Matematika | Analízis » Simon Csilla - A Henstock-Kurzweil féle integrál

http://www.doksihu Simon Csilla Matematika BSc, elemző szakirány A Henstock-Kurzweil féle integrál Szakdolgozat Témavezető: Keleti Tamás, egyetemi docens Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Budapest, 2009 http://www.doksihu <Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Emlékeztető 3 2.1A Riemann-integrál 3 2.2A Lebesgue-integrál 5 3. A Riemann-, és a Lebesgue integrál hiányosságai 6 4. A Denjoy, és a Perron integrál 8 5. A Henstock-Kurzweil integrál 10 5.1 A Riemann-integrál és a Henstock-Kurzweil integrál kapcsolata . 11 5.2 Az integrálszámítás alaptételének I. része 12 5.3 Alaptulajdonságok . 15 5.31 A Cauchy kritérium 17 5.32 Az integrál, mint függvényhalmaz 19 5.4 Nem korlátos intervallumok . 21 5.5 Henstock-lemma . 23 5.6 Abszolút integrálhatóság . 28 5.7 Az integrálfüggvény differenciálhatósága . 30 5.8 A Lebesgue-integrál, és a Henstock-Kurzweil

integrál kapcsolata . 34 5.9 0 integrálú függvények . 35 5.10 Henstock-Kurzweil integrál ℝ -en 35 6. Összegzés 38 7. Irodalomjegyzék 39 8. Köszönetnyilvánítás 40 1 http://www.doksihu Bevezetés 1. fejezet Bevezetés Az integrálszámítás az analízis egyik fő része, a differenciálszámítás mellett. Leibniz és Newton voltak azok a kiváló matematikusok, akik az addig megszületett eredmények (amelyek Wallis, Pascal, Fermat, Gregory, Barrow, és Huygens műveiben már megjelentek) ismeretében, egymástól függetlenül felfedezték a differenciál- és az integrálszámítást, valamint a kettő kapcsolatát is. Az integrálfogalom legjelentősebb továbbfejlesztői: Clayraut (görbementi kétváltozós integrál), Euler (kettős integrál), Lagrange (hármas integrál), Riemann (Riemann-integrál), Lebesgue (Lebesgueintegrál), Henstock és Kurzweil (Henstock-Kurzweil integrál) és Stieltjes (Stieltjesintegrál). A különböző

integrálelméletekre azért van szükség, hogy például nem Riemann-integrálható függvény is integrálható legyen (például a Dirichlet függvény Lebesgue-integrálható), vagy, hogy ne csak számegyenesen vagy ℝ -ben lehessen használni, hanem absztraktabb terekben. A szakdolgozatom célja bemutatni a Henstock-Kurzweil féle integrálszámítást, amelyet általánosított Riemann-integrálnak is szoktak nevezni. 2 http://www.doksihu Emlékeztető 2. fejezet Emlékeztető Ebben a fejezetben röviden áttekintjük azokat az ismereteket, amelyekre a későbbiek során szükség lesz. 2.1 A Riemann-integrál Legyen adott az = ( ), amely az [ , ] zárt intervallumban mindenütt értelmezett, korlátos függvény. Számoljuk ki a függvény alatti terültet: Legyen az [ , ] intervallum egy ф felosztása: Az [ , ] fölötti rész = < < <⋯< = . területét becsüljük alulról és felülről: 1. ábra ∙( alsó becslés: = { ( ): téglalap

− ≤ ), ahol ≤ } − magassága, a a téglalap alapja. ∙( felső becslés: { ( ): = ), ahol − ≤ ≤ − téglalap magassága, } a a téglalap alapja. (szemléletesen az 1 ábrán) Ami azt jelenti, hogy: ∙( − )≤ ≤ ∙( ). − A keresett terület: . Tehát: ∙( − )≤ ≤ 3 ∙( − ). http://www.doksihu Emlékeztető ∑ ∙( ∑ ∙( − − ) az függvény alsó közelítő összege, amit ) pedig a felső közelítő összeg, aminek a jele ф -vel jelölünk, ф. Azaz: ф ≤ ≤ ф. Világos, hogy ha minden ф( ) alsó közelítő összeg alulról becsül, akkor ezek infimuma is, és ha minden ф( ) felső közelítő összeg felülről becsül, akkor ezek szuprémuma is. Elnevezés: az függvény [ , ]-n vett alsó integrálja: ф( )= ( ) ф( )= ( ) felső integrálja: Tehát: ( ) ≤ ≤ ( ) Vagyis ha az alsó és felső integrál megegyezik, akkor a terület csak ennyi lehet. Riemann

integrálhatóság: 2.1 Definíció: Az korlátos függvény Riemann-integrálható az [ , ]-n, ha az alsó és felső integrálja megeggyezik. Ekkor ezt a mennyiséget hívjuk az függvény Riemann- integráljának. 2.2 Tétel: Ha az függvény folytonos az [ , ] intervallumon, akkor intagrálható az [ , ]-n. 4 Riemann- http://www.doksihu Emlékeztető 2.2 A Lebesgue-integrál Mivel a szakdolgozatom célja a Henstock-Kurzweil integrál bemutatása, a Lebesgue integrállal kapcsolatban egyetlen tételt említünk csak, mert a későbbiek során csak erre az egy tételre hivatkozunk. 2.3 Tétel: Az függvény akkor és csak akkor Lebesgue-integrálható, ha | | Lebesgue-integrálható. 5 http://www.doksihu A Riemann-, és Lebesgue-integrál hiányosságai 3. fejezet A Riemann-, és Lebesgue-integrál hiányosságai Az integrálszámítás alaptételének I. része a következő: 3.1 Tétel: Tegyük fel, hogy : [ , ] ℝ, és ′ integrálható [ , ]-n Ekkor: ′ =

( ) − ( ). A tétel feltétele, hogy ′ integrálható legyen, nem hagyható el, mert ′ nem mindig Riemann- vagy Lebesgue-integrálható. Természetes elvárás lenne, hogy a tétel minden ′ deriváltfüggvényre teljesüljön. Nézzünk két példát, amikor nem teljesül a feltétel: - A Riemann-integrálnál a fenti képlet csak akkor igaz, ha teljesül az a feltétel, hogy ′ Riemann-integrálható. Tekintsük a következő példát: : [0,1] ℝ, és ℎ 0< ( )= 0 Ekkor ℎ ≤1 . =0 differenciálható a [0,1] intervallumon, és a deriváltja: ′( )= 2 + 2 ℎ 0< 0 mivel az ℎ ≤ 1. =0 ′ nem korlátos a [0,1] intervallumon, ezért integrálható, azaz nem teljesül a képlet. Az 2. ábrán az ′ ( ) függvény látható, Maple-ben ábrázolva. 2. ábra 6 ′ nem Riemann- http://www.doksihu A Riemann-, és Lebesgue-integrál hiányosságai - A Lebesgue-integrálnál is hasonló a helyzet. A fenti képlet szükséges feltétele, hogy

′ Lebesgue integrálható legyen. Nézhetjük most is az előző példát. Ha 0 < < < 1, akkor ′ folytonos [ , ]-n, ezért Riemann-integrálható, és ′ Legyen = Mivel az [ , √ , és − = = , ekkor ∫ . ′= . ] intervallumok páronként diszjunktak, ∞ ∞ | ′| ≥ | ′| ≥ 1 = ∞. 2 Ebből következik, hogy ′ nem abszolút integrálható [0,1]-n, így nem Lebesgueintegrálható, vagyis ebben az esetben sem teljesül a fenti képlet. A fenti két példa bizonyítja, hogy az integrálszámítás alaptételének I. része nem teljesül minden ′ függvényre, azaz az integrálszámításnak ilyen értelemben hiányosságai vannak. 7 http://www.doksihu A Denjoy és Perron integrál 4. fejezet A Denjoy és Perron integrál Matematikusok úgy gondolták, hogy szükség lenne olyan integrálelméletre, amelyre teljesül az integrálszámítás alaptételének I. része teljes általánosságba, azaz olyan integrálszámítás kellene,

amelyre minden derivált integrálható. A.Denjoy (1884-1974) 1912-ben bevezetett egy új integrálási elméletet, ami annyira bonyolultnak bizonyult, hogy nem is nagyon használták. Lusin később adott egy sokkal alaposabb jellemzést a Denjoy integrálról, ami majdnem ugyanannyira nehéz. 1914-ben O.Perron bevezetett egy másik integrál elméletet, amelyre az integrálszámítás alaptételének I. része teljes általánosságban fenn áll A Perron integrál definíciója alig tér el a Denjoy integráltól. A két elmélet ekvivalenciáját Alexandrow és Looman be is bizonyították. A Perron integrál (vázlatos) definíciója előtt néhány fogalmat is be kell vezetni: 4.1 Definíció: Legyen : [ ] ℝ és ∈ [ , ]. Az függvény felső deriváltja az helyen: ( ) = lim ( )− ( ) . − ( ) = lim ( )− ( ) . − Hasonlóan, f alsó deriváltja: Így deriválható az helyen akkor és csak akkor, ha ( )= ( ), és mindkét derivált véges. 4.2

