Matematika | Középiskola » Matematika kisokos

1 KISOKOS A hatványozás azonosságai : minden a > 0 esetén műveletekre: a n ⋅ a m = a n+m (a ⋅ b )n = a n ⋅ b n n a = a n−m m a (a ) = a n m n an a   = n b b a = a1 1 a −n = n a n⋅m a0 = 1 n a =a a =a q 1 n 1 2 a =a p n ( ) ak = n a k p q Műveletvégzés sorrendje: Ha van zárójeles kifejezés, akkor először azt határozzuk meg. Ha az alapműveletek szerepelnek, akkor a sorrend: hatványozás, szorzás, osztás, összeadás, kivonás. Ha egyenrangúak a műveletek , akkor balról jobbra haladunk a számolásban. a b = a c b⋅c c b c⋅b = c⋅ = a a a b Nevezetes azonosságok: (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 a 2 − b 2 = (a − b ) ⋅ (a + b ) (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 a 3 + b 3 = (a + b ) ⋅ (a 2 − ab + b 2 ) a 3 − b 3 = (a − b ) ⋅ (a 2 + ab + b 2 ) A logaritmus definíciója: a log a b = b ahol a > 0 és a ≠ 1 valamint b > 0 Másodfokú egyenlet

megoldó képlete: általános alakja : ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 x 1,2 = − b ± b 2 − 4ac 2a 2 A logaritmus azonosságai: log a x + log a y = log a xy log a x − log a y = log a x y log a x n = n ⋅ log a x ahol a > 0 és a ≠ 1, valamint x, y > 0 Nevezetes határértékek: 1 =0 n ∞ n lim  1 lim1 +  = e lim n a = 1, ha a > 0 lim n n = 1 n ∞ n ∞ n ∞  n n lim q n = 0, ha q < 1 n ∞ sin x =1 x 0 x 1 lim(1 + x )x = e lim x 0 Kritériumok pozitív tagú sorokra: ∞ A sor legyen ∑ a n . n =1 Gyök-kritérium szerint, ha n a n , ahol  < 1, akkor a sor konvergens. Hányados-kritérium szerint, ha a n +1 , ahol  < 1, akkor a sor konvergens. an ∞ Majoráns-kritérium szerint, ha van olyan ∑ bn sor, amelynek van összege és a n ≤ bn , akkor n =1 ∞ ∑ a sornak is van összege. n =1 n ∞ Minoráns-kritérium szerint, ha van olyan ∑ d n sor, amelynek nincs összege és a n ≥ d n , n =1

∞ akkor a ∑ a n sornak sincs összege. n =1 ∞ Az 1-gyel kezdődő mértani –sornak van összege, ha q < 1 és ∑ q n = n =1 ∞ Ha nem 1 az első tagja, akkor a1 + a1q + a1q 2 + . = ∑ a1q n = n =1 1 =∞. n =1 n ∞ A harmonikus sornak nincs összege: ∑ a1 1− q 1 . 1− q 3 L’Hospital-szabály: ∞ 0 f f′ lim = lim , ha a határérték az adott helyen vagy a végtelenben , ,0 ⋅ ∞ típusú. ∞ 0 g g′ Taylor-sorfejtés: x = a hely környékén az f(x) függvény: (n ) ′′ ′′′ f ′(a ) (x − a ) + f (a ) (x − a )2 + f (a ) (x − a )3 + . + f (a ) (x − a )n + f (x ) = f (a ) + 1! 2! 3! n! ha a = 0, akkor Maclaurin-sornak nevezzük. Érintősík egyenlete: A z= f(x;y) kétváltozós függvény érintősíkja a P0 (x 0 ; y 0 ) pontban: A = z′x (x 0 ; y 0 ) B = z′y (x 0 ; y 0 ) C = z 0 − A ⋅ x 0 − B ⋅ y 0 z 0 = f (x 0 ; y 0 ) egyenlet : z = Ax + By + C Kétváltozós függvény szélsőértéke: z′x = 0

Szükséges feltétel:  z′y = 0 ′ ⋅ z′yy ′ − (z′xy ′ )2 > 0 teljesüljön az előzőleg kapott potban. Elegendő feltétel: D = z′xx Az f(x) függvény differenciahányadosa: ∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) ( a függvény átlagos változási sebessége) = ∆x ∆x Az f(x) függvény differenciálhányadosa: f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) ( a függvény pillanatnyi sebessége) f ′(x 0 ) = lim x x 0 ∆x