Fizika | Középiskola » Balázs Ádám - Fizika 9. osztály I. rész, Kinematika

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium – Biológia tagozat Fizika 9. osztály I. rész: Kinematika Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Kinematika 2 8. A kinematika alapfogalmai 3 9. A sebesség fogalma 5 10. Az átlagsebesség 6 11. Mozgások összetétele 7 12. A gyorsulás fogalma 9 13. A gyorsuló mozgás grafikonjai 10 14. Feladatok gyorsulásra 12 15. A szabadon eső test mozgása . 14 16. A függőleges hajítások 16 17. A vízszintes hajítás 18 18. Ferde hajítások 20 19. Feladatok hajításra,

szabadesésre 21 8. óra A kinematika alapfogalmai 8. óra 3. A kinematika alapfogalmai Klasszikus mechanika: A testek mozgásának leírásával, a mozgás törvényeivel foglalkozik. A környezetünkben lévő testekre érvényes, nem túl kicsi, nem túl gyors testekre Atomi méret1 közelében, fénysebességet megközelítve már nem használható Kinematika: Mozgástan, a mechanika azon részterülete, amelyik a mozgások puszta matematikai leírásával foglalkozik. A szó a görög κινηµα (mozgás) szóból származik Anyagi pont modell: A testeket kiterjedés nélküli, pontszerű objektumnak tekinthetjük, ha méretüknél jóval nagyobb távolságokat tesznek meg. Példák: a Föld pontszerűnek tekinthető, ha a Nap körüli mozgását vizsgáljuk; egy autó pontszerűnek tekinthető, ha egy több km-es utat tesz meg Hely és helyzet: Más néven a lokáció és az orientáció. Azt értjük alattuk, hogy hol található meg a test és

milyen irányba néz. Mindkét fogalom relatív Vonatkoztatási pont: Egy kitüntetett pont, amihez képest megadjuk a testek helyét. A dimenziószámnál mindig eggyel több pont szükséges, hogy ez egyértelmű legyen. A vonatkoztatási pontokhoz koordináta-rendszert rögzítve vonatkoztatási rendszerről beszélünk. 1. ábra Vajon melyik a másik oldal? 1. Feladat Adjuk meg egy tárgy helyét két különböző vonatkoztási rendszerből! 2. Feladat Mikola cső középső beosztása legyen egy vonatkoztatási pont A buborék tőle 4 cm-re van. Egyértelmű-e a buborék helye és helyzete? 3. Feladat Adott három pont, melyek egy általános helyzetű háromszöget határoznak meg Adjuk megy egy kiválasztott pont koordinátáit az általuk meghatározott vonatkoztatási rendszerben! 4. Feladat Létezik-e olyan vonatkoztatási rendszer, amiből nézve a Mikola-csőben mozgó buborék nyugalomban van? 1 Az atomok nagyságrendjébe eső méret az Ångström, az átváltás: 1

Å= 10−10 m 4. 8. óra A kinematika alapfogalmai Pálya: Az a geometriai alakzat (görbe), amin a test mozgása során végighalad. Pálya Elmozdulás 1 s = 1, 2 m Út: A test által befutott pályaszakasz hossza, mely egy nemnegatív számérték. A megtett út jele: s vagy ∆s 0 Elmozdulás: A mozgás kezdőpontjából a végpontjába mutató vektor. Jele: ∆~r 1 2. ábra Kinematikai alapfogalmak Hely-idő diagram: A test helyét megadjuk az idő függvényében. A test egyszerre két helyen nem lehet, de minden pillanatban van valahol. Nem is teleportálhat x(m) x(m) 5 4 3 2 1 t(s) 0 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −2 5 4 3 2 1 t(s) 0 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −2 3. ábra Mesélj különböző történeteket a hely-idő grafikonokról! Út-idő diagram: Megadjuk test által megtett összes utat az idő függvényében. Az eddigi feltételeken túl mindig növekszik, vagy állandó2 . s(m) s(m) 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(s) 0 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(s) 4. ábra Mesélj különböző történeteket az út-idő grafikonokról! 8. Házi feladat Készítsd el egy lift hely-idő és út-idő diagramját! 8. Szorgalmi Ábrázold Excel vagy hasonló program segítségével a házi feladatot! 2 Monoton nő az idő függvényében. 9. óra A sebesség fogalma 9. óra 5. A sebesség fogalma A sebesség nagysága: Fizikailag az egységnyi idő alatt megtett út hossza. Matematikailag az út-idő diagramon ábrázolt grafikon meredeksége A sebesség iránya: A testre ható erőket egy pillanatra figyelmen kívül hagyjuk és megnézzük, hogy melyik irányba mozogna tovább a test. Fizikailag ez a sebesség iránya. Matematikailag a pálya érintője jelöli ki ezt az irányt A sebesség általában: A test A pontból eljut B-be egy nagyon kicsi ∆t idő alatt. A helyvektor időegység alatti megváltozása a sebesség: ~v = 9. Házi feladat 9. Szorgalmi ~rA − ~rB ∆t 6. 10. óra Az átlagsebesség

