Matematika | Statisztika » Cseh-Zábrádi - Statisztika példatár

PÉLDATÁR (A zárójelben levő számok az elméleti összefoglaló fejezeteire utalnak) 1. feladat (12) 50 hallgató vizsgatesztjének eredménye (pontokban megadva) 63 72 58 69 76 57 57 66 57 64 63 71 63 65 71 69 65 64 64 75 53 67 65 86 79 63 64 58 58 59 79 51 64 66 67 68 58 67 84 66 51 64 57 70 65 61 52 70 59 51 Feladat: Alkalmas osztályszélesség megválasztásával készítsük el az adatok gyakorisági eloszlását, tapasztalati eloszlásfüggvényét! Megoldás: 50 adatnál általában 7 – 10 osztályt célszerű létrehozni. A legnagyobb mintaelem: 86 A legkisebb mintaelem: 51 Az osztályszélességet célszerű 5-nek választani és az alábbi osztályokat létrehozni: 50 – 54: 5 55 – 59: 10 60 – 64: 11 65 – 69: 13 70 – 74: 5 75 – 79: 4 80 – 84: 1 85 – 89: 1 Gyakorisági eloszlás táblázattal: OH: osztályhatár VOH: valódi osztályhatár OK: osztályközép osztály gyakoriság fi: ri: relatív gyakoriság: (f i / n) OH 50 – 54 55 – 59

60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 VOH 49,5 – 54,5 54,5 – 59,5 59,5 – 64,5 64,5 – 69,5 69,5 – 74,5 74,5 – 79,5 79,5 – 84,5 84,5 – 89,5 Összesen OK 52 57 62 67 72 77 82 87 n = 50 1 fi 5 10 11 13 5 4 1 1 ri 0,1 0,2 0,22 0,26 0,1 0,08 0,02 0,02 1 r i (%) 10 20 22 26 10 8 2 2 100 A gyakorisági eloszlás ábrázolása: a.) Gyakorisági poligon Az adatok tengelyén (vízszintes tengely) jelöljük az osztályközepeket. Minden egyes osztályközép fölött jelöljünk ki az osztály gyakoriságával megegyező magasságban egy pontot. Ezeket a pontokat egyenes szakaszokkal kössük össze b.) Hisztogram Az adatok tengelyén jelöljük a valódi osztályhatárokat. Minden osztály fölé az osztály gyakoriságával megegyező magasságú oszlopot emelünk. 2 c.) Kumulatív gyakoriság A relatív gyakoriságok fokozatos összegzésével nyert gyakoriság a kumulatív gyakoriság. Táblázattal: Értékek Kumulatív gyakoriság

Kumulatív relatív gyak (%) 54 alatt 5 10 59 alatt 15 30 64 alatt 26 52 69 alatt 39 78 74 alatt 44 88 79 alatt 48 96 84 alatt 49 98 89 alatt 50 100 A kumulatív gyakoriságok grafikus ábrázolásával nyerjük a tapasztalati eloszlásfüggvényt. 2. feladat (13) Határozzuk meg az 1. feladat adatainak D6 decilisét K1 kvartilisét! Az 1. feladatban megadott gyakorisági eloszlás D 6 decilise az adatok tengelyén az az érték, amelyben a tengelyre emelt merőleges a hisztogram területét 6/10 : 4/10 = 3 : 2 arányban osztja. Ha 1 adatot 1 egységnek veszünk, a hisztogram területe 50 egység lesz 50 50 3: 2 = 3 · : 2 ⋅ = 30 : 20 . 5 5 Az első három oszlop összterülete: T 1 + T 2 + T 3 = 5 + 10 + 11 = 26 egység, a negyedik oszlop 13 egységnyi területéből 30 – 26 = 4 egység kell. Jelöljük a 4 egységnyi területű oszlop szélességét x-szel: x = D 6 – 64,5. 3 x : (69,5 – 64,5) = 4 : 13 x = (5⋅4)/13 = 20/13 = 1,54 D 6 = 64,5 + x = 64,5 +1,54 = 66,04.

