Fizika | Hangtan » Horváth András - Hangtan II, előadás

Hangtan II. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29 A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség A hang terjedése gázokban gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 2 / 32 Bevezetés A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hang longitudinális hullámként terjed gázokban. Most ennek a terjedésnek a részletes leírásával foglalkozunk. Cél: a nagy léptékekben megmérhető mennyiségek (pl. hangintenzitás, frekvencia) és a mikroszkopikus, közvetlenül nehezen mérhető mennyiségek (pl. a

levegőrészek elmozdulása, a hang által létrehozott nyomásváltozás) közötti kapcsolat. • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 3 / 32 Bevezetés A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A hang longitudinális hullámként terjed gázokban. Most ennek a terjedésnek a részletes leírásával foglalkozunk. Cél: a nagy léptékekben megmérhető mennyiségek (pl. hangintenzitás, frekvencia) és a mikroszkopikus, közvetlenül nehezen mérhető mennyiségek (pl. a levegőrészek elmozdulása, a hang által létrehozott nyomásváltozás) közötti kapcsolat. • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang

terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben A gáz nyugalmi állapotát jellemzi az egyensúlyi nyomás, sűrűség, hőmérséklet és az, hogy a gáz nyugalomban van. A hang terjedése során a nyomás, sűrűség, stb. kissé megváltoznak. Sejtés: a változások kicsik a nyugalmi értékekhez képest. (Ha nem így lenne, a hang látható hatásokat okozna a levegőben.) 3 / 32 Egyszerűsítések A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között Csak a síkhullám esettel foglalkozunk. (Bármilyen hullám kis része jól közelíthető ezzel.) x-tengely: terjedési irányban. x-re merőlegesen semmi sem változik, ezért mindent x függvényeként adunk meg. p = p0 ∆x0 • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban x • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang

terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben x p = p0 + ∆p(x, t) ξ(x, t) ∆x(x, t) Az ábrán jelölt levegőrétegek mozgását vizsgáljuk. 4 / 32 Jelölések A hang terjedése gázokban p = p0 ∆x0 • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között x • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban x • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben p = p0 + ∆p(x, t) ξ(x, t) ∆x(x, t) • ∆x0 : rétegek nyugalmi vastagsága • ∆x(x,t): torzuló réteg vastagsága az x helyen, t időben • ξ(x,t): az eredetileg x helyen levő gázrész elmozdulása az egyensúlyi helyzethez képest • p0 : nyugalmi állapot nyomása • p(x,t) = p0 + ∆p(x,t): a nyomás hely és időfüggése 5 / 32 Alapvető összefüggések A hang

terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között ξ(x,t)-ből a gázrétegek sebessége és gyorsulása: ∂ξ(x,t) v(x,t) = ∂t ∂ 2 ξ(x,t) a(x,t) = ∂t2 Fontos! Nem a gáz részecskéinek, hanem sok gázrészecskéből álló rétegnek a mozgásáról van szó. • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 6 / 32 Alapvető összefüggések A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között ξ(x,t)-ből a gázrétegek sebessége és gyorsulása: ∂ξ(x,t) v(x,t) = ∂t ∂ 2 ξ(x,t) a(x,t) = ∂t2 Fontos! Nem a gáz részecskéinek, hanem sok

gázrészecskéből álló rétegnek a mozgásáról van szó. • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban Egy gázréteg tömege végig ugyanaz, mint kezdetben: • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben ∆m = ∆x0 A̺0 = ∆xA̺ ahol A a vizsgált keresztmetszet nagysága, ̺0 a gáz nyugalmi, ̺ pedig a pillanatnyi sűrűsége. 6 / 32 A gázrétegek mozgásegyenlete Egy gázrétegre a szomszédos gázrétegek nyomása gyakorol erőt: p(x + ∆x,t) − p(x,t) ∆xA F = p(x,t)A − p(x + ∆x)A = − ∆x Mivel ∆x kicsi, ezért jó közelítéssel: F =− ∂p(x,t) ∆xA ∂x 7 / 32 A gázrétegek mozgásegyenlete Egy gázrétegre a szomszédos gázrétegek nyomása gyakorol erőt: p(x + ∆x,t) − p(x,t) ∆xA F = p(x,t)A − p(x + ∆x)A = − ∆x Mivel ∆x kicsi, ezért jó közelítéssel: F =− ∂p(x,t) ∆xA ∂x Newton II. törvény szerint: F =

