Fizika | Áramlástan » Dr. Lohász Máté Márton - Turbulencia és modellezése

Turbulencia és modellezése Lohász Máté Turbulencia és modellezése Dr. Lohász Máté Márton Ph.D, külső óraadó lohasz [at] ara.bmehu Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Áramlástan Tanszék, GEA EGI Energiagazdálkodási Zrt. 2011. ősz Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet rész I Első előadás Kivonat Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok 1 A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai 2 Tulajdonságok 3 Jelölések 4 Statisztikai leı́rás 5 Reynolds egyenlet Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Bevezetés Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai

leı́rás Reynolds egyenlet Miért foglalkozunk a turbulenciával egy numerikus áramlástan (CFD) kurzusban? Numerikus áramlástanban az egyenletek nagyrészt modell egyenletek A turbulencia jelensége a numerikus áramlástani alkalmazások ≈ 95%-ban jelen van A turbulenciát csak nagyon ritkán lehet szimulálni és általában modellezni kell A turbulencia alapjainak ismerete szükséges a modellek használatához Korlátok, egyszerűsı́tések Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet A következő hatásokat nem vesszük figyelembe: sűrűség változás (ρ = konst.) Lökéshullám és a turbulencia kölcsönhatását nem tárgyaljuk A felhajtóerő hatását a turbulenciára nem tárgyaljuk viszkozitás változás (ν = konst.) térerő hatása (gi = 0) Szabad-felszı́nű

áramlások kivételével, a gravitációnak nincs hatása és beolvasztható a nyomásba Definı́ció Turbulencia és modellezése Lohász Máté Precı́z definı́ció? A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Eddig nem létezik a turbulencia definı́ciója Stabilitás- és káoszelmélet azok a tudományok amelyek szolgáltathatják ”majd” a definı́ciót De a leı́ró PDE-eket sokkal bonyolultabb kezelni mint egy KDE-t A klasszikus fizika utolsó megoldatlan problémája (”Lehetséges-e egy elméleti modellt adni amely leı́rja a turbulens áramlások statisztikáit?”) A mérnökök mégis tudják kezelni a turbulenciát Tulajdonságok Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség

Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatı́v Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Definı́ció helyett A turbulencia tulajdonságai összefoglalhatóak Ezek a jellemzők felhasználhatóak: Különbséget tegyünk lamináris (akár időfüggő) és turbulens áramlás között Megértsük hogyan vizsgálható a turbulencia Megértsük a turbulencia a mérnöki gyakorlatban betöltött szerepét Magas Reynolds szám Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Reynolds szám Re = UL ν = Ftehetlenségi Fviszkózus magas Re szám ← viszkózus erők kicsik De a súrlódásmentes áramlás nem turbulens Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség A Re szám szerepe Disszipatı́v Örvényes Diffúzı́v

Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet A Reynolds szám az áramlás bifurkációs (stabilitási) paramétere Recr ≈ 2300 csőben való áramlás esetén Re > Recr ⇒ áramlás instabil, turbulens Rendezetlen, kaotikus Turbulencia és modellezése Lohász Máté Dinamikus rendszerek terminológiája A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatı́v Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet A kezdeti (KF) és a perem feltételekre (PF) való erős érzékenység Az áramlás ”stabilitásáról” való állı́tás A PDE-knek (parciális differenciál egyenleteknek) végtelenszer több szabadsági foka van mint a KDE-knek (közönséges differenciál egyenleteknek) Sokkal nehezebb

kezelni őket A turbulencia definı́ciójának jelöltje lehet Eszköz amellyel megmagyarázható a turbulencia és a ”sima” lamináris időfüggés közötti különbség Folytonos térbeli spektrum Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatı́v Térbeli spektrum A térbeli spektrum analóg az időbelihez, Fourier transzformációval definiáljuk Praktikusan periodikus vagy végtelen nagy tartományt nehezebb találni Vizuálisan: Minden méretű (határok között) áramlási jelenség jelen van Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Ellen példa Az akusztikai hullámoknak csúcsos spektruma van al- és felharmonikusokkal. 3D jelenség Turbulencia és

modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum Örvény megnyúlás (lásd: Hő és áramlástan vagy Áramlástan válogatott fejezetei) csak 3D áramlásban van jelen. 2D-ben nincs az örvényesség irányába mutató sebességkomponens, amely meg tudná nyújtani azt. Felelős a méretek csökkenésért Felelős az örvényesség növekedésért 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatı́v Az átlagáramlás lehet 2D Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Az időfüggő áramlás mindenképp 3D A (Reynolds, idő) átlagolt áramkép lehet 2D A keresztirányú fluktuációk zérusra átlagolódnak, de szükség van rájuk az áramlás irányú és a falra merőleges irányú ingadozások létrejöttében

Időfüggő Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám A turbulens áramlások időfüggőek, az áramlás időfüggése nem jelenti azt, hogy turbulens Az időfüggő áramlások stabilitás szempontjából különbözőek lehetnek Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatı́v Egy csőben való időfüggő lamináris áramlásban (pl.: 500 < Reb (t) < 1000), a kis perturbációktól való függés sima és folytonos Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Egy csőben való időfüggő turbulens áramlásban (pl.: 5000 < Reb (t) < 5500), a kis perturbációktól való függés erős Kontinuum jelenség Turbulencia és modellezése Leı́rható a kontinuum Navier-Stokes (NS) egyenlettel

