Matematika | Középiskola » Matematika szóbeli érettségi tételek, 2003

Matematika szóbeli érettségi tételek - 2003 /*Jelmagyarázat: () matematikai zárójel [] szöveges zárójel {} több tényezős tört eleje, és vége ^ hatványozás ` gyökjel <> Nem egyenlő | abszolútérték Ahol a jelölés [.]-et, vagy {}-t követel, ott duplázva vannak a zárójelek: {{a +b}}: az A +B-t kapcsos zárójelek közé kell tenni. Az egy sor kihagyás új bekezdést, a két sor kihagyás új tételt, a négy sor kihagyás új témakört jelöl! Az egyes bekezdésekben a matematikai egyenletek, levezetések, stb. (a sorokat figyelembe véve) formázottak, egy sor egy matematikai sornak felel meg, míg a szöveg bárhogyan átalakítható; viszont a matematikai, és szöveges sorok külön nincsenek megjelölve. */ Érettségi tételek matematikából Valós számok 1. Mit értünk két, vagy több szám közös osztóján; hogyan határozhatjuk meg? Két, vagy több szám közös osztója az a legnagyobb egész szám, amely az adott számok

mindegyikének osztója, azaz maradék nélkül meg van bennük. A legnagyobb közös osztót úgy állítjuk elő, hogy a számokat prímhatványok szorzatára bontjuk, és azokat a prímszámokat, amelyek mindegyik számban szerepelnek, az előforduló legkisebb hatványkitevőre összeszorozzuk. Például: 360 =2^3*3^25 980 =2^2*57^2 1200 =2^4*35^2 E három szám legnagyobb közös osztója: 2^2*5 =20 Magyarázat: Azért 2^2, mert a kettes hatványai mindegyik számban szerepelnek, de a legkisebb hatványon a 980-ban. Az 5-ös is mindegyikben szerepel, s a legalacsonyabb hatványon az 1-es kitevővel a 360-ban, és a 980-ban, s a 7-es hatvány csak a 980-ban, a másik kettőben nem, s így nem közös osztó. 2. Mit értünk két, vagy több szám legkisebb közös többszöröseként; hogyan határozhatjuk meg? Két, vagy több szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész számm, amely az adott számok mindegyikének osztója. A számokat

prímhatványok szorzatára bontjuk, és a bennük szereplő összes prímmtényezőt az összes előforduló legmagasabb hatványkitevőre emelve összeszorozzuk. Egyszerűen: a számok mindegyikét összeszorozzuk, és elosztjuk a legnagyobb közös osztóval. 3. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy két, vagy több szám relatív prím? A pozitív egész számokat osztóik száma szerint három csoportba sorolhatjuk: 1. Egy osztója van: ebből csak egy szám van, az 1-es. 2 Kettő darab osztója van [1, és önmaga]: ezek a prím, vagy másnéven törzsszámok. 3 Kettőnél több osztója van: ezek az összetett számok. Prímszámok előállítására szolgál a "Eratosztenész-féle szita". Euklides bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám van, s az is bizonyítható, hogy bármilyen "hézagok" is lehetnek a prímszámok között. Két, vagy több egész szám relatív prím, ha az 1-en kívül nincs más közös osztója, azaz a

legnagyobb közös osztójuk az 1. Két szám akkor is lehet relatív prím, ha összetett, például a 6, és a 35. Az Eratosztenész-féle szita azt jelenti, hogy a felsorolt számok közül [1-től valameddig] kihúzgálom azokat, amelyek 2-vel, 3-mal, n-nel oszthatók, s amelyek nem lettek kihúzva, azok a prím számok. Példaként 100-ig írjuk fel a számokat, s elkezdjük kihuzogatni a 2-vel oszthatóakat, 3-mal oszthatóakat, stb., s csak a 10-ig kell elmennünk, mivel a 10 négyzete adja ki a százat, és ennek megfelelően amit nem húztunk ki, azok mind prím számok. 4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás, és szorzás kommutatív, asszociatív, ill. a szorzás az összeadásra nézve disztributív? Az összeadás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós számra igaz az, hogy (a +b =b +a) az összeadandók felcserélhetők. A szorzás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós számra igaz az, hogy (a*b =ba) a szorzat értéke

nem fog megváltozni, ha a tényezőket felcseréljük. Az összeadás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós számra igaz az, hogy ((a +b) +c =a +(b +c)) csoportosíthatunk [átzárójelezhetünk], az összeg értéke nem változik. A szorzás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós számra igaz, hogy ((a*b)c =a(bc)) átcsoportosítható, s a szorzat értéke nem fog megváltozni. A szorzás az összeadásra nézve disztributív, mely azt jelenti az A, B, C valós számokra, hogy ((a +b)*c =ac +bc) összeget tagonként is szorozhatunk [felbontjuk a zárójeleket]. 5. Definiálja az egyenes- és fordított arányosság fogalmát! Két mennyiség kapcsolatát egyenes arányosságnak mondjuk, ha az egyik mennyiséget akárhányszorosára változtatva a másik mennyiség is ugyanannyiszorosára változik. Az egyenes arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt képez a valós számok halmazára. [H a valós számok egy részhalmaza] fx= ax, ahol az a. az

egy [nem nulla] valós szám Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor az egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja az origón átmenő egyenes. Ha az egyenesen arányos mennyiségek hányadosa állandó, és az összetartozó értékek hányadosa állandó. Az egyenes arányosságra példa az út-idő grafikon: ha hosszabb ideig megy ugyanolyan sebességgel egy tárgy, akkor arányosan több utat fog megtenni. Két mennyiség kapcsolatát fordított arányosságnak mondjuk, ha az egyik mennyiséget akárhányszorosára növelve, a másik mennyiségnek ugyanannyiad részére kell csökkennie. A fordított arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt képez a valós számok halmazára, s a H halmaz a valós számok részhalmaza. fx =c /x [c<>0, és valós. Az x sem lehet 0, mert nevezőben nem állhat 0.] Ha H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a függvény grafikonja hiperbola. Az összetartozó értékpárok szorzata

állandó. Fordított arányosságra példa a Boil-Mariott törvény, ami a gázok nyomása, és térfogata közti viszonyt mondja, a térfogat, és a nyomás szorzata állandó, azaz ha csökken a térfogat, növekszik a nyomás, ill. ha növekszik a térfogat, csökken a nyomás. [Természetesen ugyanarról a mennyiségű gázról van szó, és nem változik a bentlévő molekulák száma.] 9. Definiálja a racionális szám fogalmát! Racionális számok a két egész szám hányadosaként megadható számok. Ezek p /q alakba felírhatóak, ahol p, és q egész számok, s nyilvánvaló, hogy q<>0, mert nevezőben nem állhat 0. Minden racionális szám végtelen sok módon adható meg tört alakban, egyetlen szám különböző törtalakjai egymásból egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel nyerhetők. Pl.: 2/3 =4/6 =6/9 =-2/-3 Egy racionális szám legegyszerűbb törtalakja az a tört, amely tovább nem egyszerűsíthető, tehát a számlálója, és a nevezője

relatív prím. A szóbanforgó racionális szám egész szám, ha a legegyszerűbb törtalakjának nevezője 1. Racionális számok tizedestört alakja véges, ilyenkor a legegyszerűbb törtalakjának a nevezője olyan szám, amelynek a prím tényezői között kettőn, és ötön kívül más prímszám nem szerepel, vagy szakaszos, végtelen tizedestört, s a szakasz kevesebb számjegyből áll, mint amennyi a tört nevezője. Minden racionális szám felírható véges, vagy végtelen szakaszos tizedestört formájában, ill. minden olyan tizedestört, amelyik véges, vagy végtelen szakaszos, az átírható közönséges tört formájába. [A végtelen szakaszos tizedestörtek átírásáról bővebben a mértani sorozatnál lesz szó!] 10. Mi a számelmélet alaptétele? Minden 1-től különböző pozitív egész szám felbontható prímszámok szorzatára. Ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Az 1-et azért nem vesszük a prímszámok közé,

mert akkor nem lehetne a számokat a sorrendtől eltekintve egyértelműen prímtényezőkre bontani. Pl: 6 =2*3 =1*23 =1123 [végtelen 1-es szorzót is hozzávehetünk, de akkor már nem egyértelmű a felbontás.] 11. Bizonyítsuk be, hogy a `2 racionális szám! A bizonyítás az indirekt, tegyük fel, hogy a `2 racionális, vagyis felírható p /q alakba, ahol a p, és a q egész számok, és tegyük fel, hogy a p, és q relatív prímek, azaz legnagyobb közös osztójuk 1. Ez azt jelenti, hogy a p /q tört már leegyszerűsített formában van, nem lehet tovább egyszerűsíteni. A `2 =p /q-val [a feltételünk szerint], s mindkét oldalt négyzetre emelve 2 =p^2/q^2-et kapunk. Q^2-tel beszorzunk: 2q^2 =p^2. A bal oldalon 2-es szorzó van, s ennek megfelelően itt páros szám áll, s ez azt jelenti, hogy a jobb oldalon is páros számnak kell állni, vagyis a p^2 az páros. Minden páros szá négyzete páros szám, és minden páratlan szám négyzete páratlan szám, s ez

azt jelenti, hogy ne csak a p^2 páros, hanem a p is páros, azaz 2k alakú. Ha a p 2k alakú, akkor a p^2 az 4k^2 alakú. Ezt beírva az "eredeti" egyenletünkbe: 2q^2 =4k^2 Egyszerűsítünk 2-vel: q^2 =2k^2 Mivel a jobb oldalon 2-es szorzó áll, ha ez páros, és [ugye] egyenlőség van, akkor a q^2 is páros, tehát a q is páros. Immár a q, és a p is páros, viszont az alapfeltevésünk között az volt, hogy p, és q legyenek relatív prímek, ami azt jelenti, hogy nem tudjuk tovább egyszerűsíteni. Viszont ha a p, és q is páros, akkor még tudjuk tovább egyszerűsíteni kettővel. Ez által ellentmondás alakult ki, azaz az eredeti indirekt feltevésünk, hogy a `2 felírható két egész szám hányadosaként, az megdőlt, ennek megfelelően hamis az "eredeti" feltevésünk. Ha nem írható fel p /q alakban, akkor racionális a `2. Másodfokú kifejezések, egyenletek, egyenlőtlenségek 18. Definiálja a következő fogalmakat! A polinom,B algebrai

tört A. Polinom: Az egyváltozós valós polinom olyan többtag összeg, amelynek tagjai a változó különböző hatványainak valós számszorosai: a(n)*x^n +a(n -1)x^n -1 +. +a(1)x +a(0), ahol a(0), a(1), , a(n) adott valós számok, a(n) <>0, és n <>0 természetes szám. A felírt polinom n-ed fok. B. Az algebrai tört két polinom hányadosa, például: 5x^4 +4x^3 +2x +3 /4x^5 +3x^2 -1 Az algebrai törtek értelmezési tartománya azoknak a valós számoknak a halmaza, ahol a tört nevezője nem 0. 19. Mit nevezünk egyenletnek? Mi az egyenlet igazsághalmaza? Mikor mondjuk, hogy két egyenlet equivalens? Egyenlet: bármely két [egyenlőségjellel] összekötött kifejezés. A kifejezésekben szereplő változók az ismeretlenek. Az egyenlet olyan speciális nyitott mondat, amelynek az alaphalmaza [vagy értelmezési tartománya] számhalmaz. [A nyitott mondat változótól függő állítás.] Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz, az

egyenlet igazsághalmaza [vagy megoldáshalmaza]. Két egyenlet equivalens, [egyenértékű], ha azonos alaphalmazon oldjuk meg, és az igazsághalmazuk is megegyezik. 20. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét! a*x^2 +bx +c =0 a<>0 [ha 0, akkor x^2 is 0, s az már nem másodfokú egyenlet] A-t kiemeljük: a*(x^2 +{b /a}x +c /a) =0 A zárójelben lévő részt teljes négyzetté alakítjuk: a*((x +{b/2a})^2 -{b^2 /4a^2} +c /a) =0 Közös nevezőre hozunk: a*((x +{b/2a})^2 -{b^2 -4ac /4a^2}) =0 (x +{b /2*a})^2 ={b^2 -4ac /4a^2} Gyököt vonunk: |x +{b /2*a}| =`(b^2 -4ac) /2a Abszolútérték felbontása: x +{b /2*a} =+-`(b^2 -4ac) /2a x ={-b /2*a} +-{`(b^2 -4ac) /2a} x1, x2 ={-b +-`(b^2 -4*ac) /2a} Gyöktényezős alakba is írhatjuk: a*(x -x1)(x -x2) =0 Szorzat akkor nulla, ha valamelyik szorzótényező nulla, az A nem lehet nulla, tehát az (x -x1), vagy az (x -x2) lehet az, s ebből x=x1, ill. x=x2, innen kaptuk a két gyököt: (x -3)*(x +4) =0 Egyik gyök: 3,

Másik gyök: -4 Mivel a nevezőben nem állhat 0, így a 2*a sem lehet az, s ekkor tényleg másodfokú egyenletről beszélünk, s elvégezhető az osztás. 21. Mit értünk a másodfokú egyenlet diszkriminánsán? A másodfokú egyenlet (a*x^2 +bx +c =0 [ahol A nem 0]) diszkriminánsa a gyök alatti mennyiség (b^2 -4*ac). Ez határozza meg az egyenlet gyökeinek a számát: ha a diszkrimináns nagyobb, mint 0, akkor az egyenletnek két valós gyöke van, ha diszkrimináns egyenlő nullával, akkor az egyenletnek egy valós gyöke van, és az ({-b /2*a}). Ezt kétszeres gyöknek is szoktuk nevezni, s ekkor az (x1 =x2)-vel, és a gyöktényezős alak így írható a*((x -x1)^2) =0 Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke, nem tudjuk megoldani a valós számok halmazán. 22. Bizonyítsa be a másodfokú egyenlet gyöke, és együthatói közötti összefüggéseket! Az (a*x^2 +bx +c =0 [A nem nulla]) alakban felírt másodfokú egyenlet

két gyökének összegét (x1 +x2)-t ha felírjuk: {-b +`(b^2 -4*ac) /2a}+{-b -`(b^2 -4ac) /2a} ={-2b /2a} Kettővel egyszerűsítve: x1 +x2 =-{b /a} Ha a két gyök szorzatát vesszük: x1*x2 ={-b +`(b^2 -4ac) /2a}{-b -`(b^2 -4ac) /2a} "számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel": {(-b)^2 -(b^2 -4*ac) /4a^2} ={b^2 -b^2 +4ac/4a^2} x1*x2 =c /a Összefoglalva: a Viéte [viét] formulák [Francia matematikus] közül a két legfontosabb: x1 +x2 =-{b /a} x1*x2 =c /a A két gyök összege [az elsőfokú tag együthatója, és a másodfokú tag együthatója] hányadosának a -1-szerese, a két gyök szorzata pedig a nullad fokú tag [konstans], és a másodfokú tag hányadosa. Hatványozás, és azonosságai, exponenciális függvényegyenlet 6. Hogyan definiáljuk az A valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát? a^n egy olyan N tényezős szorzat, amelynek minden szorzótényezője A. A, tetszőleges valós szám, az N pedig pozitív egész szám. a^n =a*aa.

