlyos voltát: ha két test tömege egyenlő, akkor a két test tehetetlensége is és--ugyanabban a

gravitációs mezőben, ugyanazon a helyen-és a két test súlya is ugyanaz lesz. Coverdisk 1798-ban torziós ingájával igazolta Newton spekulatív törvényét, sőt a gravitációs Nm 2   6.67  10 11 kg 2 állandót is kimérte: Ha a gravitációs mezőt több anyagi pont létesíti, akkor a szuperpozíció elvének és Newton gravitációs törvényének együttes alkalmazása vezet a megoldásra.  F  dr  dV Mm  F  dr   2 er dr  r r  r  er  dr  drer  rder er  er  1  der er  er  der  0  er  der  0  Mm   Mm   dy  y dx  d    const   dV  dV    r  r A gravitációs erő konzervatív tömegpont mezőjében Mm  const V  r  Mm Mm er drer  der   dr  2 r r a potenciális energia: A const tetszőleges állandót jelent, amelyet úgy választunk meg, hogy a potenciális energia a Mm r  0 , V  0 

const  0 V   r végtelenben zérus legyen. Akárhány tömegpont alkotja a gravitációs mezőt, a mező konzervatív és helyzeti energiája az egyes pontokhoz tartozó helyzeti energiák összege. F M f    2 er m r A gravitációs erő tömegarányos: ---- gravitációs térerősség. V M U    m r a gravitációs potenciál. A Föld sugarához képest vékony sávban (ha a Föld felszínén választjuk a helyzeti energia zérus szintjét) a helyzeti energia: mgh. III. Előadás 20041005 Mozgás gravitációs erőtérben: Korábban foglalkoztunk a gravitációs mező néhány fontosabb tulajdonságával. Láttuk, hogy az M tömegű pontszerű test olyan centrális mezőt létesít, amelyben a tőle r távolságban lévő m tömegű pontra: Mm F  2 r nagyságú vonzóerő hat. Azt is kiderítettük, hogy a gravitációs erőtér konzervatív A potenciális energia: Mm V   r Vizsgáljuk meg, hogyan mozog az m tömegű részecske a

M tömegű pontszerű test gravitációs mezőjében. A bolygók mozgása: Írjuk le a bolygónak a Nap körüli mozgását. A bolygó tömegét m-mel, a Nap tömegét M-mel jelöljük, és mindkét égitestet pontszerűnek tekintjük. Mivel a Nap M tömege sokkal nagyobb a bolygó m tömegénél, a Napot az állócsillagok vonatkoztatási rendszer origójának vesszük. Mivel a gravitációs mező centrális, a m tömegű részecske pályája síkgörbe és a pályasík átmegy a M erőcentrumon. A mozgás leírásához célszerű síkbeli polárkoordináta-rendszert használjuk. e m ez  er  e er r  r  er  r  rer  re  r  r e v  re ez M (erőcencentrum) 0 Az m tömegű részecske impulzusa:  r  mr e p  mv  mre 2  Perdülete: L  r  p  mr  ez 2  Fajlagos (tömegegységre vonatkozó) perdülete: l  L / m  r  . Centrális mezőben a részecskének az erőcentrumra vonatkozó

perdülete állandó l  r 2  const  Zárjuk ki a   0 esetet ( amely egyenes pályának felel meg ), és válasszuk úgy ez   0 , azaz l nagyobb, mint nulla irányítását, hogy megválasztásával mindig elérhető.  z , e , er , e z  alkalmas A területi sebesség nagysága: L l 1 1 1   r v  rp   r 2   const 2 2m 2m 2 2 Eddigi eredményeinket a következő tétel foglalja össze: Kepler II. törvénye A bolygó úgy mozog, hogy Napra vonatkozó területi sebessége állandó, azaz a pálya síkgörbe, és a Naptól a bolygóhoz húzott rádiuszvektor egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol. A gravitációs mező konzervetív, azaz megőrzi a részecske mechanikai energiáját, tehát a bolygó kinetikus és potenciális energiájának összege állandó. Mm 1 T  V  mv 2    E  const 2 r Innen az e=E/m fajlagos ( tömegegységre számított ) mechanikai energia és az 

  M rövidítés bevezetésével valamint kihasználva, hogy polárkoordinátákban v 2  v 2 r  v2  r 2  r 2 2 r 2  r 2 2  2  egyenletet kapjuk  2e r A pálya r  r ( ) egyenletét a perdület megmaradást kifejező (1) és az energiamegmaradást megfogalmazó (2) egyenletből (Két elsőrendű diff. egyenletből vezetjük le) Ebből a célból a két egyenletből kiküszöböljük az idő szerinti deriváltakat (1) szerint kiküszöböljük. l r2 ezt is felhasználva írhatjuk, hogy:   r  dr l dr   2 d r d Ezeket (2)-be behelyettesítve a: dr r 2  d l diffegyenletet kapjuk a keresett A gyök alatti kifejezés 2e  2 r  l2 r2 r  r   függvényre.  2  u2 alakba írható, ahol l   r l l állandó, du= - l / r2dr , így   2e  Béta 2 2 u d   +   arccos  du  2  u2   d ( u ) 1  ( u ) 2 u

 Amit integrálva adódik, ahol  integrációs állandó. Ebből az u  l / r   / l összefüggés segítségével. l     cos(   ) r r ahonnan a keresett r   pályafüggvény: r    r    l2  1 l  cos    p bevezetve a l2  ,  l  p 1   cos  Ez a kúpszelet egyenlete síkbeli polárkoordinátákban. Kiderült, tehát, hogy az m tömegű pont a M tömegű pont gravitációs mezejében egy olyan kúpszeleten mozog, amelynek egyik fókusza a polárkoordinátarendszer kezdőpontja, azaz az erőcentrum (az azimuttengely alkalmas megválasztásával delta értéke nulla lesz) . Tudjuk, hogy a kúpszelet jellegét az epszilon excentrális értéke határozza meg. 2 l l   2l  l 2   így ha : e  0    1, a pálya ellipszis, vagy kör =0 e  0    1, a pálya parabola e  0    1, a

pálya hiperbola Zárt pálya (kötött állapot) csakis negatív összenergia jöhet létre. Ilyenkor az m tömegű test bolygó. Kepler I. törvénye: Az állócsillagok VR-ében a Naprendszer bolygói olyan ellipsziseken mozognak, amelyek egyik fókuszában a Nap foglal helyet. Legyen a mozgó tömegpont a t=0 kezdeti pillanatban az erőcentrumtól r0 távolságban és legyen a kezdeti sebességének abszolút értéke v0 Nyilvánvaló, hogy: 1 2 M 1 2 M  v0   v  2 2 r0 amiből következik, hogy a pálya r 2M v0  feltéve, ha a sebesség tartó egyenese nem megy át az erőcentrumon r0 (akkor ugyanis a kúpszelet egyenessé degenerálódik). A bolygók ellipszis, ha keringési ideje könnyen kiszámítható, ha a   l / 2 területi 2 M v0  sebességet megszorozzuk a  keringési idővel, megkapjuk a r0 rádiuszvektor által idő alatt súrolt területet, vagyis az ellipszis területét. parabola, ha 2 M v0  r0 hiperbola, ha

e l 2 3/ 2 1/ 2   a p  Emeljük négyzetre az egyenlőségben álló mennyiségeket, és vegyük figyelembe, hogy p  l2 /   l2 /  M Azt kapjuk, hogy: r 2 4 2  a3  M A jobb oldalon, az univerzális állandókon kívül csak a gravitációs mezőt keltő test tömege szerepel. Kepler III. törvénye: A keringési idő négyzete és a pályaellipszis fél nagytengelyének a köbe a naprendszeren belül egymással egyenesen arányos. Megjegyezzük, hogy a probléma pontosabb tárgyalása, amely figyelembe veszi a Nap mozgását is, olyan összefüggéshez vezet, amelyben a jobb oldalon a bolygó tömege is 2 3 megjelenik, így  / a már nem ugyanaz az érték minden bolygóra, hanem bolygónként más. Kepler III. törvénye tehát csak az itt használt közelítésben igaz Izotóp rugalmas mező: Olyan centrális mező, amelyben az erőcentrumtól mért távolsággal arányos, és a centrum felé mutató erő lép fel. Ha VR-ünk origóját az

erőcentrumba helyezzük, akkor az erő: F   Dr F r Ahol D > 0 mennyiség az ún. direkciós állandó (az ilyen erőket - amelyek gyakran, de nem mindig rugalmas természetűek -kvázielasztikus erőknek nevezzük). Ez a mező konzervatív, hiszen  Dr 2   W  F  dr   Dr  dr   d    2  összefüggésből Dr 2 V   const 2 adódik. Itt felhasználjuk, hogy  r2  r r  r r  d   d   dr    dr  r  dr  2  2 2  2 Ha az erőcentrumban vesszük a helyzeti energiát zérusnak, akkor az integrációs állandó eltűnik. Rugalmas mezőben (a mező centrális volta miatt) a részecske csak síkgörbén mozoghat, és a pályasík átmegy az erőcentrumon. A lineáris harmonikus oszcillátor: Egyenes vonalon történik a szinuszos mozgás feszítettlen hossz x x - kitérés Fx   Dx Fy  0 Fz  0 V  Dx 2 2 A rugalmas mező konzervatív  a mechanikai energia

megmarad 2 x2 x2 D  const /   x 2   2 x 2   2 c 2 c  0, const m D   2 2 m m x   c 2  x 2  dx c2  x 2   dt , d  cx  1   cx  2   dt  arcsin x  t  c xt   c  sin t    a mozgástörvényig. A mozgás periodikus: xt   xt     - periódusidő A sin fgv. 2 szerint periodikus: 2    körfrekvencia  v   2 (nű) frekvencia  c amplitúdó x   2 x A mozgásegyenlet: mx   Dx ,  xt   c sin t      t    fázis   fázisállandó c cos  sin  t  c sin  cos t  A sin  t  B cos t A2+B2=C2 Elliptikus harmonikus oszcillátor: Nézzük meg a mozgást izotóp rugalmas mezőben. Legyen a pályasík az xy-sík, és válasszuk a t=0 időpillanatot úgy, hogy a részecske akkor az x tengelyen legyen. A

mozgásegyenlet mr   Dr F   Dr kezdeti feltételek  mx   Dx  my   Dy r v0 x 0   x 0 x 0   v x 0 y 0   0 y 0   v y 0 xo mx   Dx  xt   A sin  t  B cos t   x t   A cos  t  B sin  t x0  v x 0 x0  x0  x0  B D m x v x0 y v y0   v x 0  A sin  t  x 0 cos t my   Dy   sin  t  sin  t 2 y v y0 , cos t   1    y 2 vy 0 2 y   y  v v  2 y2    x  x 0 y  x 02  x02 2  x0 1   x  x0   v y0 v y0 v y0  v y0    v  2  x   2  vx0 x 2 xy   x 0    0   y 2  x 02 v y0  v y 0   v y 0    2 A pályagörbe egyenlete másodfokú, tehát a pálya kúpszelet. v

