Matematika | Felsőoktatás » Nagyné Lelkes Anikó - A négydimenziós tér geometriája

SZAKDOLGOZAT Nagyné Lelkes Anikó Debrecen 2008. Debreceni Egyetem Matematikai Intézet A NÉGYDIMENZIÓS TÉR GEOMETRIÁJA Témavezető: Készítette: Dr. Muzsnay Zoltán Nagyné Lelkes Anikó egyetemi docens matematika kiegészítő levelező szak Debrecen 2008. Tartalomjegyzék 1.Bevezetés1 2. A három és négydimenziós térről3 2.1 Kérdések3 2.2 A dimenziók érzékelése3 2.3 Történeti áttekintés4 2.4 A négydimenziós geometria haszna6 2.5 A 4D hatása a művészetekre, a tudományokra7 3.Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere8 3.1 Geometria fogalma8 3.2 Az axiómák választásának legfontosabb szempontjai8 3.3 Hilbert-féle axiómáik8 3.4 Analitikus axiómarendszer11 3.5 Koordináta-rendszer:12 3.6 Távolság:13 3.7 Térelemek14 3.71 Térelemek egymáshoz viszonyított helyzete14 a)Merőlegesség:.14 b)Párhuzamosság:.14 3.72 Távolság:15 3.73 Hajlásszögek16 3.74 A testek csoportosítása16 4.A többdimenziós euklideszi tér18

4.1 Dimenzió18 4.2 Koordináta-rendszer: 18 4.3 n dimenziós tér 18 4.31 Alapfogalmak19 4.32 Alterek egymáshoz viszonyított helyzete:20 4.33 A testek 4D-ben21 5.A 4D-s tér ábrázolása22 5.1 El-lehet-e gondolni a 4D-t?22 5.2 A dimenziós analógia22 5.3 Vetület23 5.31 A párhuzamos vetítés23 5.32 Perspektivikus vetítés24 5.4 Metszetek24 5.5 Testháló25 6.Négydimenziós alakzatok 26 6.1 Tesseract26 6.11 Cellák, ormok és élek26 6.12 A 4D-s hiperkocka egy vetülete28 6.13 Hiperkocka a koordináta-rendszerben28 6.2 Pentachoron30 6.21 Származtatása:30 6.22 Felépítése:30 6.23 Tulajdonságai 31 6.24 Pithagorasz tétele32 6.3 n dimenziós gömb32 6.31 Gömb32 6.32 Hipergömb33 6.4 Politópok 34 7.Koordináta-geometriai vizsgálatok37 7.1 Vektorok és műveleteik 4D-ben37 7.2 Egyenes, sík, hipersík egyenlete 4D-ben37 7.3 Geometriai transzformációk38 7.31 4D-s transzformációk, mint a 3d-s geometriai transzformációk kiterjesztései39 7.32 4D-3D projekció41

8.Program ismertetése43 9.A negyedik dimenzió a középiskolában44 10.Összefoglalás46 1.Bevezetés 1. Bevezetés Az 1800-as években a négydimenziós geometria felkeltette az új iránt nyitott, gondolkodó emberek érdeklődését. Ez azonban ebben az időben nem volt több érdekes matematikai konstrukciónál. Először Riemann vizsgálta a magasabb dimenziók elméletét, Hinton a magasabb dimenzióban való ábrázolást népszerűsítette 1880-ban. A fizika fejlődése azonban a négy-, sőt többdimenziós terek lehetőségét is felvetette, a lehetőségből szükségszerűség vált. Einstein speciális relativitáselmélete azon alapul, hogy a tér és az idő összekapcsolódik egymással, és együttesen egy 3 térdimenzióból és 1 idődimenzióból álló téridő-kontinuumot alkotnak. A húrelmélet a részecskéket nem pontszerű, hanem kiterjedt objektumokként kezeli (húrok, membránok). Segítségével az általános relativitáselmélet és a

kvantummechanika összhangba hozható, az összes erőhatás leírását egyetlen elméletbe lehet összesűríteni. A húrelmélet egyik tulajdonsága, hogy feltételezi, hogy az univerzumnak 11 dimenziója van ( 10 tér és egy idő) A szakdolgozatom célja megvizsgálni a négydimenziós euklideszi tér jellemzőit a háromdimenziós euklideszi geometria definíciójából kiindulva, továbbgondolva azt a négydimenziós geometria vizsgálata céljából. A dolgozatban olyan matematikai eszközöket használok, amelyek nem lépnek túl a középiskolai matematika keretein, lehetővé téve azt, hogy érdeklődő diákoknak szakköri foglalkozás keretében is elsajátítható legyen. A dolgozat fő hangsúlya a négydimenziós, számunkra nem érzékelhető, s nem elképzelhető alakzatok vizualizációján, háromdimenziós szemléltetésén van, felhasználva a dimenziós analógiát, a koordináta-geometriai módszereket és a számítástechnikai eszközöket. A szakdolgozat

nem a bizonyításokra, hanem a fogalmak megértésére és az azok közti logikai kapcsolatokra épít. A szakdolgozat a következő témaköröket öleli fel: 1. fejezet: Bevezetés 2. fejezet: Célja megfogalmazni a minket körülvevő tér dimenziójával kapcsolatban bennünk, és a fizikusokban felmerülhető kérdéseket , történeti áttekintést adni. Bemutatni a négydimenziós térelmélet hatását a művészetekre, és beszélni a 1 A négydimenziós tér geometriája 1.Bevezetés dimenziók érzékeléséről. 3. fejezet: Az euklideszi háromdimenziós tér Hilbert-féle axiómáit, és az analitikus axiómarendszerét mutatja be 4. fejezet Az axiómákat továbbgondolja négydimenziós euklideszi térre 5. fejezet: A négydimenziós tér ábrázolásával foglalkozik Hinton munkája alapján, aki három módszert alkalmazott: az objektumok vetületeinek, keresztmetszeteinek és kiterítéseinek vizsgálatát. 6. fejezet: A négydimenziós alakzatokat: a kockát (

tesseract), tetraédert (szimplex), gömböt, poliédereket ( politopok) vizsgálja. 7. Fejezet: Koordináta-geometriai vizsgálatokat végez: egyenleteket ír fel, kockát forgat. 8. fejezet: Négydimenziós kockáról készült programot ismertet 9. fejezet:Szakköri órákon hasznosítható feladatokat, felvethető kérdéseket mutat be a négydimenziós világról 10. fejezet: Összefoglalás 2 A négydimenziós tér geometriája 2. A három és négydimenziós térről 2. A három és négydimenziós térről 2.1 Kérdések Biztos-e, hogy 3 dimenziós a minket körülvevő geometriai tér? És ha létezik egy negyedik irány? Tegyük fel, hogy lehet arrafelé mozogni. E negyedik irány létéből furcsa jelenségek adódnának. Egy ilyent könnyű elképzelni 2- (illetve 3-) dimenziós világban Legyenek síklakóink:világukat egy két dimenziós sík alkotja. Ha leraknának egy jobblábas lábnyom alakú papírdarabot, akárhogyan forgatnák, jobblábas maradna. Ha

azonban egy 3D-s élőlény a lapot kiemeli a síkból a harmadik irányba, és ott másik lapjára fordítja, majd így teszi vissza, akkor ballábassá vált. Síklakóink azt látnák, hogy egy jobblábas cipő egy pillanatra eltűnik, majd újra előkerül ballábasként. A jelenség a síkvilág keretein belül maradva lehetetlen. A minket befoglaló tér topológiai szerkezetéről csak korlátozott mértékben, bizonyos távolságokon belül vagyunk képesek ismereteket szerezni, és ezek alapján nem tudunk többet, mint azt, hogy a tér bármely (eddig megvizsgált) pontjának környezetében olyan, mint a háromdimenziós matematikai koordinátatér. A tapasztalati tények tehát amellett szólnak, hogy fizikai világunk háromdimenziós sokaság. Ennek a sokaságnak a globális szerkezetéről azonban semmilyen konkrét információnk nincsen, e tekintetben csak fantáziánkra hagyatkozhatunk. Elképzelhető akár az is, hogy a Világegyetem véges kiterjedésű, és

önmagába visszatérő, zárt sokaságot alkot, ilyen két dimenziós felület például egy körlap. Lehetséges, hogy háromdimenziós világunk is ehhez hasonló? Lehetséges, hogy ha a Földről kilőnénk valamilyen irányban egy nagyon nagy sebességű rakétát, akkor az anélkül, hogy útirányától eltérülne, visszatérne az ellenkező irányból. Hiszen a Föld felszínén egyenes irányban haladva előbb-utóbb visszaérkezünk a kiindulópontba, és ez manapság egyáltalán nem meglepő. De nem is olyan régen még nem így gondolták,a rómaiak pl. tengerekkel körülvett korongnak ábrázolták a Földet 2.2 A dimenziók érzékelése Hogyan lehetséges, hogy nem érzékeljük ezeket az extra dimenziókat, ha léteznek? A legkézenfekvőbb magyarázat az, hogy e dimenziók különböznek a mi közönséges dimenzióinktól: a közvetlenül megfigyelhető téridő-dimenziók végtelen kiterjedésűek, míg az extra dimenziók kompaktak (végesek). Amennyiben e

dimenziók mérete kicsi, nem 3 A négydimenziós tér geometriája 2. A három és négydimenziós térről érzékeljük őket (1. ábra) Ennek egy lehetséges magyarázata, hogy a hiányzó dimenziók magukra hurkolódnak A szokásos hasonlat erre a locsolócső. Távolról nézve egydimenziós alakzatnak, vonalnak látszik, de ha közelebb megyünk, láthatóvá válik a második kiterjedése, amely kör keresztmetszetű. Ehhez hasonlóan a fizikusok úgy gondolják, hogy a hiányzó dimenziók csak közelről nézve láthatóak. A kötéltáncos úgy érzi, hogy csak egy irányba tud mozogni a kötélen: előre vagy hátra, mivel a kötél sugara sokkal kisebb teste paramétereinél, tehát a kötelet 2 dimenziósnak érzékeli. A kötélen a bolha viszont körbe tudja szaladni a kötelet, két független irányba is tud mozogni: a kötél mentén és körbe a 1. ábra kötélen, mivel mérete összemérhető a kötél (vagyis az extra dimenzió) méretével. Arkani-Hamed,

