Matematika | Felsőoktatás » Farkas István - Mátrixok, mátrixműveletek

Mátrixok, mátrixműveletek 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek – p. 1/1 Mátrixok definíciója Definíció. Helyezzünk el n × m elemet egy olyan téglalap alakú táblázatba, amelynek n sora és m oszlopa van; az i-edik sor és a j-edik oszlop közös elemét jelöljük aij -vel; a táblázat elemeit szögletes vagy kerek zárójellel foglaljuk egybe. Az így szerkesztett táblázatot mátrixnak nevezzük, pontosabban n × m típusú mátrixnak:  a  11   a21   .  .  an1 a12 a22 . . an2 . a1m    . a2m   = An×m .  . . . .   . anm Egy konkrét példa:  1 2  0 1  3 2  3 4  4 5  = A3×4 0 2 Megjegyzés. A mátrix egy elemét az indexével érhetjük el Például a 2 sor 3 oszlopában álló elem: a23 = 4. Mátrixok, mátrixműveletek – p. 2/1 Speciális mátrixok 1. Kvadratikus vagy négyzetes mátrix: olyan

mátrix, ahol a sorok és oszlopok száma megegyezik egymással, azaz n = m. Jelölése: An  a  11   a21 A=  .  .  an1 a12 a22 . . an2 . a1n    . a2n   .  . . .   . ann Egy konkrét példa:  1 2 3     A3×3 = 0 2 5   2 9 −1 Definíció. Egy n×n típusú kvadratikus mátrix főátlóján az aii elemeket (i = 1, 2, . , n), míg mellékátlóján az ai(n+1−i) (i = 1, 2, , n) elemeket értjük. A példában megadott mátrix főátlójában az 1, 2, −1, míg mellékátlójában a 2, 2, 3 elemek állnak. Mátrixok, mátrixműveletek – p. 3/1 Speciális mátrixok 2. Diagonálmátrix vagy átlósmátrix: az olyan kvadratikus mátrix, amelynek csak a főátlójában van 0-tól különböző elem. Azaz:  a  11   0 A=  .  .  0 0 . 0 a22 . . . . . 0 . ann    0   .  .   Egy konkrét példa:   1 0 0    A3×3 =

0 2 0  0 0 0 3. Egységmátrix: az a diagonálmátrix, amelynek főátlójában minden elem 1 Jele: En .   Egy konkrét példa: 1 0 . 0       0 1 . 0 1 0 0  En =    .   .  . E3 = 0 1 0 .     0 0 1 0 0 . 1 Mátrixok, mátrixműveletek – p. 4/1 Speciális mátrixok 4. Zérusmátrixnak nevezzük azt a mátrixot, amelynek minden eleme 0 5. Oszlopmátrix (oszlopvektor): olyan mátrix, amelynek egyetlen oszlopa van. Egy konkrét példa: Általánosan:    a  11   .  An×1 =  .    an1 1     A3×1 =  0 −2 6. Sormátrix (sorvektor): olyan mátrix, amelynek egyetlen sora van Egy konkrét példa: Általánosan:  B1×m = b11 . b1m   B1×3 = 1  0 −2 Mátrixok, mátrixműveletek – p. 5/1 Mátrixműveletek Definíció. Két mátrix azonos típusú, ha mindkettő n×m-es, azaz mindkettőben ugyanannyi sor és ugyanannyi

oszlop van. Definíció. Két mátrix pontosan akkor egyenlő egymással, ha azonos típusúak és a megfelelő helyeken álló elemeik rendre megegyeznek. A következő mátrixművelketeket tekintjük át: 1. Transzponálás 2. Mátrix skalárral való szorzása 3. Mátrixok összeadása 4. Mátrixok lineáris kombinációja 5. Mátrix szorzása mátrixszal 6. Mátrixok hatványozása Mátrixok, mátrixműveletek – p. 6/1 Transzponálás Transzponálás. Ha az A mátrix sorait és oszlopait felcseréljük egymással, az A mátrix transzponáltját kapjuk, amit AT -vel jelölünk. Példa.  1 2 3  A3×4 =  0 1 4 3 2 0  4  5  2  1 0  2 1  AT4×3 =  3 4  4 5  3  2   0  2 Az A kvadratikus mátrixot szimmetrikusnak mondjuk, ha A = AT . Az A kvadratikus mátrix antiszimmetrikus, ha A = −AT . Mátrixok, mátrixműveletek – p. 7/1 Mátrix skalárral való szorzása Definíció. Legyen az An×m =