Hasonlóan számolható a K 1 kvartilis: A hisztogram területe 50 egység. A K 1 – ben emelt merőleges ezt a területet: arányban osztja. 50 50 1 3 : = 1: 3 4 4 = 12,5 : 37,5 . Az első oszlop területe 5 egység, tehát a 4 4 második oszlop 10 egységnyi területéből 12,5 – 5 = 7,5 egység kell. Jelöljük a 7,5 egységnyi területű oszlop szélességét x-szel: x = K 1 – 54,5 x : (59,5 – 54,5) = 7,5:10 x = (5 ⋅ 7,5) / 10 =3,75 K 1 = 54,5 + 3,75 = 58,25. 1: 3 = :3⋅ 3. feladat Határozzuk meg az 1. feladatban megadott adatok mediánját, módusát, átlagát a gyakorisági eloszlás felhasználásával. Modusz (2.1) A legnagyobb gyakoriságú osztály osztályközepe: Mo = 67 Medián (2.2) A definíció szerint Q 5 kvantilis, de Q 5 = D 5 C 50 = K 2 . Az M mediánt a gyakorisági eloszlás 50 egységnyi területéből az 50 ⋅ 0,5 = 25 egységet lemetsző egyenes metszési pontjaként kapjuk az adatok tengelyén. Az első két oszlop területe: T 1 + T 2 = 5 +

10 = 15 egység, tehát a harmadik oszlop 1 egységnyi területéből 25 – 15 = 10 egység kell. Jelöljük a 10 egységnyi területű oszlop szélességét x-szel. x = M – 59,5 x : (64,5 – 59,5) = 10 : 11 x = 50/11 = 4,54 M = 59,5 4,54 = 60,4. Átlag (2.3) számítása a 10 osztály adataiból: 10 x= ∑fy i =1 i n i = 5 ⋅ 52 + 10 ⋅ 57 + 11 ⋅ 62 + 13 ⋅ 67 + 5 ⋅ 72 + 4 ⋅ 77 + 1 ⋅ 82 + 1 ⋅ 87 50 = 3220 50 = 64,4 4. feladat Határozzuk meg az 1. feladatban megadott adatok mediánját, módusát, átlagát osztályba sorolás nélkül. Modusz (2.1): Mo = 64 Medián (2.2): A nagyság szerint sorba rendezett adatok közül a középső adat Mivel az adatok száma páros (n = 50), ezért a két középső adat számtani közepe: x + x 26 64 + 64 M = 25 = = 64. 2 2 4 Átlag (2.3): 10 x= ∑ xi i =1 50 = 3231 50 = 64,62 . 5. feladat Határozzuk meg az 1. feladatban a gyakorisági eloszlással megadott minta terjedelmét, interkvartilisát,

szórását, a variációs együtthatóját. Terjedelem (3.1): Mivel a minta gyakorisági eloszlással adott a terjedelem a valódi felső osztályhatár és a legkisebb osztály valódi alsó osztályhatárának a különbsége. T = 89, - 49,5 = 40. Interkvartilis (3.2): IF = (K 3 – K 1 )/2 A második feladatból K 1 = 58,25. A K 3 -at hasonlóan számítva K 3 = 78,92 Így IF = (78,92 – 58,25)/2 = 15,67/2 = 7,835. Szórás (3.3): k sx = ∑fy i =1 i 2 i () −n⋅ x n −1 2 A harmadik feladatból: x = 64,4 . A számítást segítő táblázat: (y i az i-edik osztályközép) yi fi yi2 52 5 2704 57 10 3249 62 11 3844 67 13 4489 72 5 5184 77 4 5929 82 1 6724 87 1 7569 2 Összesen: f i = 50 y i = 39692 sx = Variációs együttható (3.4): A minta változékony! 210580 − 50 ⋅ 64,4 49 2 = 8,1 . s 8,1 Vx = x = = 0,1258. 64,4 x 5 f i ⋅y i 2 13520 32490 42284 58357 25920 23716 6724 7569 2 f i ⋅y i = 210580 6. feladat Számítsuk ki az átlagot, a mediánt,

