Matematika | Valószínűségszámítás » Tóth András - Valószínűség-számítás képletösszefoglaló

Tóth András Kombinatorika: Jelölés: n n!   =  k  (n − k )!⋅k! Permutáció: n elemet sorba rendezünk: P = n! Ismétléses permutáció: 
  

!" $# % &)(+*,-".0/!1&123,4 57678:9";=<?>@A0B Pnk1,k2= Variáció: A:C5 CD n! k1!•k 2!. 6EF G H7IJKLH MNOP Q7RISITU V= n! (n − k )! elemet és sorba rendezzük: Ismétléses variáció: n elem közül kiválasztunk k db elemet és sorba rendezzük, egy elemet többször is húzhatunk Vi = n k Kombináció: n elem közül kiválasztunk k db elemet, de a sorrend nem számít: n Cn,k =   k  Ismétléses kombináció: n elem közül kiválasztunk k db elemet, de a sorrend nem számít, többször is lehet ugan az n −1+ k   C ni , k =  k   Ciklikus permutáció: 1-nek számít, ha a körben a szomszédok maradnak, csak mindenki odébb ül Pc = (n-1)! Ω

= {Összes elemi esemény} A = {esemény – elemi események összessége} Eseményalgebra: A*B = {A és B is bekövetkezik egyszerre} A+B = {vagy A vagy B esemény bekövetkezik} 9DOyV]tQ&VpJV]iPtWiV A = {amikor A nem következik be} A-B = {A bekövetkezik és B nem} Azonosságok: A-B = A*B VSWXYZ[!] ^` acbdfe P(A) = A-t alkotó elemi események száma / összes elemi események száma P(A)+P(B) = P(A+B), ha A*B=0 P( A ) = 1-P(A) P(A-B) = P(A)-P(AB) P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P(A|B) gihjjhkhlhm nocp!qrj7s tuvwx!yz7v"{ A bekövetkezik, ha B bekövetkezett P(A|B) = P( AB) P ( B) P(AB) = P(A|B)P(B) n P( A) = ∑ P( A | B j ) P( B j ) Teljes valószín&Dég tétele j =1 P( Bk | A) = P( A | Bk ) P( Bk ) n ∑ P( A | B ) P( B ) i =1 Ω) | P(A)=M(A)/M(Ω i Bayes tétel i }~€"‚~ƒ „c†7‡†ˆ ‰Š‹"Œr7ŽŠ Véletlen tömegjelenségekkel foglalkozik.

Elemi esemény: egy adott kísérlet konkrét kimenetele. Összes elemi esemény: Ω Esemény: elemi események halmaza Teljes eseményrendszer/tér: összegük biztos esemény, szorzatuk lehetetlen esemény ( x ‘“’”•–3—˜ ™š ›cœž–Ÿ 7¡¢¤£¦§¨ª ¡«¬ª­ ¡ª®¯¡0°¡±² µ£!¶ ²· ¸c¹º3»½¼0¾À¿ÁÂÃÁĸcÂÅƂÇ7Á ÆiȯÉÊÂË7Ì Í:¸cÂÎÐÏ"ÉÁ!¸ÂÎÑÈrË7Ò¸cÁÍ konvergál. A esemény relatív gyakorisága ³S´ Ó ÁÔÕ¸Â!Ö Í׸c¹º7ÈØÅÔ ÎÐÏÂ!Õf¿ ÙÛÚÐÜÝ Þ ÜßàÜßÜáiâãä7ÚÐâ åcÜã:â å¤ÚÑÜÝráiÜæÜ Ú ÚèçÑéêêëâãäìíá‚ÜÝ ä‚íæÃâ å¤ÚÐâ îâÚfíëâ!ÝÜÚÑÝ ÜãÚÑïÝçÑéêê7ï7Üã$ëÜßæ"ðç½ÜÝÐñ ξ(A esemény)=érték ξ(B esemény)=érték Eloszlás függvény - F(x): Diszkrét: P(ξξ=X1)=P1; . ëíÝ òßcæó¯ãôßâêÜ