Definíció: Legyen függvényt az ( ) = 0, függvényt az ( ) = 0, : [ , ] ℝ∗ , ahol ℝ∗ = ℝ ∪ {−∞, ∞}. Egy függvény felső (major) függvényének nevezzük, ha ( ) > −∞, és ( ) ≥ ( ) minden ( ) ≤ ( ) minden 8 folytonos [ , ]-n, ∈ [ , ]-re. Egy : [ , ] ℝ függvény alsó (minor) függvényének nevezzük, ha ( ) < ∞ és :[ , ] ℝ ∈ [ , ]-re. folytonos [ , ]-n, http://www.doksihu A Denjoy és Perron integrál differenciálható [ , ]-n, akkor A definícióból következik, hogy ha egyszerre felső és alsó függvénye ′-nek. Ha -nek, akkor belátható, hogy { ( ): −∞ < − egy felső, − ( ) pedig egy alsó függvénye növekvő függvény. Ezért: alsó függvénye -nek } ≤ { ( ): felső függvénye - nek } < ∞. A Perron integrál: 4.3 Definíció: Egy : [ , ] ℝ függvényt Perron integrálhatónak nevezünk [ , ]-n akkor és csak akkor, ha -nek van legalább egy felső és egy alsó

függvénye [ , ]-n, és { ( ): Az alsó függvénye -nek } = { ( ): felső függvénye -nek }. függvény Perron integrálja [ , ]-n definíció szerint az egyenlőség értéke. Ha egy : [ , ] ℝ függvény deriváltja véges [ , ]-n, akkor a definícióból következik, hogy ′ Perron integrálható [ , ]-n, és az integrál értéke ( ) − ( ). Tehát az integrálszámítás alaptételének I. része valóban fennáll teljes általánosságban a Perron integrál esetén. Ez csak egy vázlatos definíciója volt a Perron integrálnak (hiszen a definíció következményeit nem bizonyítottuk). A Perron integrállal ennél többet nem is foglalkozunk, mert igaz, hogy a definíció nem olyan bonyolult, de alkalmazni már nehezebb. Tehát még mindig nem kaptunk megfelelő integrálelméletet. Az előbb bemutatott integrálszámításra igaz az integrálelmélet alaptételének I. része, de szerettek volna ennél egyszerűbbet, amit könnyebben lehet használni.

Henstock és Kurzweil előállt egy integrálelmélettel, ami egy kibővített változata a Riemann-integrálnak és teljes általánosságban igaz rá az integrálszámítás alaptételének I. része Ez az integrálszámítás jóval egyszerűbb, mint a Perron vagy a Denjoy, mégis ekvivalensek. 9 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál 5. fejezet A Henstock-Kurzweil integrál Mielőtt definiálnánk a Henstock-Kurzweil integrált, be kell vezetnünk néhány fogalmat. 5.1 Definíció: Adott egy = {( , ) ∶ = 1, , rendelkező felosztásán, a halmazt értjük, ahol = [ , ] ⊂ ℝ intervallum. Az } rendezett párokból álló véges az [ , ] zárt részintervalluma, legfeljebb egy pontú, ha ≠ .A pont az egy kijelölt pontokkal ∈ ,⋃ = [ , ], és ∩ intervallumhoz tartozó kijelölt pont. Más szóval, egy ilyen kijelölt pontokkal rendelkező felosztás tartalmaz mindegyik intervallumból egy-egy pontot. 5.2 Definíció: Legyen adott egy

értelmezett = [ , ] intervallum. Az intervallumon függvényt normának nevezünk, ha van olyan : [ , ] (0, ∞) függvény, hogy ( ) = ( − ( ), + ( )). Ha rendelkező felosztása -nek, és finomságú felosztás, ha ⊂ = {( , ) ∶ = 1, , } egy kijelölt pontokkal egy norma az intervallumon, azt mondjuk, hogy ( ) minden -re. Mondhatjuk úgy is, hogy a - felosztás egy -finomságú felosztása -nek. 5.3 Definíció: = {( , ) ∶ = 1, , } egy kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek. Az ( , )= ( )( ) összeget a D-re vonatkozó Riemann-féle összegnek hívjuk. A Riemann-integrált már definiáltuk az emlékeztetőben (2.1 definíció), de definiálhatjuk másféle módon is: 5.4 Definíció: Legyen ha van olyan : [ , ] ℝ. Az függvény Riemann integrálható [ , ]-n, ∈ ℝ valós szám, hogy minden 10 > 0-ra létezik > 0, hogy ha = http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál {( , [ , melyre [ ]) ∶ 1 ≤ ≤ , ]⊂( −

, } egy kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek, + ), akkor | ( , )− |< . Ezek után már definiálhatjuk a Henstock-Kurzweil féle integrált: 5.5 Definíció: Legyen integrálhatónak nevezzük létezik : [ , ] ℝ. Az = [ , ]-n, ha létezik függvény úgy, hogy minden függvényt Henstock-Kurzweil ∈ ℝ úgy, hogy minden > 0-ra -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztásra [ , ]-n | ( , )− |< . Az =∫ számot az függvény Henstock-Kurzweil integráljának nevezzük. Jelölés: . A Henstock-Kurzweil integrált általánosított Riemann-integrálnak is nevezik. 5.1 A Riemann-integrál, és a Henstock-Kurzweil integrál kapcsolata: : [ , ] ℝ Riemann-integrálható függvény, akkor 5.6 Tétel: Ha Henstock- Kurzweil integrálható, és a két integrál megegyezik. A tétel nem olyan meglepő az előző két definíció alapján. Az viszont nem olyan egyértelmű, hogy miért is ekvivalens a Riemann-integrál előbbi

definíciója és az emlékezetőben definiált Riemann-integrál. A következő bizonyítás ehhez kapcsolódik: Bizonyítás: (vázlat) Tegyük fel, hogy Riemann-integrálható. Legyen egy -nak megfelelően választott, a Riemann-integrál definíciója szerint, és ( ) = ( − , + ). Ekkor minden -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztásnak a mértéke kisebb lesz, mint . A tétel megfordítása nem igaz, azaz ha egy függvény Henstock-Kurzweil integrálható, abból még nem következik, hogy Riemann-integrálható is. Példa: azt már korábban bebizonyítottuk, hogy az 11 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál ′( + )= 2 2 ℎ 0< 0 ℎ ≤1 =0 függvény nem Riemann-integrálható. Azt, hogy Henstock-Kurzweil integrálható, később bebizonyítjuk. 5.2 Az integrálszámítás alaptételének I része Azt már az elején is említettük, hogy a Henstock-Kurzweil integrálra teljes általánosságban igaz az integrálszámítás

alaptételének I. része, azonban ezt még nem láttuk be. A bizonyításhoz szükségünk van egy lemmára, amelyet a bizonyítás bonyolultsága miatt nem bizonyítunk. 5.7 Közrefogó Lemma: Legyen ∈ [ , ]-ban. Minden : [ , ] ℝ egy differenciálható függvény > 0-ra létezik > 0, -tól függő érték úgy, hogy minden , ∈ [ , ]-re ( )− ( )− ahol − < ≤ ≤ < ′( )( − ) ≤ ( − ), + . 5.8 Tétel: (az integrálszámítás alaptételének I része) Tegyük fel, hogy : [ , ] ℝ differenciálható [ , ]-n. Akkor ′ Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n, és ′ = ( ) − ( ). Bizonyítás: Adott > 0. Minden ∈ [ , ]-re választunk egy ( ) > 0-t a Közrefogó Lemma alapján, valamint definiálunk egy ( )). Feltesszük, hogy [ , ]-nek. Az = {( , [ , ]) ∶ 1 ≤ ≤ } egy -finomságú felosztása intervallumokat rendezzük úgy, hogy az végpontja egyezzen az baloldali végpontjával, és legyen intervallum jobboldali