10. óra Az átlagsebesség Az átlagsebesség matematikai kiszámítása: vátl. = Sösszes tösszes Az átlagsebesség szemléletes fizikai tartalma: Annak az egyenletesen mozgó testnek a sebessége lenne vátl. , ami ugyanolyan hosszú utat ugyanannyi idő alatt tenne meg, mint a változó sebességű mozgást végző test. Egyenlő idők esetén: vátl. = s1 + s2 + s3 + s4 v1 · ∆t + v2 · ∆t + v3 · ∆t + v4 · ∆t v1 + v2 + v3 + v4 = = ∆t + ∆t + ∆t + ∆t 4 · ∆t 4 Egyenlő utak esetén: vátl. = ∆s + ∆s + ∆s 3 · ∆s 3 = = 1 1 1 ∆s ∆s ∆s t1 + t2 + t3 + + + + v1 v2 v3 v1 v2 v3 10. Házi feladat Egy 200 méter hosszúságú pályán az autó 36 km/h-val megy körbe, majd tesz egy kört 54 km/h-val, majd egy újabbat 64,8 km/h-val. Mekkora az autó átlagsebessége m/s-ban? 10. Szorgalmi Az átlagsebesség vektor, vagy skalármennyiség? 11. óra Mozgások összetétele 11. óra 7. Mozgások összetétele Galilei-féle relativitási elv:

Adott egy K vonatkoztatási rendszer, és a hozzá képest állandó ~v sebességgel mozgó K0 rendszer. Mindkettőben a fizikai törvények azonosak, és az is idő ugyanúgy telik. A két rendszer egyenértékű, egyik sem kitüntetett y0 y Test az álló hajóban Test a mozgó hajóban x z x0 z0 K K0 ~ v 5. ábra Zárkózz be barátod társaságában egy hajó fedélzete alatt egy meglehetősen nagy terembe. Vigyél szúnyogokat, lepkéket és egyéb röpködő állatokat, gondoskodjál egy vizesedényről, melyből a víz egy szűk nyakú edénybe csöpög Most mozogjon a hajó tetszés szerinti sebességgel: azt fogod tapasztalni - ha a mozgás egyenletes és nem ingadozó - a jelenségekben semmiféle változás nem következik be (a klasszikus mechanika keretei között). Galilei-transzformáció: A K rendszerből a K0 -be a mennyiségek átszámíthatók. y0 y Épület ~r r~0 ~ v·t x z x0 z0 K K0 ~ v 6. ábra Legyen a két rendszer t = t0 = 0 időpillanatban

közös origójú Ekkor egy K-ben álló test pozíciója a két rendszerből nézve más, de létezik kapcsolat az egyes helyvektorok között. Az átszámítást Galilei-transzformációnak nevezzük és végig feltételezzük, hogy az idő mindkét rendszerben ugyanúgy telik. r~0 = ~r − ~v · t 8. 11. óra Mozgások összetétele 5. Feladat Jancsi 2 m -mal s sétál előre a 20 m -mal s haladó metróban, Juliska 1 m -mal s megy hátrafelé. Mekkora sebességük egy peronon álló megfigyelő számára? • Jancsi a metróval azonos irányba halad, ezért a sebességek összeadhatók: v0 + v1 = 20 m m m +2 = 22 s s s • Juliska sebessége a metró sebességével ellentétes, ezért negatív előjelű: v0 + v2 = 20 6. Feladat Egy versenyautó 140 km -val, h m m m −1 = 19 s s s egy másik 122 km -val h megy körbe a 4,5 km hosszú pályán. Mennyi idő, míg az első lekörözi másodikat, ha egyszerre indultak? • A lassabb számára a gyorsabb sebessége:

