Alapadatok
Év, oldalszám:2019, 41 oldal
Nyelv:magyar
Letöltések száma:31
Feltöltve:2019. november 29.
Méret:811 KB
Intézmény:
-
Megjegyzés:
Csatolmány:-
Letöltés PDF-ben:Kérlek jelentkezz be!
Nincs még értékelés. Legyél Te az első!
Mit olvastak a többiek, ha ezzel végeztek?
Tartalmi kivonat
2. fejezet Kinematika 2.1 Az anyagi pont kinematikája Az anyagi pont helyzetét valamely O kezd őpontú vonatkoztatási rendszer ben a t idő függvényeként r t helyzetvektorával adhatjuk meg. Az anyagi pont pillanatnyi sebessége az r t feltétel szerint kétszer differenciálható függvény idő szerinti elsőrendű deriváltja v r˙ dr dt míg gyorsulása az d2r dt 2 másodrendű derivált. A mozgó pont felületi sebessége a r¨ dA 1 r v dt 2 A mozgáshoz tartozó sebesség-, illetve gyorsuláshodográf az origóba ekvipolensen eltolt sebesség-, illetve gyorsulásvektorok végpontjának mértani helye. Ha egy Descartes-féle vonatkoztatási rendszerben a pont helyzetét az id ő függvényeként r x t y t z t derékszögű koordinátáival adjuk meg, akkor a sebesség koordinátái: vx K O R R E K T Ú R A ẋ vy ẏ vz ż 2006. március 2 28 2. Kinematika v a sebesség v nagyságára
pedig ẏ ż A gyorsulás skaláris összetevői és a a nagyságára a ẍ a ÿ a z̈ a ẍ ÿ v2 ẋ2 2 2 x y 2 z 2 2 z̈2 Ha a mozgó pont pályájához kapcsolt, a ponttal együtt mozgó t n b Frenet-féle kísérőtriéder tengelyeire vetítjük a sebességet és a gyorsulást, akor az érintő menti, főnormális és binormális irányú komponensek: vt ds vn dt v 0 vb 0 és dv v2 an ab 0 dt R ahol s az ívhossz (a megtett út egy kiindulási ponttól), R pedig a görbületi sugár. Ha r r q1 q2 q3 görbevonalú koordinátákat használjuk, akkor a Hi ∂r 1 ∂r Hi ∂ai , i 1 2 3 segítségé∂ai Lamé-féle együtthatók, valamint az e i at v̇ vel a sebességvektor v ∑3i 1 Hi q̇i ei alakban írható. Ha görbevonalú koordináták rendszere ortogonális, azaz az e i egységvektorok páronként merőlegesek egymásra, akkor a
gyorsulás görbevonalú komponensei ai ∂v2 ∂q̇i 1 d 2Hi dt ∂v2 ∂qi i 1 2 3 Sajátosan, az r θ síkbeli polárkoordináták esetében vr ar r̈ ṙ vθ rθ̇2 aθ rθ̇ 1d 2 r θ̇ r dt A mozgás síkjára merőleges felületi sebességvektor el őjeles hosza r 2 θ̇. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 29 2. Kinematika Megoldott gyakorlatok és feladatok M 2.1 Igazoljuk, hogy egy anyagi pont sebessége nem függ a helyzetvektor kezdőpontjának a megválasztásától. Megoldás. Legyen O és O két, egymáshoz viszonyítva nyugalomban levő pont (2.1 ábra) pont helyzetvektora a két vonatkoztatási A P mozgó pontra nézve r OP és r O P, amely vektorokra r OO r , ahol az OO vektor állandó. Így ddtr ddtr r O P r v O OO 2.1 ábra Az M 21 feladathoz M 2.2 Egy egyenes mentén mozgó pont helyzetét az x t 3 3t 2
9t 30 összefüggés értelmezi, ahol x méterben, a t 0 id ő pedig másodpercben van kifejezve. Határozzuk meg: (a) azt az időpontot, amikor a sebesség nulla lesz; (b) a pont pozícióját ebben a pillanatban és az addig megtett út hosszát; (c) a pont gyorsulását ebben a pillanatban; (d) a pont által t 2 s-tól t 5 s-ig megtett távolságot. Megoldás. A pont mozgásegyenlete, sebessége és gyorsulása x t 3 3t 2 9t 30 dx 2 v 3t 6t 9 dt dv a 6t 6 dt K O R R E K T Ú R A (2.1) (2.2) (2.3) 2006. március 2 30 2. Kinematika (a) Azon időpont, amikor v 0. A (22) egyenletbe v 0 helyettesítéssel 3t 2 9 0 6t t 13 A mozgás t 0 kezdete utáni megfelelő megoldás t 3 s. Ha t 0 3 , akkor v 0 és a pont a tengelyen negatív irányba mozog, ha t 3, akkor v 0 és a pont pozitív irányba mozog. (b) A pont helyzete v 0-kor és az addig megtett út. A t 3 s-ot (21)-be helyettesítve x 3 3 m, míg
induláskor x 0 40 m. Mivel a 0 3 időintervallumban a sebesség sehol sem nulla, mindvégig ne gatív, így x mindvégig csökken és az indulástól megtett út hossza ∆x x 3 x 0 (c) A gyorsulás, amikor v 0. A t a 3 37 m. 3 s-ot (2.3)-be helyettesítve 12 m/s2 . a pont negatív irányba (d) A t 2 s-tól t 5 s-ig megtett út hossza. Mivel mozog, amíg t 2 3 , majd pozitív irányba t 3 5 esetén, a megtett utak hosszát külön-külön kiszámoljuk és összegezzük: x 3 x 2 x 5 x 3 3 8 35 3 37 m. M 2.3 Egy labdát 9 m/s-os kezdősebességgel feldobnak a talajtól 18 m magasban levő ablakból Tudva azt, hogy a labda 9,81 m/s 2 -es állandó nagyságú gyorsulása mindvégig lefelé mutat, határozzuk meg: (a) a labda v sebességét és talaj fölötti y magasságát minden t id őpillanatra; (b) a labda által elért maximális magasságot és a megfelel ő
időpontot; (c) azt az időpontot, amikor a labda földet ér és a sebességét, amellyel leesik. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 31 2. Kinematika Megoldás. (a) Sebesség és magasság A labda helykoordinátáját (magasságát) adó y koordináta tengely O kezd őpontját a talaj szintjénél választjuk, pozitív irányát pedig függőlegesen felfelé A pont gyorsulása ezek 9 81 m/s2 , kezdeti helyzete és sebessége pedig a t 0 kezszerint a deti időpontban: y0 18 m, v0 9 m/s. A dv dt a egyenletet integrálva v t dv 9 81 dt v0 9 A dy dt 0 v 9 9 81t (2.4) v egyenletet integrálva y t dy 18 y0 18 9 0 y 9t 9 81t dt 4 905t 2 (2.5) (b) A legnagyobb magasság. A legnagyobb magasságot a labda akkor éri el, amikor a (2.5) trinomnak maximuma van Ez a t max 2 49905 9 9 91 0 917 s-kor lesz. A megfelelő maximális érték ymax 22 89 m (A megfelelő
időpont azonnal adódik abból a feltételb ől, hogy ekkor a sebesség nulla.) (c) A labda földetér. A labda leesésekor y 0 Ezt behelyettesítve a (25) összefüggésbe a 18 9t 4 905t 2 0 másodfokú egyenletet kapjuk amelynek gyökei t 1 1 206 s és t2 3 041 s. A t 3 041 s időpont felel meg a mozgás kezdete utáni földetérésnek Ekkor a sebesség v 9 Tehát a lefelé eső (v 9 81 3 041 20 83 m/s. 0) labda 20,83 m/s sebességgel ér földet. M 2.4 Határozzuk meg az ágyúcsőnek a vízszintessel bezárt α szögét ahhoz, hogy a v0 kezdeti sebességű lövedék eltalálja a d távolságnál h magasságban levő célpontot. (Ismert, hogy a lövedék gyorsulása a függőlegesen lefelé mutató g állandó nagyságú nehézségi gyorsulás K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 32 2. Kinematika és a mozgás síkmozgás. A légellenállást elhanyagoljuk) Mekkora lesz a keresett szög v0 240 m/s, d 3600 m, h 600
m esetében? Megoldás. A mozgás függőleges síkjában vezessük be a vízszintes irányú Ox és függőlegesen felfelé irányított Oy tengelyeket, az O kezd őpontot a kiindulási pontba választva. A feladat adatai alapján a következ ő matematikai modell (peremérték-feladat) írható fel: ẍ 0 ÿ g x 0 0 y 0 0 x t d y t h ẋ 0 v0 cos α ẏ 0 v0 sin α ahol α és t (a célbaérés pillanata) ismeretlenek. Az x y koordinátákat adó differenciálegyenleteket integrálva a megadott kezdeti feltételek figyelembevételével x t y t v0 cos αt g 2 t v0 sin αt 2 összefüggéseket kapjuk. A célbatalálás feltételei a t pillanatban g t 2 v0 cos αt v sin αt 2 0 d h Az első egyenletből kifejezve t -ot és a másodikba helyettesítve, a g 2 d v0 cos α 2 v0 sin α d v0 cos α egyenlethez jutunk, amelyből az 1 cos 2 α
1 a gd 2 tan2 α 2dv20 tan α gd 2 h tan2 α összefüggés alapján 2hv20 0 egyenletet kapjuk. A 0 feltétel teljesülése esetén a keresett α szög egy vagy két megoldása a v40 tan α g2 d 2 12 K O R R E K T Ú R A 2ghv20 v20 v40 g2 d 2 2ghv20 gd 2006. március 2 2. Kinematika egyenletek alapján határozható meg. A megadott számértékekre tan α 1 2 6876 és tan α nan a két lehetséges megoldás α1 69 58o és α2 2 33 0 57436, ahon 29 87o M 2.5 Ha egy adott pillanatban ismert az M anyagi pont sebesség- és gyorsulásvektora, szerkeszzük meg a pálya görbületi középpontját M4 M b a an M3 M t v M1 M2 n O 2.2 ábra Az M 25 feladathoz Megoldás. A t n b kísérőtriéderhez viszonyított Frenet-féle koordiná dt 1 ta-rendszerben (2.2 első ábra) alkalmazva a Frenet-féle ds R n összefüggést, meghatározzuk a sebesség-, illetve
gyorsulásvektortok komponenseit: v dv dt a s̈t dr dt d r ds ds dt ṡ t, ṡ v d dt dt ṡt s̈t ṡ s̈t ṡ dt dt ds 2 d t ṡ ṡ2 s̈t n, at v̇, an ds R K O R R E K T Ú R A ds dt v2 R 2006. március 2 34 2. Kinematika ahonnan v2 an R (2.6) A szerkesztés alapötletét a gyorsulás normális vetületére vonatkozó (2.6) összefüggés adja, ahol R a görbületi sugár. A sebesség- és gyorsulásvektorok által meghatározott a következ ő szerkesztéseket végez simulósíkban zük: Bevezetjük az MM1 v; MM2 a jelöléseket (2.2 második ábra)Az MM1 érintő egyenesre az M-ben merőlegest állítunk és jelöljük M3 -mal a gyorsulásvektor M2 végpontjának a vetületét erre az egyenesre. Legyen továbbá M4 az M3 -nak M-re vonatkozó szimetrikusa. Meghúzzuk az M 1 ből az M4 M1 -re merőleges egyenest, amely az MM3 félegyenest O -ban metszi. Igazoljuk, hogy az így megszerkesztett O pont
a keresett görbületi középpont. Alkalmazzuk az M4 OM1 derékszögű háromszögben a magasság tételét: MM12 MM4 MO. Tehát v2 MO an mivel az MM4 MM3 an 2 Innen következik, hogy az MO avn ami valóban azt mutatja, hogy MO egyenlő a görbületi sugárral. M 2.6 Egy anyagi pont az y px2 p 0 egyenletű parabolán v állandó nagyságú sebességgel mozog. Határozzuk meg a pont gyorsulását amikor az a parabola csúcsában található. Megoldás. A gyorsulás érintő menti komponense egyenlő nullával, mivel 2 a sebesség nagysága állandó. Tehát az a a n vR Ahhoz, hogy a gyorsulást meghatározzuk, ki kell számítsuk a parbola csúcsához, az O 0 0 ponthoz tartozó R görbületi sugarat. Ezt az R yy 1 2 3 2 x 0 ismert összefüggésből határozhatjuk meg, ahol y 0 és y a an x 0 2pv2 . d2 y d2 x x 0 2p. Innen R 1 2p . x 0 dy dx x 0 2px x 0 Tehát a gyorsulás
nagysága M 2.7 Határozzuk meg a sebességvektor és gyorsulásvektor komponenseit gömbi koordinátákban. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 35 2. Kinematika z z P θ r O x ϕ y y x 2.3 ábra M 27 Gömbkoordináták Megoldás. A helyzetvektor derékszögű komponenseinek kifejezése gömbi koordinátákkal az r r sin θ cos ϕ y r sin θ sin ϕ z r cos θ képlettel adható meg (lásd . ábra) Ennek alapján a Lamé-féle együtthatók Hr Hθ Hϕ ∂r ∂r ∂r ∂θ ∂r ∂ϕ sin θ cos ϕ 2 r cos θ cos ϕ 2 r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ 2 2 r cos θ sin ϕ 2 r sin θ cos ϕ cos θ 2 2 1 r sin θ 2 r r sin θ A sebesség megfelelő komponensei: vr Hr ṙ ṙ, vθ nagysága pedig v2 K O R R E K T Ú R A Hθ θ̇ rθ̇, vϕ ṙ2 r2 θ̇2
Hϕ ϕ̇ r sin θ ϕ̇ r2 sin2 θ ϕ̇2 2006. március 2 36 2. Kinematika A gyorsulás komponensei (mivel a rendszer ortogonális): ar aθ aϕ 1 2Hr 1 2Hθ 1 2Hϕ d dt d dt d dt ∂v2 ∂ṙ ∂v2 ∂θ̇ ∂v2 ∂ϕ̇ ∂v2 ∂r ∂v2 ∂θ ∂v2 ∂ϕ r̈ r sin2 θ ϕ̇2 rθ̇2 1d 2 r θ̇ r sin θ cos θ ϕ̇2 r dt 1 d 2 2 r sin θ ϕ̇ r sin θ dt M 2.8 Egy M anyagi pont az y2 2px 0 egyenletű parabolán mozog oly módon, hogy az origóra vonatkoztatott sebesség-hodográf megegyezik az adott parabolával. Határozzuk meg: (a) a mozgásegyenleteket, a sebesség és gyorsulás nagyságát, ha tudjuk, hogy a t 0 időpontban az M pont az M0 2p p pozícióban van; (b) a sebesség- és gyorsulásvektorok végpontjának mértani helyét! Megoldás. (a) A feltételeket matematikai formulákba öntve az alábbi Cauchy-feladathoz jutunk: y2 2px 0 ẏ2 2pẋ 0 x 0 2p y 0 p
Az első egyenletet deriválva kapjuk: 2yẏ 2p 0 yẏ pẋ Ezt a második egyenletbe helyettesítve ẏ2 2yẏ 0, ahonnan ẏ ẏ 2y 0. Két eset lehetséges: I. ha ẏ 0, akkor a kezdeti feltételeket használva az y p x 2p moz gásegyenleteket kapjuk. Ebben az esetben az anyagi pont az M 0 pontban áll, vagyis a megadott koordináta-rendszerhez képest a pont nem mozog, nyugalomban van. II. ha ẏ 2y, akkor 1y dy 2dt ln y ln p 2t y pe2t ẏ 2pe2t Az y kifejezését az első egyenletbe helyettesítve meghatározzuk az x-et: x p 4t . Ebben az esetben tehát az anyagi pont mozgásegyenletei x t 2p e4t ; 2e y t pe2t . A sebességvektor komponensei: ẋ 2pe 4t ; ẏ 2pe2t , és a sebesség nagysága v 2pe2t 1 e4t . A gyorsulásvektor komponensei: ẍ 8pe4t , ÿ 4pe2t és a gyorsulás nagysága a 4pe2t 1 e4t . K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 37 2. Kinematika (b) A sebességvektor végpontjának helyzetvektora
az r nek koordinátái x1 y1 x y 2p e p p ẋ ẏ 4t 2t 2p e 2 v vektor, amely- 5p 4t 2 e 3pe2t A végpont pályaegyenletét megkapjuk, ha az egyenletrendszerb ől kiküszöböljük az időt: 5p x1 2 y21 3p 2 tehát a mértani hely az 5y21 18px1 0 egyenletű parabola. Hasonlóan járunk el a gyorsulásvektor esesetén is. A gyorsulásvektor végpontjának helyzetvektora az r a vektor, az x2 y2 x y ẍ ÿ p p 2 8p e 4t 4p e2t 17p 4t 2 e 5pe2t koordinátákkal. A gyorsulásvektor végpontjának implicit pályaegyenlete x2 y22 tehát a keresett mértani hely a 17y22 17p 2 2 5p 50px2 0 egyenletű parabola. M 2.9 Határozzuk meg egy nyújthatatlan fonál végéhez rögzített P anyagi pont pályáját, ha a fonál másik végét a vízszintes síkon egy egyenes mentén adott irányba mozgatjuk. Az így keletkezett görbe neve traktrix Megoldás. A P pont pályájának
tetsz őleges pontjában a sebesség által meghatározott érintő egybeesik a PT fonállal. A mozgás síkjában megadott egyenest válasszuk Ox tengelynek. A fonál hossza legyen a és a P pont kezdetben legyen az Oy tengelyen a 0 a pontban (2.1 ábra) A görbe értelmezése szerint PT a (állandó). Legyen N a P pont vetülete az Ox tengelyre. A PNT háromszögben felírható a traktrixot leíró y y K O R R E K T Ú R A 2 y2 a2 (2.7) 2006. március 2 38 2. Kinematika y P x y a a O N T x 2.4 ábra M 29 feladat: a traktrix egyenlet, ahol y dy dx. A kapott differenciálegyenletet integrálva adódik a traktrix egyenlete: x a ln a a2 y y2 a2 y2 ahol a négy lehetséges előjelkombináció a görbe különböző negyedekbe eső íveit adja. M 2.10 Egy anyagi pont az R sugarú gömbfelületen mozog úgy, hogy a sebességvektor és a gömb hosszúsági körei mindig állandó mértékű α szöget zárnak be.