y0  y 2 v  c   x 0   x 02   -c c  v y0  x A pálya a vázolt téglalapban van, ezért a pálya csak ellipszis vagy annak eltorzulása (kör vagy egyenes) lehet elliptikus harmonikus oszcillátor Csillapított lineáris rezgés: Ha a tömegpont valamilyen közegben mozog, akkor rá a kvázielasztikus erőn kívül a sebességgel ellentétes irányú súrlódási erő hat. Ennek tulajdonítható a tömegpont mechanikai rezgései általában nem állandó amplitúdójú rezgése, hanem a mozgás amplitúdója kisebb, vagy nagyobb mértékben csökken az időben, a rezgés csillapodik. A tapasztalat szerint a súrlódási erő nagysága kis sebességek esetén a sebességgel, nagyobbaknál a sebesség négyzetével vehető arányosnak. Feltesszük, hogy mind a rugalmas erő, mind a súrlódási erő az x tengely mentén hat, továbbá azt is, hogy a test kezdősebessége és kitérése az x tengelybe esik. Ekkor a mozgás egyenes vonalú

marad A rugalmas erő: Fx( r )   Dx a sebességgel arányos, de vele ellentétes irányú a csillapítási erő pedig: Fx( c )   .x ahol a D>0 direkciós állandó és  >0 csillapítási tényező állandó. A tömegpont mozgásegyenlete: m x   Dx   x osztva m-mel, és bevezetve az  D ,  m 2m mennyiségeket (amelyek közül  a kvázielasztikus erőre,  a súrlódásra jellemző) a mozgásegyenlet az : x  2 x   2 x  0 alakot ölti.  Ez lineáris, állandó együtthatójú, másodrendű homogén diff. egyenlet rt Az egyenlet partikuláris megoldását   e alakban keressük, ahol r állandó. rt Ennek megfelelően:   e próbafüggvényt az egyenletbe helyettesítjük, és megköveteljük, hogy az így adódó : r 2  2 r   2 e rt  0 egyenlet teljesüljön. 2 2 r  2 r    0 Mivel ert nem zérus:   rt Ez az algebrai egyenlet határozza meg azokat az r

értékeket, amelyekkel   e megoldása a szóban forgó diff. egyenletnek ( ez a diff egyenlet karakterisztikus egyenlete ) A karakterisztikus egyenletnek két gyöke van: r1,2     2   2 A mozgásegyenletnek tehát két partikuláris megoldása van:  1  e r1t ,  2  e r2t A mozgásegyenlet általános megoldása ezen lineárisan független partikuláris megoldások lineáris kombinációja.      2  2  t  x  C1 1  C2  2  C1e r1t  C2 e r1t  C1e       2  2  t   C2 e  A C1 , C2 állandók értéke a kezdeti feltételek segítségével határozhatok meg. Ez a függvény a csillapított rezgés mozgásegyenletének általános megoldása. A függvény jellege függ a négyzetgyök alatt álló mennyiség előjelétől, azaz attól, hogy az  súrlódási együttható hogyan viszonyul az  körfrekvenciához. Három esetet különböztetünk meg:

(1). Mikor  >0 akkor erős csillapításról beszélünk. Ebben az esetben bevezetésével az általános megoldás: x  C1e      t  C2 e      t  e t C1e  t  C2 e   t    2 2  rövidítés      0 ,      0 , ezért mindkét partikuláris megoldás zérushoz tart, midőn az idő tart a végtelenhez. A C1 , C2 állandók meghatározásához kezdeti feltételeket adunk meg Pl. x (0)  0 x(0)  v 0  0 Ezeket a megoldásba, illetve annak idő szerinti deriváltjába helyettesítve a C1 C2 állandókra azt kapjuk hogy: C1  C2  0 C1r 1  C2 r 2  0 v C1  C2  0 2   adódik. Ahonnan: Az általános megoldás: v e  t  e   t v 0  t  e sin  t x  0 e  t   2 Látható, hogy x sohasem lesz negatív. A mozgás jellege a következő: t=0-tól kezdve x a kezdeti x=0 értékéről növekszik, bizonyos

t*-nál eléri maximumát majd t tart végtelenre zérushoz tart. A mozgás tehát nem rezgés: a pont kitér, majd a rugó hatására visszahúzódik.(aperiodikus mozgás) t*-nál nyilván x zérus. Mivel v x  0 e t  sinh  t   cosh  t    sinh  t *   cosh  t  t  1  arth   2. Kritikus csillapításról, aperiodikus határesetről beszélünk, akkor, ha    Ekkor r1  r2   , a karakterisztikus egyenletből egyetlen partikuláris megoldást kapunk:  1  e  t Szükségünk van még egy partikuláris megoldásra. A diff egyenletek elméletéből ismert, hogy  t kétszeres gyök esetén  2  te is partikuláris megoldás lesz, amiről behelyettesítéssel meggyőződhetünk. (  1 é s 2 lineárisan függetlenek, mert t nem állandó). Így az általános megoldás: x  C1 1  C2  2  C1e  t  C2 te  t  e  t (C1  C2 t ) x 

C1 1  C2  2  C1e  t  C2 te  t  e  t (C1  C2 t ) Válasszuk most is az x(0)=0, x(0)=v0>0 kezdeti feltételeket. Ezekkel a konstansokra: C1  0 C2  v 0 adódik, így a mozgástörvény: x  v 0 te  t Ez is aperiodikus mozgást jelent, ami jellegében hasonlít az erő csillapítás esetén észlehető mozgásra: az x kitérés mindig pozitív, egy bizonyos t* maximuma van, és t -re zérushoz tart. x  v 0 e  t (1   t ) így maximuma helye: t*  1  3. Gyenge csillapításról beszélünk, ha    Vagyis a csillapítás egy bizonyos értéknél kisebb. Ekkor az egyenlet gyökei komplexek. r1,2     2   2    i  2   2    i   2 2 mennyiség valós. Az általános megoldás: x  C1e   i  t  C2 e   i  t  e . t (C1e it  C2 e it ) Ezt a függvényt a komplex számokra

vonatkozó e i   cos  i sin  Euler-féle összefüggés segítségével a következő alakba írható: x  e  t C1  C2  cos  t  iC1  C2  sin  t  e  t  A cos  t  B sin  t    Minthogy az x kitérés csak valós lehet, az A  C1  C2 , B  i (C1  C2 ) együtthatók valós mennyiségek. Ha az A,B állandó helyett A  C sin  B  C cos  összefüggésekkel a C,  konstansokat vezetjük be, akkor a mozgástörvény az: x  Ce  t sin( t   ) alakra hozható. Ez olyan harmonikus rezgésnek tekinthető, amelynek az amplitúdója az idővel exponenciálisan csökken. Az ilyen mozgást csillapított rezgőmozgásnak nevezzük Vizsgáljuk meg a mozgástörvényt. A szinuszfüggvény tk  zérushelye: A zérushelyek  k      k  0,1,2. időközönként követik egymást. Nézzük meg a szélsőértékeket. A mozgástörvényt az idő

szerint deriválva: x  Ce  t  cos t      sin t     tan t     Szélsőérték csak ott lehet, ahol 1    t n  arctan   n     tehát a  adódik.   n  0,1,2. értékeknél.  A szélső értékek  időközönként követik egymást, két szomszédos maximum közötti 2  időtartam tehát  . 2   , ennél az esetnél  a saját körfrekvencia, Minthogy a szinusz függvény periódusa ami a csillapítatlan rezgés  körfrekvenciájánál kisebb. (a rezgésidő tehát a csillapítatlan harmonikus rezgésidejénél nagyobb). A mozgás azonban szigorú értelemben nem periodikus, minthogy tetszőleges t-re x (t )  x (t  r ) A súrlódás feltétele a körfrekvencia csökkenését (vagyis a rezgésidő megnövekedését) és az amplitúdó exponenciális csökkenését okozza a csillapítatlan harmonikus rezgéshez viszonyítva.

Két szomszédos maximum aránya állandó:  xn Ce tn sin( tn  ) e tn  t    e    t  n n  xn2 Ce  sin( tn      ) e Az egymást követő maximumok fogyó mértani sorozatot alkotnak, a csillapodás mértékét a: x   ln n     xn2 ún. logaritmikus dekrementum jellemzi A gyakorlatban a csillapítási együtthatót úgy határozzák meg, hogy megmérik a rezgés két egymást követő maximumát (xn,xn+2) és a köztük eltelt  időt. Ezekből kiszámítható , abból    / 2m) pedig a tömeg ismeretében A csillapított rezgést leíró függvényben a C állandót és a kezdőfázist a kezdeti feltételek határozzák meg. Legyenek a kezdeti feltételek: x (0)  0 , x (0)  v 0  0 Ekkor azt kapjuk, hogy:   0 , C  v0  0  sin  , v 0  C ( cos    sin  ) ahonnan adódik. x Így a mozgástörvény: a

zérushelyek: tk  k 1     k  2 a szélsőérték helyei: tn  v0 arctan e  t sin  t k  0,1,2,.   n   n  0,1,2,. Véges mennyiség arkusz tangense kisebb, mint /2 tn      n  n 2  4 2 n  0,1,2,. A súrlódási erő teljesítménye:    x 2  0 P*  F ( c )  v   xx Ez a teljesítmény adja a rendszer mechanikai energiájának időegység alatti változását. IV. Előadás 2004. 10 12 Az eddigiekben szabad rezgéseket tanulmányoztunk, amelyek során a rezgő rendszerre külső erő nem hatott. Az elkerülhetetlenül fellépő csillapítás miatt ilyenkor a rezgés hosszabbrövidebb idő alatt elül Ha periodikus rezgést akarunk fenntartani, akkor a csillapítás miatt bekövetkező mechanikai energiaveszteséget folyamatosan pótolni kell, külső erő munkavégzésével, ezért a külső erőnek is periodikusan kell változni.

