Filozófia | Felsőoktatás » Szilágyi András - Fejezetek a fizikából, elektrosztatika, hullámtan és kvantummechanika biológushallgatóknak

. Fejezetek a zikából Elektrosztatika, hullámtan és kvantumme hanika biológushallgatóknak Szilágyi András Budapest, 2006 Tartalomjegyzék 1. Elektrosztatika 7 1.1 Alapfogalmak . 7 1.2 Az elektromos térer®sség . 7 1.21 Elektromos uxus 8 1.22 Gauss-törvény . 9 1.23 Coulomb-törvény . 10 1.24 Elektromos poten iál és feszültség . 10 1.25 A Coulomb-poten iál . 13 Alkalmazások . 14 1.31 Vezet®k és szigetel®k elektromos térben, dielektromos állandó . 14 1.32 Dipólus térereje és poten iálja . 14 1.33 Végtelen, töltött sík tere . 15 1.34 Elektromos kett®sréteg . 16 1.35 Kondenzátor és kapa itás .

16 1.36 Az RC-kör id®állandója . 17 1.3 . 2. Rezgések és hullámok 2.1 2.2 19 A harmonikus rezgés . 19 2.11 Alapfogalmak . 19 2.12 A harmonikus rezgés leírása forgóvektorokkal . 20 2.13 A harmonikus rezgés leírás komplex számokkal . 22 2.14 A lebegés . 22 Hullámtan . 23 2.21 Alapfogalmak . 23 2.22 Hullámok interferen ia . 24 2.23 Interferen ia résen, rá son . 26 2.24 A mikroszkóp felbontóképessége . 30 2.25 A geometriai optika alapjai . 31 3. Kvantumme hanika 3.1 3.2 35 Klasszikus módon nem magyarázható jelenségek . 35 3.11 A fény

hullámtermészete, a klasszikus kép . 35 3.12 A fényelektromos jelenség és a fotonhipotézis . 35 3.13 A fény kett®s természete . 36 3.14 A vonalas színkép . 37 3.15 A de-Broglie-féle hipotézis . 38 3.16 A korresponden ia elv . 39 A kvantumme hanika elemei . 39 3.21 A hullámfüggvény . 39 3.22 A hullámfüggvény és az impulzus . 41 3 4 TARTALOMJEGYZÉK 3.23 A Heisenberg-féle határozatlansági relá ió . 42 3.24 A mérés és a határozatlanság . 42 3.25 A határozatlansági relá ió következményei . 44 3.26 Egyszer¶ kvantumme hanikai rendszerek . 45 3.27 A hidrogénatom, atomi hullámfüggvények . 47 3.28 Milyen a

Hold amikor nem nézem? . 51 3.29 A része skehullám kett®sség, sajátállapotok . 52 3.210 S hrödinger ma skája, a tudat és a hullámfüggvény 52 El®szó Ez a kis jegyzet fejezeteket mutat be a zika azon területeib®l, melyre egy biológushallgatónak szükséges lehet különböz® disz iplinák zikai alapjainak megértése során. Ezért nem is törekszik  teredelmi korlátai miatt nem is törekedhet  a teljességre Minden fejezetb®l sak annyit mutat be, ami a szükséges zikai kép kialakításához elég és önmagában összefügg®. Bizonyos területek  különösen a kvantumme hanika szemlélete  nem könny¶, a klasszikustól eltér® gondolkodásmódot kíván meg. Nem biztos, hogy minden már az els® olvasáskor nyilvánvaló lesz, viszont fair play-t ígérünk: sehol nem mondjuk azt, hogy Nyilvánvaló, hogy.  ahol a szóbanforgó dolog bonyolult. Az érinthet® tématerületek nagyságát

az elvárható matematikai tudás is korlátozta. Mindenhol sak a szükséges mértékig, a gimnáziumi anyagot sokkal meg nem haladó mértékben használjuk  megkönnyítend® a tanulást, és remélve, hogy így több energia marad a zikai tartalom megértésére. Ez a jegyzet nulladik kiadása, így biztosan nem mentes sem az elgépelésekt®l, sem az esetleges, értelemzavaró részekt®l. Kérjük, hogy a megtalált hibákat  és a felmerül® ötleteket, véleményeket  a szilagyiangel.eltehu kés®bbi kiadásban gyelembe fogjuk venni. elektronikus levél ímen jelezzék, azokat egy (A esetleges nagyobb megtalált hibák jegyzéke a letöltés helyén olvasható.) Jó tanulást és eredményes munkát kíván: a szerz® 5 1. fejezet Elektrosztatika 1.1 Alapfogalmak Ezek alapján az elektrosztatikus tér minden egyes pontjába felvehet® a térer®sség vektor, Az elektrosztatika 1 töltések a tér, nyugvó elektromos keltette terekkel foglalkozik.

az térer®vektor-mez®. Ennek a vektormez®nek az más érint®hálózata (azaz azok a görbék, melyeknek Ezt a köl sönhatást minden pontjukban érint®jük az adott helyen elektrosztatikus tér, nyugvó töltésekre hat. így kialakul a tér elképzelését megkönnyít® Ez amely 2 elektrosztatikus köl sönhatásnak nevezik . lév® térer®vektor) a térer®vonal-, vagy röviden er®vonal rendszer, lásd 1.1 ábra 1.2 Az elektromos tér- er®sség Az elektromos állapotban lév® (elektromosan töltött) test maga körül elektrosztatikus teret kelt, amely mos töltésekre. tér hat más, Ennek nyugvó elektro- számszer¶sítésére bevezethetjük a térer®sség fogalmát, mely az egységnyi, nyugvó pontszer¶ pozitív töltésre ható elektrosztatikus er®vel egyezik meg: F E= , Q   N C A tér er®ssége akkor 1 = N , C  V m  (1.1) ha 1 C nyugvó töltésre a tér 1 N er®t fejt ki. Mivel az er®nek iránya is van  ahogy az a

deníióból is nyilvánvaló  a térer®sség vektormennyiség, iránya a fellép® er® irányába mutat. 1A érdekes. töltés szó eredete tudománytörténetileg A korai kísérletez®k az elektromos mez® (töltés) megjelenésekor  több más között  detektálták az apró kisüléseket, szikrákat. 1.1 ábra Térer®vektorok és térer®vonalak Ezeket közös t®r®l vélték eredezni a l®fegyverek torkolattüzével, így a testek szikraadásra képes elektromos állapotot olyan- A térer®vonalaknak nin s zikai realitásuk, nak tekintették mint a fegyver töltött állapotát. Innen a töltés elnevezés, (vö. angol sak a mez® elképzelését megkönnyít® mate- harge). 2 Ha a töltéshez képest mozgunk, elektromos tere matikai konstruk iók. (részben) mágneses térré transzformálódik, ennek tárgyalása nem része a jegyzetnek. lassú, akkor jórészt A térer®vonalak mindig pozitív töltésb®l Ha a töltésáramlás indulnak és

negatív töltésbe futnak be, sak elektromos teret érzékelünk, ezek a kvázistatikus terek. A kés®bbiekben sak tehát a térer®vonal  a fenti megállapodás sze- (kvázi)statikus terekkel foglalkozunk. 7 8 1. FEJEZET rint  a pozitív töltésre ható er® irányába mutat. A fentiek alapján az elektrosztatikus tér egy pontjába helyezett pozitív töltésre az ott lév® er®vonal érint®jének irányába mutató er® hat. Negatív töltésre az er® ellentétes irányú Az den a elektromos pontjában térer®sség s¶r¶ség¶, homogén, tér azonos (ekkor nagyságú az ha 1.21 Elektromos uxus Az E elektromos tér egy adott irányú er®vonalak azonos párhuzamos egyenessereget alkot- nak), egyébként a tér inhomogén. A nagyságú felületre vett uxusa, abban az esetben, ha a tér homogén, és az er®vonalak mer®legesek a felületre: min- és ELEKTROSZTATIKA Φ = EA, (1.2) azaz a térer®sség és a kérdéses felület

szorzata. Ha a tér továbbra is homogén, de a felület nem mer®leges a térer®sségvektorokra, hanem a felület normálisával a térer®vektoroknak α szöget zár be, akkor sak a felületre mer®leges komponense ad járulékot a uxushoz, azaz a uxus (lásd 1.3 ábra): Példa Φ = EA cos α (1.3) Rajzoljuk fel egy pontszer¶ negatív töltés és A fenti kifejezést két azonos nagyságú pontszer¶ pozitív töltésrendszer (dipólus) er®vonalképét  jellegre úgy is értelmezhetjük, hogy homogén tér uxusának számításához sak a felület er®vonalakra mer®leges vetülete helyesen. ad járulékot  amint látható a két értelmezés azonos eredményre vezet. Bevezetve a felület normálvektorát, amelynek nagysága a felület nagyságával egyezik meg, iránya pedig mer®leges a felületre, a homogén tér uxusára egy egyszer¶bb alakot kaphatunk. Legyen E A a felület normálvektora, pedig a térer®sség vektor. Ekkor a uxus: Φ=E·A A

uxus mértékegysége (1.4) a dení ióból [V·m=Weber=Wb℄. 1 Wb tehát 2 annak az 1 m -es felületnek a uxusa, amely fakadóan: 1.2 ábra +  + dipólus er®vonalképe (A fe- ladat megoldáshoz.) (Segítség: így minden irányból s¶r¶séggel futnak bele az er®vonalak. azonos Ha a az er®vonalképének alábbi gyelembe: nagyságú homogén elektromos térben általános minden 3 mogén (lamináris ) módon áramlik. Ekkor ha kiválasztunk az áramlásban egy olyan A méret¶ sík felületet, amelyen a folyadék mer®legesen áramlik át, akkor az A megrajzolásakor málvektora a folyadék sebességével α szöget zárjon be, akkor az átáramló folyadéktérfogat már sak vA cos α, elveket egyes A uxus jobb megértését segítheti egy áramlástani analógia. Tegyük fel, hogy folyadék v sebességgel ho- egységnyi id® alatt a felületen átáramló folyadékmennyiség: vA. Ha a felületet megdöntjük, úgy, hogy nor- töltés nagy, több

er®vonalat rajzolunk. dipólus V m az er®vonalakra mer®legesen áll. Mivel a ponttöltés tere gömb- szimmetrikus, az 1 vegyük pontba - letett pozitív egységtöltésre (a próbatöltésre) két vagy a felület normálvektorával megadva: v · A. Határe- setben, ha a felület párhuzamos az áramlási iránnyal (azaz normálvektora mer®leges a sebességvektorra) az átáramló mennyiség nulla, a folyadék sebességuxusa nulla. er® hat, ezek iránya a dipólus egyik töltésén és a próbatöltésen átfektetett egyenesen van, és a fellép® er® ott nagyobb, ahol a távolság kisebb. Figyelembe véve még azt, hogy a rendszer szimmetrikus a töltéseket összeköt® egyesen felez®mer®legesére, fel tudunk venni elegend® számú er®vonalvektort, majd ezek érint®iként el®állnak az er®vonalak.) Példa Tekintsünk egy N E = 15 m nagyságú homogén elektrosztatikus teret. Legyen ebben, egy for2 gatható 15 m nagyságú felület, mely el®ször

3 Ez azt jelenti, hogy minden folyadékrész sebessége azonos nagyságú és irányú. 1.2 9 AZ ELEKTROMOS TÉRERŽSSÉG 1.22 Gauss-törvény A Gauss-törvény  más néven Maxwell I. törvénye , az elektrosztatika alapaxiómája , minden további eredmény, amire szükségünk lesz, ebb®l vezethet® le. A törvény kap solatot teremt egy zárt felületre vett uxus és a felületbe bezárt töltésmennyiség között: Φ= P P V Q (1.6) ǫ0 V Q a zárt felület által határolt V térfogatba bezárt összes töltés, míg C pedig a vákuum dielekǫ0 = 8, 85 · 10−12 Vm ahol tromos állandója  az elnevezés magyarázata kés®bb. A törvény megértéséhez nyújt szemléletes segítséget a 1.4 ábra 1.3 Homogén ábra. tér uxusának számításához 00 , 0 0 0 majd 30 , 60 , 90 -ot zár be az er®von- alakkal. Számítsuk ki a uxust a fenti négy esetben! Els®ként határozzuk meg a felület nor- málvektorának és az er®vonalaknak a

szögét. 0 0 0 0 Ezek rendre: α = 90 , 60 , 30 , 0 . Ezek alapján a uxusok: Φ1 = EA cos 900 = 0 Wb Φ2 = EA cos 600 = 15 = 0, 01125 1, 5 · 10−3 Wb Φ3 = EA cos 300 = 15 = 0, 01949 N m N m 1, 5 · 10−3 m 2 · 0, 5 = √ 3 2 m · = 2 Wb Φ4 = EA cos 0 = 0, 0225 (határesetben: ∆A felület- felületelemekre, dA) osztjuk, amelyeken a tér már homogén- nek tekinthet®, ezekre a fenti kiszámítjuk az elemi uxusokat. módon A teljes felület uxusa ezen elemi uxusok összege: Φ= A akkor minden belép® er®vosak E · ∆A = Z A eset). Ha a bezárt töltések azonos nagyságúak, de el- Abban az általános esetben, ha a tér in- X = 0), nalnak ki kell lépnie  hiszen er®vonalak , így a teljes uxus is nulla (d. Wb homogén, a felületet olyan kis és Figyeljük meg, ha a térfogat nem zár be töltést (Q töltésen kezd®dhetnek illetve végz®dhetnek  0 egységekre 1.4 ábra A Gauss-törvényhez lentétes el®jel¶ek 

azaz a nettó töltés zérus, P ( V Q = 0) , ugyanannyi er®vonal lép ki a 4 felületb®l mint amennyi be lép , így a felületre vett teljes uxus nulla ( . eset). Ha sak egy töltés van a felületen belül, akkor  a töltés el®jelét®l függ®en , pusztán be- (illetve ki-)lép® er®vonalak vannak, így a uxusból egyértelm¶en adódik a bezárt töltés (b. 4 Az er®vonalak töltésen kezd®dnek és töltésen E · dA (1.5) végz®dnek, valamint mivel a töltések nagysága azonos, így ugyanannyi indul ki az pozitívból, mint ahány befut a negatívba. 10 1. FEJEZET eset). Ha két töltés van a felületben, és az egyik töltés nagyobb, mint az ellentétes  azaz ( P V Q 6= 0) , több a felületb®l kifutó (felületbe befutó) a bezárt nettó töltés nem nulla, er®vonal, így a térfogat nettó pozitív (negatív) töltése továbbra is egyértelm¶ kap solatban van a felület uxusával. Több töltésre a fenti meggondolás könnyen

általánosítható. ELEKTROSZTATIKA 1.23 Coulomb-törvény Határozzuk meg, hogy egy nyugvó Q töltés mekkora er®t fejt ki egy t®le r távolságban ′ lév® nyugvó Q töltésre. A (1.7) kifejezés megadja a keltett térer®sség nagyságát, míg ′ (1.1) alapján az er® nagysága: F = EQ Ebb®l következ®en: Így a Gauss-törvény szemléletes képe az F = alábbi: 1 QQ′ , 4πǫ0 r2 (1.8) azaz a jól ismert Coulomb-törvényt kapjuk tetsz®leges zárt felület uxusa egyértelm¶en meghatározza a felület által határolt térfogatba bezárt töltések el®jeles összegét. eredményül. Felhívjuk a gyelmet arra, hogy eddigi kifejezéseink sak vákuumban érvénye- sek, egyéb esetekr®l a kés®bbiekben lesz szó! Példa Példa A törvény jobb megértéséhez számoljuk ki a Gauss-törvény segítségével egy ponttöltés térerejét t®le R Tekintsünk egy olyan Q nagyságú távolságban! R Mi- vel ez egy töltést körülvev® zárt

felület, alkalmazhatjuk a Gauss-törvényt. sejtek a mikrométeres A uxus kiszámítása ebben a szimmetrikus helyzetben egyszer¶, ugyanis a térer®vektorok mer®lege- átlagos méretének nagyságrendje mérettartományba esik. Számítsuk ki mekkora elektrosztatikus er®t 1µm távolságból egymásra két elektron. fejt ki sugarú gömböt, melynek középpontjában van a töltés. A A Coulomb-törvény alapján:
2 2 1, 6 · 10−19 C 1 e2 9 Nm F = = 9·10 = 2 4πǫ0 r2 10−6 m2 C = 2, 3 · 10−22 N (1.9) sen dök a gömb felületét, és s¶r¶ségük (a gömb felületén) állandó, tehát a homogén esetre alkalmazható (1.2) módon számíthatjuk a 4R2 π , így 1.24 Elektromos poten iál és feszültség Φ = 4R2 πE Mivel az elektromos tér a töltésre er®t gyako- uxust. A gömb felülete: rol, így  ha a töltés a tér hatására el tud mozahol E a keresett térer®sség. bezárt töltés Q, A felületbe dulni  azon munkát is tud

végezni. töltésnek Q Φ= ǫ0 Ebb®l fakadóan az elektromos térben elhelyezked® így alkalmazva a törvényt:  helyzeténél fogva  elektro- mos helyzeti energiája (poten iális energiája ) 1 Q ⇒ E= 4πǫ0 R2 van. Ennek az energiának a megadásához  önkényes módon  rögzítenünk kell egy alapszintet (nullszintet), ezen a szinten a töltések A példa alapján kimondhatjuk, hogy Q nagyságú pontszer¶ töltés térereje, a töltést®l r távolságban: 1 Q 4πǫ0 r2 Egy adott Q töltés adott r elektromos poten iális energiája azzal a munkával egyezik meg, amit a mez® ból a nullszintre viszi. (1.7) iránya sugárirányú, valamint pozitív töltésnél Az ilyen típusú terek neve: Az elektrosztatikus tér egy r pontjának φ(r) poten iálját ezek alapján az alábbiak szerint a töltésb®l kifelé, negatív töltés esetén befelé er®tér. E(r) végez a töltésen, miközben azt a kérdéses pont- E(r) = mutat.

energiája nulla. pontbeli entrális deniáljuk: E(r) φ(r) = , Q   J C = [V] (1.10) 1.2 11 AZ ELEKTROMOS TÉRERŽSSÉG Az Amint látható az r pontbeli poten iál mér®száma a pozitív r-beli egységtöltés r pontnak az r′ -höz viszonyított feszültsége tehát megadja, hogy a mez® mekkora munkát végez az egységnyi pozitív töltésen, miközben r-b®l r′ -be viszi. helyzeti energiájának mér®számával egyezik meg. A következ®kben határozzuk meg a feszültEgy elektrosztatikus tér azonos ponten iálú pontjai alkotta (azonos poten iálú) Ekvipoten iális felületet ekvipoten iális felületnek felületen mozgó nevezzük. töltésen a mez® nem végez munkát, hiszen a töltés po- ség és a ponten iál kap solatát. Amint az látható, ha a kérdéses töltést a tér el®ször az r ′ ′ pontból az r pontba viszi, majd az r pontból ′ ′ a nullszintre, akkor összesen W (r, r ) + E(r ) munkát végez rajta. Ez

a munka természete- ten iális energiája nem változik az elmozdulás sen egyenl® azzal, mintha a töltés során. szintre menne, amikoris a munka A mez® a legtöbb munkát pedig úgy végzi a töltésen, ha azt az ekvipoten iális felületekre mer®legesen mozgatja. Amint az belátható a tér egy adott pontjában r-b®l a nullE(r). En- nek az egyenl®ségnek mindkét oldalát leosztva a szállított töltés nagyságával, Q-val és átren- dezve nyerjük: a térer®vektor mer®leges az ekvipoten iális W (r, r′ ) E(r) E(r′ ) = − Q Q Q felületre. (1.12) Felhasználva a feszültség és a ponten iál fenti dení ióit, nyerjük: U (r, r′ ) = φ(r) − φ(r′ ), (1.13) azaz egy pontpár feszültségén a két pont poten iáljának különbségét értjük. A feszültség tehát a mez®t pontpár onként jellemzi a munkavégzés szempontjából. Minél 1.5 ábra Ekvipoten iális felületek és tér- er®vonalak nagyobb a feszültség a két pont

között, a mez® annál nagyobb munkát képes végezni, miközben a töltést átviszi az egyik pontból a Amint láttuk, a poten iál az egységtöltés r másikba. pontbeli helyzeti (poten iális) energiája. (Ha nem egységnyi töltéssel számolunk, osztani kell a töltés mér®számával.) Ahol a poten iál nagyobb, ott a tér nagyobb munkát végez a töltésen, miközben a nullszintre viszi. Azonban lehetnek olyan esetek is, hogy a töltést nem akarjuk a nullszintre mozgatni, hanem arra vagyunk kíván siak, hogy a mez® Egyszer¶ homogén példaként tér iálkülönbségét, séget. Ha Wr,r′ -vel. Ezek után vezessünk be egy pontpár ra jellemz® menny′ iséget, az r és r pontok közötti feszültséget, azaz az U (A, B) W Q (1.11) egy potenfeszült- sak az er®vonalakkal párhuzamosan kell haladnunk (lásd 1.6 ábra a Q töltést átáramoltatja: W = F d = EQd ahol d a két pont távolsága. (1.14) Felhasználva a fe- szültség

(1.11) dení ióját, a pontpár közötti feszültség: U (A, B) = Ed r,r′ meg (A, B ) a. része), a tér által végzett munka, miközben az alábbi dení ióval: U (r, r′ ) = határozzuk pontjának A-ból B -be mekkora munkát végez, miközben a töltést egy ′ másik (nem a nullszinten lév®) r pontba viszi. Jelöljük ezt a munkát két Láható tehát, hogy minél (1.15) nagyobb a tér- er®sség illetve a két pont közötti távolság, an- 12 1. FEJEZET ELEKTROSZTATIKA pont közötti munkavégzés (vagy feszültség) szempontjából irreleváns, hogy milyen útvonalon jutunk el az egyik pontból a másikba, hiszen sak a pálya er®vonalak irányába es® vetülete lényeges, azt pedig a rögzített két pont egyértelm¶en megszabja. Ez olyan ál- talános eredmény, mely nem homogén elektrosztatikus mez®kre is igaz! Homogén térben vett feszültség 1.6 ábra számításához Példa nál nagyobb a feszültség  ha az er®vonalakkal

használatos Fontos, és tronvolt 5 párhuzamosan haladunk! az atomzikában gyakran energiamértékegység (eV). Ekkora az kinetikus elek- energiára tesz szert egy (kezdetben nyugvó) elektron, Ha nem az er®vonalakkal párhuzamos egyenes mentén haladunk (lásd 1.6 a. ábra része), akkor a töltés útja felbontható az er®vonallal párhuzamos és arra mer®leges összetev®kre. Az er®vonalakra mer®legesen haladva (ekvipoten iális felület!) Határozzuk meg az eV értékét J-ban, valamint az elektron végsebességét! Az elektronon a tér sak a pálya er®vonalak irányába es® 1 eV d cos α, azaz ahol α (1.16) számértékét elektron az v= (1.17) elektron eU = r 2eU m 1 2 2 mv (1.20) A következ®kben kap solatot teremtünk a térer®sség és a poten iál között. egyszer¶bbé tehet®: (1.19) alapján pedig: feszültség: A skaláris szorzat bevezetésével a felírás még tekintve végsebessége bezárt szög.