∆ma(x,t) = − ∂p(x,t) ∆xA. ∂x A gyorsulás és a gázréteg tömegének fenti kifejezéseivel: ∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ∆xA̺ =− ∆xA ∂t2 ∂x ⇒ ∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ̺ =− ∂t2 ∂x 7 / 32 Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A sűrűsödés-ritkulás gyors: adiabatikus változások: pV κ =állandó, ahol κ a gáz specifikus fajhőhányadosa. (Termodinamika) p(x,t)V (x,t)κ = p(x,t)(∆x(x,t)A)κ = állandó Mivel A állandó: p(x,t)(∆x(x,t))κ = p0 (∆x0 )κ 8 / 32 Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A sűrűsödés-ritkulás gyors: adiabatikus változások: pV κ =állandó, ahol κ a gáz specifikus fajhőhányadosa. (Termodinamika) p(x,t)V (x,t)κ = p(x,t)(∆x(x,t)A)κ = állandó Mivel A állandó: p(x,t)(∆x(x,t))κ = p0 (∆x0 )κ ∆x0 x ξ(x + ∆x0 , t) ξ(x, t) x ∆x(x,t) = ∆x0 + ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) ∆x0 + ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) p(x,t) ∆x0   p(x,t) 1 + ξ(x + ∆x0 ,t) −

ξ(x,t) ∆x0 κ κ = p0 = p0 ∆x0 + ξ(x + ∆x0 , t) − ξ(x, t) 8 / 32 Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A sűrűsödés-ritkulás gyors: adiabatikus változások: pV κ =állandó, ahol κ a gáz specifikus fajhőhányadosa. (Termodinamika) p(x,t)V (x,t)κ = p(x,t)(∆x(x,t)A)κ = állandó Mivel A állandó: p(x,t)(∆x(x,t))κ = p0 (∆x0 )κ ∆x0 x ξ(x + ∆x0 , t) ξ(x, t) x ∆x0 + ξ(x + ∆x0 , t) − ξ(x, t) ∆x(x,t) = ∆x0 + ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) ∆x0 + ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) p(x,t) ∆x0   p(x,t) 1 + ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) ∆x0 ∂ξ(x,t) p(x,t) 1 + ∂x  κ κ κ = p0 = p0 = p0 8 / 32 A hullámegyenlet A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között Kicsi nyomásváltozások: |∆p(x,t)| ≪ p0 és |∂ξ/∂x| ≪ 1. Ezért:  ∂ξ(x,t) 1+

∂x κ ∂ξ(x,t) ≈1+κ ∂x • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 9 / 32 A hullámegyenlet A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség Kicsi nyomásváltozások: |∆p(x,t)| ≪ p0 és |∂ξ/∂x| ≪ 1. Ezért:  alapján: ∂ξ(x,t) (p0 + ∆p(x,t)) 1 + κ ∂x • Érdekességek Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben ∂ξ(x,t) ≈1+κ ∂x p(x,t) = p0 + ∆p(x,t) és p(x,t) (1 + ∂ξ(x,t)/∂x)κ = p0 gázokban A harmonikus hanghullám leírása ∂ξ(x,t) 1+ ∂x κ  azaz  1+ ∆p(x,t) p0  1+κ  ∂ξ(x,t) ∂x = p0  =1 9 / 32 A hullámegyenlet A hang terjedése

gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség Kicsi nyomásváltozások: |∆p(x,t)| ≪ p0 és |∂ξ/∂x| ≪ 1. Ezért:  alapján: ∂ξ(x,t) (p0 + ∆p(x,t)) 1 + κ ∂x • Érdekességek Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben ∂ξ(x,t) ≈1+κ ∂x p(x,t) = p0 + ∆p(x,t) és p(x,t) (1 + ∂ξ(x,t)/∂x)κ = p0 gázokban A harmonikus hanghullám leírása ∂ξ(x,t) 1+ ∂x κ  azaz  1+ ∆p(x,t) p0  1+κ  ∂ξ(x,t) ∂x = p0  =1 Egyszerű átalakításokkal: ∆p(x,t) ∂ξ(x,t) ∆p(x,t) ∂ξ(x,t) +κ + ·κ =0 p0 dx p0 dx 9 / 32 A hullámegyenlet A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a

nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség Kicsi nyomásváltozások: |∆p(x,t)| ≪ p0 és |∂ξ/∂x| ≪ 1. Ezért:  alapján: ∂ξ(x,t) (p0 + ∆p(x,t)) 1 + κ ∂x • Érdekességek Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben ∂ξ(x,t) ≈1+κ ∂x p(x,t) = p0 + ∆p(x,t) és p(x,t) (1 + ∂ξ(x,t)/∂x)κ = p0 gázokban A harmonikus hanghullám leírása ∂ξ(x,t) 1+ ∂x κ  azaz  1+ ∆p(x,t) p0  1+κ  ∂ξ(x,t) ∂x = p0  =1 Egyszerű átalakításokkal: ∆p(x,t) ∂ξ(x,t) ∆p(x,t) ∂ξ(x,t) +κ + ·κ =0 p0 dx p0 dx Az utolsó tag elhanyagolható: (két kicsi tag szorzata) 9 / 32 A hullámegyenlet (folyt ∂ξ(x,t) ∆p(x,t) = −κp0 ∂x és a korábban kapott ∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ̺ =− ∂t2 ∂x alapján: ∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ∂(p0 + ∆p(x,t)) ∂ 2 ξ(x,t) ̺ =− =− = κp0 2 ∂t ∂x ∂x ∂x2 10 / 32 A hullámegyenlet (folyt ∂ξ(x,t) ∆p(x,t) =

−κp0 ∂x és a korábban kapott ∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ̺ =− ∂t2 ∂x alapján: ∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ∂(p0 + ∆p(x,t)) ∂ 2 ξ(x,t) ̺ =− =− = κp0 2 ∂t ∂x ∂x ∂x2 ̺ ≈ ̺0 miatt: (kis változások) ∂ 2 ξ(x,t) κp0 ∂ 2 ξ(x,t) = 2 ∂t ̺0 ∂x2 10 / 32 A hullámegyenlet (folyt ∂ξ(x,t) ∆p(x,t) = −κp0 ∂x és a korábban kapott ∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ̺ =− ∂t2 ∂x alapján: ∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ∂(p0 + ∆p(x,t)) ∂ 2 ξ(x,t) ̺ =− =− = κp0 2 ∂t ∂x ∂x ∂x2 ̺ ≈ ̺0 miatt: (kis változások) ∂ 2 ξ(x,t) κp0 ∂ 2 ξ(x,t) = 2 ∂t ̺0 ∂x2 Ez egy hullámegyenlet. Megoldása: ξ(x,t) = f (x ± ct), ahol c= r κp0 ̺0 a terjedési sebeség. 10 / 32 A hangsebesség gázokban A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A

hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Az előzőekben kapott c = állapotegyenlete, azaz p κp0 /̺0 összefüggés az ideális gázok pV = m RT µ alapján átírható: c= s κ RT µ (R = 8,31 J/(mol K) az univerzális gázállandó, T a hőmérséklet (kelvinben), µ a gáz átlagos móltömege kg/mol-ban.) Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 11 / 32 A hangsebesség gázokban A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben Az előzőekben kapott c = állapotegyenlete, azaz p κp0 /̺0 összefüggés az ideális gázok pV = m RT µ alapján átírható: c=

s κ RT µ (R = 8,31 J/(mol K) az univerzális gázállandó, T a hőmérséklet (kelvinben), µ a gáz átlagos móltömege kg/mol-ban.) Hosszú levezetés után egyszerű eredményt kaptunk. Jegyezzük meg: a fizika alaptörvényeiből ez levezethető volt. 11 / 32 Két példa A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető Példa: Ellenőrizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levegő adatainak felhasználásával! összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 12 / 32 Két példa A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a

térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek Példa: Ellenőrizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levegő adatainak felhasználásával! Megoldás: A levegő adatai: κ = 1,4, µ = 29 g/mol=0,029 kg/mol. T = 273 K esetén: c= s 8,31 · 273 m 1,4 · = 330,9 0,029 s A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 12 / 32 Két példa A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben Példa: Ellenőrizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levegő adatainak felhasználásával!