[N-szer] A-túgy nevezzük, hogy a hatvány alapja, az N-et pedig úgy, hogy a hatvány kitevője, és az a^n-t pedig a hatvány mennyiségnek, vagy hatványértéknek, vagy röviden csak hatványnak szoktuk mondani. 7. Igazolja a következő azonosságokat: A, B, valós számok, n, k, pozitív egészek. (a*b)^n =a^nb^n Bizonyítása: Az (a*b)-ből n darab szorzótényezőt veszünk, s az asszociativitás, és a kommutativitás felhasználásával az A szorzótényezőket, és a B szorzótényezőket egymás mellé írva n darab A szorzótényező, és n darab szorzótényező van. Az n darab A szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy a^n, a b darab n szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy b^n, tehát ez az azonosság azt mondja ki, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ha az azonosságot visszafelé olvassuk, akkor egyenlő kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre. (a /b)^n =a^n /b^n A bizonyítás

során felhasználjuk a hatvány definícióját, azt, hogy a törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk, felhasználjuk még a szorzás asszociatív tulajdonságát is. (a /b)^n az azt jelenti, hogy (a /b)*(a /b)(a /b) [N-szer ismételve]. A törtek szorzását felhasználva [a művelet elvégzése után] a számlálóban N darab szorzótényező van, amely a^n formában is felírható, a nevezőben n darab b szorzótényező van, amely b^n formában írható. Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót, és a nevezőt külön-külön hatványozzuk, és a kapott hatványoknak [kívánt sorrendben] a hányadosát vesszük. Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk: azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát emeljük a közös kitevőre. (a^n)^k bizonyításakor a hatvány definícióját, és a szorzás asszociativitását használjuk fel. Ez az

azonosság azt jelenti, hogy az (a^n)-t k-szor szorozzuk össze: (a^n)*(a^n)(a^n). [K-szor] Az (a^n)-t felírhatjuk úgy is: a*aaa [N-szer]. Tehát, összesen k-szor van ilyen csoportunk, tehát n*k darab a-t szorzunk össze: a^(n*k) Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a kitevő szorzat, akkor a hatvány emeletes hatványalakba is írható, azaz külön hatványozzuk az egyik szorzótényezőre, majd ezt a hatványt hatványozzuk a másik szorzótényezőre. 8. Definiálja a nem negatív valós szám négyzetgyökét! mivel egyenlő gyök a^2? Egy nem negatív [a =0] valós szám négyzetgyöke [`a] az az egyetlen nem negatív valós szám, amelynek a négyzete a: `a^2 =a Abszolútértékben `a^2-nek minden valós a-ra értelme van. 114. Ábrázolja, és jellemezze a valós számokon értelmezett x-hez hozzárendeljük az a^x függvényt!

Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a pozitív valós számok halmaza. A függvény minden pozitív értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát invertálható. Az inverze, hogy x-hez hozzárendeljük az logA x-et, zérus helye nincs, szélső értéke nincs, nem korlátos [mert csak alulról korlátos]. Ha az A [alap] nagyobb, mint 1, akkor a függvény szigorúan monoton növekedő, azaz ha két x helyen nézzük a függvény értékét, a későbbi érték nagyobb lesz, ha viszont az A értéke 0-1. közötti, akkor szigorúan monoton csökken a függvény értéke A függvény grafikonja az y tengelyt a 0, 1 pontban mettszi, asszimptotája az x tengely, azaz közelít hozzá, de nem éri el. 12. Hogyan definiáljuk egy pozitív szám nulladik, negatív egész és racionális kitevőjű hatványait? a^0 =1 [a 0] Minden pozitív valós számnak a nulladik hatványa 1. a^-n =1 /a^n [a 0, és n pozitív egész szám.] Minden pozitív valós szám

negatív egész kitevőjű hatványa a szám megfelelő pozitív kitevőjű hatványának a reciproka [megfelelő pozitív számon a negatív kitevő abszolútértékét értve]. Az 1 /a^n ugyanaz, mint a (1 /a)^n. Így a^-n =(1 /a)^n Ha az alap tört, akkor ebben az alakban érdemes a definíciót alkalmazni. a^p /q =a g`a^p [a 0, p egész, q 1 egész]. Pozitív a szám (p /q)-adikon hatványa az a pozitív szám, amelynek a q-adik hatványa (a^p)-ediken. A tört kitevőjű hatvány gyökös alakra írható át, és megfordítva, a gyökös alak tört kitevőjű hatvány alakba írható. 13. Mit értünk egy valós szám N-edik gyökén [ahol n egy pozitív egész szám]? n`a {pozitív páros n-re, és nem negatív a-ra], az a nem negatív valós szám, amelynek az n-edik hatványa a. Páros n-re, és negatív a-ra nincs értelme, mivel a valós számok páros kitevőjű hatványa nem lehet negatív. Egynél nagyobb páratlan n-re: A valós szám, melynek az n-edik hatványa A.

Pl.: 3`27 =3, 4`256 =4, 5`-32 =-2 Mert: 3^3 =27, 4^4 =256, (-2)^5 =-32 14. Igazoljuk a következő azonosságokat: A. n`(a*b) =n`an`b B. n`(a /b) =n`a /n`b C. (k`a)^n =k`(a^n) A hatványozás-gyökvonás, gyökvonás-szorzás, és a gyökvonás-osztás művelete megcserélhető. A. Az állítás igaz, ha n1 [egész szám] Páros n-re: A, és B egyaránt nem negatív szám. Páratlan n-re: A, és b tetszőleges valós számok. Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt. Bizonyítása: a gyök fogalom definíciója szerint az állítás bal oldalán álló (n`(a*b))^n az egyenlő (ab)-vel. ((n`a)*(n`b))^n =(n`a)^n(n`b)^n [szorzat hatványára vonatkozó azonosság miatt] =a*b Páratlan n-re: ha a két oldal n-edik hatványa azonos, akkor a két oldal is azonos. Páros n-re: amikor mindkét oldal "értelmes" [vagyis nem negatív], akkor az n-edik hatványok azonosságából ugyancsak következik a két oldal egyenlősége. Ez csak akkor nem

igaz, ha páros a gyökkitevő, és A, vagy b értéke negatív, s ekkor az egyik oldalnak nincs értele. B. Az állítás igaz akkor, ha n 1 [egész szám] Páros N esetén: A nem negatív valós szám, B pozitív valós szám Páratlan N esetén: A tetszőleges valós szám, B nullával nem egyenlő valós szám. [Mert nevezőben nem állhat 0] Az azonosság azt mondja ki, hogy törtből úgy is vonhatunk gyököt, hogy a számlálóból, és a nevezőből is gyököt vonunk, és a kapott két mennyiséget [a bal oldal felírási sorrendjében] elosztjuk egymással. Bizonyítása: felhasználjuk, hogy törteket úgy hatványozunk, hogy a számlálót, és a nevezőt a megfelelő kitevőre emeljük, valamint felhasználjuk a gyök fogalmának definícióját. A bal oldalon álló (n`(a /b))-nek az n-edik hatványát véve (a /b)-t kapunk, míg a jobb oldal n-edik hatványa: ({n`a /n`b})^n. Külön a számláló, és nevező n-edik hatványát véve ({n`a^n /n`b^n} =a /b)-t kapunk.

Páratlan N esetén tetszőleges számokra igaz ez, páros N esetén pedig akkor, ha mindkét oldalon nem negatív szám áll a gyökjel alatt. C. Az állítás igaz, ha k =1 [egész szám], n =1 [egész szám] Páratlan k esetén az A tetszőleges valós szám lehet, páros k esetén pedig nem negatív valós szám. [Gyökjel alatt nem állhat negatív szám!] Az azonosság kimondja, hogy a hatványozás, és a gyökvonás sorrendje felcserélhető egymással. Másképpen: gyökmennyiséget úgy hatványozhatunk, hogy a gyök alatti mennyiséget emeljük a kívánt kitevőre. Bizonyítása: k`(a^n) írható úgy: k`(a*aaa. [n darab szorzótényezővel]) =k`a*k`ak`a. [N darab szorzótényezővel], mely írható úgy, hogy: (k`a)^n. Az azonosságokat fordított irányba is olvashatjuk, visszafelé is igazak. 15. Mit nevezünk egy valós szám normál alakjának? Írjuk fel a következő számok normál alakját: 0.000173, 582000000, 78/582 A pozitív valós szám normál alakja olyan

két tényezős szorzat, amelynek az egyik tényezője 1, vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél kisebb valós szám, a másik tényezője 10-nek az egész kitevős hatványa. Avagy: olyan szám, ami 1-nél nagyobb, vagy egyenlő, és 10-nél kisebb. Negatív valós szám normál alakja: olyan két tényezős szorzat, amelynek az egyik tényezője -1, vagy -1-nél kisebb, de -10-nél nagyobb szám, a másik tényezője pedig 10-nek az egész kitevős hatványa. [A nullát nem lehet a fentiekhez hasonló módon megadni!] 0.000173 =173*10^-4 582000000 =5.82*10^7 78/582 =[tizedestörtben] 0.1342 =1342*10^-1 108. Ábrázoljuk, és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett [x-hez hozzárendeljük az abszolútérték x-et] függvényt! Értelmezési tartomány: valós számok halmaza, és x eleme R. Érték készlete: nem negatív valós számok halmaza. Minimum helye: x =0 Minimum értéke: y =0 Zérus helye: x =0 X tengely mettszet: x =0 Y tengely mettszet: y =0 Ha x <0, akkor

szigorúan monoton csökken, ha x 0, szigorúan monoton nő a függvény. A függvény páros függvény, grafikonja szimetrikus az y tengelyre. 16. Mit jelent az A alapú logaritmus b, és milyen kikötéseket kell tenni a-ra, és b-re? B-nek az A alapú logaritmusa az az egyetlen valós kitevő, amelyre az a-t felemelve b-t kapunk. a^(logA b) =b Kikötések: b 0, a 0 [és nem lehet egyenlő 1-gyel]. 17. Igazoljuk a következő azonosságokat: A. logA (x*y) =logA x +logA y B. logA (x /y) =logA x -logA y C. logA (x^k) =k*logA x Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra, ill. k-ra? A. Az állítás igaz, ha x 0, y 0 [amire vonatkozik a logaritmus], az A 0 [alap], mely nem lehet egyenlő 1-gyel. Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzat adott alapú logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanilyen alapú logaritmusainak összegével. Bizonyítása: A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy a logaritmus függvény szigorúan monoton. Írjuk fel

az x-et, és az y-t A hatványaként! x =a^u y =a^v u =logA x v =logA y Ezt a jelölést alkalmazzuk a bizonyítandó egyenlőség bal oldalára, majd felhasználjuk azt, hogy egyenlő alapú hatványokat úgy szorozhatunk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.] =u +v logA (x*y) =logA (a^ua^v) =logA (a^(u +v)) [Egyenlő alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevők összegét vesszük] logA x +logA y =u +v A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz. logA (x*y) =logA x +logA y Kikötés: x 0, y 0, a 0 és nem egyenlő 1-gyel. B. Az állítás igaz, ha x 0, y 0, a 0 és nem egyenlő 1-gyel Az azonosság azt mondja ki, hogy hányados adott alapú logaritmusa megegyezik a számláló, és a nevező ugyanilyen alapú logaritmusának különbségével. Bizonyítása: felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és a logaritmus függvény szigorúan monoton. x =a^u y =a^v u =logA x v =logA y logA (x

