Elektronika | Felsőoktatás » Elektromosságtan tételek, 2006

Elektromosságtan tételek - 2006 A. AZ ELEKTROSZTATIKAI TÉR VÁKUUMBAN 1. Az elektromos töltés Coulomb törvénye Elektromos állapot: megdörzsölt test pl.borostyánkő más testekre erőt fejt ki (kísérlet!) Elektromos töltés: az elektromos állapotot létrehozó anyag Elektromos alapjelenségek: 1. A testek elektromos állapotát valamilyen - közvetlenül nem érzékelhető - anyag jelenléte okozza. Ezt az anyagot elektromos töltésnek nevezzük. 2. Kétféle elektromos töltés van Az egyik töltést –a bőrrel dörzsölt üvegét- megállapodás szerint pozitívnak, a másikat (pl. ilyen a szőrmével dörzsölt ebonité) negatívnak nevezzük (kísérlet!). 3. Az egynemű töltések között taszítóerők, a különnemű töltések között vonzóerők hatnak. 4. Két pontszerű test töltése akkor egyenlő, ha egy harmadik testre ugyanarról a helyről ugyanakkora erővel hatnak. 5. Az elektromos töltés additív 6. A semleges tartalmazza. test mindkétfajta 1

töltést egyenlő mértékben 7. Töltésmegmaradás elve: környezetétől elszigetelt rendszerben az elektromos töltések algebrai összege állandó. 2 8. Egyes anyagokban a töltés könnyen elmozdulhat, másokban nem (vezetők, szigetelők) (kísérlet!). Elektromos megosztás (kísérlet!): A ++ + + A B+ B+ Coulomb törvénye: Q1 Q2 F12 r F12 = k Q1Q2 r2 F12 = k Q1Q2 r r2 r Két töltés közti erőhatást más töltések jelenléte NEM VÁLTOZTATJA MEG: elektromos erők szuperpozíciójának elve. (töltésrendszer hatásának megállapítása!) 3 származtatott egység: 1 C = 1 As A töltés egysége: 1 coulomb [C]; Q 1 = Q 2 = 1 C, r = 1 m, F = 9⋅109 N; ↓ 1 Nm2 k = 9 ⋅ 10 = 4πε 0 C2 9 ↓ C2  As  ε 0 = 8,854⋅10 =  2   Vm Nm a vákuum dielektromos állandója −12 Az elektromos töltés az anyagi részecskék alapvető tulajdonsága:  proton( + ) atommag   atom  neutron elektron ( − )

 e = -1,6⋅10−19 C m el = 9,11⋅10−31 kg Az elektromos töltés kvantált, az e egész számú többszöröse (Millikan-kísérlet). 2. Az elektromos tér Gauss tétele Közelhatás elmélete (Faraday) (vö. távolhatás elm!): a töltés elektromos teret hoz létre, ez hat a másik töltésre! Ez a fizikai realitás, ui. a térnek energiája és impulzusa van! 4 Elektromos tér: az elektromos állapotban lévő test maga körül elektromos teret (erőteret) kelt, amely a benne lévő elektromosan töltött testekre erőt fejt ki. Az elektromos tér jellemzése: (Q próbatöltés) F = QE ⇒ E =  N  V  elektromos térerősség   =   Q  C  m  F E(r) : az elektromos erőtér jellemzéséhez a (geom.) tér minden pontjában meg kell adni! Q ponttöltés terének térerőssége: Q0Q  Qr Q  r2  E = k 2 , E = k 2 r r r F = Q0 E  F =k Több ponttöltés tere: E E2 E = E1 + E2 E1 szuperpozíció elve + Q1 + Q2 5

Elektromos dipólus: +Q l Q m = Ql ; Az elektromos súlypont rs Jellemzője a dipólusmomentum (nyomaték): + + + ∑Q r = ∑Q i i + +Q + m = Ql + + + Q i semleges töltésrendszerben (pl. atom!) a + és – töltések súlypontja gyakran nem esik egybe (pl. el térben fellépő dielektromos polarizáció miatt) el. dipólus Dipólus homogén elektromos térben: + QE l /2 O QE ϕ l /2 F = +QE − QE = 0 M = QE⋅lsinϕ ⇓ M = mE sinϕ ; M = m×E 6 M Q F m ϕ + E F Q Dipólus inhomogén elektromos térben: Q Q F -most általában: F+ ≠ - F elfordulva gyorsul a nagyobb térerősségű hely felé a F+ - ez a magyarázata annak a korábban látott jelenségnek, hogy a töltött test vonzza a semleges testeket! 7 8 (ezek az ún. Gauss-féle főhelyzetek; segítségükkel a dipólus elektromos terének térerőssége általános esetre is könnyen megadható) következtetés: E = konst.·r-3 9

(vö. ponttöltés terével!) Elektromos erővonalak (az elektromos tér szemléltetése; kísérlet!): E P - az elektromos erővonalak olyan görbék, amelyek érintője a tér minden P pontjában az ott uralkodó E térerősség irányába esik (így mindenütt megadják a térerősség irányát), sűrűségük pedig arányos a E térerősség nagyságával (így mindenütt megadják a térerősség nagyságát) - példák: 10 Az elektrosztatikai tér örvénymentes vektortér (az E bármely zárt görbe menti vonalintegrálja zérus), amelynek az elektromos töltések a forrásai (az erővonalak mindig a töltésekből indulnak ki és azokban is végződnek). Ψ E A Definíció szerint Ψ = EA (ha E⊥ A) Ψ : elektromos fluxus   Nm2 = Vm ( )  C   Általános esetben: En . f n ϕ ∆f E n = Ecosϕ E az egész f felületen átmenő fluxus Ψ = ∫ End f (f) Gauss tétele: (felhasználásával geometriai szimmetriával bíró terekben a

térerősseg egyszerűbben kiszámítható, pl. töltött egyenes ill sík vezető tere) 11 ponttöltés esetén: Q 4πε 0 r 2 1   1  Q = Ψ  ε0 Ψ Ψ E= = 2  A 4r π  E= + Ez általánosan, tetszőleges zárt felületre, tetsz. töltésrendszer elektromos terére is fennáll (akkor is, ha a felületen kívül is vannak töltések!): 1 E d f = Gauss tétele ∑Q ∫ n ε0 Vagyis: Tetszőleges zárt felületen átmenő elektromos térerőfluxus a felületen belüli töltések algebrai összegének 1/ε 0 –szorosa. példák: Q1 NE = ε1 Q1 NE = ε1 (Q1 Q2) 0 0 Q1 Q1 Q1 Q1 Q2 Q NE = 0 12 NE = 0 3. Az elektromos potenciál Az elektromos tér munkája: Az elektromos tér által a Q ponttöltésre kifejtett erő: A F = QE s Q ∆ α F így az F erő ellenében végzett munka (a = 0 esetben) B Ec o sα = Es E B B A A L = − ∫ Fs d s = − Q ∫ Es d s (vonalmenti integrál) Az elektrosztatikai tér fontos tulajdonsága, hogy

a tér által végzett munka független az úttól, csak az A kezdő- és a B végpont helyétől függ (konzervatív erőtér): B L = Wpot B − Wpot A = − Q ∫ Es d s A Az elektromos térben a B és A pontok közötti potenciálkülönbség vagy feszültség definíciószerűen: U ≡ UB −UA = Wpot B − Wpot A B = − ∫ Es d s , Q A így kaphatjuk meg a potenciálfüggvényt a térerősség ismeretében. 13 Ha az A "nullpontban" UA = U0 = 0, akkor tetszés szerinti B = P pontban a potenciál: UP = Wpot P Q B = − ∫ Es d s A Nullpont: pl. végtelen távoli pont vagy a földfelület potenciálja g1 Mivel a g 1, g 2 zárt görbe mentén végzett munka a korábbiak szerint zérus ⇒ ∫ Es ds = 0 ⇒ az elektromos térnek zárt erővonalai nincsenek, azaz bm. zárt görbe menti vonalintegrálja zérus, másszóval az elektrosztatikai tér örvénymentes vektortér. B A g2 A fentebb látott U ≡ UB −UA = Wpot B − Wpot A Q B = − ∫ Es ds