Dimopoulos és Dvali állítása az volt, hogy úgy, akárcsak egy hangya (2.ábra), ami kötélen mászik, mi sem tudunk elmozdulni a 3D-ből, az extra 2. ábra dimenziók irányába 2.3 Történeti áttekintés Az ókori Görögországban Euklidész azt vallotta, hogy a pontnak nincs dimenziója. Az egyenesnek egy dimenziója van (a hosszúság), a sík kétdimenziós ( hosszúsága és szélessége van), a térben háromdimenziós alakzatok vannak, melyeknek van hossza, szélessége és magassága. Időszámításunk előtt 300 körül Euklidész megírta tizenhárom könyvből álló művét, az Elemeket. Röviden azt mondhatjuk, hogy ez a mű az ókori matematika alapjait tartalmazza: az elemi geometriát, az elemi aritmetikát, a racionális számok elméletének alapjait, az arányok elméletét. Platón Kr.e300-ban írt „ A Köztársaság„ című művében a valóságot valódi létezőknek ( ideáknak) írja, hozzájuk képest az érzékelhető létezők csak árnyak. A

valódi világ az ideák birodalma. A filozófus szerint az ideák nem csupán szubjektív fogalmak, hanem objektív adottságok is. Erre utal a műben Glaukónnal folytatott beszélgetésében, melyben egy sötét barlangban élő, összekötözött testű emberekről ír. Így ezek az emberek, mivel csak előre 4 A négydimenziós tér geometriája 2. A három és négydimenziós térről láttak és a falon megjelenő árnyakat észlelték, úgy gondolták a világ két dimenziós, pedig ugyanabban a világban éltek, mint társaik, csak nem érzékelték azt."Szókratész: Képzeld el, hogy az emberek egy barlangszerű föld alatti lakóhelyen - melynek a világosság felé nyíló s a barlang egész szélességében elhúzódó bejárata van - gyermekkoruktól fogva lábukon és nyakukon meg vannak kötözve, úgyhogy egy helyben kell maradniuk, s csak előrenézhetnek, fejüket a kötelékek miatt nem forgathatják; hátuk mögött felülről és messziről egy tűz

fénye világít, a tűz és a lekötözött emberek között pedig fent egy út húzódik, melynek mentén alacsony fal van építve, mint ahogy a bábjátékosok előtt a közönség felé emelvény szokott állni, amely fölött a bábjaikat mutogatják. Ha valamelyiküket feloldanák, s kényszerítenék, hogy hirtelen álljon fel, forgassa körül a nyakát, járjon, és nézzen fel a tűz felé; nem gondolod-e, hogy zavarban lenne, és azt hinné, hogy az előbb látott dolgok sokkal igazabbak voltak, mint amelyeket most mutatnak neki?” Arthur Cayley és John J. Sylvester az 1800-as években a következőt írja a négydimenziós euklideszi geometriáról: ”A három dimenziós téren kívül vannak más pontok.” 1843-ban Hamilton ezt írja barátjának Graves-nek: „És ekkor jöttem rá, hogy valami újat kell bevezetni, s ez a valami a tér negyedik dimenziója, ami azért kell, hogy számolni tudjunk a hármasokkal.be kell vezetni egy harmadik képzetes szimbólumot,

amely nem eshet egybe i vagy j-vel, de megegyezik azzal a szorzattal, amelyben i a szorzó, j a szorzandó, s ez elvezetett ahhoz, hogy bevezessem a kvaterniókat, az a+ib+jc+kd-ket.” A Q = {a+bi+cj+dk | a,b,c,d є R}halmaz elemei alkotják a kvaterniókat. A Q asszociatív, zérusosztómentes algebra a valós számtest felett. 1854. június 10-én a magasabb dimenziók elméletét Riemann a göttingemi egyetem tanára „A geometria alapjain nyugvó hipotézisekről” című előadásában mutatta be. 1880-ban Charles Howard Hinton publikálta „ Mi az a negyedik dimenzió?” című művét, melyben a magasabb dimenzióban való ábrázolást népszerűsítette. Ehhez három módszert alkalmazott: az objektumok vetületeinek, keresztmetszeteinek és kiterítéseinek vizsgálatát. E három módszer napjainkban is használatos. Ő nevezte el a 4D-s hiperkockát tesseract-nak Edwin Abbott „Síkföld” című könyvében 1884-ben egy kétdimenziós világról ír. Egy 5 A

négydimenziós tér geometriája 2. A három és négydimenziós térről háromdimenziós lénynek itt isteni hatalma van: képes például egy páncélszekrényből tárgyakat kivenni anélkül, hogy kinyitná (azáltal, hogy a harmadik dimenzión keresztül mozgatja őket), lát mindent, ami a kétdimenziós szemszögből falak mögé van elzárva, s eközben teljesen láthatatlan marad, mert a síktól néhány centire áll a harmadik dimenzióban. A dimenziós analógia arra enged következtetni, hogy egy négydimenziós lény hasonló bravúrokra lenne képes a mi háromdimenziós perspektívánkból. Ezt Rudy Rucker „Térország” című regényében mutatja be, melynek főhőse négydimenziós lényekkel találkozik, akik ilyen képességről tesznek bizonyságot. A 4D-ben négy egymásra merőleges irány megadására van szükségünk A negyedik irány elfogadott nevei közé tartozik az ana/kata, a vinn/vout (Rudy Rucker elnevezése) és az üpszilon/delta. 1966-ban

A Bell laboratóriumban Michael Nöll elkészítette az első számítógépes programot a 4D-s hiperkockáról. Munkájában a perspektivikus vetítést használta fel a megjelenítéshez 1978-ban Helsinkiben a Nemzetközi Matematika Kongresszuson Charles Strauss és Thomas Banchoff „ A hiperkocka” című programjában azt mutatják be, amit mi láthatunk egy hiperkockából, amint az áthalad a háromdimenziós terünkön. 2.4 A négydimenziós geometria haszna 60 évvel Riemann előadása után Einstein a négydimenziós geometria segítségével magyarázta az Univerzum kialakulását, Einstein speciális relativitáselmélete azon alapul, hogy a tér és az idő összekapcsolódik egymással, és együttesen egy 3 térdimenzióból és 1 idődimenzióból álló téridő-kontinuumot alkotnak. Bár elképzelhetjük a világot úgy, hogy az időt pusztán időként kezeljük, és a téridő-objektumok „pillanatképeit” vizsgáljuk a különböző időpontokban, a téridőt

hasznos lehet geometriailag is megközelíteni. 130 évvel később a fizikusok a fizikai törvények egyesítésére a 10D-s geometriát használják. Kaluza és Klein már az 1920-as években felvetette, hogy az általunk érzékelt négy téridõdimenzió mellett létezhetnek még extra dimenziók is. A húrelmélet azt feltételezi, hogy az univerzumnak 10+1 dimenziója van (10 tér + 1 idő), de 7 dimenzió olyan kicsi, hogy nem észlelhető. Riemann pontosan erre mutatott rá, hogy a fizikai törvények egyszerűbbé válnak magasabb dimenziókban. 6 A négydimenziós tér geometriája 2. A három és négydimenziós térről Az elmúlt húsz évben a fizikusok egyre komolyabban veszik azt a lehetõséget, hogy extra dimenziók ténylegesen léteznek. Az alapvetõ motiváció a húrelméletbõl származik A húrelméletben az alapvetõ részecskék szerepét egy apró rezgõ húrok veszik át. 2.5 A 4D hatása a művészetekre, a tudományokra A négydimenziós

térelmélet nagy hatással volt a művészekre a XX. század első felében Írókat, mint például H. G Wells-t és festőket, mint Marcel Duchamp-t vagy Picasso elkápráztatta a negyedik térbeli dimenzió gondolata Nagyszerű példát mutatnak erre Picasso festményei, például, amikor női arcokat egyidejűleg több látószögből tekintve ábrázol, amelyekről azt gondolhatnánk, hogy a negyedik dimenzióból festette valaki, aki képes egyidejűleg látni valamennyi perspektívát. [1] Az ábrán Picasso Dora Maar portréja című festménye látható. H. G Wellsnek Az időgép című művében az Időutazó az 3. ábra idővel határozza meg a negyedik dimenziót. A Cube 2: Hypercube c. filmben („A kocka 2: A hiperkocka”; 2002), ,a szereplők a szobák hiperkocka-elrendezésű együttesében vándorolnak. Az ábrán a négydimenziós Rubik kocka látható.[2] 4. ábra 3. Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere 3.1 Geometria fogalma Mi is a geometria?

Erős leegyszerűsítéssel azt mondhatjuk, hogy a geometria térbeli alakzatok (esetleg magasabb dimenziós térben fekvő ponthalmazok) tulajdonságaival és viszonyaival foglalkozó tudomány. Euklidesz Elemek című művében az érzéki tapasztalás révén hozzáférhető tér leírását adta meg oly módon, hogy lefektette azokat az alapigazságokat, axiómákat, posztulátumokat, 7 A négydimenziós tér geometriája 3.Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere általános jellegű feltevéseket, amelyekre alapozva bizonyítások, levezetések révén új állítások, tételek származtak, és amelyek a valóság még részletesebb leírását tették lehetővé. Az axiómák és a posztulátumok olyan lényeges megállapítások, melyeket közös megállapodás alapján elfogadunk, más állítások bizonyításához használunk fel. tudományának fejlődésével egyre több tétel született, A matematika amelyek egyre több

természettudományos jelenség leírását tették lehetővé. 3.2 Az axiómák választásának legfontosabb szempontjai – egyszerű – független, – ellentmondásmentes. A teljesség azonban nem valósulhat meg. 3.3 Hilbert-féle axiómáik Alapfogalmak:pont, egyenes és sík Alaprelációk:illeszkedés, „közte van”, egybevágóság Hilbert (1899) axiómarendszerének axiómái öt csoportba oszthatók: i) illeszkedési axiómák, ii) rendezési axiómák, iii) egybevágósági axiómák, iv) folytonossági axiómák, v) párhuzamossági axiómák. I. Illeszkedési axiómák I.1 Bármely egyenesre legalább két pont illeszkedik I.2 Bármely két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik I.3 Bármely síkhoz legalább három nem kollineáris pont illeszkedik I.4 Bármely három nem kollineáris pontra egy és csak egy sík illeszkedik I.5 Ha egy egyenes két pontja egy síkra illeszkedik, akkor minden pontja a síkhoz tartozik I.6 Ha két síknak van egy közös

pontja, akkor legalább még egy pontjuk közös I.7Van legalább négy nem komplanáris pont „Közte van”: Ha A, B, C kollineáris pontok, és ilyen sorrendben helyezkednek el az egyenesen, akkor azt mondjuk, hogy B az A és a C pontok „között van”. Jelölése (ABC) 8 A négydimenziós tér geometriája 3.Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere Szakasz: Ha adottak az A és a B pontok, akkor az AB nyílt szakaszon azon C pontok halmazát értjük, amelyekre (ACB). II. Rendezési axiómák: II.1 Ha egy egyenesen adottak az A, B pontok, akkor van olyan C pont, melyre (ABC) II.2 Ha az A, B, C pontok egy egyenes három különböző pontja, akkor az (ABC), (BCA), (CAB) elválasztások közül legfeljebb az egyik igaz. II.3 Ha az A, B, C egy egyenes három különböző pontja, akkor közülük legfeljebb az egyik van a másik kettő között. II.4Ha az A,B,C három nem egy egyenesen levő pont, és e az ABC síkjának egy olyan egyenese, amely nem megy át

az A, B, C pontokon, ha az e egyenes tartalmazza az AB egy pontját, akkor tartalmazza BC vagy AC szakasznak is egy pontját. (Pasch-axióma) Segítségükkel értelmezzük a következő fogalmakat: Sokszög: Csúcsok, és nyílt szakaszok által meghatározott alakzat. Félegyenes: Ha adottak az A, B pontok, akkor a B kezdőpontú, A-t nem tartalmazó félegyenes azon E pontok halmaza, amelyekre (ABE). Félsík: Ha adott egy e egyenes, akkor A ~ B, ha AB nem metszi e-t. ~ ekvivalenciareláció, mert reflexív, szimmetrikus, és tranzitív. Ha ugyanis A ~ B, és B ~ C, akkor ha A ~ C nem teljesülne, az ellentmondana a Pasch-axiómának. Ez a reláció tehát ekvivalenciaosztályokat hoz létre. Egy ilyen osztályt nevezünk félsíknak Konvex halmaz: K konvex, ha minden P, Q pontjára igaz,hogy K tartalmazza PQ-t. Konvex szögtartomány S :Két olyan félsík metszete, amelyek határolóegyenesei tartalmazzák a szögvonalak (két közös kezdőpontú félegyenes) félegyeneseit,

