Fizika | Mechanika, Kvantummechanika » Égert-Jezsó - Mechanika, Rezgéstan

Égert János – Jezsó Károly MECHANIKA Rezgéstan Egyetemi alapképzésben részt vevő mérnökhallgatók számára Készült a HEFOP 3.31-P-2004-09-0102/10 pályázat támogatásával Szerzők: dr. Égert János egyetemi tanár dr. Jezsó Károly főiskolai docens Lektor: dr. Szabó Tamás tudományos főmunkatárs Miskolci Egyetem, Mechanikai Tanszék Szerzők, 2006 Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A dokumentum használata Vissza ◄ 3 ► A dokumentum használata Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk. Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz

vissza bennünket. Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa található, amelynek bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja. A tartalomjegyzék használata Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk. Keresés a szövegben A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíciótól kezdve keres a szövegben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 3 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 6 2. Rezgéstani alapfogalmak 8 3. Matematikai alapok 11 3.1 Komplex mennyiségek

tulajdonságai, műveletei 11 3.2 Hiperbolikus és a Krülov függvények 14 3.3 Mátrixalgebrai összefoglaló 15 3.4 Mátrix sajátértékei és sajátvektorai 18 3.5 Vektorok skaláris szorzata 19 3.6 Matematikai gyakorló feladatok 20 4. Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei 25 4.1 A visszatérítő erő (rugóerő) 25 4.2 Gyakorló feladatok a modell helyettesítő rugóállandójának meghatározására . 27 4.3 A leggyakrabban előforduló rugók rugóállandói 29 4.4 A csillapító erő 33 4.5 A gerjesztő erő/nyomaték 34 4.6 Az egyszabadságfokú rezgőrendszer általános felépítése 34 4.7 A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet egyszabadságfokú mozgások esetén. 35 4.8 Gyakorló feladatok egyszabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírására . 39 4.9 Útgerjesztés – gerjesztés rugón / csillapításon keresztül 58 4.10 A rugó tömegének redukálása 64 5. Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének

megoldása . 68 5.1 A homogén mozgásegyenlet megoldásának előállítása 69 5.2 A mozgásegyenlet partikuláris megoldásának előállítása 71 5.3 A mozgásegyenlet általános megoldásának előállítása 72 5.4 A csillapítatlan szabad rendszer rezgései 73 5.5 A csillapított szabad rendszer rezgései 75 5.6 Állandósult, gerjesztett rezgések 79 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 4 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► 5.7 Gépek, berendezések rezgésszigetelése 84 5.8 Gyakorló feladatok egyszabadságfokú rezgőrendszerek megoldására . 86 6. Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei . 101 6.1 Másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenlet-rendszer 101 6.2 Láncszerű modell 106 6.3 Rudak torziós lengései, egyszerű hajtómű modell 112 6.4 Hajtómű torziós rezgései, elágazásos modellek 117 6.5 Hajtómű tengelyek

hajlító rezgései 121 6.6 Példák rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszereinek a felírására . 130 7. Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldásai . 154 7.1 Diszkrét rezgőrendszerek 154 7.2 Megoldás elágazásmentes láncszerű szabad rezgőrendszerek esetében. 158 7.3 Sajátfrekvenciákhoz tartozó rezgéskép láncszerű rendszereknél . 165 7.4 Inhomogén differenciálegyenlet-rendszer megoldása elágazásmentes láncszerű rendszerre. 174 7.5 Példák diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletrendszerének a megoldásaira 174 8. Rudak kontinuum rezgései 193 8.1 Rudak longitudinális kontinuum rezgései 193 8.2 Rudak csavaró kontinuum rezgései 194 8.3 Rudak hajlító kontinuum rezgései 195 8.4 Mozgásegyenletek megoldása longitudinális kontinuum rezgéseknél . 196 8.5 Mozgásegyenlet megoldása torziós kontinuum rezgéseknél 199 8.6 Mozgásegyenletek megoldása hajlító kontinuum rezgéseknél 201 Szakirodalom

. 208 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 5 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Bevezetés Vissza ◄ 6 ► 1. Bevezetés A Mechanika számos mérnöki terület fontos alaptudománya. A mérnökképzésben a mechanikának mérnöki szempontok szerinti ismertetésére kerül sor úgy, hogy az a mérnöki gyakorlatban közvetlenül használható legyen és erre a tudásanyagra a mérnöki szaktárgyak további ismereteket építhessenek. A győri Széchenyi István Egyetem Gépész-, Informatikai és Villamosmérnöki Intézetében az egyetemi alapképzésben a Mechanika négy féléves tantárgy, statikai, szilárdságtani, mozgástani és rezgéstani félévekre tagozódik. A gépészmérnöki és mechatronikai mérnöki egyetemi alapképzésben résztvevő hallgatók mind a négy félévet hallgatják, a műszaki szakoktató szakos hallgatók statikát, szilárdságtant és mozgástant, a

közlekedésmérnök szakos hallgatók statikát és mozgástant, a műszaki menedzser szakos hallgatók pedig statikát és szilárdságtant tanulnak. A Mechanika tantárgy jegyzetei - az előadásokon, gyakorlatokon és konzultációkon történő részvételt feltételezve - segítséget szándékoznak nyújtani a nappali tagozatos hallgatóknak a tantárgy elsajátításához és a vizsgára történő eredményes felkészüléshez. Hasznos segédeszközök lehetnek azonban a levelező és távoktatási tagozatos egyetemi alapképzésben résztvevő gépészmérnöki, mechatronikai mérnöki, műszaki szakoktató, műszaki menedzser, és közlekedésmérnöki szakos hallgatók számára is, akik nagyobb részt önállóan készülnek fel a félévközi házi feladatok megoldására és a vizsgára. Az önálló felkészülést segíti elő a jegyzetekben például az idegen nevek, mértékegységek, stb. kiejtésének ismertetése is A jegyzetek tartalma nagyrészt megegyezik a

távoktatásos hallgatók rendelkezésére bocsátott internetes tananyagokkal, tagolásuk viszont ettől kismértékben eltér. A jegyzetek olyan esetekben is lehetőséget nyújtanak a távoktatási tagozatos hallgatók számára a tárgy tanulására, amikor nem áll rendelkezésre internetes kapcsolat, vagy számítógép. A Mechanika – Rezgéstan jegyzet megfelelő magyarázatokkal, de tömören tartalmazza a tárgy elméleti tananyagát, részletesen kidolgozott feladatokon mutatja be az elmélet alkalmazását és a ki nem dolgozott feladatokkal teremt lehetőséget a hallgatóknak az önálló munkára. Az önálló feladatmegoldásnak az elméleti anyag megértése és megtanu- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 6 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Bevezetés Vissza ◄ 7 ► lása, valamint a kidolgozott feladatok gondolatmenetének megértése után célszerű hozzákezdeni. A tananyag

elsajátítása a félév során folyamatos munkát igényel A vizsgára történő eredményes felkészüléshez célszerű a tananyaggal heti 3-4 órát intenzíven foglalkozni és a jegyzetből 15-20 oldalnyi anyagot feldolgozni. Az eredményes felkészüléshez a hallgatók a Gépszerkezettan és Mechanika Tanszék honlapján a http://www.szehu/ag/ címen további oktatási anyagokat, kidolgozott elméleti kérdéseket találnak. A Mechanika – Rezgéstan tantárgy anyagának elsajátításához a jegyzet szerzői eredményes munkát kívánnak. A Mechanika – Rezgéstan jegyzet 2. – 5 fejezetét Dr Égert János, az 6. - 8 fejezeteket pedig Dr Jezsó Károly dolgozta ki A szerzők ezen a helyen mondanak köszönetet Dr. Szabó Tamás tudományos főmunkatársnak, a jegyzet lektorának hasznos és érdemi szakmai észrevételeiért, amelyek a jegyzet végleges változatába beépültek. Győr, 2006. július A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza

◄ 7 ► Mechanika Rezgéstani alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 8 ► 2. Rezgéstani alapfogalmak Mechanikai test modellek: Anyagi pont: 1. definíció: Anyagi tulajdonságokkal rendelkező geometriai pont 2. definíció: Olyan anyagi test, amelynek mozgása (helyzete) egyetlen pontjának mozgásával (helyzetével) egyértelműen megadható. Merev test: Olyan test, amelyben bármely két pont távolsága állandó (a pontok távolsága terhelés/erő hatására sem változik meg). Szilárd test: Olyan határozott térfogatú és alakú test, amely alakváltozásra képes (a szilárd test pontjainak távolsága terhelés/erő hatására megváltozhat). Kontinuum: Olyan szilárd test, amelynek tömegeloszlása és mechanikai viselkedése folytonos függvényekkel leírható. Rúd: Olyan test, amelynek egyik mérete lényegesen nagyobb, mint a másik kettő. (A Statikában merev, a Szilárdságtanban szilárd rudakat

vizsgáltunk.) Rezgőmozgás: abban az esetben jön létre, ha a vizsgált test valamely egyensúlyi (nyugalmi) helyzet közelében fellépő, szabályosan, ellentétes irányokban bekövetkező kitérésekkel (elmozdulásokkal) mozog. y y (t ) ymax A t egyensúlyihelyzet A ymin T Kitérés: az egyensúlyi (nyugalmi) helyzettől mért, a t időtől függő y = y (t ) előjeles elmozdulás (skaláris koordináta). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 8 ► Mechanika Rezgéstani alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 9 ► Periodikus rezgés: a kitérések megadott T időszakonként (időintervallumonként) szabályosan, periodikusan változnak: y (t ) = y (t + T ) . Rezgésidő (periódusidő): a kitérések T ismétlődési ideje. A rezgésidő SI szerinti mértékegysége: [s], (szekundum). Frekvencia: ν = 1 1 , mértékegysége: [ =Hz ], (Hertz, kiejtése herc). T s Amplitúdó: az

egyensúlyi helyzettől mért legnagyobb kitérés: y − ymin A = max , mértékegysége: [m], (méter). 2 Harmonikus rezgés: az y (t ) kitérés – idő függvény sin, vagy cos függvényével, vagy ezek lineáris kombinációjával adható meg: y (t ) = A sin ωt , vagy y (t ) = A cos ωt ; y (t ) = A sin(ωt + ε ) , vagy y (t ) = A cos(ωt + ε ) . Körfrekvencia: ω = 2πν = 2π , mértékegysége: [rad/s], T (kiejtése radián per szekundum). Rezgés többnyire olyan szerkezetekben jön létre, amelyek tartalmaznak rugalmas alkatrészeket (elemeket), vagy más szóhasználattal rugókat és mozgó tömegeket is. Megjegyzés: Az inga is rezgőmozgást végez, noha nem tartalmaz rugalmas elemet. Elnevezés: rugó ≡ rugalmas alkatrész ≡ rugalmas elem. A rezgéstani feladatok többségénél a rugó (rugalmas elem) tömege a rendszerhez tartozó többi alkatrész (test) tömegéhez képest elhanyagolhatóan kicsi. Ha ez nem áll fenn, akkor a rugó tömegét is

figyelembe kell venni a rendszer kinetikai energiájának számításánál A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 9 ► Mechanika Rezgéstani alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 10 ► Általános koordináták: azok a skaláris paraméterek (koordináták), amelyek a rendszer mozgását (helyzetét) kölcsönösen egyértelműen meghatározzák. Jelölés: q = q (t ) általános koordináta (elmozdulás, szögelfordulás), q = q (t ) általános koordináta sebesség (sebesség, szögsebesség), q = q (t ) általános koordinátagyorsulás (gyorsulás, szöggyorsulás). Szabadságfok: azoknak az egymástól független általános koordinátáknak a száma, amelyek a rendszer mozgását (helyzetét) egyértelműen meghatározzák. Példa rugalmas elemeket tartalmazó rendszerekre: y y x rugalmas rúd hengeres csavarrugó tömegpont tömegpont y (t ) < 0 y (t ) < 0 y (t ) < 0 y

(t ) > 0 x A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 10 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 11 ► 3. Matematikai alapok 3.1 Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség ≡ komplex szám ≡ komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja: y z = x + iy , x – a z komplex szám valós (reális) része, zi y – a z komplex szám képzetes x z i (imaginárius) része, ⋅ i – a képzetes (imaginárius) egyx −y ségvektor A képzetes egységvektor tulajdonságai: – i = 1 , abszolút értéke egy, y x – i i = −1 , önmagával vett szorzata mínusz egy. A z komplex szám i-vel történő szorzása a z vektor 90 o -os elforgatását eredményezi az óramutató forgásával ellentétes irányban: z i = ( x + iy ) i = i x − y = − y + i x . b) Komplex mennyiség trigonometrikus alakja: z = r (cos α + i sin α ) , r = z – a z komplex

szám abszolút értéke y (nagysága), α – a z komplex szám x tengellyel bezárt z r szöge, r sin α i x = Re ( z ) = r cos α – a z komplex szám x α valós (reális) része, r cos α y = Im ( z ) = r sin α – a z komplex szám képzetes (imaginárius) része. c) Komplex mennyiség exponenciális alakja: z = r eiα , ahol e ≈ 2, 718281 a természetes szám és r a komplex szám abszolút értéke (nagysága). Megjegyzés: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 11 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Matematikai alapok Vissza ◄ 12 ► – Az exponenciális alak az e x = eiα függvény sorfejtésével vezethető be. – A trigonometrikus és az exponenciális alak egybevetéséből következik, hogy a z = eiα komplex mennyiség az x tengellyel α szöget bezáró komplex egységvektor: eiα = 1 . d) Komplex mennyiség abszolút értéke: z = x 2 + y 2 = r 2 ( cos 2 α + sin 2 α ) = r .

=1 Az abszolút érték tulajdonságai: – z1 + z2 ≤ z1 + z2 , – z1 z2 = z1 z2 , – z z1 = 1 a z2 ≠ 0 esetben. z2 z2 e) Komplex mennyiség konjugáltja: A z = x + iy = r (cos α + i sin α ) = reiα komplex szám konjugáltja: z = x − iy = r (cos α − i sin α ) = re − iα . Műveletek a konjugálttal: – z + z = ( x + iy ) + ( x − iy ) = 2 x , – z − z = ( x + iy ) − ( x − iy ) = 2iy , 2 – zz = ( x + iy )( x − iy ) = x 2 + y 2 − ixy + iyx = x 2 + y 2 = z = r 2 , – z1 + z2 = ( x1 + iy1 ) + ( x1 + iy1 ) = ( x1 − iy1 ) + ( x2 − iy2 ) = z1 + z2 , – z1 z2 = z1 z2 . f) Komplex mennyiségek szorzása: – Szorzás algebrai alak esetén: z1 z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = a1a2 − b1b2 + i (a1b2 + a2b1 ) . – Szorzás trigonometrikus alak esetén: z1 z2 = r1 (cos α1 + i sin α1 ) r2 (cos α 2 + i sin α 2 ) = = r1 r2 [ cos(α1 + α 2 ) + i sin(α1 + α 2 ) ] . – Szorzás exponenciális alak esetén: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom Vissza ◄ 12 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Matematikai alapok Vissza ◄ 13 ► z1 z2 = r1 r2 eiα1 eiα 2 = r1 r2 ei (α1 +α 2 ) . Megjegyzés: – Az eiα1 , eiα 2 és ei (α1 +α 2 ) az x tengellyel α1 , α1 és (α1 + α 2 ) szöget bezáró egységvektorok: eiα1 = eiα 2 = ei (α1 +α 2 ) = 1 . – A szorzás z = z1 z2 komplex eredményvektora a z1 komplex vektorhoz képest α 2 szöggel el van forgatva az óramutató járásával ellentétes irányban. g) Komplex mennyiségek osztása: – Osztás algebrai alak esetén: z1 (a1 + ib1 ) a1 z2 ib1 z2 = = + = z2 (a2 + ib2 ) (a2 + ib2 ) z2 (a2 + ib2 ) z2 a (a − ib ) ib (a − ib ) a a + b b ba −b a = 1 22 2 2 + 1 2 2 2 2 = 1 22 12 2 + i 1 22 22 1 . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 – Osztás trigonometrikus alak esetén: z1 r (cos α1 + i sin α1 ) r1 = 1 = [ cos(α1 − α 2 ) + i sin(α1 − α 2 )] z2 r2 (cos α 2 + i sin α 2 ) r2 - Osztás

exponenciális alak esetén: z1 r1eiα1 r1 i (α1 −α 2 ) = = e . z2 r2eiα 2 r2 Megjegyzés: – Az eiα1 , eiα 2 és ei (α1 +α 2 ) az x tengellyel α1 , α1 és (α1 + α 2 ) szöget bezáró egységvektorok: eiα1 = eiα 2 = ei (α1 +α 2 ) = 1 . – Az osztás z = z1 / z2 komplex eredményvektora a z1 komplex vektorhoz képest α 2 szöggel el van forgatva az óramutató járásával megegyező irányban. h) Komplex mennyiségek α szög szerinti differenciálása: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 13 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 14 – Differenciálás exponenciális y alak esetén: dz d z d (r eiα ) dα = = r eiα i = z i . x z dα dα α i Az α szög szerinti differenciálás a z ⋅ α x −y komplex mennyiséget 90o -kal elforgatja az óramutató járásával ellentétes irányban – Differenciálás trigonometrikus alak esetén: d z d [ r (cos

α + i sin α )] = = r (− sin α + i cos α ) = i z . dα dα 3.2 Hiperbolikus és a Krülov függvények a) Az exponenciális függvény: Értelmezése: y n e− x n ∞ x ⎛ x⎞ y = e x = lim ⎜1 + ⎟ = ∑ . n ∞ ⎝ n ⎠ n =0 n ! Kiejtés: y egyenlő é ad x. 1 A faktoriális (n faktoriális): 0 n ! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ⋅ n . ► y ex x n ∞ 1 ⎛ 1⎞ A természetes szám: e = e = lim ⎜1 + ⎟ = ∑ ≈ 2, 718281. n ∞ ⎝ n ⎠ n=0 n ! b) A hiperbolikus függvények: Értelmezések: y x −x ch x e −e y = sh x = . 2 1 Kiejtés: y egyenlő szinusz hiperbolikusz x. x x −x e +e 0 y = ch x = . 2 Kiejtés: y egyenlő koszinusz hiperbolikusz sh x x. 1 c) A Krülov-függvények: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 14 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 15 ► Értelmezés: a Krülov függvényeket hiperbolikus és trigonometrikus

függvények lineáris kombinációja szolgáltatja: S(kx) = 1 ( ch kx + cos kx ) , 2 T(kx) = 1 ( sh kx + sin kx ) , 2 U(kx) = 1 ( ch kx − cos kx ) , 2 V(kx) = 1 ( sh kx − sin kx ) , 2 ahol k valós állandó. A függvények x szerinti első deriváltjai: 1 1 dS dT = k ( sh kx − sin kx ) = k V(kx) , = k ( ch kx + cos kx ) = k S(kx) , 2 2 dx dx 1 dU = k ( sh kx + sin kx ) = k T(kx) , 2 dx 1 dV = k ( ch kx − cos kx ) = k U(kx) . 2 dx A függvények második és harmadik deriváltjai: d2 S d2 T d2 U d2 V 2 2 2 = k U( kx ) , = k V( kx ) , = k S( kx ) , = k 2 T(kx) . 2 2 2 2 dx dx dx dx 3 3 3 d S d T d U d3 V 3 3 3 = k T(kx) , = k U(kx) , = k V(kx) , = k 3 S(kx) . 3 3 3 3 dx dx dx dx 3.3 Mátrixalgebrai összefoglaló a) Mátrix értelmezése, jelölése: Mátrix: Skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza. ⎡ ⎢a Mátrix jelölése: ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ 11 ⎢a ⎣ 21 a12 a22 a13 ⎤⎥ ⎥. a23 ⎥⎦ A mátrixokat

kétszer aláhúzott betűvel, a mátrixok elemeit (koordinátáit) alsó indexes betűvel jelöljük. Pl A, a és a13 , a2 stb Az a13 mátrixelem az A mátrix első sorában és harmadik oszlopában áll. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 15 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 16 ► Mátrix mérete: Például a fenti (2x3)-as méretű ⎡⎣ A⎤⎦ mátrixnak két sora és három oszlopa van. Az a13 mátrix elem jelölés kiejtése (kiolvasása): á egy három. ⎡ a1 ⎤ T Oszlopmátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = ⎢⎢ a2 ⎥⎥ , sormátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = [ a1 a2 a3 ] . ⎢⎣ a3 ⎥⎦ Az oszlopmátrixnak egy oszlopa, a sormátrixnak egy sora van. A sormátrix ugyanannak az oszlopmátrixnak a transzponáltja. A sormátrixot a mátrix betűjelének felső indexébe írt T betű jelöli b) Mátrixműveletek: A műveleteket (2 × 2) -es, (2x1)-es és (1x2)-es

mátrixokra mutatjuk be. - Mátrix transzponáltja (tükrözés a főátlóra): A mátrix főátlóját az azonos indexű elemek alkotják. ⎡ ⎡ a a ⎤ a a ⎤ ⎡ AT ⎤ = ⎢⎢ 11 21 ⎥⎥ . ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢⎢ 11 12 ⎥⎥ ⇒ ⎣ ⎦ ⎢a ⎢a a ⎥ a ⎥ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 12 22 ⎦ (2 × 2) (2 × 2) A transzponálási művelet jele: T (a mátrix felső indexében). A transzponálás oszlopmátrixból sormátrixot, sormátrixból pedig oszlopmátrixot hoz létre. T Az A jelölés kiejtése (kiolvasása): á transzponált. - Mátrixok összeadása, kivonása: Csak azonos méretű mátrixok adhatók össze, vonhatók ki egymásból. A± B = C , ⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21 a a a12 ⎤⎥ ⎡⎢b11 b12 ⎤⎥ ⎡⎢ (a11 ± b11 ) (a12 ±b12 ) ⎤⎥ ⎡⎢ c11 c12 ⎤⎥ ⎥±⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. a22 ⎥⎦ ⎢⎣b21 b22 ⎥⎦ ⎢⎣ (a21 ±b21 ) (a22 ±b22 ) ⎥⎦ ⎢⎣ c21 c22 ⎥⎦ (2 × 2) (2 × 2) (2 × 2) (2 × 2) - Mátrixszorzás (sor-oszlop

kombináció): Csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyek teljesítik azt a feltételt, hogy az első szorzótényező oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényező sorainak számával. AB=C, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 16 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 17 ► a12 ⎤⎥ ⎡⎢b11 b12 ⎤⎥ ⎡⎢ (a11 b11 + a12 b21 ) (a11 b12 + a12 b22 ) ⎤⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. a22 ⎥⎦ ⎢⎣b21 b22 ⎥⎦ ⎢⎣ (a21 b11 +a22 b21 ) (a21 b12 + a22 b22 ) ⎥⎦ ⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21 a a (2 × 2) Ab =c, (2 × 2) (2 × 2) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a12 ⎤⎥ ⎡⎢ b1 ⎤⎥ ⎢ ( a11 b1 + a12 b2 ) ⎥ ⎢ c1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎢ (a b + a b ) ⎥ ⎢c ⎥ a22 ⎥⎦ ⎢⎣b2 ⎥⎦ 21 1 22 2 ⎦ ⎣ ⎣ 2⎦ ⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21 a a (2 × 2) (2 × 1) (2 × 1) (2 ×1) a B=d , T T b b12 ⎤⎥ ⎡ ⎥ = ⎢ ( a1 b11

+ a2 b21 ) (a1 b12 +a2 b22 ) ⎤⎦⎥ = ⎡⎣⎢ d1 d2 ⎤⎦⎥ . ⎣ ⎢b ⎥ b 22 ⎦ ⎣ 21 (1× 2) (1× 2) (1× 2) (2 × 2) c) Különleges mátrixok: ⎡1 0 ⎤ - Egységmátrix: E = ⎢ ⎥ . Tulajdonsága: E ⋅ A = A ⋅ E = A ⎣0 1 ⎦ Az egységmátrix a főátlójában 1-es koordinátákat, a főátlóján kívül 0 elemeket tartalmaz. Az egységmátrixszal történő szorzás nem változtatja meg a megszorzott mátrixot. −1 −1 - Inverz mátrix (reciprok mátrix): A ⋅ A = A ⋅ A = E . ⎡ ⎣⎢ 1 a ⎡ ⎢ 11 a2 ⎤⎦⎥ ⎢ −1 Az A mátrix az A mátrix inverze, vagy reciproka. Csak négyzetes mátrixnak létezik inverze (reciproka) abban az esetben, ha az A mátrix elemeiből képezett determináns nem nulla. - Szimmetrikus mátrix: A =A T A mátrix elemei megegyeznek a főátlóra vett tükörképükkel. ⎡1 2 ⎤ Például ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ ⎥ szimmetrikus mátrix. ⎣2 9⎦ - Ferdeszimmetrikus mátrix: A = −A . T A mátrix bármelyik eleme

megegyezik a főátlóra vett tükörképének mínusz egyszeresével. Ebből az következik, hogy a főátlóban csak zérus elemek lehetnek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 17 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 18 ► ⎡ 0 − 3⎤ Például ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ ⎥ ferdeszimmetrikus mátrix. ⎣3 0 ⎦ −1 −1 - Inverz mátrix (reciprok mátrix): A ⋅ A = A ⋅ A = E . Az A −1 mátrix az A mátrix inverze, vagy más néven reciproka. Csak négyzetes mátrixnak létezik inverze (reciproka) abban az esetben, ha az A mátrix elemeiből képezett determináns nem nulla. −1 Az inverz mátrix kiszámítása: A = adj A det A . 3.4 Mátrix sajátértékei és sajátvektorai – A sajátérték feladat kitűzése: Létezik-e olyan n oszlopmátrix, amellyel az A négyzetes mátrixot megszorozva, az n oszlopmátrix valahányszorosát kapjuk: A n = λ n , ahol

a λ skaláris mennyiség? Ha létezik ilyen n oszlopmátrix, akkor ezt az A négyzetes mátrix sajátvektorának, a λ skaláris mennyiséget pedig az A mátrix sajátértékének nevezzük. – A sajátérték feladat megoldása: A sajátérték feladat megoldását egy (2x2)-es mátrixon mutatjuk be. Az előző egyenletet részletesen kiírva és bal oldalra rendezve: ⎡ nx ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎢n ⎥ = λ ⎢n ⎥ , ⇒ ⎢ ⎢n ⎥ − λ ⎢n ⎥ = ⎢ ⎥ , ⎢a ⎥ ⎥ ⎣ a21 a22 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ 21 a22 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ y⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0⎦ és a szorzásokat elvégezve, az nx , n y ismeretlenre homogén lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk: (a11 − λ ) nx + a12 n y = 0, a21 nx + (a11 − λ ) n y = 0. Az egyenletrendszer nem triviális (nullától különböző) megoldásának feltétele az, hogy a rendszer mátrixából képezett determinánsnak el kell tűnnie: (a11 − λ ) a12 = 0. (a11 − λ )

a21 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 18 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 19 ► A determinánst kifejtve kapjuk a karakterisztikus egyenletet: λ 2 − (a11 + a22 )λ + (a11a22 − a12 a21 ) = 0 . A karakterisztikus egyenlet megoldásai a mátrix sajátértékei: (a11 + a22 ) ± (a11 + a22 ) 2 + 4a12 a21 λ1,2 = . 2 A homogén lineáris algebrai egyenletrendszernek csak λ = λ1 és λ = λ 2 esetén van nem triviális megoldása. A mátrix sajátértékeit növekvő sorrendben szokás sorszámozni. Ha az egyes λi (i=1,2) sajátértékeket behelyettesítjük a homogén lineáris algebrai egyenletrendszerbe, akkor az egyenletrendszer megoldható az nix , niy ismeretlenre: (a11 − λi ) nix + a12 niy = 0 ⎫⎪ nix = ⎬ ⇒ niy = a21 nix + (a11 − λi ) niy = 0 ⎪⎭ ( i = 1, 2 ) . Az λi (i=1,2) sajátértékek behelyettesítése esetén azonban az

egyenletrendszer egyenletei egymástól nem lineárisan függetlenek, ezért az egyik egyenletet el lehet hagyni és a másik egyenletből csak az nix / niy , vagy niy / nix (i=1,2) hányados határozható meg. Az nix és niy értékét akkor kapjuk meg egyértelműen, ha az T ni = ⎡⎣ nix niy ⎤⎦ sajátvektoroktól megköveteljük, hogy egységvektorok legyenek: nix2 + niy2 = 1 , i=1,2. 3.5 Vektorok skaláris szorzata A skaláris szorzás értelmezése: a ⋅ b = a b cos α . ( α a vektorok között bezárt szög, α ≤ π .) Az a ⋅ b művelet kiolvasása: á skalárisan szorozva bével, vagy á skalár bé. A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással: ⎡bx ⎤ ⎢ ⎥ a ⋅ b = ⎡⎣ ax a y az ⎤⎦ ⎢by ⎥ = axbx + a y by + az bz . ⎢b ⎥ ⎣ z⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 19 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 20 ► Az

első szorzó tényező koordinátáit sormátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba rendezzük és a szorzást a mátrixszorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy skaláris mennyiség. 3.6 Matematikai gyakorló feladatok 3.61 példa Mátrix műveletek ⎡2 − 4⎤ ⎡ −12 4 ⎤ Adott: A = ⎢ , B=⎢ ⎥ ⎥. ⎣7 3 ⎦ ⎣ −6 3 ⎦ Feladat: T T a) Az A és B transzponált mátrixok meghatározása. b) Az A + B összegmátrix és az A − B különbségmátrix meghatározása. c) Az A B szorzatmátrix meghatározása. Kidolgozás: T T a) Az A és B transzponált mátrixok meghatározása: ⎡ −12 − 6 ⎤ ⎡ 2 7⎤ T T = A =⎢ , B . ⎢ 4 ⎥ 3 ⎥⎦ ⎣ ⎣ −4 3 ⎦ b) Az A + B összegmátrix és az A − B különbségmátrix meghatározása: ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ −12 A+ B = ⎢ ⎥+⎢ ⎣ 7 3 ⎦ ⎣ −6 ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ −12 A− B = ⎢ ⎥−⎢ ⎣7 3 ⎦ ⎣ −6 4 ⎤

⎡ −10 0 ⎤ = , 3⎥⎦ ⎢⎣ 1 6 ⎥⎦ 4 ⎤ ⎡14 − 8⎤ . = 3⎥⎦ ⎢⎣13 0 ⎥⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 20 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 21 ► c) Az A B szorzatmátrix meghatározása. ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ −12 4 ⎤ AB = ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎣7 3 ⎦ ⎣ −6 3⎦ ⎡ 2(−12) + (−4)(−6) 2 ⋅ 4 + (−4)3⎤ ⎡ − 48 − 4 ⎤ . =⎢ = 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ −102 37 ⎥⎦ ⎣ 7(−12) + 3(−6) 3.62 példa Skaláris és mátrix szorzás gyakorlása ( ) ( Adott: a = 4 i + 6 j − k m, b = −3 i + j − k ) m. Feladat: Az a ⋅ b skaláris szorzat meghatározása. Kidolgozás: Az a ⋅ b szorzat meghatározása: ⎡ −3⎤ a ⋅ b = [ 4 6 − 1] ⎢⎢ 1 ⎥⎥ = 4 (−3) + 6 ⋅1 + (−1) (−1) = −5 m 2 . ⎣⎢ −1⎦⎥ 3.63 példa: Mátrix inverzének előállítása ⎡ 2 1 2⎤ Adott: A = ⎢⎢ 3 3

1⎥⎥ . ⎢⎣ −2 2 − 1 ⎥⎦ Feladat: Az A mátrix inverzének meghatározása. Kidolgozás: - A mátrix determinánsa: det A = 2(−3 − 2) − 1(−3 + 2) + 2(6 + 6) = 15 . - Az adjungált mátrix elemei: adj a11 = −3 − 2 = −5 , adj a12 = −(−3 + 2) = 1 , adj a13 = 6 + 6 = 12 , adj a21 = −(−1 + 4) = 5 , adj a22 = −2 + 4 = 2 , adj a23 = −(4 + 2) = −6 , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 21 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 22 ► adj a31 = 1 − 6 = −5 , adj a32 = −(2 − 6) = 4 , adj a33 = 6 − 3 = 3 . ⎡ −5 1 12 ⎤ - Az adjungált mátrix: ⎣⎡ adj A⎦⎤ = ⎢⎢ 5 2 − 6 ⎥⎥ . ⎢⎣ −5 4 3 ⎥⎦ - Az inverz (reciprok) mátrix: ⎡ −5 5 − 5 ⎤ ⎡⎣adj A⎤⎦ 1 ⎢ −1 ⎥ ⎡A ⎤ = ⎣ ⎦ det A = 15 ⎢ 1 2 4 ⎥ ⎢⎣ 12 − 6 3 ⎥⎦ - Ellenőrzés: ⎡ 2 1 2 ⎤ ⎡ −5 5 − 5 ⎤ ⎡15 0 0 ⎤

1 ⎢ 1 ⎢ −1 ⎢ ⎥ ⎥ AA = ⎢ 3 3 1⎥ ⎢ 1 2 4 ⎥ = ⎢ 0 15 0 ⎥⎥ = E . 15 15 ⎢⎣ −2 2 − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 12 − 6 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 15⎥⎦ 3.64 példa Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása 0⎤ ⎡ −30 0 ⎢ Adott: A = ⎢ 0 30 − 40 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 − 40 90 ⎥⎦ Feladat: Az A mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak a meg- határozása. Kidolgozás: - A megoldandó homogén lineáris algebrai egyenletrendszer: 0 0 ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ (−30 − λ ) ⎢ ⎥ ⎢ 0 (30 − λ ) − 40 ⎥⎥ ⎢ ny ⎥ = ⎢⎢0 ⎥⎥ , vagy ⎢ ⎢⎣ 0 − 40 (90 − λ ) ⎥⎦ ⎢⎣ nz ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ (−30 − λ ) nx = 0 ⎫ ⎪ (30 − λ ) n y − 40 nz = 0 ⎬ . ⎪ −40 n y + (90 − λ )nz = 0 ⎭ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 22 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom (−30 − λ ) – A

karakterisztikus egyenlet: 0 0 Vissza 0 ◄ 23 ► 0 (30 − λ ) − 40 = 0 , ⇒ − 40 (90 − λ ) (−30 − λ ) [ (30 − λ )(90 − λ ) − 40 ⋅ 40] = 0 , (−30 − λ )(λ 2 − 120λ + 1100) = 0 . – A karakterisztikus egyenlet megoldása, a mátrix sajátértékei: (−30 − λ ) = 0 ⇒ λ1 = −30 , (λ 2 − 120λ + 1100) = 0 ⇒ λ 2 = 10, λ 3 = 110 . – A mátrix sajátvektorai, a sajátértékek behelyettesítése a lineáris algebrai egyenletrendszerbe: A λ1 = −30 sajátértékhez tartozó sajátvektor: (−30 − λ1 ) n1x = 0 ⎫ (−30 + 30) n1x = 0 ⎫ ⎪ ⎪ (30 − λ1 ) n1 y − 40 n1z = 0 ⎬ ⇒ (30 + 30) n1 y − 40 n1z = 0 ⎬ . ⎪ ⎪ −40 n1 y + (90 + 30)n1z = 0 ⎭ −40 n1 y + (90 − λ1 )n1z = 0 ⎭ A 2. és 3 egyenletből: n1 y = n1z = 0 Az 1. egyenletből: n1x tetszőleges érték Legyen a sajátvektor egységvektor, így: ⎡⎣ n1 ⎤⎦ = [ 1 0 0] . A λ 2 = 10 sajátértékhez tartozó sajátvektor: T (−30 − λ 2

) n2 x = 0 ⎫ (−30 − 10) n2 x = 0 ⎫ ⎪ ⎪ (30 − λ 2 ) n2 y − 40 n2 z = 0 ⎬ ⇒ (30 − 10) n2 y − 40 n2 z = 0 ⎬ . ⎪ ⎪ −40 n2 y + (90 − 10)n2 z = 0 ⎭ −40 n2 y + (90 − λ 2 )n2 z = 0 ⎭ Az 1. egyenletből: n2 x = 0 A 2., vagy 3 egyenletből: n2 y = 2n2 z Legyen a sajátvektor egységvektor: n22 y + 4n22 y = 1 , ⇒ n2 y = T ⎡ Tehát a λ 2 -höz tartozó sajátvektor: ⎡⎣ n 2 ⎤⎦ = ⎢ 0 ⎣ A λ 3 = 110 sajátértékhez tartozó sajátvektor: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 1 5 1 . 5 2 ⎤ ⎥. 5⎦ Vissza ◄ 23 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 24 ► (−30 − λ 3 ) n3 x = 0 ⎫ (−30 − 110) n3 x = 0 ⎫ ⎪ ⎪ (30 − λ 3 ) n3 y − 40 n3 z = 0 ⎬ ⇒ (30 − 110) n3 y − 40 n3 z = 0 ⎬ . ⎪ ⎪ −40 n3 y + (90 − 110)n3 z = 0 ⎭ −40 n3 y + (90 − λ 3 )n3 z = 0 ⎭ Az 1. egyenletből: n3 x = 0 A 2.,

vagy 3 egyenletből: n3 y = −2n3 z 1 . 5 n32y + 4n32y = 1 , ⇒ n3 y = Legyen a sajátvektor egységvektor: T ⎡ Tehát a λ 3 -hoz tartozó sajátvektor: ⎡⎣ n3 ⎤⎦ = ⎢ 0 ⎣ 1 5 − 2 ⎤ ⎥. 5⎦ 3.65 példa Vektor adott iránnyal párhuzamos összetevőjének meghaz tározása Adott: b = (20i + 40 j − 30k ) m, b ea = (0,8 j − 0, 6k ) . O ea ⋅ b⊥ Feladat: x y b A b vektor ea egységvektorral párhuzamos b összetevőjének meghatározása. Kidolgozás: A b párhuzamos összetevő meghatározása: ⎛ ⎡ 20 ⎤ ⎞ ⎜ ⎟ b = (ea ⋅ b ) ea = ⎜ [ 0 0,8 − 0, 6] ⎢⎢ 40 ⎥⎥ ⎟ ea = (32 + 18) ea = 50 ea ⎜ ⎢⎣ −30 ⎥⎦ ⎟⎠ ⎝ b = 50 ea = 50(0,8 j − 0, 6k ) = (40 j − 30k ) m. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 24 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 25 ► 4.

Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei Egyszabadságfokú mozgás: a mozgás egyetlen általános koordinátával (skaláris változóval) leírható. A rezgőmozgás erők hatására jön létre. A rezgőrendszerekben leggyakrabban előforduló erők alaptípusai: - visszatérítő erő (rugóerő) - csillapító erő, - gerjesztő erő. 4.1 A visszatérítő erő (rugóerő) A rendszerben levő rugalmas elem (rugó) a vizsgált testet mindig az egyensúlyi (nyugalmi) helyzetbe igyekszik visszatéríteni. Az Fc visszatérítő erő a rugóról (rugalmas elemről) a vizsgált testre működő erőhatás. Példák: nyugalmi helyzetükből kitérített anyagi pontokra c m y Fc mrugó ≈ 0 y (t ) < 0 Fc y (t ) > 0 y c mrúd ≈ 0 m Fc Fc y (t ) > 0 y (t ) < 0 1 A visszatérítő erő: Fc = − y . c c – rugóállandó (a rugalmas elem rugalmasságát jellemző tényező) Tulajdonságai: – mindig az egyensúlyi helyzet felé mutat, – iránya

mindig ellentétes a kitéréssel (elmozdulással), A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 25 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 26 ► – arányos a kitéréssel/elmozdulással (az arányossági tényező a rugóállandó reciproka). Rugó karakterisztika: az Fc = Fc ( y ) függvénykapcsolat. U – a rugóban felhalmozott alakváltozási energia (rugóenergia ≡ rugópotenciál). Fc U y U A rugó karakterisztikának általában van lineáris és nemlineáris szakasza. Lineáris szakasz: kisebb elmozdulások és erők esetén, Nemlineáris szakasz: nagyobb elmozdulások és erők esetén. Rugók sematikus ábrázolása (jelölése): Kis rezgések: – a rezgések amplitúdója a vizsgált szerkezet méreteihez képest kicsi, – a rezgések amplitúdója a rugó karakterisztika lineáris szakaszán belül marad. – a rezgőmozgás

során fellépő elmozdulások és szögelfordulások között lineáris kapcsolat áll fenn. Rugópotenciál (rugóenergia): az U = U ( y ) skalár függvény. Az energia mindig pozitív, skaláris mennyiség. A rugópotenciál a rugó karakterisztika alatti (sraffozott) terület. 1 y2 U = −Wc = − Fc y = , ahol Wc - a visszatérítő erő munkája. 2 2c 1 Megjegyzés: Wc < 0 , mert Fc = − y . c A visszatérítő erő származtatása a rugópotenciálból: dU Fc = − . dy A visszatérítő erő a rugópotenciálból negatív gradiens képzéssel származtatható. dU d ⎛ y2 ⎞ y Kiszámítás: Fc = − =− ⎜ ⎟=− . dy dy ⎝ 2c ⎠ c A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 26 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 27 ► Tétel: Az egy anyagi ponthoz / egy merev testhez kapcsolódó rugalmas elemek mindig modellezhetők

(helyettesíthetők) egyetlen rugóval, amelynek rugóállandója ch (a h index jelentése: helyettesítő) 4.2 Gyakorló feladatok a modell helyettesítő rugóállandójának meghatározására 4.21 példa Két, azonos megnyúlású rugó helyettesítése a) c1 b) m c2 c1 c2 m y y Az a) és b) ábrán látható m tömegű, két rugót tartalmazó rendszer rezgéstani szempontból azonos, mert a rugóknak mindkét esetben azonos a hosszváltozása. y2 y2 1 ⎛ 1 1 ⎞ 2 y2 A rugóenergia: U = + = ⎜ + ⎟y = 2c1 2c2 2 ⎝ c1 c2 ⎠ 2ch A helyettesítő rugó ch állandója: 1 ⎛1 1⎞ =⎜ + ⎟ ch ⎝ c1 c2 ⎠ m ch A helyettesítő modell: A fenti ábrán látható m tömegű, két rugót tartalmazó rendszer mindig helyettesíthető egy ch állandójú rugót tartalmazó rezgőrendszerrel. 4.22 példa Két, egymáshoz kapcsolódó rugó helyettesítése m c1 c2 y1 (2) y2 A rugóvégek elmozdulásai: y1 és y2 . (1) A rugók hosszváltozása: f1 = y1 és f 2 = (

y2 − y1 ) . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 27 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza ► 28 A (2) jelű rugó megnyúlása: f 2 = ( y2 − y1 ) y2 c2 A (2) jelű rugó energiája: 1 f 22 1 ( y2 − y1 ) 2 U2 = = 2 c2 2 c2 y1 c2 A két rugóban azonos nagyságú erő lép fel: f f Fc = − 1 = − 2 ⇒ f1 = −c1 Fc , f 2 = −c2 Fc . c1 c2 Az m tömeg elmozdulása a rugók hosszváltozásának (megnyúlásának) összege: y2 = f1 + f 2 = −c1 Fc − c2 Fc = −(c1 + c2 ) Fc = −ch Fc . A helyettesítő rugó ch állandója: ch = (c1 + c2 ) m ch A helyettesítő modell: 4.23 példa Ferde rugó helyettesítése rúdra merőleges rugóval merevrúd y m l ϑ f c 1 sin 2 ϑ A redukált rugóállandó: = . ch c A helyettesítő modell: ϕ merev rúd 4.24 példa Különböző irányú rugók helyettesítése y Kis rezgés: y l

és y = R ϕ . c2 R y m c1 ϑ⋅ ϕ Kis rezgés: y l és y = l ϕ . A rugó hosszváltozása: f = y sin ϑ . A rugóenergia: 1 f 2 1 ( y sin ϑ ) 2 1 sin 2 ϑ 2 1 y 2 = = U= y = 2 c 2 2 c 2 ch c y m l ch merevkorong A rugóenergia: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 28 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom U= Vissza ◄ 29 ► 1 y 2 1 ( y / 2) 2 1 ⎛ 1 1 ⎞ 2 1 y2 + = ⎜ + ⎟y = 2 c1 2 c2 2 ⎝ c1 4c2 ⎠ 2 ch A helyettesítő rugóállandó: 1 ⎛1 1 ⎞ =⎜ + ⎟ ch ⎝ c1 4c2 ⎠ A helyettesítő modellek: y y ch R m y merevkorong y ch R m merevkorong 4.3 A leggyakrabban előforduló rugók rugóállandói a) Húzott-nyomott rugó: Például lift, vagy daru drótkötele, motor felfogó gumituskó, stb. Mechanikai modell: húzott-nyomott prizmatikus rúd. F F x A – a keresztmetszet területe, E – az anyag

rugalmassági mol dulusa. A rugó hosszváltozása: σ l l . ⇒ λ = lε x = l x = F c= E AE AE b) Lemezrugó: Mechanikai modell: lapos téglalap keresztmetszetű befogott tartó. y F y y x b z a l A keresztmetszet z tengelyre számított másodrendű (tehetetlenségi) a b3 nyomatéka: I z = . 12 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 29 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A hajlító nyomaték függvény: Vissza y A ◄ 30 ► B Fx y M hz = M hz ( x) = F (l − x) . A l rugalmas szál differenciál-egyenlete: Mhz M d 2v F (l − x) . v′′ = 2 = − hz = − Fl dz IzE Iz E x A keresztmetszetek szögelfordulása: M hz ( x) F x2 ′ v = −ϕ ( x) = ∫ dx + ϕ0 = (lx − ) . IzE Iz E 2 (l ) =0 A középvonal pontjainak y irányú elmozdulása: ⎛ M ( x) ⎞ F x 2 x3 v = ∫ ⎜ ∫ hz dx ⎟ dx + v0 = (l − ) . ⎜ ⎟ IzE IzE 2 6 (l )

⎝ (l ) ⎠ =0 A rugó végének (B pont) lehajlása: F l2 l3 l l3 (l − ) = ⇒ . y = vB = F c= Iz E 2 6 3I z E 3I z E c) Egyenszilárdságú lemezrugó: Egyenszilárdságú: a rugó minden keresztmetszetében ugyanakkora a legnagyobb feszültség. Mechanikai modell: lineárisan változó szélességű, lapos téglalap keresztmetszetű befogott tartó. A rugó szélességváltozása: y b a F x a ( x) = 0 x . l l A keresztmetszetek z tengelyre számított másodrendű nyomatéka: 3 x ab x x = I z 0 , ahol b a I z ( x) = 0 12 l l x keresztmetszet y irányú mérete. a ( ) a x 0 A rugóban fellépő legnagyobb feFl b z = állandó. szültség: σ x max = I z0 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 30 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 31 ► A b) pontban részleten ismertetett gondolatmenet alapján az egyenl3 szilárdságú rugó

rugóállandója: c = . 2I0 E Az egyenszilárdságú rugó gyakorlati megvalósítása: y F a0 x x y F x z A rugót, az ábrán látható módon sávokra vágjuk és az így kapott lemezsávokat egymás alá és fölé rendezve összefogjuk. A szaggatott vonalak a ténylegesen egymás alá/fölé rendezett lemezsávok hosszát jelölik. A sávok minimális szélességét az határozza meg, hogy a rugónak nyírásra is meg kell felelnie. d) Csavarásra igénybevett rugó: Például tengelyek, csőtengelyek, stb. Mechanikai modell: kör, vagy körgyűrű keresztmetszetű prizmatikus rúd. ϑ – a fajlagos szögelfordulás, Mc y Mc x G – az anyag csúsztató rugalmassági modulusa l A két szélső keresztmetszet közötti szögelfordulás: M l l . M c . A torziós rugóállandó: γ = ψ = ϑl = c l = I pG I pG I pG Kör keresztmetszet esetén: I p = D 4π . 32 ( D 4 − d 4 )π Körgyűrű keresztmetszet esetén: I p = . 32 e) Síkbeli spirálrugó: Például hagyományos

óraszerkezetekben, mérőműszerekben fordult elő. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 31 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 32 ► A rugószál szokásos keresztmetszete kör, vagy téglalap. A rugószál igénybevétele tiszta hajlítás: M hz ( s ) = M 0 = állandó . l – a rugószál hossza, y E – az anyag rugalmassági modulusa, x I z - a rugószál keresztmetszetének z tengelyre számított másodrendű nyomatéka. M0 s l A tengely szögelfordulása: ψ = M0 . IzE l F A spirálrugó torziós rugóállandója: γ = . Iz E f) Hengeres csavarrugó: δ l – a rugószál hossza, α G – az anyag csúsztató rugalmassági modulusa, H φd ν – az anyag Poisson tényezője, α – a rugó menetemelkedési szöge. A rugószál igénybevételei: N = F sin α , M c = F r cos α , T = F sin α , M h = F r sin α . F r r 2l ⎛ 1

⎞ A rugó hosszváltozása: q = sin 2 α + cos 2 α ⎟ F . ⎜ I p G ⎝ 1 +ν ⎠ A rugószál keresztmetszetének poláris másodrendű nyomatéka: d 4π . Ip = 32 ⎛ 1 ⎞ Ha ν = 0,3 és α = 10o , akkor ⎜ sin 2 α + cos 2 α ⎟ ≈ 0,99 . ⎝ 1 +ν ⎠ ⎛ 1 ⎞ sin 2 α + cos 2 α ⎟ ≈ 0,97 . Ha ν = 0,3 és α = 20o , akkor ⎜ ⎝ 1 +ν ⎠ o Szokásos ( α < 20 ) menetemelkedésű hengeres csavarrugók esetén a r 2l rugó közelítő hosszváltozása: q ≈ F. I pG A közelítő rugóállandó: c ≈ r 2l . I pG A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 32 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 33 ► 4.4 A csillapító erő A csillapító erő olyan hatás, amely a rezgés (sebességének) megszüntetésére (csillapítására) törekszik. A csillapító erő teljesítménye mindig negatív. Olyan rezgőrendszerekre,

amelyekben csillapító elem van, csak a csillapító elem hatásának figyelembevételével érvényes az energia megmaradás elve, mert a csillapítás a rendszerből energiát von el. A csillapítás két, leggyakrabban előforduló típusa a sebességgel arányos ún. folyadékfék (olajfék) típusú és a sebesség nagyságától független Coulomb-féle száraz súrlódás típusú csillapítási modell a) Folyadékfék (olajfék) típusú csillapítóerő: Folyadékfék típusú csillapítás akkor jön létre, ha egy szilárd/merev test viszkózus (súrlódásos) folyadékban mozog nem túl nagy sebességgel. Ehhez hasonló, ha a rugalmas elem alakváltozása során az elem anyagában a molekulák között ún. belső súrlódás lép fel (belső súrlódás a valóságban kisebb-nagyobb mértékben mindig fellép). Gyakorlati példa: járművek lengéscsillapítói. Csillapító erő: Fk = −k vd = − k y . k – csillapítási tényező, vd – a dugattyú relatív

sebessége a hengerhez képest. A csillapító erő arányos a folyadékban történő mozgás sebességével. Gyakorlati kialakítás: Fk vd = y olaj olaj y Jelölés: x henger dugattyú b) Coulomb-féle száraz súrlódás típusú csillapító erő: Coulomb-féle száraz súrlódás típusú csillapítás akkor jön létre, ha a vizsgált test érdes felületen mozog. Gyakorlati példa: szerkezetek egymáson csúszó alkatrészei (ha nincs kenés az érintkező felületen). Fk v ev Csillapító erő: Fk = − µ Fn ev . µ µ – mozgásbeli súrlódási tényező, Fn A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 33 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 34 ► Fn – az érdes felületre merőleges erő, ev – a sebesség irányába mutató egységvektor. A csillapító erő nagysága nem függ a mozgás sebességétől, a csillapító

erő iránya a mozgás sebességének irányával ellentétes. 4.5 A gerjesztő erő/nyomaték Az Fg = Fg (t ) gerjesztő erő olyan erőhatás, amely csak az időtől függ és az időnek periodikus függvénye. Az M g = M g (t ) gerjesztő nyomaték olyan erőpárhatás, amely csak az időtől függ és az időnek periodikus függvénye. Gerjesztés erővel: Fg (t ) m Gerjesztés nyomatékkal: M g (t ) m rúd Harmonikus gerjesztés: Fg = Fg 0 sin(ωt + ε ) , vagy Fg = Fg 0 cos(ωt + ε ) , M g = M g 0 sin(ωt + ε ) , vagy M g = M g 0 cos(ωt + ε ) . Fg 0 , M g 0 a gerjesztő erő/nyomaték amplitúdója, ω a gerjesztés körfrekvenciája, mértékegység: [ rad/s ] . ε a gerjesztés fázisszöge (a forgóvektor helyzetét adja meg a t = 0 időpillanatban). 4.6 Az egyszabadságfokú rezgőrendszer általános felépítése A rendszer mindig tartalmaz egy tömeget és legalább egy rugalmas elemet. A rendszer tartalmazhat még csillapító elemet és gerjesztést is A feladat

kitűzése: Adott: m – tömeg, c – rugóállandó, k – csillapítási tényező, Fg (t ) - gerjesztés. Meghatározandó: a test y (t ) elmozdulása (kitérése). A megoldás gondolatmenete: – A rendszer mozgásegyenletének felírása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 34 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 35 ► – A mozgásegyenlet megoldása. Fg = Fg (t ) c m k y = y (t ) 4.7 A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet egyszabadságfokú mozgások esetén Olyan rezgőrendszereket vizsgálunk, amelyek egy tömegpontot, vagy merev testet tartalmaznak, és amelyek mozgása egyetlen q = q (t ) általános koordináta felhasználásával leírható. a) A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: A Lagrange-féle (kiejtés: lagranzs) másodfajú mozgásegyenlet fizikai tartalom vonatkozásában egyenértékű az

impulzus/perdület tétellel. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet használata azonban az esetek többségében előnyösebb, mert azok az erők nem jelennek meg benne, amelyeknek nincs teljesítménye. d ⎛ ∂E ⎞ ∂E A mozgásegyenlet: = Q , ahol ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂q ⎠ ∂q t az idő, d a differenciálás jele, ∂ a parciális differenciálás jele, E a kinetikai energia, q az általános koordináta sebesség, q az általános koordináta, Q az általános erő. A Q általános erő fizikai tartalma: egységnyi koordináta sebességhez tartozó teljesítmény: Q = P/q. b) Síkmozgást végző testek kinetikai energiája: 1 Általános alak: E = mr q 2 , ahol 2 mr – a rezgőrendszer q általános koordinátához tartozó redukált tömege. 1 Anyagi pont kinetikai energiája: E = mv 2 . 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 35 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 36 ► m – az anyagi pont tömege, v – az anyagi pont sebessége. Merev test kinetikai energiája: E = 1 2 1 mvS + J sω 2 . 2 2 m – a merev test tömege, vS – a merev test S ponti sebessége, J s - a merev testnek a mozgás síkjára merőleges S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka, ω – a merev test szögsebessége. b) A leggyakrabban előforduló, síkmozgást végző testek tehetetlenségi nyomatékai: 1 J s = m R2 , R S 2 m s - mozgás síkjára merőleges S ponti tengely, A 3 J a = m R2 , 2 merevhenger a - mozgás síkjára merőleges A ponti tengely. merev prizmatikus rúd S m A m S 1 ml2 , 12 s - mozgás síkjára merőleges S ponti tengely, 1 Ja = m l2 , 3 a - mozgás síkjára merőleges A ponti tengely. Js = A d l Steiner-tétel: J a = J s + md 2 , s és a a mozgás síkjára merőleges, egymással párhuzamos tengelyek. c) Speciális síkmozgást végző testek kinetikai energiája: –

Gördülő mozgás: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 36 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 37 ► 1 3 J pω 2 , J p = m R 2 , vagy 2 2 S 1 1 R ω E = mvS2 + J sω 2 , 2 2 1 P J s = m R 2 , vS = Rω . 2 – Rögzített pont körüli forgó mozgás (fizikai inga): E= vS l 1 J aω 2 , J a = J s + m l 2 , 2 vagy 1 1 E = mvS2 + J sω 2 , vS = l ω . 2 2 E= A ω S ⋅ vS d) A Q általános erő meghatározása: – Merev testre ható általános erőrendszer teljesítménye: n m i =1 j =1 P = ∑ Fi ⋅ vi + ∑ M j ⋅ ω , ahol n – az erőrendszerhez tartozó koncentrált erők száma, m – az erőrendszerhez tartozó koncentrált nyomatékok száma, vi – az Fi erő támadáspontjának a sebessége, ω – a merev test szögsebessége. – Az általános erő: P = Q q , a Q általános erő egységnyi koordináta

sebességhez tartozó teljesítmény. n m i =1 j =1 Q = ∑ Fi ⋅ βi + ∑ M j ⋅ b , ahol n – az erőrendszerhez tartozó koncentrált erők száma, m – az erőrendszerhez tartozó koncentrált nyomatékok száma, ∂v β i = i – az Fi erő támadáspontjának az egységnyi koordináta se∂q bességhez tartozó sebessége, ∂ω b= – a merev testnek az egységnyi koordináta sebességhez tar∂q tozó szögsebessége. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 37 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 38 ► Q általános esetben a q általános koordináta, a q általános koordináta sebesség és a t idő függvénye lehet: Q = Q(q, q, t ) , e) A Q általános erő speciális esetben: Csak olyan egyszerűbb rezgőrendszereket vizsgálunk, ahol az általános erő az alábbi három részre bontható: Q(q, q, t ) = Qc (q) + Qk

(q) + Qg (t ) . – A Qc általános visszatérítő erő csak a q általános koordináta függvénye. 1 A Qc általános visszatérítő erő mindig felírható Qc = − q alakcr ban, ahol cr a q általános koordinátaválasztáshoz tartozó redukált rugóállandó. – A Qk általános csillapító erő csak a q általános koordináta sebesség függvénye. A Qk általános csillapító erő mindig felírható Qk = − kr q alakban, ahol k r a q általános koordinátaválasztáshoz tartozó redukált csillapítási tényező. – A Qg általános gerjesztő erő csak a t idő periodikus függvénye. A Qg általános gerjesztő erő mindig felírható Qg = Qg 0 sin(ωt + ε ) , vagy Qg = Qg 0 cos(ωt + ε ) alakban, ahol Qg 0 a gerjesztő erő q általános koordinátaválasztáshoz tartozó amplitúdója, ω a gerjesztés körfrekvenciája és ε a gerjesztés fázisszöge. f) Rezgőrendszerek osztályozása: 1. Szabad rezgőrendszerek (szabad rezgések) Qg = 0 . a) Szabad

csillapítatlan rezgőrendszerek (szabad csillapítatlan rezgések) Qg = 0 és Qk = 0 . b) Szabad csillapított rezgőrendszerek (szabad csillapított rezgések) Qg = 0 és Qk ≠ 0 . 2. Gerjesztett rezgőrendszerek (gerjesztett rezgések) Qg ≠ 0 . a) Gerjesztett csillapítatlan rezgőrendszerek (gerjesztett csillapítatlan rezgések) Qg ≠ 0 és Qk = 0 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 38 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 39 ► b) Gerjesztett csillapított rezgőrendszerek (gerjesztett csillapított rezgések) Qg ≠ 0 és Qk ≠ 0 . g) Gyakorlati példák egyszabadságfokú rezgőrendszerekre: 1. példa: vasúti kocsi ütközése vágány végét lezáró baknak. 2. példa: felvonó kötéllel, vontató kötéllel történő mozgatás drótkötél drótkötél sikló kabin lift fülke 3. példa: hajtómű tengelye M

c (t ) tengely fogaskerék 4.8 Gyakorló feladatok egyszabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírására Az egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének felírásakor mindig arra is törekszünk, hogy a vizsgált rendszert a 3.6 pontban látható ún redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszerre vezessük vissza. 4.81 példa Szabad csillapítatlan rezgőrendszer Adott: A 2a hosszúságú, súlytalan, merev rúd és m, a, c1 , c2 . c1 merev mrúd ≈ 0 rúd m a a c2 Feladat: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 39 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 40 ► a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a merev rúd kis szögelfordulása esetén. b) A redukált (helyettesítő) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. Kidolgozás: 1. A feladat megoldása q = ϕ általános

koordinátaválasztással: Általános koordináta: q = ϕ − szögelfordulás, y c1 q = ϕ = ω − szögsebesség, q = ϕ = ε − szöggyorsulás. B x A Lagrange-féle másodfajú ϕ A m d ⎛ ∂E ⎞ ∂E mozgásegyenlet: ⎜ = Qc . a a ⎟− dt ⎝ ∂q ⎠ ∂q c2 Az anyagi pont sebessége: v = 2aω = 2aϕ . A rendszer kinetikai energiája: 1 1 1 1 2 E = mv 2 = m ( 2aω ) = m4a 2ϕ 2 = mrϕ 2 . 2 2 2 2 A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: mr = 4a 2 m . A mozgásegyenlet baloldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E ∂E = = 0, = = mrϕ , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = mrϕ , ∂q ∂ϕ dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂q ∂ϕ A rugókban felhalmozott energia: y12 y22 (aϕ ) 2 (2aϕ ) 2 1 ⎛ a 2 4a 2 ⎞ 2 1 ϕ 2 + = + = ⎜ + U= . ⎟ϕ = c2 ⎠ 2c1 2c2 2c1 2c2 2 ⎝ c1 2 cr A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr 1 a 2 4a 2 = + . cr

c1 c2 Az általános visszatérítő erő meghatározása: ∂U ∂U 1 Qc = − =− =− ϕ. cr ∂q ∂ϕ redukált, vagy általános rugóállandója: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 40 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 41 ► Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet baloldalára rendezve: ⎛ a 2 4a 2 ⎞ 1 4ma 2 ϕ + ⎜ + ⎟ ϕ = 0 , vagy mrϕ + ϕ = 0. c2 ⎠ cr ⎝ c1 1 q = 0. cr A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: mr q + A redukált rezgőrendszer: cr mr q = q (t ) 2. A feladat megoldása q = yB általános koordinátaválasztással: y Általános koordináta: q ≡ yB − a B pont elmozdulása, A q ≡ yB = vB − a B pont sebessége, q = yB = aB − a B pont gyorsulása. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc . ⎜ ⎟−

dt ⎝ ∂q ⎠ ∂q c1 B a a yB x m c2 Az anyagi pont sebessége: v = vB = yB . 1 1 1 1 A rendszer kinetikai energiája: E = mv 2 = mvB2 = myB2 = mr yB2 . 2 2 2 2 A rezgőrendszer q = yB általános koordinátaválasztáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: mr = m . A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ = = 0. = = mr yB , ⎟ = mr yB , ⎜ ⎟= ⎜ ∂q ∂yB ∂q ∂yB dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂yB ⎠ A rugókban felhalmozott energia: 2 ⎛ yB ⎞ 2 2 y1 y2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ( yB ) 2 1 ⎛ 1 1 ⎞ 2 1 yB2 U= + = + = ⎜ + ⎟ yB = . 2c1 2c2 2c1 2c2 2 ⎝ 4c1 c2 ⎠ 2 cr A rezgőrendszer q ≡ yB általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 41 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 42 ► 1 ⎛ 1 1⎞

=⎜ + ⎟. cr ⎝ 4c1 c2 ⎠ Az általános visszatérítő erő meghatározása: 1 ∂U ∂U Qc = − =− = − yB . cr ∂q ∂yB Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: ⎛ 1 1 1⎞ myB + ⎜ + ⎟ yB = 0 , vagy mr yB + yB = 0. cr ⎝ 4c1 c2 ⎠ A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: 1 cr mr mr q + q = 0. cr q = q (t ) A redukált rezgőrendszer: redukált, vagy általános rugóállandója: Megjegyzés: A redukált mennyiségek ( mr és cr ) függenek az általános koordinátaválasztástól! 4.82 példa Szabad csillapított rezgőrendszer c1 Adott: Feladat: x merev henger a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a merev henger kis szögelfordulása esetén. c2 R S m y B k A b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. Kidolgozás: 1. A feladat megoldása q = ϕ általános koordinátaválasztással: q = ϕ = ω - szögsebesség, q = ϕ =

ε - szöggyorsulás. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 42 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 43 ► d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc + Qk . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂ϕ A rendszer kinetikai energiája: 1 1⎛3 1 ⎞ E = J aω 2 = ⎜ mR 2 ⎟ ω 2 = mrϕ 2 . 2 2⎝2 2 ⎠ A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó redu3 kált, vagy általános tömege: mr = mR 2 . 2 A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E ∂E = = 0. = = mrϕ , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = mrϕ , dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂q ∂ϕ ∂q ∂ϕ A rugókban felhalmozott energia: y2 y 2 (2 Rϕ ) 2 (2 Rϕ ) 2 1 ⎛ 4 R 2 4 R 2 ⎞ 2 1 ϕ 2 . U= B + B = + = ⎜ + ⎟ϕ = c2 ⎠ 2c1 2c2 2c1 2c2 2 ⎝ c1 2 cr A rezgőrendszer q = ϕ

általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr 1 ⎛ 4R2 4R2 ⎞ =⎜ + ⎟. cr ⎝ c1 c2 ⎠ Az általános visszatérítő erő meghatározása: ∂U ∂U 1 Qc = − =− =− ϕ. cr ∂q ∂ϕ redukált, vagy általános rugóállandója: Az általános csillapító erő meghatározása: Qk = Fk ⋅ β S . Fk = − k vd = − k vS = − k ( Rϕ ) j , β S = ∂ vS ∂ ( Rϕ j ) = = (R j ) . ∂ϕ ∂ϕ Qk = Fk ⋅ β S = − k R 2 ϕ = − krϕ . A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó kr redukált, vagy általános csillapítási tényezője: kr = k R 2 . Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: ⎛ 4R2 4R2 ⎞ 1 ⎛3 2⎞ 2 mR k R ϕ + ϕ + + ⎜ ⎟ ϕ = 0 , vagy mrϕ + krϕ + ϕ = 0. ⎜ ⎟ cr c2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ c1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 43 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 44 ► 1 q = 0. cr kr mr A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: mr q + kr q + A redukált rezgőrendszer: cr q = q (t ) 2. A feladat megoldása q = yB általános koordinátaválasztással: c1 c2 Általános koordináta: B q = yB − a B pont elmozdulása, ϕ S q = yB = vB − a B pont sebessége, m R q = yB = aB − a B pont gyorsulása. k A A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc + Qk . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂ yB ⎠ ∂ yB A rendszer kinetikai energiája: 2 1 1⎛3 1⎛3 1⎛3 ⎞ 2 2 2⎞ 2 2 ⎞ ⎛ yB ⎞ E = J aω = ⎜ mR ⎟ ω = ⎜ mR ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ m ⎟ yB . 2 2⎝2 2⎝2 2⎝8 ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ 2R ⎠ mr A rezgőrendszer q = yB általános koordinátaválasztáshoz tartozó redu3 kált, vagy általános tömege: mr = m . 8 A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ = = 0. = = mr yB ,

⎟ = mr yB , ⎜ ⎟= ⎜ ∂q ∂yB ∂q ∂yB dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂yB ⎠ A rugókban felhalmozott energia: y2 y2 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 yB2 U = B + B = ⎜ + ⎟ yB2 = . 2c1 2c2 2 ⎝ c1 c2 ⎠ 2 cr A rezgőrendszer q = yB általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr 1 ⎛1 1⎞ =⎜ + ⎟. cr ⎝ c1 c2 ⎠ Az általános visszatérítő erő meghatározása: redukált, vagy általános rugóállandója: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 44 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Qc = − Vissza ◄ 45 ► ∂U ∂U 1 =− = − yB . cr ∂q ∂yB Az általános csillapító erő meghatározása: Qk = Fk ⋅ β S . ⎛y ⎞ ∂⎜ B j ⎟ ∂ vS yB ⎞ 2 ⎠ ⎛1 = ⎝ =⎜ ⎟ j , βS = 2 ⎠ ∂ yB ∂yB ⎝2 ⎛ ⎞ Fk = − k vd = − k vS = − k ⎜ j ⎟, ⎝ ⎠ k1 Qk = Fk ⋅ β S = − yB = − kr yB . 22 A rezgőrendszer q = yB

általános koordinátaválasztáshoz tartozó kr redukált, vagy általános csillapítási tényezője: kr = k / 4 . Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: ⎛1 1⎞ 1 k ⎛3 ⎞ ⎜ m ⎟ yB + yB + ⎜ + ⎟ yB = 0 , vagy mr yB + kr yB + yB = 0. cr 4 ⎝8 ⎠ ⎝ c1 c2 ⎠ A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: mr q + kr q + A redukált rezgőrendszer: cr mr 1 q = 0. cr kr q = q (t ) Megjegyzés: A redukált mennyiségek ( mr , kr és cr ) függenek az általános koordinátaválasztástól! 4.83 példa Szabad csillapítatlan rezgőrendszer Adott: A merev és súlytalan CAB rúdszerkezet és m1 , m2 a, b, c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , γ 0 , ϑ . Feladat: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 45 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza a) A rezgőrendszer

mozgásegyenletének felírása CAB rúdszerkezet kis szögelfordulása esetén. y ◄ 46 ► b c1 b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. A c3 Kidolgozás: a Bx γ0 m1 c4 c2 ϑ ϕ a Általános koordinátaválasztás: q = ϕ ⎯ szögelfordulás, q = ϕ = ω ⎯ szögsebesség, q = ϕ = ε ⎯ szöggyorsulás. ϕ c5 C m2 A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂ϕ 1 1 m1v12 + m2 v22 = 2 2 1 1 1 1 2 2 = m1 ( bϕ ) + m2 ( 2aϕ ) = ( m1b 2 + m2 4a 2 ) ϕ 2 = mrϕ 2 . 2 2 2 2 A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó reduA rendszer kinetikai energiája: E = kált, vagy általános tömege: mr = ( m1b 2 + 4m2 a 2 ) . A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E ∂E = = 0. = = mrϕ , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = mrϕ , dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂q ∂ϕ ∂q ∂ϕ γ0 A

c5 rugóállandójú rugó hosszváltozása: a h = a ϕ cos ϑ . ϕ A rugókban felhalmozott energia: ⋅ ϑ 2 2 2 2 2 h b ϕ b ϕ a ϕ a cos ϑ ϕ ) +1ϕ = 1( ) 1( ) 1 ( ) 1( U= + + + 2 c1 2 c2 2 (c3 + c4 ) 2 c5 2 γ0 ( a cos ϑ a2 1 ⎡ b2 b2 = ⎢ + + + c5 2 ⎢ c1 c2 (c3 + c4 ) ⎣ ) 2 1 ⎤ 2 1 ϕ2 . + ⎥ϕ = γ 0 ⎥⎦ 2 cr A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 46 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 47 ► A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr 2 a cos ϑ ) ( a2 1 ⎡ b2 b2 1⎤ redukált rugóállandója: =⎢ + + + + ⎥. cr ⎢ c1 c2 (c3 + c4 ) c5 γ 0 ⎥⎦ ⎣ Az általános visszatérítő erő meghatározása: ∂U ∂U 1 Qc = − =− =− ϕ. cr ∂q ∂ϕ Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: ⎛ b2 b2

a2 a 2 cos 2 ϑ 1 ⎞ 2 2 vagy m b m a ϕ + + + + + + ⎟ϕ = 0 , 4 ( 1 ) ⎜ c c (c + c ) 2 c5 γ0 ⎠ 2 3 4 ⎝ 1 1 ϕ = 0. cr A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: mrϕ + mr q + 1 q = 0. cr cr mr q = q (t ) A redukált rezgőrendszer: 4.84 példa Szabad csillapított rezgőrendszer Adott: A merev, homogén tömegeloszlású AB rúd és m , l, k, γ 0 , ϑ . γ0 k y ϑ B x ϕ A l /2 S m l /2 Feladat: a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása az AB rúd kis szögelfordulása esetén. b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. Kidolgozás: Általános koordinátaválasztás: q = ϕ − szögelfordulás, q = ϕ = ω − szögsebesség, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 47 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 48 ► q = ϕ = ε − szöggyorsulás. A Lagrange-féle

másodfajú mozgásegyenlet: A rendszer kinetikai energiája: 1 1⎛ l2 ⎞ E = J aω 2 = ⎜ J s + m ⎟ ϕ 2 = 2 2⎝ 4⎠ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc + Qk . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂ϕ 1 ⎛ l2 l2 ⎞ 2 m m + ⎜ ⎟ϕ = 2 ⎝ 12 4⎠ 1 ⎛ l2 ⎞ 2 1 2 ⎜ m ⎟ ϕ = mrϕ . 2⎝ 3 ⎠ 2 A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó redu= ⎛ l2 ⎞ kált, vagy általános tömege: mr = ⎜ m ⎟ . ⎝ 3⎠ A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E ∂E = = 0. = = mrϕ , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = mrϕ , dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂q ∂ϕ ∂q ∂ϕ 1 1 2 1 ϕ2 A rugókban felhalmozott energia: U = ϕ = . 2 γ0 2 cr A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr 1 1 redukált rugóállandója: = . cr γ 0 Az általános visszatérítő erő meghatározása: ∂U ∂U 1 Qc = − =− =− ϕ. cr ∂q ∂ϕ Az általános csillapító erő meghatározása:

Qk = Fk ⋅ β S . ⎛l ⎞ ∂⎜ ϕ j ⎟ ∂ vS 2 ⎠ ⎛l βS = = ⎝ =⎜ ∂ϕ ∂ϕ ⎝2 ⎞ j⎟. ⎠ A csillapító erő: Fk = −k vd . A dugattyú relatív sebességének meghatározása: l vd = vS sin ϑ = ϕ sin ϑ , 2 vd = vd (cos ϑ i + sin ϑ j ) . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 48 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 49 ► l Fk = −kvd = − k (sin ϑ cos ϑ i + sin 2 ϑ j )ϕ . 2 l4 Qk = Fk ⋅ β S = − k sin 2 ϑ ϕ = − kr ϕ . 4 A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó kr l2 redukált, vagy általános csillapítási tényezője: kr = k sin 2 ϑ . 4 Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: ⎛ ml 2 ⎞ 1 l2 1 k + sin 2 ϑ ϕ + ϕ = 0 , vagy mrϕ + krϕ + ϕ = 0. ϕ ⎜ ⎟ cr 4 γ0 ⎝ 3 ⎠ 1 q = 0.

cr kr mr A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: mr q + kr q + A redukált rezgőrendszer: cr q = q (t ) 4.85 példa Gerjesztett csillapítatlan rezgőrendszer Adott: Az R sugarú, merev, homogén tömegeloszlású henger és m , R, c, valamint Fg (t ) = Fg 0 sin(ωt + ε ) . Feladat: c y Fg (t ) R B x ϕ A S m a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a henger kis szögelfordulása esetén. b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. Kidolgozás: Általános koordinátaválasztás: q = ϕ − szögelfordulás, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 49 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 50 ► q = ϕ = ω − szögsebesség, q = ϕ = ε − szöggyorsulás. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc + Qg . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂ϕ 1 1 ⎛

3mR 2 ⎞ 2 1 2 J aω 2 = ⎜ ⎟ ϕ = mrϕ . 2 2⎝ 2 ⎠ 2 A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó redu⎛3 ⎞ kált, vagy általános tömege: mr = ⎜ mR 2 ⎟ . ⎝2 ⎠ A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E ∂E = = 0. = = mrϕ , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = mrϕ , dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂q ∂ϕ ∂q ∂ϕ A rendszer kinetikai energiája: E = 1 ( Rϕ ) 2 1 R 2 2 1 ϕ 2 A rugókban felhalmozott energia: U = = . ϕ = 2 c 2 c 2 cr A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr 1 R2 = . cr c Az általános visszatérítő erő meghatározása: ∂U ∂U 1 Qc = − =− =− ϕ. cr ∂q ∂ϕ redukált rugóállandója: Az általános gerjesztő erő meghatározása: Qg = Fg ⋅ β B . Fg = Fg 0 sin(ωt + ε ) j , β B = ∂ vB ∂ ( 2 Rϕ j ) = = ( 2R j ) . ∂ϕ ∂ϕ Qg = Fg ⋅ β B = 2 RFg (t ) . Az előállított mennyiségeket

behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános visszatérítő erőt az egyenlet bal oldalára rendezve: ⎛ 3mR 2 ⎞ 1 R2 ϕ = 2 RFg (t ) , vagy mrϕ + ϕ = Qg (t ). ⎜ ⎟ϕ + cr c ⎝ 2 ⎠ A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 50 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 1 q = Qg (t ). cr A redukált rezgőrendszer: mr q + 51 ► Qg = Qg (t ) cr mr 4.86 példa Gerjesztett csillapítatlan rezgőrendszer y a a Adott: A merev, súlytalan A ϕ ABC rúdszerkezet és m1 , α m1 m2 a, b, c , M g (t ) b l M g = M g 0 sin(ωt + ε ) . Feladat: ◄ Vissza q = q(t ) B x α c Cm 2 a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a ABC rúdszerkezet kis szögelfordulása esetén. b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. Kidolgozás: Általános

koordinátaválasztás: q = ϕ - szögelfordulás, q = ϕ = ω - szögsebesség, q = ϕ = ε - szöggyorsulás. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc + Qg . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂ϕ A rendszer kinetikai energiája: 1 1 1 1 2 2 E = m1v12 + m2 v22 = m1 ( aϕ ) + m2 ( lϕ ) = 2 2 2 2 1 1 = ⎡⎣ m1a 2 + m2 (4a 2 + b 2 ) ⎤⎦ ϕ 2 = mrϕ 2 . 2 2 A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: mr = ⎡⎣ m1a 2 + m2 (4a 2 + b 2 ) ⎤⎦ . A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E ∂E = = 0. = = mrϕ , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = mrϕ , dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂q ∂ϕ ∂q ∂ϕ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 51 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 52 ► A

rugó hosszváltozása: h = lϕ sin α . A rugóban felhalmozott energia: 1 h 2 1 (lϕ sin α ) 2 U= = = c 2 c 2 1 (4a 2 + b 2 ) sin 2 α 2 1 b 2 1 ϕ 2 ϕ = ϕ = . = c 2 2c 2 cr A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr 1 (l sin α ) 2 (4a 2 + b 2 ) sin 2 α b = = = . cr c c c Az általános visszatérítő erő meghatározása: ∂U ∂U 1 Qc = − =− =− ϕ. cr ∂q ∂ϕ redukált rugóállandója: Az általános gerjesztő erő meghatározása: Qg = M g (t ) ⋅ b . M g (t ) = M g (t ) k = M g 0 sin(ωt + ε ) k , ∂ω ∂ (ϕ k ) = = k , Qg = M g (t ) ⋅ b = M g (t ) . ∂ϕ ∂ϕ Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános visszatérítő erőt az egyenlet bal oldalára rendezve: b 1 ⎡⎣ m1a 2 + m2 (4a 2 + b 2 ) ⎤⎦ ϕ + ϕ = M g (t ) , vagy mrϕ + ϕ = M g (t ). c cr 1 A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: mr q + q = Qg (t ). cr cr Qg = Qg (t ) A redukált rezgőrendszer: mr q = q(t

) 4.87 példa Gerjesztett csillapított rezgőrendszer b= Adott: A merev, súlytalan ABCD rúdszerkezet és m1 , m2 , a, b, c , k, Fg (t ) = Fg 0 sin(ωt + ε ) . Feladat: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 52 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 53 ► a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása az ABCD rúdszerkezet kis szögelfordulása esetén. c m1 D b) A helyettesítő (redukált) y l rezgőrendszer jellemzőinek b a meghatározása. ϕ x B A ϑ Kidolgozás: ϑ eC b l Általános koordinátaválasztás: C q = ϕ - szögelfordulás, m2 k Fg (t ) q = ϕ = ω - szögsebesség, q = ϕ = ε - szöggyorsulás. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc + Qk + Qg . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂ϕ 1 1 A rendszer kinetikai energiája: E = m1v12 + m2 v22 = 2 2 1 1 1 1 2 2 = m1 ( lϕ ) + m2 ( lϕ ) =

