Matematika | Középiskola » Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló I. Fejezet Kombinatorika Permutáció a) Ismétlés nélküli n különböző elem lehetséges sorrendje Pn = n! b) Ismétléses n nem feltétlenül különböző elem összes különböző sorrendje n! Pnk1 ,k2 ,.,kn = , ahol k i az azonos elemek gyakorisága k1!k 2 !.k n ! Kombináció a) Ismétlés nélküli n különböző elemből k különböző elem kiválasztása, ahol nem számít a sorrend (1 ≤ k ≤ n ) n! n(n − 1)(n − 2 ).(n − k + 1) ⎛ n ⎞ C nk = = = ⎜⎜ ⎟⎟ k!(n − k )! k! ⎝k ⎠ b) Ismétléses n különböző elemből k elem kiválasztása (egy elemet többször is választhatunk), ahol nem számít a sorrend ( k ≥ 1 és k lehet nagyobb is n nél) ⎛ n + k − 1⎞ (n + k − 1)! (n + k − 1)(n + k ).n ⎟⎟ = = C nk ,i = ⎜⎜ k! ⎝ k ⎠ k!(n − 1)! Variáció a) Ismétlés nélküli n különböző elemből k különböző elem kiválasztása, tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére (1

≤ k ≤ n ) n! Vnk = = n(n − 1)(n − 2).(n − k + 1) (n − k )! b) Ismétléses n különböző elemből k elem kiválasztása (egyet többször is választhatunk), tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére ( k ≥ 1 és k lehet nagyobb is n -nél) Vnk ,i = n k Axiómák: ⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝0⎠ 0!= 1 ⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝ n⎠ ⎛0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝0⎠ Binomiális-tétel: n n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ n−2 2 ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ n −1 ⎟⎟ab + b n = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟a n −k b k ⎟⎟a b + ⎜⎜ ⎟⎟a b + . + ⎜⎜ k =0 ⎝ k ⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝1⎠ (a + b )n = a n + ⎛⎜⎜ Polinomiális-tétel: k n! a1j1 a 2j2 .a kjk , ahol ∑ ji = n j1! j 2 !. j k ! i =1 A felbontás elég csak a j1 ≥ j2 ≥ . ≥ jn esetre elvégezni (a1 + a2 + . + an )n = ∑ A j -k szerinti felbontást a k -nak minden j szerinti kombinációjára meg kell nézni. A binomiális együtthatók tulajdonságai ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎟⎟ a) ⎜⎜

⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝k ⎠ ⎝n − k ⎠ ⎛ n + 1⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ b) ⎜⎜ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k ⎠ ⎛n⎞ n ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ c) ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + K + ⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 n ⎝ n ⎠ v =0 ⎝ v ⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎧ n ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎪1, n ⎛n⎞ v ⎛ n⎞ d) ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ + K + (− 1) ⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ (− 1) ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ n ⎠ v =0 ⎝ v ⎠ ⎪⎩0, ha n = 0 ha n > 0 Binomiális együtthatók Cauchy-féle tulajdonsága ⎛ m ⎞⎛ n ⎞ k ⎛ m ⎞⎛ n ⎞ ⎛ m + n ⎞ ⎛ m ⎞⎛ n ⎞ ⎛ m ⎞⎛ n ⎞ ⎟⎟ , ahol m, n, k ∈ Z + ⎟⎟ + K + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ k ⎠⎝ 0 ⎠ v =0 ⎝ v ⎠⎝ k − v ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ 0 ⎠⎝ k ⎠ ⎝ 1

⎠⎝ k − 1⎠ Stirling-formula: 2 n!≈ n n e − n 2πn II. Fejezet Eseményalgebra Teljes eseményrendszer 1) Bi B j = 0 n 2) UB i i = 1,2,K, n j = 1,2,K, n =I i =1 H eseménytér, amely n számú elemi eseményt tartalmaz: ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ n ⎛n⎞ Lehetséges események száma: s n = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + K + ⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 n ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ n ⎠ v =0 ⎝ v ⎠ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ Összetett események száma: s n = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + K + ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 n − ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 n − n − 1 ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝n⎠ ⎝1⎠ ⎝0⎠ Műveletek eseményekkel a) A ⊂ B A⊂ B A⊂ B b) A A és és A esemény maga után vonja B eseményt A⊃ B ⇒ A= B B⊂C ⇒ A⊂C esemény ellentettje A= A A = B ⇒ A = B akkor és csak akkor, ha A és B is ugyanahhoz az eseménytérhez tartoznak I = 0 és 0 = I ( A ∪ B ) A és B események közül legalább az egyik