=[ Ekkor: ( )− ( )= [ ( )− ( A Közrefogó Lemma alapján 12 ( ) = ( − ( ), + normát [ , ]-n: )] . , ], minden -re. http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál ( ′, ) − ( )− ( ) ≤ Így, { ′ ( )( = )]} ) = ( − ). − ( )−[ ( )− ( − ′ Henstock-Kurzweil integrálható, és teljesíti az ∫ ′ = ( )− ( ) egyenlőséget. Ami azt jelenti, hogy minden derivált Henstock-Kurzweil integrálható A következőkben megmutatjuk, hogy a Henstock-Kurzweil integrál egyértelmű. Előbb azonban azt kell bebizonyítanunk, hogy minden intervallumnak van -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása. 5.9 Tétel: Legyen = [ , ]-n. Ekkor létezik -finomságú, kijelölt egy norma az pontokkal rendelkező felosztása -nek. = { ∈ ( , ]: [ , ]-nek van egy Bizonyítás: Legyen -finomságú, kijelölt ∈ . Tudjuk, hogy pontokkal rendelkező felosztása}. Meg kell mutatnunk, hogy ≠ ∅, legyen ∈ ( ) ∩ ( , ), így {( ,

[ . ])} egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek. Tehát Bebizonyítjuk, hogy tehát = , az ∈ , és ≠ ∅. egyik eleme. A definíció alapján által meghatározott. Válasszunk egy ∈ ( )-t úgy, hogy ∈ [ , ]-nek, < , és ∈ , és egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek. Ekkor ′ = ∪ {( , [ , ])} egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nak. Ezért ∈ . Végül megmutatjuk, hogy ∈ ( ) ∩ ( , )-t. Legyen egy ′ felosztása [ , ]-nak. Ezért = = . Tegyük fel, hogy < . Válasszunk egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező ∪ {( , [ , ])} egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek. Mivel < , ez ellentmond megválasztásának, így = . 5.10 Tétel: Egy függvény Henstock-Kurzweil integrálja egyértelmű, azaz egyetlen érték. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy intervallumon, és -ra és Henstock-Kurzweil

integrálható az [ , ] -re igaz a Henstock-Kurzweil integrál definíciója, azaz Henstock-Kurzweil integrálja illetve . Rögzített 13 > 0-ra választunk -t, és -t, http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál ′ A-nak, és B-nek megfelelően. Legyen = . Legyen ( ) = fel, hogy D egy -finomságú felosztás, emiatt D -finomságú és | − | ≤ | − ( , )| + | ( , ) − | < Mivel ( )∩ ′ + ( ), és tegyük -finomságú. Ekkor: ′ = . = . Így, a Henstock-Kurzweil tetszőleges választott, következik, hogy integrál értéke egyértelmű, azaz egyetlen érték. Az eddigiek során a Henstock-Kurzweil integrálról csak annyit láttunk be, hogy minden olyan függvény, amelynek létezik a deriváltja minden pontban, annak a derivált függvénye Henstock-Kurzweil integrálható is. Azt az esetet viszont még nem vizsgáltuk, hogy mi történik akkor, ha a differenciálhányados nem létezik egy véges ponthalmazon. A Henstock-Kurzweil

integrál annyira „kibővített” integrál, hogy még ebben az esetben is teljesül rá az integrálszámítás alaptételének I. része 5.11 Tétel: (az integrálszámítás általánosított alaptétele I) Legyen , : [ , ] ℝ Tegyük fel, hogy [ , ]-n. Ekkor folytonos, és ′ = megszámlálhatóan sok pont kivételével az Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n, és = ( ) − ( ). Bizonyítás: Legyen ={ } ∈ azon pontok halmaza, ahol vagy nem létezik, vagy > 0. Ha ∈ [ , ] , válasszuk ( ) > 0-t - létezik, de nem egyenlő -fel. Legyen ∈ , akkor nak megfelelően, a Közrefogó Lemma alapján. Ha Válasszuk ( ) = ( ) > 0-t úgy, hogy | − (1)| ( ) − ( )| < ∙2 ( ) , (2)| ( )|| − ∙2 ( ) . | < ′ = | < ( ) esetén teljesüljön: Biztos, hogy van ilyen δ, hiszen (1) garantálható az függvény -beli folytonossága miatt, (2) pedig ( ) = 0 esetén világos, különben pedig ( ) < ∙ (2)-t. Definiáljunk egy

normát [ , ]-n úgy, hogy ( ) = ∈ [ , ]-re. Tegyük fel, hogy = {( , ) ∶ = 1, , pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek, ahol alkalmas -ra. ( ( ) ) garantálja − ( ), + ( ) minden } egy -finomságú, kijelölt = [ , ] minden -re. Legyen a azon elemeinek halmaza, amelynek a kijelölt pontjai [ , ] -ben találhatóak, és a azon elemei, amelynek a kijelölt pontjai alapján: 14 -be tartoznak. A Közrefogó Lemma http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál | ( ) − ( ) − ( )( )| ≤ − ( , )∈ Ha = ( ) ≤ ( − ). − ( , )∈ alkalmas -ra, akkor (1) és (2) alapján: | ( ) − ( ) − ( )( )| − ≤ | ( ) − ( )| + | ( ) − ( )| + | ( )( < 2 + + 2 < 2 )| − . 2 Következésképpen: ∞ | ( ) − ( ) − ( )( )| < 2 − ( , )∈ mivel minden lehet egy kijelölt pont a = , 2 intervallumhalmaz mindkét részhalmazában. Mivel minden végpont, -t, és -t kivéve előfordulhat, mint bal, vagy jobboldali

végpont, | ( , ) − [ ( ) − ( )]| = { ( ) − ( ) − ( )( − )} ( , )∈ ≤ ( − ) + = (1 + − ) , és ezzel igazoltuk a tételt. 5.3 Alaptulajdonságok Linearitás: 5.12 Állítás: Legyen , : [ , ] ℝ, és integrálhatók, akkor + ∈ ℝ. Ha és Henstock-Kurzweil is Henstock-Kurzweil integrálható, és ( Bizonyítás: Adott , > 0, és + )= ∙ + ∙ . -t válasszuk úgy, hogy ha egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek, akkor ( , )− Hasonlóan, válasszunk < > 0-t úgy, hogy ha rendelkező felosztása [ , ]-nek, akkor 15 2(1 + | |) egy . -finomságú, kijelölt pontokkal http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál ( , )− Legyen ( )= ( )∩ < 2(1 + | |) ( ), és tegyük fel, hogy . egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek. Ekkor: ( + = ∙ ( , )+ = ∙ ≤| | < Mivel , )− ∙ + ∙ ∙ ( , ) − ( , )− + ∙ ∙( ( , )−

)+ ( , )− ∙ +| | ( , )− | | | | + < + = . 2(1 + | |) 2(1 + | |) 2 2 + tetszőlegesen választható, következik, hogy is Henstock-Kurzweil integrálható, és ( + )= ∙ + ∙ . Pozitivitás: 5.13 Állítás: Legyen : [ , ] ℝ Tegyük fel, hogy nemnegatív, és Henstock- Kurzweil integrálható függvény. Ekkor: ≥ 0. Bizonyítás: Adott > 0, és válasszunk egy definíciónak. Ekkor, ha normát úgy, hogy megfeleljen a egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek, akkor ( , )− < . Következésképpen, mivel ( , ) ≥ 0, > ( , )− >− , bármely pozitív -ra. Ebből következik, hogy ∫ 16 ≥ 0. http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál Parciális integrálás: 5.14 Tétel: Legyen ’= , ’= , , , : [ , ] ℝ. Tegyük fel, hogy és folytonos, és megszámlálhatóan sok pont kivételével. Ekkor + is Henstock- Kurzweil integrálható, és ( Ezenkívül, + ) = ( ) ( ) − ( ) ( ).

