Fizika | Felsőoktatás » Dr. Gausz Tamás - Örvény-könyv

Forrás:http://www.doksihu DR. GAUSZ TAMÁS ÖRVÉNYÖRVÉNY-KÖNYV 2013 Forrás:http://www.doksihu 1. BEVEZETÉS 2. SZÁRNYPROFILOK AERODINAMIKAI SZÁMÍTÁSA 3. VÉGES SZÁRNYAK AERODINAMIKAI SZÁMÍTÁSA 4. AZ ÖRVÉNY TRANSZPORT EGYENLET MEGOLDÁSA VÉGES DIFFERENCIÁK MÓDSZERÉVEL Forrás:http://www.doksihu ELŐHANG Ebben a jegyzetben az örvényekkel kapcsolatos, főképpen az oktatás területén kifejtett, mintegy három évtizedre kiterjedő munkáimat gyűjtöttem össze. Az itt következő anyagok tehát alapvetően oktatási céllal készültek. Ezzel együtt az érvényességi körükben gyakorlati feladatok megoldására is alkalmasak lehetnek. Konkrét, éles probléma megoldása esetén azonban az Alkalmazónak minden lépést ellenőriznie kell, hogy saját maga győződjön meg azok helyességéről! Ezt az ellenőrzést jelen mű Szerzőjen nem vállalhatja, nem vállalja át. A meglehetősen nagy időtartomány miatt egyes részek kissé eltérnek

egymástól – remélem azonban, hogy ez – tekintettel a magyarázatokra – nem megy az érthetőség rovására. A legtöbb bemutatott eljáráshoz számítógépi program is tartozik. Ezek a programok szintén különböző időkből származnak, ezért a programnyelv nem azonos. Ugyan mindegyik működő program listája, azonban az esetleges alkalmazásuk legszerencsésebb módja – véleményem szerint – az újra kifejlesztésük. Forrás:http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 6 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció-megoszlás számítása 40 Az örvény transzport egyenlet megoldása véges differenciák módszerével 94 4. Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 1. BEVEZETÉS E jegyzet célja az örvények, illetve az örvényesség néhány áramlástani, aerodinamikai alkalmazásának vizsgálata. Az integrálegyenlet típusú megközelítés segítségével speciálisan

repülőgépszárnyak valamint légcsavarok körül kialakuló áramlást vizsgálunk. A differenciálegyenlet típusú megközelítés (az örvény-transzport egyenlet) alkalmazásával pedig egy, általános célú, numerikus számítási eljárás alapjait mutatjuk be. A felvetett kérdések fizikai, matematikai vizsgálata folytatásaként gyakorlati számítási algoritmust is kidolgozunk. A jegyzetben közölt számítási eljárások általában összenyomhatatlan, homogén és esetenként súrlódásmentes közegre vonatkoznak. A jegyzetben tárgyalt kérdések vizsgálatakor feltételezzük az [1]-ben foglalt, ide vonatkozó áramlástani alapok ismeretét. Általában arra törekszünk, hogy a fizikai modell (részecske szemlélet) bemutatásán keresztül értelmezzük a valóságos jelenségeket, rámutatva ezzel az elhanyagolásokra illetve a fizikai-matematikai modell és a valóság közötti leglényegesebb eltérésekre. Ez azért nagyon fontos, mert a

számításainkat ennek alapján értelmezhetjük és a fizikai korlátokat is így állapíthatjuk meg. Az áramlástani, aerodinamikai (aerodinamika = légerőtan) vizsgálatokban alapvető szerepet játszik a nyomás és a csúsztató feszültség. A következőkben ezen fizikai jellemzők részecske szemléleten alapuló magyarázatát fogalmazzuk meg. Vizsgáljuk először a nyugvó levegőt. (Folyadék vagy közeg elnevezés helyett a következőkben gyakran a levegő elnevezést használjuk majd, mivel vizsgált kérdéseink egy, igen jelentős része a repüléshez kapcsolódik.) A levegő-részecskék ─ a nyugvó levegőben is ─ rendezetlen hőmozgást végeznek. Ez, mint az elnevezése is mutatja, rendezetlen, azaz nincs kitüntetett iránya ─ vagyis minden irány egyformán valószínű. Ezért beszélünk ─ makroszkópikus méretek esetén ─ nyugalomról. A részecskék mozgása azonban nem akadálytalan: mozgásuk közben akadályokba (másik részecske, szilárd

test) ütköznek, és onnan visszapattannak. Eközben mozgásmennyiségük megváltozik és emiatt az akadályra erőt gyakorolnak. A felületegységre eső, időegységre vonatkozó mozgásmennyiség-változásból származó, normális irányú erőt nevezzük statikus nyomásnak. Ugyanezen erő érintő irányú összetevőjéből származik a csúsztató feszültség, ezt részletesen később mutatjuk be. A rendezetlenségből következik - mivel minden irány egyformán valószínű - hogy a statikus nyomás skalár mennyiség. Az aerodinamikus repülés a Földet körülvevő levegőburokban történik, amelyet első közelítésben nyugalomban lévőnek tekintünk. Tudjuk, hogy a levegő nyomása a magasság csökkenésével növekszik. Ez a statikus nyomás, nagy méretek esetén meghatározott irányban változik. E változás oka jól ismert: a Föld nehézségi ereje A kicsiben iránytól független 1 Forrás:http://www.doksihu 1. Bevezetés statikus nyomás tehát

bizonyos esetekben meghatározott irányokban változhat. Természetesen az aerodinamikai (hidrodinamikai) hatások is előidéznek nyomásváltozást, de ennek vizsgálata később, a dinamikai vizsgálatok keretében történik. Ha a nyugvó légtérben egy szilárd test található, akkor az eredetileg rendezetlen mozgásnak lesz várható iránya és ez éppen a szilárd test vizsgált pontjának a felületi normálisa. Ez a magyarázata annak, hogy a statikus nyomás a felületre merőlegesen hat A statikus nyomás tehát, az eddig elmondottak szerint arányos a rendezetlen hőmozgás sebességével és hasonlóképpen arányos az egységnyi térfogatban elhelyezkedő részecskék tömegével is. Ezt matematikailag az általános gáztörvény írja le: p= ρR T ; ahol a részecske-sebesség a hőmérsékletben, a részecskék egységnyi térfogatbeli tömege a sűrűségben jelenik meg. Az R gázállandó ebben az értelemben a különböző fizikai mennyiségek közötti

átváltó szám, hiszen a hőmérsékletet egy empírikus skálán mérjük. A gáznemű közegekben csak nyomó-feszültséget értelmezünk, hiszen a legkisebb elképzelhető ütközés-szám a nulla, illetve ebben az esetben a részecskék részecske-átmérőhöz viszonyított átlagos távolsága igen nagy, ezért a kohéziót itt nem kell figyelembe venni. Folyékony közegekben, ahol a részecskék egymáshoz igen közel helyezkednek el létezhet (kis) húzófeszültség, a kohézió (ez a részecskék közöttii vonzóerő) miatt ─ ezzel azonban ebben a jegyzetben nem számolunk. A dinamikus nyomást a statikus nyomáshoz hasonlóan értelmezzük, a különbség csak az, hogy ez a nyomásfajta a rendezett mozgásból származik: pdin = ρ 2 V2; Valóságos (viszkózus) közeg esetén a normál-feszültség (nyomás) mellett csúsztató feszültség is ébred, amelyet szintén a részecske szemlélet alapján értelmezünk. A csúsztató feszültség keletkezésének a

viszkozitás mellett szükséges feltétele a rendezett mozgásbeli sebesség különbség is. 1.1 ábra: Részecske csere Az 1.1 ábrán az "A" és a "B" közvetlenül egymás mellett haladó (áramló) részecske sorokat jelöl. Ha egy részecske pl az "A" sorból a "B"-be lép át, akkor azt impulzus kifejtésével gyorsítja. Ha viszont a "B"-ből kerül az "A"-ba, akkor az "A" sort lassítja Ez azt jelenti, hogy a szomszédos rétegek - amelyek között sebesség különbség van egymás mozgását befolyásolják: a gyorsabb a lassúbbat gyorsítani, a lassúbb a gyorsabbat lassítani igyekszik. Gázok (pl levegő) esetében ezt nevezzük csúsztató feszültségnek Réteges (lamináris) áramlás esetén a részecske-csere a rendezetlen hőmozgás hatására; gomolygó (turbulens) áramlás esetén a turbulens sebességingadozások hatására jön létre. 2 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv

Folyékony közegben, réteges áramlás esetén alapvetően a részecskék között fellépő kohéziós erő miatt keletkezik a csúsztató feszültség; részecske csere is van, de annak hatása kb. egy nagyságrenddel kisebb, mint a kohézióé A turbulens folyadék áramlásra, hasonlóan a gázok áramlásánál leírtakra, igaz a részecske-csere elmélet ─ ekkor a kohézió hatása lesz nagyságrendekkel kisebb a részecske csere hatásánál. A részecske-csere nem csak a csúsztató feszültség keletezésére ad magyarázatot. Ezen az alapon látható be a konvektív energia-transzport is. Hasonlóképpen ez a fizikai magyarázata számos egyéb transzport jelenségnek (ilyen pl. a diffúzió) 1.2 ábra: Szilárd test felszíne A szilárd test felületén keletkező, nyomásból származó erőt már korábban megvizsgáltuk. Az érdes felszínű test felületén ─ valóságos közegben történő mozgás esetén ─ csúsztató feszültség is keletkezik. Ezt szintén

a levegő molekulák mozgására vezetjük vissza. Az 12 ábrán látható módon érkező részecske a felületnek ütközik, és onnan visszapattan. Eközben a mozgásmennyisége megváltozik, azaz a felületre (testre) erőt gyakorol. Ennek a felületi normális irányú összetevője a nyomás (p), érintő irányú összetevője a csúsztató feszültség (τ). Az ábra szerint, ha a felület érdes, akkor a falhoz érkező részecskék nagyjából az érkezési irányba pattannak vissza. Ez pedig azt jelenti, hogy ezen részecskék sebességének az érintő irányú összetevőjéről kimondhatjuk: a várható értékük nulla. Nagyon fontos: nem a sebességösszetevő, csak a várható érték nulla! A kontinuum-szemléletű vizsgálat során kimondjuk az un. „tapadási feltétel”-t (azaz a „szélső réteg áll”), ennek fizikai magyarázata olvasható a fenti sorokban. Másrészt, ideális közeg esetén csak azt mondhatjuk ki, hogy az áramlás a fallal (szilárd

test felszíne) párhuzamos ─ a „szélső réteg áll” feltétel csak súrlódásos közegre igaz. A szilárd test felületén kialakuló feszültségek (nyomás és csúsztató feszültség) magyarázzák a testen keletkező erőt. Az akció-reakció elve szerint azonban így a test is erőt gyakorol az őt körülvevő levegőre. Emiatt pedig megváltozik a levegő mozgásmennyisége Ezt az áramlástan "impulzus tétel"-nek nevezett integrál-egyenlete segítségével írhatjuk le. A mozgásmennyiség változás pedig sebesség változást jelent - ezt nevezzük indukált sebességnek. A légerő és az indukált sebesség tehát szorosan összetartozó fogalom, egymással ok-okozati összefüggésben álló jelenségek kapcsolatát jelenti, azaz kimondhatjuk, hogy ha létezik indukált sebesség, akkor van légerő és ha létezik légerő, akkor van indukált sebesség is. Az eredő légerő és az eredő indukált sebesség egymással párhuzamos. Külső

megfigyelő számára az értelmük is azonos, az együttmozgó megfigyelő ellentétes értelműnek látja őket. A későbbiekben látni fogjuk, hogy a testek körüláramlása után a levegőben nyomáskülönbségek maradnak fenn (pl. szárnyprofil, szárny, légcsavar) Ezek kiegyenlítődése további 3 Forrás:http://www.doksihu 1. Bevezetés sebességváltozáshoz vezet. A következőkben egy nagyon hasznos közelítést fogalmazunk meg: A testtől távoli indukált sebesség közelítőleg kétszerese a testhez közeli indukált sebességnek. Ez az úgynevezett "kétszeres indukált sebesség törvénye", amelyet - jóllehet csak közelítés igen gyakran alkalmazunk majd. Példaként a 2 fejezet 22 és 23 ábrájára illetve a hozzá kapcsolódó magyarázatra magyarázatra utalunk. Az aerodinamikai vizsgálatokban megengedjük, illetve figyelembe vesszük a levegőben történő mozgást. A mozgás kizárásával az aerostatika tudományához jutunk A

statikus felhajtó-erő ─ ami pl. a léghajók repülésének az alapja ─ mindig létezik; az aerodinamikai erő létezésének feltétele viszont a mozgás! Az általunk tekintett esetekben, az aerodinamikai feladatokban a statikus felhajtóerőt ─ annak viszonylagos kicsinysége miatt ─ elhanyagoljuk. A kontinuum hipotézisnek megfelelően a sebesség teret az alábbi, vektor-vektor függvény írja le: V = V ( r, t ) ; Örvényességnek (ez, a szakirodalom szerint a helyi szögsebesség kétszerese) a sebesség tér rotációját nevezzük: ω = rotV ; Összenyomhatatlan közeg, súrlódádos áramlására felírható a Navier-Stokes egyenlet alábbi alakja (ν − a kinematikai viszkozitás ): dV 1 = − gradp −ν rot ( rotV ) ; ρ dt A fentiek szerint súrlódással akkor számolunk, ha az örvényesség örvényessége nem nulla. Vagyis állandó örvényesség (ide számítva a zérus örvényességet is) nem kelt csúsztató feszültséget. Innen következik az az

igen fontos állítás, hogy az örvényesség és a súrlódás egymással igen szoros kapcsolatban van: összenyomhatatlan közegben az örvényesség mindaddig változatlan marad, amíg a súrlódás meg nem változtatja. 4 Forrás:http://www.doksihu 2. SZÁRNYPROFILOK SZÁRNYPROFILOK AERODINAMIKAI SZÁMÍTÁSA Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 6 2.1 A szárnyprofilok körül kialakuló síkáramlás fizikai tulajdonságai 2.2 Komplex potenciál és konform leképezés 2.3 Az örvény-panel módszer 2.A Melléklet: Az örvény-panel módszer (számítógép-program) 2.B Melléklet: Örvény-panel módszer numerikus integrálással (számítógép-program) 2.4 Több profil együttes számítása 2.C Melléklet: Két-profil program 3. 4. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció-megoszlás számítása Az örvény transzport egyenlet megoldása véges differenciák módszerével 6 9 12 20 26 30 32 40 94

Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 2. SZÁRNYPROFILOK AERODINAMIKAI SZÁMÍTÁSA A repülőgépszárnyak jellegzetes síkmetszete a szárnyprofil. A repülés kezdetén sík vagy ívelt lapokat alkalmaztak. Innen indult az a fejlődés, aminek eredményeképpen napjainkra változatos követelményeknek eleget tévő, rendkívül sokféle, korszerű szárnyprofilt fejlesztettek ki. Ebben a fejezetben összenyomhatatlan és általában súrlódásmentes kontinuum feltételezésével számolunk. Alkalomszerűen azonban, különösen a fizikai magyarázatok esetében, a súrlódás hatásaira is kitérünk. A vizsgálataink alapvetően a profil körül kialakuló nyomáseloszlás meghatározását célozzák, ez lehetőséget ad a felhajtóerő, az indukált ellenállás és a profil nyomatéki tényező számítására is. A továbbiakban mindig összenyomhatatlan közeget tételezünk fel 2.1 A szárnyprofilok körül kialakuló síkáramlás

fizikai sajátosságai A következőkben először a szárnyprofil körül kialakuló áramlás fizikai sajátosságait vizsgáljuk meg. A szárnyprofil - lett légyen akár síklap, akár tényleges profil - az őt körüláramló levegőt eltereli. A sebesség változás - ezt nevezzük indukált sebességnek - mozgásmennyiség változással jár. A mozgásmennyiség változás oka a levegőt elterelő profil illetve a profil levegőre gyakorolt erőhatása; ennek ellentettje (reakcióereje) a keresett erő - eredő légerő, az alapfeltételek miatt természetesen súrlódás nélkül. 2.1 ábra: Szárnyprofil körüli áramlás Kissé részletesebben vizsgálva ezt a kérdést, láthatjuk, hogy az elterelés az áramvonalak görbületével jár együtt. Az áramvonalak görbülése pedig (pl. az Euler egyenlet szerint) nyomás-változást jelent. Alulról a profil felé közeledve az atmoszférikusról (zavartalanról) induló nyomás a profil alsó felületéig nő. A

görbület azonban a profil felett is hasonló irányú; így a nyomásnak errefelé is növekednie kell. Ez a növekedés egészen az atmoszférikus (zavartalan) nyomásig tart, ezért alacsony értékről kell indulnia. Így alakul ki a profil alatti túlnyomás és a profil feletti depresszió (2.1 ábra). Az energia megmaradás (pl. Bernoulli egyenlet) értelmében pedig kimondhatjuk, hogy a nyomás növekedése sebesség csökkenéssel, a nyomás csökkenése viszont sebesség növekedéssel jár. (Ez a gondolatsor igen hasznos és esetleg segíthet a téves magyarázatok pl. "fent hosszabb az út" elkerülésében.) A nyomásból származó légerő - ezt a későbbiekben röviden légerőnek nevezzük majd) keletkezésének és a vele kapcsolatos változásoknak a mechanizmusa tehát: Irányelterelés ⇒ nyomásváltozás ⇒ 6 sebességváltozás Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 2.2 ábra: Örvényes nyom a profil mögött Vizsgáljuk meg a profil

körüli áramlást kissé részletesebben. A kilépőélnél az áramvonalak találkoznak és a nyomás is azonos lesz, de a sebességek nem: a felső áramvonalon érkező részecskék nagyobb sebességűek, mint a profil alatti áramvonalon érkezők. Ha a profil körüli áramlásban csak nyomás (nyomófeszültség) lenne, akkor ez a tény ellentmondana az energia egyenletnek. A magyarázathoz figyelembe kell venni, hogy csúsztató feszültség is keletkezik. A profil a nyugvó levegőben mozogva azzal energiát közöl. Fent, ahol általában nagyobbak a sebességek, nagyobb az energiaátadást biztosító csúsztató feszültség is. Emiatt alakul ki, vagy marad vissza a profil áthaladása után a fent vázolt sebesség különbség. A profilról leúszó örvényes nyom (2.2 ábra) felső és alsó széle közötti sebesség különbség fokozatosan kiegyenlítődik. A felső sebesség elemi csökkenése elemi nyomásnövekedést; az alsó elemi növekedése elemi

nyomáscsökkenést eredményez. Ez pedig az örvényes nyom, vagy röviden kilépő áramvonal lefelé görbülését eredményezi. Így alakul ki a "második" indukált sebesség, vagy másképp fogalmazva: itt is látható, hogy a távoli indukált sebesség kétszerese a * közelinek. A további áramvonal-görbülésből következik, hogy ez az áramkép az y tengelyre (2.3 ábra) nézve lesz szimmetrikus (legalább is első közelítésben) Ez pedig azt jelenti, hogy a repülési sebesség (V ∞ ) és a közeli indukált sebesség ( w ) összegeként áll elő az a V sebesség, amire a légerő ( F ) merőleges. Ezt az erőt a megszokott módon felbonthatjuk V ∞ -re merőleges összetevőre - gyakran ezt nevezik felhajtóerőnek - és V ∞ -nel párhuzamos összetevőre - ezt nevezzük indukált ellenállásnak. Alaki ellenállás ideális közegben nem keletkezik. Itt is hangsúlyozzuk, hogy több esetben (pl. légcsavar számítás) az indukált sebességet is

figyelembe vesszük, ilyenkor nincs szükség az indukált ellenállásnak nevezett segéd-fogalomra, a profil-mérésekből származó erő-tényezők közvetlenül felhasználhatók. A 2.3 ábrán látható, valóságos áramképet közelíti a 24 ábrán látható, a komplex potenciálok elméletéből ismert áramkép. Ilyen áramképet kaphatunk pl a Zsukovszkíj féle leképezéssel Nyomatékosan hangsúlyozzuk, hogy ez (2.4 ábra) a közelítő áramkép, ennek kell hasonlítania a valóságos áramképre (2.3 ábra) A hasonlóság pedig - első közelítésben - akkor áll fenn, ha ezt a profilt illetve a körülötte kialakuló áramlást az x * , y koordináta rendszerben vizsgáljuk. A ( ) számításunk eredményeképpen kapott légerő (ami gyakorlatilag a felhajtóerővel azonos) a V sebességre lesz merőleges - ezért kell a 2.3 ábrának megfelelő helyzetben az indukált és esetleg alaki ellenállást is értelmezni. Az alaki ellenállás keletkezésének

szükséges feltétele a súrlódás, mivel ez okozza a profil mentén kialakuló általános nyomás-csökkenést, aminek eredményeképpen a profil körüli nyomáskülönbségből (ami a gyakorlatban mindig nyomás csökkenés) adódó, mozgásiránnyal ellentétes erő - ez az alaki ellenállás - áll elő. Ideális közegben - gondoljunk pl a henger körüli 7 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása nyomás-eloszlásra - mivel a nyomás-eloszlás az " y " tengelyre mindig szimmetrikus, alaki ellenállás nem keletkezik. 2.4 ábra: Áramkép a komplex potenciál szerint 2.3 ábra: Valóságos áramkép Az alaki ellenállás keletkezésének szükséges feltétele a súrlódás, mivel ez okozza a profil mentén kialakuló általános nyomás-csökkenést, aminek eredményeképpen a profil körüli nyomáskülönbségből (ami a gyakorlatban mindig nyomás csökkenés) adódó, mozgásiránnyall ellentétes erő - ez az alaki

ellenállás - áll elő. Ideális közegben - gondoljunk pl a henger körüli nyomás-eloszlásra - mivel a nyomás-eloszlás az " y " tengelyre mindig szimmetrikus, alaki ellenállás nem keletkezik. A számítást a cirkuláció meghatározására építjük. A cirkuláció olyan segédfogalom, amit éppen a számítások elvégezhetőségének érdekében vezetünk be. Ezt a 25 ábra alapján mutatjuk be. A profil körüli sebesség-eloszlást úgy kaphatjuk meg, ha a zavartalan alapáramlásra egy cirkuláció sebesség-eloszlását szuperponáljuk. Az eredő sebesség-eloszlás az ábra jobb oldalán látható, vizsgálatát csak nagy vonalakban végezzük: eltekintünk ui. az örvény (cirkuláció) középpontjánál kialakuló igen nagy sebességektől. A későbbiekben megoszló cirkulációval dolgozunk majd, ahol véges határ-értéket kapunk, így ez a probléma áthidalható. A következő vizsgálatok egyik legfontosabb kérdése éppen annak a

cirkulációmegoszlásnak a meghatározása, amivel a profil körüli áramlást leírhatjuk. 2.5 ábra: Eredő sebesség-eloszlás 8 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 2.2 Komplex potenciál és konform leképezés A komplex potenciál és konform leképezés a jelen fejezetben tárgyalt feladat megoldásának klasszikus eszköze. Megismerésük ezért fontos, no meg azért, mert szemléletes képet adnak a potenciálos örvény (cirkuláció) és a dipólus szerepéről, illetve alkalmazásuk újabban egyre inkább terjed. Az ideális közeg (levegő) profil körüli áramlását leírhatjuk a komplex függvénytan segítségével. Bevezetésképpen vizsgáljuk a legegyszerűbb, Zsukovszkíj féle profil körül kialakuló áramlást. A tárgyalást az [1]-ben közöltek szerint folytatjuk Ezek szerint a w( z) = ϕ ( z) + iψ ( z) ; (2.1) komplex változós, komplex értékű függvény - amennyiben folytonos és differenciálható, azaz reguláris - akkor egyben

komplex potenciál is, amelyben: φ ( z ) - valósértékű, komplex változós függvény a sebességi potenciál és ψ ( z ) - valósértékű, komplex változós függvény az áramfüggvény. Tekintsük a következő komplex potenciált: w = V∞ z + M 2π z ; (2.2) Helyettesítsük be a z = r ei υ alakot, ezzel néhány egyszerű átalakítás után kapjuk, hogy:     M M w =  V∞ r cos υ + cos υ  + i  V∞ r sin υ − sin υ  ; 2π r 2π r     azaz a sebességi potenciál: és az áramfüggvény:   cos υ  ; 2π r     M ψ ( z ) =  V∞ r sin υ − sin υ  . 2π r   φ ( z ) =  V∞ r cos υ + M M , akkor a ψ áramfüggvény a υ szögtől függetlenül 2 π V∞ 2 π r0 állandó, ez tehát egy origó középpontú, r0 sugarú kör körüli áramlás komplex potenciálja. Ha V∞ r0 − M = 0 , azaz : r0 = A (2.2)-ben az első tag egy párhuzamos áramlás, a második egy dipólus

komplex potenciálja Tegyük fel, hogy az „ M ”, a dipólus momentuma valós, akkor a valós tengelyre érvényes szimmetriából következik, hogy a be- illetve kilépő torlópont a kör és a valós tengely metszéspontja ( T1 és T2 , 2.6 ábra) Ha a kör középpontja nem az origó, hanem a komplex számsík egy z0 pontja, akkor (2.2) a következőképpen alakul: 9 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása M ; 2 π ( z − z0 ) w = V∞ z + (2.3) Belátható, hogy ezzel az eltolással a torlópontok helye a körön nem változik (2.7 ábra) Vizsgáljuk a ζ = f ( z ) komplex változós, komplex érétkű függvényt. Ez a függvény a "z" sík egy tartományát ( Tz ) leképezi a "ζ " sík egy tartományára ( Tζ ). A leképezést, ha az kicsiben szög és aránytartó, konformnak nevezzük. Pontos definíció szerint a leképezés akkor és csak akkor konform, ha a ζ = f ( z ) függvény a Tz tartomány minden

pontjában reguláris, azaz egyértékű és differenciálható. Esetenként a tartomány határát vagy annak néhány pontját nem tekintjük a leképezés részének - ezek lesznek a leképezés szinguláris pontjai. 2.6 ábra: Henger körüli áramlás A kör körüli áramlást konform leképezéssel egy másik síkra vihetjük át. Alkalmazzuk a Zsukovszkíj transzformációt, ami a: ζ = a z+ a ; z függvénnyel írható le ( "a" valós szám). Két szinguláris pontot találunk: dζ = 0 =1− dz a , ⇒ z2 2.7 ábra: Leképezés z= ± a. A Zsukovszkíj féle leképezéssel tehát a 2.7 ábrán látható, z0 középpontú kört képeztük le a 2.8 ábrán látható profillá. A " K ∗ " pont (profil kilépőéle) a 27 ábrán látható, "z" síkon ·(- a ) távolságra van az origótól. Ez lesz a leképezendő körön a "K" pont, a profil kilépőéle, mivel ez a leképezés szinguláris pontja (ahol a sima körvonal pont

töréspontba megy át, azaz megszűnik a szögtartás). A másik szinguláris pont a leképezendő kör belsejében van, ez az elrendezés eredményez egy ívelt profilt a "ζ" síkon. 2.8 ábra: Leképezett profil Az ekkor kialakuló torlópontokat a 2.8 ábrán láthatjuk Ez az áramlási forma csak matematikailag lehetséges, fizikailag nem, mivel a kilépőél megkerülése végtelen nagy gyorsulással járna. Ezt mutatja egyébként a 2.2, 23 és 24 ábrán látható áramlás is, ezek szerint is a kilépő torlópont ( T2 ) pontosan a kilépőélen (K pont) kell legyen – ezt nevezzük a sima leáramlás feltételének. 10 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Ehhez a 2.7 ábrán látható áramlást módosítani kell: olyan cirkulációt ( Γ = ∫ V ds ) kell a kör köré elhelyezni, amely a T2 torlópontot a K-ba viszi. Ekkor a komplex potenciál: w = V∞ z + M 2 π ( z − z0 ) + i Γ ln ( z − 2π zo ) ; (2.4) Az alkalmasan választott

cirkuláció hatására az eredő áramkép már megfelel a fizikai feltételeknek is (2.9 ábra) A kiinduló képen ("z" sík) rögtön látható a szimmetria, ebből pedig következik, hogy a felhajtóerő merőleges a zavartalan áramlás sebességére. Mivel pedig ez a valós tengellyel párhuzamos, a felhajtóerő a képzetes tengely irányába mutat. A végtelen fesztávolságú szárny egységnyi hosszú darabján keletkező felhajtóerő a Kutta Zsukovszkíj tétel szerint számítható ki: F ′ = ρ V∞ Γ ; azaz c f = 2Γ . (25) V∞ h 1 2.9 ábra: Fizikailag is megfelelő leképezés Itt c f a profil felhajtóerő-tényezője és h a profil húrhossza. Ezt az összefüggést a későbbiekben többször alkalmazzuk majd, ez a képlet adja meg a kapcsolatot a cirkuláció és a felhajtóerő között. A második fejezet lezárásaképpen néhány szót kell szólnunk a felhajtóerő kialakulásáról. A profil körüli áramlás megindulásakor (amíg a

sebesség nagyon kicsi) az áramkép hasonlít a 2.9 ábrán vázolthoz. (Nem azonos vele, hiszen ez fizikailag lehetetlen, de nem áll távol tőle) A sebesség növekedésével a kilépő torlópont elindul a kilépőél felé, mivel a kilépőél megkerülése egyre kevésbé lehetséges. Eközben azok a részecskék, amelyek a profil kilépőélét már megkerülték, folytatják a megkezdett forgó mozgást. De a gyorsuló áramlás ezt a forgatagot - amit egyébként indulási örvénynek nevezünk - elsodorja. Az indulási örvény intenzitása ideális folyadékban állandó, és a profiltól V ∞ sebességgel távolodik. Hatásától egy idő múltán eltekinthetünk. A gyakorlatban csak időben változó (instacionárius) feladatok megoldásakor számolunk vele. Valóságos levegőben ez az örvény a súrlódás hatására megszűnik (hővé alakul). Az az idő, ami alatt megszűnik, több tényezőtől függ - nagyon nagyvonalúan perc nagyságrenddel becsülhetjük. Ez

fontos tényező pl a repülőtereken, az egymást követő startok közötti, minimálisan szükséges várakozási idő meghatározásában. Az örvények megszűnésére kissé konkrétabban a 3. fejezetben, a Lamb féle örvény-modell ismertetése kapcsán térünk ki 11 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 2.3 Az örvény-panel módszer A profilok aerodinamikai vizsgálata során számos profilszámítási eljárás alakult ki. E módszerek lényegében két fő feladat megoldását célozzák: • adott profil körül kialakuló áramlás számítása – ez az első főfeladat; • adott nyomáseloszlást előállító profil kontúrjának meghatározása – ez a második főfeladat. Az itt ismertetendő örvény-panel módszer az első főfeladat megoldására szolgál, szisztematikus kereséssel azonban a második főfeladat is megoldható vele. 2.10 ábra: Szárnyprofil kontúrja, a kontúr felosztása, megoszló örvények A

profilt a 2.10 ábrán látható módon töröttvonallal helyettesítjük, úgy, hogy a töréspontok a kontúron legyenek. A töröttvonal szakaszok mentén lineárisan változó, megoszló cirkulációt veszünk fel (a ξ változó a lokális koordináta, amely 0-tól S j -ig -ez a teljes szakaszhossz - fut): γ (ξ j ) = γ j + (γ j+ 1 − γ ξj j )S ; (2.6) j A későbbiekben, amikor ez majd szükséges lesz, az eredő cirkulációt a megoszló cirkuláció profilkontúr menti integrálásával határozzuk meg. A számításban kontúrpontok ( Xk i , Yk i ) és ellenőrző pontok ( X i , Y i ) szerepelnek - ez utóbbiak (a definíció szerint) a kontúrpontokat összekötő szakaszok felezőpontjai. A számítást a sebességi potenciál felírásával kezdjük. Az alapáramlás sebességi potenciálja, ha a profil állásszöge α: 12 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv ϕ a =V∞ ( xcosα + ysinα ); (2.7) Ebben a számításban az állásszög (α)

értéke fontos, hiszen ez alapparaméter. Az előző pontban már meghatároztuk egy, z0 középpontú, Γ intenzitású örvény komplex potenciálját. Az ebből számítható sebességi potenciált a z = r e iϑ helyettesítés felhasználásával fejezzük ki: ϕö = y− y j Γ (−ϑ ) , ahol : ϑ = Arctan . 2π x− x j (2.8) A fenti kifejezésből meghatározhatjuk a " j "-edik vonalon elhelyezkedő, megoszló örvény sebességi potenciálját az (x,y) sík egy pontjában : Sj ϕö = − ∫ 0 γ (ξ j ) 2π  y - yj   dξ j Arctan   x - xj  (2.9) ; Az eredő potenciált rögtön az ( X i , Y i ) ellenőrző pontban számítjuk. A profilkontúr mentén "m" számú szakaszt vettünk fel (2.10 ábra), ezek rész-potenciáljait összegezve és hozzáadva az alapáramlás potenciáljához (2.7 és 29 felhasználásával): m Sj ϕ ( X i , Yi ) = − ∑ ∫ j= 1 0 γ (ξ j )  Yi - y j  Arctan  d ξ + V∞  X - x

 j 2 π i j   ahol: x j = Xk j + ξ j cos Θ j ; és y j = Yk j + ξ j sin Θ j (X i cos α + Yi sin α ) ; (2.10) . A 2.10 ábráról látható, hogy "m+1" darab γ értéket kell meghatározni Ehhez először az ellenőrző pontokat használjuk fel. Azt mondjuk, hogy a sebességi potenciál ekvipotenciális vonalai itt a profilra merőlegesek, azaz a profil kontúrjára merőleges sebesség-összetevő nulla. Ebből következik, hogy a potenciál normális menti deriváltja az ellenőrző pontban nulla: ∂ ϕ ( X i , Yi ) = 0, i = 1, 2,3 m ; ∂ ni (2.11) A fenti deriváltakból "m" számú egyenlet adódik, még egy egyenletet kell keresnünk. Ezt a sima leáramlás feltételéből kapjuk: γ 1 + γ m+ 1 = 0 ; (2.12) A megoszló örvények potenciáljának normális menti deriváltját a következő módon számíthatjuk ki: először a külső függvényt (Arctan) deriváljuk, majd kiszámítjuk a belső változók normális menti

deriváltjait. A második lépést a 211 ábra alapján a következőképpen írhatjuk fel: ∂ Xi  Xi  ∂ Yi  Yi  ⇒  = − sin Θi ; ⇒  = cos Θi ni  ni  ∂ ni  ∂ ni  2.11 ábra: Panel a profil kontúrján 13 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása Az első lépés az "Arctan" függvény deriváltja, ez az alábbi alakot ölti: ∂   Yi − y j  Arctan  ∂ ni   Xi − xj    =    ∂ Yi  1 − 2  Yi − y j   X i − x j ∂ ni  1+   X − x  j   i 1 Yi − y j (X i − xj ) 2 ∂ X i  ∂ ni  ;  Ezzel egy szakasz (a j-edik) megoszló cirkulációjának normális menti deriváltja a következő módon írható fel: S γ (ξ j ) ∂ ϕn ( X i , Yi ) =−∫ ∂ ni 2π 0 (X j i − x j ) cos Θi + (Yi − y j ) sin Θi (X − x j ) + (Yi − y j ) 2 i 2 dξ j (2.13) A (2.13)-ban

megadott integrálok, a fenti feltételek mellett zárt alakban is kiszámíthatók Ez valamely integrálási kézikönyv ( pl. [ 6 ] ) birtokában lehetséges Itt hosszadalmassága miatt és mert végeredményben más utat ajánlunk, nem részletezzük ezt a számítást, csak a végeredményt adjuk meg. ( ) (2.6)-tal adott kifejezésében kétféle γ érték ( γ Miután a γ ξ j j illetve γ j + 1 ) fordul elő, a (2.13)-ban adott integrált két részletben célszerű kiszámítani: Sj cn 2, ij = − ∫ 0 ξj (X i − x j ) cos Θi + (Yi − y j ) sin Θi és: Sj cn1, ij = − ∫ 0 ( X i − x j ) + (Yi − y j ) 2 Sj  ξj  1 −  S j   (X i dξ j ; 2 − x j ) cos Θi + (Yi − y j ) sin Θi (X − x j ) + (Yi − y j ) 2 i A számításban a cirkuláció értékek ( 2 (2.14/a) dξ j . (2.14/b) γ j ) meghatározása a cél. Látható, hogy a cn1, ij a γ j a cn2, ij pedig a γ j + 1 együtthatója lesz. Az is látható,

hogy először a (214/a)-t célszerű kiszámítani, ez ui. felhasználható a (214/b) meghatározásában Az integrálás elvégzése után kapjuk: 1 cn 2, ij =   D + Q F (2 S ) − ( A C + D E ) G j ha i = j ha i ≠ j Sj ; (2.15/a) és: − 1 cn1, ij =  D F 2 − C G − cn 2 , ij ha i = j ha i ≠ j . A (2.15/a) és a (215/b) képletben szereplő elnevezések magyarázata a következő: A = − X i − Xk j cos Θ j − Yi − Yk j sin Θ j ; ( ) B = ( X i − Xk j ) + (Yi − Yk j 2 C = sin ( Θi − Θ j ) ; ( ); ) 2 14 (2.15/b) Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv D = cos ( Θi − Θ j ) ; E = ( X i − Xk j ) sin Θ j − (Yi − Yk j ) cos Θ j ;  S 2j + 2 A S j  F = ln 1 +  ;  B    E Sj  G = Arctan  = arctan 2 ( E S j , B + A S j ) ;  B + A S j    P = ( X i − Xk j ) sin ( Θi − 2 Θ j ) + (Yi − Yk j ) cos ( Θi − 2 Θ j ) ; Q = ( X i − Xk j ) cos ( Θi − 2 Θ j