Ezek alapján a két pont közötti U (A, B) = Ed cos α = töltésével egyezik meg. Az a pályaegyenes és a térer®vonalak által J C = 1, 602 · 10−19 J, így a végzett munka: W = EQd cos α munkát végez, így = 1, 602 · 10−19 C · 1 vetülete számít. A pálya er®vonalak irányába es® vetülete eU annak energiája ennyivel növekszik. Tehát a tér nem végez munkát, tehát a feszültség szempontjából miközben 1 V poten iálkülönbséget fut be. Homogén elektrosztatikus térben (1.15) és (113) alapján U (A, B) = E · d ahol d a pálya irányába mutató, (1.18) d ez a kap solat egyszer¶: ∆φ = φ(B) − φ(A) = −Ed hosszúságú vektor. Amennyiben a tér nem homogén a kap solat Homogén térben, mellett nyilvánvalóan tetsz®leges pályagörbe sak a kezd® és végpont ki sit bonyolultabb. Éljünk azzal az egysz- er¶sít® feltevéssel, hogy a térer®sség sak egy számít a munkavégzés és így a

feszültség te- x irányban változik, jelölésünkkel: E(x). Ekkor, ha sak egy nagyon ki si ∆x- szel moz- kintetében. Ezek alapján kimondhatjuk, hogy dulok el egy adott pontból, akkor a mez® távolságának er®vonalak irányára való vetülete az elektrosztatikus mez® konzervatív, azaz két 5 A poten iál kiszámításához le kell rögzítenünk a nullszintet. Legyen ez  az er®vonalak irányába es® adott alig változik, tehát jó közelítéssel homogénnek tekinthet®, így alkalmazható a fenti kifejezés: ∆φ = −E(x)∆x vetületre nézve  félúton a két pont között. Ekkor az Ed Ed egyik pont poten iálja: , míg a másiké: − A két 2 2 pont poten iálkülönbsége (feszültsége), mint látható: Természetesen minél kisebb Ed. sokat teszek, a tér annál inkább tekinthet® az ∆x elmozdulá- 1.2 13 AZ ELEKTROMOS TÉRERŽSSÉG adott elmozdulás mellett homogénnek, azaz a fenti kifejezés annál pontosabb. Határesetben elemi

dx elmozdulás alatt a poten iál ∆φ-vel A fenti kifejezés igazolása az alábbiak szerint lehetséges. Amint az látható sak egy paramétert®l (a középpontól való távolságtól (r )) függ Így használható a (121) kifejezés, és látható, hogy (1.24) deriváltjának mínusz egyszerese éppen a (1.23) változik meg, tehát: E(x) = − 1 r -szerint függ, így a töltéshez közeledve a a poten iál Mivel a poten iál a távolságtól dφ . dx (1.21) Amint látható a térer®sség a poten iál deriváltjának mínusz egyszerese. Szemléletes jelentése a kifejezésnek az, hogy folyamatosan növekszik, és a végtelenhez tart. Ennek oka abban keresend®, hogy a teret kelt® pontszer¶ töltéshez a pontszer¶ próbatöltést tetsz®legesen közel lehet vinni (r 0), ekkor azonban a fellép® Coulomb-er® (lásd (1.8)) és ahol a poten iál gyorsabban változik, ott nagyobb a térer®sség. így a poten iál is a végtelenhez tart. A végtelenbe távolodva

(r ∞) pedig a poten iál  a fent kiszabott feltétellel összhangban  a Általános pályagörbe és a hellyel változó elektromos nullához tart, lásd 1.7 ábra térer®sség (E(r)) esetén a feszültség kiszámításához a teret olyan kis dr darabokon kell tekinteni, ahol homogénnek tekinthet®, és itt kell képezni az elemi elmozdulás és a térer®sség skalárszorzatát: E(r) · dr. A teljes munka ezen elemi elmozdulások összege (integrálja) a két pont között, tehát a feszültség: U(A, B) = Z B E(r) · dr (1.22) A A fenti kifejezés kimondja, hogy a két pont közötti feszültség a térer®sség út szerinti integrálja a két pont közötti tetsz®leges útvonalon. 1.25 A Coulomb-poten iál Egy ponttöltés által keltett tér egyszer¶sége 1.7 ábra Coulomb-poten iál és referen ia-eset volta miatt is további vizsgálódásra tarthat számot. A tér er®sségét már kiszámoltuk, ennek eredménye (1.7) alapján: A következ®ben

megadjuk a Coulomb-tér 1 Q E(r) = 4πǫ0 r2 (1.23) két pontja közötti feszültséget. Ekkor a két pont töltést®l mért távolsága (rA , számít, azok egymáshoz képesti sak rB ) helyzete volt. Ennek a térnek a neve: Coulomb-tér jel- lényegtelen. Ennek oka abban keresend®, hogy legét tekintve a Coulomb-tér gömbszimmetrikus, így ekvipo- entrális er®tér. A következ®k- ben megadjuk a Coulomb-tér poten iálját és feszültségét. b. A Coulomb-tér poten iáljának számításához els®ként rögzíteni kell a tér nullszintjét. élszer¶ségi ten iális felületei gömbfelületek (lásd 1.5 ábra okokból a ponttöltést®l része), tehát a feszültség meghatározása- kor (amely a poten iálok különbsége) számít, hogy az egyik illetve a másik pont végte- milyen sugarú ekvipoten iális gömbfelületen len távolra választjuk  tehát a teret kelt® helyezkedik el. ponttöltést®l végtelen távol elhelyezked® pró-

alapján a Coulomb-tér egy batöltés poten iális energiáját tekintjük nul- közötti feszültség: lának. Így a fenti poten iálképlet A és B pontja Amint az belátható  lásd az alfe- jezet végén az apróbet¶s részt  ebben az es- Q ponttöltés poten töltést®l r távolságban: etben a a sak az Ezt φ(r) = iálja (vákuumban) 1 Q 4πǫ0 r (1.24) UAB = 1 Q 4πǫ0  1 1 − rA rB  (1.25) 14 1. FEJEZET 1.3 ELEKTROSZTATIKA Alkalmazások 1.31 Vezet®k és szigetel®k elektromos térben, dielektromos állandó Vezet®nek nevezzük azokat az anyagokat, melyek töltései küls® tér hatására könnyen elmozdulnak, szigetel®knek töltései helyhez kötöttek. azokat, melyek Elektrosztatikus térbe helyezett vezet® pozitív és negatív töltéseire ellentétes irányú er®t fejt ki a tér, így a vezet® átellenes felület elemein ellentétes töltések halmozódnak fel. Ez a töltésfelhal- mozódás addig

folytatódik, míg a rájuk ható er® meg nem sz¶nik. Az elektrosztatitkus er® megsz¶nésének az az oka, hogy a szétválasz- 1.8 ábra Vezet® elektromos térben tott és a felületen felhalmozott töltések olyan saját teret hoznak létre, amely az eredeti térhez hozzáadódva lerontja azt, és a fémbe behatoló mez®t kioltja. Mivel a töltésszétválás − − − − − − − − − + − − − + + + + − − −− + + + + + + + + + + − − − − − − − − − + + + + + + + + + − + + + + + + + + + + + + − + + + − − − − − − − − − − − + − − + + jesen lerontotta egymást, megáll a további − − + + − + −+ − − + − − a szétválasztott töltésekt®l származó tér tel- + + belül nem lesz nulla, így amikor a küls® és + + + + + + + + + + + + + + − − −+ − + + − amíg az ered® tér a vezet®n + addig folyik, − − − − − − − − − − −

− − − töltésszétválasztás (lásd 1.8 ábra) Tehát egyensúlyi esetben elektrosztatikus térbe helyezett fémek (vezet®k) belsejében nin s elektromos tér. Mivel tatikus a fémek tér (E belsejében = 0), 1.9 ábra Szigetel® elektromos térben nin s így elektrosz- tetsz®leges, a fémben felvett zárt felület uxusa is nulla: Φfémben = 0. Ebb®l, az (1.6) Gauss-törvény alapján következik, hogy vezet® belsejében az a térer®sség, bevezetjük a relatív dielektromos állandó (ǫr ) fogalmát, ez a vákuumban és az adott anyagban mért térer®sség hányadosa: össztöltés nulla. ǫr = Szigetel®k töltései nem mozdulnak el, de a küls® tér hatására az anyag alkotói többépolárosak), és így mint a lásd 1.9 Az elektromos dipólus egy pozitív ponttöltésb®l (+Q) és dipólusok tér megfelel® irányába fordulnak, ábra. (1.26) 1.32 Dipólus térereje és poteniálja kevésbé polarizálódnak (vagy már tér

nélkül is Evákuum Eszigetel® Ennek következményeként a szigetel® belsejében bármely makroszkopikus térfogat össztöltése továbbra is nulla marad, azonban a felületen indukált töltések jelennek meg. A küls® tér er®vonalainak egy része ezeken az indukált töltéseken végz®dik,  illetve a szigetel® átellenes oldalán indul , tehát egy ugyanolyan nagyságú negatív ponttöltésb®l (−Q) áll. A két töltés l távolsága legyen ki si a problémában el®forduló egyéb távolságokhoz képest. A dipólus momentumán (nyomatékán) az m = Ql szorzatot értjük. Az elektromos dipólus (1.27) fogalmának élszer¶sége  többek között  abból származik, hogy vele bonyolult töltésrendszerek helyettesíthet®k. Ugyanis egy sok töltésb®l álló rendszer pozitív és negatív töltéseinek meghatározhatjuk a súlypontját, ugyanúgy ahogy az a a szigetel®kön belül le sökken a térer®sség. Annak a jellemzésére, hogy a

szigetel®ben a vákuumhoz képest hányad részére sökken me hanikában a súlypont meghatározásánál lehetséges, azonban itt tömegek helyett a töltésekkel súlyozzuk a távolságokat. Ilyen módon egy tetsz®legesen bonyolult töltésrendszernek el®áll a pozitív és negatív töltéssúlypontja, és így a töltésrendszer  ha ez a két pont nem 1.3 15 ALKALMAZÁSOK esik egybe  dipólusnak tekinthet®, és sok esetben ezzel helyettesíthet®. Határozzuk meg egy dipólus keltette elektromos teret a dipólus felez®mer®legesén, a felez®ponttól r távolságban, lásd 1.10 ábra bal oldali részábrája Példa Határozzuk meg a dipólus tengelyében, attól nagy távolságban a térer®sséget! A dipólus tengelyében, annak középpontjától r ≫ l távolságban vizsgáljuk a teret. Ennek nagysága: E= ! 1 1 = − 2 2 r+− r−   1 1 1 = Q − 2 2 4πǫ0 [r − l/2] [r + l/2] 1 Q 4πǫ0 (1.32) ahol r+ jelöli a + töltés és a kérdéses pont

távolságát (ez a pont van közelebb a vizsgált ponthoz), r− pedig a - töltés távolságát jelzi. Négyzetre emelve, és minden elhanyagolva az alábbi kifejezést nyerjük: E= l2 -es 1 2m . 4πǫ0 r 3 tagot (1.33) Ez összhangban korábbi megállapításainkkal, miszerint a dipólus térereje  nagy távolságokban  a távolsággal köbösen sökken. 1.10 ábra Dipólus térereje és poten iálja r + = r − ≈ r ≫ l. Használjuk ki, hogy A keresett B pontban a térer®sség iránya az ábrán látható, nagysága pedig: EB = 2E+ cos φ = 2 =2 Mivel valamint 1 Q cos φ = 2 4πǫ0 r+ r2 mellett (l/2)2 Végtelen, töltött sík tere Tekintsünk egy végtelen síkot töltéss¶r¶séggel. sík 1 1 Q l/2 Ql =   2 r 4πǫ0 r+ 4πǫ0 r 2 + (l/2)2 3/2 + Ql = m 1.33 minden Ez azt négyzetméterén η jelenti, felületi hogy a egyenletesen η Coulomb töltés helyezkedik el. (1.28) C m2 Vegyünk egy négyzetes hasábot, amelynek

alapterülete elhanyagolható, így a dipólus térereje: ηA töltés van. 1 m . 4πǫ0 r 3 (1.29) Az elektromos tér sökken, addig a dipólus tere ennél gyorsabban, a távolság harmadik hatványával. (Belátható, hogy nem sak ezen a 2A, a rajtuk keresztülmen® elektromos uxus tehát (1.6) alapján: spe iális helyen, hanem bárhol a térben  természetesen a dipólus méretéhez képest nagy távolságban  a térer® a távolság harmadik hatványával sak a henger két alaplapján megy át, és ott mer®legesen. Ezek összfelülete Ebb®l látható, hogy míg a ponttöltés térereje négyzetesen A Q= a felületen, lásd 1.11 ábra A felület egy terület¶ körlapja van a hengeren belül, itt E= A és amelynek a palástja mer®legesen megy át Φ= sökken.) ηA ǫ0 (1.34) A következ®kben határozzuk meg a dipólus poteniálját egy, a tengelyével ϑ szöget bezáró irányban, t®le nagy távolságban (lásd 1.10 ábra jobb oldala). A kérdéses

P pontban a két ponttöltés keltette poten iál összege van jelen: φ= 1 Q 4πǫ0  1 1 − r+ r−  = 1 r− − r+ Q 4πǫ0 r− r+ Az el®z®ekhez hasonlóan, felhasználva, hogy nagy az l-hez képest, kapjuk: φ= l cos ϑ r2 (1.30) r+ és r− (1.31) 1 Amint itt is meggyelhet®, a ponttöltés poten iáljának r es távolságfüggésénél gyorsabban (négyzetesen) sökken a ponte iál. 1.11 ábra. számításához Végtelen töltött sík terének 16 1. FEJEZET Az elektromos tér pedig (1.2) gyelembe ELEKTROSZTATIKA E szerint vételével: a poten iál a két sík között lineárisan Φ ηA η E= = = 2A 2ǫ0 A 2ǫ0 (1.35) változik, a síkokon kívül pedig állandó. Az elektromos Mint látható, a nyert eredmény szerint helyezett dielek- meg, hogyan változik a fenti eredmény amen- a végtelen töltött sík által keltett térer®sség független a síktól vett távolságtól! nyiben a két sík közötti teret nem

vákuum, hanem valamilyen trikum) tölti ki. A végtelen sík természetesen idealizá ió, a valóságban ilyen nin s. Ennek az idealizá iónak akkor van értelme, ha olyan közel vagyunk szigetel® anyag (dielek- A (1.26) kifejezés szerint dielektrikum hatására a térer®sség ǫr részére sökken, így a fenti két kifejezés az alábbiak szerint módosul: η ǫ0 ǫr η U= d ǫ0 ǫr a felülethez, amihez képest a felület határai már nagyon messze vannak. térbe trikumokról elmondottak alapján vizsgáljuk E= Ekkor nin s je- lent®sége, hogy véges, vagy végtelen a sík. Ebben a határesetben igaz, hogy a térer®sség (1.38) Ezek alapján lesz nyilvánvaló a vákuum független a síktól mért távolságtól. dielektromos állandója elnevezés oka. Ugya- 1.34 Elektromos kett®sréteg nis Vegyünk két síkot, Természetesen itt nem arról van szó, hogy egymástól d Tegyünk az egyikre ez a tényez® a vákuum

polarizálhatóságát felületi töltéss¶r¶séget, a két méri, hanem pusztán a használt mértékegység- η, párhuzamos, távolságra. a másikra −η sík össztöltése tehát zérus. végtelen ha nem anyag, hanem vákuum tölti ki a teret, akkor az arányossági tényez® Ekkor a síkokon ǫ0 . rendszer teszi szükségessé. Más mértékegysé6 kívüli részben a két töltött sík elektromos tere grendszerekben értéke más és más . kioltja egymást, a térer®sség tehát nulla. A viszont valódi zikai jellemz®t az meg, az a Ami két sík között viszont a két térer®sség összead- kérdéses dielektrikum relatív dielektromos ál- ódik, így az elektromos tér az egyetlen töltött landója (ǫr ), amely az anyagra jellemz® érték, sík terének a kétszerese (lásd 1.12 ábra), azaz és az anyagon belüli térer® sökkenés mértékét (1.35) alapján: méri  természetesen mértékegységrendszerfüggetlenül. η

E= ǫ0 (1.36) 1.35 Kondenzátor és kapa itás Két párhuzamosan elhelyezked® vezet® lap, melyeknek töltése azonos nagyságú és ellen7 A kon- s¶rít®) töltések tétes el®jel¶, síkkondenzátort alkot . denzátor (vagy régi nevén tárolására alkalmas. Annál jobb, minél nagyobb töltést minél kisebb poten iális energián tud tárolni, azaz a két lapja (fegyverzete) között minél kisebb feszültség alakul ki a töltések felvitele után. Ezt a tulajdonságot a 1.12 ábra Elektromos kett®sréteg tere (1.13), (110) és (136) felhasználásával a két sík közötti poten iálkülönbség, azaz feszültség: U = ∆Φ = Ed = η d ǫ0 kondenzátor kapa itásának nevezzük: C= Q U (1.39) 6 Ahogyan más mértékrendszerekben a töltésnek, feszültségnek, kapa itásnak. is mások az egységei (1.37) 7 Természetesen más geometriájú kondenzátorok is vannak (gömb, henger, . ), mi az egyszer¶ség kedvéért a síkkondenzátort

mutatjuk be 1.3 17 ALKALMAZÁSOK d távolságQ töltés van, akkor közöttük − + C Ha a kondenzátor párhuzamos, ban lév® lemezein homogén tér alakul ki, így a feszültség (1.13) alapján: U = Ed u(t) (1.40) A Gauss-tétel (1.6) valamint a mez® homogen- R itásának (1.2) felhasználásával, feltéve, hogy a lemezek közötti teret ǫr i(t) dielektromos ál- landójú dielektrikum tölti ki: 1.14 ábra Egy RC-kör Q EA = Φ = ǫ0 ǫr (1.41) Amint nyilvánvaló  a körben nin s feszült- A fenti egyenletek összevetéséb®l a síkkonden- ségforrás , az áramkör egyes elemein fellép® zátor kapa itása: feszültségesések összege nulla: C = ǫ0 ǫr A d A kapa itás mértékegysége: uC (t) + uR (t) = 0. (1.42) C V Az ellenálláson es® feszültség: = [F], a farád. Ez hatalmas egység, a gyakorlati életben µF, uR (t) = R · i(t) = R nF, pF nagyságrendek fordulnak el®. dQ(t) , dt míg a kondenzátor feszültsége: uC