Határozzuk meg az anyagi pont pályáját Megoldás. Egy adott pillanatban a sebességvektort vetítjük a ponton átmenő szélességi illetve hosszúsági körök érint őire Bevezetve a 25 ábrán dϕ látható jelöléseket, könnyen belátható, hogy u 1 R dθ dt ; u2 R cos θ dt Másfelől viszont a feltétel alapján u1 v cos α; u2 v sin α A felírt összefüggések alapján az alábbi egyenletrendszert kapjuk: R dθ dt v cos α R cos θ dϕ dt v sin α A két egyenlet megfelelő oldalait elosztva egymással, a dθ cos θ K O R R E K T Ú R A cot αdϕ 2006. március 2 2. Kinematika 39 2.5 ábra Az M 210 feladathoz differenciálegyenlethez jutunk. Ez utóbbi egyenletet az dθ cos θ 1 1 dθ ln θ 2 tan 2 1 1 cos2 θ2 1 ln tan π 4 ln tan π 4 θ 2 tan θ2 tan θ2 C C alapján integrálva M 2.11 Egy vonat v θ 2 ϕ cot α C a pont pályája a e 0, akkoregyenletű görbe. 72
km/h sebességgel közeledik az állomáshoz. Eköz- Ha feltételezzük, hogy kezdetben θ ln tan π4 θ2 cot α ϕ, vagy tan π 4 0 és ϕ θ 2 cot α ϕ ben ∆t 5 s ideig tartó hangjelet bocsát ki. Mennyi ideig hallja a hangot az állomás előtt álló vasutas? A hang sebessége c 320 m/s. Megoldás. Amikor a vonat a V pontban van megkezdi a hangjel kibocsátását (2.6 ábra). Ezt a jelt az állomás előtt álló vasutas t1 xc0 idő múlva hallja. Amikor a vonat a P-be érkezik befejezi a hangjel küldését, amit a vasutas a hangjel K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 40 2. Kinematika 2.6 ábra Az M 211 feladathoz kibocsátása után a t2 ∆t vasutas ∆t t2 t1 ∆t x1 c hallja a hangjelt. A megadott számértékek alapján ∆t 5 1 x1 c időpontban érzékel. Következésképpen a ∆t cs ∆t 1 vc időintervallumban x0 c 72 3 6 320 4 687 s. M 2.12 Egy fecske valamilyen
különleges szembetegség folytán minden tárgyat a helyes iránytól jobbra lát 30 o -kal Most a fecske fészektől 100 méterre van és 10 m/s-os állandó nagyságú sebességgel repül. Odatalál-e a fecske a fészkéhez? Ha igen, akkor mennyi id ő alatt és mennyi utat tesz meg a fészekig? 2.7 ábra Az M 212 feladathoz Megoldás. Észrevehető, hogy a fecske helyzetvektor irányába es ő sebessége állandó (27 ábra) vr v cos 300 v 2 3 A sebességvektor polárko K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 41 2. Kinematika ordinátákban az alábbi alakban írható: v ṙer rθ̇eθ Következésképpen v 3 2 ṙ r v 3 t 2 r0 r v 3 t 2 r0 Kezdetben r0 100 m és amikor a fecske a fészkéhez ér, akkor r 0. Tehát a t v2r03 102003 11 34 s. Mivel a fecske sebessége állandó következik, hogy a megtett út: s vt 10 203 115 4 m. A sebesség vetülete a helyzetvektorra mer őleges irányba is állandó vθ v sin
300 2v . Következésképpen rθ̇ θ̇ θ 1 ln 2r0 3 v v 3 v r0 t θ̇ 2 2 2 v v dθ dt v 3t 2r0 v 3t 2r0 v 3t 1 ln 2r0 3 1 ln 1 3 θ v 3 t 2r0 A fecske mozgásegyenletei: θ r 1 ln 1 3 r0 v 2 3 t v 3 2r0 t A fecske pályájának egyenlete: θ 1 r ln r 3 0 θ 3 r r0 e M 2.13 Egy repülő egyenes vonalú, egyenletes mozgását az x B ut x0 , yB y0 egyenletek írják le. A t 0 időpontban az O 0 0 pontból egy hőrakétát indítnak, hogy kilőjjék a repülőt. Tudva azt, hogy a rakéta állandó v sebességgel mindig a célpont felé tart, határozzuk meg a rakéta mozgásegyenleteit és a pályaegyenletet. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 42 2. Kinematika y yB y0 célpont u B elfogás vA yA A O xA x0 x xB 2.8 ábra Az M 213 feladathoz Megoldás. A követési feladatoknál általában az r A helyzetvektorú A üldöző ismeri a
B célpont rB helyzetét és r˙B sebességét egy kezdeti időponttól az aktuális t időpontig és célja utolérni a célpontot. A legjobb stratégia az, ha az üldöző minden pillanatban a célpont irányában repül, azaz r˙A rB rA (2.8 ábra) Az üldöző sebességének nagyságát is ismertnek tekinthetjük, legyen ez vA t . Az R rB rA relatív helyzetvektor segítségével a követési feladat az R t ˙ ˙ R t rB t v A t (2.8) R t egyenlettel modellezhető. A repülő és rakéta síkjában bevezetve az R X Y koordinátákat, a (2.8) egyenlet vetülete a tengelyekre Ẋ ẋB vA t Ẏ ẏB vA t xB xA xB xA X X2 Y2 Y X2 Y2 A fenti egyenletekbe behelyettesítve a megadott ẋB K O R R E K T Ú R A u ẏB 0és vA t v 2006. március 2 2. Kinematika 43 mennyiségeket, az Ẋ vX u X2 Y2 vY Ẏ X2 (2.9) Y2 egyenleteket kapjuk. Célszerű a
R θ polárkoordináták bevezetése, amelye kre X R cos θ és Y R sin θ. Ezekre a változókra az Ṙ cos θ R sin θ θ̇ u Ṙ sin θ v cos θ R cos θ θ̇ (2.10) v sin θ Az (2.10) egyenletrendszert megoldva az Ṙ θ̇ ismeretlenekre Ṙ u cos θ v Rθ̇ u sin θ Ezek alapján az üldöző pályaegyenlete meghatározható a dR dθ Ṙ θ̇ u cos θ v R u sin θ hányados integrálásával. Az dR R cot θ ln sin θ ln R ln sin θ összefüggésből v cot θ u sin θ dθ v u v dθ u sin θ ln csc θ v θ ln tan u 2 cot θ C ahonnan, az A eC jelöléssel R Az A eC integrálási állandó a t R0 x 2 0 y20 cos θ0 K O R R E K T Ú R A v tan θ2 u A sin θ (2.11) 0 időpontra felírható x0 x20 y20 sin θ0 y0 x20 y20 2006. március 2 44 2. Kinematika kezdeti feltételek alapján számolható ki: A x0
x y 2 0 0 y20 v u , ha y0 v u u 0 Ha y0 0, akkor θ 0 vagy θ π, és az üldöző pályája a célponttal együtt az Ox tengelyen van. Az elfogás akkor következik be, amikor (2.11)-ban R 0 Ha v u, akkor ez soha sem következhet be, amint azt el is várhattuk, mivel ekkor az üldöz ő sebessége kisebb, mint a célpont sebessége. 2.2 A merev test kinematikája Az S merev anyagi rendszer olyan diszkrét vagy folytonos (merev test) pontrendszer, amelyben tetszőleges két pont távolsága állandó, azaz PQ konst , bármely P Q S esetén. Egy merev test (általában merev pont rendszer) helyzete valamely i1 j1 k1 egységvektor-rendszerrel megadott O1 x1 y1 z1 rendszerhez viszonyítva hat független paraméter segítségével adható meg, amelyek lehetnek például: a rendszer tetszőlegesen választott O pontjának helyzetvektorának három koordinátája x01 y01 z01 r01 ; és a ϕ θ ψ Euler-szögek
(2.9 ábra), amelyek megadják a testhez kapcsolt Oxyz derékszögű koordináta-rendszer tengelyeinek helyzetét az O1 x1 y1 z1 rendszer tengelyeihez viszonyítva. Ha x y z , illetve x1 y1 z1 a merev test valamely pontjának koordi nátái a testhez kapcsolt Oxyz, illettve a „rögzített” O 1 x1 y1 z1 rendszerben, akkor: x1 y1 z1 cos ϕ sin ϕ 0 cos ψ sin ψ 0 K O R R E K T Ú R A sin ϕ 0 cos ϕ 0 0 1 sin ψ 0 cos ψ 0 0 1 1 0 0 cos θ 0 sin θ x y z 0 sin θ cos θ x10 y10 z10 2006. március 2 2. Kinematika 45 z1 z z1 k1 r 1 O1 θ r y3 ψ k j O θ ϕ r10 ϕ x1 ψ x y1 j1 i y2 y 1 M y x2 i1 x1 2.9 ábra Az Euler-féle szögek A merev testhez kapcsolt és azzal együtt mozgó Oxyz rendszer tengelyeit kijelölő i j k változó
egységvektorok idő szerinti deriváltjai di dt ω i dj dt ω j dk dt ω k alakban fejezhetők ki (Poisson-képletek), ahol az ω szögsebességvektor a test forgását jellemzi. A szögsebességvektor Oxyz-ben, illetve O 1 x1 y1 z1 -ben vett p q r , illetve p1 q1 r1 komponensei kefejezhetők az Euler-szögek segítségével: p ϕ̇ sin θ sin ψ θ̇ cos ψ q ϕ̇ sin θ cos ψ θ̇sin ψ r ϕ̇ cos θ ψ̇ p1 ψ̇ sin θ sin ϕ θ̇ cos ϕ q1 ψ̇ sin θ cos ϕ θ̇sin ϕ r1 ψ̇ cos θ ϕ̇ A merev test (pontrendszer) mozgásegyenletei: x10 x 10 t y10 y10 t z10 z10 t ϕ ϕ t θ θ t ψ ψ t K O R R E K T Ú R A t I t t 0 v 2006. március 2 46 2. Kinematika A merev test P v v0 ω r S pontjának sebessége, illetve gyorsulása: a a0 ˙ ω r ω ω r
a0 ˙ ω ω2 d r ahol d az O-n áthaladó, ω irányú tengelytől mutat a P pont felé. A merev test azon Q pontjainak mértani helye, amely pontok sebessége párhuzamos ω -val egy egyenes, a pillanatnyi csavartengely. Egyenletei: rQ r Q0 λ ω , ahol rQ0 illetve, az Oxyz rendszerben: v0x qz p ry v0y 1 ω ω2 rx q pz v0 v0z λ py p qx (2.12) ahol v0x v0y v0z az O pont sebességének komponensei a testtel mozgó rend szerben. A pillanatnyi forgástengely által a térben leírt vonalfelület neve herpolhodia kúp, a testhez kapcsolt rendszerben leírt vonalfelület neve polhodia kúp. A pillanatnyi csavarmozgás jellemezhet ő az ω szögsebességvektorból és a pillanatnyi csavartengely mentén elhelyezked ő pontok vtr transzlációs sebességéből álló vektorkettőssel. Ha a merev test O pontjának v0 transzlációs sebessége, illetve a forgást jellemző ω szögsebességvektor
bizonyos feltételeknek engedelmeskedik, akkor a merev test sajátos mozgásairól beszélünk. A fontosabb sajátos mozgások: Transzlációs mozgás: ω t 0, v0 t tetszőleges; Rögzített tengely körüli forgás: v0 t egységvektor; 0, ω t Gömbi mozgás (rögzített pont körüli mozgás ˙): v0 t szőleges; Síkmozgás: ω t ω t u, v0 t ω t ω t u, u adott 0, ω t tet- 0, u állandó egységvektor. Síkmozgás esetén minden pillanatban létezik olyan I pont, amelyre v I 0, ez a pillanatnyi forgáscentrum (pólus), amelynek mértani helye az O 1 x1 y1 K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 47 rendszerben az dy10 dϕ dx10 y1 y10 dϕ egyenletekkel leírható álló pólusgörbe, míg I mértani helye az Oxy testtel mozgó rendszerben az dx10 dy10 x sin ϕ cos ϕ dϕ dϕ dx10 dy10 y cos ϕ sin ϕ dϕ dϕ egyenletekkel meghatározott mozgó pólusgörbe.