140 km h − 122 km h = 18 • A pálya megtételéhez szükséges idő ekkora sebességgel: t = km h =5 m s s 4500 m = 900 s = v 5 ms • A gyorsabb autó a lassabbat 900 másodperc, vagyis 15 perc alatt körözi le. 7. Feladat Dani átúszta a 150 méteres medencét 1,2 de 2 m s m s sebességgel. Ugyanilyen széles, sebességű folyóban merőlegesen a partra elindul. Mennyivel lejjebb ér partot? 8. Feladat Dani most egy olyan 150 m szélességű folyóban indul el merőlegesen, melyben a part szélétől lineárisan nő a sebesség 1 m -ig. s Mennyivel lejjebb ér itt partot? 11. Házi feladat Egy ember a folyón felfele evez Egy hídnál elhagyja a csáklyáját, de csak fél óra múlva veszi észre. Ezután visszafordul és felszedi Milyen gyors a folyó sodrása, ha 5 km-rel a híd után éri utol a csáklyát, és végig egyenletesen evezett? 11. Szorgalmi Hogyan kell összeadni a sebességeket, ha fénysebességgel összemérhető sebességgel mozgó

részecskéket vizsgálunk? 12. óra A gyorsulás fogalma 12. óra 9. A gyorsulás fogalma Kísérlet. Hosszú, kis dőlésszögű lejtőre helyezzünk egy acélgolyót és mérjük meg mennyi idő alatt tesz meg 50 cm-t! Alkossunk hipotézist, hogy hányszor ennyi ideig tart kétszer, háromszor, illetve négyszer ekkora utat megtennie? Kísérlet. Mérjük meg, hogy 10 cm-es utakat hány másodperc alatt tesz meg Ábrázoljuk a test mozgását út-idő diagramon! s(m) 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 v m 8 s 7 6 5 4 3 2 1 t(s) 0 1 2 3 4 t (s) 0 5 0 1 2 3 4 5 7. ábra A gyorsuló mozgás grafikonjai • Az út négyzetesen arányos az idővel, tehát: s = k · t2 • A mozgás átlagsebessége: vátl. = s k · t2 = =k·t t t • A sebesség nulláról v-ig nő, ez utóbbi az átlagsebesség duplája: v = 2 · vátl. • A sebesség megváltozásának és a közben eltelt időnek a hányadosát jelöljük a-val. S= a 2 ·t 2 v =a·t 12. Házi

feladat Egy test gyorsulása 4 m/s2 Hogyan mozog a test az első 5 másodpercben? Ábrázold az s − t, v − t, a − t diagramokat! 12. Szorgalmi Oldd meg a házi feladatot Excel-ben! 10. 13. óra A gyorsuló mozgás grafikonjai 13. óra A gyorsuló mozgás grafikonjai 9. Feladat Álló helyzetből induló autó 3 s alatt gyorsít 6 m s sebességre, amit 3 s-ig tart, majd 3 s alatt lefékez és megáll. Ábrázoljuk a mozgást grafikonokon! A gyorsulások az egyes szakaszokon: a (m/s2 ) 2 1 t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 • a1 • a2 −2 8. ábra A gyorsulás-idő diagram • a3 • a4 A sebességek az egyes szakaszokon: v (m/s) 7 6 5 4 3 2 1 0 • v0 = 0 ms • v1 = 2 · t t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. ábra A sebesség-idő diagram s (m) 35 32 30 35 36 36 • v3 = 6 ms • v3 = −2 · t • v4 = 0 ms A megtett út az egyes szakaszokon: • s0 = 0m 27 25 • s1 = 21 20 15 15 2 2 ·t 2 • s2 = 6 · t 9 10 5 0 m s2