is Henstock-Kurzweil integrálható akkor és csak akkor, ha is Henstock-Kurzweil integrálható, és ekkor: = ( ) ( ) − ( ) ( ). + Bizonyítás: A tétel első fele az 5.11 tételből adódik, hiszen: ( + ) = + = megszámlálhatóan sok pont kivételével, így ( + )= ( )′ = ( ) ( ) − ( ) ( ). A tétel második felének bizonyítása: mivel ( )′ = + megszámlálhatóan sok pont kivételével, az integrálszámítás általánosított alaptétele I. alapján ( )′ is Henstock-Kurzweil integrálható, és fennáll az ( + )= ( ) ( )− ( ) ( ) egyenlőség. 5.31 A Cauchy kritérium Tegyük fel, hogy az : [ , ] ℝ függvény Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n, és > 0. Ekkor van olyan norma amelyre, ha egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek, akkor: ( , )− Legyen és egymástól különböző < . 2 -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek. Ekkor: | ( , )− ( , )| ≤ ( ,

)− 17 + − ( , ) < , http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál amely egyben a Cauchy kritérium. A Riemann- integrálhoz hasonlóan a HenstockKurzweil integrál is jellemezhető a Cauchy kritérium feltételeivel 5.15 Tétel: Egy : [ , ] ℝ függvény Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n, > 0-ra van akkor és csak akkor, ha minden norma úgy, hogy ha és két - finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek, akkor | ( , )− ( , )| < . Bizonyítás: Feltesszük, hogy a Cauchy kritérium fennáll, és azt fogjuk bizonyítani, hogy az függvény Henstock-Kurzweil integrálható. Minden ∈ ℕ-re válasszunk kijelölt pontokkal rendelkező > 0 normát úgy, hogy bármely két, felosztására [ , ]-nek, , | ( , Ha -t ⋂ )− ( , 1 )| < . -vel helyettesítjük, feltehetjük, hogy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező > , mivel ⊂ , -finomságú, is egy ⊂ . Minden -ra rögzítjük a

felosztást. Megjegyezzük, hogy ha -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek. Ezért ( , amiből következik, hogy az { ( , )− ( , )} ∞ halmazán, ezért konvergens. Legyen 1 ) < , sorozat egy Cauchy sorozat a valós számok ennek a sorozatnak a határértéke. Az előbbi egyenlőtlenségből következik, hogy | ( , Be kell még bizonyítani, hogy definíciója. Legyen egy 1 )− |≤ . -ra igaz a Henstock-Kurzweil integrálhatóság > 0 rögzített, és válasszuk meg -t úgy, hogy > . Legyen -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek. Ekkor | ( , )− |= | ( , )− ( , Ebből következik, hogy )| + | ( , )− |< 1 + 1 < . Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n. Ezzel be is bizonyítottuk a tételt. 18 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál 5.32 Az integrál, mint függvényhalmaz Tegyük fel, hogy : = [ , ] ℝ Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n, és az [ , ] egy

részintervalluma. Ekkor igaz az alábbi tétel: 5.16 Tétel: Legyen : [ , ] ℝ egy Henstock-Kurzweil integrálható függvény [ , ]-n. Ha ⊂ [ , ] egy zárt részintervalluma [ , ] -nek, akkor Henstock-Kurzweil integrálható a -n. Bizonyítás: Legyen > 0 és egy norma az [ , ] intervallumon úgy, hogy ha és két, -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek, akkor | ( , Legyen )− ( , )| < . = [ , ] zárt részintervalluma [ , ]-nek, részintervallum. Legyen ̅ = | és = [ , ] és = | . Tegyük fel, hogy kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek, és rendelkező felosztása -nek, = 1,2. Ekkor ′ = is = [ , ] két ̅ -finomságú, és -finomságú, kijelölt pontokkal ∪( ∪ ′ ), és -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek. Mivel ′ = ∪( és ′ ∪ ) ugyanazokat a ( , ) párokat tartalmazza a intervallumon kívül, | ( , ) − ( , )| = | ( , ′) − ( , ′)| < . Így, a

Cauchy kritérium alapján Henstock-Kurzweil integrálható -n. Tehát ha egy függvény Henstock-Kurzweil integrálható egy Henstock-Kurzweil integrálható az intervallumon, akkor minden részintervallumán, és az ( )=∫ számhalmaz minden ⊂ zárt részintervallumon értelmezett. A kérdés az, hogy igaz-e az, hogy ha f Henstock-Kurzweil integrálható minden zárt ⊂ részintervallumon, akkor Henstock-Kurzweil integrálható -n. Ehhez kapcsolódik a következő tétel: 5.17 Tétel: Legyen : [ , ] ℝ és nincs közös belső pontjuk, de ⋃ minden -n, akkor véges számú zárt intervallum, melyeknek = [ , ]. Ha Henstock-Kurzweil integrálható Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n, és 19 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál = Bizonyítás: Először csak . = 2-re bizonyítjuk. Feltesszük azt, hogy [ , ] fel van = [ , ] és osztva két részintervallumra: = [ , ], és > 0-ra, és i=1,2-re választunk integrálható mindkét

intervallumon. Rögzített normát az intervallumon úgy, hogy ha rendelkező felosztása -nek, akkor intervallum, amelynek Henstock-Kurzweil egy -finomságú, kijelölt pontokkal ( , )−∫ < . Ha < , akkor a hosszabb -t nem tartalmazza: ( − | − |, + a középpontja, és | − |) = ( − | − |, ), hasonlóan, ha > , akkor a hosszabb intervallum ( , − | − |). Definiálunk egy normát az egészére a következőképpen: ( )= Mivel ( ) ∩ ( − | − |, ) ℎ ( ) ∩ ( , − | − |) ℎ ( )∩ ( ) ℎ ∈ ( ) akkor és csak akkor teljesül, ha ∈[ , ) ∈( , ]. = = , ezért kijelölt pontja minden - finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztásnak. Tegyük fel, hogy egy finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása [ , ]-nek. Ha ( , ) ∈ , és metszete az , = ∩ , ⊂ ∪ - intervallumokkal nem üres, akkor -t két intervallumra osztjuk: ( ), -t írunk, ahol = 1,2. Ekkor ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ). = {( , )

∈ : ∈ }. A helyett norma definíciójából adódik, hogy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek. Miután a kijelölt ponthoz kapcsolódóan felosztottuk az intervallumot, ha szükséges, mondhatjuk, hogy ( , )= ( , ( , )− Így )+ ( , − ). Így ≤ ( , )− )− < 2 + Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n, és = Az ( , + + . = 2 esetből teljes indukcióval adódik az általános eset. Ehhez a témához kapcsolódik egy fontos, ugyanakkor nem meglepő tétel is: 20 2 = . http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál 5.18 Tétel: Legyen : [ , ] ℝ folytonos [ , ]-n. Ekkor Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n. Bizonyítás: Azt már tudjuk, hogy egy folytonos függvény Riemann-integrálható (2.2 tétel), valamint hogy minden Riemann-integrálható függvény Henstock-Kurzweil integrálható is (5.6 tétel) Ebből a két tételből következik a fenti tétel A tételt be lehet bizonyítani úgy is, hogy nem

hivatkozunk a Riemann-integrálra, hanem közvetlenül a tételt bizonyítjuk. Ettől a bizonyítástól most azonban eltekintünk 5.4 Nem korlátos intervallumok A Henstock-Kurzweil integrálhatóságot eddig csak egy korlátos zárt intervallumon értelmeztük. Mi történik, ha ki szeretnénk terjeszteni egy nem korlátos intervallumra? Legyen egy ⊂ ℝ intervallumon értelmezett függvény. Kiterjesztjük az az egész ℝ-re a következőképpen: legyen az függvényt intervallumon kívül mindenütt 0. Az így kapott függvénynek ugyanaz lesz a Riemann- integrálja, mint az eredetinek, de ez már az egész ℝ-en értelmezett. Az ℝ halmaz egy felosztása egy véges rendezett ponthalmaz: , ,, = {−∞ = = ∞}. Ha ki szeretnénk terjeszteni a Henstock-Kurzweil integrált az ℝ halmazra, problémák merülnek fel: 1. ℝ-nek minden kijelölt pontokkal rendelkező felosztása tartalmaz legalább egy (általában két) végtelen hosszúságú részintervallumot. Ha