(m1 + m2 )(a 2 + b 2 )ϕ 2 = mrϕ 2 . 2 2 2 2 A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: mr = (m1 + m2 )(a 2 + b 2 ) . A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E ∂E = = 0. = = mrϕ , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = mrϕ , dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂q ∂ϕ ∂q ∂ϕ α c A rugó hosszváltozása: ⋅ h = lϕ sin α . h ϕ y b a A x α B A rugóban felhalmozott energia: 1 h 2 1 (lϕ sin α ) 2 1 (a 2 + b 2 ) sin 2 α 2 1 ϕ 2 U= ϕ = . = = c c 2 c 2 2 2 cr A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 53 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 54 ► 1 (l sin α ) 2 (a 2 + b 2 ) sin 2 α . = = cr c c Az általános visszatérítő erő

meghatározása: ∂U ∂U 1 Qc = − =− =− ϕ. cr ∂q ∂ϕ redukált rugóállandója: Az általános csillapító erő meghatározása: Qk = Fk ⋅ βC . ∂ vC ∂ ( lϕ eC ) = = ( leC ) = l (sin ϑ i + cos ϑ j ) . ∂ϕ ∂ϕ y a a A ϕ A csillapító erő: Fk = −k vd . x B ϑ A dugattyú relatív sebességének meghatározása: l ϑ b v C ϑ k vd = vd i = lϕ sin ϑ i vd = vC sin ϑ = lϕ sin ϑ . C v A csillapító erő: d Fk = − kvd = − kl sin ϑϕ i . βC = Qk = Fk ⋅ βC = − kl 2 sin 2 ϑϕ = − kb 2ϕ = − kr ϕ . A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó kr redukált, vagy általános csillapítási tényezője: kr = kb 2 . Az általános gerjesztő erő meghatározása: Qg = Fg (t ) ⋅ βC . Fg (t ) = Fg (t ) i = Fg 0 sin(ωt + ε ) i , βC = ∂ vC ∂ ( lϕ eC ) = = ( leC ) = l (sin ϑ i + cos ϑ j ) , ∂ϕ ∂ϕ Qg = Fg (t ) ⋅ βC = Fg (t )l sin ϑ = Fg b . Az előállított mennyiségeket behelyettesítve

a mozgásegyenletbe és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára b2 ⎡⎣ (m1 + m2 )(a 2 + b 2 ) ⎤⎦ ϕ + kb 2ϕ + ϕ = Fg (t )b , rendezve: vagy c 1 mrϕ + krϕ + ϕ = Fg (t )b. cr 1 A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: mr q + kr q + q = Qg (t ). cr A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 54 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A redukált rezgőrendszer: Qg (t ) ◄ Vissza mr 55 ► kr q(t ) 4.88 példa Gerjesztett csillapított rezgőrendszer cr Adott: Az R sugarú, m2 tömegű merev, homogén tömegeloszlású tárcsa és m1 , m2 , R, c, k, α , ϑ , M g (t ) = M g 0 sin(ωt + ε ) . y m2 C k A R D yB m1 B ϑ x α M g (t ) c Feladat: a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a tárcsa kis szögelfordulása esetén. b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer

jellemzőinek meghatározása. Kidolgozás: Általános koordinátaválasztás: q = yB - a B pont elmozdulása, q = yB = vB - a B pont sebessége, q = yB = aB - a B pont gyorsulása. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc + Qk + Qg . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂yB ⎠ ∂yB A rendszer kinetikai energiája: 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ 1 E = m1vB2 + J a 2ω 2 = ⎜ m1 + m2 R 2 2 ⎟ yB2 = mr yB2 . 2 2 2⎝ 2 2 R ⎠ A rezgőrendszer q = yB általános koordinátaválasztáshoz tartozó redu1 ⎞ ⎛ kált, vagy általános tömege: mr = ⎜ m1 + m2 ⎟ . 2 ⎠ ⎝ A rugó hosszváltozása: yB = yD , h = yB sin α . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 55 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ ► 56 yB A rugóban felhalmozott energia: h A 2 2 2 1h 1 sin α 2 1 yB B ⋅ α = . U= yB = m1 α yD 2 c 2 c 2 cr c A rezgőrendszer q =

yB általános koordinátaválasztáshoz x 1 sin 2 α = . cr c Az általános visszatérítő erő meghatározása: ∂U ∂U 1 sin 2 α =− = − yB = − Qc = − yB . cr c ∂q ∂yB tartozó cr redukált rugóállandója: Az általános csillapító erő meghatározása: Qk = Fk ⋅ βC . A dugattyú relatív sebességének meghatározása: y k vC = vB = yB , vd = vC cos ϑ = yB cos ϑ , vd ⋅ C vd = vd ed = vd (cos ϑ i + sin ϑ j ) . vB = y B vC R ∂ ( yB i ) ∂v B βC = C = =i , m1 ∂y ∂y B ϑ x B Fk = − kvd = − k vd ed = − k cos ϑ yB (cos ϑ i + sin ϑ j ) . Qk = Fk ⋅ βC = − k cos 2 ϑ yB = − kr yB . A rezgőrendszer q = yB általános koordinátaválasztáshoz tartozó kr redukált, vagy általános csillapítási tényezője: kr = k cos 2 ϑ . Az általános gerjesztő erő meghatározása: Qg = M g (t ) ⋅ b . ⎛y ⎞ ∂⎜ B k ⎟ ∂ω R ⎠ 1 M g (t ) = M g (t ) k = M g 0 sin(ωt + ε ) k , b = = ⎝ = k, R ∂ yB ∂yB 1 Qg = M g (t ) ⋅ b

= M g (t ) . R Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe, és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: 1 ⎞ sin 2 α 1 ⎛ 2 ϑ cos + + + m m y k y yB = M g (t ) , vagy B 2⎟ B ⎜ 1 2 ⎠ c R ⎝ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 56 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom mr yB + kr yB + ◄ Vissza ► 57 1 1 yB = M g (t ) . cr R 1 A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: mr q + kr q + q = Qg (t ). cr Qg (t ) kr A redukált rezgőrendszer: mr cr q(t ) 4.89 példa Gerjesztett csillapított rezgőrendszer y l/2 l/2 l/2 l/2 m1 C m2 D E Adott: A 2l hosszúságú, m2 tömegű A α merev prizmatikus rúd és m , m , α B 1 2 l, c, k, α , Fg (t ) = Fg 0 sin(ωt + ε ) . c k x Fg (t ) Feladat: a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a rúd kis

szögelfordulása esetén. b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. Megoldás: Általános koordinátaválasztás: q = ϕ - a rúd szögelfordulása. l2 l 2 sin 2 α ⎛m m ⎞ ϕ = l Fg (t ) . a) Mozgásegyenlet: ⎜ 1 + 2 ⎟ l 2ϕ + k sin 2 α ϕ + 3 ⎠ 4 c ⎝ 4 b) A redukált jellemzők: l2 1 l 2 sin 2 α ⎛m m ⎞ = , Qg = l Fg (t ) . mr = ⎜ 1 + 2 ⎟ l 2 , kr = k sin 2 α , 4 cr c 3 ⎠ ⎝ 4 4.810 példa Szabad csillapított rezgőrendszer Adott: Az ABCD merev, súlytalan rudakból álló keret és m1 , m2 , m3 , a, b, c1 , c2 , c3 , c4 , k. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 57 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 58 ► Feladat: c2 m y 1 a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a keret kis szögelfordulása esetén. b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer

jellemzőinek meghatározása. c1 D 2a k m3 C B a Megoldás: Általános koordinátaválasztás: q = ϕ - a keret szögelfordulása. c3 x A b m2 b c4 1 a) Mozgásegyenlet: mrϕ + kr ϕ + ϕ = 0 . cr b) A redukált jellemzők: mr = 9a 2 m1 + (a 2 + b 2 )(m2 + m3 ) , kr = kb 2 , ⎛1 1⎞ 1 b2 = 9a 2 ⎜ + ⎟ + . cr ⎝ c1 c2 ⎠ c3 + c4 4.9 Útgerjesztés – gerjesztés rugón / csillapításon keresztül Útgerjesztés: a gerjesztés nem erővel/nyomatékkal történik, hanem a rezgőrendszer adott pontját (pontjait) előírt módon, időben periodikusan mozgatjuk, vagy a rezgőrendszer adott merev testét (testeit) előírt módon, időben periodikusan forgatjuk. a) Gerjesztés rugón keresztül: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 58 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom c m Vissza ◄ 59 ► k y = y (t ) y g = y g 0 sin(ωt

+ ε ) A mozgásegyenlet felírásánál abban van az eddigiektől eltérés, hogy a Qc általános visszatérítő erőt és a Qg általános gerjesztő erőt nem tudjuk egymástól függetlenül kezelni. 2 1 ⎡ y − yg (t ) ⎤⎦ A rugóenergia: U = ⎣ . 2 c Az általános visszatérítő erő és az általános gerjesztő erő összege: y (t ) dU y 1 = − 2( y − y g ) = − + − g . Q = Qc + Qg = − 2c dy c c Qc ( y ) Qg (t ) y (t ) 1 y= g . c c b) Gerjesztés csillapításon keresztül: A mozgásegyenlet: my + ky + c m y = y (t ) k y g = y g 0sin (ωt + ε ) y g = ωy g 0cos(ωt + ε ) A mozgásegyenlet felírásánál abban van az eddigiektől eltérés, hogy a Qk általános csillapító erőt és a Qg általános gerjesztő erőt nem tudjuk egymástól függetlenül kezelni. A csillapító erő és a gerjesztő erő összege: F = Fk + Fg = − kvd = − k ( y − yg ) = − k y + − k yg (t ) . Fk ( y ) Fg (t ) 1 y = k yg (t ) . c c) Gyakorló feladatok

útgerjesztésre: A mozgásegyenlet: my + ky + A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 59 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 60 ► 4.91 példa Gerjesztett csillapított rezgőrendszer Adott: Az m tömegű merev henger és m, R, k, yg (t ) = yg 0 sin(ωt + ε ) . c1 , c2 , Feladat: a) A rezgőrendszer mozgás egyenletének felírása a henger kis szögelfordulása esetén. y m b) A redukált rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. Kidolgozás: y g = y g 0sin (ωt + ε ) B A RC c1 x c2 k R R R R 2 2 2 2 Általános koordinátaválasztás: q = ϕ - szögelfordulás, q = ϕ = ω - szögsebesség, q = ϕ = ε - szöggyorsulás. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc + Qg + Qk . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂ϕ 1 1⎛1 1 ⎞ J sω 2 = ⎜ mR 2 ⎟ ϕ 2 = mrϕ 2 2 2⎝2 2 ⎠ A rezgőrendszer

q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó redu⎛1 ⎞ kált, vagy általános tömege: mr = ⎜ mR 2 ⎟ . ⎝2 ⎠ A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E ∂E = = 0. = = mrϕ , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = mrϕ , dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂q ∂ϕ ∂q ∂ϕ A rugóban felhalmozott energia: A rendszer kinetikai energiája: E = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 60 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 61 ► 2 ⎛R ⎞ ϕ 2 2 2 1 f1 1 f 2 1 ( Rϕ − y g ) 1 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ . U= + = + 2 c1 2 c2 2 2 c2 c1 Az általános visszatérítő erő és gerjesztő erő meghatározása: Rϕ − yg ∂U ∂U R2 ϕ= =− =− Q=− R− 4c2 c1 ∂q ∂ϕ ⎛ R2 R2 ⎞ R 1 = −⎜ + ⎟ ϕ + y g (t ) = − ϕ + Qg (t ) . c1 cr ⎝ c1 4c2 ⎠ Qg Qc A rezgőrendszer

q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó cr 1 ⎛ R2 R2 ⎞ redukált rugóállandója: =⎜ + ⎟. cr ⎝ c1 4c2 ⎠ R Az általános gerjesztő erő: Qg = y g (t ) . c1 Az általános csillapító erő meghatározása: Qk = Fk ⋅ β B . R ⎛ R ⎞ Fk = − kvd = − k vd j = − k ⎜ − ϕ ⎟ j = k ϕ j , 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛ R ⎞ ∂⎜− ϕ j ⎟ ∂ vB R R2 2 ⎝ ⎠ ϕ = − kr ϕ . βB = = = − j , Qk = Fk ⋅ β B = − k 4 2 ∂ϕ ∂yB A rezgőrendszer q = ϕ általános koordinátaválasztáshoz tartozó kr R2 . 4 Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára ⎛ R2 R2 ⎞ R2 R ⎛1 2⎞ rendezve: vagy + ⎟ ϕ = y g (t ) , ⎜ mR ⎟ ϕ + k ϕ + ⎜ 4 c1 ⎝2 ⎠ ⎝ c1 4c2 ⎠ redukált, vagy általános csillapítási tényezője: kr = k mrϕ + krϕ + 1 R ϕ = yg (t ) . cr c1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄

61 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 62 ► 1 A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: mr q + kr q + q = Qg (t ). cr Qg (t ) kr mr A redukált rezgőrendszer: q(t ) cr 4.92 példa Gerjesztett csillapított rezgőrendszer Adott: Az m tömegű merev test (jármű) és m, k, c , yg (t ) = yg 0 sin(ωt + ε ) . y m y (t ) S x Feladat: a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a henger kis szögelfordulása esetén. k b) A redukált rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. c y g = y g 0 sin(ωt + ε ) Kidolgozás: Általános koordinátaválasztás: q = y - elmozdulás, q = y = v - sebesség, q = y = a - gyorsulás. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qc + Qk + Qg . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂y ⎠ ∂y 1 1 1 A rendszer kinetikai energiája: E = mv 2 = my 2 = mr y 2 . 2 2 2 A rezgőrendszer q = y általános

koordinátaválasztáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: mr = m . A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: ∂E ∂E d ⎛ ∂E ⎞ d ⎛ ∂E ⎞ ∂E ∂E = = 0. = = mr y , ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = mr y , dt ⎝ ∂q ⎠ dt ⎝ ∂y ⎠ ∂q ∂y ∂q ∂y A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 62 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 63 ► 1 ( y − yg ) . c 2 Az általános visszatérítő erő és a gerjesztő erő egyik részének meghatá∂U ∂U y yg (t ) rozása: Q = − =− =− + ∂q ∂y c c Qc Qg1 2 A rugóban felhalmozott alakváltozási energia: U = Az általános csillapító erő és a gerjesztő erő másik részének meghatározása: Qk = Fk ⋅ β = − kvd ⋅ j = − k vd = − k ( y − yg ) = − k y + k yg (t ) . Qk Qg 2 Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a

mozgásegyenletbe és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára 1 1 rendezve: my + k y + y = yg (t ) + k yg (t ) . c c Qg (t ) A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: 1 Qg (t ) mq + kq + q = Qg (t ). c A redukált rezgőrendszer: cr kr mr q(t ) 4.93 példa Gerjesztett csillapított rezgőrendszer Adott: Az m tömegű merev prizmatikus rúd és m, a, R, k, c , yg (t ) = yg 0 cos(ωt + ε ) . Feladat: y a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a rúd kis szögelfordulása esetén. B b) A helyettesítő rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása. c α a k S m A x a y g = yg 0sin(ωt + ε ) y g = ωy g 0 cos(ωt + ε ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 63 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 64 ► Megoldás: Általános koordinátaválasztás: q = ϕ - a rúd

szögelfordulása. a) Mozgásegyenlet: a 2 cos 2 α ⎛4 2⎞ 4 ma 4 a k ϕ + ϕ + ϕ = 2akω yg 0 sin(ωt + ε ) . ⎜ ⎟ c ⎝3 ⎠ 1 a 2 cos 2 α ⎛4 2⎞ 2 b) A redukált jellemzők: mr = ⎜ ma ⎟ , kr = 4a k , = , cr c ⎝3 ⎠ Qg (t ) = 2akω yg 0 sin(ωt + ε ) . 4.10 A rugó tömegének redukálása Ha a rugó (rugalmas elem) tömege a rendszerhez tartozó többi alkatrész (test) tömegéhez képest nem elhanyagolhatóan kicsi, akkor a rugó tömegét is figyelembe kell venni a rendszer kinetikai energiájának számításánál. a) Longitudinális rugó tömegének redukálása: l – a rugó hossza, l m y µ – a rugó dη hosszúságú szakaszának fajlagos tömege (elemi töy (t ) η dη meg), x η – a µ dη elemi tömeg sebessége, y – a rugó végének sebessége. l A rugó kinetikai energiája: Er = 1 (η ) 2 µ dη . 2 η∫=0 Feltételezzük, hogy a sebesség változása a rugó hossza mentén lineáris: η = η ⇒ η= η y. l y l Ezt

behelyettesítve a kinetikai energiába: l l 1 η2 1 y 2 ⎡η 3 ⎤ 1 µ l 1 mr 2 = Er = ∫ µ 2 ( y ) 2 dη = µ 2 ⎢ ⎥ = y 2 y . 2 η =0 l 2 l ⎣ 3 ⎦η =0 2 3 2 3 A rezgőrendszer redukált mozgási energiája: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 64 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 65 ► m ⎞ 1 2 1 mr 2 1 ⎛ my + y = ⎜ m + r ⎟ y2 . 2 2 3 2⎝ 3 ⎠ b) Tengely, mint torziós rugó tehetetlenségének redukálása: m,Js Θ z - a rugó d ζ hosszúsál z gú szakaszának z tengelyre Φ számított fajlagos tehetetlenséζ dζ gi nyomatéka, J s – a merev tárcsa (fogaskerék) z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka ϕ – a d ζ hosszúságú szakasz szögsebessége, Φ – a rugó (tengely) végének szögelfordulása, Φ – a rugó (tengely) végének szögsebessége. l 1 A rugó (tengely) kinetikai

energiája: Er = ∫ Θ z (ϕ ) 2 d ζ . 2 ζ =0 E= Feltételezzük, hogy a szögsebesség változása a rugó hossza mentén ϕ = ζ ϕ= ζ Φ. Φ l l Ezt behelyettesítve a kinetikai energiába: lineáris: ⇒ l l Θ l 1 J zr 2 1 ζ2 1 1 Φ2 ⎡ζ 3 ⎤ Φ . Er = ∫ Θ z 2 (Φ ) 2 d ζ = Θ z 2 ⎢ ⎥ = Φ 2 z = l l ⎣ 3 ⎦ζ =0 2 2 ζ =0 2 3 2 3 J zr – a rugó (tengely) z tengelyre számított tehetetlenségi nyomaté- ka. A rezgőrendszer mozgási energiája: J ⎞ 1 1 J zr 2 1 ⎛ Φ = ⎜ J s + zr ⎟ Φ 2 . E = J sΦ2 + 2 2 3 2⎝ 3 ⎠ c) Lemezrugó tömegének redukálása: l µ – a lemezrugó d ζ hosszúságú y ζ dζ szakaszának fajlagos tömege m z (elemi tömeg), η – a d ζ hosszúságú szakasz lehajη (t ) y (t ) lása, η – a d ζ hosszúságú szakasz sebessége, y – a lemezrugó végének lehajlása, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 65 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek

mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 66 ► y – a lemezrugó végének sebessége. l A lemezrugó kinetikai energiája: Er = 1 µ (η ) 2 dζ . 2 ζ ∫=0 A rugóvégre ható Fy = −1 kN erőhöz tartozó hajlító nyomaték függvény: M hx = 1(l − ζ ) kNm. A rugalmas szál differenciál egyenlete: I x Eη ′′ = I x E d 2η = (l − ζ ) . dζ 2 A differenciál egyenletet kétszer integrálva: dη ζ2 ζ2 ζ3 = lζ − + c1 , I x Eη (ζ ) = l I x Eη ′ = I x E − + c1ζ + c2 . dζ 2 2 2⋅3 A megoldásban szereplő c1 és c2 állandók peremfeltételekből (befogás a rugó bal oldali végén) határozhatók meg: η ′(ζ = 0) = 0 = c1 , η (ζ = 0) = 0 = c2 . A rugóvégre ható Fy = −1 kN erőhöz tartozó lehajlás (y irányú elmozdulás) függvény: η (ζ ) = 1 ζ2 ζ (l − ) . IxE 2 3 l3 3I x E Feltételezzük, hogy a sebességek aránya a rugó hossza mentén azonos a kitérések arányával: 1

ζ2⎛ ζ ⎞ l− 2 η η I x E 2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3ζ 2 ⎛ ζ ⎞ 9ζ 2 ⎛ ζ ⎞ 2 2 = = = 3 ⎜l − ⎟ ⇒ η = 6 ⎜l − ⎟ y . l3 2l ⎝ 3 ⎠ y y 4l ⎝ 3 ⎠ 3I x E Ezt behelyettesítve a lemezrugó kinetikai energiájába: l l 1 1 9µ 2 2 ζ2⎞ 2 4⎛ 2 Er = ∫ µ (η ) d ζ = y ζ l l ζ − + ⎜ ⎟dζ = 2 ζ =0 2 4l 6 ζ ∫=0 ⎝ 3 9 ⎠ Ebből meghatározható a lemezrugó rugóállandója: cl = ζ =l 9 µ ⎡ζ 5 ζ6 ζ7⎤ 9 ⎛1 1 1 ⎞ = 6 y 2 ⎢ l 2 − l + ⎥ = µl y 2 ⎜ − + ⎟ . 8l 9 63 ⎦ζ =0 8 ⎝ 5 9 63 ⎠ ⎣5 mr 0,10476 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 66 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 67 ► Vissza ◄ 67 ► mr - a lemezrugó tömege. A rezgőrendszer redukált mozgási energiája: m ⎞ 1 1 mr 2 1 ⎛ E ≅ my 2 + y = ⎜ m + r ⎟ y2 . 2 2 4, 24 2⎝ 4, 24 ⎠ A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 68 ► 5. Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása Az egyszabadságfokú rezgőrendszerek mindig visszavezethetők az alábbi redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszerre: Qg (t ) = Qg 0sin (ωt + ε ) mr kr q(t ) A redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszer mozgásegyenlete: cr mr q + kr q + 1 q = Qg 0 sin(ωt + ε ). cr Mivel minden egyszabadságfokú rezgőrendszer mozgása ezzel a mozgásegyenlettel adható meg, ezért ha elő tudjuk állítani ennek a megoldását, akkor az összes egyszabadságfokú rezgőrendszer mozgását meg tudjuk határozni. a) Áttérés komplex változóra: Vezessünk be egy olyan z = z (t ) komplex változót, amelynek az imaginárius része a keresett q = q (t ) függvény: z = z (t ) = x(t ) + iq (t ) = x + iq .

A z komplex változó bevezetés csak segédeszköz, bennünket a továbbiakban is mindig csak a q (t ) = Im [ z (t ) ] függvény érdekel, az x(t ) = Re [ z (t ) ] függvénnyel nem foglalkozunk. b) A mozgásegyenlet átalakítása: Írjuk fel a mozgásegyenletet az x = x(t ) változóra is: mr x + kr x + mr q + kr q + 1 x = Qg 0 cos(ωt + ε ) , cr 1 q = Qg 0 sin(ωt + ε ) , / i . cr A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 68 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 69 ► A második egyenletet megszorozva az i imaginárius egységvektorral és az egyenleteket összeadva a mozgásegyenlet z komplex változós alakját kapjuk: mr z + kr z + 1 z = Qg 0 [ cos(ωt + ε ) + i sin(ωt + ε ) ] , cr ei (ωt +ε ) = eiωt eiε mr z + kr z + ω q i P0 ε Qg 0 x 1 z = Qg 0 eiε eiωt = P0 eiωt . cr A komplex gerjesztő

erő: P0eiωt . A gerjesztő erő komplex P0 = Qg 0 eiε . amplitúdója: A gerjesztő erő amplitúdója (a komplex amplitúdó abszolút értéke): Qg 0 = P0 . A komplex gerjesztő erő ω szögsebességgel forog óramutató járásával ellentétes irányban az xq komplex síkon. A következőkben az mr z + kr z + 1 z = P0 eiωt cr közönséges, másodrendű, inhomogén, komplex változós differenciálegyenlet megoldását állítjuk elő a matematikában tanult módon két rész összegeként: z (t ) = zh (t ) + z p (t ) homogén megoldás partikuláris megoldás 5.1 A homogén mozgásegyenlet megoldásának előállítása A homogén mozgásegyenlet: mr z + kr z + 1 z = 0. cr A homogén megoldás keresése: zh (t ) = xh (t ) + iqh (t ) = Aeiλt , ahol A = a + ib komplex állandó, λ valós, vagy komplex szám. A homogén megoldás mozgásegyenletben szereplő deriváltjai: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 69 ►

Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 70 ► zh = Aeiλt , zh = iλ Aeiλt = iλ zh , zh = −λ 2 Aeiλt = −λ 2 zh , ezeket a mozgásegyenletbe helyettesítve: ⎛ 1 Aeiλt ⎜ − mr λ 2 + ikr λ + cr ⎝ ⎞ ⎟ = 0. ⎠ Az egyenlet csak akkor állhat fenn, ha a zárójelben álló kifejezés eltűnik ⇒ karakterisztikus egyenlet: mr λ 2 − ikr λ − 1 = 0. cr A karakterisztikus egyenlet másodfokú algebrai egyenlet a λ változóra nézve. k 1 Átalakítás: λ 2 − r λ − = 0, ⇒ λ 2 − 2βλ − α 2 = 0 . mr cr mr 2β α2 A karakterisztikus egyenlet együtthatói: k 2β = r - a rezgőrendszer csillapítását jellemzi, mr 1 α2 = - a rezgőrendszer rugalmasságát jellemzi. cr mr A karakterisztikus egyenlet megoldása: λ1,2 = i 2β ± −4β 2 + 4α 2 = i β ± α 2 − β 2 = i β ±ν , 2 ahol ν = α 2 − β 2 - a csillapított szabad

rendszer körfrekvenciája. A karakterisztikus egyenlet gyökei (megoldásai): λ1 = iβ +ν és λ 2 = i β −ν . iλ1 = − β + iν és iλ 2 = − β − iν A homogén differenciálegyenlet általános megoldása: zh (t ) = A1 e − β t eiν t + A2 e− β t e− iν t ezzel foglalkozunk ezt a tagot elhagyjuk, mert A2 az xh (t )-re megadott kezdeti feltételből számítható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 70 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 71 ► Az idő monoton növekszik. Az első tagot meghagyjuk, mert a komplex vektor pozitív forgásirányú, a másodikat elhagyjuk, mert a komplex vektor negatív forgású. Tehát a homogén mozgásegyenlet általános megoldása: zh (t ) = (a + ib)e − β t eiν t . Ha ν valós mennyiség, akkor a zh a ν szögsebességgel forgó zh (t ) komplex vektor

nagysága, az idő exponenciális függvénye. Az a és b konstansok a qh (t ) -re megadott kezdeti feltételekből számíthatók. 5.2 A mozgásegyenlet partikuláris megoldásának előállítása Az inhomogén mozgásegyenlet: mr z + kr z + 1 z = P0 eiωt . cr A partikuláris megoldás keresése: z p (t ) = x p (t ) + iq p (t ) = Beiωt . A partikuláris megoldás mozgásegyenletben szereplő idő szerinti deriváltjai: z p = Beiωt , z p = iω Beiωt = iω z p , z p = −ω 2 Beiωt = −ω 2 z p . Ezeket a mozgásegyenletbe helyettesítve: − mrω 2 z p + iω kr z p + 1 z p = P0 eiωt , cr ⎡ 1 ⎤ iω t iω ⎢ kr + iω mr + ⎥ z p = P0 e , iωcr ⎦ ⎣ Z ⇒ iω Z z p = P0 eiωt . A rezgőrendszer komplex ellenállása: Z = kr + iω mr + ⎛ 1 1 ⎞ = kr + i ⎜ ω mr − ⎟. iω cr ω cr ⎠ ⎝ A partikuláris megoldás: z p (t ) = P0 iωt e . iω Z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 71 ► Mechanika

Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 72 ► 5.3 A mozgásegyenlet általános megoldásának előállítása A mozgásegyenlet általános megoldása: z (t ) = zh (t ) + z p (t ) = Ae − β t eiν t + P0 iωt e . iω Z Ha ν valós mennyiség, akkor az általános megoldás két rezgés szuperpozíciójaként állítható elő. Az általános megoldásban szereplő mennyiségek: A = a + ib - két állandó, amelyek kezdeti feltételekből határozhatók meg, eiν t , eiωt - két forgó egységvektor, ν = α 2 − β 2 - a csillapított szabad rezgőrendszer körfrekvenciája, ω - a gerjesztés körfrekvenciája, P0 = Qg 0 eiε - a gerjesztő erő komplex amplitúdója ( ε fázisszög), ⎛ 1 ⎞ Z = kr + i ⎜ ω mr − ⎟ - a rezgőrendszer komplex ellenállása ω cr ⎠ ⎝ q 1 2π 2π ν Rezgésidők: Tν = , Tω = . iν t ν ω i e ν ω 1 x −1 Rezgési

frekvenciák: fν = , fω = . 2π 2π iωt e ω A rezgésidő mértékegysége: [s ] . −1 ⎡1 ⎤ A rezgési frekvencia mértékegysége: ⎢ =Hz ⎥ . ⎣s ⎦ ⎡ rad ⎤ . A körfrekvencia mértékegysége: ⎢ ⎣ s ⎥⎦ P Az általános megoldás: z (t ) = (a + ib)e − β t eiν t + 0 eiωt . iω Z Az általános megoldás idő szerinti első deriváltja: P z (t ) = (a + ib)(− β + iν )e− β t eiν t + 0 iω eiωt iω Z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 72 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 73 ► 5.4 A csillapítatlan szabad rendszer rezgései Csillapítatlan: a rezgőrendszerben nincs csillapító elem. Szabad: a rezgőrendszerben nincs gerjesztés. A csillapítatlan szabad rezgőrendszer helyettesítő modellje: cr mr kr = 0 ⇒ β = 0, Qg (t ) ≡ 0 . q = q(t ) A csillapítatlan szabad

rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenlete: mr z + 1 1 z = 0 , vagy z + α 2 z = 0 , ahol α 2 = , cr mr cr α – a csillapítatlan szabad rendszer saját körfrekvenciája. A mozgásegyenlet általános megoldása: z (t ) = Aeiλt = (a + ib)eiα t . Az általános megoldásban szereplő állandók meghatározása: z (t ) = (a + ib)eiα t , és z (t ) = iα (a + ib)eiα t = iα z (t ) . Kezdeti feltételek: q (t = 0) = q0 = y0 = Im [ z (t = 0) ] = b ⇒ b = y0 , q(t = 0) = q0 = v0 = Im [ z (t = 0) ] = α a ⇒ a = v0 α . Az állandókat behelyettesítve a komplex változós általános megoldásba: ⎛v ⎞ ⎛v ⎞ z (t ) = x ( t ) + iq ( t ) = ⎜ 0 + iy0 ⎟ eiα t = ⎜ 0 + iy0 ⎟ ( cos α t + i sin α t ) = ⎝α ⎠ ⎝α ⎠ ⎛v ⎞ ⎛v ⎞ = ⎜ 0 cos α t − y0 sin α t ⎟ + i ⎜ 0 sin α t + y0 cos α t ⎟ ⎝α ⎠ ⎝α ⎠ Bennünket a komplex változós általános megoldás képzetes része érdekel: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom Vissza ◄ 73 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom q(t ) = Im [ z (t ) ] = v0 α Vissza ◄ 74 ► sin α t + y0 cos α t . A megoldás szemléltetése (az elmozdulás, a sebesség és a gyorsulás időbeli változásának ábrázolása): z (t ) = (a + ib)eiα t , z (t ) = iα (a + ib)eiα t = iα z (t ) , z (t ) = −α 2 (a + ib)eiα t = −α 2 z (t ) . q q α z z } b = q0 a = v0 / α } ⋅⋅ z q (t ) v0 q0 x αt q (t ) = v (t ) a0 [ rad ] q (t ) = a (t ) A z (t ) komplex sebességvektor a z (t ) komplex elmozdulásvektorhoz képest 90o -kal van elforgatva az óramutató járásával ellentétes irányban. A z (t ) komplex gyorsulásvektor a z (t ) komplex sebességvektorhoz képest 90o -kal van elforgatva az óramutató járásával ellentétes irányban, azaz a z (t ) komplex elmozdulás-vektorral ellentétes fázisban van. A z (t

) komplex elmozdulás-vektor, a z (t ) komplex sebességvektor és a z (t ) komplex gyorsulásvektor egymáshoz mereven rögzítve α szögsebességgel végez forgó mozgást az xq komplex síkon. A z (t ) , z (t ) és z (t ) komplex vektorok függőleges tengelyre eső vetületei adják meg a rezgés q (t ) elmozdulás függvényét, v(t ) = q(t ) sebesség függvényét és a(t ) = q(t ) gyorsulás függvényét. 2 A rezgés amplitúdója: qmax ⎛v ⎞ = A = a + b = ⎜ 0 ⎟ + q02 . ⎝α ⎠ 2 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 74 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 75 ► 2 A legnagyobb sebesség: vmax ⎛v ⎞ = α A = α ⎜ 0 ⎟ + q02 = v02 + α 2 q02 . ⎝α ⎠ A legnagyobb gyorsulás: amax = α 2 A = α vmax = α v02 + α 2 q02 . A rugóban fellépő maximális erő: 2 ⎛v ⎞ Fmax = Fc max = cr

qmax = cr ⎜ 0 ⎟ + q02 . ⎝α ⎠ 5.5 A csillapított szabad rendszer rezgései Csillapított: a rezgőrendszerben van csillapító elem. Szabad: a rezgőrendszerben nincs gerjesztés. A csillapított szabad rezgőrendszer helyettesítő modellje: kr mr Qg (t ) ≡ 0 . cr q(t ) A csillapított szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenk 1 lete: mr z + kr z + z = 0 , vagy z + 2β z + α 2 z = 0 , ahol 2β = r és cr mr 1 α2 = . mr cr β – a rezgőrendszer csillapítását jellemző mennyiség, α – a csillapítatlan szabad rezgőrendszer saját körfrekvenciája. A mozgásegyenlet általános megoldása: z (t ) = Ae − β t eiν t = (a + ib)e( − β +iν )t , ahol A = a + ib - komplex állandó, ν = α 2 − β 2 - a csillapított szabad rezgőrendszer körfrekvenciája. Csillapított szabad rezgések esetén a csillapítás mértékétől függően három eset léphet fel: a) Rezgések alakulnak ki, ha α < β azaz, ha ν valós mennyiség. Ekkor az

általános megoldás: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 75 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza z (t ) = Ae( − β +iν ) t = Ae− β t eiν t = (a + ib) e− β t ⋅ ◄ eiν t 76 ► . ν szögsebességgel komplex amplitúdó forgó egységvektor A komplex sebességvektor: z (t ) = (a + ib)(− β + iν )e( − β +iν )t . Kezdeti feltételek: q (t = 0) = q0 = y0 = Im [ z (t = 0) ] = b ⇒ b = y0 , q (t = 0) = q0 = v0 = Im [ z (t = 0) ] = −bβ + aν ⇒ a= v0 ν + q0 β . ν β ⎛v ⎞ Tehát a komplex megoldás: z (t ) = ⎜ 0 + q0 + iq0 ⎟ e − β t eiν t . ν ⎝ν ⎠ A komplex sebességvektor: z (t ) = A (− β + iν ) e( − β +iν )t = D z (t ), D = − β + iν , komplex szám. D D = − β + iν = D0 e ⎛π ⎞ i ⎜ +ϑ ⎟ ⎝2 ⎠ q i ν ϑ , skalár D = β 2 +ν 2 e ⎛π ⎞ i

⎜ +ϑ ⎟ ⎝2 ⎠ D , β ϑ D0 tgϑ = ϑ+ β . ν ⎛π ⎞ i ⎜ +ϑ ⎟ ⎠ z (t ) = D z (t ) = D0 z (t ) e ⎝ 2 π 2 x a csillapítás mértékét jellemző szög. . ⎛π ⎞ A z (t ) és z (t ) komplex vektorok ⎜ + ϑ ⎟ szöget zárnak be egy⎝2 ⎠ mással. (Az összefüggésből látható, hogy z -ből a z az óramutató járásával ellentétes irányú, (90o + ϑ ) nagyságú elforgatással kapható) A z (t ) komplex elmozdulás vektor az xq komplex síkon logaritmikus spirálist ír le. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 76 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom q ◄ Vissza 77 ► q A ν zh = zh e iν t t =0 ⎫ ⎬b ⎭ x Ae− β t qh (t ) λt a −A A = a 2 + b2 . A legnagyobb kitérést nem a képzetes tengelyen kapjuk, hanem előtte ϑ szöggel. A csillapítás mértéke: logaritmikus

dekrementum. Vizsgájuk meg, hogy egy (tetszőleges) periódus alatt mennyit csökken a kitérés (elmozdulás). q Állítsuk elő a periódus kezdeq (t ) tén és a periódus végén fellépő kiz z (t ) q (t + T ) térés hányadosát: z (t + T ) α z (t + T ) x z (t ) Ae − β t eiν t 1 eβT = − β (t +T ) iν (t +T ) = − β T iν T = iν T z (t + T ) Ae e e e e 2π 2π A periódus idő (rezgésidő): ν = . ⇒ T= ν T Átalakítás: β 2π β 2π 2π β z (t ) eβT e ν e ν Ezt behelyettesítve a hányadosba: = iν T = 2π = i 2π = e ν . iν z (t + T ) e e e ν =1 Az ábra hasonló háromszögeiből: β 2π z (t ) q1 q(t ) z (t ) = = = =e ν . q2 q(t + T ) z (t + T ) z (t + T ) ⎛ 2π β ⎞ q1 β == ln ⎜ e ν ⎟ = 2π . q2 ν ⎝ ⎠ A rezgőrendszer csillapítására jellemző mennyiség. Logaritmikus dekrementum: Λ = ln A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 77 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek

mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 78 ► b) Nem alakulnak ki rezgések, ha α = β azaz, ha ν = 0 . Ekkor az általános megoldást z (t ) = Aeiλt alakban keressük. A karakterisztikus egyenlet megoldása: λ1 = λ 2 = i β A matematikából tanultak alapján az általános megoldás: z (t ) = ( A + Ct )e− β t , ahol A és C a kezdeti feltételekből meghatározható állandók. A megoldás ebben az esetben aperiodikus (nem periodikus) mozgást ír le. lim q = 0 ⇒ a mozgás „lecseng” (a kitérések nullához tartanak), előt ∞ jelváltás lehetséges. q q (t ) q0 t c) Nem alakulnak ki rezgések, ha α < β azaz, ha ν képzetes. Ekkor az általános megoldást z (t ) = Aeiλt alakban keressük. A karakterisztikus egyenlet megoldása: λ1,2 = i β ± i β 2 − α 2 = i (β ± µ ) . µ valós szám Az általános megoldás: z (t ) = A1e − ( β + µ )t + A2 e − ( β − µ ) t , ahol:

– Az A1 komplex állandó a q (t ) kitérés függvény kezdeti feltételeiből meghatározható meg. – Az A2 komplex állandó az x(t ) függvény kezdeti feltételeiből meghatározható, ezért z (t ) = A1e − ( β + µ )t . a megoldás második tagját elhagyjuk: A megoldás ebben az esetben is aperiodikus (nem periodikus) mozgást ír le: lim q = 0 ⇒ a mozgás „lecseng” (a kitérések nullához tartanak), t ∞ nincs előjelváltás. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 78 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 79 ► q q0 q (t ) t 5.6 Állandósult, gerjesztett rezgések A csillapított gerjesztett rezgőrendszer helyettesítő modellje: Qg = Qg (t ) mr kr cr q = q (t ) Szóhasználat: gerjesztett rezgés ≡ kényszerrezgés. A gerjesztett, csillapított rezgőrendszer differenciál

egyenletének általános megoldása: z (t ) = zh (t ) + z p (t ) = P0 iωt . e iω Z időben lecsengő állandósult rezgési rész rezgési rész Ae − β t eiν t + A továbbiakban csak a mérnöki szempontból érdekes állandósult rezgéseket (azaz a partikuláris megoldást) vizsgáljuk. a) Rezonancia kialakulása: Tapasztalat: Bizonyos gerjesztési frekvencia esetén a rezgőrendszerben nagyon nagy amplitúdójú rezgések lépnek fel. Feladat: Annak a gerjesztési frekvenciának a meghatározása, amelynél ez a jelenség (a rezonancia jelenség) fellép. Az állandósult gerjesztett rezgés megoldása (elmozdulás, vagy kitérés-függvénye): z (t ) ≈ z p (t ) = z g (t ) = P0 iωt P0 eiωt e = iω Z ⎡ ⎛ 1 ω i ⎢ kr + i ⎜ ω mr − f ω cr ⎝ ⎣ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ . f – az ω szögsebességgel forgó komplex elmozdulás (kitérés) vektor A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 79 ► Mechanika

Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 80 ► A rezgés amplitúdója (a legnagyobb kitérés): A = qmax = f . A következőkben matematikai átalakításokat hajtunk végre az f komplex elmozdulás vektoron: megszorozzuk a számlálót és nevezőt is cr -rel, majd a nevezőben a szögletes zárójelből kiemeljük mr -t: f = P0 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ iω ⎢ kr + i ⎜ ω mr − ⎟⎥ ω cr ⎠ ⎦ ⎝ ⎣ = cr P0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎥ k iω cr mr ⎢ r + iω + ⎢ mr iω cr mr ⎥ 1 ⎢ ⎥ β 2 ⎣ ⎦ α2 = f0 α cr P0 f 0α 2 = = . iω 2β + (−ω 2 + α 2 ) (α 2 − ω 2 ) + i 2βω 2 Jelölés: f 0 = cr P0 - a komplex gerjesztő erő amplitúdójának, mint statikus terhelésnek az alkalmazásakor fellépő komplex elmozdulás vektor. qst = f 0 = cr P0 = cr P0 = cr Qg 0 - a Qg 0 statikus (időben nem változó) erő hatására bekövetkező elmozdulás (kitérés). A qst

statikus kitérésre vonatkoztatott qmax maximális kitérés: qmax α2 f = = . qst f0 (α 2 − ω 2 ) 2 + 4β 2ω 2 A qmax maximális kitérés erőteljesen függ az ω gerjesztési körfrekvenciától! Új változó bevezetése: ξ = ω . α ω – a gerjesztés körfrekvenciája, α – a csillapítatlan szabad rendszer körfrekvenciája. A rezonancia görbe (rezonancia függvény): qmax 1 = qst β2 (1 − ξ 2 ) 2 + 4 2 ξ 2 α A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 80 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom qmax qst Vissza ◄ 81 ► β =0 β növekedés 1 ξ= ω α 1 Rezonancia: a ξ = 1 , azaz a ω = α = 1 esetben lép fel, ha a mr cr rendszer csillapítás mentes. Elnevezés: Az α a csillapítatlan rezgőrendszer saját, vagy rezonancia körfrekvenciája. – Ha nincs csillapítás, akkor az ω = α -nál végtelen nagy

elmozdulások lépnek fel. – Ha a β csillapítás növekszik, akkor ω = α -nál egyre kisebb elmozdulás maximumok alakulnak ki. – β növekedésével az elmozdulás maximumok egyre inkább csökkennek és távolodnak a ξ = 1 értéktől a ξ = 0 felé. Speciális eset (határeset): csillapítatlan rendszer: β = 0 (idealizált helyzet). A rezonancia görbe (rezonancia függvény): qmax qmax 1 1 = , = lim ∞. lim 2 2 qst (1 − ξ ) ξ 1 qst ξ 1 (1 − ξ 2 ) 2 A ξ = 1 , azaz az ω = α -nál végtelen nagy elmozdulások lépnek fel ⇒ a rezgőrendszer (a szerkezet) tönkremehet! A valóságos szerkezetekben mindig van kisebb, vagy nagyobb mértékű csillapítás, ezért végtelen nagy kitérések nem fognak fellépni. Viszont felléphetnek olyan nagy kitérések, amelyek a rendszer tönkremeneteléhez vezetnek A rezonancia jelenséget általában el kell kerülni! A rezonancia a rezgőrendszer elhangolásával kerülhető el: – Megváltoztatjuk a gerjesztés ω

körfrekvenciáját, vagy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 81 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 82 ► 1 sajátfrekvenciáját. mr cr a) Vektorábra: a t=0 időpontban ábrázoljuk a rezgést jellemző komplex mennyiségeket. q ω A gerjesztő erő komplex amplitúdója a vízszintes tengellyel ε szöget zár Z P0 be: P0 = Qg 0 eiε = Qg 0 ( cos ε + i sin ε ) . x ψ ε – Megváltoztatjuk a rezgőrendszer α = zg = A P0 ψ π / 2 iω Z P0 i A gerjesztő erő amplitúdója: P0 = Qg 0 . A rendszer komplex ellenállása: ⎛ 1 ⎞ Z = kr + i ⎜ ω mr − ⎟. ω c r ⎠ ⎝ komplex ellenállás vízszintes tengellyel bezárt szöge: 1 ω mr − ⎛ ω cr 1 ⎞ tgψ = . Az Im ( Z ) = ⎜ ω mr − ⎟ lehet pozitív és negatív kr ω c r ⎠ ⎝ érték is: ⇒ a ψ > 0 , ψ < 0 és ψ = 0 eset is

előfordulhat. P A komplex kitérés: z g (t = 0) = 0 . A komplex kitérés a komplex iω Z gerjesztő erőhöz képest ϕ szöget késik ( ϕ szöggel van elforgatva az ω irányával szemben). A fáziskésés szöge: ϕ = π π 2 +ψ . A komplex kitérésben az i -vel való -vel, a Z -vel való osztás további ψ szöggel történő szögel2 fordulást okoz a P0 komplex gerjesztő erőhöz képest, az óramutató járásával megegyező irányban. A P0 komplex gerjesztő erő és a z g komplex kitérés egymáshoz osztás képest mereven rögzítve ω szögsebességgel forog (az óramutató járásával ellentétes irányban). P P A komplex sebesség: z g (t = 0) = iω z g (t = 0) = iω 0 = 0 . iω Z Z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 82 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 83 ► A komplex sebesség 90o -ot

siet (az óramutató járásával ellentétesen el van forgatva 90o -kal) a komplex kitéréshez képest. A komplex gyorsulás: q ω z g (t = 0) = iω z g (t = 0) = −ω 2 z g (t = 0) . ω zg A komplex gyorsulás 180o -ot siet (az óraP0 mutató járásával ellentétesen el van forgatva 180o -kal) a komplex kitérésx ε ⋅ zg hez képest. ⋅ ω A komplex gyorsulás 90o -ot siet (az órazg mutató járásával ellentétesen el van forgatva 90o -kal) a komplex sebesω séghez képest. A P0 (t ) , z g (t ) , z g (t ) és z g (t ) komplex vektorok egymással bezárt szöge a rezgőmozgás során nem változik, mind a négy vektor ω szögsebességgel forog (az óramutató járásával ellentétes irányban). qg (t ) = Im ⎡⎣ z g (t ) ⎤⎦ . A gerjesztett rezgés kitérése: A gerjesztett rezgés sebessége: vg (t ) = qg (t ) = Im ⎡⎣ z g (t ) ⎤⎦ . A gerjesztett rezgés gyorsulása: ag (t ) = qg (t ) = Im ⎡⎣ z g (t ) ⎤⎦ . A gerjesztett rezgés kitérését,

sebességét és gyorsulását az ω szögsebességgel forgó z g (t ) , z g (t ) és z g (t ) komplex vektorok függőleges tengelyre eső vetülete adja meg. A gerjesztett rezgést jellemző mennyiségek maximális értékei: Qg 0 P . – Maximális kitérés: qg max = 0 = 2 ωZ ⎛ 1 ⎞ ω kr2 + ⎜ ω mr − ⎟ ω cr ⎠ ⎝ – Maximális sebesség: vg max = qg max = ω qg max . – Maximális gyorsulás: ag max = qg max = ω 2 qg max . – A rugóban fellépő maximális erő: Fc max = qg max cr . – A csillapításban fellépő maximális erő: Fk max = kr qg max = krω qg max . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 83 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 84 ► 5.7 Gépek, berendezések rezgésszigetelése Rezgésszigetelés: Olyan konstrukció kialakítása, amelynél a periodikus gerjesztés hatására

fellépő rezgések amplitúdója egy előírt határérték alatt marad. A rezgésszigetelés mindig csak egy gerjesztő frekvenciára érvényes! Alapvető rezgésszigetelési feladatok: (a) Aktív rezgésszigetelés: A gép keltette rezgésektől szeretnénk megvédeni (megkímélni) a környezetet. Pl Egy jármű motorjának járásából származó rezgések, ne adódjanak át (csak csökkentett mértékben adódjanak át) a járműszerkezetre (karosszériára, ülésekre, stb.) (b) Passzív rezgésszigetelés: A gépet, berendezést szeretnénk megvédeni a környezetből származó rezgésektől. Pl Egy üzemcsarnokban működő megmunkáló gépek keltette rezgések ne adódjanak át (csak csökkentett mértékben adódjanak át), a szintén az üzemcsarnokban használt mérőműszerre. A rezgésszigetelés megvalósítása: mindkét esetben azonos: csillapított rugalmas ágyazást (alapozást) kell alkalmazni. Villanymotor rezgésszigetelése: m – a gép (villanymotor)

összes töq (t ) mege, mk – a forgórész kiegyenlítetlen tömege, q (t ) – a gép függőleges elmozdulása, m qk (t ) – a forgórész kiegyenlítetlen tömegének függőleges elmozdulása, c c c – a rugalmas ágyazás (alapozás) k k rugóállandója, k – a rugalmas ágyazás (alapozás) csillapítási tényezője. Gerjesztés: a forgórész kiegyensúlyozatlan tömegéből adódik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 84 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom t =0 y e ϕ A kiegyensúlyozatlan tömeg forgásából a gépre ható erő: Fk = mk R0ω 2 eR . ◄ Vissza Fk R0 85 ► eR mk x R0 – annak a körpályának a sugara, ameω lyen a kiegyensúlyozatlan tömeg a géphez képest mozog. A kiegyensúlyozatlan mk tömeg függőleges relatív elmozdulása, sebessége és gyorsulása a géphez képest, ha a mozgás a

körpálya felső pontjából indul: qk (t ) = R0 cos ωt , qk (t ) = −ω R0 sin ωt , qk (t ) = −ω 2 R0 cos ωt . A gépre ható függőleges irányú tehetetlenségi erő: Fk y = −mk q k = mk ω 2 R0 cos ωt . A kiegyensúlyozatlan mk tömeg mozgásjellemzői: qS (t ) = q (t ) − qk (t ), qS (t ) = q (t ) − qk (t ), qS (t ) = q (t ) − qk (t ) . A gépre ható gerjesztő erő: Fg (t ) = −mk [ q(t ) − qk (t )] . A gép, mint egyszabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenlete: 1 mr q + kr q + q = − mk [ q(t ) − qk (t ) ] , cr 1 (mr + mk )q + kr q + q = − mk R0ω 2 cos ωt . cr A rezgőrendszer mr , kr és cr redukált jellemzőit a korábban tanultak szerint állítjuk elő (ezt itt nem részletezzük). A differenciál egyenletet megoldva az állandósult esetet (partikuláris megoldást) vizsgáljuk. Ebből meghatározható a csillapított rugalmas ágyazásról (alapozásról) az ágyazás alatti befalazásra, azaz a környezetre ható Fa erő. A

rezgésszigetelés jósága (a rezgésszigetelés mértéke) a környezetre átadódó Fa erő maximumának és az Fg gerjesztő erő maximumának hányadosával jellemezhető: Fa max Fg max = 1 + 4β 2ξ 2 (1 − ξ ) 2 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom + 4β 2ξ 2 Vissza ◄ 85 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Fa max β növekedés β növekedés 1 1 2 ◄ 86 ► A hányadosban szereplő válto- β =0 Fg max Vissza zó ξ = ω . α Ez a hányados a ξ függvényében a β csillapításra jelω ξ= lemző paramétertől függő α görbe sereget szolgáltat. A görbeseregből az alábbi következtetések vonhatók le: – Ha ξ < 2 , akkor nincs rezgésszigetelés. – Ha ξ > 2 , akkor van rezgésszigetelés. Ezen belül akkor a legjobb a rezgésszigetelés, ha nincs csillapítás ( β = 0 eset). A β

csillapítás növekedése a rezgésszigetelés jóságát (mértékét) rontja. Megjegyzés: Csillapításra azért van szükség, hogy a ξ < 2 tartományban ne lépjenek fel túlságosan nagy (vagy akár határesetben ∞ nagy) amplitúdójú rezgések, amelyek a szerkezet tönkremeneteléhez vezetnek. Mérnöki feladat: a megfelelő kompromisszum, azaz a megfelelő β csillapítási érték megtalálása. 5.8 Gyakorló feladatok egyszabadságfokú rezgőrendszerek megoldására 5.81 példa Szabad csillapítatlan rezgőrendszer Adott: c0 = 2 ⋅10−2 mm/N, m0 = 20 kg, y0 = 4 mm, v0 = 0,15 m/s. y = y (t ) m0 c0 µ =0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 86 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 87 ► Feladat: a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása. b) A

mozgásegyenlet megoldásának előállítása. c) A rezgés amplitúdójának meghatározása. d) A maximális rugóerő meghatározása. Kidolgozás: a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása: 1 1 104 rad 2 α2 = = = = , 2500 m0 c0 2 ⋅10−5 ⋅ 20 4 s2 α = 2500 = 50 rad/s . α 50 α = 2π fα ⇒ fα = = ≅ 7,94 Hz . 2π 6, 283 2π 2π 1 6, 283 ⇒ Tα = = = ≅ 0,126 s . α= Tα α fα 50 b) A mozgásegyenlet megoldása: z (t ) = (a + ib)eiα t , z (t ) = iα (a + ib)eiα t . Kezdeti feltételek: t = 0 Im [ z (0) ] = b = y0 ⇒ b = y0 = 4 mm, Im [ z (0) ] = α a = v0 ⇒ a= v0 α z (t ) = (a + ib)(cos α t + i sin α t ) = = 150 = 3 mm. 50 = (a cos α t − b sin α t ) + i (b cos α t + a sin α t ). v y (t ) = Im z (t ) = b cos α t + a sin α t = y0 cos α t + 0 sin α t . y (t ) = [ 4 cos 50t + 3sin 50t ] mm. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom α Vissza ◄ 87 ► Mechanika

Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 88 ► c) A rezgés amplitúdójának meghatározása: 2 A = a 2 + b2 = ⎛v ⎞ y02 + ⎜ 0 ⎟ = 32 + 42 = 5 mm. ⎝α ⎠ d) A maximális rugóerő meghatározása: y 5 A = 250 N. Fc max = max = = c0 c0 2 ⋅10−2 5.82 példa Szabad csillapított rezgőrendszer Adott: m0 = 20 kg, c0 = 2 ⋅10−2 mm/N, k0 = 1600 Ns/m, y0 = 3 mm, v0 = 0,18 m/s. c0 Feladat: k0 m0 y = y (t ) a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása. b) Kialakul-e rezgés? c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása. d) A logaritmikus dekrementum meghatározása. e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása. Kidolgozás: a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása: 1 1 104 rad 2 2 α = = = = 2500 2 , α = 2500 = 50 rad/s , m0

c0 2 ⋅10−5 ⋅ 20 4 s A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 88 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom β= Vissza ◄ 89 ► k0 1600 Ns 1 = = 40 = 40 , 2m0 2 ⋅ 20 m kg s ν = α 2 − β 2 = 2500 − 1600 = 30 rad/s. ν 30 ν = 2π fν ⇒ fν = = ≅ 4, 77 Hz . 2π 6, 283 2π 2π 1 6, 283 ν= ⇒ Tν = = = ≅ 0, 209 s . ν Tν fν 30 b) Kialakul-e rezgés? α > β , ezért kialakul rezgés. c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása: z (t ) = (a + ib)e( − β +iν )t , z (t ) = iα (a + ib)(− β + iν )e( − β +iν )t , z (t = 0) = a + ib , z (t = 0) = iα (a + ib)(− β + iν ) = −(aβ + bν ) + i(aν − bβ ) , Kezdeti feltételek: t = 0 Im [ z (0) ] = b = y0 ⇒ b = y0 = 3 mm, v0 + β y0 180 + 3 ⋅ 40 = 10 mm. ν 30 z (t ) = (a + ib)e − β t eiν t = e − β t (a + ib)(cosν t + i sinν t ) = = eβ t

[ (a cosν t − b sinν t ) + i (b cosν t + a sinν t ) ] . Im [ z (0) ] = ν a − β b = v0 ⇒ a= = y (t ) = Im z (t ) = e − β t (b cosν t + a sinν t ) = e−40t (3cos 30t + 10sin 30t ) mm. d) A logaritmikus dekrementum meghatározása: y β 40 Λ = ln 1 = 2π = 6, 283 = 8,377 . ν y2 30 e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása: π β 40 Φ = + ϑ , tgϑ = = = 1,333, ϑ ≅ 53,13 o . 2 ν 30 5.83 példa Csillapítatlan gerjesztett rezgőrendszer Adott: m0 = 20 kg, c0 = 2 ⋅10 −2 mm/N, Fg = Fg 0 sin ωt c0 m0 y = y (t ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 89 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 90 ► Fg 0 = 300 N, ω = 100 rad/s. Feladat: a) A rendszer mozgásegyenlete általános megoldásának előállítása. b) A rezgőrendszer komplex ellenállásának meghatározása.

c) A rendszer sajátfrekvenciájának meghatározása. d) A gerjesztett rezgés maximális kitérésének (amplitúdójának) kiszámítása. e) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása. f) Mekkora ω gerjesztő frekvencia szükséges ymax = 10 mm-es kitérés előállításához? g) A gerjesztett rezgés vektorábrájának megrajzolása. h) A fáziskésési szög meghatározása. Kidolgozás: a) A rendszer mozgásegyenlete általános megoldásának előállítása: 1 A mozgásegyenlet: m0 z + z = Fg 0 eiωt . c0 F Az általános megoldás: z (t ) = zh (t ) + z g (t ) = Aeiα t + g 0 eiωt . iω Z y (t ) = Im z (t ) . b) A rezgőrendszer komplex ellenállása: ⎛ 1 ⎞ ⎛ 105 ⎞ kg . Z = k0 + i ⎜ ω m0 − ⎟ = i ⎜ 100 ⋅ 20 − ⎟ = i 1500 ω c0 ⎠ ⎝ 2 ⋅100 ⎠ s ⎝ =0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 90 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 91 ► c) A rendszer sajátfrekvenciájának meghatározása: 1 1 104 rad 2 α2 = = = = , α = 2500 = 50 rad/s . 2500 m0 c0 2 ⋅10−5 ⋅ 20 4 s2 d) A gerjesztett rezgés maximális kitérésének (amplitúdójának) kiszámítása: yst = c0 Fg 0 = 2 ⋅10−2 ⋅ 300 = 6 mm, ymax = ystα 2 (α 2 − ω 2 ) + 4ω 2 β 2 =0 2 = 6 ⋅ 2500 (2500 − 10000) 2 = 1,5 ⋅104 = 2 mm. 7500 e) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása. ymax 1 1 ω = = , ξ= . 2 2 α yst 2 2 (1 − ξ 2 ) + 4 αβ 2 ξ 2 (y1 − ξ ) max yst A megadott gerjesztésnél: ω 100 1,66 ξ0 = = = 2. α 50 1 A rezonancia görbéből: ω 1 ymax 1 ξ= (ξ 0 ) = . α 3 3 yst ξ1 1 ξ 2 ξ 0 = 2 f) Mekkora ω gerjesztő frekvencia szükséges ymax = 10 mm-es kitérés előállításához? ymax 1 1 10 = =± = = 1, 666 . 2 2 yst 1− ξ 6 1− ξ 2 ( ) yst y ⇒ ξ1,2 = 1 ∓ st . ymax ymax A feladatnak két megoldása van: 6 ξ1 = 1

− = 0, 4 = 0, 6325 ⇒ ω1 = αξ1 = 31, 623 rad/s. 10 1− ξ 2 = ± A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 91 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 92 ► 6 = 1, 6 = 1, 2649 ⇒ ω2 = αξ 2 = 63, 245 rad/s. 10 A megoldás szemléltetése a rezonancia görbén látható. ξ2 = 1 + g) A gerjesztett rezgés vektorábrájának megrajzolása: Fg 0 300 ⋅103 z = = −0, 2 mm. g z g (t = 0) = iω Z i 100(i 1500) z g (t = 0) = iω z g (t = 0) = −i 20 mm/s. z g (t = 0) = −ω 2 z g (t = 0) = 2000 mm/s 2 . y ω Fg 0 x zg zg h) A fáziskésési szög meghatározása: 1 ω m0 − ω c0 π ϕ = +ψ , tgψ = ∞, ψ = 90o , ϕ = 180o . 2 k0 5.84 példa Csillapított gerjesztett rezgőrendszer Fg = Fg (t ) Adott: m0 = 20 kg, c0 = 2 ⋅10−2 mm/N, k0 = 600 Ns/m, Fg 0 = 300 N, k0 m0 c0 y = y (t ) ω = 100 rad/s. Feladat:

a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása. b) A mozgásegyenlet általános megoldásának előállítása. c) A rezgőrendszer komplex ellenállásának meghatározása. d) A rezgőrendszer vektorábrájának megrajzolása. e) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása. g) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 92 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 93 ► Kidolgozás: a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása: 1 A mozgásegyenlet: m0 z + k0 z + z = Fg 0 eiωt . c0 A komplex kitérés: z (t ) = x(t ) + i y (t ) . b) A rezgőrendszer általános megoldásának előállítása: Fg 0 iωt z (t ) = zh (t ) + z g (t ) = Ae − β t eiν t + e . iω Z lecsengő rész c) A rezgőrendszer komplex ellenállása: ⎛ ⎛ 1 ⎞ 105 ⎞

Ns . = + ⋅ − Z = k0 + i ⎜ ω m0 − 600 i 100 20 ⎟ ⎜ ⎟ = 600 + i 1500 ω c0 ⎠ 2 ⋅100 ⎠ m ⎝ ⎝ d) A rezgőrendszer vektorábrájának megrajzolása: Fg 0 , z g (t = 0) = iω z g (t = 0) , z g (t = 0) = iω Z ω z g (t = 0) = −ω 2 z g (t = 0) , 1 ω m0 − ω c0 1500 = = 2,5 , tgψ = k0 600 ψ = 68, 2o , ϕ = π 2 +ψ = 158, 2o . y Z zg ψ x ψ P zg = 0 F g0 iω Z iω Fg 0 zg e) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása. ymax 1 ω = , ξ= . 2 α yst 2 (1 − ξ 2 ) + 4 β 2 ξ 2 α 1 1 104 rad 2 rad α = = = = 2500 2 , α = 2500 = 50 , −5 m0 c0 2 ⋅10 ⋅ 20 4 s s 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 93 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom β= k0 600 1 = = 15 , 2m0 40 s ymax (ξ = 1) = yst Vissza 1 2 4 = 15 502 ◄ 94 ► 50 5 = = 1, 666 . 2 ⋅15 3 ymax yst 1,66 1 0,31 ξ=

1 ω α 2 g) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása: ω 100 ξ0 = = = 2. yst = c0 Fg 0 = 2 ⋅10−5 ⋅ 300 = 6 ⋅10−3 m = 6 mm , α 50 yst 6 6 ymax = = = = 1,857 mm. 2 10, 44 β2 2 15 2 2 (1 − ξ0 ) + 4 α 2 ξ0 9 + 4 ⋅ 4 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 50 ⎠ ymax 1,857 (ξ = 2) = = 0,31 . 6 yst 5.85 példa Szabad csillapított rezgőrendszer c0 Adott: m0 = 4 kg, m0 c0 = 10−4 m/N, k0 = 320 Ns/m, y0 = 4 mm, v0 = 40 mm/s. y = y (t ) k0 Feladat: a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának meghatározása. b) Kialakul-e rezgés? c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása. d) A logaritmikus dekrementum meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 94 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 95 ► 95 ► e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása. Kidolgozás:

a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának meghatározása: 1 1 104 rad 2 α2 = = −4 = = 2500 2 , α = 2500 = 50 rad/s , m0 c0 10 ⋅ 4 4 s k 320 Ns 1 β= 0 = = 40 = 40 , 2m0 2 ⋅ 40 m kg s ν = α 2 − β 2 = 2500 − 1600 = 30 rad/s. b) Kialakul-e rezgés? α > β , ezért kialakul rezgés. c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása: z (t ) = (a + ib)e( − β +iν )t , z (t ) = iα (a + ib)(− β + iν )e( − β +iν )t , z (t = 0) = a + ib , z (t = 0) = iα (a + ib)(− β + iν ) = −(aβ + bν ) + i (aν − bβ ) , Kezdeti feltételek: t = 0 Im [ z (0) ] = b = y0 ⇒ b = y0 = 4 mm, v0 + β y0 40 + 40 ⋅ 4 = 6, 666 mm. 30 ν z (t ) = (a + ib)e − β t eiν t = e− β t (a + ib)(cosν t + i sinν t ) = = eβ t [ (a cosν t − b sinν t ) + i (b cosν t )a sinν t ) ] . Im [ z (0) ] = ν a − β b = v0 ⇒ a = = y (t ) = Im z (t ) = e− β t (b cosν t + a sinν t ) = = (4 cos 30t + 6, 66sin 30t )e−40t mm. d) A logaritmikus dekrementum

meghatározása: y β 40 Λ = ln 1 = 2π = 6, 283 = 8,377 . y2 30 ν A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 96 ► 96 ► e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása: π β 40 Φ = + ϑ , tgϑ = = = 1,333, ϑ ≅ 53,13 o , Φ ≅ 143,13 o. 2 ν 30 5.86példa Csillapított gerjesztett rezgőrendszer Adott: m0 = 2 kg, Fg = Fg (t ) −4 c0 = 2 ⋅10 m/N, k0 = 160 Ns/m, Fg 0 = 10 N, k0 m0 c0 ω = 100 rad/s. y = y (t ) Feladat: a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása. b) A mozgásegyenlet általános megoldásának előállítása. c) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása. d) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása. Kidolgozás: a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása: 1 A mozgásegyenlet: m0 z + k0

z + z = Fg 0 eiωt . c0 A komplex kitérés: z (t ) = x(t ) + i y (t ) . b) A rezgőrendszer általános megoldásának előállítása: z (t ) = zh (t ) + z g (t ) = Ae − β t eiν t + Beiωt ≈ Beiωt . elhanyagoljuk z g = iω z g , z g = iω z g = −ω 2 z g . Behelyettesítve a mozgásegyenletbe: Fg 0 ⎛ 1 ⎞ iωt 2 iωt . ⇒ B= ⎜ − m0ω + iω kr + ⎟ Be = Fg 0 e c0 ⎠ ⎛ 1 2⎞ ⎝ ⎜ iω kr + − m0ω ⎟ c0 ⎝ ⎠ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 97 ► c) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása: Fg 0 = ymax = B = 2 ⎛ 1⎞ ω 2 k02 + ⎜ m0ω 2 − ⎟ c0 ⎠ ⎝ = 10 1 ⎞ ⎛ 1002 ⋅1602 + ⎜ 2 ⋅1002 − ⎟ 2 ⋅10−4 ⎠ ⎝ 2 = 0, 456 mm. e) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása. yst = c0 Fg 0 = 2 ⋅10−4

⋅10 = 2 mm, ymax α =ω = α= Fg 0 ω k0 = 10 10−1 = = 0, 625 mm, 100 ⋅160 160 1 104 rad = = 50 . m0 c0 4 s ymax [ mm ] 2 0,625 0, 456 ω 50 [ rad/s] 100 5.87 példa Szabad csillapított rezgőrendszer Adott: m0 = 25 kg, c0 c0 = 10−4 m/N, k0 = 800 Ns/m, y0 = 4 mm, v0 = 32 mm/s. m0 k0 y = y (t ) Feladat: a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának meghatározása. b) Kialakul-e rezgés? c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 97 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 98 ► d) A logaritmikus dekrementum meghatározása. e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása. Megoldás: a) A rezgőrendszer körfrekvenciája: ν = 12 rad/s. b) α = 20 rad/s, β = 16 1/s, α > β , ezért kialakul rezgés. c) A mozgásegyenlet megoldása:

y (t ) = Im z (t ) = e− β t (b cosν t + a sinν t ) = (4 cos 30t + 8sin 30t )e−16t mm. d) A logaritmikus dekrementum: Λ = ln y1 = 8,377 . y2 e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög: Φ ≅ 143,13 o 5.88 példa Csillapított gerjesztett rezgőrendszer Adott: m0 = 4 kg, c0 = 4 ⋅10−4 m/N, k0 = 20 Ns/m, Fg 0 = 10 N, ω = 50 rad/s. Feladat: Fg = Fg (t ) c0 k0 m0 y = y (t ) a) A rezgőrendszer állandósult rezgéseinek felírása. b) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása. c) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása. Megoldás: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 98 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 99 ► a) A rezgőrendszer állandósult rezgései: Fg 0 z (t ) ≈ z g (t ) = Beiωt = eiωt . ⎛ 1 2⎞ ⎜ iω kr + − m0ω ⎟ c0 ⎝ ⎠ b) A

gerjesztett rezgés legnagyobb kitérése: ymax = 1,32 mm. c) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása: rad yst = 4 mm, ymax α =ω = 20 mm, α = 25 . s ymax [ mm ] 20 ω 4 25 [ rad/s] 50 5.89 példa Laval rotor Feladat Kritikus szögsebesség meghatározása Adott: Hosszú, rugalmas, könnyű, elhanyagolható tömegű tengely. Az állandó ω szögsebességgel forgó tengelyre középen m tömegű, J s tehetetlenségi nyomatékú tárcsa, h excentricitással van felékelve (a tengely és tárcsa súlypontja közötti távolság h ). Azzal a feltétellel élünk, hogy a tárcsa síkja az xy síkkal párhuzamos síkban mozog. A tengely középső pontjának elmozdulására vonatkozó rugóállandója c . y S ωt h y ω m, J s S z x A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 99 ► Mechanika Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének megoldása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 100 ► Megoldás A tengely középvonalának kitérése a tárcsa síkjában x és y. Ezzel a tárcsa súlypontjának xt és yt koordinátái xt = x + h cos ωt , illetve yt = y + h sin ωt . x y Alkalmazva Newton 2. törvényét mxt = − , illetve myt = − egyenc c 2 ⎫ d ( x + h cos ωt ) x + = 0⎪ m 2 ⎪ dt c let-rendszert kapjuk, ami részletesen kiírva ⎬ 2 d ( y + h sin ωt ) y + = 0 ⎪⎪ m 2 dt c ⎭ alakra vezet. A második egyenletet az imaginárius egységgel beszorozva az első egyenlethez adjuk, majd átrendezés és az eiωt = cos ωt + i sin ωt egyen1 letet is kihasználva m ( x + iy ) + ( x + iy ) = mhω 2 eiωt egyenletet kapjuk. c Az egyenletet m tömeggel végigosztva és bevezetve a z = x + iy komplex változót z + α 2 z = hω 2eiωt inhomogén másodrendű lineáris diffe1 renciálegyenlethez jutunk, ahol α 2 = a rendszer saját körfrekvencimc ája. Az inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldását z p = Beiωt alakban

keressük, z p = −ω 2 Beiωt . A differenciálegyenletbe helyettesítve ( −ω 2 + α 2 ) Beiωt = hω 2eiωt (ω ) B=h α 2 1 − ( αω ) egyenlethez jutunk, amelyből az 2 amlitúdóra összefüggést kapjuk. Könnyen belátható, hogy ω = α esetében az amplitúdó minden határon túl nő, így a kriti1 kus fordulatszám ωkr = . mc A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 100 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 101 ► 6. Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei 6.1 Másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletrendszer Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszeren merev testekből, tömegpontokból, és a köztük lévő súlytalan rugalmas elemekből (rugókból) felépített rendszert értünk, amely tartalmazhat még csillapításokat és gerjesztéseket is. Többszabadságfokú

a rendszer, ha a rendszert kölcsönösen és egyértelműen leíró koordinátáknak a száma nagyobb egynél. Többszabadságfokú diszkrét rendszerek mozgását általános koordinátákkal írjuk le. Az általános koordináták az időnek kétszer folytonosan deriválható függvényei, amelyeknek a száma megegyezik a rendszer szabadságfokával Vizsgáljunk egy N szabadságfokú diszkrét rendszert. A rendszert leíró általános koordináták, valamint idő szerinti első és második deriváltjaik az alábbiak: qi ( t ) , (i = 1, 2,3,.N ) az általános koordináták; qi ( t ) , (i = 1, 2,3,.N ) az általános koordinátasebességek; qi ( t ) , (i = 1, 2,3,.N ) az általános koordinátagyorsulások. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszert diszkrét tömegpontrendszerekre vezetjük be, majd általánosítjuk arra az esetre, ha a rendszer merev testeket is tartalmaz. Legyen az n tömegpontból álló rendszer N szabadságfokú ( n ≥ N ). Az i ( i = 1, 2,

. , n ) jelű tömegpont helyvektora az általános koordináták ri = ri ⎡⎣ q1 ( t ) , q2 ( t ) , . , qN ( t ) ⎤⎦ , ( i = 1, 2, . , n ) függvénye. Az i ( i = 1, 2, , n ) jelű tömegpont sebessége a helyvektor idő szerinti deriváltjából A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 101 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom vi = ∂ri dq1 ∂ri dq2 + + ∂q1 dt ∂q2 dt . + . + Vissza ∂ri dqN , ∂qN dt ◄ 102 ► ( i = 1, 2, . , n ) alakú, amely egyszerűen átírható vi = ∂ri ∂r q1 + i q2 + ∂q1 ∂q2 ∂ri qN , ∂qN ( i = 1, 2, . , n ) alakra, vagy még egyszerűbben N ∂ri q j = ∑ β ij q j , j =1 ∂q j j =1 N vi = ∑ ( i = 1, 2, . , n ) írható. Ha a q j általános koordinátasebesség éppen egységnyi, a többi koordinátasebesség pedig zérus, akkor az i jelű tömegpont vi sebessége

éppen β ij , amely vi q j =1 qk = 0, ha k ≠ j = β ij = ∂ri , ∂q j ( i = 1, 2, . , n ) , ( j, k = 1, 2,, N ) módon számítható. Az i ( i = 1, 2, , n ) jelű tömegpont vi sebességének az összefüggésből az is látszik, hogy β ij = ∂vi , ∂q j ( i = 1, 2, . , n ) , ( j = 1, 2, , N ) összefüggés is érvényes. Könnyen belátható, hogy β ij mennyiségnek a k jelű általános koordináta szerinti parciális deriváltjára igaz, hogy ∂βij ∂qk = ∂ 2 ri ∂ 2 ri ∂β = = ik , ∂qk ∂q j ∂q j ∂qk ∂q j illetve a β ij mennyiségnek az idő szerinti deriváltja β ij = ∂v d ∂ri = i . dt ∂q j ∂q j A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 102 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 103 ► Legyen az i jelű tömegpontra ható erők eredője Fi . Írjuk fel mindegyik tömegpontra

a Newton II törvényét, amely n egyenletből áll Ez mi ai = Fi , ( i = 1, 2, . , n ) , mi vi = Fi , ( i = 1, 2, . , n ) vagy más alakban egyenletrendszerre vezet. A fenti n egyenlet közül az első egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg β1k -val, a másodikat β 2 k -val, és így tovább az n-ediket β nk -val, és adjuk össze az egyenleteket. Amennyiben elvégezzük ezt N-szer, k = 1, 2, , N értékekre is, az alábbi, N db egyenletből álló egyenletrendszert kapjuk: n n i =1 i =1 ∑ mi vi ⋅ βik = ∑ Fi ⋅ βik , ( k = 1, 2, . , N ) Bevezetve a n Qk = ∑ Fi ⋅ β ik , i =1 k-adik általános erőt, és az egyenlet bal oldalát átalakítva, a n ∑ mi vi ⋅ βik = i =1 d ⎛ n ⎞ n ⋅ m v mi vi ⋅ βik = β ∑ i i ik ⎟⎠ − ∑ dt ⎜⎝ i =1 i =1 = ∂ ⎛ n 1 d ∂ ⎛ n 1 ⎞ 2⎞ − m v mi vi2 ⎟ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎜ dt ∂qk ⎝ i =1 2 ⎠ ∂qk ⎝ i =1 2 ⎠ összefüggést kapjuk, amelyek figyelembevételével a d ⎛ ∂E

⎞ ∂E = Qk , ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂qk ⎠ ∂qk ( k = 1, 2, . , N ) Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszerhez jutunk, ahol n 1 E = ∑ mi vi2 i =1 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 103 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 104 ► a (tömegpont) rendszer kinetikai energiája. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszer alakja nem változik akkor sem, ha a rendszerben merev testek is találhatók. A rendszer kinetikai energiáját a rendszerhez tartozó merev testek, tömegpontok kinetikai energiájának az összegeként állítjuk elő. Az ilyen rendszereknél a testek nyomatékokkal is terhelhetők, ezért az általános erő összefüggésében ezek hatását is figyelembe kell venni. Hasson a rendszerre Fi , (i = 1, 2, . , M ) erő, melyek támadáspontjainak a sebessége vi , (i = 1, 2, . , M

) , illetve a testekre M j , ( j = 1, 2, , L) nyomaték, mely testeknek a szögsebessége ω j , ( j = 1, 2, . , L) A rendszerben található erők és nyomatékok csak olyanok lehetnek, hogy azok nem függnek az általános koordinátasebességektől. A rendszerben található erők és nyomatékok teljesítménye ebben az esetben M L i =1 j =1 P = ∑ Fi ⋅ vi + ∑ M j ⋅ ω j összefüggéssel írható fel. A Qk általános erőt, merev testeket is, és a fenti feltételnek megfelelő erőket és nyomatékokat is tartalmazó rendszer esetében L ⎛M ⎞ ∂ ⎜ ∑ Fi ⋅ vi + ∑ M j ⋅ ω j ⎟ M L ∂P i =1 j =1 ⎠ = F ⋅ ∂vi + M ⋅ ∂ω j = = ⎝ Qk = ∑ ∑ j ∂q i ∂qk ∂qk ∂qk j =1 i =1 k M L i =1 j =1 = ∑ Fi ⋅ βik + ∑ M j ⋅ b jk , ( k = 1, 2, . , N ) összefüggésből számíthatjuk, ahol b jk = ∂ω j ∂qk a j jelű merev test egységnyi qk koordinátasebességhez tartozó szögsebessége. Az általános erőnek ilyen módon való

kiszámítása természetesen akkor is igaz, ha a rendszer nem tartalmaz merev testeket, de a rend- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 104 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 105 ► szerben található erők illetve nyomatékok a koordinátasebességektől függetlenek. Hasonlóan a 3.7 pontban leírtakhoz többszabadságfokú rezgőrendszerek esetén is az általános erő az általános koordináta, az általános koordinátasebesség és az idő függvénye a legáltalánosabb esetben. E tárgy keretein belül csak olyan rezgőrendszerekkel foglalkozunk, amelynél a k jelű általános koordinátához tartozó Qk általános erő Qk = Qk ( q1 , q2 , . , qn , t ) = Qck ( q1 , q2 , , qn ) + Qgk ( t ) + Q0 k , ( k = 1, 2, . , N ) módon három részből áll, amelyek közül Qck az általános visszatérítő erő, amely

csak az általános koordináták függvénye, Qgk az általános gerjesztő erő, amely csak az idő függvénye, illetve a konstans Q0k statikus általános erő, amiből a rendszer statikus egyensúlyi állapota, vagyis a rugók statikus előfeszítése határozható meg. A Q0k sorolható lenne az általános gerjesztő erőhöz, de a könnyebb kezelés, és a pontosabb tárgyalás miatt, ezt különválasztjuk. A rezgések a statikus egyensúlyi állapot körül alakulnak ki Többszabadságfokú rendszerek esetében nem foglalkozunk csillapításokkal, mivel ezek hatásának figyelembevétele nehézségekbe ütközik. A Qck általános visszatérítő erő más módon is kiszámítható. Tartalmazzon a vizsgált rendszerünk K darab rugót, amelyek közül az i jelű rugónak fi a megnyúlása, és ci a rugóállandója. A rugókban felhalmozódó rugalmas energiát az egyes rugókban felhalmozott energiák összege adja, vagyis 1 fi 2 U = ∑Ui = ∑ i =1 i =1 2 ci K K

összefüggés érvényes. Ezzel a Qk általános visszatérítő erőt negatív gradiens képzéssel a Qk = − ∂U ∂qk összefüggésből is számíthatjuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 105 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 106 ► Az is előfordulhat, hogy az általános erők között találunk olyanokat, amelyek az időtől nem függnek, konstans értékűek. Az ilyen esetben meghatározhatjuk a rendszer statikus állapotát. A rendszer statikus állapotának azt az állapotot tekintjük, amikor az egyensúly, az általános koordináták konstans értékei mellett teljesül. Statikus állapotban az időtől függő általános erőket zérusra választjuk, majd megoldjuk a mozgásegyenlet-rendszert csak a konstans általános erőkre és q = 0 , st illetve q = 0 , vagyis statikus értékekre. st 6.2

Láncszerű modell Láncszerű longitudinális rendszerek pl. a vasúti vontatásban fordulnak elő Az ábra egy vasúti szerelvény sematikus vázlata A mozdony és a vagonok a tömegek, illetve az ütközőkbe szerelt rugók a vagonok közötti kapcsolatot ábrázolják. Ennek a modelljét ábrázolja az alábbi ábra, amely egy longitudinális rezgőrendszer m1 m2 c12 q1 c23 q2 ⋅⋅⋅ mi ci −1,i ci ,i +1 qi ⋅⋅⋅ mN c N −1,N qN A longitudinális szó hosszirányút jelent, vagyis e rendszereknél az egyes tömegek csak a rugók irányába, azaz hosszirányba térnek ki. A rezgőrendszer mindegyik tömege csak legfeljebb a tömeget megelőző, és a tömeget követő taggal lehet rugóval összekötve, de egyik rugó sincs az állványhoz kötve. Az ilyen rendszereket nem kötött, láncszerű rendszereknek nevezzük. A rezgőrendszer N tömegpontból áll, amelyek az m1 , m2 , . , mi , , mN tömegpontok A rugók indexe kettős, amely az összekapcsolt

tömegpontok indexét tartalmazza. Az 1 és 2 jelű tömegpontok között a c12 jelű, az i-1 jelű és az i jelű tömegpontok között a ci −1,i jelű rugó található. A tömegpontok elmozdulásait rendre a q1 , q2 , . , qi , , qN általános koordinátákkal írjuk le. A tömegek száma itt a szabadságfokkal egyezik A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 106 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 107 ► meg. Valamennyi általános koordináta az időnek függvénye Az általános koordinátákat oszlopmátrixba rendezzük ⎡ q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎡q ⎤ = ⎢ . ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ qi ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ qN ⎥⎦ módon. Hasonlóan az általános koordinátasebességeket, és az általános koordinátagyorsulásokat is: ⎡ q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎡q ⎤ =

⎢ . ⎥ , ⎣ ⎦ ⎢ qi ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ qN ⎦⎥ ⎡ q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎡q ⎤ = ⎢ . ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ qi ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ qN ⎦⎥ A rendszer kinetikai energiája N 1 E = ∑ mi qi2 , i =1 2 a rugókban felhalmozódott rugalmas energia (q − q ) U= 2 1 2c12 + . 2 (q − q ) + 3 2 2 + . 2c23 ( q − qN −1 ) + N 2cN −1, N 2 N −1 =∑ i =1 (q − q ) + i i −1 2ci −1,i ( qi +1 − qi ) 2ci ,i +1 2 (q − q ) + i +1 i 2ci ,i +1 2 + 2 . Építsük fel a rendszer mozgásegyenlet-rendszerét! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 107 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 108 ► A k = 1 értékhez tartozó egyenlet baloldala d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = m1q1 , ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂q1 ⎠ ∂q1 ⎛ q −q ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ∂U q2 ⎟

, = − ⎜ 1 2 ⎟ = − ⎜ q1 − ∂q1 c12 ⎠ ⎝ c12 ⎠ ⎝ c12 1 1 és átrendezve, az egyenlet m1q1 + q1 − q2 = 0 c12 c12 alakú. d ⎛ ∂E ⎞ ∂E A k = 2 értékhez tartozó egyenlet baloldala ⎜ = m2 q2 , ⎟− dt ⎝ ∂q2 ⎠ ∂q2 a jobb oldala Qc1 = − a jobb oldala Qc 2 = − ⎛ q −q q −q ⎞ ∂U = −⎜ 2 1 + 2 3 ⎟ = ∂q2 c23 ⎠ ⎝ c12 ⎡ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎤ = − ⎢ − q1 + ⎜ + q3 ⎥ ⎟ q2 − c23 ⎥⎦ ⎢⎣ c12 ⎝ c12 c23 ⎠ és átrendezve, az egyenlet m2 q2 − , ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 q1 + ⎜ + q3 = 0 ⎟ q2 − c12 c23 ⎝ c12 c23 ⎠ alakú. Az i-edik egyenlet baloldala d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = mi qi , ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qi a jobb oldala Qci = − ⎛q −q q −q ⎞ ∂U = − ⎜ i i −1 + i i +1 ⎟ = ⎜ c ci ,i +1 ⎟⎠ ∂qi ⎝ i −1,i ⎡ 1 ⎤ ⎛ 1 1 ⎞ 1 qi −1 + ⎜ qi − qi +1 ⎥ , = − ⎢− + ⎟ ⎜c ⎟ ci ,i +1 ⎝ i −1,i ci ,i +1 ⎠ ⎣⎢ ci −1,i ⎦⎥ és átrendezve, az egyenlet

