Fizika | Hőtan » Dr. Ortutay Miklós - Hasonlósági kritériumok hőátviteli feladatoknál

Hasonlósági kritériumok h átviteli feladatoknál (írta: Dr. Ortutay Miklós) A Fourier-Kirchhoff egyenletet általában nem lehet integrálni, a megoldáshoz szükséges feltételek megfogalmazási nehézségei miatt. A m szaki gyakorlatban h átviteli berendezések esetén méretezésnél, ellen rzésnél hasonlósági kritériumokkal dolgoznak. A hasonlóság elmélet (módszer) lehet vé teszi, hogy kísérleti jelenségek általánosítása révén, a vizsgált határok között, hasonló jelenségekre integrális megoldást nyerjünk integrálás nélkül. (Ha a kiindulás pontatlan a végeredmény is!) A hasonlóság elmélet II. tétele (Federman-Buckingham) szerint: Valamely jelenséget leíró differenciálegyenlet integrálja hasonlósági kritériumok függvényeként el állítható. Ezt a függvényt kritériális egyenletnek nevezik A kritériális egyenlet állandóit kísérleti úton kell meghatározni. Két jelenség hasonló, ha a jelenséget egyértelm en

meghatározó differenciálegyenletek azonosak és amelyek esetében az egyértelm ségi feltételek (matematikailag a differenciálegyenletek megoldásához szükséges feltételek: értelmezési tartomány, peremfeltétel, kezdeti feltétel, állapotegyenlet) hasonlósága teljesül. Az egyértelm ségi feltételek hasonlóságának a hasonlóságot meghatározó kritériumok egyenl sége felel meg. Tömören: Azonos differenciálegyenletek, azonos hasonlósági kritériumok. Konvektiv h átadásnál a h áram: q = α ∆t Nyilvánvaló, hogy ez a h áram halad a lamináris határrétegen keresztül és így felírható a Fourier féle összefüggés: dt q = −λ dl A vizsgált jelenségre így felírható: dt α ∆t = −λ dl A modellre azonos egyenlet vonatkozik, jelölésben m modellre utal. dt α m ∆t m = −λ m m dl m A vizsgált jelenség és modell különböz , de egynem mennyiségei között a hasonlósági léptékek, hasonlósági állandók teremtenek kapcsolatot. A

hasonlósági lépték fontos tulajdonsága, hogy az egynem mennyiségek aránya helyettesíthet a növekmények arányával. w w − w2 dw c w = * = 1 = * w w1 − w 2 dw * Hasonlósági állandók a jelenség és modell között: t α λ cα = , ct = , cλ = , αm tm λm A hasonlósági állandókat behelyettesítve az eredeti egyenletbe: cc dt c α c t α m ∆t m = - λ t λ m m , cl dl m a modellre vonatkozó egyenlettel azonos egyenletet kapunk cαcl dt α m ∆t m = −λ m m cλ dl m cl = l lm ha a hasonlósági állandókból képzett kifejezés, a hasonlósági indikátor hasonlósági invariáns, értéke 1. cαcl =1 cλ A hasonlósági invariánsból meghatározható hasonlósági kritérium a Nusselt szám: αl α m l m Nu = = λ λm A Fourier- Kirchhoff összefüggéssel ∂t + w∇t ∂τ azonos egyenlet állítható el a hasonlósági léptékekkel c ∂t ca c t c c a ∇2 t = t + w t w∇t 2 cl c τ ∂τ cl ha az együtthatók megegyeznek, azaz ha ca c t ct c w

ct = = c 2l cτ cl A három kifejezésb l (két egyenlet) két független hasonlósági kritérium állítható el : τa Fourirer szám: Fo = 2 l wl Peclet szám: Pe = a H átadásnál a fluidum részecskéi mozognak, konvekció van. A fluidumot összenyomhatatlannak tekintve felírható Navier-Stokes egyenlet: ∂w ρg − gradp + η∆w = ρ + ρw gradw ∂t ρg ∆p/l ηw/l2 ρw/τ ρw2/l a ∇2t = A differencálegyenletek azonosságára vonatkozó el írás miatt négy hasonlósági kritérium állítható el a küls er térre, a nyomó, a súrlódási, a tehetetlenségi er re és az instacioneritásra vonatkozó kifejezések figyelembevételével: w ρw 2 w 2 Froude szám Fr = vagy Fr = = lρg lg lg ∆p l ∆p = 2 lρw ρw 2 ρw 2 l 2 ρwl wl Reynolds szám Re = = = lηw η ν 2 ρw w τw Homokronitás Ho= /ρ = τ l l Ha a Navie-Stokes egyenletben a küls er tér helyett a fajlagos tömeger t (ρgβ∆t) vesszük figyelembe el állítható a Grashof szám: Képezzük a fajlagos

tömeger re és a súrlódási er re jellemz kifejezések hányadosát: gl 2ρ ρgβ∆t = β∆t ηw / l 2 ηw Euler szám Eu = A kapott kifejezést szorozva Reynolds számmal nyerjük a Grashof számot: gl3ρ2 Gr = β ∆t η2 A hasonlósági kritériumok számát mint látható az egyenletek határozták meg. Azt, hogy az egyenletekb l hogyan képzünk invariánst tulajdonképpen önkényes. Nyilvánvaló, hogy az általánosan alkalmazott hasonlósági kritériumokkal célszer dolgozni. A levezetett (?) hasonlósági kritériumokból újabb hasonlósági kritériumok állíthatók el . A β köbös h tágulási együttható segítségével felírható a ∆t h mérsékletkülönbség hatására létrejöv s r ségváltozás: ρ ρ0 − ρ ρ = ρ0 (1 − β∆t ) ahonnan: 1− = = β∆t ρ0 ρ0 Ezt figyelembe véve a Grashof számból el állítható az Archimédeszi szám: gl 3ρ 2 ρ0 − ρ gl 3 ρ0 − ρ Ar = = η2 ρ0 υ2 ρ l Sr = A Ho reciprokát Strouhal számnak

nevezik: τw Pr = A Peclet számból a Re szám figyelembevételével el állítható a Prandtl szám: wl Pe ν = a = Re wl a ν A Nusselt, Prandtl és Reynolds számokból a Stanton szám állítható el : Nu St = Pr Re A hasonlósági kritériumok lehet vé teszik, hogy kísérleti mérési sorozatokból meghatározott kritériális egyenletek segítségével meghatározzuk az α h átadási tényez t, hiszen létezik (ha nincs elvileg el állítható) az általános megoldás: f ( Fo, Nu, Pe, Ho, Re, Fr, L1/L2,.) = 0 ahol az L1/L2 törtek a geometriai hasonlóságra vonatkozó szimplexek. Mivel az α h átadási tényez meghatározása a cél a kifejezés szokásos általános alakja: Nu = f( Fo, Pe, Ho, Re, Fr, L1/L2.) ill Nu = f( Fo, Pr, Ho, Re, Fr, L1/L2.) Stacioner esetben Fo és Ho nem szerepel és ha a gravitációs er hatása a h hordozó közeg áramlására kicsi a Fr szám is figyelmen kiül hagyható: Nu = f( Re, Pr, L1/L2.) Abban az esetben, ha a h átadásnál

kialakuló áramlást a közeg s r ségkülönbsége hozza létre az általános kritériális egyenlet: Nu = f(Pr, Gr, .)