bekövetkezik c) A + B kommutatív A+ B = B + A ( A + (B + C )) = (( A + B ) + C ) asszociatív (A ∩ B) A és B esemény is bekövetkezik d) AB kommutatív AB = BA A(BC ) = ( AB )C asszociatív A esemény bekövetkezik, de B nem e) A − B A − b = AB A Borel-féle halmazalgebra ( σ -algebra) 3 tulajdonsága: 1) Bármely A elemének komplementerét is tartalmazza, beleértve I = 0 is. 2) Bármely A és B elemének az unióját is tartalmazza. 3) Elemei bármely végtelen sorozatának egyesítését is tartalmazza (összegét és ∞ szorzatát), általánosan: ∞ IA =UA i i =1 i i =1 Az 1) és a 2) feltétel meghatározza az általános halmazalgebra fogalmát. 3 Összefüggések a) AB = 0 ⇔ A és B kizárják egymást b) Minden olyan esemény, amely nem lehetetlen és nem elemi esemény, egyértelműen felírható meghatározott elemi események összegeként. c) A biztos esemény egyenlő az elemi események összegével: I = A1 + A2 + K d) A szorzás az

összeadásra nézve disztributív és fordítva: A(B + C ) = AB + AC A + (BC ) = ( A + B )( A + C ) e) A szorzás és az összeadás idempotens művelet: A+ A = A AA = A f) A + 0 = A A0 = 0 g) A + I = I AI = A h) A + A = I AA = 0 i) De Morgan-azonosságok ∞ A + B = AB ∞ UA =IA i általános alak: i i =1 i =1 ∞ ∞ i =1 i =1 I Ai = U Ai AB = A + B A + ( AB ) = A A( A + B ) = A k) Tetszőleges A és B eseményekre igaz az összeadandókra bontás: A = ( AB ) + A B , ha ( AB ) AB = 0 l) Ha Bi (i = 1,2,K, n ) teljes eseményrendszer és A tetszőleges esemény, akkor: j) ( ) ( ) A = ( AB1 ) + ( AB2 ) + K + ( ABn ) és ( ABi )(AB j ) = 0 (i = 1,2,K, n ) ( j = 1,2,K, n ) 4 III. Fejezet Valószínűség Kolmogorov-féle axiómák: 0 ≤ P ( A) ≤ 1 P (I ) = 1 de P( A) = 1 ≠> A = I P( A1 + A2 + K + An + K) = P( A1 ) + P( A2 ) + K + P( An ) + K I. II. III. i = (1,2,K, n ) ha Ai A j = 0 j = (1,2,K, n ) A valószínűség klasszikus képlete P ( A) = k ,

ahol k a kedvező esetek száma, n az összes eset száma. n Geometriai valószínűségi képlet m , M ahol M a kísérlettel kapcsolatban szóba jövő teljes geometriai alakzat mértéke, m az A eseménynek megfelelő részalakzat mértéke. P ( A) = Tételek () a) P( A) + P A = 1 b) P(0) = 0 , de P(0 ) = 0 ≠> A = 0 c) P( A1 ) + P( A2 ) + K + P( An ) = 1 ha A1 , A2 ,K, An teljes eseményrendszert alkotnak d) P ( A − B ) = P ( A) − P( AB ) e) Ha B ⊂ A , akkor P ( A − B ) = P ( A) − P (B ) P ( B ) ≤ P ( A) f) P( A + B ) = P ( A) + P (B ) − P ( AB ) g) Poincaré-tétel n −1 P ( A1 + A2 + K + An ) = S1(n ) − S 2(n ) + S 3(n ) − K + (− 1) S n(n ) , ahol S1(n ) = P( A1 ) + P( A2 ) + K + P( An ) S 2(n ) = S 3(n ) = M ∑ P (A A ) ∑ P (A A A ) i 1≤i < j ≤ n 1≤i < j < k ≤ n M j i j S n = P( A1 A2 K An ) (n ) k M 5 h) Jordan-tétel Annak valószínűsége, hogy n eseményből k következik be: ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 2⎞

