Fizika | Felsőoktatás » Valek Béla - Modern fizika kézikönyv, Általános relativitáselmélet

Valek Béla Modern Fizika Kézikönyv I. Általános Relativitáselmélet Valek Béla Modern Fizika Kézikönyv I. Általános Relativitáselmélet A dokumentum bármely részét, vagy egészét tilos anyagi haszonszerzés céljából sokszorosítani, amennyiben arról az író másként nem rendelkezik. A dokumentum egyébként szabadon felhasználható, amennyiben ezt az oldalt tartalmazza és forrásként meg van jelölve. Valek Béla, 2010 – 2011 bvalek2@yahoo.com A könyv a következő szabad szoftverek felhasználásával készült: • OpenOffice.org 321 Copyright 2000, 2010 Oracle és/vagy leányvállalatai. A terméket az OpenOffice.org alapján készítette: FSFhu Alapítvány • Maxima 5.221 using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 268 (aka GCL) Distributed under the GNU Public License. Dedicated to the memory of William Schelter • Euphoria Interpreter 3.11 for 32-bit DOS Copyright (c) Rapid Deployment Software 2007 Bevezetés Bevezetés Ez a sorozat

példákon és levezetéseken keresztül mutatja be a modern fizikát. A témák felépítése a hagyományos tudománytörténeti vonal helyett praktikus szempontokat követ. Először felépítjük azokat a matematikai kereteket, melyeken belül az adott modellek mozognak, majd hiánytalanul levezetjük a legfontosabb következményeket, és friss kísérleti eredményekkel vetjük őket össze. A kötetek felhasználhatóak a szakterületükön referenciaanyagnak, illetve alkalmas önálló tanulásra is az egyes témákban. Az egyetemi oktatásban gyakorlatok segédeszközeként tehetnek hasznos szolgálatot. Az első kötet az általános relativitáselmélettel foglalkozik. A megnevezésnek csupán tudománytörténeti oka van, az elmúlt évszázadban egymás után nyertek kísérleti igazolást Einstein elméletének következményei. Klasszikus területről van szó, ahol évszázados tudományfilozófiai gondolatok nyertek matematikai megfogalmazást, majd kísérleti

bizonyítást. Fontos megjegyezni, hogy az a hagyományos mechanikai világkép, amiről sokszor azt állítjuk, hogy könnyebben felfogható, valójában egy félkész szellemi termék. Az általános relativitáselmélet alapfeltevései hétköznapi tapasztalatokból merítenek. A tér görbültségének belőlük következő felismerése valójában a Föld gömbölyű alakjának a megértéséhez hasonló, és ha a matematikai alapokkal tisztában vagyunk, nem is követel komoly képzelőerőt. Az olvasóról feltételezek némi felsőfokú alapismeretet matematika, és a hagyományosabb fizikai tárgyak körében, de csak annyi matematikai terjengősség van a könyvben, amennyi a fizikához feltétlenül szükséges. A differenciálszámítás hagyományos jelöléseit használjuk, illetve indexes mennyiségeket. A fizikai levezetésekben mindenhol az SI-mértékrendszert használjuk Valek Béla 4 Bevezetés Tartalomjegyzék Bevezetés.4 Ábrajegyzék.8 Megfigyelések.9

Jelölések és állandók.10 1. Alapok12 1.1 Koordináta-rendszerek12 1.2 Tenzorok15 1.3 Egyenesek17 1.4 Párhuzamos eltolás20 1.5 Konnexió és metrikus tenzor23 1.6 Legrövidebb út25 1.7 Deriválás27 1.8 Invariáns derivált28 1.9 Görbe menti derivált32 1.10 Görbület34 1.11 Párhuzamos eltolás zárt kör mentén38 1.12 Egyenesek elhajlása41 1.13 Integrálás42 1.14 Variáció és hatáselv43 1.15 Runge-Kutta közelítés45 2. Példák47 2.1 Kétdimenziós felület görbülete47 2.2 Sík49 2.3 Henger50 2.4 Kúp51 2.5 Gömb52 2.6 Paraboloid55 2.7 Hiperboloid57 2.8 Bolyai sík58 2.9 Katenoid60 2.10 Helikoid62 2.11 Hiperbolikus paraboloid63 2.12 Tórusz65 3. Sík és általános téridő68 3.1 Sajátidő68 3.2 Lorentz-transzformáció69 3.3 Sebesség és gyorsulás összeadása75 3.4 A fény aberrációja78 3.5 Doppler-effektus79 3.6 Események sorrendje80 3.7 Energia és lendület82 3.8 Relativisztikus rakéta87 3.9 Fénynél gyorsabb részecskék89 3.10 Körmozgás és Thomas

precesszió91 3.11 Gravitációs vöröseltolódás93 5 Tartalomjegyzék 4. Gömbszimmetrikus téridő94 4.1 Gömbszimmetrikus koordináta-rendszer94 4.2 Schwarzschild-koordináták95 4.3 Geodetikus egyenletek104 4.4 Gravitációs vöröseltolódás105 4.5 Féregjárat106 4.6 Newtoni közelítés108 4.7 Kör alakú pálya114 4.8 Felszíni gyorsulás és lebegés117 4.9 Geodetikus precesszió120 4.10 Körpályák stabilitása123 4.11 Napközelpont vándorlása125 4.12 Fényelhajlás128 4.13 Árapály133 4.14 Zuhanó pálya138 4.15 Izotróp koordináták142 4.16 Gaussi poláris koordináták147 4.17 Forgó Schwarzschild-koordináták149 4.18 Kruskal-Szekeres koordináták153 4.19 Kruskal-Szekeres téridő160 5. Forgó fekete lyuk térideje162 5.1 Tengely-szimmetrikus téridő162 5.2 Ernst-egyenlet166 5.3 A Kerr-megoldás levezetése171 5.4 Koordinátaszingularitások178 5.5 Vöröseltolódás179 5.6 Téridő csavarodása179 5.7 Egyenlítői körpálya181 5.8 Kerr-Schild metrikák183

5.9 Tomimatsu-Sato téridők185 6. Anyagi közegek térideje189 6.1 Energia-impulzus tenzor189 6.2 Einstein-egyenlet anyagi közegben190 6.3 Ideális folyadék192 6.4 Gömbszimmetrikus égitest193 6.5 Állandó sűrűségű gömb199 6.6 Zuhanás a középpontba205 6.7 Relativisztikus por210 6.8 Összeomló gömb alakú porfelhő211 6.9 Elektromágneses kölcsönhatás216 6.10 Elektromágneses hullámok220 6.11 Klein-Gordon egyenlet222 6.12 Proca egyenlet225 6.13 Dirac egyenlet225 6.14 Weyl egyenlet235 7. Gravitációs hullámok236 7.1 A metrikus tenzor felbontása236 7.2 A metrika vizsgálata238 6 Tartalomjegyzék 7.3 Síkhullám megoldások241 7.4 Másodrendű közelítés243 7.5 Példák246 8. Világegyetem térideje250 8.1 Feltételezések250 8.2 Pozitív görbület251 8.3 Negatív görbület252 8.4 Nulla görbület253 8.5 Kozmológiai vöröseltolódás253 8.6 Hubble törvény255 8.7 Síkbeli geometria256 8.8 Általános Friedmann-egyenletek258 8.9 Világmodellek262

Függelék.266 A.1 Makroszkopikus kölcsönhatások egyesítése266 A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk272 Összefoglalás.283 Irodalomjegyzék.284 Tárgymutató.288 7 Tartalomjegyzék Ábrajegyzék Galilei, Clausius, Maxwell, Einstein, Kaluza.1 sík derékszögű koordinátákkal.49 sík poláris koordinátákkal.50 henger.50 kúp poláris koordinátákkal.51 kúp derékszögű koordinátákkal.51 gömb poláris koordinátákkal.52 gömb derékszögű koordinátákkal.53 paraboloid poláris koordinátákkal.55 paraboloid derékszögű koordinátákkal.55 egypalástú hiperboloid.57 kétpalástú hiperboloid poláris koordinátákkal.58 kétpalástú hiperboloid derékszögű koordinátákkal.58 traktroid.60 katenoid.61 helikoid.62 hiperbolikus paraboloid.63 tórusz.66 Minkowski koordináta-rendszer.69 féregjárat poláris koordinátákkal.108 féregjárat derékszögű koordinátákkal.108 lebegő test gyorsulása.119 geometriai potenciál.125 gravitációs

lencse.133 árapály - Nap hatása a Földre.135 árapály - fekete lyuk hatása próbatestre.135 zuhanó test pályája sajátidőben.140 zuhanó test pályája koordináta időben.142 Kruskal-Szekeres koordináták.156 teljes féregjárat poláris koordinátákban.157 teljes féregjárat derékszögű koordinátákban.157 Kruskal-Szekeres téridő.161 forgó fekete-lyuk hosszmetszet.179 zuhanás égitest belsejében.209 gyorsulás égitest belsejében.210 összeomló porfelhő.216 8 Megfigyelések Megfigyelések Lehet, hogy csak az érzékszerveink csapnak be minket, de nem érezzük, hogy a Föld közel 30 km/másodperces sebességgel száguld a Nap körül. Valójában, azt sem tudjuk megmondani egy óceánjáró belsejében, hogy a kikötőben vagyunk-e még, vagy már a nyílt vízen szeli a habokat. Az igazság az, hogy nemcsak mi nem tudjuk, (ideális esetben) a műszereink sem észlelik a különbséget. Lehet, hogy csak pontatlanok, de az is lehet, hogy valami elvi

dolog akadályoz meg minket benne, hogy megállapítsuk az abszolút sebességünket. Ez a Galileo Galileitől származó relativitási elv. Az idő egy irányba történő haladása, vagyis az ok és következmény sorrendje annyira magától értetődő, és természetes tapasztalatunk, hogy egész meglepő, ha ezt még ki is kell jelenteni. Súlyos logikai problémák merülnének fel, ha nem így lenne, mégsem mondhatunk mást, mint hogy eddig nem tapasztaltunk mást. Ennek a gondolatnak akkor lett nagy jelentősége, amikor Rudolf Clausius felismerte az entrópiát, melynek a változása kijelöli az idő irányát. Vegyük azonban figyelembe, hogy ezzel a tétellel semmit nem állítottunk az idő múlásának mértékéről, vagy mértékének állandóságáról. A fény érzékelhetetlenül gyorsan terjed a mi fogalmainkhoz képest. Azonban már ezer évvel ezelőtt Ibn al-Haytham arab tudós felvetette, hogy egy terjedő jelenségről van szó, aminek ennél fogva terjedési

sebessége kell, hogy legyen. Csillagászati méretű jelenségek esetében vesszük csak észre, illetve a mi szemünknél rövidebb reakcióidejű műszereink érzékelhetik. Igen fontos az, hogy a sebessége vákuumban mindenkor egyfajta, és állandó, minden megfigyelő számára, függetlenül a mozgásállapotuktól, aminek az elméleti megalapozását James Clerk Maxwell egyenletei adják. Annyira megbízunk ebben a tapasztalatban, hogy a távolság egységének, a méter definíciójának az alapjául választottuk SI egységekben. Ha ez nem így lenne, akkor például egy nagyon gyors jármű lehagyhatná, és a fedélzeti műszerek már nem a megszokott értéket mérnék. Ezzel viszont meghatározhatnánk az abszolút sebességünket, amiről úgy tudjuk, hogy lehetetlen. Űrhajósjelöltek a parabolikus pályán zuhanó repülőgépben (a „hánytatógépben”) rövid időre megtapasztalhatják a világűrbeli súlytalanságot. Vidámparki szimulátorok pedig

hátradöntik a látogatóikat, bár csak a saját súlyukat érzik, mégis azt hiszik, hogy gyorsulnak. Ha hirtelen elindulna közben a teherautó, amire felszerelték a berendezést, a bent ülők nem tudnák megállapítani, hogy tényleg gyorsulnak-e, vagy csak hanyatt fekszenek az ülésben. Ismét két megkülönböztethetetlen jelenség, tehát jelentsük ki hogy megegyeznek, ez Albert Einstein ekvivalencia-elve. Elektromágneses hatásra gyorsuló testek úgy viselkednek, mintha gravitáció hatna rájuk, hasonló tapasztalati törvény írja le a mozgásukat. Viszont ez az erő függ attól, hogy van-e eredő töltésük, sőt nem csak vonzani, taszítani is képes. Ennek ellenére az általános elektromágneses és gravitációs térben mozgó részecske pályáját le lehet írni tisztán geometriai eszközökkel, ahogy azt Theodor Kaluza megmutatta. A megfogalmazott kijelentésünk lényegében azt fogja jelenti, hogy a töltött műszer nem mér különbséget

gravitációs, elektromos gyorsulás, vagy a súlytalanság állapota között. Az általános relativitáselmélet ezeken a megfigyeléseken alapszik, és a téridő viselkedését írja le, illetve a kölcsönhatását a benne lévő anyaggal. Ezzel létrehoz egy keretet, amiben az összes többi fizikai modell leírható. 9 Jelölések és állandók Jelölések és állandók A könyv folyamán végig az indexes jelölésmódot használjuk. Az indexek mindig egybetűsek, és a következő táblázat összefoglalja, hogy hol és milyen jelentéssel használjuk őket: terek szabad indexek összegzési indexek 3D-s tér (13) általános tér (1N) i, j, k, l, m, n a, b, c, d, e, f 4D-s téridő (03) η, κ, μ, ν, ξ, σ α, β, γ, δ, ε, ζ 5D-s téridő (04) spinor-tér (14) P, Q, R, S, T, U A, B, C, D, E, F Az egyenletek két oldalán ugyanannyi szabad indexnek kell lennie, hiszen valójában annyi egyenletünk van, amennyi a dimenziók száma szorozva a szabad

indexek számával: v i =a⋅u ib i v 1=a⋅u 1b1 , v 2 =a⋅u 2b 2 , v 3=a⋅u 3b3 Azokra a tagokra amelyekben összegzési indexek vannak, összegzést kell érteni, mégpedig annyiszor amennyi a dimenziók száma: N s=v ⋅u a=∑ v a⋅u a =v 1⋅u 1v 2⋅u 2v 3⋅u3 a a=1 { ij = 1, i= j 0, i≠ j A Kronecker-delta: A koordináta-rendszereket, amikben az egyes mennyiségek fel vannak írva, bal alsó sarokban lévő indexszel jelezzük. Különböző pontokban felírt mennyiségeket különböző betűkkel jelöljük, ahol lehet. Kétindexű mátrix determinánsa kiszámítható a következő rekurzív képlettel: ∣M ij∣=−1 a 1 ⋅M 1 a⋅∣M i≠1 ∣ j≠a Kétszer kontravariáns metrikus tenzor komponenseinek kiszámítása kétszer kovariáns metrikus tenzorból: −1k l⋅∣g i≠k g = ∣g ij∣ kl ∣ j≠l A Lambert-függvény deriváltja és integrálja: dW 1 = W  x dx e ⋅W  x1 

∫ W  x ⋅dx= x⋅ W  x W 1 x  −1 10  C Jelölések és állandók Természeti állandók: fénysebesség: c=2,99792458⋅10 gravitációs állandó: =6,67428⋅10−11 8 m s m3 kg⋅s 2 Idő és távolságegységek: Júlián év: 1 a=365,25 nap=3,15576⋅107 s csillagászati egység: 1 AU =1,49597870691⋅1011 m fényév: 1 fényév=9,4607304725808⋅1015 m parsec: 1 Pc=3,08567758128⋅1016 m =2,06264806245⋅10 5 AU =3,26156377695 fényév 11 1. Alapok 1. Alapok Ebben a fejezetben bevezetjük azt a matematikai nyelvezetet, amit az általános relativitáselmélet használ. A célunk az, hogy mérhető mennyiségeket találjunk, amikkel a többdimenziós felületeket jellemezni tudjuk. Ezzel a problémával a differenciál-geometria foglalkozik, és az alkalmazott módszerek hasonlóak azokhoz, amiket a földmérők használnak. Maga a „geometria” szó is földmérést jelent, mely révén a témánk egy ősi tudományhoz

kapcsolódik, melyet már az antik világban is nagy szakértelemmel műveltek. Amíg a geodéták a Föld görbült felszínét, mi a görbült téridőt fogjuk feltérképezni, de a céljaink pontosan ugyanazok: tájékozódni, távolságokat mérni, vagy megkeresni a legrövidebb utat két pont között, és így tovább. Látni fogjuk, hogy a térre vonatkozó naiv, földhöz ragadt feltételezésekből kiindulva rendkívül általános, változatos tulajdonságokkal rendelkező geometriát lehet felépíteni, melyben az összes fontos geometriai mennyiséget meg tudjuk határozni. Ebből levonhatjuk magunknak a tanulságot, hogy amikor az „egyszerű” sík térről gondolkozunk, valójában számos ki nem mondott megkötéssel és feltételezéssel élünk, melyek nem következnek automatikusan a kezdeti feltételeinkből. 1.1 Koordináta-rendszerek Képzeljünk el egy tetszőleges teret, melynek a pontjait egyedi számsorokkal, vektorokkal különböztetjük meg, más szóval

egy koordináta-rendszert veszünk fel benne. A koordinátákat megállapodás szerint jobb felső indexszel jelöljük. Az x pont i-ik koordinátája: xi (1.11) Ezek a számsorok természetesen nem kizárólagosak, tetszőlegesen újra lehet számozni a tér pontjait. Ha más logika szerint osztjuk ki a sorszámokat, egy másik koordináta-rendszert veszünk fel, amit egy 2-essel jelölünk a bal alsó sarokban, ahol a koordináták függenek az első koordinátarendszerben felvett koordinátáktól: xi = 2xi(1xj) (1.12) 2 A tér minden pontjához hozzárendelünk egy számot, vagy más néven skalárt. Egy skalármezőt a pontok függvényében adunk meg, ennek az úgynevezett skalárfüggvénynek az értéke egy adott pontban természetesen független a koordináta-rendszertől: i  x i  i (1.13)   2 x = 1 x  Tekintsük egy koordináta-rendszerben két különböző pontot: xi yi (1.14) A skalármező ezekben a pontokban felvett értékeinek

különbsége nem függ attól, hogy milyen koordináta-rendszert választottunk: 12 1.1 Koordináta-rendszerek i i i i (1.15)   1 x −  1 y = 2 x −  2 y  Ez akkor is igaz, ha végtelenül kicsire csökkentjük a két pont közötti távolságot, ami a totális derivált: ∂ ∂ a a ⋅ dx = ⋅ dx a 1 a 2 1∂ x 2∂ x (1.16) Viszont a skalármező értékének koordinátánkénti változása függ attól, hogy milyen koordinátarendszert alkalmazunk. Tulajdonképpen azt vizsgáljuk, hogy a változás az egyik koordináta mentén mekkorának látszik a másik koordináta-rendszer koordinátái mentén. Hogy kevésbé legyenek zsúfoltak a képletek, a továbbiakban többnyire elhagyjuk az 1-es indexet. Definiálunk két transzformációs szabályt: A skalármező parciális deriváltjának transzformációja: ∂  ∂ ∂ x a = a⋅ i i ∂ x 2∂ x 2∂ x (1.17) A koordináta-differenciál transzformációja: i i

2∂ x dx = ⋅dx a 2 a ∂x (1.18) A kettejük skalárszorzata a totális derivált, ami koordináta-rendszertől független. Ezzel azt bizonyítjuk, hogy az általunk definiált transzformációs képletek helyesek, hiszen az elvárt módon viselkednek: a ∂ ∂ ∂ x b 2∂ x ∂ a ⋅ dx = b⋅ ⋅ c ⋅dx c = b⋅dx b a 2 a ∂ x 2∂ x ∂ x ∂x 2∂ x (1.19) Végtelenül kicsi elmozdulás esetén mindkét koordináta-rendszerben változnak a koordináták. A változások kölcsönös arányai a két koordináta-rendszer között a transzformációs mátrixot alkotják: i ∂ xi i 1∂ x  j= ≠ j = j j 1∂ x 2∂ x i 2 (1.110) Azokat a mennyiségeket, melyek úgy transzformálódnak, mint a skalármező parciális deriváltjai, elnevezzük kovariáns vektoroknak, melyek a tér pontjait ugyanúgy beszámozzák, csak egy másik logika szerint. Itt az index megállapodás szerint a jobb alsó sarokba kerül: ∂ ∂ = a⋅ i a i ∂x 2∂ x vi =

∂ ∂ xi 13 1.1 Koordináta-rendszerek Kovariáns vektor: olyan v mennyiség, mely koordináta-rendszerek közötti átváltáskor úgy transzformálódik, mint a skalármező parciális deriváltjai: ∂ xa =v a⋅i a 2v i =v a⋅ i 2∂ x (1.111) Azokat a mennyiségeket pedig, melyek úgy transzformálódnak mint a koordináta-differenciálok, elnevezzük kontravariáns vektoroknak. Itt az index helyzete nem változik: ∂ xi ⋅dx a 2dx = a ∂x i 2 i v =dx i Kontravariáns vektor: olyan v mennyiség, mely koordináta-rendszerek közötti átváltáskor úgy transzformálódik, mint a koordináta-differenciálok: i 2 v= 2 ∂x ∂x i a ⋅v a=i a⋅v a (1.112) Ha felcseréljük a koordináta-rendszereket, akkor a fordított transzformációs képletek: vi = ∂ xi ⋅ v a = ai⋅2v a a 2 2∂ x ∂ xa v i =2v a⋅2 i =2v a⋅ ai ∂x (1.113) A differenciál reciproka úgy transzformálódik mint egy kovariáns vektor: 1 1 1 ∂ xa 1 1 = i

⋅ a= ⋅ a = i a⋅ a i i  a dx 2∂ x dx dx 2dx (1.114) A fentiekből következik, hogy a kovariáns és kontravariáns vektorok skalárszorzata is független attól a koordináta-rendszertől, melyben felírtuk a komponenseiket, az eredmény egy skalár: a b a c v ⋅ u =v b⋅a ⋅ c⋅u =v b⋅u b (1.115) 2 a 2 Kétszeres transzformációt végzünk, egy vektort felírunk egy másik koordináta-rendszerben, majd visszatérünk az eredetibe: i ∂x v= ⋅ v a = ai⋅2v a a 2 2∂ x i i ∂x =v a⋅i a 2v =v ⋅ a ∂x i a 2 v i =bi⋅v a⋅ ba= ia⋅v a A transzformációs mátrixok skalárszorzata a Kronecker-delta: 14 1.1 Koordináta-rendszerek a ∂ xi 2∂ x  a ⋅ j= = ⋅ j a ∂x 2∂ x i a i j (1.116) 1.2 Tenzorok Azok a mennyiségek, melyeket vektorok szorzatából állítunk elő, a tenzorok közé tartoznak. Ezek speciális tenzorok, mert csak n∙m számtól függenek, ahol m a vektorok száma, n pedig a

koordinátáké: v i⋅u j⋅w k⋅⋅pl⋅q m⋅=T ijk lm  (1.21) Viszont egy ilyen tenzort reprezentáló mátrixnak nm független komponense lehet, és ez az általános tenzorra is igaz. Ebből levezethető a transzformációs szabály: Tenzor: olyan T mennyiség, mely koordináta-rendszerek közötti átváltáskor a következőképpen transzformálódik: 2 T ijk  i lm j k = a⋅ b⋅ c⋅⋅T abc  de d e ⋅l ⋅m⋅ (1.22) Jól látszik a fenti összefüggésen, hogy ha a tenzor összes komponense nulla, akkor ez így marad bármilyen koordináta-transzformáció esetén. A tenzor rangja az indexek száma, egy skalár nullad-rangú tenzor, a vektor elsőrangú, és így tovább. Általános tenzorok szorzata szintén tenzor, például: Aijk⋅Blm=T ijk lm (1.23) Tenzorok összegét csak ugyanolyan rang esetén tudjuk értelmezni, például: ij 2 ij i j ab ab c (1.24) A k 2 B k = a⋅ b⋅ A c B

c ⋅ k Szorozzunk össze egy tetszőleges tenzort olyan vektorokkal, amikkel mindegyik indexre összegzést végzünk. A fentiek szerint egy invariáns skalárt kapunk: T abc  de d e (1.25) ⋅v a⋅u b⋅w c  p ⋅q =s Ha nem ismerjük egy többindexű mennyiség természetét, a fenti összefüggés használatával bebizonyítható, hogy tenzor. Ugyanis ha felírjuk egy másik koordináta-rendszerben, a transzformációs mátrixok csak akkor ejtik ki egymást, ha a többindexes mennyiség ugyanannyit vonultat fel belőlük, mint amennyi a vektorokat transzformálja. A Kronecker-delta értéke egyező indexek esetén egy, különböző indexeknél nulla. A fenti összefüggés alapján tenzor, mégpedig egy speciális fajta, mivel a komponensei külön-külön is invariánsak: 15 1.2 Tenzorok ab⋅v a⋅ub =v b⋅ub=s (1.26) A kovariáns vektorokkal is be lehet számozni a tér pontjait, ezeket a számsorokat a kovariáns koordináták alkotják: xi

(1.27) Tulajdonképpen ez is csak egy koordináta-rendszer a sok lehetséges közül, ezért minden bizonnyal át lehet transzformálni egy pont kontravariáns koordinátáit kovariáns koordinátákká. Ezért legyen a második koordináta-rendszer a kovariáns, így a koordináta-változások kölcsönös arányai egy gij szimmetrikus mennyiséget alkotnak: ∂ xi j 1∂ x g ij = i i a 2∂ x v =v ⋅ 2 ∂ xa ∂x v i =v a⋅ ai =v a⋅g ia ∂x g ij = ∂x v i =v a⋅ =v a⋅g ai ∂ xi 2 ∂ xi ∂x j ∂xj = ∂ xi =g ji (1.28) (1.29) Fordított irányban: ∂ xi j 2∂ x 1 a ∂ xi ∂xj = =g ji ∂xj ∂ xi (1.210) a ∂x i 2∂ x 2v i =v a⋅ (1.211) A vektor kontravariáns és kovariáns változatának skalárszorzata invariáns skalár – ami a vektor hossza – tehát az új mennyiségünk tenzor-jellegű: v a⋅v a =v a⋅v b⋅g ab=v b⋅v a⋅g ba (1.212) A neve metrikus tenzor, és a segítségével indexeket lehet emelni és

süllyeszteni: d e ai bj ck i j k v a⋅u b⋅w c⋅⋅p ⋅q ⋅⋅g ⋅g ⋅g ⋅⋅g dl⋅g em⋅=v ⋅u ⋅w ⋅⋅pl⋅q m⋅ T abc de⋅g ai⋅g bj⋅g ck⋅⋅g dl⋅g em⋅=T ijk lm (1.213) Kétszeres transzformációt végzünk, egy kontravariáns vektort felírunk kovariáns alakban, majd visszaírjuk kontravariánssá: i a bi a i v =v ⋅g ab⋅g =v ⋅a A metrikus tenzorok skalárszorzata a Kronecker-delta: 16 1.2 Tenzorok g ia⋅g aj =ij = ∂ xi ∂ x a ⋅ a ∂x ∂ xj (1.214) Ha minden indexre összegzünk, akkor az eredmény a dimenziószám: ab b (1.215) g ab⋅g =b =N Egy általános tenzort mindig fel lehet bontani egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére. Két index esetén az egymással szemben lévő tenzorkomponensek átlagolásával szimmetrikus tenzor hozható létre: s 1 1 T ij = ⋅T ij T ji = ⋅T ji T ij = sT ji 2 2 (1.216) Az általános

tenzorból kivonva az eredmény egy antiszimmetrikus tenzor: a 1 1 1 T ij =T ij − sT ij =T ij − ⋅T ij T ji = ⋅T ij −T ji =− ⋅T ji −T ij =−aT 2 2 2 melynek a diagonális elemei nullák: a ji 1 T ii = ⋅T ii −T ii =0 2 (1.217) (1.218) Az összegük visszaadja az eredeti tenzort: s 1 1 T ij aT ij = ⋅T ij T ji  ⋅T ij −T ji =T ij 2 2 (1.219) Általános tenzor indexeinek megfordítása: T ij =T ji 2⋅aT ij (1.220) 1.3 Egyenesek Tetszőleges térben azt a görbét nevezzük egyenesnek, aminek az érintővektora állandó. A koordináták változása egy invariáns mennyiség függvényében a következő: u i= ∂ xi ∂ (1.31) Legyen ez az egyenes érintővektora. Felírjuk egy másik koordináta-rendszerben: ∂ x i 2∂ x i ∂ x a = ⋅ ∂ ∂ x a ∂  2 / ∂ ∂ (1.32) 17 1.3 Egyenesek Az összefüggés mely leírja, hogy nem változik, vagyis a deriváltja nulla, az

egyenes egyenlete: 2 i i ∂2 xi ∂ x a ∂ x b 2∂ x ∂ 2 x a 2∂ x = ⋅ ⋅  ⋅ =0 ∂2 ∂ x a⋅∂ x b ∂  ∂ ∂ x a ∂2 2 ∂xj i 2∂ x /⋅ i c : 2 c c ∂ x j 2∂ x ∂ x a ∂ x b ∂ x j 2∂ x ∂ 2 x a ⋅ a ⋅ ⋅  ⋅ ⋅ =0 c b ∂ ∂ 2∂ x c ∂ x a ∂2 2∂ x ∂ x ⋅∂ x 2 c ∂ x j 2∂ x ⋅ c a b 2∂ x ∂ x ⋅∂ x Az első tagban bevezetjük a konnexiót:  jab= A második tagban megváltozik az index: c 2 a ∂ x j 2∂ x ∂ 2 x a ∂2 x j j ∂ x ⋅ a ⋅ 2 =a⋅ 2 = c ∂ x ∂ ∂ ∂ 2 2∂ x (1.33) Az egyenes egyenlete: ∂2 x j ∂ xa ∂ xb j  ⋅ ⋅ =0 ab ∂  ∂ ∂ 2 (1.34) Felírjuk az egyenes egyenletét két különböző koordináta-rendszerben: 2 ∂2 x i ∂ xa ∂ xb i  ⋅ ⋅ =0 ab ∂ ∂  ∂ 2 i a b ∂ x ∂ x 2∂ x  2 i ab⋅2 ⋅ =0 2 ∂ ∂  ∂ 2 (1.35) Az első és a második invariáns szerinti

derivált transzformációja: ∂ x i 2∂ x i ∂ x a = ⋅ ∂ ∂ x a ∂  2 2 i 2 i i ∂ x ∂ x a ∂ x b 2∂ x ∂ 2 x a 2∂ x = ⋅ ⋅  a⋅ 2 2 a b ∂ ∂ x ⋅∂ x ∂  ∂ ∂ x ∂ 2 (1.36) Behelyettesítjük őket az egyenes egyenletébe: a c  bd ∂2 x i     i a b ∂ x c ∂ x d 2∂ x ∂ 2 x c ∂ x c 2∂ x ∂ x d i 2∂ x ⋅ ⋅  ⋅ 2  2 ab⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =0 c d c c d ∂ x ⋅∂ x ∂  ∂ ∂ x ∂ ∂ x ∂ ∂x ∂ 2 Átrendezzük a képletet, és beszorzunk: 18 (1.37) 1.3 Egyenesek  i 2 i a b  ∂ x ∂2 x c ∂ xc ∂ xd i 2∂ x 2∂ x 2∂ x ⋅    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =0 2 ab c 2 c d c d ∂  ∂ ∂ x ∂ ∂ x ⋅∂ x ∂ x ∂x 2 ∂xj i 2∂ x /⋅ i e Az első tag átalakulását külön részletezzük: 2 c ∂ x e ∂ x j ∂2 x c ∂2 x j j ∂ x ⋅ ⋅ = ⋅ = c ∂ x c 2∂ x e ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 2

Visszahelyettesítjük:  2 e a  b j j d 2 j c ∂x ∂ x ∂x ∂x ∂ x e 2∂ x 2∂ x 2∂ x  ⋅   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =0 2 ab ∂ 2 ∂ x c⋅∂ x d 2∂ x e ∂ x c ∂ x d 2∂ x e ∂  ∂  (1.38) Az eredményünknek olyan alakja van, mint az egyenes egyenletének. Felismerhető benne a konnexió, melyből a transzformációja: c i d k a b ∂2 x e ∂ x j ∂xj e 2∂ x 2∂ x  ik = i ⋅   ⋅ ⋅ ⋅ 2 ab ∂ x ⋅∂ x k 2∂ x e ∂ x i ∂ x k 2∂ x e j 2 (1.39) A konnexió tehát nem tenzor-jellegű mennyiség. Az általános konnexió szimmetrikus része: 1 k k k C ij = ⋅  ij  ji  2 (1.310) Az általános konnexió antiszimmetrikus része a torzió: 1 k k k S ij = ⋅ ij − ji  2 k k  ij = ji 2⋅S k ij (1.311) Behelyettesítjük a konnexió transzformációját:   a b 2 e b a ∂2 x e ∂ x k 1 ∂xk ∂ xk ∂ xk e 2∂ x 2∂ x 2∂ x e 2∂ x 2∂ x S

k ij = ⋅ 2 i ⋅   ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅   ⋅ ⋅ ⋅ 2 ba 2 ∂ x ⋅∂ x j 2∂ x e 2 ab ∂ x i ∂ x j 2∂ x e ∂ x j⋅∂ x i 2∂ x e ∂ x j ∂ x i 2∂ x e  Egyszerűsítünk, a torzió transzformációja: ∂ xa ∂ xb ∂ xk 1 S k ij = ⋅ 2 e ab−2 e ba ⋅2 i ⋅2 j ⋅ 2 ∂ x ∂ x 2 ∂ xe (1.312) 19 1.3 Egyenesek A torzió a transzformációs képlete alapján egy háromindexű tenzor: k k a b S ij =2 S ij⋅ i⋅ j⋅ e k (1.313) A konnexió végtelenül kicsi különbségei úgy transzformálódnak mint a tenzorok: j j j első koordináta-rendszer:   ik = ik  x − ik  x x  második koordináta-rendszer: 2 j j j   ik =2 ik  2 x −2  ik  2 x 2 x  (1.314) Az első képletbe behelyettesítjük a konnexió transzformációját:   jik = 2 e 2∂ x a b 2 e a b ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj e 2∂ x 2∂ x 2∂ x e 2∂ x 2∂ x    x

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −   x x ⋅ ⋅ ⋅ 2 ab 2 ab ∂ x i⋅∂ x 2∂ x e ∂ x i ∂ x k 2∂ x e ∂ x i⋅∂ x k 2∂ x e ∂ x i ∂ x k 2∂ x e ⋅ k a b a b j ∂ x 2∂ x ∂ x j ∂x e 2∂ x 2∂ x   ik =2 ab  x ⋅ i ⋅ k ⋅ e −2 ab  x x⋅ i ⋅ k ⋅ e ∂ x ∂ x 2∂ x ∂ x ∂ x 2∂ x j e 2 (1.315) A konnexió variációja tenzor-jellegű mennyiség: ∂ xa ∂ xb ∂ x j   jik =2  jik⋅2 i ⋅2 k ⋅ ∂ x ∂ x 2 ∂ xe (1.316) 1.4 Párhuzamos eltolás Felveszünk két végtelenül közeli pontot, ezekben a pontokban vektorokat, és két különböző koordináta-rendszerben is felírjuk őket. A tévedések elkerülése érdekében összefoglaljuk egy táblázatban a jelöléseket: Első koordináta-rendszer Második koordináta-rendszer Első pont xi 2 Második pont yi 2 Első pontbeli vektorok vi, wi 2 Második pontbeli vektorok ui, qi 2 xi yi vi ui Párhuzamosan

eltolunk egy vektort az első pontból a másodikba, az egyik koordináta-rendszerben az eredeti és az új vektor minden komponense megegyezik: u i=vi (1.41) 20 1.4 Párhuzamos eltolás A másik koordináta-rendszerben általánosan írjunk fel egy eltolást: i 2 i u = 2v  2dv i (1.42) A következőképpen számítjuk át a vektorok koordinátáit: vi = i ∂x ⋅ va a 2 2∂ x u i= i ∂y ⋅ ua a 2 2∂ y (1.43) Behelyettesítjük az első koordináta-rendszerben felírt összefüggésbe: ∂ xi ∂ yi a ⋅ v = ⋅ ua a 2 a 2 2∂ x 2∂ y (1.44) A két pont különbsége a totális derivált, ahol most a második koordináta-rendszer koordinátái szerint deriválunk: i i y =x  ∂ xi a ⋅ dx a 2 2∂ x / ∂ j 2∂ x ∂ yi ∂ xi ∂2 x i =  ⋅ dx a j j j a 2 2∂ y 2∂ x 2∂ x ⋅2∂ x (1.45) Behelyettesítjük, majd felbontjuk a zárójeleket: i  i 2 i  ∂x ∂x ∂ x ⋅ va =  ⋅ dx a ⋅ 2v b2 dv b  a 2 b b

a 2 2∂ x 2∂ x 2∂ x ⋅2∂ x (1.46) ∂ xi ∂ xi ∂ xi ∂2 x i ∂2 x i a b b a b ⋅v = ⋅v  ⋅ dv  ⋅ dx ⋅2 v  ⋅ dx a⋅2dv b a 2 b 2 b 2 b a 2 b a 2 2∂ x 2∂ x 2∂ x 2∂ x ⋅2∂ x 2∂ x ⋅2∂ x Egyszerűsítünk, és elhagyjuk az utolsó tagot, ahol a végtelenül kicsi mennyiségek magasabb hatványon vannak: 0= ∂ xi ∂2 x i b ⋅ dv  ⋅ dx a⋅2v b b 2 b a 2 2∂ x 2∂ x ⋅2∂ x ∂xj /⋅2 i ∂x i c j ∂ x j ∂ xc ∂2 x c b 2∂ x ⋅ ⋅ dv =− ⋅ ⋅ dx a⋅2v b c b 2 c b a 2 ∂ x 2∂ x ∂ x 2∂ x ⋅2∂ x 2 (1.47) Az egyenlet bal oldalán behelyettesítjük és alkalmazzuk a Kronecker-deltát, a jobb oldalán a 21 1.4 Párhuzamos eltolás konnexiót helyettesítjük be: j 2 ba = 2 ∂xj ∂x j 2 ∂2 x c b a 2∂ x ⋅2∂ x (1.48) ⋅ c j a dv =−2 ba⋅2 dx ⋅2 v b Ezt visszahelyettesítjük a kontravariáns vektor eltolási képletébe, a koordináta-rendszert azonosító számok

nélkül. Az indexek minden további nélkül felcserélhetők, amit meg is teszünk, ugyanis ekkor ugyanazt a konnexiót kapjuk meg, amit majd később más esetekben megint definiálunk: i i i a u =v − ba⋅v ⋅dx b (1.49) Felveszünk az első pontban két vektort, és képezzük a skalárszorzatukat. Ha párhuzamosan eltoljuk őket a másik pontba, a skalárszorzat nem változik: a a (1.410) v ⋅w a =u ⋅qa A kontravariáns vektor eltolása: i i i i i a u =v dv =v − ba⋅v ⋅dx b (1.411) A kovariáns vektor eltolása: q i=widw i (1.412) Behelyettesítjük a skalárszorzatba: v a⋅w a = v a − adc⋅v c⋅dx d ⋅ wa dw a  a a a a c (1.413) d a c d v ⋅w a =v ⋅w av ⋅dwa − dc⋅v ⋅dx ⋅w a− dc⋅v ⋅dx ⋅dwa Egyszerűsítünk, és elhagyjuk az utolsó tagot, ahol a végtelenül kicsi mennyiségek magasabb hatványon vannak: dw i= abi⋅dx b⋅w a Ezt visszahelyettesítjük a kovariáns

vektor eltolási képletébe: a q i=wi bi⋅w a⋅dx b (1.414) Ezek alapján tetszőleges tenzor eltolási képletét meg tudjuk határozni. Itt már nem használjuk a táblázatba foglalt jelöléseket: v i⋅u j⋅w k⋅⋅pl⋅q m⋅=T ijk lm  22 1.4 Párhuzamos eltolás Behelyettesítjük az eltolási képleteket, és elhanyagoljuk a végtelenül kicsi mennyiségek magasabb hatványait tartalmazó tagokat. Így csak a vektorok szorzatai, illetve azok a tagok maradnak meg, melyek csak egyszer tartalmazzák a konnexiót:  v i − i ba⋅v a⋅dx b ⋅ u j− jba⋅ua⋅dx b ⋅ w k− kba⋅wa⋅dx b ⋅⋅ p l abl⋅p a⋅dx b ⋅ q m abm⋅qa⋅dx b ⋅= i ajk  j iak  k ija a ijk  a ijk  b ijk  T lm− ba⋅T lm− ba⋅T lm− ba⋅T lm− bl⋅T am  bm⋅T la⋅dx (1.415) 1.5 Konnexió és metrikus tenzor Az előző

fejezethez hasonlóan felveszünk az első pontban két vektort, és képezzük a skalárszorzatukat. Ha párhuzamosan eltoljuk őket a másik pontba, a skalárszorzat nem változik: a b a g ab  x⋅v ⋅w = g ab  y ⋅u ⋅q b (1.51) Itt az egyenlet bal oldalán az első pontban felvett vektorok közötti skalárszorzatot írtuk fel, a jobb oldalon pedig a második pontban felvett vektorok közötti skalárszorzatot. Az egyik metrikus tenzortól a végtelenül közeli másikhoz sorfejtéssel közelítünk: ∂ g ij  x a 1 ∂ 2 g ij  x g ij  y =g ij  x  ⋅dx  ⋅ a ⋅dx a⋅dx b a b 2 ∂ x ⋅∂ x ∂x (1.52) Behelyettesítjük a vektorok párhuzamos eltolásának képletét, és a metrikus tenzor sorfejtését, elhanyagolva a végtelenül kicsi mennyiségek szorzatát tartalmazó tagokat:  g ab  x⋅v a⋅wb= g ab  x   ∂ g ab  x  c ⋅dx ⋅ v a− adc⋅v c⋅dx d ⋅ wb−

bdc⋅wc⋅dx d  c ∂x (1.53) Az egyszerűsítésnél megint elhagyjuk a végtelenül kicsi mennyiségek magasabb hatványait tartalmazó tagokat, majd lépésről lépésre, óvatosan átírjuk az összegzési indexeket szabad indexekké, ügyelve arra, hogy melyik szorzóhoz melyik index tartozott: 0= 0= 0= ∂ g ab 1 ⋅dx c⋅v a⋅wb− g ab⋅v a⋅ bdc⋅w c⋅dx d − g ab⋅ adc⋅v c⋅dx d⋅w b /⋅ k ∂x dx c ∂ g ab ∂x k ⋅v a⋅w b−g ab⋅v a⋅ bkc⋅w c −g ab⋅ akc⋅v c⋅wb ∂ g ib b 1 ⋅w −g ib⋅ bkc⋅wc − g ab⋅ aki⋅w b /⋅ j k ∂x w 23 1 /⋅ i v 1.5 Konnexió és metrikus tenzor g ia⋅ akjg aj⋅ aki = ∂ g ij ∂x (1.54) k Ezt felhasználva felismerhető, hogy a metrikus tenzort a párhuzamos eltolás az eltolt pontban lévő önmagába tolja át, visszakapjuk a sorfejtést: g ij  y =g ij  x   abi⋅g aj  x  abj⋅g ia  x ⋅dx b =g ij  x

 ∂ g ij  x b ⋅dx ∂ xb (1.55) Permutáljuk az indexeket: ∂ g ij (1) g ia⋅ akjg aj⋅ aki = (2) g ja⋅ aik  g ak⋅ aij = (3) g ka⋅ a ji  g ai⋅ a jk = ∂ xk ∂ g jk ∂ xi ∂ g ki ∂x (1.56) j A következő módon összegezzük a három egyenletet: (1) + (2) – (3): g ia⋅ akjg aj⋅ aki g ja⋅ aik g ak⋅ aij − g ka⋅ a ji −g ai⋅ a jk = ∂ g ij ∂ g jk ∂x ∂ xi  k − ∂ g ki ∂xj (1.57) A konnexiókat összerendezzük az alsó indexeik szerint: g ia⋅ akj − a jk  g aj⋅ aki  aik g ak⋅ aij − a ji = ∂ g ij ∂x k  ∂ g jk ∂x i − ∂ g ki ∂x j 1 /⋅ 2 Az antiszimmetrikus tagokat a jobb oldalra rendezzük:   1 ∂ g ij ∂ g jk ∂ g ki g aj⋅C aki= ⋅  − − g ia⋅S akj −g ak⋅S aij k i j 2 ∂x ∂x ∂x /⋅g jb (1.58) Alkalmazzuk a Kronecker-deltát a bal oldalon:

  ∂ g ib ∂ g bk ∂ g ki 1 C jki = ⋅g jb⋅  − b −g jb⋅g ia⋅S akb− g jb⋅g ak⋅S aib /S jki k i 2 ∂x ∂x ∂x (1.59) Az általános konnexió a szimmetrikus és az antiszimmetrikus részeinek összege:   ∂ g ib ∂ g bk ∂ g ki 1  jki = ⋅g jb⋅  − −g jb⋅g ia⋅S akb− g jb⋅g ak⋅S aib S jki k i b 2 ∂x ∂x ∂x 24 (1.510) 1.5 Konnexió és metrikus tenzor Ha a kezdetektől szimmetrikus konnexiót használunk, akkor a képletünk megadja a konnexió és a metrikus tenzor közötti összefüggést:  ∂ g ia ∂ g ak ∂ g ki 1  jki = ⋅g ja⋅  − 2 ∂ xk ∂ xi ∂ xa  (1.511) A tér minden pontjának közvetlen, végtelenül kicsi környezete közelíthető sík térrel, ahol felvehető olyan koordináta-rendszer, melynél a metrikus tenzor parciális deriváltja nulla. Vagyis olyan sorfejtéssel közelítjük, amiben az első derivált nulla, az összes többi tag nem. Ebben az esetben

a szimmetrikus konnexió minden tagja szintén nulla, a parciális deriváltjai azonban nem: ∂ g ij ∂x =0 , k ∂2 g ij ≠0 ∂ x l⋅∂ x k  i jk =0 , ∂ i jk ≠0 ∂ xl (1.512) 1.6 Legrövidebb út Képzeljünk el két véges távolságban lévő pontot, és keressük meg a két pontot összekötő legrövidebb utat leíró egyenletet. A legrövidebb út a két pontot összekötő lehetséges utak egyik szélsőértéke. Ezért variáljuk a pontok közti távolságot: ∫ ds=∫  g ab⋅dx a⋅dx b =0 (1.61) Leosztjuk a távolságnégyzetet a távolságdifferenciállal, és felbontjuk a szorzat variációját: ∫ g ab⋅dx a⋅dx b =0 /⋅ 1 2⋅ds a b g ab⋅dx a⋅ dx b 1  g ab⋅dx ⋅dx ⋅∫ ∫ =0 2 ds ds (1.62) Behelyettesítjük a kontravariáns érintővektort: 1 ⋅  g ⋅u a⋅dx b∫ g ab⋅u a⋅ dx b =0 2 ∫ ab (1.63) A jobboldali tag úgy néz ki, mint egy felbontott szorzat-differenciál egyik tagja: ∫

d  g ab⋅u a⋅ x b=∫ g ab⋅u a⋅ dx b∫ d  g ab⋅u a ⋅ x b Kifejezzük és behelyettesítünk: 1 ⋅  g ⋅u a⋅dx b∫ d  g ab⋅ua⋅ x b−∫ d  g ab⋅u a ⋅ xb =0 2 ∫ ab 25 (1.64) 1.6 Legrövidebb út A teljes differenciál nulla, mivel a koordináta variációja nulla a végpontokon: ∫ d  g ab⋅dua⋅ x b =0 1 a b a b ⋅  g ⋅u ⋅dx −∫ d  g ab⋅u ⋅ x =0 2 ∫ ab (1.65) Bővítjük az első tagot a távolságdifferenciállal, és benne a metrikus tenzor variációját átírjuk, szintén bővítjük a koordinátadifferenciállal: dx b  g ab⋅u a⋅dx b= g ab⋅u a⋅ ⋅ds ds  g ab= ∂ g ab ⋅ x c c ∂x 1 ∂ g ab ⋅∫ ⋅ x c⋅u a⋅ub⋅ds−∫ d  g ab⋅u a ⋅ x b=0 c 2 ∂x (1.66) Leosztunk a koordináta variációjával, és átírjuk a második tagot: 1 ∂ g ab a b − ⋅∫ ⋅u ⋅u ⋅ds∫ d  g ai⋅u a =0 i 2 ∂x 1

∂ g ab a b d − ⋅∫ ⋅u ⋅u ⋅ds ⋅ g ai⋅u a =0 i 2 ds ∂x (1.67) Felbontjuk a második tagot, és az eredményt visszahelyettesítjük: a a b a ∂g d du dg du dx ∂ g du ⋅ g ai⋅u a = g ai⋅  ia ⋅u a =g ai⋅  ⋅ iab ⋅u a =g ai⋅ ub⋅ iab ⋅u a ds ds ds ds ds ∂ x ds ∂x du a ∂ g ia a b 1 ∂ g ab a b ⋅u ⋅u ⋅ds g ai⋅  b ⋅u ⋅u =0 − ⋅∫ 2 ds ∂ x ∂ xi (1.68) Elvégezzük az első tagban az integrálást, és két fél összegeként írjuk fel az utolsó tagot: a 1 ∂g du ∂ g − ⋅ abi ⋅u a⋅u bg ai⋅  iab ⋅u a⋅ub =0 2 ∂x ds ∂ x g ai⋅ dua 1 ∂ g ia a b 1 ∂ g ib a b 1 ∂ g ab a b  ⋅ ⋅u ⋅u  ⋅ a ⋅u ⋅u − ⋅ i ⋅u ⋅u =0 ds 2 ∂ x b 2 ∂x 2 ∂x Összevonás, és beszorzunk a kétszer kontravariáns metrikus tenzorral: g ai⋅   a du 1 ∂ g ia ∂ g ib ∂ g ab a b  ⋅  − ⋅u ⋅u =0 ds 2 ∂ xb ∂ x a ∂ x i 26 / g ji⋅

(1.69) 1.6 Legrövidebb út  1 ∂ g ca ∂ g cb ∂ g ab  jba=g jc⋅ ⋅  − 2 ∂ xb ∂ xa ∂ xc  A két pont közötti legrövidebb út a szimmetrikus konnexióval felírt geodetikus: du j  jba⋅u a⋅ub =0 ds (1.610) 1.7 Deriválás Először a második parciális derivált transzformációjához deriváljuk mindkét oldalát a skalárfüggvény parciális deriváltja transzformációs összefüggésének: a ∂ ∂ ∂ x = a⋅ i i ∂ x 2∂ x 2∂ x / ∂ j 2∂ x ∂2  ∂2  ∂ xa ∂  ∂2 x a = ⋅  ⋅ j i j a i ∂ x a 2∂ x j⋅2∂ x i 2∂ x ⋅2∂ x 2∂ x ⋅∂ x 2∂ x (1.71) A jobb oldal első tagjában transzformáljuk az egyik nevező differenciált a másodikból az első koordináta-rendszerbe: ∂2  ∂2  ∂ xb ∂ x a ∂  ∂2 x a = ⋅ ⋅  ⋅ j i ∂ x b⋅∂ x a 2∂ x j 2 ∂ x i ∂ x a 2∂ x j⋅2∂ xi 2∂ x ⋅2∂ x (1.72) A skalármező második parciális deriváltja,

ami a kovariáns vektor parciális deriváltja, nem úgy transzformálódik mint egy tenzor. Felírjuk és behelyettesítjük a fenti képletbe: vi = 2 2 2 ∂ vi ∂x 2 ∂ i ∂x = j ∂ vi ∂x ∂v a ∂ x b ∂ x a ∂2 x a ⋅ ⋅ v ⋅ a j i ∂ x b 2∂ x j 2∂ x i 2∂ x ⋅2∂ x (1.73) ∂ va ∂ xb ∂ xa ∂2 x a = ⋅ ⋅ j i ∂ x b 2∂ x j 2∂ xi 2∂ x ⋅2∂ x (1.74) −v a⋅ j Transzformáljuk a bal oldalon a vektort a második tagban, hogy ugyanabban a koordinátarendszerben legyen felírva, mint az első tagban a parciális derivált. Általános esetben a kovariáns vektor deriváltjának transzformációja: 27 1.7 Deriválás b 2 a ∂ vi ∂ va ∂ xb ∂ xa ∂ x 2∂ x − v ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ i 2 b j a j i b j ∂ x 2 ∂ x ⋅2∂ x ∂ x 2∂ x 2∂ x 2∂ x 2 (1.75) Ez a mennyiség nem tenzorként transzformálódik. De ha megcseréljük benne az indexeket, és kivonjuk az eredeti kifejezésből, tenzor-jellegű mennyiséget

kapunk, a neve rotáció. Az összefüggés jobb oldala:   ∂ va ∂ xb ∂ xa ∂ vb ∂ x a ∂ xb ∂ va ∂ vb ∂ xb ∂ xa ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ =T ab⋅ jb⋅i a ∂ x b 2∂ x j 2∂ x i ∂ x a 2 ∂ x i 2 ∂ x j ∂ x b ∂ x a 2∂ x j 2∂ x i Az összefüggés bal oldala:   ∂v i 2 ∂ xb  b ∂2 x a ∂2 x a 2∂ v j 2∂ x 2 ∂v i 2∂v j − v ⋅ ⋅ − − v ⋅ ⋅ = − =2T ij 2 b 2 b j i j i ∂ x a 2∂ x j⋅2∂ x i ∂ x a 2∂ x i⋅2∂ x j 2∂ x 2∂ x 2∂ x 2∂ x 2 A rotáció transzformációs szabálya a másodrangú tenzorokénak felel meg: b a (1.76) T ab⋅ j ⋅i =2T ij Ez a tenzor antiszimmetrikus: T ij =−T ji = ∂v i ∂v j ∂x ∂x − j  =− i ∂v j ∂ vi ∂x ∂ xj − i  (1.77) T ii = A diagonális elemei pedig mindig nullák: ∂ vi ∂x i − ∂ vi ∂ xi (1.78) =0 Ha az antiszimmetrikus tenzor parciális deriváltjának az indexeit

ciklikusan permutáljuk és összeadjuk, az eredmény nulla, mert a vektorok második deriváltjai kiejtik egymást: ∂T ij ∂x  k       ∂ ∂ vi ∂ v j ∂ ∂ v j ∂v k ∂ ∂ vk ∂ vi −  −  − = ∂ xi ∂ x ∂ x k ∂ x j ∂ xi ∂ xi ∂ xk ∂ x j ∂ x j ∂ xi ∂ x k ∂2 v i ∂2 v j ∂2 v j ∂2 v k ∂2 v k ∂2 v i −  −  − =0 ∂ x k⋅∂ x j ∂ x k⋅∂ x i ∂ x i⋅∂ x k ∂ x i⋅∂ x j ∂ x j⋅∂ x i ∂ x j⋅∂ x k ∂T jk  ∂T ki = j (1.79) 1.8 Invariáns derivált Tegyük fel, hogy egy kovariáns vektormező konstans egy adott koordináta-rendszerben, a parciális deriváltja mindenhol nulla: 28 1.8 Invariáns derivált ∂ vi ∂x j (1.81) =0 Felírjuk ezt az összefüggést egy másik koordináta-rendszerben, felhasználva az előző fejezet tapasztalatait: b 2 a ∂ v a ∂ x b ∂ x a 2∂ v i ∂ x 2∂ x ⋅ ⋅ = −2v b⋅ a ⋅ =0 b j i j j i ∂ x 2∂ x 2∂ x 2

∂ x ∂ x 2∂ x ⋅2∂ x (1.82) A második tagban behelyettesítjük a konnexiót: b 2 ji = 2 ∂x ∂x b 2 a ∂ x j i 2∂ x ⋅2∂ x (1.83) ⋅ a Ez az összefüggés tetszőleges koordináta-rendszerben leírja, hogy a vektormező parciális deriváltja eltűnik az eredeti koordináta-rendszerben: 2 2 ∂ vi ∂x j − 2v b⋅2  b ji =0 (1.84) Definiáljuk a kovariáns vektor invariáns deriváltját: ∇ j vi = ∂ vi ∂x j −v b⋅ b ji (1.85) Konnexió: olyan Γ mennyiség, mely koordináta-rendszerek közötti átváltáskor biztosítja, hogy az invariáns derivált úgy transzformálódjon mint egy tenzor: ∇ j vi = ∂ vi ∂x j −v a⋅ a ji b 2 ∇ j 2 v i=∇ b v a⋅ j ⋅ i a (1.86) Az invariáns derivált transzformációja, behelyettesítjük a kovariáns vektor parciális deriváltjának, és a konnexiónak a transzformációját: 2 2 ∂ vi ∂x j − 2v d⋅2 d ji =   d d ∂ va ∂ xb ∂

xa ∂2 x a ∂ xc ∂2 x e ∂ x b ∂ x a 2∂ x e 2∂ x ⋅ ⋅ v ⋅ −v ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ ⋅ ⋅ = a c ba j i d j i e j i e ∂ x b 2∂ x j 2∂ x i ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x 2 2 2 2 2 2 2 d d 2 a c 2 e c b a ∂ va ∂ xb ∂ xa ∂ x ∂x ∂ x ∂x ∂ x ∂ x 2∂ x 2∂ x e ⋅ ⋅ v ⋅ −v ⋅ ⋅ ⋅ −v ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ e= a c c ba b j i j i d j i e d j i ∂ x 2∂ x 2∂ x ∂x ∂x 2∂ x ⋅2∂ x 2∂ x 2 ∂ x ⋅2∂ x 2∂ x 2∂ x 2∂ x A harmadik és a negyedik tagban felismerjük a Kronecker-deltát: 29 1.8 Invariáns derivált ∂ va ∂ xb ∂ xa ∂2 x a ∂2 x e ∂ xb ∂ xa c c e ⋅ ⋅ v ⋅ −v ⋅ ⋅ −v ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ i= a c e c e ba b j i j i j i j ∂ x 2∂ x 2∂ x 2∂ x ⋅2∂ x 2∂ x ⋅2∂ x 2∂ x 2∂ x A második és a harmadik tag kiejti egymást, kiemeljük a transzformációs mátrixokat az első és a negyedik tagból:   ∂ va ∂ xb ∂ xa

∂ va ∂ xb ∂ xa ∂ xb ∂ xa c c ⋅ ⋅ −v c⋅ ba⋅ ⋅ i= −v c⋅ ba ⋅ ⋅ i j j ∂ x b 2∂ x j 2∂ x i ∂ xb 2∂ x 2∂ x 2∂ x 2∂ x 2 2  ∂ vi ∂x − 2v d⋅2 d ji = j  ∂ va ∂x b a ∂x ∂x ⋅ j i 2∂ x 2∂ x −v c⋅ c ba ⋅ b (1.87) Egy skalármező parciális deriváltja tenzor, ezért megegyezik az invariáns deriválttal: ∇ i = ∂ ∂ xi (1.89) Kovariáns és kontravariáns vektor skalárszorzatának az eredménye egy skalár: ∂u a⋅v a  ∇ i  u ⋅v a = ∂ xi a ∇ i u a⋅v au a⋅∇ i v a = (1.810) a ∂v ∂u ⋅v aua⋅ ai i ∂x ∂x ∂v ∂v ∂u a ∇ i u a⋅v au a⋅ ai −u a⋅v b⋅ bia= i ⋅v aua⋅ ai ∂x ∂x ∂x ∇ i u a⋅v a= ∂ ua 1 ⋅v a u a⋅v b⋅ bia /⋅ i va ∂x A kontravariáns vektor invariáns deriváltja: ∇ i u j= ∂uj u a⋅ jia i ∂x (1.811) Most már tetszőleges tenzor invariáns deriváltját meg

tudjuk határozni, kontravariáns és kovariáns vektorok szorzatának felhasználásával: ∇n T ijk  i j k =∇ n v ⋅u ⋅w ⋅⋅p l⋅qm⋅ lm ∇ n T ijk lm=∇ n v i⋅u j⋅w k⋅⋅pl⋅q m⋅v i⋅∇ n u j⋅wk⋅⋅p l⋅q m⋅ 30 1.8 Invariáns derivált ∇n T i ∂v j k a i j k = n⋅u ⋅w ⋅⋅p l⋅qm⋅v ⋅ na⋅u ⋅w ⋅⋅pl⋅q m⋅ ∂x ijk  lm Összevonjuk a vektorokat a jobb oldalon: ∇ n T ijk lm= ∂T ijk lm  i na⋅T ajk lm  jna⋅T iak lm  k na⋅T ijalm− anl⋅T ijk am − anm⋅T ijk la − n ∂x (1.812) A konnexió szerepének olyan mennyiségek is megfelelhetnek, melyek nem írhatók fel úgy, mint a korábban definiált változat, ezért foglalkoznunk kell az általános alak tulajdonságaival. Az invariáns deriváltból képzett rotáció: ∇ j v i −∇ i v j= ∂ vi ∂x j

− ∂vj ∂x i −v b⋅ b ji − bij = ∂v i ∂x j − ∂v j ∂x i (1.813) Ez az egyenlőség csak akkor teljesül, ha a konnexió szimmetrikus:  k ij = k ji (1.814) Kronecker-delta invariáns deriváltja: ∇ k ij = ∂ij  iak⋅ aj− ajk⋅ia =0 ijk − ijk =0 k ∂x (1.815) A metrikus tenzor invariáns deriváltjának képlete ugyanaz, mint amit háromszor permutáltunk, amikor levezettük a konnexió és a metrikus tenzor közötti kapcsolatot. Ennek a kifejezésnek az értéke nulla: ∇ k g ij = ∂ g ij ∂x k −g ia⋅ akj −g aj⋅ aki =0 (1.816) A kétszer kontravariáns metrikus tenzor invariáns deriváltja: ia i ∇ k  g ⋅g aj =∇ k  j=0 ∇ k g ia⋅g aj g ia⋅∇ n g aj =0 ia ia ∇ k g ⋅g aj  g ⋅0=0 Mivel a kétszer kovariáns metrikus tenzor általános esetben nem nulla, a kétszer kontravariáns metrikus tenzor invariáns deriváltjának kell nullának

lennie: ∇ k g ij =0 (1.817) 31 1.8 Invariáns derivált 1.9 Görbe menti derivált Görbe mentén végtelenül kismértékben eltoljuk egy vektormező egy vektorát. A görbét egy invariáns mennyiség paraméterezi: A vektormező a görbe egy adott pontján: v i  A vektormező a görbe egy végtelenül közeli pontján: v   i A vektor párhuzamosan eltolva a görbe mentén a második pontba: i i i a w  =v − ba⋅v ⋅dx b Egy vektormező két végtelenül közeli pontjának különbsége a teljes differenciál: dv i =v i  −v i  (1.91) A görbe menti differenciál az eltolt vektor és a vektormező ottani eredeti vektorának a különbsége: Dv i=v i  −w i   (1.92) Dv i=v i  − v i − i ba⋅v a ⋅dx b  1 Dv i=dv i  i ba⋅v a ⋅dx b /⋅ d

Behelyettesítjük az érintővektort: dx i =ui d Amikor kontravariáns vektormező görbe menti deriváltja nulla, akkor ugyanolyan alakja van, mint az érintővektorokkal felírt geodetikus egyenletnek: Đvi = i dv  i ba⋅v a⋅u b d (1.93) Kovariáns vektormező esetében ugyanez az eljárás: Dv i=v i  −w i   (1.94) Dv i=v i  − v i  abi⋅v a ⋅dx b  32 1.9 Görbe menti derivált 1 Dv i=dv i − abi⋅v a ⋅dx b /⋅ d Kovariáns vektormező görbe menti deriváltja: Đvi = dv i − abi⋅v a⋅u b d (1.95) Tovább vizsgáljuk mindkét összefüggést. Mivel hasonló a szerkezetük, mindkettőn egyszerre végezzük el a következő átalakítást. Bővítjük az első tagot, és átrendezzük: Đvi = dx b dv i dx b dv i a b ⋅ − ⋅v ⋅u = ⋅ b − abi⋅v a⋅ub bi a b d  dx dx d  Đvi = dx b dv i dx a dv i i a b

⋅  ⋅v ⋅u = ⋅ a  i ba⋅v a⋅u b ba b d  d  dx dx (1.96) Behelyettesítjük az érintővektort:   dv dv Đvi =u b⋅ bi − abi⋅v a⋅u b=ub⋅ bi − abi⋅v a dx dx   dv i dv i Đvi =u b⋅ b  i ba⋅v a⋅u b=ub⋅ b i ba⋅v a dx dx (1.97) A zárójeles mennyiségben felismerjük az invariáns deriváltat: ∇ j vi = ∂ vi ∂x j −v a⋅ ∂uj ∇ i u = i u a⋅ jia ∂x a j ji A görbe menti és az invariáns derivált közötti összefüggés: b i Đvi =u ⋅∇ b v i b Đv =u ⋅∇ b v i (1.98) Most már tetszőleges tenzor görbe menti deriváltját is ismerjük: ĐT ijk  lm a =u ⋅∇ a T ijk  a i j k =u ⋅∇ a v ⋅u ⋅w ⋅⋅pl⋅q m⋅ lm (1.99) A görbe érintővektorának a görbe menti deriváltja nulla, mivel eltolva a görbe mentén, az új helyén az ottani érintővektorral fog egybeesni. Ezért szimmetrikus konnexió esetében az

érintővektor görbe menti deriváltja az egyenes egyenlete: Đui= i 2 i a b du ∂ x ∂x ∂ x i ba⋅u a⋅u b= 2  i ab⋅ ⋅ =0 d ∂  ∂ ∂ 33 (1.910) 1.9 Görbe menti derivált Ez a feltétel láthatóan csak akkor teljesül, ha a konnexió szimmetrikus. A görbe kovariáns érintővektorának görbe menti deriváltja: Đui= du i − abi⋅ua⋅u b=0 d A második tagban a kovariáns vektort átírjuk kontravariánssá a metrikus tenzor segítségével: Đu i= du i −g ac⋅ abi⋅uc⋅u b=0 d Đu i= du i 1 − ⋅ g ac⋅ abi g ab⋅ aci ⋅u c⋅ub =0 d 2 (1.911) Ha a konnexió szimmetrikus, akkor a második tagban a zárójeles mennyiségben felismerjük a metrikus tenzor invariáns deriváltját: ∇ k g ij = ∂ g ij ∂x k ∂ g ij ∂x k −g ia⋅ akj− g aj⋅ aki =0 =g ia⋅ akj g aj⋅ aki Behelyettesítjük: Đui= du i 1 ∂ g bc c b − ⋅ ⋅u ⋅u =0 d  2 ∂ xi