/y) =logA ({a^u /a^v}) =logA (a^(u -v)) =u -v logA x -logA y =u -v C. Az állítás igaz akkor, ha x 0, k valós, és az A 0, de nem egyenlő 1-gyel. Az azonosság azt mondja ki, hogy hatvány adott alapú logaritmusa megegyezik a hatvány a hatvány adott alapú logaritmusának, és a hatvány kitevőnek a szorzatával. A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és logaritmus függvény szigorúan monoton: x =a^u u =logA x A bizonyítandó egyenlőség bal oldala [felhasználva, hogy hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevő szorzatára emeljük] így írható: logA (x^k) =logA ((a^u)^k) =logA (a^(u*k)) =uk A jobb oldala: k*logA x =ku A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz. A logaritmus alkalmazások alkalmazása megváltoztatja a logaritmikus kifejezések értelmezési tartományát. A felírás sorrendjében olvasva szűkíti, vagy szűkítheti azokat. Az egyenletek megoldásakor

gyakran alkalmazzuk a fenti [A, B, C] azonosságokat fordított irányba olvasva is. A logaritmikus egyenletek megoldásakor többnyire bővül az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya. Hamis gyökök föllépését elkerülhetjük, ha az azonosságok alkalmazása előtt kikötjük a szükséges megszorításokat, és a megoldáskor kapott eredményeket ezekkel összevetjük. Ezt helyettesíthetjük a gyökök ellenőrzésével. 115. Ábrázolja, és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett A alapú logaritmus x függvényt, ha a1, és abban az esetben, ha A 0, és 1 közötti értéket vesz föl. [Vagyis az alapot két csoportra osztjuk, 1-nél nagyobb, és 1-nél kisebb pozitív szám.] Mind a két esetben az értelmezési tartomány a pozitív valós számok halmaza [x eleme R+], érték készlete pedig a valós számok halmaza [x eleme R]. A függvény minden értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát invertálható. Inverze: a^x

Zérus helye: x =1. Szélső értéke nincs, és nem korlátos Ha a1, akkor szigorúan monoton nő, ha pozitív az alap, de 1-nél kisebb, akkor szigorúan monoton csökken a függvény. Az egyenlőtlenségek megoldásánál érdekes ez, mikor is szigorúan monoton növekszik, s a logaritmus elhagyásával rátérünk az argumentumokra, s ekkor marad a relációsjel ugyanolyan. Ha az alap 0-1. közötti [szigorúan monoton csökken a függvény], a logaritmus elhagyásával az argumentumra rátérve a relációsjel ellentétesre vált. A függvény grafikonja mind a két esetben az x tengelyt az 1, 0 pontban mettszi, aszimptotája pedig az y tengely. 23. Hogyan definiálja két negatív szám számtani, ill mértani közepét? Két valós szám [A, és B] számtani közepe, a két szám összegének fele: {a +b /2}. Két nem negatív valós szám [a=0, és b=0] mértani közepe, szorzatuk négyzetgyöke: `(a*b). Beszélhetünk n darab valós szám számtani közepéről is, ez az adott

számok összegének az n-ed része. Beszélhetünk n darab nem negatív szám mértani közepéről is, ami az adott számok szorzatának az n-edik gyöke. 43. Mi az összefüggés két nem negatív szám számtani, és mértani közepe között? Igazoljuk az összefüggést! Két nem negatív szám számtani közepe nagyobb a két szám mértani közepénél, esetleg egyenlő vele, de egyenlőség csak akkor van, ha a két szám egymással egyenlő: {a +b /2} =`(a*b) a =0, b =0 Bizonyítása: [Kettővel átszorozva] a +b =2*`(ab) [Mindkét oldalt négyzetre emelve:] a^2 +2*ab +b^2 =4ab [4*ab-t átvisszük a bal oldalra:] a^2 -2*ab +b^2 =0 [Más alakba felírva:] (a -b)^2 =0 Ez igaz, mert (a -b)-nek a négyzete [azaz egy valós szám négyzete] nem lehet negatív soha, tehát vagy nulla, vagy pozitív lehet. Ez akkor lesz egyenlő nullával, ha az A egyenlő a b-vel, vagyis a számtani, és a mértani közép akkor egyenlő egymással, ha a két érték megegyezik egymással.

Vektorok 52. Mit nevezünk vektornak? Mikor egyenlő két vektor? Minden eltolást egy irányított szakasszal adunk meg, amelyet vektornak nevezünk. Két vektor akkor egyenlő, ha ugyanazt az eltolást adják meg, vagyis ha hosszuk és irányuk megegyezik. Két vektor akkor ellentett vektor, ha hosszuk megegyezik, az irányuk pedig ellentétes. A vektor hossza a vektor abszolút értéke. A nulvektor abszolút értéke 0, iránya tetszőleges. 53. Hogyan definiáljuk két vektor összegét, ill különbségét? Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! [Legyen a két vektor A és b.] Vegyük fel a-t, és a végpontjából mérjük fel a b vektort. Az A vektor kezdőpontjából a b vektor végpontjába mutató vektor az (a +b) vektor, amely az összeg, vagy eredővektor. Az A és b vektorokkal megadott két eltolás egyetlen eltolással helyettesíthető: ezt az eltolást adja meg az (a +b) vektor. Két [egymással nem párhuzamos] vektor összege megadható az ún.

paralelogramma szabállyal is: vegyük fel a két vektort közös kezdőponttal, végpontjaikon át húzzunk a másik vektorral párhuzamosokat. Ezek a párhuzamosok az adott vektorokkal együtt egy paralelogrammát határoznak meg. Az eredővektor a paralelogrammának az adott vektorok közös kezdőpontjából kiinduló átlója. A vektorok összeadása kommutatív: ez a paralelogramma szabállyal történő összegzésből nyilvánvaló. Több vektort úgy összegezhetünk, hogy egymáshoz csatlakozóan vesszük fel őket. Az összegvektor az elsőnek felvett vektor kezdőpontjából az utoljára felmért vektor végpontjába mutató vektor. A vektorok összeadása asszociatív is: (a +b) +c =a +(b +c) =a +b +c. Az a-b különbségvektor az a vektor, amelyhez a b vektort adva az a vektort kapjuk. Az (a -b) vektort úgy kapjuk meg, hogy a két vektort közös kezdőpontból vesszük fel; az (a -b) vektor a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor.

A vektorkivonás nem kommutatív [az (a -b és (b -a) vektorok ellentettvektorok]. 54. Mit értünk egy vektor számszorosán? epszilon*a [a vektor epszilonszorosa epszilon <>0-ra az a vektor, amelynek abszolútértéke az A vektor abszolútértékének abszolútérték epszilonszorosa, és iránya epszilon 0 esetén megegyezik az A vektor irányával. Epszilon <0 esetén pedig az a vektorral ellentétes irány. Ha epszilon =0, akkor epszilon*a =nulvektor. 79. Mik a bázisvektorok?Definiálja egy vektor koordinátáit az i,j egységvektorokkal megadott koordinátarendszerben! Ha felveszünk a síkon egy O pontot és a,b [nem párhuzamos] vektorokat, akkor a sík bármely P pontjához tartozik egy O-P helyvektor, mely egyértelmüen felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre: O -P =k1*a +k2b. A k1 és a k2 számokat úgy tekintjük, mint a O-P vektorhoz rendelt rendezett számpárt. Íly módon a helyvektorok és a rendezett számpárok között

kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ezzel a módszerrel a helyvektoroknak rendezett számpárokat feleltetünk meg. Az adott vektorokat bázisvektoroknak nevezzük, ha két adott vektor az i és j egységvektor, ahol i-t pozitív irányú 90 fokos elforgatás viszi át j-be. Az O-P helyvektort felbonthatjuk i és j irányú összetevőkre: O-P =k1*i +k2j; k1 és k2 az O -P helyvektor koordinátái. A bázisvektorok a Descartes-féle koordinátarendszert állítják elő: az O pont a koordinátarendszer kezdőpontja, és az x tengely pozitív fele az i, az ipszilon tengely pozitív fele pedig a j irányba mutat. 80. Mit ért egy vektor abszolútértékén? Hogyan határozható meg egy vektor abszolútértéke a vektor koordinátái segítségével? Tetszőleges vektor abszolútértékén az adott vektor hosszát értjük. Vetítsük az adott 0-ból kiinduló v vektort az x koordinátatengelyre. az AOT derékszögü háromszög befogóinak hossza a vektor

koordinátáinak abszolútértékével, az átfogó hossza pedig a vektor abszolútértékével egyenlő. A Pitagoras-tételt felírva: |v| =`(v1^2 +v2^2), vagyis egy vektor abszolútértéke egyenlő az a koordinátái négyzetösszegéből vont négyzetgyökkel. a kapott összefüggés akkor is érvényes, ha a vektor valamelyik tengellyel párhuzamos, pl.: |v| =`(0^2 +v2^2) =|v2|. 81. Mit ért két vektor skaláris szorzatán? Mi annak szükséges és elégséges feltétele, hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen? Az A és b vektor skaláris szorzata: a*b =|a||b|cos(epszilon) Ahol epszilon a két vektor hajlásszögét jelöli, vagyis 0 <=epszilon <=180 fok. Ha epszilon <90 fok [vagyis hegyes szög], akkor (a*b) pozitív. Ha epszilon 90 fok [vagyis tompa szög], akkor (a*b) negatív. Ha a két vektor közt a nulvektor is szerepel, akkor a hajlásszög nincs egyértelműen meghatározva, de a nul vektor abszolútértéke 0, ezért a szorzat ekkor 0. Ezek szerint a

skaláris szorzat mindig egyértelműen meghatározott. Ha A merőleges b-re, akkor a*b =|a||b|cos(90) =|a||b|0 =0, vagyis a skaláris szorzatok 0. Megfordítva: ha (a*b =0), és az (ab) vektorok egyike sem 0, akkor (|a| <>0), és (|b| <>0), így (a*b =|a||b|cos(epszilon) =0) csak úgy állhat fenn, ha (cos(epszilon) =0), tehát A merőleges b-re. Eszerint két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra. [a nulvektort úgy tekintjük, hogy minden vektorra merőleges.] A skaláris szorzat definíciójából nyílvánvaló, hogy a skaláris szorzat kommutatív: a*b =ba. Az ((a*b)c) egy c irányvektor, az (a(bc)) pedig egy A irányvektor, a skaláris szorzat tehát nem asszociatív. 82. Bizonyítsa be, hogy minden (a*bc) vektor esetében ((a +b)*c =ac +bc), vagyis két vektor összegének egy harmadik vektorral való skaláris szorzata széttagolható! Ha (c =0), akkor ((a +b)*nulvektor =0), (anulvektor +bnulvektor =0), tehát

igaz az állítás. Ha (c nem =0), akkor vegyük a c-vel azonos irányú e egységvektort, ekkor (c =|c|*e). Így elegendő az ((a +b)*e =ae +be) állítást belátnunk ([zt abszolútérték c-vel beszorozva az eredeti állítást kapjuk]. A skaláris szorzat definíciója alapján könnyen beláthatjuk, hogy egy vektornak és egy egységvektornak a skaláris szorzata a vektornak az egységvektor egyenesén lévő előjeles vetületét adja [ez a skalárvetület]. Adott az e egységvektor. Vegyük fel az a,b vektorokat, összegük: a +b. Képezzük ezeknek az e egyenesére vonatkozó skalárvetületét. Az összeg skalárvetülete =a tagok skalárvetületeinek összegével: (a +b)*e =ae +be. 83. Fejezze ki két vektor skaláris szorzatát a vektorok koordinátáinak segítségével! Két koordinátáival adott vektor, a (a1,a2) és b (b1,b2) skaláris szorzata: a*b =a1b1 +a2b2. bizonyítás: a =a1*i +a2j, b =b1i +b2j, ab =(a1i +a2i)(b1i +b2i). A disztributív tulajdonság alapján a

szorzás tagonként végezhető: a*b =a1b1i^2 +a1b2ij +a2b1ji +a2b2j^2, ij =ji =0, mivel i és j merőlegesek egymásra. i^2 =|i|*|i|cos(0) =1. Hasonlóan (j^2) is 1-gyel egyenlő. Így a*b =a1b11 +a2b21, amigől ab =a1b1 +a2b2, ezt akartuk bizonyítani. Tehát két vektor skaláris szorzata megfelelő koordinátái szorzatának összege. Függvények, sorozatok 100. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege n*(n +1)(2n +1) /6! [Teljes indukcióval bizonyítunk.] Az összefüggés (n =1)-re igaz: 1*23 /6 =1. Tegyük fel, hogy (n -1)-re igaz, és bizonyítsuk be, hogy (n -1)-ről n-re öröklődik. A feltevés szerint: 1^2 +2^2 +. +(n -1)^2 =(n -1)*n(2n -1) /6. Az egyenlőség mindkét oldalához n^2-et adunk: 1^2 +2^2 +. +(n -1)^2 +n^2 =n*(n -1)(2n -1) /6 +n^2. A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva, majd szorzattá alakítva: n*(2n^2 -3n +1) +6n^2 /6 =n(2n^2 +3n +1) /6 =nz(n +1)(2n +1) /6, ami épp a bizonyítandó

állítás. Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz, mert 1-ről 2-re, arról 3-ra, . öröklődik; 1-re pedig beláttuk, hogy az összefüggés valóban igaz. 101. Egy számtani sorozat első eleme a1, különbsége d Bizonyítsa be, hogy an =a1 +(n -1)*d és sn =na1 +an /2! A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben [a másodiktól kezdve] bármelyik elem és a közvetlen előtte álló elem különbsége állandó. a sorozat n -edik tagja: an =a1 +(n -1)*d, mivel a1-től (n -1) lépésben jutunk el an-ig, és mindegyik lépésben d -t adunk az előző taghoz. sn =a1 +a2 +. +an Az egyes tagokat a1 segítségével fölírva: sn =a1 +(a1 +d) +(a1 +2*d) +. +a1 +(n -2) -d +a1 +(n -1)*d. Az összeget (an segítségével) fordított sorrendben is felírjuk: sn =an +(an -d) +(an -2*d) +. +an -(n -2)*d +an -(n -1)d. A két összegben a d-t tartalmazó tagok páronként egymásnak ellentettjei. Az egyenlőségek megfelelő oldalait összeadva a d-t

tartalmazó tagok rendre kiesnek: 2sn =a1 +an +a1 +an +. +a1 +an =n*(a1 +an). így: sn =n*(a1 +an) /2. 102. Egy mértani sorozat első eleme a1, hányadosa q Bizonyítsa be, hogy an =a1*q^n -1 és sn =a1(q^n) -1 /q -1 (q <>1). A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek a q-szorosa. A sorozat n-edik tagja: an =a1*q^(n -1), mivel a1 -től (n -1) lépésben jutunk el an -ig, és mindegyik lépésben q -val szorozzuk az előző tagot. sn =a1 +a1*q +. +a1*q^n - -2 +a1q^n -1. sn*q =a1q +a1q^2 +. +a1*q^m -1 +a1q^n -1, (q<>1). A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt: sn*q -sn =a1q^n -a1. Innen sn-et kifejezve: sn =a1*(q^n) -1 /q -1, (q<>1). Ha q =1, akkor ak =a1 minden k =1,2,.n-re, így sn =n*a1. 104. Hogyan adható meg egy függvény? [A válaszban térjen ki a jelölésekre is!] Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Rendeljünk hozzá az A halmaz minden eleméhez pontosan

1-1 elemet a B halmazból. az így létesített hozzárendelés a függvény. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. A függvényeket általában kisbetűvel jelöljük. Az f függvény az A halmaz x eleméhez egyetlen B -beli elemet rendel, ezt f(x)-szel jelöljük [f függvény értéke az x helyen]. Ez az f függvénynek az x helyen vett helyettesítési értéke. Gyakori, hogy a függvény definíciójában szereplő két halmaz közül csak az A-t adjuk meg. pl: X-et rendeljük `(x -1)-hez. [x =1] Az f valós függvényt [valós számokon értelmezett valós értékű függvény, vagyis olyan függvény, melynek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok részhalmaza] grafikonját a koordinátasík mindazon pontjai képezik, amelyek (x,y) koordinátáira fennáll az y =f(x) összefüggés. A függvény megadása több módon történhet, de egyértelműen tartalmaznia kell, hogy mely elemekhez mely elemeket rendel.