(aij ) mátrix és λ ∈ R adott A λ · A mátrixon azt a Bn×m = (bij ) mátrixot értjük, amelynek bármely elemére bij = λ · aij i = 1, 2, . , n; j = 1, 2, . , m Példa.    1 2 3 4 3·1 3·2 3·3      B3×4 = 3 · A3×4 = 3 · 0 1 4 5  = 3 · 0 3 · 1 3 · 4 3 2 0 2 3·3 3·2 3·0  3 6 9  = 0 3 12 9 6 0  3·4  3 · 5 = 3·2  12  15  6 Mátrixok, mátrixműveletek – p. 8/1 Mátrixok összeadása A művelet csak az azonos típusú mátrixok halmazán értelmezett. Definíció. Az An×m = (aij ) és Bn×m = (bij ) mátrixok összegén azt a Cn×m = (cij ) mátrixot értjük, amelynek minden elemére cij = aij + bij i = 1, 2, . , n; j = 1, 2, . , m Példa.  1 2  A3×4 + B3×4 =  0 1 3 2    3 4 3 6 9   0 3 12 + 4 5   0 2 9 6 0  12  15 = 6   1 + 3 2 + 6 3 + 9 4 + 12 4 8 12      = 0 + 0 1 + 3 4 + 12 5 +

15  =  0 4 16 3+9 2+6 0+0 2+6 12 8 0  16  20  8 Mátrixok, mátrixműveletek – p. 9/1 Mátrixok lineáris kombinációja Definíció. Ha az A1 , A2 , , An azonos típusú mátrixokat rendre megszorozzuk a k1 , k2 , . , kn valós számokkal, és a szorzatokat összeadjuk, akkor az így kapott k1 · A1 + k2 · A2 + · · · + kn · An = L mátrixot az adott mátrixok lineáris kombinációjának nevezzük. Példa.               1 1 3 3 2 −3 2                            3 · 2 + 2 ·  0  + (−1) ·  4 = 6 +  0  + −4 = 2 3 −2 1 9 −4 −1 4 Mátrixok, mátrixműveletek – p. 10/1 Mátrix szorzása mátrixszal Definíció. Az n×m típusú A = (aij ) és az m×p típusú B = (bij ) mátrixok A · B szorzatán azt az n×p típusú C mátrixot értjük, amelynek minden cij

elemére cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . + aim bmj = m X aik · bkj , k=1 ahol i = 1, 2, . , n és j = 1, 2, , p Megjegyzés. Az A = (aij ) mátrixnak a B = (bij ) mátrixszal való A · B szorzatát csak akkor értelmezzük, ha az A mátrixnak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora a B mátrixnak. Ekkor az eredménymátrix sorainak száma megegyezik az A mátrix sorainak a számával, oszlopainak száma pedig egyenlő a B mátrix oszlopainak a számával. Azaz: Cn×p = An×m · Bm×p . Mátrixok, mátrixműveletek – p. 11/1 Mátrix szorzása mátrixszal Az eredménymátrix i-edik sorának k-adik elemét úgy kapjuk meg, hogy az első (A) mátrix i-edik sorát „szorozzuk” a második (B) mátrix k-adik oszlopával oly módon, hogy az első elemet az első elemmel, a másodikat a másodikkal stb., az m-ediket az m-edikkel szorozzuk össze, és ezeket a szorzatokat összegezzük. Ezt a „szorzást” sor-oszlop kompozíciónak szokták nevezni. Példa.

(Falk-módszer és oszlopösszegpróba) 2 0 1 3 1 3 4 1 2 0 1 3 1 2 0 4 6 9 5 -1 3 1 3 9 12 3 0 5 1 7 15 21 8 Mátrixok, mátrixműveletek – p. 12/1 Mátrixok hatványozása Definíció. Az A kvadratikus mátrix n-edik hatványa: An = A · . · A} | · A {z n Kiszámítása kéttényezős szorzatokkal történik. Mátrixok, mátrixműveletek – p. 13/1