(1.912) Ha a kétszer kovariáns metrikus tenzor parciális deriváltja nulla, akkor az egyenesek kovariáns érintővektora az adott koordináta irányában nem változik: ∂ g ij ∂x k =0 du k =0 d (1.913) 1.10 Görbület A felületek olyan globális tulajdonságait vizsgáljuk, melyek természetüknél fogva függetlenek a felvett koordináta-rendszertől. Fontos követelmény az, hogy a felület szerkezetéről minél több adatot meghatározhassunk belülről mérhető mennyiségekkel. Ennek az a gyakorlati jelentősége, hogy a téridő alakját a benne lévő fizikai történések, és folyamatok alapján kell meghatároznunk, nincs lehetőségünk valahonnan kívülről szemlélni őket. A kontravariáns vektor invariáns deriváltjának kommutátora: 34 1.10 Görbület i ∇ k ∇ j v −∇ j ∇ k v i (1.101) Az invariáns derivált definíció szerint tenzor-jellegű mennyiség: ∇ j vi = ∂ vi v a⋅i ja =T i j j ∂x (1.102) Felírjuk az

ismételt invariáns deriválást: ∂T i j ∇ k ∇ j v =∇ k T j = i kb⋅T b j− bkj⋅T i b k ∂x i i (1.103) És behelyettesítjük a vektor invariáns deriváltját: ∇k        ∂ vi ∂ ∂ vi ∂ vb ∂ vi i b a i a i a b a i v ⋅ = v ⋅  ⋅ v ⋅ − ⋅ v ⋅ ba ja ja kb ja kj j k j j b ∂x ∂ x ∂x ∂x ∂x  Felbontjuk a zárójeleket: i ∂2 v i ∂ va i ∂ vb ∂ vi a ∂  ja i i a b b ∇k ∇ j v = k  k⋅ ja v ⋅  kb⋅ j  kb⋅v ⋅ ja − kj⋅ b − bkj⋅v a⋅ i ba j k ∂ x ⋅∂ x ∂ x ∂x ∂x ∂x i Ugyanezt elvégezzük fordított sorrendű indexekkel: ∇ j ∇ k v i= i ∂2 v i ∂ va i ∂ vb ∂ vi a ∂  ka i i a b b  ⋅ v ⋅  ⋅  ⋅v ⋅ − ⋅ − b jk⋅v a⋅ i ba ka jb jb ka jk j k j j k b ∂ x ⋅∂ x ∂ x ∂x ∂x ∂x Kivonjuk az egyiket a másikból:  ∇ k ∇ j v

i−∇ j ∇ k v i= ∂ i ∂x ja k − ∂  i i ∂v  i kb⋅ b ja − i jb⋅ bka2⋅S b jk⋅i ba ⋅v a2⋅S b jk⋅ b ∂x ∂x (1.104) ka j Ahol az antiszimmetrikus kifejezések helyére behelyettesítettük a torzió tenzort: S b jk 1 b b = ⋅ jk − kj  2 (1.105) ∂ i ja ∂  i ka R jak = −  i kb⋅ b ja − i jb⋅ bka k j ∂x ∂x i Behelyettesítjük a görbületi tenzort: i i ∇ k ∇ j v −∇ j ∇ k v =R i a b  jak⋅v 2⋅S jk⋅  ∂v i i a i a b i  ba⋅v =R jak⋅v 2⋅S jk⋅∇ b v b ∂x 35 (1.106) 1.10 Görbület Ha a konnexió szimmetrikus, akkor a kontravariáns vektor invariáns deriváltjának kommutátora a görbületi tenzor, ahol a tenzor-jelleg felismerhető a kifejezés alakjából: i i ∇ k ∇ j v −∇ j ∇ k v =R i ⋅v a (1.107) jak A kovariáns vektor invariáns deriváltjának kommutátorát ugyanezekkel a

lépésekkel számítjuk ki: ∇ k ∇ j v i−∇ j ∇ k v i (1.108) Az invariáns derivált tenzor-jellegű mennyiség: ∇ j vi = ∂ vi ∂x j −v a⋅ a ji =T ij (1.109) Felírjuk az ismételt invariáns deriválást: ∂ T ij ∇ k T ij = ∂x k − akj⋅T ia − aki⋅T aj (1.1010) És behelyettesítjük a vektor invariáns deriváltját: ∇k  ∂ vi ∂x j   −v a⋅ a ji =     ∂ vi ∂v b ∂ ∂ vi −v a⋅ a ji − bkj⋅ −v a⋅ abi − bki⋅ −v a⋅ a jb k j b j ∂x ∂ x ∂x ∂x  Felbontjuk a zárójeleket: ∂ va a ∂  a ji ∂v ∂v ∂2 v i − k⋅ ji −v a⋅ − bkj⋅ ib  bkj⋅v a⋅ abi − bki⋅ bj  bki⋅v a⋅ a jb ∇ k ∇ j v i= k j k ∂ x ⋅∂ x ∂ x ∂x ∂x ∂x Ugyanezt elvégezzük fordított sorrendű indexekkel: 2 a ∂ v ∂v ∂  ki ∂v ∂v ∇ j ∇ k v i= j i k − aj⋅ aki −v a⋅ − b jk⋅ bi b

jk⋅v a⋅ abi − b ji⋅ bk b ji⋅v a⋅ akb j ∂ x ⋅∂ x ∂ x ∂x ∂x ∂x Kivonjuk az egyiket a másikból:  ∇ k ∇ j v i−∇ j ∇ k v i= ∂ aki ∂x j −  ∂  a ji ∂v  bki⋅ a jb −b ji⋅ akb −2⋅S b jk⋅ abi ⋅v a 2⋅S b jk⋅ ib ∂x ∂x (1.1011) k Ahol az antiszimmetrikus kifejezések helyére itt is behelyettesítettük a torzió tenzort: S b jk 1 b b = ⋅ jk − kj  2 (1.1012) 36 1.10 Görbület a a ∂  ki ∂  ji R kij = −  bki⋅ a jb −b ji⋅ akb j k ∂x ∂x a Behelyettesítjük a görbületi tenzort:  ∇ k ∇ j v i−∇ j ∇ k v i=R akij⋅v a 2⋅S b jk⋅ ∂ vi ∂x b  − abi⋅v a =R akij⋅v a 2⋅S b jk⋅∇ b v i (1.1013) (1.1014) Ha a konnexió szimmetrikus, akkor a kovariáns vektor invariáns deriváltjának kommutátora szintén a görbületi tenzor: a (1.1015) ∇ k ∇ j v i−∇ j ∇ k v

i=R kij⋅v a Egy pont közvetlen környezetében felvett koordináta-rendszerben, ahol a metrikus tenzor parciális deriváltjai és a konnexió nullák, a görbületi tenzor nem biztos hogy eltűnik, hiszen a konnexió parciális deriváltjai nem szükségszerűen nullák, mint ahogy a torzió tenzor sem: Ri jkl = ∂  i jk ∂x l − ∂  i lk ∂x j S b jk⋅S i lb −S blk⋅S i jb Ha a konnexió szimmetrikus: i i ∂  jk ∂  lk R jkl = − l j ∂x ∂x i (1.1016) Az invariáns derivált: ∇m R i jkl =∇ m  ∂ i ∂x jk l − ∂ i ∂x lk j  (1.1017) Permutáljuk az első és a harmadik alsó indexet, illetve az invariáns deriválás indexét: ∂ i jk ∂ i lk −∇ m ∂ xl ∂xj (1) ∇ m Ri jkl =∇ m (2) ∂  lk ∂  mk ∇ j R lkm=∇ j −∇ j m l ∂x ∂x (3) ∂  i mk ∂ i jk ∇ l R mkj =∇ l −∇ l ∂xj ∂ xm i i i i (1.1018) Összeadjuk a három egyenletet: 37 1.10

Görbület ∇ m Ri jkl ∇ j Ri lkm∇ l R i mkj= ∂ i jk ∂ i lk ∂ i lk ∂ i mk ∂  i mk ∂ i jk ∇m −∇ ∇ −∇ ∇ −∇ m j j l l ∂ xl ∂xj ∂ xm ∂ xl ∂xj ∂ xm (1.1019) Mivel a konnexiótagok nullák ebben a koordináta-rendszerben, az invariáns deriváltakból csak parciális deriváltak maradnak, melyek kiejtik egymást: ∇ m Ri jkl ∇ j Ri lkm∇ l R i mkj= ∂2  i jk ∂ 2  i lk ∂2  i lk ∂ 2  i mk ∂2  i mk ∂2  i jk −  −  − ∂ x l⋅∂ x m ∂ x m⋅∂ x j ∂ x j⋅∂ x m ∂ x j⋅∂ x l ∂ x l⋅∂ x j ∂ x l⋅∂ x m Az alábbi Bianchi-azonosság minden koordináta-rendszerben érvényes: ∇m R i jkl ∇ j R i lkm ∇ l R i mkj (1.1020) =0 A görbületi tenzor antiszimmetrikus az első és a harmadik alsó indexében: Rl kij = ∂  l ki ∂  l ji −  bki⋅ l jb −b ji⋅ l kb j k ∂x ∂x Rl jik = ∂ l ji ∂  l

ki −  b ji⋅ l kb− bki⋅ l jb k j ∂x ∂x Rl kij =−R l jik (1.1021) A görbületi tenzor alsó indexek ciklikus permutációinak összege: ∂  l ij ∂  l kj R ijk = −  bij⋅l kb − bkj⋅ l ib k i ∂x ∂x ∂  l jk ∂  l ik R jki= −  b jk⋅ l ib − bik⋅ l jb i j ∂x ∂x l l l l l ∂ S ki ∂ S ji ∂ S kj R kij R ijk R jki= S bki⋅ l jb − −S b ji⋅l kb − −S bkj⋅ l ib j k i ∂x ∂x ∂x l l l Új tagokkal bővítjük a jobboldali kifejezést, hogy invariáns deriváltakat kapjunk. Az új tagok kombinálhatóak: R l l kij R ijk R l l jki l l l =∇ j S ki −∇ k S ji −∇ i S kj S ai⋅S a l jk a l S ka⋅S ji −S ja⋅S a ki (1.1022) Ha a torzió nulla, akkor a görbületi tenzor alsó indexek ciklikus permutációinak összege is nulla: R l l kij R ijk R l jki (1.1023) =0 1.11 Párhuzamos eltolás zárt kör

mentén Meghatározunk egy infinitezimális parallelogrammát, melynek az élei da és db hosszúak. Az 38 1.11 Párhuzamos eltolás zárt kör mentén élei mentén párhuzamosan eltolunk egy vektort az egyik sarkából (x) az átellenes sarokpontba (p), egyszer az egyik (y) másszor a másik (z) közbeeső ponton keresztül: ri(y) vi(p), wi(p) db da ui(x) ri(y) vi(p) ui(x) qi(z) wi(p) da db i qi(z) u (x) Párhuzamos eltolás x-ből y-ba, da távolságra: i i r =u − i a ba  x⋅u ⋅da b (1.111) Párhuzamos eltolás y-ból p-be, db távolságra: v i =r i − i dc  y⋅r c⋅db d (1.112) A konnexiót az y-pontban sorfejtéssel közelítjük az x-pontbeli konnexióból, da távolságból: ∂  i jk  x e 1 ∂2  i jk  x e  jk  y = jk  x ⋅da  ⋅ e ⋅da ⋅da f  2 ∂ a ⋅∂ a f ∂ ae i i (1.113) Behelyettesítjük a második párhuzamos eltolás képletébe az elsőt, illetve a

konnexió közelítését első rendig:   ∂  i dc  x  e v = u − ba  x ⋅u ⋅da −  dc  x ⋅da ⋅u c− c ba  x ⋅u a⋅da b ⋅db d e ∂a i i i a b i v i =u i− i ba⋅u a⋅da b−i dc⋅u c⋅db d i dc⋅ c ba⋅u a⋅da b⋅db d ∂ i dc ∂ i dc e c d − ⋅da ⋅u ⋅db  ⋅da e⋅ cba⋅u a⋅da b⋅db d e e ∂a ∂a Elhanyagoljuk az utolsó tagot, ahol az egyik differenciál magasabb rendben fordul elő: ∂  i dc e c d v =u − ba⋅u ⋅da − dc⋅u ⋅db  dc⋅ ba⋅u ⋅da ⋅db − ⋅da ⋅u ⋅db ∂ ae i i i a b i c d i c 39 a b d (1.114) 1.11 Párhuzamos eltolás zárt kör mentén Ugyanezeket a lépéseket elvégezzük a másik sarokponton keresztül is. Párhuzamos eltolás x-ből zbe, db távolságra: i i q =u − i a ba  x ⋅u ⋅db b (1.115) Párhuzamos eltolás z-ből p-be, da távolságra: i i i w =q

− c  z ⋅q ⋅da dc d (1.116) A konnexiót a z-pontban sorfejtéssel közelítjük az x-pontbeli konnexióból, db távolságból:  i jk  z = i jk  x  ∂ i jk  x  e 1 ∂2  i jk  x e f ⋅db  ⋅ e ⋅db ⋅db  2 ∂ b ⋅∂b f ∂b e (1.117) Behelyettesítjük a második párhuzamos eltolás képletébe az elsőt, illetve a konnexió közelítését első rendig:   ∂  i dc  x w =u − ba  x⋅u ⋅db −  dc  x ⋅db e ⋅uc − cba  x⋅ua⋅db b⋅da d e ∂b i i i a b i w i=ui − i ba⋅u a⋅dbb− i dc⋅uc⋅da d  i dc⋅ cba⋅u a⋅dbb⋅da d ∂ i dc ∂ i dc e c e c d − ⋅db ⋅u ⋅da  ⋅db ⋅ ba⋅u a⋅db b⋅da d e e ∂a ∂a Elhanyagoljuk az utolsó tagot, ahol az egyik differenciál magasabb rendben fordul elő: w i=ui − i ba⋅u a⋅dbb− i dc⋅uc⋅da d  i dc⋅ cba⋅u

a⋅dbb⋅da d − ∂ i dc e c d ⋅db ⋅u ⋅da ∂a e (1.118) Kivonjuk a két párhuzamos eltolás eredményét egymásból: i i ∂  dc e c d ∂  dc e c d v −w = dc⋅ ba⋅u ⋅da ⋅db − ⋅da ⋅u ⋅db − i dc⋅ c ba⋅u a⋅dbb⋅da d  ⋅db ⋅u ⋅da e e ∂a ∂a i i i c a b d c a, e b:  v i −w i=− ∂ i ∂a da b  − i dc⋅ cba ⋅u a⋅ dab⋅db d −db b⋅da d  (1.119) A zárójelben lévő tenzor antiszimmetrikus része jellemzi a két vektor különbségét, ez a görbületi tenzor: ∂  i da B dab = − i dc⋅ cba b ∂a i 40 1.11 Párhuzamos eltolás zárt kör mentén   i i 1 1 ∂  da ∂ ba 1 i i ⋅ B dab −B bad =− ⋅ −  i dc⋅ c ba− i bc⋅ c da = ⋅Ri dab b d 2 2 ∂a 2 ∂a 1 i i i a b d b d v −w = ⋅R dab⋅u ⋅da ⋅db −db ⋅da  2 (1.1110) 1.12 Egyenesek elhajlása Bármely y pont közvetlen

környezetében felvehető olyan derékszögű koordináta-rendszer, amiben a konnexió nulla. Így a rajta keresztülhaladó egyenes egyenlete leegyszerűsödik: ∂2 y i =0 ∂2 (1.121) Ez azonban csak az origóban igaz. A pont közvetlen környezetében az egyenesek általános egyenlete továbbra is érvényes: 2 i a b ∂ x ∂ x ∂x  i ab⋅ ⋅ =0 2 ∂ ∂  ∂ (1.122) A szomszédos x pontok konnexióját sorfejtéssel közelítjük az eredeti pont konnexiójából: ∂  i jk  y a 1 ∂2  i jk  y  a b  jk  x = jk  y ⋅dx  ⋅ a ⋅dx ⋅dx  2 ∂ x ⋅∂ x b ∂ xa i i (1.123) Behelyettesítjük a környékbeli egyenesek egyenletébe. Mivel az origóban a konnexió nulla, ezért az egyenletben csak az első derivált jelenik meg, a magasabb rendű deriváltakat pedig elhanyagoljuk: i ∂ 2 x i ∂  ab c ∂ x a ∂ x b  ⋅dx ⋅ ⋅ =0 2 c ∂ ∂  ∂ ∂x (1.124) Az origótól

való távolságvektor egyik komponense legyen nulla, így csak egy altérben mozgunk az eredeti egyenes körül. Ezért a konnexió eszerint a koordináta szerinti első deriváltja is nulla lesz: i dx i =0 dx 1  dx N  ∂ jk =0 0 ∂x (1.125) Az érintővektor pedig merőleges erre az altérre, tehát az origón áthaladó egyenes merőlegesen döfi át az alteret: 41 1.12 Egyenesek elhajlása  ∂ xi ∂ x0 = ∂ ∂  (1.126) 0 0  A környékbeli egyenesek egyenlete tovább egyszerűsödik: i ∂ 2 x i ∂  00 c ∂ x 0 ∂ x 0  ⋅dx ⋅ ⋅ =0 ∂ ∂ ∂ 2 ∂ xc (1.127) Kibővítjük a konnexióderiváltat egy olyan társával, melyről tudjuk, hogy nulla, ezzel a görbületi tenzort állíthatjuk elő:  i  0 0 ∂ i 00 ∂ c0 ∂2 x i c ∂x ∂x  − ⋅ dx ⋅ ⋅ =0 2 c 0 ∂  ∂ ∂ ∂x ∂x 0 ∂2 x i ∂ x0 i c ∂x  R ⋅dx ⋅ ⋅ =0 00c ∂ ∂ ∂ 2 Ri 00l =

∂ i 00 ∂  i l0 − ∂ xl ∂ x0 (1.128) Ez a képlet általánosan érvényes, nincs rá semmi okunk, hogy a számmal jelölt indexekre korlátozzuk. Így egy egyenes közvetlen környezetében lévő más egyenesek elhajlása: a b ∂2 x i i c ∂x ∂x  R ⋅dx ⋅ ⋅ =0 abc ∂ ∂ ∂ 2 (1.129) 1.13 Integrálás A térben minden koordináta-változó szerint integrálunk, ezért bevezetünk egy rövidített jelölést a differenciálok szorzatára: N dx =∏ dx n N (1.131) n =1 A skalárfüggvény egyszerű többváltozós integrálja általában nem invariáns, mivel a differenciálok szorzata az adott koordináta-rendszertől függ: ∫ A⋅dx N ≠∫ A⋅2 dx N (1.132) Amikor egyik koordináta-rendszerről a másikra térünk át, akkor a differenciálok szorzata a transzformációs mátrix determinánsával transzformálódik: ∣ ∣ dx N = ∂ xi ⋅ dx N =∣ ji∣⋅2dx N j 2 2∂ x (1.133) 42 1.13 Integrálás Ezt

beillesztjük az integrálba: ∣ ∣ i ∫ A⋅dx N =∫ A⋅ ∂∂ xx j ⋅2 dx N =∫ A⋅∣ ji∣⋅2 dx N (1.134) 2 A következő kifejezés invariáns, amennyiben a transzformációs mátrix determinánsát beépítjük az integrál alatti kifejezésbe: ∫ A⋅dx N =∫ 2 A⋅2dx N (1.135) Azok a mennyiségek, melyek a következőképpen transzformálódnak, a skalársűrűségek: 2 ∣ ∣ i  = A⋅  ∂ x j =A  ⋅∣ ji∣ A 2∂ x (1.136) Vizsgáljuk meg a metrikus tenzor transzformációját: a 2 b (1.137) g ij =i ⋅ j ⋅g ab Mivel mátrixok szorzásánál a determinánsok is összeszorzódnak: a 2 b (1.138) g =∣i ∣⋅∣ j ∣⋅g A metrikus tenzor determinánsának gyöke úgy transzformálódik, mint a skalársűrűség, melyből az is látszik, hogy ennek a determinánsnak az előjele független a koordináta-rendszertől:  2 g =∣ ji∣⋅ g (1.139) Ezért a következő integrál invariáns:

∫ A⋅ g⋅dx N =∫ A⋅ 2 g⋅2 dx N (1.1310) 1.14 Variáció és hatáselv Skalárfüggvény integrálja, mely eltűnik a határfelületeken, és az integráljának szélsőértéke van, vagyis kismértékben eltolva a bemenő paramétereket, az integrál értéke nem változik: S=∫ s  x i ⋅ g⋅dx N  S =0 (1.141) A hatáselv alkalmazásához választanunk egy skalárt, ami jellemzi a teret. Ehhez a görbületi tenzorból indulunk ki, melynek a kontraháltja a Ricci-tenzor: 43 1.14 Variáció és hatáselv a a ∂  ki ∂ ai Rki =R kia= −  bki⋅ aab− bai⋅ akb a k ∂x ∂x a (1.142) A Ricci-tenzor nyoma a görbületi skalár, mely a legegyszerűbb invariáns skalár a térben: ab (1.143) R= g ⋅Rab Ezt használjuk fel skalárfüggvénynek: S=∫ R⋅ g⋅dx N (1.144) A variációja:  S = ∫ R⋅ g⋅dx N =∫   R⋅ g R⋅  g ⋅dx N =0 (1.145) ∫    g

ab⋅Rab ⋅ g R⋅  g ⋅dx N =∫   g ab⋅Rab g ab⋅ Rab ⋅ gR⋅  g ⋅dx N =0 Megvizsgáljuk a belső zárójel második tagját egy olyan koordináta-rendszerben, ahol a konnexió nulla: ∂  cab ∂  ccb ∂ ∂v c ab ab c cb a g ⋅ R ab=g ⋅ −g ⋅ = g ⋅  − g ⋅  =   ab ab ∂ xc ∂ xa ∂ xc ∂ xc ab ahol: ab (1.146) v i =g ab⋅  i ab−g ib⋅  aab Tehát a zárójelben lévő kifejezés vektorként transzformálódik. A parciális deriváltat átírjuk invariánssá, így minden koordináta-rendszer érvényes lesz: ∫ ∇ c v c⋅ g⋅dx N =∮ v i⋅ g⋅dx N −1=0 (1.147) Az integrált a Gauss-tétel segítségével átírjuk felületi integrállá, azonban a kezdő kikötésünk az volt, hogy a skalárunk a határon nulla, így ezt a tagot sikeresen eltüntettük: ∫   g ab⋅Rab⋅ g R⋅  g ⋅dx N =0 (1.148)

Differenciálási szabályok felhasználásával átírjuk a metrikus tenzor determináns gyökének variációját (ahol M a metrikus tenzor algebrai minorja): g⋅ ij=M k ≠a , l≠i⋅g aj dg =M k ≠a , l≠i ⋅dg ai  g=g⋅g ab⋅ g ab 44 1.14 Variáció és hatáselv 1   g=− ⋅ g⋅g ab⋅ g ab 2 (1.149) Behelyettesítjük:  ∫ ∫  1  g ab⋅Rab⋅ g−R⋅ ⋅ g⋅g ab⋅ g ab ⋅dx N =0 2  1 Rab− ⋅R⋅g ab ⋅ g ab⋅ g⋅dx N =0 2 (1.1410) Ez a kifejezés csak akkor nulla, ha a zárójelben lévő mennyiség nulla, ez az Einstein-egyenlet: 1 Rij − ⋅R⋅g ij =0 2 (1.1411) Az Einstein-egyenlet invariáns deriváltja:   1 1 ∇ k Rij − ⋅R⋅g ij =∇ k Rij − ⋅R⋅∇ k g ij =∇ k Rij 2 2 (1.1412) A metrikus tenzor invariáns deriváltjáról már tudjuk, hogy nulla. A Ricci-tenzor invariáns deriváltját meghatározhatjuk a Bianchi-azonosság felhasználásával: 1 a a a ∇

k Rij = ⋅∇ k R ija ∇ i R ajk ∇ a R kji =0 3 (1.1413) Így az eredmény:   1 ∇ k Rij − ⋅R⋅g ij =0 2 (1.1414) 1.15 Runge-Kutta közelítés Ismert geometriájú felületeken tetszőleges egyeneseket numerikus módszerekkel tudunk megvizsgálni. Az egyenest egyértelműen meghatározza egy rajtalévő pont koordinátái, és abban a pontban az érintővektora. Ebből a két adatból kis lépésekkel ki lehet számolni az egyenest alkotó többi pont koordinátáit is, minél kisebb lépésekkel, annál pontosabban. A Runge-Kutta közelítés alkalmazásával jelentősen kevesebb iterációs lépéssel nagy pontosságú pályaszámításokat végezhetünk, ha ismerjük az n.-ik lépésnél a következő változókat: koordináták: n xi koordinátasebességek: n vi 45 1.15 Runge-Kutta közelítés i i konnexió egy adott pontban:  invariáns paraméter változása: d jk x  (1.151) Fontos, hogy az invariáns paraméter

monoton növekvő vagy csökkenő mennyiség legyen, mert csak így vezet végig az egyenesen. A paraméter változásának nagysága határozza meg a lépésközt, ami a legegyszerűbb esetben egy kényelmesen választott szám is lehet. A mozgó test pályáját négy egyenes szakasszal közelítjük, meghatározzuk a koordináta- és koordinátasebesség-változásokat a szakaszok mentén, ezeket végül átlagoljuk: 1 a i=− i ab  n x i ⋅nv a⋅n vb 1  v i=1 ai⋅d  i 1  i i i i 1 2a =− ab n x  i  a 3 a =− i ab  i  a  x v v ⋅ n v a 2 ⋅ nv b  2 nx  2 2 2 i i 2 (1.152)  i i 1 2 x = n v   b  vi ⋅d  2  (1.153)  (1.154)   vi ⋅d  3 x = n v  2 i 3  v = 3a ⋅d  4 ai =− i ab  n x i 3 x i ⋅ n v a3 v a ⋅ n v b3 v b  4  v =4 a ⋅d  i b  i i  x v v ⋅ n

v a 1 ⋅ nv b  1 2 2 2 2  v =2 a ⋅d  i i  x = nv ⋅d  i 4 i 2  x i = nv i 3 v i ⋅d  (1.155) Az eredményül kapott koordináta- és koordinátasebesség-változásokat súlyozva összeadjuk, ezzel megkapjuk a pálya következő pontján a mozgást jellemző változókat. Az eljárással számolt értékek az ötödik rendben térnek el a valóságostól, mely igen jó közelítésnek mondható:  x i 2  xi 3  x i 4  x i     n1 x = n x  6 3 3 6 i i 1  v i 2 v i 3  v i 4  v i     n1v = nv  6 3 3 6 i i 1 46 (1.156) 2. Példák 2. Példák Ebben a fejezetben könnyen kezelhető példákkal szemléltetjük az előző fejezetben levezetett mennyiségeket. Különféle kétdimenziós felületeket vizsgálunk meg, és számszerűen meghatározzuk rajtuk a metrikus tenzort és deriváltjait, a konnexiót és deriváltjait, a Ricci-tenzort illetve a Ricciskalárt.

Ezzel bemutatjuk a szemléletes geometriai jelentésüket, és felkészülünk az alkalmazásukra a valódi, négydimenziós téridőben. 2.1 Kétdimenziós felület görbülete Egy tetszőleges kétdimenziós felület görbületét egy adott pontban egyértelműen jellemzi a felülethez illesztett két, egymásra merőleges síkú kör sugarának szorzatának reciproka: K= 1 r⋅q (2.11) A pontot egy olyan felülettel közelítjük, aminek a paraméteres egyenletét derékszögű koordinátákkal írjuk fel, és felhasználjuk a görbületi sugarakat: 2 z= 2 x y dz = ⋅dx ⋅dy r q x y  2⋅r 2⋅q (2.12) Ezt behelyettesítjük a háromdimenziós térbeli távolságnégyzetbe: ds 2=dx 2dy 2dz 2 (2.13) Az ívelem-négyzet a felületen:     ds 2= 1 x2 y2 2⋅x⋅y 2 ⋅dx  1 ⋅dy 2 ⋅dx⋅dy 2 2 r⋅q r q (2.14) Ebből leolvasható a kétszer kovariáns metrikus tenzor:   x2 r2 x⋅y r⋅q 1 g ij = x⋅y r⋅q y2 1

2 q (2.15) A metrikus tenzor determinánsa: ∣g ij∣=g 11⋅g 22−g 12⋅g 21= r 2⋅y 2q 2⋅x 2r 2⋅q2 r 2⋅q 2 47 (2.16) 2.1 Kétdimenziós felület görbülete A kétszer kontravariáns metrikus tenzor: g ij =  1 r 2⋅y 2r 2⋅q 2 −r⋅q⋅x⋅y ⋅ 2 2 2 2 r 2⋅y 2q2⋅x 2r 2⋅q 2 −r⋅q⋅x⋅y q ⋅x r ⋅q  (2.17) A metrikus tenzor parciális deriváltjai: ∂ g xx 2⋅x = 2 ∂x r ∂ g xy ∂ g yx y = = ∂x ∂ x r⋅q ∂ g xy ∂ g yx x = = ∂y ∂ y r⋅q ∂ g yy 2⋅y = 2 ∂y q (2.18) A konnexió kiszámítása:  ∂ g ia ∂ g ak ∂ g ki 1  jki = ⋅g ja⋅  − 2 ∂ xk ∂ xi ∂ xa  x xx= q 2⋅x r 2⋅y 2q 2⋅x 2r 2⋅q 2  y yy= r 2⋅y r 2⋅y 2q2⋅x 2r 2⋅q 2   x yy= r⋅q⋅x r ⋅y q2⋅x 2r 2⋅q 2 2 2 (2.19) A konnexió parciális deriváltjai, kiemeljük egy változóba a közös szorzót: 1 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 =r ⋅y q ⋅x r ⋅q

2⋅r ⋅q ⋅y 2⋅r ⋅q ⋅x 2⋅r ⋅q ⋅x ⋅y a ∂ x xx =a⋅q 2⋅r 2⋅y 2−q 2⋅x 2r 2⋅q 2 ∂x y ∂ x yy =a⋅r⋅q⋅r 2⋅y 2−q 2⋅x 2 r 2⋅q 2 ∂x x x ∂ yy ∂  xx = =−a⋅2⋅r 2⋅q2⋅x⋅y ∂x ∂y ∂ yy =−a⋅2⋅r 3⋅q⋅x⋅y ∂y ∂ y yy =−a⋅r 2⋅ r 2⋅y 2 −q 2⋅x 2−r 2⋅q2  ∂y (2.110) A Ricci-tenzor: a Rij =R a ija a ∂  ij ∂ aj = − bij⋅ aab−baj⋅ aib a i ∂x ∂x 48 2.1 Kétdimenziós felület görbülete  Rij =a⋅r⋅q⋅ q 2⋅x 2 r 2⋅q 2 r⋅q⋅x⋅y 2 2 2 2 r⋅q⋅x⋅y r ⋅y r ⋅q  (2.111) A Ricci-skalár: ab 3 R= g ⋅Rab=a⋅2⋅r ⋅q R= 3 2⋅r 3⋅q3 r 4⋅y 4 q 4⋅x 4 r 4⋅q 42⋅r 4⋅q2⋅y 2 2⋅r 2⋅q 4⋅x 22⋅r 2⋅q 2⋅x 2⋅y 2 (2.112) A vizsgált pontban van a koordináta-rendszer origója, ahol a koordináták nullák: x=y=0 R= 2⋅r 3⋅q3 2 = =2⋅K 4 4

r⋅q r ⋅q (2.113) 2.2 Sík A síkon derékszögű koordinátákban az ívelem-négyzet és a metrikus tenzor: ds 2=dx 2dy 2   g ij = g ij = 1 0 0 1 (2.21) A metrikus tenzorban nincsenek változók, így minden deriváltja, illetve belőle képezhető mennyiség nulla. 49 2.2 Sík Az ívelem-négyzet poláris koordinátákban, valamint a többi mennyiség: 2 2 2 2 ds =dr r ⋅d    1 0 g ij = 0 r2 ∂ g  =r ∂r  r  =− r 2 ij g =   1 0 0 1 r2 ∂ g  2 =− 3 ∂r r (2.22)  r  = r= ∂ r  1 =− ∂r 2 r 2 ∂ r  ∂  r 1 = = ∂r ∂r 2 (2.23) A Ricci-tenzor, és így a Ricci skalár is nulla. 2.3 Henger A felszínét derékszögű koordinátarendszerrel fedjük le, az ívelem-négyzet függ a henger konstans sugarától: ds 2=2c⋅d  2dz 2   2 0 g ij = c 0 1   1 g = 2c 0 ij 0 1 (2.31) A metrikus tenzorban ismét nincsenek

változók, így minden deriváltja, illetve belőle képezhető mennyiség nulla. Érdemes megemlíteni, hogy létezhet olyan kétdimenziós, nulla görbületű felület, melyet nem lehet beágyazni háromdimenziós euklidészi térbe. A megalkotásához képzeljük el az előző hengert, azzal a változtatással, hogy deformáljuk a teret, amibe beágyazzuk. Ahogy a henger koordináta-rendszere annyiban különbözik a sík derékszögűtől, hogy egyik koordinátája ciklikus, ugyanezt meg lehet tenni három dimenzióban is. Amíg x és y koordináták végtelen kiterjedésűek, a z koordináta önmagába visszatér, hossza egy, a negyedik dimenzióban lévő kör kerülete. Mivel a 50 2.3 Henger többi koordináta menti görbületi sugár végtelen, könnyen megállapítható, hogy a terünk nulla görbületű. Ha ezen a sokaságon értelmezzük az előbbi hengert, ugyanolyan orientációval, és feltesszük, hogy a henger magassága megegyezik a térbeli z koordináta

hosszával, akkor azt vesszük észre, hogy a henger két alapköre összeér. A megalkotott felület véges és homogén, mindkét koordinátája ciklikus, nem ágyazható be a normál háromdimenziós térbe, mégis nulla görbületű (viszont nem izotrop, a felületet különböző irányban körbejárva a megtett út különbözik): 2 2 2 2 ds =c⋅d  c⋅dz   2 c  g ij = 0 0 2c 2 ij g =   1 2c 0 0 1 2c (2.32) 2.4 Kúp A kúp szintén egy nulla görbületű felület, mivel síkban kiteríthető. Derékszögű és szögfüggvény koordinátákban: Néhány lehetséges paraméteres egyenlete: x=r⋅sin ⋅cos  y=r⋅sin ⋅sin z =r⋅sin  x2 y2 z2  − =0 a2 b2 c2 x= h−u ⋅r⋅cos h y= h−u ⋅r⋅sin  h Az utolsó egyenletekből az ívelem-négyzet és a többi mennyiség: 51 z =u (2.41) 2.4 Kúp   r 2c hc −u2 ds = 1 2 ⋅du r

⋅ ⋅d  2 2 hc hc 2 g ij =  2 1 r 2c 2 c 0 2 hc   ij h c −u2 r⋅ h2c 2 c 0 g = h 2c 2 0 2 h c r c h2c 0 r 2c⋅h c −u2   2⋅h2c ∂g = 2 3 ∂u r c⋅ hc −u h −u ∂ g  =−2⋅r 2c⋅ c 2 ∂u hc (2.42) 2 r h −u  u = c2⋅ c 2 hc r 1 c2 hc u ∂  =− ∂u   u =  u =− 1 h c −u 2 rc    h 2c⋅ 1  ∂ u  ∂  u 1 = =− 2 ∂u ∂u h c −u 2 c 2 c r h A Ricci-tenzor, és így a Ricci skalár is nulla, a kúpfelület is kiteríthető síkban. 2.5 Gömb A gömbön a földrajzihoz hasonló, szélességi és hosszúsági koordinátákat veszünk fel, és végigszámoljuk a geometriai mennyiségeket az ívelem-négyzettől a görbületig: 2 2 2 2 2 ds =r c⋅d  r c⋅sin  ⋅d  g ij =  2  r 2c 0 2 0 r c⋅sin 2  52 (2.43) 2.5 Gömb ij g =  1 r 2c 0 0

1 r ⋅sin 2  2 c  ∂ g  2 =2⋅r c⋅cos ⋅sin ∂ 2⋅cos  ∂ g  =− 2 ∂ r c⋅sin 3    =−cos ⋅sin   =  =cot ∂  =sin2  −cos2  ∂ ∂  ∂   cos2  = =− 2 −1 ∂ ∂ sin   Rij = 1 0 2 0 sin   R=2⋅K = 2 r 2c (2.51) (2.52) (2.53) A gömb felszíne kiszámolható, ha integráljuk az infinitezimális felületelemeket: dA=r c⋅d ⋅r c⋅sin ⋅d  2⋅  A=∫ r c⋅d ⋅∫ r c⋅sin ⋅d =r 2c⋅4⋅ 0 (2.54) 0 A gömböt merőleges vetített koordinátákkal is lefedhetjük. Ezzel a módszerrel egyértelműen csak a gömb egyik fele jellemezhető, tehát ugyanúgy nem lehet egy koordináta-rendszerrel lefedni az egész felületet, mint a szögkoordináták esetén, ahol a pólusok

maradtak ki. A paraméteres egyenlet: z =± r 2c − x 2− y 2 dz =− x⋅dx y⋅dy  r2c − x 2− y 2 (2.55) A felületet jellemző mennyiségek az ívelem-négyzettől a görbületig: ds 2= 1 ⋅  r 2c − y 2 ⋅dx 2  r 2c − x 2⋅dy 22⋅x⋅y⋅dx⋅dy  2 2  r −x −y 2 c 53 2.5 Gömb g ij =  r 2c − y 2 x⋅y 1 ⋅ r 2c − x 2− y 2 x⋅y r 2c −x 2 ∣g ij∣=   2 2 1 r − x −x⋅y g ij = 2⋅ c r c −x⋅y r 2c − y 2 r 2c r 2c − x 2− y 2 ∂ g   2⋅x⋅ r 2c − y 2 = ∂  r 2c −x 2 − y 22 ∂ g   2⋅y⋅r 2c −x 2  = ∂   r 2c − x 2− y 2 2     ∂ g  r 2c −x 2 2⋅x ⋅ −1 = 2 2 ∂ r c −x − y 2 r 2c −x 2− y 2 ∂ g   ∂ g  x 2⋅y 2 = = 2 2 ⋅ 1 ∂ ∂  r c −x − y 2 r 2c −x 2 − y 2 ∂ g 2⋅x =− 2 ∂ rc  4  ∂ g   ∂ g  x = =− 2

∂ ∂ rc 2 2  x⋅r 2c −x 2  r 2c⋅ r 2c − x 2− y 2    =  = 2 2 2   2 2 ∂ g  2⋅y =− 2 ∂ rc (2.56) 2 y⋅r 2c −x 2  r 2c⋅ r 2c − x 2− y 2    =  = 4  y⋅r − y  = 2 2 c 2 2 r c⋅r c −x − y    = x 2⋅y r 2c⋅r 2c −x 2 − y 2 2  ∂ g   ∂ g  y 2⋅x 2 = = 2 2 ⋅ 1 ∂ ∂ r c −x − y 2 r 2c −x 2 − y 2 x⋅r − y  = 2 2 c 2 2 r c⋅r c −x − y    =   ∂ g r 2− y 2 2⋅y = 2 2 2⋅ 2 c 2 2 −1 ∂  rc− x − y rc− x − y ∂ g   ∂ g  y = =− 2 ∂ ∂ rc 2     4 x⋅y 2 r 2c⋅r 2c −x 2 − y 2 2 2 2 2 2 2 4 ∂   y − x ⋅y 2⋅r c⋅y r c⋅x r c = 2 2 2 2 2 ∂ r c⋅r c −x − y  ∂  x −x ⋅y −2⋅r c⋅x r

c⋅y r c = 2 2 2 2 2 ∂ r c⋅r c −x − y  ∂   ∂   ∂   2⋅x⋅y⋅r 2c − y 2  = = = 2 2 2 ∂ ∂ ∂ r c⋅r c −x − y 22 ∂  ∂   ∂   2⋅x⋅y⋅ r 2c − x 2  = = = 2 2 2 22 ∂ ∂ ∂ r c⋅r c − x − y  ∂  x 43⋅x 2⋅y 2−2⋅r 2c⋅x 2−r 2c⋅y 2r 4c = ∂ r 2c⋅ r 2c − x 2− y 2 2 ∂   y 43⋅x 2⋅y 2−2⋅r 2c⋅y 2 −r 2c⋅x 2r 4c = ∂ r 2c⋅ r 2c − x 2− y 2 2 ∂   ∂   y 2⋅r 2c x 2 − y 2 = = 2 2 2 22 ∂ ∂ r c⋅ r c − x − y  ∂   ∂   x 2⋅r 2c −x 2 y 2  = = 2 2 2 22 ∂ ∂ r c⋅ r c − x − y  54 2.5 Gömb   3 ∂  2⋅x⋅y = 2 2 2 2 2 ∂ r c⋅r c −x − y  3 ∂   2⋅x ⋅y = 2 2 2 22

∂ r c⋅r c −x − y   2 r −y 1 Rij =−g ij =− 2 2 ⋅ c 2 x⋅y r c −x − y 2 x⋅y r −x 2 2 c  R=2⋅K = 2 r 2c (2.57) (2.58) Az eredményünk természetesen megegyezik a szögkoordináta-rendszerben számolttal. 2.6 Paraboloid Szögfüggvény és derékszögű koordinátákkal: Az egyenlete: z =b⋅ x 2 y 2  A paraméteres egyenletek:  x=a c⋅ u ⋅cos  hc  y=ac⋅ u ⋅sin hc A felület geometriai mennyiségei az ívelem-négyzettől a görbületig:   a 2c a 2c⋅u 2 ds = 1 ⋅du  ⋅d  2 4⋅h c⋅u hc 2 55 z =u (2.61) 2.6 Paraboloid g ij =  1 a 2c 4⋅h c⋅u 0 a2c⋅u hc 0  ij g =  4⋅hc⋅u hc 2 a c⋅u 0 ∂ g uu a =− ∂u 4⋅hc⋅u 2  uu =− a 2c  a 2c 2 4⋅hc⋅u ⋅ 1 4⋅h c⋅u ∂ uuu = ∂u   a 2c 4⋅hc⋅u ⋅ 1 4⋅h c⋅u 2    a 2c ∂ u =−2⋅ ∂u 1 1 Ruu= − 2 4⋅u u

u   a2c  4⋅hc⋅u⋅ 1  =− 1 ⋅ − u  2 c a 4⋅hc⋅u  a 2c 4⋅h c⋅u ⋅ 1 4⋅hc⋅u 2 2  2 c a 4⋅h c⋅u⋅ 1 4⋅hc⋅u   (2.62) a 2c  a 2c 2⋅h c⋅ 1 4⋅hc⋅u  a2c  a 2c 2⋅h c⋅u ⋅ 1 4⋅h c⋅u  2    u =  u = 1 2⋅u  2 ∂ u  ∂  u 1 = =− ∂u ∂u 2⋅u 2 2 ac R=2⋅K = ac h ∂ g  =− 2 c 2 ∂u a c⋅u ∂ g   a 2c = ∂u hc u  2 uu ∂g = ∂u 2 c 0 4⋅h c⋅ua 2c R = ac  2 c a 4⋅h c⋅u⋅ 1 4⋅hc⋅u  ⋅ 1−  (2.63) ac  2 ac 4⋅hc⋅u⋅ 1 4⋅hc⋅u 4⋅h c   (2.64) 2 c a 4⋅hc⋅u Nagy távolságtól a paraboloid csúcsától, a felület görbülete nullához közelít: lim u∞ 4⋅hc a 2c 4⋅h c⋅u =0 (2.65) 56 2.7 Hiperboloid 2.7 Hiperboloid Az egypalástú hiperboloid paraméteres egyenlete:

y=ac⋅ u 21⋅sin x=a c⋅ u21⋅cos  z =bc⋅u x 2 y 2 z 2 − 2 =1 2 ac bc (2.71) Az ívelem-négyzettől a görbületig: ds 2=  a 2c⋅u 2 2 u 1  b 2c ⋅du 2a 2c⋅u 21⋅d 2  a c⋅u  u 21  a2c b2c ⋅u 2b 2c 0 0 1 a ⋅u 21 2 2 g ij = u 21 0 ij g =  2 0 b c 2 2 a c⋅u 1 2 c ∂ g uu 2⋅a 2c⋅u u = 2 ⋅ 1− 2 ∂u u 1 u 1    ∂ g  2 =2⋅a c⋅u ∂u 2⋅a 2c⋅u ∂ g uu =− 2 2 2 ∂u u ⋅a c bc b2c 2  ∂g 2⋅u =− 2 2 ∂u a c⋅ u 12 a 2c⋅u  uu= 2 2 2 2  a c⋅u b c⋅ u 1⋅ u21 u   u =  u =  u  =− u u 1 2 ∂ uuu a 2c⋅a 2c⋅u 2⋅3⋅u2 1b2c⋅3⋅u 42⋅u2 −1 =− ∂u a 2c⋅u 2b2c⋅u 21⋅u 212 ∂ u a 2⋅a

2⋅u2⋅u 2−1b 2⋅ u2 12  =− c c 2 2 2 2 c 2 ∂u a c⋅u bc⋅u 1 57 a 2c⋅u⋅u 21 a 2c⋅u 2b 2c⋅u 21 (2.72) 2.7 Hiperboloid ∂ u  ∂  u u 2−1 = =− 2 ∂u ∂u u 12 Rij =−  2 c 2 c b ⋅ a 2c⋅u 2b ⋅ u2 1 (2.73) 1 u 1 0 0 a 2c⋅u 21 a 2c⋅u 2b2c⋅u 21 2  2 R=2⋅K =− 2⋅bc 2 2 2 2 2 a c⋅u bc⋅u 1 (2.74) 2.8 Bolyai sík A bolyai-sík egy végtelen kiterjedésű, állandó negatív görbületű felület, melyet nem lehet a pozitív ívelem-négyzetű három-dimenziós térbe beágyazni. A levezetés során a hiperboloidból indulunk ki. Szögfüggvény és derékszögű koordinátákkal: A felület egyenlete: z = a 2c x 2  y 2 (2.81) A hiperboloidon alapuló koordináta-rendszerrel látjuk el a három-dimenziós teret: x=r⋅sinh ⋅cos  y=r⋅sinh

⋅sin z =r⋅cosh  (2.82) Behelyettesítjük a felület egyenletébe, amiből jól látszik, hogy a hiperboloid a koordinátarendszerben egy koordináta-felületet alkot: 58 2.8 Bolyai sík r⋅cosh  = a 2c r⋅sinh ⋅cos 2 r⋅sinh ⋅sin 2 r =a c (2.83) A pszeudo-euklidészi három-dimenziós tér ívelem-négyzete, amibe beágyazzuk a hiperboloidot: ds 2=dx 2dy 2−dz 2 Koordináta változások a beágyazott hiperboloidon: dr =0 dx=r⋅cosh ⋅cos ⋅d −r⋅sinh ⋅sin⋅d  dy=r⋅cosh ⋅sin ⋅d −r⋅sinh ⋅cos ⋅d  dz =r⋅sinh⋅d  (2.84) Az ívelem-négyzet a beágyazott hiperboloidon, valamint a többi geometriai mennyiség: ds 2=r 2c⋅d 2r 2c⋅sinh 2 ⋅d  2  2 c r g ij = 0  0 2 r c⋅sinh 2  ij g =  1 r 2c 0 0 1 r

⋅sinh 2  2 c  ∂ g  =2⋅r 2c⋅cosh  ⋅sinh  ∂ 2⋅cosh  ∂ g  =− 2 ∂ r c⋅sinh 3    =−cosh ⋅sinh   =   =coth  ∂  =−sinh 2 −cosh 2  ∂ ∂  ∂   cosh 2  = =1− ∂ ∂ sinh2   Rij =  −1 0 0 −sinh2   R=2⋅K =− 2 r 2c (2.85) (2.86) (2.87) A Bolyai-sík végtelen kiterjedésű. Létezik olyan, a sík háromdimenziós térbe ágyazható negatív görbületű, kétdimenziós felület, mely ugyan nem rendelkezik olyan szimmetriával, mint az előbbi Bolyai-sík, de benne ugyanannyi, és állandó a görbület, ez a traktroid. A felületet a traktrix körbeforgatásával hozzuk létre: 59 2.8 Bolyai sík z =a⋅arcosh   a a  a 2− 2 − a 2 −2=a⋅ln − a 2−2    (2.88)

Az ívelem-négyzet és a görbület: ds 2=d 22⋅d 2 dz 2 a2c ds = 2 d 2 2⋅d  2  2   a 2c g ij =  0 2 0  ij g = 2 ∂ g  2⋅a 2c =− 3 ∂    2 a 2c 0 0 1 2  ∂ g  =2⋅ ∂ ∂g 2⋅ = 2 ∂ ac ∂ g  2 =− 3 ∂  (2.89)   =− 1    =− 3 a 2c   = = ∂  3⋅2 =− 2 ∂ ac ∂   1 = 2 ∂  ∂  ∂  1 = =− 2 ∂ ∂    − Rij = 1 2 0 R=2⋅K =− 2 0 − 1   a2c 2 a 2c (2.810) (2.811) 2.9 Katenoid A katenoid Gauss-görbülete ugyan nem konstans, de ez egy minimális felület, ami azt jelenti, hogy az átlaggörbülete nulla, akárcsak a síknak. A paraméteres egyenlete: x=a c⋅cosh   v ⋅cos u ac x=a c⋅cosh   60 v ⋅sin u ac z =v (2.91) 2.9 Katenoid Az

ívelem-négyzettől a görbületig: ds 2=cosh 2     v v ⋅dv 2cosh 2 ⋅du 2 ac ac g ij =  cosh   v ac 0 cosh   v ac   1 g ij =  0 0   v cosh ac 1 0 cosh ∂ g vv ∂ g uu = = ∂v ∂v 2⋅cosh   v ac     v v ⋅sinh ac ac vv ∂g ∂g = =− ∂v ∂v ac u u  Rij = − a 2c⋅cosh 2 2   0 −   v ac 1   v a ⋅cosh ac 2 c (2.92) 3 v 0 v a ⋅cosh ac 2 c v a c⋅cosh ac ∂ uu =− ∂v 1 1 v ac     v     1 v  v uu=− ⋅coth ac ac 1 v  v vv= uvu= uuv = ⋅coth ac ac ∂ vv ∂  vu ∂  uv = = = ∂v ∂v ∂v 2⋅sinh uu 2  1 a 2c⋅cosh 2 R=2⋅K =−   v ac (2.93) 2 a 2c⋅cosh 4   v ac (2.94) Nagy távolságra a katenoid jellegzetes tölcsérétől, a felület görbülete nullához közelít: 61 2.9 Katenoid  2 lim − v ∞ 2 c a ⋅cosh 4 

 v ac =0 (2.95) 2.10 Helikoid A helikoid szintén egy minimális felület, és a katenoiddal izometrikusak egymásra, vagyis az egyik felület torzítás nélkül átalakítható a másikká, úgy, ahogy a hengerfelület is torzulás nélkül kiteríthető síkba. A paraméteres egyenletei: x=v⋅cos  y=x⋅tan z =a c⋅v y=v⋅sin   z ac (2.101) Az ívelem-négyzettől a görbületig: ds 2=dv 2a 2c v 2⋅du2 g ij = ij g =  1 0 2 0 a c v 2    1 0 1 2 a c v 2 0 ∂ g uu =2⋅v ∂v ∂ g uu 2⋅v =− 2 2 2 ∂v  ac v   v uu=−v  uvu = uuv = ∂ v uu =−1 ∂v ∂ uvu ∂  uuv a 2c −v 2 = = 2 22 ∂v ∂v  a c v  (2.103)  (2.104)  Rij = − a 2c a 2c v 22 0 0 v2 −1 2 2 a c v (2.102) v a v 2 2 c R=2⋅K =− 62 2⋅a 2c a 2c v 2 2 2.10 Helikoid 2.11 Hiperbolikus paraboloid A negatív görbületű felület paraméteres

egyenlete az egyik koordináta-rendszerben: x=u y=v z =x⋅y (2.111) Az ívelem-négyzettől a görbületig: 2 2 2 2 2 ds =1v ⋅du 1u ⋅dv 2⋅u⋅v⋅du⋅dv g ij =  1v 2 u⋅v 2 u⋅v 1u 2 ∣g ij∣=1u v   1 1u 2 −u⋅v ⋅ 2 2 2 1u v −u⋅v 1v  2 ∂ g uv ∂ g vu = =u ∂v ∂v ∂ g uv ∂ g vu = =v ∂u ∂u uu g ij = 2 ∂ g vv =2⋅u ∂u vv ∂ g uu =2⋅v ∂v 2 ∂g 2⋅u⋅v = ∂ u 1u 2v 22 ∂g 2⋅u ⋅v = ∂ v 1u 2v 2 2 ∂ g uv ∂ g vu v⋅1−u 2v 2 = =− ∂u ∂u 1u2 v 2 2 ∂ g uv ∂ g vu u⋅1−u2v 2  = =− ∂v ∂v 1u 2v 22 ∂ g vv 2⋅u⋅1v 2  =− ∂u 1u 2v 22 ∂ g uu 2⋅v⋅1u 2  =− ∂v 1u 2v 2 2  uuv = uvu = v 1u 2v 2  v uv = v vu = (2.112) u 1u 2v 2 ∂ uuv ∂  uvu ∂  vuv ∂ v vu 2⋅u⋅v = = =

=− ∂u ∂u ∂v ∂v 1u 2v 2 2 v v 2 2 ∂ uv ∂  vu 1−u v = = 2 2 2 ∂u ∂u 1u v  u u 2 2 ∂ uv ∂  vu 1−u −v = = 2 2 2 ∂v ∂v 1u v  63 (2.113) 2.11 Hiperbolikus paraboloid Rij =−  1 1u 2 u⋅v ⋅ 2 2 2 2 u⋅v 1v 1u v   R=2⋅K =− 2 1u v 2 2 (2.114) 2 Nagy távolságra a hiperbolikus paraboloid nyergétől a felület görbülete nullához közelít: lim u  ∞ , v ∞  −  2 =0 2 2 2 1u v  (2.115) Paraméteres egyenlet egy másik lehetséges koordináta-rendszerben: z= y2 x2 − b 2c a 2c (2.116) Az ívelem-négyzettől a görbületig:     4⋅u 2 4⋅v 2 8⋅u⋅v 2 1 ⋅du  1 ⋅dv 2− 2 2 ⋅du⋅dv ds = 4 4 ac bc a c⋅b c 2   4⋅u 2 4⋅u⋅v 1 − 2 2 4 ac a c⋅bc g ij = 4⋅u⋅v 4⋅v 2 − 2 2 1 a c⋅b c b4c g ij =  ∣g ij∣=   4⋅u 2 4⋅v 2 16⋅u

2⋅v 2 1 ⋅ 1 − a 4c b4c a 4c⋅b 4c  a 4c⋅b 4c 4⋅v 2 4⋅a 2c⋅b 2c⋅u⋅v 1 ⋅ a 4c⋅b 4c 4⋅v 2 4⋅b 4c⋅u 2 4⋅a 2c⋅b2c⋅u⋅v b4c⋅a 4c 4⋅u2   ∂ g uu 8⋅u = 4 ∂u ac ∂ g vv 8⋅v = 4 ∂v bc ∂ g uv ∂ g vu 4⋅v = =− 2 2 ∂u ∂u a c⋅bc ∂ g uv ∂ g vu 4⋅u = =− 2 2 ∂v ∂v a c⋅bc 8⋅a 4c⋅b4c⋅u⋅b 4c 4⋅v 2  ∂ g uu =− 4 4 ∂u  ac⋅b c 4⋅v 2 4⋅b4c⋅u2 2 8⋅a 4c⋅b 4c⋅v⋅ ac44⋅u 2  ∂ g vv =− 4 4 ∂v  a c⋅ bc 4⋅v 2 4⋅b4c⋅u 22 32⋅a 4c⋅b 4c⋅u⋅v 2 ∂ g vv = ∂ u a 4c⋅b4c 4⋅v 2 4⋅b 4c⋅u 2 2 32⋅a 4c⋅b 4c⋅u 2⋅v ∂ g uu = ∂v a 4c⋅b4c 4⋅v 2 4⋅b 4c⋅u 22 2 2 4 4 2 4 2 ∂ g uv ∂ g vu 4⋅a c⋅b c⋅v⋅a c⋅bc 4⋅v −4⋅b c⋅u  = = ∂u ∂u  a 4c⋅b4c 4⋅v 2 4⋅b4c⋅u 22 64 2.11

Hiperbolikus paraboloid 2 2 4 4 2 4 2 uv vu 4⋅a c⋅b c⋅u⋅b c⋅a c 4⋅u −4⋅a c⋅v  ∂g ∂g = = 4 4 2 4 2 2 ∂v ∂v a c⋅b c 4⋅v 4⋅b c⋅u   uuu= 4 4⋅b ⋅u 4 4 a c⋅b c 4⋅v 24⋅b 4c⋅u 2  uvv=− (2.117) 2 2 4⋅a ⋅b ⋅u 4 4 a c⋅bc 4⋅v 2 4⋅b 4c⋅u 2 4⋅b 4⋅v  vv = 4 4 2 4 2 a c⋅b c 4⋅v 4⋅bc⋅u 4⋅a 2⋅b 2⋅v  uu=− 4 4 2 4 2 a c⋅bc 4⋅v 4⋅b c⋅u ∂ uuu 4⋅b4c⋅a 4c⋅b 4c 4⋅v 2−4⋅b 4c⋅u 2  = ∂u a 4c⋅b 4c 4⋅v 24⋅b 4c⋅u 2 2 ∂ v vv 4⋅a 4c⋅b4c⋅ ac44⋅u 2 −4⋅a 4c⋅v 2 = ∂v a 4c⋅bc44⋅v 2 4⋅b 4c⋅u 2 2 ∂ v uu 32⋅a 2c⋅b 6c⋅u⋅v = 4 4 ∂u a c⋅b c 4⋅v 24⋅b4c⋅u2 2 ∂ uvv 32⋅a 6c⋅b 2c⋅u⋅v = 4 4 ∂v  a c⋅b c 4⋅v 2 4⋅b4c⋅u 22 v v ∂

uvv 4⋅a 2c⋅b 2c⋅ a 4c⋅ 4⋅v 2−b 4c 4⋅b4⋅u 2 = ∂u a 4c⋅bc44⋅v 2 4⋅b 4c⋅u 2 2 ∂ v uu 4⋅a 2c⋅b 2c⋅ ac4⋅ 4⋅v 2−b 4c −4⋅b4⋅u2  = ∂v a 4c⋅b4c 4⋅v 2 4⋅b 4c⋅u 2 2 ∂ v vv ∂  uuu 32⋅a 4c⋅b 4c⋅u⋅v = =− 4 4 ∂u ∂v a c⋅b c 4⋅v 24⋅b 4c⋅u 2 2  4⋅a 2c⋅b2c (2.118)  b4c⋅ 4⋅u 2a 4c  4⋅a 2c⋅b 2c⋅u⋅v Rij = 4 4 ⋅ a c⋅bc 4⋅v 2 4⋅bc4⋅u 22 4⋅a 2c⋅b2c⋅u⋅v a 4c⋅4⋅v 2b 4c  R=2⋅K =− 8⋅a 6c⋅b 6c (2.119) a 4c⋅bc44⋅v 2 4⋅b 4c⋅u 22 2.12 Tórusz Változó görbületű felület, ami a belső peremén negatív, a kerületén pedig pozitív. A paraméteres egyenlete, ahol a a fősugár, b a melléksugár: x=a c b c⋅sin⋅cos  y=a c b c⋅sin ⋅sin  65 z =bc⋅cos 

(2.121) 2.12 Tórusz Az ívelem-négyzettől a görbületig: 2 2 2 2 2 ds =bc⋅d  a c b c⋅sin  ⋅d  g ij = ij g =  b 2c 0 0 a c b c⋅sin 2   1 b2c 0 0 1 a c bc⋅sin 2  ∂ g  =2⋅cos ⋅sin ⋅2⋅b2c⋅sin 2 3⋅a c⋅bc⋅sin a2c  ∂  bc 2⋅cos  ∂ g  1 =− ⋅  ∂ a c bc⋅sin 2⋅sin 2  sin  a c bc⋅sin      (2.122) a c bc⋅sin sin 2  =− ac bc⋅sin ⋅cos ⋅sin ⋅ b2c a b ⋅sin ⋅1sin    =  =cos ⋅ c c a c b c⋅sin ⋅sin   ∂  ac bc⋅sin  sin 2 −cos 2 ⋅ a cbc⋅sin  = ⋅ sin 2

−4⋅cos2  ⋅sin  ∂ bc bc 2 2 −cos ⋅sin  ∂   ∂   a 2c 3⋅a c⋅bc⋅sin 2⋅bc a 2c 2⋅ac⋅b c⋅sin ⋅cot 2  = = ∂ ∂ a 2c b 2c⋅sin 2 2  a c 2⋅b c⋅sin ⋅sin −2⋅bc⋅cos 2  Rij = a c b c⋅sin⋅sin 0 0 R  (2.123)  3⋅a c 2⋅bc⋅sin ⋅b c⋅sin 2 a 2c −2⋅b 2c⋅cos2 ⋅sin −2⋅a c⋅bc⋅cos 2  R = ⋅sin  b 2c 2 2  a 2⋅bc⋅sin⋅sin −2⋅bc⋅cos  R=2⋅K = 2⋅ c a c bc⋅sin ⋅sin  bc 66 (2.124) 2.12 Tórusz A tórusz felülete: dA=bc⋅d ⋅ a cbc⋅sin ⋅d  2⋅ 2⋅ A= ∫ b c⋅d ⋅∫ a c b c⋅sin ⋅d

=4⋅a c⋅bc⋅2 0 0 67 (2.125) 3. Sík és általános téridő 3. Sík és általános téridő Az Einstein-egyenletek legegyszerűbb négydimenziós megoldása az anyagmentes sík téridő. Benne a próbatestek által keltett gravitációt elhanyagolhatjuk, és a geodetikusok, melyek mentén mozognak egyszerű, parciális deriváltakkal leírható hétköznapi egyenesekké válnak. Ezzel a megoldással a speciális relativitáselmélet foglalkozik, melyet Albert Einstein 1905-ben írt le, még az általános relativitáselmélet létrejötte előtt. A Kaluza-modellben az elektromágnesesség is geometriai eredetű, nem az anyageloszlás része, vele kiegészítve az elmélet ötdimenziós téridőt ír le. Azonban tapasztalataink szerint a gravitációs kölcsönhatás sokkal általánosabb, mint az elektromos. Így például létezik gravitációs kölcsönhatás önmagában, de elektromágneses mező nem képzelhető el gravitáció nélkül, hiszen az

elektromágneses energia jelenléte máris térgörbítő hatású, tehát gravitációs vonzás is fellép az elektromágneses vonzás és taszítás mellett. Ennek köszönhetően a tisztán gravitációs kölcsönhatást vizsgálhatjuk négy dimenzióban anélkül, hogy bármit elhanyagolnánk. A lezajló események megértéséhez fontos végig észben tartani, hogy a mozgás a teljes négydimenziós téridőben történik. Az idő ugyanúgy egy mozgásirány, mely felé távolságot mérhetünk, mint a tér bármelyik három iránya. 3.1 Sajátidő Sík térben derékszögű koordinátákat használhatunk, és a következőképpen írjuk fel az ívelemnégyzetet: 2 2 2 2 2 ds =c ⋅dt −dx −dy −dz 2 t: időkoordináta x, y, z: térkoordináták c: fénysebesség (3.11) A metrikus tenzornak hagyományosan sajátos jelölése van:  1 0 0 0 0  = = 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1  (3.12) Erről könnyen látható, hogy megoldása az

Einstein-egyenletnek négy dimenzióban: 1 R − ⋅R⋅ =0 2 (3.13) A következő ábrán a két szaggatott egyenes jelzi azokat az utakat, melyeken az origóban lévő eseményből, vagy eseménybe tartó fénysugarak befuthatnak. A fénykúp által elválasztott téridő-tartományoknak más és más a jelentősége. Az alsó kúppaláston belüli tartományban helyezkednek el azok az események, melyek befolyásolhatják az origóban elhelyezkedő megfigyelőt, ezért ezek alkotják számára az időszerű múltat. A felső kúppaláston belüli 68 3.1 Sajátidő eseményekre az origó hatással lehet, ezért ezek alkotják az időszerű jövőt. Mivel a fénynél gyorsabban információ nem terjedhet, a fénykúpon kívüli tartomány mindezeken kívül esik, ezért ott a jövő, vagy múlt fogalma nem értelmezhető. A koordináta-rendszert úgy ábrázoljuk, hogy elhagyjuk az y és z koordinátákat: c∙t x A téridőben két különböző

koordináta-rendszerben az ívelem-négyzet ugyanannyi, invariáns mennyiség. Az egyenlet bal oldalán az ívelemet egy olyan koordináta-rendszerben írjuk fel, amiben az időkoordinátával párhuzamosan helyezkedik el, a jobb oldalán pedig egy általános koordinátarendszerben: 2 2 2 2 c ⋅d  =c ⋅dt −dl 2 (3.14) Ahol a jobb oldalon összevontuk a térbeli koordináta-differenciálokat: 2 2 2 dl =dx dy dz 2 (3.15) A térbeli sebességnégyzet: v 2 t = dl 2 dt 2 (3.16) Ebből a sajátidő:   2 v t2 dl d =dt⋅ 1− 2 2 =dt⋅ 1− 2 c ⋅dt c (3.17) 3.2 Lorentz-transzformáció A relativitási elv szerint az egyenesvonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási 69 3.2 Lorentz-transzformáció rendszerek egyenértékűek. Megkeressük a köztük történő átváltásnak megfelelő transzformációs mátrixot:   t a e 2x = i 2y m 2z 2 i 2 ∂x x i = 2 a ⋅x a =i a⋅x a ∂x b f j n c g k o 

 d t h x ⋅ l y p z (3.21) Lineáris transzformációk mindig felírhatók mátrixokkal, és mátrixok mindig lineáris transzformációt állítanak elő. A transzformációs mátrixok csoportot alkotnak, mert megfelelnek a következő szabályoknak: Egységelem:  1  1⋅x = x Zártság: 3  2⋅ 2  1⋅x = 3 1⋅x Asszociativitás:  4  3⋅ 3  2⋅ 2  1 ⋅x = 4  3⋅3  2 ⋅2 1⋅x Inverzelem: 2 1⋅x=1  2⋅x −1 (3.22) Először megvizsgáljuk az egységelemet, megközelítjük egy olyan transzformációval, ami csak kismértékben változtatja meg a vektort:   t a x = e y i z  m b f j n c g k o   d t h⋅x l y p z (3.23) Részletesen kiírjuk a mátrix-műveletet: t=a⋅tb⋅xc⋅yd⋅z = a−1⋅tb⋅x c⋅yd⋅z x=e⋅t f⋅xg⋅yh⋅z =e⋅t f

−1⋅xg⋅y h⋅z y=i⋅t j⋅xk⋅y l⋅z =i⋅t j⋅x k −1⋅y l⋅z z =m⋅tn⋅xo⋅y p⋅z =m⋅tn⋅x o⋅y  p−1⋅z (3.24) Ha a kis eltérés nullához tart, a transzformációs mátrix az egységmátrixhoz tart:  0  a e i m b f j n c g k o   d 1 0 h 0 1  l 0 0 p 0 0 70 0 0 1 0 0 0 0 1 (3.25) 3.2 Lorentz-transzformáció Mivel a transzformáció lineáris, a nagymértékű eltolások is ilyen alakúak lesznek. A kismértékű eltérés egy kontravariáns vektor, a nagymértékűt viszont a kovariáns érintővektorral írjuk fel:   u =  = ⋅u  v ⋅t c (3.26) Megvizsgáljuk az egységvektorok transzformációját, elsőként az időszerű irányban. Elhagyjuk a fénysebességet a képletekben, nehogy összekeverjük az egyik mátrixelemet jelző változóval:        tt  ⋅ut u t a xx

 ⋅u x −u x = = e i −u y  yy⋅u y zz m −u z  ⋅u z b f j n c g k o d  h⋅0 l 0 p 0 v t⋅t=a⋅ −v x⋅t=e⋅ −v y⋅t=i⋅ −v z⋅t =m⋅ (3.27) ebből a mátrixelemek alakja: t 1v t⋅ =a  v − x ⋅ a−1=e vt v − y⋅a−1=i vt v − z⋅a−1=m vt (3.28) Az x-irányú egységvektor:   ut a x−u x e = i −u y m −u z b f j n   c d 0 g h x ⋅ k l 0 o p 0 v t⋅t=b⋅x x−v x⋅t= f⋅x −v y⋅t= j⋅x −v z⋅t=n⋅x (3.29) a mátrixelemek alakja: t v t⋅ =b x v 1− x⋅b= f vt v − y⋅b= j vt v − z⋅b=n vt (3.210) A téridő minden irányban ugyanolyan, ezért a másik két térszerű irányban is hasonló alakot várunk el: t v t⋅ =c y v − x⋅c=g vt 1− vy ⋅c=k vt t v t⋅ =d z v − x⋅d =h vt v − y⋅d =l vt v − z⋅c=o vt (3.211) v 1− z⋅d = p vt (3.212) A diagonálisan átellenes mátrixelemek alakja hasonló, és mivel az

egységvektorok hosszúsága ugyanakkora, ezért megegyeznek: 71 3.2 Lorentz-transzformáció t v t⋅ =b x t v t⋅ =e  ↔ v − x ⋅ a−1=e=b vt e=b v − z⋅a−1=i=c vt v − z⋅a−1=m=d vt (3.213) Tehát a mátrix szimmetrikus:  a e i m b f j n c g k o  d a h = b l c p d b f g h c g k l d h l p  (3.214) A térbeli sebességnégyzet:  ⋅v ⋅v =v 2t −v 2x −v 2y −v 2z v 2t =v 2x v 2y v 2z=v 2 (3.215) Ezek után a mátrixelemek alakja: t 1v t⋅ =a  t v t⋅ =b x t v t⋅ =c y t v t⋅ =d z v − x ⋅ a−1=b vt v 1 2x⋅a−1= f v v x⋅v y ⋅a−1= g v2 v x⋅v z ⋅ a−1=h v2 v − y⋅a−1=c vt v y⋅v x ⋅a−1= g 2 v v 2y 1 2⋅a−1=k v v y⋅v z v − z⋅a−1=d vt v z⋅v x ⋅ a−1=h v2 v z⋅v y ⋅a−1=l v2 v 1 2z⋅a−1= p v (3.216) 2 v 2 ⋅a−1=l 2 Az