m 6−0 = =2 2 3 s m =0 2 s m 0−6 = −2 2 = 3 s m =0 2 s • a0 = 0 1 0 1 4 • s3 = 6 · t − t (s) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. ábra Az út-idő diagram • s4 = 36 m 2 2 ·t 2 13. óra A gyorsuló mozgás grafikonjai 11. 10. Feladat Egy jármű 2 s alatt 8 ms -ra gyorsít, majd lassít 3 s-on keresztül, hogy sebessége csak 2 ms legyen és így halad tovább. Készítsük el a mozgás grafikonjait! A gyorsulás az egyes szakaszokon: a (m/s2 ) 4 3 2 1 0 −1 −2 • a0 = 0 t (s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. ábra A gyorsulás-idő diagram m 8−0 =4 2 2 s m 2−8 • a2 = = −2 2 3 s m • a3 = 0 2 s • a1 = A sebesség az egyes szakaszokon: v (m/s) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 m s2 • v0 = 0 ms • v1 = 4 · t t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12. ábra A sebesség-idő diagram 30 s (m) 25 23 25 27 29 31 • v3 = 2 ms A megtett út az egyes szakaszokon: • s0 = 0 m • s1 = 20 20 • v2 = −2 · t 4 2 ·t 2 • s2 = 8 · t −

15 15 2 2 ·t 2 • s3 = 2 · t 10 8 5 2 0 0 1 t (s) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13. ábra Az út-idő diagram 13. Házi feladat Egy saját példát megoldani és a program segítségével ellenőrzni 13. Szorgalmi Excel programot készíteni a második feladathoz 12. 14. óra Feladatok gyorsulásra 14. óra Feladatok gyorsulásra 11. Feladat Egy teherautó álló helyzetből 10 s alatt éri el az 5 gyorsulása? Mennyi ideig kellene gyorsulnia, hogy elérje a 36 km h m -ot. s Mekkora a sebességet?  m 5−0 ∆v = = 0, 5 • A teherautó gyorsulása: a = ∆t 10 s2 • Az elérni kívánt sebesség: 36 • A szükséges idő: t = km m = 10 h s 10 v = = 20 ( s ) a 0, 5 12. Feladat Egy golyó egy lejtőn 3 m s2 gyorsulással legurul. A lejtő aljára már 6 m s sebességgel érkezik. Mekkora a közben megtett útja? • Ekkora sebesség eléréséhez szükséges idő: t = • Álló helyzetből indulva az út: s = 13. Feladat Egy autó 72 le 15 m -ről. s

km -ról h 6 v = = 2( s) a 3 a 2 3 2 · t = · 2 = 6( m) 2 2 10 s alatt áll meg teljesen. Egy motor 5 s alatt fékez Mekkora a gyorsulásuk fékezéskor? Melyik jármű fékez jobban? • Az autó sebessége: 72 km m = 20 h s m 0 − 20 ∆v = = −2 ∆t 10 s2 m ∆v 0 − 15 • A motoros gyorsulása fékezés közben: a = = = −3 ∆t 5 s2 • Az autó gyorsulása fékezés közben: a = 14. Feladat Mekkora a gyorsulás ha 3 A gyorsulás nagysága: a = 15. Feladat Egy autó 72 m -ról s 13 m -ra s 5 másodperc alatt gyorsítunk?  m ∆v 13 − 3 = =2 ∆t 5 s2 km -ról h 54 km -ra h fékezett, közben gyorsulása -0,5 m s2 Mennyi ideig fékezett? km m km m = 20 , utána: v2 = 54 = 15 h s h s m m m • A sebességváltozás: ∆v = v2 − v1 = 15 − 20 = −5 s s s • A sebesség fékezés előtt: v1 = 72 • Az autó fékezési ideje: ∆t = ∆v −5 = = 10 s a −0, 5 volt. 14. óra Feladatok gyorsulásra 16. Feladat Három autó egymás mellett