és a félsíkok is tartalmazzák megfelelő félegyeneseket. Felhasználásukkal bizonyítható, hogy az egyenesnek (legalább megszámlálhatóan) végtelen sok pontja van, a síkot egy sokszög két tartományra bontja. III. Egybevágósági axiómák: III.1 Ha adott egy O kezdőpontú félegyenes, és egy a szakasz, akkor a félegyenesen létezik olyan A pont, melyre OA = a. III.2 Ha adottak az e1 egyenesen az A1, B1, C1, valamint az e2 egyenesen az A2, B2, C2 pontok úgy, hogy (A1B1C1), és (A2B2C2), valamint A1B1 = A2B2 és B1C1 = B2C2, akkor A1C1 = A2C2. 9 A négydimenziós tér geometriája III.3 3.Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere Ha adott az a konvex szög, valamint egy félsík, és a határoló egyenesén egy e félegyenes az O kezdőpontjával, akkor egyértelműen létezik a félsíkban egy a szög, melynek csúcsa O, egyik határoló félegyenese e. III.4Ha az A1B1C1, és A2B2C2 háromszögekben A1C1 = A2C2, B1C1 = B2C2, A1C1B1 S = A2C2B2 S

,akkor B1A1C1 S = B2A2C2 S III.5 Ha egy háromszögben két-két oldal és a közbezárt szög megegyezik, akkor a két háromszögben a megfelel szögek egyenlőek. Ezen axiómák segítségével bizonyíthatók a háromszög egybevágósági tételei, lehetővé válik szakaszok és szögek összehasonlítása, értelmezhetők síkbeli és térbeli egybevágóságok. IV. Folytonossági axiómák: Cantor-féle axióma: Ha egy egyenesen adott egymásba skatulyázott intervallumoknak sorozata, akkor van olyan pont, amelyet minden intervallum tartalmaz. Arkhimédesz-féle axióma: Bármely a, b szakaszokhoz létezik olyan n>0 egész szám, amire a •n > b. Lehetővé teszik a szögmérést, szakaszmérést és a koordináta-geometria bevezetését. V. Párhuzamossági axióma: Ha a P pont nem illeszkedik az e egyenesre, akkor az adott pont és egyenes síkjában egyértelműen létezik a P-n átmenő, e-t nem metsző egyenes. Felhasználásával bizonyítható, hogy a

háromszög szögeinek összege 180° és, hogy léteznek hasonló, de nem egybevágó alakzatok. Megjegyzés:Bolyai megsejtette, hogy az V. axióma igaz vagy hamis voltát nem lehet eldönteni. Ezt követően megpróbálta a geometriai bizonyításokhoz használt axiómák közül kivenni, figyelmen kívül hagyni az V. axiómát Megállapította, hogy ily módon más rendszerek, újfajta térszerkezetek képzelhetőek el. Az ily módon körvonalazódott geometriát, vagyis azt, amelyikben a bizonyításokhoz nem használjuk a párhuzamosokra vonatkozó V. axiómát, tehát amely független az V. axióma igaz, vagy hamis voltától abszolút geometriának nevezte. Bolyai János elmélete megszüntette az Euklidész által kialakított térbeli látásmód egyedülállóságát, megváltoztatta az embernek a térrel kapcsolatos évezredes látás-, gondolkodásmódját, elősegítette újabb geometriák kidolgozását. 10 A négydimenziós tér geometriája 3.Az euklideszi

háromdimenziós tér axiómarendszere Új irányba terelte egyéb tudományágak fejlődését is, hozzájárulva ezzel a modern kor jelentős tudományos felismeréseihez (pl. mechanika, csillagászat, fizika, űrkutatás, filozófia stb) 3.4 Analitikus axiómarendszer Ez a felépítés ([3] Reimann István: A geometria és határterületei c. könyve alapján írtam le) alkalmas arra, hogy kevés módosítással az n dimenziós terek geometriáját is felépítsük. Alapfogalmak: pont (A,B,C.), vektor (a,b,c,) Bizonyítható, hogy az alábbi hat axiómával definiált tér azonos a háromdimenziós euklideszi térrel. 1. V a vektorok nemüres halmaza az összeadásnak nevezett műveletre nézve kommutatív csoportot alkot. A csoport egységeleme a nullvektor, jelölése 0 2. Minden v vektorhoz és λ valós számhoz hozzátartozik egy λv vektor, amit v λ-val való szorzatának nevezünk, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik: Bármely λ, μ ∈T (test) és v∈V

esetén: (λ+μ)v=λv+μv Bármely λ∈T és v, u ∈V esetén: λ(u+v)=λu+λv Bármely λ, μ ∈T és v∈V esetén: (λμ)v=λ(μv) Bármely v∈V esetén: 1v=v, ahol 1 a T test (szorzásra vonatkozó) egységeleme (azaz amellyel minden λ∈T-re 1λ=λ1=λ). 3. Minden v, u ∈V-hez tartozik egy uv-vel jelölt valós szám, amit u és v skaláris szorzatának hívunk és rendelkezik a következő tulajdonságokkal: Bármely v, u ∈V esetén: u·v = v·u Bármely v, u,w ∈V esetén: (u+v)· w = u·w + v·w Bármely λ∈T és v, u ∈V esetén: λ(u·v) = λ(u·v) Bármely u ∈V esetén: u·u ≥ 0, u·u = 0 akkor és csak is akkor teljesülhet, u=0 4. Van három lineárisan független vektor, de bármely négy vektor lineárisan függő Lineárisan függetlenek az a1 , a2. an vektorok, ha λ1a1 + λ2a2 + + λn an = 0 akkor és csak akkor, ha λ1= λ2=.= λn=0 Egyébként lineárisan függők 5. Ha A és B két tetszőleges pont, az (A;B)rendezett

pontpárhoz egyértelműen tartozik uuur egy és csak egy u vektor, amit AB-vel jelölünk és: uuur Tetszőleges A ponthoz és u vektorhoz létezik olyan B pont,amelyre AB = u uuur uuur uuur Ha A, B, C tetszőleges pontok, AB + BC + CA = 0 uuur Ha AB = 0 , akkor A és B egybeesnek. 11 A négydimenziós tér geometriája 3.Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere 6. Van legalább egy pont A fenti axiómák segítségével definiálhatóak: Egyenes:Az A és B pontok által meghatározott egyenes azon P pontok halmaza, melyekre uuur uuur PA és PB lineárisan függők. Sík: Az A, B, C nem egy egyenesre illeszkedő pontok által meghatározott sík azon P pontok uuur uuur uuur halmaza, melyekre PA , PB és PC lineárisan függők. „közte van”:A P pont az A és B között van, ha A≠B, és van olyan 1-nél kisebb pozítiv valós uuur uuur λ szám, amelyre AP = λ AB uuuuuur Távolság: fogalom ( az egybevágóság értelmezéséhez ): A és B pontok

távolságán (AB)2 uuur számot értjük és AB -vel jelöljük, vagy az a = a 2 jelölést használjuk. ab Szög: Az a, b vektorpárhoz tartozó hajlásszög a 0 és π közé eső ϕ = arccos a b 3.5 Koordináta-rendszer: Legyenek i, j, k olyan vektorok, melyek függetlenek egymástól, páronként merőlegesek. (Két vektor merőleges, ha skaláris szorzatuk 0.) Létezésüket a 4 axióma biztosítja Közülük egyik sem nullvektor, mert akkor pl. i= 0 esetén 1i+0j+0k=0, ami ellent mondana a lineáris függetlenségnek. i, j, k bázis, ami lineárisan független generátorrendszert jelent (Az a1,,an ∈ V vektorokat a V vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha V minden eleme előáll az ai vektorok lineáris kombinációjaként.) továbbá legyenek egységvektok ( A vektor hossza egy, ∣a∣ = 1.) Az euklideszi tér bármely v vektora egyértelműen előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, hiszen a 4. axióma miatt v, i, j, k lineárisan függők,

így van olyan λ1, λ2, λ3 , λ4 valós szám, hogy λ1v + λ2i +λ3j + λ4 k =0 akkor, ha v=0, i, j, k függetlensége miatt λ2=λ3=λ4=0 λ2 λ3 λ4 i − j − k λ1 λ1 λ1 A kombináció együtthatóit nevezzük a vektor adott bázisbeli koordinátáinak (x,y,z). Egy v ha v≠0, λ1 sem lehet 0, ezért v = − vektor előállítása: v= xi+yj+zk. Szorozzuk be az egyenletet például i-vel! vi= xii+yji+zki Ebből természetesen yji és zki kiesik, mert mivel j és i, valamint k és i merőlegesek egymásra, skaláris szorzatuk nulla. i és i skalárszorzatából 12 1 lesz, mert egyirányú A négydimenziós tér geometriája 3.Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere egységvektorok. Tehát ortonormált bázisban ( Olyan bázis, melynek elemei merőlegesek egymásra és egységvektorok) a koordinátákat kapjuk a koordinátához tartozó bázisvektor és a keresett vektor skaláris szorzatával. Tehát egy vektorhoz i, j, k segítségével egy (x, y, z)

koordinátahármas rendelhető egyértelműen. A koordináták függnek a bázistól Koordináta-rendszer: Kell egy kezdőpont, és a dimenzió számával megegyező számú lineárisan független bázisvektor.( i, j, k) Ha OP = xi + yj + zk, akkor azt mondjuk, hogy P koordinátái P(x, y, z) 3.6 Távolság: Ha P1(x1, y1, z1) és P2(x2, y2, z2) koordinátáikkal adott pontok, akkor P1P2 = (x2 − x1)i + (y2 − y1)j + (z2 − z1)k. Rövidebben írva: P1P2 = (x2 − x1; y2 − y1 ; z2 − z1) .A P1 és P2 pontok d(P1, P2) távolsága pedig a P1P2 vektor hosszával egyenlő: d(P1, P2) = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 ) 2 3.7 Térelemek 3.71 Térelemek egymáshoz viszonyított helyzete Térelemek: pont, egyenes, sík, tér A szemléletesség kedvéért egy kockán mutatom be egymáshoz viszonyított 5. ábra helyzetűeket. Két egyenes kölcsönös helyzete a térben lehet metsző, párhuzamos vagy kitérő.( 5 ábra) Két sík kölcsönös helyzete a térben lehet

párhuzamos vagy metsző.( 6 ábra) a)Merőlegesség: Kitérő egyenesek merőlegesek, ha az egyik pontjainak 6. ábra merőleges vetülete a másik egyenesre ugyanaz a pont. Sík és egyenes merőleges: ha az egyenes a sík összes egyenesére merőleges. Egy f egyenes merőleges az S síkra, ha f pontjainak merőleges vetülete az S síkra ugyanaz a pont. Bizonyíthatóak az alábbi állítások: 1. Állítás: Ha adott az f egyenesen a P pont, akkor egyértelműen létezik P-n átmenő f-re merőleges sík 13 A négydimenziós tér geometriája 3.Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere 2. Állítás: Ha adott az S sík és a P pont, akkor egyértelműen létezik P-t átmenő, S-re merőleges egyenes. 3. Állítás: Ha az f egyenes merőleges az S sík két egyenesére, akkor merőleges a síkra is 4. Állítás: Ha f és g merőlegesek az S síkra, akkor létezik f-et és g-t tartalmazó sík b)Párhuzamosság: Két sík párhuzamossága: Két sík párhuzamos,

