Fizika | Fénytan, Optika » Berta Miklós - Hullámok, előadás

Hullámok Berta Miklós SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 0.2 1 / 51 Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Bevezetés Doppler-effektus 2 / 51 Bevezetés Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Gyakori természeti jelenség valamely zavar tovaterjedése egy folytonos közegben. Ezt nevezzük a fizikában hullámmozgásnak Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 3 / 51 Bevezetés Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Gyakori természeti jelenség valamely zavar tovaterjedése egy folytonos közegben. Ezt nevezzük a fizikában hullámmozgásnak Példák: • hullámok kötélen Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag

Doppler-effektus 3 / 51 Bevezetés Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Gyakori természeti jelenség valamely zavar tovaterjedése egy folytonos közegben. Ezt nevezzük a fizikában hullámmozgásnak Példák: • hullámok kötélen • hullámok vı́z felszı́nén Hullámcsomag Doppler-effektus 3 / 51 Bevezetés Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Gyakori természeti jelenség valamely zavar tovaterjedése egy folytonos közegben. Ezt nevezzük a fizikában hullámmozgásnak Példák: • hullámok kötélen • hullámok vı́z felszı́nén • hanghullámok levegőben Doppler-effektus 3 / 51 Bevezetés Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli

hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Gyakori természeti jelenség valamely zavar tovaterjedése egy folytonos közegben. Ezt nevezzük a fizikában hullámmozgásnak Példák: • hullámok kötélen • hullámok vı́z felszı́nén • hanghullámok levegőben Doppler-effektus 3 / 51 Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Amikor egy közegben hullám terjed, akkor a közeg minden egyes pontja kitér egyensúlyi állapotából. Tehát a közeg alkotóelemeit a hullámzás nem sodorja magával, hanem egyensúlyi helyzetükből való kitérésre kényszerı́ti azokat. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 4 / 51 Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Amikor egy közegben hullám terjed, akkor a közeg minden egyes pontja

kitér egyensúlyi állapotából. Tehát a közeg alkotóelemeit a hullámzás nem sodorja magával, hanem egyensúlyi helyzetükből való kitérésre kényszerı́ti azokat. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus A hullámban nem a közeg alkotóelemei terjednek szét, hanem az egyensúlyi állapot megzavarásához szükséges energia terjed szét a közegben a közeg alkotóelemei közötti kölcsönhatás következtében. 4 / 51 Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Amikor egy közegben hullám terjed, akkor a közeg minden egyes pontja kitér egyensúlyi állapotából. Tehát a közeg alkotóelemeit a hullámzás nem sodorja magával, hanem egyensúlyi helyzetükből való kitérésre kényszerı́ti azokat. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus A

hullámban nem a közeg alkotóelemei terjednek szét, hanem az egyensúlyi állapot megzavarásához szükséges energia terjed szét a közegben a közeg alkotóelemei közötti kölcsönhatás következtében. Attól függően, hogy a közeg egy pontjában a zavar iránya és a hullám terjedési iránya hogyan viszonyul egymáshoz, megkülönböztetünk • transzverzális vagy keresztirányú hullámzást és 4 / 51 Bevezetés • Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Amikor egy közegben hullám terjed, akkor a közeg minden egyes pontja kitér egyensúlyi állapotából. Tehát a közeg alkotóelemeit a hullámzás nem sodorja magával, hanem egyensúlyi helyzetükből való kitérésre kényszerı́ti azokat. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus A hullámban nem a közeg alkotóelemei terjednek szét, hanem az

egyensúlyi állapot megzavarásához szükséges energia terjed szét a közegben a közeg alkotóelemei közötti kölcsönhatás következtében. Attól függően, hogy a közeg egy pontjában a zavar iránya és a hullám terjedési iránya hogyan viszonyul egymáshoz, megkülönböztetünk • transzverzális vagy keresztirányú hullámzást és • longitudinális vagy hosszmenti hullámzást. 4 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál Egyenes menti hullámok • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 5 / 51 Egyenes menti hullámok Bevezetés Z t1 Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok •

Hullámegyenlet • Periodikus és v x x1 Z t harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok x x közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 6 / 51 Egyenes menti hullámok Bevezetés Z t1 Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és v x x1 Z t harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok x x közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Z(x1 , t1 ) = Z(x, t) Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 6 / 51 Egyenes menti hullámok Bevezetés Z t1 Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és v x x1 Z

t harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok x x közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Z(x1 , t1 ) = Z(x, t) v= x − x1 t − t1 Hullámcsomag Doppler-effektus 6 / 51 Egyenes menti hullámok Bevezetés Z t1 Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és v x x1 Z t harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok x x közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Z(x1 , t1 ) = Z(x, t) v= x − x1 t − t1 Az egyszerűség kedvéért legyen t1 = 0. Doppler-effektus 6 / 51 Egyenes menti hullámok Bevezetés Z t1 Egyenes menti hullámok • Egyenes

menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és v x x1 Z t harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok x x közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Z(x1 , t1 ) = Z(x, t) v= x − x1 t − t1 Az egyszerűség kedvéért legyen t1 = 0. Doppler-effektus x1 = x − vt 6 / 51 Egyenes menti hullámok Bevezetés Z t1 Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és v x x1 Z t harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok x x közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Z(x1 , t1 ) = Z(x, t) v= x − x1 t − t1 Az egyszerűség