⎛n⎞ ⎟⎟ S k +1 + ⎜⎜ ⎟⎟ S k + 2 − K + (− 1)n−k ⎜⎜ ⎟⎟ S n , ahol Pk = S k − ⎜⎜ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝k ⎠ S1(n ) = P( A1 ) + P( A2 ) + K + P( An ) S 2(n ) = S 3(n ) = M ∑ P (A A ) ∑ P (A A A ) i 1≤i < j ≤ n 1≤i < j < k ≤ n j i j M k M S n(n ) = P( A1 A2 K An ) A1 , A2, K, An tetszőleges események és k ≥ 1 k = 0 esetén S 0 = 1 i) j) ∞ A1 ⊃ A2 ⊃ K ⊃ An ⊃ An+1 ⊃ K és IA i =A ⇒ lim P( An ) = P ( A) A1 ⊂ A2 ⊂ K ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ K és UA 1 =A ⇒ lim P( An ) = P( A) i =1 ∞ i =1 n ∞ n ∞ Mintavétel a) Visszatevés nélküli mintavétel Függetlenül attól, hogy egyszerre vagy egyenként emeltük ki az elemeket. ⎛ s ⎞⎛ N − s ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟ k ⎠⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ (k = 1,2,K, n ) P( Ak ) = ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠ b) Visszatevéses mintavétel k n−k ⎛ n ⎞⎛ s ⎞ ⎛ N − s ⎞ ⎛ n⎞ k n−k (k = 1,2,K, n) P( Ak ) = ⎜⎜ ⎟⎟⎜

⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p ) k k n N ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ahol: N a termékhalmaz elemeinek a száma s a selejtes termékek száma n a minta elemszáma k a mintában lévő selejtes elemek száma s p= a selejtarány N Ak az az esemény, amikor az n elemű mintában k számú selejtes van Feltételes valószínűség 1. A esemény bekövetkezésének valószínűsége, feltéve, hogy B esemény bekövetkezetta 2. A esemény B -re vonatkoztatott feltételes valószínűsége: P( AB ) P(A B ) = , ahol P (B ) ≠ 0 P (B ) 3. A feltételes valószínűségekre vonatkozó Kolmogorov-axiómák: 6 a) 0 ≤ P ( A B ) ≤ 1 P( AB ) P(B ) = = 1 , mivel ha B ⊂ A ⇒ A B = I ⇒ AB = I P (B ) P ( B ) P(( A1 + A2 K)B ) c) P( A1 + A2 + K B ) = , ahol A1 , A2 ,K egymást páronként P(B ) kizáró események 4. A feltételes valószínűségekre igaz minden általános valószínűségszámítási tétel P A B + P(A B ) = 1 Pl.: P( A1 + A2 B ) = P( A1 B ) + P( A2 B ) −

P( A1 A2 B ) b) P( A B ) = ( ) 5. Valószínűségek szorzási szabálya: P ( AB ) = P( A)P (A B ) ⎛ n ⎞ P⎜⎜ I Ai ⎟⎟ = P ( A1 )P ( A2 A1 )P ( A3 A1 A2 )K P (An A1 A2 K An−1 ) ⎝ i =1 ⎠ Teljes valószínűség tétele n P ( A) = P ( A B1 )P (B1 ) + P (A B2 )P (B2 ) + K + P ( A Bn )P(Bn ) = ∑ P ( A Bi )P(Bi ) , i =1 ahol B1 , B2 ,K, Bn teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi ) ≠ 0 Bayes-tétel P(Bi A) = P( A Bi )P(Bi ) ∑ P(A B )P(B ) n j =1 j (i = 1,2,K, n) . (i = 1,2,K, n ) , ahol j B1 , B2 ,K, Bn teljes eseményrendszert alkotnak (i = 1,2,K, n) P(Bi ) ≠ 0 P ( A) ≠ 0 A tetszőleges esemény Események függetlensége 1. Két esemény független , ha a) P ( AB ) = P( A)P(B ) b) P (A B ) = P ( A) c) P (B A) = P (B ) 2. A biztos esemény és a lehetetlen esemény minden más eseménytől független 3. Ha A és B események függetlenek egymástól, akkor függetlenek a) A és B b) A és B c) A és B 7 események is. 4. Az A1 , A2 ,K, An