álló koordináta-rendszer origójának koordinátái a mozgó koordináta-rendszerben:   t a −v x⋅t = b −v y⋅t c d −v z⋅t b f g h c g k l   d  h⋅0 l 0 p 0 t =a  −v x⋅a=b −v y⋅a=c −v z⋅a=d Az ellenkező irányú transzformáció: 72 (3.217) 3.2 Lorentz-transzformáció    a −v x⋅a −v y⋅a −v z⋅a t  v ⋅t −v ⋅a f g h 0 = x ⋅ x 0 v y⋅t −v y⋅a g k l 0 v z⋅t −v z⋅a h l p (3.218) Meghatározzuk a „0,0” mátrixelemet: =a⋅t⋅1−v 2 0= f −a⋅v x g⋅v y h⋅v z 0=g⋅v x k −a⋅v y l⋅v z 0=h⋅v x l⋅v y  p−a ⋅v z a= 1  1−v 2 (3.219) A Lorentz-transzformáció mátrixa SI mértékegységekkel:  v vy vz − x ⋅a − ⋅a − ⋅a c c c 2 v v v x⋅v y v x⋅v z − x⋅a 1 2x⋅a−1 ⋅a−1 ⋅a−1 2 c v v v2 = vy v y⋅v x v 2y v y⋅v z − ⋅a ⋅a−1 1

2⋅a−1 ⋅a−1 2 c v v v2 vz v z⋅v x v z⋅v y v 2z − ⋅a ⋅a−1 ⋅ a−1 1 2⋅a−1 c v2 v2 v a  a= 1  1− v2 c2 (3.220) Megvizsgáljuk a transzformációt az x-tengely mentén:   c⋅2t a x 2 = b c 0 d 0 b f g h   c g k l d c⋅t h⋅ x l 0 p 0 (3.221) Az átváltási képletek: 2 t =a⋅t b⋅x = c 1  1− v ⋅t− x⋅ c v2 c2  v t− 2x⋅x c 1 x ⋅ = c v v2 1− 2 1− 2 c c  2 73 (3.222) 3.2 Lorentz-transzformáció vx ⋅ 2 x =b⋅c⋅t f ⋅x=− c 1  1− v2 c2    ⋅c⋅t 1 v 2x v 2 ⋅ 1 1− v2 c2 −1 ⋅x= x−v x⋅t  1− v2 c2 (3.223) A fordított irányú átváltáshoz csak a sebesség előjelét kell megváltoztatni. Behelyettesítjük őket a négyestávolságba, mely az ívelem-négyzet véges változata: s 2=c 2⋅t 2− x 2− y 2− z 2 2 2 2 2     v t− 2x⋅x c c ⋅2t −

2 x =c ⋅ c 2⋅2t 2− 2 x 2= (3.224) 2 v2 1− 2 c − x−v x⋅t 1− v2 c2 2   2 v ⋅ c2⋅t 2 −2⋅t⋅v x⋅x 2x⋅x 2 −x 22⋅x⋅v x⋅t−v 2x⋅t 2 2 v c 1− 2 c 1    v 2x 1 2 2 2 c ⋅2t − 2 x = ⋅ c ⋅t −x ⋅ 1− 2 2 v c 1− 2 c 2 2 2 2 2 2 2 2 c ⋅2t − 2 x =c ⋅t −x 2 (3.225) A koordináta-transzformáció tehát helyes, mert megőrzi az invariáns négyestávolságot. A teljes négyestávolság felírásával megállapítható, hogy az y és z irányban nem történik transzformáció: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c ⋅2t − 2 x −2 y −2 z =c ⋅t −x − y −z 2 2 2 2 y  2 z = y z 2 2 2 y= y 2 z =z (3.226) Hosszirányban mozgó rúd hosszcsökkenése; a rúd két végpontjának koordinátái az egyes koordináta-rendszerekben legyenek x és y, illetve 2x és 2y: 2 x− 2 y= x−v x⋅t  1− v2 2 c − y−v x⋅t  1− v2 2 c 74 3.2

Lorentz-transzformáció 2 x− 2 y= x− y  1− v2 c2 A rúd hossza: l=x− y  v2 l=2l⋅ 1− 2 c (3.227) 3.3 Sebesség és gyorsulás összeadása Egyenletes sebességgel mozgó test sebességét mekkorának mérjük egy másik, mozgó vonatkoztatási rendszerben? Az egyik koordináta-rendszer mozogjon a másikhoz képest x irányban, és legyen Vx a koordináta-rendszerek kölcsönös sebessége, a bennük mozgó test szintén x irányban halad, és a sebessége az egyes koordináta-rendszerekben: v x= dx dt dx 2 dt v =2 2 x (3.31) A koordináta-változás transzformációja: 2 dx =2 x B−2 x A =  x B− x A −V x⋅t B−t A  dx −V x⋅dt = V2 V2 1− 2 1− 2 c c   (3.32) Behelyettesítjük: dx 2dx dt dx−V x⋅dt 1 dt v −V x dt = ⋅ = ⋅ ⋅ = x ⋅ dt 2dt 2 dt V 2 dt 2 dt V 2 2dt 1− 2 1− 2 c c v =2 2 x   (3.33) Az idő változásának transzformációja: t B −t A − 2 dt = 2t B− 2t A=  Vx

⋅ x B−x A  c2 2 V 1− 2 c dt− =  Az időváltozások aránya: 75 Vx c2 ⋅dx V2 1− 2 c (3.34) 3.3 Sebesség és gyorsulás összeadása dt = dt Vx V ⋅v ⋅dx 1− x 2 x 2 1 c c ⋅ = 2 2 dt V V 1− 2 1− 2 c c dt− 2  (3.35)  Visszahelyettesítjük:  V2 v x −V x dt v −V x c2 ⋅ = x ⋅ 2v x = V x⋅v x V 2 2 dt V2 1− 2 1− 2 1− 2 c c c   1− Az x-irányú sebesség transzformációs képlete: v = 2 x v x −V x V ⋅v 1− x 2 x c (3.36) Mindig található olyan koordináta-rendszer amiben a mozgó test sebessége nulla, ez az együtt mozgó koordináta-rendszer, ahol: V x =v x (3.37) A merőleges irányú sebességkomponensek is transzformálódnak: 2 dy 2dy dt dy dt dt = ⋅ = ⋅ =v y⋅ dt dt dt dt dt 2 2 2 2 dt v y= 2  V2 2 c v =v ⋅ 2 y y V ⋅v 1− x 2 x c 1− (3.38) dz 2dz dt dz dt dt = ⋅ = ⋅ =v z⋅ dt 2dt dt 2dt 2 dt 2dt v =2 2 z  V2 2 c 2v z =v z⋅ V ⋅v 1− x 2 x c

1− (3.39) Az ellenkező irányú transzformációs képletekhez csak a két koordináta-rendszer relatív 76 3.3 Sebesség és gyorsulás összeadása sebességének az előjelét kell megfordítani. Felírjuk a sebességváltozás transzformációját: 2 dv x =d V2 c2 ⋅dv x 2 V x⋅v x 1−   v x −V x = V x⋅v x 1− 2 1− 2 c c (3.310)  Elosztjuk az időváltozással: 1− 2dt =  V x⋅v x c2 2 1− V c2 ⋅dt Az x-irányú gyorsulás transzformációja: 2 dv x = 2dt a x= 2   V2 1− 2 c  3 2 V ⋅v 1− x 2 x c ⋅a x (3.311) 3  Megvizsgáljuk az egyenletes gyorsulású test egy pillanatnyi állapotát. Ekkor a saját vonatkoztatási rendszerében a sebessége nulla, és a két koordináta-rendszer egymáshoz viszonyított sebessége megegyezik a test másik vonatkoztatási rendszerben mért sebességével. a 0= 1 2 3 2 2   v 1− c ⋅a= d ⋅ dt  v 1− v2 c2 (3.312) Elvégezzük az

integrálást: v= a 0⋅t  2 (3.313)   a 1 0⋅t c További integrálással megkapjuk a test helyzetének függését az eltelt koordináta-időtől.    2  a0 c2 x= ⋅ 1 ⋅t −1 x 0 a0 c (3.314) Bevezetjük a kontravariáns négyessebességet, mely a koordináta-változás sajátidő szerinti 77 3.3 Sebesség és gyorsulás összeadása deriváltja. Az időszerű komponens kiszámítása: V 0= dx 0 = d c⋅dt  dt⋅ 1− 2 v c2 = c  1− v2 c2 (3.315) Meghatározzuk a négyessebesség térszerű komponenseit is, a hétköznapi hármassebességből: i vi i dx dx dt V= = ⋅ = d  dt d  i  1− (3.316) v2 2 c A fordított irányú összefüggés: Vi v i =c⋅ 0 V (3.317) A négyessebesség vektor, ezért a négyzete egy invariáns skalár: dx  dx  ds 2 V 2 = ⋅ ⋅ = 2 =c 2 d d  d  (3.318) A négyesgyorsulás a négyessebesség sajátidő szerinti deriváltja: A =

dV  d (3.319) Mozdulatlan részecske négyesgyorsulásának minden komponense nulla: A = c 0 0 0 dV  =d =0 0 0 0 d d (3.320) Ebben az esetben a két vektor belső szorzata egyszerűen írható fel. Ez azonban egy invariáns összefüggés, ezért igaz bármilyen mozgó test esetében: V ⋅A=0 (3.321) 3.4 A fény aberrációja Egy tárgy mozgása két sebességkomponensekkel jellemezhető: v x =v⋅cos különböző v y =v⋅sin  78 koordináta-rendszerben a következő 3.4 A fény aberrációja v =2 v⋅cos  2  2 x 2 v y =2v⋅sin  2  (3.41) Az egyik koordináta-rendszer x irányban Vx sebességgel halad a másikhoz képest. Az x és y irányú sebességtranszformációs képletek a fenti szögkoordinátákat tartalmazó sebességekkel: v = 2 x v x −V x v⋅cos−V x = 2v⋅cos 2 = V x⋅v x V x⋅v⋅cos 1− 2 1− c c2  (3.42)  V2 V2 1− 2 2 c c =

v ⋅sin  =v⋅sin ⋅ v =v ⋅ 2 2 2 y y V ⋅v V ⋅v⋅cos  1− x 2 x 1− x c c2 1− (3.43) Elosztjuk őket egymással, és megkapjuk a mozgó tárgy pályájának irányszögének a transzformációját: v⋅cos −V x cot  2 =  (3.44) 2 v⋅sin ⋅ 1− V 2 c A fény esetében a v sebesség a c fénysebességgel egyenlő, ezzel megkapjuk a fény aberrációját: cos − cot  2 =  Vx c (3.45) 2 V sin⋅ 1− 2 c 3.5 Doppler-effektus Mivel a hosszúság, és az eltelt idő is koordinátafüggő mennyiség, ezért, bár a fény sebessége állandó, a fény frekvenciáját különböző megfigyelők különbözőnek tapasztalják. A fényforrásból távozó, egymástól λ hullámhosszúságnyi távolságra lévő hullámfrontok a mozdulatlan fényforrás szemszögéből a következő időközzel érik utol a v sebességgel távozó észlelőt: t=  c−v (3.51) Ugyanez

kifejezhető a frekvencia felhasználásával: 79 3.5 Doppler-effektus t= 1 v 1− ⋅ c   = c  A távozó objektum sajátidejében a következőképpen számolható ki az eltelt idő:  v2 c2  v v c 1 = ⋅ 2t =t⋅ 1− 2 = v  v c 1− 1− ⋅ c c  2 1−   1 (3.52) Ebből a mért frekvencia:  v c 1 ⋅ 2 = = v 2t 1 c 1− (3.53) Ha a fényforrás és a megfigyelő elhaladnak egymás mellett, egy rövid ideig a távolságuk nem változik, az őket összekötő egyenes mentén a relatív sebességük nulla. A fényforrás szemszögéből a megfigyelőt érő, egymástól λ hullámhosszúságnyi távolságra lévő hullámfrontok a következő időközzel érik el az észlelőt:  1 t= = c  (3.54) Az észlelő sajátideje azonban eltér a fényforrásétól, ez miatt eltérő időközökben tapasztalja a hullámfrontok beérkezését:  2t =t⋅ 1− 2 v = 2 c  1− v2 2 c (3.55)  A

frekvencia keresztirányú doppler-eltolódása:  v2  = 1− ⋅ 2 2 c (3.56) 3.6 Események sorrendje Az ok és következmény sorrendje akkor biztosítható, ha minden lehetséges vonatkoztatási rendszerből megfigyelve, a következmény bekövetkezésének időpontja későbbi az oknál. 80 3.6 Események sorrendje Megvizsgáljuk, hogy egymáshoz képest milyen sebességgel mozgó koordináta-rendszerekben teljesül ez a feltétel. Az időpontok különbsége a következőképpen transzformálódik az egyes koordináta-rendszerek között: t B−t A− t − 2 t A= 2 B  Vx c 2 ⋅ x B− x A V2 1− 2 c V x −x  1− 2x ⋅ B A c t B−t A  =t B−t A ⋅ V2 1− 2 c  (3.61) Itt vx az a sebesség, amivel az információ terjed az A eseményből (az okból) a B eseménybe (a következménybe): v x=  x B −x A t B −t A  (3.62) Behelyettesítjük a transzformációs képletbe: V ⋅v 1− x 2 x c 2t B

− 2t A=t B−t A ⋅ 2 V 1− 2 c (3.63)  A feltételünkből következik, hogy az időkülönbségeknek pozitívnak kell lennie: t −2t A0 2 B t B −t A 0 (3.64) Ez a következő egyenlőtlenségre vezet: 1− V x⋅v x c 2 0 2 (3.65) c V x⋅v x Amennyiben vx = c, tehát a második eseményt kiváltó információ az elsőből a lehető legnagyobb sebességgel, a fénysebességgel közlekedik, akkor a vonatkoztatási rendszerek kölcsönös sebessége nem haladhatja meg a fénysebességet: cV x (3.66) Visszatérve az eredeti transzformációs képlethez, itt is megvizsgáljuk, hogy milyen hatásai vannak annak a követelménynek, hogy az időkülönbségek pozitívak legyenek: 81 3.6 Események sorrendje t B−t A− t − 2t A= 2 B  Vx c 2 ⋅ x B− x A 2 V 1− 2 c t −2t A0 2 B t B −t A − Vx ⋅ x B−x A 0 c2 ∣V∣ 0 c c⋅t B−t A − x B −x A0 (3.67) A

tagok négyzetre emelése az egyenlőtlenségen nem változtat: 2 2 2 (3.68) c ⋅t B −t A  − x B −x A  0 Tehát a két esemény közötti négyestávolság mindig nagyobb nullánál, vagyis időszerű. 3.7 Energia és lendület Képzeljünk el egy üres dobozt súlytalanul lebegni. A doboz egyik belső fala kibocsát egy fotont, ami később elnyelődik a szemben lévő falban. A lendületmegmaradás miatt a doboz kismértékben elmozdul ellenkező irányban, majd megáll, amikor a foton elnyelődik. A fotonnak nincs nyugalmi tömege, de van lendülete: p f= E0 c (3.71) A doboz lendületét fel tudjuk írni a tömegével és a sebességével: p d =M⋅v (3.72) A foton Δt idő alatt éri el a doboz másik oldalát, eközben a doboz Δx távolságra mozdul el, ez a doboz sebessége: v= x t (3.73) A lendületmegmaradás miatt a foton és a doboz lendületének nagysága a tömegközépponti vonatkoztatási rendszerben megegyezik:  x E0 M⋅ =

t c (3.74) 82 3.7 Energia és lendület Ha ismerjük a doboz l szélességét, és a foton sebességét mely a fénysebesség, felírhatjuk velük az eltelt időt ami alatt ezt az utat megteszi:  t= l c (3.75) Behelyettesítjük a lendületmegmaradás képletébe: M⋅ x= E 0⋅l (3.76) c2 Ahhoz hogy meghatározzuk a doboz tömegközépponthoz képest történő mozgását, felírjuk a tömegközéppont helyzetét úgy, mintha egy, a dobozban mozgó, tömeggel rendelkező részecske okozta volna az elmozdulását, melynek a tömegét a foton effektív m tömegének hívjuk: x= M⋅x d m⋅x f M m (3.77) A tömegközéppont helyzete a foton kibocsátásakor és elnyelődésekor egyaránt ugyanaz: M ⋅x d m⋅x f M ⋅ x d − x m⋅l d = M m M m (3.78) Ha a foton (xf = 0), és a doboz (xd = 0) kezdőhelyzetét egyformán nullának tekintjük, jelentősen egyszerűsíthetünk a fenti összefüggésen: m⋅l d =M ⋅ x (3.79)

Behelyettesítjük a lendületmegmaradás képletét: m⋅l d = E 0⋅l d c 2 Ebből kifejezhető a nyugalmi energia és tömeg ekvivalenciájának összefüggése: E 0=m⋅c 2 (3.710) Állandó erő hatására gyorsuló tömeg mozgásegyenlete: F =m⋅a= dp dt (3.711) Vizsgáljuk az eseményeket egy adott pillanatban, amikor az egyik koordináta-rendszerben a mozgó test sebessége nulla, ekkor a másikból nézve a sebessége megegyezik a két koordináta-rendszer relatív sebességével: 83 3.7 Energia és lendület v =V (3.712) Kifejezzük a gyorsulását: 2a x =   V2 1− 2 c  V⋅v 1− 2 c 3 2 3 ⋅a x = 1 2 3 2 2 ⋅a x = 1 2 3 2 2      v 1− c v 1− c dv d ⋅ = ⋅ dt dt  v v2 1− 2 c (3.713) Behelyettesítjük a mozgásegyenletbe: d m⋅v d F =m⋅a= ⋅ = ⋅p 2 dt dt v 1− 2 c  (3.714) Ebből leolvasható a relativisztikus lendület: p= m⋅v  v2 1− 2 c (3.715) Az erő a potenciális energia

negatív gradiense, ezt átalakítjuk: F =− dE dx F⋅v=− dE dx dE ⋅ =− dx dt dt (3.716) Behelyettesítjük a lendületet, és a gyorsulás kifejezésének egyik változatát: 2 dp d m⋅v m⋅v dv d m⋅c v⋅F=v⋅ =v⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ 3 2 2 2 dt dt v v 2 dt dt v 1− 2 1− 2 1− 2 c c c     (3.717) Ebből a relativisztikus energia: E= m⋅c 2  1− (3.718) v2 c2 Az energia és a lendület közti összefüggés: 84 3.7 Energia és lendület E= p⋅c 2 v (3.719) Az energia és a lendület viszonyához megvizsgáljuk a kontravariáns sebességet. Elosztjuk a koordináta-változást a sajátidővel: dx  =c⋅dt  dx   =v = d  d =dt⋅ 1− dx dy dz  vx c 1−  v2 c2 1− vy  v2 c2 1− vz  v2 c2 1− v2 c2 v2 2 c  (3.720) Ha megszorozzuk a tömeggel, megkapjuk a kontravariáns energia-impulzus négyesvektort:  m⋅v =  m⋅v x m⋅c  2 v 1− 2 c m⋅v y

 2 v 1− 2 c m⋅v z  2 v 1− 2 c 2 v 1− 2 c  =  E c px py pz  (3.721) Koordináta-rendszerek közötti átváltáskor a négyesvektorok Lorentz-transzformálódnak: ∂ xi a ⋅x =i a⋅x a 2x = a ∂x i 2 Egyenes mentén történő mozgás esetén a transzformáció képlete:      E a c = b 2 px c 0 d 0 2 2 2 b f g h c g k l E =a⋅Eb⋅p x⋅c= E d c h⋅ px l p 0 0 v ⋅E− x⋅ c v2 1  1− c v E p x =b⋅  f⋅p x =− x ⋅ c c  2 1  1− v2 2 c ⋅p x⋅c= E−v x⋅p x  1−    2 x 2 v E 1 ⋅  1 ⋅ −1 ⋅p x = v v c v2 1− 2 1− 2 c c 1 2 85 (3.722) v2 2 c v p x − 2x⋅E c  v2 1− 2 c (3.723) 3.7 Energia és lendület Az ívelem-négyzet felhasználásával ismét megállapítjuk, hogy az y és z-irányú komponensek ilyenkor változatlanok maradnak: s 2= E2 − p 2x − p 2y − p 2z 2 c E2 E2 2 − p = − p2x 2 x 2 2 c c 2 2 p

y= p y 2 p z= p z (3.724) Behelyettesítjük a nyugalmi energia és a lendület transzformációját egymásba: 2 E= E−v x⋅p x  1− v2 2 c  p x =2 p x⋅ 1−  2 E = E⋅ 1− 2 p x= v p x − 2x⋅E c  1− v2 c2 v2 vx  ⋅E c2 c2 v2 −v x⋅2 p x c2 (3.725) Ha a részecske fénysebességgel közlekedik (az előjel a sebesség irányát mutatja): 2 E 0=−c⋅2 p x (3.726) Elosztjuk az ívelem-négyzetet az infinitezimális időváltozással: 2 2 2 2 2 ds =c ⋅dt −dx −dy −dz 2 1 /⋅ dt ds 2 2 2 2 2 =c −v x −v y −v z dt 2 (3.727) Az egyszerűség kedvéért egy dimenzióban számolunk. Előbb felírunk egy nyilvánvaló azonosságot, amit átalakítunk: 2 2 2 c −v =c −v 2 86 3.7 Energia és lendület c 2−v 2 2 =c v2 1− 2 c 2              c 2 1− v c2 c 2 1− v c2 m⋅c 2 2 1− v c2 v = 2 1− v c2 c 2 /⋅m⋅c 2 1− v c2

2 m⋅v = c 2 2 v = 2 2 1− v c2 ⋅c 2m2⋅c 4 Behelyettesítjük az energiát és a lendületet, a mozgó test teljes energiája: E=  p2⋅c 2m2⋅c 4 (3.728) Ha a tömege nulla: E 0= p⋅c m⋅c 2  2 v 1− 2 c = (3.729) m⋅v  2 v 1− 2 c ⋅c A nulla tömegű testek minden vonatkoztatási rendszerben fénysebességgel mozognak. v=c (3.730) 3.8 Relativisztikus rakéta A rakéta egy olyan összetett rendszer, mely folyamatos gyorsulás közben tömeget veszít. Két meghatározó összetevője a hasznos teher és a hajtóanyag, mely a rakétához képest állandó sebességgel áramlik ki a fúvókákon. A relativisztikus rakétaegyenlet a következő mennyiségek között teremt kapcsolatot: M: a rakéta kezdeti tömege 87 3.8 Relativisztikus rakéta dm: w: U: u: a hajtóanyag tömege, amit infinitezimálisan kicsi időtartam alatt kibocsát hajtóanyag konstans kiáramlási sebessége a rakétához képest a rakéta sebessége a

tömegközépponti rendszerben a kiáramló hajtóanyag sebessége a tömegközépponti rendszerben A rakéta mozgása során érvényesül a lendületmegmaradás törvénye, bal oldalon a rakéta lendületváltozása, jobb oldalon a kibocsátott hajtóanyagé: d   M 2 1− U c2 dm ⋅U =u⋅  1− u2 c2 (3.81) Valamint az energiamegmaradás törvénye: d   M 2 1− U c2 ⋅c2 =− dm  2 1− u c2 ⋅c 2 (3.82) A tömegközépponti rendszerből szemlélve a rakéta hajtóanyagának sebessége a rakétához képest mért, és a rakéta sebességének az összegzése: u= w−U U⋅w 1− 2 c Behelyettesítjük a lendületmegmaradás egyenletébe: d   M 2 1− U c2 ⋅U = U −w ⋅d U⋅w 1− 2 c   M 1− U2 c2 (3.83) Átalakítjuk gyökös nevező differenciálját: d   1 2 1− U c2 U⋅dU =   c2 −U 2⋅ 1− U2 c2 Behelyettesítjük: 2 M⋅dU U⋅dM   M⋅U ⋅dU

U −w M⋅U⋅dU = ⋅ dM  2 2 2 2 U⋅w c −U c −U 1− 2 c 88  3.8 Relativisztikus rakéta  U−     U −w M⋅U U −w ⋅dM =− M  2 ⋅ U− ⋅dU 2 U⋅w U⋅w c −U 1− 2 1− 2 c c Egyszerűsítünk: dM =− M dU   U2 w⋅ 1− 2 c (3.84) Behelyettesítjük a logaritmus differenciálját: d log  x = log  M M kezdeti dx x    U c c =− ⋅log 2⋅w U 1− c 1 A relativisztikus rakétaegyenlet hagyományos alakja:   U c M =M kezdeti⋅ U 1− c 1 − c 2⋅w (3.85) A hajtóanyag maximális kiáramlási sebessége: w= e⋅2−e⋅c (3.86) 3.9 Fénynél gyorsabb részecskék Azokat az elméletileg feltételezett részecskéket, melyek a fénysebességnél gyorsabban mozognak, tachionoknak nevezzük. Ha kiszámoljuk a relativisztikus energiájukat, képzetes értéket kapunk: E= m⋅c 2  v2 1− 2 c =−i⋅  m⋅c 2 v2 −1 c2 vc (3.91) Ezért a

tömegüket definiáljuk képzetesnek, így az energia és a lendület valós szám lesz. Kísérleti 89 3.9 Fénynél gyorsabb részecskék szempontból ezt azért tehetjük meg, mert nem létezik a fénynél gyorsabb inerciarendszer, amiben a tachion nyugodhatna, ezért nem is lehet mérhető tömege. m=i⋅m E= m⋅c2  2 m =−i⋅m p = v −1 c2 m⋅v  v2 −1 c2 (3.92) Leolvasható, hogy tachionoknál az energianövekedés sebességcsökkenéssel jár, az energialeadás pedig sebességnövekedéssel. Megváltozik a lendület négyesvektor négyzetének előjele: E2 − p 2=−m 2⋅c 2 2 c (3.93) Fénysebességnél lassabb test lehetséges energiája és lendülete, az energia a nyugalmi energia és a végtelen között mozoghat, a lendület bármilyen értéket felvehet: 0≤vc m⋅c2 ≤E∞ 0≤ p∞ (3.94) Fénysebességnél gyorsabb test lehetséges energiája és lendülete, az energia bármilyen értéket felvehet, a lendület

azonban nem lehet egy bizonyos értéknél kevesebb, a tachionok nem tudnak lelassulni: cv≤∞ 0≤E∞ m ⋅c≤ p∞ (3.95) Megvizsgáljuk a tachionok esetében a sebesség-összeadást: v = 2 x v x −V x V x⋅v x 1− 2 c (3.96) Mindig található olyan vonatkoztatási rendszer, amiben a fénysebességnél gyorsabb test sebessége végtelen: V x⋅v x c 2 =1 2 V x= c vx (mivel v x c , ezért mindig igaz hogy V x c  Ebből visszahelyettesítéssel meghatározható a sebesség-összeadási képlet határértéke, amikor a benne szereplő sebesség a végtelenhez tart: 90 3.9 Fénynél gyorsabb részecskék 2 v x −V x c = lim V x⋅v x V x v ∞ 1− 2 c (3.97) x 3.10 Körmozgás és Thomas precesszió Meghatározzuk az egyenletes körmozgást végző test sajátgyorsulását, melyet ő maga mér a sajátidejében, és a koordináta-gyorsulását, amit a mozdulatlan megfigyelő mér koordinátaidőben. Felírjuk a sík téridőben a

hengerkoordináta-rendszer ívelem-négyzetét, metrikus tenzorát és deriváltját, valamit a konnexiót: 2 2 2 2 2 2 ds =c ⋅dt −dr −r ⋅d  −dz  1 0 0 0 0 −1 0 0 g  = 0 0 −r 2 0 0 0 0 −1  2 (3.101) g  =   1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 − 2 0 r 0 −1 ∂ g  =−2⋅r ∂r ∂ g  2 = 3 ∂r r  r  =−r  r  = r= ∂ r  =−1 ∂r ∂ r  ∂  r 1 = =− 2 ∂r ∂r r  (3.102) (3.103) 1 r (3.104)  (3.105) Ezeket az értékeket behelyettesítjük a geodetikus egyenletbe, ahol egyszer a sajátidő, másszor a koordinátaidő szerint deriválunk parciálisan (amit azért tehetünk meg, mert mindkét érték monoton növekszik): 2 j a b ∂ x ∂x ∂x  jab⋅ ⋅ =0 2 ∂ ∂  ∂ 2 j a b ∂ x ∂x ∂x  jab⋅ ⋅ =0 2 ∂t ∂ t ∂t (3.106) A képletek ugyanolyan alakúak mindkét esetben, ezért általánosan, a

változók fölé írt pontokkal jelöljük, hogy hányadik deriváltak: c⋅ẗ=0 r̈  r ⋅̇ 2=r̈ −r⋅̇2 =0 91 3.10 Körmozgás és Thomas precesszió 2 ̈ r ⋅ṙ⋅̇  r⋅̇⋅ṙ=̈ ⋅ṙ⋅̇=0 r z̈ =0 (3.107) Az egyenletes körmozgást végző testre a következő koordinátafeltételek vonatkoznak: ṙ =0 ṫ=0 ż =0 ̇=áll. (3.108) Ebből a centripetális gyorsulás: r̈ =r⋅̇ 2 (3.109) Meghatározzuk a sajátidő és a koordinátaidő szerinti szögsebességek közötti összefüggést: ∂2 r ∂ =r⋅ 2 ∂ ∂   2 ∂2 r ∂ =r⋅ 2 ∂t ∂t 2   (3.1010) Behelyettesítjük a sajátidőt a sugárirányú koordináta második deriváltjába:  d =dt⋅ 1− v2 c2 2   ∂ r 1 ∂ ⋅ =r⋅ 2 2 ∂ ∂t v 1− 2 c 2 (3.1011) Átrendezzük, és egyenlővé tesszük a koordinátaidővel felírt képlettel: 2   

∂2 r ∂ v2 =r⋅ ⋅ 1− ∂ ∂t 2 c2 2 2      r⋅ ∂ ∂ v2 =r⋅ ⋅ 1− 2 ∂t ∂ c (3.1012) A koordinátaidővel és a sajátidővel felírt szögsebességek közötti összefüggés: ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂t  1 1− v2 c2 (3.1013) A két mennyiség különbsége azt jelzi, hogy a körpályán mozgó nemforgó test egy kör megtétele után nem ugyanabba az irányba fog orientálódni, mint amikor a kör megtételét megkezdte, ez a jelenség a Thomas-precesszió: 92 3.10 Körmozgás és Thomas precesszió =   ∂ ∂ − = ∂ ∂t 1 1− ∂ −1 ⋅ ∂t v2 c (3.1014) 2 3.11 Gravitációs vöröseltolódás A koordináta-rendszerhez képest nyugvó próbatest világvonalán csak a koordinátaidő változik. Az összefüggés a sajátidővel meghatározható a négyestávolságból: 2 2 2 c ⋅ =c ⋅g tt⋅t 2 (3.111) Két különböző próbatest sajátideje: 1 = 

1 g tt⋅t 2  = 2 g tt⋅t (3.112) A metrikus tenzor tt komponensének pozitívnak kell lennie, hogy a sajátidő, és a koordinátaidő iránya egybeessen, és a második feltevés, vagyis az ok-okozat sorrendjének elve ne sérüljön. A koordinátaidő behelyettesítésével meghatározhatjuk a sajátidők közötti összefüggést: 1 =  g tt ⋅2 2 g tt 1 (3.113) A fény, vagy bármilyen periódusos jelenség frekvenciája: = 1  (3.114) A gravitációs vöröseltolódás: 1 =  g tt ⋅2 1 g tt 2 (3.115) 93 4. Gömbszimmetrikus téridő 4. Gömbszimmetrikus téridő Az Einstein-egyenletek legáltalánosabb gömbszimmetrikus megoldását Karl Schwarzschild 1916-ban vezette le, nem sokkal az egyenletek megszületése után. Ennek az anyagmentes változatával foglalkozik ez a fejezet. Feltérképezzük a Schwarzschild-megoldás téridejét több különféle koordináta-rendszerrel, megvizsgáljuk a benne mozgó testek pályáját.

Az eredményeket a Naprendszerben végzett megfigyelésekkel ellenőrizzük. Számos jól ismert jelenség új értelmezést nyer ha geometriai eszközökkel nyúlunk hozzájuk, valamint teljesen új hatások is fellépnek. Mivel minden jelenség a távolságok és bezárt szögek összjátékának eredménye, ezeknek a megvariálása sok, korábban nem ismert hatással van az égitestek pályájára. 4.1 Gömbszimmetrikus koordináta-rendszer Sík téridőben felveszünk egy gömbszimmetrikus koordináta-rendszert, amit kiindulási alapnak használunk a későbbi, általános levezetéshez. Az ívelem-négyzetet úgy hozzuk létre, hogy kiegészítjük a gömbfelület ívelem-négyzetét a sugárirányú és az időkoordinátával: ds 2=c 2⋅dt 2−dr 2−r 2⋅ d  2sin 2 ⋅d 2  (4.11) Meghatározzuk a metrikus tenzort, a konnexiót, és deriváltjaikat:    1 0 0 0 0 −1 0 0 g  = 2 0 0 −r 0 2 0 0 0 −r ⋅sin 2  1 0 0 −1

g  = 0 0 0 0 0 0 1 − 2 r 0 0 0 0 − 1 r ⋅sin2   2  (4.12) ∂ g  =−2⋅r ∂r ∂g 2 = 3 ∂r r ∂ g  =−2⋅r⋅sin 2  ∂r ∂ g  2 = 3 ∂r r ⋅sin 2   ∂ g  =−2⋅r 2⋅cos ⋅sin  ∂ ∂ g   2⋅cos  = 2 ∂ r ⋅sin3    r  =−r   94 r 2  =−r⋅sin   (4.13) 4.1 Gömbszimmetrikus koordináta-rendszer  r  = r = r =  r =    =   1 r    =−cos ⋅sin  (4.14) =cot  r ∂   =−1 ∂r r ∂  =−sin 2  ∂r ∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r 1 = = = =− 2 ∂r ∂r ∂r ∂r r r ∂  =−2⋅r⋅cos ⋅sin  ∂ ∂  =sin2  −cos 2  ∂ ∂   ∂  

= =−cot 2 −1 ∂ ∂ (4.15) A görbületi tenzor minden komponense nulla, hiszen a téridő sík. Felírjuk a geodetikus egyenleteket: c⋅ẗ=0 r̈  r  ⋅̇2  r ⋅̇2= r̈−r⋅̇2−r⋅sin 2 ⋅̇ 2=0 2 ̈ r ⋅ṙ⋅̇ r⋅̇⋅ṙ  ⋅̇ 2=̈ ⋅ṙ⋅̇−cos ⋅sin ⋅̇ 2=0 r 2 ̈2⋅ r ⋅ṙ⋅̇2⋅  ⋅̇⋅̇=̈ ⋅ṙ⋅̇2⋅cot ⋅̇⋅̇=0 r (4.16) 4.2 Schwarzschild-koordináták Az Einstein-egyenletből indulunk ki, amit még tovább lehet egyszerűsíteni: 1 R − ⋅R⋅g  =0 2 /⋅g  1 R− ⋅R⋅4=0 2 R=0 (4.21) Ezt visszahelyettesítve megkapjuk, hogy vákuumban a Ricci-tenzor nulla: R =0 (4.22) A kialakult téridő alakjáról feltételezzük, hogy nagy távolságban a gravitáció forrásától a sík 95 4.2

Schwarzschild-koordináták téridőhöz közelít. Mivel egyik koordináta sem változik a másik függvényében, nincsenek vegyes koordinátaderivált szorzatok. Ezért gömbszimmetrikus koordinátákkal írjuk fel az ívelem-négyzet kiszámítását, amelyet kibővítünk ismeretlen függvényekkel, melyek csak a középponttól mért távolságtól, és az eltelt időtől függnek: 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = Ar , t⋅c ⋅dt −B r ,t ⋅dr −C  r , t ⋅r ⋅d  − Dr , t⋅r ⋅sin ⋅d  2 (4.23) A koordináta-rendszer tengelyének helyzete tetszőleges lehet, a beállításával máris kevesebb függvényünk maradt: C  r , t = Dr , t (4.24) Felírunk egy ennél is általánosabb alakot, amiben megengedjük, hogy az idő és a sugárirányú koordináta keveredjen: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = f ⋅c ⋅# dt 2⋅ f ⋅g⋅c⋅dt⋅dr −h ⋅dr −C⋅r ⋅d  sin ⋅d   (4.25) Ezt

azonban a következő visszahelyettesítésekkel, melyekben újra skáláztuk az időkoordinátát, vissza lehet vezetni a diagonális alakra: A⋅c 2⋅dt 2= f ⋅c⋅# dt g⋅dr 2 2 2 2 B=g 2h2 2 2 2 2 2 ds = Ar , t⋅c ⋅dt −B r ,t ⋅dr −C  r , t ⋅r ⋅d  sin ⋅d   (4.26) Mivel a sugárirányú koordináta is tetszőlegesen átskálázható, tetszőleges kapcsolatok teljesíthetőek a megmaradt függvények között: C  r , t =1 Schwarzschild-koordináták: torzulás nélkül jelenítik meg a sugárirányra merőleges távolságokat B r ,t =C r , t Izotróp koordináták: torzulás nélkül jeleníti meg az irányokat B r ,t =1 Gaussi poláris koordináták: torzulás nélkül jeleníti meg a sugárirányú távolságokat A r ,t =1 Együttmozgó koordináták: sugárirányban zuhanó testek koordinátái állandóak (4.27) Az ívelem-négyzet Schwarzschild-koordinátákban,

meghatározzuk a felületet jellemző geometriai mennyiségeket, a metrikus tenzortól a Ricci-tenzorig: 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = Ar , t⋅c ⋅dt −B r ,t ⋅dr −r ⋅d  −r ⋅sin ⋅d  96 2 (4.28) 4.2 Schwarzschild-koordináták  Ar , t 0 0 0 0 −B r , t 0 0 g  = 2 0 0 −r 0 2 2 0 0 0 −r ⋅sin    1 Ar ,t  0 g = 0 − 1 B r ,t  0 0 0 0 0 0 0 0 1 r2 0 − 0 −  1 r ⋅sin2  2  (4.29) Felső ponttal jelöljük az idő szerinti, vesszővel a sugárirányú koordináta szerint deriválást: ∂ g tt = Ȧ ∂t ∂ g tt Ȧ =− 2 ∂t A ∂ g rr =−Ḃ ∂t ∂ g rr Ḃ = 2 ∂t B ∂ g tt = A ∂r ∂g A =− 2 ∂r A ∂ g rr =−B ∂r ∂g B = 2 ∂r B ∂ g  =−2⋅r ∂r ∂ g 2 = 3 ∂r r ∂ g  =−2⋅r⋅sin 2  ∂r ∂ g  2 = 3 ∂r r ⋅sin 2   ∂ g  =−2⋅r 2⋅cos

⋅sin  ∂ ∂ g   2⋅cos = 2 ∂ r ⋅sin3   tt rr  t tt = Ȧ 2⋅A  t tr = t rt =  r tt = A 2⋅B  tr = rt = r r A 2⋅A  rr = Ḃ 2⋅A Ḃ 2⋅B  r rr = B 2⋅B t 97 (4.210) 4.2 Schwarzschild-koordináták  r   =−   r = r⋅sin 2    =− B r B  r r =  r =  r = 1 r    =−cos ⋅sin    =  =cot  (4.211) t t t t ∂ tt A⋅Ä− Ȧ2 = 2 ∂t 2⋅A ∂ tr ∂ rt ∂  tt A⋅Ȧ − Ȧ⋅A = = = 2 ∂t ∂t ∂r 2⋅A ∂ t rr A⋅B̈− Ȧ⋅Ḃ = ∂t 2⋅A2 ∂ r tt B⋅Ȧ− A⋅Ḃ = ∂t 2⋅B2 ∂ r tr ∂ rrt B⋅B̈− Ḃ 2 = = ∂t ∂t 2⋅B2 ∂ r rr ∂  rtr ∂  r rt B⋅Ḃ − Ḃ⋅B = = = ∂t ∂r ∂r 2⋅B 2 r r ∂   r⋅Ḃ = 2 ∂t B ∂  r⋅Ḃ⋅sin2

 = 2 ∂t B ∂ t tr ∂ t rt A⋅A − A 2 = = ∂r ∂r 2⋅A2 ∂ t rr A⋅Ḃ −A ⋅Ḃ = ∂r 2⋅A2 r r ∂ tt B⋅A − A⋅B = 2 ∂r 2⋅B ∂ rr B⋅B −B 2 = 2 ∂r 2⋅B ∂ r   r⋅B −B = 2 ∂r B ∂ r  r⋅B −B⋅sin 2  = 2 ∂r B ∂ r  2⋅r =− ⋅cos ⋅sin  ∂ B ∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r 1 = = = =− 2 ∂r ∂r ∂r ∂r r   ∂  =sin2  −cos2  ∂ Rt rtr =−Rt rrt = R t R t t =−R t =−R t   t  ∂   ∂    = =−cot 2 −1 ∂ ∂ B̈−A Ḃ2− A⋅B A 2− Ȧ⋅Ḃ −  2⋅A 4⋅A⋅B 4⋅A2 =− t  t r⋅A 2⋅A⋅B =− Rt  r =−Rt  r =− r⋅A 2 ⋅sin  2⋅A⋅B R 98 t r  =−R t  r r⋅Ḃ 2⋅A⋅B =− r⋅Ḃ 2 ⋅sin  

2⋅A⋅B (4.212) 4.2 Schwarzschild-koordináták 2 2 B̈− A Ḃ − A⋅B A − Ȧ⋅Ḃ  R ttr =−R trt = − 2 2⋅B 4⋅A⋅B 4⋅B r r Rr  t =−Rr  t = r⋅Ḃ 2⋅B 2 Rr t =−R r t= R  tt  R  tr  =−R  t t =−R =R  tr Rr  r =−Rr  r = r⋅Ḃ ⋅sin 2  2 2⋅B  tt  =R =−R  rt Rtt = =− A 2⋅r⋅B  r t =R  t r         R  =−R  = 1− Rr r  =−R r r =  tt =−R r⋅B 2⋅B2 r⋅B ⋅sin 2  2 2⋅B Rr r =−Rr  r =Rr r  =−Rr  r=−  =−R t r =R  r t =−R  r t =− Ḃ 2⋅r⋅B   1 ⋅sin 2  B R =−R = 1− B 2⋅r⋅B 1 B (4.213)  Ḃ Ḃ Ȧ A B A A − B̈ A ⋅  − ⋅    4⋅B B A 4⋅B B A 2⋅B r⋅B Rrr =− R  =  Ḃ Ḃ

Ȧ A B A A − B̈ B ⋅   ⋅  −  4⋅A B A 4⋅A B A 2⋅A r⋅B r⋅B r⋅A 1 − − −1 2 2⋅A⋅B B 2⋅B R =   r⋅B r⋅A 1 − − −1 ⋅sin 2  2 2⋅B 2⋅A⋅B B Rtr =Rrt = Ḃ r⋅B (4.214) Az Einstein-egyenletből levezettük, hogy vákuumban a Ricci-tenzor nulla. A nemdiagonális tagból kiderül, hogy a B függvény idő szerinti deriváltja nulla: Rtr =Rrt = Ḃ =0 r⋅B (4.215) Ḃ=0 Ezt visszahelyettesítjük a Ricci-tenzor tt és rr komponensébe. Egyszerűsítjük a tt komponenst: Rtt =−   A B A A A ⋅    =0 4⋅B B A 2⋅B r⋅B /⋅B 99 4.2 Schwarzschild-koordináták −   A B A A A  ⋅   =0 4 B A 2 r (4.216) Egyszerűsítjük az rr komponenst is: Rrr =   A B A A B − ⋅   =0 4⋅A B A 2⋅A r⋅B  /⋅A  A B ⋅A A B A − ⋅   =0 4 B A 2 r⋅B (4.217) Összeadjuk a két egyenletet: B⋅A A  =0 r⋅B r B A  =0 B

A (4.218) Az eredményt visszahelyettesítjük a tt komponensből származó egyenletbe, amiben immár csak az A függvény deriváltjai szerepelnek. Behelyettesítéssel csökkentjük a deriváltak fokát: A A  =0 2 r f r = A (4.219) df 2⋅ f  =0 dr r ∫ df dr =−2⋅∫ f r log  f =−2⋅log r ⋅c 1=log  c1 r2 Természetes hatványra emeljük az egyenlet mindkét oldalát, és visszahelyettesítjük az eredeti függvényt: f= c1 r 2 = A = dA dr (4.220) c ∫ r 12⋅dr=∫ dA Tehát az A függvény sem függ az időtől: 100 4.2 Schwarzschild-koordináták − c1 c 2= A r (4.221) Megvizsgáljuk a formulát, amit akkor kaptunk, amikor a Ricci-tenzor komponenseiből kapott két egyenletet összeadtunk: B A  =0 B A Kis átalakítással megállapítható, hogy a két ismeretlen függvény szorzata konstans: F = A⋅B  A⋅B=0 F =A⋅B=c3 (4.222) Ebből a másik ismeretlen függvény:   1 B=c 3⋅ c 2−

c1 r Az ismeretlen állandókat átértelmezhetjük úgy is, hogy a harmadikat beleértsük az első kettőbe, így a két ismeretlen függvény egymás reciprokai: B= c A=c 2− 1 r 1 c 2− c1 r c 3=1 (4.223) Az első állandó a gömbszimmetrikus téridőre jellemző mennyiség, a Schwarzschild-sugár. Ebben a távolságban a középponttól a koordináta-rendszerben koordinátaszingularitás található, és fizikai jelentése newtoni közelítéssel határozható meg: r g =c 1 (4.224) A második állandó értékét megkapjuk abból a feltételből, hogy a Schwarzschild-megoldás nagy távolságban közelítsen a sík téridőhöz, vagyis az ívelem-négyzetben A és B közelítsen 1-hez: c1 =c 2−0=1 r ∞ r (4.225) lim A=c 2 −lim r ∞ A metrika időfüggetlensége miatt ha egy égitest sugárirányú változásokat szenved, de nem nyer vagy veszít tömeget, akkor a körülötte lévő téridő geometriája nem változik meg. Például egy

gömbszimmetrikusan pulzáló csillag nem hoz létre gravitációs sugárzást, ahogy egy szimmetrikus szupernóvarobbanás, vagy fekete lyukká összeomló égitest sem. A Nap lassú forgásának, és a bolygók minimális hozzájárulásának köszönhetően a Naprendszer térideje is jó közelítéssel Schwarzschild. Az ívelem-négyzet és a többi geometriai mennyiség Schwarzschild metrikában: 101 4.2 Schwarzschild-koordináták   rg 2 2 dr 2 ds = 1− ⋅c ⋅dt − −r 2⋅ d  2sin 2 ⋅d 2  r r 1− g r 2  g  =   g = 1− rg r 0 0 − 0 0 1 r 1− g r 0 0 1   0 − 1− 0 0 0 0 rg r 0 0 0 −r 2 0 2 0 −r ⋅sin2   0 rg 1− r 0 0 0 0 0 1 2 r 0 − 0  1 − 2 r ⋅sin2    (4.227) ∂ g rr ∂ g tt =− = ∂r ∂r rr ∂ g tt r ∂g =− = 2g ∂r ∂r r (4.226) rg ∂ g  =−2⋅r ∂r ∂ g 2 = 3 ∂r r ∂ g 

=−2⋅r⋅sin 2  ∂r ∂ g  2 = 3 ∂r r ⋅sin 2   ∂ g  =−2⋅r 2⋅cos ⋅sin  ∂ ∂ g   2⋅cos = 2 ∂ r ⋅sin3    t tr = t rt =− r rr = rg 2⋅r⋅r −r g   r tt =  r   =−r −r g  r g⋅r −r g  2⋅r 3  r  =− r−r g ⋅sin2  102 2   r r ⋅ 1− g r 2 (4.228) 4.2 Schwarzschild-koordináták  r  = r = r =  r =    t =   1 r    =−cos ⋅sin  (4.229) =cot  t r ∂ rr r ⋅ 2⋅r −r g  ∂ tr ∂ rt = =− =− g 2 2 ∂r ∂r ∂r 2⋅r ⋅r −r g  ∂ r tt r ⋅2⋅r −3⋅r g  =− g ∂r 2⋅r 4    r ∂   =−1 ∂r r ∂  =−sin 2  ∂r  ∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r 1 = = = =−

2 ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂ r  =−2⋅r −r g ⋅cos  ⋅sin  ∂ ∂  =sin2  −cos 2  ∂ ∂   ∂   = =−cot 2 −1 ∂ ∂ Rt rtr =−Rt rrt = (4.230) rg 2 r ⋅ r−r g  Rt  t =−Rt  t =Rr  r =−Rr  r =− rg 2⋅r Rt t =−Rt  t= Rr r  =−Rr  r =− Rr trt =−Rr ttr = rg ⋅sin 2  2⋅r r g⋅r −r g  r4 Rt  t =−R t t =Rt  t=−Rt t = r g⋅r −r g  Rr r =−Rr r =Rr  r =−Rr r  =− 2⋅r 4 rg 2 2⋅r ⋅r −r g  r R  =−R = g⋅sin2   r R =−R  = rg r (4.231) 103 4.2 Schwarzschild-koordináták Ez a téridő a hat dimenziós, (+ + – – – –) szignatúrájú sík pszeudo-euklidészi térnek egy hiperfelülete. A paraméteres alakja:   r

x 1= 1− g⋅cos c⋅t r x 3=∫   r x 2= 1− g⋅sin c⋅t r  rg r ⋅ g 3 1 ⋅dr r −r g 4⋅r x 4 =r⋅sin ⋅cos  x 6=r⋅cos  x 5=r⋅sin ⋅sin (4.232) 4.3 Geodetikus egyenletek Behelyettesítjük a geodetikus egyenletbe a Schwarzswchild-megoldás konnexiójának komponenseit: t c⋅ẗ2⋅ tr⋅c⋅ṫ⋅ṙ=0 ẗ rg ⋅ṫ⋅ṙ=0 r⋅r −r g  r 2 2 r (4.31) 2 r̈  tt⋅c ⋅ṫ  rr⋅ṙ  r̈  r 2 ⋅̇   r 2 ⋅̇ =0  rg r g⋅ r−r g  2 2 ⋅c ⋅ṫ − ⋅ṙ 2−r −r g ⋅̇2−r −r g ⋅sin2  ⋅̇2=0 3 2⋅r⋅r −r  2⋅r g  ̈2⋅ r ⋅ṙ ̇   2 ⋅̇ =0 2 2 ̈ ⋅ṙ ̇−cos ⋅sin ⋅̇ =0 r ̈2⋅  r (4.32) ⋅ṙ ̇2⋅ (4.33)   ⋅̇⋅̇=0 2

̈ ⋅ṙ ̇2⋅cot ⋅̇⋅̇=0 r (4.34) Megvizsgáljuk a harmadik egyenletet. Ha úgy orientáljuk a koordináta-rendszert, hogy a próbatest a koordináta-rendszer egyenlítői síkjában van, és a mozgásiránya ebbe a síkba esik, akkor benne is marad. Behelyettesítjük a hosszúsági fokát, és a pillanatnyi nulla szögsebességét ezen koordináta mentén, a harmadik geodetikus egyenletbe: =  2 ̇=0 104 4.3 Geodetikus egyenletek 2 2 ̈ ⋅ṙ ̇−cos ⋅sin ⋅̇ 2=̈ ⋅ṙ 0−0⋅1⋅̇2 =0 r r A hosszúsági szöggyorsulás nulla, a próbatest az egyenlítő síkjában marad: (4.35) ̈=0 Behelyettesítünk a többi geodetikus egyenletbe is: ẗ rg ⋅ṫ⋅ṙ=0 r⋅r −r g  (4.36) r̈  r g⋅ r−r g  2 2 rg ⋅c ⋅ ṫ − ⋅ṙ 2−r −r g ⋅̇ 2=0 3 2⋅r⋅r −r g  2⋅r (4.37) ̈=0 (4.38) 2 ̈ ⋅ṙ ̇=0 r (4.39) 4.4

Gravitációs vöröseltolódás A jelenség egyike az általános relativitáselmélet klasszikus bizonyítékainak. Einstein már 1907-ben leírta az ekvivalencia-elv alapján, de eleinte nem tartotta valószínűnek, hogy lehetséges kísérletileg kimutatni. Végül 1959-ben végezte el a méréseket földi körülmények között az Egyesült Államokban, a Harward egyetem laboratóriumában R. V Pound és G A Rebka A radioaktív vasatomból származó, az alacsonyabb helyről a 22,5 méterrel magasabb felé irányított gammasugár vöröseltolódása 10%-os hibahatáron belül igazolta Einstein feltevését. Később ezt az értéket 1% alá sikerült csökkenteni, hidrogén mézerekkel végzett kísérletekkel. A korábbi képletbe behelyettesítjük a Schwarzschild metrikus tenzor tagjait:  rg 2 g tt 2r ⋅2= ⋅ 1 = rg 2 1 g tt 1− 1r  1− (4.41) Ha a fényforrás közelebb van a gravitációs mező forrásához, mint a megfigyelő, akkor: 1 r ≥2r

1  ≤2 (4.42) Tehát a megfigyelt frekvencia nagyobb, mint a kibocsátott, a látható fény tartományába eső elektromágneses sugárzás a vörös szín felé tolódik el, innen ered a jelenség neve. Egy nagy távolságú megfigyelő által észlelt vöröseltolódás, amikor a fényforrás r távolságra van a gravitációs 105 4.4 Gravitációs vöröseltolódás középponttól (például egy csillag felszíne): z= 1  r 1− g r −1 (4.43) 4.5 Féregjárat A téridő alakjának érzékeltetéséhez koordinátafelületnek. A felület paraméterei: megvizsgáljuk a tulajdonságait  2 t=áll. = dt=0 d =0 (4.51) Behelyettesítünk a Schwarzschild ívelem-négyzetbe:   ds 2= 1− 2 rg 2 2 dr 2 2  ⋅c ⋅0 − ⋅d  2 −r 2⋅ 0 sin r r 2 1− g r −ds 2=dl 2 =     dr 2 r 2⋅d 2 rg 1− r (4.52) A felületet jellemző geometriai mennyiségek:   1 r g ij = 1− g r 0 ∂ g rr =− ∂r 0

g = rg   r 2⋅ 1− rg r rg 2⋅r⋅r −r g    rg r 0 r2 ∂ g  =2⋅r ∂r  r rr =− ij 1− 2 0 (4.53) 1 r2 rr r ∂g = g2 ∂r r  ∂g 2 =− 3 ∂r r  r  =− r−r g  106 (4.54)  r  = r= 1 r (4.55) egy 4.5 Féregjárat ∂ r rr r g⋅2⋅r−r g  = ∂r 2⋅r⋅r −r g 2  Rij = − ∂ r  =−1 ∂r rg 0 2 2⋅r ⋅ r−r g  r − g 2⋅r 0 R=2⋅K =− ∂ r  ∂  r 1 = =− 2 ∂r ∂r r  (4.57) rg r (4.56) (4.58) 3 Ezt a koordinátafelületet be lehet ágyazni a sík háromdimenziós térbe, ezért könnyen ábrázolható. Térbeli hengerkoordináta-rendszert veszünk fel, és benne feszítjük ki a felületet. Az ívelemnégyzet: dl 2=dr 2 r 2⋅d 2 dz 2 Egyenlővé tesszük a kétdimenziós felületen mért ívelem-négyzettel: dr 2r 2⋅d  2dz 2= dr 2dz 2= dr 2 r 2⋅d  2 rg

1− r dr 2 r 1− g r (4.59) Nem ismerjük azt az összefüggést, mely leírja a felület pontjainak z koordinátáit, ezért ismeretlen függvényként behelyettesítjük, és mivel a felületünk körszimmetriát örökölt a Schwarzschild metrikától, feltesszük, hogy csak a sugártól függ: z = f r  dz = f r ⋅dr 1 f 2 r ⋅dr 2= f r =  dr 2 r 1− g r rg r −r g (4.510) Elvégezzük az integrálást. A féregjárat bejáratának alakja: 107 4.5 Féregjárat f r =2⋅ r g⋅r−r g c (4.511) A felület szögfüggvény és derékszögű koordinátákkal: 4.6 Newtoni közelítés A korrespondencia-elv szerint az új fizikai törvények határértékben a régiekre kell, hogy visszavezessenek, ez nincs másképp a relativitáselméletnél sem. Ebben az esetben a korábbi modell a newtoni abszolút tér és idő, illetve a benne ható erők, és létrejövő potenciálok. Ahhoz hogy megállapíthassuk a

határeset létrejöttét, közös nyelven kell megfogalmazni a két gravitációs elméletet. A klasszikus mechanika nem geometriai módszerekkel dolgozik, hanem változatos fizikai fogalmakkal, mint az erő, és a belőle származtatott egyéb mennyiségek. Ezzel az eszköztárral csak a tömegvonzási jelenségek egy szűkebb körét lehet leírni, viszont a saját korlátain belül helyes eredményeket nyújt. Mivel ezt kísérletileg is bizonyítani lehet, a jóval általánosabb, geometriai alapú elméletnek az említett határokon belül közelítenie kell a newtoni modellhez. Ez utóbbinak az érvényessége azokra az esetekre korlátozódik, ahol a mozgások sokkal lassabbak a fénysebességnél, és a sajátidő megegyezik a koordinátaidővel: v ≪c d ≈dt (4.61) A Lagrange-függvény a dinamikai rendszer tulajdonságait foglalja össze. Belőle a hatáselv segítségével származtatni lehet a mozgásegyenleteket. A hatás-funkcionállal nem relativisztikus esetben

a következő összefüggés teljesül: t2 S [ x t ]=∫ L x , ẋ , t ⋅dt (4.62) t1 A hatáselv értelmében egy mechanikai rendszer fejlődését a következő funkcionál-egyenlet megoldása jellemzi: 108 4.6 Newtoni közelítés S =0  x t  (4.63) Legyen x(t) a rendszer lehetséges fejlődését leíró függvény. Ekkor ε(t) egy infinitezimálisan kicsi variáció rajta, mely a kezdő és végponton nulla, ez a határfeltételünk:  t 1 = t 2=0 (4.64) Felhasználjuk a hatás-funkcionál variálásához, feltételezzük, hogy a Lagrange-függvény nem függ az időtől: t2  S =∫  L x , ẋ̇− L x , ẋ⋅dt (4.65) t1 A Lagrange-függvényt sorba fejtjük, és az elsőrendű tagokkal újra felírjuk a hatás-funkcionál variálását: ∂L ∂L L  x , ẋ̇ =L x , ẋ i⋅ i ̇i⋅ i ∂x ∂ ẋ t2   ∂L ∂L  S i=∫ i⋅ i ̇

i⋅ i ⋅dt ∂x ∂ ẋ t 1 (4.66) Parciálisan integráljuk a második tagot: t2 [ t2 t2 1 1 ] ∂L ∂L d ∂L  S i=∫ ̇ i⋅ i⋅dt= i t⋅ i −∫  i⋅ ⋅dt dt ∂ ẋ i ∂ ẋ ∂ ẋ t t t 1 Visszahelyettesítjük a variációs egyenletbe: t2 t2 1 1 ]  [  d ∂L ∂L ∂L  S i= i t ⋅ i ∫ i⋅ i −i⋅ ⋅dt i dt ∂ ẋ t t ∂x ∂ ẋ (4.67) A határfeltétel miatt az első tag nulla: t2   S i=∫  i⋅ t1  ∂ L d ∂L − ⋅dt=0 ∂ x i dt ∂ ẋ i A hatáselv értelmében a hatás-funkcionál variációja nulla. Ez akkor teljesül, ha a zárójelben lévő összefüggés nulla, mely az általános mozgásegyenlet: d ∂ L ∂L − =0 dt ∂ ẋ i ∂ xi (4.68) 109 4.6 Newtoni közelítés Nem-relativisztikus konzervatív erőtérben a Lagrange-függvény a mozgási és a helyzeti energia különbsége: L=E k −E p (4.69) A mozgó test teljes energiája: E= m⋅c  2

2 1− v 2 c A mozgási energia a nyugalmi energián felüli rész:   E k =m⋅c2⋅ 1 2 1− v c2 −1 (4.610) A zárójelben lévő mennyiséget binomiális sorfejtéssel írjuk fel: n abn =∑ i=0   v2 1− 2 c − 1 2 n⋅ n−1 n−2 2 n! ⋅a n −i⋅bi=a nn⋅an −1⋅b ⋅a ⋅b  n−i!⋅i! 2! 1 v2 3 v4 =1 ⋅ 2  ⋅ 4  2 c 8 c (4.611) Visszahelyettesítjük a mozgási energia képletébe:   1 v2 3 v4 E k =m⋅c ⋅ ⋅ 2  ⋅ 4  2 c 8 c 2 A fénysebességhez képest kis sebességeknél a mozgási energia közelítőleg a következő alakú: 1 E k ≈ ⋅m⋅v 2 2 (4.612) Centrális erőtérben a helyzeti energia csak a próbatest tömegétől és a középponttól való távolságtól függ: E p =m⋅r  (4.613) A newtoni mechanikában a tér sík. Háromdimenziós gömbi koordináta-rendszerben írjuk fel a Lagrange-függvényt. A sebességnégyzetet az

ívelem-négyzetből számoljuk ki: 110 4.6 Newtoni közelítés 1 ds 2=dr 2 r 2⋅ d 2 sin2  ⋅d 2  /⋅ 2 ∂t v 2 =ṙ 2r 2⋅ ̇ 2sin2 ⋅̇2  (4.614) A Lagrange-függvény:  1 2 2 2 2 2 L=E k −E p =m⋅ ⋅ ṙ r ⋅ ̇ sin ⋅̇ − r  2  (4.615) Behelyettesítjük a mozgásegyenletbe és leosztunk a tömeggel: d ∂ L ∂L 1 − i =0 /⋅ i dt ∂ ẋ ∂ x m Az első tag a sugárirányú koordináta szerint: d ∂ 1 2 2 2 1 d ∂ ṙ 2 ⋅ ṙ r ⋅ ̇ sin2 ⋅̇2 −r  = ⋅ =r̈ dt ∂ ṙ 2 2 dt ∂ ṙ   A második tag a sugárirányú koordináta szerint:   d r  1 2 2 2 2 2 2 −∂ ⋅ ṙ r ⋅ ̇ sin 2 ⋅̇ 2 −r  =−r⋅̇ −r⋅sin ⋅̇  ∂r 2 dr A sugárirányú mozgásegyenlet a kettejük összegzése: 2 2 2 r̈

−r⋅̇ −r⋅sin ⋅̇  d  r  =0 dr (4.616) A mozgásegyenlet első tagja a szélességi koordináta szerint:   d ∂ 1 2 2 2 1 d d ⋅ ṙ r ⋅ ̇ sin2 ⋅̇2 −r  = ⋅ ∂  r 2⋅̇2 = r 2⋅̇r 2⋅̈=2⋅r⋅ṙ⋅̇r 2⋅̈ dt ∂ ̇ 2 2 dt ∂ ̇ dt A második tag a szélességi koordináta szerint:   1 2 2 2 − ∂ ⋅ ṙ r ⋅ ̇ sin 2 ⋅̇ 2−r  =− ∂ r 2⋅sin2 ⋅̇2 =−r 2⋅cos ⋅sin ⋅̇2 ∂ 2 ∂ Összegzésükkel megkapjuk a szélességi koordináta irányú mozgásegyenletet: 2 ̈ ⋅ṙ⋅̇−cos ⋅sin ⋅̇2=0 r (4.617) 111 4.6 Newtoni közelítés A mozgásegyenlet első tagja a hosszúsági koordináta szerint:   d ∂ 1 2 2 2 1 d ∂ ⋅ ṙ r ⋅ ̇ sin 2 ⋅̇ 2

−r  = ⋅ r 2⋅sin 2 ⋅̇2 = dt ∂ ̇ 2 2 dt ∂ ̇ d 2 d d  r ⋅sin 2 ⋅̇= r 2⋅sin 2 ⋅̇r 2⋅ sin2 ⋅̇r 2⋅sin 2 ⋅̈= dt dt dt 2⋅r⋅ṙ⋅sin 2 ⋅̇r 2⋅2⋅cos ⋅sin ⋅̇r 2⋅sin 2 ⋅̈ A második tag nulla, így az első tag átalakításával megkapjuk a hosszúsági koordináta irányú mozgásegyenletet: 2 ̈ ⋅ṙ⋅̇2⋅cot ⋅̇⋅̇=0 r (4.618) Sík térben, gömbi koordináta-rendszerben a sugárirányú geodetikus egyenlet: r̈  r 2 ⋅̇   r 2 2 2 2 ⋅̇ = r̈−r⋅̇ −r⋅sin ⋅̇ =0  Centrális gravitációs mező jelenlétében a sugárirányú mozgásegyenletben látunk eltérést: r̈ −r⋅̇ 2−r⋅sin2 ⋅̇2  d r  =0 dr Egyedül az időbeli koordinátasebesség

állandó, így az új tag egy pontosan meghatározható konnexió komponens: d c⋅dt c⋅dt = r tt⋅ ⋅ =c 2⋅ r tt dr dt dt (4.619) Megkeressük azt a metrikát, amely olyan geodetikusokat eredményez, mint a newtoni mozgásegyenletek. A konnexió kiszámítása a metrikából:   ∂ g  ∂ g ∂ g 1   = ⋅g ⋅  − 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ g t  ∂ g  t ∂ g tt 1  r tt = ⋅g r ⋅  −  2 ∂t ∂t ∂x   (4.620) Feltesszük, hogy a metrika nem időfüggő:  ∂g ∂g ∂g ∂g ∂g 1 1  r tt =− ⋅g r ⋅ tt =− ⋅ g rt⋅ tt g rr⋅ tt g r ⋅ tt g r ⋅ tt 2 2 ∂t ∂r ∂ ∂ ∂x  A gömbszimmetrikus téridőben a szögkoordinátáktól sem függ, így a képlet leegyszerűsödik: 112 4.6 Newtoni közelítés ∂g 1  r tt =− ⋅g rr⋅ tt 2 ∂r (4.621) ∂g 1 d r  1 ⋅ =− ⋅−1⋅ tt 2 dr 2 ∂r c 2 d

r  ∂ g tt ⋅ = ∂r c 2 dr 2 ⋅r c 1=g tt 2 c (4.622) A gravitáció forrásától nagy távolságra a tér alakja a síkhoz közelít, ezzel meghatározható az integrációs állandó: lim r =0 r ∞ lim g tt = lim  r   0  r  0 2 ⋅ r c 1=0c 1=1 2 c (4.623) A gravitáció newtoni elméletében a gravitációs potenciál alakja: r =− ⋅M r (4.624) Ahol γ a gravitációs állandó, M a gravitációt okozó központi tömeg, r pedig a próbatest távolsága tőle. Behelyettesítjük a metrikus tenzorkomponensbe, és felírjuk annak a téridőnek az ívelemnégyzetét, ami pontosan olyan geodetikusokat eredményez, mint a newtoni mozgásegyenletek: g tt =1−  2⋅⋅M r⋅c 2 ds 2= 1− (4.625)  2⋅⋅M ⋅c 2⋅dt 2−dr 2 −r 2⋅ d 2 sin2  ⋅d  2  2 r⋅c (4.626) Összehasonlítjuk a Schwarzschild metrika megfelelő metrikus

tenzorkomponensét és a most megkapott newtoni határesetet, ezzel meghatározzuk a Schwarzschild levezetés másik integrációs állandóját, mely a Schwarzschild-sugár: g tt =1− r g= r 2⋅⋅M =1− g 2 r r⋅c 2⋅⋅M c2 (4.627) 113 4.6 Newtoni közelítés A gravitációs állandó jelenleg elfogadott értéke: −11 =6,67428⋅10 m3 2 s ⋅kg Ez a legnehezebben mérhető természeti állandók egyike, és ez miatt égi mechanikai módszerekkel ugyanilyen pontossággal határozható meg az égitestek tömege is. Pontos pályaszámításokhoz ezért a két mennyiség szorzatát használják, ez a standard gravitációs paraméter. Használatával az égitestek Schwarzschild-sugarát is nagy pontossággal meg lehet határozni. A Schwarzschild ívelemnégyzet tisztán SI-egységekben:  ds 2= 1−  2 2⋅⋅M dr ⋅c 2⋅dt 2− −r 2⋅ d 2 sin2  ⋅d 2  2 2⋅⋅M r⋅c 1− r⋅c 2 (4.628) 4.7 Kör alakú

pálya A rendszerben jelen lévő összes energia görbíti a téridőt, ezért egy olyan kicsi tömegű próbatestet engedünk szabadjára benne, mely elhanyagolhatóan kismértékben befolyásolja az eseményeket. Az egyszerűség kedvéért körpályán fog mozogni a gravitációs középpont körül, a Schwarzschild-sugárnál jóval nagyobb távolságban, erőmentes helyi egyenes, egy geodetikus mentén. A pályaelemek meghatározásához először a koordináta feltételeket írjuk fel, melyek a körpálya tulajdonságaiból következnek: t=t  ∂t =áll. ∂ r =áll. dr =0 2 =  2 = ∂r ∂ r = =0 ∂ ∂ 2 d =0 ∂ =áll. ∂ (4.71) Ezek leegyszerűsítik az általános geodetikus egyenleteket: ẗ rg ⋅ṫ⋅ṙ=0 r⋅r −r g  ẗ=0 (4.72) 114 4.7 Kör alakú pálya r̈  r g⋅ r−r g  2 2 rg ⋅c ⋅ṫ − ⋅ṙ 2−r −r g ⋅̇ 2=0 3 2⋅r⋅r −r g  2⋅r r g⋅

r−r g  2 2 ⋅c ⋅ṫ − r−r g ⋅̇ 2=0 3 2⋅r (4.73) ̈=0 (4.74) 2 ̈ ⋅ṙ ̇=0 r (4.75) ̈=0 Alkalmazzuk a koordinátafeltételeket az ívelem-négyzetre is:   ds 2= 1− 2 rg 2 2 02  ⋅c ⋅dt − −r 2⋅ 02 sin2 ⋅d 2 r r 2 1− g r       ds = 1− rg 2 2 2 2 ⋅c ⋅dt −r ⋅d  r (4.76) Ez a végtelenül távoli megfigyelő nézőpontja. A pályán mozgó űrhajós viszont nem ezt látja Ő mozdulatlannak „érzi” magát, és lokálisan Minkowski ívelem-négyzetet lehet nála felírni. Ezt egyenlővé tesszük a távoli megfigyelő által látott ívelem-négyzettel:     c 2⋅d  2= 1− d 2 = 1− rg 2 2 2 ⋅c ⋅dt −r ⋅d 2 r  2 2 rg r d − 2⋅ 2 ⋅dt 2 r c dt d = dt Behelyettesítjük a pálya menti szögsebességet, és megkapjuk a sajátidő és a koordinátaidő közti kapcsolatot: d =   2 2 rg r ⋅ 1− −