egy nem korlátos részintervallum, akkor azt mondjuk, hogy ( ) = ∞, ahol ( ) jelöli az intervallum hosszát. Megállapodunk abban, hogy 0 ∙ ∞ = 0 A probléma kiküszöbölése érdekében a következőt csináljuk: feltesszük, hogy értelmezett a számegyenes ℝ∗ = ℝ ∪ {−∞, ∞} meghosszabbításán, és definiáljuk az : ℝ∗ ℝ függvényt úgy, hogy (∞) = (−∞) = 0. Az [ , ∞], és [−∞, ] intervallumokat zártaknak tekintjük, amelyek tartalmazzák −∞-t, és ∞-t. Az 21 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál ( , ∞], [−∞, ) intervallumok nyíltak, amelyek tartalmazzák −∞-t, és ∞-t. Ha = −∞, és = ∞, akkor kiküszöböltük a problémát, azzal, hogy megállapodtunk, hogy 0 ∙ ∞ = 0. 2. Azért, hogy kezelni tudjuk a végtelen hosszúságú intervallumokat, olyan normát kell választanunk, amelyben annak az intervallumnak a kijelölt pontja, amely a ∞-t, vagy a −∞-t tartalmazza, az maga legyen a

∞, vagy a −∞. Valós számokra egy norma úgy volt értelmezve, mint egy középpontú nyílt intervallum ( − ( ), + ( )). Ez az értelmezés nem működik, ha = ∞, tehát ezt ki kell javítani. Előbb azonban vezessünk be néhány új fogalmat, illetve az eddigieket terjesszük ki ℝ∗ -ra: Tegyük fel, hogy ∉ , azaz : ⊂ ℝ ℝ. Kiterjesztjük = 0, ha -et ℝ∗ -ra, úgy, hogy ( ) = 0, ha = ∞ vagy −∞. A következőkben kikötjük, hogy ha az függvény a ∞-ben, vagy a −∞-ben definiálva van, akkor ott csak 0 lehet az értéke. Legyen ⊂ ℝ∗ egy zárt intervallum. -nek egy felosztását úgy definiáljuk, mint egy véges { , , } zárt intervallumhalmaz, melyek nem fedik egymást, de ⋃ Egy kijelölt pontokkal rendelkező felosztása az pár = {( , ) ∶ = 1, , ∈ , = 1, , Legyen .A } egy felosztása [ , ]-nek, és intervallumhoz tartozó kijelölt pontnak nevezzük. egy zárt részintervalluma ℝ∗ -nak, és tegyük

fel, hogy = {( , ) ∶ = 1, , függvény intervallumnak véges sok rendezett }, ahol { ∶ = 1, , pontot az = . : ℝ. Legyen } egy kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek. Az felosztásának megfelelő Riemann összeg: ( , )= ( ) ( ). Ha minden végtelen hosszú intervallumhoz a ∞ vagy a −∞ a kijelölt pont, akkor ez az összeg jól értelmezett, és véges. 5.19 Definíció: Adott egy intervallum értékű ⊂ ℝ∗ intervallum. Egy intervallumon értelmezett függvényt normának nevezünk, ha minden 22 ∈ esetén ( ) egy http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál nyílt intervallum ℝ∗ -n, amely tartalmazza -t. Ha kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek, és -finomságú, ha ⊂ ( ) minden -re, azaz = {( , ) ∶ = 1, , } egy egy norma -n, azt mondjuk, hogy egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek. 5.20 Definíció: Legyen egy zárt intervalluma ℝ∗ -nak, és : ℝ. Az f függvényt

Henstock-Kurzweil integrálhatónak nevezzük -n, ha van olyan > 0 esetén van ∈ ℝ, hogy minden norma -n, hogy minden -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztására [ , ]-nek | ( , )− |< . A fenti definíció a korábbi Henstock-Kurzweil integrál kiterjesztését adja ℝ∗ -ra. Ha egy függvény az eddigi definíció szerint Henstock-Kurzweil integrálható, akkor az új szerint is, és az integrálok megegyeznek. Az alaptulajdonságok ugyan úgy igazak itt is, mint korlátos zárt intervallumon. 5.5 Henstock lemma 5.21 Definíció: Legyen ⊂ ℝ egy intervallum. A { } legfeljebb egy pontban metsző, zárt intervallumokból álló halmaz egy részfelosztása -nek, ha = 1, . ⊂ minden -ra. -nek egy kijelölt pontokkal rendelkező részfelosztása egy olyan {( , ): = 1, . , } rendezett pontokból álló véges halmaz, melyben { } részfelosztása -nek, és ∈ részfelosztás -finomságú, ha minden > 0, legyen egy -re. Egy kijelölt

pontokkal rendelkező ⊂ ( ) minden -re. 5.22 Henstock-lemma: Legyen függvény -n. Ha = : ⊂ ℝ ℝ Henstock-Kurzweil integrálható egy norma úgy, hogy ha egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek, akkor ( , )− Tegyük fel, hogy ′ = {( , ), , ( < , )} egy rendelkező részfelosztása -nek. Ekkor: 23 . -finomságú, kijelölt pontokkal http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál ( ) ( )− Bizonyítás: Legyen halmaz diszjunkt ≤ > 0 és ( ) ( )− é egy norma, mely teljesíti a feltételt. Az ⋃ integrálható mindegyik -n, van olyan > 0-t. Mivel veszünk egy ∩ − . < normát az előírt hibahatárhoz a finomságú felosztást. Legyen ′ = ∪ +∑ , ≤ Mivel ′) . Ekkor -nek. Mivel egy ( , )= , adódik: ′) ( , ( , intervallumon, majd ∪ ∪ -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása = Henstock-Kurzweil -nek, hogy Ehhez előbb veszünk egy ′) ezen

-finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező , ( , ,, intervallumok véges egyesítése. Legyenek intervallumok a zárt végeikkel együtt. Rögzítjük felosztása <2 . + − ( , )− , − − + , − − , − < + = + . − ≤ . > 0 tetszőleges, következik, hogy ( ) ( )− = ( , ′) Hogy bebizonyítsuk a másik becslést is, legyen = ( , )∈ és = ′ . Megjegyezzük, hogy ′ : ( ) ( )− , és is ≥0 , -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező részfelosztása -nek úgy, hogy teljesül rá az előző becslés. Így 24 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál ( ) ( )− ( ) ( )− = ( ) ( )− + ≤2 . ( , )∈ ( , )∈ Ezzel bebizonyítottuk a tételt. A Henstock-lemmát felhasználva bebizonyítunk két fontos tételt, a Henstock-Kurzweil integrállal kapcsolatban. Tegyük fel, hogy egy részintervalluma ℝ-nek, és Henstock-Kurzweil integrálható, tehát Definiáljuk az minden függvény ∈ .

Tegyük fel, hogy : ℝ integrálható -nek minden részintervallumán. határozatlan integrálját a következőképpen: ( )=∫ ∈ -re. 5.23 Tétel: Ha : ℝ Henstock-Kurzweil integrálható -n, akkor Bizonyítás: Adott ( , )−∫ < ∈ és ∈ . Legyen minden > 0. Válasszunk egy folytonos -n. normát úgy, hogy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztására -nek. Ha ( ) = ( , ), legyen = − , − , | ( )| , és tegyük fel, hogy ∈ , és | − | < . Legyen egy részintervalluma -nek, melynek végpontjai és . Alkalmazva a Henstock-lemmát az {( , )} -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező részfelosztásra, következik, hogy ( ) ( )− ≤ . Ebből következik, hogy | ( ) − ( )| = Így folytonos az helyen. Mivel ≤ + | ( )| ( ) < + = 2 . ∈ tetszőleges, ezért 25 folytonos -n. http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál 5.24 Tétel: Legyen : = [ , ] ℝ egy Henstock-Kurzweil integrálható függvény =