ha nincs közös pontjuk, vagy egybeesnek. Egyenes és sík párhuzamossága: Egy egyenes és egy sík párhuzamosak, nincs közös pontjuk, vagy a sík tartalmazza az egyenest. Bizonyítható, hogy egyértelműen létezik P-n átmenő S-el párhuzamos sík. 3.72 Távolság: Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hosszát értjük.(7 ábra) 7. ábra Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hosszát értjük ( 8. ábra) 8. ábra Párhuzamos egyenesek távolságát az őket összekötő, rájuk merőleges szakasz hossza adja. ( 9 ábra) Fogalmazhatunk úgy is, hogy az egyik egyenesen kiválasztunk egy tetszőleges pontot, és ennek a pontnak a másik egyenestől való távolsága adja a két 9. ábra egyenes távolságát. Párhuzamos síkok távolságát az őket összekötő, rájuk merőleges szakasz hossza adja. ( 10ábra) Fogalmazhatunk úgy is, hogy az egyik síkon kiválasztunk egy

tetszőleges pontot, és ennek a pontnak a másik síktól való távolsága adja a két 10. ábra sík távolságát. 14 A négydimenziós tér geometriája 3.Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere Egyenes és vele párhuzamos sík távolságát az egyenesre és a síkra egyaránt merőleges, közöttük elhelyezkedő szakasz adja. Fogalmazhatunk úgy is, hogy az egyenesen kiválasztunk egy tetszőleges pontot, és ennek a pontnak a másik síktól való távolsága adja a két sík távolságát. 3.73 Hajlásszögek Egyenes és sík hajlásszögén értjük az egyenes és ennek a síkra eső merőleges vetülete által bezárt szöget. ( 11 ábra) Ha a vetület egy pont, akkor az egyenes merőleges a síkra. Más esetben az így kapott képegyenes és az eredeti egyenes hajlásszöge adja az egyenes és a sík hajlásszögét. 11. ábra Két kitérő egyenes hajlásszögét a velük párhuzamos, egymást metsző egyenesek hajlásszöge adja. Két sík

hajlásszögét úgy kapjuk, hogy a metszésvonalra, annak egy tetszőleges pontjában mindkét síkban egy-egy merőleges egyenest bocsátunk. Ennek a két egyenesnek a hajlásszöge adja a két sík hajlásszögét. ( 12ábra) Két sík hajlásszöge derékszögnél nem nagyobb. 12. ábra 3.74 A testek csoportosítása Test alatt olyan háromdimenziós alakzatokat értünk, amelyek határfelülettel jellemezhetőek. A testeket két nagy csoportba soroljuk: görbe felületűek és poliéderek. 13. ábra 15 A négydimenziós tér geometriája 3.Az euklideszi háromdimenziós tér axiómarendszere görbe felületű testek: a határoló lapok között van görbe felület is hengerek (egyenes és ferde), kúpok (egyenes, ferde, csonka), forgástestek (valamely síkidom adott tengely körüli megforgatásával keletkeznek, forgásszimmetrikusak), gömbök, egyebek. poliéderek: véges sok sokszög által határolt testek, csak síkok határolják hasábok

(egyenes és ferde), gúlák (egyenes, ferde, csonka), szabályos testek ( platóni test) :Egy konvex poliéder, szabályos,ha 1. minden éle egyenlő hosszú, 2. minden élszöge és 3. minden lapszöge egyenlő Ezekből következik, hogy oldallapjai egybevágó szabályos sokszögek , és minden csúcsukban ugyanannyi számú él találkozik. 5 szabályos test van: tetraéder, hexaéder,oktaéder, dodekaéder, ikozaéder ( az 14.ábrán a felsorolás sorrendjében láthatók) 14. ábra Egyebek 4. A többdimenziós euklideszi tér 4.1 Dimenzió A bázis vektorainak a száma határozza meg a vektortér dimenzióját. Bizonyítható, hogy ha egy vektortér egyik bázisának elemszáma n, akkor az összes bázisvektorainak a száma n. Egy vektortér n-dimenziós, ha van n vektora, amelyekből a tér minden vektora számmal való 16 A négydimenziós tér geometriája 4.A többdimenziós euklideszi tér szorzással és összeadással megkapható. Mondhatjuk úgy is,

hogy a tér n vektorral kifeszíthető, de n-1 vektorral még nem. 4.2 Koordináta-rendszer: Ha létezik n egyenes úgy, hogy közülük bármely kettő merőleges egymásra, akkor ezen egyenesek n tengelyű derékszögű koordináta-rendszert alkotnak. A négydimenziós világban 4 ilyen egyenes (tengely) szükséges. Tehát létezik egy tengely, ami az X, Y és Z tengelyekre merőleges. Ezt a tengelyt W-nek nevezzük, az ennek mentén haladó irány neve negyedik irány. ( 15ábra) Tehát az 15. ábra itt ábrázolt W tengely mindhárom másik koordinátatengelyre merőleges. A három dimenzióban a három lehetséges irány: szélesség, hosszúság (vagy mélység) és magasság, melyekre a hétköznapi nyelvben a fel/le, balra/jobbra és előre/hátra fogalmakkal hivatkozunk. Ha a negyedik dimenzióról kívánunk beszélni, egy további fogalompárra van szükség. Az elfogadott nevek közé tartozik az ana/kata, a vinn/vout (Rudy Rucker elnevezése) és az

üpszilon/delta. A pontok, vektorok n-dimenziós térben is megadhatóak szám-n-essel P ( x1, x2, x3,.xn) Az xi számot a pont i-edik koordinátájának nevezzük. 4.3 n dimenziós tér Helyettesítsük axiómarendszerünk 4. axiómáját a következővel: Van n lineárisan független vektor, de bármely n+1 vektor lineárisan függő. Az n dimenziós euklideszi tér axiómarendszerét kapjuk. Lineárisan függetlenek az a1, a2. an vektorok, ha λ1a1 + λ2a2 + + λn an = 0 akkor és csak akkor, ha λ1= λ2=.= λn=0 Egyébként lineárisan függők 4.31 Alapfogalmak vektor hossza Az n-dimenziós v = [ v1,v2 ., vn ]: ∣v∣= Távolság: Legyen i=1 P ( x1, x2, x3,.xn), Q ( y1, y2, y3,yn) ∑ n  ∣PQ∣=  n ∑  v i 2 i=1  xi − y i2 17 n∈ℕ , x ∈ℝ . A négydimenziós tér geometriája 4.A többdimenziós euklideszi tér Nézzük meg egy n-dimenziós kocka legtávolabbi csúcsainak távolságát! Legyen az oldalak hossza egységnyi (1)!

( 16.ábra) n=2-re egy négyzetben az átló hossza d1= 2 16. ábra n=3 3D-ben Pithagorasz tétele szerint a testátló d2= 3 ( 17.ábra) 17. ábra n=4 4D-ben hasonlóan az AB =d3 a leghosszabb, mely nagysága 3 + 1 = 4 .( 18ábra) 18. ábra Hasonlóan tovább folytatva n- dimenziós kockákban a leghosszabb átlók hosszát az ábra mutatja. 19. ábra A szög: Ugyanúgy értelmezhető, mint E3-ban. Az általánosítás alapja az, hogy sokdimenziós térben is igaz, hogy két vektor egy síkot határoz meg, tehát értelmezhető a koszinusz tétel felírásához szükséges háromszög. Az a, b vektorpárhoz tartozó hajlásszög a 0 és π közé eső ϕ = arccos ab a b Térelemek 4D-ben A háromdimenziós tér síkjainak és egyeneseinek szerepét az alterek veszik át, illetve bővítik ki. Altér: Ha a0 a tér egy pontjának helyvektora, a1, a2 . ak vektorok ( k<n) pedig lineárisan független vektorok, ekkor azon pontok halmaza, amelyek helyvektorai a=a0+ λ1a1 +

λ2a2 + .+ λn an alakúak, az n dimenziós tér alterét adják Az n-1 dimenziós altér neve hipersík Ezek szerint: Egyenes: 1 dimenziós altér Sík: 2 dimenziós altér Tér (hipersík): 3 dimenziós altér 18 A négydimenziós tér geometriája 4.A többdimenziós euklideszi tér 4.32 Alterek egymáshoz viszonyított helyzete: Alterek egymáshoz viszonyított helyzetét az ún. Grassmann-formula alapján határozhatjuk meg, amely lényege, hogy két altér (k1és k2 dimenziós) metszete is altér (m dimenziós). Két alteret tartalmazó legkisebb altér a két altér lineáris burka (ö dimenziós). A formula: k1+k2 = m+ö ( megállapodás, az üres halmaz dimenziója: -1.) Így:pl. 3 dimenzióban: két kitérő egyenes lineáris burka: k1 = k2= 1, m= -1 ö=3, tehát maga a háromdimenziós tér a lineáris burkuk. Négydimenzióban: • Két hipersík metszete mindig sík, hiszen k1 = k2= 3, ö=4 m= 2 • Hipersík és sík metszete egyenes: k1 =3 k2= 2, ö=4 m= 1

• Hipersík és egyenes metszete egy pont: k1 =3 k2= 1, ö=4 m= 0 • Két sík metszéspontja lehetséges, hogy egy pont:k1 =2 k2= 2, ö=4 m= 0 ( ha a két sík egy síkban fekszik, a metszetük egyenes, hiszen akkor ö=3 , amiből m= 1, vagyis egyenes adódik) Merőlegesség: • Egy tér és egy egyenes merőleges egymásra, ha az egyenes a tér minden egyenesére merőleges. Bizonyítható állítás: Egy egyenes egy pontján átmenő és erre merőleges egyenesek egy térben • vannak. Két sík merőleges egymásra, ha az egyiknek minden egyenese merőleges a másiknak minden egyenesére. Megjegyzés: 3D-ben ha két sík merőleges egymásra, abból nem következik,hogy a két sík minden egyenese is merőleges egymásra. Párhuzamosság: • Két tér párhuzamos egymással, ha az egyik AA1, AA2, AA3 nem komplanáris egyenesei rendre párhuzamosak a másik tér három egyenesével. • Két sík párhuzamos, ha : nincs közös pontjuk. • Egy sík párhuzamos

egy térrel, ha párhuzamos a tér egy síkjával. 4.33 A testek 4D-ben Politóp: Véges sok pont konvex burkát politopnak nevezzük. A konvex politopot a korlátosság miatt minden oldalról hipersíkok határolják. Konvex politop, amelynek eggyel több extremális pontja (csúcspontja) van mint amennyi a dimenziószáma. A csúcs: 0 dimenziós,él: 1 dimenziós,.hiperlap: n-1=3 dimenziós 19 A négydimenziós tér geometriája 4.A többdimenziós euklideszi tér Szabályos politopok:[4] név 5-cella, szimplex 8-cella, hiperkocka 16-cella, keresztpolitóp 24-cella 120-cella 600-cella csúcs él lap cella 5 10 10 5 16 32 24 8 8 24 32 16 24 96 96 24 600 1200 720 120 120 720 1200 600 1. táblázat Görbe felületek, cellák által határolt 4D-s testek is léteznek. Ilyen pl a hipergömb 5. A 4D-s tér ábrázolása 5.1 El-lehet-e gondolni a 4D-t? 3D-s világban élő lények vagyunk, de a szemünk, mivel retinánk felszíne 2D-s,csak 2D-ben lát, a 3D-s világnak egy 2D-s