) − (Yi − Yk j ) sin ( Θi − 2 Θ j ) . Fontos: a (2.14/a) és a (214/b) integrálok eredménye az 1 illetve -1 érték, abban az esetben, amikor a potenciál deriváltját (az örvény-réteg indukált sebességét) olyan pontra számítjuk ki, amely rajta van az örvény-rétegen. Ekkor az integrálok magfüggvénye szinguláris lesz és meghatározásuk az un. Cauchy féle főérték alkalmazásával lehetséges (Ez részletesen pl [1]ben olvasható) Az eljárás alapján készült program - amelyet a 2.1 mellékletben ismertetünk - futtatása során kiderült, hogy a "G" együttható értékének kiszámítása bizonyos esetekben pontatlan, illetve a tényleges számításban kétargumentumú „Arctan” függvényt kell használni. Hasonlóképpen pontatlan lehet a Θ szögek meghatározása. Ezért a későbbiekben a (214/a) és a (214/b) integrálokat (a szinguláris esettől eltekintve) numerikusan számítjuk ki. Ez egy új programot eredményezett, amelyet a

2.2 mellékletben ismertetünk Dimenziótalanítsuk a cirkulációt! A továbbiakban ezzel számolunk: γ ; 2 π V∞ γ′= (2.16) A profilkontúrra merőleges sebesség-komponens nulla voltából származó feltételből (2.11 kifejezés) "m" darab egyenletet írhatunk fel: ∑ (c m j =1 n1, ij ) γ j′ + cn 2, ij γ j + 1′ = sin ( Θi − α ) ; (2.17) Az "m+1"-edik egyenlet pedig a (2.12), a sima leáramlás feltétele Ez egyébként azt jelenti, hogy a feladat matematikailag többértékű és kell egy fizikai feltétel, amely mintegy kiválasztja a sok matematikailag lehetséges közül a fizikailag is megfelelő megoldást. Végeredményben a γ j ′ számítására inhomogén, lineáris, algebrai egyenletrendszert kapunk: An γ′= b; (2.18) 15 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása ahol az együttható-mátrix elemei: an ij ha i = 1, 2,⋯ m ( j = 1) cn1, i1  cn1, ij + cn 2, i , j − 1 

= cn 2, im  1 0  ha i = 1, 2,⋯ m és j = 2,3⋯ m ha i = 1, 2,⋯ m és j=m+ 1 ha i = m + 1 és ha i = m + 1 és j = 1 vagy j = m + 1 j = 2,3⋯ m ; Az A n mátrix elemeit a 2.4 pontban táblázatosan is megadtuk, ott ez a táblázat 1 és 2 sora illetve az 1. ,2 és 3 oszlop (azaz a bal felső almátrix) Az ismeretlenek vektora γ ′   1  γ ′ = ⋮  ;   γ ′m+ 1  Végül pedig a jobboldal elemei: sin ( Θi − α ) bi =  0 ha i = 1, 2,⋯ m ; ha i = m + 1 Az egyenletrendszer megoldása után a profil körüli sebességeloszlás - pontosabban a sebesség az ellenőrző pontokban - a sebességi potenciál érintő menti deriváltjának felhasználásával számítható ki, azaz keressük a 1 ∂ ϕ ( X i , Yi ) deriváltat. V∞ ∂ ti A számítás részleteit illetően csak nagyvonalú ismertetésre szorítkozunk. Az érintő menti derivált, a 2.11 ábra alapján: ∂ Xi  Xi  ≅  =

cos Θi ti  ∂ ti  ∂ Yi  Yi  ≅  = sin Θi ; ti  ∂ ti  és Az örvény-réteg potenciáljának érintő menti deriváltja:   Yi − y j    Arctan    = ∂ ti  X − x i j    ∂ Ezzel: Sj ct 2 , ij = − ∫ 0 ξj Sj (X i 1  Y − yj  1+  i  X − x  j   i ) ( x ) + (Y 2  Yi − y j ∂ X i  ∂ Yi  1  −  X i − x j ∂ ti ( X − x )2 ∂ ti  i j   ) y ) − x j sin Θ i − Yi − y j cos Θ i ( Xi − 2 j i 16 − j 2 dξ j ; ; Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv és Sj ct1, ij = − ∫ 0  ξj  1 −  S j   (X i − x j ) sin Θi − (Yi − y j ) cos Θi (X − x j ) + (Yi − y j ) 2 i 2 dξ j ; ahonnan már a (2.19)-ben adott, tangenciális együttható mátrix elemei kiszámíthatók A sebesség számítására alkalmas egyenlet tehát: 1 ∂ ϕ ( X i , Yi ) = cos ( Θi − α

) − ∂ ti V∞ m+ 1 ∑a j= 1 t ij γ ′j ; (2.19) ahol: at i1 = ct1, ij ha i = 1, 2,⋯ m és j = 1; at ij = ct1, ij + ct 2, ij ha i = 1, 2,⋯ m és j = 2,3,⋯ m ; at i ,m + 1 = ct 2, im ha i = 1, 2,⋯ m és j = m. itt: π 2 ct 2, ij =  C + P F és: (2 S ) + ( A D − j π 2 ct1, ij =  C F 2 − D G − ct 2, ij ha i = j C E) G ha i ≠ j Sj ; ha i = j ; ha i ≠ j A kiszámított (örvények által indukált) sebesség előjele nagyon fontos: pozitív ott, ahol az irányítása az ívelem irányításával azonos és negatív, ahol ellentétes. A sebesség ismeretében meghatározható a nyomás-tényező. A profil előtti pontból a profil feletti vagy profil alatti pontra felírt Bernoulli egyenlet: p∞ ρ + V∞2 p V2 = + ; ρ 2 2 innen átrendezéssel következik: 2  V   p − p∞ = V 1 −    2   V∞   ρ 2 ∞ 2 V  cp = 1 −   ;  V∞  azaz (2.20)

A számításból eleve a (V V∞ ) értéket határozzuk meg, így a nyomástényező (2.20) felhasználásával egyszerűen megkapható. A felhajtóerő-tényezőt kétféleképpen számítjuk. Ez egyébként a számítás egyfajta ellenőrzése is: amennyiben e két mód szerint kb. azonos érétket kapunk, úgy az eredmény elfogadható. Az első módszer a cirkuláció felhasználásával történő számítás Másodszorra a nyomásmegoszlásból határozzuk meg majd a felhajtóerő-tényezőt. Az első számítást a (25) szerint végezzük: cy = 2Γ 4π = V∞ h h ∫ γ ′ dξ = 4π h  ∑ ( γ ′ m j= 1  17 j+ 1 + γ ′j ) Sj   ; 2 (2.21) Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása A felhajtóerő-tényező számításának másik útja a nyomásból származó erő meghatározása. Ez a számítási út több eredményt ígér: a felhajtóerő mellett meghatározható a nyomáskülönbségből származó

erő megfúvási sebesség irányú összetevője is. Ennek az erőösszetevőnek elméletileg nullának kell lennie, az eltérés jellemzi a számítás pontosságát. A 2.12 ábrán egy, a profil kontúrpontjait összekötő vonaldarab és a rá ható erők ( f x , f y , f r ) láthatók. A nyomásból származó erőt, definíció szerint a következő módon számíthatjuk: R= − ∫ p dA = − ( A) 2.12 ábra: Panelen ébredő erők ∫ p n 1 ds . A számításban a dimenziótlan erőtényezőket kívánjuk meghatározni, ehhez az erőt a szokásos módon dimenziótlanítjuk (a számítási síkra merőlegesen egységnyi méretet tételezünk fel): fr = R ρ 2 V 2 ∞ (1 h) = − ∫ c p n 1 ds ; (2.22) (2.22)-nek megfelelően az " x " illetve " y " tengely irányába eső, az "i"-edik panelen keletkező erő-összetevők összegzésével kapjuk a következő kifejezéseket: fx = 1 h m ∑ c pi Si sin Θi és i= 1 fy = − 1

h m ∑c i= 1 pi Si cos Θi ; (2.23) Ezek a dimenziótlan erő-összetevők elforgatandók így a sebességre merőleges és párhuzamos összetevőt számítjuk ki. Ez az állásszöggel történő elforgatással lehetséges, végül tehát a felhajtóerő-tényező illetve a számítás pontosságát jellemző tényező: c y = f y cos α − f x sin α és chiba = f y sin α + f x cos α . A következő a nyomatéki tényező számításának bemutatása. Ebben a munkában a húrnegyedre vonatkoztatott nyomatéki tényezőt határozzuk meg. Az előbbiekben meghatározott rész erők (2.23-ban az összegezett elemek) a nekik megfelelő ellenőrző pontban hatnak A nyomaték számítása jobbsodrású koordináta rendszerben: i  M= r× F= x  Fx  j y Fy   k 0    0 =  0     0  x Fy − y Fx  Innen következik, hogy a " z " tengely körüli nyomaték (az (x,y) helyére az ( X i , Y i ) ellenőrző-pont

koordinátákat írva): 18 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv m ∑  F Mz = yi i= 1 X i − Fxi Yi  ; illetve a nyomatéki-tényező:; m= ρ 2 M V∞2 (1 h ) h ; ahol az " 1 " a síkra merőleges (egységnyi) méret. Végeredményben, az erőtényezők alapján, a húrnegyedre vonatkozó nyomatéki tényező: mh 4 = 1 h2 m ∑ i= 1   f yi   h   X i −  − f xi Yi  ; 4   Ezzel a profilszámítási eljárás elméleti része rendelkezésünkre áll. 19 (2.24) Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 2.A Melléklet : AZ ÖRVÉNY-PANEL MÓDSZER (Számítógép-program) A következőkben a 2.3 pontban részletezett számításra kidolgozott, BASIC forrásnyelvű programot ismertetjük. Az alkalmazott programnyelv egyszerű és ezért viszonylag könnyen áttekinthető programlistát eredményez. A programhoz nem tartozó megjegyzéseket dőlt betűvel írtuk. Ezek

a megjegyzések segítenek a program működésének megértésében, voltaképpen helyettesítik a blokkdiagrammot. Amennyiben a tisztelt Érdeklődő saját számítási eljárást fejleszt (amit felettébb ajánlunk), akkor ügyelnie kell arra, hogy a konkrét nyelvi elemek (pl. deklarációk, be- és kiírási utasítások stb.) az alkalamzott programnyelvnek megfelelően jelenjenek meg A program két nagy részre oszlik: az első a "Főprogram", a második az inhomogén, lineáris, algebrai egyenletrendszert megoldó, "Schmidt eljárás" elnevezésű segédprogram. Ebben, a 2.1 mellékletben a zárt alakban kiszámított integrálok felhasználásával megírt programot ismertetjük. A húrhosszat és a zavartalan áramlás sebességét egyaránt egységnyire választottuk. Ez - ideális közeg esetében, egy profil vizsgálatakor - mindig megtehető és nem jelent külön megszorítást. Főprogram: A program a kontúrpontok számának (m+1) megadásával

kezdődik, majd ezután következik az indexes változók dimenzionálása. m=12 : m1=m+1 : pi=3.14159265358 dim Xk(m1),Yk(m1) , X(m) ,Y(m) , s(m),se(m) , ce(m),theta(m),v(m),cp(m),aq(m1,m1) dim cn1(m,m),cn2(m,m),ct1(m,m),ct2(m,m),an(m1,m1),rhs(m1),gw(m1),gamma(m1) Ezután a kontúrpontok adatai következnek (Xk(i),Yk(i)) - itt rögtön egységnyi húrhosszhoz tartozóan, ha nem ez lenne a helyzet, akkor ezeket az adatokat el kellene osztani a húrhosszal (vagy az elméleti részben adott, húrhosszat is tartalmazó képleteket kellene használni). A pontokat a 2.10-es ábrán adott sorrendben írjuk be, azaz az (1,0) ponttal kezdünk és - mivel a profil zárt - ezzel végzünk is (ez lesz a 13. pont) data 1,0 , 0.933,-5e-3 , 075,-0017 , 05,-0033 , 025,-0042 , 0067,-0033 data 0,0 , 0.067,0045 , 025,0076 , 05,0072 , 075,0044 , 0933,0013 , 1,0 for i=1 to m1 : read Xk(i),Yk(i) : next i A profil kontúrpontjainak beolvasása után, ellenőrzés céljából felrajzoltatjuk a profilt a

képernyőre. Ekkor megállapítható és javítható az esetleges hiba Ez az eljárás például nyelvspecifikus, illetve nem is tartozik szorosan a számításhoz, mivel csak egy ellenőrző lépés 20 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv screen 11 : cls : print window(-0.1,05)-(11,-03):print " PROFILKONTUR" for i=1 to m : line(Xk(i),Yk(i))-(Xk(i+1),Yk(i+1)) : next i input " Tovabb ";tova$ : if tova$="n" then stop : screen 0 A továbbiakban szükség lesz az ellenőrző pontok koordinátáira (X(i),Y(i)), az egyes panelek ívhosszára (s(i)) és a Θ szögek sinus-ára (se(i)) illetve cosinus-ára (ce(i)). Ezek következnek itt for i=1 to m X(i) = (Xk(i)+Xk(i+1))/2 : Y(i)=(Yk(i)+Yk(i+1))/2 s(i) = sqr((Xk(i) - Xk(i+1))^2 + (Yk(i) - Yk(i+1))^2) ce(i)=(Xk(i+1)-Xk(i))/s(i) : se(i)=(Yk(i+1)-Yk(i))/s(i) next i A számításban több mennyiséget ismételten is fel kell használni. Időtakarékosságból, a jobb áttekinthetőség érdekében és

helytakarékosságból is célszerű segédváltozókat definiálni. A segédváltozók meghatározása után pedig kiszámíthatók a (2.14/a és 214/b) kifejezésekkel adott cn2(i,j) és cn1(i,j) értékek. Az első címkét (cim1) az i=j eset kezelésére vezettük be A második és harmadik címke (cim2 és cim3) az Arctan függvény számítása miatt vált szükségessé. Egyúttal kiszámítjuk a ct2(i,j) és a ct1(i,j) mátrix-elemeket is, ezzel határozható majd meg a sebességeloszlás (2.19 szerint) for i=1 to m for j=1 to m if i=j then goto cim1 ca=ce(j)*ce(j)-se(j)se(j) : cb=2se(j)ce(j) a1=X(i)-Xk(j) : a2=Y(i)-Yk(j) c=se(i)*ce(j)-ce(i)se(j):d=ce(i)ce(j)+se(i)se(j) a=-a1*ce(j)-a2se(j) : b=a1a1+a2a2 cl=se(i)*ca-ce(i)cb : ck=ce(i)ca+se(i)cb e=a1*se(j)-a2ce(j) : f=log(1+s(j)(s(j)+2a)/b) si=e*s(j):co=b+as(j) if abs(co)<1e-5 and si>0 then g=pi/2 : goto cim3 if abs(co)<1e-5 and si<0 then g=3*pi/2 : goto cim3 g=atn(si/co) if co<0 then g=g+pi : goto cim3 if co>0

and si<0 then g=2*pi-g cim3: p=a1*cl+a2ck:q=a1ck-a2cl cn2(i,j)=d+q*f/s(j)/2-(ac+de)g/s(j) : cn1(i,j)=df/2+cg-cn2(i,j) ct2(i,j)=c+p*f/s(j)/2+(ad-ce)g/s(j) : ct1(i,j)=cf/2-dg-ct2(i,j) goto cim2 cim1: cn1(i,j)= -1 : cn2(i,j)=1 : ct1(i,j)=pi/2 : ct2(i,j)=pi/2 cim2: next j next i 21 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása A cirkuláció-számításban alkalmazandó együttható mátrix (an(i,j)) és a sebesség számításban használt együttható mátrix (aq(i,j)) elemeinek meghatározása következik. Csak megjegyezzük: azért nem alkalmazható az at(i,j) jelölés, mert az "at" BASIC-alapszó, így változó deklarálására nem használható. for i=1 to m1:for j=1 to m1:an(i,j)=0:aq(i,j)=0:next j:next i for i=1 to m an(i,1)=cn1(i,1):an(i,m1)=cn2(i,m):aq(i,1)=ct1(i,1):aq(i,m1)=ct2(i,m) for j=1 to m an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1):aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i an(m1,1)=1 : an(m1,m1)=1 A (2.18) egyenletrendszer jobboldalának

(rhs(i)) meghatározása következik Az "rhs" elnevezés az eredeti, angol névnek felel meg. Az "ujra" címke új állásszöggel történő ismételt számítás esetén kap szerepet: ebben az esetben a program ide tér vissza és így nem kell újra számolni az együttható mátrixok elemeit, amelyek egyébként csak a geometriai adatoktól függenek. ujra: cls : print : print input " Kerem az allasszoget [fok]: ";alfa : alfa=alfa*pi/180 for i=1 to m : rhs(i)= se(i)*cos(alfa)-ce(i)sin(alfa) : next i rhs(m1)=0 Az eddigiekkel meghatároztuk a megoldandó egyenlet-rendszert, eztán a megoldás következik. A megoldást a bevezetőben említett alprogram végzi, a Schmidt féle orthogonalizációs eljárás alapján. Erre nézve [ 7 ] tanulmányozását ajánlhatjuk A megoldási módszer egyébként egyike a legjobb direkt megoldó módszereknek. call schmidt Az alprogram listája - a program szintaxisának megfelelően - a főprogram vége után

következik. A "Schmidt" eljárás eredménye a cirkuláció megoszlást meghatározó gamma(i) értékek sorozata. Ezek ismeretében, az aq(i,j) felhasználásával a profil körüli sebesség-eloszlás meghatározható. Hasonlóképpen kiszámíthatók - (220) szerint - a nyomástényezők is print : print print "----------------------------------------------------------------" print " i v(i) cp(i)" : print for i=1 to m v(i)=ce(i)*cos(alfa)+se(i)sin(alfa) for j=1 to m1 : v(i)=v(i)+aq(i,j)*gamma(j) : next j cp(i)=1-v(i)^2 print i,v(i),cp(i) next i print : print "----------------------------------------------------------------" input " Tovabb (i/n) ";tt$ : if tt$="n" then stop cls 22 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A nyomtatás - ebben az esetben - a képernyőre történik. Itt lesz látható, hogy a sebességek, ahol az ívelem irányítása ellentétes a sebesség irányával, negatív előjelet kapnak. Azért,

hogy az eredményeket meg tudjuk tekinteni, beírtuk az utolsó előtti sort. E sor egyébként lehetőséget ad a program futásának megszakítására is, ha ez mutatkozna szükségesnek. A számítás végcéljának tekintett felhajtóerő-tényező (cycirk és cyprofil) meghatározása következik. Ezt az elméleti részben bemutatott két úton tesszük A cirkuláció alapján végzett számítás alapja a (2.21), a nyomáseloszlás alapján történő számítást (223) szerint végezzük Ez utóbbi eljárás, az elméleti részben mondottak szerint, alkalmas a nyomatéki tényező (cm) számítására is (2.24) print "----------------------------------------------------------" cy=0 : cx=0 : s1=0 : cm=0 for i=1 to m fy=-s(i)*cp(i)ce(i) fx=s(i)*cp(i)se(i) fm=-fy*(x(i)-0.25)-fx*y(i) s1=s1+(gamma(i)+gamma(i+1))*s(i)/2 cy=cy+fy : cx=cx+fx : cm=cm+fm next i cyprofil=cy*cos(alfa)-cxsin(alfa) chiba=cy*sin(alfa)+cxcos(alfa) cycirk=4*pis1 print print "Felhajtoero tenyezo -

nyomasbol: ";cyprofil print " - cirkulaciobol: ";cycirk print print "Nyomas szamitas hibaja: ";chiba print print "A nyomateki tenyezo a hurnegyedre: ";cm print print alfa*180/pi;" fok allasszognel" print "---------------------------------------------------------------" Ez a vizsgálat végeredménye. Abban az esetben, ha a kétféle felhajtóerő tényező egymáshoz elegendően közel van, illetve a "chiba" elég kicsi, akkor az eredményt elfogadhatjuk. Profilkatalógusbeli profilok számításakor cycirk kb. 10 %-kal a mért eredmény felett, cyprofil kisebb, a mért értékhez közelebb adódik (mivel cycirk mindig nagyobb, mint a valóságos közegben mérhető felhajtóerő-tényező). A programban egyébként a NACA 2412-es profil szerepel, a számítási eredményeket a programismertetés után mutatjuk be. A futtatás leállítása előtt mód van új állásszöggel történő számolásra. Ebben az esetben a

program az "ujra" címkénél folytatódik. input " Lesz uj allasszog (i/n) end ";uj$ : if uj$="i" then goto ujra 23 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása Az inhomogén, lineáris algebrai egyenlet-rendszert megoldó alprogram:: Itt következik az egyenletrendszer megoldó alprogram. Az alprogramban vannak lokális változók, melyeket csak itt használunk ("local" deklaráció) és globális változók, amelyek itt is és a főprogramban is érvényesek ("shared" deklaráció). sub schmidt shared m1,an(),rhs(),gamma() local gw(),cw(),s1,s2,s3 dim cw(m1,m1),gw(m1) for i=1 to m1 for j=1 to m1:cw(i,j)=0:next j gw(i)=0 next i for i=1 to m1 : cw(1,i)=an(1,i) : next i gw(1)=rhs(1) for k=2 to m1 s3=0 for i=1 to k-1 s1=0:s2=0 for j=1 to m1 : s1=s1+an(k,j)*cw(i,j) : s2=s2+cw(i,j)cw(i,j) : next j s1=-s1/s2 for j=1 to m1 : cw(k,j)=cw(k,j)+s1*cw(i,j) : next j s3=s3+s1*gw(i) next i gw(k)=rhs(k)+s3 for j=1 to

m1 : cw(k,j)=cw(k,j)+an(k,j) : next j next k for i=1 to m1 s1=0 for k=1 to m1 : s1=s1+cw(i,k)*cw(i,k) : next k gw(i)=gw(i)/s1 next i for i=1 to m1 s1=0 for j=1 to m1 : s1=s1+gw(j)*cw(j,i) : next j gamma(i)=s1 next i end sub 24 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A program futtatási eredményei: Amint azt már említettük, a programba a NACA 2312 profil adatait írtuk be. Az ellenőrző pontokban számított sebességet és nyomástényezőt a következő táblázatban mutatjuk be: Sorszám Sebesség i v(i) Nyomás tényező cp(i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -0.8585 -0.8962 -0.8890 -0.8563 -0.7276 0.0840 1.6764 1.5839 1.3905 1.2288 1.0811 0.9125 0.2630 0.1969 0.2097 0.2667 0.4707 0.9929 -1.8102 -1.5088 -0.9334 -0.5099 -0.1688 0.1674 A sebesség előjeléről már szóltunk: ott, ahol a sebesség értelme ellentétes az ívelem irányításával - ez a helyzet a profil alján, az 1-től 6 kontúrpontok között - ott a sebesség negatív. A 6. ellenőrző pont közel

van a belépő torlóponthoz, itt a sebesség közel nulla A többi (felső) ellenőrző pontban pozitív sebességet kapunk. Az is figyelemre méltó, hogy a profil alatti sebességek abszolút értéke egynél kisebb; felette majdnem mindegyik egynél nagyobb. Ez azt jelenti: a profil alatt kisebb, felette nagyobb sebesség alakul ki - úgy, ahogyan azt az elméleti ismereteink alapján elvárjuk. A nyomástényező - amit a (2.20) alapján számítottunk - ott, ahol a sebesség abszolút értéke egynél nagyobb - negatív. Annál nagyobb negatív szám, minél nagyobb a sebesség abszolút értéke. Ez egyébként szemléletes is, hiszen a negatív előjel depressziót jelez A profil felett pedig tényleg viszonylagos nyomáscsökkenést kell találnunk. A profil alatti pozitív nyomástényezők a viszonylagos túlnyomást mutatják, éppen úgy, ahogy annak lennie kell. A számítás végeredménye a felhajtóerő-tényező, a nyomás számítás hibája és a húrnegyedre

vonatkozó nyomatéki tényező: cyprofil = 1.1036 cycirk = 1.1792 (chiba = 0.0747) és cm = -0.0714 (a profilkatalógusból: cy = 1.06) (a profilkatalógusból: cm= -0.15) A konkrét példa mutatja az eredmények egyezését egymással és a szélcsatorna méréssel, a felhajtóerő-tényező esetében. A nyomatéki tényező értéke meglehetősen pontatlan (A húrnegyedre vonatkozó nyomatéki tényező negatív, mivel jobbsodrású rendszerben az orrnehéz nyomaték a negatív.) A nyomás-számítás hibája ( chiba ) viszonylag nagy érték, utal az eljárás "kényességére". 25 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 2.B Melléklet: ÖRVÉNY-PANEL MÓDSZER NUMERIKUS INTEGRÁLÁSSAL (Számítógép-program) A cn2(i,j) és cn1(i,j) számítása, amint azt az elméleti részben megjegyeztük, több okból bizonytalan. Ezt bárki igen egyszerűen kipróbálhatja: a fenti programot futtassa le úgy, hogy egy kontúrpont

koordinátáját kis mértékben megváltoztatja. "Sikeres" változtatás esetén az eredmény teljességgel használhatatlan lesz. Ezen a problémán segít az alábbi program Ez majdnem minden vonatkozásában azonos az előbbivel, csak az integrálást végzi el numerikusan, kivéve a szinguláris eseteket. A programnyelv és az általános megjegyzések azonosak az előbbiekkel Főprogram: m=12 : m1=m+1 : pi=3.14159265358 dim Xk(m1),Yk(m1) , X(m) ,Y(m) , s(m),se(m) , ce(m),theta(m),v(m),cp(m),aq(m1,m1) dim cn1(m,m),cn2(m,m),ct1(m,m),ct2(m,m),an(m1,m1),rhs(m1),gw(m1),gamma(m1) ------------------------PROFIL ADATOK KOVETKEZNEK ------------------------data 1,0,0.933,-5e-3,075,-0017,05,-0033,025,-0042,0067,-0033 data 0,0,0.067,0045,025,0076,05,0072,075,0044,0933,0013,1,0 for i=1 to m1 : read Xk(i),Yk(i) : next i -------------------------PROFILKONTUR RAJZOLTATASA -------------------------screen 11 : cls : print window(-0.1,05)-(11,-03):print " PROFILKONTUR" for i=1

to m:line(Xk(i),Yk(i))-(Xk(i+1),Yk(i+1)):next i input " Tovabb ";tova$ : if tova$="n" then stop screen 0 : locate 12,20 : print "SZAMOLOK" -----------------------------------------------------IVHOSSZ, SZOG ES ELLENORZO PONT SZAMITAS KOVETKEZIK -----------------------------------------------------for i=1 to m X(i) = (Xk(i)+Xk(i+1))/2 : Y(i)=(Yk(i)+Yk(i+1))/2 s(i) = sqr((Xk(i) - Xk(i+1))^2 + (Yk(i) - Yk(i+1))^2) ce(i)=(Xk(i+1)-Xk(i))/s(i):se(i)=(Yk(i+1)-Yk(i))/s(i) next i 26 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Itt következik az a programrész, amely eltér az előzőtől. A numerikus integrálást [ 7 ] szerint, a Simpson formula alkalmazásával végeztük el. for i=1 to m wxi=Xk(i+1)-Xk(i) : wyi=Yk(i+1)-Yk(i) for j=1 to m if i=j then goto clm wsum=0 : wsul=0 : qsum=0 : qsul=0 : dsj=s(j)/100 ctj=(Xk(j+1)-Xk(j))/s(j) : stj=(Yk(j+1)-Yk(j))/s(j) for k=0 to 100 sj=k*dsj : xj=Xk(j)+sjctj : yj=Yk(j)+sjstj if int(k/2)<>k/2 then k1=4 else k1=2 if

k=0 or k=100 then k1=1 wx=x(i)-xj : wy=y(i)-yj : wn=wx*wx+wywy wm=(-wx*wxi-wywyi)/wn/s(i) : wq=(-wxwyi+wywxi)/wn/s(i) wm1=(1-sj/s(j))*wm : wm2=sj/s(j)wm : wq1=(1-sj/s(j))wq : wq2=sj/s(j)wq wsum=wsum+k1*wm1 : wsul=wsul+k1wm2 qsum=qsum+wq1*k1 : qsul=qsul+k1wq2 next k ct1(i,j)=qsum*dsj/3 : ct2(i,j)=qsuldsj/3 cn1(i,j)=wsum*dsj/3 : cn2(i,j)=wsuldsj/3 goto adl clm: cn1(i,j)= -1 : cn2(i,j)=1 : locate 18,30 : print i;". panel" ct1(i,j)=pi/2 : ct2(i,j)=pi/2 adl: next j next i A program innentől teljesen azonos az előzővel. for i=1 to m1:for j=1 to m1:an(i,j)=0:aq(i,j)=0:next j:next i for i=1 to m an(i,1)=cn1(i,1):an(i,m1)=cn2(i,m):aq(i,1)=ct1(i,1):aq(i,m1)=ct2(i,m) for j=2 to m an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1):aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i an(m1,1)=1 : an(m1,m1)=1 ujra: cls : print : print input " Kerem az allasszoget [fok]: ";alfa : alfa=alfa*pi/180 for i=1 to m : rhs(i)=se(i)*cos(alfa)-ce(i)sin(alfa) : next i 27 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok

aerodinamikai számítása rhs(m1)=0 call schmidt print : print print "----------------------------------------------------------------" print " i v(i) cp(i)":print for i=1 to m v(i)=ce(i)*cos(alfa)+se(i)sin(alfa) for j=1 to m1 v(i)=v(i)+aq(i,j)*gamma(j) next j cp(i)=1-v(i)^2 print i,v(i),cp(i) next i print print "----------------------------------------------------------------" input " Tovabb (i/n) ";tt$:if tt$="n" then stop cls -------------------------------------------------------- A FEHAJTOERO TENYEZO ES ELLENALLAS SZAMITAS KOVETEKZIK --------------------------------------------------------print "----------------------------------------------------------" cy=0:cx=0 : s1=0 : cm=0 for i=1 to m fy=-s(i)*cp(i)ce(i) fx=s(i)*cp(i)se(i) fm=-fy*(x(i)-0.25)-fx*y(i) s1=s1+(gamma(i)+gamma(i+1))*s(i)/2 cy=cy+fy : cx=cx+fx : cm=cm+fm next i cyprofil=cy*cos(alfa)-cxsin(alfa) chiba=cy*sin(alfa)+cxcos(alfa) cycirk=4*pis1 print print