= Q(t) . C Ebb®l fakadóan: R dQ(t) Q(t) R+ =0 dt C (1.43) Ennek a dieren iálegyenletnek keressük a megoldását a Q(0) = CU0 kezdeti feltétel- lel. Mint arról visszahelyettesítéssel egysz−t/RC er¶en meg lehet gy®z®dni: Q(t) = CU0 e a kezdeti feltételnek 1.13 ábra Kondenzátor Látható, lemezek hogy a felületének kapa itás növelésével, növelése a a távolság eleget tev® megoldás. Q(t) Azaz a kondenzátor feszültsége (uC (t) = C ) dQ(t) és árama (i(t) = dt ) az alábbiak szerint alakul: uC (t) = U0 e−t/τ sökkentésével, valamint nagyobb dielektro- i(t) = − mos állandójú anyaggal való kitöltéssel lehet. ahol 1.36 Az RC-kör id®állandója Tekintsük Legyen egy az U0 alábbi egyszer¶ C ka- pa itású kondenzátor egy kap solón keresztül sorba kötve egy meg, R ellenállással. Vizsgáljuk hogy a kap soló zárása után hogyan sökken a kondenzátor feszültsége az id® függvényében. (1.44) a kör

id®állandója. Mint látható a kisülés folyamán a kondenzátor feszültsége és hálózatot. feszültségre feltöltött τ = RC U0 −t/τ e R a körben folyó áram exponen iálisan sökken, e-ad részére. C = 1 µF és R = 1 Ω esetén τ = 1 µs, de R = 107 Ω esetén már τ = 10 s. az id®állandó alatt pontosan 18 1. FEJEZET ELEKTROSZTATIKA 2. fejezet Rezgések és hullámok 2.1 A harmonikus rezgés 2.11 A Ennek megoldása  a bizonyításért lásd az apróbet¶s részt : Alapfogalmak x(t) = A sin(ωt + φ0 ) harmonikus rezg®mozgás (a osz illátor) a zika egyik (2.3) harmonikus legalapvet®bb ahol A, [m] a rezgés amplitúdója, tágassága, mozgástípusa  amely azon kevés dinamikai azaz az egyensúlyi pont és a maximális kitérés problémák közé tartozik, melyet a kvantum- távolsága. me hanika keretein belül is egzaktan lehet tár- D −1 s a körfrekven ia  az elm, nevezés oka és kap solata a további

menny- gyalni. Ez az a mozgás, melyet olyan küls® er® hoz létre, melynek iránya a rezgést végz® test kitérésével ellentétes, nagysága pedig az egyensúlyi ponttól vett távolsággal arányos. Ilyen er®t hoz létre  nem túl nagy megnyúlások esetén  egy rugó. A harmonikus er® kife- D, m a direk iós állandó, mely meg- x, [m] ′ helyzett®l mért kitérés. A , − létre, míg az egyensúlyi el®jel utal arra, hogy az er® a kitéréssel ellentétes irányú, visszafelé irányít. A fentiek alapján harmonikus rezg®mozgást végez egy rugóra magárahagyott test. akasztott, kitérített melyek és az egyéb disszipatív hatásaként jön létre. talatainkból is tudjuk, merevebb, nagyobb rugalmassági állandójú rendszerek (saját) kör- a kezd®fázis, melyet itt sillapított és megválasztásával nullává tehet®, ha végz® testnek a kitérése. Mint az elemi megfontolásokkal  lásd a 2.1 ábrát vagy az apróbet¶s

részt  belátható a harmonikus rezgést végz® test sebessége és gyorsulása: a(t) = −Aω 2 sin(ωt + φ0 ) er®kt®l, rezg®mozgás pontosan követi a fenti er®kifejezést, akkor Ekkor a test mozgását leíró Newton-egyenlet Ennek re iproka, megtett rezgések   ν , s−1 = Hz . T, [s]. az egységnyi id® száma, a argumentuma, (2.2) 19 alatt frekven ia: A rezgés fázisa a szinuszfüggvény ma = −Dx (2.4) A rezgés periódusideje az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges id®: anharmonikus rezg®mozgásról beszélhetünk) értéke k · 2π ), akkor a rezgést t = 0 id®pillanatban van v(t) = Aω cos(ωt + φ0 ) Ha a rugó nem lineáris, azaz nem En- nem nulla (illetve nem légel- az alábbi alakú: sak a kon ep- nek értéke az id®mérés kezdetének alkalmas (Itt természetesen el- tekintünk a rugó bels® súrlódásától, lenállástól valóvá. Amint látható, és hétköznapi tapasz- tuális teljesség kedvéért

vezetünk be. kitérítés következtében mekkora visszairányító jön  iségekkel a következ® fejezetben válik nyilván- φ0 (2.1) mutatja, hogy az egyensúlyi helyzett®l való er®  jed a élban, mint leveg®ben. Fharm = −Dx ahol q frekven iája nagyobb  a hang gyorsabban ter- jezése tehát: N ω = 20 2. FEJEZET azaz ωt + φ0 . Ez mutatja meg, hogy a tel- jes rezgésen belül hol járunk  gyelembe véve, hogy a mozgás 2π (periódusid®). Ekkor a kitérés éppen az amplitúdó lesz, tehát periódikus. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a rezgés fázisához 2π -t A = A sin(ωT ) π = ωT 2 tet- sz®legesen sokszor hozzáadhatoklevonhatok, ez a mozgásjellemz®ket (sebesség, kitérés gyorsulás) értékét nem változtatja meg. Mint látható ez a periódikusság ismérve. A mozgás REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK π 2ω Ezzel kap solatot is teremtettünk a körfrekven ia és a peridódusid® között: azaz T = jellemz®it mutatja be

a 2.1 ábra ω= 2π T (2.5)  A (2.3), (24) kifejezések igazolása hogy a = Tekintetve véve, d2 x , így a harmonikus osz illátor Newtondt2 egyenlete, az alábbi dieren iálegyenlet: m Ennek általános d2 x = −Dx dt2 megoldása  (2.6) mint arról visszahe- lyettesítéssel meggy®z®dhetünk : x(t) = B sin ωt + C cos ωt. 2.1 A ábra. harmonikus rezg®mozgás jellemz®i és kap solata a körmozgással (2.7) B és C konstansok helyett vezessük be A-t és φ-t, az alábbi dení ió szerint: A cos φ0 = B és A sin φ0 = C . Ekkor  a sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β addí iós tétel felhasználásával  a megoldás az alábbi alakot ölti: x(t) = A sin(ωt + φ0 ). (2.8) Id® szerint egyszer illetve kétszer deriválva a fenti kitérésid® függvényt nyerjük a (2.4)-ben bemutatott sebesség- Példa illetve gyorsulás kifejezéseket. Tekintsük az alábbi paraméter¶ harmonikus 1 rezg®mozgást: A = 5 m, ω =

10 s . Tegyük fel, hogy a rezg® testnek az id®mérés kezde- 2.12 A harmonikus rezgés leírása forgóvektorokkal tekor (t A harmonikus rezgés és a körmozgás közötti = 0-ban) éppen az egyensúlyi pontban van, azaz 0 a kitérése. Amint látható emi- analógiát felhasználva egy alternatív leírási φ0 = 0. Határozzuk meg, hogy mikor lesz módot nyerünk Mint ismeretes, az egyenletes, a kitérése x1 = 2, 5 m illetve x2 = 5 m, ω szögsebesség¶ körmozgást végz® test körvalamint mekkora T id®közökkel veszi fel újra mozgásának síkjára való vetülete harmonikus att a kezdeti helyzetét! rezg®mozgást végez, lásd 2.1 x1 = A sin(ωt1 ) 2, 5 m =5 Ebb®l nyerjük, hogy m En- plitúdója éppen a körpálya sugara, körfrekven- 1 iája a körmozgás szögsebességével egyezik s meg, fázisa pedig a körmozgás szögelfordulásá- · sin(10 · t1 ) t1 = ábra. nek a harmonikus rezg®mozgásnak az am- π 60 s. val azonosítható.

Ezek alapján Hasonlóan x2 = A sin(ωt2 ) 1 1 = sin(10 · t2 ), s egyenletes körmozgással forgó vektor végpontjának a vetülete 1 harmonikus rezgést végez. A vektor hossza a rezgés amplitúdója, π 20 s. (Mint látható a kifejezések nem lineárisak, azaz 2t1 6= t2 .) Végezetül határoz- szögsebessége pedig a körfrekven iája. Ez az az id®, ami alatt visszatér kezdeti állapotába vetületet vizsgáljuk. azaz t2 = zuk meg  általánosan , hogy mekkora az úgynevezett forgóvektoros leírási mód. 1 Természetesen a körpálya síkjára mer®leges 2.1 21 A HARMONIKUS REZGÉS 1.5 ’x ered’ ’x 1’ ’x 2’ 1 0.5 0 -0.5 2.2 ábra Két egyirányú és azonos frekven- iájú rezgés összeadása forgóvektorokkal -1 -1.5 0 A módszer alkalmazásaként határozzuk meg két egyirányú, azonos ω körfrekven iájú, A1 és A2 amplitúdójú, valamint α1 és α2 kezd®fázisú harmonikus rezgés összegét! A két rezgés

összege  amint azt látni fogjuk  egy szintén ω körfrekven iájú, A amplitúdójú és α kezd®fázisú harmonikus rezgés lesz. Mérjük az els® rezgést reprezentáló, sík valamely egyenesével A1 hosszú vektort a α1 szöget bezárólag, valamint ugyanabból a kezd®pontból a második rezgést jelent® sel α2 A2 hosszú, az egyenes- szöget bezáró vektort. által bezárt szög: E két vektor δ = α2 − α1 szögsebességgel forog. 40 60 80 100 120 Egyirányú, azonos fázisú rezgések 2.3 ábra összetétele 1 ’x ered’ ’x 1’ ’x 2’ 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 id®ben nem -0.4 ω -0.6 A két vektor vek- -0.8 változik, hiszen a két vektor ugyanakkora 20 toriális összege határozza meg az ered® rezgés -1 paramétereit. Mint az a koszinusztételb®l 20 0 40 60 80 100 120 rövid számolás után adódik, az ered®vektor 2.4 ábra Egyirányú, ellentétes fázisú rezgések hossza, azaz az ered® rezgés

amplitúdója: q A = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(α2 − α1 ). A vektor szöge, azaz a kialakuló összetétele (2.9) rezgés kezd®fázisa: tan α = A1 sin α1 + A2 sin α2 A1 cos α1 + A2 cos α2 (2.10) A forgóvektoros módszer élszer¶ségét bemutatandó meghatározzuk a két rezgés összegét algebrai úton is. Az ered® rezgés x = x1 + x2 = A1 sin(ωt + α1 ) + A2 sin(ωt + α2 ) (2.11) Egyszer¶ átalakítások után: Mint látható, (α1 = α2 )  ha a fázisok megegyeznek más szóval, ha a x = (A1 cos α1 + A2 cos α2 ) sin ωt+ rezgések + (A1 sin α1 + A2 sin α2 ) cos ωt (2.12) azonos fázisban vannak , az ®ket reprezentáló vektorok azonos irányba mutatnak  az amplitúdók összeadódnak: az ún. er®sítés. A = A1 + A2 , ez Ha a rezgések ellenfázisban vannak  a reprezentáló vektorok ellentétes gyengítés. A gyengítés spe iális esete a kioltás, ez akkor következik be, ha az összetev®k am- plitúdói megegyeznek,

lásd 2.3 és 24 ábra A sin(ωt + α) = A cos α sin ωt + A sin cos ωt, és válasszuk meg A-t és φ-t úgy, hogy a fenti két kifejezés azonos legyen. Ez akkor teljesül, A cos α = A1 cos α1 + A2 cos α2 valamint A sin α = A1 sin α1 + A2 sin α2 . E két egyenletet négyzetre emelve ha és összeadva, valamint elosztva egymással nyerjük: irányba mutatnak , azaz (α2 amplitúdók kivonódnak: − α1 = π ) az A = A1 − A1 , ez a Használjuk fel, hogy A= q A21 + A22 + 2A1 A2 cos(α2 − α1 ) tan φ = A1 sin α1 + A2 sin α2 , A1 cos α1 + A2 cos α2 (2.13) (2.14) ami megegyezik a fentivel. Mint látható ez a módszer bonyolultabban vezet eredményre 22 2. FEJEZET Példa egyezik meg, azonban a forgóvektoros módszerrel szemléletesen kaphatunk kvalitatív ered- Tekintsünk két azonos frekven iájú, egyirányú rezgést. Egyik amplitúdója legyen a másiké A2 = 3 A1 = 5 ményt. m, Legyen m. Határozzuk meg az ered® rezgés

amplitúdóját, ha a két összetev® rezgés ∆α = α2 − α1 = 00 , 450 , 900 . A=8 m, 7,43 m, 2 ω2 . rezgések leírásának e két ω1 ≈ két δ szögt®l, lásd 2.2 körfrekven ia nem ábra. pontosan Mivel egyezik meg, így az egyik gyorsabban forog, tehát a két vektor által bezárt szög az id®ben las- mód- san változik. don létrejön a teljes 0), szere a komplex számokat veszi igénybe a rezgés reprezentálásához. a A forgóvektoros kép szerint a két rezgés által bezárt A harmonikus rezgés leírás komplex számokkal harmonikus kedvéért összegének amplitúdója függ a két komponens m. a 2.13 egyszer¶ség míg körfrekven iájuk közel azonos: Amint az egyszer¶ számítással adódik, az ered®k az összeadandó rezgés amplitúdója azonos (A), fáziskülönbsége A REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK plex számok elemi matematikájából ismert a trigonometrikus és exponen iális függvények δ majd pedig

er®sítés, Amint az a kom- Így id®ben periódikus mó- δ = er®sítés (mikor növekedtével kisebb méret¶ gyengítés, végül  mivel plitúdók azonosak  a kioltás (δ =π majd pedig elölr®l kezd®dik a iklus. az am- esetén), Tehát az ered® rezgés amplitúdója az id®ben lassan között az Euler-féle összefüggés teremt kap - változik 0 és 2 solatot : 2A között. A lebegés jelensége tehát id®ben folyamatosan eix = cos(x) + i sin(x) (2.15) változó er®sítésgyengítéskioltás, amint ezt a 2.5 ábra bemutatja Amennyiben Mint látható a képzetes kitev®j¶ exponeniális függvény képzetes része éppen a szinus- a két összetev®-rezgés frekven iájának különb- zos tag, tehát a harmonikus rezgés kitéres-id® sége ki si, a lebegés frekven iája ki si lesz, függvénye (2.3) az alábbi alakban  a komplex míg, ha a frekven iák különbségét növeljük, a számok úgynevezett exponen iális alakjában 

lebegés frekven iája növekszik. is írható: Im   Aei(ωt+φ0 ) = A sin(ωt + φ0 ) 2 ’x ered’ ’x 1’ ’x 2’ (2.16) 1.5 ahol Im jelenti a mögötte álló kifejezés komAei(ωt+φ0 ) kifejezést a kom- 1 plex részét. Ha az plex síkon ábrázoljuk, akkor egy valós tengellyel kapunk. ωt + φ0 ω Ennek  az A 0.5 hosszú, a szöget bezáró vektort 0 szögsebességgel forgó -0.5 vektornak  a képzetes tengelyre való vetülete a (2.16) által meghatározott kifejezés, amely -1 éppen a harmonikus rezg®mozgás leírója, ahogyan azt a harmonikus és a körmozgás kap --1.5 solatát tárgyaló részben bemutattuk. -2 0 2.14 A lebegés 200 400 600 800 1000 2.5 ábra A lebegés jelensége A lebegés jelensége akkor jön létre, ha két egyirányú, közel azonos frekven iájú rezgést adunk össze. Ebben az esetben a koráb- A pontos számítások az alábbi eredményre vezetnek. Az ered® rezgés ban megismert összegzési

eljárás nem alka- x = A sin ω1 t + A sin ω2 t. (2.17) lmazható, mert a két rezgés frekven iája nem 2 x lehet komplex szám is, itt azonban x ∈ R. Felhaszálva azt a trigonometriai összefüggést, mely szerint: sin α + sin β = 2 cos α−β 2 · sin α+β a fenti képlet 2 1200 2.2 23 HULLÁMTAN tovább alakítható: amplitúdó }| { ω1 − ω2 ω1 + ω2 x = 2A cos t · sin t 2 2 z (2.18) Feltételünk szerint ω1 ≈ ω2 valamint legyen pl. ω1 > ω2 Így ω1 − ω2 sokkal kisebb, mint ω1 + ω2 , tehát a fenti kifejezés koszinusztényez®je sokkal lasabban változik, így azt tekinthetjük az amplitúdó részének. Ezek alapján az ered® rezgés egy olyan szinuszrezgés, melynek körfrekvenω1 +ω2 ω −ω iája , amplitúdója 2A cos 1 2 2 2 változik az id®ben 0 és 2A között. t szerint lassan Példa Ha egyszerre szólaltatunk meg egymás közelében egy normál a hangot adó, 440 Hz-es, és egy kissé elhangol, 442 Hz-es

hangvillát, tapasztalhatjuk a lebegés jelenségét. Az ered® rezgés frekven iája 441 Hz lesz, míg az er®södésgyengülés, azaz a lebegés frekven iája 1 Hz. Tehát a 441 Hz-es hangot másodper enként kétszer halljuk elhalkulni illetve feler®södni. 2.6 ábra terjedése A 2.2 Hullámtan 2.21 zos (koszinuszos). Me hanikai Ebben az esetben a közeg része - jedésének pontját feltétele. (pontjait) satolás a hullám terHa a közeg valamely egyensúlyi helyzetükb®l kitérítjük, a kialakuló zavar  a közeg alkotói közötti harmonikus hul- Ez azt jelenti, hogyha valamely id®pillanatban megfagyasztok egy terjedéshez közeg szük- skéi közötti valamely sak Ennél a típusú hullám- nál mind a hely, mind az id®függés szinus- A hullám zavar tovaterjedése. séges. továbbiakban lámokat vizsgálunk. Alapfogalmak hullámok esetén a Transzverzális (bal oldal) és lon- gitudinális (jobb oldal) hullám kialakulása és

satolás következményeként  tovater- transzverzális hullámot  tehát sak a helyfüg- gést vizsgálom  szinuszgörbét kapok. sonlóan ha a hullámot, Ha- sak egy adott helyen vizsgálom tehát sak egy a közeg pon- tja kitérésének id®függést gyelem, az harmonikus rezg®mozgást fog végezni. 4 A rezg®- mozgás periódusidejét a hullám periódusidejének (T ) nevezzük. Egy adott transzverzális jed, létrejön a terjed® hullám. Példaként lásd hullám a tóba dobott kavi s keltette hullámokat, meg- lámhegy (hullámvölgy) távolságát értjük, lon- hullámhosszán két szomszédos hul- pendített gitárhúrt, hang terjedése leveg®ben gitudinális hullám esetén két szomszédos max- vagy vasúti sínben, stb. Elektromágneses hul- imális s¶r¶södési (vagy ritkulási) pont távol- lámok (fény, infravörös (h®-) sugárzás, rönt- ságát. gensugárzás, rádióhullámok, stb.) zavar, azaz az melynek térbeli periódusa

a hullám egyensúlyi helyzett®l hullámhossza, id®beli periódusa pedig vett kitérés és a terjedés iránya alapján két hullámtípust szverzális jedés különböztetünk hullám irányára 3 párhuzamos. egy esetén a mer®leges, meg. a ter- longitudinálisnál gitárhúr, ahol a húrra mer®leges a kitérítés, míg a zavar terjedésének iránya a húr irányába mutat. valamely pontjának a rezgésideje. Tran- kitérés Transzverzális hullámra példa megpendített Összefoglalva: a hullám térben és id®ben periódikus jelenség, terjedéshez nem szükséges közeg. A 5 esetén a Longitudinális hullám például a hang leveg®ben való terjedése, ahol a hanghullám légnyomásingadozá- Egy hullám terjedési sebességén (c)  pontosabban: fázissebességén  a hullámhossz és létre. 4 A fenti gondolatmenet longitudinális hullámokra is elmondható. Itt a helyfüggés szinuszos volta azt jelenti, hogy egy adott

id®pillanatban a s¶r¶ségváltozás térben szinuszos. Hasonlóan az id®függés szi- nuszossága azt mondja ki, hogy a közeg egy adott kis sok (s¶r¶södésekritkulások) formájában ter- részét vizsgálva ott a s¶r¶ség az id®ben szinuszosan jed. változik. 3 Transzverzális hullám sak szilárd testekben jöhet 5 Pontosabban: bármely két szomszédos, azonos fázisban lév® pont távolsága, lásd kés®bb. 24 2. FEJEZET REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK jellemzésére vezessük be a hullámszámot, az a periódusid® hányadosát értjük: alábbi dení ióval: λ c= T (2.19) k= 2π λ (2.21) A képlet szemléletes tartalma szerint a hullám egy periódusid® (T ) alatt éppen egy hullámhossznyi utat (λ) tesz meg, a sebesség A hullám fázisa Bevezetve a hullám frekven iáját, mint a 1 periódusid® re iprokát: ν = T a fázissebesség c = λν (2.20) ∆φt = ω∆t. (2.22) A fázis megváltozásának helyfügg® része pedig a

hullámszámmal fejezhet® ki: alakban is írható. ∆φr = k∆r. Példa (2.23) E kett® összege adja a teljes fázist, további rés- Határozzuk meg a középhullámú Kossuth adó hullámhosszát, ha tudjuk, hogy a frekven- iája 540 kHz, és a rádióhullámnak, mint elektromágneses hullámnak a leveg®ben való ter8 m jedési sebessége fénysebesség: c = 3 · 10 . s Ekkor egyszer¶ számolás után nyerjük: λ = zletekért lásd az apróbet¶s részt! Tegyük fel, hogy a közeg egy pontját (O pont, legyen ez az x = 0 pont) harmonikusan gerjesztjük, azaz mozgásának egyenlete: Ψ = A sin(ωt). Az itt keltett zavar adott ha tudjuk hogy hullámhossza 700 nm. Mivel Mivel aminek frekven iája kb. 660 Hz, határozzuk meg a me hanikai hullám gitárhúrban való terjedési sebességét. Mint az egyszer¶en kiszá- c = λν = 1, 2 m · 660 Hz = 792 m s x c id®pillanat-    x Ψ(x, t) = A sin ω t − c (2.24) ω = 2π T és c = O ponté ′