vetületét érzékeli.(20 ábra) Ennek ellenére könnyedén képesek vagyunk a 3D fogalmát megérteni. Agyunknak semmi gondot nem okoz a retinánk által látott 2D-s képekből rekonstruálni a körülöttünk lévő világ 3D-s modelljét. 20. ábra Egy elképzelt 4D-s lénynek hasonlóképpen 3Ds retinája lenne, a 4D-s világot pedig 3D-s vetületként látná. Nem látná közvetlenül a negyedik dimenziót, de közvetett információkból következtetne rá.( 21 ábra) 21. ábra Charles Howard Hinton angol matematikus három módszert alkalmazott a magasabb dimenzió ábrázolására: az objektumok vetületeinek, keresztmetszeteinek és kiterítéseinek vizsgálatát. Még napjainkban is az ő módszereit használják a fizikusok és a matematikusok is 20 A négydimenziós tér geometriája 5.A 4D-s tér ábrázolása 5.2 A dimenziós analógia Dimenziós analógiának azt az eljárást hívják, amikor megvizsgáljuk, hogyan viszonyul egy, a miénknél

alacsonyabb dimenzióban lévő geometriai jelenség a mi három dimenziónkban lévő, neki megfelelő geometriai jelenséghez, majd ugyanezt az elvet alkalmazva viszonyítjuk a mi dimenziónkat egy magasabb számú dimenzióhoz.[5] 5.3 Vetület A háromdimenziós testeket síkbeli vetületekkel is ábrázolhatjuk, analóg módon a négydimenziós testeket háromdimenziós vetületükkel szemléltethetjük. A vetítés elve: vetítősugarakat bocsátunk a tárgy felől egy 3 dimenziós vetítőernyő felé. Ezeknek a sugaraknak a vetítőernyővel való metszete hozza létre a tárgy képét. A vetületek révén könnyebben tudjuk felfedezni a magasabb dimenziókat, mivel ezek integrált képet adnak. A vetítésnek két fő fajtája van: a párhuzamos vetítés és a perspektivikus vetítés. A párhuzamos vetítésnél a vetítősugarak párhuzamosak egymással. A perspektivikus vetítésnél a sugarak a vetítőernyő mögötti egyetlen pontba tartanak. 5.31 A párhuzamos

vetítés A párhuzamos vetítést lehet: • merőleges vetítés, amikor a sugarak merőlegesek a vetítőernyőre • ferdeszögű vetítés, ahol a sugarak valamely szögben metszik a vetítőernyőt. A párhuzamos vetítéssel alkotott képek néhány tulajdonsága: • A kép mérete nem függ a tárgy távolságától. • A tárgy párhuzamos vonalai a képen is párhuzamosak maradnak. Koordináta geometriai módszerekkel kiszámítható és számítógéppel megjeleníthető, hogy a hiperkocka merőleges vetítésű képe egy 3D-s kocka, ferdeszögű vetítése pedig olyan, mint két kocka, amelyeket 8 vonal köt össze. Az ábrákon egy 4D-s kocka vetületei láthatók. merőleges vetülete: ferdeszögű vetülete: 22. ábra 23. ábra 21 A négydimenziós tér geometriája 5.A 4D-s tér ábrázolása 5.32 Perspektivikus vetítés A párhuzamos vetületekből hiányzik egy fontos vizuális információ: a távolság. A perspektivikus vetítés kezeli ezt a

problémát. A kép relatív méretéből következtetni tudunk a távolságára mindennapi életünk, tapasztalataink alapján. A perspektivikus vetítésnek mellékhatása is van: a tárgy párhuzamos vonalai a képen már nem párhuzamosak. Ezt a jelenséget rövidülésnek hívják, és abból adódik, 24. ábra hogy a kép mérete a tárgy távolságától függ. A 24 ábrán egy 4D-s kocka perspektivikus vetítéssel kapott képe. 5.33 Metszetek Az ábrázolás másik lehetősége az, ha elmetszünk egy negyedik dimenzióbeli tárgyat a +D-s altérrel, és megnézzük, hogy festenek az egyes különféle keresztmetszetei. Ha egy 3D-s henger, melynek alapja párhuzamos a síkkal áthalad a 2D-s síkon, azonos méretű, körkörös metszetek sorozatát kapjuk. ( 25ábra) 25. ábra De, ha más helyzetben metszenénk el, a henger alapja most nem párhuzamos a síkkal,más metszeteket kapnánk.( 26ábra) 26. ábra Ha előzőleg nem tudtuk,milyen alakú a henger,

ezekből a metszetekből valószínűleg nem tudnánk kikövetkeztetni. Mindez a metszetes módszer egy alapvető hiányosságára világít rá Az alábbi sorozat egy 4D-s tárgynak a 3D-s térrel való metszeteit ábrázolja: 27. ábra 22 A négydimenziós tér geometriája 5.A 4D-s tér ábrázolása Rá tudunk jönni, milyen volt a 4D-s tárgy? Ha nem ismertük korábban, nem, mivel nem tudjuk hogyan illenek össze ezek a metszetek. Az az alapvető gond a metszetekkel, hogy részenként vizsgáljuk a tárgyat. A lényeges jellemzőire, mint például a lapok számára és alakjára, a csúcsok számára és a tárgy voltaképpeni alakjára, csak következtetni lehet, nem nyilvánvalóak. 5.4 Testháló Egy háromdimenziós poliéder hálóján értjük azt a sokszöglapot, amelyet, ha papírlapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete. Egy poliédernek általában több testhálója is lehet. 28. ábra Használva a dimenzió analógiát,

kiteríthető 3D-be a négydimenziós hiperkocka is. 8 háromdimenziós kockát kapunk érdekes „kereszt„ alakban. (29ábra)Mozdíthatatlannak tűnik, de egy 4D-s lény könnyen hiperkockává tudna alakítani. Ezt a kiterített hiperkockát nevezte el Hinton tesseractnak. Összegezve Hinton a magasabb dimenzióban való ábrázolást népszerűsítette, felkeltve ezzel az emberek érdeklődését. 29. ábra 23 A négydimenziós tér geometriája 6.Négydimenziós alakzatok 6. Négydimenziós alakzatok 6.1 Tesseract 6.11 Cellák, ormok és élek Legyen egy pontunk , mely egybeesik a koordináta-rendszer középpontjával. Ha ezt eltoljuk x irányában egy megadott távolságra, egy szakaszt kapunk. Ezt toljuk most el y mentén 30. ábra ugyanakkora távolsággal! Így kapunk egy négyzetet. Ha a 3 z tengely irányába ismét a megadott távolsággal eltoljuk négyzetünket, kockát kapunk. Majd folytatva az eltolást a 4 w tengely irányba, eljutunk a hiperkockához.

( 30 ábra) A következő táblázat a dimenziós analógia segítségével mutatja be az n dimenziós kocka kialakulását, csúcsainak, éleinek, lapjainak , kockáinak számát.[6] Dimenzió Név Csúcs Élek Lapok 0 Kockák 1. szakasz 2 1 2. négyzet 4 4 1 0 3. kocka 8 12 6 1 4. hiperkocka 16 32 24 8 2. táblázat 24 0 Rajz A négydimenziós tér geometriája 6.Négydimenziós alakzatok Összefüggéseket vehetünk észre: ( n a dimenziószámot jelöli) a csúcsok száma 2n ,az éleké 2 celláké 2 n-1 · n, a lapok ( ormok) száma 2n-3· n · (n-1), a n-4 · n· (n-1)· (n-2)/3 ( pl. n=4-re csúcs:24=16, él: 23· 4=32, orom:2· 4· 3=24, cella: 1· 4· 3· 2/3=8 )[7] a csúcsok száma a kétszeresére nő a következő dimenzióba lépéskor az élek számát úgy kapjuk, hogy az előző dimenzió éleinek számát megszorozzuk kettővel és a csúcsok számát hozzáadjuk (pl. n=4 esetén 32=2 ·12+8 ) osszuk el az élek

számát a csúcsai számával . Ennek a törtszámnak a számlálója és nevezője mindig növekedni fog egyel, ha egyel magasabb 2 3 4 dimenziószámú kockát vizsgálunk. ( ; ; ) 2 2 2 n-1 dimenziós felületek számát megkapjuk ( pl. kocka esetén a lapok, hiperkocka esetén a határoló kockák számát) , ha az előző dimenzióbeli n-1 dimenziós felületek számát megszorozzuk kettővel és hozzáadjuk n-2 dimenziós felületei számát. ( pl n=3 kocka élei: négyzet élei · 2 + négyzet csúcsai: 12= 4· 2+4, hiperkocka lapjai:24=6· 2+12) Természetesen ez a folyamat a további dimenziókban is folytatható.[6] Coxeter munkája alapján [8] megadható Q(n,k), vagyis n dimenziós kocka 0 ≤ k ≤ n dimenziós felületeiek száma a következő képlettel [9]: n! 2n ⋅ C(n, k) ahol,C(n,k) = n− k Q(n, k) = = 2 ⋅ C(n, k) k!(n − k)! 2k 4! pl. a négydimenziós kocka ormainak száma, Q(4,2)= 22· = 4· 6 =24 2!2! A képlet azt fejezi ki, hogy ha egy n

dimenziós kocka összes n-nél kisebb felületeinek (pont, él, orom, cella.) számát összeadjuk, 3n-t kapunk A bizonyítás alapja a binomiális tétel. A binomiális tétel miatt : Az egyenlet bal oldalába helyettesítsük a=2 és b=1 értékeket, így 3 n-t kapunk, a jobb oldal értéke éppen Q(n,k). (pl. n= 4 hiperkocka esetén: 16+32+24+8+1 =81 =34 ) Egy 3D-s poliédernek, például a kockának, vannak csúcsai, élei és oldalai, és egy 3D-s térfogatrészt töltenek ki. A kockát oldalak veszik körül, melyek 2D-sek A szomszédos 25 A négydimenziós tér geometriája 6.Négydimenziós alakzatok oldalak élek mentén találkoznak, melyek 1D-sek , az élek pedig csúcsokban futnak össze, amelyek 0D-sek. Egy 2D-s felület azonban nem elég ahhoz, hogy egy 4D-s tárgyat körbevegyen, a 4D-s tárgyakat 3D-s ún. cellák veszik körül A szomszédos cellák nem élek mentén találkoznak, hanem 2D-s oldalak, ún. ormok mentén Maguk az ormok élek mentén érnek

össze, az élek pedig csúcsokban találkoznak. 6.12 A 4D-s hiperkocka egy vetülete Vizsgáljuk meg egy 4D-s hiperkocka egyik csúcs felőli vetületének számítógéppel ábrázolt perspektivikus képét! ( 31. ábra) A hiperkocka csúcsa ennek a ott helyezkedik el, ahol a kékkel jelölt belső élek összefutnak az alábbi ábrán. A hiperkocka négy, kocka alakú cellái torzított kockáknak 31. ábra tűnnek,de valójában tökéletesen szabályos kockák. Csak azért tűnnek torzítottnak, mert a perspektivikus vetítés miatt megrövidülnek. A 8 cellájából csak 4 látható. ( 32 ábra)Ennek az az oka, hogy a másik 4 cella e négy mögött található, így fedésben vannak. 32. ábra 6.13 Hiperkocka a koordináta-rendszerben Vegyünk fel egy Descartes-féle xyz koordináta-rendszert, benne egy négyzettel, melynek egyik csúcsa illeszkedik az origóra, két egymásra merőleges oldala pedig az x, y tengelyekre. 3 dimenzióban származtathatunk kockát ebből