Megoldás: A levegő adatai: κ = 1,4, µ = 29 g/mol=0,029 kg/mol. T = 273 K esetén: c= s 8,31 · 273 m 1,4 · = 330,9 0,029 s Példa: Mekkora a hang terjedési sebessége 273 K-en tiszta H2 gázban? A hidrogéngáz esetén κ = 1,4 és µ = 2 g/mol értékekkel számolhatunk. 12 / 32 Két példa A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben Példa: Ellenőrizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levegő adatainak felhasználásával! Megoldás: A levegő adatai: κ = 1,4, µ = 29 g/mol=0,029 kg/mol. T = 273 K esetén: c= s 8,31 · 273 m 1,4 · = 330,9 0,029 s Példa: Mekkora a hang terjedési sebessége 273 K-en

tiszta H2 gázban? A hidrogéngáz esetén κ = 1,4 és µ = 2 g/mol értékekkel számolhatunk. Megoldás: Egyszerű behelyettesítéssel c = 1260 m/s adódik, ami a hidrogéngázban mért értékkel megegyezik. 12 / 32 Még egy példa A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető Példa: Hány százalékkal terjed gyorsabban a hang a nyári, 30◦ C-os melegben, mint a téli −20◦ C-os hidegben? összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 13 / 32 Még egy példa A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet

• A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Példa: Hány százalékkal terjed gyorsabban a hang a nyári, 30◦ C-os melegben, mint a téli −20◦ C-os hidegben? Megoldás: Ha csak a hőmérséklet-különbségek okoznak változást, akkor a hangsebességek aránya: q 2 κ RT µ c2 =q = 1 c1 κ RT µ s T2 = T1 r 303 = 1,09 253 A nyári melegben tehát kb. 9%-kal terjed gyorsabban a hang, mint a téli hidegben. Hullámok terjedése szilárd testekben 13 / 32 Érdekességek A hang terjedése gázokban • Bevezetés • Egyszerűsítések • Jelölések • Alapvető összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között • A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban • Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban A hangsebesség hőmérsékletfüggése érdekes jelenségeket okoz. Töréstörvény:

(hullámtan) √ sin α1 c1 T1 = =√ sin α2 c2 T2 A hang tehát eltér irányától, ha nem merőlegesen érkezik egy határra, ahol a hőmérséklet megváltozik. Ez szabad téren sokszor jelentkező hatás. meleg hideg meleg hideg Hullámok terjedése szilárd testekben Emiatt lehet, hogy egy vonat zakatolása 500 m-ről alig, 2 km-ről jól hallható. Ezért változik, mennyire hangosan hallatszik a magasan repülő repülők hangja, stb. 14 / 32 A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia A harmonikus hanghullám leírása • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 15 / 32 Alapvető összefüggések A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete Harmonikus hullám esetén:

ξ(x,t) = ξm sin(kx − ωt), ahol k = 2π/λ a hullámszám, ω a körfrekvencia. • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 16 / 32 Alapvető összefüggések A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben Harmonikus hullám esetén: ξ(x,t) = ξm sin(kx − ωt), ahol k = 2π/λ a hullámszám, ω a körfrekvencia. A gázrétegek sebessége: ∂ξ(x,t) v(x,t) = = −ξm ω cos(kx − ωt) ∂t ebből a sebesség amplitúdója: vm = ξm ω . 16 / 32 Alapvető összefüggések A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A

hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben Harmonikus hullám esetén: ξ(x,t) = ξm sin(kx − ωt), ahol k = 2π/λ a hullámszám, ω a körfrekvencia. A gázrétegek sebessége: ∂ξ(x,t) v(x,t) = = −ξm ω cos(kx − ωt) ∂t ebből a sebesség amplitúdója: vm = ξm ω . A gyorsulás: ∂ 2 ξ(x,t) 2 a(x,t) = = −ξ ω sin(kx − ωt) m 2 ∂t 16 / 32 A gázréteg mozgásegyenlete Fentebb levezettük, hogy ̺a(x,t) = −∂p/∂x, ezért: ∂p(x,t) ̺ −ξm ω sin(kx − ωt) = − ∂x  2 Normál hang esetén ̺ ≈ ̺0 , ezért  ∂p(x,t) = ̺0 ξm ω 2 sin(kx − ωt) ∂x 17 / 32 A gázréteg mozgásegyenlete Fentebb levezettük, hogy ̺a(x,t) = −∂p/∂x, ezért: ∂p(x,t) ̺ −ξm ω sin(kx − ωt) = − ∂x  2 Normál hang esetén ̺ ≈ ̺0 , ezért  ∂p(x,t) = ̺0 ξm ω 2 sin(kx − ωt) ∂x Ennek mindkét oldalát x