λ T , bevezetve a k = 2π λ hullámszá- mot, az alábbi egydimenziós hullámegyenlet et kapjuk: Ψ(x, t) = A sin (ωt − kx) Végezetül egy gitárhúron kialakuló hullámmintázat hullámhossza legyen 1,2 m. Ha ′ tudjuk, hogy ez a húr g hangon szólal meg, x pont ennyivel t−t =t− ugyanaz lesz, mint az ban, tehát Határozzuk meg a piros fény frekven iáját, a fény  leveg®ben  fénysebességgel terjed, a 14 frekven ia ν = 4, 28 10 Hz, azaz 428 THz. x c id® alatt jut el, azaz az x távolságra t′ = kés®bb kezdi meg rezgését. Így ennek rezgésállapota t-ben m. molható id®t®l rezgéseknél leírtakhoz: pedig e kett® hányadosa. 555, 5 megváltozásának függ® része tehát  hasonlóan a harmonikus (2.25) A hullám fázis ának a szinuszfüggvény argumentumának értékét nevezzük. 2.22 Hullámok interferen ia Ha terjed® hullámok találkoznak, azok köl sönhatásba lépnek egymással. Általánosan: interferen iának

nevezzük azt a jelenségkört, A hullám fázisa az egyensúlyi helyzett®l vett ami akkor jön létre, ha terjed® hullámok a tér eltérésének mértéke, megmutatja, hogy a sz- egy pontjában találkoznak. inuszfüggvény periódusán belül hol járunk. A lámok és nem nagyon nagy rezgési amplitúdók dení ió hasonló a fázis harmonikus rezgés- esetén nél adott dení iójához, azzal a különbséggel, hogy míg ott a fázis sak az id®t®l függött (ωt), addig egy transzverzális hullám kitérése  vagy az ered® hullám az egyes hullámoknak megfelel® rezgések (kitérések, s¶r¶södések) egyszer¶ összeadásával adódik, ez a egy longitudinális hullám s¶r¶södése-ritkulása szuperpozí ió elve.  mind a helynek, mind az id®nek függvénye, így Periódikus hul- A hullám, mint térben terjed® zavar ter- a hullám fázisa mind a helyt®l, mind az id®t®l függ. A fázis id®t®l való függését a körfrekvenia határozza meg,

míg a helyt®l való függés jedésének általános elve a HuygensFresnelelv. Ez kimondja, hogy a hullámfront (az a hely, ameddig a hullám eljutott) minden egyes pontja elemi gömbhullámok kiindulópontjának tekinthet®. A következ® id®pillanatbeli 2.2 25 HULLÁMTAN hullámfrontot ezen kis elemi gömbhullámok összege (szuperpozí iója) adja meg. A HuygensFresnel-elv m¶ködésének bemutatására vizsgáljuk meg a hullámok elhajlásának (dirak iójának) egy egyszer¶ esetét, lásd 2.7 ábra Essen síkhullám 6 egy hullámhosszá- val összemérhet® résre. A síkhullám terjedése során a hullámfrontból kiinduló elemi gömbhullámok síkhullámmá szuperponálódnak. Ha a hullám eléri a rést, az a széleknél megakadályozza a hullám áthaladását, tehát a rés pereme közelében nem lesz olyan párja az elemi gömbhullámoknak, amellyel azok síkhullámmá szuperponálódnak, így a rés szélénél gömb(kör)hullámok indulnak ki

létrehozva a jellegzetes elhajlási képet. A rés belsejében minden elemi hullámnak van szomszédja, így továbbra is síkhullámként terjed. ség természetesen A jelen- sak akkora résen gyelhet® meg, melynek szélessége összemérhet® a hullámhosszal. Nagyobb rés mellett a széleektusok hatása elhanyagolható, a hullám továbbra is síkhullámként terjed 2.8 ábra Síkhullám elemi gömbhullámai újra síkhullámmá szuperponálódnak Példa Tapasztalhatjuk-e fény illetve hanghullámok elhajlását egy ajtónyíláson? Mivel a fény- hullámok hullámhossza a 100 nm-es mérettartományba esik, így ebbe a mérettartományba es® réseken tud elhajlást produkálni. Mivel az ajtó szélessége a méter nagyságrendjébe esik, így ekkora nyíláson a fény egyenes vonalú terjedését tapasztaljuk, amint azt a félfa falra vetett árnyékán is látszik. etében más a helyzet. A hang es- A hallható hangok frekven iáinak nagyságrendje 100-10000

Hz. Mivel a hangsebesség leveg®ben kb. m , s 330 így a hanghullámok hullámhossza a méter entiméter tartományba esik (az igen mély hangoké méteres, timéteres). Ezek a nagyon magasaké en- alapján  ellentétben a fénnyel  a mély hangok produkálnak elhajlást egy ajtónyíláson. Részben ennek köszönhetjük, hogy ha nyitva van egy ajtó, és attól távol állunk, a szobában beszélget®ket halljuk ugyan (hanghullám elhajlása és visszaver®dése), de nem látjuk (a fényhullám az ajtónyíláson nem produkál elhajlást). Ha- sonló okok miatt halljuk egy mellékut ába beforduló fúvószenekar mélyhangú hangszereit tovább, 2.7 ábra vonalban Széles rés után a hullám egyenes halad, keskeny  hullámhosszal összemérhet®  résen létrejön az elhajlás mint a magasakat. az egész országot lefedni, míg URH adókból sokkal több kell. A mobiltelefónia fejl®désével a használt frekven iák egy magasabbak  a hullámhosszak 6

Olyan hullám, melynek hullámforntja egyenes. Hasonló okok miatt lehet kevés középhullámú rádióadóval sökkennek , romlik az elha- jlóképesség, így egyre több bázisállomás szükséges. 26 2. FEJEZET A továbbiakban sak azonos körfrekven- REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK hullámvölggyel találkozik. Ha az egyik hul- r1 -gyel, a másikét r2 -vel iájú és hullámhosszú hullámok interferen- lám által megtett utat iájának egyszer¶ eseteit vizsgáljuk! jelöljük, akkor mindez képletben: Vegyük észre, hogy egy adott helyen, két hullám találkozásakor akkor van (maximális) er®sítés, ha az adott helyen mindkét hul- lámnak ugyanakkor van hullámhegye és hullámvölgye. A (maximális) gyengítés feltétele, ∆r = r1 − r2 = l · λ   1 ∆r = r1 − r2 = l + ·λ 2 max. er®sítés max. gyengítés (2.26) hogy az adott helyen az egyik hullám hullámh- Köztes esetekkel  ahol az útkülönbség nem egye mindig a másik

hullámvölgyével és hul- egész- és félegész számú többszöröse a hul- lámvölgye a másik hullámhegyével találkozzék. lámhossznak  nem foglalkozunk. Az interferen ia megközelítése fáziskülönbségekkel az Összefoglalva, hullámok találkozásukkor alábbiak szerint lehetséges. Figyeljük meg, ha két azonos frekven iájú hullám azonos fázisban: fáziskülönbségük: 0, ±2π, ±4π, . l · 2π, (l ∈ Z) er®sítik egymást, ha az azonos fázisban vannak, azaz hullámhegy hullámheggyel és 1 etén kioltás következik be. Hasonlóan, találkozáskor vannak, azaz hullámhegy hullámvölggyel A továbbiakban a hullámok interferen iájának leírásához két megközelítést alkalmazunk Vizsgáljuk a találkozó hul- alapján, hogy a hogy találkozásukkor milyen a fázisok különb- sége. Mint kiviláglik a két megközelítés ekvivalens, hol az egyik, hol a másik alkalmazása A továbbiakban a fáziskülönb- séggel dolgozó

módszert apróbet¶vel szedjük. Az útkülönbségekkel szerint általánosan A következ®kben néhány egyszer¶, de a gyakorlatban is el®forduló elrendezésben vizsgáljuk a fényhullámok interferen iáját. találkozásig mekkora a megtett utak különbsége, valamint, élszer¶bb. foglalkozunk. 2.23 Interferen ia résen, rá son találkozik és fordítva. az 8 Az interferen ia bonyolultabb eseteivel nem gyengítés lép fel, ha a hullámok ellenfázisban lámokat az összetev®k amplitúdóinak
összege. Ha ellenáfázisban, azaz ±π, ±3π, . l + 2 π, (l ∈ Z) fáziskülönbséggel találkoznak, maximális gyengítés, azonos amplitúdók es- hullámvölgy hullámvölggyel találkozik. párhuzamosan. találkozik, akkor max- imális er®sítést tapasztalunk, az ered® hullám amplitúdója dolgozó megközelítés elmondható: ha két hullámforrás azonos frekven iájú és azonos Interferen ia két résen Az interferen ia jelenségének

egyik legegyszer¶bb példája a két résen való interferen ia, vagy Young-féle interferen ia. Tegyük fel, hogy az ábrának megfelel®en két keskeny rés helyezkedik el egymástól pedig D távolságra (D a, egy felfogóerny®t®l ≫ a). A két lyuk- ból induló fény legyen koherens, azaz körfrekfen iájuk és fázisuk egyezzen meg. Ez hullámot bo sát ki, azokon a helyeken például úgy garantálható, hogy a rések síkjával lesznek interferen ia-maximumok (maximális párhuzamosan bees® síkhullámot használunk. 7 fázisú hul- Vizsgáljuk meg, hogy a két hullám interfer- lám forrástól számított útkülönbsége a hul- en iájának következtében az erny®n milyen lámhossz interferen ia-mintázat keletkezik! er®sítés) nulla), hullám amely helyekre egész hiszen számú ezeken a hullámhegye a lámhegyével találkozik. nézve a két többszöröse (vagy helyeken egyik A fentiek alapján, ott lesz az erny®n

er®sítés, hul- ahol a két résb®l induló hullám útkülönb- Hasonlóan, azokon sége a hullámhossz egész számú többszöröse: másik az hullám a helyeken lesz interferen ia-minimum (maximális gyengítés), ahol a két hullám útkülönbsége a hullámhossz fél egész számú több- szöröse, hiszen ezeken a helyeken hullámhegy 7 Azaz a két hullámforrásnál ugyanakkor van például maximumuk, a források szinkronban dolgoznak! ∆r = l · λ, (l ∈ Z). Hasonlóan ott lesz gyengítés (egyenl® er®sség¶ források esetén kioltás, sötét), ahol az útkülönbség a hul- lámhossz félegészszámú többszöröse: (l + 21 ) · λ, (l ∈ Z), lásd 2.9 ábra ∆r = 8 Vesd össze a harmonikus rezgések összeadására bevezetett forgóvektoros képpel, 2.12 fejezet! 2.2 27 HULLÁMTAN adott pontban a fáziskülönbségük sak az útkülönbségt®l függ, tehát ott lesz maximális er®sítés, ahol az útkülönb- 2π egész

számú többk∆r = l · 2π . Hasonlóan, ott lesz maximális gyengítés, ahol fáziskülönbség
az útkülönbségb®l származó
1 éppen l + 2 π , azaz: k∆r = l + 21 π. Mivel k = 2π λ , séghez tartozó fáziskülönbség éppen szöröse: a kapott eredmény megegyezik az útkülönbségekkel nyert eredménnyel! 2.9 ábra Az interferen ia magyarázatához 1 Amint az a 2.10 belátható 9 ábra alapján egyszer¶en az útkülönbség ∆r ≈ a sin θ. Ezt a θ esetén, 2.11 ábra Fényelhajlás két résen fenti feltételekbe helyettesítve, adott ha Példa λ sin θ = l a sin θ = l+ maximális er®sítés 1 2  mm. λ a maximális gyengítés (2.27) tapasztalható. Mint látható az erny®n váltakozva sötét és világos jelennek meg. Er®sítés azoknál a θ ejtek. Mekkora szögeknél tapasztalom a nulladrend¶ és az els®rend¶ (l = D = 1, 5 m távolságban el- helyezett felfogóerny®n? nulladrend¶ er®sítés feltétele

(2.27) alapján: sin θ0 = 0 lásd 2.11 ábra = 0), er®sítés között az fenti er®sítési, gyengítés-kioltás pedig azoknál, melyekre a gyengítési feltétel teljesül, (l er®sítést, és mekkora távolság lesz e két A szögeknél, melyekre a Erre párhuzamos, lámhosszúságú monokromatikus fénynyalábot 1) síkok a = 0, 1 λ = 0, 436 nm hul- Két rés egymástól való távolsága ⇒ θ0 = 0, míg az els®rendé: sin θ1 = 1 436 · 10−9 m 10−4 m ⇒ θ1 = 0, 25o Ezek alapján, mint az egyszer¶ geometriai számítással adódik a nulladrend és az els®rend s távolsága az erny®n: tan θ1 = s 1, 5 ⇒ s=6 mm 2.10 ábra Az interferen ia magyarázatához 2 Interferen ia rá son A fenti eredmény megkapható a fáziskülönbségek módszerével is! Ehhez meg kell határozni, hogy az erny® Tekintsük mely pontjaiba érkezik a két fénysugár azonos fázissal (maximális er®sítés), és melyekbe ellenfázissal (maximális

talánosítását! gyengítés  kioltás). Mivel a források koherensek, így egy 9 Levezetésünk feltételezi, hogy az erny® távolsága sokkal nagyobb, mint a két rés távolsága, azaz a. D ≫ Ekkor ugyanis a két sugár közel párhuzamos, így útkülönbségük a bemutatott módon jól be sülhet®. a fenti kétréses kísérlet ál- Ne két résen, hanem keskeny rések szabályos sorozatán, rá son kialakuló interferen iát vizsgáljunk! rés távolsága legyen landó. a, Két szomszédos ez az érték a rá sál- Ha erre a rá sra síkhullámot ejtünk, akkor a réseken átjutó igen sok és keskeny 28 2. FEJEZET REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK sugárnyaláb interferál egymással, ezeket kell vizsgálni. Mivel a rá sra es® síkhullám a rá s síkjával párhuzamos, így a rá snyílások minden pontjában a fázis azonos. Vizsgáljuk azokat a nyalábokat, melyek nek el. θ szöggel térül- A szomszédos rá snyílásból kiinduló sugarak

akkor er®sítik egymást, ha köztük az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse. résre Ha ez a feltétel két szomszédos teljesül, minden akkor résre teljesül hiszen a rá s állandó periódussal tartalmazza a réseket, lásd 2.12 ábra. Tehát ebben az esetben bármely két sugár útkülönbsége λ egész számú többszöröse, így er®sítik egymást. A sugarak tehát olyan θ irányokba er®sítik 2.13 ábra Sok különböz® fázis összege nulla szöggel téríti el. Így monokromatikus ( sak egy hullámhosszt tartalmazó, egyszín¶) fényt a rá s a (2.28) kifejezéssel adott szöggel térít el, éles spektrumvonalat kapunk. Tehát adott rá sállandójú rá s adott hullámhosszúságú fényt adott szöggel térít el, így alkalmas hullámhossz meghatározásra. Fehér (minden színösszetev®t, minden látható hullámhosszt tartalmazó) 2.12 ábra Interferen ia rá son den egymást, melyekre: felbontja (l ∈ Z),

λ sin θ = l , a (l ∈ Z), olyan irányban, (2.28) mely nem réseken átjutó hullámok tapasztalunk intenzitást. Ennek oka abban keresend®, hogy a különböz® réseken átjutó hullámok útkülönbsége ekkor nem fáziskülönbsége tehát nem k · 2π . k · λ, Így a külön- böz® réseken átjutott hullámok fázisa is különböz®, (de nem állandó k2π fáziskülönbség¶). Sok-sok különböz® fázis  v.ö fényt, és jól 2.12 ismert min- képletnek azaz spektru- Így lehetséges rá sokat használni színképelemzésben. Rá sok segítségével történnek a legpontosabb hullámhosszmérések is. Példa útkülönbsége nem a hullámhossz egész számú többszöröse, nem esetén felel meg (2.28)-nak, azaz melyeknél a szomszédos a mot adja. a Minden fény (hullámhosszt) a fenti megfelel®en más-más szöggel térít el, a sin θ = lλ, azaz színt fejezet 24 µm. Egy rá s rá sállandója Erre vörös és

ibolya szín¶ fény keverékét ejtjük (λvörös 560 λibolya nm, = összetev®ire bontsuk. 396 nm), hogy = azt Mekkora távolság lesz a vörös és az ibolya sugár els®rend¶ maximumai között a 0, 5 m távolságban elhelyezett felfogóerny®n? A (2.28) kifejezés felhasználásával, θ1v -vel  összege pedig nullát eredményez, lásd 2.13 jelölve a vörös fény els®rend® elhajlásának ábra. szögét, és Mivel az er®sítési tartozó szöget megadó kifejezés tartalmazza a fény hullámhosszát, az ibolyáét: 560 · 10−9 m 24 · 10−6 m 396 · 10−9 m = 24 · 10−6 m sin θ1v = ⇒ θ1v = 1, 33o sin θ1i ⇒ θ1i = 0, 94o ebb®l következ®en adott rá s esetén a különböz® hullámhosszúságú (szín¶) fényt más-más θ1i -vel 2.2 29 HULLÁMTAN A szögekb®l kiszámolható a két  a rá s által felbontott  els®rend¶ maximum középvonaltól való távolsága: tan θ1v tan θ1i s1v = 0, 5 m s1i = 0, 5 m ⇒

s1v = 0, 012 m ⇒ s1i = 0, 008 m melyek a résnek az A és H pontjai közötti szakaszából indulnak ki. Látható, hogy a θ szög kisebbítésével H minél A-hoz, míg végül azzal összeesik, így a megmaradó sugárnyaláb mind keskenyebbé válik, majd elfogy. közelebb jut Ez akkor következik be, mikor az A-ból és B -b®l kiinduló sugarak közötti útkülönbség éppen λ, vagy annak egész számú többszöröse. Ebb®l a szétválasztott sugarak távolsága: ∆s = 0, 004 m =4 tehát mm Ez Interferen ia széles résen A fentiek ismeretében nem lesz nehéz meghatározni, hogy mi történik akkor, ha hullámhosszú síkhullám egy esik,  a rés a HuygensFresnel-elv minden egyes kiindulópontjának Ekkor értelmében pontját λ szélesség¶ résre a rés síkjával párhuzamosan. elemi  a hullámok tekinthetjük. Ezek a hullámok (mivel a bees® hullám síkhullám) azonos fázisban vannak, és egymással való interferen

iájuk adja meg az ered® intenzitást. Vizsgáljuk ismét azt a sugárnyalábot, mely θ AB -t Ha a rés szélességét, röviden a-val jelöljük, akkor az alábbi eredményre jutunk: az a sin θ = lλ, (l ∈ Z), λ sin θ = l , a (l ∈ Z), összefüggés (2.29) megadja irányokat, melyekben a egymással párhuzamos azokat az résb®l kiinduló sugarak kioltják egymást, ezekben a szögekben nem tapasztalunk intenzitást. (Figyelem! A kapott kifejezést ne keverjük össze, a vele alakilag megegyez® esetében a (2.28) kifejezéssel, maximális adja meg, és amelyben amely intenzitású a rá s helyeket nem a rés szélessége, hanem a rá sállandó!) Amint kimutatható az intenzitáseloszlás a szög- (pontosabban a szög szinuszának-) függvényében a 2.15 ábrának megfelel®. Látható, hogy a (2.29) kifejezésnek eleget tev® szöggel térült el az eredeti iránytól. A θ szög alatt elhajló nyalábban azonban a

nyalábra mer®leges AC síkban a fázis nem ugyanaz, mert az egyes sugarak között útkülönbség van, ami (2.23) szerint fáziskülönbségre vezet Tegyük fel, hogy a BD H -ból szakasz hossza éppen a fény hullámhossza, ekkor a és B -b®l jöv® sugarak útkülönbsége éppen λ, lásd 2.14 ábra Ha E a HB távolság felez®pontja, akkor az 2.15 ábra Intenzitáseloszlás résen történ® el- hajláskor irányokban nin s intenzitás, valamint a legnagyobb intenzitás a nulla fokhoz, tehát az 2.14 ábra A résen történ® interferen ia mag- yarázatához E -b®l és B -b®l résen a legnagyobb intenzitást az elhajlás jöv® sugarak közötti útkülönbség éppen BC és EG közötti λ 2 , így ezek tehát kioltják egymást. A sugarakhoz hasonlóan a BC és EG közötti nyaláb minden sugarához találunk az EG és HJ nyalábban egy megfelel® sugarat, mellyel az illet® sugár kioltja egymást (útkülönbλ eltérülés nélküli irányhoz tartozik.