a szórást, az átlag szórását és a relatív szórást a következő mintából. A minta elemei: 5, 7, 0, 3, -1, 2, -2, 4, 0 Medián (2.2): M = 2 Táblázat: 5 7 0 3 -1 2 -2 4 0 xi 2 25 49 0 9 1 4 4 16 0 xi 18 Σx i 2 108 Σx i 9 x= ∑ xi i =1 18 = 2. n 9 Szórás (3.3): először kiszámoljuk a négyzetes összeget, Átlag (2.3): = (∑ x ) = 108 − 324 = 72 . − 2 9 9 Qx = ∑ xi i =1 2 i i =1 9 9 Qx sx = Átlag szórása: sx = sx Variációs együttható (3.4): A minta erősen változékony! n = Vx = 3 9 sx x n −1 = 72 8 = 3. = 1. = 3 2 = 1,5. 7. feladat A felvételizők közül véletlenszerűen kiválasztottak 10 tanuló. Határozzuk meg a felvételi pontszám és a kreativitás közötti korrelációs együtthatót. Tanuló sorszáma Felvételi pontszám (x i ) Kreativitás index (y i ) 1 84 109 2 108 113 3 99 99 4 120 134 5 114 121 6 99 102 7 108 111 8 105 105 9 114 119 10 111 110 Lineáris transzformáció (4): A számítások

megkönnyítésére célszerű elvégezni az u i = x i - 100 valamint a v i = y i - 110 lineáris transzformációt. A lineáris transzformáció alkalmazásakor a változók közötti korrelációs együttható értéke nem változik meg, de könnyebb lesz számolni. 6 Táblázat a korrelációs koefficiens meghatározásához (5.2): xi yi ui vi ui2 84 109 -16 -1 256 108 113 8 3 64 99 99 -1 -11 1 120 134 20 24 400 114 121 14 11 196 99 102 -1 -8 1 108 111 8 1 64 105 105 5 -5 25 114 119 14 9 196 111 110 11 0 121 Σu i Σv i Σu i 2 62 23 1324 Előbb kiszámoljuk az átlagokat: ∑ u i 62 u= = = 6,2 n 10 ∑v i = 23 = 2,3 v= n 10 Majd a négyzetes közepeket: 10 2 i =1 10 2 () − n ⋅ (v ) Qx = Qu = ∑ ui − n ⋅ u Q y = Q v = ∑ vi i =1 2 2 vi2 1 9 121 576 121 64 1 25 81 0 Σv i 2 999 uivi 16 24 11 480 154 8 8 -25 126 0 Σu i v i 802 x = 100 + u = 106,2 y = 110 + v = 112,3 2 = 1394 − 10 ⋅ 6,2 = 939,6 2 = 999 − 10 ⋅ 2,3 = 946,1 10 10 Q xy = Q uv = ∑ u i

v i − ∑ u i vi i =1 = 802 − n Tehát a korrelációs együttható értéke: Qxy r= = Qx ⋅Q y i =1 62 ⋅ 23 10 Quv = Qu ⋅Qv = 659,4 659,4 = 0,7 939,6⋅946,1 A korrelációs együttható értéke (0,7) hűen tükrözi a két változó kapcsolatát, amely közepes erősségű kapcsolatot jelez. 8. feladat A 7. feladatban bemutatott közepes erősségű kapcsolat a felvételi pontszám és a kreativitás között szignifikáns-e? Eldöntése a korrelációs együtthatóra vonatkozó hipotézisvizsgálattal (7.3): Nullhipotézis: ρ = 0, azaz az elméleti korrelációs együttható 0. Képezzük a t értéket: t=r⋅ n−2 = 0,7 ⋅ 8 = 2,77 2 2 1− r 1 − 0,7 5 %-os szinten (95 %-os biztonsággal számolva) a kritikus értéket táblázatból véve t 5% = 2,306. Mivel a számolt t = 2,77 > t 5% = 2,306 ez azt jelenti, hogy a kapcsolat 5 %-os szinten szignifikáns, azaz a két változó között kapcsolat van, azt nem a véletlen okozza. 7 9. feladat