események páronként függetlenek, ha minden i ≠ j -re fennáll: P (A i A j ) = P ( A i )P (A j ) (i , j = 1, 2 , K , n ) 5. Az A1 , A2 ,K, An események teljesen függetlenek, ha közülük bárhogyan (k = 1,2,K, n ) számú Ai1 , Ai2 ,K, Aik eseményeket, ezekre fennáll: kiválasztva k ( ) ( )( ) ( ) P Ai1 , Ai2 ,K, Aik = P Ai1 P Ai2 K P Aik n ⎛n⎞ ∑ ⎜⎜ k ⎟⎟ = 2 − n −1 ⎝ ⎠ 7. Ha A1 , A2 ,K, An események (teljesen) függetlenek, akkor függetlenek azok az események is, amelyeket ezekből úgy nyerünk, hogy közülük néhányat (akár mindet) a komplementerükkel kicserélünk. 6. A teljes függetlenséghez szükséges követelmények száma: n k =2 8. Ha A1 , A2 ,K, An események (teljesen) függetlenek, akkor annak valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik: P ( A1 + A2 + K An ) = 1− P A1 P A 2 K P A n ( )( ) ( ) 9. Ha a fenti események ugyanazzal a p = P( Ai ) valószínűséggel következnek be: P ( A1 + A2 +

K An ) = 1 − (1 − p ) n 10. Ha A1 , A2 ,K, An események (teljesen) függetlenek, akkor annak valószínűsége, hogy közülük pontosan k számú következik be: ⎛n⎞ Pk = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p ) n− k (k = 1,2,K, n ) ⎝k ⎠ 12. Független kísérlet: P( A1 A2 K An ) = P( A1 )P( A2 )K P( An ) 13. Bernoulli-tétel n számú független kísérlet esetén, ha minden kísérletnél az érdekel, hogy p = P( A) valószínűségű esemény megvalósul-e vagy sem, akkor annak valószínűsége, hogy A esemény pontosan k -szor következik be: ⎛n⎞ p k = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p) n− k (k = 1,2,K, n ) ⎝k ⎠ 8 IV. Fejezet Bevezetés a valószínűségi változók elméletébe Eloszlásfüggvény 1. F ( x) = P(ξ < x) (−∞ < x < +∞) , ahol x tetszőleges valós szám 2. Tulajdonságai: a) Monoton növekvő, azaz x1 < x 2 ⇒ F ( x1 ) < F ( x 2 ) b) Balról folytonos, azaz tetszőleges a helyen F (a ) = lim F ( x ) c) F (− ∞ ) = lim F ( x )

= 0 és F (+ ∞ ) = lim F ( x ) = 1 x −∞ xa −0 x ∞ 3. Minden a fenti jellemzőkkel bíró függvény tekinthető egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének 4. Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye lépcsős függvény 4. Ha F ( x ) a ξ valószínűségi változó eloszlás függvénye és a < b , akkor P (a ≤ ξ < b ) = F (b ) − F (a ) 5. Ha az F ( x ) eloszlásfüggvény az x = a helyen folytonos, akkor P (ξ = a ) = 0 6. Ha a ξ folytonos valószínűségi változó, akkor P (a ≤ ξ ≤ b ) = P (a < ξ ≤ b ) = P(a < ξ < b ) = P (a ≤ ξ < b ) Sűrűségfüggvény 1. f ( x ) = F (x ) 2. Tulajdonságai: a) f (x ) ≥ 0 mindenütt, ahol értelmezve van. b) F ( x ) = x ∫ f (t )dt −∞ +∞ c) ∫ f (x )dx = 1 −∞ b d) P(a ≤ ξ < b ) = ∫ f ( x )dx a 3. Minden olyan nemnegatív f (x ) valós függvény, amely a (− ∞,+∞ ) +∞ intervallumon integrálható, és eleget tesz a ∫ f

(x )dx = 1 egyenlőségnek, egy −∞ valószínűségi változó sűrűségfüggvényének tekinthető. Várható érték 1. Diszkrét valószínűségi változó várható értéke: ξ lehetséges értékei x1 , x2 ,K és az ehhez tartozó valószínűségek rendre p1 , p 2 ,K és ∞ ∑p i =1 i = 1 , akkor ξ várható értéke: ∞ M (ξ ) = ∑ xi pi , i =1 9 ha ez a végtelen sor abszolút konvergens, azaz ∞ ∑x i =1 i pi konvergens 2. Folytonos valószínűségi változó várható értéke: ξ sűrűségfüggvénye f (x ) , akkor ξ várható értéke: M (ξ ) = +∞ ∫ xf (x )dx −∞ +∞ ha ez az integrál abszolút konvergens, azaz ∫ x f (x )dx konvergens −∞ 3. Ha az abszolút konvergenciára tett kritériumok nem teljesülnek, akkor ξ -nek nincs várható értéke 4. Ha ξ tetszőleges valószínűségi változó, akkor η = aξ 2 + bξ + c várható értéke: ( ) ( ) M η = aξ 2 + bξ + c = aM ξ 2 + bM (ξ ) + c feltéve,