kedvéért legyen t1 = 0. Doppler-effektus x1 = x − vt Z(x − vt, 0) = Z(x, t) 6 / 51 Példa Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok 1. példa: Az x-tengely mentén terjedő impulzust a • Hullámegyenlet • Periodikus és Z(x, t) = harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál 2 (x − 3t)2 + 1 függvény ı́rja le. Mekkora a hullám terjedési sebessége? (Minden adat SI mértékben adott!) • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 7 / 51 Példa Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok 2. példa: Az x-tengely mentén terjedő impulzust a • Hullámegyenlet • Periodikus és Z(x, t) = harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok

közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 2 (x − 3t)2 + 1 függvény ı́rja le. Mekkora a hullám terjedési sebessége? (Minden adat SI mértékben adott!) Megoldás: A Z(x, t) függvény alakjából látható, hogy az hullámterjedést ı́r le, hiszen x − vt = x − 3t Ebből azonnal következik, hogy a zavar az x-tengely irányában v = 3 m/s sebességgel terjed. 7 / 51 Hullámegyenlet Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok Vizsgáljuk meg a Z(x, t) = Z(x − vt) függvény hely és idő szerinti második deriváltját! • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli

hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 8 / 51 Hullámegyenlet Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és Vizsgáljuk meg a Z(x, t) = Z(x − vt) függvény hely és idő szerinti második deriváltját! A hely szerinti második derivált: harmonikus hullámok ∂ 2 Z(x, t) • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok ∂x2 közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, = Z ′′(u) A Z ′′ az u = x − vt belső függvény szerinti második deriváltat jelöli. intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 8 / 51 Hullámegyenlet Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és Vizsgáljuk meg a Z(x, t) = Z(x − vt) függvény

hely és idő szerinti második deriváltját! A hely szerinti második derivált: harmonikus hullámok ∂ 2 Z(x, t) • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok ∂x2 közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv = Z ′′(u) A Z ′′ az u = x − vt belső függvény szerinti második deriváltat jelöli. Az idő szerinti második derivált: ∂ 2 Z(x, t) ∂t2 = v 2 Z ′′, Hullámcsomag Doppler-effektus 8 / 51 Hullámegyenlet Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok Vizsgáljuk meg a Z(x, t) = Z(x − vt) függvény hely és idő szerinti második deriváltját! A hely szerinti második derivált: • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok ∂ 2 Z(x, t) • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok ∂x2

közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok A Z ′′ az u = x − vt belső függvény szerinti második deriváltat jelöli. Az idő szerinti második derivált: ∂ 2 Z(x, t) Interferencia és állóhullámok ∂t2 Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag = Z ′′(u) = v 2 Z ′′, vagyis Doppler-effektus Z ′′ = ∂ 2 Z(x, t) ∂x2 = 1 ∂ 2 Z(x, t) v2 ∂t2 8 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok Rendezzük nullára az egyenletet, ekkor ∂ 2 Z(x, t) ∂x2 − 1 ∂ 2 Z(x, t) v2 ∂t2 = 0. A fenti egyenlet az egydimenziós hullámegyenlet. közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv

Hullámcsomag Doppler-effektus 9 / 51 Bevezetés Rendezzük nullára az egyenletet, ekkor Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok ∂ 2 Z(x, t) ∂x2 • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok − 1 ∂ 2 Z(x, t) v2 ∂t2 = 0. A fenti egyenlet az egydimenziós hullámegyenlet. Általánosı́tás három dimenzióra: közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok ∂ 2 Z(r, t) ∂x2 + ∂ 2 Z(r, t) ∂y 2 + ∂ 2 Z(r, t) ∂z 2 − 1 ∂ 2 Z(r, t) v2 ∂t2 =0 Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 9 / 51 Bevezetés Rendezzük nullára az egyenletet, ekkor Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok ∂ 2 Z(x, t) ∂x2 • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési

sebesség • Hullámok − 1 ∂ 2 Z(x, t) v2 ∂t2 = 0. A fenti egyenlet az egydimenziós hullámegyenlet. Általánosı́tás három dimenzióra: közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok ∂ 2 Z(r, t) ∂x2 + ∂ 2 Z(r, t) ∂y 2 + ∂ 2 Z(r, t) ∂z 2 − 1 ∂ 2 Z(r, t) v2 ∂t2 =0 Egyszerűsı́tett jelöléssel a hullámegyenlet tehát: Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus △Z(r, t) − 1 ∂ 2 Z(r, t) v2 ∂t2 =0 9 / 51 Periodikus és harmonikus hullámok Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál Milyen lehet Z(x, t) függvény konkrét alakja? Periodikus hullámok Ha a feszı́tett kötél végét úgy mozgatjuk, hogy a kötél

elejének kitérése időben periodikusan változik T periódusidővel, és ennek hatására a kötélen v sebességű hullám terjed, akkor a hullám képe a térben is periodikus lesz. A térbeli periódust a hullám λ hullámhossz ának nevezzük, és érvényes rá: • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag λ = vT Harmonikus hullámok Ha a kötél végét úgy mozgatjuk, hogy az harmonikus rezgőmozgást végez T periódusidővel, A amplitúdóval, és a kialakuló hullám sebessége v , akkor a Z(x, t) függvény alakja: Doppler-effektus Z(x, t) = A sin ( 2π λ x− 2π T t) 10 / 51 A hullámszám Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok Z v x • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok

vt λ közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus Vezessük be a következő jelöléseket: ω= 2π T k= 2π λ ω -körfrekvencia, k-hullámszám Így az egyenes menti harmonikus hullámot leı́ró függvény: Z(x, t) = A sin (kx − ωt) 11 / 51 Terjedési sebesség Bevezetés Z Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok x • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok B • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás A T ΘB F ΘA T ∆x Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv A vizsgált kötéldarab tömege µ · ∆x. Az erre a kötéldarabra ható eredő erő zavarirányú komponense