2 ⋅dt r c (4.77) Mivel a két mennyiség aránya állandó, a koordinátaidő is garantáltan monoton növekszik a mozgás során, így használható paraméterként a geodetikus egyenletrendszer megoldásánál. A sugárirányú geodetikus egyenlet: 2 r g⋅ r−r g  2 ∂t 2 ∂ ⋅c ⋅ − r−r ⋅ =0 g 3 ∂t ∂t 2⋅r     115 4.7 Kör alakú pálya r g⋅ r−r g  2 ⋅c − r−r g ⋅2=0 3 2⋅r rg 2⋅r ⋅c 2− 2=0 3 A körpályán keringő, elhanyagolható tömegű próbatest keringési körfrekvenciája:  =c⋅ rg (4.78) 2⋅r 3 A belőle kiszámolt keringési idő tetszőleges pályasugár esetén megegyezik a newtoni határesettel: t k=  2⋅ 2⋅r 3 ⋅ c rg (4.79) A Föld közel kör alakú pályán kering, ezért jó példa az összefüggés bemutatásához. A Nap standard gravitációs paramétere, és belőle a gravitációs sugara: ⋅M =1,32712440018⋅1020 3 m 2 s r g=

2⋅⋅M 3 =2,9532500765⋅10 m 2 c A földpálya fél nagytengelye: 11 r =1,49598261⋅10 m Ezekből kiszámoljuk a keringési időt: 7 t k =3,15583195⋅10 s=365,258328 nap (4.710) A Föld tényleges keringési ideje, és a számított érték eltérése: t k2 =365,256363004 nap tk −1=5,37919714⋅10−6 t k2 (4.711) Az eltérést a mért értéktől az okozza, hogy nem vettük figyelembe, hogy a földpálya eltér az ideális körtől, a többi bolygó is befolyásolja a Föld mozgását, és a Nap forgása is hatással van a téridőre. A keringési idők, és a körpálya sugarak aránya visszaadja Kepler III. törvényét: 2 1 k 2 2 k t t =2 1 r3 (4.712) r3 116 4.7 Kör alakú pálya A sajátidő és a koordinátaidő kapcsolatába behelyettesítjük a keringés körfrekvenciáját: d =  2      r 1− g − r  d = 1− r 2⋅ c⋅ rg 2⋅r 3 c2 ⋅dt 3⋅r g ⋅dt 2⋅r (4.713) Ha a sajátidő változása nulla, az

fényszerű geodetikust jelent, tehát akkor a körpályán keringő fényről van szó:  0= 1− 3⋅r g ⋅dt 2⋅r A pálya sugara: r= 3⋅r g 2 (4.714) A fényénél kisebb sebességű testek csak ennél nagyobb távolságra képesek keringeni a középpont körül. Az ezen a sugáron belüli, kör alakú geodetikusok mind térszerűek, ami abban nyilvánul meg, hogy a gyök alatti szám negatív, tehát a sajátidő képzetes mennyiséggé válik. 4.8 Felszíni gyorsulás és lebegés Ha a test mozdulatlan a Schwarzschild koordináta-rendszerben, például egy gömb alakú bolygó felszínén helyezkedik el, akkor mekkora a gyorsulása? A számításokat a koordinátaidő függvényében végezzük el. Egy hétköznapi méretű, szilárd felszínű bolygó esetében ez nem jelentős eltérés. Ekkor a koordinátafeltételek: t=t  ∂t =áll. ∂ r =áll. dr =0 =áll.= =áll.  2 d =0 d =0 (4.81) A sugárirányú gyorsulást keressük,

az ennek megfelelő mozgásegyenletbe helyettesítünk be: 117 4.8 Felszíni gyorsulás és lebegés r̈  r g⋅ r−r g  2 2 rg ⋅c ⋅ṫ − ⋅ṙ 2−r −r g ⋅̇ 2=0 3 2⋅r⋅r −r g  2⋅r A felszíni gyorsulás a Schwarzschild-megoldásban, amikor a bolygó forgása elhanyagolható: r̈ =− r g⋅r −r g  2 2 ⋅c ⋅ṫ 2⋅r 3 (4.82) Ha a bolygó forgását is figyelembe akarjuk venni, akkor a koordinátafeltételek bővülnek, a felszíni megfigyelő egy szélességi kör mentén körmozgást végez. Továbbra is ugyanazzal a mozgásegyenlettel foglalkozunk (a Schwarzschild-metrika használata miatt elhanyagoltuk a forgás hatását a téridő szerkezetére, de kis perdület esetén ez jó közelítés): t=t  ∂t =áll. ∂ r =áll. dr =0 =áll. d =0 =áll. d =áll. d (4.83) A legáltalánosabb sugárirányú mozgásegyenletből indulunk ki: r̈  r g⋅ r−r g  2 2 rg ⋅c ⋅ ṫ

− ⋅ṙ 2−r −r g ⋅̇2−r −r g ⋅sin2  ⋅̇2=0 3 2⋅r⋅r −r g  2⋅r A felszíni gyorsulás a Schwarzschild-megoldásban, amikor a bolygó forog: r̈ =− r g⋅r −r g  2 ⋅c  r−r g ⋅sin2 ⋅2 3 2⋅r (4.84) A Föld standard gravitációs paramétere, és belőle a gravitációs sugara: 3 m ⋅M =3,986004418⋅10 2 s 14 r g= 2⋅⋅M =8,870056078⋅10−3 m 2 c = 2⋅ 1 =7,292115⋅10−5 tk s A Föld egyenlítői sugara és forgási körfrekvenciája: 6 r =6,3781366⋅10 m Felszíni gyorsulás a Föld egyenlítőjén = 2  : 118 4.8 Felszíni gyorsulás és lebegés r̈ =−9,7982867 m m m 0,0339157 2 =−9,764371 2 2 s s s (4.85) A Föld egyenlítőjén mért tényleges gyorsulás, és a számított érték eltérése: r¨2=−9,780327 m 2 s r¨2 −1=1,634105⋅10−3 r̈ (4.86) Az eltérést a földrajzi értéktől az okozza, hogy a Föld nem

pontosan gömb alakú, ez főleg a forgást figyelembe vevő tag hozzájárulására van nagy hatással. A lebegő testre ható gyorsulás a távolság függvényében, a végtelenül távoli megfigyelő szempontjából: a=− r g⋅ r−r g  2 ⋅c 2⋅r 3 (4.87) Az ábrán balról jobbra távolodunk a gravitációs középponttól, a függőleges tengelyen a lebegő test koordinátagyorsulását ábrázoljuk, a szaggatott vonal az eseményhorizont helyét jelzi: a r A gravitációs sugárhoz közelítve a koordinátagyorsulás nullához tart: a=lim − r r g r g⋅r −r g  2⋅r 3 ⋅c 2=0 (4.88) A sugárirányú koordináta szerinti derivált nulla a maximális gyorsulás helyén: 2⋅r −3⋅r g 2 ∂a =r g⋅ ⋅c =0 3 ∂r 2⋅r 119 4.8 Felszíni gyorsulás és lebegés 3 r = ⋅r g 2 (4.89) 4.9 Geodetikus precesszió 1916-ban a holdpálya számításának relativisztikus korrekciójakor Willem de Sitter holland matematikus hívta föl a figyelmet

erre a jelenségre. Az Apolló-program során a holdfelszínen elhelyezett prizmákról visszavert lézerfény elemzése révén a jelenséget 7 ezrelék pontossággal igazolták. A NASA 2004-ben bocsátotta fel a Gravity Probe B műholdat, fedélzetén az ember által készített legjobb mechanikus giroszkópokkal. A kísérlet eredményét, mely 1%-on belül igazolta a relativitáselmélet helyességét, 2007 áprilisában hozták nyilvánosságra az Amerikai Fizikai Társulat éves ülésén. Talán az egyik legszemléletesebb bizonyíték a téridő görbültsége mellett a párhuzamos eltolás, egy geodetikus, például egy körpálya mentén. A kiindulási pontba visszatérő vektor iránya el fog térni az eredetitől. Párhuzamos eltolás egyenlete geodetikus mentén, ahol v a vektor az eredeti helyén, u pedig már eltolva:   u =v −    ⋅v ⋅dx  (4.91) A választott geodetikusunk a körpálya. Az infinitezimális eltolásvektor a pálya

mentén: dx =c⋅dt 0 0 d  (4.92) A vektor a pályasíkban fekszik, ezért a nulladik és második komponensei az eltolás után is nullák maradnak: u =0 u r 0 u   v  =0 v r 0 v   (4.93) A keringés az egyenlítői síkban történik: =  2 (4.94) Behelyettesítjük a párhuzamos eltolás képletébe a Schwarzschild-megoldás konnexióját: u t=v t − t tr⋅v r⋅dt− t rt⋅v t⋅dr =v t − r r r t r r u =v − tt⋅v ⋅dt− rr⋅v ⋅dr− r rg ⋅v r⋅dt 2⋅r⋅r −r g   ⋅v ⋅d −  r  (4.95) r  ⋅v ⋅d =v r −r g ⋅v ⋅d   u =v − r ⋅v ⋅dr − r⋅v r⋅d − ⋅v ⋅d =0 120 (4.96) (4.97) 4.9 Geodetikus precesszió 1 u  =v  − r ⋅v ⋅dr −  r⋅v r⋅d −  ⋅v ⋅d − ⋅v ⋅d =v − ⋅v r⋅d  r

(4.98) Átalakítjuk a második és a negyedik eltolási egyenletet, behelyettesítjük az eredeti és az eltolt vektor különbségét, illetve a szögsebességet: dv rr −r g ⋅v ⋅d =0 r 1 /⋅ 2 dt  v̈ r −r g ⋅v̇ ⋅=0 ← v  −u  =dv  ← d = dt (4.99) 1 1 dv  − ⋅v r⋅d =0 /⋅ r dt 1 v̇  = ⋅v r⋅ r (4.910) Kifejezzük az eltolt vektor változását, és behelyettesítjük a sugárirányú eltolási egyenletbe: v̈ r r −r g 2 r ⋅ ⋅v =0 r v̈ r=− (4.911) r −r g 2 r ⋅ ⋅v r Ez a harmonikus oszcillátor differenciálegyenlete, ami általános esetben a következőképpen néz ki: d2 sin⋅t =−2⋅sin ⋅t  2 dt v r =sin ⋅t Leolvasható a körfrekvenciája: =  r −r g ⋅ r (4.912) A geodetikus precesszió ennek, és a keringés körfrekvenciájának a különbsége:    =−= 1− r −r g ⋅ r

(4.913) Gyenge gravitációs mező esetén ez kicsi effektus, de több keringés alatt felhalmozódik. A Föld körül 2004 és 2005 között 50 hétig 642 km magas körpályán keringő Gravity Probe B műhold keringési ideje és körfrekvenciája: t k =5850 s=1 h 37 min 30 s r =7013000 m 121 4.9 Geodetikus precesszió = 2⋅ 1 =1,074⋅10−3 tk s A Föld standard gravitációs paramétere, és belőle a gravitációs sugara: ⋅M =3,986004418⋅1014 m3 s2 r g= 2⋅⋅M −3 =8,870056078⋅10 m 2 c Ezekből a geodetikus precesszió szögsebessége: =6,792⋅10−13 1 s (4.914) Elfordulás egy év alatt:  =⋅t év=2,143⋅10−5  rad =4,421 (4.915) A de Sitter effektus a holdpálya precesszióját jelenti a Nap gravitációs terében. A Föld keringési idejéből a körfrekvenciája: t k =365,256363004 nap = 2⋅ 1 =1,99098659277⋅10−7 tk s A levezetett képletbe a Nap gravitációs sugarát (a standard gravitációs

paraméterből), és a földpálya sugarát kell behelyettesíteni: ⋅M =1,32712440018⋅1020 3 m 2 s r g= 2⋅⋅M =2,9532500765⋅103 m 2 c A földpálya fél nagytengelye: r =1,49598261⋅1011 m A holdpálya precessziójának szögsebessége: =1,96522383⋅10−15 1 s (4.916) Elfordulás egy év alatt: −8  =⋅t év=6,20188278⋅10  rad =0,0127923015 122 (4.917) 4.10 Körpályák stabilitása 4.10 Körpályák stabilitása A Schwarzschild-megoldás téridejében a kör alakú pályák nyilvánvalóan geodetikusok, de ez egy elméleti eset, a valóságos testek pályája kismértékben mindig eltér ettől. A kérdés az, hogy ha lecsúsznak erről az ideális ívről, akkor a központi égitest hatására létrejött téridő-geometria korrigálja-e a mozgásukat, és ezáltal stabil pályán mozoghatnak-e. Ellenkező esetben még jobban felerősíti a pályazavart, kicsúsznak a kanyarban, és vagy végleg elhagyják a rendszert, vagy

rossz irányba mozdulnak el, és a központi égitest tömegét gyarapítják. A kérdés tehát az, hogy adott körfrekvenciához mekkora pályasugár tartozik, illetve, hogy ennek a környékén milyen irányba tereli a keringő testeket a geometriai potenciál. A gravitációs középpont körül, egy síkban elhelyezkedő időszerű geodetikusokon az eltelt sajátidő kiszámolása (rövidítésként a metrikus függvényeket használjuk): =  2 d =0 1 c 2⋅d  2=A⋅c 2⋅dt 2−B⋅dr 2−r 2⋅d  2 /⋅ 2 2 c ⋅d  2 2 2 (4.101) 2 dt B dr r d 1= A⋅ 2 − 2⋅ 2 − 2⋅ 2 d c d  c d  A kovariáns érintővektor komponenseit az ívelem-négyzetből határozzuk meg, mely időszerű, illetve horizontális irányban a következő: 2 2 ds t = A⋅c ⋅dt 2 2 2 ds =r ⋅d  dt u t= A⋅c 2⋅ d u  =r 2⋅ 2 d 2 =r ⋅ d 1 /⋅ d (4.102) Ezek a mennyiségek mozgásállandók, mivel nem függ a metrikus tenzor

azoktól a koordinátáktól, amely irányokba mutatnak (lásd az első fejezetet). Behelyettesítjük az érintővektorok és a két metrikus függvény kapcsolatát, és meghatározzuk a sugárirányú sebesség függését a választott sebességvektoroktól a távolság függvényében: B= 1 A 2 2 2 ut u 1 dr 1= − ⋅ 2− 2  2 2 2 A⋅c A⋅c d  r ⋅c /⋅A⋅c 2   u 2 2 dr 2 2 =u t − A⋅ 2 c 2 d r (4.103) Behelyettesítjük a függvényt a Schwarzschild-megoldásból: 123 4.10 Körpályák stabilitása   r g u2 2 dr 2 2 =u t − 1− ⋅ 2 c 2 r d r  (4.104) A jobb oldalon lévő második tag a geometriai potenciál:   U eff = 1− 2 r g u 2 ⋅ 2 c r r  (4.105) Ennek a függvénynek a viselkedését vizsgáljuk meg. Ahol a sugárirányú koordináta szerinti első derivált nulla, ott a geometriai potenciál vízszintes, ami egy lehetséges pályát jelent a gravitációs középpont

körül:    2 2 dU eff r g u 2 r 2⋅u = 2⋅ 2 c − 1− g ⋅ 3  =0 dr r r r r r g⋅c 2⋅r 2−2⋅u 2⋅r3⋅u2⋅r g =0 (4.106) Megoldjuk a másodfokú egyenletet, az általános alak és a megoldóképlet: a⋅x 2 b⋅xc=0 −b±  b2−4⋅a⋅c x 1,2= 2⋅a Behelyettesítés a megoldóképletbe: r 1,2= 2⋅u2 ± 2⋅u2 2−4⋅r g⋅c 2⋅3⋅u 2⋅r g 2⋅r g⋅c 2 A geometriai potenciál a következő távolságokban vízszintes, adott horizontális sebesség esetén a lehetséges körpályák sugara: r 1,2= u 2±u⋅ u 2−3⋅r 2g⋅c 2 (4.107) r g⋅c 2 A geometriai potenciál számunkra érdekes részlete, logaritmikus skálájú grafikonon, a maximum, és minimumhelyek bejelölésével: 124 4.10 Körpályák stabilitása log(Ueff) r2 r1 log(r) Körpályákat csak akkor kapunk, ha a gyök alatti mennyiség, a diszkrimináns nem negatív. Ellenkező esetben nem alakul ki körpálya,

hanem a próbatest keringés nélküli ereszkedő pályán lezuhan, vagy az ellenkező irányban végleg eltávolodik. Ha a diszkrimináns nulla, akkor: u 2=3⋅r 2g⋅c 2 (4.108) Visszahelyettesítjük a gyökképletbe: r 1,2= 3⋅r 2g⋅c 2±  3⋅r 2g⋅c 2⋅ 0 r g⋅c 2 r 1=r 2=3⋅r g (4.109) Általános esetben r1 mindig nagyobb, r2 pedig mindig kisebb mint ez a két fajta körpályát elválasztó határ. Mivel a Nap geometriai sugara messze meghaladja a határesetet, kizárólag az r1 pályák fordulnak elő a Naprendszerben. A geometriai potenciál második deriváltjába behelyettesítve a két értéket kiderül, hogy az r1 pályák stabil, az r2 pályák pedig instabil geodetikusok, ahogy ez a grafikonról is leolvasható. 4.11 Napközelpont vándorlása Urbain Le Verrier, miután az Uránusz pályájának vizsgálatával papíron felfedezte a Neptunuszt, 1859-ben hasonló számításokat végzett a Merkúr mozgásával kapcsolatban is. Miután minden

bolygó hozzájárulását meghatározta, maradt egy, a hibahatárnál is nagyobb eltérés a newtoni égi mechanikából számított, és a mért perihélium precesszió értéke között. A korabeli magyarázatok mind kudarcot vallottak, míg végül 1915-ben Einstein az általános relativitáselmélet segítségével könnyedén megmagyarázta ezt az anomáliát, ez az egyik klasszikus igazolása az elméletének. Ekkor még az Einstein-egyenletek egyetlen egzakt megoldása sem volt ismert (a sík téridőn kívül), ezért Einstein az itt bemutatottól eltérő módszert használt. A körtől kismértékben eltérő alakú pályán keringő égitest mozgását vizsgáljuk. Amint az 125 4.11 Napközelpont vándorlása kiderült a pálya stabilitásának vizsgálatakor, a keringési távolság egy középérték körül ingadozik meghatározható periódusidővel: Tr, illetve a keringés miatt természetesen a középpont körüli helyzet szöge is változik, a következő

periódussal: Tφ. A megvalósuló pálya alakja legegyszerűbb esetben közelít egy forgó ellipszishez, melynek a szögelfordulása a koordinátaidő függvényében:   =et⋅T r −T =et⋅    2⋅ 2⋅ − =2⋅⋅ 1− et e    (4.111) A tetszőleges Nap körüli pályákat a következő, előbbiekben megismert összefüggés jellemzi: dr 2 2 =u t −U eff 2 d (4.112) Ha közelítjük a geometriai potenciált a második deriváltjával az egyensúlyi pont körül, akkor végső soron a harmonikus oszcillátor differenciálegyenletével helyettesíthetjük, melyről leolvasható a periodikus mozgás körfrekvenciája: 1 d2 U eff r ≈ ⋅ 2⋅U r  ⋅ r−r  2 2 dr dr 2 1 d2 2 =u − ⋅ 2⋅U r  ⋅ r−r  2 t 2 2 dr d (4.113) Leolvasható az ellipszis szögelfordulásának körfrekvenciája, ezúttal a sajátidő függvényében:  2e = U eff 2 (4.114)

Kiszámoljuk a geometriai potenciál második deriváltját: d 2 U eff dr 2   u2   r g 2⋅u2 r g 2⋅u2 r g 6⋅u 2 =− 3 ⋅ 2 c − 2⋅ 3 − 2⋅ 3  1− ⋅ 4 r r r r r r r r 2⋅r g 2  2  d U eff 2⋅r 6 12⋅r =− 3 g⋅c2  4 − 5 g ⋅u 2 2 dr r r r 2 u  =r ⋅ (4.115) d 2 ≈r ⋅ d Meghatározzuk az ellipszis forgásának körfrekvenciáját, az első tagban felismerjük a körpályán mozgó test keringésének a koordinátaidőben mért körfrekvenciáját, valamint behelyettesítjük a horizontális sebesség körmozgás során érvényes alakját:   r 3 6⋅r  2e =− 3g⋅c 2 4 − 5 g ⋅u 2 r r r 126 4.11 Napközelpont vándorlása   2e =−2⋅ 2 3−    6⋅r g 6⋅r ⋅ 2= 1− g ⋅ 2 r r (4.116) A koordinátaidőben és sajátidőben mért körfrekvencia közötti összefüggés meghatározható a körpályán mért koordinátaidő és

sajátidő kapcsolatából:  d = 1− d = d  e= 3⋅r g ⋅dt 2⋅r d  1− 3⋅r g ⋅dt 2⋅r  et  2 3⋅r g 1− 2⋅r   et= 1−  3⋅r g 2 ⋅e 2⋅r (4.117) Olyan távoli pályákat vizsgálunk, ahol a Schwarzschild-sugár és a távolság aránya igen kicsi, ezért megengedünk magunknak egy kis pontatlanságot, amivel mérési hibán belül maradunk, de kényelmesebb alakra hozhatjuk a keresett összefüggést:        2e = 1− 6⋅r g 3⋅r g ⋅ 2≈ 1− ⋅ 2 r 2⋅r  et= 1− 3⋅r g ⋅ 2⋅r (4.118) Visszahelyettesítéssel megkapjuk a pályák napközelpontjának vándorlását:   =2⋅⋅ 1−  et r =3⋅⋅ g  r (4.119) Az általános relativitáselmélet híres igazolása a Merkúr napközelpont-vándorlásának magyarázata. A Nap standard gravitációs paramétere, és belőle a gravitációs sugara: m3 ⋅M =1,32712440018⋅10 2 s 20

r g= 2⋅⋅M 3 =2,9532500765⋅10 m 2 c A Merkúr pályájának nagytengelyéből, és keringési idejéből a szögelfordulás egy keringés alatt, illetve egy évszázad alatt: t k =7,60053024⋅106 s r =5,79091⋅1010 m 127 4.11 Napközelpont vándorlása 7  =4,80645⋅10 =0,0991402  évszázad =1,99565⋅10−4 =41,1633 (4.1110) A Merkúr teljes mért napközelpont-vándorlása egy évszázad alatt 5599,7”, ebből 5028,83” látszólagos koordinátaeffektus a tavaszpont precessziója miatt, 530”-et pedig a többi bolygó gravitációs hatása okoz, valamint a Nap lapossága is okoz 0,0254”-et. A különbség:   mért =40,8446 Ez alapján a különbségért valószínűleg nagyrészt a téridő görbültsége felelős. 4.12 Fényelhajlás A fény newtoni részecskemodellje alapján Johann Georg von Soldner már 1801-ben felvetette, hogy a fénysugarak eltérülnek a gravitáció hatására, és a fényrészecskéket egyszerűen

pályán mozgó testeknek tekintve, meghatározta az eltérülésüket a Nap közelében. Az eredmény amit kapott, a valóságos érték fele volt. Einstein a relativitáselmélet alapján eleinte rosszul, majd helyesen kiszámította a fényelhajlás helyes mértékét, amit 1919-ben az Arthur Eddington vezette brit expedíció Brazíliában, és Egyenlítői Guineában egy napfogyatkozás megfigyelése során igazolt, amikor ismert pozíciójú csillagok helyzetét állapították meg az elsötétült napkorong közelében. Később, az 1960-as években rádiócsillagászati mérésekkel néhány tízezred rész pontossággal igazolták a számítások helyességét. Az itt bemutatott módszer eltér a hagyományostól, az eljárás lényege az, hogy megkeressük  egy, a négydimenziós téridőben geodetikus görbe alakját egy alterében. Esetünkben a = 2 koordinátafeltétel által meghatározott háromdimenziós téridőben a fénysugarak útja szintén geodetikus, ahogy

azt már láthattuk a geodetikusok általános felírásakor. Ez a magyarázata a következő eljárás eredményességének. Általános esetben megvizsgáljuk a fénysugarak útját a gravitációs mezőben. Ezek a fotongömböt leszámítva nem lesznek zárt görbék, hanem vagy elkerülik ívelt pályán az égitestet, vagy behullva átlépik az eseményhorizontot. Mivel a metrika gömbszimmetrikus, ezért nem veszítünk semmit azzal, ha egy koordinátasíkra szorítkozunk. A Schwarzschild ívelem-négyzet:   ds 2= 1− 2 rg 2 2 dr ⋅c ⋅dt − −r 2⋅ d  2sin 2 ⋅d  2  r r 1− g r (4.121) Fényszerű geodetikusok mentén az ívelem-négyzet nulla. A koordináta-rendszer egyenlítői síkjában a koordináta feltételek: 2 ds =0 =  2 d =0 (4.122) Behelyettesítünk az ívelem-négyzetbe. Átalakítással a sugárirányú koordináta és az eredeti 128 4.12 Fényelhajlás vertikális szögkoordináta egy olyan

kétdimenziós felületet ír le, melyen a koordinátaidő méri a távolságot:   0= 1− rg 2 2 dr 2 −r 2⋅d  2 ⋅c ⋅dt − r rg 1− r 2   dr 2 r 2⋅d 2 r r3 2 c ⋅dt = ⋅dr   = ⋅d 2 2 rg r−r g r −r g r 1− 1− g r r 2 2   (4.123) Ez a felület az eredeti téridő egy vetülete, mely azonban megőrizte a koordináták kölcsönös függését. Ha a fenti összefüggést ívelem-négyzetnek tekintjük, akkor kiszámíthatjuk a szokásos geometriai mennyiségeket a metrikus tenzortól a konnexióig: g ij =    r r−r g 2 0 r3 r −r g 0  ij g = ∂ g rr 2⋅r r = ⋅ 1− ∂ r r −r g 2 r −r g  ∂ g  r r2 = ⋅ 3− ∂r r −r g r−r g   r rr =−  rg r⋅ r−r g   r  = r=     r−r g r 2 0 r −r g 0 r3  (4.124)  2⋅r −r g  r−r g ∂g = ⋅ 1− 2 ∂r r r rr  3⋅r −r g  ∂ g  1 =

3⋅ 1− ∂r r r  r  =− 2⋅r−3⋅r g 2⋅r⋅ r−r g    (4.125) 2⋅r −3⋅r g 2 (4.126) A fénysugarak képei ezen a vetületen geodetikusok, melyeket a felületen érvényes távolsággal paraméterezni lehet: (1) ∂2 r ∂ r ∂r ∂  ∂  r rr⋅ ⋅  r ⋅ ⋅ =0 2 ∂ t ∂t ∂t ∂ t ∂t 2 rg 2⋅r −3⋅r g ∂  ∂2 r ∂r = ⋅  ⋅ 2 r⋅r −r g  ∂ t 2 ∂t ∂t   2   2 (2) ∂  ∂ r ∂ 2⋅r ⋅ ⋅ =0 2 ∂t ∂t ∂t 129 (4.127) 4.12 Fényelhajlás 2⋅r −3⋅r g ∂ r ∂  ∂2  =−2⋅ ⋅ ⋅ 2 2⋅r⋅r −r g  ∂t ∂t ∂t (4.128) Meghatározzuk a koordináta-változásokat, vagyis a sebességeket. v = ∂ ∂t ∂v  2⋅r −3⋅r g ∂r =− ⋅ ⋅v ∂t r⋅ r−r g  ∂t  2⋅r−3⋅r g 1 ⋅dv  =− ⋅dr v r⋅r −r g  log  v  =log r −r g −3⋅log  r C r −r

v  =C⋅ 3 g r (4.129) Az integrációs állandó meghatározható, ha átalakítjuk a felület ívelem-négyzetét, és meghatározzuk a szögsebességet egy szélső helyzetben: 2     r r3 1 c ⋅dt = ⋅dr 2  ⋅d  2 /⋅ 2 r −r g r−r g dt 2 2 2 c 2= 2 3 2 r dr r d ⋅  ⋅ r −r g dt 2 r−r g dt 2 (4.1210) Az égitestet ívben elkerülő pálya legközelebbi pontján a sugárirányú koordináta változása nulla: dr 20 =0 dt 2  r −r d =v =c⋅ 0 3 g dt r0 (4.1211) Behelyettesítjük ebben a szélső helyzetben mért szögsebességbe, és meghatározzuk az integrációs állandót:  r −r r −r v  =C⋅ 0 3 g =c⋅ 0 3 g r0 r0 130 4.12 Fényelhajlás  r 30 C=c⋅ r 0−r g (4.1212) A szögsebesség:  r 30 r−r g d =v  =c⋅ ⋅ dt r 0−r g r 3 (4.1213) A sugárirányú sebesség is meghatározható, ha a fenti képletet behelyettesítjük az ívelem-négyzetbe: 2   r dr 2 r 3 d

2 c= ⋅ 2 ⋅ r −r g dt r−r g dt 2 2  r 3 d 2 dr r −r g = ⋅ c 2− ⋅ dt r r −r g dt 2  r−r g r 30 r−r g dr =v r=c⋅ ⋅ 1− ⋅ dt r r 0−r g r 3 (4.1214) A két sebesség hányadosa határozza meg a szögkoordináta változását a távolság függvényében. Az összefüggés integrálásával meghatározható a teljes szögelfordulás, amit a fénysugár tesz a gravitáló égitest környezetében, a legközelebbi pont, és a végtelen között:  r 30 v d  1 r 0−r g = = 2⋅ vr dr r r 30 r−r g 1− ⋅ r 0−r g r 3  r 30 ∞ r 0−r g 1 =∫ 2⋅ ⋅dr r 30 r −r g r r 1− ⋅ r 0−r g r 3 0 (4.1215) Könnyebben kezelhető összefüggést kapunk, ha bevezetünk egy új paramétert, mely nulla és egy között változik: = r0 r 131 4.12 Fényelhajlás 1 =∫ 0 1 ⋅  1−2  1 r 1−3 1− g⋅ r 0 1−2 ⋅d  (4.1216) Ez az integrál nem írható fel zárt alakban, de az

integrálandó függvény felbontható olyan tagok összegére, melyek egyenként már kiszámolhatóak:  1 2      3 1 1 r g 1−3 3 r g 1−3 5 r g 1−3 =∫ ⋅ 1 ⋅ ⋅  ⋅ ⋅  ⋅ ⋅  ⋅d  2 2 r 0 1− 2 8 r 0 1−2 16 r 0 1−2 0  1− (4.1217) Az első tag azt a fénysugarat jellemzi, mely a sík téridőben mozog: 1 1=∫ 0 1  ⋅d =arcsin 1−arcsin 0= 2 2  1− (4.1218) Gravitáció jelenlétében az ettől való eltérést nevezzük fényelhajlásnak. Először ezt a jelenséget napfogyatkozások alkalmával sikerült megfigyelni, amikor ismert pozíciójú csillagok helyzetét állapították meg az elsötétült napkorong közelében. Ezek a mérések olyan bizonytalanok, hogy a képletben nem haladják meg a második tag figyelembe vételével számolt érték pontosságát: 1  2=∫ 0 1 1 r g 1−3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅d  1−2 2 r 0 1− 2 ∣ 0

r 1 r 1−  2= ⋅ g⋅ − − 1−⋅1 = g 2 r0 1 r0 1  (4.1219) Mivel ez az szög csak a perihéliumtól a végtelenig érvényes, a teljes elfordulás ennek a kétszerese: r  =2⋅ g r0 (4.1220) A többi tag kiértékelésével jóval pontosabb, rádiócsillagászati mérések által igazolt összefüggést írhatunk fel a fényelhajlásra gravitációs mezőben:  2 3      r r 15 15 61 r g  =2⋅ g  ⋅−1 ⋅ g − ⋅ ⋅  r0 16 r0 16 12 r 0 (4.1221) Kiszámoljuk a napfelszínt súroló fénysugarak elhajlását. Mivel a mérési pontosság nem haladja meg az első tagét, ezért csak azt vesszük figyelembe. A Nap standard gravitációs paramétere, és belőle a gravitációs sugara: ⋅M =1,32712440018⋅1020 m3 s2 r g= 132 2⋅⋅M =2,9532500765⋅103 m 2 c 4.12 Fényelhajlás A Nap sugara: r 0=6,955⋅108 m A fénysugarak elhajlása a Nap mellett: r

−6  =2⋅ g =8,492⋅10 =1,752 r0 (4.1222) Az egy irányból érkező fénysugarakat a Nap egy átellenes tartományba fókuszálja, vagyis úgy viselkedik mint egy gravitációs lencse: A függőleges szakasszal szimbolizált Nap felé tartó párhuzamos fénysugarak útja a túloldalon egymáshoz közeledik, azonban az optikai lencsékkel ellentétben enyhén szóródnak, nem mind egyetlen fókuszpontban találkoznak. Ennek ellenére fellép a lencse túloldalán lévő tárgyak képén nagyítás, és fényesség növekedés. Ezt a jelenséget a csillagászok a gyakorlatban is ki tudják használni. Az ábra egyébként erősen torzított, a Nap peremét érintő, a végtelenből párhuzamosan beérkező fénysugarak a Naptól nagy távolságra találkoznak, ami a Nap gravitációs fókusztávolsága: f =r 0⋅cot =8,19⋅1013 m (4.1223) 4.13 Árapály Galilei 1616-ban még babonás ötletnek tartotta, hogy Johannes Kepler szerint a Földön az árapályt a

Hold gravitációs vonzása okozza, de az utókor ez utóbbi tudósnak adott igazat. Már a newtoni gravitáció-elméletben is Kepler sejtésének megfelelően a Hold és a Nap felelős a dagálykúpok megjelenéséért. A relativitáselmélet a saját eszköztárával még pontosabban le tudja írni ezt a jelenséget, mely az egyenesek elhajlása: 133 4.13 Árapály 2    ∂x ∂x ∂ x R ⋅dx ⋅ ⋅ =0 2 ∂ ∂ ∂ (4.131) Alkalmazzuk a Schwarzschild koordináta-rendszerben. A kérdés az, hogy a középponti tömeg milyen árapályt okoz a körülötte keringő, kiterjedt testekben? A körpálya egy pontján, ahol választásunk szerint: x  =0 x r  ∂ x dt = c⋅ ∂ d x 0 0 0  d dt = c⋅ dt d  0 0  (4.132) Behelyettesítünk az általános képletbe, és a koordinátaidőt használjuk paraméternek. Ilyen feltételek mellett csak négy tagja játszik szerepet a görbületi

tenzornak: (1) ∂2 r ∂t ∂ t ∂ ∂ Rr ttr⋅dr⋅c⋅ ⋅c⋅  Rr r⋅dr⋅ ⋅ =0 2 ∂t ∂ t ∂t ∂ t ∂t rg ∂ 2 r r g⋅r −r g  2 − ⋅c ⋅dr  ⋅sin2  ⋅dr⋅ 2=0 2 4 2⋅r ∂t r (4.133) Az egyenlítői pályasíkban vagyunk, és behelyettesítjük a körfrekvenciát is: =  2  =c⋅ rg 2⋅r 3 2 r r ∂ r r g⋅r −r g  2 − ⋅c ⋅dr  g ⋅dr⋅c 2⋅ g 3 =0 2 4 2⋅r ∂t r 2⋅r A pályasugárral egyirányú koordináta-gyorsulás mértéke: ∂ 2 r r g⋅ 4⋅r −5⋅r g  2 = ⋅c ⋅dr ∂t2 4⋅r 4 (2) (4.134) ∂2  ∂t ∂t ∂  ∂ Rtt ⋅d ⋅c⋅ ⋅c⋅ R  ⋅d ⋅ ⋅ =0 2 ∂t ∂t ∂t ∂ t ∂t r ∂  r g⋅r −r g  2 − ⋅c ⋅d − g⋅sin2 ⋅d ⋅2=0 2 4 r ∂t 2⋅r 2 Elvégezzük ugyanazokat a behelyettesítéseket: r r ∂ 2  r g⋅r −r g  2 − ⋅c ⋅d − g⋅d ⋅c 2⋅

g 3 =0 2 4 r ∂t 2⋅r 2⋅r 134 (4.135) 4.13 Árapály A pályasugárra merőleges koordináta-gyorsulás mértéke: ∂2  r g 2 = ⋅c ⋅d  ∂t 2 2⋅r 3 (4.136) A fenti két gyorsuláskomponens egy gömb alakú bolygót – például a Földet – eltorzítja, a bal oldali ábrán látható, hogy a felület egyes pontjait milyen irányban gyorsítja az árapály. A Schwarzschildsugár nagyságrendjébe eső távolságnál hangsúlyosabb szerepet kap a gyorsulásképlet hétköznapi körülmények között gyengébb tagja, ezáltal az ellipszis alakja megváltozik. A bezuhanó test megnyúlása más néven a spagettizálódás. A jobb oldali ábrán egy 5 méter sugarú gömbfelszínt torzító gyorsulásvektorok láthatóak, mely egy naptömegnyi fekete lyuk középpontjától 5000 méterre helyezkedik el, itt még lehetséges időszerű körpálya: Mikor lesz olyan nagy az árapály, hogy megsemmisíti az égitestet? Akkor kezdenek anyagdarabok leválni a

felszínéről, amikor az árapályból eredő gyorsulás meghaladja a felszíni gyorsulást. Az összehasonlításkor figyelembe kell vennünk, hogy a két képlet nem ugyanarra a téridőgörbületre vonatkozik, az árapálygyorsulást a központi csillag, a felszíni gyorsulást a keringő bolygó téridejében számoljuk ki. A közelítő eljárásnak két korlátja van: egyik, hogy az Einstein-egyenlet nemlineáris, ezért a két test által okozott nehézségi gyorsulás csak bizonyos hibával adódik össze. Másodsorban nem vettük figyelembe, hogy a vizsgált testek eltorzítják egymást, sem az alakjuk, sem a gravitációs mezejük nem gömbszimmetrikus. Mivel a felszíni árapálygyorsulás egyenes arányosan nő az objektum méretével (ha a tömege nem változik), ez a jelenség egy felső határt szab a gravitációs források körül keringő égitestek méretére: 2 2 r g⋅ 4⋅r−5⋅r g  2 r ⋅ r − r  ∂ r ∂ br ⋅c ⋅br = 2 = 2 =− b g b 3b g

⋅c2 4 4⋅r ∂t ∂t 2⋅b r r g⋅ 4⋅r−5⋅r g  2⋅r 4 =− b r g⋅ br −br g  b r4 135 4.13 Árapály r g⋅ 4⋅r−5⋅r g  4 ⋅br −br g⋅b r b r 2g =0 4 2⋅r (4.137) Az a méret, ami felett az árapály „meghámozza” a keringő égitestet, a fenti negyedfokú egyenlet megoldásával kapható meg. Előbb átalakítjuk: 2 r r ⋅br  b g =0 br − Dr Dr 4 b g Dr = r g⋅4⋅r−5⋅r g  2⋅r 4 (4.138) Az általános negyedfokú egyenlet megoldásának első lépése a harmadfokú rezolvens egyenlet felírása: x 4 b⋅x3 c⋅x 2d⋅xe=0 y 3c⋅y 2b⋅d −4⋅e ⋅y4⋅c⋅e−d 2 −b2⋅e⋅d =0 (4.139) Behelyettesítés: 3 3 y −4⋅e⋅y−d =0 3   4⋅br 2g r y− ⋅y  b g =0 Dr Dr 3 (4.1310) Második lépésben ezt az egyenletet kell megoldanunk. A harmadfokú egyenlet speciális alakja, és megoldóképlete (a behelyettesítésnél figyeljünk az

előjelekre): 3 y − p⋅y−q=0     q q2 p3 3 q q2 p3 y 1,2,3= −    − −  2 4 27 2 4 27 3 (4.1311) Végül az eredményt behelyettesítjük a következő kifejezésekbe, melyekből megkapjuk a negyedfokú egyenlet megoldását:  b2 −c y 4 R=0 D= R≠0 3⋅b2 b⋅c−8⋅d −b3 2 D= −R −2⋅c± 4 4⋅R R=   3⋅b 2 2 −2⋅c±2⋅ y −4⋅e 4 b R D x 1,2 ,3,4 =− ± ± 4 2 2 (4.1312) 136 4.13 Árapály Behelyettesítjük a Föld standard gravitációs paraméteréből a gravitációs sugarát: ⋅M =3,986004418⋅1014 m3 s2 r g= 2⋅⋅M =8,870056078⋅10−3 m 2 c A holdpálya nagytengelyét: r =3,84399⋅108 m A Hold standard gravitációs paraméteréből a gravitációs sugarát: r =1,091020268509284⋅10−4 m b g A negyedfokú egyenlet megoldásai közül az első valós eredménynek lehet fizikai realitása, ez tehát az a lehetséges legnagyobb méret, amivel a Hold rendelkezhet.

Ennél nagyobb sugárnál a Föld jobban vonzza a felszínén lévő köveket, mint a Hold: r =7,04273⋅107 m r =1,09248⋅10−4 m b 2 b 1 7 7 r =−3,52137⋅10 m−i⋅6,09918⋅10 m b 3 7 7 r =−3,52137⋅10 mi⋅6,09918⋅10 m (4.1313) b 4 Azt a központi égitesttől mért távolságot, aminél közelebb az általa okozott árapály szétszedi a keringő testet, a központi égitest Roche-sugarának hívjuk, és a következő negyedfokú egyenlet megoldása: r g⋅ 4⋅r−5⋅r g  2⋅r 4 =− b r g⋅ br −br g  b r4 r ⋅ b r −b r g  4 5⋅r 2g ⋅r −2⋅r ⋅r  =0 g 4 2 r b b g (4.1313) Átalakítjuk, és felírjuk a rezolvens egyenletet: 2⋅r g 5⋅r 2g r − ⋅r =0 Dr 2⋅Dr 4 Dr = b r g⋅ br −br g  b r4 (4.1314) 3   10⋅r 2g 2⋅r g y− ⋅y =0 Dr Dr 3 (4.1315) Az előzőekhez hasonlóan felírjuk a megoldóképleteket, behelyettesítjük a változókat, köztük a Hold sugarát:

1,73814⋅107 m 137 4.13 Árapály Meghatározzuk a negyedfokú egyenlet megoldásait, melyek közül szintén az első valós eredménynek lehet fizikai realitása, ez tehát az a legkisebb távolság, amennyire a Hold megközelítheti a Földet. Ennél közelebb a Föld jobban vonzza a felszínén lévő köveket, mint a Hold: r 1=9,48694⋅107 m r 2=0,0110876 m r 3=−4,74347⋅107 m−i⋅8,21593⋅107 m r 4=−4,74347⋅10 mi⋅8,21593⋅10 m (4.1316) 7 7 4.14 Zuhanó pálya Amikor egy próbatest egyenesen belezuhan a fekete lyukba, akkor is geodetikus mentén mozog, melyet a következő koordinátafeltételekkel tudunk jellemezni: t=t  =t r =r  r =r t =áll.=  2 d =0 d =0 =áll. (4.141) A pálya mozgásegyenletei: t c⋅ẗ2⋅ tr⋅c⋅ṫ⋅ṙ=0 ẗ rg ⋅ṫ⋅ṙ=0 r⋅r −r g  (4.142) r̈  r tt⋅c 2⋅ṫ 2  r rr⋅ṙ 2 r ⋅̇ 2 r ⋅̇

2=0 r̈  r g⋅ r−r g  2 2 rg ⋅c ⋅ṫ − ⋅ṙ 2=0 3 2⋅r⋅r −r  2⋅r g  ̈2⋅ r ⋅ṙ ̇   2 ⋅̇ =0 (4.144) ̈=0 ̈2⋅ (4.143)  r ⋅ṙ ̇2⋅   ⋅̇⋅̇=0 (4.145) ̈=0 138 4.14 Zuhanó pálya Behelyettesítjük a koordinátafeltételeket az ívelem-négyzetbe:   ds 2= 1− rg 2 2 dr 2 −r 2⋅ d  2sin 2 ⋅d 2  ⋅c ⋅dt − r rg 1− r   c 2⋅d  2= 1− rg 2 2 dr 2 ⋅c ⋅dt − r r 1− g r A sajátidő és a koordinátaidő kapcsolata sebességfüggő:  d = 1− rg − r v 2r ⋅dt vr=   r c 2⋅ 1− g r dr dt (4.146) Időszerű behulló geodetikus mentén az ívelem-négyzetet egyenlővé tesszük az együtt mozgó koordináta-rendszer ívelem-négyzetével, majd osztunk a sajátidő változásával, és az érintővektorok segítségével írjuk fel az egyenletet: A⋅c

2⋅ u t= dt 2 dr 2 c 2⋅d  2 2 −B⋅ = =c d 2 d 2 d 2 dt d 2 ur= t 2 r 2 A⋅c ⋅u  −B⋅ u  =c dr d 2 (4.147) A matematikai bevezetőben levezettük, hogy ha a metrikus tenzor parciális deriváltja az egyik koordináta szerint nulla, akkor a megfelelő kovariáns érintővektor mozgásállandó: ∂ g  =0 ∂t Indexsüllyesztéssel érintővektorból: ∂u t =0 ∂t kiszámoljuk az (4.148) időirányú u t= g t ⋅u= g tt⋅u t =A⋅u t kovariáns érintővektort a kontravariáns (4.149) Átalakítjuk az ívelem-négyzetet, és kifejezzük belőle az időirányú kovariáns érintővektor négyzetét: c 2⋅u t 2=A2⋅c 2⋅u t 2= A⋅ c 2B⋅u r 2  139 4.14 Zuhanó pálya 2 2 2 r 2 mivel: c ⋅u t  =A⋅c  u  B= 1 A (4.1410) A zuhanás kezdetén a sugárirányú sebesség nulla: c 2⋅u t 2=A r 0 ⋅c 2 (4.1411) A két eredményt egyenlővé

tesszük egymással, és kifejezzük a sugárirányú sebességet. Kiválasztjuk a negatív gyököt, mert a sugárirányú koordináta számértékének csökkennie kell, a behulló megoldásra vagyunk kíváncsiak. r0 a kiindulási pont sugárirányú koordinátája: r u =−c⋅ Ar 0− Ar   r r −r dr =−c⋅ g⋅ 0 d r0 r   r 1 r0 ∫ d =− c ⋅ r ⋅∫ r r−r ⋅dr g r 0 0  0 A zuhanás időfüggése:     r  1 r 2⋅r = ⋅ 0⋅  r⋅ r 0−r  0⋅ arcsin 1− c rg 2 2 r0  (4.1412) Az ábrán balról jobbra telik a sajátidő, a függőleges tengely a sugár. A vízszintes szaggatott vonal az eseményhorizont. A zuhanó test pályája láthatóan úgy halad át rajta, mintha ott sem lenne: r τ A fekete lyukba zuhanó próbatest a sajátidejében mérve véges idő alatt eléri a középpontot: 140 4.14 Zuhanó pálya   r r max = ⋅ 0⋅ 0 2 rg c (4.1413) Hogy

fogalmat alkothassunk a nagyságrendekről, képzeljük el, hogy a Nap helyét egy fekete lyuk foglalja el, melynek a tömege megegyezik a Napéval, és a Nap felszínének megfelelő távolságból beleugrunk a mélységbe. A Nap sugara: r 0=6,955⋅108 m A zuhanó űrhajósok szemszögéből eltelt idő a becsapódásig: max =29 min 28,5 s (4.1414) Kiszámoljuk a mozgást koordinátaidő függvényében: dr dr d  dr 1 = ⋅ = ⋅ dt d  dt d  u t (4.1415) A kontravariáns időirányú érintővektor változik a mozgás során, kovariáns társa azonban nem, ezért behelyettesítjük az utóbbit: dr dr A = ⋅ dt d  ut u t= ut A (4.1416) Behelyettesítjük az időirányú kovariáns érintővektort: dr dr A = ⋅ dt d   Ar 0 u t=  Ar 0 (4.1417) A teljes kifejezés nem integrálható zárt alakban:     ∫  r 1 r ⋅r r r dt= ⋅ 0 g⋅ 0⋅ ⋅ ⋅dr c r0 r g r −r g r 0−r r 1 r 0⋅r g r r t= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅dr c r g r

r −r g r 0−r (4.1418) 0 Ez az integrál aszimptotikusan közelít az eseményhorizonthoz, de csak végtelen idő múlva éri el. Hasonló a helyzet az eseményhorizonton belül, ott ha visszafelé követjük a geodetikusokat a koordinátaidő függvényében, akkor is ugyanezt tapasztaljuk a Schwarzschild-sugárhoz közeledve. Az említett bátor űrhajósoknak messziről szurkoló megfigyelő azt látja, hogy társai lassulva közelednek a fekete lyukhoz, de soha, illetve csak végtelen idő múlva érik el azt. Az ábrán balról jobbra telik a koordináta idő, a függőleges tengely a sugár. A vízszintes szaggatott vonal az eseményhorizont. A zuhanó test pályája ezen az ábrán megszakad: 141 4.14 Zuhanó pálya r t A test mozgását ábrázoló függvény mindkét eseményhorizonthoz, de csak a végtelenben éri el. oldalról aszimptotikusan közelít az 4.15 Izotróp koordináták A gömbszimmetrikus téridőt másfajta koordináta-rendszerrel is

lefedhetjük. Újra elővesszük az ívelem-négyzet általános képletét, és megváltoztatjuk a tetszőleges függvényeket: 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = A I r ⋅c ⋅dt −B I r ⋅dr I r I⋅d  sin  ⋅d   (4.151) Összehasonlítjuk a Schwarzschild koordináta-rendszerben felírt ívelem-négyzettel: ds 2= AS r ⋅c2⋅dt 2−B S r ⋅dr 2S −r 2S⋅d 2 sin2  ⋅d 2  (4.152) Az ívelem-négyzet invariáns mennyiség, ezért a kettő megegyezik. Ez akkor is így van, ha csak az egyik koordináta mentén mérjük, melyeknek az iránya az egyes esetekben rendre megegyezik. Ezért a következő egyenletek írhatók fel az időszerű, a sugárirányú, és a horizontális koordináta menti ívelem-négyzetekkel: A I =AS 2 2 B I⋅dr I =B S⋅dr S B I⋅r 2I =r 2S (4.153) Elosztjuk egymással a két egyenletet és gyököt vonunk: dr I dr =  B S⋅ S rI rS 142 4.15 Izotróp koordináták

dr I = rI 1  r r S⋅ 1− g rS ⋅dr S Integrálunk, majd feloldjuk a logaritmust: log  r I =log    1− 1− rg 1 rS 1− rg −1 rS r I =C⋅  r I =C⋅ r S −   rg 1 −log rS 1−  rg −1 C rS  rg  r S⋅r S −r g  2 (4.154) Az ismeretlen szorzó meghatározható egy geometriai feltételből: a gravitációs középponttól végtelenül távol, vagy a gravitációt megszüntetve, a két koordináta-rendszer essen egybe, ez esetben az eseményhorizont kiterjedése nulla:   0 r I =C⋅ r S −   r S⋅r S −0 2 C= 1 2 (4.155) Kifejezzük a Schwarzschild koordináta-rendszer sugárirányú koordinátáját, és meghatározzuk vele az izotróp koordináta-rendszer ívelem-négyzetének első ismeretlen függvényét:  r r S =r I⋅ 1 g 4⋅r I  2 r A I =AS =1− g =1− rS (4.156) rg  r I⋅ 1 rg 4⋅r I  4⋅r I −r g = 2 4⋅r I r g 

 2 (4.157) A másik ismeretlen függvény: 2 BI = rS r 2 I =  r r I⋅ 1 g 4⋅r I r 2 I  2  4⋅r I r g = 4⋅r I 4  (4.158) 143 4.15 Izotróp koordináták A képletekben szereplő gravitációs sugarat továbbra is a Schwarzschild koordináta-rendszerben mérjük, itt egy koordináta-rendszertől független állandó, a tömeget jellemző mennyiség. Az izotróp koordináta-rendszerben az ívelem-négyzet: 2     4 4⋅r −r g 4⋅rr g ds = ⋅c 2⋅dt 2− ⋅ dr 2r 2⋅ d  2sin 2 ⋅d  2 4⋅r r g 4⋅r 2 (4.159) A geometriai mennyiségek az metrikus tenzortól a görbületi tenzorig:    g ij =  ij g = 4⋅r−r g 4⋅rr g  2 0  4⋅r r g − 4⋅r 0 0 4⋅rr g 4⋅r−r g 0  0 0 0 4  4   4⋅r r g − ⋅r 2 4⋅r 0 0 0 4⋅rr g − ⋅r 2⋅sin 2  4⋅r 0 0 0 0 0 0 0 0   4 2 

− 4⋅r 4⋅r r g 4  4   0 0 4⋅r 1 − ⋅ 2 4⋅r r g r 0 0 0 ∂ g tt 16⋅r g⋅4⋅r −rg  = ∂r  4⋅rr g 3  − 4  4⋅r 1 ⋅ 2 4⋅r r g r ⋅sin2  3 ∂ g rr r g⋅4⋅r r g  = 5 ∂r 64⋅r           ∂ g  rg rg =− 2⋅r⋅ 1 −r g ⋅ 1 ∂r 4⋅r 4⋅r 0 3 3 ∂ g  r r =− 2⋅r⋅ g 1 −r g ⋅ g 1 ⋅sin 2  ∂r 4⋅r 4⋅r 144   (4.1510) 4.15 Izotróp koordináták ∂ g  4⋅r r g 4 =− ⋅cos ⋅sin  ∂ 128⋅r 2 3 tt 16⋅r g⋅4⋅r r g  ∂g =− 3 ∂r  4⋅r −r g  rr 1024⋅r ⋅r g ∂g =− 5 ∂r 4⋅r r g  ∂ g   512⋅r⋅ 4⋅r −r g  = ∂r 4⋅r r g 5 ∂ g   512⋅r⋅4⋅r −r g  = ∂r  4⋅rr g 5⋅sin2   ∂ g  512⋅r 2⋅cos  = ∂ 

4⋅rr g 4⋅sin 3   t tr = t rt = (4.1511) 8⋅r g 16⋅r 2−r 2g 2048⋅r 4⋅r g⋅ 4⋅r−r g   tt =  4⋅rr g 7 r  r  =− r⋅ 4⋅r−r g  4⋅r r g   =   2⋅r g r⋅ 4⋅rr g   r  =−  r  = r = r =  r =   r rr =− 4⋅r−r g r⋅4⋅r r g     r⋅4⋅r −r g  ⋅sin2  4⋅rr g =−cos ⋅sin  (4.1512) =cot  ∂ t tr ∂ t rt 256⋅r⋅r g = =− ∂r ∂r 16⋅r 2 −r 2g 2 r 3 r 2 2 2 ∂ r rr 2⋅r g⋅8⋅rr g  = 2 ∂r r ⋅4⋅r r g 2 ∂ tt 8192⋅r ⋅r g⋅8⋅r −8⋅r⋅r g r g  = 8 ∂r 4⋅r r g  2 r ∂   16 r 8⋅r⋅r g −r g =− 2 ∂r  4⋅rr g  2 2 ∂   16 r 8⋅r⋅r g −r g =− ⋅sin2  2 ∂r  4⋅rr g 

∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r 16⋅r 2−8⋅r⋅r g−r 2g = = = =− ∂r ∂r ∂r ∂r r 2⋅ 4⋅r r g 2 ∂ r  2⋅r⋅ 4⋅r−r g  =− ⋅cos ⋅sin  ∂ 4⋅r r g 145 4.15 Izotróp koordináták ∂   ∂   1 = =− 2 ∂ ∂ sin  ∂  =−cos 2⋅ ∂ Rt rtr =−Rt rrt = 16⋅r g r⋅ 4⋅rr g 2 Rt  t =−Rt  t =Rr  r =−Rr  r =− 8⋅r⋅r g 2 4⋅r r g  Rt t =−Rt  t= Rr r  =−Rr  r =− Rr ttr =−Rr trt = R  tt  =−R  tt (4.1513) 8⋅r⋅r g 4⋅rr g  2 ⋅sin2   4096⋅r 3⋅r g⋅4⋅r −r g 2 4⋅rr g 8 =R  tt  =−R  tt 2048⋅r 3⋅r g⋅4⋅r −r g 2 =− 4⋅r r g 8 Rrr =−Rr r =Rrr  =−Rr  r = R  =−R

= 16⋅r⋅r g 8⋅r g r⋅4⋅r r g 2 ⋅sin2   R  =−R =− 2  4⋅rr g  16⋅r⋅r g 4⋅r r g 2 (4.1514) Behelyettesítjük a geodetikus egyenletbe az izotróp koordináta-rendszer konnexiójának komponenseit: t c⋅ẗ2⋅ tr⋅c⋅ṫ⋅ṙ=0 ẗ 16⋅r g 16⋅r 2−r 2g ⋅ṫ⋅ṙ =0 (4.1515) r̈  r tt⋅c 2⋅ṫ 2  r rr⋅ṙ 2 r ⋅̇ 2 r ⋅̇ 2=0 4 r̈  2048⋅r ⋅r g⋅4⋅r −r g  2 2 r⋅ 4⋅r−r g  2 r⋅4⋅r−r g  2⋅r g ⋅c ⋅ṫ − ⋅ṙ 2− ⋅̇ − ⋅sin2  ⋅̇2=0 7 r⋅4⋅r r  4⋅r r 4⋅r r  4⋅r r g  g g g (4.1516)  ̈2⋅ r ⋅ṙ ̇ ̈   2 ⋅̇ =0 8⋅r −r g ⋅ṙ ̇−cos ⋅sin⋅̇ 2=0 r⋅4⋅r r g  146 (4.1517) 4.15 Izotróp koordináták ̈2⋅

̈  r ⋅ṙ ̇2⋅   ⋅̇⋅̇=0 8⋅r −r g ⋅ṙ ̇2⋅cot ⋅̇⋅̇=0 r⋅4⋅r r g  (4.1518) Gravitációs vöröseltolódás izotróp koordinátákban: 1 =  g 00 ⋅2 = 1 g 00 2    4⋅2 r −r g 4⋅2 r r g 4⋅1r −r g 4⋅1r r g   2 ⋅ = 2 2 4⋅2r −r g ⋅ 4⋅1r −r g 2 (4.1519) Ha a fényforrás közelebb van a gravitációs mező forrásához mint a megfigyelő, akkor a távolságok és a frekvenciák arányai ugyanazok mint a Schwarzschild esetben: 1 r ≥2r 1  ≤2 (4.1520) A körpályán keringő próbatest keringési frekvenciájához behelyettesítjük a Schwarzschild koordinátákban kapott eredménybe a két koordináta-rendszer közötti átváltási képletet:   rg 2048⋅r 3I  I =c⋅ =c⋅ 2⋅r 3S r 5g (4.1521) 4.16 Gaussi poláris koordináták Az ívelem-négyzet általános képletében további

tetszőleges függvényeket próbálunk ki: ds 2= AG  r ⋅c 2⋅dt 2−dr 2G −C G r ⋅r 2G⋅d  2sin2 ⋅d 2  (4.161) Összehasonlítjuk a Schwarzschild koordináta-rendszerben felírt ívelem-négyzettel: 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = AS r ⋅c ⋅dt −B S r ⋅dr S −r S⋅d  sin  ⋅d   (4.162) Ívelem-négyzet az időszerű, sugárirányú és a horizontális koordináta mentén: AG = AS 2 2 dr G= BS⋅dr S C G⋅r 2G =r 2S (4.163) 147 4.16 Gaussi poláris koordináták A második és a harmadik egyenlet összefügg, elvégezzük az integrálást: r G=∫  B S⋅dr S = r G=∫ 1  1− rg rS rS CG ⋅dr S = rS CG Átváltás a Gaussi poláris és a Schwarzschild koordináta-rendszerek sugárirányú koordinátái között:   r r G= g⋅ log 2 r g =0 r G= 1−   1− 1− rg 1 −log rS   rg r −1 r S⋅ 1− g K rS rS r G=0r

S⋅ 1− rg ⋅ log 2      rg 1 −log rS 1− 0 K rS K =0   rg r −1 r S⋅ 1− g rS rS (4.164) A gaussi poláris koordinátákat az izotróp koordinátákkal is összehasonlítjuk 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = AG  r ⋅c ⋅dt −dr G −C G r ⋅r G⋅d  sin ⋅d   ds 2= A I r ⋅c 2⋅dt 2−B I r ⋅dr 2I r 2I⋅d 2 sin2 ⋅d 2  (4.166) Ívelem-négyzet az időszerű, sugárirányú és a horizontális koordináta mentén: AG = AI dr 2G= B I⋅dr 2I 2 2 (4.167) C G⋅r G =B I⋅r I Integráljuk a második összefüggést: dr 2G= B I⋅dr 2I dr G=  B I⋅dr I =  4  4⋅r I r g ⋅dr I 4⋅r I 148 4.16 Gaussi poláris koordináták r G=∫ r G=  2  4⋅r I r g ⋅dr I 4⋅r I   rg r ⋅ log r I − g r I C 2 8⋅r I r g =0 r G=0r I C C=0 Átváltás a Gaussi poláris

és az izotróp koordináta-rendszerek sugárirányú koordinátái között:   r r r G= g⋅ log r I − g r I 2 8⋅r I (4.168) Mindkét esetben transzcendens egyenletre jutunk, melyeknek nincs zárt alakú megoldása, ezért megelégszünk a talált összefüggésekkel. 4.17 Forgó Schwarzschild-koordináták Számos problémát hasznos forgó koordináta-rendszerben Schwarzschild koordináta-rendszerből a következő módon váltunk át: tárgyalni. A szokásos (4.171) ⋅t A következőképpen változik meg az ívelem-négyzet:     2 r⋅ 2 2 2 2 2 ds = Ar − ⋅sin  ⋅c ⋅dt −2⋅⋅r ⋅sin ⋅dt⋅d  c 2 2 2 2 2 (4.172) 2 −B r ⋅dr −r ⋅ d  sin ⋅d   Az érvényességi köre arra a tartományra terjed ki, ameddig megőrzi az eredeti metrika szignatúráját. Például az egyik metrikus tenzor tag előjele akkor vált át, amikor az értéke

nulla: 2   A r − r⋅ ⋅sin 2 =0 c 2 rg r⋅ 1− − ⋅sin2 =0 r c   r g⋅c 2 c2 r − 2 ⋅r− 2 =0  ⋅sin 2   ⋅sin2   3 (4.173) A harmadfokú egyenlet speciális alakja és megoldóképlete: 149 4.17 Forgó Schwarzschild-koordináták x 3− p⋅x−q=0     3 q q2 p3 3 q q2 p3 x 1,2,3= −    − −  2 4 27 2 4 27 (4.174) Mivel a négyzetgyök alatt negatív szám van, a megoldóképlet alkalmazásakor a komplex számokra vonatkozó műveleti szabályokat kell figyelembe venni. A harmadfokú egyenletnek mindig van valós megoldása. Forgó koordináta-rendszert veszünk fel a Naprendszerben, melynek a körfrekvenciája megegyezik a Földével: t k2 =365,256363004 nap = 2⋅ 1 =1,99098659277⋅10−7 tk s A Nap standard gravitációs paramétere, és belőle a gravitációs sugara: m3 ⋅M =1,32712440018⋅10 2 s 20 r g= 2⋅⋅M 3

=2,9532500765⋅10 m 2 c Az eredmény: r =1,5057509⋅1015 m (4.175) Ez egy olyan kör, melynek a kerülete 1 fényév. Ennél nagyobb távolságban a koordináta-rendszer állandó koordinátájú pontjai a fénysebességnél is gyorsabban mozognak, ezért nem alkalmasak időszerű mozgást végző testek pályájának leírására. A megoldás érvényességének feltétele, hogy a négyzetgyök alatti érték negatív legyen. Ez akkor szűnik meg, ha olyan naggyá válik a körfrekvencia, hogy az említett kifejezés nullává, vagy pozitívvá válik: 2 3 q p  ≥0 4 27  r g⋅c2 2   3  c2 − 2 −  ⋅sin 2  2⋅sin2   ≥0 4 27 r 2g c2 − ≥0 4 27⋅2⋅sin 2  ≥ 2⋅c  27⋅sin ⋅r g (4.176) A forgó Schwarzschild koordináta-rendszer kétszer kovariáns metrikus tenzora: 150 4.17 Forgó Schwarzschild-koordináták g  =  2 rg r⋅ 2 1− − ⋅sin  r c  