Számfüggvényeket sokszor képlettel adunk meg. pl: f(x) =x^2 -1, ahol az f függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ugyanez a függvény leszűkített értelmezési tartománnyal: f:[[0,2]] hozzárendelve r-hez, f(x) =x^2 -1. Függvényeket megadhatunk utasítással is. pl a valós számokon értelmezett egészrész [x-et rendeljük [[x]], x eleme r-nek] függvény, ahol ez a jelölés a következő utasítást jelenti: minden x valós számhoz azt a legnagyobb egész számot rendeli, amely még nem nagyobb, mint x. Megadhatunk hozzárendelést grafikon, ill. táblázat segítségével is Fontos függvénytípus a pozitív egész számokon értelmezett függvény, mely a valós számok halmazába képez le [számsorozatok]. Valós számokon értelmezett valós függvényeket gyakran gy adunk meg, hogy csak a hozzárendelési szabályt mondjuk meg. Ilyenkor értelmezési tartománynak a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát tekintjük, amelyen a

hozzárendelési szabálynak értelme van. 105. Mit ért egy függvény értelmezési tartományán, ill értékkészletén? A függvény definíciója: Adott egy A és B halmaz. Egy f függvény az A halmaz minden x eleméhez a B halmaznak pontosan egy f(x) elemét rendeli. Az A halmaz az f függvény értelmezési tartománya. A B halmaznak azok az elemei, amelyek a hozzárendelésnél föllépnek [vagyis az f(x) értékek] alkotják az f függvény értékkészletét. Az értékkészlet lehet B halmaznál szűkebb. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet egybe is eshet, pl. a valós számokon értelmezett értékű függvények között vannak olyanok, amelyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok halmaza. 106. Mikor nevezünk egy függvényt elsőfokúnak? Egy f függvény elsőfokú [lineáris], ha az f függvény egy nem üres H halmazt képez le a valós számok halmazára [H a valós számok részhalmaza], és (f(x) =a*x

+b), (a <>0), a,b eleme r-nek. (a 0)-ra a függvény szigorúan monoton növekvő, a <0 -ra szigoruan monoton csökkenő. Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor - a fenti képlettel megadott - elsőfok függvény grafikonja olyan egyenes, amelynek a meredeksége a, az ipszilon tengelyt pedig a (0,b) pontban metszi. (b =0)-ra az elsőfokú függvény a két változó közötti egyenes arányosságot adja. 107. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokunak? Egy f valós függvény [f:H hozzárendelve r -hez, H részhalmaza r-nek, (h <>0)] másodfokú, ha (f(x) =a*x^2 +bx +c), ahol a,b,c eleme r-nek és (a <>0). Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a másodfoku függvény grafikonja ipszilon tengellyel párhuzamos parabola. 109. Ábrázolja és jellemezze a nem negatív valós számok halmazán értelmezett [x-et rendeljük a `x-hez] függvényt! Értelmezési tartomány: a nem negatív valós számok halmaza (r+0).

Értékkészlete: a nem negatív valós számok halmaza (r+0). A függvény teljes értelmezési tartományán szigoruan monoton növekvő. Minimumhely: x =0. Minimum érték: y =0. Zérushely: x =0. X tengelymetszet: x =0. Y tengelymetszet: y =0. A grafikon minden x -re a görbe pontjait összekötő hr fölött halad. 110. Mikor mondjuk egy függvényről, hogy: A. periódikus? B. páros? C. páratlan? D. korlátos? A. Az f függvény periódikus, ha van olyan (c 0) valós szám, hogy az értelmezési tartománya minden x elemére (f(x +c) =f(x)) teljesül, ahol, ha x eleme a függvény értelmezési tartományának, akkor (x + -c) is. Periódikus függvény például a trigonometrikus függvények és a "törtrész"-függvény [x-et rendeljük a x törtrészéhez függvény]. B. Az f függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és f( -x) =f(x). Páros függvények például a páros kitevőjű

hatványfüggvények: x-et rendeljük a |x|-hez, x-et rendeljük a cos(x) függvényhez. A páros függvény grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimetrikus az ipszilon tengelyre. C. Az f függvény páratlan, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és (f( -x) = -f(x)). Páratlan függvényre példa: a páratlan kitevőjű hatványfüggvények, az x-et rendeljük a (c /x)-hez, és x-et rendeljük a sin(x)-hez. A páratlan függvények grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimetrikus az origóra. D. Az f függvény korlátos, ha van egy olyan K szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére (|f(x)| <=K). Korlátos függvényekre példa: x-et rendeljük sin(x)-hez, x-et rendeljük cos(x)-hez és x-et rendeljük {x}-hez. 111. Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy {a,b} intervallumban monoton növekszik, ill. csökken? Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton nő, ha ott értelmezve van, és az

intervallum minden olyan pontjára, melyre (x1 <=f(x2)). Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton csökken, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontján, melyre (x1 =f(x2)). Ha az egyenlőséget nem engedjük meg, a függvény szigoruan monoton nő, illetve csökken. 112. Mit nevezünk egy függvény zérushelyének, szélsőértékének? Egy f függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre (f(x) =0). A függvény grafikonjának a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel. Egy f függvénynek kétféle szélsőértéke lehet: maximuma vagy minimuma. Egy f függvénynek maximuma van az értelmezési tartomány egy x0 értékére, ha a függvény értelmezve van x0-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére (f(x)< =f(x0)). Egy f függvénynek minimuma van az értelmezési tartomány minimum értékére, ha a függvény értelmezve van x0-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére (f(x) =f(x0)).

113. Mit értünk egy függvény inverzén? a derékszögű koordináta-rendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverzének grafikonja között? Inverze csak azoknak a függvényeknek van, amelyek kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítenek az értelmezési tartományuk és az értékkészletük között [vagyis az értékkészlet minden eleme az értelmezési tartománynak pontosan egy eleméhez van hozzárendelve]. Az f függvénynek a g függvény inverze, ha az f értelmezési tartományának minden x elemére teljesül, hogy az f(x) eleme a g értelmezési tartományának, és (g(f(x)) =x). pl.: a nem negatív valós számokon értelmezett x-et rendeljük x^2-hez, s ennek inverze, ha az x-et rendeljük a `x-hez [x nem negatív]. Ha az f és a g függvény egymásnak inverze, akkor az f értelmezési tartománya a g értékkészlete, és az f értékkészlete a g értelmezési tartománya. Ha két függvény egymásnak inverze, akkor grafikonjaik [ha

megrajzolhatóak], egymásnak tükörképei az (y =x) egyenletű egyenesre. Szigoruan monoton növekvő [vagy csökkenő] függvénynek az inverze is szigoruan monoton növekvő [vagy csökkenő]. 116. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x-et rendeljük a sin(x)-hez függvényt. Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza. Értékkészlete: a ( -1,1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható [nincs inverz függvénye]. Páratlan függvény, mert (sin(-x) =-sin(x)), minden valós x-re. Periódikus, mert (sin(x +2*kpi) =sin(x)) minden valós x-re [k tetszőleges egész szám]. A periódus hossza 2pi Zérushelyei: x =k*pi, k eleme Z -nek, tetszőleges. Maximumhelyei: x =pi /2 +2*kpi, k eleme Z, tetszőleges. Maximumértéke: 1. Minimum helyei: x =3*pi /2 +2kpi, k eleme Z, tetszőleges. Minimumértéke: -1. Szigoruan monoton nő, ha (-pi /2 +2*kpi <=x <=pi /2 +2kpi), k eleme Z, tetszőleges. Szigoruan monoton

fogy, ha (pi /2 +2*kpi <=x <=3pi /2 +2kpi), k eleme Z, tetszőleges. 117. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x-hez rendeljük a cos(x) függvényt. Értelmezési tartomány: valós számok halmaza. Értékkészlete: a (-1,1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható. Páros függvény, mert (cos(-x) =cos(x))-el, minden valós x-re. Periódikus, a periódus hossza 2pi. Zérushelyei: (x =pi /2 +k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Maximumhelyei: (x =2*kpi), k eleme Z, tetszőleges. Maximum értéke: 1. Minimumhelyei: (x =pi +2*kpi), k eleme Z, tetszőleges. Minimumértéke: -1. Szigoruan monoton nő, ha (pi +2*kpi <=x <=2pi +2kpi), k eleme Z, tetszőleges. Szigoruan monoton fogy, ha (2*kpi <=x <=pi +2kpi), k eleme Z, tetszőleges. 118. Ábrázolja és jellemezze a (-pi /2,pi /2) balról zárt, jobbról nyilt intervallumon értelmezett [x-et rendeljük a tan(x)-hez] függvényt. Értékkészlete: a valós számok

halmaza. Invertálható, ugyanis minden valós értéket egyszer vesz fel, viszont nem korlátos. Páratlan, mert (tan(-x) =-tan(x)) az adott értelmezési tartományokon. Zérushelye: x =0. Szélsőértéke nincs, szigoruan monoton nő. 123. Milyen sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak? A számtani sorozat pozitív egész számokon értelmezett valós szám értékű függvény. a számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem és a közvetlenül előtte álló elem különbsége (d) állandó. A számtani sorozatban bármely 3 egymás után álló elem közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimetrikusan elhelyezkedő elemeknek a számtani közepe. A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek ugyanannyiszorosaq)-szorosa. a q a mértani

sorozatra jellemző állandó szorzótényező. Ha a quociens (q) pozitív, akkor a sorozat minden tagja azonos előjelű, ha a quociens negatív, akkor a tagok váltakozó előjelűek. Ha (q 1), akkor a sorozat szigoruan monoton növekvő, (0 <1)-re. Ha q =0, akkor a sorozat második elemétől kezdve minden elem 0. Ha q =1, akkor a sorozat minden eleme megegyezik. Pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely 3 egymásután álló elem közül a középső a két szélsőnek a mértani közepe. Általánosan is igaz: a pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely elem a tőle szimetrikusan elhelyezkedő elemeknek a mértani közepe. Geometria 44. Mi az egybevágósági transzformáció? Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyek 1 ponthalmazt 1 ponthalmazra képeznek le. A geometriai transzformációk közül a távolságtartó leképezések az egybevágósági transzformációk. Ha a P és Q pont képe P és Q, akkor P és Q távolsága

megegyezik a P és Q pontok távolságával. A tengelyes és a középpontos tükrözés a pont körüli forgatás és az eltolás síkbeli egybevágósági transzformációk. 45. A sík melyik transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek? Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait! Adott a sík egy t egyenese. Ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszőleges t-re nem illeszkedő P pontjához azt a P pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a két P -P szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenes képe saját maga. A tengelyes tükrözés tulajdonságai: A. A hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű: egy pontnak egy képpont felel meg, és minden képpontnak egy őse van. B. A t egyenes minden pontja fixpont, más fixpont nincs C. A t egyenes és a rá merőleges egyenesek fixegyenesek, több fixegyenes nincs. Fixalakzatok a t egyenesre tengelyesen szimetrikus idomok. D. A leképezés

távolságtartó [minden szakasz egyenlő hosszság a tükörképével]. E. Szögtartó [minden szög egyenlő nagyság a tükörképével)] F. Nem körüljárástartó [minden síkidom ellenkező körüljárás, mint a tükörképe]. G. Egyenes képe olyan egyenes, amely ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, és ugyanakkora szöget zár be a tengellyel, mint az eredeti egyenes. A fixpont olyan pont, amelynek a képe saját maga. A fixalakzat olyan alakzat, amelynek a képe saját maga. 46. A sík melyik transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek? Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait! Adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja. Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík tetszőleges O-tól különböző P pontjához azt a P pontot rendeli, amelyre az O pont a P-P szakasz felező pontja. Az O pont képe saját maga. A középpontos tükrözés tulajdonságai: A. A leképezés kölcsönösen egyértelmű B. Az O

pont az egyetlen fixpontja C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, bár pontonként egyik sem fix. D. A leképezés távolságtartó, szögtartó és körüljárástartó E. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és a képe párhuzamos egymással. 47. Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, ill egy egyenesére szimetrikusnak? Sorolja fel a középpontosan, ill. a tengelyesen szimetrikus háromszögeket, négyszögeket, sokszögeket! Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, melyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimetrikus alakzat, melynek O a szimetriaközéppontja. Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimetrikus alakzat. A t egyenes az alakzat tükörtengelye vagy szimetriatengelye Középpontosan szimetrikus háromszög nincs, mert nem lehetnek párhuzamos és egyenlő hossz oldalpárjai. Középpontosan

szimetrikus négyszög a paralelogramma. A szimetriaközéppont az átlók metszéspontja. Középpontosan szimetrikusak általában a páros oldalszám szabályos sokszögek, például a szabályos 6szögek, 8szögek, 10szögek stb. Szimetriaközéppontjuk az átellenes cscsokat összekötő átlók metszéspontja, amely egyttal a párhuzamos oldalpárok felezőmerőlegeseinek is közös pontja. De vannak más nem szabályos - középpontosan szimetrikus páros oldalszám sokszögek is. A kör átmérői a középpontban metszik egymást, erre a pontra a kör középpontosan szimetrikus. Az egyenlő szár háromszög tengelyesen szimetrikus, legalább egy szimetriatengelye van. Speciálisan a szabályos háromszög is tengelyesen szimetrikus, és három szimetriatengelye van. A deltoidnak és a szimetrikus trapéznak legalább egy szimetriatengelye van. A rombusznak és a téglalapnak legalább 2, és a tengelyek merőlegesek egymásra; a négyzetnek négy. A rombusz, a téglalap [és