összefüggésből: A ⇓ Es = − ∆U ∂U ; pontosabban Es = − , ∆s ∂s azaz a térerősségnek valamely irány menti komponense a potenciálnak a kérdéses irány menti negatív differenciálhányadosa. Derékszögű koordinátarendszerben: 14 Ex = − ∂U , ∂x Ey = − ∂U , ∂y Ez = − ∂U , ∂z vagy vektoregyenletben kifejezve: E = −grad U . Kifejeztük tehát a térerősséget a potenciálfüggvénnyel: a térerősség a potenciál negatív gradiense (az ún. potenciálesés) Homogén erőtérben: A B + E= UA −UB l l Ponttöltés potenciálja: Q + O r0 x P + Q r 15 ekvipotenciális felület r r Q Q Q  Q x UP −UO = − d = = − ; ∫ 2   4πε 0 r0 x  x  r0 r r0 1 ha r 0 ∞, akkor UP = 1 Q . 4πε 0 r Több ponttöltésből álló rendszer potenciálja: UP = Qi ∑ , 4πε 0 ri 1 ahol r i a P pont és az i-edik ponttöltés közti távolság. Ekvipotenciális felületek: olyan felületek,

amelyeknek minden pontjában ugyanaz a potenciál értéke U(x,y,z) = kontans. ⇓ Az ekvipotenciális felületek mindenütt merőlegesek a térerősség irányára. 16 B. AZ ELEKTROSZTATIKAI TÉR ANYAG JELENLÉTÉBEN 4. Az elektrosztatikai tér vezető jelenlétében A vezetőben lévő szabad töltéshordozók külső E k elektromos erőtér hatására elmozdulnak mindaddig, míg E b belső elektromos terük E k –t nem kompenzálja egyensúly! 1. Elektrosztatikus egyensúly esetén az E elektromos térerősség a vezető belsejében mindenütt zérus, a vezető külső felületén pedig a felületre merőleges. (különben a szabad töltéshordozók mozognának, nem lehetne egyensúly!) 2. Az elektromos töltés (többlettöltés) elektrosztatikus egyensúly esetén a vezető külső felületén helyezkedik el. (ui. a vezetőn belül bárhol kijelölt zárt térfogatot körölvevő felületen áthaladó el. fluxus zérus –hiszen E = 0 mindenütt- Gauss tétele miatt a

térfogatban nem lehet többlettöltés!) (kísérlet!) 3. Egyensúly esetén a homogén vezető minden pontjában ugyanakkora a potenciál, a vezető teljes térfogata (felülete is!) ekvipotenciális felület. (mivel a vezetőben E = 0, a felületen pedig arra merőleges) 4. A vezetőben lévő üregben a térerősség zérus, feltéve, hogy az üregben nincsenek (izolált) elektromos töltések. elektrosztatikus árnyékolás (Faraday-kalitka) (kísérlet!) 17 Töltés eloszlása a vezető felületén: B egységnyi (kis) felületre: QA < QB < QC < QD C A D ⇓ felületének a vezető különböző helyein az dQ felületi töltéssűrűség η= df annál nagyobb, minél nagyobb a görbület, tehát viszonylag legnagyobb a csúcsoknál és éleknél; ezeken a helyeken az E térerősség is a legnagyobb E és η közötti kapcsolat: Gauss tétele: ∆f E n df = Edf = a b 1 ε0 ∆Q ⇓  dQ η E =  =  df  ε 0 Csúcshatás (kísérletek!)

18 Kapacitás; kondenzátorok A Q +Q Q~U B Q = kons tans ≡ C U U C az A és B vezetőkből álló rendszer kapacitása A + 2Q Q 2 C  ( ) ≡ farad F  V  B 1 F = 106 µF = 109 nF = 1012 pF 2U - a gyakorlatban sokszor nagy kapacitásra van szükség kondenzátorok 19 Síkkondenzátor A B Q +Q f f Q +Q d d láttuk: E= U = Ed és C = Q η = ε0 ε0f Q figyelembevételével: U C = ε0 f d - a kapacitás függése a rendszer geometriájától - kísérlet! - kondenzátorok a gyakorlatban; kondenzátortípusok 20 Kondenzátorok kapcsolása Párhuzamos kapcsolás: Q + Q1 1 C1 Q + Q2 Q 1 = C 1 U, Q 2 = C 2 U 2 C2 Q = Q1 + Q2 = ( C1 + C2 )U   C = C1 + C2 Q = CU  U Soros kapcsolás: Q +Q Q +Q C2 C1 U2 U1 U U = U1 + U 2 = U= Q C Q Q  + C1 C2  1 1 1 = +   C C1 C2  21 Feltöltött kondenzátor energiája U U = Q + Q A Q C B-ről A-ra +dQ töltés átvitelekor B

dW = U dQ = + d Q Q dQ C ⇓ Q Q 1 Q2  1 1  W = ∫ dQ = = QU = CU 2    2 C  2 2 0 C (kísérlet!) Az elektrosztatikai tér energiája (síkkondenzátorra:) 1 2 1 2 W = CU 2 = ⋅ ε 0 1 f ⋅ ( Ed ) 2 = ε 0 E 2V 2 d ahol V = fd az a térfogat, amelyet a (homogén!) mező kitölt (a fegyverzeteken kívül a térerősség elhanyagolható!). ⇓ A W energia nem a kondenzátor fegyverzeteiben, hanem a (köztük lévő, elektromos) térben van felhalmozva! 22 Az elektrosztatikai tér energiasűrűsége: w= W 1 = ε 0E 2 V 2 Ez az eredmény (bár a síkkondenzátor spec. esetére kaptuk) általánosan is érvényes! Síkkondenzátor lemezei közt ható vonzóerő: Q f +Q + + F + + + s ∆s dW = F ds + + + + + dW d  1 Q 2 =  F= ds ds  2 C tehát :  d 1 2 s    =  Q d ε s 2 f  0   1 Q2 ε 0f 2 F = = 2U 2ε 0 f 2s 23 5. Az elektrosztatikai tér szigetelő jelenlétében A dielektromos