hogy M (η ) létezik. Szórás ( ) 1. D(ξ ) = M (ξ − M (ξ )) , 2 ha ξ -nek és (ξ − M (ξ )) -nek van várható értéke 2 ( D 2 (ξ ) = M (ξ − M (ξ )) 2. Szórásnégyzet: 2 ( ) ) ( ) D (ξ ) = M ξ − (M (ξ )) = M ξ 2 − M 2 (ξ ) 3. Ha η = aξ + b , ahol a és b tetszőleges valós számok, akkor: D (η ) = D (aξ + b ) = a D (ξ ) 2 2 2 4. Ha ξ lehetséges értékei 1,2,K, n , és ezek mindegyikét egyenlő valószínűséggel veszi fel, akkor: n 1 n +1 M (ξ ) = ∑ k = n 2 k =1 n2 −1 D (ξ ) = 12 2 Várható eltérés a) d (ξ ) = M (ξ − M (ξ ) ) , ha M (ξ ) létezik b) d (ξ ) ≤ D(ξ ) c) Ha η = aξ + b , akkor d (aξ + b ) = a d (ξ ) 10 V. Fejezet Nevezetes valószínűségeloszlások Diszkrét valószínűségi változók eloszlása a) Karakterisztikus eloszlás: 0 és 1 Lehetséges értékei: Valószínűségeloszlása: P(ξ = 1 ) = p, P(ξ = 0 ) = 1 − p = q M (ξ ) = p Várható értéke: D 2 (ξ ) = pq = p(1 − p

) Szórásnégyzete: b) Hipergeometriai eloszlás: 1. Lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3, , n 2. Valószínűségeloszlása: ⎛ s ⎞⎛ N − s ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ k ⎠⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ P(ξ = k ) = ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠ (k = 1,2,K, n ) ⎛ Np ⎞⎛ N (1 − p )⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ k ⎠⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ P(ξ = k ) = ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠ vagy ahol: N a vizsgált dolgok darabszáma s a bizonyos tulajdonsággal bíró elemek száma n a minta elemszáma k a mintában lévő bizonyos tulajdonsággal bíró elemek száma 3. Várható értéke: M (ξ ) = np 4. Szórásnégyzete: D 2 (ξ ) = npq s N −n , ahol q = 1 − p és p = N N −1 c) Binomiális eloszlás: 1. Lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3, , n 2. Valószínűségeloszlása: 3. Várható értéke: ⎛n⎞ P(ξ = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p) n− k (k = 1,2,K, n ) ⎝k ⎠ M (ξ ) = np D 2 (ξ ) = npq , ahol q = 1 − p 4. Szórásnégyzete: d) Geometriai

eloszlás 1. Valószínűségeloszlása: P (ξ = x k ) = p k = pq k −1 = p (1 − p ) 1 M (ξ ) = 2. Várható értéke: p k −1 3. Szórása: D(ξ ) = (k = 1,2,K) q 1− p = p p e) Poisson-eloszlás 11 1. Lehetséges értékei: nemnegatív egészek 2. Valószínűségeloszlása: P(ξ = k ) = 3. Várható értéke: M (ξ ) = λ 4. Szórásnégyzete: λk k! e −λ (k = 1, 2, , n) és λ > 1 D 2 (ξ ) = λ f) Diszkrét egyenletes eloszlás 1. Valószínűségeloszlása: P(ξ = xk ) = (k = 1,2,K, n ) 1 n n 2. Várható értéke: M (ξ ) = ∑x i =1 i n ⎛ n ⎞ n ∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ D 2 (ξ ) = i =1 n2 n 2 2 i 3. Szórásnégyzete: Folytonos valószínűségi változók eloszlása a) Egyenletes eloszlás ⎧ 0, ha x≤a ⎪ ⎪x −a 1. Eloszlásfüggvénye: F (x ) = ⎨ , ha a< x≤b b − a ⎪ ⎪ 1, ha b<x ⎩ 1 ⎧ , ha a< x<b ⎪ 2. Sűrűségfüggvénye: f (x ) = ⎨ b − a ⎪0 különben ( x ≠ a, x ≠ b