így a négyzet is] - mivel paralelogrammák - középpontosan is szimetrikus alakzatok. A szabályos sokszögek mind tengelyesen szimetrikusak, annyi szimetriatengellyel, ahány oldaluk van. A páros oldalszámak ([pl. a szabályos háromszög középpontosan is szimetrikusak, és a tükörtengelyek a szemközti cscsokat, illetve a szemköztes oldalak felezőpontjait kötik össze. A páratlan oldalszámak középpontosan nem szimetrikusak, és a tükörtengelyek a cscsokat az átellenes oldal felezőpontjaival kötik össze. A kör tengelyesen szimetrikus minden átmérőjére. 48. A sík melyik transzformációját nevezzük pontkörüli forgatásnak? Sorolja fel a tulajdonságait! Adott a sík egy O pontja, egy alfa szög, és egy [pozitív vagy negatív] forgásirány. Az O pont körüli alfa szögü, adott irány forgatás a sík tetszőleges O-tól különböző P pontjához azt a P delta irány és nagyság szerint megegyezik alfával. Az O pont képe önmaga. Az O-t az

elforgatás centrumának nevezzük. A pont körüli forgatás tulajdonságai: A. Kölcsönösen egyértelmű B. Egyetlen fixpontja az O pont, ha csak az elforgatás szöge nem 0 fok. C. Fixegyenese nincs, hacsak nem 0 fok vagy 180 fok az elforgatás szöge. D. Minden olyan kör fix alakzat, amelynek a középpontja az elforgatás centruma: és minden n oldalu szabályos sokszög is az, a középpontja körül 360fok /n szöggel vagy többszörösével elforgatva. E. Távolságtartó és szögtartó F. Körüljárástartó G. Ha a forgatás szöge nem nagyobb, mint 90 fok, akkor bármely egyenes és a képegyenes által bezárt szög megegyezik az elforgatás szögével. 49. Milyen ponttranszformációt nevezünk eltolásnak? Sorolja fel az eltolás tulajdonságait! Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér tetszőleges P pontjához azt a P pontot rendeli, amelyre (P -P =v). A hozzárendelés tulajdonságai: A. Kölcsönösen egyértelmű B. Nincs fixpontja, kivéve, ha az

adott vektor nulvektor C. Az adott vektorral párhuzamos egyenesek és síkok fixalakzatok, de pontonként egyik sem fix. D. Távolságtartó és szögtartó E. Körüljárástartó 51. Milyen ponttranszformációt nevezünk középpontos hasonlóságnak? Sorolja fel a középpontos hasonlóság tulajdonságait! Adott egy O pont és egy epszilon [0-tól különböző valós] szám. Az O középpontu, epszilon arány középpontos hasonlóság a sík egy tetszőleges az O ponttól különböző P pontjához az O-P egyenesen azt a P pontot rendeli, amely O-tól |epszilon|-szor akkora távolságra van, mint P; és epszilon 0 esetén az O-P félegyenesen van, epszilon <0 esetén pedig az O-P-vel ellentétes félegyenesen. Az O pont képe önmaga Ha (|epszilon 1), akkor nagyítás; ha (|epszilon| <1), akkor kicsinyítés; ha (|epszilon| =1), akkor egybevágóság, ha epszilon negatív, akkor az O pont elválasztja a P és a P pontot. A középpontos hasonlóság tulajdonságai: A.

Kölcsönösen egyértelmű B. Egyetlen fixpontja az O pont C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, de pontonként nem fix D. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és a képe párhuzamos egymással. E. A középpontos hasonlóság aránytartó: ha a A képe A és B képe B, C képe C, D képe D, akkor (A -B /C -D =A -B /C -D). F. A középpontos hasonlóság szögtartó 57. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását! Párhuzamos szelők tétele: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával. A tétel egy speciális esetének megfordítása: Ha egyenesek egy szög két szárából olyan szakaszokat vágnak le, amelyek aránya mindkét száron ugyan az, akkor az egyenesek párhuzamosak. Általános esetben nem fordítható meg a tétel, csak akkor, ha a szakaszok a szög cscsától kezdve

és egymáshoz csatlakozva helyezkednek el. 59. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! Két alakzat hasonló: Ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzathoz a másikat rendeli. Hasonlósági transzformáció: Véges sok középpontos hasonlóság és véges sok egybevágósági transzformáció egymásutánja. Bizonyítható, hogy két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalainak aránya páronként egyenlő ha két -két megfelelő oldaluk aránya és az ezek által közbe zárt szögeik egyenlők. Ha két-két szögük páronként megegyezik. Ha két-két megfelelő oldaluk aránya és a nagyobb oldalakkal szemközt lévő szögeik egyenlők. 61. Tekintsünk két hasonló sokszöget, illetve két hasonló glát, a hasonlóság aránya legyen mindkét esetben k. Bizonyítsa be, hogy a két sokszög területének aránya k^2, a két gla térfogatának aránya pedig k^3! A k valós szám,

két hasonló sokszög, illetve két hasonló gla pontpárjai távolságának aránya, így k pozitív szám. A bizonyításban szükségünk van a hasonló háromszögek területei között fönnálló összefüggésre, ezért első lépésben ezzel foglalkozunk. Tekintsünk két hasonló háromszöget, melyek hasonlóságának aránya k. Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Ez a transzformáció szögtartó is, így az egyik háromszög magasságát a másik háromszög magasságába viszi. 62. Milyen összefüggés van a gla alapterülete és az alappal párhuzamos síkmetszetének területe között? Bizonyítsa be! A gla alappal párhuzamos síkmetszetének területe gy aránylik az alapterülethez, mint ahogy a síkmetszet cscstól mért távolságának (x) négyzete aránylik a gla magasságának (m) négyzetéhez. Bizonyítás: A két sokszög - az alappal párhuzamos metszésből adódóan - a

gla cscsára nézve középpontosan hasonló. A hasonlóság aránya megegyezik a gla alaplapja éleinek és a párhuzamos síkmetszet megfelelő éleinek arányával, ez pedig megegyezik a hozzájuk tartozó glák magasságának arányával, (x /m)-mel. Tudjuk, hogy hasonló idomok területeinek aránya a hasonlósági arány négyzete. Ezért a párhuzamos síkmetszet területe gy aránylik az alapterülethez, mint a cscstól számított távolságaik négyzete [a megfelelő glák magasságainak négyzete]. Tehát: t /T =(x /m)^2 =x^2 /m^2. Térfogat számítások 135. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a glát és a kpot? A sokszög lapokkal határolt konvex testek a poliéderek. Egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül párhuzamosokat hzunk egy a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. gy egy végtelen hengerfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a görbevonal síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két

végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. Az így nyert véges test a henger. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a henger egyenes, egyébként ferde. Ha a síkbeli zárt görbe vonal kör, akkor körhengerről beszélünk [gyakori előfordulása miatt többnyire csak hengert mondunk]. A körlapok középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye. Az egyenes körhenger egyenlő oldal, ha a tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, alapsíkra merőleges síkmetszet] négyzet. Elnevezések: a metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az összekötő görbefelület a henger palástja. A henger származtatásakor hzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága a henger magassága. Egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül párhuzamosokat hzunk egy a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel. gy egy végtelen hasábfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük

a sokszög síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy poliédert kapunk. Az így kapott poliéder a hasáb. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb egyenes, egyébként ferde. Ha a hasáb egyenes, és a síkbeli sokszögvonal szabályos, akkor szabályos hasábról beszélünk. A szabályos sokszögek középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye. A paralelopipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogramma. Elnevezések: a metsző síkban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a hasáb oldallapja. Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a hasáb palástját. A származtatáskor hzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a hasáb alkotói. Az alaplapok oldalai az alapélek, a többi éle a hasáb oldaléle. A párhuzamos síkok távolsága a hasáb magassága. A téglalap alap egyenes hasáb a téglatest; a kocka olyan téglatest, amelynek minden éle

egyenlő. A hasábot és a hengert - hasonló származtatásuk miatt hengerszerű testeknek nevezzük. Ha egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül egy - a sokszög síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket hzunk, akkor végtelen kettőskp szerü felületet kapunk. Ez a felület a sokszögvonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egyetlen véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a gla. A sokszög a gla alaplapja, a többi lap a gla oldallapja. A gla oldallapjai háromszögek, amelyek közös cscsa a gla cscsa, ami a rögzített pont. Az oldallapok alkotják a gla palástját. A gla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él oldalél. Az egyenes gla oldalélei egyenlők Ha az egyenes gla alaplapja szabályos, akkor a gla szabályos: oldallapjai egybevágó egyenlő szár háromszögek. Ha egy három oldal gla [tetraéder] lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor szabályos tetraéderről

beszélünk. Ez a létező 5 féle szabályos poliéder egyike. Ha egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül egy - a görbe vonal síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket hzunk, akkor egy végtelen, kettős kpfelületet kapunk. Ez a felület a görbe vonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egy véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a kp. A rögzített pont a kp cscsa. A zárt görbevonal által határolt síkidom a kp alaplapja. A kp cscsát az alaplap kerületi pontjaival összekötő szakaszok a kp alkotói. A kp cscsa és az alaplap síkja közötti távolság a kp magassága. A kp cscsát az alaplappal összekötő görbe felület a kp palástja. Ha a kp alaplapja kör, akkor a kp körkp. [Ha kpról beszélünk, többnyire körkpra gondolunk.] A körkp cscsát a kör középpontjával összekötő egyenes a kp tengelye. A kp egyenes, ha a tengelye merőleges a kör síkjára. Ez forgáskp Az

egyenes kp alkotói egyenlők, tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkmetszet] egyenlő szár háromszög. A kp egyenlő oldal, ha tengelymetszete szabályos háromszög. A poliéderek térfogatának meghatározása a térfogat 4 tulajdonságán alapszik: A. A térfogat pozitív szám B. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő C. Ha egy poliédert két poliéderre darabolunk, a kapott poliéderek térfogatának összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlő. D. Az egységnyi élű kocka térfogata 1 A különböző poliéderek térfogatának meghatározása több lépésben történik. A téglatest térfogatát az egységkocka térfogatával hasonlítjuk össze. A többi poliéder térfogatának meghatározásakor felhasználjuk a térfogat tulajdonságait, a már ismert térfogatképleteket. Gyakran a felbontás vagy átdarabolás van segítségünkre. A gla térfogatát a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg; a görbe

felületekkel határolt testek térfogatát pedig a "minden határon tl finomodó kétoldali közelítés" módszerével. 136. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, M magasság hasáb térfogata V =T*! A bizonyítás két lépésben történik. Először bebizonyítunk egy segédtételt A. Bebizonyítjuk, hogyha egy téglatest egy cscsából kiinduló 3 éle a, b, c, akkor a térfogata (V) ezek szorzata: V =a*bc. A két téglatest alaplapja egybevágó, térfogatuk aránya magasságuk arányával egyezik meg. B. A paralelepipedon térfogata: V =T*m C. Háromszög alap hasáb térfogata (V) a hasáb alapterületének (T) és a magasságának (m) a szorzata: V =T*m. D. A hasáb térfogata a hasáb alapterületének és magasságának szorzata: V =T*m 137. Bizonyítsa be, hogy az r sugaru, kör alapu, m magasságu henger térfogata V =r^2*pim! A bizonyítás gondolatmenete: rjunk gondolatban az r sugaru, m magasság hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszám

szabályos sokszög alap hasábokat [magasságuk m]. A beírt hasáboknál a sokszögek cscsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört. A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival. A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. gy az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. A szabályos sokszög alap hasábok térfogata az "alapterület szer magasság" összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték. Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken. gy az azonos oldalszám köré - és beírt

hasábok térfogata közötti különbség csökken. Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r^2*pi, a kör területe. gy akármilyen nagy oldalszámra is a köré - és beírt hasábok térfogata közé esik az (r^2*pim) érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha az r sugaru m magasság henger térfogata V =r^2*pim. 138. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, m magasság gla térfogata (V =T*m /3)! A. A T alapterületü m magasságu tetraéder térfogata T*m /3. A bizonyításhoz két segédtételt használunk: a.: Ha két közös síkon álló tetraéder alapterülete (T) és magassága (m) egyenlő, akkor az alappal párhuzamos síkmetszeteik területe is egyenlő. B.: Az azonos alapterületü és magasságu tetraéderek térfogata egyenlő C.: A tetraéder térfogatát - a

