Matematika | Felsőoktatás » Nash és a játékelmélet, A csodálatos elme életútja a skizofréniától a nobel díjig

NASH ÉS A JÁTÉKELMÉLET A „CSODÁLATOS ELME” ÉLETÚTJA A SKIZOFRÉNIÁTÓL A NOBEL-DÍJIG Nobel-díjas matematikus, vagy az összeesküvéseket felderíteni igyekvő elmeháborodott? Amennyiben a fenti két életút közül kellene választani, bizonyosan mindannyian az elsőre adnánk a voksunkat. Azonban van, aki mindkét karaktert megtestesítette már élete során. Ő ifjabb John Forbes Nash, a közgazdasági Nobel-díj 1994-es nyertese, a közgazdaságtudomány egyik legjelentősebb, azonban emberileg mindenképpen ellentmondásosnak nevezhető alakja. A „Csodálatos Elme” 1928. június 13-án látta meg a napvilágot az Egyesült Államok Nyugat Virginia-i tartományában található Bluefieldben. Saját szerkesztésű életrajzában elárulja szülőhelyéről, amit mi is tudunk, nevezetesen Bluefield nem játszott nagy szerepet az USA történelmében, akkori fennállását elsősorban legelőinek, vasútvonalának, valamint a városban tevékenykedő

sikeres üzletembereknek és ügyvédeknek köszönheti. Tanulmányait Bluefieldben kezdte meg. Elemi iskolás korában kapott szüleitől egy enciklopédiát (Compton’s Pictured Encyclopedia), amit bevallottan nagy érdeklődéssel és sokat forgatott, de tudásvágyát és tanulékonyságát számos másik könyv is alátámasztja, amelyet életének ebben a szakaszában elolvasott. Középiskolás korára úgy tűnik, kialakult a rendkívüli érdeklődése a reáltárgyak iránt, hiszen amellett, hogy matematikai szakkönyveket olvasott (legszívesebben E.T Bell a Matematika embere (Men of Mathematics) című művére emlékszik vissza, amelyben Fermat tételeit tanulmányozta), elektromos és kémiai kísérleteket is folytatott, így nem csoda, hogy a középiskola befejezése után ösztöndíjjal a Pittsburgh-i Carnegie Tech-be, kémia mérnöki szakra nyert felvételt. Ebben az oktatási intézményben ismerkedett meg a közgazdaságtannal is, és kutatásai során megírta

Az alku problémája (The Bargaining Problem) című művét, amit később a neves Econometrial is publikált. A kémia szakon azonban több nehézséggel is találkozott, és a mennyiségi analízis elsajátítása túlságosan nagy falatnak bizonyult számára, így váltania kellett, és beiratkozott a matematika fakultációra. Tehetsége alapján remek matematikus karrier elé nézhetett Elvégezte a kurzusokat, sőt, az utolsó évében szülei segítségével és közreműködésével a Bluefield College-ben egy kiegészítő matematika kurzuson is részt vehetett, így nagyon komoly matektudással kezdhette meg egyetemi éveit. Nashért valósággal versengett a Harvard és a Princeton (A.W Tucker Princeton-i professzor saját maga írt levelet az ifjú Nashnek). Az utóbbi intézmény mellett elsősorban földrajzi okok döntöttek: a Princeton University ugyanis sokkal közelebb van Bluefield-hez, vagyis Nash családjához. A Princeton-on akkoriban olyan neves tudósok