Az egyenletekben használt ϕ paraméter az O1 x1 , illetve Ox tengelyek szögének mértéke, x 10 y10 pedig az O pont koordinátái az O1 x1 y1 rendszerben (2.10 ábra) x1 x10 y y 1 I y1 x x O ϕ y O1 x1 x1 2.10 ábra A síkmozgás koordináta-rendszerei Megoldott gyakorlatok és feladatok M 2.14 Ismerve a csavarmozgás vtr ω vektorkettősét, határozzuk meg azon pontok mértani helyét, amelyek sebességének hossza a vtr transzlációs sebesség n-szerese. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 48 2. Kinematika Megoldás. A merev test elemi mozgását pillanatnyi csavarmozgásként fogva fel, tetszőleges pontjának v sebessége felbontható a pillanatnyi csavartengely irányába eső vtr transzlációs és az erre merőleges vrot ω R forgási sebességkomponensekre, ahol R a forgástengelytől a pontig mutató vektor (2.11 ábra): v vtr ω R vrot és ω Ezek szerint a sebesség
nagysága, figyelembe véve a vtr R ω v vtr vtr C d vrot 2.11 ábra M 214 feladat: pillanatnyi csavarmozgás összefüggéseket v 2 vtr ω2 R2 2 vtr A feladat feltétele szerint v n vtr , azaz R vtr ω ω2 R2 n vtr , ahonnan n2 1 állandó. Így a keresett mértani hely az R vωtr n2 amelynek forgástengelye az ω irányú csavartengely. 1 sugarú körhenger, M 2.15 Egy merev test M1 1 0 0 , M2 0 1 0 M3 0 0 1 pontjainak se bessége egy adott pillanatban v1 1 2 1 , v2 2 0 1 , v3 1 1 2 , K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 49 a komponensek a testhez kapcsolt Oxyz koordináta-rendszerben adottak. Írjuk fel a pillanatnyi csavartengely egyenletét, valamint határozzuk meg a transzlációs sebesség és szögsebesség nagyságát! Megoldás. A pillanatnyi csavartengely egyenletei az Oxyz rendszerben a (2.12)
képlet szerint v0x qz p ry v0y rx q pz v0z py p qx amelyhez szükségesek az O pont sebességének v ox , voy , voz , valamint a szögsebesség p q r komponensei. Ezek a sebesség-komponenseket adó vx v0x qz ry vy v0y rx pz vz v0z py qx összefüggésekből határozhatók meg, alkalmazva azokat rendre a megadott három pontra. A megfelelő rendszerek: 2 v0x 2 v0y r 2 v0z q 3 v0x r 1 v0y 1 v0z p ahonnan v0 v0x v0y v0z 2 1 0 , ω alapján a pillanatnyi csavartengely egyenletei 2 2z y 1 1 x 2 z 0 4 v0x q 2 v0y p 0 v0z p q r y 12 1 . Ezek 2x 1 vagy az Oxy síkkal való metszéspontnak megfelel ő kanonikus alakban x 1 1 y 2 2 z . 1 Az ω 1 2 1 szögsebesség nagysága ω transzlációs sebesség vtr prω v0 ω v0 ω 6. A csavartengely
menti 0 6 0. Az utólsó eredmény azt mutatja, hogy a merev test megfelel ő elemi mozgása tiszta forgás, mivel a transzláció sebessége nulla. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 50 2. Kinematika M 2.16 Igazoljuk, hogy a pályája mentén v sebességgel mozgó ponthoz rendelt t n b kísérőtriéder mozgása csavarmozgás, amelynek pa raméterei vR t b ω v vtr 2 2 T R R T és a csavartengely áthalad a 1 PH R n R2 T 2 helyzetvektorú H ponton, ahol R illetve T a görbület, illetve a torzió reciproka. H v tr n P ω b t vtr v ω 2.12 ábra M 216 feladat: a kísér őtriéder csavarmozgása Megoldás. A kísérő triéder egységvektoraira vonatkozó dt n dn t b db n ds R ds R T ds T Frenet-féle összefüggések a ds v dt változócserével, valamint a dt dt ω t, K O R R E K T Ú R A dn dt ω n, db dt ω
b, 2006. március 2 2. Kinematika 51 Poisson-féle formulák segítségével a dt dt dn dt db dt v n ωb n ωn b R t b v ωb t R T vn T ωn t ωt b ωt n alakra hozhatók, ahonnan ωt azaz ω ωt t v , ωn t ωn n 0, ωb v R 1 t T ωb b v 1 b R A csavartengely menti transzlációs sebesség a v tülete az ω irányú forgástengelyre: vtr v ω ω vt 1 t T 1 b R RT R2 T2 vt sebességvektor ve- vR R2 T2 A csavartengely egy H pontjára PH 1 ω v ω2 v ω2 1 t T 1 b R vt v2 n ω2 R 1 nR R2 T 2 M 2.17 Egy falhoz támasztott l hosszúságú létra elcsúszik a padló és fal mentén a falra és padlóra merőleges síkban mozogva. Ha tudjuk, hogy valamely helyzetben a létra talppontjának sebessége v, határozzuk meg: (a) a pillanatnyi forgáscentrumot; (b) a mozgáshoz tartozó álló és mozgó pólusgörbéket! Megoldás. Vizsgáljuk a
létra mozgását a függ őleges falhoz és vízszintes padlóhoz kapcsolt Oxy koordináta-rendszerben (2.13 ábra) A testtel együtt mozgó rendszer kezdőpontja legyen A, Ax tengelye pedig erre mer őleges. Az Ax tengelynek az O1 x1 tengellyel bezárt szöge legyen ϕ. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 52 2. Kinematika y1 y I B vB x l ϕ A O1 vA x1 2.13 ábra M 217 feladat: síkmozgás (a) Mivel a létra végpontjai egyenes vonalú mozgást végeznek a padlón és a falon, így sebességvektoruk iránya is állandó és az I pólus az A és B végpontokban a tengelyekre emelt mer őlegesek végpontja lesz. (b) Az A pont koordinátái a rögzített rendszerben kifejezhet ők az x1A l sin ϕ, y1A 0 összefüggésekkel, ahonnan dx1A dϕ l cos ϕ, dy1A dϕ 0. Az álló pólusgörbe egyenletei: x1 y1 x1A y1A dy1A dϕ dx1A dϕ x1 l sin ϕ y1 l cos ϕ x21 x22
l2 vagyis az álló pólusgörbe az O középpontú, l sugarú kör. A mozgó pólusgörbe egyenletei: x y dx1A dϕ dx1A dϕ sin ϕ cos ϕ dy1A dϕ cos ϕ dy1A dϕ sin ϕ K O R R E K T Ú R A x y l 2ϕ 2 sin l 1 cos 2ϕ 2 2006. március 2 2. Kinematika ahonnan x2 2 l 2 y 2 l 2 53 ami azt mutatja, hogy a mozgó pólusgörbe a létrára mint átmér őre szerkeszthető kör. 2.3 Az összetett mozgás kinematikája Az anyagi pont mozgását az O1 x1 y1 z1 és Oxyz, egymáshoz viszonyítva ismert módon mozgó rendszerekben vizsgáljuk (2.14 ábra) Az egyik rendszerhez – legyen ez O1 x1 y1 z1 – viszonyított mozgást hagyományosan abszolút mozgásnak, míg az Oxyz-hez viszonyított mozgást relatív mozgásnak nevezzük. A megfelelő r1 , va , aa illetve r, vr ar mennyiségeket abszolút, illetve relatív helyzetvektornak, sebességnek és gyorsulásnak nevezzük. z z1 k1 i1 r 1 O1 j1
M r y k ro ω O j i x y1 x1 2.14 ábra Az összetett mozgás koordináta-rendszerei Az abszolút és relatív sebességek és gyorsulások kapcsolata a va K O R R E K T Ú R A vv vr , (2.13) 2006. március 2 54 2. Kinematika ahol vv v0 ω r – a vezetési sebesség; illetve aa ahol av ac ˙ r a0 ω 2ω v r ω av a ac r ω r (2.14) (2.15) – a vezetési gyorsulás; – a Coriolis gyorsulás. (2.16) A fenti összefüggésekben v0 , illetve a0 az O pont abszolút sebessége és gyorsulása, ω pedig az Oxyz rendszernek, mint merev tesnek az O 1 x1 y1 z1 hez viszonyított szögsebessége. Megoldott gyakorlatok és feladatok M 2.18 Az O1 x1 y1 z1 rendszerhez viszonyítva az Oxyz rendszer az ω̃ 2i j k szögsebességgel mozog. Számítsuk ki a mozgó rendszerben megadott r et i sint j lnt k vektor (a) idő szerinti deriváltját a mozgó és
rögzített rendszerekben; (b) idő szerinti másodrendű deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben. Megoldás. Az Oxyz rendszerből szemlélve az i j k egységvektorok iránya is állandó, így az r relatív deriváltja, azaz az Oxyz-ben számolt deriváltja: ∂r ∂t dr dt i j k állandó et i cost j 1 k t Az O1 x1 y1 z1 rendszerhez viszonyítva az i j k egységvektorok iránya válto zik. Ezek változását a Poisson-féle összefüggések írják le, amelyek alapján az O1 x1 y1 z1 -hez viszonyított abszolút derivált és az Oxyz-beli relatív derivált kapcsolata d r ∂r ω r dt ∂t K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 55 2. Kinematika A megadott konkrét esetben: et i et dr dt 1 k t cost j e lnt t sint i ∂r ∂t ω r i 2 et 2 lnt j 1 sint d2r d 2t i j k állandó et i d dt sint j et i d dt a mi esetünkben: d2r d
2t et et 1 t et ∂ ∂t et 2 t dr dt sint j 1 2 lnt cost et dr dt ω j 2 2 cost 2 sint 2 lnt i t 1 4 cost 5 lnt sint k t2 2 sint k 1 k t2 dr dt i 2 lnt sint et 4et cost i 1 k t cost j A másodrendű abszolút derivált: d2r d 2t 1 t et cost j A másodrendű relatív derivált: ∂2 r ∂2 t k 1 lnt 1 et 1 t 2 cost k t2 k 1 4 t 2 sint 6 sint lnt j M 2.19 Igazoljuk, hogy az Oz tengelye körül ω állandó szögsebességgel forgó rendszerben mozgó anyagi pont abszolút sebességére érvényes a következő összefüggés: v2a ẋ2 ẏ ż K O R R E K T Ú R A 2 2 y ω2 x2 2 2ω ẋy ẏx 2006. március 2 56 2. Kinematika ahol r x y z a forgó rendszerben felvett helyzetvektor. Megoldás. Az összetett mozgás esetén érvényes (2.13, 214) összefüggé seket használjuk az ω 0 0 ω szögsebességvektorral és az O pont
v o 0 sebességével. Ha a pont relatív helyzetvektora és sebessége r x y x , vr ẋ ẏ ż , akkor va vo Innen azonnali a v2a ẋ2 ω r ẏ ż 2 vr ωy ẏ ẋ y ω2 x2 2 ωx ż 2 2ω ẋy ẏx összefüggés. M 2.20 Az R sugarú korong állandó ω szögsebességgel forog az O középpontja körül Az M anyagi pont a korong egyik átmér ője mentén mo zog, az O középpontból kiindulva, az s R sin ωt törvény szerint, ahol s a kiindulási ponttól mért távolság. Határozzuk meg az M pont abszolút pályáját, sebességét és gyorsulását. Megoldás. A koronggal együtt forgó rendszer Ox tengelye essen egybe a z1 z 0 y ϕ M y1 x x1 2.15 ábra Az M 220 feladathoz mozgó M pont irányával, és ezen legyen x K O R R E K T Ú R A s. Az Oz tengely egybeesik a 2006. március 2 2. Kinematika 57 rögzített rendszer
Oz1 tengelyével és Oxyz jobbrendszer. Az Ox 1 y1 és Oxy koordináta síkok egybeesnek a korong síkjával (2.15 ábra) Legyen ϕ m Ox Ox1 a korong elfordulási szöge, ϕ ωt. Az x1 x cos ϕ s cos ϕ és y1 x sin ϕ s sin ϕ összefüggések alapján x1 y1 R sin ωt cos ωt R sin2 ωt ahonnan x21 2 R 2 y21 2 R 2 R 2 sin 2ϕ R 2 1 cos 2ϕ x1 y1 vagyis az abszolút pálya a C 0 R2 középpontú R2 sugarú kör az Ox1 y1 sík ban. Az abszolút sebesség a va vv vr vo ω r vr összefüggés szerint, a vo 0, r R sin ωt 0 0 , ω 0 0 ω és vr ẋi ωR cos ωt i alapján va ωR cos ωt i v a a va A Coriolis tétel szerint aa ahonnan av ar ac v a sin ωt j aa ac , ahol r 2ω2 R sin ωt i és aa K O R R E K T Ú R A a a ωR ˙ r ω ω r ao ω ω2 R sin ωt i
2ω vr 2ω2 R cos ωt j Így ω2 R sin ωt i cos ωt j 2ω2 R 2006. március 2 58 2. Kinematika 2.4 Kitűzött gyakorlatok és feladatok 2.41 Az anyagi pont kinematikája K 2.1 Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x 12 t 2 2t egyenlet írja le (x a megtett út hossza méterben, t pedig az indulástól eltelt idő másodpercben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni harmadik másodpercben. K 2.2 Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgást végez Tudva azt, hogy a gyorsulás arányos a sebességgel, határozzuk meg a pont sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t 0, x 0 0 és v0 0. K 2.3 Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgást végez Tudva azt, hogy a gyorsulás arányos a sebesség négyzetével, határozzuk meg a pont sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t 0, x 0 0 és v0 0. K 2.4 Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgást végez Tudva azt, hogy a
gyorsulás fordítottan arányos a sebességgel, határozzuk meg a pont sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t 0, x 0 0 és v0 0. K 2.5 Egy repülőgép gyorsulása 2 5 m/s2 Milyen hosszú kifutópálya szü kséges ahhoz, hogy egyenletesen felgyorsuljon a felszáláshoz szükséges 200 km/h sebességre? K 2.6 Egy ember az AB lejtőn C kocsit húz fel kötél segítségével A kötél át van vetve a lejtő tetejére felerősített kis B csigán, egyik vége a kocsihoz van erősítve, másik végét az ember fogja. Jelöljük az embernek a lejtő B alatti D talppontjától való távolságát x-szel, a BD szintkülönbséget pedig h-val Ha az ember a vízszintes síkban egyenletes u sebességgel halad, mekkora a kocsi v sebessége mint x függvénye? K 2.7 A körmozgást egyenesvonalú mozgássá alakító csuklós szerkezet a rögzített O körül forgó OA és a hozzá csatlakozó AB hajtókarokból áll. A második rúd B végpontja egy, az O-n áthaladó
egyenesen mozog. A két kar hossza: OA R l AB Határozzuk meg a B pont sebességét az ω szögsebességgel egyenletesen forgó OA rúd ϕ m AOB elfordulási szöge függvényeként! K 2.8 Egy anyagi pont az xOy síkban mozog, az 1 2 koordinátájú pontból indulva. Tudva azt, hogy a sebességvetor összetev ői vx 4t 3 4t és vy 4t, határozzuk meg a pálya Descartes-féle egyenletét. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 59 K 2.9 Egy anyagi pont az Oxy koordináta-rendszer síkjában mozog az O kezdőpontból kiindulva. Tudva azt, hogy az Ox tengellyel θ λt összefüggés szerint változó szöget bezáró sebesség nagysága v állandó, határozzuk meg: (a) a pont mozgástörvényeit; (b) a pont pályáját; (c) azokat az időpillanatokat, amikor a pont áthalad az Oy tengelyen; (d) a pont gyorsulásának nagyságát! K 2.10 Mutassuk meg, hogy az r a cos ωt i a sin ωt j a ωállandó
helyzetvektorú anyagi pont pályája egy kör. Határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását és igazoljuk, hogy v a 0. K 2.11 Mozgó pont gyorsulásvektorának nagysága állandó, egyenl ő a-val és ez a gyorsulásvektor állandó ω szögsebességgel forog. Milyen görbe lesz a sebességhodográf és hogyan helyezkedik el a térben? K 2.12 Igazoljuk, hogy a repülőtér felett h magasságban, a sugarú körpályán, v állandó nagyságú sebességgel mozgó helikopter r helyzetvektora a t idő függvényében kifejezhető a következő formában: vt i a r a cos sin vt j a hk Határozzuk meg a helikopter sebességvektorát illetve gyorsulásvektorát. K 2.13 Egy anyagi pont helyzetvektora r a cos ωt i sin ωt j bt k ahol a, b és ω állandók. Rajzoljuk meg a pont pályáját és határozzuk meg a pont sebesség- és gyorsulásvektorát. K 2.14 Egy anyagi pont helyzetvektora r a cos ωt sin Ωt i