0 0 − 0 2 −⋅r ⋅sin 2  2  −⋅r ⋅sin  0 0 −r 2 0 0 −r ⋅sin 2  1 r 1− g r 0 0 2 0 2 (4.177) A metrikus tenzornak vannak nullától különböző nemdiagonális tagjai. Felírunk azokból a sorokból és oszlopokból egy részmátrixot, amikben ezek a tagok megjelennek:   2 r r⋅ 2 2 2 1− g − ⋅sin  −⋅r ⋅sin   g ij = r c 2 2 2 2 −⋅r ⋅sin   −r ⋅sin    A részmátrix determinánsa: g =g tt⋅g   −g t ⋅g  t  g =− 1−  2 rg r⋅ 2 2 2 4 4 2 − ⋅sin  ⋅r ⋅sin − ⋅r ⋅sin  r c   Ezek után a kétszer kontravariáns metrikus tenzor komponensei: g tt = g  = g g t =  1− g tt = g  rg r⋅ − ⋅sin 2  −2⋅r 2⋅sin 2  r c   g t g =g  t = t  =− g g g  = g rr = 1 2   2 1− 

rg r⋅ − ⋅sin 2  −2⋅r 2⋅sin2   r c   2 rg r⋅ 1− − ⋅sin 2  r c     2 rg r⋅ − 1− − ⋅sin 2  ⋅r 2⋅sin2  − 2⋅r 4⋅sin4  r c     r 1 =− 1− g g rr r 151 (4.178) 4.17 Forgó Schwarzschild-koordináták g  = 1 1 =− 2 g  r (4.179) A metrikus tenzor deriváltjai és a konnexió: ∂ g tt 2⋅ 2⋅r⋅sin 2   r g =− − 2 ∂r c2 r ∂ g tt 2⋅ 2⋅r 2⋅cos ⋅sin  =− 2 ∂ c ∂ gt  ∂ g t 2 = =−2⋅⋅r⋅sin  ∂r ∂r ∂ g t  ∂ g t = =−2⋅⋅r 2⋅cos ⋅sin ∂ ∂ ∂ g rr rg = ∂ r r −r g 2 ∂ g =−2⋅r ∂r ∂ g  =−2⋅r⋅sin 2  ∂r ∂ g  =−2⋅r 2⋅cos ⋅sin  ∂ 2  t tr = t rt = 2 3 2 2 2⋅ c −1⋅ ⋅r ⋅sin

c ⋅r g 2 2 4 2 2 2⋅c −1⋅ ⋅r ⋅sin 2⋅c ⋅r⋅ r−r g   t t = t  t =  r tt = 2 c 2−1⋅2⋅r 3⋅cos ⋅sin  c 2−1⋅2⋅r 3⋅sin 2 c 2⋅ r−r g  2 3 2  c ⋅r g −2⋅ ⋅r ⋅sin ⋅r −r g  2 3 2⋅c ⋅r  r rr =− rg 2⋅r⋅r −r g   r t  = r t =−⋅r −r g ⋅sin2    r  =−r −r g   r  =− r−r g ⋅sin2  2  tt =− 2 ⋅cos ⋅sin  c  r  = r = r =  r =  tr =rt =   t    =  t = (4.1710) 1 r   t    =  t =−⋅cos ⋅sin =−cos ⋅sin  c 2⋅⋅2⋅r−3⋅r g  2⋅c 2−1⋅ 2⋅r 4⋅sin2 2⋅c 2⋅r⋅

r−r g  c 2⋅⋅r −r g  = 2 ⋅cot  c −1⋅ 2⋅r 3⋅sin 2 c 2⋅ r−r g    (4.1711) =cot  152 4.18 Kruskal-Szekeres koordináták 4.18 Kruskal-Szekeres koordináták A zuhanó pálya vizsgálatakor kiderült, hogy a próbatest szemszögéből az eseményhorizont nem jelent semmilyen akadályt. A célunk, hogy olyan koordináta-rendszerrel fedjük le a Schwarzschild-féle fekete lyuk téridejét, mely értelmezhető az eseményhorizonton, és biztosan lefedi a teljes téridőt. Ehhez megállapítjuk a behulló, és kifelé tartó fénysugarak pályáját Megszorozzuk az általános gömbszimmetrikus ívelem-négyzetet a zuhanó fényszerű geodetikuson egy monoton változó paraméterrel: 1 2 2 2 A r ⋅c ⋅dt − Br ⋅dr =0 /⋅ 2 d dt 2 dr 2 A r ⋅c ⋅ 2 −B r ⋅ 2 =0 d d 2 (4.181) Behelyettesítjük az időirányú érintővektort és azt, hogy a második

függvény az első reciproka: 2 dt u t= A⋅c ⋅ d B= 1 A u2t dr 2 − =0 /⋅A A⋅c 2 A⋅d 2 ut dr =± c d (4.182) Az egyenlet baloldala állandó, így a sebesség változása a monoton változó paraméterhez egyenesen aránylik, így maga is monoton változó paraméter. Ezért akár a sugarat is választhatjuk paraméternek: d ⋅± ut =dr c d =±dr ut dr =± =±1 c d (4.183) Behelyettesítjük az érintővektorba és integrálunk: ut dt =A⋅c⋅ =±1 c dr c⋅dt 1 =± =± dr A 1 r 1− g r 153 4.18 Kruskal-Szekeres koordináták c⋅t=±∫ 1 ⋅dr rg 1− r A logaritmus miatt két különböző esetet kell megkülönböztetnünk, a gravitációs sugáron kívüli és belüli állapotot. A pozitív, illetve negatív előjel különbözteti meg a kifelé és a befelé tartó fénysugarakat: c⋅t=±r ±r g⋅log   r −1 C rg r r g c⋅t=±r ±r g⋅log  r g −r K r r g (4.184) Írjuk fel külön a két

fényutat a gravitációs sugáron kívül, és válasszunk dimenzió nélküli integrációs állandókat: c⋅t=rr g⋅log     r −1 r g⋅u rg c⋅t=−r −r g⋅log (4.185) r −1 r g⋅v rg (4.186) Az u és v paraméterek, a gömb alakú koordinátafelületeket leíró szögkoordinátákkal együtt, alkalmasak a Schwarzschild-megoldás ábrázolására, és kiküszöbölik a koordinátaszingularitást. Ezek az Eddington-Finkelstein koordináták u v  :    (4.187)    (4.188) 1 r u= ⋅ c⋅t−r−r g⋅log −1 rg rg 1 r v = ⋅ c⋅tr r g⋅log −1 rg rg Ezek a koordináták egymásnak nem affin paraméterei, ez például azt is jelenti, hogy ha végighaladunk u értékein -∞ és +∞ között, akkor nem fogjuk tudni felderíteni a v geodetikust teljes hosszában:  u=v−2⋅   r r log −1 rg rg (4.189)  (4.1810) v =−u2⋅   r r log −1 rg rg Ezért

ezek a geodetikusok nem teljesek, az u és v koordinátasíkból kilépnek. Az Eddington154 4.18 Kruskal-Szekeres koordináták Finkelstein koordináták ugyanazt a sokaságot fedik le, mint a Schwarzschild-koordináták. Ezek szerint azonban ez nem az egész téridő, hiszen találtunk olyan geodetikusokat, melyek elhagyják az általunk feltérképezett területet. Ahhoz, hogy a teljes térképet megkapjuk, olyan, fényszerű geodetikusokat leíró koordinátákra van szükségünk, melyek affin paraméterei egymásnak. Végezzük el a következő átalakítást: u 2 v 2   r r r U =e =e ⋅ −1 ⋅e rg − − v 2 u 2 r   r r V =e =e ⋅ −1 ⋅e rg g (4.1811) g Behelyettesítéssel megkapjuk a Schwarzschild-koordinátáktól való függést, ezek a KruskalSzekeres koordináták U V  :   U= r−c⋅t r 2⋅r −1⋅e rg r V= −1⋅e rg (4.1812) g r c⋅t 2⋅r g (4.1813) Mivel a sugárirányú koordináta monoton

növekvő függvényei, melyről már korábban kiderült, hogy affin paraméter, ezek a koordináták, az általuk ábrázolt fényszerű geodetikusok szempontjából egymás affin paraméterei. A két koordináta kombinációi: U⋅V =   r r r −1 ⋅e rg g c⋅t V r =e U (4.1814) g A szorzatból kifejezzük a Schwarzschild sugárirányú koordinátát. Az exponenciális egyenletet általános alakra hozzuk: − e r rg = 1 r 1 ⋅ − U⋅V r g U⋅V (4.1815) Az általános alak és a megoldóképlet, ahol W(x) a Lambert-függvény: p a⋅xb=c⋅x d  a⋅log  p b − W − ⋅p c x=− a⋅log p a⋅d c  − d c Behelyettesítünk a megoldóképletbe:   r U⋅V =W 1 rg e r =r g⋅W   U⋅V r g e (4.1816) Ha r = 0, akkor U⋅V =−1, itt található a felület valódi szingularitása, mely koordináta-rendszer választástól független. Az U⋅V −1 feltétel azonban nem csak akkor teljesül amikor

például 155 4.18 Kruskal-Szekeres koordináták mindkettő elég nagy pozitív szám, hanem akkor is amikor ugyanakkora nagyságrendű negatívak. A Schwarzschild szingularitás téridejének egy új, ismeretlen részét fedeztük fel, mely eddig a szerencsétlenül választott koordináta-rendszer miatt rejtve volt a szemünk előtt: V U A hiperbolikus felületek a középponttól mért ugyanolyan távolságú, a lineáris felületek az ugyanolyan időkoordinátájú pontokat kötik össze. Ezeknek a feltételeknek maguk a koordinátatengelyek is megfelelnek, a -∞, illetve Schwarzschild-sugár távolságú, és a +∞ illetve -∞ idejű pontok alkotják őket. A fekete lyuknak ezek szerint két „bejárata” van, a bal alsó, és a jobb felső negyedben, melyektől egy-egy eseményhorizont választja el. A belső tartományok a grafikon bal felső, és jobb alsó negyedében találhatóak. Negatív r koordináták is értelmezhetőek (ne felejtsük el, hogy r jelentése

nem távolság, hanem koordináta), az általuk alkotott hiperbolák kitöltik a belső tartományt. Azok a koordináták, amelyek a féregjárat-felületet kifeszítették, itt is jelen vannak, az időkoordináta mind az első, mind a harmadik koordinátanegyedben értelmezve van, a szögkoordináták szerepe pedig nem változott. A felület görbülete, és ezáltal az alakja koordinátafüggetlen mennyiség, így immár ábrázolható a teljes alakzat. A koordinátafelület paraméterei:  2 t=áll. = dt=0 d =0 (4.1817) 156 4.18 Kruskal-Szekeres koordináták Teljes féregjárat-felület poláris és derékszögű koordinátákban: A féregjárat valódi jelentősége ezeken az ábrákon még inkább megfigyelhető, mely immár szemmel láthatóan két, aszimptotikusan sík univerzumot köt össze. Azonban minden olyan világvonalnak, mely az egyik oldalon indul ki, és a másikon folytatódik, mindig van egy térszerű szakasza, a tölcsér nyakrészénél,

ezért ez a féregjárat tömeggel rendelkező, eredetileg a fénysebességnél lassabb testek számára nem átjárható. Meghatározzuk az U⋅V −1 tartományban az ívelem-négyzetet. Mivel U és V fényszerű geodetikusok, ezért gUU = 0 és gVV = 0. Szorzatuk azonban nem nulla, ezért várható, hogy gUV sem lesz az: ds 2=2⋅g UV⋅dU⋅dV −r 2⋅d  2sin 2 ⋅d 2  (4.1818) A metrikus tenzor ismeretlen tagja kiszámítható a Schwarzschild metrikus tenzor segítségével, felhasználjuk a transzformációs képletet: g UV = ∂U ∂ V ∂ U ∂V ⋅ ⋅g  ⋅ ⋅g ∂t ∂t S tt ∂ r ∂ r S rr (4.1819) Behelyettesítünk:   ∂ g UV = ∂t ∂ − ∂r r −1⋅e rg r −1⋅e rg     r −c⋅t 2⋅r g r −c⋅t 2⋅r g ∂ ⋅ ∂t ∂ ⋅ ∂r r −1⋅e rg r −1⋅e rg r c⋅t 2⋅r g rc⋅t 2⋅r g 157   ⋅ 1−  rg r 1 ⋅ r 1− g r 4.18 Kruskal-Szekeres

koordináták  r c⋅ −1⋅e rg g UV =− 2⋅r g − r⋅e  r c⋅ −1⋅e rg ⋅ 2⋅r g r−c⋅t 2⋅rg rc⋅t 2⋅rg   ⋅ 1− rg r r c⋅t 2⋅r g r⋅e 1 ⋅ ⋅ rg r r 2⋅r 2g⋅ −1 2⋅r 2g⋅ −1 1− r rg rg   2 g UV =− r −c⋅t 2⋅r g 3 g 2 g 2 3 2 2 2 2 g c ⋅r g⋅ r −4⋅r⋅r 6⋅r ⋅r g −4⋅r r ⋅c ⋅r −r ⋅e 4⋅r 4g⋅r −r g 2 r rg 2⋅r 3g − rr g UV =− ⋅e r (4.1820) g A Kruskal-Szekeres koordináta-rendszer ívelem-négyzete: 3 r 4⋅r g − r ds =− ⋅e ⋅dU⋅dV −r 2⋅d  2sin 2 ⋅d  2 r 2 (4.1821) g Behelyettesítjük a Schwarzschild és a Kruskal-Szekeres koordináták közötti átváltás képletét az ívelem-négyzetbe, melyből már ki lehet számolni a szokásos geometriai mennyiségeket: 2 U⋅V −1 −W 4⋅r 2g  U⋅V 2 e  ⋅dU⋅dV − r g⋅W ds =− ⋅e r g ⋅d  sin2 

⋅d 2  e U⋅V W 1 e (4.1823)     2   U⋅V −W  −1 2⋅r 2g e  g UV =g VU =− ⋅e U⋅V W 1 e W       U⋅V g  =− r g⋅W r g e g UV =g VU =− g  =− 2   U⋅V 1 U⋅V W 1 e e  ⋅e 2 2⋅r g 1 g  =− 2     U⋅V g  =− r g⋅W r g ⋅sin 2  e 2     U⋅V r g⋅W r g e 1 2     U⋅V r g⋅W r g ⋅sin 2  e (4.1824) 158 4.18 Kruskal-Szekeres koordináták ∂ g UV ∂ g VU = = ∂U ∂U         2⋅r 2g⋅V⋅ W  e 2⋅ W U⋅V 1 e U⋅V 2 e U⋅V ⋅W 1 e ∂ g  2⋅r 2g⋅V =− U ⋅V ∂U W 2 e e ∂ g UV ∂ g VU = = ∂V ∂V 2 ∂ g  2⋅r 2g⋅V =− ⋅sin 2  U⋅V ∂U W 2 e e         2⋅r 2g⋅U⋅ W  e 2⋅ W U⋅V 1 e U⋅V 2 e

U⋅V ⋅W 1 e ∂ g  2⋅r 2g⋅U =− U ⋅V ∂V W 2 e e 2 ∂ g  2⋅r 2g⋅U =− ⋅sin 2  U⋅V ∂V W 2 e e 2     ∂ g  U⋅V =− r g⋅W r g ⋅cos ⋅sin  ∂ e e W      W V  UUU =− ⋅   U⋅V 1 e U⋅V 2 e 2 U⋅V W 1 e    V U⋅V  V =− ⋅ W 1 2 e          V U⋅V  V =− ⋅ W 1 ⋅sin 2   2 e U U⋅V  U =− ⋅ W 1 2 e U U⋅V  U =− ⋅ W 1 ⋅sin 2  2 e U  VVV =− e (4.1825)        W ⋅ U⋅V W 1 e U⋅V 2 e U⋅V W 1 e 2 V  U = U = U =  U = e   U⋅V W 1 e 2    U⋅V ⋅W 1 e 159 4.18 Kruskal-Szekeres koordináták  V =  V = V = V = U   U⋅V

1 W e e    U⋅V ⋅W 1 e   =−cos ⋅sin  2   =  =cot  (4.1826) 4.19 Kruskal-Szekeres téridő Be lehet vezetni olyan koordinátákat, melyek közül egy időszerű, a többi három pedig térszerű, hasonlóan a Schwarzschild-koordinátákhoz, viszont a szingularitás teljes téridejét lefedik. Ez a Kruskal-Szekeres téridő c⋅T R   . Az átszámolási képletek: R=r g⋅V U  c⋅T =r g⋅V −U  U= 1 ⋅ R−c⋅T  2⋅r g V= 1 ⋅ Rc⋅T  2⋅r g (4.191) A koordináták néhány hasznos kombinációja: 2 2 2 R −c ⋅T =4⋅r g⋅U⋅V =4⋅r g⋅r −r g ⋅e U R−c⋅T = V Rc⋅T r rg (4.192) Az elsőből kifejezzük a Schwarzschild sugárirányú koordinátát. Az exponenciális egyenletet általános alakra hozzuk: − e r rg = 4⋅r 2g 4⋅r 2g r ⋅ − 2 2 2 2 2 2 R −c ⋅T r g R −c ⋅T (4.193) Az

általános alak és a megoldóképlet, ahol W(x) a Lambert-függvény:  W − p a⋅xb=c⋅x d x=− a⋅log  p b − ⋅p c a⋅log p a⋅d c  − d c Behelyettesítünk a megoldóképletbe:  2 2 r R −c ⋅T =W 2 rg 4⋅e⋅r g 2  1 r =r g⋅W 160  2 2 2  R −c ⋅T r g 2 4⋅e⋅r g (4.194) 4.19 Kruskal-Szekeres téridő Ugyanaz az ábra, de a Kruskal-Szekeres téridő koordinátái szerint: R T A Kruskal-Szekeres téridő ívelem-négyzete: r g − rr 2 2 2 2 2 2 2 ds = ⋅e ⋅c ⋅dT −dR −r ⋅d  sin ⋅d   r 2 (4.195) g Behelyettesítjük a Schwarzschild és a Kruskal-Szekeres téridő közötti átváltás képletét az ívelemnégyzetbe: −W  2 2 2  R −c ⋅T −1 4⋅e⋅r 2g     2 R 2−c 2⋅T 2 ds = r ⋅W r g ⋅ d  2sin 2 ⋅d  2 ⋅c ⋅dT −dR − g 2 2 2 2 4⋅e⋅r g R −c ⋅T W 1 2

4⋅e⋅r g (4.196) 2 e  2 2 2  −W e g TT =−g RR= W     2 2 2 R −c ⋅T 4⋅e⋅r 2g 2 2 R −c ⋅T 4⋅e⋅r 2g  −1 2    g TT =−g RR= 1   R 2−c 2⋅T 2 g  =− r g⋅W r g 4⋅e⋅r 2g  W  R2−c 2⋅T 2 1 2 4⋅e⋅r g −W e   2   g  =− 2 R2−c2⋅T 2 g  =− r g⋅W r g ⋅sin 2  2 4⋅e⋅r g 2 2  R −c ⋅T −1 2 4⋅e⋅r g 1  g =− 2  2   R2−c 2⋅T 2 r g⋅W r g 4⋅e⋅r 2g 1     2 R 2−c 2⋅T 2 r g⋅W r g ⋅sin2  2 4⋅e⋅r g (4.197) 161 5. Forgó fekete lyuk térideje 5. Forgó fekete lyuk térideje Az égitestek nem csak az energiájukkal, hanem a forgásukkal is befolyásolják a téridőt. A forgó fekete lyuk és a forgó anyagi test körüli téridő szerkezete nem egyezik meg, mint a gömbszimmetrikus esetben. Azonban azok az effektusok, amelyek az

egyszerűbb fekete lyuk téridejében fellépnek, megjelennek a forgó égitest körül is, bár hatásuk kissé eltérő mértékben függ a gravitációs forrás tömegétől, és perdületétől. Új, a newtoni gravitációs elmélettől idegen jelenségekkel fogunk találkozni. A téridő kijelöl egy tengelyt a térben, amivel megbontja a tengely körüli két keringési irány szimmetriáját, és a tengely irányába mutató forgásokra is hatással van. 5.1 Tengely-szimmetrikus téridő Az egyenletesen forgó testek körüli téridőt stacionáriusnak hívjuk. A metrika nem változik, ezért nem függ az időtől, és forgatásra önmagába tér vissza, ezért a hosszúsági köröket leíró szögkoordinátától sem. Általános esetben a tengely-szimmetrikus metrika ívelem-négyzete, ahol az ismeretlen függvények csak x-től és y-tól függnek, melyek tetszőleges koordináták t x y : ds 2=e 2⋅⋅c 2⋅dt 2−e2⋅⋅d −⋅c⋅dt2−e

2⋅⋅dx 2−e 2⋅⋅dy 2 (5.11) Megszoroztuk a koordinátákat négy ismeretlen függvénnyel, és alkalmaztuk a körfrekvenciát. A metrikus tenzor:  2⋅ 2 e − ⋅e 0 g  = 0 ⋅e 2⋅ 2⋅ 2⋅ 0 0 ⋅e 2⋅ −e 0 0 2⋅ 0 −e 0 0 0 −e 2⋅  (5.12) A metrikus tenzornak vannak nullától különböző, nem diagonális tagjai. Felírunk azokból a sorokból és oszlopokból egy részmátrixot, amikben ezek a tagok megjelennek:  e 2⋅− 2⋅e 2⋅ ⋅e 2⋅ g ij = ⋅e 2⋅ −e 2⋅  (5.13) A részmátrix determinánsa: g =g 00⋅g  − g t ⋅g  t=e 2⋅−2⋅e 2⋅ ⋅−e 2⋅ −⋅e 2⋅ ⋅⋅e 2⋅ =−e 2⋅− Invertáljuk a részmátrixot, és kiegészítjük vele a kétszer kontravariáns metrikus tenzort: 162 (5.14) 5.1 Tengely-szimmetrikus téridő  e−2⋅ 0 0 ⋅e−2⋅ 0

−e−2⋅ 0 0  g = −2⋅ 0 0 −e 0 −2⋅ −2⋅ ⋅e 0 0 −e  2⋅e−2⋅  (5.15) Egyelőre tartsuk a körfrekvenciát konstans értéken, ezáltal pl. egy egyenlítői körpálya egyik körüljárási irányára szorítkozunk. A geometriai mennyiségek végigszámolgatása után megkapjuk az egyszerűsített Ricci-tenzor komponenseket: P= ∂  ∂ ∂ ∂  − − − ∂y ∂y ∂ y ∂ y   Rtt =2⋅e 2⋅ −⋅  ∂  ∂ ∂  ∂ − − − ∂x ∂ x ∂ x ∂ x  ∂ ∂2  ∂ ∂2  ⋅P− 2  2⋅e 2⋅−⋅ ⋅Q− 2 ∂y ∂x ∂y ∂x   2 ∂2  ∂  ∂ 2⋅− ∂  − ⋅Q e ⋅ − ⋅P 2 2 ∂x ∂ x ∂y ∂y e 2⋅−⋅  Rt  =R t =⋅e 2⋅ −⋅ R xx=e Q=     ∂ ∂2  ∂2  2⋅− ∂  ⋅ ⋅P− 2 ⋅e

⋅Q− 2 ∂y ∂x ∂y ∂x   2 2 2 ∂2  ∂ ∂ ∂ ∂  ∂  ∂2  ∂  ∂2  ∂ ⋅P− 2  −Q ⋅ − 2 − − ⋅ − − 2− 2 ∂y ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x 2⋅ − R yy =e        R xy=R yx=     2         ∂  ∂  ∂2  ∂  ⋅ Q ⋅ − − ∂ x ∂ x ∂ x2 ∂ x 2⋅− 2 2 2 ∂ ∂2  ∂  ∂ ∂2  ∂ ∂2  ∂   −P ⋅ − 2 − − 2− − 2− ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y   2 ∂  ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂2  ∂ ∂  ∂2   ⋅   ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ∂ y ∂ y ∂x ∂ x ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x⋅∂ y ∂ x ∂ y ∂ x⋅∂ y  R =e 2⋅ −⋅      2 2 ∂ ∂  ∂ ∂  ⋅P− 2 e

2⋅−⋅ ⋅Q− ∂y ∂x ∂y ∂x2  (5.16) Az általános Ricci-tenzort illetve az Einstein-tenzort egyenlővé tesszük nullával, ezzel megkapjuk a forgásszimmetrikus, stacionárius vákuummegoldásokat leíró egyenletrendszert: e Rtt = 0:  2    2 ∂  ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ⋅  ⋅ − e−2⋅⋅  ⋅ − = 2 ∂x ∂x ∂x ∂ y2 ∂ y ∂ y −2⋅    2   1 2⋅− −2⋅ ∂ ∂ ⋅e ⋅e ⋅ e −2⋅⋅ 2 ∂x ∂y 163 2 5.1 Tengely-szimmetrikus téridő  e−2⋅⋅ Rφφ = 0:    2 ∂2  ∂ ∂ ∂ ∂ −2⋅ ∂   ⋅ −  ⋅ − = e ⋅ 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y      2 1 2⋅− −2⋅ ∂  ∂ ⋅e ⋅ e−2⋅⋅ − ⋅e 2 ∂x ∂y    2

 Rtφ = 0: ∂ e 3⋅−−⋅∂  ∂ e3⋅−−⋅∂  =0 ∂x ∂x ∂y ∂y Rxy = 0: ∂2 − ∂ ⋅∂  − ∂ ⋅∂  ∂⋅∂  ∂ ⋅∂ = ∂ x⋅∂ y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂ y 1 2⋅− ∂  ∂ ⋅e ⋅ ⋅ 2 ∂x ∂y e    2 ∂ ⋅ ∂ 2  ∂  ⋅ ∂ − ∂y ∂y ∂y ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ e−2⋅⋅ ⋅  ⋅ = ∂ x ∂x ∂x ∂ x −2⋅  Gxx = 0:       2 1 2⋅− −2⋅ ∂ ∂ ⋅e ⋅e ⋅ −e −2⋅⋅ 4 ∂x ∂y  2   2 ∂ e−2⋅⋅ ∂ 2  ∂ ⋅ ∂ − ∂ x ∂ x ∂x ∂x ∂ ∂ ∂ ∂  e−2⋅⋅ = ⋅  ⋅ ∂ y ∂y ∂y ∂y  Gyy =

0: 2 2     (5.17)   2 1 2⋅ − −2⋅ ∂  ∂ ⋅e ⋅e ⋅ −e−2⋅⋅ 4 ∂x ∂y 2 Bevezetünk egy új jelölést, amivel szimmetrikus alakba tudjuk átírni az egyenleteket, és átírjuk a Ricci-tenzor tt és φφ komponenseiből származó képleteket: =              2  ∂ e −⋅∂  ∂ e −⋅∂ = 1⋅e 3⋅−⋅ e−⋅ ∂ e −⋅ ∂ ∂x ∂x ∂y ∂y 2 ∂x ∂y    2  2 ∂ e −⋅∂  ∂ e −⋅∂  =− 1⋅e 3⋅−⋅ e−⋅ ∂ e −⋅ ∂ ∂x ∂x ∂y ∂y 2 ∂x ∂y 2 (5.18) Ezeknek és az Einstein tenzor komponenseknek az összegei és különbségei: 164 5.1 Tengely-szimmetrikus téridő     ∂ e ∂ e Rtt  R =G xxG yy= ∂ e −⋅

 ∂ e−⋅ =0 ∂x ∂x ∂y ∂y           2 Rtt − R =−e 3⋅− ⋅e ∂ ∂ ⋅ e−⋅ ∂x ∂y 2 − 2 G x −G yy =−e 2⋅−⋅ e−⋅ ∂ ∂ −e−⋅ ∂x ∂y 2 (5.19) A mértékszabadság miatt kijelölhető egy koordináta-feltétel: e 2⋅−= x , y (5.110) Átírjuk az ívelem-négyzetet új függvények behelyettesítésével: =e 2⋅ −   =e − =  1 e  2 ds =e ⋅ ⋅c ⋅dt − d −⋅c⋅dt − ⋅ dx 2⋅dy 2    2  2 2 (5.111) Ezeket behelyettesítjük a Ricci-tenzorból származó egyenletekbe:     2 2 2 2 ∂ e 3⋅−−⋅∂ −   ∂ e 3⋅−−⋅∂ −  =0 ∂x ∂x ∂y ∂y (5.112) Tehát ω és 2− 2 ugyanazt az

egyenletet elégíti ki. Ezáltal a tengely-szimmetrikus stacionárius megoldásokból új megoldásokat lehet létrehozni. Például a konjugált metrikát – mely később fontos lesz a Kerr-megoldás levezetésekor – a következő transzformációval: t  i⋅ −i⋅t Az ívelem-négyzet a behelyettesítéssel átalakul: 1 ⋅c 2⋅dt 2− ⋅d −⋅c⋅dt 2  1 2 2 2⋅  2−2 ⋅c ⋅dt  ⋅c⋅dt⋅d − ⋅d  2    (5.113) Amit a következő transzformáció eredményeként is értelmezhetünk:  2⋅dt 2− 1 ⋅d −⋅c⋅dt ⋅c 2   =    − 2 2  =   − 2 2 Egy megfelelő mérték választásával átírhatjuk az ívelem-négyzetet: 165 (5.114) 5.1 Tengely-szimmetrikus téridő = =1   1 ds 2=e ⋅ ⋅c 2⋅dt 2 − ⋅ d −⋅c⋅dt2 −e 2⋅⋅ dx 2dy 2  (5.115) ∂2 e  =0 ∂ x⋅∂ y

(5.116) Ennek következtében: Elvégzünk egy koordináta-transzformációt, ahol az exponenciális kifejezést koordinátaként használjuk fel: e  =  x , y  , z  ∂ ∂ z = ∂x ∂ y ∂ ∂z =− ∂y ∂x (5.117) Behelyettesítjük az ívelem-négyzetbe, ahol az ismeretlen függvények immár ρ-tól és z-től függenek, ez a Papapetrou metrika t  z :   1 ds 2=⋅ ⋅c 2⋅dt 2− ⋅ d −⋅c⋅dt 2 −e 2⋅⋅ d  2dz 2  (5.118) 5.2 Ernst-egyenlet Egyértelműbbé tehető a metrika anélkül, hogy veszítene az általános jellegéből, az egyenletek pedig standard formára redukálhatók. Feltesszük, hogy a metrikában létezik egy fényszerű felület, ez az első lényeges különbség a sík téridő, és a forgó fekete lyuk között. Gömbi polárkoordinátákat vezetünk be t r   . Az eseményhorizont egyenlete: N  x , y=N r , =0 A

fényszerűség feltétele, hogy rajta a négyestávolság nulla: ∂N ∂N g  ⋅  ⋅  =0 x x (5.21) A választott metrikában: 2 e    2 ∂N ∂N ⋅  =0 ∂r ∂ 2⋅− (5.22) Mértékválasztás, majd felhasználásával a felület egyenlete: 166 5.2 Ernst-egyenlet e 2⋅−= r =0 (5.23) A felületen az exponenciális kifejezésünk alakját általános esetben feltételezhetjük a következőnek: e  = ⋅ f  r ,  =  ⋅ f =0 (5.24) Mindezeket behelyettesítjük a Ricci-tenzor tt és φφ tagjának összegébe:      2 1 2⋅− −2⋅ ∂ ∂ ⋅e ⋅e ⋅ e −2⋅⋅ 2 ∂x ∂y ∂ ∂r  2 =0  ∂ 1 ∂2 f ⋅  ⋅ =0  ∂r f ∂ 2 (5.25) Az egyenlet megoldásai: ∂2  =2 ∂ r2 Megoldás Δ-ra: =r −r g⋅r a f =sin  2 2 (5.26) Ahol a és rg integrálási

állandók, és természetesen nem véletlenül ezeket a szimbólumokat választottuk a jelölésükre. A következő kifejezések transzformációra invariánsak, itt p és q valós állandók, ezeket az összefüggéseket később felhasználjuk:  2 2r g = ⋅ p 2  rg −a 2 2 r r − 2a = g −a 2 2 2 g  2  rg q −a 2 2a = ⋅ p 2 2 2 (5.27) p q =1 Visszatérünk Papapetrou metrikára, felírjuk a metrikus függvények megoldásait, és belőlük a koordináták közötti átváltásokat: e − =e = ⋅sin  =    z = r− rg ⋅cos  2 (5.28) Új koordinátákat vezetünk be, és behelyettesítjük őket a Ricci-tenzor komponenseibe, és azok kombinációiba t r  : =1− 2=sin 2   =cos           2 ∂− ∂− ∂ ∂ Rtt − R = ∂ ⋅  ∂ ⋅ =−e 2⋅−⋅

⋅ ⋅ ∂r ∂r ∂ ∂ ∂r ∂ 167 2 5.2 Ernst-egyenlet     ∂ ∂ Rt =R t = ∂ ⋅e 2⋅−⋅  ∂ ⋅e 2⋅ −⋅ =0 ∂r ∂r ∂ ∂ (5.29) Ugyanezek az egyenletek =e − behelyettesítésével: 2       2     ∂ ∂ ⋅ ⋅ ∂r ∂  ∂  ∂ ⋅ ⋅ Rtt − R = ∂  ∂ = 2 ∂r  ∂ r ∂   ∂     ∂  ∂ Rt =R t = ∂ ⋅  ∂ ⋅ =0 2 ∂r  ∂r ∂ 2 ∂ (5.210) Átrendezzük az egyenleteket:                        2 ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ⋅  ∂ ⋅ =⋅  ∂r ∂r ∂ ∂ ∂r ∂r 2 2 ∂ ∂ ⋅  ∂ ∂ 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ⋅ ∂ ⋅  ∂ ⋅ =2⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂r ∂r ∂ ∂ ∂r ∂r ∂ ∂ (5.211) Ha elvégezzük ezeket a behelyettesítéseket, két szimmetrikus egyenletet kapunk: X = Y =−                   ∂X ∂X 1  ∂ ⋅ ⋅ X Y ⋅ ∂ ⋅ 2 ∂r ∂r ∂ ∂ =⋅ 2 ∂X ∂r 1 ∂Y ∂Y ∂Y ⋅ X Y ⋅ ∂ ⋅  ∂ ⋅ =⋅ 2 ∂r ∂r ∂ ∂ ∂r ⋅ 2 ∂X ∂ ∂Y ⋅ ∂ 2 2 (5.212) A következő egyenletek az (5.313)-as összefüggésnél segíteni fognak meghatározni μ-t és η-t: rg  ∂ 2 ∂ 2 ∂ X ∂Y ∂ X ∂ Y R xy=R yx =− ⋅  ⋅ = ⋅ ⋅  ⋅ 2   ∂r ∂  X Y  ∂r ∂ ∂ ∂ r r−     r g ∂ ∂ ⋅ 2⋅⋅ = 2 ∂r ∂ r r− g  2 4 ∂ X ∂Y ∂ X ∂Y  2 ⋅

⋅ ⋅ −⋅ ⋅ −3⋅    ∂r ∂r ∂ ∂  X Y 2 G xx −G yy =2⋅ r−     168 (5.213) 5.2 Ernst-egyenlet Ismét új koordinátákat vezetünk be, felhasználjuk a korábban bevezetett transzformációs szabályokat t   : r− =  rg 2    2 = 2  rg −a 2 2 rg 2 −a 2 ⋅ −1 2 (5.214) Felírjuk velük mind a négy előző egyenletet:           1 ∂X 2 2 ∂ X ⋅ X Y ⋅ ∂  −1⋅  ∂ 1− ⋅ 2 ∂ ∂ ∂ ∂   2 = −1⋅ ∂X ∂ 2 2 2   2   1− ⋅ ∂X ∂ 2   ∂Y ∂Y 1 ∂Y ∂Y 2  ∂ 1− 2 ⋅ =2−1⋅ ⋅ X Y ⋅ ∂  −1⋅ 1− 2 ⋅ 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.215) −   ∂ 2 ∂ X ∂Y ∂ X ∂Y 

∂ ⋅  2 ⋅ = ⋅ ⋅  ⋅ 2 2 ∂  ∂ 1−  −1  X Y  ∂ ∂  ∂  ∂  ∂ ∂ 2⋅⋅ 2⋅⋅ = ∂ ∂ 4 ∂ X ∂Y ∂ X ∂Y 3 1 ⋅ 2−1⋅ ⋅ −1− 2 ⋅ ⋅ − 2  2 ∂r ∂r ∂ ∂  X Y   −1 1− 2   (5.216)  Az X-et és Y-t leíró egyenleteknek a következő transzformációk is megoldásai, ahol c tetszőleges állandó, ez szintén a hasznunkra lesz később: 2 X= X 1c⋅X 2 Y= Y 1−c⋅Y (5.217) Új függvényeket fejezünk ki a régiekből, és behelyettesítjük őket a szimmetrikus egyenletekbe: X= = 1F 1−F 1− F⋅G 1− F ⋅1−G      Y= 1G 1−G = F−G 1−F ⋅1−G       ∂F ∂F 1−F⋅G⋅ ∂ 2−1⋅  ∂ 1− 2 ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂G ∂G

1−F⋅G⋅ ∂ 2−1⋅  ∂ 1− 2⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.218)   169 2   2     =−2⋅G⋅  2−1⋅ ∂F ∂F 1− 2 ⋅ ∂ ∂   ∂G ∂G =−2⋅F⋅  −1⋅ 1− 2 ⋅ ∂ ∂ 2 2 2 5.2 Ernst-egyenlet (5.219) Az egyenletek megoldásai, ahol p és q valós állandók: p 2−q2=1 G=− p⋅q⋅ F =− p⋅−q⋅ (5.220) A körfrekvencia levezethető egy koordinátapotenciálból, a következő módon:      ∂  ∂ Rt =R t = ∂ ⋅  ∂ ⋅ =0 ∂ r 2 ∂ r ∂ 2 ∂ ∂  ∂ = ⋅ ∂ 2 ∂ ∂  ∂ = ⋅ ∂ 2 ∂ r (5.221) A potenciált a következő egyenlet határozza meg:     2 2 ∂  ⋅∂  ∂  ⋅∂  =0 ∂  ∂ ∂  ∂  (5.222) A másik egyenlet is felírható

potenciállal:  2        ∂log ∂ log  2 ∂  2 ∂  Rtt − R = ∂ ⋅  ∂ ⋅ = ⋅  ⋅  ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 (5.223) Bevezetünk még egy potenciált, a felhasználásával olyan alakú egyenleteket írhatunk fel, mint az (5.211)-es, itt Ψ felel meg χ-nek, Φ felel meg ω-nak, κ pedig r-nek: =  ⋅                        ∂ ∂ ⋅ ∂ ⋅  ∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ∂ ∂ =⋅  ∂ ∂ 2 2 ∂ ∂ ⋅  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ⋅  ∂ ⋅ =2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ 2 (5.224) Ha a potenciálokat egyetlen komplex mennyiség komponenseinek tekintjük, felírhatunk egy olyan

egyenletet mint (5.215): Z =i⋅          ∂Z ∂Z ℜZ ⋅ ∂ ⋅  ∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 =⋅ ∂Z ∂Z ⋅ ∂ ∂ 2 Egy, az előzővel azonos alakú transzformációs összefüggést itt is felírhatunk: 170 (5.225) 5.2 Ernst-egyenlet 2 Z= Z 1i⋅c⋅Z (5.226) Mivel ugyanolyan alakú az egyenlet, ugyanolyan alakú függvénybehelyettesítést alkalmazhatunk, ezzel megkapjuk az Ernst-egyenletet: Z =− 1E 1−E        ∂E 1−E⋅E ⋅ ∂ ⋅ ∂ ∂ ∗ ∂E  ∂ ⋅ ∂ ∂      2 ∂E ∂E =−2⋅E ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∗ 2 (5.227) Konjugált potenciálok, a konjugált metrikus függvények felhasználásával: =    − 2  = 2   − 2 2 2 2   ⋅ =e ⋅ − =e 2⋅−2⋅e 2⋅ =     ∂

 2 ∂ ∂    = 2⋅ = ⋅  ∂  ∂  ∂   2 ∂ ∂  ∂    =− 2⋅ =− ⋅  ∂ ∂  ∂ 1 E   Z =i⋅ =− 1− E (5.228) Felírjuk a konjugált Ernst-egyenlet, és felismerünk még két összefüggést a konjugált potenciálok között:         E ⋅ ∂ ⋅∂ E 1− E⋅ ∂ ∂ ∗ ∂ E  ∂ ⋅ ∂ ∂  E ∗ 1− E⋅  =ℜ Z =−  2 ∣1− E∣      2 ∂ E ∂ E =−2⋅E∗⋅ ⋅ ⋅ ∂ ∂  E ∗ E−  =ℑ  Z =−i⋅  2 ∣1− E∣ 2 (5.229) 5.3 A Kerr-megoldás levezetése Ha megvizsgáljuk az összes lehetséges szimmetriát a tengely-szimmetrikus vákuum téridőben, eljutunk egyetlen analitikus összefüggéshez a metrikáról, melyet először Roy Kerr talált meg 1963-ban. A

konjugált Ernst-egyenlet hasonló alakú az (5219)-hez, ezért elvégezhető a következő megfeleltetés, és megkapjuk közvetlenül a megoldást: 171 5.3 A Kerr-megoldás levezetése F = E G= E ∗  E=− p⋅−i⋅q⋅ p 2q2=1 (5.31) Kifejezzük a komplex potenciált: 1− p⋅−i⋅q⋅   Z =i⋅ =− 1 p⋅i⋅q⋅ 2 2 2 2  p ⋅ −1−q ⋅1−  = 2 2 2  p⋅1 q ⋅  = 2⋅q⋅  p⋅12q2⋅ 2 (5.32) Visszatérünk az r koordinátára, és behelyettesítjük p-t és q-t, valamint bevezetjük ρ-t t r  :  2 p= ⋅ rg  2 rg −a 2 2 q= 2⋅a rg 2 =r 2a 2⋅ 2=r 2a 2⋅cos 2   (5.33) Ezekkel felírjuk a két potenciált: 2  −a2 ⋅ =   = a⋅r g⋅ 2  (5.34) Ismeretlen konjugált metrikus függvények meghatározása a potenciálokból: 2 2   2 ∂

2⋅a⋅r⋅r g⋅  ∂  = −a ⋅ ⋅∂   =− = ⋅ 4 4  ∂ ∂r ∂   ⋅  a⋅r g 2 2 2  2 ∂ ∂  −a 2⋅2 ∂  = 4 ⋅r −a ⋅ =− ⋅  =− ⋅  4  ∂ ∂r ∂r   ⋅ a⋅r g⋅ r 2−a 2⋅ 2 ⋅ ∂  =− 2 2 ∂r −a ⋅ 2⋅a⋅r⋅r g⋅⋅ ∂  =− ∂ −a2⋅2 (5.35) A konjugált körfrekvencia, és belőle a körfrekvencia kiszámítása: =  a⋅r⋅r g⋅  = 2  − −a 2⋅ (5.36) 2 2 −a ⋅ 2⋅  =e ⋅2 −2 =e 2⋅− 2⋅e 2⋅ = 2  172 5.3 A Kerr-megoldás levezetése = a⋅r⋅r g⋅ 2 a⋅r⋅r g⋅ −2⋅ ⋅e ⋅ −2 = 2 2 −a ⋅  (5.37) Kombináljuk a két felső egyenletet és behelyettesítjük a két delta szorzatát: e 2⋅ =⋅ −a 2⋅ 2⋅

2⋅  2 4⋅ 4 2 2 2 ⋅e =e − ⋅e = 4⋅⋅ −a ⋅r ⋅r g⋅ 2   (5.38) Felírunk néhány algebrai azonosságot, és bevezetünk még egy metrikus függvényt:  r 2a 2∓a⋅ ⋅⋅  ±a⋅ =2⋅ ±a⋅r⋅r g⋅  2⋅−a 2⋅=4⋅−a 2⋅r 2⋅r 2g⋅ 2 = r 2a 22−a 2⋅⋅ (5.39) Ennek felhasználásával a metrikus függvények: e 2⋅ = ⋅ 2 2 = e 2⋅=e 2⋅ −e 2⋅ = 2⋅ 2 a⋅r⋅r g 2 =e −= 2  ⋅ 2   (5.310) Az azonosság felhasználásával kifejezhető X és Y, valamint a deriváltjaik: X ==  a⋅  r a 2 a⋅ ⋅⋅  X =−= −a⋅ r a 2 −a⋅ ⋅⋅  2 ∂ X ∂Y = = ∂r ∂r (5.311) 2   2⋅ r − rg −2⋅r⋅ 

a⋅ ⋅  2 2  r 2a 2a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 ∂ X ∂Y ⋅ ⋅r a a ⋅2⋅a⋅ ⋅ = = 2 2 2 3 ∂ ∂  r a a⋅ ⋅ ⋅  A fenti eredményeket behelyettesítjük (5.213)-ba: 173 (5.312) 5.3 A Kerr-megoldás levezetése rg r   ∂ 2 ∂  ⋅ = 2 ⋅ r − g ⋅ 22⋅a 2⋅−2⋅r⋅ − ⋅   ∂r ∂ 2  ⋅⋅ r−   2   r r− g r ∂ 2 ∂ r− g ⋅ ⋅ =2−  2 ∂r ∂     (5.313) r⋅r g 2  Az egyenletrendszer megoldása: e = 2  (5.314) Az általunk választott jelölésrendszerben a metrikus függvények a következők: e e 2⋅= − = 2  e 2⋅ =2 (5.315) Immár valamennyi metrikus függvényt kifejeztük, ezért nincs más

hátra, mint behelyettesíteni őket az eredeti ívelem-négyzetbe: 2   a⋅r⋅r g  2 2 2 2 2 ds = ⋅ 2⋅c 2⋅dt 2 − 2 ⋅ d − ⋅c⋅dt ⋅sin − ⋅dr − ⋅d  2    2 2 2 2 Ahol: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (5.316) 2  = r a  −a ⋅⋅=r a  −a ⋅r −r g⋅r a ⋅sin   A fekete lyuk téridejét forgási ellipszoid koordinátákban írjuk fel: x=  r 2a 2⋅sin ⋅cos  y= r 2a 2⋅sin⋅sin  z =r⋅cos  (5.317) A Kerr megoldás ívelem-négyzete Boyer-Lindquist koordinátákban:  ds 2= 1− r⋅r g  2⋅r⋅r g⋅a 2 2 2 2 ⋅sin ⋅d ⋅c⋅dt− ⋅dr − ⋅d  2 2 2    r⋅r ⋅a − r 2a2  g2 ⋅sin 2  ⋅sin 2  ⋅d  2  ⋅c2⋅dt 2  Ahol: 2 =r −r g⋅r a  2 (5.318) 2 =r 2a 2⋅cos 2   Ha a

nullához tart, visszakapjuk a gömbszimmetrikus Schwarzschild megoldást, ezzel be is 174 5.3 A Kerr-megoldás levezetése azonosítottuk ezt a mennyiséget, a geometriai perdületet:   ds 2= 1− a=0 rg 2 2 dr 2 ⋅c ⋅dt − −r 2⋅ d  2sin 2 ⋅d 2  r r 1− g r Schwarzschild-sugár: r g= Kerr-perdület: a= 2⋅⋅M 2 c 2⋅⋅J J = m⋅c c 3⋅r g (5.319) Ha a fekete lyuk tömege nullához tart, sík téridőben visszakapjuk a forgási ellipszoid koordinátarendszert: 2 ds 2=c 2⋅dt 2− 2 2⋅dr 2−2⋅d  2−r 2 a 2 ⋅sin 2  ⋅d  2 r a (5.318) A geometriai mennyiségek a metrikus tenzortól a konnexióig: g  =  r⋅r 1− 2 g  0 0 a⋅r⋅r g⋅sin 2   2 0 a⋅r⋅r g⋅sin 2  2 0 2 0  0 − 2 0 − 0 0  (5.319) 0 r⋅r ⋅a − r 2a 2 g2 ⋅sin 2  ⋅sin2     A metrikus tenzornak vannak

nullától különböző, nem diagonális tagjai. Felírunk azokból a sorokból és oszlopokból egy részmátrixot, amikben ezek a tagok megjelennek:  2  r⋅r g a⋅r⋅r g⋅sin   2 2   g ij = 2 a⋅r⋅r g⋅sin  r⋅r ⋅a − r 2a2  g2 ⋅sin 2  ⋅sin 2   2   1−   (5.320) A részmátrix determinánsa: a⋅r⋅r g⋅2a−1⋅r⋅r g ⋅sin 2 r 2a 2⋅ 2⋅ 2−r 2⋅r g  g =g tt⋅g  −g t ⋅g  t =− ⋅sin 2  4  (5.321) Invertáljuk a részmátrixot, és kiegészítjük vele a kétszer kontravariáns metrikus tenzort: 175 5.3 A Kerr-megoldás levezetése  g =  r 2a 22−a 2⋅⋅sin 2  ⋅2 0 0 0 a⋅r⋅r g ⋅2  2 0 0 1 2 0 − 0 0 a⋅r⋅r g ⋅2 0 − 0 − −a 2⋅sin2   ⋅ 2  ∂ g tt r g⋅2⋅r 2−2 

=− 2 ∂r  ∂ g t  ∂ g t a⋅r g⋅2⋅r 2−2  2 = =− ⋅sin  2 ∂r ∂r  ∂ g rr 2⋅r−r g ⋅2−2⋅⋅r = ∂r 2 ∂ g  =−2⋅r ∂r (5.322) ∂ g   a⋅r g⋅2⋅r 2− 2⋅sin 2 −2⋅r 2⋅4 = ⋅sin2  2 ∂r  ∂ g tt 2⋅a 2⋅r⋅r g =− ⋅cos ⋅sin  ∂ 4 ∂ g t  ∂ g  t 2⋅a⋅r⋅r g⋅a 2⋅sin 2 2 = = ⋅cos ⋅sin ∂ ∂ 4 ∂ g rr 2⋅a 2 = ⋅cos ⋅sin  ∂ ∂ g  =2⋅a 2⋅cos ⋅sin  ∂ ∂ g   2⋅a⋅r⋅r g⋅a 2⋅sin 2 −2⋅2 ⋅sin 2 −2⋅a 2r 2 ⋅4 = ⋅cos ⋅sin  ∂ 4 2 2 2 2 (5.323) 2 r a  −a ⋅r⋅r g ⋅sin   t tr = t rt =r g⋅2⋅r 2−2 ⋅ 6 2⋅⋅ a 2⋅ r⋅r g

⋅sin r⋅r g⋅2−r 2a 2 2  t t =t  t=a 2⋅r⋅r g⋅ ⋅cos⋅sin  ⋅6  2⋅r 2− 2⋅r 2a2 2−a⋅r⋅r g a⋅⋅sin2 2⋅r 2⋅4 2  r  =  r=−a⋅r g⋅ ⋅sin  2⋅⋅6 t t 176 5.3 A Kerr-megoldás levezetése  t  = t  =−a⋅r⋅r g⋅cos ⋅sin ⋅ a 3⋅ r⋅r g a⋅⋅sin 4 a⋅2⋅r⋅r g a⋅⋅ 2−a⋅r 2 a 2 2⋅sin2 2⋅r 2a 2 ⋅ 2−r 2−a 2  6 ⋅ r  tt = ⋅r g⋅2⋅r 2−2  2⋅  6 r 2⋅r −r g  rr = 2 − 2⋅  r  =−  tt  =−  rr = r 6 r t = a⋅⋅r g⋅2−2⋅r 2  2 ⋅sin  6 2⋅ r r a⋅r ⋅2⋅r 2−2 ⋅sin 2 −2⋅r⋅4  r  =⋅ g ⋅sin

2  6 2⋅ r⋅ 2 a 2⋅r⋅r g t  = a2  r =  r =  =− 2⋅cos ⋅sin  r  r ⋅cos ⋅sin   a2 ⋅cos ⋅sin ⋅2  t =  t =  r =  r = a⋅r⋅r g⋅a 2⋅sin 2 2 6 ⋅cos ⋅sin  r 2 −a 2⋅sin 2 ⋅sin 2 r⋅r g  tr =rt =a⋅r g⋅2⋅r 2−2⋅ 2⋅⋅6    r  t  r =  t = =a⋅r⋅r g⋅ a 2⋅a 2⋅sin 2  2−⋅sin 2 −r⋅r g −⋅2 ⋅6 ⋅cos ⋅sin  a⋅r g⋅ a2⋅sin 2 −⋅sin 2 −a⋅r⋅r g ⋅2⋅r −2 2⋅r⋅4⋅−a 2⋅sin 2  = ⋅sin 2  6 2⋅⋅ cos ⋅sin  2 3 6 2 4 2 ⋅ a ⋅r⋅r

g⋅−a ⋅sin a⋅−2⋅ ⋅sin r⋅r g⋅  6 ⋅ 4 a⋅−a⋅ ⋅ r 2a 2r⋅r g⋅2⋅2⋅a 3⋅r⋅r g ⋅sin 2 4⋅⋅r 2a 2    = = (5.324) A konnexió parciális deriváltjai már igen bonyolultak, akár csak a többi, belőlük következő mennyiség, ezért nem írjuk le mindet. A Kerr-megoldás geodetikusai: c⋅ẗ2⋅ t tr⋅c⋅ṫ⋅ṙ  t t ⋅c⋅ṫ⋅̇ t r ⋅ṙ⋅̇ t ⋅̇⋅̇=0 r̈  r tt⋅c 2⋅ṫ 2 r rr⋅ṙ 2 r  ⋅̇2  r ⋅̇ 22⋅ rt ⋅c⋅ṫ⋅̇ r r ⋅ṙ⋅̇=0  2 2  2   ̈ tt⋅c ⋅ṫ  rr⋅ṙ 2⋅ t ⋅c⋅ṫ⋅̇ r ⋅ṙ⋅̇=0 t t c⋅ẗ2⋅ tr⋅c⋅ṫ⋅ṙ  t ⋅c⋅ṫ⋅̇

t ⋅ṙ⋅̇ r 177 t ⋅̇⋅̇=0  (5.325) 5.3 A Kerr-megoldás levezetése 5.4 Koordinátaszingularitások A Kerr-metrikában sokkal változatosabb szingularitásokkal találkozunk, gömbszimmetrikus esetben. Megvizsgáljuk a metrikus tenzor tt komponensét: g tt =1− r⋅r g mint (5.41) 2 Ez a következő esetben válik értelmezhetetlenné: r⋅r g = 2=r 2a 2⋅cos2  2 2 2 r −r⋅r g a ⋅cos =0 A másodfokú egyenlet megoldása adja a végtelen vöröseltolódás helyét: r 1,2=r g r ± 2 g −4⋅a 2⋅cos 2  2 (5.42) A metrikus tenzor rr komponense: 2 g rr =−   (5.43) 2 2 =r −r g⋅r a =0 A másodfokú egyenlet megoldása az eseményhorizontok helye, ahol a metrika előjelet vált: r 1,2=r g r ± 2 g −4⋅a 2 2 (5.44) Valós eredményhez a megoldóképlet diszkriminánsának nagyobbnak kell lennie nullánál, ami feltételt szab a perdületre: 2 2

r g −4⋅a ≥0 r g ≥2⋅∣a∣ ⋅M 2 ≥J c (5.45) A példa kedvéért egy igen szélsőséges perdület – tömeg arányú forgó fekete lyuk hosszmetszetén vizsgáljuk meg ezeket a felületeket: 178 5.4 Koordinátaszingularitások a 84 = r g 41 A fekete, változatos alakú felületeken alakul ki végtelen vöröseltolódás. A szürke, gömbszimmetrikus felületek a külső és belső eseményhorizontok. A legkülső, szürke, befejezetlen gömbfelület a Schwarzschild-sugár lenne, ha a fekete lyuk nem forogna. A külső vöröseltolódási határ és a külső eseményhorizont közötti térrész az ergoszféra. 5.5 Vöröseltolódás A korábbi képletbe ezúttal a Kerr metrikus tenzor tagjait helyettesítjük be:   r⋅r g r⋅r 1− 2 22 g 2 2 2 g tt 2 2r a ⋅cos  2  ⋅2 = ⋅2 ⋅2= 1 = 1r⋅r g 1 r⋅r g 1 g tt 1− 2 1− 2 2 2  1 1r a ⋅cos 1   1− 2 (5.51) Ha a fényforrás közelebb van a

gravitációs mező forrásához, mint a megfigyelő, akkor: 1 r ≥2r 1  ≤2 (5.52) Akkor is van eltérés, ha ugyanolyan távol helyezkedik el a forrás és az észlelő a gravitációs vonzócentrumtól, de különböző szélességi körökön helyezkednek el: 1  ≤2 1  ≤2   2 (5.53) 5.6 Téridő csavarodása A NASA 1976-ban és 1992-ben egy-egy LAGEOS (Laser Geodynamics Satellite) műholdat bocsátott fel, melyek 60 cm-es 411 kg tömegű passzív fém gömbök, így gyakorlatilag nincs rájuk 179 5.6 Téridő csavarodása hatással a Föld felső légköre. A felszínükre helyezett tükrökről visszaverődő lézerfény vizsgálatával rendkívül szabályos pályájukat nagy pontossággal lehet bemérni. A Föld alakjának, és a kőzetlemezek sebességének pontos meghatározására használják őket, valamint hosszútávon relativisztikus hatások halmozódnak fel a pályaparamétereikben. Évtizedekig tartó megfigyelések

elemzésével sikerült a forgó Föld által megcsavart téridő hatásainak a kimutatása, 20%-os pontossággal. Nem-diagonális tenzor tagok léte érdekes következménnyel jár a kontravariáns és a kovariáns sebesség kapcsolatára: t t tt t v =g ⋅v  =g ⋅c⋅v t g ⋅v  (5.61) v  =g  ⋅v  =g t⋅v t g  ⋅v  (5.62) Például a második esetben, ha a próbatestnek nulla a horizontális lendülete, mégis lehet nem-nulla sebessége, és fordítva, illetve az első esetben lehetséges lendület nyugalmi energia nélkül. Továbbá egy, végtelen távolságban nulla keringési sebességű próbatest a forgó fekete lyuk gravitációs mezejébe sugárirányból behullva keringésre kényszerül, a következő körfrekvenciára tesz szert: t   g ⋅v g ⋅v v  f = t = tt t t   v g ⋅v t g ⋅v  v  =0 (5.63) A forgó fekete lyuk téridőtorzítása által okozott körfrekvencia: f=

c⋅a⋅r⋅r g t = 2 22 2 g 2 tt g r a  −a ⋅⋅sin  (5.64) A Föld téridejét a Kerr-metrikával közelítjük, a műszereink még nem elég pontosan ahhoz, hogy különbséget tehessünk egy forgó test és egy forgó fekete lyuk gravitációs hatása között. A perdületet a szögsebesség és a tehetetlenségi nyomaték szorzata alkotja: J =⋅ (5.65) A Földet egy mereven forgó gömbbel közelítjük: 2 2 = ⋅M ⋅R 5 2 ⋅R2 a= ⋅ 5 c (5.66) A Föld sugarából, és forgásának körfrekvenciájából a geometriai perdülete: R=6,371⋅106 m t f =86164,1 s −5 =7,292115⋅10 a=3,949 m 1 s (5.67) A Föld standard gravitációs paramétere, és belőle a gravitációs sugara: 180 5.6 Téridő csavarodása 3 m ⋅M =3,986004418⋅10 2 s 14 r g= 2⋅⋅M −3 =8,870056078⋅10 m 2 c A LAGEOS–1 műholdról az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy egyenlítői pályán kering. A

pályájának nagytengelye, keringési ideje és a téridő-csavarodás: t k =3,758 h=13528,8 s r =1,227⋅107 m  f =5,685⋅10−15 1 s (5.68) A felhalmozódott elmozdulás a pálya mentén egy év alatt:  év =0,037  s=2,201 m (5.69) A LAGEOS–2 műholdról is ugyanazt feltételezzük. A pályájának nagytengelye, keringési ideje és a téridő-csavarodás: t k =223 min=13380 s 7 r =1,2163⋅10 m  f =5,836⋅10−15 1 s (5.610) A felhalmozódott elmozdulás a pálya mentén egy év alatt:  év =0,038  s=2,24 m (5.69) 5.7 Egyenlítői körpálya A koordinátafeltételek megegyeznek a gömbszimmetrikus téridő esetével: t=t  ∂t =áll. ∂ r =áll. dr =0 =  2 = ∂ r ∂2 r = =0 ∂ ∂ 2 d =0 ∂ =áll. ∂ A koordinátafeltételek miatt a geodetikusok leegyszerűsödnek: 181 (5.71) 5.7 Egyenlítői körpálya r 2 2  tt⋅c ⋅ṫ  2  r 2 r ⋅̇

2⋅ t ⋅c⋅ṫ⋅̇=0  2  (5.72)  tt⋅c ⋅ṫ 2⋅ t ⋅c⋅ṫ⋅̇=0 Az ívelem-négyzet is leegyszerűsödik:   ds 2= 1−   r g 2 2 2⋅r g⋅a r ⋅a ⋅c ⋅dt  ⋅d ⋅c⋅dt− r 2a 2 g ⋅d  2 r r r (5.73) Ez természetesen megegyezik a mozgó megfigyelő koordináta-rendszerében mért ívhosszal: = d dt   c 2⋅d  2= 1−    r g 2 2⋅r g⋅a r ⋅a ⋅c  ⋅c⋅− r 2a 2  g ⋅ 2 ⋅dt 2 r r r A sajátidő és a koordinátaidő kapcsolata:  d =dt⋅ 1−    rg 2⋅r g⋅a r ⋅a 1  ⋅− 2⋅ r 2a 2 g ⋅ 2 r c⋅r r c (5.74) Ezt az egyenletet két különböző körfrekvencia is kielégíti, tehát két különböző körpályán is érvényes. Mivel a két mennyiség aránya állandó, a koordinátaidő is használható paraméterként a geodetikus egyenletek felírásakor. Ebben az esetben

meghatározhatóak az érintővektorok is, és megoldható az egyenlet, meghatározhatók a lehetséges körfrekvenciák: c⋅ṫ=c ̇=  r ⋅22⋅ r t ⋅c⋅ r tt⋅c 2=0 (5.75) Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét: x 1,2= −b±  b2−4⋅a⋅c 2⋅a 1,2 = −2⋅ r t ⋅c± 2⋅ rt ⋅c2−4⋅ r⋅ r tt⋅c2 2⋅ r  − rt ±  r t  2− r ⋅ rtt 1,2 =c⋅  r (5.76) Két lehetséges keringési körfrekvenciát kaptunk, ezek az egyes keringési irányoknak felelnek meg. 182 5.7 Egyenlítői körpálya Az érintett konnexiótagok a koordináta-feltételek miatt leegyszerűsödnek: r  tt =  r tt = ⋅r g⋅2⋅r 2−2  2⋅6 ⋅r g (5.77) 2⋅r 4 a⋅⋅r g⋅2−2⋅r 2  2  t  = t = ⋅sin  6 2⋅ r r  r t  = r t =− a⋅⋅r g (5.78) 2⋅r

4 a⋅r ⋅2⋅r 2−2 ⋅sin 2 −2⋅r⋅4  r  =⋅ g ⋅sin 2  6 2⋅  r  =⋅ a⋅r g −2⋅r 3 2⋅r 4 (5.79) Behelyettesítés: a⋅⋅r g 1,2 =c⋅ 2⋅r 4 ±   2 a⋅r g −2⋅r 3 ⋅r g − −⋅ ⋅ 4 2⋅r 4 2⋅r 4 2⋅r 3 a⋅r −2⋅r ⋅ g 4 2⋅r a⋅⋅r g Egyenlítő körpályán két körfrekvencia lehetséges, a keringési iránytól függően: a⋅r g ± a⋅r g 2 − a⋅r g −2⋅r 3 ⋅r g 1,2 =c⋅ a⋅r g −2⋅r 3 (5.710) 5.8 Kerr-Schild metrikák Felírjuk az általános alakjukat. A Kerr-téridő is ebbe a csoportba tartozik, eredetileg Roy Kerr is ebben a formában kereste a megoldást, itt ηηκ a sík téridő metrikus tenzora, lη pedig fényszerű vektor: g  = l ⋅l  g  = −l ⋅l  ⋅l  =l  l ⋅l =0 (5.81) 183 5.8 Kerr-Schild metrikák Mivel a

Schwarzschild téridő a Kerr speciális esete, ezért szintén ilyen alakú. Átrendezzük a Kerr ívelem-négyzetet: ds 2= sin 2    2 2 ⋅dt−a⋅sin ⋅d  − ⋅r 2a 2 ⋅d −a⋅dt 2 − 2⋅dr 2−2⋅d  2 2 2    (5.82) Új koordinátákat vezetünk be, és behelyettesítjük őket: du=dt − r 2a 2 ⋅dr  a d =d − ⋅dr  (5.83) ds 2= sin 2   2 2 ⋅  du−a⋅sin  ⋅d  − ⋅r 2 a 2 ⋅d −a⋅du22⋅du−a⋅sin2 ⋅d ⋅dr −2⋅d  2 2 2   (5.84) Átalakítunk, metrikus tenzor és ívelem-négyzet: g  =  1− r⋅r g  2 1 0 1 0 0 0 0 −2 a⋅r⋅r g ⋅sin 2  −a⋅sin 2  2  0 a⋅r⋅r g 2 ⋅sin 2   −a⋅sin2  0 2  − 2 ⋅sin 2    ds 2=dudr 2 −dr 2−2⋅d 2−r 2a 2 ⋅sin 2

⋅d 2−2⋅a⋅sin 2 ⋅d ⋅dr −r⋅r g 2 2 ⋅du−a⋅sin ⋅d  2  (5.85) Felírjuk a fényszerű vektort és behelyettesítjük: l =0 1 0 0 l =1 0 0 −a⋅sin 2  ds 2=dudr 2−dr 2− 2⋅d  2− r 2a 2 ⋅sin 2 ⋅d  2−2⋅a⋅sin 2 ⋅d ⋅dr −r⋅r g ⋅l ⋅l ⋅dx⋅dx  2  Ebbe derékszögű koordinátákat helyettesítünk be: t=ur x=r⋅cos a⋅sin⋅sin y=r⋅sin −a⋅cos ⋅sin  z =r⋅cos 184 (5.86) (5.87) 5.8 Kerr-Schild metrikák x 2 y 2= r 2a 2⋅sin 2  (5.88) A Kerr által eredetileg felírt metrika: ds 2 =c 2⋅dt 2−dx 2−dy 2−dz 2 r 3⋅r g  r⋅ x⋅dx y⋅dya⋅ x⋅dx− y⋅dy z⋅dz ds =ds − 4 2 2⋅ c⋅dt − − r r a ⋅z r 2a 2 2 2   2 (5.89) A

sugárirányú koordinátát kifejező egyenlet: r 4− x 2 y 2 z 2−a 2⋅r 2−a2⋅z 2=0 (5.810) A kör alakú szingularitás a Kerr téridő valódi szingularitása: 2 2 2 x  y z =a 2 z =0 (5.811) Az új koordinátákat más előjellel is bevezethetjük: du=dt  r 2a 2 ⋅dr  a d =d  ⋅dr  (5.812) 5.9 Tomimatsu-Sato téridők A forgó testek tengely-szimmetrikus téridejének modelljei, ám nem fedik le az összes lehetséges megoldást. Írjuk fel a komplex Ernst-potenciált a következő alakban: =   (5.91) Ahol az α és β polinomok az x és y koordinátákban, és a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: (a) mindig valós: ∂ ∂ ⋅ −⋅ ∂x ∂x mindig képzetes: ∂ ∂ ⋅ −⋅ ∂y ∂y (5.92) (b) az y páros hatványainak együtthatói valósak, páratlan hatványaié képzetesek. (c) az α polinom fokszáma δ2, a β-é pedig δ2 – 1, ahol δ természetes

szám, neve a deformációparaméter. (d) az α és β a p és q valós paraméterekben δ-fokú polinom, ahol: 185 5.9 Tomimatsu-Sato téridők p 2q2=1 (e) (5.93) a q = 1 esetben legyen ξ a statikus Zipoy-Voorhees téridők potenciálja. Ezért q << 1-re, ami lassú forgást jelent, a potenciál alakja: =  x1  x −1 i⋅q⋅1  x , y   x1 − x −1 (5.94) Az Ernst-egyenletből kapjuk az első rendben kicsi tag alakját, ahol a P függvények az alsó indexben jelzett fokszámú Legendre-polinomok:  1  x , y= 1 ⋅∑ a  x ⋅P 2⋅l−1  x    x1 − x−1 l =1 2⋅l−1 (5.95) A δ = 1 érték a Kerr-téridőt határozza meg, a δ = 2 eset polinomjai: = p2⋅x 4q 2⋅y 4 −1−2⋅i⋅p⋅q⋅x⋅y⋅ x 2− y 2  =2⋅p⋅x⋅ x 2−1−2⋅i⋅q⋅y⋅1− y 2  (5.96) Tetszőleges δ értékre a potenciál az m= a q

tömegű, J =a⋅m  Q=m3⋅ impulzusmomentumú, 2−1 2 2 ⋅p q 3⋅ 2  kvadrupólnyomatékú (5.97) test téridejét adja meg. Ezeknek az üres téridőknek a görbülete a forrástól távol lecsökken A görbületi szingularitások koncentrikus gyűrűk mentén helyezkednek el. Bevezetjük a valós G, H és I függvényeket a következőképpen:  ⋅ H i⋅I = = =  ⋅ G E= G=⋅  ⋅ −⋅ −⋅ −1 − −⋅  −⋅  −⋅   A2⋅i⋅I = = = = 1  ⋅   B B   H 2 I 2= A⋅GG2 a bal oldal: H 2 I 2=∣∣2⋅∣∣2 a jobb oldal: AG=⋅ −⋅ ⋅  (5.98) 186 5.9 Tomimatsu-Sato téridők Újabb jelöléseket vezetünk be: a= x 2−1 f r = p2⋅a rq2⋅br b= y 2−1 (5.99) A δ-ik Tomimatsu-Sato

ívelem a δ-ik Hankel-mátrix függvénye, amelynek a determinánsa: ∣ f 1 f  2 2 M  a , b= f 3 3  f   f  2 2 f 3 3 f  4 4  f 1 1 f 3 3 f  4 4 f 5 5  f 2 2      ∣ f   f 1 1 f 2 2  f 2⋅−1 2⋅−1 (5.910) Ennek segítségével a metrikus függvények: A= M  a , b =F  M  1,1 B=AGH C= p  ⋅ Q R− ⋅A 2⋅q⋅b⋅ p⋅q   (5.911) A metrikus függvények együtthatói: r−1! c  , r =⋅ ⋅2 2⋅r−1 −r !⋅2⋅r ! 2⋅r −2! d r =−1r−1⋅ r −1  2 ⋅r −1!2 e r =−2⋅d⋅r 1 ℜr ⋅c , r   t⋅d⋅t−r −1⋅c  , r  g  , r , r = ⋅∑ r t−1 2 t=r h  , r , r