dolgoztak, mint Albert Einstein vagy Neumann János, így a rendkívüli talentum elmélyedhetett a relativitáselméletben, valamint a Neumann és Oskar Morgenstern által a matematikában forradalmi felfedezést hozó játékelméletben is. (Neumann és Morgenstern 1944-ben adták ki terjedelmes tanulmányukat a kooperatív játékok elméletéről, amely a „Játékelmélet és gazdasági tevlkenység” (Game Teory and Economical Activity) címet viseli.) Nash javítani szerette volna Einstein relativitáselméletét, azonban a diák mégsem a fizikában, hanem a játékelméletben ért el kiugró eredményeket. 21 éves korában írta meg közgazdasági disszertációját a nem kooperatív játékokról, amellyel tulajdonképpen bevezette a különbséget a kooperatív és nem kooperatív játékok elmélete között. A játékelmélet megmutatja, hogy tejlesen rövidlátó erők miként hozhatnak létre olyan eredményt, amely hosszú távú stabilitáshoz vezet. Nash

elmélete olyan egyszerű és mindenki által ismert játékok tanulmányozása során alakult ki, mint a sakk és a póker, amelyekben a játékosoknak előre kell gondolkozni, illetve különböző stratégiákat felállítani annak függvényében, hogy mit fog lépni a másik. Egyik fent említett játékban sem kötnek megállapodásokat egymással a játékosok, így a játékelméleti vizsgálatok tárgyává nem csoportokat, hanem egyéneket, játékosokat kell tenni. Tegyük fel, hogy a játékosok ismerik a saját és a partnerek stratégiáit (választási lehetőségeit), és az ezekhez tartozó hasznosságot is. Természetesen a játék minden szereplője tudja, hogy ezeket az információkat minden játékos birtokolja. A játékokat leggyakrabban úgynevezett stratégiai alakban írják fel, ahol egy táblázatban jelölik azt, hogy az egyes stratégiák választásával mekkora hasznosságot érhetnek el az egyes játékosok. Vegyük például a fogolydilemma nevű

klasszikus kétszemélyes játékot: két betörőt elfognak, és külön-külön, egyidőben vallatni kezdik őket úgy, hogy nem ismerik egymás vallomását. Mindkét bűnözőnek a következő alkut ajánlják fel: ha azt vallják, hogy a másik követte el a rablást, akkor a bűntársuk börtönbe kerül, míg saját maguk pénzjutalomban részesülnek. Vagyis: ha mindketten egymásra vallanak, akkor mindketten börtönbe kerülnek, ugyanakkor mindketten kapnak pénzjutalmat is, azonban ha egyikük sem vall, bár szabadok maradnak, de pénzjutalmat egyikük sem fog kapni. A fentiek alapján a két rabló (legyenek „A” és „B”) stratégiáit egy táblázatban gyűjthetjük össze. Az egyes hasznosságokhoz (szabadlábon maradás, illetve pénzjutalom) érdemes konkrét értékeket rendelni: ha a bűnöző nem kerül börtönbe, akkor annak a hasznossága legyen 3 egység, míg a pénzjutalom legyen 1 egységnyi. A következő táblázatban szereplő aránypárok első

tagja minden esetben „A”, második tagja pedig „B” hasznosságát mutatja. B A Nem vall Vall Nem vall 3:3 0:4 Vall 4:0 1:1 A táblázatból kitűnik, hogy „A”-nak és „B”-nek is akkor lenne a legnagyobb hasznossága, ha a másik ellen vallanának (ezt jósolja a játékelmélet), azonban azzal is tisztában vannak, hogy ha mindketten ezt az utat választanák, akkor mindketten börtönbe kerülnének, így csak az egységnyi pénzjutalom lenne a hasznosságuk, tehát mindkettőjük számára az lenne a leghasznosabb, ha nem kooperálnának, vagyis egyik játékosnak sem érdeke, hogy egyoldalúan kitérjen. Ezzel a gondolatmenettel tulajdonképpen bevezettük a Nash-egyensúlyt, amely a fogolydilemmához hasonló, úgynevezett teljes információs-statikus játékok legjobb megoldási koncepciója. Érdekességként: ilyen típusú játéknak tekinthető a kőpapír-olló is A Nash egyensúlyának tökéletességébe vetett hit azonban később megbukott,