Úèâ å¤Ú Þéîì Folytonos: F(x)=P(ξξ<x) Eloszlás függvény tulajdonságai: - DF=R - +oo -ben 1-hez tart - -oo -ben 0-hoz tart - balról folytonos á‚õ"ãõÚÑõã3ãöëÜî7ëï ÷øùúøfûcüý3þÐÿý7ý
ü - f(x): ÷7øù¤øûüýþ ÿýýü  ûý
 ∑ {Pi}=1; - f(x)>=0 - f(x)=F(x) +∞ ∫ f(x) dx = 1 ∫ f(x) dx = F(b)-F(a) = P(a<ξ<b) - −∞ b - a Eloszlás: ý û û ü  " #$%&û)(*+7øûüýý  (      !   $,  $  .- / Használat: diszkrét: eloszlás / eloszlásfüggvény þ 
01ûûøù¤øûcüýþÐÿýýü!2 û3("ûcþÐÿýý
ü  Várható érték - M(ξ) - E(x): egy dobássorozat átlagértéke: x = relatív gyakoriság * értéke átlagérték a várható érték körül ingadozik M(ξ) = ∑x i * P(ξ = xi ) +∞ M(ξ) = ∫ x * f ( x) dx −∞ Szórás: D2(ξξ) = M(ξξ2) -

M2(ξξ) Szórás tulajdonságai: ξ = const 4 D2 = 0 56718:9$;1< =>?=%@BA$=90C 83D6E:DF9G1H@ ;$I9KJML$NN
=90@=7!OQP OQPR8S83D=N
=T;
L$@R7$O=A$=90C Módusz: U A$6
@1FV8XWE:W18I%NJYL1NNOI7Z$7$=; maximuma van (az a ξ, ahol P(ξ) a legnagyobb) Medián: [.^]
`a+b cde f%gh1ikjlmikf` `n^oe alnb)` fpYfe fb3fqiknrh f%s+p1b3fr$q
f%tufve
e$wbmTe$
tnxQl)y Nevezetes Diszkrét eloszlások: (P, M, D2) Diszkrét egyenletes: Pl.: érme feldobás ξ : x1 , x 2 ,., x n 1 P(ξ = x) = n x ∑ i M(ξ) = n ∑x D (ξ) = 2  ∑ xi   −  n  n   z.{|3{}~0|)€)‚~0€+}ƒ1„%†3‚ ‡ˆ‰${^{^Š#‹^Œ‹|X~Y‹}$}$~ŽŒY‘‹’ “{ ”$3‚•B–—1)‹˜˜
“)‚€1™ 2 2 i M(ξ) = P D2(ξ) = p(1-p) Binomiális eloszlás: ξ : 0,1,., n n P(ξ = k ) =   p k (1 − p ) n − k k  M(ξ) = np D2(ξ) = np(1-p) Poisson eloszlás: ξ :

0,1,., ∞ P(ξ = k ) = λk −λ ⋅e k! M(ξ) = λ D2(ξ) = λ Nevezetes Folytonos Eloszlások: (f,F,M,D) Egyenletes eloszlás: f(x)=1/(b-a) š ha a<x<b F(x)=(x-a)/(b-a) š ha a<x<b, 1-ha x<a és 0-ha x>b M(ξ)=(a+b)/2 D(ξ)=(b-a)/(2 Exponenciális eloszlás: 3) λe − λx š ha x>0, különben 0 − λx š ha x>0, különben 0 F(x) = 1- e M(ξ) = 1/ λ D(ξ) = 1 / λ Normális Eloszlás: N ( m, σ ) f(x) = f ( x) = 1 e − ( x−m)2 2σ 2 σ 2π  x − m F ( x) = Φ   σ  D 2 ( x) = M ( x 2 ) − M 2 ( x ) M ( x) = ∑X i n Eloszlások kapcsolata: Poisson = Binom eloszlás: n*p= λ , ha n>>p Markov: Csebisev: P(ξ ≥ ε ) ≤ M (ξ ) ε P( ξ − M (ξ ) ≥ ε ) ≤ D 2 (ξ ) ε2 k  p (1 − p) P − p ≥ ε  ≤ nε 2 n   ∑ ξ i − nm   = Φ (x ) Centrális határeloszlás: lim P  n∞   σ m  Bernoulli – nagy számok: azonos eloszlású, független v.v !