megy 20 ezt a tempót, a második gyorsítani kezd 2 m -tel, s2 m -os s 13. sebességel. Az első tartja a harmadik fékezni kezd −2 m -tel. s2 Mekkora a megtett útja az egyes autóknak 3 másodperc múlva? • Az első autó sebessége nem változik, ezért útja: s = v · t = 20 · 3 = 60 ( m ) a 2 2 · t = 20 · 3 + · 32 = 60 + 9 = 69 ( m ) 2 2 • A második útja: s = v0 · t + • A harmadik útja: s = v0 · t + a 2 2 · t = 20 · 3 − · 32 = 60 − 9 = 51 ( m ) 2 2 17. Feladat Az autópályán 2 másodperc a követési távolság Mekkora utat jelent ez egy 100,8 km -val h haladó, majd hirtelen lefékező autó számára? • Az autó sebessége a fékezés előtt: v1 = 100, 8 • Az autó gyorsulása: a = 0 − 28 ∆v = = −14 ∆t 2 km m = 28 h s m s2 • A négyzetes úttörvény szerint kiszámítjuk, hogy az autó mennyi utat tenne meg, ha nem is fékezne és abból levonjuk, amit a fékezés miatt nem tesz meg: s = v0 · t + a 2 14 2 · t = 28 ·

2 − · 2 = 56 − 28 = 28 ( m ) 2 2 • Ha időben visszafelé képzeljük el a fékezést, akkor álló helyzetből indul az autó, gyorsulása 14 sm2 ezért a megtett út 2 s alatt: s= 14. Házi feladat Egy 36 km -val h a 2 14 2 ·t = · 2 = 28 ( m ) 2 2 haladó autó elkezd gyorsítani 3 s-on át 2 m -mal. s2 a.) Mekkora sebességre gyorsul fel? b.) Mekkora utat tett meg a gyorsítás közben? c.) Ábrázold a mozgást s − t, v − t, a − t grafikonon! d.) Mekkora az átlagsebesség a gyorsítási szakaszon? 14. Szorgalmi Az Earthrace nevű hajó végsebessége 59,3 km/h Mekkora kezdősebességről tud 5 s alatt felgyorsulni a végsebességre, ha 2 m s2 gyorsulásra képes? 14. 15. óra A szabadon eső test mozgása 15. óra A szabadon eső test mozgása Szabadesés: Ha egy testre kizárólag a tömegvonzás hat, akkor szabadon1 esik. Kísérlet. Állandó sebességgel zuhannak-e a szabadon eső testek? Egy kötélen egymástól egyenlő távolságokra

rögzítünk csavarokat, és a kötelet kifeszített állapotban leejtük. A koppanások nem egyenletesek, hanem egyre gyakoribbak, tehát a sebesség zuhanás közben folyamatosan nő. Kísérlet. A nehezebb testeket jobban gyorsítja a gravitáció? Nem, mert bármilyen tömegű is a test, ugyanolyan mértékben fog növekedni a sebessége. Erről meggyőződhetünk egy üres és egy vízzel teli palack ledobásával Kísérlet. Egy tollpihe és egy ágyúgolyó egyszerre esik le? Nem, de ez nem is szabadesés. A levegő akadályozza a mozgást, így nem csak a gravitációs erő érvényesül. Egy sima és egy összegyűrt papírlapnál is ugyanez történik Kísérlet. A tollpihe és az ágyúgolyó egyszerre esik le légüres térben? Igen, a NASA vákuumkamrában elvégezte ezt a kísérletet és egyszerre értek le. Nehézségi gyorsulás: A Föld közelében lévő testek közelítőleg a Föld középpontja felé gyorsulnak2 , ebben az irányban a gyorsulás értéke kb. g =

10 m . s2 Kísérlet. Mérjük meg a nehézségi gyorsulás számértékét! Leejtünk egy testet h magasságból és mérjük az esési időt. A megtett út: s= a 2 ·t 2 =⇒ h= g 2 ·t 2 A nehézségi gyorsulás Magyarországon 9,81 m . s2 =⇒ g= A nehéségi gyorsulás értéke földrajzi szélesség és a magasság függvényében is változik. 1 2 2·h t2 Más test, vagy a közegellenállás nem akadályozza a mozgását. Nem feltétlenül igaz, hogy ténylegesen ebbe az irányba is mozognak. 15. óra A szabadon eső test mozgása 15. 18. Feladat Hány métert halad lefelé a szabadon eső test az esési idő függvényében? • A teljes út minden másodpercében a négyzetes úttörvény szerint növekszik. • 0, 5, 20, 45, 80, 125, . 5 · n2 (méter) 19. Feladat Hány métert zuhan a test a szabadesés egyes másodperceiben? • A megtett útból levonjuk az előző másodpercig megtett útat. • 0, 5, 15, 25, 45, . 5 · n2 − 5 · (n − 1)2 (méter)