"Felhajtoero tenyezo - nyomasbol: ";cyprofil print " - cirkulaciobol: ";cycirk print print "Nyomas szamitas hibaja: ";chiba print "A nyomateki tenyezo a hurnegyedre: ";cm print print alfa*180/pi;" fok allasszognel" print print "---------------------------------------------------------------" input " Lesz uj allasszog (i/n) " ; uj$ : if uj$="i" then goto ujra end Itt következik az egyenlet-megoldó, ez az előzőekben ismertetettel azonos. 28 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Megjegyzések a számításhoz: A program szintén a NACA 2412-es profil adatait tartalmazza. A számítási eredményeket külön nem ismertetjük, mivel azok majdnem teljesen azonosak a zárt alakú integrálással számítottakkal (csak a 7-8. értékes jegyben van eltérés) Van azonban egy jelentős különbség: ez az eljárás elbírja a profilkoordináták megváltoztatását. Az így átalakított program sokkal

szélesebb körben alkalmazható, mint az első eljárás. Hátránya, hogy a számítási idő lényegesen hosszabb Amennyiben pontosabb eredményre van szükség, növelhető a profilon felvett pontok száma. Ez egy bizonyos határig növeli az eredmény pontosságát, de természetesen legfeljebb csak az elvileg megszabott határig - a gyakorlatban nyilván eddig sem juthatunk el, hiszen az eljárás realizálása során (esetleg jelentős) numerikus hiba is előáll. E pont befejezéseképp egy fontos megjegyzést teszünk. A cirkuláció számítása inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását követeli. Ezt az egyenletrendszert különböző módszerekkel lehet megoldani és a megoldás pontossága szükség esetén fokozható is. A fenti példa adataival számított mátrix kondíció-száma pl. 6445, ami meglehetősen magas érték (erre utaltunk a nyomás-számítás hibájánál alkalmazott "kényes" jelzővel). Ezt a kondíció-számot az un. x 2

normában számítottuk A vonatkozó szakirodalom ajánlja még a Hadamard féle kondíciószámot is, ami akkor jelent rosszul kondicionáltságot, ha ez a szám jóval kisebb 1-nél Gyakorlatilag azonban minden eljárásban az egyhez közeli kondíció-szám a jó. A feladatot fizikai oldalról vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy a profilok aerodinamikai sajátosságait döntően befolyásolja a profil alakja, azaz a kontúrpontok elhelyezkedése. Ennek a ténynek felel meg az a matematikai megállapítás, miszerint az együttható-mátrix gyengén kondicionált. Ezek szerint tehát a feladat megoldása erősen függ a mátrix elemeitől, ezeket az elemeket a geometriai viszonyok határozzák meg - így tehát a megoldás nagyon nagymértékben függ a profil geometriájától. Mivel pedig a geometriát csak közelítőleg vettük figyelembe - hiszen a profilt töröttvonallal helyettesítettük - ezért a megoldás e közelítéstől is erősen függ. Az általunk alkalmazott

módszer az első módszerek egyike, igényesebb vizsgálat esetén célszerű a módszert tovább fejleszteni (lineáris helyett jobb közelítések mind a kontúrvonal mind a cirkulációmegoszlás esetében). Ezt a pontatlanságot tapasztaltuk akkor, amikor az ellenállás-tényező hibáját elemeztük és felbukkan majd abban az esetben is, amikor két profilt számolunk. 29 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 2.4 Több profil együttes számítása A gyakorlati feladatok megoldása során felmerül több, egymáshoz közel elhelyezkedő profil számításának a kérdése is. Ilyen feladat lehet a szárny-csűrő együttes vagy pl a kétfedelű repülőgépek alsó és felső szárnyának együttműködése. Ezt az esetet vizsgáljuk meg itt Az alapesetben - egy profil vizsgálatánál - az egyes paneleken elhelyezett megoszló örvények sebesség-indukcióját számítottuk az éppen szóban forgó ellenőrző pontban. Jelen esetben

ugyanezt kell tennünk, csak a sebesség-indukcióban részt vesz a másik profilt helyettesítő örvény-rendszer is. Ez azt jelenti, hogy az együttható-mátrix tulajdonképpen egy hiper-mátrix lesz, a bal felső rész az első profil saját indukciója, a jobb felső rész az a második profil indukciója az első profilon, a bal alsó rész az első profil indukciója a második profilon, végül a jobb alsó rész a második profil saját indukciója lesz. Legyen az első profil kontúrpontjainak száma (n+1), a második profil kontúrpontjai ekkor az (n+2) - től indulnak és tartsanak (m+1) - ig. Ezzel - az előzőekben leírtak szerint - felírható a cirkuláció számítás együttható mátrixa (táblázatos formában): an(i,1) = cn1(i,1) i = 1,2,.n j=1 an(i,j) = cn1(i,j) + cn2(i,j-1) i=1,2,.n és j=2,3,.n 1 i=n+1 j=1 0,0.0 i=n+1 j=2,3,.n an(i,1) = cn1(i,1) an(i,j) = cn1(i,j) + cn2(i,j-1) i=n+2,. m j=1 0 i=m+1 j=1 i=n+2,.m j=2,3,.n 0,0,.0 i=m+1 j=2,3,.n

an(i,n+1) an(i,n+2) = = cn2(i,n) cn1(i,n+2) i = 1,2,.n j=n+1 i = 1,2,.n j=n+2 1 i=n+1 j=n+1 0 i=n+1 j=n+2 an(i,n+1) an(i,n+2) = = cn2(i,n) cn1(i,n+2) i=n+2,. m j=n+1 i=n+2,.m j=n+2 0 i=m+1 j=n+1 1 i=m+1 j=n+2 an(i,j) = cn1(i,j) + cn2(i,j) an(i,j) = cn2(i,m+1 ) i=1,2,.n és j=n+3,.m i = 1,2,.n j=m+1 0,0.0 i=n+1 j=n+3,.m 0 i=n+1 j=m+1 an(i,j) = cn1(i,j) + cn2(i,j-1) an(i,m+1) = cn2(i,m) i=n+2,.m j=m+1 i=n+2,.m j=n+3,.m 30 0,0,.0 i=m+1 j=n+3,.m 1 i=m+1 j=m+1 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Az itt bemutatott együttható-mátrix első három oszlopa és első két sora szerepel az egyedülálló profil számításánál. Hipermátrixként tekintve, ez az első almátrix, a második a negyedik-ötödik-hatodik oszlop és az első két sor. A további almátrixok már egyértelműen következnek az eddig leírtakból. A második és a negyedik sor egyébként a sima leáramlás feltétele; a második sor az első profilra, a negyedik sor a második profilra

vonatkozik. Ennek megfelelően az ismeretlen cirkulációk oszlopvektora illetve a jobboldal a következő módon adható meg: γ ′i sin (Θ i − α ) i=1,2.n i=1,2,.n γ ′n + 0 1 γ i′ sin (Θ i − α ) i=n+2,.m i=n+2,.m γ ′m + 0 1 Az egyenletrendszer ezen a módon minden további nélkül összeállítható, a megoldás pedig az előbbiekben leírt úton meghatározható. A következőkben egy példaszámítás programlistáját mutatjuk be. A bemutatás elvei illetve a leírás formája az előbbiekben alkalmazottakkal azonosak. A példaprogramban két NACA 2412es profil szerepel, az első azonos az első példaprogrambeli profillal, a második húrhossza (1/2) egység és az első profil alatt kb. fél húrhossznyira helyezkedik el, úgy, hogy az orrpontok egy függőlegesre esnek. Külön ábra helyett ezt a helyzetet a példaprogram beírásával illetve futtatásával tanulmányozhatjuk. Következzen tehát a program-lista: 31

Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 2.C Melléklet: KÉT-PROFIL PROGRAM (Számítógép-program) Az előbbiekhez hasonlóan először a profilpontok számát határozzuk meg (az első profil kontúrpontjai 1-től 13-ig; a másodiké 14-től 26-ig futnak). Az egyszerűség kedvéért a második profilt az első koordinátáinak transzformálásával adtuk meg. m=25 : m1=m+1 : pi=3.14159265358 dim Xk(m1),Yk(m1),X(m),Y(m),s(m),se(m),ce(m),theta(m),v(m),cp(m),aq(m1,m1) dim cn1(m,m),cn2(m,m),ct1(m,m),ct2(m,m),an(m1,m1),rhs(m1),gw(m1),gamma(m1) Itt következnek a profil-adatok, először a nagyobbik, felső profil koordinátái, a pontok a 2.10 ábrának megfelelően a kilépőélnél kezdődnek és ott is fejeződnek be: data 1,0 , 0.933,-5e-3 , 075,-0017 , 05,-0033 , 025,-0042 , 0067,-0033 data 0,0 , 0.067,0045 , 025,0076 , 05,0072 , 075,0044 , 0933,0013 , 1,0 for i=1 to 13 : read Xk(i) , Yk(i) : next i Ezek itt a második profil koordinátái,

amelyeket az első profil koordinátáinak transzformálásával állítunk elő: for i=14 to 26 : Xk(i)=Xk(i-13)/2 : Yk(i)=Yk(i-13)/2-0.5 : next i A profilok kirajzoltatása következik, itt válik láthatóvá a profilok elhelyezése és összehasonlítható a húrhosszúságuk is. screen 11 : cls : print PROFILKONTUR" window(-0.1,03)-(11,-08) : print " for i=1 to 12 : line ( Xk(i) , Yk(i)) - (Xk(i+1) , Yk(i+1)) : next i for i=14 to 25 : line( Xk(i) , Yk(i)) - (Xk(i+1) , Yk(i+1)) : next i input " Tovabb ";tova$:if tova$="n" then stop A program a továbbiakban majdnem teljesen azonos a 2.2 melléletben közölt programmal, ezután ott fűzünk csak kommentárt a listához, ahol ez szükséges. screen 0 : locate 12,20 : print "SZAMOLOK" -----------------------------------------------------Ivhossz, szog es ellenorzo pont - szamitas kovetkezik -----------------------------------------------------for i=1 to m X(i)=(Xk(i)+Xk(i+1))/2 :

Y(i)=(Yk(i)+Yk(i+1))/2 s(i)=sqr((Xk(i)-Xk(i+1))^2+(Yk(i)-Yk(i+1))^2) ce(i)=(Xk(i+1)-Xk(i))/s(i):se(i)=(Yk(i+1)-Yk(i))/s(i) 32 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv next i ------------------------------------Segedmennyisegek szamitasa kovetkezik ------------------------------------for i=1 to m wxi=xb(i+1)-xb(i) : wyi=yb(i+1)-yb(i) for j=1 to m if i=j then goto clem wsum=0 : wsul=0 : qsum=0 : qsul=0 : dsj=s(j)/100 ctj=(Xk(j+1)-Xk(j))/s(j) : stj=(Yk(j+1)-Yk(j))/s(j) for k=0 to 100 sj=k*dsj : xj=Xk(j)+sjctj : yj=Yk(j)+sjstj if int(k/2)<>k/2 then k1=4 else k1=2 if k=0 or k=100 then k1=1 wx=x(i)-xj : wy=y(i)-yj : wn=wx*wx+wywy wm=(-wx*wxi-wywyi)/wn/s(i) : wq=(-wxwyi+wywxi)/wn/s(i) wm1=(1-sj/s(j))*wm : wm2=sj/s(j)wm : wq1=(1-sj/s(j))wq : wq2=sj/s(j)wq wsum=wsum+k1*wm1 : wsul=wsul+k1wm2 qsum=qsum+wq1*k1 : qsul=qsul+k1wq2 next k ct1(i,j)=qsum*dsj/3 : ct2(i,j)=qsuldsj/3 cn1(i,j)=wsum*dsj/3 : cn2(i,j)=wsuldsj/3 goto adel clem: cn1(i,j)=-1 : cn2(i,j)=1 : locate 18,30 : print i ;

". panel" ct1(i,j)=pi/2 : ct2(i,j)=pi/2 adel: next j next i --------------------------------------- Az egyutthato matrix elemei kovetkeznek ---------------------------------------for i=1 to m1 : for j=1 to m1 : an(i,j)=0 : aq(i,j)=0 : next j : next i ------------ az elso profil sajat indukcioja -----------for i=1 to 12 an(i,1)=cn1(i,1) : an(i,13)=cn2(i,12) : aq(i,1)=ct1(i,1) : aq(i,13)=ct2(i,12) for j=2 to 12 an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1) : aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i ------------ masodik profil ----> elso profil --------for i=1 to 12 an(i,14)=cn1(i,14) : an(i,26)=cn2(i,25) : aq(i,14)=ct1(i,14) : aq(i,26)=ct2(i,25) for j=15 to 25 an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1):aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i 33 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása -------------- elso profil ---> masodik profil ----------------for i=14 to 25 an(i,1)=cn1(i,1) : an(i,13)=cn2(i,12) : aq(i,1)=ct1(i,1) : aq(i,13)=ct2(i,12) for j=2 to 12

an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1) : aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i ------------ masodik profil sajat indukcioja ----------------for i=14 to 25 an(i,14)=cn1(i,14) : an(i,26)=cn2(i,25) : aq(i,14)=ct1(i,14) : aq(i,26)=ct2(i,25) for j=15 to 25 an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1) : aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i Az itt következő sor a sima leáramlás feltétele az első illetve a második profilról: an(13,1)=1 : an(13,13)=1 : an(26,14)=1 : an(26,26)=1 Az allasszog es a jobboldal kovetkezik ujra: cls : print : print input " Kerem az allasszoget [fok]: " ; alfa : alfa=alfa*pi/180 for i=1 to m : rhs(i)=se(i)*cos(alfa)-ce(i)sin(alfa) : next i rhs(13)=0 : rhs(26)=0 A megoldas kovetkezik call schmidt -------------------------------------------- A sebessegszamitas kovetkezik --------------------------------------------print : print print " Felso profil" : print print " i v(i) cp(i)" : print for i=1 to 12 v(i)=ce(i)*cos(alfa)+se(i)sin(alfa) for j=1 to m1

v(i)=v(i)+aq(i,j)*gamma(j) next j cp(i)=1-v(i)^2 print i,v(i),cp(i) next i print print "----------------------------------------------------------------" 34 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv input " Tovabb (i/n) ";tt$ : if tt$="n" then stop cls print : print print "----------------------------------------------------------------" print " Also profil" : print print " i v(i) cp(i)" : print for i=14 to 25 v(i)=ce(i)*cos(alfa)+se(i)sin(alfa) for j=1 to m1 v(i)=v(i)+aq(i,j)*gamma(j) next j cp(i)=1-v(i)^2 print i,v(i),cp(i) next i print : print "----------------------------------------------------------------" input " Tovabb (i/n) ";ttwr$ : if ttwr$="n" then stop cls -------------------------------------------------------- A felhajtoero-tenyezo es ellenallas szamitas kovetkezik print "-------------------Elso profil-------------------------" cy=0 : cx=0 : s1=0 : cm=0 for i=1 to 12

fy=-s(i)*cp(i)ce(i) : fx=s(i)cp(i)se(i) : fm=-fy(x(i)-0.25)-fx*y(i) s1=s1+(gamma(i+1)+gamma(i))*s(i)/2 cy=cy+fy : cx=cx+fx : cm=cm+fm next i cyprofil=cy*cos(alfa)-cxsin(alfa) chiba=cy*sin(alfa)+cxcos(alfa) cycirk=4*pis1 print print "Felhajtoero tennyezo - nyomasbol: ";cyprofil print " - cirkulaciobol: ";cycirk print print "Nyomas szamitas hibaja: ";chiba print "A nyomateki tenyezo a hurnegyedre: ";cm print alfa*180/pi;" fok allasszognel" print "-------------------------Masodik profil-------------------------------------" cy=0 : cx=0 : s1=0 : cm=0 for i=14 to 25 fy=-s(i)*cp(i)ce(i) : fx=s(i)cp(i)se(i) : fm=-fy(x(i)-0.25)-fx*y(i) s1=s1+(gamma(i+1)+gamma(i))*s(i)/2 : cy=cy+fy : cx=cx+fx : cm=cm+fm next i cyprofil=(cy*cos(alfa)-cxsin(alfa))2 chiba=(cy*sin(alfa)+cxcos(alfa))2 cycirk=4*pis1/(1/2) 35 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása A második profilnál, mivel annak húrhossza 1/2 egység,

a cirkulációból számított felhajtóerőtényezőnél a húrhosszal osztani kell - ez az 1/2-es osztó a cycirk-ban. print print "Felhajtoero tenyezo - nyomasbol: print " - cirkulaciobol: print print "Nyomas szamitas hibaja: print "A nyomateki tenyezo a hurnegyedre: print alfa*180/pi;" fok allasszognel" ";cyprofil ";cycirk ";chiba ";cm print "------------------------V E G E-------------------------------------" input " Lesz uj allasszog (i/n) ";uj$:if uj$="i" then goto ujra end Ezzel a program gyakorlatilag véget ért, ezután következik még a 2.1 mellékletben leírt Schmidt féle egyenletmegoldó eljárás, ezt azonban már nem listázzuk, mivel az ismeretlenek számától eltekintve az előbbivel teljesen azonos. A program futtatási eredményei: A számítást az előző esethez hasonlóan, a 8 fokos állásszögre végeztük el. Így a kapott eredmények közvetlenül összevethetőek a 27.

oldalon közölt futtatási eredményekkel Először az első, az egységnyi húrhosszúságú, felül elhelyezkedő profil eredményeit mutatjuk be: A FELSŐ PROFIL SZÁMÍTOTT JELLEMZŐI Sorszám i Sebesség v(i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -0.8708 -0.9347 -0.9689 -1.0112 -0.9403 -0.1482 1.5855 1.5764 1.3967 1.2383 1.0934 0.9170 Nyomás tényező cp(i) 0.2418 0.1263 0.0612 -0.0225 0.1159 0.9780 -1.5140 -1.4852 -0.9507 -0.5333 -0.1954 0.1590 36 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Elegendő pl. a sebességek összehasonlítása, hiszen a nyomástényező ebből egyértelműen következik. A profil feletti sebességek kicsit kisebbek, mint az egyedülálló profil esetében voltak (7 - 12-es pont), de az eltérés nem túl nagy. Mégis, a várható kisebb felhajtóerő tényezőnek megfelelően, ezek a sebességek általában kisebbek. Jelentősebb az eltérés a profil alján: itt komoly sebesség-növekedést találunk (pl. 4-es pontban +18 %) Ez egyértelműen az alsó

profil hatása a felsőre, az alsó profilon keletkező cirkuláció gyorsítja a felső alatti áramlást. Az alsó, rövidebb profilon számított sebesség és nyomáseloszlást szintén táblázatban foglaltuk össze. Ezek az eredmények nagyobb mértékben térnek el az alapként tekintett, egyedülálló profil eredményeitől, mint a felső profil megfelelő jellemzői. Mind a profil alatt, mind a profil felett viszonylag jelentős lassulást találunk. Ez megfelel annak a fizikai elvárásnak, ami szerint a nagyobb profil kisebbre gyakorolt hatása jelentősebb, mint a kisebb profil nagyobbra kifejtett hatása. AZ ALSÓ PROFIL SZÁMÍTOTT JELLEMZŐI Sorszám i Sebesség v(i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -0.8001 -0.8383 -0.8321 -0.7979 -0.6680 0.1008 1.5426 1.4219 1.2410 1.1093 0.9899 0.8441 Nyomás tényező cp(i) 0.3598 0.2972 0.3077 0.3633 0.5537 0.9898 -1.3796 -1.0218 -0.5401 -0.2306 0.0202 0.2875 A megfelelő integrálások elvégzése után a felhajtóerő-tényező

(kétféle érték) és a nyomatéki tényező értékét az alábbi táblázatban foglaltuk össze: Felső profil Alsó profil Felhajtóerő-tényező nyomásból: cirkulációból: 0.90484 0.92222 Nyomatéki-tényező: -0.05705 Felhajtóerő-tényező nyomásból: cirkulációból: 0.86374 1.02706 Nyomatéki tényező: 0.025551 37 Forrás:http://www.doksihu 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása Az eredmények alapján néhány megállapítást tehetünk: • • • • • a felső profilra számított kétféle felhajtóerő-tényező eltérése elegendően kicsi; az alsó profilnál ugyanez az eltérés, egyébként azonos körülmények között jelentősen nagyobb - ez az eltérés talán még elfogadható, de más pozícióban még ennél is nagyobb eltérést találnánk; a nyomás számítás hibája (a felső profilnál 0.06439, az alsónál 0055337) az előző számításhoz hasonló nagyságrendű, még megengedhető érték; az alsó profilra

vonatkozó nyomatéki tényező nem az alsó profil orrpontjára, hanem a felső profil orrpontjára vonatkozik; a nyomatéki tényezők értéke is eltér a profilkatalógusban megadott értéktől. Ez a számítási eljárás tehát kellő elővigyázattal alkalmazandó, elsősorban a felhajtóerőtényező meghatározására alkalmas, a nyomatéki tényező értéke viszonylag messze van a reálistól. A profilszámítás itt befejeződik, de, természetesen számos kérdés nyílik meg, amelyre a korszerű számítástechnika birtokában választ kereshetünk. Nagyon fontos az alapeljárás fejlesztése, amelyre már utaltunk is. Ezen túl ide tartozik az összenyomhatóság hatásának figyelembe vétele, amelyre több ismert módszer létezik. Érdekes és fontos lehet a profil körül kialakuló határréteg vizsgálata is. Ezzel a valóságos viszonyokat sokkal jobban közelítő eredményeket kaphatunk. Az összeállítás készítésekor, 2013-ban, a világon elterjedt ilyen

típusú szabad numerikus algoritmus az „xflr5” – ez a program az alap számításokon túl a súrlódás és az összenyomhatóság hatsásnak a (korlátozott) figyelembe vételére is alkalmas. 38 Forrás:http://www.doksihu 3. VÉGES SZÁRNYAKON KIALAKULÓ CIRKULÁCIÓ MEGOSZLÁS SZÁMÍTÁSA Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 6 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció-megoszlás számítása 40 3.1 Örvény-fonalak sebesség indukciójának vizsgálata 3.2 Karcsú, egyenes szárnyak vizsgálata 40 42 3.A Melléklet: Karcsú, egyenes szárny számítása 3.3 Általános szárny 3.B Melléklet: Alkalmazott örvény elmélet (számítógépprogram) 4. 49 53 63 3.4 Felületi örvénypanel módszer 69 Az örvény transzport egyenlet megoldása véges differenciák módszerével 88 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása 3. VÉGES SZÁRNYAKON

KIALAKULÓ CIRKULÁCIÓ MEGOSZLÁS SZÁMÍTÁSA A véges szárnyak aerodinamikai tulajdonságainak vizsgálata fontos kérdés. A 2 fejezetben a szárnyprofilokkal foglalkoztunk. A szárnyprofilok, illetve a velük kapcsolatos számítások kétdimenziós, azaz síkáramlásban érvényesek. A véges szárnyak körül térbeli, vagyis háromdimenziós áramlás alakul ki A következő vizsgálatok nagyon fontos részét képezik majd azok a feltételek, amelyek lehetővé teszik, hogy a profilelmélet eredményeit a véges szárnyak analízisében alkalmazhassuk. E fejezetben két módszert mutatunk be; az első a klasszikus, karcsú, egyenes szárnyak vizsgálatára alkalmas módszer (a Prandtl-Glauert féle integro-differenciál-egyenlet megoldása). Ez egy hatékony, jól bevált, sokszor ellenőrzött eljárás, de csak egyenes, nagykarcsúságú szárnyak vizsgálatára alkalmas. Másodikként egy fejlettebb módszert mutatunk be Ez a módszer az eredeti, Biot-Savart törvény

alapján a repülőgépszárnyakra felírt alapegyenlet numerikus megoldásán alapul - nagyon széles körben alkalmazható, igen hasznos eljárás. 3.1 Örvény-fonalak sebesség indukciójának vizsgálata A véges szárnyak elméletében a szárnyat örvény-rendszerrel helyettesítjük (hordozó és leúszó örvények, melyeket az indulási örvény zár be), úgy, hogy az áramlás az örvény-rendszer hatására hasonlóan változzon, mintha a szárny lenne ott. Az örvényekre érvényesnek tekintjük a Kelvin tételt, ami szerint: dΓ = 0 . Lényegében a Kelvin tétel következményei a Helmholz féle dt örvény-tételek, amelyeket tehát szintén érvényesnek fogadunk el. E szerint feltételezzük, hogy az elemi intenzitású örvény szálak örvény-nyalábot alkotnak, melynek eredő cirkulációja állandó ( Γ = áll. ) Egy ilyen örvény-nyalábot egyetlen vonalra koncentrálva kapunk egy véges intenzitású, örvény-fonalat, erre felírhatjuk a Biot-Savart

törvényt, ami szerint az " s " görbe mentén elhelyezkedő, " Γ " intenzitású örvény-fonal a " P " pontban " w " sebességet indukál: w= Γ 4π ds× r ; r3 (S ) ∫ (3.1) Vizsgáljuk meg ezt az indukált sebességet abban az esetben, ha az örvény-fonal az "x" tengely mentén elhelyezkedő egyenes vonal (3.1 ábra) Az indukált sebességet a "P" pontban keressük, amelyet az egyszerűség kedvéért az " y " tengelyen veszünk fel. Legyen az örvényfonal intenzitása pozitív ( Γ ) Az integrálást a ( − ∞ 〈 x 〈 ∞ ) nyílt intervallumon kell elvégezni A Biot-Savart törvény integranduszában lévő vektori szorzat elemei ( a 3.1 ábra alapján ): dx  − r cos ϕ    ds = 0 ill . r =  − r sin ϕ  ;      0    0 40 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv innen a vektori szorzat: 0    . ds × r =  0 

 − dx r sin ϕ  helyettesítsük be a 3.1 ábra alapján a dx = r dϕ / sin ϕ összefüggést, ezzel kiszámíthatjuk az indukált sebességet, melynek - természetesen - csak " z " irányú összetevője lesz: Γ wz =− 4π r sin ϕ ( r dϕ / sin ϕ ) Γ =− 3 ∫ϕ 4π r 1 ϕ2 ϕ2 dϕ r 1 ∫ ϕ (3.2) 3.1 ábra: Örvényszál által indukált sebesség Itt az integrálási határokat már az új változónak megfelelően ( ϕ ) írtuk be. Ezeket mindig az örvény-fonal hosszának megfelelően választhatjuk, pl. a 31 ábrán vázolt esetben ϕ1 = 0 és ϕ 2 = π . Végezetül, az r = r0 / sin ϕ helyettesítéssel: wz = − ϕ2 Γ 4 π r0 ∫ sin ϕ dϕ ϕ = − 1 Γ [ cos ϕ ]ϕ ϕ2 4 π r0 ; (3.3) 1 Jelen esetben, amikor az örvény-fonal végtelen egyenes és így a fent megadott határokat kell behelyettesíteni, a végeredmény ( a vektorjelölést elhagyva ): w = Γ 2 π r0 , a jól ismert, klasszikus eredményt adja. A

következő vizsgálatokban előfordul az az eset is, amikor a Γ intenzitású örvény az " x " tengelyt az " A " pontban éri el ( 3.2 ábra ) és a + ∞ -ig tart 3.2 ábra: Félig végtelen örvény Ekkor az eredő indukált sebesség: w= − Γ 4 π r0 [− 1 − cos ϕ1 ] = Γ 4 π r0 (1 + 41 cos ϕ1 ) ; (3.4) Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása 3.2 Karcsú, egyenes szárnyak vizsgálata Az egyenes, karcsú szárnyak számítására alkalmas eljárást Ludwig Prandtl dolgozta ki - ezt, a legegyszerűbbnek tekinthető eljárást ismertetjük itt. Az eljárást általában hordozó-vonal elméletnek is nevezik, mivel benne a szárnyat egy "hordozó vonallal" helyettesítjük. Ezen a vonalon helyezkedik el az a megoszló cirkuláció (örvény), ami a szárnynak megfelelően működik, azaz hatására közelítőleg akkora és közelítőleg olyan eloszlású felhajtóerő

keletkezik, mint a tényleges szárnyon. Az eljárás természetesen több tekintetben közelítő módszer, ez a későbbiekben részleteiben is látható lesz. A szárnyat egy, a 3.3 ábrán látható hordozó vonallal helyettesítjük, amely az " y " tengelyen, a (-s/2)-től a (s/2)-ig tart. A hordozó vonalon megoszló örvényt helyezünk el, amely a szárnyvégeken nulla intenzitású. Feltételezzük, hogy - a Kelvin tétel értelmében - a hordozó vonal mentén elhelyezett örvény változásának (-1)-szerese lesz a leúszó örvény. Feltételezzük azt is, hogy ezek a leúszó örvények végtelen hosszú félegyenesek, a hordozó vonal megfelelő pontjából indulnak és a végtelenig tartanak. 3.3 ábra: Szárny örvény-rendszere A hordozó-vonal elmélet feltételezi, hogy az egyes profilok körül síkáramlás alakul ki, de ezek állásszöge "alkalmasan" változik. Ezt a változást az indukált állásszög (34 ábra) bevezetésével éri el.

Ismeretes, hogy az örvények sebességet indukálnak. Azt állítjuk, hogy a hordozó örvények által indukált sebesség a hordozó vonalnál nagyon kicsi (ez pl. próbaszámolással ellenőrizhető), így itt csak a leúszó örvények által indukált sebességet kell figyelembe venni. A zavartalan áramlás sebessége ( V∞ ) és az indukált sebesség ( w ) által meghatározott szöget nevezzük indukált állásszögnek. 3.4 ábra: Az indukált állásszög A profil alapvonala (lehetőleg a nulla felhajtóerő irány) és a zavartalan áramlási sebesség által bezárt szög a geometriai állásszög. A profilelmélet alkalmazása azt jelenti, hogy a profilok egy " effektív " állásszögön működnek, ami a geometriai és az indukált állásszög összegzésével - előjelet is figyelembe vevő összeadásával - áll elő. A szárnyvégeken biztosan nem keletkezik felhajtó-erő, ezért ott az effektív állásszögnek nullának kell lennie. (Ez a

számítás peremfeltétele) Mivel csak a leúszó örvények sebességindukcióját számítjuk és mert ezek végtelen félegyenesek, az eljárás csak egyenesnek tekinthető hordozóvonal esetén alkalmazható, illetve a leúszó örvények viselkedése (pl. felcsavarodása, gyengülése) e számításban nem vehető figyelembe. 42 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A fesztáv menti koordináta (y) helyett új változót vezetünk be (3.5 ábra): y= s cos Θ ; 2 (3.5) illetve az i-edik fesztáv menti koordináta esetén: yi = s cos Θ i . 2 Az új változóra azért van szükség, hogy a cirkuláció-megoszlást Treffz nyomán egyenlőre ismeretlen együtthatókkal rendelkező, Fourier sorral írhassuk le (ez a leírás igen jó tulajdonsággal rendelkezik : tetszőleges véges - Ak -k esetén kielégíti az a feltételt, ami szerint a cirkulációnak a szárnyvégen nullának kell lennie): Γ  z ( Θ )  = 1 a0 m hm V∞ 2 ∞ ∑ k=1 3.5 ábra:

Új koordináta bevezetése Ak sin ( k Θ ) ; (3.6) ahol: a0 = h d cf dα , a profil mért vagy számított jellemzője; - a profil húrhossza; Ak - Fourier sor együttható; m - a szimmetria-síkot jelző index. Annak érdekében, hogy a profil elméletet alkalmazhassuk, azt kell mondani: az egyes szárny-metszeteket nem a V ∞ sebességű megfúvás éri, hanem egy, w indukált sebességgel elfordított, V sebességű áramlás (3.4 ábra) Ezzel kapcsolatban néhány szót kell szólni az indukált sebességről. Ennek lényegében két összetevője van. Az elsőfajú indukált sebességet a hordozó örvény hozza létre, abszolút értéke arányos a szárnyon keletkező felhajtó erővel - ezért a szárnyvégeken értéke nulla és általában a szimmetria-síkban maximális. A másodfajú indukált sebességet a leúszó örvény hozza létre, értéke a szárny közepén, szimmetrikus viszonyok esetén minimális és általában a szárnyvégeken maximális. E

kétféle indukált sebesség értéke eljárásokban különböző vizsgálati helyeket ettől függően szintén változnak. Egyenes sebességet vesszük figyelembe, mondván, elsőfajú indukált sebesség értéke nulla. helyről-helyre változik. A különböző számítási definiálunk, így az indukált sebesség-összetevők szárny vizsgálatakor csak a másodfajú indukált hogy a vizsgálat helye a hordozó-vonal, ahol az 43 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása Erre a másodfajú indukált sebességre tesszük a fenti megállapítást, miszerint ez már a hordozó vonalnál létezik illetve már ott kifejti a teljes hatását. Ez a feltevés nem teljesen fedi a fizikai valóságot, de alkalmazásával jó eredményekhez juthatunk. Mivel a szárnyprofiloknál mondottak szerint a felhajtóerő merőleges az eredő megfúvási sebességre ( V - 3.4 ábra ), azért a véges szárnyon keletkező felhajtó erőnek

lesz két összetevője; az első, V ∞ -re merőleges az általában felhajtóerőnek nevezett erő-összetevő, a második a V ∞ -nel párhuzamos, amit általában indukált ellenállásnak nevezünk. Ez a magyarázata annak, hogy az indukált ellenállást ebben az elméletben a leúszó örvényeknek tulajdonítjuk. Ezzel kapcsolatban később, az indukált ellenállás számításánál kitérünk Munk tételére, ami a fenti, fizikai okfejtés matematikai formába öntött megfogalmazása. A 2 fejezetben bemutattuk, hogy a profilokon is - ez a végtelen karcsú szárny esete - keletkezik indukált ellenállás, ennek fizikai oka a kétszeres indukált sebesség illetve az emiatt kialakuló áramkép. Így magyarázhatjuk meg, hogy a szimmetria síkban is létrejön indukált ellenállás, illetve, hogy a véges szárny indukált ellenállása a profil indukált ellenállásának és a térbeli áramlási viszonyok miatti indukált ellenállásnak az összege. A számítás

alapegyenlete a következő: αe = α g + αi ; (3.7) Ezt az egyenletet a 3.4 ábra alapján írhatjuk fel, azt mondja ki, hogy egy profil effektív állásszöge a geometriai állásszög és az indukált állásszög összege. Ne feledkezzünk meg arról, hogy a szögeknek is van előjelük, amit a pozitív forgásirány alapján határozhatunk meg. (Ezt pl a 3.3 ábráról állapíthatjuk meg) Ennek megfelelően az indukált állásszög általában negatív, így a (3.7)-beli összegzés tulajdonképpen persze kivonás, úgy, ahogyan azt az egyszerű geometriai szemlélet alapján el is várnánk. Ugyanúgy ennek felel meg az a tény is, hogy amíg a megfúvási sebesség pozitív, addig az indukált sebesség negatív (ez az általunk választott koordináta-rendszerben igaz így) - ezért az indukált állásszög innen tekintve is negatív. A (2.5) egyenlet - Kutta-Zsukovszkíj tétel - szerint az egységnyi széles szárnydarabon keletkező erő: F ′= ρV∞ Γ . Ugyanezt

az erőt meghatározhatjuk a felhajtóerő-tényező segítségével is: F ′ = ρ V∞ 2 V 2 c f h = ρ ∞ ( a α e ) h . Ez utóbbi egyenlet ilyen felírása megköveteli, hogy a 2 2 geometriai állásszöget a mindenkori nulla felhajtóerő-iránytól mérjük. Eszerint a szárny esetleges konfiguráció változása (pl. ívelőlap nyitás, csűrő mozgatás, orrsegédszárny nyitás stb.) a felhajtóerő-tényező iránytangensének változásán túl a geometriai állásszög-eloszlás változásában is megjelenik. A fenti két erő-egyenletből kifejezhető az effektív állásszög: αe = a h 2Γ = 0m m a0 V∞ h a0 h ∞ ∑A k= 1 k sin k Θ ; (3.8) Az indukált sebességet egy " P " pontban, a már elmondottak szerint a leúszó örvények által indukált sebességgel vesszük azonosnak. Ezt a (34) kifejezés felhasználásával számíthatjuk, ha φ1 = 0 értéket választunk. A 33 ábrán megadott örvény-intenzitással [(-dΓ/dy)dy] és az r0 ( )

helyére y p − y -t írva a következő összefüggést kapjuk: wp = − 1 dΓ dy ; 4 π ( y p − y ) dy 44 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A 3.3 ábra alapján értelmezhető az " y p " helyen keltett teljes indukált sebesség, amelyet az elemi indukált sebességek fesztáv menti integrálásával határozunk meg: 1 w= − 4π s 2 ∫ s − 2 d Γ / dy dy ; yp − y (3.9) Először az indukált állásszög kifejezését írjuk fel, majd utána behelyettesítjük a (3.5) szerinti,  dΓ   dy   dΓ   d Θ   , illetve:  dy =   dΘ   dy   dy  új változót (Θ), illetve végül figyelembe vesszük, hogy:  ( d Γ / d Θ ) d Θ ( dy / dy ) = ( d Γ / d Θ ) d Θ w 1 αi ≅ i = − V∞ 4 π V∞ s 2 ∫ − s 2 ezzel: d Γ / dy 2 dΓ / dΘ dy = − dΘ ; ∫ yp − y 4 π V∞ s π cos Θ p − cos Θ 0 Írjuk be ide a cirkuláció (3.6) szerinti kifejezésének deriváltját, egyúttal

felcseréljük az integrálás határait és a nevezőben szereplő szögfüggvényeket (így az előjel nem változik): ∞ 1 a0 m hm V∞ ∑ Ak k cos k Θ 2 2 k =1 αi = − dΘ ; ∫ 4 π V∞ s 0 cos Θ − cos Θ p π (3.10) Az integrálban szereplő függvény a következő segéd összefüggés felhasználásával számítható ki (ez részletesen [1]-ben olvasható): π sin k Θ p cos k Θ ; dΘ = π cos Θ p sin Θ p ∫ cos Θ − 0 αi = − a0 m hm 4s ∞ ∑ k= 1 k Ak sin k Θ p sin Θ p ezzel: (3.11) ; A (3.7) alapegyenletbe beírjuk az effektív állásszög (38) kifejezését illetve az indukált állásszög (3.11) szerinti kifejezését, akkor a Θ p - vel meghatározott fesztáv menti koordinátánál a következő egyenletet kapjuk: α g (Θ p ) = αe − αi = a0 m hm a0 h ∞ ∑A k=1 k sin k Θ + a0 m hm 4s ∞ ∑k A k=1 k sin k Θ p sin Θ p ; (3.12) Ez a hordozóvonal elmélet alapegyenlete, amelyből az Ak ismeretleneket -

véges számban persze - meghatározhatjuk. Ehhez ismerni kell a geometriai állásszöget, a húrhosszakat, a profiljellemzőket és a szárny fesztávját. A 35 ábrán (2m+1) db pontot vettünk fel Ebből a 0 indexű és a (2m+1) indexű semmitmondó, mivel ezek a perem-pontok és tudjuk, hogy itt a cirkuláció nulla, amit egyébként (3.6) automatikusan teljesít is Ezért, végül is (2m-1) darab ismeretlent számíthatunk majd ki. 45 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása A (3.12) alapján felírhatjuk a következő inhomogén, lineáris, algebrai egyenlet-rendszert: B A = αg ; (3.13) ahol az együttható mátrix elemei:  1  k b jk = a0 m hm  +  sin ( k Θ j ) a h 4 s sin Θ j   0j j az ismeretlenek vektora, illetve a jobboldal pedig:  α g1     ⋮  α g =  α gk  . ;    ⋮  α g ,2 m − 1     A1     ⋮  A =  Ak 