állandó és az eltolódási vektor (kísérlet!) +Q +Q Q U0 Q U Q = C0U0 Q = CU U0 > U ⇓ C0 < C C0 = ε 0 f d C0 = εε 0 ε= f d C  U0 =  >1 C0  U  relatív dielektromos állandó vagy permittivitás ⇓ 24 ⇓ E0 = U0 Q Q = = d C0 d ε 0 f E= U Q Q = = d Cd εε 0 f ⇓ E= + E ε vákuumban E0 ε A vákuumban elhelyezett bármilyen (Q 1 , ., Q n ) töltésrendszertől származó térerősség a (geometriai) tér minden pontjában ε -od részére csökken, ha a töltések változatlanul hagyása mellett a teret ε dielektromos állandójú homogén és izotrop közeggel töltjük ki. ∫ En df = 1  ∑ Qi  ε0  C  D = εε 0 E  2  1 m   dielektrikumban ∫ En df = Q ∑ i εε 0  ennek alapján célszerű bevezetni a D (di)elektromos eltolódási vektort, pl. azért, mert azzal a Gauss-tétel az alábbi egyszerű, dielektrikumokban is érvényes alakba írható: ∫ Ddf

= ∑ Q i F i Ez az elektrosztatikai tér első alaptörvénye. 25 Dielektrikumokban is érvényes az elektrosztatikai tér örvénymentességét kifejező, korábban már látott összefüggés: ∫ Eds = 0 , az elektrosztatikai tér második alaptörvénye. g Az E és D vektorok viselkedése két közeg határfelületén E1n HF E1 α E1t ε1 D1n E 2t β ε2 E2 E 2n HF D1 ε1 α D1t D 2t β ε2 D2 D 2n Bizonyítás nélkül: a határfelület átlépésénél E érintőleges komponense és D normális komponense változatlan marad, E2 t = E1t és D2 n = D1n ; valamint E normális és D érintőleges komponense "ugrást szenved": (D 2t /ε 2 = D 1t /ε1 ) (ε 2 E 2n = ε 1 E 1n ) ⇓ ⇓ 26 D2t D = 1t ε 2 E 2 n = ε 1E1n ε ε1 2  E2 n ε 1 = E1n ε 2 továbbá: D2 t ε 2 = ; D1t ε 1 és E1t E tgβ = 2 t E1n E 2n    tgα

= E1t tgα E1n E2 n ε 1 (mivel E 2t = E1t ) = = = tgβ E2 t E1n ε 2 E2 n az E- és D-vonalak "törési törvénye". Szigetelők polározódása (dielektromos polarizáció) + E=0 + E>0 E=0 nempoláros molekulák E>0 poláros- vagy dipólus molekulák 27 Q +Q + + + + f + + + + f a Az elektromos térbe, pl. feltöltött kondenzátor lemezei közé tett szigetelő belsejében "dipólusláncok", a szigetelő határfelületein pedig elektromos töltések (ún. polarizációs töltések) alakulnak ki, éspedig a pozitív, ill. negatív töltésű lemezzel szomszédos határfelületen negatív, ill. pozitív töltés b l Elektromos polarizáció és szuszceptibilitás Q +Q Q p f + + + + f + + + + a Q p : polarizációs töltés + Qp felületegységre: Qp P= f b l 28 A V = l⋅f térfogatú hasáb dipólusmomentuma: m = Q p l = Pf⋅l = PV vektoriálisan: m = PV ⇓ m  As   m2

 V az elektromos polarizáció vektora (a polározott dielektrikum térfogategységre vonatkoztatott dipólusmomentuma) P= P ~ E ⇓ P = χε 0 E χ : elektromos szuszceptibilitás (a dielektrikum polarizálhatóságának mértékét megadó korpuszkuláris anyagállandó) A P elektromos polarizáció bevezetésével D : D = ε 0E + P azaz a D-vonalak az E erővonalakból és a dipólusláncoknak megfelelő P "polarizációs vonalakból" tevődnek össze. 29 D = ε 0 E + P = ε 0 E + χε 0 E = (1 + χ )ε 0 E   ε = (1 + χ ) D = εε 0 E  Dielektrikumokban fellépő erőhatások (kísérlet!) G ε1 ε 2 S ε2 G ε1 ε 2 S ε2 taszítás vonzás C. A STACIONÁRIUS ELEKTROMOS ÁRAM (EGYENÁRAM) 6. Áram és ellenállás (kísérlet!) Elektromos áram: az elektromos töltések rendezett mozgása Az áram iránya: a pozitív töltéshordozók mozgásának iránya 30 hõhatás mágneses hatás  Az elektromos áram hatásai 

kémiai hatás fényhatás (kísérlet!) Áramerősség: a vezeték figyelembe vett keresztmetszetén időegység alatt átáramló töltésmennyiség (∆Q) I= ∆Q ; ∆t I= dQ dt C  = A  s  Tetszőleges I = I(t) erősségű áram által (a (0, τ) időintervallumban) szállított töltés: τ Q = ∫ I ( t )dt 0 Ohm törvénye és az ellenállás (kísérlet!) U I~U I I= I 31 U Ohm törvénye R V  R (=U/I) : a vezető ellenállása  = ohm (Ω ) A  1 A  = G : vezetőképesség (vezetés)  = siemens (S) R  V Homogén, l hosszúságú, állandó q keresztmetszetű vezető ellenállása: R=ρ⋅ l q itt a ρ arányossági tényező a csak az anyagi minőségre jellemző   mm2 fajlagos ellenállás [Ωm]  1 Ω = 10−6 Ωm m   1 ρ [ = σ : fajlagos vezetőképesség Ω −1m−1 Az ellenállás hőmérsékletfüggése A hőmérséklet növekedésével: - R növekszik (pl.

fémek) - R csökken (pl. félvezetők, elektrolitok, szén) (kísérlet!) 32 ] Fémek esetén: Szűk hőmérséklettartományban: ρ − ρ 0  R − R0  ≈  = α ( t − t 0 ) , vagy ρ = ρ 0 [1 + α ( t − t 0 )] ρ0  R0  ahol  1  α : az ellenállás hőmérsékleti tényezője    fok  Szélesebb hőmérséklet-intervallumban: ρ = ρ0 (1 + α T + β T 2 + γ T 3) Félvezető anyagok esetén: ρ ~e 33 B T Szupravezetés T C : kritikus hőmérséklet ρ Hg: 4,2 K alatt (1911 K.KAMERLINGH ONNES) kerámiák: már 100 K felett is T TC 0 Áramsűrűség U f1 U f 1 , f 2 ekvipotenciális felületek f2 E I Nem lineáris vezető belsejében: 34 J= dI df ⇒ I= ∫ J n df (f ) - a J vektormennyiség, iránya a pozitív töltések áramlásának iránya - a J -mint a hely függvénye- vektorteret jelent, amely áramvonalakkal (J-vonalakkal) szemléltethető Az Ohm-törvény differenciális alakja I= U U 1 U = =

⋅ ⋅q = σ ⋅E⋅q R ρl ρ l q J= I = σE ; q J =σ ⋅E differenciális Ohm-törvény Az Ohm-törvény mikroszkopikus értelmezése q F gyorsító = −eE + F fékező = α v vd t Stacionárius áramlásnál (∑F = 0; v = állandó): eE = α v 35 ⇓  m2  v  e  =  = µ (elektron)mozgékonyság   E  a  Vs  Jelölje n az elektronkoncentrációt [m−3]:  I  1 dQ 1 e ⋅ n ⋅ qvdt E µE=σ  J=  = = = env = en  q  q dt q dt σ = enµ ⇓ Becsüljük meg fémekben az elektronok áramlási sebességét: I =1A   q = 1 mm 2   3 ρ réz = 8,9 g / cm  t. f : 1 ré zatom 1 elektron M réz = 63,57 g / mol   23 A = 6 ⋅ 10 db / mol  A⋅ ρ réz M réz : A = ρréz : n ⇒ n = ≈ 8,4 ⋅ 1022 db / cm3 Mréz v= I ≈ 7 ⋅ 10−3 cm / s qne 7. Egyenáramú áramkörök 36 Kirchhoff törvényei Kirchhoff első törvénye, a "csomóponttörvény": I1 I3