Hullámcsomag Doppler-effektus F = T (sin (ΘB ) − sin (ΘA)) 12 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és A ΘA és ΘB szögek kicsik. Ennek köszönhetően ezen szögek szinuszai helyettesı́thetőek tangenseikkel. Tehát: F ∼ T (tan (ΘB ) − tan (ΘA)) harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, Vegyük észre, hogy az A és B pontokban felı́rt tangensek valójában a Z(x, t) függvény x szerinti parciális deriváltjai. Ezek után az F a következő módon alakul: intenzitás F = T (( Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag ∂Z ∂x )B − ( ∂Z ∂x )A) A deriváltak definı́ciója alapján elvégezhetjük a következő közelı́tést ha ∆x elég kicsi: Doppler-effektus

( ∂Z ∂x )B − ( ∂Z ∂x )A = ∂ 2Z ∂x2 ∆x 13 / 51 Bevezetés Arra jutottunk, hogy: Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok F =T ∂ 2Z ∂x2 ∆x Mivel a kötéldarab harmonikus rezgést végez az adott időpillanatban a hullám áthaladásának következtében a Z irányban, az F erő kifejezhető a következő módon is: közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag F = ma = µ∆x ∂ 2Z ∂t2 Az F erőt kétféleképpen is kifejeztük. Tehát: T ∂ 2Z ∂x2 ∆x = µ∆x ∂ 2Z ∂t2 Doppler-effektus 14 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és Hozzuk az előző

egyenletet a következő alakra: ∂ 2Z ∂x2 − µ ∂ 2Z T ∂t2 =0 harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, Látható, hogy az egydimenziós hullámegyenletet kaptuk, amelyben: 1 v2 = µ T intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Fejezzük ki innen a v terjedési sebességet! v= s T µ Hullámcsomag Doppler-effektus 15 / 51 Hullámok közeghatároknál Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, bejövő 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

visszavert intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Tapasztalat szerint ilyenkor a bejövő és visszavert hullámok alakjai egymás -1–szeresei, vagy más szóval invertáltjai”. ” Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 16 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, bejövő visszavert 1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Ebben az esetben a visszavert hullám és a bejövő hullám alakja megegyezik. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 17 / 51 Bevezetés

Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, A bejövő visszavert µ A > µB bejövő B áthaladó v A < vB A B áthaladó visszavert µ A < µB v A > v B intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Ha az első közeg sűrűsége a kisebb, azaz ebben a közegben terjednek a hullámok nagyobb sebességgel, akkor nagyobb sűrűségű közegről verődik vissza a hullám és invertálódik. Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus Ha az első közeg sűrűsége a nagyobb, azaz ebben a közegben terjednek a hullámok kisebb sebességgel, akkor kisebb sűrűségű közegről verődik vissza a hullám és nem invertálódik. 18 / 51 Energiaterjedés Bevezetés

Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok • Hullámegyenlet • Periodikus és Rezgő tömeg összenergiája: E(t) = Em(t) + V (t) = harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok = 1 2 2 mvmax 1 2 = 2 mv (t) + 1 2 1 2 Dx2 (t) = mω 2 A2 Kötélen terjedő harmonikus hullámban a kötél dm = µdx tömegű darabja harmonikus rezgőmozgást végez. Határozzuk meg azt az energiaáramot, ami a kötél adott keresztmetszetén áramlik keresztül. Ehhez ı́rjuk fel a húr λ hosszúságú darabjának összenergiáját: Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus E= Z λ 1 0 2 2 2 µω A dx = 1 2 µω 2 A2 λ 19 / 51 Energiaáram, intenzitás Bevezetés Egyenes menti hullámok • Egyenes menti hullámok •

Hullámegyenlet • Periodikus és harmonikus hullámok • A hullámszám • Terjedési sebesség • Hullámok közeghatároknál • Energiaterjedés • Energiaáram, intenzitás Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag A JE energiaáram, vagy átáramlott teljesı́tmény nem más, mint az egységnyi idő alatt átáramlott energia. Ahhoz, hogy a húr adott keresztmetszetén az egy hullámhosszban tárolt energia átáramoljon pontosan periódusidőnyi (T ) időre van szükség. Tehát a ∆t = T idő alatti átlagos energiaáram: JE = E ∆t = 1 2 A2 λ µω 2 T = 1 2 µω 2 A2 v Az egységnyi idő alatt a terjedési irányra merőleges egységnyi felületen keresztüláramló energiamennyiséget intenzitásnak nevezzük. A fenti átlagos energiaáramot osszuk le a húr S keresztmetszetével. Az ı́gy kapott mennyiség a vizsgált hullám