= r⋅r ⋅e  r ⋅c  , r ⋅c  , r   2⋅rr −1 Ezekből a metrikus függvények: 187 (5.912) 5.9 Tomimatsu-Sato téridők  G=2⋅∑ c  , r ⋅F 2−r  r=1   r=1 r =r H =2⋅p⋅x⋅∑ d r ⋅a r −1⋅∑ c  , r ⋅F 2−r    2⋅x Q=− ⋅⋅∑ ∑ q2⋅a r⋅b 1− r ⋅g  , r , r ⋅F  2−1 q r =1 r =1  R=   ⋅∑ ∑  p 2⋅a r⋅b1−r −q 2⋅b r⋅a 1−r ⋅h  , r , r ⋅F  2−1 p⋅q r =1 r =1 (5.913) A δ-ik Tomimatsu-Sato téridő ívelem-négyzete:   B dy 2 dx 2 A b⋅C b⋅D ds = 2  −2 ⋅ −  ⋅dt 24⋅q⋅ ⋅dt⋅d  2 ⋅d  2  −1 b a B B  ⋅B  ⋅p ⋅a−b 2 2 2 (5.914) A D polinomot meghatározó egyenlet: A⋅D− p 2⋅a⋅B 2−4⋅2⋅q2⋅b⋅C 2=0 (5.915) Ezek a megoldások csak a forgó testeken kívüli téridőt

írják le. Olyan távolságokban a középponttól ahol már nem érvényesek, olyan gyűrűszingularitásokat találunk, melyeket nem takarnak eseményhorizontok. 188 6. Anyagi közegek térideje 6. Anyagi közegek térideje Az anyag jelenlétében felírt Einstein-egyenlet megmutatja, hogy az adott anyageloszlás hogyan görbíti a téridőt, a mozgó testek pályáját pedig a geodetikus egyenletek jelölik ki. Így a téridő és az anyag dinamikusan kölcsön hatnak egymással. Rá kell hogy mutassunk, hogy az Einstein-egyenlet egy igen egyszerű eszköz, csak annyit tud, hogy tetszőlegesen megadott tulajdonságú és eloszlású anyagra megadja az elméletileg általa okozott téridő geometriát. Arról nem tud semmit sem mondani, hogy ennek az anyageloszlásnak van-e fizikai realitása. Látni fogjuk, hogy nem tud tetszőlegesen sok anyag a tér egy adott térfogatában stabil maradni, már egy véges mennyiség esetén is végtelenül nagy belső nyomás alakul ki, és

az égitest fekete lyukká omlik össze. 6.1 Energia-impulzus tenzor Olyan térben vizsgáljuk a gravitációt, amit anyag tölt ki. Ebben az esetben az Einsteinegyenlet alakja: 1 R − ⋅R⋅g  =−k⋅T   2 (6.11) Az egyenlet jobb oldalán az energia-impulzus tenzor található, megszorozva egy egyelőre ismeretlen állandóval. Ez a tenzor rendelkezik az anyag gravitációs hatásának leírásához szükséges összes információval. Az általános relativitáselméletben akkor beszélünk anyag jelenlétéről, ha egy adott pontban ennek a tenzornak az értéke nullától különböző, ez sugárzások és kölcsönható erőterek esetén is megvalósul. Az általános relativitáselméletben a konnexió szimmetrikus, ezért a Ricci-tenzor, és az energia-impulzus tenzor is az lesz, tehát a fenti egyenletrendszer tíz ismeretlent tartalmaz. Általános esetben Tηκ az energia-impulzus vektor η-ik elemének áramlását jelenti a κ-ik

koordinátafelületen keresztül. Az energia-impulzus vektor tagjainak jelentése:  E = E c p p p  (6.12) Ahol E az energia, a p-k pedig a lendület három térbeli komponensét jelenti. Tehát például egy időszerű és három térszerű koordináta esetén T00 az energia átáramlását jelenti az állandó időkoordinátájú hiperfelületen, ami azt jelenti, hogy az energiasűrűségről van szó: T 00 =⋅c 2 (6.13) Ha az egyik index nem nulla, az a fentiek alapján vagy lendületsűrűséget jelent, vagy az energia áramlását térkoordináták által meghatározott koordinátafelületeken keresztül, ami a tenzor szimmetriája miatt ugyanazt jelenti: T 0i =T i 0=i⋅c (6.14) 189 6.1 Energia-impulzus tenzor Ha az indexek megegyeznek, és térszerűek, az a lendület áthaladását jelenti, azon a koordinátafelületen, amelyre merőleges. Ez valójában a nyomás három komponense: T ii = pi (6.15) Ha a fent említett indexek

különbözőek, akkor az egyik lendület komponens irányt vált, ez torzulást jelent például a szilárd anyagban, melyet nyírásnak, stressznek hívunk. A tenzor szimmetriája itt is jelentkezik: T ij =T ji =sij =s ji (6.16) Az általános energia-impulzus tenzor:  ⋅c2 1⋅c 2⋅c 3⋅c  ⋅c p 1 s 12 s 13 T  = 1 2⋅c s 21 p2 s 23 3⋅c s 31 s 32 p3  (6.17) Az általános relativitáselmélet nagy gyakorlati haszna, hogy a fenti tenzor ismeretében meghatározható a gravitációs mező, ám az anyag eredetére vonatkozó elméletek nem szükségesek hozzá. 6.2 Einstein-egyenlet anyagi közegben Általánosítsuk a newtoni gravitációs potenciált tetszőleges tömegeloszlásokra. Így nézett ki a képlet egy gömbszimmetrikus tömegeloszlás környezetében: m  r =−⋅ r (6.21) Egy tetszőleges anyageloszlás tömege, és gravitációs potenciálja: m=∫  r ⋅dr 3 r =−⋅∫  r

 3 ⋅dr r (6.22) Felírjuk a mozgásegyenletet és a mezőegyenletet a Gauss-tétel segítségével: ẍ i= ∂ ∂ xi ∂2  =4⋅⋅⋅ ∂ x i2 (6.23) Mozgásegyenlet és mezőegyenlet az általános relativitáselméletben, átrendezzük az Einsteinegyenletet: 190 6.2 Einstein-egyenlet anyagi közegben   1 R =k⋅ T   ⋅T⋅g   2 x¨ =−  ⋅ẋ ⋅ẋ  (6.24) Meghatározzuk az Einsteini modell fontosabb geometriai mennyiségeit a newtoni közelítésben. Ez kis sebességeket jelent, ahol a gravitáció eredete döntően a testek nyugalmi tömege. A koordinátaidő a sajátidőhöz közelít, a sebességek és a nem-lineáris hatások pedig elhanyagolhatóak: ẋ  = c 0 0 0  ẍ i=− i 00⋅c 2≈− d ≈dt ∂ i ∂x (6.25) A konnexió nem nulla tagjai:   ∂ g 0a ∂ g a0 ∂ g 00 1  i 00= ⋅g ia⋅  − 2 ∂ x0 ∂ x0 ∂ xa   ∂g ∂g 2

∂ ⋅ i ≈ g ia⋅ − 00a ≈− 00i 2 c ∂x ∂x ∂x (6.26) Integrálással meghatározzuk a metrikus tenzor komponenst: g 00≈1− 2⋅ ≈1 c2 (6.27) Behelyettesítjük az átcsoportosított Einstein-egyenletbe:  1 R00=k⋅ T 00 ⋅T⋅g 00 2  (6.28) Folytatjuk az egyenletben szereplő mennyiségek meghatározását. A felhasznált közelítések miatt az energia-impulzus tenzor jelentősen leegyszerűsödik, a gravitáció eredete az anyageloszlás nyugalmi tömege:  ⋅c 2 T  = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 (6.29) Az energia-impulzus tenzor kontraháltja: T = g  ⋅T  ≈ g 00⋅T 00≈⋅c 2 (6.210) Felírjuk az egyenlet jobb oldalát: 191 6.2 Einstein-egyenlet anyagi közegben   1 1 k⋅ T 00 ⋅T⋅g 00 = ⋅k⋅⋅c 2 2 2 (6.211) És baloldalát: ∂  a00 ∂  aa0 ∂  a00 1 ∂2  4⋅⋅⋅ R00≈ − = ≈ ⋅ = ∂ xa ∂ x0 ∂ x a c2 ∂ x i 2 c2

(6.212) A kettőt egyenlővé téve kifejezzük a fizikai állandót: 1 4⋅⋅⋅ ⋅k⋅⋅c 2= 2 c2 k= 8⋅⋅ c4 (6.213) Visszahelyettesítjük az Einstein-egyenletbe: 1 8⋅⋅ R − ⋅R⋅g  =− 4 ⋅T   2 c (6.214) A továbbiakban kétféle feltételezéssel fogunk élni az anyag szerkezetét illetően. Lehet folytonos, például az elektromágneses mező, vagy alkothatják részecskék, mint az atomos anyagot. Ez utóbbi kategóriába tartoznak a galaxisok is, melyeket csillagok alkotnak, vagy maga az Univerzum, melyet galaxisok alkotnak, tehát diszkrét anyagszigetek. 6.3 Ideális folyadék Az anyagot alkotó részecskék mozgása kvantummechanikai szabályoknak felel meg, a relativitáselméletben viszont a pályák egyértelműen meghatározhatóak. Ezért a folyadékban egy olyan kis térfogatot vizsgálunk, amely egyrészt elhanyagolható térfogatú az egész anyagmennyiséghez képest, másrészt elég nagy ahhoz, hogy

a kvantumeffektusok elenyészőek legyenek benne, tehát elegendően sok részecske alkotja. Ezek a korlátok kijelölik a folytonos folyadékmodell érvényességi határait, ezek egyben az általános relativitáselmélet érvényességi határai is. A modellként vizsgált közegben eltekintünk a belső súrlódástól, és a viszkozitástól. Ezzel jelentősen egyszerűsíteni lehet az energia-impulzus tenzor alakját, mivel csak a sűrűség, és a nyomás fogja azt meghatározni. Kis térfogatokon a közegünk homogén és izotróp, ezért a három nyomáskomponens nagysága megegyezik. Lokális, a folyadék-részecskékkel együtt mozgó koordináta-rendszerben az energia-impulzus tenzor és a négyessebesség alakja, az ideális folyadékokkal szemben támasztott követelmények miatt: 192 6.3 Ideális folyadék  ⋅c 2 0 p T  = 0 0 0 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p  u =c 0 0 0 (6.31) Az energia-impulzus tenzor legáltalánosabb esetben a

négyessebesség és a metrikus tenzor lineáris kombinációja, megszorozva ismeretlen függvényekkel: T  = A⋅u⋅u  B⋅g   (6.32) Írjuk fel a lokális változat térszerű komponenseit indexes írásmódban, az általános formula jelöléseivel, ilyenkor a négyessebesség térszerű komponensei nullák, és a sík téridő metrikus tenzorát használjuk: T ii =B⋅ii =−B (6.33) Az általános képlettel összehasonlítva felismerjük a szorzó függvényt: B=− p (6.34) Az energia-impulzus tenzor tisztán időszerű komponense: 2 T 00= A⋅u 0⋅u 0B⋅00=A B= A⋅c − p=⋅c A= 2 p 2 c (6.35) A relativisztikus ideális folyadék energia-impulzus tenzora általános esetben:   T  =  p ⋅u⋅u  p⋅g  c2 (6.36) 6.4 Gömbszimmetrikus égitest Megközelítőleg 500 km-es átmérő fölött az égitestek alakját már a molekuláris összetartó erők helyett a saját, és a

szomszédos testek által kifejtett gravitáció, illetve a forgásuk határozza meg. A szomszédaitól biztonságos távolságra lévő, lassan forgó égitesteknek közel gömbszimmetrikus az alakja, és a belső eloszlása. Ezeknek az objektumoknak a külső téridejét a Schwarzschild-metrika nagy pontossággal írja le. A belsejükben érvényes téridő alakjának meghatározásához az üres téridőben történt levezetést tovább kell vinni. Mint látni fogjuk, a Ricci tenzor itt nem lesz nulla, hanem a teljes Einstein-egyenletet meg kell oldani. A gömbszimmetrikus téridő ívelem-négyzetének általános alakja, Schwarzschild-koordinátákban: ds 2= Ar ⋅c2⋅dt 2−B r ⋅dr 2−r 2⋅d  2−r 2⋅sin 2 ⋅d  2 193 (6.41) 6.4 Gömbszimmetrikus égitest Ezúttal olyan alakban érdemes felírni, ahol az ismeretlen függvények exponenciálisok: ds 2=e 2⋅ r ⋅c 2⋅dt 2−e 2⋅ r ⋅dr 2 −r 2⋅d  2−r 2⋅sin2

⋅d 2 (6.42) Meghatározzuk a felületet jellemző geometriai mennyiségeket, a metrikus tenzortól a Ricciskalárig, hogy felírhassuk velük az Einstein-egyenleteteket. A sugárirányú koordináta szerinti deriváltat vesszővel jelöljük:  e 2⋅ 0 0 0 2⋅ 0 −e 0 0 g  = 2 0 0 −r 0 2 0 0 0 −r ⋅sin2     1 e 2⋅ 0 0 − g = 1 e 2⋅ 0 0 0 0 0 0 0 1 − 2 r 0 0 0 − 1 2 r ⋅sin 2  ∂ g tt =2⋅e 2⋅⋅ ∂r ∂ g tt =−2⋅e−2⋅⋅ ∂r ∂ g rr =−2⋅e 2⋅⋅ ∂r ∂g =2⋅e−2⋅⋅ ∂r ∂ g  =−2⋅r ∂r ∂ g 2 = 3 ∂r r ∂ g  2 =−2⋅r⋅sin  ∂r ∂ g  2 = 3 ∂r r ⋅sin 2   ∂ g  =−2⋅r 2⋅cos ⋅sin  ∂ ∂ g   2⋅cos = 2 ∂ r ⋅sin3    t tr =t rt =  r tt =e 2⋅ −⋅  r rr = 

r  =−r⋅e−2⋅  r  =−r⋅e−2⋅⋅sin 2   r = r = r =  r =    t  (6.43) rr =−cos⋅sin   t   r ∂ tr ∂ rt = = ∂r ∂r =   =cot  (6.44) 1 r (6.45) ∂ tt 2⋅− =e ⋅2⋅ ⋅ −   ∂r 194 6.4 Gömbszimmetrikus égitest ∂ r rr = ∂r ∂ r   −2⋅ =e ⋅2⋅r⋅ −1 ∂r ∂ r  −2⋅ =e ⋅ 2⋅r⋅ −1⋅sin2   ∂r ∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r 1 = = = =− 2 ∂r ∂r ∂r ∂r r r  ∂  =−2⋅r⋅e−2⋅⋅cos ⋅sin  ∂ ∂  =sin2  −cos 2  ∂ ∂   ∂   = =−cot 2 −1 ∂ ∂ (6.46) t t Rt rtr =−Rt rrt = ⋅ −

− 2 R Rt t =−Rt  t=−r⋅e −2⋅⋅ ⋅sin 2  Rr ttr =−Rr trt =e 2⋅ −⋅ ⋅− − 2 R r r =−R r  r =r⋅e −2⋅ ⋅ Rtt =−Rt  t=R tt  =−Rt t =− =−R R r R    −2⋅  t =−R r =−R    r  ⋅ =−r⋅e −2⋅  r =r⋅e 2 ⋅ ⋅sin  e 2⋅ −⋅ r Rrr =−Rr r =Rrr  =−Rr  r =−  r R  =−R = 1−e−2⋅ ⋅sin 2   Rtt =−e 2⋅− ⋅  ⋅− − 2 − Rrr = ⋅ − − 2 t 2⋅ r =1−e −2⋅ (6.47)  2⋅ r R =e−2⋅⋅ r⋅ − −11 2 −2⋅ R =e R=2⋅e (6.48) ⋅r⋅ − −11⋅sin   2⋅

−  e 2⋅−1 ⋅  ⋅ − −   r r2 −2⋅ 2  (6.49) Az Einstein-egyenletek: 1 8⋅⋅ G = R − ⋅R⋅g  =− 4 ⋅T  2 c (6.410) 195 6.4 Gömbszimmetrikus égitest Az Einstein-tenzor diagonális: 2⋅r⋅e 2⋅ −1 Gtt =e 2⋅−⋅ r2 2⋅r⋅ −e 2⋅1 r2 G rr= 2 −2⋅ G  =−r⋅e ⋅r⋅ 1⋅ −r⋅ −r⋅ −  G =−r⋅e−2⋅⋅ r⋅ 1⋅ −r⋅ −r⋅ 2− ⋅sin 2  (6.411) Az ideális folyadékok energia-impulzus tenzorának diagonális változatával tesszük egyenlővé, amiben a négyessebesség nulla, vagyis feltételezzük, hogy az égitest belső áramlásai elhanyagolhatóak. A folyadék a Schwarzschild koordináta-rendszerben nyugszik, ezért az energiaimpulzus tenzor alakja:   (6.412) 1  8⋅⋅ ⋅ − −

2− = 4 ⋅p r  r r c (6.413) ⋅c2⋅e−2⋅ r  0 0 − p⋅e−2⋅ r  T  = 0 0 0 0 0 0 p − 2 r 0 0 0 0 − p r ⋅sin 2  2 Felírjuk a megoldandó egyenleteket: 2⋅r⋅e 2⋅ −1 8⋅⋅ ⋅ =− 2 ⋅ r  2 r c −2⋅ (1) e (2) 2⋅r⋅ −e 2⋅1 8⋅⋅ e−2⋅⋅ = 4 ⋅p r  r2 c   −e−2⋅⋅    Az égitest tömege ezúttal nem egy pontban értelmezett, hanem eloszlik a középponttól a felszínig. A metrika figyelembe vételével integrálni kell az egész gömb alakú térfogatban az energiasűrűség függvényt, tehát az égitest tömegét az azt alkotó anyag, és a gravitációs potenciális energia összege adja: R M =4⋅⋅∫ A r ⋅ r ⋅r 2⋅dr (6.414) 0 196 6.4 Gömbszimmetrikus égitest Az első (1) megoldandó egyenlet átírható a következő alakúra:   r 8⋅⋅ ∂ =1−

2 ⋅r 2⋅r  ∂r e 2⋅ c r 2⋅ 1 =1− 2 ⋅4⋅⋅∫ r 2⋅ r ⋅dr 2⋅ e c ⋅r 0 e 2⋅= 1 2⋅⋅mr  1− c 2⋅r (6.415) Kivonjuk a második (2) egyenletből az elsőt (1):    p r  1 2⋅ 2⋅ 8⋅⋅ ⋅  = 2 ⋅  r − 2 2⋅ r r e c c  1−  =    2⋅⋅mr  p r  4⋅⋅ ⋅  = ⋅r⋅  r − 2 2 2 c ⋅r c c  ⋅m r  4⋅⋅ 1 ⋅ 2 2  ⋅r⋅p r  2⋅⋅mr  c ⋅r c4 1− c 2⋅r   (6.416) Átalakítjuk: 4⋅⋅r 3⋅p r  1 ⋅mr  c 4⋅mr   = 2 2 ⋅ 2⋅⋅mr  c ⋅r 1− c2⋅r  =− dp r  1 ⋅ 2 dr p r  r ⋅c (6.417) Kifejezzük a metrikus függvényeket az Einstein-egyenletből:  −2⋅r⋅ = 1−  2⋅r⋅ = 1  8⋅⋅ 2 ⋅r ⋅ r  ⋅e2⋅ −1

2 c  8⋅⋅ 2 ⋅r ⋅p r  ⋅e 2⋅ −1 4 c (6.418) A másodikat ismételten deriváljuk r szerint, majd beszorozzuk r-el: 197 6.4 Gömbszimmetrikus égitest   2⋅r⋅ 2⋅r 2⋅ = 2⋅r⋅ ⋅ 1   8⋅⋅⋅r 2 16⋅⋅⋅r 2 ⋅p r  ⋅ p r r⋅p r  ⋅e 2⋅  4 4 c c Kifejezzük a második deriváltat, és behelyettesítjük mindkét metrikus függvényt:  2⋅r 2⋅ =1   2 − 1   16⋅⋅⋅r 2 ⋅ p r r⋅p r  ⋅e 2⋅ 4 c 2 8⋅⋅⋅r 8⋅⋅⋅r ⋅p r  ⋅ 1− ⋅p r  ⋅e 4⋅ 4 4 c c Négyzetre emeljük a második metrikus függvényt: 2     8⋅⋅ 2 8⋅⋅ 2 4⋅r ⋅ = 1 ⋅r ⋅pr  ⋅e 4⋅−2⋅ 1 ⋅r ⋅p r  ⋅e 2⋅1 4 4 c c 2 2 A fenti eredmények behelyettesítésével megkapjuk a

szimmetrikus, izotróp, és gömb alakú égitestben a hidrosztatikai egyensúlyt: dp r  =− dr  ⋅  r   p r  p r  ⋅ mr 4⋅⋅r 3⋅ 2 2 c c 2⋅⋅m r  r 2⋅ 1− r⋅c 2    (6.419) Ez az egyenlet kielégíti a következő feltételeket: m0=0 dmr  =4⋅⋅r ⋅r 2 dr (6.420) Az égitest felszínén a nyomás nulla (elhanyagoljuk az esetleges légkört) és a metrika folytonosan átmegy a vákuum Schwarzschild-megoldásba: p  R=0 e 2⋅  R =1− 2⋅⋅M 2 r⋅c (6.421) Az égitest belsejében, anyagi közegben a hidrosztatikai egyenlet a következő általános metrikának felel meg: ds 2=e 2⋅ r ⋅c 2⋅dt 2− dr 2 −r 2⋅ d  2sin 2 ⋅d  2 2⋅⋅mr  1− r⋅c2 198 (6.422) 6.4 Gömbszimmetrikus égitest 6.5 Állandó sűrűségű gömb A gömbszimmetrikus égitestekre felírt egyenletek

analitikusan megoldhatóak, ha feltételezzük, hogy az égitest térfogatában a sűrűség minden pontban ugyanannyi, ez jellemzi az ideális, homogén folyadékokat. Ez egy erősen idealizált modell, bár nem áll messze a valóságtól annyiban, hogy számos természetben előforduló objektum, például a Föld esetében a sűrűség sokkal kevésbé változik a felszíntől a középpont felé haladva, mint a nyomás. (6.51) =áll. A tömegeloszlás függvénye máris könnyen felírható az égitest belsejében, illetve a teljes tömeg: m r = M= 4⋅ ⋅⋅r 3 3 r R 4⋅ ⋅⋅R3 3 r ≤R (6.52) A kettő aránya: m r3 = M R3 (6.53) Ez felhasználható az égitest belsejében érvényes ívelem-négyzet meghatározásakor, ahol a hosszmértékekre áttérés jegyében behelyettesítjük a gravitációs sugarat: e 2⋅ = 1 1 1 = = 2⋅⋅m r  r g mr  r g⋅r 2 1− 1− ⋅ 1− 3 c 2⋅r r M  R R (6.54) A

hidrosztatikai egyensúly képletébe behelyettesítjük az állandó sűrűséget, és a tömegeloszlás függvényét: dp r  =− dr dp r  =− dr  ⋅    p r  4⋅ p r  ⋅ ⋅⋅r 34⋅⋅r 3⋅ 2 2 3 c c 2⋅ 4⋅ r 2⋅ 1− 2⋅ ⋅⋅r 3 3 r⋅c     p r   p r  ⋅  2 ⋅r 3 c2 c 8⋅⋅ 1− ⋅⋅r 2 2 3⋅c 4⋅⋅⋅   199 (6.55) 6.5 Állandó sűrűségű gömb A differenciálegyenlet megoldása, a határfeltételek figyelembe vételével:  p=⋅ 1− r g⋅r 2 R 3  − 1−  rg R rg r g⋅r 2 3⋅ 1− − 1− 3 R R  r R (6.56) r =0 (6.57) Nyomás a gömb alakú égitest középpontjában:  1− 1− p c =⋅  rg R r 3⋅ 1− g −1 R A középponti nyomás végtelenné válik, ha a tört nevezője nulla:  3⋅ 1− rg =1 R rg 8 = R 9 (6.58) Látható, hogy adott térfogat

esetén létezik a tömegnek egy felső korláta, mely független az égitest anyagától. A fekete lyukak kialakulásánál tehát nem merülhet fel, hogy ugyan a fehér törpék, és a neutroncsillagok anyaga nem tudja megállítani az összeomlást, de talán van jobb teherbírású ismeretlen anyag, amely időben megállítja az önmagába roskadó csillagot. A fenti eredmény ismeretében biztosan tudjuk, hogy ilyen anyag nem létezik, a fenti határt megközelítve az égitest menthetetlenül fekete lyukká változik. A legnagyobb lehetséges vöröseltolódás egy csillag felszínén: z= 1  r 1− g R −1= 1  8 1− 9 −1=2 (6.59) Tehát ha ennél nagyobb vöröseltolódást észlelünk az Világegyetemben, annak már nem lehet gravitációs eredete. Megvizsgáljuk a hang terjedési sebességét a gömbszimmetrikus állandó sűrűségű égitestekben. Hangsebesség ideális gázokban, ahol α az adiabatikus index:  v = ⋅ p  (6.510) Ha

behelyettesítjük a nyomásra kapott összefüggést, megkapjuk a hangsebesség függését a mélységtől: 200 6.5 Állandó sűrűségű gömb  v = ⋅  1− r g⋅r 2  3⋅ 1− R3  − 1−  rg R (6.511) rg r ⋅r − 1− g 3 R R 2 A mélység függése a hangsebességtől:  3⋅v 2⋅ 1−   rg r g⋅r 2 =v 2⋅ 1− 3 R R    2  r R3 3⋅v 2  r= ⋅ 1− g ⋅ 1− 2 rg R v  (6.512) Annak a feltétele, hogy a kapott sugár valós szám legyen:      2 r R3 3⋅v 2  ⋅ 1− ⋅ 1− g 2 rg R v   rg 8 v 2 ≥ ≥1− 2 R 9 3⋅v  ≥0 2  (6.513) Az adiabatikus index értékétől függetlenül a gravitációs sugár és az égitest sugarának aránya mindig nagyobb, mint a korábban megállapított végtelen központi nyomású határérték. A másik metrikus függvény képletébe is behelyettesítjük a

korábbi eredményt:  =   1  4⋅⋅ ⋅ 2 2⋅mr  ⋅r⋅p r  4 2⋅⋅mr  r ⋅c c 1− r⋅c 2 (6.514) Szükségünk van a sűrűség és a Schwarzschild-sugár kapcsolatára, amivel meghatározzuk a tömeg és a nyomás függését a geometriai mennyiségektől: 3⋅c 2⋅r g = 8⋅⋅⋅R3 (6.515) 2 c ⋅r g 3 m r = ⋅r 3 2⋅⋅R r R 201 (6.516) 6.5 Állandó sűrűségű gömb 2 p= 3⋅c ⋅r g 8⋅⋅⋅R ⋅ 3  1− r g⋅r 2 R3  − 1−  rg R r R r r ⋅r 2 3⋅ 1− g − 1− g 3 R R  (6.517) Ezeket behelyettesítjük a metrikus függvény r-szerinti deriváltjába, majd integrálunk:  = r g⋅r  3⋅ 1− =log   rg r g⋅r 2 r g⋅r 2 3 − 1− 3 ⋅ 1− 3 ⋅R R R R       r g⋅r 2 rg 1 ⋅ 1− 3 −3⋅ 1− 2 R R  2 rg r g⋅r 2 1 e = ⋅ 3⋅ 1− − 1− 3 4 R R 2⋅ (6.518)

(6.519) Az ívelem-négyzet a gömbszimmetrikus homogén égitest belsejében:  2   r r ⋅r 2 1 2 2 2 ds = ⋅ 3⋅ 1− g − 1− g 3 ⋅c ⋅dt − 4 R R dr 2 2 2 2 2 −r ⋅d  sin ⋅  2 r ⋅r 1− g 3 R (6.520) A teljes téridő mentes a szingularitásoktól. Az égitest középpontjában sem alakulnak ki, mert ekkor a második metrikus függvény nevezője nem válik nullává. A második metrikus függvényben a gyökvonások eredménye mindig valós szám lesz, a végtelen nyomásra korábban felírt feltételünk miatt. Felírjuk a szokásos geometriai mennyiségeket a metrikus tenzortól az Einstein-tenzorig:  P= 1− g  =   rg R Q= 1− 1 ⋅3⋅P−Q2 4 0 0 0 0 − 0 r g⋅r 2 R3 0 1 0 0 Q2 0 −r 2 0 0 0 −r 2⋅sin2   202  6.5 Állandó sűrűségű gömb  g =  4 0 3⋅P−Q2 2 0 −Q 0 0 0 0 0 0 1 − 2 r 0 0 0 0 − 1 r ⋅sin 2  2

 (6.521) ∂ g tt r⋅r g⋅3⋅P−Q = ∂r 2⋅Q⋅R3 8⋅r⋅r g ∂ g tt =− ∂r 3⋅P−Q3⋅Q⋅R3 2⋅r⋅r ∂ g rr =− 4 g3 ∂r Q ⋅R ∂ g rr 2⋅r⋅r g = ∂r R3 ∂ g  =−2⋅r ∂r ∂g 2 = 3 ∂r r ∂ g  =−2⋅r⋅sin 2  ∂r ∂g 2 = 3 2 ∂r r ⋅sin   ∂ g  =−2⋅r 2⋅cos ⋅sin  ∂ ∂ g   2⋅cos = 2 ∂ r ⋅sin3    t tr = t rt = r  tt =  r   r       r⋅r g 3⋅P −Q⋅Q⋅R3 r⋅r g⋅ 3⋅P−Q⋅Q 4⋅R  =−r⋅ 1− =  r = =    r rr = 3 r 2⋅r g R 3   r =  r = 1 r  r     r⋅r g 3 R −r 2⋅r g  =−r⋅ 1− r 2⋅r g R 3 ⋅sin 2  (6.523) =cot     =−cos ⋅sin  ∂ t tr ∂ t rt rg r 2⋅r g r 2⋅r

g = = ⋅ 1−  ∂r ∂r 3⋅P−Q⋅Q⋅R 3 3⋅P−Q⋅Q⋅R3 Q2⋅R 3 r (6.522)  2 2   2 ∂ tt r r ⋅r g r ⋅r g r ⋅r g Q = g 3⋅ 3⋅P−Q⋅  −  3 3 ∂r 2 2⋅Q⋅R Q⋅R 2⋅R 2⋅R3 203  6.5 Állandó sűrűségű gömb 3 r  2 ∂ r   3⋅r 2⋅r g =− 1− 3 ∂r R ∂ rr R r ⋅r =r g⋅ 3 2 g 2 ∂r  R −r ⋅r g    ∂ r  3⋅r 2⋅r g =− 1− ⋅sin 2   3 ∂r R  r  ∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r 1 = = = =− 2 ∂r ∂r ∂r ∂r r  2 r ⋅r ∂  =−2⋅r⋅ 1− 3 g ⋅cos ⋅sin  ∂ R ∂  =sin2  −cos2  ∂ R t rtr =−R t rrt =− ∂   ∂   = =−cot 2 −1 ∂ ∂ (6.524) r 2⋅r g⋅Q R  t =−R  t =− 3⋅P−Q⋅R3 rg t 3⋅P −Q⋅Q⋅R3 t 2 r ⋅r

g⋅Q R t =−R  t=− ⋅sin2  3 3⋅P−Q⋅R t t Rr ttr =−Rr trt =Rtt =−Rt  t=Rtt  =−Rt t =− r g⋅3⋅P −Q⋅Q 4⋅R3 2 Rr  r =−Rr  r =−R  =R = R r r  =−R r  r =R    =−R    r 2⋅r g 2 = 3 ⋅sin  R Rrr =−Rr r =Rrr  =−Rr  r =− Rtt = 3⋅r g⋅3⋅P −Q⋅Q 4⋅R 2 R  = R=  rg  (6.525) 3 R −r 2⋅r g Rrr = 3 r ⋅r g Q ⋅ 2− 3 3⋅P−Q R r ⋅r g 3 R rg Q⋅R 3  ⋅ 2 1 − Q 3⋅P−Q   2 R = r ⋅r g R 3 r 2⋅r g⋅11⋅Q−15⋅P−3⋅P−Q⋅1−Q 2⋅R3 r 2⋅3⋅P−Q⋅R3 204 ⋅ 1−    Q −Q 21 ⋅sin2   3⋅P−Q (6.526) (6.527) 6.5 Állandó sűrűségű gömb 2 3 2 1−Q ⋅R 5⋅r ⋅r g Gtt =3⋅P−Q ⋅ 2 3 8⋅r ⋅R 2 G rr =−

3⋅P−Q⋅1−Q 2⋅R3r 2⋅r g⋅3⋅P−5⋅Q 2⋅r 2⋅3⋅P−Q⋅Q2⋅R3 3⋅P−Q ⋅1−Q 2⋅R3 r 2⋅r g⋅3⋅P−5⋅Q G =− 2⋅3⋅P−Q ⋅R3 G = 3⋅P−Q⋅1−Q2 ⋅R3−r 2⋅r g⋅9⋅P−7⋅Q (6.528) 2⋅3⋅P−Q⋅R 3 6.6 Zuhanás a középpontba Az átlagos szabad úthossznál rövidebb úton mozgó részecskék, illetve a megfelelő alakú alagútban zuhanó testek pályáját a következő geodetikus egyenletek írják le: c⋅ẗ2⋅ t tr⋅c⋅ṫ⋅ṙ=0 ẗ r⋅r g 3⋅P−Q⋅Q⋅R3 ⋅ṫ⋅ṙ =0 (6.61) r̈  r tt⋅c 2⋅ṫ 2  r rr⋅ṙ 2 r ⋅̇ 2 r ⋅̇ 2=0     r⋅r g⋅3⋅P−Q⋅Q 2 2 r⋅r g r 2⋅r g r 2⋅r g 2 2 r̈  ⋅c ⋅ṫ  3 2 ⋅ṙ −r⋅ 1− 3 ⋅̇ −r⋅ 1− 3 ⋅sin2 ⋅̇ 2=0 3 4⋅R R −r ⋅r g R R (6.62) 

̈2⋅ r ⋅ṙ ̇   2 ⋅̇ =0 2 2 ̈ ⋅ṙ ̇−cos ⋅sin ⋅̇ =0 r (6.63) ̈2⋅ r ⋅ṙ ̇2⋅  ⋅̇⋅̇=0 2 ̈ ⋅ṙ ̇2⋅cot ⋅̇⋅̇=0 r (6.64) Függőleges zuhanás esetén a koordinátafeltételek megegyeznek a vákuummegoldás esetével: t=t  =t 205 6.6 Zuhanás a középpontba r =r  =áll.= r =r t  2 d =0 d =0 =áll. (6.65) Ezek behelyettesítésével a pálya mozgásegyenletei: ẗ r⋅r g 3⋅P−Q⋅Q⋅R3 r̈  ⋅ṫ⋅ṙ =0 (6.66) r⋅r g⋅3⋅P−Q⋅Q 2 2 r⋅r ⋅c ⋅ṫ  3 2g ⋅ṙ 2=0 3 4⋅R R −r ⋅r g (6.67) ̈=0 (6.68) ̈=0 (6.69) Behelyettesítjük a koordinátafeltételeket az ívelem-négyzetbe:  2   r r ⋅r 2 1 2 2 ds 2= ⋅ 3⋅ 1− g − 1− g 3 ⋅c ⋅dt − 4 R R  dr 2 −r

2⋅d  2sin 2 ⋅2  2 r g⋅r 1− 3 R 2   r r ⋅r 2 1 2 2 2 2 c ⋅d  = ⋅ 3⋅ 1− g − 1− g 3 ⋅c ⋅dt − 4 R R dr 2 r ⋅r 2 1− g 3 R A sajátidő és a koordinátaidő kapcsolata sebességfüggő:    2  rg r g⋅r 2 1 d = ⋅ 3⋅ 1− − 1− 3 − 4 R R v 2r 2  c ⋅ 1− r g⋅r R3 2 ⋅dt  vr= dr dt (6.610) Időszerű behulló geodetikus mentén az ívelem-négyzetet egyenlővé tesszük az együtt mozgó koordináta-rendszer ívelem-négyzetével, majd osztunk a sajátidő változásával, és az érintővektorok segítségével írjuk fel az egyenletet: dt 2 dr 2 c 2⋅d  2 2 A⋅c ⋅ 2 −B⋅ 2 = =c d d d 2 2 206 6.6 Zuhanás a középpontba u t= dt d ur= dr d A⋅c 2⋅u t 2−B⋅ ur 2=c 2 (6.611) A matematikai bevezetőben levezettük, hogy ha a metrikus tenzor parciális deriváltja az egyik koordináta szerint nulla, akkor a megfelelő

kovariáns érintővektor mozgásállandó: ∂ g  =0 ∂t ∂u t =0 ∂t Indexsüllyesztéssel érintővektorból: kiszámoljuk az (6.612) időirányú kovariáns érintővektort u t= g t ⋅u= g tt⋅u t =A⋅u t a kontravariáns (6.613) Átalakítjuk az ívelem-négyzetet, és kifejezzük belőle az időirányú kovariáns érintővektor négyzetét: 2 2 2 2 t 2 2 r 2 c ⋅u t  =A ⋅c ⋅u  = A⋅ c B⋅u   A zuhanás kezdetén a sugárirányú sebesség nulla: 2 2 c ⋅u t  =A r 0 ⋅c 2 (6.614) A két eredményt egyenlővé tesszük egymással, és kifejezzük a sugárirányú sebességet. Kiválasztjuk a negatív gyököt, mert a sugárirányú koordináta számértékének csökkennie kell, a behulló megoldásra vagyunk kíváncsiak. r0 a kiindulási pont sugárirányú koordinátája: A⋅c 2B⋅u r 2= Ar 0⋅c 2   2 1 A r 0 ⋅c −c 2 u= ⋅ B A r dr = d 

 1−  r g⋅r 2 R 3   2            ⋅ r r ⋅r 2 1 ⋅ 3⋅ 1− g − 1− g 3 0 ⋅c 2 4 R R r r ⋅r 2 1 ⋅ 3⋅ 1− g − 1− g 3 4 R R rg r g⋅r 20 H = 3⋅ 1− − 1− 3 R R 2 −c 2  2 K =3⋅ 1− A zuhanás időfüggése nem integrálható zárt alakban: 207 rg R 6.6 Zuhanás a középpontba r 1 = ⋅∫ c r 0 1   1− r g⋅r R 2   H ⋅ 3 ⋅dr  K − 1− r g⋅r 2 R3 2  −1  (6.615) Kiszámoljuk a mozgást koordinátaidő függvényében: dr dr d  dr 1 = ⋅ = ⋅ dt d  dt d  u t (6.616) A kontravariáns időirányú érintővektor változik a mozgás során, kovariáns társa azonban nem, ezért behelyettesítjük az utóbbit: dr dr A = ⋅ dt d  ut u t= ut A (6.617) Behelyettesítjük az időirányú kovariáns érintővektort: dr dr A = ⋅ dt d   Ar 0  u t=  Ar 0    

 r ⋅r 2 dr =c⋅ 1− g 3 ⋅ dt R   rg r g⋅r 20 3⋅ 1− − 1− 3 R R r r ⋅r 2 3⋅ 1− g − 1− g 3 R R (6.618)  2       1 −1 ⋅ ⋅ 2 2 rg r g⋅r 2 3⋅ 1− − 1− 3 R R 2  rg r g⋅r 20 3⋅ 1− − 1− 3 R R A teljes kifejezés nem integrálható zárt alakban:   K − 1− r 2 = ⋅∫ c⋅ H r 0   1− r g⋅r R 3 2   ⋅ r g⋅r 2 R3 2  H  K − 1− r g⋅r 2 R3 208 ⋅dr −1 2   (6.619) 6.6 Zuhanás a középpontba Ezen az ábrán együtt ábrázoljuk a két függvényt. Balról jobbra telik az idő, mely a baloldali görbe esetén sajátidőt, a jobboldali görbe esetén koordinátaidőt jelent, a függőleges tengely a sugár. A felső szaggatott volna az égitest felszínét, a középső a gravitációs sugarát jelzi: r τ/t Leolvasható az ábráról, hogy a zuhanó megfigyelő a saját órája szerint rövidebb idő alatt ér

le a gödör aljára, mint a végtelenül távoli megfigyelő órája szerint. Az égitest belsejében nyugvó megfigyelőre ható gyorsulás kiszámolható a geodetikus egyenletből:     r⋅r g⋅3⋅P−Q⋅Q 2 2 r⋅r g r 2⋅r g r 2⋅r g 2 2 r̈  ⋅c ⋅ṫ  3 2 ⋅ṙ −r⋅ 1− 3 ⋅̇ −r⋅ 1− 3 ⋅sin2 ⋅̇ 2=0 3 4⋅R R −r ⋅r g R R (6.620) r̈ =−  r⋅r g⋅3⋅P−Q⋅Q r P= 1− g R 4⋅R 3 ⋅c2⋅ṫ 2  Q= 1− r g⋅r 2 R3 209 6.6 Zuhanás a középpontba r̈ =− r⋅r g 4⋅R  ⋅ 3⋅ 1− 3   rg r ⋅r 2 r ⋅r 2 − 1− g 3 ⋅ 1− g 3 ⋅c 2⋅ṫ 2 R R R (6.621) Az ábrán balról jobbra távolodunk a gravitációs középponttól, a függőleges tengelyen az égitest belsejében lévő megfigyelő koordinátagyorsulását ábrázoljuk, a szaggatott vonal a gravitációs sugár helyét jelzi: a r Az ábrán jól látszik, hogy a barlangokban elhelyezkedő

megfigyelők gyorsulása a középponthoz közeledve fokozatosan nullára csökken. 6.7 Relativisztikus por Pornak azt az anyagszerkezetet hívjuk, amit csak sűrűség jellemez, a belső nyomása nulla, ez az ideális folyadék határesete. Ebben az esetben az energia-impulzus tenzort csak a sűrűség, és a négyessebesség határozza meg: T  =⋅u⋅u  (6.71) Speciális esetben, ha a megfigyelő együtt mozog a porrészecskékkel, a négyessebesség leegyszerűsödik, és az energia-impulzus tenzornak egyetlen nem nulla komponense marad: 210 6.7 Relativisztikus por u =c 0 0 0  ⋅c 2 T  = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 (6.72) Általános esetben egy mozdulatlan megfigyelő szemszögéből a négyessebesség a következőképpen transzformálódik: u = 1  2 1− v 2 c ⋅ c v x v y v z  (6.73) Ekkor az általános energia-impulzus tenzor: 1 T  =⋅ v2 1− 2 c   c2 v x⋅c v x⋅c v z⋅c v

x⋅c v x⋅v x v x⋅v y v x⋅v z v y⋅c v y⋅v x v y⋅v y v y⋅v z v z⋅c v z⋅v x v z⋅v y v z⋅v z (6.74) 6.8 Összeomló gömb alakú porfelhő Együttmozgó koordináta-rendszert veszünk fel, felírjuk az általános ívelem-négyzetet, és kiszámítjuk a geometriai mennyiségeket: 2 2 2 2 2 2 2 2 ds =c ⋅dt −B r , t ⋅dr −C r ,t ⋅r ⋅ d  sin ⋅d    1 0 0 0 0 −B 0 0 g  = 2 0 0 −C⋅r 0 2 0 0 0 −C⋅r ⋅sin 2   1 0 1 0 − B g  = 0 0 0 0 − 0 0 0 0 1 C⋅r 2 0  0 − 1 C⋅r ⋅sin 2  2 (6.81)  211 (6.82) 6.8 Összeomló gömb alakú porfelhő rr ∂ g rr =−Ḃ ∂t ∂g Ḃ = 2 ∂t B ∂ g =−Ċ⋅r 2 ∂t Ċ ∂g = 2 2 ∂t C ⋅r ∂ g  =−Ċ⋅r 2⋅sin 2  ∂t ∂ g  Ċ = 2 2 ∂t C ⋅r ⋅sin 2  ∂ g rr =−B ∂r ∂ g rr B = 2 ∂r B ∂ g  =−C ⋅r 2⋅C⋅r

∂r ∂ g   C ⋅r2⋅C = ∂r C 2⋅r 3 ∂ g  2 =−C ⋅r2⋅C ⋅r⋅sin   ∂r ∂ g  C ⋅r 2⋅C = 2 3 ∂r C ⋅r ⋅sin2  ∂ g  =−2⋅C⋅r 2⋅cos ⋅sin  ∂ 2⋅cos ∂ g  = ∂ C⋅r 2⋅sin 3   t rr = r Ċ⋅r 2   = 2 Ḃ 2 r r  =− Ḃ 2⋅B  r rr = t B 2⋅B  r  =− C ⋅r 2⋅C ⋅r 2⋅B C ⋅r2⋅C 2 ⋅r⋅sin   2⋅B  t =  t = t  = t = Ċ 2⋅C  r = r = r =  r =   =−cos ⋅sin  ∂ t rr B̈ = ∂t 2 r (6.83) Ċ⋅r 2   = ⋅sin 2  2 t  tr = rt =     =  =cot  ∂ t   C̈⋅r 2 = ∂t 2 r (6.84) ∂ t  C̈⋅r 2 = ⋅sin 2  ∂t 2 r ∂ tr ∂ rt B⋅B̈− Ḃ 2 = = 2 ∂t ∂t

2⋅B C ⋅r2⋅C 2⋅C⋅r r r ∂ rr ∂  tr ∂  rt B⋅Ḃ −B ⋅Ḃ = = = 2 ∂t ∂r ∂r 2⋅B ∂ r   2⋅ B⋅Ċ − Ḃ⋅C  B⋅Ċ − Ḃ⋅C ⋅r =− ⋅r ∂t 2⋅B2 212 6.8 Összeomló gömb alakú porfelhő r ∂  2⋅ B⋅Ċ− Ḃ⋅C  B⋅Ċ − Ḃ⋅C ⋅r ⋅r⋅sin 2  =− 2 ∂t 2⋅B ∂ t  ∂  t ∂ t  ∂ t C⋅C̈ −Ċ 2 = = = = ∂t ∂t ∂t ∂t 2⋅C 2 ∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r ∂  t  ∂  t ∂  t  ∂   t C⋅Ċ −C ⋅Ċ = = = = = = = = ∂t ∂t ∂t ∂t ∂r ∂r ∂r ∂r 2⋅C 2 t t ∂ rr Ḃ = ∂r 2 t ∂   2⋅ĊĊ ⋅r = ⋅r ∂r 2 ∂ r rr B⋅B −B 2 = ∂r 2⋅B 2 ∂  2⋅ĊĊ ⋅r = ⋅r⋅sin2   ∂r 2 ∂ r   B⋅C ⋅r 2 C ⋅r⋅4⋅B−B ⋅r

2⋅C⋅ B−B ⋅r  =− ∂r 2⋅B2 r ∂  B⋅C ⋅r 2C ⋅r⋅ 4⋅B−B ⋅r 2⋅C⋅ B−B ⋅r  =− ⋅sin 2  2 ∂r 2⋅B     ∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r C⋅C −C 2 ⋅r 22⋅C 2 = = = = 2 2 ∂r ∂r ∂r ∂r 2⋅C ⋅r ∂ t  =Ċ⋅r 2⋅cos ⋅sin  ∂ ∂ r  C ⋅r 2⋅C =− ⋅r⋅cos ⋅sin  ∂ B   ∂  =sin2  −cos2  ∂  ∂   ∂    = =−cot 2 −1 ∂ ∂ (6.85) C̈ Ċ 2 B̈ Ḃ2 Rtt =−  −  C 2⋅C 2 2⋅B 4⋅B2 Rtr = Rrt = Rrr = C Ċ Ċ Ḃ⋅C Ḃ  −   2 2⋅C C⋅r C 2⋅B⋅C B⋅r Ḃ⋅Ċ C C 2 B ⋅C 2⋅C B̈ Ḃ 2 B −   −  −  2 2⋅C C 2⋅C 2⋅B⋅C C⋅r 2 4⋅B B⋅r C̈⋅r 2 Ḃ⋅Ċ⋅r 2 C ⋅r 2 B ⋅C ⋅r 2 2⋅C ⋅r B ⋅C⋅r C R 

=  −  −  − 1 2 4⋅B 2⋅B B B 4⋅B2 2⋅B 2 R =   C̈⋅r 2 Ḃ⋅Ċ⋅r 2 C ⋅r 2 B ⋅C ⋅r 2 2⋅C ⋅r B⋅C⋅r C 2  −  −  − 1 ⋅sin   2 2 2 4⋅B 2⋅B B B 4⋅B 2⋅B (6.86) 213 6.8 Összeomló gömb alakú porfelhő Átcsoportosítjuk az Einstein-egyenletet: R =−  8⋅⋅ 1 ⋅ T  − ⋅T⋅g  4 2 c  (6.87) A zárójelben lévő mennyiség nulla nyomású közegben:  1 0 0 0 1 1 B 0 0 2 0 T  − ⋅T⋅g  = ⋅⋅c ⋅ 0 0 C 0 2 2 0 0 0 C⋅sin2   Behelyettesítünk az egyenletrendszert: átcsoportosított  Einstein-egyenletekbe, (6.88) és felírjuk (1) Ċ 2 B̈ Ḃ 2 4⋅⋅ C̈ −  =− ⋅ −  2 2 C 2⋅C 2⋅B 4⋅B c2 (2) C Ċ Ċ Ḃ⋅C Ḃ  −   =0 2 2⋅C C⋅r C 2⋅B⋅C B⋅r (3) Ḃ⋅Ċ C C 2 B ⋅C 2⋅C B̈ Ḃ 2 B 4⋅⋅ −   −  −  =− ⋅⋅B 2

2⋅C C 2⋅B⋅C C⋅r 2 4⋅B B⋅r 2⋅C c2 (4) a megoldandó C̈⋅r 2 Ḃ⋅Ċ⋅r 2 C ⋅r 2 B ⋅C ⋅r 2 2⋅C ⋅r B ⋅C⋅r C 4⋅⋅  −  −  − 1=− ⋅⋅C 2 2 2 4⋅B 2⋅B B B 4⋅B 2⋅B c2 (6.89) Feltételezzük, hogy az ismeretlen függvényeket szét lehet választani változók szerint, mégpedig a következő alakban: 2 2 B r ,t =R t ⋅ f r  C  r , t =S t⋅g r  (6.810) Behelyettesítjük őket a második (2) megoldandó egyenletbe: Ṡ Ṙ = S R S=k⋅R (6.811) Úgy skálázzuk az r koordinátát, hogy a k konstans egységnyi legyen. A fennmaradó függvények közül egyet szabadon választhatunk, így a két ismeretlen függvényünket a következő alakba hozzuk: B r ,t =R2 t ⋅ f r  C  r , t = R2 t⋅r 2 (6.812) Behelyettesítjük (3)-ba és (4)-be, és szétválasztjuk a változókat. Mivel az egyenletek két oldala más mennyiségtől függ, az

értékük egy szeparációs állandó: 214 6.8 Összeomló gömb alakú porfelhő − f 4⋅⋅ = R̈⋅R2⋅Ṙ2− ⋅t ⋅R2 2 2 f ⋅r c − 1 1 f 4⋅⋅  − = R̈⋅R2⋅Ṙ 2− ⋅t⋅R 2 2 2 2 2 r f ⋅r 2⋅f ⋅r c (6.813) A két baloldal egymással, és az általunk választott alakú szeparációs állandóval egyenlő: − f 4⋅⋅ = R̈⋅R2⋅Ṙ2− ⋅t ⋅R2=−2⋅k 2 2 f ⋅r c f r = 1 2 1−k⋅r (6.814) A gömbszimmetrikus porfelhő téridejének ívelem-négyzete:  ds 2=c 2⋅dt 2−R 2 t⋅ dr 2 r 2⋅ d 2sin 2 ⋅d  2  2 1−k⋅r  (6.815) Behelyettesítjük a függvényeket és a szeparációs állandót az első (1) megoldandó egyenletbe: R̈⋅R=− 4⋅⋅ ⋅ t⋅R2 2 3⋅c −2⋅k =− 4⋅⋅ 4⋅⋅ ⋅t ⋅R22⋅Ṙ 2− ⋅t⋅R2 2 2 3⋅c c (6.816) Meghatározzuk a felhő

össztömegét, és behelyettesítjük: M= 4⋅ ⋅ t⋅R3 t  3 (6.817) A szeparációs állandó: 2 Ṙ − rg 2⋅⋅M 1 2 ⋅ = Ṙ − =−k 2 R R c (6.818) Megállapodás szerint R(t) a gömb alakú porfelhő időfüggő sugara, mértékegysége hosszúság, r-nek és k-nak pedig nincs dimenziója. Vizsgáljunk egy összeomló porfelhőt, illetve elhanyagolható belső nyomású összeomló csillagot. Az égitestet alkotó részecskék a kezdőpillanatban nyugszanak: Ṙ=0 Ekkor a szeparációs állandó, illetve R változása: 215 6.8 Összeomló gömb alakú porfelhő k= rg R 2 Ṙ =k⋅ R0−Rt  R t (6.819) Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása ciklois görbe, aminek a paraméteres egyenletei: c⋅t= R 0 ⋅sin 2⋅ k R= R 0 ⋅sin  2 (6.820) R c∙t A gömbszimmetrikus anyageloszlás bármilyen sugárirányú változása mellett a külső légüres

tér térideje a Schwarzschild-megoldás. Ezért a csillag összeomlásának ideje megegyezik a felszín magasságában zuhanó megfigyelő idejével. 6.9 Elektromágneses kölcsönhatás Az általános relativitáselmélet görbült négydimenziós téridején a gravitáció tehetetlenségi erő, mivel csak akkor jelenik meg, ha a vonatkoztatási rendszer nem egyenes vonalon mozog. Az elektromágneses mező viszont valódi erőt fejt ki, mely a töltött testet eltéríti a geodetikusoktól, és valamennyi vonatkoztatási rendszerben észlelhető (koordinátafüggetlen). Az elektromágneses mező tulajdonságait egy négyesvektor alakú potenciál határozza meg: A = A x A y Az  (6.91) Sík téridőben a mozgást meghatározó hatás-funkcionál klasszikus alakja: t2 S [ x t ]=∫ L x , ẋ , t⋅dt (6.92) t1 Egy általános, konzervatív erőtörvény jelenlétében a függvény könnyen meghatározható, a mozgástól függő tagból ki kell vonni a

részecskék közötti kölcsönhatásra jellemző hozzájárulást: 216 6.9 Elektromágneses kölcsönhatás L=E mozgási −E helyzeti (6.93) A töltött részecske mozgását leíró hatás esetén az első tag a szabad mozgás, a másik az elektromágneses mező hozzájárulása, ahol Q a részecske töltése: Q  S=−∫ m⋅c⋅ds ⋅A⋅dx c (6.94) A legkisebb hatás elve: Q  S =−∫ m⋅c⋅ dx ⋅dx  ⋅A⋅dx =0 c dx ⋅ dx  Q Q  ⋅A⋅ dx  ⋅ A⋅dx =0  S =−∫ m⋅c⋅  ds c c (6.95) Az utolsó tag nulla, ahol u a koordinátasebesség: ∫   Q Q Q m⋅c⋅du ⋅ x  ⋅dA⋅ x − ⋅ A⋅dx  − m⋅c⋅u  ⋅A ⋅dx =0 c c c  A = ∂ A   ⋅ x ∂x dA = ∂A ∂ A  ⋅dx ∂x ∂A ∫ m⋅c⋅du ⋅ x  Qc⋅∂ x ⋅dx ⋅ x  − Qc⋅ ∂ x ⋅ x⋅dx  =0

(6.96) Behelyettesítés: du = ∫  du ⋅ds ds dx  =u ⋅ds    du Q ∂ A ∂ A  m⋅c⋅  − ⋅ −  ⋅u ⋅ x ⋅ds=0  ds c ∂ x ∂x (6.97) Elektromágneses térben mozgó töltött részecske mozgásegyenlete: m⋅c⋅   du Q ∂ A ∂ A  Q  = ⋅ −  ⋅u = ⋅F ⋅u ds c ∂ x c ∂x (6.98) Ahol az elektromágneses tenzor alakja tetszőlegesen görbült téridőben is ilyen, mivel az invariáns deriváltak konnexiói kiejtik egymást: F  =∇  A −∇  A = ∂ A ∂ A − ∂ x ∂ x  (6.99) 217 6.9 Elektromágneses kölcsönhatás Az Fη elektromágneses négyeserő tehát függ a Q töltéstől, az Fηκ elektromágneses tenzortól, és az u négyessebességtől, vagy másképpen felírva az elektromágneses tenzortól és a j áramsűrűségtől: Q  1  F = ⋅F ⋅v = ⋅F ⋅ j c c j =c⋅ jx jy (6.910)

jz Ha a vektorpotenciálhoz hozzáadjuk egy tetszőleges skalárfüggvény parciális deriváltját, az nem befolyásolja az eredményt, ez a mértékinvariancia: 2 A = A  ∂ ∂ x ∇  A=0 (6.911) Az elektromágneses tenzor komponensei az E elektromos térerősség, és a B mágneses indukció:  1 1 ⋅E x ⋅E y c c 0 1 − ⋅E x F  = c 1 − ⋅E y c 1 − ⋅E z c 1 ⋅E c z 0 −B z By Bz 0 −B x −B y Bx 0  (6.912) A Maxwell-egyenletek az elektromágneses kölcsönhatást írják le. Az egyik szerint az elektromágneses tenzor forrása az áramsűrűség, a másik pedig egy egyszerű azonosság: ∂ F  ∂ F   ∂ F    =0 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ F  =0⋅j  ∂ x (6.913) Görbült téridőben a Maxwell-egyenletekben a parciális derivált invariáns deriváltra változik:  ∇  F =0⋅j  ∇  F  ∇  F  ∇  F  =0

(6.914) A vákuumban érvényes Einstein-egyenletek olyan téridőkre lettek levezetve, ahol a testek a geodetikus egyenletek által leírt pályákon mozognak. Tehát minden olyan jelenségnél, ahol a mozgó testek eltérnek a geodetikusoktól, biztosak lehetünk benne, hogy jelen van egy energia-impulzus tenzor, ami leírja annak az anyagnak a tulajdonságait, ami a próbatesteket eltérítette. Az elektromágneses mezőnek is van energiája, tehát kifejt gravitációs hatást is. Az energia-impulzus tenzort a definíciója alapján, a töltött részecske mozgásegyenletéből ki lehet fejezni. Először tisztán az elektromágneses tenzorral írjuk fel az elektromágneses erőt. Ehhez az első Maxwell-egyenleteket behelyettesítjük az elektromágneses erő képletébe: 218 6.9 Elektromágneses kölcsönhatás 1 1 F = ⋅F  ⋅j = ⋅F ⋅∇ F   c c⋅0   c⋅0⋅F = F ⋅∇  F  (6.915) Kibővítjük a jobboldali

invariáns deriváltat a szorzat differenciálási szabályának felhasználásával: c⋅0⋅F =∇   F ⋅F   − F  ⋅∇  F  (6.916) A jobboldali tagba behelyettesítjük a második Maxwell-egyenletet: 1 1 F  ⋅∇  F = ⋅F  ⋅∇  F  ⋅F  ⋅∇  F  = 2 2 1  1 1 1 ⋅F ⋅∇  F ∇  F  − ⋅F  ⋅∇  F  = ⋅∇   F  ⋅F   = ⋅g  ⋅∇   F ⋅F    2 2 4 4 (6.917) Visszahelyettesítjük az elektromágneses erőbe: 1 c⋅0⋅F =∇   F ⋅F   − ⋅g ⋅∇   F ⋅F    4 F =   1 1   ∇  F ⋅F   − ⋅g  ⋅F ⋅F   =∇  T  c⋅0 4 (6.918) Az elektromágneses energia-impulzus tenzor: T  =  1 1 ⋅ F ⋅F − ⋅g ⋅F  ⋅F  

c⋅ 0 4  (6.919) mátrix alakban:   1 1 ⋅  0⋅E 2  ⋅B2  2 0 Sx c T  = Sy c Sz c  Sx c Sy c Sz c − xx − xy − xz − yx − yy − yz − zx − zy − zz  (6.920) Az elektromágneses hullám haladási irányát a Poynting-vektor mutatja: 1  S = ⋅ E× B 0 (6.921) 219 6.9 Elektromágneses kölcsönhatás A térszerű tagokat alkotó Maxwell stressz-tenzor alakja sík téridőben:  ij = 0⋅E i⋅E j    1 1 1 2 2 ⋅Bi⋅B j− ⋅  0⋅E  ⋅B ⋅ij 0 0 2 (6.922) Az elektromágneses energia-impulzus tenzor divergenciája: 1  ∇  T  =F  = ⋅F ⋅ j c (6.923) 6.10 Elektromágneses hullámok Az elektromágneses hullámot leíró egyenletekből indulunk ki:  ∇  F =0⋅j fázisegyenlet meghatározásához a Maxwell-  ∇   g  ⋅∇  A−g  ⋅∇  A =0⋅j  −g 

   ∇ ⋅∇  A  g ∇ ⋅∇  A =0⋅ j      /g ∇ ⋅∇  A −g ∇ ⋅∇  A −g   ∇ ⋅∇  A g   ∇ ⋅∇ −∇ ⋅∇   Ag   ∇ ⋅∇  A=0⋅j  (6.101) Az elektromágneses hullámok a forrásuktól elszakadva haladnak tovább a térben, ezért az áramsűrűség nulla, valamint felírjuk a mértékinvarianciát: j =0 ∇  A=0 (6.102) Behelyettesítjük a Ricci-tenzort is, melyet az invariáns derivált kommutátorából, a görbületi tenzorból állítunk elő indexkontrakcióval: R =g  ⋅∇  ∇  −∇  ∇   (6.103) Az eredmény az elektromágneses hullámok hullámegyenlete: −g  ⋅∇  ∇  AR ⋅A=0 (6.104) A hullámfüggvényt a következő alakban vizsgáljuk: A =a ⋅e i⋅ (6.105) Ahol a hullámfüggvény arányos a

hullámszám-vektor és a helyzetvektor skalárszorzatával: 220 6.10 Elektromágneses hullámok ∝k ⋅x Ahol a hullámszám-vektor, és a fénysugár egyenlete: k  =− dx  k  x= d ∂ ∂ x  (6.106) Valamint a hullámfüggvény gyorsabban változik, mint a hullámszám-vektor, az amplitúdó, vagy a metrikus tenzor. Ezek alkalmazásával az eredeti egyenlet leegyszerűsödik, ez az eikonál, vagy más néven fázisegyenlet:   ∂ ∂ g ⋅ ⋅  =0 ∂x ∂x (6.107) Ebből látszik, hogy a hullámszám-vektor fényszerű, tehát bebizonyítottuk, hogy az elektromágneses hullámok fényszerű irányokban mozognak: g  ⋅k ⋅k =0 (6.108) Megvizsgáljuk a skalárszorzat invariáns deriváltját: ∇  k ⋅k  =0 k ⋅∇  k k ⋅∇  k =0 (6.109) Az első tagot úgy át lehet alakítani, hogy ugyanolyan lesz mint a második tag:     k ⋅∇

 k =k ⋅∇   g ⋅k  =k ⋅k ⋅∇  g k ⋅g ⋅∇  k  A metrikus tenzor invariáns deriváltja nulla, valamint felhasználjuk a másik metrikus tenzort az indexemeléshez:   k ⋅g ⋅∇  k =k ⋅∇  k  Visszahelyettesítjük az eredményt az eredeti egyenletbe: 2⋅k ⋅∇  k =0 (6.1010) Ha a konnexió szimmetrikus, akkor az invariáns deriválás és a hullámszám-vektor indexe felcserélhető: 2 ∇ k= 2 ∂  ∂      −k ⋅  =   −k ⋅   =∇  k  ∂ x ⋅∂ x ∂ x ⋅∂ x (α: szabad index) Visszahelyettesítünk, aztán behelyettesítjük a fénysugár egyenletét a kontravariáns hullámszámvektor helyére: 221 6.10 Elektromágneses hullámok 2⋅k ⋅∇  k  =0 dx  2⋅ ⋅∇  k  =0 d (6.1011) d /⋅ 2 Felismerjük az invariáns derivált és a görbe menti derivált közötti

összefüggést. Amikor a görbe menti derivált nulla, visszakapjuk a geodetikus egyenletet, tehát bebizonyítottuk, hogy a fénysugarak geodetikusok mentén mozognak: dx ⋅∇  k  =Đk  =0 (6.1012) 6.11 Klein-Gordon egyenlet Az általános relativitáselmélet térideje színpadot biztosít az összes többi kölcsönhatást leíró elméletek számára. Ezért érdemes összefoglalni azokat az egyenleteket, melyek az anyag részecskéinek viselkedését leírják ezen a háttéren. 1925-ban Erwin Schrödinger eredetileg így írta fel a kvantummechanika róla elnevezett híres alapegyenletét, figyelembe véve az akkor már 20 éves speciális relativitáselméletet. Azonban nem sikerült értelmeznie vele a hidrogénatom spektrumának finomszerkezetét, ezért a nemrelativisztikus, közismert formát választotta. Majd 1927-ben Oscar Klein és Walter Gordon ugyanezt javasolta az elektron relativisztikus egyenletének, azonban az elektronspin miatt itt sem vált be,

viszont helyesen írja le a spin nélküli részecskéket, mint például a π-mezont. Az energiamegmaradás egyenlete: −E 2 p 2⋅c 2m2⋅c 4=0 (6.111) Az első kvantálás folyamata a következő: behelyettesítjük a kvantummechanikai operátorokat, és minden tagot operátornak tekintünk egy komplex függvényen. Az energia és a lendület kvantummechanikai operátorai: p i=−i⋅ℏ⋅ ∂ i ∂x ∂  E=i⋅ℏ⋅ ∂t − E c ⋅ p m ⋅c ⋅=0 2 2 2 2 4 (6.112) 2 2 − i⋅ℏ⋅ ∂ c 2⋅ −i⋅ℏ⋅ ∂ i m2⋅c 4⋅=0 ∂t ∂x     Összevonjuk az operátorokat és felírjuk a Klein-Gordon egyenletet sík téridőben:  ℏ 2⋅  2 1 ∂2 ∂ ⋅ − m2⋅c2⋅=0 2 2 i 2 c ∂t ∂ x  222 6.11 Klein-Gordon egyenlet ∂2  m 2⋅c2 ⋅=0  ⋅   2 ∂ x ⋅∂ x  ℏ (6.113) A komplex függvény neve állapotfüggvény. Vele lehet meghatározni

a részecske megtalálási valószínűségét. A valószínűség-sűrűség meghatározásához levezetjük a folytonossági egyenletet: ∂2  m 2⋅c2  ⋅   2 ⋅=0 ∂ x ⋅∂ x  ℏ  ∂2  m 2⋅c2   ⋅   2 ⋅ =0 ∂ x ⋅∂ x  ℏ   /⋅ ∂2  m2⋅c 2   ⋅  ⋅  ⋅⋅ =0  2 ∂ x ⋅∂ x ℏ /⋅ ∂2  m2⋅c 2   ⋅  ⋅ ⋅ ⋅=0 ∂ x ⋅∂ x  ℏ2 kivonjuk őket egymásból, a második tagok kiejtik egymást: ∂2  m 2⋅c 2 ∂ 2  m 2⋅c 2       ⋅  ⋅  ⋅− ⋅⋅ − ⋅ ⋅ ⋅=0 2 2 ∂ x ⋅∂ x  ∂ x ⋅∂ x  ℏ ℏ Egymást kiejtő tagokkal bővítjük a zárójeles mennyiséget, majd egyszerűsítjük:   ⋅  ∂2  ∂ 2  ∂ ∂  ∂  ∂   ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =0 ∂ x ⋅∂

x  ∂ x ⋅∂ x  ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x   ∂  ∂   ⋅ ∂  ⋅ − ⋅ =0 ∂ x ∂ x ∂ x (6.114) A folytonossági egyenlet általános alakjával összehasonlítva felismerjük a valószínűség-sűrűséget a képletben: ∂ j =0 ∂ x  j = ⋅ ∂  ∂  ⋅ − ⋅ ∂ x ∂ x  (6.115) A részecske megtalálási valószínűsége a teljes térben egy adott időpillanatban definíció szerint egységnyi. Ez csak sík téridőben érvényes, mivel csak ott lehet globális egyidejűségről beszélni: ∫ ⋅d 3 x=∫ j 0⋅d 3 x=∫   ∂  ∂  ⋅ − ⋅ ⋅d 3 x=1 ∂t ∂t (6.116) Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy a Klein-Gordon egyenlet megoldása szabad részecske esetén: 223 6.11 Klein-Gordon egyenlet a   x  =A⋅e i⋅k ⋅x =A⋅ei⋅ k ⋅x −⋅t  (6.117) a