Azaz molekuláris jelenségeknek nincs szerepe, ahogy ezt 100 évvel ezelőtt még gondolták egyesek Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Következmények Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus 1 Szimulálható a NS egyenlet megoldásaként (közvetlen numerikus szimuláció = KNSZ, Direct Numerical Simulation = DNS) 2 A turbulenciának van egy legkisebb léptéke, ami általában jelentősen nagyobb mint a molekuláris léptékek 3 Van olyan eset is ahol a molekuláris hatások fontosak (pl. visszatérő kapszula) 4 A turbulenciát nem a molekuláris rezgések hajtják, hanem a turbulencia a NS egyenlet (stabilitás tı́pusú) Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatı́v Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Disszipatı́v Turbulencia és modellezése Lohász Máté A

turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatı́v Disszipatı́v Def: A mechanikus (mozgási) energia hővé alakulása (hőmérséklet növelés) Mindig jelen van a turbulens áramlásokban A turbulencia legkisebb léptékén történik, viszkózus erők fontosak a tehetetlenségi erőkhöz képest Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Hullám mozgáshoz képest ez egy jelentős különbség, mivel ott a disszipációnak nincs elsőrendű jelentősége Örvényes Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám A turbulens áramlások mindig örvényesek Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum

jelenség Disszipatı́v Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Az örvény megnyúlás felelős a méretek csökkenéséért A disszipáció a legkisebb skálákon jelentkezik Diffúzı́v Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatı́v Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet A diffúzı́v tulajdonság, mérnökileg fontos következmény Az átlagolt mennyiségeket tekintve a turbulencia általában növeli az átadásokat Pl. az átadási tényezők növekednek (pl: λ) A Nusselt szám növekszik Az átlagolt mezőben a turbulencia általában növeli az átadási tényezőket A turbulens viszkozitás (az

impulzus átadás) növekszik A turbulens hővezetési tényező növekszik A turbulens diffúziós tényező növekszik Történelme van, A TURBULENCIA nem létezik Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok A klasszikus fizikai utolsó megoldatlan problémája szerint a turbulenciának nem tudtak általános elméletet kifejleszteni mostanáig. Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatı́v Örvényes Diffúzı́v Történelme van Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet A turbulenciában semmilyen univerzalitást nem fedeztek fel A turbulens áramlások többfélék lehetnek, pl.: Peremfeltétel függő lehet A fel-vı́zi feltételeken múlik (térbeli történelem) Az időbeli történelemtől függ Jelölések Turbulencia és modellezése

Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Irányok x: Áramlási irány y : Falra merőleges, legnagyobb gradiens iránya z: Bi-normális a x, y irányokra, keresztirány Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leı́rás Megfelelő sebességek Reynolds egyenlet u, v , w Index-es ı́rásmód x = x1 , y = x2 , z = x3 u = u1 , v = u2 , w = u3 Jelölések (folyt.) Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Parciális deriváltak def ∂ ∂xj def ∂ ∂t = ∂t ∂j = Összegzési konvenció Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet

Összegzést végzünk a dupla indexek esetén a három térbeli iránynak megfelelően. Alap példa Skalár szorzás: def ai bi = 3 X i=1 ai bi (1) NS mint példa Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Kontinuitás egy. Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet ∂ρ + div(ρv) = 0 ∂t (2) divv = 0 (3) ha ρ = konst., akkor NS rövidı́tő ı́rásmóddal Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések ρ = konst. kontinuitás ∂i ui = 0 (4) Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Az összes mozgásegyenlet 1 ∂t ui + uj ∂j ui = − ∂i p + ν∂j ∂j ui ρ (5) Statisztikai leı́rás Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia

definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az ”egyszerű” megközelı́tés Turbulens áramlást az idő átlagával és ahhoz képesti ingadozással lehet jellemezni Ennek a megközelı́tésnek a problémái Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Milyen hosszú legyen az időátlagolás? Hogy különböztessük meg az időfüggést a turbulenciától? Statisztikai leı́rás Példák Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Áramlási példák Turbulens csőáramlás (Re >> 2300), amelyet egy dugattyús szivattyú hajt meg (szinuszos időfüggés) Kármán örvénysor egy Re = 105 számú henger körüli

áramlásban, ahol az örvények St = 0, 2 frekvenciával válnak le Nehéz különbséget tenni a turbulencia és az időfüggés között Statisztikai átlag Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Miért kezelünk egy determinisztikus folyamatot statisztikailag? Az NS egyenletek determinisztikusak (legalábbis azt hisszük, de nincs általánosan bizonyı́tva) Azaz a megoldást egyértelműen megadják a KF-ek és PF-ek A statisztikai leı́rás hasznos a kaotikus viselkedés miatt A KF-ek és PF-ek re való nagyfokú érzékenység A hasonló KF és PF halmazokbeli megoldásokat statisztikailag lehet kezelni Statisztika Turbulencia és modellezése A megoldás mint egy statisztikai változó Lohász Máté ϕ = ϕ(x, y ,