átlagos intenzitása: Doppler-effektus I= JE S = 1µ 2S 2 2 ω A v= 1 2 ρω 2 A2 v 20 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok • Gömbhullám • Sı́khullám Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Sı́kbeli- és térbeli hullámok Hullámcsomag Doppler-effektus 21 / 51 Gömbhullám Bevezetés Egyenes menti hullámok r2 Sı́kbeli- és térbeli hullámok • Gömbhullám • Sı́khullám r1 Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus I= Z(r, t) = JE 4πr 2 A0 r f (t − r v ) 22 / 51 Sı́khullám Bevezetés z Egyenes menti hullámok d Sı́kbeli- és térbeli hullámok n • Gömbhullám • Sı́khullám r Interferencia és állóhullámok t Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag y Doppler-effektus x t=0 Z(r, t) = f (t − Z(r, t) = f (t − d v ) n·r v ) 23 / 51 Bevezetés Egyenes

menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Interferencia és állóhullámok • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 24 / 51 Szuperpozı́ció elve Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus A tapasztalat azt mutatja, hogy ha egy közegben két vagy több

különböző forrásból származó hullám terjed, akkor a közeg pontjai az egyes hullámok által külön kiváltott rezgések (Zi(r, t)) algebrai összegének megfelelő eredő rezgést (Z(r, t)) végeznek. Z(r, t) = X Zi(r, t) i Tehát hullámok találkozásakor rezgéseket kell összegezni fázishelyesen”. ” Az eredő rezgés attól függ, hogy az összegzett rezgések fázisai hogyan viszonyulnak egymáshoz. 25 / 51 Erősı́tés és kioltás Bevezetés Egyenes menti hullámok Vizsgáljuk meg két azonos frekvenciájú és hullámhosszúságú egyenes menti harmonikus hullám találkozását egy pontban! Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg

állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 26 / 51 Erősı́tés és kioltás Bevezetés Egyenes menti hullámok Vizsgáljuk meg két azonos frekvenciájú és hullámhosszúságú egyenes menti harmonikus hullám találkozását egy pontban! Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai d1 S1 S2 Z1 + Z2 d2 A • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 26 / 51 Erősı́tés és kioltás Bevezetés Egyenes menti hullámok Vizsgáljuk meg két azonos frekvenciájú és hullámhosszúságú egyenes menti harmonikus hullám találkozását egy pontban! Sı́kbeli- és

térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai d1 S1 S2 Z1 + Z2 d2 A • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Z1 (x, t) = A1 sin (kx − ωt) Doppler-effektus 26 / 51 Erősı́tés és kioltás Bevezetés Egyenes menti hullámok Vizsgáljuk meg két azonos frekvenciájú és hullámhosszúságú egyenes menti harmonikus hullám találkozását egy pontban! Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai d1 S1 S2 Z1 + Z2

d2 A • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Z1 (x, t) = A1 sin (kx − ωt) Doppler-effektus Z2 (x, t) = A2 sin (kx − ωt + ϕ0 ) 26 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Legyen A1 = A2 = A és ϕ0 = 0. Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 27 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Legyen A1 = A2 = A és ϕ0 = 0. Z = A sin (kd1 − ωt) + A sin (kd2 − ωt) Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik

végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 27 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Legyen A1 = A2 = A és ϕ0 = 0. Z = A sin (kd1 − ωt) + A sin (kd2 − ωt) Szorzattá alakı́tva: k(d1 − d2 ) Z = 2A cos sin (ωt) 2 • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 27 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Legyen A1 = A2 = A és ϕ0 = 0. Z = A sin (kd1 − ωt) + A sin (kd2 − ωt) Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Szorzattá alakı́tva:

• Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv k(d1 − d2 ) Z = 2A cos sin (ωt) 2 Erősı́tés: k(d1 − d2 ) k|d1 − d2 | cos = ±1 ⇒ = nπ, 2 2 n = 0, 1, 2, . Hullámcsomag Doppler-effektus 27 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Legyen A1 = A2 = A és ϕ0 = 0. Z = A sin (kd1 − ωt) + A sin (kd2 − ωt) Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Szorzattá alakı́tva: • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv k(d1 − d2 ) Z = 2A cos sin

(ωt) 2 Erősı́tés: k(d1 − d2 ) k|d1 − d2 | cos = ±1 ⇒ = nπ, 2 2 n = 0, 1, 2, . Hullámcsomag Doppler-effektus Figyelembe véve, hogy k = 2π λ : |d1 − d2 | = 2n λ 2 27 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Kioltás k(d1 − d2 ) k|d1 − d2 | 1 cos =0⇒ = (n + )π, 2 2 2 n = 0, 1, 2, . Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 28 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik

végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Kioltás k(d1 − d2 ) k|d1 − d2 | 1 cos =0⇒ = (n + )π, 2 2 2 n = 0, 1, 2, . Figyelembe véve, hogy k = 2π λ : λ |d1 − d2 | = (2n + 1) 2 • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 28 / 51 Állóhullámok Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Keltsünk harmonikus hullámot L hosszúságú pálcán, amely az x-tengely mentén balra halad. 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 Z1 Z2 x L • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag

Doppler-effektus 29 / 51 Állóhullámok Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Keltsünk harmonikus hullámot L hosszúságú pálcán, amely az x-tengely mentén balra halad. 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 Z1 Z2 x L Z1 (x, t) = A sin (−kx − ωt) • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 29 / 51 Állóhullámok Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén

rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Keltsünk harmonikus hullámot L hosszúságú pálcán, amely az x-tengely mentén balra halad. 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 Z1 Z2 x L Z1 (x, t) = A sin (−kx − ωt) • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Visszavert hullám ,,invertált”: Hullámcsomag Doppler-effektus Z2 (x, t) = −A sin (kx − ωt) 29 / 51 Állóhullámok Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Keltsünk harmonikus hullámot L hosszúságú pálcán, amely az

x-tengely mentén balra halad. 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 Z1 Z2 x L Z1 (x, t) = A sin (−kx − ωt) • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Visszavert hullám ,,invertált”: Hullámcsomag Doppler-effektus Z2 (x, t) = −A sin (kx − ωt) 29 / 51 Bevezetés Interferencia: Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Z(x, t) = A(sin (−kx − ωt) − sin (kx − ωt)) = = −2A sin (kx) cos (ωt) • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 30 / 51 Bevezetés Interferencia: Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok

Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén Z(x, t) = A(sin (−kx − ωt) − sin (kx − ωt)) = = −2A sin (kx) cos (ωt) Látható, hogy x = 0 helyen Z(x, t) = 0 teljesül. rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 30 / 51 Mindkét végén rögzı́tett pálca Bevezetés Egyenes menti hullámok x = L helyen az eredő Z(x, t) = 0 minden időpillanatban. Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet

Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 31 / 51 Mindkét végén rögzı́tett pálca Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok x = L helyen az eredő Z(x, t) = 0 minden időpillanatban. Ekkor: sin (kL) = 0 ⇒ 2π L = nπ, λ n = 0, 1, 2, . • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 31 / 51 Mindkét végén rögzı́tett pálca Bevezetés Egyenes menti hullámok x = L helyen az eredő Z(x, t) = 0 minden időpillanatban. Ekkor: Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok •

Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai sin (kL) = 0 ⇒ 2π L = nπ, λ n = 0, 1, 2, . Átı́rva: L=n λ 2 • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 31 / 51 Mindkét végén rögzı́tett pálca Bevezetés Egyenes menti hullámok x = L helyen az eredő Z(x, t) = 0 minden időpillanatban. Ekkor: Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai sin (kL) = 0 ⇒ 2π L = nπ, λ n = 0, 1, 2, . Átı́rva: L=n λ 2 • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 31 / 51 Az egyik végén rögzı́tett pálca

Bevezetés Egyenes menti hullámok x = L helyen Z(x, t) = maximum minden időpillanatban. Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 32 / 51 Az egyik végén rögzı́tett pálca Bevezetés Egyenes menti hullámok x = L helyen Z(x, t) = maximum minden időpillanatban.Ekkor: Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok sin (kL) = ±1 ⇒ 1 2π L = (n + )π, λ 2 n = 0, 1, 2, . • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad

közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 32 / 51 Az egyik végén rögzı́tett pálca Bevezetés Egyenes menti hullámok x = L helyen Z(x, t) = maximum minden időpillanatban.Ekkor: Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai sin (kL) = ±1 ⇒ 1 2π L = (n + )π, λ 2 n = 0, 1, 2, . Átı́rva: λ L = (2n + 1) 4 • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 32 / 51 Az egyik végén rögzı́tett pálca Bevezetés Egyenes menti hullámok x = L helyen Z(x, t) = maximum minden időpillanatban.Ekkor: Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok •

Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai sin (kL) = ±1 ⇒ 1 2π L = (n + )π, λ 2 n = 0, 1, 2, . Átı́rva: λ L = (2n + 1) 4 • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 32 / 51 Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Bevezetés Egyenes menti hullámok x = 0, mind pedig az x = L helyen Z(x, t) = maximum minden időpillanatban. Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 33 / 51

Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Bevezetés Egyenes menti hullámok x = 0, mind pedig az x = L helyen Z(x, t) = maximum minden időpillanatban.Ekkor a megoldás: Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 33 / 51 Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Bevezetés Egyenes menti hullámok x = 0, mind pedig az x = L helyen Z(x, t) = maximum minden időpillanatban.Ekkor a megoldás: Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett

pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Az ábra alapján: • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 33 / 51 Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Bevezetés Egyenes menti hullámok x = 0, mind pedig az x = L helyen Z(x, t) = maximum minden időpillanatban.Ekkor a megoldás: Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Az ábra alapján: • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag L = 2n λ 4 Doppler-effektus 33 / 51 Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Bevezetés Egyenes menti hullámok x = 0, mind pedig az x = L helyen Z(x, t)