segédtételek felhasználásával visszavezetjük a háromoldal hasáb már ismert térfogatára. B. Tetszőleges T alapterületű m magasságu gla V térfogata: V =T*m /3. 141. Bizonyítsa be, hogyha a forgáskp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata (V =r^2*pim /3)! A forgáskp térfogatának meghatározása a kör alapu henger térfogatának meghatározásához hasonló módon történik. rjunk a kpba és a kp köré egyre nagyobb oldalszám m magasság szabályos sokszög alap glákat, melyeknek cscsa a forgáskp cscsával megegyezik. A beírt glák alaplapjainak cscsai a kp alaplapjának kerületére esnek, a köréírt glák alaplapjainak oldalai érintik a kp alapkörét. A kp térfogata a beírt és a körülírt glák térfogata között van. Az alapkör területe is mindig a beírt és körülírt sokszögek területe közé esik. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. gy

az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. Mivel a beírt és körülírt glák magassága megegyezik, a térfogatuk közötti különbség is egyre kisebb lesz. Bizonyítható, hogy a beírt és a körülírt sokszögek területe az alapkör területéhez, (r^2*pi)-hez tart. gy akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt és beírt glák térfogata közé esik egyrészt az (r^2*pim /3) érték, amihez a köréírt és a beírt glák térfogata tart, másrészt a kp térfogata is. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha a kp térfogata (V =r^2*pim /3). 142. Bizonyítsa be, hogy az r sugaru gömb térfogata (V =4*r^3pi /3)! Az r sugaru gömb térfogata: V =4*r^3pi /3. //////// 143. Bizonyítsa be, hogyha a csonkakp alapjai r és R sugaru körök, magassága pedig m, akkor térfogata (V =m*pi /3(R^2 +Rr +r^2))! Trigonometria 66. Hogyan értelmezzük a hegyes szögek

szögfüggvényeit? Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik hegyes szöge alfa, ezek a derékszögű háromszögek - mivel két megfelelő szögük, alfa és a derékszög, egyenlő - mind hasonlók egymáshoz. Ezért ezekben a háromszögekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Ezek az arányok csak az alfa szögtől függnek, így ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az alfa szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az egyes szögfüggvényeket, sin(alfa)-t, cos(alfa)-t, tan(alfa)-t, ctg(alfa)-t így értelmezzük: sin(alfa) =a /c [az alfa szöggel szemközti befogó / az átfogó] cos(alfa) =b /c [az alfa szög melletti befogó / az átfogó] tan(alfa) =a /b [az alfa szöggel szemközti befogó / az alfa szög melletti befogó] ctg(alfa) =b /a [az alfa szög melletti befogó / az alfa szöggel szemközti befogó] (sin(alfa) =a /c)-ből (a =c*sin(alfa)), vagyis a szög szinusza megmutatja, hogy az alfa szöggel

szemközti befogó hányszorosa az átfogónak. Hasonlóan átfogalmazható a többi szögfüggvény is. 67. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza illetve koszinusza? Az e egységvektor pozitív irányszöge olyan alfa szög, amellyel az i egységvektort az origó körül pozitív irányba elforgatva az e-be megy át. Sin(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor ordinátája [második koordinátája]. Cos(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor abszcisszája [első koordinátája]. 68. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense , illetve kotangense? Ha (cos(alfa) <>0) - azaz (alfa <>pi /2 +k*pi), k egész -, akkor tan(alfa) =sin(alfa) /cos(alfa). Ha (cos(alfa) =0), akkor az alfa szög tangensét nem értelmezzük. Ha (sin(alfa) <>0) - azaz (alfa <>k*pi), k egész -, akkor ctg(alfa) =cos(alfa) /sin(alfa) Ha (sin(alfa) =0), akkor az alfa szög kotangensét nem értelmezzük. 69. Számítsa ki a 30 fokos, 60 fokos, 45 fokos

szögek szögfüggvényeinek pontos értékét! A 30 fokos és a 60 fokos szögek szögfüggvényeit a 2 egység oldal szabályos háromszög segítségével számoljuk ki: sin(30) =1 /2 sin(60) =`3 /2 cos(30) =`3 /2 cos(60) =1 /2 tan(30) =1 /`3 =`3) /3 tan(60) =`3 ctg(30) =`3 ctg(60) =1 /`3 =`3 /3 a 45 fokos szög szögfüggvényeit az egységnyi befogój egyenlő szár derékszögű háromszög segítségével számoljuk ki: sin(45) =1 /`2 =`2 /2 cos(45) =1 /`2 =`2 /2 tan(45) =1 /1 =1 ctg(45) =1 /1 =1 70. Igazolja a következő azonosságokat: Sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1 minden valós a -ra. A szögfüggvények definíciója szerint az alfa irányszögű e egységvektor koordinátái: (cos(alfa),sin(alfa)), az általuk meghatározott derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagoras-tételt: |e|^2 =sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1. 71. Határozza meg a háromszög területét, ha adott két oldal és a közbezárt szög. Adott egy háromszög két oldala, a és b, és a két oldal

által közbezárt szög epszilon. Ekkor a háromszög területét [t-t] a következő képlet adja meg: t =a*bsin(epszilon) /2 73. Bizonyítsa be egy kör r hosszság sugara, a hosszság hrja és az a -hoz tartozó alfa kerületi szög közötti következő összefüggést: A =2*rsin(alfa). Az r sugar körben az alfa kerületi szöghöz tartozó a hr hossza: 2*rsin(alfa). 74. Bizonyítsa be a szinusztételt! A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben az oldalak aránya egyenlő a velük szemközti szögek szinuszának arányával. Bizonyítása: rjuk fel a háromszög területét két féleképpen az alfa és béta szögek felhasználásával: a*csin(béta) /2 =bcsin(alfa) /2, innen: a*sin(béta) =bsin(alfa), vagyis: a /b =sin(alfa) /sin(béta) Közben felhasználtuk, hogy (c <>0), (b <>0), és (sin(béta) <>0), hiszen egy háromszög oldalairól, ill. szögéről van szó Ugyanez az okoskodás a háromszög többi oldalpárjára is elvégezhető. A

szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából - két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül meghatározhatjuk a kiányzó negyediket. Ha a hiányzó adat a nagyobb oldallal szemközti szög, akkor két megoldás is lehet: egy hegyes szög és egy tompa szög. Derékszögű háromszögre [ahol a az egyik befogó, alfa az ezzel szemközti szög, c az átfogó] - a szinusztétel a (sin(alfa) =a /c) összefüggést adja. 75. Bizonyítsa be a koszinusztételt! A koszinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben egy oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinusza szorzatának kétszeresét. C^2 =a^2 +b^2 -2*abcos(epszilon). 76. Igazolja a következő azonosságokat: Sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)sin(béta) 77. Fejezze ki sin(alfa -béta) ill cos(alfa -béta) értékét a

sin(alfa +béta), ill. cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében! Érvényesek a következő összefüggések: sin(alfa -béta) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)sin(béta) és (cos(alfa -béta) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)sin(béta)). Bizonyítása: Tudjuk, hogy sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)cos(béta) sin(alfa)sin(béta). rjunk béta helyébe (-bétát), majd használjuk fel, hogy sin(-béta) = -sin(béta) és cos(-béta) =cos(béta). Sin(alfa +(-béta)) = sin(alfa)*cos((-béta)) +cos(alfa)sin((-béta)) = sin(alfa)cos(béta) cos(alfa)cos(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk. Cos(alfa +(-béta)) = cos(alfa)*cos((-béta)) +sin(alfa)*sin(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk. -sin(alfa)*sin((-béta)) = cos(alfa)cos(béta) 78. Fejezze ki tan(alfa +béta)-t tan(alfa)-val és tan(béta)-val a sin(alfa +béta), ill. a cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében! A tan(alfa +béta) =tan(alfa)

+tan(béta) /1 -tan(alfa)*tan(béta). /////// KOMGRAF 148. Bizonyítsa be, hogy n különböző elem összes permutációjának száma nfaktoriális =n(n -1)(n -2).3*21! Adott n [különböző] elem valamely sorrendjét az adott elemek egy permutációjának nevezzük. Az n elem összes lehetséges sorrendjének a számát, vagyis az n elem permutációinak számát pn-nel jelöljük. A pn meghatározásához vegyünk egy n rekeszes dobozt, és vizsgáljuk meg, hány féleképpen lehet elhelyezni az 1,2,3,.N,n elemeket a megadott n helyre: n féleképp, n -1 féleképp, . Kétféleképp, egyféleképp Az első rekeszbe az n elem bármelyike választható; így ez a rekesz n féleképpen tölthető be. A második rekeszbe az első helyre beírt elem már nem választható, így a másodikba az (n -1) elem bármelyike tehető. Ez az első rekesz minden lehetséges kitöltése mellett a második rekesz kitöltésére (n -1) féle lehetőséget ad. Az első két rekesz kitöltésére

tehát (n*(n -1)) lehetőség van. A harmadik rekeszbe már csak (n -2) elem közül választhatunk. gy az első három rekeszbe (n*(n -1)(n -2)) féleképpen tehetők az elemek. Hasonlóan látható be, hogy a következő helyek mindegyike egyel kevesebb módon tölthető be, mint az előző hely. Az (n -2)-edik rekeszbe 3, az (n -1)-edik rekeszbe 2 elem közül választhatunk; az n-edik rekeszbe már csak egy elem marad. N különböző elem összes permutációjának száma: pn =n*(n -1).*321. Az egyenlőség jobb oldalán az első n természetes szám szorzata áll, ennek rövid jelölése: n faktoriális. Tehát pn =n faktoriális 149. Bizonyítsa be, hogy a különböző elem k -ad osztáj variációinak száma n faktoriális / (n -k) faktoriális! Adott n különböző elem, válasszunk ki közülük k-t (k <=n), és vegyük a kiválasztott k elem egy sorrendjét. gy az n elem egy k-ad osztáj variációját nyerjük. Az összes kiválasztott k -as összes lehetséges

sorrendjének a száma az n elem összes k -ad osztály variációinak száma. Ennek bebizonyítására vegyünk egy k rekeszes dobozt! Ebben helyezzük el n elem közül k elemet minden lehetséges módon: n féleképp, (n -1) féleképp, .,(N -k +1) -féleképp Az első rekeszbe az n elem bármelyike tehető. A második rekeszbe már csak (n -1) elem közül választhatunk [egy elem ugyanis már az első rekeszben van]. Ez (n -1) féle kitöltési lehetőséget ad a második rekesz számára. Az első két rekeszbe így (n*(n -1)) féleképpen tehetők az elemek. Minden rekeszbe egyel kevesebb elem közül választhatunk, mint az előzőbe. A k-adik rekeszbe (n -k +1) elem közül választunk. A doboz teljes kitöltésére összesen (n*(n -1).*(N -k +1)) lehetőség adódik. Ha az eredményt (n -k) faktoriálissal bővítjük, faktoriális jelöléssel is fölírhatjuk: n*(n -1).*(N -k +1) =n(n -1).*(N -k +1)(n -k)(n -k 1).*21 /(N -k)(n -k -1).*21 =Nfaktoriális /(n -k)faktoriális.

150. Bizonyítsa be, hogy különböző elem k -ad osztály konbinációinak száma =nfaktoriális /kfaktoriális*(n -k)faktoriális. Adott n különböző elem. Az n elem közül k különböző elemet választunk ki oly módon, hogy a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel. gy az n elem k -ad osztály konbinációját nyerjük. Ennek meghatározása érdekében nézzük meg, milyen kapcsolat van az n elemből alkotott k -ad osztály variációk száma és az n elemből alkotott k -ad osztály konbinációk között! Egy k-ad osztály konbinációból gy képezhetünk k-ad osztály variációt, hogy a konbináció elemeit permutáljuk. Minden egyes konbináció k faktoriális variációt ad. A konbinációk különböztek egymástól legalább egy elembe, így a kapott variációk is biztos különböznek. Ezek szerint: kfaktoriális*különböző n elem k-ad osztály konbinációja = n(n -1)(n -2).*(N -k +1) =nfaktoriális /(n -k)faktoriális, innen: különböző n

elem k-ad osztály konbinációja = n*(n -1).*(N -k +1) /kfaktoriális = nfaktoriális /kfaktoriális*(n -k)faktoriális 159. Határozza meg egy véges halmaz részhalmazainak számát! Egy n elemű halmaznak 2^n szám különböző részhalmaza van. Bizonyítása: tekintsük az (a ={{a1,a2,.,An}}) halmazt! Egy részhalmazt megadhatunk oly módon, hogy az a1,a2,.,aN elemekről rendre megmondjuk, hogy benne vannak-e a részhalmazban, vagy sem. Ennek alapján az A halmaz részhalmazait megfeleltetjük 0 és 1 számjegyekből álló n tagu számsorozatoknak: a k-adik helyre aszerint írunk 0-át vagy 1-et, hogy a(k) benne van-e a részhalmazban. Ha nincs benne, 0-át; ha benne van, 1-et írunk. Ez a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű, így pontosan annyi részhalmaza van az A halmaznak, mint ahány 0-ákból és 1-esekből álló n tagu számsorozat van. Minden hely kitöltésére egymástól függetlenül 2 lehetőségünk van [0-át vagy 1-et írhatunk]. gy a lehetőségek