Ezt a rugalmas és a (néha elhanyagolhatóan kicsi) csillapító erőn kívül ható periodikus külső erőt gerjesztő erőnek, hatására bekövetkező rezgést kényszerrezgésnek nevezzük. Gerjesztett lineáris rezgés: Itt csak olyan rezgésekkel foglalkozunk, amelyeknél az m tömegű anyagi pont az x tengely mentén mozog és rá a: (r ) Fx   Dx ( D  0) A rugalmas erőn és a csillapító erőn kívül olyan gerjesztő erő Fx( c )   x (  0) hat, amely az időnek harmonikus függvénye, azaz gerjesztő erő. Fx( y )  F0 cos t , ahol F0>0 , a gerjesztő erő amplitúdója,  a gerjesztő erő körfrekvenciája Fx( y ) T  2  szerint periodikus. Ilyen feltevésekkel a tömegpont mozgásegyenlete: mx   Dx   x  F0 cos t ami az, F D  2  ,  , f0  0 m 2m m jelölésekkel a következő formát ölti: x  2 x   2 x  f 0 cos t Ez, a csillapított szabad rezgés

egyenletétől csak a jobb oldalon álló tagban különbözik, amelyet zavarótagnak (vagy perturbációnak) nevezzük. Ez közönséges, másodrendű, állandó együtthatójú inhomogén diff-egyenlet. Az inhomogén lineáris diff-egyenlet általános megoldása a hozzá tartozó homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összege. A fenti inhomogén egyenlethez tartozó homogén egyenlet.   2 X 2  X   X 0 Tehát (1) általános megoldása x  X , ahol X a (2) egyenlet általános megoldása (pszi)  pedig az (1)-es egyenlet egy partikuláris megoldása. A (2) homogén egyenlet általános megoldása a korábbiakból ismerős Keressük meg most az (1) inhomogén egyenlet egy  partikuláris megoldását, azaz egy olyan  (t) függvényt, amelyre   2    2   f 0 cos t Kényelmesebb a számolás, ha a zavarótag exponenciális

függvény, ezért vegyük hozzá ehhez az egyenlethez az  (t) fizikai jelentés nélküli segédváltozóra használt:   2    2  f 0 sin t  egyenletet. Ha ezt megszorozzuk a képzetes egységgel, és hozzáadjuk a   re felírt egyenlethez akkor a: z    i komplex változóra a:  z  2 z   2 z  f 0 e i t diff.-egyenlet áll elő Keressük ennek egy partikuláris megoldását: z  Ae i ( t  ) alakban, ahol A a valós amplitúdó. Behelyettesítéssel azt kapjuk, hogy ez a kifejezés megoldás, ha: e i cos   i sin  A  f0 2  f0 2 2     i 2     2  i 2  Mivel A-nak valósnak kell lennie, innen rögtön látszik, hogy : f0 2   tan   2 , A 2 2    2   2  4 2  2   (3) A keresett  függvényt z valós része adja:   Re z  A cos  t     f0  2   

4 2 2 2 2 cos  t    (4) A partikuláris megoldás tehát egy olyan csillapítatlan rezgésnek felel meg, amelynek frekvenciája a gerjesztő erő frekvenciája, de fázisa   val késik hozzá képest, és amplitúdója erősen függ a gerjesztő frekvenciától. A szabad rezgések tárgyalásánál láttuk, hogy akár erős, akár kritikus, akár gyenge a csillapítás, a homogén egyenlet X általános megoldása mindenképpen zérushoz tart, midőn t tart a -hez. Ez azt jelenti, hogy a rezgés megindulásától számított kellően hosszú idő után X már olyan kicsivé válik, hogy X   , azaz a pont a gerjesztő erő  körfrekvenciájával csillapítatlan rezgést végez. (Más szóval az erő rákényszeríti periodikus változását a tömegpontra) Ezért nevezzük ezt a mozgást kényszerrezgésnek is. Azt az időtartamot, amelyben X még nem hanyagolható el tranziens (átmeneti), azt, pedig amiben X   , stacionárius

(állandósult) szakasznak hívjuk. Vizsgáljuk meg kissé részletesebben a stacionárius szakasz rögzített  é s  mellett. A kényszerrezgés A amplitúdója, valamint a gerjesztő erő és a rezgés között fellépő  fáziskülönbség a gerjesztő erő  körfrekvenciájától függ. (3) szerint amint  -át 0-tól  -ig, majd innen -ig növeljük, a  fáziskülönbség 0-tól /2-ig, majd -ig nő, vagyis a kényszerrezgés fázisa mindig késik a gerjesztő erőjéhez képest. Hogyan függ az amplitúdó a gerjesztő körfrekvenciától. Látható, hogy: f lim A()  02 , lim A()  0  0   Azaz az A függvény nem zérus értékről indul, de nullához tart. Van-e szélső értéke a A függvénynek. (Ha van, akkor az csak maximum lehet) Az A függvénynek maximuma van, ha a nevezőben szereplő f   ( 2   2 ) 2  4 2  2 függvénynek maximuma van. f () első

deriváltja df  4( 2   2  2 2 ) d adódik, ami két helyen tűnhet el. Az egyik  =0, ami nem lehet a maximum helye (nincs periodikus gerjesztés), de itt f0 (  2 A függvénynek vízszintes érintője van. Így csak -hez) az  *   2  2 2 lehet a szélső érték helye. Rögtön látszik, hogy sem erős,     , sem kritikus     csillapítás esetén szélsőérték   2  . Maximum nem lehet. Sőt még gyenge     esetén is monoton a függvény, ha csak akkor lehetsége, ha   2 , azaz csak akkor, ha a csillapítás elég gyenge. Azt a jelenséget, hogy a rezgés amplitúdójának a gerjesztő frekvencia függvényében szélső értéke van, rezonanciának nevezzük.  *-ot pedig rezonancia-frekvenciának nevezzük.  *   2  2 2   2   2 Tehát rezonanciakor a gerjesztő frekvencia kisebb, mint a sajátfrekvencia, de a kettő annál

közelebb van egymáshoz, minél gyengébb a csillapítás. Zérus csillapítás   0 esetén  *   . Az Amax  A( * )  f0  f0 2  2   2 2  maximális amplitúdó annál nagyobb, más szóval a rezonancia annál élesebb, minél kisebb az  csillapítási tényező. Csillapítatlan rendszernél a rezonanciahelyen az amplitúdó végtelen, vagy lenne, ez az úgynevezett rezonancia katasztrófa. Megjegyezzük, hogy a rendszer mozgási energiája időátlagának, mint a gerjesztő körfrekvencia függvényének a maximuma nem  *   2  2 2 -nél van. A tömegpont kinetikus energiája (4) felhasználásával 1 1 T  mx 2  mA 2  2 sin 2 t    2 2 adódik. T-nek a rezgés folyamán felvett legnagyobb értéke: 1 mA 2  2 2 , átlagos értéke ennek fele, mert   sin 2 t  1  cos t  / 2  1 / 2   az 1 1 2 T  mA 2  2  mf 02 2 4 4 

  2  4 2  2  f     2  2   2  4 2  2   függvény első deriváltja. df  d   2  4   4   2   2   4 2  2 2  2 adódik. T -nak tehát    -nál azaz a csillapítás nélküli rendszer saját frekvenciájánál van maximuma. Ezt az esetet szokás sebességrezonanciának hívni az előbbi amplitúdó rezonanciával szemben. Rezonanciának jelentős szerepe van a fizika minden területén és a műszaki gyakorlatban. Lehet káros pl. motorok vagy más gépek periodikus rázkódásának hatásán a gép, vagy annak rögzítése erősen megrongálódhat, periodikus széllökésekre a híd leszakadhat. Rezonancia lehet hasznos pl. a rádió is a rezonancia elvén működik, hangoláskor a vevőkészülék sajátfrekvenciáját változtatja és amikor megközelítjük az adóállomás frekvenciáját, akkor halljuk az adást. Az eddigiekben a gerjesztő erő

az időnek egyszerű harmonikus függvénye volt. Ha a gerjesztő erő az időnek tetszés szerinti periodikus függvénye, akkor a mozgásegyenlet megoldását a következőképpen kereshetjük. A T szerint periodikus erőfüggvényt Fourier-sorba fejtjük Fx ( g) (t )  ahol: a0   a  2   2 / T n 1 n cos n t  b n sin nt  és T an  2 Fx( g ) (t ) cos ntdt T 0 bn  2 Fx( g ) (t ) sin nt dt  T0 n  0,1,2,. T n  1,2,3,. A Fourier-féle együtthatók. Így a megoldandó egyenlet:   n0 n 1 x  2  x   2 x   Cn cos nt   d n sin nt (5) ahol c0  a0 a , cn  n m 2m , dn  bn m n  1,2,3 Legyen most   n0 n 1 x   x n   x n ekkor az egyes tagokra a következő diff. egyenlet írható fel xn  2 xn   2 x  cn cos nt n  0,1,2,. x, n  2 xn  d n sin nt n  1,2,3.

d , Ezek ugyanolyan típusúak, mint (1), csak itt f0 helyett cn ill. n szerepel. (5) stacionárius megoldása tehát: x    n 0 A n cos( n  t   n )   B n 1 n helyett, pedig n sin( n  t   n ) ahol An   tan  n  cn  n 2 2 2  4  2 2 2 n Bn   dn 2  n 2 2  4  2 2 2 n 2 n    n 2 2 2 Ebben az esetben tehát a stacionárius rezgés végtelen sok frekvenciát tartalmaz, de az egyes frekvenciák a nagy  alapfrekvenciának egész számú többszörösei. A rezonancia-frekvenciák száma is végtelen. A tömegpontrendszerek dinamikája A legtöbb esetben nem szorítkozhatunk egyetlen tömegpont mozgásának vizsgálatára, hanem több, egyenként anyagi pontnak tekinthető és egymással kölcsönhatásban álló test alkotta rendszer mozgását, kell tanulmányoznunk. (égitestek ) A tömegpontrendszer fogalma: A tömegpontrendszer

véges számú, egymással kölcsönhatásban lévő anyagi pontok halmaza, mindig ugyanazokat a részecskéket foglalja magába. Megkülönböztetünk szabad és kötött pontrendszereket. A rendszert szabad rendszernek nevezzük, ha pontjait mozgásukban semmi sem korlátozza. Szabad rendszert a makrofizika körében legtökéletesebben legtökéletesebben az égitestek valósítanak meg. Ha a rendszer elemeinek koordinátái vagy ezek változásai között előírt összefüggések (geometriai kényszerek) állnak fenn, akkor kötött rendszerről beszélünk. Az mi és mk tömegű pontnak egymástól állandó távolságban kell maradni a kényszerfeltétel a következő: ri  rk  const A kényszerfeltételek, bevezetésével lehet tárgyalni a merev testeknek, mint speciális pontrendszernek a mechanikáját: azt követeljük meg, hogy ehhez hasonló egyenletek a merev test bármely két pontjára teljesüljenek. Legyen az n tömegpontból álló rendszer i-edik pontjának

helyvektora ri , tömege mi , sebessége vi , impulzusa pi . A pontrendszer n m   mi i 1 tömege állandó. Külső és belső erők A pontrendszer tagjai különféle kölcsönhatásokban vehetnek részt, amelyeket célszerű csoportosítani. k Kölcsönhatás léphet fel a pontrendszer két eleme között: Fi jelöli a k-adik által az i-edikre * kifejtett erőt. Kölcsönhatás lehet egy elem és egy másik elem mezője között: Fik jelöli a kadik pont mezőjében az i-edik pontra hatóerőt E két erő alkotja a belső erőrendszert Bi k  Fik  Fik* Kölcsönhatás lehet egy elem és egy külső test vagy annak mezője között. Ki az i-edik elemre ható teljes erő (az az erő, amelyet az összes külső test és az összes külső mező az i-edik pontra kifejt). Az akció-reakció törvénye miatt a kontakterőkre fennáll, hogy: Fik*   Fki Az viszont nem mindig érvényes, hogy az i-edik pont mezőjében a k-adik pontra hatóerő ellentette egyenlő a

k-adik mezőjében az i-edikre hatóerővel, de a mechanikában ez az egyenlőség általában fennáll. A továbbiakban feltételezzük: Fik*   Fki így Bik   Bki m1 F1i* mi Fi1* ri O Fi 2* Ki F2*i m2 Jelöléseinkkel a pontrendszer i-edik tömegpontjának mozgásegyenlete: n dpi   Bik  Ki i  1,2,. n dt k 1, k  i (A k i feltétel azért szükséges, mert az egyes tömegpontok önmagukra nem fejtenek ki erőt.) Ahhoz, hogy a fenti mozgásegyenletet minden tömegpontra megoldhassuk, ismernünk kell a Bik belső erőket, a külső erők eredőjét Ki és meg kell adnunk a kezdeti feltételeket. A megoldás megtalálása igen nehéz feladat. Ezért fontosak azok a tételek, amelyek segítségével a pontrendszer mozgásának néhány általános tulajdonságát megállapíthatjuk anélkül, hogy a mozgásegyenleteket megoldanánk. Impulzustétel pontrendszerre Összegezzük a pontrendszer elemeinek n darab mozgásegyenletét: n n n n dpi 