Statisztika: Statisztikai minta: egy v. v –ra vonatkozó véges számú független megfigyelés, véges számú azonos eloszlású független v v –k együttese Mintaelem: a statisztikai minta egyes v. v-i Reprezentatív statisztikai minta: Leíró Statisztika: független ξ F ( x) és F ( x) = P(ξ < x) akkor ∀P(ξ i < x) = F ( x) 1 ∑1 n xi < x k∆x › œ œž3ŸYœ¡ œY¢ ž:£¤£ ž)¦§M¨1¦
¦$ª«’¬ „ f ( x) = ∆xn Tapasztalati eloszlásfüggvény: Fn ( x) = Pontbecslés: Statisztika: A ξ v. v –re vonatkozó ξ1,ξ2,,ξn mintaelemek α n = α n (ξ 1 ,., ξ 2 ) függvényt statisztikai függvénynek nevezzük ξ 1 + ξ 2 + . + ξ n x1 + x 2 + . + x n Mintaközép: ξ = vagy x = n n σ Ha M(ξ)=m és D(ξ)=σ, akkor M (ξ ) = m és D(ξ ) = n 2 2 ξ 2 − ξ ∑ξi ( ξ 1 − ξ ) + . + (ξ n − ξ ) ∑ 2 = Tapasztalati szórásnégyzet (empinikus): S n = n n n −1 2 2 ⋅σ Várható szórás: M (S n ) = n 2 2

( ξ 1 − ξ ) + . + (ξ n − ξ ) ∗2 Korrigált tapasztalati szórásnégyzet: S n = n −1 2 ∗2 Várható korrigált szórás: M S n = σ ( ) ξ m∗ + ξ m∗ +1 Tapasztalati medián: n=2m esetén: ξ 1 = ­ 2 2 ξ ∗ rendezett mintaelemek α n becslés torzítatlan, ha M( α n )=a Aszimptotikusan torzítatlan becslés: ha lim M (α m ) = a Torzítatlanság: Az „a” paraméter re vonatkozó n∞ Konzisztencia: Az Ha α 1 ,.α n becsléssorozat konzisztens becslése „a”-nak, ha ∃ε , lim (P(α n − a > ε )) = 0 n ∞ α n torzítatlan becslés, akkor konzisztens is. Efficiencia: Ha α n ∗ torzítatlan becslése „a”-nak és D 2 (α n ∗ ) ≤ D 2 (α n ) , ahol α n egyéb becslése „a”-nak, akkor α n ∗ legjobb ® hatásfokú „ ¯° ±1²%°%³µ´¶becslése ¶¸·1²
¹º»:¼„a”-nak. ½+± ¾ ¿ÀSÁ#ÂoÃBÄŎÆ#ÇÉÈÊ1Ë+ÌÎÍÌÐώË"ÑÅÃYË"Ò1Ó
Ó
ÔÕ ξ ÖQ×ÖQ×

ØÚÙ1ÛÜ3ÛݑÞßYàÜ3àá„á3âÜXâ áÞãä0åãã
Ö$Þæç à
è f(x,a). „a” becslése: â vagy α n x = x1 , x 2 ,., x n ßYÛßYêMá3ëß0ê+ì$ÛêÝkêBæß0Û^àãç$å
ßßYàá„á:âÜXâ á)ÞãäYå$ããÖÞæç à
è f ( x, a ) = f ( x, a ) f ( x, a ). és L = L( x, aˆ ) , ha nem ismert az a, akkor becsüljük a mintából Maximum likelihood függvény: f ( x, a ) = L( x, a ) í dL Meghatározása: = 0 àãç àæ1î àß ï ð
î× daˆ Konfidencia intervallum: Az „a” paraméterre vonatkozó ~ az, melyet α n statisztikai eloszlásának ismeretében határozunk meg, é Ý?àî ç æ$Ûãç Ö$Û%îñá3ëòBæ
 â óô%õõö÷
ø0ùúXøYù÷+ûkùüüù^ùüVý%ù%þTÿ ùú)ùûkôø0öúXø
Konfidencia Szint: üVù1ùõù%÷ ó)ü  ó)ôõû?ö÷ ÷ ö÷ýùþ ù konfidencia intervallumba esik. (1- ε ) Konfidencia intervallum meghatározása: Normális eloszlású v.