K O R R E K T Ú R A sin ωt sin Ωt j cos Ωt k 2006. március 2 60 2. Kinematika ahol a, ω, Ω valós állandók. Igazoljuk, hogy a pont egy a sugarú gömb felszínén mozog, és számítsuk ki sebességének nagyságát. Mutassuk meg, hogy a sebesség mértéke a legkisebb a gömb legalsó illetve legfelső pontjaiban (a pólusokban) és legnagyobb az egyenlít őn (a pólusokat összekötő tengelyre merőleges főkörön). K 2.15 Egy mozgó anyagi pont helyzetvektora r a cos ωt i b sin ωt j K 2.16 ahol a, b és ω valós állandók. Mutassuk meg, hogy: 2 2 (a) a pont pályájának egyenlete ax 2 by 2 1; (b) a gyorsulásvektor mindig az origó felé mutat; (c) tt τ r d r ωabτk. Mit jelent ez az egyenlőség kinematikai szempontból? Ismerve egy anyagi pont sebességét és gyorsulását, igazoljuk, hogy a 3 pálya görbületi sugara kiszámítható az R ṽv ã képlettel. Egy síkmozgást végző
pont sebességének Ox tengelyre es ő vetülete állandó vx c . Igazoljuk, hogy ebben az esetben a pont gyorsulásának v3 nagysága kifejezhető az a cR alakban, ahol v a sebesség hossza, R pedig a görbületi sugár! Az R sugarú körön mozgó pont kezdeti sebessége zérus, gyorsulásának érintő menti komponense at a állandó. Mennyi időnek kell eltelni a mozgás kezdetétől addig, amíg az érintő menti és normális gyorsulás komponensek nagysága egyenlő lesz? Határozzuk meg a sebesség- és gyorsulásvektorok vetületeit a következő görbevonalú koordináta-rendszerekben: (a) hengerkoordinátákban; (b) polárkoordinátákban. Egy részecske pályája egy archimedesi spirális. A részecske mozgását az r 10t, θ 2πt egyenletek értelmezik, ahol r milliméterben, t másodpercben és θ radiánban van kifejezve. Határozzuk meg a részecske sebességét és gyorsulását amikor (a) t 0 s, (b) t 0 3 s. Egy anyagi pont
polárkoordinátáit az id ő függvényében az r et és θ t összefüggések adják. Határozzuk meg a sebesség- és gyorsulásvektor radiális és tranzverzális komponenseit K 2.17 K 2.18 K 2.19 K 2.20 K 2.21 K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 61 K 2.22 Az M anyagi pont az x R θ sin θ y R 1 cos θ egyenletű cikloison mozog oly módon, hogy a gyorsulás normális komponensének végpontja mindvégig az Ox tengelyen van. A kezdeti id őpontban az M pont az origóban van. (a) Fejezzük ki θ-t az idő függvényében és szerkesszük meg geometriai úton az érintőleges és normális gyorsulásvektorokat! (b) Legyen Oz az Oxy síkra merőleges tengely. Az M ponton átmenő, Oz-vel párhuzamos egyenesen felvesszük a z pozitív szintű P pontot. Határozzuk meg z-t az idő függvényében oly módon, hogy a P pont 2 2R állandó sebességű egyenletes mozgást végezzen. A kezdeti időpontban a P pont az Oxy síkban
van A P pont gyorsulásvektora az Oxy síkot egy H pontban metszi Határozzuk meg a H pont mértani helyét! K 2.23 Egy M anyagi pont úgy mozog a síkban, hogy sebességének hossza a helyzetvektor hosszának n 1 -edik hatványával arányos, (az arányossági tényező k) és felületi sebessége állandó. Fejezzük ki a pont gyorsulásának nagyságát a helyzetvektor hosszának függvényében és határozzuk meg a pályáját! K 2.24 Az M anyagi pont egy olyan körkúpon mozog, amelynek tengelye az Oz egyenes, az origóban elhelyezked ő csúcsánál lévő szög mértéke 2α. Határozzuk meg a pont mozgásegyenleteit és a sebességhodográfot tudva azt, hogy a pont v sebessége valamint az Oxy síkra eső vetületének felületi sebessége C állandó! K 2.25 Az R sugarú körön mozgó pont gyorsulásának nagysága a állandó Határozzuk meg a sebesség-hodográfot és vizsgáljuk meg, hogy a pont bejárja-e az egész kört. K 2.26 Egy anyagi pont állandó v
sebességgel mozog az r a 1 cos θ v egyenletű kardioidon. Igazoljuk, hogy a pont szögsebessége 2a sec θ2 , és határozzuk meg a gyorsulásvektor radiális és normálisra vetületét. K 2.27 Egy hajó állandó 12 km/h sebességgel észak felé halad és pontosan 12:00 órakor halad el egy világítótorony mellett. Egy másik hajó állandó 16 km/h sebességgel kelet felé halad és pontosan 12:50-kor halad el ugyanazon világítótorony mellett. Melyik id őpontban a legkisebb a távolság a két hajó között? Határozzuk meg ennek a távolságnak a nagyságát K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 62 2. Kinematika K 2.28 Egy hajó az A kikötőből indul és állandó 32 km/h sebességgel nyugat felé halad Egy órára rá az A kiköt őtől 160 km távolságra, délre fekvő B repülőtérről egy repülő indul egyenes vonalú pélyán úgy, hogy utolérje a hajót. Tudva azt, hogy a repül ő sebessége 360 km/h, határozzuk meg a repülési
irányt és hajó helyzetét amikor repül ő beéri a hajót. K 2.29 Igazoljuk, hogy egy pont síkmozgásánál a pályasebesség kifejezhet ő a v R dψ dt alakban, ahol R a pálya görbületi sugara, ψ pedig az a szög, amelyet a sebességvektor egy olyan mozdulatlan egyenessel zár be, amely ugyanabban a síkban fekszik, amelyben a pont mozog! K 2.30 Egy anyagi pont az R sugarú körön mozog oly módon, hogy sebessége és gyorsulása állandó α szöget zár be. Határozzuk meg a sebesség nagyságát az idő függvényében, v t 0 v0 ! 2.42 A merev test kinematikája K 2.31 Igazoljuk, hogy egy merev test valamely egyenese mentén elhelyezkedő pontjai sebességének vetületei az illet ő egyenesre egyenlők K 2.32 A csavartengelytől R távolságra levő pont v nagyságú sebessége a tengellyel α szöget zár be Határozzuk meg a transzlációs sebesség és a szögsebesség nagyságát. K 2.33 Egy merev test M1 0 0 0 , M2 1 1 0 M3 1 1 1
pontjainak sebessége egy adott pillanatban v1 2 1 3 , v2 0 3 1 , v3 1 2 1 a komponensek a testhez kapcsolt Oxyz koordináta-rendszerben adottak. Írjuk fel a pillanatnyi csavartengely egyenletét, valamint határozzuk meg a transzlációs sebesség és szögsebesség nagyságát! K 2.34 Ismerve egy adott pillanatban egy merev test három pontjának sebességét, határozzuk meg a pillanatnyi forgástengely irányát és a forgástengely menti transzlációs sebességet K 2.35 Egy merev test az Oy és Oz tengelyek körüli ω 1 és ω2 szögsebességű forgó mozgást, valamint Oy menti v sebességű transzlációs mozgást végez. Határozzuk meg a pillanatnyi csavarmozgás tengelyét, a csavartengely menti transzlációs sebességet és a szögsebességét! K 2.36 Egy merev test másodpercenként 50 fordulatot tesz meg az x y z egyenletű egyenes körül. Határozzuk meg a test P 1 1 0 pontjának sebességét és gyorsulását! K
O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 63 K 2.37 Egy R sugarú vízszintes tengelyű kerékre csavart fonal szabad végén egy nehezék csüng. Egy adott pillanatban szabadon engedve a nehezék egyenletesen gyorsulva kezd ereszkedni, forgásba hozva a kereket Határozzuk meg a kerék kerületén lév ő valamely M pont gyorsulását a nehezék által t idő alatt megtett h szintkülönbség függvényében, ha a nehezék gyorsulása c 0 K 2.38 Az r sugarú vízszintes tengelyre csavart fonálon csüng ő nehezék kezdeti sebesség nélkül szabadon engedve állandó gyorsulással mozog lefelé a függőleges mentén. Határozzuk meg a tengely szöggyorsulását, ha a nehezék az indulástól mért t id ő alatt h szintkülönbséget tesz meg. K 2.39 Határozzuk meg a rögzített O pont körül mozgó merev test pillanatnyi forgástengelyét és szögsebességének nagyságát egy t id őpontban, ha 0 0 2 tudjuk, hogy a testtel mozgó Oxyz rendszerben
megadott M 1 pont sebessége v1 1 2 0 , és az M2 0 1 2 pont sebességének irány 2 2 1 koszinuszai ugyanabban a koordináta-rendszerben 3 3 3 . K 2.40 Egy egyenes mentén csúszás nélkül guruló, R sugarú korong középpontjának sebessége u Határozzuk meg: a korong pillanatnyi forgáscentrumát, az álló és mozgó pólusgörbéket; valamint a szögsebességet és a szöggyorsulást. K 2.41 Egy rúd az Ox1 y1 síkban mozog oly módon, hogy érinti az O középpontú r sugarú kört és A végpontja az Ox 1 tengelyen csúszik Ha tudjuk, hogy az A pont sebessége v, határozzuk meg a rúd pillanatnyi szögsebességét, valamint a mozgáshoz tartozó álló és mozgó pólusgörbéket! K 2.42 Az Oxy koordináta-renszerhez viszonyított mozgó Q sík és az O 1 x1 y1 rendszerhez viszonyított rögzített P sík Ox illetve O 1 x1 tengelyeinek hajlásszöge ϕ. Legyen A a 0 és B a 0 a mozgó sík két pontja, a 0. Q -nak P -hez
viszonyított mozgását a következ ő feltételek határozzák meg: a) az A pont a nagyságú állandó sebességgel egyenletesen mozog az O1 y1 tengelyen; b) az A és B pontok sebességének hossza egyenlő; c) a t 0 kezdeti időpontban ϕ 0. Határozzuk meg a mozgáshoz tartozó álló és mozgó pólusgörbéket! K 2.43 A 2R hosszúságú AB rúd A végpontja a C középpontú, R sugarú körön egyenletesen mozog ω szögsebességgel. A rúd mozgása során mind- K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 64 2. Kinematika végig áthalad a kör rögzített O pontján. Határozzuk meg a rúd B végpontjának sebességét, a rúdnak a kör O pontjához tartozó átmér őjével bezárt ϕ szögének függvényében, majd határozzuk meg az álló és mozgó pólusgörbéket. K 2.44 Adottak a C1 és C2 középpontú, azonos a sugarú metsző körök A C1C2 hosszúságú AB rúd végpontjaival a körökre támaszkodva mozog oly módon, hogy mozgása nem
egyszerű transzláció. Határozzuk meg az álló és mozgó pólusgörbéket. K 2.45 A 2α nyílásszögű, h magasságú egyenes körkúp csúszás nélkül gurul egy vízszintes síkon, rögzített csúcsa körül Ω szögsebességgel járva be a síkot. Határozzuk meg a kúp tengelye körüli forgásának ω 0 szögsebességét és ω abszolút szögsebességét K 2.46 Egy h magasságú, 2α nyílásszög, O csúcsú egyenes körkúp csúszás nélkül gurul egy olyan síkon, amely a rá mer őleges Oz1 tengely körül ω1 állandó szögsebességgel forog. Határozzuk meg a kúp alapkörének a síkkal való érintkezési pontjával átmér ősen ellentett pontjának centripetális és érintőleges gyorsulását! 2.43 Az összetett mozgás kinematikája K 2.47 Az O1 x1 y1 z1 inerciarendszerhez viszonyítva az Oxyz rendszer az ω i j 2k szögsebességgel mozog. Számítsuk ki a mozgó rendszerben megadott r sint i cost j e t k vektor (a) idő szerinti
deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben; (b) idő szerinti másodrendű deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben. K 2.48 Egy Oz cső O pontja körül állandó ω szögsebességgel forog vízszintes síkban A csőben az A golyó gurul állandó v0 sebsséggel Milyen pályát ír le a golyó a csövön kívül álló megfigyel őhöz képest, és mekkora a golyó sebessége mint az idő függvénye? K 2.49 Az OA félegyenes egy vízszíntes síkban állandó ω szögsebességgel forog O kezdőpontja körül. Egy adott kezdeti id őpntban egy M pont elindul az O pontból a félegyenes mentén. Határozzuk meg az M pont abszolút pályáját és gyorsulását oly módon, hogy abszolút sebességének hossza v-vel egyenlő álladó legyen! K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 65 K 2.50 Egy egyenes cső a vízszintes síkban állandó ω szögsebességgel forog egy függőleges tengely körül. A cső belsejében egy golyó az
x t a eωt e ωt törvény szerint mozog, ahol x a golyó forgástengelytől mért távolsága. Határozzuk meg a golyó abszolút sebességét és gyorsulását x függvényében! K 2.51 Az O-ban derékszögű OAB egyenl ő szárú háromszög állandó ω szögsebességgel forog saját síkjában O csúcsa körül Egy M pont egyenletesen mozog a c hosszúságú AB oldal mentén a B pontból indulva, ezt a távot pontosan egy fordulat alatt téve meg. Határozzuk meg az M pont abszolút sebességét és gyorsulását abban a pillanatban, amikor az az A ponttal esik egybe! K 2.52 Egy M anyagi pont v állandó nagyságú sebességgel mozog egy kúp alkotóján, az O csúcspontból kiindulva A kúp ω állandó szögsebességgel egyenletesen forog tengelye körül Határozzuk meg az M pont abszolút gyorsulását! K 2.53 Egy parabola, síkjára az F fókuszban mer őlegesen emelt tengely körül forog. Határozzuk meg egy M pont relatív mozgását a parabolán úgy, hogy
abszolút sebessége a mozgás ideje alatt végig párhuzamos legyen a parabola szimmetriatengelyével! K 2.54 Az R sugarú gömb O középpontja egybeesik az Oxyz abszolút vonatkoztatási rendszer origójával Legyenek E, M 0 , N a gömb metszéspontjai az Ox, Oy és Oz tengelyekkel A kezdetben M 0 -ban tartózkodó M pont egyenletesen mozog az M0 N főkörön az N pont felé, ω állandó szögsebességgel. Ugyanazon időben a kezdetben OM0 N helyzetű sík is elfordul ON körül, szintén ω szögsebességgel az OEN sík irányába. (a) Határozzuk meg az M pont abszolút mozgásegyenleteit, abszolút sebességét és gyorsulását, valamint a tangenciális és normális sebességeket. (b) Határozzuk meg az M pont pályájának vetületét a három koordinátasíkra. (c ) Ha az abszolút gyorsulásvektor tartóegyenese az Oxy síkot a P pontban metszi, határozzuk meg a P pont mozgását. (d) Igazoljuk, hogy találkozik egy rögzített egyenessel. K 2.55 Az M pont egyenletesen
mozog v sebességgel egy R sugarú gömb meridiánja mentén, míg a gömb függőleges átmérője körül állandó ω K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 66 2. Kinematika szögsebességgel forog. Határozzuk meg a pont abszolút gyorsulásának nagyságát az egyenlítőtől mért ϕ szögtávolságának függvényében. K 2.56 Egy folyóban, amely vizének sebessége v 2 állandó nagyságú a folyó teljes d szélességében, egy csónak halad v 1 állandó nagyságú sebességgel Számítsuk ki: (a) a csónak abszolút sebességét, ha relatív sebessége a folyó sebességével α szöget zár be; (b) milyen irányban kell haladjon a csónak ahhoz, hogy az indulási pontban a partra emelt merőleges mentén érjen a túlsó partra? (c) milyen irányban kell haladjon a csónak ahhoz, hogy az átkelési idő a lehető legrövidebb legyen? K 2.57 Egy csónak 2l szélességű folyót keresztez A csónak sebessége az áramló vízhez képest állandó,
