Fizika | Mechanika, Kvantummechanika » Mechanika

2. MECHANIKA A mechanika az anyagi testek nyugalmának és mozgásának törvényeivel foglalkozik. Fő feladata, hogy egyértelmű választ adjon arra a kérdésre, hogyan mozog egy test, ha magára hagyjuk, vagy ismert külső hatás éri. Ezen belül a klasszikus mechanika a nem túl kicsiny anyagi testeknek a fénysebességnél sokkal kisebb sebességgel történő mozgásának törvényeit kutatja. Mivel az anyagi testek rendkívül sok atomból álló, bonyolult szerkezetű fizikai rendszerek a mozgástörvények felírásához a vizsgált mozgás jellegének megfelelő modellek bevezetésére van szükség. A legegyszerűbb modellben a testet anyagi pontnak vagy tömegpontnak tekintjük. Az anyagi pont vagy tömegpont kiterjedés nélküli, tömeggel rendelkező test. Ez a modell általában jó közelítés a testek haladó mozgásának tárgyalásakor és egyszerűségénél fogva alkalmas a mechanikában használt alapfogalmak bevezetésére. Nem önmagában a test mérete a

fontos, a Föld például rendkívül nagy, kiterjedt test, mégis anyagi pontnak tekinthetjük a Nap körüli haladó mozgásának tárgyalása során. Másrészről ugyan az elektron pontszerű részecske, atomon belüli mozgásának tárgyalása során az anyagi pont modell használhatatlannak bizonyult. Az elektron atomon belüli mozgásának leírására a klasszikus mechanika törvényei nem alkalmazhatók, azt a kvantummechanika segítségével tudjuk megtenni. További ismeretekhez és fizikai fogalmakhoz jutunk, ha az anyagi testet, vagy azok rendszerét tömegpontok rendszerének tekintjük. Az anyagi testek megfelelően nagy külső erő hatására mindig deformálhatók. Bizonyos körülmények fennállása esetén azonban az úgynevezett szilárd testekre jól használható a merev test közelítés. Ebben a modellben a testet olyan tömegpontok rendszerének tekintjük, melyekben a tömegpontok egymáshoz viszonyított távolsága állandó. Ha az anyagi test részeinek

belső mozgását is figyelembe akarjuk venni, akkor a deformálható testek modelljét használjuk. Ebben a közelítésben a test anyageloszlását folytonosnak tekintjük és a jellemző fizikai mennyiségeket a helytől függő folytonos függvényekkel adjuk meg. 2.1 Az anyagi pont kinematikája Ebben a fejezetben olyan testek mozgását tanulmányozzuk, melyek egyetlen anyagi ponttal modellezhetők. Az anyagi pont vagy tömegpont absztrakció, tömeggel rendelkező kiterjedés nélküli idealizált testet értünk alatta. Az anyagi pont modell alkalmazhatóságának nem szükségszerű feltétele, hogy a test önmagában kicsi legyen. Ha a test méretei elhanyagolhatóan kicsinyek a mozgás fellépő távolságokhoz képest és a test saját tengely körüli forgása elhanyagolható, akkor a testet anyagi ponttal modellezhetjük. A kinematika a testek mozgásának leírásával foglalkozik. Nem vizsgálja azt a kérdést, mi hozta létre az adott mozgást. A más testekkel való

kölcsönhatással és ezeknek a mozgást befolyásoló hatásával a dinamika foglalkozik. A mozgás kinematikai leírása céljából bevezetjük az anyagi pont helyének, sebességének és gyorsulásának fogalmát. Az anyagi pont mozgásának kinematikai leírása azt jelenti, hogy megadjuk az anyagi pontnak egy másik testhez viszonyított helyét, sebességét és gyorsulását az idő függvényében. 2.11 Vonatkoztatási rendszer A mozgás és nyugalom relatív fogalom, meg kell mondani, mihez képest vizsgáljuk az adott mozgást. A mozgást a tér és idő fogalmak segítségével tudjuk leírni A mozgás során az anyagi pont térbeli helyzete folyamatosan változik. Egy anyagi test térbeli helyzetét másik anyagi test vagy testek térbeli helyzetéhez viszonyítva írjuk le. Egy pont térbeli helyzetének megadásához három független adat szükséges. Az anyagi pont helyzetének megadására különféle koordinátarendszereket használhatunk, ezek közül az

egyik leggyakrabban használt a Descartes-féle jobbsodrású derékszögű koordinátarendszer. A koordinátarendszer alkalmas megválasztásával a mozgás matematikai leírása és így a mozgásegyenletek megoldása is jelentősen egyszerűsödik. 2.1 ábra Az anyagi pont helyzetét a koordinátarendszer O kezdőpontjából (origó) az anyagi ponthoz mutató helyzetvektorral vagy helyvektorral adjuk meg, mely a O kezdőponttól az anyagi pontig húzott irányított szakasz. A tér bármely pontjának helyzete megadható valamilyen koordinátarendszer segítségével. A leggyakrabban használatos koordinátarendszerek a Descartes-féle derékszögű, a henger- és a gömbi (polár) koordinátarendszer. A koordinátarendszereket jellemezhetjük a koordinátafelületekkel és koordinátavonalakkal. Koordinátafelületeknek azokat a felületeket nevezzük, melyeken az egyik koordináta értéke állandó. Két koordinátafelület egy koordinátavonalban metszi egymást. A

koordinátavonalaknak mentén csak az egyik koordináta változik Egy pont helyzetét a rajta átmenő három koordinátafelülethez tartozó paraméterérték adja meg. A Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben a koordinátafelületek azok a síkok, melyek párhuzamosak valamelyik koordinátasíkkal, a koordinátavonalak pedig a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek. A henger- és a gömbi koordinátarendszer a leggyakrabban használatos görbe vonalú, ortogonális koordinátarendszerek. Az ortogonális koordinátarendszerekben az egységvektorok kölcsönösen merőlegesek egymásra. A 21 ábrán a derékszögű, a henger- és a gömbi koordinátarendszer látható. Az (a) ábrán egy tetszőleges P pont helyzetének megadása a koordinátákkal, a (b) ábrán a koordinátafelületek és a P pontban berajzolt egységvektorok, a (c) ábrán egy tetszőleges vektor merőleges komponensekre való felbontásai láthatók. A koordinátarendszerben a távolságok

mérésére hosszúságetalonnal hitelesített, a koordinátarendszerhez képest nyugvó mérőeszközöket, "méterrudakat" használunk. Hamarosan látni fogjuk, hogy a különféle vonatkozási rendszerek közül rendkívül fontosak az un. inerciarendszerek Ezekben lehet az idő mérését "egyszerűen" definiálni A vákuumbeli c fénysebesség kísérletek által igazolt állandóságából kiindulva a vonatkoztatási rendszer koordinátahálóját fényjelek és tükrök segítségével is meghatározhatjuk a következő módon. A tér valamelyik pontjából (a vonatkoztatási rendszer origójából) fényjeleket bocsátunk ki. A tér különböző pontjaiba tükröket helyezünk úgy, hogy a tükrök az origóból érkező fényjeleket az origóba verjék vissza. A vonatkoztatási rendszer origójába a fényfelvillanásokat keltő berendezés mellé egy fénydetektort helyezünk, amelyik regisztrálja a tükörről visszaverődött fény origóba történő

