Matematika | Valószínűségszámítás » Az eloszlások fajtái

Az eloszlások fajtái Diszkrét eloszlások: ξ valószínűségi változó diszkrét, ha annak lehetséges értékei véges vagy végtelen sorozatba szedhetők. 1. Karakterisztikus eloszlás Háttér: bekövetkezik-e az A esemény vagy sem. P (ξ = 1) = p M (ξ ) = p P (ξ = 0) = 1 − p ,0 ≤ p ≤ 1 D (ξ ) = pq 1, ha A ξ = 0, ha A 2. Binomiális eloszlás Háttér: visszatevéses mintavétel (ξ a mintában lévő megkülönböztetett elemek száma), Bernoulli-kísérletsorozat, N>>n: visszatevés nélküli mintavétel n P (ξ = k ) =   p k (1 − p ) n −k k  ahol n ∈ N , p ∈ R 0 ≤ p ≤ 1, k = 0,1, .n M (ξ ) = np D (ξ ) = npq ( q = 1 − p ) 3. Hipergeometrikus eloszlás Háttér: visszatevés nélküli mintavétel pk  M  N − M     k  n − k  = P( ξ = k ) =  N    k M(ξ ) = np D 2 (ξ ) = npq ⋅ N−n N −1 4. Poisson-eloszlás Háttér: intervallumba

esések számának valószínűsége, intervallum: idő, hossz, terület stb) végtelen eloszlás P (ξ = k ) = λk e −λ k! ahol λ ∈ R + , k = 0,1,2. M( ξ ) = λ D(ξ ) = λ 5. Geometriai eloszlás Háttér: első bekövetkezés, ismételek egy kísérletet és figyelek egy A eseményt, P(A)=p. Mikor következik be először az A esemény? végtelen eloszlás P (ξ = k ) = (1 − p ) k −1 ⋅ p 0 ≤ p ≤ 1, k = 1,2. M (ξ ) = 1 p D (ξ ) = q p Folytonos eloszlások: 1. Egyenletes eloszlás  0  1 f (x ) =   b-a  0 , x≤a , a<x<b , b≤x a+b M (ξ ) = 2  0  x - a F (x ) =  b-a  1 , x≤a , a<x≤b , b≤x b−a D (ξ ) = 2 3 2. Exponenciális eloszlás ,x <0 0 f : f ( x) =  - λx λ ⋅ e , 0 ≤ x + λ∈R M ( ξ ) = D( ξ ) = ,x < 0 0 F : F ( x) =  - λx 1 − e , 0 ≤ x 1 λ 3. Normális eloszlás f : f ( x) = 1 σ 2π − ( x − m) 2 2 ⋅ e 2σ  x−m F : F ( x) =

Φ   σ  M(ξ)=m D(ξ)=σ Standard normális eloszlás: m=0 és σ=1 ϕ ( x) = Φ( x) = 1 2π 1 2π ⋅e − x2 2 2 ⋅ x −t e 2 ∫ −∞ dt Kapcsolat a normális és a standard normális eloszlás között:  x − m F( x) = Φ    σ  Standard normális eloszlás negatív értékekre: Φ ( − x) = 1 − Φ ( x)