nagysága u és iránya mer őleges a víz áramlásának irányára. A víz sebessége változó Iránya ugyan mindenhol ugyanaz, de nagysága a középt ől számított y távolságban v v0 1 y2 l2 (a) Határozzuk meg a csónak pályáját olyan koordináta-rendszerre vonatkozólag, amelynek kezdőpontja a csónak kiinduláspontjával egymagasságban felkvő pont a folyó közepén, x tengelye párhuzamos a folyó partjával, y tengelye pedig rá mer őleges! (b) Mennyivel viszi le a víz a csónakot, míg az egyik partról a túlsó partra ér? K 2.58 Egy anyagi pont egy földi meridián mentén délr ől észak felé mozog 10 m/s sebességgel a 60 -os északi szélességen. Határozzuk meg a pont abszolút sebességét és gyorsulását, ha tudjuk, hogy a Föld forog. Oldjuk meg a feladatot amikor a pont a 60-os szélességen nyugatkelet irányban mozog. A Föld sugarát állandónak tekintjük (R 6375 km). K 2.59 Egy A anyagi pont állandó v sebességgel mozog
egyenesvonalú pályán olyan S síkban, amely az O ponton átmen ő, S-re merőleges tengely körül állandó ω szögsebességgel forog Mi lesz a pont pályájának egyenlete olyan r θ polár-koordinátarendszerre vonatkozólag, amely K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 67 a térben rögzített, pólusa O, polárisa pedig a térben úgy van irányítva, hogy abban a pillanatban, amikor a mozgó pont O-hoz legközelebb van, θ 0? K O R R E K T Ú R A 2006. március 2
pedig ẏ ż A gyorsulás skaláris összetevői és a a nagyságára a ẍ a ÿ a z̈ a ẍ ÿ v2 ẋ2 2 2 x y 2 z 2 2 z̈2 Ha a mozgó pont pályájához kapcsolt, a ponttal együtt mozgó t n b Frenet-féle kísérőtriéder tengelyeire vetítjük a sebességet és a gyorsulást, akor az érintő menti, főnormális és binormális irányú komponensek: vt ds vn dt v 0 vb 0 és dv v2 an ab 0 dt R ahol s az ívhossz (a megtett út egy kiindulási ponttól), R pedig a görbületi sugár. Ha r r q1 q2 q3 görbevonalú koordinátákat használjuk, akkor a Hi ∂r 1 ∂r Hi ∂ai , i 1 2 3 segítségé∂ai Lamé-féle együtthatók, valamint az e i at v̇ vel a sebességvektor v ∑3i 1 Hi q̇i ei alakban írható. Ha görbevonalú koordináták rendszere ortogonális, azaz az e i egységvektorok páronként merőlegesek egymásra, akkor a
gyorsulás görbevonalú komponensei ai ∂v2 ∂q̇i 1 d 2Hi dt ∂v2 ∂qi i 1 2 3 Sajátosan, az r θ síkbeli polárkoordináták esetében vr ar r̈ ṙ vθ rθ̇2 aθ rθ̇ 1d 2 r θ̇ r dt A mozgás síkjára merőleges felületi sebességvektor el őjeles hosza r 2 θ̇. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 29 2. Kinematika Megoldott gyakorlatok és feladatok M 2.1 Igazoljuk, hogy egy anyagi pont sebessége nem függ a helyzetvektor kezdőpontjának a megválasztásától. Megoldás. Legyen O és O két, egymáshoz viszonyítva nyugalomban levő pont (2.1 ábra) pont helyzetvektora a két vonatkoztatási A P mozgó pontra nézve r OP és r O P, amely vektorokra r OO r , ahol az OO vektor állandó. Így ddtr ddtr r O P r v O OO 2.1 ábra Az M 21 feladathoz M 2.2 Egy egyenes mentén mozgó pont helyzetét az x t 3 3t 2
9t 30 összefüggés értelmezi, ahol x méterben, a t 0 id ő pedig másodpercben van kifejezve. Határozzuk meg: (a) azt az időpontot, amikor a sebesség nulla lesz; (b) a pont pozícióját ebben a pillanatban és az addig megtett út hosszát; (c) a pont gyorsulását ebben a pillanatban; (d) a pont által t 2 s-tól t 5 s-ig megtett távolságot. Megoldás. A pont mozgásegyenlete, sebessége és gyorsulása x t 3 3t 2 9t 30 dx 2 v 3t 6t 9 dt dv a 6t 6 dt K O R R E K T Ú R A (2.1) (2.2) (2.3) 2006. március 2 30 2. Kinematika (a) Azon időpont, amikor v 0. A (22) egyenletbe v 0 helyettesítéssel 3t 2 9 0 6t t 13 A mozgás t 0 kezdete utáni megfelelő megoldás t 3 s. Ha t 0 3 , akkor v 0 és a pont a tengelyen negatív irányba mozog, ha t 3, akkor v 0 és a pont pozitív irányba mozog. (b) A pont helyzete v 0-kor és az addig megtett út. A t 3 s-ot (21)-be helyettesítve x 3 3 m, míg
induláskor x 0 40 m. Mivel a 0 3 időintervallumban a sebesség sehol sem nulla, mindvégig ne gatív, így x mindvégig csökken és az indulástól megtett út hossza ∆x x 3 x 0 (c) A gyorsulás, amikor v 0. A t a 3 37 m. 3 s-ot (2.3)-be helyettesítve 12 m/s2 . a pont negatív irányba (d) A t 2 s-tól t 5 s-ig megtett út hossza. Mivel mozog, amíg t 2 3 , majd pozitív irányba t 3 5 esetén, a megtett utak hosszát külön-külön kiszámoljuk és összegezzük: x 3 x 2 x 5 x 3 3 8 35 3 37 m. M 2.3 Egy labdát 9 m/s-os kezdősebességgel feldobnak a talajtól 18 m magasban levő ablakból Tudva azt, hogy a labda 9,81 m/s 2 -es állandó nagyságú gyorsulása mindvégig lefelé mutat, határozzuk meg: (a) a labda v sebességét és talaj fölötti y magasságát minden t id őpillanatra; (b) a labda által elért maximális magasságot és a megfelel ő
időpontot; (c) azt az időpontot, amikor a labda földet ér és a sebességét, amellyel leesik. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 31 2. Kinematika Megoldás. (a) Sebesség és magasság A labda helykoordinátáját (magasságát) adó y koordináta tengely O kezd őpontját a talaj szintjénél választjuk, pozitív irányát pedig függőlegesen felfelé A pont gyorsulása ezek 9 81 m/s2 , kezdeti helyzete és sebessége pedig a t 0 kezszerint a deti időpontban: y0 18 m, v0 9 m/s. A dv dt a egyenletet integrálva v t dv 9 81 dt v0 9 A dy dt 0 v 9 9 81t (2.4) v egyenletet integrálva y t dy 18 y0 18 9 0 y 9t 9 81t dt 4 905t 2 (2.5) (b) A legnagyobb magasság. A legnagyobb magasságot a labda akkor éri el, amikor a (2.5) trinomnak maximuma van Ez a t max 2 49905 9 9 91 0 917 s-kor lesz. A megfelelő maximális érték ymax 22 89 m (A megfelelő
időpont azonnal adódik abból a feltételb ől, hogy ekkor a sebesség nulla.) (c) A labda földetér. A labda leesésekor y 0 Ezt behelyettesítve a (25) összefüggésbe a 18 9t 4 905t 2 0 másodfokú egyenletet kapjuk amelynek gyökei t 1 1 206 s és t2 3 041 s. A t 3 041 s időpont felel meg a mozgás kezdete utáni földetérésnek Ekkor a sebesség v 9 Tehát a lefelé eső (v 9 81 3 041 20 83 m/s. 0) labda 20,83 m/s sebességgel ér földet. M 2.4 Határozzuk meg az ágyúcsőnek a vízszintessel bezárt α szögét ahhoz, hogy a v0 kezdeti sebességű lövedék eltalálja a d távolságnál h magasságban levő célpontot. (Ismert, hogy a lövedék gyorsulása a függőlegesen lefelé mutató g állandó nagyságú nehézségi gyorsulás K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 32 2. Kinematika és a mozgás síkmozgás. A légellenállást elhanyagoljuk) Mekkora lesz a keresett szög v0 240 m/s, d 3600 m, h 600
m esetében? Megoldás. A mozgás függőleges síkjában vezessük be a vízszintes irányú Ox és függőlegesen felfelé irányított Oy tengelyeket, az O kezd őpontot a kiindulási pontba választva. A feladat adatai alapján a következ ő matematikai modell (peremérték-feladat) írható fel: ẍ 0 ÿ g x 0 0 y 0 0 x t d y t h ẋ 0 v0 cos α ẏ 0 v0 sin α ahol α és t (a célbaérés pillanata) ismeretlenek. Az x y koordinátákat adó differenciálegyenleteket integrálva a megadott kezdeti feltételek figyelembevételével x t y t v0 cos αt g 2 t v0 sin αt 2 összefüggéseket kapjuk. A célbatalálás feltételei a t pillanatban g t 2 v0 cos αt v sin αt 2 0 d h Az első egyenletből kifejezve t -ot és a másodikba helyettesítve, a g 2 d v0 cos α 2 v0 sin α d v0 cos α egyenlethez jutunk, amelyből az 1 cos 2 α
1 a gd 2 tan2 α 2dv20 tan α gd 2 h tan2 α összefüggés alapján 2hv20 0 egyenletet kapjuk. A 0 feltétel teljesülése esetén a keresett α szög egy vagy két megoldása a v40 tan α g2 d 2 12 K O R R E K T Ú R A 2ghv20 v20 v40 g2 d 2 2ghv20 gd 2006. március 2 2. Kinematika egyenletek alapján határozható meg. A megadott számértékekre tan α 1 2 6876 és tan α nan a két lehetséges megoldás α1 69 58o és α2 2 33 0 57436, ahon 29 87o M 2.5 Ha egy adott pillanatban ismert az M anyagi pont sebesség- és gyorsulásvektora, szerkeszzük meg a pálya görbületi középpontját M4 M b a an M3 M t v M1 M2 n O 2.2 ábra Az M 25 feladathoz Megoldás. A t n b kísérőtriéderhez viszonyított Frenet-féle koordiná dt 1 ta-rendszerben (2.2 első ábra) alkalmazva a Frenet-féle ds R n összefüggést, meghatározzuk a sebesség-, illetve
gyorsulásvektortok komponenseit: v dv dt a s̈t dr dt d r ds ds dt ṡ t, ṡ v d dt dt ṡt s̈t ṡ s̈t ṡ dt dt ds 2 d t ṡ ṡ2 s̈t n, at v̇, an ds R K O R R E K T Ú R A ds dt v2 R 2006. március 2 34 2. Kinematika ahonnan v2 an R (2.6) A szerkesztés alapötletét a gyorsulás normális vetületére vonatkozó (2.6) összefüggés adja, ahol R a görbületi sugár. A sebesség- és gyorsulásvektorok által meghatározott a következ ő szerkesztéseket végez simulósíkban zük: Bevezetjük az MM1 v; MM2 a jelöléseket (2.2 második ábra)Az MM1 érintő egyenesre az M-ben merőlegest állítunk és jelöljük M3 -mal a gyorsulásvektor M2 végpontjának a vetületét erre az egyenesre. Legyen továbbá M4 az M3 -nak M-re vonatkozó szimetrikusa. Meghúzzuk az M 1 ből az M4 M1 -re merőleges egyenest, amely az MM3 félegyenest O -ban metszi. Igazoljuk, hogy az így megszerkesztett O pont
a keresett görbületi középpont. Alkalmazzuk az M4 OM1 derékszögű háromszögben a magasság tételét: MM12 MM4 MO. Tehát v2 MO an mivel az MM4 MM3 an 2 Innen következik, hogy az MO avn ami valóban azt mutatja, hogy MO egyenlő a görbületi sugárral. M 2.6 Egy anyagi pont az y px2 p 0 egyenletű parabolán v állandó nagyságú sebességgel mozog. Határozzuk meg a pont gyorsulását amikor az a parabola csúcsában található. Megoldás. A gyorsulás érintő menti komponense egyenlő nullával, mivel 2 a sebesség nagysága állandó. Tehát az a a n vR Ahhoz, hogy a gyorsulást meghatározzuk, ki kell számítsuk a parbola csúcsához, az O 0 0 ponthoz tartozó R görbületi sugarat. Ezt az R yy 1 2 3 2 x 0 ismert összefüggésből határozhatjuk meg, ahol y 0 és y a an x 0 2pv2 . d2 y d2 x x 0 2p. Innen R 1 2p . x 0 dy dx x 0 2px x 0 Tehát a gyorsulás
nagysága M 2.7 Határozzuk meg a sebességvektor és gyorsulásvektor komponenseit gömbi koordinátákban. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 35 2. Kinematika z z P θ r O x ϕ y y x 2.3 ábra M 27 Gömbkoordináták Megoldás. A helyzetvektor derékszögű komponenseinek kifejezése gömbi koordinátákkal az r r sin θ cos ϕ y r sin θ sin ϕ z r cos θ képlettel adható meg (lásd . ábra) Ennek alapján a Lamé-féle együtthatók Hr Hθ Hϕ ∂r ∂r ∂r ∂θ ∂r ∂ϕ sin θ cos ϕ 2 r cos θ cos ϕ 2 r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ 2 2 r cos θ sin ϕ 2 r sin θ cos ϕ cos θ 2 2 1 r sin θ 2 r r sin θ A sebesség megfelelő komponensei: vr Hr ṙ ṙ, vθ nagysága pedig v2 K O R R E K T Ú R A Hθ θ̇ rθ̇, vϕ ṙ2 r2 θ̇2
Hϕ ϕ̇ r sin θ ϕ̇ r2 sin2 θ ϕ̇2 2006. március 2 36 2. Kinematika A gyorsulás komponensei (mivel a rendszer ortogonális): ar aθ aϕ 1 2Hr 1 2Hθ 1 2Hϕ d dt d dt d dt ∂v2 ∂ṙ ∂v2 ∂θ̇ ∂v2 ∂ϕ̇ ∂v2 ∂r ∂v2 ∂θ ∂v2 ∂ϕ r̈ r sin2 θ ϕ̇2 rθ̇2 1d 2 r θ̇ r sin θ cos θ ϕ̇2 r dt 1 d 2 2 r sin θ ϕ̇ r sin θ dt M 2.8 Egy M anyagi pont az y2 2px 0 egyenletű parabolán mozog oly módon, hogy az origóra vonatkoztatott sebesség-hodográf megegyezik az adott parabolával. Határozzuk meg: (a) a mozgásegyenleteket, a sebesség és gyorsulás nagyságát, ha tudjuk, hogy a t 0 időpontban az M pont az M0 2p p pozícióban van; (b) a sebesség- és gyorsulásvektorok végpontjának mértani helyét! Megoldás. (a) A feltételeket matematikai formulákba öntve az alábbi Cauchy-feladathoz jutunk: y2 2px 0 ẏ2 2pẋ 0 x 0 2p y 0 p
Az első egyenletet deriválva kapjuk: 2yẏ 2p 0 yẏ pẋ Ezt a második egyenletbe helyettesítve ẏ2 2yẏ 0, ahonnan ẏ ẏ 2y 0. Két eset lehetséges: I. ha ẏ 0, akkor a kezdeti feltételeket használva az y p x 2p moz gásegyenleteket kapjuk. Ebben az esetben az anyagi pont az M 0 pontban áll, vagyis a megadott koordináta-rendszerhez képest a pont nem mozog, nyugalomban van. II. ha ẏ 2y, akkor 1y dy 2dt ln y ln p 2t y pe2t ẏ 2pe2t Az y kifejezését az első egyenletbe helyettesítve meghatározzuk az x-et: x p 4t . Ebben az esetben tehát az anyagi pont mozgásegyenletei x t 2p e4t ; 2e y t pe2t . A sebességvektor komponensei: ẋ 2pe 4t ; ẏ 2pe2t , és a sebesség nagysága v 2pe2t 1 e4t . A gyorsulásvektor komponensei: ẍ 8pe4t , ÿ 4pe2t és a gyorsulás nagysága a 4pe2t 1 e4t . K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 37 2. Kinematika (b) A sebességvektor végpontjának helyzetvektora
az r nek koordinátái x1 y1 x y 2p e p p ẋ ẏ 4t 2t 2p e 2 v vektor, amely- 5p 4t 2 e 3pe2t A végpont pályaegyenletét megkapjuk, ha az egyenletrendszerb ől kiküszöböljük az időt: 5p x1 2 y21 3p 2 tehát a mértani hely az 5y21 18px1 0 egyenletű parabola. Hasonlóan járunk el a gyorsulásvektor esesetén is. A gyorsulásvektor végpontjának helyzetvektora az r a vektor, az x2 y2 x y ẍ ÿ p p 2 8p e 4t 4p e2t 17p 4t 2 e 5pe2t koordinátákkal. A gyorsulásvektor végpontjának implicit pályaegyenlete x2 y22 tehát a keresett mértani hely a 17y22 17p 2 2 5p 50px2 0 egyenletű parabola. M 2.9 Határozzuk meg egy nyújthatatlan fonál végéhez rögzített P anyagi pont pályáját, ha a fonál másik végét a vízszintes síkon egy egyenes mentén adott irányba mozgatjuk. Az így keletkezett görbe neve traktrix Megoldás. A P pont pályájának
tetsz őleges pontjában a sebesség által meghatározott érintő egybeesik a PT fonállal. A mozgás síkjában megadott egyenest válasszuk Ox tengelynek. A fonál hossza legyen a és a P pont kezdetben legyen az Oy tengelyen a 0 a pontban (2.1 ábra) A görbe értelmezése szerint PT a (állandó). Legyen N a P pont vetülete az Ox tengelyre. A PNT háromszögben felírható a traktrixot leíró y y K O R R E K T Ú R A 2 y2 a2 (2.7) 2006. március 2 38 2. Kinematika y P x y a a O N T x 2.4 ábra M 29 feladat: a traktrix egyenlet, ahol y dy dx. A kapott differenciálegyenletet integrálva adódik a traktrix egyenlete: x a ln a a2 y y2 a2 y2 ahol a négy lehetséges előjelkombináció a görbe különböző negyedekbe eső íveit adja. M 2.10 Egy anyagi pont az R sugarú gömbfelületen mozog úgy, hogy a sebességvektor és a gömb hosszúsági körei mindig állandó mértékű α szöget zárnak be.