= maximum minden időpillanatban.Ekkor a megoldás: Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Az ábra alapján: • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus L = 2n λ 4 Mivel ν = λv , ı́gy előı́rások a frekvenciákra is! ⇒ sajátfrekvenciák. 33 / 51 Állóhullám-egyenlet Bevezetés Az előző esetekben mindig igaz volt: Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Z(x, t) = ϕ(x) sin (ωt + φ) Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét

végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 34 / 51 Állóhullám-egyenlet Bevezetés Az előző esetekben mindig igaz volt: Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai Z(x, t) = ϕ(x) sin (ωt + φ) Helyettesı́tsük ezt a függvényt az egydimenziós hullámegyenletbe. ∂ 2 Z(x, t) d2 ϕ(x) = sin (ωt + φ) ∂x2 dx2 ∂ 2 Z(x, t) 2 = −ω ϕ(x) sin (ωt + φ) ∂t2 • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 34 / 51 Állóhullám-egyenlet Bevezetés Az előző esetekben mindig igaz volt: Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli

hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Z(x, t) = ϕ(x) sin (ωt + φ) Helyettesı́tsük ezt a függvényt az egydimenziós hullámegyenletbe. ∂ 2 Z(x, t) d2 ϕ(x) = sin (ωt + φ) ∂x2 dx2 ∂ 2 Z(x, t) 2 = −ω ϕ(x) sin (ωt + φ) ∂t2 A behelyettesı́tés után a következő összefüggést kapjuk: Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus d2 ϕ(x) ω 2 { + 2 ϕ(x)} sin (ωt + φ) = 0 2 dx v 34 / 51 Állóhullám-egyenlet Bevezetés Az előző esetekben mindig igaz volt: Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok •

Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai • Állóhullám-egyenlet Z(x, t) = ϕ(x) sin (ωt + φ) Helyettesı́tsük ezt a függvényt az egydimenziós hullámegyenletbe. ∂ 2 Z(x, t) d2 ϕ(x) = sin (ωt + φ) ∂x2 dx2 ∂ 2 Z(x, t) 2 = −ω ϕ(x) sin (ωt + φ) ∂t2 A behelyettesı́tés után a következő összefüggést kapjuk: Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus d2 ϕ(x) ω 2 { + 2 ϕ(x)} sin (ωt + φ) = 0 2 dx v 34 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok • Szuperpozı́ció elve • Erősı́tés és kioltás • Állóhullámok • Mindkét végén rögzı́tett pálca • Az egyik végén rögzı́tett pálca • Mindkét végén szabad közeg állóhullámai ω2 Mivel v 2 = k 2 , és a fenti egyenletnek minden

időpillanatban fenn kell állnia: d2 ϕ(x) 2 + k ϕ(x) = 0 2 dx Ezt az egyenletet nevezzük az egydimenziós állóhullám-egyenletnek. • Állóhullám-egyenlet Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus 35 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés Huygens-Fresnel elv törvénye • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus 36 / 51 Huygens-Fresnel elv Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Hullámfelületnek, vagy hullámfrontnak nevezzük a hullámtér azon pontjainak halmazát, amelyek egy adott időpillanatban azonos fázisállapotban vannak. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye • Törés

törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus 37 / 51 Huygens-Fresnel elv Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés Hullámfelületnek, vagy hullámfrontnak nevezzük a hullámtér azon pontjainak halmazát, amelyek egy adott időpillanatban azonos fázisállapotban vannak. Huygens-Fresnel elv. A hullámfelület minden egyes pontja minden időpillanatban elemi gömbhullámok kiindulópontja, és ezen elemi gömbhullámok interferenciájaként áll elő a későbbi hullámkép. törvénye • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus 37 / 51 Huygens-Fresnel elv Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés

Hullámfelületnek, vagy hullámfrontnak nevezzük a hullámtér azon pontjainak halmazát, amelyek egy adott időpillanatban azonos fázisállapotban vannak. Huygens-Fresnel elv. A hullámfelület minden egyes pontja minden időpillanatban elemi gömbhullámok kiindulópontja, és ezen elemi gömbhullámok interferenciájaként áll elő a későbbi hullámkép. törvénye • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus 37 / 51 Elhajlás rés szélein Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus 38 / 51 Elhajlás rés szélein Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv •

Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus Általában igaz az, hogy az elhajlási jelenségek akkor válnak jelentőssé, ha a hullám útjába került akadályok mérete összemérhető a hullám hullámhosszával. 38 / 51 Visszaverődés törvénye Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok α α′ B Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés A α C α′ törvénye • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus 39 / 51 Visszaverődés törvénye Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok α α′ B Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés A α C α′ törvénye • Törés törvénye

Hullámcsomag Doppler-effektus Visszaverődés törvénye. Hullámok visszaverődésekor a beeső hullám valamint a visszavert hullám ugyanakkora szöget zár be a beesési merőlegessel. 39 / 51 Törés törvénye Bevezetés Egyenes menti hullámok α Sı́kbeli- és térbeli hullámok α B Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye v1 v2 C A β D β • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus 40 / 51 Törés törvénye Bevezetés Egyenes menti hullámok α Sı́kbeli- és térbeli hullámok α B Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye v1 v2 C A β D β • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus B pont C -be ∆t idő alatt. A-ból indult elemi gömbhullám sugara ezalatt v2

∆t. 40 / 51 Törés törvénye Bevezetés Egyenes menti hullámok α Sı́kbeli- és térbeli hullámok α B Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye v1 v2 C A β D β • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus B pont C -be ∆t idő alatt. A-ból indult elemi gömbhullám sugara ezalatt v2 ∆t. AC egyszer ABC -ből, egyszer pedig az ADC -ből. Ekkor: BC AD AC = = sin α sin β 40 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok BC = v1 ∆t, AD = v2 ∆t Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus 41 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok BC = v1