z, t, i) A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag (6) Az i index különböző de hasonló KF-ekhez és PF-ekhez tartozik Sűrűség függvény Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Megmutatja ϕ értékének valószı́nűségét. Reynolds egyenlet f (ϕ) (7) Normálva van: Z ∞ f (ϕ) −∞ dϕ = 1 (8) Átlag érték Turbulencia és modellezése Lohász Máté Várható érték A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Z ∞ ϕ(x, y, z, t) = Jelölések ϕ(x, y , z, t)   f ϕ(x, y, z, t) dϕ (9) −∞ Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Átlag N 1X ϕ(x, y , z, t, i) N∞ N ϕ(x, y , z, t) = lim i=1 (10) Reynolds átlagolás Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és

tulajdonságai Tulajdonságok Reynolds felbontás Mivel a statisztikai átlagot Reynolds átlagnak is hı́vjuk, ezért a felbontást szintén Reynolds felbontásnak hı́vjuk Jelölések ϕ = ϕ + ϕ0 Statisztikai leı́rás (11) Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Ingadozás def ϕ0 = ϕ − ϕ (12) Az átlagolás tulajdonságai Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Linearitás Tulajdonságok Jelölések aϕ + bψ = aϕ + bψ (13) Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai A Reynolds átlag csak egyszer hat Korreláció Reynolds egyenlet ϕ =ϕ (14) Az átlagolás tulajdonságai (folyt.) Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás

tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Az ingadozások átlaga zérus ϕ0 = 0 (15) Szórás Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Szórás Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Az ingadozás elsőrendű jellemzése q σϕ = ϕ02 def RMS-nek is hı́vják: ϕrms = σϕ (16) Kapcsolat az idő és a statisztikai átlag között Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Ergodicitás Ha az időbeli és statisztikai átlag azonos. Azaz ha függetlenek a kezdeti feltételektől. Jelölések Statisztikai leı́rás Az átlag azonos, és a szórás? Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Z 1 T ϕ dt T 0 Z 1 T = ϕ dt = ϕ T 0 def ϕ̂(T ) = Reynolds egyenlet

ϕ̂(T ) (17) (18) Korreláció Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Kovariancia Rϕψ (x, y, z, t, δx, δy , δz, τ ) = ϕ0 (x, y, z, t)ψ 0 (x + δx, y + δy, z + δz, t + τ ) Jelölések Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Auto kovariancia Ha ϕ = ψ akkor a kovariancia auto kovariancia Pl. Időbeli auto kovariancia: Rϕϕ (x, y , z, t, 0, 0, 0, τ ) (19) Korreláció Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Korreláció Jelölések Dimenziótlan kovariancia Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet ρϕψ (x, y, z, t, δx, δy, δz, τ ) = Rϕψ σϕ(x,y ,z,t) σψ(x+δx,y +δy,z+δz,t+τ ) (20) Integrál időlépték Turbulencia és

modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Integrál időlépték Jelölések Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Z +∞ Tϕψ (x, y , z, t) = ρϕψ (x, y , z, t, 0, 0, 0, τ ) dτ −∞ (21) Taylor-féle fagyott örvény hipotézis Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Sokkal könnyebb az integrál időléptéket mérni (hődrót), mint a hosszléptéket (két hődrót különböző távolságokra) Feltevések Az áramkép teljesen fagyott, az átlagsebességgel (U) jellemezhető Az áramlás-irányú hosszléptéket közelı́teni lehet, a fagyott örvény időbeli haladását vizsgálva Korreláció Reynolds egyenlet

A Taylor szerint közelı́tett áramlás-irányú hosszlépték Lx = TU (22) Reynolds egyenlet Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Levezetjük a NS egyenlet Reynolds átlagát, amelyet Reynolds egyenletnek fogunk hı́vni Reynolds Átlagolt kontinuitás Turbulencia és modellezése Lohász Máté Az eredeti egyenlet A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai ∂i ui = 0 Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Levezetés: ∂i ui = = ∂i ui = ∂i ui + ui0 = ∂i ui 0 = ∂i ui Ugyanaz az egyenlet csak az átlagra! (23) Mozgásegyenlet Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Levezetés Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet Ugyanazokat a szabályokat alkalmazzuk a

lineáris tagokhoz A nemlineáris tagok különböznek A nem-lineáris tagok átlagolása Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet uj ∂j ui = = ∂j (uj ui ) = ∂j uj ui = ∂j (uj + uj0 )(ui + ui0 )   = ∂j uj ui + ui uj0 + uj ui0 + uj0 ui0   = ∂j uj ui + uj0 ui0   = ∂j uj ui + ∂j uj0 ui0 = uj ∂j ui + ∂j ui0 uj0 (24) Reynolds egyenletek Turbulencia és modellezése Kontinuitás egyenlet Lohász Máté ∂i ui = 0 A turbulencia definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Mozgás egyenlet Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet 1 ∂t ui + uj ∂j ui = − ∂i p + ν∂j ∂j ui − ∂j ui0 uj0 ρ (25) Reynolds feszültség tenzor ui0 uj0 Vagy ρ-val vagy −1-el szorozva (26) Feszültségek Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia

definı́ciója és tulajdonságai Tulajdonságok Minden feszültség ami gyorsulást okoz: Jelölések Statisztikai leı́rás Reynolds egyenlet 1 − p δij + ν∂j ui − ui0 uj0 ρ (27) Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek rész II Második előadás Kivonat Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei 6 A turbulencia léptékei 7 k transzport egyenlete 8 Modellezés 9 Peremfeltételek k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek A turbulencia sok léptéke Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei A turbulencia különböző skálái egy keveredési rétegben sűrűség változással láthatóvá téve k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Cél: Találjunk egy összefüggést a különböző méretű turbulencia