• Felhasználva az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosságot az n.-ik másodperc útja: Sn. = (2 · n − 1) · 5 (méter) 20. Feladat Hogyan helyezzük el az ejtőzsinóron a csavarokat, hogy ejtéskor egyenletesen halljuk a koppanásokat? Válasszunk ki egy alaptávolságot, pl. 30 cm-t, és ennek páratlan számú többszörösei legyenek a csavarok közötti távolságok, tehát 90 cm, 150 cm, 210 cm. 21. Feladat Mekkora sebességgel csapódik be a test 1, 2 n s-os zuhanás után? • n másodperces zuhanás: vn = g · t = 10 m s2 ·n s = n · 10 m s 22. Feladat Milyen mély az a kút, amelyben 5 s alatt ér le egy kavics? • A megtett út a kút mélysége: s = g 2 10 2 ·t = · 5 = 125 (m) 2 2 23. Feladat Mennyi idő alatt zuhan le egy vasgolyó egy 80 méter magas épületből? s= g 2 ·t 2 =⇒ t2 = 2·s 2 · 80 = = 16 g 10 =⇒ t=4s Szabadesés a Holdon: Ha egy űrhajós a Holdon elejt egy tollat, a toll hatod akkor gyorsulással esik, mert ott a g a földi

érték hatodával egyezik meg. gH = 1, 62 m s2 gH ≈ g 6 15. Házi feladat A Holdon lévő szikla tetejéről egy 170 cm magas űrhajós ledob fejmagasságból egy követ, ami 3 másodpercig zuhan. Mekkora a szikla magassága? 15. Szorgalmi Egy test 180 méter magasból leesik Osszuk fel 3 szakaszra az utat, amit a test egyenlő időközök alatt tett meg. 16. 16. óra A függőleges hajítások 16. óra A függőleges hajítások Függőleges hajítás lefelé: Egy testet v0 kezdősebességgel ledobunk, és az szabadon esik lefelé. A megtett út és az elért sebesség a következő: s = v0 · t + 24. Feladat Egy követ 4 m s g 2 ·t 2 v = v0 + g · t g 2 sebességgel ledobtunk ami így 5 s-ig zuhant. Mekkora a kő megtett megtett útja és a becsapódási sebessége? • Az út: s = v0 · t + g 2 10 2 ·t =4·5+ · 5 = 20 + 125 = 145 (m) 2 2 • A sebesség: v = v0 + g · t = 4 + 10 · 5 = 54 m s Függőleges hajítás felfelé Egy testet feldobunk v0

kezdősebességgel, közben szabadon esik lefelé. Az emelkedési magasság és a sebesség a következő: h = v0 · t − 25. Feladat Hol van a 4 • Az út: s = v0 · t − m -mal s g 2 ·t 2 v = v0 − g · t g 2 feldobott kő 5 s elteltével és mekkora a sebessége? g 2 10 2 ·t =4·5− · 5 = 20 − 125 = −105 (m) 2 2 • A sebesség: v = v0 − g · t = 4 − 10 · 5 = −46 m s • A negatív út azt jelenti, hogy a test a kiindulási magasság alatt van, pl. egy mély kútba zuhant. A negatív sebesség, mert a fellövéssel ellentétes irányú a sebesség Emelkedési idő: A v0 kezdősebességgel feldobott test pillanatnyi sebessége pályájának tetőpontján nulla. Ennek alapján a te emelkedési idő kiszámítható: v = v0 − g · te = 0 =⇒ v0 = g · te =⇒ te = v0 g Maximális emelkedés: Az emelkedési időt a hely összefüggésébe behelyettesíthetve: hmax = v02 2·g 16. óra A függőleges hajítások 17. A zuhanás ideje: A felső