beérkezésének időpontját. Az origóból egy adott pont felé kibocsátott fényjel indulása és visszaérkezése közötti időtartamnak c/2-vel való szorzatát tekintjük a kérdéses pont origótól mért távolságának. Ily módon a térbeli pontokhoz koordinátákat rendelhetünk. Az időt az esemény helyén elhelyezett, nyugvó órával mérjük. A szóban forgó vonatkoztatási rendszer különböző térbeli pontjaiban elhelyezett azonos óráknak ugyanazt az időt kell mutatniuk, ehhez az órákat szinkronizálni kell. Az órák szinkronizálása úgy történhet, hogy a vonatkoztatási rendszer origójából fényjelet bocsátunk ki az időmérés kezdő pillanatában és minden órát a felvillanás észlelésének időpontjában arra az időre állítunk be, mely ahhoz szükséges, hogy a fény a fényforrástól a tér adott helyén lévő órához eljusson. Ha az óra és fényforrás távolsága r, akkor az órát t = r/c-re kell beállítani. Az ily módon

szinkronizált órák a rendszeridőt mutatják. A vonatkoztatási rendszer a koordináta- és időhálót, a "méterrudak" és órák sokaságát jelenti. Bármely test mozgását tetszőleges vonatkoztatási rendszerből leírhatjuk. Egy adott test mozgása különböző vonatkoztatási rendszerekből nagyon különbözőnek tűnhet. Például a Föld tömegközéppontjához rögzített, (nem forgó) vonatkoztatási rendszerben egy mesterséges hold pályája olyan ellipszis, melynek egyik fókuszpontja a Föld. A forgó Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszerből ugyanez a pálya bonyolultabb. Összetettebb mozgást kapunk, ha a mozgást a Naphoz rögzített vonatkoztatási rendszerből szemléljük: onnan nézve a Föld körül keringő mesterséges hold pályája a Nap körüli ellipszis pályára szuperponálódó, közeledéseket és távolodásokat mutató görbe. Még bonyolultabb pályát kapnánk, ha egy másik bolygóhoz rögzített vonatkozási

rendszerből írnánk le ugyanezt a mozgást. Ez a példa is jól illusztrálja, milyen hasznos a megfelelő vonatkoztatási rendszer kiválasztása. A következőkben két különleges vonatkoztatási rendszert is ismertetünk, egyik a Földön, másik az égbolton való tájékozódásunkat segíti. A hely meghatározására a Földön a földrajzi koordinátarendszer szolgál. Mivel a Föld sugara ismert, állandó érték, a Föld egy felszíni pontjának helyzetét két szögkoordináta segítségével adjuk meg. A Föld közelítőleg a forgássíkjára merőlegesen kissé belapult, gömbszerű test. A Föld valóságos alakját legjobban megközelítő matematikai felület a forgási ellipszoid. Ezt gyakran egy 6371 km sugarú gömbbel közelítjük. A Föld forgástengelye a felszínt két pontban, az északi és déli pólusban metszi. A forgástengelyre merőleges és a Föld középpontján átmenő síknak a felszínnel alkotott metszésvonala a földi egyenlítő

(equator). Az egyenlítő a Földet északi és déli féltekére osztja. 2.2 ábra Az egyenlítővel párhuzamos körök a szélességi körök (párhuzamos körök, ill. parallelek). Az egyenlítő síkjára merőleges síkban fekvő és a pólusokon átmenő körök a hosszúsági körök (délkörök ill. meridiánok) Egy adott földrajzi hely délkörén a délkörnek csak azt a felét értjük, amelyiken a pont fekszik. A délkör másik felének elnevezése az ellendélkör. A meridiánok közül a Greenwich-i csillagvizsgáló kupoláján áthaladót kezdőmeridiánnak nevezzük. A földrajzi koordináta-rendszer alapkörei az egyenlítő és a kezdőmeridián. Az egyenlítő és a meridiánok a legnagyobb gömbi körök, az ún. főkörök A földrajzi koordináták a következők: földrajzi szélesség (jele ϕ vagy L) (latitude) és földrajzi hosszúság (jele λ vagy G) (longitude). A földrajzi szélességet az egyenlítőtől északra és délre 0°-tól 90°-ig

mérjük. Az északi szélesség: + vagy N; a déli szélesség: - vagy S; pl ϕ = 34° 20 N vagy ϕ = +34° 20 A földrajzi koordináták kifejezhetők hosszmértékben is, ha meghatározzuk az adott középponti szöghöz tartozó felszíni távolságot. Egy percnyi (ívközépponti szögnek megfelelő) hosszúságkülönbséget hosszúságpercnek, az ugyanekkora szélességkülönbséget szélességpercnek vagy meridiánpercnek nevezzük. A tengeri távolságmérés alapegysége a közepes meridiánperc ívhossza: a tengeri mérföld, jele n.mile (nautical mile) 1 n.mile = egyenlítő hossza / (360x60) = 40 x 106 m / (21600) = 1852 m Hasonlóan, két alkalmasan választott szögkoordináta segítségével adhatjuk meg egy bolygó, egy csillag vagy egy galaxis helyét az éggömbön. Az éggömb egy olyan tetszőleges (legtöbbször egység) sugarú gömb, amelynek középpontja a koordináta-rendszer kezdőpontja. A kérdéses pontot (csillagot, galaxist) a centrummal

összekötve, ahol ez az egyenes döfi az éggömböt, ott van az illető pont szférikus helye. Az éggömb középpontja - amely egyúttal koordináta-rendszerünk centruma - a célnak megfelelően választható. Lehet a megfigyelő helyén, a Föld középpontjában, a Nap, a Naprendszer vagy a Tejútrendszer középpontjában. A 2.3 ábra az egyik leggyakrabban használtat, a második egyenlítői koordinátarendszert mutatja. Itt az éggömb középpontja a földi megfigyelő helyén van, az OPP’ egyenes a Föld forgástengelyével párhuzamos, erre az egyenesre az O pontban állított merőleges sík az éggömböt az égi egyenlítőben metszi. 2.3 ábra Ugyancsak az O ponton keresztül a Föld Nap körüli keringésének síkjával párhuzamos síkot rajzolva az ekliptika síkját kapjuk, amely az éggömböt az ekliptikában metszi. Az ekliptika a Nap évi járásának nyomvonala az éggömbön. Az ekliptika az égi egyenlítőt a γ tavaszpontban és az Ω őszpontban

metszi. Az éggömbön egy tetszőleges C pont helyzetét a PCP’ órakör és az egyenlítő metszéspontjaként kapott Te egyenlítői talppont segítségével megadható szögekkel - a COTe = δ deklinációval és a γ OTe = α rektaszcenzióval lehet h h megadni. A rektaszcenzió értéke a tavaszpontban 0 , az őszpontban 12 A csillagkatalógusokban általában a δ, α koordinátákkal találkozunk, mert ezek függetlenek a Föld tengely körüli forgásától (az ekliptika és az egyenlítő síkjának lassú változásával persze számolni kell). 2.12 Az anyagi pont mozgásának kinematikai jellemzői Pálya, elmozdulásvektor, út r Az anyagi pont helyét az r helyzetvektorral jellemezzük, A Descartes-féle jobbsodrású derékszögű koordinátarendszerben az anyagi pont helyét az x, y és z r számhármassal, a koordinátákkal adjuk meg. Az r helyzetvektor a koordinátatengelyek r r r irányába mutató e x , e y és e z egységvektorok segítségével r r r r r =