 Ezt behelyettesítjük a megtalálási valószínűségbe, hogy meghatározzuk az A integrációs állandót: ∫ ∂∂t  A⋅ei⋅ k ⋅x −⋅t ⋅A⋅e−i⋅ k ⋅x −⋅t − ∂∂t  A⋅e−i⋅ k ⋅x −⋅t ⋅A⋅e i⋅k ⋅x −⋅t ⋅d 3 x=1 a a a a a a a a ∫ −i⋅⋅A⋅e i⋅ k ⋅x −⋅t⋅A⋅e−i⋅k ⋅x −⋅t −i⋅⋅A⋅e−i⋅ k ⋅x −⋅t ⋅A⋅e i⋅ k ⋅x −⋅t  ⋅d 3 x=1 a a a a a a a a −2⋅i⋅⋅A2⋅∫ 1⋅d 3 x=1 Az infinitezimális térfogat integrálja a teljes térre maga a teljes tér. Ebből a keresett integrációs állandó: 2 −2⋅i⋅⋅A ⋅V =1 A=  i 2⋅⋅V Visszahelyettesítjük a Klein-Gordon egyenlet megoldásába:  x  =  i i⋅ k ⋅x −⋅t  ⋅e 2⋅⋅V a (6.118) a Az energiaoperátor sajátérték-egyenlete: E =E⋅ ∂

i⋅ℏ⋅ =i⋅ℏ⋅ ∂ e i⋅ k ⋅x −⋅t =i⋅ℏ⋅−i⋅⋅e i⋅ k ⋅x −⋅t =ℏ⋅⋅e i⋅ k ⋅x −⋅t  ∂t ∂t a a a a a a E=ℏ⋅ (6.119) A lendületoperátor sajátérték-egyenlete: p i = pi⋅ ∂ i⋅ k ⋅x −⋅t i⋅k ⋅x −⋅t  i⋅k ⋅x −⋅t  i⋅ℏ⋅ i =i⋅ℏ⋅ ∂ i e =i⋅ℏ⋅i⋅k i⋅e =−ℏ⋅k i⋅e ∂x ∂x a a a a a a p i=−ℏ⋅k i (6.1110) Visszahelyettesítjük a sajátértékeket a Klein-Gordon egyenletben az operátorok helyére: 2 2 2 2 4 − E c ⋅ p m ⋅c ⋅=0 224 6.11 Klein-Gordon egyenlet 2 2 2 2 4 −ℏ⋅ c ⋅−ℏ⋅k i  m ⋅c ⋅=0 (6.1111) Az energia sajátértékek lehetnek negatívak is, ezeket pozitív energiájú antirészecskékként értelmezzük: ℏ⋅=±c⋅−ℏ⋅k i  m ⋅c 2 2 2 (6.1112) A Klein-Gordon

egyenlet megoldását általános görbült téridőben az invariáns derivált és az általános metrikus tenzor behelyettesítésével kapjuk meg: g  ⋅∇ 2   2 2 m ⋅c ⋅=0 2 ℏ (6.1113) 6.12 Proca egyenlet Hasonlít a Klein-Gordon egyenlethez, viszont egy skalár helyett egy négykomponensű hullámfüggvényre vonatkozik. 1-es spinű részecskéket ír le, ilyenek a foton és a gyenge kölcsönhatás közvetítői, a W+, W– és Z bozonok:  2  g ⋅∇     m 2⋅c 2  ⋅ =0 2 ℏ (6.121) Ezt rendszerint kiegészítik egy folytonossági feltétellel: ∂ =0 ∂ x (6.122) A Maxwell-egyenletek a nulla tömegű határesetet képviselik, ez a korábban levezetett eikonál, vagy más néven fázisegyenlet:  2  (6.123) g ⋅∇    =0 6.13 Dirac egyenlet Paul Adrien Maurice Dirac 1928-ban vezette be a róla elnevezett egyenletet, mely helyesen írja le a relativisztikus, feles spinű

részecskéket, mint például az elektront és a kvarkokat. A KleinGordon egyenlettel ellentétben ez egy elsőrendű differenciál-egyenlet A Klein-Gordon egyenletből indulunk ki: ∂2  m 2⋅c2   ⋅   ⋅=0 2 ∂ x ⋅∂ x  ℏ (6.131) 225 6.13 Dirac egyenlet Ami tulajdonképpen egy másodrendű sajátérték-egyenlet: ∂2  m2⋅c 2 −  ⋅  = ⋅ ∂ x ⋅∂ x  ℏ2 (6.132) Ez az egyenlet elsőrendűvé tehető, ha megfelelően választott algebrai tulajdonságokkal rendelkező tényezőket vezetünk be. Felbontjuk a két oldalt ismételt elsőrendű operátorokra a következő módon:  ∂2    ∂ − ⋅  ⋅   = i⋅ ∂ x ⋅∂ x ∂x    ∂ i⋅ ⋅   ∂x m2⋅c 2 m⋅c m⋅c ⋅= ± ⋅± ⋅ 2 ℏ ℏ ℏ   m⋅c ∂ i⋅⋅  =± ⋅ ℏ ∂x  (6.133) Ez az egyenlet akkor érvényes, ha teljesül a

következő feltétel a közelebbről egyelőre ismeretlen γ konstans operátorokra: (6.134)       ⋅  ⋅ =2⋅ Definiáljuk a hermitikus konjugáltjukat: 0     = 0 i  −   =  i − i⋅0 = 0⋅i (6.135) A hermitikus konjugált állapotfüggvény:  = ⋅0  (6.136) A valószínűség-sűrűség meghatározásához levezetjük a folytonossági egyenletet, hasonló módszerrel mint ahogy a Klein-Gordon egyenlet esetében tettük: ∂ m⋅c i⋅⋅  =± ⋅ / ⋅  ℏ ∂x ∂  m⋅c  −i⋅  ⋅   =± ⋅ /⋅0 ℏ ∂x m⋅c  ∂ i⋅⋅ ⋅⋅   ⋅  =±  ℏ ∂x ∂  m⋅c  0 −i⋅  ⋅0⋅⋅=± ⋅ ⋅ ⋅ ℏ ∂x ∂ m⋅c   −i⋅ ⋅ ⋅=± ⋅⋅  ℏ ∂x

kivonjuk őket egymásból, a jobboldali tagok kiejtik egymást:   ∂  ∂   i⋅ ⋅   ⋅   ⋅ ⋅ =0 ∂x ∂ x 226 /⋅ 6.13 Dirac egyenlet Az egyenletet egy nulla értékű taggal bővítjük (mivel a γ operátorok konstansok, a deriváltjuk nulla): ∂   ⋅  ⋅=0 ∂ x   ∂ ∂   ∂    ∂  ⋅ i⋅ ⋅  ⋅   ⋅⋅⋅  ⋅ =i⋅    ⋅=0 ∂x ∂ x ∂x ∂x (6.137) A folytonossági egyenlet általános alakjával összehasonlítva felismerjük a valószínűség-sűrűséget a képletben: ∂ j  =0 ∂x    0  j =i⋅ ⋅ ⋅=i⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (6.138) Felírjuk a Dirac-egyenletet egy másik koordináta-rendszerben: m⋅c  ∂ i⋅ ⋅  ± ⋅=0 ℏ ∂x m⋅c  ∂ i⋅ ⋅   ± ⋅ =0 ℏ ∂x

A parciális derivált és az állapotfüggvény a következőképpen transzformálódik: ∂ ∂ = ⋅  ∂x ∂ x   = S⋅ (6.139) Behelyettesítjük a transzformációs összefüggéseket: m⋅c   i⋅⋅⋅ ∂   S⋅± ⋅S⋅=0 ℏ ∂x / S −1⋅  ⋅ ∂  ± m⋅c⋅S −1⋅S⋅=0  i⋅S −1⋅⋅S⋅ ℏ ∂x   ⋅ ∂  ± m⋅c⋅=0 i⋅ S −1⋅⋅S⋅ ℏ ∂x (6.1310) Formailag a Dirac-egyenletre jutottunk, ahol a baloldalon a γ operátor helyét egy összefüggés foglalja el:   =  /⋅  S −1⋅ ⋅S⋅ −1      −1  ⋅S⋅  =   ⋅ S ⋅ ⋅S⋅  ⋅  = S Az állapotfüggvény transzformációjának operátora a következő algebrai összefüggésnek felel meg: 227 6.13 Dirac egyenlet −1

    S ⋅ ⋅S=  ⋅  (6.1311) Azokat a mennyiségeket amiket ez az operátor transzformál koordináta-rendszerek között, spinoroknak nevezzük. A Dirac-egyenletben szereplő állapotfüggvény tehát egy spinor A γ operátorokra felírt feltétel teljesül, ha például legalább négyszer négyes speciálisan megválasztott, a spinor-térben definiált mátrixok:  00 10 P =  Q= 20 30 01 11 21 31 02 12 22 32 03 13  23 33    1  QP = 0 1= 0 0  ⋅   ⋅  =2⋅⋅1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (6.1312) Ezért a hullámfüggvény is négykomponensű lesz. Behelyettesítünk a sajátérték-egyenletbe: ∂ A m⋅c P i⋅  ⋅  =± ⋅ ℏ ∂x  P A (6.1313) Visszarendezzük és felírjuk a Dirac-egyenletet: ∂ A m⋅c P i⋅ PA⋅  ± ⋅ =0 ℏ ∂x (6.1314) Mivel a

γ-mátrixok komponenseire nincsen konkrét kikötés, ezért többféle alakban fel lehet írni őket. A jelölés egyszerűsítéséhez bevezetjük a Pauli-mátrixokat:         1 0  0= 0 1  1= 0 1 1 0 0 −i  2 = i 0 1 0  3= 0 −1 (6.1315) A γ-mátrixok Dirac reprezentációja:    0 = 1 0 0 −1   (6.1316)   (6.1317)  i = 0  i − i 0 A γ-mátrixok Weyl reprezentációja:   0 1  0 =   1 0  i = 0  i − i 0 228 6.13 Dirac egyenlet A γ-mátrixok Majorana reprezentációja:      0 = 0  2  2 0  2 = 0 − 2  2 0  1=i⋅   3 0 0  3   3=−i⋅   1 0 0  1  (6.1318) Felírjuk a Dirac-egyenletet a γ-mátrixok Dirac reprezentációjával:    1 i⋅ 0 0 0 0 0 0

1 0 0 ⋅∂  0 −1 0 ∂ t 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 −1 0 0  1 0 0 −1 ∂ ⋅ 0 0 ∂z 0 0 0 0  −1 0  i⋅ 0 0 0 1 ∂ ∂t 0 0 ∂ ∂t −∂ − ∂ i⋅ ∂ ∂z ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ − −i⋅ ∂x ∂y ∂z   1 0⋅∂  0 ∂x 0  0 0 0 −i 0 0 i 0 ⋅∂ 0 i 0 0 ∂y −i 0 0 0      1 1 2 = m⋅c ⋅  2 ℏ 3 3 4 4   ∂ ∂z ∂ i⋅ ∂ ∂x ∂y ∂ − ∂t 0 ∂ −i⋅ ∂ ∂x ∂y ∂ − ∂z 0 −∂ ∂t     1 1 2 = m⋅c⋅ 2 3 ℏ 3  4 4 (6.1319) Ez négy egyenletből álló egyenletrendszert jelent: 1 3 4 4 2 ∂ ∂ ∂  ∂ m⋅c 1   −i⋅ =−i⋅ ⋅ ℏ ∂t ∂z ∂x ∂y 1 − 2 2 3 3 4 ∂ ∂  ∂  ∂ m⋅c 2  i⋅ − =−i⋅ ⋅ ℏ ∂t ∂x ∂y ∂z 3 1 ∂ ∂  ∂  ∂ m⋅c 3 − i⋅ − =−i⋅ ⋅ ℏ ∂z ∂x ∂y ∂t

− 1 2 4 ∂ ∂ ∂ ∂  m⋅c 4 −i⋅  − =−i⋅ ⋅ ℏ ∂x ∂y ∂z ∂t Szabad részecske esetén a Dirac-egyenlet megoldásait a következő alakban keressük, ahol uP egy ismeretlen konstans spinor: ∂ A m⋅c P i⋅ PA⋅  =± ⋅ ℏ ∂x i  P =A⋅u P  p ⋅e ℏ  ⋅ p⋅x  (6.1320) Nyugvó részecske esetén a részecske lendülete nulla, csak energiája van, behelyettesítjük a függvényt az egyenletbe: 229 6.13 Dirac egyenlet ∂ A m⋅c P i⋅ PA0⋅ =± ⋅ ℏ ∂t  P P  =A⋅u ⋅e    i E ⋅ ⋅t ℏ c (6.1321) ⋅ ⋅t  ⋅ ⋅t  ℏ m⋅c ℏ  i⋅  ⋅ ∂ A⋅u A⋅e c =± ⋅A⋅u P⋅e c ℏ ∂t 0 P A i E i E ⋅ ⋅t  i E ⋅ ⋅t  m⋅c i⋅0 PA⋅A⋅u A⋅ ⋅ ⋅e ℏ c =± ⋅A⋅u P⋅e ℏ c ℏ c ℏ i E i E E P −0 PA⋅u A⋅ =±m⋅c⋅u behelyettesítjük az

energiát: c 0 P A   A⋅u =∓u E=m⋅c 2 P (6.1322) A pozitív előjelű megoldás utolsó két komponense nulla: 0 PA⋅u A=u P  1 0 0 0     1 1 0 0 0 u u 2 2 1 0 0 ⋅ u 3 = u 3 0 −1 0 u u 0 0 −1 u 4 u4  (6.1323)  (6.1324) u1 2 u= u 0 0 u 3=u 4=0 A negatív előjelű megoldás első két komponense nulla: 0 P A   A⋅u =−u  1 0 0 0 P     0 0 0 u1 u1 1 0 0 ⋅ u 2 =− u 2 0 −1 0 u3 u3 0 0 −1 u 4 u4 1 0 0 u= 3 u u4 2 u =u =0 A részecske megtalálási valószínűsége a teljes térben definíció szerint egységnyi: ∫ ⋅dv=i⋅A⋅u ⋅0⋅0⋅A⋅u⋅∫ dv   1   u  1 0 0 0 1 2  2 u  0 1 0 ∫ ⋅dv=i⋅A ⋅ 3  ⋅ 0 0 −1 00 ⋅ 00 u  u 4 0 0 0 −1 0 230   0 0 0 u1 1 0 0 ⋅ u 2 ⋅V =1 3 0 −1 0 u 0 0 −1 u 4 6.13 Dirac egyenlet A= 1  i⋅V (6.1325) A spin

állapotok a spin mátrix sajátértékei:     0  1 0  2 0  2 0  1 1 1 S z= ⋅  1⋅2−  2⋅1 = ⋅ ⋅ − ⋅ 2⋅i 2⋅i − 1 0 − 2 0 − 2 0 − 1 0         1 1 2 0  2⋅ 1 0  2− 2⋅ 1 0 1  ⋅ S z= 1 ⋅  ⋅ − = ⋅ 1 2 2 1 1 2 2⋅i  ⋅ 2⋅i 0  ⋅ 0  0  ⋅ − 2⋅ 1  3 1  1  ⋅S z⋅u= ⋅ 2 2 0 1 0 0 0 u1 2 0 1 0 −1 0 0 ⋅ u3 3 ⋅u= ⋅ 2 0 0 1 0  u 0 0 0 −1 u 4   (6.1326) A Dirac egyenlet megoldásai nyugvó szabad részecskére: E=E S z= ℏ 2 E=−E S z= ℏ 2   1 i E 1 0 ℏ⋅ c ⋅t  = ⋅ ⋅e V 0 0 P  1 E=E S z=− 0 i E ⋅ ⋅t ℏc  1 P3= ⋅ 0 ⋅e

V 1 0 ℏ 2 E=−E S z=−   0 i E 1 1 ℏ⋅ c ⋅t   = ⋅ ⋅e V 0 0 P  2 0 i E ⋅ ⋅t  ℏ 1 ⋅ 0 ⋅e c P4= V 0 1 ℏ 2 (6.1327) Mozgó részecske síkhullám megoldása: A ∂ m⋅c P i⋅ PA⋅  =± ⋅ ℏ ∂x i  P =A⋅u P  p ⋅e ℏ Behelyettesítjük a Dirac egyenletbe a megoldás általános alakját:  i  i ⋅ p ⋅x  ⋅ p ⋅x m⋅c A P i⋅  ⋅ ∂  A⋅u ⋅e ℏ =± ⋅A⋅u ⋅e ℏ ℏ ∂x  P A   i   i ⋅ p ⋅x  ⋅ p ⋅x  i m⋅c i⋅ PA⋅A⋅u A⋅ ⋅p ⋅e ℏ =± ⋅A⋅u A⋅e ℏ ℏ ℏ     − PA⋅p⋅u A=±m⋅c⋅u P 231   ⋅ p⋅x  (6.1328) 6.13 Dirac egyenlet  1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 1 0 0 ⋅E  0 0 1 0 −1 0 c 0 −1 0 0 0 −1 −1 0 0  0  0 −1 0    1 0 ⋅p  x 0 0 

0 0 0 −i 0 0 i 0 ⋅p y 0 i 0 0 −i 0 0 0      0 0 0 1 1 0 0 −1 ⋅p ⋅ z 0 0 0 0 u1 u1 u2 =∓m⋅c⋅ u2 u3 u3 4 4 u u E c 0 pz p x −i⋅p y 0 E c p x i⋅p y − pz − pz − p x i⋅p y − p x −i⋅p y pz − E c 0 0 − E c    u1 u1 2 2 ⋅ u 3 =∓m⋅c⋅ u 3 u u 4 u u4 A pozitív energiájú és spinű megoldás: E −m⋅c c 0 pz p x −i⋅p y 0 E −m⋅c c p x i⋅p y − pz − pz E − p x i⋅p y − −m⋅c c − p x −i⋅p y  pz 0 −  E −m⋅c p z⋅u3 p x −i⋅p y ⋅u 4 c  p x i⋅p y ⋅u 3− p z⋅u 4 =0 E − p z − m⋅c ⋅u3 c E − p x −i⋅p y − m⋅c ⋅u 4 c     0 E −m⋅c c   1 0 ⋅ 3 =0 u u4 u 3=− p z⋅c Em⋅c 2 u 4=− A pozitív energiájú és negatív spinű megoldás: 232  p x i⋅p y ⋅c E m⋅c 2 (6.1329) 6.13 Dirac egyenlet  E −m⋅c

c 0 pz p x −i⋅p y 0 E −m⋅c c p x i⋅p y − pz E − p x i⋅p y − −m⋅c c − pz − p x −i⋅p y  pz 0 0 −  p z⋅u 3 p x −i⋅p y ⋅u 4 E 3 4 −m⋅c p x i⋅p y ⋅u − p z⋅u c =0 E − p x i⋅p y − m⋅c ⋅u 3 c E p z − m⋅c ⋅u4 c     E −m⋅c c   0 1 ⋅ 3 =0 u u4 u 3=−  p x −i⋅p y ⋅c Em⋅c 2 u4 =− p z⋅c Em⋅c 2 A negatív energiájú és pozitív spinű megoldás:  E −m⋅c c 0 pz p x −i⋅p y 0 E −m⋅c c p x i⋅p y − pz E − p x i⋅p y − −m⋅c c − pz − p x −i⋅p y    pz  E −m⋅c ⋅u 1 p z c  0 0 − E −m⋅c c  E −m⋅c ⋅u 2 p x i⋅p y =0 c E − p z⋅u 1− p x i⋅p y ⋅u 2− −m⋅c c 1 − p x −i⋅p y ⋅u  p z⋅u2 A negatív energiájú és spinű megoldás: 233   u1 2 ⋅ u =0 1 0 u1

=− p z⋅c E−m⋅c 2 u 2=−  p x i⋅p y ⋅c E−m⋅c 2 6.13 Dirac egyenlet  E −m⋅c c 0 pz p x −i⋅p y 0 E −m⋅c c p x i⋅p y − pz E − p x i⋅p y − −m⋅c c − pz − p x −i⋅p y  pz  0 0 − E −m⋅c c   E −m⋅c ⋅u1 p x −i⋅p y c E −m⋅c ⋅u 2− p z =0 c 1 2 − p z⋅u − p x i⋅p y ⋅u E 1 2 − p x −i⋅p y ⋅u  p z⋅u − −m⋅c c     u1 2 ⋅ u =0 0 1 u 1= − p x i⋅p y ⋅c E−m⋅c 2 u 2= p z⋅c E−m⋅c 2 A részecske megtalálási valószínűsége a teljes térben definíció szerint egységnyi: ∫ ⋅dv=i⋅A⋅u ⋅0⋅0⋅A⋅u⋅∫ dv A=  Em⋅c 2 2⋅E⋅V (6.1330) A Dirac egyenlet síkhullám megoldásai szabad mozgó részecskére: 1P =  2     1 0 p z⋅c i ⋅ p ⋅x  E m⋅c ⋅ − ⋅e ℏ 2 2⋅E⋅V Em⋅c  p

i⋅p y ⋅c − x Em⋅c2 −  P2=       Em⋅c − ⋅ 2⋅E⋅V Em⋅c 2 p z⋅c − Em⋅c 2 p z⋅c i  ⋅ p⋅x  ⋅e ℏ − p x i⋅p y ⋅c E−m⋅c 2 i ⋅ p ⋅x  Em⋅c P  p i⋅p ⋅c ℏ x y  3= ⋅− ⋅e 2⋅E⋅V E−m⋅c 2 1 0 2  2 0 1  p x −i⋅p y ⋅c  2 Em⋅c  = ⋅ 2⋅E⋅V  P  4  E−m⋅c 2 p z⋅c E−m⋅c 2 0 1 ⋅e i  ⋅ p ⋅x  ℏ  (6.1331) 234 6.13 Dirac egyenlet Töltött részecske teljes lendülete elektromágneses mezőben, ahol q a részecske töltése, Aη pedig a külső mező négyespotenciálja: q p  = p  ⋅A c Töltött részecske Dirac-egyenlete: ∂ A q i⋅ℏ⋅ PA⋅   PA⋅ ⋅A⋅ A±m⋅c⋅ P =0 c ∂x (6.1332) 6.14 Weyl egyenlet A Weyl egyenlet tömeg nélküli, fele spinű részecskéket ír le,

mint a neutrínók: ∂ b  ib ⋅  =0 ∂x (6.141) A hullámfüggvény a Pauli-mátrix miatt kétkomponensű. 235 7. Gravitációs hullámok 7. Gravitációs hullámok Azok a változások az anyagban, melyek nem gömbszimmetrikus tágulások vagy összehúzódások, tovaterjedő zavarokat okoznak a téridőben. Ezek a hullámok függetlenné válnak a forrásuktól, és fénysebességgel terjednek. Távol a kibocsátó égitesttől valószínűleg rendkívül gyengék, és jól közelíthetőek apró linearizált eltérésként a sík háttérmetrikától. Albert Einstein 1918-ban vezette le először a róla elnevezett egyenletek hullámmegoldását. Számos kérdés merült fel az eredményekkel kapcsolatban, sokáig tisztázatlan volt, hogy a hullámok koordinátaeffektusok-e, vagy valódi fizikai jelenséggel van dolgunk. A kétségek eloszlatásában jelentős szerepe volt Eddington brit csillagásznak, aki megfigyelésekkel igazolta a fényelhajlást a

híres 1919-es napfogyatkozás alkalmával. Megállapította, hogy a transzverzális hullám fénysebességgel terjedő valóságos jelenség, míg – az ő szavaival élve – a „longitudinális gravitációs hullámok a gondolat sebességével terjednek”. 1938-ban Einstein és Rosen a gravitációs hullámok létét cáfoló cikket nyújtott be a Physical Review-nek, melyet azonban az anonim szakmai lektor nem engedett át. Einstein ezen annyira megsértődött, hogy többet sosem publikált a folyóiratban, pedig mint később kiderült, a lektornak volt igaza. Bár a gravitációs hullám detektorok eddig közvetlenül nem észlelték a téridő hullámait, indirekt módon sikerült igazolni a képletek helyességét. Az 1993-ik évi fizikai Nobel-díjat Russel Alan Hulse és Joseph Hooton Taylor Jr. kapták, a Sas csillagképben található PSR B1913+16 pulzárt tartalmazó kettős rendszer vizsgálatáért. Megfigyeléseikkel igazolni tudták a relativitáselmélet több

következményét, köztük a gravitációs hullámok által elszállított energia mennyiségét is, a kettős rendszer keringési periódusának csökkenését mérve. 7.1 A metrikus tenzor felbontása Első közelítésben felbontjuk a metrikus tenzort a háttér és a gravitációs hullámok metrikájára: g  = h   g = −h ∣h ∣≪1 (7.11)  Ahol a sík téridő metrikus tenzora:  1 0 0 0 0 −1 0 0  = 0 0 −1 0 0 0 0 −1  (7.12) Tegyünk egy próbát velük: g  ⋅g   = h  ⋅  −h   236 7.1 A metrikus tenzor felbontása     g  ⋅g =⋅ − ⋅h h⋅ −h ⋅h      = −h h −h ⋅h   (7.13) Mivel h-t rendkívül kicsinek választottuk, a négyzete még kisebb, és elhanyagolható. A metrikus tenzor

parciális deriváltjai: ∂ g   ∂ h  h  =  = ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x     ∂g ∂ h h  =  −  =− ∂x ∂x ∂x ∂ x (7.14) Ezért a konnexió:  ∂ h  ∂ h  ∂ h  1  = ⋅g ⋅  − 2 ∂ x ∂ x  ∂ x   (7.15) A konnexióderiváltak:   ∂  1 ∂ ∂ h  ∂h   ∂h  = ⋅  g  ⋅  −  2 ∂x ∂x ∂ x ∂ x ∂ x      ∂  1 ∂ h ∂ h  ∂ h  ∂ h 1  ∂ 2 h  ∂ 2 h  ∂ 2 h  = ⋅ ⋅  −  ⋅g ⋅  −       2 ∂ x  2 ∂ x ∂ x  ∂ x  ∂ x  ∂x ∂x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x (7.16) A közelítésünkben feltesszük, hogy a téridő változásait egyszerűen szétbonthatjuk gyorsan és lassan változó tagokra. Kiszámítjuk a

görbületi tenzort, elhagyjuk a lassan változó tagokat, kizárólag a második deriváltakat tartjuk meg:  R     ∂   ∂    = −   ∂x ∂x  ∂2 h  ∂ 2 h  ∂ 2 h  ∂ 2 h  1 R = ⋅g  ⋅ − −          2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂x  Kiválasztunk egy esetet, és kiszámítjuk a teljesen kovariáns görbületi tenzort:  Rtt =  ∂ tt ∂   t −  t ∂x ∂x 237 (7.17) 7.1 A metrikus tenzor felbontása  2 2 2 2 ∂ h t ∂ h ∂ h ∂ h 1 Rtt = ⋅g  ⋅ −  tt  − t   t  t  t   t 2 ∂ x ∂ x ∂x ∂x ∂ x ∂x ∂ x ∂x g  ⋅R  tt    ∂2 htt ∂2 h  ∂ 2 h t ∂2 h t 1  = ⋅g ⋅g ⋅ −  − t t t   t 2 ∂ x ∂ x ∂x ∂ x ∂x ∂ x ∂ x ∂x  2 2 2 2 ∂ ht ∂

h ∂ h ∂ h 1 R tt= ⋅ −  tt  − t  t  t  t   t 2 ∂ x ∂x ∂ x ∂ x ∂ x ∂x ∂ x ∂ x (7.18)   (7.19) Kiválasztjuk a gravitációs sugárzás metrikus tenzorának azt a részét, aminek a változása nem függ egyik térbeli koordinátától sem, ez a transzverzális tag: 2 1 ∂ h R tt=− ⋅ 2 2 ∂t (7.110) Behelyettesítjük az egyenesek elhajlásának egyenletébe:  ∂2 x  ∂ x   ∂x R  ⋅dx ⋅ ⋅ =0 ∂t ∂t ∂ t2 ∂ t ∂ x ∂2 x   g  ⋅ 2 =−g ⋅R tt ⋅dt⋅ ⋅ ∂ t ∂t ∂t ∂2 x  =−R tt ⋅dx  2 ∂t ∂2 x  1 ∂ 2 h   = ⋅ ⋅dx ∂ t2 2 ∂ t2 (7.111) A gyenge hullámok által keltett δxκ oszcillációk kicsik lesznek, ezért az origótól mért dxγ távolságot tekinthetjük állandónak. Integrálás után a gravitációs hullámok által okozott kitérések: 1   x  = ⋅h ⋅dx 2

(7.112) 7.2 A metrika vizsgálata Meghatározzuk a gravitációs hullámok téridejét. A lineáris konnexió:  ∂ h  ∂ h  ∂ h  1  = ⋅g ⋅  − 2 ∂ x ∂ x  ∂ x   238 7.2 A metrika vizsgálata       1 ∂ h ∂ h ∂ h  = ⋅  − 2 ∂ x ∂ x ∂ x  (7.21) Felírjuk a Ricci-tenzort lineális közelítésben, behelyettesítjük a konnexiót: R =R    ∂  ∂    = − ∂ x ∂ x        1 ∂ ∂ h  ∂ h ∂ h  1 ∂ ∂ h  ∂h  ∂h   R = ⋅   − − ⋅   − 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x  2 2 ∂ h ∂ h ∂2 h ∂2 h  1 R = ⋅ − −         2 ∂ x ⋅∂ x ∂ x ⋅∂ x  ∂ x ⋅∂ x ∂ x ⋅∂ x    (7.22)

Bevezetünk egy új jelölést, a felülhúzás definíciója kétindexű tenzorok esetén: 1  M  =M  − ⋅M ⋅ 2 (7.23) Kétszeres felülhúzással visszakapjuk az eredeti tenzort:     1 1 1 1 M  =M  − ⋅M ⋅ = M  − ⋅M ⋅  − ⋅ M − ⋅M ⋅  ⋅  2 2 2 2 1 1 1 M  − ⋅M ⋅ − ⋅M ⋅  ⋅M ⋅⋅ =M  −M ⋅ M ⋅ 2 2 4 M  =M  (7.24) Itt felhasználtuk, hogy =4, ezért ez az összefüggés csak négy dimenzióban érvényes. Behelyettesítjük a Ricci-tenzort az Einstein-egyenletbe, és megkapjuk a linearizált változatát: 1 8⋅⋅ R − ⋅R⋅  =− 4 ⋅T  2 c R =− 8⋅⋅ ⋅T  c4   ∂2 h  ∂2 h  ∂2 h ∂ 2 h 1 8⋅⋅

⋅ − −  =− 4 ⋅T  2 ∂ x ⋅∂ x  ∂ x ⋅∂ x ∂ x ⋅∂ x  ∂ x ⋅∂ x  c (7.25) Megfelelő koordináta-rendszer választásával tovább egyszerűsíthető ez az egyenlet. Vizsgáljunk meg egy tetszőleges koordinátatranszformációt leíró függvényt, mely nagyságrendje h-hoz áll 239 7.2 A metrika vizsgálata közel: 2 x  =x    x   x  =2 x  −  2 x  (7.26) A metrikus tenzor transzformációja:   ∂x ∂x ⋅   ∂ x 2 2∂ x      2 g    2 x =g    x ⋅  ⋅ =g    x ⋅ (7.27) Az első koordináta-rendszer metrikus tenzora: ∂ g  x  g    x  = g   2 x −  =g   2 x  −⋅  2 2∂ x (7.28) A második metrikus tenzor felírható a transzformációs törvény, és az első metrikus tenzor segítségével:  

∂  ∂     ∂ g 2x  ⋅  − ⋅ g    2 x − ⋅ 2 g    2 x =  −    2∂ x 2∂ x 2∂ x       (7.29) Ugyanez lineáris pontossággal:   2 g    2 x =g   2 x −  ∂  ∂     ∂ g   2 x  ⋅g  x − ⋅g  x − ⋅  2  2    2∂ x 2∂ x 2∂ x Elhagyjuk a koordináta-rendszer indexeket, és kettős keresztekkel jelöljük a keresett transzformált mennyiségeket:  ∂  ∂     ∂ g   x  ⋅g    x − ⋅g   x − ⋅ # g   x =g    x − ∂ x ∂x ∂ x  #  (7.210) g  = # h Lineáris pontossággal h a következőképpen határozható meg: h =h  − #  ∂ ∂  − ∂ x  ∂ x ∂    h =h −2⋅

  # ∂ x (7.211) Alkalmazzuk rá a felülvonás szabályát: 240 7.2 A metrika vizsgálata 1 h =# h − ⋅#h⋅  2 #  # h =h − h =h − #    ∂ ∂  1  ∂  − − ⋅ h −2⋅ ⋅  ∂ x ∂ x 2 ∂ x   ∂  ∂ ∂  −  ⋅  ∂x ∂ x ∂ x (7.212) Parciális deriválás kovariáns koordináták szerint: ∂h  ∂2  ∂ ∂2  − −  =0 ∂ x  ∂ x ⋅∂ x  ∂ x ⋅∂ x  ∂ x ⋅∂ x  ∂h  ∂ 2  − =0 ∂ x  ∂ x ⋅∂ x  (7.213) Ez az egyenlet akkor teljesül biztosan, ha feltesszük, hogy az első tag mindig nulla, ez a koordináták harmonikusságának feltétele: ∂h  =0 ∂ x (7.214) Ekkor a linearizált Einstein-egyenlet: ∂2 h 16⋅⋅ =− ⋅T  ∂ x ⋅∂ x  c4 (7.215) 7.3 Síkhullám

megoldások Üres térben a linearizált Einstein-egyenlet: 2 ∂ h =0 ∂ x ⋅∂ x  (7.31) Mely mindig a következő kombinációban tartalmazza a koordinátákat, ezzel egyszerűsíteni lehet: u=t− z c (7.32) Ennek a megoldását vizsgáljuk. A harmonikussági feltétel egyenletei teljesülnek: 241 7.3 Síkhullám megoldások d  h h =0 du t  z  h t  =h t=h z  =h z =0 (7.33) Tehát csak transzverzális hullámok léteznek. Ezeknek a feltételeknek a következő általános ívelemnégyzet felel meg: ds 2=c 2⋅dt 2−1−a ⋅dx 2−1a ⋅dy 22⋅b⋅dx⋅dy−dz 2 (7.34) Ahol a és b tetszőleges függvények, nagyságrendileg igen kicsik, és h-t alkotják: b≪1 a ≪1 Metrikus tenzor, és nyom nélküli transzverzális h:  1 0 0 0 b 0 g  = 0 −1a 0 b −1−a 0 0 0 0 −1   0 h  = 0 0 0 0 0 0 a b 0 b −a 0 0 0 0  (7.35) A z irányba mozgó gravitációs hullám két

komponense: h × =h xy =h yx h =h xx =−h yy (7.36) Konnexió, lineáris pontossággal: − t xx= t yy =− z xx = z yy=− xtx = yty=− x xz= y yz= t − xy =− z x xy y x =− ty=− tx =− tx = x yz = y xz = 1 ∂a ⋅ 2⋅c ∂ u 1 ∂b ⋅ 2⋅c ∂ u (7.37) A teljesen kovariáns görbületi tenzor: −R txtx=R tyty=−R zxzx=R zyzy =Rtxzx =−Rtyzy= −R txty=−R zxzy=−R zxzx =Rtxzy =Rtyzx = 1 ∂2 a ⋅ 2 2 2⋅c ∂ u 1 ∂b ⋅ 2⋅c 2 ∂ u 2 (7.38) Erről már le tudjuk olvasni, hogy a gravitációs hullámok fénysebességgel terjednek. A monokromatikus síkhullám speciális megoldások: a u =A⋅cos k⋅z −⋅t  b u=B⋅cos k⋅z −⋅t− (7.39) 242 7.3 Síkhullám megoldások Ahol A, B, φ állandók, a hullámszám-vektor pedig: k=  c (7.310) 7.4 Másodrendű közelítés Kiszámoljuk a gravitációs sugárzás által elszállított energiát. A

gravitációs egyenleteket második rendű közelítésben írjuk fel. A Ricci-tenzor másodrendig:  2 2 2 2  ∂ h  ∂ h  ∂ h  1   ∂ h  1 ∂h   ∂h   R = ⋅h ⋅ − −   ⋅ ⋅ 2 ∂ x ⋅∂ x ∂ x ⋅∂ x  ∂ x⋅∂ x  ∂ x ⋅∂ x  4 ∂ x ∂ x    1 ∂ h ∂h  ∂ h  1 ∂h   ∂ h  ∂ h  ∂ h  1 ∂h  ∂h  ∂h  ∂ h  ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ ⋅ −  − ⋅ ⋅  − 2 ∂ x ∂ x ∂ x 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x 4 ∂ x  ∂ x  ∂ x ∂ x  (7.41) 2         A sugárzás metrikus tenzora az elsőrendű, és a másodrendű tag összege: 1 h =h h2 (7.42) Az Einstein-egyenletet vákuumban a következő feltétel korlátozza:  2 G1  h 2  G    h 

=0 2 t  =G1 h =−G2 h   (7.43) Gravitációs hullámok helyi energia-impulzus tenzora: t  = c4 ∂ h  ∂ h ⋅  ⋅  32⋅⋅ ∂ x ∂ x (7.44) Az energia ilyen megközelítése nem minden koordináta-rendszerben érvényes, de most meg fog felelni: E=∫ t 00⋅d 3 x (7.45) A kvadrupól formula kiszámítása következik. Megoldjuk az Einstein-egyenletet, itt az S hiperfelület az x pont múltbeli fénykúpja: h   x= T   x   ⋅∫ ⋅dS  x  2⋅ S ∣x− x ∣ R=∣x−x ∣ 243 (7.46) 7.4 Másodrendű közelítés Térfogatelem a fénykúpon: dS =r 2⋅dr⋅d  (7.47) Feltesszük, hogy a forrás sebessége a fénysebességnél jóval kisebb, és a méretei a kibocsátott sugárzás hullámhosszánál kisebbek, ez a dipólközelítés. Nagy távolságban a forrástól az R nevező alig változik, ezért kivihető az integrál elé:

h   x= 4  ⋅ ⋅∫ T ⋅dV 2⋅ R S   (7.48) A linearizált megmaradási törvénnyel átalakítjuk a megmaradt integrált: ∂T  =0  ∂x (1) (2) ∂T  ∂x  − ∂ T 0 ∂x 0 =0 ∂T 0  ∂ T 00 − =0 ∂ x ∂ x0 (7.49) A középső egyenlet (1): ∂T   ∂T  0 =0 /⋅x  − 0 ∂x ∂x Integráljuk a forrást és a jövőbeli fényszerű végtelent átmetsző hiperfelületre: ∂T  ∂ ∂ T ⋅x  ⋅dV − T ⋅dV T ⋅x ⋅dV =∫ ∫   ⋅x ⋅dV =∫ 0 ∫ 0 ∂x ∂ x   ∂x ∫ T  ⋅dV =− 12⋅ ∂ 0 ∫ T 0 ⋅xT 0 ⋅x ⋅dV ∂x (7.410) Az alsó egyenlet következik (2): ∂T 0  ∂ T 00 − =0 /⋅x ⋅x  0 ∂ x ∂x ∂ ∫ T 00⋅x⋅x ⋅dV =−∫ T 0 ⋅xT 0 ⋅x ⋅dV ∂ x0 A két egyenlet összevonása: 244 (7.411) 7.4 Másodrendű közelítés 1 ∫ T 

⋅dV =− 2⋅∂∂x 0 ∫ T 00⋅x ⋅x⋅dV (7.412) Bevezetjük az energia és az idő jelöléseit, és behelyettesítünk az Einstein-egyenlet megoldásába (7.46): T 00=m⋅c 2 h   x , t = t= x0 c 4⋅ ∂2 ⋅ ∫ x ⋅x ⋅dV c 4⋅R ∂ t 2 (7.413) Bevezetjük a háromdimenziós kvadrupólmomentum tenzort: Q ij =∫ ⋅x i⋅x j⋅d 3 x (7.414) A forrástól nagy távolságban síkhullám, melynek csak a következő komponensei nem nullák: 2⋅ ⋅Q̈ 23 3⋅c 4⋅R átlósan polarizált: h 23 = keresztirányban polarizált: h 22 −h 33=− 2⋅ ⋅ Q̈22−Q̈ 33 3⋅c 4⋅R (7.415) Behelyettesítünk t-be (a helyi energia-impulzus tenzorba), és felírjuk az x-tengely mentén az energiaáramot: c⋅t 10=   1   2  2 ⋅ ⋅ Q 22 −Q 33   Q 23  5 2 36⋅⋅c ⋅R 4 A dΩ térszögbe jutó energiaáram:  (7.416) R2⋅c⋅t 10⋅d  Bevezetjük az e polarizációs

egységtenzort, és definiáljuk a tulajdonságait. Itt n a síkhullám hármasvektora: eij eaa = 0 eia ∙ na = 0 eab ∙ eab = 1 (7.417) Ezzel az adott polarizációjú sugárzás intenzitása: dl =   ab⋅e ab2⋅d  ⋅ Q 3 75⋅⋅c (7.418) Átlagolunk az összes polarizációs irányra. Kifejezzük a polarizációs egységtenzort: 245 7.4 Másodrendű közelítés 1 e ij⋅e kl = ⋅ n i⋅n j⋅n k⋅nl n i⋅n j⋅kl nk⋅nl⋅ij −ni⋅nk⋅ jl −n j⋅nk⋅il 4 −ni⋅nl⋅ jk −n j⋅nl⋅ik −ij⋅kl  ik⋅ jl  jk⋅ il  (7.419) Felhasználjuk az intenzitás kifejezéséhez a síkhullám hármasvektorát: dl=   ab⋅na⋅nb 2 Q  ab 2−Q  ab⋅Q  ac⋅nb⋅nc ⋅d  ⋅ Q 5 36⋅⋅c Az energiaáram a − (7.420) dl ⋅4⋅ irány menti átlaga, a kvadrupól formula: d  dE  ab 2 = ⋅ Q 3 dt 45⋅c (7.421) A

kvadrupólmomentum második időderiváltja közelítőleg a forrás nem-gömbszimmetrikus mozgásainak mozgási energiája. A keltett hullámok amplitúdója:  E h= 4⋅ k c r (7.422) Kiszámoljuk a kvadrupól formulából az egységnyi térszögbe kisugárzott teljesítményt:  1    1  2 L g = ⋅ 5⋅ Q ab⋅Q ab − ⋅ Q 5 c 3  (7.423) 7.5 Példák Rugóval összekötött tömegpontok kvadrupólmomentuma: Q=m⋅l 2 (7.51) A rugó hossza periodikusan változik: l=l 0a⋅sin ⋅t (7.52) Behelyettesítünk a kvadrupólmomentum képletébe: Q=m⋅l 202⋅m⋅l 0⋅a⋅sin ⋅tm⋅a 2⋅sin2 ⋅t (7.53) Kis eltérés esetén az utolsó tag elhanyagolható: 3  Q=−2⋅m⋅l 0⋅a⋅ ⋅cos ⋅t  (7.54) 246 7.5 Példák Behelyettesítjük a luminozitás képletébe: 4  3 2 L g = ⋅ 5⋅m⋅l 0⋅a⋅ ⋅cos ⋅t  5 c (7.55) Számítsuk ki, hogy egy rezgő rúd mennyi

gravitációs energiát bocsát ki másodpercenként. Az egyszerűség kedvéért egységnyi, de azért reális méretekkel számolunk: m=1 kg l 0=1 m a=10−3 m =102 L g =6,6488⋅10 −49 1 s J s (7.56) Forgó rúd gravitációs luminozitása a kvadrupólmomentumából: 2 2 3 3 Q=  ⋅m⋅l ⋅ ⋅t 18   2⋅m⋅l 2⋅ 3 Q= 3 Lg= 2  ⋅ 5⋅m⋅l 2⋅32 45 c (7.57) Legyen a forgó rúd mérete összevethető a Schwarzschild-sugarával: r= 2⋅⋅m 2 c v=⋅r r= l 2 v c = ⋅ c r (7.58) Behelyettesítjük ezeket az értékeket a luminozitásba és kiértékeljük a lehetséges legnagyobb luminozitást (legalábbis nagyságrendileg): 2 6    r 8 c5 v L g = ⋅ ⋅r 4⋅ g ⋅ 45  r c L g =3,63⋅10 52 J s (7.59) Ez az érték nagyjából megfelel az Világegyetem összes csillagának sugárzási összteljesítményével. A kéttest-probléma: 247 7.5 Példák m1⋅m2 m 1m2 redukált tömeg: =

relatív koordináták: z i =x i1−x i2 abszolút koordináták: x 1= i  i ⋅z m1 x i2=  i ⋅z m2 (7.510) A redukált kvadrupólmomentum: Qij =⋅3⋅z i⋅z j−ij⋅∣z∣2  (7.511) A körpálya paraméterei: z 2 =R⋅cos ⋅t z 1=R⋅sin⋅t z3 = 0 (7.512) Kvadrupólmomentum:  ij⋅Q  ij =18⋅2⋅ z 2⋅z 2 6⋅z⋅ż⋅ż 29⋅z 2⋅ż 2 Q (7.513) Sugárzási teljesítmény: − dE 32⋅ 2 6 4 ⋅ ⋅ ⋅R = dt 5⋅c 5 (7.514) Behelyettesítés: 2  3 t k =2⋅⋅  ⋅R =m1m2 R3 ⋅m1m2  (Kepler-törvény) (7.515) Körpálya esetén a kisugárzott teljesítmény: 2 2 4 dE 32⋅ m1⋅m2⋅m1m2 − = ⋅ 5 5 dt 5⋅c R (7.516) Ellipszispályán az E energia és az L perdület: nagytengely: a=−⋅ excentricitás: e 2=1 m1⋅m2 2⋅E 2 2⋅E⋅L ⋅m1m2  2 3  ⋅m 1⋅m2  Ellipszispálya esetén a

kisugárzott teljesítmény: 248 (7.517) 7.5 Példák − 2 2 dE 32⋅4 m1⋅m2⋅m1m2 73 37 = ⋅ ⋅ 1 ⋅e 2 ⋅e 4 5 7 dt 24 96 5⋅c a 5⋅1−e 2 2   (7.518) A keringési idő változása: ṫ k 3⋅ȧ 3⋅Ė = = t k 2⋅a 2⋅∣E∣   ṫ k m1⋅m2 tk 96⋅2 =− ⋅3 ⋅ 5 tk 5⋅c  ⋅ m1 m2  2⋅ − 8 3  1 73 2 37 4 ⋅ 1 ⋅e  ⋅e ⋅ 7 24 96 1−e 2 2 249  (7.519) 8. Világegyetem térideje 8. Világegyetem térideje A gravitáció makroszkopikus kölcsönhatásként az egész Univerzum szerkezetét, és jövőjét befolyásolja. Bár a benne lévő csillagok és galaxisok igen változatos elrendezésűek, bizonyos egyszerűsítéseket mégis megtehetünk. A kozmológiai elv szerint a Világegyetem ~108 fényév léptékben már homogén és izotróp, illetve már ennél jóval kisebb térfogatokon a töltött részecskék elektromágneses hatása kölcsönösen

semlegesíti egymást, ezért a vizsgált mérettartományban már nem befolyásolják a téridő szerkezetét. 8.1 Feltételezések Jelenlegi ismereteink szerint a legáltalánosabb Einstein-egyenlet: 1 8⋅⋅ R − ⋅R⋅g  −⋅g  =− 4 ⋅T   2 c (8.11) Ahol Λ jelöli a kozmológiai állandót, mely feltételezéseink szerint az Univerzum gyorsuló tágulásáért felelős, melyet először 1998-ban figyeltek meg. Ez az egyenlet a legáltalánosabb olyan összefüggés, mely tartalmazza a metrikus tenzort, illetve az első és második deriváltjait, ezért a kozmológiai állandó is a térgeometria része, és nem anyageloszlást ír le. A homogenitást átlagolással biztosítjuk, mely fenntartásokkal kezelendő, mivel az előforduló mennyiségek esetében például az átlagok szorzata nem egyezik meg a szorzat átlagával. A Ricci-tenzor átlagolása: ∂  aij ∂  aaj ∂  aij ∂  aaj b a b a Rij = −  ij⋅

ab− aj⋅ ib ≠ −  bij⋅ aab− baj⋅ aib a i a i ∂x ∂x ∂x ∂x (8.12) Továbbá az átlagoláshoz a teret cellákra bontjuk fel, de ehhez pedig a pontos metrika ismerete lenne szükséges. Az eljárás abban az esetben működik, ha az Univerzumban nem léteznek nagyobb léptékű szerkezetek, mint ~108 fényév. Az izotrópia következménye az állandó görbület, ekkor a háromdimenziós térbeli Riemann-tenzor kiszámítása a Schur-tétel miatt egyszerű: 1 Rijkl = ⋅R⋅ g ik⋅g jl − g il⋅g jk  2 (8.13) Ezek a feltételek jelentősen lecsökkentik a lehetséges téridő-alakok számát. Ennek következtében a háromdimenziós tér maximálisan szimmetrikus sokaság, melynek a skalárgörbülete lehet pozitív, negatív, illetve nulla, és egy négydimenziós, görbület mentes sokaságba ágyazzuk be. Ez a három eset meghatározza a körülöttünk lévő tér alakját, az anyag sűrűségét, és a Világegyetem jövőjét.

250 8.2 Pozitív görbület 8.2 Pozitív görbület Az első lehetőség a négydimenziós sík térbe ágyazott háromdimenziós felszínű gömb. Derékszögű koordinátákkal a felület egyenlete: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 x 2x 3 x 4=a (8.21) x 4 =a − x1 −x 2− x 3 Az ívelem-négyzet ezen a felületen: 2 2 2 2 dl=dx 1dx 2dx 3 dx 4 dx 4 =− x 1⋅dx 1x 2⋅dx 2x 3⋅dx3 x4 (8.22) Polárkoordinátákat vezetünk be: x 1=r⋅sin ⋅cos 2 2 2 2 r =x 1 x 2 x 3 x 2=r⋅sin ⋅sin  ↔ x 3=r⋅cos  r⋅dr=x 1⋅dx 1 x 2⋅dx 2 x 3⋅dx 3 (8.23) Polárkoordinátákkal az ívelem-négyzet: dr 2 dl = r 2⋅ d 2sin 2 ⋅d  2  2 r 1− 2 a 2 (8.24) Átskálázzuk az r koordinátát a gömb a sugarától függően: r = r a (8.25) Behelyettesítjük az ívelem-négyzetbe: 2 2  dl =a ⋅  dr 2 2 2 2 2  r ⋅d  sin

⋅d   2 1− r (8.26) Új koordinátát vezetünk be, így három dimenzióban mindegyikük szögkoordináta lesz: r =a⋅sin  dr =a⋅cos ⋅d  (8.27) 251 8.2 Pozitív görbület Behelyettesítjük az ívelem-négyzetbe: dl 2=a 2⋅ d  2sin2 ⋅d 2 sin2 ⋅d 2  (8.28) Az időkoordináta hozzáadásával felírjuk a négydimenziós ívelem-négyzetet. A Robertson-Walker metrika pozitív görbület esetén, a sugár esetében megengedjük, hogy időfüggő legyen: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ds =c ⋅dt −a t⋅d  sin ⋅d  sin ⋅d   (8.29) A pozitív görbületű, zárt Világegyetemnek véges térfogata van:  V =a ⋅∫ 3  2⋅ ∫ ∫ sin 2 ⋅sin ⋅d ⋅d ⋅d =2⋅2⋅a 3 (8.210) =0 =0 =0 Ebben a világegyetemben elhelyezkedő kétdimenziós felületű, r sugarú gömb

felületének kiszámolása: A=4⋅⋅r 2⋅sin 2 =4⋅⋅r 2⋅sin 2  a r (8.211) 8.3 Negatív görbület Ebben az esetben a sugár negatív: a2 – a2 (8.31) Ez következményekkel jár a metrikában: a i∙a χ i∙χ sin i⋅=sinh  (8.32) A Robertson-Walker metrika negatív görbület esetén meghatározható a pozitív esetből az előbbiek behelyettesítésével, a sugár szintén lehet időfüggő: ds 2=c 2⋅dt 2−a 2 t⋅d  2sinh2 ⋅d 2 sin2 ⋅d  2  A negatív görbületű, nyitott Világegyetemnek végtelen nagy a térfogata: 252 (8.33) 8.3 Negatív görbület  ∞ 2⋅ ∫ ∫ sinh 2 ⋅sin⋅d ⋅d ⋅d =∞ V =a ⋅∫ 3 (8.34) =0 =0 =0 Ebben a világegyetemben elhelyezkedő kétdimenziós felületű, r sugarú gömb felületének kiszámolása: A=4⋅⋅r 2⋅sinh 2 =4⋅⋅r 2⋅sinh 2 

a r (8.35) 8.4 Nulla görbület Ebben az esetben a mindössze skálázza a távolságokat az Világegyetemben, χ pedig visszaváltozik távolságkoordinátává: = r a (8.41) Robertson-Walker metrika nulla görbület esetén, az időfüggés természetesen megmarad: ds 2=c 2⋅dt 2−a 2 t⋅d  22⋅d 2 sin2  ⋅d 2  (8.42) A nulla görbületű, nyitott Világegyetem térfogata szintén végtelen: ∞  V =a ⋅∫ 2⋅ ∫ ∫  2⋅sin ⋅d ⋅d ⋅d =∞ 3 (8.43) =0 =0 =0 A kétdimenziós gömb felszínét pedig a hagyományos képlettel lehet kiszámolni: A=4⋅⋅r 2 (8.44) 8.5 Kozmológiai vöröseltolódás Mindegyik lehetséges Világegyetemben előfordulhat, hogy az a paraméter időben változik. Megfigyeléseink szerint a körülöttünk elhelyezkedő galaxisoknak minél kisebb a fényessége, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezt a jelenséget képesek vagyunk

értelmezni, mégpedig úgy, hogy a Világegyetem tágul. A megfigyelő a koordináta-rendszerünk origójában helyezkedik el. A fényforrás állandó koordinátái: 1, 1, 1  (8.51) A t1 pillanatban fényhullám maximuma indul ki a fényforrásból, t0 pillanatban megérkezik az 253 8.5 Kozmológiai vöröseltolódás origóban lévő megfigyelőhöz: t0 > t1 (8.52) Az egyik koordináta mentén terjed, ezért a koordinátafeltételek: =áll. (8.53) =áll. Felírjuk az ívelem-négyzetet a fényszerű geodetikus mentén: c 2⋅dt 2 −a 2 t ⋅d  2=0 (8.54) Az eltelt idő: dt=± a t⋅d  c dt d =± a t c t0 0 t1 1  ∫ adtt =± 1c⋅∫ d =± c1 (8.55) A következő fénymaximum: indul: t 1 t 1 érkezik: t 0 t 0 t 0 t 0 ∫ t 1 t 1 t0 t 0 ∫ t1 t 1 t1 ∫ t 1 t 1 (8.56) t0  dt dt = 1 =∫ a t  c t a t  1 t1 t0 dt dt dt = ∫

∫  a t  t t a t  t a t  1 dt  a t 1 t 0  t 0 ∫ t0 1 t 0t 0 ∫ t0 t0 dt dt =∫ a t t a t 1 dt =0 a t  (8.57) Mivel a δt időváltozás kicsi, ezért ez alatt az idő alatt az időfüggő a(t) függvény lényegében nem változik: − t1  t0  =0 a t 1  a t 0  254 8.5 Kozmológiai vöröseltolódás 0 1  t 0 a t 1  = = = 1  0  t 1 a t 0  (8.58) A z paraméter jellemzi a tőlünk távolodó objektumok távolságainak arányát, az abszolút értelemben vett távolság ismerete nélkül: z= 0 a t 0  −1= −1 1 a t 1  (8.59) Tapasztalataink szerint ez az érték pozitív, ezt a Világegyetem tágulásaként értelmezzük. 8.6 Hubble törvény Távolság az egyik koordináta mentén: l t=a t⋅ (8.61) Két változatlan koordinátájú égitest: l t 1 l t = a t 1  at  l l t =

⋅a t  a (8.62) Idő szerinti deriválással megvizsgáljuk, hogy milyen gyorsan változik a távolság a tágulás miatt: ȧ l̇= ⋅l=H⋅l a ȧ H = ⋅c a (8.63) Ahol H a Hubble-állandó jelenlegi értéke: H 0=73,8±2,4 km 1 1 ⋅ =2,39⋅10−18 s MPc s (8.64) A Hubble-idő nagyjából a Világegyetem életkorának nagyságrendjébe esik: tH = 1 =4,18⋅1017 s=1,32⋅10 10 év H0 (8.65) Közelítéssel a kozmikus vöröseltolódásból és a Hubble-állandóból meghatározható, hogy milyen sokáig tartott, amíg a fény elért hozzánk. Sorfejtés a megfigyelő állapota körül: ∞ n 1 1 d 1 n =∑ ⋅ ⋅− t  a t  0 n! dt n a t  255 8.6 Hubble törvény   2  3  1 2⋅ȧ ä 1 1 ȧ 1 a 6⋅ȧ⋅ä 6⋅ȧ ≈  2⋅ t ⋅ 3 − 2 ⋅ t 2− ⋅ − 2  3 − 4 ⋅ t 3 a t a a 2 a 6 a a a a     ȧ2 ȧ 3 ȧ⋅ä a ȧ ä a ⋅ t 2 3 − 2  

⋅ t 3 ≈1 ⋅ t 2 − a t a 6⋅a a 2⋅a a a (8.66) Behelyettesítjük a H Hubble-állandót, és a Q lassulási paramétert, és felírjuk velük a kozmológiai vöröseltolódás sorfejtését: H ȧ = c a z= Q= ä a     a H2 Q H3 H a 2 3 −1≈H⋅ t  2 − ⋅ t − 3 − ⋅Q ⋅ t  a t 2 c 6⋅a c c (8.67) A fényforrás távolsága kis z esetén: l≈ H ⋅c z (8.68) 8.7 Síkbeli geometria A megfigyelések szerint a Világegyetem tere nagy léptékben nem görbült. Meghatározzuk azt a kritikus sűrűséget, ami ezt az univerzum-modellt jellemzi. A sík ívelem-négyzet felírásakor Minkowski-koordinátákból indulunk ki, és kiegészítjük az időfüggő skálafaktorral: ds 2=c 2⋅dt 2−a 2 t⋅dx 2dy 2dz 2 (8.71) A geometriai mennyiségek, a metrikus tenzortól a Ricci-skalárig:   1  1 0 0 0 2 0 −a 0 0 g  = 2 0 0 −a 0 0 0 0 −a 2  ∂ g

xx ∂ g yy ∂ g zz = = =−2⋅a⋅ȧ ∂t ∂t ∂t 0 1 0 − 2 a g  = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a2 0 − 0 − ∂ g xx ∂ g yy ∂ g zz 2⋅ȧ = = = 3 ∂t ∂t ∂t a 256 (8.72) 1 a2 (8.73) 8.7 Síkbeli geometria  t xx = t  xtx = xxt = yty = y yt = ztz = z zt = t yy = zz =a⋅ȧ ȧ a (8.74) ∂ t xx ∂  t yy ∂  t zz = = =a⋅äȧ 2 ∂t ∂t ∂t x x y y z z  tx  xt  ty  yt  tz  zt ä ȧ 2 = = = = = = − ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t a a 2 R t xtx =−R t xxt =R t yty =−R t yyt =R t ztz =−R t zzt R xttx=−R xtxt= R ytty=−R ytyt=R zttz =−R ztzt = (8.75) =a⋅ä ä a R x yxy =−R x yyx =R x zxz=−R xzzx =R y xyx=−R y xxy=R yzyz=−R yzzy=R z xzx =−R zxxz = Rz yzy =−R z yyz =ȧ 2 (8.76)  R = 3⋅ä a 0 0 0 R=−6⋅ a⋅äȧ 2 a2 − 0 0 0 a⋅ä ȧ 2 0 0 2 0 a⋅äȧ 0 0 0 a⋅äȧ 2  (8.77)

(8.78) Az energia-impulzus tenzor normalizált alakja:   ⋅c 2 T  = 0 0 p − 2 a 0 0 0 0 0 0 0 0 p a2 0 − 0 − (8.79) p a2 Behelyettesítjük őket az Einstein-egyenletekbe: 1 8⋅⋅ R − ⋅R⋅g  =− 4 ⋅T   2 c (8.710) Az időszerű komponens: 257 8.7 Síkbeli geometria 1 8⋅⋅ Rtt − ⋅R⋅g tt =− 4 ⋅T tt 2 c −  2 (8.711)  3⋅ä 1 a⋅ä ȧ 8⋅⋅ 2 − ⋅ −6⋅ ⋅1=− 4 ⋅⋅c 2 a 2 a c ȧ 2 8⋅⋅ 3⋅ 2 = 2 ⋅ a c Az első Friedmann-egyenlet megadja a Világegyetem sűrűségét: 3⋅H 2 = 8⋅⋅ (8.712) Behelyettesítünk, és meghatározzuk a számszerű értéket: =1,02⋅10−26 kg 3 m (8.713) Ez átlagosan 6,11 darab hidrogénatom köbméterenként. 8.8 Általános Friedmann-egyenletek A három lehetséges esetet egyetlen képlettel fejezzük ki: 2 2 2 2 k⋅ x 1 x 2x 3 x 4=a { 0 k 0 =0 2

(8.81) Ahol k-val különböztetjük meg a pozitív, negatív görbületű, illetve sík megoldásokat. A térbeli ívelem-négyzet: dl 2=dx 21dx12dx 21k⋅dx 24 (8.82) Átváltunk a megszokott koordináta-rendszerbe, és felírjuk az ívelem-négyzetet: d = d  1−k⋅ 2  d 2 ds =c ⋅dt −a t ⋅  2⋅d  2sin 2  ⋅d 2  2 1−k⋅ 2 2 2 2  A geometriai mennyiségek, a metrikus tenzortól a Ricci-skalárig: 258 (8.83) 8.8 Általános Friedmann-egyenletek   0 0 0 2 a t  0 − 0 0 g  = 1−k⋅ 2 2 2 0 0 −a t ⋅ 0 2 2 2 0 0 0 −a t ⋅ ⋅sin  g  =  1 1 0 1−k⋅ 2 0 − 2 a t  0 0 0 0 − 0 0 0 0 1 a t⋅ 2 0 2 0 − 1 a t ⋅ ⋅sin 2  2 2  (8.84) ∂ g  2⋅a⋅ȧ =− 2 ∂t 1−k⋅ ∂ g  2⋅1−k⋅ 2⋅ȧ =− ∂t a3 ∂ g 

=−2⋅ 2⋅a⋅ȧ ∂t ∂ g   2⋅ȧ = 2 3 ∂t  ⋅a ∂ g  =−2⋅ 2⋅a⋅ȧ⋅sin2   ∂t ∂ g  2⋅ȧ = 2 3 ∂t  ⋅a ⋅sin  ∂ g  2⋅k⋅⋅a 2 =− ∂ 1−k⋅ 22 ∂g 2⋅k⋅ = 2 ∂ a ∂ g  =−2⋅⋅a 2 ∂ ∂ g 2 = ∂   3⋅a 2 ∂ g  =−2⋅⋅a 2⋅sin 2  ∂ ∂ g  2 = 3 2 ∂  ⋅a ⋅sin 2  ∂ g  =−2⋅ 2⋅a 2⋅cos ⋅sin ∂ 2⋅cos ∂g = 2 2 ∂  ⋅a ⋅sin3   t  =   t  a⋅ȧ 2 1−k⋅ =  t =  t   t  = 2⋅a⋅ȧ =  t =  t =  t = ȧ a 259 (8.85)  t  = 2⋅a⋅ȧ⋅sin 2  8.8 Általános Friedmann-egyenletek    =    k⋅ 2 1−k⋅ =   =  

=−⋅1−k⋅ 2    =   =   =−⋅1−k⋅ 2 ⋅sin 2  1     =−cos ⋅sin    =  =cot  t (8.86) ∂ t   = 2⋅ a⋅äȧ 2  ∂t    a⋅äȧ 2 = 2 ∂t 1−k⋅ ∂ t  = 2⋅a⋅ä ȧ 2⋅sin 2  ∂t ∂ t  ∂  t ∂ t  ∂   t ∂ t  ∂ t a⋅ä−ȧ 2 = = = = = = ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t a2 ∂ t   2⋅k⋅⋅a⋅ȧ = ∂ 1−k⋅ 22 t t ∂   =2⋅⋅a⋅ȧ ∂  ∂   k⋅1k⋅ 2  = 2 2 ∂ 1−k⋅  ∂  =2⋅⋅a⋅ȧ⋅sin 2  ∂ ∂   =−1−3⋅k⋅ 2  ∂ ∂   ∂    ∂   ∂   1 = = = =− 2 ∂ ∂ ∂

∂  ∂  =−1−3⋅k⋅ 2 ⋅sin 2  ∂ t  ∂  =2⋅ 2⋅a⋅ȧ⋅cos ⋅sin  ∂ ∂  =−2⋅⋅1−k⋅ 2 ⋅cos ⋅sin  ∂ ∂  =sin2  −cos2  ∂ ∂   ∂   1 = =− 2 ∂ ∂ sin  Rt  t  =−Rt  t = R t R t t =−R t =−R t  a⋅ä 2 1−k⋅ 2  t = ⋅a⋅ä t 2  t 2 = ⋅a⋅ä⋅sin   Rtt  =−Rt  t= Rtt =−R t t =Rtt  =−Rt t = R    =−R    =R    =−R   2 ä a 2 = ⋅ ȧ k  R  =−R  =R   =−R = 2⋅ ȧ 2k ⋅sin 2  260 (8.87) 8.8 Általános Friedmann-egyenletek R    =−R  R = − 

 =R 3⋅ä a   =−R 2 ȧ k = 2 1−k⋅   0 (8.88) 0 0 a⋅ä2⋅ ȧ 2k  0 0 1−k⋅ 2 0  2⋅a⋅ä2⋅ ȧ 2k  0 2 0 0  ⋅a⋅ä2⋅ ȧ 2k ⋅sin 2  0 0 0  (8.89) R=− 6 ⋅ a⋅äȧ 2k  2 a (8.810) Az energia-impulzus tenzor normalizált alakja:  T  = ⋅c 2 0 0 0 a t  − ⋅p 0 0 1−k⋅ 2 0 −a 2 t ⋅ 2⋅p 0 2 2 0 0 −a t⋅ ⋅sin 2 ⋅p 2 0 0 0  (8.811) Behelyettesítjük őket az Einstein-egyenletekbe: 1 8⋅⋅ R − ⋅R⋅g  −⋅g  =− 4 ⋅T   2 c (8.812) Az időszerű komponens: 1 8⋅⋅ Rtt − ⋅R⋅g tt −⋅g tt =− 4 ⋅T tt 2 c −  (8.813)  3⋅ä 1 6 8⋅⋅ − ⋅ − 2⋅a⋅ä ȧ 2k  ⋅1−⋅1=− 4 ⋅⋅c2 a 2 a c ȧ 2⋅c 2 k⋅c 2 ⋅c 2 8⋅⋅