 B Ki    ik  i  1 dt i  1 k  1, k  i i 1 Az impulzus additív mennyiség, a pontrendszer impulzusa egyenlő tagjai impulzusának összegével, azaz n n dp dp p   pi   i dt i 1 dt i 1 Feltettük, hogy Bik   Bki ezért: n n  B ik 0 i  1 k  1, k  i vagyis a belső erők eredője zérus. Így ha a külső erők összegét K-val jelöljük n  K   Ki i 1 akkor a (2) egyenlet a dp K dt alakot ölti. Ez a pontrendszer impulzustétele A pontrendszer impulzusának idő szerinti első deriváltja egyenlő a pontrendszer tagjaira ható külső erők összegével. (A belső erők az impulzust nem változtatják) Az olyan pontrendszert, amelyre külső erők nem hatnak, mechanikailag zárt rendszernek nevezzük. Az ilyen rendszer impulzusa időben állandó Ugyancsak állandó a rendszer impulzusa akkor, ha a külső erők összege zérus. A tömegközéppont tétele: Tömegközéppont:

Pontrendszer tömegközéppontja az a geometriai pont, amelyre a rendszer statikai nyomatéka eltűnik. rc jelöli a C tömegközéppont helyvektorát , ri , pedig a C-ből az mi tömegű ponthoz mutató Ha vektor, akkor ri  ri  rc továbbá a tömegközéppont definíciója n  m r  0 i i szerint i 1 origó tömegközéppont Így n n n n n i 1 i 1 i 1 i 1  mi (ri  rc )  mi ri   mi rc   mi ri  mi rc  0 rc  mr i i i 1 m  S0 m Tehát a tömegközéppont helyvektora a pontrendszer origójára vett statikai nyomatékának és össztömegének a hányadosa. A tömegközéppont helyvektorát az idő szerint deriválva a tömegközéppont vc sebességét kapjuk. n  mi ri n  mi vi n p i p  p  mvc m m m m A pontrendszer impulzusát tehát úgy is kiszámíthatjuk, hogy össztömeget megszorozzuk a tömegközéppont sebességével. Következésképpen a pontrendszer

impulzustétele a p  mvc  mac  K alakban is felírható. Ez a tömegközéppont tétele A pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer össztömege oda volna koncentrálva, és a pontrendszerre ható külső erők összege is ott hatna.(A rendszer belső erői a tömegközéppont mozgását nem befolyásolják). E tétel következménye a tömegpont modell alkalmazhatósága kiterjedt testekre, melyeket tömegközéppontjukkal jellemezhetünk. Ha a mechanikai rendszer teljes impulzusa 0 egy VR-ben, akkor azt mondjuk, hogy nyugalomban van az adott VR-ben. vc  rc  i 1  i 1  i 1  Az impulzus-megmaradás törvénye: Ha a rendszer mechanikailag zárt, vagy a rendszerre ható külső erők eredője zérus, akkor a rendszer tömegközéppontja IR-ben nem változtatja meg a sebességvektorát, azaz a tömegközéppont vagy nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A rendszert alkotó pontok belső

kölcsönhatásai következtében az egyes pontok impulzusai megváltozhatnak, de az eredő impulzusváltozás 0. Tömegközépponti VR. Az IR-hez képest vc sebességgel haladó, de az IR-hez képest el nem forduló VR. Mechanikailag zárt rendszer tömegközépponti rendszere szintén IR. Deriváljuk a n  m r  0 i i i 1 egyenletet az idő szerint n n n i 1 i 1 i 1  mri   mi vi   pi  p   0 Az eredmény szerint a tömegközépponti VR-ben a pontrendszer összimpulzusa zérus. Az ri  ri  rc összefüggés idő szerinti deriválásával azt kapjuk, hogy v i  v i  v c azaz v i  v c  v i A tömegközépponti vc sebességét rendezett mozgási sebességnek, vi t pedig rendezetlen mozgási sebességnek is nevezhetjük. Határozzuk meg, milyen összefüggés van az IR-beli és a tömegközépponti VR-beli mozgási energia között. Az IR-beli kinetikus energia: T  1 2 n m v i 1 2 i i

v i2  v i 2  2 v i v c  v c2 képletébe a összefüggést helyettesítve: T n 1 n 1 2 n 2 m v  v  m v vc  mi    ii c  i i 2 i 1 2 i 1 i 1 Figyelembe véve, hogy T  1 n  mi vi 2 2 i 1 n ,  mi vi  0 , i 1 n m  m i i 1 azt kapjuk, hogy 1 T  T   mvc2 2 Tehát az IR-beli mozgási energia a rendezett és a rendezetlen mozgási energiák összege. Minthogy a rendezett rész a tömegközépponti tétel szerint a külső erők hatásából származik, ezt a részt a külső, a másikat viszont belső kinetikus energiának is nevezzük. V. Előadás 20041019 Perdülettétel pontrendszerre: Írjuk fel a perdülettételt a pontrendszer i-edik részecskéjére, vonatkoztatási pontként az A pontot választva. LAi  n ri  Bik  rc Ki  mvi A  vi (i  12 , ,3.n) k 1,k i O(origó) Ki ri rA Bik  Fik* A(vonatkoztatási pont) Adjuk össze

ezt az n számú egyenletet n n L   n   Ai i 1 i  1 i  1, k  i n n i 1 i 1 ri  Bik   ri  Ki  v A   mi vi A belső erők nyomatéka két részre bontható: n n   ri  Bik  i  1 k  1, k  i n n   i  1 k  1, k  i n ri  Fik   n  r  F * ik i i  1 k  1, k  i Mindkét összeg párokba rendezhető. Válasszuk ki mindkét összegben Pl az i-edikre és a kadikra vonatkozó két tagját Mivel Fik   Fki ezért ri  Fik  rk  Fki  ( ri  rk)  Fik Ha az i-edik és a k-adik részecske érintkezik, akkor ri  rk , ha nem érintkeznek, akkor Fik  0 . Következésképpen az első összeg eltűnik, mert minden egyes pár külön-külön is zérus. A második összeg kiszámításakor tegyük fel, hogy a tömegpontok centrális mezőt létesítenek maguk körül. * mi Ekkor ( ri  rk)  Fik  0 ri

 A * Fik Tehát a második összeg is eltűnik, így a belső erők nyomatéka zérus. n rk ri  rk LA   LAi Figyelembe véve, hogy i 1 n p   mi vi  mvc A pontrendszer teljes perdülete: mk i 1 A pontrendszer impulzusa: n M AK   ri  Ki i 1 pedig az összes külső erő nyomatéka, azt kapjuk, hogy: L A  M AK  mv A  vc Ez a pontrendszer perdülettétele. Ha vonatkoztatási pontként a tömegközéppontot választjuk (A=C), vagy ha a vonatkoztatási pont az IR-ben nyugszik, v A  0 akkor a perdülettétel az L  M AK alakra egyszerűsödik. Ez azt jelenti, hogy a pontrendszer teljes perdületének idő szerinti első deriváltja egyenlő a pontrendszer nyomatékainak összegével (ugyanazon pontra). Ha a rendszerre külső erők nem hatnak, vagy ha a külső erők nyomatékainak összege zérus, akkor a rendszer teljes perdülete állandó. Perdületmegmaradás törvénye Teljesítmény- és

munkatétel pontrendszerre Szorozzuk meg a pontrendszer elemeinek n dv mi  i   Bik  Ki i  1,2,. n dt k  1, k  i mozgásegyenletét skalárisan vi  vel , és adjuk össze az így kapott n számú egyenletet. Az eredmény a n dvi d n 1 dT m v  mi vi2    i i dt dt i 1 2 dt i 1 összefüggést felhasználva a dT  pB  pK dt alakba írható, ahol n pB   n B v i  1 k  1, k  i ik i belső erők teljesítménye n p K   Ki vi i 1 külső erők teljesítménye Ez a pontrendszerre vonatkozó teljesítménytétel. Azt fejezi ki, hogy a pontrendszer mozgási energiájának idő szerinti első deriváltja egyenlő a rendszerre ható külső és belső erők teljesítményének összegével. Integráljuk a teljesítménytétel mindkét oldalát a mozgás t  t1  t2 időtartamára. Azt kapjuk, hogy: T2  T1  W1B,2  W1K,2 ahol t2 T2  T1  T ( t 2 )  T ( t1 )   dT t1 a

pontrendszer mozgási energiájának t  t1  t2 időtartam alatti megváltozása. t2 t2 W   p dt B  12 B , t1 W   p K dt K  12 t1 pedig a belső, illetve a külső erők ugyanazon idő alatt végzett munkája. A pontrendszer mozgási energiájának megváltozása tehát egyenlő a rendszerre ható összes erő munkájával. Ez a pontrendszerre vonatkozó munkatétel. Az energiatétel, a belső energia Fi  n B ik  Ki i  1,2,. n k  1, k  i erőkhöz található egy olyan a sebességtől és az időtől független (csak a pontok helykoordinátáitól függő), egyértékű V  V ( r1. ri rn )  V ( x1 , y1 , z1 , xi , yi , zi , xn , yn , zn ) skaláris függvény, amelynek az i-edik tömegpont koordinátái szerint képzett negatív gradiense az Fi erővel egyenlő, azaz Fi  iV (i  1,2,3. n) akkor a pontrendszerre ható erőket konzervatívaknak nevezzük. A V skaláris függvényt, pedig a rendszer

potenciális energiájának nevezzük. Ebben az esetben a szabaderők munkája miközben a rendszer 1-es elrendeződésből a 2-es elrendezésbe megy át. n n  V V V  K B    W   W   W12 F  dr   dxi  dyi  dz     dV  V2  V1    V   i i 12 12      xi  yi  zi i  12 i 1  12 12 i 1 azaz csak a rendszer kezdő és végállapotától függ, és a potenciális energia negatív megváltozásával egyenlő. Így a munkatétel szerint T2  T1   (V2  V1 ) Minthogy a kezdeti és a végső állapotra semmiféle kikötést nem tettünk, ez azt jelenti, hogy az E teljes mechanikai energia megmarad, azaz E=T+V=const. Ez a mechanikai energia megmaradásának tétele, vagy röviden energiatétel. Kimondja, hogy a konzervatív szabad rendszer kinetikus és potenciális energiájának összege állandó. Ütközés: Az ütközés két, vagy több, egymáshoz