xe x + ye y + ze z alakban írható. Az koordinátatengelyekkel r r helyzetvektor egyértelműen r r párhuzamos x ex , y ey felbontható a megfelelő r és z e z derékszögű komponensvektorokra. Az x, y és z skaláris mennyiségeket a helyzetvektor derékszögű komponenseinek nevezzük. r Ezek az r helyzetvektornak az egységvektorokra (koordinátatengelyekre) való vetületei és a koordinátasíkoktól mért előjeles távolságokkal egyenlőek. A helyzetvektor kezdő és végpontja adott, ezért a helyzetvektor kötött vektor. 2.4 ábra r Az anyagi pont mozgása során folytonosan változtatja a helyét, az r helyzetvektor tehát folytonos függvénye az időnek. Az időben folytonosan változó: r r r = r (t ) helyzetvektor a térben egy folytonos görbét, az anyagi pont pályáját írja le. A pálya az anyagi pont nyomvonala. Derékszögű koordináta-rendszerben a pályát az x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) egyenletrendszer írja le. A pálya nemcsak analitikus

alakban, a pálya egyenletével adható meg, hanem numerikusan az összetartozó koordináták táblázatával, vagy akár grafikusan. Két tetszőleges, t1 < t2 időpont között eltelt időtartam alatt az anyagi pont által befutott pálya hosszát nevezzük úthossznak, az úthossz jele: s. r r Az r (t1 ) és r (t 2 ) helyzetvektorok különbségéből képzett r r r ∆r = r (t 2 ) - r (t1 ) különbségvektor az anyagi pont elmozdulásvektora. Az elmozdulásvektor független az anyagi pontnak a kezdő és végpont közötti pályájától, kizárólag a helyzetvektornak a két pontban felvett értékétől függ. Egymáshoz képest nyugalomban lévő vonatkoztatási rendszerekben az elmozdulásvektor értéke ugyanaz. Az úthossz csak kivételes esetben egyezik meg az elmozdulásvektor hosszával, általában különbözik attól. A sebesség Az anyagi pont mozgásának egyik lényeges jellemzője az, hogy az időben milyen gyorsan változtatja helyzetét. Ennek megadására

szolgál a sebesség A t időpontban az r r r (t ) helyen lévő anyagi pont ∆t idő múlva a mozgás következtében az r (t + ∆t ) helyen lesz. 2.5 ábra Az anyagi pont t és t + ∆t időpontok közötti átlagsebességén az elmozdulásvektor és a ∆t intervallum hányadosát értjük: r r r r ∆r r (t + ∆t ) − r (t ) v= = ∆t ∆t Az átlagsebesség vektor iránya megegyezik az elmozdulásvektor irányával. Az átlagsebesség független az anyagi pontnak a kezdő és végpont közötti pályájától, kizárólag a helyzetvektornak a két pontban felvett értékétől (azok különbségétől) és az időintervallum hosszától függ. Az anyagi pont pillanatnyi sebességét (sebességét) a t időpontban úgy kapjuk meg, ha vesszük az átlagsebesség határértékét, midőn a ∆t intervallum tart zérushoz. A sebesség definíciója tehát: r r r r r (t + ∆t ) − r (t ) dr (t ) r& v (t ) = lim = = r (t ) ∆t 0 ∆t dt r A sebesség tehát az r

helyzetvektornak az idő szerinti differenciálhányadosa. Az idő szerinti differenciálhányadost a megfelelő mennyiség fölé tett ponttal is jelölhetjük. Mivel az elmozdulás vektor, a sebesség is az. Mindkettő szabad vektor (önmagával párhuzamosan eltolható anélkül, hogy a fizikai tartalma megváltozna). r Csökkenő a ∆t intervallumok esetén, a ∆r elmozdulásvektor hossza egyre jobban közelít a ∆t intervallum alatt megtett ∆s elemi úthosszhoz, iránya pedig a pálya t időpontbeli érintőjéhez. A sebesség definíciójából következik, hogy r r dr ds r r v= = s& et = v et , ds dt r r ahol et a pálya érintője irányába mutató (tangenciális) egységvektor és s& = v = v a sebesség r vektor abszolút értéke, a sebesség nagysága. Tehát a v sebességvektor mindig a pálya érintője irányába mutat. A helykoordinátakomponens-idő grafikonon a görbe érintőjének iránytangense a sebesség megfelelő komponense. A sebesség

származtatott mennyiség, mértékegység egyenlete: [ds] m [v] = dt = s , [ ] SI mértékegysége méter per másodperc, jele: m/s. 2.6 ábra A sebesség-idő függvény és a helyzetvektor kezdeti értéke ismeretében meghatározható a hely-idő függvény. Ábrázoljuk a sebesség x komponensét az idő függvényében és osszuk fel a t1 és t2 időpontok közötti tartományt keskeny ∆t szélességű intervallumokra. A grafikonon az i-edik téglalap v x (t i )∆t területe a t i és t i + ∆t időpontok közötti elmozdulás x komponensének, ∆xi -nek közelítő értékével egyenlő. Ezért a ∆t szélességű téglalapok területének összege jó közelítéssel az elmozdulásvetor x komponensének értékét adja meg a t2- t1 időtartamra. A sebességkomponens előjeles mennyiség, ezért a terület is előjeles lesz: a t tengely feletti terület pozitív, az alatta lévő pedig negatív. Tehát x (t 2 ) − x (t1 ) ≈ ∑ v x (t i ) ∆t . i A ∆t

felosztást minden határon túl finomítva az összeg határértéke a v x (t ) görbe alatti területhez tart. Így a t1 és t2 időpontok közötti elmozdulásvetor x komponensét a t2 x (t 2 ) − x (t1 ) = ∫ v x (t )dt t1 határozott integrál adja. Hasonló összefüggés érvényes a többi koordinátára és a sebességkomponens-idő r r grafikonra. Ha ismerjük a sebesség időfüggését és az anyagi pont r (t 0 ) = r0 helyzetét valamilyen t 0 kezdeti időpontban, akkor a sebességfüggvény idő szerint integrálásával bármely későbbi t időpontban megadhatjuk a tömegpont helyét: t r r r r (t ) = r (t 0 ) + ∫ v (t ′) dt ′ t0 A gyorsulás Egy görbe vonalú pályán mozgó anyagi pont sebességének általában mind a nagysága, mind az iránya változik. A sebesség iránya azért változik, mert a sebesség érintő irányú és ahogy a pálya görbül, változik az érintő iránya, ahogy ez a 2.7 ábrán látható A sebesség vektor időbeli