0 minden -n. Ha ∫ ∈ [ , ]-ra, akkor | | is Henstock-Kurzweil integrálható, és ∫ | | = 0. Bizonyítás: A feltétel alapján, ha tehát ∫ ≤ = 0 minden ⊂ -re. Legyen < ≤ , akkor ∫ > 0 és válasszunk egy ( , )− minden =∫ −∫ = 0, normát úgy, hogy < , -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztásra. Legyen {( , ): = 1, . , = } egy ilyen felosztás. A Henstock-lemma alapján: | ( )| ( ) = ( ) ( )− ≤2 , amiből következik, hogy | | Henstock-Kurzweil integrálható, és ∫ | | = 0. A következő két tételt nem bizonyítjuk, a bizonyítás bonyolultsága miatt. 5.25 Tétel: Tegyük fel, hogy olyan [ , ] ℝ függvény, amely Henstock-Kurzweil integrálható a [ , ] intervallumon, bármely < < esetén. Ekkor, az akkor és csak akkor Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n, ha lim függvény ∫ létezik. Ebben az esetben = lim . A előző alapján már be tudjuk bizonyítani, hogy az ′( )=

2 + 2 ℎ 0< 0 ℎ =0 függvény Henstock-Kurzweil integrálható. A tétel alapján az integrálható a [0,1] intervallumon, ha a lim ′ ∫ cos . Ezek után meg kell néznünk, hogy lim − 1 − lim − 1 − cos 26 ′ ( ) Henstock-Kurzweil ( ) határérték létezik. Ebben az esetben az integrál értéke megegyezik ezzel a határértékkel. ∫ −1 − ≤1 = −1. ′ ( )= cos cos létezik-e. = http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál ′ Azaz, létezik a határérték, tehát az ( ) függvény a [0,1] intervallumon Henstock- Kurzweil integrálható, és az integrálja −1. 5.26 Tétel: Legyen : = [ , ∞] ℝ egy Henstock-Kurzweil integrálható függvény az [ , ]-n, minden < < ∞ esetén. Ekkor függvény, akkor és csak akkor, ha lim ∫ ∞ egy Henstock-Kurzweil integrálható létezik. Ez esetben ∞ = lim . ∞ A tételből következik, hogy [−∞, ∞] intervallumon is tudunk integrálni, ha az

intervallumok helyett a [−∞, ] és [ , ∞] intervallumokon integrálunk, Az integrál értéke független megválasztástól. Ebből a két tételből következik egy harmadik: 5.27 Tétel: Legyen : [ , ] ⊂ ℝ∗ ℝ Tegyük fel, hogy f abszolút integrálható [a,c]≤ n minden < esetén. (1) Tegyük fel, hogy nemnegatív. Ekkor integrálható [ , ]-n, ha sup {∫ (2) Ha van egy : ≤ : ≤ < (2) Definiáljuk az = lim ( )=∫ ∫ < . Az [ , ]-n növekvő. Így , az eredmény az előző tételből következik. teljesíti a Cauchy feltételt is teljesíti a Cauchy feltételt < függvény az függvényt úgy, mint az előbb, és legyen Henstock-Kurzweil integrálható, hogy abszolút integrálható -n. lehet véges, vagy végtelen is. Bizonyítás: (1) Legyen sup ∫ < } < ∞. : [ , ] ℝ Henstock-Kurzweil integrálható függvény, amelyre | ( )| ≤ ( ), minden ∈ -re, akkor Megjegyzés: akkor és csak akkor

Henstock-Kurzweil ( )=∫ közelében. Azt állítjuk, közelében. Ehhez megjegyezzük, hogy ha < , akkor | ( ) − ( )| = . Mivel ≤ | |≤ 27 = ( ) − ( ). http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál Így is teljesíti a Cauchy feltételt közelében és Henstock-Kurzweil integrálható az előbb be nem bizonyított tételek alapján. Ugyanígy, a kapjuk, hogy | | Henstock-Kurzweil integrálható, tehát 5.28 Tétel: Legyen ( ) = ∫ | | függvényre, azt abszolút integrálható. : [1, ∞] ℝ egy pozitív, csökkenő és Henstock-Kurzweil integrálható függvény az [1, ] intervallumon minden 1 < akkor és csak akkor létezik, ha a ∑∞ ∞ ∞ ∞ + (1). ( )≤ ( + 1) ≤ ( ) ≤ ( ), ha csökkenő, következik, hogy ( + 1) ≤ ∫ integrál ( ) sorozat konvergens. Ez esetben ≤ Bizonyítás: Mivel ∞ < ∞-re. Az ∫ ≤ ≤ + 1, amiből ≤ ( ). Összegezve szerint, adódik, hogy ( + 1) ≤ ≤ ( ). Henstock-Kurzweil

integrálható [1, ∞] Az előző tételből, következik, hogy intervallum egészén, akkor és csak akkor, ha a sorozat konvergens. Tegyük fel, hogy ∞ az előző egyenlőtlenségben, következik, hogy ∞ ∞ ∞ ≤ ( )≤ + (1). 5.6 Abszolút integrálhatóság Egy függvényt abszolút integrálhatónak mondunk az [ , ] intervallumon, ha és | | is integrálható. A Lebesgue-integrálnál láttuk, hogy függvény Lebesgue-integrálható akkor és csak akkor, ha abszolút (Lebesgue)-integrálható, A Riemann-integrálra igaz, hogy ha egy függvény Riemann-integrálható, akkor abszolút Riemann-integrálható is. A Henstock-Kurzweil integrálnál nem szükséges, hogy abszolút integrálható legyen, ezért nem tudjuk, hogy | | Henstock-Kurzweil integrálható-e. 28 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál Mielőtt ezt elkezdenénk vizsgálni, bevezetünk néhány fogalmat: 5.29 Definíció: Legyen : [ , ] ℝ Ha adott egy nek, ahol ≤

<⋯< ≤ ,a = { ,., függvény változását a } felosztása [a,b]- felosztására vonatkozóan a következőképpen értelmezzük: ( , )= | ( )− ( )|, teljes változása az [ , ] intervallumra: és ( , [ , ]) = sup{ ( , ): Azt mondjuk, hogy ∈ á [ , ]− }. ( , [ , ]) < ∞. korlátos változású [a,b]-n, ha Jelölés: ([ , ] ) 5.30 Tétel: Legyen : = [ , ] ℝ egy Henstock-Kurzweil integrálható függvény -n. Ekkor | | akkor és csak akkor Henstock-Kurzweil integrálható -n, ha az határozatlan integrálja korlátos változású -n. Ebben az esetben: ( , [ , ]) = | |. A tételt a bizonyítás bonyolultsága miatt nem bizonyítjuk be. Ennek a tételnek a következménye: 5.31 Állítás: Ha , : = [ , ] ℝ abszolút integrálható függvény -n, akkor + is abszolút integrálható -n. 5.32 Tétel: Legyen , : = [ , ] ℝ Henstock-Kurzweil integrálható -n, és feltesszük, hogy | ( )| ≤ ( ), minden ∈ -re. Akkor | |≤ Bizonyítás:

Legyen = { ,., függvény . } egy felosztása -nek. Akkor ≤ Így az abszolút integrálható -n, és = . határozatlan integrálja korlátos változású [ , ]-n, és az előző tétel alapján | | integrálható -n, és 29 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál | |= ( , [ , ]) ≤ . 5.7 Az integrálfüggvény differenciálhatósága Az eddigiek során bebizonyítottuk, hogy minden derivált Henstock-Kurzweil integrálható. Sőt, azt is bebizonyítottuk, hogy ez abban az esetben is igaz, amikor a derivált véges ponthalmazon nem létezik. Felmerül a kérdés, hogy ennek a megfordítása is igaz-e, azaz, hogy ha függvény Henstock-Kurzweil integrálható, akkor igaz-e, hogy véges ponthalmaz kivételével az integrálfüggvény deriválható. 5.33 Tétel: Legyen folytonos : [ , ] ℝ Henstock-Kurzweil integrálható [ , ]-n, és ∈ [ , ] helyen. Akkor az differenciálható az helyen, és Bizonyítás: Mivel ′( folytonos függvény