képest mozgó test igen rövid időtartamú találkozása, amelynek során intenzív kölcsönhatásba kerülő testek sebességei nagymértékben megváltoznak. Az ütközés részleteiben bonyolult, az ütköző testek alakján, tömegeloszlásán, felületi minőségén kívül a testek rugalmasságától és több más tényezőtől függő folyamat, azonban néhány ideális esetben egyes kérdései könnyen tárgyalhatók. Az ütközés két lényeges részfolyamatra bontható. Az első az érintkezési pillanatban (t=0), kezdődő összenyomási (kompressziós) szakasz, amelyben a testek deformálódnak, és a szakasz végét jelző * pillanatig közelednek egymáshoz. A második * -tól számított visszaállítási (restitúciós) szakasz, amikor a deformáció többé-kevésbé visszafejlődik, a testek fokozatosan távolodnak, majd a teljes ütközési folyamat végét jelző  időpillanatban elválnak egymástól. Az ütközést tökéletesen rugalmatlannak

nevezzük, ha a deformáció egyáltalán nem fejlődik vissza, azaz a * időpillanat egybeesik az ütközés végével. Teljesen rugalmas ütközésről beszélünk, ha a teljes deformáció visszafejlődik. A valóság a két idealizált határeset között van: részben rugalmas ütközés. Az ütközések leírásában fontos fogalom az ütközési normális, vagyis az ütközési síkra (ami a két ütköző test közös érintősíkja) az ütközés pontjában emelet merőleges. Ütközési sík Ütközési normális 1. 2. n Az ütközést centrálisnak nevezzük, ha az ütközési normális egybeesik a két test tömegközéppontját összekötő egyenessel, míg más esetben az ütközés excentrikus. Ha a testek sebessége az ütközés előtt az ütközési normálissal párhuzamos, akkor egyenes ütközésről, míg más esetben ferde ütközésről beszélünk. Ha az ütköző testek mechanikailag zárt rendszert alkotnak, akkor érvényes az impulzusmegmaradás

törvénye a rendszer ütközés utáni impulzusa megegyezik ütközés előttivel. Ugyancsak használható akkor is, ha az ütközéskor fellépő belső erőkhöz képest a külső erők elhanyagolhatóak. A továbbiakban mechanikailag zárt rendszer esetére szorítkozunk, és pontszerű testek ütközését vizsgáljuk. Tekintsünk most két pontszerű test ütközését: v2 v1 n v2 n v1n v v Nyilván 1n (0)> 2n (0) kell, hogy legyen, egyébként a 2-es test elfut az ütközés, elöl. A ( 0, ) időtartamban v 1 n - v 2 n >0, azaz a testek összenyomódnak egészen addig, míg a   normális sebességek egyenlőek nem lesznek. v1n (  )  v2 n (  ) Ezután a időtartamban az alakváltozás többé-kevésbé visszafejlődik, a relatív sebesség iránya  , megváltozik v 1 n - v 2 n <0, és a folyamat végén a normális sebességek különbségének nagysága: v2 n ( )  v1n ( )  v1n ( 0)  v2 n ( 0) A tapasztalat

szerint az ütközési együtthatónak nevezett: v2 n ( )  v1n ( )  v1n ( 0)  v2 n ( 0) hányados értéke (01) jó közelítéssel független az ütközés előtti sebességektől, csupán a két ütköző test anyagi minőségétől függ. Tökéletesen rugalmas ütközésnél   1 , rugalmatlannál   0 . (Acélgolyó 06 elefántcsontgolyó 09) A továbbiakban egyenes ütközésekre szorítkozunk, és feltételezzük, hogy az ütköző testek felülete sima. Ekkor az ütközési erő is normális irányú és a sebességek az ütközés után is párhuzamosak lesznek az ütközési normálissal Jelölések: v1  v1n ( 0) , v2  v2 n ( 0) , u1  v1n ( ) , u2  v2 n ( ) Az ütközést a legegyszerűbben a tömegközéppont VR-ben írhatjuk le. A fizikai mennyiségeknek ebben a rendszerben felvett értékét vesszővel jelöljük. Az impulzusmegmaradás értelmében az impulzus tömegközépponti VR-ben mindig zérus p 

 m1u1,  m 2 u 2  0 ( 1) A rendszer alap inerciarendszerbeli impulzusa az ütközés előtt: p  m1v1  m2 v2  ( m1  m2 ) vc ahonnan a tömegközépponti sebességre vc   1v1   2 v2 adódik, ahol m1 m2  1 ,  2 ,  1  2  1 m1  m2 m1  m2 az ún. relatív tömegek Az ütközés előtti és utáni sebességek az alap IR-ben. v1  vc  v1 , v2  vc  v2 , u1  vc  u1 Az összefüggésből így , u2  vc  u2 u2  u1   v1  v2  u2  u1   v1  v2  ( 2) adódik. Az (1) , (2) egyenletrendszert megoldva megkapjuk a tömegközépponti VR-beli ütközés utáni sebességeket. u1    2 ( v1  v2 ) , u2    ( v2  v1 ) ( 3) Tehát alapinerciarendszerben: u1  v c  u1  v 1(  1   2 )  v 2 ( 1   )  2 u 2  v c  u 2  v 2 (  2    1)  v 1 ( 1   )  1 Ezekből

=1 esetén a tökéletesen rugalmas, =0 esetén a tökéletesen rugalmatlan ütközésre vonatkozó összefüggések adódnak. Teljesen rugalmatlan esetben a teste sebessége ütközés után azonos lesz. u1  u2   1v1   2 v2 Az ütközésekben a mechanikai energia többé-kevésbé belső energiává alakul át. A kinetikus energia megváltozásának nagysága: 1 1 1 1 T  m1v1 2  m2 v2 2  m1u1 2  m2 u2 2 2 2 2 2 Ez az energia jelenik meg a belső energia formájában az ütközés végén. Természetesen ez akár a tömegközépponti VR-ben akár eredeti IR-ben ugyanannyi. A v1  v1  vc  v1  (  1v1   2 v2 )   2 ( v1  v2 ) v2  v2  vc  v2  (  1v1   2 v2 )   1( v2  v1 ) összefüggések és (3) felhasználásával kapjuk, hogy: T  1  (1   2 )( v1  v2 ) 2 2 ahol a m1m2 m1  m2 tömegdimenziójú mennyiséget a két tömegpontból álló rendszer

redukált tömegének nevezzük. Rugalmas ütközéskor tehát a rendszer kinetikus energiája megmarad A legnagyobb energiaveszteség rugalmatlan ütközéskor lép fel.  Rakéták: A rakétát a magával vitt tüzelőanyag elégetésével keletkező forró gázok nagy sebességű kiáramlásakor fellépő reakcióerő hajtja előre. A tüzelőanyag elégetéséhez szükséges oxigént és a rakéta magával viszi, ezért légüres térben is működik. A rakéta tehát sugárhajtású, meghajtásában a környező közegtől független repülőeszköz. Ha a rakétát és a gázsugár alakjában kiáramló tömeget pontrendszernek tekintjük, akkor tömegpontrendszerek impulzustétele alapján könnyen felírhatjuk a rakéta mozgásegyenletét. v ( t  t ) v (t ) m(t)  u m(t  t ) m Ha a t időpillanatban a rakéta tömege az üzemanyaggal együtt m(t) sebessége a  IR-ben v t  ,akkor a rakéta  -beli impulzusa: p ( t )  m( t ) v (

t )  ( mv ) t (1) Feltételezésünk szerint a gáz u  sebességgel áramlik ki a rakéta fúvókáiból. Tehát a gáz Kbeli sebesség: u  v  u A rakétából és a t időtartam alatt kilövellt   m tömegű gázból álló rendszer impulzusa a t   t időpillanatban. p ( t   t )  m ( t   t ) v ( t   t )   m u  ( m v ) t  t   m u1 (2) Ahol u a gáz sebességének a t időtartamra számított átlagértéke. Képezzük (2) és az (1) egyenlet különbségét, osszuk el a kapott egyenlet mindkét oldalát t -vel, majd vegyük e különbségi hányados határértékét midőn t0 lim p (t  t )  p (t ) t  0 t  lim t  0 ( m v ) t  t  ( m v ) t t  m   lim  u  t  0  t Ez az egyenlet, figyelembe véve, hogy lim u  u ( t ) t  0 , u  v  u a dp dv dm  m  u dt dt dt alakba írható. Minthogy a

pontrendszerre vonatkozó impulzustétel szerint a pontrendszer impulzusának idő szerinti első deriváltja egyenlő a pontrendszerre ható külső erők összegével, azaz: dp  dt a rakéta mozgásegyenlete: dv dm m  u  dt dt Itt a rakétára ható  külső erő (rendszerint a gravitációs erő és a légellenállás eredője), az időegység alatt kilövellt   dm / dt tömeg és az u  kiáramlási sebesség általában adott mennyiségeknek, ill. függvényeknek tekinthetők Az u dm dt mennyiséget a rakétahajtómű tolóerejének nevezzük. A tolóerő tehát arányos a rakéta időegységre eső tömegveszteségével és a tömeg rakétához viszonyított kiáramlási sebességével. A következőkben egyenes vonalú mozgásra szorítkozunk, és feltesszük, hogy a kiáramló gáznak a rakétához viszonyított sebessége állandó. Foglalkozzunk egyenlőre azzal az esettel, amikor a külső erőktől eltekintünk. Ha a  a

koordináta-rendszerünk x tengelye a rakéta sebességének irányába mutat, akkor a rakéta sebessége v  vi a gáz kiáramlási sebessége pedig u    u i . Így a rakétaegyenlet az dv dm m   u dt dt alakot ölti. Ha feltesszük, hogy a rakéta az indulásnál (t=0) nyugalomban van v(0)=0, és m(0)=m0 tömegű, akkor v(t ) m( t ) dm  dv   u  0 m m 0 azaz v ( t )  u ln m0 m( t ) ( 4) A rakéta elméletileg elérhető legnagyobb sebessége m vmax  u ln 0 mv , ahol az mv a rakéta végpontbeli tömege. A rakéta végsebessége tehát lineárisan nő az u kiáramlási sebességgel, logarimikusan az m0 / mv tömegaránnyal és nem függ a tömegkidobás időbeli lefolyásától. A (4) egyenlet a rakétamozgás Ciolkovszkij-féle egyenletének nevezzük Tanulmányozzuk most egy olyan rakéta mozgását, amely homogén nehézségi erőtérben függőlegesen felfelé mozog. Ha a koordináta-rendszer z tengelyét

függőlegesen felfelé irányulónak választjuk, akkor    mgk v  vk u    u k tehát a rakéta mozgásegyenlete: dv dm m   mg  u  dt dt ami a dv d (ln m)   g  u dt dt alakba írható. Innen integrálással azt kapjuk, hogy a rakéta sebessége: m v ( t )   gt  u ln 0 (5) mt Az elérhető maximális sebességet úgy kapjuk, hogy t helyére a teljes üzemanyag tv elégetési idejét m (t) helyére, pedig az üzemanyag nélküli mv rakétatömeget helyettesítjük. m vmax   gtv  u, ln o mv vmax annál nagyobb, minél kisebb az tv elégetési idő, minél nagyobb a u sebesség és az m0/mv tömegarány. Ha feltételezzük, hogy   dm / dt is állandó, és így m( t )  mo   t , akkor (5) szerint a 0  t  ( mo  mv ) /  időtartamban. v ( t )   gt  u ln m0 m0   t így az emelkedési magasság. 1 um0         z ( t )   gt 2  t  ln