v, adott szórású: Várható érték=? N (m, σ )  mˆ = aˆ = ξ  D(ξ ) =  σ  ε  = 1 − P ξ − m < λ 2 n  ε Φ(λ ) = 1 − 2 Φ(ξ ) -es táblázatból egyenesen kell nézni σ n Normális eloszlású v. v: Szórás=? 2   S P c1 < n n2 < c 2  = 1 − ε σ    S2  ε P n n2 < c1  =  σ  2  S2  ε P n n2 < c 2  = 1 − 2  σ  χ 2 -es táblázatban fordítva kell nézni, szabadsági fok = n-1 Tipek Trükkök P(ξ − m ≥ σ )  megadási forma is létezik P(ξ ∈ [2,4]) = P(ξ = 2) + P(ξ = 3) + P (ξ = 4) Független események: P(AB)=P(A)P(B) Kizáró események: P(AB)=0 Stirling tétel: n n!=   e  n 1 1   2Π n  1 + + + .  2  12n 258n  - ha nem fér ki a faktoriális a számológépbe 1  ln(n!) = ln(n) n +  − n + ln 2π 2  "!#$&%()*&+-, Egyes

részekhez felvesszük az elemeinek a számát az intervallumban Eloszlás függvény: *54")6" &%7+!86"9!8:;$<!86% =4 +@?A*;6$  + $F;+G*HA6JIKI / . /> . &BA/ CD/E .;3 0-tól em./ 0213 Hipotézis Vizsgálat: Egy mintás u-próba: Normális eloszlású, ismert szórású N várható érték H 0 : M (ξ ) = m ./ML I!8 H 1 : M (ξ ) ≠ m ξ −m σ/ n P (− u p < n < u p ) = 1 − p u= ⇓ 2− p 2 Ha u n ≤ u p , akkor elfogadjuk H0 - t Φ (u p ) = Két mintás u-próba: Normális eloszlású, ismert szórású, függetelen v.v H 0 : M (ξ ) = M (η ) u= várható érték ξ −η σ 12 σ 22 + n1 n2 Egy mintás T-próba:(két oldali táblázat) Normális eloszlású, ismeretlen szórású H 0 : M (ξ ) = m t n −1 = N H 1 : M (ξ ) ≠ M (η ) N H 1 : M (ξ ) ≠ m várható érték ξ −m 2 S n* / n Ha t<|tk|, akkor igaz a feltevés Két mintás T-próba:(két oldali táblázat) Normális eloszlású,

azonos szórású, független v.v H 0 : M (ξ ) = M (η ) t n+m−2 = H 1 : M (ξ ) ≠ M (η ) ξ −η *2 (n − 1) S n + (m − 1) S F-próba:(két oldali táblázat) Normális eloszlású v.v-k H 0 : D(ξ ) = D(η ) N *2 m N várható értékek megegyeznek-e nm(n + m − 2) n+m szórások egyeznek-e H 1 : D(ξ ) ≠ D(η ) n+m-2 O szabadságfokok *2 S1 F= 2 S 2∗ Fk<F<1/Fk közé essen! – Fk a kritikus érték, a szabadságfok: n-1 χ -próba: 2 Ismert elemek P H0: Illeszkedik r χ =∑ 2 1 mintacsop. (ν i Ileszkedik-e H1: Nem illeszkedik − np i ) ; ν np i 2 QSR;TURVWRYX Z [)]^) "` ab2)cde7f&c")]g b2aYdfih p jSk de k b k ` k&l g k b k&lGm;n e k cDof`Ep"b=qr ns b m d k h χ k2 > χ 2 , akkor Illeszkedik. Kovariancia: cov(ξ , η ) = M (ξη ) − M (ξ )M (η ) M [(ξ − M (ξ ) ) • (η − M (η ) )] cov(ξ , η ) Korrelációs együttható: R (ξ , η ) = = D(ξ ) D(η ) D(ξ ) D(η )

Ha R speciális esetei: Független v.v esetén( P (ξ tvu8w"xy{zu |2}&w~#A€€ƒ‚„ ‚ < x é s η < y ) = P(ξ < x )P(η < y ) ): R=0 a „x|2x{†(‡&wAˆ M (η ) = aM (ξ ) + b ): R(ξ , η ) = a R kiértékelése: R=0 ‰ korrelálatlan, nem lineáris kapcsolat Mintából számolt korrelációs együttható: r= ∑ xi yi − xy n S X SY ‰ ha r > rε , akkor együttjárás van(lineáris kapcsolat) r-