Matematika | Felsőoktatás » Mátrixok inverze, Gauss eliminációval

MÁTRIXOK INVERZE GAUSS ELIMINÁCIÓVAL MÁTRIXOK INVERZE • Ha egy műveletre vonatkozóan létezik egység, értelmes kérdés, van-e inverz? • Definíció: Az A négyzetes mátrix inverzének nevezzük azt a -gyel jelölt (n x n-es) mátrixot, amelyre: • A A -1 = A -1 A=E • Ha egy művelet asszociatív, akkor az inverz egyértelmű: • A -1 = A -1 E=A -1 (AA*)=( A -1 A)A=EA=A INVERZ MÁTRIX TULAJDONSÁGAI 1. 2. 3. A  T 1   A  1 T 4. Ha C invertálható (nem szinguláris), akkor a mátrix egyenletet lehet a szokásos módon rendezni: AC  BC  A  B. BIZ.: szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát jobbról C-1-gyel CA  CB  A  B ELNEVEZÉSEK Elnevezések: A négyzetes mátrix SZORZÁSRA vonatkozó egységét EGYSÉGMÁTRIXNAK, inverzét (ekkor A négyzetes) INVERZ mátrixnak, 1 0 E 0  0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0  1 0 0 O 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 ÖSSZEADÁSRA

vonatkozó egységét NULLMÁTRIXNAK inverzét ELLENTETT mátrixnak nevezzük. 0 0 0  0 HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT? 4  1 A   1  3   AX  E 4  x11  1  1  3  x    21 x12   1 0   x22  0 1  x11  4 x21  x  3 x  11 21 x12  4 x22   1 0    x12  3 x22  0 1 x12  4 x22   1 0  x11  4 x21    x  3 x    3 x x 0 1    11 21 12 22  x11  4 x21  1   x11  3 x21  0 (1) x12  4 x22  0  x12  3 x22  1 (2) 4   1 (1)    1  3  4   1 (2)    1  3   x11 XA   x21 1 1  1 0   3     0 0 1  1   0  1 0   4     1 0 1  1   Az egyenletrendszerek együttható mátrixa

ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak. Ezért egyszerre is meg lehet megoldani ezeket az egyenleteket.  x11  3, x21  1  x12  4, x22  1 x12   3  4 -1  ( AX  E  AA )    x22   1 1 HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT? Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval: 1 A 2   1 1 3 3  2  5  5    1  1  2  x11 AA 1   2  3  5  x21  1 3 5   x31  x11 A 1   x 21  x31 x12 x22 x32 x12 x 22 x32 x13  x 23  x33  x13  1 0 0 x23   0 1 0  E3 x33  0 0 1 AA 1 1   2   1 1 3 3  2  x11 x  5   21 5    x31 x11  x21  2 x31  1 2 x11  3 x21  5 x31  0  x11  3 x21  5 x31  0 x12

 x22  2 x32  0 2 x12  3 x22  5 x32  1  x12  3 x22  5 x32  0 x12 x22 x32 x13  1 0  x23    x33    0 0 1 0 0 0   E3 1  Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak: 1 0 0, 1,     0 0 0  0    1 x13  x23  2 x33  0 2 x13  3 x23  5 x33  0  x13  3 x23  5 x33  1 Ezért egyszerre lehet megoldani ezeket az egyenleteket. , Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval Folytatás az előző oldalról: ,  1  1  2 1   2  3  5 0     1 3 5 0  1  1  2 0  2  3  5 1     1 3 5 0  1  1  2 0   2  3  5 0     1 3 5 1 Például a 3. sor első elemének nullázása:  1

 1  2 0  2  3  5 1    0 2 3 0  1  1  2 1   2  3  5 0    0 2 3 1  1  1  2 0   2  3  5 0    0 2 3 1 Csak az utolsó oszlopban van eltérés. Ezért egyszerre is megoldhatjuk:  1  1  2 1  2 . 3  5 0    0 2 3 1  1  1  2 0  2  3  5 1    0 2 3 0  1  1  2  1 0 0  2  3  5  0 1 0 3) (3)(1)  (   1 3  5  0 0 1 A E3  1  1  2 0   2  3  5 0    0 2 3 1 1  1  2  1 0 0   2  3  5  0 1 0   0 2 3  1 0 1 . 1 2   1 1 0  0 1 3 3 2  1 5  0 5  0 1  2  1 1 1  2 2 3  1 0 1 0 0 (3)(3)(1) ( 2 )( 2 )2*(1)    

 0 1 0 0 (1)(1)( 2 )  ( 3)( 3)2*( 2 )  1 0   0 1 1 0  0 1  2  1 1  2 3  1 0  0 0 1 0 1  1  1  1 2 1 3 2 3 0 1 0 0 ( 2)1*( 2) 0  1  1 0  1 0 2 1 Ez eddig a GAUSS elimináció, most a főátló feletti elemeket is nullázzzuk – Gauss-Jordan 1    0 0 (1)(1)( 3) ( 2 ) ( 2 ) ( 3) A 0 1 0 0  0  1  0 5 3 1 3 2 1  1 1   | E  E | A Gauss-Jordan elimináció 1  Tétel: Ha A és B invertálható mátrixok, akkor szorzatuk is az, és: ( AB) 1  B 1 A1 ( AB )( B 1 A1 )  A( BB 1 ) A1  A( I ) A1  ( AI ) A1  AA 1  I ( B 1 A1 )( AB )  B 1 ( A1 A) B  B 1 ( I ) B  B 1 ( IB)  B 1 B  I Mivel az

inverz egyértelmű, ezért : ( AB ) 1  B 1 A1 Következmény:  A1 A2 A3  An 1  An1  A31 A21 A11