1  t  t  1  2   m0   m0  m0  A t v  m0  mv  /  égési időnek megfelelő z(tv) magasságtól a rakéta úgy viselkedik, mint a vmax kezdősebességgel függőlegesen felfelé hajított test. Így könnyen kiszámolható az a maximális magasság, amelyet a rakéta elérhet. Mivel műszaki okok miatt a u relatív sebesség és az m0/mv tömegarány, növelése korlátozott, a rakéta maximális sebessége és az elérhető legnagyobb magasság is csak bizonyos határokig növelhető. A nagyobb sebességek és magasságok eléréséhez többlépcsős rakétákat alkalmaznak. Ezek több egymásra épített, felfelé lényegesen csökkenő tömegű rakétából állnak. Először a legnagyobb rakétát üzemeltetik, amikor annak üzemanyaga elfogyott, az első lépcső leválik, és működésbe lép a második rakéta. Ennek kezdeti sebessége az első fokozattal elért v1max sebesség Üzemanyagának elégése után ez is

leválik, és beindul a harmadik rakéta v2max kezdeti sebességgel, amely a kiégés után szintén leesik, és így tovább. Többlépcsős rakétával sikerült olyan sebességeket elérni, amelyek a mesterséges égitestek felbocsátásához szükségesek. Ha az egyes fokozatok tömegét az üzemanyaggal együtt mi-vel, a kiégés utáni tömeget mivvel jelöljük, továbbá, ha u minden lépcsőre ugyanakkora, akkor egy háromfokozatú rakétával erőmentes térbe elérhető legnagyobb sebesség.  m  m2  m3 m2  m3 m3  v3 max  u ln 1     m1v  m2  m3 m2 v  m3 m3v  A zárójelben álló mennyiséget a háromfokozatú rakéta effektív tömegarányának nevezzük. Előadás VI. 2004-10-26 Merev test Az olyan testet, melynek pontjai egymáshoz való távolságukat minden körülmény között ill. a tárgyalt mozgásnál változatlanul megtartják, merev testnek nevezzük. Elemi mozgásai: forgó : haladó Haladó mozgás:

(transzlációs): A merev test minden pontjának nagysága és iránya azonos a sebességgel.(pl óriáskerék kabinjai és ilyet végeznek, noha az egyes körpályán mozognak) Forgó mozgás (rotáció) -ról beszélünk: Ha van a merev testben egy egyenes (forgástengely), ami pillanatnyilag nyugalomban van. A test tetszőleges P pályasebessége v    , ahol a  a pont tengelytől mért távolsága,  pedig a szögsebesség, ami a merev test egészére jellemző mennyiség. A sebesség iránya merőleges a ZP rádiuszra és a forgástengelyre is. ef – forgástengely egységvektora ef Z v v >0, ha  a forgástengely irányával szembe nézve <0, ha  a forgástengely irányával szembe nézve Csavarmozgás: A haladó és a forgó mozgás szuperpozíciója. Merev test síkforgása: e Olyan forgó mozgás, melynek során a forgástengely nem fordul el az adott VR-ben, az ( f időben állandó). A test bármely pontjának pályája

síkgörbe, amely a tengelyre merőleges síkban fekszik. Pl kerék csúszás nélkül gördül le a lejtőn A forgástengely azaz alkotó, amely a talajjal érintkezik, azaz a forgástengely a testben vándorol, és persze az IR-ben is. Az IRben egyetlen körpályán mozgó pont nincs, mind ciklois Síkforgást végző test kinetikus energiája: Láttuk, hogy az IR-beli és a tömegponti VR-beli kinetikus energia (T) a következő kapcsolatban áll: 1 T  T   mv02 2 Tömegközépponti tengely: A tömegközépponton c- tömegközépponti tengely f- forgástengely  d átmenő, forgástengellyel egyirányú tengely. A tömegközépponti VR-ben C áll, síkforgáskor c tengely iránya nem változhat, tehát tömegközépponti rendszerhez c a forgástengely. Forgástengellyel párhuzamos. Cx merev test egy pontja A tömegközépponti VR-beli pályasebesség: v    2 2 1 2 2   dm     2  sdV T    v  dm   2 2 2

V  s  sűrűség Az integrálok a merev test teljes térfogatára terjed ki. Tengelyre vett (axiális) tehetetlenségi nyomaték: Az m tömegű pontnak az a tengelyre vett tehetelenségi nyomatéka, a pont tömegének és a tengelytől mért  távolság négyzetének szorzatát értjük. Additív mennyiség Így  2 dm  J c az egész merev test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponti tengelyre. 2 1 1 1   2 dm  I c 2 , T  I c 2  mvc2 T   2 2 2 2 Síkforgást végző merev test perdülete: dm-nek az O pontra számított perdülete e dL0  r  vdm ez v dLz  ez dL0  ez ( r  v ) dm  e Z d r O A Z tengelyre számított perdület az O pontra számított perdület Z koordinátája (skalármennyiség) A vegyesszorzatot megadó determinánst hengerkoordinátákban írjuk fel. A vegyesszorzatot megadó determinánst hengerkoordinátákban írjuk fel. 0 0 1 ez  ( r  v )   v 0 v

z   v  dLz   v dm vz A merev test forgástengelyére vett perdület. Ha Z forgástengely, akkor v  vz  0 , v   Lf    v dm     dm     2 2 dm  J f  Jf- tehetetlenségi nyomaték Tömegközépponti tengelyre vett nyomaték:  C S Cx  d    Fs    Lc   vdm     cos dm    dm    dm  Fdm  2dm Fs  dm Lc  Jc s Js  r’dm = 0 a tömegközépponti rendszer definíciója  cs dm=0 két merőleges vektor összege csakis akkor 0, ha külön-külön is 0. 0 A tömegközépponti tengelyre (c) vett és egy vele párhuzamos másik tengelyre (n) vett tehetetlenségi nyomaték közötti kapcsolat: a c y Olyan koordináta rendszert veszünk fel, amelynek z tengelye párhuzamos a c és az a tengellyel. x   y l A C C x A l J c

   12 dm   ( x 2  y 2 )dm    l2m  J a    2 dm    x  l   y 2 dm    x 2  y 2 dm  2l  xdm   l 2 dm 2 Jc 0,mert  dm  0  xdm  0 / r J a  J c  ml 2 (Steiner tétel) Az összes párhuzamos tengely körül a tömegközépponti tengelyre a legkisebb a tehetetlenségi nyomaték. Perdülettétel síkforgást végző merev testre: A pontrendszerre vonatkozó perdülettétel: L A  M A  mv A  vc 1, Az A pont a forgástengelyen van: vA  0 . Ekkor L A  M A / e f és vesszük az L f  LA  e f M f  M A  ef , dL f dLA de   e f  LA  f dt dt dt dL f dt  M f jelöléseket. 0, mert síkforgásról van szó  d dt J f    M f Rögzített tengely körüli forgás esetén Jf állandó, mert a test merevsége miatt a pontok forgástengelytől mért távolsága nem változik. J f   M f , Jf  M f , 

  a szöggyorsulás 2, Az A pont egybeesik a test tömegközéppontjával és v A  vc Ekkor: Lc  M c / e f és vezessük be az Lc  Lc  e f , M c  M c  e f jelöléseket dLc d  M c   J c   M c dt dt Mivel a merev testben a tömegközéppont helye nem változhat és síkforgásról lévén szó, a tömegközépponti tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték állandó. Így: J c    M c , J c   M c ,    a szöggyorsulás. Hőtan (A van der Waals kölcsönhatás) Kohézió: Azonos alkotórészekből (molekulákból) felépülő testek alkotórészei között kölcsönhatás (A kohéziós erők tartják össze a szilárd testeket és a folyadékokat). Adhézió: Különböző molekulák közötti kölcsönhatás. Pl: kapillárisban a víz " felmászik" A van der A van der Waals erők: A lezárt elektronhéjakkal jellemzett molekulák között működő erők. Kis távolságokon taszító, nagyobb

távolságokon vonzó jellegűek. (Pl rúd összenyomásakor egyre nagyobb erő kell, mert összenyomáskor a részecskék egyensúlyi távolságuknál közelebb kerülnek, és taszítják egymást. Húzásnál a részecskék egyensúlyi távolságuknál távolabb kerülnek, ezért vonzzák egymást. er Fr r F molekula r0 r A van der Waals erők centrálisak. Ha Fr  F  er  0 akkor az erőt taszítónak, Fr  F  er  0 akkor vonzónak nevezzük. Azt a távolságot, amelyen belül a van der Waals -kölcsönhatás még fellép, a van der Waalskölcsönhatás ható távolságának, nevezzük. Nagyságrendje 10-8 mm két nagyságrenddel nagyobb a molekula méreténél. dV Fr   . dV   Fr dr dr , megállapodás szerint a van der Waals energiát a végtelenben, vesszük zérusnak.   r0 ; dr  0 , Fr  0  dV  0 r0  0 ; dr  0 , Fr  0  dV  0 Az egyensúlyi helyzetet a helyzeti energia minimuma jellemzi (a van der Waals energia,

akkor >0, ha a két részecske nagyon közel van egymáshoz, ami technikailag kivitelezhetetlen) . Láttuk, hogy egy pontrendszer kinetikus energiája: 1 T  mvc2  T  2 azaz a rendezett mozgás kinetikus energiájának és a rendezetlen (a tömegközépponti vonatkoztatási rendszerbeli) mozgás kinetikus energiájának összege. Pl Ha egy gázpalackot viszünk, akkor az első tag azzal kapcsolatos, hogy gázpalack (és a benne a gáz) mozog az alapincerciarendszerhez képest, míg a második tag azzal függ össze, hogy a gázmolekulák mozognak a tömegközépponti vonatkoztatási rendszerhez (a gázpalackhoz) képest. Belső energia: A belső energia magába foglalja a sokelemű anyaghalmaz rendezetlen mozgásához tartozó kinetikus energiát, és a molekulák közötti van der Waals kölcsönhatáshoz tartozó potenciális energiát is. A rendezett mozgás kinetikus energiája és a külső mezőkkel való kölcsönhatásból származó energia nem tartozik a belső

energiához. A kinetikus gázelmélet elemei: A kinetikus gázelmélet a gázok makroszkopikus termodinamikai tulajdonságait a molekulák mozgásából a nagy számú részecskére vonatkozó elemi statisztikai megoldásokkal vezeti le. A statisztikus módszer használatát az teszi lehetővé, hogy a makroszkopikus rendszer elemeinek folytonos kölcsönhatásai révén a folyamatosan váltózó mikrofizikai jellemzők statisztikus törvényeket követve kiátlagolódnak, és átlaguk meghatározza a makroszkopikus paraméterek mérhető értékét. A kinetikus gázelméletet Maxwell és Boltzmann alapozta meg a XIX. Század második harmadában Továbbfejlesztett formája a statisztikus fizika, amely axiómákból kiindulva a kinetikus elméletnél szélesebb körben alkalmazható és általánosabb eredményekre vezet. Határozzuk meg először egy diszkrét (nem folytonos) értékkészletű fizikai mennyiség átlagértékét. Legyen az X fizikai mennyiség megengedett diszkrét