;    ⋮   A2 m − 1  Ez, az eddigi eredményeinkhez hasonlóan inhomogén, lineáris algebrai egyenlet-rendszer, amelyet az előzőekben leírt módon oldunk majd meg. Csak megjegyezzük, hogy egy feladat, melynek modellje lineáris, általában lineáris egyenletrendszerre vezet illetve a nemlineáris feladatok nem vezetnek lineáris egyenlet-rendszerre. Belátható - bár ezt a tényt a későbbiekben nem használjuk ki - hogy szimmetrikus cirkulációeloszlás esetén a páros együtthatók értéke nulla, hiszen ebben az esetben, a Fourier sorban páratlan függvényt kapunk - a szimmetrikus eset approximációjában pedig ilyeneknek nincs helye. A szakirodalomban, ebben az esetben a " k " helyett a k = 2 l − 1 jelölés bevezetésével az l =1,2,⋯m felhasználásával csak a páratlan indexű Ak -kat számítják. Az egyenletrendszer megoldása után, Ak -k ismeretében számítható a felhajtóerő fesztáv menti megoszlása: cf j = ahol:

ρ V∞ Γ ( y j ) q∞ h j ρ q∞ = 2 = a0 m hm hj 2m − 1 ∑ k= 1 Ak sin ( k Θ j ) ; (3.14) V∞2 (a dinamikai nyomás). A teljes szárnyra vonatkoztatott felhajtóerő a fesztáv menti átlagolással határozható meg (itt " A " -val a szárny felületét jelöljük): s /2 c f sz q∞ A = ∫ c f ( y ) q∞ h dy ; ⇒ c f sz = − s /2 ahol: dy = − s /2 ∫ − s /2 s sin Θ d Θ . 2 46 cf h A dy ; (3.15) Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Helyettesítsük (3.15)-be a felhajtóerő-tényező (314)-ben adott kifejezését, alkalmazzuk ismét az új változót (Θ) és cseréljük fel az integrálás határait (0-π), akkor a következő összefüggésre jutunk: c f sz = a0 m hm s A 2 π 2m − 1 0 k=1 ∫ ∑  Ak sin ( k Θ ) sin ( Θ )  d Θ = π mivel: ∫ sin ( k Θ ) sin Θ d Θ = 0 a0 m hm π s A1 ; 4 A (3.16) ha k ≠ 1 0  π / 2 ha k = 1 Ezek szerint tehát az eredő

felhajtóerő-tényezőt A1 egyedül határozza meg. Ez a szakirodalomban jól ismert eredmény: a számunkra hasznos felhajtó erőt egyedül az első együttható adja, az összes többi együttható csak az ellenállás növelésében játszik szerepet. Ezért a legjobb az "elliptikus eloszlás", hiszen ez az az eset, amikor az A1 -en kívül az összes többi együttható nulla. Az eredő felhajtóerő-tényező középérték, a legkisebb (helyi) értéknél nagyobb és kisebb a (helyi) maximumnál. Ez fontos az átesés vizsgálatakor, hiszen az egész szárny nyilván nem érheti el az egyedülálló profil (végtelen szárny) felhajtóerő maximumát. A kritikus állásszög értéke kívül esik a lineáris tartományon, így szigorúan véve nem is szabad erről beszélni, de mivel ez egy nagyon fontos kérdés, megkockáztatjuk az itt következő, rövid megjegyzést. Első igen nagyvonalú - közelítésként kimondhatjuk, hogy az egyes profilok átesés

szempontjából a geometriai állásszögön működnek, itt nem szabad az indukált állásszöget figyelembe venni. Ez ugyan csábító lenne, de pl. a szárnyvégen az effektív állásszög nulla - így a szárnyvég soha nem eshetne át, ami nyilvánvaló ellentmondás. Tulajdonképpen oda jutottunk, hogy a felhajtóerő-tényező szempontjából az effektív állásszöget kell figyelembe venni, az átesésnél viszont marad a geometriai állásszög. Az indukált ellenállás számítása következik. Ezzel kapcsolatban egy fontos megjegyzést kell tennünk. A karcsú, egyenes szárnyak elméletét Prandtl 1918-ban írta le, tanítványa Munk 1919-ben, a doktori értekezésében kimondott egy tételt, ami szerint örvények áramlásirányban bizonyos feltételek esetén - eltolhatók. Ennek a tételnek számos gyakorlati alkalmazásával találkozunk, itt arra hívjuk fel a figyelmet, hogy e tétel következményeként mondható ki: indukált ellenállást a hordozó örvény

nem kelt. Vagyis: az indukált ellenállás a leúszó örvények hatására keletkezik; számítása a következő összefüggéssel lehetséges: cei = − α i c f ; (3.17) A (3.17)-ben azért kell negatív előjelet alkalmazni, mivel az ellenállás tényezők hagyományosan pozitívak, az indukált állásszög viszont negatív. Ez a kifejezés egy-egy szárnymetszetre vonatkozik, így a teljes szárny indukált ellenállását integrálással határozzuk meg: s/2 cei ( y )q ∞ h( y ) −s/2 q∞ A c~ei = ∫ dy ; (3.18) ahol: ce i ( y ) =  a02m hm2  2 m − 1  ∑ Ak sin k Θ ( y )  4 s h( y)  k = 1  47  2m − 1 sin l Θ ( y )   ∑ l Al . sin Θ ( y )   l= 1 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása Ezt az integrált ugyan néhány, speciális esetben zárt alakban is ki lehet számítani, általában azonban célszerű numerikusan integrálni. Erre mutat példát

a 31 mellékletben található program is. Néhány további számítást mutatunk még be, ezek részben helyi jellemzők, részben általános, az egész szárnyra vonatkozó jellemzők meghatározását célozzák. Először a véges szárny egy metszetében (a fesztáv menti koordinátát θ - val jelöljük ) érvényes felhajtóerőtényező meredekséget határozzuk meg: a 0 (Θ) α e (Θ) = c f (Θ) = a (Θ) α g (Θ) ⇒ a (Θ) = a 0 (Θ) α e (Θ) = a 0 (Θ) α g (Θ) 1 α (Θ) 1− i α e (Θ) ; illetve behelyettesítve ide az indukált állásszög (3.10) és az effektív állásszög (38) kifejezését, kapjuk a következő kifejezést: a0 ( Θ ) a (Θ) = sin ( k Θ ) 2m − 1 1− a0 kA sin Θ (Θ) h (Θ) ∑ 4s ∑ A sin ( lΘ ) k k=1 2m − 1 l l= 1 Számítsuk ki végül a teljes szárnyra érvényes felhajtóerő-tényező meredekséget: a= 1 A s 2 ∫ a (Θ) h (Θ) − s 2 π dΘ s dy = a ( Θ ) h ( Θ ) sin Θ d Θ ; dΘ 2 A ∫0 Ezt a

kifejezést nem érdemes zárt alakban kiszámítani, általában is numerikusan célszerű integrálni. A bemutatott példa-program is numerikus integrálást alkalmaz 48 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 3.A Melléklet: KARCSÚ, EGYENES SZÁRNY SZÁMÍTÁSA (Számítógép-program) A számítógépi program, az eddigiekhez hasonlóan, BASIC nyelven íródott. Az ismertetése szintén a már megismert módon történik. Mivel a számítás nem túl bonyolult, ezért blokkdiagrammot nem készítettünk. A példa-szárny fesztávolsága 10 méter, a geometriai állásszög azonos (10 fok) és a húrhossz (h=1 méter) sem változik. A felhajtóerő-tényező meredeksége végig 2π, és m=8, azaz 15 darab együtthatót határozunk meg. Ezek közül a párosak elvileg is valamint a számítás szerint is nulla értékűek. --------------------------------------------------------------------------------- Veges szarny jellemzoinek szamitasa a hordozovonal elmelet alapjan

---------------------------------------------------------------------------------n=16 : m=n/2 : n1=n-1 : pi=3.14159265358 : cls dim teta(n) , h(n) , a0(n) , ali(n) dim an(n,n) , alfag(n) , Ak(n) Adatmegadas kovetkezik, elcsavaratlan teglalap szarnyra s=10 ez a fesztav for i=0 to n alfag(i)=10*pi/180 : ez a geometriai allaszog a0(i) =2*pi : ez a felhajtoero-tenyezo iranytangense teta(i) =i*pi/n : ez az uj koordinata next i for i=0 to n : h(i)=1 : next i Az egyenletrendszer osszeallitasa kovetkezik ah=a0(m)*h(m) : a szimmetria-sik jellemzoi for i=1 to n1 : egyutthatok for j=1 to n1 an(i,j)=(1/(h(i)*a0(i))+j/(4ssin(teta(i))))sin(jteta(i))ah next j next i A Fourier egyutthatok mehatarozasa kovetkezik ez tulajdonkeppen az ismetertelenek kiszamitasat jelenti. -------------------------------------------------------------------------A feladat inhomogén, lineáris algebrai egyenlet-rendszer megoldásához vezet, amit a már bemutatott, Schmidt féle orthogonalizációs

eljárással oldunk meg. A megoldás ismeretében a különböző jellemzők már számíthatók. 49 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása call schmidt cysz=ah*pis/(4sh(m))Ak(1) : cls print " A szarny atlagos felhajtoero tenyezoje: ";cysz : print print " Alfai Dcy/dalf a cy-helyi cxi-helyi" : print suk=0 : sul=0 for j=1 to n1 sum=0 : sun=0 for k=1 to n1 sun=sun+Ak(k)*sin(kteta(j)) sum=sum+k*Ak(k)sin(kteta(j))/sin(teta(j)) next k ali=ah*sum/4/s ez az indukalt allasszog cyh=ah*sun/h(j) ez a helyi felhajtoero tenyezo cxih= - ali*cyh ez a helyi indukalt ellenallas aj=a0(j)/(1+a0(j)*h(j)sum/4/s/sun) ez a helyi dcy/dalfa print using "-##.#### ";ali,aj,cyh,cxih if (j/2-int(j/2))<0.2 then kk=2 else kk=4 suk=suk+kk*h(j)ajsin(teta(j)) sul=sul+kk*cxihh(j)sin(teta(j)) next j print " Az atlagos dcy/dalfa= ";suk*spi/6/n/s/h(m) print " Az atlagos cxi= ";sul*pi/6/n end Itt

következik a már jól ismert egyenlerendszer megoldó szubrutin: sub schmidt shared n , n1 , an() , alfag() , Ak() local s1 , s2 , s3 dim cw(n,n) , gw(n) for i=1 to n1 : for j=1 to n1 :cw(i,j)=0 : next j : gw(i)=0 : next i for i=1 to n1 : cw(1,i)=an(1,i) : next i gw(1)=alfag(1) for k=2 to n1 s3=0 for i=1 to k-1 s1=0:s2=0 for j=1 to n1 : s1=s1+an(k,j)*cw(i,j) : s2=s2+cw(i,j)cw(i,j) : next j s1=-s1/s2 for j=1 to n1 : cw(k,j)=cw(k,j)+s1*cw(i,j) : next j s3=s3+s1*gw(i) next i gw(k)=alfag(k)+s3 for j=1 to n1 : cw(k,j)=cw(k,j)+an(k,j) : next j next k for i=1 to n1 s1=0 50 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv for k=1 to n1 : s1=s1+cw(i,k)*cw(i,k) : next k gw(i)=gw(i)/s1 next i for i=1 to n1 s1=0 for j=1 to n1 : s1=s1+gw(j)*cw(j,i) : next j Ak(i)=s1 next i end sub A program futtatási eredményei: A program bemutatása után egy, a felvett adatokkal elvégzett példaszámítás eredményeit ismertetjük. A konkrét együttható-értékeket nem mutatjuk be itt (azt bárki

kiszámíthatja a program futtatásával), csak annyit jegyzünk meg, hogy a páros együtthatók értéke 10− 9 nagyságrendű, a 15. (legkisebb) együtthatónál is négy nagyságrenddel kisebb A páros együtthatók tehát valóban nullának vehetők. Az egész szárnyra vonatkozó eredményeket az alábbi táblázatban foglaltuk össze: A szárny átlagos felhajtóerő-tényezője: 0.88078 A felhajtóerő-tényező átlagos meredeksége: 5.0469 Az átlagos indukált-ellenállás tényező: 0.02688 A 3.6 ábrán a cirkuláció fesztáv menti megoszlását tüntettük fel (ezen az ábrán az "Alkalmazott örvény elmélet"-tel számított eredményeket is ábrázoltuk, azért, hogy a kétféle módszerrel meghatározott felhajtóerő-tényező megoszlás összehasonlítható legyen): 3.6 ábra: A fesztáv menti felhajtóerő-tényező eloszlás 51 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása 3.3 Általános szárny

Az előző pontban bemutatott eljárást csak nagykarcsúságú, egyenes szárnyakra szabad alkalmazni, ha ez a feltétel nem teljesül, akkor az eredmények messze esnek a valóságtól. Az itt kidolgozandó, lényegében új elméletet alkalmazott örvény elméletnek nevezzük. Ez az eljárás fejlettebb, mint a szakirodalomban található, e családba tartozó örvény-elméletek és így a véges szárnyak aerodinamikai számításának valóban hatékony módszere lehet. Alapvető korlát azonban az, hogy ha valamilyen, lényeges nemlinearitás létezik, akkor már nem alkalmazható. Megjegyzendő még, hogy napjainkban számos olyan örvény-panel módszer létezik, amely az itt megadott eljárásnál sokkal jobb eredményeket ad. Ezek a módszerek azonban nagyon számítás-igényesek (elsősorban a peremfeltételek kidolgozása igényel sok munkát de nem hanyagolható el a szükséges gépkapacitás sem). Végeredményben, az előzetes aerodinamikai számítási eljárások

közül, amelyek személyi számítógépre is alkalmazhatók, ajánljuk az itt bemutatandó eljárást. Már a 30-as években elkezdték a Prandtl féle szárnyelmélet továbbfejlesztését. Kiemelkedik ezek közül Weissinger munkája, aki kis karcsúságú, erősen nyilazott szárnyra is érvényes elméletet dolgozott ki. Ennek a módszernek is lényeges korlátja azonban az a feltétel, ami szerint a szárnynak egy síkban kell lennie (lásd 3.3 ábra, x-y sík) A következőkben bemutatandó módszer egyetlen korlátja, hogy a modell minden vonatkozásban lineáris, ezen túl azonban nagyon széles körben alkalmazható (megfelelő feltételekkel pl. több szárny együttműködésének vizsgálatára is alkalmas). Az eljárás alapja a Biot-Savart törvény, illetve a Weissinger elmélet néhány alapfeltétele: • • • a hordozó örvényeket a szárny-húr első negyedére eső pontba helyezzük el (3.7 ábra); azt mondjuk, hogy az ellenőrző pontban (" E "

pont, 3.7 ábra) az áramlás a szárny-profilhoz simul, azaz pont akkora a szárnyra merőleges indukált sebesség összetevő ( w′ ), hogy itt éppen a geometriai állásszög alakuljon ki; az ellenőrző pontot - egy későbbi részletszámításban bemutatott módon - a profil felhajtóerőtényező meredekségének megfelelő távolságban ( t ) helyezzük el. 3.7 ábra: Szárnymetszet geometria 52 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A fentiekben, illetve a korábbiakban leírtak alapján tehát egy hordozó-leúszó örvény rendszert veszünk fel, amelyet elvileg az indulási örvény zár be, bár ezzel itt sem számolunk. A hordozó örvényeket a szárny húr-negyed pontjaiban vesszük fel (" H " pontok, a 3.7 illetve a 38 ábrán). A leúszó örvények - amelyek intenzitását a Kelvin tétel szerint határozzuk meg - az " A " pontokból indulnak (3.8 ábra) Vizsgáljuk meg először az ellenőrző pontok helyét. Ezek, a 37 ábra szerint a

hordozó pont mögött, a húrvonalon " t " távolságban helyezkednek el. E távolság meghatározása érdekében kövessük az itt bemutatott eljárást: αg ≈ wˆ V∞ és c f = a α g ; innen : cf a = wˆ . V∞ Másrészt, alkalmazva a Kutta-Zsukovszkíj tételt (2.5 összefüggés) a cirkulációból kiszámíthatjuk a felhajtóerő-tényezőt: cf = 2Γ ; igy : wˆ = V∞ h 2Γ . ah A 3. fejezet 31 pontjában kiszámítottuk egy végtelen hosszú, egyenes örvény-fonal által indukált sebességet: w= Γ 2π t ; ˆ ) a kétféle indukált sebességet egyenlővé téve ( w = w t= kapjuk, hogy: ah . 4π (3.19) Ez a távolság - természetesen - több szempontból is közelítés, de a gyakorlati alkalmazások, illetve ezek ellenőrzése sok esetben igazolta e közelítések jogosságát. A potenciálelmélet tanítása szerint a síklap felhajtóerő-tényezőjének meredeksége 2π, ha ezt az értéket (3.19)-be beírjuk, akkor a t = h / 2

eredményt kapjuk, azaz ebben az esetben az ellenőrző pont a húr három-negyedén helyezkedik el. Más esetben az aktuális meredekséget kell beírni és azzal a " t " távolság értéke meghatározható. A következőkben az indukált sebesség számításával foglalkozunk. Ezt a Biot-Savart törvény alapján (3.1) tesszük A valóságos örvények szerkezete a potenciálos örvények szerkezetétől alapvetően két tényezőben tér el: - az örvénynek két része van, a külső rész sebesség-eloszlása jól egyezik a potenciálos örvény sebesség-eloszlásával, az un. "örvény-mag"-ban viszont ettől teljesen eltér - további növekedés helyett éppen csökken, illetve nullához tart; - az örvény intenzitása a viszkozitás miatt az időben (és ezzel a keletkezés helyétől távolodva) csökken - ezt nevezzük örvény öregedésnek. A következő számításokban nem alkalmazzuk, csak bemutatjuk a Lamb féle örvény-modellt; [4] alapján

írható: ( Γ = Γ0 1 − e− λ r 2 ) . ahol: λ = λ ( t , ν ) viszkozitásnak. 53 függvénye az időnek és a Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása Ez a modell behelyettesíthető a Biot-Savart törvénybe, ahol az idő helyett a leúszó örvény szárnytól mért távolságát kell - a repülési sebesség felhasználásával - beírni. A modell alkalmazása nélkül a felcsavarodási folyamat nem számítható. A későbbiekben azért mégis bemutatunk egy közelítő eljárást az örvény-felcsavarodás becslésére, mivel a korrekt számítás sok problémát okoz és rendkívül időigényes is. A Biot-Savart törvényt (3.1) itt kissé más formában írjuk fel: w= 1 4π ∫ Γ ( s) (S) ds × r . r3 (3.20) Az integrálon belül elhelyezkedő, változó cirkuláció - amely a pl. hely függvénye is lehet megengedi e törvény (31)-nél általánosabb alkalmazását, pl így vehető figyelembe a

hordozó örvény hatása, hiszen a hordozó örvény intenzitása az örvény-fonal mentén (s) változik. Ez a forma szükséges az esetleges örvény-öregedés illetve az egyéb hatások figyelembe vételéhez is. A vizsgálataink kiindulópontját a 3.8 ábrán mutatjuk be A geometriai viszonyokat meghatározzák az " E " , " A " és a " H " pontok valamint a szárny húrhossz eloszlása. A pontokat 0-tól 2n-ig sorszámozzuk (n a szimmetria-síkot jelölő index); a konkrét számításokhoz meg kell adni a fent megnevezett pontok koordinátáit: az ellenőrző pontok: a hordozó pontok: E ( xei , yei , zei ) ⇒ Ei , ahol i = 1,2,.,2n-1; H ( xhi , yhi , zhi ) ⇒ H i , ahol i = 1,2,.,2n; és a leúszó örvények indulási pontjai: A ( xa i , ya i , za i )⇒ A i , ahol i = 1, 2, ⋯ 2n . A geometriai viszonyokhoz tartozik még a leúszó örvények pályája is, ezt itt az "x" tengellyel párhozamos egyenesnek vesszük, így ezek

a pontok - az " A " pontok ismeretében egyértelműen megadhatók. A hordozó vonal felett - amit a " H " pontok jelölnek ki lineáris cirkuláció-megoszlást veszünk fel, azaz egy-egy hordozó pontban a pont indexének megfelelő, konkrét Γ értéket találunk. A megoszló hordozó örvényekből, a hordozó-pontok által kijelölt szakasz közepén indulnak a leúszó örvények. Ez egyúttal az " A " pontok koordinátáinak kiszámítási módját is meghatározza A leúszó örvény-fonalak intenzitása, a Kelvin tételnek megfelelően: − Γ n + 1 − Γ n . ( ) A számításhoz szükséges még a geometriai állásszög-eloszlás és az egyes profilokat jellemző felhajtóerő-tényező meredekség. A sebesség értéke - ideális folyadékot feltételezve szabadon választható 54 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 3.8 ábra: A számítási modell 3.31 A hordozó-örvény által indukált sebesség A hordozó-vonal felett

lineárisan változó cirkulációt a következő képlettel írhatjuk le (megjegyezzük, hogy ez a forma nagyon hasonlít az örvény-panel módszernél alkalmazott örvény-eloszlás kifejezéshez): Γ = Γj− 1 + ahol: S j = és: Γj − Γj− 1 Sj ( xh ξ = Γj − xh j − 1 ) + 2 j  ξ  + Γ j − 1 1 −  ;  Sj S j   ξ ( yh − yh j − 1 ) + ( zh j − zh j − 1 ) , 2 j (j=1,2,.2n) 0 ≤ξ ≤ Sj. 55 2 (3.21) Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása A számításban szükséges az r helyvektor, ami a ds ívelem-vektor felezőpontjából az E i , iedik ellenőrző pontba mutat. Az ellenőrző pontok koordinátáit egyébként, a korábbiakban mondottak szerint a hordozópontok koordinátái és (3.19) alapján számíthatjuk ki: a j hj xe j = xh j + 4π , ye j = yh j és ze j = zh j ; (j=0,1,2,.2n) A nulladik és a 2n-edik ellenőrző pont csak a segédszámításokhoz

(normálvektor számítás) szükséges. Az ellenőrző pont koordinátái után az F = F ( x, y , z ) futó pontot kell megadni, amely a H j − 1 H j szakaszon, a kezdő és a végpont között mozog: xh j − xh j − 1 x = xh j − 1 + ξ, Sj yh j − yh j − 1 y = yh j − 1 + Sj zh j − zh j − 1 z = zh j − 1 + Sj ξ, ξ , ahol : 0 ≤ ξ ≤ S j ; (3.22) ezzel:  xei − x   rxi    ri = FE i =  yei − y  =  ryi   zei − z   rzi  illetve r i = ri = rxi2 + ryi2 + rzi2 A helyvektort az ívelem-vektorral ( ds ) vektoriálisan kell szorozni. Ehhez meg kell határozni a H j − 1 H j szakasz irányvektorát:  xh j − xh j − 1   vx j  1     yh j − yh j − 1  = vy j  ;ez egységvektor, tehát: d s j = v j ds . vj =  Sj  zh j − zh j − 1   vz j      Határozzuk meg a d s j × ri vektori szorzatot:  i  d s j × ri = vx j  rxi

 j vy j ryi  vy j rzi − vz j ryi  k     vz j  =  vz j rxi − vx j rzi  vx j ryi − vy j rxi  rzi    Helyettesítsük be ezt a Biot-Savart törvénybe (3.20), akkor megkapjuk a j-edik hordozóvonal-szakaszon elhelyezkedő cirkuláció által indukált sebesség vektort az i-edik ellenőrző pontban : w ij 1 = 4π Sj ∫ 0  vy j rzi − vz j ryi  1    vz j rxi − vx j rzi  Γ ( s ) r 3 ds . i vx j ryi − vy j rxi    56 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A fenti integrált numerikusan számítjuk ki. Ez azt jelenti, hogy a H j − 1 H j szakaszt (np) részre osztjuk és az integrált véges összeggel közelítjük: w ij  1  np = ∑ 4 π l = 1    vy j rzil − vz j ryil  1     vz j rxil − vx j rzil  Γl r 3  ∆s, ahol : ∆s = S j / np . il  vx j ryil − vy j rxil     (3.23) A cirkuláció eloszlás (3.21) szerinti

kifejezésének egyszerűsítése érdekében vezessük be a következő, egyszerűsítő jelöléseket (felhívjuk a figyelmet arra, hogy ezek, a tömörebb felírást lehetővé tevő mennyiségek vektorok):  1  np aij = ∑ 4 π l = 1   vy j rzil − vz j ryil     vz j rxil − vx j rzil    vx j ryil − vy j rxil    ξ  1  1−   ∆s ; és  S j  ril3     1  np bij = ∑ 4 π l = 1    vy j rzil − vz j ryil    ξ 1   vz j rxil − vx j rzil  S r 3  ∆s . vx j ryil − vy j rxil  j il     Ezzel az indukált sebesség vektor a következő összefüggésből számítható: w ij = aij Γ j − 1 + bij Γ j . (3.24) Ezzel a j-edik hordozó-örvény szakasz i-edik ellenőrző pontban indukált sebességét kiszámítottuk. Ez természetesen egy vektor-mennyiség, számunkra a szárnyfelületre merőleges összetevő az érdekes. Ezt az

indukált sebesség és az Ei pontbeli normálvektor skaláris szorzásával határozhatjuk meg. Ehhez ki kell számítanunk a szóban forgó normálvektort Határozzuk meg először az Ei ellenőrző pontbeli érintőt. Első lépésként definiáljunk az ellenőrző pontok között felező pontokat: xb i = ( xei − xei − 1 ) / 2, yb i = ( yei − yei − 1 ) / 2 és zbi = ( zei − zei − 1 ) / 2 ahol : i = 1, 2,3, 2n Számítsuk ki az (i-1)-edik és az i-edik ellenőrző pont közötti egység vektort: exi = ( xb i + 1 − xbi ) / Sbi ; eyi = ( yb i + 1 − ybi ) / Sbi ; ezi = ( zb i + 1 − zbi ) / Sbi ; ahol : Sb i = ( xb − xb i ) + 2 i+ 1 ( yb − yb i ) + ( zb i + 1 − zb i ) . 2 i+ 1 57 2 exi  ⇒ ei = eyi  .  ezi  Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása Számoljuk ki továbbá az Ei H i vektort:  ( xh i − xe i ) / Seh i  lxi    Ei H i = ( yh i

− ye i ) / Seh i  = lyi       lzi   ( zh i − ze i ) / Seh i    Seh i = ( xh − xe i ) + 2 i ( yh − ye i ) + ( zh i − ze i ) . 2 i ; ahol: 2 E két vektor vektori szorzataként kiszámítható az i-edik ellenőrző pontbeli normálvektor: lyi ezi − lyi eyi  m i = Ei H i × ei =  lzi exi − lxi ezi  . lxi eyi − lyi exi  (3.25) A keresett skalár-szorzat: wij = wTij m i = aij Γ j − 1 + bij Γ j ahol: aij = aijT m i (3.26) és bij = bTij m i . 3.32 A leúszó örvények sebesség indukciója A leúszó örvények induló pontjai az " A " pontok (3.8 ábra), ezek az egyes, hordozópontok által kijelölt szakaszok felezőpontjai, azaz: xa j = ( xh j + xh j − 1 ) / 2 ; ya j = ( yh j + yh j − 1 ) / 2, azaz Aj = Aj ( xa j , ya j , za j ) ; za j = ( zh j + zh j − 1 ) / 2 . A számítás megköveteli a leúszó örvényfonalak kijelölését. Jelöljük a j-edik

örvényfonal (a H j − 1 és a H j közötti szakasz felezőpontjából indul) k-adik pontját a következő módon: O jk = O jk ( x jk , y jk , z jk ) ; ahol az egyes koordinátákat a következő módon számíthatjuk x jk = xa j + k ∆xk , y jk = ya j + k ∆yk , . z jk = za j + k ∆zk . 58 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Megjegyzendő, hogy ∆xk , ∆yk és ∆zk az általunk előírt módon változhat. Ez azt jelenti, hogy így lehet pl. az örvény-felcsavarodást figyelembe venni Jelen esetben válasszuk ∆ x k = ∆ x , állandó értéket, illetve a ∆yk = ∆zk = 0 − t ∀ k − ra . Kijelöljük az egyes örvényfonal-szakaszok irányvektorait:  xj k − xj k − 1  lx jk  1     l jk = y j k − y j k − 1  = ly jk  ahol a szakasz hossza:  l jk  zjk − zjk − 1   lz jk      l jk = (x − x jk − 1 ) + 2 jk (y − y jk − 1 ) + ( z jk − z jk − 1 ) . 2 jk 2 A Biot-Savart

törvény alkalmazásához szükséges a leúszó örvényen futó pontból ( F jk ) az iedik ellenőrző pontba mutató vektor:  xei − x   rx    rij = Fjk Ei =  yei − y  =  ry   zei − z   rz  (3.27) Itt az x, y és z a j-edik örvény-fonalon futó pont koordinátái, melyeket az egyszerűség és a mellékletben bemutatott programmal való összehasonlíthatóság miatt index nélkül adtunk meg. Ezzel a j-edik leúszó örvény-fonal i-edik ellenőrző pontbeli indukciója számítható: ∆s w ∗ij = − (Γ j − Γ j − 1 ) 4π nl ∑ k= 1   ly jk rz − lz jk ry     1    lz jk rx − lx jk rz  3  .  lx ry − ly rx  rij  jk    jk  (3.28) Ismét a felületre merőleges összetevőt kell meghatároznunk, amit a normálvektorral vett skalárszorzat segítségével határozhatunk meg: wij∗ = w ∗ijT m i = cij ( Γ j − Γ j − 1 ) , ahol :

cij = cijT m i és: ∆s cij = − 4π nl ∑ k=1   ly jk rz − lz jk ry     1    lz jk rx − lx jk rz  3  .  lx ry − ly rx  rij  jk    jk  59 (3.29) Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása 3.33 Az együttható mátrix összeállítása és az indukált ellenállás számítása A bevezetőben mondottak szerint a számítás alapegyenlete ("az áramlás az E pontban a szárnyhoz simul” - 3.7 ábra): α gi = − 1 V∞ ∑ (w 2n j= 1 ij + wij∗ ) . (3.30) (3.26) és (329) figyelembe vételével írható a következő összefüggés: aij Γ j − 1 + bij Γ j + cij Γ j − cij Γ j − 1 = − V α gi . Ez egy inhomogén, lineáris egyenletrendszer, amelynek együttható-mátrixát a következő formában írhatjuk fel:  d11 ⋯ d1, 2 n − 1    D=  ⋮ dij ⋮   d 2 n − 1, 1 ⋯ d 2 n − 1,2 n − 1   

ahol : dij = ai + 1, j + bij + cij − ci + 1, j . Ezzel az egyenlet-rendszer a következő alakot ölti:  Γ1    D Γ = w g , ahol: Γ =  ⋮  Γ 2 n − 1     wg1    és w g =  ⋮   wg , 2 n − 1    (3.31) illetve: wgi = − V α gi , i = 1, 2,3 2n − 1 , vagyis az előírt indukált sebességnek kell létrejönnie. Az indukált ellenállás, amint azt már említettük - Munk tétele szerint - a leúszó örvények hatásának tulajdonítható, így azt a megfelelő indukált sebesség-összetevő alapján kell számítani. Az előző ponthoz hasonlóan, itt is szükséges a negatív előjel: ce i = − w∗ w∗ 2 Γ . cf = − V∞ V∞ V∞ h (3.32) 60 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 3.34 Az örvényfelcsavarodás vizsgálata Amint azt már említettük, az örvényfelcsavarodás számítása elvileg - megfelelő örvény-modell alkalmazása esetén - lehetséges, a gyakorlati számítás azonban

hosszadalmas és az eredmény nem egy "vonal", hanem egy tartomány, amin belül a leúszó örvények kaotikus mozgást végeznek. Ez egyrészt ugyan jól közelíti a valóságos helyzetet, másrészt azonban nem könnyű számolni vele. Itt egy közelítő modellt mutatunk be, amely az örvény-felcsavarodást néhány tényező függvényében vizsgálja. A felcsavarodó örvény-síkot a 39 ábrán tüntettük fel 3.9 ábra: A leúszó örvény-felület A felcsavarodás során előálló örvény-magok távolsága: 2d ≅ c f sz A c f n hn ; ahol: c f sz - a teljes szárny felhajtóerő tényezője; A - a szárny felülete; c f n - a felhajtóerő-tényező a szimmetria síkban; hn - a húrhossz a szimmetria síkban. 61 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása A felcsavarodás másik fontos jellemzője a felcsavarodási hossz (szintén a 3.9 ábra jelöléseivel): e K ≅ , ahol : K = 0.0357 + 0354 λ +

00643 λ 2 ; hn c f sz λ a szárny karcsúsága. Feltételezzük, hogy az örvény-sík a "z" tengely irányába nem mozdul el. Ezzel egy gyors, viszonylag pontos eljárás áll a rendelkezésünkre. Meg kell határozni az örvény-pályákat és ezek ismeretében a ∆xk , ∆yk és a ∆zk értékeket. Ehhez szükséges a teljes szárny felhajtóerőtényezője és a szimmetria síkbeli felhajtóerő-tényező értéke is Ez azt jelenti, hogy az így definiált eljárás néhány iterációs lépést tesz szükségessé, azaz először egyenes leúszó örvénnyel számolunk. Utána meghatározunk egy felcsavarodási módot, kiszámítjuk az új tényezőket, amiből a következő felcsavarodási mód számítható. Az eredmény elfogadható, ha két lépés között a különbség elegendően kicsi. Ezeket a felcsavarodási számításokat a mellékelt program nem tartalmazza. 62 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 3.B Melléklet ALKALMAZOTT ÖRVÉNY ELMÉLET

(Számítógép-program) Az itt bemutatandó program-listára ugyanazok a megjegyzések vonatkoznak, mint a korábbiakban bemutatott programokra. A program TURBO BASIC nyelven íródott, és a legtöbb vonatkozásában megfelel az elméleti részben leírtaknak. Eltérés csak egészen kivételesen, az eljárás lényegét nem érintő helyen lehet. A program második sorában megadjuk az n értékét (n=16) - ez azt jelenti, hogy a szárny felett 15 helyen határozzuk meg a cirkuláció értékét. rem Nyialzott szarnyon keletkezo felhajtoero szamitasa n=16 : n1=n-1 : m=10 : szam=67 : pi=3.14159265358 : cls dim xh(n),yh(n),zh(n),xa(n),ya(n),za(n),xe(n),ye(n),ze(n) dim x(n,m),y(n,m),z(n,m),xf(n,m),yf(n,m),zf(n,m),g(n1) dim am(n,n),bm(n,n),cm(n,n),gm(n),vx(n),vy(n),vz(n),s(n) dim mx(n),my(n),mz(n),alfag(n1),w(n),ct(n1,n1),c(n1,n1) dim ali(n),cf(n),cei(n),afel(n),mfel(n) dim h(n),a(n),xee(n),yee(n),zee(n) A repülési sebességet 10 m/s-ra választottuk, ez szabadon megtehető, nincs

különösebb jelentősége. A levegő sűrűsége 12 kg/ m 3 , a geometriai állásszög végig állandó, 10 fok A fesztáv 10 méter és a húrhossz szintén állandó ( 1 méter ), a felhajtóerő-tényező meredeksége pedig 2π. Ezzel ugyanolyan szárnyat definiáltunk, mint az előző számításban (3.1 melléklet) vr=10 : ro=1.2 for i=1 to n1 : w(i)=-1.76328 : alfag(i)=-atn(w(i)/vr) : next i for i=0 to n : xh(i)=0 : next i for i=0 to n : yh(i)=-5+i*5/8 : next i for i=0 to n : zh(i)=0 : next i for i=0 to n : h(i)=1 : a(i)=2*pi : next i Itt kezdődik a különféle pontok definiálása. for i=0 to n xe(i)=xh(i)+h(i)*a(i)/4/pi ye(i)=yh(i) : ze(i)=zh(i) next i for i=1 to n xa(i)=(xh(i)+xh(i-1))/2 : xee(i)=(xe(i)+xe(i-1))/2 ya(i)=(yh(i)+yh(i-1))/2 : yee(i)=(ye(i)+ye(i-1))/2 za(i)=(zh(i)+zh(i-1))/2 : zee(i)=(ze(i)+ze(i-1))/2 63 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása next i for i=1 to n vx=xh(i)-xh(i-1) : vy=yh(i)-yh(i-1)