úgy négyzetből, hogy eltoljuk a z tengely mentén a négyzet oldalhosszúságának megfelelő távolsággal. (33ábra) 4D-ben, használva a dimenziós analógiát, kockákat kell eltolnunk az 33. ábra 26 A négydimenziós tér geometriája 6.Négydimenziós alakzatok xyzw koordináta-rendszerben mindig a 4. , a három másik tengelyre merőleges irányba (34.ábra) 34. ábra Így 8 cellát kapunk, melyek közül 2-2 párhuzamos egymással. Ugyanúgy, mint 3D-ben a kocka szemközti lapjai is párhuzamosak. Egy pár az xyz, egy az xyw,a harmadik az yzw, az utolsó pár pedig az xzw térben helyezkedik el, ahogy azt az ábrán láthatjuk. 35. ábra A hiperkocka koordinátái: Hiperkockánk csúcsainak koordinátát szám-négyesekkel írhatjuk le. Legyen az élek hossza 1 egység Így a csúcsok koordinátái: y 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 w 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 koordináta

0000 1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110 0001 1001 0101 1101 0011 1011 0111 1111 3. táblázat 27 A négydimenziós tér geometriája 6.Négydimenziós alakzatok A koordinátakat értelmezhetjük bináris számokként is, ezáltal lehetőségünk van a négydimenziós kocka Hasse-diagrammjának elkészítésére. [10]Egy tetszőleges részbenrendezett halmaz Hasse diagramja olyan gráf, amelyben a részbenrendezett halmaz M alaphalmazának az elemei alkotják a gráf pontjait, és a gráfban az a és b pontok között pontosan akkor halad él, ha a < b teljesül és nincs olyan c elem, amelyre a < c < b teljesülne az adott részbenrendezésben. 36. ábra 6.2 Pentachoron Szimplexnek nevezzük az poliédereket, melyek keletkeznek n dimenzióban. a olyan tetraéder n dimenziós kiterjesztéseiként A 4D-s szimplex a Pentachoron. 6.21 A pentachoron származtatása 4-dimenziós szimplexet származtathatjuk a következőképpen: 37. ábra A szabályos

tetraéder csúcsait jelöljük P1, P2 , P3, P4gyel! A 4. dimenzió mentén vegyünk fel egy P5 pontot úgy, hogy bármely két pont távolsága legyen egyenlő! Az P5 pontot összekötve P1, P2 , P3, P4-gyel egy 5 csúcsú, 10 élű, 10 lapú, és 5 tetraédert( cella), mint 3-dimenziós lapot tartalmazó poliédert kapunk . 38. ábra 6.22 A pentachoron felépítése: 0-dimenziós csúcsok száma: 5 ( n dimenzió esetén n+1 ) 1-dimenziós élek száma: 10 ( általánosan ndimenzió esetén(n+1)/2 ) i-dimenziós „felületek” számát pedig az( n1 ) binomiális együttható adja meg. [11] i1 28 A négydimenziós tér geometriája Dimenzió Név 6.Négydimenziós alakzatok Rajz Csúcs Élek Lap 0 pont 1 szakasz 2 2 háromszög 3 3 3 tetraéder 4 6 4 4 pentachoron 5 10 10 Cella 1 5 4. táblázat 6.23 A pentachoron tulajdonságai Minden csúcsa, minden csúccsal élekkel össze van kötve. E • tulajdonság kétdimenziós lehetőséget

ad arra, hogy a szimplexeket síkon ábrázoljuk gráfok segítségével: egy n- dimenziós szimplexnek n+1 csúcsú teljes gráf felel meg. [12] A tetraédernek nincsen átlója, tehát nincs egy olyan tengely • amely mentén össze lehetne nyomni és így nagyon stabil, nem mozog. Ezért három lábú pl a fényképezőgép állványa 39. ábra Kiterjeszthető Euler konvex poliéderekre vonatkozó tétele E + F − K = 2, [8] • ahol E a csúcsok, F a lapok és K az élek száma n dimenzióra. Ha a páros dimenziós „felületek” számának összegéből kivonjuk a páratlan dimenziójú „felületek” számának összegét, akkor 0-t, vagy 2-t kapunk eredményül, attól függően, hogy a dimenziók száma ( n ) páros-e vagy páratlan. (pl.n=4 esetén ( 5+10)-(5+10)=0, n=3-ra (4+4)- 6= 2 ) • Ha az n-dimenziós ( n≤ 5) térben felveszünk n+1 darab pontot P0,P1, P2 , P3,. Pn úgy, 29 A négydimenziós tér geometriája 6.Négydimenziós alakzatok

hogy az ezekbe mutató helyvektorokból képzett p1-p0, p2-p0, p3-p0, .pn-p0 vektorok lineárisan függetlenek, akkor az Pi pontok konvex burka egy n-dimenziós szimplex. (0≤i≤n)[12] 6.24 Pithagorasz tétele A kétdimenziós térben megismert Pithagorasz tételt kiterjeszthetjük több dimenziós térbeli objektumokra a következőképpen: 3D-ben: A derékszögű háromszög két befogóját és átfogóját transzformáljuk át három dimenzióssá úgy, hogy a kétdimenziós térre merőleges irányokba, a harmadik dimenzió irányába a két befogóra és az átfogóra emelt négyzetek méreteit egyforma mértékben pl. a kisebbik befogó méretével növeljük.[13] Így a képlet. a3+b2 ▪ a = c2 ▪ a 4D-ben: További transzformációt végzünk a 4. w irányba A képlet a következőképpen alakul: a4+b2 ▪ a ▪ a = c2 a ▪ a ▪ Például a ( 3,4,5) pithagoraszi számhármast alapul véve 4D-ben: 34+42 ▪ 3▪3 = 52 ▪ 3 ▪ 3 =225 6.3 n dimenziós gömb 6.31

Gömb Gömbnek nevezzük a térben (3D) azon pontok halmazát, melyek egy adott P ponttól egy rögzített r≥ 0 távolságra vannak. P-t a gömb középpontjának, r értékét pedig a gömb sugarának nevezzük. A P (x0, y0, z0) középpontú és r sugarú 40. ábra gömböt azok az (x, y, z) pontok alkotják, melyekre fennáll az alábbi egyenlőtlenség: ( x-x0)2 + ( y-y0)2 + (z-z0)2=r2 Az r sugarú gömb felületi pontjai paraméterezhetőek a gömbi koordináták segítségével is: x= x 0r sin θ cos Φ  y= y 0r sinθ sin Φ z =z 0r cos θ ( −πΦπ , 0θπ ) A gömb felszíne: A=4πr 2 (Testek felszíne: a test határoló felületének mértéke) 4 3 A gömb térfogata: V = ⋅π⋅r (Testek térfogata: annak a térrésznek a mértéke, amelyet a 3 test felülete határol.) 30 A négydimenziós tér geometriája 6.Négydimenziós alakzatok 6.32 Hipergömb A következő ábrán a hipergömb látható, ahogy áthalad

egy 3D-s hipersíkon (téren). 41. ábra A hipergömb azon pontok halmaza, melyek egy adott P (x, y, z, w) ponttól rögzített r≥ 0 távolságra vannak a négydimenziós euklideszi térben. Ha P-nek, a gömb középpontjának koordinátái (x0, y0, z0, w0), r a gömb sugara akkor a hipergömb egyenlete: ( x-x0)2 + ( y-y0)2 + (z-z0)2+ (w-w0)2=r2 Négydimenziós térben a hipergömb pontjai gömbi koordináták segítségével: x= r sin α sin β cos γ y= r sin α sin β sin γ z= r sin α cos β w= r cos α ahol −πγπ 0απ 0 βπ A hipergömb felszíne: S=2 π2r3 [14] A következő összefüggés áll fenn az n dimenziós gömbök felszínei között:Sn+2= 2πr 2 A hipergömb térfogata : V= 1 2 4 π r 2 A magasabb dimenzióba lépéskor a felszín és térfogat képletek között fenn áll: Vn= Például a négydimenziós gömbre: Sn n Sn r n S2 = 2 π2r3 2 r 1 2 4 π r = 4 2 S2=2πr , S4= 2πr 2 V4=2 π2r3 6.4 Politópok Véges sok pont konvex

burkát konvex politópnak nevezzük.Rn konvex politópja n dimenziós, ha belseje nem üres. A két dimenziós síkban használjuk a konvex poligon, három dimenziós térben a konvex poliéder elnevezést is. Bizonyítható, hogy egy konvex politópnak véges sok extremális pontja van, melyeket a konvex politóp csúcsainak nevezünk. 31 A négydimenziós tér geometriája 6.Négydimenziós alakzatok 6.41 Szabályos politopok 4D-ben [15] Szimplex: • Másik neve pentatop vagy pentachoron • 5 tetraéder cellája, 10 háromszög alakú lapja, 10 éle, 5 csúcsa van • 3 tetraéder találkozik egy élben • Úgy is származtathatjuk, hogy kijelölünk egy pontot a 4D-ben, majd megkeressük azt a további 4 pontot, amelyek ettől a ponttól és 42. ábra egymástól is egy adott ( ugyanakkora ) távolságra vannak, s vesszük ezeknek a konvex burkát. • Megfelelői a kisebb dimenziókban: pont-egyenes-háromszög-teraéder-szimplex Hiperkocka: • Másik neve

tesseract • 8 kocka alakú cellája, 24 négyzet alakú lapja, 32 éle, 16 csúcsa van • 3 kocka találkozik egy élben • Megfelelői a kisebb dimenziókban: pont-egyenes-négyzet-kockahiperkocka 43. ábra Kereszpolitóp: • Másik neve 16 cella vagy hexadecachoron • 16 tetraéder cellája, 32 háromszög alakú lapja, 24 éle, 8 csúcsa van • 4 tetraéder találkozik egy élben • Megfelelői a kisebb dimenziókban: pont-egyenes-háromszögoktaéder-keresztpolitóp • 44. ábra A keresztpolitópot úgy kapjuk, hogy felvesszük minden koordinátatengelyen az origótól egységtávolságra lévő pontokat, és ezeknek vesszük a konvex burkát. 24 cella: • Másik neve icositetrachoron • 24 oktaéder cellája, 96 háromszög alakú lapja, 96 éle, 24 csúcsa van • 3 oktaéder találkozik egy élben • Nincs megfelelője a kisebb dimenziókban 120 cella: • Másik neve hecatonicosachoron 32 45. ábra A négydimenziós tér geometriája

• 6.Négydimenziós alakzatok 120 dodekaéder cellája, 720 ötszög alakú lapja, 1200 éle, 600 csúcsa van • 3 dodekaéder találkozik egy élben • Megfelelője 3D-ben: dodekaéder 600 cella: 46. ábra • Másik neve 16 cella vagy hexacosichoron • 600 tetraéder cellája, 1200 háromszög alakú lapja, 720 éle, 120 csúcsa van • 5 tetraéder találkozik egy élben • Megfelelője 3D-ben: ikozaéder 47. ábra A szabályos politópokat bemutató program a http://www.mathbmehu/~prok/Poly4D/starthtml weboldalon megtekinthető Schlegel diagram: A politópok ábrázolására szolgál n-1 dimenzióban egy speciális vetítéssel, melynek alapja a perspektivikus vetítés. Ahogy a 3D-ben a testháló a poliéderek síkban kifeszített képe, a Schlegel diagram is a poliéderek síkbeli ábrázolására szolgál 3Dben. A poliédert egyik lapjára fektetjük, majd egy külső pontból erre a síkra vetítjük 4D-ben a Schlegel diagram a politópok 3D-beli