∆t, AD = v2 ∆t v1 ∆t v2 ∆t = sin α sin β Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye • Törés törvénye Hullámcsomag Doppler-effektus 41 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok BC = v1 ∆t, Sı́kbeli- és térbeli hullámok v1 ∆t v2 ∆t = sin α sin β Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye • Törés törvénye AD = v2 ∆t További átalakı́tások után: sin β sin α = v1 v2 Hullámcsomag Doppler-effektus 41 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok BC = v1 ∆t, Sı́kbeli- és térbeli hullámok v1 ∆t v2 ∆t = sin α sin β Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv • Huygens-Fresnel elv • Elhajlás rés szélein • Visszaverődés törvénye • Törés törvénye AD = v2 ∆t További

átalakı́tások után: sin β sin α = v1 v2 Hullámcsomag Doppler-effektus Törés törvénye. Hullámok törésekor érvényes a következő törési törvény: sin α = konstans v 41 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági Hullámcsomag reláció Doppler-effektus 42 / 51 Hullámcsomag Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Amennyiben a zavar csak rövid ideig tart, az ennek következtében kialakuló hullám térbeli mérete is korlátos lesz. Az ilyen, térben korlátos, hullámokat hullámcsomagnak nevezzük. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus 43 /

51 Hullámcsomag Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Amennyiben a zavar csak rövid ideig tart, az ennek következtében kialakuló hullám térbeli mérete is korlátos lesz. Az ilyen, térben korlátos, hullámokat hullámcsomagnak nevezzük. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus 43 / 51 Hullámcsomag Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Amennyiben a zavar csak rövid ideig tart, az ennek következtében kialakuló hullám térbeli mérete is korlátos lesz. Az ilyen, térben korlátos, hullámokat hullámcsomagnak nevezzük. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus

Bebizonyı́tható, hogy az ilyen hullámcsomag felfogható úgy, mint nagyon sok” különböző frekvenciájú és hullámhosszúságú ” harmonikus hullám összege. 43 / 51 Csoportsebesség Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Az egész csomag mozgását jellemző sebességet csoportsebességnek nevezzük, mı́g a csomagon belüli maximumhelyek haladási sebességét fázissebességnek nevezzük. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus 44 / 51 Csoportsebesség Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Az egész csomag mozgását jellemző sebességet csoportsebességnek nevezzük, mı́g a csomagon belüli maximumhelyek haladási

sebességét fázissebességnek nevezzük. Tudjuk, hogy: ω v= k • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus 44 / 51 Csoportsebesség Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus Az egész csomag mozgását jellemző sebességet csoportsebességnek nevezzük, mı́g a csomagon belüli maximumhelyek haladási sebességét fázissebességnek nevezzük. Tudjuk, hogy: ω v= k A csoportsebességre igaz, hogy: vg = dω dk 44 / 51 Diszperzió Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Diszperzió. Amikor egy közegben a terjedő harmonikus hullámok fázissebessége és hullámhossza függenek egymástól, akkor ebben a közegben

diszperzióról beszélünk. Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus 45 / 51 Diszperzió Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Diszperzió. Amikor egy közegben a terjedő harmonikus hullámok fázissebessége és hullámhossza függenek egymástól, akkor ebben a közegben diszperzióról beszélünk. ω = kv(k) Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági hiszen a diszperzió miatt a fázissebesség a hullámszám (hullámhossz) függvénye. reláció Doppler-effektus 45 / 51 Diszperzió Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Diszperzió. Amikor egy közegben a terjedő harmonikus hullámok

fázissebessége és hullámhossza függenek egymástól, akkor ebben a közegben diszperzióról beszélünk. Interferencia és állóhullámok ω = kv(k) Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus hiszen a diszperzió miatt a fázissebesség a hullámszám (hullámhossz) függvénye. vg = dω dv(k) = v(k) + k dk dk 45 / 51 Diszperzió Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Diszperzió. Amikor egy közegben a terjedő harmonikus hullámok fázissebessége és hullámhossza függenek egymástól, akkor ebben a közegben diszperzióról beszélünk. Interferencia és állóhullámok ω = kv(k) Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági hiszen a diszperzió miatt a fázissebesség a hullámszám

(hullámhossz) függvénye. vg = reláció Doppler-effektus dω dv(k) = v(k) + k dk dk dv(k) Ha dk < 0 akkor a csoportsebesség kisebb mint a fázissebesség. normális diszperzió 45 / 51 Diszperzió Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Diszperzió. Amikor egy közegben a terjedő harmonikus hullámok fázissebessége és hullámhossza függenek egymástól, akkor ebben a közegben diszperzióról beszélünk. Interferencia és állóhullámok ω = kv(k) Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági hiszen a diszperzió miatt a fázissebesség a hullámszám (hullámhossz) függvénye. vg = reláció Doppler-effektus dω dv(k) = v(k) + k dk dk dv(k) Ha dk < 0 akkor a csoportsebesség kisebb mint a fázissebesség. normális diszperzió dv(k) Ha dk > 0 akkor a csoportsebesség nagyobb mint a

fázissebesség. anomális diszperzió 45 / 51 Diszperzió Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Diszperzió. Amikor egy közegben a terjedő harmonikus hullámok fázissebessége és hullámhossza függenek egymástól, akkor ebben a közegben diszperzióról beszélünk. Interferencia és állóhullámok ω = kv(k) Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági hiszen a diszperzió miatt a fázissebesség a hullámszám (hullámhossz) függvénye. vg = reláció Doppler-effektus dω dv(k) = v(k) + k dk dk dv(k) Ha dk < 0 akkor a csoportsebesség kisebb mint a fázissebesség. normális diszperzió dv(k) Ha dk > 0 akkor a csoportsebesség nagyobb mint a fázissebesség. anomális diszperzió Diszperzió hiányában a csoportsebesség és fázissebesség megegyeznek egymással! 45 / 51