határozott integrálja, ) = ( ). helyen, minden > 0-ra van olyan > 0, hogy ha ∈ [ , ], és | − | < , akkor – < ( ) − ( ) < . Ha 0 < ℎ < , vagyis + ℎ ∈ [ , ], akkor ( + ℎ) − ( ) 1 − ( )= ℎ ℎ ( ) − ( )= 1 ℎ azaz, − ≤ ( + ℎ) − ( ) − ( )≤ . ℎ Hasonlóan, − < ℎ < 0-ra : ( + ℎ) − ( ) − ( ) ≤ . ℎ Így, |ℎ| ≤ és + ℎ ∈ [ , ] esetén: ( + ℎ) − ( ) − ( ) ≤ . ℎ Tehát ′( ) = ( ). 30 ( )− ( ) http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál Az előző tételben feltettük, hogy folytonos az helyen. A kérdés az, hogy vajon akkor is differenciálható-e a függvény, ha csak azt tesszük fel róla, hogy HenstockKurzweil integrálható. Erre ad választ a következő tétel Előtte azonban definiálnunk kell néhány dolgot: 5.34 Definíció: A null halmaz egy olyan halmaz, amely tetszőlegesen kicsi összhosszúságú véges vagy megszámlálhatóan végtelen

intervallumrendszerrel lefedhető. 5.35 Definíció: Azt mondjuk, hogy valami majdnem mindenütt teljesül, ha azon pontok halmaza, amelyekben nem teljesül, null halmaz. Az integrálszámítás alaptételének II. része: 5.36 Tétel: Tegyük fel, hogy : [ , ] ℝ Henstock-Kurzweil integrálható Akkor ∈ [ , ]-re, és differenciálható majdnem minden ′( ) = ( ), ahol az függvény integrálfüggvénye. Ahhoz, hogy ezt a tételt bebizonyítsuk, szükségünk van két lemmára: Adott intervallum esetén legyen 3 azonos középpontú -vel, és háromszor olyan hosszú. = { : = 1, , } egy véges intervallumhalmaz ℝ-en. 5.37 Lemma: Legyen Akkor léteznek páronként diszjunkt , , 1 3 ∈ halmazok úgy, hogy ≤ . Bizonyítás: Mohó algoritmussal választunk páronként diszjunkt intervallumokat. Sorba rendezzük az intervallumokat, ha szükséges, így feltehetjük, hogy ( )≤ ( Legyen akkor = és ={ ∈ : ⊂ 3 . Utána legyen ) ≤ ⋯ ≤ ( ) ≤ ( ).

∩ = ∅}. Megjegyezzük, hogy ha a ={ ∈ véges halmaz, a véges számú lépés utána véget ér, legyen ∉ , azon eleme, mely a legnagyobb indexszel rendelkezik (azaz a leghosszabb). Legyen előzőkhöz hasonlóan. Mivel ∈ , és : ∩ = ∅} és folytatjuk az intervallumok válogatása néhány a lépések száma. A felépítésből következik, 31 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál hogy a { , , } intervallumok páronként diszjunktak és ha az ⊂ 3 . Így, ⋃ választottuk, akkor van olyan , melyre =⋃ ∈ -t nem ⋃ ∩ ∅ ⊂ 3 , úgy, hogy ⋃ 1 3 ≤ 1 3 3 ≤ 1 3 (3 ) = = . Ezzel bebizonyítottuk az első lemmát. 5.38 Lemma: Legyen halmaz. Legyen ⊂ ℝ egy zárt és korlátos halmaz, és ⊂ egy nem üres egy norma -n. Ekkor létezik egy olyan megszámlálható {( , ): { } rendszer, amelyre ∈ részintervallumai, ∈ } intervallumai ∶ ⊂ ( ), és ∩ , ⊂⋃ ∈ egymást át nem fedő zárt ∈

⊂ . Ezt a lemmát nem bizonyítjuk. Most következik az integrálszámítás alaptétel II. részének a bizonyítása: Bizonyítás: Egy rögzített > 0-ra azt mondjuk, hogy feltételt, ha bármely környezete ∈ ( , ) teljesíti a (∗ ) -nek tartalmaz egy [ , ] intervallumot úgy, hogy ∈ ( , ), és ( )− ( ) − ( ) > . − Legyen legyen ∈ ( , ) elem halmaza, amely teljesíti a ∗ minden olyan = ⋃∞ környezete / ∉ . Ekkor minden . Tegyük fel, hogy -nek, hogy minden [ , ] ⊂ feltételt, és ≥ 1-re van olyan intervallumra, ahol ∈ ( , ), teljesül, hogy ( )− ( ) 1 − ( ) ≤ . − F folytonosságából adódik (5.23tétel), hogy ez az egyenlőtlenség fennáll, ha -t -re kicseréljük, valamint differenciálható -et csökkentjük, és helyen, és Elég megmutatni, hogy null halmaz. Ha ′( helyett -et írunk. Így, ha ∉ , akkor F ) = ( ). null halmaz, minden > 0-ra, mivel ekkor = ⋃∞ = ∅, nincs mit bizonyítanunk,

tehát feltesszük, hogy Rögzítjük > 0-t. Mivel van olyan norma [ , ]-n, hogy / ≠ ∅. Henstock-Kurzweil integrálható, a Henstock lemma alapján 32 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál | ( ) − ( ) − ( )( minden , ]): = 1, , }. Ha ∈ , választunk egy [ fennáll. Utána választunk egy ∈ )⊂( , ) ] intervallumot, hogy − ( ) > normát az ), és ∈ } és { ⊂⋃ : ( )⊂( halmazon, hogy : = 1, , ∈ } pontok, hogy =∑ ⊂ [ , ]. Legyen ∈ értékét úgy, hogy ∑ vegyük fel , , , ) . Az 538 lemma alapján van megszámlálhatóan sok egymást át nem fedő zárt intervallum: { : ( , ] ⊂ ( ), és ( )− ( − minden 6 részfelosztásra [ , ]-n, ahol -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező = {( , [ , ∈[ )| < − ∈ ∈ ∩ , ⊂ ( )≤ − < ∞ és ( ) > . Alkalmazzuk az 537 lemmát az , halmazra, hogy olyan ,, , egymást át nem fedő intervallumhalmazt kapjunk,

amelyre (( , )) = ≥ , Mivel ( 1 3 , ( − )| < (( ) ≥ egy ) ( ) 1 3 ( ) = 1 3 ( )> . 6 -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező − ( ) > és a ∑ | ( )− ( )− − ( )( − ) < egyenlőtlenségek miatt: , ebből következik, hogy hogy ( ) , : = 1, , részfelosztása [ . ]-nek, a ( )( , )) ≤ > . Mivel − ⊂⋃ ∈ és ∑ ∈ ( )= null halmaz. Ezzel bebizonyítottuk az integrálszámítás alaptételének II. részét 33 6 , < , következik, http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál 5.8 A Henstock-Kurzweil integrál és a Lebesgue integrál kapcsolata Az előzőekben már bebizonyítottuk, hogy minden olyan függvény, amely Riemannintegrálható, az Henstock-Kurzweil integrálható is. Az állítás azonban visszafele nem igaz, azaz ha egy függvény Henstock-Kurzweil integrálható, abból még nem következik, hogy Riemann-integrálható. Példa erre az ′( )= 2 + 2 ℎ 0< ≤1 0

ℎ =0 függvény, ahogy azt korábban már be is bizonyítottuk. Felmerül a kérdés, hogy vajon minden Lebesgue integrálható függvény Henstock-Kurzweil integrálható-e, és igaz e a megfordítás. Arra, hogy igaz-e a megfordítás, már megkaptuk a választ az előző ′( ) vizsgálatakor. Bebizonyítottuk, hogy nem Lebesgue integrálható, de Henstock-Kurzweil integrálható. 5.39 Tétel: Tegyük fel, hogy : ℝ Ekkor Lebesgue-integrálható akkor és csak akkor, ha abszolút Henstock-Kurzweil integrálható. Ez esetben a két integrál megegyezik. A tételt nem bizonyítjuk, mert az olyan fogalmakat használ, amelyeket nem definiáltunk. Látjuk, hogy ugyanazt kaptuk a Lebesgue integrál esetén is, mint a Riemannintegrálnál, azaz ha egy függvény Lebesgue-, Riemann-integrálható, akkor HenstockKurzweil integrálható is, és az integrálok megegyeznek. A megfordítás viszont egyik esetben sem igaz. 34 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál 5.9 0