: vz=zh(i)-zh(i-1) s(i)=sqr(vx^2+vy^2+vz^2) vx(i)=vx/s(i) : vy(i)=vy/s(i) : vz(i)=vz/s(i) next i rem A normal-vektorok: for i=1 to n wx=xa(i)-xee(i) : wy=ya(i)-yee(i) : wz=za(i)-zee(i) mx=vy(i)*wz-vz(i)wy my=vz(i)*wx-vx(i)wz mz=vx(i)*wy-vy(i)wx mh=sqr(mx*mx+mymy+mzmz) mx(i)=mx/mh : my(i)=my/mh : mz(i)=mz/mh next i screen 11 : window (-6,-1)-(6,5) for i=0 to n pset (yh(i),zh(i)) : if i<>0 then pset(ya(i),za(i)) next i for i=1 to n line (ya(i),za(i))-(ya(i)+my(i),za(i)+mz(i)) next i Itt határozzuk meg a hordozó örvénnyel kapcsolatos mennyiségeket. for i=1 to n rem Az "i" a szakasz szamat jelenti lx=(xh(i)-xh(i-1))/s(i) : ly=(yh(i)-yh(i-1))/s(i) lz=(zh(i)-zh(i-1))/s(i) for j=1 to n1 sax=0 : say=0 : saz=0 : lep=s(i)/szam sbx=0 : sby=0 : sbz=0 for s=0 to s(i) step lep x=xh(i-1)+lx*s : y=yh(i-1)+lys : z=zh(i-1)+lzs rx=xe(j)-x : ry=ye(j)-y : rz=ze(j)-z r=sqr(rx*rx+ryry+rzrz) : rk=rrr pset (y,z) dsrx=vy(i)*rz-vz(i)ry : dsry=vz(i)rx-vx(i)rz dsrz=vx(i)*ry-vy(i)rx

sax=sax+dsrx*(1-s/s(i))/rk : say=say+dsry(1-s/s(i))/rk : saz=saz+dsrz(1-s/s(i))/rk sbx=sbx+dsrx*s/s(i)/rk : sby=sby+dsrys/s(i)/rk : sbz=sbz+dsrzs/s(i)/rk aij=sax*mx(i)+saymy(i)+sazmz(i) : bij=sbxmx(i)+sbymy(i)+sbzmz(i) next s am(i,j)=lep*aij/4/pi : bm(i,j)=lepbij/4/pi next j next i 64 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Itt határozzuk meg a leúszó örvénnyel kapcsolatos mennyiségeket. wa=0 : for i=1 to n1 : wa=wa+w(i) : next i : wa=wa/n1 for i=0 to n : x(i,0)=xa(i) : y(i,0)=ya(i) : z(i,0)=za(i) : next i dyk=0 : dzk=0 for i=1 to n dxk=(h(i)+h(i-1))/10 : dyk=0 : dzk=0 for k=1 to m x(i,k)=x(i,k-1)+dxk : y(i,k)=y(i,k-1)+dyk : z(i,k)=z(i,k-1)+dzk if x(i,k)>(xa(i)+3*h(i)/4) then dxk=1.2*dxk : dzk=-wadxk/vr next k next i for i=1 to n for j=1 to n1 scx=0 : scy=0 : scz=0 for k=1 to m lx=(x(i,k)-x(i,k-1)) ly=(y(i,k)-y(i,k-1)) lz=(z(i,k)-z(i,k-1)) lik=sqr(lx*lx+lyly+lzlz) : lx=lx/lik : ly=ly/lik : lz=lz/lik qx=0 : qy=0 : qz=0 : lep=lik/szam for l=0 to lik step lep x=x(i,k-1)+lx*l

: y=y(i,k-1)+lyl : z=z(i,k-1)+lzl rx=xe(j)-x : ry=ye(j)-y : rz=ze(j)-z r=sqr(rx*rx+ryry+rzrz) : rk=rrr qx=qx+(ly*rz-rylz)/rk qy=qy+(lz*rx-rzlx)/rk qz=qz+(lx*ry-rxly)/rk next l scx=scx+lep*qx : scy=scy+lepqy : scz=scz+lepqz next k scx=-scx/4/pi : scy=-scy/4/pi : scz=-scz/4/pi cm(i,j)=scx*mx(i)+scymy(i)+sczmz(i) next j print "++++ ";i;". ellenorzo pont ++++" next i for i=1 to n1 : for j=1 to n1 ct(i,j)=am(i+1,j)+bm(i,j)+cm(i,j)-cm(i+1,j) next j : next i screen 0 65 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása A megfelelő számítások elvégzése után az egyenletrendszer megoldása következik. A megoldást az alábbi formában keressük (itt Ct(i,j) az együttható-mátrix, gm(j) az ismeretlenek vektora és w(i) az előírt indukált sebesség): rem Ct(i,j)*gm(j)=w(i) for i=1 to n1 : c(1,i)=ct(1,i) : next i : g(1)=w(1) for k=2 to n1 s3=0 for i=1 to k-1 s1=0 : s2=0 for j=1 to n1 : s1=s1+ct(k,j)*c(i,j) :

s2=s2+c(i,j)c(i,j) : next j s1=-s1/s2 for j=1 to n1 : c(k,j)=c(k,j)+s1*c(i,j) : next j s3=s3+s1*g(i) next i g(k)=w(k)+s3 for j=1 to n1 : c(k,j)=c(k,j)+ct(k,j) : next j next k for i=1 to n1 s1=0 for k=1 to n1 : s1=s1+c(i,k)*c(i,k) : next k g(i)=g(i)/s1 next i print " A cirkulacio-megoszlas:" : print for i=1 to n1 s1=0 for j=1 to n1 : s1=s1+g(j)*c(j,i) : next j gm(i)=s1 : print using "-##.#### "; i ; gm(i) next i print "- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -" Ezután a helyi illetve az átlagos jellemzők (indukált sebességek, indukált ellenállás, és a különböző felhajtóerő tényezők meghatározása következik): print " Hely Elsofaju Masodfaju Indukalt Cf Cei" print " indukalt sebesseg allasszog" print for i=1 to n1 w1=0 : w2=0 for j=1 to n1 w1=w1+(am(i+1,j)+bm(i,j))*gm(j) w2=w2+(cm(i,j)-cm(i+1,j))*gm(j) next j cf(i)=2*gm(i)/(vrh(i)) : ali(i)=atn(w2/vr) : cei(i)= - cf(i)ali(i) all=ali(i)*180/pi print using

"-#.###^^^^ ";yh(i);w1;w2;all;cf(i);cei(i) next i 66 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv for i=1 to n mfel(i)=(yh(i)-yh(i-1))*(h(i-1)+h(i))/2 afel(i)=s(i)*(h(i)+h(i-1))/2 next i tny=ro*vrvr/2 fel=0 : cf(0)=0 : cf(n)=0 : cei(0)=0 : cei(n)=0 : indell=0 for i=1 to n fel=fel+tny*mfel(i)(cf(i)+cf(i-1))/2 indell=indell+tny*afel(i)(cei(i-1)+cei(i))/2 next i print : print " * " print : print " Az eredo felhajtoero: "; fel; " [N]" print " Az ered” indukalt ellenallas: "; indell; " [N]" end Számítási eredmények: A fesztáv menti felhajtóerő-tényező eloszlást a 3.6 ábrán tüntettük fel, nem utolsósorban azért, hogy a kétféle módszerrel számított eredmény összehasonlítható legyen. A további eredményekből az átlagosakat mutatjuk csak be: A felhajtóerő-tényező egész szárnyra vonatkozó, átlagos meredeksége 4.9492 Az átlagos indukált ellenállás-tényező 0.0265 Ezek az

eredmények igen jó közelítéssel megegyeznek a 3.1 mellékletben közölt, hasonló eredményekkel. Ez a számítási eljárás azonban sokkal szélesebb körben alkalmazható, szinte minden szárny vizsgálható vele, ha az áramlás sebessége mérsékelt, azaz nem közelíti meg a hang sebességét. 67 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása 3.4 Felületi örvény-panel módszer Figyelem: a következőkben a vektorokat a korábbitól eltérően, alulvonással jelöljük! A (potenciálos) örvényeknek igen sokrétű aerodinamikai alkalmazási lehetősége van. A következőkben alapvetően az örvénygyűrűk alkalmazásáról lesz szó – ezek állandó intenzitású, egyenes örvényszálakból tevődnek össze. Ez a szerkezet eleve garantálja a Kelvin és a Helmholtz törvények teljesülését. Az indukált sebesség számítására a Biot-Savart törvényt használjuk majd. Az ilyen szerkezetű örvénygyűrűk

(ha egy síkban fekszenek) indukált sebesség illetve potenciál szempontjából egyenértékűek egy, az örvénygyűrűk által határolt felületen elhelyezkedő, állandó intenzitású, megoszló dipólussal [2]. Egy potenciálos örvényszál egyébiránt fizikai-matematikai idealizáció: feltesszük, hogy a térben eloszló örvényességet – jó közelítéssel – egy-egy általában görbe vonalra (S) lehet redukálni, úgy, hogy az elemi örvényességek és elemi felületek szorzatának összege (integrálja) éppen a cirkuláció (Γ) értékéhez tartson. A cirkulációhoz pedig már csak egy vonalat rendelünk (nulla felülettel). Ez a vonal általánosságban görbe vonal (3.10 ábra) 3.10 ábra: Örvényszál Az örvényszál maga körül sebességet indukál, az indukált sebességet valamely „P” pontban a már említett Biot-Savart törvény alkalmazásával számíthatjuk ki: w= Γ 4π ∫ S ds × r r (3.33) 3 Az indukált sebesség, valamely P

pontban tehát a (3.33) integrál segítségével határozható meg. Első lépésként foglalkozzunk egy egyenes örvényszál-darabbal, az örvény négyszögeket később ilyen, egyenes örvény-darabokból építhetjük fel. Az egyenes örvényszál az általánosságot korlátozza ugyan, de a későbbi feladatokban, a felosztás finomításával ezt a kérdést kézben tarthatjuk. A 3.11 ábrán egy, az „x” tengelyen elhelyezkedő egyenes örvényszál darabot láthatunk A w indukált sebesség a pozitív cirkuláció esetén kialakuló indukált sebesség – másik oldalról közelítve: az egy-egy koordináta tengelyen elhelyezkedő a cirkuláció pontosan akkor pozitív, ha az általa indukált sebesség a jobbsodrású koordináta rendszerben pozitív értelmű, amint az példaként, a 2. ábrán, az „x” tengelyen elhelyezkedő cirkuláció esetén, a pozitív „z” irányba mutató indukált sebességet tekintve látható): 68 Forrás:http://www.doksihu

Örvénykönyv Az a tény, hogy a cirkuláció éppen az „x” tengelyen van, nem jelenti az általánosság megszorítását, hiszen a koordináta-rendszer (bizonyos keretek közt) tetszőlegesen választható! Másrészt alapvetően fontos, hogy az (3.33) egyenletből az indukált sebesség vektorát számítjuk ki, azaz a háromdimenziós térben tetszőlegesen elhelyezkedő és tetszőleges előjelű cirkuláció irányra és értelemre helyes, általában három összetevőből álló indukált sebesség vektorát határozzuk meg. Hangsúlyozzuk, hogy ez a kapcsolat kölcsönösen egyértelmű, vagyis a másik irányba is működik: számítható, egy, adott indukált sebesség vektorhoz tartozó cirkuláció is. A későbbiekben éppen ezt, a másodikként leírt számítást végezzük majd el. 3.11 ábra: Egyenes örvényszál vizsgálata A Biot-Savart törvényben szereplő integrál az „x” tengely két pontja között (1 és 2) zárt alakban kiszámítható.

Határozzuk meg először a képlet egyes tagjait: dx ds =  0  ;  0  dx = ds = r cos ϕ  r =  r sin ϕ  ;  0  és: továbbá: r dϕ ; sin ϕ ahol: r - a „P” pontba mutató r vektor abszolút értéke. E kifejezések felhasználásával az indukált sebesség számítására szolgáló összefüggés integranduszának számlálójában szereplő vektori szorzat számítható: 0    ; ds × r =  0  dx r sin ϕ  r sin ϕ = r0 . és a 2. ábra szerint: A teljes kifejezés ezek szerint a következő alakban írható (figyelembe véve, hogy sinϕ integrálja a – cosϕ ): Γ wz = 4π 2 ∫ 1 r sin φ ( r dφ sin φ ) r 3 = Γ 4π sin φ dφ r0 1 2 ∫ 69 = Γ 4π r0 ( cos φ1 − cos φ2 ) (3.34) Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása A (3.34) egyenlet igen lényeges részeredmény, de a szakirodalomban (pl [11])

a tényleges számolásokhoz egy átalakított formát szoktak használni, olyat, amelyben az örvényszál kezdő és végpontjainak valamint a kijelölt pontnak (P) a koordinátái szerepelnek. Számítsuk ki az „AB” örvényszál „P” pontban indukált sebességét! A 3.12 ábrán a következő vektorok láthatók: AB = r ; AP = r 1 és BP = r 2 ; e vektorok segítségével a szintén a 3.12 ábrán látható ϕ1 ill ϕ 2 szög a következő módon írható: cos ϕ 1 = r r1 r r2 és cos ϕ 2 = ; r r1 r r2 tehát: cos ϕ 1 − cos ϕ 2 = 3.12 ábra: Örvényvonal és a helyvektorok r r  r1 r  − 2  (3.35)  r 2   r 1 A „P” pont távolsága az „x” tengelytől a következő módon határozható meg: kiszámítjuk az „ABP” háromszög területének kétszeresét és ezt elosztjuk az „AB” szakasz hosszával, tehát: r0 = r1 × r 2 . r (3.36) A 3.11 ábrán felvett helyzetben az indukált sebesség vektora a „z” tengellyel

párhuzamos egyenesen fekszik, általában azonban az indukált sebesség az r1 és az r2 vektorokra merőleges, ezt az irányt a következő, normál-vektor határozza meg: n= r1 × r 2 . r1 × r 2 (3.37) Végeredményben tehát, a fenti elemekből összeállítható az „AB” szakaszon elhelyezkedő „Γ Γ” intenzitású örvény által indukált sebesség: w= Γ 4π r 1 × r2 r 1 × r2 2  r   r1 r   − 2  .  r 2    r 1 (3.38) Ezzel az összefüggéssel kapcsolatban fontos megjegyezni, hogy a kapcsos zárójelben szereplő skalár szorzat skalár számot ad, az indukált sebesség irányát a második törtben szereplő normál-vektor határozza meg. A kapcsos zárójel tehát nem bontható fel, a szerepe igen fontos. A másik, szükséges megjegyzés az, hogy a (338) kifejezés általában is igaz, nem szükséges többé az „x” tengelyhez ragaszkodni. Az „A” és „B” pontok, illetve a „P” pont

70 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv gyakorlatilag tetszőlegesen helyezhető el, mindössze a helyüket meghatározó koordinátákat kell megadni. Legyenek az „A” pont koordinátái: (x1,y1,z1), a „B” pont koordinátái: (x2,y2,z2), végül a „P” pont koordinátái: (x,y,z), ezzel a fenti kifejezés minden eleme számítható. A tényleges számolásra később, a számítógépi program leírásakor térünk ki, mivel a kifejezés egyes elemeinek számítására (pl. vektorok skalár szorzata, vektori szorzata, abszolút értéke stb) célszerű külön eljárásokat írni; nem szükséges, de nem is célszerű az egész képletet a fenti formában, egyetlen kifejezésként programozni. Állítsunk össze négy, azonos cirkulációval rendelkező, egyenes örvényszálból egy örvénynégyszöget (ez látható a 3.13 ábrán) Itt, az egyszerűség kedvéért az egyes pontokat már csak egy-egy számmal jelöltük. (Ez a szám egyúttal meghatározza a

koordináták indexét is, ami a numerikus számolásnál előnyös.) Ezen örvény-gyűrűket meghatározó pontokat pl. egy repülőgép szárnyat helyettesítő felületen (a szárnyprofilok vázvonalai alkotta felület) vesszük fel. Ez a felület általában görbült. Kérdés, hogy a felület hogyan osztandó négyszögekre, hogy egy-egy négyszög mely pontját válasszuk ki az indukált sebesség számítására, és hogy e kiválasztott pontban milyen irányú a normál-vektor. 3.13 ábra: Örvénynégyszög Első pillantásra ez nem tűnik jelentős problémának, ha azonban a vizsgált felületről rendelkezésre álló adatokat nézzük, akkor azonban látható, hogy a felület alakját leíró formula, képlet általában nem áll rendelkezésre, illetve ilyet elkészíteni nem kis feladat. Az itt vázolt probléma megoldására a későbbiekben térünk ki. Az 5. ábrán a későbbiekben bemutatandó számítási példában szereplő szárnyat tüntettük fel Ez egy 8

méteres fesztávú, 60 centiméteres húrhosszúságú, téglalap alaprajzú szárny, amely szimmetrikus profilokból épül fel – ezért a vázfelület az „ x0 − y0 ” síkban fekszik, annak körülhatárolt része. Ezt a szárnyat csak az egyszerűség kedvéért választottuk, semmilyen akadálya nincs más alak választásának sem! A 3.14 ábrán láthatók a szárny vázfelületét behálózó négyszögek, illetve látható a leúszó örvénysík is – ez, ismét az egyszerűség kedvéért ugyancsak az "x0-y0" síkban fekszik. Ebben a munkában nem térünk ki rá, de nincs akadálya a számolás olyan kiterjesztésének, amelyben a leúszó örvényeknek a szárny mögötti áramlással történő együttmozgását – az örvények felcsavarodását – is figyelembe vesszük. 71 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása 3.14 ábra: Szárny és leúszó örvénysík 3.41 Az ellenőrző pont A

következő számításokhoz szükség lesz az örvény-négyszög egy, az örvény négyszöhöz rendelt felületen elhelyezkedő, belső pontjának kiválasztására. Először meg kell határoznunk azt, hogy mely felület az, amelyet az örvény-négyszöghöz rendelünk. (A sík csak akkor lehetséges, ha mind a négy pont egy síkban van, ez a feltétel általában nem teljesül.) Tekintsük a 3.13 és 315 ábra szerintii számozásnak megfelelő "1-2" és "4-3" oldalakat. Osszuk fel ezeket a szakaszokat egyenlő részekre és az egyes osztáspontokat kössük össze egyenes szakaszokkal. Az ezen vonaldarabok által alkotott felületet tekintjük a következőkben az örvénynégyszög felületének (3.15 ábra) A fenti módon meghatározott felület – feltehetően – elég közel lesz a tényleges általában görbült – felülethez és egyértelműen meghatározott, ez az ellenőrző pont kijelöléséhez feltétlenül szükséges. 3.15 ábra:

Örvénynégyszöghöz rendelt felület 72 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Az ellenőrző pontban határozzuk meg majd a felületre merőleges normál-vektort is. (Természetesen másféle ellenőrző pont definíció is lehetséges – mi itt egy lehetőséget vázoltunk fel.) Az így meghatározott felületen már megkereshetjük a szakirodalomban centroidnak elnevezett pontot, ahol az indukált sebesség vektor abszolút értéke a legkisebb. Ez a pont lesz az ellenőrző pont. Meghatározására a későbbiekben bemutatott számpéldában a "Bongesz" elnevezésű szubrutin szolgál. Ezt a következőkben ismertetjük Az ellenőrző pontokat is megszámozzuk: a 3.16 ábrán látható, az egyes örvénynégyszögekhez rendelt számok egyúttal az ellenőrző pontok számai is 3.42 A feladat kitűzése és a megoldás menete A megoldandó feladat a következő: kiszámítandó a szárny váz-felületén felvett egyes örvény négyszögek (örvény-gyűrűk)

erőssége, úgy, hogy az eredő sebesség (vagyis az alapáramlás sebessége és az indukált sebességek vektori összege) felületre merőleges összevevője nulla legyen. Másképp fogalmazva a fenti feltétellel azt mondjuk ki, hogy az áramlás – minden ellenőrző pontban – az adott panellel párhuzamos. Adjunk meg először is a korábbiakban definiált vázfelületet, amelyet a szárnyprofilok húrvonala alkot. Most, a választott példának megfelelően, kizárólag az egyszerűség kedvéért legyenek a profilok szimmetrikusak - akkor a szóban forgó felület sík-felület. Kiindulásként adjuk meg ezt a síkfelületet egy olyan koordináta rendszerben, amelynél a „z0” tengely a síkra merőleges, azaz a szárnyat helyettesítő felület az „x0-y0” síkban fekszik. A számolást az 5 ábrán feltüntetett, konkrét szárnyra végezzük el – de az eljárás értelemszerűen más esetekre is kiterjeszthető. Már az eddigiekből is látszik, hogy ez a

számítás az általános módszer mellett több, a vizsgált esetre alkalmazandó, egyedi lépést is tartalmaz. Ezért a következőkben tovább követjük a kitűzött példát, hangsúlyozva, hogy a konkrét példához kötött lépéseket más esetekben értelemszerűen módosítva kell megtenni! 3.16 ábra: Örvény négyszögek számozási rendszere 73 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása Első, konkrét lépésként bevezetünk egy örvény-négyszög számozási rendszert. Ilyen ugyan az 3.14 ábrán már megjelent, de ott egy-egy örvény négyszögnek két indexe volt (i,j), ehelyett rendeljünk minden örvény négyszöghöz egyetlen számot: ℓ = 8 ( i − 1) + j i = 1, 2, 6, j = 1, 2,8, ℓ = 1, 2, 48 ; (3.39) Ez a számozási rendszer látható a 3.16 ábrán Könnyen belátható, hogy ez egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A legfontosabb: a 316 ábrán látható, egy-egy körbe foglalt

szám egyegy örvény-négyszöget jelöl, amely annak cirkuláció az örvény-négyszög élei mentén azonos – ez az örvény-négyszög (keresett) cirkulációja. A számozási rendszer bevezetésének módja egyéni, de valamilyen rendszer bevezetése kötelező. Ezzel a számozási rendszerrel például a négyszögek sarokpontjainak két-indexes koordinátái egyértelműen hozzárendelhetők az egyes örvény-négyszögekhez. A számozási rendszer a megoldás nélkülözhetetlen része. A 3.14 ábrán bevezettük a „szelet” jelölést: ez azt jelenti, hogy a felosztásban az „x0” tengellyel párhuzamos vonalak a szárny belépőélétől kezdve végig a leúszó örvények mentén végigfutnak. Ezzel mintegy felszeleteljük a szárnyat és a leúszó örvénysíkot Ezt nagyon ajánlatos megtenni, hiszen egy-egy ilyen szelet fontos fizikai tartalmat is hordoz. Mindenekelőtt a három-dimenziós áramlásban értelmezett Kutta-Zsukovszkij feltétel egyszerű

alkalmazását teszi lehetővé: stacionárius áramlásban az adott szelet első leúszó örvény-négyszög örvény erőssége egyenlő a szeletbeli, a szárny kilépő éléig terjedő örvény-négyszög örvény erősségével. (A konkrét példában, a „szelet” szót feltüntető szeletben 3.17 ábra: A leúszó örvénysík A 3.17 ábrán a bal szárnyfél első szelete látható – az ehhez a szelethez tartozó, leúszó örvényt a 3.16 ábrán vastag vonallal kiemeltük A 317 ábráról megállapítható, hogy a 41-es számú örvény (két-indexes jelölésben a (6,1)-es örvény), amely örvény a szárny bal, hátsó sarkában kialakuló örvény erőssége – lép fel a leúszó örvény-felület első, második és minden további örvény-négyszögében. Hangsúlyozzuk, hogy itt csak stacionárius áramlást vizsgálunk! Első következtetésként megállapíthatjuk, hogy ebben az esetben a szárny kilépő élén nulla eredő cirkuláció alakul ki, hiszen a

szárny kilépő élén lévő örvény-szakasz és az ehhez csatlakozó első leúszó örvény-szakasz minden jellemzője azonos, kivéve a cirkuláció előjelét, amely viszont pontosan ellentétes. És ez igaz a többi szeletre is A kilépő élen kialakuló nulla cirkuláció pedig azt jelenti, hogy a kilépő élet az áramlás nem kerüli meg – ez pedig pontosan az elérni kívánt Kutta-Zsukovszkij feltételt jelenti. Másodszorra az is megállapítható, hogy mivel a leúszó örvény-sík egy-egy szeletét pontosan azonos erősségű örvény négyszögekből építjük fel, azért az örvény négyszögek egy patkó örvényt alkotnak, az egymáshoz csatlakozó azonos jellemzőkkel bíró, de ellentétes cirkulációjú örvény-szakaszok egymást hatását kiegyenlítik, ezért a számításból kihagyhatók (3.17 ábra) Továbbá a 3.16 ábrán vastag vonallal kiemelt patkó vonalon a cirkuláció végig állandó Hangsúlyozzuk, hogy ezek a megállapítások nem csak a

kiemelt egy szeletre, hanem minden szeletre igazak! 74 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A leúszó örvény sík négyszögekre történő felbontása lehetővé teszi – alkalmas továbbfejlesztéssel – a módszer instacionárius áramlásra történő kiterjesztését. Az eddig elmondottak alapján belátható, hogy a bevezetőben leírt számítási cél: „kiszámítandó a szárny váz-felületén felvett egyes örvény négyszögek (örvény-gyűrűk) erőssége” a feladat megoldásához szükséges és elegendő, mivel a leúszó örvény-síkon elhelyezkedő örvény-négyszögek örvény erőssége a szárnyon lévő, megfelelő örvénynégyszögek erősségével azonos. A következőkben számoljunk ki egy A mátrixot, abból a feltételből kiindulva, hogy – a leúszó { örvényeket is beleértve – minden cirkuláció értéke legyen egységnyi. Így kapjuk az A = awi j } együttható mátrixot. Az együttható mátrix (1,1) eleme például

jelenti az egyes örvény-négyszög sebesség indukcióját az 1-es ellenőrző pontban (vagyis önmagára). Az (1,2) elem jelenti a 2-es örvény-négyszög sebesség indukcióját az 1-es ellenőrző pontban. Az (1,3) elem jelenti a 3-as örvény-négyszög sebesség indukcióját az 1-es ellenőrző pontban. Az első sor végén álló (1,48) elem jelenti a 48-as örvény-négyszög sebesség indukcióját az 1-es ellenőrző pontban. Megjegyzendő, hogy az (1,41)-es elemtől kezdődően, az (1,48) elemmel bezárólag a sebesség indukcióba a leúszó örvény sík megfelelő szeletén lévő összes örvény-négyszög sebesség indukcióját is bele kell számítani. Az együttható mátrix első sora tehát rendre a fenti indukált sebességeket tartalmazza. Amennyiben a cirkuláció nem egységnyi (hanem más érték), akkor ezekkel a (másféle) cirkulációkkal szorozva az ezekhez tartozó (arányosan változó) indukált sebességeket kapjuk. A mátrix második sora az

elsőhöz hasonlóan épül fel, mindössze a 2. ellenőrzőpontbeli, egységnyi cirkulációhoz tartozó indukált sebességeket tartalmazza. É így tovább: az ℓ -edik sor az ℓ -edik ellenőrzőpontbeli, egységnyi cirkulációhoz tartozó indukált sebességeket tartalmazza. Nyilvánvalóan, pontosan annyi sor van, ahány ellenőrző pont és ez pontosan a cirkulációk számával egyelő, hiszen minden örvény-gyűrűben pontosan egy ellenőrző pont van. Vagyis az A mátrix négyzetes lesz. Másrészt az is látható, hogy a legnagyobb indukált sebesség a „saját” ellenőrző pontban lesz – emiatt az A mátrix főátló domináns lesz, ami a megoldás szempontjából előnyös tulajdonság. Ezek szerint az A mátrix és a Γ cirkulációvektor (a cirkuláció vektorba, az általunk definiálandó rendszer szerint, az egyes örvénynégyszögek örvényerősségét írjuk be) szorzata megadja az örvény négyszögek eredő indukált sebességét egy-egy ellenőrző

pontban. Ennek az eredő indukált sebességnek és a megfúvási sebesség felületre merőleges összetevőjének együtt – a korábban kimondott feltétel szerint – nullát kell adnia: 3.18 ábra: A felületi normális 75 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása ( A Γ )ℓ + V n ℓ = 0 ℓ ∈ {1, 2, m} ; T (3.40) ahol: – az ellenőrző pont száma „ ℓ ” és összesen „ m ” ellenőrző pont van. A számolás ezek szerint már elvégezhető: az „ m ” számú ellenőrző pont nyilván ugyanennyi örvény-négyszöget is jelöl – ezek szerint „ m ” darab (3.40) szerinti egyenletet írhatunk fel Ez „ m ” darab inhomogén lineáris algebrai egyenletet jelent, amiből az „ m ” darab ismeretlen örvény-erősség már kiszámolható: ( A Γ )ℓ = −V T nℓ ℓ ∈ {1, 2, m} ; (3.41) Hangsúlyozzuk, hogy a (3.41) inhomogén, lineáris, algebrai egyenletrendszer a korábbiakban

meghatározott keretek között általános érvényű és természetesen más, a mintapéldától különböző feladatra is alkalmazható. 3.43 Felhajtóerő eloszlás és indukált ellenállás számítása Elvileg ugyan nem követelmény, de nagyon ajánljuk, hogy a vizsgálat során a szárnyfelületet és a leúszó örvénysíkot egyaránt az x0 tengellyel párhuzamos vonalakkal osszuk fel. Ezzel a szárnyat egymással párhuzamos szeletekre osztjuk és e szeletek mögé illesztjük a leúszó örvények sorozatát. E leúszó örvények szabad (erőmentes) örvények, amelyek az áramlással együtt mozognak. Ezen az úton lenne vizsgálható pl a leúszó örvények felcsavarodása – ezzel azonban itt nem foglalkozunk. A program futtatása után rendelkezésre áll az egyes örvénynégyszögek cirkulációja. Ennek ismeretében további lehetőségek nyílnak. Tekintsük először a felhajtóerő tényező meghatározását. Ezt – a 316 ábrát tartva szem előtt –

egy-egy szeletre számíthatjuk ki Egy „szelet”, a 3.16 ábra szerint például a bekarikázott 1-estől tart a bekarikázott 41-esig Ilyen értelemben az ábrán 8 szeletet látunk. A szeleteket a 319 ábrán külön is feltüntettük Ezeknek a szeleteknek a felületét a szárny geometriai adatai alapján ki kell számítani: ∆AiJ ⇒ ASZELET , J = ∑ ∆AiJ ( i = 1,9,17, 25,33 és 41, ha J = 1 stb.) (3.42) i Természetesen a szeletek együttes felülete a teljes szárnyfelület adja! Látható a 3.19 ábrán továbbá a felületeknél bevezetett új, nagy”J”-vel jelzett index rendszer is. Ezek az új indexek egy-egy szeletet jelölnek, illetve a későbbiekben bevezetett, kilépőél pontoknak, a kilépőél pontban számított indukált sebességnek, a szelet felhajtóerő tényezőnek és az indukált ellenállás jellemzőinek is ez az indexe. A szeleten keletkező rész felhajtóerő a Kutta-Zsukovszkij tétel szerint számítható: LiJ = ρ V ΓiJ ⇒

LSZELET , J = ∑ LiJ ( i = 1,9,17, 25,33 és 41, ha J = 1 stb.) i 76 (3.43) Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 3.19 ábra: A szárny “szeletekre” osztása Ezzel a szeleteken keletkező felhajtóerő tényező már számítható: cL SZELET , J = 2 LSZELET , J ρ V 2 ASZELET , J (3.44) . A következő lépés az indukált leáramlási sebesség számítása. Csak a leúszó örvényeket tekintjük, hiszen az indukált ellenállás ezekből származik. Tegyük fel, hogy a leúszó örvények értéke – egy szelet mentén – végig állandó, illetve, hogy ezek egyik irányban végtelen hosszúak. Jelöljünk ki egy kilépő él pontot ( y J ) – ez a pont egy-egy szelet közepén helyezkedik el: ywJ = ( y j + y j −1 ) / 2; j = 0,1, 8 és J = 1, 2 8 . (3.45) A leúszó örvények által indukált leáramlási sebesség, ezekben a pontokban a Biot-Savart törvény szerint számítható (a „4”-es a π mellett azért van, mert a leúszó örvény-

vonal csak félig végtelen): wJ = Γ 6, j Γ 6, j  1  + ∑ − . 4 π  j y j −1 − ywJ y j − ywJ  (3.46) A fenti kifejezés a Biot-Savart törvény speciális alakja, ha a szárny kilépő éle nem az x0 , y0 síkban fekszik, akkor az eredeti vektori szorzással kell kiszámolni az indukált sebesség vektort és annak a kilépő élhez csatlakozó utolsó elem-sor normál vektorával való szorzatából kapjuk a keresett indukált sebességet. 77 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása Az egyes szeletek mögött keletkező indukált sebesség meghatározása után számítható az indukált állásszög: α IND , J ≅ wJ . V (3.47) Mivel az egyes szeletek indukált ellenállása a felhajtóerő és az indukált állásszög szorzataként számítható, azért írható, hogy: DJ = α IND , J LSZELET , J . (3.48) Az egész szárny indukált ellenállása a szeletek indukált

ellenállásainak az összege, illetve kiszámolhatjuk rögtön az indukált ellenállás tényezőt is: Dind = ∑ DJ és cD ,ind = J 2 Dind . ρV 2A (3.49) Az itt leírt kiegészítések természetesen csak a lehetséges további lépések kis részét jelentik. Érdekes lehetőség például a számolás kiterjesztése úgy, hogy abból a profil nemlineáris, átesési jellemzőinek figyelembe vételével, az egész szárny átesési tulajdonságaira lehessen következtetni. 3.44 Az eljárások ismertetése Az elméletileg kidolgozott összefüggések gyakorlati alkalmazására egy BASIC program-csomag készült. E program-csomag első részének ismertetésére kerül itt sor A programok felépítésekor a moduláris rendszert tartottuk szem előtt: lehetőség szerint kis egységeket - szubrutinokat alakítunk ki, ezekből építjük fel a következő program szintet. Ez a stratégia a nagyobb problémák esetén is áttekinthető méretű programokat eredményez majd és e

kisebb egységeket tesztelni is könnyebb. Készítsünk szubrutint először egy vektor abszolút értékének számítására, itt a bemenő változók rendre az xa, ya és a za vektor-komponensek, az eredmény (a kimenet) az ab szám: SUB Abszolut(xa,ya,za,ab) ab=sqr(xa*xa+yaya+zaza) END SUB Számoljuk ki ezután két vektor skalár szorzatát. A bemenő jellemzők itt az egyik illetve a másik vektor komponensei (xa,ya,za) és (xb,yb,zb), a kimenő jellemző a skalár szorzat értéke: sk. SUB Skalar(xa,ya,za,xb,yb,zb,sk) sk=xa*xb+yayb+zazb END SUB 78 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Számoljuk ki továbbá két vektor vektori szorzatát. A bemenő jellemzők itt az egyik illetve a másik vektor komponensei (xa,ya,za) és (xb,yb,zb), a kimenő jellemzők az eredő vektor: (xe,ye,ze) komponensei. SUB Vektor(xa,ya,za,xb,yb,zb,xe,ye,ze) xe=(ya*zb-ybza) ye=(xb*za-xazb) ze=(xa*yb-xbya) END SUB E szubrutinok létrehozása után meg lehet alkotni azt a szubrutint, amelynek

bemenő adatai egyrészt az örvénynégyszög négy sarokpontjának koordinátái (x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3, z3,x4,y4,z4) valamint annak a pontnak a koordinátái, ahol az indukált sebességet keressük: (xp,yp,zp). A szubrutinbeli számítás eredménye az örvénygyűrű által indukált sebesség három komponense: ww(1), ww(2), ww(3) - az 1,2 és 3 számok, hagyományosan, rendre az x, y és a z irányú komponenst jelentik. E szubrutin eredménye még nem végeredmény, a konkrét számítások további lépéseket igényelnek! Mivel a szubrutin felépítése több magyarázatot igényel, ezért a programhoz nem tartozó, magyarázó szöveget dőlt betűvel írjuk. SUB Oring(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,xp,yp,zp,ww()) pi=3.14159265358 A szubrutinokban a változók általában lokális jellegűek, azaz pl. a π értékét itt is meg kell adni - vagy deklarálni kell, hogy ezt a mennyiséget a külső programból kell vegye az eljárás. Első lépésként állítsuk