Határozzuk meg az anyagi pont pályáját Megoldás. Egy adott pillanatban a sebességvektort vetítjük a ponton átmenő szélességi illetve hosszúsági körök érint őire Bevezetve a 25 ábrán dϕ látható jelöléseket, könnyen belátható, hogy u 1 R dθ dt ; u2 R cos θ dt Másfelől viszont a feltétel alapján u1 v cos α; u2 v sin α A felírt összefüggések alapján az alábbi egyenletrendszert kapjuk: R dθ dt v cos α R cos θ dϕ dt v sin α A két egyenlet megfelelő oldalait elosztva egymással, a dθ cos θ K O R R E K T Ú R A cot αdϕ 2006. március 2 2. Kinematika 39 2.5 ábra Az M 210 feladathoz differenciálegyenlethez jutunk. Ez utóbbi egyenletet az dθ cos θ 1 1 dθ ln θ 2 tan 2 1 1 cos2 θ2 1 ln tan π 4 ln tan π 4 θ 2 tan θ2 tan θ2 C C alapján integrálva M 2.11 Egy vonat v θ 2 ϕ cot α C a pont pályája a e 0, akkoregyenletű görbe. 72
km/h sebességgel közeledik az állomáshoz. Eköz- Ha feltételezzük, hogy kezdetben θ ln tan π4 θ2 cot α ϕ, vagy tan π 4 0 és ϕ θ 2 cot α ϕ ben ∆t 5 s ideig tartó hangjelet bocsát ki. Mennyi ideig hallja a hangot az állomás előtt álló vasutas? A hang sebessége c 320 m/s. Megoldás. Amikor a vonat a V pontban van megkezdi a hangjel kibocsátását (2.6 ábra). Ezt a jelt az állomás előtt álló vasutas t1 xc0 idő múlva hallja. Amikor a vonat a P-be érkezik befejezi a hangjel küldését, amit a vasutas a hangjel K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 40 2. Kinematika 2.6 ábra Az M 211 feladathoz kibocsátása után a t2 ∆t vasutas ∆t t2 t1 ∆t x1 c hallja a hangjelt. A megadott számértékek alapján ∆t 5 1 x1 c időpontban érzékel. Következésképpen a ∆t cs ∆t 1 vc időintervallumban x0 c 72 3 6 320 4 687 s. M 2.12 Egy fecske valamilyen
különleges szembetegség folytán minden tárgyat a helyes iránytól jobbra lát 30 o -kal Most a fecske fészektől 100 méterre van és 10 m/s-os állandó nagyságú sebességgel repül. Odatalál-e a fecske a fészkéhez? Ha igen, akkor mennyi id ő alatt és mennyi utat tesz meg a fészekig? 2.7 ábra Az M 212 feladathoz Megoldás. Észrevehető, hogy a fecske helyzetvektor irányába es ő sebessége állandó (27 ábra) vr v cos 300 v 2 3 A sebességvektor polárko K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 41 2. Kinematika ordinátákban az alábbi alakban írható: v ṙer rθ̇eθ Következésképpen v 3 2 ṙ r v 3 t 2 r0 r v 3 t 2 r0 Kezdetben r0 100 m és amikor a fecske a fészkéhez ér, akkor r 0. Tehát a t v2r03 102003 11 34 s. Mivel a fecske sebessége állandó következik, hogy a megtett út: s vt 10 203 115 4 m. A sebesség vetülete a helyzetvektorra mer őleges irányba is állandó vθ v sin
300 2v . Következésképpen rθ̇ θ̇ θ 1 ln 2r0 3 v v 3 v r0 t θ̇ 2 2 2 v v dθ dt v 3t 2r0 v 3t 2r0 v 3t 1 ln 2r0 3 1 ln 1 3 θ v 3 t 2r0 A fecske mozgásegyenletei: θ r 1 ln 1 3 r0 v 2 3 t v 3 2r0 t A fecske pályájának egyenlete: θ 1 r ln r 3 0 θ 3 r r0 e M 2.13 Egy repülő egyenes vonalú, egyenletes mozgását az x B ut x0 , yB y0 egyenletek írják le. A t 0 időpontban az O 0 0 pontból egy hőrakétát indítnak, hogy kilőjjék a repülőt. Tudva azt, hogy a rakéta állandó v sebességgel mindig a célpont felé tart, határozzuk meg a rakéta mozgásegyenleteit és a pályaegyenletet. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 42 2. Kinematika y yB y0 célpont u B elfogás vA yA A O xA x0 x xB 2.8 ábra Az M 213 feladathoz Megoldás. A követési feladatoknál általában az r A helyzetvektorú A üldöző ismeri a
B célpont rB helyzetét és r˙B sebességét egy kezdeti időponttól az aktuális t időpontig és célja utolérni a célpontot. A legjobb stratégia az, ha az üldöző minden pillanatban a célpont irányában repül, azaz r˙A rB rA (2.8 ábra) Az üldöző sebességének nagyságát is ismertnek tekinthetjük, legyen ez vA t . Az R rB rA relatív helyzetvektor segítségével a követési feladat az R t ˙ ˙ R t rB t v A t (2.8) R t egyenlettel modellezhető. A repülő és rakéta síkjában bevezetve az R X Y koordinátákat, a (2.8) egyenlet vetülete a tengelyekre Ẋ ẋB vA t Ẏ ẏB vA t xB xA xB xA X X2 Y2 Y X2 Y2 A fenti egyenletekbe behelyettesítve a megadott ẋB K O R R E K T Ú R A u ẏB 0és vA t v 2006. március 2 2. Kinematika 43 mennyiségeket, az Ẋ vX u X2 Y2 vY Ẏ X2 (2.9) Y2 egyenleteket kapjuk. Célszerű a
R θ polárkoordináták bevezetése, amelye kre X R cos θ és Y R sin θ. Ezekre a változókra az Ṙ cos θ R sin θ θ̇ u Ṙ sin θ v cos θ R cos θ θ̇ (2.10) v sin θ Az (2.10) egyenletrendszert megoldva az Ṙ θ̇ ismeretlenekre Ṙ u cos θ v Rθ̇ u sin θ Ezek alapján az üldöző pályaegyenlete meghatározható a dR dθ Ṙ θ̇ u cos θ v R u sin θ hányados integrálásával. Az dR R cot θ ln sin θ ln R ln sin θ összefüggésből v cot θ u sin θ dθ v u v dθ u sin θ ln csc θ v θ ln tan u 2 cot θ C ahonnan, az A eC jelöléssel R Az A eC integrálási állandó a t R0 x 2 0 y20 cos θ0 K O R R E K T Ú R A v tan θ2 u A sin θ (2.11) 0 időpontra felírható x0 x20 y20 sin θ0 y0 x20 y20 2006. március 2 44 2. Kinematika kezdeti feltételek alapján számolható ki: A x0
x y 2 0 0 y20 v u , ha y0 v u u 0 Ha y0 0, akkor θ 0 vagy θ π, és az üldöző pályája a célponttal együtt az Ox tengelyen van. Az elfogás akkor következik be, amikor (2.11)-ban R 0 Ha v u, akkor ez soha sem következhet be, amint azt el is várhattuk, mivel ekkor az üldöz ő sebessége kisebb, mint a célpont sebessége. 2.2 A merev test kinematikája Az S merev anyagi rendszer olyan diszkrét vagy folytonos (merev test) pontrendszer, amelyben tetszőleges két pont távolsága állandó, azaz PQ konst , bármely P Q S esetén. Egy merev test (általában merev pont rendszer) helyzete valamely i1 j1 k1 egységvektor-rendszerrel megadott O1 x1 y1 z1 rendszerhez viszonyítva hat független paraméter segítségével adható meg, amelyek lehetnek például: a rendszer tetszőlegesen választott O pontjának helyzetvektorának három koordinátája x01 y01 z01 r01 ; és a ϕ θ ψ Euler-szögek
(2.9 ábra), amelyek megadják a testhez kapcsolt Oxyz derékszögű koordináta-rendszer tengelyeinek helyzetét az O1 x1 y1 z1 rendszer tengelyeihez viszonyítva. Ha x y z , illetve x1 y1 z1 a merev test valamely pontjának koordi nátái a testhez kapcsolt Oxyz, illettve a „rögzített” O 1 x1 y1 z1 rendszerben, akkor: x1 y1 z1 cos ϕ sin ϕ 0 cos ψ sin ψ 0 K O R R E K T Ú R A sin ϕ 0 cos ϕ 0 0 1 sin ψ 0 cos ψ 0 0 1 1 0 0 cos θ 0 sin θ x y z 0 sin θ cos θ x10 y10 z10 2006. március 2 2. Kinematika 45 z1 z z1 k1 r 1 O1 θ r y3 ψ k j O θ ϕ r10 ϕ x1 ψ x y1 j1 i y2 y 1 M y x2 i1 x1 2.9 ábra Az Euler-féle szögek A merev testhez kapcsolt és azzal együtt mozgó Oxyz rendszer tengelyeit kijelölő i j k változó
egységvektorok idő szerinti deriváltjai di dt ω i dj dt ω j dk dt ω k alakban fejezhetők ki (Poisson-képletek), ahol az ω szögsebességvektor a test forgását jellemzi. A szögsebességvektor Oxyz-ben, illetve O 1 x1 y1 z1 -ben vett p q r , illetve p1 q1 r1 komponensei kefejezhetők az Euler-szögek segítségével: p ϕ̇ sin θ sin ψ θ̇ cos ψ q ϕ̇ sin θ cos ψ θ̇sin ψ r ϕ̇ cos θ ψ̇ p1 ψ̇ sin θ sin ϕ θ̇ cos ϕ q1 ψ̇ sin θ cos ϕ θ̇sin ϕ r1 ψ̇ cos θ ϕ̇ A merev test (pontrendszer) mozgásegyenletei: x10 x 10 t y10 y10 t z10 z10 t ϕ ϕ t θ θ t ψ ψ t K O R R E K T Ú R A t I t t 0 v 2006. március 2 46 2. Kinematika A merev test P v v0 ω r S pontjának sebessége, illetve gyorsulása: a a0 ˙ ω r ω ω r
a0 ˙ ω ω2 d r ahol d az O-n áthaladó, ω irányú tengelytől mutat a P pont felé. A merev test azon Q pontjainak mértani helye, amely pontok sebessége párhuzamos ω -val egy egyenes, a pillanatnyi csavartengely. Egyenletei: rQ r Q0 λ ω , ahol rQ0 illetve, az Oxyz rendszerben: v0x qz p ry v0y 1 ω ω2 rx q pz v0 v0z λ py p qx (2.12) ahol v0x v0y v0z az O pont sebességének komponensei a testtel mozgó rend szerben. A pillanatnyi forgástengely által a térben leírt vonalfelület neve herpolhodia kúp, a testhez kapcsolt rendszerben leírt vonalfelület neve polhodia kúp. A pillanatnyi csavarmozgás jellemezhet ő az ω szögsebességvektorból és a pillanatnyi csavartengely mentén elhelyezked ő pontok vtr transzlációs sebességéből álló vektorkettőssel. Ha a merev test O pontjának v0 transzlációs sebessége, illetve a forgást jellemző ω szögsebességvektor
bizonyos feltételeknek engedelmeskedik, akkor a merev test sajátos mozgásairól beszélünk. A fontosabb sajátos mozgások: Transzlációs mozgás: ω t 0, v0 t tetszőleges; Rögzített tengely körüli forgás: v0 t egységvektor; 0, ω t Gömbi mozgás (rögzített pont körüli mozgás ˙): v0 t szőleges; Síkmozgás: ω t ω t u, v0 t ω t ω t u, u adott 0, ω t tet- 0, u állandó egységvektor. Síkmozgás esetén minden pillanatban létezik olyan I pont, amelyre v I 0, ez a pillanatnyi forgáscentrum (pólus), amelynek mértani helye az O 1 x1 y1 K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 47 rendszerben az dy10 dϕ dx10 y1 y10 dϕ egyenletekkel leírható álló pólusgörbe, míg I mértani helye az Oxy testtel mozgó rendszerben az dx10 dy10 x sin ϕ cos ϕ dϕ dϕ dx10 dy10 y cos ϕ sin ϕ dϕ dϕ egyenletekkel meghatározott mozgó pólusgörbe.