(hipersíkbeli) képét adja. A 48 és 49 ábrákon a dodekaéder és a 120 cella Schlegel diagramja látható. 48. ábra 49. ábra Schäfli szimbólum: [16]A szabályos politopok leírására szolgál a következőképpen: A lapok p szögek, az egy csúcsba futó élek száma q, és egy él r cellához tartozik. A (p;q;r) szimbólum egyértelműen meghatároz egy szabályos politópot. 33 A négydimenziós tér geometriája 6.Négydimenziós alakzatok Név Scháfli szimbólum(p,q;r) Cella (c) Lap(l) Él (e) Csúcs (s) szimplex (3;3;3) 5 10 10 5 hiperkocka (4;3;3) 8 24 32 16 keresztpolitóp (3;3;4) 16 32 24 8 24-cella (3;4;3) 24 96 96 24 120-cella (5;3;3) 120 720 1200 600 600-cella (3;3;5) 600 1200 720 120 5. táblázat A szimbólum(p;q;r) és a cellák(c), lapok(l), élek(e), csúcsok(s) száma között felírhatunk 1 1 1 1 1 1 páronkénti arányokat: r· e=p · l és   − :   −  = s: c q r 2 p q 2 1 1 1 1 1 1 1

1 : Pl. hiperkockánál 3· 32=4 · 24 , illetve   − :  −  = =2 és 16:8=2 3 3 2 4 3 2 6 12 7. Koordináta-geometriai vizsgálatok 7.1 Vektorok és műveleteik 4D-ben Vektor: Négy elemből álló sorozattal, számnégyessel v = ( v1;v2;v3;v4 ) adhatjuk meg. Vektor hossza :(a vektor euklideszi normájának is nevezzük és ∥v∥ -vel jelöljük. v = ( v1;v2;v3;v4 ): ∣v∣= ∑ 4 i=1  v 4 2 A két- és háromdimenziós térben megismert tulajdonságokat és műveleteket négydimenziós euklideszi térben is alkalmazhatjuk. A 4D-s euklideszi tér bázisa : i,j,k,w u = ( u1;u2;u3;u4 ) és v = ( v1;v2;v3;v4 ) k pedig a skalár k ∈R két vektor összege: u+v =(u1+v1;u2+v2;u3+v3;u4+v4) két vektor különbsége: u-v =(u1-v1;u2-v2;u3-v3;u4-v4) két vektor skalárszorosa: ku = (ku1;ku2;ku3;ku4) két vektor szorzata: uv = (u1v1;u2v2;u3v3;u4v4) 7.2 Egyenes, sík, hipersík egyenlete 4D-ben Egyenes: A Q(x0;y0;z0;w0) ponton átmenő, v(v1,v2;v3;v4)

vektorral párhuzamos egyenes egyenlete: Az egyenes tetszőleges P pontjára van olyan t t∈ℝ melyre  OP =  OQ + t·v Ha a v vektor egyik koordinátája sem nulla, akkor azt kapjuk, hogy egy P(x, y, z, w) pont akkor van rajta az egyenesen, ha x − x 0 y − y0 z − z 0 w − w 0 = = = =t v1 v2 v3 v4 34 A négydimenziós tér geometriája 7.Koordináta-geometriai vizsgálatok Sík:(2D) Ha a sík egy pontja Q(x0,y0,z0, w0) és két vektora v(v1,v2;v3;v4) és w(w1,w2;w3;w4), melyek lineárisan függetlenek, a sík egyenlete:  OP =  OQ +t·v+p·w, ahol t,p t , p ∈ℝ , a P(x, y, z, w) a sík :tetszőleges pontja. Hipersík:(3D) Azon pontok halmazát P ( x, y, z, w), amelyek kielégítik a következő négyismeretlenes egyenletet: 1. a1x+a2y+a3z+a4w=b, ahol a(a1,a2,a3,a4) adott nem nulla vektor és b adott skalár , b∈ℝ , a négydimenziós euklideszi tér egy hipersíkjának nevezzük. Ha b=0, a hipersík tartalmazza az p=0 vektort, vagyis átmegy az

origón. Ekkor, mivel (a,p) =0, az a vektor az összes hipersíkban fekvő p vektorra merőleges. Az a vektor a hipersík normálisa Két hipersíkot párhuzamosnak mondunk, ha normálisaik egy irányba esnek. 2. Ha a hipersík egyik Q pontjának helyvektora v(v1,v2;v3;v4), a hipersík normálvektora n, az egyenlet: (v-p)n=0, ahol p a P pont helyvektora. 7.3 Geometriai transzformációk A geometriai transzformáció olyan leképezés, amely egy ponthalmaz minden pontjához hozzárendel egy-egy pontot. Az alakzat transzformálása a képalakzatra való áttérést jelenti A geometriai transzformációk tulajdonságai: egyenestartó, egy e egyenes képe valamely e egyenes távolságtartó, d (A,B) = d (A,B) szakasztartó szögtartó párhuzamosságtartó területtartó . A geometriai transzformációk csoportosítása: 1. Egybevágósági transzformáció : identikus transzformáció tükrözések, forgatások, eltolások és ezek egymásutánjaiként kapott

transzformációk 2. Hasonlósági transzformáció: két pontnak ( O,P) és képének ( O,P) a távolságának aránya ugyanazt a nullától különböző hányadost adja. A képtávolságok és a megfelelő tárgytávolságok aránya adja a hasonlóság arányát kicsinyítés λ<1 egybevágóságról λ =1 nagyításról. λ>1 35 , λ>0 A négydimenziós tér geometriája 7.Koordináta-geometriai vizsgálatok Fixpont: a pont és a képe megegyezik. Fix egyenes: olyan egyenes, amelynek minden pontja fixpont. Invariáns egyenes: olyan egyenes, amely megegyezik képével. (Az invariáns egyenes általában nem fix egyenes.) Lineáris transzformációt négy dimenzióban egy 4x4-es transzformációs mátrix( M) és egy négy komponensű eltolás vektor segítségével lehet leírni. A perspektív vetítést nem lehet leírni ezzel a módszerrel, szükség van a homogén koordináták bevezetésére. Az P(x, y, z, w) pont homogén koordinátákkal kifejezve

az (xh1, yh2, zh3, wh4,v) A négydimenziós és a homogén koordináták közötti kapcsolat: xhi= xiv . A homogén koordináták haszna: A perspektív transzformáció is leírható egy mátrixszal A geometriai transzformációkat mátrix műveletekkel hajthatjuk végre Az összes transzformáció összevonható egy transzformációba - összeszorozva a mátrixokat. A P(p) pontot az M transzformáció mátrix p pontba viszi ( p= pM) Egy pontra több elemi transzformációt alkalmazva p=((( p M1)M2)M3), mivel a mátrixszorzás asszociatív:p= p ((M1M2)M3), vagyis kiszámítható az eredő transzformációs mátrix. 7.31 4D-s transzformációk, mint a 3d-s geometriai transzformációk kiterjesztései[17] Eltolás: 4D-ben az x, y, z, w tengelyek irányába történő eltolást a következő egyenletrendszerrel, vagy transzformációs mátrixszal adhatjuk meg. 1 0 0 0 0 x= x+tx , y= y+ty , z= z+tz , w=w +tw 0 1 0 0 0 │ x, y, z, w, 1│= │ x, y, z, w, 1│= 0 0 tx 0 0 ty

1 0 tz 0 1 tw 0 0 1 Nagyítás, kicsinyítés: Megváltoztatja az alakzatok méreteit, ha pontjai x, y, z, w koordinátáit λx, λy, λz, λw arányosági tényezőkkel szorozzuk, megkapjuk x, y, z, w koordinátákat. λx 0 │ x, y, z, w, 1│= │ x, y, z, w, 1│= 0 0 0 0 λy 0 0 0 0 0 λz 0 0 36 0 0 0 λw 0 0 0 0 0 1 A négydimenziós tér geometriája 7.Koordináta-geometriai vizsgálatok Forgatás: 2D-ben egy rögzített pont körül végezzük ezt a transzformációt, háromdimenziós térben van egy tengely, amely körül az összes többi pont forog. Közös azonban a két forgatásban, hogy a forgó alakzat minden pontja párhuzamos síkokban fekvő köröket ír le. A forgásra tekintsünk úgy, mint ami síkban zajlik! Ezért van 2D-ben csak rögzített pont, 3D-ben egyenes ( tengely), és 4D-ben sík. Fő forgatás, melyek kombinációjára bármelyik dimenzióbeli forgatász vissza lehet vezetni. nD tér Fő forgatás száma Rögzített altere 22 

32 2D 3D =1 =3 42 =6 4D Forgatás síkja 0D pont xy sík 1D x tengely y tengely z tengely yz sík xz sík xy sík 2D xy sík xz sík xw sík yz sík yw sík zw sík zw sík yw sík yz sík xw sík yz sík xy sík 6. táblázat A forgatás mátrixa: ( α a forgatás szöge) XY rögzített altér 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 cos α 0 sin α 0 0 0 0 sin α cos α 0 XZ rögzített altér 0 0 0 0 1 YZ rögzített altér cos α 0 0 − sin α 0 0 1 0 0 0 0 sin α 0 0 1 0 0 cos α 0 0 1 0 0 cos α 0 0 0 sin α 0 0 0 0 0 − sin α 1 0 0 cos α 0 0 XW rögzített altér 0 0 0 0 1 YW rögzített altér 0 0 0 0 1 cos α 0 sin α 0 0 0 − sin α 1 0 0 cos α 0 0 0 0 37 0 0 0 1 0 1 0 0 cos α 0 − sin α 0 0 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ZW rögzített altér 0 0 0 0 1 cos α sin α 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 A négydimenziós tér geometriája 7.Koordináta-geometriai vizsgálatok Az alábbi animációkon

egy kocka látható az XW, az YW és a ZW síkban való forgatásoknál. A rögzített síkokat piros szaggatott vonal jelöli. 50. ábra 7.32 Clifford-forgatás: A forgatáshoz 2 dimenzió kell, így lehetséges-, hogy egy alakzat egyszerre forog az XY sík és a ZW sík körül, vagy az XZ és az YW síkban, vagy az YZ és az XW síkban más-más forgási sebességgel, hiszen mindkettejük forgássíkja épp a másikuk rögzített síkjába esik.Ezek az összetett forgások a Clifford-forgatások Ez például egy olyan kocka, amely egyszerre forog az XY és a ZW síkban: A 4D-s Clifford-forgatásnál nincs rögzített sík, mivel a forgatás mind a 4 dimenziót igénybe veszi. Van azonban rögzített pontja, ami a jelenlegi két síkbeli forgatás rögzített síkjainak metszete. Most a kocka rögzített pontja a kocka közepén található 7.33 4D-3D projekció A párhuzamos és perspektív vetítések a négydimenziós koordinátákból háromdimenziós koordinátákat

állítanak elő. Az ilyen dimenzió csökkentő transzformációnak nem létezik inverze. A háromdimenziós testek ábrázolásánál általában meg kell oldani a takart vonalak vagy takart felületek problémáját is. x D y D = és = x z y z 38 A négydimenziós tér geometriája 7.Koordináta-geometriai vizsgálatok Ehhez szükség van a képsíktól mért távolságra is, ezért olyan transzformációt vezetünk be, mely a perspektív mélységet is megőrzi. Párhuzamos vetítés: Politópunk pontjaiból a w koordinátáit „veszi” el a következő transzformációs mátrixszal. 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 │ x y z w 1│· 0 0 1 0 0 = │ x y z 0 1│ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Perspektív transzformáció: A vetítés középpontjának távolsága az origótól D, ha a hipersíkja a w=0, akkor a transzformációs mátrix. D 0 0 0 0 0 D 0 0 0 xD │x y z w 1│· 0 0 D 0 0 =│xD yD zD 0 D-w│= D− w 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 D yD D− w zD D− w 0 1 Egy forgó 24 cellás

hipertest 3D-s vetülete. 51. ábra 8. Programok ismertetése A negyedik dimenzió szerencsére a számítógép programozók fantáziáját is megmozgatta, így, ha a négydimenziós alakzatokat szemléltetni, megjeleníteni szeretnénk, nincs más dolgunk, mint válogatni a nagyszámú, ingyenesen hozzáférhető alkalmazás között. Elegendő, ha a Google-ba beírjuk a „4d cube”, „hypercube” vagy „tesseract” kulcsszavak valamelyikét és 39 A négydimenziós tér geometriája 8.Programok ismertetése máris „négydimenziós” programok zavarba ejtő sokaságával találjuk szembe magunkat. Az alábbiakban közülük mutatok be néhányat. Michael Gibbs programját a http://members.aolcom/jmtsgibbs/draw4dhtm lapon találjuk Az alkalmazás lényegében egy egyszerű Java applet, melyet telepítés nélkül, magán a weboldalon próbálhatunk ki. Az applet 15-féle négydimenziós politopot képes megjeleníteni és forgatni különböző nézetekben. Külön