Tehát ségük 2 ). A BC és HJ közötti sugárnyaláb sugarai tehát kioltják egymást! Így sak azok a sugarak maradnak meg, nélkül áthaladó sugár adja, és a szög növelésével periódikusan gyelhet®k meg nulla intenzitású (sötét) sávok. Megemlítjük, hogyha a rés szélessége lényegesen nagyobb, mint a fény hullámhossza, 30 2. FEJEZET REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK akkor az intenzitásgörbe le sengése nagyon gy- pupilla) elhajlik a fény, ezért egy pont képe ors, így megsz¶nnek az elhajlásjelenségek, a nem fény egyenes vonalban halad. Ez a geometriai lesz. optikai határeset. pont, hanem ún. elhajlási korong Ez nyilván korlátot jelent a rendszer feloldóképességére. A hatás sökkentése lehet- séges a len se méretének növelésével illetve a 2.24 A mikroszkóp tóképessége Próbáljuk meghatározni ményeinkkel az felbon- sökkentésével. Ha ezek tok képei nehezen vagy egyáltalán nem külön- eddigi

optikai fény hullámhosszának az elhajlási korongok fedik egymást, a pon- ered- mikroszkóp böztethet®k meg, lásd 2.17 ábra fel- bontóképességét, mi az a minimális távolság, amilyen távolságban elkülöníthetünk, A mikroszkóp lév® két szakszóval: pontot még felbonthatunk. képalkotása a 2.16 ábrán követhet®, ahol a szemlen se (okulárlen se) és T a nagyítandó K1 = T2 , amely egyben a tárgylen se gy¶jt®len sék. tárgy, ennek képe a az okulárlen se számára a tárgy, ennek képe pedig a (virtuális) nagyított, fordított állású K2  Geometriai kép. melyek a geometriai optikai optika számítások törvényeivel (lásd alább) számítják ki a nagyítást  arra vezetnek, hogy a mikroszkóp nagyítása akár 2.17 ábra Ha a pontok túl közel vannak, az el- 2500-szorosig növelhet®, azonban a tapaszta- hajlási korongok átlapolnak, így a pontok nem latok azt mutatják, hogy kb. különböztethet®k meg

1500-szorosnál nagyobb nagyítású mikroszkópot nem lehet A továbbiakban is készíteni. sak két pont leképzését vizsgáljuk, és gyelembe vesszük azt is, hogy képalkotás sak akkor lehetséges, ha a pon- tokon elhajló sugárnyalábnak nem ladrend¶ (a sak a nul- ábrán (0 )-val 2.18 jelölve), hanem az els®rend¶ nyalábja (az ábrán (1 )gyel jelölt) is bejut a len sébe. Az interfer- en iás er®sítés feltétele, az, hogy két, d távol- ságban lév® pontból induló hullámok er®sítsék egymást. 2.16 Az ábra. optikai mikroszkóp sug- ármenetei Ennek oka a hullámoptikában A geometriai optika azt gyelembe, ugyanis fénynyaláb elhajlik. nem veszi Emlékezzünk vissza a HuygensFresnel-elvre, amely kimondta, hogy a hullámfront minden egyes gömbhullámok kiindulópontja. pontja elemi A sugárban ezen elemi hullámok mindegyikének van szomszédja, nak a míg nin s. a len sék Amint legtökéletesebb peremér®l

ebb®l optikai feren ia két résen indulók- belátható, len sék még esetén . fejezet, (210) képletét: d sin φ = lλ keresend®. hogy a len sék peremén a A két megvilágított tárgypont úgy viselkedik, mint két fényforrás, lásd az Inter- Az els® rend objektívbe jutásának feltétele, hogy az objektív nyílásszöge (a 2.18 ábrán val jelölve) nagyobb legyen, mint φ. u- Mivel a szinuszfüggvény ezen a tartományon mono- u > φ feltételb®l következik, hogy sin u > sin φ. A (230) kifejezés els®rendre λ (l = 1) vonatkozó alakjából pedig sinφ = d. ton, így E kett® összevetéséb®l nyerjük: is a nyalábot határoló foglalatokon (apertúra, (2.30) d> λ sin u (2.31) 2.2 31 HULLÁMTAN Ebben az esetben ugyanis feltehet® a fény egyenes vonalú terjedése, v.ö a résen való elhajlásról írtakkal, ahol nagy a hullámhossznál sokkal nagyobb rés esetén kapott eredmény szerint a fénysugár nem szenved

elhajlást, hanem egyenes vonalban halad. Az alaptörvények kimondásához el®ször be kell vezetni a törésmutató fogalmát. Egy anyag törésmutatója a vákuumbeli fény8 m sebesség (c = 3 · 10 ) és az adott anyagbeli s 2.18 ábra A tárgylemezen (T ) lév® két pon- fénysebesség (v ) hányadosa: ton létrejöv® elhajlás nulladrend¶, els®rend¶ és n= másodrend¶ nyalábja c v A gázok törésmutatója Így a d felbontási határ  azaz amilyen távol- ságú pontok még elkülöníthet®k  a nyílásszög (2.33) n > 1, n ≈ 1, míg a n ≈ 1, 2−1, 6. legtöbb szilárd testé és folyadéké A geometriai optika három alaptörvénye: numerikus apertúrával ) szinuszával (az ún. növekszik, tehát nagyobb nyílásszög¶ objektív jobb felbontást ad. Hasonlóan látható, hogy növekv® hullámhosszal a felbontási határ 1. A fény egyenes vonalban terjed 2. Különböz® optikai közegek határán (n1 n2 ) n®, tehát nagyobb

hullámhosszt használva a másik része behatol az új közegbe mikroszkóp felbontása romlik. Ezért használnak néha a láthatónál kisebb hullámhosszú 6= a fénysugár egyik része visszaver®dik, 3. A fénysugármenetek megfordíthatók (ultraibolya) fényt a mikroszkópiában. Az n törésmutatójú közegben a fény hullámhossza sökken (lásd: A geometriai optika alapjai így ekkor a felbontási határ: d> λ n -re . fejezetet), mellékfeltételek mellett (közegek, visszaver®dések)  eljut, minimális (pontosabban: széls® érték, és általában mini- λ n sin u mum. A gyakorlatban ezt úgy valósítják meg, hogy a tárgylemezre átlátszó, nagy törésmutatójú folyadékot, úgynevezett immerziós olajat (víz, édrus-olaj) söppentenek, és ebbe kerül a tárgy és az objektívlen se felülete is. Így a felbontási képesség n-szeresére növelhet® A te hnikai lehet®ségeket gyelembe véve az Azokban az esetekben, mikor a fénysugár

egy adott felületr®l visszaver®dik a beesési 10 szög és a visszaver®dési szög megegyezik: α = α′ . Ha a fénysugár behatol egy más törésmutatójú közegbe, akkor a beesési és a törési elérhet® felbontási határ: λ d≈ , 1, 35 A fenti három törvény a Fermat-elvb®l levezethet®, tehát tulajdonképpen az tekinthet® a geometriai optika alapjának. A Fermat-elv kimondja, hogy az az id®, amely alatt a fény egy A pontból egy B pontba  megadott szög közötti összefüggés a SnelliusDes artes(2.32) törvény (törési törvény): sin α n2 v1 = = sin β n1 v2 tehát mindig (2.34) sak az alkalmazott fény hullámhosszánál kisebb pontosságot tudunk elérni! Amint látható, ha a fény nagyobb törésmutatójú (optikailag s¶r¶bb) közegbe lép, a beesési mer®legeshez törik, ellenkez® esetben 2.25 A geometriai optika alapjai A geometriai optika a fény terjedésével, és attól elfelé. akkor Ha a törésmutató nem változik,

α = β, tehát a fény homogén közegben egyenes vonalban terjed. 10 A hullám terjedésének iránya és a felületre a beesés annak a hullámhosszánál jóval nagyobb op- pontjában állított mer®leges  beesési mer®leges  tikai elemeken való viselkedésével foglalkozik. szöge. 32 2. FEJEZET REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK 2.19 ábra A Snellius-Des artes törvény A törvény egyszer¶ igazolása az alábbiak szerint lehetséges, lásd 2.20 ábra Essen síkhullám (olyan hullám, melyben az azonos fázisú pontok síkot alkotnak) felülethatárra. Az AB α szögben a ′ fázisfelület az AB 2.20 ábra A Snellius-Des artes törvény iga- zolásához határfelületen való továbbhaladásakor elemi hullámokat kelt (lásd HuygensFrensnel-elv) nevezzük. Természetesen az 1 és a 2 közegben egyaránt. Az 1 közegben ′ ′ az új A B sík fázisfelületté, míg a 2 közegben ′′ ′ az A B sík fázisfelületté szuperponálódnak. sin αh =

Ezek különböz® hajlása a közegekben különböz® v1 és v2 fénysebességekb®l adódik, ugya′ ′ nis a fázisfelületek megfelel® A és A , B és B , ′′ valamint A és A pontjai között eltelt τ futási id®k azonosak. = n2 n1 . Ebb®l n2 n1 (2.36) Fontos még megjegyeznünk, hogy különböz® törésmutatójú közegekben a fény hullámhossza más és más. Amint az ábrából geometriAmint ailag adódik: sin αh sin900 a (2.20) és 2.33 egyenletek összevetéséb®l látható  vegyük gyelembe, hogy BB ′ = v1 τ = AB ′ sin α most a AA′ = v1 τ = AB ′ sin α′ (2.35) els® két visszaver®dési-, egyenlet λ= míg az elosztásából els® és a harmadik elosztásából a törési törvényt nyerjük. akkor az n törésmutatójú (n2 ) közegbe lép, akkor a törési szög nagyobb, mint a beesési. A beesési szöget növelve, elérhetjük azt a helyzetet, mikor a 0 törési szög 90 lesz  ekkor a beesési szög

még 0 kisebb, mint 90 . Tovább növelve a beesési szöget az eddig megtört sugár már nem lép ki v c = ν nν λ0 -lal jelöljük, λ törésmutatójú közegben a fény hullámhossza: λ= értékre terjedési míg az közegbelit Ha a vákuumbeli hullámhosszat Mint a törési törvényb®l látható, ha a fény nagyobból törésmutatójú (n1 ) közegb®l kisebb vákuumbeli c-vel, v -vel AA′′ = v2 τ = AB ′ sin β Az fény sebességét jelöljük λ0 n (2.37) sökken le. A fáziskontraszt-mikroszkópia elve Az optikai mikroszkóp tárgyalásakor olyan tárgyakról történ® képalkotást vizsgáltunk, mely tárgyak különböz® részei más-más mó- az új, kisebb törésmutatójú közegbe, hanem don a tükörtörvénynek megfelel®en visszaver®sik, mértékben engedik át a fényt, azaz más-más tehát visszaver®désének szöge megegyezik a lám amplitúdóját. beesési szöggel. Azt a szöget, amelynél ez leg-

plitúdótárgy aknak nevezzük. el®ször bekövtkezik totálreexiós határszög nek ban olyan tárgyak is  és ezek a biológiában sökkentik az áteresztett fényhulEzeket a tárgyakat amVannak azon- 2.2 33 HULLÁMTAN gyakoriak , amelyek fényelnyel® képessége mindenütt körülbelül azonos, így az áthaladó fény intenzitásában nem okoz észrevehet® változást, azonban törésmutatójuk helyr®l-helyre változik. Ennek neve fázistárgy Ha ugyanis a fénysugár a minta bizonyos részein más törésmutatójú anyagban halad, úgy a hullámhossza (2.37) szerint megváltozik Emiatt fázisa a (2.23) kifejezés szerint eltolódik , így interferen iára lesz képes egy ismert fázisú referen iasugárral (valamint a tárgy más törésmu- tatójú területér®l más fázistolással érkez® sugarakkal). Így a fázisban bekövetkez® változásokat (amelyeket közvetlenül nem érzékelünk) sikerült átalakítani intenzitásváltozásokká. Ez

lehet®vé teszi a fény intenzitásában változást nem okozó (fázis)tárgyak vizsgálatát. (A képalkotás gyakorlati részének, és az elmélet részleteinek bemutatása meghaladná e jegyzet bonyolultságát.) 3. fejezet Kvantumme hanika 3.1 Klasszikus módon nem magyarázható jelen- ségek 3.11 A fény hullámtermészete, a klasszikus kép Hétköznapi fényt tapasztalatainkból hullámnak tekintjük. fakadóan A fény a ter- jedése sikeresen leírható a Huygens-Fresnelelvvel, amely a hullámterjedés általános elveként kimondja, hogy a hullámfelület minden egyes pontja elemi gömbhullámok kiindulópontja, és ezen terferen iája adja kis meg 3.1 ábra Foto ella gömbhullámok ina lanatbeli hullámfrontot. következ® id®pilMivel a Huygens- a fotoeektus a fény hullámtermészetével nem magyarázható! Fresnel elvvel pontosan számot tudunk adni a fény törésér®l, visszaver®désér®l és elhaA jlásáról, joggal

feltételezhetjük, hogy a fény megoldás A. 1 f¶z®dik , hullám, lásd el®z® fejezet. Einstein (1905) nevéhez aki forradalmi újításként feltette, hogy 3.12 A fényelektromos jelenség és a fotonhipotézis a fény fényrésze skékb®l, fotonokból áll! Ez egy kit¶n® ötlet, mert így nyilvánvalóan A klasszikus kísérletek tanulsága szerint a fény hullám. A fényelektromos jelenség, más néven megoldódik fotoeektus azonban ennek ellentmondani lát- fakadó probléma, de magyarázatot nyer a kis szik. intenzitások melletti elektronkilépés jelensége Ugyanis, ha fémlemezre látható fény, a hullám lokalizálatlanságából A kis intenzitású (fény)hullám kevés en- ultraibolya- vagy röntgensugárzás esik, a fém- is. b®l elektronok lök®dnek ki. ergiát szállít, egyenletesen. Ha viszont a fény Ez nem magyarázható a fény hullámter- része skékb®l áll, a kis intenzitás pusztán azt mészetével, ugyanis a mérések

azt mutatják, jelenti, hogy ritkán érkezik foton, ám az bírhat hogy nagyon kis fényintenzitások mellett is akkora energiával, ami már elegend® ahhoz, van elektronkilépés. A hullámképpel nehezen hogy kilökjön egy elektront. Tehát míg hullám magyarázható, hogy a térben kiterjedt (rosszul lokalizált) hullám hogyan képes esetén egyenletesen áramlik az energia, addig energiáját 1 Nem eléggé ismert tény, hogy Einstein ezért az átadni a pontszer¶nek tekintett (jól lokalizált) eredményéért  tehát nem a relativitáselméletért  elektronnak. Tehát kapta meg 1921-ben a Nobel-díjat. 35 36 3. FEJEZET a része ske-kép szerint az energia kis energia somagok (fotonok) formájában terjed. KVANTUMMECHANIKA Példa Számítsuk ki az ibolyaszín¶ fény (λ Einstein feltételezése szerint minden egyes = 400 nm) egy fotonjának energiáját, majd döntsük el, hogy ilyen szín¶ fénnyel való  tetsz®leges foton: intenzitású

 megvilágítás mellett létrejön-e • sak az adott anyagra jellemz® sebességgel (a közegbeli fénysebességgel) haladhat, elektronkilépés egy ezüstlemezb®l, melyre a A=4,05 kilépési munka: eV=0,648 aJ. Mi történik, ha ugyanezzel a fénnyel BaO lapot világítunk meg, melyre a kilépési munka • energiát szállít, amely energia • impulzusa van sak a fo- 0, 99 eV=0, 158 aJ? Az ibolyaszín¶ fény fotonjának frekven iája: ton frekven iájától függ, f= Az einsteini feltételezés szerint egy foton en- 3 · 108 ms c = = 7, 5 · 1014 Hz = 75 THz. λ 4 · 10−7 m Egy foton energiája tehát: ergiája : Ef oton = hν = ~ω (3.1) E = hf = 6, 62 · 10−34 = 5 · 10−19 és impulzusa : pf oton ahol ν Js Amint látható, hν = , c (3.2) fedezni az · 7, 5 · 1014 J = 0, 5 Hz aJ. = (3.4) ez az energia nem tudja elektron kilépéséhez szükséges munkát, tehát nem történik elektronkilépés  h, a Plan k-álh = 6,

626 · 10−34 Js, a foton frekven iája, landó, melynek értéke h 2 valamint ~ = 2π . Ezzel a fotoeektus már kvantitatíve is magyarázható! Egy fémbeli (delokalizált) elektront az atomtörzs vonzása a fémrá s környezetében tart. Ebb®l a vonzásból való kiszakításához függetlenül a megvilágító fény er®sségét®l. Ha már azonban BaO-ot bekövetkezik az világítunk elektronkilépés, meg, és a kiléptetett elektron mozgási energiáját illetve sebességét a (3.3) segítségével határozhatjuk meg. A Joule E mozg = hf −A = 0, 5 aJ−0, 158 aJ = 0, 342 aJ 3 munka szükséges, ez a kilépési munka , amelynek értéke természetesen anyagfügg®. a kiszakított elektron a fémet v Ha ve = sebességgel hagyja el, akkor a fotoeektust leíró egyenlet: A 1 hν = A + mv 2 . 2 Ezek szerint a fotoeektust kiváltó, (3.3) fémre érkez® foton energiája egyrészt fedezi a fémben kötött elektron kiszakításához szükséges

kilépési munkát (A), másrészt a maradék r kiléptetett 2E = 8, 4 · 105 me elektronok m s száma pedig arányos lesz a megvilágító fény intenzitásával. 3.13 A fény kett®s természete Láttuk, hogy bizonyos jelenségek sak a fény hullámtermészetének feltételezésével ma- energiája a kiléptetett elektron mozgási en
1 2 ergiájává alakul 2 mv . ségek kizárólag a része ske (korpuszkuláris) olyan távol tudjuk vinni az atomtörzst®l, hogy már hol része skehol hullám viselkedést nevez- ne hasson rá számottev® vonzer®. zük a fény kett®s természetének. 2 Ez az úgynevezett: há-vonás. 3 A kilépési munka akkora, amellyel az elektront gyarázhatók, ellentmondásra és része skeképet vezetnek, míg használva más jelen- elképzelés keretein belül értelmezhet®k. Ezt a 3.1 A fentiekben bemutattuk, hogy a klasszikusan 37 KLASSZIKUS MÓDON NEM MAGYARÁZHATÓ JELENSÉGEK hullámnak tekintett fény m2

= 1 állapotba kerül (3.2 ábrán vastagítva) bizonyos es- Miért fedezték fel az el®bbi átmenetet hama- etekben része skeként látszik viselkedni. A rabb (Balmer) és az utóbbit kés®bb (Lyman). következ® fejezetben a fentiek tükörképét mutatjuk be, azt, hogy klasszikusan része skének tekintett objektumok képesek hullámtulajdonságokat mutatni. 3.14 A vonalas színkép Az els® átmenet során kibo sátott energia:  1 1 − 2 = Enm1 = R m21 n   1 1 = 3, 29 · 1015 Hz − = 4, 57 · 1014 4 9  Ha hidrogéngázt gerjesztett állapotba hozunk  azaz energiát közlünk vele , az a gerjesztés megsz¶nte után fölös energiájától A mérések (Balmer, Rydberg és Ritz) azt mutatták, hogy a gerjesztett gáz sak alapállapotba való visszatérése közben bizonyos  a gázra jellemz®  frekven iájú fotonokat bo sát ki. Enm1 = 2, 92 · 1015 jesztett hidrogén által kibo sátott illetve elnyelt fény frekven iája νnm = R n és

(3.7) Látható, hogy az els® átmenet  pontosabban az m = 2-re sorozat érkez® átmenetek, a Balmer-  a látható tartományba esik, felfedezésük könnyebb volt, míg az így n = 1-re  mérések 1 1 − 2 m2 n és UV tartományba esnek, így felfedezésük váratott magára. sak az alábbi lehet:  , (3.5) R a Rydberg állandó, R = 3, 29 · 1015 m pedig pozitív egész számok. Kés®bbi Hz érkez® átmenetek  Lyman-sorozat  már az Balmer majd Rydberg mérései szerint a ger- ahol (3.6) míg a második esetben: fotonok (látható- vagy UV-fény) kibo sátásával szabadul meg. Hz megfontolások Hz, arra vezettek, hogy nem sak a hidrogén, hanem sok más (gerjesztett) anyag is sak bizonyos,  az adott anyagra jellemz®  frekven iákon képes fotont kibo sátani (emittálni). További vizsgálatok pedig azt is megmutatták, hogy a hidrogén (valamint sok egyéb anyag) sak bi- zonyos frekven iájú fényt képes elnyelni (abszorbeálni).

Ha a hullámhossz függvényében ábrá- zoljuk a kibo sátott energiát, az úgynevezett színképhez anyagok tanak ki, jutunk. Mivel a gerjesztett sak bizonyos frekven iákon bo sáilletve nyelnek el energiát, így 3.2 ábra A hidrogénatom emissziós sorozatai színképük (mind az emissziós, mind az abszorp iós) vonalakból áll, ez a vonalas színkép, lásd a 3.2 ábrát! A fenti tapasztalatokat merészen úgy általánosíthatjuk, hogy Példa bizonyos anyagok (pl. gázok) Megel®legezve, hogy m és n az úgynevezett sak meghatározott nagyságú energiát képesek f®kvantumszám, számítsuk ki, hogy mekkora felvenni illetve leadni. Ezen energiák frekven iájú fotont bo sát ki a H-atom elek- törtrészei illetve nem egész többszörösei az tronja, miközben n = 3-ból m1 = 2 illetve adott anyag számára elérhetetlenek! 38 Ez 3. FEJEZET a hatás a hétköznapokban közvetlenül nem érzékelhet®, mivel ez az

energiaegység a makrovilág energiáihoz képest detektálhatatlanul ki si. KVANTUMMECHANIKA 3.15 A de-Broglie-féle hipotézis Louis de-Broglie gondolt el®ször arra, hogy ha a fény hullámtulajdonsága mellett része sketulajdonságot is mutat, akkor feltételezhet® az Hasonlatképpen egy könyvespol ot képzelhetünk el. Ennek egyre magasabb pol ain egyre nagyobb energiával bírnak az oda helyezett könyvek. Ebben az esetben könyvnek energia sak diszkrét módon adható át  illetve vehet® el , hiszen két pol közé nem tehetem azt. Az emissziónak megfelel® folyamat során a könyv néhány pol ot esik, a felszabaduló energiát pedig kisugározza. Az abszorp ió során a könyvnek átadott energia hatására az néhány pol al feljebb ugrik. Ha az energiaátadás legkisebb, tovább nem osztható egysége (az úgynevezett hatáskvantum ) makroszkopikus méret¶ lenne komoly gondban lennénk. is, hogy ennek analogonjára minden része - skéhez hullámot

lehet rendelni 4 . Egy hullá- mot  esetünkben  akkor tekintünk adottnak, ha tudjuk a hullámhosszát. A fotonhipotézis alapján a foton impulzusának és energiájának hν kap solata (3.2) szerint: p = c A klasszikus hullámtanból pedig tudjuk, hogy λν = c, így ezek kombiná iójából: Egy könyvet például sak akkor tehetnénk le az íróasztalunkra, ha annak magassága pontosan a könyvespol egy pol ának magasságában lenne, arról nem is beszélve, hogy egy hegyre kapaszkodó vasútnak is sak ott lehetne megállója, ahol éppen egy (vagy több, de egész) energiakvantummal magasabb energiájú állapotba kerül. Hogy két pol , illetve megálló között milyen állapotban vannak a testek, arról még nehezebb képet alkotni. Ha ezen való töprengésünk során egy kisma ska téved szobánkba, ebben a nagy hatáskvantumú világban még sak meg sem simogathatjuk, hiszen abból vagy nem érez semmit (nin s energiaátadás), vagy pedig az els®  irógatási

kvantumtól eltörik a nyaka. Gyengédebb simogatásra nin s módunk, hiszen az energiaegység (hatáskvantum) törtrészei nem λ= h h = . p mv (3.8) Ez a híres de-Broglie féle hullámhossz, a képlettel minden testhez (objektumhoz, része skéhez) hullámot rendelhetünk. A fenti lev- ezetés azonban nem bizonyítás, hiszen a fotonra adott impulzusképlet sem bizonyított, valamint nin s jogunk az eredményt fotonról bármely testre általánosítani. Az elmélet nem elérhet®k. Látszik, hogy a világ nomságát a hatáskvantum nagysága határozza meg segít elképzelni az anyaghullámot, és arra sem A mi Világegyetemünk nomabb világ, a minimális hatás a mikrozikai folyamatok energiaskálájába esik. Ez az oka annak, hogy egy könyvet bármilyen magasra és mikor  a fenti hullámhosszal deniált  hul- helyezhetünk, a megengedett energiaállapotok olyan közel vannak, hogy ad magyarázatot, hogy mikor kell része skének lámnak tekinteni egy