értéksorozata Xi (i=1,2,.n), és jelölje Ni (i=1,2,n) a rendszer azon részecskéinek a számát amelyekre a szóban forgó fizikai mennyiség értéke Xi , továbbá legyen n N   Ni i 1 a rendszer összes részecskéinek a száma. Ekkor a X fizikai mennyiség <X> átlagértéke (halmazátlaga). n  X   i 1 n n XiNi N i 1  X i 1 i Ni N i Ha X folytonos értékkészletű mennyiség, akkor úgy járhatunk el, hogy X lehetséges értéktartományát felosztjuk elegendően kicsiny intervallumokra, amelyeken belül X értékét állandónak tekintjük. A fenti képlet mintájára így: n  X   X N i 1 n i N i 1 i   n i 1 X i N i N i Ahol N i azon részecskék száma, amelyekre X értéke az X i , X i  X i által meghatározott intervallumba esik. Ha az intervallumokra való osztást minden határon túl finomítjuk, akkor az átlagérték nyilvánvalóan:  X 

 xdN  dN   xdN N A kinetikus gázelmélet alapfeltevései: 1. A gáz molekulái egyformák, és pontszerűek ( a gáz tehát egynemű, és a molekulák saját térfogata jóval kisebb, mint az edény térfogatának egy molekulára jutó része. 2. A gáz elég ritka, így a rendszert alkotó tömegpontok kizárólag tökéletesen rugalmasnak tekinthető, ütközéseik során hatnak kölcsön egymásra és az edény falával, továbbá a molekulák egymással, sokkal ritkábban ütköznek, mint az edény falával. A molekuláris kölcsönhatások rövid hatótávolságából következik, hogy elég kis sűrűségű gázban a molekulák közötti kölcsönhatás átlagos energiája a kinetikus energiákhoz képest elhanyagolható, így a gáz belső energiájához ne járul hozzá. Azt hogy a molekuláris ütközések rugalmasak, a molekulák haladó mozgásának átlagos kinetikus energiája nem csökken, az bizonyítja, hogy a Braun-mozgás élénksége időben nem

változik. 3. A részecskék mozgása egymástól független és véletlenszerű Ha nincs külső erőtér, akkor mivel nincs kitüntetett irány, ebből a feltevésből következik, hogy a rendszert alkotó részecskék minden mozgási iránya egyformán valószínű. 4. A részecskék N száma a vizsgált V térfogatban elegendően nagy ahhoz, hogy statisztikus módszereket alkalmazzunk. Ezek a feltevések igen primitív gázmodellt körvonalaznak. Ezért is meglepő, hogy a kinetikus gázelmélet keretében levezetett összefüggések jól egyeznek a statisztikus fizika eredményeivel. A gáz nyomásának mikrofizikai értelmezése: A nyomása a molekuláris ütközések eredménye. A nyomás a gázt alkotó részecskék összességének a fallal való ütközései során a falnak időegység alatt átadott impulzust (ez a falra hatóerő) és a fal felületének hányadosa adja. A kinetikus gázelmélet alapfeltevéseit kihasználva megadhatjuk a mozgás mikrofizikai jelentését.

Tekintsük egy olyan hengeres gáztartályt, amelynek alapterülete A, hossza l, és vegyük fel koordináta rendszerünk x tengelyét a tartály alaplapjára merőlegesen v c c  vx v A c x m0 l Az ábrán egy részecskének a fallal való ütközését is szemléltettük. Minthogy az ütközés teljesen rugalmas, (2) és a fal tömege vagy a –c x irányú sebességkoordinátáival érkező m0 tömegű molekula c x irányú sebességgel pattan vissza a falról, azaz egy molekula impulzusváltozása az ütközéskor: px  m0c  m0 (  c)  2m0c ELŐADÁS VII 2004-11-09 Feltettük, hogy a molekulák egymással történő ütközése elhanyagolhatóan ritka a fallal való ütközéshez képest (2), így az az idő, amely alatt a molekula x koordinátája és vx sebességkoordinátája is visszaáll az eredeti értékre. 2l t  c Et időközben minden c sebességű molekula pontosan egyszer ütközik a bal oldali fallal. Legyen  c azon

molekulák száma a tartályban, amelyek sebessége olyan, hogy vx  c Nyílván, ha c   , akkor   N c c  dc vx <---- sebességcella A (c,c+dc) intervallumot sebességcellának nevezzük. A jelzett sebességcellába eső molekulák száma:   ( c)  c  dc   ( c)   ( c)    ( c) dc  ( dc) 2 . ( c) 2 Mivel a sebességcella kicsi: lineáris közelítéssel beérjük: d   ( c) dc A kijelölt sebességcellában lévő molekulák a t időtartam alatt 2m0cd impulzusváltozást szenvednek. Az erőaxióma értelmében ezt az impulzusváltozást elosztva az idővel, amely alatt létrejött, megkapjuk azt az erőt, amelyet a sebességcellában lévő molekulák gyakorolnak a falra. 2m0cd 2m0cd m0c2 d   dF  2l / c l t Az A felületű falra ható teljes erőt úgy számítjuk ki, hogy az egyes sebességcellákhoz tartozó részerőket összegezzük, vagyis dF-et c szerint 0 

integráljuk.   m0 2 m0 2 F c d  c   ( c) dc l 0 l 0 A falra kifejtett nyomás: F N p   m0  c2  A V hiszen A*l=V és az x irányú sebesség négyzetének halmazátlaga.   1 2 1 2 2  c   c d   c   ( c) dc N 0 N 0 Figyelembe véve, hogy az x irányú mozgáshoz tartozó átlagos kinetikus energia, 1   x  m0  c2  2 továbbá nem feledve, hogy a mozgás teljes rendezetlensége miatt a részecskék minden iránya egyformán valószínű (harmadik feltevés), tehát az x,y,z irányú mozgás energiája átlagban egyenlő, azaz   x   y   z  és így az egy molekulára jutó mozgási energia     x     y     z  3     a nyomásra a 2N   3V képlet adódik. A nyomás tehát annál nagyobb, minél több részecske van az adott térfogatban és minél nagyobb az egy részecskére átlagosan jutó mozgási

energia. p A belső energia: A vizsgált V térfogatban N számú részecske van, így a rendszer belső energiája ( 2. pont) 3 pV 3 E  N    N  pV 2 N 2 Állapotjelzők: A sokelemű anyaghalmaz állapotának leírására alkalmas, makrofizika műszerekkel mérhető mennyiségek. Az állapotjelzők függvényei szintén állapotjelzők Azaz az állapotjelzők viselkedésük szerint két csoportra oszthatók: 1, extenzív mennyiségek (szubsztanciák) 2, intenzív mennyiségek (intenzitás paraméterek) Az osztályozás bevezetése céljából osszuk a sokelemű anyaghalmazt (rendszert) j makroszkopikus részre. Nyilvánvaló, hogy a rendszer teljes térfogata egyenlő az egyes rendszerek V(j) térfogatainak összegével : V  V ( j ) . Azokat a mennyiségeket, amelyek a rendszer részrendszerekre való felosztásakor a térfogathoz hasonlóan viselkednek, extenzív mennyiségeknek nevezzük. (Pl térfogat, tömeg, impulzus, belső energia, töltés). Az

extenzív mennyiségek geometriai tartományon vannak értelmezve, tehát nem pontra, hanem térfogatra additívak. Egy rendszer akkor homogén, ha bármely részekre osztás esetén bármely Y extenzív mennyiségre Y / V  Y ( j) / V ( j) . A homogén testeknek vannak olyan tulajdonságaik, amelyeknek értéke a részre és az egészre ugyanaz. Ezek az intenzív mennyiségek Intenzív mennyiségek Pl homogén rendszerekben az extenzív mennyiségek sűrűségei (~ y  Y /V ) a fajlagos extenzív mennyiségek (Y/M) és a moláris extenzív mennyiségek, (Y/n). Az Y extenzív mennyiség lokális sűrűsége az r pontban akkor létezik, ha az r pontot körülfogó, egyre csökkenő, de mindvégig elegendően sok mikrorészecskét tartalmaz V(j) térfogatelemekre az ~ Y ( j ) / V ( j ) hányados meghatározott y ( r , t ) határértékhez tart. Az intenzív mennyiségek pontról-pontra értelmezhetők (Pl. nyomás, sűrűség, hőmérséklet) Az intenzívek kiegyenlítődnek.

Termikus egyensúly: Az intenzitásparaméterek nem homogén eloszlása megindítja az extenzív mennyiségek áramlását (transzportját) és a transzport akkor áll le, ha az intenzív mennyiségek a testbe kiegyenlítődtek, vagyis homogénné vált az eloszlásuk. Ekkor beszélünk termikus egyensúlyról. A hőtan I. főtétele: A sokelemű anyaghalmaz környezete a világnak ezen anyaghalmazon kívüli része. Az energia-megmaradás elvének értelmében a sokelemű anyaghalmaz energiaváltozásának ellentetten egyenlő környezetének energiaváltozásával. Energiaközlés lehetséges: - rendezett mozgás révén, azaz munkavégzéssel W, (makroszkopikus) Pl. a dugattyút lenyomjuk. - rendezetlen mozgás révén, azaz hőközléssel Pl. tartályt melegítjük sütőben A hőközlés útján átadott energiát hőnek nevezzük. Jele: Q Az első főtétel integrálos alakja: E  Q  W A sokelemű anyaghalmaz (rendszer) energiájának megváltozása egyenlő a

környezet által a halmazzal közölt hő és a környezet által a halmazon végzett munka összegével. (Q pozitív, ha a rendszer nyer, a környezet veszít) A hőtanban többnyire az olyan folyamatokat vizsgáljuk, amelyben a halmaz energiái közül csak a belső energia változik. Ilyenkor tehát a E  n a belső energia változását értjük Kvázisztatikus folyamat: Egymáshoz igen közeli egyensúlyi állapotokon Következésképp ezek a folyamatok igen lassúak. A kvázisztatikus térfogati munka. A P át végbemenő állapotváltozás. F=pA a dugattyú által gázra kifejtett erő. A kicsiny kvázisztatikus állapotváltozás során a környezet a gázon:  W  Fds  pAds   pdV munkát végez. Ads   dV F=pA ds A gáz munkája a környezeten:  W   W  pdV (az erők ellentétes irányúak). Mind a gáz, mind, pedig a környezet munkát végez, de az egyik pozitívat, a másik negatívat. Integrálással: P b V2 W    p(V

) dV  12 V1 V2 W  12    p(V )dV 1 2 a V1 V  (b)  W ( a ) W12 12 A munkavégzés és a hő nem pusztán a kezdő és a végállapottól függ, hanem a kezdeti állapotból a végállapotba vezető változás módjától is. Ezek a mennyiségek a folyamatjelzők A folyamatjelzők nem tekinthetők valamilyen állapotjelző megváltozásának!!! A  W elemi munka (  Q elemi közölt hő) nem teljes differenciál : nincs olyan csak a p nyomástól és a V térfogattól függő függvény, amelynek az elemi munka (elemi közölt hő) teljes differenciálja lesz. Az első főtétel elemi folyamatra: dE   Q   W Elemi munka NEM munkaváltozás, NEM teljes differenciál Az energia linearizált megváltozása teljes differenciál Elemi közölt hő NEM HŐVÁLTOZÁS, NEM teljes differenciál A Boltzmann statisztika: (Ludwig Boltzmann 1844-1906) Amikor a sokelemű anyaghalmazt az állapotjelzőkkel írjuk le, akkor

makroállapotot adunk meg. A sokelemű anyaghalmaz részletes, elemről elemre leírt, egyenlően valószínű állapotait mikroeloszlásnak nevezzük. Egy makroállapothoz nagyon sok mikroeloszlás tartozik, és a makroállapot egyik fizikai jellemzője, hogy hány mikroeloszlás valósítható meg. Egy makroállapot statisztikus súlyán, vagy termodinamikai valószínűségén a hozzá tartozó mikroeloszlások számát értjük. Y A Boltzmann statisztika alapfeltevései: Térfogatcella: a geometriai térnek az alábbi képletekkel leírt intervalluma. (x , x+dx) (y , y+dy) dV=dxdydz dV: térfogat (z , z+dz) z Impulzuscella: a vázolt impulzuscella az impulzustér dy Pz geometriai tér dz  px , px  dpx  p , p dpy y dpz y  dpy   pz , pz  dpz  dV  dpx dpy dpz dx dpx Az impulzuscella térfogata=dU x y Px Py Egy halmazelem mechanikai állapotát úgy adjuk meg, hogy megadjuk melyik térfogat ill. melyik impulzuscellában, foglal helyet.