össze a P általunk megadott pontba mutató, a négy sarokpontból induló vektorokat (3.13 ábra) - ezt egyszerűen a megfelelő koordináták kivonásával megtehetjük: r1x=xp-x1 : r1y=yp-y1 : r1z=zp-z1 r2x=xp-x2 : r2y=yp-y2 : r2z=zp-z2 r3x=xp-x3 : r3y=yp-y3 : r3z=zp-z3 r4x=xp-x4 : r4y=yp-y4 : r4z=zp-z4 értékére és a A (3.35) jelű összefüggésben szükségünk van a most kiszámított vektorok abszolút négy vektort rendre el kell osztani a saját abszolút értékével - ezeket új vektorként írjuk fel, hogy ne vesszenek el az eredeti vektorok sem: call Abszolut(r1x,r1y,r1z,r1) : q1x=r1x/r1 : q1y=r1y/r1 : q1z=r1z/r1 call Abszolut(r2x,r2y,r2z,r2) : q2x=r2x/r2 : q2y=r2y/r2 : q2z=r2z/r2 call Abszolut(r3x,r3y,r3z,r3) : q3x=r3x/r3 : q3y=r3y/r3 : q3z=r3z/r3 call Abszolut(r4x,r4y,r4z,r4) : q4x=r4x/r4 : q4y=r4y/r4 : q4z=r4z/r4 A következőkben sorban egymás után számoljuk az egyes örvény-szakaszok által indukált ebességet, azaz először az 1-2, utána a 2-3, azután

a 3-4 és végül a 4-1 örvény-szakasz következik. A következőkben tehát ez a rész ismétlődik. Először az 1-2 szakasszal foglalkozunk Kiszámítjuk az " r " vektort: rx=x2-x1 : ry=y2-y1 : rz=z2-z1 Ezután az (3.35) kifejezés jobb oldalának harmadik tényezőjét számoljuk (ez a szögletes zárójelben szereplő tag): qx=q1x-q2x : qy=q1y-q2y : qz=q1z-q2z (A szubrutin a következő oldalon folytatódik.) 79 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása Végre képezzük e harmadik tag, a kapcsos zárójelen belüli két vektor skalár szorzatát: call Skalar(rx,ry,rz,qx,qy,qz,sw) A 3.12 ábra, illetve a vele kapcsolatosan mondottak szerint szükséges az a normálvektor, amely az "r1" és az "r2" vektorok által meghatározott síkra merőleges, hiszen az 1-2 örvényszál darab a P pontban ilyen irányú sebességet indukál. Az így kiszámolt normálvektort a (312) képlet jobb

oldali első tagjának megfelelően elosztjuk a normálvektor abszolút értékének a négyzetével: call Vektor(r1x,r1y,r1z,r2x,r2y,r2z,nx,ny,nz) call Abszolut(nx,ny,nz,na) nx=nx/na/na : ny=ny/na/na : nz=nz/na/na Ezzel kiszámolható a végeredmény, a legutóbbi lépésben kapott vektort meg kell szorozni a korábban meghatározott skalár szorzat eredményével. Végeredményben az indukált sebesség három részösszetevőjét kapjuk meg így, a számolás legvégén majd össze kell adni a négy örvény-szakasz rész indukált sebességeit. A végeredmény 4-gyel és π-vel osztva - tehát egységnyi Γ-ra: w1x=nx*sw/4/pi : w1y=nysw/4/pi : w1z=nzsw/4/pi Ez az ismétlődő rész vége. Az itt kezdődő rész a 2-3 örvény-szakasz által indukált sebességek számításra szolgál, a lépések értelme azonos, az egyes indexeket cseréltük. (A következő ismétlődő szakasz eleje) rx=x3-x2 : ry=y3-y2 : rz=z3-z2 qx=q2x-q3x : qy=q2y-q3y : qz=q2z-q3z call

Skalar(rx,ry,rz,qx,qy,qz,sw) call Vektor(r2x,r2y,r2z,r3x,r3y,r3z,nx,ny,nz) call Abszolut(nx,ny,nz,na) nx=nx/na/na : ny=ny/na/na : nz=nz/na/na w2x=nx*sw/4/pi : w2y=nysw/4/pi : w2z=nzsw/4/pi Ez az ismétlődő szakasz vége és egyúttal persze az indukált sebesség-rész értéke is. Az itt kezdődő rész a 3-4 örvény-szakasz által indukált sebességek számításra szolgál, a lépések értelme azonos, az egyes indexeket cseréltük. (A következő ismétlődő szakasz eleje) rx=x4-x3 : ry=y4-y3 : rz=z4-z3 qx=q3x-q4x : qy=q3y-q4y : qz=q3z-q4z call Skalar(rx,ry,rz,qx,qy,qz,sw) call Vektor(r3x,r3y,r3z,r4x,r4y,r4z,nx,ny,nz) call Abszolut(nx,ny,nz,na) nx=nx/na/na : ny=ny/na/na : nz=nz/na/na w3x=nx*sw/4/pi : w3y=nysw/4/pi : w3z=nzsw/4/pi Ez az ismétlődő szakasz vége és egyúttal persze az indukált sebesség-rész értéke is. (A szubrutin a következő oldalon folytatódik.) 80 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Az itt kezdődő rész a 4-1 örvény-szakasz által

indukált sebességek számítására szolgál, a lépések értelme azonos, az egyes indexeket cseréltük. (Az ismétlődő szakasz eleje) rx=x1-x4 : ry=y1-y4 : rz=z1-z4 qx=q4x-q1x : qy=q4y-q1y : qz=q4z-q1z call Skalar(rx,ry,rz,qx,qy,qz,sw) call Vektor(r4x,r4y,r4z,r1x,r1y,r1z,nx,ny,nz) call Abszolut(nx,ny,nz,na) nx=nx/na/na : ny=ny/na/na : nz=nz/na/na rem szorzata es az egeszet oszthatjuk negy pi-vel w4x=nx*sw/4/pi : w4y=nysw/4/pi : w4z=nzsw/4/pi Ez az ismétlődő szakasz vége és egyúttal persze az indukált sebesség-rész értéke is. A számítás végeredménye, a három indukált sebesség komponens következik: ww(1)=w1x+w2x+w3x+w4x : ww(2)=w1y+w2y+w3y+w4y : ww(3)=w1z+w2z+w3z+w4z END SUB A következőkben olvasható annak a programnak a listája, amely a fentiekben megadott eljárások segítségével kiszámítja egy örvény-négyszög által indukált sebességet - feltéve, hogy a cirkuláció intenzitása egységnyi. E feltétel részben elhagyható: ha egy

tényleges örvény négyszög hatását kívánjuk vizsgálni, akkor a kapott eredményt egyszerűen szorozni kell a szóban forgó örvény-négyszög cirkulációjával (e cirkulációnak egyébként minden szakaszon azonosnak kell lennie). Részben viszont az egységnyi cirkuláció nagyon hasznos lesz akkor, ha maga a cirkuláció értékének meghatározása a feladat. A program listáját az következőkben foglaljuk össze. Az alkalmazott "$include" utasítások a PowerBASIC nyelvre jellemzőek, illetve ott használhatók minden további nélkül - hasonló utasítás azonban minden fejlett programnyelvben létezik! A fenti rövid program egy olyan örvény-négyszöggel számol, amelynek első pontja a (-1,-1,0) pont, a második a (1,-1,0), a harmadik a (1,1,0) és a negyedik pont a (-1,1,0). Ez tehát egy olyan négyzet, melynek élei két egység hosszúak, az átlói az origóban metszik egymást és az x-y síkban fekszik. Megvizsgálva az indukált

sebességeket, azt találjuk, hogy ezek merőlegesek az x-y síkra, azaz mindenütt z irányúak. A legfontosabb tapasztalat azonban az, hogy van pontosan egy olyan pont, ahol az indukált sebesség minimális - ettől a ponttól a négyszög oldalai felé haladva az indukált sebesség szigorúan monoton nő. Ezt a pontot a korábban mondottaknak megfelelően centroidnak nevezzük. 81 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása A programot célszerű megjegyzésekkel kezdeni, ezek a későbbi eligazodást nagymértékben segítik. A PowerBASIC fordítója ugyan a "rem" kezdetű sorokat kihagyja a fordításból, azonban csak bizonyos karakterekig teszi ezt. A nyelv az angol ABC-re épül és ha ékezetes betűt használunk, az különböző zavarokhoz vezet - ezért a programban csak ékezet nélküli betűk fordulnak elő! rem <=================================================> rem Orvenynegyszog sebesseg

indukcioja rem <=================================================> A következő sorban "letöröljük" a képernyőt, minden változót kiterjesztett (extended) pontosságúnak választunk [ez kissé luxus, létezik, természetesen a dupla pontos (double) és az egyszerű (single) lebegőpontos változó is], megadjuk a π értékét és végül definiáljuk az indukált sebességet, mint dimenziós változót: cls : defext a-z : pi=3.14159265358 : dim w(3) Ezután meghatározzuk a számítás bemenő változóit - először az örvény-négyszög sarokpontjait: (x1,y1,z1) illetve (x2,y2,z2) valamint (x3,y3,z3) továbbá (x4,y4,z4) és végül a P-pont (xp,yp,zp), ahol az indukált sebességet keressük. Adjunk értéket a bemenő változóknak: x1=-1 : x2=1 : x3=1 : x4=-1 y1=-1 : y2=-1 : y3=1 : y4=1 z1=0 : z2=0 : z3=0 : z4=0 és xp=0 : yp=0 : zp=0 Meghívjuk az örvény-négyszög számoló szubrutint, ez az eljárás hívja egyébként a többi, korábban

definiált eljárást. Call Oring (x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,xp,yp,zp,w()) Kinyomtatjuk az eredményt (a képernyőre): Print w(1),w(2),w(3) Ez a program vége: END A program vége után következnek az eljárások, melyeket az alábbi módon lehet a főprogramhoz fűzni. A jelen esetben alkalmazott forma és könyvtár szerkezet esetleges, ez függ a használt program nyelvtől és konkrét számítógéptől, amin a program fut. $include "e:pb35orvenyprogramoring" $include "e:pb35orvenyprogramabszolut" $include "e:pb35orvenyprogramskalar" $include "e:pb35orvenyprogramvektor" 82 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Az így meghatározott felületen már megkereshetjük a korábbiakban centroidnak elnevezett pontot, ahol az indukált sebesség a legkisebb. Ez a pont lesz az ellenőrző pont Meghatározására a "Bongesz" szubrutin szolgál, amelyet a következőkben ismertetünk. SUB

Bongesz(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,n,xm,ym,zm) A szubrutin bemenő változója a négy sarokpont koordináta (x1.z4) és a felosztást meghatározó szám, az n - megmutatja, hogy a szakaszokat hány részre osztjuk. Eredményként az xm,ym,zm koordinátákat - az ellenőrző pont koordinátáit adja. dim wa(3) : kicsi=1e9 Lokális változóként dimenzionáljuk az indukált sebességet és a legkisebb indukált sebesség részére megadjuk a "kicsi" változót. Ezután kiszámítjuk a lépésközt az egyes szakaszokon (1-2 és 4-3): dx21=(x2-x1)/n : dy21=(y2-y1)/n : dz21=(z2-z1)/n dx34=(x3-x4)/n : dy34=(y3-y4)/n : dz34=(z3-z4)/n A következőkben a szubrutin egyszerűen egyenest választ (i-ciklus), azután pontról pontra végighalad a kijelölt egyenesen (j-ciklus) - bejárja a teljes felületet. Minden pontban meghatározza az indukált sebességet (egységnyi cirkuláció esetében) és a legkisebb értékhez tartozó jellemzőknek értéket ad. for i=1 to

n-1 xk=x1+i*dx21 : yk=y1+idy21 : zk=z1+idz21 xv=x4+i*dx34 : yv=y4+idy34 : zv=z4+idz34 rem belso pont kovetkezik dx=(xv-xk)/n : dy=(yv-yk)/n : dz=(zv-zk)/n for j=1 to n-1 xb=xk+j*dx : yb=yk+jdy : zb=zk+jdz Call Oring(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,xb,yb,zb,wa()) Call Abszolut(wa(1),wa(2),wa(3),wa) if wa<kicsi then kicsi=wa : xm=xb : ym=yb : zm=zb next j next i END SUB A szubrutin működésének vizsgálatára rövid keretprogram készült. Ezt részletesen nem ismertetjük, de az elvégzett számítások szerint az n értékét célszerű 100-as nagyságrendben választani (a példaprogramban n = 237 -et választottuk), mivel ekkor a centroid koordinátái legalább négy értékes jegyre pontosan adódnak és az elvégzendő számolási munka sem kíván túl hosszú időt. Amennyiben ez a pontosság nem lenne elegendő - bár egyes szakirodalmi művekben ennél sokkal nagyobb hibát is megengednek - akkor kisebb átalakítással, a fenti szubrutin saját magába

ágyazásával viszonylag kis számolási munkával igen nagy pontosság is elérhető. Az ellenőrző pontban a normál-vektort is meg kell határozni. Ehhez négy vektor áll a rendelkezésünkre (a 3.15 ábra szerint): 1E ; 2E ; 3E ; és a 4E . 83 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása A normál vektor e négy vektor páronkénti vektori szorzatából számítható - négy normálvektor számtani közepeként határozzuk meg. E számítást a "Normi" szubrutin végzi: SUB Normi(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,xm,ym,zm,ne()) A szubrutin beolvassa az öt pont koordinátáit majd rendre képezi az egyes vektorokat. A felépítése kissé gazdaságtalan (minden vektort kétszer számol ki) de így áttekinthetőbb. A számolást az 1E és a 2E pontpárral kezdi: vx=xm-x1 : vy=ym-y1 : vz=zm-z1 qx=xm-x2 : qy=ym-y2 : qz=zm-z2 Call Vektor(vx,vy,vz,qx,qy,qz,xe,ye,ze) Call Abszolut(xe,ye,ze,ab1) erx1=xe/ab1 :

ery1=ye/ab1 : erz1=ze/ab1 A számolást a 2E és a 3E pontpárral folytatja: vx=xm-x2 : vy=ym-y2 : vz=zm-z2 qx=xm-x3 : qy=ym-y3 : qz=zm-z3 Call Vektor(vx,vy,vz,qx,qy,qz,xe,ye,ze) Call Abszolut(xe,ye,ze,ab2) erx2=xe/ab2 : ery2=ye/ab2 : erz2=ze/ab2 A számolást a 3E és a 4E pontpárral folytatja: vx=xm-x3 : vy=ym-y3 : vz=zm-z3 qx=xm-x4 : qy=ym-y4 : qz=zm-z4 Call Vektor(vx,vy,vz,qx,qy,qz,xe,ye,ze) Call Abszolut(xe,ye,ze,ab3) erx3=xe/ab3 : ery3=ye/ab3 : erz3=ze/ab3 A számolást a 4E és a 1E pontpárral fejezi be: vx=xm-x4 : vy=ym-y4 : vz=zm-z4 qx=xm-x1 : qy=ym-y1 : qz=zm-z1 Call Vektor(vx,vy,vz,qx,qy,qz,xe,ye,ze) Call Abszolut(xe,ye,ze,ab4) erx4=xe/ab4 : ery4=ye/ab4 : erz4=ze/ab4 Végül kiszámolja a középértéket és ismét egység-vektort képez: nex=(erx1+erx2+erx3+erx4)/4 ney=(ery1+ery2+ery3+ery4)/4 nez=(erz1+erz2+erz3+erz4)/4 Call Abszolut(nex,ney,nez,ane) ne(1)=nex/ane : ne(2)=ney/ane : ne(3)=nez/ane END SUB 3.45 Az egyenletrendszer megoldása Ezzel a tényleges

számoláshoz szükséges eljárások – kivéve az inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszer megoldására szolgáló eljárást, rendelkezésünkre áll. Az egyenletrendszer megoldó szubrutint nem ismertetjük részletesen - az részben a Schmidt féle ortogonalizációs eljárásra épül, részben a [7]-ben megtalálható. 84 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A következő szubrutin inhomogén, lineáris, algebrai egyenletrendszer megoldására szolgál, részletesen [4] ismerteti. Itt csak azt kívánjuk megjegyezni, hogy a bemenő változók az: m1- az ismeretlenek száma és az együttható mátrix mérete, an() - maga az együttható mátrix, rhs() - a jobboldal és a kimenet a megoldás - a gamma() vektor. SUB Schmidt (m1,an(),rhs(),gamma()) local s1,s2,s3,gw(),cw() dim gw(m1),cw(m1,m1) for i=1 to m1 for j=1 to m1:cw(i,j)=0:next j gw(i)=0 next i for i=1 to m1 : cw(1,i)=an(1,i) : next i gw(1)=rhs(1) for k=2 to m1 s3=0 for i=1 to k-1 s1=0:s2=0 for j=1 to m1

s1=s1+an(k,j)*cw(i,j) : s2=s2+cw(i,j)cw(i,j) next j s1=-s1/s2 for j=1 to m1 cw(k,j)=cw(k,j)+s1*cw(i,j) next j s3=s3+s1*gw(i) next i gw(k)=rhs(k)+s3 for j=1 to m1 cw(k,j)=cw(k,j)+an(k,j) next j next k for i=1 to m1 s1=0 for k=1 to m1 s1=s1+cw(i,k)*cw(i,k) next k gw(i)=gw(i)/s1 next i for i=1 to m1 s1=0 for j=1 to m1 s1=s1+gw(j)*cw(j,i) next j gamma(i)=s1 next i END SUB 85 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása 3.46 Mintapélda A rendelkezésünkre álló egységekből mintapéldát építünk fel. E mintapélda több szempontból is igen egyszerű lesz, a folytatás illetve a fejlesztés lehetőségére az adott helyeken rámutatunk. Adjunk meg először is egy felületet, amelyet a szárnyprofilok húrvonala alkot. legyenek a profilok szimmetrikusak - akkor a szóban forgó felület sík-felület. Kiindulásként adjuk meg ezt a síkfelületet egy olyan koordináta rendszerben, amelynél a "z0" tengely a síkra

merőleges, azaz a szárnyat helyettesítő felület az "x0-y0" síkban fekszik. A számolást egy egészen konkrét szárnyra végezzük el. A 3.14 ábrán látható az általunk választott szárny-felület és annak négyszögekre történő beosztása valamint a négyszögek sarokpontjainak - a rácspontoknak a rendszere. Adjuk meg ezeknek a pontoknak a számértékét. Legyen a fesztáv 8 méter, azaz induljunk az y0 = - 4 értéktől és lépésenként növekedjen ez az érték 1 m-rel. A húrhossz legyen 06 m (állandó), induljunk a -0.3 m től és az i = 6 vonalon legyen az x = + 03 m A következőkben a számolást az (x,y,z) koordináta rendszerben végezzük. A megfúvási sebesség egyenesével párhuzamos e koordináta rendszer x tengelye, az y tengely párhuzamos az y0-tengellyel és a z az első két tengellyel jobbrendszert alkot. A különböző állásszögek beállítása érdekében a szárnyat definiáló rendszert tehát (-α α) szöggel elforgatjuk az

(x,y,z) rendszerhez képest. E forgatást a "Forgat" elnevezésű szubrutin végzi, listája az alábbiakban olvasható. SUB Forgat(m,n,alf,xo(),yo(),zo(),x(),y(),z()) for i=0 to m : for j=0 to n x0=xo(i,j) : y0=yo(i,j) : z0=zo(i,j) xf=x0*cos(alf)+z0sin(alf) yf=y0 zf=-x0*sin(alf)+z0cos(alf) x(i,j)=xf : y(i,j)=yf : z(i,j)=zf next j : next i END SUB 86 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 3.461 Az örvények intenzitásának számolása Az eddig tett előkészítő lépések után most neki kezdhetünk a tényleges számolást elvégző, főprogram írásának. A program leírásában az eddig követettek szerint a színes, dőlt betűs beírások magyarázó megjegyzések, ezeket a tényleges programba beírni tilos! A programba írt megjegyzések (az "i" betű kivételével) ékezet nélküliek! rem <=================================================> rem Szarny szamitasa orvenynegyszogek rem segitsegevel rem * V O R I N G . B A S * rem

<=================================================> cls : defext a-z : pi=3.14159265358 : dim w(3),ne(3) ni=6 : nj=8 : nk=9 dim xo(ni,nj),yo(ni,nj),zo(ni,nj),x(ni,nj),y(ni,nj),z(ni,nj) Az xo,yo,zo a szárny geometriája a "saját" koordináta-rendszerében, az x,y,z pedig az a koordináta rendszer, melynek "x" tengely-irányából a megfúvás érkezik. nij=ni*nj : nkj=nknj Kiszámoljuk a felső indexhatárokat és deklaráljuk a dimenziós változókat: dim xe(nij),ye(nij),ze(nij) dim xev(nkj),yev(nkj),zev(nkj) dim nx(nij),ny(nij),nz(nij) dim nxv(nkj),nyv(nkj),nzv(nkj) dim aw(nij,nij),b(nij),gamma(nij) dim xv(nk,nj),yv(nk,nj),zv(nk,nj) dim gmm(ni,nj),lift(ni,nj),pny(ni,nj) rem <======================================================= rem <=========== A szarny racspontjainak megadasa rem <======================================================= for j=0 to nj xo(0,j)= 0.6 : xo(1,j)= 05 : xo(2,j)= 04 : xo(3,j)=03 xo(4,j)= 0.2 : xo(5,j)= 01 : xo(6,j)= 0

next j for i=0 to ni yo(i,0)=-4 : yo(i,1)=-3 : yo(i,2)=-2 : yo(i,3)=-1 : yo(i,4)=0 yo(i,5)= 1 : yo(i,6)= 2 : yo(i,7)= 3 : yo(i,8)= 4 next i for i=0 to ni : for j=0 to nj : zo(i,j)=0 : next j : next I A példa szárny tehát 60 cm-es húrhosszal és 8 m-es fesztávval rendelkező síklap. 87 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása rem <======================================================= rem <=========== Az orvenysik racspontjainak megadasa rem <======================================================= for k=0 to nk : for j=0 to nj : zv(k,j)=0 : next j : next k for j=0 to nj xv(0,j)= 0 : xv(1,j)=-0.5 : xv(2,j)=-10 : xv(3,j)=-15 xv(4,j)=-2 : xv(5,j)=-2.5 : xv(6,j)=-30 : xv(7,j)=-50 xv(8,j)=-8 : xv(9,j)=-13 next j for k=0 to nk yv(k,0)=-4 : yv(k,1)=-3 : yv(k,2)=-2 : yv(k,3)=-1 : yv(k,4)=0 yv(k,5)= 1 : yv(k,6)= 2 : yv(k,7)= 3 : yv(k,8)= 4 next k Az örvénysík a szárny mögött helyezkedik el, jelen esetben a

végtelen helyett 13 m-re nyúlik hátra és nem csavarodik fel. rem <======================================================= rem <=========== Az allasszog es eszerinti elforgatas rem <======================================================= alfa = 10*pi/180 Call Forgat(ni,nj,alfa,xo( ),yo( ),zo( ),x( ),y( ),z( )) rem <======================================================= rem <=========== A repulesi sebesseg megadasa rem <======================================================= vw=10 : rem Ez a repulesi sebesseg m/s-ban rem <======================================================= rem <=========== Az ellenorzo pont es a normalvektorok a hordfeluleten rem <======================================================= print "Pontok a szarnyfeluleten 1-tol 48-ig" : print for i=1 to ni : for j=1 to nj p=(i-1)*8+j x1=x(i-1,j-1) : y1=y(i-1,j-1) : z1=z(i-1,j-1) x2=x(i,j-1) : y2=y(i,j-1) : z2=z(i,j-1) x3=x(i,j) : y3=y(i,j) : z3=z(i,j) x4=x(i-1,j) : y4=y(i-1,j) :

z4=z(i-1,j) Call Bongesz(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,213,xm,ym,zm) xe(p)=xm : ye(p)=ym : ze(p)=zm Call Normi(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,xm,ym,zm,ne( )) nx(p)=ne(1) : ny(p)=ne(2) : nz(p)=ne(3) print p, next j : next i 88 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A számoláshoz az egyes paneleket (3.15 ábra) megszámozzuk Ez a szám a „p”, mely 1-től 48-ig fut. A 314 ábrán „3”-mal jelölt pont az (i,j) indexű pont, ehhez képest, szintén a 314 ábrának megfelelően jelölhetők ki a további pontok (1,2 és 4). Ez a felosztás egyébként a 315 ábrának megfelelően a panelokat a szárnyon a fesztávval párhuzamos szeleteken végigfutva sorszámozza. rem <======================================================= rem <=========== Az ellenorzo pont es a normalvektorok a leuszo o-sikon rem <======================================================= print : print print "Pontok a leuszo orvenysikon 1-tol 72-ig" for j=1 to nj : for k=1 to

nk q=k+nk*(j-1) x1=xv(k-1,j-1) : y1=yv(k-1,j-1) : z1=zv(k-1,j-1) x2=xv(k,j-1) : y2=yv(k,j-1) : z2=zv(k,j-1) x3=xv(k,j) : y3=yv(k,j) : z3=zv(k,j) x4=xv(k-1,j) : y4=yv(k-1,j) : z4=zv(k-1,j) Call Bongesz(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,213,xm,ym,zm) xev(q)=xm : yev(q)=ym : zev(q)=zm Call Normi(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,xm,ym,zm,ne( )) nxv(q)=ne(1) : nyv(q)=ne(2) : nzv(q)=ne(3) print q, next k : next j A leúszó örvény-síkon lévő paneleket is a szárnyon lévőkhöz hasonlóan indexeltük, a globális index (q) itt a húrral párhuzamos metszeteken futva növekszik. rem <======================================================= rem <=========== Az egyutthato matrix kovetkezik rem <======================================================= for p=1 to nij : for q=1 to nij : aw(p,q)=0 : next q : next p cls Az aij mátrix elem "i" indexe az ellenőrző pontot, a "j" index az örvény-gyűrű globális számát jelenti. for ie=1 to ni : for je=1 to

nj p=8*(ie-1)+je : rem ===> Ellenorzo pont (sorszama) for io=1 to ni : for jo=1 to nj q=(io-1)*8+jo : rem ===> Orveny (sorszama) x1=x(io-1,jo-1) : y1=y(io-1,jo-1) : z1=z(io-1,jo-1) x2=x(io,jo-1) : y2=y(io,jo-1) : z2=z(io,jo-1) x3=x(io,jo) : y3=y(io,jo) : z3=z(io,jo) x4=x(io-1,jo) : y4=y(io-1,jo) : z4=z(io-1,jo) xp=xe(p) : yp=ye(p) : zp=ze(p) Call Oring(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,xp,yp,zp,w( )) aw(p,q)=nx(p)*w(1)+ny(p)w(2)+nz(p)w(3) next jo : next io next je : next ie 89 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása Az első lépésben az együttható mátrix azon elemeit számoljuk ki, amelyek a szárny paneljainak figyelembe vételével adódnak. A következő lépésben számítjuk a leúszó örvények hatását jelentő elemeket. Ebben a mintapéldában ez úgy működik, hogy a kilépő élnél lévő négyszögek száma rendre az 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 és 48 – ezekhez kell hozzáadni a leúszó

örvények indukcióját, mivel a leúszók egyenlőek ezekkel. Ezért indul a „q” 41-től és megy 48-ig. Másrészt a „jv” persze 1-től megy, illetve ez a számítás szeletenként történik, vagyis „nk”-ig összegzünk. (Itt, a könnyebb áttekinthetőség érdekében megismételtük a korábban már bemutatott, 3.16 és 3.17 ábrát) 90 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv rem <======================================================= rem <=========== A leuszo orvenyfelulet a matrix-elemekben rem <======================================================= for p=1 to nij for q=41 to nij rem ( p - az ellenorzo pont v. panel, q - az aktualis orveny ) jv=q-40 : rem ez a leuszo orveny-negyszog sarok-indexe aws=0 for k=1 to nk x1=xv(k-1,jv-1) : y1=yv(k-1,jv-1) : z1=zv(k-1,jv-1) x2=xv(k,jv-1) : y2=yv(k,jv-1) : z2=zv(k,jv-1) x3=xv(k,jv) : y3=yv(k,jv) : z3=zv(k,jv) x4=xv(k-1,jv) : y4=yv(k-1,jv) : z4=zv(k-1,jv) xp=xe(p) : yp=ye(p) : zp=ze(p) Call

Oring(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,xp,yp,zp,w( )) aws=aws+nx(p)*w(1)+ny(p)w(2)+nz(p)w(3) next k aw(p,q)=aw(p,q)+aws next q next p rem <======================================================= rem <=========== A jobboldal vektor rem <======================================================= for p=1 to nij b(p)= - vw*nx(p) next p Ez a vektor azt fejezi ki, hogy az egyes ellenőrző pontokban a felületre merőleges sebesség összetevő nulla. rem <======================================================= rem <=========== Az egyenlet-rendszer megoldasa: rem <======================================================= call schmidt(nij,aw( ),b( ),gamma( )) Az előbbiekben megoldott egyenlet-rendszer megoldása az egyes örvény-gyűrűk intenzitása, a globális index szerint. Ezt hozzárendeljük a kiinduló ( i,j ) indexekhez 91 Forrás:http://www.doksihu 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció megoszlás számítása lsum=0 for j=0 to nj : gmm(0,j)=0 : next j

for i=1 to ni : for j=1 to nj p=8*(i-1)+j gmm(i,j)=gamma(p) (ezek a visszaírt gammák) lift(i,j)=1.25*vw(gmm(i,j)-gmm(i-1,j))abs(yo(i,j)-yo(i,j-1)) (ez az egyes paneleken keletkező felhajtó erő -- Kutta-Zsukovszkíj tétel) lsum=lsum+lift(i,j) (ez az eredő felhajtó erő) next i : print : next j print : print "A teljes felhajtoero: ";lsum print "A felhajtoero tenyezo: "; print using " ##.####";2*lsum/1.25/48/vw/vw (a felhajtóerő tényező számításában feltételeztük, hogy a sűrűség 1.25 kg/m3 és a szárnyfelület 48 m2) -- a következőkben a számított eredményeket fájlba íratjuk ki open "c:pb35orvenyprogramered1.dat" for output as #2 write #2,"a repulesi sebesseg: ";vw;"[m/s]" write #2,"a szarnyfelulet: ";4.8;"[m^2]" write #2, write #2," a cirkulacio megoszlas:" for i=1 to ni : for j=1 to nj write #2,gmm(i,j) next j : write #2, : next i write #2," a felhajtoero

megoszlas" for i=1 to ni : for j=1 to nj write #2,lift(i,j) next j : write #2, : next i write #2,"A felhajtoero tenyezo: " write #2, " ##.####";2*lsum/1.25/48/vw/vw print : print " <===== V E G E =====>" END $include "c:pb35orvenyprogramoring" $include "c:pb35orvenyprogramabszolut" $include "c:pb35orvenyprogramskalar" $include "c:pb35orvenyprogramvektor" $include "c:pb35orvenyprogramongesz" $include "c:pb35orvenyprogram ormi" $include "c:pb35orvenyprogramschmidt" $include "c:pb35orvenyprogramforgat" 92 Forrás:http://www.doksihu 4. AZ ÖRVÉNYTRANSZPORT ÖRVÉNYTRANSZPORT EGYENLET MEGOLDÁSA VÉGES DIFFERENCIÁK MÓDSZERÉVEL Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Szárnyprofilok aerodinamikai számítása 6 3. Véges szárnyakon kialakuló cirkuláció-megoszlás számítása 4. Az örvénytranszport egyenlet megoldása véges differenciák módszerével