testet. Így de-Broglie ötlete sem egyéb mint munkahipotézis, amely merészen általánosít  és néhány esetben ered- a diszkrét energiaállapotok a makrovilágban összefolyni ményre vezet. látszanak. Példa Nézzünk meg két konkrét példán a de-Broglie hullámhossz értékeit. Egy 2, 5 tonnás autó de-Broglie hullámhossza, miközben 100 km -val h halad: λautó = 6, 626 · 10−34 Js = 9, 5 · 10−39 2, 5 · 103 kg · 28 ms m. (3.9) Egy felgyorsított elektron sebessége legyen v = 2 · 107 ms , tehát impulzusa p = 1, 71 · 10−23 kg ms . Ekkor de-Broglie hullámhossza: λelektron = 0, 36 · 10−10 3.3 ábra m = 0, 36 Å. (3.10) A vonalas színkép el®állítása és a hidrogén színképe 4 Ez azért gyelemreméltó eredmény de-Broglie-tól, mert a tárgyalt kísérletek jó részét nem ismerte. 3.2 3.16 A 39 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI A korresponden ia elv fenti példa alapján makroszkopikus látható, testhez A

bemutatott próbálkozások nem szakítanak hogy (autóhoz) egy rendelt de-Broglie hullámhosszérték érzékelhetetlenül (detektálhatatlanul) ki si. gunkban, impulzusok ahol az Makrovilá(a nagy tömegek miatt) több tíz nagyságrenddel esnek a Plan k-állandó értéke fölé, a testekhez rendelt hullámhosszak olyan ki sik, hogy a testeknél impulzusa kidolgozni. Ennek hullámképet, és tájékoztatnia kell arról, hogy melyiket mikor lehet használni. Ezen kívül meg kell ragadni azt a mélyebb közös for- mát, amelynek lehetséges megnyilvánulása a hullámfüggvény. viszont, a eszközrendszert egyszerre meg kell magyaráznia a része ske- és kalmas a következ® alfejezetben bevezetend® hullámként való viselkedését. Azoknál nem kielégít®, így szükséges egy teljesen új zikai része ske- és a hullámállapot is! Erre lesz al- nem érzékeljük a nagy tömeg¶ testek lyeknek eléggé a klasszikus alapokkal,

eredményük ame- Plan k-állandóval 5 3.21 A hullámfüggvény összemérhet® , már érdekes tulajdonságokat A része skék klasszikus leírásának alapja a mutathatnak  a de-Broglie elmélet szerint, tömegpont hiszen matematikai modell állhatja meg a helyét, a mikrorésze skékhez rendelt hul- 6 fogalma. Ez azonban sak mint lámhosszértékek már atomi nagyságrendekbe ugyanis esik (egy atom átmér®je kb. a valós világot leíró zika számára nehezen Ånsgströmnyi), így pont nem bír kiterjedéssel, így értelmezhet®. Próbáljuk az atomok világában a mikrorésze skék hullámtermészetének fontos szerepe lehet. Meggyelhet®, hogy a de-Broglie hipotézis a a mikrovilágban új azonban makroszinten klasszikus érvényben zikát. megköveteljük hiszen jelenségeket ír(hat) egy Ezt minden új a új elméleti le, hagyja a kés®bbiekben elképzelést®l konstruk ió is, nem kerülhet ellentmondásba a

makrovilágban jól m¶köd® klasszikus zikával  valamint mindennapos tapasztalatainkkal. Ezek alapján mikrovilágot méretekhez nagy hogy törvényeknek képest távolságok me hanika kimondhatjuk, leíró nagy esetén törvényeibe a atomi tömegek a és klasszikus kell átmenniük. Ez a korresponden ia-elv. megadni egy helyezked® tömegpont Klasszikusan ezt x-tengelyen (T ) el- helyzetét. úgy foghatjuk fel, koordinátarendszerünk x = xT pontjában hogy van a tömegpont, attól bármilyen kis távolságra már Ψ(x) egy nin s. Próbáljunk függvényt, helyzetét. Ezt mely úgy szeretnénk hogy ahol a része ske van, az értéke, mindenhol bevezetni jellemzi ott máshol a test deniálni, 1 legyen pedig nulla. Ekkor nyilvánvalóan a függvény elég fur sa, az x = xT pontban szakadásos lesz, ott egy értéket vesz fel, minden más pontban pedig nullát, lásd 3.4 ábra! A természet azonban szereti a

folytonosságot, így szinte kézenfekv® a  javítás módja. Csináljunk egy hegyes, de folytonos függvényt, írja le ez a része ske helyzetét. A tömegpont ezentúl már nem tömegpont, elt¶nt a kiterjedés nélküliség problémája, lásd a 3.5 ábrát! 3.2 A kvantumme hanika elemei tuk, hogy ahol nin s része ske ott nullát ve- Az el®z® fejezetekben láttuk, hogy egy adott zikai objektum (az autótól a fotonig) esetén része ske yaránt zika és hullámtulajdonságok fellép(het)nek, eszközeivel Vizsgáljuk meg, hogy mi volt a javítás ára. Mivel a helyet megadó függvényt úgy deniál- nem és ezt tudjuk 5 Ez a mikrorésze skék világa. a eg- gyen fel, ahol pedig van, ott nullától külön- 6A tömegpont bevezetését a természetesen élszer¶ség indokolja, idealizá ió, ugyanis a klasszikus klasszikus me hanikában egy kiterjedt testet a test magyarázni. súlypontjába helyezett, a test tömegével megegyez®

tömegponttal írhatunk le, amely atikailag már egyszer¶en kezelhet®. ezután matem- 40 3. FEJEZET KVANTUMMECHANIKA Ennek bevezetésével ezentúl bármely test helyét egy dimenzióban nem egy számmal (három dimenzióban nem három számmal), 7 hanem egy folytonos függvénnyel adjuk meg, ami ott vesz fel nem nulla értéket ahol a test van (lehet). 8 Milyen tulajdonságokat kell megkövetelni a hullámfüggvényt®l? Mivel egy objektum egy adott koordinátájú pontban sak egy adott valószín¶séggel fordulhat el®, így a hullámfüggvénynek a tér minden egyes pontjához egyértelm¶en hozzá kell rendelnie egy értéket (komplex számot): Ψ(x, y, z) : R3 7 C 3.4 ábra A szakadásos helyfüggvény (3.11) A második tulajdonság abból fakad, hogy a testet meg kell találni. egyes r Így ha a tér minden pontjában összeadom a megtalálási valószín¶ségeket, az eredmény egy kell, hogy legyen, azaz: Z |Ψ(x, y, z)|2 dxdydz = 1 (3.12)

V Bevezetve a valószín¶ségi hullámfüggvényt értelmezését, tapasztalatainkkal a látszólag és annak hétköznapi ellentmondásba kerültünk. Ugyanis hiába meresztjük szemünket bármely, a környezetünkben lév® tárgyra, nem látjuk elmosódni,  hol ott lenni. kiterjedni, hol itt Ennek magyarázata ab- ban keresend®, hogy makrovilágunkban  a 3.5 ábra A folytonossá tett helyfüggvény számítások szerint  ennek az elmosódásnak a mértéke sok-sok nagyságrenddel kisebb, mint böz® értéket, így látható, hogy a zikai objek- a szemünk által érzékelhet® mérettartomány. tumunk szétterjedt, elmosódott lett, úgy t¶nik, mintha nem sak egy pontban lenne megtalálható(?). Hogyan A fentiek alapján úgy t¶nhet, hogy a kvantumme hanikában metlen értelmezzük tehát azt, hogy a att volt. sin s tett Ez így. els® lépésünk azonban Egyrészt két értel- dolog komoly mi- fogalmi test kiterjed, a

tömegpont elmosódik. Biz- tosan a test függvénnyel kezd, hol részt a mi makroszkopikus világunkra ugyan nem mérete itt Ψ megn®, van, fenti, arról hol helyet van anyaga szó, folyni ott . Max meghatározó függvénynek  a hogy Born nyomán komplex hullámfüggvénynek valószín¶ségi értelmezést adunk. Azaz egy adott r pont egy környezetében a test dxdydz elemi |Ψ(r)|2 dxdydz valószín¶séggel tartózkodik. a érték¶  különbség van a hely koordinátával illetve nin s való közvetlenül megadása között. meggyelhet® Más- hatása, a mikroszkopikus mérettartományok világát az új elmélet azonban teljesen átformálja; a 7 Egy dimenziós esetben ez egy egyváltozós függvény, míg három dimenzióban három változós. 8 Vegyük gyelembe, hogy a hely mint függvény sak a pontszer¶séghez képest határozatlan, matematikailag a függvény és a pont is ugyanolyan konkrét, határozott

valami. 3.2 41 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI további fejezetekben ezt próbáljuk érzékeltetni egyszer¶bb jelenségek bemutatása révén. 3.22 h . λ p= A hullámfüggvény és az impulzus A hullámfüggvény egy adott pontban felvett értéke  az el®z®ek alapján  kap solatban van az el®fordulás valószín¶ségével. Ha azonban a hullámfüggvényt egy zikai rendszer tel- Látható, hogy de-Broglie nem már egzakt zikai megfontolások nyomán született, így  bár fenti eredményünk alakilag azonos azzal , jelentéstartalmát tekintve teljesen más. A gyelmes Olvasó rögtön észreveheti, hogy kell adnia a kérdéses objektum helye mellett a annak impulzusáról is. Hogyan rejti magában koordinátatengelyekbe . Nem a szé- korábban ugyanerre az eredményre jutott, azonban az jes leírójának akarjuk használni, akkor számot a hullámfüggvény az impulzust? (3.13) hullámfüggvénynek bele 9 kódoló bels® kell simulnia a

Így az impulzust mintázathoz sem rendelhet® lességében vagy a magasságában, hiszen azok egyértelm¶ hullámhossz  lásd a 3.6 az el®fordulás helyével és valószín¶ségével áll- λ1 nak kap solatban! A görbe szerkezete azonban abályos periódikus görbe. adhat további informá iókat. adott állapothoz több impulzus is rendelhet®, Amint a pontosabb vizsgálatok megmu- tatják a hullámfüggvénynek nomszerkezete van, amit mi az el®bbiekben vizsgáltunk, az sak ennek az osz illáló, és λ2 ábra hullámhosszait , hiszen az nem sz10 Ezek szerint egy azaz a mikrovilágban nem sak a hely, hanem az impulzus is bizonytalan. hullámszer¶ szer- kezetnek a burkológörbéje, lásd 3.6 ábra Most már elég informá ió áll ren- delkezésünkre ahhoz, hogy a hullámfüggvény mozgását meghatározhassuk. Ha a testnek impulzusa van, akkor sebessége is van, azaz helye változik. Ez a hullámfüggvényben úgy jelenik meg, hogy a

hullámfüggvény nem nulla része mozog az x-tengely mentén. Ha az impulzus nagyobb, azaz a mintázat s¶r¶bb, az egész hullám somag gyorsabban mozog, ha az impulzus kisebb, lassabban, ezt mutatja be a 3.7 ábra Vegyük észre, hogy a hullámfüggvény milyen kompakt informá ióhordozó Nem 3.6 ábra Az impulzus sak a helyet, hanem az impulzust is tartalmazza. Mint megmutatható s¶r¶bb  kisebb hullámhosszúságú  fés¶fogazat esetén a hullámfüggvény által leírt test nyugtalanabb, tehát impulzusa nagyobb. Simább nomszerkezet  azaz nagyobb hullámhosszúságú fés¶fogazat  esetén a leírt test nyugodtabb. Tehát Ezzel érthet®vé válik a hullámfüggvény szóhasználat oka. A test hullámfüggvénye ugyanis úgy mozog, mint a víz felszínén terjed® hullám. Jelentéstartalma azonban ennél jóval mélyebb, az analógia nem lényegi. Míg a vízhullám sak a víz része skéinek kitérésvál- tozása, addig a hullámfüggvény az

általa leírt a hullámfüggvény nomszerkezetének kisebb test koordinátáját és impulzusát hordozza, hullámhosszához a test nagyobb impulzusa, azaz (talán) maga a test. míg nagyobb hullámhosszához a test kisebb impulzusa tartozik. Mint levezethet® az impulzus 9 Ha nem így lenne, a test bármely ponttól végtelen távol nem nulla valószín¶séggel megtalálható lenne, ez és a hul- pedig lehetetlen. 10 A kés®bbiekben fontos lesz, de már most veg- lámhossz közötti arányossági tényez® éppen a yük észre, hogy a periodi itást a végek rontják el, Plan k-állandó, így: a középs® rész periodi itása megfelel®. 42 3. FEJEZET KVANTUMMECHANIKA Bevezetve a hely illetve az impulzus bizony- ∆x és ∆p jelölést, eredményün∆x·∆p =állandó formában is felírhatjuk. talanságára a ket a A pontos számítások W. Heisenberg nevéhez f¶z®dnek és az alábbi eredményre vezetnek (ahol ∆px jelenti az impulzus x

komponen- sének bizonytalanságát): ~ . 2 ∆x · ∆px ≥ Három dimenzióban a (3.14) fenti képlet igaz külön-külön mindhárom koordinátára és impulzusra, azaz kiegészítve: 3.7 ábra Nagy és kis impulzusú hullámfüg- gvények 3.23 A Heisenberg-féle határozatlansági relá ió Mint láttuk a kvantumme hanikában sem a koordinátának, sem az impulzusnak nin s élesen meghatározott értéke. Próbáljunk felál- lítani egy korlátot arra, hogy  elvileg 11  melyiket milyen pontossággal határozhatjuk meg. Az okozta, hogy impulzus-bizonytalanságot a hullámfüggvény az nomsz- erkezetét alkotó hullámhoz nem rendelhet® egyértelm¶ hullámhossz. ahogy a Azonban érezhet®, burkolót kinyújtjuk, egyre több ∆y · ∆py ≥ ~ 2 (3.15) ∆z · ∆pz ≥ ~ . 2 (3.16) Ezek a Heisenberg-féle határozatlansági relá- iók, amelyet gyakran komplementaritási elvként is szoktak említeni. Ennek oka az, hogy a

koordináta- és az impulzus pontossága sak kiegészít® módon tehet® naggyá. Akit a hullámfüggvény nomszerkezetér®l leírtak nem gy®ztek meg eléggé azok számára az alábbiakban további kiegészít® megjegyzések találhatók. Mint az belátható (lásd Fourier-analízis) különböz®  adott hullámhosszú  hullámok szuperponálásával bármilyen hullámmintázat így például egy része skét jellemz® hullám somag is összerakható. Ahol a  megfelel® módon összeválogatott, majd egymásra helyezett  hullámok kitérései er®sítik egymást ott lesz a hullám somag kitérése, a többi helyen szabályos periódus fér el belül, és a perió- az összetev®k kioltják egymást. Mint azonban  matematikailag egzaktan  belátható minél rövidebb hullám - dus hibáját okozó végeektusok relatív sz- somagot akarunk kialakítani annál több különböz® hullámhosszú szabályos hullámot kell venni. Ezt lefordítva a erepe le sökken. Mivel

a burkoló kinyújtása azt jelenti, hogy a helybizonytalanságot megnöveljük, így azt láthatjuk, hogy az impulzus bizonytalanságának az impulzus bizonytalansága. sökkentése a helybizonytalanság növekedését vonja maga után. sökkentend® a burkolót összehúzzuk, a nomszerkezet (impulzus) hibája megn®, hiszen a periodi itást elrontó szélek hatása egyre nagyobbá válik, azaz a helybizonytalanságot sökkentve az impulzus bizonytalansága növekszik. 11 Az elméleti zika szempontjából mindegy, hogy konstruáltak-e már érdemes-e megmérni. készüléket A a mérésre, vagy határozatlansági relá iók hatása a makroszkopikus mérések kimenetelére teljesen érzékelhetetlen és gyelmen kívül hagyható, a Teljesen hasonló a fenti helyzet párja is. Ha a helybizonytalanságot zika nyelvére látható, hogy ha ki si helybizonytalanságot szeretnénk elérni (sz¶k hullám somag), akkor sok különböz® hullámhosszúságú

összetev®m lesz, tehát nagy lesz mikrovilágban azonban komoly hatásai vannak. Ha ugyanis egy elektron helyét egy −9 nanométer (10 m) pontossággal megmérem, akkor impulzusának bizonytalansága akkora lesz, 100 hogy egy másodper el kés®bb akár km távolságban is lehet. 3.24 A mérés és a határozatlanság A határozatlansági relá iónak tehát komoly zikai és lozóai kihatása van. A bel®le kiinduló zikai és lozóai problémafelvetések 3.2 43 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI t®sége, makroszkopikus objektumokon továbbra is tetsz®legesen közeli id®pontokban és él- jainknak elegend®en pontosan mérhet® az impulzus és a koordináta, lásd korresponden ia- elv ! Példa A fentiek illusztrálására vizsgáljuk meg, hogy egy 3.8 ábra A hullámfüggvény meghatározza az el®fordulás valószín¶ségét és az impulzust is m s ebbe betekintést nyerhessünk, meg kell vizskvantumme hanikai  fogalmát. A klasszikus mérés

zika pontosságának mér®m¶szerünk tanítása egyetlen pontatlansága, szerint a korlátja a tehát jobb mér®m¶szerrel pontosabb eredményt tudunk elérni. Valamint annak sin s akadálya, hogy a koordinátát és az impulzust egyszerre (egyid®ben) mérjem meg. (Az egyszerre kitétel fontossága hamarosan kiviláglik.) ∆p = m∆v = 40 ~ ∼ 10−36 2∆p bi iklista ∆v = kg m . s A m. Ez a szám olyan ki si, hogy nem mérni, elképzelni sem lehet. sak meg- Ha azonban mikrorésze skékre alkalmazzuk a határozatlansági relá iót, a helyzet gyökeresen megváltozik. Például elektronjait. vegyük egy Kiválasztva atom egyet küls® megmér12 jük a sebességét, mérésünk bizonytalansága 104 ms . Az elektron tömegét behe−29 lyettesítve ∆p ∼ 10 nagyságrend¶. A halegyen tározatlansági relá ióból: ∆x ∼ 5 · 10−9 A kvantumme hanikában azonban ez nem így van. Ekkor ∆x = Ahhoz, hogy gálni a mérés és

a mérhet®ség  klasszikus és kg-os határozatlansági relá ió alapján: mészettudományos közgondolkodásban, mint az einsteini relativitáselmélet. 80 együtt dani, ha sebességmérésem pontossága: 0, 5 legalább akkora forradalmat okoztak a ter- bi iklijével helyét milyen pontossággal tudom megmon- Képzeljük el, hogy egy része ske m = 50 Å. Ez Ez a távolság az atomi méretekhez képest azt jelenti, hogy helyét meghatároztam, azaz óriási, megfelel 50 atomi átmér®nek! Látható, helyét nagy pontossággal megmérem. (∆x) helyének bizonytalanságát le sökken- hogy az elektron sebességét pontosan mérve tettem. A határozatlansági relá iók miatt a határozatlansági relá ió komolyan szerephez azonban ekkor a része ske impulzusának bi- jut, mivel a hely bizonytalanságát nagyon ko- zonytalansága megn®. molyan megnöveli, olyannyira, hogy azt sem Minél pontosabban mérem meg tehát a része ske helyét (

sökken- tudjuk megmondani, tem a helybizonytalanságát), melyik atomhoz tartozik. impulzusának hogy a mért elektron bizonytalansága annál nagyobb lesz, azaz impulzusáról annál pontatlanabb mérési eredményt tudok sak adni. Mint nyilvánvaló, a kvantumme hanikai Ugyanez fordítva is megközelítés sak ott értelmes és élszer¶, ahol fennáll. Egy része ske impulzusát egyre pon- a határozatlansági összefüggések okozta bi- tosabban megmérve, a része ske helyér®l fogok zonytalanságok nem esnek az atomi méret- egyre kevesebbet tudni. tartományok Ha a koordinátát és az impulzust egyszerre szeretném mérni, kompromisszumot kell alá. A Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy a makrovilágban a tételnek nin s gyakorlati jelen- élszer¶ségét a vizsgált test tömege dönti el, ugyanis: kötnöm, meg kell elégednem két pontatlan adattal. kvantumme hanikai megközelítés alkalmazásának ∆x∆v ≥ ~ . 2m 12 Ez az elektron

sebességének nagyságrendjéhez képest pontos mérésnek számít. 44 3. FEJEZET KVANTUMMECHANIKA Ha a tömeg hétköznapi tartományokba esik −5 5 (m = 10 kg . 10 kg), akkor a jobb −29 oldal 10 . 10−39 nagyságrend¶, azaz ilyen Minél jobban fel szeretnénk tárni egy anyag - méret¶ bizonytalanságok fordulhatnak el® a szükség. Ha ugyanis egy helykoordinátában vagy a sebességében. (részlet) képét szeretnénk megkapni, Ez nomszerkezetét a meggyeléséhez annál kisebb hullámhosszúságú fényre (sugárzásra) ∆x mérhetetlenül és elképzelhetetlenül ki si, így olyan fényt kell alkalmazni, a lámhossza hétköznapi tartományokban a kvantum- ∆x-nél van kiterjedés¶ tárgy kisebb. akkor amelynek hulA hullámhossz me hanika helyett nyugodtan használhatjuk sökkentése azonban megnöveli az impulzust tovább a klasszikus me hanikát. (Ez ismét a (ld. de-Broglie összefüggés), így a vizsgálathoz

korresponden ia elv!) használt hullám ron solja a vizsgálandó tár- Azonban egy elektron −31 esetén, amelynek tömege 10 kg nagysá−4 grendjébe esik, a bizonytalanságok már 10 gyat. A pontos alakmeghatározás ára tehát a tárgy szerkezetének esetleg pusztulása lehet. rend¶ek, és ezek már számottev®ek lehetnek, Ahogy az a gyakorlatból is nyilvánvaló, a tehát a mikrovilágban kizárólag a kvantum- látható fénnyel dolgozó optikai mikroszkópok me hanika illetékes. feloldóképessége a 3.25 A A határozatlansági relá ió következményei határozatlansági nem sak a fent relá iónak bemutatott azonban elméleti következményei vannak. Olyan meglep® ered- grendjébe nomabb (∼ fényhullámhossz 100 nm) esik. nagysá- Ennél szerkezetmeghatározáshoz hullámhosszakra van szükség. - kisebb Kézenfekv® megoldás lenne a fénynél kisebb frekven iájú elektromágneses sugárzás, −9 árzás használata (∼ 10

röntgenmikroszkópia, a röntgensug- − 10−10 m) amely ez a sugárzás azon- ményekre is vezet, melyek teljes ellentmondás- ban ban vannak hétköznapi tapasztalatainkkal. A ilyen mikroszkóp gyakorlatilag nem építhet®. kvanmtumme hanikában Használhatunk kell®en nagy sebességre gyorsí- len sékkel a növekv® impulzussal amelyet a makrozikában és a hétköznapok- kalmasak ban oly természetesnek tartunk. Fókuszálásuk Egy test pályáját úgy tudjuk meghatározni, minden egyes pontban megmérjük a nom  lévén elektromos illetve tehát indított, U nélkül A határozatlansági relá ió sebességét, akkor a mérés után a helyér®l már nem állíthatok semmit, így a pálya megkonstruálhatatlan. Ha a helyét mérem meg, akkor a sebességének bizonytalansága n® meg, és ezért nem tudom meghatározni a következ® id®pillanatbeli helykoordinátáját. töltött része skék feszültséggel  gyorsított h λ= √ .