A leírás annál pontosabb, minél kisebbek a cellaméretek. Fázistér: Az a 6 dimenziós tér, amelyek koordinátái: x,y,z,Px,Py,Pz Fáziscella: A fázistér egy kicsiny intervalluma, amelyet az x , x  dx  y , y  dy z, z  dz d  dVdU A fáziscella térfogata  px , px  dpx  p y , p y  dp y   pz , pz  dpz  Egydimenziós intervallumok együttesen határoznak meg. Alapfeltevések: I. Az anyaghalmaz elemi egymástól megkülönböztethetők (minden egyes molekula más sorszámot visel). II. A fáziscella méretei tetszés szerinti kicsinyre választhatók III. Egy fáziscellába tetszőleges számú halmazelem lehet Lássunk egy példát: A halmazelem száma: N A fáziscellák száma: n A betöltési számok: Ni (i=1,.n) n N i N i 1 A betöltési szám megadja, hogy az i-edik cellába hány halmazelem foglal helyet. A makroállapotot a betöltési számok egyértelműen meghatározzák. Példánkban legyen

N=9, n=3, Valójában N,n óriási számok N1 ( 9 , N2 N3 0 , 0 ) ( 2 , 3 , 4 ) ( 3 , 3 , 3) Két mikroeloszlás az adott makroállapotra. A makroállapot statisztikus súlya a hozzá tartozó mikroeloszlások száma. Y (9,0,0)=1  9   7 9! 7! 9!    1260 Y ( 2 , 3 ,4 )        2   3 ( 9  2) ! 2 ! ( 7  3) ! 3 ! 2 ! 3 ! 4 ! n elemből elemet kiválasztani:  n n!     k ( n  k) ! k ! ) ! !  9   6 9! 6! 9!    1680 Y ( 3 , 3 ,3 )        3   3 ( 9  3) ! 3 ! ( 6  3) ! 3 ! 3 ! 3 ! 3 ! Szabály: Y( Ni )  N! N 1 ! N 2 !. N n ! az állapotok közül a legrendezettebb : 1. a legredezetlenebb: 3. A statisztikus súly a makroállapot rendezetlenségének mértéke. (minél nagyobb a rendezetlenség, annál nagyobb a statisztikus súly) A statisztikus súly, bár tartományokban értelmezett, de nem additív, hanem multiplikatív

(összeszorzódó) mennyiség, következésképp sem az extenzív sem az intenzív állapotjelzők közé nem sorolható. Legyen A és B sokelemű anyaghalmaz egy bizonyos makroállapotban. Az A halmaz ezen állapotához tartozó statisztikus súly legyen YA, a B halmazé, pedig YB. Az A+B egyesített halmaz statisztikus súlya YA+B=YA*YB , mert az egyesített halmaz egy mikroeloszlását úgy kapjuk, hogy az A halmaz valamely mikroeloszlásához kiválasztjuk a B halmaz egy tetszőleges mikroeloszlását. Így k ln YA B  k ln YA  k ln YB A statisztikus súly logaritmusával arányos mennyiség már extenzív állapotjelző, mert az követi az additivitás törvényét. Ezért a rendezetlenség mértékéül az S  k ln Y mennyiséget választjuk, és ezt entrópiának nevezzük. k csak pozitív állandó lehet (Egyenlőre határozatlan, neve a Boltzmann-álladó) Az első főtétel: (energiatétel) a termikus folyamatok leírásához nyilván kevés, szükséges egy olyan

további elv, amely kijelöli a természeti folyamatok irányát. Tekintsük az alábbi kísérletet: légüres tér brómgőz hőszigetelt 1. állapot rendezettebb 2.állapot rendezetlenebb A rendezetlenség nőtt, azaz az entrópia nőtt. S>0 Br (bróm): hőmérsékleten folyékony, könnyen párolgó, vörösbarna, mérgező nemfémes halogén gáz. (kétatomos molekulákból áll) Ha most eltávolítjuk a hőszigetelést és a baloldali tartályt, lehűtjük, a jobb oldalit, pedig felmelegítjük, akkor a brómgőz a baloldalon megsűrűsödik, jobb oldalon, pedig megritkul, vagyis a halmaz rendezettebbé válik, az entrópia csökken. Következésképp az entrópianövekedés törvénye, csak a hőszigetelt rendszerre mondható ki. II. A hőtan főtétele: Hőszigetelt sokelemű anyaghalmazban kizárólag olyan folyamat mehet végbe, amelynek során a halmaz rendezetlenebbé válik, vagyis entrópiája nő. Ha az entrópia elérte a maximumát, akkor a folyamat

lezárul, beáll a termikus egyensúly. A hőmérséklet: Sokelemű anyaghalmazok termikus párkölcsönhatását vizsgáljuk. dE R R hőszigetelő merev fal Ahhoz aa halmazhoz akarjuk a magasabb hőmérséklet értéket rendelni, amely a párkölcsönhatásban energiát ad le. T>T 1/T>1/T hővezető merev fal A hőtan két főtételét alkalmazzuk az energia átadási folyamatra. I. főtétel: dE+dE=0 (mert az egész rendszer a környezettől sem munkát sem hőt nem kap) II. főtétel: dS+dS>0 (mert a rendszer hőszigetelt) Az entrópiát E és V függvényében adjuk Meg  S  S  S  S ( E ,V )  dS    dE    dV   E V  V  E mert a térfogat nem változhat. 0   S    S  S  S ( E ,V )  dS    dE   dV   E  V  V  E 0 S   S    dE    dE  0   E V   E  V dE   dE   S   

S       E V   E  V dE  0 S     E V mennyiséget fogjuk reciprok hőmérsékletnek tekinteni, mert ez arra a rendszerre A nagyobb, amelyik energiát vesz fel a párkölcsönhatáskor. Hőmérséklet: megadja, hogy állandó térfogaton egységnyi entrópiaváltozáshoz mekkora energiaváltozás szükséges.  E T     S V Zárt halmaz egyensúlyi eloszlása (Boltzmann-eloszlás). Célunk, hogy a termodinamika főtételeiből kiindulva meghatározzuk a részecskék energiaeloszlását. A rendszer zárt, azaz vele a környezet sem hőt nem közöl, rajta munkát nem végez, így az I. főtétel értelmében a belső energiája állandó E=állandó  dE=0 Mivel a rendszer zárt, a II. főtétel szerint dS>0 Az egyensúlyt az entrópia maximuma jelöli ki, vagyis egyensúlyban: dS=0 A rendszer zárt, így a részecskék száma állandó: N=állandó dN=0 Legyen: n: a cellák száma Ni: a

betöltési számok (az i-edik fáziscellába eső halmazelemeinek száma)  i : az i-edik fáziscellában egy halmazelem energiája Ekkor: n N   Ni i 1 n n i 1 i 1 , dN   dN i  0 , E    i N i n dE    i N i  0 i 1 Láttuk, hogy a makroállapot statisztikus súlya: N! N 1 ! N 2 !. N i ! N n ! Az egyensúlyi munkaállapotot az jellemzi, hogy a hozzá tartozó mikroeloszlások száma maximális. n   S  k ln Y  k ln N !  ln N i ! i 1   Y Nagy számok faktoriálisának kiszámítására használatos az un. Stirling közelítés N N N 1 N ln( N !)  ln(1  2. N )  ln(1)  ln(2) ln( N )   ln(i )   1  ln( x )dx   x ln( x )1   x  dx  N ln N  ( N  1)  N ln N  N  1 x i 1 1 1 a+1-et a végéről elhagyjuk, mert N>>1 Így: N  N ln N !  N (ln N  1)  N (ln N  ln e)  N ln  ln   e e A

Stirling formula felhasználásával az entrópia képlete: n   S  k ln N !  ln N !  i 1   n   k  N ln N  N    N i ln N i  N i   i 1   N  N  N!    e N n   N  N  k N ln N  N i ln N i    i  i 1 i 1   n     n n 1 1  dS  k dN ln N  N dN   dN i ln N i   N i dN i  N Ni n   i 1 i 1   dN i  dN  0 i 1   n  n dS   k  dN i ln N i     ln( N i )dN i  0 i 1 i 1 egyensúlyban dS  0   N i (i  1,2,3. n) eloszlást Olyan maximuma van, azaz keresünk, n  ln( N ) dN i 1 i i  0 amelynél S ( N1 , N 2 ,. N n ) függvénynek * miközben a n  i 1 dN i  0 , n   dN i 1 i i  0 * ún. mellékfeltételeknek is teljesülniük kell A feladat tehát többváltozós függvény feltételes szélsőérték

keresése. A feladatokat az ún Lagrange-multiplikátoros módszerrel oldjuk meg úgy, hogy a szélsőérték számítása során két új változót (ún. Lagrange-multiplikátorokat) vezetünk be, amelyek értékét szintén meghatározzuk. *-hoz adjuk hozzá később meghatározandó const-sal (-val, -val) szorozva a két mellékfeltételt (*) n  (ln N i       i ) dN i  0 i 1 minthogy a dN i  k tetszőlegesek, ez az egyenlet csak akkor lehet igaz, ha ln N i     i  0 (i  1,2. n) innen n n e   i e   i Ni   , mivel  N i  N     N e i 1 i 1 e Bevezetve: n Z   e   i i 1 az ún. állapotösszeget, a fenti egyenlet így szól: Z N e azaz Z e  N Ezzel: Ne   i Ni  Z Az összenergia: N   i  ln Z N n N z   i E   i Ni   i       e e N  i Z  Z  Z  i 1 i 1

i  1   n n z ez   Az entrópia: n   S  k  N ln N   N i ln N i  i 1   képletébe behelyettesítve az Ne   i Ni  Z képlet: n   Ne  i S  k  N ln N   (ln N  ln Z   i )  Z i 1  