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 108 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom mi qi − 1 ci −1,i Vissza ◄ 109 ► ◄ 109 ► ⎛ 1 1 ⎞ 1 qi −1 + ⎜ qi +1 = 0 + ⎟⎟ qi − ⎜c c c i ,i +1 ⎠ i ,i +1 ⎝ i −1,i alakú. Az N-edik egyenlet baloldala d ⎛ ∂E ⎜ dt ⎝ ∂qN ⎞ ∂E = mN qN , ⎟− ⎠ ∂qN a jobb oldala ⎛ q − qN −1 ⎞ ⎡ ⎤ 1 1 ∂U qN −1 + qN ⎥ , = −⎜ N = − ⎢− ⎟ ⎜ c ⎟ ∂qN cN −1, N ⎝ N −1, N ⎠ ⎣⎢ cN −1, N ⎦⎥ 1 1 és átrendezve, az egyenlet mN qN − qN −1 + qN = 0 cN −1, N cN −1, N alakú. Összeszedve az egyes egyenleteket az QcN = − 1 1 ⎫ q1 − q2 = 0 ⎪ c12 c12 ⎪ ⎪ ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 + m2 q2 − q1 + ⎜ q3 = 0 ⎪ ⎟ q2 − c12 c23 ⎝ c12 c23 ⎠ ⎪ ⎪ . ⋅ ⎪ . ⎪ ⎬ ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 mi qi − qi −1 + ⎜ qi +1 = 0

⎪ + ⎟⎟ qi − ⎪ ⎜ ci −1,i ci ,i +1 ⎝ ci −1,i ci ,i +1 ⎠ ⎪ . ⎪ ⋅ ⎪ . ⎪ 1 1 mN q N − qN −1 + qN = 0 ⎪ ⎪⎭ cN −1, N cN −1, N m1q1 + egyenletrendszerhez jutunk. Bevezetve az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 0 ⋅⋅⋅ m2 ⋅⋅⋅ ⎡ m1 ⎢0 ⎢ ⎢ . ⎢ ⋅ ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ . ⎢0 ⎢ . ⎢ ⋅. ⎢ ⎣0 . ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 0 0 . . ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ mi ⋅⋅⋅ . . . . . . . ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ . . . 110 ► 0 ⎤ 0 ⎥⎥ . ⎥ ⋅ ⎥ . ⎥ 0 ⎥ . ⎥ ⋅ ⎥ . ⎥ mN ⎦ . ⋅ . ◄ Vissza . tömegmátrixot, és a ⎡ c112 ⎢ 1 ⎢ − c12 ⎢ 0 ⎢ ⎢ . ⎢ ⋅. ⎢ ⎢ 0 ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ . ⎢ ⋅ ⎢ . ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0 − c112 1 c12 +

c123 − c123 . ⋅ 0 ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ − c123 ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ 1 c23 + c134 . . . . ⋅ ⋅ ⋅ 0 0 ⋅⋅⋅ − ci ,i+1 0 0 ⋅⋅⋅ 0 0 ⋅⋅⋅ . . . . . ⋅ . . 1 1 ci−1,i + ci 1,i+1 − ci 1,i+1 . . ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 0 ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ 0 0 ⋅⋅ ⋅ 0 ⋅⋅⋅ . . . . . ⎤ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥⎥ . ⎥ ⋅ ⎥ . ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ . ⋅ ⎥ . ⎥ − cN −11,N ⎥ ⎥ 1 cN −1, N ⎥ ⎦ 0 rugómátrixot, a mozgásegyenlet-rendszer az M q + Cq = 0 egyszerű alakra hozható. Az M tömegmátrixban csak a főátlóban található zérustól különböző elem, ezért diagonális (átlós) mátrixnak nevezzük. Mivel a főátló sorrendben az egyes tömegeket tartalmazza, ezért a mátrix determinánsa (itt a főátló elemeinek szorzata) garantáltan pozitív. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 110 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 111 ► A C rugómátrix láncszerű rendszereknél szimmetrikus. A főátló kk indexű elemében a k jelű tömegponthoz csatlakozó rugóknak a reciprokösszege található. A főátlón kívül a kj és jk indexű elem zérus, ha a k és j jelű tömegek között nincs rugó, és annak a rugónak a rugóállandójának negatív reciproka található itt, amely rugó a j és k jelű tömegek között található. Láncszerű rendszereknél csak a szomszédos elemek között van rugó, ezért itt csak a főátló és a mellette lévő mátrixelem lehet zérustól különböző. Az ilyen mátrixokat kodiagonális mátrixoknak nevezzük Fontos még, hogy a vizsgált láncszerű rezgőrendszer olyan, hogy nincs egy pontja sem az állványhoz kötve. A C rugómátrix bármelyik sorában, vagy oszlopában

található elemeknek az összege nulla. A C mátrix determinánsa nulla. Az ilyen rendszereket nem kötött rendszereknek nevezzük Vizsgáljuk meg az alábbi ábrán látható modellt. Az 1 jelű tömeg a c01 rugóállandójú rugóval az állványhoz kötött. Az ilyen rezgőrendszert kötött rendszernek hívjuk. m1 m2 c12 c01 q1 c23 ⋅⋅⋅ mi ci −1,i q2 ci ,i +1 ⋅⋅⋅ mN c N −1,N qi qN Könnyen belátható, hogy a rendszer mozgásegyenlet-rendszere itt is M q + Cq = 0 alakra vezet, csak a rugómátrix különbözik. Ebben az esetben a rugómátrix A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 111 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ c101 + c112 ⎢ 1 ⎢ − c12 ⎢ 0 ⎢ ⎢ . ⎢ ⋅. ⎢ ⎢ 0 ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ . ⎢ ⋅ ⎢ . ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0 − c112 1 c12 + c123 − c123 . ⋅ ⎤

⎥ 0 ⎥ 0 ⎥⎥ . ⎥ ⋅ ⎥ . ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ . ⋅ ⎥ . ⎥ − cN −11,N ⎥ ⎥ 1 cN −1, N ⎥ ⎦ ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ − c123 ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ 1 c23 + c134 . . . . ⋅ ⋅ 0 0 ⋅⋅⋅ − ci ,i+1 0 0 ⋅⋅⋅ 0 0 ⋅⋅⋅ . ◄ 0 ⋅ . Vissza . . . ⋅ . . 1 1 ci−1,i . + ci 1,i+1 − ci 1,i+1 . ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 0 ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ 0 0 ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ . . . . . 112 ► 0 alakú. A rugómátrix itt is kodiagonális, de az első sora és első oszlopa, amely ahhoz a tömeghez kapcsolódik, amely tömeg a falhoz kötött, olyanná vált hogy a tagok összege nem nulla. A rugómátrix determinánsa kötött rendszernél nem nulla Amennyiben a modell olyan, hogy az utolsó, az N jelű elem kötött cN 0 rugóállandójú rugóval a falhoz, akkor a rugómátrixnak a főátlóban 1 1 értékre módosul. A kötött

láncszerű lévő utolsó eleme + cN −1, N cN 0 rendszer csak olyan lehet, hogy vagy a baloldali, vagy a jobboldali, vagy mindkét végével az állványhoz kötött. 6.3 Rudak torziós lengései, egyszerű hajtómű modell Vizsgáljuk meg az alábbi ábrán látható hajtómű modelljét! A hajtómű két tengelyből és öt fogaskerékből áll. A 2 és 3 jelű fogaskerekek hézag nélkül kapcsolódnak egymáshoz. A fogaskerekeket merev korongoknak, míg a tengelyeket súlytalannak és rugalmasnak modellezzük A tengelyeknél csak a csavarodási rugalmasságot vesszük figyelembe A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 112 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom J1 l12 Vissza ◄ 113 ► J2 D1 D2 d12 J3 J5 d 45 J4 d34 D4 D3 D5 l34 l45 Jelölje az egyes fogaskerekek szögelfordulását ϕi (i = 1, 2,3, 4,5) . Az egyes

fogaskerekeknek a forgástengelyre számolt tehetetlenségi nyomatéka J i (i = 1, 2,3, 4,5) . A rendszer kinetikai energiája 5 1 E = ∑ J iϕi2 . i =1 2 A tengelyek poláris másodrendű nyomatékai I pi ,i +1 = π di4,i +1 32 , (i = 1,3, 4) torziós rugóállandói (lásd 4.3 pont) γ i ,i +1 = li ,i +1 I pi ,i +1G = 32li ,i +1 π di4,i +1G , (i = 1,3, 4) . A tengelyekben felhalmozódott rugalmas energia (ϕ − ϕ ) U= 2 1 2γ 12 2 (ϕ − ϕ 3 ) + 4 2γ 34 2 (ϕ − ϕ 4 ) + 5 2γ 45 2 . Tekintsük először a ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 4 , ϕ5 szögelfordulásokat a rendszer általános koordinátáinak. A 2 és 3 jelű fogaskerekek közötti áttétel alapján D ϕ3 = 2 ϕ2 írható, ezzel a kinetikai energia D3 E= ⎤ 1⎡ 2 ⎛ D22 ⎞ 2 ϕ ϕ + J 4ϕ42 + J 5ϕ52 ⎥ , J J J + + ⎢ 1 1 ⎜ 2 3 2 ⎟ 2 2 ⎢⎣ D3 ⎠ ⎥⎦ ⎝ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 113 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét

rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 114 ► illetve rugóenergia 2 (ϕ − ϕ ) U= 2 1 2γ 12 2 ⎛ D2 ⎞ ϕ2 ⎟ 2 ⎜ ϕ4 − D3 ⎠ (ϕ5 − ϕ4 ) ⎝ . + + 2γ 34 2γ 45 A mozgásegyenlet-rendszerünk J1ϕ1 + 1 γ 12 ϕ1 − 1 ⎫ ϕ = 0⎪ γ 12 2 ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ 1 D 1 ⎞ D 1 1 J 3 ⎟ ϕ2 − ϕ1 + ⎜ + ϕ4 = 0 ⎪ ⎜ J2 + ⎟ ϕ2 − D γ 12 γ 34 ⎝ ⎠ ⎝ γ 12 D γ 34 ⎠ ⎪ ⎬ ⎛ 1 D2 1 1 ⎞ 1 + ϕ2 + ⎜ ϕ5 = 0 ⎪⎪ J 4ϕ4 − ⎟ ϕ4 − γ 45 D3 γ 34 ⎝ γ 34 γ 45 ⎠ ⎪ ⎪ 1 1 ϕ 4 + ϕ5 = 0 ⎪ J 5ϕ5 − γ 45 γ 45 ⎭ 2 2 2 3 2 2 2 3 alakú. Bevezetve az általános koordináták ⎡ϕ1 ⎤ ⎢ϕ ⎥ ⎡ϕ ⎤ = ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ϕ 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ϕ5 ⎦ oszlopmátrixát, illetve annak ϕ második deriváltját, a mozgásegyenletrendszerre M ϕ + Cϕ = 0 írható, ahol M a tömegmátrix és C a rugómátrix A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

| Szakirodalom Vissza ◄ 114 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ J1 ⎢ ⎢0 ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣ ⎡ 1 ⎢ γ ⎢ 12 ⎢ 1 ⎢− γ ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎢ 12 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢ 0 J2 + D J3 D 0 J4 1 γ 12 − + 0 1 0 γ 12 D22 1 D32 γ 34 D2 1 D3 γ 34 − D2 1 D3 γ 34 1 γ 34 − 0 ◄ 115 ► 0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥, ⎥ 0⎥ J 5 ⎥⎦ 0 2 2 2 3 0 0 − Vissza + 1 γ 45 1 γ 45 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ − ⎥ γ 45 ⎥ 1 ⎥ ⎥ γ 45 ⎦⎥ alakú. A tömegmátrix kielégíti a láncszerű rendszerekre vonatkozó feltételeket, de a rugómátrix nem, hiszen az egyes sorainak vagy oszlopainak a tagjait, ha összeadjuk nem kapunk nullát, annak ellenére, hogy a rendszer nem kötött. Az áttételes rendszer egy alkalmasan megválasztott transzformációval áttételmentes rendszerre hozható. Vezessük

be a q1 = D2ϕ1 , q2 = D2ϕ 2 = D3ϕ3 , q3 = D3ϕ 4 , illetve q4 = D3ϕ5 transzformációt. Ezzel a rendszer kinetikai energiája E= 1 ⎡ J1 2 ⎛ J 1 J 3 ⎞ 2 J 4 2 J 5 2 ⎤ q1 + ⎜ 2 + 2 ⎟ q2 + 2 q3 + 2 q4 ⎥ , ⎢ 2 ⎢⎣ D22 D3 D3 ⎥⎦ ⎝ D2 D3 ⎠ a rugóenergia (q − q ) U= 2 1 2 D22γ 12 2 (q − q ) + 4 2 2 D32γ 34 2 (ϕ − ϕ 4 ) + 5 2 2 D32γ 45 összefüggésre vezet. A mozgásegyenlet-rendszerünkre ebben az esetben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 115 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 116 ► J1 1 1 ⎫ q + 2 q1 − 2 q2 = 0 ⎪ 2 1 D2 D2 γ 12 D2 γ 12 ⎪ ⎪ ⎛ J2 J3 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎜ 2 + 2 ⎟ q2 − 2 q1 + ⎜ 2 + 2 ⎟ q2 − 2 q3 = 0 ⎪ D2 γ 12 D3 γ 34 ⎝ D2 D3 ⎠ ⎝ D2 γ 12 D3 γ 34 ⎠ ⎪ ⎬ ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 J4 q3 − 2 ϕ 2 + ⎜ 2 + 2 ⎟ q3 − 2 q4 = 0

⎪⎪ D32 D3 γ 34 D3 γ 45 ⎝ D3 γ 34 D3 γ 45 ⎠ ⎪ ⎪ J5 1 1 q − 2 q3 + 2 q4 = 0 ⎪ 2 4 D3 D3 γ 45 D3 γ 45 ⎭ írható. A tömegmátrix ebben az esetben ⎡ J1 ⎢ D2 ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣⎡ M ⎦⎤ = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 0 J2 J3 + D22 D32 0 0 J4 D32 0 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥, ⎥ 0 ⎥ ⎥ J5 ⎥ ⎥ D32 ⎦ amely kielégíti a láncszerű rezgőrendszerre vonatkozó kritériumot. A rugómátrix ⎡ 1 ⎢ D 2γ ⎢ 2 12 1 ⎢ ⎢ − D 2γ 2 12 ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ − 1 Dγ 1 Dγ 2 2 12 − 0 2 2 12 + 1 Dγ 2 3 34 − 1 1 Dγ Dγ 2 3 34 0 1 Dγ 2 3 34 2 3 34 − + 1 Dγ 2 3 45 1 Dγ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ − 2 ⎥ D3 γ 45 ⎥ 1 ⎥ ⎥ 2 D3 γ 45 ⎦ 0 2 3 45 Vissza ◄ 116 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom Vissza ◄ 117 ► alakúra változott, amely szintén kielégíti a láncszerű rezgőrendszerre vonatkozó kritériumokat. A hajtómű láncszerű modellje m1 m3 m2 c12 q1 m4 c34 c23 q2 q3 q4 alakú, amely nem kötött rendszer. A modellben a q1 = D2ϕ1 , q2 = D2ϕ 2 = D3ϕ3 , q3 = D3ϕ 4 , illetve q4 = D3ϕ5 általános koordinátaválasztáshoz tartozó általános (redukált) tömegek és általános (redukált) rugóállandók az alábbi összefüggésekkel származtathatók: m1 = J J J1 J J ; m2 = 22 + 32 ; m3 = 42 ; m4 = 52 ; 2 D2 D2 D3 D3 D3 1 1 1 1 1 1 = 2 ; = 2 ; = 2 . c12 D2 γ 12 c23 D3 γ 34 c34 D3 γ 45 Többszabadságfokú láncszerű rendszereknél előfordul, hogy a rendszer több láncszerű rendszerre esik szét, amely rendszerek szabadságfokainak összege megegyezik a többszabadságfokú rendszer szabadságfokával. Az is előfordulhat, hogy e részrendszerek között egyszabadságfokú rezgőrendszer is található. 6.4 Hajtómű

torziós rezgései, elágazásos modellek J1 J6 l12 D1 D2 d12 D6 J2 d36 D3 l36 d 34 J3 d 45 J4 J5 D4 D5 l34 l45 Vizsgáljunk meg az ábrán látható hajtómű modelljét. Vizsgáljuk, csak a torziós (csavaró) rezgéseket. A rendszer kinetikai energiája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 117 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 118 ► 6 1 1 1 1 1 1 1 E = ∑ J iϕi2 = J1ϕ12 + J 2ϕ22 + J 3ϕ32 + J 4ϕ42 + J 5ϕ52 + J 6ϕ62 , 2 2 2 2 2 2 i =1 2 a rugókban felhalmozott rugalmas energia (ϕ − ϕ ) U= 2 1 2 2γ 12 (ϕ − ϕ 3 ) + 4 2 2γ 34 (ϕ − ϕ 4 ) + 5 2 2γ 45 (ϕ − ϕ 3 ) + 6 2 2γ 36 . D2 ϕ2 írható. D3 Amennyiben az áttételtől is meg akarunk szabadulni, akkor a q1 = D2ϕ1 , q2 = D2ϕ 2 = D3ϕ3 , q3 = D3ϕ 4 , q4 = D3ϕ5 illetve q5 = D3ϕ6 transzformációt kell

alkalmazni, amivel a kinetikai energia A 2 és 3 jelű fogaskerekek közötti áttétel alapján ϕ3 = 5 1 E = ∑ mi qi2 = i =1 2 = 1 J1 2 1 ⎛ J 2 J 3 ⎞ 2 1 J 4 2 1 J 5 2 1 J 6 2 q1 + ⎜ 2 + 2 ⎟ q2 + q3 + q4 + q5 , 2 D22 2 ⎝ D2 D3 ⎠ 2 D32 2 D32 2 D32 és a rugókban felhalmozott potenciális energia (q − q ) U= 2 1 2 D22γ 12 2 (q − q ) + 3 2 2 D32γ 34 2 (q − q ) + 4 3 2 2 D32γ 45 (q − q ) + 5 2 2 2 D32γ 36 . A mozgásegyenlet-rendszer ebben az esetben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 118 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 119 ► 1 1 J1 ⎫ q + 2 q1 − 2 q2 = 0 ⎪ 2 1 D2 D2 γ 12 D2 γ 12 ⎪ ⎪ ⎛ J2 J3 ⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎪ ⎜ 2 + 2 ⎟ q2 − 2 q1 + ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ q2 − D2 γ 12 ⎝ D2 D3 ⎠ ⎝ D2 γ 12 D3 γ 34 D3 γ 36 ⎠ ⎪ ⎪ 1 1 − 2 q3 − 2 q5 = 0 ⎪ D3

γ 34 D3 γ 36 ⎪ ⎬ ⎛ 1 J4 1 1 ⎞ 1 q − 2 q2 + ⎜ 2 + 2 ⎟ q3 − 2 q4 = 0 ⎪⎪ 2 3 D3 D3 γ 34 D3 γ 45 ⎝ D3 γ 34 D3 γ 45 ⎠ ⎪ ⎪ J5 1 1 q − 2 q3 + 2 q4 = 0 ⎪ 2 4 D3 D3 γ 45 D3 γ 45 ⎪ ⎪ J6 1 1 q − 2 q2 + 2 q5 = 0 ⎪ 2 5 D3 D3 γ 36 D3 γ 36 ⎭ módon írható. A mozgásegyenlet-rendszerből felépíthető a tömegmátrix: ⎡ J1 ⎢ D2 ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 0 0 J2 J3 + D22 D32 0 0 0 J4 D32 0 0 0 J5 D32 0 0 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥; ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ J6 ⎥ ⎥ D32 ⎦ és a rugómátrix: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 119 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎡ 1 ⎢ D 2γ ⎢ 2 12 ⎢ 1 ⎢− 2 D 2 γ 12 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ − 1 0 Dγ 2 2 12 ⎡ 1 1 1 ⎤

⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ ⎣ D2 γ 12 D3 γ 34 D3 γ 36 ⎦ − 1 Dγ 2 3 34 0 − 1 D32γ 36 Vissza − 0 1 D32γ 34 0 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎜ 2 + 2 ⎟ − 2 D3 γ 45 ⎝ D3 γ 34 D3 γ 45 ⎠ 1 1 − 2 D3 γ 45 D32γ 45 0 0 ◄ 120 ► ⎤ ⎥ ⎥ 1 ⎥ − 2 ⎥ D3 γ 36 ⎥ . ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ D32γ 36 ⎥⎦ 0 A rugómátrix amellett, hogy sorainak, oszlopainak tagjait, ha összeadjuk zérust ad, vagyis nem kötött, és nem áttételes a rendszer, a főátló és a főátló melletti mátrixelemeken kívül is tartalmaz zérustól különböző mátrixelemet. A rugómátrix determinánsa zérus Az ilyen rendszert nem kötött, áttételmentes, elágazásos rendszernek nevezzük. Ennek a rendszernek a rezgéstani modellje az ábrán látható. m2 q2 c25 m5 q5 m1 q1 c12 q c23 m3 3 c34 q4 m4 Az ábrázolt elágazásos, nem kötött, áttételmentes rezgéstani modell a fenti hajtómű modellből az alábbi összefüggésekkel származtatható: q1 = D2ϕ1

; q2 = D2ϕ2 = D3ϕ3 ; q3 = D3ϕ 4 ; q4 = D3ϕ5 ; q5 = D3ϕ6 ; c12 = D22γ 12 ; c23 = D32γ 34 ; c34 = D32γ 45 ; c25 = D32γ 36 m1 = J J J J1 J J ; m2 = 22 + 32 ; m3 = 42 ; m4 = 52 ; m5 = 62 . 2 D2 D2 D3 D3 D3 D3 Van olyan transzformáció, amely segítségével az elágazásos láncszerű rendszer áttranszformálható elágazásmentes láncszerű rendszerre, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 120 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 121 ► de ezzel, ennek bonyolultsága miatt, e tárgy keretein belül nem foglakozunk. 6.5 Hajtómű tengelyek hajlító rezgései Vizsgáljuk meg egy hajtómű tengelyét, amelyen két fogaskerék van. A fogaskerekek a baloldali csapágytól x1 és x2 távolságra találhatók. A fogaskereket az egyszerűség kedvéért először tömegpontoknak tekintjük. A tengelyt rugalmasnak, de

súlytalannak tételezzük fel Feladat: a rendszer mozgásegyenlet-rendszerének a felírása hajlító rezgések esetén. Hajlító rezgéseknél a rúdra merőleges elmozdulások jönnek létre. A rezgések során a rúd hosszváltozásának hatásától eltekintünk, így az egyes tömegek, csak függőleges egyenes mentén mozognak y m1 A m2 Bx x1 x2 l − F1 − F2 a2 = y 2 a1 = y1 m1 m2 y B x F1 F y A y1 2 2 x1 x2 l A mozgásegyenlet-rendszer felírásánál másként járunk el ebben az esetben, mint azt tettük longitudinális, vagy torziós rezgések esetében. A megoldáshoz a Mechanika-Szilárdságtan c. tantárgyban tanult ismereteken túl Newton II törvényét használjuk fel A fenti második ábra a tengely megváltozott alakját szemlélteti. Az ábrán a tömegeket leválasztottuk a rúdról, és külön vizsgáljuk azokat az erőket, amelyek a rúdról az egyes tömegekre, illetve azokat, amelyek az egyes tömegekről a rúdra adódnak át. A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 121 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 122 ► Az 1 jelű tömegről a rúdra F1 erő, a rúdról az 1 jelű tömegre − F1 erő hat. Az 1 jelű tömeg elmozdulása y1 , gyorsulása y1 Hasonlóan a 2 jelű tömegről a rúdra F2 erő, a rúdról a 2 jelű tömegre − F2 erő hat. A 2 jelű tömeg elmozdulása y2 , gyorsulása y2 . Az egyes tömegekre felírva Newton II. törvényét m1 y1 = − F1 , illetve m2 y2 = − F2 egyenleteket kapjuk. A tengely alakváltozását az F1 és F2 erők hozzák létre. A rúdnak az y1 elmozdulása az 1 jelű tömegnél y1 = δ11F1 + δ12 F2 , illetve az y2 elmozdulása a 2 jelű tömegnél y2 = δ 21F1 + δ 22 F2 összefüggéssel írható le, ahol δ11 a rúd y1 elmozdulása egységnyi F1 erő, δ12 a rúd y1 elmozdulása egységnyi F2 erő hatására.

Hasonlóan δ 21 az egységnyi F1 erőből számolt y2 elmozdulás, δ 22 pedig az egységnyi F2 erőből számolt y2 elmozdulás. A fenti egyenletekből az Fi , (1 = 1, 2 ) erőket behelyettesítve és át- rendezve y1 + δ11m1 y1 + δ12 m2 y2 = 0 ⎫ ⎬ y2 + δ 21m1 y1 + δ 22 m2 y2 = 0 ⎭ lineáris, közönséges, másodrendű, hiányos, homogén differenciálegyenlet-rendszert kapjuk. Ez a differenciálegyenlet-rendszer a mozgásegyenlet-rendszer A δ11 , δ12 , δ 21 és δ 22 mennyiségek a Maxwellféle hatásszámok, amelyekre a szimmetria jellemző, vagyis δ12 = δ 21 . A mozgásegyenlet-rendszer ebben az esetben is felírható my + E y = 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 122 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 123 ► alakban, ahol ⎡δ m δ m ⎤ ⎡⎣ m ⎤⎦ = ⎢ 11 1 12 2 ⎥ ⎣δ 21m1 δ

22 m2 ⎦ a módosított tömegmátrix, illetve ⎡1 0 ⎤ ⎡⎣ E ⎤⎦ = ⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ az egységmátrix. A m módosított tömegmátrix felírható a Maxwellféle hatásszámokból alkotott D mátrix és a láncszerű rendszereknél megszokott M tömegmátrix m = DM δ ⎤ 0⎤ ⎡δ ⎡m szorzataként, ahol ⎡⎣ D ⎤⎦ = ⎢ 11 12 ⎥ , illetve ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ 1 ⎥. ⎣δ 21 δ 22 ⎦ ⎣ 0 m2 ⎦ y F1 A F2 Bx x1 x2 m y1 [m] m y 2 [m ] l x1 (l − x1 ) l x2 (l − x2 ) l x x A Maxwell-féle hatásszámok szilárdságtani módszerekkel határozhatók meg. Vizsgáljuk meg az ábrán látható szilárdságtani modellt A hajlító nyomaték M hz = m y1F1 + m y 2 F2 alakban írható fel, ahol m y1 = m y1 ( x ) az egységnyi F1 erőből számolt, m y 2 = m y 2 ( x ) az egységnyi F2 erőből számolt hajlító nyomatéki függvény, amelyek az ábd 4π , a z tengelyre számolt rán ugyancsak fel vannak tüntetve. Az I z = 64 A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 123 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 124 ► másodrendű nyomaték, és az E rugalmassági modulus figyelembevételével a tengelyben felhalmozott rugalmas energia ( 2 F1m y1 + F2 m y 2 M hz U= ∫ dx = ∫ 2I z E 2I z E (l ) (l ) ) 2 dx . Az elmozdulások számítására alkalmazva Castigliano tételét ( F1m y1 + F2 m y 2 ∂U ∂ = y1 = ∂F1 ∂F1 ( ∫l ) 2I z E = F1 ∫ m 2y1 I E (l ) z dx + F2 ) 2 dx = m y1m y 2 ∫ dx, IzE (l ) illetve ( F1m y1 + F2 m y 2 ∂U ∂ = y2 = ∫ 2I z E ∂F2 ∂F2 ( l ) = F1 ∫ m y1m y 2 IzE (l ) dx + F2 ) ∫ 2 dx = m 2y 2 I E (l ) z dx. Összehasonlítva az elmozdulásra felírt y1 = F1δ11 + F2δ12 = F1 ∫ m 2y1 I E (l ) z dx + F2 ∫ m y1m y 2 (l ) IzE dx illetve y2 = δ 21F1 + δ 22 F2 = F1 ∫ (l ) m y1m y 2 IzE dx + F2

∫ m 2y 2 I E (l ) z dx egyenleteket, a Maxwell-féle hatásszámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 124 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom δ11 = ∫ m 2y1 I E (l ) z dx , δ12 = δ 21 = m y1m y 2 ∫ IzE (l ) Vissza dx , és δ 22 = ∫ ◄ m 2y 2 I E (l ) z 125 ► dx . A továbbiakban vizsgáljuk a hajtómű tengelyt úgy, hogy az egyes fogaskerekeket, mint tárcsákat figyelembe vesszük. Az alábbi ábra ezt a modellt szemlélteti. Az ábrán a fogaskerekek, a rúdra ékelt merev tárcsákként vannak figyelembe véve m1 , J z1 y m2 , J z 2 B x A x1 x2 l Ebben az esetben az bonyolítja a vizsgálatot, hogy a fogaskerekek nemcsak elmozdulhatnak, hanem a z tengely körül el is fordulhatnak. Ez azt jelenti, hogy a mozgás négy koordinátával, az y1 , y2 , ϕ1 és ϕ2 koordinátákkal írható le. Az

alábbi ábra ezt a mozgást szemlélteti azokkal a nyomatékokkal együtt, amelyek hatását az első modellhez képest még figyelembe kell venni. A tárcsák szögelfordulása megegyezik a rúd adott keresztmetszetének a szögelfordulásával, míg a súlypontjuknak az elmozdulása a rúd elmozdulásával egyezik meg. ϕ1 ϕ2 − M1 − M2 M1 M2 y A x1 y1 x2 y2 B x l Alkalmazva az impulzus és perdület tételt, egyrészről m1 y1 = − F1 , m2 y2 = − F2 , J z1ϕ1 = − M1 , illetve J z 2ϕ2 = − M 2 írható, míg az elmozdulásokra, szögelfordulásokra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 125 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 126 ► y1 = δ11F1 + δ12 F2 + µ11M1 + µ12 M 2 , y2 = δ 21F1 + δ 22 F2 + µ21M1 + µ22 M 2 , ϕ1 = χ11F1 + χ12 F2 + κ11M1 + κ12 M 2 , ϕ2 = χ 21F1 + χ 22 F2 +

κ 21M1 + κ 22 M 2 egyenletek érvényesek. Bevezetve a ⎡ δ11 δ12 ⎢δ δ 22 ⎡⎣ D ⎤⎦ = ⎢ 21 ⎢ χ11 χ12 ⎢ ⎣ χ 21 χ 22 µ11 µ21 κ11 κ 21 µ12 ⎤ µ22 ⎥⎥ κ12 ⎥ ⎥ κ 22 ⎦ Maxwell-féle hatásszámokból képzett mátrixot, és az általános koordinátákból képzett ⎡ y1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ q ⎤ = ⎢ y2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ϕ1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ϕ2 ⎦ általánosított elmozdulás vektort, illetve a rúdra ható erő- és nyomatékkoordinátákból képzett ⎡ F1 ⎤ ⎢F ⎥ ⎡⎣ Φ ⎤⎦ = ⎢ 2 ⎥ ⎢ M1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣M 2 ⎦ általánosított erőoszlop-mátrixot, q = DΦ írható. Az impulzus és perdület tételt felírva, majd a fenti mátrixokat helyettesítve és átrendezve, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 126 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y1 + δ11 y1 + δ12 y1 + γ

11ϕ1 + γ 12ϕ2 y2 + δ 21 y1 + δ 22 y1 + γ 21ϕ1 + γ 22ϕ2 ϕ1 + χ11 y1 + χ12 y1 + κ11ϕ1 + κ12ϕ2 ϕ2 + χ 21 y1 + χ 22 y1 + κ 21ϕ1 + κ 22ϕ2 Vissza ◄ 127 ► = 0⎫ = 0 ⎪⎪ ⎬ = 0⎪ = 0 ⎭⎪ lineáris, közönséges, másodrendű, hiányos, homogén differenciálegyenlet-rendszert kapjuk. A differenciálegyenlet-rendszer átírható mq + Eq = 0 mátrixalakba is. Az m módosított tömegmátrix itt is felírható m = DM alakban, ahol ⎡ m1 0 ⎢0 m 2 ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ ⎢0 0 ⎢ 0 ⎣0 0 0 J z1 0 ⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ J z2 ⎦ a láncszerű rendszereknél megszokott tömegmátrix. Az egységmátrix: ⎡1 ⎢0 ⎡⎣ E ⎤⎦ = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 0⎤ 1 0 0 ⎥⎥ . 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦ A Maxwell-féle hatásszámok meghatározásához írjuk fel a rúdra vonatkozóan a hajlító nyomatékot M hz = m y1F1 + m y 2 F2 + mϕ1M1 + mϕ 2 M 2 alakba. Az ábrán az mϕ1 és mϕ 2 , egységnyi M1 és M 2

nyomatékokhoz tartozó nyomatéki ábrákat megrajzoltuk (Az m y1 és m y 2 nyomatéki ábrákat már az előző példánál meghatároztuk) Írjuk fel a rugalmas energiát: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 127 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza ( 2 m y1F1 + m y 2 F2 + mϕ1M1 + mϕ 2 M 2 M hz U= ∫ dx = ∫ 2I z E 2I z E (l ) (l ) ) 128 ► 2 dx . Alkalmazva a Castigliano tételét az elmozdulásokra, szögelfordulásokra y M1 A M2 Bx x1 x2 l mϕ1 [−] l − x1 l x − x1 l mϕ 2 [−] l − x2 l x − x2 l ( m y1F1 + m y 2 F2 + mϕ1M1 + mϕ 2 M 2 ∂U ∂ y1 = = 2I z E ∂F1 ∂F1 ( ∫l ) = F1 ∫ m 2y1 I E (l ) z + M1 ∫ (l ) dx + F2 ∫ (l ) m y1mϕ1 Iz E m y1m y 2 IzE dx + M 2 ∫ ) 2 dx = dx + m y1mϕ 2 (l ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Iz E

dx, Vissza ◄ 128 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ( m y1F1 + m y 2 F2 + mϕ1M1 + mϕ 2 M 2 ∂U ∂ y2 = = 2I z E ∂F2 ∂F2 ( ∫l ) ∫ = F1 m y1m y 2 IzE (l ) + M1 m y 2 mϕ1 ∫ Iz E (l ) ∫ dx + F2 m 2y 2 I E (l ) z dx + M 2 ) m y 2 mϕ 2 ∫ IzE (l ) ( m y1mϕ1 ∫ Iz E (l ) + M1 mϕ21 ∫ I E (l ) z ∫ dx + F2 m y 2 mϕ1 IzE (l ) dx + M 2 ∫ m y1mϕ 2 (l ) + M1 IzE ∫ (l ) dx + F2 mϕ1mϕ 2 Iz E ∫ IzE m y 2 mϕ 2 (l ) dx + M 2 IzE ∫ dx = ) 2 dx = dx, ( ∫ 2 dx, m y1F1 + m y 2 F2 + mϕ1M1 + mϕ 2 M 2 ∂U ∂ ϕ2 = = 2I z E ∂M 2 ∂M 2 ( ∫l ) = F1 ► dx + mϕ1mϕ 2 (l ) 129 dx + m y1F1 + m y 2 F2 + mϕ1M1 + mϕ 2 M 2 ∂U ∂ ϕ1 = = 2I z E ∂M1 ∂M1 ( ∫l ) = F1 ◄ Vissza mϕ2 2 I E (l ) z ) 2 dx = dx + dx. Ezzel a Maxwell-féle hatásmátrix felírható: A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 129 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ m 2y1 ⎢ ⎢ m y1m y 2 1 ⎢ ⎡⎣ D ⎤⎦ = I z E ( ∫l ) ⎢ m m ⎢ y1 ϕ1 ⎢m m ⎣ y1 ϕ 2 m y1m y 2 m y1mϕ1 m 2y 2 m y 2 mϕ1 m y 2 mϕ1 mϕ21 m y 2 mϕ 2 mϕ1mϕ 2 Vissza ◄ 130 ► m y1mϕ 2 ⎤ ⎥ m y 2 mϕ 2 ⎥ ⎥ dx . mϕ1mϕ 2 ⎥ ⎥ 2 mϕ 2 ⎥⎦ A Maxwell-féle hatásmátrixban az integrál természetesen mátrixelemenként elvégzendő. Az összefüggésből látszik, hogy a Maxwellféle hatásmátrix szimmetrikus A Maxwell-féle hatásmátrix determinánsa nem nulla, így meghatározható a D −1 inverze. Egy mátrix inverzével, ha beszorozzuk a mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk: D −1 D = E Ha a fenti mq + Eq = 0 egyenletrendszert balról D −1 mátrixszal beszorozzuk, akkor M q + D −1 q = 0 egyenlethez jutunk,

ahol a Maxwell mátrix inverze a rendszer rugómátrixa: D −1 = C . Ezzel ezt a problémát is M q + Cq = 0 egyenletre vezettük vissza. 6.6 Példák rezgőrendszerek mozgásegyenletrendszereinek a felírására 6.61 példa Mozgásegyenlet felírása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 130 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 131 ► Adott: az 1 jelű mh tömegű homogén tömegeloszlású R sugarú merev henger, amely a vízszintes talajon gördül, valamintϕ 1 ϕ 2 jelű, a C pontban csapágyazott mr mr 2 c B D mh tömegű homogén tömegeloszlású l hosszúságú merev prizmatikus rúd. R 2 Sr Sh A merev testek B és D pontjait c l rugóállandójú rugó köti össze: A 1 C Feladat: a) A rendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása ϕ1 , ϕ 2 általános koordinátákkal, és a helyettesítő rezgéstani

modell minősítése. b) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell nem áttételes, longitudinális és láncszerű. Kidolgozás: a) A rendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása ϕ1 ,ϕ2 általános koordinátákkal, és a helyettesítő rezgéstani modell minősítése: 1 1 1 1 E = J a1ω12 + J c 2ω22 = J a1ϕ12 + J c 2ϕ 22 , 2 2 2 2 3 1 λ 2 (lϕ2 − 2 Rϕ1 ) 2 2 2 ahol J a1 = mh R , J c 2 = mr l , és U = . = 2c 2c 2 3 A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszer: d ⎛ ∂E ⎞ ∂E = Qk , (k = 1, 2) , és a rezgőrendszer mozgásegyenlet⎜ ⎟− dt ⎝ ∂qk ⎠ ∂qk rendszere ⎫ 4R2 2 Rl J a1ϕ1 + ϕ1 − ϕ2 = 0⎪ ⎪ c c ⎬ alakú. l2 2 Rl J c 2ϕ 2 − ϕ1 + ϕ2 = 0 ⎪ ⎪⎭ c c 0 ⎤ ⎡J A tömegmátrix ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ a1 ⎥, ⎣ 0 Jc2 ⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 131 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 132 ► 1 ⎡ 4 R 2 −2 Rl ⎤ és a rugómátrix ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎢ ⎥. c ⎣ −2 Rl l2 ⎦ A rugómátrixból látható, hogy a rezgőrendszer áttételes. b) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell nem áttételes, longitudinális és láncszerű: Válasszuk általános koordinátákként a q1 = 2 Rϕ1 , illetve q2 = lϕ 2 koordinátákat. Ezzel a kinetikai energia 1 J a1 2 1 J c 2 2 1 3mh 2 1 mr 2 E= q1 + q2 = q1 + q2 , 2 4R2 2 l2 2 8 2 3 f 2 (q2 − q1 ) 2 a potenciális energia U = , = 2c 2c ⎫ mh 1 1 q1 + q1 − q2 = 0 ⎪ ⎪ 8 c c a mozgásegyenlet-rendszer ⎬. mr 1 1 q2 − q1 + q2 = 0 ⎪ ⎪⎭ 3 c c ⎡ mh ⎢ 8 A tömegmátrix ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢ ⎤ 0 ⎥ ⎥, mr ⎥ 3 ⎦⎥ 1⎤ ⎡ 1 − ⎢ c c⎥ és a rugómátrix ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎢ ⎥. ⎢− 1 1 ⎥ ⎢⎣ c c ⎥⎦ A helyettesítő longitudinális rezgéstani modell: m1 = mh

m , m2 = r , c12 = c . 8 3 m1 m2 c12 q1 q2 6.62 példa Lejtős felvonó mozgásegyenlet-rendszerének a felírása, transzformáció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 132 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza y Adott: mh ,me ,mt ,c1 ,c2 ,R,γ . A súrlódásoktól eltekintünk! M 0 = áll . M 0 ϕ R A henger és a kötél között a µ0 A x súrlódási tényező elegendő nagy, hogy mh ne csússzon meg a kötél a hengeren. c2 c1 Feladat: se ◄ 133 ► γ st mt µ0 = 0 me a) A rezgőrendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása st , ϕ , se általános koordinátákkal, és a rezgéstani modell megalkotása. b) A statikus egyensúlyi helyzet, és az ehhez szükséges M 0 st hajtónyomaték meghatározása. c) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell láncszerű (nem