2meU meghatározva adódik a következ® pillanatbeli azonban erre nem ad lehet®séget, hiszen ha  al- séges. Amint az belátható egy kezd®sebesség elektron hullámhossza: elég pontosan  meg szeretném mérni a test tehát kimutatására. mágneses terekkel lehet- id®pillanatban hol lesz. Itt sebességét újból sökken, részletek sebességét, amely kijelöli, hogy a következ® koordináta, s.ít fókuszálható, tott elektronokat is, ezeknek a hullámhossza elt¶nik a pálya fogalma hogy nem (3.17) Így ha 1000 V feszültséggel gyorsítom az elek−10 tront, annak hullámhossza λ = 0, 35 · 10 m lesz, ami már az atomi méretek nagyságrendje. A fenti módszerekkel azonban az a probléma, hogy a detektáláshoz használt része skék nagy energiákat szállítanak, így ron solhatják a vizsgálandó mintát. Látható, hogy minél hullámhosszat jobban sökkentem a Tehát a kvantumme hnaika a mikrovilágban (javítom a helymeghatározást),

annál inkább eltörli a pálya fogalmát, növelem a szállított energiát, tehát a ron - elképzelhetetlenné téve egy része ske útját. Ezért használják sokszor a haladás helyett terjedés fogalmát, amely kissé közelebb áll a valóságos  talán nem is elképzelhet®  képhez. A határozatlansági relá iónak a méréste hnikában is komoly következményei vannak. solóképességet. A felgyorsított elektron hullámhosszára vonatkozó képlet igazolása az alábbiak szerint lehetséges. Az U feszült- ség hatására az e töltés¶ elektron eU energiára tesz szert, 2 ami mozgási energiává alakul (v.ö (120)): eU = 1 2 mv . Ebb®l az elektron végsebessége: féle összefüggés szerint: λ= v= q h mv , azaz 2eU m . A de-Broglieλ= √ h . 2meU 3.2 45 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI 3.26 Egyszer¶ kvantumme hanikai rendszerek Az Dobozba zárt elektron Tegyük egy fel, hogy végtelen egy mély f®kvantumszámmal indexelt állapot- En =

E1 n2 , része skét Ez sak a tér egy meghatározott L szélesség¶ tartományában tartózkodhat, és ott poten iális ahol E1 = bezárunk poten iálgödörbe. azt jelenti, hogy a része ske nulla. n ban lév® elektron energiája pedig: energiája (3.19) A fenti megoldással kap solatban az alábbi megállapításokat tehetjük: 1. A része ske (elektron) sak egymástól szá- mottev®en különböz® (diszkrét ) állapo- Hétköznapi példaként gondolhatunk tokban tartózkodhat . egy drótdarabra, vagy egy atomokból felépült hosszú lán ra, (például konjugált kötésrend- ~2 π 2 2mL 2. Amint látható alapállapotban (n = 1) szer¶ molekulák) amelyben az elektronok  a része skét legnagyobb valószín¶séggel a Marx György szavaival élve  mint futópá- doboz közepén találjuk meg, míg a szélek lyán az adott térrészben szabadon mozoghat- felé haladva a megtalálási valószín¶ség nak. sökken. Erre az egyszer¶

rendszerre a kvantum- me hanika alapegyenlete  a hullámfüggvény 3. A különböz® kvantumállapotokhoz tar- tér- és id®beli dinamikáját leíró S hrödinger tozó hullámfüggvények olyan színuszfüg- egyenlet  egyszer¶en megoldható és amint az gvények, belül (n belátható elektron állóhullámok keletkeznek. melynek − 1) a poten iáldobozon somópontja van. nullhelye, Ezt úgy kell elképzelni, hogy az elektron hul- Itt a része ske megtalálási valószín¶sége lámfüggvénye olyan alakot vesz fel, mint egy nulla, a többi pontokban pedig a hullám- megfeszített húron kialakuló hullámmintázat függvény négyzetével arányos  tehát poz-  itív, hiába vesz fel a hullámfüggvény maga azaz a végpontokban somópontok van- nak, közöttük pedig szinuszosan változik. része ske  n = 1, 2, 3, . , ∞ kvantumszám- mal indexelt  hullámfüggvényei (eltekintve egy számunkra lényegtelen szorzótól): π Ψn (x) ∼

sin n x L negatív értéket is. A 4. Bármely dobozba zárt kombiná iójával: (3.18) alakúak, ezt mutatja be a 3.9 ábra elektron hullámfüggvénye mindig el®állítható a fenti hullámfüggvények lineáris 5. A része ske Ψ = c 1 Ψ1 + c 2 Ψ2 + c 3 Ψ3 + . energiaszintjei Energiája sak egy adott diszkrétek ! E1 érték (alapál- lapoti energia) egész számú többszöröse lehet (kétszeres, négyszeres,. ) A része ske energiája nem lehet nulla! 6. Ha a része ske az n. jellemzett állapotból az kvantumszámmal m. kvantumszám- mal jellemzett állapotba megy át, en- ergiájának megváltozása: ∆E = Em − En = E1 m2 − n2 Tehát a része ske
(3.20) sak jól meghatározott energiák felvételére illetve leadására képes. E közötti energiaértékek nem elérhet®k számára, v.ö a hidrogén színképénél leírtakkal 3.9 ábra Dobozba zárt elektron hullámfüg- 7. A doboz méretének sökkentésével a gvénye.

Alapharmonikus és az els® két felhar- része ske alapállapoti energiája (így min- monikus. den energiaszintje) növekszik. Ez a ha- tározatlansági relá ióval egyszer¶en magyarázható. 46 3. FEJEZET A doboz méretének bizonytalansága KVANTUMMECHANIKA sökkentésével a része ske hely- sökken, így impulzusbizonytalan- sága növekszik, azaz egyre nagyobb valószín¶séggel vesz fel nagy energiaértékeket. Vizsgáljuk meg a kvantumosság vonatkozásait és következményeit két egyszer¶, egy mikrovilágból és egy makrovilágunkból vett példán keresztül. 3.10 ábra A kloroll-molekula négyzet alakú Tekintsünk egy m = 9 · 10−31 kg tömeg¶ elektront egy atom poten iáldobozába zárva. −9 m. Ekkor Ennek mérete legyen L = 10 tere (bal oldalt). Az ide bezárt elektronok pontosan a vörös fény energiájával gerjeszthet®k alapállapoti energiája: E1 = 2 · 10−19 makroszkopikus, J = 1, 3 eV. Ahhoz hogy az elektron

alapállapotból (n az els® (m = 2) = 1) illetve a második gerjesztett állapotba vigyük (m = 3), ergiák is entiméteres dobozra (L az alapállapoti energia = E1 ≈ 4, 4 · Ebb®l következ®en a gerjesztési en10−60 J nagyságrendjébe esnek. Finom mérési módszerekkel az eV nagysá−19 J) detektálható. Ahhoz, hogy grendje (10 E12 = E1 (22 − 12 ) = 3E1 = 3, 9 ilyen eV sunk, illetve nagyságrend¶ energiváltozást kaphas1020 (egymilliárdszor nagyságrendileg egymilliárd) energiaszintet kell átlépni. Mint E13 = E1 (32 − 12 ) = 8E1 = 11, 4 energia 10−2 m) 10−60 J. szükséges. E két látható ez óriási szám, eV energiaérték kivételével más energiák nem felvehet®k elektron számára további gerjesztett (kivéve az természetesen állapotok diszkrét A természet színei is a fenti diszkrétségnek Bizonyos színanyagokban (klo- roll, porn) az elektronok akkora energiával gerjeszthet®k amelyeket a látható

fény (kb. λ = 660 nm hullámhosszú, E = h λc = 1, 8 eV energiájú) fotonjai tartalmaznak. A kloroll elektronjait a 400-500 nm, valamint a 600-700 nm közötti fotonok 13 tudják gerjeszteni, így azokat elnyeli. Ezért a fehér fénnyel megvilágított kloroll színanyagú növények  mivel a vörös és kék fényt elnyelik a többit visszaverik  zöldnek látszanak. Az atomok és a kisméret¶ szervetlen molekulák legtöbbjét sak ultrai- bolya fénnyel lehet gerjeszteni. Ennek oka az, hogy kis méretük miatt nagy a gerjesztési energiájuk, lásd 7. pont Így ezek a látható fény egyetlen összetev®jét sem nyelik el, tehát fehérnek látszanak. Makroszkopikus testre, például egy gramsörétszemre (m = 10−3 kg) és kloroll-a vagy kloroll-b molekuláról van szó. Harmonikus osz illátor Vizsgáljuk a meg hogy a harmonikus kvantumme hanika keretein osz illátort belül. A klasszikus tárgyalás megtalálható a jegyzet Hullámtan részében. A

kvantumme hanikai tárgyalás bonyolult, így itt sak az eredmények néhány vonatkozását mutatjuk be. egy n A hul- lámfüggvények itt is mal indexelhet®k, azonban, történeti okok- kvantumszám- ból  a dobozba zárt része skét®l eltér®en  a legkisebb energiájú állapot kvantumszáma: n = 0, így itt éppen ez adja meg a (bonyolult és emiatt nem részletezett alakú) hullámfüggvény somópontjainak a számát, lásd 3.11 ábra 0-ás sora. Látható, hogy alapállapotban a legvalószín¶bb megtalálási hely a entrum. Nagyobb kvantumszámú (gerjesztett) állapotokban a nagyobb valószín¶ség¶ helyek periódikusan változnak. hullámfüggvény a mos 13 Az elnyelés maximumai függnek attól, hogy azok összefolyni látszanak. a en- ergiáit). köszönhet®k. azaz a makrovilág- ban olyan s¶r¶n vannak a diszkrét energiaszintek (esetünkben például 10−60 J távolságban), Meggyelhet®, hogy a entrumtól távolodva (ex- ponen

iálisan, tehát gyorsan) le seng, azonban a klasszikusan elérhet® tartományon (a parabolán belüli területen) túl lóg, azaz a kvantumme hanikai osz illátor ki si de nem 3.2 47 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI n = 0 nulla valószín¶séggel olyan helyeken is (az az alapállapoti energia, amplitúdón kívül) megtalálható, amelyek a lett is van a része skének energiája. Ez az E0 = 12 ~ω az úgynevezett zérusponti energia, amely egy harmomikus osz illátor legkisebb klasszikus osz illátor számára tiltottak. tipikus kvantumsajátság. Ez Oka abban kere- azaz mel- send®, hogy a helybizonytalanság ki si volta energiája. miatt bizonytalansága, makrozikával ellentétben , hogy egy kvan- amely e miatt kis valószín¶séggel ugyan, de tumme hanikai rendszer minimális energiája igen nagy értékeket is felvehet. Erre utal az, nem lehet nulla, valamint a harmonikus osz- hogy a hullámfüggvény exponen iális le sen- illátor  mint rendes

kvantumos rendszer  nagy az impulzus gés¶, azaz rohamosan tart a tengelybe, azon- Az a meglep® helyzet áll el®  a sak diszkrét adagokban tud energiát felvenni, n. tehát a során az energiakülönbség: somópontokban). állapotból az m.-be ban szigorúan nulla értéket nem vesz fel ( sak való átmenet ∆E = ~ω(m − n) = hν(m − n) Harmonikus osz illátor számára legkisebb felvehet® energiaadag: Makroszkopikus testekre (3.22) és a ~ω = hν energiákra itt is megjelenik a korresponden ia elv, tehát a diszkrét energiaszintek összefolynak. (Ezt az érdekl®d® Olvasó könnyen igazolhatja az q D m képlet segítségével.) A harmonikus osz illátor hν gerjesztési en- ω= ergiája nem véletlenül emlékeztet a fotonok (3.1) energiakifejezésére Az elektromágneses teret úgy képzelhetjük el, hogy annak minden módusa (hullámszámmal/frekven iával adott állapota) egy-egy harmonikus osz illátor. Egy újabb foton

hozzáadása a módushoz a harmonikus osz illátor egy energiaszinttel való feljebb gerjesztésének felel meg. 3.11 ábra A harmonikus osz illátor ener- a zérusponti energia kísérletileg kimutatható. A végtelen sok módus összesen végtelen sok zérusponti energiája giaszintjei és hullámfüggvényei A kvantumme hanikai tárgyalás keretében az osz illátor energiájára az alábbi kifejezést nyerjük: En = Mint  n+ látható 1 2  az ~ω =  n+ 1 2 osz illátor  szik. által keltett végtelen nagy gravitá iós teret viszont nem látjuk. Az univerzum tágulásának vizsgálata azonban arra utal, mintha egy nagyon pi i zérusponti energia mégis sak lenne a vákuumban. 3.27 hν (3.21) energiája a Figyeljük meg, hogy itt is jelentkezik 14 A képletet igazolták kétatomos molekulák rezgési spektrumával. Ugyanis a kétatomos molekulák közötti köt®er® tekinthet® harmonikusnak. Ekkor egy A hidrogénatom, hullámfüggvények atomi

Ebben a fejezetben megvizsgáljuk a legegysz- kvantumszám növelésével egyenletesen növek14 A modern zika nagy lezáratlan kérdései közé tartozik, hogy mi is van az elektromágneses tér (és egyéb terek) zérusponti energiájával. Vannak esetek amikor ez n − er¶bb atomi elektronrendszer, a hidrogénatom elektronjának viselkedését. A newtoni klasszikus me hanika keretein belül az elektronra mint töltéssel rendelkez® pontszer¶ része skére gondolhatunk. Ekkor az volt az elképzelés, hogy az elektron a mag körül körpályán (vagy ellipszispályán) kering, a mag és az elektron közötti elektrosztatikus vonzer®t pedig az elektronra a körpályán való keringése miatt fellép® trifugális er® egyensúlyozza ki. en- Ez volt a Rutherford- n−1 rezgési átmenet során kibo sátott foton energiája En − En−1 = ~ω , a kísérleti eredményekkel tel- féle modell, amely úgy gondolt az atommagra és az elek- jes összhangban. bebizonyította,

hogy gyorsuló töltéseknek (ilyen például éppen tronokra, mint parányi naprendszerre. Azonban Larmor 48 3. FEJEZET KVANTUMMECHANIKA a körpályán entripetális gyorsulást elszenved® elektron) sugározniuk kell, azaz energiát kell veszíteniük. Emiatt az elektronoknak rövid id® alatt be kellene esniük a magba  amit azonban nem tapasztalunk. A probléma a kvantumme hanika keretein belül analitikusan is megoldható, azonban ez matematikailag elég bonyolult, így a továbbiakban megelégszünk egy szemléletes képpel. Az alapállapotú hidrogén-atomban az elektron kett®s kényszert érez. Egyrészt h de-Broglie összefüggés szerint mv nagyobb hullámhossz felvételével igyekszik azt λ = a elérni, hogy mozgási energiája minél kisebb legyen, tehát alapállapotban az elektron- mintázat kisimulni igyekszik. Másrészt a mag elektromos vonzása igyekszik az elektront (illetve hullámfüggvényének a maximumát) a mag közelébe húzni. Ha

azonban er®sen a mag közelébe húzná, akkor az elektron helye túl jól lenne lokalizálva és így  a határozat- 3.12 ábra 1s, 2s és 3s Sugármenti valószín¶ség-eloszlás állapotokban lansági relá ió értelmében  nagy lenne impulzusának a bizonytalansága és el®bb-utóbb legyen egyel nagyobb: a magtól távol találná magát. Ebb®l a ket- n=g+l+1 t®s har ból születik meg az alapállapotú Hatom gömb alakja. 15 (3.23) Ebben az állapotban az elektron sugármenti valószín¶ség-eloszlását így a mellékkvantumszám értéke nullától mutatja be a 3.12 ig terjedhet: ábra fels® része, en- nek a függvénynek a maximuma (az elektron 0 ≤ l ≤ n − 1. legvalószín¶bb radiális távolsága a magtól) tekinthet® a H-atom sugarának. Értéke 0, 0529 r0 = nm. Energia befektetésével gerjesztett állapotot tudunk létrehozni, amelyben a gömbszimmetria megbomlik, helyét más szimmetriák veszik át. n−1- A gerjesztett

állapotok megjelenése (ah- ogyan azt a dobozba zárt elektronnál és a harmonikus osz illátornál is láttuk) jöttét eredményezi. somók létre- A Coulomb-er®tér ma- somósíkok és gas forgásszimmetriája miatt somógömbök (a 3.13 ábrán somókörök) eg- yaránt létrejöhetnek. (Ezek tehát olyan gömbök és síkok, amelyeken a hullámfüggvény értéke nulla.) A továbbiakban jelölni a somógömbök számát, g -vel 16 míg fogjuk l-lel a somólapok számát. Ez a kémiából jól ismert mellékkvantumszám. A f®kvantumszámot úgy értelmezzük, hogy az a somók teljes számánál Az l = 0 mellékkvantumszámú, tehát somólap nélküli elektronállapotok mind gömböly¶ek, azaz jelölésük: s. s zférikusak, innen a bet¶- A különböz® f®kvantumszámhoz tartozó s pályákat a kémiában (is) megszokott 1s, 2s, 3s, . módon jelöljük Ezeknek a pályáknak a sugármenti valószín¶ség-eloszlását mutatja be a 3.12

ábra középs® és alsó része (vesd össze 3.13 ábra idevonatkozó részeivel) Fontos felhívnunk a gyelmet arra, hogy itt és a továbbiakban a  pálya  szót nem a hagyományos  klasszikus me hanikai értelemben  használjuk. Pálya alatt az elektron meghatározott energiával rendelkez® valamilyen állóhullám-állapotát, a kötött elektron egyik 15 Természetesen ehhez az is szükséges, hogy a sajátrezgését értjük. Coulomb-er® gömbszimmetrikus legyen, azonban ez fennáll. 16 Ezt szokták radiális kvantumszámnak mi azonban nem használjuk. is nevezni, Az l = 1 állapotokban somólap is, így nem már van egy sak gömbszimmetria 3.2 49 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI fordul bennük el®. ból ezeket zük. a Szintén történeti okok- p pályákat pályának somógömb nélküli (g A nevez- = 0) lege- gyszer¶bb gerjesztésnél az elektronállapot ra- p ropellerre emlékeztet. jza síkszimmetrikus, somógömbök (g ) és

átvihet® helyzete létezhet, lásd 3.14 ábra. 2px , 2py , 2pz jel¶ állapotok. (Minmás irányba álló p-pálya már kikeverhet® Ezek a den n = g + l + 1 és l = 0, 1, 2, 3, . bet¶- okoból a f®kvantumszámmal: a mellékkvantumszám: jevével: Nyilvánvalóan a három dimenzióban ezeknek az állapotoknak három különböz®, egymástól 0 lényegesen eltér®, 90 -os forgatással egymásba somólapok (l ) számának megadásával lehetne leírni, azonban történeti s, p, d, f, . tesszük. A térbeli irányultsággal bíró pályák (ahol l 6= 0) orientá ióját a mágneses kvantum- számmal (m) különböztetjük meg, melynek értéke: −l ≤ m ≤ l l mel2l + 1 különböz® (m = 0 is lehetséges). ebb®l a háromból.) Mivel a Coulomb-energia között lehet. Ebb®l következ®en adott forgásszimmetrikus, ezeknek a pályáknak az lékkvantumszámhoz összesen 17 energiája megegyezik. Magasabb f®kvan- tumszám mellett létrejöhet az egy

mellett somógömb is, azonban az elmondot- tak erre az esetre könnyedén kiterjeszthet®k, lásd az ábra Az 3px , 3py l = 2 mer®leges Egy atomi elektron állapotának teljes megadása az (n, l, m) kvantumszámhármassal lehetséges. állapotait. állapotokban két, egymásra somólap található. A mellékkvan- d. tumszám bet¶jele gyszer¶bb, 3pz és pályaorientá ió tartozik somólap a pálya alakja a lege- somógömb nélküli (g = 0) esetben d állapot- virágra (talán d ália) emlékeztet. A nak a térben öt lényegileg különböz® orientáiója létezik, a hatodik állapot  amely a z 450 -os somólap hoz 3.14 ábra A hatodik tengelyen át fektetett két p állapot kikeverése létre  el®állítható két állapot szuperpozí iójaként (lásd 3.13 ábra) A három somólapú (l = 3) pályák az f pá- lyák, itt már hét lényegileg különböz® irányultság lehetséges, ezeket az el®z®ek alapján az Olvasó maga építheti fel.

