Matematika | Általános Iskola » Lakihegyi György - Algebrai törtek

Algebrai törtek Algebrai törtnek nevezzük az olyan törtet, melynek nevezőjében egy vagy több ismeretlent tartalmazó algebrai kifejezés, számlálójában pedig valamilyen algebrai kifejezés szerepel. Például: 3a + 5 b 5 x2 + 3 3x 2x + 3 7y y2 − 1 y −1 3x + 4y 2x + 3z x 2 − 6x + 9 Feladat Írd be a törteket a megfelelő helyre! 3+ x y 3x − 2y 5 1 3yx2 2x − 1 5x 2+x+ y 13 a 3 − 27 y 2 + 5xy − 6x 2 Nem Algebrai tört algebrai tört Egy algebrai tört bővítése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a 0-tól különböző számmal (algebrai kifejezéssel) szorozzuk. Például: 3 ⋅ x ⋅  m3z 2  x 3⋅ x   = = y 3 ⋅ y 3 ⋅ y ⋅  m3z 2    Egy algebrai tört egyszerűsítése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a 0-tól különböző számmal (algebrai kifejezéssel) elosztjuk. Például: 3 ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ z 1⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ z

x ⋅ y 2 ⋅ z x⋅z = = = 4 4 4 2 4⋅ y 4⋅ y 12 ⋅ x ⋅ y 4⋅ x⋅ y 3 ⋅ x2 ⋅ y2 ⋅ z x⋅ z = 4 12 ⋅ x ⋅ y 4 ⋅ y2 Feladat Egyszerűsítsd a következő törteket! 5a 4b3 5a 3 = 2b 10ab 4 12x 2 y3 3y3 = 4x 5 x3 30k 3m5w 5k 2 = 12km8w 3 2m3w 2 Algebrai törtek összeadása, kivonása I. Ha az összevonandó törtek nevezője megegyezik, akkor egyszerűen csak összevonjuk a számlálókat. Példák: x + 2 3x − 7 (x + 2) + (3x − 7) x + 2 + 3x − 7 4x − 5 + = = = y y y y y Figyelem! Ha a törtvonal előtt kivonás jel van, akkor összevonásnál a kivonandó számlálójában megváltozik a műveleti jel! 4x + 4 x − 1 (4x + 4) − (x − 1) 4x + 4 − x + 1 3x + 5 − = = = 6x 6x 6x 6x 6x b 5b + 6 b − (5b + 6) b − 5b − 6 − 4b − 6 − = = = a+2 a+2 a+2 a+2 a+2 Feladat Végezd el a következő műveleteket! 2b − 5 5a − 4 (2b − 5) − (5a − 4) 2b − 5 − 5a + 4) 2b − 5a − 1 − = = = a a a a a 3x + 2 4x − 7 (3x + 1) + (4x

− 7) 3x + 1 + 4x − 7 7x − 6 + = = = 2x − 1 2x − 1 2x − 1 2x − 1 2x − 1 2m + 5 5 − 2m (2m + 5) − (5 − 2m) 2m + 5 − 5 + 2m 4m = − = = 2m − 5 2m − 5 2m − 5 2m − 5 2m − 5 Algebrai törtek összeadása, kivonása II. Ha az összevonandó törtek nevezője különböző, akkor először közös nevezőre hozzuk őket, majd ezután összevonjuk a számlálókat. A közös nevező: • Legyen többszöröse mindegyik nevezőnek. • Legyen minél kisebb. Azaz a legkisebb közös többszörös a legalkalmasabb. Ha viszont ezt nehéz megtalálni, akkor biztosan jó lesz az összes nevező szorzata. (mert az minden nevezőnek többszöröse). Példák: x + 3 y − 5 x(x + 3) y(y − 5) x 2 + 3x + y 2 − 5y + = + = y x xy yx yx 4 − x 2x + 1 2(4 − x) 3(2x + 1) 8 − 2x − 6x − 3 5 − 8x − = − = = 6x 4x 12x 12x 12x 12x b 2b − 1 (a − 2)b (a + 2)(2b − 1) − = − = a + 2 a − 2 (a − 2)(a + 2) (a + 2)(a − 2) ab − 2b − (2ab − a +

4b − 2) ab − 2b − 2ab + a − 4b + 2 a − ab − 6b + 2 = = a2 − 4 a2 − 4 a2 − 4 Feladat Végezd el a következő műveleteket! 2 − b 3a + 5b 2 − b − a(3a + 5b) 2 − b − 3a 2 − 5ab − = = ab b ab ab 2x − 3 3y − 2 2y(2x − 3) + x(3y − 2) 4xy − 6y + 3xy − 2x) 7xy − 6y − 2x) + = = = 2 2 2 2 2 2 4x y 8xy 8x y 8x y 8x 2 y 2 3 − 2x 4x − 1 (x + 3)(3 − 2x) − (x + 2)(4x − 1) − = = 4x + 8 4x + 12 4(x + 2)(x + 3) 3x − 2x 2 + 9 − 6x − (4x 2 − x + 8x − 2) 3x − 2x 2 + 9 − 6x − 4x 2 + x − 8x + 2 = = 4(x + 2)(x + 3) 4(x + 2)(x + 3) − 6x 2 − 10x + 11 4x 2 + 20x + 24 Két algebrai tört szorzatát úgy kapjuk meg, hogy a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel összeszorozzuk. Példák: 2x + 3 y (2x + 3) ⋅ y 2xy + 3y ⋅ = = y −1 x (y − 1) ⋅ x yx − x 3x + 2 4x − 5 (3x + 2)(4x − 5) 12x 2 − 15x + 8x − 10 12x 2 − 7x − 10 ⋅ = = = 2 2x − 1 5x + 3 (2x − 1)(5x + 3) 10x + 6x − 5x − 3

10x 2 + x − 3 x + 1 x + 1 (x + 1) 2 x 2 + 2x + 1 ⋅ = = 2 x+2 x−2 x −4 x2 − 4 Feladat Végezd el a következő műveleteket! 2x + 3 4 y ⋅ = 7y 5x - 6 x + 3 3x − 2 ⋅ = 5x − 1 2x − 4 2 x + 4 3x − y ⋅ = 5 x − 2 4 y + 5x Egy algebrai törtet egy másik algebrai törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprokával megszorozzuk az osztandót. Példák: 2 + x y −1 2 + x x (2 + x) ⋅ x 2x + x 2 : = ⋅ = = 3y x 3y y − 1 3y ⋅ (y − 1) 3y 2 − 3y 5x − 2 4x + 1 5x − 2 2x − 2 (5x − 2) ⋅ (2x − 2) 10x 2 − 10x − 4x + 4 10x 2 − 14x + 4 = ⋅ = = = : 2 3x 2x − 2 3x 4x + 1 (3x) ⋅ (4x + 1) 12x + 3x 12x 2 + 3x 2y − 3x 2x − 3 2y − 3x 4y − x (2y − 3x) ⋅ (4y − x) : = ⋅ = = 5x − y 4y − x 5x − y 2x − 3 (5x − y) ⋅ (2x − 3) 8y 2 − 2xy − 12xy + 9x 2 8y 2 − 14xy + 9x 2 = 2 10x − 15x − 2xy + 3y 10x 2 − 15x − 2xy + 3y Feladat Végezd el a következő műveleteket! 3x + 5 4x : = x − 1 2x + 3 2x + 5 3x −

4 : = 3x − 1 2x − 2 3m + 5 7 − 2m : = 3m − 5 4m − 1