áttételes). Kidolgozás: a) A rezgőrendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása st , ϕ , se általános koordinátákkal, és a rezgéstani modell megalkotása: 1 1 1 1 1 1 E = mt vt2 + J a 2ω22 + me ve2 = mt st2 + J a 2ϕ 2 + me se2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 λ ( Rϕ − st ) ( se − Rϕ ) 2 3 ahol J a 2 = mh R 2 , U = ∑ i = . + 2 2c1 2c2 i =1 2ci A rendszerre ható külső erőrendszer: az M 0 hajtónyomaték, a Gt = mt g , Gh = mh g , Ge = me g súlyerők, és a teherre a lejtőről átadó- dó Ftα valamint a hengerre az A tengelyen átadódó FAh kényszererők. Amennyiben a súrlódást elhanyagoljuk a kényszererők teljesítménye nulla. A henger súlyerejének teljesítménye ugyancsak nulla Ezzel a külső erőrendszer teljesítménye P = M 0ω + Gt vt + Ge ve , ahol M 0 = M 0k , ω = ϕk , Gt = − mt g j , vt = st ( −ex cos γ + e y sin γ ) , Ge = −me g j , ve = − se j . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 133 ►

Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 134 ► Az erőrendszer teljesítménye így P = M 0ϕ − mt gst sin γ + me gse , amiből ∂P a statikus általános erő Qk = összefüggésből adódik. ∂qk Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer 1 R ⎫ mt st + st − ϕ = −mt g sin γ ⎪ c1 c1 ⎪ 2 2 ⎪⎪ ⎛R R R ⎞ R J a 2ϕ − st + ⎜ + ⎬. ⎟ ϕ − se = M 0 c1 c2 ⎝ c1 c2 ⎠ ⎪ ⎪ R 1 me se − ϕ + se = me g ⎪ c2 c2 ⎪⎭ 0⎤ ⎡ mt 0 ⎢ A tömegmátrix ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ 0 J a 2 0 ⎥⎥ , ⎢⎣ 0 0 me ⎥⎦ R ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ − ⎢ c c1 ⎢ 1 ⎥ ⎢ R R2 R2 R⎥ a rugómátrix ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎢ − + − ⎥ alakú. c2 ⎥ ⎢ c1 c1 c2 ⎢ 1 ⎥ R − ⎢ 0 ⎥ c2 c2 ⎦ ⎣ A rugómátrixból látszik, hogy a rendszer áttételes. b) A statikus egyensúlyi helyzetet és az ehhez szükséges M 0 st hajtónyomaték meghatározása: Statikus

állapotban st ≡ se ≡ ϕ ≡ st ≡ se ≡ ϕ ≡ 0 . A C rugómátrix determinánsa zérus, ezért a jobboldalon kell lenni ismeretlennek, ez az M 0 st . Az egyik koordináta szabadon felvehető Célszerű a ϕ koordináta statikus értékét nullára választani ϕ st = 0 Ezzel az egyenletrendszerünk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 134 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 135 ► ⎫ 1 stst = − mt g sin γ ⎪ c1 ⎪ ⎪ R R − stst − sest = M 0 st ⎬ , amiből stst = −c1mt g sin α , sest = c2 me g , c1 c2 ⎪ ⎪ 1 sest = me g ⎪ c2 ⎭ és M 0 st = R ( mt g sin α − me g ) . c) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell láncszerű (nem áttételes): Válasszuk általános koordinátákként a q1 = st , q2 = Rϕ illetve q3 = se koordinátákat. Ezzel a kinetikai

energia 1 1 1 E = mt vt2 + J a 2ω22 + me ve2 = 2 2 2 1 1 J a2 2 1 1 1 mh 2 1 = mt q12 + q2 me q32 = mt q12 + q2 + me q32 , 2 2 2 R 2 2 2 2 2 2 2 (q − q ) (q − q ) a rugalmas energia U = 2 1 + 3 2 . 2c1 2c2 M Az erők teljesítménye P = 0 q2 − mt g sin γ q1 + me gq3 , amiből a statiR ∂P kus általános erő Qk = összefüggésből adódik. ∂qk A mozgásegyenlet-rendszer 1 1 ⎫ mt q1 + q1 − q2 = − mt g sin γ ⎪ c1 c1 ⎪ ⎪⎪ ⎛1 1⎞ Ja2 M0 1 1 q q q q − + + − = ⎬. ⎜ ⎟ 2 2 1 3 R2 c1 c2 R ⎝ c1 c2 ⎠ ⎪ ⎪ 1 1 me q3 − q2 + q3 = me g ⎪ c2 c2 ⎪⎭ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 135 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ mt ⎢ A tömegmátrix ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ 0 ⎢ ⎢0 ⎣ 0 Ja2 R2 0 Vissza ◄ 136 ► 0⎤ ⎥ 0 ⎥, ⎥ me ⎥⎦ ⎡ 1 ⎤ 1 0 ⎥ − ⎢ c1 ⎢ c1 ⎥ ⎢ 1 1 1

1⎥ a rugómátrix ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎢ − + − ⎥. c2 ⎥ ⎢ c1 c1 c2 ⎢ 1 1 ⎥ − ⎢ 0 ⎥ c2 c2 ⎦ ⎣ Q2 Q1 m m 2 1 A longitudinális láncszerű modell: J c12 c23 m1 = mt , m2 = a22 , m3 = me , c12 = c1 , q1 q2 R M c23 = c2 , Q1 = −mt g sin γ , Q2 = 0 , Q3 = me g . R Q3 m3 q3 6.63 példa Síkbeli gépalap modell excentrikus gerjesztéssel Adott: Gépalap síkbeli modellje: m,J s ,a,b,c,Fg 0 ,ω . y Fg = Fg 0 sin ωt Feladat: m, J s S a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása. a G = mg b) Statikus egyensúlyi helyzet meghatározása. c c) Láncszerű modell megalkotása. c b b x Kidolgozás: a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása: Az általános koordináták: yS -a gépalap súlypontjának az elmozdulása; ϕ -a gépalap szögelfordulása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 136 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom A kinetikai energia: E = Vissza ◄ 137 ► 1 2 1 my S + J sϕ 2 , 2 2 ( y + bϕ ) ⎤⎥ , 1 ⎡ ( y − bϕ ) a rugóenergia: U = ⎢ S + S 2⎢ c c ⎥⎦ ⎣ az erők teljesítménye: P = Gy S + Fg ( y S + aϕ ) . 2 2 ⎫ ⎛1 1⎞ myS + ⎜ + ⎟ yS = G + Fg ⎪ ⎝c c⎠ ⎪ A mozgásegyenlet-rendszer: ⎬. 2 2 ⎛b b ⎞ J sϕ + ⎜ + ⎟ ϕ = aFg ⎪ ⎜ ⎪ c ⎠⎟ ⎝ c ⎭ b) Statikus egyensúlyi helyzet meghatározása: Statikus állapotban az időtől függő mennyiségek zérusértékűek, így: y S = yS = ϕ = ϕ = Fg = 0 . Ezzel az egyenlet-rendszernek a statikus egyensúlyi helyzetben a megcG oldása: ySst = ; ϕ st = 0 . 2 c) Láncszerű modell megalkotása: A mozgásegyenlet-rendszer két egyszabadságfokú rezgőrendszerre esik szét, így két egyszabadságfokú modellt kapunk, melyeknek a saját körfrekvenciáit is meghatározhatjuk. Q2 Q1 c01 m1 q1 q1 = yS , m1 = m , c01 = q2 = ϕ , m2 = J s , c02 = c02 m2 q2 c 2 , Q1 =

G + Fg 0 sin ωt , α1 = , 2 mc c 2b 2 , Q2 = aFg 0 sin ωt , α 2 = 2b 2 . J sc 6.64 példa Torziós rezgések mozgásegyenlet-rendszere fogaskerekes hajtóműnél A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 137 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 138 ► Adott: Di , J i , ( i = 1, 2 ,3, 4 ,5 ) , di ,i +1 , li ,i +1 , ( i = 1, 2 , 4 ) , M1 , M 5 , továbbá M1, és M5 nyomatékok nem függnek az időtől. Feladat: a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása, a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak. l12 J1 M1 J2 d 23 D2 J3 D3 D1 d 45 d12 J4 J5 D4 M5 D5 l23 l45 b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell meghatározása. c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása. Kidolgozás: a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása, a

fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak: 5 1 A kinetikai energia E = ∑ J iϕi2 , a D3ϕ3 = D4ϕ4 áttétel figyelembei =1 2 vételével és ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ϕ5 általános koordináták választásával ⎤ ⎛ D32 ⎞ 2 1⎡ 2 2   E = ⎢ J1ϕ1 + J 2ϕ 2 + ⎜ J 3 + J 4 2 ⎟ ϕ3 + J 5ϕ52 ⎥ . ⎜ 2 ⎣⎢ D4 ⎟⎠ ⎝ ⎦⎥ 4 πd A másodrendű nyomatékok I pi ,i +1 = i ,i +1 , (i = 1, 2, 4) , 32 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 138 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom a torziós rugóállandók γ i ,i +1 = li ,i +1 I pi ,i +1G A rugókban felhalmozott energia = 32li ,i +1 π di4,i +1G ◄ Vissza 139 ► , (i = 1, 2, 4) . 2 2 2 ϕ2 − ϕ1 ) (ϕ3 − ϕ2 ) ( U= + γ 12 γ 23 ⎛ D3 ⎞ ϕ3 ⎟ ⎜ ϕ5 − D4 ⎠ ⎝ . + γ 45 A külső erőrendszer teljesítménye P =

M1ϕ1 − M 5ϕ5 , mivel a 4 és 5 jelű fogaskerekeknél a pozitív szögelfordulás iránya az áttétel miatt fordított az 1,2,3 jelű fogaskerekekhez képest. Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer J1ϕ1 + 1 γ 12 ϕ1 − ⎫ 1 ϕ = M1 ⎪ γ 12 2 ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ 1 1 1 1 J 2ϕ2 − ϕ1 + ⎜ ϕ3 = 0 + ⎪ ⎟ϕ2 − γ 12 γ 23 ⎪⎪ ⎝ γ 12 γ 23 ⎠ ⎬. ⎛ ⎛ 1 D32 ⎞ D32 ⎞ D3 1 ⎪ + 2 ϕ2 + ⎜ ϕ5 = 0 ⎜ J 3 + J 4 2 ⎟ ϕ3 − ⎟ ϕ3 − ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ D4γ 45 γ 23 D4 ⎠ ⎝ ⎝ γ 23 D4 γ 45 ⎠ ⎪ ⎪ D3 1 J 5ϕ5 − ϕ3 + ϕ5 = − M 5 ⎪ D4γ 45 γ 45 ⎪⎭ b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell maghatározása: Válasszuk általános koordinátáknak a q1 = D3ϕ1 , q2 = D3ϕ2 , q3 = D3ϕ3 = D4ϕ4 , q4 = D4ϕ5 koordinátákat. Ezzel a kinetikai energia ⎤ ⎛ 1⎡ 1 1 1 1 ⎞ 1 E = ⎢ J1 2 q12 + J 2 2 q 22 + ⎜ J 3 2 + J 4 2 ⎟ q32 + J 5 2 q 42 ⎥ . ⎜ D

2 ⎢⎣ D3 D3 D4 ⎟⎠ D4 ⎥⎦ 3 ⎝ A rugókban felhalmozódott rugóenergia 2 2 2 q2 − q1 ) q3 − q2 ) q4 − q3 ) ( ( ( . U= + + D32γ 12 D32γ 23 D42γ 45 M M A teljesítmény P = 1 q1 − 5 q 4 . D3 D5 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 139 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 140 ► A mozgásegyenlet-rendszer M1 ⎫ D3 ⎪ D32 D32γ 12 D32γ 12 ⎪ ⎪ ⎛ 1 J2 1 1 ⎞ 1 ⎪ 2 − q q q q + + − = 0 ⎟⎟ 2 1 ⎜ 3 2 2 ⎜ D 2γ ⎪⎪ D32 D32γ 12 D D γ γ 3 23 ⎠ 3 23 ⎝ 3 12 ⎬. ⎛ J3 J 4 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎪ q2 + ⎜ 2 q3 − 2 q4 = 0 ⎪ + 2 ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ q3 − 2 ⎟ ⎜D γ ⎟ D3 γ 23 D4 γ 45 ⎝ D3 D4 ⎠ ⎝ 3 23 D4 γ 45 ⎠ ⎪ J5 M5 ⎪ 1 1 4 − q q q + = − ⎪ 3 4 D5 ⎪⎭ D42 D42γ 45 D42γ 45 J1 q1 + 1 q1 − 1 q2 = A rezgőrendszer mozgása láncszerű

modellel leírható. ⎡ J1 ⎤ 0 0 0 ⎥ ⎢ D2 ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ J2 0 0 ⎥ ⎢ 0 2 D3 ⎢ ⎥ A rendszer tömegmátrixa: ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ ⎥; J3 J 4 0 0 ⎥ ⎢ 0 + D32 D42 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ J5 ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢⎣ D42 ⎥⎦ a rugómátrix: 1 ⎡ 1 ⎤ − 0 0 ⎥ ⎢ D 2γ 2 D3 γ 12 ⎢ 3 12 ⎥ ⎢ ⎥ 1 1 1 1 0 + − ⎢− 2 ⎥ D3 γ 12 D32γ 12 D32γ 23 D32γ 23 ⎢ ⎥. ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎢ 1 1 1 1 ⎥ − 2 + − ⎢ 0 ⎥ D3 γ 23 D32γ 23 D42γ 45 D42γ 45 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 1 1 ⎢ 0 ⎥ 0 − 2 2 ⎢⎣ D4 γ 45 D4 γ 45 ⎥⎦ A láncszerű modell elágazásmentes, amely nem kötött rendszer: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 140 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Q1 m1 c12 q1 q2 141 ► m4 c34 c23 ◄ Q4 m3 m2 Vissza q3 q4 A modellben az egyes tömegek és rugóállandók az alábbi

összefüggésekkel származtathatók: J J J J J m1 = 12 , m2 = 22 , m3 = 32 + 42 , m4 = 52 , D3 D3 D3 D4 D4 1 1 = 2 , c12 D3 γ 12 Q1 = 1 1 = 2 , c23 D3 γ 23 1 1 = 2 , c34 D4 γ 45 M M1 , Q4 = − 5 . D3 D4 c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása: Statikus állapot nem függ az időtől, így az általános koordináták második idő szerinti deriváltjai zérusértékűek. Mivel a rendszer láncszerű, elágazásmentes, nem kötött, ezért a rugómátrix determinánsa ugyancsak zérusértékű. Ebből következően egy koordináta szabadon felvehető Válasszuk a q1st = 0 értéket ezzel az első egyenletből q2 st = D3γ 12 M1 = c12Q1 . A második egyenletbe q1st = 0 és q2 st értéket helyettesítve q3st = D3 ( γ 12 + γ 23 ) M1 = ( c12 + c23 ) Q1 . A harmadik egyenletbe q2 st és q3st értéket helyettesítve M1 q4 st = D32γ 12 + D32γ 23 + D42γ 45 = ( c12 + c23 + c34 ) Q1 . D3 Az utolsó egyenletbe q3st és q4 st értéket helyettesítve Q1 = −Q4 M1 M 5 egyenlet

adódik, vagyis = egyenlet teljesülése esetén van a D3 D4 rendszer egyensúlyban. ( ) 6.65 példa Hajtómű torziós rezgéseinek mozgásegyenlet-rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 141 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 142 ► Adott: J1 ,J 2 ,J 3 ,J 4 ,J 5 ,J 6 ,D1 ,D2 ,D3 ,D4 ,D5 ,D6 ,l12 ,l34 ,l56 ,d12 ,d34 , d56 ,M1 ,M 6 , továbbá M1, és M6 nyomatékok nem függnek az időtől. Feladat: a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak. b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell maghatározása. c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása. J1 l12 M1 D1 J2 D2 d12 d34 J3 J4 D4 D3 d56 J5 D5 l34 J6 D6 M6 l56 Kidolgozás: a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása

a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak: 5 1 A kinetikus energia E = ∑ J iϕi2 . i =1 2 D2ϕ2 = D3ϕ3 és D4ϕ4 = D5ϕ5 áttétel figyelembevételével és ϕ1 , ϕ2 , ϕ4 , ϕ6 általános koordináták választásával A E= ⎤ ⎛ ⎛ D2 ⎞ D2 ⎞ 1⎡ ⎢ J1ϕ12 + ⎜⎜ J 2 + J 3 22 ⎟⎟ ϕ 22 + ⎜⎜ J 4 + J 5 42 ⎟⎟ ϕ 42 + J 6ϕ 62 ⎥ . 2 ⎢⎣ D3 ⎠ D5 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎝ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 142 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A másodrendű nyomatékok I pi ,i +1 = a torziós rugóállandók γ i ,i +1 = li ,i +1 π di4,i +1 32 = 32li ,i +1 2 γ 12 ◄ 143 ► , (i = 1,3,5) , I pi ,i +1G π di4,i +1G A tengelyekben felhalmozott rugalmas energia 2 ϕ2 − ϕ1 ) ( U= Vissza , (i = 1,3,5) . 2 ⎛ ⎛ ⎞ D2 ⎞ D ϕ 2 ⎟ ⎜ ϕ6 − 4 ϕ 4 ⎟

⎜ ϕ4 − D3 ⎠ D5 ⎠ +⎝ +⎝ . γ 34 γ 56 A külső erőrendszer teljesítménye P = M1ϕ1 + M 6ϕ6 , mivel a 3 és 4 jelű fogaskerekeknél a pozitív szögelfordulás iránya az áttétel miatt fordított, addig az 5, 6 jelű és az 1, 2 jelű fogaskerekeknek egymással azonos a forgásiránya. Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer 1 1 ⎫ J1ϕ1 + ϕ1 − ϕ2 = M1 ⎪ γ 12 γ 12 ⎪ ⎪ ⎛ ⎛ 1 D22 ⎞ D22 ⎞ D2 1  ⎪ J J ϕ ϕ ϕ ϕ 0 + − + + − = ⎜⎜ 2 3 2⎟ ⎟ 2 γ 12 1 ⎜⎜ γ 12 D 2γ ⎟⎟ 2 D3γ 34 4 D ⎪ 3 ⎠ 3 34 ⎠ ⎝ ⎝ ⎪ ⎪ ⎛ ⎛ 1 D42 ⎞ D2 D42 ⎞ ⎬. ϕ2 + ⎜ ϕ4 − + 2 ⎜⎜ J 4 + J 5 2 ⎟⎟ ϕ4 − ⎟ ⎜ ⎟ D γ γ ⎪ D D γ 3 34 5 ⎠ 5 56 ⎠ ⎝ ⎝ 34 ⎪ D4 ϕ6 = 0 ⎪ − ⎪ D5γ 56 ⎪ D4 1 J 6ϕ6 − ϕ4 + ϕ = M 6 ⎪⎪ D5γ 56 γ 56 6 ⎭ A szerkezet rezgéstani modellje áttételes rezgőrendszer. b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű

modell maghatározása: Válasszuk általános koordinátáknak a q1 = D2ϕ1 , q2 = D2ϕ2 = D3ϕ3 , D D q3 = D3ϕ4 = D3 5 ϕ5 , q4 = D3 5 ϕ6 koordinátákat. Ezzel a kinetikus D4 D4 energia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 143 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 144 ► 1 ⎡ J1 2 ⎛ J 2 J 3 ⎞ 2 ⎛ J 4 D42 J 5 ⎞ 2 D42 J 6 2 ⎤ E = ⎢ 2 q1 + ⎜ 2 + 2 ⎟ q 2 + ⎜ 2 + 2 2 ⎟ q3 + 2 2 q 4 ⎥ . ⎜D ⎟ ⎜D ⎟ 2 ⎢⎣ D2 D3 D5 ⎥⎦ ⎝ 2 D3 ⎠ ⎝ 3 D3 D5 ⎠ A rugókban felhalmozott rugóenergia 2 2 2 q2 − q1 ) q3 − q2 ) D42 ( q4 − q3 ) ( ( U= + + , D22γ 12 D32γ 34 D32 D52γ 56 DM M a teljesítmény P = 1 q1 + 4 5 q5 . D2 D3 D5 A mozgásegyenlet-rendszer J1 M 1 1 q + 2 q1 − 2 q2 = 1 2 1 D2 D2 D2 γ 12 D2 γ 12 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ J 2 J3 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎪  + − + + − q q q

⎜⎜ 2 ⎟⎟ 2 1 ⎜ 2⎟ 2 ⎟ 2 D 2γ ⎜ D 2γ ⎪ γ D D D 3 ⎠ 2 12 3 34 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 12 ⎪ 1 ⎪ − 2 q3 = 0 ⎪ D3 γ 34 ⎪ ⎬. 2 ⎛ J 4 D42 J 5 ⎞ ⎛ ⎞ D4 1 1 ⎪ + 2 2 q2 + ⎜ 2 ⎜⎜ 2 + 2 2 ⎟⎟ q3 − 2 ⎟⎟ q3 − ⎜ ⎪ D3 γ 34 ⎝ D3 D3 D5 ⎠ ⎝ D3 γ 34 D3 D5 γ 56 ⎠ ⎪ ⎪ D42 − 2 2 q4 = 0 ⎪ D3 D5 γ 56 ⎪ ⎪ D4 M 6 ⎪ D32 D52 J 5 D42 D42 q4 − 2 2 q3 + 2 2 q4 = D3 D5 ⎪⎭ D32 D3 D5 γ 56 D3 D5 γ 56 A rendszer tömegmátrixa: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 144 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ J1 0 ⎢ 2 D 2 ⎢ ⎢ J 2 J3 + ⎢ 0 D22 D32 ⎢ ⎡⎣ M ⎤⎦ = ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ a rugómátrix: ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎡ 1 ⎢ D 2γ ⎢ 2 12 ⎢ 1 ⎢− 2 ⎢ D2 γ 12 =⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ − D42 J 5 D32 D52 0 1 0 D22γ 12 1 D22γ 12 −

D32 + 145 ► 0 0 + ◄ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥, 0 ⎥ ⎥ ⎥ D42 J 6 ⎥ ⎥ D32 D52 ⎦ 0 J4 Vissza 1 − D32γ 34 1 1 D32γ 34 D32γ 34 − 0 1 D32γ 34 + ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥. ⎥ D42 ⎥ − 2 2 D3 D5 γ 56 ⎥ ⎥ ⎥ D42 ⎥ 2 2 D3 D5 γ 56 ⎦ 0 D42 D32 D52γ 56 D42 D32 D52γ 56 A láncszerű modell elágazásmentes, amely nem kötött rendszer: Q1 Q4 m3 m2 m1 c12 q1 c34 c23 q2 q3 m4 q4 A modellben az egyes mennyiségek az alábbi összefüggésekkel származtathatók: J D2 J D2 J J J J m1 = 12 , m2 = 22 + 32 , m3 = 42 + 24 52 , m4 = 24 62 , D3 D2 D3 D3 D3 D5 D3 D5 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 145 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 1 1 1 1 = 2 , = 2 , c12 D2 γ 12 c23 D3 γ 34 DM M Q1 = 1 , Q4 = 4 6 . D2 D3 D5 Vissza ◄ 146 ► D2 1 = 2 42 , c34 D3 D5 γ 56 c) Statikus

egyensúlyi helyzet megadása: Statikus állapot nem függ az időtől, így az általános koordináták második idő szerinti deriváltjai zérusértékűek. Mivel a rendszer láncszerű elágazásmentes, nem kötött, ezért a rugómátrix determinánsa ugyancsak zérusértékű. Ebből következően egy koordináta szabadon felvehető Válasszuk a q1st = 0 értéket ezzel az első egyenletből q2 st = D2γ 12 M1 = c12Q1 . A második egyenletbe q1st = 0 és q2 st értéket helyettesítve M1 = ( c12 + c23 ) Q1 . q3st = D22γ 12 + D32γ 34 D2 A harmadik egyenletbe q2 st és q3st értéket helyettesítve ( ) ⎛ ⎞M D2 D2 q4 st = ⎜ D22γ 12 + D32γ 34 + 3 2 5 γ 56 ⎟ 1 = ( c12 + c23 + c34 ) Q1 . ⎜ ⎟ D2 D4 ⎝ ⎠ Az utolsó egyenletbe q3st és q4st értéket helyettesítve Q1 = −Q4 egyenDD let adódik, vagyis M 6 = − 3 5 M1 egyenlet teljesülése esetén van a D2 D4 rendszer egyensúlyban. 6.66 példa Hajlító rezgések fogaskerekes hajtóműben Adott: m1 , m2 , J z1

, J z 2 , I z = áll., E = áll, x1 = 0 ,5l, x2 = 1,5l m1 , J z1 A y B m2 , J z 2 x x1 l x2 Feladat: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 146 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 147 ► a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek meghatározása. b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása. Kidolgozás: a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek meghatározása: Válasszuk általános koordinátáknak a y1 , y2 , ϕ1 , ϕ2 , koordinátákat. A nyomatéki ábrák meghatározása: F1 y F2 B A M1 l x1 x1 m y1 [m] x2 l − x1 l x M2 x m y 2 [m] x2 − l x mϕ1 [− ] x1 mϕ 2 [−] l (l − x1 ) x l x 1 ⎡ ⎢ ⎢ m y1m y 2 1 ⎢ ⎡⎣ D ⎤⎦ = I z E ( ∫l ) ⎢ m y1mϕ1 ⎢ ⎢m m ⎣ y1 ϕ 2 m 2y1 m y1m y 2 m y1mϕ1 m 2y 2 m y 2 mϕ1 m y 2 mϕ1 mϕ21 m y 2 mϕ 2 mϕ1mϕ 2 m y1mϕ 2 ⎤ ⎥

m y 2 mϕ 2 ⎥ ⎥ dx . mϕ1mϕ 2 ⎥ ⎥ 2 mϕ 2 ⎥⎦ Az integrálok kiszámítása (részletezés nélkül): l3 l3 2 , , m dx = m m dx = − ∫ y1 48 ∫ y1 y 2 16 ( 1,5l ) ( 1,5l ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ∫ m y1mϕ 1dx = 0 , ( 1,5l ) Vissza ◄ 147 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ∫ m y1mϕ 2 dx = − ( 1,5l ) l2 , 8 ∫ ( 1,5l ) 5l 2 ∫ my 2mϕ 2dx = 24 , ( 1,5l ) ∫ ( 1,5l ) mϕ2 2 dx = m 2y 2 dx = ∫ mϕ21dx = ( 1,5l ) l3 , 8 l , 12 Vissza ∫ ◄ 148 m y 2 mϕ 1dx = − ( 1,5l ) ► l2 , 16 l mϕ1mϕ 2 dx = − , 8 ( 1,5l ) ∫ 5l . Ezekkel a Maxwell-féle hatásmátrix 6 ⎡ l3 ⎢ ⎢ 48 ⎢ l3 ⎢− 1 ⎢ 16 ⎡⎣ D ⎤⎦ = IzE ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ l2 ⎢ ⎣ 8 l3 − 16 l3 8 − l2 16 5l 2 24 0 − l2 16 l 12 − l 8 l2 ⎤ − ⎥ 8⎥ 5l 2 ⎥ ⎥ 24 ⎥ . l ⎥ − ⎥ 8⎥

5l ⎥ ⎥ 6 ⎦ b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása: A m módosított tömegmátrix m = DM , vagyis ⎡ l3 ⎢ ⎢ 48 ⎢ l3 ⎢− 1 ⎢ 16 ⎡⎣ m ⎤⎦ = IzE ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ l2 ⎢ ⎣ 8 − l3 16 l3 8 − l2 16 5l 2 24 0 − l2 16 l 12 − l 8 l2 ⎤ ⎥ 8⎥ 5l 2 ⎥ ⎡ m1 0 ⎥⎢ 24 ⎥ ⎢ 0 m2 0 l ⎥⎢ 0 − ⎥⎢ 0 8 ⎥⎣ 0 5l ⎥ ⎥ 6 ⎦ − A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 0 0 J z1 0 ⎤ ⎥ ⎥= ⎥ ⎥ J z2 ⎦ 0 0 0 Vissza ◄ 148 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ l3 l3 m1 − m2 ⎢ 16 ⎢ 48 3 ⎢ l l3 − m m2 ⎢ 1 ⎢ 16 1 8 = IzE ⎢ l2 ⎢ 0 − m2 16 ⎢ ⎢ l2 5l 2 ⎢ m1 m2 24 ⎣ 8 ezzel a mozgásegyenlet-rendszer ⎡ l3 l3 0 m1 − m2 ⎢ 16 ⎢ 48 ⎢ l3 l3 l2 − − m m J z1 ⎢ 2 1 ⎢ 16 1 8 16 IzE ⎢ l2 l ⎢ 0 − m2 J z1 16 12 ⎢ ⎢ l2 5l 2 l ⎢ m1 m2 − J z1 24 8 ⎣ 8

⎡1 ⎢0 +⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 − l2 J z1 16 l J z1 12 l − J z1 8 Vissza ◄ 149 ► ⎤ l2 − J z2 ⎥ 8 ⎥ ⎥ 5l 2 J z2 ⎥ 24 ⎥, ⎥ l − J z2 ⎥ 8 ⎥ ⎥ 5l J z2 ⎥ 6 ⎦ ⎤ l2 − J z2 ⎥ 8 ⎥ ⎥ ⎡ y1 ⎤ 5l 2 J z 2 ⎥ ⎢ y ⎥ 24 ⎥⎢ 2⎥+ ⎥ ⎢ ϕ1 ⎥ l − J z2 ⎥ ⎢ ⎥ 8 ⎥ ⎣⎢ϕ 2 ⎦⎥ ⎥ 5l J z2 ⎥ 6 ⎦ 0 0 0 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ 1 0 0 ⎥⎥ ⎢ y2 ⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥ . = 0 1 0⎥ ⎢ϕ 1 ⎥ ⎢0⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 ⎦ ⎢⎣ϕ 2 ⎥⎦ ⎣0 ⎦ 6.67 példa Hajtómű tengely hajlító rezgéseinek mozgásegyenletrendszere Adott: m1 , m2 , J z1 , J z 2 , I z = áll., E, x1 = l, x2 = 2l m1 , J z1 y m2 , J z 2 A x x1 x2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 149 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 150 ► Feladat: a) A Maxwell-féle

hatásmátrix elemeinek a meghatározása. b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása. Kidolgozás: a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek a meghatározása: Válasszuk általános koordinátáknak az y1 , y2 , ϕ1 , ϕ2 , koordinátákat. Ezzel ⎡ m 2y1 m y1m y 2 m y1mϕ1 m y1mϕ 2 ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎢ m y1m y 2 my 2 m y 2 mϕ1 m y 2 mϕ 2 ⎥ 1 ⎢ ⎥ dx . ⎡⎣ D ⎤⎦ = 2 I z E ( ∫l ) ⎢ m m m y 2 mϕ1 mϕ1 mϕ1mϕ 2 ⎥ ⎢ y1 ϕ1 ⎥ 2 ⎢m m mϕ 2 ⎥⎦ ⎣ y1 ϕ 2 m y 2 mϕ 2 mϕ1mϕ 2 A nyomatéki ábrák: y F2 F1 x A x1 m y1 [m] x1 m y 2 [m] M1 x2 M2 x x x2 mϕ1 [−] x 1 mϕ 2 [−] x 1 Az integrálok kiszámítása (részletezés nélkül): l3 5 3 2 m dx = ∫ y1 3 , ∫ my1my 2dx = 6 l , ( 2l ) ( 2l ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ∫ m y1mϕ 1dx = ( 2l ) Vissza ◄ l2 , 2 150 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom ∫ m y1mϕ 2 dx = ( 2l ) ∫ l2 , 2 8 m 2y 2 dx = l 3 , 3 ( 1,5l ) ∫ ∫ m y 2 mϕ 2 dx = 2l 2 , ( 1,5l ) ∫ Vissza ◄ 151 ► 3 m y 2 mϕ 1dx = l 2 , 2 ( 1,5l ) ∫ ∫ mϕ21dx = l , mϕ1mϕ 2 dx = l , ( 1,5l ) ( 1,5l ) mϕ 2 dx = 2l . A Maxwell-féle hatásmátrix 2 ( 1,5l ) ⎡1 3 ⎢2l ⎢ ⎢ 5 l3 1 ⎢6 ⎡⎣ D ⎤⎦ = ⎢ IzE ⎢1 2 l ⎢2 ⎢1 ⎢ l2 ⎣2 5 3 l 6 8 3 l 3 3 2 l 2 1 2 l 2 3 2 l 2 2l 2 l l 1 2⎤ l 2 ⎥ ⎥ 2⎥ 2l ⎥ ⎥. l ⎥ ⎥ ⎥ 2l ⎥ ⎦ b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása: A m módosított tömegmátrix m = DM , vagyis ⎡1 3 ⎢2l ⎢ ⎢ 5 l3 1 ⎢6 ⎡⎣ m ⎤⎦ = ⎢ IzE ⎢1 2 l ⎢2 ⎢1 ⎢ l2 ⎣2 5 3 l 6 8 3 l 3 3 2 l 2 1 2 l 2 3 2 l 2 2l 2 l l 1 2⎤ l 2 ⎥ ⎥ ⎡m 0 1 2⎥ 2l ⎢ ⎥ ⎢ 0 m2 ⎥⎢ 0 0 l ⎥⎢ ⎥⎣ 0 0 ⎥ 2l ⎥ ⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 0 0 J z1 0 0 ⎤ 0 ⎥⎥ = 0 ⎥ ⎥ J z2 ⎦ Vissza ◄ 151 ►

Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 152 ► Vissza ◄ 152 ► 5 3 1 2 1 2 ⎡1 3 ⎤ ⎢ 2 l m1 6 l m2 2 l J z1 2 l J z 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 2 2 ⎢ 5 l 3m 8 l 3m l J z1 2l J z 2 ⎥ 1 2 ⎥ 1 ⎢6 3 2 = ⎢ ⎥, IzE ⎢1 2 3 2 l m1 l m2 lJ z1 lJ z 2 ⎥ ⎢2 ⎥ 2 ⎢1 ⎥ lJ z1 2lJ z 2 ⎥ ⎢ l 2 m1 2l 2 m2 ⎣2 ⎦ ezzel a mozgásegyenlet-rendszer 5 3 1 2 1 2 ⎡1 3 ⎤ ⎢ 2 l m1 6 l m2 2 l J z1 2 l J z 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ y1 ⎤ 3 2 2 ⎢ 5 l 3 m 8 l 3m ⎥ l J z1 2l J z 2 ⎢ y ⎥ 1 2 ⎥⎢ 2⎥ 1 ⎢6 3 2 ⎢ ⎥ ⎢ ϕ ⎥ + IzE ⎢1 2 3 2 1 ⎥ l m1 l m2 lJ z1 lJ z 2 ⎢ ⎥ ⎢2 ⎥ ⎢ϕ 2 ⎥ 2 ⎢1 ⎥⎣ ⎦ 2 2 lJ z1 2lJ z 2 ⎥ ⎢ l m1 2l m2 ⎣2 ⎦ ⎡1 0 0 0 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢0 1 0 0 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢0 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥. +⎢ ⎢0 0 1 0 ⎥ ⎢ ϕ 1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1 ⎦ ⎢⎣ϕ 2 ⎥⎦ ⎣0

⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 153 ► 7. Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletrendszerének megoldásai 7.1 Diszkrét rezgőrendszerek A 6. pontban tárgyalt N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének legáltalánosabb alakjára Aq + Bq = Q mátrixegyenlet írható. A mozgásegyenlet-rendszer közönséges, másodrendű, lineáris, hiányos, inhomogén differenciálegyenlet-rendszer Mind az A mátrix, mind a B mátrix mérete N × N , vagyis a mátrixok N sort és N oszlopot tartalmaznak. Az ilyen differenciálegyenlet-rendszer megoldását q =q +q h p alakban keressük, ahol q a homogén differenciálegyenlet-rendszernek h az általános, míg q p az inhomogén differenciálegyenlet-rendszernek egy partikuláris megoldása. Keressük először a

Aq + Bq = 0 h h homogén egyenlet általános megoldását q =q h 0 ( asinα t + bcosα t ) alakban. Helyettesítsük vissza az általános megoldást a differenciálegyenlet-rendszerbe A második derivált q = −α 2 q h 0 ( asinα t + bcosα t ) = −α 2 q h , amit a differenciálegyenletbe helyettesítve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 153 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ( −α 2 ) A+ B q 0 Vissza ◄ 154 ► ( asinα t + bcosα t ) = 0 egyenletet kapjuk. Mivel ( asinα t + bcosα t ) nem azonosan nulla, ezért az egyenlet csak akkor teljesül minden időpontban, ha az együtthatójuk zérusértékű. Ezzel a fenti egyenletből az ( −α 2 ) A+ B q = 0 , 0 Általánosított sajátérték feladatot kapjuk, amely egy lineáris homogén egyenletrendszert ad q oszlopmátrix elemeire, ahol α 2 a sajátérték, 0 q a

sajátvektor. 0 A fenti lineáris homogén egyenletrendszernek akkor van triviálistól különböző (zérustól különböző) megoldása, ha az egyenletrendszer együtthatómátrixának a determinánsa zérusértékű, vagyis det −α 2 A+ B = 0 . Ennek a determinánsnak a kifejtésével a ( −1) N K N α 2 N + ( −1)( N −1) K N −1α 2( N −1) + . + 1 + ( −1) K1α 2 + K 0 = 0 N-ed fokúra visszavezethető karakterisztikus egyenlethez jutunk, amely egyenletet ugyancsak karakterisztikus egyenletnek nevezzük. Ha A szimmetrikus és pozitív definit, valamint B szimmetrikus és pozitív szemidefinit, akkor bizonyítható, hogy ennek a karakterisztikus egyenletnek α 2 -re való megoldása mindig N db. nulla vagy pozitív értékre (α i2 ≥ 0 ) vezet, amiből az α i , ( i = 1, 2, . , N ) saját körfrekvenciák számíthatók Tehát egy N szabadságfokú diszkrét rendszernek N db. saját körfrekvenciája van A saját körfrekvenciákat növekvő sorrendben sorba

rendezzük: 0 ≤ α12 ≤ α 22 ≤ . ≤ α i2 ≤ ≤ α N2 Ha a legkisebb saját körfrekvencia zérus értékű akkor azt nulladik saját körfrekvenciának, a legkisebb nullá- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 154 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 155 ► tól különbözőt első, és így tovább a legnagyobb saját körfrekvenciát ( N − 1) -edik saját körfrekvenciának nevezzük. Valamennyi saját körfrekvencia kielégíti a karakterisztikus egyenletet, így a homogén egyenlet általános megoldásában ezek szuperpozícióját írhatjuk. A homogén differenciálegyenlet általános megoldása így N q há = ∑ ( ai sin α i t + bi cos α i t )q i =1 0i alakban írható, ha a legkisebb saját körfrekvencia nem zérus, és q há = ( s0 + tv0 ) q 00 + N −1 ∑ ( ai sin αit + bi cos αit )q0i i =1 alakban