hiszen felmerültek olyan problémák, ahol esetleg több egyensúlyi helyzet is kialakulhat (pl. aukció), így később további közgazdászok (pl. Bayes) kutatásának lett a tárgya a játékelmélet Visszatérve John Nash Princeton-on eltöltött éveihez, az ifjú zsenit meglehetősen magának való embernek, valódi különcnek ismerték meg társai, aki jobbára sikertelen volt a szerelmi életben, és embertársai iránt általában teljesen közömbösnek bizonyult. A matematikai tételeket, definíciókat nem tanulta, hanem újrafelfedezte magának, a tudományág nagy problémáit pedig legtöbbször csak kedvtelésből, alkalmanként fogadásból oldotta meg. 1951 nyarán, egy évvel a diplomája megszerzése után egyetemi előadóként kezdett tevékenykedni, azonban egyetemi tanulmányai színhelye helyett a magasabb fizetést kínáló M.IT ajánlatát fogadta el Diákjai és kollégái elől – hasonlóan az egyetemi életéhez – mereven elzárkózott,

megközelíthetetlennek ismerték, előadásait sokan követhetetlennek tartották. Egyetemi tanárként 1959-ig dolgozott, az év elején azonban bekövetkezett a törés az addigra már nős tudós életében. Betegsége alatt több hónapot töltött a New Jersey-i klinikán, azonban nem tudtak segíteni rajta. Nash azt képzelte, hogy földönkívüli lények titkos üzeneteket küldenek neki, amiket egyedül ő ért meg. Erre reagálva különböző zavaros leveleket kezdett irogatni az FBInak, a NASA-nak és különböző álamfőknek, amelyben egy világközi kormány megalakításában látta az emberiség egyetlen jövőjét. Mindenkit összeesküvéssel gyanúsított meg, és betegsége időszakában antiszemita gondolatokat is hangoztatott. 1963-ban felesége is elhagyta, és betegsége alatt egyetlen tudományos munkát sem publikált. Ebből a mániás depressziós skizofrén állapotból csak nagyon keveseknek sikerül a visszatérés. Nash egyike ezeknek a keveseknek

Hatalmas akaratereje, a nyolcvanas évek új orvostudományi felfedezései, volt feleségével való újbóli viszonya (2001-ben újra összeházasodtak) és az átlagembernél nagyobb szellemi erőforrásai egyaránt segítettek a rehabilitációjában. Nash visszatért a teljes sötétségből a hétköznapokba, állást kapott a Princeton-on, megtanulta a számítógép kezelését és elektronikus úton levelezni kezdett a Fields-díjas matematikussal, Enrico Bombierivel. 1994 októberében aztán Nash telefonhívást kapott egykori évfolyamtársától, Harold Kuhn-tól. A hívás tárgya nem más volt, mint a Svéd Tudományos Akadémia megkeresésének előzetes bejelentése. John Forbes Nash 1994-ben a játékelméleti kutatásaiért és felfedezéseiért Harsányi Jánossal (az információ gazdaságtanának megalapozásáért) és Reinhard Seltennel (a Nash-féle egyensúly finomításáért) megosztva elnyerte a közgazdasági Nobel-díjat. Egy csodálatos elme

viszontagságos életművének megkoronázása. Azóta Nash életpályáját sokan dolgozták fel, kutatták, publikálták. Közülük a két legjelentősebb alkotás egyértelműen Sylvia Nasar: Egy csodálatos elme című könyve (1998) és Ron Howard rendező ugyanezt a címet viselő filmje (2001), amelyet 4 Oscar-díjjal jutalmaztak. John Nash ma is aktívan dolgozik, a Princeton-i egyetem Matematika Tanszékének alkalmazottja. Kutatásainak tárgya a logika, a játékelmélet, a kozmológia és a gravitáció Mi mást kívánhatunk neki, mint minél több boldog esztendőt. Ép testben, ép lélekben Gabesz