szerint integrálva: 1 p(x,t) = p0 − ̺0 ξm ω 2 cos(kx − ωt) = p0 − ̺0 cξm ω cos(kx − ωt). k (k = 2π/λ, ω = 2πf és c = f λ felhasználásával.) 17 / 32 A gázréteg mozgásegyenlete Fentebb levezettük, hogy ̺a(x,t) = −∂p/∂x, ezért: ∂p(x,t) ̺ −ξm ω sin(kx − ωt) = − ∂x  2 Normál hang esetén ̺ ≈ ̺0 , ezért  ∂p(x,t) = ̺0 ξm ω 2 sin(kx − ωt) ∂x Ennek mindkét oldalát x szerint integrálva: 1 p(x,t) = p0 − ̺0 ξm ω 2 cos(kx − ωt) = p0 − ̺0 cξm ω cos(kx − ωt). k (k = 2π/λ, ω = 2πf és c = f λ felhasználásával.) A harmonikus nyomásingadozások amplitúdója: pm = ̺0 cξm ω . 17 / 32 A hang energiája Gázrétegek: harmonikus rezgőmozgás. A korábban tanultak szerint egy rétegben tárolt energia: 1 1 2 2 = A∆x0 ̺0 vm E = ∆mvm 2 2 Energiasűrűség: e= E 1 2 = ̺0 vm V 2 18 / 32 A hang energiája Gázrétegek: harmonikus rezgőmozgás. A korábban tanultak szerint egy

rétegben tárolt energia: 1 1 2 2 = A∆x0 ̺0 vm E = ∆mvm 2 2 Energiasűrűség: e= E 1 2 = ̺0 vm V 2 Ez c sebességgel terjed. Egy A nagyságú, a terjedési irányra merőleges felületre ∆t alatt Ac∆t térfogatú tartományból érkezik az e energiasűrűségű energia: 1 2 · Ac∆t ∆E = e · Ac∆t = ̺0 vm 2 18 / 32 A hang energiája Gázrétegek: harmonikus rezgőmozgás. A korábban tanultak szerint egy rétegben tárolt energia: 1 1 2 2 = A∆x0 ̺0 vm E = ∆mvm 2 2 Energiasűrűség: e= E 1 2 = ̺0 vm V 2 Ez c sebességgel terjed. Egy A nagyságú, a terjedési irányra merőleges felületre ∆t alatt Ac∆t térfogatú tartományból érkezik az e energiasűrűségű energia: 1 2 · Ac∆t ∆E = e · Ac∆t = ̺0 vm 2 ∆E 1 2 P = = ̺0 vm · Ac ∆t 2 18 / 32 A hang energiája Gázrétegek: harmonikus rezgőmozgás. A korábban tanultak szerint egy rétegben tárolt energia: 1 1 2 2 = A∆x0 ̺0 vm E = ∆mvm 2 2

Energiasűrűség: e= E 1 2 = ̺0 vm V 2 Ez c sebességgel terjed. Egy A nagyságú, a terjedési irányra merőleges felületre ∆t alatt Ac∆t térfogatú tartományból érkezik az e energiasűrűségű energia: 1 2 · Ac∆t ∆E = e · Ac∆t = ̺0 vm 2 ∆E 1 2 P = = ̺0 vm · Ac ∆t 2 P 1 2 I= = c̺0 vm (= ec) A 2 18 / 32 Összefoglalás A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete A hangról levezetett ismeretek összefoglalása. Hullámegynelet: 2 ∂ 2 ξ(x,t) 2 ∂ ξ(x,t) =c 2 ∂t ∂x2 • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 19 / 32 Összefoglalás A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia

A hangról levezetett ismeretek összefoglalása. Hullámegynelet: Hangsebesség: 2 ∂ 2 ξ(x,t) 2 ∂ ξ(x,t) =c 2 ∂t ∂x2 c= r κp0 = ̺0 s RT κ µ • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 19 / 32 Összefoglalás A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben A hangról levezetett ismeretek összefoglalása. Hullámegynelet: Hangsebesség: 2 ∂ 2 ξ(x,t) 2 ∂ ξ(x,t) =c 2 ∂t ∂x2 c= r κp0 = ̺0 s RT κ µ Harmonikus hanghullám esetén pedig a levegő egyes darabjai harmonikus rezgőmozgást végeznek ξm amplitúdóval, ω körfrekvenciával, vm = ξm ω sebességamplitúdóval, pm = ̺0 cξm ω nyomás-amplitúdóval. 2 = (1/2)p2 /(̺ c). A hangintenzitás: I =