írható, ha a legkisebb saját körfrekvencia zérus. A fenti összefüggésekben s0 , v0 , ai , bi mennyiségek a kezdeti paraméterekből határozhatók meg. A q oszlop minden elemének értéke 00 1, míg q 0i oszlopmátrixok koordinátái az ( −α 2 i A+ B )q 0i =0 általánosított sajátérték feladatból határozható meg. Megoldásként q 0i oszlopmátrix koordinátáit kapjuk, amelyek a rezgés amplitúdójával arányosak, illetve rögzített i értékhez tartozóan, ezen amplitúdók egymáshoz viszonyított arányát kapjuk. Ez a viszony megadja az i-edik sajátfrekvenciához tartozó rezgésképet. Ezzel később még foglalkozunk Hajlító lengések esetén, a homogén differenciálegyenlet-rendszer megoldása során ⎡ −mα 2 + E ⎤ q = 0 ⎣ ⎦ 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 155 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 156 ► lineáris egyenletrendszerhez jutunk. Az egyenletrendszert −α 2 -tel vé1 gigosztva, és bevezetve a λ = 2 mennyiséget a karakterisztikus α egyenletet az det m − λ E = 0 determináns kifejtésével nyerjük. Ez pedig nem más mint az m mátrix sajátérték feladata. λ = 1 mennyiségeket tehát az m mátrix sajátér- α2 tékei szolgáltatják. Láncszerű rendszerek megoldásaival külön fejezetben foglalkozunk. A csillapítás mentes gerjesztett rendszer megoldását mindig olyan alakban keressük, mint amilyen alakban a differenciálegyenlet jobboldalán álló un. zavaró mátrix adott Így abban az esetben, ha a zavaró mátrix függvénye Q = Q sin (ωt + ε ) alakban van megadva, akkor a 0 partikuláris megoldást is q = q p p0 sin (ωt + ε ) alakban keressük. Ha- sonlóan, ha a zavaró mátrix Q = Q sin ( 2ωt + ε ) alakú, akkor a parti0 kuláris megoldást is q = q p sin ( 2ωt + ε ) alakban keressük. Ha a p0 zavaró

mátrix több tagból áll, akkor a partikuláris megoldást is több tagban keressük mindegyik zavaró tagmátrixhoz külön-külön megkeresve a megoldást. Legyen a zavaró mátrix Q = Q sin (ωt + ε ) 0 alakú. Ebben az esetben a partikuláris megoldást q =q p p0 sin (ωt + ε ) alakban keressük, amelynek az idő szerinti második deriváltja q = −ω 2 q p p0 sin (ωt + ε ) = −ω 2 q . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom p Vissza ◄ 156 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 157 ► A fenti összefüggéseket a differenciálegyenlet-rendszerbe helyettesítve ( −ω 2 ) A + B q sin (ωt + ε ) = Q sin (ωt + ε ) p0 0 egyenletrendszert kapjuk, amelynek minden időpontban teljesülnie kell. Ebből az következik, hogy a sin (ωt + ε ) trigonometrikus függvény együtthatójának a két oldalon meg kell egyezni: ( −ω Ezzel

a q p0 2 ) A+ B q p0 =Q . 0 mátrix elemeire egy lineáris algebrai inhomogén egyenlet- rendszert kaptunk, amelynek megoldása adja a keresett partikuláris megoldás együtthatómátrixát. Ennek az inhomogén egyenletrendszernek akkor van egyértékű megoldása, ha az egyenletrendszer együtthatómátrixának a determinánsa nem nulla, vagyis det −ω 2 A + B ≠ 0 teljesül. (Könnyen belátható, hogy ha a determináns zérus, akkor ω megegyezik valamelyik sajátértékkel (ω = α i ) . Ez pedig azt jelenti, hogy az ilyen gerjesztés esetében rezonanciajelenség – lásd az 5. pontban bemutatott megoldásokat – lép fel, ami csillapítás nélkül, végtelen nagy elmozdulásokat eredményez. Ezzel a kérdéssel e tárgy keretein belül több szabadságfokú rendszereknél nem foglalkozunk.) 7.2 Megoldás elágazásmentes láncszerű szabad rezgőrendszerek esetében m2 m1 q1 c12 q2 m3 c23 q3 Vizsgáljuk meg az ábrán látható három szabadságfokú, nem

kötött, elágazásmentes láncszerű, szabad rezgőrendszert. A saját körfrekvenciák meghatározására felírható determináns A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 157 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ m1 0 det -α ⎢⎢ 0 m2 ⎢⎣ 0 0 2 ⎡ 1 ⎢ c 0 ⎤ ⎢ 12 ⎢ 1 0 ⎥⎥ + ⎢ − c m3 ⎥⎦ ⎢ 12 ⎢ ⎢ 0 ⎣ Vissza 1 c12 − 1 1 + c12 c23 − 1 c23 ◄ 158 ► ⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ − ⎥ =0 c23 ⎥ 1 ⎥ ⎥ c23 ⎦ alakú. Alakítsuk át a determinánst: 1 − α 2 m1 c12 − 1 c12 0 − 1 c12 0 1 1 + − α 2 m2 c12 c23 − − 1 c23 1 c23 = 0. 1 − α 2 m3 c23 A determináns kifejtésével kapjuk a rezgőrendszer karakterisztikus egyenletét: ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 1 − α 2 m1 ⎟ ⎜ + − α 2 m2 ⎟ ⎜ − α 2 m3 ⎟ − ⎜ ⎝ c12 ⎠⎝ c12 c23 ⎠ ⎝ c23 ⎠ 2 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛

1 ⎞ ⎛ 1 −⎜ − α 2 m1 ⎟ ⎜ − α 2 m3 ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = 0, ⎝ c12 ⎠ ⎝ c23 ⎠ ⎝ c23 ⎠ ⎝ c12 ⎠ majd végezzük el a kijelölt műveleteket: 2 ⎡ ⎤ ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 m2 m3 ⎥ α 2 − + ⎢ m1m2 + m1 ⎜ + ⎟ m3 + c23 c12 ⎝ c12 c23 ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎤ 2 m2 − ⎢ m1 ⎜ + + + + ⎟ ⎜ ⎟ m3 ⎥ α + c23 c12 ⎝ c12 c23 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ c12 c23 ⎠ c23 c12 ( ) − m1m2 m3 α 2 ( ) 3 2 2 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⎛ 1 ⎞ 2 + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + α m1 ⎜ ⎟ − c12 ⎝ c12 c23 ⎠ c23 c12 ⎝ c23 ⎠ ⎝ c23 ⎠ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 158 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 2 ◄ Vissza 159 ► 2 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 2 − ⎜ ⎟ + α m3 ⎜ ⎟ = 0. c23 ⎝ c12 ⎠ ⎝ c12 ⎠ Szorozzuk be az egyenletet c12 és c23 szorzatával, majd végezzük el a

megfelelő összevonásokat, ezzel a ( ) − m1c12 m2c23m3 α 2 3 + ( ) + ⎡⎣ m1c12 m2 + m1 ( c12 + c23 ) m3 + m2c23m3 ⎤⎦ α 2 2 − − [ m1 + m2 + m3 ]α 2 = 0 harmadfokú egyenletre visszavezethető karakterisztikus egyenlethez jutunk. A nem kötött rendszerhez tartozó karakterisztikus egyenletet megvizsgálva az alábbi szabályszerűséget tudjuk megállapítani: Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatványa a tömegek számával egyezik meg. Nincs konstans tag (a rugómátrix determinánsa nulla), tehát az α 2 = 0 megoldása a karakterisztikus egyenletnek. Ez azt jelenti, hogy α 2 = 0 megoldás esetén, a rendszer valamennyi pontjának állandó sebességű mozgatása ( qi = q0 + v0t , i = 1, 2, . , N ) , megoldása a kiinduló differenciál-egyenletrendszernek. Az α = 0 saját nulladik saját körfrekvenciának ( α 0 ) nevezzük. körfrekvenciát Az együtthatók előjelei alternálóan változnak a kitevő változásával. Az α 2 páros kitevőjű

hatványaihoz pozitív, míg a páratlan kitevőjű hatványaihoz negatív előjelű együttható tartozik. Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő rugóállandókkal együtt. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 159 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Az (α ) , 2 i ( i = 1, 2, ◄ Vissza 160 ► . , N ) együtthatójában annyi tag szerepel, ahányféleképpen az i számú tömeg kiválogatható az összes tömegből. Az együttható minden tagjában i számú tömeg szerepel szorzótényezőként (minden variációban), a közöttük lévő rugóállandók szorzatával együtt. Ha két, nem szomszédos tömeg szorzata szerepel, akkor a két tömeg között lévő rugóállandók összege áll szorzatként. Az α 2 -es tag együtthatója a tömegek összegeként áll

elő, és előjele negatív. A fenti szabályszerűségek szem előtt tartásával felírhatjuk egy négy szabadságfokú (lásd az ábrán) nem kötött rendszer karakterisztikus egyenletét: m1 m3 m2 c12 q1 c34 c23 q2 ( ) m1c12 m2c23m3c34 m4 α 2 4 m4 q3 q4 − − [ m1c12 m2c23m3 + m1c12 m2 ( c23 + c34 ) m4 + ( ) + m1 ( c12 + c23 ) m3c34 m4 + m2c23m3c34 m4 ⎤⎦ α 2 3 + + ⎡⎣ m1c12 m2 + m1 ( c12 + c23 ) m3 + m1 ( c12 + c23 + c34 ) m4 + ( ) + m2c23m3 + m2 ( c23 + c34 ) m4 + m3c34 m4 ⎦⎤ α 2 2 − − [ m1 + m2 + m3 + m4 ]α 2 = 0. A nem kötött rendszerek karakterisztikus egyenleteiből könnyen származtathatjuk a kötött rendszerekét. Vizsgáljuk meg az ábrán látható egyik oldalon kötött rendszert. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 160 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom m1 Vissza ► c23 c12 q1 161 m3

m2 c01 ◄ q2 q3 A karakterisztikus egyenlet felírásánál a négy szabadságfokú nem kötött rendszer karakterisztikus egyenletéből indulunk ki, miután azt α 2 -tel végigosztottuk. A befalazást m0 tömegnek vesszük, amely végtelen nagy, ezért az egyenletet m0 mennyiséggel végigosztva, és képezve a határátmenetet ( m0 ∞ ), az alábbi egyenletet kapjuk: ( ) −c01m1c12 m2c23m3 α 2 3 + ( ) + ⎡⎣c01m1c12 m2 + c01m1 ( c12 + c23 ) m3 + ( c01 + c12 ) m2c23m3 ⎤⎦ α 2 2 − − ⎡⎣c01m1 + ( c01 + c12 ) m2 + ( c01 + c12 + c23 ) m3 ⎤⎦ α 2 + 1 = 0 . m1 m2 c23 c12 q1 m3 q2 c30 q3 Ha a másik oldalon van a befalazás, akkor a karakterisztikus egyenletet a fentiekhez hasonló elvek alapján írhatjuk fel: ( ) − m1c12 m2 c23m3c30 α 2 3 + ( ) + ⎡⎣ m1c12 m2 ( c23 + c30 ) + m1 ( c12 + c23 ) m3c30 + m2c23m3c30 ] α 2 2 − − ⎡⎣ m1 ( c12 + c23 + c30 ) + m2 ( c23 + c30 ) + m3c30 ⎤⎦ α 2 + 1 = 0 . Egyik oldalon befalazott

láncszerű rendszer karakterisztikus egyenletének felírásánál az alábbi szabályok írhatók fel: Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatványa a tömegek számával egyezik meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 161 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 162 ► A konstans tag értéke 1. (A rugómátrix determinánsa nem nulla) Az együtthatók előjelei alternálóan változnak a kitevő változásával. Az α 2 páros kitevőjű hatványához pozitív, míg a páratlan kitevőjű hatványához negatív előjelű együttható tartozik. Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő, és az állványhoz rögzítő rugó rugóállandóival együtt. Az (α 2 ) , i ( i = 1, 2, . N ) együtthatójában annyi tag szerepel ahányféleképpen az i számú tömeg

kiválogatható az összes tömegből. Minden tagban i számú tömeg szerepel szorzatként (az összes tagban minden variációban), a közöttük, valamint az állvány és a szélső tömegek közötti rugóállandókkal együtt. Ha két, nem szomszédos tömeg szorzata szerepel, akkor a közöttük lévő rugóállandók összege áll szorzatként. Ugyanez vonatkozik az állvány és a hozzá közelebbi tömeg közötti rugóállandókra. Az α 2 -es tag együtthatója az egyes tömegek összegeként áll elő, tagonként megszorozva az állvány és a tömeg közötti rugóállandók öszszegével. Az előjele negatív A legkisebb saját körfrekvencia becslésére Dunkerley egy közelítő formulát alkotott, amit róla neveztek el. Ez arra alapoz, hogy a karakterisztikus egyenletben zérusnak vesszük az α 2 magasabb rendű hatványainak együtthatóit, csak az α 2 -ben lineáris tagot és a konstans tagot tartjuk meg. Ezzel α2 = 1 m1 ( c12 + c23 + c30 ) + m2 ( c23 + c30 )

+ m3c30 összefüggést kapjuk a jobboldalon kötött rendszer esetében, míg a baloldalon kötött rendszer esetében A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 162 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom α2 = Vissza ◄ 163 ► 1 c01m1 + ( c01 + c12 ) m2 + ( c01 + c12 + c23 ) m3 összefüggés adja a legkisebb saját körfrekvencia ( α 2 ) alulról közelítő értékét. Dunkerley közelítő formulája természetesen érvényes más több szabadságfokú láncszerű rezgőrendszerek esetében is. Amennyiben mindkét oldalon kötött a rezgőrendszer, akkor a két tömeggel bővített, nem kötött rezgőrendszerhez tartozó karakterisztikus egyenletben lévő tagok közül csak azok a tagok maradnak bent, amelyekben mindkét szélső tömeg szerepel, mivel ezen a tömegekkel végigosztjuk az egyenletet, és határátmenetet képezünk úgy, hogy e

tömegek tartanak a végtelenhez. Tehát azok a tagok, amelyekben nem szerepel mindkét szélső tömeg, zérussá válnak, azokban a tagokban, amelyekben mindkét szélső tömeg szerepel, e tömegek helyébe 1 írandó. m1 c01 m2 c23 c12 q1 m3 c30 q2 q3 Vizsgáljuk meg az ábrán látható, mindkét végén befalazott láncszerű longitudinális rezgőrendszert. A rezgőrendszerhez tartozó karakterisztikus egyenlet az alábbi: ( ) −c01m1c12 m2c23m3c30 α 2 3 + + ⎣⎡c01m1c12 m2 ( c23 + c30 ) + c01m1 ( c12 + c23 ) m3c30 + ( ) + ( c01 + c12 ) m2c23m3c30 ⎦⎤ α 2 2 − − ⎡⎣c01m1 ( c12 + c23 + c30 ) + ( c01 + c12 ) m2 ( c23 + c30 ) + + ( c01 + c12 + c23 ) m3c30 ⎦⎤ α 2 + ( c01 + c12 + c23 + c30 ) = 0 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 163 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 164 ► E karakterisztikus

egyenletnél az alábbi törvényszerűségek állapíthatók meg: Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatványa a tömegek számával egyezik meg. A konstans tag értéke a rugóállandók összege. (A rugómátrix determinánsa nem nulla) Az együtthatók előjelei alternálóan változnak a kitevő változásával. Az α 2 páros kitevőjű hatványához pozitív, míg a páratlan kitevőjű hatványához negatív előjelű együttható tartozik. Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő, és az állványhoz rögzítő rugók rugóállandóival együtt. Az (α 2 ) , i ( i = 1, 2, . N ) együtthatójában annyi tag szerepel ahányféleképpen az i számú tömeg kiválogatható az összes tömegből. Minden tagban i számú tömeg szerepel szorzatként (az összes tagban minden variációban), a közöttük, valamint az állvány és a szélső tömegek közötti rugóállandókkal együtt. Ha két, nem

szomszédos tömeg szorzata szerepel, akkor a közöttük lévő rugóállandók összege áll szorzatként. Ugyanez vonatkozik az állvány és a hozzá közelebbi tömeg közötti rugóállandókra. Az α 2 -es tag együtthatója az egyes tömegek összegeként áll elő, megszorozva az állvány és a tömeg közötti rugóállandók összegével. Az előjele negatív. 7.3 Sajátfrekvenciákhoz tartozó rezgéskép láncszerű rendszereknél Az N szabadságfokú láncszerű rezgőrendszerek sajátossága, hogy szétesik N db egyszabadságfokú rezgőrendszerre. Ezt jól illusztrálja az 5. pontban bemutatott 565 példa Az ott bemutatott példa maga olyan, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 164 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 165 ► hogy a mozgásegyenlet-rendszer esik szét két, egymástól nem függő egyszabadságfokú

rezgőrendszer egyenletére. Vizsgáljuk meg az ábrán látható N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszert. m1 m2 c23 c12 q1 ⋅⋅⋅ q2 mi −1 ci −2,i −1 mi +1 mi ci −1,i qi −1 ci ,i +1 qi mN ⋅⋅⋅ ci +1,i +2 c N −1,N qN qi +1 Ha megvizsgáljuk, hogy az egyes tömegek milyen mozgást végeznek, amikor a rendszer valamely saját körfrekvenciáján rezeg, akkor megállapíthatjuk, hogy az egyes tömegek pillanatnyi sebességei lehetnek azonos irányúak, de lehetnek ellentétes irányúak is. Amennyiben az egymással szomszédos tömegek pillanatnyi sebességeit vizsgáljuk, akkor két eset lehetséges. Az egyik esetben a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak és azonos nagyságúak, akkor a közöttük lévő rugó valamennyi pontjának sebessége is megegyezik e sebesség irányával és nagyságával, vagyis a rugó ebben az esetben merevtestszerűen mozdul el. Ebben az esetben nemcsak a rugó pontjainak a

sebessége azonos, hanem a rugót bármelyik irányban meghosszabbítva is azonos sebességű ponthoz jutunk, vagyis nem találunk sem a rugón, sem annak meghosszabbításában olyan pontot amelynek a sebessége zérus lenne. A másik esetben a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve, nem azonosak. Ebben az estben a közöttük lévő rugó pontjainak a sebessége a tömegtől mért távolság függvényében lineárisan változik. Ha a rugó mentén a nagyobb sebességű tömegponttól elindulunk a kisebb sebességű tömegpont felé, akkor azt tapasztaljuk, hogy a rugó pontjainak a sebessége a tömegponttól való távolsággal arányosan csökken. Ha a rugó mentén elegendő utat megteszünk, akkor elérünk egy olyan ponthoz, amely pontnak a sebessége zérus. Ezt a pontot a rugó csomópontjának (zérussebességű pontjának) nevezzük. Könnyen belátható, hogy a csomópont ráesik a rugóra, ha a szomszédos tömegek sebessége

egymáshoz képest ellentétes irányú, illetve nem esik rá a rugóra, ha a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak. Abban az esetben, ha a csomópont ráesik a rugóra, akkor valóságos csomópontról beszélünk, egyébként a csomópont virtuális. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 165 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 166 ► Csomópontnak a rezgő rugó azon pontját értjük, amely rezgés közben helyben marad. A csomópont valóságos, ha a rugó valódi pontjára esik, egyébként virtuális. A csomópontok alapján minősíthetjük a rendszer α i , ( 1 ≤ i ) saját körfrekvenciáit: Az N szabadságfokú nem kötött rezgőrendszernek mindig van N-1 számú csomópontja. Ezek közül i számú ( 1 ≤ i ≤ N − 1 ) valódi, a többi virtuális. A rendszernek i-edik saját körfrekvenciájához ( α i ), i

számú valódi csomópont tartozik a többi csomópont virtuális. Az N szabadságfokú, egyik oldalon kötött rezgőrendszernek N számú csomópontja van. Ezek közül i számú ( 1 ≤ i ≤ N ) valódi, a többi virtuális A rendszernek i-edik saját körfrekvenciájához ( α i ), i számú valódi csomópont tartozik a többi csomópont virtuális. Az N szabadságfokú, mindkét oldalon kötött rezgőrendszernek N+1 számú csomópontja van. Ezek közül i számú ( 2 ≤ i ≤ N + 1 ) valódi, a többi virtuális. A rendszernek i-edik saját körfrekvenciájához ( α i ), i+1 számú valódi csomópont tartozik a többi csomópont virtuális. Abban az esetben, ha α = 0 megoldása a karakterisztikus egyenletnek (nem kötött rezgőrendszerek), akkor α = 0 esetén nincsen egyetlen egy csomópont sem, tehát ez a saját körfrekvencia a nulladik α 0 = 0 . Vizsgáljuk meg az ábrán látható három szabadságfokú nem kötött rezgőrendszert. m1 m2 c12 q1 m3 c23 q2 q3

Írjuk fel a karakterisztikus egyenletet: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 166 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ( ) − m1c12 m2c23m3 α 2 3 Vissza ◄ 167 ► + ( ) + ⎣⎡ m1c12 m2 + m1 ( c12 + c23 ) m3 + m2c23m3 ⎦⎤ α 2 2 − − [ m1 + m2 + m3 ]α 2 = 0. A karakterisztikus egyenletnek egy megoldása α = 0 . Ez a nulladik saját körfrekvencia, vagyis α 0 = 0 . Keressük a nullától különböző saját körfrekvenciákat! Az egyenletet α 2 -tel végigosztva másodfokú egyenlethez jutunk, amelyben a = m1c12 m2c23m3 , b = − ⎡⎣ m1c12 m2 + m1 ( c12 + c23 ) m3 + m2c23m3 ⎤⎦ , c = [ m1 + m2 + m3 ] változók bevezetésével α1 = −b − b 2 − 4ac 2a α2 = −b + b 2 − 4ac 2a az egyik (kisebb), és a másik (nagyobbik) saját körfrekvencia. Amennyiben a rendszer α1 saját körfrekvenciával rezeg, akkora a

rendszer úgy mozog, hogy csak az egyik rugón van valóságos csomópont, a másikon virtuális a csomópont. Ha a rendszer α 2 saját körfrekvenciával rezeg, akkora a rendszer úgy mozog, hogy mindkét rugón valóságos csomópont található. A csomópontok helye is meghatározható, hiszen a csomópontok a rezgés során helyben maradnak, ezért úgy viselkednek, mintha a rugó ott meg lenne fogva, vagyis a csomópontok helyére befalazást tehetünk. Ezzel a fenti, három szabadságfokú rezgőrendszer három A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 167 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 168 ► egyszabadságfokú rezgőrendszerre esik szét az ábrán látható szemléltetés szerint. ′ c12 m1 ′′ c12 ′ c23 m2 c12 q1 m1 ′′ c23 m3 c23 q2 ′ c12 ′′ c23 m3 ′ c23 ′′ c12 q3 m2 Az egyes rugókra

vonatkozóan fennállnak a ′ + c12 ′′ , illetve c23 = c23 ′ + c23 ′′ c12 = c12 összefüggések. A fentiek, és az egyszabadságfokú rezgőrendszereknél leírtak alapján könnyen meghatározhatjuk a csomópontokat. A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszer esetén α2 = 1 ′ m1c12 ′ = c12 1 írható, amiből m1α 2 ′ + c12 ′′ , így c12 ′′ = c12 − c12 ′ számítható. Ezután számítható. Mivel c12 = c12 a középső egyszabadságfokú rezgőrendszer esetén ⎛ 1 1 ⎞ 1 c′′ + c′ + = 12 23 α2 = ⎜ ⎟ ′′ ′ ′′ c23 ′ c c m m1c12 23 ⎠ 1 ⎝ 12 írható, amiből ′ = c23 ′′ c12 2 ′′ − 1 m1α c12 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 168 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 169 ► ′ + c23 ′′ , így c23 ′′ = c23 − c23 ′ számítható. Ezszámítható

Miután c23 = c23 zel a jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszer ellenőrzésre használható. Igaznak kell lennie az α2 = 1 ′′ m3c23 egyenlőségnek. ′ vagy a c12 ′′ közül az egyik negatív (itt Abban az esetben, ha a c12 ′′ lehet negatív), akkor a c12 rugón a csomópont virtuális. Abcsak c12 ′ vagy a c23 ′′ közül az egyik negatív (itt csak ban az esetben, ha a c23 ′ lehet negatív), akkor a c23 rugón a csomópont virtuális. c23 A csomópontok szemléltethetők is. Vizsgáljunk meg egy lehetséges rezgésképet az α1 saját körfrekvencia esetén. Tételezzük fel, hogy a baloldali rugón valódi, a jobboldali rugón virtuális csomópont van. Az alábbi ábra szemlélteti a rezgésképet. A rajzhoz rugóléptéket kell felvenni Az m1 és m2 tömegeket c12 , az m2 és m3 tömegeket c23 távolságra rajzoljuk fel K 23 q11 c12 c23 m1 m2 K12 ′′ ′ c12 c12 ′ −c23 ′′ c23 m3 q21 q31 Hasonlóan berajzoljuk csomópontokat is. A c12

rugón a K12 cso′ , az m2 tömegtől c12 ′′ távolságra van. Ez mópont az m1 tömegtől c12 valóságos csomópont. A c23 rugón a K 23 csomópont az m2 tömegtől ′ ( c23 ′ előjele negatív), az m3 tömegtől c23 ′′ távolságra van. Ez virtuc23 ális csomópont. Az 1 és 2 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában az ábrán látható arányos háromszögekből látszik, hogy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 169 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 170 ► q11 −q21 = ′ ′′ c12 c12 Hasonlóan a 2 és 3 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában − q21 − q31 = ′ ′′ c23 −c23 írható. A fenti összefüggésekből q21 = − ′′ c′′ c′′ c12 q11 , illetve q31 = 23 12 q11 . ′ ′ c12 ′ c12 c23 ′ előjele negatív. Nem szabad elfelejteni, hogy az összefüggésekben c23 A kezdeti értékek

megadása tehát nem lehet tetszőleges, ha a rezgés frekvenciája rögzített. Ebben az esetben csak az egyik tömeg elmozdulása és sebessége adható meg, a többi kiadódik Vizsgáljunk meg egy lehetséges rezgésképet az α 2 saját körfrekvencia esetén is. Ebben az esetben mindkét rugón valódi csomópont van. Az alábbi ábra szemlélteti a rezgésképet A rajzhoz rugóléptéket kell felvenni. Az m1 és m2 tömegeket c12 , az m2 és m3 tömegeket c23 távolságra rajzoljuk fel. c12 K12 m1 ′ c12 q12 ′′ c12 c23 m2 K 23 m3 ′ c23 ′′ c23 q22 q32 Hasonlóan berajzoljuk csomópontokat is. A c12 rugón a K12 cso′ , az m2 tömegtől c12 ′′ távolságra van. Ez mópont az m1 tömegtől c12 valóságos csomópont. A c23 rugón a K 23 csomópont az m2 tömegtől A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 170 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom Vissza ◄ 171 ► ′ , az m3 tömegtől c23 ′′ távolságra van. Ez is valóságos csomópont c23 Az 1 és 2 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában az ábrán látható arányos háromszögekből látszik, hogy q12 − q22 = ′ ′′ c12 c12 Hasonlóan a 2 és 3 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában −q22 − q32 = ′ ′′ c23 −c23 írható. A fenti összefüggésekből q22 = − ′′ c′′ c′′ c12 q12 , illetve q32 = 23 12 q12 . ′ ′ c12 ′ c12 c23 Nem szabad elfelejteni, hogy az összefüggésekben valamennyi rugóállandó előjele pozitív. Mindkét esetre igaz, hogy a homogén mozgásegyenlet-rendszer megoldásában szereplő q oszlopmátrix 0i ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ′′ ⎥ ⎡ q ⎤ = ⎢ − c12 ⎢ ⎥, ⎣⎢ 0i ⎥⎦ ⎢ c12 ′ ⎥ ⎢ c23 ′′ c12 ′′ ⎥ ⎢ ⎥ ′ c12 ′ ⎦ ⎣ c23 ( i = 1, 2 ) alakban írható fel. Az összefüggésben szereplő, a két saját körfrekven′ , c12 ′′ , c23

′ , c23 ′′ mennyiségek, a saját körfrekvenciától ciához tartozó c12 függően más és más értékre adódnak. Ezt, az így is bonyolult indexelés miatt, már külön nem indexeltük. Hasonlóan járunk el az N szabadságfokú nem kötött rendszer esetén is. A rezgőrendszer itt is szétesik N db egyszabadságfokú rezgőrendszerre Az alábbi ábra szemlélteti ennek a modelljét A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 171 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom m1 m2 c23 c12 q1 m1 mi −1 ⋅⋅⋅ ci −2,i −1 q2 mi +1 mi ci −1,i qi −1 Vissza ci ,i +1 qi ◄ ► mN ⋅⋅⋅ ci +1,i + 2 172 c N −1,N qN qi +1 ′ c12 q1 m2 ′′ c12 ′ c23 q2 ⋅⋅⋅ mi ci′′−1,i ci′,i +1 ⋅⋅⋅ mN c′′N −1, N qi qN A vesszős és kétvesszős rugóállandók meghatározása itt is hasonlóan

történik, mint azt a három szabadságfokú rendszer esetén bemutattuk. A rezgőrendszer egyik végéről elindulunk, és megyünk tömegről tömegre a vesszős és kétvesszős rugóállandók, ezzel a csomópontok meghatározásában. Ugyanígy járunk el a kötött rezgőrendszerek esetében is. Kötött rezgőrendszer esetében az egyik oldalon kötött rendszer esetében egy rugónak, mindkét oldalon kötött rendszer esetében két rugónak ismert a csomópontja. Ez/ezek a rugó/rugók az/azok, amely/amelyek a rezgőrendszert az állványhoz köti/kötik Ez/ezek a csomópont/csomópontok független/függetlenek attól, hogy a rezgőrendszer melyik saját körfrekvencián rezeg. Az első saját körfrekvencián az állványhoz kötött rugón/rugókon kívül nincs valóságos csomópont egyik közbülső rugón sem. A második saját körfrekvencián csak egyik közbülső rugónak van valóságos csomópontja. És így tovább az i-edik saját körfrekvencián i-1

közbülső rugónak van valódi csomópontja. A számítási eljárás megegyezik a nem kötött rendszerre vonatkozó eljárással A csomópontok keresésénél előfordulhat, hogy valamelyik csomópont a rugó szélére esik. Ez azt jelenti, hogy ezen a frekvencián annak a tömegnek a rezgési amplitúdója zérussá válik, amelyik tömeg egybeesik a rugó csomópontjával. Sőt, mivel a tömeg elmozdulása zérus, annak a rugónak is ide esik a csomópontja, amelyik rugó a tömeg másik A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 172 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 173 ► oldalán van. Ebben az esetben két rugón is található csomópont, de ez nem két csomópont, hanem csak egy, mivel a két csomópont egybeesik. Az ilyen egybeeső csomópontokat hangolásra is felhasználhatjuk. Minden frekvenciához találhatók olyan rugó- és

tömegparaméterek, amelyeknél egy kiválasztott tömegnek az elmozdulása zérusértékűvé válik. Ez felhasználható rezgésszigetelésre, ha egy munkaasztalt meg akarunk védeni egy bizonyos frekvenciájú rezgéstől, akkor olyan rezgőrendszert kell kiépíteni, amely ezt biztosítja. A kidolgozott példák között találunk ilyen megoldott feladatot is. Az egybeeső csomópontoknál a rugó menti sebességnövekmény a két rugónál megegyezik, vagyis a két rugót sebesség és elmozdulás szempontjából úgy kell tekinteni, mintha az egyetlen rugó lenne, amelynek a zérus elmozdulású pontja éppen a közöttük lévő tömegre esik. Csomópontok keresésénél előfordul, hogy egy rugónak a csomópontja végtelen távol kerül a rugó mindkét végétől. Ez azt jelenti, hogy a rugó valamennyi pontja azonos sebességgel mozog. Ilyenkor azon tömegeknek, amely tömegek a rugó két végén található, azonos a kitérése. Ilyen rugó bármelyik rezgésképnél

előfordulhat, ha nem a legmagasabb saját körfrekvenciához tartozó rezgésképről van szó 7.4 Inhomogén differenciálegyenlet-rendszer megoldása elágazásmentes láncszerű rendszerre Az inhomogén differenciálegyenlet-rendszer megoldása láncszerű rendszerek esetén is előállítható a 6.1 pontban leírtak alapján Láncszerű rendszerek esetén azonban van egy további lehetőség is Ezt a lehetőséget pedig a rendszer N db egyszabadságfokú rendszerre való szétesése jelenti A megoldás hasonló a 73 pontban leírtakhoz A terjedelmi korlátok miatt ezzel külön nem foglalkozunk 7.5 Példák diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének a megoldásaira 7.51 példa Nem kötött láncszerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképe A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 173 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Adott: m1 =

2 kg, m2 = 1 kg, m3 = 1 kg, m1 Vissza m2 c12 c12 = 0,5 ⋅10−4 m/N, c23 = 10 m/N. 174 ► m3 c23 q1 −4 ◄ q2 q3 Feladat: a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián. c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián Megoldás: a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása: A karakterisztikus egyenlet betűkkel: ( ) − m1c12 m2c23m3 α 2 3 ( ) + ⎡⎣ m1c12 m2 + m1 ( c12 + c23 ) m3 + m2c23m3 ⎤⎦ α 2 2 − − [ m1 + m2 + m3 ]α 2 = 0. Behelyettesítve: ⎧ −4 −4 2 2 + ⎨−2 ⋅ 0,5 ⋅10 ⋅1 ⋅10 ⋅1 α ⎩ + ⎡ 2 ⋅ 0,5 ⋅10−4 ⋅1 + 2 ⋅ 0,5 ⋅10−4 + 10−4 ⋅1 + 1⋅10−4 ⋅1⎤ α 2 − ⎣ ⎦ ( ) ( ) − [ 2 + 1 + 1]}α 2 = 0. Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényező nulla, így α 02 = 0 megol- ( ) dást, illetve 10−8 α 2 2 − 5 ⋅10−4 α 2 + 4 = 0 másodfokú egyenletet kap- juk,

amelynek gyökei: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 174 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 2 α12 = 5 ⋅10−4 ± (5 ⋅10−4 ) 2 − 4 ⋅10−8 ⋅ 4 2 ⋅10−8 Vissza ◄ 175 ► 4 ⋅104 , 5±3 4 = 10 = 2 104. α1 = 104 = 100 rad/s, α 2 = 4 ⋅104 = 200 rad/s, amit α 0 = 0 egészít ki. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián. m1 ′′ c12 ′ c12 m2 ′ c23 c12 q1 m1 ′′ c23 m3 c23 q2 ′ c12 ′′ c12 ′′ c23 ′ c23 q3 m3 m2 A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből α12 = ′ = c12 1 m1α12 = 1 2 ⋅10 4 1 , amiből ′ m1c12 = 0,5 ⋅10−4 m/N. ′′ = c12 − c12 ′ = 0,5 ⋅10−4 − 0,5 ⋅10−4 = 0 , vagyis a c12 rugón a csomóc12 pont a 2 jelű tömegre esik. Ez azt jelenti, hogy a 2 jelű tömeg helyben marad, ha a rezgőrendszer α1 = 100 rad/sec

frekvencián rezeg. A 2 jelű tömeg, vagyis a középső egyszabadságfokú rezgőrendszer vizsgálatának így nincs értelme. 1 , amiből A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből α12 = ′′ m1c23 1 1 ′ = c23 = = 1⋅10−4 m/N adódik. 2 4 m3α1 1 ⋅10 ′ = c23 − c23 ′′ = 10−4 − 10−4 = 0 , vagyis a c23 rugón is a csomópont a 2 c23 jelű tömegre esik. A rezgőrendszernek tehát egy csomópontja van, és A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 175 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 176 ► az a 2 jelű tömegre esik. A rezgéskép ábrázolása: ′ = 0,5 ⋅10−4 c12 = c12 ′′ = 10−4 c23 = c23 K12 = K 23 m1 m2 m3 q11 q31 q =0 21 q c q11 = − 31 igaz, amiből q31 = − 23 q11 = −2q11 , ilc12 c23 c12 Az amplitúdókra ⎡1⎤ ⎡ ⎤ letve q =⎢ 0 ⎥. ⎢⎣ 01 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 ⎥⎦ c)

Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián. m1 ′′ c12 ′ c12 m2 ′ c23 c12 q1 m1 ′′ c23 m3 c23 q2 ′ c12 ′′ c12 ′′ c23 q3 m3 ′ c23 m2 α 2 = 200 ′ = c12 1 m1α12 rad/s, = 1 2 ⋅ 4 ⋅10 4 esetén α 22 = 1 , ′ m1c12 amiből = 0,125 ⋅10−4 m/N. ′′ = c12 − c12 ′ = 0,5 ⋅10−4 − 0,125 ⋅10−4 = 0,375 ⋅10−4 , vagyis a c12 ruc12 gón a csomópont valóságos. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 176 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek ◄ ► A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza A középső egyszabadságfokú rezgőrendszerből α12 = ′′ + c23 ′ c12 , amiből ′′ m1c23 ′ c12 ′ = c23 ′′ c12 ′′ m2α12 c12 0,375 ⋅10−4 = −4 177 = 0, 75 ⋅10−4 m/N. − 1 0,375 ⋅10 ⋅1 ⋅ 4 ⋅10 − 1 ′ + c23 ′′ illetve A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből c23

= c23 4 ′′ = c23 − c23 ′ = 10−4 − 0, 75 ⋅10−4 = 0, 25 ⋅10−4 m/N, a csomópont valóc23 1 1 ′′ = ságos. c23 = = 0, 25 ⋅104 −4 2 m3α1 1 ⋅ 4 ⋅10 q q c′′ Az amplitúdókra 12 = − 22 igaz, amiből q22 = − 12 q12 = −3q12 , ′ ′′ ′ c12 c12 c12 c′′ q32 q 1 = − 22 igaz, amiből q32 = − 23 q22 = − q22 = q12 illetve ′′ ′ ′ c23 2 c23 c23 ⎡1⎤ ⎡ q ⎤ = ⎢ −3⎥ . ⎢⎣ 02 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ A rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekvenciánál: 0,125 ⋅10−4 0,375 ⋅10−4 0,5 ⋅10−4 m1 q12 K12 0, 75 ⋅10 0, 25 ⋅10−4 −4 10−4 m2 q22 K 23 m3 q32 7.52 példa Kötött láncszerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképe Adott: m1 = 2 kg, m2 = 1 kg, c01 = 10−4 m/N, c12 = 2 ⋅10−4 m/N. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 177 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Szakirodalom m1 Vissza ◄ 178 ► m2 c01 c12 q1 q2 Feladat: a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián. c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián Megoldás: a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása: A karakterisztikus egyenlet betűkkel: ( ) c01m1c12 m2 α 2 2 − ⎣⎡c01m1 + ( c01 + c12 ) m2 ⎦⎤ α 2 + 1 = 0. Behelyettesítve: ( ) 10−4 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅10−4 α 2 2 ( ) − ⎡10−4 ⋅ 2 + 10−4 + 2 ⋅10−4 ⋅1⎤ α 2 + 1 = 0 ⎣ ⎦ ( ) Megoldandó a 4 ⋅10−8 α 2 2 − 5 ⋅10−4 α 2 + 1 = 0 másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: 2 α12 = 5 ⋅10−4 ± (5 ⋅10−4 ) 2 2 ⋅ 4 ⋅10−8 − 4 ⋅ 4 ⋅10−8 5±3 4 104 , = 10 = 8 2500. α1 = 2500 = 50 rad/s, α 2 = 104 = 100 rad/s. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 178 ► Mechanika

Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 179 ► b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián: c01 c12 m1 m2 q1 ′ m1 c12 c01 q2 m2 q1 ′′ c12 q2 A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből α12 = ′′ = c12 1 m2α12 = 1 , amiből ′′ m2c12 1 = 4 ⋅10−4 m/N. 1 ⋅ 2500 ′ = c12 − c12 ′′ = 2 ⋅10−4 − 4 ⋅10−4 = −2 ⋅10−4 , vagyis a c12 rugón a csoc12 mópont virtuális. A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, c + c′ így teljesülnie kell a α12 = 01 12 egyenletnek, ami ′ c01m1c12 α12 ( ( ) ) 10−4 + −2 ⋅10−4 ′ c01 + c12 = = = 2500 teljesül is. ′ c01m1c12 10−4 ⋅ 2 ⋅ −2 ⋅10−4 A rezgéskép ábrázolása: ′′ = 4 ⋅10−4 c12 ′ = −2 ⋅10−4 c12 c01 = 10−4 c12 = 2 ⋅10−4 m2 m1 q21 K12 K 01 q11 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom Vissza ◄ 179 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Az amplitúdókra Vissza ◄ 180 ► q11 q c′′ = − 21 igaz, amiből q21 = − 12 q11 = 2q11 , illet′ ′′ ′ c12 c23 c12 ⎡1 ⎤ ve ⎡ q ⎤ = ⎢ ⎥ . ⎢⎣ 01 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎦ c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián: 1 α 22 = , α 2 = 100 rad/s, esetén ′′ m2c12 1 1 ′′ = c12 = = 10−4 m/N. 2 4 m2α1 1⋅10 amiből ′′ = c12 − c12 ′ = 2 ⋅10−4 − 10−4 = 10−4 , vagyis a c12 rugón a csomópont c12 valóságos. A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, c + c′ így teljesülnie kell a α 22 = 01 12 egyenletnek, ami ′ c01m1c12 ′ c01 + c12 10−4 + 10−4 = −4 = 104 teljesül is. − 4 ′ c01m1c12 10 ⋅ 2 ⋅10 A rezgéskép ábrázolása: ′ = 10−4 c12 ′′ = 10−4 c12 α12 = c01 = 10−4 c12 = 2 ⋅10−4

m2 m1 K 01 K12 q22 q12 A kitérésekre q12 q c′′ = − 22 igaz, amiből q22 = − 12 q12 = −q12 , illetve ′ ′′ ′ c12 c23 c12 ⎡q ⎤ = ⎡ 1 ⎤ . ⎣⎢ 02 ⎦⎥ ⎢⎣ −1⎥⎦ 7.53 példa Két oldalon kötött láncszerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképe A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 180 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom m1 = 100 kg, Adott: m2 = 50 kg, Vissza c01 = 10−4 m/N, ◄ 181 ► c12 = 10−4 m/N, c20 = 2 ⋅10−4 m/N. m1 m2 c01 c20 c12 q1 q2 Feladat: A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása, majd a differenciálegyenlet-rendszer megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvencián. Kidolgozás: A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása, majd a differenciálegyenlet-rendszer

megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvencián: A karakterisztikus egyenlet betűkkel: ( ) c01m1c12 m2c20 α 2 2 − ⎡⎣c01m1 ( c12 + c20 ) + ( c01 + c12 ) m2c20 ⎤⎦ α 2 + c12 + c20 + c20 = 0. Behelyettesítve: ( )− − ⎡10−4 ⋅100 ⋅ (10−4 + 2 ⋅10−4 ) + (10−4 + 10−4 ) ⋅ 50 ⋅ 2 ⋅10−4 ⎤ α 2 + ⎣ ⎦ 10−4 ⋅100 ⋅10−4 ⋅ 50 ⋅ 2 ⋅10−4 α 2 2 +10−4 + 10−4 + 2 ⋅10−4 = 0 ( ) Megoldandó a 10−8 α 2 2 − 5 ⋅10−6 α 2 + 4 ⋅10−4 = 0 másodfokú egyen- letet, amelynek gyökei: 2 α12 = 5 ⋅10−6 ± (5 ⋅10−6 ) 2 − 4 ⋅10−8 ⋅ 4 ⋅10−4 2 ⋅10−8 = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 4 ⋅102 , 5±3 2 10 = 2 102. Vissza ◄ 181 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 182 ► α1 = 102 = 10 rad/s, α 2