tulajdonságaira Mozgási (kinetikus) energia Turbulencia és modellezése Mozgási energia: def E = Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek 1 ui ui 2 (28) A Reynolds felbontása: 1 1 ui ui = (ui ui + 2ui0 ui + ui0 ui0 ) 2 2 A Reynolds átlaga: E = E = 1 1 (ui ui ) + (ui0 ui0 ) = Ê + k |2 {z } |2 {z } Ê k Az átlagos áramlás mozgási energiája: Ê A turbulencia mozgási energiája: k (Turbulens Kinetikus Energia, TKE) (29) (30) Richardson-féle energia kaszkád Az örvények mérete Turbulencia és modellezése Lohász Máté Magas Re számú áramlást tekintünk A turbulencia léptékei Az áramlás tipikus sebessége U k transzport egyenlete Az áramlás tipikus hosszléptéke L Modellezés A vonatkozó Reynolds szám (Re = UL ν ) nagy Peremfeltételek A turbulencia különböző méretű örvényekből áll Az örvények minden

osztályának van: hosszléptéke: l sebesség léptéke: u(l) idő léptéke: τ (l) = l/u(l) A Richardson energia kaszkád A nagy léptékek Turbulencia és modellezése Lohász Máté Legnagyobb örvények jellemzői A turbulencia léptékei méret l0 ∼ L k transzport egyenlete sebesség u0 = u0 (l0 ) ∼ u 0 = Modellezés Peremfeltételek ⇒ Re = u0 l0 ν p 2/3k ∼ U szintén magas A nagy örvények darabolódása A nagy Re szám kis mértékű viszkózus stabilizációt jelent A nagy örvények instabilak A nagy örvények kisebbekké esnek szét A Richardson energia kaszkád A kis léptékek felé Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Tehetetlenségi kaszkád Amı́g Re(l) nagy a tehetetlenségi erők dominálnak és a darabolódás folytatódik Kis léptékeken, ahol Re(l) ∼ 1 a viszkozitás kezd

fontossá válni Az örvények mozgási energiája hővé disszipál A Richardson energia kaszkád A vers Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Lewis Fry Richardson F.RS Richardson verse Big whorls have little whorls that feed on their velocity, and little whorls have smaller whorls and so on to viscosity. A Richardson energia kaszkád A kis és a nagy méretek közötti kapcsolat Turbulencia és modellezése A disszipáció megegyezik a produkcióval Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés A disszipációt ε-al jelöljük A kaszkád miatt a nagy léptéken lévő mozgásokkal jellemezhető Disszipáció: ε ∼ Peremfeltételek Képlettel: ε = mozg. energia időlépték u02 l0 /u0 = u03 l0 a nagy léptékeken k transzport egyenlete Definı́ciók 1. Turbulencia és modellezése

Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Az NS szimbólum A levezetések leı́ráshoz érdemes bevezetni a következő NS szimbólumot: Modellezés Peremfeltételek 1 def NS(ui ) = ∂t ui + uj ∂j ui = − ∂i p + ν∂j sij ρ | {z } (31) ∂j tij def ahol: sij = 12 (∂i uj + ∂j ui ) az (szimmetrikus=s) alakváltozás része a derivált tenzornak ∂j ui . k transzport egyenlete Definı́ciók 2. Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Ismételjük meg a Reynolds egyenlet levezetését! NS(ui + ui0 ) Peremfeltételek ∂t ui + uj ∂j ui (32) 1 = ∂j − p δij + νs ij − ui0 uj0 ρ | {z } h i Tij (33) A TKE egyenlete Turbulencia és modellezése Lohász Máté Vegyük (NS(ui ) − NS(ui ) )uj0 (NS(uj ) − NS(uj ) ) + ui0 nyomát A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek "  p0 #

 ∂t k + uj ∂j k = −aij sij + ∂j uj0 + k 0 − νui0 sij0 − |{z} ε ρ | {z } | {z } Disszipáció Produkció Transzport (34) def Disszipáció: ε = 2νsij0 sij0 def Anizotrópia tenzor: aij = ui0 uj0 − 1 3 ul0 ul0 δij |{z} 2k (A Reynolds feszültség tenzor deviátor része) A TKE egyenlet A tagok jelentése Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Produkció def Kifejezés: P = −aij sij A mozgási energia transzferje az átlagos áramlástól a turbulenciába Ugyanez a tag jelenik meg ellentétes előjellel az átlagsebesség mozgási energiájának egyenletében Ez a mechanizmus táplálja az energiát a Richardson kaszkádba A nagy skálákon történik A TKE egyenlet A tagok jelentése (folyt.) Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei Disszipáció def k transzport egyenlete

Kifejezés: ε = 2νsij0 sij0 Modellezés A turbulens kinetikus (mozgási) energia hővé alakulása Peremfeltételek A viszkózus feszültségek munkája a kis léptékeken (sij0 ) Ez az energia elvonási mechanizmusa a Richardson kaszkádból A kis léptékeken történik P = ε ha a turbulencia homogén (izotrop), mint a Richardson kaszkádban A TKE egyenlet A tagok jelentése (folyt.) Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei Transzport k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek " Kifejezés: ∂j uj0  p0 ρ + k0  # − νui0 sij0 A turbulens kinetikus energia térbeli transzportja A kifejezés divergenciás alakú (∂j j ) A divergencia felületi integrállá alakı́tható (G-O tétel) A RANS modellezés ötlete Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás A Reynolds