érdekessége, hogy az egyszerű vetületen kívül térhatású ábrázolásra is képes, a jobb és a bal szem számára generált képet kék és piros színekkel rajzolva ki. Megfelelő szemüveggel nézve a kép térbelinek tűnik. A forgatást 6 görgetősáv segítségével végezhetjük, az egyes görgetősávokkal a sávhoz rendelt síkokban végezhetünk forgatást. Az alsó és jobb oldali sávok a háromdimenziós térben mozgatnak, a negyedik dimenzióban a baloldali és felső sávokkal forgathatjuk be az alakzatot. Alex Bogomolny informatív weboldalán (http://www.maaorg/editorial/knot/tesseracthtml) két applet is található. Az egyikben szintén csúszkákkal forgathatunk, a másik esetében viszont az alakzatot egérrel megragadva végezhetjük a mozgatást a korábban nyomógombbal kiválasztott síkban. Mindkét applet csak hiperkocka megjelenítésére képes, az egyik viszont a kocka hipersíkkal való metszetét is kirajzolja. Ennek a kis alkalmazásnak külön

érdekessége, hogy mielőtt még a kezünkbe adná a vezérlést, néhány lépésben, egyszerű ábrákkal a dimenzió analógiát is felvázolja. A http://dogfeathers.com/java/hyprcubehtml oldalról sztereoszkópikus (térhatású) applet-et tölthetünk le. A forgatás automatikus, nem befolyásolhatjuk Viszont azért érdemes mégis megemlíteni, mert az alkalmazás külön ablakban elválasztható a weboldaltól és teljes képernyő méretűre nagyítható. Ez önmagában is látványos, ha azonban színes szemüveggel a térhatást is ki akarjuk próbálni, akkor a nagyobb méret különösen előnyös. 9. A negyedik dimenzió a középiskolában A következőkben néhány szakköri vagy fakultációs órán hasznosítható példát mutatok be a negyedik dimenzióval kapcsolatban, olyan témaköröket vizsgálok, ahol felvetődhet a negyedik dimenzió. 1. Számfogalom és számhalmazok tanítása: 40 A négydimenziós tér geometriája 9.A negyedik dimenzió a

középiskolában Ha a számegyenes minden pontjának megfelel egy valós szám, hol találhatók a komplex számok? A komplex számokhoz komplex számsíkot, tehát kétdimenziós síkot rendelünk. Vannak-e olyan számok, melyek megjelenítéséhez már a sík sem elég, hanem tér kell. Vajon létezik-e a mi háromdimenziós világunkon túl egy nagyobb tér (négy vagy esetleg magasabb dimenziós), amelynek a miénk egy altere? 2. Vektorok: Egy a (3; 2) koordinátájú vektor síkban szemléltethető. A b (3; 2; 4) egy 3 dimenziós térben van, de a c (3; 2; 4; 5) már csak egy négydimenziós térben értelmezhető. Ez matematikailag e egyszerű, de elképzelni már sokkal nehezebb. 3. Játékok: ( 52 ábra) A kétdimenziós tologatós játékot nehéz kirakni, de ha megengednék, hogy háromdimenziós mozgást is végezhessünk (egy kis négyzetet átemelhessünk a másikon), akkor könnyű lenne. A Rubik-kockát háromdimenziós forgatásokkal lehet kirakni, ha négydimenziós

mozgásokat is tudnánk tenni , akkor bizonyára ugyanúgy könnyebb lenne, mint a tologatós játéknál a háromdimenziós megoldás. 52. ábra A négy dimenziós Rubik-kocka megfelelőjét készítette el , három dimenziós két amerikai programozó matematikus ábrázolásban a két dimenziós monitoron. A jelenlegi rekordtartó 495 tekeréssel tudja kirakni a hiperkockát ( a hagyományos Rubik-kockát bármilyen állásból ki lehet rakni 22 lépésben) .A programot bárki kipróbálhatja, a szoftver forráskódja nyilvános, letölthető a http://index.hu/tudomany/rubik4d/ oldalról 4. Tükrözés: Tengelyes tükrözés: Az eredeti alakzat és a tükörképe egy kétdimenziós mozgás segítségével nem, de háromdimenziós forgatással már fedésbe hozható. (a térbeli forgatás tengelye megegyezik a tükrözés tengelyével. ) Síkra vonatkozó tükrözés : A két alakzat háromdimenziós mozgással nem hozható fedésbe, 41 A négydimenziós tér geometriája

9.A negyedik dimenzió a középiskolában azonban négydimenziós forgatással már igen.(a síkra vonatkozó tükrözés síkja a forgatás síkjával azonos.) 5. Kör egyenlete: Az x2=25 egyenlet megoldása két pont jelenti a számegyenesen. Tehát egy egydimenziós térben két nulladimenziós alakzat. Az x2 + y2=25 egyenlet megoldáshalmaza egy egydimenziós körvonal a kétdimenziós síkban. Az x2 + y2 + z2=25 egyenlet megoldása egy gömbfelület a háromdimenziós térben. Az x2 + y2 + z2 + v2=25 egyenlet egy négydimenziós térben értelmezett „hipergömb” Észrevehetjük, hogy, mind a tér, mind az egyenlet megoldását szemléltető alakzat esetében a dimenziók egyre nőnek. 6. Egyenlőtlenség: A 0≤|x|≤1 egyenlőtlenség egy egységnyi szakaszt szemléltet. A 0≤|x|≤1 és 0≤|y|≤1 egy négyzetet ad, majd a 0≤|x|≤1 és 0≤|y|≤1 és 0≤|z|≤1 egy kockát határoz meg. A 0≤|x|≤1 és 0≤| y|≤1 és 0≤|z|≤1 és 0≤|v|≤1

már egy „ hiperkockát” szemléltet. 10.Összefoglalás Nem tudom hol hallottam a negyedik dimenzióról először, de , mint talán legtöbbünk tenné, meglepődtem. Nem is értettem , miről van szó A minket körülvevő világ három dimenziós, nem fért bele a fejembe egy negyedik dimenzió. De ott motoszkált, és egyre többször találkoztam vele. Emlékszem egy Tudományban megjelent cikkre, amely egy a hiperkockáról készült programot ismertetett, a Kocka című filmre, amelyben a szereplők „hiperkockából” szeretnének kijutni, tanulmányaim során találkoztam n. dimenziós térrel Legutóbb pedig egy 9.-es középiskolás kért tőlem segítséget, a „Matematika határok nélkül” versenyben az egyik feladatban meg kellett határozni , hogy egy „Síkföldén” lakó ember mit látna a világán áthaladó kockából. Dolgozatomban a 4D-vel negyedik térdimenzióként foglalkoztam. A negyedik dimenzió ebben az értelemben nem más, mint egy plusz

újabb térdimenzió az eddigi három mellé, egy elképzelt, mindhárom ismert irányra merőleges új dimenzióban, a klasszikus, euklideszi geometria alapján. S bár sem az emberi agy, sem a számítógép nem tudja számunkra megjeleníteni a három tér dimenziósnál nagyobb kiterjedési számú objektumokat, talán nem volt haszontalan tovább 42 A négydimenziós tér geometriája 10.Összefoglalás gondolni a klasszikus 3D-s világunkat. Hiszen, mint bennem is, a középiskolásokban is felvetődhetnek erre irányuló kérdések, tovább gondolhatóak a nekik feladott feladatok pusztán matematikai, mint láthattuk egyszerű eszközökkel. Ennek bemutatása volt a szakdolgozatom célja Írtam a többdimenziós euklideszi térről, mint a három dimenziós tér kiterjesztéséről, megvizsgáltam , hogyan lehet ábrázolni, milyen fontosabb négydimenziós alakzatokat ismerünk, és mik a jellemzői, írtam 4D-s vektorokról, egyenesekről, síkokról és

hipersíkról, geometriai transzformációkról . Ajánlhatjuk a középiskolás érdeklődő diákjainknak a hiperkockáról készült programokat, melyet ingyenesen letölthetők az internetről. Végül pedig ajánlottam néhány tananyagba is beillő feladatot. Célom nem annak volt az eldöntése, hogy a négydimenziós tér valóban létezik-e, vagy sem , ezt bízzuk a fizikusokra es a jövőre. Mindössze képet szerettem volna festeni erről a létező, vagy nem létező, mindenesetre sok embert foglalkoztató világról. ( Az interneten a negyedik dimenzió kulcsszóra kattintva a számítógépünk 21300 találatot jelez) S végül kedvenc falfirkám, amely a négydimenziós tér nehéz megértését illusztrálandó: „Mondd el egy vonalnak, hogy mi az a gömb”. 43 A négydimenziós tér geometriája 10.Összefoglalás Irodalomjegyzék 1: Michio Kaku, Hipertér, Akkord kiadó 2006 2: http://en.wikipediaorg/wiki/Fourth dimension, , 3: Coxeter, H. S M, Regular

Polytopes, 3rd edition, Dove1973 4: http://local.waspuwaeduau/~pbourke/geometry/platonic4d/, , 5: http://hu.wikipediaorg/wiki/Negyedik dimenzi%C3%B3, , 6: http://en.wikipediaorg/wiki/Hypercube, , 7: http://catarina.udlapmx/u dl a/tales/documentos/lis/perez a r/capitulo2pd, , 8: A. K Dewdney, Számítógépes észjáték, Tudomány1986/6 9: http://catarina.udlapmx/u dl a/tales/documentos/lis/perez a r/capitulo2pd, , 10: http://en.wikipediaorg/wiki/Fourth dimension, , 11: http://en.wikipediaorg/wiki/Simplex, , 12: http://en.wikipediaorg/wiki/Hypercube, , 13: http://www.e-tudomanyhu/etudomany/web/uploaded files/20050402pdf, , 14: http://en.wikipediaorg/wiki/Hypersphere, , 15: http://local.waspuwaeduau/%7Epbourke/geometry/platonic4d/#600cell, , 16: Coxeter, H. S M, A geometriák alapjai, Müszaki Könyvkiadó1987 17: http://catarina.udlapmx/u dl a/tales/documentos/lis/perez a r/capitulo3pd, , 18: http://index.hu/tech/tudomany/rubik4d/, négy dimenziós Rubik-kocka, 19: A. K Dewdney, A

hiperkocka elforgatása négydimenziós örületet kelt, Tudomány1987 20: Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó1979 21: Dr. Farkas Miklós, Matematikai kislexikon, Müszaki Könyvkiadó1972 22: A. K Dewdney, Számítógépes észjáték, Tudomány1986/6 44