) ⎩ b+a M (ξ ) = 3. Várható értéke: 2 b−a D(ξ ) = 4. Szórása: 2 3 b) Normális eloszlás 1 1. Eloszlásfüggvénye: F ( x ) = σ 2π x ∫e − (t − m )2 2σ 2 dt −∞ ( x − m )2 − 1 2 (− ∞ < x < ∞ ) , ahol σ > 0 és e 2σ 2. Sűrűségfüggvénye: f ( x ) = σ 2π m tetszőleges valós szám ⎛ x−m⎞ 3. F (x ) = Φ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ 4. Várható értéke: M (ξ ) = m 5. Szórása: D(ξ ) = σ 1 ⎛ x−m⎞ 6. f ( x ) = ϕ ⎜ ⎟ σ ⎝ σ ⎠ 12 ⎛ x−m⎞ ⎟ ⎝ σ ⎠ c) Standard normális eloszlás 7. F ( x ) = Φ⎜ 1 1. Eloszlásfüggvénye: Φ( x ) = 2π x ∫e − −∞ t2 1 −2 e 2π 2. Sűrűségfüggvénye: ϕ ( x ) = 3. Φ (− x ) = 1 − Φ( x ) t2 2 (− ∞ < x < ∞ ) , ahol σ = 1 és m = 0 4. ϕ (− x ) = 1 − ϕ ( x ) 5. P (− x < ξ ≤ x ) = Φ (x ) − Φ(− x ) = Φ ( x ) − (1 − Φ( x )) = 2Φ ( x ) − 1 6. P (M ( x ) − a < ξ ≤ M ( x ) + a ) = 2Φ (a ) − 1 d)

Exponenciális eloszlás ⎧ ⎪1 − e −λx , 1. Eloszlásfüggvénye: F ( x ) = ⎨ ⎪⎩ 0, ⎧ − λx ⎪λe , 2. Sűrűségfüggvénye: f ( x ) = ⎨ ⎪⎩ 0 , 3. Várható értéke: M (ξ ) = 4. Szórása: D(ξ ) = ha x ≥ 0 ha x < 0 ha x > 0 ha x < 0 , ahol λ pozitív valós szám 1 λ 1 λ 13 VI. Fejezet Kétdimenziós valószínűségi (vektor)változók Kétdimenziós diszkrét valószínűségi vektorok valószínűségeloszlása pik = P(ξ = xi ,η = y k ) η ξ ∑∑ p k (i, k = 1,2,K) y1 y2 K x1 p11 p12 K x2 p 21 p 22 K M M M ik =1 i Permeloszlások Ha pik = P(ξ = xi ,η = y k ) (i, k = 1,2,K) (ξ ,η ) -nak ξ -hez tartozó peremeloszlása: pi = P(ξ = xi ) = ∑ P(ξ = xi ,η = y k ) = ∑ pik k k (ξ ,η ) -nak η -hez tartozó peremeloszlása: q k = P(η = y k ) = ∑ P(ξ = xi ,η = y k ) = ∑ pik i η ξ i ξ peremeloszlása y1 y2 K x1 p11 p12 K ∑p x2 p 21 p 22 K ∑p M M M O M K 1

η peremeloszlása ∑p ∑p i1 i i2 i Valószínűségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye 1k k 2k k 1. A (ξ ,η ) valószínűségi vektor eloszlásfüggvénye: F (x, y ) = P(ξ < x,η < y ) (− ∞ < x < ∞,−∞ < y < ∞ ) 2. Ha (ξ ,η ) diszkrét, és ( xi , yk ) -val ennek lehetséges megvalósulásait jelöljük (i = 1,2,K; k = 1,2,K) , akkor (ξ ,η ) eloszlásfüggvénye: F ( x, y ) = ∑∑ P(ξ = x ,η = y ) yk < y xi < x 14 i k 3. A kétdimenziós (ξ ,η ) eloszlásfüggvényének főbb tulajdonságai: a) Az F ( x, y ) eloszlásfüggvény a 0 -hoz tart, ha bármelyik változója (akár mind a kettő) a − ∞ -be tart. F (x,−∞ ) = lim F ( x, y ) = 0 y −∞ F (− ∞, y ) = lim F ( x, y ) = 0 x −∞ F (− ∞,−∞ ) = b) c) lim ( x , y )( −∞ , −∞ ) F ( x, y ) = 0 Az F ( x, y ) eloszlásfüggvény mindkét változójában legalább balról folytonos. Az F ( x, y ) eloszlásfüggvény