I1 + I2 = I3 + I4 + I5 I4 I2 ∑ Ik = 0 I5 Kirchhoff második törvénye, a "huroktörvény": I1 I5 R5 R1 E2 I2 R2 + R3 E4 R4 + E3 I3 37 I4 I 1 R 1 − E2 − I 2R 2 + I 3 R3 + E 3 −I 4 R4 + E 4 − I5 R 5 = 0 ∑ I k Rk + ∑E k = 0 Sorosan és párhuzamosan kapcsolt ellenállások Soros kapcsolás I R1 R2 U1 U2 I U U(= IR e ) = U 1 + U 2 = IR 1 + IR 2 = I(R 1 + R 2) Re = R1 + R2 ( + . = ∑ Rk ) Párhuzamos kapcsolás I1 I R1 R2 I I2 U  U  1 1 U U I  =  = I1 + I 2 = + = U +  R1 R2  Re   R1 R2  38 1 1 1  1 = +  + . = ∑  Re R1 R2  Rk  Feszültségosztó (potenciométer) Terheletlen potenciométer (R fogyasztó ≈ ∞) U1 R1 R2 U U1 U U  U I=  =  R  R1 + R2 39 U 1 = IR1 = U 0 ≤ R1 ≤ R ⇒ R1 R 0 ≤ U1 ≤ U Terhelt potenciométer U1 Rfogyasztó R1 R2 U Rfogyasztó U 40 Az elektromotoros erő Áramforrások belső ellenállása

galvánelem: E Cu kémiai energia rovására elektromos mező épül fel − a töltések térbeli szétválásával a pozitív töltés magasabb elektromos potenciálú helyre kerül Zn E elektromotoros erő (üresjárati feszültség): a terheletlen áramforrás pólusai közötti feszültség H 2SO4 + H2O U k kapocsfeszültség: a terhelt áramforrás pólusai közötti feszültség - 41 - Uk E Rk I I Rb he h Sz Sz E : elektromotoros erő Uk : Rk : Rb : Ub : kapocsfeszültség külső ellenállás belső ellenállás (az áramforrás saját ellenállása) a belső ellenálláson kialakuló feszültség 42 Kirchhoff második törvénye értelmében IR k + IRb = E ⇓ E I= Rk + Rb U k ( = IRk ) = E − IRb = E − Rk E Rb = E Rk + Rb Rk + Rb ⇓ E −Uk Rb = Rk Uk Rk Rb E U I Rb E IRk 0 43 A Joule-féle hő; az áram munkája és teljesítménye B A v= U Ql ∆s s = állandó t Ql : l = Qs : s v ∆s I= l Qs Ql s = t lt U l Az áramló

töltéshordozók az elektromos mezőből folyamatosan felvett energiát folyamatosan le is adják a fém ionrácsának (v = állandó) E= ⇓ a fém felmelegszik (belső energiája megnő) energianövekedést nevezzük Joule-féle hőnek W = Ql ⋅ E ⋅ s = Ilt U ⋅ ⋅ s = UIt s l U2 W = UIt = I Rt = t R 2 A fogyasztó által felvett teljesítmény: U2  W 2 P =  = UI = I R = R  t  (kísérlet!) 44 − ezt az D. A STACIONÁRIUS ÁRAM ÉS A MÁGNESES TÉR 8. A mágneses tér vákuumban Természetes mágnes: mágneskövek vagy magnetitek Mesterséges mágnes: mágneses acélrúd vagy mágnesrúd Mágneses pólusok: azon két hely, ill. azon két pontszerűnek képzelt erőcentrum, amelyek a mágneses erők forrásainak tekinthetők (csak együtt léteznek (kísérlet!)) Megkülönböztetünk: D É D É északi ( É )  pólust déli ( D)  É D D taszítás É D É vonzás Egynemű mágnespólusok taszítják, a különneműek vonzzák

egymást. (kísérlet!) 45 Mágneses megosztás * * * * D É * * * * É D Mágnesek közötti erőhatás ⇓ mágneses tér létezése A mágneses tér szemléltetése: mágneses erővonalakkal (indukcióvonalakkal) történik: - a mágneses erővonal bármely pontjában a vonalhoz húzott érintő a mágneses tér irányát határozza meg, - az adott helyen az indukcióvonalakra merőlegesen felvett egységnyi felületen átmenő erővonalak száma pedig a mágneses tér nagyságával arányos. B P É D É 46 D É É D (kísérlet!) Az elektromos áram mágneses tere D I É I OERSTED (XIX. század): a töltések rendezett mozgása (elektromos áram) maga körül mágneses teret hoz létre (kísérlet!) ⇓ az elektromosság és a mágnesesség között kapcsolat van Néhány egyszerű alakú áramvezető mágneses tere Hosszú, egyenes áramvezető (kísérlet!) I + 47 Áramhurok I Áramtekercs (szolenoid) (kísérlet!) B Ι Gyűrűszerűen zárt

tekercs (körtekercs) Rk I 48 Áramvezető mágneses térben áramátjárta vezető erőt fejt ki a mágnestűre D É I I ⇓ (Newton III. axiómája) ⇓ a mágnestű is erőt fejt ki az áramvezetőre (kísérlet!) + B I D B F I F I É I 49 I F=0 Θ B B l ⇔ I  B F = F max ⇔ I ⊥ B (Θ = 0o) (Θ = 90o) F = I⋅l⋅B⋅sinΘ I B iránya: amikor F = 0, Fmax B = B nagysága: I ⋅l Θ = 0o (IB)  N  ≡ T tesla ( )   Am Vektoriálisan: F = I ⋅ [l, B] ( dF = I [dl , B] ) ill. ahol l ill. dl iránya az I áram iránya A mágneses fluxus B f df B Θ ha B ⊥ f : Φ = B⋅ f [Tm2=Wb (weber)] dΦ = B⊥ df = BcosΘ df = Bdf ⇓ B B= 50 dΦ df (B⊥ = B) -----------------------------------------------------------------------------------A felületvektor fogalma: f A síkidom felületvektora: azon f vektor, amelynek nagysága megegyezik a síkidom területével, iránya pedig merőleges az idom

síkjára, és a határgörbe körüljárási irányával jobbrendszert (jobbcsavart) alkot. ----------------------------------------------------------------------------------A mágneses térre vonatkozó Gauss-törvény - A kísérletek tanúsága szerint a "mágneses töltés" -ek nem választhatók szét, csak együtt léteznek (mágneses dipólusok)! - Emiatt a tér bármely zárt f felületére fennáll: ∫ Bdf = 0 , f azaz a mágneses indukcióvonalaknak nincsenek "forrásai", illetve "nyelői"; másként fogalmazva: a mágneses indukcióvonalak mindig zárt görbék! 51 Áramhurok mágneses térben Fb b I Θ b Fa I Fb n Θ Fa a Fa n Β b sinΘ Fa Β Fb = IbB   Fb + (− Fb ) = 0; ∑ M = 0 − Fb = − IbB Fa = IaB   Fa + (− Fa ) = 0; ∑ M ≠ 0 − Fa = − IaB M (=F⋅k) = IaB⋅bsinΘ = IBfsinΘ ahol f = ab a téglalap területét jelenti (f: független a vezetőkeret alakjától). n: a