Határozzuk meg a 7. feladatban közölt adatok regressziós egyenesét (51)! A 7. feladatban kiszámolt értékek alapján számolhatjuk ki a lineáris regressziós egyenes egyenletét. Az együtthatók: Q xy 659,4 a= = = 0,702 b = y − a ⋅ x = 106,2 − 0,702 ⋅ 112,3 = 27,37 Qx 939,6 A lineáris regressziós egyenes egyenlete tehát: y = 0,702⋅x + 27,37. A két változó között pozitív irányú kapcsolat van, mivel az x változó (felvételi pontszám) értékének növekedésével az y változó (kreativitás) értéke is növekszik. 10. feladat Egymintás t-próba (7.1) Véletlenszerűen kiválasztott 10 db 1 kg-os kenyeret dekagrammos pontossággal mértünk le. Feltételezhetjük-e, hogy a véletlen okozza az eltérést, vagy az adagoló rendszer hibája? A mérés eredménye: Kenyér sorszáma xi xi2 1 98 9604 2 101 10201 3 97 9409 4 99 9801 5 101 10201 6 100 10000 7 98 9604 8 99 9801 9 99 9801 10 96 9216 2 Σx i = 988 Σx i = 97638 Alkalmazzunk t-próbát! A minta

elméleti várható értéke: 100 dag (dkg). A nullhipotézis: µ = 100. 10 x= ∑ xi i =1 n 10 = 988 10 2 = 98,8 () Qx = ∑ xi − n ⋅ x i =1 sx = t= Qx n −1 = 24 9 2 2 = 97638 − 10 ⋅ 98,8 = 97638 − 97614 = 24 = 2,66 = 1,63 x−μ 98,8 − 100 = = 2,33 s 1,63 n 10 A t táblázat értéke f = 9 szabadsági foknál 95 % biztonsági szinten t 95 = 2,262. 95%-os biztonsággal állíthatjuk, hogy szignifikáns az eltérés, nem a véletlen okozza ezt, az adagoló rosszul van beállítva. 8 11. feladat u-próba (7.2) Adott egy gép, amely 80 mm hosszúságú huzalokat vág le. A gép „tévedése” szórása ± 2 mm Mintavételezés eredménye n = 30 adatból x = 78mm . A minta eltér a várható értéktől A nullhipotézis µ = 80 mm. Feltételezhetjük-e, hogy az eltérés nem jelentős, azaz a véletlen okozza? n = 30 µ = A = 80 σ=2 x = 78 u= x−A ⋅ n= 78 − 80 ⋅ 30 = −2 ⋅ 5,48 = −5,48 σ 2 2 u = 6 > u 95 = 1,96 A feltevést

95 %-os biztonsági szinten elvetjük (99,9 %-os biztonsági szinten is). A gép beállítást igényel. 12. feladat F-próba (7.4) Kétmintás t-próba (75) A gyermekek szókincsének fejlődését vizsgálták egy speciális személyiségteszt értékpontjaival. A véletlenszerűen kiválasztott 2 mintacsoport 8 fő két és féléves gyermekből és 10 fő három éves gyermekből állt. Jelentősen magasabb-e a pontértéke, aktív szókincse a 3 éves gyermeknek, mint a fiatalabbnak? Sorszám 2,5 éves csoport 3 éves csoport 2 xi xi yi yi2 1 27 729 50 2500 2 44 1936 33 1089 3 35 1225 43 1849 4 37 1369 61 3721 5 56 3136 25 625 6 19 361 51 2601 7 32 1024 38 1444 8 45 2025 41 1681 9 35 1225 10 27 729 2 2 Σx i = 295 Σx i =11805 Σy i = 404 Σy i = 17464 Az összehasonlításra majd kétmintás t-próbát alkalmazunk. Az alkalmazás feltétele: a.) csoportok függetlensége (mintavétel biztosítja); b.) adatok normalitása (feltételezzük); c.) szórások megegyezése (F-próba)