határértéke 1, ha mindkét változója a + ∞ -be tart. F (+ ∞,+∞ ) = lim ( x , y )( + ∞ , +∞ ) F ( x, y ) = 1 4. Ha F ( x, y ) a (ξ ,η ) eloszlásfüggvénye, akkor: P(a1 ≤ ξ < a 2 , b1 ≤ η < b2 ) = F (a 2 , b2 ) + F (a1 , b1 ) − F (a 2 , b1 ) − F (a1 , b2 ) Valószínűségi vektorváltozók sűrűségfüggvénye 1. Ha F ( x, y ) a (ξ ,η ) eloszlásfüggvénye és létezik olyan f (x, y ) függvény, amely az egész [x, y ] síkon integrálható, és amellyel minden x -re és y -ra F ( x, y ) = x y ∫ ∫ f (u, v )dvdu − ∞−∞ fennáll, akkor (ξ ,η ) folytonos és sűrűségfüggvénye: F xy ( x, y ) = F yx ( x, y ) = f ( x, y ) 2. A kétdimenziós (ξ ,η ) sűrűségfüggvényének főbb tulajdonságai: a) Az f (x, y ) sűrűségfüggvény sehol sem negatív, azaz az értelmezési tartományának minden pontján f ( x, y ) > 0 . b) Az f (x, y ) sűrűségfüggvényre nézve mindig teljesül, hogy: +∞+∞ ∫ ∫ f (x, y

)dxdy = 1 − ∞− ∞ b2 a2 3. P (a1 ≤ ξ < a 2 , b1 ≤ η < b2 ) = ∫ ∫ f (x, y )dxdy b1 a1 Perem-eloszlásfüggvény és perem-sűrűségfüggvény 1. Ha a (ξ ,η ) valószínűségi vektor eloszlásfüggvénye F ( x, y ) , a ξ eloszlásfüggvénye F1 (x ) , az η eloszlásfüggvénye F2 ( y ) , akkor: F1 (x ) = F (x,+∞ ) = lim F (x, y ) y ∞ F2 ( y ) = F (+ ∞, y ) = lim F (x, y ) x ∞ Ekkor F1 (x ) és F2 ( y ) (ξ ,η ) perem-eloszlásfüggvényei, függetlenül attól, hogy ξ és η diszkrét vagy folytonos valószínűségi változó. 15 2. Ha a (ξ ,η ) valószínűségi vektor sűrűségfüggvénye f (x, y ) , a ξ sűrűségfüggvénye f1 (x ) , az η sűrűségfüggvénye f 2 ( y ) , akkor: f1 ( x ) = +∞ ∫ f (x, y )dy −∞ f2 (y) = +∞ ∫ f (x, y )dx −∞ Ekkor f1 (x ) és f 2 ( y ) (ξ ,η ) perem-sűrűségfüggvénye, ha ξ és η folytonos valószínűségi változók. Valószínűségi változók függetlensége

1. A ξ és η valószínűségi változók (egymástól) függetlenek, ha minden x és y értékre fennáll, hogy: P(ξ < x,η < y ) = P(ξ < x )P(η < y ) 2. F ( x, y ) = F1 ( x )F2 ( y ) 3. Ha a ξ és η valószínűségi változók (egymástól) függetlenek, akkor bárhogy is választjuk ki az (a, b ) és (c, d ) intervallumokat, az a ≤ ξ < b és c ≤ η < d események szorzatának valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségének szorzatával: P(a ≤ ξ < b, c ≤ η < d ) = P(a ≤ ξ < b )P(c ≤ η < d ) 4. Szükséges és elégséges feltétel függetlenséghez: a) Diszkrét eset ξ és η függetlenségének szükséges és elégséges feltétele, hogy pik = P(ξ = xi ,η = y k ) = P(ξ = xi )P(η = yk ) = pi qk , ahol xi és y k végigfutnak ξ és η összes lehetséges értékén. b) Folytonos eset ξ és η függetlenségének szükséges és elégséges feltétele, hogy f ( x, y ) = f 1 ( x ) f 2 ( y ) egyenlőség

minden x -re és y -ra teljesüljön. Valószínűségi változók függvényeinek eloszlása a) b) c) Ha ξ1 és ξ 2 függetlenek és binomiális eloszlásúak n1 és p , illetőleg n 2 és p paraméterekkel, akkor ξ1 + ξ 2 is binomiális eloszlású, amelynek paraméterei: n1 + n2 és p . Ha ξ1 és ξ 2 függetlenek és Poisson-eloszlásúak λ1 és λ 2 paraméterekkel, akkor ξ1 + ξ 2 is Poisson-eloszlású, amelynek paramétere λ1 + λ2 . Ha ξ1 és ξ 2 függetlenek és geometriai eloszlásúak n1 és p , illetőleg n 2 és p paraméterekkel, akkor ξ1 + ξ 2 is binomiális eloszlású, amelynek paraméterei: n1 + n2 és p . Kétdimenziós valószínűségi változók várható értéke és szórása 1. Ha (ξ1 , ξ 2 ) diszkrét valószínűségi vektor, és y = r ( x1 , x 2 ) tetszőleges függvény, akkor az η = r (ξ1 , ξ 2 ) várható értéke: 16 ( )( M (η ) = ∑∑ r xi(1) , x (j2 ) P ξ1 = xi(1) , ξ 2 = x (j2 ) j ) i Az (xi(1) , x (j2 ) )