felület normálisának vektora, amely -mint láttuk- olyan irányú, hogy a keretben folyó áram irányábal jobbcsavart alkot 52 M=0 Mmax + + Θ = 0o Θ = 90o N számú menetből álló tekercs esetén: M = INfBsinΘ , (Nf: menetfelület) vektoriálisan: M = I[Nf,B] Tekercs mágneses momentuma: p m = INf 53 Áramvezetők közti erőhatás I1 I2 I2 I1 + + + + (kísérlet!) nem A kísérletek tanúsága szerint: Ha két, egymástól d távolságban lévő, párhuzamos, végtelen hosszú vezetőben I1 ill. I 2 áram folyik, akkor a vezetők l hosszúságú darabjára (a másik vezető által) ható erő: F= ahol −7 µ 0 = 4π ⋅ 10 µ 0 I1 ⋅ I 2 ⋅ l 2π d Ns2 C2 , a vákuum permeabilitása - ennek az erőnek a mérésén alapul az SI -ben alapegység 1 amper áramerősség meghatározása („abszolút amper”) - A vákuum ε 0 dielektromos állandója és µ 0 permeabilitása, valamint a c vákuumbeli fénysebesség között

összefüggés van: ε 0µ 0 = 54 1 c 2 . Mozgó elektromos töltés mágneses térben - láttuk: árammal átjárt (I = Q/t) vezetőre a mágneses erőtér erőt fejt ki ⇓ - ebből következően a szabadon mozgó töltött részecskére is erő hat! B v Q l = vt N darab I = NQ t F = I [ lB ] = NQ [ vt , B ] = NQ[ vB ] t ⇓ egy töltésre ható erő F = Q [v, B] a mágneses Lorentz-erő 55 F v F = QvBsinϑ ϑ Q B F = 0, ha Bv, vagy v = 0 F = F max, ha B⊥v +  Q lehet   töltés −  B mágneses tér   és  egyidejű jelenléte esetén: E elektromos tér  F = Q{E + [ vB]} 56 A Biot−Savart törvény: - bármilyen áramvezető mágneses terét kiszámíthatjuk a tér tetszőleges P pontjában úgy, hogy az áramvezető -különállónak és függetlennek tekintett- Idl „áramelem”-ei által az adott P pontban keltett dB mágneses indukciókat (a szuperpozíció elve alapján) vektoriálisan összegezzük -

ehhez ismerni kell az Idl áramelem(-vektor) által létrehozott mágneses teret: dB befelé I dl Θ r P r I (a dl áramelem-vektor iránya: megegyezik az I irányával) dB = µ 0 I [dl , r ] 4π r 3 Biot−Savart törvény A B.-S törvény felhasználásával tetszőleges áramvezető mágneses tere meghatározható: B = ∫ dB = [dl , r ] µ0 I∫ 3 4π r 57 Igen hosszú (végtelen) áramvezető mágneses tere Ι Θ r r r = b/cosϕ l = btgϕ ↓ I dl dl = (b/cos2ϕ)dϕ l nagyon nagy ϕ = ±π /2 l ϕ b sinΘ = sin(ϕ +90o) = cosϕ dB és így µ 0 I +π /2 µ0 I B= = d ϕ ϕ cos ∫ 4π b −π / 2 2π b A köráram mágneses tere dl R r b dB dB ϕ ϕ P dB I A P pontban dB = által bezárt szög) µ 0 Idl sinΘ -ból Θ = 90o-nál (ahol Θ a dl és r$ 2 4π r 58 dB = µ 0 Idl 4π r 2 Komponensekre bontva: dB ⊥ =dBcosϕ és ∑dB ⊥ = 0 dB  = dBsinϕ és ∑dB  = B ⇓ B = ∫dB  = ∫dB⋅sinϕ = µ µ Idl R IR

=∫ 0 2 2 ⋅ = 0 4π R + b R2 + b 2 4π R2 + b 2 ( = µ0 IR 4π R2 + b 2 ( ) ) ⋅ 2Rπ = 3/ 2 ( µ0 If 2π R2 + b 2 ( ) ) 3/ 2 ∫ dl = 2 , ahol (f = R π) . 3/ 2 Ebből adódóan a körvezető középpontjában: b = 0 B= µ0 I 2 R 59 Mágneses dipólus Kicsiny áramhurkot (R << b) mágneses dipólusnak nevezzük, amelynél I R n pm b P B B= D pm P E µ 0 If 2π b 3 B A köráram mágneses dipólusmomentuma: p m = Inf = If . Sík áramhurok vagy Nf menetfelületű tekercs nagyobb távolságban ugyanolyan mágneses teret létesít, mint egy permanens mágnes, külső mágneses térben pedig ugyanolyan erőhatást szenved, mint az említett mágnes. p m felhasználásával µ 0 2p m , 3 4π b µ 2p B = 0 3m . 4π R R << b esetben B = b=0 esetben 60 B B mágneses dipólus mágneses indukcióvonalai I + E elektromos dipólus elektromos erővonalai A gerjesztési törvény (Ampére-törvény) Tekintsünk egy igen hosszú

egyenes áramvezetőt! I B B I felfelé b dl dα - Határozzuk meg a B indukcióvektor ∫ Bdl vonalintegrálját (cirkulág cióját) az áramvezető körül felvett tetszőleges, zárt g görbére vonatkozóan! 61 Legyen először a g zárt görbe a rajzon látható b sugarú kör! Ekkor B= ezzel pedig: ∫ Bdl = B ⋅ 2πb = µ0 I 2π b , µ0 I ⋅ 2πb = µ 0 I 2π b . Vegyük észre, hogy az integrál nem függ a kör sugarától! A kapott eredmény -mint egyszerűen kimutatható- nemcsak körre érvényes, hanem tetszőleges zárt g görbére is, amelynek még síkgörbének sem kell lennie: ∫ Bdl = µ ∑ I 0 Ampére-féle gerjesztési törvény k (itt ∑ I k a zárt görbe által határolt (tetszőleges!) felületen áthaladó áramok összege) pl. I1 g I2 n I3 f dl I4 ∫ Bdl = µ 0 ( I1 − I 2 + I 3 ) A stacionárius áram mágneses tere tehát örvénytér. 62 9. Mágneses tér az anyagban Ha az áramot vivő vezető vákuum helyett

valamilyen anyagban helyezkedik el ⇓ a mágneses tér megváltozik ⇓ oka: az anyag mágnesezetté válik (mágneses momentumra tesz szert) AMPERE: az atomok vagy molekulák belsejében tartósan folyó zárt áramok (molekuláris áramok vagy elemi köráramok) mágneses momentumai eredményezik az anyagok mágnesezettségét B = B 0 + B , ahol B 0 : a makroszkópikus vezetési áramok által előállított mágneses tér, B : az elemi köráramok (mágnesezettség) által létesített mágneses tér. Az anyag mágnesességét (mágnesezettségét) a ∑pm M = ∆V ∆V mágnesezettségi vektorral jellemezzük - Hasonlóképpen, mint ahogyan az elektrosztatikus tér jellemzésére is két vektormennyiséget vezettünk be, az E elektromos térerősséget és a D dielektromos eltolódási vektort, mágneses tér esetén is célszerű bevezetni a B mágneses indukcióvektor mellett még egy vektort, az 63 ún. mágneses térerősségvektor -t (hangsúlyozandó, hogy a két