F-próba a szórások egyenlőségére. Nullhipotézis a két minta szórása egyenlő ∑ x i 295 = = 36,9 x= n 8 () 2 Qx = ∑ xi − n ⋅ x 2 sx = Qx n −1 = 912,1 7 2 = 11805 − 8 ⋅ (36,9 ) = 912,1 2 = 130,3 9 y= ∑ y i 404 = = 40,4 n 10 () 2 Q y = ∑ yi − n ⋅ y Qy 2 sy = n −1 F(7,9 ) = sx sy = 2 2 = 2 1142,4 9 130,3 126,9 = 17464 − 10 ⋅ (40,4 ) = 1142,4 2 = 126,9 = 1,027 . A nagyobbik szórásnégyzetet osztottuk a kisebbik szórásnégyzettel, avagy a szórást a szórással. Az F indexében a számláló és nevező szabadsági fokát tüntettük fel Az F-eloszlás kritikus értékei a p szignifikancia szinten p/2 valószínűségnél találhatók a táblázatban. Azaz 5 % értéknél a 2,5 % melletti érték keresendő. F (7,9)tábl,95 = 4,20 F (7,9)tábl,95 = 4,20 > F (7,9) számított = 1,027. Tehát a két szórás közti különbség 95 % biztonsággal nem szignifikáns. Nincs eltérés Kétmintás t-próba: Mivel az

F-próba a szórások egyezését bizonyította, ebből az átlagok egyezőségére is következtethetünk. t= x−y Qx + Qy 1 1 = 36,9 − 40,4 912,1 + 1142,4  1 1  ⋅ +  16  8 10  = − 3,5 128,4 ⋅ 0,225 = −0,65 ⋅ +  n + m − 2 n m A t-táblázatban f = n +m – 2 = 16 szabadsági foknál 5%-os szignifikancia szinten a kritikus érték t 16 táblázat, 95% = 2,12 > t számított = 0,65. A hipotézis teljesül, azaz ezen teszt alapján nincs szignifikáns különbség 95%-os biztonsági szinten a két gyermekcsoport aktív szókincse között. A t-táblázatot vizsgálva, csak 30%-os biztonsági szinten tételezhető fel számottevő különbség. Ez a szint azonban nem elfogadható! 13. feladat (81) A testnevelés szakkollégiumba felvett 42 hallgató közül 18 fiú és 24 lány. Levonható-e ennek alapján az a következtetés, hogy a lányok aránya más szakkollégiumban is nagyobb? A probléma a fiúk és lányok

eloszlásának vizsgálatát jelenti. A nullhipotézis H 0 : p = P(F) = P(L) = 0,5. H 0 vizsgálatára χ2 –próbát alkalmazunk. Az alkalmazás feltétele: N⋅p ≥ 5 és N⋅(1-p) ≥ 5 teljesül, mert 42⋅0,5 > 5. n 1 = 18 (n 1 − N ⋅ p )2 (18 − 42 ⋅ 0,5)2 9 2 χ = = = = 0,86 . N ⋅ p ⋅ (1 − p ) 42 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 10,5 χ2 értéke 5%-os szignifikancia szinten f = 1 szabadsági fok mellett χ2 95, táblázat = 3,841. Mivel χ2 szám = 0,86 < χ2 95, táblázat = 3,841. A nullhipotézist megtartjuk, azaz a lányok aránya nem szignifikánsan különböző. 10 14. feladat (82) Különbözőségre vonatkozó vizsgálat (homogenitás-vizsgálat). 66 véletlenszerűen kiválasztott főiskolai hallgató fizikai állóképességét a következő úgynevezett kontingencia táblázat mutatja: Férfi Nő Összesen Fizikai állóképesség megfelelt nem felelt meg 30 10 15 11 45 21 Együtt 40 26 66 Előbbi adatok alapján különbözőnek tekinthető-e a nők és