átlagolt NS egyenletet oldjuk meg az átlagolt változókra (u , v , w , p ) A Reynolds feszültség tenzor ui0 uj0 ismeretlen, ı́gy modellezni kell A modellezésnek az egyébként is felhasznált mennyiségeket (u , v , w , p ) kellene használnia Két egyenlet modellek Peremfeltételek Hasznosság Ha az átlagolt mennyiségek hasznosak a mérnökök számára azaz ha az ingadozások nem érdekesek ”csak” a hatásuk az átlag áramképre A modellezése megfelelően pontos Örvény viszkozitás modellezés Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Az ötlet A turbulencia hatása mint a mozgó molekulák hatása a kinetikus gázelméletben Az impulzus csere a különbözős sebességgel mozgó rétegek között a merőlegesen mozgó molekulák által jön létre A viszkózus

feszültséget ı́gy számoljuk: Φij = 2νSij Örvény viszkozitás modell (folyt.) Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Egyenletekben. Csak a deviátor részt modellezzük A nyom (k ) beolvasztható a nyomásban (modifikált nyomás), és nincs szükség a modellezésére A modifikált nyomást használjuk a nyomáskorrekciós módszerben a kontinuitás kielégı́tése céljából (lásd: nyomásra vonatkozó Poisson egyenlet) 2 ui0 uj0 − kδij = −2νt Sij 3 (35) Örvény viszkozitás Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás A viszkozitás a hosszlépték (l 0 ) és a sebesség ingadozás lépték (u 0 ) szorzatával arányos A hosszléptéknek arányosnak kell lennie azzal a hosszal,

amit a folyadék impulzusát megtartva megtesz A sebesség ingadozási léptéknek a mozgó folyadékrészek által okozott ingadozáshoz kell kötődnie Két egyenlet modellek Peremfeltételek νt ∼ l 0 u 0 (36) Frissebb eredmények melyek a koncepciót támasztják alá A turbulencia koherens struktúra szemlélete megmutatta, hogy vannak folyadékrészek (örvények) amelyek mozgásuk során megtartják egy ideig tulajdonságaikat Két egyenlet modellek Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés A hossz (l 0 ) és a sebességingadozás lépték (u 0 ) az áramlás és nem a folyadék tulajdonsága, ı́gy helytől és időtől függenek PDE-kre van szükség, hogy a skálák fejlődését leı́rhassuk Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek A léptékekre vonatkozó kritériumok Peremfeltételek Jól definiáltnak kell lennie Az

alakulásra vonatkozó egyenleteket kell fejleszteni Numerikusan ”szépnek” kell lennie Könnyen mérhetőnek kell lennie, hogy kı́sérleti validációra lehetőség legyen k-e modell Turbulencia és modellezése Sebesség ingadozás lépték Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete A TKE jellemzi a sebesség ingadozást Izotrop (nincs kitüntetett irány) Modellezés u0 ∼ Örvény viszkozitás √ k (37) Két egyenlet modellek Peremfeltételek Hossz lépték Az integrál hosszlépték jól definiált (lásd: korrelációk) Nem könnyű közvetlen egyenletet fejleszteni A hosszléptéket a disszipáción keresztül számoljuk Emlékeztető: ε = u03 l0 ⇒ l0 ∼ k 3/2 ε Az örvény viszkozitásra vonatkozó egyenlet Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek

Peremfeltételek k2 (38) ε Cν konstanst, melyet elmélet alapján vagy kı́sérletből kell meghatározni. νt = Cν A helyzet.? Két ismeretlenünk (k, ε) van az egy (νt ) helyett k modell egyenlet Turbulencia és modellezése k egyenletet levezettük, de vannak benne ismeretlenek: Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete " ∂t k + uj ∂j k = −aij sij + ∂j uj0 | {z } Produkció Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek |  p0 ρ + k0  # − νui0 sij0 − ε |{z} Disszipáció {z Transzport } (39) Peremfeltételek Produkció A produkció közvetlenül számı́tható, ha felhasználjuk az örvényviszkozitás hipotézist P = −aij Sij = 2νt Sij Sij (40) k modell egyenlet Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Disszipáció Különálló egyenletet vezetünk le Transzport ∂j Tj Modellezés

Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Közelı́thető a gradiens hipotézis segı́tségével Peremfeltételek Tj = νt ∂j k σk (41) σk egy Schmidt szám tı́pusú mennyiség mely átskálázza νt -t, hogy megkapjuk a szükséges diffúziós tényezőt Kı́sérletileg meghatározandó A k modell egyenlet összefoglalva Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés ∂t k + uj ∂j k = 2νt Sij Sij − ε − ∂j ν t σk ∂j k  (42) Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Minden közvetlenül számı́tható, kivéve ε A bal oldal k lokális és konvektı́v változása A konvekció egy fontos tulajdonsága a turbulenciának (ı́gy megfelelően kezeljük) ε modell egyenlete Turbulencia és modellezése Lohász Máté Feltesszük, hogy transzport egyenlet ı́rja le A turbulencia léptékei