változási sebességének jellemzésére szolgál a gyorsulás vektor. A t r r időpontban az v (t ) sebességgel haladó anyagi pont sebessége ∆t idő múlva v (t + ∆t ) lesz. A sebességvektor megváltozása r r r ∆v = v (t + ∆t ) − v (t ) . 2.7 ábra Az anyagi pont t és t + ∆t időpontok közötti átlaggyorsulása a sebességvektor megváltozásának és a ∆t időtartamnak a hányadosa: r r r r ∆v v (t + ∆t ) − v (t ) a= = ∆t ∆t r Az átlagos gyorsulás vektor iránya megegyezik a ∆v sebességváltozás vektor irányával. Az átlagos gyorsulás független attól, hogyan változik az anyagi pont sebessége a kezdő és végpont között, kizárólag a sebesség vektornak a két pontban felvett értékétől (azok különbségétől) és az időintervallum hosszától függ. Az anyagi pont pillanatnyi gyorsulását (gyorsulását) a t időpontban úgy kapjuk meg, ha vesszük az átlaggyorsulás határértékét, midőn a ∆t intervallum tart

zérushoz. A gyorsulás definíciója tehát: r a (t ) = lim ∆t 0 r r r r v (t + ∆t ) − v (t ) dv (t ) d 2 r &r& = = 2 = r (t ) ∆t dt dt r r A gyorsulás a v sebességvektornak az idő szerinti differenciálhányadosa, tehát az r helyzetvektornak az idő szerinti második deriváltja. Az idő szerinti második deriváltat a megfelelő mennyiség fölé tett két ponttal is jelölhetjük. A gyorsulás vektormennyiség, iránya általában nem a pálya érintője irányában mutat. A gyorsulás dimenziója méter per másodperc a négyzeten, jele: m/s2. A sebességkomponens-idő grafikonon a görbe érintőjének iránytangense a gyorsulás megfelelő komponense. A gyorsulás-idő függvény és a sebességvektor kezdeti értéke ismeretében meghatározható a sebesség-idő függvény. Ábrázoljuk a gyorsulás x komponensét az idő függvényében és osszuk fel a t1 és t2 időpontok közötti tartományt keskeny ∆t szélességű intervallumokra. A grafikonon

az i-edik téglalap a x (t i )∆t területe a sebességváltozás x komponensének a t i és t i + ∆t közötti időintervallumhoz tartozó közelítő értékével egyenlő. A ∆t szélességű téglalapok területének összege a sebességváltozás x komponensének közelítő értékét adja meg a t2- t1 időtartamra. A gyorsuláskomponens előjeles mennyiség, ezért a terület is előjeles lesz: a t tengely feletti terület pozitív, az alatta lévő pedig negatív. Tehát v x (t 2 ) − v x (t1 ) ≈ ∑ a x (t i ) ∆t . i 2.8 ábra A ∆t felosztást minden határon túl finomítva az összeg határértéke az a x (t ) görbe alatti területhez tart. Így a t1 és t2 időpontok közötti sebességváltozás x komponensét a t2 v x (t 2 ) − v x (t1 ) = ∫ a x (t ) dt t1 határozott integrál adja. Hasonló összefüggés érvényes a többi sebesség komponensre és a gyorsuláskomponens-idő grafikonra. Ha ismerjük a gyorsulás időfüggését és az anyagi pont

r r v (t 0 ) = v0 sebességét valamilyen t 0 kezdeti időpontban, akkor a gyorsulás függvény idő szerint integrálásával bármely későbbi t időpontban megadhatjuk a tömegpont sebességét: t r r r v (t ) = v (t 0 ) + ∫ a (t ′) dt ′ . t0 Kidolgozott feladat. Egy anyagi pont az x tengely mentén az x (t ) = (t 3 − 3t 2 − 9t + 5) m összefüggéssel megadott módon mozog. Milyen időintervallumban mozog az anyagi pont a pozitív x irányban és milyen intervallumban a negatív x irányban? Milyen időintervallumban gyorsul és milyen időintervallumban lassul a tömegpont? Ábrázoljuk az x, v és a mennyiségeket az idő függvényében! Az anyagi pont sebessége: v (t ) = dx = (3t 2 − 6t − 9) = 3(t + 1)(t − 3) m / s . dt A gyorsulás a (t ) = 6t − 6 = 6(t − 1) m / s 2 . 2.9 ábra Az x (t ) , v (t ) és a (t ) függvények a 2.9 ábrán láthatók Látható, hogy a t < −1 s esetén a sebesség pozitív, ezért az anyagi pont a pozitív x

tengely irányában mozog. Amikor t = −1 s, x(1) = 10 m és a sebesség zérus. A −1 s < t < 3 s intervallumban a sebesség negatív, az anyagi pont visszafelé, a negatív x tengely irányában mozog. Amikor t = 3 s , x(3) = −22 m és a sebesség ismét zérus. Ha t > 3 s , a sebesség ismét pozitív, az anyagi pont ismét visszafordul és a pozitív x tengely irányában mozog. A 29a ábrán látható az anyagi pont tartózkodási helye, A és B betűvel jelöltük a fordulópontokat, azokat a pontokat ahol a sebesség zérus. A sebesség és gyorsulás diagramokról leolvashatjuk, hogy t < −1 s esetén a mozgás lassuló (v nagysága csökken és a sebesség és gyorsulás előjele ellentétes). A −1 s < t < 1 s intervallumban a mozgás gyorsuló, az 1 s < t < 3 s intervallumban ismét lassuló, míg végül t > 3 s esetén gyorsuló. Ez a példa azt mutatja be, hogy milyen hasznosak az x (t ) , v (t ) és a (t ) diagramok a mozgás

sajátosságainak elemzésekor. 2.13 A gyorsulás tangenciális és normális összetevői r A 2.10 ábrán egy görbe vonalú pályán mozgó anyagi pont látható Az anyagi pont v r sebessége a pálya érintője irányába, a gyorsulása a pálya homorú (konkáv) oldala felé mutat. r r r Az a gyorsulás vektort célszerű egy érintőirányú (tangenciális) at = at et és egy erre r r r merőleges (normális) a n = an en összetevőre felbontani. Az en normális egységvektor merőleges a pályára és annak homorú oldala felé mutat. 2.10 ábra Hamarosan látni fogjuk, hogy a sebesség nagyságának megváltozása miatt lép fel az érintőirányú gyorsulás, a sebesség irányának megváltozása miatt pedig a normális gyorsulás. Határozzuk meg a két összetevőt: r r dv d r r r r r a= = (vet ) = v& et + ve&t = &s& et + s& e&t dt dt r Ha az anyagi pont egyenes vonalú pályán mozogna, az érintő irányába mutató et egységvektor iránya nem

változna meg, így idő szerinti deriváltja zérust adna és az egyenletben csak a sebesség nagyságának megváltozása következtében fellépő első tag r szerepelne. Görbe vonalú pálya mentén azonban az et iránya változik, emiatt lép fel a r gyorsulás kifejezésében az et idő szerinti deriváltját tartalmazó második tag. Számítsuk ki most ennek értékét. 2.11 ábra A 2.11 ábrán az anyagi pont helyzete látható a t és t + ∆t időpontokban Az elemi ∆t időintervallum alatt befutott pályaszakasz alkalmasan választott körívvel közelíthető, a pálya adott pontjához simuló kör görbületi sugarát R betűvel jelöltük. (A pálya ismeretében a r görbületi sugár matematikai módszerekkel meghatározható.) ∆t időtartam alatt et iránya ∆ϕ r r szöggel változik. Minden határon túl csökkenő ∆t esetén a ∆et vektor merőleges az et r r egységvektorra és az e normális egységvektor irányába mutat. Az e& vektor nagyságát