a férfiak között azok aránya, akik megfelelő állóképességgel rendelkeznek. Végezzük el a változók kétértékű χ2 próbáját! Nullhipotézis: a nemek közötti fizikai állóképesség aránya azonos. Alkalmazás feltétele: (a 1 + b 1 ) ⋅ (a 2 + b 2 ) > 5 ⋅ n és (a 1 + a 2 ) ⋅ (b 1 + b 2 ) > 5 ⋅ n (30 + 10) ⋅ (15 + 11) > 5 ⋅ 66 és (30 + 15) ⋅ (10 + 11) > 5 ⋅ 66 teljesül. 2 2 2 n ⋅ (a 1 ⋅ b 2 − b1 ⋅ a 2 ) 66 ⋅ (30 ⋅ 11 − 10 ⋅ 15 ) 66 ⋅ 180 2 χ = = = = 2,18 , (a 1 + b1 ) ⋅ (a 2 + b 2 ) ⋅ (a 1 + a 2 ) ⋅ (b1 + b 2 ) 40 ⋅ 26 ⋅ 45 ⋅ 21 982800 amely 1 szabadsági fokú χ2 eloszlást követ. Táblázatból 95%-os biztonsági szinten, χ2 kritikus értéke 1 szabadsági foknál: χ2 95, táblázat = 3,841. Mivel χ2 szám = 2,18 < χ2 95, táblázat = 3,841. A nullhipotézist megtartjuk, szignifikánsan nincs különbség férfiak és nők közt abban, hogy az állóképességük megfelelő-e a főiskolai

hallgatók populációjában. 15. feladat (83) Véletlenszerűen kiválasztott főiskolai hallgatók közül néhányan 1 hónapig anyanyelvi környezetben tanultak idegen nyelvet. A nyelvvizsga eredményét az alábbi táblázat mutatja: Anyanyelvi környezetben tanult igen nem Együtt Nyelvvizsga eredménye megfelelt nem felelt meg 50 10 20 15 70 25 Együtt 60 35 95 Van-e kapcsolat a tanulási módszer és az eredményesség között? Nullhipotézis: a két csoportban a megfeleltek aránya azonos. Nincs kapcsolat a tanulási módszer és az eredményesség között, azaz függetlenek. Végezzük el a változók kétértékű χ2 próbáját! (8.3) Alkalmazás feltétele: (a 1 + b 1 ) ⋅ (a 2 + b 2 ) > 5 ⋅ n és (a 1 + a 2 ) ⋅ (b 1 + b 2 ) > 5 ⋅ n (50 + 10) ⋅ (20 + 15) > 5 ⋅ 95 és (50 + 20) ⋅ (10 + 15) > 5 ⋅ 95 teljesül. 11 n ⋅ (a 1 ⋅ b 2 − b1 ⋅ a 2 ) 2 2 χ = (a 1 95 ⋅ (50 ⋅ 15 − 10 ⋅ 20 ) 2 + b1 ) ⋅ (a 2 + b 2 ) ⋅