eset analógiája igen korlátozott, ld. alább!), mert ennek értékét csak a vezetési áramok határozzák meg: H= B µ0 −M , A  m  - Mivel vákuumban M = 0 , így H= és pl. B= µ0 I 2π b B µ0 B  H H= 1 I 2π b - Megjegyzendő, hogy P  D  párja a mágneses tér esetén rendre E  M  H B  A mágneses szuszceptibilitás és a mágneses permeabilitás - Mivel M függ a H -tól és az anyag minőségétől, ezért (az erősen mágneses anyagok kivételével) célszerűen M = χmH ,  χ m < 0 ahol   a mágneses szuszceptibilitás  χ m > 0 64 χm bevezetésével: H= itt B µ0 − χ mH µr = 1 + χm H= B , µ 0 (1 + χ m )  < 1    > 1 az ún. relatív mágneses permeabilitás - Ezzel: B = µ rµ 0H . A B és a H vektorok viselkedése két közeg határfelületén - Hasonlóképpen, amint azt a szigetelők elektrosztatikai térben történő

viselkedésénél láttuk, mágneses térben, mint kimutatható: 1. B 1n = B 2n , azaz a B vektor normális komponense folytonosan megy át a két közeg határán; 2. H 1n µ 2 , = H 2n µ 1 azaz a H vektor normális komponense "ugrik" a két különböző közeg határán; 65 3. H 1t = H 2t , azaz a H vektor érintőleges komponense folytonosan megy át a két közeg határán; 4. B1t µ 1 , = B 2t µ 2 azaz a B vektor érintőleges komponense ugrik a két közeg határán; és ahol tgα 1 µ 1 = tgβ 1 µ 2 (törési törvény) α 1 és α 2 a B 1 , B 1n, illetve B 2, B2n által bezárt szögeket jelenti. Az anyagok felosztása mágneses tulajdonságaik alapján paramágneses anyagok Gyengén mágneses anyagok  diamágneses anyagok Erősen mágneses anyagok: ferromágneses anyagok Paramágneses anyagok: Al, Cr, K, Mg, Mn, Na, stb., 66 (kísérlet!) E D Al (alumínium) χm > 0 (≈10−5) χm = E C T Curie-törvény D Diamágneses

anyagok: Cu, Bi, C, Ag, Au, Pb, Zn, stb. 67 (kísérlet (folyadék, gáz (láng!) is)!) E D Bi (bizmut) E χm < 0 (≈10−5) D Ferromágneses anyagok: vas, nikkel, kobalt stb. χm > 0 (≈103 - 105) !!! További lényeges különbségek: - a B = B(H), és - az M = M(H) görbék. 68 M Mt B H H M = M t = állandó nagy H értékeknél B = µ 0H + µ 0Mt = µ 0H + (mágneses telítés) állandó Mágneses hiszterézis B A R Br H t OA első mágnesezési görbe K K O Ht H R A ARARA hiszterézishurok Permanens mágnes előállítása: H = 0 esetén B r Hc 69 A µ r = µ r (H) kapcsolat B µr Β µr H A ferromágneses anyagok Curie-hőmérséklete (kísérlet!) χm ferromágneses anyagok T c Curie-hőmérséklet Tc T Curie−Weiss-törvény: χm = C T − Tc T c (hőmérséklet) Curie-pont felett az anyag paramágnesessé válik (azaz elveszíti ferromágneses tulajdonságát) 70 AZ ATOMOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI klasszikus

elmélet Félklasszikus értelmezés  kvantummechanikai megfontolások Az atom Bohr-féle modellje alapján: v e N I T= r pm I= 2r π v (v a kerületi sebesség nagysága) e = eν (ν a frekvencia) T Az elektron által létesített köráram mágneses momentuma, amelyet az elektron pálya mágneses momentum -ának nevezünk: pm = I ⋅ f = e ν ⋅ r 2 π , az r sugarú körpályán mozgó elektron impulzusmomentuma: N = mr2rπν (m a v frekvenciájú elektron tömege) . A p m és N vektorok ellentétes irányúak. A giromágneses (forgási mágneses) hányados definíciószerűen: γ= pm e = N 2m , 71 (p m = −γ N) ahol a pálya impulzusmomentum   N  = 1⋅ h h  ; 2 ⋅ ; .  2π 2π csak diszkrét értékeket vehet fel (h a Planck-féle állandó), és a mágneses momentum az ún. Bohr-féle magneton (elemi mágneses momentum) µB = eh  h h =  2m  2π  egész számú többszöröse. Iránykvantálás: ha van a

térben egy kitüntetett irány - rendszerint egy külső B mágneses tér iránya -, akkor az elektronpályák síkjai nem lehetnek akármilyen irányításúak, hanem a pálya síkja, illetve az erre merőleges N-nek - a kitüntetett B irányába - egy N z komponense csak m l h értéket vehet fel, ahol m l az ún. mágneses kvantumszám Az elektronspin hipotézis: - az elektronnak a pálya-impulzusmomentumán és a pálya mágneses momentumán kívül van saját impulzusmomentuma (spinje: N s ) és -ettől elválaszthatatlan- saját mágneses momentuma (p ms ). - a saját-impulzusmomentum (a spin) és a vele kapcsolatos saját mágneses momentum az elektron ugyanolyan sajátossága, mint a tömege ill. töltése 72 1. Az elektronspin (imp mom) nagysága: 1 h. 2 2. Az elektron saját mágneses momentumának nagysága: eh (= µ B ) . 2m 3. Az elektron spinje a mágneses térben kétféleképpen állhat be, a térrel parallel vagy antiparallel irányba. A Larmor-precesszió B

ωL pm Mf N Ha p m mágneses momentumú és N impulzusnyomatékú elemi köráram B homogén mágneses térbe kerül, akkor a tér a köráramra M f = [p m B] forgatónyomatékot gyakorol. dN ⇓ A forgatónyomaték hatására a köráram -mint pörgettyű- a B iránya körül precessziót végez: dN = Mf dt , amely szögsebessége ωL = eB (Larmor-frekvencia) . 2m Larmor tétele: a B mágneses tér befolyása egy atom elektronrendszerének mozgására abban áll, hogy az egész elektronrendszer - az atom- 73 hoz viszonyított mozgásának megváltozása nélkül - a B iránya körül ω L szögsebességgel forog. ⇓ Az elektronpálya precessziója miatt az elektron a pályamozgáson kívül a B tér körül is végez mozgást. ⇓ E mozgásból eredő köráram p ′m mágneses momentumot (indukált mágneses momentumot) eredményez, amely B-vel ellentétes irányú. Diamágnesség Az olyan anyagokról, amelynek atomjai nem rendelkeznek mágneses momentummal ⇓⇑ az