száma 2^n. 160. Mit nevezünk gráfnak? Mi az n pont teljes gráf? Mi az egyszerű gráf? Mi az összefüggő gráf? Ha véges sok adott pont közül egyeseket vonallal összekötünk, akkor a kapott ábrát gráfnak nevezzük. A pontok a gráf pontjai vagy szögpontjai, a vonalak a gráf élei. Ha egy gráfnak n pontja van [n pozitív egész szám], és mindegyik pontból pontosan 1 él vezet a többi ponthoz, akkor a gráfot n pont teljes gráfnak nevezzük. A gráfokban előfordulhat olyan él is, amelynek mindkét végpontja ugyanaz a pont. Az ilyen él neve hurok Két cscsa között több élt is hzhatunk, ezek a többszörös élek. Egy gráfot egyszerűnek nevezünk akkor, ha nincs benne sem hurok, sem többszörös él. A gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely másik pontjába élek mentén el lehet jutni. Koordináta geometria 84. Mit ért egy alakzat egyenletén? Egy alakzat egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza az alakzat pontjainak

koordinátáiból áll; vagyis olyan egyenlet, amelyet az alakzat minden pontjának koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem. 85. rja fel az A(a1,a2) és B(b1,b2) pontok távolságának kiszámítására vonatkozó képletet, és igazolja annak helyességét! Két pont (A(a1,a2) és B(b1,b2)) távolsága (d) a két pont által meghatározott vektor (A -B(b1 -a1,b2 -a2)) abszoltértéke. Koordinátáival adott vektor abszoltértéke a vektor koordinátái négyzetösszegének a négyzetgyöke. gy |A -B| =`((b1 -a1)^2 +(b2 -a2)^2) A két pont távolsága: d =`((b1 -a1)^2 +(b2 -a2)^2. 86. rja fel egy szakasz felezőpontjának, illetve harmadolópontjának koordinátáit a szakasz végpontjainak koordinátáival, és igazolja a felírt formulákat! Szakasz felezőpontjának koordinátái: az A -B szakasz F felezőpontjának koordinátái: x ={x1 +x2 /2}, y ={y1 +y2 /2}. A végpontok koordinátáival megadott szakasz felezőpontjának koordinátái a végpontok

megfelelő koordinátáinak számtani közepei. A végpontok koordinátáival megadott szakasz harmadolópontjának koordinátái: x =x1 +2*x2 /3 y =y1 +2y2 /3. A H harmadolópont koordinátáit megkapjuk, ha a hozzá közelebbi végpont megfelelő koordinátája kétszereséhez hozzáadjuk a távolabbi végpont megfelelő koordinátáját, s ezt az összeget osztjuk 3mal. 87. Adottak egy háromszög cscspontjainak koordinátái Bizonyítsa be, hogy a slypont koordinátái kiszámíthatók a cscsok koordinátáinak számtani közepeként! X =x1 +x2 +x3 /3 y =y1 +y2 +y3 /3 Ahol S (x,y) a három slyvonal közös pontja. A bizonyításhoz felhasználjuk a harmadoló pont koordinátáira vonatkozó ismereteinket. 88. Definiálja egy egyenes iránytangensét! Egy egyenes irányvektora bármely az egyenessel párhuzamos vektor. Az egyenes iránytangense egy [v vektor(v1,v2)] irányvektorának koordinátáiból képzett (v2 /v1) hányados, ahol (v1 <>0). V2 /v1 =tan(alfa), v1

<>0 és alfa az egyenesnek az x tengely pozitív felével bezárt szöge. Ha (v2 =0), vagyis az egyenes párhuzamos az x tengellyel, akkor iránytangense 0. Ha v1 =0, vagyis az egyenes párhuzamos az y tengellyel, akkor nincs iránytangense. 89. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton átmenő v vektor(v1,v2) irányvektor egyenes egyenlete (v2x -v1y =v2x0 -v2y0)! A P0(x0,y0) ponton átmenő v vektor(v1,v2) irányvektor egyenes egyenlete: v2x -v1y =v2x0 -v2y0. 90. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton áthaladó n vektor (n1,n2) normálvektoru egyenes egyenlete (n1*(x -x0) +n2(y -y0) =0)! Az egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, nulvektortól különböző vektor. A bizonyításban felhasználjuk a vektorok skaláris szorzatára vonatkozó ismereteinket. 91. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton átmenő m iránytangensű egyenes egyenlete y -y0 =m*(x -x0)! Bizonyítása: legyen az egyenes irányvektora v vektor (v1,v2). Iránytangens csak akkor létezik, ha a v

vektor nem párhuzamos az y tengellyel, vagyis (v1 <>0). Ekkor az iránytangenst [m-et] így értelmezzük: m =v2 /v1. Induljunk ki az egyenes irányvektoros egyenletéből: v2*(x -v1)y =v2(x0 -v1)y0. V1 <>0, végigosztva az egyenletet kapjuk: v2 /v1*x -y =v2 /v1x0 -y0. Ez pedig így írható: m*x -y =mx0 -y0. A kapott egyenletet rendezve kapjuk, hogy: y -y0 =m*(x -x0). Ha az adott pont P0(0,b), akkor y -b =m*x, vagyis y =mx +b. Ez az egyenes iránytényezős egyenlete. 92. Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének - a koordinátageometriában használatos - szükséges és elégséges feltételét! Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha irányvektoraik, illetve normálvektoraik párhuzamosak, vagyis egymásnak skalárszorosai. Ha az egyeneseknek van iránytangensük, vagyis nem párhuzamosak az y tengellyel, akkor a párhuzamosságnak szükséges és elégséges feltétele, hogy a két egyenesnek az iránytangense [m1 és m2]

egyenlő legyen: m1 =m2. Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha irányvektoraik illetve normálvektoraik merőlegesek egymásra, vagyis irányvektoraik, illetve a normálvektoraik skaláris szorzata 0. Ha mindkét egyenesnek van iránytangense [m1 és m2], akkor a merőlegesség szükséges és elégséges feltétele, hogy iránytangenseik szorzata -1 legyen: m1*m2 =-1. 93. Bizonyítsa be, hogy a C(u,v) középpont, r sugaru kör egyenlete ((x -u)^2 +(y -v)^2 =r^2)! A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a körön, ha távolsága a C(u,v), középponttól, r. A bizonyításhoz felhasználjuk a két pont távolságát megadó képletet. 95. A P paraméterű F(0,p /2) fókuszpont parabola tengelypontja a koordinátarendszer kezdőpontja, tengelye az ordinátatengely. Bizonyítsa be, hogy a parabola egyenlete (x^2 =2*py)! Bizonyítása: a feltételek alapján a vezéregyenes egyenlete: y =-P /2. A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a parabolán, ha P-nek a

vezéregyenesen lévő merőleges vetületét T-vel jelölve (P -F =P -T), vagyis: `(x^2 +(y -P /2)^2) =y +P /2. Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, majd rendezve kapjuk az (x^2 =2*py) alakot, amely eqivalens az előbbi egyenlettel, mivel a feltételek miatt (y +p /2) pozitív. A kapott egyenlet az y tengelyű parabola tengelyponti egyenlete. Az x tengelyű parabola tengelyponti egyenlete: y^2 =2*px. /////// SIKTERGA 24. Mit ért A. Pont és egyenes távolságán? B. Párhuzamos egyenesek távolságán? C. Pont és sík távolságán? D. Párhuzamos síkok távolságán? A. Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsájtott merőlegesnek a pont és egyenes közötti szakasza hosszát értjük. B. Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely pontjából a másik egyenesre bocsájtott merőlegesnek a két egyenes közötti szakaszának hosszát értjük. C. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőlegesnek a pont

és sík közötti szakaszának a hosszát értjük. D. Párhuzamos síkok távolságán az egyik sík valamely pontjából a másik síkra bocsájtott merőleges - két sík közötti szakaszának hosszát értjük. 25. Mit ért két kitérő egyenes távolságán? Egyetlen olyan egyenes van, amely két kitérő egyenes mindkettőjét merőlegesen metszi. Ezt az egyenest szokták a két kitérő egyenes normál transzverzálisának nevezni. Két kitérő egyenes távolsága a normál transzverzálisuknak az egyenesek közé eső szakaszának hossza. Ha két kitérő egyenes mindegyikére másikkal párhuzamos síkot fektetünk, akkor az így kapott két sík távolsága egyenlő a két kitérő egyenes távolságával. Az e és az f kitérő egyenesek transzverzálisát gy is megkaphatjuk, hogy az e egyenesen át az f-fel párhuzamos síkot helyezünk el, majd f-en át merőleges síkot állítunk az előbbi síkra. Ezután a két sík metszésvonalának az e egyenessel való

metszéspontjában az első síkra merőlegest állítunk. Ez a keresett egyenes. 26. Mit ért A. Egyenes és sík hajlásszögén? B. Két sík hajlásszögén? A. Egy, a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a sík minden egyenesére. Ha az e egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egyenes (e). Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszögén az egyenes és a vetület hajlásszögét értjük. Bizonyítható, hogy ez a szög a legkisebb az e egyenes és a sík egyenesei által bezárt szögek között. B. Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge a két merőleges hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független Megkaphatjuk ezt a szöget gy is, hogy a metsző síkokat 1, a metszésvonalakra merőleges síkkal elmetszük. Ez a sík az eredeti két síkból egy-egy

egyenest metsz ki. Ezek hajlásszöge a két sík hajlásszöge. 27. Mit ért két kitérő egyenes hajlásszögén? Két kitérő egyenes hajlásszöge a tér egy tetszőleges pontján átmenő, és az adott egyenesekkel párhuzamos egyenesek hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független 28. Mikor nevez két síkidomot egybevágónak? Sorolja fel a háromszögek egybevágóságának alapeseteit! Két síkbeli alakzat egybevágó, ha van a síknak egybevágósága, amely egyiket a másikba viszi. Egybevágóságnak nevezzük a síknak önmagára való távolságtartó leképezését. A háromszögek egybevágóságának alapesetei: Két háromszög egybevágó ha: A. Oldalaik hossza páronként egyenlő B. Két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek álltal közrefogott szögek egyenlők. C. Egy-egy oldaluk hossza és bármelyik két-két megfelelő szögük egyenlő D. Két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a

hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők. 31. Mit nevez középvonalnak A. Palalelogramma B. Trapéz C. Háromszög esetén? Számítsa ki ezeknek a hosszát az oldalak ismeretében! A. A palalelogramma középvonala: Két párhuzamos oldala felezőpontját összekötő szakasz. A palalelogramma középvonala párhuzamos a palalelogramma két oldalával; hossza velük megegyező. B. A trapéz középvonala: A két szár felezőpontját összekötő szakasz. A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz párhuzamos oldalaival; hossza azok számtani közepe. C. A háromszög középvonala: A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz. A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza az oldal hosszának a fele. 50. Hogyan mérünk szöget? A szög legelterjedtebb mértékegysége a teljes szög 360-ad része, a fok; ennek 60ad része a perc; ennek 60ad része a másodperc. Egy körben a középponti szögek és a

hozzájuk tartozó körívek hossza egyenesen arányos. Ez az összefüggés lehetőséget nyjt az ívmértékkel való szögmérésre. Az ívmérték egysége az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz a kör sugarával egyenlő hosszság körív tartozik. Neve: Egy radián Másképpen: Egy radián az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz az egységsugar körben egységnyi hosszuság körív tartozik. A szög ívmértéke egy arányszám, amely azt mutatja meg, hogy a szöghöz mint középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a kör sugarának. Eszerint egység sugar körben a szög ívmértéke a szöghöz, mint középponti szöghöz, tartozó körív hossza. A teljes szög ívmértéke: 2*Rpi/r=2piradián. Az egyenes szög ívmértéke: Pi radián. A derékszög ívmértéke: Pi/2 radián. A 60 fokos szögé: Pi/3 radián. Alfa szög ív mértéke: Pi/180 fok * alfa fok radián. 360 Fok ívmértéke: 2*Pi radián, ezért egy radián a 360 fok /2pi

57.3 foknak az ívmértéke Ponthalmazok 33. Határozza meg a következő ponthalmazokat: A. Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban és a térben. B. Két adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. A. Két adott ponton [P-től és Q-tól] egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban a P-Q szakasznak az adott síkra illeszkedő felezőmerőleges egyenese. A P-től és a Q-tól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben a P-Q szakasz felezőmerőleges síkja. Ez a sík átmegy a P-Q szakasz F felezőpontján, és merőleges a P-Q szakaszra. Ez azt jelenti, hogy a felezőmerőleges sík valamely egyenese merőleges a P-Q szakaszra. B. Ha két adott egyenes párhuzamos, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos, és távolságukat felezi. Ha a két egyenes [e és f] metszi egymást, akkor az egyenesektől egyenlő

távolságra lévő pontok halmaza az általuk bezárt szögek szögfelező egyenesei. 34. Határozza meg a következő ponthalmazokat!: A. Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon és a térben. B. Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. A. Három adott ponttól, A-tól, B-től, és C-től egyenlő távolságra lévő pontok a síkban azok, amelyek egyenlő távolságra vannak A-tól is és B-től is, és ugyanakkor B-től is és C-től is. Egy síkban az A-tól és B-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az A-B szakasz felezőmerőlegese: A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza pedig a B-C szakasz felezőmerőlegese. A keresett ponthalmaz tehát a két felezőmerőleges közös pontjaiból áll. Ha A,B és C háromszöget alkot, akkor a két felezőmerőlegesnek 1 közös pontja van, ez a pont mindhárom ponttól egyenlő távolságra van. Ez egyttal azt is jelenti, hogy