a n t 2.11 ábrán látható vektorháromszögből határozhatjuk meg Ha infinitezimálisan kicsi a ∆t időtartam, infinitezimálisan kicsi a ∆ϕ szög is, és a r ∆et vektor abszolút értéke jó közelítéssel a tangenciális egységvektorok végpontjai összekötő r r r ívhosszal egyenlő, vagyis ∆e ≈ e ∆ϕ = ∆ϕ . Így az e& vektor abszolút értéke t t t r ∆e t r& ∆ϕ d ϕ = lim = = ϕ& et = lim ∆ t 0 ∆t ∆t 0 ∆t dt és r ∆et r& r = ϕ& en . et = lim ∆t 0 ∆t A ϕ& = ω szögsebesség kifejezhető a v sebesség és az R görbületi sugár segítségével. A szög definíciója értelmében ds = R dϕ , ezzel ϕ& = dϕ dϕ ds 1 = = v , dt ds dt R és a gyorsulás vektor r r s& 2 r dv r v 2 r a = &s& et + en = et + en . R dt R alakban írható. Komponensei at = &s& = dv s& 2 v 2 , an = = , dt R R a gyorsulás nagysága a = a t2 + a n2 . Ha a görbe vonalú mozgás egyenletes, a

sebesség állandó, ezért a t = 0 , nincs érintőirányú gyorsulás. Másrészről ha a mozgás egyenes vonalú, a sebesség iránya nem változik, a görbületi sugár végtelen ( R = ∞ ), így a n = 0 , nincs normális irányú gyorsulás. Ezen két speciális eseten kívül, a gyorsulásnak van érintő és normális irányú összetevője. A r sebesség iránya mindig abban az irányban változik, amerre a görbe elhajlik, így az a gyorsulás vektor mindig a pálya homorú (konkáv) oldala felé mutat. A gyorsulásnak az érintőre merőleges, normális komponense a pálya adott pontjához simuló görbületi kör középpontja, centruma felé mutat, ezért centripetális gyorsulás komponensnek nevezzük. Görbe vonalú egyenletes mozgásoknál a gyorsulás merőleges a sebesség vektorra, nem egyenletes mozgásnál hegyes-, illetve tompaszöget zár be vele aszerint, hogy a sebesség nagysága növekszik, vagy csökken. 2.14 A sebesség és gyorsulásvektor komponensei

Derékszögű koordináta rendszer r r r r Derékszögű koordinátarendszerben egy tetszőleges b vektor az e x , e y és e z egységvektorok segítségével kifejezve: r r r r b = bx e x + b y e y + bz e z A helyzetvektor: r r r r r = xe x + ye y + ze z A derékszögű koordinátarendszerben az anyagi pont mozgása során az egységvektorok iránya változatlan, így a sebesség vektor: r r dr r& r r r v= = r = x&e x + y&e y + z&e z , dt a sebesség komponensek vx = dx dy dz = x& , v y = = y& , v z = = z& , dt dt dt a sebesség nagysága pedig v = v x2 + v y2 + v z2 . A gyorsulás vektor r r r dv d 2 r &r& r r r a= = 2 = r = &x& e x + &y& e y + &z& e z dt dt komponensei pedig ax = dv y d 2 y dv x d 2 x dv d 2x = 2 = &x& , a y = = 2 = &y& , a z = z = 2 = &z& . dt dt dt dt dt dt A gyorsulás nagysága a = a x2 + a y2 + a z2 . Síkbeli polárkoordináta rendszer Síkmozgás esetén az anyagi

pont helyzetének megadásához gyakran használjuk a síkbeli polárkoordinátákat: a koordinátarendszer kezdőpontjától mért r távolságot és egy tengelytől (általában az x tengelytől) az óramutató járásával ellentétes irányban felmért ϕ r szöget. A síkbeli polárkoordináta rendszer is ortogonális rendszer, az egységvektorok er és r eϕ . A sugárirányú (radiális) egységvektor r r r er = , r r az origóból kifelé, az erre merőleges eϕ egységvektor a növekvő ϕ irányába mutat. 2.12 ábra r r r Síkbeli polárkoordináta rendszerben egy tetszőleges b vektor az er és eϕ egységvektorok segítségével kifejezve: r r b = br er + bϕ eϕ . A síkbeli polárkoordináták és a Descartes-féle derékszögű koordináták közötti áttérés képletei: x = r cosϕ , y = r sinϕ ; r= x 2 + y 2 , ϕ = arc tg y y = arc sin . x r A helyzetvektor: r r r = re r . Az anyagi pont mozgása során változik az egységvektorok iránya is, ezt

figyelembe kell venni a sebesség és gyorsulás számításakor. A szorzat deriválási szabályának felhasználásával a sebességvektor: r r r r v = r& = r&er + re&r . r A sebesség meghatározásához tehát ki kell számítanunk az er sugárirányú egységvektor deriváltját. 2.13 ábra r ∆t idő alatt er iránya ∆ϕ szöggel változik. Minden határon túl csökkenő ∆t esetén a ∆ er r r r vektor merőleges az er egységvektorra és az eϕ egységvektor irányába mutat. Ezt az alábbi módon is beláthatjuk. Az egységvektor definíciójából következik, hogy az egységvektor önmagával vett skaláris szorzata egységnyi r r er ⋅ er = 1 . Ezt az egyenletet idő szerint differenciálva kapjuk: r r er ⋅ e&r = 0 , amiből azonnal látszik, hogy a sugárirányú egységvektor idő szerinti deriváltja merőleges magára a sugárirányú egységvektorra. r Az e&r vektor nagyságát a 2.13 ábrán látható vektorháromszögből

határozhatjuk meg r Ha infinitezimálisan kicsi a ∆t időintervallum, infinitezimálisan kicsi a ∆ϕ szög is, és a ∆er vektor abszolút értéke jó közelítéssel a radiális egységvektorok végpontjai összekötő r r r ívhosszal egyenlő, vagyis ∆er ≈ er ∆ϕ = ∆ϕ . Így az e&r vektor abszolút értéke r ∆e r r& ∆ϕ dϕ = lim = = ϕ& = ω er = lim ∆t 0 ∆t ∆t 0 ∆t dt Tehát r r e&r = ϕ& eϕ és így a sebességvektor r r r r v = r& = r&er + rϕ& eϕ . A sebességvektort úgy is megkapjuk, ha a r r r dr = dr er + r dϕ eϕ infinitezimális elmozdulásvektorból indulunk ki, majd és ezt dt-vel "osztjuk": r r dr dr r r r dϕ r v= = er + r eϕ = r&er + rϕ& e . dt dt dt A sebesség komponensei síkbeli polárkoordinátákban vr = r& és vϕ = rϕ& , a sebesség nagysága v = v r2 + vϕ2 . r A fentiekhez hasonló módon számítható eϕ idő szerinti differenciálhányadosa, erre r r e&ϕ =