atom elektronjainak pálya és saját mágneses momentumainak vektori eredője nulla ⇓ a külső B tér csak indukált (p ′m ) mágneses momentumot hoz létre, amely ellentétes a B térrel - az anyag diamágneses viselkedésű. Paramágnesség A paramágneses momentummal anyagok atomjai rendelkeznek mágneses ⇑⇓ az atom elektronjainak a pálya és saját mágneses momentumainak vektori eredője nullától különböző ⇓ a külső B tér egyrészt indukált (p ′m ) mágneses momentumot hoz létre, másrészt az atomok meglévő (p m ) mágneses momentumát a saját irányába igyekszik beállítani 74 ⇓ p ′m > p m miatt ⇓ az eredő (hőmérséklettől függő) mágneses momentum a B irányába mutat (pozitív) - az anyag paramágneses viselkedésű. tér Ferromágnesség Mi (kísérlet (Barkhausen-eff.)!) Mk Weiss-féle tartományok (mágneses domének): igen kicsiny makroszkopikus tartományok, amelyekben az atomok mágneses momentumai

egyirányban helyezkednek el -közvetlen bizonyíték: Bitter-féle sávok/porábrák M 1 , M 2, . mágneses momentumainak irányai rendszertelenül oszlanak el a térben. Külső H mágneses tér hatására: - faleltolódások: a térrel azonos orientációjú domének (a H és a pm által bezárt szög: θ < 90o) kiterjednek a térrel ellentétes orientációjú (θ > 90o) domének összehúzódnak - elfordulások (domének elfordulnak a tér irányába) AZ ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ Az indukció alapjelenségei 75 Láttuk: egyrészt az elektromos áram mágneses teret hoz létre, másrészt a mágneses tér erőhatást gyakorol a mozgó töltésekre; kérdés: a mágneses terek előállítanak-e elektromos áramot? Néhány tapasztalat/kísérlet (kísérlet!) G D I I É B I elmozdulás (v) D v I E I mozgatás iránya G 76 (kísérlet!) Következtetés: az állandó mágneses tér nem hoz létre áramot, de a változó mágneses tér áramot kelt! A

Faraday-féle indukciós törvény: Ei = −  dΦ B  −N   dt  dΦ B dt ahol Φ B = ∫Bdf = ∫BcosΘ df , és így Ei = − d ∫ B cosΘ df , dt 77 azaz a zárt vezetőben indukált elektromotoros erő arányos a vezető által körülvett felületen átmenő indukciófluxus időegységre eső megváltozásával. B változása révén Elektromotoros erő indukálódhat f nagyságának és/vagy f orientációjának változása révén Lenz törvénye: É D - az indukált elektromotoros erő mindig olyan irányú áramot kelt, hogy annak mágneses tere akadályozza a mágneses fluxusban fellépő változást. - Lenz szabálya az energiamegmaradás elvéből következik. 78 Indukció mozgó vezetőben A D Ei B n -en befelé C Ei v dl B vd t B df l l B l + ++ -en befelé E 0 F E = eE 0 v F B = e[vB] F B = −e[vB] ⇓ töltésáramlás ⇓ töltés felhalmozódás ⇓ −eE 0 = FE ⇓ −eE i = −e[vB] E i = [ vB ]

indukált elektromos térerősség Az ABCD áramhurokban indukált elektromotoros erő: E i = ∫ E i dl = ∫ [ vB ]dl = az ábra szerint = B = [ vB ]∫ dl = [ vB ]l A E i = vBl 79 Indukció nyugvó vezetőben (Nyugvó vezető időben változó térben) dB dt f dl n B A f g I E i = ∫ E i dl ( g) Mivel Ei = − dΦ B dt és Φ B = ∫ Bdf ⇓ ∫ ( g) E i dl = − dΦ B d = − ∫ Bdf dt dt ( f ) Mivel B helyfüggő is lehet, ezért ∂B df ∂t (f) ∫ E i dl = − ∫ (g) (második Maxwell-egyenlet) ⇓ az indukált elektromos tér (szemben az elektrosztatikus térrel) örvényes vektortér. 80 dB dt Az időben változó mágneses tér erővonalait zárt elektromos erővonalak veszik gyűrűszerűen körül. g f E Az önindukció Ψ Faraday: fluxusváltozás esetén vezető drót nélkül is, bármilyen szigetelőben vagy vákuumban is elektromos tér keletkezik. legyen I változó ⇓ Ψ változó fluxus ⇓ a hurokban elektromotoros

erő indukálódik I A Biot−Savart-törvény szerint: dB = µ 0 [dl , r ] I 4π r3 , tehát (mivel B ~ I) Ψ~I ⇓ Ψ = LI ahol L a hurok önindukciós együtthatója vagy induktivitása, amely függ a hurok geometriájától, valamint a környező közeg mágneses tulajdonságaitól. Az önindukció által keltett elektromotoros erő: 81 Eö = −  dI dΨ d ( LI ) dL =− = − L + I   dt dt dt dt  ⇓ (ha L időben állandó) ⇓ Eö = − L L egysége: dI dt 1 henry (H) = 1 Wb/A = 1 Vs/A azaz 1 A/s áramerősség-változáskor 1V feszültség indukálódik. Az önindukció szerepe az áram be- és kikapcsolásánál L R 1 + E I0 = E R K2 Bekapcsolásnál: I0 = R E I 0,63 . I0 0 R  − t I = I 0  1 − e L    t= L R t 82 Kikapcsolásnál (t = 0): I I0 = ER I = I 0e 0,37 . I0 τ= 0 t t= L R R L − t L az áramkör időállandója R Kölcsönös indukció 1 Β2 I1 Ψ 12 L 21 L12 2 I2 B1

Ψ 21 Ψ 21 = L21 I 1 Ψ 12 = L12 I 2 E 2 = − L21 dI 1 dt E1 = − L12 dI 2 dt a 2 és 1 vezetőhurok kölcsönös indukciós tényezője az 1 és 2 vezetőhurok kölcsönös indukciós tényezője Kimutatható, hogy: L 21 = L 12 = M , ahol M a két vezetőhurok kölcsönös indukciós tényezője 83 Az áram mágneses terének energiája B K nyitása után L R K + E B  és fokozatosan csökkenve megszűnik I  és dW = E ö Id t = − dΨ Id t = − IdΨ dt Mivel dΨ = LdI dW = − LIdI ⇓ I 1 2 W = − ∫ LIdI = LI 2 0 Ez - a mágneses tér megszűnéséből eredő - munka a tekercs és az összekötő vezetékek energiájának növelésére, illetve melegítésére fordítódik. ⇓ A mágneses tér tehát energiával rendelkezik, hasonlóképp mint a feltöltött kondenzátor elektromos mezője (CU2/2) haladó mozgást végző test (mv2/2) forgó mozgást végző test (Θω2/2) 84 ⇓ az L induktivitás hasonló szerepet játszik,

mint az m, vagy a Θ ⇓ az önindukció jelenségében az áram és a mágneses tér "tehetetlensége" nyilvánul meg A mágneses tér energiasűrűsége Mint megmutatható: 1 2 W = µ 0 µ r H 2V , amelyből a mágneses tér energiasűrűsége 1 1 B2 W 1 2 w = = µ 0 µ r H = HB = 2 2 µ 0µ r V 2 Az eltolódási áram és az első Maxwell-egyenlet +Q Q I 6 1 7 5 (töltőáram) 2 3 4 + H Maxwell: - a kondenzátor időben változó elektromos terét is zárt mágneses erővonalak veszik körül, - a kondenzátor feltöltésekor vagy kisütésekor a drótban folyó, időben változó vezetési áramot a szigetelőben folytatódó "eltolódási áram" zárt áramra egészíti ki. 85 Ie = I = A D= Q felhasználásával f Ie = f dQ dt  ∂ D J =  e ,  ∂t  dD dt általánosan egy nyugvó f felületen Ie = ∂ Dn ∫ ∂ t df . (f ) Ha a zárt g görbe által határolt f felületen még I = ∫ Jnd f erősségű vezetési áram