4.1 Az örvénytranszport egyenlet 4.2 Mintafeladat 4.3 Peremfeltételek 4.4 Az örvényesség és az áramfüggvény számítása 4.5Számítógépi program az örvényesség és az áramfüggvény számítására 4.6 Az áramfüggvény számításk eredményei 4.7 A nyomás peremértékei 4.8 A nyomás számítása 4.9 A nyomásszámítás eredményei 40 94 95 99 101 103 108 113 115 119 122 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével 4. AZ ÖRVÉNYTRANSZPORT EGYENLET MEGOLDÁSA VÉGES DIFFERENCIÁK MÓDSZERÉVEL A numerikus áramlástan rendkívül nagy területet átfogó tudományág, napjainkban már számos, kereskedelmi szoftver létezik – ezekkel szinte minden ide vágó feladat (numerikusan) megoldható. E munka célja bevezető ismeretek nyújtása a numerikus áramlástan egy szűk részterületén. A célunk összenyomhatatlan közeg síkáramlásának vizsgálata, térerőmentes esetben. Ehhez szükség

lesz a folytonosság törvényére és a kétméretű áramlásra alkalmazott Navier-Stokes egyenletre. Ez utóbbi vektor egyenlet, ez esetünkben két komponens egyenletet jelent. Érdemes megjegyezni, hogy a Navier-Stokes egyenlet nem csak lamináris, hanem turbulens áramlásra is igaz – mindössze a sebesség-eloszlást kell kellő részletességgel vizsgálni. Ez a gondolat vezet egyébként a direkt numerikus szimuláció (DNS) irányába A tervezett numerikus vizsgálathoz a fenti három (skalár) parciális differenciál-egyenletből indulunk ki, az ezekben szereplő ismeretlen függvények: a sebesség két komponense és a nyomás – tehát összesen három, annyi, amennyi lehet, illetve amennyinek lennie kell. A közeg sűrűsége a számításban az összenyomhatatlanság miatt adott, állandó érték, a hőmérséklet pedig egyáltalán nem szerepel. A hagyományos változókról – sebesség, nyomás – áttérünk az örvényesség-áramfüggvény változó párra,

ezzel jutunk el a megcélzott matematikai modellhez. Ez a modell azért (is) célszerű, mert az eredeti három változó helyett – a nyomás kiejtése következtében – csak két ismeretlen függvény és természetesen két parciális differenciálegyenlet marad. A címben szereplő örvénytranszport egyenlet – ÖTE – elnevezés kissé megtévesztő, hiszen végül is két parciális differenciál-egyenletről van szó. Az egyik a szűkebb értelemben is örvénytranszport egyenletnek nevezett egyenlet (ez [3] szerint Helmholtz általánosított örvény tétele – e munkában ez az egyenlet a (4.9) jelű másodrendű, lineáris, parciális differenciál-egyenlet); a másik az örvényességet definiáló egyenlet (e munkában a (4.3)-mal jelzett lineáris, parciális differenciál-egyenlet A bevezetőben szólni kell az örvénytranszport egyenlet alkalmazásából fakadó, további előnyökről. Arról, hogy alkalmas átalakítással a feladat szétválasztható és

ezzel az ismeretlen függvények száma redukálható, már szóltunk. Előny az is, hogy az ÖTE tag egyenletei másodrendű, elliptikus parciális differenciál-egyenletek, ami a megoldási technikák szempontjából érdekes, illetve fontos. Végül az is hatalmas előny, hogy a peremfeltételek megfogalmazása az ÖTE esetében elég jól megoldható. Az ÖTE bevezetése után bevezetjük a nyomás számítására szolgáló, másodrendű elliptikus parciális differenciál-egyenletet – az ennek az egyenletnek a megoldására irányuló erőfeszítések során a legkomolyabb problémát a megfelelő peremfeltételek megadása jelenti. A számítást kétdimenziós, síkáramlásra végezzük, jelölje a sík két koordinátáját az „x” és az „y” – eszerint a síkra merőleges koordinátát „z”-vel jelöljük. Természetesen nem ez az egyetlen lehetőség kétdimenziós áramlás vizsgálatára – ilyen lehetne pl. egy hengerszimmetrikus áramlás is – e

munkában azonban megelégszünk a fenti, legegyszerűbb eset vizsgálatával. 94 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 4.1 Az örvénytranszport egyenlet Amint azt már említettük, az örvénytranszport egyenlet két egyenlet: az örvénytranszport egyenletnek nevezetett egyenlet és az örvényességet definiáló egyenlet. Az áramlástani feladatok megoldásában a folytonosság törvénye alapvető szerepet játszik – így van ez ebben az esetben is. Tekintsük tehát először a folytonosság törvényét: ∂ cx ∂ c y + = 0. ∂x ∂y div (c ) = 0 , azaz (4.1) Mint már leírtuk: a megoldandó feladat egyik ismeretlen függvénye az áramfüggvény, az áram-függvényt létezése esetén belőle a sebesség a következő módon származtatható: ψ = ψ (x , y ) , innen c x = ∂ψ ∂ψ . , és c y = − ∂y ∂x (4.2) Számítsuk ki még a sebességtér rotációját – ez nyilván a tekintett x-y síkra merőleges, z irányú vektor lesz. Az egyetlen

komponens miatt a vektor jellegből a következőkben csak az előjel marad meg. A keresett rotáció: rot (c ) z = ∇ × c z = ∂ cy ∂x − ∂ cx := ω . ∂y (4.3) Írjuk be a (4.2)-vel megadott áramfüggvényt a (43) egyenletbe Ezzel megkapjuk az örvénytranszport egyenlet első tagját: ∂2 ψ ∂2 ψ + = −ω . ∂ x2 ∂ y2 (4.4) 4.11 Az örvénytranszport egyenlet levezetése A tulajdonképpeni örvénytranszport egyenlet, vagy más néven Helmholtz általánosított örvény tételének levezetéséhez írjuk fel az „x” és „y” irányú Navier-Stokes egyenletet: ∂ cx ∂ cx ∂ cx 1 ∂ p + +ν cx + cy = − ∂t ∂x ∂y ρ ∂x  ∂ 2 cx ∂ 2 cx   ∂ x2 + ∂ y2   .   (4.5) ∂ cy  ∂2 cy ∂2 cy  +  ∂ x2 ∂ y2   .   (4.6) ∂t + ∂ cy ∂x cx + ∂ cy ∂y cy = − 1 ∂ p +ν ρ ∂y A (4.5) és (46) egyenletekben a jobb oldal második tagjában a „ν ” a kinematikai

viszkozitás anyagjellemző. Az örvény-transzport egyenlet második tagjának levezetésénél a célunk részben az örvényesség és az áramfüggvény bevezetése, részben a nyomás kiejtése. Deriváljuk tehát (4.5)-öt „y”, (46)-ot „x” szerint és a másodikként kapott derivált-egyenletből vonjuk ki az első derivált-egyenletet. A kivonás elvégzése után a baloldalon a következő tagokat kapjuk: ∂ ∂t  ∂ c y ∂ cx  − ∂y  ∂x  ∂  ∂ c y ∂ cx  + c x  − ∂ x  ∂ x ∂y   ∂  ∂ cy ∂ cx  + c y  − ∂ y  ∂ x ∂y  95  ∂c ∂c  + div (c )  y − x ∂y   ∂x   .  (4.7) Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével Rögtön megállapítható, hogy a zárójelekben mindenütt a (3) szerinti örvényesség szerepel, továbbá a negyedik tag az összenyomhatatlanság miatt

kiesik. A jobb oldalak összevonása után a következő kifejezést kapjuk:  ∂2 2  ∂ x ν  ∂ cy ∂ cx  − ∂y  ∂x  ∂2  + 2  ∂y  ∂ c y ∂ cx  − ∂y  ∂x   .  (4.8) Az örvényesség ezen az oldalon is megjelent, méghozzá a két másodrendű, parciális deriváltját röviden éppen a Laplace operátorral ( ∆ ) jelölhetjük. A végeredményként írandó egyenletben a (4.8)-at a baloldalra, (47)-et a jobb oldalra írva, az örvényesség szimbólumát alkalmazva, a következő eredményre jutunk:  ∂ 2 ω ∂ 2 ω  ∂ ω ∂ψ ∂ ω ∂ ψ ∂ ω = ν ∆ω = ν  2 + + − . ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ y 2  ∂ t ∂x (4.9) A (4.9) egyenlet jobb oldalát, (42) figyelembe vételével rövidebben is felelhet írni, rövid számolás után arra az eredményre jutunk, hogy (4.9) jobb oldalán az örvényesség totális, teljes vagy szubsztanciális deriváltja

áll: ∂ω ∂ω ∂ω d ω . + cx + cy = ∂t ∂x ∂y dt Ezzel eljutottunk az örvénytranszport egyenlethez, ami tehát a (4.4) és (49) lineáris parciális differenciál-egyenleteket jelenti. E két egyenletben csak az örvényesség (ω) és az áramfüggvény (ψ) szerepel, a (numerikus) megoldás esetén tehát e két ismeretlen függvényt kell meghatároznunk; a nyomás ebben a számításban nem szerepel. Amennyiben az áramfüggvény értékeket meghatároztuk, akkor (4.2) felhasználásával a sebességtér értékét is számíthatjuk. A következőkben, az egyszerűség kedvéért (49) jobb oldaláról az instacionárius tagot elhagyjuk, azaz ettől kezdve csak stacionárius áramlással foglalkozunk. Ez egyébként azt is jelenti, hogy a kapott másodrendű, lineáris parciális differenciálegyenlet rendszer mindkét tagja elliptikus típusú lesz. Ez igazán kedvező, hiszen a Laplace operátor kontraktív Emiatt a diszkretizált feladatban pozitív definit

együttható mátrixot kapunk, ami végül – további feltételek teljesülése esetén – biztosítéka egy iteratív megoldás konvergensségének. Konkrétabban fogalmazva az elliptikusság azt jelenti, hogy a vonatkozó szakirodalomban bőséggel rendelkezésre álló megoldó eljárások között válogathatunk. Jelen munkában a – véleményünk szerint – lehető legegyszerűbb megoldási eljárást, az egyszerű relaxációt választjuk. Itt csak megjegyezzük, hogy némi munkaráfordítással e megoldás konvergencia sebességét – az együttható mátrix tridiagonális tulajdonságának kihasználásával – jelentősen növelhetjük. Ez az általunk választott, igen kisméretű feladat esetében nyilván nem túl lényeges, azonban a feladat méreteinek növelésével a jelentősége hatványozottan növekszik! Az örvénytranszport egyenlet instacionárius alakját most nem vizsgáljuk, de megjegyzendő, hogy az instacionárius alak parabolikus parciális

differenciál-egyenlet, így numerikus megoldására szintén számos ismert algoritmus áll rendelkezésre. A (4.4) és (49) tehát az a parciális differenciálegyenlet rendszer, amelyet kerestünk Néha a levezetést tovább viszik, és a két egyenletet egyesítve egy, az áramfüggvényre vonatkozó, negyedrendű differenciálegyenlethez jutnak (pl. [3]-ban (467a) egyenlet) Ez az egyenlet részben előnyös, hiszen már csak egyetlen ismeretlen függvényt kell meghatározni, részben azonban a peremfeltételek bonyolultabb volta miatt a megoldás nehézségekkel is jár. 96 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 4.12 A nyomás egyenlet levezetése A gyakorlati számításokban általában szükség van a nyomásra is. Az előző levezetés eredményeként (4.9)-ből a nyomás kiesett, így a (44) és (49) alkotta differenciálegyenlet rendszer megoldásaként a nyomás számítása nélkül kaphatjuk meg az áramfüggvényt és az örvényességet, illetve ebből a

sebesség eloszlást. A nyomás számításához deriváljuk (45)-öt „x” szerint, (4.6)-ot pedig „y” szerint és adjuk össze a két, deriválással kapott egyenletet A sebesség divergenciáját tartalmazó tagokat, mivel azok értéke nulla, rögtön elhagyhatjuk. Az eredmény a következő egyenlet:  ∂ cx   ∂x  ∂ c ∂ cy  ∂ cy  + 2 x + ∂ y ∂ x  ∂ y  2 2  1  = − ∆ p . ρ  (4.10) Tekintsük továbbá a sebesség divergenenciájának négyzetét (ami természetesen szintén nulla): 2 2 2  ∂ cx ∂ c y   ∂ cx  ∂ c ∂ cy  ∂ cy    =   + 2 x  =0. + + ∂ x ∂ y  ∂ y   ∂x ∂y   ∂x  (4.11) Vonjuk ki (4.11)-et (410) bal oldalából – ezzel a sebesség komponensek deriváltjainak négyzetét tartalmazó tagok kiesnek. Az eddig alkalmazott rendszer szerint vigyük át a bal oldalra a nyomást tartalmazó tagot, az

eredeti bal oldalt pedig írjuk a jobb oldalra:  ∂ c ∂ c y ∂ cx ∂ c y   . ∆ p = 2  x − ρ ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x   1 (4.12) A sebességeket – mint már említettük – az áramfüggvény ismeretében ki lehet számítani, de célszerűen inkább (4.12)-t alakítjuk át úgy, hogy benne a sebességek helyett az áramfüggvény szerepeljen:  ∂2ψ ∆p=2 ρ ∂ x ∂ y 1 ∂2 ψ ∂ 2 ψ  ∂ 2 ψ 2   ∂ 2 ψ  ∂ 2 ψ  ∂ 2 ψ   −  − −  =2 2   . −  2  2  2  ∂ y ∂ x  ∂ x ∂ y  ∂ y  ∂ x   ∂ x ∂ y   (4.13) A (4.13) jobb oldala, ha már a (44) – (49) rendszert megoldottuk, ismert; ezért ez az egyenlet elvileg nagyon egyszerűen (pl. relaxációval) megoldható A megoldás legnagyobb problémája a nyomás perem-értékeinek megállapítása. E peremértékektől alapvetően függ a megoldás –

esetleges helytelen peremérték a teljes megoldást teszi értéktelenné. 4.13 Dimenziótlanítás Az örvénytranszport egyenletet a numerikus megoldáshoz célszerű dimenziótlanítani. Ehhez felhasználandó: egy jellemző hosszúság, a példánkban ez a hossz (L); egy vonatkoztatási sebesség ( c0 ). 97 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével A számításban szereplő dimenziótlan mennyiségek a következők lesznek: Dimenziótlan hosszúságok: Dimenziótlan sebességek: Dimenziótlan áramfüggvény: Dimenziótlan örvényesség: ξ = x L u = P= ψ és η = cx és c0 y L v = cy c0 c0 L ω L Q= c0 A fenti dimenziótlan mennyiségekkel felírt örvénytranszport egyenlet: ∂ P ∂Q ∂ P ∂Q ∂ 2Q ∂ 2Q . + = Re  − 2 2 ∂ ξ ∂ η  ∂ξ ∂η  ∂η ∂ ξ ahol: Re - a Reynolds szám, azaz Re = (4.14) c0 L ν . és az áramfüggvényre vonatkozó

egyenlet: ∂ 2P ∂ 2P + = − Q. ∂ ξ 2 ∂η2 (4.15) Megjegyzendő, hogy a numerikus megoldás során bevezetünk még egy un. "cella" Reynolds számot, amiben az "L" jellemző hossz (a példában ez tényleg a hossz, de a gyakorlatban pl. az átmérőt is szokták alkalmazni) helyett a ∆x vagy a ∆y lépéshossz és a megfelelő helyi sebesség összetevő szerepel. A cella Reynolds szám értékének 2-nél kisebbnek kell lennie ahhoz, hogy az iterációs megoldás konvergens legyen. A nyomás egy feladatban általában 105 [N/m2] nagyságrendű alap értékkel rendelkezik – ez pl. a környezeti nyomás, értéke állandó, jelölése legyen „p0” A nyomásra vonatkozó (412) egyenletben a nyomás is dimenziótlanítandó, számoljunk a továbbiakban a szakirodalomban nyomástényezőnek nevezett mennyiséggel: p − p0 ~ . p= ρ c02 (4.16) Ez tulajdonképpen megfelel az Euler számnak. Az így dimenziótlanított nyomás és a korábban

bevezetett dimenziótlanítások felhasználásával a következő egyenlet írható fel: ∂ 2 P ∂2 P  ∂ 2 P 2  ∂2 ~ p ∂2 ~ p ~   . ∆p= + =2 2 −  2 ∂ ξ 2 ∂η 2  ∂ η ∂ ξ  ∂ξ ∂ η   (4.17) Sajnos, a jelölések itt elég közel kerültek egymáshoz, a nyomás jele a kis p betű, a dimenziótlan áramfüggvényt pedig – a szakirodalom nyomán – nagy P-vel jelöltük. Remélhető azonban, hogy ez nem okoz problémát, mivel az örvényesség-áramfüggvény számításban a 98 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv nyomás egyáltalán nem szerepel, a nyomás számításában viszont a dimenziótlan nyomás fordul elő, mely jelölés már jól elkülönül a többi jelöléstől. Egyébként a (4.13) egyenlet a nyomás abszolút értékét nem határozza meg, belőle csak a nyomás megváltozása számítható. Ezért a gyakorlati számításokban a nyomás értékét egy perempontban meg kell adni

és a számított nyomás ezután ehhez az alapértékhez adódik hozzá (vagy ebből vonandó le). Ez az alapérték lehet a (416)-ban szereplő „p0” Így a (417)-ből számított, dimenziótlan nyomás – lényegében a nyomás tényező – értéke pozitív, ha a számított nyomás a vonatkoztatási nyomásnál nagyobb és negatív, ha kisebb. Ez nyilván azt is jelenti, hogy az abszolút nyomást – ha arra van szükség – a dimenziótlan nyomásból ki kell (és lehet) számolni. 4.2 Mintafeladat Az örvénytranszport egyenletet - amint azt említettük - a véges differenciák módszerével oldjuk meg. Ez a módszer közvetlenül alkalmazható, de ha közvetlenül alkalmazzuk, akkor mindig a konkrét feladathoz kell illeszteni. (Általánosabb esetben, különböző leképezések közbeiktatásával, szélesebb feladat-osztályra vonatkozó módszerek is kidolgozhatók.) A következőkben egy, konkrét számítási mintafeladatot mutatunk be. A példában a 4.1-es

ábrán látható kétdimenziós csatornában, egymás mögött elhelyezett, szögletes akadályok körül kialakuló, a matematikai modellnek megfelelő áramlást vizsgáljuk, különböző Reynolds számok mellett. A tengelyszimmetria miatt elegendő az áramlás egyik példánkban a felső - felét vizsgálni. Az ábrán nincsenek konkrét méretek, minden méret a jellemzőnek tekintett "L" hosszúság függvényében adott. 4.1 ábra – Csatorna vázlata A számításban, az egész feladatot jellemző Reynolds számot az "L" hosszúság, a belépésnél lévő legnagyobb sebesség ( c0 ) és a levegő kinematikai viszkozitásának (esetünkben válasszuk a ν = 1.44 10−5  m2 s  értéket) felhasználásával határozzuk meg. Ideális közeg esetén (Re = 0) nincs meghatározott méret és sebesség, illetve bármilyen méret és sebesség megfelel. Valóságos közeg esetén a példaszámítás 110-es Reynolds számig stabil, a Newton

féle általánosított iterációval kb. 2000-es Reynolds számig stabilizálható A 2000-es Reynolds számmal meghatároztuk az átmérő-sebesség szorzatot; a következő táblázatban néhány sebesség-hosszméret párt adunk meg: 99 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével [m s ] 0144 . [m s ] 0.0576 [ m ] s L = 0.1 [m] c0 = 0.288 L = 0.2 [m] c0 = L = 0.5 [m] c0 = Látható, hogy ez a mintapélda - a felosztás nem túl nagy finomságának megfelelően - csak elegendően kis méretek illetve sebességek esetén működik. Nagyobb feladatok vizsgálata a jelen munkában bemutatott módszerekkel rendkívül munkaigényes, adott esetben a jelenlegi számítástechnikai színvonalnak megfelelően a szükséges számítási idő elérhetetlenül hosszú lesz. Ezért is fejlesztik az egyéb megoldó módszereket, amelyek lényegesen különböző úton jutnak el egy numerikus, közelítő megoldásig. A

mintafeladathoz is tartozik, de a numerikus módszernek is nélkülözhetetlen része a peremfeltételek meghatározása. A peremfeltételek fontosságát nem lehet eléggé hangsúlyozni, csak alkalmas, jó peremfeltételekkel juthatunk helyes megoldáshoz. Másképpen fogalmazva, rossz, pl. fizikailag téves peremfeltétel megadása – az alkalmazott megoldási eljárástól függetlenül – a megoldást használhatatlanná teszi. Ezért a peremfeltételekkel külön pontban foglalkozunk A mintafeladat későbbiekben konkrétan vizsgálandó felső felét tüntettük fel a 4.2 ábrán Ezen az ábrán látható az a rács is, amellyel a számítási tartományt lefedjük, illetve amelynek belső rács pontjaiban az ismeretlen függvény értékeket számítjuk. A tartomány szélső – perem pontjaiban pedig a peremfeltételek határozzák meg az áramfüggvény illetve az örvényesség értékét. 4.2 ábra – A ráccsal lefedett mintafeladat 100 Forrás:http://www.doksihu

Örvénykönyv 4.3 Peremfeltételek 4.31 Az áramfüggvényre vonatkozó peremfeltételek A feladatok peremfeltételei rendkívül változatosak lehetnek és ezeket nekünk kell előírni. Vizsgáljuk először az áramfüggvényt. A 42 ábrán látható áramlást láthatóan két áramvonal határolja: felül a csatorna fala (ezt a továbbiakban "f" indexszel jelöljük) és alul a középvonal, illetve az akadályok fala. Ez utóbbi, törött-vonallal jellemezhető perem mentén az áramfüggvény értékét nullának választjuk. A felső peremen az áramfüggvény értéke szintén állandó, meghatározásához azonban a belépő sebesség-eloszlás szükséges. Legyen a belépő sebesség az "y" koordináta négyzetes függvénye, azaz:   y c x =c0 1 −    y f      2     ; illetve dimenziótlan mennyiségekkel: u =1 −  η    η f       2  .   (4.18)

Számítsuk ki rögtön a belépésnél az áramfüggvény értékét is (feltéve, hogy a szimmetria tengelynél az értéke nulla):   y ψ be = c0 ∫ 1 −  y 0    f y     2  3   dy = c0  y − y 2  3 yf     ;   (4.19)  η 3  illetve, ismét a dimenziótlan értékeket alkalmazva: Pbe = η − . 2   3 η f  (4.20) A felső áramvonalon az áramfüggvény értékét a fenti képletekbe történő - megfelelő, azaz y f illetve η f behelyettesítésével határozzuk meg. A teljességhez már csak a kilépés meghatározása hiányzik: itt feltesszük, hogy az "y" irányú sebesség összetevő (v) nulla, azaz: ∂ψ ∂ P = = 0. ∂x ∂ ξ (4.21) Az alsó, a felső és a belépő perem tehát elsőfajú, vagyis itt az áramfüggvény konkrét értéke adott, a kilépő perem másodfajú, itt csak az áramfüggvény deriváltját írtuk elő. Ez azt is jelenti, hogy

a kilépésnél az áramfüggvény értékeket külön kell számolni. 4.32 Az örvényességre vonatkozó peremfeltételek Az örvényességre (ω illetve Q) vonatkozó peremfeltételek jóval bonyolultabbak, mint az áramfüggvényre vonatkozó peremfeltételek. Meghatározásuk - az előző ponthoz hasonlóan általános elvek alapján történik ugyan, de részleteiben csak a konkrét, mintafeladatra lesznek érvényesek. 101 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével Örvényesség a szimmetria-vonalon: a szimmetria vonalon - éppen a szimmetria miatt - az örvényesség azonosan nulla, ide értve a szimmetriavonal és az akadály-falak közös pontjait is. Örvényesség a szilárd falakon: a szilárd falakon - a tapadási feltétel miatt - a sebesség nulla, azaz: u = 0 és v = 0. A feladatban szerepelő falak az "x" illetve az "y" tengellyel párhuzamosak. Tekintsük először az

"x" tengellyel párhuzamos falakat, ekkor: ψ (x ) = áll. , azaz: ω fal = − ∂ 2ψ , illetve: Q fal ∂ y2 = − ∂2 P ; ∂ η2 (4.22) miközben: cx = 0 ; tehát: u = 0 ; ebből pedig következik: ∂ψ ∂ y = ∂ P = 0. ∂η (4.23) Az "y" tengellyel párhuzamos fal a fentiekhez hasonlóan vizsgálható: ψ ( y ) = áll. , azaz: ω fal = − ∂ 2ψ , illetve: Q fal ∂ x2 = − ∂2 P ; ∂ ξ2 (4.24) miközben: cy = 0 ; tehát: v = 0 ; ebből pedig következik: ∂ψ ∂x = ∂ P ∂ξ = 0. (4.25) A konkrét differenciaséma kialakításakor tehát a falakon lévő pontokban a fenti összefüggések alapján számítjuk majd az örvényességet - ezekszerint a falak másodfajú peremet jelentenek. Örvényesség a sarokpontokban: A mintafeladatban kétféle sarokpont szerepel. Az első típushoz tartozó un "belső" pontok a szimmetriavonal és a szilárd falak közös pontjai. Itt az örvényesség, mint már

rámutattunk, nulla. A második típus az un "külső" sarokpont (43 ábra) A vizsgált sarokpont - a későbbiekben bemutatandó diszkretizációnak megfelelően az (n1,m1) indexekkel adható meg. Azt látjuk, hogy az (n1,m1-1), (n1,m1) és az (n1+1,m1) pont hármas egy áramvonalon van, azaz a hozzájuk rendelt áramfüggvény érték azonos. A konkrét összefüggést - célszerűen - a feladat diszkretizálása után mutatjuk be. Itt is látható azonban, hogy ez is másodfajú perem. 4.3 ábra -Sarokpont 102 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Örvényesség a belépésnél: A belépésnél a sebesség párhuzamos az "x" tengellyel, ezért az áramfüggvény "x" szerinti deriváltja nulla lesz, ebből pedig következik, hogy: ω be = − ∂ 2ψ be ∂ 2 P 2η , azaz: . Qbe = − = ∂ y2 ∂ η 2 η 2f (4.26) Örvényesség a kilépésnél: a kilépésnél feltesszük, hogy a kilépő közeg az "x" tengellyel párhuzamosan

áramlik azaz a zavarások hatása már lecsengett - ezért feltesszük, hogy az örvényesség "x" irányban nem változik: ∂ω ∂x = ∂Q = 0. ∂ξ (4.27) Ezzel a teljes peremfeltétel rendszer a rendelkezésünkre áll, a peremfeltételek egyértelmű megadása pedig a feladat megoldásának szükséges feltétele. A nyomás számításához szintén szükségesek a peremfeltételek, sőt, tulajdonképpen azok határozzák meg a megoldást, a lehetséges megoldások közül a peremfeltételek segítségével választjuk ki a feladathoz illeszkedő, konkrét megoldást. A nyomás számításával azonban később foglalkozunk, először az áramfüggvény-örvényesség egyenlet párt oldjuk meg. Ez fizikai szempontból akár megtévesztő képet is kelthet: úgy tűnik, hogy, mivel az áramfüggvényt és az örvényességet, tehát lényegében a két sebességkomponenst a nyomástól függetlenül ki tudjuk számolni, azért a nyomástól ezek valóban nem

függenek. Ez nyilván nincs így: egy áramlásban a nyomás és a sebesség szigorúan összefügg – és ez itt sem lehet másképp. E kapcsolat egy irányban itt is feltétel nélkül működik: a nyomás-eloszlást a sebesség eloszlás ismeretében számíthatjuk. Ezért persze a nyomás eloszlás nem lehet akármilyen, hanem meg kell feleljen a sebességképnek; így az ellenkező irányú kapcsolat sem torzul és a sebességkép is megfelel a nyomásképnek. Amiről szó van, az mindössze az, hogy a matematikai manipulációnak köszönhetően a feladatot sikerült úgy szétválasztani, hogy egy része – de csak ez a része – a másik résztől függetlenül oldható meg. 4.4 Az örvényesség és az áramfüggvény számítása A feladat közelítő megoldását a véges differenciák módszerével határozzuk meg. Ehhez a vizsgált tartományt egy ráccsal kell lefedni (4.2 ábra), a megoldásokat e rács rácspontjaiban határozzuk meg. Át kell írni továbbá a

(414) és (415) differenciálegyenlet-rendszert differencia egyenletekké. Ehhez a differenciálhányadosokat differencia-hányadosokkal kell közelítenünk 4.41 Diszkretizáció Az egyszerűség kedvéért a véges differenciák alkalmazásához szükséges rácsot úgy választjuk, hogy: - a lépésköz mindkét koordináta tengely irányába legyen azonos; - a falak éppen rácspontokon keresztül húzódjanak; - a falak vagy az "x", vagy az "y" koordináta tengellyel legyenek párhuzamosak. 103 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével E feltételek jelentősen egyszerűsítik a feladat megoldását, bár - természetesen - az általánosságot korlátozzák. A célunk azonban csak az örvénytranszport egyenlet egy lehetséges konkrét megoldásának bemutatása és nem egy teljesen általános numerikus eljárás kidolgozása. Az "L" hosszúságot "n" részre osztjuk és

az "x" tengely mentén történő lépést az "i" indexszel jelöljük. Ezzel: xi = i ∆ x, 0 ≤ j ≤ n , ahol: ∆ x = L ; n (4.28) illetve dimenziótlan esetben, a "ξ" tengely mentén: ξ i = i ∆ ξ , 0 ≤ i ≤ n , ahol: ∆ ξ = s = 1 . n (4.29) Az "y" tengely irányában a csatorna L/4 magasságú; ebben az irányban a lépést a "j" indexszel jelöljük, így: yj = j ∆ y , 0 ≤ j ≤ n / 4 , ahol: ∆ y = ∆ x , és m = n/4; (4.30) illetve ismét a dimenziótlan változókat tekintve, az "η" tengely mentén: ηj = j ∆ η, 0 ≤ j ≤ n / 4 , ahol: ∆ η = ∆ ξ = s; (4.31) A 4.1-es illetve 42-es ábrán látható, hogy a szimmetria tengelyt négy szilárd fal metszi Ezek helyzetét rendre az n1, n2, n3 és n4 indexek jelölik. Az első pár illetve a második pár is össze van kötve egy-egy "x" tengellyel párhozamos szilárd fallal, ezeknek a helyzetét az m1 index

határozza meg. Példaként említjük csak, hogy az örvényességre vonatkozó peremfeltétel csoportból a sarokpontok másodfajú peremfeltételeit ezek szerint az (n1,m1), (n2,m1), (n3,m1) és az (n4,m1) pontokra kell alkalmazni. A ráccsal lefedett, konkrét számozással ellátott tartományt a 4.2 ábrán tüntettük fel A 42 ábrán szereplő „jmax(i)” és „jmin(i)” mennyiségek rendre a felső illetve az alsó peremet jelölik – ezeket a jelöléseket a számítógépi program egyszerűsítése érdekében vezetjük be. A differenciálhányadosok differencia-hányadossá történő átírásakor centrális differencia sémát használunk, ez a következőket jelenti: Áramfüggvény: Pi +1 j − Pi −1 j ∂ P ≅ 2 ∆ξ ∂ξ 2 Pi +1 j − 2 Pi j + Pi −1 j ∂ P ≅ 2 ∂ξ ∆ ξ2 Pi j +1 − Pi j −1 ∂ P ≅ 2 ∆η ∂η 2 Pi j +1 − 2 Pi j + Pi j −1 ∂ P ≅ 2 ∂η ∆ η2 Örvényesség: Qi +1 j − Qi −1 j ∂Q ≅ ∂ξ 2 ∆ξ Qi +1 j −

2 Qi j + Qi −1 j ∂2 Q ≅ ∂ ξ2 ∆ ξ2 Qi j +1 − Qi j −1 ∂Q ≅ ∂η 2 ∆η Qi j +1 − 2 Qi j + Qi j −1 ∂2 Q ≅ ∂ η2 ∆ η2 104 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 4.42 Klasszikus relaxáció A (4.14) és (415) egyenletekre - a klasszikus relaxáció módszerének megfelelően - a fenti első és másodrendű centrális differencia-hányadosok felhasználásával explicit differencia sémát írunk fel: Qi j ( ) = − Bi j + Qi +1 j + Qi −1 j + Qi j +1 + Qi j −1 / 4 ; (4.32)  Pi j +1 − Pi j −1 Qi +1 j − Qi −1 j Pi +1 j − Pi −1 j Qi j +1 − Qi j −1  −  2s 2s 2s 2s   ahol: Bixj = Re  és: Pi j Bi j = (s = 2 Bixj s 2 , valamint: ) Qi j + Pi −1 j + Pi +1 j + Pi j −1 + Pi j +1 / 4 (4.33) A klasszikus relaxáció azt jelenti, hogy a belső pontokban - valamely kezdeti közelítésből kiindulva - kiszámítjuk a dimenziótlan áramfüggvény és örvényesség értékeket; ezt az eljárást

mindaddig folytatjuk, amíg a rendre az egyes pontokban két egymást követő közelítés eltérése kisebb nem lesz, mint egy előre megadott hiba (ebben az esetben beszélünk Cauchy konvergenciáról), vagy a számítás - konvergencia hiányában - maximális lépésszám, esetleg túlcsordulás miatt le nem áll. A (4.32) és (433) differencia egyenletek pontos megoldása ismeretlen, így az egyes közelítő megoldások és a pontos megoldás eltérése közvetlenül nem határozható meg. Ha azonban azt tapasztaljuk, hogy egy és egy rákövetkező lépésben kapott közelítő megoldás egymástól való eltérése a lépésszám növekedésével csökken, akkor önmagában konvergens vagy más néven Cauchy konvergens sorozatot kapunk. Az ilyen sorozat határértéke pedig jó közelítéssel az az egyik közelítő megoldás, amelyre a konvergencia feltétel teljesült. A közelítő megoldások sorozatának konvergenciáját tehát a gyakorlati számítás mutatja,

amennyiben a már említett cella Reynolds számok értéke sehol sem lesz 2-nél nagyobb, akkor az eljárás konvergens, más szóval stabil. A (4.32) és (433) differencia egyenletek, ha az „s” lépésközt minden határon túl finomítjuk, azonnal beláthatóan tart a kiinduló, (4.14) illetve (415) egyenlethez A fenti differencia séma tehát konzisztens. Lineáris (kvázi-lineáris) differenciálegyenletek esetében kimondható: ha a diszkretizálással kapott séma konzisztens és a megoldás a fenti értelemben stabil, akkor fizikai értelemben konvergens, azaz ezen a módon a tényleges megoldáshoz közeli megoldást kapunk. Kitekintő megjegyzésként szólunk arról, hogy a gyakorlati számításokban a centrális differencia sémát igen ritkán alkalmazzák – helyette több, más, jóval kevésbé számításigényes séma fordul elő. Ilyenek az „áramlási iránnyal korrigált séma”, az „exponenciális séma”, a „hatványtörvény séma” vagy a

„hibrid séma”. Ezekre a következetesség, korlátosság, transzportivitás és peremesség elnevezésű tulajdonság négyes teljesülését követelik meg – lényegében azért, mert ezek a sémák nem konzisztensek, csak nagyon közel állnak a konzisztensséghez. Így a közelítő megoldás, ami eleve hibával terhelt, lényegében ugyanúgy megkapható ezen differencia sémák használatával is – ha a számítási hiba elegendően kicsi, akkor a megoldás éppen olyan jó lehet, mint a centrális differenciákkal kapott közelítés, viszont a számítási igény annyira lecsökken, hogy ezekkel a módszerekkel a gyakorlatban fontos 105 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével feladatok már elfogadható idő alatt megoldhatók. E munkában nem foglalkozunk ezekkel a módszerekkel, részint azért, mert ezek meglehetősen terjedelmesek, részint azért, mert ezek a módszerek önmagukban még nem

működőképesek, a ténylegesen működő programokban különböző „trükkök” alkalmazandók (pl. belső iterációk), ezek révén alakítható ki gyakorlatilag is jól működő program. Az e munkában választott út, illetve módszer egyszerű és tiszta, lehet, hogy éppen ezért adott esetben mérhetetlenül sok számítási munkával járhat. 4.43 A peremértékek számítása Az áramfüggvényre vonatkozó peremek számítása a belépés illetve a szimmetria-tengely és falak által alkotott áramvonalak mentén triviális, a kilépésnél követendő eljárást azonban meg kell határoznunk. A kilépésről azt állítjuk, hogy az másodfajú perem, ott az "y" irányú sebesség összetevő nulla. Gondolatban egészítsük ki a feladatot lefedő rácsot egy n+1-edik oszloppal Alkalmazzuk erre a (4.33) kifejezést, ahol a "v" sebesség-összetevő nulla volta miatt = Pn +1 j Pn −1 j ; (4.34) tehát: Pn j = (s 2 ) Qn j + 2 Pn −1 j +

Pn j −1 + Pn j +1 / 4 ; (4.35) Az örvényességre vonatkozó peremfeltételek között léteznek elsőfajúak, ezek: -a "középvonal"-on, beleértve a falakkal alkotott metszéspontokat - itt a szimmetria miatt az örvényesség azonosan nulla; -a belépésnél - itt a (4.26) alapján számítható az örvényesség A másodfajú peremeket a szilárd falakon, a (4.22)-(425) összefüggéseknek megfelelően számítjuk. A felső fal: vezessük be, az áramfüggvénynél követett eljáráshoz hasonlóan - az "m+1"-edik, fiktív vonalat, ennek segítségével kifejezhető a falon az örvényesség: Qi m = − Pi m+1 − 2 Pi m + Pi m−1 s 2 , de: ∂ P ∂η = 0 ⇒ Pi m−1 = Pi m+1 ; ezzel kiküszöböljük a fiktív pontot és megkapjuk a számításban alkalmazott összefüggést: Qi m = 2 s2 (P im ) − Pi m−1 ; ahol: 0 < i ≤ n . Az "x" tengellyel párhuzamos további két falszakasz esetén a számítás

értelemszerűen, a fentieknek megfelelően történik (itt n1 < i < n2 é s n3 < i < n4 , miközben j = m1 ). A követett gondolatmenet tehát a (4.22)-(425) összefüggésekre épül A felső fal esetén bemutatott eljárással szemben csak az a különbség, hogy az "m1-1"-edik fiktív vonalat vezetjük be, ezzel: Qi m1 = 2 s2 (P i m1 ) − Pi m1+1 . 106 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a sarokpontokra - természetesen - ez a kifejezés nem vonatkozik, azokra külön egyenleteket írunk fel. Az "y" tengellyel párhuzamos négy falszakasz (itt i=n1, i=n2, i=n3 és i=n4, illetve 0<j<m1). A követendő gondolatmenet az előbbiekkel lényegében azonos, a fiktív falszakaszt természetesen mindig a fal áramlással ellentétes oldalán veszzük fel. A számítási összefüggések: i = n1 és i = n3, 0<j<m1 i = n2 és i = n4, 0<j<m1 Qi j = Qi j = 2 s2 2 s2 (P − Pi −1 j )