Határozatlansági reláció Bevezetés 1 Egyenes menti hullámok 0.8 0.6 0.4 Z Sı́kbeli- és térbeli hullámok 0.2 Interferencia és állóhullámok 0 −0.2 Huygens-Fresnel elv −0.4 −50 0 x 50 Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus 46 / 51 Határozatlansági reláció Bevezetés 1 Egyenes menti hullámok 0.8 0.6 0.4 Z Sı́kbeli- és térbeli hullámok 0.2 Interferencia és állóhullámok 0 −0.2 Huygens-Fresnel elv −0.4 −50 0 x 50 Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági Jellemezze a térben lecsengő hullámcsomag méretét ∆x. reláció Doppler-effektus 46 / 51 Határozatlansági reláció Bevezetés 1 Egyenes menti hullámok 0.8 0.6 0.4 Z Sı́kbeli- és térbeli hullámok 0.2 Interferencia és állóhullámok 0 −0.2 Huygens-Fresnel

elv −0.4 −50 0 x 50 Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Jellemezze a térben lecsengő hullámcsomag méretét ∆x. Nagyobb ∆k ⇒ kisebb ∆x és fordı́tva. Doppler-effektus 46 / 51 Határozatlansági reláció Bevezetés 1 Egyenes menti hullámok 0.8 0.6 0.4 Z Sı́kbeli- és térbeli hullámok 0.2 Interferencia és állóhullámok 0 −0.2 Huygens-Fresnel elv −0.4 −50 0 x 50 Hullámcsomag • Hullámcsomag • Csoportsebesség • Diszperzió • Határozatlansági reláció Doppler-effektus Jellemezze a térben lecsengő hullámcsomag méretét ∆x. Nagyobb ∆k ⇒ kisebb ∆x és fordı́tva. A fentebb megsejtett összefüggés ı́gy is megfogalmazható: Határozatlansági reláció. Minél keskenyebb sávból válogatjuk a hullámcsomagot alkotó harmonikus hullámok hullámszámait, annál nagyobb lesz a

hullámcsomag térbeli kiterjedése. ∆x∆k ∼ konstans 46 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások 47 / 51 Mozgó források esete Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv M F1 F2 vf T λ ′ λ Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások 48 / 51 Mozgó források esete Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok M F1 F2 vf T λ Huygens-Fresnel elv ′ λ Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások

′ λ = λ − vf T 48 / 51 Mozgó források esete Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok M F1 F2 vf T λ Huygens-Fresnel elv ′ λ Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások ′ λ = λ − vf T vf c c − ′ = ν ν ν 48 / 51 Mozgó források esete Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok M F1 F2 vf T λ Huygens-Fresnel elv ′ λ Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások ′ λ = λ − vf T vf c c − ′ = ν ν ν c ν =ν c − vf ′ 48 / 51 Mozgó megfigyelő esete Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok vm T F M2 M1 Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag

Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások 49 / 51 Mozgó megfigyelő esete Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok vm T Interferencia és állóhullámok F M2 M1 Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások vm ∆t ν ∆t = ν∆t + λ ′ 49 / 51 Mozgó megfigyelő esete Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok vm T Interferencia és állóhullámok F M2 M1 Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások vm ∆t ν ∆t = ν∆t + λ ′ c λ= ν 49 / 51 Mozgó megfigyelő esete Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok vm T Interferencia és állóhullámok F M2 M1

Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások vm ∆t ν ∆t = ν∆t + λ ′ c λ= ν vm ν c + vm ν =ν+ =ν c c ′ 49 / 51 Bevezetés Egyenes menti hullámok Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Összefoglalva a két esetet: c + vm ν =ν c − vf ′ Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások 50 / 51 Szuperszónikus mozgások Bevezetés Egyenes menti hullámok Ha vf > c, akkor szuperszónikus mozgásokról beszélünk. Sı́kbeli- és térbeli hullámok Interferencia és állóhullámok Huygens-Fresnel elv Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások 51 / 51 Szuperszónikus mozgások Bevezetés Egyenes menti

hullámok Ha vf > c, akkor szuperszónikus mozgásokról beszélünk. Sı́kbeli- és térbeli hullámok c Interferencia és állóhullámok Θ Huygens-Fresnel elv vf Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő esete • Szuperszónikus mozgások S1 S2 S c 51 / 51 Szuperszónikus mozgások Bevezetés Egyenes menti hullámok Ha vf > c, akkor szuperszónikus mozgásokról beszélünk. Sı́kbeli- és térbeli hullámok c Interferencia és állóhullámok Θ Huygens-Fresnel elv vf Hullámcsomag Doppler-effektus • Mozgó források esete • Mozgó megfigyelő S1 esete • Szuperszónikus mozgások S2 S c A Huygens-Fresnel elv alapján: sin Θ = c∆t c = vf ∆t vf 51 / 51