is áthalad, akkor az I + Ie teljes áram H mágneses tere ∫ Hdl = I + ( g) ∂ Dn ∫ ∂ t df (f ) az első Maxwell-egyenlet integrálalakja Szemléletesen: 86 dD dt Az időben változó elektromos tér maga körül mágneses örvényteret létesít, vagy az időben változó D-vonalakat zárt H-vonalak veszik gyűrűszerűen körül g f H A Maxwell-egyenletek az E elektromos térerősség D elektromos eltolódás B mágneses indukció H mágneses térerősség J áramsűrűség ρ elektromos töltéssűrűség közötti összefüggések Az elektrodinamika alapvető posztulátumai, axiómái: A Maxwell- egyenletek 1. ∫ ( g) H dl = ∫ Jdf + (f ) ∂D ∫ ∂ t df (f ) mind a vezetési áram, mind az eltolódási áram - az időben változó elektromos tér - mágneses örvényteret létesít. 2. ∫ ( g) ∂B df (f ) ∂ t E dl = − ∫ 87 az időben változó mágneses tér elektromos örvényteret létesít. 3. ∫ Ddf = ∫ ρ dV (f ) ( V)

a D eltolódási vektor forrásai a valódi elektromos töltések. 4. ∫ Bdf = 0 (f ) a B indukcióvektor forrásmentes, mert valódi, egymástól elválasztható "mágneses töltések" nincsenek. Az ezekhez járuló anyagegyenletek: D = ε 0ε r E , B = µ 0µ r H , J =σE . Az anyagegyenletekben szereplő és az anyagi közegre jellemző εr µr σ mennyiségeket a fenomenológiai Maxwell-elmélet mint anyagállandókat tekinti, és nem kapcsolja össze őket az anyag atomi, ill. molekuláris állandóival. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK Az elektromágneses térre vonatkozó hullámegyenlet Láttuk, egyrészt, hogy 88  ∂ B időben változó B mágneses tér    ∂t  ⇓ E elektromos teret hoz létre másrészt  ∂ E időben változó E elektromos tér    ∂t  ⇓ B mágneses teret hoz létre Általában: B és E időbeli változása mellett ezek változási sebessége is változik ⇓ ahol időben változó elektromos tér

van jelen, ott egyidejűleg időben változó mágneses tér is jelen van, illetve ahol időben változó mágneses tér van jelen, ott egyidejűleg időben változó elektromos tér is jelen van ⇓ a kétféle, időben változó elektromos és mágneses tér egymással állandóan összefonódik, örvényes elektromágneses teret képez. Kimutatható, hogy az időben változó elektromágneses mező a (geometriai) térben - elektromágneses hullám alakjában - véges sebességgel terjed. A megfelelő hullámegyenletek: 89 vagy másképpen és vagy másképpen µ rε r ∂ 2H ∆H = 2 , 2 c ∂t ∂ 2H ∂ 2H ∂ 2H µ rε r ∂ 2H + 2 + 2 = 2 , 2 2 ∂x ∂y ∂z c ∂t µ rε r ∂ 2E , ∆E = 2 c ∂t2 ∂ 2E ∂ 2E ∂ 2E µ rε r ∂ 2E , + 2+ 2 = 2 2 2 ∂x ∂ y ∂z c ∂t amelyeket kielégítő függvények olyan hullámokat írnak le, amelyek fázissebessége: v= c . ε rµr A hullámegyenletek síkhullám megoldásaira az a jellemző, hogy az E( x , y , z , t

) és H( x , y , z , t ) vektorok a t időn kívül csak egy, pl. az x derékszögű koordinátáktól függenek, és függetlenek a másik két - y és x - koodinátától. 90 y Az E és B, v (vagy D, H, v) E v x vektorok merőlegesek egymásra és jobbsodrású rendszert képeznek. B z A hullámegyenletek E(t−x/v), ill. H(t−x/v) tipusú síkhullám megoldásai homogén és izotrop szigetelőkben az x irányban v = c / ε r µ r , ( ) amikor az E és H vektorok ω frekvenciájú harmonikus rezgést végeznek:  x Ey = E0 cosω  t −   v és  x Hz = H0 cosω  t −  ,  v (E x = E z = H x = H y = 0) , ahol E 0 és H 0 időtől független hullámamplitúdó, amelyre ε 0ε r ⋅ E0 = µ 0 µ r ⋅ H 0 91 összefüggés áll fenn. Ez a hullám transzverzális és lineárisan poláros síkhullám [az E vektor síkját (xy) rezgési síknak, a H vektorét (xz) polarizációs síknak hívják). A haladó monokromatikus hullámban

az E és H vektrorok mindig azonos fázisban rezegnek. Az elektromágneses tér energiája Elektromágneses térre az energia megmaradásának tételét a − ∂ 1 1 2 2 + ε ε E µ µ H   dV = ∫ EJ dV + ∫ [ EH ]df ∫ 0 r 0 r   ∂t V 2 2 V f egyenlet fejezi ki, amelyben a 1 2 1 2 u = uE + uH = ε 0ε r E 2 + µ 0 µ r H 2 92 baloldali integrandusz (mint láttuk) az elektromos és a mágneses energiasűrűség összege, azaz az elektromágneses tér teljes energiasűrűsége. A J2 JE = σ E = σ 2 mennyiség az idő- és térfogategységre vonatkoztatott Joule-hőt jelenti (a V térfogatban lévő elektromágneses energia időegység alatti csökkenésének azt a részét adja meg, amely a vezetőben folyó áram által a V térfogatban időegység alatt termelt Joule-hő fedezésére szolgál). Az [E, H ] ≡ S Poynting-vektor mennyiségnek a V térfogatot határoló f felületre vett felületi integrálja az e felületen időegység alatt

elektromágneses sugárzás formájában átáramló energia. Az S Poynting-vektor vagy energiasugárzási vektor nagysága az energiaáramlás áramsűrűségét, iránya pedig az energiaáramlás irányát adja. 93 Szabad elektromágneses hullámok - az elektromágneses hullámokat sugárzó legegyszerűbb rendszer egy pontszerű elektromos dipólus, amelynek dipólusmomentuma gyorsan változik az idővel: Rezgő elektromos dipólus A változó terek a szabad térben elektromos és mágneses hullámok alakjában -az őket létrehozó töltésrendszerről, illetve áramkörről leszakadva- igen nagy távolságokra is eljuthatnak. 94 (Hertz-kísérletek (polarizáció (elforgatás, Hertz-f. rács), állóhullámok-reflexió, törés, fókuszálás, c2 = 1/εμ Maxwell-reláció)) Az E-vonalak kialakulása a dipólus környezetében Megkülönböztetünk: - sztatikus zóna (kis távolságoknál) - középső zóna - hullámzóna (nagy távolságoknál) 95