 2 − =− ⋅ 2 3 3 a a Az első általános Friedmann-egyenlet: H 2 2 2 k⋅c ⋅c 8⋅⋅ − =− ⋅ 2 3 3 a (8.814) 261 8.8 Általános Friedmann-egyenletek A térszerű komponensek: 1 8⋅⋅ Rii − ⋅R⋅g ii −⋅g ii =− 4 ⋅T ii 2 c (8.815) 8⋅⋅ 1 R  − ⋅R⋅g  −⋅g   =− 4 ⋅T   2 c      a⋅ä2⋅ ȧ 2k  1 6 a2 a2 8⋅⋅ a2 2 − ⋅ − ⋅a⋅ ä ȧ k  ⋅ − −⋅ − =− ⋅ − ⋅p 2 1−k⋅ 2 a2 1−k⋅ 2 1−k⋅ 2 c4 1−k⋅ 2   ä⋅c 2 ȧ 2⋅c 2 k⋅c 2 8⋅⋅ −2⋅ − 2 − 2 ⋅c 2= 2 ⋅p a a a c A másik két esetben is a második általános Friedmann-egyenletet kapjuk: 2 2 ä⋅c k⋅c 8⋅⋅ −2⋅ −H 2− 2 ⋅c 2= ⋅p 2 a a c (8.816) 8.9 Világmodellek Felírjuk a sűrűség és a skálafaktor közötti összefüggést két elméleti

esetben, az egyik az anyagdominált világegyetemnek felel meg, a másikban az energia döntő részben sugárzás formájában van jelen. Dimenzió nélküli mennyiségeket vezetünk be: 3 p=0 4 p=  m t⋅a t =áll. K m= 2 r t⋅a t=áll. ⋅c 3 K r= 8⋅⋅ ⋅m⋅a 3=áll. 2 3⋅c 8⋅⋅ ⋅ s⋅a 4 =áll. 2 3⋅c (8.91) Ezek felhasználásával felírjuk a Friedmann-mozgásegyenletet: ȧ 2− K m K r ⋅a 2 − 2− =ȧ 2V a =−k a 3 a (8.92) Ebben a Friedmann-potenciál: V  a=− K m K r ⋅a2 − 2− a 3 a (8.93) A kozmológiai állandó elhanyagolása mellett a skálafaktor időfüggése: 262 8.9 Világmodellek ȧ 2≈ Km 3  a t ∝  t 2 a ȧ 2≈ Kr a 2  at ∝  t (8.94) Statikus Univerzumban a skálafaktor nem változik, idő szerinti deriváltjai nullák. A jelenlegi állapotban a sugárzási eredetű energia elhanyagolható. Így a

mozgásegyenletből meghatározható a mozdulatlansághoz szükséges kozmológiai állandó: −K m k⋅a 2 − =−1 a 3 k = 3 3⋅K m − 3 a2 a (8.95) Friedmann világmodellek: k = –1 k=0 k=1 0 zárt, periodikus zárt, periodikus zárt, periodikus =0 nyílt, táguló nyílt, aszimptotikus zárt, periodikus 0 k nyílt, táguló nyílt, táguló periodikus / nyílt = k nyílt, táguló nyílt, táguló nyílt, statikus, instabil  k nyílt, táguló nyílt, táguló nyílt, táguló Bevezetjük a következő dimenzió nélküli változókat: x = a t  a0 = H 0⋅t x  0=0 (8.96) A jelenlegi állapot jellemzése: ȧ 2− K m ⋅a 2 − =−k a 3 ẋ 2− m −⋅ẋ 2=k a 2 /⋅ c H 20⋅a 20 (8.97) Ahol dimenzió nélküli állandók jellemzik a Világegyetem állapotát:  m=  8⋅⋅ ⋅ m= m 2 k 3⋅H 0  = ⋅c 2 3⋅H 20 263 k

=− k⋅c2 H 20⋅a 20 8.9 Világmodellek m k =1 (8.98) Jelenlegi ismereteink szerint az értékeik: m=0,273 k ≈−0,023 =0,727 (8.99) Pont távolsága az origótól:  D=∫  g  ⋅d =R t⋅ (8.910) 0 A részecskehorizont távolsága: t0 t0 D0 =R0⋅∫ d =R0⋅∫ 0 0 c⋅dt Rt (8.911) Kozmikus szökési sebesség: v k= d dR  R⋅= ⋅= H 0⋅R0⋅ dt dt lim v k =∞ (8.912)  ∞ A dimenzió nélküli idő kiszámítása: x = H 0⋅t=∫ 0 dx  (8.913) m ⋅x 2 K x A Világegyetem életkora: x=1 t 0= ∫ 0 x=1 dx 1 = ⋅∫ ẋ H 0 0 dx  m ⋅x 2 K x = 0,9897 =4,14⋅10 17 s=1,31⋅1010 év H0 (8.914) A Világegyetem belátható tartományának sugara: t0 x=1 c⋅dt c D0 =a 0⋅∫ = ⋅∫ a t H 0 0 0 dx c = ⋅3,433 4 2  m⋅x⋅x  K⋅x H 0 D0 =4,475⋅10 26 m=4,73⋅10 10 fényév

(8.915) A belátható tartomány határának távolodási sebessége: 264 8.9 Világmodellek t0 v  D0 =c⋅ȧ 0⋅∫ 0 x=1 c⋅dt =H 0⋅D0 =c⋅∫ a t  0 dx m =3,433⋅[c ] 4 2 s  m⋅x⋅x  K⋅x (8.916) Ez az érték jóval meghaladja a fénysebességet. Ennek azonban a téridőben mozgó testek szempontjából nincs jelentősége. 265 Függelék Függelék Ebben a fejezetben olyan eseteket gyűjtünk össze, amelyek az elmélet szempontjából fontosak, ám a természetben nem találhatóak meg, vagy a megfigyelések szempontjából nincs jelentőségük, mindössze alternatív módon írják le azt, amit már eddig is tudtunk. A.1 Makroszkopikus kölcsönhatások egyesítése A makroszkopikus világban tapasztalataink szerint három elemi kölcsönhatás uralkodik: a gravitáció, az elektromosság és a mágnesesség. A tudomány fejlődése során a jelenségek kavalkádjában fokozatosan ismerték fel őket, és azt, hogy

mögöttük is közös rendező elvek húzódnak meg. A Kaluza-elmélet az általános relativitáselméletre épít, és a Maxwell-egyenletek (melyek az elektromosságot és a mágnesességet egyesítik) Riemann-geometriában általánosított formáját felhasználva egyesíti az összes makroszkopikus kölcsönhatást, és ezzel geometrizálja őket. Az ötdimenziós Einstein-egyenlet vákuumban: 1 R PQ− ⋅R⋅g PQ=0 2 (A.11) Ha nincs jelen elektromágneses mező, akkor abban a határesetben a négydimenziós téridő metrikája független az ötödik koordinátától. Ez a feltételezés az alapja az általános metrika megválasztásának Theodor Kaluza eredeti választása az ötdimenziós metrikus tenzorra: g PQ=  4 g  C⋅A C⋅A 2⋅  (A.12) Itt Aη az elektromágneses négyespotenciál,  pedig egy ismeretlen állandó. A négy dimenzióban értelmezett mennyiségek, és az ötdimenziós mennyiségek négy koordinátaindexig futó tagjai

között bal felső indexben jelölt dimenziószámmal teszünk különbséget. Egy másik lehetséges választás Oscar Klein nevéhez fűződik, ezt felhasználva fogjuk kiszámolni a geometriai mennyiségeket. Az általa felírt ívelem-négyzet és kétszer kovariáns metrikus tenzor: ds 2= g  ⋅dx ⋅dx  2⋅C⋅A⋅dx dx 4 2  4 g  C 2⋅2⋅A⋅A C⋅ 2⋅A g PQ= C⋅ 2⋅A 2  (A.13) Látható, hogy itt a négydimenziós metrikus tenzor, és az ötdimenziós metrikus tenzor négy koordinátaindexig futó tagjai már nem egyenlőek: 4 g  ≠5 g  (A.14) 266 A.1 Makroszkopikus kölcsönhatások egyesítése Feltételt szabunk az új ötdimenziós metrikára, mégpedig azt, hogy a metrikus tenzor deriváltja az ötödik irányban legyen nulla, ezért a konnexió megfelelő deriváltja is nulla lesz, ez a hengerfeltétel: ∂ g PQ ∂ x4 ∂ QPR =0 ∂ x4 =0 (A.15) A

kétszer kontravariáns metrikus tenzor: g PQ=  4 g  −C⋅A 1 C 2⋅A2 2  −C⋅A  (A.16) A metrikus tenzor parciális deriváltja:  ∂ 4 g  ∂ A ∂A C 2⋅2⋅ ⋅A A⋅ R R R ∂ g PQ ∂x ∂x = ∂x R ∂A ∂x C⋅2⋅ R ∂x   ∂A C⋅ 2⋅ R ∂x 0  (A.17) A levezetés folyamán kihasználjuk, hogy az elektromágneses tenzor és a vektorpotenciál négy dimenzióban is értelmezett mennyiségek, ezért a négydimenziós metrikus tenzorral is lehetséges rajtuk indexműveleteket végezni. Öt dimenzióban a konnexió:  ∂ g RA ∂ g AP ∂ g PR 1  QPR = ⋅g QA⋅  − 2 ∂ xP ∂ xR ∂ xA  (A.18) A különböző dimenziójú indexkombinációkat külön-külön határozzuk meg. Először az ötdimenziós konnexió 0 – 3 koordinátaindexű tagjait: 5 5   ∂ g  A ∂ g A ∂ 5 g   1  = ⋅g  A⋅  −   A 2 ∂x ∂x

∂x       5 5 5 5 1 5   ∂ g  ∂ g ∂ g  1  4 ∂ g 4 ∂ g 4 ∂ g  = ⋅g ⋅  −  ⋅g ⋅  −      4 2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x  (A.19) Behelyettesítjük a metrikus tenzor tagokat. A második zárójelben az utolsó tag nulla a hengerfeltétel miatt: 5     5 5 5   ∂ g   ∂ g   ∂ g  1 2 2  ∂ A ∂ A 1 = ⋅4 g ⋅  − − ⋅C ⋅ ⋅A ⋅       2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x  (A.110) Külön számoljuk ki az első zárójelben lévő mennyiséget, mert erre a részeredményre még egyszer szükségünk lesz: 267 A.1 Makroszkopikus kölcsönhatások egyesítése ∂ 5 g   ∂ 5 g  ∂ 5 g  ∂ 4 g   ∂ A 2 2 ∂ A  − =  C ⋅ ⋅  ⋅A A⋅    ∂x ∂x ∂ x ∂x ∂x ∂x 4 4 ∂ g ∂ A ∂ g 

 ∂ A 2 2 ∂ A 2 2 ∂ A   C ⋅ ⋅ ⋅A A⋅  −  −C ⋅ ⋅ ⋅A A⋅  ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x       Ebben a részszámításban α egy szabad index. Átrendezzük a képletet, és behelyettesítjük az elektromágneses tenzort: ∂ 5 g   ∂ 5 g   ∂ 5 g  ∂ 4 g   ∂ 4 g   ∂ 4 g    − =  − ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ A ∂ A ∂ A ∂ A  ∂ A  ∂ A − C 2⋅2⋅ A⋅   A⋅ −   A⋅ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ x ∂ x          ∂ 5 g   ∂ 5 g   ∂ 5 g  ∂ 4 g  ∂ 4 g   ∂ 4 g   ∂ A ∂ A  − =  − C 2⋅2⋅ A⋅  A⋅F  A⋅F         ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ x ∂ x (A.111)  

Folytatjuk a levezetést, behelyettesítjük a részeredményt: 5  4 4 4 ∂ g   ∂ g   ∂ g  1  = ⋅4 g  ⋅  −    2 ∂x ∂x ∂x     ∂ A ∂ A 1  ⋅C 2⋅2⋅4 g  ⋅ A⋅   A⋅F  A⋅F    2 ∂x ∂x  ∂ A ∂ A 1 − ⋅C 2⋅ 2⋅A⋅    2 ∂x ∂x   Az első tagban felismerjük a négydimenziós konnexiót, a második tagon elvégezzük az indexemelést, ezzel egy olyan tagot nyerünk, ami a harmadik tagot kiejti, így az eredmény: (1) 5 1  =4    ⋅C 2⋅ 2⋅ A⋅F   A⋅F  2 (A.112) Másodszor a konnexió olyan koordinátaindexű tagjait határozzuk meg, ahol az egyik alsó index 4. koordinátájú. Torzió hiányában a konnexió szimmetrikus, ezért elég csak az egyik esetre elvégezni:  ∂ g A ∂ g A4 ∂ g4 1  4 = ⋅g

 A⋅  − 2 ∂ x4 ∂ x ∂ xA  (A.113) A zárójelben lévő első tagról azonnal meg tudjuk állapítani, hogy a hengerfeltétel miatt nulla: 268 A.1 Makroszkopikus kölcsönhatások egyesítése    ∂ g  4 ∂ g 4  1  4 ∂ g 44 ∂ g 4  1 − −  4 = ⋅5 g  ⋅  ⋅g ⋅    4 2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x  A hengerfeltétel ismételt alkalmazása, behelyettesítés:   ∂A ∂A 1  4 = ⋅4 g ⋅ C⋅ 2⋅  −C⋅2⋅  2 ∂x ∂x Behelyettesítjük az elektromágneses tenzort, és indexet emelünk. Azt kaptuk, hogy az elektromágneses tenzor konstans szorzók erejéig megegyezik az egyik ötdimenziós konnexiótaggal, ez indokolja Oscar Klein választását a metrikus tenzor alakjára: (2)   4 =  4 1 2  = ⋅C⋅ ⋅F  2 (A.114) Harmadjára a 4. felső indexű konnexiótagok következnek:   5 ∂ g A ∂ g A ∂

g  1  = ⋅g 4 A⋅  −   A 2 ∂x ∂x ∂x 4    ∂ 5 g   ∂ 5 g   ∂ 5 g  1 44 ∂ g  4 ∂ g 4 ∂ 5 g   1  4= ⋅g 4 ⋅  −  ⋅g ⋅  −      4 2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x  (A.115) Az első zárójelbe behelyettesítjük a korábbi részszámítás eredményét, a másodikban alkalmazzuk a hengerfeltételt, és szintén behelyettesítünk:    ∂ 4 g   ∂ 4 g   ∂ 4 g  ∂ A ∂ A 1   2 2   = ⋅ −C⋅A ⋅   A⋅F   A⋅F     −  C ⋅ ⋅ A⋅ 2 ∂x ∂x ∂x ∂ x ∂ x  4    ∂A ∂A 1 1  ⋅ 2 C 2⋅A2 ⋅ C⋅2⋅  C⋅2⋅  2  ∂x ∂x    4 ∂ 4g ∂ 4g  1  ∂ g   =− ⋅C⋅A ⋅  − 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ A 1 3 2  1 3 2  ∂

A − ⋅C ⋅ ⋅A⋅A ⋅ − ⋅C ⋅ ⋅A ⋅ A⋅F   A⋅F    2 2 ∂x ∂ x ∂ A ∂ A 1 3 2 2 ∂ A ∂ A 1  ⋅C⋅   ⋅C ⋅ ⋅A ⋅  2 2 ∂ x  ∂ x ∂ x ∂ x 4      A második és az utolsó tag kiejti egymást: (3) 269   A.1 Makroszkopikus kölcsönhatások egyesítése     4 ∂ 4g ∂ 4g  ∂ A ∂ A 1  ∂ g   =− ⋅C⋅ A ⋅ C 2⋅ 2⋅A⋅ A⋅F  A⋅F   −     −  2 ∂x ∂x ∂x ∂ x ∂ x (A.116) 4  Negyedszerre a konnexió mindkét alsó indexe 4, a hengerfeltétel miatt számos tag azonnal kiesik, végül a megmaradt tagról is kiderül, hogy nulla:   ∂ g 4 A ∂ g A 4 ∂ g 44 ∂g 1 1  44= ⋅g  A⋅  − =− ⋅g  A⋅ 44A 4 4 A 2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x (4) ∂g ∂g ∂g 1 1 1 

44=− ⋅g  ⋅ 44 − ⋅g  4⋅ 444 =− ⋅g ⋅ 44 =0  2 2 2 ∂x ∂x ∂x (A.117) Ötödiknek azokat a konnexiótagokat vizsgáljuk meg, ahol az egyik alsó, és a felső index 4. Ismét a hengerfeltétellel kezdünk:     ∂ g A ∂ g A4 ∂ g4 1 4 A ∂ g A4 ∂ g 4 1  44 = ⋅g 4 A⋅  − = ⋅g ⋅ − 4  A  A 2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x   1 4  ∂ g  4 ∂ g 4  1 44 ∂ g 44 ∂ g 4  − −  44 = ⋅g ⋅  ⋅g ⋅ 2 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x4   (A.118) Csak az első tag nem nulla, behelyettesítünk:  ∂A ∂A 1  44 =− ⋅C⋅A⋅ C⋅ 2⋅  −C⋅ 2⋅  2 ∂x ∂x  Kifejezzük az elektromágneses tenzort: (5) 1  44 = 4 4=− ⋅C 2⋅ 2⋅A⋅F   2 (A.119) Hatodikként a minden indexében 4. konnexiótag a hengerfeltétel miatt nulla:   ∂ g 4 A ∂ g A 4 ∂ g 44 1 1 4 A ∂ g

44  444= ⋅g 4 A⋅  − =− ⋅g ⋅ A 4 4 A 2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x (6) ∂g ∂g 1 1  444=− ⋅g 4 ⋅ 44 − ⋅g 44⋅ 444 =0 2 2 ∂x ∂x (A.120) Immár fel tudjuk írni az ötdimenziós geodetikus egyenletet. A részletesen kiírt tagok közül az utolsó nulla: 270 A.1 Makroszkopikus kölcsönhatások egyesítése 2 P A B 2 P   ∂x ∂x ∂ x  PAB⋅ ⋅ =0 2 ∂ ∂ ∂ 4 4  4 ∂x ∂ x ∂x ∂ x ∂ x ∂x ∂ x  P ⋅ ⋅ 2⋅ P4 ⋅ ⋅  P44⋅ ⋅ =0 2 ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂  ∂ (A.121) Vetülete a négydimenziós téridőben: 2   4   ∂ x 5  ∂x ∂x ∂x ∂x    ⋅ ⋅ 2⋅ 4 ⋅ ⋅ =0 2 ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ (A.122) Behelyettesítünk és átrendezzük a képletet: 4 1 2 2 ∂ x ∂ x  ∂2 x  4  1 ∂ x   2  ∂x   ⋅ ⋅  ⋅C ⋅ ⋅ A ⋅F  A

⋅F  ⋅ 2⋅ ⋅C⋅ ⋅F ⋅ =0       2 ∂ ∂ 2 ∂ ∂ ∂ 2  2        4   ∂ x 4  ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x    ⋅ ⋅ C 2⋅ 2⋅A⋅F ⋅ ⋅ C⋅2⋅F ⋅ ⋅ =0 2 ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂  ∂ A gravitációs és az elektromágneses kölcsönhatás által befolyásolt töltött részecske általános mozgásegyenlete:    ∂2 x  4  ∂ x  ∂ x  ∂ x  ∂ x4 2  ∂x    ⋅ ⋅ =−C⋅ ⋅ C⋅A⋅  ⋅F ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ 2 (A.123) A töltött részecske korábban levezetett mozgásegyenlete az elektromágneses mező hatására:  ∂2 x  4  ∂ x  ∂ x  Q  ∂x    ⋅ ⋅ = ⋅F ⋅ 2 ∂  ∂  c⋅m ∂ ∂ (A.124) Összehasonlítjuk a levezetett egyenletünkkel:   Q ∂ x ∂

x ∂ x4 ∂ x ⋅F ⋅ =−C⋅2⋅ C⋅A⋅  ⋅F ⋅ c⋅m ∂ ∂ ∂ ∂  Q ∂ x ∂ x4 =−C⋅2⋅ C⋅A⋅  c⋅m ∂  ∂  (A.125) Ha a részecske töltése nulla, akkor csak az elektromágneses mező gravitációja hat rá:   ∂ x ∂ x4 −C⋅ ⋅ C⋅A⋅  =0 ∂ ∂ 2 271 A.1 Makroszkopikus kölcsönhatások egyesítése 4  ∂x ∂x =−C⋅A⋅ ∂ ∂ (A.126) A teljes elektromágneses mező a külső tér és a töltött részecske mezőjének az összege: ∂ x ∂ x4 Q −C⋅A⋅ = − ∂  ∂ c⋅C⋅ 2⋅m (A.127) A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk Hans Reissner 1916-ban írta fel az Einstein-egyenletek ezen megoldását. 1918-ban Gunnar Nordström megmutatta, hogy az elektromosan töltött gömbszimmetrikus égitestek külső térideje is ilyen geometriájú. Az elektromágneses energia-impulzus tenzorból

indulunk ki: 1   /⋅g   T  =F ⋅F  − ⋅g ⋅F  ⋅F 4 1      g ⋅T  = g ⋅F  ⋅F  − ⋅g ⋅g ⋅F  ⋅F 4 A nyoma nulla: 1 T = F  ⋅F  − ⋅4⋅F  ⋅F  =0 4 (A.21) Ebben az esetben a Ricci-skalár is nulla, az Einstein-egyenlet leegyszerűsödik: 1 8⋅⋅ R − ⋅R⋅g  =− 4 ⋅T   2 c R =− 8⋅⋅ ⋅T  c4 (A.22) A gömbszimmetrikus téridő ívelem-négyzetének általános alakja, Schwarzschild-koordinátákban, sugárirány- és időfüggő ismeretlen függvényekkel: ds 2= Ar , t⋅c 2⋅dt 2−B r ,t ⋅dr 2−r 2⋅d  2−r 2⋅sin 2 ⋅d  2 (A.23) Ezúttal olyan alakban érdemes felírni, ahol az ismeretlen függvények exponenciálisok: ds 2=e 2⋅ r ,t ⋅c 2⋅dt 2 −e 2⋅ r ,t ⋅dr 2−r 2⋅d  2−r 2⋅sin 2 ⋅d  2 (A.24)

Meghatározzuk a felületet jellemző geometriai mennyiségeket, a metrikus tenzortól a Riccitenzorig. Az időkoordináta szerinti deriváltat ponttal, a sugárirányú koordináta szerinti deriváltat vesszővel jelöljük: 272 A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk   e 2⋅ 0 0 0 2⋅ 0 −e 0 0 g  = 2 0 0 −r 0 2 0 0 0 −r ⋅sin 2    1 e 2⋅ 0 0 − g = 1 e 2⋅ 0 0 0 0 0 0 0 1 − 2 r 0 0 0 − ∂ g tt =2⋅e 2⋅⋅̇ ∂t ∂ g tt =−2⋅e−2⋅⋅̇ ∂t ∂ g rr =−2⋅e 2⋅⋅̇ ∂t ∂g =2⋅e−2⋅⋅̇ ∂t ∂ g tt =2⋅e 2⋅⋅ ∂r ∂ g tt =−2⋅e−2⋅⋅ ∂r ∂ g rr =−2⋅e 2⋅⋅ ∂r ∂ g rr =2⋅e−2⋅⋅ ∂r ∂ g  =−2⋅r ∂r ∂ g 2 = 3 ∂r r ∂ g  =−2⋅r⋅sin 2  ∂r ∂ g  2 = 3 ∂r r ⋅sin 2   ∂ g  =−2⋅r 2⋅cos

⋅sin  ∂ ∂ g   2⋅cos = 2 ∂ r ⋅sin3    t tt =̇ r  tt =e  r  =−r⋅e ⋅ −2⋅  rr t  t rr =e 2⋅ −⋅̇ r r  rr = r  tr = rt =̇  (A.26) t  tr = rt = 2⋅ − 1 2 r ⋅sin 2  (A.25) r 2 −2⋅  =−r⋅e   =−cos ⋅sin   ⋅sin    r =   =  =cot  t t ∂ tt =̈ ∂t t ∂ tr ∂ rt ˙ = = ∂t ∂t 273  r =  r =  r = 1 r (A.27) A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk t r ∂ rr 2⋅−  =e ⋅ ̈2⋅̇⋅ ̇−̇ ∂t ∂ tt 2⋅− =e ⋅2⋅ ⋅ ̇− ̇˙  ∂t ∂ r tr ∂ rrt = = ̈ ∂t ∂t ∂ r rr = ̇ ∂t ∂ r

  =2⋅r⋅e−2⋅⋅̇ ∂t ∂ r  =2⋅r⋅e−2⋅⋅̇⋅sin2   ∂t t t t ∂ tt ˙ = ∂r ∂ tr ∂ rt = = ∂r ∂r ∂ t tr ∂ t rt = = ∂r ∂r ∂ t rr 2⋅−  =e ⋅ 2⋅  − ⋅̇ ̇  ∂r ∂ r tr ∂ rrt = = ̇ ∂r ∂r ∂ r tt 2⋅− =e ⋅2⋅ ⋅ −   ∂r r ∂   −2⋅ =e ⋅2⋅r⋅ −1 ∂r r ∂  −2⋅ =e ⋅ 2⋅r⋅ −1⋅sin2   ∂r r ∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r 1 = = = =− 2 ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂ r  =−2⋅r⋅e−2⋅⋅cos ⋅sin  ∂ ∂  =sin2  −cos 2  ∂ ∂ rr = ∂r   ∂   ∂    = =−cot 2 −1 ∂ ∂ (A.28) Rt rtr =−Rt rrt =e 2⋅

− ⋅ ̈ ̇2−̇⋅̇ ⋅ − − 2 R t t =−R t −2⋅  t ⋅ =−r⋅e R Rt t =−Rt  t=−r⋅e −2⋅⋅ ⋅sin 2  r r 2 R ttr =−R trt =̈ ̇ −̇⋅̇−e R r R r t =−R r =−R t  2⋅− =r⋅e r =r⋅e t −2⋅  r =−r⋅e ⋅̇ 2 2 ⋅̇⋅sin  Rtt =−Rt  t=R tt  =−Rt t =− =−R ⋅ − ⋅   ⋅̇ −2⋅  t r Rt r  =−R t  r =−r⋅e−2⋅⋅̇⋅sin2  −2⋅  t t e 2⋅ −⋅ r 274 R r R r r =−R r  r =−R  r =r⋅e r −2⋅ ⋅ −2⋅  r =r⋅e 2 ⋅ ⋅sin  A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk Rtr =−Rt  r= Rrt =−Rr  t=

Rtr  =−Rt  r= Rrt =−Rr t =− Rrr =−Rr r =Rrr  =−Rr  r =−  r R  =−R = 1−e−2⋅ ⋅sin 2  R     =−R Rtt =−̈−̇ 2̇⋅̇−e 2⋅ −⋅  ⋅ − − 2 Rtr = Rrt = Rrr =e ̇ r    2⋅ r =1−e −2⋅ (A.29)  2⋅̇ r 2⋅− 2 ⋅ ̈ ̇ −̇⋅̇ ⋅ 2⋅ 2 − − r −2⋅ R =e ⋅r⋅ − −11 2 −2⋅ R =e ⋅r⋅ − −11⋅sin  (A.210) A gömbszimmetria miatt csak elektrosztatikus mező van jelen: E r =F tr =−F rt = f r , t  0 − f r , t F  = 0 0 f r , t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  (A.211) Ebből kifejezzük az elektromágneses energia-impulzus tenzort: 1 T  =F ⋅F 

− ⋅g ⋅F  ⋅F   4 1 T tt = F t ⋅F t − ⋅g tt⋅F  ⋅F   4 1 T tt = F t ⋅g  ⋅F t  − ⋅g tt⋅F  ⋅g  ⋅g ⋅F   4 rr T tt = F tr⋅g ⋅F tr 1 − ⋅g tt⋅ F tr⋅g tr⋅g rt⋅F rt F tr⋅g tt⋅g rr⋅F tr F rt⋅g rr⋅g tt⋅F rt  F rt⋅g rt⋅g tr⋅F tr  4 275 A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk 1 T tt = F tr⋅g rr⋅F tr − ⋅g tt⋅g tt⋅g rr⋅ F tr⋅F tr F rt⋅F rt  4 1 1 f 2 r ,t  −2⋅ T tt = F tr⋅g rr⋅F tr − ⋅g rr⋅F tr⋅F tr = ⋅F tr⋅F tr⋅g rr = ⋅e 2 2 2 (A.212) 1 T rr =F r ⋅F r − ⋅g rr⋅F  ⋅F   4 1 T rr =F r ⋅g  ⋅F r − ⋅g rr⋅F  ⋅g  ⋅g ⋅F   4 1 T rr =F rt⋅g tt⋅F rt − ⋅g rr⋅g rr⋅g tt⋅ F tr⋅F tr F rt⋅F rt  4 2 1 1 f r , t −2⋅ T rr =F rt⋅g ⋅F rt − ⋅g tt⋅F rt⋅F rt =

⋅F rt⋅F rt⋅g tt =− ⋅e 2 2 2 tt (A.213) 1 T  =F ⋅F − ⋅g  ⋅F  ⋅F   4 1 T  =− ⋅g  ⋅g tt⋅g rr⋅ F tr⋅F tr F rt⋅F rt  4 1 2 −2⋅ 2 T  = ⋅r ⋅e ⋅ f  r ,t  2 (A.214) 1  T  =F ⋅F − ⋅g ⋅F  ⋅F 4 1 T  =− ⋅g  ⋅g tt⋅g rr⋅ F tr⋅F tr F rt⋅F rt  4 1 T  = ⋅r 2⋅sin 2 ⋅e −2⋅ ⋅ f 2 r , t 2 (A.215) A nem-diagonális tag nulla: 1 T tr = F t ⋅F r − ⋅g tr⋅F  ⋅F   4  tt rr T tr = F t ⋅g ⋅F r  =F tt⋅g ⋅F rt F tr⋅g ⋅F rr =0 Az energia-impulzus tenzor alakja: 276 (A.216) A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk  e−2⋅ 0 0 0 2 −2⋅ f r , t 0 −e 0 0 T  = ⋅ 2 −2⋅ 2 0 0 r ⋅e 0 2 2 0 0 0 r ⋅sin ⋅e −2⋅

  (A.217) Így a Ricci-tenzor nem-diagonális tagja is nulla, tehát a benne szereplő metrikus függvény nem időfüggő: Rtr = Rrt = 2⋅̇ =0 r (A.218) ̇=0 Ez alapján leegyszerűsödik a Ricci-tenzor, és a következő összefüggés írható fel az első és második diagonális komponens között:  Rtt =−e 2⋅ −⋅  ⋅− − 2 Rrr = ⋅  2⋅ 2⋅ r  2⋅ − − 2 r 2⋅ e ⋅R rr e ⋅Rtt =0 =const. (A.219) Ha átskálázzuk az időkoordinátát: (A.220) =− Megvizsgáljuk az első Maxwell-egyenletet: g  ⋅∇ ⋅F   =0 g t ⋅∇ ⋅F tr = g tt⋅∇ tg tr⋅∇ r g t ⋅∇ g t ⋅∇  ⋅F tr =0 g tt⋅∇ t⋅F tr =0 /⋅ 1 tt g ∂ F tr ∂ F tr − tt⋅F  r− tr⋅F t = − t tt⋅F tr − rtr⋅F tr =0 ∂t ∂t (A.221) Mivel a metrikus függvények nem időfüggőek,

a konnexiós koefficiensek nullák. Ezért az elektromágneses tenzorban szereplő ismeretlen függvény sem időfüggő: t  tt =̇=0 r r  tr = rt =̇=0 277 A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk ∂ F tr =0 ∂t E r =F tr =−F rt = f  r  (A.222) A pontos alak meghatározásához felhasználunk egy azonosságot:    = 1 ∂ ⋅ g  g ∂ x ∇  T  = 1 ⋅ ∂  ∣g∣⋅T    ∣g∣ ∂ x  (A.223) Behelyettesítjük a metrikus tenzor determinánsát: ∣g∣=r 2⋅sin ∇  F  = 1 ⋅ ∂  r 2⋅sin ⋅F   =0 r ⋅sin  ∂ x (A.224) 2 A t-komponens esetében: ∂ r 2⋅F rt = ∂ r 2⋅g rr⋅g tt⋅F = ∂ r 2⋅f =0 rt ∂r ∂r ∂r f r = const. r2 Q 4⋅⋅0   0 F  = const.= Gauss tételből: Q ⋅ − 12 4⋅⋅ 0 r 0 0 1 r2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (A.225)

Meghatározzuk a metrikus függvényeket az egyik Einstein-egyenlet segítségével:  1 Q T  = ⋅r 2⋅e−2⋅⋅ 2 4⋅⋅ 0⋅r 2 −2⋅ R =e R =− ⋅r⋅ − −11 8⋅⋅ ⋅T  4 c e−2⋅⋅r⋅ − −11=−  8⋅⋅ 1 2 −2⋅  Q ⋅ ⋅r ⋅e ⋅ 4 2 2 c 4⋅⋅0⋅r 278 2  2  A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk −2⋅ e 2 ⋅Q ⋅ 2 2 4⋅⋅0⋅c ⋅r −2⋅  ⋅r⋅ − −11=−e (A.226) Behelyettesítjük a metrikus függvények közti összefüggést: e 2⋅⋅2⋅r⋅ −11=− ⋅Q2 4⋅⋅0⋅c 2⋅r 2 2 e 2⋅ r =1− =− r g rQ  r r2 2 ⋅Q 4 4⋅⋅0⋅c (A.227) dr −r 2⋅ d  2sin 2 ⋅d  2  2 r r 1− g  Q2 r r (A.228) r 2Q= ahol:

A Reissner-Nordström metrika ívelem-négyzete:  2 ds 2= 1−  r g rQ 2 2  ⋅c ⋅dt − r r2 2 Az elektromos töltés jelenléte a fekete-lyukban szemmel láthatóan a töltés nélküli próbatestekre gyakorolt gravitációs hatást is befolyásolja. Kiszámoljuk az összes geometriai mennyiséget ami a felületet jellemzi, a metrikus tenzortól a Ricci-tenzorig:  g  =  g  = r g r Q2 1−  2 r r 0 0 0 0 − 1 r r2 1− g  Q2 r r 0 0 1  0 r g r Q2 − 1−  2 r r 0 0 0 0 0 0 0  −r 2 0 2 0 −r ⋅sin2  0 r g r 2Q 1−  2 r r 0  0 0 0 0 1 r2 0 − 0 279 1 − 2 r ⋅sin2   (A.229) A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk 2 ∂ g tt ∂ g rr r g 2⋅r Q =− = − 3 ∂r ∂ r r2 r r g 2⋅r Q − 3 tt 2 ∂ g rr ∂g r r =− = ∂r ∂r r g r 2Q 1−  2 r r ∂ g  =−2⋅r ∂r ∂g 2 = 3 ∂r r ∂ g  =−2⋅r⋅sin 2 

∂r ∂ g  2 = 3 ∂r r ⋅sin 2   ∂ g  =−2⋅r 2⋅cos ⋅sin  ∂ ∂ g   2⋅cos  = 2 ∂ r ⋅sin3   2  r g 2⋅r 2Q − 3 r2 r  t tr = t rt =− r rr =   2⋅ 1−  r g r Q2  r r2  r  = r = r =  r =  2 r r 1 r 2⋅r  tt = ⋅ g2 − 3Q ⋅ 1− g  Q2 2 r r r r r  2 r g rQ   =−r⋅ 1−  2 r r r  2 (A.230)    2 r g rQ   =−r⋅ 1−  2 ⋅sin 2  r r r 1 r   =−cos ⋅sin    =  =cot  (A.231) ∂ t tr ∂ t rt ∂ rrr 2⋅r Q4 r⋅2⋅r 2Q⋅3⋅r−2⋅r g −r⋅r g⋅2⋅r−r g  = =− = ∂r ∂r ∂r 2⋅r 2⋅r Q2⋅ r 2Q −2⋅r⋅r g 2⋅r 2 r 2⋅r −r g 2  r 4 2 ∂ tt 10⋅r Qr⋅6⋅r Q⋅r⋅−2⋅r g

r⋅r g⋅3⋅r g −2⋅r  = 6 ∂r 2⋅r ∂ r   r 2−r 2Q =− ∂r r2   ∂ r  r 2−r 2 =− 2 Q⋅sin 2  ∂r r   ∂ r  ∂   r ∂  r  ∂   r 1 = = = =− 2 ∂r ∂r ∂r ∂r r   ∂ r  r r2 =−2⋅r⋅ 1− g  Q2 ⋅cos ⋅sin  ∂ r r 280  ∂  =sin2  −cos 2  ∂ A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk   ∂   ∂    = =−cot 2 −1 ∂ ∂ Rt rtr =−Rt rrt = R t t =−R t  t (A.232) r⋅r g −3⋅r 2Q r 2⋅ r−r Q 2 =R r r =−R r  r =− r⋅r g−2⋅r 2Q Rt t =−Rt  t= Rr r  =−Rr  r =− 4 Rr trt =−Rr ttr = R =−R  rr  r⋅r g −2⋅r 2Q ⋅sin2  2 2⋅r 2 3⋅r Q r⋅r Q⋅3⋅r −4⋅r g −r⋅r g⋅r −r g  6 r Rt 

t =−R t t =Rt  t=−Rt t =−  r r 2⋅r 2 =R R  =−R =  rr =−R  rr 2⋅r Q4 r⋅r Q2⋅ 2⋅r−3⋅r g −r⋅r g⋅r −r g  2⋅r 6 r⋅r g−2⋅r 2Q =− 2 2 2⋅r ⋅r Q−r⋅r gr 2  r⋅r g −r 2Q ⋅sin 2  2 r 2 R    =−R     r⋅r −r = g2 Q r (A.233) r 2Q−r⋅r g r 2 r Q2 R = 2⋅ r 0 r4 0 0 0 − 1 r −r⋅r g r 2 0 0 2 Q 0 0 0 0 1 0 2 0 sin   (A.234) A Reissner-Nordström megoldás szingularitásai; megvizsgáljuk a metrikus tenzor tt komponensét: r g r 2Q g tt =1−  2 r r (A.235) Ez a következő esetben válik értelmezhetetlenné: 281 A.2 Elektromosan töltött gömbszimmetrikus fekete-lyuk 2 r r 1− g  Q2 =0 r r 2 2 r −r g⋅rr Q =0 A másodfokú egyenlet megoldása adja a végtelen vöröseltolódás helyét: r 1,2=r g r ± 2 g −4⋅r 2Q 2

(A.236) A metrikus tenzor rr komponense szintén ugyanezeknél az értékeknél lesz szinguláris, a másodfokú egyenlet megoldása az eseményhorizontok helye, ahol a metrika előjelet vált. Valós eredményhez a megoldóképlet diszkriminánsának nagyobbnak kell lennie nullánál, ami feltételt szab a töltésre: 2 2 r g −4⋅r Q ≥0 r g ≥2⋅∣r Q∣ ⋅c⋅M 2≥   ⋅Q ⋅ 0 (A.237) 282 Összefoglalás Összefoglalás Bepillantottunk a determinisztikus fizika világába. Láthatóan sikerült geometrizálni a tudomány ezen részét, azonban mindig szem előtt kell tartani, hogy mint minden modellnek, ennek is korlátai vannak. Ezek egy része abból adódik, hogy már az elején kikötöttük, mely jelenségek érdekelnek minket, és melyek nem; mások útközben jönnek elő, és van, hogy bizonyos elvárásoknak nem tudtunk megfelelni; rosszabb esetben pedig kísérleti adatokkal cáfolhatóak a megállapításaink. Mindenek előtt, a XX.

század elején pont került egy régi filozófiai vita végére: a világ lényegileg indeterminisztikusan működik. Ami nem jelenti azt, hogy kiszámíthatatlan, mindössze például annyit, hogy nem lehet tetszőleges pontossággal előre jelezni eseményeket. Nem arról van szó, hogy nem elegendőek hozzá az ismereteink, mint ahogy eleinte sokan gondolták. Rejtett változókat feltételeztek, melyeket mérni nem tudunk, de egyértelműen meghatározzák az események alakulását. Kiderült, hogy ilyenek nem léteznek, a „bizonytalanság” elméleti és gyakorlati úton is „bizonyítható”. Ezek a jelenségek egy bizonyos mérethatár alatt, illetve energiasűrűség felett használhatatlanná teszik a könyvben ismertetett eredményeket. Számos filozófiai elvárásnak nem felelnek meg a könyvben leírtak. Ezek közül az egyik leghíresebb a homályosan megfogalmazott Mach-elv, mely miatt üres térben nem lehetne megoldása az Einstein-egyenleteknek. További

gondokat okoz, hogy spinnel rendelkező részecskéket nem lehet tárgyalni az általános relativitáselmélet keretei között, ki kell bővíteni és térgörbület mellett torzióval geometrizálni a spin hatását a téridőre (bár egyesek vitatják ezt az állítást). Az így létrejött modellben olyan járulékos effektusok is megjelennek, melyeket még nem sikerült kísérletileg kimutatni. Ezeknél súlyosabb problémát jelent a csupasz szingularitások megjelenése, melyekkel a modellben megjelenő komplex mennyiségek nem kielégítő fogalmi megalapozása miatt kell vesződnünk. Időről időre megkérdőjeleződik a modell helyessége, alternatív elméletek mást és mást jósolnak különféle jelenségek esetén. Két dolgot azonban leszögezhetünk: a jelenlegi mérési határokon belül, figyelembe véve a csillagászati ismereteink hiányosságait (és ha a kiszabott érvényességi határokon belül maradunk), nincs olyan eredmény, mely ellent mondana az

általános relativitáselméletnek. Másrészt, azok a konkurens modellek, melyek nagy pontossággal jósolnak néhány kérdéses területen (mint a sötét anyag problémája), súlyosan tévednek egészen hétköznapi esetekben. A Kaluza-elmélet annyiban általánosítása az általános relativitáselméletnek, mint az általános relativitáselmélet a speciális relativitáselméletnek. Számos hézagot befed Einstein eredeti elméletében, végleg leszámol az erő fogalmával, ezzel eltüntet olyan hiányosságokat, mint a fénysebességnél nagyobb sebességre gyorsító erő lehetőségét, illetve számos, a valóságtól idegen, ám a négydimenziós Einstein-egyenleteket maradéktalanul kielégítő megoldást. Az együttesükből alkotott modell kizárólag matematikai módszerekkel kezelhetővé teszi a legteljesebb determinisztikus határesetet. 283 Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • GALILEI, Galileo: Párbeszédek; Firenze, 1632 EINSTEIN, Albert: Zur Elektrodynamik bewegter Körper; Bern, 1905 EINSTEIN, Albert: Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?; Annalen der Physik. 18:639, 1905 EINSTEIN, Albert: Die Feldgleichungen der Gravitation; Berlin, 1915 EINSTEIN, Albert: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, 1916 EINSTEIN, Albert: Fundamental ideas and problems of the theory of relativity; Lecture delivered to the Nordic Assembly of Naturalists at Gothenburg, 1923 TOLMAN, Richard, C.: Relativity thermodynamics and cosmology; At The Clarendon Press, Oxford, 1934 SCHRÖDINGER, Erwin: Space-Time Structure – Cambridge Science Classics; Cambridge University Press, Cambridge, 1950 FINKELSTEIN, David: Past-Future Asymmetry of the Gravitational Field of a Point Particle; Stevens Institute of Technology, Hoboken, és New York University, New York, 1958 WITTEN, Louis: Gravitation: an introduction to

current research; John Wiley & Sons, Inc. New York, 1962 EINSTEIN, Albert: A speciális és az általános relativitás elmélete; Gondolat kiadó Budapest, 1963 FÉNYES Imre: Modern fizikai kisenciklopédia; Gondolat könyvkiadó Budapest, 1971 WEINBERG, Steven: Gravitation and cosmology: principles and applications of the general theory of relativity; John Wiley & Sons, Inc. New York, 1972 HAWKING, S. W – ELLIS G F R: The large scale structure of space-time; Cambridge University Press, Cambridge, 1973 KILMISTER, C. W: General theory of relativity; Pergamon Press, Oxford, 1973 MISNER, Charles W. – THORNE Kip S – WHEELER John Archibald: Gravitation; W H Freeman and Company, San Francisco, 1973 DIRAC, Paul Adrien Maurice: General Theory of Relativity; John Wiley & Sons, Inc. Canada, 1975 HEHL, Friedrich W. – HEYDE, Paul von der – KERLICK, G David – NESTER, James M: General Relativity with Spin and Torsion: Foundations and Prospects; Reviews of Modern Physics,

Vol. 48, No 3; American Physical Society, 1976 HELD, A.: General relativity and gravitation – one hundred years after the birth of Einstein; Plenum Press, New York, 1980 CHANDRASEKHAR, Subrahmanyan: The Mathematical Theory of Black Holes; Oxford University Press, USA, 1983 STRAUMANN, Norbert: General relativity and relativistic astrophysics; Springer-Verlag, Berlin, 1984 WALD, Robert M.: General relativity; The University of Chicago Press, USA, 1984 SCHUTZ, Bernard F.: A first course in general relativity; Cambridge University Press, Cambridge, 1985 CARTAN, Elie: On manifolds with an affine connection and the theory of general relativity; 284 Irodalomjegyzék • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bibliopolis, Nápoly, 1986 de FELICE, F. – CLARKE, C J S: Relativity on curved manifolds; Cambridge University Press, Cambridge, 1990 STEWART, John: Advanced general relativity; Cambridge University Press, Cambridge, 1991

GOENNER, Hubert: Einführung in die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie Teil 2; Institut für Theoretische Physik der Universität Göttingen, 1992 SAA, Alberto: Einstein-Cartan theory of gravity revisited; Instituto de Física, Universidade de São Paulo, Brazil, September 1993 HRASKÓ Péter: Elméleti Fizika I. Elméleti Mechanika; Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar, Pécs, 1995, 2002 FORWARD, Robert L.: A transparent derivation of the relativistic rocket equation; 31st AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference and Exhibit, San Diego, 1995 HRASKÓ Péter: Elméleti Fizika II. Elektrodinamika; Janus Pannonius Tudományegyetem, Pécs, 1996 BONDI, Hermann – SAMUEL, Joseph: The Lense–Thirring Effect and Mach’s Principle; Raman Research Institute, Bangalore, 1996 SAILER Kornél: Relativitáselmélet – egyetemi előadás; Elméleti Fizika Tanszék, Kossuth Lajos Tudományegyetem, Debrecen, 1997 CARROL, Sean M.: Lecture Notes on General Relativity;

Institute for Theoretical Physics, University of California, 1997 HOGG, David W. – Special Relativity; School of Natural Sciences, Institute for Advanced Study, Princeton, 1997 KENNEFICK, Daniel: Controversies in the History of the Radiation Reaction problem in General Relativity; 1997 NORBURY, John W.: General Relativity & Cosmology for Undergraduates; University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee, 1997 TOWNSEND, P. K: Black holes – lecture notes; University of Cambridge, 1997 GREINER, Walter: Classical Electrodynamics; Springer-Verlag New York Inc., 1998 LUMINET, Jean-Pierre: Black Holes: A General Introduction; Observatoire de ParisMeudon, D´epartement d’Astrophysique Relativiste et de Cosmologie, 1998 WILL, Clifford M.: The confrontation between general relativity and experiment: a 1998 update; Department of Physics, Washington University, 1998 SCOTT, Walter: The Non-Euclidean Style of Minkowskian Relativity; Université Nancy 2 and LPHS–Archives Henri Poincaré (CNRS).

Published in J Gray (ed), The Symbolic Universe, Oxford University Press, 1999 O’RAIFEARTAIGH, Lochlain: Early History of Gauge Theories and Kaluza-Klein Theories, with a Glance at Recent Developments; Dublin Institute for Advanced Studies, 1999 SCHUMACHER, Benjamin: Physics in spacetime – special relativity; 2000 CARROL, Sean M.: A No-Nonsense Introduction to General Relativity; Enrico Fermi Institute and Department of Physics, University of Chicago, 2001 HOOFT, G. ’t: Introduction to General Relativity; Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Utrecht, 2002 HRASKÓ Péter: Relativitáselmélet; Typotex kiadó Budapest, 2002 POISSON, Eric: An advanced course in general relativity; Department of Physics, 285 Irodalomjegyzék • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • University of Guelph, 2002 WÅHLIN, Lars: Einstein’s Special Relativity Theory and Mach’s Principle; AAAS annual Meeting, Boston, 2002

FALCKE, Heino – HEHL, Friedrich W.: The galactic black hole – lectures on general relativity and astrophysics; Institute of Physics Publishing, Bristol és Philadephia, 2003 HORVÁTH István: Előadások a relativitáselméletről – jegyzet; Budapest, 2003 HÄGGBLAD, Jon: Kaluza-Klein Theory; Luleå University of Technology, 2003 ROOS, Matts: Introduction to Cosmology, Third Edition; John Wiley & Sons Ltd., England, 2003 GOENNER, Hubert: Spezielle Relativitätstheorie und die klassische Feldtheorie; Elsevier GmbH, München, 2004 BRONSTEJN, I. N – SZEMENGYAJEV, K A – MUSIOL, G – MÜHLIG, H: Matematikai kézikönyv; Typotex kiadó Budapest, 2004 PÜTZFELD, Dirk: Introduction to general relativity and cosmology; Iowa State University, 2004 LISI, A. Garrett: An Introduction to Kaluza-Klein Theory; Department of Physics, University of California, 2004 FLANAGAN, Éanna É. – HUGHES, Scott A:The basics of gravitational wave theory; Cornell University, Ithaca, és

Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, 2005 HRASKÓ Péter: Általános relativitáselmélet és kozmológia; Tornóc kiadó Budapest, 2006 PERJÉS Zoltán: Általános Relativitáselmélet; Akadémiai Kiadó, Budapest, 2006 KORPA Csaba: Általános Relativitáselmélet előadás – jegyzet; Pécs, 2006 McMAHON, David: Relativity Demistified; The McGraw-Hill Companies, U.SA, 2006 FLIEßBACH, Torsten: Allgemeine Relativitätstheorie; 5. kiadás, Elsevier GmbH, München, 2006 BAEZ, John C. – BUNN, Emory F: The Meaning of Einsteins Equation; University of California és University of Richmond, 2006 MOHR, Peter J. – TAYLOR, Barry N – NEWELL, David B: CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006; National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, Maryland 20899-8420, USA, 2007 ANDERSSON, Nils – COMER Gregory L.: Relativistic Fluid Dynamics: Physics for Many Different Scales; Living Reviews in Relativity, Potsdam, 2007 CAMENZIND, Max:

Relativistic Astrophysics; ZAH, Landessternwarte Königstuhl Heidelberg, 2007 HAWKING, Stephen: A stubbornly persistent illusion – the essential scientific works of Albert Einstein; Running Press, Philadelphia, London, 2007 HAMDAN, N. – HARIRI A K – LÓPEZ-BONILLA J: Derivation of Einstein’s Equation, E = mc2, from the Classical Force Laws; University of Aleppo, Syria, és Instituto Politécnico Nacional, México, 2007 HANSLMEIER, Arnold: Einführung in Astronomie und Astrophysik; 2. kiadás, SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 2007 FAYNGOLD, Moses: Special Relativity and How it Works; WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, 2008 OLOFF, Rainer: Geometrie der Raumzeit; 4. kiadás, Friedr Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden, 2008 286 Irodalomjegyzék • • • • MAMMADOV, Gulmammad: Reissner-Nordström metric; Department of Physics, Syracuse University, Syracuse, USA, 2009 MÜLLER, Thomas – GRAVE, Frank: Catalogue of Spacetimes; Universität Stuttgart, 2010

FERRERIA, Pedro G.: Lectures on General Relativity and Cosmology; University of Oxford, Oxford, United Kingdom, 2011 POPŁAWSKI, Nikodem J.: Classical Physics: Spacetime, fields and particles; Indiana University, Bloomington, USA, 2011 287 Irodalomjegyzék Tárgymutató 1616.133 1801.128 1859.125 1907.105 1915.125 1916.94, 120, 272, 284 1918.236, 272 1919.128, 236 1925.222 1927.222 1928.225 1959.105 1963.171 1976.179 1992.179 1993.236 1998.250 2004.120p 2005.121 2007.120 a Világegyetem tágul.253, 255 adiabatikus index.200p affin paraméter.154p alagútban zuhanó test.205 Albert Einstein.9, 68, 236 algebrai azonosság.173 algebrai minor.44 állapotfüggvény.223 Amerikai Fizikai Társulat.120 amplitúdó.221, 246 antik világ.12 antiszimmetrikus.17, 19, 24, 28, 35p, 38 Apolló-program.120 áramsűrűség.218, 220 árapálygyorsulás.135 Arthur Eddington.128 átcsoportosított Einstein-egyenlet.191, 214 átlagolás.17, 250 átlagos szabad úthossz.205 átlósan polarizált.245

barlang.210 belső súrlódás.192 Bianchi-azonosság.38, 45 Boyer-Lindquist koordináták.174 bozon.225 Brazília.128 Centrális erőtér.110 centripetális gyorsulás.92 csillagászati egység.11 dagálykúp.133 determináns.10, 42pp, 47, 151, 162, 175, 187 determinisztikus fizika.283 diagonális.17, 28, 71, 96, 151, 162, 175, 180, 196 differenciál reciproka.14 differenciál-geometria.12 dimenzió nélküli állandók.263 dipólközelítés.244 diszkrimináns.125, 178, 282 Eddington-Finkelstein koordináták.154 egyenes egyenlete.18, 33, 41 egyenesvonalú egyenletes mozgás.69 egyenletes körmozgás.91p Egyenlítői Guinea.128 egyenlítői sík.104, 120, 128 egységmátrix.70 egységnyi térszögbe kisugárzott teljesítmény246 egységvektor.71 Együttmozgó koordináta-rendszer.211 Együttmozgó koordináták.96 Einstein. 4, 45, 68, 94p, 99, 105, 125, 128, 135, 163p., 189pp, 202, 214, 218, 236, 239, 241, 243, 245, 250, 257, 261, 266 Einstein-egyenlet.45, 68, 94p, 99, 125, 135,

189pp., 197, 214, 218, 239, 241, 243, 245, 250, 257, 261, 266, 283 ekvivalencia-elv.9, 105 elektromágneses energia-impulzus tenzor. 219p elektromágneses erő.218p elektromágneses hullám.219pp elektromágneses kölcsönhatás.216, 218, 271 elektromágneses mező.68, 192, 216pp, 235, 266, 271p. elektromágneses négyeserő.218 elektromágneses négyespotenciál.266 elektromágneses tenzor.217p, 267pp elektromos térerősség.218 elektromosság.266 elektron.222, 225 Ellipszispálya.248 288 Tárgymutató első kvantálás.222 energia-impulzus négyesvektor.85 energia-impulzus tenzor.189pp, 196, 210p, 218pp., 243, 245, 257, 261, 276 energia-impulzus vektor.189 energiaáram.245p energiamegmaradás.88, 222 energiaoperátor.224 energiasűrűség.189, 196, 283 entrópia.9 ergoszféra.179 érintővektor 17, 32pp., 41, 45, 71, 123, 139, 141, 153, 182, 206pp. Erwin Schrödinger.222 érzékszerv.9 eseményhorizont.119, 128, 140pp, 153, 156, 166, 178p., 188, 282 fázisegyenlet.220p, 225

fehér törpe.200 fekete lyuk.101, 135, 138, 140p, 153, 156, 162, 166, 174p., 178pp, 189, 200 fél nagytengely.116, 122 felszíni gyorsulás.117p, 135 fényév.11, 150, 250 fénykúp.68p, 243p fényszerű felület.166 fényszerű geodetikus.117, 128, 153, 155, 157, 254 féregjárat.106p, 156p finomszerkezet.222 fizikai Nobel-díj.236 fókusz.133 fókuszpont.133 folyamatos gyorsulás.87 folytonos folyadékmodell.192 folytonossági egyenlet.223, 226p folytonossági feltétel.225 forgó ellipszis.126 forgó rúd.247 foton.82p, 128, 225 fotongömb.128 Föld 4, 9, 12, 116, 118p., 121p, 133, 135, 137p, 150, 180, 199 földmérő.12 földpálya.116, 122 frekvencia.79p, 93, 105, 116pp, 121pp, 126p, 134, 147, 150, 162p., 170, 172, 180, 182p Friedmann világmodellek.263 Friedmann-egyenlet.258, 261p Friedmann-mozgásegyenlet.262 Friedmann-potenciál.262 funkcionál-egyenlet.108 G. A Rebka105 Galileo Galilei.9 Gauss-tétel.44, 190 geodéták.12 geodetikus egyenlet.32, 91, 95, 104p, 112, 114p.,

146, 182, 189, 205, 209, 218, 222, 270 geometriai feltétel.143 geometriai perdület.175, 180 geometriai potenciál.123pp geometriai sugár.125 globális egyidejűség.223 gravitáció.9, 11, 68, 93, 95, 105, 108, 112pp, 116, 118p., 121pp, 127p, 132p, 135, 137, 143p., 147, 150, 154, 162, 179p, 189pp, 193, 196, 199, 201, 209p., 216, 218, 236, 238, 242p, 247, 250, 266, 271 gravitációs állandó.11, 113p gravitációs fókusztávolság.133 gravitációs hullám detektor.236 gravitációs lencse.133 gravitációs potenciál.113, 190, 196 gravitációs sugár.119, 154, 201, 210 Gravity Probe B.120p Gunnar Nordström.272 gyenge kölcsönhatás.225 gyorsuló tágulás.250 gyűrűszingularitás.188 hangsebesség.200p Hankel-mátrix.187 Hans Reissner.272 harmadfokú egyenlet.136, 149p harmadfokú rezolvens egyenlet.136 harmonikus oszcillátor.121, 126 harmonikussági feltétel.241 Harward egyetem.105 határfeltétel.109, 200 határfelület.43 hatás-funkcionál.108p, 216 hatáselv.43, 108p

helyzeti energia.110 hengerfeltétel.267pp hidrogén mézer.105 hidrosztatikai egyensúly.198p hiperfelület.104, 189, 243p 289 Tárgymutató hold.120pp, 133, 137p, 181 holdpálya.120, 122, 137 homogén.51, 192, 199, 202, 250 homogén folyadék.199 homogenitás.250 Hubble-állandó.255p Hubble-idő.255 hullámegyenlet.220 hullámfüggvény.220p, 225, 228, 235 hullámszám-vektor.220p, 243 Ibn al-Haytham.9 ideális folyadék.192p, 196, 210 ideális folyadékok.192, 196 időfüggetlenség.101 időszerű geodetikus.123 időszerű irány.71 időszerű jövő.69 időszerű komponens.78, 193, 257, 261 időszerű mozgás.150 időszerű múlt.68 indeterminisztikus.283 indexemelés.221, 268 indexes jelölés.10 indexkontrakció.220 Indexsüllyesztés.139, 207 infinitezimális parallelogramma.38 instabil geodetikus.125 integrációs állandó.113, 130, 154, 224 integrálási állandó.167 invariáns mennyiség.17, 32, 69, 142 invariáns paraméter.46 invariáns skalár.15p, 44, 78

iteráció.45 izotróp.96, 142pp, 146pp, 192, 198, 250 James Clerk Maxwell.9 jelenlegi állapot.263 Johann Georg von Soldner.128 Johannes Kepler.133 Joseph Hooton Taylor Jr.236 Júlián év.11 Karl Schwarzschild.94 Kepler III. törvény116 keresztirányban polarizált.245 keringési idő.116, 249 keringési távolság.126 kéttest-probléma.247 kettős rendszer.236 kommutátor.34, 36p, 220 komplex Ernst-potenciál.185 komplex függvény.222 komplex potenciál.172 konjugált Ernst-egyenlet.171 konjugált metrika.165 konjugált potenciál.171 konnexió variációja.20 kontrahált.43, 191 kontravariáns négyessebesség.77 kontravariáns vektor. 14, 16, 22, 30, 32, 34, 36, 71 konzervatív erőtér.110 konzervatív erőtörvény.216 koordináta-feltétel.165, 183 koordináta-gyorsulás.91, 134p koordinátaeffektus.128, 236 koordinátafeltétel.92, 115, 117p, 128, 138p, 181, 205p., 254 koordinátafelület.106p, 154, 156, 189p koordinátagyorsulás.119, 210 koordinátaidő.91pp, 108, 115,

117, 126p, 129, 134, 139, 141, 182, 191, 206, 208p. koordinátapotenciál.170 koordinátasík.128, 154 Koordinátaszingularitás.101, 154, 178 korrespondencia-elv.108 kovariáns vektor.13p, 16, 22, 27pp, 32pp, 36p Kozmikus szökési sebesség.264 kozmológiai állandó.250, 262p kozmológiai elv.250 körfrekvencia. 116pp, 121pp, 126p, 134, 150, 162p., 170, 172, 180, 182p Körpálya.114, 116, 120, 125, 134p, 163, 181, 248 kritikus sűrűség.256 Kronecker-delta.10, 14pp, 21, 24, 29, 31 kvadrupól formula.243, 246 Kvadrupólmomentum.245pp kvadrupólmomentum tenzor.245 kvantummechanikai operátorok.222 kvark.225 LAGEOS.179, 181 Lagrange-függvény.108pp Lambert-függvény.10, 155, 160 lassulási paraméter.256 Legendre-polinomok.186 legkisebb hatás elve.217 legnagyobb lehetséges vöröseltolódás.200 290 Tárgymutató lendületmegmaradás.82p, 88 lendületoperátor.224 lendületsűrűség.189 lézer.120, 180 lineáris transzformáció.70 linearizált megmaradási törvény.244

luminozitás.247 Mach-elv.283 mágneses indukció.218 mágnesesség.68, 266 másodfokú egyenlet.124, 178, 182, 282 matematikai nyelvezet.12 maximális kiáramlási sebesség.89 Maxwell stressz-tenzor.220 Maxwell-egyenletek.218, 220, 225, 266 mechanikus giroszkóp.120 megoldóképlet.124, 136p, 149p, 155, 160, 178, 182, 282 megtalálási valószínűség.223p Merkúr.125, 127p mértékinvariancia.218, 220 mértékszabadság.165 Mértékválasztás.166 méter.9, 51, 53, 55, 57, 60, 62pp, 105, 114, 116, 118, 122, 127, 132, 135, 137, 150, 153pp., 180, 216, 248, 256, 258 metrikus függvény.167, 171pp, 187, 197p, 201p. mezőegyenlet.190 monokromatikus síkhullám.242 monoton változó paraméter.153 mozgásállandó.123, 139, 207 mozgásegyenlet. 83p, 108p, 111pp, 117p, 138, 190, 206, 217p., 262p, 271 mozgási energia.110 nagytengely.116, 122, 127, 137, 181, 248 Nap.9, 101, 116, 122, 125pp, 132p, 141, 150 napfogyatkozás.128, 132, 236 Naprendszer.94, 101, 125, 150 NASA.120, 179 negatív

gradiens.84 negyedfokú egyenlet.136pp négyesgyorsulás.78 négyespotenciál.235, 266 négyessebesség.77p, 192p, 196, 210p, 218 négyestávolság.74, 82, 93, 166 Neptunusz.125 neutrínó.235 neutroncsillag.200 newtoni határeset.113, 116 newtoni közelítés.101, 108, 191 newtoni modell.108 nulla tömegű határeset.225 numerikus módszer.45 nyírás.190 nyomás.189p, 192, 198pp, 210, 214p nyugalmi tömeg.82, 191 óceánjáró.9 ok és következmény sorrendje.9, 80 Oscar Klein.222, 266, 269 oszcilláció.238 összegzési index.10, 23 összeomló csillag.215 összeomló porfelhő.215 ötdimenziós Einstein-egyenlet.266 ötdimenziós geodetikus egyenlet.270 ötdimenziós metrika.267 ötdimenziós metrikus tenzor.266 ötdimenziós téridő.68 pályasík.120, 134 Papapetrou metrika.166p paraméteres egyenlet.47, 51, 53, 55, 57, 60, 62pp., 216 parsec.11 Paul Adrien Maurice Dirac.225 Pauli-mátrixok.228 perihélium.125, 132 perihélium precesszió.125 periodikus mozgás.126

periódusidő.126 Permutál.24, 28, 31, 37 poláris koordináták.50, 96, 147p polarizációs egységtenzor.245 potenciális energia.84, 196 Poynting-vektor.219 próbatest.68, 93, 104p, 110, 113p, 116, 125, 138, 140, 147, 153, 180, 218 PSR B1913+16.236 R. V Pound105 rádiócsillagászati mérések.128, 132 rakéta lendületváltozása.88 rakétaegyenlet.87, 89 redukált tömeg.248 Rejtett változók.283 relativisztikus energia.84, 89 relativisztikus lendület.84 291 Tárgymutató relativitási elv.9, 69 részecskehorizont.264 részmátrix.151, 162, 175 rezgő rúd.247 Robertson-Walker metrika.252p Roche-sugár.137 rotáció.28, 31 Roy Kerr.171, 183 Rudolf Clausius.9 rugó.246 Russel Alan Hulse.236 sajátérték-egyenlet.224, 226, 228 sajátgyorsulás.91 sajátidő.68p, 77p, 85, 91pp, 108, 115, 117, 123, 126p., 139p, 182, 191, 206, 209 Sas csillagkép.236 Schur-tétel.250 Schwarzschild-sugár. 101, 113p, 127, 135, 141, 156, 175, 179, 201 SI.4, 9, 73, 114 síkhullám

hármasvektora.245 skálafaktor.256, 262p skalármező.12pp, 27, 30 skalársűrűség.43 sorfejtés.23pp, 39pp, 110, 255p spagettizálódás.135 speciális relativitáselmélet.68, 222, 283 spinor.10, 228p standard gravitációs paraméter.114, 116, 118, 122, 127, 132, 137, 150, 180 Statikus Univerzum.263 sugárirányú gyorsulás.117 sugárirányú változás.101, 216 sűrűség.43, 189, 192, 196, 199pp, 210, 218, 220, 250, 256, 258, 262, 283 szabad index.10, 23, 221, 268 szabad mozgás.217 szabad részecske.223 szélsőérték.25, 43 szeparációs állandó.214p szilárd felszínű bolygó.117 szingularitás. 101, 154pp, 160, 178, 185p, 188, 202, 283 szögelfordulás.126p, 131 szupernóvarobbanás.101 tachion.89p távolodási sebesség.264 tehetetlenségi erő.216 tenzor rangja.15 tenzorok összege.15 tenzorok szorzata.15 térbeli sebességnégyzet.69, 72 természeti állandó.11, 114 térszerű komponens.78, 193, 262 Theodor Kaluza.9, 266 torzió.19p, 35p, 268, 283 totális

derivált.13, 21 többindexes mennyiség.15 töltés.9, 218, 235, 271 töltött részecske.217p, 235, 271p tömegeloszlás.190, 199 tömegközéppont.82p, 88 transzcendens egyenlet.149 transzformációs mátrix.13pp, 30, 42p, 70 transzformációs szabály.15, 28, 169 transzverzális hullám.236, 242 transzverzális tag.238 Uránusz.125 Urbain Le Verrier.125 valódi erő.216 valóságos testek pályája.123 valószínűség-sűrűség.223, 226p véges térfogat.252 végtelen vöröseltolódás.178p, 282 végtelenül kicsi mennyiségek.21pp végtelenül távoli megfigyelő.115, 119, 209 vektorpotenciál.218, 267 Világegyetem életkora.264 Világegyetem sugara.264 Világegyetem sűrűsége.258 viszkozitás.192 vonatkoztatási rendszer.69, 75, 77, 80, 87, 216 Walter Gordon.222 Willem de Sitter.120 XX. század283 Zipoy-Voorhees téridők.186 zuhanó repülőgép.9 zuhanó űrhajós.141 γ-mátrixok.228p π-mezon.222 292 Ez a sorozat példákon és levezetéseken keresztül mutatja be

a modern fizikát. A témák felépítése a hagyományos tudománytörténeti vonal helyett praktikus szempontokat követ. Először felépítjük azokat a matematikai kereteket, melyeken belül az adott modellek mozognak, majd hiánytalanul levezetjük a legfontosabb következményeket, és friss kísérleti eredményekkel vetjük őket össze. A kötetek felhasználhatóak a szakterületükön referenciaanyagnak, illetve alkalmas önálló tanulásra is az egyes témákban. Az egyetemi oktatásban gyakorlatok segédeszközeként tehetnek hasznos szolgálatot. Az első kötet az általános relativitáselmélettel foglalkozik. A megnevezésnek csupán tudománytörténeti oka van, az elmúlt évszázadban egymás után nyertek kísérleti igazolást Einstein elméletének következményei. Klasszikus területről van szó, ahol évszázados tudományfilozófiai gondolatok nyertek matematikai megfogalmazást, majd kísérleti bizonyítást. Fontos megjegyezni, hogy az a hagyományos

mechanikai világkép, amiről sokszor azt állítjuk, hogy könnyebben felfogható, valójában egy félkész szellemi termék. Az általános relativitáselmélet alapfeltevései hétköznapi tapasztalatokból merítenek. A tér görbültségének belőlük következő felismerése valójában a Föld gömbölyű alakjának a megértéséhez hasonló, és ha a matematikai alapokkal tisztában vagyunk, nem is követel komoly képzelőerőt. Az olvasóról feltételezek némi felsőfokú alapismeretet matematika, és a hagyományosabb fizikai tárgyak körében, de csak annyi matematikai terjengősség van a könyvben, amennyi a fizikához szükséges. A differenciálszámítás hagyományos jelöléseit használjuk, illetve indexes mennyiségeket. A fizikai levezetésekben mindenhol az SI-mértékrendszert használjuk