(1/2)c̺0 vm 0 m 19 / 32 Az akusztikus impedancia A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus Akusztikus impedancia: Z = ̺0 c. Az előző összefüggések így kicsit egyszerűbbek lesznek: pm = Zξm ω = Zvm 1 2 1 p2m I = Zvm = 2 2 Z impedancia • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 20 / 32 Az akusztikus impedancia A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia Akusztikus impedancia: Z = ̺0 c. Az előző összefüggések így kicsit egyszerűbbek lesznek: pm = Zξm ω = Zvm 1 2 1 p2m I = Zvm = 2 2 Z Néhány gáz adatai: • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Anyag Hullámok terjedése szilárd testekben

levegő (0◦ C) levegő (20◦ C) levegő (40◦ C) H2 (0◦ C) CO2 (0◦ C) vízgőz (100◦ C) c [m/s] ̺ [kg/m3 ] Z [kg/(m2 s)] 332 344 355 1284 259 405 1,29 1,21 1,13 0,089 1,96 0,6 428 416 400 114 507 243 20 / 32 Egy példa A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete Példa: Számoljuk ki egy 80 dB-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 21 / 32 Egy példa A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia Példa: Számoljuk ki egy 80 dB-es, 1000 Hz

frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = ̺0 c = 428 kg/(m2 s). A 80 dB-es hang intenzitása: I = I0 · 1080/10 = 10−4 W/m2 . • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 21 / 32 Egy példa A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia Példa: Számoljuk ki egy 80 dB-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = ̺0 c = 428 kg/(m2 s). A 80 dB-es hang intenzitása: I = I0 · 1080/10 = 10−4 W/m2 . • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 1 2 I = Zvm 2 ⇒ vm = s 2I −4 m = 6,88

· 10 Z s 21 / 32 Egy példa A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia Példa: Számoljuk ki egy 80 dB-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = ̺0 c = 428 kg/(m2 s). A 80 dB-es hang intenzitása: I = I0 · 1080/10 = 10−4 W/m2 . • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 1 2 I = Zvm 2 1 p2m I= 2 Z ⇒ ⇒ vm = s pm = 2I −4 m = 6,88 · 10 Z s √ 2IZ = 0,29 Pa 21 / 32 Egy példa A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia Példa: Számoljuk ki egy 80 dB-es, 1000 Hz

frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = ̺0 c = 428 kg/(m2 s). A 80 dB-es hang intenzitása: I = I0 · 1080/10 = 10−4 W/m2 . • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 1 2 I = Zvm 2 ⇒ 1 p2m I= 2 Z vm = ξm ω ⇒ vm = ⇒ s pm = ξm = 2I −4 m = 6,88 · 10 Z s √ 2IZ = 0,29 Pa vm vm = = 1,1 · 10−7 m ω 2πf 21 / 32 Egy példa A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia Példa: Számoljuk ki egy 80 dB-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegőbeli terjedése során fellépő elmozdulás, sebesség és nyomásamplitúdók nagyságát, ha a hőmérséklet 273 K! Megoldás: Z = ̺0 c = 428 kg/(m2 s). A 80 dB-es hang intenzitása: I = I0 ·

1080/10 = 10−4 W/m2 . • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben 1 2 I = Zvm 2 ⇒ 1 p2m I= 2 Z vm = ξm ω ⇒ vm = ⇒ s pm = ξm = 2I −4 m = 6,88 · 10 Z s √ 2IZ = 0,29 Pa vm vm = = 1,1 · 10−7 m ω 2πf Érdekes, milyen kicsi változásokat okoz ez az erősen hallható hang. 21 / 32 Érdekesség A hang terjedése gázokban Az erős hangok által okozott elmozdulások is kicsik. A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete Kivétel: erős, de mély hangok esete. Például egy 110 dB-es, 20 Hz-es hang esetén a levegőrészek elmozdulása több, mint 0,1 mm. Ezt 60 fonosnak érezzük, tehát közepesen erős • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia A 0,1 mm-es változás viszont érzékelhető pl. a bőr felszínén Ekkor érezhető is a hang. • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése

szilárd testekben 22 / 32 Érdekesség A hang terjedése gázokban Az erős hangok által okozott elmozdulások is kicsik. A harmonikus hanghullám leírása • Alapvető összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete Kivétel: erős, de mély hangok esete. Például egy 110 dB-es, 20 Hz-es hang esetén a levegőrészek elmozdulása több, mint 0,1 mm. Ezt 60 fonosnak érezzük, tehát közepesen erős • A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia A 0,1 mm-es változás viszont érzékelhető pl. a bőr felszínén Ekkor érezhető is a hang. • Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben Gyorsan mozgó testek körül vagy robbanáskor erős lökéshullámok keletkezhetnek, melyek akár fényképezhetők is. 22 / 32 A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban • Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben Hang

terjedése folyadékokban 23 / 32 Hang terjedése folyadékokban A hang terjedése gázokban A gázokhoz hasonlóan a hang itt is csak longitudinális lehet. A harmonikus hanghullám leírása (A folyadék rétegek egymáson való elcsúszása nem eredményez rugalmas erőt.) Hang terjedése folyadékokban • Hang terjedése folyadékokban A leírás nagyon hasonlít a gázok esetére. Hullámok terjedése szilárd testekben Eredmény: a hangsebesség a folyadék κ kompresszibilitásával kapcsolatos: q cf = 1/(κ̺0 ) Néhány folyadék adatai: Anyag víz (0◦ C) víz (20◦ C) tengervíz (13◦ C) glicerin (20◦ C) benzin (20◦ C) c [m/s] ̺ [kg/m3 ] 1410 1480 1500 1923 1170 999 998 1026 1260 750 Z [kg/(m2 s)] 1,41 · 106 1,48 · 106 1,54 · 106 2,42 · 106 8,8 · 105 24 / 32 A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben • Bevezetés • Hullámok nagyméretű

szilárd testekben • Hullámok véges méretű szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Hullámok terjedése szilárd testekben • Hajlítási hullámok 25 / 32 Bevezetés A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása A folyadékok és gázok esetétől eltérően szilárd testekben transzverzális hullámok is terjedhetnek. (Felléphetnek nyíróerők is.) Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben • Bevezetés • Hullámok nagyméretű szilárd testekben • Hullámok véges méretű szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei • Hajlítási hullámok 26 / 32 Bevezetés A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása A folyadékok és gázok esetétől eltérően szilárd testekben transzverzális hullámok is terjedhetnek. (Felléphetnek

nyíróerők is.) Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben • Bevezetés • Hullámok nagyméretű szilárd testekben • Hullámok véges méretű szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei A jelenséget bonyolulttá teszi, hogy a kereszt- és hosszirányú relatív méretváltozások összekapcsolódnak: egy nyújtott rúd keresztmetszete csökken. • Hajlítási hullámok 26 / 32 Bevezetés A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása A folyadékok és gázok esetétől eltérően szilárd testekben transzverzális hullámok is terjedhetnek. (Felléphetnek nyíróerők is.) Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben • Bevezetés • Hullámok nagyméretű szilárd testekben • Hullámok véges méretű szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési

paraméterei A jelenséget bonyolulttá teszi, hogy a kereszt- és hosszirányú relatív méretváltozások összekapcsolódnak: egy nyújtott rúd keresztmetszete csökken. Ha a rúd kezdeti hossza l0 , keresztirányú mérete pedig d0 , akkor a vizsgálatok szerint a relatív keresztirányú és hosszirányú méretváltozás aránya egy adott anyag esetén állandó µ érték: ∆d ∆l = −µ d0 l0 • Hajlítási hullámok µ mindig 0 és 0,5 közé esik, de a legtöbb anyag esetén 0,25 és 0,4 közé. Elnevezés: Poisson-szám. 26 / 32 . A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben • Bevezetés • Hullámok nagyméretű A nyújtáskor fellépő rugalmas erőket a Hooke-törvény adja meg: F =A·E ∆l l0 ahol A a test keresztmetszetének nagysága, E a Young-modulusz nevű anyagi állandó. szilárd testekben • Hullámok véges méretű szilárd testekben •

Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei • Hajlítási hullámok 27 / 32 . A hang terjedése gázokban A nyújtáskor fellépő rugalmas erőket a Hooke-törvény adja meg: A harmonikus hanghullám leírása F =A·E Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben • Bevezetés • Hullámok nagyméretű szilárd testekben • Hullámok véges méretű szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei • Hajlítási hullámok ∆l l0 ahol A a test keresztmetszetének nagysága, E a Young-modulusz nevű anyagi állandó. Az egyszerű (homogén és izotrop) anyagok rugalmasság szempontjából ezzel a két rugalmas állandóval jellemezhetők: • E : Young-modulusz • µ: Poisson-szám Nem homogén és izotrop anyag esetén ezek hely- és irányfüggőek (és még speciális jelenségek is fellépnek), de ilyen

esettel nem foglalkozunk. 27 / 32 Hullámok nagyméretű szilárd testekben Amennyiben a test minden mérete sokkal nagyobb a vizsgált hullám hullámhosszánál, a test tehetetlenségénél fogva nem engedi, hogy a keresztirányú méretváltozások lényeges hatást okozzanak. 28 / 32 Hullámok nagyméretű szilárd testekben Amennyiben a test minden mérete sokkal nagyobb a vizsgált hullám hullámhosszánál, a test tehetetlenségénél fogva nem engedi, hogy a keresztirányú méretváltozások lényeges hatást okozzanak. Ekkor a klasszikus longitudinális és transzverzális hullámok terjedhetnek: longitudinális hullám cl = q E ̺0 q 1−µ (1+µ)(1−2µ) ̺0 a test anyagának sűrűsége. transzverzális hullám ct = q E ̺0 q 1 2(1+µ) 28 / 32 Hullámok véges méretű szilárd testekben Speciális jelenségek lépnek fel, ha a közeg terjedési irányra merőleges méretei kisebbek a hullámhossznál. Ekkor ugyanis a hossz- és

keresztirányú deformációk összekapcsolódása kevert longitudinális-transzverzális hullámot okoz. tágulási hullám (vékony rúd esete) cd = q E ̺0 29 / 32 Hullámok véges méretű szilárd testekben Speciális jelenségek lépnek fel, ha a közeg terjedési irányra merőleges méretei kisebbek a hullámhossznál. Ekkor ugyanis a hossz- és keresztirányú deformációk összekapcsolódása kevert longitudinális-transzverzális hullámot okoz. tágulási hullám (vékony rúd esete) cd = q E ̺0 Rayleigh-hullám (nagy test felszíni hullámai) cR = ct 0,87+1,12µ 1+µ 29 / 32 Hullámterjedési sebességek viszonya A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása cx · Hang terjedése folyadékokban 1.8 2 Hullámok terjedése szilárd testekben 1.6 • Bevezetés • Hullámok nagyméretű 1.4 szilárd testekben • Hullámok véges méretű szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle

anyagok hullámterjedési paraméterei • Hajlítási hullámok q ̺0 /E cl 1.2 cd 1 0.8 ct 0.6 cR 0.4 0.2 0 µ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 30 / 32 Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben • Bevezetés • Hullámok nagyméretű szilárd testekben • Hullámok véges méretű szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei • Hajlítási hullámok Anyag acél alumínium ólom vörösréz ablaküveg bazalt beton fenyőfa gipszkarton márvány parafa porcelán vörösfenyő cl [m/s] cd [m/s] ct [m/s] ̺ [kg/m3 ] µ 6100 6300 2200 4650 5700 5900 – – – 6200 – 5340 – 5050 5100 1200 3650 5300 5080 3100 5300 2000 5340 500 4880 4200 3200 3080 700 2260 3400 3140 – – – 3300 – 3120 – 7800 2700 11400 0,35 2500 2720 2500 360 800

2660 200 2400 360 0,28 0,34 0,44 0,22 0,31 – – – 0,31 – 0,23 – 31 / 32 Hajlítási hullámok A hang terjedése gázokban Vékony rétegek (lemezek, falak) vastagságban együttes hullámzása. A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben • Bevezetés • Hullámok nagyméretű szilárd testekben • Hullámok véges méretű szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei Érdekesség: a terjedési sebesség a frekvenciától is függ: ch = s 4 p 1 πf dcd 2 3(1 − µ ) • Hajlítási hullámok 32 / 32