pontról kezdősebesség nélküli szabadesés történik: h= g 2 ·t 2 z v02 g = · t2z 2·g 2 =⇒ =⇒ v02 = t2z g2 =⇒ tz = v0 g Az emelkedési idő és a zuhanási idő is azonos ha ugyanoda jut vissza a test: tteljes = te + tz = v0 v0 2 · v0 + = g g g tteljes,Föld ≈ =⇒ 26. Feladat Egy pisztolyból kilövünk egy golyót felfelé, 100 m -os s v0 5 torkolati sebesség- gel. Milyen magasra jut a lövedék és mennyi idő alatt? Mit hanyagoltunk el? • Az emelkedés időtartama: t = 100 v0 = = 10 (s) g 10 • A lövedék ilyen magasra jut fel: hmax = v02 1002 = = 500 (m) 2·g 2 · 10 • Vegyük észre, hogy 500 méter magasra jutott összesen 10 másodperc alatt, tehát átlagsebessége 50 m/s, ami a torkolati sebesség fele. • Nem vettük figyelembe a levegő ellenállását, ami fékezi a lövedéket. 27. Feladat Egy v0 = 10 ms -mal felfelé hajított test mennyi idő elteltével zuhan vissza a kezünkbe és mekkora a becsapódási sebessége? • A

levegőben töltött idő a kezdősebesség számértékének ötöde, tehát 2 s. • Ezt az időt a sebességre vonatkozó összefüggésbe beírhatjuk: v = v0 − g · t = 10 − 10 · 2 = −10 m s • Tehát a test sebességének abszolút értéke ugyanakkora, mint mikor kilőtték, csak az iránya nem felfelé, hanem már lefelé mutat. 16. Házi feladat Fellőttünk egy kavicsot 40 m -mal, s ami 10 másodpercig volt a leve- gőben és egy mély kútba zuhant. Mekkora a kavics teljes megtett útja? 16. Szorgalmi Készíts Excel vagy GeoGebra programot, mely egy változtatható kezdősebességű test hajítását szimulálja! 18. 17. óra A vízszintes hajítás 17. óra A vízszintes hajítás Kísérlet. A szabadon eső, vagy az oldalra eldobott test ér hamarabb földet? Az ún. Lőwy-féle ejtőgéppel leejtünk és vízszintesen elhajítunk acélgolyókat A két golyó egyszerre esik le. A mozgások függetlenségének elve: A testek adott irányban megtett

útjára nincs hatással egy erre merőleges irányban történő mozgása. Vízszintes hajítás Egy testet v0 kezdősebességgel vízszintesen elindítunk, mely ennek hatására x irányban egyenes vonalú egyenletes mozgást végezne. Közben szabadon esne y irányban. A tengelyek mentén megtett utak: x = v0 · t g 2 g y = − · t2 2 28. Feladat Milyen alakú pályákon mozognak a vízszintesen elhajított testek? 0 0 5 10 x [m] Függőleges irányban egyszerű szabadesés a mozgás, az y irányban történő elmozdulás minden test esetén azonos. t y −5 0 s 0m 1 s -5 m 2s -20 m 3 s -45 m A vízszintes irányú elmozdulások 2 −10 m , s valamint 6 m -os s m , s 4 kezdősebességű testek esetén a következők: t s2 s4 s6 −15 0 s 0m 0m 0m 1 s 2m 4m 6m 2s 4m 8m 12 m 3 s 6m 10 m 18 m −20 y [m] 14. ábra A vízszintes hajítás A vízszintes irányban elhajított testek félparabola alakú pályán haladnak, a mozgások függetlenségének elve

szerint. 17. óra A vízszintes hajítás 29. Feladat Egy féltéglát 45 m magas toronyból oldalra 4 19. m -mal s dobtunk el. Mekkora távolságra repült el? • A test szabadon esik le a toronyból, ezért felírható négyzetes úttörvény: s= g 2 ·t 2 =⇒ t2 = 2·s 2 · 45 = =9 g 10 • A 3 s zuhanás közben oldalra is mozog 4 m -mal, s =⇒ t = 3 (s) a toronytól 12 méterre jut. 30. Feladat János szeretné megmérni, hogy milyen sebességgel képes eldobni egy tárgyat. Kidob egy követ vízszintesen egy 20 méter magas kilátóból, majd a kilátótól 18 méterre találja meg a földön. Mekkora volt a dobás kezdősebessége? • A kő szabadon esik, ezért a négyzetes úttörvényből kifejezhető az idő: y= g 2 ·t 2 =⇒ t2 = 2·y 2 · 20 = =4 g 10 =⇒ t = 2 (s) • Mivel oldalra is 2 másodpercig ment és 18 méter utat tett meg, így a sebesség: v0 = 18 m x = =9 t 2 s 31. Feladat Neo átugrik egy 15 méter magas toronyházról egy 10