= 4 ⋅102 = 20 rad/s. Amplitúdók a saját körfrekvencián: ⎧ 1 1 ⎤⎫ ⎡ 1 + − ⎪ m ⎢ c12 ⎥ ⎪⎪ ⎡ q1i ⎤ ⎡0 ⎤ ⎪ ⎡ 1 0 ⎤ 2 ⎢ c01 c12 ⎥⎬ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ , ⎨− ⎢ ⎥ αi + ⎢ m 0 1 1 1 ⎥ 2⎦ ⎪ ⎣ ⎪ ⎣ q2i ⎦ ⎣0 ⎦ − + ⎢ ⎥ ⎪⎩ c12 c12 c20 ⎦ ⎪⎭ ⎣ Első saját körfrekvencián ( α1 = 10 rad/s ): ( i = 1, 2 ) ⎧ 1 1 ⎡ 1 ⎤⎫ + −4 − −4 ⎪ ⎡100 0 ⎤ ⎪ ⎡ q ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ −4 ⎪ ⎪ 11 10 10 10 ⎢ ⎥ − 100 + = , behe⎨ ⎢ ⎬ ⎥ 1 1 ⎥ ⎪ ⎢⎣ q21 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢ − 1 ⎪ ⎣ 0 50 ⎦ + 10−4 10−4 2 ⋅10−4 ⎦⎥ ⎭⎪ ⎣⎢ ⎩⎪ ⎡ 104 −104 ⎤ ⎡ q11 ⎤ ⎡0 ⎤ lyettesítve ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ , azaz q11 = q21 . Ez azt jelenti, ⎢⎣ −104 104 ⎥⎦ ⎣ q21 ⎦ ⎣0 ⎦ hogy a két tömegnek azonos nagyságú és előjelű a kitérése. Nincs a c12 ⎡1⎤ rugónak zérus helye az első saját körfrekvencián: ⎡ q ⎤ = ⎢ ⎥ . ⎣⎢ 01

⎦⎥ ⎣1⎦ Rezgéskép ábrázolása az első saját körfrekvencián: 10−4 m1 K 01 10−4 2 ⋅10−4 m2 q11 = q21 K 20 Második saját körfrekvencián ( α 2 = 20 rad/s ): ⎧ 1 ⎡ 1 + ⎪ ⎡100 0 ⎤ ⎢10−4 10−4 ⎪ 400 + ⎢ ⎨− ⎢ ⎥ ⎢ − 1 ⎪ ⎣ 0 50 ⎦ ⎢ 10−4 ⎣ ⎩⎪ ⎤⎫ ⎥ ⎪⎪ ⎡ q ⎤ ⎡0 ⎤ 10−4 ⎥ ⎬ ⎢ 12 ⎥ = ⎢ ⎥ , behe1 1 ⎥ ⎪ ⎣ q22 ⎦ ⎣0 ⎦ + −4 10 2 ⋅10−4 ⎦⎥ ⎭⎪ − 1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 182 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 183 ► ⎡ −2 ⋅104 −104 ⎤ ⎡ q12 ⎤ ⎡0 ⎤ lyettesítve ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ , azaz q12 = −0,5q22 . Ez ⎢⎣ −104 −0,5 ⋅104 ⎦⎥ ⎣ q22 ⎦ ⎣0 ⎦ azt jelenti, hogy a két tömegnek ellentétes előjelű a kitérése. A c12 rugónak a zérus helye az m1 tömegtől a rugó

egyharmad részén van a ⎡1⎤ második saját körfrekvencián: ⎡ q ⎤ = ⎢ ⎥ . ⎢⎣ 02 ⎥⎦ ⎣ −2 ⎦ Rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekvencián: 10−4 10−4 m1 2 ⋅10−4 m2 ′′ c12 ′ c12 q22 K 20 K12 K 01 q12 7.54 példa Hajtómű tengely torziós rezgései Adott: d = 120 mm, l = 500 mm, D1 = 400 mm, m1 = 160 kg, m2 = 250 kg, G = 80 GPa. m1 y m2 D2 D1 A D2 = 500 mm, x d l l Feladat: A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgéskép meghatározása a saját körfrekvenciákon. Kidolgozás: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 183 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 184 ► A hajtómű saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgéskép meghatározása a saját körfrekvenciákon: d 4π 1204 π Ip = = = 20,35 ⋅106 mm 4 , 32 32 l 500 γ= = = 0,307

⋅10−9 rad/N, I p G 20,35 ⋅106 ⋅ 80 ⋅103 2 ⎛D ⎞ J1 = m1 ⎜ 1 ⎟ = 160 ⋅ 202 = 6, 4 ⋅104 kgmm 2 = 0, 064kgm 2 , ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛D ⎞ J 2 = m2 ⎜ 2 ⎟ = 250 ⋅ 252 = 156250kgmm 2 = 0,15625kgm 2 , ⎝ 2 ⎠ Láncszerű modell: m1 c01 m2 c12 q1 q2 ahol c01 = c12 = γ ; m1 = J1 ; m2 = J 2 ; q1 = ϕ1 ; q2 = ϕ2 . ( ) A karakterisztikus egyenlet: γ J1γ J 2 α 2 ( 0,307 ⋅10−9 ) 2 ( ) ⋅ 6, 4 ⋅10−2 ⋅15, 625 ⋅10−2 α 2 2 2 − [γ J1 + 2γ J1 ]α 2 + 1 = 0 ; − − ⎡0,307 ⋅10−9 ⋅ 6, 4 ⋅10−2 + 2 ⋅ 0,307 ⋅10−9 ⋅15, 625 ⋅10−2 ⎤ α 2 + ⎣ ⎦ +1 = 0. ( ) Megoldandó a 9, 4249 ⋅10−22 α 2 fokú egyenlet: 2 α12 = 11,5524 ⋅10−11 ± = 2 − 11,5524 ⋅10−11α 2 + 1 = 0 másod- (11,5524 ⋅10−11 ) − 4 ⋅ 9, 4249 ⋅10−22 = 2 ⋅ 9, 4249 ⋅10−22 11 11,5524 ± 9, 7856 11 1,132 ⋅10 ; 10 = 18,8498 9,373 ⋅109. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 184 ►

Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A saját körfrekvenciák: Vissza ◄ 185 ► α1 = 93, 73 ⋅108 = 9, 6814 ⋅104 rad/s; és α 2 = 11,32 ⋅1010 = 3,3645 ⋅105 rad/s. Rezgésképek meghatározása: Az első γ ′′ = 1 J 2α12 = saját körfrekvencián 1 15, 625 ⋅10 γ = γ ′ + γ ′′ , amiből −2 ⋅ 9,373 ⋅10 α12 = 1 J 2γ ′′ , amiből = 0, 683 ⋅10−9 rad/Nm. 9 γ ′ = γ − γ ′′ = ( 0,307 − 0, 683)10−9 = −0,376 ⋅10−9 rad/Nm, a csomópont virtuális. Ellenőrzés: ( 0,307 − 0,376 )10−9 γ +γ′ α12 = = ≈ 9,34 ⋅109 , 9 2 9 − − − ′ γ J1γ 0,307 ⋅10 ⋅ 6, 4 ⋅10 ⋅ −0,376 ⋅10 ( ) ami kerekítési hibákkal megegyezik a kívánt értékkel. J1 J2 y γ γ A x γ′ γ ′′ Az α1 = 9, 6814 ⋅104 rad/s -hoz tartozó rezgéskép: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 185 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom J1 y γ γ ϕ21 ϕ11 ϕ11 −0,376 =− ϕ21 0, 683 0, 683 ϕ11 = 1,816ϕ11 , illetve −0,376 A második saját körfrekvencián α 22 = 1 J 2α 22 ► γ ′′ K 01 Az amplitúdók aránya γ ′′ = 186 x −γ ′ ϕ21 = − ◄ J2 A K12 Vissza = 1 15, 625 ⋅10 γ = γ ′ + γ ′′ , amiből −2 ⋅11,32 ⋅10 10 , amiből ⎡ϕ ⎤ = ⎡ϕ11 ⎤ = ⎡ 1 ⎤ . ⎢⎣ 01 ⎥⎦ ⎢ϕ ⎥ ⎢⎣1,816 ⎥⎦ ⎣ 21 ⎦ 1 J 2γ ′′ , amiből = 0, 05654 ⋅10−9 rad/Nm. γ ′ = γ − γ ′′ = ( 0,307 − 0, 05654 )10−9 = 0, 2416 ⋅10−9 rad/Nm, a csomópont valóságos. Ellenőrzés: ( 0,307 + 0, 2416 )10−9 γ +γ′ = ≈ 1,156 ⋅1011 , α 22 = γ J1γ ′ 0,307 ⋅10−9 ⋅ 6, 4 ⋅10−2 ⋅ 0, 2416 ⋅10−9 kerekítési hibákkal megegyezik a kívánt értékkel. Az α 2 =

3,3645 ⋅105 rad/s -hoz tartozó rezgéskép: Az amplitúdók aránya ϕ22 = − ϕ12 0, 2416 =− ϕ22 0, 05654 ami , amiből ⎡ϕ ⎤ ⎡ 1 ⎤ 0, 05654 ϕ12 = −0, 234ϕ12 , illetve ⎡⎢ϕ ⎤⎥ = ⎢ 12 ⎥ = ⎢ . ⎣ 02 ⎦ ⎣ϕ22 ⎦ ⎣ −0, 234 ⎥⎦ 0, 2416 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 186 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y J1 0,307 ⋅10 −9 0,307 ⋅10 Vissza ◄ 187 m2 x ► J2 −9 A x 0, 2416 ⋅10−9 0, 05654 ⋅10−9 ϕ12 K12 ϕ22 K01 7.55 példa Hajtómű tengely hajlító rezgései y Adott: d = 60 mm, A l = 500 mm, m1 = 160 kg, m2 = 250 kg, E = 200 GPa. Feladat: m1 d l l A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgéskép meghatározása a saját körfrekvenciákon. Kidolgozás: A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgéskép

meghatározása a saját körfrekvenciákon: Az 5.5 alapján m1 y1 = − F1 ; m2 y2 = − F2 ; és y1 = δ11F1 + δ12 F2 ; y2 = δ 21F1 + δ 22 F2 . A differenciálegyenlet-rendszer: ⎡δ11 δ12 ⎤ ⎡ m1 0 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢δ ⎥ ⎢ 0 m ⎥ ⎢ y ⎥ + ⎢0 1 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ . δ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 187 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y F1 Vissza ◄ 188 ► ◄ 188 ► F2 A x l l m y1 [ m ] x 1 m y 2 [ m] x 1 [ -] mϕ x 1 d 4π 604 π = = 6,36 ⋅105 mm 4 , 64 64 I z E = 1, 27 ⋅1011 Nmm 2 = 1, 27 ⋅105 Nm 2 . A Maxwell-féle hatásszámok meghatározása: 1 10−5 0,5 ⎡ 2 2 δ11 = m dx = 1 + 4 ⋅ 0,52 ⎤ = 1,31 ⋅10−6 m/N ; y1 ∫ ⎣ ⎦ I z E 2l 1, 27 6 ( ) 1 δ12 = δ 21 = m y1m y 2 dx = I z E 2∫l (

) Iz = = δ 22 = 10−5 0,5 ⎡ 2 1 + 4 ⋅ 0,5 ⋅ 0, 75⎤ = 1, 64 ⋅10−6 m/N; ⎦ 1, 27 6 ⎣ 1 IzE ∫ m 2y 2 dx = 10−5 1 ⎡ 2 1 + 4 ⋅ 0,52 ⎤ = 2, 62 ⋅10−6 m/N ; ⎦ 1, 27 6 ⎣ ( 2l ) A módosított tömegmátrix: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 189 ► ⎡1,31 1, 64 ⎤ ⎡160 0 ⎤ ⎡⎣ m ⎤⎦ = ⎣⎡ D ⎦⎤ ⎣⎡ M ⎦⎤ = 10−6 ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎣1, 64 2, 62 ⎦ ⎣ 0 250 ⎦ ⎡ 209, 6 410 ⎤ 2 = 10−6 ⎢ ⎥s . 262, 4 655 ⎣ ⎦ A differenciálegyenlet-rendszer: ⎡ 209, 6 410 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ 10−6 ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, ⎣ 262, 4 655 ⎦ ⎣ y2 ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ az amplitúdókra vonatkozó egyenlet: ⎧ −6 ⎡ 209, 6 410 ⎤ 2 ⎡1 0 ⎤ ⎫ ⎡ y10 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎨−10 ⎢ ⎥ α + ⎢0 1⎥

⎬ ⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ , ⎣ 262, 4 655 ⎦ ⎣ ⎦ ⎭ ⎣ 20 ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ amelynek akkor van zérustól különböző megoldása, ha az egyenletrendszer determinánsa nulla. 1 λ = 2 helyettesítéssel a karakterisztikus egyenlet sajátérték feladatra α vezethető vissza, ugyanis az m módosított tömegmátrix sajátértékei a saját körfrekvenciák reciprokait adják. 410 ⎤ ⎡ 209, 6 − λ Megoldandó tehát a 10−6 ⎢ = 0 sajátérték feladat, 655 − λ ⎥⎦ ⎣ 262, 4 amely λ 2 − mI λ + mII = 0 karakterisztikus egyenletre vezet, ahol mI az m módosított tömegmátrix első, mII az m módosított tömegmátrix második skalár invariánsa. Az első skalár invariáns a főátló elemeinek az összege: mI = ( 209, 6 + 655 ) ⋅10−6 = 864, 6 ⋅10−6 s 2 , a második skalár invariáns a mátrix determinánsa: 209, 6 410 mII = 10−6 = [ 209, 6 ⋅ 655 − 410 ⋅ 262, 4] ⋅10−12 = 262, 4 655 = 29704 ⋅10−12 s 4 . A karakterisztikus egyenletbe α 2

= 1 λ helyettesítéssel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 189 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ( ) mII α 2 2 Vissza ◄ 190 ► − mIα 2 + 1 = 0 egyenlethez jutunk, amely ( ) 29704 ⋅10−12 α 2 2 − 864, 6 ⋅10−6 α 2 + 1 = 0 alakú. A megoldás: 2 α12 A = 864, 6 ⋅10−6 ± (864, 6 ⋅10−6 ) 2 − 4 ⋅ 29704 ⋅10−12 2 ⋅ 29704 ⋅10−12 2, 79 ⋅104 ; 864, 6 ± 792,9 6 = 10 = 59408 0,12069 ⋅104. saját körfrekvenciák: = α1 = 0,12069 ⋅104 = 34, 74rad/s ; α 2 = 2, 79 ⋅104 = 167rad/s . - Rezgéskép az első saját körfrekvencián. Behelyettesítve α12 értékét a lineáris egyenletbe ⎧ ⎡1 0 ⎤ ⎫ ⎡ y11 ⎤ ⎡ 0 ⎤ −6 ⎡ 209, 6 410 ⎤ 1206,9 + ⎢ ⎨−10 ⎢ ⎥ ⎥⎬ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ , ⎣ 262, 4 655 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎭ ⎣ y21 ⎦ ⎣ 0⎦ ⎩ az első egyenlet (1 − 209,

6 ⋅1206,9 ⋅10−6 ) y11 − 410 ⋅1206,9 ⋅10−6 y21 = 0 . Elvégezve a kijelölt műveleteket 0, 747 y11 − 0, 4948 y21 = 0 , vagyis 0, 4948 y11 = y21 = 0, 6624 y21 . 0, 747 A második egyenletből is ugyanezt kell kapni. Vizsgáljuk meg! A második egyenlet ( ) −262, 4 ⋅1206,9 ⋅10−6 y11 + 1 − 655 ⋅1206,9 ⋅10−6 y21 = 0 . Elvégezve a kijelölt műveleteket −0,3167 y11 + 0, 2095 y21 = 0 , vagyis 0, 2095 y11 = y21 = 0, 6615 y21 . Ez numerikusan azonos, így 0,3167 ⎡ y ⎤ = ⎡ y11 ⎤ = ⎡0, 6615⎤ . A rezgéskép olyan, hogy a két tömeg azo⎣⎢ 01 ⎦⎥ ⎢⎣ y21 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 190 ► Mechanika Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 191 ► nos irányba tér ki, így nincs közöttük zérus hely. A csomópont virtuális - Rezgéskép a második saját körfrekvencián.

Behelyettesítve α 22 értékét a lineáris egyenletbe ⎧ ⎡1 0 ⎤ ⎫ ⎡ y12 ⎤ ⎡ 0 ⎤ −6 ⎡ 209, 6 410 ⎤ 27900 + ⎢ ⎨−10 ⎢ ⎥ ⎥⎬ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ , ⎣ 262, 4 655 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎭ ⎣ y22 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎩ az első egyenlet (1 − 209, 6 ⋅ 279 ⋅10−4 ) y12 − 410 ⋅ 279 ⋅10−4 y22 = 0 . Elvégezve a kijelölt műveleteket −4,848 y12 − 11, 439 y22 = 0 , vagyis 11, 439 y12 = − y22 = −2,36 y22 . 4,848 A második egyenletből is ugyanezt kell kapni. Vizsgáljuk meg! A második egyenlet ( ) −262, 4 ⋅ 279 ⋅10−4 y12 + 1 − 655 ⋅ 279 ⋅10−4 y22 = 0 . Elvégezve a kijelölt műveleteket −7,32 y12 − 17, 274 y22 = 0 , vagyis 17, 274 y12 = − y22 = −2,36 y22 . Ez nem csak numerikusan azonos 7,32 ⎡ y ⎤ = ⎡ y12 ⎤ = ⎡ −2,36 ⎤ A rezgéskép olyan, hogy a két tömeg kitérése ⎢⎣ 02 ⎥⎦ ⎢⎣ y22 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ellenkező előjelű, így közöttük van zérus hely. A csomópont valóságos A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 191 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 192 ► 8. Rudak kontinuum rezgései Kontinuum rezgéseken a folytonos tömegeloszlású rugalmas testek rezgéseit értjük. Leggyakoribb kontinuum rezgési feladatok a rudak köréből vetődnek fel, de ilyen rezgések rúdszerkezetek, lemezek, héjak, vagy egyéb szerkezeteknél is kialakulnak. Itt csak prizmatikus rudak rezgéseivel foglalkozunk. Amikor a rúd a hossztengely irányában rezeg (longitudinális rezgések), a hossztengely körül rezeg (torziós vagy csavaró rezgések), vagy a hossztengelyre merőleges irányba (hajlító rezgések) rezeg 8.1 Rudak longitudinális kontinuum rezgései Longitudinális rezgések akkor keletkeznek, ha a rúd keresztmetszetei a rúd hossztengelyének irányában mozdulnak el. Az ilyen rezgések mozgásegyenletének felírásánál

feltételezzük, hogy rezgés közben a keresztmetszetek síkok maradnak. Legyen az ábrán látható, A keresztmetszetű prizmatikus rúd tetszőleges x koordinátájú helyén az igénybevétele a helynek és az időnek N = N ( x,t ) függvénye A rúd keresztmetszeteinek x irányú u elmozdulásai ugyancsak a helynek és az időnek u = u ( x,t ) függvényei. Legyen a rúd anyaga homogén Jelölje E a rugalmassági modulust és ρ a sűrűséget Az ábra egy tetszőleges x koordinátájú helyen dx hosszúságú rúdelemet mutat, amelynek tömege dm = ρ Adx , és előtte az igénybevétel N, utána pedig N + ∂N dx . A rúdelemre felírt impulzustétel szerint ∂x y u N+ N x ma = F ⇒ dmu = dFx ∂N dx ∂x x dx ⇒ ρ Adx ∂ 2u ∂t A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 2 =N+ ∂N dx − N , ∂x Vissza ◄ 192 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza a

rúderőre pedig igaz, hogy N = Aσ x = AEε x = AE ◄ 193 ► ∂u (lásd Mechani∂x ka-Szilárdságtan tantárgy). Ezzel az impulzus tétel ρ Adx ∂ 2u ∂t 2 = AE ∂ 2u ∂x 2 dx alakban írható. Elvégezve az egyszerűsítéseket, és az egyenletet átrendezve ∂ 2u ∂t 2 = E ∂ 2u ρ ∂x 2 másodrendű parciális differenciálegyenlethez jutunk, amely a prizmatikus rúdnak a longitudinális kontinuum rezgésekre vonatkozó mozgásegyenlete. 8.2 Rudak csavaró kontinuum rezgései Csak kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavaró (torziós) kontinuum rezgéseit vizsgáljuk. Csavaró rezgések akkor keletkeznek, ha a rúd keresztmetszetei a hossztengely körül elfordulnak. Az ilyen rezgéseknél feltételezzük, hogy a keresztmetszetek síkok maradnak, mindig a középvonalon marad a súlypont, és nem mozdulnak ki a középvonal irányába sem. ϕ y I pG Mc Mc + z x ∂M c dx ∂x x dx Az ábrán egy kör keresztmetszetű prizmatikus rúd

látható, melynek egy tetszőleges x koordinátájú pontjában a dx hosszúságú elemi rúdszakasz ϕ szöggel fordul el. Ennek az elemi rúdszakasznak az x tengelyre számolt dJ x tehetetlenségi nyomatéka dJ x = ∫ ( A) r 2 ρ dAdx = ρ ∫ r 2 dAdx = ρ I p dx , ( A) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 193 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 194 ► és az x tengelyre felírt perdület-tétel J xε = M x ⇒ dJ xϕ = M c + ∂M c dx − M c , ∂x ami a Mechanika-Szilárdságtan tantárgyban tanultak szerint ∂ϕ M c = ∂x I p G helyettesítéssel átrendezés után ∂ 2ϕ ∂t 2 = G ∂ 2ϕ ρ ∂x 2 alakba írható. Ez utóbbi másodrendű parciális differenciálegyenlet a csavaró kontinuum rezgésekre vonatkozó mozgásegyenlet prizmatikus rudak esetében. 8.3 Rudak hajlító kontinuum rezgései Hajlító rezgések akkor

keletkeznek, ha a keresztmetszetek mozgása az y tengellyel párhuzamos mozgásból, és a z tengely körüli szögelfordulásból tevődik össze. A következőkben csak az előbbit vizsgáljuk Általános koordinátának a keresztmetszet súlypontjának y irányú v = v ( x,t ) elmozdulását választjuk. A z tengely körüli szögelfordulás és az elmozdulás között ϕ z = y T ∂v összefüggés érvényes. ∂x ∂T v T + ∂x dx Mh x x dx Mh + ∂M h dx ∂x Az elemi rúdszakasz tömege dm = ρ Adx , amivel az y irányú impulzus tétel ma y = Fy ⇒ ρ Adxv = T + A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ∂T dx − T . ∂x Vissza ◄ 194 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza Kis rezgések esetén érvényes a rugalmas szál M h = − I z E ◄ 195 ► ∂ 2v differen∂x 2 ciálegyenlete (lásd Mechanika-Szilárdságtan tantárgy), illetve az igény∂M h

egyensúlyi egyenlet (lásd Mechanikabevételek közötti T = − ∂x Statika tantárgy). Ezzel az impulzus tétel prizmatikus rudakra átrendezés után ∂ 2v ∂t 2 = I z E ∂ 4v Aρ ∂x 4 negyedrendű parciális differenciálegyenletre vezet. Ez a differenciálegyenlet a rudak hajlító kontinuum rezgéseire vonatkozó legegyszerűbb mozgásegyenlete. 8.4 Mozgásegyenletek megoldása longitudinális kontinuum rezgéseknél A rúd longitudinális kontinuum rezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását Fourier-módszerrel keressük meg. Az általános megoldás u ( x; t ) = f ( x) cos (α t + ε ) alakú. A differenciálegyenletbe ∂ 2u ∂t 2 = −α f ( x ) cos (α t + ε ) , illetve 2 ∂ 2u ∂x 2 = f ′′ ( x ) cos (α t + ε ) értékeket helyettesítve ⎛E ⎞ 2 ⎜ f ′′ ( x ) + α f ( x ) ⎟ cos (α t + ε ) = 0 ⎝ρ ⎠ egyenlethez jutunk. Ebből az egyenletből látszik, hogy csak akkor van tetszőleges időpillanatban megoldása, ha E ρ f

′′ ( x ) + α 2 f ( x ) = 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 195 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 196 ► teljesül. Ez pedig közönséges másodrendű differenciálegyenlet, aminek E helyettesítéssel megoldása a = ρ f ( x ) = D1 cos α a x + D2 sin α a x alakú, ahol a a longitudinális hullám hangsebessége. Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket! Két jellemző peremfeltétel jöhet számításba. Az egyiknél a perem x irányban meg van fogva, a másiknál a perem nincs megfogva Abban az esetben, ha a perem x irányban meg van fogva f =0 feltételnek teljesülnie kell. Abban az esetben, ha a perem nincs megfogva, akkor ott a rúderőnek kell megegyezni az ott valóban működő rúderő értékével, így ott az N 0 = AE ∂u ∂x feltételnek kell teljesülnie. Vizsgáljuk meg az ábrán látható rúd sajátrezgéseit. AE y x l A

fentiekben bemutatott általános megoldást u ( x; t ) = ( D1 cos α a x + D2 sin α a x) cos (α t + ε ) alakban keressük. A peremfeltételek x = 0 helyen u = 0 , tehát u ( x; t ) x =0 = ( D1 cos α a x + D2 sin α a x) x =0 cos (α t + ε ) = 0 csak akkor teljesül minden időpillanatban, ha D1 = 0 . Ezt figyelembe véve a másik peremfeltétel az x = l helyen nincs rúderő, vagyis ott A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 196 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom N = AE ∂u =0 ⇒ ∂x ∂u ∂x x =l Vissza ◄ 197 ► α ⎡∂ ⎤ = ⎢ ( D2 sin x) cos (α t + ε ) ⎥ = a ⎣ ∂x ⎦ x =l = α α ⎞ ⎛ D2 ⎜ cos l ⎟ cos (α t + ε ) = 0 a a ⎠ ⎝ feltételnek teljesülnie kell minden időpillanatban. Ez pedig csak akkor teljesül, ha cos α l = 0 , ami a Ebből a sajátértékek αi = α a l= π 2 + kπ , ( k = 0,1, 2,.) esetén

teljesül a ⎡π ⎤ + ( i − 1) π ⎥ , i = 1, 2,3,. ⎢ l ⎣2 ⎦ egyenletből meghatározhatók. A legkisebb, vagyis az első sajátfrekvencia α1 = E π , l ρ 2 α2 = E 3π , l ρ 2 α3 = E 5π , l ρ 2 a második sajátfrekvencia a harmadik sajátfrekvencia és az i-edik sajátfrekvencia αi = E ( 2i − 1) π , 2 l ρ ( i = 1, 2,3,.) A rúdnak tehát végtelen sok saját körfrekvenciája van. Kontinuum rezgések esetén a saját körfrekvenciák száma végtelen. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 197 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 198 ► 8.5 Mozgásegyenlet megoldása torziós kontinuum rezgéseknél A rúd torziós rezgéseit leíró differenciálegyenletet ugyancsak Fourier-módszerrel oldjuk meg. Az általános megoldást ϕ ( x; t ) = Φ ( x) cos (α t + ε ) alakban keressük. A differenciálegyenletbe ∂ 2ϕ ∂t 2 =

−α 2Φ ( x ) cos (α t + ε ) , illetve ∂ 2ϕ ∂x 2 = Φ′′ ( x ) cos (α t + ε ) értékeket helyettesítve ⎛G ⎞ 2 ⎜ Φ′′ ( x ) + α Φ ( x ) ⎟ cos (α t + ε ) = 0 ⎝ρ ⎠ egyenlethez jutunk. Ebből az egyenletből látszik, hogy csak akkor van tetszőleges időpillanatban megoldása, ha G ρ Φ′′ ( x ) + α 2 Φ ( x ) = 0 teljesül. Ez pedig közönséges másodrendű differenciálegyenlet, aminek G helyettesítéssel megoldása b = ρ Φ ( x ) = D1 cos α b x + D2 sin α b x alakú, ahol b a csavaró hullám hangsebessége. Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket! Két jellemző peremfeltétel jöhet számításba. Az egyiknél a perem meg van fogva, a másiknál a perem nincs megfogva Abban az esetben, ha a perem meg van fogva Φ=0 feltételnek teljesülnie kell. Abban az esetben, ha a perem nincs megfogva, szabad rúdvég, akkor ott a csavaró nyomatéknak kell megegyezni az ott valóban működő csavaró nyomaték értékével, így ott

az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 198 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom M cs 0 = I p G Vissza ◄ 199 ► ∂ϕ ∂x feltételnek kell teljesülnie. Vizsgáljuk meg az ábrán látható rúd sajátrezgéseit. I pG y x l A fentiekben bemutatott általános megoldást ϕ ( x; t ) = ( D1 cos α b x + D2 sin α b x) cos (α t + ε ) alakban keressük. A peremfeltételek x = 0 helyen ϕ = 0 , tehát ϕ ( x; t ) x =0 = ( D1 cos α b x + D2 sin α b x) x =0 cos (α t + ε ) = 0 csak akkor teljesül minden időpillanatban, ha D1 = 0 . Ezt figyelembe véve a másik peremfeltétel az, hogy az x = l helyen nincs csavaró nyomaték, vagyis ott M cs = I p G ∂ϕ =0 ⇒ ∂x ∂ϕ ∂x x =l α ⎡∂ ⎤ = ⎢ ( D2 sin x) cos (α t + ε ) ⎥ = b ⎣ ∂x ⎦ x =l = α α ⎞ ⎛ D2 ⎜ cos l ⎟ cos (α t + ε ) = 0 b b ⎠ ⎝ feltételnek teljesülnie

kell minden időpillanatban. Ez pedig csak akkor teljesül, ha cos α l = 0 , ami b Ebből a sajátértékek α b l= π 2 + kπ , ( k = 0,1, 2,.) esetén teljesül b ⎡π ⎤ α i = ⎢ + ( i − 1) π ⎥ , i = 1, 2,3,. l ⎣2 ⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 199 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 200 ► egyenletből meghatározhatók. A legkisebb, vagyis az első saját körG π , frekvencia α1 = l ρ 2 a második saját körfrekvencia α 2 = G 3π , l ρ 2 a harmadik saját körfrekvencia α 3 = G 5π , l ρ 2 G ( 2i − 1) π , ( i = 1, 2,3,.) 2 l ρ A rúdnak tehát torziós kontinuum rezgések esetén végtelen sok saját körfrekvenciája van. Kontinuum rezgések esetén a saját körfrekvenciák száma végtelen. és az i-edik saját körfrekvencia α i = 8.6 Mozgásegyenletek megoldása hajlító kontinuum rezgéseknél A rúd

hajlító kontinuum rezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását ugyancsak Fourier-módszerrel keressük meg. Az általános megoldást v ( x; t ) = W ( x) cos (α t + ε ) alakban keressük. A differenciálegyenletbe ∂ 2v ∂t 2 = −α 2W ( x ) cos (α t + ε ) , illetve ∂ 4v ∂x 4 = W IV ( x ) cos (α t + ε ) értékeket helyettesítve ⎛ I z E IV ⎞ W ( x ) + α 2W ( x ) ⎟ cos (α t + ε ) = 0 ⎜ ⎝ Aρ ⎠ egyenlethez jutunk. Ebből az egyenletből látszik, hogy csak akkor van tetszőleges időpillanatban megoldása, ha I z E IV W ( x ) + α 2W ( x ) = 0 Aρ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 200 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 201 ► teljesül. Ez pedig közönséges negyedrendű differenciálegyenlet, amiAρ helyettesítéssel nek megoldása k = α IzE W ( x ) = a1 cos ( kx ) + a2 sin ( kx ) + a3 ch ( kx ) + a4 sh ( kx )

, vagy átalakítás után W ( x ) = D1 S ( kx ) + D2 T ( kx ) + D3 U ( kx ) + D4 V ( kx ) alakú, ahol S, T, U, V függvények a Krülov- függvények. Megjegyzés: c = Iz E a hajlító rezgéshullám hangsebessége. Aρ Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket! Négy jellemző peremfeltétel jöhet számításba. A peremfeltételek közül kettő geometriai, kettő pedig dinamikai. A geometriai peremfeltételek az elmozdulásra, illetve a szögelfordulásra, míg a dinamikai peremfeltételek a nyíróerőre, illetve a hajlító nyomatékra vonatkoznak. Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket a fenti szempontok szerint. Abban az esetben, ha a rúd vége befalazással van megfogva, akkor ott v = 0 , illetve ∂v =0 ∂x feltételeknek teljesülnie kell. Abban az esetben, ha a rúd vége nincs megfogva, akkor ott a hajlító nyomatéknak és a nyíróerőnek kell megegyezni az ott valóban működő hajlító nyomaték és nyíróerő értékével, így ott az M h0 = − I z E ∂ 2v

∂x 2 , illetve Ty 0 = − ∂M h ∂ 3v = IzE 3 ∂x ∂x feltételeknek kell teljesülnie. Vizsgáljuk meg az ábrán látható rúd sajátrezgéseit. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 201 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 202 ► IzE y x l A fentiekben bemutatott általános megoldást v ( x; t ) = ⎡⎣ D1 S ( kx ) + D2 T ( kx ) + + D3 U ( kx ) + D4 V ( kx ) ⎤⎦ cos (α t + ε ) alakban keressük. A peremfeltételek az x = 0 helyen v = 0 , illetve v′ = 0 . Az első feltétel v ( x; t ) x =0 = ⎡⎣ D1 S ( kx ) + D2 T ( kx ) + + D3 U ( kx ) + D4 V ( kx ) ⎤⎦ x =0 cos (α t + ε ) = 0 csak akkor teljesül minden időpillanatban, ha D1 = 0 . A másik feltétel (figyelembe véve, hogy D1 = 0 ) ∂v ( x; t ) = ⎡ kD2 S ( kx ) + ∂x x =0 ⎣ + kD3 T ( kx ) + kD4 U ( kx ) ⎤⎦ x =0 cos (α t + ε ) = 0 csak akkor teljesül, ha D2 =

0 Ezt figyelembe véve a rúd másik végén írjuk fel a peremfeltételeket. Az x = l helyen nincs sem hajlító nyomaték sem nyíróerő. Az elsőből D1 = 0 és D2 = 0 figyelembevételével ∂ 2v ( x; t ) ∂x 2 x =l = ⎡ k 2 D3 S ( kx ) + k 2 D4 T ( kx ) ⎤ cos (α t + ε ) = 0 ⎣ ⎦ x =l egyenletet kapjuk, ami tetszőleges időpontban csak akkor teljesül, ha k 2 D3 S ( kl ) + k 2 D4 T ( kl ) = 0 feltétel teljesül. A másik feltételből A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 202 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ∂ 3v ( x; t ) ∂x 3 x =l Vissza ◄ 203 ► = ⎡ k 3 D3 V ( kx ) + k 3 D4 S ( kx ) ⎤ cos (α t + ε ) = 0 ⎣ ⎦ x =l következik, amiből az k 3 D3 V ( kl ) + k 3 D4 S ( kl ) = 0 egyenletet kapjuk. A két egyenlet a D3 , D4 ismeretlenre ⎡ k 2 S ( kl ) k 2 T ( kl ) ⎤ ⎡ D3 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎣ k 3 V ( kl ) k 3 S

( kl ) ⎦⎥ ⎣ D4 ⎦ ⎣ 0 ⎦ alakban írható fel. Az egyenlet két ismeretlenes lineáris algebrai homogén egyenletrendszer, amelynek csak akkor van triviálistól különböző (zérustól különböző) megoldása, ha a determinánsa zérus. A determinánst kifejtve f (kl ) = S2 (kl ) − T(kl ) V(kl ) = 0 egyenlethez jutunk. Az összefüggésben k = k (α ) mint az α függvénye az ismeretlen A cél azon α i , ( i = 1, 2,3,) értékek meghatározása, amelyek esetén a determináns értéke zérus. Ezek szolgáltatják a rendszer saját körfrekvenciáit Az egyenlet nem algebrai (trigonometrikus is és exponenciális is), így zérus helyeit általában csak numerikusan tudjuk megkeresni. Gyököket csak azokban az intervallumokban kell keresni, amely intervallumokban a determináns értéke előjelet vált Itt a szokásos eljárás az intervallum felezésének módszere. y E , ρ A, I z x l Oldjuk meg az ábrán látható tengely hajlító kontinuum rezgéseit. A

tengely mechanikai modellje a következő. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 203 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y A, I z , E , ρ Vissza ◄ 204 ► x l A megoldást most ne a Krülov függvények segítségével keressük, hanem induljunk ki a v ( x, t ) = ⎡⎣ a1 cos ( kx ) + a2 sin ( kx ) + a3 ch ( kx ) + a4 sh ( kx ) ⎤⎦ cos (α t + ε ) alakból. Peremfeltételek az x = 0 valamint az x = l helyen írhatók elő. Az x = 0 mind az y irányú elmozdulás, mind a hajlító nyomaték zérusértékű, vagyis v ( x, t ) x =0 = ⎡⎣ a1 cos ( kx ) + a2 sin ( kx ) + + a3 ch ( kx ) + a4 sh ( kx ) ⎤⎦ x =0 cos (α t + ε ) = [ a1 + a3 ] cos (α t + ε ) = 0, illetve M hz amiből ∂ 2 v ( x, t ) ∂x 2 x =0 = −I z E ∂ 2 v ( x, t ) ∂x 2 = 0, x =0 = ⎡⎣ − a1 cos ( kx ) − a2 sin ( kx ) + x =0 + a3 ch ( kx ) + a4 sh ( kx ) ⎤⎦ x =0

cos (α t + ε ) = [ − a1 + a3 ] cos (α t + ε ) = 0. Az első feltétel akkor teljesül, ha a1 + a3 = 0 , míg a második peremfeltétel − a1 + a3 = 0 esetén teljesül. Újabb két peremfeltétel írható az x = l helyre, hiszen ott is mind az y irányú elmozdulás, mind a hajlító nyomaték zérusértékű, vagyis A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 204 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom v ( x, t ) x =l Vissza ◄ 205 ► = ⎡⎣ a1 cos ( kx ) + a2 sin ( kx ) + + a3 ch ( kx ) + a4 sh ( kx ) ⎤⎦ x =l cos (α t + ε ) = = ⎡⎣ a1 cos ( kl ) + a2 sin ( kl ) + a3 ch ( kl ) + a4 sh ( kl ) ⎤⎦ cos (α t + ε ) = 0, illetve M hz x =l = −I z E ∂ 2 v ( x, t ) ∂x 2 = 0, x =l amiből ∂ 2 v ( x, t ) ∂x 2 = ⎡⎣ − a1 cos ( kx ) − a2 sin ( kx ) + x =l + a3 ch ( kx ) + a4 sh ( kx ) ⎤⎦ x =l cos (α t + ε ) = = ⎡⎣ − a1 cos ( kl

) − a2 sin ( kl ) + a3 ch ( kl ) + a4 sh ( kl ) ⎤⎦ cos (α t + ε ) = 0. A harmadik feltétel akkor teljesül, ha a1 cos ( kl ) + a2 sin ( kl ) + a3 ch ( kl ) + a4 sh ( kl ) = 0 míg a negyedik feltétel − a1 cos ( kl ) − a2 sin ( kl ) + a3 ch ( kl ) + a4 sh ( kl ) = 0 esetén igaz. Gyűjtsük össze a feltételeket egy egyenletrendszerbe, amely a1 + a3 = 0 ⎫ ⎪ −a1 + a3 = 0 ⎪ ⎬. a1 cos ( kl ) + a2 sin ( kl ) + a3 ch ( kl ) + a4 sh ( kl ) = 0 ⎪ − a1 cos ( kl ) − a2 sin ( kl ) + a3 ch ( kl ) + a4 sh ( kl ) = 0 ⎪ ⎭ alakú. Az egyenletrendszer homogén lineáris algebrai négy ismeretlenes Csak akkor van triviálistól különböző megoldása, ha a determinánsa zérus, azaz A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 205 ► Mechanika Rudak kontinuum rezgései A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 206 ► 1 0 1 0 −1 0 1 0 = 4sh kl sin kl = 0 cos kl sin kl ch kl sh kl − cos kl −

sin kl ch kl sh kl teljesül. Kifejtve a determinánst sh kl sin kl = 0 egyenlethez jutunk Vizsgáljuk meg az egyenlet teljesülésének a feltételeit! Mivel sh kl nem lehet zérus, így elég a sin kl = 0 egyenletet vizsgálni, amely végtelen sok zérus hellyel rendelkezik. Ezek kl = nπ , ( n = 1, 2,3,) , amelyből a saját körfrekvenciák αn = n 2π 2 l2 Aρ EI z összefüggésből számíthatók. A fenti négy ismeretlenes egyenletrendszerbe sin kl = 0 feltételt visszahelyettesítve a1 = a3 = a4 = 0 adódik, így az elmozdulásra v ( x, t ) = a2 sin kx cos (α t + ε ) összefüggést kapjuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 206 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Szakirodalom Vissza ◄ 207 ► Szakirodalom [1] M. Csizmadia B – Nándori E: Mechanika mérnököknek Mozgástan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997 [2] Beer, F.P – Johnston, ER: Dynamics, McGraw-Hill Inc, NewYork,

1984 [3] Schell, W. – Gross, D – Hauger, W: Technische Mechanik 3 – Kinetik, Springer Verlag Berlin Heidelberg New-York, 1995. [4] Sályi B. – Michelberger P – Sályi I: Kinematika és kinetika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991 [5] Mörk J.: Dinamika IV, Tankönyvkiadó Budapest, 1979 [6] NME Mechanikai Tanszék Munkaközössége: Dinamika V., Tankönyvkiadó Budapest, 1981 [7] Sályi I.: Lengéstan, Tankönyvkiadó Budapest, 1969 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 207 ►