(P − Pi +1 j ) i j i j A sarokpontok. Az 1.-es ábrának megfelelően négy olyan sarokpont van, ahol az örvényességet számítani kell. Ezekben az esetekben az örvényességet (6)-ból kifejezve kapjuk a megfelelő számítási összefüggéseket: i=n1, j=m1 i=n2, j=m1 i=n3, j=m1 i=n4, j=m1 Pn1 m1−1 = Pn1 m1 = Pn1+1 m1 Qn1 m1 = − Pn 2 −1 m1 = Pn 2 m1 = Pn 2 m1−1 Qn 2 m1 = − Pn 3 m1−1 = Pn 3 m1 = Pn 3+1 m1 Qn 3 m1 = − Pn 4 −1 m1 = Pn 4 m1 = Pn 4 m1−1 Qn 4 m1 = − Pn1−1 m1 + Pn1 m1+1 − 2 Pn1 m1 s2 Pn 2 +1 m1 + Pn 2 m1+1 − 2 Pn 2 m1 s2 Pn 3−1 m1 + Pn 3 m1+1 − 2 Pn 3 m1 s2 Pn 4 +1 m1 + Pn 4 m1+1 − 2 Pn 4 m1 s2 A kilépés: A kilépésnél feltesszük, hogy az örvényesség "x" irányban nem változik. Ugyanakkor az áramfüggvényre itt szintén ez a feltétel érvényes. Ebből következik, hogy az (32)-nél definiált segéd-tömb ( Bix j ) azonosan nulla - itt tehát az örvényesség egyenlete egy

egyszerű Laplace egyenletre redukálódik. Ezzel a számítási összefüggés: Qn j = 2 Qn −1 j + Qn j −1 + Qn j +1 4 ; ahol 0 < j < m. Megjegyzendő, hogy a j = 0 esetben az örvényesség nulla, mivel ez szimmetria vonalon fekvő pontot jelent; a j = m esetben pedig a felső falra bevezetett összefüggés szerint számolunk. A feladat ezzel már korrekt kitűzésű: a belső és a perempontokra egyaránt megadtuk a használandó számítási összefüggéseket. 107 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével 4.44 Newton féle, általánosított iteráció A eddigiekben kifejtett eljárás numerikus stabilitása a vonatkozó szakirodalom (pl. [3]) szerint akkor teljesül, ha az un. cella-Reynolds számok értéke: cx ∆x = Re cella1 ν ≤ 2 és Re cella 2 = cy ∆y ν ≤ 2; (4.36) E feltétel nagyon erősen korlátozza a számítható eseteket - a mellékelt programok futtatásával

meghatározható, hogy a mintapéldára vonatkozó eljárás így 110-es globális Reynolds számig működik csak. Ezt a hátrányt kiküszöbölendő bevezethetjük az egyszerű relaxáció helyett a Newton féle, általánosított iterációs eljárást [4] szerint. Jelölje (432) nullára redukált alakját - az (i,j) pontbeli örvényesség számításakor a következő függvény: fi j (Q ) = 0; pr ahol a p és az r indexek a (4.32)-ben megadott értékeket - köztük természetesen az (i,j) értéket is - vehetik fel. Jelölje továbbá a "k" felső index az iterációs közelítések számát, akkor az általánosított iteráció a következő összefüggéssel definiálható: k +1 i j Q = Q k i j − α ( ); f i j Q pk r (4.37) ∂ fi j ∂ Qik j ahol: α egy állandó, a melléleten közölt program ezt az értéket automatikusan számítja. A nevezőben szereplő parciális derivált esetünkben negatív konstans, konkrét értéke nem fontos, csak

az a lényeges, hogy a számítás során - a negatív előjel miatt - az iterációs állandót a pozitív számok halmazán keressük és (4.37) összefüggés második tagját pozitív előjellel vesszük. 4.5 Számítógépi program az örvényesség és az áramfüggvény számítására 4.51 Egyszerű relaxáció A következőkben az egyszerű relaxációt megvalósító, "BASIC" nyelvű programot mutatjuk be. A programozási nyelv pontosabban a „Yabasic“ elnevezésű, szabad nyelv, a „http://www.yabasicde“ oldalról tölthető le, illetve ott további információk, segédanyagok is találhatók. A programhoz fűzött magyarázatokat kék színű, dőlt betűvel írtuk Magában a programban is vannak magyarázó megjegyzések, ezeket normál (álló) betűvel írtuk, a "rem" megjelölés vezeti be őket. A programban szereplő magyarázatokban nincsenek ékezetek – ez azért van így, mert az ékezetes betűk kódja a programozási nyelvben esetleg

jelentéssel bír, ami végül is a program működését megakadályozhatja. A program futtatásához először installálni kell a „Yabasic“ nyelvet, esetleg a „Rovo Scape“ „YabEdit“ elnevezésű integrált fejlesztő környezetet (IDE) – utána „yab“ kiterjesztésű szövegfájlba be kell írni a programot, ezután a program elindítható. Az itt közölt változat meglehetősen egyszerű, messze nem aknázza ki a yabasic nyelv lehetőségeit. Az érdeklődő Olvasó a programot – saját kedvére – tovább fejlesztheti, vagy a „-bind“ utasítás segítségével „exe“ programot is készíthet, ami már Windows operációs rendszereken szabadon futtatható. 108 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv A program-lista: rem ----------------------> OTE program <--------------------------print : print : print print " <*>" print " < Az orevenytranszport egyenlet megoldasa >" print " < egyszeru relaxacioval

>" print " < Re=110 felett a megoldas elveszti a stabilitasat >" print " <*>" Ezzel a pár sorral egy konzolt nyitunk meg – a Yabasic a Unix-Linux világból „érkezett“, általában konzolon illetve grafikus ablakban működik. Az alább következő sorokban megadjuk a feladat jellemző geometriai paramétereit, a „dim“ utasítással definiáljuk a szükséges tömböket és bekérjük a Reynolds számot. A programozás egyszerűsítése érdekében az ideális áramlást nem ideálisként (azaz a (15)-ből, az örvényesség azonosan nulla feltétellel számítjuk), hanem egy egészen kicsit Reynolds számot írunk elő, ami gyakorlatilag megfelel az ideális áramlásnak. n1=10 : n2=13 : n=40 : n3=24 : n4=27 m1=5 : m=10 : qwr$=" Az iteracio rendben lefutott" dim p(n,m),q(n,m),b(n,m),jmax(n),jmin(n) print : print input " Kerem a Reynolds szamot: " re if re<0.01 then re=001 fi print " Hiba " s=1/n : rem

Ez a dimenziotlan lepeshossz mindket iranyban eps=0.001 : rem Ez az iteracios hiba hatar maxiter=2000 : rem Ez a maximalis lepesszam Itt a geometriának megfelelően definiáljuk a „jmax“ és „jmin“ értékeket. rem <----jmax--------*------jmin---------> for i=0 to n jmax(i)=m : jmin(i)=0 next i for i=n1 to n2 : jmin(i)=m1 : next i : for i=n3 to n4 : jmin(i)=m1 : next i Itt a dimenziótlan áramfüggvény perem- és kezdeti-értékeit határozzuk meg, az elsőfajú perempontokban. A kilépésnél, ahol az áramfüggvényre másodfajú peremet írunk elő az áramfüggvény peremértékeit az iterációs számítás részeként számoljuk. rem <----- P rogzitheto peremei es a kiindulo ertekek --------> nev=3*(ms)(ms) : eta=ms : pfelso=eta-etaetaeta/nev for i=0 to n for j=0 to m : p(i,j)=0.11 : next j p(i,jmin(i))=0 next i for i=0 to n : p(i,jmax(i))=pfelso : next i for j=0 to m eta=j*s : p(0,j)=(eta-etaetaeta/nev) next j for j=0 to m1 : p(n1,j)=0 : p(n2,j)=0 :

p(n3,j)=0 : p(n4,j)=0 : next j for i=n1 to n2 : p(i,jmin(i))=0 : next i for i=n3 to n4 : p(i,jmin(i))=0 : next i 109 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével Itt a dimenziótlan örvényesség perem- és kezdeti-értékeit határozzuk meg, de csak azokban a pontokban ahol a perem elsőfajú (tehát a belépésnél és a szimmetria vonalon), vagyis ahol a konkrét számérték rögzíthető. A másodfajú perempontok számítása később – az iterációs számítás részeként – következik. rem <------ Q rogzitheto peremei es a kiindulo ertekek ------> for i=0 to n for j=0 to m : q(i,j)=0 : next j q(i,0)=0 next i for j=0 to m eta=j*s : q(0,j)=2eta/(ms)/(ms) next j Itt kezdődik az iterációs számolás. Először nullázzuk az iterációs lépéseket számláló változót („iter“), utána következik a „label kezd“ címke, ami az iteráció visszatérési pontja. A „puj“ a (33) szerint

számított, új áramfüggvény érték. A „hiba“ elnevezésű változóban pedig a régi és az új áramfüggény-értékek eltérését gyűjtjük, a maximum norma szerint. A második ciklusban a kilépő peremet számítjuk. rem <------ A numerikus megoldas kezdete -------> iter=0 label kezd hiba=0 for i=1 to n-1 for j=jmin(i)+1 to jmax(i)-1 puj=(s*sq(i,j)+(p(i-1,j)+p(i+1,j)+p(i,j-1)+p(i,j+1)))/4 hiba=hiba+abs(p(i,j)-puj) : p(i,j)=puj next j next i rem <----- most jon a kilepo perem -----> for j=jmin(i)+1 to jmax(n)-1 puj=(s*sq(n,j)+(p(n,j-1)+p(n,j+1)+2p(n-1,j)))/4 hiba=hiba+abs(p(n,j)-puj) : p(n,j)=puj next j Itt az örvényesség (32) szerinti számítása következik. Az új értékeket itt a „quj“ változóba írtuk, a hibát pedig tovább összegezzük. A továbbiakban pedig a másodfajú peremek számítása következik. if re<=0.1 then goto kerul fi rem <-----* Az orvenyesseg szamitasa kovetkezik ------> for i=1 to n-1 for j=jmin(i)+1 to

jmax(i)-1 b(i,j)=(p(i,j+1)-p(i,j-1))*(q(i+1,j)-q(i-1,j)) b(i,j)=b(i,j)-(p(i+1,j)-p(i-1,j))*(q(i,j+1)-q(i,j-1)) b(i,j)=b(i,j)*re/4 next j for j=jmin(i)+1 to jmax(i)-1 quj=(-b(i,j)+q(i,j-1)+q(i+1,j)+q(i-1,j)+q(i,j+1))/4 hiba=hiba+abs(q(i,j)-quj) : q(i,j)=quj next j next i rem <----- most jonnek az uj q-peremek ------> for i=1 to n : q(i,jmax(i))=2*(p(i,jmax(i))-p(i,jmax(i)-1))/s/s : next i 110 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv q(n1,m1)=-(p(n1-1,m1)+p(n1,m1+1)-2*p(n1,m1))/s/s q(n2,m1)=-(p(n2+1,m1)+p(n2,m1+1)-2*p(n2,m1))/s/s q(n3,m1)=-(p(n3-1,m1)+p(n3,m1+1)-2*p(n3,m1))/s/s q(n4,m1)=-(p(n4+1,m1)+p(n4,m1+1)-2*p(n4,m1))/s/s for i=n1+1 to n2-1 : q(i,m1)=2*(p(i,m1)-p(i,m1+1))/s/s : next i for i=n3+1 to n4-1 : q(i,m1)=2*(p(i,m1)-p(i,m1+1))/s/s : next i for for for for rem i=n j=1 to m1-1 : q(n1,j)=2*(p(n1,j)-p(n1-1,j))/s/s j=1 to m1-1 : q(n2,j)=2*(p(n2,j)-p(n2+1,j))/s/s j=1 to m1-1 : q(n3,j)=2*(p(n3,j)-p(n3-1,j))/s/s j=1 to m1-1 : q(n4,j)=2*(p(n4,j)-p(n4+1,j))/s/s <- - - -

- - - a kilepes - - - - - - - -> : for j=jmin(n)+1 to jmax(n)-1 quj=(2*q(i-1,j)+q(i,j-1)+q(i,j+1))/4 hiba=hiba+abs(q(i,j)-quj) : q(i,j)=quj next j : : : : next next next next j j j j A „label kerul“ az ideális áramlás számításakor működő címke: ebben az esetben az örvényességre vonatkozó egyenleteket a számítás egyszerűen kikerüli. A következő sorokban egy konzolon kiiratjuk a hibát, illetve utána a program vizsgálja a lépésszámot is. Amennyiben a hiba az előírt értéknél kisebb, vagy az iteráció szám túllépi a maximálisan megengedett értéket, a számítás befejeződik és a program a „label veg“-re lép tovább. label kerul clear screen print at (20,10) "A szamitas hibaja:" print at (20,12) hiba pause 0.1 iter=iter+1 : if iter>maxiter then qwr$="Maxiter" : goto veg fi if hiba>eps then goto kezd fi label veg A következőkben az eredményeket a képernyőre rajzoljuk. Ennek érdekében egy grafikus ablakot

nyitunk meg. Ez az ablak általában megfelelő, de ha a konkrét képernyő x-irányú felbontása kisebb, mint 900, akkor a grafikus ablak túlnyúlik a fizikai képernyőn és egy része nem lesz látható. open window 900,500 : window origin "lb" text 300,450,"Az orvenytranszport egyenlet megoldasa" text 300,440,"===================================" for i=1 to n-1 for j=jmin(i)+1 to jmax(i)-1 u=(p(i,j+1)-p(i,j-1))/2/s : v=(p(i-1,j)-p(i+1,j))/2/s x=20*i : y=20j+100 line x,y to x+10*u,y+10v next j next i line 20,100 to 20*n1,100 : line 20n2,100 to 20n3,100 : line 20n4,100 to 20*n,100 line 20,100+20*m to 20n,100+20m line 20*n1,100+20m1 to 20n2,100+20m1 line 20*n3,100+20m1 to 20n4,100+20m1 line 20*n1,100 to 20n1,100+20m1 : line 20n2,100 to 20n2,100+20m1 line 20*n3,100 to 20n3,100+20m1 line 20*n4,100 to 20n4,100+20m1 111 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével if re<=0.1 then

cim$="Idealis kozeg aramlasa" else cim$="Valosagos kozeg aramlasa" end if print cim$ if cim$="Idealis kozeg aramlasa" then re=0 fi text 10,50,cim$ text 10,30,"Re szam = " : text 80,30,str$(re,"###.##") a$=str$(hiba/800,"##.#########") text 10,10," Az atlagos - egy pontbeli - hiba erteke:" : text 250,10,a$ text 450,10,"Iteracios lepesek szama = " : text 580,10,str$(iter,"##############") clear screen text 250,400,"(grafikus ablak bezarasa: barmely billentyu lenyomassal)" inkey$ clear window close window Az eddig számított eredmények az ábrázoláson túl is szükségesek. A nyomás egyenlet megoldásához szükség lesz az áramfüggvény és az örvényesség értékekre. Ezeket itt a lehető legegyszerűbb módon, előre megadott elnevezésű fájlba íratjuk ki. Megemlítjük, hogy a két „\” jel a yabasic nyelv szintaktikája miatt írandó így. open 1,"c:\Work

c\aramfv99.dat","w" for i=0 to n for j=0 to m print #1 p(i,j), next j print #1 next i close 1 open 1,"c:\Work c\orveny99.dat","w" for i=0 to n for j=0 to m print #1 q(i,j), next j print #1 next i close 1 end A program elnevezése „ote.yab” – a yabasic környezet installálása után futtatható Ügyelni kell azonban arra, hogy a „c” meghatón legyen „Work c” elnevezésű könyvtár, vagy ha ilyen könyvtárral nem kívánunk dolgozni, akkor magában a programban kell értelemszerű változtatást tenni. A nyomáseloszlást számító program a kiinduló adatok jelentős részét ebből a két fájlból (aramfv99.dat és orveny99dat) veszi A programok közötti adat-átvitel másik része egyszerűen ugyanazon adatok megadását jelenti, ezt figyelembe kell venni, ha az előre magadottól különböző helyzet számolására lenne szükség. A „99” egyébként a Reynolds szám legnagyobb értékét jelenti. 112

Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 4.6 Az áramfüggvény-számítások eredményei A programok futtatásával különböző számításokat lehet elvégezni. Az eredmény a képernyőn jelenik meg. Itt csak négy, jellegzetesnek tekinthető eredményt mutatunk be 4.4 ábra Ideális közeg áramképe (4.4 ábra): a közeg az akadályokat tökéletesen követi, a másodikat éppúgy, mint az elsőt. 4.5 ábra Valóságos közeg lassú (Re=100) lamináris áramlása (4.5 ábra): a közeg nem követi azakadályokat, hanem leválik; a leválás azonban nagyjából azonos, mindkét test mögött. 113 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével 4.6 ábra Valóságos közeg áramlása, Re=1000 (4.6 ábra, általánosított iterációval számítva): az akadályok közötti és mögötti tér mintegy "kiesik" a fő áramlásból, a két akadály között örvénylő (kör) áramlás alakul ki, a második

akadály mögött is örvénylik a közeg, de láthatóan másféle módon. 4.7 ábra Valóságos közeg viszonylag gyors áramlása (Re=3000, általánosított iterációval számítva): ez a számítási eredmény az érdekesség kedvéért kapott helyet – vele kapcsolatban több kérdés marad nyitva. Az eredmény hibája elég nagy, kérdéses a konvergencia Az ábrán a két akadály közt igen intenzív örvénylést látunk, ami labirintként működik és így a második akadály mögött már csak gyenge örvénylést látunk (4.7 ábra) 114 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 4.7 A nyomás peremértékei A nyomást a (4.17) numerikus megoldásából számíthatjuk Az áramfüggvény és az örvényesség ismeretében a (4.17) másodrendű, lineáris, elliptikus parciális differenciál egyenlet, ami pl. relaxációval egyszerűen megoldható, a differencia egyenletté történő átírás a már bemutatott elvek szerint konzisztens lesz, a megoldás feltétel

nélkül stabil, vagyis a konvergencia biztos. A számításban a legnagyobb és legfontosabb probléma a megfelelő peremfeltételek meghatározása. Ez a feladat nem is oldható meg mindig megfelelő módon Tekintsük először az áramlásokban jelen lévő falat, legyen ez a fal az „x” tengellyel párhuzamos. A falon mindkét sebesség komponens nulla ( c x = 0 és c y = 0 ), ezért az általunk vizsgált stacionárius áramlás esetében (4.5) és (46) bal oldala nulla lesz – ebben az esetben a következő két, egyszerűbb alakú Navier-Stokes egyenletet kapjuk: 1 ∂ p =ν ρ ∂x  ∂ 2 cx ∂ 2 cx   ∂ x2 + ∂ y2   ;   (4.38) 1 ∂ p =ν ρ ∂y  ∂2 cy ∂2 cy  +  ∂ x2 ∂ y2   ;   (4.39) Az „x” tengellyel párhuzamos fal esetén a c x = c x ( y ) , vagyis „x”-től nem függ, mivel a fal mentén ez a sebesség összetevő (is) azonosan nulla. Akkor viszont (438) a következő módon írható át: 1

∂ p =ν ρ ∂x mert: ω= ∂ cy ∂x  ∂ 2 cx  ∂ω    ∂ y2  = −ν ∂ y ;   − ∂ cx ∂y itt tehát ω = (4.40) ∂ cy ∂x . A (4.40)-et a következő módon dimenziótlanítjuk: c ∂Q p 1 ρ c02 ∂ ~ p ∂~ 1 ∂Q = −ν 0 , illetve az egyszerűsítések után: ; =− ρ L ∂ξ L L ∂η ∂ξ Re ∂ η (4.41) Ez már a gyakorlatban is használható összefüggés: az örvényesség falra merőleges változásából számítható a nyomás fal menti megváltozása. A (39)-et is átírhatjuk erre az esetre: 1 ∂ p =ν ρ ∂y  ∂2 cy  ∂2 cy   , mert a szóban forgó fal mellett ≡ 0 , hiszen c y = c y ( y ) ; 2  ∂ y2  ∂ x   (4.42) Alakítsuk át kissé a zárójelben szereplő második deriváltat: ∂ ∂ cy ∂ = ∂y ∂y ∂y ∂ cy  ∂ cx  ∂  ∂ cx  ∂ ω ∂ cx  −  =  −  = , mivel a folytonosság miatt: =− ∂y ∂x  ∂x  ∂x 

∂y  ∂ x 115 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével Ezzel az átalakítással (41) a következő formában írható fel: p ∂~ 1 ∂Q . = ∂ η Re ∂ ξ (4.43) (4.43) szerint az örvényesség fal menti változásából a nyomás falra merőleges változása számítható. Ezt az összefüggést – a szakirodalom szerint – sarokpontok esetén célszerű alkalmazni. Amennyiben a fal „y” irányú, akkor a c x = 0 és c y = 0 igaz, továbbá az „y” tengellyel párhuzamos fal esetén a c y = c y ( x ) , vagyis „y”-tól nem függ. Ezek szerint a (439)-ből a következő, egyszerű egyenletet kapjuk: 1 ∂ p =ν ρ ∂y  ∂2 cy  ∂ cy ∂ω   =ν ∂ =ν .  ∂ x2  ∂x ∂x ∂x   Dimenziótlanítás után ismét a (4.43) egyenletet kapjuk Hasonló megfontolások szerint juthatunk (4.38)-ból a (442) kifejezéshez A szakirodalom ezt a peremfeltétel típust

Thom-féle peremfeltételnek nevezi és a következő formában általánosítja: p ∂~ 1 ∂Q = ∂ s Re ∂ n és p ∂~ 1 ∂Q ; =− ∂n Re ∂ s (4.44) ahol: az „s” a dimenziótlan érintő menti, „n” a dimenziótlan normális menti koordináta. A második fontos perem a belépés illetve a kilépés. A mintapéldában mindkét ilyen hely az „y” tengellyel párhuzamos. Mivel ezeken a helyeken a cy sebesség összetevő azonosan nulla, azért kimondható, hogy: ∂ cy ∂y ≡ 0 ; illetve ∂2 cy ∂y 2 ≡ 0 ; továbbá a folytonosság miatt: ∂ cx = 0. ∂x Ezzel (4.38) ismét felírható, és a következő módon alakítható át: 1 ∂ p =ν ρ ∂x  ∂ 2 cx ∂ 2 cx   ∂ x2 + ∂ y2    =ν    ∂ ∂ cy ∂ω ∂ ∂ cx   −  = −ν + . ∂y  ∂y ∂x ∂y ∂y  Ezzel visszakaptuk a (4.40)-et, azzal a megjegyzéssel, hogy a belépésnél az örvényesség a (4.26) kifejezéssel adott, tehát

a nyomás „x” szerinti változása ismert, a belépésre másodfajú perem alkalmazandó. A kilépésnél a helyzet hasonló, csak ott nem áll rendelkezésre az örvényesség zárt alakú függvénye, a numerikus értékeket kell felhasználni. Megjegyzendő, hogy ha (4.39)-ből indulnánk ki, akkor olyan egyenletre jutnánk, ami harmadrendű differenciál hányadost tartalmaz és így alkalmazása a gyakorlati számításokban nem célszerű. A harmadik szükséges peremfajta a szimmetria vonal. Ez a mintafeladat esetében az „x” tengellyel párhuzamos (igazából maga az „x” tengely). A szimmetria tengelyen a következő összefüggések érvényesek: 116 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv cy = 0; tehát cy = cy (y); illetve ∂ cy ∂x = 0 ; továbbá ∂2 cy ∂x 2 = 0 ; végül az ω = 0 miatt ∂ cx = 0. ∂y Ezek alapján felírható, hogy a nyomás az „y” tengely irányában nem változik. Ez eleve várható volt, hiszen ez szimmetria

tengely! Számolni viszont ezzel a feltétellel nem célszerű. Helyette tekintsük a (4.5) egyenletet, illetve az alábbi, a sebességek valamint deriváltjaik figyelembe vételével egyszerűsített alakját: ∂ cx 1 ∂ p = − cx +ν ∂x ρ ∂x  ∂ 2 cx ∂ 2 cx   ∂ x2 + ∂ y2   .   (4.45) A korábbi számolásoknál már bemutattuk, hogy (4.45) jobb oldalának második tagja az örvényesség „y” szerinti parciális deriváltja. Amiről szó van, az szimmetria vonal, amelyen maga az örvényesség értéke nulla és eloszlása e vonalra szimmetrikus, tehát a szóban forgó derivált értéke nulla. Eszerint a következő egyenletre jutunk: ∂ cx ∂ψ ∂ 2 ψ 1 ∂ p = − cx =− . ρ ∂x ∂x ∂ y ∂ x∂ y (4.46) Illetve dimenziótlan változókkal: ∂~ p ∂ P ∂2 P = − . ∂ξ ∂η ∂ ξ ∂η (4.47) A nyomás számítása végeredményben tehát úgy megy, hogy a perem egy pontjában megadunk egy meghatározott

nyomás értéket és az összes többi perem pontban másodfajú peremmel számolunk. A tényleges számolásra kidolgozott program a 48 pontban található A szimmetria vonalra levezetett peremfeltétel egyébként fizikailag azt jelenti, hogy a szimmetria vonalon nem lévén örvényesség, súrlódási veszteség sem keletkezik. Ebből pedig következik, hogy a nyomás (4.47) helyett az ideális közegre, a szimmetria vonal megfelelő pontjai közé felírt Bernoulli egyenlet alapján számítható. 4.8 ábra 117 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével A nyomást – mint már említettük – a perem egy pontjában egy, konkrét értékkel meg kell adni. Legyen ez a 48 ábrán feltüntetett „A” pont, legyen itt a dimenziótlan nyomás értéke: ~ p A := 0 . Ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy a statikus nyomás az „A” pontban éppen a p0, alapértékkel egyenlő. A „B” pontban ébredő statikus

nyomás éppen az össznyomással egyenlő, mivel ott a sebesség nulla (torlópont). A nyomástényező értéke pedig: p B = p0 + ρ p −p 1 pB = B 2 0 = . c02 ; innen (16) szerint következik, hogy: ~ 2 2 ρ c0 (4.48) Végeredményben az „A-B” szakaszra felírható, a dimenziótlanított Bernoulli egyenlet: u2 1 ~ p+ = . 2 2 (4.49) A „C” és „D” pontokról ebben a lépésben csak annyit mondhatunk, hogy ott egyenlők egymással, de nyilván nem egyenlőek a pB nyomással, hiszen megkerülése komoly energia veszteséggel jár. Az „E” és „F” pont tekintetében az érvényesül ugyan, de mivel a kilépési sebesség nem eleve ismert, így ezek a számítás során kapnak majd értéket. Általánosan a „C-D” szakaszra felírható: u2 ~ ~ p+ = pC = ~ pD . 2 a nyomások az akadály „A-B” reláció nyomások a (4.50) Illetve az „E-F” szakaszra írhatjuk: u2 ~ ~ p+ = pE . 2 (4.51) Záró megjegyzésként érdemes kiemelni azt a tényt, hogy

a súrlódási veszteség az örvényesség megváltozásával arányos: ahol az örvényesség nem változik, ott súrlódás nem jelentkezik. 118 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv 8. A nyomás számítása Ez a nyomás számítására szolgáló “Yabasic” program. A program elején található egy “import” utasítás, ami egy könyvtári programot hív, az eljárás itt olvasható – egyébiránt a „yabasiclib” könyvtárban kell lennie. export sub ablaknyit(x,y) open window x,y window origin "lb" end sub export sub ablakzar() clear screen text 10,10,"Bezárjam az ablakot?" inkey$ clear window : close window end sub Itt kezdődik a nyomás számítására szolgáló “Yabasic” program. Érdemes figyelmesen követni a programban található megjegyzéseket, mivel ezek általában jól magyarázzák az éppen aktuális műveleteket. (A programban sokszor előforduló „99” a Reynolds szám) import ablak rem -------------> OTE

nyomas - program <--------------print : print : print print " <*>" print "< Nyomas-szamitas az OTE aramfuggveny-orvenyesseg >" print "< felhasznalasaval,egyszeru relaxacioval >" print " <*>" n1=10 : n2=13 : n=40 : n3=24 : n4=27 m1=5 : m=10 dim cc(n,m),u(n,m),v(n,m),ny(n,m),nyu(n,m),p(n,m),q(n,m),b(n,m),jmax(n),jmin(n) print : print s=1/n : rem Ez a dimenziotlan lepeshossz mindket iranyban eps=0.001 : rem Ez az iteracios hiba hatar maxiter=2000 : rem Ez a maximalis lepesszam rem <----jmax--------*------jmin---------> for i=0 to n jmax(i)=m : jmin(i)=0 next i for i=n1 to n2 : jmin(i)=m1 : next i for i=n3 to n4 : jmin(i)=m1 : next i rem ----------------aramfuggveny beolvasas----------open #1,"c:\Work c\aramfv99.dat","r" for i=0 to n for j=0 to m input #1 p(i,j) next j next i close #1 119 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével

rem --------------orvenyesseg beolvasas------------open #1,"c:\Work c\orveny99.dat","r" for i=0 to n for j=0 to m input #1 q(i,j) next j next i close #1 A nyomás számításának elméleti leírásában kifejtett, hogy a peremen meg kell adni egy, rögzített pontot. Ez esetünkben itt következik Ezután még kiszámíttatjuk azokat a nyomás értékeket, amelyeket egyszer s mindenkorra ki lehet számíttatni. rem ------- A rogzitett pont kovetkezik -----------ny(0,0)=0 : u(0,0)=1 : v(0,0)=0 rem szamoljunk sebessebet az A-B szakaszon (lasd 8. abra) energ0=1/2 : rem ez a Bernoulli teljes energia az A-B szakaszon for i=1 to n u(i,0)=(p(i,1)-p(i,0))*n rem print u(i,0)," ",ny(i,0) next i for i=1 to n1 : ny(i,0)=(1-u(i,0)*u(i,0))/2 : next i clear screen Ez az a pont, ahonnan a nyomás tényleges meghatározzuk a másodfajú peremeket, majd számítására a belső pontokban. iterációja kezdődik. Először ezután kerül sor a nyomás label NYOMASITERACIO

rem Masodfaju peremek for j=1 to m-1 : ny(0,j) = ny(1,j) + 0.0080808 : next j ny(0,m) = (q(1,m-1)-q(0,m-1))/99 + ny(0,m-1) for i=1 to n ny(i,m) = ny(i-1,m) - (q(0,m)+q(1,m)-q(0,m-1)-q(1,m-1))/198 next i for j=m-1 to 1 step -1 cij = (p(n,j+1)-2*p(n,j)+p(n,j-1))2(p(n-1,j)-p(n,j))/(ss) ny(n,j)=(-cij+2*ny(n-1,j)+ny(n,j-1)+ny(n,j+1))/4 next j cji=4*(p(n,1)-p(n,0))(p(n-1,0)-p(n,0))/(ss) ny(n,0) = (-cji+2*ny(n-1,0)+2ny(n,1))/4 rem ny(n,0) = -0.002 energEF = ny(n,0)+ u(n,0)*u(n,0)/2 for i=n-1 to n4 step -1 ny(i,0)=energEF - u(i,0)*u(i,0)/2 next i for j=1 to m1 ny(n4,j) = ny(n4,j-1)+(q(n4+1,j)-q(n4,j))/99 next j for i=n4-1 to n3 step -1 ny(i,m1) = ny(i+1,m1)-(q(i,m1+1)-q(i,m1))/99 next i 120 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv for j=m1-1 to 0 step -1 ny(n3,j) = ny(n3,j+1)-(q(n3,j)-q(n3-1,j))/99 next j energCD = ny(n3,0) for i=n3-1 to n2 step -1 ny(i,0)=energCD - u(i,0)*u(i,0)/2 next i for j=1 to m1 ny(n2,j) = ny(n2,j-1)+(q(n2+1,j)-q(n2,j))/99 next j for i=n2-1 ny(i,m1) next i for j=1

to ny(n1,j) next j to n1 step -1 = ny(i+1,m1)-(q(i,m1+1)-q(i,m1))/99 m1-1 = ny(n1, j-1)-(q(j,n1)-q(j,n1-1))/99 hiba=0 Itt kezdődik a belső pontokbani nyomásszámítás. A relaxációval kiszámított új nyomás értékeket az „nyu” változóba tesszük, illetve itt számoljuk a két egymást követő eljárás közötti hiba értékét. Amennyiben ez a hiba egy előre megadott értéknél kisebb lesz, akkor az eredményt a végeredménynek tekintjük. rem A nyomásiteracio kezdete for i=1 to n-1 for j=jmin(i)+1 to jmax(i)-1 c11 = (p(i,j+1)-2*p(i,j)+p(i,j-1))(p(i+1,j)-2p(i,j)+p(i-1,j))/(ssss) c22 = ((p(i+1,j+1)+p(i-1,j-1)-p(i+1,j-1)-p(i-1,j+1))/(2*s))^2 nyu(i,j)=(-(c11+c22)*ss+ny(i-1,j)+ny(i+1,j)+ny(i,j-1)+ny(i,j+1))/4 hiba=hiba+abs(nyu(i,j)-ny(i,j)) next j next i for i=1 to n-1 for j=jmin(i)+1 to jmax(i)-1 ny(i,j)=nyu(i,j) next j next i print at (10,10) "hiba= ",str$(hiba) if hiba>0.001 then goto NYOMASITERACIO : fi Itt már csak az eredmény kiíratása

következik. open 1,"c:\Work c\nyomas99.dat","w" for i=0 to n for j=0 to m print #1 ny(i,j)," ", next j print #1 next i close 1 end 121 Forrás:http://www.doksihu 4. Az örvény transzpor egyenlet megoldása véges differenciák módszerével 9. A nyomásszámítás eredményei A számítás végeredményét egy „Excel” táblázatkezelő programmal rajzolt ábrán, a 9. ábrán tüntettük fel. Alapvető, hogy e számítások érvényességét - a numerikus módszerek általános gyakorlatának megfelelően - méréssel lehet igazolni. Amíg ez nem történik meg, addig ez a CFD program kicsit tréfásan akár „Coloured Fluid Dynamics” programnak is tekinthető. Az eredményről – nagyon nagy vonalakban – annyit azért el lehet mondani: az ábrán látható nyomástényező-eloszlás nagyjából megfelel a fizikai elvárásoknak. 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 40 37 34 S5 31 28 25 22 S9 19 16 13 10 7 4 1 -3 S1 4.9 ábra – A

nyomás-eloszlás Az itt bemutatott számítás részben rendkívül egyszerű – hiszen a szerző leginkább egyszerű számításokat képes felépíteni. Másrészt talán jól rávilágít a modern numerikus módszerek néhány tipikus problémájára. Mint minden munka, bizonnyal ez sem hibátlan – a szerző minden előre vivő bíráló megjegyzést örömmel fogad. 122 Forrás:http://www.doksihu Örvénykönyv IRODALOMJEGYZÉK [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] Grúber, J. - Blahó, M: Folyadékok mechanikája Tankönyvkiadó, Budapest, 1971. Lojcjanszkíj, L. G: Folyadékok és gázok mechanikája Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956. Németh, E.: Hidromechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1963. Robinson, A.-Laurman, J A: Wing Theory Cambridge University Press, 1956. Försching, H. W: Grundlagen der Aeroelastik Springer Verlag, Berlin, 1974. Dwight, H. B: Tables of Integrals McMillen, 1961. Szidarovszky, F.: Bevezetés a numerikus módszerekbe

Közgazdasági és Jogi Kiadó, Budapest, 1974. Spreiter, J.R-Sacks, AH: The Rolling Up of the Trailing Vortex Sheet and Its Effect on the Downwash Behind Wings Journal of Aeronautical Sciences, 1951 Jan. pp 21-32 Katz, J. – Plotkin, A: Low-Speed Aerodynamics McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 Moran, J.: An Introduction to Theoretical and Computational Aerodynamics Dover Publications Inc., Mineola, New York, 1984 Laurman, J.A – Robinson, A: Wing Theory Cambridge, University Press, 1956 Litvai, E. – Marschall, J – Bencze, F: Áramlástan II (Példatár) Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1996. Mitchell, A. R: Computational Methods in Partial Differential Equations John Wiley and Sons, London 1969. 123