Az egyenletekben használt ϕ paraméter az O1 x1 , illetve Ox tengelyek szögének mértéke, x 10 y10 pedig az O pont koordinátái az O1 x1 y1 rendszerben (2.10 ábra) x1 x10 y y 1 I y1 x x O ϕ y O1 x1 x1 2.10 ábra A síkmozgás koordináta-rendszerei Megoldott gyakorlatok és feladatok M 2.14 Ismerve a csavarmozgás vtr ω vektorkettősét, határozzuk meg azon pontok mértani helyét, amelyek sebességének hossza a vtr transzlációs sebesség n-szerese. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 48 2. Kinematika Megoldás. A merev test elemi mozgását pillanatnyi csavarmozgásként fogva fel, tetszőleges pontjának v sebessége felbontható a pillanatnyi csavartengely irányába eső vtr transzlációs és az erre merőleges vrot ω R forgási sebességkomponensekre, ahol R a forgástengelytől a pontig mutató vektor (2.11 ábra): v vtr ω R vrot és ω Ezek szerint a sebesség
nagysága, figyelembe véve a vtr R ω v vtr vtr C d vrot 2.11 ábra M 214 feladat: pillanatnyi csavarmozgás összefüggéseket v 2 vtr ω2 R2 2 vtr A feladat feltétele szerint v n vtr , azaz R vtr ω ω2 R2 n vtr , ahonnan n2 1 állandó. Így a keresett mértani hely az R vωtr n2 amelynek forgástengelye az ω irányú csavartengely. 1 sugarú körhenger, M 2.15 Egy merev test M1 1 0 0 , M2 0 1 0 M3 0 0 1 pontjainak se bessége egy adott pillanatban v1 1 2 1 , v2 2 0 1 , v3 1 1 2 , K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 49 a komponensek a testhez kapcsolt Oxyz koordináta-rendszerben adottak. Írjuk fel a pillanatnyi csavartengely egyenletét, valamint határozzuk meg a transzlációs sebesség és szögsebesség nagyságát! Megoldás. A pillanatnyi csavartengely egyenletei az Oxyz rendszerben a (2.12)
képlet szerint v0x qz p ry v0y rx q pz v0z py p qx amelyhez szükségesek az O pont sebességének v ox , voy , voz , valamint a szögsebesség p q r komponensei. Ezek a sebesség-komponenseket adó vx v0x qz ry vy v0y rx pz vz v0z py qx összefüggésekből határozhatók meg, alkalmazva azokat rendre a megadott három pontra. A megfelelő rendszerek: 2 v0x 2 v0y r 2 v0z q 3 v0x r 1 v0y 1 v0z p ahonnan v0 v0x v0y v0z 2 1 0 , ω alapján a pillanatnyi csavartengely egyenletei 2 2z y 1 1 x 2 z 0 4 v0x q 2 v0y p 0 v0z p q r y 12 1 . Ezek 2x 1 vagy az Oxy síkkal való metszéspontnak megfelel ő kanonikus alakban x 1 1 y 2 2 z . 1 Az ω 1 2 1 szögsebesség nagysága ω transzlációs sebesség vtr prω v0 ω v0 ω 6. A csavartengely
menti 0 6 0. Az utólsó eredmény azt mutatja, hogy a merev test megfelel ő elemi mozgása tiszta forgás, mivel a transzláció sebessége nulla. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 50 2. Kinematika M 2.16 Igazoljuk, hogy a pályája mentén v sebességgel mozgó ponthoz rendelt t n b kísérőtriéder mozgása csavarmozgás, amelynek pa raméterei vR t b ω v vtr 2 2 T R R T és a csavartengely áthalad a 1 PH R n R2 T 2 helyzetvektorú H ponton, ahol R illetve T a görbület, illetve a torzió reciproka. H v tr n P ω b t vtr v ω 2.12 ábra M 216 feladat: a kísér őtriéder csavarmozgása Megoldás. A kísérő triéder egységvektoraira vonatkozó dt n dn t b db n ds R ds R T ds T Frenet-féle összefüggések a ds v dt változócserével, valamint a dt dt ω t, K O R R E K T Ú R A dn dt ω n, db dt ω
b, 2006. március 2 2. Kinematika 51 Poisson-féle formulák segítségével a dt dt dn dt db dt v n ωb n ωn b R t b v ωb t R T vn T ωn t ωt b ωt n alakra hozhatók, ahonnan ωt azaz ω ωt t v , ωn t ωn n 0, ωb v R 1 t T ωb b v 1 b R A csavartengely menti transzlációs sebesség a v tülete az ω irányú forgástengelyre: vtr v ω ω vt 1 t T 1 b R RT R2 T2 vt sebességvektor ve- vR R2 T2 A csavartengely egy H pontjára PH 1 ω v ω2 v ω2 1 t T 1 b R vt v2 n ω2 R 1 nR R2 T 2 M 2.17 Egy falhoz támasztott l hosszúságú létra elcsúszik a padló és fal mentén a falra és padlóra merőleges síkban mozogva. Ha tudjuk, hogy valamely helyzetben a létra talppontjának sebessége v, határozzuk meg: (a) a pillanatnyi forgáscentrumot; (b) a mozgáshoz tartozó álló és mozgó pólusgörbéket! Megoldás. Vizsgáljuk a
létra mozgását a függ őleges falhoz és vízszintes padlóhoz kapcsolt Oxy koordináta-rendszerben (2.13 ábra) A testtel együtt mozgó rendszer kezdőpontja legyen A, Ax tengelye pedig erre mer őleges. Az Ax tengelynek az O1 x1 tengellyel bezárt szöge legyen ϕ. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 52 2. Kinematika y1 y I B vB x l ϕ A O1 vA x1 2.13 ábra M 217 feladat: síkmozgás (a) Mivel a létra végpontjai egyenes vonalú mozgást végeznek a padlón és a falon, így sebességvektoruk iránya is állandó és az I pólus az A és B végpontokban a tengelyekre emelt mer őlegesek végpontja lesz. (b) Az A pont koordinátái a rögzített rendszerben kifejezhet ők az x1A l sin ϕ, y1A 0 összefüggésekkel, ahonnan dx1A dϕ l cos ϕ, dy1A dϕ 0. Az álló pólusgörbe egyenletei: x1 y1 x1A y1A dy1A dϕ dx1A dϕ x1 l sin ϕ y1 l cos ϕ x21 x22
l2 vagyis az álló pólusgörbe az O középpontú, l sugarú kör. A mozgó pólusgörbe egyenletei: x y dx1A dϕ dx1A dϕ sin ϕ cos ϕ dy1A dϕ cos ϕ dy1A dϕ sin ϕ K O R R E K T Ú R A x y l 2ϕ 2 sin l 1 cos 2ϕ 2 2006. március 2 2. Kinematika ahonnan x2 2 l 2 y 2 l 2 53 ami azt mutatja, hogy a mozgó pólusgörbe a létrára mint átmér őre szerkeszthető kör. 2.3 Az összetett mozgás kinematikája Az anyagi pont mozgását az O1 x1 y1 z1 és Oxyz, egymáshoz viszonyítva ismert módon mozgó rendszerekben vizsgáljuk (2.14 ábra) Az egyik rendszerhez – legyen ez O1 x1 y1 z1 – viszonyított mozgást hagyományosan abszolút mozgásnak, míg az Oxyz-hez viszonyított mozgást relatív mozgásnak nevezzük. A megfelelő r1 , va , aa illetve r, vr ar mennyiségeket abszolút, illetve relatív helyzetvektornak, sebességnek és gyorsulásnak nevezzük. z z1 k1 i1 r 1 O1 j1
M r y k ro ω O j i x y1 x1 2.14 ábra Az összetett mozgás koordináta-rendszerei Az abszolút és relatív sebességek és gyorsulások kapcsolata a va K O R R E K T Ú R A vv vr , (2.13) 2006. március 2 54 2. Kinematika ahol vv v0 ω r – a vezetési sebesség; illetve aa ahol av ac ˙ r a0 ω 2ω v r ω av a ac r ω r (2.14) (2.15) – a vezetési gyorsulás; – a Coriolis gyorsulás. (2.16) A fenti összefüggésekben v0 , illetve a0 az O pont abszolút sebessége és gyorsulása, ω pedig az Oxyz rendszernek, mint merev tesnek az O 1 x1 y1 z1 hez viszonyított szögsebessége. Megoldott gyakorlatok és feladatok M 2.18 Az O1 x1 y1 z1 rendszerhez viszonyítva az Oxyz rendszer az ω̃ 2i j k szögsebességgel mozog. Számítsuk ki a mozgó rendszerben megadott r et i sint j lnt k vektor (a) idő szerinti deriváltját a mozgó és
rögzített rendszerekben; (b) idő szerinti másodrendű deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben. Megoldás. Az Oxyz rendszerből szemlélve az i j k egységvektorok iránya is állandó, így az r relatív deriváltja, azaz az Oxyz-ben számolt deriváltja: ∂r ∂t dr dt i j k állandó et i cost j 1 k t Az O1 x1 y1 z1 rendszerhez viszonyítva az i j k egységvektorok iránya válto zik. Ezek változását a Poisson-féle összefüggések írják le, amelyek alapján az O1 x1 y1 z1 -hez viszonyított abszolút derivált és az Oxyz-beli relatív derivált kapcsolata d r ∂r ω r dt ∂t K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 55 2. Kinematika A megadott konkrét esetben: et i et dr dt 1 k t cost j e lnt t sint i ∂r ∂t ω r i 2 et 2 lnt j 1 sint d2r d 2t i j k állandó et i d dt sint j et i d dt a mi esetünkben: d2r d
2t et et 1 t et ∂ ∂t et 2 t dr dt sint j 1 2 lnt cost et dr dt ω j 2 2 cost 2 sint 2 lnt i t 1 4 cost 5 lnt sint k t2 2 sint k 1 k t2 dr dt i 2 lnt sint et 4et cost i 1 k t cost j A másodrendű abszolút derivált: d2r d 2t 1 t et cost j A másodrendű relatív derivált: ∂2 r ∂2 t k 1 lnt 1 et 1 t 2 cost k t2 k 1 4 t 2 sint 6 sint lnt j M 2.19 Igazoljuk, hogy az Oz tengelye körül ω állandó szögsebességgel forgó rendszerben mozgó anyagi pont abszolút sebességére érvényes a következő összefüggés: v2a ẋ2 ẏ ż K O R R E K T Ú R A 2 2 y ω2 x2 2 2ω ẋy ẏx 2006. március 2 56 2. Kinematika ahol r x y z a forgó rendszerben felvett helyzetvektor. Megoldás. Az összetett mozgás esetén érvényes (2.13, 214) összefüggé seket használjuk az ω 0 0 ω szögsebességvektorral és az O pont
v o 0 sebességével. Ha a pont relatív helyzetvektora és sebessége r x y x , vr ẋ ẏ ż , akkor va vo Innen azonnali a v2a ẋ2 ω r ẏ ż 2 vr ωy ẏ ẋ y ω2 x2 2 ωx ż 2 2ω ẋy ẏx összefüggés. M 2.20 Az R sugarú korong állandó ω szögsebességgel forog az O középpontja körül Az M anyagi pont a korong egyik átmér ője mentén mo zog, az O középpontból kiindulva, az s R sin ωt törvény szerint, ahol s a kiindulási ponttól mért távolság. Határozzuk meg az M pont abszolút pályáját, sebességét és gyorsulását. Megoldás. A koronggal együtt forgó rendszer Ox tengelye essen egybe a z1 z 0 y ϕ M y1 x x1 2.15 ábra Az M 220 feladathoz mozgó M pont irányával, és ezen legyen x K O R R E K T Ú R A s. Az Oz tengely egybeesik a 2006. március 2 2. Kinematika 57 rögzített rendszer
Oz1 tengelyével és Oxyz jobbrendszer. Az Ox 1 y1 és Oxy koordináta síkok egybeesnek a korong síkjával (2.15 ábra) Legyen ϕ m Ox Ox1 a korong elfordulási szöge, ϕ ωt. Az x1 x cos ϕ s cos ϕ és y1 x sin ϕ s sin ϕ összefüggések alapján x1 y1 R sin ωt cos ωt R sin2 ωt ahonnan x21 2 R 2 y21 2 R 2 R 2 sin 2ϕ R 2 1 cos 2ϕ x1 y1 vagyis az abszolút pálya a C 0 R2 középpontú R2 sugarú kör az Ox1 y1 sík ban. Az abszolút sebesség a va vv vr vo ω r vr összefüggés szerint, a vo 0, r R sin ωt 0 0 , ω 0 0 ω és vr ẋi ωR cos ωt i alapján va ωR cos ωt i v a a va A Coriolis tétel szerint aa ahonnan av ar ac v a sin ωt j aa ac , ahol r 2ω2 R sin ωt i és aa K O R R E K T Ú R A a a ωR ˙ r ω ω r ao ω ω2 R sin ωt i
2ω vr 2ω2 R cos ωt j Így ω2 R sin ωt i cos ωt j 2ω2 R 2006. március 2 58 2. Kinematika 2.4 Kitűzött gyakorlatok és feladatok 2.41 Az anyagi pont kinematikája K 2.1 Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x 12 t 2 2t egyenlet írja le (x a megtett út hossza méterben, t pedig az indulástól eltelt idő másodpercben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni harmadik másodpercben. K 2.2 Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgást végez Tudva azt, hogy a gyorsulás arányos a sebességgel, határozzuk meg a pont sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t 0, x 0 0 és v0 0. K 2.3 Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgást végez Tudva azt, hogy a gyorsulás arányos a sebesség négyzetével, határozzuk meg a pont sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t 0, x 0 0 és v0 0. K 2.4 Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgást végez Tudva azt, hogy a
gyorsulás fordítottan arányos a sebességgel, határozzuk meg a pont sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t 0, x 0 0 és v0 0. K 2.5 Egy repülőgép gyorsulása 2 5 m/s2 Milyen hosszú kifutópálya szü kséges ahhoz, hogy egyenletesen felgyorsuljon a felszáláshoz szükséges 200 km/h sebességre? K 2.6 Egy ember az AB lejtőn C kocsit húz fel kötél segítségével A kötél át van vetve a lejtő tetejére felerősített kis B csigán, egyik vége a kocsihoz van erősítve, másik végét az ember fogja. Jelöljük az embernek a lejtő B alatti D talppontjától való távolságát x-szel, a BD szintkülönbséget pedig h-val Ha az ember a vízszintes síkban egyenletes u sebességgel halad, mekkora a kocsi v sebessége mint x függvénye? K 2.7 A körmozgást egyenesvonalú mozgássá alakító csuklós szerkezet a rögzített O körül forgó OA és a hozzá csatlakozó AB hajtókarokból áll. A második rúd B végpontja egy, az O-n áthaladó
egyenesen mozog. A két kar hossza: OA R l AB Határozzuk meg a B pont sebességét az ω szögsebességgel egyenletesen forgó OA rúd ϕ m AOB elfordulási szöge függvényeként! K 2.8 Egy anyagi pont az xOy síkban mozog, az 1 2 koordinátájú pontból indulva. Tudva azt, hogy a sebességvetor összetev ői vx 4t 3 4t és vy 4t, határozzuk meg a pálya Descartes-féle egyenletét. K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 59 K 2.9 Egy anyagi pont az Oxy koordináta-rendszer síkjában mozog az O kezdőpontból kiindulva. Tudva azt, hogy az Ox tengellyel θ λt összefüggés szerint változó szöget bezáró sebesség nagysága v állandó, határozzuk meg: (a) a pont mozgástörvényeit; (b) a pont pályáját; (c) azokat az időpillanatokat, amikor a pont áthalad az Oy tengelyen; (d) a pont gyorsulásának nagyságát! K 2.10 Mutassuk meg, hogy az r a cos ωt i a sin ωt j a ωállandó
helyzetvektorú anyagi pont pályája egy kör. Határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását és igazoljuk, hogy v a 0. K 2.11 Mozgó pont gyorsulásvektorának nagysága állandó, egyenl ő a-val és ez a gyorsulásvektor állandó ω szögsebességgel forog. Milyen görbe lesz a sebességhodográf és hogyan helyezkedik el a térben? K 2.12 Igazoljuk, hogy a repülőtér felett h magasságban, a sugarú körpályán, v állandó nagyságú sebességgel mozgó helikopter r helyzetvektora a t idő függvényében kifejezhető a következő formában: vt i a r a cos sin vt j a hk Határozzuk meg a helikopter sebességvektorát illetve gyorsulásvektorát. K 2.13 Egy anyagi pont helyzetvektora r a cos ωt i sin ωt j bt k ahol a, b és ω állandók. Rajzoljuk meg a pont pályáját és határozzuk meg a pont sebesség- és gyorsulásvektorát. K 2.14 Egy anyagi pont helyzetvektora r a cos ωt sin Ωt i
K O R R E K T Ú R A sin ωt sin Ωt j cos Ωt k 2006. március 2 60 2. Kinematika ahol a, ω, Ω valós állandók. Igazoljuk, hogy a pont egy a sugarú gömb felszínén mozog, és számítsuk ki sebességének nagyságát. Mutassuk meg, hogy a sebesség mértéke a legkisebb a gömb legalsó illetve legfelső pontjaiban (a pólusokban) és legnagyobb az egyenlít őn (a pólusokat összekötő tengelyre merőleges főkörön). K 2.15 Egy mozgó anyagi pont helyzetvektora r a cos ωt i b sin ωt j K 2.16 ahol a, b és ω valós állandók. Mutassuk meg, hogy: 2 2 (a) a pont pályájának egyenlete ax 2 by 2 1; (b) a gyorsulásvektor mindig az origó felé mutat; (c) tt τ r d r ωabτk. Mit jelent ez az egyenlőség kinematikai szempontból? Ismerve egy anyagi pont sebességét és gyorsulását, igazoljuk, hogy a 3 pálya görbületi sugara kiszámítható az R ṽv ã képlettel. Egy síkmozgást végző