Levezetés helyett, a k egyenleten alapul k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek ∂t ε + uj ∂j ε = C1ε P ν  ε ε t − C2ε ε − ∂j ∂j ε k k σε A produkció és disszipációkat átskálázzuk ( kε ) és feljavı́tjuk” állandó együtthatókkal (C1ε , C2ε ) ” Gradiens diffúzióval modellezzük a transzportot Schmidt számot használva σε Az ε nem túlságosan pontos! :) (43) A standard k-e modell állandói Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Cν = 0, 09 (44) C1ε = 1, 44 (45) C2ε = 1, 92 (46) σk = 1 σε = 1, 3 (47) (48) Példák az állandókra Homogén turbulencia Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény

viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek dt k = P −ε ε ε dt ε = C1ε P − C2ε ε k k (49) (50) Példák az állandókra Csillapodó turbulencia Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Mivel P = 0, az egyenlet rendszert könnyen meg lehet oldani: !−n k (t) = k0 t t0 ε(t) = ε0 t t0 Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek !−n−1 n= 1 C2ε −1 n könnyen” mérhető ” k -ω modell Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek k egyenlet ugyanaz def ω = C1ν kε Specifikus disszipáció, turbulens frekvencia (ω) az ω egyenlet hasonló a ε egyenlethez transzport egyenlet produkcióval, disszipációval és transzporttal a jobb oldalon az ω egyenlet jobb a falak közelében az ε

egyenlet jobb a távol-térben ⇒ az SST modell keveri a két fajta hosszlépték egyenletet a faltól való távolság függvényében A szükséges peremfeltételek Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek A turbulencia modell PDE-ei transzport egyenletek hasonlóan az energia egyenlethez Lokális változás Konvekció Forrás tagok Transzport tagok Belépő perem feltételek Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Neumann, Dirichlet vagy kevert tı́pusú peremfeltételeket lehet általában használni A belépés általában Dirichlet tı́pusú (adott érték) Peremfeltételek Belépő perem feltételek Végső cél Hogyan adjuk meg k és ε vagy ω értékét a belépő peremeken? A belépő peremfeltételek

közelı́tése Turbulencia fok Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Olyan mennyiségeket használjunk, amit könnyű becsülni Fejlesszünk egyenletet, amellyel k-t és ε-t vagy ω-t lehet számolni olyan mennyiségekből, amelyek mérnökök által becsülhetőek Turbulencia intenzitás √ 2/3k def 0 Tu = uu = u Belépő peremfeltételek közelı́tése Hossz lépték Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Hossz lépték l0 ∼ k 3/2 ε ⇒ε Mérésből (Taylor hipotézist felhasználva) Faltörvény alapján Becsülhető hidraulikus átmérőből l ≈ 0.07dH A belépő peremfeltételek fontossága Turbulencia és modellezése Lohász Máté A turbulencia léptékei k

transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Ha a turbulencia kormányozza az áramlást Példa: Atmoszferikus áramlás, ahol a geometria nagyon egyszerű (sı́k táj, domb), a turbulencia bonyolult az áramlás térbeli történelmén keresztül érdes felület felett felhajtó erő is szerepet játszik A belépő turbulenciára való érzékenységet ellenőrizni kell a szimuláció bizonytalanságát fel kell ismerni mérést is használni kell a szimulációs tartományt fel-vı́zi oldalon ki kell egészı́teni Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál rész III TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Harmadik előadás Kivonat Turbulencia és

modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció 10 Nagy örvény szimuláció Fali peremfeltételek Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Mind k-nak és ε-nak vagy ω-nak szüksége van peremfeltételekre a falnál Mielőtt bevezetnénk a peremfeltételeket és a közelı́tő peremkezelési technikákat, pár dolgot érdemes összefoglalni a fali határrétegek elméletéről Csatorna áramlás Turbulencia

és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Jellemzők Áramlás két végetelen sı́klap között ⇒ teljesen kialakult Csatorna fél szélesség : δ def R δ Átlag sebesség: Ub = 1δ 0 u dy def Ub 2δ ν Reynolds szám: Reb = Reb > 1800 jelenti a turbulenciát Csatorna áramlás (folyt.) Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Áramlás irányú átlagolt mozgásegyenlet Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció 1 0 = νd2y 2 u − dy u 0 v

0 − ∂x p ρ | {z } | {z } dy τl (51) dy τt A nyomásgradienssel (dx pw ) a két csúsztató feszültség tart egyensúlyt: τ = τl + τt Az eloszlás lineáris  y τ (y ) = τw 1 − (52) δ Csatorna áramlás (folyt.) A kétféle csúsztató feszültség Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció A két csúsztató feszültség A viszkózus feszültség a domináns a falnál A turbulens feszültség domináns a faltól távol Mindkét feszültség fontos a közbülső tartományban A fali áramlás két léptéke Turbulencia és modellezése Lohász Máté Definı́ciók Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás

két léptéke def Súrlódási sebesség: uτ = q A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál Nagy örvény szimuláció = q − ρδ dx pw def uτ δ ν Súrlódási Reynolds szám: Reτ = TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek τw ρ = δ δν def uτ ν viszkózus hossz lépték: δν = Az általános faltörvény jellemezhető: uτ  y y  dy u = Φ , y δν δ Φ egy később meghatározandó függvény! (53) Faltörvény A fal közelében Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál Feltehető, hogy csak a fali léptékeknek van szerepe a fal közelében uτ  y  dy u = ΦI for y  δ (54) y δν TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges

peremfeltételek Fali dimenziótlanı́tás + Nagy örvény szimuláció u+ def y+ def = = u uτ y δν (55) (56) Faltörvény Sebesség Turbulencia és modellezése Lohász Máté Viszkózus alapréteg Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál Csak τl számı́t u+ = y + y + < 5 esetén TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Logaritmikus réteg A viszkozitás nincs benne a skálázásban ΦI = 1 κ amennyiben y  δ és y +  1 Log-függvény: u + = 1 κ ln(y + ) + B Mérések alapján: κ ≈ 0.41 és B ≈ 52 Faltörvény Sebesség Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Külső réteg Reynolds

feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Φ csak y /δ-tól függ Az áramlások numerikus szimulációja során ki szeretnénk számolni! ⇒ Nem kell vele foglalkozni. Reynolds feszültség tenzor a falnál uτ skálázás Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Éles csúcs y + = 20-nál Reynolds feszültség tenzor a falnál k skálázás Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a

falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Egy állandó tartomány figyelhető meg a logaritmikus törvény zónájában. TKE mérleg a falnál Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció P/ε ≈ 1 a logaritmikus törvény zónájában P/ε ≈ 1.8 a fal közelében TKE mérleg a falnál Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció A

turbulencia nagyrészt az átmeneti tartományban keletkezik (5 < y + < 30) A turbulencia viszkózusan diffundál a falhoz A turbulencia erősen disszipálódik a falnál Következmény: ε = νd2y 2 k ha y = 0 A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Alacsony Re módszer Turbulencia és modellezése Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás Ebben a módszerben a teljes határréteget numerikusan felbontjuk Mikor használjuk? A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Alacsony Reynolds számú áramlásoknál, ha a felbontásra lehetőség van Ha a határréteg nem egyszerű, azaz nem ı́rható le faltörvénnyel Nagy örvény szimuláció Hogyan csináljuk? Használjunk olyan turbulencia modellt amely figyelembe veszi a fal

közeli viszkózus hatásokat is Használjunk megfelelő fali felbontást (y + < 1) A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Magas Re módszer Turbulencia és modellezése Lohász Máté Ebben a megközelı́tésben az első cella magába foglalja a faltörvényt Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Mikor alkalmazzuk? Magas Reynolds számú áramlások esetén, ha lehetetlen felbontani a fal közeli réteget Ha a határréteg egyszerű, azaz a faltörvény jól leı́rja Nagy örvény szimuláció Hogyan csináljuk? Használjunk olyan turbulencia modellt amely tartalmaz faltörvényes peremfeltételt Használjunk megfelelő fali felbontást (30 < y + < 300) A fali réteg numerikus kezelése,

tényleges peremfeltételek Okos függvények Turbulencia és modellezése A két módszer keverékét fejlesztették ki Lohász Máté Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció hogy a mérnöknek ne kelljen foglalkozni a fali felbontással általában a két módszer keverékére van szükség, attól függően, hogy a számı́tási tartomány mely pontjában vagyunk Felbontásbeli követelemények Bármelyik módszer esetén a határréteg vastagságot (δ) ≈ 20 cellával kell fölbontani (szokásos másodrendű megoldó esetén), hogy megfelelő pontosságot érjünk el Legyünk tisztában mit használunk (képességek különbözőek)! Nagy örvény szimuláció A

modellezés és a szimuláció közötti különbség Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szimuláció A szimulációban a turbulencia jelenségét felbontjuk a numerikus módszerrel, oly módon, hogy megoldjuk a leı́ró egyenleteket Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Modellezés Peremfeltételek Eredmények A turbulencia modellezésében a turbulencia hatásait elméleti és kı́sérleti eredményekre alapozva modellezzük A számı́tásban a turbulenciának egy redukált leı́rását adjuk Közvetlen numerikus szimuláció (DNS) Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója A NS egyenletet (amely teljesen leı́rja a

turbulencia jelenségét) numerikusan megoldjuk Nehézségek Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Azok a skálák ahol a disszipáció lezajlik nagyon kicsik A legkisebb léptékek mérete Reynolds szám függő Peremfeltételek Eredmények A szimuláció csak akadémiai esetekre lehetséges (pl.: HIT 64 ·109 cellát használva) A NÖSZ koncepciója Turbulencia és modellezése A RANS és a DNS közötti kompromisszum Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség RANS: lehetséges, de pontatlan DNS: pontos, de lehetetlen KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek A nagy léptékeket fontos szimulálni Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A turbulencia nagy léptékei peremfeltétel függőek, ezért ezeket szimulálni kell A turbulencia kis léptékei

többé-kevésbé univerzálisak és ı́gy ‘könnyen’ modellezhetőek A kis léptékek eltávolı́tása a szimulációból jelentősen csökkenti a számı́tási igényt Szűrés Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség Hogy vezessük le az egyenleteket? Hogy válasszuk szét a nagy és a kis léptékeket? KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Térbeli szűrés, simı́tás magfüggvényt használva Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények def Z hϕi (xj , t) = G∆ (ri ; xj ) V ϕ(xj − ri , t)dri (57) Szűrő mag Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus

szempontok Peremfeltételek Eredmények G∆ a szűrő mag, melynek tipikus mérete ∆. G∆ kompakt tartójú (az értelmezési tartomány azon része, ahol az érték nem nulla zárt) az első változójában Hogy egy konstans mező szűrtje önmaga legyen igaznak kell, hogy legyen: Z G∆ (ri ; xj )dri = 1 (58) V Ha G∆ (ri ; xj ) homogén a második változójában és izotrop az első változójában akkor G∆ (|ri |) egyváltozós függvény Szűrő mag Példák Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Szűrés Fizikai térben Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A

NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Ingadozás def ϕe = ϕ − hϕi (59) hϕei 6= 0: egyik különbség a Reynolds átlagoláshoz képest Szűrés Spektrális tér Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Emlékeztető: a vágási hullámszám (κc ), az ami alatt modellezésre szükség van Szűrt egyenletek Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség Ha a korábban definiált (homogén, izotrop) szűrőt használjuk Az átlagolás és a deriválás kommutatı́v (felcserélhető) KNSZ A NÖSZ

koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények ∂i hui i = 0 (60) 1 ∂t hui i + uj ∂j hui i = − hpi + ν∂j ∂j hui i − ∂j τij (61) ρ 3D (mivel a turbulencia 3D)) időfüggő (mivel a legnagyobb örvények is időfüggőek) Hálóméret alatti feszültségek Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség τij -t hálóméret alatti (Sub-Grid Scale=SGS) feszültség-nek hı́vják még abból az időből amikor a szűrés közvetlenül a hálóhoz volt rendelve KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek def τij = ui uj − hui i uj Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok A szűrt léptékek hatását reprezentálja Peremfeltételek Eredmények Feszültség tenzor formája van Disszipatı́vnak kell lennie, hogy

kifejezze a kis léptékeken lévő disszipációt (62) Örvény viszkozitás modell Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció Ugyanaz mint RANS-ban A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények 1 τij − τkk δij = −2νt sij 3 (63) A módszer itt (NÖSZ) pontosabb, mivel a kisebb léptékek univerzálisabbak (mint a nagyok amelyeket a RANS-ban modellez) Disszipatı́v ha νt > 0. Szmagorinszki model Turbulencia és modellezése Lohász Máté νt = (Cs ∆)2 | hSi | (64) Nagy örvény szimuláció def A modellezés és a szimuláció közötti különbség | hSi | = q 2sij sij (65) KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Cs

Szmagorinszki konstans, amit meg kell határozni A turbulencia spektrális elmélete alapján valós áramlási esetek validálásával ∆-t elő kell ı́rni Meghatározza a számı́tási igényt (ha túl kicsi akkor magas) Meghatározza a pontosságot (alacsony ha a szűrő túl nagy) Az mozgási energia 80%-nak felbontása egy jó kompromisszum Méret hasonlóság Méret hasonlóság modell Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció Feltételezzük, hogy a levágott kis léptékek hasonlóak a megtartott nagyokhoz! Egy logikus modell: A modellezés és a szimuláció közötti különbség def τij = hui i uj KNSZ A NÖSZ koncepciója − hhui ii uj (66) Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Tulajdonságok Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Nem elég disszipatı́v Alkalmas csúsztatófeszültségeket ad (tapasztalatok alapján)

Logikus kombinálni a Szmag. modellel! Dinamikus módszer Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség Az ötlet azonos a mérethasonlóság modellével KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Az elmélet bonyolultabb Bármely modell dinamikussá tehető A dinamikus Szmagorinszki széles körben használt (ötvözi az előnyöket) Numerikus szempontok Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A térbeli numerikus sémákat a határaiig használjuk (hullámhossz = cella méret), amennyiben a ∆ = h (h =

cellaméret) A numerikus sémák jelentősen befolyásolják az eredményt Hálófüggetlenség h/∆ függvényként: praktikusan lehetetlen elvégezni Peremfeltételek Periodicitás Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Periodicitást használunk a végtelen tartomány modellezésére Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A periodicitás hosszát a turbulencia hosszléptéke adja meg Peremfeltételek Belépés Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Sokkal bonyolultabb mint RANS-nál A

turbulens struktúrákat kell visszaadni Örvényeket kell szintetizálni Külön előzetes számı́tás, ami ‘igazi’ turbulenciát ad Peremfeltételek Fal Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ Falaknál a tapadás törvénye alkalmazható, amennyiben megfelelő felbontást használunk (igazi LES) A szűkséges fali felbontás A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok y+ ≈ 1 Peremfeltételek Eredmények (67) x + ≈ 50 (68) z + ≈ 10 − 20 (69) Eredmények Idő átlagolt mennyiségek Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Hasonlóan felhasználható, mint RANS esetén. Szűrés Szűrt egyenletek Örvény

viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Szerencsés esetben pontosabb mint a RANS, de rossz használat esetén sokkal pontatlanabb! Eredmények Időfüggő struktúrák Turbulencia és modellezése Lohász Máté Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Az örvények mozgását követhetjük. Lehetőséget teremt a turbulencia befolyásolására