−ϕ& er adódik. 2.14 ábra A gyorsulás vektor a sebességvektor idő szerinti differenciálhányadosa r r r dv d 2 r &r& d r r r r r r r a= = 2 = r = (r&er + rϕ& eϕ ) = &r& er + r& e&r + r&ϕ& eϕ + rϕ&& eϕ + rϕ& e&ϕ . dt dt dt Az egységvektorok deriváltjait behelyettesítve a gyorsulás vektor: r r r a = (&r& − rϕ& 2 )er + (rϕ&& + 2r&ϕ& )eϕ , komponensei pedig a r = (r&& − rϕ& 2 ) , aϕ = (rϕ&& + 2r&ϕ& ) . A gyorsulás nagysága a = a r2 + aϕ2 . Hengerkoordináta-rendszer A hengerkoordináta-rendszerben a koordinátafelületek a z tengelyre merőleges (z = állandó) síkok, a z tengelyből kiinduló (ϕ = állandó) félsíkok és azok a hengerfelületek ( ρ = állandó), melyeknek tengelye a z tengely. A koordinátavonalak e felületek metszésvonalai A hengerkoordináták: ρ és ϕ , a pont vetületének koordinátái az alapsíkra (mely

általában a derékszögű koordinátarendszer xOy síkjával azonos) és a z koordináta, a pontnak az alapsíktól való távolsága). A térben egy pont helyzetét a ( ρ , ϕ , z ) számhármassal adjuk meg r r r r Hengerkoordináta rendszerben egy tetszőleges b vektor az e ρ , eϕ és e z egységvektorok segítségével kifejezve: r r r b = bρ e ρ + bϕ eϕ + bz e z . A hengerkoordináták és a Descartes-féle derékszögű koordináták közötti áttérés képletei: x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z ; ρ= x 2 + y 2 , ϕ = arc tg y y = arc sin . x ρ A helyzetvektor hengerkoordináta rendszerben: r r r r = ρ eρ + z ez A 2.15 ábrán egy tetszőleges P pont körüli infinitezimális elmozdulások láthatók a hengerkoordináta rendszerben. Az infinitezimális elmozdulásvektor r r r r dr = dρ e ρ + ρ dϕ eϕ + dz e z . 2.15 ábra Ebből a sebességvektor r r dr dρ r r r r dϕ r dz r v= = eρ + ρ eϕ + e z = ρ& e ρ + ρϕ& eϕ + z&e z . dt

dt dt dt A sebesség komponensei hengerkoordinátákban v ρ = ρ& , vϕ = ρϕ& , v z = z& , a sebesség nagysága v = v ρ2 + vϕ2 + v z2 . Az előzőkben megismert módon, kissé hosszadalmasan, de számítható a gyorsulás is. Gömbi koordinátarendszer A gömbi koordinátarendszerben a koordinátafelületek azok a gömbök, melyeknek középpontja a kezdőpont (r = állandó), a z tengelyből kiinduló félsíkok (ϕ = állandó), és azok a kúpok, melyeknek a csúcsa a kezdőpont, tengelye a z tengely (ϑ = állandó). A koordinátavonalak ezen felületek metszésvonalai. A gömbi koordináták: r, a kezdőponttól mért távolság, a pont helyvektorának hossza, a ϕ azimutszög (hosszúság) és a ϑ polárszög. A térben egy pont helyzetét az (r, ϕ ,ϑ ) számhármassal adjuk meg. A gömbi és a Descartes-féle derékszögű koordináták közötti áttérés képletei: x = r sinϑ cosϕ , y = r sinϑ sinϕ , z = r cos ϑ ; x2 + y2 y r = x + y + z , ϕ =

arc tg . ϑ = arc tg . x z r r r r Gömbi koordináta rendszerben egy tetszőleges b vektor az er , eϕ és eϑ egységvektorok 2 2 2 segítségével kifejezve: r r r b = br er + bϕ eϕ + bϑ eϑ . 2.16 ábra A helyzetvektor: r r r = re r . A 2.16 ábrán egy tetszőleges P pont körüli infinitezimális elmozdulások láthatók a r gömbi koordináta rendszerben. A dr infinitezimális elmozdulásvektor r r r r dr = dr er + r dϑ eϑ + r sinϑ dϕ eϕ , és így a sebességvektor r r r& dr dr r r r r dϑ r dϕ r v =r = = er + r eϑ + r sin ϑ eϕ = r& er + rϑ& eϑ + r sin ϕ& eϕ . dt dt dt dt A sebességvektor komponensei gömbi koordinátarendszerben vr = r& , vϑ = rϑ& és vϕ = r sinϑ ϕ& , a sebesség nagysága v = vr2 + vϕ2 + vϑ2 . Az előzőkben megismert módon, kissé hosszadalmasan, de számítható a gyorsulás is. 2.15 Speciális mozgások 2.151 Egyenes vonalú mozgások Egyenes vonalú mozgást akkor kapunk, ha a sebesség és a

gyorsulásvektor minden pillanatban egy egyenesbe esik. Ennek során az anyagi pont egy egyenes mentén mozog Célszerű a vonatkoztatási rendszer valamelyik koordinátatengelyét, pl. az x-tengelyt ezen r egyenes mentén felvenni, mert így az r (t ) helyzetvektornak csupán egyetlen komponense különbözik zérustól és ezáltal a probléma egy dimenzióra redukálódik. Az anyagi pont helyzetét egy tetszőleges t időpontban az x(t) függvénnyel adjuk meg, ebből számíthatjuk a sebesség és a gyorsulás értékét: v(t ) = dx dv d 2 x = x& (t ) és a(t ) = = = &x&(t ) . dt dt dt 2 A sebesség és gyorsulás vektorok: r r dx r v = v ex = ex dt és r r dv r a = a ex = ex . dt Az egyenes vonalú mozgást végző anyagi pont gyorsul, ha a sebesség és gyorsulás vektor egy irányba mutat (a sebesség és gyorsulás szorzata pozitív) és lassul, ha a sebesség és gyorsulás vektor ellentétes irányú (a sebesség és gyorsulás szorzata negatív). Ha

ismerjük az anyagi pont gyorsulását az idő függvényében, a sebesség-idő függvényt a v (t ) = ∫ a (t ) dt + C1 kifejezésből számíthatjuk, ahol az első tag a gyorsulás idő szerinti határozatlan integrálja, C1 pedig integrálási állandó. A C1 integrálási állandó értékét a kezdeti feltételekből, nevezetesen a sebesség kezdeti időpontban felvett értékéből határozzuk meg. Az anyagi pont helyzetét tetszőleges t időpontban a sebesség-idő függvény ismeretében az x (t ) = ∫ v (t ) dt + C2 kifejezésből számíthatjuk, ahol az első tag a sebesség idő szerinti határozatlan integrálja, a C2 integrálási állandót az anyagi pont kezdeti időpontbeli helyzetéből határozzuk meg. Az eljárást egy olyan, egyszerű példán mutatjuk be, melynek eredménye már korábbról ismeretes. Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás. Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás során az anyagi pont gyorsulása állandó: a = állandó. A