pont sebességének Ox tengelyre es ő vetülete állandó vx c . Igazoljuk, hogy ebben az esetben a pont gyorsulásának v3 nagysága kifejezhető az a cR alakban, ahol v a sebesség hossza, R pedig a görbületi sugár! Az R sugarú körön mozgó pont kezdeti sebessége zérus, gyorsulásának érintő menti komponense at a állandó. Mennyi időnek kell eltelni a mozgás kezdetétől addig, amíg az érintő menti és normális gyorsulás komponensek nagysága egyenlő lesz? Határozzuk meg a sebesség- és gyorsulásvektorok vetületeit a következő görbevonalú koordináta-rendszerekben: (a) hengerkoordinátákban; (b) polárkoordinátákban. Egy részecske pályája egy archimedesi spirális. A részecske mozgását az r 10t, θ 2πt egyenletek értelmezik, ahol r milliméterben, t másodpercben és θ radiánban van kifejezve. Határozzuk meg a részecske sebességét és gyorsulását amikor (a) t 0 s, (b) t 0 3 s. Egy anyagi pont
polárkoordinátáit az id ő függvényében az r et és θ t összefüggések adják. Határozzuk meg a sebesség- és gyorsulásvektor radiális és tranzverzális komponenseit K 2.17 K 2.18 K 2.19 K 2.20 K 2.21 K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 61 K 2.22 Az M anyagi pont az x R θ sin θ y R 1 cos θ egyenletű cikloison mozog oly módon, hogy a gyorsulás normális komponensének végpontja mindvégig az Ox tengelyen van. A kezdeti id őpontban az M pont az origóban van. (a) Fejezzük ki θ-t az idő függvényében és szerkesszük meg geometriai úton az érintőleges és normális gyorsulásvektorokat! (b) Legyen Oz az Oxy síkra merőleges tengely. Az M ponton átmenő, Oz-vel párhuzamos egyenesen felvesszük a z pozitív szintű P pontot. Határozzuk meg z-t az idő függvényében oly módon, hogy a P pont 2 2R állandó sebességű egyenletes mozgást végezzen. A kezdeti időpontban a P pont az Oxy síkban
van A P pont gyorsulásvektora az Oxy síkot egy H pontban metszi Határozzuk meg a H pont mértani helyét! K 2.23 Egy M anyagi pont úgy mozog a síkban, hogy sebességének hossza a helyzetvektor hosszának n 1 -edik hatványával arányos, (az arányossági tényező k) és felületi sebessége állandó. Fejezzük ki a pont gyorsulásának nagyságát a helyzetvektor hosszának függvényében és határozzuk meg a pályáját! K 2.24 Az M anyagi pont egy olyan körkúpon mozog, amelynek tengelye az Oz egyenes, az origóban elhelyezked ő csúcsánál lévő szög mértéke 2α. Határozzuk meg a pont mozgásegyenleteit és a sebességhodográfot tudva azt, hogy a pont v sebessége valamint az Oxy síkra eső vetületének felületi sebessége C állandó! K 2.25 Az R sugarú körön mozgó pont gyorsulásának nagysága a állandó Határozzuk meg a sebesség-hodográfot és vizsgáljuk meg, hogy a pont bejárja-e az egész kört. K 2.26 Egy anyagi pont állandó v
sebességgel mozog az r a 1 cos θ v egyenletű kardioidon. Igazoljuk, hogy a pont szögsebessége 2a sec θ2 , és határozzuk meg a gyorsulásvektor radiális és normálisra vetületét. K 2.27 Egy hajó állandó 12 km/h sebességgel észak felé halad és pontosan 12:00 órakor halad el egy világítótorony mellett. Egy másik hajó állandó 16 km/h sebességgel kelet felé halad és pontosan 12:50-kor halad el ugyanazon világítótorony mellett. Melyik id őpontban a legkisebb a távolság a két hajó között? Határozzuk meg ennek a távolságnak a nagyságát K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 62 2. Kinematika K 2.28 Egy hajó az A kikötőből indul és állandó 32 km/h sebességgel nyugat felé halad Egy órára rá az A kiköt őtől 160 km távolságra, délre fekvő B repülőtérről egy repülő indul egyenes vonalú pélyán úgy, hogy utolérje a hajót. Tudva azt, hogy a repül ő sebessége 360 km/h, határozzuk meg a repülési
irányt és hajó helyzetét amikor repül ő beéri a hajót. K 2.29 Igazoljuk, hogy egy pont síkmozgásánál a pályasebesség kifejezhet ő a v R dψ dt alakban, ahol R a pálya görbületi sugara, ψ pedig az a szög, amelyet a sebességvektor egy olyan mozdulatlan egyenessel zár be, amely ugyanabban a síkban fekszik, amelyben a pont mozog! K 2.30 Egy anyagi pont az R sugarú körön mozog oly módon, hogy sebessége és gyorsulása állandó α szöget zár be. Határozzuk meg a sebesség nagyságát az idő függvényében, v t 0 v0 ! 2.42 A merev test kinematikája K 2.31 Igazoljuk, hogy egy merev test valamely egyenese mentén elhelyezkedő pontjai sebességének vetületei az illet ő egyenesre egyenlők K 2.32 A csavartengelytől R távolságra levő pont v nagyságú sebessége a tengellyel α szöget zár be Határozzuk meg a transzlációs sebesség és a szögsebesség nagyságát. K 2.33 Egy merev test M1 0 0 0 , M2 1 1 0 M3 1 1 1
pontjainak sebessége egy adott pillanatban v1 2 1 3 , v2 0 3 1 , v3 1 2 1 a komponensek a testhez kapcsolt Oxyz koordináta-rendszerben adottak. Írjuk fel a pillanatnyi csavartengely egyenletét, valamint határozzuk meg a transzlációs sebesség és szögsebesség nagyságát! K 2.34 Ismerve egy adott pillanatban egy merev test három pontjának sebességét, határozzuk meg a pillanatnyi forgástengely irányát és a forgástengely menti transzlációs sebességet K 2.35 Egy merev test az Oy és Oz tengelyek körüli ω 1 és ω2 szögsebességű forgó mozgást, valamint Oy menti v sebességű transzlációs mozgást végez. Határozzuk meg a pillanatnyi csavarmozgás tengelyét, a csavartengely menti transzlációs sebességet és a szögsebességét! K 2.36 Egy merev test másodpercenként 50 fordulatot tesz meg az x y z egyenletű egyenes körül. Határozzuk meg a test P 1 1 0 pontjának sebességét és gyorsulását! K
O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 63 K 2.37 Egy R sugarú vízszintes tengelyű kerékre csavart fonal szabad végén egy nehezék csüng. Egy adott pillanatban szabadon engedve a nehezék egyenletesen gyorsulva kezd ereszkedni, forgásba hozva a kereket Határozzuk meg a kerék kerületén lév ő valamely M pont gyorsulását a nehezék által t idő alatt megtett h szintkülönbség függvényében, ha a nehezék gyorsulása c 0 K 2.38 Az r sugarú vízszintes tengelyre csavart fonálon csüng ő nehezék kezdeti sebesség nélkül szabadon engedve állandó gyorsulással mozog lefelé a függőleges mentén. Határozzuk meg a tengely szöggyorsulását, ha a nehezék az indulástól mért t id ő alatt h szintkülönbséget tesz meg. K 2.39 Határozzuk meg a rögzített O pont körül mozgó merev test pillanatnyi forgástengelyét és szögsebességének nagyságát egy t id őpontban, ha 0 0 2 tudjuk, hogy a testtel mozgó Oxyz rendszerben
megadott M 1 pont sebessége v1 1 2 0 , és az M2 0 1 2 pont sebességének irány 2 2 1 koszinuszai ugyanabban a koordináta-rendszerben 3 3 3 . K 2.40 Egy egyenes mentén csúszás nélkül guruló, R sugarú korong középpontjának sebessége u Határozzuk meg: a korong pillanatnyi forgáscentrumát, az álló és mozgó pólusgörbéket; valamint a szögsebességet és a szöggyorsulást. K 2.41 Egy rúd az Ox1 y1 síkban mozog oly módon, hogy érinti az O középpontú r sugarú kört és A végpontja az Ox 1 tengelyen csúszik Ha tudjuk, hogy az A pont sebessége v, határozzuk meg a rúd pillanatnyi szögsebességét, valamint a mozgáshoz tartozó álló és mozgó pólusgörbéket! K 2.42 Az Oxy koordináta-renszerhez viszonyított mozgó Q sík és az O 1 x1 y1 rendszerhez viszonyított rögzített P sík Ox illetve O 1 x1 tengelyeinek hajlásszöge ϕ. Legyen A a 0 és B a 0 a mozgó sík két pontja, a 0. Q -nak P -hez
viszonyított mozgását a következ ő feltételek határozzák meg: a) az A pont a nagyságú állandó sebességgel egyenletesen mozog az O1 y1 tengelyen; b) az A és B pontok sebességének hossza egyenlő; c) a t 0 kezdeti időpontban ϕ 0. Határozzuk meg a mozgáshoz tartozó álló és mozgó pólusgörbéket! K 2.43 A 2R hosszúságú AB rúd A végpontja a C középpontú, R sugarú körön egyenletesen mozog ω szögsebességgel. A rúd mozgása során mind- K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 64 2. Kinematika végig áthalad a kör rögzített O pontján. Határozzuk meg a rúd B végpontjának sebességét, a rúdnak a kör O pontjához tartozó átmér őjével bezárt ϕ szögének függvényében, majd határozzuk meg az álló és mozgó pólusgörbéket. K 2.44 Adottak a C1 és C2 középpontú, azonos a sugarú metsző körök A C1C2 hosszúságú AB rúd végpontjaival a körökre támaszkodva mozog oly módon, hogy mozgása nem
egyszerű transzláció. Határozzuk meg az álló és mozgó pólusgörbéket. K 2.45 A 2α nyílásszögű, h magasságú egyenes körkúp csúszás nélkül gurul egy vízszintes síkon, rögzített csúcsa körül Ω szögsebességgel járva be a síkot. Határozzuk meg a kúp tengelye körüli forgásának ω 0 szögsebességét és ω abszolút szögsebességét K 2.46 Egy h magasságú, 2α nyílásszög, O csúcsú egyenes körkúp csúszás nélkül gurul egy olyan síkon, amely a rá mer őleges Oz1 tengely körül ω1 állandó szögsebességgel forog. Határozzuk meg a kúp alapkörének a síkkal való érintkezési pontjával átmér ősen ellentett pontjának centripetális és érintőleges gyorsulását! 2.43 Az összetett mozgás kinematikája K 2.47 Az O1 x1 y1 z1 inerciarendszerhez viszonyítva az Oxyz rendszer az ω i j 2k szögsebességgel mozog. Számítsuk ki a mozgó rendszerben megadott r sint i cost j e t k vektor (a) idő szerinti
deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben; (b) idő szerinti másodrendű deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben. K 2.48 Egy Oz cső O pontja körül állandó ω szögsebességgel forog vízszintes síkban A csőben az A golyó gurul állandó v0 sebsséggel Milyen pályát ír le a golyó a csövön kívül álló megfigyel őhöz képest, és mekkora a golyó sebessége mint az idő függvénye? K 2.49 Az OA félegyenes egy vízszíntes síkban állandó ω szögsebességgel forog O kezdőpontja körül. Egy adott kezdeti id őpntban egy M pont elindul az O pontból a félegyenes mentén. Határozzuk meg az M pont abszolút pályáját és gyorsulását oly módon, hogy abszolút sebességének hossza v-vel egyenlő álladó legyen! K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 65 K 2.50 Egy egyenes cső a vízszintes síkban állandó ω szögsebességgel forog egy függőleges tengely körül. A cső belsejében egy golyó az
x t a eωt e ωt törvény szerint mozog, ahol x a golyó forgástengelytől mért távolsága. Határozzuk meg a golyó abszolút sebességét és gyorsulását x függvényében! K 2.51 Az O-ban derékszögű OAB egyenl ő szárú háromszög állandó ω szögsebességgel forog saját síkjában O csúcsa körül Egy M pont egyenletesen mozog a c hosszúságú AB oldal mentén a B pontból indulva, ezt a távot pontosan egy fordulat alatt téve meg. Határozzuk meg az M pont abszolút sebességét és gyorsulását abban a pillanatban, amikor az az A ponttal esik egybe! K 2.52 Egy M anyagi pont v állandó nagyságú sebességgel mozog egy kúp alkotóján, az O csúcspontból kiindulva A kúp ω állandó szögsebességgel egyenletesen forog tengelye körül Határozzuk meg az M pont abszolút gyorsulását! K 2.53 Egy parabola, síkjára az F fókuszban mer őlegesen emelt tengely körül forog. Határozzuk meg egy M pont relatív mozgását a parabolán úgy, hogy
abszolút sebessége a mozgás ideje alatt végig párhuzamos legyen a parabola szimmetriatengelyével! K 2.54 Az R sugarú gömb O középpontja egybeesik az Oxyz abszolút vonatkoztatási rendszer origójával Legyenek E, M 0 , N a gömb metszéspontjai az Ox, Oy és Oz tengelyekkel A kezdetben M 0 -ban tartózkodó M pont egyenletesen mozog az M0 N főkörön az N pont felé, ω állandó szögsebességgel. Ugyanazon időben a kezdetben OM0 N helyzetű sík is elfordul ON körül, szintén ω szögsebességgel az OEN sík irányába. (a) Határozzuk meg az M pont abszolút mozgásegyenleteit, abszolút sebességét és gyorsulását, valamint a tangenciális és normális sebességeket. (b) Határozzuk meg az M pont pályájának vetületét a három koordinátasíkra. (c ) Ha az abszolút gyorsulásvektor tartóegyenese az Oxy síkot a P pontban metszi, határozzuk meg a P pont mozgását. (d) Igazoljuk, hogy találkozik egy rögzített egyenessel. K 2.55 Az M pont egyenletesen
mozog v sebességgel egy R sugarú gömb meridiánja mentén, míg a gömb függőleges átmérője körül állandó ω K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 66 2. Kinematika szögsebességgel forog. Határozzuk meg a pont abszolút gyorsulásának nagyságát az egyenlítőtől mért ϕ szögtávolságának függvényében. K 2.56 Egy folyóban, amely vizének sebessége v 2 állandó nagyságú a folyó teljes d szélességében, egy csónak halad v 1 állandó nagyságú sebességgel Számítsuk ki: (a) a csónak abszolút sebességét, ha relatív sebessége a folyó sebességével α szöget zár be; (b) milyen irányban kell haladjon a csónak ahhoz, hogy az indulási pontban a partra emelt merőleges mentén érjen a túlsó partra? (c) milyen irányban kell haladjon a csónak ahhoz, hogy az átkelési idő a lehető legrövidebb legyen? K 2.57 Egy csónak 2l szélességű folyót keresztez A csónak sebessége az áramló vízhez képest állandó,
nagysága u és iránya mer őleges a víz áramlásának irányára. A víz sebessége változó Iránya ugyan mindenhol ugyanaz, de nagysága a középt ől számított y távolságban v v0 1 y2 l2 (a) Határozzuk meg a csónak pályáját olyan koordináta-rendszerre vonatkozólag, amelynek kezdőpontja a csónak kiinduláspontjával egymagasságban felkvő pont a folyó közepén, x tengelye párhuzamos a folyó partjával, y tengelye pedig rá mer őleges! (b) Mennyivel viszi le a víz a csónakot, míg az egyik partról a túlsó partra ér? K 2.58 Egy anyagi pont egy földi meridián mentén délr ől észak felé mozog 10 m/s sebességgel a 60 -os északi szélességen. Határozzuk meg a pont abszolút sebességét és gyorsulását, ha tudjuk, hogy a Föld forog. Oldjuk meg a feladatot amikor a pont a 60-os szélességen nyugatkelet irányban mozog. A Föld sugarát állandónak tekintjük (R 6375 km). K 2.59 Egy A anyagi pont állandó v sebességgel mozog
egyenesvonalú pályán olyan S síkban, amely az O ponton átmen ő, S-re merőleges tengely körül állandó ω szögsebességgel forog Mi lesz a pont pályájának egyenlete olyan r θ polár-koordinátarendszerre vonatkozólag, amely K O R R E K T Ú R A 2006. március 2 2. Kinematika 67 a térben rögzített, pólusa O, polárisa pedig a térben úgy van irányítva, hogy abban a pillanatban, amikor a mozgó pont O-hoz legközelebb van, θ 0? K O R R E K T Ú R A 2006. március 2
Megmutatjuk, hogyan lehet hatékonyan tanulni az iskolában, illetve otthon. Áttekintjük, hogy milyen a jó jegyzet tartalmi, terjedelmi és formai szempontok szerint egyaránt. Végül pedig tippeket adunk a vizsga előtti tanulással kapcsolatban, hogy ne feltétlenül kelljen beleőszülni a felkészülésbe.