számpárok (ξ1 , ξ 2 ) lehetséges értékeit jelentik. 2. Ha (ξ1 , ξ 2 ) folytonos valószínűségi vektor, amelynek sűrűségfüggvénye f ( x1 , x2 ) , továbbá y = r ( x1 , x 2 ) folytonosan differenciálható függvény, akkor az η = r (ξ1 , ξ 2 ) várható értéke: M (η ) = +∞+∞ ∫ ∫ r (x , x ) f (x , x )dx dx 1 2 1 2 1 2 , − ∞− ∞ 3. 4. 5. 6. M (ξ + η ) = M (ξ ) + M (η ) M (aξ + b ) = aM (ξ ) + b M (aξ + bη ) = aM (ξ ) + bM (η ) D 2 (aξ + b ) = a 2 D 2 (ξ ) ⇒ D (aξ + b ) = a D (ξ ) 7. Ha a ξ és η valószínűségi változók függetlenek, akkor M (ξη ) = M (ξ )M (η ) , ahol a függetlenség nem szükséges, de elégséges feltétele a képlet teljesülésének. 8. Ha a ξ1 , ξ 2 ,K, ξ n valószínűségi változók függetlenek, akkor D 2 (ξ1 + ξ 2 + K + ξ n ) = D 2 (ξ1 ) + D 2 (ξ 2 ) + K + D 2 (ξ n ) D(ξ1 + ξ 2 + K + ξ n ) = D 2 (ξ1 ) + D 2 (ξ 2 ) + K + D 2 (ξ n ) A sztochasztikus kapcsolat mérése

1. Kovariancia a) A ξ és η kovarianciája: cov(ξ ,η ) = M ((ξ − M (ξ ))(η − M (η ))) b) cov(ξ ,η ) = cov(η , ξ ) c) Ha a ξ és η valószínűségi változók kovarianciája létezik, akkor így is kiszámítható: cov(ξ ,η ) = M (ξη ) − M (ξ )M (η ) d) cov(ξ ,η ) ≤ D (ξ )D (η ) e) Ha a ≠ 0 és η = aξ + b , akkor cov(ξ ,η ) = D (ξ )D (η ) f) cov(ξ + a,η + b ) = cov(ξ ,η ) g) cov(aξ , bη ) = ab cov(ξ ,η ) 2. Korrelációs együttható a) A ξ és η valószínűségi változók korrelációs együtthatója: cov(ξ ,η ) M (ξη ) − M (ξ )M (η ) corr (ξ ,η ) = = D(ξ )D(η ) D(ξ )D(η ) b) A ξ és η valószínűségi változók korrelációs együtthatója mindig − 1 és + 1 közé esik: − 1 ≤ corr (ξ ,η ) ≤ +1 Az corr (ξ ,η ) akkor és csak akkor egyenlő + 1 -gyel vagy − 1 -gyel, ha ξ és η között lineáris kapcsolat áll fenn, azaz, ha létezik olyan a ≠ 0 és b 17 szám, hogy az η = aξ + b

egyenlőség 1 valószínűséggel teljesül. Ez esetben corr (ξ ,η ) = 1 , ha a > 0 , és corr (ξ ,η ) = −1 , ha a < 0 . corr (ξ ,η ) = 0 c) Ha ξ és η függetlenek, akkor: d) Ha corr (ξ ,η ) = 0 , akkor ξ és η korrelálatlanok, de nem feltétlenül függetlenek. M (ξη ) = M (ξ )M (η ) e) Ha ξ és η korrelálatlanok, akkor: D 2 (ξ + η ) = D 2 (ξ ) + D 2 (η ) f) Ha ξ és η korrelálatlanok, akkor: g) corr (aξ , bη ) = ab ⋅ corr (ξ ,η ) h) Ha ξ és η korrelálatlanok, és együttes eloszlásuk normális eloszlás, akkor ξ és η függetlenek is. 18