kezdeti feltételek: a t = 0 időpontban az anyagi pont helyzete x (0) = x 0 , sebessége v (0) = v 0 . A számításhoz használjuk fel az A t n hatványfüggvény integrálási szabályát: ∫ At n dt = A t n +1 +C . n +1 Ezzel a sebesség-idő függvény v (t ) = ∫ a (t ) dt + C1 = a t + C1 , a v (0) = a ⋅ 0 + C1 = C1 v (0) = v 0 egyenletekből C1 = v 0 . Tehát az anyagi pont sebességét tetszőleges időpontban a v (t ) = v 0 + a t függvény adja meg. Az anyagi pont helyzete az idő függvényében x (t ) = ∫ v (t ) dt + C2 = ∫ a t dt + ∫ v dt + C2 = 21 a t 2 + v 0 t + C2 , 0 az x (0) = 21 a ⋅ 0 2 + v 0 ⋅ 0 + C2 = C2 x (0) = x 0 egyenletekből C2 = x 0 . Tehát x (t ) = x 0 + v 0 t + 21 a t 2 . Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás kinematikai összefüggéseit ábrázolhatjuk az idő függvényében. A 217 ábrán látható a gyorsulás-idő, a sebesség-idő és a helyzet-idő grafikon. A gyorsulást megadó görbe egy zérus

meredekségű, vízszintes egyenes Két, tetszőleges időpont között a görbe alatti terület a ∆v sebességváltozással egyenlő. A 0 és t közötti intervallumra ∆v = v − v 0 = a ⋅ (t − 0) = a ⋅ t , ebből v (t ) = v 0 + a t . Ennek megfelelően a sebesség az időnek lineáris függvénye. Az egyenes meredeksége az a gyorsulással egyenlő. Két, tetszőleges időpont között a sebesség-idő függvény alatti terület a ∆x elmozdulással egyenlő. Ez most egy trapéz területe A 0 és t közötti intervallumra az elmozdulás v0 + v v +v ⋅ (t − 0) = 0 ⋅t . 2 2 Ebből az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás átlagsebessége ∆x = x − x 0 = v= ∆x v 0 + v = . ∆t 2 Ez utóbbi összefüggés kizárólag állandó gyorsulás esetén érvényes, más esetekben az átlagsebesség nem egyenlő a sebességek összegének a felével! 2.17 ábra Az elmozdulás kifejezésébe a v (t ) = v 0 + a t összefüggést beírva kapjuk: ∆x = x − x 0

= v 0 t + 21 a t 2 , vagy a t = (v − v 0 ) / a felhasználásával ∆x = x − x 0 = (v + v 0 )(v − v 0 ) v 2 − v 02 = . 2a 2a Tehát az anyagi pont helyzetét egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás esetén az x (t ) = x 0 + v 0 t + a t , 1 2 2 vagy az v 2 − v 02 x (t ) = x 0 + 2a összefüggésekből számíthatjuk, mint ahogy azt már korábban is láttuk. Az x (t ) függvény parabola, tetszőleges pontban húzott érintője a kérdéses időponthoz tartozó sebességgel egyenlő. Egyenes vonalú egyenletes mozgás Ha a mozgás egyenletes, a sebesség állandó, a gyorsulás zérus. Az egyenes vonalú egyenletes mozgásra érvényes összefüggéseket a fentiekből az a = 0 érték beírásával kapjuk: v (t ) = v 0 és x (t ) = x 0 + v t . 2.152 Mozgás állandó gyorsulással, hajítások Ha a gyorsulásvektor a mozgás során mindvégig állandó és nem esik egy egyenesbe a kezdősebességgel, síkmozgást kapunk. Példa erre, ha a földi

gravitációval valamilyen szöget bezáró kezdősebességgel elhajítunk egy testet. Legyen a t 0 kezdeti időpontban az anyagi pont r r r r helyzetvektora r0 , sebessége v0 , a t időpontban pedig r és v . A gyorsulás definíciójából r r dv = a dt , ennek a megfelelő határok közötti integrálásával kapjuk a sebességváltozást r v r r r ∫ dv =v − v r v0 0 . r Ha az a gyorsulásnak mind a nagysága, mind az iránya állandó, kivihető az integráljel elé t t t0 t0 r r r ∫ a dt = a ∫ dt = a ⋅ (t − t0 ) . Így az anyagi pont sebessége tetszőleges t időpontban r r r v (t ) = v0 + a ⋅ (t − t 0 ) . r r r Tehát a v sebesség mindig a v0 és a vektorok által meghatározott síkban van. r r A sebesség definíciójából dr = v dt , ennek a megfelelő határok közötti integrálásával kapjuk az elmozdulás vektort r r r r r ∫ dr =r − r r r0 0 és t t t0 t0 r r r r r 2 ∫ v dt = ∫ [v0 + a ⋅ (t − t0 )]dt = v0 ⋅ (t −

t0 ) + 12 a ⋅ (t − t0 ) . Így az anyagi pont helyzetét tetszőleges időpontban az r r r r r (t ) = r0 + v0 ⋅ (t − t 0 ) + 12 a ⋅ (t − t 0 ) 2 r r r összefüggés adja. Az egyenletből látható, hogy az r helyzetvektor a v0 és a vektorok által r meghatározott, az r0 ponton átmenő síkban van. Tehát az állandó gyorsulással történő mozgás síkmozgás. Az anyagi pont pályája parabola Hajítások A Föld felszínének közelében elhajított testek a földi gravitáció hatására közelítőleg r állandó, g gyorsulással mozognak. (Vákuumban ez igaz, egyébként a közegellenállás következtében az anyagi pont gyorsulása változik.) A nehézségi gyorsulás iránya merőleges a Föld (vízszintes) felszínére, ezért a vonatkoztatási rendszer egyik tengelyét, az x-tengelyt a vízszintes irányban, az y-tengelyt függőleges irányban vesszük fel. Ezáltal a gyorsulásnak csupán y-irányú összetevője lesz. Hajítsuk el a testet az ( x 0 , y 0

) koordinátájú kezdőpontból a vízszintessel α szöget bezáró irányban v 0 nagyságú kezdősebességgel. 2.18 ábra A gyorsulás komponensek: a x (t ) = 0 , a y (t ) = − g . Ezekkel a sebességkomponensek v x (t ) = v 0 cos α , v y (t ) = v 0 sin α - g ⋅ t . A helyzetvektor komponensek: x (t ) = x 0 + v 0 cos α ⋅ t , y (t ) = y 0 + v 0 sin α ⋅ t − 21 g ⋅ t 2 . Az utolsó két egyenletből az időt kiküszöbölve kapjuk a pálya egyenletét: az y ( x ) függvény az ( x 0 , y 0 ) koordinátájú kezdőponton átmenő parabola. A test addig emelkedik, amíg sebességének y irányú összetevője pozitív. A pálya maximumánál v y = 0 , ebből meghatározható az emelkedés ideje és a legnagyobb magasság. A pálya mentén a sebesség iránya és nagysága pontról pontra változik, így a gyorsulás tangenciális és normális r komponense is (de eredőjük, a g gyorsulásvektor természetesen változatlan). A gyorsulás normális komponensének

változásával változik a pálya a görbületi sugara is. A pálya maximumánál a gyorsulásnak csak normális összetevője van és ez nem más, mint a nehézségi gyorsulás. 2.19 ábra Az egyenletekből az is látható, hogy a ferde hajítás egy x-tengely menti egyenes vonalú egyenletes mozgásból és egy y-tengely menti egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásból adódik összege, ezek szuperpozíciója. 2.20 ábra Ha figyelembe vesszük a levegő ellenállását, az anyagi pont pályája nem lesz többé szimmetrikus, a pálya eltér a parabolától. Az eltérés különösen nagy sebességeknél nagy Az un. ballasztikus görbe a parabola alatt futó, a leszálló ágon meredekebben eső görbe 2.153 Körmozgás A körmozgás a görbe vonalú mozgás speciális esete. Ha a derékszögű koordinátarendszer O kezdőpontját a kör középpontjában vesszük fel, az anyagi pont helyzetvektorának komponensei minden időpontban kielégítik az x 2 (t ) + y 2 (t ) =