integrálú függvények 5.40 Tétel: Legyen tegyük fel, hogy ∫ : ℝ ℝ egy Henstock-Kurzweil integrálható függvény, és = 0 minden = 0 majdnem korlátos intervallumon. Akkor mindenütt ℝ-en. Bizonyítás: Legyen ( ) = ∫ ∈ [− , ]-re. A feltevés miatt ( ) = 0 minden ∈ [− , ]-re. Az integrálszámítás alaptételének II része alapján minden ′( ) = 0, majdnem minden ∈ [− , ]-re. Ebből következik, hogy ( )= = 0 majdnem mindenütt ℝ-en. 5.10 Henstock-Kurzweil integrál ℝ -en: Szeretnénk kiterjeszteni a Henstock-Kurzweil féle integrálszámítást, az -dimenziós Euklideszi téren értelmezett függvényekre. Előtte azonban bevezetünk néhány definíciót, fogalmat: intervallumot (ℝ∗ ) -n ∏ Egy szorzatként értelmezünk, ahol minden intervallum ℝ∗ -en. Azt mondjuk, hogy nyílt/zárt (ℝ∗ ) -n, akkor és csak akkor, ha nyílt/zárt ℝ∗ -on. minden ⊂ (ℝ∗ ) Egy ∏ egy ( intervallum terjedelme a

következőképpen értelmezett: ( )= ), azzal a megállapodással, hogy 0 ∙ ∞ = 0. 5.41 Definíció: Egy zárt V intervallum felosztása egy véges számú, zárt, egymást át nem fedő részintervallumok halmaza: : = 1, . , kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek egy olyan rendezett párokból álló véges halmaz, ahol ∈ minden -re. Az pontot a : = 1, . , =⋃ -n, ahol = , . Egy : = 1, , egy felosztása -nek, és intervallumhoz tartozó kijelölt pontnak nevezzük. 35 http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál Mint az egy-dimenziós esetben, itt is egy norma ⊂ (ℝ∗ ) -en nyílt intervallumot társít pontjaihoz. 5.42 Definíció: Egy norma egy ⊂ (ℝ∗ ) intervallumon egy leképezést jelent -n, ∈ mely hozzárendel minden -et. ponthoz egy nyílt intervallumot, amely tartalmazza = Egy kijelölt pontokkal rendelkező felosztást, ∈ finomságúnak mondunk, ha Ha : ⊂ (ℝ∗ ) ℝ és nek, akkor az = függvény, , :

= 1, , , - ⊂ ( ) minden = 1, . , -ra , : = 1, , egy felosztása kijelölt pontokkal - felosztáshoz tartozó Riemann összeg definíció szerint: ( , )= Feltesszük azt, hogy egy . függvény értéke 0 minden végtelen pontban (azaz, olyan pontban, amelynek legalább az egyik koordinátája 0), és megállapodás szerint 0 ∙ ∞ = 0. 5.43 Tétel: Legyen egy zárt intervallum (ℝ∗ ) -n, és egy norma -n. Akkor van - nek -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása. Bizonyítás: Először tegyük fel, hogy I = I × × I egy zárt és korlátos intervallum. Feltesszük, hogy nincs Felezzük el mindegyik felosztják az -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek. -t, és nézzük az felezett intervallum szorzatát. Ezek intervallumot 2 egymást nem átfedő zárt részintervallumra. Ezek közül legalább egynek nem szabad, hogy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása legyen, mert ha mindegyiknek a 2

részintervallum közül van -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása, akkor ezek uniója lehet egy kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek. Legyen finomságú felosztás nélkül. Folytatva a { }∞ -finomságú, egy részintervallum, - részintervallumok felezési folyamatát, olyan csökkenő részintervallum sorozatot kapunk, melyek átmérője 0-hoz közelít, és egyik sem tartalmaz -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztást. Legyen { } = ⋂∞ . Mivel az átmérőjük csökkenő, tartva 0-hoz, van olyan ⊂ ( ), amiből következik, hogy = ( , 36 , melyre ) egy -finomságú, kijelölt pontokkal http://www.doksihu A Henstock-Kurzweil integrál rendelkező felosztása -nak. Ez az ellentmondás azt mutatja, hogy -nek van - finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása. Ezután, tegyük fel, hogy ⊂ (ℝ∗ ) zárt, nem korlátos intervallum. Értelmezzük a ℎ: ℝ∗ [− , ], ℎ( ) = − ,ℎ = −∞

2 ,ℎ − ∞ < < ∞ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2 és ℎ⃗: (ℝ∗ ) [− , ] , ℎ⃗( ) = ℎ⃗( , , ,ℎ =∞ ) = (ℎ( ), , ℎ( )) függvényt. Megjegyezzük, hogy ℎ⃗ bijektív, és legyen ⃗ a ℎ⃗ inverz függvénye. Akkor ℎ⃗ és ⃗ zárt intervallumot, zárt intervallumnak, nyílt intervallumot, nyílt intervallumnak feleltet meg. Következésképpen, ℎ⃗( ) egy zárt, korlátos intervallum, és ℎ⃗° egy norma ℎ⃗( )-n Az előző eset alapján ℎ⃗( )-nek van ℎ⃗° -finomságú = , : = 1, , pontokkal rendelkező felosztása. Ebből következik, hogy ⃗ ( ) = 1, , egy kijelölt ⃗( ), ⃗( ) : = -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztása -nek. Bebizonyítottuk, hogy bármely normához van legalább egy -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező felosztás ⊂ (ℝ∗ ) -n is. Ezek után már definiálhatjuk a Henstock-Kurzweil integrált (ℝ∗ ) intervallumán értelmezett függvényekre. 5.44

Definíció: Legyen : ⊂ (ℝ∗ ) ℝ. Az f függvényt Henstock-Kurzweil integrálhatónak nevezzük I-n, ha van I-n úgy, hogy minden ∈ ℝ, hogy minden > 0-ra van olyan norma -finomságú, kijelölt pontokkal rendelkező D felosztására I-nek, | ( , )− |< . Az A számot f Henstock-Kurzweil integrálnak nevezzük I-n. Jelölés: . =∫ . Az alaptulajdonságok ugyan úgy érvényesek (ℝ∗ ) -ben is (pl.: linearitás, pozitivitás, additivitás). 37 http://www.doksihu Összegzés 6.fejezet Összegzés A Henstock-Kurzweil integrál valóban többet tud, mint a Riemann-, vagy a Lebesgue: - Minden olyan függvény, amely Riemann-integrálható, Henstock-Kurzweil integrálható. - Minden olyan függvény, amely Lebesgue-integrálható, Henstock-Kurzweil integrálható is. - De vannak olyan függvények, amelyek Henstock-Kurzweil integrálhatók, de nem Lebesgue-, vagy Riemann-integrálhatók. - Igaz rá az integrálszámítás alaptételének I.

része, valamint ennek általánosítása is. - Igaz rá az integrálszámítás alaptételének II. része is - Kiterjeszthető az egész ℝ-re, valamint ℝ -re is. Egyes matematikusok úgy gondolják, hogy a Riemann-, és a Lebesgue integrál mellett jó lenne a Henstock-Kurzweil integrált is tanítani az egyetemeken, hiszen valóban több függvény integrálható vele. Az, hogy Magyarországon miért nem annyira elterjedt, ismert integrálelmélet, az egy nehéz kérdés. Talán az új dolgoktól való félelem, vagy a régi dolgokhoz való ragaszkodás az egyetlen ok. Tudomásom szerint, tőlünk keletebbre lévő országban, Romániában, tanítják a Henstock-Kurzweil féle integrálelméletet. Azt, hogy ott mennyire elterjedt, vagy bevált, arról sajnos nincsenek információim. 38 http://www.doksihu Irodalomjegyzék 7.fejezet Irodalomjegyzék (1) Douglas S Kurtz, Charles W Swartz: Series is Real Analysis-Volume 9, Theories of integration, 2004 (2) Szász

Pál: A differenciálszámítás és integrálszámítás elemei II., 1951 (3) Laczkovich Miklós, T. Sós Vera: Analízis II, 2007 39 http://www.doksihu Köszönetnyilvánítás 8. fejezet Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni a támogatást mindazoknak, aki segítséget nyújtottak abban, hogy ez a szakdolgozat megszülessen. Kiváltképpen köszönetet szeretnék mondani Keleti Tamásnak, aki országhatárokat átívelve, időt, energiát nem sajnálva mindenben a segítségemre volt. 40