n l g 1 s 0 2 s 1 2 p 0 3 s 2 3 p 1 3 d 0 leírás két egy somó N (n) = 2 somósík két n−1 X (2l + 1) = 2n2 (3.24) l=0 somógömb somósík egy f®kvantumszámmal jellemzett n f®kvantumszámú héjhoz l-nek n − 1 értéke tartozhat, valamint adott l mellékkvantumszámhoz összesen 2l + 1 irányultság, így egy adott n f®kvantumszámú somógömb egy n héjon. Mivel adott héjon maximálisan: alapállapot, nin s egy Felvet®dhet a kérdés, hogy hány elektron fér el egy adott somógömb somósík elektron tartózkodhat. Az els® héjak max- imális elektronszámai tehát: 2,8,18,32. A képlet elején megjelen® kettes szorzó mag1. táblázat A kvantumszámok felépülésének yarázatot kíván. sorrendeje. megadott Mint látható egyszerre különböz® típusú egy jellemz®je gerjesztések is kialakulhatnak (gömb és lap) így viselkedésér®l tájékoztat. ezek pontos megadása. A kialakuló gerjesztés

alakját legegyszer¶bben a 17 Többelektronos rendszerekben az elektronok egymásrahatása kismértékben eltolja az energiaszinteket, így egy adott héjon lév® valamivel kisebb, mint p s pályájának energiája energiája. mely minden a szükséges spin, A fenti kvantumszámokkal tulajdonságok az mellett van elektronnak. elektron saját még Ez mágneses Minden elektron mágneses dipólusként (irányt¶) viselkedik, azonban azzal a spe ialitással, hogy sak két irányba (fel) és (le) mutathat a tengelye. Így a fenti három kvantumszám mellett az elektron teljes jellemzéséhez be kell vezetni a 50 3. FEJEZET 3.13 ábra Elektronállapotok az atommag körül (A  itt KVANTUMMECHANIKA somógömböket  mivel a vetületüket látjuk somóköröknek nevezzük.) spinkvantumszámot (s) is, melynek értéke  A negatív el®jel jelzi azt, hogy az elektron konven ionálisan  a fel és a le állapotok- kötött állapotban van.

ban: s = 1/2 ás s = −1/2. Ezek után már kimondhatjuk a Pauli-elvet, amely szerint az elektronoknak legalább egy kvantumszámban különbözniük kell, azaz az elektronok nem lehetnek azonos kvantumállapotban. tront kiszakítsuk két, ellentétes spin¶ elektron tartózkodhat. vonzásából, azaz séges végtelen távolra vinni, mert a CoulombTermészetesen a gyakorlatban már szabadnak tekintjük az elektávolságban van.) A gerjesztett állapotok energiája  ami a Hatom Coulomb-mezejének sajátossága  a Röviden szólni kell még az alapállapot és a különböz® gerjesztett állapotok energiáiról. vantumszámmal (n = k + l + 1) arányos, az alábbi módon: Az alapállapotú H-atomban az elektron kötési aJ. sak somók számával, pontosabban éppen a f®k- 1 n2 (3.25) me4 . A elég 32π 2 ǫ20 ~2 súnya állandót En = −R̃ energiája = −2, 2 mag er® hatótávolsága végtelen. hármassal jellemzett állapotban maximálisan eV a

végtelen távol vigyük a magtól. (Azért szük- tront, ha az atomátmér®höz képest elég nagy Így minden egyes (n, l, m) kvantumszám- E0 = −13, 6 Ennyi energia szük- séges tehát ahhoz, hogy az alapállapotú elek- ahol R̃ = 3.2 51 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI tartalmazó képletr®l elegend® azt tudni, hogy a növekv® f®kvantumszámmal (er®sebb gerjesztéssel) az elektron egyre gyengébben van kötve a maghoz, de az inverz négyzetes függés miatt egyre kisebb lépésekben sökken a kötöttsége. A szabad elektronnak az felel meg, ekkor E∞ = 0, n∞ azaz az elektron sz- abad, nem köti a mag. Tudható még, hogy a mag töltésének növelésével az elektron kötöttsége er®sebbé válik, sökken az elektronállapot átmér®je, az energiaszintek mélyebbre süllyednek. Vegyük észre, a fenti és a (3.5) képlet közötti kap solatot. A vonalas színképnél leírtakkal összevetve látjuk, hogy a gerjesztés után kibo

sátott fény energiája éppen az elektron gerjesztett és kiindulási állapotának energiakülönbsége. Tegyük fel, hogy az elektron m jel¶ pályán van, és küls® gern, (n > m) pályára viszi. Amikor innen visszatér újra az m pályára (n m), az En − Em energiakülönbséget (természetesen Em > En és Em , En < 0) egy foton kikezdetben az jesztés az bo sátásával adja le. Így a kibo sátott fonton energiája: Elektronállapotok betölt®désének 3.15 ábra 1 1 Efoton = En − Em = −R̃ 2 + R̃ 2 = n m   1 1 = R̃ (3.26) − 2 m2 n Ezt összevetve a 3.14 sorrendje szükségszer¶en köl sönhatásba kell lépnünk vele, ez a hatás például egy ruhásszekrényen fejezet (3.5) kife- nem okoz számottev® változást. Finomabb ob- jezésével, valamint a foton energiáját megadó jektumok esetén azonban nomabb módsz- Efoton = hν kifejezést felhasználva azt nyerjük, hogy R̃ = hR, azaz kvantumme hanikai ert kell keresni.

Természetesen adódik a nézés- magyarázatát adtuk a vonalas színképnek. testet látni szeretnék, azt meg kell világítani, A többelektronos rendszerekben kialakuló helyzet sokkal bonyolultabb, hiszen az elektronok egymásra is hatással vannak. Itt már sak számításigényes közelít® módszerek m¶köd®képesek, azonban ezek az adott szakterület feladatát képezik. sel való helymeghatározás. Azonban ha egy azaz fotonokat kell ráejteni. Ekkor a róla vis- szaver®d® és a szemünkbe jutó fotonok révén érzékeljük azt. A kiemelt visszaver®dés szó lesz a jelenség kul sfogalma. Ekkor jön ugyanis létre a köl sönhatás a meggyel® és a meg- 3.28 Milyen a Hold amikor nem nézem? gyelt objektum között. Ezt a kérdést Arisztotelész tette fel, a válasz szekrényen, pedig Azonban a mikroszkopikus mérettartomány- amikor az lehet nézem, rá, hogy ugyanolyan sárgásfehér és kerek. mint A mikrozikában az ilyen

típusú kérdésre adott válasz már nem ennyire triviális. Vegyük gór s® alá a helymeghatározás A meggyeléshez szükséges fotonok nem okoznak ban a számottev® de még foton(ok) állapotváltozást egy által porszemen szállított a sem. energia (impulzus) már számottev® szerephez juthat. (Lásd például az ún. Compton-eektust, ahol a foton meglöki az elektront.) Tehát a Ha elég durván is eljárhatok, mikroszkopikus tartományokban egy újabb, egyszer¶en kitapogatom a test helyét. Ekkor egészen fur sa eset állt el®: a meggyel® és a folyamatát. 52 3. FEJEZET meggyelt köl sönhat 18 KVANTUMMECHANIKA koordináta-sajátállapotban , azaz 19 . Természetes módon adódik az is, hogy er®sen határozott ha meggyelem a mikrorésze skét, az már koordinátához er®sen határozatlan impulzus nem úgy viselkedik, mint amikor nem társul és fordítva. gyelem, hiszen meggyelésem befolyásolja

viselkedését. Ezek után viszont kijelenthetjük, hogy arra a kérdésre, hogy milyen az elektron, amikor nem nézem, nem adhatok megnyugtató választ, hiszen ha nem nézem meg nem fogom megtudni, ha viszont megnézem, akkor zavaró gyelmem hatására már más módon viselkedik. A gyelmes Olvasó javasolhatná, hogy sökkentend® a zavaró hatást, a meggyeléshez használjunk sak egy fotont. Azonban  például egy elektronnal való köl sönhatás során  még egy foton is számottev® impulzussal bírhat További javaslatként fel lehet vetni, hogy sökkentsük a vizsgálathoz használt foton frekven iáját, ekkor ugyanis a impulzus. p = hν Így a frekven ia Egy test természetesen lehet sem hul- lámközeli, sem impulzusközeli állapotban, ez alapján sökken a szállított sökkentésével a meggyelés zavaró hatása is sökkenne. Vegyük észre azonban, hogy ekkor öngólt l®nénk, ugyanis a frekven ia sökkentésével a foton hullámhossza megn®,

és így számára észrevehetetlenek lesznek a hullámhosszánál kisebb objektumok, azaz alkalmatlan lesz a meggyelésre. G Gamow megfogalmazásában: Nem lehet perzsa miniatúrát festeni szobafest®e settel. az állapotok ideális házassága, itt egyik sem er®sen határozott, határozatlan. ezért párja sem er®sen Az ilyen állapot hullámfüg- gvényének szemléletes neve: hullám somag, alakjáért lásd a 3.6 ábrát! A fenti megfontolásokkal eljutottunk tehát odáig, hogy a klasszikus keretek között zavarba ejt® része skehullám kett®sség már könnyen értelmezhet®. Egy zikai objektum impulzus-sajátállapotban hullámként, koordináta-sajátállapotban viselkedik. míg része skeként Valamely foton, amikor interfer- en iára képes, (például dirak iót szenved) impulzus-sajátállapotban ütközve (fotoeektus), sajátállapotban, része ske ez felel elképzelésnek. van, elektronnal pedig koordináta- meg a

klasszikus Teljesen hason- lóan  hullám-sajátállapotban lév® elektron 3.29 A A része skehullám kett®sség, sajátállapotok hullámfüggvény tumme hanikai valamint koordináta a és kvan- impulzus bevezetésével kap solatban láttuk, hogy egy zikai objektumnak lehet határozott im- pulzusa, ekkor azonban a helye határozatlan. Valamint az ha a impulzusa helyét válik tesszük határozottá határozatlanná. Ezek alapján vezessük be az alábbi fogalmakat. Ha egy objektum határozott akkor impulzusa (minimális azt mondjuk, maximálisan bizonytalanságú), hogy impulzus-sajátállapot ban van. az objektum Ha impulzusa sak jól meghatározott, akkor impulzus-közeli állapot ról beszélhetünk. Ezek analogonjaként a teljesen határozott koordinátájú része ske koordináta-sajátállapot ban lokalizált (kis van, míg a jól koordinátabizonytalanságú) objektum koordináta-közeli állapotban. Mint a

határozatlansági része ske nem lehet relá iókból látszik egyszerre impulzus egy és feltételezésével  magyarázható Jönsson híres kísérlete (1961), amelyben elektronokkal végezte el Young kétréses kísérletét. Az elektrondetektorokból kialakított felfogóerny®n a fénnyel elvégzett kísérletekkel megegyez® intenzitás-eloszlást produkáltak a koherens elektronok  amelyek ebben az esetben tehát hullámként viselkedtek. 3.210 S hrödinger ma skája, a tudat és a hullámfüggvény A fentiek alapján nem lesz nehéz megérteni S hrödinger híres Alaphelyzetben adott lezárt dobozban. gondolatkísérletét. egy ma ska egy A dobozban a ma skán kívül van még egy radioaktív anyag és egy detektor, amely gyeli, hogy bekövetkezik-e bomlás az anyagban. A radioaktív anyag aktivitása akkora, hogy egy per alatt át1 lagosan valószín¶séggel következik be benne 2 bomlás. Ha a doboz lezárásától kezd®d® 19 Ez azonban

a makrovilágban nem bír jelen- 18 Természetesen makroszinten is van köl sönhatás, t®séggel, hiszen egy hétköznapi test esetében annak sak ennek a nagy tömeg¶ testekre nin s érzékelhet® helye és impulzusa egyszerre mérhet® (szinte) tet- hatása. sz®leges pontossággal. 3.2 53 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI egy per ben bekövetkezik bomlás, akkor egy lenézünk? kis beleesik szerkezet eltör egy mérget tartalmazó Természetesen a hullámfüggvény az él® vagy a halott állapotba. kapszulát és a ma ska elpusztul. Amennyiben Azaz ha a ma ska túlélte a kísérletet, akkor az adott id® alatt nem következik be bomlás, ψ = (él) a ma ska túléli ezt a kellemetlen kalandot. állapotba kerül. Ezt a  jobblelk¶ állatvéd®kben garantáltan állapotok. felháborodást kiváltó  kvantum ψ = (elpusztult) ha elpusztult, Ezek az állpotok már tiszta orosz- rulettet az irodalom az elnéz® S hrödinger ma skája néven

tartja számon. A jelenség értelmezéséhez ismerni kell még azt a tényt, hogy semmilyen zikai módszerrel nem jósolható meg, hogy a radioaktív anyagban bekövetkezik-e bomlás a következ® id®egységben. (Ez természetesen abból fakad, hogy a radioaktív bomlást kvantumos törvények vezérlik.) S hrödinger ma skája  ráadá- 3.16 ábra Tegyük fel, hogy összeállítjuk a kísérletet, sokkal betesszük a ma skát, lezárjuk a dobozt és kivárjuk az egy per et. Ekkor a ma ska vagy Mint látható a kvantumme hnika eszköz és elpusztult, vagy él, állapota a továbbiakban fogalomkészletével a fenti informá ióhiányos már nem változik. rendszer jól leírható  bármilyen mesterkélt- A doboz kinyitása nélkül mit tudunk mondani a ma skáról? Csak an- nek t¶nik is. nyit, hogy mind az él®, mind az elpusztult 1 állapot valószín¶sége Ebben az esetben 2. kit¶n®en használható a hullámfüggvény, mint Hogyan képzeljük el a

kevert állapotú (egyszerre él® és halott) ma skát? Látható, hogy a a bizonytalan állapotok leírója. lapotba, ha a dobozt kinyitjuk és belenézünk. persze szimbólikusan 20 Írjuk fel   a ma ska hullámfüg- gvényét: A baj a szemléletünkkel van. hullámfüggvény akkor esik bele egy tiszta álHogyan tudja egy ilyen összetett rendszer hullámfüggvényét  ami pusztán egy egyszer¶ matematikai konstruk ió  a meggyelésünk 1 1 ψ = √ (él) + √ (elpusztult). 2 2 21 befolyásolni ? Mi lenne ha de nem néznénk bele? sak kinyitnánk, Úgy érezzük, hogy Tehát a ma ska összetett állapotban van, a hullámfüggvény kevert állapotban maradna. az élet és a halál szuperponált állapotában, 1 egyszerre él ( 2 valószín¶séggel) és egysz1 erre halott (szintén 2 valószín¶séggel), ez a kvantumme hanikára olyan jellemz® kev- De mi lenne a helyzet, ha egy ló, vagy egy ert állapot. Azonban a ma ska a dobozban

valószín¶leg  bár ennek eldöntésére nin sen mód  nem alakult át egy valamilyen, eddig se sem® nézne bele, aki nem tud a kísérlet éljáról, értelmér®l és értelmezésér®l. Szá- mukra egy él® vagy elpusztult ma ska nem hordoz informá iót. Ennek ellenére vajon beesne a hullámfüggvény egy tiszta állapotba? A probléma tovább bonyolítható. Egy, a még nem látott félig él®félig halott kombiná- dobozban ül® meggyel® folyamatosan tudja ióvá, az vagy él, vagy elpusztult. Mivel azon- követni az eseményeket, az ® számára a ma - ban a pusztulását kiváltó esemény (a radioak- ska hullámfüggvénye folyamatosan tiszta ál- tív bomlás) bekövetkezése nem jósolható, így lapotban nekünk nin s jogunk a ma ska állapotáról biz- számára azonban a hullámfüggvény szuper- tosat állítani, tehát sak a hullámfüggvényes leírásmódot alkalmazhatjuk. Mi történik gvényével, ha a a A dobozon kívül

gyel®k 21 Itt természetesen nem arról van szó, mint a helymeghatározásnál, hogy a meggyeléshez használt fo- ma skánk kinyitjuk van. hullámfüg- dobozt és be- 20 A ma ska nagyságrendileg 1024 darab atomjának ton befolyásolja a ma ska hullámfüggvényét, ugyanis az vagy az él®, vagy a halott, de mindenképpen meghatározott állapotba kerül. jól Annak közel nulla a valószín¶sége, hogy egy kósza foton a hullámfüg- együttes hullámfüggvénye természetesen nehezen lenne gvényt pontosan a két fölírható. vigye. konkrét állapot valamelyikébe 54 3. FEJEZET KVANTUMMECHANIKA ponált. Hogyan lehet, hogy ugyanazt a testet Egy leíró hullámfüggvény (tehát az állapot tel- szerint jes meghatározója) a két meggyel® számára értelmezést különböz®? Létezhet az, hogy egy ma ska az az egyik meggyel® számára él® (vagy halott), valószín¶séggel él, illetve 50% valószín¶séggel egy másik

számára egyszerre él® és halott? pusztult el, de állapota tiszta, azaz a ma - Egyáltalán ellentmondás ez? Egyes sak értelmezések feltételezések a a kvantumme hanikai hullámfüggvénynek per kell  bár ezek hullámfüggvény értelmezéseviselkedése a meggyel® tudatával van kap solatban . Annak, aki tud a kísérlet értelmér®l és úgy gyeli az eseményeket a hullámfüggvény ezek szerint mást jelent, mint a Ψ = (elpusztult). pedig azt elvégezve iskola statisztikus tulajdonítanunk. letelte után ska hullámfüggvénye vagy szerint , egy másik a Ekkor ma ska Ψ = (él) 50% vagy A statisztikus értelmezés jelenti, körülbelül hogy 500 1000 túlél® kísérletet és 500 el- pusztult ma skánk lesz, amelyek állapotai a dobozok kinyitása nélkül is tisza állapotok  de azokról nem mondhatunk semmit. kísérletet néz® lónak. A különbséget a meg- Anélkül, hogy a kérdést megpróbálnánk el- gyel®

és a ló között talán éppen a tudatosság- dönteni, egy Mantaigne idézettel zárjuk a fe- ban lehet keresni. A valóban súlyos probléma: jezetet: hogyan lehetnek mások a zika törvényei egy tudatos (vagy supán él®) meggyel® és például egy garantáltan nem tudatos (nem enyém? él®) elektrondetektor számára. Wigner Jen® szerint a kvantumme hanikát leíró egyenletek elromlanak a tudatos (vagy él®) lények környezetében (hatására). John Wheeler meghökkent® 22 más, de álláspontot nem kevésbé képvisel. Szer- inte, mivel a világot kvantumtörvényeknek engedelmesked® mikrorésze skék alkotják, így a kvantumjelenségeknek makroszinten is jelentkezniük kell. Ennek egy megnyilvánulási formája, hogy jelenbeli selekedeteink hatás- sal bírnak a múltról tett állításainkra, azaz a meggyel®  ® már tudatos!  jelen- léte teszi érzékelhet® valósággá a jelent. Így nem okoznak problémát a

különböz® ma skák, hiszen mindegyiket más-más meggyel® jelenléte teszi létez®vé, nem kell azonosnak 23 lenniük . Hugh Everett egy harmadik megoldást javasolt. Szerinte minden egyes döntés során minden egyes kimenet minden egyes mérés megvalósul, (pontosabban és így minden egyes kvantumos esemény) során a világ kett® (vagy több) részre ágazik. gyel®höz találhatunk gazdagságában egy a Így minden megvilágok hihetetlen olyat, amely pontosan leírja az ® képét. 22 Wigner veje. 23 Ennek egy érdekes történelemnek létezik), (múltnak) következménye, hogy a nin s (nem is jelentése sak olyan formában, ahogy feljegyezzük. Ha ma skámmal játszom, ki mondja meg, vajon én vagyok-e az ® játékszere s nem ® az Tárgymutató atomi elektronpályák, 49 klasszikus, 19 kvantumme hanikai, 47 entrális er®tér, 10 harmonikus rezgés, 19 Coulomb-törvény, 10 kap solata a forgóvektorokkal, 20 kap solata a

komplex számokkal, 22 de-Broglie hullámhossz, 38 határozatlansági relá ió, 42 dielektromos állandó határszög, 32 relatív, 14 hatáskvantum, 38 vákuumé, 9, 16 homogén tér, 8 dipólus, 14 hullám, 23 poten iálja, 15 hullámfüggvény, 3941 térereje, 15 hullámsebesség, 24 ekvipoten iális felület, 11 HuygensFresnel-elv, 25 elektromos feszültség, 11 id®állandó, 17 elektromos térer®sség, 7 interferen ia, 24 elektrosztatikus köl sönhatás, 7 elhajlás (dirak ió), 25 Kétréses kísérlet, 26 er®sítés kapa itás, 16 harmonikus rezgéseké, 21 kett®s természet, 52 kett®s természet (fényé), 36 fázis kett®sréteg, 16 harmonikus rezgésé, 20 kilépési munka, 36 hullámé, 24 kondenzátor, 16 fázissebesség, 24 korresponden ia-elv, 39 f®kvantumszám, 48 felbontóképesség, 31 lebegés, 22 Fermat-elv, 31 feszültség, 11 mérés (kvantumme hanikai), 42 Coulomb-téré, 13 Maxwell I. törvénye, 9 homogén

téré, 11 mellékkvantumszám, 48 kap solata a poten iállal, 11 mikroszkóp, 30 uxus, 8 fáziskontraszt, 33 fotoeektus, 35 felbontóképesség, 30 foton, 35 energiája, 36 Plan k-állandó, 36 impulzusa, 36 poten iál Coulomb-téré, 13 Gauss-törvény, 9 kap solata a térer®sséggel, 12 gyengítés harmonikus rezgéseké, 21 rá s, 28 rés, 29 harmonikus osz illátor rezgések összetétele, 21 55 56 sajátállapot, 52 S hrödinger ma skája, 52 SnelliusDes artes-törvény, 31 szigetel®k, 14 törésmutató, 31 térer®vonal, 8 vezet®k, 14 vonalas színkép, 37 Young-féle interferen ia, 26 TÁRGYMUTATÓ