A-C felezőmerőlegese is átmegy ezen a ponton; vagyis a háromszög három oldalfelezőmerőlegese egy pontban metszi egymást. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges párhuzamos, a két egyenesnek nincs közös pontja, tehát a keresett ponthalmaz üres. A térben az A,B és C ponttól egyenlő távolságra lévő pontok az A-B szakasz felezőmerőleges síkjának és a B-C szakasz felezőmerőleges síkjának a közös pontjai. Ha A,B és C egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges sík párhuzamos egymással, tehát a keresett ponthalmaz üres halmaz. Ha A,B és C háromszöget alkot, akkor a két sík egy egyenesben metszi egymást. Ez az egyenes az ABC háromszög köré írható kör középpontján átmenő, az ABC háromszög síkjára merőleges egyenes. B. Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát azokban az esetekben nézzük, amikor a három egyenes közt nincs egybeeső pont. Ha a három egyenes

párhuzamos, nincs a feltételeket kielégítő pont. Ha a három egyenes közül 2 párhuzamos egymással, és a harmadik egyenes metszi őket [a és b párhuzamosak, e metszi a-t és b-t,], akkor az a és b párhuzamos egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes középpárhuzamosa (p). Az a és e egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f1 és f2 szögfelező egyenesek. Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két halmaz metszete: P1 és p2 pont. P1 és p2 egyenlő távolságra van az e-től és b-től is. [Az általuk bezárt szög szögfelező egyeneseivel is dolgozhattunk volna.] a háromszög belsejében a feltételeket kielégítő pont a három belső szögfelező metszéspontja. A 23 És 4 Jelű síktartományban a háromszög egy belső szögfelezőjének és a másik két cscshoz tartozó külső szögfelezőnek a metszéspontja adja a feltételeket kielégítő pontokat [minden síktartományban

egyet]. Ha a három egyenes 1 pontban metszi egymást, akkor egyetlen pont elégíti ki a feltételeket, a három egyenes metszéspontja. 94. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk parabolának? A parabola azon pontok halmaza a síkban, amelyek 1, a síkban adott ponttól és 1 - az adott pontra nem illeszkedő egyenestől egyenlő távolságra vannak. Az adott pont a parabola fókuszpontja, az adott egyenes a parabola vezéregyenese [direktrixe]. A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p). A parabolát a paramétere egyértelműen meghatározza, így a parabolák hasonlók egymáshoz. 96. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk elipszisnek? Az elipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távolságszöge állandó, és ez az állandó nagyobb mint a két adott pont távolsága. Az adott pontok [F1 és F2] az elipszis fókuszpontjai. Az adott távolság az elipszis nagytengelye. Az F1-F2 szakasz

felezőmerőlegesének az elipszis tartományába eső szakasza az elipszis kistengelye. 98. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk hiperbolának? A hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távoolságkülönbségének abszoltértéke állandó, és ez az állandó kisebb, mint a két adott pont távolsága. Az adott pontok [F1 és F2] a hiperbola fókuszpontjai, az adott távolság a hiperbola főtengelye. Háromszög tételek 32. Igazolja, hogy a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, és fordítva. A. A háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van B. A tétel első része: Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. 35. Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást. Legyen az ABC háromszög A-B oldalának felezőmerőlegese e. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től. A B-C oldal felezőmerőlegese F. Ennek

minden pontja egyenlő távolságra van B-től és C-től. Mivel A-B és B-C metszik egymást, a felezőmerőlegeseik e és F metszik egymást [mert metsző egyenesekre merőlegesek]. Az M metszéspont egyenlő távolságra van A-tól és B-től, B-től és C-től is; vagyis mindhárom ponttól, eszerint A-tól és C-től is. Tehát M rajta van az A-C oldal felezőmerőlegesén. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk. A három felezőmerőleges egyetlen közös pontja az M, a háromszög három cscsától egyenlő távolságra van. gy ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. 36. Igazolja, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást! Legyen az ABC háromszög alfa szögének szögfelezője F-alfa. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van a b és a c oldaltól. A béta szög szögfelezője F-béta. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van az a oldaltól és a c oldaltól. Az Falfa és az Fbéta szögfelezők a háromszög

belsejében metszik egymást, a metszéspont N, amely egyenlő távolságra van btől és ctől, és atól és ctől is, vagyis mindhárom oldaltól. Eszerint egyenlő távol van atól és btől is, tehát rajta van a epszilon szög szögfelezőjén is [kihasználjuk, hogy N a háromszög belsejében van]. A három belső szögfelező egyetlen kötös pontja az N, az ABC háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja. 37. Bizonyítsa be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást! A háromszög magasságvonala a háromszög egyik cscsából a szemközti oldal egyenesére bocsájtott merőleges. Egy háromszögnek három magasságvonala van. A háromszög magasságvonalai egy pontban, a háromszög magasságpontjában metszik egymást. 38. Igazolja Thálész tételét, és a tétel megfordítását! Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk. A tétel

megfordítása: Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja, az átfogó a kör átmérője. 55. Bizonyítsa be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást! Egy háromszög slyvonala a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. A háromszögnek 3 súly vonala van. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont a súlyvonalakat kettő egy arányban úgy osztja két részre, hogy a hosszabb szakasz a csúcs felöl van. 56. Bizonyítsa be a Pitagoras-tételt, és a tétel megfordítását Pitagoras tétele: A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzetek területével. Algebrai alakban: A^2 +b^2 =c^2, ahol a és b a derékszögü háromszög két befogója és c az átfogója. A Pitagoras tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű háromszögben a

befogók négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő. A Pitagoras tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. 58. Bizonyítsa be, hogy a háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja! A háromszög b cscsából induló szögfelező a szemközti oldalt két részre osztja. Jelöljük ezeket b1-gyel és b2-vel A tétel állítása szerint: b1/b2=a/c. 63. Bizonyítsa be, hogy a derékszögü háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe. A derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe. 64. A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre osztja. Bizonyítsa be, hogy az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe. [A tételt lásd a

címben!] Halmazok 152. Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlő két halmaz? A halmaz a matematikában alapfogalom. Két halmazt akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. Halmazt megadhatunk gy, hogy felsoroljuk az elemeit. Pl.: A={{1,3,5,7,9}} Megadhatunk halmazt egy alaphalmazzal, és egy tulajdonsággal gy, hogy a halmazba az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak, amelyekre igaz a tulajdonság. Pl.: R+={{x eleme R és x 0}}, P={{n eleme N+ és n prím}} 153. Legyen A és B két tetszőleges halmaz Mikor mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek? Az A halmaz részhalmaza [része] a B halmaznak, ha az A halmaz minden eleme egyben a B halmaznak is eleme. A részhalmaza B-nek, és B-nek nincs A-hoz nem tartozó eleme 154. Legyen A és B két tetszőleges halmaz Mit értünk A és B direkt [Descartes-féle] szorzatán? Tegyük fel, hogy A és B nem üres halmazok. Az A*B halmaz eleme az összes olyan (a,b) alap rendezett pár,

ahol a eleme A-nak, és b eleme B-nek. Az A*B halmazt az A és B halmazok direkt [Descartes-féle] szorzatának nevezzük. 155. Definiálja a következő halmazműveleteket: Unió-, Metszet-, Különbségképzés! A három művelet közül melyik kommutatív, melyik asszociatív? Unióképzés: Az A és B halmaz uniója [egyesítése, összege] azon elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül legalább az egyiknek elemei. Az unióképzés: Kommutatív: A unió B = B unió A. Asszociatív: (A unió B) unió C=A unió (B unió C)=A unió B unió C Metszetképzés: Az A és B halmaz metszete [közös része] azon elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül mindkettőnek elemei. A metszetképzés: Kommutatív: A metszet B = B metszet A Asszociatív: (A metszet B) metszet C = A metszet (B metszet C)= A metszet B metszet C Különbségképzés: Az A és B halmazok [ebben a sorrendben vett] különbsége az A halmaz azon elemeinek halmaza, amelyek nem elemei a B

halmaznak. A különbségképzés művelete nem kommutatív és nem asszociatív. 156. Mi a konjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és asszociatív! A konjunkció olyan logikai művelet, amely két kijelentést vagy állítást az "és" kötőszóval kapcsol össze egy kijelentéssé. A művelet kommutatív: A és B = B és A. A definíció szerint ugyanis az A eredmény logikai értéke [igaz, vagy nem igaz volta] független az eredeti állítások sorrendjétől. A művelet asszociatív: (A és B) és C = A és (B és C) 157. Mi a diszjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és asszociatív! A diszjunkció olyan logikai művelet, mely két kijelentést a "vagy" kötőszóval egy kijelentéssé kapcsol össze. A művelet kommutatív: A vagy B = B vagy A , a definíció szerint ugyanis az eredmény logikai értéke független az eredeti állítások sorrendjétől. A művelet asszociatív: (A vagy B) vagy C= A vagy (B vagy C) 158.

Mi a negáció? Legyen P és Q két állítás! Bizonyítsa be, hogy nem (P és q)=nem P vagy nem Q! A negáció egyváltozós művelet. Egy A kijelentés negációja (nem A) a "nem igaz, hogy A" kijelentést, vagyis A tagadását jelenti. Fontos összefüggés a diszjunkció és a konjunkció között: Nem (P és Q) = nem P vagy nem Q Négyszög tételek 29. Osztályozza a síknégyszögeket A. Az oldalak párhuzamossága, B. Az oldalak egyenlősége szerint! A. Az oldalak párhuzamossága szerint: Van két párhuzamos oldaluk: Trapézok. Az olyan trapézok, amelyeknek a párhuzamos oldalakra merőleges szimetriatengelyük van: A szimetrikus trapézok. Azok, amelyeknek két-két oldaluk párhuzamos: Paralelogrammák. B. Az oldalak egyenlősége szerint: Két-két szemközti oldaluk egyenlő hosszság: Paralelogrammák. Köztük azok, amelyeknek minden oldaluk egyenlő: Rombuszok. Két-két szomszédos oldaluk egyenlő hosszság: Deltoidok. 30. Milyen négyszöget nevez

hrnégyszögnek, illetve érintőnégyszögnek? hrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy cscsán. Ezt röviden így is mondjuk: A négyszög köré írható kör. Igazolható, hogy bármely hrnégyszög két szemközti szögének összege 180 fok, és fordítva: Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180 fok, akkor az hrnégyszög. Érintőnégyszögek azok a konvex négyszögek, melyeknek oldalai egy kör érintői. Igazolható, hogy bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszságának összege egyenlő; és fordítva, ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszságának az összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög. Hrnégyszögek pl.: A szimetrikus trapézok Érintőnégyszögek pl: A rombuszok, a deltoidok. A négyzet hrnégyszög is, érintőnégyszög is. 39. Bizonyítsa be, hogy egy síknégyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két

szemközti oldalának összege egyenlő! Érintőnégyszögek azok a konvex négyszögek, amelyeknek az oldalai egy kör érintői. A. Minden érintőnégyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő. B. Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög. 40. Igazolja, hogy egy négyszög akkor és csak akkor hrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180 fok! Hrnégyszögek azok a négyszögek, amelyek köré kör írható. A. Bármely hrnégyszögben a szemközti szögek összege 180 fok B. Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180 fok, akkor a négyszög hrnégyszög. Sokszögek, kör 41. Bizonyítsa be, hogy a kör egy ívéhez tartozó bármelyik kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög! A kerületi szög olyan szög, melynek cscsa a kör kerületén van, szárai pedig a kör 1-1 hrját tartalmazzák. A körvonalnak a

kerületi szög szögtartományába eső íve a kerületi szöghöz tartozó körív. A középponti szög olyan szög, melynek cscsa a kör középpontja, szárai pedig a kör 1-1 sugarát tartalmazzák. A körvonalnak a középponti szög szögtartományába eső íve a középponti szöghöz tartozó körív. A kör egy ívéhez egy középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik. A kör egy ívéhez tartozó bármely kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög. 42. Bizonyítsd be, hogy az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n -2*180) fok, átlóinak száma pedig (n(n -3)/2)! A. Az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n -2*180) fok. Bizonyítása: A sokszög minden cscsából (n -3) átló hzható [saját magával és a két szomszédos cscsba nem rajzolható átló]. Az egy cscsból hzott (n -3) átló a sokszöget (n -2) háromszögre bontja. Ezek belső szögeinek összege: n -2*180 fok. Ez

éppen a sokszög belső szögeinek összegét adja. B. Az n oldal konvex sokszög összes átlójának száma (n*(n -3)/2). Bizonyítása: Az n oldal konvex sokszögben egy cscsból (n -3), n cscsból összesen (n*(n -3)) átló hzható. gy mindegyik átlót kétszer számoljuk, egyszer az egyik végpontjánál, egyszer a másiknál. Az (n*(n -3))-at ezért el kell osztani 2-vel. Az n oldal sokszög összes átlójának száma tehát valóban (n*(n -3)/2). 60. Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a középponti szög [ívhossz] segítségével! A körcikk a körlapnak és egy középponti szög tartományának a közös része. Az r sugaru i hosszság ívhez tartozó körcikk nyílásszöge fokokban kifejezve legyen alfa fok, az ívmértéke legyen ívalfa, a kör cikk területe t legyen. A körben a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe egyenesen arányos. Ezt felhasználva: Alfa fok /360 fok =ívalfa/2*pi=t/r^2pi, innen

t=pi/360fok*r^2alfafok=r^2ívalfa/2 az ívmérték definíciója alapján a körív hossza a hozzátartozó középponti szög ívmértékének r-szerese; i=r*ívalfa. juk ezt be a körcikk ívmértékkel kifejezett területképletébe: T=r*i/2 a körszelet területét úgy számoljuk ki, hogy az őt tartalmazó körcikk területéből kivonjuk kiegészítő háromszög területét: Körszelet területe =r^2*ívalfa/2-r^2sin(alfa)/2=ir/2-r^2sin(alfa)/2 ívalfa: A körív hosszához tartozó középponti szög. 65. Hzzon egy körhöz egy külső pontból egy érintőt és egy szelőt Bizonyítsa be, hogy az érintő szakasz hossza a szelődarabok hosszának mértani közepe! [A tétel igaz, grafikus megoldása van!]