méter magasra A két ház távolsága 6 méter. Mekkora sebességgel ugrott? • Az ugrás nagysága: y = 5 (m) • Az ugrás ideje a négyzetes úttörvényből határozható meg: 15 m 10 m 6m 15. ábra Neo ugrása a toronyházról t2 = 2·y 2·5 = = 1 =⇒ t = 1 (s) g 10 • Hat métert 1 másodperc alatt tesz meg, ezért a sebessége: v0 = x 6 m = =6 t 1 s 17. Házi feladat Milyen magas az a torony, amelyből az oldalra 500 m -mal s kilőtt lövedéket a toronytól 2 km-re találták meg? 17. Szorgalmi Ábrázoljuk grafikonokon Neo mozgását! Mindkét tengelyhez külön grafikonokat készíts! 20. 18. óra 18. óra Ferde hajítások Ferde hajítások Az α szögben ferdén eldobott test mozgása: A kezdősebesség v0 , ezt vy függőleges és vx vízszintes komponensre bontjuk. Függőlegesen felfelé hajítás, vízszintesen egyenes vonalú egyenletes mozgás. Az emelkedési magasság és az emelkedési idő: hem vy2 = 2·g tem = vy g Mivel a teljes

levegőben töltött idő az emelkedési idő duplája, így a hajítás távolsága: x = vx · 2 · tem = v0 α 2 · vx · vy g hem x 16. ábra A ferdén elhajított test mozgása felbontható egy vízszintes egyenes vonalú egyenletes mozgásra és egy függőleges irányú felfelé történő hajításra. 32. Feladat Vízszintes talajról 60 fokban kilövünk egy testet 15 m/s sebességgel Milyen magasra emelkedik, milyen messzire jut és menny ideig mozog? 33. Feladat Vízszintes talajról 45 fokban kilövünk 0,1 kg tömegű testet 20 m/s sebességgel Milyen magasra emelkedik, milyen messzire jut és menny ideig mozog? 18. Házi feladat Egy szabadságharc korabeli ágyú a 7,2 kg-os lövedéket 220 m/s sebességgel lőtte ki 30 fokos szögben. Milyen távolságra lő az ágyú és mennyi idő alatt ér földet a lövedék? 18. Szorgalmi Vízszintes talajról 60 fokban kilövünk 0,2 kg tömegű testet 15 m/s sebességgel. Milyen magasra emelkedik 1 másodperc alatt és

milyen távol van a kilövés helyétől? Mekkora ekkor a test sebessége? 19. óra Feladatok hajításra, szabadesésre 19. óra 21. Feladatok hajításra, szabadesésre 34. Feladat Ha az 58 méter magas Pisai ferde toronyból ledobunk egy ágyúgolyót, akkor 3,4 másodperc alatt ér le Mekkora a nehézségi gyorsulás értéke a kísérlet alapján? Mik a mérés hibái? Vajon Galiei mért a toronyban? 35. Feladat A teljes emelkedési magasság hányad részét teszi meg a függőlegesen fölfelé hajított test, mire a sebessége a kezdősebesség felére csökken? 36. Feladat A föld felszíne felett 45 m magasságban vízszintes irányban 20 m/s-mal eldobunk egy kavicsot. Mennyi idő alatt és mekkora sebességgel ér földet? 37. Feladat Mekkora sebességgel kell vízszintes irányban eldobni egy testet egy 180 méter magas toronyból, hogy az a toronytól 60 méterre repüljön? 38. Feladat Vízszintes talajról 60 fokban kilövünk egy testet, amely 5 m magasra

emelkedik. Milyen messzire jut és menny ideig mozog? 39. Feladat Vízszintes talajról 30 fokban kilövünk egy testet, amely 3 s múlva ér földet. Milyen magasra emelkedik és milyen messzire jut? 19. Házi feladat Készíts út-idő, sebesség-idő, gyorsulás-idő grafikont az egyik tetszőleges órai feladathoz! 19. Szorgalmi Vízszintes talajról 48 fokban kilövünk 0,1 kg tömegű testet 20 m/s sebességgel. Milyen magasra emelkedik a test és milyen távol zuhan le?