(a 1 + a 2 ) ⋅ (b1 + b 2 ) = 60 ⋅ 35 ⋅ 70 ⋅ 25 = 28737500 3675000 = 7,8 , amely 1 szabadsági fokú χ2 eloszlást követ. Táblázatból 95%-os biztonsági szinten, χ2 kritikus értéke 1 szabadsági foknál: χ2 95, táblázat = 3,841. Mivel χ2 szám = 7,8 > χ2 95, táblázat = 3,841 az anyanyelvi közegben végzett nyelvtanulás hatékonysága (83%-os sikeres vizsgaeredmény) áll fenn, azaz a nullhipotézist elvetjük, vagyis nincs függetlenség a tanulási módszer és az eredményesség között. A kapcsolat szorosságát kifejezi az asszociációs együttható is: a b − a 2 b1 50 ⋅ 15 − 10 ⋅ 20 550 ψ= 1 2 = = = 0,58 . a 1 b 2 + a 2 b1 50 ⋅ 15 + 10 ⋅ 20 950 Másrészt szintén a kapcsolat szorosságát mutatja a kontingencia együttható: ϕ= χ 2 = 0,8 . n A kapcsolat fennáll, azonban a ψ és ϕ viszonylag alacsony értékéből laza szorosságra következtethetünk. Azaz nincs szoros kapcsolat a tanulási módszerek és az eredményesség

között csak hatásos az anyanyelvi környezetben töltött időszak. 16. feladat Megváltozás vizsgálat (8.4) Egy adott iskola 4. osztályaiban nyári szünidő előtt és után mérték az erőnlétet egy pontrendszer alapján. Eredmények: Erőnlét tanév elején megfelelő nem megfelelő Összesen Erőnlét tanév megfelelő 25 45 70 végén nem megfelelő 8 22 30 Összesen 33 67 100 Változott-e a gyerekek erőnléte? Végezzük el a változók kétértékű χ2 próbáját a megváltozás vizsgálatára! Nullhipotézis: az eloszlás mindkét helyzetben ugyanaz. Alkalmazás feltétele: b 1 + a 2 ≥ 10 45 + 8 ≥ 10 2 2 b −a 2 2 = (45 − 8) = 25,8 , amely 1 szabadsági fokú χ2 eloszlást követ. A χ = 1 b +a 45 + 8 1 2 táblázatból vett kritikus érték 99%-os biztonságnál: χ2 99, táblázat = 6,635. Mivel χ2 szám = 25,8 > χ2 99, táblázat = 6,635, ezért jelentős megváltozás történt az erőnlétben a nyári szünidő alatt, az adatokat vizsgálva

romlott a gyerekek erőnléte. ( ) 17. feladat (91) Becslés: Az iskola 4. osztályos tanulóinak magasságátlagát kell megbecsülnünk Válasszunk ki véletlenszerűen 10 tanulót. Magasságértékek (cm-ben): 145, 155, 138, 155, 144, 146, 142, 151, 140, 136. A minta jellemzői: 12 x= 1452 2 = 145,2 () ∑ xi − n ⋅ x 2 401,6 = 6,68 . 10 n −1 9 A t értéke 95%-os megbízhatósági szinten f = n – 1 = 9 szabadsági foknál t 95, táblázat = 2,262. A tanulók átlagos testmagassága µ 0,95 valószínűséggel 145,2 − 2,262 ⋅ s= 6,68 ≤ μ ≤ 145,2 + 2,262 ⋅ = 6,68 9 9 intervallumba esik. 140,2 ≤ μ ≤ 150,2 A minta elemszámának növelésével az intervallum szélessége csökken. 18. feladat (92) Egy alkatrész hosszát szeretnénk megbecsülni. A mintavételezés eredménye n = 16 mérésből x = 66 mm. A mérőeszköz szórása ± 2 mm A várható érték nagysága 95%-os megbízhatósági szinten: σ σ ≤ μ ≤ x + up ⋅ x − up

⋅ n n 2 2 66 − 1,96 ⋅ ≤ μ ≤ 66 + 1,96 ⋅ 16 16 65,02 ≤ μ ≤ 66,98 . Látható, hogy a minta szélessége elemszámának növelésével a várható érték intervallumának szélessége csökken. Összeállította: Dr. Cseh Sándor és Zábrádi Antal 13