Építészet | Tanulmányok, Esszék » Mérnöki problémák megoldása

Paláncz Béla, Építőmérnöki Informatika (2005/2006) 1. Mérnöki problémák megoldása "A mérnöki problémamegoldás az elhanyagolás művészete" Gillemot László Bevezetés Az előadás a mérnöki problémamegoldás egyes fontosabb lépéseit mutatja be egy egyszerű, az építőmérnökök hallgatókhoz szakmailag közeleső geodézia területéről vett példa kapcsán. A megoldás lépésein kívül bemutat, olyan fontos fogalmakat, mint mérés, fizikai és matematikai modell, numerikus és szimbolikus megoldás, a mérés és megoldás hibája. Szintén szemlélteti a számítógép szerepét, azt, hogy az egyes lépések, mint modell felállítása és megoldása, az eredmény grafikus megjelenítése miként automatizálhatók. A probléma megoldása során, jól tetten érhetők azok a lépések, amelyeknél a szaktárgyi, a szűkebb értelemben vett mérnöki ismeretek, illetve, azok a lépések ahol a jelen tárgyban az informatikában

elsajátítandó ismeretek játsszák a főszerepet. Ebből a példából azt is láthatjuk, hogy a mérnöki problémamegoldást nem véletlenül nevezik az elhanyagolás művészetének, lásd epilógus. Az itt szerepeltetett példa jól szemlélteti a mérnöki és informatikai szemlélet szimbiózisát is. Hiszen olyan fogalom párok fedezhetők fel, mint a mérés - az információ szerzése, a modell megoldása - az információ átalakítása, új információ létrehozása, az eredmény függvényként való definiálása - az információ tárolása. A probléma definiciója Az időszámításunk előtti harmadik században élő cyreneni görög matematikus, Eratosthenes, aki egyben az egyiptomi Alexandriai könyvtár vezetője is volt, i.e 225, elhatározta, hogy megállapítja a föld kerületét. Ennek érdekében a következő kísérletet végezte el Kísérlet - mérés Megfigyelte, hogy Alexandriában, a nyár első napján a nap helyzete a függőlegestől délre

7.2 fokra, a déli irányban volt. Ugyanekkor Syene-nében, amely 5000 stadion távolságra van Alexandriától, a nap éppen függőlegesen helyezkedett el. Ennek alapján akarta meghatározni a föld észak-déli pólusain áthaladó földkerületet. A mai ismereteink szerint egy stadion kb 01575 km-nek felel meg. Fizikai modell Annak érdekében, hogy a problémát matematikailag kezelni tudjuk, számos feltételezést kell tennünk. Feltételezzük, hogy - a föld gömb alakú - a föld felülete sima, nincsenek domborzati egyenetlenségek - a napsugarak beesési szöge Alexandrában és Syene-ben megegyezik - Syene és Alexandria ua. a hosszúságon fekszik Valójában Syene 3 fokra keletre esik. Ezeknek a közelítő feltevéseknek az alapján a fizikai modellünket az alábbi ábra szemlélteti. 1. ábra A közelítő fizikai modell szemléltetése Matematikai modell Az ábra alapján az α és β szögek egyenlők, azaz az első egyenletünk, a=b A teljes körnek

megfelelő 360 foknak és az a szög aránya megegyezik a föld kerületének, c és az Alexandria és Syene közötti távolság, d arányával, azaz a második egyenletünk, c 360 = d a Szimbolikus megoldás A két egyenlet által képviselt matematikai modell megoldását az α és C változók explicit kifejezése jelenti.Ennek érdekében alkalmazzuk a Matlab beépített solve függvényét >>c = solve(c/d -360/beta = 0,c) c = 360/beta*d Definiáljuk a kerületre kapott kifejezést, mint függvényt, azaz, mint a mért adatok függvényét, function c = circumference(d, beta) c = 360*d./beta; Az eredmény grafikus megjelenítése Miután más város párokkal is elvégezhetnénk fenti kísérletet, amelyek esetén a mért beesési szög, β és a városok távolsága d más lehet, érdemes felrajzolni a c(d, β) függvényt. >> >> >> >> d = 3500:100:4500;beta=1:0.01:11; [X,Y]=meshgrid(d,beta); Z=circumference(X,Y); mesh(X,Y,Z) 2. ábra A

kerület értékének függése a beesési szögtől és a távolságtól Az ábrából látszik, hogy β < 2 fok esetén, a szögmérés kicsiny hibája, a kerület számértékében már igen nagy hibát eredményezhet. A modell megoldásának numerikus kiértékelése A mérési adatok esetünkben, dm és βm, a következők, >> dm=5000;betam=7.2; Ezekkel a Föld kerülete stadionban, >> cm=circumference(dm,betam) vagy kilométerben kifejezve, figyelembevéve, hogy m = 0.1575 km/St, azaz >> mu=0.1575; >> cm*mu ans = 39375 Közelítően 4 szignifikáns jegy pontossággal, >> round(39375/10)*10 ans = 39380 Illetve egy jegy pontossággal, >> round(39375/10000)*10000 ans = 40000 Epilógus Mai ismereteink szerint a Föld poláris kerülete 40 009 kilométer. Ellenőrző kérdések 1. Melyek a mérnöki feladatmegoldás általános lépései? 2. Miként határozta meg Eratosthenes a föld kerületét, milyen matematikai modellt állított

fel? 3. Milyen elhagyagolásokkal élt a fizikai modell felállításakor? 4. Miként befolyásolja a mérési hiba a végeredmény hibáját?