R 2 egyenletet, ahol R a körpálya sugara. 2.21 ábra Szögsebesség Az anyagi pont mozgása során a kör középpontjától mért távolsága nem változik, ezért a mozgás leírásához célszerű síkbeli polárkoordináta-rendszert használni. Mivel r (t ) = R , az anyagi pont helyzete egyetlen adattal, a ϕ (t) szöggel adható meg. A ϕ (t) szög idő szerinti differenciálhányadosa a szögsebesség: ω (t ) = dϕ (t ) = ϕ& (t ) dt A szögsebesség jele ω , mértékegysége [ω ] = [ϕ ] / [t ] = rad/s. Infinitezimális dt idő alatt a ϕ (t) szög megváltozása dϕ , ehhez a köríven ds = R dϕ infinitezimális ívhossz tartozik, így a kerületi sebesség v(t ) = ds dϕ =R = R ϕ& = R ω (t ) , dt dt r r r r r a sebesség vektor pedig v = v eϕ = Rω eϕ (körmozgásnál ugyanis et = eϕ , az érintőirányú r egységvektor megegyezik eϕ -vel). Ezt az eredményt az általános görbevonalú mozgásoknál használt módszerrel is megkaphatjuk az r (t ) =

R = állandó feltétel figyelembevételével. 2.22 ábra Bevezethetjük a szögsebesség vektort. Ezt úgy kell megtenni, hogy kielégítse a sebesség nagysága és a szögsebesség közötti v = Rω összefüggést és a sebesség irányát is helyesen adja meg. Vegyük fel a koordinátarendszert úgy, hogy a z tengely essen egybe a forgástengellyel, így a mozgás síkja egy a z tengelyre merőleges sík. A 222 ábra szerint r r R = r sinϑ és v = r sinϑ ω , másrészről a v sebesség merőleges a z tengely és az r vektor által meghatározott síkra. A forgástengelyhez kötött szögsebesség vektort úgy vezetjük be, hogy a forgásiránnyal jobbcsavart alkosson, így az ábrán a z tengely irányába mutat. Az anyagi pont sebességét a r r r v =ω ×r vektorszorzattal kapjuk, az anyagi pont helyzetét az x (t ) = R cos ϕ , y (t ) = R sin ϕ , z = z 0 = állandó koordináták határozzák meg. Szöggyorsulás Ha az anyagi pont szögsebessége változik az időben,

ennek mértékét a szögsebesség idő szerinti deriváltja, az α (t ) = dω d 2ϕ = 2 = ϕ&&(t ) dt dt szöggyorsulás bevezetésével jellemezzük. A szöggyorsulás jele α , mértékegysége rad/s2 r Az α kötött szöggyorsulás vektor a szögsebesség vektor irányába mutat, ha a szöggyorsulás pozitív és azzal ellentétes irányba, ha negatív. Körmozgásnál a tangenciális gyorsulás és a szöggyorsulás kapcsolata a t (t ) = dv d dω = ( Rω ) = R = Rα ( t ) . dt dt dt A normális (vagy centripetális) gyorsulás értéke a n (t ) = a cp = v2 = ω2 R . R 2.23 ábra A 2.23 ábrán egy körmozgást végző anyagi pont sebessége és gyorsulása látható Egyenletes körmozgás esetén a szögsebesség állandó, az anyagi pontnak nincsen érintőirányú r gyorsulása, csupán centripetális gyorsulása. Tehát ω = állandó és r r r r r dr r r dv d r r a = acp = = (ω × r ) = ω × =ω ×v . dt dt dt 2.24 ábra r r r Mivel v = ω × r , az

egyenletes körmozgást végző anyagi pont gyorsulása: r r r r r a = acp = ω × (ω × r ) alakban írható. Egyenletes körmozgás Egyenletes körmozgást végző anyagi pont szöggyorsulása zérus, α = 0 , így a szögsebessége állandó. Egy körülforduláshoz 2π radián szögelfordulás tartozik, az ehhez szükséges időt, T-vel jelölve ω = 2π . T A körülfordulás T ideje a periódusidő vagy keringési idő. A periódusidő reciprokát nevezzük fordulatszámnak: n= 1 . T A fordulatszám jele: n, mértékegysége 1/s. Az egyenletes körmozgás kinematikai összefüggéseit az alábbiak szerint határozzuk meg: ω = ω 0 = állandó A szögsebesség definíciójából dϕ = ω dt . Ha a t időponthoz tartozó szögelfordulástϕ (t ) -vel, a t 0 időponthoz tartozót ϕ (t 0 ) = ϕ 0 -lal jelöljük, az egyenletet integrálásával kapjuk: ϕ (t ) − ϕ 0 = ω ⋅ (t − t 0 ) , ebből ϕ (t ) = ϕ 0 + ω ⋅ (t − t 0 ) . Az egyenletes körmozgást végző

anyagi pont tangenciális gyorsulása zérus, csak centripetális gyorsulása van, ezért a gyorsulás vektor merőleges a sebességre. Egyenletesen változó körmozgás Egyenletesen változó körmozgást akkor kapunk, ha a szöggyorsulás nem függ az időtől: α = állandó. A szöggyorsulás definíciójából dω = α dt . Ha a t időponthoz tartozó szögsebességetω (t ) vel, a t 0 időponthoz tartozót ω (t 0 ) = ω 0 -lal jelöljük, az egyenletet integrálásával kapjuk: ω (t ) − ω 0 = α ⋅ (t − t 0 ) , ebből ω (t ) = ω 0 + α ⋅ (t − t 0 ) . A szögsebesség definíciójából dϕ = ω dt . Ha a t időponthoz tartozó szögelfordulástϕ (t ) -vel, a t 0 időponthoz tartozót ϕ (t 0 ) = ϕ 0 -lal jelöljük, és beírjuk az egyenletbe a szögsebesség imént meghatározott kifejezését, a definíciós egyenlet integrálásával kapjuk: ϕ (t ) − ϕ 0 = ω 0 ⋅ (t − t 0 ) + 21 α ⋅ (t − t 0 ) 2 , és ebből ϕ (t ) = ϕ 0 + ω 0 ⋅ (t − t

0 ) + 21 α ⋅ (t − t 0 ) 2 . Mint látható, az egyenletesen változó körmozgás kinematikai összefüggései hasonlóak az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgáséhoz, csupán a megfelelő helyeken a lineáris változók helyett a szögváltozók szerepelnek